Física Estadística No Lineal y Física de Coloides e Interfases

Simposio de
Física Estadística No Lineal y
Física de Coloides e Interfases

XXXII Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de Física
Dynamics of suspended particles diffusing
through a narrow channel
L . Almenar Egea 1,2 , M . Rauscher 1,2 and S . Dietrich 1,2
1 Max Planck Institute for Metals Research, 70569 Stuttgart, Germany; almenar@mf.mpg.de.
2 Institute for Theoretical and Applied Physics, University of Stuttgart, 70569 Stuttgart, Germany.
Brownian motion in confined geometries has received considerable attention in the last
century. The transport of suspended particles within microfluidic and nanofluidic channels is
of central importance to many biologically and industrially relevant processes.
Suspended particles interact with other particles or with container walls in many ways.
Most important are direct interactions, hydrodynamics interactions and electrical interactions.
We are mainly interested in the influence of direct and hydrodynamic interaction which
plays a major role in the transport of suspensions through nano-channels in the presence of
Poisseuille flow. With hydrodynamic chromatography as an application in mind we aim for a
better understanding of these transport processes.
We focus first on steady state situations and we obtain, both analytically and numerically,
the correlation function and the size-dependent throughput of the particles using a finite element
method.
We observe that the flux changes the distribution of the particles across the channel. In
equilibrium the small particles are concentrated at the channel wall and the big particles are
almost homogeneously distributed across the channel. The numerical solution in equilibrium
give good agreement with the analytically one. For strong flow, we observe that the large
particle moves towards the centre of the channel and the small particle is pushed towards the
wall.
397

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Simposio de Física Estadística No Lineal y Física de Coloides e Interfases
Comparison between 2D and 3D Transport in ITER
using a Citizen Supercomputer
A . Bustos 1,5 , F . Castejón 1,5 , L . A . Fernández 2,5 , J . Garcia 3 ,
V . Martín-Mayor 2,5 , A . Tarancón 4,5 y J . L . Velasco 4,5
1 National Fusion Laboratory – Asocaición Euratom-CIEMAT, Madrid, Spain.
2 Complutense University, Madrid, Spain.
3 CEA, IRFM, F-13108 Saint-Paul-lez-Durance, France.
4 Zaragoza University, Zaragoza, Spain.
5 Inst. for Biocomputation and Physics of the Complex Systems (BIFI), Zaragoza, Spain.
The Neoclassical collisional transport in a tokamak plasma is much more reduced than in
a stellarator due to the fact that the tokamak geometry is much more simple. The geometry in
these latter devices are totally 3D with a large variety of magnetic wells that make particles be
trapped and drift in the perpendicular direction, thus escaping form the plasma. In an ideal
tokamak, the magnetic configuration is two dimensional (toroidal symmetry is assumed) and
the particle trajectories are much more regular. The only ripple is the poloidal one, due to the
fact that the magnetic field varies like 1/R, being R the major radius of the tokamak in cylindrical
coordinates. Most of the literature concerning ITER transport considers axisymmetry and
assumes that ITER tokamak is 2D. Nevertheless, it is well known that ITER will have a small
magnetic ripple due the real toroidal separation of the toroidal field coils: in fact, these field
coils are designed to leave room to introduce different Test Blanket Modules (TBMs). Beyond
this fact, the ripple will depend strongly on the nature of the TBMs. The nature of those pieces
and especially the material that is used for building them (lead, lithium, steel, etc…) are basic
elements to modify the ITER ripple, and hence the size of the neoclassical transport.
In this work we perform several simulations of the collisional ion transport in ITER, comparing
the results obtained in 2D equilibrium [1] with the ones of considering different magnetic
ripples. The ripple is included as a small perturbation in the 2D equilibrium. In order
to estimate the collisional ion transport properties, we use the orbit code ISDEP (Integrator
of Stochastic Differential Equations in Plasmas) [2] that solves neoclassical transport using
the equivalence between the linear Fokker-Planck and Langevin equations. ISDEP solves the
guiding centre equations of the ions and considers ion-ion and ion-electron collisions and
the electric field that we take to be caused by diamagnetism, hence disregarding other possible
effects. Although ISDEP was originally designed for Stellarators, it works perfectly in 3D
tokamaks with minor modifications. ISDEP solves the transport integrating the trajectories of
test particles in a 5D phase space. The statistical analysis of many test particles allows us the
measurements of different plasma parameters. In our case, especial attention is paid to the
plasma toroidal rotation, since it is likely the most perturbed magnitude due to the effect of
the ripple. The toroidal rotation is a basic quantity that governs important plasma properties
like the transition from L mode (low confinement regime) to the H mode (High confinement
regime, with confinement times twice the ones registered in L mode). The results show clearly
a strong increase of toroidal viscosity with ripple, which will have influence on the H mode
transition threshold.
ISDEP is a full-f Monte Carlo code whose main advantage is the absence of approximations
on the orbit size, the energy conservation or the diffusive nature of transport. Therefore,
we can apply it in any collision regime, included the banana or potato regimes in which the
standard neoclassical methods do not work properly. ISDEP also works in the presence of

XXXII Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de Física
intense electric fields that would violate the kinetic energy conservation and, due to these
formers facts, non-diffusive effects can be found [3].
ISDEP is perfectly suited to run in distributed computing architectures like grids and
desktop grids. The computing power for this work is provided by Ibercivis [4], a recently
developed volunteer computing platform based on BOINC. Ibercivis is deployed mainly in
Spain and its hardware is based in two distant institutes: the Institute of Biocomputation
and Physics of Complex Systems (BIFI), in Zaragoza (in the North of Spain) and the Centro
Extremeño de Tecnologías Avanzadas (CETA) in Trujillo (Cáceres), in the South of Spain. A
dedicated middleware has been developed to launch the works that run in Ibercivis.
Figura 1. Plot of 5000 ion trajectories in the 3D tokamak ITER.
References
[1] Basiuk V. et al, Nuclear Fusion 43 822 (2003).
[2] Castejón F. et al. Plasma. Phys. Control. Fusion 49 753 (2007).
[3] Velasco J. L., Castejón F., Tarancón A. Physics of Plasmas 16 (2009) 052303.
[4] Benito D. et al, Proceedings for 2008 Ibergrid Meeting (http://www.ibercivis.es).
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Simposio de Física Estadística No Lineal y Física de Coloides e Interfases
Estructuras fractales y multifractales en un modelo
sencillo de célula de combustible
A . Gómez y A . Córdoba
Departamento de Física de la Materia Condensada, Universidad de Sevilla, Apartado 1065, 41080 Sevilla;
agomezyl@us.es, cordoba@us.es.
Los procesos que tienen lugar esencialmente en una celda de combustible de membrana
de intercambio protónico son los siguientes: a) En el ánodo se adsorben moléculas de hidrógeno
H 2 , que se disocian y forman iones de hidrógeno H + . b) Los iones de hidrógeno H + pasan al
cátodo por la membrana de intercambio protónico. c) En el cátodo se adsorben moléculas de
oxígeno O 2 , que se disocian y los O = pueden reaccionar con los H + que han llegado al cátodo,
dando lugar a agua H 2 O, que se desorbe. Los procesos a) y c) se hacen posibles por la existencia
de un catalizador, cuya acción es esencial para que tenga lugar el proceso. La reacción
total es simplemente 2H 2 + O 2 → 2H 2 O. Los tres proceso descritos son importantes y se han
construido diversos modelos, haciendo mayor o menor énfasis en los procesos de reacción o
en el de transporte. Aquí se consideran los tres, aunque centrando la atención principalmente
en las etapas a) y c).
Se considera un sistema constituido por dos placas paralelas,
s 1 y s 2 , separadas por un medio de espesor L. En
s 1 tiene lugar la adsorción disociativa de H 2 catalizada por
platino y en s 2 la adsorción disociativa de O 2 y reacción con
los iones H + para formar agua. El paso de los protones de
s 1 a s 2 tiene lugar a través del medio que las separa. Véase
figura 1. El proceso total se descompone en hasta diez
procesos elementales pi), caracterizados por sus correspondientes
constantes de avance W i : p1) adsorción disociativa
de H 2 en s 1 ; p2) difusión de H + de s1 a s 2 ; p3) difusión de H +
en s1 a una celda en s 2 ocupada por un O = y formación de un OH - en s 2 ; p4) difusión de H + de
s1 a un sitio de s 2 ocupado por un OH - con formación y desorción de H 2 O; p5) formación y
desorción de H 2 O a partir de un H + y un OH - vecinos en s 2 ; p6) formación y desorción de H 2 O
a partir de dos H + y un O = vecinos en s 2 ; p7) adsorción disociativa de O 2 en dos celdas vacías
contiguas de s 2 ; p8) adsorción disociativa de O 2 junto a
un H + en s 2 y formación de un OH - ; p9) adsorción disociativa
de O 2 sobre dos H + contiguos en s 2 y formación
de dos OH - ; p10) formación y desorción de H 2 O a partir
de dos OH - contiguos en s 2 , dejando un O = en s 2 .
Se ha llevado a cabo una simulación de Monte Carlo
para diferentes valores de los parámetros. Se ha considerado
un retículo tridimensional en el que cada superficie
s 1 y s 2 está constituida por un retículo cuadrado
con 1025 x 1025 celdas y el espesor de la membrana se
ha considerado para los tres valores de L, L = 20, 60 y 90
sitios. Los valores de avance de los procesos se han es-
cogido en la forma: W 3 =W 2 W 3 ’, W 4 =W 2 W 4 ’ y W 8 =W 7 W 3 ’;
los procesos p6) y p9) tienen una probabilidad baja, por
lo que en principio se ha tomado W 6 =W 9 =0. Como va-
Figura 1. Esquema del modelo.
Figura 2. Velocidad de reacción para
los diferentes procesos y total.

