Obtención de la ecuación de Euler-Lagrange utilizando los vectores ...
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Artículo <strong>de</strong> Investigación Acosta / Ingeniería 8-1 (2004) 17-22<br />
don<strong>de</strong> δ mn es <strong>la</strong> <strong>de</strong>lta <strong>de</strong> Kronecker, y se tiene una<br />
base ortonormal si este conjunto <strong>de</strong> tres <strong>vectores</strong> es<br />
ˆ µ , ˆ µ , ˆ µ , es <strong>de</strong>cir:<br />
unitario 1 2 3<br />
⎧1si<br />
m = n<br />
ˆ<br />
⎫<br />
µ ⋅ ˆ<br />
m µ n = δ mn = ⎨ ⎬ .<br />
⎩0<br />
si m ≠ n⎭<br />
r<br />
Así, un vector cualquiera A se pue<strong>de</strong><br />
escribir en <strong>la</strong> dirección <strong>de</strong> su base <strong>de</strong> <strong>vectores</strong><br />
unitarios como:<br />
18<br />
A r<br />
+<br />
+<br />
= [ ( A ˆ 1µ<br />
1 + A ˆ 2µ<br />
2 + A ˆ 3µ<br />
3 ) ⋅ ˆ µ 1 ]<br />
[ ( A ˆ 1µ<br />
1 + A ˆ 2µ<br />
2 + A ˆ 3µ<br />
3 ) ⋅ ˆ µ 2 ] ˆ µ 2<br />
[ ( A ˆ ˆ ˆ<br />
1µ<br />
1 + A2µ<br />
2 + A3µ<br />
3 ) ⋅ ˆ µ 3 ] ˆ µ 3<br />
ˆ µ<br />
que <strong>de</strong> manera con<strong>de</strong>nsada es:<br />
r<br />
A =<br />
3 r<br />
A ⋅ ˆ µ ˆ µ . (1)<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
( i )<br />
Definiendo un sistema coor<strong>de</strong>nado, al cual<br />
l<strong>la</strong>maremos generalizado con representación<br />
q 1 , q2<br />
, q3<br />
. Las coor<strong>de</strong>nadas cartesianas son función<br />
<strong>de</strong> dichas coor<strong>de</strong>nadas generalizadas, esto es:<br />
x = x(<br />
q1,<br />
q2,<br />
q3<br />
); y = y(<br />
q1,<br />
q2<br />
, q3<br />
);<br />
z = z(<br />
q q , q );<br />
1,<br />
2 3<br />
Entonces, el vector <strong>de</strong> posición r r se pue<strong>de</strong><br />
expresar en función <strong>de</strong> <strong>los</strong> <strong>vectores</strong> unitarios <strong>de</strong><br />
coor<strong>de</strong>nadas cartesianas <strong>de</strong> <strong>la</strong> siguiente manera:<br />
r<br />
r = x<br />
( q q , q ) iˆ<br />
+ y(<br />
q , q , q ) ˆj<br />
+ z(<br />
q , q , q )k<br />
1 , 2 3<br />
1 2 3<br />
1 2 3<br />
.<br />
A partir <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición anterior se construye<br />
una nueva base <strong>de</strong> <strong>vectores</strong> como (Hsu, 1987):<br />
i<br />
r r<br />
∂r<br />
bi<br />
= , (2)<br />
∂q<br />
este vector base generalizado, en coor<strong>de</strong>nadas<br />
cartesianas es:<br />
r ∂x<br />
y z<br />
b iˆ<br />
∂ ˆ ∂<br />
i = + j + k<br />
ˆ<br />
, (3)<br />
∂q<br />
∂q<br />
∂q<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
1<br />
ˆ<br />
como el vector anterior no es unitario, <strong>de</strong>beremos<br />
dividir entre su propia magnitud, <strong>la</strong> cual se conoce<br />
como coeficiente métrico o factor <strong>de</strong> esca<strong>la</strong>, y se<br />
representa por:<br />
r<br />
∂r<br />
hi<br />
= ,<br />
∂q<br />
por lo cual el vector unitario queda expresado como:<br />
i<br />
r<br />
b<br />
i<br />
eˆ<br />
i = . (4)<br />
hi<br />
Adicional a esta base existe otra que se<br />
conoce como <strong>la</strong> base recíproca cuyos <strong>vectores</strong> se<br />
representan por i cr , con <strong>la</strong> siguiente propiedad:<br />
r r<br />
c ⋅ = δ .<br />
i b j<br />
se observa que el vector i cr tiene <strong>la</strong> misma dirección<br />
r<br />
<strong>de</strong> bi<br />
pero sus magnitu<strong>de</strong>s son recíprocas:<br />
y en función <strong>de</strong> i b<br />
r<br />
es<br />
i<br />
ij<br />
1<br />
ci<br />
= eˆ<br />
i ,<br />
h<br />
r<br />
b<br />
ci<br />
=<br />
h<br />
, (5)<br />
i<br />
2<br />
i<br />
otra forma <strong>de</strong> escribir al vector recíproco es<br />
r ∂qi<br />
q q<br />
c iˆ<br />
∂ i ˆ ∂ i<br />
i = + j + k<br />
ˆ<br />
. (6)<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
Componente covariante y contravariante <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
velocidad<br />
Bajo <strong>la</strong> notación <strong>de</strong> <strong>vectores</strong> base y<br />
recíprocos, el vector velocidad se representa como:<br />
= v<br />
r<br />
3<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
r<br />
( ⋅ ˆ ) e v<br />
ˆ<br />
i i e<br />
es c<strong>la</strong>ro que el vector velocidad tiene dos formas<br />
equivalentes <strong>de</strong> escribirse, una en función <strong>de</strong> <strong>la</strong> base