Obtención de la ecuación de Euler-Lagrange utilizando los vectores ...

Artículo de Investigación Acosta / Ingeniería 8-1 (2004) 17-22
donde δ mn es la delta de Kronecker, y se tiene una
base ortonormal si este conjunto de tres vectores es
ˆ µ , ˆ µ , ˆ µ , es decir:
unitario 1 2 3
⎧1si
m = n
ˆ
⎫
µ ⋅ ˆ
m µ n = δ mn = ⎨ ⎬ .
⎩0
si m ≠ n⎭
r
Así, un vector cualquiera A se puede
escribir en la dirección de su base de vectores
unitarios como:
18
A r
+
+
= [ ( A ˆ 1µ
1 + A ˆ 2µ
2 + A ˆ 3µ
3 ) ⋅ ˆ µ 1 ]
[ ( A ˆ 1µ
1 + A ˆ 2µ
2 + A ˆ 3µ
3 ) ⋅ ˆ µ 2 ] ˆ µ 2
[ ( A ˆ ˆ ˆ
1µ
1 + A2µ
2 + A3µ
3 ) ⋅ ˆ µ 3 ] ˆ µ 3
ˆ µ
que de manera condensada es:
r
A =
3 r
A ⋅ ˆ µ ˆ µ . (1)
∑
i=
1
( i )
Definiendo un sistema coordenado, al cual
llamaremos generalizado con representación
q 1 , q2
, q3
. Las coordenadas cartesianas son función
de dichas coordenadas generalizadas, esto es:
x = x(
q1,
q2,
q3
); y = y(
q1,
q2
, q3
);
z = z(
q q , q );
1,
2 3
Entonces, el vector de posición r r se puede
expresar en función de los vectores unitarios de
coordenadas cartesianas de la siguiente manera:
r
r = x
( q q , q ) iˆ
+ y(
q , q , q ) ˆj
+ z(
q , q , q )k
1 , 2 3
1 2 3
1 2 3
.
A partir de la definición anterior se construye
una nueva base de vectores como (Hsu, 1987):
i
r r
∂r
bi
= , (2)
∂q
este vector base generalizado, en coordenadas
cartesianas es:
r ∂x
y z
b iˆ
∂ ˆ ∂
i = + j + k
ˆ
, (3)
∂q
∂q
∂q
i
i
i
i
1
ˆ
como el vector anterior no es unitario, deberemos
dividir entre su propia magnitud, la cual se conoce
como coeficiente métrico o factor de escala, y se
representa por:
r
∂r
hi
= ,
∂q
por lo cual el vector unitario queda expresado como:
i
r
b
i
eˆ
i = . (4)
hi
Adicional a esta base existe otra que se
conoce como la base recíproca cuyos vectores se
representan por i cr , con la siguiente propiedad:
r r
c ⋅ = δ .
i b j
se observa que el vector i cr tiene la misma dirección
r
de bi
pero sus magnitudes son recíprocas:
y en función de i b
r
es
i
ij
1
ci
= eˆ
i ,
h
r
b
ci
=
h
, (5)
i
2
i
otra forma de escribir al vector recíproco es
r ∂qi
q q
c iˆ
∂ i ˆ ∂ i
i = + j + k
ˆ
. (6)
∂x
∂y
∂z
Componente covariante y contravariante de la
velocidad
Bajo la notación de vectores base y
recíprocos, el vector velocidad se representa como:
= v
r
3
∑
i=
1
r
( ⋅ ˆ ) e v
ˆ
i i e
es claro que el vector velocidad tiene dos formas
equivalentes de escribirse, una en función de la base