Cap´ıtulo 2 Divisibilidad en Z - IMERL

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30 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z Tras las consideraciones anteriores, podemos escribir el algoritmo de Euclides como sigue, donde rem(a, b) representa el resto de dividir a entre b: Entrada : a, b ∈ Z mientras b = 0, hacer t ←− |a| a ←− |b| b ←− rem(t, a) salida : a Pseudo–código del algoritmo de Euclides. Naturalmente, el algoritmo anterior puede extenderse al cálculo del máximo común divisor de más de dos enteros. Supongamos dados t enteros positivos a1, . . . , at y sea R0 = (a1, . . . , at). Supongamos que i es el índice de la coordenada más pequeña de R0. En este caso es fácil ver que mcd(a1, . . . , at) es igual a mcd(rem(a1, ai), . . . , rem(ai−1, ai), ai, rem(ai+1, ai), . . . , rem(at, ai)) Esta idea conduce al siguiente algoritmo. entrada : (a1, a2, . . . , at) ∈ Z t Inicializar A := (|a1|, |a2|, . . . , |at|) mientras A contenga, al menos, dos coordenadas no nulas hacer Calcular el índice i del menor entero no nulo de A A ←− (rem(a1, ai), . . . , rem(ai−1, ai), ai, rem(ai+1, ai), . . . , rem(at, ai)) salida : ai Pseudo–código del algoritmo de Euclides para t enteros. Ejemplo 2.10 Calcular el mcd de 120, 146 y 180. En este caso, se tiene: mcd(120, 146, 180) = mcd(120, 26, 60) = mcd(16, 26, 8) = mcd(0, 2, 8) = = mcd(0, 2, 0) = 2.
2.2. ALGORITMO DE EUCLIDES. TEOREMA DE LAMÉ 31 2.2.1. Teorema de Lamé Examinamos el algoritmo de Euclides sobre una entrada (a, b) tomando nota de cocientes y de restos. Si r0 = a y r1 = b, se tiene: r0 = q1r1 + r2 r1 = q2r2 + r3 . (2.1) rn−2 = qn−1rn−1 + rn rn−1 = qnrn Hemos probado con anterioridad que rn = mcd(a, b). Notemos, por otro lado, que el último cociente, qn es mayor o igual que 2 (salvo que n = 1). Denotemos por E(a, b) el número de divisiones que realiza el algoritmo de Euclides si el input es (a, b). El objetivo es probar una buena cota superior para E(a, b). Sea Fn el n–ésimo número de Fibonacci que, recordemos, está definido por F0 = 0, F1 = 1 y Fn = Fn−1 + Fn−2 si n ≥ 2. Lema 2.11 Sean a y b enteros tales que a > b > 0 y supongamos que E(a, b) = n. Entonces, a ≥ Fn+2 y b ≥ Fn+1 Demostración.– Utilizaremos la notación de 2.1 y probaremos que r0 ≥ Fn+2 y r1 ≥ Fn+1 por inducción en n. El enunciado es cierto para n = 1. En este caso, el algoritmo de Euclides consta de una única división, r0 = q0r1 y puesto que r0 > r1, los menores enteros que lo verifican son r1 = 1 = F2 y r0 = 2 = F3. Supongamos ahora que el enunciado es cierto para i < n; queremos probarlo para n. El primer paso del algoritmo de Euclides es r0 = q0r1 +r2 y sabemos que E(r1, r2) = n − 1. Por lo tanto, r1 ≥ Fn+1 y r2 ≥ Fn. Por lo tanto, r0 ≥ r1 + r2 ≥ Fn+2. A partir del Lema anterior y utilizando que donde α = 1+√ 5 2 y β = 1−√ 5 2 , se tiene Fn = αn − βn √ , 5 Corolario 2.12 Si a > b > 0, E(a, b) < c1 log(u) + c2 − 2 + c3u −1 , donde c1 = 1 log α = 2,08, c2 = log √ 5 log α = 1,67 y c3 1 = √ = 0,93. (log logaritmo natural). Si 5 log α se escribe la cota anterior en términos de la talla binaria de a (es decir, log2 a) se obtiene, redondeando, que E(a, b) ≤ 1,90 log 2 a − 0,33
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