Cap´ıtulo 2 Divisibilidad en Z - IMERL

38 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
¿Y si mcd(a, b) no divide a c? En este caso, no puede haber solución: si existiesen
enteros x e y tales que
ax + by = c,
se tendría que todo factor común de a y de b también lo sería de c. En particular,
el máximo común divisor de a y de b dividiría a c.
Recopilando, hemos demostrado que la ecuación diofántica 2.7 tiene solución si,
y sólo si, c divide a mcd(a, b). De hecho, sabemos cómo encontrar una solución:
aplicamos el algoritmo extendido de Euclides a a y b obteniendo x0 e y0 tales que
ax0 + by0 = mcd(a, b). Es claro que ( c
mcd(a,b) x0, c
mcd(a,b) y0) es solución de 2.7. Sin
embargo, hasta ahora no nos hemos preocupado por saber si hay más de una solución
y, en el caso de que haya más de una, saber cuáles son todas las soluciones. Para
analizar este problema, estudiemos la ecuación diofántica
aX + bY = 0 (2.8)
por cuanto si (x1, y1) es solución cualquiera de la ecuación diofántica 2.7 y (x0, y0)
solución de 2.8, es fácil ver que (x1 + x0, y1 + y0) es solución de 2.7. Una solución
obvia ( y la más “pequeña”) a la ecuación diofántica 2.8 es
b a
, −
,
mcd(a, b) mcd(a, b)
pero también lo son todas las de la forma
b
a
t , −t
, con t ∈ Z.
mcd(a, b) mcd(a, b)
Así pues, si (x1, y1) es solución cualquiera de 2.7 el conjunto
b
{ x1 +
mcd(a, b) t, y1
a
−
mcd(a, b) t
: t ∈ Z},
es un conjunto de infinitas soluciones de 2.7. ¿Hay más? Para verlo, sea (x, y) una
solución de 2.7. Por lo tanto,
ax1 + by1 = c y
ax + by = c.
Restando, se tiene a(x − x1) + b(y − y1) = 0 y, dividiendo por mcd(a, b),
a
mcd(a, b) (x − x1)
b
+
mcd(a, b) (y − y1) = 0. (2.9)