lor de referencia se considera W 1 =1, lo que
equivale a trabajar con valores W i /W 1 para
el avance de los procesos. De acuerdo con
la bibliografía, a una temperatura típica de
trabajo de la célula, los valores relativos a
los procesos de reacción se han fijado como
W 3 ’=2, W 4 ’=W 5 =0.12, W 10 =0.0068. Se considera
como variable W 7 asumiendo que se varía
el aporte de oxígeno para un aporte de hidrógeno
dado. El transporte de H + a través
de la membrana es un proceso complejo.
De modo simplificado se considera un coeficiente
de paso de s1 a s 2 , W 2 , que toma
valores en un rango amplio; esto equivale a
considerar un coeficiente de transporte eficaz,
cuyo valor real podría fijarse de manera
empírica para distintos montajes de membranas.
En primer lugar, una simulación del
paso de los protones H + de s 1 a s 2 mediante
un camino aleatorio resulta en un tiempo
de paso proporcional a L, como era de
esperar. Se han llevado a cabo diferentes simulaciones
para varios valores de W 7 en el
rango [0.1 - 10]. Los resultados son cualitativamente
similares, aunque las diferencias
cuantitativas pueden ser importantes. Por
brevedad, aquí nos referiremos sólo al caso
W 7 =1, que corresponde a la mayor eficiencia
del proceso. En las figuras 2 y 3 puede verse
la velocidad de reacción para diferentes valores
de W 2 y las configuraciones de s 1 y s 2
para el estado de mayor velocidad de reacción.
Igualmente, en las figuras 4 y 5 puede
apreciarse el carácter fractal y multifractal
de estas configuraciones que presentan el
comportamiento típico [1]. Se han realizado
otras simulaciones que por cuestión de espacio
no se exponen aquí.
Este trabajo está parcialmente financiado
por los proyectos P06-TIC-02025 de la Junta
de Andalucía y FIS2008-04120 del MCI.
Referencias
XXXII Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de Física
[1] T. Vicsek, Fractal Growth Phenomena, World Scientific, Singapore, 1992.
Figura 3. Configuraciones de s 1 (a) y s 2 (b) en el
estado de máximo valor de reacción: H + , azul; O = ,
verde; OH - , naranja; sitios vacíos, blanco.
Figura 4. Regresión por recuento de cajas para determinación
de dimensión fractal: s 1 (izquierda), s 2
(derecha).
Figura 5. Velocidad de reacción para los diferentes
procesos y total.
401

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Simposio de Física Estadística No Lineal y Física de Coloides e Interfases
Topology of flows in turbulent toroidal plasmas
and its impact on transport
Iván Calvo 1 , Benjamín A . Carreras 2 , Luis García 2 ,
Irene Llerena 3 and Guillermo Sánchez Burillo 1
1 Laboratorio Nacional de Fusión, Asociación EURATOM-CIEMAT, 28040 Madrid.
2 Departamento de Física, Universidad Carlos III de Madrid, 28911 Leganés, Madrid.
3 Departament d’Àlgebra i Geometria, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona.
Visualization of flow structures plays an important role in understanding the dynamics of
turbulence and the induced transport. However, in the case of toroidally confined turbulent
plasmas, the structure of flows can be extremely complicated and a quantitative approach to
their topological characterization is desirable. In this conference contribution we will present
a systematic computational approach to the problem [1]. We will introduce the relevant mathematical
concepts and numerical methods through the example of resistive pressure-gradient-driven
turbulence, although their scope is much broader.
In resistive pressure-gradientdriven
turbulence and well below the
threshold of fully developed turbulence,
global structures emerge that
possess a very intricate topology (see
Fig. 1 and the explanations below).
The structure of the electrostatic potential
isosurfaces can be described
as we move in the toroidal direction
around the torus, following the magnetic
field lines. At the singular magnetic
surfaces, vortices emerge with
a structure which is consistent with
the local twist of the magnetic field
lines. As the outermost part of torus
(the low-field side) is approached,
filamentary vortices from different
singular surfaces may merge and
form extended radial streamers. Ra-
dial transport takes place predominantly
within these streamers, since
particles can freely travel along them
in the radial direction. The nature of
radial transport within these streamers
characterizes the confinement
properties of the system.
Figura 1. Contour plot of the electrostatic potential in a toroidal
cut. Streamers are formed mainly on the right-hand
side, whereas they are broken on the left-hand side.
As we continue to follow the lines toroidally, the vortices move back into the high-field
side and the streamers break up. Each particle will then remain trapped within one of the filaments
which emerge from this process. Poloidal (and toroidal) transport then follows, as the
population of particles spreads out poloidally due to the free (ballistic) motion of each particle
along the radially localized filament which contains it. Its nature thus determines how effi-

XXXII Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de Física
ciently gradients are equilibrated on any magnetic surface. Eventually, some of the filaments
will reach again the low-field side and merge to produce a new radial streamer, enabling
again radial transport until the structure goes back in to the high-field side, breaks again up
into new filaments, and ballistic poloidal spreading ensues again, and so on.
When these structures remain in the plasma in quasi-steady state, they actually induce
pseudochaotic behavior and anomalous diffusion of tracer particles both in the radial and
poloidal directions [2, 3]. In fact, there seems to exist a relation between the topology of the
flows and the nature of tracer particle transport. A good understanding of that relation is our
main motivation and long-term objective.
Our technique to characterize the topology of the flows consists in computing certain
topological invariants, called Betti numbers, of the electrostatic potential isosurfaces. These
numbers give relevant and insightful information about the topology of flows. For structures
in R 3 there are only three non-zero Betti numbers, that we denote by b 0 , b 1 and b 2 . Intuitively, b 0
is the number of arc-connected components of the structure, b 1 is the number of independent
non-contractible loops, and b 2 is the number of cavities. The numerical tools for computing
the Betti numbers [4] and the results of their application to pressure-gradient-driven turbulence
will be discussed. Finally, we will report recent progress on the use of these methods to
identify precisely the structures which are relevant for transport.
References
[1] B. A. Carreras, I. Llerena, L. Garcia, and I. Calvo, Phys. Rev. E 78, 066402 (2008).
[2] G. M. Zaslavsky, B. A. Carreras, V. E. Lynch, L. Garcia, and M. Edelman, Phys. Rev. E 72, 026227
(2005).
[3] I. Calvo, L. Garcia, B. A. Carreras, R. Sanchez, and B. Ph. van Milligen, Phys. Plasmas 15, 042302
(2008).
[4] http://chomp.rutgers.edu/.
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Simposio de Física Estadística No Lineal y Física de Coloides e Interfases
Efecto de las perturbaciones periódicas en el comportamiento
oscilatorio de la reacción NO + H 2 sobre Pt(100)
M . C . Lemos, A . Córdoba y J . A . de la Torre
Departamento de Física de la Materia Condensada, Universidad de Sevilla, Apartado 1065; 41080 Sevilla;
lemos@us.es.
El modelo de campo medio propuesto por Makeev y Nieuwenhuys [1] simula el comportamiento
oscilatorio observado experimentalmente en la reacción NO + H sobre la superficie
2
Pt(100). El modelo reproduce bastante bien las oscilaciones cinéticas y la transición al caos a
través de la ruta de Feigenbaum, ésto es, mediante bifurcaciones que implican duplicaciones
de periodo. A partir del modelo, mostramos la respuesta de las oscilaciones naturales de periodo-1
(P1, un máximo) ante perturbaciones periódicas superpuestas a la presión parcial de
uno de los reactantes. El modelo perturbado reproduce los estados periódicos encontrados
en el modelo autónomo, así como la aparición de caos a través de la ruta de la intermitencia,
fenómeno que muestra en la misma evolución temporal alternancia de oscilaciones periódicas
con intervalos de oscilaciones desordenadas más o menos cortos. Sabemos que la aparición
de intermitencia es posible en sistemas dinámicos que presentan escenario de Feigenbaum.
Además de los estados periódicos observados en el modelo autónomo, el modelo perturbado
muestra oscilaciones de periodo-3 (P3, tres máximos) no observadas allí a los mismos valores
de temperatura y presiones parciales y sí descubiertas experimentalmente. La perturbación
periódica de la cinética de la reacción reproduce los resultados del modelo autónomo y constituye
una alternativa en los estudios de reacciones catalíticas heterogéneas, sobre todo ante
posibles limitaciones experimentales.
El modelo que simula la reducción catalítica de NO por H sobre la superficie Pt(100) se
2
basa en la aproximación estándar de campo medio y consiste en un conjunto de seis ecuaciones
acopladas no lineales que describe la evolución temporal de las densidades de partículas
adsorbidas NO, H, N, O, NH y NH . Para la resolución de este sistema de ecuaciones usamos
3
el método de Runge-Kutta.
Elegimos un estado del sistema autónomo que exhibe oscilaciones P1 a la frecuencia natural
f y pretendemos analizar la respuesta de este estado ante perturbaciones externas. Para
0
ello, le aplicamos una perturbación en la presión parcial del gas H , usando una función sin-
2
)
usoidal de una única frecuencia, pH= pH81 + Asen^2rfthB, donde A y f son la amplitud
2
2
normalizada y la frecuencia de la perturbación, respectivamente. La variación sistemática de
A y f nos permitirá obtener el diagrama de fases del sistema perturbado que mostrará los
estados dinámicos observados y sus posibles puntos de bifurcación.
Para simplificar nuestros cálculos escogemos la densidad de NO, n , como única variable
NO
de salida. Prescindimos de los primeros puntos para eliminar el régimen transitorio y, con
los restantes, calculamos el promedio temporal de n y su fluctuación. El análisis de resul-
NO
tados lo hacemos sobre la serie temporal de la fluctuación de n , obteniendo, entre otros, la
NO
transformada de Fourier, el mapa de Poincaré, el de máximos próximos y, en algunos casos, el
máximo exponente de Lyapunov para algunos de los estados caóticos observados.
El diagrama de fases cinético del modelo perturbado muestra una gran riqueza de comportamientos
oscilatorios. El número entero k representa la relación entre la frecuencia perturbante
y la frecuencia de salida, k = f/fs, y pueden observarse regiones donde k = 1,2,3 y 5
para altos valores de A, salvo un par de zonas caóticas incrustadas entre estos estados periódicos.
Sin embargo, por debajo de estas regiones el comportamiento es básicamente aperiódico.

