T5 Movimiento ondulatorio - física (1073)

TEMA 5. MOVIMIENTO ONDULATORIO
1. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
2. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Departamento de Física y ATC
DIVISIÓN DE FÍSICA APLICADA
2.1. Ondas armónicas
2.2. Energía e intensidad de una onda. Absorción
2.3. Interferencia de ondas armónicas
2.4. Ondas estacionarias
2.5. Propagación de ondas
2.6. Efecto Doppler
3. ONDAS SONORAS
3.1. Velocidad de las ondas sonoras
3.2. Impedancia acústica
3.3. Nivel sonoro
4. CUESTIONES Y PROBLEMAS
Objetivos
1. Estudio del movimiento armónico simple, movimiento ondulatorio más sencillo, para
familiarizarse con los términos empleados en movimiento ondulatorio
2. Calcular la ecuación de onda, intensidad, potencia y energía de una onda.
3. Diferenciar los diferentes tipos de ondas.
4. Comprender los fenómenos de interferencia, propagación de ondas y efecto Doppler.
5. Comprender el significado de los términos de impedancia y nivel sonoro o sonoridad.
Bibliografía
1. Apuntes División Física Aplicada
2. Física (Cap.14, 15 Y 16) Vol. I – Tipler Mosca – Reverté – 2003
3. Física general (Cap. 13, 25 y 26) Vol. I – J. M. de Juana – Pearson- 2003

Tema 5. Movimiento Ondulatorio 2
1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Cuando una partícula o sistema se mueve periódicamente con relación a su posición
de equilibrio, es decir, se desplaza repetidamente hacia delante y hacia atrás por el
mismo camino, se dice que oscila o vibra. Un ejemplo podría ser el movimiento del
péndulo de un reloj, o el movimiento de los pulmones durante la respiración, y, aunque la
naturaleza física de estos sistemas es distinta, las ecuaciones que describen su
movimiento poseen la misma forma. El movimiento oscilatorio más sencillo es el
movimiento armónico simple (m.a.s.). Por definición diremos que una partícula se mueve
con movimiento armónico simple cuando su posición venga dada por la expresión:
Donde es la amplitud de la oscilación,
es decir, es el desplazamiento máximo de la
partícula respecto de su posición de
equilibrio. La cantidad ( ) se
denomina fase del movimiento, es la fase
inicial ( ) y la velocidad o frecuencia
angular.
( )
Se llama periodo del movimiento ( ), al
tiempo que emplea la partícula en realizar
un ciclo u oscilación completa y vuelva a
ocupar el estado inicial, o lo que es lo mismo, al tiempo necesario para volver a su mismo
estado vibratorio inicial, es decir:
( ) ( )
( ) [ ( ) ] [ ]
Tanto la función coseno, como la función seno, vuelven a tomar el mismo valor en
cada vuelta u oscilación, es decir, cada vez que la fase se incrementa en , de modo que
el periodo será:
La frecuencia ( ), se define como el número de oscilaciones por unidad de
tiempo, es decir, la inversa del periodo. En el S.I. se mide en Hertzios (Hz o s -1 ).
( )
Es interesante observar el significado físico de la fase inicial . Para ello
representaremos dos movimientos armónicos simples, uno con fase y otro ( ).
Si observamos el esquema, podemos observar que toda la segunda oscilación se
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 3
encuentra desplazada hacia la derecha el valor , diciéndose que ambas oscilaciones se
encuentran desfasadas unidades.
De igual forma, hay que remarcar que el valor de la fase nos permite describir, y/o
conocer, el estado inicial de un movimiento armónico simple
A partir de la expresión que determina la posición de una partícula que se mueve con
movimiento armónico simple: ( ) ( ), podremos obtener la expresión de
la velocidad y de la aceleración derivando respecto del tiempo:
( )
( )
( )
( )
Donde puede observarse que la aceleración es proporcional y opuesta al
desplazamiento, característica que define al movimiento armónico simple.
Ejemplo:
Un bote se balancea arriba y abajo. El desplazamiento vertical del bote , en metros, viene dado por la
expresión:
(
(a) Determinar la amplitud, frecuencia angular (velocidad angular), constante de fase, frecuencia y periodo
del movimiento
Si comparamos con la ecuación general para un movimiento armónico simple obtenemos:
La frecuencia y el periodo se deducen de
(b) ¿Dónde se encuentra el bote en t=1 s?
