El espacio-tiempo de Einstein - Revista-anales.es
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<strong>El</strong> <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> <strong>de</strong> <strong>Einstein</strong><br />
“<strong>El</strong> <strong><strong>es</strong>pacio</strong> por sí mismo y el <strong>tiempo</strong> por sí mismo <strong>es</strong>tán con<strong>de</strong>nados a <strong>de</strong>svanecerse hasta convertirse en<br />
meras sombras y sólo algún tipo <strong>de</strong> unión <strong>de</strong> ambos pr<strong>es</strong>ervará la existencia <strong>de</strong> una realidad in<strong>de</strong>pendiente”<br />
(Minkowski)<br />
Luis García Pascual<br />
Doctor Ingeniero <strong>El</strong>ectromecánico <strong>de</strong>l ICAI, Promoción 1957.<br />
Diplomado en Organización Industrial. Prof<strong>es</strong>or Emérito <strong>de</strong> la<br />
Escuela Técnica Superior <strong>de</strong> Ingeniería <strong>de</strong>l ICAI (Universidad<br />
Pontificia Comillas <strong>de</strong> Madrid).<br />
Palabras clave: Espacio-<strong>tiempo</strong>, contracción <strong>de</strong>l<br />
<strong><strong>es</strong>pacio</strong>, dilatación <strong>de</strong>l <strong>tiempo</strong>, <strong><strong>es</strong>pacio</strong> propio, <strong>tiempo</strong><br />
propio, vida propia, relatividad <strong>de</strong>l envejecimiento.<br />
R<strong>es</strong>umen<br />
A partir <strong>de</strong> la aparición en <strong>es</strong>cena <strong>de</strong> la Teoría <strong>de</strong> la Relatividad<br />
Especial en 1905 po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>cir en palabras <strong>de</strong> Minkowski<br />
que “el <strong><strong>es</strong>pacio</strong> que se mi<strong>de</strong> y el <strong>tiempo</strong> que se mi<strong>de</strong> sólo tienen<br />
sentido en el sistema <strong>de</strong> referencia en que se mi<strong>de</strong>n” y, en<br />
consecuencia, los posibl<strong>es</strong> valor<strong>es</strong> que caractericen por ejemplo<br />
el <strong>de</strong>splazamiento <strong>de</strong> un móvil o su velocidad o su aceleración<br />
en un sistema <strong>de</strong> referencia <strong>de</strong>terminado, no tendrán vali<strong>de</strong>z al<br />
preten<strong>de</strong>r utilizarlos en otro sistema <strong>de</strong> referencia que tenga algún<br />
movimiento relativo r<strong>es</strong>pecto al primero. <strong>El</strong>lo lleva implícito<br />
que, para <strong>es</strong>tudiar cualquier acontecimiento en el <strong><strong>es</strong>pacio</strong> o en el<br />
<strong>tiempo</strong> o en ambos a la vez, <strong>de</strong>bamos utilizar tantas ecuacion<strong>es</strong><br />
distintas como diferent<strong>es</strong> sean los sistemas <strong>de</strong> referencia en que<br />
nos inter<strong>es</strong>e <strong>es</strong>tudiarlo. <strong>El</strong> <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> supera <strong>es</strong>ta dificultad<br />
consi<strong>de</strong>rando que no <strong>de</strong>ben <strong>de</strong>terminarse los valor<strong>es</strong> <strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong><br />
por un lado y <strong>de</strong>l <strong>tiempo</strong> por otro sino que <strong>de</strong>beríamos utilizar<br />
una nueva variable s (el <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong>) y empleando <strong>es</strong>a nueva<br />
variable, que implica ambos conceptos <strong>de</strong> forma inseparable, <strong>es</strong><br />
posible manejar una ecuación que r<strong>es</strong>ultará invariante para repr<strong>es</strong>entar<br />
cualquier acontecimiento en los posibl<strong>es</strong> sistemas <strong>de</strong><br />
referencia. Definir la nueva variable s, sus características y formular<br />
en el <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> algunos conceptos muy cercanos en nu<strong>es</strong>tras<br />
experiencias cotidianas <strong>es</strong> la pretensión <strong>de</strong> <strong>es</strong>te artículo.<br />
2 <strong>anal<strong>es</strong></strong> <strong>de</strong> mecánica y electricidad / marzo-abril 2010<br />
Key words: Space-Time, space contraction, time<br />
expansion, own space, own time, own life, ageing.<br />
Abstract<br />
From the moment the Theory of Special Relativity appeared<br />
on the scene, using Minkowski’s words that “the<br />
space that is measured and the time that is measured only<br />
have meaning within the system of reference in which they<br />
are measured”, in consequence we can say that the possible<br />
valu<strong>es</strong> which, for instance, characterize the displacement,<br />
speed or acceleration of a mobile in a specific system<br />
of reference, will not be valid when wanting to use them in<br />
another system of reference which has a relative movement<br />
in r<strong>es</strong>pect of the first one. This impli<strong>es</strong> that, in or<strong>de</strong>r to study<br />
any event in space or in time or in both at the same time,<br />
as many different equations must be used as there are different<br />
systems of reference in which we wish to study it. The<br />
space-time overcom<strong>es</strong> this difficulty by consi<strong>de</strong>ring that the<br />
valu<strong>es</strong> of space and time should not be taken separately<br />
and instead a new variable s (space-time) should be used.<br />
By handling this variable which impli<strong>es</strong> both concepts at the<br />
same time, it is possible to use an equation to repr<strong>es</strong>ent any<br />
event in all the possible systems of reference. To <strong>de</strong>fine this<br />
new variable s and its characteristics, as well as to formulate<br />
in space-time some neighbouring concepts from our daily<br />
experience, is the purpose of his article.
Definición<br />
<strong>El</strong> <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> <strong>es</strong> la i<strong>de</strong>ntidad<br />
geométrica <strong>de</strong> cuatro dimension<strong>es</strong> <strong>de</strong><br />
las que tr<strong>es</strong> son <strong>es</strong>pacial<strong>es</strong> (x, y, z) y una<br />
temporal (t) y en la que, <strong>de</strong> acuerdo<br />
con la Teoría <strong>de</strong> la Relatividad, se <strong>de</strong>sarrollan<br />
todos los suc<strong>es</strong>os <strong>de</strong>l Universo.<br />
D<strong>es</strong>pués <strong>de</strong> la interpretación relativista<br />
<strong>de</strong> la gravedad pue<strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rarse el<br />
<strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> también como el tejido<br />
(la <strong>es</strong>tructura) que, a<strong>de</strong>más, soporta todo<br />
el comportamiento <strong>de</strong>l Universo.<br />
Introducción<br />
Hasta que <strong>Einstein</strong> en 1905 postuló<br />
su Teoría <strong>de</strong> la Relatividad Especial,<br />
la mecánica, para el <strong>es</strong>tudio <strong>de</strong>l movimiento<br />
<strong>de</strong> los cuerpos, se apoyada<br />
fundamentalmente en Galileo y en<br />
Newton y aplicaba, con r<strong>es</strong>ultados aparentemente<br />
irreprochabl<strong>es</strong>, ciertas ley<strong>es</strong><br />
que suc<strong>es</strong>ivamente se habían venido<br />
consolidando. En <strong>es</strong>tas ley<strong>es</strong> siempre<br />
se consi<strong>de</strong>raba que tal<strong>es</strong> movimientos<br />
tenían lugar en un <strong><strong>es</strong>pacio</strong> <strong>de</strong> tr<strong>es</strong> dimension<strong>es</strong><br />
ortogonal<strong>es</strong> (x, y, z) y a lo<br />
largo <strong>de</strong> un <strong>tiempo</strong> <strong>de</strong> una sola dimensión<br />
(t) con el convencimiento, más<br />
o menos explícito, <strong>de</strong> que tanto <strong>es</strong>te<br />
<strong>tiempo</strong> como aquel <strong><strong>es</strong>pacio</strong> eran variabl<strong>es</strong><br />
in<strong>de</strong>pendient<strong>es</strong> y <strong>de</strong> que a ambas<br />
se l<strong>es</strong> podían asignar los valor<strong>es</strong> <strong>de</strong>terminados<br />
por un observador cualquiera,<br />
pu<strong>es</strong>to que <strong>es</strong>tos valor<strong>es</strong> se pr<strong>es</strong>umían<br />
válidos no sólo para el observador que<br />
los hubiera medido sino también para<br />
cualquier otro, que <strong>de</strong>seara utilizarlos,<br />
in<strong>de</strong>pendientemente <strong>de</strong>l movimiento<br />
relativo que pudiera haber entre cual<strong>es</strong>quiera<br />
<strong>de</strong> dichos observador<strong>es</strong>. <strong>Einstein</strong>,<br />
partiendo <strong>de</strong>l hecho, ampliamente<br />
constatado <strong>de</strong>s<strong>de</strong> las experiencias <strong>de</strong><br />
