TREBALL I ENERGIA

TREBALL I ENERGIA
BLOC 2
Els escaladors s’han d’esforçar molt per pujar per les parets rocoses. Com podem quantifi car el
treball que fan des del punt de vista de la física?
Què passa amb el treball que fa l’escalador per arribar a una altura determinada si es deixa
d’agafar a la roca i cau durant un cert tram abans que la corda l’aturi i li eviti la caiguda?
5
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 173 15/11/11 08:04

174 BLOC 2. DINÀMICA
5
F f
F
Fig. 5.1. L’actor Buster Keaton estira un
cotxe amb una corda. Tant la força que ell
aplica al cotxe mitjançant la corda, com la
força de fregament dinàmic del terra sobre
el cotxe realitzen treball.
j 5.1 Treball
Fins ara hem estudiat el moviment relacionant totes les magnituds amb el temps. En
aquesta unitat estudiarem el moviment relacionant les magnituds amb la posició
mitjan çant la dependència F-x, i defi nirem els conceptes de treball i energia que simplifi
quen la resolució de problemes de la dinàmica.
En el llenguatge quotidià, anomenem treball moltes classes diferents de tasques que
comporten un esforç físic o intel . lectual; en cada cas, la paraula té connotacions diferents.
Però en física associem el concepte de treball només a aquelles situacions en què
hi ha forces aplicades sobre un cos en moviment. Per exemple, fem treball físic quan
aixequem un cos a una certa altura o quan l’arrosseguem al llarg d’un camí o, fi ns i tot,
quan el deformem, però no en fem quan aguantem una maleta mentre esperem l’arribada
de l’autobús (situació en què evidentment fem un esforç muscular i ens cansem, però
això no signifi ca que fem un treball des del punt de vista de la física).
Es diu que una força realitza treball físic quan actua en la direcció del recorregut d’un
cos en moviment. És a dir, quan la força té un component no nul en la direcció del
desplaçament del cos (fi g. 5.1).
Al treball físic només contribueix la part de la força que té la direcció del desplaçament
del cos sobre el qual actua. Així, la força aplicada sobre el cos de la fi gura 5.2 es divideix
en dos components: un (Fx) en la direcció del desplaçament del cos i que realitza
treball, i l’altre (Fy) perpendicular a la direcció del desplaçament, que junt amb
la normal, compensa la força pes, i que no realitza treball perquè actua en una direcció
en què no hi ha desplaçament.
Matemàticament, l’expressem així:
Fig. 5.2. Només realitza treball el component de la força que té la
direcció del desplaçament.
Defi D finim
el treball (W) fet per una força que actua sobre un cos que es desplaça
com el producte de la força en la direcció del desplaçament per aquest desplaçament.
W 5 F D x cos a 5 F x D x
on F és el mòdul de la força aplicada, D x és el mòdul del vector desplaçament i a és
l’angle que formen els vectors força i desplaçament.
La unitat de treball en el SI és el joule (J), que es defi neix com el treball realitzat per
una força d’un newton (1 N) quan el seu punt d’aplicació es desplaça un metre (1 m) al
llarg de la seva línia d’acció: 1 J 5 1 N ? 1 m.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 174 15/11/11 08:04

El treball és una magnitud escalar. El seu valor pot ser positiu, negatiu o nul:
TREBALL I ENERGIA
j Si 0 # a , 90°, el treball és positiu ja que cos a . 0 i l’anomenem treball motor
o motriu (fi g. 5.3).
j Si 90° # a , 180°, el treball és negatiu ja que cos a , 0 i l’anomenem treball
resistent o resistiu (fi g. 5.4).
j Si a 5 90°, el treball és nul, ja que cos 90° 5 0 (fi g. 5.5).
D’acord amb la defi nició de treball, les condicions necessàries per realitzar un treball són:
j Que una força actuï sobre un cos.
j Que el cos es mogui.
j Que la direcció del moviment del cos no sigui perpendicular a la força.
En el cas que sobre un cos actuï més d’una força, el treball total que es realitza és la
suma dels treballs realitzats per cada una de les forces (fi g. 5.6):
W 5 o i
F i D x cos a i 5 o i
F ix D x
Fig. 5.3. El cos es mou cap a la dreta i la força
F té un component en
el mateix sentit que el del moviment del cos.
Fig. 5.4. El cos es mou cap a la dreta i la força
F té un component en
sentit oposat al del moviment del cos, tendeix a frenar-lo.
Fig. 5.5. El cos es mou cap a la dreta i la força
F no té cap component
en la direcció del moviment del cos.
5 175
Sabies que...?
El concepte de treball és molt útil
en l’estudi de màquines simples
com la politja, el pla inclinat, el
torn diferencial, el cargol, etc.
Aquestes màquines canvien les
direccions i els mòduls de les forces
però sempre es compleix que
el treball motriu compensa el treball
resistiu, a excepció de les pèrdues
per fregament.
Fig. 5.6. Si el cos es mou en el sentit positiu
de l’eix X, per calcular el treball
total descomponem totes les forces sobre
el cos en components en les direccions X
i Y. El treball resultant és el producte de
o F x per D x.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 175 15/11/11 08:04

176 BLOC 2. DINÀMICA
5
Exemple 1
CCalculeu
el treball que realitza un professor amb la seva
cartera de 10 kg, si:
a) L’aguanta 3 min mentre espera el tren.
b) L’aixeca 50 cm verticalment a velocitat constant.
Resolució
a)
F i p són les forces aplicades damunt la cartera
(fig. 5.7).
En no haver-hi desplaçament, Dx 5 0, el treball fet
és nul.
W 5 FDx cos a 5 0
VVolem
moure una rentadora per una superfície plana i
ho ritzontal, i fem una força de 500 N en la direcció horitzontal.
Si entre la rentadora i el terra actua una força
de fregament de 150 N i la volem desplaçar 10 m,
cal culeu:
a) El treball que realitza cadascuna de les forces que
actuen sobre la rentadora.
b) El treball total.
Resolució
F
p
Exemple 2
Primer fem un esquema de totes les forces que actuen
damunt la rentadora (fi g. 5.9).
Fig. 5.7. La força aplicada s’oposa al pes
i no hi ha desplaçament.
Fig. 5.9. Forces que actuen damunt la rentadora.
b) Com que el professor puja la cartera a velocitat cons-
tant, l’única força que fa és oposada al pes d’aquesta
(
F 1 p 5 0); per tant:
F 5 p 5 mg 5 10 kg ? 9,8 m/s 2 5 98 N
Aquesta força F té direcció
vertical i sentit cap amunt.
Com que el desplaçament
també és en la direcció vertical
Y i sentit cap amunt,
l’angle que forma amb la força
F és de 0° (fi g. 5.8). El
treball que realitza el professor
en pujar la cartera és:
W 5 FDy cos a 5
5 98 N ? 0,5 m ? cos 0° 5
5 49 J
a) Les forces que actuen, com veiem en la fi gura 5.9,
són el pes p, la normal
N, la força
F1 de 500 N i la
força de fregament
Ff de 150 N.
Fixem-nos que el pes i la normal no realitzen treball,
perquè són perpendiculars al moviment. És a
dir, l’angle que formen amb el desplaçament és de
270° i 90° respectivament. Així, cos 270° 5 0, i
cos 90° 5 0, i W 5 0.
El treball que realitza la força F1 (la persona que
empeny la rentadora) és:
W 1 5 F 1 Dx cos a 5 500 N ?10 m ? cos 0° 5 5 000 J
Aquí a 5 0°, ja que la força i el desplaçament tenen
la mateixa direcció i sentit.
El treball realitzat per la força de fregament és:
Wf 5 Ff Dx cos a 5
5 150 N ?10 m ? cos 180° 5 21 500 J
on a 5 180° (els sentits de F f i de Dx són contraris).
b) Trobem el treball total sumant els treballs realitzats
per cadascuna de les forces.
W T 5 W 1 1 W f 5 5 000 1 (21 500) 5 3 500 J
Fig. 5.8. La força aplicada
s’oposa al pes i té
la direcció i el sentit del
desplaçament.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 176 15/11/11 08:04

