Cap´ıtulo 2 Divisibilidad en Z - IMERL

Capítulo 2
Divisibilidad en Z
2.1. División euclídea en Z. Máximo común divisor
Definición 2.1 Dados dos números enteros a y b, con b = 0, se dice que b divide
a a o que a es múltiplo de b o que b es divisor de a, si existe otro entero q tal que
a = bq. Se escribe
b | a
Naturalmente, todo número entero a distinto de 1 y −1 tiene, al menos, cuatro
divisores, a saber, ±1 y ±a. A estos divisores se les conoce con el nombre de divisores
(o factores) triviales de a. Otras propiedades, de todos conocidas, de la divisibilidad
se recogen en la siguiente Proposición:
Proposición 2.2 En las propiedades siguientes todos los números serán enteros y
|a| denotará el valor absoluto de a.
1) d|a ⇐⇒ −d|a ⇐⇒ d| − a,
2) d|a, a = 0 y d ≥ 0 =⇒ 1 ≤ d ≤ |a|,
3) d|1 =⇒ d = 1 o d = −1,
4) a|b y b|a =⇒ b = a o b = −a,
5) a|b y b|c =⇒ a|c,
6) a|b y a|c =⇒ a|b + c,
7) a|b y a|c =⇒ a|bc,
8) a|b y c ∈ Z =⇒ ac|bc,
25

26 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
9) a|b y c|d =⇒ ac|bd,
10) ac|bc y c = 0 =⇒ a|b.
Nota. La prueba de estas propiedades requiere el uso de la Definición 2.1 y de los
axiomas que definen los números enteros. Como la prueba de dichas propiedades es
sencilla, la dejaremos como ejercicio.
De entre todos los números enteros, adquieren una singular importancia los conocidos
como números primos que, desde siempre, han fascinado a los matemáticos
y al resto de los mortales. Por poner un ejemplo, en la película Contact dirigida
por Robert Zemeckis en 1997 y cuyo guión se basa en una novela de Carl Sagan, el
primer mensaje que recibe de los extraterrestres la Dra. Arroway, interpretada por
Jodie Foster, es una sucesión de números primos.
Definición 2.3 Un entero p > 1 se dice primo si sus únicos divisores positivos son
los triviales, es decir, 1 y p.
Los primeros primos son:
Nótese que 1 no es primo.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
Teorema 2.4 (Euclides, Libro IX de los Elementos, aprox. 300 a. C.) Todo
número entero mayor que 1 es producto de primos.
Demostración.– Inducción en la talla.
En particular, todo entero no nulo es producto de uno de los números ±1 y de
números primos. Veremos más adelante que esta expresión es, esencialmente, única.
Teorema 2.5 (Euclides, Libro IX de los Elementos) Existen infinitos números
primos.
La prueba de este resultado es sencilla y su interés radica en el hecho de que es
una de las primeras demostraciones conocidas en las que se utilizó la reducción al
absurdo.
Demostración.– Supongamos que hay un número finito, digamos n, de primos a los
que denotaremos por p1, p2, . . . , pn. Consideremos el número

2.1. DIVISIÓN EUCLÍDEA EN Z. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 27
N = p1p2 · · · pn + 1.
Por el teorema anterior, sabemos que N es producto de primos. Sea, pues, p un
factor primo de N. Este primo ha de ser uno de los p1, p2, . . . , pn, digamos p = pi.
Entonces, pi divide a N − p1p2 · · · pn que es igual a 1, con lo que hemos llegado a
una contradicción.
Una de las primeras tareas matemáticas (y algorítmicas) que realizamos en nuestra
vida es la de aprender a dividir números naturales con resto. La forma en la que nos
enseñan a dividir, basada en la búsqueda de un natural que “quepa”(si no la mejor
desde un punto de vista de eficiencia) es, en cierto modo, la misma idea en la que
se basa la demostración del siguiente teorema.
Teorema 2.6 (División euclídea) Si a y b son dos enteros, b = 0, existe un único
par de enteros q y r tales que:
a = bq + r y 0 ≤ r < |b|.
A q y a r se les conoce, respectivamente, como cociente y resto de la división euclídea
de a por b.
Demostración.– Empecemos por demostrar la existencia de cociente y resto.
Supongamos, primero, que b > 0 y sea S = {x ∈ Z : bx ≤ a}. Este conjunto S es
no vacío (−|a| pertenece a S) y está acotado superiormente (por ejemplo, por |a|).
En consecuencia, tiene máximo. Llamaremos q a este máximo y r = a − bq. Por
construcción, se tiene que a = bq + r. Veamos que r verifica lo exigido. En efecto,
r ≥ 0 (por pertenecer q a S)
r < |b| = b. Si r ≥ b, se tendría b(q+1) = bq+b ≤ bq+r = a y, en consecuencia
q + 1 pertenecería a S contradiciendo el hecho de q es el máximo de S.
Si b < 0, aplicamos el caso anterior a −b.
Para probar la unicidad supongamos que q1, r1 y q2, r2 verifican las condiciones del
teorema, es decir,
a = bq1 + r1 con 0 ≤ r1 < |b| y
a = bq2 + r2 con 0 ≤ r2 < |b|
y que r1 ≤ r2. Restando, se tiene b(q1 −q2) = r2 −r1. Por lo tanto, |b| divide a r2 −r1,
pero también se tiene que 0 ≤ r2 − r1 < |b|. Esto sólo es posible si r2 − r1 = 0. Por
lo tanto, r2 = r1 y, en consecuencia q2 = q1.