Michelson-Morley, <strong>de</strong> que la velocidad<br />
absoluta <strong>de</strong> la luz <strong>es</strong> in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong><br />
cual sea la velocidad <strong>de</strong>l foco emisor<br />
<strong>de</strong>l que parta y <strong>de</strong>l movimiento <strong>de</strong>l observador<br />
que pretenda medirla, cu<strong>es</strong>tionó<br />
la invariabilidad <strong>de</strong> los valor<strong>es</strong> para<br />
los intervalos en el <strong>tiempo</strong> y para las<br />
distancias en el <strong><strong>es</strong>pacio</strong> percibidos por<br />
los distintos observador<strong>es</strong> y <strong>es</strong>tableció<br />
que el correcto <strong>es</strong>tudio <strong>de</strong>l movimiento<br />
<strong>de</strong> los cuerpos exigía pensar que:<br />
a. Las ley<strong>es</strong> físicas <strong>es</strong>tablecidas eran<br />
efectivamente válidas para cualquier<br />
observador, siempre que dicho observador<br />
se encontrara en reposo o se<br />
moviera con movimiento rectilíneo y<br />
a velocidad constante. <strong>El</strong>lo equivalía a<br />
<strong>de</strong>cir que un observador, si <strong>es</strong>tá completamente<br />
aislado <strong>de</strong>l exterior, <strong>es</strong> incapaz<br />
<strong>de</strong> distinguir, aplicando cualquier<br />
ley física, si <strong>es</strong>tá en reposo o si se mueve<br />
con movimiento rectilíneo y a velocidad<br />
constante.<br />
b. A p<strong>es</strong>ar <strong>de</strong> <strong>es</strong>ta vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong> las ley<strong>es</strong><br />
físicas para un observador que <strong>es</strong>té<br />
en reposo o que se <strong>de</strong>splace con movimiento<br />
rectilíneo y uniforme, surgía<br />
una discrepancia importante a la hora<br />
<strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rar los valor<strong>es</strong> <strong>de</strong>l <strong>tiempo</strong><br />
empleado y <strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong> recorrido<br />
en un movimiento; ya que, tanto el valor<br />
<strong>de</strong> los intervalos <strong>de</strong> <strong>tiempo</strong> medido<br />
por los diferent<strong>es</strong> observador<strong>es</strong> como<br />
el <strong>de</strong> las distancias constatadas por cada<br />
uno <strong>de</strong> ellos, no son in<strong>de</strong>pendient<strong>es</strong><br />
<strong>de</strong> su movimiento relativo, aunque éste<br />
sea rectilíneo y uniforme. <strong>El</strong>lo quiere<br />
<strong>de</strong>cir que <strong>es</strong> preciso olvidarse <strong>de</strong> la visión<br />
tradicional <strong>de</strong>l <strong>tiempo</strong> y <strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong><br />
como <strong>es</strong>tructuras rígidas <strong>de</strong>l Universo<br />
sino que hay que tener en cuenta<br />
que los valor<strong>es</strong> <strong>de</strong> ambas magnitu<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong>l movimiento relativo entre<br />
el observador y lo observado.<br />
c. También puntualizó que dos observador<strong>es</strong>,<br />
que se mantengan en puntos<br />
distintos <strong>de</strong> un sistema moviéndose todo<br />
él con cierta aceleración no ortogonal<br />
a la dirección <strong>de</strong>terminada por<br />
los dos puntos en que se encuentren<br />
los dos observador<strong>es</strong>, perciben con valor<strong>es</strong><br />
diferent<strong>es</strong> tanto el <strong>tiempo</strong> como<br />
el <strong><strong>es</strong>pacio</strong> corr<strong>es</strong>pondient<strong>es</strong> a un acontecimiento<br />
cualquiera; ya que la aceleración<br />
<strong>de</strong>l sistema hace que, durante el<br />
pequeño <strong>tiempo</strong> que tarda la luz en llegar<br />
<strong>de</strong> un observador al otro, la velocidad<br />
relativa r<strong>es</strong>pecto al acontecimiento<br />
<strong>de</strong>l segundo observador no coincida<br />
con la velocidad relativa con que el primero<br />
<strong>de</strong> dichos observador<strong>es</strong> lo haya<br />
visto en un momento anterior. Por<br />
ejemplo, si en una nave <strong>es</strong>pacial hay<br />
un observador en la parte <strong>de</strong>lantera y<br />
otro en la parte trasera, cada uno con<br />
su reloj corr<strong>es</strong>pondiente, constatarán<br />
que sus reloj<strong>es</strong> no marchan al unísono<br />
mientras la nave se acelere o se reten-<br />
ga porque hay un cambio en la velocidad<br />
<strong>de</strong> la nave <strong>de</strong>s<strong>de</strong> que se registró el<br />
<strong>tiempo</strong> en uno <strong>de</strong> los reloj<strong>es</strong> hasta que<br />
se registra en el otro.<br />
d. De la misma manera puso <strong>de</strong> manifi<strong>es</strong>to<br />
que la masa y la energía no<br />
son magnitu<strong>de</strong>s in<strong>de</strong>pendient<strong>es</strong>. Están<br />
relacionadas como si la masa fu<strong>es</strong>e<br />
una energía altísimamente con<strong>de</strong>nsada<br />
con un factor <strong>de</strong> con<strong>de</strong>nsación<br />
<strong>de</strong> gran valor (<strong>es</strong>te valor <strong>es</strong>tá <strong>de</strong>terminado<br />
por la velocidad <strong>de</strong> la luz elevada<br />
al cuadrado c 2 = 9.10 16 m 2 /seg 2 ).<br />
<strong>El</strong>lo equivale a <strong>de</strong>cir que la masa pue<strong>de</strong><br />
transformarse en energía y ésta en<br />
aquella con el r<strong>es</strong>ultado, por ejemplo,<br />
<strong>de</strong> que una pequeña disminución <strong>de</strong><br />
la cantidad <strong>de</strong> masa total en una reacción<br />
nuclear <strong>de</strong> origen a una enorme<br />
cantidad <strong>de</strong> energía liberada. Un gramo<br />
<strong>de</strong> masa equivale a 9.10 13 julios<br />
<strong>de</strong> energía.<br />
e. Idénticamente también constató<br />
que la masa <strong>de</strong> un cuerpo <strong>es</strong> función<br />
<strong>de</strong> su velocidad <strong>de</strong> tal manera que, si<br />
su velocidad tendiera a la velocidad <strong>de</strong><br />
la luz, su masa ten<strong>de</strong>ría a valer infinito.<br />
f. Dedujo también como recopilación<br />
<strong>de</strong> las premisas anterior<strong>es</strong> la más importante<br />
<strong>de</strong> las ecuacion<strong>es</strong> formuladas<br />
a lo largo <strong>de</strong> todo el siglo XX (la famosa<br />
ecuación <strong>de</strong> <strong>Einstein</strong> E = m.c 2 ).<br />
A partir <strong>de</strong>l Principio <strong>de</strong> Equivalencia<br />
(no <strong>es</strong> posible distinguir si un cuerpo<br />
se mueve con aceleración constante<br />
o si <strong>es</strong>tá sometido a los efectos <strong>de</strong><br />
la gravedad o <strong>de</strong> otra fuerza exterior)<br />
<strong>Einstein</strong> profundizó en su Teoría <strong>de</strong> la<br />
Relatividad General poniendo <strong>de</strong> manifi<strong>es</strong>to<br />
que:<br />
g. Un individuo en el interior <strong>de</strong> un ascensor<br />
que <strong>de</strong>scendiera con una aceleración<br />
exactamente igual a g, si <strong>es</strong>tá<br />
el individuo completamente aislado<br />
<strong>de</strong>l exterior, será incapaz <strong>de</strong> distinguir<br />
si el ascensor se mueve con dicha aceleración<br />
o si <strong>es</strong>tá en reposo y ha <strong>de</strong>saparecido,<br />
por arte <strong>de</strong> magia, la acción<br />
<strong>de</strong> la gravedad (lo único que <strong>de</strong>tecta <strong>es</strong><br />
que ha <strong>de</strong>saparecido totalmente la fuerza<br />
igual a su p<strong>es</strong>o con que sus pi<strong>es</strong> se<br />
apoyaban sobre el suelo <strong>de</strong>l ascensor).<br />
<strong>El</strong> <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> <strong>de</strong> <strong>Einstein</strong> 3
Igualmente, si subiera el ascensor con<br />
una aceleración <strong>de</strong> valor g, no será capaz<br />
<strong>de</strong> distinguir si el ascensor sube con<br />
dicha aceleración o si <strong>es</strong>tá en reposo y<br />
el campo gravitatorio ha multiplicado<br />
por 2 su valor (simplemente nota que<br />
sus pi<strong>es</strong> se apoyan, ahora, sobre el suelo<br />
<strong>de</strong>l ascensor con una fuerza <strong>de</strong> valor<br />
2 vec<strong>es</strong> su propio p<strong>es</strong>o). En tercer<br />
lugar, y por seguir insistiendo en el mismo<br />
ejemplo, si consiguiéramos mediante<br />
alguna acción exterior que nu<strong>es</strong>tro<br />
ascensor bajara con una aceleración <strong>de</strong><br />
valor 2g nu<strong>es</strong>tro ascensorista se sentirá<br />
incapacitado para saber si el ascensor<br />
baja con dicha aceleración o si <strong>es</strong>tá<br />
