Cap´ıtulo 2 Divisibilidad en Z - IMERL

46 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
Problema 2.26 .- Un número perfecto es un entero positivo que es igual a la
suma de sus divisores distintos de él mismo (p.e., 6 es perfecto pues 6 = 1 + 2 +
3). Demostrar que los números perfectos pares son exactamente los de la forma
2 k−1 (2 k −1), con 2 k −1 un primo de Mersenne. (Indicación: Para ver que un número
perfecto par tiene esa forma, escríbelo primero en la forma 2 k−1 n0 con n0 impar,
demostrar que n0 es divisible por 2 k − 1 y comprueba que n0 tiene que ser primo
estudiando σ(n0)).
Nota: No se sabe si existen números perfectos impares. Por otro lado, los primeros
números perfectos son: 6 = 2 1 (2 2 − 1), 28 = 2 2 (2 3 − 1), 496 = 2 4 · (2 5 − 1), 8128 =
2 6 · (2 7 − 1), 33550336 = 2 12 (2 13 − 1),...
Problema 2.27 .- Sean a y b números positivos coprimos. Demostrar que para
todo entero positivo n > ab, existen números enteros positivos x e y tales que
n = ax + by
A partir de lo anterior, deducir que todo número entero > 11 puede escribirse como
suma de dos números compuestos.