XXXII Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de Física
Podemos observar estados periódicos aislados
(señalados por los dígitos. El símbolo
‘+’ indica estados con k +≥ 11), así como
pequeñas regiones periódicas: las elipses
roja, negra discontinua, verde y fucsia indican
k = 2,3,4,6, respectivamente. El rectángulo
para A = 0,05 indica regiones k = 1.
Por tanto, si la amplitud de la perturbación
es apreciable la respuesta del sistema perturbado
es prácticamente periódica. No
obstante, cuando disminuye la amplitud
de la perturbación, el régimen periódico
pierde su estabilidad y se vuelve caótico
debido a que el sistema tiene una tendencia
a oscilar con una frecuencia menor que
su frecuencia natural. También se observa
que en las zonas de oscilaciones periódicas
el sistema oscila con una frecuencia igual o
menor que la frecuencia perturbante.
Figura 1. Diagrama de fases del sistema perturbado.
Por último, queremos señalar que tanto
la forma de perturbar periódicamente
la reacción oscilatoria como los resultados que de ello se deducen son generales y pueden
ser aplicados a otro modelos que exhiban oscilaciones cinéticas. De hecho, utilizando el mismo
esquema de trabajo, anteriormente hemos perturbado armónicamente las reacciones
CO + O [2] y N O + H [3].
2 2 2
Este trabajo ha sido parcialmente financiado por los proyectos P06-TIC-02025 de la Junta
de Andalucía y FIS2008-04120 del Gobierno de España.
Referencias
[1] A. G. Makeev and B. E. Nieuwenhuys, J. Chem. Phys., 108, 3740 (1998).
[2] A. Córdoba, M. C. Lemos, and F. Jiménez-Morales, J. Chem. Phys., 124, 014707 (2006); Phys. Rev. E
74, 016208 (2006).
[3] M. C. Lemos and A. Córdoba, Catal. Lett., 121, 121 (2008).
405

Los circuitos lineales a trozos más simples que exhiben Caos con
dinámicas de Segundo y de Tercer orden. Estudio comparativo
P . Mareca y V . Alcober
Departamento de Física Aplicada. E.T.S.I. de Telecomunicación. Universidad Politécnica de Madrid. Avenida
Complutense s/n 28040 Madrid (Spain); mpmareca@fis.upm.es.
Los sistemas dinámicos caóticos, con aplicaciones en dispositivos mecánicos, ópticos, electrónicos
o en fluidos en régimen turbulento, proceden de ecuaciones diferenciales no lineales
de las que, en general, no disponemos de soluciones analíticas directas. Para su estudio y
análisis se hacen imprescindibles los métodos numéricos. Una implementación natural de los
sistemas dinámicos se consigue elaborando un modelo electrónico de los mismos y analizando
los circuitos correspondientes. Entre los diseños electrónicos utilizados para implementar
los sistemas dinámicos, los circuitos lineales a trozos (C.L.T.) son los más sencillos de realizar,
además de proporcionar señales caóticas robustas. Algunas de estas implementaciones sencillas
se deben a J.C. Sprott [1].
Las oscilaciones generadas por los C.L.T de órdenes dos y tres, como sus nombres indican,
obedecen a ecuaciones diferenciales lineales a trozos, de segundo y de tercer orden, respectivamente.
Este trabajo se centra en el C.L.T más básico, de segundo orden, y mostramos que la
señal generada es caótica. Esta información viene dada, en parte, por la dimensión de expansión
del atráctor caótico, el exponente máximo de Lyapunov, que debe ser positivo. La contracción
de este sistema disipativo de segundo orden se manifiesta como un salto muy brusco
asociado a un ciclo de histéresis, sin posibilidad de medirla directamente. Para poder estudiar
dicha contracción nos hemos basado en un sistema de tercer orden que cumple la condición
de que en un proceso de paso al límite, se consigue recuperar el sistema de segundo orden.
El nuevo sistema de orden tres así construido permite calcular los exponentes de Lyapunov
correspondientes a la expansión y a la contracción. Así se ha podido cuantificar la evolución
de la contracción que sufre el C.L.T. de tercer orden al tender al de segundo orden.
Figura 1. Proyecciones xz de los atráctores caóticos lineales a trozos: a) de segundo orden y b) de
tercer orden, (unidades en voltios).
El diferente comportamiento de los dos órdenes se puede apreciar cualitativamente comparando
los dos atráctores de la figura 1. En la figura 1 a) (segundo orden) se observa la gran
contracción en el salto de una superficie a la otra, y, en cambio, en la figura 1 b), (tercer orden)

XXXII Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de Física
la contracción en el salto es mucho mas suave. El exponente de Lyapunov negativo obtenido
para la figura 1 b, es mucho menor en valor absoluto. También se puede observar en dicha
figura que el C.L.T. de orden tres genera la misma familia de atráctores caóticos que el de
orden dos pero su complejidad es mayor. Este es uno de los problemas que plantea el sistema
básico de orden dos y que ha dado lugar en la literatura de Caos a poner en duda la posible
existencia de Caos en sus soluciones [2].
El estudio que presentamos nos permite, en primer lugar, justificar la existencia de Caos
en un sistema de orden dos. Por otro lado, hemos realizado una implementación electrónica
y numérica de los dos sistemas de forma sencilla y robusta que posibilita la comparación
entre los resultados obtenidos con procedimientos numéricos y experimentales. La implementación
electrónica se ha llevado a cabo con el código Pspice y la numérica se ha realizado
en código Fortran 77. Con el estudio comparativo de estos sistemas caóticos sencillos se ha
podido analizar mejor la dinámica caótica que presentan y responder a la pregunta: ¿cuál es
el menor orden de un sistema dinámico no lineal que exhibe caos ? En este trabajo, por tanto,
hemos confirmado que los sistemas dinámicos de segundo orden también pueden presentar
soluciones caóticas.
Referencias
[1] J.C. Sprott. Phys Rev. E 50 (2), 647-650 (1994).
[2] El Teorema de Poincaré-Bendixon afirma que cualquier solución de una ecuación diferencial confinada,
en dos dimensiones y en la convergencia, o bien tiende a un punto fijo atractivo o a un ciclo
límite (y por tanto, no genera caos), ver por ejemplo, J. Giné, Chaos, Solitons & Fractals 31 (5), 1118-
1134 (2007).
407