Exemple 3
VVolem
traslladar un cos de 25 kg de massa una distància
de 15 m per una superfície horitzontal mitjançant una
corda que forma un angle de 30° amb la superfície. Tibem
la corda amb una força de 75 N. El coefi cient de
fregament entre el cos i el pla és de 0,2. Calculeu:
a) El treball que realitza cada una de les forces que actuen
sobre el cos.
b) El treball total. Comproveu que és igual al treball
que realitza la força resultant.
Resolució
Primer fem un esquema de totes les forces que actuen
damunt del cos (fi g. 5.10).
Com que el pes és més gran que F1y, només tenim moviment
en la direcció X.
Fig. 5.10. Forces que
actuen sobre el cos.
a) Les forces que hi actuen són el pes ( p), la força normal
(
N), la força
F1 de 75 N i la força de fregament (
Ff). Fixem-nos que, a l’hora de calcular els diferents treballs,
i tenint en compte que el desplaçament és horitzontal
i cap a la dreta, cal saber distingir en tot
moment entre l’angle que forma la força
F1 amb el desplaçament
(30º, en aquesta situació), i els angles que
formen la resta de forces amb el desplaçament (90º, en
el cas de N; 270º, en el cas de p; i 180º, en el cas de
Ff). El pes i la normal no realitzen treball, perquè són
perpendiculars al moviment. És a dir, els angles que
formen amb el desplaçament són de 270° i 90°.
Així, cos 270° 5 cos 90° 5 0, i W 5 0.
El treball que fa la força F1 (la persona que tiba la
corda) és:
W1 5 F1 Dx cos a 5
5 75 N ?15 m ? cos 30° 5 974,28 J
Aquesta força es divideix en dos components F 1x i
F 1y. El component F 1x, que actua en la direcció i sentit
del desplaçament, és el que fa el treball. El component
perpendicular al desplaçament, F 1y, no fa
TREBALL I ENERGIA
5 177
treball, però sí que infl ueix en el treball de fregament;
l’hem de tenir en compte a l’hora de calcular
aquest treball.
Per trobar el treball de la força de fregament, calculem
prèviament quant val la força de fregament: Ff 5 mN.
El coefi cient de fregament és una dada del problema,
però hem de calcular la força normal. Com ja
hem dit (fi g. 5.10), a l’eix vertical no hi ha moviment
(a 5 0) i, per tant, la suma de totes les forces
que hi actuen ha de ser zero.
N 1 F 1y 2 p 5 0
N 5 p 2 F 1y 5 mg 2 F 1 sin 30° 5
5 25 kg ? 9,8 m/s 2 2 75 N ? sin 30° 5 207,5 N
Un cop tenim la força normal, ja podem calcular la
força de fregament:
F f 5 mN 5 0,2 ? 207,5 N 5 41,5 N
I ara, el treball de la força de fregament:
W f 5 F f Dx cos a 5 41,5 N ?15 m ? cos 180° 5
5 2622,5 J
El resultat és negatiu perquè la força de fregament
i el desplaçament del cos tenen sentits contraris.
b) Trobem el treball total sumant els treballs de totes
les forces que en realitzen.
W T 5 W 1 1 W f 5 974,3 1 (2622,5) 5 351,78 J
Per comprovar que el treball total és igual al treball
que realitza la força resultant de totes les forces que
actuen sobre el cos, calculem quant val aquesta força:
j En l’eix vertical: o F y 5 N 1 F 1y 2 p 5 0, ja que
no hi ha acceleració.
j En l’eix horitzontal en la direcció i sentit del moviment
del cos:
o F x 5 F 1x 2 F f 5 F 1 cos 30° 2 F f 5
5 75 ? cos 30° 2 41,5 5 23,45 N
Hi apliquem la defi nició de treball:
W 5 FDx cos a 5 23,45 N ?15 m ? cos 0° 5
5 351,78 J
Aquest resultat coincideix amb el que hem trobat
anteriorment; podem dir, doncs, que el treball
total és el treball de la força resultant.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 177 15/11/11 08:04

178 BLOC 2. DINÀMICA
5
Activitats
1> Justifi queu en quines de les situacions següents
es realitza treball i en quines no:
a) Empenyem un moble molt pesat sense aconseguir
moure’l.
b) Aguantem una bossa plena de menjar a la cua
del supermercat sense que la cua avanci.
c) Un jugador de bàsquet llança la pilota a la
cistella.
d) Donem corda a una joguina mecànica.
e) Aguantem una maleta mentre ens desplacem
horitzontalment.
f) Aguantem una maleta mentre pugem per unes
escales.
2> Un objecte es desplaça 10 m quan hi actua una
força de 20 N. Calculeu el treball realitzat sobre
l’objecte quan la força:
a) Té el mateix sentit que el desplaçament de
l’objecte.
b) Té sentit contrari al desplaçament de l’objecte.
c) És perpendicular al desplaçament de l’objecte.
R: a) 200 J; b) 2200 J; c) 0
3> Volem moure un armari de massa 100 kg. Si la
força de fregament amb el terra és de 250 N:
a) Quina és la força mínima que cal fer per moure’l?
b) Amb quina acceleració es mourà si apliquem
una força horitzontal constant de 300 N?
c) Quin és el treball resultant durant els 10 s
inicials en el cas b)?
R: a) 250 N; b) 0,5 m/s 2 ; c) 1 250 J
4> Volem moure un trineu per una pista de gel horitzontal
amb velocitat constant, i apliquem una
força de 40 N que forma un angle de 35º amb
l’horitzontal.
A. Interpretació gràfi ca del treball.
Diagrames F-x
a) Quin és el treball efectuat per la força aplicada
quan el trineu es desplaça 10 m?
b) Quina és la força de fregament efectuada per
la pista sobre el trineu?
c) Quant val el coefi cient de fregament si la
massa del trineu val 30 kg?
d) Quin treball net s’ha efectuat sobre el trineu?
R: a) 328 J; b) 32,8 N; c) 0,12; d) 0
5> Un bloc de fusta de 7,5 kg de massa baixa per un
pla inclinat (a 5 37º) des d’una altura de 4 m. Si
el pla inclinat té un coefi cient de fregament de
0,18, determineu el treball realitzat pel pes del
cos, pels components tangencial i normal del pes
i per la força de fregament.
R: 294 J; 294 J; 0; 270,23 J
6> Una grua ha de pujar un automòbil avariat de
1 250 kg de massa fi ns a la seva plataforma, a
1,75 m d’altura respecte del terra, mitjançant uns
rails que formen un cert angle amb l’horitzontal i
que presenten un coefi cient de fregament dinàmic
o cinètic de 0,35. Quina força mínima ha de
fer el motor elevador de la grua i quin treball
efectua si l’angle és de 20º? I si l’angle és de 30º?
A quina conclusió arribem? Per què creieu que
són útils els plans inclinats?
R: 8,22 ? 10 3 N, 4,21 ? 10 4 J; 9,84 ? 10 3 N,
3,44 ? 10 4 J
La representació gràfi ca de la força en funció del desplaçament de la partícula ens dóna
informació del treball realitzat per aquesta força.
Per fer això, hem de conèixer com varia la força aplicada en funció de la posició del cos,
i per això representem en l’eix d’abscisses la posició del cos i en l’eix d’orde nades, la
força aplicada.
Analitzem alguns casos suposant que en tots la trajectòria de la partícula és una recta,
és a dir, que segueix un moviment rectilini.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 178 15/11/11 08:04

