Apuntes de Introducción a la Electrónica - l'electrònica

Apuntes de
Introducción a la Electrónica
Juan A. Carrasco
Departament d’Enginyeria Electrònica
Universitat Politècnica de Catalunya
Barcelona, Noviembre 2012

Índice general
Prefacio VII
1. Física de Semiconductores 1
1.1. Semiconductores intrínsecos y extrínsecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Concentraciones de portadores de carga libres en semiconductores extrínsecos . . 7
1.3. Corrientes de arrastre y corrientes de difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Diodo de Unión y Circuitos 19
2.1. La unión pn en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Ecuaciones de Boltzmann y valor deVo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. El diodo de unión en circuito abierto, polarización directa y polarización inversa . 27
2.4. Ecuación teórica del diodo y resistencia dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5. Deducción de la ecuación teórica del diodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.1. Concentraciones de electrones libres en la zona neutra n y de huecos en
la zona neutra p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.2. Leyes de la unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.3. Tasas de recombinaciones netas en las zonas neutras . . . . . . . . . . . 36
2.5.4. Forma cualitativa de los perfiles pn(x ′ ) ynp(x ′′ ) . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.5. Ecuaciones de la continuidad para portadores minoritarios en las zonas
neutras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.6. Deducción de los perfiles pn(x ′ ) ynp(x ′′ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.7. Deducción deI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

IV ÍNDICE GENERAL
2.6. Flujos de portadores de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7. Desviaciones del diodo real y diodos Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8. Tramo de trabajo seguro de un diodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9. Análisis gráfico de circuitos con diodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.10. Análisis algebraico de circuitos con diodos usando modelos lineales a tramos . . 55
2.11. Circuitos selector de máximo y selector de mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.12. Circuitos rectificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.13. Fuentes de alimentación lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3. Transistores de Unión Bipolares y Circuitos 75
3.1. Comportamiento del transistor de unión bipolar en la zona activa directa . . . . . 76
3.2. Modelos de Ebers-Moll de los transistores de unión bipolares sin modulación de
la anchura de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3. Comportamiento del transistor de unión bipolar en las cuatro zonas . . . . . . . . 83
3.4. Características en emisor común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.5. Efecto Early . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.6. Área de trabajo seguro de un transistor de unión bipolar . . . . . . . . . . . . . . 93
3.7. Modelos lineales a tramos de los transistores de unión bipolares . . . . . . . . . 94
3.8. Análisis de pequeña señal y modelos de pequeña señal . . . . . . . . . . . . . . 98
4. Fotodispositivos y Circuitos 103
4.1. Fotodiodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2. LEDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3. Fototransistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4. Fotoacopladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5. MOSFETs y Circuitos 115
5.1. MOSFET de enriquecimiento de canal n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2. Deducción del modelo de continua del MOSFET de enriquecimiento de canal n . 121

ÍNDICE GENERAL V
5.3. Modulación de la longitud de canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.4. MOSFET de enriquecimiento de canal p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5. Modelos de pequeña señal de los MOSFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.6. Inversor CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6. Amplificador Operacional y Circuitos 137
6.1. Amplificadores de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2. Amplificadores de tensión realimentados negativamente . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3. El amplificador operacional ideal y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.4. Algunas aplicaciones lineales del amplificador operacional . . . . . . . . . . . . 142
6.5. Circuito detector del estado de carga de una batería . . . . . . . . . . . . . . . . 148

VI ÍNDICE GENERAL

Prefacio
Los presentes apuntes cubren todos los temas del programa de teoría de la asignatura Introducción
a la Electrónica del plan de estudios de la titulación Ingeniería Industrial de 1994. En su
elaboración se han utilizado entre otras fuentes las de la bibliografía. Pretenden ser un complemento
eficaz a la colección de transparencias para esa asignatura realizada por el autor y están
perfectamente adaptados a ella. La física de semiconductores es bastante compleja y el tratamiento
que se hace de ella es un compromiso entre claridad expositiva y rigor. Los modelos de
continua de los diodos de unión y de los MOSFETs de enriquecimiento son obtenidos haciendo
explícitas todas las aproximaciones empleadas. Para los transistores de unión bipolares, solo se
deduce el comportamiento en la zona activa directa con recombinación en la base, modelando
ésta de forma aproximada, y se da sin deducción el modelo de Ebers-Moll sin modulación de la
anchura de la base. El lector interesado deberá consultar la bibliografía para encontrar la deducción
de este último. A continuación se explica, con justificación, como puede ser modelado el
efecto Early como consecuencia de la modulación de la anchura de la base. Para los MOSFET de
enriquecimiento se deduce el modelo sin modulación de la longitud del canal. Luego, se explica,
sin justificación, cómo puede ser modelada la modulación de la longitud del canal. Por razones
de brevedad, solo se presentan los modelos de pequeña señal más sencillos para los transistores
de unión bipolares y los MOSFETs, que ignoran en el primer caso el efecto Early y en el segundo
la modulación de la longitud del canal. Con respecto al amplificador operacional, solo se presenta
el amplificador operacional ideal. El tratamiento de la estabilidad de circuitos basados en el
amplificador operacional con realimentación negativa está basado en el criterio de estabilidad
simplificado de Bode, suponiendo la respuesta frecuencial típica de un amplificador operacional
con compensación en frecuencia. Solo se consideran circuitos que pueden ser modelados con una
red de realimentación con ganancia real > 0 y≤ 1.
El autor ha elaborado también una amplia colección de problemas que debería ser utilizada
como material complementario a estos apuntes.
En fin, se espera que los apuntes sean una ayuda eficaz para los estudiantes. El autor agradecería
a éstos últimos sugerencias sobre posibles mejoras y, por supuesto, la comunicación de
las erratas que se hayan podido introducir en su redacción.

VIII Prefacio

Capítulo 1
Física de Semiconductores
1.1. Semiconductores intrínsecos y extrínsecos
El semiconductor más utilizado en la fabricación de los dispositivos electrónicos es el silicio.
En este apartado discutiremos brevemente a nivel cualitativo los semiconductores intrínsecos y
extrínsecos basados en el silicio.
El silicio es un elemento con número atómico 14. A 0 K y suponiendo el átomo de silicio
aislado, los 14 electrones del silicio están ocupando los estados cuánticos con energías inferiores
y la configuración electrónica del elemento es 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 2 . Recordamos que en dicha
configuración 1, 2, y 3 son el primer número cuántico, s y p son el segundo número cuántico,
que cada subcapa s tiene 2 estados cuánticos con la misma energía, que cada subcapa p tiene
6 estados cuánticos con la misma energía, y que las energías de dichas subcapas son crecientes
según el orden 1s, 2s, 2p, 3s y 3p. Los electrones de la capa 3 (subcapas 3s y 3p) son los más
externos y son denominados electrones de valencia, pues son los que utiliza el silicio para formar
enlaces con otros elementos al constituir una molécula. El silicio tiene pues cuatro electrones de
valencia y, por ese motivo, se dice que es un elemento tetravalente y está situado en el grupo IV
de la tabla periódica.
En un cristal con M átomos de silicio, los 2M estados cuánticos 3s y los 6M estados
cuánticos 3p para los electrones de valencia de los M átomos de silicio aislados se transforman
en8M estados cuánticos con energías diferentes que dan lugar a dos bandas de estados cuánticos:
una banda inferior de valencia con 4M estados cuánticos y una banda superior de conducción
con otros 4M estados cuánticos. En medio de las dos existe una banda sin estados cuánticos
para los electrones denominada banda prohibida. La anchura de la banda prohibida del silicio
es Eg = 1,12eV y, aunque en realidad disminuye ligeramente al aumentar la temperatura, en
primera aproximación se puede suponer constante. Por el principio de exclusión de Pauli, en cada
estado cuántico solo puede haber un electrón. A una temperatura absoluta 0 K y suponiendo que
el cristal de silicio esté aislado, los 4M electrones de valencia aportados por los M átomos de
silicio estarán ocupando los 4M estados cuánticos con energías inferiores, la banda de valencia
estará llena y la banda de conducción estará vacía. A esa temperatura, el cristal de silicio tiene
una estructura tetraédrica en la que en los nodos hay iones de silicio (átomos de silicio sin sus

2 1 Física de Semiconductores
+4 +4 +4
+4 +4
+4
+4 +4 +4
Figura 1.1: Representación esquemática de la red de un cristal de silicio y ocupación por los4M
electrones de valencia de los8M estados cuánticos a 0 K y con el cristal aislado.
cuatro electrones de valencia) con cuatro cargas electrónicas positivas y cada ión de la red está
asociado a cuatro iones adyacentes mediante enlaces covalentes con dos electrones cada uno.
Dichos electrones formando enlaces covalentes son los electrones ocupando estados cuánticos de
la banda de valencia. En ese estado, los electrones del cristal están localizados espacialmente y el
material no puede conducir corriente, pues ello exige el desplazamiento de carga. La Figura 1.1
muestra esquemáticamente la red de un cristal de silicio y la ocupación por los4M electrones de
valencia de los 8M estados cuánticos a 0 K y con el cristal aislado. Evidentemente, el modelo
expuesto no considera lo que sucede en las fronteras del material.
Suponiendo el cristal de silicio aislado, la situación cambia al hacerse la temperatura absoluta
mayor a 0 K. En esas circunstancias, la energía de agitación térmica de los iones puede
ser transferida a electrones que están formando enlaces covalentes y liberarlos de la influencia
electrostática de un ión de silicio. Energéticamente, lo que sucede es que un electrón ocupando
un estado cuántico de la banda de valencia pasa a ocupar un estado cuántico vacío de la banda
de conducción. Un electrón en esa banda se comporta como una partícula con una carga electrónica
negativa y una cierta masa efectiva, distinta de la de un electrón aislado, que se mueve con
libertad por el cristal. Al saltar un electrón de un estado cuántico de la banda de valencia a un
estado cuántico de la banda de conducción, queda libre un estado cuántico de la banda de valencia.
Esa ausencia de electrón en un estado cuántico de la banda de valencia se comporta como
una partícula con una carga electrónica positiva y una cierta masa efectiva denominada hueco,
moviéndose por el cristal. El hueco se mueve por la estructura cristalina porque la ausencia de un
electrón en un enlace covalente provoca una situación inestable y con facilidad un electrón de un
enlace covalente adyacente con dos electrones pasa a completar el enlace covalente con déficit
de un electrón. El proceso se puede repetir con respecto a un nuevo enlace covalente adyacente
con déficit de un electrón. Un hueco moviéndose en una cierta dirección y sentido es equivalente
a un electrón formando un enlace covalente saltando de enlace covalente a enlace covalente en
la misma dirección y en sentido contrario. El proceso por el cual un electrón salta de un estado
cuántico de la banda de valencia a un estado cuántico vacío de la banda de conducción gracias
a energía de agitación térmica de iones de silicio se denomina generación térmica y da lugar a
la creación de dos portadores de carga libres: un electrón libre y un hueco. La Figura 1.2 ilustra
dicho proceso y el desplazamiento de un hueco por la estructura cristalina del silicio. A la gene-
4M
Eg
4M

1.1 Semiconductores intrínsecos y extrínsecos 3
ración térmica se opone un proceso de recombinación. Consiste éste en la caída de un electrón de
un estado cuántico de la banda de conducción a un estado cuántico vacío de la banda de valencia.
En el proceso desaparecen un electrón libre y un hueco. Lo que ocurre en la recombinación es
que un electrón libre que pasa por las inmediaciones de un hueco queda atrapado por el campo
electrostático creado por el ión con déficit electrónico en un enlace covalente. Como al aumentar
la temperatura absoluta aumenta la agitación térmica de los iones, un aumento de la temperatura
absoluta hace más intensa la generación térmica. La recombinación se ve favorecida por la
presencia de electrones libres y de huecos. Dado que los electrones libres y los huecos se crean
y destruyen a pares, habrá el mismo número de electrones libres y de huecos en el cristal. La
concentración de electrones libres, n, y la concentración de huecos, p, serán iguales y en equilibrio
adoptarán un valor que aumenta con la temperatura. Dicho valor común recibe el nombre
de concentración intrínseca y se denota mediante ni. La concentración intrínseca ni varía con la
temperatura absoluta de acuerdo con la ley
n 2 i = BT 3 e −Eg/(kT) , (1.1)
donde k = 8,62 × 10 −5 eV/K es la constante de Boltzmann (una constante fundamental de la
física) yB es una constante que para el silicio valeB = 5,37×10 31 cm −6 K −3 . A la temperatura
ambiente T = 300 K, tenemos ni = 1,50×10 10 cm −3 . Dicha concentración intrínseca se ha de
comparar con la densidad de átomos silicio en la red cristalina, que es≈ 10 23 cm −3 . Es decir, que,
a temperatura ambiente, tenemos del orden de un electrón libre y un hueco por cada 10 13 iones
de silicio. En resumen, los electrones libres y los huecos son relativamente muy poco abundantes
en un cristal de silicio a la temperatura ambiente. La denominación “intrínseca” hace referencia
al hecho de que los electrones libres y los huecos son proporcionados por el propio silicio. A
temperaturas no mucho más elevadas que la temperatura ambiente, los electrones libres y los
huecos tienen energías cinéticas moderadas, los primeros se localizan en estados cuánticos con
energías próximas al nivel inferior de la banda de conducción y los huecos se “localizan” en
estados cuánticos con energías próximas al nivel superior de la banda de valencia. Para entender
esto último, hay que tener en cuenta que la energía cinética de un electrón libre es la diferencia
entre la energía del estado cuántico que ocupa y la energía inferior de la banda de conducción
y que la energía cinética de un hueco es la diferencia entre al energía superior de la banda de
valencia y la energía del estado cuántico vacío asociado al hueco.
El carbono y el estaño también pertenecen al grupo IV de la tabla periódica. Sin embargo, el
diamante (carbono cristalino) es un aislante eléctrico y el estaño metálico es un buen conductor
eléctrico. El diamante tiene una estructura cristalina similar a la del silicio, pero con una banda
prohibida con una anchura Eg ≈ 6,0eV notablemente superior a la del silicio. Ello hace que a
temperatura ambiente ni sea muy pequeña y que prácticamente no haya ni electrones libres ni
huecos. Al no haber prácticamente portadores de carga libres, el material se comporta como un
aislante eléctrico. La situación en un metal es algo más complicada. En el estaño metálico, las
bandas de valencia y conducción están solapadas y desaparece una diferencia clara entre electrones
formando enlaces covalentes y electrones libres. Una buena proporción de los electrones
de valencia son electrones libres y n es muy elevado, haciendo el material muy buen conductor
de la electricidad. Al haber desaparecido la diferencia clara entre electrones formando enlaces
covalentes y electrones libres, un metal no tiene huecos. El silicio cristalino es un semiconductor
porque tiene una capacidad de conducir corriente eléctrica intermedia entre un aislante eléctrico
(el diamante) y un metal. Ello es debido fundamentalmente a que en el silicio n ypson apreciables
pero no muy elevados.

4 1 Física de Semiconductores
+4 +4 +4
+4 +4 +4
+4
e libre
hueco
+4 +4
Figura 1.2: Generación térmica en un cristal de silicio de un par electrón libre-hueco y desplazamiento
de un hueco por la estructura cristalina.
El silicio puro es un semiconductor intrínseco. Se obtiene un semiconductor extrínseco introduciendo
impurezas en el silicio. Las impurezas pueden ser átomos pentavalentes con cinco
electrones de valencia y en el grupo V de la tabla periódica (impurezas donadoras) tales como
el antimonio (Sb), el fósforo (P) y el arsenio (As) o átomos trivalentes con tres electrones de
valencia y en el grupo III de la tabla periódica (impurezas aceptadoras) tales como el boro (B),
el galio (Ga) y el indio (In). El proceso de introducción de impurezas recibe el nombre de dopaje
y en el semiconductor extrínseco resultante se dice que el silicio ha sido dopado con el tipo de
impurezas de que se trate.
Supongamos un semiconductor extrínseco aislado obtenido dopando un cristal de silicio
con impurezas donadoras. Las impurezas serán muy raras en relación con los átomos de silicio.
El silicio, pues, impondrá una estructura cristalina tetraédrica, y las impurezas se acomodarán a
ella. La Figura 1.3 representa la situación a 0 K. Básicamente, lo que ocurre es que cuatro de los
cinco electrones de valencia de cada impureza forman parte de los cuatro enlaces covalentes que
conectan al ión de la impureza, con cinco cargas electrónicas positivas, con cuatro iones de silicio,
con cuatro cargas electrónicas positivas. El quinto electrón de valencia de la impureza queda
débilmente ligado al ión de la impureza. SeaMD el número de impurezas del cristal. En términos
de estados cuánticos para los electrones de valencia, la introducción de las impurezas tiene como
consecuencia la aparición de4MD estados cuánticos en la banda de valencia, la aparición deMD
estados cuánticos con la misma energía ligeramente por debajo de la banda de conducción y la
aparición de 3MD estados cuánticos en la banda de conducción. En un cristal con M átomos de
silicio yMD impurezas, el sistema cuántico tendrá 4M +5MD electrones y a 0 K esos electrones
estarán ocupando los 4M +5MD estados cuánticos con energías inferiores, que, tal y como
indica la Figura 1.3, se corresponden con los4M+4MD estados cuánticos de la banda de valencia
y los MD estados cuánticos con energías ligeramente por debajo de la banda de conducción.
Los electrones ocupando los 4M +4MD estados cuánticos de la banda de valencia son los electrones
formando enlaces covalentes. Los electrones ocupando los estados cuánticos con energías
ligeramente por debajo de la banda de conducción son los quintos electrones débilmente ligados
a las impurezas. En esas condiciones, todos los electrones están localizados espacialmente y el
material no puede conducir.
4M
4M

1.1 Semiconductores intrínsecos y extrínsecos 5
+4 +4
+4
+4 +5 +4
+4 +4 +4
MD
4M + 3MD
MD
4M + 4MD
Figura 1.3: Representación esquemática de la red de un cristal de silicio dopado con impurezas
donadoras y ocupación por los4M+5MD electrones de valencia a considerar de los8M+8MD
estados cuánticos a 0 K y con el cristal aislado.
La situación cambia al hacerse la temperatura absoluta mayor a 0 K. Como en un cristal
de silicio puro, tenemos procesos de generación térmica de pares electrón libre-hueco y de recombinación
de esos tipos de portadores de carga libres. Además, la energía de agitación térmica
de los iones puede ser empleada en desligar quintos electrones débilmente acoplados a iones de
impurezas y crear electrones libres. Energéticamente, lo que sucede es que electrones ocupando
estados cuánticos con energías ligeramente por debajo de la banda de conducción saltan a estados
cuánticos de esa banda. Dicho proceso es denominado ionización de impurezas y es ilustrado en
la Figura 1.4. A ese proceso se opone un proceso inverso de desionización de impurezas en el
que electrones libres que pasan por las inmediaciones de impurezas son atraidos por el campo
electrostático creado por la impureza ionizada y pasan a quedar débilmente acoplados al ión de
la impureza. La ionización de impurezas está favorecida por un aumento de la temperatura. La
desionización de impurezas está favorecida por la presencia de electrones libres en el cristal. Suponiendo
el cristal uniformemente dopado, está intuitivamente claro que las concentraciones de
electrones libres y de huecos alcanzarán valores homogéneos y estables, y se alcanzará un equilibrio
entre la ionización y la desionización de impurezas. La proporción de impurezas ionizadas
aumenta con la temperatura absoluta. Típicamente, a temperaturas absolutas del orden de 10 K,
prácticamente todas las impurezas estarán ionizadas. También se alcanzará un equilibrio entre
generación térmica y recombinación de pares electrón libre-hueco. Dado que el primer equilibrio
involucra la aparición de solo electrones libres, mientras que el segundo involucra la aparición de
tantos electrones libres como huecos, está claro que la concentración de electrones libres, n, será
mayor que la concentración de huecos, p. Por ese motivo, al semiconductor obtenido dopando el
silicio con impurezas donadoras se denomina semiconductor extrínseco tipo n.
Supongamos un semiconductor extrínseco aislado obtenido dopando un cristal de silicio con
impurezas aceptadoras. Como en el caso de un semiconductor extrínseco tipo n, las impurezas serán
muy raras en relación con los átomos de silicio, el silicio impondrá una estructura tetraédrica,
y las impurezas se acomodarán a ella. La Figura 1.5 representa la situación a 0 K. Básicamente,
lo que ocurre es que los tres electrones de valencia de cada impureza forman parte de tres de los
cuatro enlaces covalentes que conectan al ión de la impureza, con tres cargas electrónicas posi-

6 1 Física de Semiconductores
+4 +4
e libre
+4
+4 +5 +4
+4 +4 +4
MD
4M + 3MD
MD
4M + 4MD
Figura 1.4: Ionización de una impureza en un cristal de silicio dopado con impurezas donadoras.
+4 +4
+4
+4 +3 +4
+4 +4 +4
4M + 4MA
MA
4M + 3MA
Figura 1.5: Representación esquemática de la red de un cristal de silicio dopado con impurezas
aceptadoras y ocupación por los 4M +3MA electrones de valencia de los 8M +8MA estados
cuánticos a 0 K y con el cristal aislado.
tivas, con cuatro iones de silicio, con cuatro cargas electrónicas positivas. Sea MA el número de
impurezas del cristal. En términos de estados cuánticos posibles para los electrones de valencia,
la introducción de las impurezas tiene como consecuencia la aparición de3MA estados cuánticos
en la banda de valencia, la aparición deMA estados cuánticos ligeramente por encima de la banda
de valencia y la aparición de4MA estados cuánticos en la banda de conducción. En un cristal
con M átomos de silicio yMA impurezas, el sistema cuántico tendrá 4M +3MA electrones y a
0 K y con el cristal aislado esos electrones estarán ocupando los 4M +3MA estados cuánticos
con energías inferiores, que, tal y como indica la Figura 1.5, se corresponden con los4M +3MA
estados cuánticos de la banda de valencia. Los electrones ocupando los estados cuánticos de la
banda de valencia son los electrones formando enlaces covalentes. En esas condiciones, todos
los electrones están localizados espacialmente y el material no puede conducir.
La situación cambia al hacerse la temperatura absoluta mayor a 0 K. Como en un cristal de
silicio puro, tenemos procesos de generación térmica de pares electrón libre-hueco y de recombi-

1.2 Concentraciones de portadores de carga libres en semiconductores extrínsecos 7
+4 +4
+4
+3
hueco
+4
+4
+4 +4 +4
4M + 4MA
MA
4M + 3MA
Figura 1.6: Ionización de una impureza en un cristal de silicio dopado con impurezas aceptadoras.
nación de esos tipos de portadores de carga libres. Además, la energía de agitación térmica de los
iones puede ser empleada en hacer pasar electrones formando parte de enlaces covalentes adyacentes
a enlaces covalentes entre iones de impureza e iones de silicio con déficit de un electrón y
crear huecos. Energéticamente, lo que sucede es que electrones ocupando estados cuánticos de la
banda de valencia saltan a estados cuánticos con energías ligeramente por encima de la banda de
valencia. Dicho proceso es denominado ionización de impurezas y es ilustrado en la Figura 1.6.
A ese proceso se opone un proceso inverso de desionización de impurezas en el que electrones
formando parte de enlaces covalentes con dos electrones entre iones de silicio e iones de impurezas
pasan a completar enlaces covalentes adyacentes entre iones de silicio a los que le falta un
electrón. Energéticamente lo que sucede es que electrones ocupando estados cuánticos con energías
ligeramente por encima de la banda de valencia pasan a estados cuánticos vacíos de la banda
de valencia. La ionización de impurezas está favorecida por un aumento de la temperatura. La
desionización de impurezas está favorecida por la presencia de huecos en el cristal. Suponiendo
el cristal uniformemente dopado, está intuitivamente claro que las concentraciones de electrones
libres y de huecos alcanzarán valores homogéneos y estables, y se alcanzará un equilibrio entre la
ionización y la desionización de impurezas. La proporción de impurezas ionizadas aumenta con
la temperatura absoluta. Típicamente, a temperaturas absolutas del orden de 10 K, prácticamente
todas las impurezas estarán ionizadas. También se alcanzará un equilibrio entre generación térmica
y recombinación de pares electrón libre-hueco. Dado que el primer equilibrio involucra la
aparición de solo huecos, mientras que el segundo involucra la aparición de tantos electrones libres
como huecos, está claro que la concentración de huecos, p, será mayor que la concentración
de electrones n. Por ese motivo, al semiconductor obtenido dopando el silicio con impurezas
aceptadoras se denomina semiconductor extrínseco tipo p.
1.2. Concentraciones de portadores de carga libres en semiconductores
extrínsecos
En este apartado determinaremos las concentraciones n ypde, respectivamente, electrones libres
y huecos en un semiconductor de silicio uniformemente dopado, aislado y en equilibrio. En

8 1 Física de Semiconductores
esas condiciones n y p no dependerán de las coordenadas espaciales. También determinaremos
cómo varian n y p con la temperatura. Para ello necesitamos dos ecuaciones que relacionen
n y p. La primera de ellas es la denominada ley de acción de masas y establece que en un
semiconductor extrínseco uniformemente dopado, aislado y en equilibrio se verifica np = n 2 i .
La segunda ecuación es la ley de la neutralidad eléctrica.
Empezaremos considerando un semiconductor extrínseco de silicio tipo n uniformemente
dopado, aislado y en equilibrio. Sea ND el dopaje (concentración de impurezas donadoras). Típicamente
ND estará comprendido entre10 12 cm −3 y10 19 cm −3 . SeaT1 la temperatura absoluta
a la cual prácticamente todas las impurezas están ionizadas. Como hemos comentado, T1 es una
temperatura del orden de 10 K. La concentración intrínseca ni aumenta rápidamente con la temperatura.
Analizaremos la dependencia de n y p con la temperatura suponiendo que el dopaje es
fuerte. Ello quiere decir que supondremos que a la temperatura T1, ND ≫ ni. Es relativamente
fácil deducir la ley de la neutralidad eléctrica para temperaturas T ≥ T1. Para ello consideraremos
que, siendo el cristal que consideramos y un cristal de semiconductor intrínseco de silicio
a 0 K y aislado eléctricamente neutros, punto a punto han de ser iguales los excesos de carga
negativa y de carga positiva del cristal de semiconductor extrínseco en relación con el cristal
de semiconductor intrínseco a 0 K. El exceso de carga negativa es debido exclusivamente a la
presencia de electrones libres en el cristal de semiconductor extrínseco. Dicha presencia crea un
exceso de carga negativa por unidad de volumen igual a nq, donde q = 1,602 × 10 −19 C es la
carga electrónica en valor absoluto. El exceso de carga positiva tiene dos contribuciones: la presencia
de huecos y la presencia de impurezas donadoras ionizadas. Éste último es debido a que
en el cristal que consideramos un ión de impureza ionizada, con carga positiva 5q, está rodeado
por cuatro electrones, con carga negativa −4q, mientras que en el cristal del semiconductor intrínseco
cada ión de silicio, con carga positiva 4q, está rodeado por cuatro electrones, con carga
negativa−4q. Así pues, estando prácticamente todas las impurezas ionizadas, el exceso de carga
positiva por unidad de volumen serápq+NDq. Igualando ambos excesos obtenemos la ley de la
neutralidad eléctrica
n = p+ND. (1.2)
Combinando dicha ley con la ley de acción de masas, obtenemos la ecuación de segundo grado
enn
n 2 −NDn−n 2 i = 0,
cuyas soluciones son
n = ND
± N2 D +4n2 i
2
.
Dado quendebe ser> 0, solo la solución correspondiente al signo+tiene sentido, obteniéndose
n = ND
+ N2 D +4n2 i
.
2
(1.3)
Finalmente, p pueder ser calculada a partir de n utilizando la ley de acción de masas, que da
p = n2 i
n
. (1.4)
Con respecto a la dependencia de n y p con la temperatura podemos distinguir dos zonas. La
primera, denominada zona extrínseca, está caracterizada por T1 ≤ T ≪ T2, donde T2 es la

1.2 Concentraciones de portadores de carga libres en semiconductores extrínsecos 9
temperatura absoluta a la cual ni = ND. En esa zona de temperaturas ni ≪ ND, en (1.3)4n2 i es
despreciable frente aN 2 D , y tendremos
Utilizando entonces (1.4), tendremos
n ≈ ND.
p ≈ n2i .
ND
Es fácil ver que en la zona extrínseca p ≪ n. Para ello escribamos
p ≈ ni
Dado que ni ≪ ND, ni/ND ≪ 1. Entonces, p ≪ ni ≪ ND ≈ n. En resumen, en la zona extrínseca
n es aproximadamente independiente de la temperatura e igual al dopaje, mientras quep
es mucho menor quen. En un semiconductor extrínseco de silicio tipo n uniformemente dopado,
aislado y en equilibrio, trabajando en la zona extrínseca los electrones libres serán mayoritarios
y los huecos serán minoritarios. La segunda zona de temperaturas es la zona intrínseca. Esa zona
está caracterizada por T ≫ T2. En esa zona de temperaturas ni ≫ ND, en (1.3) N2 D será despreciable
frente a4n2 i , la raiz cuadrada será aproximadamente igual a2ni,ND será despreciable
frente a2ni, y tendremos
n ≈ ni.
Utilizando entonces (1.4), tendremos
ni
ND
p ≈ ni.
En resumen, en la zona intrínseca n,p ≈ ni. Veamos ahora que para temperaturas absolutas
T ≥ T1, tantoncomopcrecen con la temperatura. Quencrece con la temperatura es evidente a
partir de (1.3), teniendo en cuenta que ni aumenta rápidamente con la temperatura. Que p crece
con la temperatura puede razonarse combinando (1.3) con (1.4), obteniéndose
p =
ND +
n 2 i
N 2 D +4n2 i
2
= 2ni
.
ND
ni
+
1
ND
p es pues el cociente de un factor, 2ni, que aumenta rápidamente con la temperatura por un
factor, ND/ni+ (ND/ni) 2 /4 que decrece con la temperatura, haciendo quepaumente con la
temperatura. Además, a partir de la ley de la neutralidad eléctrica (1.2), resulta quenserá mayor
que p. Recordemos que a la temperatura ambiente ni = 1,50 × 10 −10 cm −3 . Con un dopaje
típico comprendido entre10 12 cm −3 y10 19 cm −3 , el dopaje será fuerte y la temperatura ambiente
TA = 300 K caerá dentro de la zona extrínseca. La Figura 1.7 ilustra la dependencia denypcon
la temperatura en un semiconductor extrínseco de silicio tipo n uniformemente dopado, aislado
y en equilibrio, con un dopaje fuerte en el que la temperatura ambiente cae dentro de la zona
extrínseca, indicando el valor de ni. Que, para T ≥ T1, n > ni > p es immediato a partir de
n > p ynp = n 2 i .
El análisis de las concentraciones n y p y su dependencia con la temperatura en un semiconductor
extrínseco de silicio tipo p uniformemente dopado, aislado y en equilibrio es análogo.
Sea NA el dopaje, es decir, la concentración de impurezas aceptadoras, y sea como antes T1 la
ni
2
+4
.

10 1 Física de Semiconductores
ND
n
p ni
T1 TA T2 T
Z. EXTRÍNSECA Z. INTRÍNSECA
Figura 1.7: Dependencia de n y p con la temperatura en un semiconductor extrínseco de silicio
tipo n uniformemente dopado, aislado y en equilibrio, con un dopaje fuerte en el que la temperatura
ambiente cae dentro de la zona extrínseca.
temperatura absoluta a la cual prácticamente todas las impurezas están ionizadas. Dicha temperatura
es del orden de 10 K. La ley de la neutralidad eléctrica para temperaturas T ≥ T1 es ahora
p = n + NA. Ello es debido a que, en relación con un cristal de semiconductor intrínseco de
silicio a 0 K aislado y en equilibrio, el exceso de carga positiva es debido exclusivamente a la
presencia de huecos en el cristal de semiconductor extrínseco. Dicha presencia crea un exceso
de carga positiva por unidad de volumen igual a pq. El exceso de carga negativa tiene dos contribuciones:
la presencia de electrones libres y la presencia de impurezas aceptadoras ionizadas.
Éste último es debido a que en el cristal que consideramos un ión de impureza ionizada, con
carga positiva 3q, está rodeado por cuatro electrones, con carga negativa−4q, mientras que en el
cristal del semiconductor intrínseco cada ión de silicio, con carga positiva 4q, está rodeado por
cuatro electrones, con carga negativa −4q. Así pues, estando prácticamente todas las impurezas
ionizadas, el exceso de carga negativa por unidad de volumen será nq +NAq. Igualando ambos
excesos obtenemos la ley de la neutralidad eléctrica
p = n+NA
Observemos que, con respecto al caso anterior, están intercambiados los papeles de n y p y que
ND está cambiado por NA. Así pues, para temperaturas T ≥ T1, obtendremos
p = NA
+ N2 A +4n2 i
(1.6)
2
y
n = n2 i
p
(1.5)
. (1.7)
Suponiendo que el dopaje es fuerte, es decir, que, para T = T1, NA ≫ ni, tendremos dos zonas
de temperaturas con dependencias distintas de n y p con la temperatura. La zona extrínseca está
caracterizada por T1 ≤ T ≪ T2, donde T2 es la temperatura absoluta a la cual ni = NA. En
esa zona p ≈ NA, n ≈ n 2 i /NA ≪ p, los huecos serán mayoritarios y los electrones libres serán
minoritarios. La zona intrínseca está caracterizada por T ≫ T2. En esa zona, n,p ≈ ni. Veamos
ahora que para temperaturas absolutas T ≥ T1, tanto n como p crecen con la temperatura. Que
p crece con la temperatura es evidente a partir de (1.6), teniendo en cuenta que ni aumenta

1.2 Concentraciones de portadores de carga libres en semiconductores extrínsecos 11
NA
p
n ni
T1 TA T2 T
Z. EXTRÍNSECA Z. INTRÍNSECA
Figura 1.8: Dependencia de n y p con la temperatura en un semiconductor extrínseco de silicio
tipo p uniformemente dopado, aislado y en equilibrio, con un dopaje fuerte, y en el que la
temperatura ambiente cae dentro de la zona extrínseca.
rápidamente con la temperatura. Que n crece con la temperatura puede razonarse combinando
(1.6) con (1.7), obteniéndose
n =
NA +
n 2 i
N 2 A +4n2 i
2
= 2ni
NA
ni
+
1
NA
n es pues el cociente de un factor, 2ni, que aumenta rápidamente con la temperatura por un
factor, NA/ni + (NA/ni) 2 /4 que decrece con la temperatura, haciendo que n aumente con
la temperatura. Además, a partir de la ley de la neutralidad eléctrica (1.5), resulta que p será
mayor quen. Para dopajes típicosNA comprendidos entre10 12 cm −3 y10 19 cm −3 , el dopaje será
fuerte y la temperatura ambiente TA caerá dentro de la zona extrínseca. La Figura 1.8 muestra
la dependencia de n y p con la temperatura en un semiconductor extrínseco de silicio tipo n
uniformemente dopado, aislado y en equilibrio, con dopaje fuerte, y en el que TA cae dentro de
la zona extrínseca, indicando el valor deni. Que, paraT ≥ T1,p > ni > n es immediato a partir
dep > n ynp = n 2 i .
Falta considerar el caso de un semiconductor extrínseco de silicio uniformemente dopado
con los dos tipos de impurezas, aislado y en equilibrio. Sea NA la concentración de impurezas
aceptadoras y sea ND la concentración de impurezas donadoras, y consideremos temperaturas
T ≥ T1, donde T1 es la temperatura absoluta a la cual prácticamente todas las impurezas de uno
y otro tipo ya están ionizadas. La ley de la neutralidad eléctrica es ahora n + NA = p + ND.
Supongamos ND ≥ NA. Podemos reescribir dicha ley de la forma n = p + N ∗ D , con N∗ D =
ND −NA. Así pues, n y p serán idénticas a las de un semiconductor extrínseco uniformemente
dopado, aislado y en equilibrio, con dopaje donador efectivo N ∗ D = ND−NA. Supongamos, por
últimoNA ≥ ND. Podemos reescribir la ley de la neutralidad eléctrica de la formap = n+N ∗ A ,
con N ∗ A = NA − ND. Así pues, en ese caso, n y p serán idénticas a las de un semiconductor
extrínseco de silicio tipo p uniformemente dopado, aislado y en equilibrio, con dopaje aceptador
efectivo N ∗ A = NA −ND. En resumen, en el caso de un semiconductor con dopajes de los dos
tipos, las impurezas aceptadoras cancelan las impurezas donadoras y la situación es idéntica a la
de un semiconductor con el dopaje efectivo del tipo de impurezas dominante.
ni
2
+4
.

