T22.06 L846u.pdf - Universidad de La Salle
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UNA UNIDAD DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA FUNCION<br />
EXPONENCIAL EN EL GRADO NOVENO<br />
LUZ ALEYDA LONDOÑO TRIANA<br />
UNIVERSIDAD DE LA SALLE<br />
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA·EDUCACIÓN<br />
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN<br />
BOGOTA<br />
2006
UNA UNIDAD DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LAS FUNCION<br />
EXPONENCIAL EN EL GRADO NOVENO<br />
LUZ ALEYDA LONDOÑO TRIANA<br />
Trabajo <strong>de</strong> grado presentado como requisito parcial para optar al título <strong>de</strong><br />
Licenciada en Matemáticas y Física<br />
Asesores<br />
Joaquín Restrepo Becerra Profesor <strong>Universidad</strong> la <strong>Salle</strong><br />
Fernando Sarmiento Parra Profesor <strong>Universidad</strong> la <strong>Salle</strong><br />
UNIVERSIDAD DE LA SALLE<br />
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN<br />
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN<br />
BOGOTA<br />
2006
Bogotá, 15 <strong>de</strong> Septiembre <strong>de</strong>2006<br />
Nota <strong>de</strong> aceptación<br />
______________________________<br />
______________________________<br />
______________________________<br />
______________________________<br />
______________________________<br />
______________________________<br />
______________________________<br />
Firma <strong>de</strong>l presi<strong>de</strong>nte <strong>de</strong>l jurado<br />
______________________________<br />
Firma <strong>de</strong>l jurado<br />
______________________________<br />
Firma <strong>de</strong>l jurado
DEDICATORIA<br />
A la memoria <strong>de</strong> Jorge Eliécer Ocampo, quién hizo posible que mis estudios<br />
universitarios, transcurrieran, tan solo, con las preocupaciones que mi <strong>de</strong>sempeño<br />
como estudiante me acarrearon; permitiendo que disfrutara día a día mi época<br />
universitaria. ¡Ruego a Dios que lo guar<strong>de</strong> en su gloria!<br />
A mi mamá y a mi tía, por su apoyo, sacrificios, ánimo y <strong>de</strong>dicación, constantes,<br />
en pro <strong>de</strong> mi bienestar. ¡Que Dios y a la virgen, bajo sus santísimos mantos,<br />
siempre las guar<strong>de</strong> y las proteja!<br />
A “mi profesor” José Antonio Medina. Profesor <strong>de</strong> Matemáticas, -hasta hace<br />
poco-, <strong>de</strong> la <strong>Universidad</strong> <strong>de</strong> <strong>La</strong> <strong>Salle</strong> y cuya asesoría en años anteriores, fue<br />
fundamental en el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> este trabajo. ¡Siempre lamentaré, que el <strong>de</strong>stino<br />
o la suerte me negaran la oportunidad <strong>de</strong> ser su alumna, en alguna <strong>de</strong> las tantas<br />
asignaturas, que hicieron parte <strong>de</strong>l currículo <strong>de</strong> mi carrera! ¡Qué la luz <strong>de</strong> la<br />
divinidad <strong>de</strong>l todopo<strong>de</strong>roso, ilumine siempre su camino!<br />
A mi hermana, y a mis amigos; que son pocos, porque son los mejores. Sé que se<br />
alegraran cuando ¡por fin ...! lean este trabajo. ¡Que Dios los guíe y los proteja!
AGRADECIMIENTOS<br />
A las Directivas <strong>de</strong> la <strong>Universidad</strong>, por permitirme alcanzar, este titulo, requisito<br />
indispensable y punto <strong>de</strong> inicio a proyectos muy importantes para mi vida<br />
profesional y familiar.<br />
Al Hermano Cristhian James Díaz Mesa, Decano <strong>de</strong> la Facultad <strong>de</strong> Ciencias <strong>de</strong> la<br />
Educación y a todos los miembros <strong>de</strong>l Consejo <strong>de</strong> facultad, por permitir la<br />
presentación <strong>de</strong> este trabajo.<br />
Al profesor Fernando Sarmiento Parra, Coordinador <strong>de</strong> la Licenciatura en<br />
matemáticas y Ciencias <strong>de</strong> la Computación, por su acompañamiento, asesoría y<br />
gestión, pero sobre todo, por su especial interés y ayuda en la solución a todas<br />
las dificulta<strong>de</strong>s que se me presentaron. Su actitud, siempre amable y <strong>de</strong> apoyo<br />
constante, fueron fundamentales en la realización <strong>de</strong> este trabajo.<br />
Al profesor Joaquín Restrepo Becerra, Coordinador <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> matemáticas, por<br />
su asesoría, acompañamiento, interés y orientaciones, en la realización <strong>de</strong> este<br />
trabajo.<br />
A la señora Ana Belén Arias, secretaria <strong>de</strong> la Facultad <strong>de</strong> Educación, quién facilitó<br />
mi labor, con su atención e información, siempre amable y oportuna.
Al señor Wilber Mén<strong>de</strong>z, funcionario <strong>de</strong> la biblioteca <strong>de</strong> la <strong>Universidad</strong> <strong>de</strong> <strong>La</strong> <strong>Salle</strong>,<br />
quién con especial interés, facilitó mi acceso a textos, libros y trabajos <strong>de</strong><br />
referencia.<br />
A todas aquellas personas, que <strong>de</strong> una u otra manera, facilitaron mi labor.
INTRODUCCION<br />
CONTENIDO<br />
1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA<br />
1.1 DEFINICION DEL PROBLEMA<br />
1.1.1 ANTECEDENTES<br />
1.1.2 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA<br />
1.2 PREGUNTAS DE INVESTIGACION<br />
1.3 JUSTIFICACION<br />
1.4 OBJETIVOS<br />
pág.<br />
1.4.1 OBJETIVO GENERAL 29<br />
14<br />
17<br />
17<br />
20<br />
22<br />
23<br />
29
1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS<br />
1.5 FACTIBILIDAD DE LA INVESTIGACION<br />
1.5.1 RECURSOS<br />
1.5.2 LIMITACIONES.<br />
2 MARCO CONTEXTUAL<br />
2.1 RESEÑA HISTORICA DEL COLEGIO GUSTAVO ADOLFO<br />
BECQUER.<br />
2.2 UBICACIÓN Y DESCRIPCION DE LA POBLACION 32<br />
3 MARCO TEORICO<br />
3.1 INTRODUCCION<br />
3.2 APRENDIZAJE.<br />
3.3 DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS 42<br />
30<br />
30<br />
30<br />
31<br />
32<br />
32<br />
34<br />
34<br />
37
4. MARCO METODOLOGICO<br />
4.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN<br />
4.2 DISEÑO METODOLÓGICO<br />
4.3 TECNICAS A APLICAR EN EL AULA<br />
4.3.1 ACTIVIDAD INICIAL 47<br />
4.3.2 ACTIVIDAD DE DESARROLLO<br />
4.3.3 ACTIVIDAD DE SINTESIS<br />
4.4 DISEÑO DE LA DIDACTICA<br />
5 UNIDAD DIDACTICA<br />
6 APLICACION<br />
7 CONCLUSIONES. 198<br />
45<br />
45<br />
45<br />
47<br />
47<br />
47<br />
48<br />
49<br />
185
RECOMENDACIONES<br />
BIBLIOGRAFIA.<br />
ANEXOS. 204<br />
199<br />
201
LISTA DE CUADROS<br />
Cuadro 4. Resultados <strong>de</strong> la Aplicación <strong>de</strong> la Primera Unidad 187<br />
Cuadro 5. Respuestas Curso 901 189<br />
Cuadro 6. Respuestas Curso 902 191<br />
Cuadro 7. Comparativo Respuestas Correctas Curso 901-902 193<br />
pág.
LISTA DE ANEXOS<br />
ANEXO A. Prueba <strong>de</strong> Diagnostico 204<br />
ANEXO B. Prueba <strong>de</strong> Verificación 208<br />
ANEXO C. Propuestas Didácticas 212<br />
pág.
LISTA DE GRAFICAS<br />
Gráfica 1. Respuestas Curso 901 189<br />
Gráfica 2. Respuestas Curso 902 191<br />
pág.<br />
Gráfica 3. Comparativo Respuestas Correctas Curso 901-902 193
INTRODUCCION<br />
<strong>La</strong> historia <strong>de</strong> la Matemáticas no pue<strong>de</strong> aislarse <strong>de</strong> la historia <strong>de</strong> la humanidad, el<br />
avance y <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> la una es paralelo al <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> la otra.<br />
Es innegable, que son las Matemáticas las que impulsan el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> la técnica<br />
y la ciencia, <strong>de</strong> ahí su inclusión en los currículos escolares y la gran preocupación<br />
<strong>de</strong> los gobiernos por brindar calidad en su enseñanza y aprendizaje.<br />
<strong>La</strong> enseñanza <strong>de</strong> la Matemática, tiene por lo tanto, como objetivo el formar<br />
ciudadanos competentes, capaces <strong>de</strong> contribuir al <strong>de</strong>sarrollo y progreso <strong>de</strong> su país<br />
y al suyo propio.<br />
<strong>La</strong>s aplicaciones que actualmente tienen las Matemáticas, en el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> la<br />
ciencia y la tecnología, exigen a la humanidad su comprensión y conocimiento.<br />
Dicha comprensión <strong>de</strong> las Matemáticas, recae invariablemente, como tarea <strong>de</strong>l<br />
profesor, quien finalmente es el encargado, <strong>de</strong> transmitir sus conceptos y orientar<br />
a los estudiantes en la construcción <strong>de</strong> su propio conocimiento.
Así; la tarea <strong>de</strong>l docente, no pue<strong>de</strong> centrarse, en la enseñanza <strong>de</strong> conceptos, que<br />
el alumno memoriza y repite, convirtiendo el aprendizaje en una actividad<br />
puramente mecánica, sino más bien en una construcción colectiva.<br />
Son los docentes los que <strong>de</strong>ben asumir la enseñanza, como un proceso en<br />
constante evolución, que requiere <strong>de</strong> perfeccionar y a<strong>de</strong>cuar aquellas<br />
metodologías que <strong>de</strong>sarrollen la capacidad <strong>de</strong> análisis <strong>de</strong>l individuo,<br />
proporcionándole herramientas para el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> habilida<strong>de</strong>s en la<br />
transferencia <strong>de</strong> sus conocimientos ─ disciplinares, previamente adquiridos en un<br />
proceso cuidadosamente <strong>de</strong>sarrollado ─ a la solución <strong>de</strong> problemas.<br />
El educador y el contenido <strong>de</strong> los textos, por lo tanto, <strong>de</strong>ben proveer al estudiante<br />
<strong>de</strong> activida<strong>de</strong>s que lo lleven a realizar dicha transferencia <strong>de</strong> conocimientos.<br />
Con la realización <strong>de</strong> este trabajo, se preten<strong>de</strong> ofrecer, no solo al profesor sino al<br />
estudiante, una herramienta, que ayu<strong>de</strong> a mejorar las condiciones actuales, en<br />
cuanto a la comprensión, aplicabilidad, enseñanza y aprendizaje, <strong>de</strong> la Función<br />
Exponencial.<br />
Acerca <strong>de</strong> la organización y presentación <strong>de</strong>l presente trabajo, en el capitulo uno,<br />
se presenta el título, el problema, los antece<strong>de</strong>ntes, la justificación, los objetivos y<br />
la factibilidad <strong>de</strong> la investigación.<br />
15
El capítulo dos, presenta el marco contextual que <strong>de</strong>scribe la historia y ubicación<br />
<strong>de</strong>l Colegio Gustavo Adolfo Bécquer, institución don<strong>de</strong> se <strong>de</strong>sarrollo esta<br />
propuesta didáctica.<br />
El marco referencial trata esencialmente acerca <strong>de</strong> algunos conceptos sobre:<br />
didáctica <strong>de</strong> las matemáticas, aprendizaje significativo, y constructivismo;<br />
referentes que dan base a la actual propuesta, y los cuales aparecen en el<br />
capítulo tres.<br />
El tipo <strong>de</strong> investigación, el diseño metodológico, las técnicas a aplicar en el aula y<br />
el diseño <strong>de</strong> la unidad didáctica propuesta, componen el marco metodológico, y<br />
constituyen el capítulo cuatro.<br />
El capítulo cinco, está compuesto por los contenidos, listas <strong>de</strong> cuadros y figuras,<br />
introducción y <strong>de</strong>sarrollo o tratamiento <strong>de</strong> los ejes temáticos específicos <strong>de</strong> la<br />
matemática, a tratar en el aula a través <strong>de</strong> la unidad didáctica, este último,<br />
elemento esencial en el cual se basa el proceso <strong>de</strong> enseñanza-aprendizaje <strong>de</strong><br />
la presente propuesta.<br />
Finalmente, y en el capítulo seis, aparecen los resultados obtenidos, en la<br />
aplicación <strong>de</strong> la unidad didáctica. Cierran este trabajo algunas recomendaciones y<br />
conclusiones.<br />
16
1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA<br />
TEMA. Enseñanza y/o Aprendizaje <strong>de</strong> la función exponencial.<br />
TITULO. “UNA DIDACTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA FUNCION<br />
EXPONENCIAL EN EL GRADO NOVENO”<br />
1.1 DEFINICION DEL PROBLEMA<br />
1.1.1 Antece<strong>de</strong>ntes. <strong>La</strong>s políticas y lineamientos generales <strong>de</strong> los procesos<br />
curriculares, implementadas en la Resolución 2343 <strong>de</strong> 1996, para dar<br />
cumplimiento a la ley 115 <strong>de</strong> 1994, no ofrecía marcos <strong>de</strong> referencia, en el<br />
<strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> los fundamentos curriculares, criterios organizacionales, estructuras<br />
en los proyectos curriculares y <strong>de</strong>finición <strong>de</strong>l tipo <strong>de</strong> conocimiento requerido en<br />
cada una <strong>de</strong> las áreas obligatorias en la educación formal. Se <strong>de</strong>finen entonces,<br />
en 1998 los lineamientos curriculares para cada una <strong>de</strong> las áreas presentando<br />
marcos <strong>de</strong> referencia y estableciendo planteamientos para la reflexión sobre lo<br />
curricular.<br />
En los lineamientos curriculares para el área <strong>de</strong> matemáticas, se establecen las<br />
distinciones requeridas con las matemáticas escolares y con el papel <strong>de</strong> la<br />
17
didáctica <strong>de</strong> las matemáticas en la actualidad. Se propone, entonces, organizar el<br />
currículo con base en tres aspectos: los procesos generales asociados al<br />
aprendizaje <strong>de</strong> las matemáticas, los conocimientos básicos, relacionados con<br />
características específicas <strong>de</strong>l pensamiento matemático y sus sistemas y con los<br />
contextos o ambientes propios que ro<strong>de</strong>an a los estudiantes. Sin embargo, esta<br />
organización <strong>de</strong>l currículo, continuaba sin ofrecer referentes para <strong>de</strong>terminar los<br />
contenidos <strong>de</strong> los sistemas <strong>de</strong> la matemática, en los que se organizaba el<br />
conocimiento escolar.<br />
<strong>La</strong>s Pruebas Saber, evi<strong>de</strong>ncian, aún más, la ausencia <strong>de</strong> referentes en la<br />
selección <strong>de</strong> contenidos, pues estas evalúan un conocimiento matemático <strong>de</strong> tipo<br />
conceptual y procedimental. Así, las Pruebas Saber –sin que tuvieran el propósito<br />
<strong>de</strong> serlo- empezaron a consi<strong>de</strong>rarse un referente, en la <strong>de</strong>terminación <strong>de</strong>l<br />
conocimiento matemático que <strong>de</strong>be enseñarse 1 .<br />
Ante este problema, el Ministerio <strong>de</strong> Educación propuso entonces, a científicos,<br />
docentes y docentes investigadores, la elaboración <strong>de</strong> los estándares<br />
curriculares, que a<strong>de</strong>más, <strong>de</strong> orientar a los profesores en la <strong>de</strong>terminación <strong>de</strong><br />
cuáles <strong>de</strong>ben ser los conocimientos, procesos y contextos, que <strong>de</strong>bían ofrecerse<br />
a los estudiantes, promovieran cambios en los “métodos tradicionales”, en la<br />
enseñanza <strong>de</strong> las matemáticas escolares.<br />
1 PADILLA CH. Soraya. Desafíos Matemáticas 9. Bogotá. Editorial Norma. 2004. p. 4<br />
18
De esta manera, <strong>de</strong> acuerdo con lo establecido en los documentos <strong>de</strong>l Ministerio<br />
<strong>de</strong> Educación, los estándares curriculares, son entonces, criterios claros y públicos<br />
que <strong>de</strong>terminan lo que los estudiantes <strong>de</strong>ben saber y hacer en <strong>de</strong>terminada área o<br />
grado.<br />
Para el área <strong>de</strong> las matemáticas, “los estándares se organizaron según los tipos <strong>de</strong><br />
pensamiento que se propusieron en los lineamientos curriculares, y que <strong>de</strong>scriben los<br />
sistemas simbólicos propios <strong>de</strong> cada campo <strong>de</strong> las matemáticas” 2 ; pensamiento<br />
numérico y sistemas numéricos, pensamiento espacial y sistemas geométricos,<br />
pensamiento métrico y sistemas <strong>de</strong> medidas, pensamiento aleatorio y sistemas <strong>de</strong><br />
datos y pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos. Los procesos<br />
asociados a los estándares son: planteamiento y resolución <strong>de</strong> problemas,<br />
razonamiento matemático, comunicación matemática y conexiones.<br />
El pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos a nivel <strong>de</strong> grado<br />
Noveno, es contemplado en las unida<strong>de</strong>s correspondientes a Ecuaciones<br />
cuadráticas, Funciones, Función exponencial y Función logarítmica.<br />
2 Ibid., p. 4, 23<br />
19
Investigaciones como la llevada a cabo en el Shell Centre <strong>de</strong> la <strong>Universidad</strong> <strong>de</strong><br />
Notingham (Reino Unido) han puesto en evi<strong>de</strong>ncia las dificulta<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l concepto <strong>de</strong><br />
función y por en<strong>de</strong> el <strong>de</strong> función exponencial.<br />
Entre los hallazgos más importantes, se encontró la dificultad que presentan los<br />
alumnos para coordinar la información relativa a las dos variables y los dos ejes,<br />
presentando dificulta<strong>de</strong>s a la hora <strong>de</strong> calcular incrementos <strong>de</strong> or<strong>de</strong>nada<br />
correspondientes a incrementos <strong>de</strong> abscisa dada o viceversa. 3<br />
1.1.2 Formulación <strong>de</strong>l problema. <strong>La</strong>s observaciones <strong>de</strong> la autora, como<br />
docente en el área <strong>de</strong> matemáticas en el Grado Noveno, y <strong>de</strong> Física,<br />
Trigonometría y Cálculo en los Grados Décimo y Once, <strong>de</strong>l Colegio Gustavo<br />
Adolfo Bécquer, complementado con los resultados <strong>de</strong> una prueba diagnóstica,<br />
aplicada a los estudiantes <strong>de</strong> estos grados, permitieron <strong>de</strong>tectar el alto grado <strong>de</strong><br />
dificultad, que dichos estudiantes poseen en la comprensión y aplicación <strong>de</strong> la<br />
función exponencial.<br />
<strong>La</strong> observación <strong>de</strong> los resultados <strong>de</strong> dicha prueba, permitieron <strong>de</strong>tectar también, la<br />
existencia <strong>de</strong> dificulta<strong>de</strong>s en la comprensión y manejo <strong>de</strong> los conceptos previos y<br />
3 SHELL CENTRE. El lenguaje <strong>de</strong> Funciones y Gráficas. Ministerio <strong>de</strong> Educación y Ciencia Congreso <strong>de</strong><br />
Matemáticas. Nottingham. 1990. Servicio Editorial <strong>Universidad</strong> <strong>de</strong>l País Vasco. p. 11<br />
20
necesarios al concepto <strong>de</strong> función exponencial. Siendo esto, aún más evi<strong>de</strong>nte,<br />
en los resultados arrojados por una segunda prueba aplicada a los mismos<br />
estudiantes.<br />
Se consi<strong>de</strong>ra que los ítems propuestos en dichas pruebas (ver anexo A y B),<br />
<strong>de</strong>bían ser contestadas correctamente, ya que su solución no requería <strong>de</strong><br />
procedimientos matemáticos especializados.<br />
Para el grado noveno, los lineamientos curriculares proponen los pensamientos:<br />
Numérico y sistemas numéricos contemplados en las unida<strong>de</strong>s<br />
correspondientes a Números Reales, Números Complejos y, Sucesiones y<br />
progresiones.<br />
El pensamiento espacial y sistemas geométricos, contemplados en los<br />
contenidos <strong>de</strong>dicados a la geometría.<br />
El pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos,<br />
contemplado en las unida<strong>de</strong>s correspondientes a Ecuaciones y Funciones<br />
Cuadráticas, Función Exponencial y Función Logarítmica.<br />
Los resultados arrojados por las pruebas saber, aplicadas en el país <strong>de</strong>s<strong>de</strong> 1991 y<br />
específicamente en el Colegio Gustavo Adolfo Bécquer, a los grados tercero,<br />
21
quinto, séptimo y noveno, la dificultad que comúnmente encuentran los profesores<br />
<strong>de</strong> Matemáticas <strong>de</strong> Grado Noveno, reflejada en las evaluaciones y <strong>de</strong>más<br />
activida<strong>de</strong>s que permiten “medir” los resultados alcanzados a lo largo <strong>de</strong>l proceso<br />
<strong>de</strong> enseñanza <strong>de</strong> los contenidos concernientes a la función exponencial y <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />
luego las dificulta<strong>de</strong>s encontradas por los profesores <strong>de</strong> Física y Química en la<br />
enseñanza y comprensión <strong>de</strong> contenidos que involucren Funciones Exponenciales<br />
o Potencias, hacen necesario explorar diversas rutas metodológicas, <strong>de</strong> tal<br />
manera que permitan lograr que el estudiante adquiera <strong>de</strong>streza en la<br />
comprensión, dominio y aplicación <strong>de</strong> los conceptos concernientes la función<br />
exponencial.<br />
1.2 PREGUNTAS DE INVESTIGACION<br />
<strong>La</strong>s dificulta<strong>de</strong>s ya enunciadas sobre la temática <strong>de</strong> función exponencial llevan a<br />
plantear las siguientes preguntas <strong>de</strong> investigación<br />
¿Reconocen los estudiantes los conceptos previos o necesarios en el<br />
manejo y aplicabilidad <strong>de</strong> la función exponencial?<br />
¿I<strong>de</strong>ntifican los estudiantes la <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia <strong>de</strong>l concepto <strong>de</strong> función<br />
exponencial, <strong>de</strong> los conceptos previos?<br />
22
¿I<strong>de</strong>ntifican los estudiantes las diversas representaciones <strong>de</strong> la función<br />
exponencial?<br />
¿I<strong>de</strong>ntifican los estudiantes las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la función exponencial?<br />
1.3 JUSTIFICACION<br />
Es innegable, la dificultad que siempre se ha presentado, en el aprendizaje <strong>de</strong> las<br />
matemáticas, su conocimiento o aprendizaje, ha sido consi<strong>de</strong>rado generación tras<br />
generación, posible únicamente, para aquellos individuos, cuyos coeficientes<br />
intelectuales son superiores a los “normales”.<br />
<strong>La</strong> enseñanza y aprendizaje <strong>de</strong> las matemáticas, son temas reconocidos como<br />
problemáticos. <strong>La</strong> mala preparación o los escasos conocimientos <strong>de</strong> la<br />
matemática, se ha constituido en una <strong>de</strong> las preocupaciones <strong>de</strong> los gobiernos <strong>de</strong><br />
diversas partes <strong>de</strong>l mundo, 4 ante la dificultad <strong>de</strong> preparar ciudadanos calificados<br />
para la ciencia y la tecnología, que sean capaces <strong>de</strong> contribuir en el avance y<br />
<strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> su país.<br />
4 OTEIZA, Fi<strong>de</strong>l. Una aplicación a la inteligencia artificial. Mediación <strong>de</strong>l aprendizaje in<strong>de</strong>pendiente,<br />
Revista <strong>de</strong> tecnología educativa. Santiago <strong>de</strong> Chile. Vol. I. No 3. p.150<br />
23
Esta “dificultad”, tanto en la enseñanza como en el aprendizaje <strong>de</strong> las Matemáticas<br />
ha llevado, por ejemplo, al National Research Council a sostener con respecto a lo<br />
que suce<strong>de</strong> en Estados Unidos que:<br />
"Estamos en riesgo <strong>de</strong> tener una nación dividida económica y racialmente por el<br />
conocimiento <strong>de</strong> las matemáticas (...) aparte <strong>de</strong> las consecuencias económicas,<br />
sociales y políticas, la mala preparación matemática <strong>de</strong> la población, está<br />
entregando evi<strong>de</strong>ntes señales <strong>de</strong> alarma para la sobrevivencia <strong>de</strong> la <strong>de</strong>mocracia" 5 .<br />
En nuestro país, los resultados <strong>de</strong> las Pruebas Saber, aplicadas <strong>de</strong>s<strong>de</strong> 1991, a<br />
los grados tercero, quinto séptimo y noveno <strong>de</strong> educación básica, la prueba <strong>de</strong>l<br />
Icfes, y las pruebas <strong>de</strong> ingreso en las diversas <strong>Universidad</strong>es, muestran que el<br />
aprendizaje permanece invariablemente bajo, especialmente en lo que se refiere a<br />
procesos mentales mas complejos, como los requeridos para el estudio <strong>de</strong><br />
temáticas como la <strong>de</strong> función exponencial.<br />
Este escaso nivel <strong>de</strong> conocimiento sobre la matemática, repercute invariablemente<br />
en la Educación Superior, en don<strong>de</strong> se observan tasas <strong>de</strong> fracaso <strong>de</strong>l or<strong>de</strong>n <strong>de</strong>l<br />
50% al 60% en los cursos <strong>de</strong> Matemáticas, <strong>de</strong> las diversas faculta<strong>de</strong>s en las<br />
5 COMENIUS/ webedu2/ Teorías/Matemático. Html<br />
24
<strong>Universidad</strong>es, siendo este fracaso, a su vez, la principal causa <strong>de</strong> <strong>de</strong>serción,<br />
convirtiéndose, entonces la Matemática en el “filtro”, que pone, un título<br />
universitario, al alcance <strong>de</strong> unos cuantos “privilegiados”.<br />
De otro lado y <strong>de</strong> acuerdo, con lo expresado en los documentos referentes a los<br />
planes y programas oficiales <strong>de</strong> diversos países 6 (Chile, Guatemala, Colombia,<br />
etc.), la enseñanza <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> Matemáticas, <strong>de</strong>be “propiciar” las condiciones<br />
para <strong>de</strong>sarrollar el espíritu investigador y creativo <strong>de</strong>l individuo, lo que contrasta,<br />
con los medios que el profesor tiene a su alcance para lograr este objetivo. Los<br />
profesores carecen <strong>de</strong> medios didácticos, <strong>de</strong> textos y estrategias metodológicas<br />
apropiadas, lo que reproduce las condiciones <strong>de</strong> la clase expositiva tradicional,<br />
que <strong>de</strong> acuerdo con lo que dice Schiefelbeim (1993), “funcionó muy bien hasta<br />
principios <strong>de</strong> los años 50 (…) Este mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> enseñanza tiene éxito con grupos<br />
homogéneos ( …) y profesores bien entrenados. (y bien pagados)” 7 .<br />
<strong>La</strong> labor <strong>de</strong>sempeñada, durante 18 años <strong>de</strong> la autora <strong>de</strong> este trabajo, como<br />
docente en Educación Secundaria, ha permitido notar que invariablemente, los<br />
estudiantes siguen prefiriendo o buscando angustiosamente una profesión que los<br />
6 CONSEJERÍA DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTES. Currículo Educación Secundaria.<br />
Materias Específicas Ciencias <strong>de</strong> <strong>La</strong> Naturaleza. Guatemala. 1998a. p.16.<br />
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE CHILE. Planes y Programas Oficiales. Chile. 1995. p.27.<br />
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Marco General Matemáticas. Colombia. Editorial<br />
Colombia Nueva Ltda. l998. p.8.<br />
7Tomado <strong>de</strong> Enseñanza Termodinámica, Un Enfoque Constructivísta, II Encuentro <strong>de</strong> Físicos en<br />
la región Inka, UNSAAC. wpnoa@latinmail.com<br />
25
aleje <strong>de</strong>l aprendizaje <strong>de</strong> las matemáticas, y que continúan siendo objeto <strong>de</strong> la<br />
“presión” que se ha ejercido a través <strong>de</strong> todos los tiempos, en cuanto a la<br />
dificultad <strong>de</strong> su aprendizaje. Por otro lado, los profesores no cuentan con<br />
herramientas, que faciliten su enseñanza, y son también presionados por el tiempo<br />