28 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
Definición 2.7 (Máximo común divisor) Si d|a y d|b decimos que d es un divisor
común (o factor común) de a y b; por ejemplo, 1 es un divisor común a cualquier
par de enteros a y b. Si a y b no son los dos nulos, el Teorema 2.6 prueba que ninguno
de sus divisores comunes puede ser mayor que max(|a|, |b|), por lo que podemos asegurar
que de entre todos sus divisores comunes debe existir uno que sea el mayor de
ellos. Este es el máximo común divisor de a y b que denotaremos por mcd(a, b);
siendo el único entero d que satisface
d|a y d|b (por ser d un divisor común),
Si c|a y c|b, c|d (pues d es el mayor de los divisores comunes de a y b).
Sin embargo, el caso a = b = 0 debe ser excluido; cualquier entero divide a 0
y es, por tanto, un divisor común de a y b, por lo que, en este caso, no existe
un máximo común divisor. Esta definición puede obviamente extenderse al máximo
común divisor de cualquier conjunto finito de enteros (no todos nulos).
Nota. Dos números enteros a y b se dicen coprimos o primos entre sí si no poseen
factores comunes no triviales, esto es, si mcd(a, b) = 1.
Al igual que hicimos con la divisibilidad, recogemos en la siguiente Proposición
algunas propiedades básicas del máximo común divisor.
Proposición 2.8 En las propiedades siguientes todos los números son enteros y |a|
denotará el valor absoluto de a.
1) mcd(a, b) = mcd(b, a),
2) mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c) = mcd(a, mcd(b, c)),
3) mcd(a, 0) = mcd(a, a) = |a|,
4) mcd(a, b) = mcd(−a, b) = mcd(|a|, |b|),
5) mcd(ca, cb) = |c|mcd(a, b),
6) mcd(a, b) = mcd(a, b + ac),
a
7) mcd
mcd(a, b) ,
a
= 1,
mcd(a, b)
Una de las primeras aplicaciones del máximo común divisor que suele realizarse en la
escuela es la reducción del tamaño de numerador y denominador en la aritmética con
números racionales. Obviamente, esto requerirá, sobre todo si se piensa en números

2.2. ALGORITMO DE EUCLIDES. TEOREMA DE LAMÉ 29
de gran tamaño, de un algoritmo eficiente 1 para su cálculo. Afortunadamente (no
siempre es el caso para otros problemas) se dispone de un método que, sorprendentemente,
se hallaba ya en los Elementos de Euclides. Según D. Knuth, the oldest
nontrivial algorithm that has survived to the present day.
2.2. Algoritmo de Euclides. Teorema de Lamé
Trataremos, en esta Sección, de construir un algoritmo eficiente para el cálculo del
máximo común divisor y estudiar algunas de sus propiedades. Naturalmente, la
propia definición de máximo común divisor proporciona un algoritmo para calcular
mcd(a, b): construir la lista de divisores de a y b y tomar el mayor de los comunes.
Sin embargo, para grandes números, este algoritmo es, ciertamente, inaplicable.
El algoritmo de Euclides que estudiaremos para el cálculo del máximo común divisor
se basa en la sencilla observación siguiente:
d|a y d|b ⇐⇒ d|a y d|r,
siendo r el resto de la división de a por b. Esto quiere decir que los divisores comunes
de a y b son los divisores comunes de a y r, por lo que mcd(a, b) = mcd(b, r).
El algoritmo de Euclides explota la idea anterior para simplificar el cálculo del
máximo común divisor reduciendo el tamaño de los enteros sin alterar su máximo
común divisor. Eliminando casos triviales, podemos suponer que a > b > 0. Sean
r0 = a, r1 = b. Dividiendo, se tendrá que r0 = q1r1 + r2 con 0 ≤ r2 < r1 = b.
Si r2 = 0, entonces b|a, por lo que mcd(a, b) = b y hemos terminado. Si r2 = 0,
dividimos r1 entre r2 y escribimos r2 = q2r2 + r3 con 0 ≤ r3 < r2 y repetimos
el proceso. Dado que la sucesión de restos es decreciente (r1 > r2 > r3 > ...), en
algún momento habremos de encontrar un resto rn+1 igual a 0. Los dos últimos
pasos podemos escribirlos de la forma rn−2 = qn−1rn−1 + rn con 0 < rn < rn−1, y
rn−1 = qnrn + rn+1 con rn+1 = 0.
Teorema 2.9 En el proceso anterior, rn es el máximo común divisor de a y b.
Además, el máximo común divisor es único.
1 En el contexto informático, eficiente quiere decir que, una vez convenientemente programado,
pueda ser ejecutado por un ordenador en un tiempo y utilización de recursos de memoria razonables.
No nos entretendremos en discutir qué quiere decir razonable, que sería objeto de la asignatura
Complejidad Computacional u otras.

30 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
Tras las consideraciones anteriores, podemos escribir el algoritmo de Euclides como
sigue, donde rem(a, b) representa el resto de dividir a entre b:
Entrada : a, b ∈ Z
mientras b = 0, hacer
t ←− |a|
a ←− |b|
b ←− rem(t, a)
salida : a
Pseudo–código del algoritmo de Euclides.
Naturalmente, el algoritmo anterior puede extenderse al cálculo del máximo común
divisor de más de dos enteros. Supongamos dados t enteros positivos a1, . . . , at y sea
R0 = (a1, . . . , at). Supongamos que i es el índice de la coordenada más pequeña de
R0. En este caso es fácil ver que mcd(a1, . . . , at) es igual a
mcd(rem(a1, ai), . . . , rem(ai−1, ai), ai, rem(ai+1, ai), . . . , rem(at, ai))
Esta idea conduce al siguiente algoritmo.
entrada : (a1, a2, . . . , at) ∈ Z t
Inicializar A := (|a1|, |a2|, . . . , |at|)
mientras A contenga, al menos, dos coordenadas no nulas hacer
Calcular el índice i del menor entero no nulo de A
A ←− (rem(a1, ai), . . . , rem(ai−1, ai), ai, rem(ai+1, ai), . . . , rem(at, ai))
salida : ai
Pseudo–código del algoritmo de Euclides para t enteros.
Ejemplo 2.10 Calcular el mcd de 120, 146 y 180. En este caso, se tiene:
mcd(120, 146, 180) = mcd(120, 26, 60) = mcd(16, 26, 8) = mcd(0, 2, 8) =
= mcd(0, 2, 0) = 2.