en reposo y el campo gravitatorio, conservando<br />
su valor, ha cambiado <strong>de</strong> sentido<br />
(<strong>es</strong> ahora su cabeza la que se apoya<br />
sobre el techo <strong>de</strong>l ascensor con una<br />
fuerza igual a su p<strong>es</strong>o).<br />
h. Supongamos, por un momento, que<br />
nu<strong>es</strong>tro amigo <strong>de</strong>l ascensor se instalara<br />
en el interior <strong>de</strong> un tubo cilíndrico<br />
<strong>de</strong> acero con los pi<strong>es</strong> posando sobre<br />
su fondo y su <strong>es</strong>palda apoyada contra<br />
la pared lateral <strong>de</strong>l cilindro y supongamos<br />
también que éste comenzara a girar<br />
alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> su eje. Nu<strong>es</strong>tro amigo<br />
empezaría a notar una pr<strong>es</strong>ión sobre<br />
su <strong>es</strong>palda y, si <strong>es</strong>tuviera aislado <strong>de</strong>l exterior,<br />
llegaría a dudar si <strong>es</strong>taba girando<br />
solidariamente con el tubo o si <strong>es</strong>taba<br />
en reposo y <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la pared interior<br />
<strong>de</strong>l mismo se aplicaba sobre su <strong>es</strong>palda<br />
una fuerza <strong>de</strong> valor:<br />
Siendo:<br />
mω 2 r<br />
m la masa <strong>de</strong> nu<strong>es</strong>tro compañero<br />
en el experimento.<br />
mω 2 la r velocidad angular con que gira<br />
al unísono con el tubo.<br />
r el radio interior <strong>de</strong>l mismo.<br />
i. En los casos g <strong>es</strong>tamos hablando <strong>de</strong><br />
cierta masa que, con frecuencia, se ha<br />
consi<strong>de</strong>rado como masa gravitacional<br />
y en el ejemplo h <strong>de</strong> la masa que,<br />
a vec<strong>es</strong>, se ha llamado masa inercial<br />
pudiendo constatar que ambas son la<br />
misma cosa y que nunca ningún experimento<br />
será capaz <strong>de</strong> distinguirlas<br />
entre sí.<br />
4 <strong>anal<strong>es</strong></strong> <strong>de</strong> mecánica y electricidad / marzo-abril 2010<br />
j. Por otra parte sabemos, por geometría<br />
elemental, que la relación entre<br />
el perímetro interior <strong>de</strong>l tubo y su<br />
radio vale:<br />
P<br />
= 2π<br />
r<br />
Si una vez girando el tubo pudiésemos<br />
saber exactamente, por un lado<br />
el valor percibido por nu<strong>es</strong>tro amigo<br />
instalado en el tubo para el perímetro<br />
interior <strong>de</strong>l mismo y por otro el valor<br />
para su radio, ambos valor<strong>es</strong> serían tal<strong>es</strong><br />
que su relación <strong>de</strong>jaría <strong>de</strong> ser igual<br />
P<br />
a = 2π . La razón hay que buscarla en<br />
r<br />
que el radio <strong>de</strong>l tubo, cuando gira, tiene<br />
un movimiento relativo, r<strong>es</strong>pecto a<br />
cuando <strong>es</strong>taba parado, ortogonal a dicho<br />
radio; mientras que, en el perímetro,<br />
la dirección <strong>de</strong>l movimiento relativo,<br />
cuando gira, r<strong>es</strong>pecto a cuando<br />
<strong>es</strong>taba parado, <strong>es</strong> tangente al cilindro<br />
y, por lo tanto, coinci<strong>de</strong>n en dirección<br />
el movimiento relativo y el <strong><strong>es</strong>pacio</strong> a<br />
medir. La Teoría <strong>de</strong> la Relatividad Especial<br />
nos <strong>de</strong>scubre que, cuando existe<br />
movimiento relativo entre dos <strong><strong>es</strong>pacio</strong>s,<br />
se produce, al comparar los valor<strong>es</strong><br />
percibidos por un observador para<br />
dichos <strong><strong>es</strong>pacio</strong>s, una contracción <strong>de</strong>l<br />
uno r<strong>es</strong>pecto al otro en la dirección<br />
<strong>de</strong>l movimiento relativo y dicha contracción<br />
<strong>es</strong> nula en la dirección ortogonal<br />
a dicho movimiento relativo.<br />
k. Por la equivalencia entre que un<br />
sistema tenga un movimiento con<br />
aceleración constante o que el mismo<br />
<strong>es</strong>té sometido a un campo gravitatorio<br />
constante y uniforme, dos<br />
reloj<strong>es</strong> exactamente igual<strong>es</strong>, situados<br />
uno en lo más alto <strong>de</strong> una torre y<br />
otro al pie <strong>de</strong> la misma, no marcarán<br />
exactamente el mismo intervalo<br />
<strong>de</strong> <strong>tiempo</strong> entre dos hechos concretos;<br />
ya que, en la dirección <strong>de</strong>terminada<br />
por los dos puntos en que situamos<br />
ambos reloj<strong>es</strong>, <strong>es</strong>tá actuando<br />
el campo gravitatorio terr<strong>es</strong>tre y para<br />
un observador aislado <strong>de</strong>l exterior el<br />
campo gravitatorio equivale a un movimiento<br />
acelerado.<br />
Con todas <strong>es</strong>tas matizacion<strong>es</strong> <strong>Einstein</strong><br />
puntualizó la manera como realmente<br />
se le pr<strong>es</strong>entan, a cada uno <strong>de</strong><br />
los posibl<strong>es</strong> observador<strong>es</strong>, los valor<strong>es</strong><br />
<strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong> y <strong>de</strong>l <strong>tiempo</strong> <strong>de</strong> cualquier<br />
movimiento que se pretenda analizar.<br />
En <strong>es</strong>te análisis, la mecánica no pue<strong>de</strong><br />
<strong>es</strong>tudiar el movimiento <strong>de</strong> los cuerpos<br />
en el <strong><strong>es</strong>pacio</strong> tridimensional rígido<br />
<strong>de</strong> nu<strong>es</strong>tros clásicos en función<br />
<strong>de</strong>l <strong>tiempo</strong>, medidos ambos por cualquier<br />
observador, sino que, por <strong>es</strong>tar<br />
interrelacionados el paso <strong>de</strong>l <strong>tiempo</strong>,<br />
el <strong><strong>es</strong>pacio</strong> recorrido y el movimiento<br />
<strong>de</strong>l observador, <strong>es</strong> nec<strong>es</strong>ario utilizar<br />
una nueva entidad, función <strong>de</strong> las<br />
tr<strong>es</strong> dimension<strong>es</strong> <strong>es</strong>pacial<strong>es</strong> (x, y, z) y<br />
<strong>de</strong> la dimensión temporal (t), cuyos<br />
valor<strong>es</strong> para cada observador serán<br />
función <strong>de</strong>l movimiento en <strong>es</strong>tudio y<br />
<strong>de</strong>l movimiento relativo entre el observador<br />
y aquello cuyo movimiento<br />
trate <strong>de</strong> compren<strong>de</strong>r; <strong>es</strong> <strong>de</strong>cir, en un<br />
medio <strong>de</strong> cuatro dimension<strong>es</strong> (t, x, y,<br />
z) tal que en los valor<strong>es</strong> <strong>de</strong> cada una<br />
<strong>de</strong> <strong>es</strong>tas cuatro dimension<strong>es</strong> <strong>es</strong>té implícito<br />
también el movimiento relativo<br />
entre el sujeto que pretenda conocer<br />
el movimiento y el objeto cuyo<br />
movimiento trate <strong>de</strong> analizar. En <strong>es</strong>te<br />
sentido, el <strong>tiempo</strong> viene a ser una dimensión<br />
más <strong>de</strong>l Universo que, como<br />
veremos al <strong>es</strong>tudiar con más rigor el<br />
problema, siempre vendrá multiplicado<br />
por el valor constante <strong>de</strong> la velocidad<br />
<strong>de</strong> la luz (c), lo que lleva consigo<br />
que el <strong>tiempo</strong> que<strong>de</strong> asimilado a<br />
una variable <strong>es</strong>pacial más. Es evi<strong>de</strong>nte<br />
que, según <strong>es</strong>ta asimilación, 1 segundo<br />
equivale a 3.10 8 metros.<br />
De todo <strong>es</strong>to <strong>de</strong>ducimos la nec<strong>es</strong>aria<br />
existencia, como preconizó<br />
Minkowski, <strong>de</strong> una nueva i<strong>de</strong>ntidad<br />
geométrica en la que, para cada uno<br />
<strong>de</strong> los observador<strong>es</strong>, tienen lugar los<br />
movimientos, i<strong>de</strong>ntidad que vendrá<br />
<strong>de</strong>finida por un vector s tal que:<br />
s = f(ct, x, y, z)<br />
que, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> <strong>Einstein</strong>, se conoce como<br />
<strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong>. De la relación<br />
P<br />
distinta a = 2π entre el perímetro y el<br />
radio <strong>de</strong>l<br />
r<br />
tubo <strong>de</strong> acero, que aparece<br />
en uno <strong>de</strong> los ejemplos anterior<strong>es</strong>, ya<br />
inferimos, y como tendremos ocasión<br />
<strong>de</strong> comprobar más tar<strong>de</strong>, que <strong>es</strong>te <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong><br />
<strong>es</strong> ciertamente distinto<br />
al <strong><strong>es</strong>pacio</strong> plano <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s que <strong>es</strong>tamos<br />
acostumbrados a manejar.
