Cap´ıtulo 2 Divisibilidad en Z - IMERL

40 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
2) Si c es un entero que verifica a|c y b|c, entonces, m|c (por ser el menor de los
múltiplos comunes).
El mínimo común múltiplo está estrechamente ligado al máximo común divisor. Esta
ligazón viene dada por el siguiente resultado.
Teorema 2.20 Sean a y b dos enteros. Se tiene
|ab| = mcd(a, b) · mcm(a, b).
Demostración.– Se trata de probar que el entero positivo
m =
|ab|
mcd(a, b)
es el mínimo común múltiplo de a y b, es decir, que verifica las dos propiedades
anteriores.
En primer lugar, es claro que a|m por cuanto mcd(a, b) divide a b y, por lo tanto,
podemos escribir
m = |a| ·
De igual forma puede verse que b|m.
|b|
mcd(a, b) .
Por otro lado, supongamos que c es un entero que es múltiplo común de a y b, es
decir,
Se tiene, entonces que
y, como
c = au para algún entero u y c = bv para algún entero v.
a
mcd(a,b) y
b
mcd(a,b)
Finalmente, se tendrá
a
u =
mcd(a, b)
b
mcd(a, b) v
son primos entre sí, que
a
a
v = k
mcd(a, b)
mcd(a,b)
para algún entero k.
ab
c = bv = k para algún entero k.
mcd(a, b)
divide a v, es decir,