2.2. ALGORITMO DE EUCLIDES. TEOREMA DE LAMÉ 31
2.2.1. Teorema de Lamé
Examinamos el algoritmo de Euclides sobre una entrada (a, b) tomando nota de
cocientes y de restos. Si r0 = a y r1 = b, se tiene:
r0 = q1r1 + r2
r1 = q2r2 + r3
. (2.1)
rn−2 = qn−1rn−1 + rn
rn−1 = qnrn
Hemos probado con anterioridad que rn = mcd(a, b). Notemos, por otro lado, que
el último cociente, qn es mayor o igual que 2 (salvo que n = 1).
Denotemos por E(a, b) el número de divisiones que realiza el algoritmo de Euclides
si el input es (a, b). El objetivo es probar una buena cota superior para E(a, b).
Sea Fn el n–ésimo número de Fibonacci que, recordemos, está definido por F0 = 0,
F1 = 1 y Fn = Fn−1 + Fn−2 si n ≥ 2.
Lema 2.11 Sean a y b enteros tales que a > b > 0 y supongamos que E(a, b) = n.
Entonces, a ≥ Fn+2 y b ≥ Fn+1
Demostración.– Utilizaremos la notación de 2.1 y probaremos que r0 ≥ Fn+2 y
r1 ≥ Fn+1 por inducción en n.
El enunciado es cierto para n = 1. En este caso, el algoritmo de Euclides consta
de una única división, r0 = q0r1 y puesto que r0 > r1, los menores enteros que lo
verifican son r1 = 1 = F2 y r0 = 2 = F3.
Supongamos ahora que el enunciado es cierto para i < n; queremos probarlo para n.
El primer paso del algoritmo de Euclides es r0 = q0r1 +r2 y sabemos que E(r1, r2) =
n − 1. Por lo tanto, r1 ≥ Fn+1 y r2 ≥ Fn. Por lo tanto, r0 ≥ r1 + r2 ≥ Fn+2.
A partir del Lema anterior y utilizando que
donde α = 1+√ 5
2
y β = 1−√ 5
2 , se tiene
Fn = αn − βn √ ,
5
Corolario 2.12 Si a > b > 0, E(a, b) < c1 log(u) + c2 − 2 + c3u −1 , donde c1 =
1
log α = 2,08, c2 = log √ 5
log α = 1,67 y c3
1 = √ = 0,93. (log logaritmo natural). Si
5 log α
se escribe la cota anterior en términos de la talla binaria de a (es decir, log2 a) se
obtiene, redondeando, que
E(a, b) ≤ 1,90 log 2 a − 0,33

32 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
Demostración.– Supongamos que E(a, b) = n. Por el lema 2.11, sabemos que, en ese
caso, a ≥ Fn+2. Entonces,
a ≥ αn+2 − β n+2
√ 5
> αn+2 − 1
√ .
5
En consecuencia, (n + 2) log α ≤ log(1 + a √ 5). Ahora, usando el hecho de que
log(x + 1) = log x + log 1 + 1
1 1
y la estimación log 1 + < para obtener
x
x x
se obtiene el resultado.
(n + 2) log α < log(a √ 5) + 1
a √ 5 ,
Observación 2.13 Queda algo alejado del curso hacer consideraciones sobre la eficiencia
de los algoritmos introducidos. Sin embargo, deje el lector que se le ofrezca
un resultado que demuestra bien a las claras las posibilidades del Algoritmo de Euclides.
A partir del resultado anterior se puede probar que el número de operaciones
binarias necesarias para calcular el mcd usando Euclides es
k · (log 2 a)(log 2 b)
Olvidándonos de la constante k, si los enteros a y b tienen talla binaria 10000 (aproximadamente
3000 dígitos en base 10), habrá que realizar, más o menos, cien millones
de operaciones binarias. Dado que, por ejemplo, los primeros procesadores Pentium
realizaban entre 100 y 112 millones de operaciones binarias por segundo, un ordenador
equipado con uno de dichos procesadores, nos daría la respuesta en algo menos
de un segundo.
Por otro lado, si usamos la factorización en producto de primos para calcular el
máximo común divisor, la situación no es, ni mucho menos, tan boyante. En la
práctica, el mejor de los algoritmos de factorización conocidos (que utiliza técnicas
matemáticas ciertamente sofisticadas) no puede factorizar, ni aún usando el Super-
Computer de IBM, enteros de varios cientos de dígitos (aunque nadie ha probado
aún que nunca pueda encontrarse un algoritmo eficiente). Esta dificultad de la factorización
es una de las ideas claves por la que el sistema criptográfico RSA que
estudiaremos más adelante se haya convertido en el sistema criptográfico de uso
común.
Por último, señalemos que la falta de una prueba que demuestre que no es posible
encontrar un algoritmo eficiente para la factorización está estrechamente ligada a
uno de los problemas centrales de la Informática como es la Conjetura de Cook 2 .
2 En la página http://www.claymath.org/prizeproblems/pvsnp.htm del Clay Mathematics
Institute existe información (sencilla descripción del problema, artículo más profundo sobre el
asunto e incluso un vídeo de una charla divulgativa) sobre esta conjetura. De hecho, el Instituto
Clay ofrece un millón de dólares a quien sea capaz de resolver esta conjetura.