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Simposio de Física Estadística No Lineal y Física de Coloides e Interfases
Sincronización y Control de Caos en sistemas caóticos con
acoplamiento abierto y cerrado. Una aplicación NSM
V . Alcober 1 , P . Mareca 1 y F . Alhama 2
1 Departamento de Física Aplicada. E.T.S.I. de Telecomunicación. Universidad Politécnica de Madrid.
Avenida Complutense s/n 28040 Madrid (Spain); valcober@fis.upm.es.
2 E.T.S.I. Agrónomos (UPC), 30203 Cartagena, Murcia, España.
Desde el comienzo de los años 90 hay una gran actividad en el estudio de sistemas complejos
con la finalidad de analizar el comportamiento colectivo de redes de unidades acopladas
en una gran variedad de campos, desde la biología y la ecología [|] pasando por los
circuitos electrónicos [2] o los láseres de semiconductores [3]. Por ello, es de vital importancia
para la sincronización de sistemas acoplados conocer el rango y los límites de estabilidad del
proceso de sincronización.
En este trabajo analizamos dos esquemas de acoplamiento: uno abierto (esquema de acoplamiento
A), en el sentido de sistema conductor y sistema conducido, y otro cerrado, esquema
de acoplamiento B, en el que
los sistemas tienen un acoplamiento
mutuo [2]. Como oscilador test se ha
empleado el sistema de Lorenz [5],
siendo R = 28, β = 8/3 y σ = 10. Estudiamos
la estabilidad de la sincronización
de N osciladores acoplados (N#5) utilizando
un mo-delo electrónico simulado
en código Pspice. Para ello proponemos
el diseño de la dinámica de
los N sistemas acoplados utilizando el
método ‘Network Simulation Method’
(NSM). Mediante el NSM resolvemos
numéricamente un sis-tema de 3N
ecuaciones diferenciales de primer orden
(SED) no lineales realizando una
analogía electrónica para cada una de
las ecuaciones diferenciales e implementándola
como un subcircuito acoplado
en red [4]. La implementación
NSM se ha realizado tanto para el esquema
A como para el B.
En el acoplamiento abierto A analizamos
la sincronización de los osci-
Figura 1. Sincronización y control en el esquema A para
el sistema de Lorenz con N = 2 (a) obtención de los parámetros
R = 28 y beta = 8/3 del receptor con estabilidad
asintótica. (b) Las diferencias Δx, Δy, Δz (errores de sincronización).
ladores utilizando el método de la función de Lyapunov en un proceso de adaptación de los
parámetros del sistema conducido que está controlado por la propia sincronización. Se ha
utilizado como señal conductora la variable y (figuras 1(a) y (b)) [6]
En el acoplamiento cerrado B se analiza la sincronización mediante el método de Pecora y
Carroll [7]. Una convergencia de la sincronización del sistema acoplado B puede verse en las
figuras 2(a) y (b). En los dos tipos de acoplamiento la sincronización es estable asintóticamente,
haciendo tender los errores de sincronización a cero: Δx 60 Δy 60 Δz 60 cuando t6∞.

El modo de acoplamiento mutuo
es el que se aproxima mejor para representar
un comportamiento colectivo
como se observa si comparamos las
figuras 1 (b) y 2 (a). La sincronización,
en acoplamiento mutuo figura 2 (a),
es mucho mas eficaz que en la figura
1(b) (acoplamiento abierto) siendo la
sincronización más rápida y los errores
de sincronización mucho menores.
Sin embargo, si los parámetros de los
osciladores difieren en tan sólo un 1%,
podemos observar en la figura 2(b)
que sólo sincronizan parcialmente con
bastante error de sincro-nización, aunque
manteniéndose próximas las coordenadas
de los dos osciladores.
En este estudio hemos construido
dos tipos de sistemas acoplados, uno
abierto y otro cerrado y en ambos
casos se alcanza adecuadamente la
sincronización caótica. En el caso de
acoplamiento cerrado la convergencia
en la sincronización es óptima, más rápida
y con menor error de sincroniza-
XXXII Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de Física
ción que en acoplamiento abierto. Ambos esquemas de acoplamiento se han realizado con el
método NSM que resulta adecuado por su precisión y rapidez comparado con los métodos
numéricos convencionales.
Referencias
Figura 2. Sincronización en el esquema B para el sistema
de Lorenz con N = 2. Las diferencias Δx, Δy, Δz (errores
de sincronización) (a) parámetros iguales. (b) el parámetro
sigma difiere en un 1%.
[1] F.S.Vannucci, S. Boccaleti, Math. Biosci. Eng. 1, 49 (2004).
[2] R. Yamapi, S. Bocaletti, Phys. Lett. A 371, 48 (2007).
[3] R. Li, T. M. Erneux, Phys. Rev. A 49, 1301 (1994).
[4] F. Alhama, F. Campo and J. Zueco, Appl. Mat. Comput. 162, 103 (2005). P. Mareca, V. Alcober, F.
Alhama, CISTI 2009 (para ser publicado).
[5] J. Argyris, G. Faust, M. Haase, Texts on Comp. Phys., VII, N. H. ed. (1994).
[6] U. Partlitz, Phys. Rev. Lett. 76, 1232 (1996).
[7] L. M. Pecora, T. L. Carroll, Phys. Rev. Lett. 64, 821 (1990); X. L. Deng, H. B. Hung, Phys. Rev. E, 65,
055202 (2002).
409

410
Simposio de Física Estadística No Lineal y Física de Coloides e Interfases
Estimación del nivel de percolación de las redes
yihadistas en el Reino de España
J . J . Miralles Canals
Departamento de Física Aplicada, Universidad de Castilla-La Mancha, Escuela de Ingenieros Industriales,
02071 Albacete; juan.miralles@uclm.es.
En el último decenio, la comunidad de físicos ha abordado problemas sociales y políticos,
usando algunos conceptos y herramientas provenientes de la física estadística [1] [2] y de
otras áreas de las Ciencias Físicas, conformando un campo de conocimiento emergente denominado
Sociofísica. El origen de esta metodología de abordar problemas tradicionalmente
relacionados con la sociología y la política, desde el campo de la física, se encuentra en el trabajo
pionero del sociólogo y politólogo Robert Axelrod. En concreto, el uso de la percolación
en el tratamiento de actividades terroristas y de insurgencia, ha sido considerado a partir de
los trabajos seminales de Serge Galam [3-5]. El paradigma de la guerra de cuarta generación,
Four Generation Warfare (4GW) [6], subraya que en 4GW lo relevante es la conquista del
espacio social, el colapso del Estado-Nación desde la retaguardia, atacando por agentes no
estatales, capaces de destruir las redes de supervivencia y cohesión del mismo. Desde la perspectiva
4GW, las guerras del siglo XXI serán guerras donde los actores no estatales declararán
la guerra a los Estados-Nación y estos últimos podrán perderla. ¿Cómo podemos obtener un
modelo de las acciones de las redes yihadistas que nos permite comprender el fenómeno a
un nivel macro, dentro del contexto de 4GW? La respuesta que se propone a esta pregunta es
percolación. Siguiendo los trabajos de Galam, consideraremos un universo social, representado
por un “reticulado social”, de manera que cada celda o sitio del reticulado se encuentre
ocupada por un solo individuo-agente, y cada celda solo pueda estar en uno de dos estados
posibles, cerrado o abierto al paso de un nodo-agente yihadista. Las celdas en el estado cerrado
están ocupadas por individuos hostiles a la causa yihadista, mientras que las abiertas
están ocupadas por individuos que son simpatizantes pasivos con la causa de la yihad. Para
que un blanco potencial pueda ser accesible, desde un núcleo yihadista, debe estar conectado
por al menos un camino continuo de celdas abiertas al paso del memes de la yihad. Se definen
los simpatizantes pasivos de la causa yihadista como un caso particular de los simpatizantes
pasivos de una causa terrorista, definidos en los trabajos de Serge Galam. Se caracterizan por
una actitud individual pasiva ante las acciones yihadistas, asociada a su opinión personal e
individual. Los simpatizantes pasivos de la yihad pasan desapercibidos y la mayor parte de
los mismos rechaza en alguna medida los aspectos violentos de la acción yihadista, de manera
que sólo comparten, en parte la causa que justifica las acciones yihadistas. Las relaciones
entre los activistas con creencias fuertes y sus simpatizantes pasivos han sido exploradas a
través del uso de la teoría de percolación de enlaces, en el contexto de las ciencias sociales. El
alcance de las acciones de las redes de la yihad es proporcional al grado de permeabilidad del
contexto social en el cual sus nodos evolucionan y se desplazan. La permeabilidad social a la
yihad es el resultado de un proceso de agregación, de adhesión de los simpatizantes pasivos
de la causa yihadista. ¿Cómo podemos determinar el espacio físico y social de la percolación
yihadista? ¿Cuántos simpatizantes de la causa yihadista hay en el Reino de España? Podemos
aplicar el modelo de los anillos concéntricos Clarke [7], estimando los componentes de cada
anillo, a partir de los datos aportados por la UCIDE.