[
( )
⁄
]
)
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 4
(c) Determinar la velocidad y la aceleración para cualquier tiempo
[ ( )]
[ ( )]
( )
(
( ) (
(d) Calcular los valores iniciales de la posición, la velocidad y la aceleración del bote
En el instante inicial , obtenemos:
Ejemplo:
) (
Considerar un objeto ligado a un muelle, cuya posición viene dada por la ecuación ( ) ( ).
(a) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto?
La velocidad se obtiene derivando la posición con respecto al tiempo:
( )
La velocidad máxima se obtiene cuando | ( )| . El signo indica la dirección.
| | (
⁄ ) ( )
(b) ¿En qué instante se alcanza por primera vez ésta velocidad máxima?
La primera vez será cuando
| ( )|
⁄ ;
(c) ¿Cuál es la aceleración máxima del objeto?
La aceleración máxima corresponde a ( )
(
( )
⁄ ) ( )
(d) ¿En qué instante mayor que cero se alcanza por primera vez esta velocidad máxima?
La aceleración máxima tiene lugar cuando | | , lo que ocurre cuando
Puesto que inicialmente la partícula se encuentra en un extremo, ya parte con aceleración máxima. Pero,
como nos indican que el tiempo tiene que ser mayor que cero, tomaremos , y despejando el tiempo:
⁄
⁄
⁄
⁄
)
)
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 5
( )
El ejemplo más sencillo de m.a.s. es el movimiento de un cuerpo unido a un muelle.
Cuando el muelle se comprime o se alarga una pequeña cantidad , éste a su vez ejerce
una fuerza en sentido contrario al movimiento o fuerza recuperadora. La fuerza y la
cantidad de desplazamiento están relacionadas por la constante de fuerza ( ), que mide
la rigidez del muelle, mediante la Ley de Hooke
Si aplicamos la ley fundamental de la dinámica: y sustituimos el valor de la
aceleración por el obtenido anteriormente:
El signo negativo indica que la fuerza en el movimiento armónico simple es
proporcional y opuesta al desplazamiento, es decir, está siempre tratando que la partícula
vuelva a su posición de equilibrio.
Cuando un objeto oscila con movimiento armónico simple, tanto la energía cinética
como la potencial varían con el tiempo,
∫ ∫
√
[ ( )]
[ ( )]
Puesto que la energía total puede considerarse como la suma de la energía cinética
más la potencial y teniendo en cuenta que ,
[ ( )]
[ ( )]
Es decir, la energía total del movimiento armónico simple es una cantidad constante,
proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia angular.
Ejemplo:
Un objeto de 3 kg ligado a un muelle oscila con una amplitud de 4 cm y un periodo de 2 s.
(a) ¿Cuál es la energía total del sistema?
La energía total puede determinarse a partir de la amplitud del movimiento y de la constante de fuerza del
muelle, que puede calcularse mediante la masa del objeto y el periodo.
(
)
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(b) ¿Cuál es el modulo máximo de la velocidad del objeto?
(
La energía cinética alcanza su máximo valor cuando la velocidad es máxima, o lo que es lo mismo, cuando la
energía cinética es igual a la energía total
(c) ¿En qué posición el módulo de la velocidad es igual a la mitad de su valor máximo?
Mediante el principio de conservación de la energía podemos relacionar la posición con el módulo de la
velocidad
Sustituyendo ahora la velocidad por
2. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(
)
)
√
y despejando el valor de la posición
√
(
Cuando, por cualquier causa, una partícula empieza a vibrar, transmite la oscilación a
las partículas vecinas que, a su vez, la transmiten a otras partículas, generando una onda.
Por lo tanto, podemos definir onda como toda perturbación física que se transmite, y
movimiento ondulatorio a la propagación de dicha onda en el medio.
La perturbación puede ser de naturaleza muy diversa y su propagación se puede
llevar a cabo por diferentes causas, pero lo que todo movimiento ondulatorio tiene en
común es que solo se propaga energía, y no materia.
Las ondas se pueden clasificar:
a. Según el medio de propagación.
Ondas electromagnéticas: están formadas por campos eléctricos y
magnéticos oscilantes, se propagan en el vacío. Por ejemplo, las ondas de radio o TV.
Ondas mecánicas o materiales: están constituidas por el movimiento
oscilatorio de partículas materiales y solo se pueden propagar en un medio material. Por
ejemplo, las olas en el mar.
b. Según la dirección de oscilación.
√
(
)
)
√
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Ondas longitudinales: son aquellas en las que la dirección de la oscilación
de las partículas coincide con la de propagación de la onda, como por ejemplo las ondas
sonoras.
Ondas transversales: aquellas cuya dirección de oscilación es perpendicular
a la de propagación, como en el caso de las ondas electromagnéticas, o las producidas en
una cuerda tensa.