y las exigencias <strong>de</strong> las instituciones, que a su vez preten<strong>de</strong>n cumplir con lo<br />
establecido por el Ministerio <strong>de</strong> Educación Nacional.<br />
Los resultados obtenidos mediante las pruebas aplicadas a los alumnos <strong>de</strong><br />
noveno grado, <strong>de</strong>l Colegio Gustavo Adolfo Bécquer, por la realizadora <strong>de</strong> este<br />
trabajo ponen en evi<strong>de</strong>ncia, las observaciones -<strong>de</strong>scritas en el párrafo anterior y<br />
realizadas a lo largo <strong>de</strong> su <strong>de</strong>sempeño como docente-, sin embargo se <strong>de</strong>stacan<br />
como causas principales <strong>de</strong>l <strong>de</strong>sconocimiento <strong>de</strong> la función exponencial, y <strong>de</strong> la<br />
Matemática en general, las siguientes:<br />
1. <strong>La</strong> presentación que <strong>de</strong>l tema hacen los textos <strong>de</strong> educación secundaria,<br />
(única herramienta en la mayoría <strong>de</strong> las instituciones), <strong>de</strong> las editoriales,<br />
ampliamente conocidas, tan solo se limitan a presentar una serie <strong>de</strong><br />
conceptos generales, sin hacer énfasis en la “continuidad, relación y<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia” que dichos conceptos poseen entre sí, recurriendo tan solo<br />
a la capacidad memorística <strong>de</strong> los estudiantes, lo que muy poco contribuye<br />
al <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> un pensamiento lógico y <strong>de</strong>ductivo, necesario para<br />
26
compren<strong>de</strong>r el tratamiento un poco mas complejo que los libros<br />
especializados o <strong>de</strong> nivel superior <strong>de</strong>mandan <strong>de</strong>l estudiante. (Ver anexo<br />
C).<br />
2. <strong>La</strong> influencia negativa que generación tras generación, se ha ejercido sobre<br />
los estudiantes, haciéndoles creer que la comprensión <strong>de</strong> la mayoría <strong>de</strong> las<br />
temáticas <strong>de</strong> la Matemática –como la <strong>de</strong> Función Exponencial–, la<br />
alcanzan sólo aquellos individuos que, a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> poseer mentes geniales,<br />
no tienen mayores obligaciones en su diario quehacer, pudiéndose <strong>de</strong>dicar<br />
entonces, como “un buen pasatiempo”, a su estudio y comprensión.<br />
A este respecto Joan Gómez en su libro De la Enseñanza al aprendizaje <strong>de</strong> las<br />
Matemáticas dice:<br />
“<strong>La</strong> Matemática se ha presentado, como algo inalcanzable, fruto <strong>de</strong> mentes<br />
geniales o como “ejercicios mentales” que hacen unas personas <strong>de</strong>socupadas que<br />
gustan <strong>de</strong> las matemáticas. Dándole, el carácter <strong>de</strong> tema totalmente terminado o<br />
alejado <strong>de</strong> la comprensión <strong>de</strong>l común <strong>de</strong> los seres humanos, lo que la convierte en<br />
una ciencia cuyo conocimiento es inalcanzable, para los primeros o memorístico<br />
para los segundos, tornándose entonces, su conocimiento en una “carga” tediosa,<br />
imposible <strong>de</strong> soportar, por exigir respectivamente; mentes geniales por lo difícil y<br />
27
compleja, o <strong>de</strong>socupadas, por no ser más que la “ciencia reina” <strong>de</strong> procesos<br />
repetitivos e inútiles. Siendo finalmente, sea cual sea, la concepción que se tenga,<br />
infructuoso acce<strong>de</strong>r o procurar su conocimiento” 8 .<br />
Emma Castelnovo, en la justificación <strong>de</strong> su libro Didáctica <strong>de</strong> la Matemática<br />
Mo<strong>de</strong>rna 9 , <strong>de</strong>staca también las anteriores causas, como causas principales <strong>de</strong> la<br />
<strong>de</strong>ficiencia que presentan los estudiantes en el aprendizaje <strong>de</strong> la Matemática en<br />
general.<br />
8<br />
GOMEZ, Joan. De la Enseñanza al Aprendizaje <strong>de</strong> las Matemáticas. Barcelona. 1990. Editorial<br />
Síntesis. p. 18.<br />
9 “a. <strong>La</strong> lección <strong>de</strong> matemática resulta en general aburrida, pesada y a menudo difícil. Ciertos<br />
conceptos no son afirmados, aún cuando el profesor se afane en repetirlos y aclararlos con<br />
numerosas explicaciones; <strong>de</strong> algunas propieda<strong>de</strong>s no se entien<strong>de</strong> inmediatamente el sentido. Es<br />
notable “la incomprensión por la matemática”, que ha inducido; incluso a gran<strong>de</strong>s matemáticos a<br />
escribir artículos y libros. También es peculiar el temor a la matemática, que los psicoanalistas<br />
continúan buscando en el ser humano<br />
b. Los jóvenes que actualmente salen <strong>de</strong> la escuela secundaria tienen la i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> que las<br />
matemáticas consisten, por una parte en un puro mecanismo, y por la otra, que se trata <strong>de</strong> una<br />
construcción perfecta y totalmente terminada, ignorando si se pue<strong>de</strong> hacer o no algún<br />
<strong>de</strong>scubrimiento en esta disciplina.<br />
Esta incomprensión <strong>de</strong> toda la esencia <strong>de</strong> este curso, es bastante seria sobre todo en lo que se<br />
refiere a un concepto, una propiedad o una relación. Tal incomprensión era un hecho grave para<br />
los jóvenes que <strong>de</strong>jaban la escuela hace algunas décadas, así, los que han llegado a <strong>de</strong>stacados<br />
profesionales u hombres <strong>de</strong> estado, se jactan ahora <strong>de</strong> no haber comprendido nada <strong>de</strong> las<br />
matemáticas, hoy la cosa es más grave, los jóvenes que terminan la secundaria, advierten muy a<br />
menudo las inmensas lagunas que ha <strong>de</strong>jado la enseñanza <strong>de</strong> la matemática y culpan a la escuela.<br />
<strong>La</strong> culpan <strong>de</strong> haberlos lanzado a la vida sin haberlos dotado <strong>de</strong> la comprensión y aplicación <strong>de</strong>l<br />
lenguaje <strong>de</strong> las matemáticas que es, en nuestros días tan esencial como el lenguaje ordinario”<br />
28
En síntesis, las observaciones realizadas por los docentes <strong>de</strong> Matemáticas, la<br />
amplia literatura existente sobre su aprendizaje y enseñanza, y la necesidad actual<br />
y urgente, <strong>de</strong> formar ciudadanos competentes en la ciencia y tecnología, ponen <strong>de</strong><br />
manifiesto, la urgente necesidad <strong>de</strong> que profesores e investigadores realicen<br />
estudios o didácticas, <strong>de</strong> diferentes temas <strong>de</strong> la matemática, que como el<br />
propuesto en este trabajo “una unidad didáctica para la enseñanza <strong>de</strong> la función<br />
exponencial en el noveno grado”, tanto el estudiante como el profesor encuentren<br />
una herramienta que facilite su aprendizaje o enseñanza.<br />
Es también, fácilmente sustentable, tanto por la literatura existente como por la<br />
experiencia, que un gran complemento <strong>de</strong> esta didáctica y <strong>de</strong> los estudios<br />
sugeridos en otros temas <strong>de</strong> la matemática, es la concientización <strong>de</strong> profesores,<br />
estudiantes, investigadores y en general <strong>de</strong>l individuo <strong>de</strong>l común, <strong>de</strong> quitarle a la<br />
matemática el carácter <strong>de</strong> ciencia totalmente terminada y solamente comprensible<br />
para aquellos, cuyo coeficiente intelectual es “superior al normal”.<br />
1.4 OBJETIVOS<br />
En la realización <strong>de</strong>l presente trabajo se plantean los siguientes objetivos:<br />
1.4.1 Objetivo general. Elaborar una unidad didáctica, para dar a conocer los<br />
conceptos fundamentales <strong>de</strong> la función exponencial, que permita a los estudiantes<br />
29
<strong>de</strong> noveno grado, apren<strong>de</strong>rlos y aplicarlos a<strong>de</strong>cuadamente en la solución <strong>de</strong><br />
problemas prácticos.<br />
1.4.2 Objetivos específicos. Proporcionar a los estudiantes <strong>de</strong> noveno a<br />
undécimo grado, dada una situación real y/o concreta, la posibilidad <strong>de</strong> hallar una<br />
herramienta que les permita:<br />
I<strong>de</strong>ntificar la función exponencial.<br />
Conocer las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la función exponencial.<br />
Adquirir <strong>de</strong>streza en la aplicabilidad y análisis <strong>de</strong> la función exponencial.<br />
1.5 FACTIBILIDAD DE LA INVESTIGACION<br />
1.5.1 Recursos. A<strong>de</strong>más <strong>de</strong> las diversas fuentes <strong>de</strong> consulta citadas y las<br />
pruebas <strong>de</strong> diagnóstico (Anexo A) y verificación (Anexo B), los recursos utilizados<br />
estuvieron constituidos por los estudiantes <strong>de</strong>l grado Noveno, pertenecientes a los<br />
cursos 901 y 902. En el campo profesoral, profesor Manuel Rincón, quien tuvo a<br />
su cargo, durante el primer semestre <strong>de</strong>l año escolar, el área <strong>de</strong> matemáticas, en<br />
el curso 902, y Luz Aleyda Londoño, durante todo el año escolar, <strong>de</strong>l curso 901 y<br />
durante el segundo semestre <strong>de</strong>l curso 902<br />
30
1.5.2 Limitaciones. <strong>La</strong>s fuentes <strong>de</strong> consulta y recursos utilizados estuvieron al<br />
alcance <strong>de</strong> lo requerido, sin embargo, el retiro <strong>de</strong>l profesor Manuel Rincón, a partir<br />
<strong>de</strong>l segundo semestre <strong>de</strong>l año escolar, -tiempo <strong>de</strong> la aplicación <strong>de</strong> la unidad<br />
didáctica-, se constituyó en el único inconveniente en la realización <strong>de</strong> este<br />
trabajo, ya que existía la posibilidad <strong>de</strong> no obtener la total colaboración <strong>de</strong>l<br />
profesor que llegara a reemplazarlo.<br />
Ante esto, se <strong>de</strong>cidió entonces, que la autora <strong>de</strong> este trabajo y profesora <strong>de</strong><br />
Matemáticas <strong>de</strong>l curso 901, tuviera también a su cargo la enseñanza <strong>de</strong>l área <strong>de</strong><br />
Matemáticas <strong>de</strong>l curso 902.<br />
31
2 MARCO CONTEXTUAL<br />
2.1 RESEÑA HISTORICA DEL COLEGIO GUSTAVO ADOLFO BECQUER<br />
Fue fundado por Antonio Acevedo y Rodrigo Mantilla, en 1989. Inicialmente<br />
funcionaba como una guar<strong>de</strong>ría, que a<strong>de</strong>más ofrecía, enseñar a leer y escribir a<br />
los niños <strong>de</strong> 6 o más años.<br />
En 1990, sus instalaciones fueron compradas por el Señor Ricardo Silva y su<br />
esposa Luz Marina Higuera, estableciéndose la Educación Básica Secundaria,<br />
cuya resolución <strong>de</strong> aprobación 3106, se obtuvo el 13 <strong>de</strong> Agosto <strong>de</strong> 1996. Año en<br />
el que <strong>de</strong>bió ser complementada con la Educación Preescolar, Básica Primaria y<br />
Media Vocacional con resolución <strong>de</strong> aprobación 777 <strong>de</strong>l 13 <strong>de</strong> marzo <strong>de</strong>l 2000.<br />
2.2 UBICACIÓN Y DESCRIPCION DE LA POBLACION<br />
El colegio Gustavo Adolfo Bécquer, funciona en la actualidad en el municipio <strong>de</strong><br />
Soacha, en Compartir .<strong>La</strong> mayoría <strong>de</strong> sus estudiantes, carecen <strong>de</strong> la figura<br />
32
paterna, siendo en algunos casos, sustituida por el familiar más cercano abuelo,<br />
tío, padrastro, etc.,<br />
Sus madres, por lo general, son cabezas <strong>de</strong> hogar, <strong>de</strong>sempeñándose en diversos<br />
oficios <strong>de</strong> manera in<strong>de</strong>pendiente o como obreras <strong>de</strong> fábricas o industrias, lo que<br />
les dificulta estar al cuidado <strong>de</strong> sus hijos, en procura <strong>de</strong> inculcarles buenos valores<br />
y costumbres.<br />
El nivel socio económico, que los ubica en un estrato dos, influye en el nivel <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>serción escolar, que se presenta en las instituciones <strong>de</strong> educación privada.<br />
33
3.1 INTRODUCCION<br />
3 MARCO TEORICO<br />
A finales <strong>de</strong> los años cincuenta y comienzo <strong>de</strong> la década <strong>de</strong> los sesenta, se<br />
produce un cambio curricular importante en la enseñanza <strong>de</strong> las matemáticas<br />
escolares, conocida como la nueva matemática o matemática mo<strong>de</strong>rna. <strong>La</strong><br />
inclusión, en los currículos <strong>de</strong> secundaria, <strong>de</strong>l concepto <strong>de</strong> función real <strong>de</strong> variable<br />
real es uno <strong>de</strong> los logros más importantes <strong>de</strong> esta corriente.<br />
.<br />
En el estudio <strong>de</strong>l análisis se pue<strong>de</strong>n plantear dos gran<strong>de</strong>s apartados: la<br />
aproximación a la i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> función y el estudio teórico <strong>de</strong> algunas funciones:<br />
−constante, lineal, afín, cuadrática, exponencial y logarítmica− 10 .<br />
El concepto <strong>de</strong> función es uno <strong>de</strong> los más involucrados en la cotidianidad <strong>de</strong>l<br />
individuo <strong>de</strong> ayer y <strong>de</strong> hoy, lo ha encontrado siempre mediante tablas <strong>de</strong> valores,<br />
10<br />
CALLEJO. Ma Luz. <strong>La</strong> enseñanza <strong>de</strong> las Matemáticas. Etapa 12-16 años. Madrid. Narcea S.A<br />
<strong>de</strong> ediciones Madrid. p. 22<br />
34
enunciados, gráficas o expresiones algebraicas; tarifas <strong>de</strong> energía según el<br />
número <strong>de</strong> kw/h que se consuman, cardiogramas, leyes <strong>de</strong> la física, etc.<br />
El lenguaje corriente, también, involucra constantemente los conceptos relativos al<br />
estudio <strong>de</strong> las funciones, con expresiones como: “ligero <strong>de</strong>scenso”, "ha alcanzado<br />
el punto más alto”, “se mantiene constante”, etc.<br />
Sin embargo, hasta hace pocos años se pensaba que el aprendizaje <strong>de</strong> los<br />
conceptos relativos a las funciones, no estaba al alcance <strong>de</strong> “mentes jóvenes” por<br />
“<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>r <strong>de</strong> la noción” <strong>de</strong> variabilidad, cambio, transformación, etc.<br />
Ahora bien, tal i<strong>de</strong>a se opone a lo expresado en los documentos referentes a los<br />
planes y programas escolares <strong>de</strong> diversos países 11 (Chile, Guatemala, Colombia,<br />
etc.), don<strong>de</strong> se establece, que la enseñanza o el aprendizaje <strong>de</strong> las matemáticas,<br />
tiene como objetivo primordial, <strong>de</strong>sarrollar el espíritu investigador y creativo <strong>de</strong>l<br />
individuo, capacitándolo en la emisión <strong>de</strong> juicios cuantitativos y cualitativos, <strong>de</strong> los<br />
diversos fenómenos <strong>de</strong> la naturaleza, los cuales, evi<strong>de</strong>ntemente, no se sujetan<br />
a esquemas fijos o rígidos<br />
11 CONSEJERÍA DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTES. Op. cit p.16.<br />
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE CHILE. Op. cit., p.27.<br />
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL.Op cit., p.8.<br />
35
El espíritu investigador y creativo <strong>de</strong>l individuo, es el que en <strong>de</strong>finitiva, <strong>de</strong>termina el<br />
avance <strong>de</strong> la ciencia y la tecnología, el que permite que el individuo se <strong>de</strong>sarrolle<br />
autónomo y seguro, conocedor <strong>de</strong>l medio en el que se <strong>de</strong>sarrolla y capaz <strong>de</strong><br />
contribuir a su avance y progreso.<br />
Es entonces, el actual y continuo avance <strong>de</strong> la ciencia y la tecnología, otro factor<br />
importante, en la consi<strong>de</strong>ración <strong>de</strong> la enseñanza <strong>de</strong> las matemáticas escolares,<br />
pues es precisamente, la Matemática, la disciplina que está estrechamente ligada<br />
a la técnica mo<strong>de</strong>rna<br />
Pero la Matemática como tal, tiene sus raíces y se fundamenta en el concepto <strong>de</strong><br />
función.<br />
“El concepto <strong>de</strong> función pue<strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rarse como el hilo conductor <strong>de</strong> las más<br />
diversas teorías, y el factor <strong>de</strong> unificación <strong>de</strong> los mas lejanos capítulos: los<br />
diversos nombres y aspectos que esto involucra: operación, correspon<strong>de</strong>ncia,<br />
relación, transformación, reflejan las circunstancias históricas en las cuales se ha<br />
presentado, in<strong>de</strong>pendientemente, en los campos <strong>de</strong> las matemáticas, <strong>de</strong> la lógica,<br />
<strong>de</strong> la física (…) el concepto <strong>de</strong> función. Primero y fundamental porque señala el<br />
inicio <strong>de</strong> la matemática mo<strong>de</strong>rna “clásica”, que en ello ha encontrado las raíces y la<br />
36
linfa para <strong>de</strong>sarrollarse, y por siglos ha constituido un po<strong>de</strong>roso instrumento <strong>de</strong><br />
análisis y <strong>de</strong> síntesis” 12<br />
Ahora bien, el carácter <strong>de</strong> “primero y fundamental” <strong>de</strong>l concepto <strong>de</strong> función y por<br />
en<strong>de</strong>, el concepto <strong>de</strong> función exponencial, no es suficiente para <strong>de</strong>spojarlo <strong>de</strong> sus<br />
investiduras <strong>de</strong> “complejo y confuso” aún para pensamientos, un poco más<br />
<strong>de</strong>sarrollados, según lo evi<strong>de</strong>nciado por investigaciones, como la llevada a cabo<br />
en el Shell Centre <strong>de</strong> la <strong>Universidad</strong> <strong>de</strong> Nottigham (Reino Unido) 13 .<br />
3.2 APRENDIZAJE.<br />
Toda situación <strong>de</strong> enseñanza-aprendizaje, involucra complejidad <strong>de</strong> los procesos<br />
presentes. Schoenfeld (1987) postula una hipótesis básica:<br />
“A pesar <strong>de</strong> la complejidad, las estructuras mentales <strong>de</strong> los alumnos pue<strong>de</strong>n ser<br />
comprendidas, tal comprensión ayudará a conocer mejor los modos en que el<br />
pensamiento y el aprendizaje tienen lugar. El centro <strong>de</strong> interés es, por lo tanto,<br />
12 CASTELNUOVO, Emma. Didáctica <strong>de</strong> la Matemática Mo<strong>de</strong>rna. México. Editorial Trillas, p.164.<br />
13 SHELL CENTRE. Op. cit., p. 11.<br />
37
explicar qué es lo que produce el pensamiento productivo e i<strong>de</strong>ntificar las<br />
capacida<strong>de</strong>s que permiten resolver problemas significativos ” 14 .<br />
Por otra parte, el aprendizaje significativo, es aquel que permite al individuo,<br />
relacionar lo que ya se conoce, con los nuevos conocimientos que se le ofrecen,<br />
<strong>de</strong> tal manera, que sea posible su aplicación en el medio en el que dicho individuo<br />
se <strong>de</strong>senvuelve.<br />
Ausubel (1993) plantea que el aprendizaje <strong>de</strong>l alumno, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> los<br />
conocimientos que el individuo ya posee en un <strong>de</strong>terminado campo <strong>de</strong>l<br />
conocimiento, es <strong>de</strong>cir, <strong>de</strong> su estructura cognitiva. Debe enten<strong>de</strong>rse por<br />
“estructura cognitiva”, al conjunto <strong>de</strong> conceptos, i<strong>de</strong>as que un individuo posee en<br />
un <strong>de</strong>terminado campo <strong>de</strong>l conocimiento, así como su organización.<br />
En este proceso <strong>de</strong> orientación <strong>de</strong>l aprendizaje, es <strong>de</strong> vital importancia conocer la<br />
estructura cognitiva <strong>de</strong>l alumno; no sólo se trata <strong>de</strong> saber la cantidad <strong>de</strong><br />
información que posee, sino cuales son los conceptos que maneja y el grado <strong>de</strong><br />
estabilidad <strong>de</strong> los mismos.<br />
14 WWW.edumat / Ciencia-Cognitiva/Enseñanza-Matemática.in<strong>de</strong>x.html.<br />
38
Los principios <strong>de</strong> aprendizaje propuestos por Ausubel, ofrecen el marco para el<br />
diseño <strong>de</strong> herramientas que permiten conocer la organización <strong>de</strong> la estructura<br />
cognitiva <strong>de</strong>l educando, lo cual permitirá una mejor orientación <strong>de</strong> la labor<br />
educativa, porque ésta ya no se verá como una labor que <strong>de</strong>ba <strong>de</strong>sarrollarse con<br />
“mentes en blanco” o que el aprendizaje <strong>de</strong> los alumnos comience <strong>de</strong> “cero”, pues<br />
los educandos tienen una serie <strong>de</strong> experiencias y conocimientos que pue<strong>de</strong>n<br />
afectar su aprendizaje en sentido positivo o pue<strong>de</strong>n constituirse en un estorbo.<br />
Ausubel resume este hecho en el epígrafe <strong>de</strong> su obra <strong>de</strong> la siguiente manera: “Si<br />
tuviese que reducir toda la psicología educativa a un solo principio, enunciaría este: “El<br />
factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe.<br />
Averígüese esto y enséñese consecuentemente” 15<br />
En consonancia con lo anterior, es posible afirmar que "la cognición no comienza<br />
con los conceptos, sino todo lo contrario, los conceptos son el resultado <strong>de</strong>l<br />
proceso cognitivo” 16 . <strong>La</strong> Matemática, más que ningún otro dominio científico, es<br />
un ejemplo claro <strong>de</strong> esto, ya que permite obtener nuevas <strong>de</strong>finiciones a partir <strong>de</strong><br />
las ya existentes. Por ejemplo; una vez establecido, que los números naturales se<br />
generan a partir <strong>de</strong>l proceso <strong>de</strong> contar, es fácil <strong>de</strong>finir los números naturales pares<br />
e impares, o una extensión <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> los Naturales como es el conjunto <strong>de</strong><br />
los números enteros.<br />
15<br />
AUSUBEL, David. Teoría <strong>de</strong>l aprendizaje significativo. Fascículos <strong>de</strong> CEIF <strong>Universidad</strong> <strong>de</strong> ío<br />
Gran<strong>de</strong> do Sul Sao Paulo. 1993<br />
16 WWW. Revista/educación/guia.html.<br />
39
El problema central <strong>de</strong> la cognición es la construcción <strong>de</strong> los conceptos por los<br />
individuos. ¿Qué procesos mentales se activan con el trabajo académico y cómo<br />
tales procesos dan forma a un concepto?<br />
Por otra parte, Piaget en su teoría sobre la construcción <strong>de</strong>l conocimiento por los<br />
individuos, <strong>de</strong>nominada epistemología genética (García, 1997), <strong>de</strong>termina que el<br />
centro <strong>de</strong> interés es la <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong>l <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> los esquemas cognitivos <strong>de</strong><br />
los individuos a lo largo <strong>de</strong>l tiempo y <strong>de</strong> acuerdo con ciertas reglas generales.<br />
Según el principio central <strong>de</strong> la teoría <strong>de</strong> Piaget sobre la construcción <strong>de</strong>l<br />
conocimiento, este se lleva a cabo mediante dos procesos <strong>de</strong>pendientes uno <strong>de</strong>l<br />
otro: el <strong>de</strong> acomodación y el <strong>de</strong> asimilación.<br />
Cuando el estudiante se enfrenta a un problema matemático; resuelve o intenta<br />
resolverlo, utilizando los conocimientos que ya posee (asimilación), luego <strong>de</strong> lo<br />
cual, y como resultado <strong>de</strong> la asimilación los “acomoda” en su esquema cognitivo<br />
existente.<br />
40
<strong>La</strong> asimilación y la acomodación, procesos en los que se basa el principio central<br />
<strong>de</strong> la Teoría <strong>de</strong> Piaget: la equilibración, produce en el individuo una<br />
reestructuración <strong>de</strong> su esquema cognitivo existente.<br />
“Si los individuos construyen su propio conocimiento, la equilibración expresa el<br />
proceso mediante el cual se produce tal construcción señalándose así el carácter<br />
dinámico en la construcción <strong>de</strong>l conocimiento por los individuos, como hipótesis <strong>de</strong><br />
partida para una teoría <strong>de</strong>l análisis <strong>de</strong> los procesos cognitivos” 17<br />
<strong>La</strong> organización <strong>de</strong> los procesos <strong>de</strong> enseñanza y aprendizaje relevantes en<br />
<strong>de</strong>terminada materia, es lo que Freu<strong>de</strong>nthal (1991) <strong>de</strong>fine como Didáctica<br />
Para Brousseau (Kieran, 1998), la didáctica es la ciencia que se interesa por la<br />
producción y comunicación <strong>de</strong>l conocimiento. Saber que es lo que se está<br />
produciendo en una situación <strong>de</strong> enseñanza, es el objetivo <strong>de</strong> la didáctica.<br />
17 GARCIA, Rolando. <strong>La</strong> Epistemología Genética y <strong>La</strong> Ciencia Contemporánea. Homenaje a Jean<br />
Piaget. Barcelona. Editorial Gedisa. 1997. p. 41<br />
41
3.3 DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS<br />
Para Steiner (1985) la complejidad <strong>de</strong> los problemas planteados en la didáctica <strong>de</strong><br />
las matemáticas produce dos reacciones extremas. En la primera están los que<br />
afirman que la didáctica <strong>de</strong> la matemática no pue<strong>de</strong> llegar a ser un campo con<br />
fundamentación científica y, por lo tanto, la enseñanza <strong>de</strong> la matemática es<br />
esencialmente un arte. En la segunda postura encontramos aquellos que piensan<br />
que es posible la existencia <strong>de</strong> la didáctica como ciencia y reducen la complejidad<br />
<strong>de</strong> los problemas seleccionando sólo un aspecto parcial al que atribuyen un peso<br />
especial <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l conjunto, dando lugar a diferentes <strong>de</strong>finiciones y visiones <strong>de</strong> la<br />
misma. Steiner consi<strong>de</strong>ra que la didáctica <strong>de</strong> la matemática <strong>de</strong>be ten<strong>de</strong>r hacia lo<br />
que Piaget <strong>de</strong>nominó transdisciplinariedad lo que situaría a las investigaciones e<br />
innovaciones en didáctica <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> las interacciones entre las múltiples<br />
disciplinas, (Psicología, Pedagogía, Sociología entre otras sin olvidar a la propia<br />
Matemática como disciplina científica) que permiten avanzar en el conocimiento <strong>de</strong><br />
los problemas planteados.<br />
<strong>La</strong> didáctica como actividad general ha tenido un amplio <strong>de</strong>sarrollo en las cuatro<br />
últimas décadas <strong>de</strong> este siglo. Sin embargo, no ha acabado la lucha entre el<br />
i<strong>de</strong>alista, que se inclina por potenciar la comprensión mediante una visión amplia<br />
<strong>de</strong> la matemática, y el práctico, que clama por el restablecimiento <strong>de</strong> las técnicas<br />
42
ásicas en interés <strong>de</strong> la eficiencia y economía en el aprendizaje. Ambas posturas<br />
se pue<strong>de</strong>n observar en los grupos <strong>de</strong> investigadores, innovadores y profesores <strong>de</strong><br />
matemáticas <strong>de</strong> los diferentes niveles educativos.<br />
Ninguna <strong>de</strong> estas posturas, sin embargo pue<strong>de</strong> negar que la introducción y<br />
aplicación <strong>de</strong> nuevos medios tecnológicos en matemáticas, <strong>de</strong>termina que en la<br />
actualidad, muchas temáticas <strong>de</strong> la matemática, como la <strong>de</strong> función exponencial,<br />
