CURSO : INCERTIDUMBRE EN LA MEDICION - Indecopi

CURSO : INCERTIDUMBRE
EN LA MEDICION
INDECOPI -Servicio Servicio Nacional
de Metrología Metrolog
Edwin Guillén Guill
Mayo del 2009

INCERTIDUMBRE EN LA MEDICION
No es posible hacer mediciones
absolutamente exactas.
Por consiguiente toda medición medici n tiene un
margen de duda.
La incertidumbre de medición medici n es el valor
de ese margen de duda.
Si ese margen de duda es muy pequeño peque o la
incertidumbre es también tambi n muy pequeña. peque a. Si
ese margen de duda es grande la
incertidumbre es también tambi n grande

En este mundo globalizado donde el
comercio internacional es cada vez mas
grande, la competencia por la calidad
es cada vez mayor. Vender productos
cada vez mejores (y a mejores precios)
es lo que determina la supervivencia o
la muerte de muchas industrias.

La calidad se establece haciendo
mediciones de las características caracter sticas del
producto. El proceso de producción producci n se
controla midiendo diversas magnitudes
físicas sicas claves.
Así As la calidad se establece a través trav s de
mediciones, pero es indispensable que
las mediciones también tambi n sean de calidad.

La calidad de la medición medici n la establece
justamente la Incertidumbre.
Si la Incertidumbre es bien calculada y
es suficientemente pequeña peque a podemos
decir que la medición medici n es de buena
calidad .

Documentos Guías Gu as
Fundamentales
“Guide Guide to the Expresion of Uncertainty
in Measurement” Measurement 1995;ISO;BIPM
1995; ISO;BIPM; ; OIML
IEC;IUPAC;IUPAP;IFCC:
IEC;IUPAC;IUPAP;IFCC:
ISO-GUM ISO GUM
Versión Versi n para Perú:”Gu Per Guía a para la
Expresión Expresi n de la Incertidumbre en la
Medición” Medici 2001; INDECOPI/SNM
“Quantifying
Quantifying Uncertainty in Analytycal
Measurement’ Measurement 2000; EURACHEM/CITAC
Guide

“Expresion Expresion of the Uncertainty of
Measurement in Calibration”1999; Calibration 1999; EA
“Supplement
Supplement 1 : Examples “ 1997;EA
“Supplement
Supplement 2 : Examples “ 1999;EA

Enlaces a Internet
ISO : www.iso.ch
BIPM : www.bipm.org
OIML : www.oiml.org
IUPAP: www.iupap.org
IUPAC: www.iupac.org
IFCC: www.ifcc.org
IEC: www.iec.ch
EURACHEM: www.eurachem.bam.de
EAL : www.european-accreditation.org
www.european accreditation.org

1. OBJETIVO Y ALCANCE
Establecer reglas generales para
evaluar y expresar la Incertidumbre en
mediciones efectuadas en todos los
niveles de exactitud y en muchos
campos desde el taller ,la industria,los
laboratorios y la investigación investigaci n técnica t cnica y
científica cient fica fundamental

En base a la ISO-GUM ISO GUM se han
desarrollado otros documentos
específicos espec ficos para ciertos campos:
Para Metrología: Metrolog a: “Expresion Expresion of the
Uncertainty of Measurement in
Calibration”1999; Calibration 1999; EA y sus dos Su- Su
plementos .
Para Química Qu mica analítica anal tica cuantitativa:
“Quantifying
Quantifying Uncertainty in Analytycal
Measurement’ Measurement 2000; EURACHEM/CITAC
Guide

En Metrología Metrolog a y Química Qu mica se asume que
al efectuar mediciones existe un control
y aseguramiento efectivos de la calidad
de modo que los procesos de medición medici n
sean estables y bajo control estadístico estad stico
tanto como sea posible.

Tales cuidados incluyen:
Personal calificado apropiadamente
capacitado.
Apropiado mantenimiento y calibración calibraci n de
los equipos, instrumentos de medición, medici n,
reactivos, etc
Uso de apropiados patrones de referencia
Procedimientos documentados de medición medici
Uso de apropiados patrones de verificación verificaci n
y cartas de control

Se asume así as que los
procedimientos y métodos m todos
ESTAN DOCUMENTADOS
La evaluación evaluaci n seriamente documentada
de Incertidumbre puede hacerse sólo s lo
para las mediciones hechas bajo tales
métodos todos y procedimientos

Capítulo Cap tulo 2.
DEFINICIONES
Formalmente la INCERTIDUMBRE DE
MEDICION u se define como:
el parámetro
par metro no negativo que
caracteriza (=cuantifica) la dispersión
dispersi
de los valores atribuidos a un
mensurando a partir de la información
informaci n
que se utiliza.

Al hablar de dispersión dispersi es claro que al
mensurando no puede atribuírsele atribu rsele un
único nico valor sino que se le atribuye un
intervalo de valores que son coherentes
con todos nuestros conocimientos.
El resultado es útil til si esa dispersión dispersi n es
suficientemente pequeña peque a
La existencia de u no significa que se
duda de la validez de la medición medici n ,por
el contrario un cálculo c lculo adecuado de u
significa una confianza aumentada,
mayor, de dicha validez.