’
Si sacudimos una cuerda
estirada y sometida a tensión, observaremos
cómo varia la forma de la cuerda a lo largo
del tiempo. Al bucle o perturbación formada
en la sacudida, que se mueve a lo largo de la
cuerda, se le denomina pulso de onda, y a
una sucesión de pulsos se les denomina tren
de onda.
En el instante inicial, , la forma de la
cuerda viene representada por la función ( ). Un cierto tiempo después, el pulso se
ha desplazado a una posición , en éste instante la función es ( ). La relación entre
y viene dada por la expresión . Donde es la velocidad de propagación de
la onda.
Así pues el desplazamiento de la onda por la cuerda puede escribirse como
( ) ( ), si se mueve en el sentido positivo del eje , y en el caso de moverse en
sentido contrario como ( ) ( ). En general, llamaremos función de onda al
desplazamiento en función del tiempo de la onda y que se transmite con velocidad
respecto del medio, y se escribe como:
( )
Como ya hemos comentado, las ondas son fenómenos comunes, pero con orígenes
físicos específicos. De acuerdo con ello, cada tipo de onda tiene una velocidad
característica, es decir, la velocidad de una onda depende de las propiedades del medio,
pero no del movimiento de la fuente que la genera. Por ejemplo, la velocidad del sonido
de la bocina de un coche depende de las propiedades del aire y no del movimiento del
coche.
La velocidad de varios tipos de ondas mecánicas puede ser deducida mediante las
leyes de Newton, pero dichos cálculos son complicados y no se desarrollaran aquí,
aunque se citarán algunos ejemplos:
a. Ondas en una cuerda, la velocidad se determina en función de la tensión de la
cuerda ( ) y de la densidad de masa lineal (masa por unidad de longitud, )
b. Ondas electromagnéticas, las cuales pueden propagarse en el vacío, y cuya
velocidad toma un valor fijo, = 3·10 8 m/s
√
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2.1. Ondas armónicas
Si el extremo de una cuerda se mueve de forma periódica hacia arriba y hacia abajo,
se generan ondas continuas y regulares denominadas ondas periódicas.
Las ondas periódicas de cualquier tipo están caracterizadas por varias magnitudes:
a. Amplitud ( ), es el valor máximo del desplazamiento respecto de la posición de
equilibrio. A la parte de la onda donde la amplitud es máxima comúnmente se le
denomina cresta.
b. Frecuencia ( ), es el número de ondas que pasan por segundo por un punto
determinado y viene determinada por la fuente de la onda.
c. Periodo ( ), es el tiempo entre sucesivas crestas, y coincide con la inversa de la
frecuencia.
d. Longitud de onda ( ), es la distancia mínima recorrida en el espacio hasta que la
función de onda se repite, o bien la distancia entre crestas sucesivas.
e. Velocidad de onda ( ), velocidad con la que se propaga la onda.
Durante un periodo la onda se mueve una distancia de una longitud de onda,
de modo que la velocidad viene dada por
Las ondas periódicas más sencillas son las ondas armónicas, de gran interés ya que,
según el teorema de Fourier, todo movimiento ondulatorio, por analogía con el
movimiento armónico simple, se puede escribirse como el sumatorio de ondas
armónicas. Si una onda armónica se mueve por un medio, cada punto del medio oscila
siguiendo un movimiento armónico simple. Así, la función de onda que describe el
movimiento de una onda armónica se puede escribir como
( ) (
Donde es la amplitud, la longitud de onda y una constante de fase que depende
de la elección del origen =0.
Para describir una onda que se mueve a lo largo del eje en sentido positivo con una
velocidad , se sustituye por – , y si además se considera igual a cero y se
denomina número de onda ( ) al cociente , se obtiene que
( ) ( ) ( )
Teniendo en cuenta que: , puede escribirse la función que
describe una onda armónica como
( ) ( )
Si se considera que la onda se mueve transversalmente, es decir, en el eje , para un
punto determinado , la velocidad viene dada por
)
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 9
[ ( )]
2.2. Energía e intensidad de onda. Absorción
( )
Recordemos que las ondas se generan cuando, por cualquier causa, una partícula
empieza a vibrar y transmite la oscilación a las partículas vecinas. Cada partícula vibra con
una determinada energía, por lo que la energía total de una onda es la suma de la energía
de vibración de las partículas, luego
∑
A la energía por unidad de tiempo se le denomina potencia ( ), es decir,
Por ejemplo, en el caso de una onda generada en una cuerda, la masa total de la
cuerda es igual a la longitud de la misma multiplicada por la densidad lineal ( ), por lo
que la energía y la potencia pueden calcularse a partir de las siguientes expresiones
Ejemplo:
Ondas de longitud de onda de 35 cm y amplitud 1.2 cm se mueven a lo largo de una cuerda de 15 m de
longitud que tiene una masa de 80 g y está sometida a una tensión de 12 N.
a) ¿Cuál es la energía total de las ondas de la cuerda?