La força és constant
TREBALL I ENERGIA
La força actua damunt del cos que es desplaça seguint una trajectòria rectilínia (fi g. 5.11).
Representem en l’eix d’abscisses la posició del cos i en l’eix d’ordenades, el mòdul del
component de la força en el sentit del moviment (fi g. 5.12).
Si calculem l’àrea ombrejada en el gràfi c:
Àrea 5 F cos a D x
veiem que correspon al treball realitzat per la força en desplaçar el cos des de la posició
1 fi ns a la posició 2.
La força varia linealment amb la distància
Considerem un cos de massa m unit a una molla de constant recuperadora k. Ja sabem
que si apliquem una força externa F sobre el cos, aquest estira la molla i la deforma
proporcionalment (fi g. 5.13) d’acord amb la llei de Hooke: F 5 k D x.
Representem el valor de la força F aplicada sobre la molla en l’eix d’ordenades i els
allargaments de la molla en l’eix d’abscisses X (fig. 5.14), amb l’origen d’X a la posició
d’equilibri (x 0 5 0). Tenim:
F 5 k D x 5 kx
Fig. 5.12. Calculant l’àrea ombrejada obtenim el treball.
Fig. 5.13. La força externa F s’oposa a la força elàstica
i provoca una deformació de la molla.
Fig. 5.11
N
F y
p
a
5 179
D x
F
F x
Fig. 5.14. Si calculem l’àrea ombrejada,
obtenim el treball fet per la força F aplicada
a la molla.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 179 15/11/11 08:04

180 BLOC 2. DINÀMICA
5
Fixa-t’hi
Si la posició d’equilibri de la molla
no coincideix amb l’origen de
coordenades x0 Þ 0, l’expressió
del treball és:
1
W 5 — k (Dx) 2
2
Si la molla s’estén en la direcció Y
en comptes de fer-ho en la direcció
X, les expres sions corresponents
són:
1
F 5 k D y i W 5 — k (Dy) 2
2
Exemple 4
El treball fet per la força F, com hem vist, coincideix amb l’àrea que comprèn aquesta
figura, que és un triangle de base x, i altura kx. Per tant, el treball realitzat per la força
externa F en allargar la molla des de la posició x 0 5 0 fins a la posició x val:
x(kx)
W 5 ———
2
La força és variable no lineal
1
W 5 — kx 2
2
És el cas més general. Per calcular el treball, cal conèixer com varia la força aplicada en
funció de la posició del cos. Aleshores, representem en l’eix d’abscisses la posició i
en l’eix d’ordenades, la força (fig. 5.15), i a continuació calculem l’àrea delimitada per
la funció F (x) i l’eix X. Per fer-ho, utilitzem el mateix raonament d’unitats anteriors:
Prenem petits intervals de desplaçament de manera que el valor de la força hi és aproximadament
constant. En la figura 5.15 n’hi ha representat un. L’àrea associada a cada
interval és la d’un rectangle de costats D x i i F i, l’àrea del qual és F i D x i.
L’àrea total que cal calcular és la suma d’un nombre n d’aquests petits rectangles. Aquesta
suma d’àrees serà aproximadament l’àrea total, és a dir, el treball realitzat per la força
aplicada al cos quan aquest es desplaça de la
posició inicial x0 a la posició fi nal xf. La suposició feta que la força es manté constant
només és vàlida si aquests rectangles tenen
una base sufi cientment petita, la qual cosa
s’aconsegueix dividint el desplaçament total
en molts intervals i passant al límit. Matemàticament
s’expressa com:
W 5 n lim `
n
o Wi 5 lim
i 5 1 n `
Sobre S una partícula actua una força variable donada per
una molla: F 5 6x, on x ve expressada en centímetres
i F en newtons. Calculeu el treball que realitza quan
la partícula es desplaça des de la posició x0 5 0 fi ns a la
posició x 5 20 cm.
Resolució
Com que la força varia segons la posició de la partícula,
ho podem resoldre a partir de la representació gràfi ca F-x.
Construïm una taula de valors (taula 5.1):
x (cm) 0 5 10 15 20
F (N) 0 30 60 90 120
Taula 5.1
n
o Fi D xi i 5 1
Fig. 5.15. Si calculem l’àrea total ombrejada
obtenim el treball total. Ho fem dividint-la
en petits rectangles.
En fem la representació gràfi ca (fi g. 5.16), i tal com
hem vist, l’àrea ombrejada és el treball desenvolupat
per aquesta força variable.
6
6
Fig. 5.16
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 180 15/11/11 08:04