Tampoco <strong>es</strong> extraño <strong>de</strong>ducir, a partir<br />
<strong>de</strong> <strong>es</strong>tas matizacion<strong>es</strong> evi<strong>de</strong>nciadas<br />
por <strong>Einstein</strong>, que todo y también cada<br />
uno <strong>de</strong> nosotros no sólo nos <strong>de</strong>splazamos<br />
en aquello que en la vida<br />
normal llamamos <strong><strong>es</strong>pacio</strong> (las cosas y<br />
también los individuos viajamos en el<br />
sentido tradicional <strong>de</strong>l término) sino<br />
que también nos movemos en aquello<br />
que en la vida normal llamamos <strong>tiempo</strong><br />
(las cosas e idénticamente los individuos<br />
envejecemos). Es <strong>de</strong> observar<br />
que ambos hechos (viajar y envejecer)<br />
ocurren a la vez y en proporción variable<br />
según la relación entre la velocidad<br />
a la que viajemos y la velocidad<br />
<strong>de</strong> la luz <strong>de</strong> tal manera que, si viajáramos<br />
a la velocidad <strong>de</strong> la luz, nos <strong>de</strong>splazaríamos<br />
muchísimo; pero el transcurrir<br />
<strong>de</strong> nu<strong>es</strong>tro <strong>tiempo</strong> r<strong>es</strong>ultaría<br />
nulo, nu<strong>es</strong>tro <strong>tiempo</strong> propio sería cero,<br />
no envejeceríamos. Esta <strong>es</strong> una <strong>de</strong><br />
las conclusion<strong>es</strong> que produjo mayor<br />
asombro al divulgarse la Teoría <strong>de</strong> la<br />
Relatividad Especial.<br />
Es evi<strong>de</strong>nte que en el cambio que<br />
en el vector s (en el <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong>)<br />
repr<strong>es</strong>ente un movimiento elemental<br />
<strong>de</strong> cualquier móvil r<strong>es</strong>pecto a un observador<br />
cualquiera intervendrán no<br />
sólo los cambios elemental<strong>es</strong> <strong>de</strong> las<br />
coor<strong>de</strong>nadas <strong>es</strong>pacial<strong>es</strong>, que en el sentido<br />
clásico hemos venido consi<strong>de</strong>rando<br />
(dx, dy, dz), sino también el cambio<br />
elemental <strong>de</strong> la coor<strong>de</strong>nada temporal<br />
(cdt).<br />
Algunas características<br />
<strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong><br />
Introducción<br />
Como ya hemos comentado, la<br />
geometría en el <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> <strong>es</strong><br />
ciertamente muy distinta a la geometría<br />
plana <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s que normalmente<br />
utilizamos. En ésta si, a<br />
título <strong>de</strong> ejemplo, tomásemos una<br />
línea horizontal (repr<strong>es</strong>entativa <strong>de</strong>l<br />
<strong>tiempo</strong>) partiendo <strong>de</strong> un punto P1 y nos <strong>de</strong>splazáramos a lo largo <strong>de</strong><br />
ella durante 100 segundos, medidos<br />
en un reloj situado a nivel <strong>de</strong>l suelo,<br />
llegaríamos a otro punto P2. Si levantásemos<br />
ahora <strong>de</strong>s<strong>de</strong> <strong>es</strong>te punto<br />
a lo largo <strong>de</strong> una línea vertical (repr<strong>es</strong>entativa<br />
<strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong>) una longitud<br />
<strong>de</strong> 100 metros, medidos por el<br />
mismo observador, llegaríamos a un<br />
nuevo punto P3. Si, como <strong>es</strong>tamos<br />
acostumbrados a pensar, el <strong>tiempo</strong><br />
y el <strong><strong>es</strong>pacio</strong> fueran in<strong>de</strong>pendient<strong>es</strong><br />
entre sí, y con los mismos valor<strong>es</strong><br />
para los distintos observador<strong>es</strong>, llegaríamos<br />
al mismo punto P 3 levantando<br />
inicialmente los 100 metros<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> P 1 y <strong>de</strong>spués <strong>de</strong>splazándonos<br />
100 segundos según una horizontal,<br />
medidos en un reloj a 100 metros<br />
<strong>de</strong> altura. Habríamos conseguido un<br />
rectángulo perfecto.<br />
Veamos que ocurriría ahora si realizásemos<br />
el mismo proc<strong>es</strong>o en el <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong><br />
alumbrado por la Teoría<br />
<strong>de</strong> la Relatividad Especial. Partiendo <strong>de</strong>l<br />
mismo punto P 1 nos <strong>de</strong>splazaríamos,<br />
como ant<strong>es</strong>, durante 100 segundos a lo<br />
largo <strong>de</strong> una línea horizontal y medidos<br />
en el reloj <strong>de</strong>l observador O, situado al<br />
nivel <strong>de</strong>l suelo, llegando, evi<strong>de</strong>ntemente,<br />
al mismo punto P 2 <strong>de</strong>l caso anterior.<br />
Si ahora levantásemos una vertical<br />
por <strong>es</strong>te punto <strong>de</strong> 100 metros <strong>de</strong><br />
longitud (también para el observador<br />
O) llegaríamos, como ant<strong>es</strong>, al punto P 3;<br />
pero pensemos que, si comenzásemos<br />
el experimento levantando una línea<br />
<strong>de</strong> 100 metros para el observador O a<br />
lo largo <strong>de</strong> la vertical partiendo <strong>de</strong> P 1,<br />
llegaríamos a un punto Q exactamente<br />
a la misma altura <strong>de</strong> P 3; pero si nos<br />
<strong>de</strong>splazásemos ahora 100 segundos<br />
(contados por el reloj <strong>de</strong>l observador<br />
<strong>El</strong> <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> <strong>de</strong> <strong>Einstein</strong> 5
o a 100 metros <strong>de</strong> altura) iríamos a un<br />
punto Q 1 a la izquierda <strong>de</strong> P 3; ya que<br />
el reloj, a la altura <strong>de</strong> 100 metros, va<br />
más <strong>de</strong>prisa que el reloj <strong>de</strong> O al nivel<br />
<strong>de</strong>l suelo, como calcularemos más tar<strong>de</strong><br />
y como ya hemos comentado al hablar<br />
<strong>de</strong> los dos reloj<strong>es</strong> uno en lo alto<br />
<strong>de</strong> una torre y otro al pie <strong>de</strong> la misma.<br />
No llegaríamos, por lo tanto, a cerrar<br />
el paralelogramo que <strong>de</strong>seábamos<br />
construir. Esto ocurre porque el <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong><br />
no se comporta como el<br />
<strong><strong>es</strong>pacio</strong> plano euclidiano que <strong>es</strong>tamos<br />
acostumbrados a manejar.<br />
<strong>El</strong> <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> <strong>es</strong> curvo<br />
Consi<strong>de</strong>remos algunas diferencias<br />
en el comportamiento <strong>de</strong> las figuras<br />
geométricas en un plano y en una superficie<br />
<strong>es</strong>férica (<strong><strong>es</strong>pacio</strong> curvo) citando,<br />
a título <strong>de</strong> ejemplo, las siguient<strong>es</strong>:<br />
a. En geometría plana los ángulos <strong>de</strong><br />
un triángulo cualquiera siempre suman<br />
dos rectos. La suma <strong>de</strong> los ángulos<br />
<strong>de</strong> un triángulo sobre una superficie<br />
<strong>es</strong>férica pue<strong>de</strong> variar <strong>de</strong>s<strong>de</strong> dos<br />
rectos (en un triángulo formado por<br />
dos meridianos muy próximos y un<br />
paralelo que corte a ambos) hasta seis<br />
rectos (en un triángulo formado por<br />
un meridiano y otro muy próximo a<br />
él pero girado casi una vuelta completa<br />
–cuatro rectos– alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l polo<br />
y un paralelo cortando a ambos meridianos).<br />
b. En geometría plana la distancia mínima<br />
entre dos puntos A y B <strong>es</strong> la longitud<br />
<strong>de</strong> la línea recta que pasa por A<br />
y B. En geometría <strong>es</strong>férica la distancia<br />
mínima entre dichos puntos <strong>es</strong> la longitud<br />
<strong>de</strong>l arco <strong>de</strong>l círculo máximo que<br />
pasa por A y B.<br />
c. En geometría plana la relación entre<br />
la longitud <strong>de</strong> una circunferencia y<br />
dos vec<strong>es</strong> el valor <strong>de</strong> π <strong>es</strong> el radio <strong>de</strong><br />
dicha circunferencia. En geometría <strong>es</strong>férica<br />
el radio <strong>de</strong> la circunferencia que<br />
corr<strong>es</strong>pon<strong>de</strong> a un paralelo <strong>es</strong> la longitud<br />
<strong>de</strong>l arco <strong>de</strong>l meridiano <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el<br />
polo hasta un punto cualquiera <strong>de</strong> dicha<br />
circunferencia. La longitud <strong>de</strong> <strong>es</strong>e<br />
radio <strong>es</strong> siempre mayor que el cociente<br />
entre la longitud <strong>de</strong> la circunferencia<br />
y dos vec<strong>es</strong> el valor <strong>de</strong> π.<br />
6 <strong>anal<strong>es</strong></strong> <strong>de</strong> mecánica y electricidad / marzo-abril 2010<br />
d. En geometría plana si, partiendo <strong>de</strong><br />
un punto A, vamos trazando suc<strong>es</strong>ivamente<br />
cuatro rectas perpendicular<strong>es</strong><br />
entre sí <strong>de</strong> longitud L y girada cada<br />
una r<strong>es</strong>pecto a la anterior siempre en<br />
el mismo sentido formamos un cuadrado<br />
perfecto <strong>de</strong> lado L y llegamos<br />
<strong>de</strong> nuevo al punto A. En geometría <strong>es</strong>férica,<br />
si hacemos lo mismo a lo largo<br />
<strong>de</strong> cuatro círculos máximos mutuamente<br />
perpendicular<strong>es</strong> entre sí, ni<br />
obtenemos un cuadrado perfecto ni<br />
llegamos <strong>de</strong> nuevo al mismo punto A.<br />
Por analogía entre las anomalías observadas<br />
al comparar las diferencias<br />
en el comportamiento <strong>de</strong> las figuras<br />
geométricas en un <strong><strong>es</strong>pacio</strong> plano y en<br />