La energía que transporta una onda transversal en una cuerda viene determinada por la expresión:
que es función de la densidad lineal de masa, , la frecuencia angular, y la amplitud, , de la onda.
Tenemos que determinar la frecuencia angular, único valor que no obtenemos directamente del enunciado,
para lo que puede emplearse la expresión de la velocidad de propagación de la onda:
Teniendo en cuenta que la frecuencia angular es:
Por lo tanto la energía total será:
√
√
∑
∑
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b) Hallar la potencia transmitida que pasa por un punto dado de la cuerda.
La potencia viene dada por la expresión:
Se define la intensidad del movimiento ondulatorio como la energía transportada por
unidad de tiempo a través de la unidad de superficie perpendicular a la dirección de
propagación.
Donde se ha tenido en cuenta que la masa puede expresarse en función de la
densidad y el volumen ( ), y que el cociente entre volumen y superficie es igual a
la longitud característica del movimiento .
De todo esto se deduce que la intensidad del movimiento ondulatorio es
proporcional a la densidad del medio de propagación, a la velocidad de propagación y al
cuadrado de la amplitud y de la velocidad angular.
En general puede afirmarse que las ondas se atenúan, es decir, disminuyen su
amplitud y energía conforme aumenta la distancia a la fuente emisora.
Las ondas, al propagarse en un medio, sufren pérdida de energía e intensidad que
son absorbidas por éste debido a su naturaleza y características físicas. A este fenómeno
se le denomina absorción de una onda.
Consideremos una onda que se propaga en
un medio homogéneo, en dirección del eje . La
disminución relativa de intensidad está
relacionada con el desplazamiento por el
coeficiente de absorción , que depende de la
naturaleza del medio y de la frecuencia de la
onda.
Si se integra dicha expresión se obtiene que , es decir, la intensidad de la
onda disminuye exponencialmente con respecto al coeficiente de absorción .
2.3. Interferencia de ondas armónicas
La combinación de dos o más ondas, que se propagan en el mismo medio, da lugar a
la formación de una nueva onda resultante igual a la suma algebraica de las ondas
individuales. Es una propiedad característica y única del movimiento ondulatorio
denominada linealidad o principio de superposición.
En el caso de ondas armónicas de la misma frecuencia, la superposición depende de
la diferencia de fase entre las ondas. Supongamos dos ondas que se propagan en la
misma dirección con la misma amplitud, frecuencia y número de ondas, pero con un
desfase entre ellas
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 11
( ) ( )
La onda resultante es la suma de las ondas individuales,
( ) ( )
Dicha ecuación puede simplificarse si tenemos en cuenta que, la suma de los senos
de dos ángulos es el doble producto del seno de la semisuma de ellos, por el coseno de la
semidiferencia de los mismos,
obteniéndose como onda resultante otra onda armónica con la misma frecuencia y el
mismo número de onda. Recuerde que ( ) ( ).
[
] (
La onda resultante tiene una amplitud igual a
la diferencia entre las fases de las ondas individuales.
)
y una fase igual a la mitad de
La superposición de dos o más ondas de igual frecuencia, o muy parecida, que da un
patrón de intensidad observable se denomina interferencia.
Si las dos ondas están en fase, la diferencia de fase es , y la amplitud
de la onda resultante es . En este caso se denomina interferencia constructiva. Si las
ondas están desfasadas , ( ) y la amplitud de la onda resultante es
nula, se llama interferencia destructiva.
Onda 1
Onda 2
Onda Resultante
Interferencia Constructiva
Onda 1
Onda 2
Onda Resultante
Interferencia Destructiva
La causa más corriente que produce una diferencia de fase entre dos ondas es la
diferencia de longitud en los trayectos que recorren desde su fuente de emisión hasta el
punto donde interfieren. Si la diferencia entre los trayectos es una longitud de onda o un
número entero de longitudes de onda, , la interferencia es constructiva. Si la
diferencia de los trayectos es una semilongitud de onda o un número impar de
semilongitudes de onda, ( ) , es decir que el máximo de una onda
coincidirá con el mínimo de la otra entonces se producirá una interferencia destructiva.
