Cap´ıtulo 2 Divisibilidad en Z - IMERL

2.6. PROBLEMAS PROPUESTOS 45
Problema 2.20 .- Una compañía aérea ofrece tres tipos de billetes en sus vuelos
de Madrid a París. Los billetes de clase preferente cuestan 150 euros, los de clase
turista con derecho a comida 110 y el resto 67. Si, en un vuelo concreto un total
de 100 pasajeros pagaron un total de 10766 euros, ¿cuántos billetes de cada tipo se
vendieron?
Problema 2.21 .- Probar que para cada número natural n, existen siempre n
números compuestos consecutivos.
Problema 2.22 .- Si mn es un cuadrado perfecto y mcd(m, n) = 1, demostrar que
m y n son también cuadrados perfectos.
Problema 2.23 .- (Números de Fermat)
i) Demostrar que si 2 m + 1 es primo, m es una potencia de 2, es decir, m = 2 n
para algún natural n.
Nota. Los números de la forma 22n + 1 se llaman números de Fermat y si
son primos, se les dice primos de Fermat. Pierre de Fermat (1601-1665) conjeturó
que todos los números de la forma 22n + 1 eran primos, pues pudo
comprobar que eso era cierto para n = 0, 1, 2, 3, 4. Sin embargo, en 1732 Leonhard
Euler (1707-1783) demostró que 641 era factor de 232 + 1 = 4294967297.
A fecha de hoy, los únicos primos de Fermat conocidos son los que se corresponden
con n = 0, 1, 2, 3, 4, aunque no se sabe si hay más.
ii) Demostrar que dos números de Fermat distintos son siempre primos entre sí.
Problema 2.24 .- Un primo de Mersenne es un número primo de la forma 2 n − 1.
Demostrar que si 2 n − 1 es primo, n ha de ser primo.
Nota. En 1644, Mersenne conjeturó que 2 p − 1 era primo para p = 2, 3, 5, 7, 13,
17, 19, 31, 67, 127, 257 y para ningún otro primo menor que 257. En la lista de
Mersenne, había errores por cuanto los números correspondientes a 67 y 257 no son
primos y le faltaban los correspondientes a 61 y 89. A fecha de hoy, sólo se conocen
38 primos de Fermat, el mayor de los cuales es 2 6972593 −1, número éste que tiene más
de 2 millones de dígitos decimales. Una lista de los primos de Mersenne conocidos
puede verse en http://www.utm.edu/research/primes/mersenne.shtml#known.
Problema 2.25 .- Dado un entero positivo n, sea σ(n) =
d la suma de todos
sus divisores positivos. Por ejemplo, σ(27) = 1 + 3 + 9 + 27 = 40. Demostrar que si
mcd(m, n) = 1, σ(nm) = σ(n)σ(m) y encontrar una fórmula para calcular σ(n) a
partir de la descomposición de n en factores primos.
d|n