DEFINICIONES ANTERIORES
de u
Una medida del posible error del
resultado de medición medici
Objeción: Objeci n: el error, estrictamente
hablando , es imposible de conocer
exactamente .

Otra definición: definici n:
Un estimado que caracteriza (=mide) el
intervalo de valores dentro del cual se
sitúa sit a el valor verdadero de un
mensurando.
Objeción: Objeci n: otra vez es imposible
conocer exactamente el valor verdadero
de un mensurando.

Tanto el error como el valor verdadero
son conceptos IDEALES.
Son objetivos a los que apuntamos y
quisiéramos quisi ramos llegar o conocer
exactamente pero nunca lo podemos
hacer completamente.

Como se ve la definición definici n adoptada por
la ISO-GUM ISO GUM se enfoca en valores que sí s
se pueden conocer, esto es , el
resultado de la medición medici y la
evaluación evaluaci n de la dispersión dispersi asociada .

Diríamos Dir amos que en base a nuestros
mejores conocimientos y capacidades
actuales creemos con un alto nivel de
probabilidad que:
“ el valor absoluto del error |E | es
menor o igual a la Incertidumbre
calculada U “
| E | ≤ U

2.3 TERMINOS
ESPECIFICOS DE LA
ISO-GUM ISO GUM
2.3.1 INCERTIDUMBRE
ESTANDAR u
Incertidumbre del resultado de
medición medici n expresado como una
desviación desviaci n estándar est ndar

2.3.2 Evaluación Evaluaci n Tipo A de Incertidumbre
Es un método m todo que evalúa eval a la incertidumbre a
través trav s de un análisis an lisis estadístico estad stico de una serie
de observaciones
2.3.2 Evaluación Evaluaci n Tipo B de Incertidumbre
Es un método m todo que evalúa eval a la incertidumbre a
través trav s de medios diferentes al análisis an lisis
estadístico estad stico de una serie de observaciones

2.3.4 INCERTIDUMBRE
ESTANDAR COMBINADA uc Incertidumbre estándar est ndar del resultado de
una medición medici n evaluada a través trav s de la
Ley de Propagación Propagaci n de la Incertidumbre
Esta ley combina apropiadamente
(según (seg n nuestros actuales
conocimientos) todas las
incertidumbres aportadas por las
magnitudes que influyen sobre el
resultado de la medición
medici

2.3.4 INCERTIDUMBRE
EXPANDIDA U
Incertidumbre que define un intervalo
alrededor del resultado de medición medici n que
abarca una fracción fracci n suficientemente
grande de la dispersión dispersi n de los valores
que “razonablemente
razonablemente”pueden pueden
atribuirse al mensurando.
Esta fracción fracci n puede interpretarse como
la probabilidad o nivel de confianza p
del intervalo

2.3.6 FACTOR DE
COBERTURA k
Es el factor por el que se multiplica uc para obtener U :
U = k uc

3.- 3. CONCEPTOS BASICOS
3.1 MEDICION
El objetivo de una medición medici n es
determinar el valor del mensurando.
Por consiguiente una medición medici n empieza
con una DEFINICION APROPIADA DEL
MENSURANDO
¿ Qué Qu es lo que se quiere medir ?

Contestar a esta pregunta es crucial. crucial
La definición definici n misma del mensurando
implica desde ya una cierta indefinición.
indefinici n.
Entre mayor sea la indefinición indefinici n mayor
será ser la incertidumbre causada por la
definición definici n misma del mensurando uDEF DEF .
Aún n el método m todo más m s perfecto de
medición medici n no puede producir una
incertidumbre más m s pequeña peque a que uDEF DEF

EJEMPLO:Medición EJEMPLO:Medici de la longitud de una
barra de acero de aprox. 1metro
(Pág.8 (P g.8 Guía) Gu a)
Si necesita determinarse con exactitud
de micrómetros micr metros debe especificarse la
temperatura, presión, presi n, modo en que
debe sostenerse,etc.
sostenerse,etc
Si se necesita sólo s lo exactitud de
milímetros mil metros no se requiere datos
adicionales

La especificación especificaci n del mensurando
requiere un enunciado claro, no
ambigüo ambig de lo que se desea medir.
Debe ser claro si se necesita hacer un
muestreo.

Muchas veces el resultado de medición medici n
se obtiene a través trav s de una serie de
observaciones obtenidas bajo
condiciones de repetibilidad.
Las variaciones en las observaciones
repetidas son producidas por las
variaciones de las magnitudes de
influencia (“ ( influence quantities”)
quantities
iq
iq

EL MODELO MATEMATICO
El modelo matemático matem tico que transforma
el conjunto de observaciones repetidas
en el resultado de medición medici n es de
importancia crítica cr tica debido a que incluye
además adem s de las observaciones directas
un conjunto de iq que son
imperfectamente conocidas y a que
puede NO incluir otras iq que
permanecen ocultas o desconocidas .

3.2 ERRORES ,EFECTOS Y
CORRECCIONES
Toda medición medici n tiene imperfecciones que
producen el llamado “error error de
medición”. medici
Tradicionalmente dicho error se ve
formado por dos componentes: el error
aleatorio (VIM 3.13) y el error
sistemático sistem tico (VIM 3.14)

ERROR = ERROR SISTEMATICO +
ERROR ALEATORIO
Se presume que el error aleatorio
surge por variaciones impredecibles y
estocásticas estoc sticas de las iq .
Si bien no es posible eliminar este error
usualmente puede reducirse
aumentando el número n mero de mediciones.
Sólo lo en el límite l mite ideal de infinitas
mediciones se eliminaría eliminar a este error

Los errores sistemáticos sistem ticos son
desviaciones con un sentido o tendencia
definida , positiva o negativa.
El ej. típico pico es medir una longitud a
una temperatura promedio diferente de
20 °C .