12 1 Física de Semiconductores
+
Figura 1.9: Movimiento de un hueco en ausencia (izquierda) y presencia (derecha) de un campo
eléctrico.
1.3. Corrientes de arrastre y corrientes de difusión
Para entender a nivel intuitivo los dos mecanismos de conducción de corriente en el silicio es
preciso tener en cuenta que tanto los electrones libres como los huecos están continuamente
chocando con puntos de la estructura cristalina, fundamentalmente imperfecciones de dicha estructura
e impurezas ionizadas. La dirección después del choque es aleatoria y entre choque y
choque el movimiento de cada portador de carga libre es aproximadamente uniforme, con velocidad
constante. En esas circunstancias, en condiciones normales, no hay desplazamiento neto ni
de electrones libres ni de huecos hacia ninguna dirección y no hay ni corriente de electrones ni
corriente de huecos. La situación es modificada por la presencia de un campo eléctrico y por la
presencia de gradientes espaciales en n y p. El campo eléctrico provoca corrientes de arrastre.
Los gradientes espaciales ennypprovocan corrientes de difusión.
La Figura 1.9 ilustra el movimiento de un hueco en ausencia (izquierda) y en presencia
(derecha) de un campo eléctrico. Siendo la dirección después de cada choque del hueco con
la estructura cristalina aleatoria, en el primer caso, en promedio, el hueco no se desplaza hacia
ningún lado. En el segundo caso, sin embargo, debido a la fuerza q E que el campo eléctrico
produce en el hueco, el movimiento entre choques del hueco es uniformente acelerado en la
dirección y sentido del campo eléctrico y, en promedio, el hueco se desplaza en la dirección y
sentido del campo eléctrico. Dicho desplazamiento es el responsable de una corriente de huecos
denominada corriente de arrastre.
La velocidad media que tienen los huecos en presencia de campo eléctrico debida a éste
se denomina velocidad de arrastre de huecos y la denotaremos mediantevp. Dicha velocidad de
arrastre tendrá la misma dirección y sentido que el campo eléctrico y, por tanto, la podremos
expresar de la formavp = µp E, donde µp es, por definición, la movilidad de los huecos. Dicha
velocidad de arrastre crea una densidad de corriente Jap denominada densidad de corriente de
arrastre de huecos. Recordemos que la densidad de corriente debida a un flujo de portadores de
carga es un vector con la dirección del flujo, sentido coincidente con el del flujo si los portadores
tienen carga positiva y contrario si tienen carga negativa, y valor absoluto igual a la carga que
atraviesa en la dirección del flujo la unidad de área en la unidad de tiempo. Para determinar Jap
en función de vp, consideraremos (ver Figura 1.10) un elemento diferencial de área dA perpendicular
avp. Para simplificar el razonamiento, supongamos que cada hueco tiene una velocidad
+
E

1.3 Corrientes de arrastre y corrientes de difusión 13
vp dt
Figura 1.10: Paralepípedo usado en la deducción del valor deJap en función de vp.
constante igual avp. Entonces, en un tiempodt habrán atravesado el elemento diferencial de área
los huecos que se encuentren a una distancia vpdt del elemento diferencial de área y la carga que
en ese tiempo dt habrá atravesado el elemento diferencial de área será la carga debida a los huecos
que tengamos en el paralepípedo de la figura. Por tanto, la carga que atravesará el elemento
diferencial de área en un tiempo dt valdrá qpdAvpdt y tendremos Jap = qpvp. Evidentemente,
siendo la carga de los huecos positiva, Jap tendrá la misma dirección y el mismo sentido quevap
y tendremos
Jap = qpvp = qpµp E. (1.8)
Dado que los electrones tienen carga negativa, la velocidad de arrastre de electrones, vn,
tendrá sentido contrario al campo eléctrico y podremos escribir vn = −µn E, donde µn es,
por definición, la movilidad de los electrones. Dicha velocidad de arrastre crea una densidad de
corriente de arrastre de electrones Jan que tendrá la misma dirección quevn y sentido contrario
a ésta, pues la carga de los electrones es negativa. De modo totalmente análogo a como se hizo
para los huecos podemos deducir Jan = −qnvn, obteniéndose en combinación convn = −µn E,
vp
dA
Jan = qnµn E. (1.9)
La densidad de corriente de arrastre, Ja, es la suma de Jap y Jan. El sentido que tiene Ja es
densidad de corriente total debida a la presencia de un campo eléctrico. Utilizando (1.8) y (1.9)
obtenemos
Ja = q(pµp +nµn) E.
La relación entre la densidad de corriente de arrastre y el campo eléctrico se denomina conductividad
y se suele denotar conσ. La relación Ja = σ E es la ecuación de Ohm microscópica, pues,
como vamos a ver enseguida, dicha relación está detrás de la ley de Ohm macroscópica V = RI,
donde I es la corriente, R la resistencia y V la diferencia de tensión producida en la resistencia
por la corriente I, cuando I es solo corriente de arrastre. En conclusión, podemos decir que la
conductividad que tiene un material semiconductor vale
σ = q(pµp +nµn). (1.10)
La resistividad, ρ, de un material conductor es definida como la inversa de la conductivida: ρ =
1/σ.
Las movilidades solo se pueden considerar independientes del valor absoluto del campo
eléctrico para campos eléctricos no muy intensos (inferiores a10 3 V/cm para semiconductores de

14 1 Física de Semiconductores
Figura 1.11: Dependencia de µn y µp con la temperatura y el dopaje para campos eléctricos no
muy intensos.
silicio tipo n). En general, la movilidad de los electrones es superior a la movilidad de los huecos.
Así, para el silicio intrínseco a 300 K, la movilidad de los electrones valeµn = 1.300cm 2 /(V·s)
mientras que la movilidad de los huecos vale µp = 500cm 2 /(V·s). Las movilidades decrecen
ligeramente al aumentar la temperatura y, a partir de cierto dopaje, decrecen al aumentar el dopaje.
La Figura 1.11 da, en su parte izquierda, la dependencia de µn con la temperatura y el
dopaje para un semiconductor extrínseco tipo n. Las curvas de la figura corresponden, de arriba
a abajo, a dopajes ND = 10 14 cm −3 , ND = 10 16 cm −3 , ND = 10 17 cm −3 , ND = 10 18 cm −3
y ND = 10 19 cm −3 . La figura da también, en su parte derecha, la dependencia de µp con la
temperatura y el dopaje para un semiconductor extrínseco tipo p. Las curvas de la figura corresponden,
de arriba a abajo, a dopajes NA = 10 14 cm −3 , NA = 10 16 cm −3 , NA = 10 17 cm −3 ,
NA = 10 18 cm −3 y NA = 10 19 cm −3 . Recordemos que esos valores solo son válidos para campos
eléctricos no muy intensos.
En la mayoría de los materiales conductores, el arrastre es el único mecanismo importante
de conducción de corriente. En el silicio, sin embargo, también puede tener importancia la
difusión. La difusión está presente siempre que haya gradientes espaciales en p y n. Nuestra
discusión se limitará al caso unidimensional, en el que p y n dependen solo de una coordenada
espacial, x, creciente hacia la derecha. La Figura 1.12 ilustra la difusión en el caso de los huecos.
Estamos suponiendo que el campo eléctrico es nulo. En esas condiciones, cada hueco tendrá un
movimiento aleatorio alrededor de una posición. Si consideramos una sección vertical, debido al
hecho de que hay más huecos por unidad de volumen en la parte derecha que en la izquierda,
el movimiento aleatorio de cada hueco se traducirá en un trasvase neto de huecos de la derecha
a la izquierda. Teniendo los huecos una carga positiva, dicho flujo neto creará una densidad de
corriente de difusión de huecos, Jdp, que irá de derecha a izquierda. Se cumple con mucha precisión
que Jdp es proporcional al gradiente espacial de p, dp/dx. Así pues, considerando positiva

1.3 Corrientes de arrastre y corrientes de difusión 15
+
+ +
+
+ +
+ + +
++++++
+ +
+ +
+ +
Jdp
Figura 1.12: Difusión de huecos.
−
− −
−
−
− − −
−
− − −
−
− − −
− −
− −
−
Jdn
Figura 1.13: Difusión de electrones.
Jdp cuando va en el sentido creciente dex, podremos escribir
dp
Jdp = −qDp
dx ,
donde Dp es una constante denominada constante de difusión de huecos.
La Figura 1.13 ilustra la difusión de electrones. El flujo de electrones debido a la difusión
será igual que antes de derecha a izquierda, pero como los electrones tienen carga negativa la
densidad de corriente de difusión de electrones, Jdn, irá de izquierda a derecha. Considerando
positiva como antes Jdn cuando va en el sentido creciente de x, tendremos
dn
Jdn = qDn
dx ,
donde Dn es una constante denominada constante de difusión de electrones. Las constantes de
difusión y las movilidades no son independientes. Están relacionadas por la denominada relación
de Einstein:
Dp
µp
= Dn
µn
= kT
q .
La relación kT/q tiene dimensiones de una tensión y, dado que es proporcional a la temperatura
absoluta T , se denomina potencial equivalente de temperatura y se suele denotar con VT . A la
temperatura ambiente 300 K,VT vale 25,9 mV.
La dependencia de la conductividad de un semiconductor con la temperatura es el fundamento
de las resistencias NTC y PTC, que pueden ser utilizadas como sensores de temperatura.
Para justificar el comportamiento de esos dispositivos es preciso tener en cuenta que en un

16 1 Física de Semiconductores
semiconductor uniformemente dopado al que se le aplica una tensión el único mecanismo de
conducción importante es el arrastre, haciendo que el dispositivo tenga un comportamiento resistivo.
Es fácil de justificar este punto en el caso en el que las dimensiones transversales sean
notablemente superiores a la dimensión longitudinal. Consideremos un semiconductor de silicio
uniformemente dopado, aislado y en equilibrio con esas características al que se le aplica una
cierta tensión V a través de unas placas metálicas, tal y como muestra la Figura 1.14. Dada la
geometría, en el seno del semiconductor se establecerá un campo eléctrico muy aproximadamente
homogéneo. Como consecuencia, las densidades de corriente de arrastre tanto de electrones
como de huecos serán aproximadamente homogéneas. Dado que antes de aplicar la tensiónV las
concentraciones de electrones libres y huecos en el semiconductor eran homogéneas, lo seguirán
siendo con la tensión V aplicada. No habiendo apenas gradientes espaciales en p y n, las densidades
de corriente de difusión serán aproximadamente nulas y toda la corriente I que circule
por el dispositivo será debida al arrastre. Siendo L la longitud del dispositivo, la tensión V y el
campo eléctrico E tendrán la relación V = EL. Además, siendo A la sección del dispositivo,
la corriente I y la densidad de corriente de arrastre Ja tendrán la relación I = JaA. Dividiendo
ambas relaciones obtenemos
V
I
= E
Ja
y, utilizando la ley de Ohm microscópica Ja = σE,
V
I
L
A ,
= L
σA .
Así pues, el comportamiento del dispositivo será resistivo y su resistencia valdrá
R = L
σA .
El único factor que puede variar con la temperatura es la conductividad σ.
Una resistencia NTC está constituida por un semiconductor intrínseco. Tendremosp = n =
ni y, utilizando (1.10), σ = qni(µp + µn). Las movilidades µp y µn decrecen ligeramente al
aumentar la temperatura, pero ni crece muy fuertemente con la temperatura. El resultado neto
será que, al aumentar la temperatura, σ aumentará y, siendo R inversamente proporcional aσ,R
disminuirá. Tendremos, pues, dR/dT < 0, lo cual justifica el nombre del dispositivo, pues NTC
procede del inglés “negative temperature coefficient”.
Una resistencia PTC está constituida por un semiconductor extrínseco uniformemente dopado
trabajando en la zona extrínseca de temperaturas. Para concretar, supongamos que el semiconductor
es tipo n y sea ND el dopaje de impurezas donadoras. Tendremos n ≈ ND y
p ≪ n. Dado que las movilidades µp y µn son del mismo orden de magnitud, utilizando (1.10),
tendremos σ ≈ qNDµn. Al aumentar la temperatura, µn disminuirá, y, siendo q y ND constantes,
σ disminuirá. Siendo R inversamente proporcional a σ, R aumentará. Tendremos, pues,
dR/dT > 0, lo cual justifica el nombre del dispositivo, pues PTC procede del inglés “positive
temperature coefficient”.

1.3 Corrientes de arrastre y corrientes de difusión 17
I
L
E ≈ cte
Jap, Jan
≈ cte
Jdp, Jdn
≈ 0
+ −
V
Figura 1.14: Comportamiento de un semiconductor uniformemente dopado con dimensiones
transversales notablemente mayores que la dimensión longitudinal al aplicarle una tensión.
A

18 1 Física de Semiconductores

Capítulo 2
Diodo de Unión y Circuitos
2.1. La unión pn en equilibrio
Para entender cualitativamente el comportamiento físico de un diodo de unión, es necesario primero
entender los fenómenos que conducen a una situación de equilibrio en una unión pn aislada.
La unión pn es el sistema formado por la unión de un trozo de silicio tipo p dopado con un dopaje
uniforme NA trabajando en la zona extrínseca y un trozo de silicio tipo n dopado con un dopaje
donador uniforme ND trabajando en la zona extrínseca. Imaginémonos que el sistema es formado
en un cierto instante uniendo trozos de silicio tipo p y n anteriormente aislados. Suponiendo
que la temperatura esté dentro de las zonas extrínsecas de ambos trozos semiconductores, las
concentraciones de electrones libres y huecos en el semiconductor tipo p aislado tendrán valores
de equilibrio, npo = n 2 i /NA y ppo = NA, respectivamente, que verificarán npo ≪ ni ≪ ppo. De
modo similar, las concentraciones de huecos y de electrones libres en el semiconductor tipo n aislado
tendrán valores de equilibrio,pno = n 2 i /ND ynno = ND, que verificaránpno ≪ ni ≪ nno.
Por tanto, en el instante de la unión la concentración de huecos en la zona p, ppo, será mucho
mayor que la concentración de huecos en la zona n, pno. De modo similar, la concentración de
electrones libres en la zona n,nno, será mucho mayor que la concentración de electrones libres en
la zona p,npo. Esos gradientes de concentraciones producirán en el momento de la unión fuertes
corrientes de difusión que tenderán a mover huecos de la zona p a la zona n y electrones libres
de la zona n a la zona p. Como consecuencia de dicho trasvase de portadores de carga libres,
se producirá una disminución de la concentración de huecos en la zona p cerca de la unión y
un aumento de la concentración de huecos en la zona n cerca de la unión. De modo similar, se
producirá una disminución de la concentración de electrones libres en la zona n cerca de la unión
y un aumento de la concentración de electrones libres en la zona p cerca de la unión. Dichas
alteraciones de las concentraciones de portadores de carga libres quedan confinadas a una región
estrecha alrededor de la unión pn denominada región de vaciamiento (véase la Figura 2.1). El
nombre procede del hecho de que en esa región hay una disminución (vaciamiento) de las concentraciones
de portadores de carga libres mayoritarios (huecos en la zona p y electrones libres en
la zona n) con respecto a los valores (ppo y nno) que tenían dichas concentraciones en las zonas
p y n aisladas. En la Figura 2.1, se representan con un círculo las cargas fijas correspondientes a
impurezas ionizadas netas (aceptadoras en la zona p y donadoras en la zona n) y se representan

20 2 Diodo de Unión y Circuitos
npo = n2 i
NA
ppo = NA
ppo
REGIÓN DE VACIAMIENTO
p NA
ND n
+ +
− − − +
− −
+ +
+ +
− −
−
+ +
− − −
ZONA NEUTRA P
+
+
− −
+ +
− −
+ +
Vo
nno
npo pno
xn x
−xp
qND
E
V
ZONA NEUTRA N
log n
ρ
−qNA
p
−|E|max
x
x
x
nno = ND
pno = n2 i
ND
Figura 2.1: Concentraciones de portadores de carga libres, densidad volúmica de carga, campo
eléctrico y potencial en una unión pn
sin círculo las cargas móviles, que fundamentalmente son huecos en la zona p y electrones libres
en la zona n. En la región de vaciamiento hay pocas cargas móviles y esquemáticamente en dicha
región no se representan cargas móviles.
Para justificar que se alcanza una situación de equilibrio con el aspecto de la Figura 2.1
tenemos que determinar los perfiles de la densidad volúmica de carga y del campo eléctrico en
la región de vaciamiento. En las zonas p y n fuera de la región de vaciamiento, las concentraciones
de portadores de carga libres son idénticas a las de esas zonas aisladas antes de la unión y
como esas zonas eran eléctricamente neutras, la densidad volúmica de carga será nula. De ahí, el
que las zonas p y n fuera de la región de vaciamiento reciban el nombre de zonas neutras p y n,
respectivamente. Para determinar una expresión para la densidad volúmica de carga dentro de la
zona p de la región de vaciamiento tenemos que tener en cuenta, en primer lugar, que, estando
el semiconductor tipo p en una temperatura dentro de la zona extrínseca, todas las impurezas
estarán ionizadas y cada impureza trivalente neta creará una carga negativa de valor −q (las impurezas
pentavalentes ionizadas crean cargas que cancelan las creadas por impurezas trivalentes
ionizadas). Son dichas cargas negativas las que están representadas con un−dentro de un círculo.
Cada hueco crea una carga positiva de valor q y cada electrón libre crea una carga negativa
de valor −q. Por tanto, la expresión de la densidad volúmica de carga dentro de la zona p de
la región de vaciamiento será ρ = q(−NA + p − n). Con p = ppo y n = nno, ρ = 0. Dado

2.1 La unión pn en equilibrio 21
que al adentrarnos en la zona p de la región de vaciamiento p disminuye y n aumenta, ρ se irá
haciendo cada vez más negativa, hasta alcanzar un valor máximamente negativo justo en la unión
pn. La concentración de huecospdecrece muy rápidamente al adentrarnos dentro de la región de
vaciamiento desde la zona p. De modo similar, la concentración de electrones libres n decrece
muy rápidamente al adentrarnos dentro de la región de vaciamiento desde la zona n. Esos dos
hechos quedan claramente reflejados en la Figura 2.1, en la que se utilizan escalas logarítmicas
para los perfiles de p y de n. Como consecuencia, al adentrarnos en la región de vaciamiento
desde la zona neutra p, p se hará enseguida despreciable frente a NA. Por otro lado, dentro de la
parte p de la región de vaciamiento n será típicamente muy pequeña en relación con NA. Todo
ello implica, que al adentrarnos dentro de la región de vaciamiento desde la zona p, típicamente
ρ alcanzará enseguida un valor próximo a−qNA. A efectos de simplificación, supondremos que
la densidad volúmica de carga en la zona p de la región de vaciamiento es exactamente igual a
−qNA, tal y como indica la Figura 2.1. Para determinar una expresión para la densidad volúmica
de carga dentro de la zona n de la región de vaciamiento podemos aplicar un razonamiento similar.
Cada impureza pentavalente neta (las impurezas ionizadas trivalentes ionizadas crean cargas
que cancelan las creadas por impurezas pentavalentes ionizadas) crea una carga positiva de valor
q. Cada hueco crea una carga positiva de valor q y cada electrón libre crea una carga negativa de
valor −q. Por tanto, la expresión para la densidad volúmica de carga dentro de la zona n de la
región de vaciamiento es ρ = q(ND + p − n). Con p = pno y n = nno, ρ = 0. Dado que al
adentrarnos en la zona n de la región de vaciamiento p aumenta yndisminuye, ρ debe aumentar
alcanzando un valor máximo positivo justo en la unión pn. Por razones similares a las discutidas
anteriormente en relación con el perfil de ρ dentro de la parte p de la región de vaciamiento, al
adentranos en la región de vaciamiento desde la zona neutra n, típicamenteρ alcanzará enseguida
un valor muy próximo a qND. A efectos de simplificación, supondremos que la densidad volúmica
de carga en la zona n de la región de vaciamiento es exactamente igual a qND, tal y como
indica la Figura 2.1. Los semiconductores p y n eran eléctricamente neutros antes del instante
en que se unieron, y el sistema formado por ellos unidos tiene que seguir siendo eléctricamente
neutro. Por tanto, siendo A la sección de la unión pn, se deberá verificar
xn
−xp
ρAdx = 0,
y xn
ρdx = 0.
Ello implica
y
−xp
qNAxp = qNDxn
NAxp = NDxn. (2.1)
Para determinar la forma del perfil del campo eléctrico podemos empezar determinando el
valor que tendrá el campo eléctrico en la zona neutra p. Es éste un aspecto un tanto delicado
debido a la presencia de la densidad volúmica de carga ρ. Es posible razonar, sin embargo, que,
con mucha aproximación, el campo eléctrico será nulo en dicha zona. Para ello podemos invocar,
en primer lugar, el principio de superposición: el campo eléctrico en cada punto de la zona neutra
p será la suma de una componente, E+, debida a la carga positiva acumulada en la zona n de

22 2 Diodo de Unión y Circuitos
la región de vaciamiento, y una componente, E−, debida a la carga negativa acumulada en la
zona p de la región de vaciamiento. Ambas componentes se considerarán positivas en el sentido
creciente de la coordenada longitudinal x. Podemos determinar E+ en un punto de la zona neutra
p estratégicamente situado considerando un cilindro de sección dA centrado con respecto a las
dimensiones transversales de la unión pn y dispuesto simétricamente con respecto a dicha unión
(veáse la Figura 2.2), tal que los extremos del cilindro estén a unas distancias de la unión pn
mucho mayores quexn yxp, pero mucho menores que las dimensiones transversales de la unión
pn. Ello es posible si xn y xp son muy pequeñas en relación con las dimensiones transversales
de la unión pn, una hipótesis que suponemos. En esas condiciones, los extremos del cilindro
ven la carga positiva en la zona n de la región de vaciamiento aproximadamente como un plano
infinito con densidad superficial de carga uniforme, el campo eléctrico E+ será longitudinal y
simétrico, tal y como indica la figura, y de valor independiente de la distancia a la zona n de la
región de vaciamiento. Aplicando la ley de Gauss tomando como superficie de control el cilindro
mencionado, tendremos
y
−2E+dA = 1
xn
ρdAdx,
ε 0
E+ = − 1
xn
ρdx,
2ε 0
donde ε es la permitividad del silicio. La deducción del valor de la componente E− es en todo
similar, con la única diferencia de que la carga a considerar es la carga negativa en la zona p de
la región de vaciamiento. Se obtiene
E− = − 1
0
ρdx.
2ε −xp
El campo eléctrico en el extremo dentro de la zona neutra p del cilindro resultará valer
E = E+ +E− = − 1
2ε
xn
−xp
ρdx = 0.
Hemos pues demostrado que el campo eléctrico es nulo en un punto dentro de la zona neutra p.
La ley de Gauss diferencial establece dE/dx = ρ/ε y siendo ρ = 0 fuera de la región de vaciamiento,
el campo eléctrico será nulo en todo punto dentro de la zona neutra p. Su valor dentro de
la región de vaciamiento y en la zona neutra n puede, por tanto, ser establecido utilizando
E =
x
−xp
ρ
ε dx,
obteniéndose un perfil de campo eléctrico de la forma indicada en la Figura 2.1, con un valor
máximamente negativo −|E|max justo en la unión pn y con E = 0 en la zona neutra n debido a
xn
−xp ρ(x)dx = 0. Es fácil determinar el valor de |E|max en función deq, NA,xp y ε:
−|E|max =
0
−xp
0 ρ
dx = −
ε −xp
qNA
dx = −qNAxp ,
ε ε
|E|max = qNAxp
ε
. (2.2)

2.1 La unión pn en equilibrio 23
REGIÓN DE VACIAMIENTO
p NA
ND n
+ +
− − − +
− −
+ +
+ +
− −
+ +
− − −
dA
−
ZONA NEUTRA P
qND
ρ
+
+
− −
+ +
− −
+ +
ZONA NEUTRA N
−qNA
− E+ − E+
Figura 2.2: Cilindro de control para evaluar E+.
Utilizando (2.1), podemos encontrar la expresión alternativa para |E|max en función de q, ND,
xn yε
|E|max = qNDxn
ε
x
. (2.3)
Estamos ya en condiciones de justificar la aparición de una situación de equilibrio con las
características de la Figura 2.1. Dicha situación de equilibrio está caracterizada por la ausencia de
trasvase de portadores de carga libres dentro de la región de vaciamiento, haciendo los perfiles de
p ynestables. En realidad, en la región de vaciamiento no hay equilibrio entre generación térmica
y recombinación de portadores de carga libre. Dicho equilibrio está garantizado para p = ppo y
n = npo y para p = pno y n = nno, pero no para los pares de valores p,n en los puntos de
la región de vaciamiento. Sin embargo, la región de vaciamiento es muy estrecha y podemos
despreciar el efecto sobre los perfiles de p yndebidos a desequilibrios entre generación térmica
y recombinación. En esas condiciones, un perfil depestable exige que el flujo de huecos a través
de la región de vaciamiento sea constante. Como en la frontera de la región de vaciamiento con la
zona neutra p dicho flujo es nulo (en la zona neutra p no hay campo eléctrico y la concentración de
huecos es constante), el flujo de huecos en cada punto de la región de vaciamiento debe ser nulo.
De modo análogo se puede justificar que un perfil denestable exige que el flujo de electrones en
cada punto de la región de vaciamiento sea nulo. Veamos, cualitativamente, como se consiguen
flujos de huecos y de electrones nulos en la región de vaciamiento. El perfil de p en la región de
vaciamiento es tal que existe un flujo de huecos de la zona p a la zona n por difusión. Dicho flujo
es compensado punto a punto por un flujo de huecos por arrastre de la zona n a la zona p debido
al campo eléctrico negativo que existe en la región de vaciamiento. Con respecto a los electrones,
el perfil de n es tal que hay un flujo de electrones de la zona n a la zona p por difusión. Dicho
flujo es compensado punto a punto por un flujo de electrones de la zona p a la zona n por arrastre
debido al campo eléctrico negativo. Ello termina de justificar cualitativamente la estabilidad de
los perfiles de p ynen la región de vaciamiento.
El campo eléctrico en la región de vaciamiento crea una diferencia de potencial entre las

24 2 Diodo de Unión y Circuitos
zonas neutras p y n. Suponiendo convencionalmente que el potencial es 0 en la zona neutra p, el
perfil del potencial V puede ser determinado, usando E = −dV/dx, de la forma
V = −
x
−xp
Edx
y un perfil paraV tal y como el indicado en la Figura 2.1. Resulta, pues, un potencial positivo Vo
en la zona neutra n respecto de la zona neutra p. Dicho potencial recibe el nombre de potencial
de la unión en circuito abierto. En la siguiente sección evaluaremos Vo.
Para terminar esta sección relacionaremos |E|max, xp y xn con Vo. Usando V =
− x
Edx, obtenemos
−xp
xn
Vo = − Edx =
−xp
(xn +xp)|E|max
. (2.4)
2
Combinando (2.2) y (2.3), obtenemos
xn = NA
xp
ND
Substituyendo dicha expresión para xn en (2.4) se llega a
y utilizando (2.2)
se obtiene
que da
Vo = xp(1+NA/ND)|E|max
2
xp = ε|E|max
qNA
Vo = (1+NA/ND)ε
|E|
2qNA
2 max,
,
(2.5)
(2.6)
|E|max =
2qNA
(1+NA/ND)ε Vo, (2.7)
que es la expresión buscada para|E|max. Para obtener la expresión buscada paraxp, simplemente
combinamos la expresión anterior para |E|max con (2.6), obteniendo
2ε
xp =
qNA(1+NA/ND) Vo. (2.8)
Por último, para obtener la expresión buscada paraxn combinamos la expresión anterior paraxp
con (2.5), obteniendo
xn =
2ε
qND(1+ND/NA) Vo. (2.9)
2εNA
qN 2 D (1+NA/ND) Vo =
Todo lo anterior sigue siendo válido en el caso en el que el trozo de silicio p esté dopado con
ambos tipos de impurezas, siendo las aceptadoras dominantes, y el trozo de silicio n esté dopado
con ambos tipos de impurezas, siendo las donadoras dominantes. Para tener en cuenta ese caso
más general basta interpretar NA como dopaje aceptador efectivo e interpretar ND como dopaje
donador efectivo.

2.2 Ecuaciones de Boltzmann y valor deVo 25
2.2. Ecuaciones de Boltzmann y valor de Vo
Empezaremos deduciendo las ecuaciones de Boltzmann. Dichas ecuaciones relacionan los perfiles
de p y n con el perfil de potencial en la región de vaciamiento de la unión pn en circuito
abierto. Las ecuaciones se obtienen imponiendo que en la unión pn aislada, los flujos de huecos
y electrones son nulos en cada punto de la región de vaciamiento.
La ecuación de Boltzmann para los huecos relaciona el perfil de p con el perfil de potencial
y se obtiene imponiendo que la densidad de corriente de huecos en cada punto de la región de
vaciamiento sea nula. Supondremos la densidad de corriente de arrastre de huecos, Jap, y la
densidad de corriente de difusión de huecos, Jdp, positivas cuando van de la zona p a la zona n.
Se obtiene
Jap +Jdp = 0,
y, utilizando las expresiones de Jap y Jdp,
dp
qpµpE −qDp = 0.
dx
Despejando el campo eléctrico y utilizando la relación de Einstein Dp/µp = VT , se obtiene
E = Dp
µp
1 dp
pdx
= VT
p
dp
dx .
El campo eléctrico E está relacionado con el potencial V de la forma E = −dV/dx. Utilizando
dicha relación, se obtiene
− dV VT dp
=
dx p dx ,
Utilizando la regla de la cadena,
dV
dx
dV
dp
= −VT
p
dp
dx .
= −VT
p ,
e integrando entre puntos con coordenadas x1 yx2,
Dividiendo por VT ,
tomando exponenciales
V(x2)−V(x1) = −VT
p(x2)
p(x1)
dp
p
= −VT(ln(p(x2))−ln(p(x1)))
= VT(ln(p(x1))−ln(p(x2))) = VT ln
ln
p(x1)
=
p(x2)
V(x2)−V(x1)
,
VT
p(x1)
p(x2) = e(V(x2)−V(x1))/VT ,
p(x1)
.
p(x2)

26 2 Diodo de Unión y Circuitos
invirtiendo
p(x2)
p(x1) =
1
e (V(x2)−V(x1))/VT
y, por último, despejando p(x2),
que es la ecuación de Boltzmann para los huecos.
= e −(V (x2)−V(x1))/VT = e (V (x1)−V(x2))/VT ,
p(x2) = p(x1)e (V (x1)−V (x2))/VT , (2.10)
La ecuación de Boltzmann para electrones, que relaciona el perfil de n con el perfil del potencial
se obtiene de modo similar. Suponiendo la densidad de corriente de arrastre de electrones,
Jan, y la densidad de corriente de difusión de electrones, Jdn, positivas cuando van de la zona p
a la zona n, resulta
Jan +Jdn = 0,
V(x2)−V(x1) = VT
n(x2)
n(x1)
ln
dn
qnµnE +qDn = 0,
dx
E = − Dn
µn
− dV
dx
dV
dx
dV
dn
1 dn
ndx
= −VT
n
= VT
n
= −VT
n
dn
dx ,
dn
dx ,
= VT
n ,
dn
dx ,
dn
n = VT(ln(n(x2))−ln(n(x1)))
n(x2)
= VT ln ,
n(x1)
n(x2)
=
n(x1)
V(x2)−V(x1)
,
VT
n(x2)
n(x1) = e(V (x2)−V(x1))/VT ,
que es la ecuacion de Boltzmann para los electrones.
n(x2) = n(x1)e (V (x2)−V(x1))/VT , (2.11)
El potencial de la unión pn en circuito abierto, Vo, puede ser evaluado utilizando cualquiera
de las dos ecuaciones de Boltzmann. Utilizaremos la ecuación de Boltzmann para los huecos.
Con relación a la Figura 2.1, con x1 = −xp y x2 = xn, tenemos p(x1) = ppo = NA, p(x2) =
pno = n 2 i /ND yV(x1)−V(x2) = −Vo. Entonces, la ecuación de Boltzmann para huecos (2.10)
da
n 2 i
ND
n 2 i
NAND
= NAe −Vo/VT ,
= e −Vo/VT ,

2.3 El diodo de unión en circuito abierto, polarización directa y polarización inversa 27
metal
A
A
ánodo
+ +
− −
+ +
− −
−
−
+ +
− − −
+
+
+
K
cátodo
− −
+ +
− −
+ +
− −
+ +
metal
Figura 2.3: Estructura física y símbolo del diodo de unión.
n 2 i
NAND
= 1
e Vo/VT
e Vo/VT
NAND
=
n2 i
Vo NAND
= ln
VT n2 i
NAND
Vo = VT ln
2.3. El diodo de unión en circuito abierto, polarización directa y polarización
inversa
El diodo de unión es un dispositivo electrónico constituido físicamente por una unión pn con dos
contactos metálicos, uno con el trozo de semiconductor tipo p y otro con el trozo de semiconductor
tipo n. El terminal metálico conectado al semiconductor tipo p se denomina ánodo y se
representa con la letra A. El terminal metálico conectado al semiconductor tipo n se denomina
cátodo y se representa con la letra K. La Figura 2.3 representa la estructura física del diodo de
unión y el símbolo normalmente utilizado para representar el dispositivo.
Empezaremos analizando cualitativamente el dispositivo en circuito abierto. En las uniones
metal-semiconductor aparecen potenciales de contacto esencialmente por las mismas razones
por las que en una unión pn aparece un potencial. Al contrario de los semiconductores, los metales
tienen un sólo tipo de portadores de carga libres: electrones. Lo más importante es que las
concentraciones de electrones libres en los metales son muy superiores a las concentraciones de
electrones libres en los trozos semiconductores. Ello produce en las uniones metal-semiconductor
fenómenos similares a los que se producen en una unión pn, con el resultado de la aparición de
un potencial positivo en el metal respecto al semiconductor al que está unido detrás del cual hay
un campo eléctrico que frena la tendencia de los electrones libres del metal a difundirse hacia el
semiconductor. Un hecho importante, que deduciremos enseguida es que, con el diodo en circuito
abierto, el ánodo y el cátodo tienen el mismo potencial. La situación es ilustrada en la Figura 2.4.
La razón por la que, en circuito abierto, el ánodo y el cátodo de un diodo tienen que tener
el mismo potencial es termodinámica. Supongamos, por ejemplo, que el ánodo tuviera un po-
n 2 i
,
,
,
.
K

28 2 Diodo de Unión y Circuitos
A
+ +
− −
+ +
− −
−
−
+ +
− − −
+
+
+
− −
+ +
− −
+ +
− −
+ +
Figura 2.4: Perfil de potencial en un diodo en circuito abierto.
tencial superior al del cátodo. Conectando una resistencia de valor suficientemente grande entre
el ánodo y el cátodo, circularía una corriente muy pequeña por la resistencia del ánodo al cátodo
(la corriente es suficientemente pequeña como para no alterar el potencial de la unión pn
y los potenciales de contacto en las uniones metal-semiconductor). Suponiendo que el sistema
formado por el diodo y la resistencia estuviera perfectamente aislado térmicamente, habría un
calentamiento de la resistencia por efecto Joule y ésta adquiriría una temperatura superior a la
del diodo, que se enfriaría. Siendo TR y TD las temperaturas absolutas de, respectivamente, la
resistencia y el diodo, en un cierto instante, un trasvase dQ de calor del diodo a la resistencia
implicaría una variación de la entropía del sistema formado por el diodo y la resistencia de valor
dQ/TR − dQ/TD < 0 (TR > TD). Es decir, tendríamos un sistema aislado cuya entropía disminuiría
continuamente, lo cual contradice el segundo principio de la termodinámica que afirma
que la entropía de un sistema aislado tiende a aumentar. Un razonamiento similar demuestra que
el potencial del cátodo no puede ser superior al potencial del ánodo. Así pues, con el diodo en
circuito abierto, el ánodo y el cátodo han de tener el mismo potencial.
Los contactos metal-semiconductor tienen una propiedad importante: que los potenciales de
dichos contactos no son alterados por la circulación de una corriente a través de ellos. A unos
contactos con dicha propiedad se les denomina óhmicos. Teniendo en cuenta que los contactos
metal-semiconductor de un diodo son óhmicos, analizaremos cualitativamente el comportamiento
de un diodo en polarización directa y en polarización inversa.
Un diodo está polarizado directamente cuando el potencial del ánodo es superior al del
cátodo. Ello puede conseguirse conectando una fuente de tensión constante al diodo, con el terminal
positivo conectado al ánodo y el potencial negativo conectado al cátodo, tal y como indica
la Figura 2.5. Supondremos V ′ < Vo. No dependiendo los potenciales de los contactos metalsemiconductor
de una posible corriente que pueda circular por el diodo, tal y como indica la
Figura 2.5, deberá alcanzarse un nuevo equilibrio en los perfiles depynen la unión pn que haga
que el potencial de dicha unión seaVo−V ′ , es decir más pequeño en relación con el potencial de
la unión pn en circuito abierto exactamente por el potencial positivo ánodo-cátodo V ′ aplicado
al diodo. Aquí estamos suponiendo que en la unión pn sigue habiendo una distinción clara entre
región de vaciamiento y zonas neutras, estando éstas últimas caracterizadas por la ausencia de
campo eléctrico. Supondremos que la densidad volúmica de carga en la zona p de la región de
Vo
K

2.3 El diodo de unión en circuito abierto, polarización directa y polarización inversa 29
vaciamiento sigue valiendo −qNA y que la densidad volúmica de carga en la zona n de la región
de vaciamiento sigue valiendoqND. Entonces, el análisis realizado al final de la sección 2.1 sigue
siendo válido con la única diferencia que Vo ha de ser sustituido por Vo − V ′ . Las expresiones
para |E|max, xp yxn (2.7), (2.8) y (2.9), pasarán ahora a ser
y
2qNA
|E|max =
(1+NA/ND)ε (Vo −V ′ ),
xp =
xn =
2ε
qNA(1+NA/ND) (Vo −V ′ )
2ε
qND(1+ND/NA) (Vo −V ′ ).
Comparando dichas expresiones con (2.7), (2.8) y (2.9), observamos que |E|max, xp y xn se
reducirán. Siendo el perfil deE triangular, ello implicará una reducción punto a punto del campo
eléctrico en la región de vaciamiento dirigido de la zona n a la zona p y un estrechamiento de
la región de vaciamiento. Lo primero disminuye los flujos de huecos y electrones debidos al
arrastre; lo segundo aumenta los flujos de huecos y electrones debidos a la difusión. Entonces,
punto a punto, en la región de vaciamiento habrá un flujo de huecos debido a la difusión dirigido
de la zona p a la zona n mayor que el flujo de huecos debido al arrastre dirigido de la zona n a
la zona p y habrá un flujo neto de huecos dirigido de la zona p a la zona n. Con respecto a los
electrones, punto a punto, habrá un flujo de electrones debido a la difusión dirigido de la zona n
a la zona p mayor que el flujo de electrones debido al arrastre dirigido de la zona p a la zona n
y habrá un flujo neto de electrones dirigido de la zona n a la zona p. La región de vaciamiento
seguirá siendo muy estrecha y se podrá considerar que los flujos netos de huecos y electrones
dentro de la región de vaciamiento son constantes. En régimen estacionario, la corriente por el
dispositivo tendrá que ser igual en cada sección, pues de lo contrario habría acumulaciones de
carga y no tendríamos un régimen estacionario, y habrá una corriente I > 0 a través del diodo
dirigida del ánodo al cátodo. La situación es ilustrada en la Figura 2.5.
Un diodo está polarizado inversamente cuando el potencial del ćatodo es superior al del ánodo.
Ello puede conseguirse conectando una fuente de tensión constante al diodo, con el terminal
positivo conectado al cátodo y el potencial negativo conectado al ánodo, tal y como indica la
Figura 2.6. No dependiendo los potenciales de los contactos metal-semiconductor de una posible
corriente que pueda circular por el diodo, tal y como indica la Figura 2.6, deberá alcanzarse un
nuevo equilibrio en los perfiles de p y n en la unión pn que haga que el potencial de dicha unión
sea Vo +V ′ , es decir más grande en relación con el potencial de la unión pn en circuito abierto
exactamente por el potencial positivo cátodo-ánodo V aplicado al diodo. Seguimos suponiendo
que en la unión pn hay una distinción clara entre región de vaciamiento y zonas neutras, estando
éstas últimas caracterizadas por la ausencia de campo eléctrico. Como en el caso de polarización
directa, supondremos que la densidad volúmica de carga en la zona p de la región de vaciamiento
sigue valiendo −qNA y que la densidad volúmica de carga en la zona n de la región de vaciamiento
sigue valiendo qND. Entonces, el análisis realizado al final de la sección 2.1 sigue siendo
válido con la única diferencia que Vo ha de ser sustituido por Vo + V ′ . Las expresiones para

30 2 Diodo de Unión y Circuitos
A
V ′
arrastre huecos
I > 0
arrastre electrones
+ +
− −
+ +
− −
−
−
+ +
− − −
E
V ′ > 0
+
+
+
difusión electrones
− −
+ +
− −
+ +
− −
+ +
Vo −V ′
K
difusión huecos huecos
electrones
Figura 2.5: Perfil de potencial, variación del perfil de campo eléctrico, flujos de huecos y electrones
en la región de vaciamiento y corriente esperada en un diodo polarizado directamente.

