CURSO : INCERTIDUMBRE EN LA MEDICION - Indecopi
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<strong>CURSO</strong> : <strong>INCERTIDUMBRE</strong><br />
<strong>EN</strong> <strong>LA</strong> <strong>MEDICION</strong><br />
INDECOPI -Servicio Servicio Nacional<br />
de Metrología Metrolog<br />
Edwin Guillén Guill<br />
Mayo del 2009
<strong>INCERTIDUMBRE</strong> <strong>EN</strong> <strong>LA</strong> <strong>MEDICION</strong><br />
No es posible hacer mediciones<br />
absolutamente exactas.<br />
Por consiguiente toda medición medici n tiene un<br />
margen de duda.<br />
La incertidumbre de medición medici n es el valor<br />
de ese margen de duda.<br />
Si ese margen de duda es muy pequeño peque o la<br />
incertidumbre es también tambi n muy pequeña. peque a. Si<br />
ese margen de duda es grande la<br />
incertidumbre es también tambi n grande
En este mundo globalizado donde el<br />
comercio internacional es cada vez mas<br />
grande, la competencia por la calidad<br />
es cada vez mayor. Vender productos<br />
cada vez mejores (y a mejores precios)<br />
es lo que determina la supervivencia o<br />
la muerte de muchas industrias.
La calidad se establece haciendo<br />
mediciones de las características caracter sticas del<br />
producto. El proceso de producción producci n se<br />
controla midiendo diversas magnitudes<br />
físicas sicas claves.<br />
Así As la calidad se establece a través trav s de<br />
mediciones, pero es indispensable que<br />
las mediciones también tambi n sean de calidad.
La calidad de la medición medici n la establece<br />
justamente la Incertidumbre.<br />
Si la Incertidumbre es bien calculada y<br />
es suficientemente pequeña peque a podemos<br />
decir que la medición medici n es de buena<br />
calidad .
Documentos Guías Gu as<br />
Fundamentales<br />
“Guide Guide to the Expresion of Uncertainty<br />
in Measurement” Measurement 1995;ISO;BIPM<br />
1995; ISO;BIPM; ; OIML<br />
IEC;IUPAC;IUPAP;IFCC:<br />
IEC;IUPAC;IUPAP;IFCC:<br />
ISO-GUM ISO GUM<br />
Versión Versi n para Perú:”Gu Per Guía a para la<br />
Expresión Expresi n de la Incertidumbre en la<br />
Medición” Medici 2001; INDECOPI/SNM<br />
“Quantifying<br />
Quantifying Uncertainty in Analytycal<br />
Measurement’ Measurement 2000; EURACHEM/CITAC<br />
Guide
“Expresion Expresion of the Uncertainty of<br />
Measurement in Calibration”1999; Calibration 1999; EA<br />
“Supplement<br />
Supplement 1 : Examples “ 1997;EA<br />
“Supplement<br />
Supplement 2 : Examples “ 1999;EA
Enlaces a Internet<br />
ISO : www.iso.ch<br />
BIPM : www.bipm.org<br />
OIML : www.oiml.org<br />
IUPAP: www.iupap.org<br />
IUPAC: www.iupac.org<br />
IFCC: www.ifcc.org<br />
IEC: www.iec.ch<br />
EURACHEM: www.eurachem.bam.de<br />
EAL : www.european-accreditation.org<br />
www.european accreditation.org
1. OBJETIVO Y ALCANCE<br />
Establecer reglas generales para<br />
evaluar y expresar la Incertidumbre en<br />
mediciones efectuadas en todos los<br />
niveles de exactitud y en muchos<br />
campos desde el taller ,la industria,los<br />
laboratorios y la investigación investigaci n técnica t cnica y<br />
científica cient fica fundamental
En base a la ISO-GUM ISO GUM se han<br />
desarrollado otros documentos<br />
específicos espec ficos para ciertos campos:<br />
Para Metrología: Metrolog a: “Expresion Expresion of the<br />
Uncertainty of Measurement in<br />
Calibration”1999; Calibration 1999; EA y sus dos Su- Su<br />
plementos .<br />
Para Química Qu mica analítica anal tica cuantitativa:<br />
“Quantifying<br />
Quantifying Uncertainty in Analytycal<br />
Measurement’ Measurement 2000; EURACHEM/CITAC<br />
Guide
En Metrología Metrolog a y Química Qu mica se asume que<br />
al efectuar mediciones existe un control<br />
y aseguramiento efectivos de la calidad<br />
de modo que los procesos de medición medici n<br />
sean estables y bajo control estadístico estad stico<br />
tanto como sea posible.
Tales cuidados incluyen:<br />
Personal calificado apropiadamente<br />
capacitado.<br />
Apropiado mantenimiento y calibración calibraci n de<br />
los equipos, instrumentos de medición, medici n,<br />
reactivos, etc<br />
Uso de apropiados patrones de referencia<br />
Procedimientos documentados de medición medici<br />
Uso de apropiados patrones de verificación verificaci n<br />
y cartas de control
Se asume así as que los<br />
procedimientos y métodos m todos<br />
ESTAN DOCUM<strong>EN</strong>TADOS<br />
La evaluación evaluaci n seriamente documentada<br />
de Incertidumbre puede hacerse sólo s lo<br />
para las mediciones hechas bajo tales<br />
métodos todos y procedimientos
Capítulo Cap tulo 2.<br />
DEFINICIONES<br />
Formalmente la <strong>INCERTIDUMBRE</strong> DE<br />
<strong>MEDICION</strong> u se define como:<br />
el parámetro<br />
par metro no negativo que<br />
caracteriza (=cuantifica) la dispersión<br />
dispersi<br />
de los valores atribuidos a un<br />
mensurando a partir de la información<br />
informaci n<br />
que se utiliza.
Al hablar de dispersión dispersi es claro que al<br />
mensurando no puede atribuírsele atribu rsele un<br />
único nico valor sino que se le atribuye un<br />
intervalo de valores que son coherentes<br />
con todos nuestros conocimientos.<br />
El resultado es útil til si esa dispersión dispersi n es<br />
suficientemente pequeña peque a<br />
La existencia de u no significa que se<br />
duda de la validez de la medición medici n ,por<br />
el contrario un cálculo c lculo adecuado de u<br />
significa una confianza aumentada,<br />
mayor, de dicha validez.
DEFINICIONES ANTERIORES<br />
de u<br />
Una medida del posible error del<br />
resultado de medición medici<br />
Objeción: Objeci n: el error, estrictamente<br />
hablando , es imposible de conocer<br />
exactamente .