Si el error surge de una fuente conocida
se trata de eliminarla .Si no es posible
podría podr a en principio, evaluarse y
aplicarse una CORRECCION para
compensarlo.
Se asume que aplicada la corrección correcci n la
expectación expectaci n de dicho error es cero .

Es claro que a su vez la corrección correcci n no
es perfecta y que conlleva cierta
incertidumbre
Se asume que el resultado de medición medici n
ha sido corregido por todos los efectos
sistemáticos sistem ticos reconocidos e
inevitablemente existentes y que se han
hecho todos los esfuerzos para
identificar tales efectos .

Ejemplos
La corrección correcci n en un instrumento de medición medici n
calibrado compensa su error sistemático sistem tico pero
sólo lo aproximadamente . Subsiste una
incertidumbre asociada a esta corrección correcci
La corrección correcci n por temperatura en las
mediciones de longitud para llevarla a
condiciones de 20 °C .

3.3 INCERTIDUMBRE
La existencia de u refleja el siempre
imperfecto conocimiento del mensurando
Aún n después despu s de aplicar todas las correcciones
por los efectos sistemáticos sistem ticos reconocidos el
resultado de medición medici n es imperfecto debido a
las variaciones que surgen por los efectos
aleatorios y a la imperfección imperfecci n de las
correcciones.

No debe confundirse la incertidumbre con el
error de medición medici n
Por ej. es posible que el resultado de
medición medici n esté est extremadamente cerca del
valor del mensurando (y por lo tanto el error
sea despreciable) y aún a n así as puede tener
asociada una incertidumbre grande.
Se espera más m s bien que U sea el límite l mite
máximo ximo del valor absoluto del error E de
medición medici n : |E| ≤ U

Fuentes de Incertidumbre
según seg n ISO-GUM ISO GUM
A) uDEF DEF
B) Realización Realizaci n imperfecta de la
definición definici n del mensurando
C)Muestreo no representativo
D)Imperfecto conocimiento de los
efectos de las condiciones ambientales
o imperfecta medición medici n de ellas.
E)Lectura imperfecta de instrumentos
analógicos anal gicos (paralaje)

F)Resolución F)Resoluci finita de instrumentos
digitales o umbral de discriminación discriminaci n de
los instrumentos.
G)Valor inexacto de los patrones de
medición medici n y de los materiales de
referencia
H) Valor inexacto de las constantes u
otros parámetros par metros obtenidos de fuentes
externas y usados en el modelo
matemático matem tico o algorritmo de reducción reducci n
de datos .

I)Aproximaciones y suposiciones incor-
poradas en el método m todo y procedimiento
de medición medici n .
J) Variaciones en observaciones
repetidas del mensurando bajo
condiciones aparentemente idénticas id nticas
K)Imperfecciones del modelo
matemático
matem tico
Estas fuentes no necesariamente son
independientes y varias de ellas pueden
contribuir a la fuente j)

La incertidumbres tipo A y tipo B no
tienen nada que ver con las palabras
“aleatorio aleatorio” o “sistem sistemático tico “.
No tienen que ver con la naturaleza de
la fuente (aleatoria o sistemática) sistem tica) sino
con la forma de evaluarla.
Ambos tipos de evaluación evaluaci n están est n
basados en distribuciones de
probabilidad

Una incertidumbre de tipo A se obtiene
a partir de una serie de mediciones
repetidas y es la familiar varianza
calculada según seg n las conocidas fórmulas f rmulas
de estadística estad stica s 2
s
1 n
2
( q ) = ∑ k
n−1
k=
1
( q
−q)
Una incertidumbre de tipo B se obtiene
a partir de una función funci n de probabilidad
ASUMIDA según seg n los mejores
conocimientos que tenemos del evento
que ocurre
k
2

Las diversas fuentes de incertidumbre
son combinadas matemáticamente
matem ticamente
según seg n la llamada “Ley Ley de Propagación
Propagaci n
de la Incertidumbre” Incertidumbre para obtener la
llamada incertidumbre combinada uc Para cumplir los requerimientos de
algunas aplicaciones industriales ,de
salud , de seguridad y/o comerciales se
calcula un límite l mite superior para el valor
absoluto del error que tenga un nivel de
confianza suficientemente alto (Ej ( Ej:95% :95%
ó 99% )

Esta es la Incertidumbre Expandida U que se
calcula multiplicando uc por el llamado factor
de cobertura k : U = k uc k usualmente está est en el intervalo de 2 a 3
y siempre debe ser mencionado
explícitamente expl citamente para poder recobrar uc cuando sea necesario

3.4 CONSIDERACIONES
PRACTICAS
La exactitud requerida de la medición medici n
es la que determina la complejidad del
modelo matemático.
matem tico.
Debido a que este modelo pudiera ser
incompleto todas las magnitudes que se
consideren importantes deberían deber an
variarse tanto como lo permitan las
condiciones de modo que pueda
medirse su impacto en la uc

Cuando sea posible hay que usar
patrones de verificación verificaci n y/o cartas de
control que indiquen que la medición medici n
está est bajo control estadístico. estad stico.
El modelo matemático matem tico debe revisarse
constantemente sobre todo si los datos
observados muestran alguna
incoherencia.