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 12
Por ejemplo, en el caso de dos ondas de la misma amplitud y frecuencia con trayectos
diferentes, emitidas desde dos fuentes que oscilan en fase
( ) ( )
La diferencia de fase debida a la diferencia de trayectos es:
( ) ( ) ( )
La onda resultante viene dada por la suma de las ondas individuales, es decir:
[
] (
En los puntos en los que la interferencia es constructiva, la intensidad es , donde
es la intensidad debida a las fuentes, ya que la amplitud resultante es el doble de la
amplitud de las ondas. En los puntos de interferencia destructiva la intensidad es cero.
No es necesario que dos focos estén en fase para que produzcan un patrón de
interferencias. Se producirán patrones de interferencia semejantes mediante dos focos
cuya diferencia de fase sea constante a lo largo del tiempo.
Dos focos que están en fase o tienen una diferencia de fase constante se denominan
fuentes coherentes. Las fuentes de ondas cuya diferencia de fase no es constante a lo
largo del tiempo, sino que varía aleatoriamente, son fuentes incoherentes. En el caso de
fuentes incoherentes, la interferencia en un punto concreto varía rápidamente de
constructiva a destructiva y viceversa, y no se observa ningún patrón de interferencia
estable. La intensidad resultante de las ondas originadas por dos o más fuentes
incoherentes es simplemente la suma de las intensidades debidas a las fuentes aisladas.
Ejemplo:
Suponga dos altavoces separados 1 metro excitados por un mismo oscilador y que emiten un sonido de
frecuencia 1150 Hz. Una persona se encuentra a 4.0 m de uno de los altavoces, ¿a qué distancia debe estar
del segundo altavoz para notar una interferencia destructiva? Suponga que la velocidad de propagación del
sonido en el aire es de 343 m/s.
La longitud de onda de este sonido es:
)
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 13
Para que haya interferencia destructiva, la persona debe estar media longitud de onda, o 0.15 cm más
alejada de un altavoz que del otro. Así por ejemplo, la persona debe estar a 4.15 m o a 3.85 m del segundo
altavoz.
2.4. Ondas estacionarias
Las ondas estacionarias se producen cuando interfieren, al propagarse en sentido
contrario, dos movimientos ondulatorios con la misma longitud de onda ( ), velocidad de
propagación ( ) y amplitud ( ).
Por ejemplo, las ondas generadas en una cuerda cuando se fija un extremo de
manera que no pueda vibrar. Cuando una onda incide sobre el extremo fijo de una cuerda
ésta se refleja, es decir, se genera una nueva onda en sentido opuesto, de forma que la
superposición de las dos ondas – incidente y reflejada- produce una interferencia
destructiva en el extremo de la cuerda. Supongamos que la onda incidente y la reflejada
son de la forma, ( ) e ( ), siendo la onda resultante la
suma de ambas
( ) ( ) ( ) (
⁄
) ( )
La onda final posee características distintas a las iniciales. Todos los puntos efectúan
un movimiento armónico simple, pero con amplitudes distintas, que dependen de la
posición. Existen puntos con interferencia destructiva o nodos, es decir que no vibran, y
otros con interferencia constructiva donde la amplitud de vibración es máxima
denominados vientres o antinodos.
Consideramos una cuerda de longitud :
a. Si la cuerda está fija por ambos extremos, se cumple que: ( ) ( ) .
La segunda condición solo se
cumple cuando ( ) , o bien,
. Por lo tanto podemos
expresar la longitud de la cuerda
como .
Este resultado se conoce como
condición de onda estacionaria con
ambos extremos fijos, en general se
suele expresar como:
{
n = 1
n = 2
n = 3
N
A
N
N A
N
A N
N A N A N A N
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 14
A partir de ella podemos obtener que la frecuencia de resonancia es
Cada una de las frecuencias de resonancia, junto con su función de onda, se llama
modo de vibración. La frecuencia de
resonancia más baja corresponde al
modo fundamental o primer armónico
(n = 1). Solamente se consideran
armónicas a aquellas frecuencias de
resonancia que son un múltiplo
entero de la frecuencia fundamental.
Las frecuencias de resonancia que no
son múltiplos enteros de la frecuencia
fundamental son denominadas
sobretonos.
n = 1
n = 2
n = 3
que ( ) es un máximo o un mínimo.
b. Si la cuerda está fija por un
solo extremo, se cumple: ( ) y
La segunda condición solo se cumple cuando: ( ) , es decir para valores de
. Luego, la longitud se puede expresar como , que se conoce como
condición de onda estacionaria con un extremo libre, y en general se suele expresar como
Ejemplo:
N
N A
N
A N
N A N A N A
N
A
( )
( )
Una cuerda de 2 metros de longitud y masa 1 kg está fija por ambos extremos. La tensión de la cuerda es de
20 N.
a) ¿ Cuáles son las frecuencias de los tres primeros modos de vibración?
b) Si en un punto ubicado a 0.4 m hay un nodo, ¿en qué modo de vibración y con qué frecuencia está
vibrando la cuerda?