Otra definición: definici n:<br />
Un estimado que caracteriza (=mide) el<br />
intervalo de valores dentro del cual se<br />
sitúa sit a el valor verdadero de un<br />
mensurando.<br />
Objeción: Objeci n: otra vez es imposible<br />
conocer exactamente el valor verdadero<br />
de un mensurando.
Tanto el error como el valor verdadero<br />
son conceptos IDEALES.<br />
Son objetivos a los que apuntamos y<br />
quisiéramos quisi ramos llegar o conocer<br />
exactamente pero nunca lo podemos<br />
hacer completamente.
Como se ve la definición definici n adoptada por<br />
la ISO-GUM ISO GUM se enfoca en valores que sí s<br />
se pueden conocer, esto es , el<br />
resultado de la medición medici y la<br />
evaluación evaluaci n de la dispersión dispersi asociada .
Diríamos Dir amos que en base a nuestros<br />
mejores conocimientos y capacidades<br />
actuales creemos con un alto nivel de<br />
probabilidad que:<br />
“ el valor absoluto del error |E | es<br />
menor o igual a la Incertidumbre<br />
calculada U “<br />
| E | ≤ U
2.3 TERMINOS<br />
ESPECIFICOS DE <strong>LA</strong><br />
ISO-GUM ISO GUM<br />
2.3.1 <strong>INCERTIDUMBRE</strong><br />
ESTANDAR u<br />
Incertidumbre del resultado de<br />
medición medici n expresado como una<br />
desviación desviaci n estándar est ndar
2.3.2 Evaluación Evaluaci n Tipo A de Incertidumbre<br />
Es un método m todo que evalúa eval a la incertidumbre a<br />
través trav s de un análisis an lisis estadístico estad stico de una serie<br />
de observaciones<br />
2.3.2 Evaluación Evaluaci n Tipo B de Incertidumbre<br />
Es un método m todo que evalúa eval a la incertidumbre a<br />
través trav s de medios diferentes al análisis an lisis<br />
estadístico estad stico de una serie de observaciones
2.3.4 <strong>INCERTIDUMBRE</strong><br />
ESTANDAR COMBINADA uc Incertidumbre estándar est ndar del resultado de<br />
una medición medici n evaluada a través trav s de la<br />
Ley de Propagación Propagaci n de la Incertidumbre<br />
Esta ley combina apropiadamente<br />
(según (seg n nuestros actuales<br />
conocimientos) todas las<br />
incertidumbres aportadas por las<br />
magnitudes que influyen sobre el<br />
resultado de la medición<br />
medici
2.3.4 <strong>INCERTIDUMBRE</strong><br />
EXPANDIDA U<br />
Incertidumbre que define un intervalo<br />
alrededor del resultado de medición medici n que<br />
abarca una fracción fracci n suficientemente<br />
grande de la dispersión dispersi n de los valores<br />
que “razonablemente<br />
razonablemente”pueden pueden<br />
atribuirse al mensurando.<br />
Esta fracción fracci n puede interpretarse como<br />
la probabilidad o nivel de confianza p<br />
del intervalo
2.3.6 FACTOR DE<br />
COBERTURA k<br />
Es el factor por el que se multiplica uc para obtener U :<br />
U = k uc
3.- 3. CONCEPTOS BASICOS<br />
3.1 <strong>MEDICION</strong><br />
El objetivo de una medición medici n es<br />
determinar el valor del mensurando.<br />
Por consiguiente una medición medici n empieza<br />
con una DEFINICION APROPIADA DEL<br />
M<strong>EN</strong>SURANDO<br />
¿ Qué Qu es lo que se quiere medir ?
Contestar a esta pregunta es crucial. crucial<br />
La definición definici n misma del mensurando<br />
implica desde ya una cierta indefinición.<br />
indefinici n.<br />
Entre mayor sea la indefinición indefinici n mayor<br />
será ser la incertidumbre causada por la<br />
definición definici n misma del mensurando uDEF DEF .<br />
Aún n el método m todo más m s perfecto de<br />
medición medici n no puede producir una<br />
incertidumbre más m s pequeña peque a que uDEF DEF
EJEMPLO:Medición EJEMPLO:Medici de la longitud de una<br />
barra de acero de aprox. 1metro<br />
(Pág.8 (P g.8 Guía) Gu a)<br />
Si necesita determinarse con exactitud<br />
de micrómetros micr metros debe especificarse la<br />
temperatura, presión, presi n, modo en que<br />
debe sostenerse,etc.<br />
sostenerse,etc<br />
Si se necesita sólo s lo exactitud de<br />
milímetros mil metros no se requiere datos<br />
adicionales
La especificación especificaci n del mensurando<br />
requiere un enunciado claro, no<br />
ambigüo ambig de lo que se desea medir.<br />
Debe ser claro si se necesita hacer un<br />
muestreo.
Muchas veces el resultado de medición medici n<br />
se obtiene a través trav s de una serie de<br />
observaciones obtenidas bajo<br />
condiciones de repetibilidad.<br />
Las variaciones en las observaciones<br />
repetidas son producidas por las<br />
variaciones de las magnitudes de<br />
influencia (“ ( influence quantities”)<br />
quantities<br />
iq<br />
iq
EL MODELO MATEMATICO<br />
El modelo matemático matem tico que transforma<br />
el conjunto de observaciones repetidas<br />
en el resultado de medición medici n es de<br />
importancia crítica cr tica debido a que incluye<br />
además adem s de las observaciones directas<br />
un conjunto de iq que son<br />
imperfectamente conocidas y a que<br />
puede NO incluir otras iq que<br />
permanecen ocultas o desconocidas .
3.2 ERRORES ,EFECTOS Y<br />
CORRECCIONES<br />
Toda medición medici n tiene imperfecciones que<br />
producen el llamado “error error de<br />
medición”. medici<br />
Tradicionalmente dicho error se ve<br />
formado por dos componentes: el error<br />
aleatorio (VIM 3.13) y el error<br />
sistemático sistem tico (VIM 3.14)
ERROR = ERROR SISTEMATICO +<br />
ERROR ALEATORIO<br />
Se presume que el error aleatorio<br />
surge por variaciones impredecibles y<br />
estocásticas estoc sticas de las iq .<br />
Si bien no es posible eliminar este error<br />
usualmente puede reducirse<br />
aumentando el número n mero de mediciones.<br />
Sólo lo en el límite l mite ideal de infinitas<br />
mediciones se eliminaría eliminar a este error
Los errores sistemáticos sistem ticos son<br />
desviaciones con un sentido o tendencia<br />
definida , positiva o negativa.<br />
El ej. típico pico es medir una longitud a<br />
una temperatura promedio diferente de<br />
20 °C .