Algunas veces las correcciones y sus
incertidumbres asociadas son muy
pequeñas peque as comparadas con uc .
En estos casos pueden ignorarse las
correcciones y sus incertidumbres
asociadas .

Los errores humanos al registrar o procesar
los datos pueden introducir graves
distorsiones. Errores grandes pueden
detectarse por una buena revisión revisi n de los
datos o por procedimientos estadísticos
estad sticos
conocidos.
(Ej.Criterio Ej.Criterio de Romanovski seguido de una
cuidadosa evaluación)
evaluaci n)
Errores pequeños peque os de este tipo pueden quedar
ocultos.

Los cálculos c lculos de incertidumbre no están est n
diseñados dise ados para tomar en cuenta este
tipo de errores.
La ISO-GUM ISO GUM da la forma de calcular la
incertidumbre pero no puede sustituir al
pensamiento crítico, cr tico, la honestidad
intelectual y la habilidad profesional.

El modelo para el cálculo c lculo de incertidumbre no
es un trabajo rutinario o puramente
matemático matem tico sino que depende de un
conocimiento detallado de la naturaleza de la
medición medici n misma. misma
Su calidad depende en última ltima instancia
de la comprensión comprensi n ,análisis ,an lisis crítico cr tico e
integridad profesional de las
personas que lo elaboran .

4. EVALUANDO LA uc En muchos casos un mensurando Y no
se mide directamente sino que se
obtiene a partir de otras N magnitudes
intermedias X1 ; X 2 ; ….. .. X N a través trav s
del modelo matemático matem tico expresado en
una función funci n matemática
matem tica f :
Y = f ( X 1 ; X 2 ; ….. .. X N )
(1)

En una serie de observaciones el késimo
simo valor observado de Xi se denota
como Xi,k i,k
La mejor estimación estimaci n de Xi (su
“expectaci expectación”) ) se denota por xi llamado su “estimado estimado de entrada”
entrada

Ejemplo
Si se aplica un potencial V a los
terminales de un resistor cuya
resistencia es Ro a la temperatura to y
depende linealmente de la temperatura
mediante el coeficiente α.
La potencia P disipada es :
[ 1 + ( t t ) ]
2
P = f ( V , R , α
, t ) = V / R α −
o
o
o

Si f no modela la medición medici n con la exactitud
requerida puede ser necesario incluir otras
magnitudes de entrada Xi Ejemplo: si la distribución distribuci n de temperatura no
es uniforme en el resistor,si la dependencia
con la temperatura no es lineal, si hay
dependencia de la presión presi n barométrica.
barom trica.

Las Xi pueden ser determinadas
directamente en el curso de la medición medici n
a través trav s de instrumentos de medición. medici n.
O las Xi pueden ser importadas desde
fuentes externas tales como
correcciones de certificados de
calibración calibraci n , MRCs , datos de
handbooks, handbooks,
etc.

El resultado de la medición medici n y llamado
el “estimado estimado de salida” salida se calcula
usando los estimados de entrada xi :
y = f (x 1 ; x 2 ; ….. .. ; xN )
Algunas xi se obtienen a partir de una
serie de observaciones Xi,k i,k de la
magnitud Xi

Otras xi se importan y se asume en
base a nuestro conocimiento la
distribución distribuci n de probabilidad de la que
proceden.
En ambos casos las distribuciones de
probabilidad son MODELOS de los que
nos servimos para representar el estado
actual de nuestros conocimientos .

4.2 Evaluación Evaluaci n de
Incertidumbre Tipo A
En general si una magnitud q que varía var a
aleatoriamente puede determinarse a
través trav s de una serie de mediciones
independientes qk bajo condiciones de
repetibilidad el mejor estimado es el
promedio aritmético aritm tico de la serie :

q
=
PROMEDIO ARITMETICO
1
n
1 n
+ + + = ( ) ∑ 1 2 n
n k=
1
( q q ... q ) q ...( 3)
k

Las mediciones qk varían var an entre sí s debido
a que las magnitudes de influencia iq
(temperatura ambiente, humedad,
campos electromagnéticos,..) electromagn ticos,..) están est n
variando también tambi n .
Si no se detectan variaciones en las qk puede ser porque la resolución resoluci n del
instrumento de medición medici n sea
insuficiente.