una superficie <strong>es</strong>férica (<strong><strong>es</strong>pacio</strong> curvo)<br />
con el comportamiento advertido<br />
al relacionar dichas figuras en el <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong><br />
y en un <strong><strong>es</strong>pacio</strong> plano <strong>de</strong>cimos<br />
que aquel <strong>es</strong> curvo.<br />
D<strong>es</strong>arrollo matemático<br />
<strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong><br />
Preten<strong>de</strong>mos encontrar la expr<strong>es</strong>ión<br />
en que aparezcan unidos el <strong><strong>es</strong>pacio</strong> y<br />
el <strong>tiempo</strong> dando origen a la unidad superior<br />
(el <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong>) que, en el<br />
sentir <strong>de</strong> Minkowski, sería la única válida<br />
para que distintos observador<strong>es</strong>, aunque<br />
tengan movimiento relativo entre<br />
sí, puedan formular <strong>de</strong> idéntica manera<br />
el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> los acontecimientos<br />
que tienen lugar en el Universo. Para<br />
ello vamos a suponer dos observador<strong>es</strong><br />
O y o solidarios r<strong>es</strong>pectivamente a<br />
los <strong><strong>es</strong>pacio</strong>s E (<strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas X, Y, Z)<br />
y e (<strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas x, y, z) entre los<br />
que exista un movimiento relativo; vamos<br />
a dotar a cada uno <strong>de</strong> <strong>es</strong>tos dos<br />
observador<strong>es</strong> <strong>de</strong> su corr<strong>es</strong>pondiente<br />
reloj RO y ro y vamos a pensar que,<br />
tanto O en el <strong><strong>es</strong>pacio</strong> E como o en el<br />
<strong><strong>es</strong>pacio</strong> e, puedan, cada uno <strong>de</strong>s<strong>de</strong> su<br />
atalaya corr<strong>es</strong>pondiente, contemplar la<br />
evolución <strong>de</strong> un <strong>de</strong>terminado evento<br />
(por ejemplo la propagación <strong>de</strong> la<br />
luz). Es evi<strong>de</strong>nte que cualquier acontecimiento<br />
se <strong>de</strong>sarrollará, en el sentir <strong>de</strong><br />
cada observador, a lo largo <strong>de</strong> un recorrido<br />
<strong>de</strong>terminado en su <strong><strong>es</strong>pacio</strong> r<strong>es</strong>pectivo<br />
y empleará para ello el <strong>tiempo</strong><br />
registrado en su r<strong>es</strong>pectivo reloj<br />
(<strong>es</strong> obvio pensar que, en <strong>de</strong>terminados<br />
acontecimientos concretos, tanto el<br />
C2 T − T E s<br />
( ) 2<br />
( ) 2<br />
− X E − X s<br />
<strong><strong>es</strong>pacio</strong> como el <strong>tiempo</strong>, para alguno<br />
<strong>de</strong> los observador<strong>es</strong>, pue<strong>de</strong>n ser nulos).<br />
Ya sabemos, por las matizacion<strong>es</strong> <strong>es</strong>tablecidas<br />
por <strong>Einstein</strong>, que ni los <strong>de</strong>splazamientos<br />
medidos por cada observador<br />
en su <strong><strong>es</strong>pacio</strong> corr<strong>es</strong>pondiente ni<br />
los <strong>tiempo</strong>s registrados en cada uno<br />
<strong>de</strong> los dos reloj<strong>es</strong> tendrán los mismos<br />
valor<strong>es</strong>; pu<strong>es</strong>to que suponemos movimiento<br />
relativo entre ellos.<br />
Imaginemos el caso, al que siempre<br />
recurrimos, <strong>de</strong> que tengamos un tren<br />
que se mueva con movimiento rectilíneo<br />
y uniforme r<strong>es</strong>pecto a cualquiera<br />
<strong>de</strong> las <strong>es</strong>tacion<strong>es</strong> <strong>de</strong> la vía férrea por la<br />
que circule y vamos a consi<strong>de</strong>rar como<br />
observador o un viajero sentado<br />
en dicho tren y como observador O<br />
el jefe <strong>de</strong> una <strong>de</strong> las <strong>es</strong>tacion<strong>es</strong>, por las<br />
que pase el tren, sentado en su <strong>de</strong>spacho.<br />
Es evi<strong>de</strong>nte que el observador<br />
móvil se mueve r<strong>es</strong>pecto al fijo con<br />
una velocidad rectilínea y uniforme <strong>de</strong><br />
valor:<br />
dX + dY + dZ<br />
V=<br />
[1]<br />
dT<br />
siendo:<br />
X, Y, Z los vector<strong>es</strong> que repr<strong>es</strong>enten<br />
la posición <strong>de</strong>l viajero o r<strong>es</strong>pecto al jefe<br />
<strong>de</strong> <strong>es</strong>tación O.<br />
T el <strong>tiempo</strong> medido por el reloj <strong>de</strong>l<br />
citado jefe <strong>de</strong> <strong>es</strong>tación.<br />
Sabemos, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la ya citada experiencia<br />
<strong>de</strong> Michelson-Morley, que la<br />
propagación <strong>de</strong> la luz tiene las mismas<br />
características tanto si <strong>es</strong> juzgada <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />
O como si <strong>es</strong> vista <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o y vamos<br />
a suponer que:<br />
a. D<strong>es</strong><strong>de</strong> un punto O S <strong>de</strong> la <strong>es</strong>tación,<br />
cuyas coor<strong>de</strong>nadas r<strong>es</strong>pecto a O sean<br />
X S, Y S, Z S, emitimos, en el instante T S,<br />
un <strong>de</strong>stello <strong>de</strong> luz que en el instante<br />
T E, por la igualdad <strong>de</strong> la velocidad <strong>de</strong><br />
la luz en cualquier dirección, alcanzará<br />
para O los puntos X E, Y E, Z E <strong>de</strong> una<br />
<strong>es</strong>fera <strong>de</strong> radio C(T E-T S), siendo C la<br />
velocidad <strong>de</strong> la luz en la <strong>es</strong>tación y en<br />
todos sus alre<strong>de</strong>dor<strong>es</strong> (en el <strong><strong>es</strong>pacio</strong><br />
solidario al observador O). Por lo tanto,<br />
podremos <strong>es</strong>cribir:<br />
( ) 2<br />
S<br />
C2 T E − T s<br />
( ) 2<br />
− Y E − Y s<br />
( ) 2<br />
− X E − X s<br />
( ) 2<br />
− Z E − Z s<br />
S S<br />
S<br />
= 0<br />
− ( Y − Y E s)<br />
2<br />
− ( Z E
t s) 2<br />
b. <strong>El</strong> observador o sentado en el tren,<br />
verá que una luz se emite <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un<br />
punto cuyas coor<strong>de</strong>nadas para él son<br />
x s, y s, z s, en el instante <strong>de</strong> su reloj t s y<br />
alcanza en su instante t e los puntos <strong>de</strong><br />
una <strong>es</strong>fera x e, y e, z e <strong>de</strong> radio c(t e-t s) sabiendo<br />
que c <strong>es</strong> la velocidad <strong>de</strong> la luz<br />
vista <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el tren. Por lo tanto (en el<br />
<strong><strong>es</strong>pacio</strong> solidario al observador o) ha<br />
<strong>de</strong> cumplirse igualmente que:<br />
c2 ( t − t e s)<br />
2<br />
− ( x − x e s)<br />
2<br />
− y − y e s<br />
− ( x − x e s)<br />
2<br />
− ( y − y e s)<br />
2<br />
− ( z − z e s)<br />
2<br />
= 0<br />
Ahora bien, sabemos <strong>de</strong>s<strong>de</strong> Michelson-Morley<br />
que, a p<strong>es</strong>ar <strong>de</strong> que exista<br />
movimiento relativo entre la <strong>es</strong>tación<br />
y el tren, se cumple que:<br />
C = c<br />
Si ambos observador<strong>es</strong> asignan valor<strong>es</strong><br />
cero a las coor<strong>de</strong>nadas en su <strong><strong>es</strong>pacio</strong><br />
y al <strong>tiempo</strong> en que se inicia la<br />
<strong>de</strong> partida <strong>de</strong>l rayo <strong>de</strong> luz podremos<br />
<strong>es</strong>cribir que:<br />
c 2 T 2 − X 2 − Y 2 − Z 2 =<br />
c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 [2]<br />
Por lo tanto, y para el caso concreto<br />
<strong>de</strong>l <strong>es</strong>tudio <strong>de</strong> la propagación <strong>de</strong> la<br />
luz tanto analizada por el observador<br />
O como <strong>es</strong>tudiada por el observador<br />
o, la igualdad anterior será la interrelación<br />
entre los valor<strong>es</strong> <strong>de</strong> las dos cuaternas<br />
T, X, Y, Z y t, x, y, z corr<strong>es</strong>pondient<strong>es</strong><br />
a las r<strong>es</strong>pectivas expr<strong>es</strong>ion<strong>es</strong><br />
<strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong><br />
vista <strong>de</strong>l observador O o <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la óptica<br />
<strong>de</strong>l observador o.<br />
Encontrar la interrelación entre <strong>es</strong>tas<br />
ocho variabl<strong>es</strong> teniendo una sola ecuación<br />
y las únicas condicion<strong>es</strong> <strong>de</strong> conocer<br />
el valor <strong>de</strong> la velocidad <strong>de</strong> la luz c y<br />
el movimiento relativo V entre los dos<br />
<strong><strong>es</strong>pacio</strong>s E y e no <strong>es</strong> nada trivial.<br />
Vamos a encontrar una solución a<br />
<strong>es</strong>te problema particularizando al caso<br />
en que la luz únicamente se propagara<br />
en la dirección X, coinci<strong>de</strong>nte con la dirección<br />
x y que la velocidad relativa V<br />
entre los dos <strong><strong>es</strong>pacio</strong>s E y e, a<strong>de</strong>más <strong>de</strong><br />
ser constante, fuera paralela a la dirección<br />
<strong>de</strong> X y <strong>de</strong> x. En <strong>es</strong>te caso particular,<br />
la ecuación [2] se convertiría en:<br />
( ) 2<br />
X 2 − c 2 T 2 = x 2 − c 2 t 2 [3]<br />
− ( z − z e s)<br />
2<br />
A partir <strong>de</strong> <strong>es</strong>ta ecuación <strong>de</strong>terminemos<br />
los valor<strong>es</strong> <strong>de</strong> x y <strong>de</strong> t para el observador<br />
móvil o en función <strong>de</strong> los valor<strong>es</strong><br />
<strong>de</strong> X y <strong>de</strong> T para el observador O,<br />