<strong>de</strong>ba ser enseñada con contenidos y procedimientos, que tengan en cuenta<br />
que los estudiantes son distintos entre si por sus metas y ambiciones, por sus<br />
experiencias e intereses.<br />
De otro lado si se observan, los estudiantes <strong>de</strong> los primeros semestres <strong>de</strong><br />
Educación Superior, se pue<strong>de</strong> notar, que cada vez mas, sus eda<strong>de</strong>s oscilan<br />
alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> los 15 años, con ten<strong>de</strong>ncia a oscilar entre los trece y catorce años; es<br />
<strong>de</strong>cir, la edad <strong>de</strong> los estudiantes <strong>de</strong> Noveno Grado, es en su mayoría <strong>de</strong> trece<br />
años. Por lo tanto; y recordando, las características psicoevolutivas <strong>de</strong> los<br />
estudiantes, se pue<strong>de</strong> concluir que <strong>de</strong>terminados niveles <strong>de</strong> abstracción y formas<br />
<strong>de</strong> razonamiento lógico, como los requeridos para la comprensión <strong>de</strong> conceptos<br />
como el <strong>de</strong> función exponencial, quedan fuera <strong>de</strong>l alcance, cada vez, <strong>de</strong> un mayor<br />
número <strong>de</strong> estudiantes, lo que exige una secuencia cuidadosa <strong>de</strong> aquellos<br />
aspectos más formales y abstractos, que respete los períodos en que<br />
43
previsiblemente aparece la maduración <strong>de</strong> estas capacida<strong>de</strong>s, así como los ritmos<br />
individuales <strong>de</strong> progreso.<br />
<strong>La</strong>s características psicoevolutivas <strong>de</strong> los estudiantes, la necesaria y cuidadosa<br />
secuencia <strong>de</strong> contenidos en el aprendizaje <strong>de</strong> la matemática, los objetivos<br />
generales <strong>de</strong>l área, la aversión o temor, que generación tras generación se ha<br />
experimentado por la matemática, las observaciones realizadas por los<br />
estudiantes <strong>de</strong> Noveno a Undécimo grado, respecto a no tener a su alcance una<br />
herramienta que les permita “complementar” el tratamiento que <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l aula,<br />
realizan los profesores sobre la función exponencial, quienes también consi<strong>de</strong>ran<br />
necesaria la existencia <strong>de</strong> una herramienta que les ayu<strong>de</strong> a impartir dicho tema,<br />
que “complemente” o supla las necesida<strong>de</strong>s que las diversas propuestas<br />
didácticas existentes en el mercado presentan, sustentan la presente propuesta <strong>de</strong><br />
elaborar una unidad didáctica para la enseñanza <strong>de</strong> la función exponencial, a nivel<br />
<strong>de</strong> noveno grado, que a<strong>de</strong>más consi<strong>de</strong>re la también, concepción constructivísta<br />
<strong>de</strong>l aprendizaje y permita, promover y potenciar el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> las distintas<br />
capacida<strong>de</strong>s: <strong>de</strong> razonamiento, <strong>de</strong>ducción, reflexión, análisis y abstracción <strong>de</strong> los<br />
estudiantes.<br />
44
4.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN<br />
4 MARCO METODOLOGICO<br />
“En esencia, un experimento consiste en someter un objeto en estudio a la<br />
influencia <strong>de</strong> ciertas variables, en condiciones controladas y conocidas por el<br />
investigador, para observar los resultados que la variable produce en el objeto” 18 .<br />
<strong>La</strong> investigación, tuvo entonces, un diseño experimental, que estuvo encaminado<br />
a comprobar la creación <strong>de</strong> las abstracciones que permiten la aprehensión <strong>de</strong> los<br />
conceptos fundamentales <strong>de</strong> la función exponencial y su posterior aplicación.<br />
Básicamente la experimentación consistió en someter el grupo <strong>de</strong> estudiantes <strong>de</strong><br />
noveno grado a unas técnicas <strong>de</strong> estudio que fueron las variables (in<strong>de</strong>pendientes<br />
o estímulos), en condiciones controladas y conocidas, para observar los<br />
resultados que las variables producen en el dominio <strong>de</strong>l tema por parte <strong>de</strong> los<br />
alumnos.<br />
Dentro <strong>de</strong> diversos enfoques y patrones, con los cuales se realizan los<br />
experimentos en ciencias sociales, se ha seleccionó uno <strong>de</strong> los más comunes que<br />
es: “antes y <strong>de</strong>spués con dos grupos”.<br />
45
4.2 DISEÑO METODOLÓGICO<br />
Se trabajó una metodología <strong>de</strong> tipo experimental en don<strong>de</strong> se tuvieron dos cursos<br />
<strong>de</strong>l grado 901 y 902 con 35 y 33 alumnos, respectivamente.<br />
<strong>La</strong> primera etapa fué <strong>de</strong> diagnóstico, aplicada a los dos grupos y consistió en la<br />
aplicación <strong>de</strong> una prueba diagnóstica (Anexo A) en la que se <strong>de</strong>tectaron las<br />
carencias respecto a la comprensión y manejo <strong>de</strong> los conceptos previos<br />
necesarios, en la comprensión <strong>de</strong> los conceptos <strong>de</strong> la función exponencial.<br />
Teniendo dos grupos homogéneos, en cuanto a eda<strong>de</strong>s, rendimiento académico,<br />
intereses, estrato y grado que cursan, se aplicó la unidad didáctica para la<br />
enseñanza <strong>de</strong> la función exponencial al curso 901, mientras que en el curso 902,<br />
o grupo control, se utilizó para la enseñanza <strong>de</strong> dicha temática una metodología<br />
tradicional, es <strong>de</strong>cir: explicación <strong>de</strong>l concepto <strong>de</strong> función exponencial, su utilidad,<br />
propieda<strong>de</strong>s, tabulación y representación en el plano cartesiano, seguida <strong>de</strong> la<br />
realización <strong>de</strong> ejercicios en grupo e individual que involucren el reconocimiento,<br />
representación y propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la función exponencial. No se tiene un texto guía.<br />
Aplicados los métodos en el grupo experimental y el grupo control, se diseñó y<br />
aplicó en ambos grados y en forma simultánea una segunda prueba <strong>de</strong><br />
18 SABINO, Carlos A. El Proceso <strong>de</strong> Investigación. Bogotá. El Cid Editor. 1994. p. 104.<br />
46
verificación (Anexo B), que involucró el concepto y aplicación <strong>de</strong> la función<br />
exponencial.<br />
4.3 TECNICAS A APLICAR EN EL AULA<br />
4.3.1 Actividad Inicial. Se plantearon activida<strong>de</strong>s sencillas y concretas, que<br />
implicarán el surgimiento <strong>de</strong> interrogantes, que a su vez, generaron la necesidad<br />
<strong>de</strong> buscar y hallar soluciones a problemas específicos y hacer generalizaciones.<br />
4.3.2 Actividad <strong>de</strong> <strong>de</strong>sarrollo. En grupos <strong>de</strong> trabajo, o <strong>de</strong> manera individual, en<br />
algunos casos, los estudiantes, hallaron procedimientos que les permitieron<br />
plantear una solución a gran parte, o a la totalidad, <strong>de</strong> los interrogantes<br />
planteados, en cada una <strong>de</strong> las activida<strong>de</strong>s iniciales. Luego <strong>de</strong> lo cual, los<br />
estudiantes, con la asesoría <strong>de</strong>l profesor, establecieron la veracidad <strong>de</strong> las<br />
respuestas, fundamentando las correctas y corrigiendo las erradas.<br />
4.3.3 Actividad <strong>de</strong> síntesis. Mediante la unificación y discusión <strong>de</strong> las<br />
soluciones planteadas por los estudiantes, con la guía <strong>de</strong>l profesor, se<br />
establecieron cada uno <strong>de</strong> los conceptos y se realizaron las <strong>de</strong>bidas<br />
generalizaciones.<br />
47
4.4 DISEÑO DE LA DIDACTICA<br />
Una vez <strong>de</strong>terminada la dificultad que los alumnos <strong>de</strong> los cursos 901 y 902,<br />
presentaron en el dominio, comprensión y aplicación <strong>de</strong>l concepto <strong>de</strong> función<br />
exponencial, se aplicó una segunda prueba <strong>de</strong> verificación, (Anexo B) en la que se<br />
<strong>de</strong>terminó el nivel <strong>de</strong> comprensión <strong>de</strong> los conceptos necesarios y referentes al<br />
concepto <strong>de</strong> función exponencial, pudiéndose <strong>de</strong>terminar entonces, la necesidad<br />
<strong>de</strong> incluir en esta propuesta didáctica, dos unida<strong>de</strong>s.<br />
<strong>La</strong> primera unidad, está dirigida a suplir las carencias, que se <strong>de</strong>tectaron con la<br />
aplicación <strong>de</strong> la prueba, sobre los conceptos previos y por lo tanto necesarios al<br />
concepto <strong>de</strong> función exponencial. Dichos conceptos son presentados, mediante<br />
un tratamiento igual, al propuesto para la función exponencial.<br />
<strong>La</strong> segunda unidad contempla el <strong>de</strong>sarrollo y tratamiento propuestos en la<br />
enseñanza <strong>de</strong> la función exponencial.<br />
Se presenta a continuación, la introducción, contenido, lista <strong>de</strong> Cuadros, lista <strong>de</strong><br />
figuras, y <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> los ejes temáticos que conforman las dos unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la<br />
didáctica.<br />
48
5.1 TABLA DE CONTENIDO<br />
5.2 LISTA DE FIGURAS<br />
5.3 LISTA DE CUADROS<br />
5.4 INTRODUCCION<br />
5.5 UNIDAD I<br />
5.5.1 POTENCIACION<br />
5. UNIDAD DIDACTICA<br />
5.5.1.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD<br />
5.5.1.2 MATERIALES 65<br />
49<br />
pág<br />
57<br />
61<br />
63<br />
64<br />
64<br />
64
5.5.1.3 OBJETIVOS<br />
5.5.1.4 INDICACIONES<br />
5.5.1.5 PROPIEDADES DE LA POTENCIACION<br />
5.5.1.5.1 Potencia Cero<br />
5.5.1.5.2 Potencia n <strong>de</strong> uno<br />
5.5.1.5.3 Producto <strong>de</strong> Potencias con Bases Iguales<br />
5.5.1.5.4 Potencia <strong>de</strong> Potencias<br />
5.5.1.5.5 Cociente <strong>de</strong> dos potencias con bases iguales<br />
5.5.1.5.6 Potencia <strong>de</strong> un Producto<br />
5.5.1.5.7 Potencia <strong>de</strong> un Cociente<br />
5.5.1.5.8 Potencias con Exponentes Fraccionarios<br />
5.5.2 PAR O PAREJA ORDENADA 89<br />
50<br />
65<br />
65<br />
86<br />
86<br />
86<br />
86<br />
86<br />
87<br />
87<br />
87<br />
88
5.5.2.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD<br />
5.5.2.2 MATERIALES<br />
5.5.2.3 OBJETIVO<br />
5.5.2.4 INDICACIONES<br />
5.5.2.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA PAREJA<br />
ORDENADA (a , b)<br />
5.5.2.5.1 Diagramas Sagitales.<br />
5.5.2.5.2 Plano Cartesiano.<br />
5.5.2.5.3 Tabla.<br />
5.5.3 PRODUCTO CARTESIANO<br />
5.5.3.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD<br />
5.5.3.2 MATERIALES 99<br />
51<br />
89<br />
90<br />
90<br />
91<br />
95<br />
95<br />
96<br />
96<br />
99<br />
99
5.5.3.3 OBJETIVOS<br />
5.5.3.4 INDICACIONES<br />
5.5.3.5 REPRESENTACION GRAFICA DEL CONJUNTO<br />
OBTENIDO AL ESTABLECER PAREJAS ORDENADAS<br />
ENTRE DOS CONJUNTOS DADOS<br />
5.5.3.5.1 Diagramas sagitales<br />
5.5.3.5.2 Tablas<br />
5.5.3.5.3 Plano cartesiano.<br />
5.5.4 RELACIONES<br />
5.5.4.1 REPRESENTACION DE UNA RELACION<br />
5.5.4.1.1 REPRESENTACION GRAFICA DE UNA RELACION<br />
5.5.4.1.2 REPRESENTACION ALGEBRAICA DE UNA RELACION<br />
5.5.4.2 CLASES DE RELACIONES 122<br />
52<br />
100<br />
100<br />
103<br />
103<br />
104<br />
104<br />
117<br />
119<br />
119<br />
119
5.5.4.2.1 RELACION REFLEXIVA<br />
5.5.4.2.2 RELACION SIMETRICA<br />
5.5.4.2.3 RELACION TRANSITIVA<br />
5.5.4.2.4 RELACION DE EQUIVALENCIA<br />
5.5.4.2.5 RELACIONES FUNCIONALES O FUNCIONES<br />
5.5.5 RELACIONES FUNCIONALES O FUNCIONES<br />
5.5.5.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD<br />
5.5.5.2 MATERIALES<br />
5.5.5.3 OBJETIVOS<br />
5.5.5.4 INDICACIONES<br />
5.5.5.5 MATERIALES<br />
5.5.5.6 INDICACIONES 132<br />
53<br />
122<br />
123<br />
123<br />
123<br />
124<br />
125<br />
125<br />
125<br />
125<br />
126<br />
131
5.5.5.7 VARIABLES INDEPENDIENTES<br />
5.5.5.8 VARIABLES DEPENDIENTES<br />
5.5.5.9 REPRESENTACION GRAFICA DE UNA RELACION<br />
FUNCIONAL O FUNCION<br />
5.5.5.10 CLASES DE FUNCIONES<br />
5.5.5.10.1 FUNCIONES POLINÓMICAS<br />
5.5.5.10.1.1 Función Constante.<br />
5.5.5.10.1.2 Función Idéntica<br />
5.5.510.1.3 Función Lineal<br />
5.5.510.1.4 Funciones Potenciales<br />
5.5.510.2 FUNCIONES ESPECIALES<br />
5.5.5.10.2.1 Función Valor Absoluto 141<br />
54<br />
137<br />
137<br />
137<br />
139<br />
139<br />
140<br />
140<br />
140<br />
140<br />
141
5.5.5.10.2.2 Función Racional<br />
5.5.5.10.2.3 Funciones Segmentadas o por Tramos<br />
5.5.5.10.2.4 Función Mayor Entero Contenido en x<br />
5.5.5.10.3 FUNCIONES TRASCENDENTES<br />
5.5.5.10.3.1 Funciones Trigonométricas<br />
5.5.5.10.3.2 Función Logarítmica.<br />
5.5.5.10.3.3 Función Exponencial.<br />
5.6 UNIDAD II<br />
5.6.1 FUNCION EXPONENCIAL<br />
5.6.1.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD<br />
5.6.1.2 MATERIALES<br />
5.6.1.3 OBJETIVOS 114<br />
55<br />
141<br />
141<br />
142<br />
142<br />
142<br />
142<br />
142<br />
143<br />
143<br />
143<br />
144
5.6.1.4 INDICACIONES<br />
5.6.1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES DE BASE e<br />
5.6.2 PROPIEDADES, DOMINIO Y RECORRIDO DE LA<br />
FUNCION EXPONENCIAL<br />
5.6.2.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD<br />
5.6.2.2 MATERIALES<br />
5.6.2.3 OBJETIVOS<br />
5.6.2.4 INDICACIONES<br />
5.6.2.5 INDICACIONES<br />
5.6.2.6 INDICACIONES<br />
5.6.2.7 INDICACIONES<br />
5.6.2.8 INDICACIONES 170<br />
56<br />
144<br />
157<br />
160<br />
160<br />
160<br />
161<br />
162<br />
163<br />
166<br />
168
5.6.2.9 INDICACIONES<br />
5.6.2.10 INDICACIONES<br />
5.6.2.11 INDICACIONES<br />
5.6.2.12 INDICACIONES<br />
5.6.2.13 INDICACIONES<br />
5.6.2.14 INDICACIONES<br />
57<br />
172<br />
174<br />
176<br />
177<br />
179<br />
181
5.2 LISTA DE FIGURAS<br />
Figura 1. Primeras Seis Particiones <strong>de</strong> la Hoja <strong>de</strong> Papel 68<br />
Figura 2. Ubicación <strong>de</strong>l Punto <strong>de</strong> Encuentro <strong>de</strong> Carlos y Diego 93<br />
Figura 3. Representación Sagital <strong>de</strong> la Pareja Or<strong>de</strong>nada (a , b) 95<br />
Figura 4. Representación Cartesiana <strong>de</strong> la Pareja Or<strong>de</strong>nada (a , b) 96<br />
Figura 5. Representación Tabular <strong>de</strong> la Pareja Or<strong>de</strong>nada (a , b) 96<br />
Figura 6. Representación Gráfica <strong>de</strong> dos o más Parejas Or<strong>de</strong>nadas en un<br />
Diagrama Sagital. 97<br />
Figura 7. Representación Gráfica <strong>de</strong> dos o más Parejas Or<strong>de</strong>nadas en una Única<br />
Tabla. 97<br />
Figura 8. Representación Gráfica Sagital <strong>de</strong> Dos o más Parejas Or<strong>de</strong>nadas en un<br />
Único Plano Cartesiano 98<br />
Figura 9. Formación <strong>de</strong> los Conjuntos y Determinación <strong>de</strong> la Totalidad <strong>de</strong> las<br />
Parejas Or<strong>de</strong>nadas Pedidas 107<br />
Figura 10. Representación Sagital <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar Parejas<br />
Or<strong>de</strong>nadas Entre Dos Conjuntos Dados 103<br />
Figura 11. Representación Tabular <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar Parejas<br />
Or<strong>de</strong>nadas entre dos conjuntos 104<br />
Figura 12. Representación Cartesiana <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar Parejas<br />
Or<strong>de</strong>nadas Entre Dos Conjuntos Dados 105<br />
Figura 13 Formación y Obtención <strong>de</strong> las Parejas Or<strong>de</strong>nadas Dados los conjuntos<br />
A y B 106<br />
58<br />
pág
Figura 14. Representación <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar las Parejas<br />
Or<strong>de</strong>nadas, Requeridas Dados los Conjuntos A y B 107<br />
Figura 15. Representación Tabular <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al formar las Parejas<br />
Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados los Conjuntos A y B 107<br />
Figura 16. Representación Cartesiana <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar las<br />
Parejas Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados A y B 108<br />
Figura 17. Determinación <strong>de</strong> las Parejas Or<strong>de</strong>nadas Requeridas dados los<br />
conjuntos B y A 109<br />
Figura 18. Representación Sagital <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar las parejas<br />
Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados los Conjuntos B y A 110<br />
Figura 19. Representación Tabular <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar las Parejas<br />
Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados los Conjuntos B y A 110<br />
Figura 20. Representación Cartesiana <strong>de</strong>l conjunto Obtenido al Formar las<br />
Parejas Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados los Conjuntos B y A 110<br />
Figura 21. Determinación <strong>de</strong> las Parejas Or<strong>de</strong>nadas Requeridas, Dados los<br />
Conjuntos R - y R + 111<br />
Figura 22. Representación Sagital <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar las Parejas<br />
Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados los R - y los R + 112<br />
Figura 23. Representación Cartesiana <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar las<br />
Parejas Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados los R - y los R + . 112<br />
Figura 24. Representación Tabular <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar las Parejas<br />
Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados los R- y los R+ 112<br />
Figura 25. Representación Tabular <strong>de</strong>l Producto Cartesiano AXB 115<br />
Figura 26. Representación Sagital <strong>de</strong>l Producto Cartesiano AXB 115<br />
Figura 27. Representación Cartesiana <strong>de</strong>l Producto Cartesiano AXB 115<br />
Figura 28. Representación Sagital <strong>de</strong>l Producto Cartesiano AXB y <strong>de</strong> un<br />
Subconjunto <strong>de</strong>l Producto Cartesiano BXA 118<br />
Figura 29. Representación Gráfica Sagital <strong>de</strong> la Relación R <strong>de</strong> A en B 120<br />
Figura 30. Número <strong>de</strong> Habitantes en los Primeros Tres Cuartos <strong>de</strong> Hora 128<br />
59
Figura 31. Representación Gráfica Sagital 129<br />
Figura 32. Representación Gráfica Tabular 129<br />
Figura 33. Representación Gráfica Cartesiana 130<br />
Figura 34. Círculos 132<br />
Figura 35. Representación Sagital 134<br />
Figura 36. Representación Cartesiana 134<br />
Figura 37. Número <strong>de</strong> Granos Correspondientes a las Seis Primeras Casillas 150<br />
Figura 38. Representación Sagital 158<br />
Figura 39. Representación Tabular 158<br />
Figura 40. Representación Cartesiana 159<br />
Figura 41.. Valores para la representación en el plano cartesiano 162<br />
Figura 42. Representación Tabular <strong>de</strong> f(x) = 1* 163<br />
Figura 43.
Figura 54. Representación Tabular <strong>de</strong> f(x) = 10 x 175<br />
Figura 55. Representación en el Plano Cartesiano <strong>de</strong> f(x) = 10 x 175<br />
Figura 56. Valores <strong>de</strong> las Funciones f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x 178<br />
Figura 57. Representación en el Plano cartesiano <strong>de</strong> f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , 178<br />
Figura 58. Valores <strong>de</strong> las Funciones f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x 176<br />
Figura 59. Representación en el Plano cartesiano <strong>de</strong> f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x .<br />
176<br />
Figura 60. Valores <strong>de</strong> las f(x)=1 x , f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x f(x)=2 x ,<br />
f(x)=e x , f(x)=10 x 178<br />
Figura 61. Representación en el Plano Cartesiano <strong>de</strong> f(x)=1 x , f(x)=(½) x ,<br />
f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x , 178<br />
61
5.3 LISTA DE CUADROS<br />
62<br />
Pág.<br />
Cuadro 1. Número <strong>de</strong> Trozos <strong>de</strong> Papel Obtenidos en Cada División 69<br />
Cuadro 2 Capital obtenido en cada trimestre 81<br />
Cuadro 3. Número <strong>de</strong> granos <strong>de</strong> Trigo correspondiente a cada casilla 151
5.4 INTRODUCCION<br />
<strong>La</strong> matemática a nivel <strong>de</strong> la formación básica segundaria persigue <strong>de</strong>sarrollar el<br />
pensamiento critico, analítico y <strong>de</strong>ductivo <strong>de</strong>l individuo, a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> servir como<br />
instrumento en otros campos <strong>de</strong>l conocimiento.<br />
Muchos fenómenos <strong>de</strong> la ciencia y la tecnología son <strong>de</strong>scritos o explicados a<br />
través <strong>de</strong> funciones exponenciales. De ahí la importancia que la comprensión <strong>de</strong><br />
esta temática tiene para el estudiante, razón por la cual se <strong>de</strong>sarrolló el presente<br />
tratamiento <strong>de</strong> dicha función.<br />
<strong>La</strong> primera unidad, esta compuesta por cinco capítulos, los cuales <strong>de</strong>sarrollan las<br />
temáticas o conceptos previos y necesarios en la comprensión y manejo <strong>de</strong> la<br />
función exponencial, tales conceptos son: potenciación, pareja or<strong>de</strong>nada, producto<br />
cartesiano, relaciones y relaciones funcionales, entre otros.<br />
<strong>La</strong> segunda unidad, consta <strong>de</strong> dos capítulos, el primero <strong>de</strong> los cuales presenta el<br />
concepto <strong>de</strong> la función exponencial como tal, presentando en el segundo capítulo<br />
<strong>de</strong> esta unidad las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la función exponencial.<br />
63
5.5 UNIDAD I<br />
5.5.1 POTENCIACION<br />
5.5.1.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD<br />
<strong>La</strong> potenciación al igual que la adición y sustracción, es una operación.<br />
“De unas tablillas encontradas a lo largo <strong>de</strong>l Eufrates, se <strong>de</strong>duce que los<br />
primeros que aplicaron la elevación a potencia fueron los sacerdotes<br />
mesopotámicos, quienes resolvían la multiplicación, sin necesidad <strong>de</strong><br />
recurrir al ábaco, pues utilizaban la tabla <strong>de</strong> cuadrados, al basarse en el<br />
principio que dice: «El producto <strong>de</strong> dos números es siempre igual al<br />
cuadrado <strong>de</strong> su promedio, menos el cuadrado <strong>de</strong> su semidiferencia»” 19<br />
Para obtener o recordar, <strong>de</strong> forma a<strong>de</strong>cuada, el concepto <strong>de</strong> potenciación, se<br />
realizará a continuación la siguiente actividad, cuyos materiales, objetivos,<br />
instrucciones e interrogantes, a resolver, están <strong>de</strong>scritos a continuación.<br />
19 BALDOR, Aurelio. Aritmética teórico Práctica. 1971. Cultural Colombiana Ltda. 29a Edición. p. 152.<br />
64
5.5.1.2 MATERIALES<br />
<br />
<br />
<br />
Una hoja <strong>de</strong> papel<br />
Tijeras<br />
Lápiz y Papel<br />
5.5.1.3 OBJETIVOS<br />
☺ Adquirir claridad en los conceptos concernientes a la potenciación.<br />
☺ I<strong>de</strong>ntificar las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la potenciación.<br />
5.5.1.4 INDICACIONES<br />
Anotar la cantidad <strong>de</strong> trozos <strong>de</strong> papel, obtenida en cada una <strong>de</strong> las<br />
siguientes divisiones.<br />
65
Tomar una hoja <strong>de</strong> papel, y dividirla en dos partes iguales.<br />
Repetir nuevamente, la anterior operación con cada uno <strong>de</strong> los trozos<br />
obtenidos.<br />
Nuevamente, dividir cada uno <strong>de</strong> los trozos <strong>de</strong> papel, en dos partes iguales.<br />
Repetir esta operación, tres veces más.<br />
¿El número <strong>de</strong> trozos <strong>de</strong> papel, crece proporcionalmente, al número <strong>de</strong><br />
particiones?<br />
¿Cuántos trozos <strong>de</strong> papel se obtendrían en una octava división?<br />
¿Cuántos en la décima?<br />
¿Se pue<strong>de</strong> prever la cantidad <strong>de</strong> trocitos <strong>de</strong> papel que hay, <strong>de</strong>spués <strong>de</strong><br />
realizadas n particiones?<br />
66
Suponga ahora, que no se toma una sola hoja <strong>de</strong> papel, sino dos, y que se<br />
realiza la misma operación anterior<br />
¿Cuál sería la cantidad <strong>de</strong> trozos <strong>de</strong> papel, obtenidos <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> n<br />
divisiones?<br />
¿Qué pasaría si dicha operación se realiza, con N número <strong>de</strong> hojas y n<br />
divisiones?<br />
¿A que conjunto numérico pertenecen N y n?<br />
Para respon<strong>de</strong>r los anteriores interrogantes, es necesario, como se dijo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un<br />
principio, ir anotando el número <strong>de</strong> trozos <strong>de</strong> papel obtenidos en cada una <strong>de</strong> las<br />
particiones estableciendo una relación entre ellos.<br />
Tomando entonces la hoja <strong>de</strong> papel, particionándola en dos partes iguales y<br />
repitiendo la misma operación 4 veces más con cada uno <strong>de</strong> los trozos resultantes<br />
se tendrá que:<br />
67
Figura 1. Primeras Seis Particiones <strong>de</strong> la Hoja <strong>de</strong> Papel<br />
Primera Partición Segunda Partición Tercera Partición<br />
Cuarta Partición Quinta Partición Sexta Partición<br />
Se pue<strong>de</strong> observar, que a medida que se van dividiendo, cada uno <strong>de</strong> los trozos<br />
<strong>de</strong> papel, estos se multiplican. Es <strong>de</strong>cir, el número <strong>de</strong> trozos <strong>de</strong> papel no crece<br />
proporcionalmente, al número <strong>de</strong> particiones.<br />
Es <strong>de</strong> suponer, que si en una quinta división se han obtenido 32 trozos <strong>de</strong> papel;<br />
para una octava o décima división la cantidad obtenida, será consi<strong>de</strong>rable; la cual,<br />
se pue<strong>de</strong> obtener <strong>de</strong> manera idéntica a la anterior. Sin embargo, este<br />
procedimiento resulta largo y poco practico, luego lo indicado es tratar <strong>de</strong> hallar<br />
68
una expresión matemática, que <strong>de</strong> “una u otra manera” simplifique el<br />
procedimiento que arroja el total <strong>de</strong>seado.<br />
Obsérvese entonces, el comportamiento <strong>de</strong> las cifras resultantes en cada una <strong>de</strong><br />
las divisiones o cortes realizados, a cada uno <strong>de</strong> los trozos <strong>de</strong> papel.<br />
Cuadro 1 Número <strong>de</strong> Trozos <strong>de</strong> Papel Obtenidos en Cada División<br />
No. DE CORTES<br />
No. DE<br />
TROZOS<br />
DE PAPEL<br />
(duplicando<br />
el número<br />
<strong>de</strong>l corte<br />
anterior)<br />
No. DE<br />
TROZOS DE<br />
PAPEL<br />
(Productos <strong>de</strong>l<br />
2 por sí mismo)<br />
69<br />
No. DE TROZOS DE PAPEL<br />
(<strong>de</strong>terminación <strong>de</strong>l exponente)<br />
0 1 = 1 = 0 veces 2 multiplicado por sí Mismo<br />
1 2 = 2 = 1 vez 2 multiplicado por sí Mismo<br />
2 4 = 2x2 = 2 veces 2 multiplicado por sí Mismo<br />
3 8 = 2x2x2 = 3 veces 2 multiplicado por sí Mismo<br />
4 16 = 2x2x2x2 = 4 veces 2 multiplicado por sí Mismo<br />
5 32 = 2x2x2x2x2 = 5 veces 2 multiplicado por sí Mismo<br />
6 64 = 2x2x2x2x2x2 = 6 veces 2 multiplicado por sí Mismo<br />
<br />
<br />
n ? = 2x2x2x…x2 = n veces 2 multiplicado por sí Mismo<br />
Luego para hallar el total <strong>de</strong> trocitos <strong>de</strong> papel, obtenidos en la 8ª división, basta<br />
con obtener el resultado <strong>de</strong> multiplicar el número 2 por sí mismo, 8 veces.