Per trobar el treball, expressem la posició en metres.
F D x 120 ? 0,2
Àrea 5 W 5 ——— 5 ———— 5 12 J
2 2
També podem calcular aquest treball amb l’expressió
1
W 5 — kx 2 obtinguda anteriorment.
2
Activitats
7> Un cos de massa m està unit a una molla que compleix
la llei de Hooke, segons la funció F 5 8 x, en
unitats del SI. Calculeu el treball necessari per
deformar- la 10 cm.
R: 0,04 J
8> Estirem una molla fi ns a una longitud determinada
x9 des de la seva posició d’equilibri. Com serà
el treball W9 que haurem de realitzar, respecte del
que hauríem de realitzar (W) per estirar la molla
una longitud x quatre vegades més gran que x9?
9> Una partícula de 9 g de massa inicialment en repòs
a l’origen de coordenades es posa en moviment
en l’eix X quan hi actua una força neta F x
que ve donada pel gràfi c següent (fi g. 5.17).
j 5.2 Potència
TREBALL I ENERGIA
Considerem dues grues que eleven un mateix nombre de sacs de ciment a una mateixa
altura i que una ho fa en un minut i l’altra, en tres minuts. Les dues grues realitzen
el mateix treball però no aprofi ten el temps de la mateixa manera per desenvolupar-lo.
Si ens interessa valorar la rapidesa amb què es pot realitzar un treball, hem de defi nir
una nova magnitud, la potència:
La L ppotència
és el treball realitzat per unitat de temps.
5 181
De l’expressió de la força variable F 5 6 x, podem veure
per comparació amb la llei de Hooke que k 5 6 N/cm, i
passant-ho a unitats del SI, i substituint els valors en
l’expressió del treball, tenim:
1
W 5 — ? 600 ? 0,2 2 5 12 J
2
que coincideix amb el treball trobat calculant l’àrea.
Determineu el treball realitzat sobre la partícula
quan es desplaça entre les posicions x 5 0,
x 5 20 cm, i entre x 5 20 cm, x 5 50 cm.
R: 3 J; 22 J
La potència és una magnitud escalar. La seva unitat en el SI és el watt (W), de manera
que 1 watt és la potència desenvolupada quan es realitza un treball d’un joule durant
un segon: 1 W 5 1 J/1 s
Fig. 5.17
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 181 15/11/11 08:04

182 BLOC 2. DINÀMICA
5
Recorda
Un múltiple del watt que fem servir
sovint és el quilowatt:
1 kW 5 103 W
Recorda
La definició de velocitat instantània
per a un moviment rectilini
és:
D x
vi 5 lim —— 5 lim vm D t 0 D t D t 0
on v m és la velocitat mitjana.
Important
Una altra unitat de potència utilitzada
és el cavall de vapor (CV):
1 CV 5 735 W
A. Potència mitjana
La L ppotència
mitjana, Pm, és el quocient entre el treball realitzat (D W) i l’interval
de temps fi nit (D t) durant el qual s’ha realitzat aquest treball:
B. Potència instantània
Pot ser que la potència variï en cada instant de temps, perquè el treball no es realitzi
de manera uniforme. Aleshores, defi nim la potència instantània de la mateixa manera
que vam defi nir la velocitat i l’acceleració instantànies.
Matemàticament, equival a calcular el límit de la potència mitjana quan D t tendeix a
zero:
D W
P 5 D t lim 0 ——
D t
Considerem el cas en què el desplaçament del cos és rectilini i té la mateixa direcció i
sentit que la força. Si tenim en compte l’expressió del treball i suposem que el vector
força és constant per a un interval de temps molt petit, resulta:
D W F ?Dx D x
——— 5 F ? lim —— 5 F ? v
D t D t D t 0 D t
P 5 lim —— 5 lim
D t 0
D t 0
És a dir, en un instant, la potència és igual al producte de la força aplicada per la velocitat
instantània.
Si un cos es mou seguint un moviment rectilini uniforme, en coincidir la velocitat mitjana
i la instantània, la potència mitjana i la instantània coincideixen.
D W
D’altra banda, de la relació P 5 ——, podem escriure el treball com:
D t
D W 5 PDt
Per tant, és freqüent donar les unitats de treball en kWh.
El quilowatt hora (kWh) correspon al treball realitzat durant 1 h del funcionament d’una
màquina de potència 1 kW.
1 kWh 5 1 kW ?1 h
Si ho expressem en unitats del SI,
D W
P m 5 ——
D t
La L ppotència
instantània és el quocient entre el treball desenvolupat en un interval
de temps D t molt petit, que s’apropi a zero, i aquest interval de temps.
10 3 W 3 600 s 1 J
1 kWh ? ——— ?——— ?——— 5 3 600 000 J 5 3,6 ?10 6 J
1 kW 1 h 1 W ? s
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 182 15/11/11 08:04

C. Rendiment
TREBALL I ENERGIA
Si el treball realitzat per unitat de temps el desenvolupa un aparell accionat, per exemple,
per un motor, tenim la mesura de la potència que pot desenvolupar i l’anomenem
potència consumida (Pc). Aquesta és una dada que els aparells indiquen.
Hem de tenir en compte, però, que en el funcionament de tots els aparells hi ha un cert
fregament entre les parts mòbils i les fixes, i això fa que el treball motor realitzat per
unitat de temps en realitat sigui menor que la potència consumida. La diferència entre la
potència consumida i la potència perduda pel fregament s’anomena potència útil (Pu). Defi D finim
el rendiment d’un aparell, h, com la relació entre la potència útil i la
potència consumida:
Pu h 5 ——
Pc També el podem expressar en tant per cent (%).
Exemple 5
UUna
grua aixeca 600 kg de totxos a 20 m d’altura en 30 s.
Calculeu:
a) El treball que fa si els puja a velocitat constant.
b) La potència.
c) El rendiment, si la potència consumida pel motor de
la grua és de 14 CV.
Resolució
Primer fem un esquema on dibuixem totes les forces que
actuen damunt dels totxos (fi g. 5.18).
Fig. 5.18
a) Si puja amb velocitat constant, l’acceleració és zero.
Per la segona llei de Newton, o
i
Fi 5 0, i per tant, la força
F feta per la grua ha de ser igual al pes dels totxos.
F 5 p 5 mg 5 600 kg ? 9,8 m/s2 5 5 880 N
Si la trajectòria és rectilínia, la força F i el desplaçament
D y 5 20 m tenen la mateixa direcció i sentit.
Per tant, tenim que cos a 5 cos 0° 5 1. El treball és:
W 5 FDy cos a 5 5 880 kg ? 20 m ? cos 0° 5
5 1,176 ? 105 J
5 183
b) La potència és:
D W 1,176 ? 105 Pm 5 —— 5 ————— 5 3 920 W
D t 30
En aquest cas, coincideixen la potència instantània i
la mitjana, perquè la velocitat és constant, com podem
comprovar amb l’expressió P 5 F ? v. En efecte,
si calculem la velocitat amb l’expressió del MRU:
x 5 x0 1 vDt (amb x0 5 0 i t0 5 0)
x 20 m
Obtenim v 5 — 5 ——— 5 0,66 m/s
t 30 s
Si ho substituïm en l’expressió P 5 F ? v, trobem fi -
nalment:
P 5 5 880 N ? 0,66 m/s 5 3 920 W
Veiem que la potència mitjana coincideix amb la potència
instantània, com volíem demostrar.
c) El motor de la grua desenvolupa una potència superior,
ja que, a més del treball realitzat sobre els totxos,
fa un treball addicional per vèncer els fregaments.
Passem la potència calculada en l’apartat anterior a
cavalls de vapor, ja que la potència del motor està en
aquesta unitat:
1 CV
3 920 W ? ———— 5 5,33 CV
735 W
I en calculem el rendiment:
Pu 5,33
h 5 —— 5 ——— 5 0,3807
Pc 14
El rendiment és del 38 %.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 183 15/11/11 08:04