2.4 Ecuación teórica del diodo y resistencia dinámica 31
|E|max, xp yxn (2.7), (2.8) y (2.9), pasarán ahora a ser
y
|E|max =
2qNA
(1+NA/ND)ε (Vo +V ′ ), (2.12)
xp =
xn =
2ε
qNA(1+NA/ND) (Vo +V ′ ), (2.13)
2ε
qND(1+ND/NA) (Vo +V ′ ). (2.14)
Comparando dichas expresiones con (2.7), (2.8) y (2.9), observamos que |E|max, xp y xn aumentarán.
Siendo el perfil de E triangular, ello implicará un aumento punto a punto del campo
eléctrico en la región de vaciamiento dirigido de la zona n a la zona p y un ensanchamiento de la
región de vaciamiento. Lo primero aumenta los flujos de huecos y electrones debidos al arrastre;
lo segundo disminuye los flujos de huecos y electrones debidos a la difusión. Entonces, punto a
punto, en la región de vaciamiento habrá un flujo de huecos debido al arrastre dirigido de la zona
n a la zona p mayor que el flujo de huecos debido a la difusión dirigido de la zona p a la zona n
y habrá un flujo neto de huecos dirigido de la zona n a la zona p. Con respecto a los electrones,
punto a punto, habrá un flujo de electrones debido al arrastre dirigido de la zona p a la zona n
mayor que el flujo de electrones debido a la difusión dirigido de la zona n a la zona p y habrá
un flujo neto de electrones dirigido de la zona p a la zona n. La región de vaciamiento seguirá
siendo muy estrecha y se podrá considerar que los flujos netos de huecos y electrones dentro de
la región de vaciamiento son constantes. En régimen estacionario, la corriente por el dispositivo
tendrá que ser igual en cada sección, pues de lo contrario habría acumulaciones de carga y no
tendríamos un régimen estacionario, y habrá una corriente I > 0 a través del diodo dirigida del
cátodo al ánodo. La situación es ilustrada en la Figura 2.6.
2.4. Ecuación teórica del diodo y resistencia dinámica
La ecuación teórica del diodo da el valor de la corrienteI de ánodo a cátodo del diodo en función
de la tensión ánodo-cátodo VAK del diodo y es
I = IS e VAK/VT
−1 ,
siendo IS la denominada corriente inversa de saturación del diodo, con valor
IS = Aqn 2 i
Dp
LpND
+ Dn
LnNA
, (2.15)
donde A es la sección del diodo, Dp es la constante de difusión de huecos en la zona neutra n,
Dn es la constante de difusión de electrones en la zona neutra p, Lp es la longitud de difusión
de huecos en la zona neutra n y Ln es la longitud de difusión de electrones en la zona neutra p.
Más adelante, al deducir la ecuación teórica del diodo, se obtendrán expresiones para Lp y Ln
en función de, respectivamente, Dp y la vida media de los huecos en la zona neutra n y Dn y

32 2 Diodo de Unión y Circuitos
A
arrastre huecos
arrastre electrones
+ +
− −
+ +
− −
V ′ > 0
−
−
+ +
− − −
E
+
+
+
difusión electrones
I > 0
− −
+ +
− −
+ +
− −
+ +
Vo +V ′
V ′
K
difusión huecos huecos
electrones
Figura 2.6: Perfil de potencial, variación del perfil de campo eléctrico, flujos de huecos y electrones
en la región de vaciamiento y corriente en un diodo polarizado inversamente

2.4 Ecuación teórica del diodo y resistencia dinámica 33
−VT
I
0,547 mA
0,7 V
−IS = −10 −15 A
Figura 2.7: Característica tensión-corriente de un diodo para IS = 10 −15 A yVT = 25,9 mV.
la vida media de los electrones en la zona neutra p. IS tiene un valor típicamente muy pequeño
y el fuerte crecimiento de ni con la temperatura hace que IS aumente con la temperatura. De
acuerdo con la discusión realizada en la sección anterior, la ecuación predice una corriente nula
para VAK = 0, una corriente I positiva para VAK > 0 y una corriente I negativa para VAK < 0.
Una tensión positiva del ánodo respecto del cátodo se denomina tensión directa y una tensión
positiva del cátodo respecto del ánodo se denomina tensión inversa. Una corriente de ánodo a
cátodo se denomina corriente directa y una corriente de cátodo a ánodo se denomina corriente
inversa. Teniendo VT un valor del orden de unas decenas de milivoltios, el término e VAK/VT
crece muy rápidamente con VAK para VAK > 0, enseguida se hace muy superior a 1, y la
corriente directa por el diodo crece rápidamente con la tensión directa del diodo y de forma muy
aproximadamente exponencial. Para tensiones inversas, el términoe VAK/VT se hace despreciable
frente a 1 para tensiones inversas del orden de unos pocos VT y la corriente inversa se hace muy
aproximadamente igual a IS para tensiones inversas de unos pocos VT . La Figura 2.7 ilustra la
característica tensión-corriente del diodo predicha por la ecuación teórica para un valor típico
IS = 10 −15 A y para VT = 25,9 mV (temperatura ambiente 300 K). Con ese valor para IS, la
corriente directa alcanza el valor 0,547 mA para una tensión directa igual a 0,7 V. La tensión
directa a partir de la cual hay un corriente directa significativa se denomina tensión umbral. En
el caso considerado 0,7 V.
La resistencia dinámica del diodo es definida como
rd = dVAK
dI =
Derivando la ecuación teórica del diodo, se obtiene
dI
dVAK
ParaVAK ≫ VT , se tiene I ≈ ISe VAK/VT y
1
.
dI/dVAK
= 1
ISe
VT
VAK/VT .
dI
dVAK
≈ I
VT
,
VAK

34 2 Diodo de Unión y Circuitos
A
x ′′
Bp
I
Bp
+ +
− −
+ +
− −
−
−
+ +
− − −
VAK
+
+
+
Bn
− −
+ +
− −
+ +
− −
+ +
Figura 2.8: Notación básica utilizada en la deducción de la ecuación teórica del diodo.
que implica
rd ≈ VT
I .
Así pues, con tensiones directas ≫ VT , la pendiente de la característica tensión-corriente del
diodo, que vale 1/rd, es aproximadamente proporcional a la corriente directa. Ello implica que
al aumentar la corriente directa la característica tensión-corriente se irá haciendo cada vez más
vertical.
2.5. Deducción de la ecuación teórica del diodo
Empezaremos introduciendo la notación básica que será utilizada en la deducción de la ecuación
teórica del diodo. Dicha notación es descrita en la Figura 2.8. Bp y Bn denotarán, respectivamente,
las anchuras de las zonas neutras p y n. x seguirá denotando la coordenada longitudinal
con origen en la unión y sentido positivo de la zona p a la zona n. x ′ denotará la coordenada
longitudinal con origen en la frontera de la zona neutra n con la región de vaciamiento y sentido
positivo al alejarnos de la región de vaciamiento. Por último, x ′′ denotará la coordenada longitudinal
con origen en la frontera de la zona neutra p con la región de vaciamiento y sentido positivo
al alejarnos de la región de vaciamiento.
2.5.1. Concentraciones de electrones libres en la zona neutra n y de huecos en la
zona neutra p
Sean pn(x ′ ) la concentración de huecos en la zona neutra n, nn(x ′ ) la concentración de electrones
libres en la zona neutra n, np(x ′′ ) la concentración de electrones libres en la zona neutra
p y pp(x ′′ ) la concentración de huecos en la zona neutra p. Para determinar nn(x ′ ) y pp(x ′′ )
utilizaremos la hipótesis “inyecciones a bajo nivel”. Dicha hipótesis significa pn(x ′ ) ≪ nno y
np(x ′′ ) ≪ ppo. Utilizándola demostraremos nn(x ′ ) ≈ nno y pp(x ′′ ) ≈ ppo, es decir, que la concentración
de electrones libres en la zona neutra n es aproximadamente igual a la concentración
Bn
x
K
x ′

2.5 Deducción de la ecuación teórica del diodo 35
de electrones libres, nno, en la zona n aislada y en equilibrio y que la concentración de huecos en
la zona neutra p es aproximadamente igual a la concentración de huecos,ppo, en la zona p aislada
y en equilibrio. La demostración exige considerar el campo eléctrico en las zonas neutras nulo.
Demostremos nn(x ′ ) ≈ nno. La ley de Gauss diferencial establece dE/dx ′ = ρ, donde ρ
es la densidad volúmica de carga. Siendo E = 0 en la zona neutra n, tendremos ρ(x ′ ) = 0. Pero
ρ(x ′ ) = q(pn(x ′ )−pno)−q(nn(x ′ )−nno), pues conp = pno yn = nno la densidad volúmica de
carga es nula (es el caso del semiconductor tipo n aislado y en equilibrio), cada hueco en exceso
crea una carga positiva q y cada electrón libre en exceso crea una carga negativa −q. Así pues,
ρ(x ′ ) = 0 implica
nn(x ′ )−nno = pn(x ′ )−pno. (2.16)
Pero pno ≪ nno y pn(x ′ ) ≪ nno implica |pn(x ′ ) − pno| ≪ nno, que, junto con (2.16) da
nn(x ′ ) ≈ nno. De modo similar, en la zona neutra p tendremos ρ(x ′′ ) = 0. Pero, ρ(x ′′ ) =
q(pp(x ′′ )−ppo)−q(np(x ′′ )−npo), y ρ(x ′′ ) = 0 implica
pp(x ′′ )−ppo = np(x ′′ )−npo. (2.17)
Pero npo ≪ ppo y np(x ′′ ) ≪ ppo implica |np(x ′′ ) − npo| ≪ ppo, que, junto con (2.17) da
pp(x ′′ ) ≈ ppo.
2.5.2. Leyes de la unión
Las leyes de la unión dan los valores de pn(0) y np(0) en función de VAK y se obtienen utilizando
pp(0) = ppo y nn(0) = nno y considerando que, en la región de vaciamiento, existe
una quasicancelación en casi todos los puntos entre difusión y arrastre tanto de electrones como
de huecos. La justificación de esto último es simplemente que el campo eléctrico en la región
de vaciamiento es en casi todos los puntos muy intenso, haciendo los flujos de arrastre tanto de
electrones como de huecos mucho mayores que los flujos netos de los respectivos portadores
de carga libre. Estando las ecuaciones de Boltzmann basadas en la cancelación exacta de ambas
componentes, podremos aplicar dichas ecuaciones a la situación que estamos ahora considerando.
Para los huecos, (2.10), con x1 la coordenada en la frontera de la región de vaciamiento con
la zona neutra p yx2 la coordenada en la frontera de la región de vaciamiento con la zona neutra
n, tendremos p(x1) = pp(0) = ppo,p(x2) = pn(0) yV(x1)−V(x2) = −(Vo −VAK), y
ConVAK = 0, pn(0) = pno y
Dividiendo ambas ecuaciones, obtenemos
pn(0)
y
que es la ley de la unión para los huecos.
pn(0) = ppoe −(Vo−VAK)/VT .
pno = ppoe −Vo/VT .
pno
= e VAK/VT
pn(0) = pnoe VAK/VT , (2.18)
La ley de la unión para los electrones se obtiene de modo similar. El resultado es
np(0) = npoe VAK/VT . (2.19)

36 2 Diodo de Unión y Circuitos
directa
e
Shockley-Read-Hall
(centros de recombinación)
Figura 2.9: Mecanismos de recombinación.
2.5.3. Tasas de recombinaciones netas en las zonas neutras
e
e
e
Auger
Hasta ahora el único mecanismo de recombinación que se ha considerado es la recombinación
directa, que consiste en la caída de un electrón de la banda de conducción a la banda de valencia.
También, solo se ha considerado un mecanismo de generación térmica, la generación térmica directa,
que consiste en la subida de un electrón de la banda de conducción a la banda de valencia.
En realidad, existen otros dos mecanismos de recombinación, con mecanismos de generación
térmica inversos asociados a ellos, que son o pueden ser importantes. Dichos mecanismos de
generación térmica son también favorecidos por la temperatura. El valor de la concentración
intrínseca ni, la ley de acción de masas y el hecho de que en un semiconductor extrínseco uniformemente
dopado, aislado y en equilibrio, la proporción de impurezas ionizadas aumente con
la temperatura absoluta no se ven modificados por la presencia de esos nuevos mecanismos.
La Figura 2.9 ilustra los tres mecanismos de recombinación. Para cada mecanismo daremos
la tasa de recombinación neta asociada al mecanismo, definida como la tasa a la que decrecen
las concentraciones tanto de huecos como de electrones libres debido al desiquilibrio entre la
recombinación y la generación térmica asociadas al mecanismo. También daremos la tasa de
recombinación asociada al mecanismo y la tasa de generación térmica asociada al mecanismo,
definida la primera como la tasa a la que decrecen las concentraciones tanto de huecos como
de electrones libres debido al mecanismo de recombinación, y la segunda como la tasa a la que
crecen las concentraciones tanto de huecos como de electrones libres debido al mecanismo de
generación térmica.
tipo
La tasa de recombinación neta asociada a la recombinación directa tiene una expresión del
A(np−nopo),
donde A es una constante, p es la concentración de huecos, n es la concentración de electrones
libres y po y no son, respectivamente, las concentraciones de huecos y electrones libres que
tendríamos en un semiconductor uniformemente dopado aislado y en equilibrio con el dopaje que
tenemos en el semiconductor considerado. La tasa de recombinación asociada a la recombinación
directa valeAnp. La tasa de generación térmica asociada a la recombinación directa valeAnopo.
La recombinación Shockley-Read-Hall es el mecanismo de recombinación dominante en el
silicio. En dicho mecanismo intervienen los llamados centros de recombinación: estados cuánticos
con niveles energéticos situados en la zona central de la banda prohibida introducidos por
e
e
h

2.5 Deducción de la ecuación teórica del diodo 37
imperfecciones de la red cristalina o por la presencia en la red de átomos distintos a los del semiconductor
y a las impurezas. En este mecanismo, la recombinación se produce en dos fases: en
la primera fase, un electrón baja de la banda de conducción a un centro de recombinación; en la
segunda fase, el electrón situado en el centro de recombinación baja a la banda de valencia. La
tasa de recombinación neta asociada al mecanismo tiene una expresión del tipo
np−nopo
Bp(p+p1)+Bn(n+n1) ,
dondeBp yBn son constantes yp1 yn1 dependen de las características de los centros de recombinación.
La tasa de recombinación asociada a la recombinación Shockley-Read-Hall vale
np
Bp(p+p1)+Bn(n+n1) .
La tasa de generación térmica asociada a la recombinación Shockley-Read-Hall vale
nopo
Bp(p+p1)+Bn(n+n1) .
La recombinación Auger es importante cuando el silicio está fuertemente dopado. En una
versión, un electrón baja de la banda de conducción a la de valencia cediendo la energía que
pierde a otro electrón de la banda de conducción que sube a un estado cuántico con energía
superior. En la segunda versión, un electrón baja de la banda de conducción a la de valencia
cediendo la energía que pierde a un hueco que baja a un nivel con energía inferior. Para entender
esto hay que tener en cuenta que la energía cinética de un hueco es la diferencia entre la energía
superior de la banda de valencia y la energía en la que se encuentra el hueco, por lo que un hueco
en un nivel energético inferior de la banda de valencia tiene una energía superior que un hueco
en un nivel energético superior de la banda de valencia. La tasa de recombinación neta asociada
al mecanismo tiene una expresión del tipo
Cn(n 2 p−n 2 opo)+Cp(p 2 n−p 2 ono),
donde Cp y Cn son constantes. La tasa de recombinación asociada a la recombinación Auger
vale
Cnn 2 p+Cpp 2 n.
La tasa de generación térmica asociada a la recombinación Auger vale
Cnn 2 o po +Cpp 2 o no.
Con inyecciones a bajo nivel, las tasas de recombinación netas, las tasas de recombinación
y las tasas de generación térmica asociadas a cada uno de los tres mecanismos anteriores en las
zonas neutras del diodo adoptan expresiones simplificadas. Consideremos, por ejemplo, las tasas
de recombinación neta en la zona neutra n. En ese caso, tenemos pn ≪ nn ≈ nno y las tasas
de recombinación netas de cada uno de los tres mecanismos discutidos anteriormente adoptan
expresiones
≈ A(nnopn −nnopno) = pn −pno
τpD
,

38 2 Diodo de Unión y Circuitos
y
≈
nnopn −nnopno
Bp(pn +p1)+Bn(nno +n1) ≈ nnopn −nnopno
Bn(nno +n1) = pn −pno
τpS
≈ Cn(n 2 no pn −n 2 no pno)+Cp(p 2 n nno −p 2 no nno) ≈ Cn(n 2 no pn −n 2 no pno) = pn −pno
donde τpD, τpS y τpA son denominadas vidas medias de los huecos para cada uno de los tres
mecanismos. En la simplificación de la tasa de recombinación neta asociada al mecanismo
Shockley-Read-Hall se ha utilizado el hecho de que, con pn ≪ nno, Bp(pn + p1) es despreciable
frente a Bn(nno +n1). En la simplificación de la tasa de recombinación neta asociada al
mecanismo Auger se ha utilizado el hecho de que, con pn ≪ nno, Cp(p 2 nnno −p 2 nonno) es despreciable
frente aCn(n 2 nopn−n 2 nopno). Las tasas de recombinación en la zona neutra n asociadas
a los mecanismos adoptan las expresiones simplificadas
y
pn
τpD
pn
τpS
pn
τpA
Las tasas de generación térmica en la zona neutra n asociadas a los mecanismos adoptan las
expresiones simplificadas
pno
,
y
τpD
pno
τpS
pno
τpA
De modo similar, se puede argumentar que, en condiciones de inyección a bajo nivel, en
la zona neutra p, las tasas de recombinación netas asociadas a los mecanimos recombinación
directa, Shockley-Read-Hall y Auger adoptan expresiones simplificadas
y
,
.
.
np −npo
τnD
np −npo
τnS
np −npo
τnA
donde τnD, τnS y τnA son denominadas vidas medias de los electrones para cada uno de los
tres mecanismos, las tasas de recombinación asociadas a los mecanismos recombinación directa,
Shockely-Read-Hall y Auger adoptan expresiones simplificadas
np
τnD
,
,
,
τpA
,

2.5 Deducción de la ecuación teórica del diodo 39
y
np
τnS
np
τnA
y las tasas de generación térmica asociadas a los mecanismos recombinación directa, Shockley-
Read-Hall y Auger adoptan expresiones simplificadas
y
npo
τnD
npo
τnS
npo
τnA
Con inyecciones a bajo nivel, la tasa de recombinación neta en la zona neutra n tendrá una
expresión aproximada de la forma
donde
τp =
,
,
.
pn −pno
1
τpD
τp
1
,
+ 1
+
τpS
1
τpA
es la vida media de los huecos en la zona neutra n. Cuando nos fijemos en la tasa a la que decrece
la concentración de huecos debido al desequilibrio entre recombinación y generación térmica,
hablaremos de tasa de recombinación neta de huecos. De modo análogo, con inyecciones a bajo
nivel, la tasa de recombinación neta en la zona neutra p tendrá una expresión aproximada de la
forma
np −npo
,
τn
donde
1
τn =
1
+
τnD
1
+
τnS
1
τnA
es la vida media de los electrones en la zona neutra p, y cuando nos fijemos en la tasa a la
que decrece la concentración de electrones libres debido al desiquilibrio entre recombinación y
generación térmica, hablaremos de tasa de recombinación neta de electrones.
2.5.4. Forma cualitativa de los perfiles pn(x ′ ) y np(x ′′ )
La Figura 2.10 muestra la forma cualitativa que han de tener los perfiles pn(x ′ ) y np(x ′′ ) para
el diodo polarizado directamente, suponiendo inyecciones a bajo nivel. También se muestran
los perfiles nn(x ′ ) y pp(x ′′ ). La ruptura de los ejes verticales ilustra que nn(x ′ ) ≫ pn(x ′ ) y
pp(x ′′ ) ≫ np(x ′′ ). Empezaremos discutiendo el perfil pn(x ′ ). En la sección 2.3 se razonó que
con polarización directa hay un flujo de huecos a través de la región de vaciamiento de la zona

40 2 Diodo de Unión y Circuitos
x ′′ Bp
pp(x ′′ ) ≈ ppo
np(x ′′ )
huecos
electrones
npo
pno
nn(x ′ ) ≈ nno
pn(x ′ )
Bn x′
Figura 2.10: Perfilespn(x ′ ),nn(x ′ ),np(x ′′ ) ypp(x ′′ ) para el caso diodo polarizado directamente.
neutra p a la zona neutra n. Por la ley de la unión para huecos, pn(0) será mayor que pno. Se
está suponiendo el campo eléctrico nulo en la zona neutra n. En esas circunstancias, el flujo
de huecos en la zona neutra n estará debido exclusivamente a la difusión y como para x ′ =
0 ha de estar dirigido en el sentido creciente de x ′ , pn(x ′ ) habrá de tener pendiente negativa.
Siendo pn(x ′ ) > pno habrá una tasa de recombinación neta de huecos positiva y el flujo tendrá
que disminuir a medida que aumenta x ′ , implicando que la pendiente de pn(x ′ ) se haga más
suave. Intuitivamente, paraBp suficientemente grande, pn(x ′ ) deberá tender apno con pendiente
cada vez más suave pues la perturbación producida en pn(x ′ ) con respecto a la situación diodo
en circuito abierto por la inyección de huecos desde la región de vaciamiento deberá tender a
atenuarse. Este es un punto que nos creemos. La forma cualitativa del perfil np(x ′ ) para Bp
suficientemente grande se puede discutir de forma similar.
La Figura 2.11 muestra la forma cualitativa que han de tener los perfiles pn(x ′ ) y np(x ′′ )
para el diodo polarizado inversamente. En este caso, tal y como se discutió en la sección 2.3, el
flujo de huecos a través de la región de vaciamiento va dirigido de la zona neutra n a la zona
neutra p. Por la ley de la unión para huecos, pn(0) será menor que pno. Con el campo eléctrico
en la zona neutra n nulo, el flujo de huecos en la zona neutra n estará debido exclusivamente a la
difusión y como para x ′ = 0 deberá estar dirigido en sentido decreciente de x ′ , pn(x ′ ) habrá de
tener pendiente positiva. Siendo pn(x ′ ) < pno habrá una tasa de recombinación neta de huecos
negativa y el flujo tendrá que disminuir a medida que aumenta x ′ , implicando que la pendiente
de pn(x ′ ) se haga más suave. De nuevo, intuitivamente, para Bp suficientemente grande, pn(x ′ )
deberá tender a pno con pendiente cada vez más suave pues la perturbación producida en pn(x ′ )
con respecto a la situación diodo en circuito abierto por la inyección negativa de huecos desde la
región de vaciamiento deberá tender a atenuarse. De nuevo, este es un punto que nos creemos.
La forma cualitativa del perfil np(x ′′ ) paraBp suficientemente grande se puede discutir de modo
similar. En la Figura 2.11 se supone que la tensión inversa aplicada al diodo es ≫ VT , de modo
que tanto pn(0) como np(0) son despreciables frente a, respectivamente, pno ynpo.

2.5 Deducción de la ecuación teórica del diodo 41
x ′′ Bp
pp(x ′′ ) ≈ ppo
np(x ′′ )
huecos
electrones
npo
pno
nn(x ′ ) ≈ nno
pn(x ′ )
Bn x′
Figura 2.11: Perfilespn(x ′ ),nn(x ′ ),np(x ′′ ) ypp(x ′′ ) para el caso diodo polarizado inversamente.
2.5.5. Ecuaciones de la continuidad para portadores minoritarios en las zonas
neutras
En este apartado deduciremos las ecuaciones de la continuidad de portadores minoritarios en las
zonas neutras del diodo. Con inyecciones a bajo nivel, los portadores minoritarios son huecos en
la zona neutra n y electrones libres en la zona neutra p. Las ecuaciones relacionan el perfil de
concentración del tipo de portadores considerado con la variación temporal de la concentración
de dichos portadores y la variación espacial de la densidad de corriente de dichos portadores.
Dado que se supone nulo el campo eléctrico en las zonas neutras, dichas densidades de corriente
serán densidades de corriente de difusión. Dichas ecuaciones serán utilizadas en el apartado
siguiente para determinar los perfiles depn(x ′ ) y denp(x ′′ ).
Empezaremos deduciendo la ecuación de la continuidad para huecos en la zona neutra n.
Para simplificar, sustituiremos la coordenada x ′ por la coordenada x. Sea pn(x,t) la concentración
de huecos en el instante t en la coordenada x. pn(x,t) puede variar debido a dos causas:
recombinación neta y existencia de variaciones espaciales en la densidad de corriente de difusión
de huecos,Jdpn, que se considerará positiva cuando vaya en el sentido creciente de la coordenada
longitudinal x (x ′ ). La primera causa introduce un término−(pn(x,t)−pno)/τp en∂pn/∂t. Para
calcular el término que introduce la segunda causa consideraremos un paralepípedo de sección infinitesimaldA
y longitud infinitesimaldx cuya cara de la izquierda está situada en la coordenada
x (véase Figura 2.12). Siendodx infinitesimal, la densidad de corriente de difusión de huecos en
la cara de la derecha valdrá, salvo términos de orden superior endx,Jdpn(x,t)+(∂Jdpn/∂x)dx.
Dado que la densidad de corriente es la carga que atraviesa una superficie normal por unidad de
tiempo y por unidad de superficie, en el paralepípedo habrá una tasa de pérdida de carga debido
a la variación con x deJdpn de valor
Jdpn(x,t)+ ∂Jdpn
∂x dx
dA−Jdpn(x,t)dA = ∂Jdpn
∂x dxdA.
Dado que cada hueco tiene una carga q, ello producirá una tasa de pérdida de huecos en el
paralepípedo de valor
1 ∂Jdpn
q ∂x dxdA.

42 2 Diodo de Unión y Circuitos
Jdpn(x, t)
dx
dA
Jdpn(x, t) + ∂Jdpn
∂x dx
Figura 2.12: Paralepípedo usado en la deducción de la ecuación de continuidad para huecos en
la zona neutra n.
Por tanto, la tasa de decremento depdebido a la variación espacial deJdpn será
1
q
∂Jdpn
∂x dxdA
=
dxdA
1 ∂Jdpn
q ∂x ,
y la ecuación de la continuidad para huecos en la zona neutra n será
∂pn
∂t
∂pn
∂t
= −pn(x,t)−pno
τp
= pno
τp
− pn(x,t)
τp
− 1
q
− 1
q
∂Jdpn
∂x ,
∂Jdpn
∂x
. (2.20)
La ecuación de la continuidad para electrones en la zona neutra p se puede deducir de
modo similar. Para simplificar, sustituiremos la coordenada x ′′ por la coordenada x. La densidad
de corriente de difusión de electrones, Jdnp, se considerará positiva cuando vaya dirigida en el
sentido creciente de la coordenada longitudinal x (x ′′ ). En este caso, el término en la variación
temporal denp debido a la variación espacial deJdnp tiene signo distinto (positivo) debido a que
los electrones libres tienen una carga negativa −q. La ecuación de la continuidad de electrones
en la zona neutra p resultará ser
∂np
∂t
= npo
τn
− np(x,t)
τn
2.5.6. Deducción de los perfiles pn(x ′ ) y np(x ′′ )
+ 1
q
∂Jdnp
∂x
. (2.21)
Utilizaremos las leyes de la unión (2.18) y (2.19) y las ecuaciones de la continuidad (2.20) y
(2.21) deducidas en la subsección anterior. También supondremos que las longitudes Bp yBn de
las zonas neutras son suficientemente grandes, deduciendo que significa “suficientemente grandes”
con precisión.
Empezaremos determinando el perfil pn(x ′ ). La ecuación de la continuidad para huecos en
la zona neutra n (2.20) se traduce en régimen estacionario en la ecuación diferencial
0 = pno
τp
− pn(x ′ )
τp
− 1
q
dJdpn
dx ′

2.5 Deducción de la ecuación teórica del diodo 43
y utilizando Jdpn(x ′ ) = −qDpdpn/dx ′ , obtenemos la ecuación diferencial en pn(x ′ )
que puede ser reescrita de la forma
0 = pno
τp
− pn(x ′ )
τp
+Dp
d2pn ,
dx ′2
d2pn 1
=
dx ′2 L2(pn(x p
′ )−pno),
donde Lp = Dpτp es la denominada longitud de difusión de los huecos en la zona neutra n.
Siendo pno independiente de x ′ , tenemos la ecuación diferencial en pn(x ′ )−pno
d 2 (pn −pno)
dx ′2
cuya solución genérica tiene la forma
= 1
L2(pn(x p
′ )−pno),
pn(x ′ )−pno = K1e −x′ /Lp +K2e x′ /Lp .
Para Bn ≫ Lp, el segundo término ha de ser nulo con mucha precisión, pues de lo contrario, el
perfil pn(x ′ ) no tendría las forma indicadas en las Figuras 2.10 y 2.11. Así pues, Bn suficientemente
grande significa Bn ≫ Lp, y, en esas condiciones, tendremos
pn(x ′ ) = pno +K1e −x′ /Lp . (2.22)
La constante K1 puede ser determinada utilizando la ley de la unión para huecos (2.18). Se
obtiene
pn(0) = pno +K1,
que sustituido en (2.22) da
pnoe VAK/VT = pno +K1,
e VAK/VT
−1 ,
K1 = pno
pn(x ′ ) = pno +pno
e VAK/VT
−1 e −x′ /Lp . (2.23)
La determinación del perfil de np(x ′′ ) es paralela. La ecuación de la continuidad para electrones
en la zona neutra p (2.21) se traduce en régimen estacionario en la ecuación diferencial
0 = npo
τn
− np(x ′′ )
τn
+ 1
q
dJdnp
dx ′′
y utilizando Jdnp(x ′′ ) = qDndnp/dx ′′ , obtenemos la ecuación diferencial en np(x ′′ )
que puede ser reescrita de la forma
0 = npo
τn
− np(x ′′ )
τn
+Dn
d 2 np
,
dx ′′2
d2np 1
=
dx ′′2 L2(np(x n
′′ )−npo),

44 2 Diodo de Unión y Circuitos
donde Ln = √ Dnτn es la denominada longitud de difusión de los electrones en la zona neutra
p. Siendo npo independiente dex ′′ , tenemos la ecuación diferencial ennp(x ′′ )−npo
cuya solución tiene la forma
d2 (np −npo)
dx ′′2 = 1
L2(np(x n
′′ )−npo),
np(x ′′ )−npo = K1e −x′′ /Ln +K2e x′′ /Ln .
De modo similar a como se hizo al deducir el perfil de pn(x ′ ), se puede argumentar que para
Bp ≫ Ln, el segundo término deberá ser despreciable. Así pues, Bp suficientemente grande
significa Bp ≫ Ln, y, en ese caso, tendremos
np(x ′′ ) = npo +K1e −x′′ /Ln . (2.24)
La constante K1 puede ser determinada utilizando la ley de la unión para electrones (2.19). Se
obtiene
np(0) = npo +K1,
que sustituido en (2.24) da
2.5.7. Deducción deI
npoe VAK/VT = npo +K1,
e VAK/VT
−1 ,
K1 = npo
np(x ′′ ) = npo +npo
e VAK/VT
−1 e −x′′ /Ln . (2.25)
En esta subsección, Ip e In denotarán, respectivamente, las corrientes de huecos y de electrones
en la región de vaciamiento, que, de acuerdo con la discusión realizada en la Sección 2.3, se
considerarán constantes; Idpn denotará la corriente de difusión de huecos en la zona neutra n, e
Idnp denotará la corriente de difusión de electrones en la zona neutra p. Los sentidos en los que
dichas corrientes se considerarán positivas están indicados en la Figura 2.13. Para Idpn e Idnp,
dichos sentidos coinciden con los de las respectivas densidades de corriente de difusión. Como
la corriente total a través de cualquier sección del diodo ha de ser igual, tendremos
I = Ip +In. (2.26)
Además, no pudiendo variar la corriente de huecos al cruzar la frontera entre la región de vaciamiento
y la zona neutra n y estándose suponiendo el campo eléctrico nulo en esa zona, deberemos
tener
Ip = Idpn(0). (2.27)
De modo similar, dado que la corriente de electrones no puede variar al cruzar la frontera entre la
región de vaciamiento y la zona neutra p y que el campo eléctrico en esa zona se considera nulo,
deberemos tener
In = −Idnp(0). (2.28)

2.5 Deducción de la ecuación teórica del diodo 45
+ +
− −
+ +
− −
A − − − + + + K
+ +
− − −
Idnp
I VAK
−
Ip
In
+
+
− −
+ +
− −
+ +
Figura 2.13: Sentidos en los que se consideran positivas las corrientes en la región de vaciamiento
y las corrientes de difusión de minoritarios en las zonas neutras.
Las corrientes de difusión de portadores minoritarios en las zonas neutras pueden ser evaluadas
a partir de los perfiles pn(x ′ ) y np(x ′′ ). Utilizando (2.23), la densidad de corriente de
difusión de huecos en la zona neutra n valdrá
Jdpn(x ′ ) = −qDp
y, utilizando pno = n 2 i /ND,
dpn qDppno
=
dx ′
Lp
Jdpn(x ′ ) = qDpn 2 i
LpND
Idpn
e VAK/VT
−1 e −x′ /Lp ,
e VAK/VT
−1 e −x′ /Lp .
SiendoAla sección del diodo, la corriente de difusión de huecos en la zona neutra n resulta valer
Idpn(x ′ ) = AJdpn(x ′ ) = AqDpn 2 i
LpND
e VAK/VT
−1 e −x′ /Lp . (2.29)
Utilizando (2.25), la densidad de corriente de difusión de electrones en la zona neutra p valdrá
Jdnp(x ′′ ) = qDn
y, utilizando npo = n 2 i /NA,
dnp
= −qDnnpo
dx ′′ Ln
Jdnp(x ′′ ) = − qDnn 2 i
LnNA
e VAK/VT
−1 e −x′′ /Ln ,
e VAK/VT
−1 e −x′′ /Ln .
La corriente de difusión de electrones en la zona neutra p resulta, por tanto, valer
Idnp(x ′′ ) = AJdnp(x ′′ ) = − AqDnn 2 i
LnNA
Utilizando (2.27) y (2.29), obtenemos
Ip = AqDpn 2 i
LpND
e VAK/VT
−1 e −x′′ /Ln . (2.30)
e VAK/VT
−1 .

