Anexos Undécimo - Coned
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CIRCUNFERENCIA<br />
TEORÍA<br />
PROPIEDADES – PROBLEMAS RESUELTOS<br />
ABRAHAM GARCÍA ROCA<br />
agarciar@correo.ulima.edu.pe
CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico<br />
de un conjunto de infinitos puntos que<br />
equidistan de un punto situado en el centro.
Cuerda PQ<br />
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA<br />
Flecha o<br />
sagita<br />
Diámetro<br />
( AB )<br />
P<br />
<br />
A B<br />
Punto de tangencia<br />
<br />
Radio<br />
Centro<br />
T<br />
<br />
Q<br />
<br />
Recta<br />
secante<br />
Arco BQ<br />
Recta<br />
tangente
PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA<br />
01.-Radio trazado al punto de tangencia es<br />
perpendicular a la recta tangente.<br />
R L
02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda<br />
la biseca (divide en dos segmentos congruentes).<br />
P<br />
R PQ <br />
PM <br />
MQ<br />
Q
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes<br />
entre las paralelas.<br />
A B<br />
<br />
C D<br />
Si : AB // CD mAC <br />
mBD
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia<br />
les corresponden arcos congruentes.<br />
B<br />
A<br />
Cuerdas congruentes<br />
Arcos congruentes<br />
Las cuerdas<br />
equidistan del<br />
centro<br />
Si : AB CD CD<br />
mAB <br />
mCD<br />
C<br />
D
POSICIONES RELATIVAS DE DOS<br />
CIRCUNFERENCIAS<br />
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.<br />
r<br />
d = Cero ; d : distancia
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.<br />
R r<br />
Distancia entre<br />
los centros (d)<br />
d > R + r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un<br />
punto común que es la de tangencia.<br />
R r<br />
Distancia entre<br />
los centros (d)<br />
d = R + r<br />
Punto de tangencia
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un<br />
punto en común que es la de tangencia.<br />
d = R - r<br />
d<br />
R<br />
r<br />
Punto de<br />
tangencia<br />
d: Distancia entre los centros
05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes<br />
que son las intersecciones.<br />
Distancia entre<br />
los centros (d)<br />
( R – r ) < d < ( R + r )
06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son<br />
perpendiculares en el punto de intersección.<br />
Distancia entre<br />
los centros (d)<br />
d2 = R2 + r2 d2 = R2 + r2
06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.<br />
d < R - r<br />
d<br />
d: Distancia entre los centros
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES<br />
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede<br />
trazar dos rayos tangentes que determinan dos<br />
segmentos congruentes.<br />
R<br />
R<br />
A<br />
B<br />
<br />
<br />
AP = PB<br />
P
2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes<br />
R<br />
R<br />
A<br />
C<br />
AB = CD<br />
B<br />
r<br />
r<br />
D
3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.<br />
R<br />
R<br />
A<br />
C<br />
AB = CD<br />
B<br />
D<br />
r<br />
r
TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma<br />
de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa<br />
mas el doble del inradio.<br />
a<br />
r<br />
Inradio<br />
a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )<br />
b<br />
R R<br />
c<br />
Circunradio
TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una<br />
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados<br />
opuestos son iguales.<br />
a<br />
b<br />
d<br />
c<br />
a + c = b + d<br />
Cuadrilátero circunscrito
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la<br />
medida del arco que se opone.<br />
C<br />
r<br />
<br />
r<br />
= mAB<br />
A<br />
B
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la<br />
semisuma de las medidas de los arcos<br />
opuestos<br />
A<br />
B<br />
<br />
D<br />
mAB <br />
mCD<br />
<br />
<br />
2<br />
C
3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida<br />
del arco opuesto.<br />
C<br />
<br />
<br />
<br />
A<br />
mAB<br />
2<br />
B
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida<br />
del arco opuesto.<br />
C<br />
<br />
<br />
B<br />
<br />
mAB<br />
2<br />
A
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de<br />
la medida del arco ABC.<br />
C<br />
<br />
<br />
A<br />
2<br />
B<br />
mABC
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:<br />
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es<br />
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos<br />
opuestos.<br />
C<br />
B<br />
A<br />
mACB - mAB<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
O<br />
+ mAB = 180°
.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la<br />
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.<br />
B<br />
A<br />
<br />
<br />
C<br />
D<br />
<br />
mAB - mCD<br />
2<br />
O
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra<br />
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los<br />
arcos opuestos.<br />
A<br />
<br />
<br />
B<br />
mAB<br />
C<br />
-<br />
2<br />
<br />
mBC<br />
O
S<br />
Q<br />
X<br />
70º+x<br />
140°<br />
2X<br />
R<br />
Problema Nº 01<br />
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se<br />
trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS<br />
mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la<br />
medida del ángulo PSQ.<br />
RESOLUCIÓN<br />
PSQ = x<br />
Se traza la cuerda SQ<br />
50°<br />
Por ángulo semi-inscrito PQS<br />
P<br />
mPQS <br />
Reemplazando:<br />
140º<br />
2x<br />
mPQS 70º<br />
x<br />
2<br />
En el triángulo PQS:<br />
X + (X+70) + 50° = 180°<br />
Resolviendo la ecuación:<br />
X = 30°<br />
mQRS<br />
2
RESOLUCIÓN<br />
70°<br />
20°<br />
R<br />
Q<br />
Problema Nº 02<br />
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se<br />
trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco<br />
QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular<br />
a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR.<br />
S<br />
PSQ = x<br />
En el triángulo rectángulo RHS<br />
m S = 70º<br />
Por ángulo inscrito<br />
mQR<br />
70º mQR = 140°<br />
2<br />
140° Es propiedad, que:<br />
X<br />
P<br />
140° + X = 180°<br />
Resolviendo:<br />
X = 40°
130°<br />
RESOLUCIÓN<br />
APD = x<br />
A<br />
D<br />
C<br />
Problema Nº 03<br />
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se<br />
trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC<br />
y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida<br />
del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.<br />
B<br />
50°<br />
Medida del ángulo interior<br />
130<br />
mBC<br />
90<br />
2<br />
x<br />
Medida del ángulo exterior<br />
P<br />
130<br />
50<br />
X <br />
2<br />
Resolviendo:<br />
X = 40°<br />
mBC = 50°
A<br />
54°<br />
N<br />
x<br />
Problema Nº 04<br />
En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga<br />
hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo<br />
secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al<br />
radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mAPN.<br />
RESOLUCIÓN<br />
o<br />
M<br />
APN = x<br />
x<br />
B<br />
x<br />
P<br />
Resolviendo:<br />
Se traza el radio OM:<br />
Dato: OM(radio) = PM<br />
Luego triángulo PMO es isósceles<br />
Ángulo central igual al arco<br />
Medida del ángulo exterior<br />
X<br />
<br />
54<br />
<br />
2<br />
X = 18°<br />
X
A<br />
P<br />
B<br />
70°<br />
110°<br />
x<br />
R<br />
Q<br />
Problema Nº 05<br />
En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia<br />
tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,<br />
“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide<br />
70º. Calcule la mPRQ.<br />
RESOLUCIÓN<br />
PRQ = x<br />
Por la propiedad del ángulo exterior<br />
formado por dos tangentes:<br />
C<br />
70° + mPQ = 180° mPQ = 110°<br />
Medida del ángulo inscrito:<br />
X<br />
<br />
110<br />
2<br />
Resolviendo:<br />
X = 55°
Problema Nº 06<br />
Calcule la medida del ángulo “X”.<br />
70°<br />
B<br />
A<br />
X P<br />
Resolución
RESOLUCIÓN<br />
C<br />
70°<br />
Medida del ángulo inscrito:<br />
B<br />
A<br />
Por la propiedad del ángulo exterior<br />
formado por dos tangentes:<br />
140º<br />
X P<br />
mAB<br />
70º mAB=140º<br />
2<br />
140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º
Problema Nº 07<br />
Calcular la medida del ángulo “x”<br />
B<br />
A<br />
130º<br />
X P<br />
Resolución
260º<br />
B<br />
A<br />
130º C<br />
Medida del ángulo inscrito:<br />
En la circunferencia:<br />
Por la propiedad del ángulo exterior<br />
formado por dos tangentes:<br />
RESOLUCIÓN<br />
X P<br />
mAB<br />
130º mAB = 260º<br />
2<br />
260º + mACB = 360º<br />
mACB + x = 100º<br />
mACB = 100º<br />
X = 80º
A<br />
B<br />
Problema Nº 08<br />
Calcule el perímetro del triángulo ABC.<br />
2<br />
5 5<br />
C<br />
Resolución
RESOLUCIÓN<br />
A<br />
B<br />
a<br />
2 b<br />
5 5<br />
Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)<br />
a + b = 14 (1)<br />
Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10<br />
Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10<br />
C<br />
(2)<br />
(2p) = 24
PLANTEAMIENTO<br />
a<br />
S<br />
Q<br />
a<br />
Problema Nº 09<br />
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia<br />
se trazan la tangente PQ y la secante PRS de<br />
modo que los arcos SQ y SR sean congruentes.<br />
Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR .<br />
80º<br />
R<br />
X<br />
P<br />
Resolución
RESOLUCIÓN<br />
a<br />
S<br />
Q<br />
a<br />
80º<br />
R<br />
2a + 80º = 360º<br />
a = 140º<br />
Medida del ángulo exterior:<br />
X a<br />
80º<br />
140º 80º<br />
<br />
2 2<br />
X<br />
En la circunferencia:<br />
X = 30º<br />
P
Problema Nº 10<br />
En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza<br />
la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y<br />
PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el<br />
perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la<br />
longitud de PR<br />
PLANTEAMIENTO<br />
P<br />
3<br />
Q<br />
2<br />
S<br />
R<br />
Resolución
RESOLUCIÓN<br />
Dato:<br />
a + b + c + d = 22cm<br />
Teorema de Poncelet:<br />
PQR a + b = PR+2(3)<br />
PSR c + d = PR+2(2)<br />
a +b + c + d = 2PR + 10<br />
P<br />
22 = 2PR + 10<br />
a<br />
+<br />
d<br />
3<br />
Q<br />
2<br />
S<br />
PR = 6cm<br />
b<br />
c<br />
R