Si el error surge de una fuente conocida<br />
se trata de eliminarla .Si no es posible<br />
podría podr a en principio, evaluarse y<br />
aplicarse una CORRECCION para<br />
compensarlo.<br />
Se asume que aplicada la corrección correcci n la<br />
expectación expectaci n de dicho error es cero .
Es claro que a su vez la corrección correcci n no<br />
es perfecta y que conlleva cierta<br />
incertidumbre<br />
Se asume que el resultado de medición medici n<br />
ha sido corregido por todos los efectos<br />
sistemáticos sistem ticos reconocidos e<br />
inevitablemente existentes y que se han<br />
hecho todos los esfuerzos para<br />
identificar tales efectos .
Ejemplos<br />
La corrección correcci n en un instrumento de medición medici n<br />
calibrado compensa su error sistemático sistem tico pero<br />
sólo lo aproximadamente . Subsiste una<br />
incertidumbre asociada a esta corrección correcci<br />
La corrección correcci n por temperatura en las<br />
mediciones de longitud para llevarla a<br />
condiciones de 20 °C .
3.3 <strong>INCERTIDUMBRE</strong><br />
La existencia de u refleja el siempre<br />
imperfecto conocimiento del mensurando<br />
Aún n después despu s de aplicar todas las correcciones<br />
por los efectos sistemáticos sistem ticos reconocidos el<br />
resultado de medición medici n es imperfecto debido a<br />
las variaciones que surgen por los efectos<br />
aleatorios y a la imperfección imperfecci n de las<br />
correcciones.
No debe confundirse la incertidumbre con el<br />
error de medición medici n<br />
Por ej. es posible que el resultado de<br />
medición medici n esté est extremadamente cerca del<br />
valor del mensurando (y por lo tanto el error<br />
sea despreciable) y aún a n así as puede tener<br />
asociada una incertidumbre grande.<br />
Se espera más m s bien que U sea el límite l mite<br />
máximo ximo del valor absoluto del error E de<br />
medición medici n : |E| ≤ U
Fuentes de Incertidumbre<br />
según seg n ISO-GUM ISO GUM<br />
A) uDEF DEF<br />
B) Realización Realizaci n imperfecta de la<br />
definición definici n del mensurando<br />
C)Muestreo no representativo<br />
D)Imperfecto conocimiento de los<br />
efectos de las condiciones ambientales<br />
o imperfecta medición medici n de ellas.<br />
E)Lectura imperfecta de instrumentos<br />
analógicos anal gicos (paralaje)
F)Resolución F)Resoluci finita de instrumentos<br />
digitales o umbral de discriminación discriminaci n de<br />
los instrumentos.<br />
G)Valor inexacto de los patrones de<br />
medición medici n y de los materiales de<br />
referencia<br />
H) Valor inexacto de las constantes u<br />
otros parámetros par metros obtenidos de fuentes<br />
externas y usados en el modelo<br />
matemático matem tico o algorritmo de reducción reducci n<br />
de datos .
I)Aproximaciones y suposiciones incor-<br />
poradas en el método m todo y procedimiento<br />
de medición medici n .<br />
J) Variaciones en observaciones<br />
repetidas del mensurando bajo<br />
condiciones aparentemente idénticas id nticas<br />
K)Imperfecciones del modelo<br />
matemático<br />
matem tico<br />
Estas fuentes no necesariamente son<br />
independientes y varias de ellas pueden<br />
contribuir a la fuente j)
La incertidumbres tipo A y tipo B no<br />
tienen nada que ver con las palabras<br />
“aleatorio aleatorio” o “sistem sistemático tico “.<br />
No tienen que ver con la naturaleza de<br />
la fuente (aleatoria o sistemática) sistem tica) sino<br />
con la forma de evaluarla.<br />
Ambos tipos de evaluación evaluaci n están est n<br />
basados en distribuciones de<br />
probabilidad
Una incertidumbre de tipo A se obtiene<br />
a partir de una serie de mediciones<br />
repetidas y es la familiar varianza<br />
calculada según seg n las conocidas fórmulas f rmulas<br />
de estadística estad stica s 2<br />
s<br />
1 n<br />
2<br />
( q ) = ∑ k<br />
n−1<br />
k=<br />
1<br />
( q<br />
−q)<br />
Una incertidumbre de tipo B se obtiene<br />
a partir de una función funci n de probabilidad<br />
ASUMIDA según seg n los mejores<br />
conocimientos que tenemos del evento<br />
que ocurre<br />
k<br />
2
Las diversas fuentes de incertidumbre<br />
son combinadas matemáticamente<br />
matem ticamente<br />
según seg n la llamada “Ley Ley de Propagación<br />
Propagaci n<br />
de la Incertidumbre” Incertidumbre para obtener la<br />
llamada incertidumbre combinada uc Para cumplir los requerimientos de<br />
algunas aplicaciones industriales ,de<br />
salud , de seguridad y/o comerciales se<br />
calcula un límite l mite superior para el valor<br />
absoluto del error que tenga un nivel de<br />
confianza suficientemente alto (Ej ( Ej:95% :95%<br />
ó 99% )
Esta es la Incertidumbre Expandida U que se<br />
calcula multiplicando uc por el llamado factor<br />
de cobertura k : U = k uc k usualmente está est en el intervalo de 2 a 3<br />
y siempre debe ser mencionado<br />
explícitamente expl citamente para poder recobrar uc cuando sea necesario
3.4 CONSIDERACIONES<br />
PRACTICAS<br />
La exactitud requerida de la medición medici n<br />
es la que determina la complejidad del<br />
modelo matemático.<br />
matem tico.<br />
Debido a que este modelo pudiera ser<br />
incompleto todas las magnitudes que se<br />
consideren importantes deberían deber an<br />
variarse tanto como lo permitan las<br />
condiciones de modo que pueda<br />
medirse su impacto en la uc
Cuando sea posible hay que usar<br />
patrones de verificación verificaci n y/o cartas de<br />
control que indiquen que la medición medici n<br />
está est bajo control estadístico. estad stico.<br />
El modelo matemático matem tico debe revisarse<br />
constantemente sobre todo si los datos<br />
observados muestran alguna<br />
incoherencia.