46 2 Diodo de Unión y Circuitos
Utilizando (2.28) y (2.30), obtenemos
Finalmente, utilizando (2.26),
I = Aqn 2 i
In = AqDnn 2 i
LnNA
Dp
LpND
que es la expresión de I en función deVAK buscada.
2.6. Flujos de portadores de carga
e VAK/VT
−1 .
+ Dn
e
LnNA
VAK/VT
−1 ,
En esta sección analizaremos cualitativamente el comportamiento individual de los portadores de
carga libres, huecos y electrones, en la región de vaciamiento. Para ello hay que tener en cuenta
que la anchura de la región de vaciamiento es típicamente significativamente inferior a la distancia
media entre choques tanto para los huecos como para los electrones. Así pues, en primera
aproximación, supondremos que los portadores de carga libres no chocan en su tránsito por la
región de vaciamiento. Eso es una aproximación bastante válida que se toma para simplificar el
análisis.
La Figura 2.14 ilustra el comportamiento con VAK = 0. En ese caso, sabemos que no hay
inyección neta de portadores de carga libres a través de la región de vaciamiento. En realidad,
sin embargo, si nos fijamos en los huecos, hay un equilibrio entre trasvase de huecos de la zona
neutra p a la zona neutra n y trasvase de huecos de la zona neutra n a la zona neutra p, dando un
flujo total nulo. Los huecos son mucho más abundantes en la zona neutra p que en la zona neutra
n (ppo ≫ pno), pero en su movimiento de la zona neutra p a la zona neutra n son frenados por
un campo eléctrico opuesto y solo una muy pequeña proporción de la gran cantidad de huecos
que entran en la región de vaciamiento consigue llegar a la zona neutra n. El resto regresa a la
zona neutra p. En cambio, el campo eléctrico acelera los pocos huecos de la zona neutra n que se
adentran en la región de vaciamiento y todos ellos llegan a la zona neutra n. Con los electrones
libres pasa algo similar. Los electrones libres son mucho más abundantes en la zona neutra n que
en la zona neutra p (nno ≫ npo). Como los electrones tienen carga negativa, el campo eléctrico
frena el trasvase hacia la zona neutra p de los abundantes electrones de la zona neutra n que se
adentran en la región de vaciamiento, haciendo que solo una proporción muy pequeña de ellos
llegue a la zona neutra p. El resto regresa a la zona neutra n. Ese pequeño flujo es equilibrado
por el producido por los escasos electrones libres que se adentran en la región de vaciamiento
procedentes de la zona neutra p y son acelerados hacia la zona neutra n por el campo eléctrico y
llegan a esa zona.
La Figura 2.15 ilustra el comportamiento con polarización directa (VAK > 0). La polarización
directa estrecha la región de vaciamiento y reduce el valor del campo eléctrico en ella. Con
respecto a los huecos, ello aumenta significativamente la proporción de huecos que penetrando
en la región de vaciamiento desde la zona neutra p consiguen llegar a la zona neutra n. El flujo de
huecos procedentes de la zona neutra n que son arrastrados a través de la región de vaciamiento
también aumenta, pues con VAK > 0, pn(x ′ ) > pno de modo significativo en las proximidades

2.6 Flujos de portadores de carga 47
VAK = 0
+
+
+
+
+
−
−
Figura 2.14: Comportamiento de los portadores de carga libres en la región de vaciamiento con
VAK = 0.
E
+
+
−
−
−
−
−

48 2 Diodo de Unión y Circuitos
VAK > 0
+
+
+
+
+
−
−
−
Figura 2.15: Comportamiento de los portadores de carga libres en la región de vaciamiento con
VAK > 0.
E
de la región del vaciamiento (véase Figura 2.10), pero el aumento del primer flujo es mucho
más importante y el resultado es un flujo neto de huecos de la zona neutra p a la zona neutra n
que crece rápidamente conVAK. Algo similar ocurre con los electrones libres. El estrechamiento
de la región de vaciamiento y la reducción del campo eléctrico aumenta significativamente la
proporción de electrones libres que penetrando en la región de vaciamiento desde la zona neutra
n consiguen llegar a la zona neutra p. Debido a que en la zona neutra p en las proximidades
de la región de vaciamiento np(x ′′ ) > npo, la polarización directa también aumenta el flujo de
electrones libres que entran en la región de vaciamiento desde la zona neutra p y son arrastrados
por el campo eléctrico a la zona neutra n, pero ese aumento es muy inferior al anterior y el
efecto neto es un flujo neto de electrones libres de la zona neutra n a la zona neutra p que crece
rápidamente con VAK. Todo lo explicado es consistente con la ecuación teórica del diodo I =
IS(e VAK/VT − 1) que predice un aumento exponencial con VAK de la corriente directa para
VAK ≫ VT .
Queda por discutir el caso polarización inversa (VAK < 0). Dicho caso es ilustrado en la
Figura 2.16. En ese caso la región de vaciamiento se ensancha y el campo eléctrico dentro de
ella aumenta. Con respecto a los huecos, ello hace despreciable la proporción de huecos que
procedentes de la zona neutra p consiguen llegar a la zona neutra n. Con respecto al casoVAK =
0 también se reduce el flujo de huecos que penetrando en la región de vaciamiento desde la
zona n llegan a la zona p arrastrados por el campo eléctrico. La razón es que con VAK < 0,
pn(x ′ ) < pno de modo significativo en las proximidades de la región de vaciamiento (véase
+
+
+
−
−
−
−
−

2.7 Desviaciones del diodo real y diodos Zener 49
VAK < 0
+
+
+
+
+
−
Figura 2.16: Comportamiento de los portadores de carga libres en la región de vaciamiento con
VAK < 0.
E
Figura 2.11), pero la reducción del primer flujo es tan fuerte, que el efecto neto es un pequeño
flujo de huecos de la zona neutra n a la zona neutra p. Además para |VAK| ≫ VT ese flujo neto
es prácticamente independiente de VAK, pues el perfil pn(x ′ ) es prácticamente independiente
de VAK (véase Figura 2.11). Algo análogo ocurre con los flujos de electrones. El flujo de la
zona neutra n a la zona neutra p se hace prácticamente nulo. El flujo de la zona neutra p a
la zona neutra n se ve también disminuido pues np(x ′′ ) < npo de modo significativo en las
proximidades de la región de vaciamiento, pero la reducción del primer flujo es tan fuerte, que
el efecto neto es un pequeño flujo de electrones de la zona neutra p a la zona neutra n. Además
para |VAK| ≫ VT dicho flujo es prácticamente independiente de VAK, pues el perfil np(x ′′ )
es prácticamente independiente de VAK. De nuevo, lo explicado es consistente con la ecuación
teórica del diodo I = IS(e VAK/VT − 1) que para VAK < 0 y |VAK| ≫ VT predice una muy
pequeña corriente inversa de valor IS independiente deVAK.
2.7. Desviaciones del diodo real y diodos Zener
Los diodos de unión reales presentan un comportamiento en continua con desviaciones con respecto
a la ecuación teórica
I = IS e VAK/VT
−1 .
+
−
−
−
−
−

50 2 Diodo de Unión y Circuitos
−VZ
I
Figura 2.17: Característica tensión-corriente de un diodo real indicando la tensión de ruptura VZ.
A
K
VAK
Figura 2.18: Símbolo de un diodo Zener.
Hay fundamentalmente tres tipos de desviaciones. La primera de ellas consiste en que para algunos
diodos el comportamiento real con polarización directa se ajusta mejor introduciendo un
factor corrector η con un valor típicamente comprendido entre 1 y 2, de modo que la ecuación
corregida pase a ser
I = IS
e VAK/(ηVT)
−1 .
La segunda desviación es que con polarización inversa las corrientes inversas, aun siendo muy
pequeñas, son típicamente varios órdenes de magnitud superiores a IS. Por ejemplo, para un
diodo con IS = 10 −15 A, las corrientes inversas reales pueden ser del orden de 10 −9 A. Esas
corrientes inversas muy superiores están justificadas por fugas superficiales de portadores de
carga. La tercera desviación importante es la ruptura de la unión. Al aumentar la tensión inversa
aplicada al diodo, éste empieza a conducir corrientes inversas importantes a partir de una cierta
tensión inversa VZ denominada tensión de ruptura. La característica tensión-corriente del diodo
pasa a tener la forma ilustrada en la Figura 2.17.
La ruptura está presente en todos los diodos. Normalmente se desea que VZ sea elevada de
modo que en los circuitos en los que se use el diodo éste no trabaje nunca en ruptura. Existen,
sin embargo, diodos especiales denominados diodos Zener fabricados de modo que VZ tenga un
valor pequeño y controlado, por ejemplo, 4,7 V. Dichos diodos se representan con el símbolo
indicado en la Figura 2.18 y se utilizan en algunos circuitos, por ejemplo, reguladores de tensión.
La ruptura se puede producir por dos mecanismos. Ambos mecanismos se pueden argumentar
utilizando el hecho de que el campo eléctrico en la región de vaciamiento aumenta punto a
punto con la tensión inversaV.Ello es una consecuencia de la forma triangular del campo eléctrico
y del aumento de su valor máximo,|E|max, y de las penetraciones de la región de vaciamiento
en las zonas neutras p y n, xp,xn, con V (2.12), (2.13), (2.14).
El primer mecanismo es el efecto avalancha. Cuando un electrón libre choca con una impureza
ionizada, la energía cinética que tenía puede ser invertida en hacer saltar un electrón de la
banda de valencia a la banda de conducción, creándose un par electrón libre-hueco. Para que ello
suceda la energía cinética del portador de carga libre que choca debe ser superior a la anchura
de la banda prohibida. Dicha energía cinética crece con el valor del campo eléctrico en la zona
por donde se mueve el portador de carga libre. Si el campo eléctrico es suficientemente intenso,

2.7 Desviaciones del diodo real y diodos Zener 51
e libre
hueco
+4
+4
+5
+4
hueco
e libre
+4
Figura 2.19: Efecto avalancha.
e libre
+4
+4
+4
+4
e
hueco
+4
Figura 2.20: Efecto Zener.
la probabilidad de que un portador libre de carga al chocar cree un par electrón libre-hueco es
elevada. Los dos nuevos portadores libres de carga, a su vez pueden chocar y crear nuevos pares,
produciéndose, si el campo eléctrico es suficientemente intenso, una avalancha de portadores de
carga libres. Los portadores de carga libres adicionales creados en la región de vaciamiento son
arrastrado por el campo eléctrico que hay en esa región: los electrones libres hacia la zona neutra
n y los huecos hacia la zona neutra p, y aparece una fuerte corriente inversa a través del diodo.
La Figura 2.19 ilustra el efecto avalancha.
El segundo mecanismo por el que se puede producir la ruptura en un diodo es el efecto
Zener. Dicho mecanismo es muy simple: al aumentar la tensión inversa, aumenta el campo eléctrico
en la región de vaciamiento, y éste arranca electrones que están formando enlaces covalentes,
creándose pares electrón libre-hueco, aumentando significativamente las concentraciones de
portadores de carga libres en la región de vaciamiento. Los portadores de carga libre adicionales
son arrastrados como antes por el campo eléctrico que hay en la región de vaciamiento y aparece
una fuerte corriente inversa. El efecto Zener es ilustrado en la Figura 2.20. Para el mecanismo
hay otra explicación, cuántica. Las bandas de valencia y conducción de las zonas neutras p y n
están dobladas por el potencial que hay en la unión. Al aumentar la tensión inversa, ese doblaje
es más fuerte y puede hacer que la banda de valencia de la zona neutra n, con abundancia de
electrones, se haga muy próxima a la banda de conducción de la zona neutra p. A partir de cierto
grado de proximidad hay un efecto tunel significativo y un número significativo de electrones
de la banda de valencia de la zona n “salta” a la banda de conducción de la zona p, creándose
pares adicionales electrón libre-hueco que son arrastrados por el campo eléctrico de la región de
vaciamiento.
e
h
e
h
e
h

52 2 Diodo de Unión y Circuitos
I
VAKI = P max
VAK
VAKI ≤ P max
Figura 2.21: Tramo de trabajo seguro de un diodo.
R
E I
+
−
VAK
Figura 2.22: Circuito sencillo para ilustrar el análisis gráfico de circuitos con diodos.
2.8. Tramo de trabajo seguro de un diodo
El tramo de trabajo seguro de un diodo es el lugar geométrico de puntos de la característica
tensión-corriente del dispositivo en el que éste puede trabajar de modo permanente sin ser destruido.
Para ello, la única limitación es que la potencia disipada no supere un cierto valor Pmax.
Dado que la potencia disipada por el diodo esP = VAKI, se obtiene la condiciónVAKI ≤ Pmax,
que define el área del plano(VAK,I) delimitada por los ejes cartesianos y la hipérbola equilátera
VAKI = Pmax. El tramo de trabajo seguro de un diodo tiene, pues, la forma ilustrada en la
Figura 2.21. El diodo puede trabajar transitoriamente fuera de ese tramo de trabajo seguro sin ser
destruido.
2.9. Análisis gráfico de circuitos con diodos
El caracter no lineal de la característica tensión-corriente de los diodos hace difícil el análisis
numérico de circuitos con dichos componentes. Una alternativa viable para circuitos sencillos es
el análisis gráfico. Dicha alternativa tiene la ventaja de ser intuitiva. Para ilustrar la alternativa,
empezaremos utilizando un circuito muy sencillo. Se trata del circuito de la Figura 2.22, formado
por una fuente de tensión continua, una resistencia y un diodo.
El punto de trabajo del diodo, definido por el par de valores VAK, I, debe estar sobre la

2.9 Análisis gráfico de circuitos con diodos 53
E
R
I
0,7 V
E
recta de carga
E = RI + VAK
VAK
Figura 2.23: Análisis gráfico del circuito de la Figura 2.22.
vi
+
−
R i
i1
i2
VZ1
VZ2
−
+
+
−
vAK1
vAK2
Figura 2.24: Circuito limitador.
característica tensión-corriente del dispositivo. Además, dicho par ha de cumplir la segunda ley
de Kirchoff aplicada a la única malla del circuito:
E = RI +VAK .
Dicha ecuación geométricamente es una recta que pasa por el punto de abcisa E y ordenada
0 y el punto de abcisa 0 y ordenada E/R. Dicha recta se denomina recta de carga. El punto
de trabajo del diodo se encontrará en la intersección de la característica tensión-corriente del
diodo y la recta de carga, tal y como indica la Figura 2.23. Al variar E, la recta de carga se
desplazará paralelamente. Resulta evidente que paraE ≤ 0,7 V,VAK ≈ E y que paraE > 0,7 V,
VAK ≈ 0,7 V.
El problema del análisis gráfico es que, en general, solo es viable para circuitos con un diodo.
En un circuito con, por ejemplo, dos diodos habría que considerar en general cuatro variables
(dos para cada diodo) y el análisis gráfico debería hacerse en un espacio cuatridimensional. Una
excepción importante es el circuito limitador de la Figura 2.24, basado en dos diodos Zener con
tensiones de ruptura VZ1 y VZ2 y tensiones umbrales 0,7 V.
Como variables para el análisis de dicho circuito utilizaremos vo ei. Las cuatro variables de
los diodos están relacionadas con ellas de acuerdo con las ecuaciones
vo = −vAK1 +vAK2,
+
−
vo

54 2 Diodo de Unión y Circuitos
i = f(−vAK1 + vAK2)
i = f(vo)
−(VZ2 + 0,7 V)
i
vi
R
i2 = f2(vAK2)
i = f2(vAK2)
VZ1 + 0,7 V
−i1 = f1(−vAK1)
i = f1(−vAK1)
vi
vi = Ri + vo
Figura 2.25: Análisis gráfico del circuito de la Figura 2.24.
i1 = −i,
i2 = i.
Además, aplicando la segunda ley de Kirchoff a la única malla del circuito obtenemos
vi = Ri+vo.
Dichas relaciones permiten realizar el análisis gráfico como se explica a continuación. Seani1 =
f1(vAK1) e i2 = f2(vAK2) las características tensión-corriente de, respectivamente, el primer
y segundo diodos. En primer lugar, sobre el plano (vo,i) dibujamos la característica tensióncorriente
i2 = f2(vAK2) del segundo diodo. Dado que i2 = i, dicha curva relaciona también i
con vAK2, es decir, tenemos i = f2(vAK2). En segundo lugar, sobre el plano (vo,i) dibujamos
la característica tensión-corriente del primer diodo con los signos de la tensión y de la corriente
cambiados, es decir, −i1 = f1(−vAK1). Dado que −i1 = i, dicha curva relaciona también i
con −vAK1, es decir, tenemos i = f1(−vAK1). Dado que vo = −vAK1 + vAK2, si cogemos
las dos curvas y obtenemos una nueva curva sumando para cada ordenada las abcisas de las dos
curvas en esa ordenada, la nueva curva relacionará i con vo. Finalmente, el punto de trabajo
del circuito en el plano (vo,i) se encontrará en la intersección de dicha curva con la recta de
carga vi = Ri + vo, tal y como indica la Figura 2.25. La curva puede ser interpretada como la
característica tensión-corriente de la asociación de los dos diodos.
Utilizando la figura anterior es fácil determinar aproximadamente la función de transferencia
vo = f(vi) del circuito limitador. Para ello basta imaginarse un desplazamiento paralelo de
la recta de carga y razonar dónde se situará el punto de trabajo. Para −(VZ2 + 0,7 V) < vi <
VZ1 + 0,7 V, el punto de trabajo se encuentra aproximadamente sobre el eje de abcisas y se
tiene vo ≈ vi. Para vi < −(VZ2 + 0,7 V), el punto de trabajo se encuentra aproximadamente
sobre la recta vertical vo = −(VZ2 + 0,7 V), y se tendrá vo ≈ −(VZ2 + 0,7 V). Finalmente,
para vi > VZ1 + 0,7 V, el punto de trabajo se encuentra aproximadamente sobre la recta vertical
vo = VZ1+0,7 V, y se tendrávo ≈ VZ1+0,7 V. La función de transferencia del circuito limitador
será pues aproximadamente la ilustrada en la Figura 2.26.
vo

2.10 Análisis algebraico de circuitos con diodos usando modelos lineales a tramos 55
vo
VZ1 + 0,7 V
−(VZ2 + 0,7 V)
VZ1 + 0,7 V
−(VZ2 + 0,7 V)
Figura 2.26: Función de transferencia del circuito de la Figura 2.24.
+ VAK −
A K
I
A
K
I
OFF
I = 0
VAK ≤ 0
ON
VAK = 0
I ≥ 0
VAK
A K
Figura 2.27: Modelo diodo ideal.
vi
circuito equivalente para el estado
modelo lineal para el estado
condición del estado
2.10. Análisis algebraico de circuitos con diodos usando modelos lineales
a tramos
El análisis gráfico de circuitos con diodos solo es posible para circuitos muy sencillos. Una alternativa
es utilizar para los diodos modelos lineales a tramos. Se trata de un método aproximado.
Sin embargo, utilizando un modelo lineal a tramos preciso, la aproximación conseguida puede
ser muy buena.
El modelo lineal a tramos más sencillo es el denominado diodo ideal. Dicho modelo es ilustrado
en la Figura 2.27. La característica tensión-corriente real del diodo es aproximada mediante
los tramos lineales VAK = 0, I ≥ 0 eI = 0, VAK ≤ 0. Cada uno de esos tramos puede ser considerado
como la combinación de un modelo lineal, con un circuito equivalente para el diodo, y
una condición de estado. Cada tramo puede ser considerado pues un estado en el que puede estar
el diodo. Para el estado ON, el modelo lineal esVAK = 0, que tiene como circuito equivalente un
cortocircuito, y la condición de estado es I ≥ 0. Para el estado OFF, el modelo lineal es I = 0,
que tiene como circuito equivalente un circuito abierto, y la condición de estado es VAK ≤ 0.
La metodología de análisis puede ser descrita algorítmicamente con los siguientes pasos:

56 2 Diodo de Unión y Circuitos
A K
OFF
I = 0
VAK ≤ VD0
I
VD0
VAK
ON
VAK = VD0
I ≥ 0
VD0
A K
Figura 2.28: Modelo lineal a tramos con tensión umbral VD0.
1) Suponer un estado para cada diodo.
2) Sustituir cada diodo por el circuito equivalente correspondiente a su estado.
3) Analizar el circuito resultante.
4) Comprobar la condición de estado para cada diodo. Si alguna falla, suponer un conjunto
de estados distinto e ir a 2).
Evidentemente, el análisis finaliza cuando se ha encontrado un conjunto de estados para los
diodos tal que se verifica la condición de estado para cada diodo. La mejor manera de ilustrar
la metodología es a través de un ejemplo. Se pueden encontrar numerosos ejemplos en la colección
de problemas del autor referenciada en la Bibliografía. En lo que queda de este apartado
discutiremos algunos modelos lineales a tramos más.
La Figura 2.28 es un modelo lineal a tramos bastante más preciso que el modelo diodo
ideal. La única diferencia entre modelo con el modelo diodo ideal es que en el estado ON se
supone una tensión directa umbral constante VD0. El estado ON está caracterizado por el modelo
VAK = VD0, que tiene como circuito equivalente asociado una fuente de tensión de valor VD0
positiva en el ánodo respecto del cátodo, y la condición de estado I ≥ 0. El estado OFF está
caracterizado por el modelo I = 0, que tiene como circuito equivalente asociado un circuito
abierto, y la condición de estado VAK ≤ VD0.
Para terminar el apartado, discutiremos un modelo lineal a tramos que es todavía más preciso
que el anterior y que además es apropiado para un diodo Zener que pueda trabajar en ruptura.
El modelo se da en la Figura 2.29. El tramo lineal correspondiente al estado ON tiene una pendiente
1/rD. La pendiente vista desde corrientes a tensiones es pues rD. Utilizando ese hecho,
resulta que si hacemos circular una corriente directaI, la tensión ánodo-cátodo seráVAK +rDI.
Por tanto, el circuito equivalente correspondiente al estado ON es el representado en la figura,
con una fuente de tensión de valor VD0 y una resistencia de valor rD. Con respecto al estado
RUPTURA, la pendiente del tramo lineal correspondiente es1/rZ, lo cual implica una pendiente
rZ de corrientes a tensiones. La tensión inversa en el diodo seráVZ0+rZ(−I) = VZ0−rZI, o lo

2.11 Circuitos selector de máximo y selector de mínimo 57
dI
dVAK
OFF
I = 0
−VZ0 ≤ VAK ≤ VD0
= 1
rZ
A K
−VZ0
I
VD0
dI
dVAK
RUPTURA
ON
= 1
rD
VAK
VAK = −VZ0 + rZI
I ≤ 0
VAK = VD0 + rDI
I ≥ 0
VD0
rD
A K
+
rDI
VZ0
−
rZ
A K
+ rZI −
Figura 2.29: Modelo lineal a tramos más preciso y apropiado para un diodo Zener que pueda
trabajar en ruptura.
que es lo mismo tendremos una tensión VAK igual a −VZ0 +rZI. Dicha ecuación es satisfecha
por el circuito equivalente mostrado en la figura con una fuente de tensión de valorVZ0 y sentido
contrario al del circuito equivalente del estado ON y una resistencia de valor rZ.
2.11. Circuitos selector de máximo y selector de mínimo
El selector de máximo con tres entradas es el circuito mostrado en la Figura 2.30. Las entradas
del circuito son las tensiones v1, v2 yv3. El circuito tiene como salida la tensión vo.
Para analizar el selector de máximo empezaremos utilizando el modelo diodo ideal. Supongamos
v1 = 1 V, v2 = 2 V y v3 = 3 V. En esas condiciones, los diodos D1 y D2 estarán en
OFF, el diodo D3 estará en ON, y vo = 3 V. Hemos de verificar que D1 y D2 ven una tensión
ánodo-cátodo ≤ 0 y que la corriente directa por D3 es ≥ 0. La tensión ánodo-cátodo que ve D1
vale −2 V, que es ≤ 0. La tensión ánodo-cátodo que ve D2 vale −1 V, que es ≤ 0. Finalmente,
por el circuito circulará una corriente positiva de la entrada con tensión3 V a masa, y la corriente
directa por D3 será ≥ 0. La situación está representada en la parte izquierda de la Figura 2.31.
En general, podemos decir que para max{v1,v2,v3} ≥ 0, vo = max{v1,v2,v3}. Supongamos,
a continuación, v1 = 0, v2 = −2 V y v3 = −3 V. En esas condiciones todos los diodos estarán
en OFF, la corriente por la resistencia valdrá 0 y vo = 0. Hemos de verificar que las tensiones
ánodo-cátodo que ven todos los diodos son ≤ 0. En efecto, las tensiones ánodo-cátodo que ven
D1, D2 y D3 valen, respectivamente, 0, −2 V y −3 V, todas ≤ 0. La situación está representada

58 2 Diodo de Unión y Circuitos
1 V
2 V
3 V
v1
v2
v3
D1
D2
D3
Figura 2.30: Selector de máximo con tres entradas.
OFF D1
OFF D2
ON D3
R
R
vo
0
OFF D1
3 V
OFF D2
−2 V
OFF D3
−3 V 0
Figura 2.31: Análisis del selector de máximo con tres entradas con el modelo diodo ideal.
en la parte derecha de la Figura 2.31. En general, podemos decir que para max{v1,v2,v3} ≤ 0,
vo = 0. En resumen, podemos decir que vo = max{v1,v2,v3,0}.
Con el modelo para los diodos con tensión umbral VD0, para que conduzca algún
diodo se deberá tener max{v1,v2,v3} ≥ VD0 y en esas circunstancias se tendrá vo =
max{v1,v2,v3} − VD0. Así pues, para max{v1,v2,v3} ≥ VD0, vo = max{v1,v2,v3} − VD0.
Paramax{v1,v2,v3} ≤ VD0 no conducirá ningún diodo y se tendrávo = 0. En resumen, tendremosvo
= max{max{v1,v2,v3}−VD0,0}.
El circuito selector de máximo anterior tiene el inconveniente de que para el modelo con
tensión umbral VD0 no genera la tensión vo = max{v1,v2,v3} sino vo = max{v1,v2,v3} −
VD0. Se puede obtener un circuito que con el modelo con tensión umbral VD0 genere vo =
max{v1,v2,v3} modificando ligeramente el circuito anterior. La Figura 2.32 muestra el circuito
selector de máximo mejorado. Si el diodo D4 está en ON, cuando conduce alguno de los diodos
D1, D2 o D3, la tensión en el cátodo de D4 valdrá max{v1,v2,v3} − VD0 y se tendrá vo =
max{v1,v2,v3}. Así pues, el diodo D4 corrige el error VD0 en el cálculo del máximo de las
entradas.
A continuación determinaremos para que valores de vM = max{v1,v2,v3} el circuito funcionará
correctamente, es decir, se tendrá vo = max{v1,v2,v3}. Basta analizar el circuito de la
Figura 2.33 e imponer i1 ≥ 0 e i2 ≥ 0, para asegurar que D4 y alguno de los diodos D1, D2 y
0
R

2.11 Circuitos selector de máximo y selector de mínimo 59
D3 esté en ON.
v1
v2
v3
D1
D2
D3
10 V
50R
D4
Figura 2.32: Selector de máximo mejorado con tres entradas.
vM
VD0
i2
i1
10 V
50R
VD0
R
R
vo
i1 + i2
Figura 2.33: Análisis del selector de máximo mejorado con tres entradas.
En primer lugar, el extremo inferior de la resistencia de valor 50R ve una tensión igual a
vM, y aplicando la ley de Ohm tenemos 10−vM = 50Ri1, de donde
i1 = 10−vM
50R .
En segundo lugar, el extremo superior de la resistencia de valor R ve una tensión igual a vM −
VD0, y aplicando la ley de Ohm tenemos vM −VD0 = R(i1 +i2), de donde
i2 = vM −VD0
R
i1 +i2 = vM −VD0
R
−i1 = vM −VD0
R
= 50vM −50VD0 −10+vM
50R
,
− 10−vM
50R
= 51vM −50VD0 −10
50R
.

60 2 Diodo de Unión y Circuitos
v1
v2
v3
D1
D2
D3
5 V
Figura 2.34: Selector de mínimo con tres entradas.
La condicióni1 ≥ 0 se traduce envM ≤ 10 y la condición i2 ≥ 0 se traduce en51vM−50VD0−
10 ≥ 0 y en vM ≥ (50/51)VD0 + 10/51. Así pues, el circuito selector de máximo mejorado
funcionará correctamente para
R
vo
50
51 VD0 + 10
51 ≤ vM ≤ 10.
El selector de mínimo con tres entradas es el circuito mostrado en la Figura 2.34. Las entradas
del circuito son las tensiones v1, v2 yv3. El circuito tiene como salida la tensión vo.
Analizaremos el circuito selector de mínimo utilizando el modelo diodo ideal. Supongamos
v1 = 1 V, v2 = 2 V y v3 = 3 V. En esas condiciones el diodo D1 está en ON, los diodos D2
y D3 están en OFF, y vo = 1 V. Hemos de verificar que la corriente directa por D1 es ≥ 0 y
que los diodos D2 y D3 ven una tensión ánodo-cátodo ≤ 0. La corriente directa por el diodo D1
es igual a la corriente que sube por la resistencia R. Dicha resistencia ve de abajo a arriba una
tensión igual a4 V. Por tanto, la corriente que sube por la resistencia es> 0 y la corriente directa
por D1 es también > 0. El diodo D2 ve una tensión ánodo-cátodo igual a −1 V, que es ≤ 0.
Finalmente, el diodo D3 ve una tensión ánodo-cátodo igual a −2 V, que es ≤ 0. La situación
está representada en la parte izquierda de la Figura 2.35. En general, podemos decir que para
min{v1,v2,v3} ≤ 5 V, vo = min{v1,v2,v3}. Supongamos, a continuación, v1 = 5 V, v2 = 7 V
y v3 = 8 V. En esas condiciones todos los diodos estarán en OFF, la corriente por la resistencia
valdrá 0 yvo = 5 V. Hemos de verificar quer las tensiones ánodo-cátodo que ven todos los diodos
son ≤ 0. En efecto, las tensiones ánodo-cátodo que ven D1, D2 y D3 valen, respectivamente, 0,
−2 V y−3 V, todas ≤ 0. La situación está representada en la parte derecha de la Figura 2.35. En
general, podemos decir que para min{v1,v2,v3} ≥ 5 V, vo = 5 V. En resumen, podemos decir
que vo = min{v1,v2,v3,5}.
Con el modelo para los diodos con tensión umbral VD0, para que conduzca algún diodo se
deberá tenermin{v1,v2,v3}+VD0 ≤ 5 y en esas circunstancias se tendrávo = min{v1,v2,v3}+
VD0. Paramin{v1,v2,v3}+VD0 ≥ 5 no conducirá ningún diodo y se tendrávo = 5. En resumen,
tendremos vo = min{min{v1,v2,v3}+VD0,5}.

2.12 Circuitos rectificadores 61
1 V
ON D1
2 V
OFF D2
3 V
OFF D3
5 V
R
1 V
5 V
7 V
8 V
OFF D1
OFF D2
OFF D3
0
5 V
Figura 2.35: Análisis del selector de mínimo con tres entradas.
2.12. Circuitos rectificadores
vi
D
R
+
−
vo
Figura 2.36: Rectificador de media onda.
Un rectificador es un circuito que genera una tensión no negativa a partir de una tensión que toma
valores positivos y negativos. Los rectificadores son un elemento constituyente de las fuentes
de alimentación lineales. En este apartado presentaremos y analizaremos tres circuitos rectificadores:
uno de media onda y dos de onda completa. Para el análisis utilizaremos el modelo con
tensión umbral VD0 para los diodos.
La Figura 2.36 muestra el rectificador de media onda con una entrada senoidalvi. La tensión
de salida del rectificador esvo.
El análisis del circuito rectificador de media onda es muy sencillo. Para vi ≥ VD0 el diodo
está en ON y vo = vi − VD0. Para vi ≤ VD0, el diodo están en OFF y vo = 0. La Figura 2.37
muestra la función de transferencia vo = F(vi) del rectificador. La Figura 2.38 representa vi y
vo en función detcuando vi es senoidal con una tensión de pico Vp > VD0.
La Figura 2.39 muestra el rectificador de onda completa con dos diodos usado en combinación
con un transformador con secundario con toma intermedia, que es como normalmente se
utiliza dicho circuito rectificador en una fuente de alimentación lineal.
El circuito puede ser analizado fácilmente teniendo en cuenta que los dos diodos y la resistencia
R forman un circuito selector de máximo con tensiones de entrada vi y −vi, siendo vi la
tensión que ve el devanado superior del secundario del transformador. Por tanto, reutilizando los
R
5 V

62 2 Diodo de Unión y Circuitos
vo
VD0
vi − VD0
Figura 2.37: Función de transferencia del rectificador de media onda.
Vp
Vp − VD0
vi(t)
vo(t)
Figura 2.38: vi y vo en función de t para el rectificador de media onda con tensión de entrada vi
senoidal con tensión de pico Vp > VD0.
+ vi
− +
vi
−
D1
D2
Figura 2.39: Rectificador de onda completa con dos diodos.
vi
R
+
−
vo
t

2.12 Circuitos rectificadores 63
−vi − VD0
vo
−VD0
VD0
vi − VD0
Figura 2.40: Función de transferencia del rectificador de onda completa con dos diodos.
Vp
Vp − VD0
vi(t)
vo(t)
Figura 2.41: vi y vo en función de t para el rectificador de onda completa con dos diodos con
tensión de entrada vi senoidal con tensión de pico Vp > VD0.
resultados del análisis del circuito selector de máximo realizado en el apartado anterior, tenemos
vo = max{max{vi,−vi}−VD0,0} = max{|vi|−VD0,0}.
Para vi ≥ VD0, |vi| − VD0 = vi −VD0 ≥ 0 y vo = vi −VD0. Para vi ≤ −VD0, |vi| − VD0 =
−vi−VD0 ≥ 0 yvo = −vi−VD0. Finalmente, para−VD0 ≤ vi ≤ VD0,0 ≤ |vi| ≤ VD0 yvo = 0.
La Figura 2.40 muestra la función de transferencia vo = F(vi) del circuito. La Figura 2.41
muestra vi y vo en función detpara una tensión vi senoidal con valor de pico Vp > VD0.
Por último, la Figura 2.42 muestra el circuito rectificador de onda completa con cuatro
diodos, también llamado rectificador en puente de Graetz, con una entrada senoidalvi. La tensión
de salida del rectificador esvo.
Para analizar el circuito, consideraremos, en primer lugar, que los dos diodos de la derecha
y la resistencia R forman una especie de selector de máximo, de modo que para vi = 0, solo
podrá conducir el diodo de los dos que vea en su ánodo la tensión mayor. De modo similar,
los dos diodos de la izquierda y la resistencia R forman una especie de selector de mínimo,
de modo que para vi = 0, solo podrá conducir el diodo de los dos que vea la tensión menor.
Teniendo todo ello en cuenta, es relativamente fácil analizar el circuito considerando los casos
vi > 0, vi < 0 y vi = 0. En el caso vi > 0 solo podrán conducir el diodo superior derecho y el
diodo inferior izquierdo. La circulación de corriente solo se podrá realizar siguiendo el camino
indicado en color verde. En esas circunstancias se tendrá vo = vi − 2VD0. Para que los dos
vi
t

64 2 Diodo de Unión y Circuitos
vi
+
−
+
−
−
+
Figura 2.42: Rectificador en puente de Graetz.
−vi − 2VD0
vo
−2VD0
2VD0
R
vi
+
vo
−
vi − 2VD0
Figura 2.43: Función de transferencia del rectificador en puente de Graetz.
diodos se encuentren efectivamente en ON es necesario que la corriente directa a través de ellos
sea ≥ 0. Ello es equivalente a que la corriente hacia abajo en la resistencia R sea ≥ 0, lo cual
exige vi ≥ 2VD0. Así pues, para vi > 0, habrá conducción de corriente cuando vi ≥ 2VD0 y en
ese caso vo = vi −2VD0. Para 0 < vi < 2VD0 no habrá circulación de corriente y vo = 0. En
el caso vi < 0 solo podrán conducir el diodo inferior derecho y el diodo superior izquierdo. La
circulación de corriente solo se podrá realizar siguiendo el camino indicado en color rojo. En esas
circunstancias, se tendrá vo = −vi−2VD0. Para que los dos diodos se encuentren efectivamente
en ON es necesario que la corriente directa a través de ellos sea ≥ 0. Ello es equivalente a que
la corriente hacia abajo en la resistencia R sea ≥ 0, lo cual exige −vi ≥ 2VD0, o lo que es lo
mismo vi ≤ −2VD0. Así pues, para vi < 0, habrá conducción de corriente cuando vi ≤ −2VD0
y en ese caso vo = −vi − 2VD0. Para −2VD0 < vi < 0 no habrá circulación de corriente y
vo = 0. Falta discutir el caso vi = 0. En ese caso no circula ninguna corriente por el circuito.
Usando la característica tensión-corriente real de los diodos, eso implica que las tensiones ánodocátodo
de todos los diodos sean nulas. La tensión vo también será nula y se obtiene una solución
consistente para el circuito. Resumiendo, vo = vi − 2VD0 para vi ≥ 2VD0, vo = −vi − 2VD0
para vi ≤ −2VD0, y vo = 0 para −2VD0 < vi < 2VD0. La Figura 2.43 muestra la función de
transferencia vo = F(vi) del rectificador. La Figura 2.44 muestra vi yvo en función de t cuando
vi es senoidal con una tensión de pico Vp > 2VD0.
El rectificador en puente de Graetz tiene la ventaja sobre el rectificador de onda completa
con dos diodos de no requerir un transformador con secundario con toma intermedia. Además,
en éste último el secundario está infrautilizado ya que por cada devanado secundario solo circula
corriente en media onda de vi. Por otro lado, el rectificador en puente de Graetz tiene cuatro
diodos frente a los dos del otro rectificador de onda completa y para la misma tensión senoidal

2.13 Fuentes de alimentación lineales 65
Vp
Vp − 2VD0
vi(t)
vo(t)
Figura 2.44:vi yvo en función detpara el rectificador en puente de Graetz con tensión de entrada
vi senoidal con tensión de pico Vp > 2VD0.
vi da una tensión de salida con un valor de pico ligeramente inferior.
2.13. Fuentes de alimentación lineales
Una fuente de alimentación es un circuito que genera una tensión continua de un cierto valor prefijado
a partir de una tensión alterna. El aspecto importante que cabe resaltar es que el valor de
la tensión continua generada debe depender poco de variaciones, dentro de ciertos márgenes, del
valor eficaz y de la frecuencia de la tensión alterna. La tensión continua debe depender también
poco de variaciones que pueda haber en la corriente que deba dar la fuente de alimentación. La
tensión alterna es proporcionada por la red de distribución eléctrica y en España tiene una frecuencia
nominal de 50 Hz y un valor eficaz nominal de 230 V. Sin embargo, la normativa vigente
acepta pequeñas variaciones en la frecuencia y tensión eficaz reales y la fuente de alimentación
debe funcionar correctamente teniendo en cuenta dichas posibles variaciones.
Existen dos tipos de fuentes de alimentación: fuentes de alimentación lineales y fuentes
de alimentación conmutadas. Las primeras son más simples pero tienen un rendimiento bajo.
En general, se emplean fuentes de alimentación lineales en situaciones en que un rendimiento
bajo no es importante y para corrientes de salida de hasta aproximadamente 1 A. Cuando el
rendimiento es un factor importante o la fuente de alimentación tiene que dar corrientes elevadas,
se ha de utilizar una fuente de alimentación conmutada. La Figura 2.45 da el diagrama de bloques
de una fuente de alimentación lineal. La Figura 2.46 da las formas típicas de las tensiones en el
secundario del transformador, vS, a la salida del filtro de condensador, vF , y a la salida de la
fuente de alimentación, vL. La misión del transformador es reducir el valor eficaz de la tensión
de la red, de modo que el resto de la fuente de alimentación funcione correctamente. Además,
el transformador desacopla magnéticamente la red eléctrica de la fuente de alimentación y los
circuitos que ésta alimenta. El rectificador y el filtro de condensador conjuntamente transforman
la tensión senoidal a la salida del transformador vS en una tensión unipolar, vF , con variaciones
relativamente pequeñas y un valor mínimo superior a la tensión que debe generar la fuente de
alimentación con un cierto margen. Por último, el regulador de tensión genera a partir de la
t

66 2 Diodo de Unión y Circuitos
+ vS
230 V, 50 Hz RECTIFICADOR
−
FILTRO DE
CONDENSADOR
+
vF
−
REGULADOR
DE TENSIÓN
Figura 2.45: Diagrama de bloques de una fuente de alimentación lineal.
vS
vF
Figura 2.46: Tensiones en una fuente de alimentación lineal.
tensión vF la tensión continua vL que da la fuente de alimentación. El modelo que suele ser
empleado para la carga de la fuente de alimentación es una fuente de corriente continua iL.
Normalmente iL puede variar dentro de ciertos márgenes dependiendo de las condiciones de
operación. La tensión vL deber variar poco al variar iL.
Empezaremos analizando el funcionamiento del filtro de condensador combinado con el
circuito rectificador. Consideraremos el rectificador de media onda y el rectificador de onda
completa con dos diodos. En ambos casos, supondremos que la corriente de salida del filtro
de condensador es igual a la corriente iL de salida de la fuente de alimentación lineal. Ello es
una muy buena aproximación para reguladores de tensión monolíticos, que son los que se suelen
utilizar en la práctica. Por simplicidad utilizaremos para los diodos del rectificador el modelo
diodo ideal. Aunque los errores cometidos son de cierta entidad, el uso de ese modelo simplifica
considerablemente el análisis y es suficiente para entender cualitativamente como funciona el
filtro de condensador.
Empezaremos considerando un rectificador de media onda. La Figura 2.47 muestra el circuito
que hay que analizar. La corriente iC y la tensión vF satisfacen la ecuación
iC = C dvF
dt .
Cuando el diodo está en ON,vF = vS y tenemos
iC = C dvS
dt .
La corriente por el diodo iD puede ser obtenida aplicando la primera ley de Kirchoff al nodo
conectado al cátodo del diodo:
iD = iC +iL.
C
vL
t
+
− vL
iL

