Cap´ıtulo 2 Divisibilidad en Z - IMERL

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34 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z y después volver hacia atrás utilizando dichos restos y cocientes. Sin embargo, podemos organizar los cálculos de manera que esto no sea necesario. Para ello, usaremos los cocientes para construir xk e yk tales que: axk + byk = rk (0 ≤ k ≤ n). De este modo, si k = n, tendríamos resuelto nuestro problema. Para k = 0, basta tomar x0 = 1 e y0 = 0 y si k = 1, x1 = 0 e y1 = 1. Ahora supongamos que hemos encontrado xk e yk para todo índice 0 ≤ k ≤ s y queremos calcular xs+1 e ys+1. Se tendría: rs+1 = rs−1 − rsqs = axs−1 + bys−1 − qs(axs + bys) = a(xs−1 − qsxs) + b(ys−1 − qsys) Lo que hemos visto es que las sucesiones de enteros definidas por: verifican x0 = 1, x1 = 0, xk+1 = xk−1 − qkxk y0 = 0, y1 = 1, yk+1 = yk−1 − qkyk axk + byk = rk (0 ≤ k ≤ n). De paso, esta construcción demuestra que: Teorema 2.15 Para todo par de enteros a y b no los dos nulos, existen enteros x e y tales que se verifica la identidad de Bézout: ax + by = mcd(a, b) Ejercicio. Probar que a y b son coprimos si, y sólo si, existen enteros x e y tales que ax + by = 1. Interpretación matricial del Algoritmo extendido de Euclides Llamemos, al igual que antes, r0 = a y r1 = b. Asimismo, consideremos las matrices x0 R0 = ⎛ x1 = I S0 = ⎝ r0 ⎞ r1 ⎠ y0 y1 x0 x1 y0 y1 Obsérvese que det(R0) = 1. El primer paso en el algoritmo de Euclides extendido consiste en dividir r0 por r1, r0 = r1q1 + r2, sustituir el par (r0, r1) por (r1, r2) y
2.3. IDENTIDAD DE BÉZOUT. ALGORITMO EXTENDIDO DE EUCLIDES35 calcular x2 = x0 − x1q1 e y2 = y0 − y1q1. En consecuencia, podemos pensar que si llamamos Q1 a la matriz 0 1 Q1 = , 1 −q1 se tiene x1 x2 R1 = y1 y2 ⎛ = R0Q1 y S1 = ⎝ r1 r2 x1 x2 y1 y2 ⎞ ⎠ = S0Q1 Además, es fácil ver que este producto por Q1 consiste, en realidad, en restar a la primera columna de S0 la segunda multiplicada por q1 e intercambiar las columnas de S0. Por otro lado, se tiene que det(R1) = −1, es decir, x1y2 − x2y1 = −1 lo que implica que mcd(x2, y2) = 1. Este proceso se continúa obteniendo matrices xk xk+1 Rk = = Rk−1Qk = R0Q1 · · · Qk que verifican ⎛ yk yk+1 Sk = ⎝ rk rk+1 xk xk+1 yk yk+a ⎞ y ⎠ = Sk−1Qk = S0Q1 · · · Qk det(Rk) = (−1) k , axk + byk = rk, axk+1 + bxk+1 = rk+1, lo que, en particular, implica que mcd(xk, yk) = 1. El algoritmo sigue hasta que en el lugar (1, 2) de una de las matrices Sk aparezca un cero. De este modo, si en el algoritmo extendido de Euclides se realizan n divisiones, se tendrá ⎛ xn xn+1 Rn = = Rn−1Qn y S1 = ⎝ rn ⎞ 0 ⎠ = Sn−1Qn, con lo que se tiene: yn yn+1 xn xn+1 yn yn+1 axn + byn = mcd(a, b), axn+1 + byn+1 = 0, mcd(xn, yn) = mcd(xn+1, yn+1) = 1. La última de las igualdades se obtiene de det(Rn) = (−1) n . En particular se tendrá, . Dicho de otra manera, si b = 0, que la fracción yn+1 xn+1 |xn+1| = es reducida e igual a − a b |b| mcd(a, b) e |yn+1| = |a| mcd(a, b)
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Page 7 and 8: 2.2. ALGORITMO DE EUCLIDES. TEOREMA
Page 9: 2.3. IDENTIDAD DE BÉZOUT. ALGORITM
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Page 15 and 16: 2.5. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 39 Ah
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Page 21 and 22: 2.6. PROBLEMAS PROPUESTOS 45 Proble

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