Cap´ıtulo 2 Divisibilidad en Z - IMERL
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26 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z 9) a|b y c|d =⇒ ac|bd, 10) ac|bc y c = 0 =⇒ a|b. Nota. La prueba de estas propiedades requiere el uso de la Definición 2.1 y de los axiomas que definen los números enteros. Como la prueba de dichas propiedades es sencilla, la dejaremos como ejercicio. De entre todos los números enteros, adquieren una singular importancia los conocidos como números primos que, desde siempre, han fascinado a los matemáticos y al resto de los mortales. Por poner un ejemplo, en la película Contact dirigida por Robert Zemeckis en 1997 y cuyo guión se basa en una novela de Carl Sagan, el primer mensaje que recibe de los extraterrestres la Dra. Arroway, interpretada por Jodie Foster, es una sucesión de números primos. Definición 2.3 Un entero p > 1 se dice primo si sus únicos divisores positivos son los triviales, es decir, 1 y p. Los primeros primos son: Nótese que 1 no es primo. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Teorema 2.4 (Euclides, Libro IX de los Elementos, aprox. 300 a. C.) Todo número entero mayor que 1 es producto de primos. Demostración.– Inducción en la talla. En particular, todo entero no nulo es producto de uno de los números ±1 y de números primos. Veremos más adelante que esta expresión es, esencialmente, única. Teorema 2.5 (Euclides, Libro IX de los Elementos) Existen infinitos números primos. La prueba de este resultado es sencilla y su interés radica en el hecho de que es una de las primeras demostraciones conocidas en las que se utilizó la reducción al absurdo. Demostración.– Supongamos que hay un número finito, digamos n, de primos a los que denotaremos por p1, p2, . . . , pn. Consideremos el número
2.1. DIVISIÓN EUCLÍDEA EN Z. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 27 N = p1p2 · · · pn + 1. Por el teorema anterior, sabemos que N es producto de primos. Sea, pues, p un factor primo de N. Este primo ha de ser uno de los p1, p2, . . . , pn, digamos p = pi. Entonces, pi divide a N − p1p2 · · · pn que es igual a 1, con lo que hemos llegado a una contradicción. Una de las primeras tareas matemáticas (y algorítmicas) que realizamos en nuestra vida es la de aprender a dividir números naturales con resto. La forma en la que nos enseñan a dividir, basada en la búsqueda de un natural que “quepa”(si no la mejor desde un punto de vista de eficiencia) es, en cierto modo, la misma idea en la que se basa la demostración del siguiente teorema. Teorema 2.6 (División euclídea) Si a y b son dos enteros, b = 0, existe un único par de enteros q y r tales que: a = bq + r y 0 ≤ r < |b|. A q y a r se les conoce, respectivamente, como cociente y resto de la división euclídea de a por b. Demostración.– Empecemos por demostrar la existencia de cociente y resto. Supongamos, primero, que b > 0 y sea S = {x ∈ Z : bx ≤ a}. Este conjunto S es no vacío (−|a| pertenece a S) y está acotado superiormente (por ejemplo, por |a|). En consecuencia, tiene máximo. Llamaremos q a este máximo y r = a − bq. Por construcción, se tiene que a = bq + r. Veamos que r verifica lo exigido. En efecto, r ≥ 0 (por pertenecer q a S) r < |b| = b. Si r ≥ b, se tendría b(q+1) = bq+b ≤ bq+r = a y, en consecuencia q + 1 pertenecería a S contradiciendo el hecho de q es el máximo de S. Si b < 0, aplicamos el caso anterior a −b. Para probar la unicidad supongamos que q1, r1 y q2, r2 verifican las condiciones del teorema, es decir, a = bq1 + r1 con 0 ≤ r1 < |b| y a = bq2 + r2 con 0 ≤ r2 < |b| y que r1 ≤ r2. Restando, se tiene b(q1 −q2) = r2 −r1. Por lo tanto, |b| divide a r2 −r1, pero también se tiene que 0 ≤ r2 − r1 < |b|. Esto sólo es posible si r2 − r1 = 0. Por lo tanto, r2 = r1 y, en consecuencia q2 = q1.
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26 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z<br />
9) a|b y c|d =⇒ ac|bd,<br />
10) ac|bc y c = 0 =⇒ a|b.<br />
Nota. La prueba de estas propiedades requiere el uso de la Definición 2.1 y de los<br />
axiomas que defin<strong>en</strong> los números <strong>en</strong>teros. Como la prueba de dichas propiedades es<br />
s<strong>en</strong>cilla, la dejaremos como ejercicio.<br />
De <strong>en</strong>tre todos los números <strong>en</strong>teros, adquier<strong>en</strong> una singular importancia los conocidos<br />
como números primos que, desde siempre, han fascinado a los matemáticos<br />
y al resto de los mortales. Por poner un ejemplo, <strong>en</strong> la película Contact dirigida<br />
por Robert Zemeckis <strong>en</strong> 1997 y cuyo guión se basa <strong>en</strong> una novela de Carl Sagan, el<br />
primer m<strong>en</strong>saje que recibe de los extraterrestres la Dra. Arroway, interpretada por<br />
Jodie Foster, es una sucesión de números primos.<br />
Definición 2.3 Un <strong>en</strong>tero p > 1 se dice primo si sus únicos divisores positivos son<br />
los triviales, es decir, 1 y p.<br />
Los primeros primos son:<br />
Nótese que 1 no es primo.<br />
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...<br />
Teorema 2.4 (Euclides, Libro IX de los Elem<strong>en</strong>tos, aprox. 300 a. C.) Todo<br />
número <strong>en</strong>tero mayor que 1 es producto de primos.<br />
Demostración.– Inducción <strong>en</strong> la talla.<br />
En particular, todo <strong>en</strong>tero no nulo es producto de uno de los números ±1 y de<br />
números primos. Veremos más adelante que esta expresión es, es<strong>en</strong>cialm<strong>en</strong>te, única.<br />
Teorema 2.5 (Euclides, Libro IX de los Elem<strong>en</strong>tos) Exist<strong>en</strong> infinitos números<br />
primos.<br />
La prueba de este resultado es s<strong>en</strong>cilla y su interés radica <strong>en</strong> el hecho de que es<br />
una de las primeras demostraciones conocidas <strong>en</strong> las que se utilizó la reducción al<br />
absurdo.<br />
Demostración.– Supongamos que hay un número finito, digamos n, de primos a los<br />
que d<strong>en</strong>otaremos por p1, p2, . . . , pn. Consideremos el número
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