2.13 Fuentes de alimentación lineales 67
vS
iD
D
iC
Figura 2.47: Filtro de condensador con un rectificador de media onda.
VA
vS
vF
iC
C
iL
+
vF
ON OFF ON OFF
A
T
iD
T OFF
iL
Figura 2.48: Tensiones y corrientes en un filtro de condensador con rectificador de media onda.
Con el diodo en OFF,iC = −iL y
dvF
dt
= −iL
C .
Utilizando todas las relaciones anteriores podemos hacer un análisis cualitativo del comportamiento
del circuito como sigue. La Figura 2.48 muestra la evolución de las tensiones y
corrientes del circuito. El diodo pasa de ON a OFF cuando iD se hace negativa. Ello ocurre en el
punto A. Mientras el diodo está en OFF,vF decrece con pendiente −iL/C, iC = −iL eiD = 0.
El diodo pasa de OFF a ON cuando la tensión ánodo-cátodo del diodo se hace > 0, es decir
cuando vS se hace > vF . Mientras el diodo está en ON,iC = CdvS/dt eiD = iC +iL.
Un parámetro importante de un filtro de condensador es el rizado en la tensión de salida. Éste
es definido como la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la tensión de salida vF . El
cálculo exacto del rizado de la tensión de salida es complicado. Haremos un análisis aproximado
con un error aceptable cuando el rizado tiene un valor pequeño o moderado. Si denominamos
Vr al rizado en la tensión de salida, VA al valor de vF en el punto A en el que el diodo pasa de
ON a OFF, y TOFF a la duración de un periodo OFF, dado que con el diodo en OFF,vF decrece
−
Vr
Vp
t
t

68 2 Diodo de Unión y Circuitos
+
vS
−
+
vS
−
D1
D2
Figura 2.49: Filtro de condensador con rectificador de onda completa con dos diodos.
linealmente con pendiente −iL/C, tendremos (véase Figura 2.48)
C
Vp −Vr = VA − iL
C TOFF.
A continuación, realizaremos las aproximaciones VA ≈ Vp y TOFF ≈ T , donde T es el periodo
devS. Obtenemos
Vp −Vr ≈ Vp − iL
C
Vr ≈ iL
C
T = iL
fC .
Dicha expresión pone de manifiesto que el rizado en la tensión de salida es aproximadamente
inversamente proporcional aC y puede hacerse aceptablemente pequeño escogiendo C suficientemente
grande. Un valor elevado de C implica el uso de un condensador de volumen elevado.
Por esa razón, normalmente se escoge para Vr un valor no demasiado pequeño, por ejemplo 1
o 2 V. Dado que la tensión que ve el condensador es periódica, el valor medio de iC será nulo.
Dado que iD = iC +iL, el valor medio de iD será igual a iL. Al aumentar C, los puntos en los
que el estado del diodo conmutan se aproximan al máximo positivo de vS y la duración de los
periodos ON del diodo disminuye. Puesto que iD = 0 en los periodos en los que el diodo está
en OFF, ello tiende a implicar un aumento del valor de pico deiD, que tiende a aumentar con C.
En general, no es deseable que el valor de pico deiD sea muy elevado, pues un valor excesivo de
ese parámetro puede dañar el diodo. Todo ello apunta también a no escoger un valor demasiado
elevado para C.
La Figura 2.49 muestra un filtro de condensador con rectificador de onda completa con
dos diodos. El análisis de dicho circuito es similar al del filtro de condensador con rectificador de
media onda. Suponiendo para el diodo el modelo diodo ideal, la Figura 2.50 muestra las tensiones
vS, −vS y vF . El comportamiento periódico del circuito se estructura ahora en un periodo en el
que el diodo D1 está en ON y el diodo D2 está en OFF, un periodo en el que los dos diodos están
en OFF, un periodo en el que el diodo D1 está en OFF y el diodo D2 está en ON, y un periodo
en el que de nuevo los dos diodos están en OFF.
Se puede calcular aproximadamente el rizado en la tensión de salida del filtro de condensador
con rectificador de onda completa con dos diodos con un análisis similar al realizado anteriormente
para el filtro de condensador con rectificador de media onda. La única diferencia es
T ,
iL
+
vF
−

2.13 Fuentes de alimentación lineales 69
VA
D1 ON
D2 ON
A
vS
T OFF
T/2
−vS vF
Figura 2.50: Tensiones y corrientes en un filtro de condensador con rectificador de onda completa
con dos diodos.
que ahora TOFF ≈ T/2, resultando un rizado mitad,
Vr ≈ iL
2fC .
El hecho de que para los mismos valores de iL y C el rizado ahora sea la mitad, es una ventaja
significativa del rectificador de onda completa sobre el rectificador de media onda, sobre todo
cuando iL es relativamente elevada. Como en el otro filtro de condensador, los valores de pico
de las corrientes por los diodos tienden a aumentar con C, razón por la cual no es conveniente
escoger para C un valor demasiado elevado.
El circuito regulador de tensión más sencillo es el basado en un diodo Zener. Dicho circuito
es mostrado en la Figura 2.51. La entrada es la tensión vI. La salida es la tensión vO. El circuito
debe dar una tensión vO prácticamente independiente de vI e iL. Para ello, el diodo Zener debe
trabajar en la zona de ruptura. Ello implica que el diodo Zener deberá ser escogido de modo que
su tensión de ruptura sea aproximadamente igual a la tensión que deba dar el regulador en su
salida. Al variar vI e iL variará la corriente inversa que circula por el diodo Zener, pero como
en la zona de ruptura, la pendiente de la característica tensión-corriente del diodo Zener es muy
elevada, dichas variaciones de la corriente inversa apenas harán variar la tensión vO. Los diodos
Zener reales tienen un codo bastante pronunciado en la región de la zona de ruptura con corrientes
inversas pequeñas. En dicho codo, la pendiente de la característica tensión-corriente del diodo
Zener no es tan pronunciada. Para conseguir que vO dependan poco de vI e iL es conveniente
diseñar el regulador de forma que la corriente inversa por el diodo Zener sea ≥ iZ,min, donde
iZ,min es un valor no demasiado pequeño.
Analizaremos el circuito utilizando para la zona de ruptura del diodo Zener el modelo con
parámetros VZ0 y rZ. Dado que para el correcto funcionamiento del regulador de tensión el
diodo Zener debe trabajar en la zona de ruptura, podemos sustituir el diodo Zener por el circuito
equivalente correspondiente a esa zona, obteniéndose el circuito de la Figura 2.52
Para el correcto funcionamiento del regulador de tensión se requiere iZ ≥ iZ,min para todos
los valores posibles de vI e iL. Calculemos iZ en función de vI e iL. Para ello aplicamos la
Vr
Vp
t

70 2 Diodo de Unión y Circuitos
vI
+
−
R
Figura 2.51: Regulador de tensión basado en un diodo Zener.
vI
iZ + iL
+
−
R
VZ0
rZ
Figura 2.52: Circuito equivalente del regulador para el diodo Zener trabajando en la zona de
ruptura.
segunda ley de Kirchoff a la malla interna, obteniendo
e
Imponiendo iZ ≥ iZ,min obtenemos
iZ
vI = R(iZ +iL)+rZiZ +VZ0,
iZ = vI −VZ0 −RiL
R+rZ
vI −VZ0 −RiL
R+rZ
.
≥ iZ,min,
R ≤ vI −VZ0 −rZiZ,min
iZ,min +iL
Dado que R ha de ser > 0, para que el diseño del regulador sea posible es preciso que el numerador
del segundo miembro de la desigualdad anterior sea > 0 para todo vI. Siendo vI,min el
menor valor de vI, eso se traduce en
vI,min > VZ0 +rZiZ,min.
Suponiendo esa condición, el diseño del regulador es posible y dado que, bajo esa condición,
el segundo miembro de la desigualdad es una función decreciente con iL, bastará con que R
verifique
R ≤ vI,min −VZ0 −rZiZ,min
iZ,min +iL,max
.
,
iL
iL
+
vO
−
+
vO
−

2.13 Fuentes de alimentación lineales 71
vI
+
−
R
rZ
+
−
v1
VZ0
rZ
+
R v2 R rZ
Figura 2.53: Circuitos que determinan las tensiones v1, v2 yv3.
donde iL,max es el máximo valor deiL.
−
+
iL v3
La insensibilidad de la tensión de salida vO de un regulador de tensión a variaciones en la
tensión de entrada vI y la corriente de carga iL suele ser medida usando las denominadas regulaciones
de línea y de carga. La regulación de línea es definida como ∂vO/∂vI. La regulación
de carga es definida como ∂vO/∂iL. En general, al aumentar vI aumenta vO y al aumentar iL
disminuye vO, implicando que la regulación de línea sea positiva y la regulación de carga sea
negativa. En un buen regulador de tensión la regulación de línea debe ser mucho menor a 1 y
el valor absoluto de la regulación de carga debe ser pequeño. Calcularemos las dos regulaciones
para el regulador de tension basado en un diodo Zener. Ello requiere determinar en el circuito
de la Figura 2.52 vO en función de vI e iL. Ello se puede hacer de varias maneras. Para ilustrar
las diferentes metodologías de análisis de circuitos lineales utilizaremos el principio de superposición.
De acuerdo con dicho principio, la tensión vO puede ser expresada como v1 + v2 + v3,
siendov1 la tensiónvO proporcional avI obtenida cuando se anulan la fuente de tensión de valor
VZ0 y la fuente de corriente de valor iL, siendo v2 la tensión vO proporcional a VZ0 obtenida al
anular la fuente de tensión de valor vI y la fuente de corriente de valor iL, y siendo v3 la tensión
vO proporcional aiL obtenida al anular las fuentes de tensión de valoresvI yVZ0. Una fuente de
tensión se anula cortocircuitándola. Una fuente de corriente se anula sustituyéndola por un circuito
abierto. Dicho análisis se puede hacer porque, siendo el circuito lineal, vO es una función
lineal de vI, VZO e iL, y con vI = VZO = iL = 0, vo = 0. Teniendo en cuenta todo ello, v1, v2
yv3 estarán determinados por los circuitos de la Figura 2.53.
y
El análisis de los circuitos de la figura da
v1 = rZ
vI ,
R+rZ
v2 = R
VZ0,
R+rZ
v3 = − RrZ
iL,
R+rZ
vO = rZ
vI +
R+rZ
R
VZ0 −
R+rZ
RrZ
iL.
R+rZ
Finalmente, derivando respecto vI y respecto iL, se obtiene
∂vO
∂vI
= rZ
,
R+rZ
−

72 2 Diodo de Unión y Circuitos
vI
iL
V IN
LM317
ADJ
0
V OUT
iL
vO
Figura 2.54: Regulador de tensión monolítico.
∂vO
= −
∂iL
RrZ
.
R+rZ
La regulación de línea disminuye al aumentar R; el valor absoluto de la regulación de carga,
sin embargo, aumenta al aumentar R. Normalmente la regulación de línea será más importante
que la regulación de carga e interesará escoger la mayor R posible que garantize el correcto
funcionamiento del regulador. Ello conduce a
R = vI,min −VZ0 −rZiZ,min
iZ,min +iL,max
El regulador de tensión basado en un diodo Zener es el más sencillo, pero no tiene muy
buenas características. Existen reguladores de tensión monolíticos con muchas mejores características.
Dichos reguladores integran un transistor de unión bipolar y un amplificador operacional.
La Figura 2.54 muestra un regulador monolítico que proporciona una tensión vO = 1,25 V con
una corriente de salida máxima iL,max = 1,5 A. La corriente de entrada al regulador es con mucha
precisión igual a la corriente de salida iL. Para que el regulador funcione correctamente es
necesario vI −vO ≥ 3 V. Las regulaciones de línea y de carga de ese regulador son excelentes:
∂vO
∂vI
≤ 2,25×10−4 ,
∂vO
∂iL
≤ 0,0025Ω.
Es posible diseñar un regulador de tensión con muy buenas características con una tensión
de salida vO > 1,25 V utilizando el regulador analítico anterior. El circuito necesario se
muestra en la Figura 2.55. Las resistencias R1 yR2 introducen una realimentación negativa. Los
condensadores estabilizan dicha realimentación. El valor de la tensión de salidavO puede ser determinado
fácilmente considerando que por las dos resistencias circula la misma corriente. Ello
hace que vO esté en relación con 1,25 V como R1 +R2 está en relación con R1, obteniéndose
vO
1,25 V = R1 +R2
R1
vO =
1+ R2
R1
.
= 1+ R2
,
R1
1,25 V.
La tensión de salida vO puede ser, por tanto, ajustada a cualquier valor ≥ 1,25 V ajustando el
valor de la resistencia variable R2.

2.13 Fuentes de alimentación lineales 73
vI
0,1 µF
V IN
0
LM317
ADJ
R2
V OUT
R1
+
1 µF
Figura 2.55: Regulador de tensión ajustable.
vO

74 2 Diodo de Unión y Circuitos

Capítulo 3
Transistores de Unión Bipolares y
Circuitos
El estado de conducción de un diodo no puede ser controlado con independencia del circuito de
carga. Un transistor es un dispositivo con tres terminales en el que el estado de conducción entre
dos de ellos puede ser controlado mediante una corriente o una tensión en el tercero. Existen dos
tipos de transistores importantes: los transistores de unión bipolares y los MOSFETs. En este
capítulo nos dedicaremos a los primeros.
Existen dos transistores de unión bipolares: el npn y el pnp. La Figura 3.1 muestra el símbolo
y estructura física del transistor de unión bipolar npn. Los tres terminales del dispositivo son
denominados base (B), emisor (E) y colector (C). La estructura física incluye dos uniones pn:
la unión de emisor (UE) y la unión de colector (UC). La base es obtenida mediante un contacto
metálico con la única zona p del dispositivo. El emisor y el colector son obtenidos mediante
contactos metálicos con cada una de las dos zonas n del dispositivo. Las corrientes de base
IB y de colector IC se consideran positivas cuando son entrantes; la corriente de emisor IE se
considera positiva cuando es saliente. Dichos sentidos convencionales para las corrientes son
utilizados para que normalmente todas las corrientes sean o despreciables o positivas.
La Figura 3.2 muestra el símbolo y la estructura física del transistor de unión bipolar pnp. La
npn
base B
IB
colector
C
IC
IE
E
emisor
UE UC
n p n
E C
Figura 3.1: Símbolo y estructura física del transistor de unión bipolar npn.
B

76 3 Transistores de Unión Bipolares y Circuitos
pnp
base B
IB
colector
C
IC
IE
E
emisor
UE UC
p n p
E C
Figura 3.2: Símbolo y estructura física del transistor de unión bipolar pnp.
estructura física de dicho transistor es complementaria de la del npn y se obtiene intercambiando
zonas p y zonas n. Las corrientes de base IB y de colector IC se consideran positivas cuando
son salientes; la corriente de emisorIE se considera positiva cuando es entrante. Dichos sentidos
convencionales para las corrientes son utilizados para que normalmente todas las corrientes sean
o despreciables o positivas.
Los transistores de unión bipolares pueden trabajar en cuatro zonas dependiendo del sentido
de polarización de las uniones de emisor y colector. Cuando las dos uniones están polarizadas
inversamente el dispositivo trabaja en la zona corte. Cuando la unión de emisor está polarizada
directamente y la unión de colector está polarizada inversamente el dispositivo trabaja en la zona
activa directa, o simplemente activa. Cuando la unión de colector está polarizada directamente y
la unión de emisor está polarizada inversamente el dispositivo trabaja en la zona activa inversa.
Finalmente, cuando las dos uniones están polarizadas directamente el dispositivo trabaja en la
zona saturación. El trabajo del dispositivo en la zona activa inversa es bastante raro.
3.1. Comportamiento del transistor de unión bipolar en la zona activa
directa
Para concretar, analizaremos el comportamiento en la zona activa directa del transistor de unión
bipolar npn. El comportamiento en esa zona del transistor de unión bipolar pnp es en todo similar,
con los cambios obvios. El transistor de unión bipolar npn trabaja en la zona activa directa
cuando la unión de emisor está polarizada directamente y la unión de colector está polarizada
inversamente. Supondremos que las tensiones de polarización de las uniones son en valor absoluto
muy superiores al potencial equivalente de temperatura VT . Ello implica VBE ≫ VT y
VCB ≫ VT . También supondremos: 1) WE ≫ LpE, donde WE es la anchura del emisor y LpE
es la longitud de difusión de los huecos en el emisor, 2) WB ≪ LnB, donde WB es la anchura
de la base y LnB es la longitud de difusión de los electrones en la base, 3) WC ≫ LpC, donde
WC es la anchura del colector y LpC es la longitud de difusión de huecos en el colector, y 4)
NELpE ≫ NBWB, donde NE es el dopaje efectivo del emisor y NB es el dopaje efectivo de la
base.
La Figura 3.3 ilustra el comportamiento cualitativo del transistor. Despreciando, como se
hizo en la deducción del modelo de continua del diodo, los campos eléctricos en las zonas neu-
B

3.1 Comportamiento del transistor de unión bipolar en la zona activa directa 77
IE
E
NE
Voe − VBE
WE WB WC
UE
NB
UC
n p
electrones
n
huecos
IB
VBE ≫ VT
difusión
recombinación
B
Voc + VCB
C
VCB ≫ VT
Figura 3.3: Comportamiento cualitativo del transistor de unión bipolar npn en la zona activa
directa.
tras del emisor, base y colector, la tensión de polarización directa de la unión del emisor, VBE,
reducirá el potencial de la unión del emisor del valor que tendría dicha unión aislada y en equilibrio,
Voe, al valor Voe −VBE. La tensión de polarización inversa de la unión de colector, VCB,
aumentará el potencial de la unión de colector del valor que tendría dicha unión aislada y en
equilibrio, Voc, al valor Voc + VCB. Habiéndose reducido el potencial de la unión del emisor,
dentro de la región de vaciamiento de la unión del emisor, los flujos por difusión dominarán a
los flujos por arrastre y habrá, dentro de la región de vaciamiento, un flujo de huecos de la base
al emisor y un flujo de electrones del emisor a la base, pero si se cumplen las condiciones
mencionadas antes, el primero será despreciable frente al segundo. En la zona neutra del emisor
habrá un flujo de electrones por difusión que en la frontera con la región de vaciamiento será
igual al flujo de electrones a través de la región de vaciamiento. La concentración de electrones
libres en la zona neutra de la base será mayor que la que tendría la base aislada y en equilibrio
y habrá una recombinación neta de electrones, pero si se cumplen las condiciones anteriores, el
flujo de electrones que llegará por difusión a la región de vaciamiento de la unión de colector
será aproximadamente igual al flujo de electrones inyectados del emisor a la base. Dicho flujo
pasará a través de la región de vaciamiento de la unión de colector al colector. Estando la unión
de colector polarizada inversamente, también habrá un flujo de huecos a través de la región de
vaciamiento de la unión de colector del colector a la base, pero si se cumplen las condiciones
anteriores, dicho flujo será despreciable. Ello hará que la corriente de colector sea menor, pero
muy próxima, a la corriente de emisor. Dicho efecto es denominado efecto transistor y hace que
el comportamiento del dispositivo sea significativamente distinto al de dos diodos en oposición,
donde la corriente de colector con las tensiones de polarización supuestas sería despreciable.
Analizando cuantitativamente el comportamiento del dispositivo, demostraremos que éste
IC

78 3 Transistores de Unión Bipolares y Circuitos
E
IE
B
Figura 3.4: Modelo aproximado del transistor de unión bipolar npn en la zona activa directa.
x ′′
n
IE
InE
IpE
UE
pE nB
αIE
Wef B
p
IdnB
C
UC
x ′
Wef B
Figura 3.5: Corrientes significativas y perfiles de concentraciones de portadores de carga minoritarios
en las zonas neutras del emisor y la base.
se comporta tal y como indica la Figura 3.4, es decir como un diodo entre la base y el emisor con
una cierta corriente inversa de saturación y una fuente de corriente controlada entre la base y el
colector que crea una corriente de colector IC = αIE, donde α es aproximadamente constante,
< 1, pero próxima a 1.
Para ello, calcularemos las corrientes IC e IE. La Figura 3.5 muestra las corrientes que intervendrán
en dicho cálculo y los perfiles de concentraciones de portadores de carga minoritarios
en las zonas neutras del emisor y la base. InE es la corriente debida a los electrones libres inyectados
desde el emisor a la base; IpE es la corriente debida a los huecos inyectados desde la
base al emisor; IdnB es la corriente de difusión de electrones en la zona neutra de la base; InC
es la corriente debida a los electrones recogidos por el colector. Finalmente, Wef B es la anchura
efectiva de la base, es decir la anchura de la zona neutra de la base. También existe una corriente
IpC a través de la región de vaciamiento de la unión de colector debida a huecos inyectados del
colector a la base, pero, dado que WC es ≫ LpC, dicha corriente tiene el mismo valor que en el
“diodo” formado por la base y el colector, y estando dicho “diodo” polarizado inversamente, es
despreciable.
Empezaremos deduciendo el perfil de la concentración de electrones libres en la zona neutra
de la base. SeanB la concentración de electrones libres en la zona neutra de la base y seanBo =
n 2 i /NB la concentración de electrones libres en el semiconductor que forma dicha zona neutra
aislado y en equilibrio. Al igual que en la zona neutra p de un diodo de unión, dicho perfil está
InC
n
IC

3.1 Comportamiento del transistor de unión bipolar en la zona activa directa 79
regido por la ecuación diferencial
d 2 (nB −nBo)
dx ′2
La solución genérica de dicha ecuación diferencial es
= 1
L2 (nB(x
nB
′ )−nBo).
nB(x ′ )−nBo = K1e −x′ /LnB +K2e x′ /LnB .
Siendo WB ≪ LnB, tendremos x ′ /LnB ≤ Wef B/LnB < WB/LnB ≪ 1, y podremos aproximare−x′
/LnB yex′ /LnB con los dos primeros términos de sus series de Mac-Laurin, obteniéndose
nB(x ′
)−nBo = K1 1− x′
+K2 1+
LnB
x′
= A+B
LnB
x′
.
LnB
Las condiciones de contorno que permiten determinar los valores de las constantesA yB pueden
ser obtenidas aplicando las leyes de la unión para electrones correspondientes a las uniones de
emisor y de colector. La primera da nB(0) = nBoe VBE/VT = (n 2 i /NB)e VBE/VT . La segunda da
nB(Wef B) = nBoe −VCB/VT ≈ 0, pues VCB ≫ VT . Se obtiene
nB(x ′
) = nB(0) 1− x′
,
Wef B
que es el perfil de concentración de electrones libres en la zona neutra de la base representado en
la Figura 3.5. A partir de dicho perfil se puede determinar el valor de la corriente IdnB. Siendo
A la sección del transistor, JdnB la densidad de corriente de difusión de electrones en la zona
neutra de la base, con el mismo sentido que IdnB, y DnB la constante de difusión de electrones
en la base, se obtiene
IdnB(x ′ ) = AJdnB(x ′ ) = AqDnB
dnB
= −AqDnBnB(0) = −
dx ′ Wef B
AqDnBn2 i
NBWef B
e VBE/VT .
Tal como se hizo al deducir el modelo de continua de un diodo de unión, IC = InC puede ser
calculada como corriente de difusión de electrones libres en la frontera de la zona neutra de la
base con la región de vaciamiento de la unión de colector. Teniendo en cuenta que InC e IdnB
tienen sentidos contrarios, se obtiene
IC = InC = −IdnB(Wef B) = AqDnBn 2 i
NBWef B
e VBE/VT . (3.1)
Para calcular IE debemos calcular InE e IpE. InE se puede calcular como corriente de
difusión de electrones en la frontera de la zona neutra de la base con la región de vaciamiento de la
unión de emisor. La expresión que se ha deducido paraIdnB(x ′ ) establece que dicha corriente no
depende de x ′ . Ello es esencialmente debido a que el perfil de nB(x ′ ) tiene pendiente constante.
Pero no debemos olvidar que dicho perfil es aproximado. En realidad, siendo VBE ≫ VT , en
casi todos los puntos de la zona neutra de la base nB(x ′ ) ≫ nBo, por lo que en casi todos
los puntos de la zona neutra de la base habrá una tasa de recombinación neta de electrones de
valor (nB(x ′ ) − nBo)/τnB ≈ nB(x ′ )/τnB, donde τnB es la vida media de los electrones en
la base. Dicha tasa neta de recombinación de electrones requiere que el flujo de electrones que

80 3 Transistores de Unión Bipolares y Circuitos
entran en la zona neutra de la base desde la región de vaciamiento de la unión de emisor sea
ligeramente mayor que el flujo de electrones que salen de la zona neutra de la base por la región
de vaciamiento de la unión de colector. Haciendo un balance de esos flujos con la pérdida de
electrones libres por recombinación neta, obtenemos, teniendo en cuenta que la carga del electrón
es−q,
Ello da
IdnB(0)
−q = IdnB(Wef
Wef B
B) nB(x
+
−q 0
′ )
Adx
τnB
′ ,
Wef B
nB(x
τnB 0
′ )dx ′ .
−IdnB(0) = −IdnB(Wef B)+ Aq
InE = −IdnB(0) = −IdnB(Wef B)+ Aq
Wef B
nB(x
τnB 0
′ )dx ′
= AqDnBn 2 i
NBWef B
= AqDnBn 2 i
NBWef B
y, utilizando L2 nB = DnBτnB,
InE =
= AqDnBn 2 i
NBWef B
e VBE/VT + AqWef BnB(0)
2τnB
e VBE/VT + AqWef Bn 2 i
2τnBNB
e VBE/VT ,
AqDnBn2 i +
NBWef B
AqDnBWef Bn2 i
2NBL2
e
nB
VBE/VT
1+ 1
2
Wef B
e
2
VBE/VT .
La corriente IpE puede ser calculada como corriente de difusión de huecos en la frontera de
la zona neutra del emisor con la región de vaciamiento de la unión de emisor. SiendoWE ≫ LpE,
dicha corriente tendrá el mismo valor que la corriente en un diodo, y, siendoDpE la constante de
difusión de huecos en el emisor, tendremos
IpE = AqDpEn 2 i
NELpE
NBWef B
LnB
e VBE/VT
−1 ≈ AqDpEn2 i
NELpE
LnB
e VBE/VT ,
pues VBE ≫ VT . La corriente de emisor resultará, por tanto, ser aproximadamente igual a
AqDnBn
IE = InE +IpE =
2
i 1+ 1
2
Wef B
2
e VBE/VT . (3.2)
+ AqDpEn 2 i
NELpE
Así pues, teniendo en cuenta que VBE ≫ VT , la corriente IE tendrá aproximadamente el
valor de la corriente de un diodo de unión entre la base y el emisor tal y como el representado en
la Figura 3.4 con corriente inversa de saturación
ISE = AqDnBn 2 i
NBWef B
1+ 1
2
Wef B
LnB
2
+ AqDpEn 2 i
NELpE
.

3.2 Modelos de Ebers-Moll de los transistores de unión bipolares sin modulación de la
anchura de la base 81
Por otro lado, combinando (3.1) y (3.2), obtenemos
α = IC
IE
=
AqDnBn 2 i
NBWef B
1+ 1
2
AqDnBn 2 i
NBWef B
Wef B
LnB
2
+ AqDpEn 2 i
NELpE
Las regiones de vaciamiento serán, en general, estrechas comparadas con la base, Wef B ≈ WB,
independiente de VBE y VCB, y α será aproximadamente constante. Comparando el numerador
y el denominador de la expresión para α, resulta evidente que α < 1, pero que, siendo Wef B <
WB ≪ LnB yNELpE ≫ NBWB > NBWef B, α ≈ 1.
3.2. Modelos de Ebers-Moll de los transistores de unión bipolares
sin modulación de la anchura de la base
Analizando el caso general para las tensiones de polarización de las uniones de emisor y colector
del transistor de unión bipolar npn, con las hipótesis WE ≫ LpE y WC ≫ LpC, y suponiendo
Wef B = WB, es posible obtener el modelo de Ebers-Moll sin modulación de la anchura de la
base para el transistor. Dicho modelo está representado en la Figura 3.6 y tiene cuatro parámetros:
las corrientes inversas de saturación de los diodos, ISE e ISC, y los factores αF y αR que
determinan los valores de las fuentes de corriente controladas. Informalmente, las fuentes de corriente
controladas modelan los efectos transistor del emisor al colector y del colector al emisor.
Los valores de dichos parámetros en función de la anchura de la base, WB, los dopajes efectivos
de la base, emisor y colector, NB,NE yNC, la longitud de difusión de los electrones en la base,
LnB, las longitudes de difusión de los huecos en el emisor y colector, LpE y LpC, la constante
de difusión de los electrones en la base, DnB, y las constantes de difusión de los huecos en el
emisor y colector, DpE yDpC, son, suponiendo WB ≫ LnB,
ISE = AqDnBn 2 i
NBWB
αF =
AqDnBn 2 i
NBWB
ISC = AqDnBn 2 i
NBWB
αR =
AqDnBn 2 i
NBWB
1+ 1
2
1+ 1
2
1+ 1
2
1+ 1
2
WB
LnB
AqDnBn 2 i
NBWB
WB
LnB
WB
LnB
AqDnBn 2 i
NBWB
WB
LnB
2
2
2
2
+ AqDpEn 2 i
NELpE
+ AqDpEn 2 i
NELpE
+ AqDpCn 2 i
NCLpC
+ AqDpCn 2 i
NCLpC
,
,
,
.
.

82 3 Transistores de Unión Bipolares y Circuitos
E
IE
ISE
IDE
αRIDC
B
ISC
IDC
αFIDE
IB
Figura 3.6: Modelo de Ebers-Moll para el transistor de unión bipolar npn.
Los cuatro parámetros no son independientes. Es fácil comprobar que
αFISE = αRISC = AqDnBn 2 i
NBWB
donde IS es la llamada corriente de saturación del transistor.
IC
C
= IS ,
De modo similar, se puede obtener el modelo de Ebers-Moll sin modulación de la anchura
de la base del transistor de unión bipolar pnp. Las hipótesis son WE ≫ LnE, WC ≫ LnC y
Wef B = WB. Dicho modelo se representa en la Figura 3.7. Los valores de sus cuatro parámetros
en función de la anchura de la base, WB, los dopajes efectivos de la base, emisor y colector, NB,
NE y NC, la longitud de difusión de los huecos en la base, LpB, las longitudes de difusión de
los electrones en el emisor y colector, LnE y LnC, la constante de difusión de los huecos en la
base, DpB, y las constantes de difusión de los electrones en el emisor y colector, DnE y DnC,
son, suponiendo WB ≫ LpB,
2
ISE = AqDpBn 2 i
NBWB
αF =
AqDpBn 2 i
NBWB
ISC = AqDpBn 2 i
NBWB
αR =
AqDpBn 2 i
NBWB
1+ 1
2
1+ 1
2
1+ 1
2
1+ 1
2
WB
LpB
AqDpBn 2 i
NBWB
WB
LpB
WB
LpB
AqDpBn 2 i
NBWB
WB
LpB
2
2
2
+ AqDnEn 2 i
NELnE
+ AqDnEn 2 i
NELnE
+ AqDnCn 2 i
NCLnC
+ AqDnCn 2 i
NCLnC
De nuevo, los cuatro parámetros no son independientes. Es fácil comprobar que
αFISE = αRISC = AqDpBn 2 i
NBWB
donde IS es la llamada corriente de saturación del transistor.
= IS ,
,
,
,
.

3.3 Comportamiento del transistor de unión bipolar en las cuatro zonas 83
ISE
ISC
IE
E IDE IDC
αRIDC
B
αFIDE
IB
Figura 3.7: Modelo de Ebers-Moll para el transistor de unión bipolar pnp.
3.3. Comportamiento del transistor de unión bipolar en las cuatro
zonas
En este apartado caracterizaremos el comportamiento eléctrico del transistor de unión bipolar
en cada de una de las cuatro posibles zonas de trabajo utilizando el modelo de Ebers-Moll sin
modulación de la anchura de la base descrito en el apartado anterior. Para concretar, solo consideraremos
explícitamente el transistor de unión bipolar npn. El comportamiento del transistor de
unión bipolar pnp es en todo análogo con los cambios obvios.
El transistor trabajará en la zona activa directa cuando la unión de emisor esté polarizada
directamente y la unión de colector esté polarizada inversamente. Ello se traduce en VBE > 0
y VBC < 0. Siendo VBC < 0, la corriente IDC por el diodo del modelo de Ebers-Moll que
modela la unión de colector será despreciable, es decir tendremos IDC ≈ 0. Siendo IDC ≈
0, la corriente for la fuente de corriente controlada que en el modelo de Ebers-Moll modela
el efecto transistor del colector al emisor será despreciable, y el comportamiento eléctrico del
transistor vendrá determinado aproximadamente por el circuito de la Figura 3.8. Obviamente,
tendremos IC ≈ αFIDE. Además, aplicando la primera ley de Kirchoff al nodo interno del
circuito, tendremos IB ≈ IDE −αFIDE = (1−αF)IDE. Introduciendo el parámetro βF
tendremos
e
Además,
βF = αF
1−αF
αF = βF
βF +1 ,
1−αF =
IC
IB
,
1
βF +1 ,
IB ≈ IDE
βF +1 .
≈ αF
1−αF
Dado que IDE = ISE(e VBE/VT −1), tendremos
IB ≈ ISE
βF +1
= βF .
e VBE/VT −1
IC
,
C

84 3 Transistores de Unión Bipolares y Circuitos
IE ISE
E C
IDE
B
IB
αFIDE
Figura 3.8: Modelo de Ebers-Moll aproximado del transistor de unión bipolar npn trabajando en
la zona activa directa.
IB > 0
B
C
E
βFIB
(βF + 1)IB
Figura 3.9: Corrientes aproximadas en el transistor de unión bipolar npn trabajando en la zona
activa directa.
y, aplicando la primera ley de Kirchoff,
IC ≈ βFIB,
IE ≈ (βF +1)IB .
Siendo VBE > 0, IB será aproximadamente > 0 y las corrientes por el transistor tendrán aproximadamente
el comportamiento de la Figura 3.9. El parámetro αF es < 1 pero normalmente es
muy próximo a 1, haciendo que βF sea ≫ 1. Entonces, se tendrá aproximadamente que en la
zona activa directa una pequeña corriente de base es suficiente para controlar el paso de colector
a emisor de una corriente mucho mayor.
El transistor trabajará en la zona activa inversa cuando la unión de colector esté polarizada
directamente y la unión de emisor esté polarizada inversamente. Tendremos, por tanto, VBC > 0
y VBE < 0. Siendo VBE < 0, la corriente IDE por el diodo del modelo de Ebers-Moll que
modela la unión de emisor será despreciable, es decir, tendremos IDE ≈ 0. Siendo IDE ≈ 0,
la corriente por la fuente de corriente controlada que en el modelo de Ebers-Moll modela el
efecto transistor del emisor al colector será también despreciable, y el transistor se comportará
aproximadamente de acuerdo con el circuito de la Figura 3.10. Dicho circuito es simétrico al
correspondiente a la zona activa directa. Por tanto, introduciendo el parámetro βR
βR = αR
,
1−αR
y teniendo en cuenta los sentidos convencionales de IC e IE, tendremos
IC
IB ≈ ISC
e
βR +1
VBC/VT
−1 ,

3.3 Comportamiento del transistor de unión bipolar en las cuatro zonas 85
E
IE
αRIDC
IB
B
ISC IC
Figura 3.10: Modelo de Ebers-Moll aproximado del transistor de unión bipolar npn trabajando
en la zona activa inversa.
IB > 0
B
C
E
(βR + 1)IB
βRIB
Figura 3.11: Corrientes aproximadas en el transistor de unión bipolar npn trabajando en la zona
activa inversa.
e
IC ≈ −(βR +1)IB
IE ≈ −βRIB.
Siendo VBC > 0, IB será aproximadamente > 0 y las corrientes del transistor tendrán el comportamiento
aproximado de la Figura 3.11. Típicamente αR no es próxima a 1 y βR no es ≫ 1.
Ello hace poco interesante el funcionamiento del transistor en la zona activa inversa.
El transistor trabajará en la zona corte cuando las dos uniones estén polarizadas inversamente.
Ello se traduce en VBE < 0 y VBC < 0. Las corrientes IDE e IDC por los diodos que en el
modelo de Ebers-Moll modelan las uniones serán despreciables, todas las corrientes del modelo
de Ebers-Moll serán despreciables y tendremos IB ≈ 0, IC ≈ 0 eIE ≈ 0.
El transistor trabajará en la zona saturación cuando las dos uniones estén polarizadas directamente.
Ello se traduce en VBE > 0 y VBC > 0. En esas condiciones, ni IDE ni IDC serán
despreciables y el modelo de Ebers-Moll no puede ser simplificado. Es posible, sin embargo,
analizar las corrientes por el transistor considerando que éstas son la suma de las debidas a IDE
y a IDC. En la Figura 3.12, las debidas a IDE son indicadas en cuadrado azul y las debidas a
IDC son indicadas en cuadrado rojo con trazo discontinuo. Si denotamos con el subíndice E las
primeras y con el subíndice C las segundas, recogiendo los resultados de los análisis realizados
para las zonas activa directa y activa inversa, tendremos
IDC
IBE = ISE
e
βF +1
VBE/VT
−1 ,
IBC = ISC
e
βR +1
VBC/VT
−1 ,
C

86 3 Transistores de Unión Bipolares y Circuitos
IE
E
ISE
IB
ISC
C
IC
E IDE IDC C
αRIDC
B
αFIDE
Figura 3.12: Modelo de Ebers-Moll del transistor de unión bipolar npn indicando las componentes
en que pueden ser descompuestas las corrientes.
e
B
C
E
< βF IB
IB > 0 IB > 0
B
C
E
IB > 0
B
< βRIB
Figura 3.13: Corrientes en el transistor de unión bipolar npn trabajando en saturación.
IB = IBE +IBC .
Siendo VBE > 0 y VBC > 0, tendremos IBE > 0 e IBC > 0, que implica IB > 0. Así pues, en
un transistor de unión bipolar npn la corriente de base IB o es despreciable o es> 0, pero nunca
será apreciable y< 0. Con respecto a las corrientes de colector y de emisor, tenemos
e
IC = ICE +ICC = βFIBE −(βR +1)IBC
IE = IEE +IEC = (βF +1)IBE −βRIBC .
Pueden considerarse tres casos: 1) βFIBE > (βR + 1)IBC, 2) βRIBC > (βF + 1)IBE, 3)
(βF/(βR +1))IBE < IBC < ((βF +1)/βR)IBE. En el caso 1) tenemos 0 < IC < βFIBE <
βFIB. Dicho caso queda reflejado en la parte izquierda de la Figura 3.13. En el caso 2) tenemos
IE < 0 y menor en valor absoluto que βRIBC < βRIB. Dicho caso queda reflejado en la parte
central de la Figura 3.13. El caso 3) queda reflejado en la parte derecha de la Figura 3.13.
3.4. Características en emisor común
El transistor de unión bipolar tiene tres terminales y puede ser visto como un cuadripolo si uno
de ellos es considerado polo de entrada y salida mientras que de los otros dos uno es considerado
C
E

3.4 Características en emisor común 87
B
+
IB
VBE
C
−
E
IC
+
−
VCE
Figura 3.14: Configuración en emisor común del transistor de unión bipolar npn.
VBE
IB
B
C
E
VCE ≥ 0
Figura 3.15: Circuito que puede ser utilizado para determinar las características de entrada en
emisor común de un transistor de unión bipolar npn.
polo de entrada y otro polo de salida. Las características en emisor común de un transistor de
unión bipolar son las características eléctricas del cuadripolo obtenido tomando el emisor como
polo de entrada y de salida, la base como el otro polo de entrada y el colector como el otro polo de
salida. Es la configuración considerada más habitualmente, pues es esa la configuración en la que
las características eléctricas del dispositivo son más intuitivas. En este apartado consideraremos,
presentaremos y justificaremos parcialmente las características en emisor común de un transistor
de unión bipolar npn utilizando el modelo de Ebers-Moll sin modulación de la anchura de la
base. Posteriormente, presentaremos las características en emisor común del transistor de unión
bipolar pnp sin justificación.
La Figura 3.14 muestra la configuración en emisor común del transistor de unión bipolar
npn. Como variables de entrada se consideran la tensión base-emisor VBE y la corriente de base
IB. Como variables de salida se consideran la tensión colector-emisor VCE y la corriente de
colector IC. Las características de entrada dan la corriente de base IB en función de la tensión
base-emisor VBE como variable principal y la tensión colector-emisor VCE como variable secundaria.
Las características de salida dan la corriente de colector IC en función de la tensión
colector-emisor VCE como variable principal y la corriente de baseIB como variable secundaria.
Empezaremos analizando las características de entrada, suponiendo VCE ≥ 0. Para ello
podemos considerar el circuito de la Figura 3.15. Tenemos que determinar IB en función deVBE
y VCE. La tensión de polarización de la unión de colector VBC vale, en función de VBE y VCE,
VBC = VBE − VCE. Para VBE < 0, dado que suponemos VCE ≥ 0, tendremos VBC < 0, el
transistor trabajará en la zona corte y tendremos IB ≈ 0. El caso VBE > 0 es más complicado.
Para VCE < VBE, tendremos VBC > 0 y el transistor trabajará en la zona saturación. Para
VCE > VBE, tendremos VBC < 0 y el transistor trabajará en la zona activa directa.