Primero debemos determinar cuáles son los tres primeros modos de vibración de la cuerda, entonces
consideremos las posibilidades:
Nodo – Antinodo – Nodo
Nodo – Antinodo – Nodo – Antinodo – Nodo
Nodo – Antinodo – Nodo – Antinodo – Nodo – Antinodo – Nodo
N
Las frecuencias las podemos obtener por ⁄ , entonces es necesario conocer la velocidad y la longitud
de onda, determinemos primero la densidad lineal de masa
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 15
Luego la velocidad de propagación de la onda en la cuerda será
√
√
Por lo tanto, para el primero modo de vibración (NAN) tenemos que, como la cuerda mide 2 m, la distancia
entre cada nodo es de , la longitud de onda es , y la frecuencia pude calcularse:
Para NANAN, la distancia entre cada nodo es de 1 m, y la longitud de onda es de 2 m, la frecuencia será:
Para NANANAN, la distancia entre cada nodo es de , y la longitud de onda es de
, la frecuencia será:
Para el apartado b) del problema debemos considerar que, si el nodo está en 0.4 m, la longitud de la onda
es de 0.8 m, luego la frecuencia de vibración de la cuerda es:
y el modo de vibración es: (el quinto modo)
2.5. Propagación de ondas
Cuando una onda incide sobre una superficie límite o de separación entre dos medios
donde la velocidad de propagación es diferente, parte de la onda es reflejada y parte es
transmitida.
Consideramos, por ejemplo, una onda sonora en el
aire (rayo incidente) que incide sobre una superficie
sólida o líquida:
- El rayo reflejado forma un ángulo con la normal a la
superficie igual al que forma el rayo incidente, es decir:
⁄
⁄
Rayo
reflejado
Rayo
incidente
Rayo
refractado
- El rayo transmitido o refractado se desvía de la
normal dependiendo de la velocidad de propagación en el segundo medio. Esta
desviación del rayo transmitido se denomina refracción.
Cuando la velocidad de propagación de la onda en el segundo medio es mayor que en
el medio incidente, el rayo refractado se desvía alejándose de la normal. Al incrementarse
el ángulo de incidencia también se incrementa el ángulo de refracción. A la relación entre
las velocidades de propagación en los diferentes medios se le denomina índice de
refracción ( ). Si consideramos, como el índice de refracción del medio incidente y
como el del medio de refracción o segundo medio, según la ley de Snell, la velocidad de
propagación es:
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 16
En el caso que una onda encuentra un obstáculo o rendija en la dirección de su
propagación, ésta intenta rodearlo y por lo tanto se deforma, a esta distorsión se le
denomina difracción. Solo se observa difracción cuando el obstáculo o rendija tiene un
tamaño ( ) del orden de la longitud de onda ( ).
Por ejemplo, las ondas sonoras poseen longitudes de onda grandes en comparación
con las aberturas u obstáculos (ventanas, puertas…), es decir que el fenómeno de
difracción es común en este tipo de ondas. Por el contrario, las ondas luminosas visibles
poseen longitudes de onda muy pequeñas, siendo muy difícil observar la difracción, de
forma que la luz parece propagarse en línea recta.
2.6. Efecto Doppler
Cuando la fuente de ondas y el observador están en movimiento relativo con
respecto al medio material en el que la onda se propaga, la frecuencia de las ondas
observadas es diferente de la frecuencia de las ondas emitidas por la fuente. Este
fenómeno recibe el nombre de efecto Doppler en honor a su descubridor.
En primer lugar, vamos a observar el fenómeno, y después se obtendrá la fórmula
que relaciona la frecuencia de las ondas observadas con la frecuencia de las ondas
emitidas, la velocidad de propagación de las ondas , la velocidad del emisor y la
velocidad del observador .
Se considerará que el emisor produce ondas de forma continua, pero solamente se
representarán los sucesivos frentes de ondas, circunferencias centradas en el emisor,
separados por un periodo, de un modo semejante a lo que puede observarse en la
experiencia en el laboratorio con una cubeta de ondas.
Empezando por el caso más sencillo, se considerará que el observador está en
reposo, a la izquierda o a la derecha del emisor de ondas y se estudiarán diversas
situaciones dependiendo de la velocidad del emisor.