<strong>de</strong>terminación que no <strong>es</strong> inmediata ya<br />
que tenemos una sola ecuación relacionando<br />
cuatro variabl<strong>es</strong>; no obstante, tenemos<br />
otros dos datos (la constancia <strong>de</strong><br />
la velocidad c <strong>de</strong> la luz y la condición <strong>de</strong><br />
que entre los dos = 0sistemas<br />
<strong>de</strong> ej<strong>es</strong> exista<br />
una traslación rectilínea, constante y paralela<br />
a los dos ej<strong>es</strong> X-x <strong>de</strong> valor V), que<br />
nos permitirán superar <strong>es</strong>ta dificultad.<br />
D<strong>es</strong>pués <strong>de</strong> realizar algunos cambios<br />
<strong>de</strong> variabl<strong>es</strong> y <strong>de</strong> realizar una serie <strong>de</strong><br />
operacion<strong>es</strong> matemáticas no muy difícil<strong>es</strong><br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>sarrollar (el lector inter<strong>es</strong>ado<br />
pue<strong>de</strong> encontrarlas en un artículo anterior<br />
mío en Anal<strong>es</strong> <strong>de</strong> Mecánica y <strong>El</strong>ectricidad<br />
–Aspectos Matemáticos <strong>de</strong> la Relatividad–)<br />
llegamos a <strong>es</strong>tablecer que:<br />
y que:<br />
x =<br />
t =<br />
X − VT<br />
1−<br />
T − VX<br />
c 2<br />
1− V2<br />
c 2<br />
V 2<br />
c 2<br />
[4]<br />
[5]<br />
Evi<strong>de</strong>ntemente, si sustituimos x y t<br />
por sus valor<strong>es</strong> en función <strong>de</strong> X y <strong>de</strong><br />
T, obtenidos en elas ecuacion<strong>es</strong> 4 y 5,<br />
la ecuación 3 se convierte, como <strong>de</strong>bía<br />
suce<strong>de</strong>r, en una i<strong>de</strong>ntidad.<br />
Estas relacion<strong>es</strong> r<strong>es</strong>uelven el problema<br />
que nos habíamos planteado y, a partir<br />
<strong>de</strong> ellas, <strong>de</strong>duciremos fácilmente la contracción<br />
en las longitu<strong>de</strong>s y la dilatación<br />
en los <strong>tiempo</strong>s apreciados por dos<br />
observador<strong>es</strong>, que tengan entre sí movimiento<br />
relativo rectilíneo y uniforme<br />
(ambas cosas las utilizaremos más tar<strong>de</strong><br />
en un ejemplo concreto). En efecto:<br />
a. Si dos puntos <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas X A y<br />
X B para el observador O, <strong>es</strong>tán separados<br />
la distancia:<br />
L = X A-X B<br />
tal<strong>es</strong> puntos <strong>es</strong>tarán separados para<br />
el observador o la distancia:<br />
l= x A –x B<br />
y, teniendo en cuenta los valor<strong>es</strong> <strong>de</strong><br />
x en función <strong>de</strong> V, <strong>de</strong> T y <strong>de</strong> X y <strong>de</strong> t<br />
en función también <strong>de</strong> V, <strong>de</strong> X y <strong>de</strong> T<br />
po<strong>de</strong>mos, mediante algunas operacion<strong>es</strong><br />
elemental<strong>es</strong>, llegar a la expr<strong>es</strong>ión:<br />
l = L 1− V2<br />
c 2<br />
Que repr<strong>es</strong>enta la contracción <strong>de</strong>l<br />
<strong><strong>es</strong>pacio</strong> al cambiar <strong>de</strong> observador. La<br />
interpretación <strong>de</strong> <strong>es</strong>ta contracción <strong>de</strong>l<br />
<strong><strong>es</strong>pacio</strong> para Lorentz se <strong>de</strong>bía al <strong>de</strong>splazamiento<br />
<strong>de</strong> las partículas como consecuencia<br />
<strong>de</strong>l cambio <strong>de</strong> movimiento<br />
<strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong> r<strong>es</strong>pecto a cada uno <strong>de</strong> los<br />
observador<strong>es</strong>; para <strong>Einstein</strong>, en cambio,<br />
se <strong>de</strong>be a la capacidad <strong>de</strong>l propio <strong><strong>es</strong>pacio</strong><br />
para aparecer <strong>de</strong>formado frente<br />
al observador que lo contemple igual<br />
que, como veremos a continuación,<br />
ocurre con el valor <strong>de</strong>l <strong>tiempo</strong> ante el<br />
fenómeno <strong>de</strong> su dilatación al pasar <strong>de</strong><br />
ser visto por un observador a ser medido<br />
por otro.<br />
b. Si un acontecimiento <strong>de</strong>sarrollado<br />
en un punto dado X <strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong> E tiene<br />
una duración:<br />
T= T A- T B<br />
Tal duración para el observador o<br />
valdrá:<br />
t= t A- t B<br />
Y, teniendo en cuenta los valor<strong>es</strong> <strong>de</strong><br />
t en función <strong>de</strong> V, <strong>de</strong> X y <strong>de</strong> T, tendremos:<br />
t =<br />
T − X A V<br />
c 2 − T V<br />
+ X B<br />
c 2<br />
1− V2<br />
c 2<br />
=<br />
1−<br />
T<br />
V 2<br />
Que, como en el caso anterior, repr<strong>es</strong>enta<br />
la dilatación <strong>de</strong>l <strong>tiempo</strong> al<br />
cambiar <strong>de</strong> observador y se <strong>de</strong>be a<br />
que, como el <strong><strong>es</strong>pacio</strong>, para <strong>Einstein</strong><br />
también el <strong>tiempo</strong> tiene cierta capacidad<br />
para acomodarse a los valor<strong>es</strong><br />
precisos para cumplir con las exigencias<br />
<strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong>. Para Lorentz<br />
el retardo <strong>de</strong> los reloj<strong>es</strong> se <strong>de</strong>bía a la<br />
c 2<br />
<strong>El</strong> <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> <strong>de</strong> <strong>Einstein</strong> 7
nec<strong>es</strong>idad <strong>de</strong>l viajar el <strong>tiempo</strong> a través<br />
<strong>de</strong>l éter, éter que para <strong>Einstein</strong> ni existe<br />
ni tiene ningún sentido.<br />
Volviendo a nu<strong>es</strong>tro empeño por<br />
encontrar un <strong>de</strong>sarrollo matemático<br />
<strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> y partiendo, como<br />
ant<strong>es</strong>, <strong>de</strong> un evento inicial <strong>de</strong> referencia,<br />
al que ambos observador<strong>es</strong> asignen<br />
coor<strong>de</strong>nadas <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-temporal<strong>es</strong><br />
<strong>de</strong> valor cero, tendremos la ecuación<br />
invariante buscada para los dos observador<strong>es</strong><br />
<strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong>. Efectivamente<br />
la ecuación que repr<strong>es</strong>entará<br />
cualquier acontecimiento para el observador<br />
O tendrá la forma:<br />
S2 = c2 T2 - X2 - Y2 2 - Z [6]<br />
y, ante otro acontecimiento cualquiera,<br />
la ecuación que lo repr<strong>es</strong>entará<br />
en el <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> <strong>de</strong>l observador<br />
o será:<br />
s2 = c2 t2 - x2 - y2 2 - z [7]<br />
Las dos ecuacion<strong>es</strong> anterior<strong>es</strong> tienen<br />
expr<strong>es</strong>ion<strong>es</strong> completamente idénticas<br />
y serán igual<strong>es</strong> entre sí sólo en el caso<br />
<strong>de</strong> que repr<strong>es</strong>enten el mismo acontecimiento<br />
para los dos observador<strong>es</strong>,<br />
como ocurría cuando <strong>es</strong>tudiábamos la<br />
propagación <strong>de</strong> la luz.<br />
En el caso <strong>de</strong> que se tratara <strong>de</strong> dos<br />
acontecimientos separados por incrementos<br />
elemental<strong>es</strong> y referidos a un<br />
origen común, la modificación corr<strong>es</strong>pondiente<br />
<strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> para el<br />
jefe <strong>de</strong> <strong>es</strong>tación (observador O) sería:<br />
dS2 = c2 dT2 - dX2 - dY2 2 - dZ [8]<br />
mientras que, para un viajero <strong>de</strong>l<br />
tren (observador o), su <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong><br />
se modificaría en:<br />
ds2 = c2 dt2 - dx2 - dy2 2 - dz [9]<br />
Conclusion<strong>es</strong><br />
De las ecuacion<strong>es</strong> anterior<strong>es</strong> <strong>es</strong><br />
muy fácil sacar conclusion<strong>es</strong> <strong>de</strong>l tipo<br />
<strong>de</strong> las siguient<strong>es</strong>:<br />
• Un punto en el <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> repr<strong>es</strong>enta<br />
un suc<strong>es</strong>o que se dio o que<br />
va a producirse en un lugar concreto<br />
y, a<strong>de</strong>más, en un instante dado.<br />
8 <strong>anal<strong>es</strong></strong> <strong>de</strong> mecánica y electricidad / marzo-abril 2010<br />
• Si en el <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> las variabl<strong>es</strong><br />
<strong>es</strong>pacial<strong>es</strong> son constant<strong>es</strong> y la variable<br />
temporal pue<strong>de</strong> tomar cualquier<br />
valor tendremos una línea temporal,<br />
que viene a repr<strong>es</strong>entar la suc<strong>es</strong>ión<br />
<strong>de</strong> eventos en un punto a lo largo <strong>de</strong>l<br />
<strong>tiempo</strong>.<br />
• Si en la expr<strong>es</strong>ión <strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong><br />
t <strong>es</strong> constante y no lo son las variabl<strong>es</strong><br />
<strong>es</strong>pacial<strong>es</strong> <strong>es</strong>tamos ante los suc<strong>es</strong>os<br />
simultáneos que pue<strong>de</strong>n darse en<br />
los diferent<strong>es</strong> puntos. Si cortamos el<br />
<strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> <strong>de</strong>l observador móvil<br />
por el hiperplano t=constante tendremos<br />
el <strong><strong>es</strong>pacio</strong> geométrico euclidiano<br />
tridimensional para dicho observador,<br />
en el que sabemos que la distancia dl<br />
entre dos puntos vale;<br />
dl2 = dx2 + dy2 2 + dz [10]<br />
• Sabemos que en el <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong><br />
se cumple que:<br />