2.3. IDENTIDAD DE BÉZOUT. ALGORITMO EXTENDIDO DE EUCLIDES33
2.3. Identidad de Bézout. Algoritmo extendido de
Euclides
Definición 2.14 Dados enteros a y b y su máximo común divisor d = mcd(a, b),
se denomina identidad de Bézout a una expresión de la forma
ax + by = d x, y ∈ Z.
El objetivo fundamental de esta sección, junto a la prueba del Teorema Fundamental
de la Aritmética, es el demostrar que siempre existen tales enteros x e y y encontrar
un algoritmo para su cálculo. Pero antes, veamos un ejemplo. Aplicando el algoritmo
de Euclides a a = 180 y b = 146, se tiene la siguiente sucesión de identidades:
180 = 1 ∗ 146 + 34 (2.2)
146 = 4 ∗ 34 + 10 (2.3)
34 = 3 ∗ 10 + 4 (2.4)
10 = 2 ∗ 4 + 2 (2.5)
4 = 2 ∗ 2 (2.6)
Supongamos que queremos encontrar una identidad de Bézout, es decir, encontrar
enteros x e y tales que
180 ∗ x + 146 ∗ y = 2
Para ello, podemos volver hacia atrás en las identidades anteriores, es decir, de (2.5)
se tiene
2 = 10 − 2 ∗ 4.
Ahora, de (2.4) podemos despejar 4 y llegar a
De nuevo, usando (2.3) llegamos a
Finalmente, usando (2.2) se tiene
2 = 7 ∗ 10 − 2 ∗ 34.
2 = 7 ∗ 146 − 30 ∗ 34.
2 = −30 ∗ 180 + 37 ∗ 146.
Esta forma de proceder implicaría que para resolver una identidad de Bézout,
habríamos de aplicar el algoritmo de Euclides (tomando nota de restos y cocientes)

34 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
y después volver hacia atrás utilizando dichos restos y cocientes. Sin embargo, podemos
organizar los cálculos de manera que esto no sea necesario. Para ello, usaremos
los cocientes para construir xk e yk tales que:
axk + byk = rk (0 ≤ k ≤ n).
De este modo, si k = n, tendríamos resuelto nuestro problema.
Para k = 0, basta tomar x0 = 1 e y0 = 0 y si k = 1, x1 = 0 e y1 = 1. Ahora
supongamos que hemos encontrado xk e yk para todo índice 0 ≤ k ≤ s y queremos
calcular xs+1 e ys+1. Se tendría:
rs+1 = rs−1 − rsqs = axs−1 + bys−1 − qs(axs + bys) = a(xs−1 − qsxs) + b(ys−1 − qsys)
Lo que hemos visto es que las sucesiones de enteros definidas por:
verifican
x0 = 1, x1 = 0, xk+1 = xk−1 − qkxk
y0 = 0, y1 = 1, yk+1 = yk−1 − qkyk
axk + byk = rk (0 ≤ k ≤ n).
De paso, esta construcción demuestra que:
Teorema 2.15 Para todo par de enteros a y b no los dos nulos, existen enteros x
e y tales que se verifica la identidad de Bézout:
ax + by = mcd(a, b)
Ejercicio. Probar que a y b son coprimos si, y sólo si, existen enteros x e y tales que
ax + by = 1.
Interpretación matricial del Algoritmo extendido de Euclides
Llamemos, al igual que antes, r0 = a y r1 = b. Asimismo, consideremos las matrices
x0
R0 =
⎛
x1
= I S0 = ⎝ r0
⎞
r1
⎠
y0 y1
x0 x1
y0 y1
Obsérvese que det(R0) = 1. El primer paso en el algoritmo de Euclides extendido
consiste en dividir r0 por r1, r0 = r1q1 + r2, sustituir el par (r0, r1) por (r1, r2) y

2.3. IDENTIDAD DE BÉZOUT. ALGORITMO EXTENDIDO DE EUCLIDES35
calcular x2 = x0 − x1q1 e y2 = y0 − y1q1. En consecuencia, podemos pensar que si
llamamos Q1 a la matriz
0 1
Q1 =
,
1 −q1
se tiene
x1 x2
R1 =
y1 y2
⎛
= R0Q1 y S1 =
⎝ r1 r2
x1 x2
y1 y2
⎞
⎠ = S0Q1
Además, es fácil ver que este producto por Q1 consiste, en realidad, en restar a la
primera columna de S0 la segunda multiplicada por q1 e intercambiar las columnas
de S0. Por otro lado, se tiene que det(R1) = −1, es decir, x1y2 − x2y1 = −1 lo que
implica que mcd(x2, y2) = 1. Este proceso se continúa obteniendo matrices
xk xk+1
Rk =
= Rk−1Qk = R0Q1 · · · Qk
que verifican
⎛
yk yk+1
Sk = ⎝ rk rk+1
xk xk+1
yk yk+a
⎞
y
⎠ = Sk−1Qk = S0Q1 · · · Qk
det(Rk) = (−1) k , axk + byk = rk, axk+1 + bxk+1 = rk+1,
lo que, en particular, implica que mcd(xk, yk) = 1. El algoritmo sigue hasta que en
el lugar (1, 2) de una de las matrices Sk aparezca un cero. De este modo, si en el
algoritmo extendido de Euclides se realizan n divisiones, se tendrá
⎛
xn xn+1
Rn =
= Rn−1Qn y S1 = ⎝ rn
⎞
0
⎠ = Sn−1Qn,
con lo que se tiene:
yn yn+1
xn xn+1
yn yn+1
axn + byn = mcd(a, b), axn+1 + byn+1 = 0, mcd(xn, yn) = mcd(xn+1, yn+1) = 1.
La última de las igualdades se obtiene de det(Rn) = (−1) n . En particular se tendrá,
. Dicho de otra manera,
si b = 0, que la fracción yn+1
xn+1
|xn+1| =
es reducida e igual a − a
b
|b|
mcd(a, b) e |yn+1| =
|a|
mcd(a, b)