De la misma manera, se concluye que para una 10ª partición, el total <strong>de</strong> trocitos<br />
<strong>de</strong> papel viene dado por el resultado que arroje el número 2 multiplicado por sí<br />
mismo 10 veces.<br />
Si se supone, que n número <strong>de</strong> particiones, no se realizan con una sola hoja <strong>de</strong><br />
papel sino con dos, es fácil concluir, que para n particiones, basta con duplicar<br />
la expresión hallada para una sola hoja, es <strong>de</strong>cir;<br />
⎛<br />
⎞<br />
2 ⎜ 2<br />
⎟<br />
⎜ 1x42 2 x ... 43 x 2<br />
⎟<br />
⎝ n veces ⎠<br />
En el caso que se traten tres hojas, la expresión a calcular será:<br />
⎛<br />
⎞<br />
3 ⎜ 2<br />
⎟<br />
⎜ 1x42 2 x ... 43 x 2<br />
⎟<br />
⎝ n veces ⎠<br />
Es lógico, entonces <strong>de</strong>ducir que para N número <strong>de</strong> hojas y n particiones, la<br />
expresión anterior se reduce a:<br />
⎛<br />
⎞<br />
N ⎜ 2<br />
⎟<br />
⎜ 1x42 2 x ... 43 x 2<br />
⎟<br />
⎝ n veces ⎠<br />
70
don<strong>de</strong> N es el número <strong>de</strong> hojas, 2 es el número en que se cortan los trozos <strong>de</strong><br />
papel cada vez, y n el número <strong>de</strong> veces que se realiza el procedimiento <strong>de</strong> cortar<br />
cada uno <strong>de</strong> los trozos <strong>de</strong> papel.<br />
Ahora bien, si cada trozo <strong>de</strong> papel no se particiona en 2 partes, sino en tres<br />
cuatro, cinco, etc., es <strong>de</strong>cir; en K trozos, entonces se tendrá que la expresión<br />
resultante será:<br />
⎛<br />
N ⎜<br />
1KxK 42...<br />
43 xK<br />
⎝ n veces<br />
Se ha obtenido entonces, una expresión que arroja los resultados <strong>de</strong> cortar N,<br />
hojas <strong>de</strong> papel en k trozos, n veces. Don<strong>de</strong> N, n y k, pertenecen al conjunto <strong>de</strong><br />
números Naturales.<br />
El cálculo <strong>de</strong> dicha expresión es relativamente sencillo, pues tan solo se trata <strong>de</strong><br />
calcular el producto <strong>de</strong> una constante mediante un producto especial, que<br />
consiste en aquel cuyos factores son iguales, como por ejemplo: 2x2x2;<br />
3x3x3x3x3; 10x10x10x10, etc., y que por ser especial, tienen una forma<br />
abreviada <strong>de</strong> escribirlo mediante la expresión K n , en don<strong>de</strong> K es el factor que se<br />
repite y n el número <strong>de</strong> veces que lo hace. Para el caso <strong>de</strong> los anteriores<br />
productos se escriben como 2 3 , 3 4 ó 10 5 , respectivamente, que como se pue<strong>de</strong><br />
observar, efectivamente es mucho más corto <strong>de</strong> escribir o indicar. Sin embargo, si<br />
71<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
se quiere obtener el resultado, el procedimiento es tan largo como factores a<br />
operar.<br />
Dando entonces una “<strong>de</strong>finición” <strong>de</strong> POTENCIA, se dirá que es el resultado que se<br />
obtiene al efectuar la operación indicada, en la expresión<br />
K n<br />
Don<strong>de</strong> K se <strong>de</strong>nomina base y n exponente, y don<strong>de</strong> <strong>de</strong> acuerdo con el ejemplo<br />
<strong>de</strong> los trozos <strong>de</strong> papel, K y n pertenecen al conjunto <strong>de</strong> los números naturales. Es<br />
<strong>de</strong>cir:<br />
⎛<br />
⎞<br />
n<br />
K = ⎜<br />
⎟<br />
⎜ 1KxKxKxKx<br />
4 42<br />
4... 4xK<br />
3 ⎟<br />
⎝<br />
n veces ⎠<br />
En estas condiciones, se <strong>de</strong>fine entonces potenciación cómo la operación que<br />
permite calcular la potencia o resultado <strong>de</strong> un producto especial en el cual los<br />
factores son el mismo.<br />
De acuerdo con esto último, se tiene que los productos o expresiones encontradas<br />
que resolvían los interrogantes, en el ejemplo <strong>de</strong> las hojas <strong>de</strong> papel son<br />
equivalentes a las siguientes expresiones: 2 8 , 2 10 , 2(2 n ), 3(2 n ) y finalmente N(K n ),<br />
expresión que <strong>de</strong>bidamente utilizada solucionaba la totalidad <strong>de</strong> los interrogantes<br />
72
planteados, en el ejemplo <strong>de</strong> los trozos <strong>de</strong> papel y don<strong>de</strong> N, K y n pertenecen al<br />
conjunto <strong>de</strong> los números naturales.<br />
Sin embargo, la expresión hallada, solo es aplicable en aquellos casos en los<br />
cuales las cantida<strong>de</strong>s representativas aumentan bruscamente y duplicándose,<br />
triplicándose, etc. Es necesario entonces, exten<strong>de</strong>r la aplicabilidad <strong>de</strong> la expresión<br />
NK n , a casos en que sus cantida<strong>de</strong>s representativas, <strong>de</strong>terminen resultados<br />
correctos y rápidos acerca <strong>de</strong> crecimientos o disminuciones continuas.<br />
Para esto se analizará el siguiente ejemplo:<br />
“En cualquier sistema económico el valor <strong>de</strong>l dinero cambia con el tiempo”.<br />
Esto es:<br />
El valor que tiene hoy el dinero o valor presente (P), es distinto <strong>de</strong>l valor que<br />
tendrá transcurrido un periodo <strong>de</strong> tiempo o valor futuro (F), el cual como se sabe<br />
pue<strong>de</strong> ser menor o mayor al valor presente.<br />
Supóngase ahora, que se hace una inversión <strong>de</strong> $2000 y al cabo <strong>de</strong> seis meses<br />
se obtiene $2.200.<br />
73
¿Cuál fue el cambio <strong>de</strong>l valor <strong>de</strong>l dinero?<br />
¿Cuánto se obtiene en seis meses por cada $100?<br />
¿Cuánto en un mes por cada $100?<br />
Para establecer el cambio en el valor <strong>de</strong>l dinero, basta con sustraer <strong>de</strong>l valor futuro<br />
(F) el valor presente (P), obteniéndose <strong>de</strong> esta manera, la ganancia o interés (I),<br />
si el valor futuro es mayor que el valor presente (F > P), o la pérdida (R) si ocurre<br />
lo contrario, es <strong>de</strong>cir; el valor futuro es menor que el valor presente (F < P).<br />
En el ejemplo que estamos tratando se tiene:<br />
$2200 - $2000 = $200<br />
Lo que indica que F – P = I (1)<br />
ó que F = P + I (2)<br />
Por lo tanto el cambio <strong>de</strong>l valor <strong>de</strong>l dinero, interés o ganancia ( I ), fue <strong>de</strong> $200, en<br />
seis meses.<br />
74
Ahora bien, por $2000 se reciben $200, al cabo <strong>de</strong> seis meses, luego basta con<br />
efectuar una regla <strong>de</strong> tres, para <strong>de</strong>terminar la ganancia obtenida en seis meses<br />
por cada $100 invertidos.<br />
$2000 → $200<br />
$ 100 → א<br />
Entonces: א = $100 X $200 .<br />
$2000<br />
Luego se tiene que א = $10<br />
Entonces I = $10<br />
Es <strong>de</strong>cir; al cabo <strong>de</strong> seis meses por cada $100 invertidos se reciben $10, que es lo<br />
que en la banca se <strong>de</strong>nomina taza <strong>de</strong> interés (i)<br />
i<br />
i<br />
i<br />
=<br />
=<br />
=<br />
10%<br />
75<br />
10<br />
100<br />
0.<br />
10
Dividiendo los $10 <strong>de</strong> interés semestral, entre seis, se obtiene el interés o<br />
ganancia adquirida en un mes.<br />
Interés en un mes<br />
Interés en un mes<br />
=<br />
=<br />
76<br />
$10<br />
6<br />
Luego la taza <strong>de</strong> interés (i) al cabo <strong>de</strong> un mes será:<br />
i<br />
=<br />
10<br />
6<br />
100<br />
$1.66666 ... 6<br />
Lo que reemplazando (I = Interés, t = tiempo, P = capital presente o capital<br />
invertido) indica que:<br />
Efectuando el cociente indicado, se tiene que:<br />
i<br />
=<br />
i =<br />
I<br />
t<br />
P<br />
I<br />
Pt
Despejando I (interés), se tiene que:<br />
I = iPt (3)<br />
Reemplazando este valor <strong>de</strong> I, en la ecuación (2). (F = P + I)<br />
Entonces se tiene que F = P +I<br />
Luego F = P + iPt<br />
Don<strong>de</strong> factorizando F = P(1 + it)<br />
Este tipo <strong>de</strong> interés, es lo que se <strong>de</strong>nomina Interés Simple, el cual, como se pue<strong>de</strong><br />
observar, es una ganancia (o pérdida) que se percibe al final <strong>de</strong> periodos iguales<br />
<strong>de</strong> tiempo sin que el valor presente (P) <strong>de</strong> un capital varíe.<br />
Está también el Interés Compuesto, mediante el cual, al finalizar un periodo<br />
<strong>de</strong>terminado <strong>de</strong> tiempo, la ganancia o interés obtenido, pasa a formar parte <strong>de</strong>l<br />
capital para el siguiente periodo <strong>de</strong> tiempo. <strong>La</strong> inversión que se hace bajo este tipo<br />
<strong>de</strong> interés, es <strong>de</strong>nominado en la banca como capitalizable.<br />
77
A manera <strong>de</strong> ejemplo, supóngase ahora que se han invertido $1000 al 28% anual<br />
capitalizables trimestralmente:<br />
¿Qué dinero se tendrá al cabo <strong>de</strong> un año?<br />
Sabiendo entonces, que el número <strong>de</strong> trimestres en un año son cuatro, y que<br />
capitalizable trimestralmente, indica que los intereses recibidos en cada trimestre,<br />
es <strong>de</strong>cir cada ¼ <strong>de</strong> año, pasan a formar parte <strong>de</strong>l capital para los siguientes tres<br />
meses o siguiente ¼ <strong>de</strong> año, se tiene que el capital futuro F1, calculado para el<br />
primer periodo <strong>de</strong> tiempo es:<br />
F1 = P1 (it + 1)<br />
F1 = 1000 { (0.28 x ¼ ) + 1)<br />
F1 = 1000 { (0.28/4) + 1}}<br />
F1= 1000(0.07+1)<br />
F1 = 1000 (1.07)<br />
F1 = 1070<br />
Luego el interés recibido en el primer trimestre es <strong>de</strong> $70 pesos, que por ser<br />
capitalizable la inversión, pasan a formar parte <strong>de</strong>l capital invertido para los tanto<br />
el capital presente para el segundo periodo <strong>de</strong> tiempo es <strong>de</strong> $ 1070<br />
78
F2 = P2 ( it + 1)<br />
F2 = 1070 { (0.28 x ¼ ) + 1)<br />
F2 = 1070 { (0.28/4) + 1}<br />
F2= 1070 ( 0.07+1 )<br />
F2 = 1070 ( 1.07 )<br />
F2 = 1144,9<br />
Para el tercer periodo, es <strong>de</strong>cir, ¾ <strong>de</strong> año, el capital presente será <strong>de</strong> $1144,90;<br />
por lo tanto a los nueve meses F3 está dado por:<br />
F3 = P3( it + 1<br />
F3 = 1144,90 { (0.28 x ¼ ) + 1 }<br />
F3 = 1144,90 { (0.28/4) + 1<br />
F3 = 1144,90 (1.07)<br />
F3 = 1144,90 ( 0.07+1 }<br />
F3 = 1144,90 (1.07)<br />
F3 = 1225.043<br />
79
Finalmente, para el cuarto periodo el capital invertido o P4 es <strong>de</strong> $1225,043, luego<br />
al concluir el año, F4 será dado por:<br />
Ahora bien:<br />
F4 = P4 ( it + 1)<br />
F4 = 1225,043 { (0.28 x ¼ ) + 1}<br />
F4 = 1225.043 { (0.28/4) + 1}<br />
F4= 1225.043 ( 0.07+1 )<br />
F4 = 1225.043 (1.07)<br />
F4 = 1310,796<br />
¿Cuál será el capital obtenido al cabo <strong>de</strong> 10 años, sin olvidar que es<br />
capitalizable trimestralmente?<br />
Es <strong>de</strong> suponer, que el cálculo <strong>de</strong> dicho capital, se obtendrá realizando el mismo<br />
procedimiento 40 veces más. Procedimiento que por ser bastante largo y poco<br />
práctico, exige, que al igual que se hizo con el ejemplo <strong>de</strong> los granos <strong>de</strong> trigo, se<br />
analice el comportamiento <strong>de</strong> las cifras resultantes, con el fin <strong>de</strong> hallar una<br />
80
expresión matemática, que arroje el resultado <strong>de</strong>seado para cualquier numero <strong>de</strong><br />
años sin mayores complicaciones.<br />
Observando entonces las cifras resultantes se tiene:<br />
Cuadro 2. Capital Obtenido en Cada Trimestre<br />
Capital<br />
en cada<br />
trimestre<br />
Inversión capitalizable cada<br />
trimestre<br />
81<br />
Inversión<br />
capitalizable<br />
en potencias<br />
<strong>de</strong> 1.07<br />
Capital<br />
obtenido<br />
F1 = 1000 (1.07) = 1000 (1.07) 1 = 1070<br />
F2 = 1000 (1.07)(1.07) = 1000 (1.07) 2 = 1144,90<br />
F3 = 1000 (1.07)(1.07)(1.07) = 1000 (1.07) 3 = 1225,043<br />
F4 = 1000 (1.07)(1.07)(1.07)(1.07) = 1000 (1.07) 4 = 1310,796<br />
• • • • • • •.<br />
• • • • • • •<br />
• • • • • • •<br />
Fn = 1000(1.07)(1.07)(1.07)(1.07) ... (1.07) = 1000 (1.07) n = P(1+i/k) n<br />
Por lo tanto, si se invierten $1000 al 28% anual capitalizables trimestralmente,<br />
significa que al cabo <strong>de</strong> 10 años, se obtiene un capital dado por:<br />
n<br />
⎛ i ⎞<br />
P ⎜1+<br />
⎟ (4)<br />
⎝ k ⎠<br />
Don<strong>de</strong> k es el número <strong>de</strong> periodos capitalizables en un año, n el número total <strong>de</strong><br />
capitalizaciones, i la tasa <strong>de</strong> interés y P el capital inicial
Es <strong>de</strong>cir:<br />
Lo que es igual<br />
a:<br />
28 ⎛ 100 ⎞<br />
1000 ⎜1<br />
+ ⎟<br />
⎝ 4 ⎠<br />
1000<br />
1000 (1.07) 40<br />
Si la capitalización es mensual o diaria, el capital arrojado por $1000 al 28% anual,<br />
al cabo <strong>de</strong> 10 años, estará dado respectivamente por las siguientes expresiones<br />
1000<br />
1000<br />
28<br />
100<br />
Esto indica, que el monto acumulado por un capital P, a una taza <strong>de</strong> interés i,<br />
capitalizables k número <strong>de</strong> periodos en un año; está dada por:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡ ⎛<br />
⎢ ⎜<br />
⎢ ⎜<br />
⎣ ⎝<br />
28<br />
100<br />
28<br />
100<br />
82<br />
40<br />
⎤40<br />
1<br />
⎥ ⎞ ⎥<br />
x + 1⎥<br />
⎥<br />
4 ⎟<br />
⎥<br />
⎠ ⎥<br />
4x10<br />
1 ⎞ ⎤<br />
⎟ + 1 ⎟ 4<br />
x ⎥ ⎥<br />
⎠ ⎦<br />
12x10<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎢⎛<br />
28 1 ⎞ ⎥<br />
1000 ⎢⎜<br />
x ⎟ + 1⎥<br />
⎢ 100 12 ⎥<br />
⎢⎝<br />
⎠ ⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
⎤ 365x10<br />
1 ⎥ ⎞ ⎥<br />
x + 1⎥<br />
⎥<br />
365 ⎟<br />
⎥<br />
⎠ ⎥<br />
⎦<br />
⎦
⎛ 1 ⎞<br />
P⎜i + 1⎟<br />
⎝ k ⎠<br />
⎛<br />
P⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
+ 1⎟<br />
⎠<br />
Ahora bien, si la capitalización es en cada instante, es <strong>de</strong>cir; continua, entonces el<br />
número <strong>de</strong> periodos capitalizables k, aumenta <strong>de</strong> forma in<strong>de</strong>finida, por lo tanto, el<br />
monto obtenido por un capital P, al cabo <strong>de</strong> t años, puesto a una tasa <strong>de</strong> interés i<br />
y capitalizables en cada instante o continuamente, estará dada por:<br />
Don<strong>de</strong> k o número <strong>de</strong> periodos capitalizables al año, crece en forma in<strong>de</strong>finida y la<br />
longitud <strong>de</strong> cada periodo tien<strong>de</strong> a cero, en este caso se dice que el interés se<br />
capitaliza continuamente, es <strong>de</strong>cir en cada instante.<br />
i<br />
k<br />
En cursos posteriores o mas avanzados, se podrá establecer que si se hace<br />
x = i/k, entonces cuando k → ∞, se tiene que x → 0. Así, realizando los<br />
correspondientes reemplazos, se establecerá que la expresión a calcular será:<br />
83<br />
kt<br />
kt<br />
kt<br />
⎛ i ⎞<br />
P ⎜ +<br />
1⎟<br />
⎝ k ⎠
it<br />
⎡<br />
1<br />
x ( ) x ⎤<br />
P<br />
⎢<br />
⎯lim<br />
⎯⎯ →0<br />
x + 1<br />
⎣<br />
⎥<br />
⎦<br />
y que el valor <strong>de</strong>l límite puesto entre los corchetes, correspon<strong>de</strong> al número<br />
irracional “e”, o número <strong>de</strong> Euler.<br />
Por lo tanto, finalmente, la expresión que arroja el monto total <strong>de</strong> un capital P,<br />
<strong>de</strong>spués <strong>de</strong> t años, a una tasa anual <strong>de</strong> interés i compuesta continuamente es:<br />
Peit<br />
En don<strong>de</strong> P, es una constante y <strong>de</strong>bido a su forma se dice que es una expresión<br />
<strong>de</strong> crecimiento si i es positiva o una expresión <strong>de</strong> <strong>de</strong>crecimiento si i es negativa. 20<br />
Ahora bien, el propósito <strong>de</strong>l ejemplo <strong>de</strong> la inversión capitalizable era el <strong>de</strong> exten<strong>de</strong>r<br />
la aplicabilidad <strong>de</strong> la expresión NK n , a casos en que sus cantida<strong>de</strong>s<br />
representativas <strong>de</strong>terminen resultados correctos y rápidos acerca <strong>de</strong> crecimiento o<br />
disminución paulatinos.<br />
Por lo tanto, si hacemos P = N, it = n se tendrá que:<br />
20 HAEUUSSLER, Ernest F. PAUL, Richard S. Matemáticas Para Administración y Economía.<br />
México DF. E. Grupo Editorial Iberoamérica, S.A <strong>de</strong> C.V. 1987. p.350<br />
84
Se pue<strong>de</strong> escribir como:<br />
Peit<br />
Nen<br />
Como e, es una constante entonces se pue<strong>de</strong> concluir que:<br />
Se pue<strong>de</strong> escribir como<br />
Nen<br />
NK n<br />
Don<strong>de</strong> N. K y n pertenecen al conjunto <strong>de</strong> los números reales, razón por la cual,<br />
las expresiones a evaluar, podrán ser, a manera <strong>de</strong> ejemplo, como las dadas a<br />
continuación: 1000e 1/3 , 10(2) -3 , (5/2) 4/7 , etc.<br />
Ahora bien, para evaluar dichas expresiones basta con efectuar el producto <strong>de</strong><br />
una constante por una potencia, sin embargo, la <strong>de</strong>finición dada anteriormente <strong>de</strong><br />
potencia o potenciación, resulta <strong>de</strong> poca ayuda en la operabilidad y comprensión<br />
<strong>de</strong> estas expresiones, ya que indicar, por ejemplo, que 10(2) -3 , es, 10<br />
multiplicado por menos tres veces el producto, <strong>de</strong> dos por sí mismo, resulta<br />
confuso y sin sentido, por lo tanto es necesario recordar, lo que significa una<br />
85
potencia con exponente negativo, fraccionario o radical. Para eso se recordaran<br />
las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la potenciación.<br />
5.5.1.5 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN<br />
5.5.1.5.1 Potencia Cero<br />
Si a ∈ R – {0}, entonces a 0 = 1<br />
5.5.1.5.2 Potencia n <strong>de</strong> uno<br />
Si n ∈ R, entonces 1 n = 1<br />
5.5.1.5.3 Producto <strong>de</strong> Potencias con Bases Iguales<br />
Si a ∈ R, m, n ∈ Z y a m x a n ∈ R, entonces a m x a n = a m+n<br />
5.5.1.5.4 Potencia <strong>de</strong> Potencias<br />
Si a∈R, m, n ∈Z y (a m ) n ∈R se tiene que: (a m ) n = a mxn<br />
86
5.5.1.5.5 Cociente <strong>de</strong> dos potencias con bases iguales<br />
m<br />
a<br />
Si a ∈ R, m, n ∈ Z y ∈ R; entonces<br />
n<br />
a<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
Potencias<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
m<br />
n<br />
m<br />
n<br />
a<br />
a<br />
m<br />
n<br />
=<br />
a<br />
1<br />
= n - m<br />
a<br />
m - n<br />
si m > n<br />
con<br />
1<br />
= = a<br />
k<br />
a<br />
= 1 si m = n<br />
exponentes<br />
5.5.1.5.6 Potencia <strong>de</strong> un Producto<br />
- k<br />
si m < n, y a<strong>de</strong>más se hace k = n - m<br />
87<br />
se<br />
negativos<br />
Si a, b∈R, m∈Z y (axb) m ∈R, entonces (axb) m = a m xb m<br />
5.5.1.5.7 Potencia <strong>de</strong> un Cociente<br />
⎛ a ⎞<br />
a, b∈R,<br />
m∈<br />
Z<br />
y ⎜ ⎟<br />
⎝ b ⎠<br />
m<br />
tiene<br />
que :<br />
⎛ a ⎞ a<br />
∈R,<br />
con b ≠ 0, entonces ⎜ ⎟ =<br />
⎝ b ⎠ b<br />
Si m<br />
m<br />
m
5.5.1.5.8 Potencias con Exponentes Fraccionarios<br />
Si x, m, n ∈<br />
R, entonces :<br />
1.<br />
2.<br />
m<br />
x n<br />
m<br />
x n<br />
=<br />
=<br />
n m<br />
x<br />
n m<br />
x<br />
=<br />
=<br />
( n x )<br />
m<br />
∈ R, si x ∈ R<br />
+<br />
( n m<br />
x ) ∈ R, si x ∈ R<br />
−<br />
y, n es impar<br />
88
5.5.2 PAR O PAREJA ORDENADA<br />
5.5.2.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD<br />
Algunos vocablos o expresiones, permiten i<strong>de</strong>ntificar el oficio, profesión, o por lo<br />
menos, el medio en el que se <strong>de</strong>senvuelve un individuo. Así; es común escuchar,<br />
a aquellos, que se <strong>de</strong>sempeñan en el campo <strong>de</strong> la salud, o afines, referirse a<br />
caninos, en cambio <strong>de</strong> colmillos.<br />
De igual manera, los integrantes <strong>de</strong> los diversos oficios y profesiones, llegan a<br />
consensos, que son característicos, <strong>de</strong>l campo profesional, en el que transcurra<br />
su cotidianidad. Tal es el caso, <strong>de</strong> lo que ocurre en el campo <strong>de</strong> la salud, cuyos<br />
profesionales, proporcionan información acerca <strong>de</strong>l estado <strong>de</strong> la presión arterial,<br />
mediante la utilización <strong>de</strong> una pareja <strong>de</strong> números, don<strong>de</strong> el primer número,<br />
correspon<strong>de</strong> al valor <strong>de</strong> la tensión arterial alta y el segundo número, al valor <strong>de</strong> la<br />
tensión arterial baja.<br />
Ahora bien, agilizar la información, mediante la utilización <strong>de</strong> una pareja <strong>de</strong><br />
números que conservan un or<strong>de</strong>n <strong>de</strong>terminado, no es exclusividad <strong>de</strong>l campo <strong>de</strong><br />
la salud; mucha <strong>de</strong> la información que diariamente escuchamos o transmitimos,<br />
utiliza una pareja <strong>de</strong> datos, cuyo or<strong>de</strong>n es previamente acordado.<br />
89
Para compren<strong>de</strong>r mejor el concepto <strong>de</strong> Pareja Or<strong>de</strong>nada, se consi<strong>de</strong>rará el<br />
siguiente ejemplo, cuyos materiales, objetivo e indicaciones a seguir, serán<br />
establecidos a continuación.<br />
5.5.2.2 MATERIALES<br />
50 A 60 fichas cuadradas <strong>de</strong> más o menos 2 cm. <strong>de</strong> lado y <strong>de</strong>l<br />
mismo color<br />
Una tabla o cartón lo suficientemente gran<strong>de</strong>, que permita<br />
disponer fichas sobre él.<br />
Dos fichas circulares <strong>de</strong> más o menos un cm. <strong>de</strong> diámetro <strong>de</strong><br />
diferente color<br />
5.5.2.3 OBJETIVO<br />
.<br />
☺ Adquirir claridad en el concepto <strong>de</strong> par o pareja or<strong>de</strong>nada<br />
90
5.5.2.4 INDICACIONES<br />
Alguna <strong>de</strong> las empresas <strong>de</strong> taxis en Bogotá, con el propósito <strong>de</strong> agilizar la<br />
comunicación con el conductor vía radio-teléfono, acordaron que la dirección a<br />
la que <strong>de</strong>bían acudir, se les informaría teniendo en cuenta lo siguiente:<br />
Si el conductor <strong>de</strong>bía acudir a una casa, edificio, etc.; cuya ubicación se<br />
encontrara sobre la carrera, entonces, se omitiría la palabra carrera y número.<br />
Por ejemplo; si el conductor era solicitado en la Cra. 30 No 17-20, la información<br />
que recibiría sería 30 17-20.<br />
Si por el contrario, el conductor <strong>de</strong>bía acudir a un edificio o casa ubicada sobre la<br />
calle, únicamente se omitiría la palabra número. Es <strong>de</strong>cir; si por ejemplo, el<br />
conductor era solicitado en la Calle 30 No 17-20, la información a recibir sería,<br />
Calle 30 17-20.<br />
Ahora bien, si el punto al que <strong>de</strong>bía acudir, era una esquina, la información sería<br />
transmitida, primero dando el número <strong>de</strong> la carrera y segundo el número <strong>de</strong> la<br />
calle.<br />
Así; si el servicio era solicitado en la esquina correspondiente a la Cra. 30 con<br />
calle 8ª, la información a recibir, por parte <strong>de</strong>l conductor sería: 30 8.<br />
91
Si por el contrario el servicio solicitado era en la calle 30 con Cra. 8ª, la<br />
información a transmitir sería 8 30.<br />
Carlos, que conocía lo establecido por las empresas <strong>de</strong> taxis, citó a Diego, su<br />
compañero <strong>de</strong> clase, en la 7ª con 3ª, a las dos <strong>de</strong> la tar<strong>de</strong>; para asistir juntos a la<br />
final <strong>de</strong>l campeonato intercolegiado <strong>de</strong> football, don<strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los equipos<br />
participantes pertenecía al colegio don<strong>de</strong> estudiaban.<br />
El día fijado llega, ambos asisten al punto <strong>de</strong> encuentro con 15 minutos <strong>de</strong><br />
anticipación, Carlos espera hasta las 2:30 y Diego hasta las 2:20, sin embargo<br />
nunca se encuentran, asistiendo entonces, por separado, al encuentro <strong>de</strong><br />
football.<br />
¿Qué ocurrió?<br />
¿Por qué, pese a que ambos llegaron 15 minutos antes <strong>de</strong> las dos, y<br />
esperar el uno al otro por espacio <strong>de</strong> 45 y 35 minutos, nunca se<br />
encontraron?<br />
<strong>La</strong> respuesta a dichos interrogantes es bastante sencilla, y pue<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>scrita a<br />
través <strong>de</strong>l siguiente diagrama, el cual se realizará utilizando las fichas cuadradas<br />
92
las cuales representan las manzanas y los espacios entre ellas las calles y las<br />
carreras<br />
Figura 2. Ubicación <strong>de</strong>l Punto <strong>de</strong> Encuentro <strong>de</strong> Carlos y Diego<br />
El diagrama muestra claramente la posición <strong>de</strong> Carlos (7ª, 3ª) y Diego (3ª, 7ª), a<br />
la hora <strong>de</strong>l encuentro.<br />
¿Cuál <strong>de</strong> los dos estaba en el lugar correcto: Carlos o Diego?<br />
93
De acuerdo con lo establecido, por la empresas <strong>de</strong> taxis, resulta fácil concluir que<br />
la posición <strong>de</strong> Carlos (7ª , 3ª), era la correcta.<br />
Así el ejemplo anterior, muestra como la posición <strong>de</strong> Carlos o <strong>de</strong> Diego, la aportan<br />
un par <strong>de</strong> números, que a<strong>de</strong>más tienen un or<strong>de</strong>n, ya que el primero <strong>de</strong>termina la<br />
carrera, y el segundo la calle.<br />
Ahora bien, si se tiene que a y b son un par <strong>de</strong> números cualquiera; y se dice que<br />
Carlos se encuentra en la “a” con “b”, esto es equivalente a <strong>de</strong>cir que Carlos se<br />
encuentra en la carrera “a” con calle “b”, si por el contrario, se dice que Carlos se<br />
encuentra en la “b” con “a”, esto indicará que Carlos se encuentra en la carrera “b”<br />
con calle “a”, lo cual indica posiciones distintas.<br />
De aquí se pue<strong>de</strong> afirmar, que la posición “P” <strong>de</strong> Carlos, <strong>de</strong>termina dos números<br />
reales “a” y “b”, que suelen escribirse en la forma (a , b), indicándose con ello que<br />
“a” es el primer elemento (primer real) y “b” el segundo elemento (segundo real), lo<br />
que a<strong>de</strong>más indica que si “a” es diferente <strong>de</strong> “b” (a ≠ b), entonces la pareja o par<br />
<strong>de</strong> números (a , b), es diferente <strong>de</strong> la pareja o par <strong>de</strong> números (b , a).<br />
((a, b) ≠(b, a)). Esto significa que el or<strong>de</strong>n en que se escriben “a” y “b”, es<br />
fundamental, razón por la cual (a , b) se llama una pareja or<strong>de</strong>nada o dupla <strong>de</strong><br />
reales. 21<br />
21<br />
MUÑOZ, José. SANCHEZ, Darío. Precálculo.1992. <strong>Universidad</strong> Nacional <strong>de</strong> Colombia. 2ª<br />
Edición. p.65<br />
94
5.5.2.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA PAREJA ORDENADA (a,b)<br />
El par o pareja or<strong>de</strong>nada (a , b), a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> la representación anterior, se pue<strong>de</strong><br />
representar mediante la utilización <strong>de</strong> diagramas sagitales, plano cartesiano o en<br />
una tabla.<br />
5.5.2.5.1 Diagramas Sagitales. Para representar una pareja or<strong>de</strong>nada mediante<br />
un diagrama sagital, se ubica el primer elemento, <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> un primer conjunto<br />
que para el ejemplo aquí citado, el <strong>de</strong> Carlos y Diego, será el conjunto <strong>de</strong> las<br />
carreras, el cual se llamará K, y el segundo elemento en un segundo conjunto, o<br />
conjunto formado por las calles, el cual se llamará C, trazando a continuación una<br />
flecha <strong>de</strong> a hacia b.<br />
Figura 3. Representación Sagital <strong>de</strong> la Pareja Or<strong>de</strong>nada (a , b)<br />
95
5.5.2.5.2 Plano Cartesiano. Para representar la pareja or<strong>de</strong>nada (a, b) en el<br />
plano cartesiano, se ubica el primer elemento sobre el eje <strong>de</strong> las abscisas (X), y<br />
el segundo sobre el eje <strong>de</strong> las or<strong>de</strong>nadas (Y), trazando a continuación la<br />
proyección ortogonal, o recta perpendicular, a cada uno <strong>de</strong> los puntos indicados y<br />
extendiéndolas hasta su intersección, punto, que representará el par or<strong>de</strong>nado<br />
dado.<br />
Figura 4. Representación Cartesiana <strong>de</strong> la Pareja Or<strong>de</strong>nada (a , b)<br />
5.5.2.5.3 Tabla. <strong>La</strong>s tablas son también otra forma <strong>de</strong> representar un par<br />
or<strong>de</strong>nado; consiste en dos columnas, don<strong>de</strong> se ubican los dos elementos, <strong>de</strong>l par<br />
or<strong>de</strong>nado, cuidando <strong>de</strong> ubicar el primer elemento en la primera columna o<br />
abscisas, y el segundo elemento, en la segunda columna u or<strong>de</strong>nadas.<br />
Figura 5. Representación Tabular <strong>de</strong> la Pareja Or<strong>de</strong>nada (a , b)<br />
K A<br />
C b<br />
96
|Para compren<strong>de</strong>r mejor la representación gráfica <strong>de</strong> una pareja or<strong>de</strong>nada, se<br />
representaran en un mismo diagrama sagital, plano cartesiano y tabla las<br />
siguientes parejas or<strong>de</strong>nadas: (1,3), (3,1), (0,4), (4,0).<br />
Como se trata <strong>de</strong> representar las anteriores parejas en un único diagrama sagital,<br />
plano cartesiano y tabla, entonces, para obtener un mayor formalismo, en las<br />
representaciones pedidas, formaremos un conjunto A, cuyos elementos serán las<br />
primeras componentes <strong>de</strong> las parejas, y un conjunto B, cuyos elementos serán, las<br />
segundas componentes <strong>de</strong> las parejas dadas. Una vez hecho esto, las<br />
representaciones pedidas son:<br />
Figura 6. Representación Gráfica <strong>de</strong> dos o más Parejas Or<strong>de</strong>nadas en un<br />
Diagrama Sagital.<br />
Figura 7. Representación Gráfica <strong>de</strong> dos o más Parejas Or<strong>de</strong>nadas en una<br />
Única Tabla.<br />
A 0 1 3 4<br />
B 4 3 1 0<br />
97
Figura 8. Representación Gráfica Sagital <strong>de</strong> Dos o más Parejas Or<strong>de</strong>nadas en<br />
un Único Plano Cartesiano<br />
98<br />
Con formato: Numeración y<br />
viñetas<br />
Con formato: Numeración y<br />
viñetas
5.5.3 PRODUCTO CARTESIANO<br />
5.5.3.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD<br />
Muchas <strong>de</strong> las situaciones cotidianas, implican o requieren <strong>de</strong>l concepto <strong>de</strong><br />
Producto Cartesiano, por ejemplo, la cantidad <strong>de</strong> parejas <strong>de</strong> amigos o <strong>de</strong> novios<br />
que se pue<strong>de</strong>n formar entre un conjunto <strong>de</strong> chicos y otro conjunto <strong>de</strong> chicas.<br />
Para compren<strong>de</strong>r mejor este concepto, se consi<strong>de</strong>rará <strong>de</strong>tenidamente el anterior<br />
ejemplo, cuyos materiales, objetivo e indicaciones a seguir, serán establecidos a<br />
continuación.<br />
5.5.3.2 MATERIALES<br />
Tres chicos: Luis Andrés y Carlos.<br />
Dos chicas: María y Ana<br />
99<br />
Con formato: Numeración y<br />
viñetas<br />
Con formato: Numeración y<br />
viñetas
5.5.3.3 OBJETIVOS<br />
☺ Adquirir claridad en el concepto <strong>de</strong> Producto Cartesiano<br />
5.5.3.4 INDICACIONES<br />
Formar un conjunto con los tres chicos<br />
Formar un conjunto con las dos chicas.<br />
Establecer, las parejas or<strong>de</strong>nadas, que se pue<strong>de</strong>n obtener entre los dos<br />
conjuntos anteriormente formados, tal que la primera componente <strong>de</strong> cada<br />
una <strong>de</strong> las parejas or<strong>de</strong>nadas sea un chico y la segunda componente sea<br />
una chica.<br />
¿Cuántas parejas or<strong>de</strong>nadas se pue<strong>de</strong>n establecer?<br />
¿Luego <strong>de</strong> formadas las parejas or<strong>de</strong>nadas, que se pue<strong>de</strong> observar o<br />
concluir, con respecto al número <strong>de</strong> parejas or<strong>de</strong>nadas, que pue<strong>de</strong> formar<br />
cada uno <strong>de</strong> los elementos <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> los chicos?<br />
100
¿Se conoce alguna forma <strong>de</strong> representación ya sea gráfica, esquemática,<br />
simbólica o <strong>de</strong> otro tipo para presentar el conjunto <strong>de</strong> parejas or<strong>de</strong>nadas<br />
que se forman?<br />
Formando y representando, entonces, los conjuntos solicitados y la totalidad <strong>de</strong><br />
las parejas or<strong>de</strong>nadas que se pue<strong>de</strong>n formar entre estos dos conjuntos, teniendo<br />
en cuenta que la primera componente <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> las parejas <strong>de</strong>be ser un<br />
chico y la segunda una chica, se llamara C al conjunto <strong>de</strong> los chicos, y D al <strong>de</strong> las<br />
chicas.<br />
Figura 9. Formación <strong>de</strong> los Conjuntos y Determinación <strong>de</strong> la Totalidad <strong>de</strong> las<br />
Parejas Or<strong>de</strong>nadas Pedidas<br />
(Luis, María), (Luis Ana), (Andrés, Marí a), (Andrés, Ana), (Carlos, María), (Carlos, Ana).<br />
Ahora bien, si se observa el anterior diagrama sagital (una <strong>de</strong> las diversas<br />
representaciones matemáticas <strong>de</strong> una pareja or<strong>de</strong>nada), se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar<br />
que:<br />
101
El conjunto <strong>de</strong> las primeras componentes esta compuesto, por el conjunto<br />
<strong>de</strong> los chicos, es <strong>de</strong>cir; por el conjunto C.<br />
El conjunto <strong>de</strong> las segundas componentes está compuesto, por el conjunto<br />
<strong>de</strong> las chicas, es <strong>de</strong>cir; por el conjunto D.<br />
El número total <strong>de</strong> parejas que se pue<strong>de</strong>n formar es seis, es <strong>de</strong>cir <strong>de</strong>pen<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>l número <strong>de</strong> elementos que formen cada conjunto.<br />
Cada uno <strong>de</strong> los chicos que forma parte <strong>de</strong>l primer conjunto, forman tantas<br />
parejas como elementos o chicas hayan en el segundo conjunto.<br />
Cada una <strong>de</strong> las chicas, o segundas componentes pertenecen a tantas<br />
parejas or<strong>de</strong>nadas como elementos haya en el primer conjunto.<br />
<strong>La</strong>s dos últimas observaciones permiten concluir que: Dados dos conjuntos<br />
cualquiera C y D, el número total <strong>de</strong> parejas que se pue<strong>de</strong>n formar, don<strong>de</strong><br />
la primera componente, pertenece al conjunto C, y la segunda componente<br />
pertenece al conjunto D, es igual al número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong>l primer<br />
conjunto C, por el número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong>l segundo conjunto D.<br />
Ahora bien, si se forma un nuevo conjunto con las parejas or<strong>de</strong>nadas halladas, es<br />
posible entonces representar dicho conjunto mediante la utilización <strong>de</strong> un<br />
102
diagrama sagital, <strong>de</strong>l plano cartesiano o <strong>de</strong> una tabla; así como su <strong>de</strong>terminación<br />
por comprensión y extensión.<br />
5.5.3.5 REPRESENTACION GRAFICA DEL CONJUNTO OBTENIDO AL<br />
ESTABLECER PAREJAS ORDENADAS ENTRE DOS CONJUNTOS DADOS<br />
<strong>La</strong>s representaciones gráficas y <strong>de</strong>terminación, por extensión y comprensión <strong>de</strong>l<br />
conjunto <strong>de</strong> parejas or<strong>de</strong>nadas que se pue<strong>de</strong>n formar, don<strong>de</strong> la primera<br />
componente pertenece al conjunto <strong>de</strong> los chicos, y la segunda componente al<br />
conjunto <strong>de</strong> las chicas será:<br />
5.5.3.5.1 Diagramas sagitales. Utilizando diagramas sagitales, se proce<strong>de</strong> <strong>de</strong> la<br />
siguiente manera:<br />
1º. Se realizan los dos diagramas sagitales<br />
2º Se <strong>de</strong>termina cual <strong>de</strong> los dos óvalos va a representar o a contener los<br />
elementos <strong>de</strong>l primer conjunto y cual los elementos <strong>de</strong>l segundo conjunto.<br />
3º Finalmente, se trazan flechas que partan <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los elementos <strong>de</strong>l<br />
primer conjunto, hacia cada uno <strong>de</strong> los elementos <strong>de</strong>l segundo -conjunto.<br />
103<br />
Con formato: Numeración y<br />
viñetas
Figura 10. Representación Sagital <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al formar Parejas<br />
Or<strong>de</strong>nadas Entre Dos Conjuntos Dados<br />
5.5.3.5.2 Tablas. <strong>La</strong>s tablas, son también una forma <strong>de</strong> representar el conjunto<br />
obtenido. Dichas tablas están compuestas por dos columnas. En la primera<br />
columna, se ubican los elementos que conforman las primeras componentes<br />
(abscisas) <strong>de</strong> las parejas or<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong>l producto cartesiano, y en la segunda<br />
columna o fila se ubican los elementos que componen las segundas componentes<br />
(or<strong>de</strong>nadas) <strong>de</strong> las parejas or<strong>de</strong>nadas.<br />
Figura 11. Representación Tabular <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar Parejas<br />
Or<strong>de</strong>nadas entre dos conjuntos<br />
C Luis Luis Andrés Andrés Carlos Carlos<br />
D María Ana María Ana María Ana<br />
5.5.3.5.3 Plano cartesiano. Se ubican los elementos <strong>de</strong>l primer conjunto, en el<br />
eje <strong>de</strong> las abscisas (X), y los elementos <strong>de</strong>l segundo conjunto, en el eje <strong>de</strong> las<br />
or<strong>de</strong>nadas (Y), trazando a continuación las proyecciones ortogonales, o recta<br />
104<br />
Con formato: Numeración y<br />
viñetas
perpendicular, a cada uno <strong>de</strong> los puntos ubicados, extendiéndolas hasta su<br />
intersección, puntos, que representaran los pares or<strong>de</strong>nados que conforman el<br />
nuevo conjunto.<br />
Figura 12. Representación Cartesiana <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar<br />
Parejas Or<strong>de</strong>nadas Entre Dos Conjuntos Dados<br />
Se consi<strong>de</strong>rará ahora, otro ejemplo, <strong>de</strong> carácter más simbólico en el cual los<br />
conjuntos son numéricos; para ello se tomaran los siguientes conjuntos:<br />
A = {-1, -½, 0, ½, 1} B = {1, 2, 3}<br />
Tomar ahora los conjuntos dados, y <strong>de</strong>terminar, si es posible formar parejas<br />
or<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> tal manera que:<br />
105
1º <strong>La</strong> primera componente sea menor o igual que la segunda.<br />
2º <strong>La</strong> primera componente pertenezca al conjunto A y la segunda<br />
componente pertenezca al conjunto B.<br />
3º Que a<strong>de</strong>más cumplan que, cada uno <strong>de</strong> los elementos <strong>de</strong>l primer<br />
conjunto A se encuentre relacionados con cada uno <strong>de</strong> los elementos<br />
<strong>de</strong>l segundo conjunto B.<br />
Tomando entonces los conjuntos A y B, representándolos, y <strong>de</strong>terminando si es<br />
posible formar las parejas or<strong>de</strong>nadas, pedidas, se tendrá:<br />
Figura 13. Formación y Obtención <strong>de</strong> las Parejas Or<strong>de</strong>nadas Dados los<br />
conjuntos A y B<br />
Luego <strong>de</strong> acuerdo a lo <strong>de</strong>scrito en la figura 13, se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar, que:<br />
Es posible, formar parejas or<strong>de</strong>nadas cuya primera componente sea menor<br />
o igual que la segunda, y que a<strong>de</strong>más se cumpla que cada uno <strong>de</strong> los<br />
106
elementos <strong>de</strong>l conjunto al que pertenecen las primeras componentes<br />
(conjunto A), forme una pareja, con cada uno <strong>de</strong> los elementos <strong>de</strong>l otro<br />
conjunto (conjunto B)<br />
El número total <strong>de</strong> parejas es igual a 15<br />
Es posible formar un conjunto con las parejas or<strong>de</strong>nadas halladas, por lo<br />
tanto también es posible realizar su representación mediante diagramas<br />
sagitales, plano cartesiano y una tabla; así como su <strong>de</strong>terminación por<br />
comprensión y extensión.<br />
Figura 14. Representación <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar las Parejas<br />
Or<strong>de</strong>nadas, Requeridas Dados los Conjuntos A y B<br />
Figura 15. Representación Tabular <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al formar las<br />
Parejas Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados los Conjuntos A y B<br />
A -1 -1 -1 -0.5 -0.5 -0.5 0 0 0 0.5 0.5 0.5 1 1 1<br />
B 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3<br />
107
Figura 16. Representación Cartesiana <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar las<br />
Parejas Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados A y B<br />
Tomar nuevamente, los conjunto dados, y <strong>de</strong>terminar, ahora, si es posible<br />
formar parejas or<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> tal manera que:<br />
1º. <strong>La</strong> primera componente sea menor o igual que la segunda.<br />
2º. <strong>La</strong> primera componente pertenezca al conjunto B y la segunda<br />
componente pertenezca al conjunto A.<br />
3º. Que a<strong>de</strong>más cumpla que, cada uno <strong>de</strong> los elementos <strong>de</strong>l primer<br />
conjunto A se encuentre relacionados con cada uno <strong>de</strong> los elementos<br />
<strong>de</strong>l segundo conjunto B.<br />
108
Tomando entonces los conjuntos B y A, representándolos, y <strong>de</strong>terminando si es<br />
posible formar las parejas or<strong>de</strong>nadas, pedidas, se tendrá:<br />
Figura 17. Determinación <strong>de</strong> las Parejas Or<strong>de</strong>nadas Requeridas dados los<br />
conjuntos B y A<br />
Lo <strong>de</strong>scrito por la figura 17, muestra que:<br />
Aunque es posible, formar parejas or<strong>de</strong>nadas, don<strong>de</strong> la primera<br />
componente es menor o igual que la segunda, no se cumple que todos los<br />
elementos <strong>de</strong>l conjunto, al que pertenecen las primeras componentes<br />
(conjunto B), formen una pareja con todos y cada uno <strong>de</strong> los elementos <strong>de</strong>l<br />
conjunto A, pues tan solo una pareja, cumple con las condiciones<br />
requeridas.<br />
Aunque solo se pue<strong>de</strong> obtener una pareja, es posible formar un conjunto<br />
con ella (conjunto unitario), por lo tanto también es posible realizar su<br />
representación en diagramas sagitales, en el plano cartesiano o en una<br />
109
tabla, así; como su <strong>de</strong>terminación por extensión y comprensión, <strong>de</strong> la<br />
siguiente manera:<br />
Figura 18. Representación Sagital <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar las<br />
parejas Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados los Conjuntos B y A<br />
Figura 19. Representación Tabular <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar las<br />
Parejas Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados los Conjuntos B y A<br />
B 1<br />
A 1<br />
Figura 20. Representación Cartesiana <strong>de</strong>l conjunto Obtenido al Formar las<br />
Parejas Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados los Conjuntos B y A<br />
–3<br />
–2<br />
–1<br />
A<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
–0,5<br />
–1<br />
–1,5<br />
–2<br />
110<br />
(1,1)<br />
1 2 3<br />
B
Tomar ahora los conjuntos R - y R + (reales negativos y reales positivos),<br />
<strong>de</strong>terminar, ahora, si es posible formar parejas or<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> tal manera<br />
que:<br />
1º. <strong>La</strong> primera componente sea menor o igual que la segunda.<br />
2º. <strong>La</strong> primera componente pertenezca al conjunto R - (reales negativos) y<br />
la segunda componente pertenezca al conjunto R + (reales positivos).<br />
3º. Que a<strong>de</strong>más cumpla que, cada uno <strong>de</strong> los elementos <strong>de</strong>l primer<br />
conjunto R - (reales negativos), se encuentre relacionados con cada uno<br />
<strong>de</strong> los elementos <strong>de</strong>l segundo conjunto R + (reales positivos).<br />
Figura 21. Determinación <strong>de</strong> las Parejas Or<strong>de</strong>nadas Requeridas, Dados los<br />
Conjuntos R - y R +<br />
El diagrama muestra que:<br />
111
Es posible formar las parejas or<strong>de</strong>nadas con las condiciones exigidas<br />
El número <strong>de</strong> parejas or<strong>de</strong>nadas que se pue<strong>de</strong>n formar es infinito, ya que<br />
cada uno <strong>de</strong> los elementos <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> los reales negativos, (que como<br />
se sabe es infinito), es menor que cada uno <strong>de</strong> los elementos <strong>de</strong> los reales<br />
positivos (que también es un conjunto infinito).<br />
Es posible formar un conjunto con las parejas or<strong>de</strong>nadas halladas, por lo<br />
tanto también es posible realizar su representación mediante diagramas<br />
sagitales, plano cartesiano y una tabla; así como su <strong>de</strong>terminación por<br />
extensión y comprensión.+<br />
Figura 22. Representación Sagital <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar las<br />
Parejas Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados los R - y los R +<br />
Figura 23. Representación Tabular <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar las<br />
Parejas Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados los R- y los R+<br />
R -<br />
R +<br />
-1 -1 -1 … -1 -2 -2 -2 … -2 -3 -3 -3 … -3 … R - R - R - ….<br />
0 1 2 … R *<br />
0 1 2 … R +<br />
112<br />
0 1 2 … R * … R *<br />
1 2 ….