El mejor estimador de la varianza σ 2
de la distribución distribuci n de probabilidad de q
es la varianza experimental s 2 (qk) ) de la
serie .
s2 (qk) ) se calcula mediante la conocida
fórmula rmula estadística estad stica para la varianza :

s
VARIANZA EXPERIMENTAL
2
( q
k
)
1
= ( ) ∑ n −1
=
k
n
1
( q
k
−
q)
2
...( 4)

VARIANZA DEL PROMEDIO
Si tomáramos tom ramos varios grupos de n
mediciones y obtenemos sus
promedios,podemos calcular la varianza
de esos promedios. El mejor estimador
de la varianza de los promedios es:
2
s ( q ) =
s ( q k
2
)
/
n
.....(
5
)

La desviación desviaci n estándar est ndar experimental
s(qq¯ s( ) de los promedios cuantifica qué qu
tan bien el promedio qq¯ estima a la
expectación expectaci n estadística estad stica de q .Por esto
s(qq¯ s( ) es una medida de la
incertidumbre de qq¯

u
(
x
i
)
Para la variable Xi =
s
(
X
i
)
=
s
El número n mero n debe ser suficientemente
grande para que q¯ sea un buen
estimado de la expectación expectaci n de q
(
X
i , k
n
)

Ejemplo:20 mediciones de
temperatura (pág ( 29 Guía) Gu a)
En la Tabla 1 se dan 20 mediciones tk de
temperatura de una cámara c mara hechas con un
RTD.
El promedio es tt¯ =100,145 °C ≅ 100,14 °C
Aplicando la ec(4) ec(4)
se tiene s(t k)=1,489 )=1,489°C ≅
1,49 °C
La desviación desviaci n estándar est ndar experimental del
promedio s(tt¯ s( ) que es también tambi n la
u(tt¯)= u( )=s(t s(tk)/(20) )/(20) 1/2 =0,333°C =0,333 ≅ 0,33 °C

Si el proceso de medición medici n está est bien
caracterizado bajo control estadístico estad stico
puede disponerse de una incertidumbre
estándar est ndar histórica hist rica s 2 p .
En este caso:
u =
s / p
Note que si existe sp entonces n=1 es posible
n

En el caso simple de una serie de n
mediciones independientes ,el llamado
número mero de grados de libertad para
u(x i) ) es νi =n-1 =n 1 .
Si las variaciones aleatorias de las Xi están est n correlacionadas , el promedio y la
desviación desviaci n estándar est ndar experimental
pueden ser estimadores inapropiados
En estos casos debe aplicarse métodos m todos
estadísticos estad sticos especiales (Ej ( Ej varianza
Allen )

4.3 Evaluación Evaluaci n Tipo B
Si un estimado de entrada xi no es
obtenido a partir de una serie de
mediciones repetidas, entonces su
varianza e incertidumbre estándar est ndar se
evalúan eval an por un análisis an lisis científico cient fico basado
en toda la información informaci n disponible.

Esta información informaci n puede incluir:
Datos previos de medición medici
Conocimiento del comportamiento y
propiedades de materiales importantes
Especificaciones de fabricantes
Datos de calibraciones y certificados
Datos de referencia en handbooks .

La varianza e incertidumbre evaluadas
de esta manera son llamadas del Tipo B
Una evaluación evaluaci n de tipo B puede ser
tanto o tal vez aún a n más m s confiable
que una evaluación evaluaci n de tipo A
especialmente en situaciones donde n
es pequeño
peque

Formas de obtener u(x ) i
Si el estimador xi es tomado de alguna
fuente que indica que su incertidumbre
asociada es un múltiplo m ltiplo dado de una
desviación desviaci n estándar, est ndar, entonces u(x i ) es
simplemente ese valor indicado de
incertidumbre dividido por el
multiplicador dado
Ejemplo

Ejemplo de 4.3.3 (Pág.23 (P g.23
Guía) Gu a)
La masa de un patrón patr n de masa es
ms =1 000,000 325 gramos y su
incertidumbre es 240 microgramos al
nivel de 3 desviaciones estándar. est ndar.
Entonces la incertidumbre estándar est ndar es
u(m s)= )= 240 µg / 3 = 80 µg

Algunas veces la incertidumbre
asociada se dice que define un intervalo
con un cierto nivel de confianza p dado.
A menos que se indique otra cosa se
asumirá asumir que se ha usado una
distribución distribuci n de probabilidad NORMAL,
por lo que la u(x i ) se obtendrá
obtendr

‘dividiendo dividiendo la citada incertidumbre por
el factor asociado a la probabilidad p
según seg n el comportamiento bien conocido
de la distribución distribuci n normal (Tabla G.1)
Ejemplo 4.3.5
Ejemplo 4.3.6

Ejemplo de 4.3.5 (Pág.24) (P g.24)
La longitud de un objeto es l=(10,11± l=(10,11
0,04) mm con probabilidad 0,5
a= 0,04 mm
Según Seg n lo visto para la Distribución
Distribuci n
Normal el intervalo de 50 % de
confianza es 0,676 σ ≅ a = 0,04 mm
Por esto u ≅ σ ≅ (1/0,676) a = 1,48 a
=1,48 * 0,04 ≅ 0,06 mm

Distribución Distribuci n Rectangular
La probabilidad de que Xi tome el valor
xi ± a para todos los propósitos prop sitos prácticos pr cticos es
igual a 1 (100%) y fuera de este intervalo es
esencialmente cero.
El mejor estimador es el centro del
intervalo,es decir , el mismo valor xi La incertidumbre estándar est ndar es
u( x ) =
a i
/
3.......(
7)

Ejemplo de 4.3.7 (pág. (p g. 26)
El coeficiente de expansión expansi n α del cobre
puro a 20 °C es 16,52 x 10 -6 6 °C-1 y el
error en este valor no debe exceder
0,40 x 10 -6 6 °C-1 a= 0,40 x 10 -6 6 °C-1 u( α)
− 6 −1
= a / 3 = 0,
23x10
° C