36 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
De hecho, la construcción anterior no sólo proporciona una prueba del Teorema sino
que nos da un algoritmo para su cálculo. 3 En la forma en la que aparece descrito a
continuación, coc(A, B) denota el cociente de la división euclídea de A por B.
Input : a, b ∈ Z
Inicializar :
⎛ ⎞
a b
S := ⎝ 1 0 ⎠
0 1
while s12 = 0, do
0 1
Q ←
1 −coc(s11, s12)
S ← S · Q
endwhile
Output : s11, x = s21, y = s31
Algoritmo Extendido de Euclides.
Obsérvese que como subproducto del algoritmo anterior, se obtienen xn+1 e yn+1
cuya utilidad se verá en la resolución de ecuaciones diofánticas lineales
A partir del Teorema 2.15, podemos demostrar la anunciada unicidad de la factorización
de un número entero, pero antes un resultado previo.
Teorema 2.16 Si a|bc y mcd(a, b) = 1, entonces a|c. En particular, si p es primo
y p|ab, entonces p|a o p|b.
Demostración.– Gracias a la identidad de Bézout sabemos que existen enteros x e
y tales que ax + by = 1. Multiplicando por c se tiene c = cax + cby, con lo que a
divide a los dos sumandos a la derecha y, por lo tanto, a c.
A partir del Teorema anterior y pagando un bajo precio, en forma de sencillo argumento
inductivo, se puede probar que
Si p es primo y p|a1 · · · ak, entonces p divide a algún ai
Todas estas disquisiciones realizadas sobre la relación entre números primos y divisibilidad
nos ponen en condiciones de probar la unicidad, ya anunciada, de la
expresión de un número entero como producto de ±1 y números primos.
3 En clase de problemas veremos cómo extender este algoritmo para más de dos enteros.

2.4. ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES 37
Teorema 2.17 (Teorema fundamental de la aritmética) Todo entero positivo
puede expresarse como producto de potencias no triviales de números primos
n = p α1
1 p α2
2 · · · p αk
k
y, salvo, reordenación de los factores, esta factorización es única.
Demostración del Teorema Fundamental de la Aritmética.– La existencia de la factorización
se sigue del Teorema 2.4 y, por lo tanto, sólo queda probar la unicidad.
Sea S el conjunto de enteros positivos que admiten dos factorizaciones distintas y,
supongamos, por reducción al absurdo, que este conjunto es no vacío. Por la buena
ordenación de N, sabemos que, en ese caso, el conjunto S admite mínimo, digamos
n. Se tendrán dos factorizaciones distintas de n:
Es claro que p1 divide a q β1
1 q β2
2 · · · q βs
n = p α1
1 p α2
2 · · · p αk
k
n = q β1
1 q β2
2 · · · q βs
s .
s y, por lo tanto, a alguno de los q βi
i . Aún más, se
tendrá que p1 divide a alguno de los qi lo que implica que es igual a alguno de los qi.
Reordenando los qi, podemos suponer que p1 = q1. En consecuencia, se tendrá que
n
p1
= p α1−1
1 p α2
2 · · · p αk
k
y
= qβ1−1 1 q β2
2 · · · q βs
s .
Puesto que las factorizaciones de n consideradas eran distintas, tenemos dos factorizaciones
distintas del entero positivo n < n, lo que contradice el hecho de que n
p1
sea el mínimo de S.
2.4. Ecuaciones diofánticas lineales
Se llaman ecuaciones diofánticas a aquéllas de las que nos interesan las soluciones
enteras. Un caso interesante es de las ecuaciones diofánticas lineales en dos variables
aX + bY = c a, b, c ∈ Z (2.7)
Puesto que el caso a = b = 0 no tiene ningún interés, supondremos que (a, b) = (0, 0).
Utilizando el Algoritmo de Euclides extendido, sabemos encontrar una solución si
c = mcd(a, b). Del mismo modo, es obvio encontrar una solución si mcd(a, b) divide a
c. Dicho de otra manera, la ecuación diofántica tiene solución si c divide a mcd(a, b).

38 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
¿Y si mcd(a, b) no divide a c? En este caso, no puede haber solución: si existiesen
enteros x e y tales que
ax + by = c,
se tendría que todo factor común de a y de b también lo sería de c. En particular,
el máximo común divisor de a y de b dividiría a c.
Recopilando, hemos demostrado que la ecuación diofántica 2.7 tiene solución si,
y sólo si, c divide a mcd(a, b). De hecho, sabemos cómo encontrar una solución:
aplicamos el algoritmo extendido de Euclides a a y b obteniendo x0 e y0 tales que
ax0 + by0 = mcd(a, b). Es claro que ( c
mcd(a,b) x0, c
mcd(a,b) y0) es solución de 2.7. Sin
embargo, hasta ahora no nos hemos preocupado por saber si hay más de una solución
y, en el caso de que haya más de una, saber cuáles son todas las soluciones. Para
analizar este problema, estudiemos la ecuación diofántica
aX + bY = 0 (2.8)
por cuanto si (x1, y1) es solución cualquiera de la ecuación diofántica 2.7 y (x0, y0)
solución de 2.8, es fácil ver que (x1 + x0, y1 + y0) es solución de 2.7. Una solución
obvia ( y la más “pequeña”) a la ecuación diofántica 2.8 es
b a
, −
,
mcd(a, b) mcd(a, b)
pero también lo son todas las de la forma
b
a
t , −t
, con t ∈ Z.
mcd(a, b) mcd(a, b)
Así pues, si (x1, y1) es solución cualquiera de 2.7 el conjunto
b
{ x1 +
mcd(a, b) t, y1
a
−
mcd(a, b) t
: t ∈ Z},
es un conjunto de infinitas soluciones de 2.7. ¿Hay más? Para verlo, sea (x, y) una
solución de 2.7. Por lo tanto,
ax1 + by1 = c y
ax + by = c.
Restando, se tiene a(x − x1) + b(y − y1) = 0 y, dividiendo por mcd(a, b),
a
mcd(a, b) (x − x1)
b
+
mcd(a, b) (y − y1) = 0. (2.9)