Algunas veces las correcciones y sus<br />
incertidumbres asociadas son muy<br />
pequeñas peque as comparadas con uc .<br />
En estos casos pueden ignorarse las<br />
correcciones y sus incertidumbres<br />
asociadas .
Los errores humanos al registrar o procesar<br />
los datos pueden introducir graves<br />
distorsiones. Errores grandes pueden<br />
detectarse por una buena revisión revisi n de los<br />
datos o por procedimientos estadísticos<br />
estad sticos<br />
conocidos.<br />
(Ej.Criterio Ej.Criterio de Romanovski seguido de una<br />
cuidadosa evaluación)<br />
evaluaci n)<br />
Errores pequeños peque os de este tipo pueden quedar<br />
ocultos.
Los cálculos c lculos de incertidumbre no están est n<br />
diseñados dise ados para tomar en cuenta este<br />
tipo de errores.<br />
La ISO-GUM ISO GUM da la forma de calcular la<br />
incertidumbre pero no puede sustituir al<br />
pensamiento crítico, cr tico, la honestidad<br />
intelectual y la habilidad profesional.
El modelo para el cálculo c lculo de incertidumbre no<br />
es un trabajo rutinario o puramente<br />
matemático matem tico sino que depende de un<br />
conocimiento detallado de la naturaleza de la<br />
medición medici n misma. misma<br />
Su calidad depende en última ltima instancia<br />
de la comprensión comprensi n ,análisis ,an lisis crítico cr tico e<br />
integridad profesional de las<br />
personas que lo elaboran .
4. EVALUANDO <strong>LA</strong> uc En muchos casos un mensurando Y no<br />
se mide directamente sino que se<br />
obtiene a partir de otras N magnitudes<br />
intermedias X1 ; X 2 ; ….. .. X N a través trav s<br />
del modelo matemático matem tico expresado en<br />
una función funci n matemática<br />
matem tica f :<br />
Y = f ( X 1 ; X 2 ; ….. .. X N )<br />
(1)
En una serie de observaciones el késimo<br />
simo valor observado de Xi se denota<br />
como Xi,k i,k<br />
La mejor estimación estimaci n de Xi (su<br />
“expectaci expectación”) ) se denota por xi llamado su “estimado estimado de entrada”<br />
entrada
Ejemplo<br />
Si se aplica un potencial V a los<br />
terminales de un resistor cuya<br />
resistencia es Ro a la temperatura to y<br />
depende linealmente de la temperatura<br />
mediante el coeficiente α.<br />
La potencia P disipada es :<br />
[ 1 + ( t t ) ]<br />
2<br />
P = f ( V , R , α<br />
, t ) = V / R α −<br />
o<br />
o<br />
o
Si f no modela la medición medici n con la exactitud<br />
requerida puede ser necesario incluir otras<br />
magnitudes de entrada Xi Ejemplo: si la distribución distribuci n de temperatura no<br />
es uniforme en el resistor,si la dependencia<br />
con la temperatura no es lineal, si hay<br />
dependencia de la presión presi n barométrica.<br />
barom trica.
Las Xi pueden ser determinadas<br />
directamente en el curso de la medición medici n<br />
a través trav s de instrumentos de medición. medici n.<br />
O las Xi pueden ser importadas desde<br />
fuentes externas tales como<br />
correcciones de certificados de<br />
calibración calibraci n , MRCs , datos de<br />
handbooks, handbooks,<br />
etc.
El resultado de la medición medici n y llamado<br />
el “estimado estimado de salida” salida se calcula<br />
usando los estimados de entrada xi :<br />
y = f (x 1 ; x 2 ; ….. .. ; xN )<br />
Algunas xi se obtienen a partir de una<br />
serie de observaciones Xi,k i,k de la<br />
magnitud Xi
Otras xi se importan y se asume en<br />
base a nuestro conocimiento la<br />
distribución distribuci n de probabilidad de la que<br />
proceden.<br />
En ambos casos las distribuciones de<br />
probabilidad son MODELOS de los que<br />
nos servimos para representar el estado<br />
actual de nuestros conocimientos .
4.2 Evaluación Evaluaci n de<br />
Incertidumbre Tipo A<br />
En general si una magnitud q que varía var a<br />
aleatoriamente puede determinarse a<br />
través trav s de una serie de mediciones<br />
independientes qk bajo condiciones de<br />
repetibilidad el mejor estimado es el<br />
promedio aritmético aritm tico de la serie :
q<br />
=<br />
PROMEDIO ARITMETICO<br />
1<br />
n<br />
1 n<br />
+ + + = ( ) ∑ 1 2 n<br />
n k=<br />
1<br />
( q q ... q ) q ...( 3)<br />
k
Las mediciones qk varían var an entre sí s debido<br />
a que las magnitudes de influencia iq<br />
(temperatura ambiente, humedad,<br />
campos electromagnéticos,..) electromagn ticos,..) están est n<br />
variando también tambi n .<br />
Si no se detectan variaciones en las qk puede ser porque la resolución resoluci n del<br />
instrumento de medición medici n sea<br />
insuficiente.