88 3 Transistores de Unión Bipolares y Circuitos
IB
1 mA
CORTE
SATURACIÓN
0,7 V
VCE = 0
VCE > 0
VCE = ∞
ACTIVA DIRECTA
Figura 3.16: Características típicas de entrada en emisor común de un transistor de unión bipolar
npn.
Recuperando la expresión paraIB que obtuvimos al analizar el comportamiento del transistor
en saturación, tenemos
VBE
IB = ISE
e
βF +1
VBE/VT
−1 + ISC
e
βR +1
VBC/VT
−1 .
ParaVCE = 0 tendremos VBC = VBE y podremos escribir
ISE ISC
IB = + e
βF +1 βR +1
VBE/VT
−1 .
Así pues, para VCE = 0, IB dependerá de VBE como depende la corriente directa de la tensión
ánodo-cátodo en un diodo con corriente inversa de saturación ISE/(βF +1) + ISC/(βR +1).
Al aumentar VCE con VBE constante, VBC disminuirá, disminuirá el segundo término de la
expresión paraIB eIB disminuirá. ParaVCE → ∞, conVBE constante, tendremosVBC → −∞,
el segundo término de la expresión para IB tenderá a−ISC/(βR +1), e
IB → ISE
e
βF +1
VBE/VT
−1 − ISC
ISE
≈ e
βR +1 βF +1
VBE/VT
−1 .
Así pues, al aumentarVCE la característicaIB en función deVBE tenderá muy aproximadamente
a la característica tensión-corriente de un diodo con corriente inversa de saturación ISE/(βF +
1), menor que la correspondiente a VCE = 0. La Figura 3.16 ilustra la forma que tienen las
características de entrada en emisor común del transistor, indicando las zonas en las que trabaja
el transistor. La entrada en la zona activa directa al aumentar VCE queda justificada por el hecho
de que con VBE > 0 y constante, al aumentar VCE desde 0, VBC se hará < 0 a partir de una
tensión VCE igual a VBE. En la figura se supone que los parámetros del transistor son tales que
para VCE = 0, IB alcanza un valor del orden de1 mA para una tensión VBE del orden de 0,7 V.
Analizemos a continuación las características de salida. Para ello debemos analizar el circuito
de la Figura 3.17 y determinar IC en función de VCE e IB. Lo haremos suponiendo VCE ≥ 0
e IB > 0. Los casos IB = 0 e IB negativa pero despreciable se obtienen por continuidad como
el límite para IB → 0 con IB > 0, cubriendo las características de salida en emisor común para

3.4 Características en emisor común 89
IB > 0
B
C
E
IC
VCE ≥ 0
Figura 3.17: Circuito que puede ser utilizado para determinar las características de salida en
emisor común de un transistor de unión bipolar npn.
VCE ≥ 0, puesIB nunca es significativamente negativa. Resultará que conVCE ≥ 0 eIB > 0 el
transistor trabajará en la zona activa directa o en la zona saturación.
Empezaremos determinando VBE en función deVCE eIB. Recordando el análisis realizado
al determinar el comportamiento eléctrico del transistor en saturación, IB = IBE +IBC, con
e
IBE = ISE
e
βF +1
VBE/VT
−1
IBC = ISC
e
βR +1
VBC/VT
−1 .
Utilizando VBC = VBE −VCE, podemos reescribir IBC como
obteniéndose
IBC = ISC
e
βR +1
VBE/VT
−VCE/VT e −1 ,
IB = ISE
e
βF +1
VBE/VT
−1 + ISC
e
βR +1
VBE/VT
−VCE/VT e −1 ,
ISE ISC
+
βF +1 βR +1 +IB
ISE ISC
= +
βF +1 βR +1 e−VCE/VT
e VBE/VT .
Despejando VBE, obtenemos
⎛
⎜
VBE = VT ln⎜
⎝
ISE ISC
+
βF +1 βR +1 +IB
ISE
βF +1
+ ISC
βR +1 e−VCE/VT
⎞
⎟
⎠ . (3.3)
SiendoVCE ≥ 0 eIB > 0, el numerador de la fracción será mayor que el denominador. Además.
ambos son positivos, el logaritmo será > 0, y tendremos VBE > 0, implicando que la unión
de emisor estará polarizada directamente. Para determinar el sentido de la polarización de la
unión de colector, encontraremos una expresión para VBC en función de VCE e IB. Utilizando
VBE = VBC +VCE, llegamos a
IBE = ISE
e
βF +1
VBC/VT
VCE/VT e −1 ,

90 3 Transistores de Unión Bipolares y Circuitos
que da para IB la expresión
Obtenemos
y
IB = ISE
e
βF +1
VBC/VT
VCE/VT e −1 + ISC
e
βR +1
VBC/VT
−1 .
ISE ISC
+
βF +1 βR +1 +IB
ISE
=
βF +1 eVCE/VT
ISC
+ e
βR +1
VBC/VT
⎛
ISE ISC
⎜
+
VBC = VT ln⎜
βF +1 βR +1
⎝
+IB
ISE
βF +1 eVCE/VT ⎞
⎟
ISC ⎠ . (3.4)
+
βR +1
Dado que tanto el numerador como el denominador son positivos, el logaritmo yVBC serán > 0
si y solo si
ISE
βF +1 +IB > ISE
βF +1 eVCE/VT ,
⎜
VCE < VT ln⎜
⎝
Además, VBC será < 0 si y solo si
En resumen, siendo
e VCE/VT
IB
< 1+
ISE
βF +1
⎛
1+ IB
ISE
βF +1
⎞
,
⎟
⎠ = VCE,u(IB).
ISE
βF +1 +IB < ISE
βF +1 eVCE/VT ,
⎜
VCE > VT ln⎜
⎝
e VCE/VT
IB
> 1+
ISE
βF +1
⎛
1+ IB
ISE
βF +1
⎛
⎜
VCE,u(IB) = VT ln⎜
⎝
⎞
,
⎟
⎠ = VCE,u(IB).
1+ IB
ISE
βF +1
para VCE < VCE,u(IB) las dos uniones estarán polarizadas directamente y el transistor estará
trabajando en la zona saturación, y para VCE > VCE,u(IB), la unión de emisor estará polarizada
directamente, la unión de colector estará polarizada inversamente, y el transistor estará trabajando
en la zona activa directa.
⎞
⎟
⎠ ,

3.4 Características en emisor común 91
IC
βFIB2
βFIB1 = 50 mA
0,7 V
βF = 50
SATURACIÓN
VCE,u
IB = IB2 > IB1
ACTIVA DIRECTA IB = IB1 = 1 mA
IB = 0 oIB negativa y despreciable
Figura 3.18: Características típicas de salida en emisor común de un transistor de unión bipolar
npn.
B
VEB
−
IB
E
+
C
VCE
VEC
Figura 3.19: Configuración en emisor común del transistor de unión bipolar pnp.
La tensión VCE,u(IB), que marca la frontera con respecto a VCE entre el trabajo en saturación
y el trabajo en activa directa, crece suavemente con IB desde 0 para IB = 0. Teniendo
en cuenta que en la frontera VBC = 0 y que VBC = VBE − VCE, en la frontera tendremos
VCE,u = VBE. Un valor típico en activa directa para VBE para IB = 1 mA es 0,7 V. Por tanto,
para IB = 1 mA, un valor típico para VCE,u será 0,7 V. En activa directa, IC ≈ βFIB y en
saturación IC < βFIB. La Figura 3.18 ilustra las características de salida en emisor común de
una transistor de unión bipolar npn para βF = 50, indicando las zonas de trabajo del transistor.
Hay que hacer notar que con gran aproximación, las curvas obtenidas para los diferentes valores
deIB pasan por el origen de coordenadas. Este punto no será, sin embargo, justificado. Tampoco
será justificado el hecho de que paraIB constante,IC decrece significativamente al decrecerVCE
algo más a la izquierda que el valor VCE,u(IB).
La Figura 3.19 muestra la configuración en emisor común de un transistor de unión bipolar
pnp. En ese transistor, las corrientes de base IB y de colector IC se consideran positivas cuando
son salientes. Además, como tensiones de entrada y salida del cuadripolo se utilizanVEB yVEC.
Las características de entrada y de salida en emisor común de un transistor de unión bipolar
pnp son similares en todo a las del npn. Basta cambiar VBE por VEB y VCE por VEC. La Figura
3.20 ilustra las características de entrada. La Figura 3.21 ilustra las características de salida
+
−
IC

92 3 Transistores de Unión Bipolares y Circuitos
1 mA
CORTE
SATURACIÓN
IB
0,7 V
VEC = 0
VEC > 0
VEC = ∞
ACTIVA DIRECTA
VEB
Figura 3.20: Características típicas de entrada en emisor común de un transistor de unión bipolar
pnp.
para βF = 50. En ambos casos se supone VEC ≥ 0.
3.5. Efecto Early
Los modelos de Ebers-Moll sin modulación de la anchura de la base se han deducido suponiendo
Wef,B = WB. Esa es una aproximación que, dependiendo de los parámetros constructivos del
transistor, puede no ser precisa. El comportamiento del transistor con modulación de la anchura
de la base en la zona activa directa fue analizado en la Sección 3.1 y se obtuvo para la relación
entre la corriente de colector y la de emisor un valor α, que, de acuerdo con la nomenclatura
usada en el modelo de Ebers-Moll sin modulación de la anchura de la base, denominaremos αF ,
y vale
αF =
=
AqDnBn 2 i
NBWef,B
1+ 1
2
1+ 1
2
AqDnBn 2 i
NBWef,B
Wef,B
1
2 Wef,B
LnB
LnB
2
+ DpENBWef,B
DnBNELpE
+ AqDpEn 2 i
NELpE
Dicha expresión pone de manifiesto que αF aumenta al reducirse Wef,B.
El efecto Early consiste en el aumento en la zona activa directa de IC al aumentar VCE con
VCE ≥ 0 y mantenerse IB constante, y puede ser explicado, teniendo en cuenta que en la zona
activa directa, IC ≈ βFIB, conβF = αF/(1−αF), en base a la dependencia deαF conWef,B.
En efecto, teniendo en cuenta la forma que tienen las características de entrada en emisor común
del transistor, que no son modificadas significativamente por la modulación de la anchura de la
base, en la zona activa directa y con IB constante y no despreciable, VBE es > 0, del orden
.

3.6 Área de trabajo seguro de un transistor de unión bipolar 93
IC
βFIB2
βFIB1 = 50 mA
0,7 V
βF = 50
SATURACIÓN
VEC,u
ACTIVA DIRECTA
IB = IB2 > IB1
IB = IB1 = 1 mA
IB = 0 oIB negativa y despreciable
VEC
Figura 3.21: Características típicas de salida en emisor común de un transistor de unión bipolar
pnp.
de 0,7 V, y prácticamente independiente de VCE. Por otro lado, VBC será < 0. Consideremos
un aumento de VCE. Lo que aproximadamente pasará es lo siguiente. En primer lugar, |VBC|
aumentará. El potencial de la unión de emisor, Voe −VBE se mantendrá constante. El potencial
de la unión de colector, Voc−VBC aumentará. Ello implica (ver Sección 2.3) que la penetración
de la región de vaciamiento de la unión de emisor en la base se mantendrá constante, mientras
que la penetración de la región de vaciamiento de la unión de colector en la base aumentará.
El resultado neto será una reducción de la anchura efectiva de la base, Wef,B, y, como se ha
visto antes, un aumento de αF . Al aumentar αF , βF = αF/(1 − αF) aumentará, y, siendo IC
con IB constante proporcional a βF , IC aumentará. Si las variaciones de βF no son grandes
dependerán deVCE de forma aproximadamente lineal, eIC como función deVCE será una recta
con pendiente positiva que intersectará el ejeVCE en un punto de abcisa−VA, independiente del
valor deIB. El efecto Early podrá ser, por tanto, modelado como indica la Figura 3.22 y un valor
deIC acorde con ese comportamiento paraVCE superior a un valor del orden de 0,7 V puede ser
capturado con una expresión
IC = β ′ F
1+ VCE
IB,
VA
dondeβ ′ F es un parámetro a ajustar. Otra forma de entender el efecto Early es definir para la zona
activa directa β como IC/IB y decir que “β” aumenta linealmente con VCE.
El efecto Early en los transistores de unión bipolares pnp es similar. En ese caso,IC aumenta
con VEC.
3.6. Área de trabajo seguro de un transistor de unión bipolar
El área de trabajo seguro de un transistor de unión bipolar npn es el lugar geométrico de puntos
de las características de salida en emisor común en los que el transistor funciona correctamente

94 3 Transistores de Unión Bipolares y Circuitos
−VA
IC
IB = IB2 > IB1
IB = IB1 > 0
VCE
Figura 3.22: Efecto Early en un transistor de unión bipolar npn.
de modo permanente. Discutiremos con detalle el área de trabajo seguro para un transistor npn.
Para que la temperatura media del transistor no alcance un valor destructivo, es necesario que la
potencia total disipada por el transistor no supere un cierto valor máximo Pmax. Considerando
que las corrientes en un transistor de unión bipolar npn pueden ser vistas como la superposición
de una corriente de valor IB de la base al emisor y una corriente de valor IC del colector al
emisor, tenemos que la potencia total disipada valdrá
P = VBEIB +VCEIC .
Dicha potencia tiende a ser elevada en la zona activa directa. En esa zona, IC ≫ IB y VCE no
es significativamente más pequeña que VBE, teniéndose P ≈ VCEIC y la condición VCEIC ≤
Pmax. La potencia disipada en la unión metal-zona neutra del colector es proporcional a IC
pues, siendo dicho contacto metálico, el potencial de dicha unión no depende de IC. Para que la
temperatura local en el contacto unión-zona neutra del colector no alcance un valor destructivo
se requiere que la potencia disipada localmente en esa unión no alcance un cierto valor máximo y
eso da una condición IC ≤ IC,max. Por último, para tensiones VCE elevadas el transistor trabaja
en la zona activa directa y, siendo VBC = VBE − VCE y teniendo VBE un valor del orden de
0,7 V, VBC será negativa y en valor absoluto aproximadamente igual aVCE. Como la ruptura en
una unión pn (ver Sección 2.7) se produce cuando la tensión inversa aplicada a la unión supera un
cierto valor, evitar la ruptura se traducirá en una condiciónVCE ≤ VCE,max. La imposición de las
tres condiciones define el área de trabajo seguro del transistor, que es ilustrada en la Figura 3.23.
El área de trabajo seguro de un transistor de unión bipolar pnp es similar.
3.7. Modelos lineales a tramos de los transistores de unión bipolares
Empezaremos presentando el modelo lineal a tramos de un transistor de unión bipolar npn. El
modelo cubre las características del dispositivo para VCE ≥ 0. El modelo se presenta en la
Figura 3.24. Incluye tres parámetros: la ganancia de corriente β en activa directa (el parámetro
βF discutido anteriormente), una tensión base-emisor umbral, VBE0 (en la figura, 0,7 V), y una
tensión colector-emisor para saturación, VCE,sat (en la figura 0,2 V).
El modelo incluye tres estados: corte, activo y saturación. El estado de corte está caracterizado
por las condiciones de estado VBE ≤ VBE0 = 0,7 V y VCE ≥ 0 y las ecuaciones

3.7 Modelos lineales a tramos de los transistores de unión bipolares 95
IC,max
IC
VCE,max
VCEIC = Pmax
VCE
Figura 3.23: Área de trabajo seguro en un transistor de unión bipolar npn.
IB
saturación
0,7 V
corte
IC
βIB2
βIB1
VBE
activo
0,2 V
IB = IB2 > IB1
IB = IB1 > 0
IB = 0
VCE
Figura 3.24: Modelo lineal a tramos de un transistor de unión bipolar npn.

96 3 Transistores de Unión Bipolares y Circuitos
VBE ≤ VBE0 = 0,7 V
VCE ≥ 0
IB = IC = 0
B C
Figura 3.25: Estado corte del modelo lineal a tramos de un transistor de unión bipolar npn.
IB ≥ 0
VCE ≥ V CE,sat = 0,2 V
VBE = VBE0 = 0,7 V
IC = βIB
B
0,7 V
Figura 3.26: Estado activo del modelo lineal a tramos de un transistor de unión bipolar npn.
IB = IC = 0, que se corresponden con un circuito abierto entre los tres terminales del dispositivo
(ver Figura 3.25). El estado activo está caracterizado por las condiciones de estado IB ≥ 0 y
VCE ≥ VCE,sat = 0,2 V y las ecuaciones VBE = VBE0 = 0,7 V e IC = βIB, que se corresponden
con una fuente de tensión constante VBE0 = 0,7 V positiva en la base respecto del emisor y
una fuente de corriente controlada entre colector y base de valor βIB del colector a la base (ver
Figura 3.26). Por último, el estado saturación está caracterizado por las condiciones de estado
IB ≥ 0 e 0 ≤ IC ≤ βIB y las ecuaciones VBE = VBE0 = 0,7 V y VCE = VCE,sat = 0,2 V,
que se corresponden con una fuente de tensión constante de valor VBE0 = 0,7 V positiva en la
base respecto del emisor y una fuente de tensión constante de valor VCE,sat = 0,2 V positiva en
el colector respecto de la base (ver Figura 3.27).
El modelo lineal a tramos de un transistor de unión bipolar pnp es similar. El modelo cubre
las características del dispositivo paraVEC ≥ 0 y es ilustrado en la Figura 3.28. Las Figuras 3.29,
3.30 y 3.31 dan las condiciones de estado y los circuitos equivalentes para, respectivamente, los
estados corte, activo y saturación.
IB ≥ 0
0 ≤ IC ≤ βIB
VBE = VBE0 = 0,7 V
VCE = V CE,sat = 0,2 V
B
0,7 V
IB
E
E
E
IC
IB IC
βIB
C
C
0,2 V
Figura 3.27: Estado saturación del modelo lineal a tramos de un transistor de unión bipolar npn.

3.7 Modelos lineales a tramos de los transistores de unión bipolares 97
IB
saturación
0,7 V
corte
VEB
IC
βIB2
βIB1
activo
0,2 V VEC
IB = IB2 > IB1
IB = IB1 > 0
IB = 0
Figura 3.28: Modelo lineal a tramos de un transistor de unión bipolar pnp.
VEB ≤ VEB0 = 0,7 V
VEC ≥ 0
IB = IC = 0
B C
Figura 3.29: Estado corte del modelo lineal a tramos de un transistor de unión bipolar pnp.
IB ≥ 0
VEC ≥ V EC,sat = 0,2 V
VEB = VEB0 = 0,7 V
IC = βIB
B
0,7 V
Figura 3.30: Estado activo del modelo lineal a tramos de un transistor de unión bipolar pnp.
IB ≥ 0
0 ≤ IC ≤ βIB
VEB = VEB0 = 0,7 V
VEC = V EC,sat = 0,2 V
B
0,7 V
IB
IB
E
E
E
IC
βIB
IC
C
C
0,2 V
Figura 3.31: Estado saturación del modelo lineal a tramos de un transistor de unión bipolar pnp.

98 3 Transistores de Unión Bipolares y Circuitos
E
vi
+
−
RB
iB
Vcc
iC RC
+
+
vBE −
−
vCE
Figura 3.32: Circuito sencillo para ilustrar el análisis de pequeña señal.
(E + vi)
RB
E
iB
RB
iB
IB
recta de polarización
VBE
E
vBE
vO
E + vi vBE
Figura 3.33: Punto de trabajo en las características de entrada en emisor común.
3.8. Análisis de pequeña señal y modelos de pequeña señal
Para introducir el análisis de pequeña señal conviene considerar un circuito sencillo ilustrativo,
tal y como el de la Figura 3.32. El circuito incluye dos fuentes de tensión continuas, E y Vcc,
y una fuente de tensión variable vi, a la que denominaremos fuente de pequeña señal, porque
implícitamente supondremos que vi adopta valores pequeños.
Aplicando la segunda ley de Kirchoff a las mallas de entrada y de salida del circuito, obtenemos
E +vi = RBiB +vBE ,
Vcc = RCiC +vCE .
La primera ecuación define una recta en el plano (vBE,iB) denominada recta de polarización,
que pasa por los puntos (E + vi,0) y (0,(E + vi)/RB). La segunda define una recta en el
plano (vCE,iC) denominada recta de carga, que pasa por los puntos (Vcc,0), (0,Vcc/RC). El
punto de trabajo del circuito para cada valor de vi se encontrará en la intersección de esas rectas
con, respectivamente, las características de entrada y de salida en emisor común del transistor.
En primera aproximación, podemos despreciar el efecto de vCE sobre las primeras y considerar
una característica de entrada “intermedia”. Ello conduce al análisis gráfico de la Figura 3.33, que
permite determinariB para cada valor devi. Una vez conocidaiB, queda fijada una característica
de salida y es posible determinar el punto de trabajo en ella de forma gráfica como ilustra la
Figura 3.34.

3.8 Análisis de pequeña señal y modelos de pequeña señal 99
iC
Vcc
RC
iC
IC
recta de carga
vCE
VCE Vcc
iB
IB
vCE
Figura 3.34: Punto de trabajo en las características de salida en emisor común.
E
RB
IB
IC
+
VBE
−
Vcc
RC
+
−
VCE
VO
Figura 3.35: Circuito de polarización.
En las figura, con mayúscula y con subíndices con mayúscula denotamos los valores para
vi = 0. Dichos valores son denominados componentes de polarización. Con minúscula y con
subíndices con mayúscula, denotamos los valores paravi arbitrario. Si denotamos con minúsculas
y con subíndices con minúscula la diferencia entre los segundos y los primeros, está claro que
dichos valores, denominados componentes de pequeña señal, serán proporcionales a vi. Ello es
debido fundamentalmente a que el circuito es lineal para pequeñas variaciones de tensiones y
corrientes. Si nos fijamos en la tensión colector-emisor, tenemos
vCE = VCE +vce.
Las componentes de polarización de todas las magnitudes eléctricas del circuito pueden ser determinadas
haciendo el llamado análisis de polarización, que consiste en analizar el circuito obtenido
al anular vi, lo cual es equivalente a sustituir la fuente de tensión vi por un cortocircuito.
Dicho circuito es denominado circuito de polarización. La Figura 3.35 da el circuito de polarización
correspondiente al ejemplo considerado.
Las componentes de pequeña señal pueden ser determinadas realizando el análisis de pequeña
señal, que consiste en el análisis de un circuito lineal que relaciona variaciones con respecto a
vi. Dicho circuito es denominado circuito de pequeña señal. En particular, las fuentes de tensión
continua no varían con vi y deberán ser sustituidas por cortocircuitos, la fuente de tensión vi
deberá ser mantenida, y los dispositivos no lineales como el transistor del circuito ejemplo deberán
ser sustituidos por un modelo de pequeña señal, con un circuito correspondiente denominado
circuito equivalente de pequeña señal, que relacione variaciones de las magnitudes eléctricas del

100 3 Transistores de Unión Bipolares y Circuitos
vi
+
−
RB
ib
B
+
vbe
MODELO DE
PEQUEÑA
SEÑAL
−
E
−
+
vce
Figura 3.36: Circuito de pequeña señal.
B
rπ = βVT
IC
ib
ic
rπ βib
Figura 3.37: Circuito equivalente de pequeña señal de un transistor de unión bipolar npn.
dispositivo. La Figura 3.36 da el circuito de pequeña señal correspondiente al ejemplo considerado.
A continuación deduciremos el modelo de pequeña señal de un transistor de unión bipolar
npn. Lo haremos solo para la zona activa directa, pues esa es la zona en la que suele trabajar el
transistor en los circuitos en los que el análisis de pequeña señal es un ingrediente importante:
amplificadores de pequeña señal. En la zona activa directa y convBE ≫ VT , tenemos, con mucha
aproximación,
e
E
iB = ISE
β +1 evBE/VT
iC = βiB ,
dondeβ sería con más precisión βF . Para componentes de pequeña señal suficientemente pequeñas,
tenemos
ib = diB
vbe =
dvBE
1 ISE
VT β +1 eVBE/VTvbe = IB
vbe =
VT
IC
vbe
βVT
e
vBE=VBE
ic = diC
diB
iB=IB
ic
ib = βib.
Dichas ecuaciones constituyen el modelo de pequeña señal y da el circuito equivalente de pequeña
señal de la Figura 3.37.
Utilizando dicho modelo de pequeña señal, el circuito de la Figura 3.36 se transforma en
el circuito de pequeña señal de la Figura 3.38. Analizándolo es fácil obtener la relación entre la
componente de pequeña señal de la tensión de salida, vo, yvi:
vi = (RB +rπ)ib,
C
C
RC
vo

3.8 Análisis de pequeña señal y modelos de pequeña señal 101
vi
+
−
RB
B
ib
C
rπ βib
E
RC
Figura 3.38: Circuito de pequeña señal.
B
ib
ic
rπ βib
E
C
rπ = βVT
IC
Figura 3.39: Circuito equivalente de pequeña señal de un transistor de unión bipolar pnp.
vi
ib =
RB +rπ
vo = RC(−βib) = −β RC
vo
vi
,
RB +rπ
= −β RC
.
RB +rπ
El modelo de pequeña señal de un transistor de unión bipolar pnp puede ser obtenido análogamente.
La Figura 3.39 muestra el resultado.
vi,
vo

102 3 Transistores de Unión Bipolares y Circuitos

Capítulo 4
Fotodispositivos y Circuitos
Un fotodispositivo es o bien un dispositivo que genera potencia radiante luminosa o un dispositivo
cuyo comportamiento eléctrico se ve modificado por la recepción de potencia radiante
luminosa. En este capítulo presentaremos y justificaremos cualitativamente el comportamiento de
cuatro fotodispositivos: los fotodiodos, los diodos emisores de luz (LEDs), los fototransistores y
los fotoacopladores.
4.1. Fotodiodos
Es bien sabido que la luz puede ser interpretada como un haz de partículas denominadas fotones
con una energía Ef = ¯hν = ¯hc/λ, donde ¯h es la constante de Plank, ν es la frecuencia de
la radiación luminosa, c es la velocidad de la luz y λ es la longitud de onda de la radiación
luminosa. Si en un diodo de unión con encapsulado transparente incide potencia radiante de
longitud de onda λ tal que Ef ≥ Eg, donde Eg es la anchura de la banda prohibida, es decir, tal
que
¯hc
≥ Eg,
λ
λ ≤ λc = ¯hc
,
entonces, la energía de un fotón puede con cierta probabilidad ser transferida a un electrón de la
banda de valencia, que saltará a la banda de conducción, creándose un par electrón libre-hueco.
Dicho proceso se denomina generación fotónica (véase Figura 4.1). El parámetro λc se denomina
longitud de onda de corte del material semiconductor. El diodo sólo es sensible a radiación
luminosa con longitudes de onda λ ≤ λc. Dichos pares electrón libre-huecos adicionales alteran
las características eléctricas del diodo. El diodo es especialmente sensible a potencia radiante
incidente en la región de vaciamiento o en sus proximidades. Un fotodiodo es un diodo con
encapsulado transparente, al menos en torno a la unión pn, y que es sensible a la radiación luminosa.
Los fotodiodos de silicio lo son. La Figura 4.2 representa el símbolo que se emplea para
representar un fotodiodo.
Eg

104 4 Fotodispositivos y Circuitos
banda de
conducción
Eg generación fotónica
banda de
valencia
Figura 4.1: Generación fotónica.
Figura 4.2: Símbolo de un fotodiodo.
Un fotodiodo pueda ser modelado como un diodo de unión normal y una fuente de corriente
inversa en paralelo de valor IF , tal y como indica la Figura 4.3. La corriente directa I por el
fotodiodo tendrá, por tanto, la expresión
I = IS
e VAK/VT
−1
A
K
−IF = IS
e VAK/VT
−1 −KPR,
donde IS es la corriente inversa de saturación. Gráficamente, la característica tensión-corriente
del fotodiodo puede ser obtenida desplazando hacia corrientes negativas en un valor KPR la característica
tensión-corriente de un diodo normal, tal y como indica la Figura 4.4. Observemos
que, para PR > 0 e I = 0, el potencial VAK toma un valor positivo VF denominado potencial
fotovoltaico. El significado físico deVF es muy sencillo: es el potencial ánodo-cátodo que aparece
en el fotodiodo en circuito abierto (I = 0) debido a la potencia radiante incidente. Es posible
determinar VF en función de PR y los parámetros del modelo del fotodiodo. Basta hacer I = 0
yVAK = VF en la ecuación del fotodiodo. Se obtiene
0 = IS e VF/VT
−1 −KPR,
ISe VF/VT = IS +KPR,
VF = VT ln 1+ KPR
.
IS
Dicha ecuación indica que VF aumenta aproximadamente logarítmicamente con PR, pues IS es
una corriente muy, muy pequeña. El hecho puede ser utilizado para medir potencias radiantes de
órdenes de magnitud muy diversos utilizando un único dispositivo.
El factor de proporcionalidad K depende tanto de la longitud de onda de la radiación incidente
λ como de la posición longitudinal del punto de incidencia con respecto a la región de
vaciamiento, d. Para ser preciso, d es positiva cuando el punto de incidencia se encuentra dentro

4.1 Fotodiodos 105
VAK
I
IS
IF = KPR
Figura 4.3: Circuito equivalente de un fotodiodo.
PR = 0
PR > 0
I
−IF = −KPR
VF
VAK
Figura 4.4: Característica tensión-corriente de un fotodiodo.
de la zona neutra p y es negativa cuando está dentro de la zona neutra n. d = 0 implica, desde
luego, incidencia en la región de vaciamiento. Así pues, tenemos K = F(λ,d). En general, es
posible escribir K = K ′ F1(λ)F2(d), donde K ′ es una cierta constante de normalización. La Figura
4.5 da las funcionesF1(λ) yF2(d) en % para el silicio. La longitud de corte de ese material,
λc, tiene un valor 1,13µm, y para λ > λc, K = 0. Las longitudes de onda correspondientes al
espectro visible varían entre aproximadamente 0,4µm y 0,7µm, y para esas longitudes de onda
K > 0. Con respecto a la dependencia de K con respecto a d cabe destacar que K disminuye a
medida que |d| aumenta. Parad > 0 la disminución ocurre al ritmo de la longitud de difusión de
electrones en la zona neutra p, Ln. Para d < 0 la disminución ocurre al ritmo de la longitud de
difusión de huecos en la zona neutra n,Lp. En caso de que la radiación incidente tuviera potencia
a diversas longitudes de onda y en que el punto de incidencia tuviera una cierta distribución, la
K del fotodiodo se calcularía promediando lasK’s de las diversas componentes, de acuerdo con
las potencias incidentes relativas de esas componentes.
Con el fin de aumentar la longitud en la que el fotodiodo es sensible a la radiación incidente,
existen unos fotodiodos especiales denominados fotodiodos PIN, que tienen una estructura diferente
a la de un fotodiodo normal. Básicamente, la diferencia es que en los fotodiodos PIN
se interpone una capa de silicio intrínseco entre las zonas dopadas p y n, tal y como indica la
Figura 4.6. La Figura indica también el perfil aproximado de la densidad volúmica de carga, ρ,
en función de los dopajes NA y ND de, respectivamente, las zonas p y n. También se indica el
perfil del campo eléctrico E (positivo cuando va desde la zona p a la zona n) y el del potencial,
V . Con la nueva estructura, existe campo eléctrico intenso en todo el silicio intrínseco y haciendo
la longitud del silicio intrínseco grande se pueden conseguir fotodiodos con una K elevada.
Los fotodiodos pueden ser utilizados como convertidores de energía radiante en energía
eléctrica. Cuando se usan de esta forma se suelen denominar células fotovoltaicas. Dado que VF
y las corrientes inversas en un fotodiodo suelen ser pequeñas, normalmente se emplean asocia-

106 4 Fotodispositivos y Circuitos
λc
p n
F1(λ) (%) F2(d) (%)
100
100
0,5
0,7
0,9
1,13
d
Si
λ (µm)
Lp Ln
−3 −2 −1 1 2 3
d (mm)
Figura 4.5: Dependencia para fotodiodos de silicio deK con respecto la longitud de ondaλde la
radiación y la posicion longitudinal d del punto de incidencia respecto a la región de vaciamiento.
dE
dx
= ρ
ǫ
E = − dV
dx
p n
Si intrínseco
NA
−qNA
ρ
E
V
ND
qND
Figura 4.6: Estructura física y perfiles de ρ,E yV en un fotodiodo PIN.