184 BLOC 2. DINÀMICA
5
Exemple 6
Fig. 5.19
Activitats
10> Calculeu el treball en quilowatts hora i la potència
en quilowatts desenvolupats per un carretó
elevador en aixecar 500 kg de totxos i col . locarlos
a una altura de 20 m en un temps de 30 s. Com
varia el resultat si els col . loca de cop o si els va
col . 1
locant, en el mateix temps total, en grups de
250 kg?
R: 0,027 kWh, 3,3 kW
11> Un motor elèctric desenvolupa una potència mitjana
de 2,5 CV. Si desenvolupa una potència d’1,2 kW,
quin és el rendiment d’aquest motor?
R: 0,65 (o 65 %)
12> Una màquina de 8 CV funciona durant una hora i
mitja. Quin treball ha desenvolupat? Doneu el resultat
en joules i en quilowatts hora.
R: 3,17 ? 107 J 5 8,82 kWh
13> Un ascensor de 1 600 kg puja des de la planta baixa
d’un edifi ci fi ns al tercer pis, a 9 m d’altura.
Arrenca des del repòs de manera que, durant els
primers 1,1 s, es mou amb moviment uniforme-
Quina potència hem de desenvolupar per arrossegar un cos de massa 100 kg a una
velocitat constant de 15 m/s damunt d’una superfície horitzontal, si el coefi cient de
fregament entre el cos i la superfície és de 0,15?
Resolució
Primer fem un esquema on dibuixem totes les forces que actuen damunt del cos
(fi g. 5.19).
Si el cos s’ha d’arrossegar a velocitat constant, la força resultant ha de ser nul . la.
o i
Fi 5 0
F1 1
Ff 5 0
F1 5 2
Ff en mòdul: F1 5 Ff F1 és la força que s’ha de desenvolupar per contrarestar la força de fregament.
Calculem prèviament la força de fregament.
F f 5 m N 5 m p 5 m mg 5 0,15 ?100 ? 9,8 5 147 N 5 F 1
Calculem la potència; coneixem la força i la velocitat:
P 5 F 1 v 5 147 N ?15 m/s 5 2 205 W
Hem de desenvolupar una potència de 2 205 W.
ment accelerat i assoleix l’altura d’1,15 m. Continua
amb velocitat constant i, en arribar a l’altura
de 7,85 m, frena durant 1,1 s fi ns a aturar-se al
tercer pis. Determineu els treballs i les potències
desenvolupats pel motor de l’ascensor en els tres
trams del seu recorregut.
R: 2,15 ? 10 4 J, 1,96 ? 10 4 W; 1,05 ? 10 5 J,
3,28 ? 10 4 W; 1,45 ? 10 4 J, 1,32 ? 10 4 W
14> Una bomba eleva 10 m 3 d’aigua a una altura de
30 m en un temps de 7 minuts i mig. Calculeu la
potència de la bomba i el seu rendiment si ha
consumit una potència total de 10 kW.
R: 6,53 kW, 65 %
15> En uns grans magatzems, una cinta transportadora
de 35 m de llarg puja 20 persones de massa
total 1 450 kg des de la planta baixa fi ns a la
primera planta, a 6 m d’altura, amb una velocitat
de 0,25 m/s. Determineu el rendiment del motor
de la cinta si aquest ha consumit una potència
d’1,56 CV per pujar les 20 persones.
R: 53 %
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 184 15/11/11 08:04

j 5.3 Energia
TREBALL I ENERGIA
El concepte d’energia és un dels conceptes físics més importants, no només des del
punt de vista cientifi cotècnic, sinó també en economia i política, i és un dels temes
dels quals es parla diàriament en els mitjans de comunicació.
Nosaltres utilitzem sovint aquest concepte gràcies als avenços científi cs i tecnològics,
que han fet possible que fem ús de molts aparells i que utilitzem les diferents fonts
d’energia. Recordem una sèrie d’accions que realitzem diàriament: agafem l’ascensor
per pujar o baixar, posem carburant al cotxe o a la moto, posem piles a la càmera per
fer fotografi es, podem córrer, jugar, i fi ns i tot dormir. Per a tot això ens és necessària
l’energia.
Tots aquests exemples evidencien que el concepte d’energia és molt ampli, però en
aquesta unitat únicament ens ocuparem de l’energia que tenen les partícules, o cossos
puntuals, com hem fet al llarg de totes les unitats anteriors.
Una manera de defi nir l’energia podria ser la següent: la capacitat que tenen les partícules
per realitzar una transformació. Per tant, aquesta energia no es posa en evidència
fi ns que s’ha realitzat aquesta transformació com, per exemple, quan posem en marxa el
cotxe, o bé quan comencem a córrer o caminar.
Si aquesta transformació es pot expressar en termes de força i desplaçament, el seu
resultat és un treball. Llavors, podem associar l’energia amb el treball que hem estudiat
anteriorment i podem quantifi car-la.
D’aquesta manera, podem dir que realitzar un treball implica la transformació o la transmissió
d’energia de l’agent que el realitza. La gasolina transmet l’energia al motor perquè
aquest pugui fer moure el cotxe i realitzar un treball, i el nostre organisme ens
subministra l’energia necessària per poder-nos moure.
L’energia L’en és la capacitat que té un cos per realitzar treball.
Com que l’energia s’identifi ca amb el treball, les unitats d’energia i de treball són les
mateixes, o sigui, en el SI, el joule (J).
Aquesta capacitat de realitzar treball pot ser deguda a diverses causes, i això ens permet
parlar de formes d’energia diferents.
En aquesta unitat estudiarem les dues formes bàsiques de quantifi car l’energia: l’energia
cinètica i l’energia potencial.
j 5.4 Energia cinètica
Ja sabem que, d’acord amb la primera llei de Newton, un cos amb moviment rectilini uniforme
(MRU) es mou indefi nidament i a la mateixa velocitat (en mòdul i direcció) sense
necessitat de fer cap acció sobre ell, és a dir, sense aplicar-li cap força. Anàlogament, un
cos en repòs continua indefi nidament en aquest estat a no ser que se li apliqui una força.
Ara bé, si volem modifi car el mòdul de la velocitat d’un cos, haurem d’aplicar-hi una
força en la direcció del seu desplaçament i, per tant, haurem de fer un treball sobre ell.
En conseqüència, és lògic pensar que un cos en moviment té una energia determinada,
que anomenarem energia cinètica. El fet que tingui aquesta energia li permet moure’s
Més dades
5 185
Un dels grans reptes que hi ha
actualment és el de trobar noves
fonts d’energia i potenciar les
energies renovables.
Vocabulari
La paraula cinètica prové del grec
kinesis, que significa moviment.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 185 15/11/11 08:04