El mejor estimador de la varianza σ 2<br />
de la distribución distribuci n de probabilidad de q<br />
es la varianza experimental s 2 (qk) ) de la<br />
serie .<br />
s2 (qk) ) se calcula mediante la conocida<br />
fórmula rmula estadística estad stica para la varianza :
s<br />
VARIANZA EXPERIM<strong>EN</strong>TAL<br />
2<br />
( q<br />
k<br />
)<br />
1<br />
= ( ) ∑ n −1<br />
=<br />
k<br />
n<br />
1<br />
( q<br />
k<br />
−<br />
q)<br />
2<br />
...( 4)
VARIANZA DEL PROMEDIO<br />
Si tomáramos tom ramos varios grupos de n<br />
mediciones y obtenemos sus<br />
promedios,podemos calcular la varianza<br />
de esos promedios. El mejor estimador<br />
de la varianza de los promedios es:<br />
2<br />
s ( q ) =<br />
s ( q k<br />
2<br />
)<br />
/<br />
n<br />
.....(<br />
5<br />
)
La desviación desviaci n estándar est ndar experimental<br />
s(qq¯ s( ) de los promedios cuantifica qué qu<br />
tan bien el promedio qq¯ estima a la<br />
expectación expectaci n estadística estad stica de q .Por esto<br />
s(qq¯ s( ) es una medida de la<br />
incertidumbre de qq¯
u<br />
(<br />
x<br />
i<br />
)<br />
Para la variable Xi =<br />
s<br />
(<br />
X<br />
i<br />
)<br />
=<br />
s<br />
El número n mero n debe ser suficientemente<br />
grande para que q¯ sea un buen<br />
estimado de la expectación expectaci n de q<br />
(<br />
X<br />
i , k<br />
n<br />
)
Ejemplo:20 mediciones de<br />
temperatura (pág ( 29 Guía) Gu a)<br />
En la Tabla 1 se dan 20 mediciones tk de<br />
temperatura de una cámara c mara hechas con un<br />
RTD.<br />
El promedio es tt¯ =100,145 °C ≅ 100,14 °C<br />
Aplicando la ec(4) ec(4)<br />
se tiene s(t k)=1,489 )=1,489°C ≅<br />
1,49 °C<br />
La desviación desviaci n estándar est ndar experimental del<br />
promedio s(tt¯ s( ) que es también tambi n la<br />
u(tt¯)= u( )=s(t s(tk)/(20) )/(20) 1/2 =0,333°C =0,333 ≅ 0,33 °C
Si el proceso de medición medici n está est bien<br />
caracterizado bajo control estadístico estad stico<br />
puede disponerse de una incertidumbre<br />
estándar est ndar histórica hist rica s 2 p .<br />
En este caso:<br />
u =<br />
s / p<br />
Note que si existe sp entonces n=1 es posible<br />
n
En el caso simple de una serie de n<br />
mediciones independientes ,el llamado<br />
número mero de grados de libertad para<br />
u(x i) ) es νi =n-1 =n 1 .<br />
Si las variaciones aleatorias de las Xi están est n correlacionadas , el promedio y la<br />
desviación desviaci n estándar est ndar experimental<br />
pueden ser estimadores inapropiados<br />
En estos casos debe aplicarse métodos m todos<br />
estadísticos estad sticos especiales (Ej ( Ej varianza<br />
Allen )
4.3 Evaluación Evaluaci n Tipo B<br />
Si un estimado de entrada xi no es<br />
obtenido a partir de una serie de<br />
mediciones repetidas, entonces su<br />
varianza e incertidumbre estándar est ndar se<br />
evalúan eval an por un análisis an lisis científico cient fico basado<br />
en toda la información informaci n disponible.
Esta información informaci n puede incluir:<br />
Datos previos de medición medici<br />
Conocimiento del comportamiento y<br />
propiedades de materiales importantes<br />
Especificaciones de fabricantes<br />
Datos de calibraciones y certificados<br />
Datos de referencia en handbooks .
La varianza e incertidumbre evaluadas<br />
de esta manera son llamadas del Tipo B<br />
Una evaluación evaluaci n de tipo B puede ser<br />
tanto o tal vez aún a n más m s confiable<br />
que una evaluación evaluaci n de tipo A<br />
especialmente en situaciones donde n<br />
es pequeño<br />
peque
Formas de obtener u(x ) i<br />
Si el estimador xi es tomado de alguna<br />
fuente que indica que su incertidumbre<br />
asociada es un múltiplo m ltiplo dado de una<br />
desviación desviaci n estándar, est ndar, entonces u(x i ) es<br />
simplemente ese valor indicado de<br />
incertidumbre dividido por el<br />
multiplicador dado<br />
Ejemplo
Ejemplo de 4.3.3 (Pág.23 (P g.23<br />
Guía) Gu a)<br />
La masa de un patrón patr n de masa es<br />
ms =1 000,000 325 gramos y su<br />
incertidumbre es 240 microgramos al<br />
nivel de 3 desviaciones estándar. est ndar.<br />
Entonces la incertidumbre estándar est ndar es<br />
u(m s)= )= 240 µg / 3 = 80 µg
Algunas veces la incertidumbre<br />
asociada se dice que define un intervalo<br />
con un cierto nivel de confianza p dado.<br />
A menos que se indique otra cosa se<br />
asumirá asumir que se ha usado una<br />
distribución distribuci n de probabilidad NORMAL,<br />
por lo que la u(x i ) se obtendrá<br />
obtendr
‘dividiendo dividiendo la citada incertidumbre por<br />
el factor asociado a la probabilidad p<br />
según seg n el comportamiento bien conocido<br />
de la distribución distribuci n normal (Tabla G.1)<br />
Ejemplo 4.3.5<br />
Ejemplo 4.3.6
Ejemplo de 4.3.5 (Pág.24) (P g.24)<br />
La longitud de un objeto es l=(10,11± l=(10,11<br />
0,04) mm con probabilidad 0,5<br />
a= 0,04 mm<br />
Según Seg n lo visto para la Distribución<br />
Distribuci n<br />
Normal el intervalo de 50 % de<br />
confianza es 0,676 σ ≅ a = 0,04 mm<br />
Por esto u ≅ σ ≅ (1/0,676) a = 1,48 a<br />
=1,48 * 0,04 ≅ 0,06 mm
Distribución Distribuci n Rectangular<br />
La probabilidad de que Xi tome el valor<br />
xi ± a para todos los propósitos prop sitos prácticos pr cticos es<br />
igual a 1 (100%) y fuera de este intervalo es<br />
esencialmente cero.<br />
El mejor estimador es el centro del<br />
intervalo,es decir , el mismo valor xi La incertidumbre estándar est ndar es<br />
u( x ) =<br />
a i<br />
/<br />
3.......(<br />
7)
Ejemplo de 4.3.7 (pág. (p g. 26)<br />
El coeficiente de expansión expansi n α del cobre<br />
puro a 20 °C es 16,52 x 10 -6 6 °C-1 y el<br />
error en este valor no debe exceder<br />
0,40 x 10 -6 6 °C-1 a= 0,40 x 10 -6 6 °C-1 u( α)<br />
− 6 −1<br />