4.1 Fotodiodos 107
M
N
Figura 4.7: Configuración típica de células fotovoltaicas alimentando una carga resistiva.
ciones serie-paralelo. La Figura 4.7 muestra una configuración típica de células fotovoltaicas en
la que hay una asociación serie por un factor M y una asociación paralelo por un factor N, dando
lugar a un arreglo con un total de MN células. La carga eléctrica que alimenta el arreglo es
puramente resistiva. En ese caso, la energía eléctrica es inmediatamente transformada en energía
térmica, que podría ser utilizada, por ejemplo, para calentar el agua de un depósito de una instalación
de agua caliente. La energía eléctrica generada también podría ser utilizada para cargar
unas baterías.
El punto de trabajo del circuito puede ser determinado gráficamente como la intersección
de la recta I = −V/R, que se obtiene de V = −RI y la característica tensión-corriente de la
configuración, que se obtiene multiplicando por un factor M las tensiones y por un factor N las
corrientes de la característica tensión-corriente de una célula individual. Ello da el análisis gráfico
de la Figura 4.8. Se puede observar que paraPR > 0 se obtieneV > 0 eI < 0, haciendo positiva
la potencia eléctrica dada a la carga resistiva, que vale PC = −VI. Gráficamente está claro
que existe un valor de R que maximiza PC. Tabulando ese valor en función de PR y midiendo
ésta última se puede optimizar la explotación de las células fotovoltaicas utilizando un reostato
(resistencia variable ajustable). Matemáticamente, la expresión de la corriente I es
I = N
y la potencia PC vale en función de V ,
PC = VN
IS
e V/(MVT) −1
I
R
IF −IS e V/(MVT)
−1 .
+
V
−
−IF , (4.1)
El valor deV en el punto de trabajo que maximizaPC puede ser obtenido imponiendodPC/dV =
0, lo cual conduce a
N
IF −IS e V/(MVT)
−1 − VN
MVT
IF +IS = 1+ V
MVT
IS e V/(MVT) = 0,
IS e V/(MVT) ,

108 4 Fotodispositivos y Circuitos
I
−NIF
MVF
V
PC = −V I > 0
I = − V R
Figura 4.8: Análisis gráfico del punto de trabajo del arreglo de células fotovoltaicas.
banda de
conducción
Eg recombinación
fotón
banda de
valencia
Figura 4.9: Generación de un fotón como consecuencia de una recombinación directa.
1+ IF
IS
=
1+ V
e
MVT
V/(MVT)
.
Resolviendo la ecuación trascendente anterior, se puede determinar el valor deV del punto de trabajo
que maximiza PC. Utilizando, luego, (4.1), se puede determinar I, y, por último, utilizando
R = −V/I, se puede determinar el valor óptimo de R.
4.2. LEDs
Cuando en la recombinación directa un electrón baja de la banda de conducción a la banda de
valencia, normalmente la energía perdida por el electrón se transforma en energía cinética (calor).
Sin embargo, también puede suceder que se genere un fotón con la energía perdida por el electrón
(véase Figura 4.9). Dado que los electrones de la banda de valencia estarán típicamente en los
niveles energéticos inferiores de la banda y dado que los niveles enérgeticos libres de la banda
de valencia estarán típicamente situados en la parte superior de la banda, la energía del fotón
liberado, Ef , será ≈ Eg. Es decir, los fotones tendrán longitudes de onda λ verificando
¯hc
λ
λ ≈ ¯hc
Eg
≈ Eg,
= λc.
Para el silicio, λc = 1,13µm, que cae en el infrarrojo. Además, en dicho material la generación
de fotones es rara. Los LEDS (diodos emisores de luz) suelen fabricarse utilizando

4.2 LEDs 109
0,4 µm 0,7 µm λ
azul verde rojo infrarrojo
III-V InGaN InGaN AlInGaP AsGa
III V III V III V VIII
Figura 4.10: Semiconductores III-V y longitud de onda λ de los fotones emitidos en ellos.
A
K
Figura 4.11: Símbolo de un LED.
semiconductores III-V con características análogas a las del silicio. Se trata de semiconductores
formados por compuestos de elementos trivalentes y pentavalentes, en una proporción tal que la
valencia media resulta ser 4. Para dichos materiales la recombinación directa es relativamente
probable. Como consecuencia, el diodo emite luz, normalmente con un espectro de longitudes
de onda muy estrecho, es decir luz esencialmente monocromática. La Figura 4.10 indica varios
semiconductores III-V que pueden ser utilizados para fabricar LEDs y los valores respectivos
de la longitud de onda λ de los fotones. El semiconductor III-V AsGa (arsenuro de galio) emite
fotones en el infrarrojo, y, por tanto, la luz que emite no es visible. Los LEDs tiene una λc
sensiblemente inferior a la del silicio. Eso se traduce en una anchura de la banda prohibida
mayor. Los LEDs fabricados con esos materiales suelen tener corrientes inversas de saturación
IS muy inferiores a las de los diodos típicos de silicio. Ello es debido a que ni es mucho más
pequeña (1.1) y, por tanto, IS es muy inferior (2.15). Como consecuencia, la aproximación de
sus características tensión-corriente suele exigir usar valores elevados de la tensión umbral VD0,
alrededor de 2 V. La Figura 4.11 muestra el símbolo con el que se suelen representar los LEDs.
Dicho símbolo pone de manifiesto que el LED puede ser considerado un fotodispositivo con
función inversa a la del fotodiodo, en el sentido de que éste transforma energía luminosa en
energía eléctrica, mientras que el LED transforma energía eléctrica en energía luminosa. Existen
LEDs en los que la potencia radiante emitida tiene un espectro amplio, por ejemplo LEDs que
emiten luz blanca. Esos LEDs tienen un encapsulado forforescente que transforma la potencia
radiante esencialmente monocromática que emite el “LED” en potencia radiante con un espectro
amplio.
La potencia radiante emitida por un LED es proporcional a la tasa a la que hay recombinación
directa en todo el dispositivo. La recombinación directa en la región de vaciamiento es
muy poco significativa. Siendopn(x ′ ) la concentración de huecos en la coordenada x ′ de la zona

110 4 Fotodispositivos y Circuitos
e
f
d
g
a
c
b
Figura 4.12: Geometría de un siete segmentos y representación de varios dígitos.
neutra n definida en la Figura 2.8, la tasa de recombinación asociada al mecanismo recombinación
directa en la zona neutra n en la coordenada x ′ vale pn(x ′ )/τpD (ver Sección 2.5.3). Siendo
np(x ′′ ) la concentración de electrones libres en la coordenada x ′′ de la zona neutra p definida en
la Figura 2.8, la tasa de recombinación neta asociada al mecanismo recombinación directa vale
np(x ′′ )/τnD (ver Sección 2.5.3). Eso da para la tasa de recombinación directa en un LED un
valor aproximado
Bn
0
pn(x ′ )
τpD
Los perfiles pn(x ′ ) ynp(x ′′ ) tienen las expresiones
pn(x ′ ) = pno +pno
np(x ′′ ) = npo +npo
Adx ′ Bp np(x
+
0
′′ )
Adx
τnD
′′ ,
e VAK/VT
−1 e −x′ /Lp ,
e VAK/VT
−1 e −x′′ /Ln ,
donde pno es la concentración de huecos en la zona n aislada y en equilibrio, npo es la concentración
de electrones libres en la zona p aislada y en equilibrio, Lp es la longitud de difusión de
huecos en la zona neutra n y Ln es la longitud de difusión de electrones en la zona neutra p. En
polarización inversa y con VAK > 0 pero no ≫ VT , los valores de pn(x ′ ) y np(x ′′ ) son muy
pequeños, la tasa de recombinación neta en el LED es muy pequeña, y PR es despreciable: el
LED prácticamente no emite luz. ParaVAK > 0 y≫ VT , sin embargo,PR puede ser importante.
Veamos que, en ese caso, PR ≈ KI, es decir, es aproximadamente proporcional a la corriente
directa I. Para ello, basta observar que, para VAK > 0 y ≫ VT , las integrales de la expresión
aproximada para la tasa de recombinación en el LED son aproximadamente proporcionales a
e VAK/VT , haciendo que la tasa de recombinación en el LED sea aproximadamente proporcional
ae VAK/VT . Por otro lado, para VAK > 0 y≫ VT , I ≈ ISe VAK/VT , proporcional ae VAK/VT .
Los LEDs pueden ser utilizados como señalizadores. Los siete segmentos son, en ese sentido,
una configuración habitual. Un siete segmentos es un dispositivo integrado por 7 LEDs con
una geometría de “siete segmentos” dispuestos de forma que se puedan representar dígitos. La
Figura 4.12 indica la geometría de un siete segmentos, la denominación (de la a a la g) de cada
segmento y el uso de esos segmentos para representar los dígitos 1, 2 y 3. Eléctricamente caben
para el siete segmentos dos agrupaciones: ánodo común y cátodo común (veáse Figura 4.13). En
la primera de ellas, los ánodos de los siete segmentos están conectados entre sí y cada segmento
tiene un cátodo independiente. En la segunda, los cátodos de los siete segmentos están conectados
entre sí y cada segmento tiene un ánodo independiente. El control de cuando un segmento
está encendido o apagado se realiza mediante corriente: apagado cuando no circula corriente por
el segmento y encendido cuando por el segmento circula una corriente directa de cierto valor
nominal, típicamente unos cuantos mA.

4.3 Fototransistores 111
agrupación ánodo común
4.3. Fototransistores
E
agrupación cátodo común
Figura 4.13: Agrupaciones eléctricas de los siete segmentos.
n
fotones
p n
UE UC
Figura 4.14: Estructura física de un fototransistor npn.
Un fototransistor es un transistor de unión bipolar con un encapsulado transparente en torno a la
unión de colector. La incidencia de fotones de longitud de onda apropiada a través de esa ventana
del encapsulado modifica el comportamiento eléctrico del dispositivo de modo similar a en un
fotodiodo. La Figura 4.14 representa la estructura física de un fototransistor npn y la Figura 4.15
da el símbolo con el que se suele representar el dispositivo. Las estructuras físicas y símbolos de
los fototransistores pnp son análogos.
La incidencia de fotones de longitud de onda apropiada en un fototransistor en la vecindad
de la unión de colector tiene efectos similares a la incidencia de fotones de longitud de onda apro-
Figura 4.15: Símbolo de un fototransistor npn.
C
E
C

112 4 Fotodispositivos y Circuitos
ISE
KPR
ISC
E C
IC
E IDE IDC C
αRIDC
αFIDE
Figura 4.16: Modelo eléctrico de un fototransistor npn.
KPR
B
E
Q ′
I ′ C
IC
C
IC = I ′ C + KPR
Figura 4.17: Circuito equivalente de un fototransistor npn.
piada en las inmediaciones de la unión pn de un fotodiodo: la aparición de una corriente inversa
proporcional a la potencia radiante recibida, KPR. De acuerdo con ello, el comportamiento eléctrico
de un fototransistor puede ser modelado añadiendo al modelo de Ebers-Moll una fuente de
corriente inversa de valor KPR entre el colector y la base. La Figura 4.16 da el modelo eléctrico
resultante para un fototransistor npn. De acuerdo con él, el fototransistor puede ser modelado con
el circuito equivalente de la Figura 4.17.
Utilizando dicho circuito equivalente determinaremos las características de salida del fototransistor
para VCE ≥ 0. Dichas características dan IC en función de VCE como variable
principal y PR como variable secundaria. Para ello utilizaremos IC = I ′ C +KPR y el hecho de
que la corriente de base deQ ′ vale KPR. ParaPR = 0, la corriente de base deQ ′ es nula, I ′ C en
función de VCE tiene la forma indicada en la parte izquierda de la Figura 4.18 e IC en función
deVCE tiene la forma indicada en la parte derecha de la figura. ParaPR > 0, la corriente de base
deQ ′ valeKPR,I ′ C en función deVCE tiene la forma indicada en la parte izquierda de la figura
eIC en función deVCE tiene la forma indicada en la parte derecha de la figura.
En ocasiones se fabrican fototransistores combinando un transistor de unión bipolar con
un fotodiodo, tal y como ilustra la Figura 4.19 para el caso de un fototransistor npn. Que dicho
circuito tenga el comportamiento de un fototransistor se puede demostrar fácilmente sustituyendo
el transistor de unión bipolar por su modelo de Ebers-Moll y el fotodiodo por su modelo eléctrico
en términos de un diodo normal y una fuente de corriente inversa. Al hacer eso, al diodo con
corriente inversa de saturaciónISC se le añade un diodo en paralelo con ánodo y cátodo comunes

4.4 Fotoacopladores 113
I ′ C
βFKPR
0,2 V
PR > 0
PR = 0
VCE
IC
(βF + 1)KPR
0,2 V
Figura 4.18: Características de un fototransistor npn.
Figura 4.19: Estructura física alternativa de un fototransistor npn.
C
E
PR > 0
PR = 0
a los del primero y una corriente inversa de saturación IS, donde IS es la corriente inversa de
saturación del diodo. Dicha asociación es, sin embargo, equivalente a un diodo con una corriente
inversa de saturación igual aISC+IS y, por tanto, se obtiene un modelo de Ebers-Moll idéntico al
modelo eléctrico del fototransitor con los únicos cambios queISC queda sustituido porISC+IS
yαR queda sustituida por α ′ R = αR(ISC/(ISC +IS)).
Los fototransistores pnp tienen comportamientos eléctricos para VEC ≥ 0 similares.
4.4. Fotoacopladores
Un fotoacoplador es un fotodispositivo formado por un LED y un fototransistor dispuestos de
tal forma que la casi totalidad de la potencia radiante emitida por el LED sea captada por el
fototransistor. La Figura 4.20 muestra un circuito de aplicación típico de un fotoacoplador. Para
analizar dicho circuito, supondremos por simplicidad que toda la potencia radiante PR emitida
por el LED es captada por el fototransistor. Además, por simplicidad, supondremos PR = KIL.
El circuito tiene una tensión de entrada vi, que puede tomar los valores 0 y5 V, y una tensión de
salidavo. Debemos encontrar el valor devo para cada uno de los dos valores posibles devi. Tal y
como indica la figura, seaK ′ el parámetro “K” del fototransistor. El circuito puede ser analizado
gráficamente de un modo relativamente sencillo. Aplicando la segunda ley de Kirchoff a la malla
formada por la fuente de tensión de valor vi, la resistencia de valor RL y el LED, obtenemos
vi = RLIL +VAK .
El punto de trabajo del LED se encontrará en la intersección de la característica tensión-corriente
del LED y la recta anterior. Tal y como indica la parte izquierda de la Figura 4.21, para vi = 0
VCE

114 4 Fotodispositivos y Circuitos
IL
5 V
RL
IL1
A
A
B
0
5 V
IL
vi
+
−
RL
K
A
K
IC
PR = KIL
5 V
RC
Figura 4.20: Circuito de aplicación típico de un fotoacoplador.
B
2 V 5 V VAK
(βF + 1)K ′ KIL1
IC
5 V
RC
B
C
K ′
E
vo
PR = KIL1
vi = 0 ⇒ vo = 5 V
vi = 5 V ⇒ vo ≈ 0
A
5 V
PR = 0
VCE
Figura 4.21: Análisis gráfico del circuito de aplicación típico de un fotoacoplador.
tendremos IL = 0 y para vi = 5 V tendremos IL = IL1, donde IL1 es una cierta corriente > 0.
Aplicando la segunda ley de Kirchoff a la malla formada por la fuente de tensión de valor 5 V, la
resistencia de valor RC y el fototransistor, obtenemos
5 V = RCIC +VCE ,
y el punto de trabajo del fototransistor se encontrará en la intersección de la característica del
fototransistor y la recta anterior. Para vi = 0, tendremos PR = 0 y, tal y como indica la parte
derecha de la figura, tendremos vo = VCE = 5 V. Para vi = 5 V, tendremos PR = KIL1 y, si
(βF +1)K ′ KIL1 es > 5 V/RC, lo cual siempre es posible escogiendo valores apropiados para
RL yRC, tal y como indica la parte derecha de la figura, el fototransistor trabajará en saturación
y tendremos vo = VCE ≈ 0.
Así pues, vo está invertida con respecto avi. Sivi es una señal que lleva una cierta información
digital, vo llevará, invertida, la misma información. La observación fundamental es que el
acoplamiento entre la entrada y la salida del circuito no es eléctrico sino fotónico. Ello es esencial
cuando se quiere comunicar dos subsistemas de modo robusto, de forma que, por ejemplo,
un cortocircuito en el primero no perjudique al segundo.

Capítulo 5
MOSFETs y Circuitos
Los transistores MOSFET (transistores de efecto de campo metal-óxido-silicio) de enriquecimiento
son los bloques básicos de la tecnología CMOS, que es actualmente la tecnología de
fabricación de circuitos integrados dominante. También existen MOSFETs de empobrecimiento,
pero su uso es mucho menos frecuente y no serán presentados.
5.1. MOSFET de enriquecimiento de canal n
La Figura 5.1 muestra la estructura física de un MOSFET de enriquecimiento de canal n. El
dispositivo tiene tres terminales: la puerta (G), el drenador (D) y la fuente (S), a veces también
denominado surtidor. Una zona p, denominada sustrato sirve de base para dos zonas n fuertemente
dopadas, conectadas a, respectivamente, el drenador y la fuente. La puerta está aislada del
sustrato a través de una capa de óxido de silicio, que es un aislante. La aparición de un campo
eléctrico a través del óxido de silicio puede hacer aparecer un canal n en la parte del sustrato que
hay inmediatamente debajo de la puerta, y hacer el dispositivo conductor entre el drenador y la
fuente. Ése es el fundamento del funcionamiento del dispositivo. El dispositivo tiene un cuarto
terminal denominado sustrato que está conectado a éste. En los componentes discretos, normalmente
se conecta el sustrato a la fuente. Ello asegura que, con VDS ≥ 0, las uniones pn entre el
sustrato y las zonas n conectadas al drenador y a la fuente estén polarizadas inversamente, lo cual
implica que la corriente por el sustrato sea prácticamente nula, y la despreciaremos. La corriente
por la puerta también será nula, pues ésta está aislada por la capa de óxido de silicio. Ello hace
que la corriente por el dispositivo solo pueda fluir entre la zona n conectada al drenador y la zona
n conectada a la fuente, que es lo que se desea. Supondremos VDS ≥ 0. La Figura 5.2 muestra
el símbolo que suele ser empleado para representar el dispositivo. La corriente de drenador se
considera positiva cuando es entrante.
Para entender, a nivel cualitativo, el comportamiento eléctrico del MOSFET de enriquecimiento
de canal n, empecemos suponiendo que conectamos a masa la fuente y el drenador y que
aplicamos una tensión positiva en la puerta,VGS. La aplicación de dicha tensión hace aparecer un
campo eléctrico dirigido de la puerta al sustrato. Dicho campo eléctrico tiende a repeler huecos de

116 5 MOSFETs y Circuitos
p
S
G
00000
11111
n +
sustrato
SiO2
D
Figura 5.1: Estructura física de un MOSFET de enriquecimiento de canal n.
puerta
G
+
ID
VGS
drenador
D
+
−
−
S
fuente
VDS
Figura 5.2: Símbolo del MOSFET de enriquecimiento de canal n.
n +

5.1 MOSFET de enriquecimiento de canal n 117
p
S G
D
000000
111111
000000
111111
n +
n +
tensión umbral
VGS > Vt > 0
canal
Figura 5.3: Formación de canal en un MOSFET de enriquecimiento de canal n.
la zona del sutrato inmediatamente debajo de la puerta y a atraer electrones libres de las zonas n
a dicha zona. SiVGS se hace suficientemente positiva se puede producir una inversión de la zona
del sustrato inmediatamente debajo de la puerta que pasa de ser tipo p a tipo n. Esa zona n nueva
se denomina canal y hace que el dispositivo pueda conducir entre drenador y fuente. Sin canal,
entre drenador y fuente tenemos dos uniones pn que se comportan como dos diodos en serie y en
oposición y el dispositivo no puede conducir. El valor positivo deVGS a partir del cual empieza a
aparecer canal se denomina tensión umbral y se suele denotar con Vt. Tenemos, pues, que habrá
canal paraVGS > Vt > 0. La situación queda reflejada en la Figura 5.3. Suponiendo que ya haya
canal, un aumento de VGS producirá un aumento del campo eléctrico, un enriquecimiento del
canal, que se hará más n, y una reducción de la resistencia RDS que hay entre drenador y fuente
que, dado que las zonas n conectadas al drenador y fuente están fuertemente dopadas, es debida
fundamentalmente a la resistencia del canal.
Los MOSFET pueden trabajar en tres zonas: corte, óhmica y saturación. El trabajo en una
zona u otra depende de los valores deVGS yVDS. A continuación justificaremos para el MOSFET
de enriquecimiento de canal n el comportamiento del dispositivo en cada zona. Supongamos que,
con la fuente conectada a masa, aplicamos una tensiónVGS ≤ Vt y una tensión VDS ≥ 0. Siendo
VGS ≤ Vt el campo eléctrico creado en el sustrato por el lado de la fuente no será suficientemente
intenso para producir inversión en el sustrato y no existirá canal por el lado de la fuente. Por otro
lado, VGD = VGS −VDS ≤ Vt, y, por razones similares, tampoco habrá canal en el sustrato por
el lado del drenador. Así pues, estaremos en una situación de ausencia de canal, el dispositivo
no podrá conducir entre el drenador y la fuente, y tendremos ID = 0. Cuando el dispositivo está
trabajando en dichas condiciones se dice que está en corte. Resumiendo, el dispositivo estará
en corte para VGS ≤ Vt, y en esa zona tendremos ID = 0. La Figura 5.4 ilustra el trabajo del
MOSFET de enriquecimiento de canal n en corte.

118 5 MOSFETs y Circuitos
p
S G
D
n +
00000 11111
00000 11111
VGS ≤ Vt > 0
n +
ID = 0
VDS ≥ 0
Figura 5.4: MOSFET de enriquecimiento de canal n trabajando en corte.
El transistor trabaja en la zona óhmica cuando existe canal en el sustrato tanto por el lado
de la fuente como por el lado del drenador. Lo primero exige VGS > Vt. Lo segundo exige
VGD > Vt. Dado que VGD = VGS −VDS, la última condición se traduce en VGS −VDS > Vt,
que da VDS < VGS − Vt = VDS,sat > 0. Así pues, dado que siempre estamos suponiendo
VDS ≥ 0, el transistor trabajará en la zona óhmica para VGS > Vt y 0 ≤ VDS < VDS,sat. La
Figura 5.5 muestra un MOSFET de enriquecimiento de canal n trabajando en la zona óhmica.
Ya hemos visto que la resistencia RDS entre drenador y fuente para VDS = 0 disminuía al
aumentar VGS. Falta por examinar el efecto sobre RDS de un aumento de VDS. Al aumentar
VDS disminuirá la tensión positiva VGD, disminuirá el campo eléctrico por el lado del drenador,
el canal se hará menos n, yRDS aumentará. Así pues, un aumento de VDS hace aumentar RDS.
Dado que VDS ≥ 0, tendremos ID ≥ 0, con ID > 0 para VDS > 0.
Queda por discutir el trabajo del transistor en la zona saturación. El dispositivo trabaja en
esa zona cuando hay canal por el lado de la fuente pero no por el lado del drenador. Así pues,
el transistor trabajará en saturación cuando VGS > Vt y VDS ≥ VDS,sat. La Figura 5.6 muestra
un MOSFET de enriquecimiento de canal n trabajando en saturación. El punto X en el que
desaparece el canal viene definido por la condición VGX = Vt. A continuación justificaremos
que en esta zona, conVGS constante, la corriente de drenador ID aumenta ligeramente con VDS.
En primer lugar, la tensión que cae en el canal,VXS, es independiente deVDS. En efecto, tenemos
VXS = VXG +VGS = VGS −VGX = VGS −Vt = VDS,sat .
SeaRXS la resistencia del canal. La zona sin canal debajo de la puerta se comporta aproximadamente
como una resistencia muy elevada que varía fuertemente al desplazarse X. Un aumento de
VDS podrá producir variaciones en esa resistencia, pero el desplazamiento deX será muy pequeño,
la resistencia RXS variará muy poco y, siendo VXS constante, ID apenas variará. Entonces,
un aumento de VDS exigirá que la resistencia de la zona sin canal debajo de la puerta aumente,
X se deberá desplazar ligeramente hacia la izquierda, la resistencia RXS disminuirá ligeramente
y, siendo VXS constante, ID aumentará ligeramente.

5.1 MOSFET de enriquecimiento de canal n 119
p
S
000000
111111
n +
G
VGS > Vt > 0
D
n +
ID ≥ 0
0 ≤ VDS < VDS,sat
Figura 5.5: MOSFET de enriquecimiento de canal n trabajando en óhmica.
p
S G
D
000000
111111
n +
X
VGS > Vt > 0
n +
ID > 0
VDS ≥ VDS,sat
Figura 5.6: MOSFET de enriquecimiento de canal n trabajando en saturación.

120 5 MOSFETs y Circuitos
ID
ÓHMICA
V1 − Vt
SATURACIÓN
V2 − Vt
ID = KV 2
DS
CORTE
VGS = V2 > V1
VGS = V1 > Vt
VDS
VGS ≤ Vt > 0
Figura 5.7: Características de un MOSFET de enriquecimiento de canal n.
Hemos completado el análisis cualitativo del comportamiento eléctrico del MOSFET de
enriquecimiento de canal n. Procedemos ahora a describir el modelo de continua del dispositivo
sin modulación de la longitud del canal en saturación, es decir, suponiendo que, en saturación,
la longitud del canal no varía con la tensión VDS y es igual a la distancia entre las zonas n +
del dispositivo. Dicho modelo será deducido en el siguiente apartado. La Figura 5.7 muestra las
características del dispositivo. En el modelo de continua es conveniente incluir las fronteras entre
dos zonas en ambas. Podemos decir que el dispositivo trabaja en corte para VGS ≤ Vt > 0 y
VDS ≥ 0. En esa zona, ID = 0. El dispositivo trabaja en la zona óhmica para VGS ≥ Vt y
0 ≤ VDS ≤ VDS,sat = VGS −Vt. En esa zona la corriente ID vale
ID = K 2(VGS −Vt)VDS −V 2
DS .
Por último, el dispositivo trabaja en saturación paraVGS ≥ Vt yVDS ≥ VDS,sat = VGS−Vt. En
esa zona, la corriente ID vale
ID = ID,sat = K(VGS −Vt) 2 ,
valor que puede ser obtenido utilizando la continuidad de las características del dispositivo a
partir de la expresión para ID en la zona óhmica con VDS = VDS,sat = VGS −Vt. Para unaVGS
determinada tenemos una ID,sat determinada. Al aumentar VDS el dispositivo pasa de trabajar
en óhmica a trabajar en saturación. La ecuación de la frontera entre el trabajo en ambas zonas
en el plano (VDS,ID) puede ser obtenida imponiendo que, en la frontera, VDS = VGS − Vt e
. El parámetro K determina el valor más
ID = K(VGS − Vt) 2 , que da lugar a ID = KV 2 DS
o menos grande de las corrientes por el dispositivo para tensiones VGS y VDS dadas. Dicho
parámetro tiene el valor
K = 1
2 µ
W
nCox ,
L
donde µ n es la movilidad efectiva de los electrones en el canal (la movilidad depende de la
coordenada en profundidad debido a la dispersión producida por el óxido de silicio), Cox es la
capacidad por unidad de área de la capa de óxido de silicio, W es la anchura del canal y L es la
longitud del canal.

5.2 Deducción del modelo de continua del MOSFET de enriquecimiento de canal n 121
p
G
S W
L
00000
11111
000000
111111
00000
11111
n
00000
11111
−QS
c(y)
+
n +
Jan
x
n(x, y)
v(x, y)
V (y)
Figura 5.8: Representación esquemática de un MOSFET de enriquecimiento de canal n trabajando
en la zona óhmica.
5.2. Deducción del modelo de continua del MOSFET de enriquecimiento
de canal n
Se deducirá sólo la relación entre ID, VGS y VDS suponiendo que el dispositivo trabaja en la
zona óhmica.
La Figura 5.8 representa esquemáticamente un MOSFET de enriquecimiento de canal n
trabajando en la zona óhmica e introduce la notación que será utilizada en la deducción. En la
figura se reconoce que la profundidad del canal puede variar. tox es el grosor de la capa de óxido
de silicio entre la puerta y el canal. Las coordenadas x e y van, respectivamente, en la dirección
de profundidad y longitud del canal y tienen los orígenes y sentidos indicados; n(x,y) es la
concentración de electrones libres en un punto con coordenadas x e y del canal; v(x,y) es el
potencial en un punto del canal con coordenadas x e y; V(y) es el potencial en un punto con
coordenada y en la frontera entre el canal y la capa de óxido de silicio, y c(y) es la profundidad
del canal en la coordenada y.
En la deducción se harán bastantes hipótesis simplificadoras. La primera de ellas es que la
conducción a través del canal es debida básicamente al arrastre de electrones y que la densidad
de corriente de arrastre de electrones, Jan, tiene dirección longitudinal en el canal, tal y como
indica la Figura 3.3. Considerando, entonces, una sección transversal en la coordenada y del
canal tendremos
ID ≈ −W
c(y)
0
QS
VGS
D
tox
Jan(x,y)dx,
donde el signo − aparece porque Jan se considera positiva cuando va de la fuente al drenador e
ID se considera positiva cuando va del drenador a la fuente. Jan vale exactamente
Jan(x,y) = −qµn(x,y)n(x,y) dv
dy .
La segunda aproximación que se hará es dv/dy = dV/dy. Dicha aproximación está justificada
ID
y
VDS

122 5 MOSFETs y Circuitos
por el hecho de que la mayor parte de la corriente pase por la zona del canal próxima al óxido de
silicio. Tenemos, por tanto,
Jan ≈ −qµn(x,y)n(x,y) dV
dy ,
e
c(y)
ID ≈ qW dV
µn(x,y)n(x,y)dx.
dy 0
Debido a la dispersión de los electrones libres por el óxido de silicio, la movilidad de los electrones
depende de la coordenada x. Se define la movilidad efectiva de los electrones, µ n, como
µ n =
c(y)
0
µn(x,y)n(x,y)dx
,
c(y)
0
n(x,y)dx
y supondremos que no depende de la coordenada y. En términos de µ n obtenemos
e
c(y)
0
µn(x,y)n(x,y)dx = µ n
dV
ID ≈ Wµ n
dy
c(y)
0
c(y)
0
n(x,y)dx,
qn(x,y)dx. (5.1)
Para evaluar c(y)
0 qn(x,y)dx, consideraremos el condensador formado por el óxido de
silicio. LlamandoQS a la densidad de carga superficial en los extremos del condensador, tendremos
que dicha densidad de carga superficial dependerá de la coordenada y, pues QS dependerá
de la diferencia de potencial a través del óxido de silicio y dicha diferencia de potencial vale
VGS −V(y), que depende de y (V(y) varía desde 0 en las proximidades de la fuente a VDS en
las proximidades del drenador). La densidad de carga superficial −QS que tenemos en el canal
en la coordenada y, −QS[VGS −V(y)], valdrá
−QS[VGS −V(y)] =
c(y)
0
q(−n(x,y)+p(x,y)−NA)dx,
donde p(x,y) es la concentración de huecos en las coordenadas x ey yNA es el dopaje efectivo
de la zona p en la que se sitúa el canal. Sin embargo, en el canal, p(x,y) es despreciable, por lo
que tendremos
−QS[VGS −V(y)] ≈
c(y)
0
q(−n(x,y)−NA)dx = −qNAc(y)−
c(y)
0
qn(x,y)dx,
e c(y)
qn(x,y)dx ≈ QS[VGS −V(y)]−qNAc(y). (5.2)
0
Por otro lado, cuando la tensión que ve el condensador es igual a la tensión umbralVt, el canal se
está empezando a formar, hay una inversión de la zona situada debajo del óxido de tipo p a tipo
n y tanto n(x,y) como p(x,y) son despreciables. Tendremos, por tanto,
−QS[Vt] ≈
c ′
0
−qNAdx,

5.3 Modulación de la longitud de canal 123
donde c ′ es la profundidad de la zona sometida a inversión. Suponiendo c ′ ≈ c(y), tendremos
−QS[Vt] ≈
c(y)
y, combinando esta expresión con (5.2), tendremos
c(y)
que, sustituida en (5.1), da
0
0
−qNAdx = −qNAc(y),
qn(x,y)dx ≈ QS[VGS −V(y)]−QS[Vt],
dV
ID ≈ Wµ n
dy [QS[VGS −V(y)]−QS[Vt]] .
Pero, QS depende de la tensión V entre extremos del óxido de silicio según la relación
QS = CoxV , donde Cox es la capacidad del óxido de silicio por unidad de área, que, siendo εox
la permisividad del óxido de silicio, vale εox/tox,. Tendremos, por tanto,
dV
ID ≈ Wµ n
dy [Cox(VGS
dV
−V(y))−CoxVt] = Wµ n
dy Cox(VGS −V(y)−Vt).
La expresión anterior para ID depende de la coordenada y. Integrando de 0 aL, obtenemos
L
e
0
con
IDdy ≈ Wµ nCox
L
0
(VGS −V(y)−Vt) dV
dy dy = Wµ nCox
VDS
IDL ≈ Wµ nCox (VGS −Vt)VDS −V 2 DS /2 ,
ID ≈ K 2(VGS −Vt)VDS −V 2
DS ,
K = 1
2 µ
W
nCox ,
L
que es el modelo de continua que se deseaba obtener.
5.3. Modulación de la longitud de canal
0
(VGS −V −Vt)dV ,
En el modelo de continua presentado para el MOSFET de enriquecimiento de canal n se supone
que la corriente de drenador no depende de VDS cuando el dispositivo trabaja en saturación.
En realidad, como hemos argumentado cualitativamente, ID crece ligeramente con VDS. Dicho
crecimiento puede ser modelado usando la ecuación
ID = K(VGS −Vt) 2
que da lugar a las características de la Figura 5.9.
1+ VDS
VA
,

124 5 MOSFETs y Circuitos
−VA
ID
VGS = V2 > V1
VGS = V1 > Vt
VGS < Vt > 0
Figura 5.9: Características de un MOSFET de enriquecimiento de canal n con modelado de la
modulación de la longitud del canal.
5.4. MOSFET de enriquecimiento de canal p
En este apartado describiremos el MOSFET de enriquecimiento de canal p, justificaremos cualitativamente
su comportamiento eléctrico, y presentaremos su modelo de continua sin modulación
de la longitud del canal. Dicho modelo tiene una deducción en todo análoga al del modelo de continua
del MOSFET de enriquecimiento de canal n. El modelado de la modulación de la longitud
de canal en el MOSFET de enriquecimiento de canal p puede ser también realizada de modo
análogo a en el MOSFET de enriquecimiento de canal n.
La Figura 5.10 muestra la estructura física de un MOSFET de enriquecimiento de canal p,
indicando los terminales puerta (G), drenador (D) y fuente (S). Una zona n, denominada sustrato
sirve de base para dos zonas p fuertemente dopadas, conectadas a, respectivamente, el drenador y
la fuente. La puerta está aislada del sustrato a través de una capa de óxido de silicio. La aparición
de un campo eléctrico a través del óxido de silicio puede hacer aparecer un canal p en la parte
del sustrato que hay inmediatamente debajo de la puerta, y hacer el dispositivo conductor entre
el drenador y la fuente. El dispositivo tiene un cuarto terminal denominado sustrato que está
conectado a éste. En los componentes discretos, normalmente se conecta el sustrato a la fuente.
Ello asegura que con VDS ≤ 0, las uniones pn entre el sustrato y las zonas p conectadas al
drenador y a la fuente estén polarizadas inversamente, lo cual implica que la corriente por el
sustrato sea prácticamente nula, y la despreciaremos. La corriente por la puerta también será
nula, pues ésta está aislada por la capa de óxido de silicio. Ello hace que la corriente por el
dispositivo solo pueda fluir entre la zona p conectada al drenador y la zona p conectada a la
fuente, que es lo que se desea. Supondremos VDS ≤ 0. La Figura 5.11 muestra el símbolo que
suele ser empleado para representar el dispositivo. La corriente de drenador se considera positiva
cuando es saliente.
Para entender, a nivel cualitativo, el comportamiento eléctrico del MOSFET de enriquecimiento
de canal p, empecemos suponiendo que conectamos a masa la fuente y el drenador
y que aplicamos una tensión negativa en la puerta, VGS. La aplicación de dicha tensión hace
aparecer un campo eléctrico dirigido del sustrato a la puerta. Dicho campo eléctrico tiende a
repeler electrones de la zona del sustrato inmediatamente debajo de la puerta y a atraer huecos de
las zonas p a dicha zona. SiVGS se hace suficientemente negativa se puede producir una inversión
VDS

5.4 MOSFET de enriquecimiento de canal p 125
n
S
G
00000
11111
p +
sustrato
SiO2
D
Figura 5.10: Estructura física de un MOSFET de enriquecimiento de canal p.
puerta
G
+
ID
VGS
drenador
D
+
−
−
S
fuente
VDS
Figura 5.11: Símbolo del MOSFET de enriquecimiento de canal p.
p +

126 5 MOSFETs y Circuitos
n
S G
D
000000
111111
000000
111111
p +
tensión umbral
VGS < Vt < 0
p +
canal
Figura 5.12: Formación de canal en un MOSFET de enriquecimiento de canal p.
de la zona del sustrato inmediatamente debajo de la puerta que pasa de ser tipo n a tipo p. Esa
zona p nueva se denomina canal y hace que el dispositivo pueda conducir entre drenador y fuente.
Sin canal, entre drenador y fuente tenemos dos uniones pn que se comportan como dos diodos
en serie y en oposición y el dispositivo no puede conducir. El valor negativo de VGS a partir del
cual empieza a aparecer canal se denomina tensión umbral y se suele denotar con Vt. Tenemos,
pues, que habrá canal para VGS < Vt < 0. Suponiendo que ya haya canal, un aumento de VGS
en valor absoluto producirá un aumento del campo eléctrico, un enriquecimiento del canal, que
se hará más p, y una reducción de la resistencia RDS entre drenador y fuente que, dado que las
zonas p conectadas al drenador y fuente están fuertemente dopadas, es debida fundamentalmente
a la resistencia del canal.
A continuación justificaremos para el MOSFET de enriquecimiento de canal p el comportamiento
del dispositivo en cada zona. Supongamos que, con la fuente conectada a masa, aplicamos
una tensión VGS ≥ Vt y una tensión VDS ≤ 0. Siendo VGS ≥ Vt el campo eléctrico creado en
el sustrato por el lado de la fuente no será suficientemente intenso para producir inversión en el
sustrato y no existirá canal por el lado de la fuente. Por otro lado, VGD = VGS −VDS ≥ Vt, y,
por razones similares, tampoco habrá canal en el sustrato por el lado del drenador. Así pues, estaremos
en una situación de ausencia de canal, el dispositivo no podrá conducir entre el drenador
y la fuente, y tendremos ID = 0. Cuando el dispositivo está trabajando en dichas condiciones se
dice que está en corte. Resumiendo, el dispositivo estará en corte para VGS ≥ Vt, y en esa zona
tendremos ID = 0. La Figura 5.13 ilustra el trabajo del MOSFET de enriquecimiento de canal p
en corte.
El transistor trabaja en la zona óhmica cuando existe canal en el sustrato tanto por el lado
de la fuente como por el lado del drenador. Lo primero exige VGS < Vt. Lo segundo exige
VGD < Vt. Dado queVGD = VGS−VDS, la última condición se traduce enVGS−VDS < Vt, que

5.4 MOSFET de enriquecimiento de canal p 127
n
S G
D
p +
00000 11111
00000 11111
VGS ≥ Vt < 0
p +
ID = 0
VDS ≤ 0
Figura 5.13: MOSFET de enriquecimiento de canal p trabajando en corte.
da VDS > VGS −Vt = VDS,sat < 0. Así pues, dado que siempre estamos suponiendo VDS ≤ 0,
el transistor trabajará en la zona óhmica para VGS < Vt y VDS,sat = VGS −Vt < VDS ≤ 0. La
Figura 5.14 muestra un MOSFET de enriquecimiento de canal p trabajando en la zona óhmica. Ya
hemos visto que la resistencia RDS entre drenador y fuente paraVDS = 0 disminuía al aumentar
VGS en valor absoluto. Falta por examinar el efecto sobre RDS de una disminución de VDS. Al
disminuir VDS, aumentará VGD, haciéndose menos negativa, el campo eléctrico se hará menos
intenso por el lado del drenador, aumentará la resistividad del canal por ese lado, produciendo
un aumento deRDS. Así pues, un aumento deVDS en valor absoluto hace aumentar RDS. Dado
que VDS ≤ 0, tendremos ID ≥ 0, con ID > 0 para VDS < 0.
Queda por discutir el trabajo del transistor en la zona saturación. El dispositivo trabaja en
esa zona cuando hay canal por el lado de la fuente pero no por el lado del drenador. Así pues,
el transistor trabajará en la zona saturación cuando VGS < Vt y VDS ≤ VDS,sat. La Figura 5.15
muestra un MOSFET de enriquecimiento de canal p trabajando en saturación. El punto X en el
que desaparece el canal viene definido por la condiciónVGX = Vt. A continuación justificaremos
que en esta zona, con VGS constante, la corriente de drenador ID aumenta ligeramente con el
valor absoluto deVDS. En primer lugar, la tensión que cae en el canal, VSX, es independiente de
VDS. En efecto, tenemos
VSX = VSG +VGX = VGX −VGS = Vt −VGS = −VDS,sat ,
Sea RXS la resistencia del canal. La zona sin canal debajo de la puerta se comporta aproximadamente
como una resistencia muy elevada que varía fuertemente al desplazarse X. Variaciones
en VDS podrán producir variaciones en esa resistencia, pero el desplazamiento de X será muy
pequeño, la resistencia RXS variará muy poco y, siendo VSX constante, ID apenas variará. Entonces,
una aumento de VDS en valor absoluto exigirá que la resistencia de la zona sin canal
debajo de la puerta aumente, X se deberá desplazar ligeramente hacia la izquierda, la resistencia
RXS disminuirá ligeramente y, siendo, VSX constante, ID aumentará ligeramente.