Figura 24. Representación Cartesiana <strong>de</strong>l Conjunto Obtenido al Formar las<br />
Parejas Or<strong>de</strong>nadas Requeridas Dados los R - y los R + .<br />
Ahora bien si se observan las características comunes que tienen los ejemplos<br />
representados en la figura 10, 13 y 21 se pue<strong>de</strong>, entonces, <strong>de</strong>finir el concepto <strong>de</strong><br />
PRODUCTO CARTESIANO, <strong>de</strong> la siguiente manera, para luego establecer dicho<br />
concepto <strong>de</strong> manera formal, tal como lo exige la Matemática.<br />
Dados dos conjuntos A y B, se <strong>de</strong>fine el producto cartesiano A por B, notado<br />
AxB, como: Un nuevo conjunto formado por todas las parejas or<strong>de</strong>nadas,<br />
que se puedan formar don<strong>de</strong>, la primera componente es un elemento <strong>de</strong>l<br />
conjunto A y la segunda componente, es un elemento <strong>de</strong>l conjunto B.<br />
113
Por ser el Producto Cartesiano, un conjunto, entonces, el producto cartesiano<br />
también se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar por comprensión, <strong>de</strong> la siguiente manera:<br />
De acuerdo con esta <strong>de</strong>finición y con los ejemplos <strong>de</strong> las figuras 17 y 13, se tiene<br />
que:<br />
i) AXB ≠ BXA<br />
ii) A pue<strong>de</strong> ser igual a B. (A=B)<br />
iii) <strong>La</strong> única condición, para formar las parejas or<strong>de</strong>nadas, que se pue<strong>de</strong><br />
establecer, para que dichas parejas arrojen el producto cartesiano entre dos<br />
conjuntos iguales, es aquella que implique la igualdad <strong>de</strong> las dos<br />
componentes <strong>de</strong> cada pareja.<br />
{ ( a,<br />
b)<br />
/ ∀ a ∈ A ∀ b B}<br />
AXB = , ∈<br />
iv) El Producto cartesiano es un conjunto, por lo tanto también es posible<br />
realizar su representación mediante diagramas sagitales, plano cartesiano y<br />
una tabla; así como su <strong>de</strong>terminación por extensión y comprensión, <strong>de</strong> la<br />
misma manera que se hizo anteriormente, pero utilizando la simbología que<br />
la rigurosidad <strong>de</strong> la Matemática exige. De esta manera el producto<br />
114
cartesiano AXB, <strong>de</strong>l ejemplo 2, representado en la figura 13, se<br />
representará y <strong>de</strong>terminará <strong>de</strong> la siguiente manera.<br />
Figura 25. Representación Tabular <strong>de</strong>l Producto Cartesiano AXB<br />
AXB<br />
-1 -1 -1 -0.5 -0.5 -0.5 0 0 0 0.5 0.5 0.5 1 1 1<br />
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3<br />
Figura 26. Representación Sagital <strong>de</strong>l Producto Cartesiano AXB<br />
Figura 27. Representación Cartesiana <strong>de</strong>l Producto Cartesiano AXB<br />
115
Determinación por Extensión<br />
AXB = {(-1,1),(-1,2),(-1,2),( -½,1),( -½,2),( -½,3),(0,1),(0,2),(0,3),(½,1),(½,2),<br />
(½,3),(1,1),(1,2),(1.3)}<br />
Determinación por Comprensión<br />
AXB= {(a,b)/ aєA, bєB, a ≤ b}<br />
116
5.5.4 RELACIONES<br />
Permanentemente se escuchan expresiones como: María es menor que Juan, la<br />
cantidad <strong>de</strong> dinero <strong>de</strong> Juan es mayor que la <strong>de</strong> Tomás, a cada alumno le<br />
correspon<strong>de</strong> un código, a cada figura geométrica le correspon<strong>de</strong> un área, etc.<br />
Estas expresiones tienen en común que expresan una "condición" entre los dos<br />
sujetos <strong>de</strong> cada expresión: ser menor que (), o una<br />
"correspon<strong>de</strong>ncia"(A→B): le correspon<strong>de</strong> un código, le correspon<strong>de</strong> un área, etc.<br />
Ahora bien, si se tiene en cuenta que este y otro tipo <strong>de</strong> "condiciones" o<br />
"correspon<strong>de</strong>ncias" no se dan tan solo entre dos sujetos, sino también entre<br />
conjuntos pequeños o muy gran<strong>de</strong>s; fácilmente, se pue<strong>de</strong> concluir, que lo que se<br />
tiene, no es más, que "Condiciones" o "correspon<strong>de</strong>ncias", que establecen una<br />
relación, entre dos conjuntos.<br />
Retomando los ejemplos, dados en las figuras 13 y 17, se pudo establecer que la<br />
condición "la primera componente, es menor o igual ( ≤ ), que la segunda",<br />
arrojaba el producto cartesiano AXB, pero no el producto cartesiano BXA.<br />
Ahora bien, es lógico concluir, que existen otras condiciones, o mejor aún, otras<br />
relaciones, que a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>r <strong>de</strong>l número y características, <strong>de</strong> los<br />
elementos que forman los conjuntos, sobre los que dichas relaciones se<br />
117
establecen, pue<strong>de</strong>n arrojar, el producto cartesiano AXB (figura 10), o un<br />
subconjunto <strong>de</strong>l producto cartesiano BXA (figura 11), sin quitarle el carácter <strong>de</strong><br />
relación.<br />
Figura 28. Representación Sagital <strong>de</strong>l Producto Cartesiano AXB y <strong>de</strong> un<br />
Subconjunto <strong>de</strong>l Producto Cartesiano BXA<br />
Lo anterior, permite concluir o <strong>de</strong>finir que:<br />
Dados dos conjuntos A y B se <strong>de</strong>fine una relación <strong>de</strong> A en B (notada R:<br />
A→B), como un nuevo conjunto, cuyos elementos son las parejas or<strong>de</strong>nadas<br />
<strong>de</strong>l Producto Cartesiano AXB, o, por el conjunto <strong>de</strong> las parejas or<strong>de</strong>nadas<br />
<strong>de</strong> todo subconjunto que se pueda obtener <strong>de</strong>l producto cartesiano AXB.<br />
Don<strong>de</strong> se <strong>de</strong>nomina Dominio al conjunto A, Codominio al conjunto B y<br />
Recorrido al conjunto formado por todas las segundas componentes <strong>de</strong> R, el cuál,<br />
en algunos casos como el consi<strong>de</strong>rado en la figura 26, es igual al codominio<br />
118
5.5.4.1 REPRESENTACION DE UNA RELACION<br />
Una relación se pue<strong>de</strong> representar gráfica y algebraicamente. <strong>La</strong> representación<br />
gráfica <strong>de</strong> una relación admite que los elementos relacionados sean números u<br />
objetos, como en el caso <strong>de</strong> las fichas.<br />
<strong>La</strong> representación algebraica exige que los elementos relacionados sean números<br />
o conjuntos numéricos.<br />
5.5.4.1.1 REPRESENTACION GRAFICA DE UNA RELACION<br />
En la sección anterior, se vio que el producto cartesiano, se representa mediante<br />
diagramas sagitales, el plano cartesiano o una tabla. Una relación es un producto<br />
cartesiano o un subconjunto <strong>de</strong> él, por lo tanto las relaciones también se<br />
representan mediante diagramas sagitales, una tabla, o el plano cartesiano..<br />
5.5.4.1.2 REPRESENTACION ALGEBRAICA DE UNA RELACION<br />
Representar algebraicamente una relación, consiste en encontrar una expresión<br />
algebraica, que <strong>de</strong>scriba o establezca la condición o correspon<strong>de</strong>ncia entre los<br />
elementos <strong>de</strong> los dos conjuntos; por tal razón sólo la relaciones que involucran<br />
conjuntos numéricos, permiten esta clase <strong>de</strong> representación, la que a<strong>de</strong>más es<br />
119
necesaria en la <strong>de</strong>terminación por comprensión <strong>de</strong>l conjunto formado por la<br />
relación establecida.<br />
Como ejemplo <strong>de</strong> lo que aquí se afirma, se consi<strong>de</strong>raran la existencia <strong>de</strong> dos<br />
conjuntos A y B, y R una relación <strong>de</strong> A en B, <strong>de</strong> acuerdo como lo <strong>de</strong>scribe la<br />
representación gráfica sagital, dada a continuación:<br />
Figura 29. Representación Gráfica Sagital <strong>de</strong> la Relación R <strong>de</strong> A en B<br />
¿Cuál es el conjunto <strong>de</strong> partida?<br />
¿Cuál es el dominio <strong>de</strong> R?<br />
¿Cuál es el conjunto <strong>de</strong> llegada?<br />
¿Cuál es el codominio o recorrido <strong>de</strong> R?<br />
¿Cuál sería la expresión algebraica que <strong>de</strong>scriba las características <strong>de</strong> R?<br />
120
Observando entonces, la representación gráfica sagital, se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar que:<br />
El conjunto <strong>de</strong> partida está conformado por el conjunto <strong>de</strong> los números<br />
Naturales.<br />
El dominio <strong>de</strong> R está conformado por los números naturales mayores o<br />
iguales que 2.<br />
El conjunto <strong>de</strong> llegada son los Números Naturales mayores que 1.<br />
El rango o recorrido es igual al conjunto <strong>de</strong> llegada.<br />
En cuánto a la representación algebraica, se <strong>de</strong>be empezar por observar<br />
que a cada elemento relacionado en el conjunto <strong>de</strong> partida, le correspon<strong>de</strong><br />
un elemento en el conjunto <strong>de</strong> llegada, igual al elemento <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong><br />
partida mas uno.<br />
Es <strong>de</strong>cir; la expresión buscada es:<br />
R(x) = x +1, don<strong>de</strong> R(x) son los elementos <strong>de</strong>l recorrido (1, 2, 3, 4, 5, ... ,), x<br />
representa los elementos relacionados <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> partida (dominio).<br />
121
Expresión, que como ya se dijo, es indispensable para <strong>de</strong>terminar por<br />
comprensión dicha relación, <strong>de</strong> la siguiente manera:<br />
5.5.4.2 CLASES DE RELACIONES<br />
R: A→B = R(x) = { (x,y)/ xєA, yєB, Λ, y=x+1}<br />
Dependiendo <strong>de</strong> los elementos que formen parte <strong>de</strong> cada un <strong>de</strong> los conjuntos<br />
sobre los que se va a establecer una relación, ésta pue<strong>de</strong> cumplir con algunas<br />
características que la hacen especial, razón por la que se han ganado ser<br />
reconocidas con nombre propio. Algunas relaciones entonces pue<strong>de</strong>n ser<br />
reflexivas, simétricas, transitivas, <strong>de</strong> equivalencia o funcionales.<br />
5.5.4.2.1 RELACION REFLEXIVA<br />
Dados dos conjuntos A y B, y R una relación <strong>de</strong> A en B <strong>de</strong>cimos que R es<br />
reflexiva, si para todo elemento x <strong>de</strong> A, se tiene que x está relacionado consigo<br />
mismo, es <strong>de</strong>cir que (x,x) pertenece a R.<br />
122
5.5.4.2.2. RELACION SIMETRICA<br />
Dados dos conjuntos A y B, y R una relación <strong>de</strong> A en B <strong>de</strong>cimos que R es<br />
simétrica si para cada (x,y) que pertenezca a la relación se tiene que (y,x) también<br />
es un elemento <strong>de</strong> R.<br />
5.5.4.2.3 .RELACION TRANSITIVA<br />
Dados dos conjuntos A y B, y R una relación <strong>de</strong> A en B <strong>de</strong>cimos que R es<br />
transitiva, si cada que (x,y) є R y (y,z) є R, se tiene que (x,z) є R.<br />
5.5.4.2.4 RELACION DE EQUIVALENCIA<br />
Dados dos conjuntos A y B, y R una relación <strong>de</strong> A en B <strong>de</strong>cimos que R es una<br />
relación <strong>de</strong> equivalencia, si es reflexiva, simétrica y transitiva.<br />
Nótese que, para que una relación R, reflexiva, simétrica o transitiva, a<strong>de</strong>más<br />
<strong>de</strong> establecer una relación "conveniente" se <strong>de</strong>be cumplir que A = B o que<br />
A ⊂ B.<br />
123
5.5.4.2.5. RELACIONES FUNCIONALES O FUNCIONES<br />
<strong>La</strong>s relaciones funcionales o funciones, son relaciones que por sus características<br />
representan, explican y solucionan un sinnúmero <strong>de</strong> situaciones reales,<br />
estudiadas por la Física, Química y Estadística, entre otras ciencias. Por esta<br />
razón y teniendo en cuenta que el objetivo <strong>de</strong> esta didáctica, es tratar la función<br />
exponencial, se <strong>de</strong>dicará, entonces, un capítulo al concepto y clase <strong>de</strong> funciones.<br />
124
5.5.5 RELACIONES FUNCIONALES O FUNCIONES<br />
5.5.5.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD<br />
Muchas <strong>de</strong> las situaciones <strong>de</strong> las cuales se ocupa la Física, la Química o la<br />
Estadística entre otras, requieren para su <strong>de</strong>scripción y explicación <strong>de</strong>l concepto<br />
<strong>de</strong> Función. <strong>La</strong>s características <strong>de</strong> la velocidad <strong>de</strong> un móvil, por ejemplo, se<br />
pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>scribir fácilmente, si obtenemos un gráfico <strong>de</strong> la distancia recorrida en<br />
función <strong>de</strong>l tiempo.<br />
Para obtener, <strong>de</strong> forma a<strong>de</strong>cuada, dicho concepto, se realizará a continuación la<br />
siguiente actividad, cuyos materiales, objetivos, indicaciones e interrogantes, a<br />
resolver, están <strong>de</strong>scritos a continuación.<br />
5.5.5.2 MATERIALES<br />
<br />
Lápiz y papel<br />
5.5.5.3 OBJETIVOS<br />
☺ Adquirir claridad en el concepto <strong>de</strong> función.<br />
125
☺ I<strong>de</strong>ntificar una relación funcional o función <strong>de</strong> una relación.<br />
5.5.5.4 INDICACIONES<br />
Lea cuidadosamente el texto dado a continuación.<br />
¡Es sorpren<strong>de</strong>nte la rapi<strong>de</strong>z con que un rumor se difun<strong>de</strong> entre el vecindario <strong>de</strong><br />
una ciudad! A veces, no han transcurrido aún dos horas <strong>de</strong>s<strong>de</strong> que ha ocurrido un<br />
suceso, visto por algunas personas, cuando la novedad ha recorrido ya toda la<br />
ciudad, todos lo conocen, todos lo han oído. Esta rapi<strong>de</strong>z parece sorpren<strong>de</strong>nte,<br />
sencillamente maravillosa.<br />
Sin embargo, si hacemos cálculos, se verá claro que no hay en ello milagro<br />
alguno. Examinemos como ejemplo el siguiente caso:<br />
A las ocho <strong>de</strong> la mañana, llegó a una ciudad <strong>de</strong> 50.000 habitantes un viajero, que<br />
había sido enviado <strong>de</strong> la capital <strong>de</strong> la nación, trayendo una nueva <strong>de</strong> interés<br />
general, la cuál <strong>de</strong>bía ser conocida por la totalidad <strong>de</strong> los habitantes <strong>de</strong> la ciudad.<br />
En la casa don<strong>de</strong> se hospedó el viajero, comunicó la noticia a tres huéspe<strong>de</strong>s,<br />
convengamos que esto transcurrió en un cuarto <strong>de</strong> hora.<br />
126
Conocida la noticia, cada uno <strong>de</strong> estos tres vecinos, se apresuró a comunicarla a<br />
tres más, en lo que emplearon también un cuarto <strong>de</strong> hora.<br />
Cada uno <strong>de</strong> los nuevos conocedores la comunicó en el siguiente cuarto <strong>de</strong> hora a<br />
otros tres ciudadanos, y así sucesivamente, <strong>de</strong> tal manera que a las 10:30 <strong>de</strong> la<br />
mañana, los 50.000 habitantes, conocían la información, traída por el viajero.<br />
El viajero, luego <strong>de</strong> comunicar la noticia a los tres primeros habitantes <strong>de</strong> la<br />
ciudad, <strong>de</strong>cidió <strong>de</strong>scansar por unos minutos y empren<strong>de</strong>r el viaje <strong>de</strong> regreso a la<br />
capital, don<strong>de</strong> sus jefes, asombrados, se negaban a creer que tan solo dos horas<br />
y media, bastaran para que la totalidad <strong>de</strong> los habitantes <strong>de</strong> la ciudad, conocieran<br />
la noticia 22<br />
Cómo es <strong>de</strong> suponer, el objetivo inicial al referir esta leyenda, no es precisamente,<br />
preten<strong>de</strong>r que se <strong>de</strong>termine la hora en que la totalidad <strong>de</strong> los habitantes conozcan<br />
la noticia, pero sí el <strong>de</strong> respon<strong>de</strong>r los siguientes interrogantes<br />
¿El número <strong>de</strong> habitantes informados, crece proporcionalmente, al número<br />
<strong>de</strong> cuartos <strong>de</strong> hora transcurridos?<br />
22<br />
PERELMANN, Y. El divertido juego <strong>de</strong> las matemáticas, Bogotá, Ediciones Nacionales Círculo<br />
<strong>de</strong> Lectores,1968. p. 49<br />
127
¿Qué magnitu<strong>de</strong>s se están relacionando?<br />
¿A que conjunto numérico pertenecen el número <strong>de</strong> cuartos <strong>de</strong> hora<br />
transcurridos y el número <strong>de</strong> habitantes que conocen la noticia?<br />
Para po<strong>de</strong>r respon<strong>de</strong>r los anteriores interrogantes, es necesario, como se dijo<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> un principio, ir anotando el número <strong>de</strong> habitantes informados, en cada<br />
cuarto <strong>de</strong> hora transcurrido<br />
Anotando entonces, la cantidad <strong>de</strong> habitantes informados en los tres primeros<br />
cuartos <strong>de</strong> hora, se obtendrá que:<br />
Figura 30. Número <strong>de</strong> Habitantes en los Primeros Tres Cuartos <strong>de</strong> Hora<br />
<br />
<br />
<br />
Primer<br />
Cuarto <strong>de</strong><br />
Hora<br />
<br />
<br />
<br />
Segundo<br />
Cuarto <strong>de</strong> Hora<br />
<br />
<br />
<br />
128<br />
Tercer Cuarto <strong>de</strong> Hora<br />
<strong>La</strong> información obtenida mediante las anotaciones anteriores es posible<br />
presentarla <strong>de</strong> forma más sencilla, mediante la utilización <strong>de</strong> una tabla horizontal o<br />
vertical. Dicha tabla es también una tercera forma <strong>de</strong> representar una relación.