2.5. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 39
Ahora, supongamos que b = 0 (si b = 0 y a = 0, haríamos el mismo argumento que
sigue con a). Como
a
mcd
mcd(a, b) ,
b
= 1
mcd(a, b)
y
b
mcd(a,b) divide a (x − x1) a
b
, se tiene que
mcd(a,b)
Sustituyendo en 2.9, se obtiene que
b
x − x1 = t , para algún t ∈ Z.
mcd(a, b)
b
y − y1 = −t
mcd(a, b) .
mcd(a,b) divide a (x − x1), es decir,
Los argumentos anteriores prueban que el siguiente resultado es cierto.
Proposición 2.18 Dados enteros a, b, c la ecuación diofántica
aX + bY = c
tiene solución si, y sólo si, mcd(a, b) divide a c. En caso de que tenga solución tiene
infinitas, dadas por
b
{ x1 +
mcd(a, b) t, y1
a
−
mcd(a, b) t
: t ∈ Z},
donde (x1, y1) es una solución particular cualquiera.
De hecho, hemos encontrado un algoritmo para resolver ecuaciones diofánticas de
la forma 2.7, ya que basta encontrar una solución particular cualquiera y, para ello
podemos utilizar el algoritmo extendido de Euclides.
2.5. Mínimo común múltiplo
Definición 2.19 Si a y b son dos enteros, un múltiplo común de a y b es un entero
c tal que a|c y b|c. Si a y b son ambos no nulos, existen múltiplos comunes positivos
(por ejemplo |ab|), por lo que la buena ordenación de N nos asegura la existencia
de un mínimo común múltiplo, es decir, el menor múltiplo común positivo.
Normalmente, se escribe mcm(a, b).
De hecho, se tiene que el mínimo común múltiplo de a y b es el único entero positivo
m que verifica:
1) a|m y b|m (por ser múltiplo común)

40 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
2) Si c es un entero que verifica a|c y b|c, entonces, m|c (por ser el menor de los
múltiplos comunes).
El mínimo común múltiplo está estrechamente ligado al máximo común divisor. Esta
ligazón viene dada por el siguiente resultado.
Teorema 2.20 Sean a y b dos enteros. Se tiene
|ab| = mcd(a, b) · mcm(a, b).
Demostración.– Se trata de probar que el entero positivo
m =
|ab|
mcd(a, b)
es el mínimo común múltiplo de a y b, es decir, que verifica las dos propiedades
anteriores.
En primer lugar, es claro que a|m por cuanto mcd(a, b) divide a b y, por lo tanto,
podemos escribir
m = |a| ·
De igual forma puede verse que b|m.
|b|
mcd(a, b) .
Por otro lado, supongamos que c es un entero que es múltiplo común de a y b, es
decir,
Se tiene, entonces que
y, como
c = au para algún entero u y c = bv para algún entero v.
a
mcd(a,b) y
b
mcd(a,b)
Finalmente, se tendrá
a
u =
mcd(a, b)
b
mcd(a, b) v
son primos entre sí, que
a
a
v = k
mcd(a, b)
mcd(a,b)
para algún entero k.
ab
c = bv = k para algún entero k.
mcd(a, b)
divide a v, es decir,

2.6. PROBLEMAS PROPUESTOS 41
2.6. Problemas propuestos
Problema 2.1 .- (Expresión de números natural en bases distintas de la decimal)
Demostrar que, dado un natural q > 0, todo número natural n puede expresarse de
manera única en la forma
akq k + ak−1q k−1 + · · · + a1q + a0,
con 0 ≤ ak < q, donde k el único natural para el que se verifica q k ≤ n < q k+1 .
Problema 2.2 .- Sea
akak−1 . . . a1a0, ai ∈ {0, 1}
la expresión en base 2 (binaria) de un cierto número natural. Expresar, en base 2,
cociente y resto de la división por 2 de dicho número.
Problema 2.3 .- Si (A, +, ·) es un anillo conmutativo con elemento unidad, un
subconjunto I se llama ideal si
a + b ∈ I para todo a, b ∈ I
x ∈ A y a ∈ I =⇒ xa ∈ I.
(1) Probar que si a1, . . . , an son elementos cualesquiera del anillo A, el conjunto
(a1, . . . , an) = {a1x1 + a2x2 + . . . + anxn : xi ∈ A}
es un ideal de A. Todo ideal que se puede expresar de esta forma, se dice
finitamente generado. Si n = 1, se denomina principal.
(2) Probar que en Z todo ideal es principal. Un anillo sin divisores de cero y que
verifica esta propiedad se dice dominio de ideales principales.
(3) Sean ahora, (a) y (b) dos ideales de Z. ¿Quién es el menor ideal que contiene
a ambos? ¿Quién es la intersección de (a) y (b)?
Problema 2.4 .- Dados a y b enteros no nulos, los podemos escribir en la forma
a = ±
n
i=1
p αi
i
, a = ±
n
i=1
p βi
i , αi, βi ≥ 0.
donde los pi son todos los primos que dividen a ab. Comprobar que
mcd(a, b) =
n
i=1
p min{αi,βi}
i
y mcm(a, b) =
n
i=1
p max{αi,βi}
i

