Cap´ıtulo 2 Divisibilidad en Z - IMERL

2.6. PROBLEMAS PROPUESTOS 41
2.6. Problemas propuestos
Problema 2.1 .- (Expresión de números natural en bases distintas de la decimal)
Demostrar que, dado un natural q > 0, todo número natural n puede expresarse de
manera única en la forma
akq k + ak−1q k−1 + · · · + a1q + a0,
con 0 ≤ ak < q, donde k el único natural para el que se verifica q k ≤ n < q k+1 .
Problema 2.2 .- Sea
akak−1 . . . a1a0, ai ∈ {0, 1}
la expresión en base 2 (binaria) de un cierto número natural. Expresar, en base 2,
cociente y resto de la división por 2 de dicho número.
Problema 2.3 .- Si (A, +, ·) es un anillo conmutativo con elemento unidad, un
subconjunto I se llama ideal si
a + b ∈ I para todo a, b ∈ I
x ∈ A y a ∈ I =⇒ xa ∈ I.
(1) Probar que si a1, . . . , an son elementos cualesquiera del anillo A, el conjunto
(a1, . . . , an) = {a1x1 + a2x2 + . . . + anxn : xi ∈ A}
es un ideal de A. Todo ideal que se puede expresar de esta forma, se dice
finitamente generado. Si n = 1, se denomina principal.
(2) Probar que en Z todo ideal es principal. Un anillo sin divisores de cero y que
verifica esta propiedad se dice dominio de ideales principales.
(3) Sean ahora, (a) y (b) dos ideales de Z. ¿Quién es el menor ideal que contiene
a ambos? ¿Quién es la intersección de (a) y (b)?
Problema 2.4 .- Dados a y b enteros no nulos, los podemos escribir en la forma
a = ±
n
i=1
p αi
i
, a = ±
n
i=1
p βi
i , αi, βi ≥ 0.
donde los pi son todos los primos que dividen a ab. Comprobar que
mcd(a, b) =
n
i=1
p min{αi,βi}
i
y mcm(a, b) =
n
i=1
p max{αi,βi}
i