XXXII Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de Física
CA Simpatizantes p (10 -5 )
Cataluña 37111-93000 505-1265
Madrid 26160-65556 356-891
Andalucia 24529-61471 334-836
Valencia 17353-43486 236-591
Murcia 8384-21011 114-286
Canarias 7267-18210 99-248
Tabla 1. Espacio social y físico de la yihad por CC.AA.
En la Figura 1 se presentan las seis comunidades autónomas con la mayor densidad de simpatizantes
pasivos de la yihad (p). Si la densidad es menor que el umbral de percolación
(p < p ), la mayor parte del territorio está a salvo, con sólo una región acotada y desconectada
c
bajo la amenaza terrorista. Por el contrario tan pronto como la densidad sea más grande que
el umbral de percolación (p < p ), todo el territorio cae bajo la amenaza de la acción yihadista
c
¿Cómo podemos usar la percolación para prevenir acciones yihadistas? Si estamos en una
situación percolante (p < p ) se debe actuar sobre el espacio social para abandonar el escenario
c
percolante, es decir que como resultado de las acciones realizadas decrezca la densidad de
simpatizantes, disminuya p por debajo del umbral de percolación. Una manera alternativa de
contrarrestar la amenaza, consiste en actuar sobre el umbral de percolación sin llevar acabo
acciones directas sobre los sitios ocupados por los simpatizantes pasivos de la causa yihadista.
Estudios y simulaciones numéricas muestran que el umbral de percolación de una red
regular, esencialmente depende de dos parámetros independientes: la conectividad de la red,
denotada por q, o grado medio de la red, que nos mide el promedio de conexiones de cada
celda de la red con sus vecinos inmediatos, y la dimensión del espacio en el cual la red esta
encajada, denotado por d. El umbral de percolación viene dado por una formula universal,
denominada formula de Galam-Mauger, que lo determina en función de la conectividad y de
b
la dimensión según la siguiente expresión: Pc= a d - 1 q - 1
-
8^ h ^ hB
, donde a = 1.28668 y
b = 0.6160. La formula anterior puede predecir el valor del umbral de percolación para cualquier
red regular definida por sus valores de conectividad y dimensión. Suponemos que en
la dinámica social, la dimensión d sea la suma de la dimensión física d = 2, más la dimensión
F
memética d , d = d + d . La dimensión memética es la dimensión en que un individuo de la
M F M
red social se posiciona a si mismo mediante una serie de paradigmas culturales. Se obtiene
asignando un número entero que nos mida la cantidad de paradigmas culturales a los que
esta sujeto el individuo, y puede ser diferente para
cada individuo de la red. Se observa que disminuyendo
la dimensión memética, aumentamos el umbral de
percolación. Aumentar el umbral de percolación significa
reducir la probabilidad de que la densidad de
simpatizantes pasivos de la causa yihadista alcancen
el mismo, y por lo tanto significa reducir el espacio
físico accesible a los nodos de las redes de la yihad, limitando
su operatividad y por lo tanto alejándolo del Figura 2. Variación del umbral de per-
cluster percolante. Podemos realizar una estimación colación en función de la conectividad,
del nivel de percolación de las redes yihadistas en el para valores de q comprendidos entre 5
Reino de España, a fecha 2008. Tomando el valor más y 30, para tres valores de la dimensión,
alto de p por comunidad autónoma, podemos rea-
max d = 2 (sólido), d = 4 (trazos), y d = 10
lizar la gráfica del umbral de percolación en términos (punto-trazo).
de la conectividad, para una dimensión y p dados.
max
411

412
Simposio de Física Estadística No Lineal y Física de Coloides e Interfases
Figura 3. Relación entre el umbral de percolación y el valor más alto para la estimación de la densidad
de simpatizantes pasivos de la causa yihadista, por CCAA (España 2008), como función de la conectividad
q. A la izquierda d M = 10, a la derecha d M = 18.
A la luz de las gráficas de la Figura 3, observamos que hay valores de la conectividad y de
la dimensión memética los cuales son compatibles con un estado próximo a la percolación o
de percolación para las primeras cuatro CCAA de la Figura 2. Por otra parte observamos que
los valores de la conectividad compatibles con percolación son altos, incluso más altos que
el número de Dunbar [8], que nos mide el límite de individuos con los cuales un individuo
dado puede mantener relaciones sociales estables. No hay establecido un valor preciso para
el numero de Dunbar, pero un valor comúnmente aceptado es 150. Hay que hacer notar que
los gráficos en la Figura 3 son estáticos, calculados para 2008, mientras la distribución p(t) es
dinámica. Se esta trabajando en obtener un modelo de percolación dinámico, para ello hay
que introducir un modelo de dinámica de poblaciones que incorpore las características principales
de la población simpatizante pasiva de la yihad en el Reino de España, y que tome los
datos de 2008 como la semilla inicial. En este escenario, de la intersección de la distribución
p(t) con el umbral de percolación se podría deducir el tiempo para el cual la percolación va a
ocurrir para una dimensión y una conectividad dadas. Este tiempo sería una estimación del
tiempo promedio en el cual podemos considerar a un reticulado social-geográfico libre de
acciones yihadistas. Por otra parte quedan abiertos interrogantes multidisciplinares: ¿Cómo
estimar el valor del número de Dunbar en la era digital, por otra parte la era de 4GW? ¿Cómo
estimar q en el contexto específico de las redes yihadistas? La formula de Galam-Mauger, es
una expresión empírica deducida a partir de simulaciones en redes regulares. ¿Cómo se modifica
dicha relación, cuando se modifica la topología regular y se consideran redes complejas,
redes con alto coeficiente de clustering?.
Referencias
[1] S. Galam. Physica A. (336), 49-55 (2004).
[2] Econophysics and Sociophysics: Trends and Perspectives, Wiley-VCH, (2006).
[3] S. Galam. Physica A. (323), 695-704 (2003).
[4] S. Galam. Physica A. (330), 130-149 (2003).
[5] S. Galam. NATO Science for Peace and Security Series (37) 13-37 (2008).
[6] W.S.Lind et. al. Marine Corps Gazzete. Dec 22-26 (1989).
[7] Defeating The Jihadists: A Blueprint For Action, Century Foundation Press (2004).
[8] R.I.M. J.human. Evol. (20) 469-493 (1992).

XXXII Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de Física
Aplicación de plataformas GRID en fotónica: optimización de
espectros Súper Continuos mediante algoritmos genéticos
M . Zacarés 1 , C . Milián 1,2 , G . Moltó 2 , M . Arevalillo 3 , A . Ferrando 1,4 y V . Hernández 2
1 Interdisciplinary Modeling Group, InterTech, Instituto Universitario de Matemática Pura y Aplicada
(IUMPA). Universidad Politécnica de Valencia, Camino de Vera S/N, 46022 Valencia, Spain.
2 Instituto de Aplicaciones de las Tecnologías de la Información y de las Comunicaciones Avanzadas,
ITACA. Universidad Politécnica de Valencia. c/ Camino de Vera s/n 46022 Valencia.
3 Departament d’Informàtica. Universitat de València. c/ Dr. Moliner, 50. E-46100 Burjassot (Valencia).
4 Interdisciplinary Modeling Group, InterTech, Dept. D'Òptica, Universitat de València. Dr. Moliner 50,
46100 Burjassot (València), Spain.
La generación de espectros Súper Continuos (SC) es uno de los efectos más relevantes en
el campo de la óptica no lineal temporal y ha encontrado múltiples aplicaciones en, a saber,
en generación de fuentes policromáticas, relojes ópticos y compresión de pulsos [1]. Debido
a la dinámica intrincada de este fenómeno, los espectros finales pueden ser muy sensibles a
ligeros cambios en las condiciones iniciales. En este trabajo se propone la optimización del SC
para la aplicación en microscopia no lineal de muestras biológicas. Esta técnica de microscopia
aprovecha la respuesta no lineal que los tejidos biológicos presentan para ciertas frecuencias
muy concretas, que, naturalmente, coinciden con ciertas resonancias ópticas de las moléculas
orgánicas presentes en las muestras. Desde el punto de vista de la óptica el problema se reduce
a la generación eficiente de la radiación electromagnética a dichas frecuencias. La manera
en la que aquí se aborda el
problema consiste en la optimización
de parámetros
iniciales del pulso óptico,
en particular, su ancho temporal,
su potencia pico y la
frecuencia portadora, para
que el espectro a la salida
de una fibra dada contenga
la mayor potencia espectral
posible alrededor de la frecuencia
deseada. Este requisito
define pues la función
de coste de la que se quiere
el valor extremo y este valor
se busca mediante la implementación
de algoritmos de
computación evolutiva.
Figura 1. Esquema de interacción entre el usuario y la plataforma
GRID que implementa el algoritmo genético.
Dada la gran cantidad de recursos computacionales necesaria para llevar a cabo una optimización
como la propuesta, las simulaciones numéricas se ejecutan en plataforma GRID. En
ésta se implementan directamente las estrategias de computación evolutivas (o algoritmos genéticos,
en este caso), adoptadas para este problema de optimización [2]. En la fig.1 se muestra
el esquema básico de interacción entre el usuario y el GRID. El usuario interviene únicamente
en el proceso (1) en el que se especifican las condiciones bajo las cuales se quiere realizar la optimización.
El resto de acciones, (2)-(7), son automatizadas por el servicio GRID en interacción
con el algoritmo genético. Este esquema evita un sondeo exhaustivo de la función de coste
413

