Álgebra Booleana y Simplificación Lógica - Erika Vilches
Álgebra Booleana y Simplificación Lógica - Erika Vilches
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<strong>Álgebra</strong> <strong>Booleana</strong> y<br />
<strong>Simplificación</strong> <strong>Lógica</strong><br />
M. en C. <strong>Erika</strong> <strong>Vilches</strong><br />
Parte 1
Operaciones <strong>Booleana</strong>s<br />
•<br />
y Expresiones<br />
Variable, complemento y literal son los<br />
términos utilizados en álgebra booleana.<br />
• Variable → símbolo utilizado para<br />
representar una cantidad lógica<br />
• Complemento → el inverso de una variable<br />
y se indica con una barra sobre la variable<br />
• Literal → una variable o el complemento de<br />
una variable
Suma <strong>Booleana</strong>: Equivalente a la operación OR<br />
Multiplicación <strong>Booleana</strong>: Equivalente a la operacion AND
Leyes del Algebra <strong>Booleana</strong><br />
Leyes conmutativas<br />
Para la suma de dos variables se escribe:<br />
A + B = B + A<br />
El orden en que se OReen las variables no hace diferencia.<br />
Para la multiplicación de dos variables se escribe:<br />
AB = BA<br />
El orden en que se ANDeen las variables no hace diferencia
Leyes asociativas<br />
Para la suma de tres variables se escribe:<br />
A + (B + C) = (A + B) + C<br />
Cuando se ORean más de dos variables, el resultado es el<br />
mismo sin importar la agrupación<br />
Para la multiplicación de tres variables se escribe:<br />
A(BC) = (AB)C<br />
Cuando se ANDean dos o más variables, no importa el<br />
orden en que se agrupen las variables
Ley Distributiva<br />
Se escribe para tres variables como:<br />
A(B + C) = AB + AC<br />
ORear dos o más variables y ANDear posteriormente<br />
el resultado con una sola variable es equivalente a<br />
ANDear la variable sola con cada una de las dos o más<br />
variables y despues ORear los productos<br />
El proceso inverso (factorización) también es<br />
expresado por esta ley. Una variable común se<br />
factoriza de los términos.
Reglas del Algebra<br />
<strong>Booleana</strong><br />
Reglas útiles para manipular y simplificar<br />
expresiones <strong>Booleana</strong>s.
Regla 1. A + 0 = A. Una variable OReada con 0 es<br />
siempre igual a la variable.<br />
Regla 2. A + 1 = 1. Una variable OReada con 1 es<br />
siempre igual a 1.<br />
Regla 3. A ⋅ 0 = 0. Una variable ANDeada con 0 es<br />
siempre igual a 0.
Regla 4. A ⋅ 1 = A. Una variable ANDeada con 1 es<br />
siempre igual a la variable.<br />
Regla 5. A + A = A. Una variable OReada con sigo misma<br />
es siempre igual a la variable.<br />
Regla 6. . Una variable OReada con su<br />
complemento es siempre igual a 1.
Regla 7. A ⋅ A = A. Una variable ANDeada con ella misma<br />
es siempre igual a la variable.<br />
Regla 8. . Una variable ANDeada con su<br />
complemento es siempre igual a 0.<br />
Regla 9. . El doble complemento de una variable es<br />
siempre igual a la variable.
Regla 10. A + AB = A. Esta regla se puede probar<br />
aplicando la ley distributiva, la regla 2 y la regla 4.<br />
A + AB = A(1 + B)<br />
= A⋅1<br />
= A<br />
Factorización (ley distributiva)<br />
Regla 2: (1 + B) = 1<br />
Regla 4: A⋅1 = A
Regla 11. . Esta regla se puede probar como<br />
sigue:
Regla 12. (A + B)(A + C) = A + BC. Esta regla se puede<br />
probar como sigue:
Teoremas de DeMorgan<br />
Primer Teorema de DeMorgan<br />
•<br />
•<br />
El complemento de un producto de variables<br />
es igual a la suma de los complementos de<br />
las variables<br />
En otras palabras: El complemento de dos o<br />
más variables ANDeadas es equivalente al<br />
OR de los complementos de las variables<br />
individuales
Segundo Teorema de DeMorgan<br />
•<br />
•<br />
El complemento de la suma de variables es<br />
igual al producto de los complementos de<br />
las variables.<br />
En otras palabras: El complemento de dos o<br />
más variables OReadas es equivalente al<br />
AND de los complementos de las variables<br />
individuales
Para el primer teorema de DeMorgan →<br />
Para el segundo teorema de DeMorgan →
Los teoremas de DeMorgan pueden ser aplicados a<br />
expresiones con más de dos variables.<br />
Ejemplos:<br />
Tres variables →<br />
Cuatro variables →
Cada variable en los teoremas de DeMorgan puede<br />
representar una combinación de otras variables.<br />
Ejemplo:<br />
Si aplicamos a la expresión →<br />
obtenemos →<br />
Si a los 2 términos del resultado anterior<br />
y les aplicamos individualmente el teorema<br />
nos queda →<br />
Si volvemos a aplicar el teorema de DeMorgan a<br />
y a nos queda →<br />
El resultado se podría simplificar más con las reglas y leyes<br />
<strong>Booleana</strong>s, pero ya no más con con los teoremas de DeMorgan
Aplicación de los teoremas de DeMorgan y algebra<br />
<strong>Booleana</strong> a la expresión →<br />
1. Identificar los términos a los que se les puede aplicar<br />
los teoremas de DeMorgan y pensar en ellos como si<br />
fuesen 1 sola variable. Tomemos y .<br />
2. Dado que ,<br />
3. Utilizar la regla 9 para cancelar las barras dobles<br />
sobre el término de la izquierda (esto no es parte de<br />
los teoremas de DeMorgan) →<br />
4. Aplicar el teorema de DeMorgan al segundo<br />
término →<br />
5. Utilizar la regla 9 para cancelar las barras dobles<br />
sobre →
Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgan<br />
a la siguiente expresión →<br />
Tomemos y . La expresión<br />
se encuentra en la forma y se puede<br />
reescribir como →<br />
Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan al<br />
término →
Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgan<br />
a la siguiente expresión →<br />
Tomemos y . La expresión<br />
se encuentra en la forma y se puede<br />
reescribir como →<br />
Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan a<br />
los términos y →
Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgan<br />
a la siguiente expresión →<br />
Tomemos , y . La expresión<br />
se encuentra en la forma y se puede<br />
reescribir como →<br />
Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan a<br />
los términos , y →