Pue<strong>de</strong> verse, entonces, que para cada cuarto <strong>de</strong> hora transcurrido, existe, un<br />
único número <strong>de</strong> habitantes. Es <strong>de</strong>cir existe una relación entre el número <strong>de</strong><br />
cuartos <strong>de</strong> hora transcurridos y el número <strong>de</strong> habitantes informados. Por lo tanto,<br />
si se <strong>de</strong>nomina o se llama A, al conjunto formado por el número <strong>de</strong> cuartos <strong>de</strong><br />
hora transcurridos y B al conjunto formado por el número <strong>de</strong> habitantes informados<br />
en cada cuarto <strong>de</strong> hora, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>ducir que el conjunto <strong>de</strong> partida, el conjunto<br />
<strong>de</strong> llegada, ó dominio y codominio <strong>de</strong> esta relación son los números naturales, y<br />
su rango o recorrido es un subconjunto <strong>de</strong> los números naturales<br />
<strong>La</strong> representación gráfica en el plano cartesiano y diagrama sagital es:<br />
Figura 32. Representación Gráfica Sagital<br />
Figura 33. Representación Gráfica Tabular<br />
x 0 1 2 3<br />
F(x) 1 ,3 9 27<br />
129
Figura 43. Representación Gráfica Cartesiana<br />
130
En esta relación, se pue<strong>de</strong> observar que:<br />
Por ser el dominio y el codominio, el conjunto <strong>de</strong> números Naturales, es<br />
<strong>de</strong>cir un conjunto discreto, entonces la gráfica en el plano cartesiano está<br />
formada por puntos.<br />
Cada uno <strong>de</strong> los elementos <strong>de</strong>l dominio se relacionan con un único<br />
elemento <strong>de</strong>l codominio.<br />
El rango o recorrido, es un subconjunto <strong>de</strong> los Naturales.<br />
El número <strong>de</strong> habitantes que conocerán la noticia, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l número <strong>de</strong><br />
Tome ahora:<br />
cuartos <strong>de</strong> hora, o tiempo transcurrido.<br />
5.5.5.5 MATERIALES<br />
Una hoja <strong>de</strong> papel<br />
Compás<br />
131
\\ Regla<br />
5.5.5.6 INDICACIONES<br />
Dibuje una circunferencia <strong>de</strong> 0.7 cm., 1.2 cm., 1.9 cm., 2.6 cm., y 3.3 cm.<br />
<strong>de</strong> radio.<br />
¿Que observa?<br />
¿Cuál es el área <strong>de</strong> los círculos dibujados?<br />
¿Qué magnitu<strong>de</strong>s estamos relacionando relación se pue<strong>de</strong> obtener?<br />
¿A qué conjunto numérico pertenece el dominio, codominio y recorrido <strong>de</strong> la<br />
relación?<br />
Figura 35. Círculos<br />
132
Observando los anteriores gráficos po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>ducir que:<br />
A medida que el radio aumenta, también lo hace su área. Esto, a<strong>de</strong>más <strong>de</strong><br />
los gráficos también se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar mediante la observación <strong>de</strong> las<br />
cifras resultantes, al calcular el valor <strong>de</strong> sus áreas<br />
El área <strong>de</strong> los círculos dibujados es 4.39 cm., 7.53 cm., 5.96 cm., 16.33<br />
cm., 20.73 cm. y <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l valor <strong>de</strong>l radio.<br />
<strong>La</strong>s magnitu<strong>de</strong>s que se están relacionando son el radio y el área<br />
El dominio, codominio y recorrido, está formado por el conjunto <strong>de</strong><br />
números Reales positivos<br />
Teniendo en cuenta entonces, que el dominio es el conjunto <strong>de</strong> los<br />
números reales positivos y correspon<strong>de</strong> al radio <strong>de</strong> cualquier circunferencia,<br />
y que el codominio también es el conjunto <strong>de</strong> los números Reales positivos<br />
y correspon<strong>de</strong> al valor <strong>de</strong>l área <strong>de</strong>l círculo, entonces po<strong>de</strong>mos realizar la<br />
representación gráfica en el plano cartesiano y su diagrama sagital.<br />
133
Figura 35. Representación Sagital<br />
Figura 36. Representación Cartesiana<br />
134
En esta relación po<strong>de</strong>mos observar que:<br />
Por ser el dominio y el codominio, el conjunto <strong>de</strong> números Reales es <strong>de</strong>cir<br />
un conjunto continuo, entonces la gráfica en el plano cartesiano está<br />
formado por una línea continua.<br />
Cada uno <strong>de</strong> los elementos <strong>de</strong>l dominio se relacionan con un único<br />
elemento <strong>de</strong>l codominio.<br />
El rango o recorrido, es el conjunto <strong>de</strong> los números Reales positivos.<br />
El área <strong>de</strong> una circunferencia <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l valor <strong>de</strong> su radio.<br />
Ahora bien, vemos que estas relaciones cumplen con las siguientes condiciones:<br />
i. Cada elemento <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> partida o dominio, está relacionado con<br />
algún elemento <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> llegada.<br />
ii. Cada elemento <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> partida está relacionado con uno y solo un<br />
elemento <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> llegada.<br />
<strong>La</strong>s relaciones que cumplen con estas condiciones se <strong>de</strong>nominan funciones o<br />
relaciones funcionales. Para su notación, generalmente se utiliza la letra f<br />
135
minúscula, siendo también muy utilizadas las <strong>de</strong>más letras minúsculas <strong>de</strong>l<br />
alfabeto, con excepción <strong>de</strong> las cinco primeras.<br />
Dando entonces, una <strong>de</strong>finición formal, tal como lo exige la matemática, se<br />
establece entonces que:<br />
“ Una relación p(x , y) <strong>de</strong> A en B se llama función <strong>de</strong> A en B, si todo elemento <strong>de</strong><br />
A está relacionado con un único elemento <strong>de</strong> B “ . 23<br />
Una relación funcional o función, también se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>finir como un conjunto<br />
finito, infinito, discreto o continuo <strong>de</strong> parejas or<strong>de</strong>nadas, don<strong>de</strong> la primera<br />
componente <strong>de</strong> cada pareja or<strong>de</strong>nada es única e irrepetible.<br />
Continuamente se escuchan expresiones como: Teresa vive en función <strong>de</strong> sus<br />
hijos, José vive en función <strong>de</strong> su trabajo o expresiones que para nosotros<br />
presentan el mismo significado <strong>de</strong> las anteriores: <strong>La</strong>s <strong>de</strong>cisiones <strong>de</strong> Teresa<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong> las necesida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> sus hijos, la vida <strong>de</strong> José <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> su<br />
trabajo. Se pue<strong>de</strong> ver entonces, que si la cantidad <strong>de</strong> trozos <strong>de</strong> papel <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l<br />
número <strong>de</strong> cortes y el área <strong>de</strong> una circunferencia <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l valor <strong>de</strong> su radio, lo<br />
que equivale a <strong>de</strong>cir que, el área <strong>de</strong> una circunferencia es función <strong>de</strong>l radio, o que<br />
el número total <strong>de</strong> trozos <strong>de</strong> papel es función <strong>de</strong>l número <strong>de</strong> cortes realizados.<br />
23<br />
MUÑOZ, José M. HERNANDEZ, Darío. Precálculo. <strong>Universidad</strong> Nacional <strong>de</strong> Colombia. 2ª<br />
Edición. P. 57<br />
136
Los términos función y <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia, serían entonces equivalentes, pero este<br />
último da una mejor i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> por qué, cuando se habla <strong>de</strong> funciones, se habla<br />
también <strong>de</strong> variables <strong>de</strong>pendientes o in<strong>de</strong>pendientes.<br />
5.5.5.7 VARIABLES INDEPENDIENTES<br />
Se dice que la variable in<strong>de</strong>pendiente, –en el ámbito <strong>de</strong> las relaciones<br />
funcionales–, son aquellas para las cuales sus valores subsisten en un conjunto<br />
bien <strong>de</strong>finido (dominio), y que para cada valor <strong>de</strong> estas, se obtiene un único valor<br />
en otro conjunto inducido por tales valores (codominio)<br />
5.5.5.8 VARIABLES DEPENDIENTES<br />
Se dice <strong>de</strong>l objeto –en el ámbito <strong>de</strong> las relaciones funcionales–, que recibe sus<br />
valores por efecto <strong>de</strong> la aplicación <strong>de</strong> la función sobre los valores <strong>de</strong> la<br />
<strong>de</strong>nominada variable<br />
No sobra aclarar, que el término variable se introduce precisamente por poseer<br />
esta característica, es variable o cambiante.<br />
137
5.5.5.9 REPRESENTACION GRAFICA DE UNA RELACION FUNCIONAL O<br />
FUNCION<br />
Por ser las funciones, relaciones especiales estas se representan, también y <strong>de</strong> la<br />
misma forma mediante, la utilización <strong>de</strong> diagramas sagitales, tabla o el plano<br />
cartesiano.<br />
Al igual que las relaciones, si los conjuntos relacionados son numéricos, es<br />
posible, -casi siempre- encontrar su representación algebraica, esto <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
las características <strong>de</strong> la función.<br />
<strong>La</strong> representación gráfica <strong>de</strong> una relación, es bastante útil en la <strong>de</strong>terminación <strong>de</strong><br />
si es o no una función, pues para su i<strong>de</strong>ntificación, basta con observar que <strong>de</strong><br />
todo elemento <strong>de</strong>l dominio, parta una única flecha, para el caso, en que la<br />
representación gráfica se haga mediante diagramas sagitales.<br />
Si la representación gráfica se realiza, utilizando el plano cartesiano, basta con<br />
trazar una recta paralela al eje y, y verificar que esta no corte la gráfica en más<br />
<strong>de</strong> un punto.<br />
Para el caso <strong>de</strong> conjuntos numéricos, se <strong>de</strong>ben establecer muy bien, los conjuntos<br />
relacionados, <strong>de</strong> tal manera, que nos permita hacer un gráfico completo que nos<br />
ayu<strong>de</strong> a <strong>de</strong>terminar la posibilidad <strong>de</strong> que dicha relación sea función o no.<br />
138
De todo lo anterior se pue<strong>de</strong> concluir que: "Toda función es una relación, pero<br />
no toda relación es una función".<br />
5.5.5.10 CLASES DE FUNCIONES<br />
Conceptos <strong>de</strong>l cálculo como el <strong>de</strong> límite, <strong>de</strong>rivadas o integrales, se estudian sobre<br />
funciones reales, razón por la cuál estas se han clasificado en Polinómicas,<br />
trascen<strong>de</strong>ntes y especiales.<br />
5.5.5.10.1 FUNCIONES POLINÓMICAS<br />
Una función polinómica P es la <strong>de</strong>finida para todo real x por una ecuación <strong>de</strong> la<br />
forma<br />
P(x) = c + c1x + c2x 2 + ... + ci x n con ci ≠0, i = 0,1,2,3, …<br />
Los números c,c1,c2,…,cn son los coeficientes <strong>de</strong>l polinomio, y el entero no<br />
negativo n es su grado. Quedan incluidas en este tipo <strong>de</strong> funciones, las funciones<br />
constantes y las potenciales. Los polinomios <strong>de</strong> grado 2, 3 y 4 se <strong>de</strong>nominan<br />
polinomios cuadráticos, cúbicos y cuárticos respectivamente.<br />
<strong>La</strong>s funciones polinómicas, se clasifican a su vez en:<br />
139
5.5.5.10.1.1 Función Constante.<br />
Son funciones <strong>de</strong> la forma f(x) = K, don<strong>de</strong> k es una constante y cuya<br />
gráfica, es una recta horizontal, que corta el eje y en un único punto y no corta el<br />
eje x.<br />
5.5.5.10.1.2 Función Idéntica.<br />
Son funciones <strong>de</strong> la forma f(x) = x. su gráfica, es una recta en diagonal que corta<br />
el eje X y el eje Y, en el origen <strong>de</strong>l sistema.<br />
5.5.5.10.1.3 Función Lineal<br />
Son funciones <strong>de</strong> la forma f(x) = ax + b. Su gráfica son rectas sobre el plano<br />
incluyendo las anteriormente <strong>de</strong>scritas.<br />
5.5.5.10.1.4 Funciones Potenciales.<br />
Son funciones <strong>de</strong> la forma f(x) = X n , con n ≥ 2. Para n = 2, la gráfica es una<br />
parábola. Para n = 3 la gráfica es una cúbica.<br />
140
De acuerdo a lo anterior se pue<strong>de</strong> observar, que en general la función la función<br />
i<strong>de</strong>ntidad y la función constante son casos particulares <strong>de</strong> las funciones lineales<br />
Para n = 2, la gráfica es una parábola. Para n = 3, la gráfica es una cúbica.<br />
5.5.5.10.2 FUNCIONES ESPECIALES<br />
<strong>La</strong>s funciones especiales se clasifican en:<br />
5.5.5.10.2.1 Función Valor Absoluto<br />
Son funciones <strong>de</strong> la forma f(x) = │X│, su gráfica se encuentra en el I y II<br />
cuadrante <strong>de</strong>l plano cartesiano.<br />
5.5.5.10.2.2 Función Racional<br />
<strong>La</strong>s funciones racionales son aquellas expresadas mediante el cociente <strong>de</strong> dos<br />
funciones Polinómicas.<br />
5.5.5.10.2.3 Funciones Segmentadas o por Tramos<br />
<strong>La</strong>s funciones segmentadas o por tramos son funciones <strong>de</strong>finidas por la unión <strong>de</strong><br />
dos o más funciones. Su gráfica consiste en un número finito <strong>de</strong> “piezas o tramos”,<br />
141
a diferencia <strong>de</strong> las <strong>de</strong>más cuyas gráficas son líneas rectas o curvas suaves y sin<br />
interrupciones.<br />
5.5.5.10.2.4 Función Mayor Entero Contenido en X.<br />
Son funciones <strong>de</strong> la forma f(x) = [x] = n, don<strong>de</strong> n ≤ X < n+ 1 y n ЄZ.<br />
5.5.5.10.3 FUNCIONES TRASCENDENTES<br />
<strong>La</strong>s funciones trascen<strong>de</strong>ntes se clasifican en<br />
5.5.510.3.1 Funciones Trigonométricas.<br />
Relacionan los ángulos y los lados <strong>de</strong> un triángulo.<br />
5.5.5.10.3.2 Función Logarítmica<br />
<strong>La</strong> función logarítmica es la inversa <strong>de</strong> la función exponencial.<br />
5.5.5.10.3.3 Función Exponencial.<br />
Esta última clase <strong>de</strong> función, es finalmente, el objeto <strong>de</strong> esta didáctica, razón por<br />
la cual, se <strong>de</strong>dicaran las páginas restantes a la FUNCION EXPONENCIAL.<br />
142
5.6 UNIDAD II<br />
5.6.1 FUNCION EXPONENCIAL<br />
5.6.1.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD<br />
<strong>La</strong> <strong>de</strong>sintegración radiactiva <strong>de</strong> una sustancia; el crecimiento <strong>de</strong> un capital al cual<br />
se le va acumulando el interés que produce <strong>de</strong> manera continua (interés<br />
compuesto); el número <strong>de</strong> bacterias en un cultivo que duplica su número cada<br />
hora; la cantidad <strong>de</strong> calor que pier<strong>de</strong> un cuerpo que se enfría por irradiación a<br />
medida que transcurre el tiempo; son algunos <strong>de</strong> los fenómenos físicos,<br />
económicos o biológicos, entre otros, que se pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>scribir a través <strong>de</strong> una<br />
función exponencial.<br />
Para obtener mayor claridad, sobre las características y comportamiento <strong>de</strong> la<br />
función exponencial, se realizará la siguiente actividad; para la cual se <strong>de</strong>ben<br />
obtener los materiales <strong>de</strong>scritos a continuación, seguir las indicaciones y<br />
respon<strong>de</strong>r los interrogantes dados.<br />
143
5.6.1.2 MATERIALES<br />
l l<br />
l l<br />
I<br />
5-6-1-3 OBJETIVOS<br />
Una hoja <strong>de</strong> papel<br />
Granos <strong>de</strong> Trigo<br />
Marcador Negro<br />
☺ Propiciar condiciones, para que los estudiantes adquieran el concepto <strong>de</strong><br />
función exponencial.<br />
5.6.1.4. INDICACIONES<br />
Tomar la hoja <strong>de</strong> papel y formar un <strong>de</strong> 32 cm. <strong>de</strong> lado.<br />
144
Dentro <strong>de</strong> dicho cuadrado formar un tablero <strong>de</strong> ajedrez, es <strong>de</strong>cir, dividir el<br />
cuadrado anterior en cuadrados <strong>de</strong> 4 cm. <strong>de</strong> lado, obteniendo un total <strong>de</strong> 64<br />
cuadrados.<br />
Tomar el color o marcador negro y colorear cuadrado <strong>de</strong> por medio hasta<br />
completar el tablero <strong>de</strong> ajedrez<br />
El ajedrez es un juego antiquísimo. Cuenta con muchos siglos <strong>de</strong> existencia, por<br />
eso no es <strong>de</strong> extrañar que estén ligadas a él leyendas cuya veracidad es difícil<br />
comprobar <strong>de</strong>bido a su antigüedad. Para compren<strong>de</strong>rlas no hace falta saber jugar<br />
al ajedrez, basta simplemente saber que el tablero don<strong>de</strong> se juega está dividido en<br />
64 casillas negras y blancas, dispuestas alternativamente. Lea a continuación una<br />
<strong>de</strong> estas leyendas. El juego <strong>de</strong>l ajedrez fue inventado en la India. Difícil será<br />
<strong>de</strong>scubrir, dada la vaguedad <strong>de</strong> los documentos antiguos, la época exacta en que<br />
vivió y reinó en la India un rey llamado Iadava, dueño <strong>de</strong> la provincia <strong>de</strong> Taligana,<br />
mencionado por varios historiadores hindúes, como el <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los monarcas<br />
más generosos y ricos <strong>de</strong> su tiempo, poseedor <strong>de</strong> una singular aptitud militar, que<br />
le permitió elaborar un plan <strong>de</strong> batalla, y resultar victorioso al repeler al frente <strong>de</strong><br />
un pequeño ejercito, un insólito y brutal ataque <strong>de</strong>l aventurero Varangul. Pero en el<br />
que perdió la vida su hijo, el príncipe Adjamir.<br />
145
Encerrado en sus habitaciones, invadido por la tristeza que le causaba la pérdida<br />
<strong>de</strong> su hijo en los campos <strong>de</strong> batalla, el rey, pasaba día tras día, trazando sobre<br />
una gran caja <strong>de</strong> arena, las diversas maniobras realizadas por las tropas durante<br />
el asalto. Una vez completo el cuadro <strong>de</strong> los combatientes, con todos los <strong>de</strong>talles<br />
que pudiera evocar, borraba el rey todo, y comenzaba otra vez, empecinado en<br />
encontrar el error o los errores, que le costaron la vida a su hijo.<br />
Un día, finalmente, fue conducido ante el rey, un joven -pobre y mo<strong>de</strong>sto- quien<br />
dijo venir <strong>de</strong> tierras lejanas, y traer como regalo, un juego que había inventado,<br />
con el único fin <strong>de</strong> que pudiera distraerlo y abrir en su corazón las puertas a<br />
nuevas alegrías.<br />
Lo que Sessa traía al rey Iadava consistía en un gran tablero cuadrado, dividido<br />
en 64 cuadritos iguales. Sobre ese tablero se colocaban dos colecciones <strong>de</strong><br />
piezas, que se distinguían unas <strong>de</strong> otras por el color, blancas y negras.<br />
En pocas horas el monarca aprendió las reglas <strong>de</strong>l juego, consiguiendo <strong>de</strong>rrotar a<br />
sus visires en partidas que se <strong>de</strong>senvolvían impecablemente sobre el tablero. En<br />
<strong>de</strong>terminado momento el rey notó con gran sorpresa, que la posición <strong>de</strong> las<br />
piezas, reproducía exactamente la batalla <strong>de</strong> Dacsina, Sessa entonces le hizo<br />
notar, que para conseguir la victoria era necesario el sacrificio <strong>de</strong> la pieza que con<br />
su posición, reproducía la posición <strong>de</strong>l príncipe Adjamir.<br />
146
El rey quiso <strong>de</strong>mostrar su agra<strong>de</strong>cimiento, exigiendo a Sessa pedir una<br />
recompensa digna <strong>de</strong> su regalo. Sessa dijo entonces: Dadme un grano <strong>de</strong> trigo<br />
por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta,<br />
16 por la quinta, y así duplicando sucesivamente hasta la sexagésima cuarta y<br />
última casilla <strong>de</strong>l tablero.<br />
¡Insensato! -exclamó con enfado, el rey-, <strong>La</strong> recompensa que me pi<strong>de</strong>s es ridícula,<br />
pero no insistiré más, y ya que mi palabra fue empeñada, or<strong>de</strong>naré a los<br />
matemáticos <strong>de</strong> la corte, calculen la porción <strong>de</strong> trigo, para que el pago se haga<br />
inmediatamente, conforme a tu <strong>de</strong>seo.<br />
Rey magnánimo, -<strong>de</strong>claró, poco <strong>de</strong>spués, el más sabio <strong>de</strong> los geómetras-, no<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> tu voluntad el cumplir semejante <strong>de</strong>seo. <strong>La</strong> magnitud <strong>de</strong>l número <strong>de</strong><br />
granos <strong>de</strong> trigo, es inconcebible para la imaginación humana. Si <strong>de</strong>seas entregar<br />
sin falta la recompensa prometida, or<strong>de</strong>na que todos los reinos <strong>de</strong> la tierra se<br />
conviertan en labrantíos, manda <strong>de</strong>secar los mares y océanos, or<strong>de</strong>na fundir el<br />
hielo y la nieve que cubren los lejanos <strong>de</strong>siertos <strong>de</strong>l norte. Que todo el espacio sea<br />
totalmente sembrado <strong>de</strong> trigo, y or<strong>de</strong>na que toda la cosecha, obtenida en estos<br />
campos sea entregada a Sessa.<br />
Dime cuál es esa cifra tan monstruosa -dijo reflexionando, y asombrado el rey -<br />
147
-¡Oh soberano! 18.446.744073.709.551.615. (Dieciocho trillones, cuatrocientos<br />
cuarenta y seis mil, setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil<br />
setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince 24 .<br />
Esta es la leyenda, no se pue<strong>de</strong> asegurar, que en realidad haya sucedido, lo que<br />
se ha contado; sin embargo la recompensa <strong>de</strong> que habla la leyenda se expresa<br />
por ese número.<br />
Esto pue<strong>de</strong> comprobarse, sumando las cifras 1+2+4+8+16+ . . . +, etc.<br />
correspondiente a cada una <strong>de</strong> las casillas, pudiendo verificarse también, que el<br />
volumen aproximado que ocuparía la recompensa, sería <strong>de</strong> 12000km³. Si el<br />
granero tuviera 4m <strong>de</strong> alto por 10 m <strong>de</strong> ancho, su longitud habría <strong>de</strong> ser <strong>de</strong><br />
300’000.000 km., es <strong>de</strong>cir; el doble <strong>de</strong> la distancia que separa a la tierra <strong>de</strong>l sol.<br />
Cómo es <strong>de</strong> suponer, el objetivo inicial al referir esta leyenda, no es precisamente,<br />
preten<strong>de</strong>r que se calcule el número total <strong>de</strong> granos <strong>de</strong> trigo, pero sí el número <strong>de</strong><br />
granos correspondiente a una <strong>de</strong>terminada casilla. Para lo cual se <strong>de</strong>ben seguir<br />
las indicaciones y respon<strong>de</strong>r los interrogantes dados a continuación:<br />
Tómese el tablero <strong>de</strong> ajedrez.<br />
24<br />
PERELMANN, Y. El divertido juego <strong>de</strong> las matemáticas, Bogotá, Ediciones Nacionales Círculo <strong>de</strong><br />
Lectores, 1968.p.54-58.<br />
148
Anótese en una tabla, la cantidad <strong>de</strong> granos <strong>de</strong> trigo, correspondientes a la<br />
primera, segunda, tercera, cuarta, quinta y sexta casillas.<br />
¿Es posible i<strong>de</strong>ntificar algún tipo <strong>de</strong> regularidad en el anterior ejercicio?<br />
¿Cuántos granos <strong>de</strong> trigo, recibiría Sessa por la 10ª casilla?<br />
¿Cuántos granos <strong>de</strong> trigo, recibiría Sessa por la 20ª casilla?<br />
¿A que conjunto numérico pertenece el número <strong>de</strong> granos <strong>de</strong> trigo<br />
correspondiente a cada casilla, y el número <strong>de</strong> la casilla correspondiente?<br />
Para po<strong>de</strong>r respon<strong>de</strong>r los anteriores interrogantes, es necesario, ir <strong>de</strong>terminando y<br />
anotando, el número <strong>de</strong> granos <strong>de</strong> trigo correspondiente a cada casilla,<br />
estableciendo <strong>de</strong>spués, una relación entre estas cantida<strong>de</strong>s.<br />
Tomando entonces, el tablero <strong>de</strong>l ajedrez, don<strong>de</strong> la primera fila correspon<strong>de</strong> a las<br />
casillas 1 a 8, la segunda fila a las casillas 9 a 16, la tercera fila a las casillas 17 a<br />
24, etc., y <strong>de</strong>terminando el número <strong>de</strong> granos <strong>de</strong> trigo correspondientes, al<br />
número <strong>de</strong> cada casilla, iniciando <strong>de</strong> izquierda a <strong>de</strong>recha en la primera fila <strong>de</strong><br />
cuadrados, se obtendrá:<br />
149
Figura 37. Número <strong>de</strong> Granos Correspondientes a las Seis Primeras Casillas<br />
Primera Casilla Segunda Casillas Tercera Casillas<br />
Cuarta Casillas Quinta Casillas Sexta Casillas<br />
Se pue<strong>de</strong> observar, entonces, que el número <strong>de</strong> granos <strong>de</strong> trigo a recibir por la<br />
primera, segunda, tercera, cuarta, quinta y sexta casillas a recibir es 1, 2, 4, 8, 16,<br />
y 32 granos <strong>de</strong> trigo respectivamente.<br />
Ahora bien, si en la quinta casilla, el total a recibir es <strong>de</strong> 31 granos <strong>de</strong> trigo, en la<br />
10ª o 20ª casillas la cantidad obtenida, será consi<strong>de</strong>rable; la cual, se pue<strong>de</strong><br />
obtener <strong>de</strong> manera idéntica a la anterior.<br />
150
Sin embargo, este procedimiento resulta largo y poco práctico, luego lo indicado,<br />
es tratar <strong>de</strong> hallar una expresión matemática, que arroje el número <strong>de</strong> granos <strong>de</strong><br />
trigo correspondiente a las casillas <strong>de</strong>seadas sin mayores complicaciones.<br />
Para esto, y mediante la observación <strong>de</strong>l siguiente cuadro en don<strong>de</strong> se registran<br />
las anotaciones realizadas, se obtendrá:<br />
Cuadro 3 Número <strong>de</strong> granos <strong>de</strong> Trigo Correspondiente a Cada Casilla<br />
CASILLA<br />
No.<br />
No. DE GRANOS<br />
(duplicando el<br />
número <strong>de</strong> la<br />
casilla anterior)<br />
No. DE<br />
GRANOS<br />
(Potencias <strong>de</strong> 2)<br />
151<br />
No. DE GRANOS<br />
(<strong>de</strong>terminación <strong>de</strong>l<br />
exponente)<br />
No. DE<br />
GRANOS<br />
(Expresión<br />
resultante)<br />
1 1 = 2 0 = 2 número <strong>de</strong> la casilla 1 menos 1 =<br />
(1 - 1)<br />
2<br />
2 2 = 2 1 = 2 número <strong>de</strong> la casilla 2 menos 1 =<br />
(2 - 1)<br />
2<br />
3 4 = 2 2 = 2 número <strong>de</strong> la casilla 3 menos 1 =<br />
(3 – 1)<br />
2<br />
4 8 = 2 3 = 2 número <strong>de</strong> la casilla 4 menos 1 =<br />
(4 - 1)<br />
2<br />
5 16 = 2 4 = 2 número <strong>de</strong> la casilla 5 menos 1 =<br />
(5 - 1)<br />
2<br />
6 32 = 2 5 = 2 número <strong>de</strong> la casilla 6 menos 1 =<br />
(6 - 1)<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
N ? = 2 ? = 2 número <strong>de</strong> la casilla n menos 1 =<br />
(n - 1)<br />
2<br />
Luego, para hallar el total <strong>de</strong> granos <strong>de</strong> trigo correspondientes a la décima casilla,<br />
basta con tomar la expresión algebraica: 2 (n - 1) , y calcular para n = 10, es <strong>de</strong>cir que<br />
2 (10 - 1) = 2 9 = 512 que correspon<strong>de</strong> al total <strong>de</strong> granos obtenidos en la décima<br />
casilla.
