Cap´ıtulo 2 Divisibilidad en Z - IMERL

2.5. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 39
Ahora, supongamos que b = 0 (si b = 0 y a = 0, haríamos el mismo argumento que
sigue con a). Como
a
mcd
mcd(a, b) ,
b
= 1
mcd(a, b)
y
b
mcd(a,b) divide a (x − x1) a
b
, se tiene que
mcd(a,b)
Sustituyendo en 2.9, se obtiene que
b
x − x1 = t , para algún t ∈ Z.
mcd(a, b)
b
y − y1 = −t
mcd(a, b) .
mcd(a,b) divide a (x − x1), es decir,
Los argumentos anteriores prueban que el siguiente resultado es cierto.
Proposición 2.18 Dados enteros a, b, c la ecuación diofántica
aX + bY = c
tiene solución si, y sólo si, mcd(a, b) divide a c. En caso de que tenga solución tiene
infinitas, dadas por
b
{ x1 +
mcd(a, b) t, y1
a
−
mcd(a, b) t
: t ∈ Z},
donde (x1, y1) es una solución particular cualquiera.
De hecho, hemos encontrado un algoritmo para resolver ecuaciones diofánticas de
la forma 2.7, ya que basta encontrar una solución particular cualquiera y, para ello
podemos utilizar el algoritmo extendido de Euclides.
2.5. Mínimo común múltiplo
Definición 2.19 Si a y b son dos enteros, un múltiplo común de a y b es un entero
c tal que a|c y b|c. Si a y b son ambos no nulos, existen múltiplos comunes positivos
(por ejemplo |ab|), por lo que la buena ordenación de N nos asegura la existencia
de un mínimo común múltiplo, es decir, el menor múltiplo común positivo.
Normalmente, se escribe mcm(a, b).
De hecho, se tiene que el mínimo común múltiplo de a y b es el único entero positivo
m que verifica:
1) a|m y b|m (por ser múltiplo común)