42 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
Problema 2.5 .- Para cada uno de los pares de enteros siguientes, calcular el
máximo común divisor utilizando el algoritmo de Euclides:
(i) 34, 21; (ii) 136, 51; (iii) 481, 325; (iv) 8711, 3206; (v) 1134, 1221;
En cada uno de los casos, resuelve la correspondiente identidad de Bézout.
Problema 2.6 .- El algoritmo de Euclides puede hacerse ligeramente más rápido
si permitimos restos negativos en la forma que sigue
ri−1 = riqi + ri+1 con − |ri/2| < ri+1 ≤ |ri/2|.
Por ejemplo, si aplicamos este método para calcular el máximo común divisor de 59
y 49, se tiene
mcd(59, 49) = mcd(49, 10) = mcd(10, −1) = mcd(−1, 0) = 1.
Utilizar este algoritmo, conocido como del mínimo resto, para calcular los máximos
comunes divisores del ejercicio anterior y resolver las correspondientes identidades
de Bézout.
Problema 2.7 .- Demostrar las siguientes propiedades del máximo común divisor.
1.
a b
Si a y b son pares, mcd(a, b) = 2mcd ,
2 2
2.
a
Si a es par y b es impar, mcd(a, b) = mcd , b
2
3.
|a − b|
Si a y b son impares, mcd(a, b) = mcd , b
2
A partir de las propiedades anteriores, construir un algoritmo para calcular el máximo
común divisor de dos enteros realizando únicamente divisiones por 2. (Nota:
Este algoritmo se conoce como algoritmo binario para el cálculo del mcd y es debido
a J. Stein que publicó su resultado en 1967).
Problema 2.8 .- Considérese la siguiente variante del algoritmo binario para el
cómputo de mcd(a, b). Asumamos que a y b no son los dos pares.
1) Si a es par, sustituimos (a, b) por (a/2, b).
2) Si b es par, sustituimos (a, b) por (a, b/2).
3) Si a y b son impares, sustituimos (a, b) por a+b
2
a−b , .
2

2.6. PROBLEMAS PROPUESTOS 43
El algoritmo consiste en repetir los pasos (1)-(3) en ese orden. Si a o b es cero,
paramos y devolvemos como mcd(a, b) el otro número en valor absoluto. Por ejemplo,
para calcular mcd(15, 6) utilizando este algoritmo, se tendría:
(15, 6) → (15, 3) → (9, 6) → (9, 3) → (6, 3) → (3, 3) → (3, 0)
Demostrar que este algoritmo siempre acaba y que la respuesta es correcta. (Indicación:
Para probar que el algoritmo termina, considera la aplicación f(a, b) = a 2 +b 2
y comprueba que cada vez que se da un paso en el algoritmo su valor decrece).
Problema 2.9 .- Probar las siguientes propiedades de la sucesión de Fibonacci:
Dos términos consecutivos de la sucesión son coprimos, es decir,
mcd(Fn−1, Fn) = 1 para n ≥ 1
El mayor natural menor que Fn+2/Fn+1 (escrito ⌊Fn+2/Fn+1⌋) es 1.
El resto de la división de Fn+1 por Fn es Fn−1.
Problema 2.10 .- Descomponer de todas las formas posibles el número racional
100/273 en suma de dos fracciones positivas con denominadores 21 y 13.
Problema 2.11 .- (Algoritmo extendido de Euclides para t enteros) Basándose en
la interpretación matricial del algoritmo extendido de Euclides, diseñar un algoritmo
para calcular, dados enteros a1, . . . , at, una identidad de Bézout del tipo
a1x1 + a2x2 + · · · + atxt = mcd(a1, . . . , at).
Aplicar dicho algoritmo a la resolución de ecuaciones diofánticas de la forma
a1X1 + a2X2 + · · · + anXn = b.
Problema 2.12 .- Para cada una de las ecuaciones diofánticas siguientes, estudiar
si tienen solución y, en su caso, calcular todas las soluciones:
25X + 36Y = 10 ; 40X + 50Y = 3 ;
200X − 1768Y = 8 ; 213X + 1123Y = 18 ;
30X + 1107Y + 3030303Z = 25 ; 10X + 11Y + 20Z = 10 ;
3X + 7Y + 12Z + 21T = 22 ; 2200X + 1221Y − 2332Z + 101101T = 12.