Recordaremos que en el estudio de las del movimiento ondulatorio armónico se
estableció la relación entre longitud de onda y el periodo, .
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 17
Emisor en reposo ( )
Se dibujan los sucesivos frentes de ondas, que son
circunferencias separadas una longitud de onda, centradas en
el emisor. El radio de cada circunferencia es igual al producto
de la velocidad de propagación por el tiempo transcurrido
desde que fue emitido. La separación entre dos frentes de
onda es una longitud de onda, , siendo el periodo o
tiempo que tarda en pasar dos frentes de onda consecutivos
por la posición del observador.
La longitud de onda medida por el emisor y por el observador es la misma, una unidad,
.
Emisor en movimiento ( )
Se considerará primero el caso de que la velocidad del emisor es menor que la
velocidad de propagación de las ondas en el medio .
Si el movimiento del emisor va de izquierda a derecha (velocidades positivas), la
longitud de onda medida por el observador situado a la derecha es menor que la unidad,
y la longitud de onda medida por el observador situado a la izquierda del emisor será
mayor que la unidad.
Observador situado a la derecha del emisor
Observador situado a la izquierda del emisor
Observador situado a la derecha del emisor
Observador situado a la izquierda del emisor
Como , o bien , hay una relación inversa
entre longitud de onda y la frecuencia .
Si el emisor genera ondas sonoras, el sonido escuchado por el observador situado a la
derecha del emisor, será más agudo, y el sonido escuchado por el observador situado a la
izquierda será más grave. En otras palabras, cuando el emisor se acerca al observador,
éste escucha un sonido más agudo y cuando el emisor se aleja del observador, éste
escucha un sonido más grave.
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 18
Emisor en movimiento ( )
Cuando el emisor está en movimiento ( )
Cuando la velocidad del emisor sea igual que la
velocidad de propagación de las ondas en el medio , la
longitud de onda medida por el observador situado a la
derecha del emisor es cero. Si el emisor es un avión que va a
la velocidad del sonido, los sucesivos frentes de las ondas
emitidas se agrupan en la punta o morro del avión
Cuando la velocidad del emisor sea mayor que la velocidad de propagación de las
ondas en el medio , el movimiento ondulatorio resultante es entonces una onda cónica
(la envolvente de los sucesivos frentes de onda es un cono con el vértice en el emisor).
Ésta onda se llama onda de Mach u onda de choque, y es el sonido repentino y violento
que se percibe cuando un avión supersónico pasa cerca de un observador. Estas ondas se
observan también en la estela que dejan los botes que se mueven con mayor velocidad
que las ondas superficiales sobre el agua.
A
B O
La envolvente, es la recta
tangente común a todas las
circunferencias. En el espacio, los
frentes de onda son esferas y la
envolvente es una superficie cónica.
En el instante , el emisor se
encuentra en B, emite una onda que
se propaga por el espacio con
velocidad . En el instante el emisor
se encuentra en el punto O, y se ha
desplazado . En este instante, el
frente de onda centrado en B tiene
una radio .
En el triángulo rectángulo OAB, el ángulo del vértice puede calcularse empleando la
expresión . Este cociente se denomina número de Mach, y al ángulo se le
denomina ángulo de Mach.
Consideremos una fuente que emite ondas con una frecuencia y que se mueve a
una velocidad respecto a un receptor que se mueve con una velocidad . Las ondas
se propagan con una frecuencia y una velocidad . La frecuencia percibida por el
receptor ( ) viene dada por la expresión:
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 19
La elección correcta del signo se determina recordando que la frecuencia tiende a
aumentar cuando el foco y el receptor se acercan. Por ejemplo, si el receptor se acerca al
foco, en el numerador se selecciona el signo positivo.
Ejemplo:
Un silbato emite sonido de frecuencia 500 Hz y se mueve con una máquina de tren a velocidad de 90 km/h.
Un conductor se mueve en la misma dirección, pero en sentido contrario, en un vehículo con una velocidad
de 144 km/h acercándose al tren. Calcular la frecuencia del sonido percibida por el conductor.
Tren Vehículo
La frecuencia del sonido percibido es = 603 Hz
Vehículo
La frecuencia del sonido percibida es =603 Hz
3. ONDAS SONORAS
= 25 m/s
= 340 m/s
= -40 m/s
= -25 m/s
= -340 m/s
= 40 m/s
Las ondas sonoras consisten en el movimiento ondulatorio longitudinal de las
partículas que forman el medio. Cuando las ondas poseen una frecuencia comprendida
entre 20 y 20000 Hz son detectadas por el oído humano, y se denominan ondas audibles
o sonido.