y cuando sea:<br />
ds2 = c2 dt2 2 - dl [11]<br />
c 2 dt 2 = dl 2<br />
<strong>es</strong>taremos ante una línea con ds=0<br />
en la que:<br />
c =<br />
dl 2<br />
dt 2<br />
[12]<br />
y, por lo tanto, se tratará <strong>de</strong> un movimiento<br />
rectilíneo y uniforme con la<br />
velocidad <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong> la luz,<br />
cosa que ocurre en cualquier onda<br />
electromagnética, que po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar,<br />
por la dualidad onda-partícula,<br />
como formada por foton<strong>es</strong> que,<br />
carent<strong>es</strong> <strong>de</strong> masa intrínseca (por <strong>es</strong>o<br />
pue<strong>de</strong>n llegar a moverse a la velocidad<br />
<strong>de</strong> la luz), sólo tienen una energía<br />
<strong>de</strong> valor h. siendo:<br />
h la constante <strong>de</strong> Planck <strong>de</strong> valor<br />
1,05.10 -34 kg.m 2 /seg<br />
y<br />
la frecuencia <strong>de</strong> la onda en 1/seg<br />
Por ejemplo, el fotón <strong>de</strong> la luz roja<br />
<strong>es</strong> un paquete <strong>de</strong> energía (un cuanto<br />
en el sentido manejado por la Mecánica<br />
Cuántica) <strong>de</strong> valor:<br />
1,05. 10 -34 .5.10 14 =5,25.10 -20 julios<br />
y que se propaga a la velocidad <strong>de</strong><br />
la luz.<br />
• También sabemos que nada pue<strong>de</strong><br />
superar la velocidad <strong>de</strong> la luz, luego si<br />
se trata <strong>de</strong> dos eventos entre los que<br />
se transmita información <strong>de</strong>l uno al<br />
otro nec<strong>es</strong>ariamente:<br />
dl 2<br />
≤ c2<br />
2<br />
dt<br />
por lo que ha <strong>de</strong> ser:<br />
equivalente a:<br />
[13]<br />
c2 dt2 2 ≥ dl [14]<br />
ds 2 = c 2 dt 2 - dl 2 ≥ 0 [15]<br />
Por lo tanto, el cuadrado <strong>de</strong> un elemento<br />
<strong>de</strong> arco en el <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong><br />
no pue<strong>de</strong> ser negativo, ocurriendo<br />
que:<br />
a. Si ds 2 fuera mayor que cero <strong>es</strong>taríamos<br />
ante movimientos a velocida<strong>de</strong>s<br />
menor<strong>es</strong> que la velocidad <strong>de</strong> la<br />
luz. Un caso particular sería el <strong>de</strong> las<br />
líneas temporal<strong>es</strong> (ya comentadas) en<br />
que dl 2 =0.<br />
b. Si ds 2 fuera igual a cero <strong>es</strong>taríamos<br />
ante líneas <strong>de</strong> longitud nula y, como ya<br />
hemos dicho se trataría <strong>de</strong> la propagación<br />
<strong>de</strong> cualquier señal electromagnética<br />
y, entre ellas, <strong>de</strong> la propagación<br />
<strong>de</strong> la luz.<br />
• También po<strong>de</strong>mos analizar la rapi<strong>de</strong>z<br />
con que ambos observador<strong>es</strong> percibirán<br />
que varían en sus r<strong>es</strong>pectivos <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong><br />
diversos acontecimientos.<br />
Es evi<strong>de</strong>nte que:<br />
a. Para el observador O la variación<br />
con el <strong>tiempo</strong> <strong>de</strong> un acontecimiento<br />
que se <strong>de</strong>splaza r<strong>es</strong>pecto a O con la<br />
velocidad V será:<br />
U =<br />
dS 2 U =<br />
=<br />
2<br />
dT<br />
c 2 dT 2 − dX 2 + dY 2 + dZ 2<br />
dS<br />
( )<br />
=<br />
2 c<br />
=<br />
2<br />
dT 2 dT 2 − dX 2 + dY 2 + dZ 2<br />
dT 2<br />
dT 2<br />
= c 2 − V 2 2<br />
= c V<br />
= c 1− 2 − V 2 = c 1−<br />
c 2<br />
V 2<br />
c 2<br />
( )<br />
[16]<br />
=
ds 2<br />
dS2<br />
= 2<br />
dt dt<br />
b.Para el observador o el mismo<br />
acontecimiento (por lo que ds 2 =dS 2 )<br />
tendrá lugar con una variación temporal<br />
<strong>de</strong> s <strong>de</strong> valor:<br />
2 =<br />
u= ds2 dS2<br />
= 2<br />
dt dt<br />
2 =<br />
( )<br />
( )<br />
c 2 T 2 − dX 2 + dY 2 + dZ 2<br />
T 2 − c −2 dX 2 + dY 2 + dZ 2<br />
[17]<br />
( )<br />
( )<br />
c 2 T 2 − dX 2 + dY 2 + dZ 2<br />
T 2 − c −2 dX 2 + dY 2 + dZ 2<br />
= c<br />
La interpretación física <strong>de</strong> las expr<strong>es</strong>ion<strong>es</strong><br />
anterior<strong>es</strong> <strong>es</strong> ciertamente sencilla.<br />
En efecto:<br />
1. Para cualquier observador todo<br />
lo que no tiene movimiento relativo<br />
r<strong>es</strong>pecto a él (V=0) varía para él según<br />
la constante c (que será únicamente<br />
velocidad <strong>de</strong> envejecimiento).<br />
2. Todo lo que, para cualquier observador,<br />
se <strong>de</strong>splace con una velocidad<br />
relativa V, tiene para dicho observador<br />
una variación temporal que consta<br />
<strong>de</strong> dos component<strong>es</strong>:<br />
• Una velocidad <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamiento<br />
<strong>es</strong>pacial <strong>de</strong> valor U 2 d = V 2 .<br />
• Una velocidad <strong>de</strong> envejecimiento <strong>de</strong><br />
valor U 2 t = c 2 (1--V 2 /c 2 ).<br />
La suma <strong>de</strong> ambas siempre <strong>es</strong> U =<br />
c <strong>de</strong> tal manera que si en un móvil<br />
aumenta su velocidad V <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamiento<br />
<strong>es</strong>pacial disminuye su velocidad<br />
<strong>de</strong> envejecimiento.<br />
• Dado que en los suc<strong>es</strong>os cotidianos<br />
<strong>de</strong> nu<strong>es</strong>tra vida el valor <strong>de</strong> V<br />
siempre <strong>es</strong> muy inferior a c la componente<br />
más importante <strong>de</strong> la velocidad<br />
<strong>es</strong> la <strong>de</strong> envejecimiento. Para<br />
que ésta se anulara tendría que ser<br />
V igual a c.<br />
En el caso <strong>de</strong> una partícula que viajara<br />
a velocida<strong>de</strong>s cercanas a la velocidad<br />
<strong>de</strong> la luz a un observador en la<br />
Tierra le parecería que dicha partícula<br />
envejecería muy d<strong><strong>es</strong>pacio</strong> (viviría mucho<br />
más <strong>tiempo</strong> que el que corr<strong>es</strong>pon<strong>de</strong><br />
a su vida media comprobada<br />
en el laboratorio). Es el caso típico <strong>de</strong><br />
algunos m<strong>es</strong>on<strong>es</strong> mu (muon<strong>es</strong>) que se<br />
forman en la parte superior <strong>de</strong> la at-<br />
= c<br />
mósfera y que, a p<strong>es</strong>ar <strong>de</strong> su cortísimo<br />
<strong>tiempo</strong> <strong>de</strong> vida media (unos 2,2. 10 -6<br />
seg.), han llegado sin <strong>de</strong>sintegrarse a<br />
laboratorios en la Tierra. La razón hay<br />
que buscarla en que para el observador<br />
<strong>de</strong>l laboratorio ha disminuido mucho<br />
su velocidad <strong>de</strong> envejecimiento<br />
al viajar para él a una velocidad muy<br />
próxima a la velocidad <strong>de</strong> la luz.<br />
Es evi<strong>de</strong>nte que para un observador<br />
vinculado a la propia partícula ésta<br />
viviría su <strong>tiempo</strong> normal porque para<br />
él la partícula <strong>es</strong>tá en reposo.<br />
• Si el tren <strong>de</strong> nu<strong>es</strong>tro ejemplo <strong>es</strong>tuviera<br />
parado en una <strong>es</strong>tación todos<br />
sus viajeros se trasladarían con U d=0<br />
y envejecerían con U t =c. En cambio<br />
si se <strong>de</strong>splazaran con V=c sus viajeros<br />
se trasladarían con la velocidad <strong>de</strong> la<br />
luz y no envejecerían.<br />
Ejemplo<br />
Vamos <strong>es</strong>tudiar un ejemplo que,<br />
por plantearlo bajo hipót<strong>es</strong>is ciertamente<br />
límit<strong>es</strong>, nos llevará a solucion<strong>es</strong><br />
extremas; preten<strong>de</strong>mos con ello<br />
ayudar a interpretar algunos <strong>de</strong> los<br />
tópicos pr<strong>es</strong>ent<strong>es</strong> en los apartados<br />
anterior<strong>es</strong>. Podríamos enunciarlo así:<br />
Supongamos el mismo observador<br />
fijo O <strong>de</strong> siempre (el jefe <strong>de</strong> una <strong>de</strong><br />
las <strong>es</strong>tacion<strong>es</strong> <strong>de</strong> nu<strong>es</strong>tro ferrocarril)<br />
y utilicemos como observador móvil<br />
o un observador vinculado a cualquiera<br />
<strong>de</strong> los foton<strong>es</strong> <strong>de</strong> la luz que<br />
recibimos <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el Sol viajando hacia<br />
la Tierra, como ya hemos comentado<br />
ant<strong>es</strong>, a la velocidad <strong>de</strong> la luz c.<br />
Con <strong>es</strong>tas premisas <strong>de</strong>seamos conocer<br />
las percepcion<strong>es</strong> <strong>de</strong>l viaje <strong>de</strong> la<br />
luz para un observador solidario a<br />
dicho fotón y para nu<strong>es</strong>tro observador<br />
fijo sentado en una <strong>de</strong> las <strong>es</strong>tacion<strong>es</strong>.<br />
Percepcion<strong>es</strong> que analizaremos<br />
por un lado, con los criterios<br />
anterior<strong>es</strong> a 1905 y por otro, <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />
la óptica <strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> sugerida<br />
por la Teoría <strong>de</strong> la Relatividad<br />
Especial.<br />
• Ant<strong>es</strong> <strong>de</strong> 1905 los dos observador<strong>es</strong><br />
razonarían <strong>de</strong> la forma siguiente:<br />
<strong>El</strong> observador O que conocía <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />
niño que la distancia entre el Sol y<br />
la Tierra tiene un valor aproximado <strong>de</strong><br />
150.000.000 km y a<strong>de</strong>más sabía, por<br />
los libros <strong>de</strong> Física que había leído, que<br />
la velocidad <strong>de</strong> la luz vale aproximadamente<br />
300.000 km/seg él, con total<br />
<strong>El</strong> <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> <strong>de</strong> <strong>Einstein</strong> 9