44 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
Problema 2.13 .- Resolver el sistema de ecuaciones diofánticas lineales:
11X + 3Y + 5Z = 20
3X + 7Y + 10Z = 10
Problema 2.14 .- Supongamos que el máximo común divisor de a y b es un primo
p. ¿Cuáles son los posibles valores del máximo común divisor de a 2 y b? ¿Y del
máximo común divisor de a 3 y b? Si m.c.d(a, b) = p, ¿cuánto vale m.c.d(a 3 , b 3 )?
Problema 2.15 .- Una empresa alemana está replanteándose sus planes de actividad.
Tiene una fábrica en España con un millar de empleados españoles y un
centenar de ejecutivos alemanes y está estudiando una reestructuración de plantilla.
Obviamente sin informar a los sindicatos; aunque estos sospechan que va a haber
algún despido. Un representante sindical encuentra en una fotocopiadora un documento
del estudio de reestructuración de plantilla (olvidado por error, obviamente)
en que se puede leer
El 80.9 por ciento de los que van a ser despedidos está casado.
El 43.5 por ciento de los que van a ser despedidos está pagando hipoteca.
Deducir qué piensan hacer los alemanes con la empresa.
Problema 2.16 .- Un turista estadounidense va a pasar unos días de vacaciones
en París, Madrid y Cracovia y desea cambiar 810 dólares en euros y en zlotys.
Sabiendo que el euro se cotiza a 0,90 dólares y un zloty a 0,24, ¿de cuántas formas
posibles puede hacer el cambio si necesita para su estancia en Cracovia, al menos,
3000 zlotys?
Problema 2.17 .- Sean dados dos números naturales no nulos a y b. ¿Es posible es-
1
cribir el número racional
como suma de dos racionales de denominadores
m.c.m.(a,b)
a y b? En caso de respuesta afirmativa, esbozar un algoritmo para el cálculo de
dichos racionales.
Problema 2.18 .- Una cierta empresa fabrica tres productos A, B y C que vende a
590, 410 y 300 euros respectivamente. Calcular cuántas unidades de cada producto
se vendieron en un día determinado sabiendo que:
La recaudación por la venta de los productos fue de 32420 euros.
Se vendieron más unidades de A que de B.
El número de unidades de C vendidas fue mayor que 83.
Problema 2.19 .- Resolver el siguiente problema: Si un gallo cuesta siete monedas,
una gallina cinco monedas y tres pollos una moneda, ¿de cuántas formas
distintas pueden comprarse un total de trescientas aves (gallos, gallinas y pollos) si
disponemos de quinientas monedas? Escribir cada una de estas formas posibles.

2.6. PROBLEMAS PROPUESTOS 45
Problema 2.20 .- Una compañía aérea ofrece tres tipos de billetes en sus vuelos
de Madrid a París. Los billetes de clase preferente cuestan 150 euros, los de clase
turista con derecho a comida 110 y el resto 67. Si, en un vuelo concreto un total
de 100 pasajeros pagaron un total de 10766 euros, ¿cuántos billetes de cada tipo se
vendieron?
Problema 2.21 .- Probar que para cada número natural n, existen siempre n
números compuestos consecutivos.
Problema 2.22 .- Si mn es un cuadrado perfecto y mcd(m, n) = 1, demostrar que
m y n son también cuadrados perfectos.
Problema 2.23 .- (Números de Fermat)
i) Demostrar que si 2 m + 1 es primo, m es una potencia de 2, es decir, m = 2 n
para algún natural n.
Nota. Los números de la forma 22n + 1 se llaman números de Fermat y si
son primos, se les dice primos de Fermat. Pierre de Fermat (1601-1665) conjeturó
que todos los números de la forma 22n + 1 eran primos, pues pudo
comprobar que eso era cierto para n = 0, 1, 2, 3, 4. Sin embargo, en 1732 Leonhard
Euler (1707-1783) demostró que 641 era factor de 232 + 1 = 4294967297.
A fecha de hoy, los únicos primos de Fermat conocidos son los que se corresponden
con n = 0, 1, 2, 3, 4, aunque no se sabe si hay más.
ii) Demostrar que dos números de Fermat distintos son siempre primos entre sí.
Problema 2.24 .- Un primo de Mersenne es un número primo de la forma 2 n − 1.
Demostrar que si 2 n − 1 es primo, n ha de ser primo.
Nota. En 1644, Mersenne conjeturó que 2 p − 1 era primo para p = 2, 3, 5, 7, 13,
17, 19, 31, 67, 127, 257 y para ningún otro primo menor que 257. En la lista de
Mersenne, había errores por cuanto los números correspondientes a 67 y 257 no son
primos y le faltaban los correspondientes a 61 y 89. A fecha de hoy, sólo se conocen
38 primos de Fermat, el mayor de los cuales es 2 6972593 −1, número éste que tiene más
de 2 millones de dígitos decimales. Una lista de los primos de Mersenne conocidos
puede verse en http://www.utm.edu/research/primes/mersenne.shtml#known.
Problema 2.25 .- Dado un entero positivo n, sea σ(n) =
d la suma de todos
sus divisores positivos. Por ejemplo, σ(27) = 1 + 3 + 9 + 27 = 40. Demostrar que si
mcd(m, n) = 1, σ(nm) = σ(n)σ(m) y encontrar una fórmula para calcular σ(n) a
partir de la descomposición de n en factores primos.
d|n

46 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD EN Z
Problema 2.26 .- Un número perfecto es un entero positivo que es igual a la
suma de sus divisores distintos de él mismo (p.e., 6 es perfecto pues 6 = 1 + 2 +
3). Demostrar que los números perfectos pares son exactamente los de la forma
2 k−1 (2 k −1), con 2 k −1 un primo de Mersenne. (Indicación: Para ver que un número
perfecto par tiene esa forma, escríbelo primero en la forma 2 k−1 n0 con n0 impar,
demostrar que n0 es divisible por 2 k − 1 y comprueba que n0 tiene que ser primo
estudiando σ(n0)).
Nota: No se sabe si existen números perfectos impares. Por otro lado, los primeros
números perfectos son: 6 = 2 1 (2 2 − 1), 28 = 2 2 (2 3 − 1), 496 = 2 4 · (2 5 − 1), 8128 =
2 6 · (2 7 − 1), 33550336 = 2 12 (2 13 − 1),...
Problema 2.27 .- Sean a y b números positivos coprimos. Demostrar que para
todo entero positivo n > ab, existen números enteros positivos x e y tales que
n = ax + by
A partir de lo anterior, deducir que todo número entero > 11 puede escribirse como
suma de dos números compuestos.