Así mismo, el total <strong>de</strong> granos <strong>de</strong> trigo correspondientes a la casilla número veinte,<br />
se obtiene calculando 2 (20 - 1) , para n = 20, es <strong>de</strong>cir; 2 (20 - 1) = 2 19 = 42124<br />
Se pue<strong>de</strong> ver, que el número <strong>de</strong> granos <strong>de</strong> trigo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l número <strong>de</strong> la casilla<br />
correspondiente, a<strong>de</strong>más a cada una <strong>de</strong> las casillas le correspon<strong>de</strong> una única<br />
cantidad <strong>de</strong> granos <strong>de</strong> trigo. Por lo tanto y <strong>de</strong> acuerdo con lo ya estudiado<br />
previamente, se tiene la “representación algebraica” <strong>de</strong> la relación funcional:<br />
f(n) = 2 (n-1)<br />
don<strong>de</strong>: f(n) es la variable <strong>de</strong>pendiente, el signo = establece una relación <strong>de</strong><br />
equivalencia, n o número <strong>de</strong> las casillas, es la variable in<strong>de</strong>pendiente, y 2 (n-1) , o<br />
número <strong>de</strong> granos correspondientes a la casilla n, es una expresión potencial <strong>de</strong><br />
base 2 y exponente n-1, es el argumento <strong>de</strong> la función.<br />
Es <strong>de</strong>cir; el dominio <strong>de</strong> esta relación funcional estará conformado, por el conjunto<br />
<strong>de</strong> los Z + y el recorrido por todas las potencias <strong>de</strong> 2 con exponentes enteros<br />
positivos.<br />
Si a<strong>de</strong>más, se hace n - 1 = m, se tendrá que la anterior representación algebráica<br />
<strong>de</strong> la relación funcional o función se convierte en:<br />
f(m) = 2 m<br />
152
don<strong>de</strong>: m ∈ Z + U {0} y, f(m) ∈ { 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , . . . 2 m }, es <strong>de</strong>cir que su<br />
dominio está formado por el conjunto <strong>de</strong> los números enteros unidos con el<br />
conjunto unitario, cuyo elemento es el cero, y su recorrido por todas las potencias<br />
<strong>de</strong> 2 con exponentes mayores o iguales a cero.<br />
Se ha obtenido entonces, una expresión, que por sus características, correspon<strong>de</strong><br />
a la “representación algebraica” <strong>de</strong> una relación funcional o una función, que<br />
a<strong>de</strong>más, por arrojar resultados más rápidos, serán menos susceptibles a posibles<br />
errores, que se dan en los procesos operacionales largos y tediosos, como el<br />
utilizado inicialmente para <strong>de</strong>terminar el total <strong>de</strong> los granos <strong>de</strong> trigo<br />
correspondientes a cada casilla <strong>de</strong>l tablero <strong>de</strong>l ajedrez.<br />
Observando, entonces la representación algebraica <strong>de</strong> la función hallada, se<br />
pue<strong>de</strong> notar, que a diferencia <strong>de</strong> otras, en ésta, varía el exponente, razón por la<br />
cual ha recibido el nombre <strong>de</strong> función exponencial.<br />
Sin embargo, no siempre ocurre que un fenómeno, crezca o disminuya<br />
multiplicándose bruscamente, duplicándose o triplicándose, lo que impi<strong>de</strong> su<br />
aplicación en aquellos fenómenos, en los que se hizo referencia al inicio <strong>de</strong> esta<br />
actividad como el crecimiento <strong>de</strong> un capital al cual se le va acumulando el interés<br />
que produce <strong>de</strong> manera continua (interés compuesto); luego es imperante la<br />
necesidad <strong>de</strong> exten<strong>de</strong>r la aplicabilidad <strong>de</strong> la anterior expresión a casos en que sus<br />
153
cantida<strong>de</strong>s representativas, <strong>de</strong>terminen resultados correctos y rápidos acerca <strong>de</strong><br />
su crecimiento o disminución paulatinos. Para esto, basta con “observar el<br />
comportamiento”, <strong>de</strong> la función hallada.<br />
Teniendo entonces que la representación algebráica <strong>de</strong> la relación funcional<br />
hallada es<br />
Se pue<strong>de</strong> preguntar por:<br />
f (m) = 2 m<br />
¿Qué hubiese ocurrido, si Sessa hubiese pedido no el doble, sino tres, cuatro<br />
cinco o más veces, la cantidad <strong>de</strong> granos <strong>de</strong> trigo a medida que aumentaba el<br />
número <strong>de</strong> casillas?<br />
¿Qué hubiese ocurrido si Sessa, establece <strong>de</strong>terminada cantidad por la<br />
primera casilla, y <strong>de</strong> ahí en a<strong>de</strong>lante la mitad, o un tercio, un cuarto, etc.?<br />
<strong>La</strong> respuesta al primer interrogante es bastante sencilla, basta con<br />
consi<strong>de</strong>rar ya no la función f(m) = 2 m , y aplicar, según sea el caso f(m) = 3 m ,<br />
f(m) = 4 m , f(m) = 5 m , etc. es <strong>de</strong>cir; la función hallada se convierte en<br />
154
f(m) = b m , don<strong>de</strong> b sería un entero positivo.<br />
Con respecto al segundo interrogante, si se supone que Sessa pi<strong>de</strong> 10 granos <strong>de</strong><br />
trigo por la primera casilla y <strong>de</strong> ahí en a<strong>de</strong>lante la mitad a medida que aumenta el<br />
número <strong>de</strong> las casillas, se tendrá que las cantida<strong>de</strong>s a recibir por cada una <strong>de</strong> las<br />
casillas serán: 10, 5, 2.5, 1.25, . . . , etc. que se pue<strong>de</strong>n expresar como: 10, 10<br />
(½ ), 10 (¼ ), 10 (⅛ ), . . . , etc. que a su vez se pue<strong>de</strong>n expresar como : 10,<br />
10 (½ ), 10 (½ ) 2 , 10 (½ ) 3 , . . . , etc. Obsérvese que a partir <strong>de</strong> la tercera casilla,<br />
las cantida<strong>de</strong>s correspondientes a cada casilla <strong>de</strong>jan <strong>de</strong> ser enteras, para obtener<br />
fraccionarios<br />
Esto indica que f(m) = b m se convierte en<br />
f (m) = ab m ,<br />
don<strong>de</strong> “b” siempre será mayor que cero, pero también diferente <strong>de</strong> uno 25 , “a” una<br />
constante que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>rá <strong>de</strong> los requerimientos <strong>de</strong> Sessa y el exponente “m“ un<br />
entero positivo o el cero.<br />
25<br />
Si b = 1 se tendría la función constante f(x) = 1, ya que uno elevado a cualquier exponente,<br />
siempre arrojara el mismo resultado “1”<br />
155
Es fácil, suponer que el lector ya habrá establecido el gran parecido 26 , que tiene el<br />
cálculo <strong>de</strong> los granos <strong>de</strong> trigo correspondientes a cada casilla, con el caso <strong>de</strong> los<br />
trozos <strong>de</strong> papel que se van duplicando con cada partición.<br />
Sobra <strong>de</strong>cir entonces, que para exten<strong>de</strong>r el exponente <strong>de</strong> la función hallada al<br />
campo <strong>de</strong> los números reales, o por lo menos al campo <strong>de</strong> los racionales, <strong>de</strong> tal<br />
manera que sea posible aplicarla en la solución <strong>de</strong> aquellos fenómenos cuyo<br />
crecimiento o disminución son paulatinos, basta con recordar el caso <strong>de</strong>l<br />
bacteriólogo, consi<strong>de</strong>rado en el segundo capítulo <strong>de</strong> la primera unidad.<br />
Entonces, <strong>de</strong> acuerdo con todo lo anterior, se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>cir: que toda función, que<br />
esté compuesta por una potencia, don<strong>de</strong> la base se mantiene constante y el<br />
exponente varía, se <strong>de</strong>nomina función exponencial.<br />
Se tiene entonces que: Se <strong>de</strong>nomina función exponencial a toda expresión <strong>de</strong> la<br />
forma:<br />
f(x) = ab x con b >0, b ≠ 1, x Є R<br />
don<strong>de</strong> f(x) es la función, x es la variable in<strong>de</strong>pendiente, a es una constante y ab x<br />
es el argumento <strong>de</strong> la función.<br />
26 Nótese, que se habla <strong>de</strong> parecido y no <strong>de</strong> igualdad ya que se diferencian en que en el caso <strong>de</strong><br />
Sessa, se partía <strong>de</strong> un grano por la primera casilla, mientras que en el <strong>de</strong> los trozos <strong>de</strong> papel se<br />
inicia con dos trozos en la primera partición<br />
156
5.6.1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES DE BASE e<br />
Existen funciones exponenciales cuya base es el número irracional, (e =<br />
2.7188...), o número <strong>de</strong> Euler. A estas funciones se les ha llamado FUNCIONES<br />
DE CRECIMIENTO, <strong>de</strong>bido al tipo <strong>de</strong> fenómenos que permiten explicar.<br />
<strong>La</strong> función f(x) = e x se <strong>de</strong>nomina FUNCION EXPONENCIAL NATURAL, y se<br />
utiliza para <strong>de</strong>scribir situaciones tanto teóricas y prácticas como las siguientes:<br />
Crecimiento <strong>de</strong> una población <strong>de</strong> bacterias.<br />
Desintegración <strong>de</strong> un material radioactivo (crecimiento negativo)<br />
Aumento o disminución <strong>de</strong> la temperatura <strong>de</strong> un cuerpo.<br />
Aumento <strong>de</strong> la cantidad <strong>de</strong> dinero puesto a interés compuesto<br />
En cursos o estudios más avanzados, se muestra que el valor <strong>de</strong>l argumento <strong>de</strong><br />
la función hallada<br />
i<br />
t<br />
x<br />
(x + 1) en el caso <strong>de</strong> la inversión capitalizable es<br />
aproximadamente e = 2.71828 ó número <strong>de</strong> Euler.<br />
157
Al igual que las <strong>de</strong>más funciones, la función exponencial, pue<strong>de</strong> representarse por<br />
comprensión y extensión; diagramas sagitales, plano cartesiano, o una tabla.<br />
Así, y a manera <strong>de</strong> ejemplo las diversas representaciones gráficas <strong>de</strong> la función<br />
exponencial obtenida, en el ejemplo <strong>de</strong> los granos <strong>de</strong> trigo serán<br />
Determinación por Extensión<br />
f(x) = {(0,1), (1,2), (2,4), (3,8), (4,16), . . . ,}<br />
Determinación por Comprensión<br />
f(x) = {(x , y ) / y = 2 x , x ≥0, x Є N }<br />
Figura 38. Representación Sagital<br />
158
Figura 39. Representación Tabular<br />
X 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0<br />
f(x) 1,0 2,0 4,0 8,0 16,0 32,0<br />
Figura 40. Representación Cartesiana<br />
159
5.6.2 PROPIEDADES, DOMINIO Y RECORRIDO DE LA FUNCION<br />
EXPONENCIAL<br />
5.6.2.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD<br />
El estudio <strong>de</strong> las funciones, en anteriores cursos, nos permite recordar que estas<br />
tienen restricciones y propieda<strong>de</strong>s, que <strong>de</strong>ben tenerse en cuenta al momento <strong>de</strong><br />
su aplicación. <strong>La</strong> función exponencial, no es la excepción, posee también<br />
restricciones y propieda<strong>de</strong>s, cuyo conocimiento y manipulación, son <strong>de</strong> gran ayuda<br />
en su comprensión y aplicación.<br />
<strong>La</strong> siguiente actividad, cuyos materiales, objetivo e indicaciones a seguir, y<br />
<strong>de</strong>scritas a continuación, ayudaran a i<strong>de</strong>ntificar dichas propieda<strong>de</strong>s y restricciones.<br />
5.6.2.2 MATERIALES<br />
….<br />
Papel milimetrado<br />
…. Curvígrafo<br />
160
…. Calculadora<br />
….<br />
….<br />
Lápiz<br />
Papel<br />
5.6.2.3 OBJETIVOS<br />
☺ Mediante la realización y observación <strong>de</strong> varias gráficas <strong>de</strong> funciones<br />
exponenciales <strong>de</strong>terminar el dominio y codominio <strong>de</strong> f(x).<br />
☺ Mediante la realización y observación <strong>de</strong> varias gráficas <strong>de</strong> funciones<br />
exponenciales, comprobar los valores que pue<strong>de</strong> tomar la base “b”.<br />
☺ Mediante la realización y observación <strong>de</strong> varias gráficas <strong>de</strong> funciones<br />
exponenciales, <strong>de</strong>terminar las características <strong>de</strong> la función exponencial<br />
161
5.6.2.4 INDICACIONES<br />
Utilizar la calculadora, para hallar f(x)=1 x , para los valores dados en la<br />
tabla <strong>de</strong> la figura 41<br />
Realice la representación en el plano cartesiano <strong>de</strong> f(x)=1 x .<br />
FIGURA 41. Valores para la Representación en el Plano Cartesiano<br />
X - 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 ½ 1 3/2 2 3<br />
F(x)<br />
Observe los valores <strong>de</strong> la función f(x) = (1) x , consignados en la tabla<br />
representada en la figura 41, y la gráfica resultante en el plano cartesiano.<br />
¿Cómo son los valores hallados para f(x) = 1 x ?.<br />
¿Cuál es el dominio y el recorrido <strong>de</strong> esta función f(x) = 1 x ?<br />
Hallando f(x) = 1 x , para los valores <strong>de</strong> x, pedidos y realizando su representación<br />
gráfica en el plano cartesiano se tiene que:<br />
162
Figura 42. Representación Tabular <strong>de</strong> f(x) = 1 x<br />
X - 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 ½ 1 3/2 2 3<br />
1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1<br />
Figura 43. Representación Cartesiana f(x) = 1 x<br />
Observando entonces, los valores hallados y la representación gráfica en el plano<br />
cartesiano se pue<strong>de</strong> concluir que:<br />
Si en f(x) = b x , se tiene que b = 1, entonces se obtiene la función constante<br />
f(x) = 1, razón por la cual, la base <strong>de</strong> una potencia <strong>de</strong>be ser diferente <strong>de</strong><br />
uno.<br />
163
El dominio <strong>de</strong> f(x) = b x , don<strong>de</strong> b = 1, es el conjunto <strong>de</strong> los R y su rango o<br />
recorrido es el conjunto unitario, cuyo elemento es el número uno.<br />
5.6.2.5 INDICACIONES<br />
Utilizar la calculadora, para hallar f(x) = (½) x , para los valores dados en la<br />
tabla <strong>de</strong> la figura 41.<br />
Realice la representación en el plano cartesiano <strong>de</strong> f(x) = (½) x .<br />
Observe los valores <strong>de</strong> la función f(x) = (½) x , consignados en la tabla <strong>de</strong> la<br />
figura 41, y la gráfica resultante en el plano cartesiano.<br />
¿Cómo son los valores hallados para f(x), en la función<br />
f(x) = (½) x ?.<br />
¿Cuál es el dominio y el recorrido <strong>de</strong> la función f(x) = (½) x ?<br />
Hallando f(x) = (½) x , para los valores <strong>de</strong> x, pedidos y realizando su representación<br />
gráfica en el plano cartesiano se tiene que:<br />
164
Figura 44.. Representación Tabular <strong>de</strong> f(x) = (½) x<br />
X - 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 ½ 1 3/2 2 3<br />
F(x) 8,0 4,0 2,8 2,0 1,4 1,0 0,7 0,5 0,4 0,25 0,1<br />
Figura 45.. Representación en el Plano Cartesiano <strong>de</strong> f(x) = (½) x<br />
165
Observando entonces la representación tabular y cartesiana <strong>de</strong> f(x) = (½) x , se<br />
pue<strong>de</strong> establecer que:<br />
Si en f(x) = (½) x los valores <strong>de</strong> x se hacen cada vez mas gran<strong>de</strong>s entonces,<br />
f(x) = (½) x toma valores cada vez mas pequeños. (f(x) = (½) x es<br />
<strong>de</strong>creciente).<br />
El dominio <strong>de</strong> f(x) = (½) x , son los R y su recorrido los R + .<br />
5.6.2.6 INDICACIONES<br />
Utilizar la calculadora, para hallar f(x) = (1/4) x , para los valores dados en la<br />
Tabla <strong>de</strong> la figura 41.<br />
Realice la representación en el plano cartesiano <strong>de</strong> f(x) = (1/4) x .<br />
Observe los valores <strong>de</strong> la función f(x) = (1/4) x , consignados en la tabla <strong>de</strong> la<br />
figura 41, y la gráfica resultante en el plano cartesiano.<br />
¿Cómo son los valores hallados para f(x), en la función f(x) = (1/4) x ?.<br />
¿Cuál es el dominio y el recorrido <strong>de</strong> la función f(x) = (1/4) x ?<br />
166
Hallando f(x) = (1/4) x , para los valores <strong>de</strong> x, pedidos y realizando su<br />
representación gráfica en el plano cartesiano se tiene que:<br />
Figura 46. Representación Tabular <strong>de</strong> f(x) = (1/4) x<br />
X - 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 3<br />
F(x) 64,0 16,0 8,0 4,0 2,0 1,0 0,5 0,3 0,1 0,1 0,02<br />
Figura 47. Representación en el Plano Cartesiano <strong>de</strong> f(x) = (1/4) x<br />
167
Observando entonces la representación tabular y cartesiana <strong>de</strong> f(x) = (1/4) x , se<br />
pue<strong>de</strong> establecer que:<br />
Si en f(x) = (1/4) x los valores <strong>de</strong> x, se hacen cada vez mas gran<strong>de</strong>s,<br />
entonces, f(x) = (1/4) x toma valores cada vez mas pequeños. (Función<br />
<strong>de</strong>creciente).<br />
El dominio <strong>de</strong> f(x) = (1/4) x , son los R y su recorrido los R + .<br />
5.6.2.7 INDICACIONES<br />
Utilizar la calculadora, para hallar f(x) = (1/8) x , para los valores dados en<br />
la Tabla <strong>de</strong> la figura 41.<br />
Realice la representación en el plano cartesiano <strong>de</strong> f(x) =.(1/8) x<br />
Observe los valores <strong>de</strong> la función f(x) = (1/8) x , consignados en la tabla <strong>de</strong> la<br />
figura 41, y la gráfica resultante en el plano cartesiano.<br />
¿Cómo son los valores hallados para f(x), en la función f(x) = (1/8) x ?.<br />
¿Cuál es el dominio y el recorrido <strong>de</strong> la función f(x) = (1/8) x ?<br />
168
Hallando f(x) = (1/8) x , para los valores <strong>de</strong> x, pedidos y realizando su<br />
representación gráfica en el plano cartesiano se tiene que:<br />
Figura 48. Representación Tabular <strong>de</strong> f(x) =(1/8) x<br />
X - 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 3<br />
fx) 512 64 22,6 8,0 2,8 1,0 0,4 0,1 0,04 0,02 0,002<br />
Figura 49 Representación en el Plano Cartesiano <strong>de</strong> f(x) = (1/8) x<br />
169
Observando entonces la representación tabular y cartesiana <strong>de</strong> f(x) = (1/8) x , se<br />
pue<strong>de</strong> establecer que:<br />
Si en f(x) = (1/8) x , los valores <strong>de</strong> x se hacen cada vez mas gran<strong>de</strong>s<br />
entonces, f(x) = (1/8) x toma valores cada vez más pequeños. (f(x) es<br />
<strong>de</strong>creciente).<br />
El dominio <strong>de</strong> f(x) = (1/8) x , son los R y su recorrido los R + .<br />
5.6.2.8 INDICACIONES<br />
Utilizar la calculadora, para hallar f(x) =2 x , para los valores dados en la<br />
tabla <strong>de</strong> la figura 41<br />
Realice la representación en el plano cartesiano <strong>de</strong> f(x) =.2 x<br />
Observe los valores <strong>de</strong> la función f(x) = 2 x , consignados en la tabla <strong>de</strong> la<br />
figura 41, y la gráfica resultante en el plano cartesiano.<br />
¿Cómo son los valores hallados para f(x), en la función f(x) = 2 x ?.<br />
¿Cuál es el dominio y el recorrido <strong>de</strong> la función f(x) = 2 x ?<br />
170
Hallando f(x) = 2 x , para los valores <strong>de</strong> x, pedidos y realizando su representación<br />
gráfica en el plano cartesiano se tiene que:<br />
Figura 50. Representación Tabular <strong>de</strong> f(x) = 2 x<br />
X -3,0 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0<br />
F(x) 0,1 0,3 0,4 0,5 0,7 1 1,4 2 2,8 4 8<br />
Figura 51. Representación en el Plano Cartesiano <strong>de</strong> f(x) = 2 x<br />
171
Observando entonces la representación tabular y cartesiana <strong>de</strong> f(x) = 2 x , se<br />
pue<strong>de</strong> establecer que:<br />
Si en f(x) = 2 x , los valores <strong>de</strong> x se hacen cada vez más gran<strong>de</strong>s, entonces, los<br />
valores <strong>de</strong> f(x) = 2 x , también se hacen más gran<strong>de</strong>s. (f(x) = 2 x es creciente)<br />
El dominio <strong>de</strong> f(x) = 2 x , son los R y su recorrido los R +<br />
5.6.2.9 INDICACIONES<br />
Utilizar la calculadora, para hallar f(x) = e x , para los valores dados en la tabla<br />
<strong>de</strong> la figura 41.<br />
Realice la representación en el plano cartesiano <strong>de</strong> f(x) = ex.<br />
Observe los valores <strong>de</strong> la función f(x) = ex, consignados en la tabla <strong>de</strong> la figura<br />
41, y la gráfica resultante en el plano cartesiano.<br />
¿Cómo son los valores hallados para f(x), en la función f(x) = e x ?.<br />
¿Cuál es el dominio y el recorrido <strong>de</strong> la función f(x) = e x ?<br />
172
Hallando f(x) = e x , para los valores <strong>de</strong> x, pedidos y realizando su representación<br />
gráfica en el plano cartesiano se tiene que:<br />
Figura 52 Representación Tabular <strong>de</strong> f(x) = e x<br />
X - 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 3<br />
f(x) 0,05 0,1 0,2 0,4 0,6 1,0 1,6 2,7 4,5 7,4 20,1<br />
Figura 53. Representación Cartesiana <strong>de</strong> f(x) = e x<br />
173
Observando entonces la representación tabular y cartesiana <strong>de</strong>, f(x) = e x se pue<strong>de</strong><br />
establecer que:<br />
Si en f(x) = e x , los valores <strong>de</strong> x se hacen cada vez más gran<strong>de</strong>s, entonces,<br />
los valores <strong>de</strong> f(x) = e x también se hacen m{as gran<strong>de</strong>s (f(x) = e x es<br />
creciente)<br />
El dominio <strong>de</strong> f(x) = e x , son los R y su recorrido los R +<br />
5.6.2.10 INDICACIONES<br />
Utilizar la calculadora, para hallar f(x) =10 x , para los valores dados en la<br />
tabla <strong>de</strong> la figura 41.<br />
Realice la representación en el plano cartesiano <strong>de</strong> f(x) = 10 x .<br />
Observe los valores <strong>de</strong> la función f(x) = 10 x , consignados en la tabla <strong>de</strong> la<br />
figura 41, y la gráfica resultante en el plano cartesiano.<br />
¿Cómo son los valores hallados para f(x), en la función f(x) = 10 x ?.<br />
¿Cuál es el dominio y el recorrido <strong>de</strong> la función f(x) = 10 x ?<br />
174
Hallando f(x) = 10 x , para los valores <strong>de</strong> x, pedidos y realizando su representación<br />
gráfica en el plano cartesiano se tiene que<br />
Figura 54. Representación Tabular <strong>de</strong> f(x) = 10 x<br />
X - 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 3<br />
f(x) 0,001 0,01 0,03 0,1 0,3 1 3,2 10 31,6 100 1.000<br />
Figura 55. Representación en el Plano Cartesiano <strong>de</strong> f(x) = 10 x<br />
175
Observando entonces la representación tabular y cartesiana <strong>de</strong>, f(x) = 10 x se<br />
pue<strong>de</strong> establecer que:<br />
Si en f(x) = 10 x , los valores <strong>de</strong> x se hacen cada vez mas gran<strong>de</strong>s, entonces<br />
los valores <strong>de</strong> f(x) = 10 x también se hacen cada ves mas gran<strong>de</strong>s. (f(x) =<br />
10 x es creciente)<br />
El dominio <strong>de</strong> f(x) = 10 x , son los R y su recorrido los R +<br />
5.6.2.11 INDICACIONES<br />
Observe las representaciones gráficas realizadas en cada uno <strong>de</strong> los<br />
planos cartesianos <strong>de</strong> las funciones f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x ,<br />
f(x)=e x , f(x)=10 x<br />
¿Qué se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>ducir, acerca <strong>de</strong> la “forma” <strong>de</strong> las gráficas, al observar<br />
cada una <strong>de</strong> las representaciones realizadas en el plano cartesiano, <strong>de</strong> las<br />
funciones : f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x .<br />
Observando entonces, las anteriores representaciones en el plano cartesiano <strong>de</strong><br />
cada una <strong>de</strong> las funciones f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x ,<br />
f(x)=10 x , se pue<strong>de</strong> establecer que tienen características comunes como:<br />
Su “forma” es curva.<br />
176
Cortan el eje Y en el punto (0,1).<br />
No cortan el eje X.<br />
Su dominio son los reales y su recorrido los reales positivos.<br />
5.6.2.12 INDICACIONES<br />
Realizar ahora, la representación gráfica mediante la utilización <strong>de</strong> una<br />
única tabla, y un único plano cartesiano, <strong>de</strong> la segunda, tercera y cuarta<br />
función (f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x ), para los valores dados en tabla <strong>de</strong><br />
la figura 41.<br />
¿Qué característica en común tienen la base <strong>de</strong> estas tres funciones<br />
(f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x )<br />
¿Qué se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>ducir, acerca <strong>de</strong> la “forma” <strong>de</strong> la gráfica, al observar la<br />
representación realizada en el plano cartesiano, <strong>de</strong> estas tres, funciones.<br />
(f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x ).<br />
Hallando entonces, los valores que toman la segunda, tercera y cuarta función<br />
(f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x ), para los valores <strong>de</strong> x pedidos en la tabla <strong>de</strong> la figura 41, y<br />
representándolos en una única tabla y en un único plano cartesiano se tiene que:<br />
177
Figura 56. Valores <strong>de</strong> las Funciones f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x<br />
f(x)<br />
X<br />
-3,0 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,00 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0<br />
(1/2) x 8,00 4,00 2,83 2,00 1,41 1,00 0,71 0,50 0,35 0,25 0,13<br />
(1/4) x 64,00 16,00 8,00 4,00 2,00 1,00 0,50 0,25 0,13 0,06 0,02<br />
(1/8) x 512,00 64,00 22,63 8,00 2,83 1,00 0,35 0,13 0,04 0,02 0,002<br />
Figura 57. Representación en el Plano cartesiano <strong>de</strong> f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) X<br />
y<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
x<br />
f(x) = (1/2)^x<br />
f(x) = (1/4)^x<br />
f(x) = (1/8)^x<br />
178
Mediante la observación <strong>de</strong> las anteriores representaciones <strong>de</strong> las funciones<br />
f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , se pue<strong>de</strong> concluir que:<br />
Sus bases son mayores que cero y menores que uno (0 < b < 1).<br />
Si la base es mayor que cero y menor que uno (0 < b < 1), entonces la<br />
gráfica es cóncava a la izquierda. (similares a las gráficas <strong>de</strong> la figura 47).<br />
5.6.2.13 INDICACIONES<br />
Realizar, la representación gráfica utilizando una única tabla, y un único<br />
plano cartesiano, <strong>de</strong> la quinta, sexta y séptima función (f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x ).<br />
¿Qué característica en común tienen la base <strong>de</strong> estas tres funciones<br />
(f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x )?<br />
¿Qué se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>ducir, acerca <strong>de</strong> la “forma” <strong>de</strong> la gráfica, al observar la<br />
representación realizada en el plano cartesiano, <strong>de</strong> estas tres funciones<br />
(f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x )?.<br />
Hallando entonces, los valores que toman la quinta, sexta y séptima función<br />
(f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x ), para los valores <strong>de</strong> x pedidos en la tabla <strong>de</strong> la figura 41,<br />
y representándolos en una única tabla y en un único plano cartesiano se tiene que:<br />
179
Figura 58. Valores <strong>de</strong> las Funciones f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x<br />
x<br />
2 x<br />
e x<br />
f(x)<br />
-3,0 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,00 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0<br />
0,13 0,25 0,35 0,50 0,71 1,00 1,41 2,00 2,83 4,00 8,00<br />
0,05 0,14 0,22 0,37 0,61 1,00 1,65 2,72 4,48 7,39 20,09<br />
10x 0,001 0,01 0,03 0,10 0,32 1,00 3,16 10,00 31,62 100,00 1000,00<br />
Figura 59. Representación en el Plano cartesiano <strong>de</strong> f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x .<br />
180
Mediante la observación <strong>de</strong> las anteriores representaciones <strong>de</strong> las funciones<br />
f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x , se pue<strong>de</strong> concluir que:<br />
Sus bases son mayores que uno (b > 1).<br />
Si la base es mayor que uno (b > 1), entonces la gráfica es cóncava a la<br />
<strong>de</strong>recha (similares a las gráficas <strong>de</strong> la figura 48).<br />
5.6.2.14 INDICACIONES<br />
Realizar, la representación gráfica utilizando una única tabla, y un único<br />
plano cartesiano, <strong>de</strong> la primera, segunda, tercera, cuarta, quinta, sexta y<br />
séptima función (f(x)=1 x , f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x ).<br />
¿Qué se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>ducir, acerca <strong>de</strong> la “forma” <strong>de</strong> las gráficas, al observar la<br />
representación realizada en el plano cartesiano, <strong>de</strong> estas siete funciones<br />
(f(x)=1 x , f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x )?.<br />
Hallando entonces, los valores que toman la quinta, sexta y séptima función<br />
(f(x)=1 x , f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x ), para los<br />
valores <strong>de</strong> x pedidos en la tabla <strong>de</strong> la figura 41, y representándolos en una única<br />
cuadro y en un único plano cartesiano se tiene que:<br />
181
Figura 60. Valores <strong>de</strong> las f(x)=1 x , f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x ,<br />
f(x)=10 x<br />
F(x)<br />
X<br />
- 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 3<br />
1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1<br />
(½) x 8,00 4,00 2,83 2,00 1,41 1,00 0,71 0,50 0,35 0,25 0,13<br />
(¼) x 64,00 16,00 8,00 4,00 2,00 1,00 0,50 0,25 0,13 0,06 0,02<br />
(⅛) x 512,00 64,00 22,63 8,00 2,83 1,00 0,35 0,13 0,04 0,02 0,00<br />
(2) x 0,13 0,25 0,35 0,50 0,71 1,00 1,41 2,00 2,83 4,00 8,00<br />
(e) x 0,05 0,14 0,22 0,37 0,61 1,00 1,65 2,72 4,48 7,39 20,09<br />
10 x<br />
0,00 0,01 0,03 0,10 0,32 1,00 3,16 10,00 31,62 100,00 1000,00<br />
Figura 61. Representación en el Plano Cartesiano <strong>de</strong> f(x)=1 x , f(x)=(½) x ,<br />
f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x ,<br />
182
Mediante la observación <strong>de</strong> las anteriores representaciones <strong>de</strong> las funciones<br />
f(x)=1 x , f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x , se pue<strong>de</strong><br />
concluir que:<br />
Sus bases son positivas (b > 0)<br />
<strong>La</strong>s funciones exponenciales son “cóncavas” a la izquierda o a la <strong>de</strong>recha<br />
(similares a las gráficas <strong>de</strong> la figura 47 y 48).<br />
El punto <strong>de</strong> corte con el eje Y es (0,1)<br />
<strong>La</strong>s curvas están por encima <strong>de</strong>l eje X, por lo tanto su recorrido, es el<br />
conjunto <strong>de</strong> los reales positivos.<br />
<strong>La</strong> variable x, tomó valores positivos y negativos, por lo tanto el dominio es<br />
el conjunto <strong>de</strong> los números reales.<br />
Sintetizando entonces, todas las observaciones realizadas hasta el momento se<br />
pue<strong>de</strong> concluir que para f(x) = b x , se tiene que:<br />
S i la base b, es un número que se encuentra entre o y 1 (0 < b < 1, la<br />
función es <strong>de</strong>creciente.<br />
183
Si la base b es un número mayor que 1 (b > 1), la función es <strong>de</strong>creciente.<br />
El punto <strong>de</strong> corte con el eje Y es (0,1).<br />
Ninguna gráfica <strong>de</strong> esta forma (con base positiva corta el eje X).<br />
Todas las funciones, cuyo argumento está constituido por una potencia,<br />
don<strong>de</strong> la base es positiva, diferente <strong>de</strong> uno y don<strong>de</strong> el exponente es el que<br />
varía se <strong>de</strong>nominan funciones exponenciales.<br />
184
6. APLICACIÓN<br />
El tiempo total empleado para la aplicación <strong>de</strong> la didáctica, fue <strong>de</strong> cuatro semanas,<br />
dos <strong>de</strong> las cuales, se emplearon en la aplicación <strong>de</strong> la primera unidad, y las dos<br />
restantes en la unidad correspondiente a la función exponencial.<br />
<strong>La</strong>s diversas temáticas fueron <strong>de</strong>sarrolladas simultáneamente en los dos cursos,<br />
conservando <strong>de</strong> esta manera, la homogeneidad <strong>de</strong> los mismos.<br />
En el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> la primera temática <strong>de</strong> par o pareja or<strong>de</strong>nada, el curso 901,<br />
manifestó su <strong>de</strong>sconcierto y curiosidad, tanto con expresiones gestuales como con<br />
interrogantes, ante la actividad planteada. Algunos <strong>de</strong> estos interrogantes fueron:<br />
- Profe ¿ … Y eso para que?, - ¿Vamos a armar cubos, profe?, - ¿Tienen que<br />
ser cuadradas las fichas profe?<br />
El 83% realizó con entusiasmo la actividad planteada<br />
El 27% se limitó a dar la impresión <strong>de</strong> realizar la actividad<br />
Ante el anuncio <strong>de</strong> evaluación, <strong>de</strong>mostraron confianza en respon<strong>de</strong>rla bien.<br />
185
En el curso 902 se observó la actitud habitual que caracteriza al grupo la cual se<br />
pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>scribir <strong>de</strong> la siguiente manera:<br />
Un 98% al parecer se muestra atento y preocupado por hacer las anotaciones<br />
realizadas.<br />
Un 2% ansioso por escuchar el sonido <strong>de</strong>l timbre que da por terminada la clase<br />
Un 90% se inquieta y angustia ante el anuncio <strong>de</strong> una evaluación<br />
Ante la pregunta habitual por parte <strong>de</strong>l profesor en cuanto a la existencia <strong>de</strong> dudas<br />
o preguntas el 100%, dijo no tenerlas.<br />
El <strong>de</strong>sconcierto <strong>de</strong>mostrado por los estudiantes <strong>de</strong>l curso 901, <strong>de</strong>sapareció a partir<br />
<strong>de</strong> la segunda temática (Producto Cartesiano), los estudiantes <strong>de</strong>mostraron<br />
interés, curiosidad y afán, en resolver los interrogantes planteados, se mostraron<br />
ansiosos por verificar en compañía <strong>de</strong>l profesor las respuestas encontradas a los<br />
interrogantes y a la vez por ser evaluados.<br />
.<br />
El curso 902 como es <strong>de</strong> suponer mantuvo la actitud habitual; aunque, a partir <strong>de</strong><br />
la tercera temática, manifestaron su disgusto, por no “ver los temas” <strong>de</strong> igual<br />
forma que el curso 901. Algunos dijeron sentirse “discriminados”, ya que su<br />
profesor prefería los estudiantes <strong>de</strong>l curso 901.<br />
186
Al finalizar el tratamiento <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> las temáticas, <strong>de</strong> la primera unidad, o<br />
durante el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> ellas se realizaron cortas evaluaciones que arrojaron los<br />