= a / 3 = 0,<br />
23x10<br />
° C
Ejemplos<br />
Caso de límites l mites No simétricos: sim tricos:<br />
u i<br />
( ) ( ) / + − − = a a x<br />
12..........<br />
.( 8')
Distribución Distribuci n trapezoidal:<br />
Base Inferior= a + -a-=2a =2a<br />
Base Superior=2aβ Superior=2a con 0 ≤ β ≤ 1<br />
Si β = 0 se tiene una distribución<br />
distribuci n<br />
triangular<br />
Si β = 1 se tiene una distribución<br />
distribuci n<br />
rectangular<br />
u( x)<br />
=<br />
a i<br />
( 1<br />
+ β<br />
2<br />
) / 6......(<br />
9.<br />
a<br />
')
CONVOLUCION DE<br />
DISTRIBUCIONES<br />
La distribución distribuci n trapezoidal es<br />
equivalente a la convolución<br />
convoluci<br />
(combinación) (combinaci n) de dos distribuciones<br />
rectangulares de semianchos<br />
a1=a(1+ =a(1+β)/2 )/2 ; a 2=a(1 =a(1-β)/2 )/2<br />
La varianza es u 2 =a 2 =a1<br />
/3 + a 2 a2<br />
/3 =a 2 (1+<br />
β2 )/6
La distribución<br />
distribuci n convolucionada puede<br />
interpretarse como una distribución<br />
distribuci n<br />
rectangular de semiancho a1 que tiene<br />
ella misma una incertidumbre<br />
representada por la distribución<br />
distribuci n<br />
rectangular de semiancho a2 y modela<br />
el hecho de que los límites l mites de la Xi no<br />
son exactamente conocidos<br />
Aún n si a 2 es tan grande como el 30%<br />
de a 1 , u excede<br />
, u excede a / 3<br />
en no más del 5 % .<br />
1
La comparación comparaci n de varianzas de las<br />
distribuciones normal, rectangular y<br />
triangular indica que sus magnitudes<br />
son sorprendentemente similares a<br />
pesar de provenir de distribuciones con<br />
justificaciones notablemente diferentes
COMPARACION DE<br />
DISTRIBUCIONES<br />
D. Trapezoidal u=60,6% a 1 ;(a 1=30 =30%a %a2) D. Rectangular u=57,7% a (a:semiancho<br />
( a:semiancho)<br />
D.Triangular u=40,8% a (a:semiancho<br />
( a:semiancho)<br />
D.Normal u=38,76%a<br />
u=38,76%a<br />
(a=2,58σ; (a=2,58 ; 99%)<br />
Las incertidumbres no son demasiado<br />
diferentes a pesar de provenir de<br />
distribuciones muy diferentes .
Hay que prestar importancia al hecho<br />
de no contar doblemente una<br />
componente de incertidumbre
ILUSTRACION GRAFICA DE<br />
EVALUAR <strong>INCERTIDUMBRE</strong>S<br />
GUM : Figura 1 ; Tabla 1<br />
GUM : Figuras 2a ; 2b
Distribución Distribuci n Normal<br />
Expectación: Expectaci n: 100,14 °C u( u(tt¯¯ )=0,33°C )=0,33<br />
Distribución Distribuci n rectangular:<br />
rectangular<br />
Expectación: Expectaci n: 100 °C u( u(tt¯¯ )=2,3 °C<br />
Distribución Distribuci n triangular:<br />
triangular<br />
Expectación: Expectaci n: 100 °C u( u(tt¯¯ )=1,6 °C
También Tambi n es posible determinar<br />
directamente la contribución contribuci n combinada<br />
de varias fuentes usando datos<br />
anteriores, por ejemplo de estudios de<br />
Validación,de<br />
Validaci n,de tests de proficiencia de<br />
laboratorios ,de control de calidad o de<br />
aaseguramiento metrológico<br />
metrol gico
Para fuentes de incertidumbre no<br />
cubiertas adecuadamente debe<br />
buscarse información informaci n adicional en la<br />
biliografía biliograf u otras fuentes (internet ( internet, ,<br />
papers, papers,<br />
certificados , especificaciones,<br />
handbooks, handbooks,<br />
...)<br />
En el caso extremo puede ser necesario<br />
planificar experimentos para obtener los<br />
datos adicionales
5. DETERMINANDO uc MAGNITUDES DE <strong>EN</strong>TRADA X NO<br />
i<br />
CORRE<strong>LA</strong>CIONADAS<br />
y = f (x 1 ;x 2 ;……… ………;x ;xN )<br />
La uc(y (y) ) depende de las incertidumbres<br />
u(x i) ) de cada uno de los estimados de<br />
entrada . Cada u(x i) ) es una<br />
incertidumbre estándar est ndar evaluada como<br />
se describe en 4.2 para el Tipo A ó<br />
como se describe en 4.3 para el Tipo B
La uc(y (y) depende también tambi n de qué qu tanto<br />
influye xi sobre y . Por ejemplo si xi aparece elevada a la cuarta potencia en la<br />
función funci n f influirá influir muchísimo much simo más m s que si solo<br />
estuviera elevada a la primera potencia .<br />
Qué Qu tanto influye xi sobre y está est dado por<br />
los llamados coeficientes de sensibilidad ci .
Matemáticamente<br />
Matem ticamente ci se evalúa eval a<br />
tomando la derivada parcial de la<br />
función funci n f respecto de xi :<br />
c<br />
i<br />
=<br />
∂<br />
∂<br />
f<br />
x<br />
i
LEY DE PROPAGACION DE <strong>LA</strong><br />
<strong>INCERTIDUMBRE</strong><br />
Luego se suma cuadráticamente<br />
cuadr ticamente todas<br />
estas componentes según seg n esta Ley:<br />
u<br />
c<br />
2<br />
c<br />
N<br />
2<br />
( y)<br />
u<br />
2<br />
=<br />
( x<br />
N<br />
c<br />
2<br />
1<br />
u<br />
2<br />
( x<br />
En forma de sumatoria :<br />
u<br />
2<br />
1<br />
)<br />
+<br />
c<br />
2<br />
2<br />
u<br />
) * * * ( Ecuacion<br />
N<br />
2<br />
2<br />
( x<br />
2<br />
10 )<br />
=∑<br />
⎛ ∂f<br />
⎞<br />
( )<br />
2<br />
c y ⎜ ⎟ u ( x )......... ( 10)<br />
⎜<br />
i<br />
x ⎟<br />
i 1 ⎝∂<br />
=<br />
i ⎠<br />
)<br />
+<br />
...
La uc(y (y) es una desviación desviaci n estándar est ndar<br />
combinada que caracteriza (al nivel<br />
estándar est ndar ~ 68,3%) la dispersión dispersi n de los<br />
valores que puede atribuirse al<br />
mensurando y de acuerdo a nuestros<br />
mejores conocimientos
Matemáticamente Matem ticamente puede verse que esta<br />
Ley está est basada en una expansión expansi n de<br />
primer orden de la función funci n f en una<br />
serie de Taylor alrededor de f evaluada<br />
en cada uno de sus estimadores de<br />
entrada xi Si la no linearidad de f es significativa<br />
puede ser necesario añadir a adir términos t rminos de<br />
mayor orden en la expansión expansi n . El<br />
ejemplo H.1 trata esta situación situaci n .