Ejemplos
Caso de límites l mites No simétricos: sim tricos:
u i
( ) ( ) / + − − = a a x
12..........
.( 8')

Distribución Distribuci n trapezoidal:
Base Inferior= a + -a-=2a =2a
Base Superior=2aβ Superior=2a con 0 ≤ β ≤ 1
Si β = 0 se tiene una distribución
distribuci n
triangular
Si β = 1 se tiene una distribución
distribuci n
rectangular
u( x)
=
a i
( 1
+ β
2
) / 6......(
9.
a
')

CONVOLUCION DE
DISTRIBUCIONES
La distribución distribuci n trapezoidal es
equivalente a la convolución
convoluci
(combinación) (combinaci n) de dos distribuciones
rectangulares de semianchos
a1=a(1+ =a(1+β)/2 )/2 ; a 2=a(1 =a(1-β)/2 )/2
La varianza es u 2 =a 2 =a1
/3 + a 2 a2
/3 =a 2 (1+
β2 )/6

La distribución
distribuci n convolucionada puede
interpretarse como una distribución
distribuci n
rectangular de semiancho a1 que tiene
ella misma una incertidumbre
representada por la distribución
distribuci n
rectangular de semiancho a2 y modela
el hecho de que los límites l mites de la Xi no
son exactamente conocidos
Aún n si a 2 es tan grande como el 30%
de a 1 , u excede
, u excede a / 3
en no más del 5 % .
1

La comparación comparaci n de varianzas de las
distribuciones normal, rectangular y
triangular indica que sus magnitudes
son sorprendentemente similares a
pesar de provenir de distribuciones con
justificaciones notablemente diferentes

COMPARACION DE
DISTRIBUCIONES
D. Trapezoidal u=60,6% a 1 ;(a 1=30 =30%a %a2) D. Rectangular u=57,7% a (a:semiancho
( a:semiancho)
D.Triangular u=40,8% a (a:semiancho
( a:semiancho)
D.Normal u=38,76%a
u=38,76%a
(a=2,58σ; (a=2,58 ; 99%)
Las incertidumbres no son demasiado
diferentes a pesar de provenir de
distribuciones muy diferentes .

Hay que prestar importancia al hecho
de no contar doblemente una
componente de incertidumbre

ILUSTRACION GRAFICA DE
EVALUAR INCERTIDUMBRES
GUM : Figura 1 ; Tabla 1
GUM : Figuras 2a ; 2b

Distribución Distribuci n Normal
Expectación: Expectaci n: 100,14 °C u( u(tt¯¯ )=0,33°C )=0,33
Distribución Distribuci n rectangular:
rectangular
Expectación: Expectaci n: 100 °C u( u(tt¯¯ )=2,3 °C
Distribución Distribuci n triangular:
triangular
Expectación: Expectaci n: 100 °C u( u(tt¯¯ )=1,6 °C

También Tambi n es posible determinar
directamente la contribución contribuci n combinada
de varias fuentes usando datos
anteriores, por ejemplo de estudios de
Validación,de
Validaci n,de tests de proficiencia de
laboratorios ,de control de calidad o de
aaseguramiento metrológico
metrol gico

Para fuentes de incertidumbre no
cubiertas adecuadamente debe
buscarse información informaci n adicional en la
biliografía biliograf u otras fuentes (internet ( internet, ,
papers, papers,
certificados , especificaciones,
handbooks, handbooks,
...)
En el caso extremo puede ser necesario
planificar experimentos para obtener los
datos adicionales

5. DETERMINANDO uc MAGNITUDES DE ENTRADA X NO
i
CORRELACIONADAS
y = f (x 1 ;x 2 ;……… ………;x ;xN )
La uc(y (y) ) depende de las incertidumbres
u(x i) ) de cada uno de los estimados de
entrada . Cada u(x i) ) es una
incertidumbre estándar est ndar evaluada como
se describe en 4.2 para el Tipo A ó
como se describe en 4.3 para el Tipo B

La uc(y (y) depende también tambi n de qué qu tanto
influye xi sobre y . Por ejemplo si xi aparece elevada a la cuarta potencia en la
función funci n f influirá influir muchísimo much simo más m s que si solo
estuviera elevada a la primera potencia .
Qué Qu tanto influye xi sobre y está est dado por
los llamados coeficientes de sensibilidad ci .

Matemáticamente
Matem ticamente ci se evalúa eval a
tomando la derivada parcial de la
función funci n f respecto de xi :
c
i
=
∂
∂
f
x
i

LEY DE PROPAGACION DE LA
INCERTIDUMBRE
Luego se suma cuadráticamente
cuadr ticamente todas
estas componentes según seg n esta Ley:
u
c
2
c
N
2
( y)
u
2
=
( x
N
c
2
1
u
2
( x
En forma de sumatoria :
u
2
1
)
+
c
2
2
u
) * * * ( Ecuacion
N
2
2
( x
2
10 )
=∑
⎛ ∂f
⎞
( )
2
c y ⎜ ⎟ u ( x )......... ( 10)
⎜
i
x ⎟
i 1 ⎝∂
=
i ⎠
)
+
...

