Cap´ıtulo 2 Divisibilidad en Z - IMERL

36 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
De hecho, la construcción anterior no sólo proporciona una prueba del Teorema sino
que nos da un algoritmo para su cálculo. 3 En la forma en la que aparece descrito a
continuación, coc(A, B) denota el cociente de la división euclídea de A por B.
Input : a, b ∈ Z
Inicializar :
⎛ ⎞
a b
S := ⎝ 1 0 ⎠
0 1
while s12 = 0, do
0 1
Q ←
1 −coc(s11, s12)
S ← S · Q
endwhile
Output : s11, x = s21, y = s31
Algoritmo Extendido de Euclides.
Obsérvese que como subproducto del algoritmo anterior, se obtienen xn+1 e yn+1
cuya utilidad se verá en la resolución de ecuaciones diofánticas lineales
A partir del Teorema 2.15, podemos demostrar la anunciada unicidad de la factorización
de un número entero, pero antes un resultado previo.
Teorema 2.16 Si a|bc y mcd(a, b) = 1, entonces a|c. En particular, si p es primo
y p|ab, entonces p|a o p|b.
Demostración.– Gracias a la identidad de Bézout sabemos que existen enteros x e
y tales que ax + by = 1. Multiplicando por c se tiene c = cax + cby, con lo que a
divide a los dos sumandos a la derecha y, por lo tanto, a c.
A partir del Teorema anterior y pagando un bajo precio, en forma de sencillo argumento
inductivo, se puede probar que
Si p es primo y p|a1 · · · ak, entonces p divide a algún ai
Todas estas disquisiciones realizadas sobre la relación entre números primos y divisibilidad
nos ponen en condiciones de probar la unicidad, ya anunciada, de la
expresión de un número entero como producto de ±1 y números primos.
3 En clase de problemas veremos cómo extender este algoritmo para más de dos enteros.