186 BLOC 2. DINÀMICA
5
indefi nidament amb un MRU. D’altra banda, el cos ha pogut adquirir la seva velocitat
partint del repòs gràcies a una força aplicada, és a dir, a un treball fet sobre ell. Recordem
que els conceptes d’energia i treball són equivalents.
L’energia L’en cinètica, que representem amb Ec, és l’energia que té un cos pel sol
fet d’estar en moviment.
D’acord amb aquesta defi nició, un cos en repòs no té energia cinètica perquè no està en
moviment; la seva velocitat és nul . la.
Per trobar l’expressió de l’energia cinètica d’un cos amb una velocitat determinada, la
identifi quem amb el treball necessari perquè aquest cos adquireixi aquesta velocitat
partint del repòs: Ec 5 W.
Ara calculem aquest treball:
Considerem un cos inicialment en repòs i de massa m (fi g. 5.20). Si li apliquem una força
constant
F (que, per simplicitat, considerarem en la direcció X i en sentit positiu), el
cos adquireix una acceleració a constant segons la segona llei de Newton:
F 5 m ? a
Fig. 5.20. Els vectors força i desplaçament tenen la mateixa direcció
i sentit. Per tant, l’angle a que formen és de 0°, i el treball
val: W 5 F D x cos 0° 5 F D x
La velocitat v i el desplaçament D x del cos van augmentant d’acord amb les expressions
del moviment rectilini uniformement accelerat; com que el cos parteix del repòs (v0 5 0),
tenim:
1
D x 5 — a (D t) 2
2
v 5 a D t
Substituïm aquestes expressions en l’expressió del treball, tenint en compte que l’angle
que formen F i D x és nul (cos 0° 5 1):
1 1 1
E c 5 W 5 F D x cos a 5 ma — a (D t) 2 ? 1 5 — m (a D t) 2 5 — mv 2
2 2 2
Per tant, l’expressió que mesura l’energia cinètica d’un cos de massa m que es mou a
una velocitat de mòdul v és:
1
E c 5 — mv 2
2
Es pot comprovar, amb l’equació de dimensions de l’expressió anterior, que la unitat de
l’energia cinètica en el SI és el joule (J).
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 186 15/11/11 08:04

Exemple 7
DDes
de dalt d’un pla inclinat de 15 m de longitud que
forma un angle de 30° amb l’horitzontal, es deixa caure
lliscant un cos de 5 kg de massa. Si no hi ha fregament
entre el cos i la superfície del pla, calculeu la velocitat
amb què el cos arriba a baix del pla.
Resolució
Aquest exemple es pot resoldre de diverses maneres. En
unitats anteriors, l’hem resolt aplicant les lleis de Newton;
ara ho farem aplicant el concepte d’energia cinètica
i treball.
Prèviament, fem un esquema on representem totes les
forces que actuen damunt del cos (fi g. 5.21). Prenem
l’eix Y perpendicular al pla i l’eix X en la direcció del
moviment del cos.
Fig. 5.21
A. Teorema del treball i de l’energia cinètica
TREBALL I ENERGIA
Perquè el mòdul de la velocitat d’una partícula canviï, augmentant o disminuint i, per
tant, també ho faci la seva energia cinètica, cal que una força actuï sobre la partícula.
Fixem-nos en la fi gura 5.22.
Damunt d’aquest bloc que es mou inicialment a una velocitat v 0 actua una força constant
F. Quan s’ha desplaçat Dx, la velocitat del bloc ha augmentat fi ns a v.
Tot seguit veurem que el treball realitzat per la força s’utilitza en incrementar l’energia
cinètica del bloc.
Com que la força
F és constant, l’acceleració que proporciona al bloc també ho és; per
tant, si apliquem la segona llei de Newton:
F 5 m a
El bloc segueix un moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA). Sabem que
l’equació que relaciona la velocitat i la posició en el MRUA és:
v 2 2 v 0 2 5 2a Dx
5 187
Fixem-nos que, en un pla inclinat,
N i p y no fan treball,
perquè són perpendiculars al desplaçament, i l’única
força que realitza el treball i proporciona energia cinètica
és p x.
Calculem l’energia cinètica del cos produïda pel treball
rea litzat per la força px, que li fa adquirir la velocitat
amb què arriba a baix del pla partint del repòs.
En la fi gura 5.21 veiem que:
p x 5 mg sin 30°
D’altra banda, el treball realitzat per aquesta força és:
W 5 p x Dx 5 mg sin 30°Dx
Podem igualar l’energia cinètica adquirida amb el treball,
E c 5 W. Aleshores tenim que:
1
mg sin 30°Dx 5 — mv 2
2
D’aquí podem concloure que la velocitat no depèn de la
massa del cos, ja que aquesta s’anul . la en cada membre
de la igualtat.
Si aïllem la velocitat:
v 5 Îãã 2 g ããsinãã30°ãã Dãã x 5
5 Îã2 ?ãã9,8 ããã m/s2ãã? sin ããã30° ããã15 ? mãã 5 12,12 m/s
x 0
v 0
F F
D x
Fig. 5.22. La força que actua damunt del
cos en fa variar la velocitat.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 187 15/11/11 08:04
x
v

188 BLOC 2. DINÀMICA
5
Fixa-t’hi
Si el treball és positiu (W . 0),
l’energia cinètica de la partícula
augmenta (D E c . 0) i, si és
negatiu (W , 0), l’energia cinètica
de la partícula disminueix
(D E c , 0).
Exemple 8
QQuina
força han de fer els frens d’un cotxe de massa
1 000 kg per tal que s’aturi en 40 m, si circula a una velocitat
de 100 km/h?
Resolució
L’única força que intervé per aturar el cotxe és la força
F
que han de proporcionar els frens del cotxe (fi g. 5.23).
Fig. 5.23. Forces que actuen damunt del cotxe.
Tota l’energia cinètica que porta el cotxe ha de ser equivalent
al treball fet per aquesta força per aturar-lo en
40 m.
Busquem el treball realitzat per aquesta força: W 5 FDx cos O° 5 F D x
Substituïm la força en funció de l’acceleració: W 5 maDx
v2 2
2 v 0
De l’equació que relaciona la velocitat i la posició obtenim: ————— 5 a D x
2
v 2 2
2 v 0
Substituïm en el treball: W 5 m 1 ——————2 2
1 1 1
W 5 — m (v 2 2 v 0 2 ) 5 — mv 2 2 — mv0 2 5 Ecf 2 E c0 5 D E c
2 2 2
1 1
sent E c0 5 — mv 0 2 l’energia cinètica inicial i Ecf 5 — mv 2 , l’energia cinètica fi nal.
2 2
Per tant:
W 5 DE c
Aquest A resultat és vàlid sempre, no només en el cas d’una força constant, i constitueix
l’enunciat del teorema del treball i de l’energia cinètica, que diu que
el treball realitzat per la força resultant que actua damunt d’un cos s’inverteix en
modifi car la seva energia cinètica.
Prèviament, passem les unitats de velocitat a unitats
del SI:
10 3 m 1 h
100 km/h ? ——— ? ———— 5 27,78 m/s
1 km 3 600 s
Apliquem el teorema del treball i de l’energia cinètica:
W 5 DE c
L’energia cinètica que porta el cotxe quan circula a
100 km/h val:
1 1
Ec0 5 — mv2 5 — ?1 000 kg ? (27,78 m/s) 2 5
2 2
5 3,86 ? 105 J
Ecf 5 0
W 5 Ecf 2 Ec0 5 F D x 5 F D x
Fixem-nos que l’angle entre els vectors força i desplaçament
és de 180° perquè la força s’oposa al moviment.
Coneixem el vector desplaçament, que són 40 m. Si
aïllem la força:
E cf 2 E c0 0 2 385 802 J
F 5 ————— 5 ———————— 5 29 645 N
Dx 40 m
Aquesta és la força que han de fer els frens del cotxe per
aturar-lo. És negativa perquè s’oposa al moviment.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 188 15/11/11 08:04