La uc(y (y) es una desviación desviaci n estándar est ndar
combinada que caracteriza (al nivel
estándar est ndar ~ 68,3%) la dispersión dispersi n de los
valores que puede atribuirse al
mensurando y de acuerdo a nuestros
mejores conocimientos

Matemáticamente Matem ticamente puede verse que esta
Ley está est basada en una expansión expansi n de
primer orden de la función funci n f en una
serie de Taylor alrededor de f evaluada
en cada uno de sus estimadores de
entrada xi Si la no linearidad de f es significativa
puede ser necesario añadir a adir términos t rminos de
mayor orden en la expansión expansi n . El
ejemplo H.1 trata esta situación situaci n .

EJEMPLOS DE CALCULOS DE
DERIVADAS PARCIALES (5.1.3)
Si f es sólo s lo sumas (o restas) lineales
u
+
y=β y= 1x1+ + β2x2 +….+ .+ βNxN donde los βi son coeficientes constantes
,entonces:
c
2
β
(
N
y
2
)
u
=
2
(
β
x
2
1
N
u
)
2
(
x
1
)
+
β
2
2
u
2
(
x
2
)
+
...

Si f es sólo s lo productos (o
divisiones) con potencias
Si y= c x 1 p1 x2 p2 ….. ..xN pN donde c es
una constante y las pi son las
potencias(números
potencias(n meros constantes) a las
que se eleva cada xi entonces :

)
12
.
*(
*
)
(
.......
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
Ec
x
x
u
p
x
x
u
p
x
x
u
p
y
y
u
N
N
N
c
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

Puede hacerse también tambi n una
transformación transformaci n logarítmica logar tmica que lineariza
exactamente la función funci n f
z= ln y ; wi= = ln xi Resulta :
z = ln c + p 1 ln w1 +….+ .+pN ln wN

5.2 Magnitudes de entrada
Correlacionadas
Si las magnitudes de entrada Xi están est n
correlacionadas (y para verificarlo
existen tests de correlación) correlaci n) a la
fórmula rmula vista para el caso de
magnitudes no correlacionas se debe
añadir adir términos t rminos que representen esta
correlación
correlaci

La covarianza asociada entre Xi , Xj se
denota por u(x i , xj ) y se estima de la
siguiente manera:
Se efectúan efect an n pares de mediciones
simultáneas simult neas de Xi , Xj bajo las mismas
condiciones,obteniéndose
condiciones,obteni ndose como
promedios los valores xi xj

El estimador de u(x i ,xj ) se denota
como s(x i ,xj ) y se calcula según seg n :
n 1
s(
xi
, x j ) =
∑ n(
n −1)
k =
( Ecuación 17)
1
( X
i,
k
−
x
i
)( X
j,
k
−
x
j
)

Ley de Propagación
Propagaci
Magnitudes Correlacionadas
u
2
c
N
2
−
(
1
y
)
N
∑ ∑
=
i = 1 j = i + 1
c
i
N
∑
i
=
c
1
j
u
c
i
(
2
x
u
i
,
2
(
x
x
j
i
)
)
+

La covarianza asociada con xi , xj está est
relacionada con las incertidumbres u(x i) ) u(x j )
por medio del coeficiente de correlación correlaci n
r(x i,x ,xj) ) según seg n :
u ( x , x ) =
r(
x , x ) u(
x ) u(
x
i j i j i j
Siempre ocurre que :-1 : 1 ≤ r(x i,x ,xj ) ≤ +1
Si Xi Xj son independientes entonces
r(x i,x ,xj ) = 0
EJEMPLOS
)......( 14)

Puede haber correlación correlaci n entre dos
magnitudes de entrada si se usa el
mismo instrumento de medición medici n , el
mismo patrón patr n físico f sico o datos de
referencia comunes.
Si la correlación correlaci n existe y es significativa
obviamente no puede ignorarse.

6. DETERMINANDO LA
INCERTIDUMBRE EXPANDIDA U
Muchas aplicaciones industriales,de salud,
seguridad y/o de intercambio comercial
requieren que se de una medida de
incertidumbre que defina un intervalo
alrededor del resultado de medición medici n que se
espera abarque una fracción fracci n suficientemente
grande de la distribución distribuci n de valores que se
puede atribuir razonablemente al
mensurando. Define un intervalo con un nivel
de confianza suficientemente alto .

La medida de incertidumbre que cumple
estos requisitos es llamada
Incertidumbre Expandida denotada
como U
U se obtiene de uc(y (y) ) a través trav s del
factor de cobertura k según seg n :
U = k uc(y (y) )

El resultado de la medición medici n se expresa
entonces como :
Y= y ± U que se
interpreta diciendo que :
El mejor estimado de Y es y
El intervalo y-U y U hasta y+U abarca una
fracción fracci n suficientemente grande de los
valores que razonablemente pueden
atribuirse a Y

Esta fracción fracci n suficientemente grande se
denota como p p y se le llama la
probabilidad de cobertura o “Nivel Nivel de
Confianza” Confianza del intervalo .
Debe reconocerse que muchas veces el
valor de p p es aproximado debido al
limitado conocimiento que se tiene de la
distribución distribuci n de probabilidad de Y y al
valor mismo de uc(y (y)
(incertidumbre de la incertidumbre)