414
Simposio de Física Estadística No Lineal y Física de Coloides e Interfases
en el espacio multiparamétrico
(3D en este caso), de modo que
se aprovecha eficientemente la
potencia de cálculo del GRID.
La fig.2 muestra algunos resultados
en los que se aprecian
diferentes evoluciones espectrales
para pulsos con diferentes
parámetros iniciales. En la
parte superior de la figura se
muestran dos evoluciones espectrales
aleatorias con parámetros
no optimizados, mientras
que en la parte inferior los
espectros se corresponden con
soluciones encontradas por el
algoritmo genético. Como se
muestra, en los segundos, gran Figura 2. Evolución espectral bajo diversas condiciones iniciales.
parte de la potencia espectral se
acumula en el rango deseado
(entre las líneas verticales).
Los resultados mostrados son un ejemplo básico de optimización de espectros SC en una
fibra de longitud fija. Esto representa una única pieza de lo que podría ser un dispositivo
óptico más complejo y completo. Por ello, en el futuro inmediato se pretende la incorporación
de diversas y nuevas partes para el diseño optimizado de dispositivos ópticos basados en
la optimización de espectros (“Pulse Shaping”), para aplicaciones diversas. El aumento en la
complejidad del sistema (número de partes y parámetros libres asociados a cada una de ellas)
conlleva el afrontamiento de problemas de optimización altamente costosos, tanto en tiempo
de cómputo como en complejidad del espacio de fase sobre el que se evalúa la función de
coste. Los algoritmos genéticos desarrollados en este trabajo para su implementación sobre la
plataforma GRID que han sido previamente expuestos son la pieza clave para la realización
de esta tarea.
Este trabajo ha sido financiado por el gobierno de España bajo el contrato No. TIN2006-
12890. C. Milián agradece al ministerio de ciencia e innovación (MICIN) pro la beca predoctoral
del programa FPU.
Referencias
[1] Dudley, J., Genty, G., and Coen, S.(2006). Super continuum generation in photonic crystal fibers.
Reviews of Modern Physics, 78(4):1135-1184.
[2] G. Moltó et al. Optimization of Supercontinuum Spectrum Using Genetic Algorithms on Service-
Oriented Grids. In /Proceedings of the 3rd Iberian Grid Infrastructure Conference (IberGrid 2009)/,
2009.

XXXII Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de Física
Detección de estructuras composicionales gigantescas en ADN
humano mediante un algoritmo entrópico de segmentación
P . Carpena 1 , P . Bernaola Galván 1 , A .V . Coronado 1 y J . L . Oliver 2
1 Departamento de Física Aplicada II, Universidad de Málaga, 29071 Málaga. pcarpena@ctima.uma.es.
2 Departamento de Genética, Universidad de Granada, 18071, Granada.
El ADN humano tiene una estructura composicional muy compleja [1], ya que posee elementos
con composiciones definidas de muchas escalas diferentes contenidos en la misma
secuencia, desde islas CpG en las escala más pequeña pasando por exones, intrones, alus,
clusters de genes, duplicaciones segmentales, hasta la isocoras [2], que es la escala organizativa
más grande bien documentada hasta la fecha y descubiertas experimentalmente: las
isocoras son segmentos de unos 300000 nucleótidos de tamaño medio, y relativamente homogéneos
en composición en los que está compartimentado el genoma de los vertebrados de
sangre caliente. Esta heterogeneidad multiescala hace que sea difícil definir una única escala
característica en la secuencia, que parece tener una estructura bastante fractal [1], lo que se
refleja en la existencia de correlaciones de largo alcance. Una manera de abordar el problema
de la estructura composicional de ADN es la aplicación de algoritmos de segmentación, cuyo
objetivo es dividir la secuencia en trozos relativamente homogéneos. En estos algoritmos, lo
que se hace es mover un puntero por la secuencia, y usar una función adecuada que mida la
diferencia composicional entre la secuencia a la izquierda y a la derecha del puntero. En la
posición en la que se encuentre la diferencia composicional máxima se determina si ese valor
es estadísticamente significativo o no con un cierto p-value p0 fijado de antemano. En caso
afirmativo, la secuencia se corta por ese punto, y queda dividida en dos ‘segmentos’. El algoritmo
continua de manera iterativa en los segmentos resultantes y termina cuando ninguno
de los posibles cortes es significativo. En ese punto, se dice que la secuencia está segmentada
con significación p 0 . El paso crítico del algoritmo es la forma de obtener la significación estadística,
que hace aceptar o rechazar un posible corte. Los algoritmos convencionales estiman
la significación estadística (el p-value) a partir de los valores esperados en una secuencia de
ADN aleatoria. Cuando se aplican estos algoritmos, un cromosoma ordinario se divide en
decenas de miles de segmentos cuyo tamaño medio de unos pocos cientos de nucleótidos, lo
que muestra un claro problema de sobresegmentación, problema que aparece también cuando
se intentan detectar las isocoras mediante segmentación. Para encontrarlas, se requiere un
coarse-graining de la secuencia [2] que filtre las heterogeneidades de escala pequeña, porque
de otra manera se segmenta demasiado y no se obtienen las isocoras.
El resultado principal que presentamos aquí es el hecho de que el genoma humano está en
realidad compartimentado en segmentos composicionales desconocidos hasta ahora de una
escala mucho mayor que las isocoras (del orden de 10 millones de nucleótidos), y que dichos
segmentos se pueden detectar usando un algoritmo de segmentación similar al descrito más
arriba, pero en el que la significación estadística se incorpore de manera adecuada. El motivo
de la sobresegmentación antes mencionado es que la significación estadística se determina
suponiendo que la secuencia de ADN es aleatoria (i.i.d), pero el ADN real dista mucho de
serlo, como hemos mencionado ya. Antes bien, el ADN posee correlaciones de largo alcance,
lo que hace que la secuencia tenga persistencias que son imposibles que aparezcan en
una secuencia aleatoria simple. Lo que proponemos nosotros es que, a la hora de obtener la
significación estadística, se use como referencia una secuencia aleatoria pero con el mismo
grado de correlaciones de largo alcance que la secuencia de ADN que queramos segmentar.
415

416
Simposio de Física Estadística No Lineal y Física de Coloides e Interfases
Operacionalmente, hemos generado
millones de secuencias de ADN de
diversos tamaños y con distinto grado
de correlaciones de largo alcance, y en
cada caso hemos obtenido numéricamente
la significación estadísticacorrespondiente.
A la hora de segmentar
una secuencia de ADN real, se miden
en primer lugar sus correlaciones de
largo alcance, lo que sirve para determinar
qué significación estadística
se le va a aplicar de las ya precalculadas.
Una vez hecho esto, se aplica el
algoritmo tal y como hemos descrito
más arriba. Cuando este algoritmo se
aplica al ADN humano, emerge una
estructura composicional de escala
enorme, no conocida hasta ahora.
Para mostrar nuestros resultados,
en la parte arriba de la figura 1 mostramos
un walk obtenido en el contig
más grande (70 millones de bp) del
cromosoma XIII. El walk se ha obtenido
usando una expresión del tipo:
walk(i) = walk(i-1) + s(i), donde s(i)
es + 1 si en la posición i de la secuencia
nos encontramos el nucleótido G o C, y -1 si es A o T, de manera que pendientes positivas indican
mayor abundancia de G + C que la media del cromosoma, y pendientes negativas lo contrario.
Además, cambios de pendiente muestran cambios en la composición media. A partir
de las clarísimas persistencias de la figura, se deduce la existencia de unos pocos segmentos
enormes de composición bien definida, que nuestro algoritmo es capaz de detectar sistemáticamente.
En la misma figura, incluimos la composición de los segmentos que encontramos,
cuya escala viene dada en el eje derecho.
En la parte de abajo, mostramos un zoom de una pequeña región del walk, junto con la
composición de las isocoras que esta región contiene. Claramente, las isocoras corresponden
a los cambios de pendientes casi inapreciables en la escala global del walk, con lo que mostramos
como los gigantescos segmentos que encontramos son las estructuras composicionales
dominantes a gran escala en el genoma humano.
Agradecemos la financiación de la Junta de Andalucía (P07-FQM03163).
Referencias
Figura 1. Arriba: walk y segmentos obtenidos en el cromosoma
XII. Abajo: zoom de una pequeña región del
walk, para mostrar la escala de las isocoras que contiene.
[1] P. Carpena, et al., Phys. Rev. E 75, 032903 (2007).
[2] J.L. Oliver, P. Carpena, M. Hackenberg, P. Bernaola-Galván, Nucleic Acids Research 32, W287
(2004).