otundidad, aseguraría que el fotón<br />
que <strong>de</strong>bería recorrer un <strong><strong>es</strong>pacio</strong> <strong>de</strong><br />
150.000.000 km emplearía un <strong>tiempo</strong><br />
<strong>de</strong> unos 500 segundos.<br />
Si ahora le preguntásemos el <strong><strong>es</strong>pacio</strong><br />
recorrido y el <strong>tiempo</strong> empleado<br />
en el viaje <strong>de</strong>l fotón al hipotético observador<br />
subido en uno <strong>de</strong> los foton<strong>es</strong><br />
viajando <strong>de</strong>l Sol a la Tierra y con<br />
un reloj en la mano nos diría que su<br />
reloj (que funcionaba perfectamente<br />
y que él había mirado con total atención)<br />
no se había movido en absoluto<br />
durante el viaje y, como la velocidad<br />
<strong>de</strong> la luz, aunque muy alta no<br />
<strong>es</strong> infinita, <strong>es</strong>taba absolutamente convencido<br />
<strong>de</strong> que los foton<strong>es</strong> recorren<br />
en el viaje un <strong><strong>es</strong>pacio</strong> <strong>de</strong> 0 km porque<br />
emplean en él un <strong>tiempo</strong> <strong>de</strong> 0<br />
segundos.<br />
Ant<strong>es</strong> <strong>de</strong> 1905 <strong>es</strong>tas discrepancias<br />
en cuanto a los valor<strong>es</strong> <strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong> recorrido<br />
y <strong>de</strong>l <strong>tiempo</strong> empleado para<br />
los dos observador<strong>es</strong> no <strong>es</strong>taban justificadas<br />
por la Mecánica <strong>de</strong> Newton<br />
ni por las ecuacion<strong>es</strong> <strong>de</strong> la Relatividad<br />
<strong>de</strong> Galileo; ya que éstas, para una velocidad<br />
relativa V en la dirección X coinci<strong>de</strong>nte<br />
con x (que vamos a suponer<br />
que sea la dirección <strong>de</strong>l Sol a la Tierra)<br />
entre dos sistemas X, Y, Z y x, y, z, nos<br />
vienen a <strong>de</strong>cir que:<br />
a. Los <strong>tiempo</strong>s en cada uno <strong>de</strong> los sistemas<br />
son in<strong>de</strong>pendient<strong>es</strong> <strong>de</strong> la velocidad<br />
relativa V.<br />
b. A un ∆X en el primer sistema le corr<strong>es</strong>pon<strong>de</strong><br />
otro ∆x en el segundo sistema<br />
exactamente <strong>de</strong>l mismo valor.<br />
Y, en <strong>es</strong>te caso, ni los <strong>tiempo</strong>s ni los<br />
<strong><strong>es</strong>pacio</strong>s se conservan al verlos <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />
uno u otro <strong>de</strong> los dos observador<strong>es</strong>.<br />
• D<strong>es</strong>pués <strong>de</strong> haber leído <strong>es</strong>te trabajo<br />
la manera <strong>de</strong> pensar <strong>de</strong> nu<strong>es</strong>tros<br />
observador<strong>es</strong> sería:<br />
Para el observador O su <strong><strong>es</strong>pacio</strong><strong>tiempo</strong><br />
valdría:<br />
S = c2T 2 − X 2 − Y 2 − Z 2 a. La distancia a recorrer por la luz<br />
proce<strong>de</strong>nte <strong>de</strong>l Sol vale 150.10<br />
= 0km<br />
ya que, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la atalaya <strong>de</strong>l jefe <strong>de</strong> la<br />
<strong>es</strong>tación lo mismo que <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto<br />
<strong>de</strong> vista <strong>de</strong> cualquier habitante <strong>de</strong><br />
la Tierra, constataría que:<br />
6 km.<br />
b. La velocidad <strong>de</strong> la luz valdrá, como<br />
siempre y para cualquier observador,<br />
c = 3.105 km/seg.<br />
c. <strong>El</strong> <strong>tiempo</strong> empleado en el recorrido<br />
alcanzaría el valor T = 500 seg.<br />
d. Sustituyendo valor<strong>es</strong> quedaría S =<br />
0 Km.<br />
Para el observador o su <strong><strong>es</strong>pacio</strong><strong>tiempo</strong><br />
valdría:<br />
s= c2t 2 − x 2 − y 2 − z 2 = 0− 0 = 0km<br />
s= c2t 2 − x 2 − y 2 − z 2 = 0− 0 = 0km<br />
ya que el observador viajando con<br />
el fotón pensaría que él <strong>es</strong>taba en reposo<br />
y que la Tierra se aproximaba<br />
hacia él a la velocidad c por lo que:<br />
a. La distancia a recorrer por la luz sería<br />
nula como consecuencia <strong>de</strong> la contracción<br />
<strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>s ant<strong>es</strong> analizada<br />
al pasar <strong>de</strong> observarla <strong>de</strong>s<strong>de</strong> O a<br />
observarla <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o.<br />
b. La velocidad <strong>de</strong> la luz también valdría<br />
c=3.105 una velocidad <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamiento igual<br />
a la <strong>de</strong> la luz y sin envejecer; pero dicho<br />
viajero <strong>es</strong>tará convencidos <strong>de</strong> que<br />
no se ha movido.<br />
Nota. Los valor<strong>es</strong> enorm<strong>es</strong> que<br />
aparecen, tanto para la contracción<br />
<strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>s (al pasar <strong>de</strong> O a o) como<br />
para la dilatación <strong>de</strong> los <strong>tiempo</strong>s<br />
(al pasar <strong>de</strong> o a O), se <strong>de</strong>ben a que<br />
<strong>es</strong>tamos trabajando con la velocidad<br />
relativa límite igual a la velocidad <strong>de</strong><br />
la luz.<br />
Veamos otro ejemplo, que <strong>de</strong>jamos<br />
sin r<strong>es</strong>olver como ejercicio <strong>de</strong> <strong>es</strong>tudio<br />
para el lector, y que podríamos enunciar<br />
<strong>de</strong> la forma siguiente:<br />
Supongamos el observador O <strong>de</strong>l<br />
ejemplo anterior sentado en su <strong>es</strong>tación,<br />
el observador o1 también <strong>de</strong>l caso<br />
anterior subido en su fotón y un tercer<br />
observador o2 montado en un tren<br />
que pasara por la <strong>es</strong>tación, don<strong>de</strong> se<br />
encuentra el observador O, circulando,<br />
r<strong>es</strong>pecto a O a una velocidad rectilínea<br />
y uniforme <strong>de</strong> valor, evi<strong>de</strong>ntemente,<br />
muy inferior a c. Encontrar la ecuación<br />
<strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> para cada uno<br />
<strong>de</strong> los tr<strong>es</strong> observador<strong>es</strong> y las velocida<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamiento y <strong>de</strong> envejecimiento<br />
que percibirán cada uno <strong>de</strong> los<br />
tr<strong>es</strong> observador<strong>es</strong> ante cualquier evento<br />
que tuviera lugar en alguno <strong>de</strong> los<br />
km/seg.<br />
tr<strong>es</strong> <strong><strong>es</strong>pacio</strong>s consi<strong>de</strong>rados.<br />
Para insistir una vez más en la ca-<br />
c. Es nulo el <strong>tiempo</strong> empleado por la pacidad <strong>de</strong> adaptación tanto <strong>de</strong>l tiem-<br />
luz para recorrer la nula distancia, que po como <strong>de</strong>l <strong><strong>es</strong>pacio</strong>, en la i<strong>de</strong>ntidad<br />
o se ha <strong>de</strong>splazado, en su sistema <strong>de</strong> geométrica <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong>, pongá-<br />
referencia. Este <strong>tiempo</strong> nulo, visto <strong>de</strong>smonos ante otra nueva situación. Su<strong>de</strong><br />
o, se convierte en los 500seg para pongamos los mismos observador<strong>es</strong><br />
el observador O como consecuencia (el jefe <strong>de</strong> la <strong>es</strong>tación y el viajero <strong>de</strong>l<br />
<strong>de</strong> la dilatación <strong>de</strong> los <strong>tiempo</strong>s tam- fotón) y que el jefe <strong>de</strong> la <strong>es</strong>tación conbién<br />
ant<strong>es</strong> <strong>es</strong>tudiada.<br />
tratara pintar una <strong>de</strong> las pare<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
su <strong>es</strong>tación orientada prácticamen-<br />
Comprobamos que el valor <strong>de</strong>l te en la dirección en que llega la luz,<br />
<strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> se conserva al cam- proce<strong>de</strong>nte <strong>de</strong>l Sol, a la <strong>es</strong>tación <strong>de</strong><br />
biar <strong>de</strong> observador y que, por tra- nu<strong>es</strong>tro problema. Una vez concluido<br />
tarse <strong>de</strong> la propagación <strong>de</strong> la luz, el trabajo, el pintor sugiere al jefe <strong>de</strong><br />
como ocurriría con cualquier otra la <strong>es</strong>tación que le pague por su traba-<br />
onda electromagnética, el valor <strong>de</strong>l jo según lo percibido por el viajero ca-<br />
<strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> para ambos obserbalgando en el fotón. <strong>El</strong> jefe <strong>de</strong> la <strong>es</strong>tavador<strong>es</strong><br />
<strong>es</strong> nulo, <strong>de</strong> acuerdo con la ción acepta y le envía un fax a nu<strong>es</strong>tro<br />
ecuación [12].<br />
Como en <strong>es</strong>te caso el viajero o (en<br />
viajero solicitándole información para<br />
pagarle al pintor. ¿Cuándo opina que<br />
un fotón) se <strong>de</strong>splaza r<strong>es</strong>pecto a O recibiría el jefe <strong>de</strong> la <strong>es</strong>tación la r<strong>es</strong>-<br />
con una velocidad V = c, el jefe <strong>de</strong> pu<strong>es</strong>ta <strong>de</strong>l fotón y cuál sería en una<br />
<strong>es</strong>tación lo verá, por la ecuación [16], primera aproximación el sentido <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>splazarse en su <strong><strong>es</strong>pacio</strong>-<strong>tiempo</strong> con <strong>es</strong>ta r<strong>es</strong>pu<strong>es</strong>ta?<br />
10 <strong>anal<strong>es</strong></strong> <strong>de</strong> mecánica y electricidad / marzo-abril 2010