EJEMPLOS DE CALCULOS DE<br />
DERIVADAS PARCIALES (5.1.3)<br />
Si f es sólo s lo sumas (o restas) lineales<br />
u<br />
+<br />
y=β y= 1x1+ + β2x2 +….+ .+ βNxN donde los βi son coeficientes constantes<br />
,entonces:<br />
c<br />
2<br />
β<br />
(<br />
N<br />
y<br />
2<br />
)<br />
u<br />
=<br />
2<br />
(<br />
β<br />
x<br />
2<br />
1<br />
N<br />
u<br />
)<br />
2<br />
(<br />
x<br />
1<br />
)<br />
+<br />
β<br />
2<br />
2<br />
u<br />
2<br />
(<br />
x<br />
2<br />
)<br />
+<br />
...
Si f es sólo s lo productos (o<br />
divisiones) con potencias<br />
Si y= c x 1 p1 x2 p2 ….. ..xN pN donde c es<br />
una constante y las pi son las<br />
potencias(números<br />
potencias(n meros constantes) a las<br />
que se eleva cada xi entonces :
)<br />
12<br />
.<br />
*(<br />
*<br />
)<br />
(<br />
.......<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
Ec<br />
x<br />
x<br />
u<br />
p<br />
x<br />
x<br />
u<br />
p<br />
x<br />
x<br />
u<br />
p<br />
y<br />
y<br />
u<br />
N<br />
N<br />
N<br />
c<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
+<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
=<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡
Puede hacerse también tambi n una<br />
transformación transformaci n logarítmica logar tmica que lineariza<br />
exactamente la función funci n f<br />
z= ln y ; wi= = ln xi Resulta :<br />
z = ln c + p 1 ln w1 +….+ .+pN ln wN
5.2 Magnitudes de entrada<br />
Correlacionadas<br />
Si las magnitudes de entrada Xi están est n<br />
correlacionadas (y para verificarlo<br />
existen tests de correlación) correlaci n) a la<br />
fórmula rmula vista para el caso de<br />
magnitudes no correlacionas se debe<br />
añadir adir términos t rminos que representen esta<br />
correlación<br />
correlaci
La covarianza asociada entre Xi , Xj se<br />
denota por u(x i , xj ) y se estima de la<br />
siguiente manera:<br />
Se efectúan efect an n pares de mediciones<br />
simultáneas simult neas de Xi , Xj bajo las mismas<br />
condiciones,obteniéndose<br />
condiciones,obteni ndose como<br />
promedios los valores xi xj
El estimador de u(x i ,xj ) se denota<br />
como s(x i ,xj ) y se calcula según seg n :<br />
n 1<br />
s(<br />
xi<br />
, x j ) =<br />
∑ n(<br />
n −1)<br />
k =<br />
( Ecuación 17)<br />
1<br />
( X<br />
i,<br />
k<br />
−<br />
x<br />
i<br />
)( X<br />
j,<br />
k<br />
−<br />
x<br />
j<br />
)
Ley de Propagación<br />
Propagaci<br />
Magnitudes Correlacionadas<br />
u<br />
2<br />
c<br />
N<br />
2<br />
−<br />
(<br />
1<br />
y<br />
)<br />
N<br />
∑ ∑<br />
=<br />
i = 1 j = i + 1<br />
c<br />
i<br />
N<br />
∑<br />
i<br />
=<br />
c<br />
1<br />
j<br />
u<br />
c<br />
i<br />
(<br />
2<br />
x<br />
u<br />
i<br />
,<br />
2<br />
(<br />
x<br />
x<br />
j<br />
i<br />
)<br />
)<br />
+
La covarianza asociada con xi , xj está est<br />
relacionada con las incertidumbres u(x i) ) u(x j )<br />
por medio del coeficiente de correlación correlaci n<br />
r(x i,x ,xj) ) según seg n :<br />
u ( x , x ) =<br />
r(<br />
x , x ) u(<br />
x ) u(<br />
x<br />
i j i j i j<br />
Siempre ocurre que :-1 : 1 ≤ r(x i,x ,xj ) ≤ +1<br />
Si Xi Xj son independientes entonces<br />
r(x i,x ,xj ) = 0<br />
EJEMPLOS<br />
)......( 14)
Puede haber correlación correlaci n entre dos<br />
magnitudes de entrada si se usa el<br />
mismo instrumento de medición medici n , el<br />
mismo patrón patr n físico f sico o datos de<br />
referencia comunes.<br />
Si la correlación correlaci n existe y es significativa<br />
obviamente no puede ignorarse.
6. DETERMINANDO <strong>LA</strong><br />
<strong>INCERTIDUMBRE</strong> EXPANDIDA U<br />
Muchas aplicaciones industriales,de salud,<br />
seguridad y/o de intercambio comercial<br />
requieren que se de una medida de<br />
incertidumbre que defina un intervalo<br />
alrededor del resultado de medición medici n que se<br />
espera abarque una fracción fracci n suficientemente<br />
grande de la distribución distribuci n de valores que se<br />
puede atribuir razonablemente al<br />
mensurando. Define un intervalo con un nivel<br />
de confianza suficientemente alto .