XXXII Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de Física
Segmentación de secuencias con correlaciones
fractales de largo alcance
P . Bernaola-Galván 1 , P . Carpena 1 , P .Ch . Ivanov 1,2 y J . L . Oliver 3
1 Departamento de Física Aplicada II, Universidad de Málaga, 29071 Málaga (rick@uma.es).
2 Sleep Division, Brigham and Women’s Hospital, Harvard Medical School, Boston, MA 02115 USA.
3 Departamento de Genética. Universidad de Granada, 18071 Granada.
Muchos fenómenos en diferentes campos generan datos no estacionarios, esto es, datos
cuyas propiedades estadísticas cambian bajo traslaciones temporales. Como resultado nos
encontramos ante secuencias de datos heterogéneos y, por tanto, podemos obtener diferentes
valores de la media, desviación estándar o estadísticos de orden superior dependiendo del intervalo
de tiempo que consideremos para calcular dichos estadísticos. Esto complica el análisis
puesto que muchas técnicas estadísticas son aplicables únicamente a secuencias estacionarias.
Además, es muy común observar fuertes correlaciones en las secuencias de datos las cuales
introducen persistencias que se pueden identificar erróneamente como no estacionariedades.
Esta situación es especialmente dramática para cuando las secuencias tienen correlaciones
fractales de largo alcance, también conocidas como correlaciones de tipo 1/f, para la cuales las
persistencias aparecen a todas las escalas y con una estructura auto similar [1].
Un método estándar de análisis de secuencias no estacionarias es la segmentación: dada
una secuencia heterogénea, el procedimiento de segmentación intenta dividirla en cierto número
de trozos contiguos y no solapantes que llamaremos segmentos, de tal forma que dichos
segmentos sean homogéneos o, al menos, más homogéneos que la secuencia de partida.
Normalmente la segmentación consiste en la partición de una secuencia no estacionaria en
segmentos con distintas medias aunque también se pueden diseñar procedimientos para encontrar
regiones con distinta varianza, distintas correlaciones o incluso con distintas distribuciones
estadísticas. Aquí nos centraremos en la segmentación basada en la media.
En 2001 propusimos un algoritmo
de segmentación heurístico diseñado
para el estudio de la distribución de
períodos de distinta actividad cardiaca
(valor medio de la series) [2]. Este
algoritmo ha sido también utilizado
para la detección de cambios en el clima,
estudiar la estructura a gran escala
del ADN y para la búsqueda de períodos
de distinta actividad en Internet.
Este algoritmo divide la secuencia de
forma iterativa en segmentos cuyas
medias son significativamente diferentes
de las medias de los segmentos
adyacentes. La iteración termina cuando
ninguno de los segmentos obtenidos
se puede volver a dividir. En el
algoritmo original consideramos que
la diferencia entre las medias de dos
segmentos es significativa cuando la
Figura 1. Línea gris clara. Secuencia artificial obtenida
uniendo dos series (1000 y 2000 datos respectivamente)
de ruido fraccional gaussiano con el mismo grado de correlación
pero medias diferentes. Línea negra. Segmentos
identificados con un algoritmo de segmentación que toma
como referencia para la homogeneidad una secuencia aleatoria.
Línea gris. Segmentos identificados tomando como
referencia para la homogeneidad el ruido fraccionario.
417

418
Simposio de Física Estadística No Lineal y Física de Coloides e Interfases
probabilidad de obtener dicha diferencia simplemente por azar en una secuencia aleatoria
uniforme es menor que un valor dado (p-value), típicamente el 5%.
El problema está en que para los “datos de la vida real” una secuencia aleatoria uniforme
es un modelo de uniformidad excesivamente restrictivo. Como se comentó anteriormente,
muchos fenómenos físicos se pueden describir en términos de modelos auto semejantes: ruido
fraccional gaussiano (FGN), movimiento browniano fraccional (FBM), modelos ARFIMA,
etc., los cuales producen secuencias mucho más heterogéneas que una secuencia aleatoria y
que, sin embargo, pueden ser en muchos casos estacionarias en sentido matemático.
Si se aplica el algoritmo de segmentación a una de estas secuencias y se toma como referencia
para la homogeneidad una secuencia aleatoria, el resultado va a ser un “sobresegmentación”
de la secuencia (Figura 1). Para evitar este problema, aquí proponemos tomar como
referencia para la homogeneidad una secuencia con correlaciones de largo alcance tipo 1/f
con el mismo grado de correlaciones que la secuencia a segmentar. El modelo de secuencia
correlacionada que adoptamos es el ruido fraccionario (FN) que es realmente una familia
paramétrica de modelos que se pueden obtener a partir de derivadas fraccionarias del ruido
blanco (secuencia aleatoria uniforme).
Utilizando esta referencia nuestro algoritmo de segmentación es capaz de discriminar entre
las heterogeneidades debidas únicamente a la presencia de correlaciones y aquéllas que
aparecen como consecuencia de cambios en el modelo que genera la secuencia y que pueden
estar relacionados con cambios reales en la dinámica del sistema. El algoritmo se ha aplicado
al análisis de series de ritmo cardíaco y con ligeras modificaciones al estudio de los macro
dominios recientemente observados en secuencias de ADN.
Agradecemos la financiación de la Junta de Andalucía (Proyecto FQM1838)
Referencias
[1] Véase http://www.nslij-genetics.org/wli/1fnoise para una revisión bibliográfica actualizada sobre correlaciones
tipo 1/f.
[2] P. Bernaola, P.Ch. Ivanov, L.A.N. Amaral and H.E. Stanley, Phys. Rev. Lett. 87, 168105 (2001).

XXXII Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de Física
Caracterización de la respuesta eléctrica de membranas cargadas
inhomogéneas mediante el método de simulación por redes
A . A . Moya, J . A . Moleón y A . Hayas
Departamento de Física, Universidad de Jaén, Campus Universitario de las Lagunillas, 23071 Jaén.
ahayas@ujaen.es
El estudio de los procesos de transporte iónico a través de membranas cargadas inhomogéneas,
tanto cuando la carga fija es debida a procesos de ionización como de adsorción
iónica, ha experimentado un notable auge en los últimos años debido, entre otras razones, a
la observación experimental de unas excelentes características selectivas, fundamentalmente
en membranas sintéticas, que no pueden explicarse considerando una distribución uniforme
con el mismo valor medio de la concentración de carga fija.
Es un hecho bien conocido que los parámetros físicos y/o químicos que describen los procesos
de transporte iónico a través de sistemas de membranas cargadas pueden obtenerse
mediante el análisis de la respuesta del sistema a perturbaciones eléctricas externamente aplicadas.
Las investigaciones en este campo han motivado el desarrollo de diferentes técnicas
experimentales basadas fundamentalmente en el análisis de la respuesta estacionaria y transitoria
de un sistema a una perturbación de corriente o de potencial eléctrico externamente
aplicada, técnicas que han venido a sustituir o complementar a los métodos tradicionales de
caracterización de sistemas electroquímicos basados en el análisis de sus respuestas a perturbaciones
puramente químicas.
La caracterización de un sistema material mediante el análisis de su respuesta eléctrica,
requiere el desarrollo de un modelo matemático abstracto cuya solución analítica facilite
la identificación e interpretación de los datos experimentales. Para el caso de membranas
cargadas, uno de los tratamientos teóricos más ampliamente utilizados es el basado en el
sistema de ecuaciones de Nernst-Planck y Poisson. Sin embargo, estas ecuaciones no son
lineales y su solución analítica es imposible de obtener en un gran número de situaciones
físicas de interés. Esto ha motivado el que la mayor parte de los tratamientos teóricos presentados
hagan uso de la hipótesis de electroneutralidad, tanto en la membrana como en los
baños adyacentes a la misma, y/o asuman las relaciones de equilibrio Donnan en las interfaces
disolución|membrana cargada. Aunque estas hipótesis pueden considerare válidas en ciertas
situaciones prácticas, no son necesariamente ciertas cuando una corriente eléctrica pasa a
través del sistema. En este caso, los efectos de las dobles capas eléctricas que se forman en las
interfaces disolución|membrana son dominantes y el problema sólo puede estudiarse numéricamente
examinando la estructura de las regiones de carga espacial en dichas interfaces.
El principal objetivo de este trabajo es presentar el método de simulación por redes [1]
como un método alternativo, de gran generalidad y eficacia frente a los métodos numéricos
clásicos, para obtener información acerca de los procesos de transporte iónico en sistemas
de membranas cargadas inhomogéneas incluyendo los efectos de las dobles capas eléctricas.
Este método consiste básicamente en reemplazar el modelo matemático de un determinado
proceso físico-químico por un modelo en red, es decir, una representación gráfica similar a
los diagramas de circuitos en la teoría de redes eléctricas, y en su posterior análisis mediante
la simulación del modelo en un adecuado programa de simulación de circuitos eléctricos
tal como PSpice. Esta representación gráfica de los procesos que acontecen en un sistema
proporciona obvias ventajas intuitivas ya que revela el papel de la topología del sistema en
su comportamiento dinámico, haciéndose evidente la naturaleza de los distintos subsistemas
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420
Simposio de Física Estadística No Lineal y Física de Coloides e Interfases
que lo constituyen y el modo en el que interaccionan entre sí. Además, el modelo en red es alternativo
al modelo matemático del proceso y, puesto que puede generarlo algorítmicamente,
los métodos altamente avanzados del análisis de circuitos eléctricos por ordenador permiten
estudiar el comportamiento dinámico de un sistema en una amplia variedad de situaciones
experimentales sin tener que tratar explícitamente con las ecuaciones diferenciales que describen
los procesos que acontecen en él.
La implementación en el programa PSpice del modelo en red del proceso de electrodifusión
en membranas cargadas [2], y su simulación con los valores adecuados para los parámetros
que caracterizan el sistema, nos permite investigar las propiedades del transporte
iónico en sistemas de membranas cargadas inhomogéneas, por ejemplo, mediante el análisis
de las características de su respuesta a perturbaciones eléctricas externamente impuestas. En
este trabajo se exploran los aspectos cuantitativos de los procesos de transporte iónico en
membranas cargadas negativamente en contacto con una disolución de electrólito tipo 1:1,
para dos tipos diferenciados de sistemas: i) Membrana con carga fija que varía linealmente
con la posición; y ii) Membrana con carga debida a un proceso de adsorción del anión descrito
por la cinética de Langmuir. El estudio se realiza mediante el análisis de las características
corriente-voltaje en estado estacionario, así como de sus respuestas cronopotenciométrica y
cronoamperométrica. Los resultados obtenidos nos permiten resaltar las principales facetas
del método de simulación por redes, tales como:
- Consideración de procesos de transporte iónico en regiones del espacio donde existen
grandes gradientes de concentraciones iónicas molares y de potencial eléctrico (dobles
capas eléctricas).
- Posibilidad de imponer condiciones externas tanto de corriente eléctrica como de potencial
eléctrico.
- Análisis de datos en el dominio del tiempo y, por tanto, posibilidad de realizar análisis de
respuestas estacionarias y análisis temporales de respuestas transitorias.
Referencias
[1] A.A. Moya, J. Horno, J. Phys. Chem. B 103, 10791 (1999).
[2] JA. Moleón, A.A. Moya, J. Electroanal. Chem. 613, 23 (2008).

