Cap´ıtulo 2 Divisibilidad en Z - IMERL

2.3. IDENTIDAD DE BÉZOUT. ALGORITMO EXTENDIDO DE EUCLIDES35
calcular x2 = x0 − x1q1 e y2 = y0 − y1q1. En consecuencia, podemos pensar que si
llamamos Q1 a la matriz
0 1
Q1 =
,
1 −q1
se tiene
x1 x2
R1 =
y1 y2
⎛
= R0Q1 y S1 =
⎝ r1 r2
x1 x2
y1 y2
⎞
⎠ = S0Q1
Además, es fácil ver que este producto por Q1 consiste, en realidad, en restar a la
primera columna de S0 la segunda multiplicada por q1 e intercambiar las columnas
de S0. Por otro lado, se tiene que det(R1) = −1, es decir, x1y2 − x2y1 = −1 lo que
implica que mcd(x2, y2) = 1. Este proceso se continúa obteniendo matrices
xk xk+1
Rk =
= Rk−1Qk = R0Q1 · · · Qk
que verifican
⎛
yk yk+1
Sk = ⎝ rk rk+1
xk xk+1
yk yk+a
⎞
y
⎠ = Sk−1Qk = S0Q1 · · · Qk
det(Rk) = (−1) k , axk + byk = rk, axk+1 + bxk+1 = rk+1,
lo que, en particular, implica que mcd(xk, yk) = 1. El algoritmo sigue hasta que en
el lugar (1, 2) de una de las matrices Sk aparezca un cero. De este modo, si en el
algoritmo extendido de Euclides se realizan n divisiones, se tendrá
⎛
xn xn+1
Rn =
= Rn−1Qn y S1 = ⎝ rn
⎞
0
⎠ = Sn−1Qn,
con lo que se tiene:
yn yn+1
xn xn+1
yn yn+1
axn + byn = mcd(a, b), axn+1 + byn+1 = 0, mcd(xn, yn) = mcd(xn+1, yn+1) = 1.
La última de las igualdades se obtiene de det(Rn) = (−1) n . En particular se tendrá,
. Dicho de otra manera,
si b = 0, que la fracción yn+1
xn+1
|xn+1| =
es reducida e igual a − a
b
|b|
mcd(a, b) e |yn+1| =
|a|
mcd(a, b)