Formulario-General_Parte3 - El Postulante
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F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O 3. Ley de cosenos (Carnot).- Para todo triángulo: A b a B C c C b a A B c a 2 = b 2 + c 2 - 2 . b . c cos A b 2 = a 2 + c 2 - 2 . a . c cos B c 2 = a 2 + b 2 - 2. a . b cos C 4. Ley de las tangentes (Nepper).- Para todo triángulo: A b a B C c tg A ––––– + B ––––– a + b = –––––––– 2 a - b tg ––––– A - B 2 5. Ley de las proyecciones.- Para todo triángulo: A b a B C c a = b . cos C + c . cos B b = a . cos C + c. cos A c = a . cos B + b . cos C - 151 - CÁLCULO DE ÁNGULOS (Fórmula de Briggs) Si: a + b + c p = ––––––––– 2 _______ A p(p - a) cos –– = –––––––– 2 √ bc ___________ A (p - b)(p - c) sen –– = –––––––––––– 2 √ 2 ___________ A p(p - a) tg –– = ––––––––––– 2 √(p - b)(p - c) CÁLCULO DE SUPERFICIES Fórmula Trigonométricas Fórmulas Geométricas C b a A B c a . b S = ––––– sen C 2 b . c S = ––––– sen A (I) 2 a . c S = ––––– sen B 2 a . b . c S = p . r S = ––––––– 4R __________________ S = √p(p - a)(p - b)(p - c) (II) S = ρa (p - a)
Donde: p = semiperímetro r = radio círculo inscrito R = radio círculo circunscrito ρa = radio del círculo exinscrito al lado a ELEMENTOS SECUNDARIOS EN LA SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Para calcular los elementos secundarios, lo aconsejable es despejar las fórmulas conocidas, tales como las siguientes: RADIOS RADIO CIRCUNSCRITO: Es el radio “R” de la circunferencia circunscrita al triángulo. A c R B O a a 1.- De: 2R = ––––– sen A abc 2.- De: –––– = S 4R a ⇒ R = ––––– 2senA a . b . c ⇒ R = ––––––– 4 . S RADIO INSCRITO O INRADIO: Es el radio “r” de la circunferencia inscrita en el triángulo. B c a O r A C b b C - 152 - 1.- De: pr = S S ⇒ r = –– p r A 2.- De: ––––– = tg –– p - a 2 A ⇒ r = (p - a)tg –– 2 B C 3.- De: a = r ctg –– + ctg –– ( 2 2 ) a ⇒ r = ––––––––––––– ctg –– B + ctg –– C 2 2 RADIO EX-INSCRITO: Es el radio “ρ” de la circunferencia, ex-inscrito a uno de los lados del triángulo. T B O A/2 A/2 a ρ A b C P De la propiedad: a + b + c AP = AT = –––––––– , se demuestra: 2 a + b + c A 1.- –––––––– . tg –– 2 2 o : o: A ρ = p . tg –– 2 2.- De: S = ρ (p - a) S ρ = ––––– p - a
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Donde:<br />
p = semiperímetro<br />
r = radio círculo inscrito<br />
R = radio círculo circunscrito<br />
ρa = radio del círculo exinscrito al lado a<br />
ELEMENTOS SECUNDARIOS EN LA<br />
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS<br />
Para calcular los elementos secundarios, lo aconsejable<br />
es despejar las fórmulas conocidas, tales como<br />
las siguientes:<br />
RADIOS<br />
RADIO CIRCUNSCRITO:<br />
Es el radio “R” de la circunferencia circunscrita al<br />
triángulo.<br />
A<br />
c<br />
R<br />
B O<br />
a<br />
a<br />
1.- De: 2R = –––––<br />
sen A<br />
abc<br />
2.- De: –––– = S<br />
4R<br />
a<br />
⇒ R = –––––<br />
2senA<br />
a . b . c<br />
⇒ R = –––––––<br />
4 . S<br />
RADIO INSCRITO O INRADIO:<br />
Es el radio “r” de la circunferencia inscrita en el<br />
triángulo.<br />
B<br />
c a<br />
O<br />
r<br />
A C<br />
b<br />
b<br />
C<br />
- 152 -<br />
1.- De: pr = S<br />
S<br />
⇒ r = ––<br />
p<br />
r A<br />
2.- De: ––––– = tg ––<br />
p - a 2<br />
A<br />
⇒ r = (p - a)tg ––<br />
2<br />
B C<br />
3.- De: a = r ctg –– + ctg –– ( 2 2 )<br />
a<br />
⇒ r = –––––––––––––<br />
ctg ––<br />
B<br />
+ ctg ––<br />
C<br />
2 2<br />
RADIO EX-INSCRITO:<br />
Es el radio “ρ” de la circunferencia, ex-inscrito a uno<br />
de los lados del triángulo.<br />
T<br />
B<br />
O<br />
A/2<br />
A/2<br />
a<br />
ρ<br />
A b C P<br />
De la propiedad:<br />
a + b + c<br />
AP = AT = –––––––– , se demuestra:<br />
2<br />
a + b + c A<br />
1.- –––––––– . tg ––<br />
2 2<br />
o :<br />
o:<br />
A<br />
ρ = p . tg ––<br />
2<br />
2.- De: S = ρ (p - a)<br />
S<br />
ρ = –––––<br />
p - a
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