Exemple 9
TREBALL I ENERGIA
Un U cotxe que circula a una certa velocitat té una energia cinètica de 63 000 J.
Per la zona on està circulant fa molt de vent, i això fa que disminueixi la seva
energia cinètica fi ns a 24 000 J.
a) Quin treball ha realitzat el vent?
b) Discutiu el signe d’aquest treball.
Resolució
a) Apliquem el teorema del treball i de l’energia cinètica:
W 5 DEc 5 Ecf 2 Eci W 5 24 000 J 2 63 000 J 5 239 000 J
És el treball que fa el vent i provoca la disminució de l’energia cinètica.
b) Observem que el cotxe ha perdut energia a causa del vent, ja que aquest
fa una força en sentit contrari al moviment del cotxe; el treball té signe
negatiu.
Exemple 10
Volem V clavar un clau en un tauló de fusta. Aquest clau,
que té 5 cm de llargada i 50 g de massa, entra dins del
tau ló a una velocitat inicial de 5 m/s i s’hi clava totalment.
Calculeu la força mitjana que fa la fusta sobre el
clau.
Resolució
Representem totes les forces que actuen sobre el clau en
la fi gura 5.24.
Hem de passar totes les dades a unitats del SI:
j m 5 50 g 5 0,05 kg
j Dx 5 5 cm 5 0,05 m. Correspon a la longitud del
clau, que coincideix amb el desplaçament que ha de
fer el clau dins del tauló de fusta.
Fig. 5.24. Forces sobre el clau.
5 189
A la fi gura observem que la força
F1 és la força inicial que
fem amb el martell i
F2 és la força mitjana que fa el tauló
de fusta, que és la que volem calcular. La força
F1 és la
que proporciona la velocitat inicial al clau. A continuació
actua
F2, que és la que frena el clau fi ns a aturar-lo.
Apliquem el teorema del treball i de l’energia cinètica:
1 2
W 5 D Ec 5 Ecf 2 Ec0 5 0 2— mv0 2
Ecf 5 0, ja que el clau s’atura quan ja està totalment
clavat.
També podem calcular el treball com:
W 5 F2 Dx 5 F2 D x
Igualem les dues expressions:
1
W 5 F2 Dx 5 2 — 2
mv0 2
Si aïllem F2, obtenim:
1 2
2— mv
2 0 21 0,05 kg ? (5 m/s) 2
F2 5 —————— 5 —— ? ————————— 5 212,5 N
Dx 2 0,05
Aquesta és la força mitjana que fa el tauló de fusta.
Observem que és una força de fregament, ja que és
nega tiva. En realitat, és l’oposició que fa el tauló de
fusta sobre el clau.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 189 15/11/11 08:04

190 BLOC 2. DINÀMICA
5
Activitats
116>
Citeu set exemples de fonts energètiques tant renovables
com no renovables. Quines aplicacions
tenen? En quina forma fan treball?
17> Quin factor influeix més en el valor de l’energia
cinètica, la massa de la partícula o la velocitat?
18> Tenim dos cossos de masses una el doble que l’altra.
La velocitat del cos més lleuger és el doble que
la del cos més pesat. Quina afirmació és la correcta?
Raoneu la resposta.
a) Els dos cossos tenen la mateixa energia cinètica.
b) S’han desplaçat el mateix en el mateix interval
de temps.
c) El cos més lleuger té el doble d’energia cinètica
que el cos més pesat.
d) El cos més pesat té el doble d’energia cinètica
que el cos més lleuger.
19> Amb l’ajut d’una corda aixequem un cos de 4,5 kg,
inicialment en repòs, a una altura de 5 m fent una
força de 125 N. De les proposicions següents, trieu
la resposta correcta:
A) El treball efectuat per la força transmesa a
través de la corda val:
a) 500 J
b) 750 J
c) 625 J
B) El treball efectuat per la força de la gravetat
val:
a) 2120,5 J
b) 2220,5 J
c) 2420,5 J
C) L’energia cinètica fi nal del cos és:
a) 404,5 J
b) 279,5 J
c) 205,5 J
20> Un automòbil de 1 410 kg es mou a una velocitat
constant de 30 km/h per una carretera recta. De
sobte, el conductor accelera durant un cert temps,
de manera que la força neta F que actua sobre
l’automòbil durant aquest interval es representa
pel gràfi c següent (fi g. 5.25).
Fig. 5.25
Calculeu el treball efectuat per aquesta força, i
de termineu la velocitat fi nal de l’automòbil aplicant
el teorema del treball i l’energia cinètica.
R: 1,46 ? 10 5 J, 60 km/h
21> Es dispara un projectil de 12 g de massa contra
un bloc de fusta que es manté fi x, i, quan porta
una velocitat de 350 m/s s’hi incrusta, tot
penetrant una distància de 9,5 cm. Determineu el
treball realitzat sobre el projectil i determineu
la força que, de mitjana, ha efectuat el bloc.
R: 735 J, 7 737 N
22> Un projectil igual al de l’activitat anterior, anant
a la mateixa velocitat inicial, travessa un altre
bloc de fusta que també es manté fi x, i surt a una
velocitat de 75 m/s. Sabent que aquest nou bloc
efectua la mateixa força resistent que el de l’activitat
anterior, podem concloure que:
A) El treball efectuat per la força resistent és:
a) 735 J
b) 701,25 J
c) 2701,25 J
B) La longitud que ha recorregut el projectil a
l’interior del bloc ha estat de:
a) 9,5 cm
b) 9,1 cm
c) 9,9 cm
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 190 15/11/11 08:04