128 5 MOSFETs y Circuitos
n
S
p +
G
00000
11111
VGS < Vt < 0
D
p +
ID ≥ 0
VDS,sat < VDS ≤ 0
Figura 5.14: MOSFET de enriquecimiento de canal p trabajando en óhmica.
n
S
G
000000
111111
p +
X
VGS < Vt < 0
D
p +
ID > 0
VDS ≤ VDS,sat
Figura 5.15: MOSFET de enriquecimiento de canal p trabajando en saturación.

5.5 Modelos de pequeña señal de los MOSFETs 129
VGS = V2 < V1
VGS = V1 < Vt
VGS ≥ Vt < 0
ID = KV 2 DS
SATURACIÓN
CORTE
ID
ÓHMICA
V2 − Vt V1 − Vt
VDS
Figura 5.16: Características de un MOSFET de enriquecimiento de canal p.
Hemos completado el análisis cualitativo del comportamiento eléctrico del MOSFET de
enriquecimiento de canal p. Procedemos ahora a describir el modelo de continua del dispositivo
sin modulación de la longitud del canal. La Figura 5.16 muestra las características del dispositivo.
Las ecuaciones paraID del modelo de continua del MOSFET de enriquecimiento de canal p son
idénticas a las del modelo de continua del MOSFET de enriquecimiento de canal n. En el modelo
de continua es conveniente incluir las fronteras entre dos zonas en ambas. El dispositivo trabaja
en corte para VGS ≥ Vt < 0 y VDS ≤ 0. En esa zona, ID = 0. El dispositivo trabaja en la zona
óhmica para VGS ≤ Vt yVDS,sat = VGS −Vt ≤ VDS. En esa zona la corriente ID vale
.
ID = K 2(VGS −Vt)VDS −V 2 DS
Por último, el dispositivo trabaja en saturación paraVGS ≤ Vt yVDS ≤ VDS,sat = VGS−Vt. En
esa zona, la corriente ID vale
ID = ID,sat = K(VGS −Vt) 2 .
La ecuación de la frontera entre el trabajo en óhmica y saturación en el plano (VDS,ID) es
ID = KV 2 DS . El parámetro K vale
K = 1
2 µ
W
pCox ,
L
donde µ p es la movilidad efectiva de los huecos en el canal, Cox es la capacidad por unidad de
área de la capa de óxido de silicio, W es la anchura del canal yLes la longitud del canal.
5.5. Modelos de pequeña señal de los MOSFETs
Al igual que en los transistores de unión bipolares, los modelos de pequeña señal de los MOS-
FETs relacionan variaciones de las variables eléctricas que caracterizan el comportamiento de
los dispositivos. En este apartado deduciremos los modelos de pequeña señal de los MOSFETs
de enriquecimiento para la zona saturación.
Empezaremos con el MOSFET de enriquecimiento de canal n. En saturación tenemos
ID = K(VGS −Vt) 2 .

130 5 MOSFETs y Circuitos
id
G D
+
vgs
−
S
gmvgs
Figura 5.17: Circuito equivalente de pequeña señal de un MOSFET de enriquecimiento de canal
n.
G D
+
vgs
−
S
id
gmvgs
Figura 5.18: Circuito equivalente de pequeña señal de un MOSFET de enriquecimiento de canal
p.
Derivando y teniendo en cuenta VGS −Vt ≥ 0 eID ≥ 0,
Tenemos, por tanto,
con
dID
dVGS
= 2K(VGS −Vt) = 2K
id = diD
ID
K = 2 KID.
dvGS
vgs = gmvgs
vGS=VGS
gm = 2 KID.
A dicha ecuación se corresponde el circuito equivalente de pequeña señal de la Figura 5.17.
Consideramos, a continuación, el MOSFET de enriquecimiento de canal p. La relación entre
ID y VGS es formalmente idéntica a la del MOSFET de enriquecimiento de canal n, pero ahora,
VGS −Vt ≤ 0 eID ≥ 0, dando
dID
ID
= 2K(VGS −Vt) = −2K
K = −2KID, que implica
con
dVGS
id = −gmvgs
gm = 2 KID.
El circuito equivalente de pequeña señal correspondiente se muestra en la Figura 5.18.

5.6 Inversor CMOS 131
5.6. Inversor CMOS
vI
+
+
−
vGSP
vGSN
−
0 ≤ vI ≤ 5 V
QP
QN
5 V
KP
Vt = −1,5 V
−
+
+
vDSP
iDP
iDN
vDSN
−
Vt = 1,5 V
KN
vO
Figura 5.19: Inversor CMOS.
La tecnología CMOS (MOS complementario) es la tecnología de diseño y fabricación de circuitos
integrados dominante actualmente. En dicha tecnología, los circuitos digitales y analógicos
son diseñados utilizando MOSFET de enriquecimiento de canal n y de canal p, que son dispositivos
complementarios, de ahí el nombre MOS complementario. En este apartado analizaremos el
inversor CMOS. El énfasis es en que queden claros los principios de funcionamiento del inversor.
Por ello, para evitar desarrollos algebraicos complejos, fijaremos las tensiones umbrales de los
MOSFETs y sólo consideraremos como parámetros de diseño las constantes K de los mismos.
La Figura 5.19 muestra el inversor CMOS, indicando los valores de las tensiones umbrales
Vt de los transistores y el rango supuesto de variación de la tensión de entrada vI. Se desea
analizar la forma de la función de transferencia vO = F(vI). La figura introduce la notación que
será utilizada en el análisis.
y
Por inspección visual, tenemos
vGSN = vI ,
vGSP = vI −5,
iDP = iDN
vDSN −vDSP = 5.
Para que QN esté en corte se requiere vGSN ≤ 1,5, que se traduce en vI ≤ 1,5. Para que QP
esté en corte se requiere vGSP ≥ −1,5, que se traduce en vi −5 ≥ −1,5 y envI ≥ 3,5.
Empezaremos analizando el circuito para los intervalos devI,0 ≤ vI ≤ 1,5 y 3,5 ≤ vI ≤ 5.
Para 0 ≤ vI ≤ 1,5, QN está en corte y QP está en óhmica con RDS < ∞. En efecto, en esas
condiciones, el inversor se comporta como el circuito de la parte izquierda de la Figura 5.20,
vO = 5, vDSN = 5 y vDSP = 0. Que QN está en corte resulta de los hechos vGSN = vI ≤ 1,5

132 5 MOSFETs y Circuitos
−
vDSP = 0
+
+
vDSN = 5
−
5 V
RDS
vO = 5
−
vDSP = −5
+
+
vDSN = 0
−
Figura 5.20: Inversor CMOS.
iDN
vDSN
iDP
5
vO
−vDSP
5 V
RDS
vO = 0
Figura 5.21: Análisis gráfico del inversor CMOS para 1,5 < vI < 3,5.
y vDSN = 5 ≥ 0. Que QP está en óhmica con RDS < ∞ resulta de los hechos vGSP =
vI − 5 < −1,5 y vDSP = 0. Para 3,5 ≤ vI ≤ 5, QP está en corte y QN está en óhmica
con RDS < ∞. En efecto, en esas condiciones, el inversor se comporta como el circuito de la
derecha de la figura, vO = 0, vDSN = 0 y vDSP = −5. Que QP está en corte resulta de los
hechos vGSP = −5 ≥ −1,5 yvDSP = −5 ≤ 0. Que QN está en óhmica con RDS < ∞ resulta
de los hechos vGSN = vI > 1,5 yvDSN = 0. Así pues, tenemos que para 0 ≤ vI ≤ 1,5,vO = 5
y para 3,5 ≤ vI ≤ 5, vO = 0.
Queda por analizar el intervalo 1,5 < vI < 3,5. Dicho análisis se puede hacer de modo
gráfico tal y como indica la Figura 5.21. En dicha figura se representa la característica de QN
a partir del origen y la característica de QP a partir del punto (−5,0). En la intersección se
encuentra el punto de trabajo del circuito, pues en la intersección se tiene iDN = iDP yvDSN −
vDSP = 5. El eje de abcisas se debería, en principio, haber denominado vDSN, pero comovO =
vDSN, podemos también denominarlo vO, como se ha hecho. La gráfica permite determinar vO
para cada valor devI. Sin embargo, las expresiones obtenidas son complejas y nos contentaremos
con esbozar vO = F(vI) en sus rasgos más importantes.
y
Las corrientes de saturación deQN yQP valen, respectivamente,
iDN,sat = KN(vGSN − 1,5) 2 = KN(vI − 1,5) 2
(5.3)
iDP,sat = KP(vGSP + 1,5) 2 = KP(vI −5+1,5) 2 = KP(vI − 3,5) 2 . (5.4)
Tenemos, por tanto, que, al aumentar vI desde 1,5 hacia 3,5, iDN,sat aumenta desde 0 hasta un

5.6 Inversor CMOS 133
1,5 < vI < Vu
iDN,sat < iDP,sat
Vb
vI = Vu
iDN,sat = iDP,sat
Va
Vu < vI < 3,5
iDN,sat > iDP,sat
Figura 5.22: Situaciones posibles para el inversor CMOS para 1,5 < vI < 3,5.
vO
5
Va
Vb
1,5 Vu 3,5 5
Figura 5.23: Forma de la función de transferencia del inversor CMOS.
cierto valor máximo, iDN,sat,max y, al disminuir vI desde 3,5 hacia 1,5, iDP,sat aumenta desde
0 hasta un cierto valor máximo iDP,sat,max. Dependiendo del valor de vI caben, por tanto, las
tres situaciones indicadas en la Figura 5.22. Para 1,5 < vI < Vu, donde Vu es la tensión vI
para la cual iDN,sat = iDP,sat, la situación es la de la izquierda, QN trabaja en saturación,
QP trabaja en óhmica y vO adopta valores que decrecen al aumentar vI desde vO = 5. Para
vI = Vu, la situación es la indicada en el centro, QN y QP trabajan en saturación y vO adopta
un valor indefinido entre las tensiones Vb y Va. La primera, Vb, es la tensión vDSN a la cual la
curva que separa en QN óhmica y saturación tiene el valor iDN,sat. La segunda, Va, es tal que
−(5 − Va) es la tensión vDSP a la cual la curva que separa en QP óhmica y saturación tiene
el valor iDP,sat. Para Vu < vI < 3,5, la situación es la indicada en la derecha, QN trabaja en
óhmica, QP trabaja en saturación y vO adopta valores que decrecen al aumentar vI hacia 0. La
función de transferencia vO = F(vI) del inversor CMOS tiene, pues, la forma indicada en la
Figura 5.23. En lo que queda, determinaremos los valoresVu,Va yVb que esbozan dicha función
de transferencia.
Vu es el vI para el cual iDN,sat = iDP,sat. Utilizando, por tanto, (5.3) y (5.4), obtenemos
que, considerando 1,5 < Vu < 3,5 da
vI
KN(Vu − 1,5) 2 = KP(Vu − 3,5) 2 ,
3,5−Vu
Vu − 1,5 =
3,5−Vu =
KN
KP
KN
KP
,
(Vu − 1,5),

134 5 MOSFETs y Circuitos
3,5−Vu =
3,5+1,5
KN
Vu =
KN
KP
KP
=
3,5+
1+
Vu − 1,5
1+
KN
KP
KN
KP
KN
KN
KP
1,5
.
Vb es el valor de vDSN que da en la curva que separa óhmica de saturación en QN la corriente
iDN,sat para vI = Vu. Dado que la curva tiene ecuación iDN = KNv2 DSN , se obtiene
que, teniendo en cuenta Vu > 1,5, da
3,5+
Vb = Vu − 1,5 =
=
1+
2
KN
KP
.
1+
KNV 2
b = KN(Vu − 1,5) 2 ,
KN
KP
KN
KP
1,5 3,5+
− 1,5 =
KP
,
Vu,
KN
KP
1,5−1,5−
1+
KN
KP
KN
Por último, Va es tal que −(5−Va) el valor de vDSP que da en la curva que separa óhmica de
saturación en QP la corriente iDP,sat para vi = Vu. Dado que la curva tiene ecuación iDP =
KPv2 DSP , se obtiene
que, teniendo en cuenta, Va < 5 yVu > 1,5, da
5−Va =
KP(5−Va) 2 = KN(Vu − 1,5) 2 ,
KN
KP
5−Va
Vu − 1,5 =
KN
,
KP
(Vu − 1,5) =
KN
KP
Vu − 1,5
KN
KP
,
KP
1,5

5.6 Inversor CMOS 135
Va = 5+1,5
= 5−
= 5−
= 5−
KN
KN
KP
KN
1+
KP
KP
KN
−
⎛
⎜3,5+
⎜
⎝
1+
3,5+
KP
KN
KP
2.
KN
KP
KN
KP
KN
KN
KP
Vu = 5+1,5
KP
⎞
1,5 ⎟
− 1,5⎟
⎠
1,5−1,5−
1+
KN
KP
KN
KP
KN
KP
−
1,5
KN
KP
3,5+
1+
KN
KP
KN
KP
1,5

136 5 MOSFETs y Circuitos

Capítulo 6
Amplificador Operacional y Circuitos
El amplificador operacional es un bloque fundamental en el diseño electrónico analógico. En muchas
aplicaciones el amplificador operacional está realimentado negativamente. En este capítulo
describiremos el comportamiento externo de los amplificadores de tensión, introduciremos los
amplificadores de tensión realimentados negativamente y, con esa motivación, introduciremos el
amplificador operacional. A continuación describiremos y analizaremos algunos circuitos básicos
que pueden ser diseñados utilizando el amplificador operacional. En todos ellos menos en uno,
el amplificador operacional está realimentado negativamente. Dichos circuitos son denominados
normalmente aplicaciones lineales del amplificador operacional, pues en ellos el amplificador
operacional trabaja en la zona lineal. Aunque para el análisis de dichos circuitos supondremos
que el amplificador operacional es ideal, justificaremos la estabilidad de los circuitos cuando el
amplificador operacional tiene la respuesta frecuencial típica de un amplificador operacional con
compensación en frecuencia utilizando el criterio simplificado de Bode.
6.1. Amplificadores de tensión
La Figura 6.1 muestra esquemáticamente un amplificador de tensión. El amplificador tiene una
entrada de señalvi, una salida de señal vo y dos alimentaciones: una normalmente positiva, Va,+,
y otra normalmente negativa, Va−. Con un comportamiento ideal, la tensión de salida es proporcional
a la de entrada, es decir, tenemosvo(t) = Avi(t), dondeAes la ganancia del amplificador.
Para ello es necesario que la tensión de salida vo(t) esté comprendida entre las tensiones de alimentación
del amplificador, Va,− y Va,+, con un cierto margen. Cuando ello no ocurre, la salida
del amplificador se satura a un valor próximo aVa,+ sivo(t) tiende a hacerse> Va,+ y a un valor
próximo a Va,− si vo(t) tiende a hacerse < Va,−. La Figura 6.2 ilustra el comportamiento del
amplificador de tensión. Hay que hacer una clara distinción entre los amplificadores de tensión
que se ajustan al comportamiento ideal que se acaba de describir y los amplificadores de pequeña
señal que son ilustrados en la colección de problemas. En estos últimos la tensión de salidavo(t)
no puede ser muy grande. Además, el correcto funcionamiento de estos últimos requiere que
vi(t) no tenga componentes con frecuencias bajas, en particular, la componente continua devi(t)
no será amplificada. Por el contrario, los amplificadores de tensión de los que estamos hablan-

138 6 Amplificador Operacional y Circuitos
Va,+
Va,−
vi
+
−
A
Va,−
Va,+
Figura 6.1: Amplificador de tensión.
vo
vo(t) = Avi(t)
vi(t)
Figura 6.2: Comportamiento de un amplificador de tensión.
do aquí amplifican sin problemas tensiones con componentes con frecuencias bajas. Aunque no
explicaremos como se puede diseñar un amplificador de tensión con las características descritas,
diremos de pasada que se realiza utilizando circuitos con transistores de unión bipolar, MOS-
FETs, o ambos. El lector interesado puede consultar la biliografía, en particular en ella podrá
encontrar el diseño de un amplificador operacional (que es un amplificador de tensión diferencial
con A muy elevada) utilizando transistores de unión bipolares.
6.2. Amplificadores de tensión realimentados negativamente
La Figura 6.3 da el diagrama de bloques de un amplificador de tensión realimentado negativamente.
A la tensión de entrada vi se le resta una tensión de realimentación vf y la tensión
diferencial resultante, vd, es amplificada por el amplificador de tensión con ganancia A para generar
la tensión de salida, vo. La tensión de realimentación vf es obtenida a partir de la tensión
de salida vo utilizando un bloque de realimentación con ganancia β. Frecuentemente, el bloque
de realimentación es una red resistiva.
A continuación, determinaremos la ganancia de tensión del amplificador de tensión realimentado,
Af . De acuerdo con el diagrama de bloques, tenemos
vo = Avd = A(vi −vf) = Avi −βAvo,
(1+βA)vo = Avi,
t

6.3 El amplificador operacional ideal y estabilidad 139
que da
+
Σ
−
vd
vi A vo
vf
Figura 6.3: Amplificador de tensión realimentado negativamente.
Af = vo
vi
=
β
A
1+Aβ .
El producto Aβ se denomina ganancia de lazo y se suele denotar con L: L es la ganancia del
camino de realimentación desde la salida del restador hasta vf. Supongamos L ≫ 1. En ese
caso, el denominador de la expresión paraAf será≈ Aβ y tendremos Af ≈ 1/β. Lo importante
es que Af es independiente de A y depende sólo de β. Ello tiene aplicaciones importantes. El
valor de A depende de los parámetros de los transistores del diseño del amplificador de tensión
y, por tanto, A está sujeto a fuertes variaciones con las condiciones ambientales (temperatura) y
con el paso del tiempo (envejecimiento). En consecuencia, tenemos un amplificador de tensión
con ganancia poco precisa, lo cual es indeseable. En cambio, típicamente, β depende de valores
de componentes pasivos, como resistencias, que son muy estables frente a variaciones en las
condiciones ambientales y tienen poco envejecimiento. Si L ≫ 1, lo cual se puede conseguir si
A es muy elevado, Af tendrá un valor preciso, lo cual es muy deseable. La discusión anterior
justifica la importancia de la realimentación negativa y motiva el desarrollo de un componente
electrónico como el amplificador operacional para ser bloque angular en torno al cual realizar
diseño electrónico analógico.
6.3. El amplificador operacional ideal y estabilidad
La Figura 6.4 muestra el símbolo de un amplificador operacional. El amplificador operacional
tiene dos entradas de señal: una no inversora, + (tensión v2), y otra inversora, − (tensión v1),
y una salida de señal (tensión vo). Además, el amplificador operacional tiene dos entradas de
alimentación, una positiva (tensión Va,+) y otra negativa (tensión Va,−). El amplificador operacional
integra en un sólo componente el restador y el amplificador de tensión con ganancia A
del diagrama de bloques de un amplificador de tensión realimentado. Ello hace del amplificador
operacional un componente muy útil. La ganancia de tensión A de un amplificador típico es muy
elevada (10 6 o más). La Figura 6.5 muestra la función de transferencia vo = F(v2 − v1) del
amplificador operacional ideal. Por claridad, la figura se ha realizado para A finita, pero en el
amplificador operacional ideal A = ∞. La figura muestra claramente las tres zonas en las que
puede trabajar el dispositivo. En la zona lineal, vo = Avd, convd = v2−v1. Es en esa zona en la
que el amplificador operacional se comporta como amplificador diferencial de tensión (amplifica
la tensión diferencial vd = v2−v1). Se está en esa zona siempre y cuando vo no se acerque a las

140 6 Amplificador Operacional y Circuitos
v2
v1
i2
i1
+
A
−
Va,−
Va,+
Figura 6.4: Símbolo del amplificador operacional.
Va,+
vo
Vsat,+
SATURACIÓN −
Vsat,−
LINEAL
vo
SATURACIÓN +
Va,−
vo = Avd con A → ∞
vd = v2 − v1
Figura 6.5: Función de transferencia de un amplificador operacional ideal.
denominadas tensiones de saturación, Vsat,+ y Vsat,−. La primera es típicamente algo inferior a
Va,+. La segunda es típicamente algo superior aVa,−. Cuandovd se hace suficientemente positiva
el amplificador operacional entra en la zona saturación positiva. En esa zona,vo = Vsat,+. Cuando
vd se hace suficientemente negativa el amplificador operacional entra en la zona saturación
negativa. En esa zona, vo = Vsat,−. Para completar la descripción del amplificador operacional
ideal hay que decir que en él las corrientes en las entradas de señal, i2 e i1, son nulas. Un buen
amplificador operacional tendrá corrientes i1 ei2 muy pequeñas (del orden de 1µA o menos).
Realísticamente, un amplificador operacional ideal no realimentado no trabajará nunca en la
zona lineal. En ese caso, las tensiones v1 yv2 serán independientes y nunca se tendrá exactamentev2
= v1. Ello hace que sin realimentación la funcionalidad del amplificador operacional quede
reducida a la de un comparador, que puede tener una salida positiva o negativa, dependiendo de
cual de las dos entradas tenga un valor mayor. Sin embargo, se puede asegurar que el amplificador
operacional trabajará en la zona lineal si está realimentado negativamente y, suponiendo el
amplificador operacional en la zona lineal, vo no se sale del intervalo [Vsat,−,Vsat,−]. Para ello
es necesario que el amplificador realimentado sea estable, lo cual se podrá asegurar de forma
fácil para el caso en el que el amplificador operacional tenga la respuesta frecuencial típica de
un amplificador operacional compensado en frecuencia y la ganancia β del bloque de realimen-

6.3 El amplificador operacional ideal y estabilidad 141
ω = 2πf3
ω = 2πf2
−1
L(jω)
A0
A(jω)
ω = 2πf1
Figura 6.6: Diagramas polares de A(s) y L(s) con β real, > 0 y ≤ 1 para un amplificador
operacional típico con compensación en frecuencia.
tación sea > 0 y ≤ 1. En un amplificador operacional ideal, dado que A = ∞, en la zona lineal
tendremos vd = 0, o lo que es lo mismo v2 = v1. A este resultado se le denomina teorema del
cortocircuito virtual y, como veremos después, es un resultado muy útil para analizar circuitos en
los que el amplificador operacional está realimentado negativamente.
Analizemos la estabilidad de un amplificador operacional con la respuesta frecuencial típica
de un amplificador operacional compensado en frecuencia cuando la ganancia β del bloque de
realimentación es> 0 y≤ 1. La ganancia compleja de un amplificador operacional con compensación
en frecuencia tiene típicamente la forma
A(s) =
A0
1+ s
1+
2πf1
s
1+
2πf2
s
,
···
2πf3
dondeA0 es la ganancia en continua, que tiene un valor muy elevado (10 6 o más), yf1,f2,f3,...
son frecuencia que verifican f1 < f2 < f3 < ···. Sea L(s) = βA(s) la ganancia de lazo
compleja. Aplicando el criterio simplificado de Bode, el circuito será estable si el número de
semivueltas que hace el diagrama polar de L(s) en el sentido horario en torno a −1 es cero.
Recordamos que el diagrama polar de una cierta función compleja F(s) es la representación de
F(jω) para ω variando de 0 a ∞. El criterio de estabilidad es aplicable siempre y cuando todos
los polos de L(s) tengan parte real ≤ 0, que es el caso, y el diagrama polar no pase encima
de −1. El criterio además asegura la estabilidad interna, que es exigible a cualquier sistema
realimentado, siempre y cuando en la obtención de L(s) a partir de las ganancias complejas de
los bloques no haya habido cancelaciones no permitidas de polos y ceros, es decir de polos y
ceros con parte real ≥ 0, que es también el caso. La Figura 6.6 muestra el diagrama polar de
A(s) para un amplificador operacional típico con compensación en frecuencia y el diagrama
polar de L(s) correspondiente con β ≤ 1. Podemos observar que el diagrama polar de L(s) no
da ninguna semivuelta en el sentido horario en torno a −1. Aplizando el criterio de estabilidad,
ello asegura la estabilidad del amplificador operacional realimentado negativamente.

142 6 Amplificador Operacional y Circuitos
i i
R1
vi
v−
−
+
R2
Figura 6.7: Amplificador no inversor.
6.4. Algunas aplicaciones lineales del amplificador operacional
La aplicación lineal más inmediata del amplificador operacional es el amplificador no inversor.
La Figura 6.7 muestra la aplicación. El circuito encaja perfectamente en el diagrama de bloques
del amplificador de tensión realimentado negativamente. Laβ del circuito es la relación entrev−
yvo establecida por la red resistiva formada por R1 yR2. Así pues, tenemos
y
A = vo
vi
β =
R1
R1 +R2
= 1
β = R1 +R2
R1
= 1+ R2
.
R1
El circuito puede ser analizado también aplicando el teorema del cortocircuito virtual y
usando el hecho de que las corrientes en las entradas del amplificador operacional son nulas. En
efecto, aplicando el teorema del cortocircuito virtual, tenemosv− = vi. Por otro lado, la corriente
i por R1 vale
i = v−
R1
= vi
.
R1
Dado que la corriente en la entrada inversora del amplificador operacional es nula, tal y como
indica la Figura 6.7, i será también la corriente por R2. Tendremos, entonces,
y
vo = vi +R2i = vi + R2
A = vo
vi
vi =
R1
= 1+ R2
,
R1
que es el mismo resultado al que habíamos llegado antes.
vo
1+ R2
vi
R1
El seguidor de tensión puede verse como un caso particular del amplificador no inversor con
R1 = ∞ yR2 = 0, dandovo = vi. Para motivar el circuito, supongamos que tenemos una fuente
de señal que tiene un circuito equivalente que incluye una fuente de tensión vs y una resistencia

6.4 Algunas aplicaciones lineales del amplificador operacional 143
vs
+
−
RS
RL
Figura 6.8: Fuente de señal alimentando una carga resistiva RL.
vs
+
−
RS
0
Figura 6.9: Seguidor de tensión con entrada proporcionada por una fuente de señal y carga resistiva.
de salida RS. Supongamos que queremos alimentar con esa fuente de señal una carga resistiva
RL (ver Figura 6.8). La tensión que llegará a la carga valdrá
RL
−
+
RL +RS
que puede ser bastante menor a vs, que es la tensión que da la fuente en circuito abierto, si
RS es notablemente superior a RL. La atenuación de la señal que da la fuente es problemática.
Utilizando, sin embargo, un seguidor de tensión tal y como indica la Figura 6.9, tenemos que
la tensión que llega a la carga RL es vs. Ello es así debido a que, siendo nula la corriente de la
entrada no inversora del amplificador operacional, tendremos v+ = vs.
El amplificador inversor es otra aplicación lineal importante del amplificador operacional.
La Figura 6.10 muestra la aplicación. En este caso, el circuito no encaja directamente en el diagrama
de bloques del amplificador de tensión realimentado negativamente. Para analizar el circuito,
empezaremos determinando v− en función de vi y vo. Aplicando el principio de superposición,
teniendo en cuenta que la corriente por la entrada inversora del amplificador operacional es nula,
fácilmente obtenemos
con
R1
v− =
R1 +R2
vs,
RL
+
vs
−
vo + R2
vi = βvo +(1−β)vi
R1 +R2
β =
R1
R1 +R2
Dicho análisis se puede hacer porque v− es una función lineal de vo y vi y con vo = vi = 0,
v− = 0. Así pues, el circuito puede ser representado con el diagrama de bloques de la Figura 6.11,
en el que el restador y el amplificador de ganancia A modelan el amplificador operacional.
.

144 6 Amplificador Operacional y Circuitos
vi
0
R1
0
v−
−
+
R2
Figura 6.10: Amplificador inversor.
+
Σ
−
+
Σ
+
1 − β
vi
A
Figura 6.11: Diagrama de bloques del amplificador inversor.
β
vo
vo

6.4 Algunas aplicaciones lineales del amplificador operacional 145
vi
+
−(1 − β) Σ
−
Figura 6.12: Diagrama de bloques transformado del amplificador inversor.
Dicho diagrama de bloques puede ser fácilmente transformado en el de la Figura 6.12. El
nuevo diagrama de bloques pone claramente de manifiesto que el amplificador operacional está
realimentado negativamente con 0 < β < 1 y permite, además, calcular vo/vi:
vo
vi
= −(1−β) 1
β
β
A
1−
= −
R1
R1 +R2
R1
R1 +R2
= − R2
.
R1
A continuación analizaremos de una forma alternativa, menos rigurosa, el amplificador inversor.
En primer lugar se ha de comprobar que el amplificador operacional está realimentado
negativamente. Ello puede hacerse, manteniendo fijavi, introduciendo una perturbación creciente
en vo, y comprobando que a través de la realimentación el circuito tiende a compensar dicha
perturbación. En efecto, con vi fija y vo aumentando, la tensión de la entrada inversora del amplificador
operacional tenderá a aumentar y, como la ganancia desde esa entrada a la salida del
amplificador operacional es negativa, el efecto será una disminución de vo que tenderá a compensar
la perturbación en dicha señal (véase Figura 6.13). Por último, podemos determinar la
relación entre vo y vi utilizando el teorema del cortocircuito virtual y el hecho de que las corrientes
en las entradas del amplificador operacional son nulas. Por el teorema del cortocircuito
virtual, la tensión de la entrada inversora, v−, valdrá 0. Entonces, la corriente i por R1 valdrá
i = vi
.
R1
Siendo nula la corriente por la entrada inversora del amplificador opercional, por R2 también
circulará la corriente i y tendremos y la tensión vo valdrá
dando
vo = −R2i = − R2
vi,
vo
vi
R1
= − R2
,
R1
que coincide con el resultado obtenido anteriormente.
Otras aplicaciones lineales importantes del amplificador operacional son los circuitos sumadores.
La Figura 6.14 muestra un sumador inversor. Es posible comprobar que el amplificador
vo

146 6 Amplificador Operacional y Circuitos
vi
i i
R1 R2 0 ↑
0
−
+
vo ↑↓
Figura 6.13: Análisis alternativo del amplificador inversor.
v1
v2
vn
i1
i2
in
R1
R2
Rn
0
iF
0
−
+
RF
Figura 6.14: Sumador inversor.
operacional está realimentado negativamente con0 < β < 1. Para analizar el circuito, consideramos
en primer lugar que por el teorema del cortocircuito virtual la tensión de la entrada inversora
del amplificador operacional será nula. Ello da
ik = vk
.
Rk
A continuación, aplicando la primera ley de Kirchoff al nodo conectado a la entrada inversora del
amplificador operacional, teniendo en cuenta que la corriente en dicha entrada es nula, tenemos
iF = i1 +i2 +···+in = v1
Por último,
RF
vo = −RFiF = −
R1
expresión que explica el nombre de la aplicación.
R1
v1 + RF
R2
vo
+ v2
+···+
R2
vn
.
Rn
v2 +···+ RF
vn
Rn
La siguiente aplicación lineal del amplificador operacional que consideraremos es un amplificador
de tensión diferencial. Aunque el circuito presenta serios inconvenientes que serán
comentados, es el punto de partida para el diseño del amplificador de instrumentación, que es
un amplificador de tensión diferencial sin esos inconvenientes. El circuito se muestra en la Figura
6.15. Es posible comprobar que el amplificador operacional está realimentado negativamente
con 0 < β < 1.
,

6.4 Algunas aplicaciones lineales del amplificador operacional 147
v1
v2
R1
R1
−
+
R2
R2
Figura 6.15: Amplificador de tensión diferencial.
Dado que el circuito es lineal, tendremos vo = A1v1 + A2v2 + B. Comprobemos que
B = 0. Para ello basta comprobar que vo = 0 para v1 = v2 = 0. En efecto, siendo nula
la corriente por la entrada no inversora del amplificador operacional, las resistencias R1 y R2
inferiores forman un divisor de tensión y con v2 = 0, se tendrá v+ = 0. Por el teorema del
cortocircuito virtual, tendremos v− = 0. Entonces, siendo v1 = 0, la resistencia R1 superior
no verá tensión y la corriente a través de ella será nula. Siendo nula la corriente por la entrada
inversora del amplificador operacional, la corriente por la resistencia R2 superior será nula, dicha
resistencia no verá tensión, y tendremosvo = v− = 0. Así pues,B = 0 yvo = A1v1+A2v2. Ello
permite determinarvo aplicando el principio de superposición. Es decir tendremosvo = vo1+vo2,
donde vo1 es vo para v2 = 0 y vo2 es vo para v1 = 0. La Figura 6.16 muestra la aplicación del
principio de superposición. Teniendo en cuenta que la corriente por la entrada no inversora del
amplificador operacional es nula, en el circuito que da vo1 se tendrá v+ = 0, y dicho circuito es
esencialmente un amplificador inversor. Por tanto,
vo1 = − R2
v1.
R1
Teniendo en cuenta que la corriente por la entrada no inversora del amplificador operacional es
nula, el circuito que da vo2 es el encadenamiento de un divisor de tensión y un amplificador no
inversor. Por tanto,
Finalmente,
vo2 =
vo
1+ R2
R2
v2 =
R1 R1 +R2
R2
v2.
R1
vo = vo1 +vo2 = R2
(v2 −v1).
Dicha expresión pone de manifiesto que el circuito es un amplificador de tensión diferencial. El
primer inconveniente que presenta el circuito es que las corrientes en las entradas no son nulas,
lo cual introduce errores si las tensiones de entrada son proporcionadas por fuentes de señal con
resistencias de salida. El segundo inconveniente es que el ajuste de la ganancia requiere actuar
sobre dos resistencias. Por la deducción que se ha hecho, debería ser evidente que lo esencial
para la correcta operación del circuito es que la relación de las dos resistencias superiores sea
igual a la relación de las dos resistencias inferiores.
R1

148 6 Amplificador Operacional y Circuitos
v1
R1
R1
−
+
R2
R2
vo1
Figura 6.16: Aplicación del principio de superposición al amplificador de tensión diferencial.
El amplificador de instrumentación es un amplificador de tensión diferencial que no presenta
los inconvenientes del que acabamos de analizar. La Figura 6.17 muestra el amplificador
de instrumentación. Es posible, aunque no lo haremos, comprobar que los tres amplificadores
operacionales están realimentados negativamente con 0 < β < 1. El análisis del circuito es
fácil considerando la corriente i y las tensiones v ′ 1 y v′ 2
v2
R1
R1
−
+
R2
R2
vo2
indicadas en la figura. Por el teorema
del cortocircuito virtual, la resistencia de valor R1 verá una tensión igual a v2 − v1. Por tanto,
tendremos
i = v2 −v1
.
R1
Por otro lado,
v ′ 2 −v ′ 1 = (R1 +2R2)i =
1+ 2R2
(v2 −v1).
R1
Por último, de v ′ 1 y v′ 2 a vo tenemos el amplificador de tensión diferencial que hemos analizado
antes, y
vo = R4
(v
R3
′ 2 −v′
1 ) = 1+ 2R2
R4
(v2 −v1).
R1 R3
Las corrientes de entrada del circuito son las corrientes en las entradas no inversoras de los dos
amplificadores operacionales de la izquierda y son, por tanto, nulas. Además, la ganancia del
amplificador, (1 + 2R2/R1)R4/R3, puede ser ajustada actuando sobre la única resistencia de
valor R1. Existen circuitos integrados comerciales que integran todos los componentes del amplificador
de instrumentación excepto la resistencia de valor R1, que se hace externa para poder
ajustar fácilmente la ganancia. Dichos circuitos integrados son llamados también amplificadores
de instrumentación.
6.5. Circuito detector del estado de carga de una batería
La tensión de una batería crece ligeramente al aumentar la carga almacenada en ésta. Ello permite
el diseño de un circuito detector del estado de carga de una batería monitarizando la tensión de
ésta. La Figura 6.18 muestra el circuito. En dicho circuito el diodo Zener trabaja siempre en
ruptura y se supone que la tensión cátodo-ánodo en esa zona es constante e igual aVZ0. La tensión
de la batería esVbat. Así pues, tendremos una tensión en la entrada no inversora del amplificador

6.5 Circuito detector del estado de carga de una batería 149
v1
v2
+
−
i R1
−
+
R2
R2
v ′ 1
v ′ 2
R3
R3
−
+
R4
R4
Figura 6.17: Amplificador de instrumentación.
operacional V+ = VZ0. La tensión en la entrada inversora del amplificador operacional valdrá
R1
V− = Vbat.
R1 +R2
ParaV− > VZ0 el amplificador operacional estará saturado negativamente y, suponiendo Vbat −
Vsat,− > VD0, donde VD0 es la tensión umbral del LED, éste estará luminoso. Para V− > VZ0
el amplificador operacional estará saturado positivamente y, suponiendo Vbat−Vsat,+ < VD0, el
LED estará apagado. Así pues, el LED encendido identifica la situación
R1
Vbat > VZ0,
R1 +R2
Vbat > R1 +R2
R1
VZ0 = Vbat,min.
Haciendo Vbat,min igual a la tensión que tiene la batería cuando su carga es Qmin, tenemos un
circuito que enciende un LED si y solo si la carga de la batería está por encima de Qmin.
vo

150 6 Amplificador Operacional y Circuitos
V−
R2
R1
VZ0
V bat > VZ0
RZ
−
+
VZ0
RL
VD0
V bat − Vsat,+ < VD0
V bat − Vsat,- > VD0
Figura 6.18: Circuito detector del estado de carga de una batería.

Bibliografía
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