Escogiendo un valor para k
El valor de k depende del valor que se
escoge para pp . Generalmente está est en el
rango de 2 a 3 .
Si la distribución distribuci n de probabilidad de Y es
aproximadamente normal y los grados
efectivos de libertad son grandes muchas
veces se puede asumir que k=2 =2 corresponde
a pp= = 95 % y que k=3 =3 corresponde a 99%

Muchas veces ocurre que:
Hay un número n mero significativo de Xi que tienen
distribuciones de probabilidad
razonablemente conocidas (normales o
rectangulares)
Las u (x ( i) ) contribuyen en cantidades
comparables a uc(y (y)
La aproximación aproximaci n lineal pedida por la Ley de
propagación propagaci n de la Incertidumbre es adecuada

La uc(y (y) ) es razonablemente pequeña peque a y
los grados efectivos de libertad son
altos ,digamos mayores a 10
ENTONCES PUEDE ASUMIRSE QUE
La distribución distribuci n de uc(y (y) ) es casi normal y
puesto que prácticamente pr cticamente no es posible
distinguir entre intervalos que difieren
en 1% ó 2% en el valor de pp

BAJO ESTAS
CIRCUNSTANCIAS:
Se puede asumir que con k = 2 se
tiene un nivel de confianza de
aproximadamente 95% y que con
k = 3 se tiene un nivel de confianza de
aproximadamente 99%

CASO DE UNA COMPONENTE
DOMINANTE RECTANGULAR
Sea u 2 u1
(y) el término t rmino rectangular
dominante ; u 2
R (y) la suma de las
varianzas del resto de componentes.
Si uR(y (y)/ )/ u 1(y) (y) ≤ 30% la convolución
convoluci
de las distribuciones de todas las
componentes produce una distribución
distribuci n
de probabilidad final esencialmente
rectangular .

Bajo estas condiciones:
El factor de cobertura k(p) k(p que
depende del nivel de confianza p que
se elige está est dado por :
k ( p)
=
p
3
Por ejemplo si p=95 % entonces k(p) k(p)
vale 1,65 y para p= 99% k(p) k(p)
vale
1,71

Caso de dos distribuciones
rectangulares dominantes
Sean u 2 u1
(y) ; u 2 u2
(y) las componentes
rectangulares dominantes . Su suma es
u 2
1 (y) + u 2 u2
(y)= u 2 u0
(y)
Si uR(y (y)/ )/uo(y (y) ) es no mayor de 30% la
convolución convoluci de estas dos distribuciones
(que da una distr. Trapezoidal) es la
que da la forma esencial de la
convolución convoluci de todas las componentes.

Bajo estas condiciones:
El trapezoide tiene una base mayor
a=a 1+a +a2 2 y una base menor
b=| a 1-a2 2 |= a β
donde a 1 ; a 2 son los semianchos de
las dos distribuciones rectangulares
β = b/a es el parámetro par metro de borde del
trapezoide

Si β

7. REPORTANDO LA
INCERTIDUMBRE
Es deseable que se dé d toda la información
informaci n
necesaria para que pueda hacerse una
reevaluación reevaluaci n completa de toda la medición. medici n.
Si se hace referencia a otros documentos o
especificaciones es importante mantenerlos
actualizados para que seamos consistentes
con los procedimientos actuales

DEBERIA INDICARSE:
El procedimiento para calcular y ,
uc(y (y) a partir de los datos observados
Las componentes de incertidumbre
consideradas y cómo c mo fueron evaluadas
Las correcciones y constantes usadas
en el análisis an lisis y sus fuentes

TEST :
Se ha dado la información informaci n suficiente, de
una manera suficientemente clara ,de
modo que el resultado puede
actualizarse si se dispusiera de nueva
información informaci n o datos en el futuro ?

Reportando U
Describir completamente cómo c mo se define el
mensurando Y
Reportar el resultado de la medición medici n como:
Y = y ± U dando las unidades usadas
Si es apropiado dar U / /y/ la incertidumbre
expandida relativa
Especificar el valor de k
indicar el valor de p p y cómo c mo fue
determinado

Si es apropiado dar también: tambi n:
El valor de cada xi , su asociada u(x i) ) y
cómo mo fueron determinadas .
Las covarianzas y/o los coeficientes de
correlación correlaci n estimados
νi para cada i y cómo c mo fue obtenido .
La función funci n f y los coeficientes de
sensitividad ci = δ
δf/δx i

EJEMPLO
Se reporta la masa ms de una pesa patrón patr n
de 100 g de valor nominal :
ms= = 100,021 47 g ± 0,000 79 g donde
el valor que sigue al símbolo s mbolo ± es la
incertidumbre expandida U calculada
con un factor de cobertura k = 2 para
un nivel de confianza de
aproximadamente 95 % con νeff eff = 25
grados de libertad

El valor numérico num rico de U no debe tener
dígitos gitos excesivos . Usualmente es
suficiente dar dos o tres dígitos d gitos
significativos

Cumplimiento contra Límites L mites

Límite mite Superior L :Hay 3
casos
1) y - U > L Claro incumplimiento
2) y + U ≤ L Claro cumplimiento
3) y + U > L ó y - U ≤ L
Es incierto el cumplimiento . Debe
revisarse los datos ,repetir el ensayo y
tratar de disminuir el valor de U
Para un límite l mite inferior se aplican
criterios análogos an logos .

EJEMPLOS

GRACIAS POR SU ATENCION !