Cap´ıtulo 2 Divisibilidad en Z - IMERL

42 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
Problema 2.5 .- Para cada uno de los pares de enteros siguientes, calcular el
máximo común divisor utilizando el algoritmo de Euclides:
(i) 34, 21; (ii) 136, 51; (iii) 481, 325; (iv) 8711, 3206; (v) 1134, 1221;
En cada uno de los casos, resuelve la correspondiente identidad de Bézout.
Problema 2.6 .- El algoritmo de Euclides puede hacerse ligeramente más rápido
si permitimos restos negativos en la forma que sigue
ri−1 = riqi + ri+1 con − |ri/2| < ri+1 ≤ |ri/2|.
Por ejemplo, si aplicamos este método para calcular el máximo común divisor de 59
y 49, se tiene
mcd(59, 49) = mcd(49, 10) = mcd(10, −1) = mcd(−1, 0) = 1.
Utilizar este algoritmo, conocido como del mínimo resto, para calcular los máximos
comunes divisores del ejercicio anterior y resolver las correspondientes identidades
de Bézout.
Problema 2.7 .- Demostrar las siguientes propiedades del máximo común divisor.
1.
a b
Si a y b son pares, mcd(a, b) = 2mcd ,
2 2
2.
a
Si a es par y b es impar, mcd(a, b) = mcd , b
2
3.
|a − b|
Si a y b son impares, mcd(a, b) = mcd , b
2
A partir de las propiedades anteriores, construir un algoritmo para calcular el máximo
común divisor de dos enteros realizando únicamente divisiones por 2. (Nota:
Este algoritmo se conoce como algoritmo binario para el cálculo del mcd y es debido
a J. Stein que publicó su resultado en 1967).
Problema 2.8 .- Considérese la siguiente variante del algoritmo binario para el
cómputo de mcd(a, b). Asumamos que a y b no son los dos pares.
1) Si a es par, sustituimos (a, b) por (a/2, b).
2) Si b es par, sustituimos (a, b) por (a, b/2).
3) Si a y b son impares, sustituimos (a, b) por a+b
2
a−b , .
2