Cap´ıtulo 2 Divisibilidad en Z - IMERL

2.1. DIVISIÓN EUCLÍDEA EN Z. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 27
N = p1p2 · · · pn + 1.
Por el teorema anterior, sabemos que N es producto de primos. Sea, pues, p un
factor primo de N. Este primo ha de ser uno de los p1, p2, . . . , pn, digamos p = pi.
Entonces, pi divide a N − p1p2 · · · pn que es igual a 1, con lo que hemos llegado a
una contradicción.
Una de las primeras tareas matemáticas (y algorítmicas) que realizamos en nuestra
vida es la de aprender a dividir números naturales con resto. La forma en la que nos
enseñan a dividir, basada en la búsqueda de un natural que “quepa”(si no la mejor
desde un punto de vista de eficiencia) es, en cierto modo, la misma idea en la que
se basa la demostración del siguiente teorema.
Teorema 2.6 (División euclídea) Si a y b son dos enteros, b = 0, existe un único
par de enteros q y r tales que:
a = bq + r y 0 ≤ r < |b|.
A q y a r se les conoce, respectivamente, como cociente y resto de la división euclídea
de a por b.
Demostración.– Empecemos por demostrar la existencia de cociente y resto.
Supongamos, primero, que b > 0 y sea S = {x ∈ Z : bx ≤ a}. Este conjunto S es
no vacío (−|a| pertenece a S) y está acotado superiormente (por ejemplo, por |a|).
En consecuencia, tiene máximo. Llamaremos q a este máximo y r = a − bq. Por
construcción, se tiene que a = bq + r. Veamos que r verifica lo exigido. En efecto,
r ≥ 0 (por pertenecer q a S)
r < |b| = b. Si r ≥ b, se tendría b(q+1) = bq+b ≤ bq+r = a y, en consecuencia
q + 1 pertenecería a S contradiciendo el hecho de q es el máximo de S.
Si b < 0, aplicamos el caso anterior a −b.
Para probar la unicidad supongamos que q1, r1 y q2, r2 verifican las condiciones del
teorema, es decir,
a = bq1 + r1 con 0 ≤ r1 < |b| y
a = bq2 + r2 con 0 ≤ r2 < |b|
y que r1 ≤ r2. Restando, se tiene b(q1 −q2) = r2 −r1. Por lo tanto, |b| divide a r2 −r1,
pero también se tiene que 0 ≤ r2 − r1 < |b|. Esto sólo es posible si r2 − r1 = 0. Por
lo tanto, r2 = r1 y, en consecuencia q2 = q1.