La medida de incertidumbre que cumple<br />
estos requisitos es llamada<br />
Incertidumbre Expandida denotada<br />
como U<br />
U se obtiene de uc(y (y) ) a través trav s del<br />
factor de cobertura k según seg n :<br />
U = k uc(y (y) )
El resultado de la medición medici n se expresa<br />
entonces como :<br />
Y= y ± U que se<br />
interpreta diciendo que :<br />
El mejor estimado de Y es y<br />
El intervalo y-U y U hasta y+U abarca una<br />
fracción fracci n suficientemente grande de los<br />
valores que razonablemente pueden<br />
atribuirse a Y
Esta fracción fracci n suficientemente grande se<br />
denota como p p y se le llama la<br />
probabilidad de cobertura o “Nivel Nivel de<br />
Confianza” Confianza del intervalo .<br />
Debe reconocerse que muchas veces el<br />
valor de p p es aproximado debido al<br />
limitado conocimiento que se tiene de la<br />
distribución distribuci n de probabilidad de Y y al<br />
valor mismo de uc(y (y)<br />
(incertidumbre de la incertidumbre)
Escogiendo un valor para k<br />
El valor de k depende del valor que se<br />
escoge para pp . Generalmente está est en el<br />
rango de 2 a 3 .<br />
Si la distribución distribuci n de probabilidad de Y es<br />
aproximadamente normal y los grados<br />
efectivos de libertad son grandes muchas<br />
veces se puede asumir que k=2 =2 corresponde<br />
a pp= = 95 % y que k=3 =3 corresponde a 99%
Muchas veces ocurre que:<br />
Hay un número n mero significativo de Xi que tienen<br />
distribuciones de probabilidad<br />
razonablemente conocidas (normales o<br />
rectangulares)<br />
Las u (x ( i) ) contribuyen en cantidades<br />
comparables a uc(y (y)<br />
La aproximación aproximaci n lineal pedida por la Ley de<br />
propagación propagaci n de la Incertidumbre es adecuada
La uc(y (y) ) es razonablemente pequeña peque a y<br />
los grados efectivos de libertad son<br />
altos ,digamos mayores a 10<br />
<strong>EN</strong>TONCES PUEDE ASUMIRSE QUE<br />
La distribución distribuci n de uc(y (y) ) es casi normal y<br />
puesto que prácticamente pr cticamente no es posible<br />
distinguir entre intervalos que difieren<br />
en 1% ó 2% en el valor de pp
BAJO ESTAS<br />
CIRCUNSTANCIAS:<br />
Se puede asumir que con k = 2 se<br />
tiene un nivel de confianza de<br />
aproximadamente 95% y que con<br />
k = 3 se tiene un nivel de confianza de<br />
aproximadamente 99%
CASO DE UNA COMPON<strong>EN</strong>TE<br />
DOMINANTE RECTANGU<strong>LA</strong>R<br />
Sea u 2 u1<br />
(y) el término t rmino rectangular<br />
dominante ; u 2<br />
R (y) la suma de las<br />
varianzas del resto de componentes.<br />
Si uR(y (y)/ )/ u 1(y) (y) ≤ 30% la convolución<br />
convoluci<br />
de las distribuciones de todas las<br />
componentes produce una distribución<br />
distribuci n<br />
de probabilidad final esencialmente<br />
rectangular .
Bajo estas condiciones:<br />
El factor de cobertura k(p) k(p que<br />
depende del nivel de confianza p que<br />
se elige está est dado por :<br />
k ( p)<br />
=<br />
p<br />
3<br />
Por ejemplo si p=95 % entonces k(p) k(p)<br />
vale 1,65 y para p= 99% k(p) k(p)<br />
vale<br />
1,71
Caso de dos distribuciones<br />
rectangulares dominantes<br />
Sean u 2 u1<br />
(y) ; u 2 u2<br />
(y) las componentes<br />
rectangulares dominantes . Su suma es<br />
u 2<br />
1 (y) + u 2 u2<br />
(y)= u 2 u0<br />
(y)<br />
Si uR(y (y)/ )/uo(y (y) ) es no mayor de 30% la<br />
convolución convoluci de estas dos distribuciones<br />
(que da una distr. Trapezoidal) es la<br />
que da la forma esencial de la<br />
convolución convoluci de todas las componentes.
Bajo estas condiciones:<br />
El trapezoide tiene una base mayor<br />
a=a 1+a +a2 2 y una base menor<br />
b=| a 1-a2 2 |= a β<br />
donde a 1 ; a 2 son los semianchos de<br />
las dos distribuciones rectangulares<br />
β = b/a es el parámetro par metro de borde del<br />
trapezoide
Si β
7. REPORTANDO <strong>LA</strong><br />
<strong>INCERTIDUMBRE</strong><br />
Es deseable que se dé d toda la información<br />
informaci n<br />
necesaria para que pueda hacerse una<br />
reevaluación reevaluaci n completa de toda la medición. medici n.<br />
Si se hace referencia a otros documentos o<br />
especificaciones es importante mantenerlos<br />
actualizados para que seamos consistentes<br />
con los procedimientos actuales
DEBERIA INDICARSE:<br />
El procedimiento para calcular y ,<br />
uc(y (y) a partir de los datos observados<br />
Las componentes de incertidumbre<br />
consideradas y cómo c mo fueron evaluadas<br />
Las correcciones y constantes usadas<br />
en el análisis an lisis y sus fuentes
TEST :<br />
Se ha dado la información informaci n suficiente, de<br />
una manera suficientemente clara ,de<br />
modo que el resultado puede<br />
actualizarse si se dispusiera de nueva<br />
información informaci n o datos en el futuro ?
Reportando U<br />
Describir completamente cómo c mo se define el<br />
mensurando Y<br />
Reportar el resultado de la medición medici n como:<br />
Y = y ± U dando las unidades usadas<br />
Si es apropiado dar U / /y/ la incertidumbre<br />
expandida relativa<br />
Especificar el valor de k<br />
indicar el valor de p p y cómo c mo fue<br />
determinado
Si es apropiado dar también: tambi n:<br />
El valor de cada xi , su asociada u(x i) ) y<br />
cómo mo fueron determinadas .<br />
Las covarianzas y/o los coeficientes de<br />
correlación correlaci n estimados<br />
νi para cada i y cómo c mo fue obtenido .<br />
La función funci n f y los coeficientes de<br />
sensitividad ci = δ<br />
δf/δx i
EJEMPLO<br />
Se reporta la masa ms de una pesa patrón patr n<br />
de 100 g de valor nominal :<br />
ms= = 100,021 47 g ± 0,000 79 g donde<br />
el valor que sigue al símbolo s mbolo ± es la<br />
incertidumbre expandida U calculada<br />
con un factor de cobertura k = 2 para<br />
un nivel de confianza de<br />
aproximadamente 95 % con νeff eff = 25<br />
grados de libertad
El valor numérico num rico de U no debe tener<br />
dígitos gitos excesivos . Usualmente es<br />
suficiente dar dos o tres dígitos d gitos<br />
significativos
Cumplimiento contra Límites L mites
Límite mite Superior L :Hay 3<br />
casos<br />
1) y - U > L Claro incumplimiento<br />
2) y + U ≤ L Claro cumplimiento<br />
3) y + U > L ó y - U ≤ L<br />
Es incierto el cumplimiento . Debe<br />
revisarse los datos ,repetir el ensayo y<br />
tratar de disminuir el valor de U<br />
Para un límite l mite inferior se aplican<br />
criterios análogos an logos .
EJEMPLOS
GRACIAS POR SU AT<strong>EN</strong>CION !