3.1. Velocidad de las ondas sonoras
Como ya hemos comentado, la velocidad de una onda ( ) depende de las
propiedades del medio. En el caso de las ondas sonoras, la velocidad depende del módulo
de compresibilidad ( ) y de la densidad del medio ( )
Como vimos en temas anteriores, el módulo de compresión está relacionado con la
variación de presión y volumen. También sabemos que la variación de volumen debida a
los cambios de presión en los líquidos es bastante menor que en los gases. La diferencia
es tal que es capaz de compensar la mayor densidad de los líquidos, con respecto a los
√
Tren
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 20
gases, y la velocidad del sonido es varias veces mayor en los líquidos que en los gases, tal
y como puede apreciarse en la tabla.
Medio de transmisión Aire (20 °C) Agua (20 °C) Madera
v (m/s) 343 1482 3300
En los gases, tanto la compresión como la densidad dependen drásticamente de la
temperatura y de la presión. Si además tenemos en cuenta la ecuación de los gases
ideales, y el coeficiente adiabático del medio , podremos expresar la velocidad de una
onda sonora como:
donde en es el coeficiente adiabático y la masa molar del gas.
Ejemplo:
√
√
Una onda sonora de 5000 Hz., tiene una longitud de onda de 6.5 cm en un gas con las siguientes
características: peso molecular = 28 g/mol, Cp = 7/2 nR y Cv = 5/2 nR. Calcula la temperatura a la que se
encuentra el gas.
La expresión que indica la velocidad de propagación de una onda sonara en un gas ideal a una temperatura,
es la siguiente
√
La medida de la temperatura de un gas por medio de una onda sonora se realiza a partir de la fórmula
anterior midiendo la velocidad de propagación del sonido en el gas, despejando la temperatura:
A partir de la frecuencia y longitud de onda de la señal puede hallarse la velocidad de propagación:
Con los valores de los calores específicos se calcula el coeficiente adiabático:
Finalmente:
⁄
√
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 21
3.2. Impedancia
Tal como vimos anteriormente, la energía de una onda corresponde a la suma de las
energías de oscilación de las partículas del medio, lo que, expresado en función del
volumen ocupado por la onda, puede representarse como
∑
La sensación de sonoridad de una onda no está relacionada directamente con la
energía, sino con la intensidad o potencia por unidad de área, siendo la potencia la
energía por unidad de área, luego la expresión de intensidad de una onda sonora es
donde , es la impedancia o resistencia acústica del medio (resistencia de un medio a que
una onda se propague a través del mismo). Si observamos la ecuación anterior podemos
ver que cuando la impedancia aumenta también aumenta la intensidad de la onda (a
diferencia de lo que sucede con la impedancia eléctrica). La impedancia acústica se puede
expresar como
√ √
La impedancia acústica desempeña un importante papel en las propiedades de
transmisión de las ondas sonoras.
3.3. Nivel sonoro
La percepción del sonido no es proporcional a la intensidad sino que varía
logarítmicamente. Por lo tanto, se usa una escala logarítmica para describir el nivel
sonoro o de intensidad de una onda sonora , el cual se mide en decibelios y se define por
donde es la intensidad física del sonido e es un nivel de referencia, que tomaremos
como umbral de audición
En escala logarítmica, el umbral de audición ( ) es de 0 dB y el umbral del dolor
( = 1 W/m 2 ) de 120 dB. En realidad, la sonoridad depende de la frecuencia y del nivel de
intensidad en decibelios.
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Tema 5. Movimiento Ondulatorio 22
Fuente
Intensidad física
( )
Respiración 10 0
Nivel sonoro
(dB)
Descripción
0 umbral de audición
Susurro 10 1.5 15 Sonido suave
Tráfico intenso 10 8
Concierto de rock (a 2 m),
trueno, reactor a 100 m
10 12
Despegue de un cohete 10 18
Ejemplo:
80 poco ruidoso
120 umbral de dolor
180 rotura de tímpano
El ladrido de un perro supone alrededor de 1 mW de potencia. (a) Si esta potencia se distribuye
uniformemente en todas direcciones, ¿cuál es el nivel de intensidad sonora a una distancia de 5 m?
(b) ¿Cuál sería el nivel de intensidad de dos perros ladrando al mismo tiempo si cada uno de ellos desarrolla
una potencia de 1 mW?
El nivel de intensidad sonora está relacionado con la intensidad física mediante:
Calculamos la intensidad a 5 m:
Calculamos el nivel de intensidad sonora a 5 m:
( )
Si es la intensidad de un perro la intensidad de dos perros , por lo tanto
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