siguientes resultados<br />
Cuadro 4 Resultados <strong>de</strong> la Aplicación <strong>de</strong> la Primera Unidad<br />
ITEM<br />
No.<br />
ITEMS<br />
No. <strong>de</strong> alumnos<br />
que contestaron<br />
correctamente<br />
POTENCIACION 901 902<br />
1 <strong>La</strong> expresión 3 5 recibe el nombre <strong>de</strong>: --------------- 21 6<br />
2 El resultado <strong>de</strong> efectuar 8 1/3 es: ----------------------<br />
Juan realiza un préstamo, por el cual le cobran el 1% , si se<br />
<strong>de</strong>mora un día en <strong>de</strong>volver los $100; 2% si se <strong>de</strong>mora dos días; 4%<br />
19 4<br />
3 si se <strong>de</strong>mora tres días; 8% si son cuatro días, es <strong>de</strong>cir <strong>de</strong>be<br />
cancelar el doble <strong>de</strong>l interés por cada día que transcurra. Cuánto<br />
pagó Juan <strong>de</strong> intereses si se <strong>de</strong>moró 30 días<br />
PAR O PAREJA ORDENADA<br />
13 0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
Dar un ejemplo <strong>de</strong> alguna actividad o información, diferente a la<br />
<strong>de</strong>sarrollada en clase, que establezca una pareja or<strong>de</strong>nada<br />
Representar las parejas or<strong>de</strong>nadas (-3,5),(0,2) y (-2,0) en un único<br />
diagrama sagital<br />
Representar las parejas or<strong>de</strong>nadas (-3,5),(0,2) y (-2,0) en un único<br />
plano cartesiano<br />
PRODUCTO CARTESIANO<br />
Teniendo dos conjuntos, A y B, don<strong>de</strong> A está formado por tres<br />
fichas circulares amarilla, azul y roja, y B formado por dos fichas<br />
cuadradas negra y blanca , establecer una “condición” que arroje el<br />
producto cartesiano AXB<br />
Si A = {0,1} y B = {2,3}, cuántas parejas or<strong>de</strong>nadas forman el<br />
producto cartesiano AXB<br />
RELACIONES<br />
Cuál es la relación que arroja el mayor número <strong>de</strong> parejas<br />
or<strong>de</strong>nadas<br />
RELACIONES FUNCIONALES<br />
187<br />
12 0<br />
23<br />
14<br />
9 12<br />
11 0<br />
17 6<br />
19 6<br />
Dados los conjuntos A = {0,1} y B = {2,3} <strong>de</strong>termine una relación<br />
funcional y represéntela<br />
1 Por comprensión 8 3<br />
2 En el plano cartesiano 17 8<br />
3 En una tabla 11 12
De acuerdo con los resultados <strong>de</strong>scritos en el cuadro 4, el número <strong>de</strong> estudiantes<br />
<strong>de</strong>l curso 901, que contestó correctamente la mayoría <strong>de</strong> los ítems no superó el<br />
50%.<br />
Sin embargo con excepción <strong>de</strong> las temáticas correspondientes a la potenciación y<br />
representación en el plano cartesiano, se pue<strong>de</strong> establecer un contraste entre la<br />
primera unidad <strong>de</strong> esta propuesta y los métodos tradicionales.<br />
Los resultados arrojados a lo largo <strong>de</strong>l año escolar, en los que se ha<br />
<strong>de</strong>sarrollado un método tradicional, muestran que el número <strong>de</strong> estudiantes<br />
<strong>de</strong>l curso 901, que alcanzaron sin mayores complicaciones los logros<br />
propuestos nunca fue superior a 5.<br />
Los resultados arrojados a lo largo <strong>de</strong>l año escolar, en los que se ha<br />
<strong>de</strong>sarrollado un método tradicional, muestran que el número <strong>de</strong> estudiantes<br />
que alcanzaron los logros propuesto sin mayores complicaciones, en el<br />
curso 902, no ha sido superior 7. Condición que como se pue<strong>de</strong> observar,<br />
en el cuadro, continúa siendo la característica <strong>de</strong>l grupo.<br />
Con respecto a las preguntas <strong>de</strong> potenciación, no se pue<strong>de</strong> afirmar que los<br />
resultados se encuentren ligados con la aplicación <strong>de</strong> esta propuesta, ya<br />
que el profesor a cargo <strong>de</strong>l curso 901, hizo énfasis en esta temática, a lo<br />
largo <strong>de</strong>l primer semestre <strong>de</strong>l año escolar.<br />
188
El interés, curiosidad y disposición <strong>de</strong> los alumnos <strong>de</strong>l curso 901, en la<br />
realización <strong>de</strong> las activida<strong>de</strong>s planteadas en la primera unidad <strong>de</strong> la<br />
propuesta didáctica, permite afirmar que se logró en un 87%, superar el<br />
cansancio que los estudiantes siempre han mostrado en las clase <strong>de</strong><br />
matemáticas.<br />
Para <strong>de</strong>terminar los resultados <strong>de</strong> la aplicación <strong>de</strong> la segunda unidad, se aplicó en<br />
forma simultánea a los grupos una segunda prueba (Anexo B), cuyos resultados<br />
son <strong>de</strong>scritos a continuación por los siguientes gráficos y cuadros.<br />
Cuadro 5. Respuestas Curso 901<br />
CURSO 901<br />
ITEM No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Respuestas Correctas 25 23 25 10 16 19 21 9 21 13<br />
Respuestas incorrectas 10 17 10 25 16 16 14 26 14 22<br />
Gráfica 1 Respuestas Curso 901<br />
189
De acuerdo con los resultados, consignados en la Gráfica 1, se pue<strong>de</strong> establecer<br />
que en el curso 901:<br />
El 71.42%, i<strong>de</strong>ntificó las variables <strong>de</strong>pendientes e in<strong>de</strong>pendientes <strong>de</strong> una<br />
función<br />
El 65.71%, i<strong>de</strong>ntificó la función exponencial natural.<br />
El 71.42%, i<strong>de</strong>ntificó la función exponencial<br />
El 28.57%, i<strong>de</strong>ntificó la función exponencial como aquella, cuyo argumento<br />
es una potencia cuya base <strong>de</strong>be ser positiva.<br />
El 45.71%, establece que la base <strong>de</strong> la potencia <strong>de</strong> una función exponencial<br />
<strong>de</strong>be ser diferente <strong>de</strong> uno.<br />
El 54.28%, reconoce el comportamiento <strong>de</strong> la función f(x) = b x , cuando b es<br />
positiva y mayor que uno.<br />
El 60%, establece el dominio <strong>de</strong> una función exponencial, a partir <strong>de</strong> su<br />
gráfica.<br />
190
El 25.71%, representa correctamente una función exponencial en el plano<br />
cartesiano, a partir <strong>de</strong> su representación tabular.<br />
El 60%, realiza la representación tabular <strong>de</strong> una función exponencial a partir<br />
<strong>de</strong> su representación algebraica.<br />
El 37.14%, aplica correctamente la función exponencial en la solución <strong>de</strong><br />
problemas.<br />
Cuadro 6 Respuestas Curso 902<br />
CURSO 902<br />
ITEM No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Respuestas Correctas 9 20 26 6 9 7 9 19 7 6<br />
Respuestas incorrectas 24 13 7 27 24 26 24 14 26 27<br />
Gráfica 2. Respuestas Curso 902<br />
191
De acuerdo con los resultados, consignados en la Gráfica 2, se pue<strong>de</strong> establecer<br />
que en el curso 902:<br />
El 27.27%, i<strong>de</strong>ntificó las variables <strong>de</strong>pendientes e in<strong>de</strong>pendientes <strong>de</strong> una<br />
función<br />
El 60.60%, i<strong>de</strong>ntificó la función exponencial natural.<br />
El 78.78%, i<strong>de</strong>ntificó la función exponencial<br />
El 18.18%, i<strong>de</strong>ntificó la función exponencial como aquella, cuyo argumento<br />
es una potencia cuya base <strong>de</strong>be ser positiva.<br />
El 27.27%, establece que la base <strong>de</strong> la potencia <strong>de</strong> una función exponencial<br />
<strong>de</strong>be ser diferente <strong>de</strong> uno.<br />
El 21.21% , reconoce el comportamiento <strong>de</strong> la función f(x) = b x , cuando b es<br />
positiva y mayor que uno.<br />
El 27.27%, establece el dominio <strong>de</strong> una función exponencial, a partir <strong>de</strong> su<br />
gráfica.<br />
192
El 57.57%, representa correctamente una función exponencial en el plano<br />
cartesiano, a partir <strong>de</strong> su representación .tabular<br />
El 21.21%, realiza la representación tabular <strong>de</strong> una función exponencial a<br />
partir <strong>de</strong> su representación algebraica.<br />
El 18.18%, aplica correctamente la función exponencial en la solución <strong>de</strong><br />
problemas.<br />
Cuadro 7. Comparativo Respuestas Correctas Curso 901-902<br />
RESPUESTAS CORRECTAS<br />
PREGUNTA No.<br />
ITEM No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
901 25 23 25 10 16 19 21 9 21 13<br />
902 9 20 26 6 9 7 9 19 7 6<br />
Diferencia 16 3 1 4 7 12 12 10 14 7<br />
Gráfica 3 Comparativo Respuestas Correctas Curso 901-902<br />
193
De acuerdo con los resultados, consignados en la Cuadro 7, se pue<strong>de</strong> establecer<br />
que:<br />
El curso 901 superó en un 47% al curso 902, en la i<strong>de</strong>ntificación <strong>de</strong> las<br />
variables <strong>de</strong>pendientes e in<strong>de</strong>pendientes <strong>de</strong> una función<br />
El curso 901 superó en un 6.9% al curso 902, en la i<strong>de</strong>ntificación <strong>de</strong> la<br />
función exponencial natural.<br />
El curso 902 superó en un 1.9% al curso 901, en la i<strong>de</strong>ntificación <strong>de</strong><br />
f(x) = 1 + 2 x , como una función exponencial.<br />
El curso 901 superó en un 25% al curso 902, la i<strong>de</strong>ntificación <strong>de</strong> la función<br />
exponencial como aquella, cuyo argumento es una potencia don<strong>de</strong> la base<br />
<strong>de</strong>be ser positiva.<br />
El curso 901 superó en un 28% al curso 902, en el establecimiento <strong>de</strong> que<br />
la base <strong>de</strong> la potencia <strong>de</strong> una función exponencial <strong>de</strong>be ser diferente <strong>de</strong><br />
uno.<br />
El curso 901 superó en un 46.15% al curso 902, en el reconocimiento <strong>de</strong>l<br />
comportamiento <strong>de</strong> la función f(x) = b x , cuando b es positiva y mayor que<br />
uno.<br />
194
El curso 901 superó en un 46.15% al curso 902, al establecer <strong>de</strong>l dominio<br />
<strong>de</strong> una función exponencial, a partir <strong>de</strong> su gráfica.<br />
El curso 902 superó en un 35.71% al curso 901, al representar<br />
correctamente una función exponencial en el plano cartesiano, a partir <strong>de</strong><br />
su representación tabular.<br />
El curso 901 superó en un 50% al curso 902, en la representación tabular<br />
<strong>de</strong> una función exponencial a partir <strong>de</strong> su representación algebraica.<br />
El curso 901 superó en un 36.84% al curso 902, en la solución <strong>de</strong><br />
problemas, mediante la aplicación <strong>de</strong> una función exponencial<br />
De acuerdo con los resultados <strong>de</strong>scritos en el cuadro 7, el número <strong>de</strong> estudiantes<br />
<strong>de</strong>l curso 901, que contestó correctamente la mayoría <strong>de</strong> los ítems no superó el<br />
50%, con excepción <strong>de</strong> las preguntas número 9 y número 6.<br />
Con respecto a la temática planteada en el ítem 9, no po<strong>de</strong>mos confirmar el éxito<br />
<strong>de</strong> la actual propuesta ya que como se dijo antes, el profesor encargado <strong>de</strong>l área<br />
<strong>de</strong> matemáticas en este curso, hizo especial énfasis a lo largo <strong>de</strong> todo el primer<br />
semestre <strong>de</strong>l año escolar, en la operabilidad <strong>de</strong> expresiones que involucraran<br />
potencias, razón por la cual se les facilita pasar <strong>de</strong> la representación algebraica <strong>de</strong><br />
la función exponencial, a la representación tabular.<br />
195
Algo similar ocurre con la pregunta número 9, Item, en el cual se pedía a los<br />
estudiantes pasaran <strong>de</strong> la representación tabular, a la representación cartesiana,<br />
temática que el profesor encargado <strong>de</strong>l curso 902, trató también, con gran énfasis,<br />
a lo largo <strong>de</strong>l primer semestre <strong>de</strong>l año escolar.<br />
No se pue<strong>de</strong> dudar, sin embargo <strong>de</strong>l éxito <strong>de</strong> la presente propuesta ya que:<br />
Los resultados arrojados a lo largo <strong>de</strong>l año escolar, en los que se ha<br />
<strong>de</strong>sarrollado un método tradicional, muestran que el número <strong>de</strong> estudiantes<br />
<strong>de</strong>l curso 901, que alcanzaron sin mayores complicaciones los logros<br />
propuestos nunca fue superior a 5. Condición que como se pue<strong>de</strong> ver se<br />
superó en cada uno <strong>de</strong> los ítems en un altísimo porcentaje, aún, en la<br />
pregunta 9.<br />
Los resultados arrojados a lo largo <strong>de</strong>l año escolar, en los que se ha<br />
<strong>de</strong>sarrollado un método tradicional, muestran que el número <strong>de</strong> estudiantes<br />
que alcanzaron los logros propuesto sin mayores complicaciones, en el<br />
curso 902, no ha sido superior a 7. Condición que como se pue<strong>de</strong> observar,<br />
continúa siendo la característica <strong>de</strong>l grupo, salvo los resultados obtenidos<br />
en las preguntas 2 y 3, que con lo ocurrido, en la pregunta 4, 5, y 6, pone<br />
en duda el cambio <strong>de</strong> esta condición.<br />
196
Con respecto a las preguntas <strong>de</strong> potenciación, no se pue<strong>de</strong> afirmar que los<br />
resultados se encuentren ligados con la aplicación <strong>de</strong> esta propuesta, ya<br />
que el profesor a cargo <strong>de</strong>l curso 901, hizo énfasis en esta temática, a lo<br />
largo <strong>de</strong>l primer semestre <strong>de</strong>l año escolar.<br />
De acuerdo con lo anterior, se pue<strong>de</strong> afirmar entonces, el éxito <strong>de</strong> la actual<br />
propuesta, máxime si se tiene en cuenta, que su aplicación se realizó en el<br />
segundo semestre <strong>de</strong>l año escolar. Periodo, para el cual, y hasta el fin <strong>de</strong>l año<br />
escolar están programados gran cantidad <strong>de</strong> eventos y activida<strong>de</strong>s en el plantel:<br />
día <strong>de</strong> la familia, festival <strong>de</strong> verano en el parque Simón Bolivar, con la participación<br />
activa <strong>de</strong> los chicos en danzas y teatro, festival <strong>de</strong> danzas <strong>de</strong> la localidad, finales<br />
<strong>de</strong>l campeonatos <strong>de</strong>portivo, <strong>de</strong>sfile el 7 <strong>de</strong> Agosto, día <strong>de</strong>l amor y la amistad,<br />
semana cultural, etc. Eventos, cuya organización y preparación, obligan a cortar<br />
las sesiones <strong>de</strong> clase, incluso por una semana, lo que implica, que los profesores<br />
y estudiantes, con el cansancio lógico que estas activida<strong>de</strong>s traen consigo,<br />
retomen al cabo <strong>de</strong> tres, cuatro y hasta ocho días, las temáticas en cada área.<br />
Es también un factor <strong>de</strong>terminante, para tener en cuenta, en el momento <strong>de</strong><br />
establecer, la efectividad <strong>de</strong> esta unidad didáctica, el hecho <strong>de</strong> que son<br />
precisamente los cursos NOVENOS Y DECIMOS, los que se “pelean” el último<br />
lugar en cuanto a rendimiento académico y hábitos <strong>de</strong> estudio.<br />
197
7. CONCLUSIONES.<br />
Puesta en funcionamiento la unidad didáctica con el curso 901, y comparado con<br />
el trabajo <strong>de</strong>l grupo <strong>de</strong> referencia (curso 902), pue<strong>de</strong> afirmarse que efectivamente,<br />
el presente trabajo, se constituyó para el grupo experimental en una herramienta<br />
útil, para la enseñanza y el aprendizaje <strong>de</strong> la función exponencial.<br />
Esta afirmación, encuentra sustento en:<br />
El número <strong>de</strong> estudiantes, que alcanzaron los logros propuestos, en cada<br />
una <strong>de</strong> las temáticas <strong>de</strong> la presente unidad didáctica, se triplicó.<br />
El comparativo entre los estudiantes <strong>de</strong> los dos grupos, es también un<br />
sustento <strong>de</strong> la anterior afirmación.<br />
<strong>La</strong> actitud, <strong>de</strong> los estudiantes hacia la clase <strong>de</strong> matemáticas, mejoró en un<br />
100%.<br />
198
RECOMENDACIONES<br />
Lo observado por la autora, a través <strong>de</strong> su <strong>de</strong>sempeño, como profesora <strong>de</strong><br />
Matemáticas y Física, le permiten sugerir la importancia <strong>de</strong> realizar un estudio<br />
a<strong>de</strong>cuado sobre otros temas <strong>de</strong> la Matemática, que como, el <strong>de</strong> propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la<br />
potenciación, es <strong>de</strong> bastante aplicabilidad, en muchas otras temáticas <strong>de</strong> la<br />
Matemática, y cuyo aprendizaje y comprensión, en la mayoría <strong>de</strong> los casos, es <strong>de</strong><br />
gran dificultad.<br />
Así mismo, un estudio a<strong>de</strong>cuado sobre la función logarítmica, sería un necesario<br />
complemento <strong>de</strong>l presente trabajo.<br />
Sin embargo, la experiencia como actual estudiante <strong>de</strong> una <strong>de</strong> las universida<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> esta ciudad y como docente en Matemáticas y Física por varios años,<br />
sustentan la afirmación <strong>de</strong> la autora al consi<strong>de</strong>rar, que este trabajo o cualquier otro<br />
que sobre algún tema <strong>de</strong> la matemática se realice, alcanzará su mejor resultado,<br />
solo si el obrero, el ama <strong>de</strong> casa, el estudiante y sobre todo los que alguna vez,<br />
se a<strong>de</strong>ntran en el mundo <strong>de</strong> la matemática (llámese profesor o matemático puro),<br />
se impongan como tarea, el <strong>de</strong>spojarla, <strong>de</strong> la falsa investidura <strong>de</strong> ciencia asequible<br />
o comprensible, solo para seres cuyo coeficiente <strong>de</strong> inteligencia, es superior al<br />
normal.<br />
199
No es errado afirmar, entonces, que un gran complemento, <strong>de</strong> este trabajo<br />
a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> a<strong>de</strong>cuarlo a las necesida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los estudiantes, es el que los<br />
profesores <strong>de</strong> Matemáticas, a<strong>de</strong>más, <strong>de</strong> realizar procesos <strong>de</strong> investigación en el<br />
aula, se impongan como tarea el <strong>de</strong>spojarse <strong>de</strong> las apariencias que los muestran<br />
ante los <strong>de</strong>más, como seres superdotados y dueños <strong>de</strong> una verdad absoluta, y<br />
reconozcan que son personas normales con facilida<strong>de</strong>s para las matemáticas,<br />
pero <strong>de</strong> pronto, con muchas dificulta<strong>de</strong>s en el aprendizaje <strong>de</strong> otras áreas <strong>de</strong>l<br />
conocimiento.<br />
Sólo <strong>de</strong> esta manera, se superará, el mayor <strong>de</strong> los obstáculos –tal vez el más<br />
importante- en la enseñanza y aprendizaje <strong>de</strong> la matemática: “la aversión que<br />
generación tras generación presentan la mayoría <strong>de</strong> los individuos hacia su<br />
aprendizaje”.<br />
200
BIBLIOGRAFIA<br />
AUSUBEL, David. Teoría <strong>de</strong>l Aprendizaje Significativo. Fascículos <strong>de</strong> CEIF.<br />
<strong>Universidad</strong> <strong>de</strong> Río Gran<strong>de</strong> do Sul Sao Paulo. 1993<br />
AUSUBEL, David. Psicología Educativa. Un punto <strong>de</strong> Vista Cognoscitivo. México.<br />
Editorial Trillas. 1982.<br />
CALLEJO. M a Luz. <strong>La</strong> Enseñanza <strong>de</strong> las Matemáticas. Etapa 12 – 16 Años.<br />
Madrid. Narcea S:A <strong>de</strong> Ediciones.<br />
CASTELNUOVO. Emma. Didáctica <strong>de</strong> la Matemática Mo<strong>de</strong>rna. México. Editorial<br />
Trillas. 2001<br />
DIENES, Zoplan. <strong>La</strong>s Seis Etapas <strong>de</strong>l Aprendizaje en Matemáticas. Barcelona.<br />
Ed. Tei<strong>de</strong>.<br />
FREUDENTHAL. H. Revista <strong>de</strong> Educación Matemática. Kluwer Aca<strong>de</strong>mia<br />
Publishers. 1991<br />
GARCIA, Rolando. <strong>La</strong> epistemología Genética y la Ciencia Contemporánea.<br />
Homenaje a Jean Piaget en su Centenario. Barcelona. Editorial Gedisa. 1997.<br />
201
GOMEZ, Joan. De la Enseñanza al Aprendizaje <strong>de</strong> las Matemáticas. Ed. Síntesis.<br />
Barcelona. 1990.<br />
JULIAO, Clara S. Manual <strong>de</strong> Proyectos. Asociación Colombiana para el Avance <strong>de</strong><br />
la Ciencia.<br />
JULIAO, Clara S. Proyectos en el Aula. Asociación Colombiana para el Avance <strong>de</strong><br />
la Ciencia<br />
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Resolución 2343<br />
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Serie Guías No. 5. Planes <strong>de</strong><br />
Mejoramiento. Colombia. Ipsa. 2004.<br />
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Serie Lineamientos Curriculares<br />
Matemáticas. 1998.<br />
MUÑOZ, José M. HERNANDEZ, J Darío. Precálculo. <strong>Universidad</strong> Nacional <strong>de</strong><br />
Colombia. 2ª. Edición 1992<br />
OTEIZA, Fi<strong>de</strong>l. Una Aplicación <strong>de</strong> la Inteligencia Artificial a la Mediación <strong>de</strong>l<br />
Aprendizaje In<strong>de</strong>pendiente. Barcelona. Ed. Tei<strong>de</strong>. 1997.<br />
202
SABINO, Carlos A. El Proceso <strong>de</strong> Investigación. El Cid Editor<br />
SHELL CENTRE. El lenguaje <strong>de</strong> Funciones y Gráficas. Ministerio <strong>de</strong> Educación y<br />
Ciencia. Nottingham. Servicio Editorial universidad <strong>de</strong>l País Vasco. 1990<br />
SOCIEDAD COLOMBIANA DE MATEMÁTICAS. Lecturas Matemáticas. Volumen<br />
I y II. Número 1 y 3. Comité Editorial. 2003<br />
STEINER, Jhon. Teoría <strong>de</strong> la Enseñanza <strong>de</strong> las Matemáticas. México. Ediciones<br />
Públicas. 1987.<br />
SELLTIZ, JAHODA, DEUTTSCHT COOK. Métodos <strong>de</strong> Investigación en las<br />
Relaciones Sociales. Madrid. Editorial<br />
203
ANEXO A<br />
PRUEBA DE DIAGNOSTICO<br />
COLEGIO GUSTAVO ADOLFO BECQUER<br />
AREA DE MATEMATICAS<br />
PRUEBA DE DIAGNOSTICO PARA EL ESTUDIO DE LA FUNCION EXPONENCIAL<br />
NOMBRE ________________________________________GRADO ______<br />
PREGUNTA TIPO I<br />
Selección Falso Verda<strong>de</strong>ro<br />
PREGUNTA F V<br />
1. <strong>La</strong> <strong>de</strong>terminación por extensión <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> los números enteros Z<br />
es: Z = {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}<br />
2. 3X3X3X3X3X3 = 3 6*<br />
3. Si tenemos la expresión 3 6 , entonces 6 toma el nombre <strong>de</strong><br />
exponente<br />
4. Si tenemos la expresión 3 6 = 729 entonces 3 toma el nombre <strong>de</strong><br />
potencia<br />
5. Si x = 0 en la siguiente expresión entonces a x = 1 para todo a є R-{0}<br />
6. Si x є Z - (conjunto <strong>de</strong> los enteros negativos), entonces a -x = 1/a x a є<br />
R - {0}<br />
7. x m/n = (x 1/n ) m = n √a m con m,n є Z + , x є R (Toda potencia <strong>de</strong> base x y<br />
exponente fraccionario, m/n, con n ≠ 0, es igual a la raíz cuyo índice<br />
es el <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong>l exponente fraccionario y cuya cantidad<br />
204
subradical es la potencia <strong>de</strong> base x, y exponente igual al numerador<br />
<strong>de</strong>l fraccionario)<br />
8. x m /x n = x m + n , x ≠ 0, x є R, m,n є Q (El cociente <strong>de</strong> dos potencias con<br />
bases iguales, es igual a la base elevada a la suma <strong>de</strong> los<br />
exponentes)<br />
9. (x m )(x n ) = x m-n , x є R, m,n є Q (El producto <strong>de</strong> dos potencias con<br />
bases iguales, es igual a la base elevada a la diferencia <strong>de</strong> sus<br />
exponentes)<br />
10. (x m ) n = x m n , x є R, m,n є Q (<strong>La</strong> potencia <strong>de</strong> una potencia, es igual, a la<br />
base elevada al producto <strong>de</strong> los exponentes)<br />
11. x n /y n = (x/y) n , x, y є R, m,n є Q (El cociente <strong>de</strong> dos potencias <strong>de</strong><br />
diferente base e igual exponente, es igual al cociente <strong>de</strong> las bases<br />
elevadas al exponente<br />
PREGUNTA TIPO II<br />
Selección múltiple con dos o más respuestas<br />
Responda las preguntas 12 – 16 <strong>de</strong> acuerdo con la siguiente información<br />
Si se tiene<br />
Entonces<br />
205
12. A y B son conjuntos disyuntos porque:<br />
a. AUB= {1,0,-1,2,3}<br />
b. A∩B = φ<br />
c. A∩B = { φ }<br />
d. A y B no tienen elementos comunes<br />
e. Ninguna <strong>de</strong> las anteriores<br />
13. El producto cartesiano AXB <strong>de</strong> los conjuntos A y B en el anterior diagrama<br />
es un nuevo conjunto que:<br />
a. Está formado por todas las parejas or<strong>de</strong>nadas que se puedan formar<br />
con un elemento <strong>de</strong>l conjunto A y un elemento <strong>de</strong>l conjunto B.<br />
b. Está formado por todas las parejas or<strong>de</strong>nadas, que se pue<strong>de</strong>n formar<br />
cuya primera componente pertenece al conjunto A y la segunda<br />
componente pertenece al conjunto B<br />
c. Está formado por todas las parejas or<strong>de</strong>nadas, que se pue<strong>de</strong>n formar<br />
cuya primera componente pertenece al conjunto B y la segunda<br />
componente pertenece al conjunto A<br />
d. <strong>La</strong>s primeras componentes <strong>de</strong> las parejas or<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong>l producto<br />
cartesiano AXB pertenecen al conjunto <strong>de</strong> los N<br />
14. R: A → B = { (1,3) , (0,2) , (-1,2)} es:<br />
a. <strong>La</strong> <strong>de</strong>terminación por extensión <strong>de</strong> la función f <strong>de</strong> A en B<br />
b. Una <strong>de</strong> las representaciones <strong>de</strong> la función f <strong>de</strong> A en B<br />
c. <strong>La</strong> <strong>de</strong>terminación por extensión <strong>de</strong> la función f <strong>de</strong> A en B<br />
d. <strong>La</strong> <strong>de</strong>terminación por extensión <strong>de</strong> la unión <strong>de</strong>l conjunto A con el<br />
conjunto B (AUB)<br />
15. El número 0.175 es un número racional porque:<br />
a. Todo número que presente cifras <strong>de</strong>cimales es un número racional<br />
b. Se pue<strong>de</strong> expresar en la forma p/q con p, q Є Z y q ≠ 0<br />
c. Se pue<strong>de</strong> expresar en la forma p/q con p, q Є N y q ≠ 0<br />
d. Se pue<strong>de</strong> expresar <strong>de</strong> la forma p/q con p, q Є Q y q ≠ 0<br />
16. Si 80,2) es una pareja or<strong>de</strong>nada, entonces se cumple que:<br />
a. El primer elemento pertenece al conjunto B y el segundo al conjunto A<br />
b. El primer elemento pertenece al conjunto A y el segundo al conjunto B<br />
c. A es el primer conjunto y B es el segundo Conjunto<br />
d. (0,2) =(2,0)<br />
206
PREGUNTA TIPO III<br />
Selección Falso, Verda<strong>de</strong>ro o No sé<br />
Responda las preguntas 17-20 <strong>de</strong> acuerdo con la información que le proporciona<br />
la siguiente figura<br />
.<br />
Pregunta F V No Sé<br />
17. <strong>La</strong> figura es una <strong>de</strong> las representaciones <strong>de</strong> una relación<br />
no funcional.<br />
18. El dominio es el conjunto <strong>de</strong> los reales positivos (R + )<br />
19. <strong>La</strong> figura representa una relación funcional, cuyo recorrido<br />
es el conjunto <strong>de</strong> los números reales positivos (R + )<br />
20. <strong>La</strong> figura representa una parábola cuyo eje <strong>de</strong> simetría<br />
está dado, por la coor<strong>de</strong>nada x <strong>de</strong>l vértice<br />
207
ANEXO B<br />
PRUEBA DE VERIFICACION<br />
COLEGIO GUSTAVO ADOLFO BECQUER<br />
AREA DE MATEMATICAS<br />
PRUEBA FINAL SOBRE FUNCION EXPONENCIAL<br />
NOMBRE _________________________________________ GRADO _________<br />
PREGUNTA TIPO I<br />
Selección múltiple con única repuesta<br />
1. Dada la expresión f(x) = ( √ 2 ) x –1 se tiene que:<br />
a. f (x) es la variable in<strong>de</strong>pendiente<br />
b. x es la variable <strong>de</strong>pendiente<br />
c. ( √ 2 ) x –1 es el argumento <strong>de</strong> la función<br />
d. ( √ 2 ) es el exponente <strong>de</strong> la base<br />
e. Ninguna <strong>de</strong> las anteriores<br />
2. Dada la expresión, f(x) = -e x , entonces<br />
a. <strong>La</strong> base <strong>de</strong> f(x) es un valor cualquiera real<br />
b. <strong>La</strong> base <strong>de</strong> f(x) es un valor cualquiera pero irracional<br />
c. F(x) es la función exponencial racional<br />
d. f(x) es llamada la función exponencial natural<br />
e. Ninguna <strong>de</strong> las anteriores<br />
208
PREGUNTA TIPO II<br />
Selección Falso, Verda<strong>de</strong>ro o No sé<br />
PREGUNTA F V No sé<br />
3. <strong>La</strong> expresión f(x) = 1+2 x , representa una función<br />
exponencial<br />
4. <strong>La</strong> expresión f(x) = (-3) x , representa una función<br />
exponencial<br />
5. <strong>La</strong> expresión f(x) = b x , don<strong>de</strong> b = 1, representa una<br />
función exponencial<br />
PREGUNTA TIPO IV<br />
Pregunta Abierta<br />
Responda las preguntas 6 a 10 en el espacio asignado para ello.<br />
6. Si se tiene f(x) = b x , y b es<br />
positiva y mayor que uno,<br />
entonces la gráfica es <strong>de</strong> la<br />
forma:<br />
(Realice la gráfica pedida en el<br />
plano cartesiano dado)<br />
209
7.<br />
El dominio <strong>de</strong> la función<br />
representada en la figura es:<br />
___________________________<br />
8. Dada la<br />
representación tabular<br />
x<br />
⎛ 1 ⎞<br />
<strong>de</strong> f ( x)<br />
= ⎜ ⎟ halle su<br />
⎝ 2 ⎠<br />
representación<br />
cartesiana<br />
x f(x)<br />
-3 8<br />
-2 4<br />
-1 2<br />
-0 1<br />
1 0.5<br />
2 0.25<br />
3 0.125<br />
210
9.<br />
Dada f(x) = -2 x ,<br />
complete su<br />
representación<br />
tabular<br />
x -3 -2 -1 0 1 2 3<br />
f(x)<br />
10. El espesor <strong>de</strong> una hoja <strong>de</strong> papel es 0.004 mm, ¿Cuál es el espesor <strong>de</strong> la<br />
pila <strong>de</strong> papel que resulta?<br />
___________________________________________________________<br />
211
ANEXO C<br />
PROPUESTAS DIDACTICAS SOBRE LA FUNCION EXPONENCIAL<br />
<strong>La</strong> dificultad que se presenta en no pocas personas para construir pensamiento<br />
matemático, ha <strong>de</strong>spertado el interés <strong>de</strong> matemáticos y pedagogos, que en su<br />
afán por dar respuesta a las carencias y a las dificulta<strong>de</strong>s que ha <strong>de</strong>jado la<br />
educación tradicional, han diseñado diversas didácticas, entre las que se cuentan<br />
gran diversidad <strong>de</strong> software, estudios, tratados, artículos, etc que abarca diversos<br />
aspectos o temas <strong>de</strong> la matemática.<br />
En el campo <strong>de</strong> la función exponencial y logarítmica hay numerosos softwares<br />
Software para el reforzamiento <strong>de</strong> habilida<strong>de</strong>s algorítmicas.<br />
Consiste en un software lúdico que es posible utilizar en la adquisición <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>strezas y habilida<strong>de</strong>s algorítmicas. Pero, por el alto grado <strong>de</strong> abstracción y gran<br />
<strong>de</strong>sarrollo lúdico, es fácil para el alumno per<strong>de</strong>r el objetivo <strong>de</strong> enseñanza, lo que<br />
hace necesario utilizarlo a través <strong>de</strong> activida<strong>de</strong>s guiadas o simplemente como<br />
<strong>de</strong>mostración, a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> que su idioma es el inglés 27 .<br />
27 (Rick Parris, Phillips Exeter. Aca<strong>de</strong>my Mathematics Department . Exeter, NH 03833<br />
212
Son también varios los tratamientos, que acerca <strong>de</strong> la función exponencial y se<br />
han hecho, mediante la utilización <strong>de</strong> ví<strong>de</strong>os<br />
Potencias <strong>de</strong> 10 (8 min)<br />
A partir <strong>de</strong> un metro hace sucesivas ampliaciones en potencias <strong>de</strong> 10 y<br />
reducciones en sentido contrario. Es útil para compren<strong>de</strong>r el crecimiento<br />
exponencial. Viene acompañado <strong>de</strong> un folleto como documentación<br />
complementaria. 28<br />
Potencias <strong>de</strong> exponente negativo (60 min.)<br />
Utiliza la imagen <strong>de</strong> or<strong>de</strong>nador para revisar contenidos sobre las potencias con<br />
base y/o exponente negativos, las operaciones entre ellas y las potencias <strong>de</strong><br />
exponente 0 y 1. Pue<strong>de</strong> ser útil para repaso o recuperación <strong>de</strong> estos contenidos. 29<br />
<strong>La</strong> función exponencial<br />
Es útil en la <strong>de</strong>terminación <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la función exponencial, mediante<br />
la observación <strong>de</strong> sus gráficas, menciona casos concretos en los que aparecen<br />
28<br />
(Editorial Pyramid 1992.)<br />
29<br />
(Sistemas <strong>de</strong> Pedagogía Aplicada, S. A.)<br />
213
funciones exponenciales y <strong>de</strong>dica los últimos minutos a las ecuaciones<br />
exponenciales. (Molina Valiente, Rafael)<br />
En cuanto a los libros <strong>de</strong> texto, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>stacar entre otros:<br />
Desafíos. Matemáticas 9..<br />
Dedica la sexta unidad a la función exponencial y a la función logarítmica. Parte<br />
<strong>de</strong> una situación concreta, para llegar al concepto <strong>de</strong> función exponencial. No<br />
se <strong>de</strong>tiene a examinar sus características y restricciones.<br />
Dedica parte <strong>de</strong> la primera unidad a la potenciación como una <strong>de</strong> las operaciones<br />
en los reales.<br />
Algebra <strong>de</strong> Baldor.<br />
El Algebra <strong>de</strong> Baldor, aunque cuenta con varias décadas <strong>de</strong> haber sido escrito,<br />
continúa siendo uno <strong>de</strong> los textos guías en la enseñanza y aprendizaje <strong>de</strong> los<br />
temas que allí se tratan.<br />
Dedica un capítulo <strong>de</strong> un total <strong>de</strong> 39 a la función exponencial, olvidando tratar su<br />
comportamiento y restricciones. Sin embargo cuenta con algunas características,<br />
214
entre las cuales po<strong>de</strong>mos mencionar, su presentación y el lenguaje y método, que<br />
hace que su contenido sea <strong>de</strong> mejor comprensión para el alumno, no en vano es<br />
llamado "<strong>La</strong> cartilla <strong>de</strong> Baldor".<br />
215