XXXII Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de Física
Influencia del tamaño finito de los iones en las predicciones
del Modelo Electrocinético Estándar
M . J . Aranda-Rascón, J . J . López-García y J . Horno
Departamento de Física, Universidad de Jaén, Campus de Las Lagunillas, Ed. A-3, 23071, Jaén, Spain.
jhorno@ujaen.es.
La descripción clásica de las suspensiones coloidales se basa en una serie de hipótesis que
constituyen el Modelo Electrocinético Estándar: las partículas de la suspensión presentan una
densidad de carga uniformemente distribuida sobre su superficie, se considera que los iones
son puntuales, y los valores de la permitividad y de la viscosidad macroscópica se toman
constantes en toda la suspensión, hasta la superficie misma de las partículas. Bajo estas hipótesis,
en el equilibrio las densidades iónicas coinciden con la distribución de Maxwell-Boltzmann,
la conductividad superficial coincide con la conductividad de la doble capa difusa, y el
potencial ζ coincide con el potencial superficial de equilibrio. Sin embargo, a pesar de su uso
casi universal, el modelo clásico falla en la predicción de tendencias experimentales cruciales:
los valores del potencial ζ calculados a partir de medidas de la movilidad electroforética, del
incremento de conductividad y del incremento dieléctrico no coinciden entre sí. La forma más
habitual de tratar de solventar estas dificultades consiste en considerar que la superficie de la
partícula es más compleja que la asumida por el Modelo Estándar, ya sea suponiendo que está
rodeada por una capa fina en la que la densidad de iones está determinada por isotermas de
adsorción, o bien que la carga se distribuye en una superficie rugosa o una capa superficial en
la que hay tanto cargas fijas como iones moviéndose libremente. Aunque estas generalizaciones
mejoran algunas deficiencias del modelo clásico, usualmente empeoran la interpretación
de datos experimentales para movilidades electroforéticas elevadas. Además, están enfocadas
a propiedades superficiales que son específicas de cada combinación particular partícula-electrolito,
por lo que incluyen una serie de parámetros ajustables.
En trabajos anteriores [1,2] presentamos una modificación del Modelo Electrocinético
Estándar que tiene en cuenta el tamaño finito de los iones en la disolución electrolítica. En
el primero de ellos presentamos resultados numéricos para las propiedades de equilibrio,
mientras que en el segundo calculamos el efecto del volumen ocupado por los iones en la
movilidad electroforética. En esta contribución presentamos una interpretación detallada de
los resultados de la movilidad electroforética y del incremento de conductividad, basándonos
en el análisis de las concentraciones iónicas en el equilibrio y en el estado estacionario (es
decir, bajo la aplicación de un campo eléctrico externo), así como en el flujo convectivo en las
proximidades de la superficie de la partícula. Mostramos que, debido al incremento del flujo
convectivo, los efectos del volumen de los iones sobre las propiedades dinámicas del sistema
no son despreciables incluso en el caso de partículas moderadamente cargadas, llegando a
ser bastante significativo en el caso de partículas muy cargadas y elevadas concentraciones
de electrolito. Esto contrasta con las conclusiones obtenidas para el estado de equilibrio, en
el que la influencia del tamaño finito de los iones sólo es apreciable para partículas muy
cargadas y elevadas concentraciones de electrolito. Finalmente, es importante señalar que
los resultados obtenidos generalmente mejoran las predicciones del Modelo Electrocinético
Estándar: tanto la movilidad electroforética como el incremento de conductividad aumentan
(Fig. 1) [3]. Este hecho amplía el rango de datos experimentales que pueden ser interpretados
teóricamente.
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Simposio de Física Estadística No Lineal y Física de Coloides e Interfases
Los autores desean expresar su agradecimiento al MEC (proyecto FIS2006-4460), a los
fondos FEDER y a la Junta de Andalucía (proyectos FQM-410 y FQM-3893) por la financiación
recibida.
Figura 1. El efecto del volumen excluido (cmax) siempre incrementa la velocidad electroforética (ue)
en comparación con el caso en el que se supone un comportamiento ideal (Modelo Estándar).
Referencias
[1] J. J. López-García, M. J. Aranda-Rascón, J. Horno, J. Colloid Interface Sci., 316 (2007) 96
[2] J. J. López-García, M. J. Aranda-Rascón, J. Horno, J. Colloid Interface Sci., 323 (2008) 146
[3] M. J. Aranda-Rascón, C. Grosse, J. J. López-García, J. Horno, J. Colloid Interface Sci., (2009)
DOI: 10.1016/j.jcis.2009.02.057.

XXXII Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de Física
Magnetic Properties driven by the different morphologies
produced using Colloidal Chemistry Methods
Verónica Salgueiriño
Departamento de Física Aplicada, Universidade de Vigo, 36310 Vigo (Spain); vsalgue@uvigo.es.
This presentation deals with the synthesis of morphologically different magnetic nanostructures,
provided by colloidal chemistry methods. Colloidal chemistry plays a powerful
and crucial role in processes in which the formation of unique nanoparticles, nanostructures
and nanocomposites can be accomplished combining coprecipitation, thermal decomposition,
molecular self-assembly (layer-by-layer self-assembly technique), and/or colloidal growth
chemistry. [1] These combinations endow the nanostructures with a magnetic behavior which
stems from size, shape and composition of every component assembled.
The results reveal nanometer-scale systems with very different magnetic properties given
by; a characteristic superparamagnetism, a blocked-state behavior (even at room temperature),
or a collective spin-glass-like behavior; consequences of the properties of the individual
constituents, the morphology they have acquired and the complex magnetic interactions
established. [2,3] The interest of such nanosystems (generally as core-shell systems) relies
mostly on the combination of different compositions with the important feature that one of
the materials (the shell) determines the surface properties of the nanocomposites while the
core, which is completely encapsulated by the shell, does not contribute to surface properties
but is usually responsible for the magnetic properties of the whole system. [4,5].
The author acknowledges the Ramón y Cajal Program fellowship from the Ministerio de
Ciencia e Innovación.
Referencias
[1] V. Salgueiriño-Maceira, M. A. Correa-Duarte, Adv. Mater. 19, 4131 (2007).
[2] M. Grzelczak, M. A. Correa-Duarte, V. Salgueiriño-Maceira, B. Rodríguez-González, J. Rivas, L. M.
Liz-Marzán, Angew. Chem. Int. Ed. 46, 7026 (2007).
[3] V. Salgueiriño-Maceira, M. A. Correa-Duarte, M. Bañobre-López, M. Grzelczak, M. Farle, L.M. Liz-
Marzán, J. Rivas, Adv. Func. Mater. 18, 616 (2008).
[4] V. Salgueiriño-Maceira, M. Spasova, M. Farle, Adv. Func. Mater. 15, 1036 (2005).
[5] V. Salgueiriño-Maceira, M. A. Correa-Duarte, M. Farle, Small 1, 1073 (2005).
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