Formulario-General_Parte3 - El Postulante
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F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O RELACIÓN DE ÁREAS DE TRIÁNGULOS 1.- Si dos triángulos tienen igual altura, sus áreas son entre sí como las bases respectivas. S ∆ ABC AC ––––––––––– = ––– S ∆ DEF DE B F h A E C D 2.- Si dos triángulos son semejantes, sus áreas son entre sí como los cuadrados de sus elementos homólogos. S ∆ ABC a 2 b 2 c 2 ––––––––– = ––– = ––– = ––– S ∆ DEF d 2 e 2 f 2 B E f d c a D e F A b C 3.- Si dos triángulos tienen un ángulo igual (común) o suplementario, sus áreas son entre sí como los productos de los lados que forman ese ángulo igual (común) o suplementario. N S ∆ ABC AB . AC ––––––––– = ––––––– S ∆ MBN BM . BN B C M α β A C A B N TEOREMA.- El área del triángulo cuyos lados son medianas de un triángulo dado, es igual a los tres cuartos de área del triángulo dado. M 3 S ∆ MNP = –– S ∆ ABC 4 - 125 - B y z y x M A C PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS 1º TEOREMA DE EULER En todo cuadrilátero, la suma de los cuadrados de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales, más cuatro veces el cuadrado del segmento que une los puntos medios de las diagonales. a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = d 2 + d 2 + 4MN 2 1 2 B b a M N d 1 C d 2 A D d 2º TEOREMA DE PTOLOMEO (1) En todo ccuadrilátero inscrito o inscriptible a una circunferencia, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las diagonales. B C A D 3º TEOREMA DE PTOLOMEO (2) x c N AB . CD + BC . AD = AC . BD En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible a una circunferencia, las diagonales son entre sí, como la suma de los productos de los lados que concurren en los vértices que forman las respectivas diagonales. B C A D AC AB . AD + BC . CD ––– = ––––––––––––––––– BD AB . BC + AD . CD P z
4º En todo cuadrilátero, si se une consecutivamente los puntos medios de los lados del cuadrilátero, se formará siempre un paralelogramo cuya área es la mitad del área del cuadrilátero. S ABCD S MNPQ = ––––––––––– 2 B N C M P A D Q 5º En todo trapecio, si se une el punto de un lado no paralelo, con los vértices del otro lado no paralelo, se formará un triángulo cuya área es la mitad del área del trapecio. S ABCD S ∆ CMD = ––––––––––– 2 M B C A D SEMEJANZA DE POLÍGONOS Para que dos polígonos del mismo número de lados sean semejantes, debe cumplirse dos condiciones: 1.- Que tengan sus ángulos respectivamente iguales. 2.- Que se les pueda descomponer en el mismo número de triángulos semejantes. Satisfechas estas condiciones de semejanza, las relaciones métricas de dos polígonos semejantes son: B b C β a S c α δ A d D - 126 - a 1 B 1 b 1 C 1 S 1 α δ A1 d1 D1 (1) Los elementos homólogos son proporcionales. a b c d AC –– = –– = –– = –– = ––––– a 1 b 1 c 1 d 1 A 1 C 1 (2) Las áreas son entre sí, como los cuadrados de los elementos homólogos. β S a 2 b 2 c 2 d 2 –– = –– = –– = –– = –– S a 2 b 2 c 2 d 2 1 1 1 1 1 ÁREAS DE LAS REGIONES CURVAS CÍRCULO: c 1 S = πR 2 R πD2 O s A S = –––– 4 D = diámetro O α S O R R A B S SECTOR CIRCULAR: απR 2 A S secAOB = –––– 360º B α = ángulo central SEGMENTO CIRCULAR: S seg = S secAOB - S ∆ AOB
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4º En todo cuadrilátero, si se une consecutivamente<br />
los puntos medios de los lados del cuadrilátero,<br />
se formará siempre un paralelogramo cuya área es<br />
la mitad del área del cuadrilátero.<br />
S ABCD<br />
S MNPQ = –––––––––––<br />
2<br />
B<br />
N<br />
C<br />
M P<br />
A D<br />
Q<br />
5º En todo trapecio, si se une el punto de un lado no<br />
paralelo, con los vértices del otro lado no paralelo,<br />
se formará un triángulo cuya área es la mitad<br />
del área del trapecio.<br />
S ABCD<br />
S ∆ CMD = –––––––––––<br />
2<br />
M<br />
B C<br />
A D<br />
SEMEJANZA DE POLÍGONOS<br />
Para que dos polígonos del mismo número de lados<br />
sean semejantes, debe cumplirse dos condiciones:<br />
1.- Que tengan sus ángulos respectivamente iguales.<br />
2.- Que se les pueda descomponer en el mismo número<br />
de triángulos semejantes.<br />
Satisfechas estas condiciones de semejanza, las relaciones<br />
métricas de dos polígonos semejantes son:<br />
B b C<br />
β<br />
a<br />
S<br />
c<br />
α δ<br />
A d D<br />
- 126 -<br />
a 1<br />
B 1 b 1 C 1<br />
S 1<br />
α δ<br />
A1 d1 D1 (1) Los elementos homólogos son proporcionales.<br />
a b c d AC<br />
–– = –– = –– = –– = –––––<br />
a 1 b 1 c 1 d 1 A 1 C 1<br />
(2) Las áreas son entre sí, como los cuadrados de<br />
los elementos homólogos.<br />
β<br />
S a 2 b 2 c 2 d 2<br />
–– = –– = –– = –– = ––<br />
S a 2 b 2 c 2 d 2<br />
1 1 1 1 1<br />
ÁREAS DE LAS REGIONES CURVAS<br />
CÍRCULO:<br />
c 1<br />
S = πR 2<br />
R πD2 O<br />
s<br />
A S = ––––<br />
4<br />
D = diámetro<br />
O α S<br />
O<br />
R R<br />
A B<br />
S<br />
SECTOR CIRCULAR:<br />
απR 2<br />
A S secAOB = ––––<br />
360º<br />
B α = ángulo central<br />
SEGMENTO CIRCULAR:<br />
S seg = S secAOB - S ∆ AOB
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