j 5.5 Forces conservatives
i forces no conservatives
TREBALL I ENERGIA
Suposem un cos de massa m que està damunt d’un pla inclinat d’altura h; volem calcular
el treball que realitza el pes (fi g. 5.26) en els dos casos següents:
1. Quan el cos cau verticalment fi ns al terra.
2. Quan aquest cos llisca pel pla inclinat sense fregament fi ns al terra i el desplacem
horitzontalment fi ns a situar-lo a la mateixa posició en què es troba quan ha caigut
verticalment en el cas 1.
1. Per calcular el treball realitzat pel cos, quan cau verticalment W AC, observem
(fi g. 5.27) que l’única força que actua és el pes i que el desplaçament D y coincideix
amb l’altura h del pla inclinat: p 5 mg, Dy 5 h. A més, els vectors p i D y tenen
tots dos direcció vertical i sentit cap avall, de manera que l’angle que formen és nul
(cos 0° 5 1).
Per tant, si apliquem la defi nició de treball, tenim:
W 5 F ?Dy ? cos 0° 5 mgh
Fig. 5.26. Representació de totes les forces que actuen damunt del cos.
2. Calculem el treball realitzat pel cos (fi g. 5.28), en dues parts.
a) b)
Primer calculem el treball en arribar a terra lliscant pel pla inclinat (fi g. 5.28 a), W AB.
Observem que l’única força que realitza treball és el component tangencial del pes,
p t 5 mg sin a.
h
El mòdul del desplaçament del cos al llarg del pla inclinat és Dr i val: Dr 5 ———.
sin a
Els vectors p t i D r formen un angle de 0°, ja que tenen la mateixa direcció i el mateix
sentit (són paral . lels).
Fig. 5.28. Recorregut 2: el cos baixa lliscant pel pla inclinat i, un cop a baix, se situa en la mateixa
posició fi nal que en el recorregut 1.
5 191
Fig. 5.27. Recorregut 1: el cos baixa verticalment
fi ns al terra; des del punt A fi ns al
punt C.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 191 15/11/11 08:04

192 BLOC 2. DINÀMICA
5
A
Fig. 5.30. Una força conservativa actuant
sobre un cos que descriu una trajectòria
tancada qualsevol, no realitza treball.
Per tant, l’energia cinètica del cos en tornar
al seu punt d’origen és la mateixa,
s’ha «conservat»; d’aquí el nom donat a
aquest tipus de forces.
Fig. 5.31. Forces que ac tuen damunt del
cos en el recorregut total, quan no es té
en compte el fregament amb l’aire.
Per tant, si apliquem la defi nició de treball, tenim:
h
W AB 5 F ?Dr ? cos 0° 5 p t Dr ? 1 5 mg sin a ——— 5 mgh
sin a
Ara ens falta calcular el treball que realitza el pes en situar el cos en la posició a
què ha arribat al fi nal del recorregut 1 (fi g. 5.28 b), W BC. Observem que el pes i el
desplaçament són perpendiculars; per tant, en aquest cas el treball realitzat pel pes
és nul.
W BC 5 mgD x cos 90° 5 0
Observem que el pes ha fet el mateix treball seguint el recorregut 1 i el recorregut 2:
W 5 mgh
Es pot demostrar que per qualsevol altre recorregut entre el punt inicial i el punt fi nal,
el treball efectuat pel pes és el mateix.
A partir d’aquest exemple podem enunciar la defi nició següent:
LLes
forces el treball de les quals només depèn de la posició inicial i fi nal, independentment
del camí seguit, s’anomenen forces conservatives (fi g. 5.29).
Un exemple d’aquestes forces el tenim en el pes, com ja hem vist en el cas anterior.
Com a conseqüència d’aquesta defi nició, podem dir que una força conservativa té la
propietat següent: el treball net que fa al llarg d’un camí tancat és zero, ja que el punt
inicial i el fi nal coincideixen (fi g. 5.30).
Aclarim-ho amb un cas concret.
Fig. 5.29. Si els treballs efectuats per la força aplicada en diferents
re correguts entre dos punts coincideixen, diem que la
força és conserva tiva.
Una pedra llançada verticalment cap amunt torna al punt de sortida amb la mateixa
velocitat en mòdul amb què l’hem llançada, si no tenim en compte el fregament amb
l’aire, com ja hem vist en unitats anteriors.
Fixem-nos que el moviment de la pedra constitueix un cicle, és a dir, les posicions inicial
i fi nal coincideixen; si apliquem el teorema de l’energia cinètica per calcular el treball,
tenim: W 5 DE c. No hi ha hagut variació de l’energia cinètica, ja que la pedra arriba amb
la mateixa velocitat en mòdul amb què ha estat llançada, per tant:
W 5 0
Com que el treball és igual a zero i, alhora, W 5 F ?Dr cos a, i la força que actua només
és el pes (fi g. 5.31), deduïm que el pes és una força conservativa, com ja hem
demostrat.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 192 15/11/11 08:04

TREBALL I ENERGIA
De la mateixa manera que el pes, també són forces conservatives les forces elàstiques i
les elèctriques. En canvi, la força muscular i la força de fregament, entre d’altres, són
forces no conservatives, ja que el treball realitzat per aquestes forces al llarg d’una
trajectòria tancada qualsevol no és nul.
Estudiarem ara un cas en què es posa de manifest que la força de fregament no és conservativa.
Seguim amb la pedra llançada verticalment cap amunt que torna al punt de sortida,
però ara tindrem en compte el fregament amb l’aire. En aquest cas, la pedra arriba a
baix amb una velocitat més petita que la que tenia quan l’hem llançada. Torna a ser un
cicle (trajectòria tancada).
Si apliquem el teorema de l’energia cinètica, observem que:
W 5 DE c 5 E cf 2 E ci , 0, perquè v f , v 0
Mirem quines forces actuen damunt de la pedra (fi g. 5.32): són el pes i la força de fregament
deguda a l’aire, que, recordem-ho, sempre és oposada al moviment.
Calculem el treball de les dues forces. Hem vist que el pes és una força conservativa, és
a dir, no realitza treball al llarg del cicle, per tant, el treball total ha de coincidir amb
el treball de la força de fregament.
Si apliquem el teorema del treball i l’energia cinètica, tenim:
W T 5 W f 5 DE c , 0
Veiem que Wf , 0, d’on deduïm que la força de fregament és una força no conservativa
que efectua un treball negatiu; és a dir, provoca una disminució de l’energia cinètica.
Les forces elàstiques també són conservatives; aquestes forces ja sabem que són les
produïdes, per exemple, per una molla. Si estirem una molla i, un cop produïda una
deformació determinada, la deixem anar, la molla torna a la seva posició inicial. Si
calculem el treball fet per la força recuperadora de la molla en tot el cicle, aquest resulta
ser nul i podem afirmar que la força elàstica és conservativa.
Activitats
23> 2 Quines de les forces següents són conservatives?
Raoneu la resposta.
a) La força elàstica exercida per un ressort helicoïdal.
b) La força de resistència efectuada per l’aire
sobre un avió que vola.
c) La força gravitatòria exercida pel Sol sobre la
Terra.
d) La força de fregament exercida pel terra sobre
les rodes d’un automòbil que frena.
24> Un cos es mou des d’un punt A fi ns a un punt B i
després torna al punt A. Si al punt B té la mateixa
velocitat que a l’inici però quan torna de nou al
punt A la seva velocitat és menor, trieu quines
de les afi rmacions següents són certes. Justifi -
queu les respostes:
5 193
Fig. 5.32. Forces que actuen damunt del
cos en el recorregut total quan tenim en
compte el fre gament amb l’aire.
a) En l’anada d’A a B, la força neta sobre el cos
és zero.
b) En l’anada d’A a B, totes les forces que ac tuen
són conservatives.
c) En el tram de tornada de B a A, actua alguna
força no conservativa.
d) En el cicle total, totes les forces que actuen
són conservatives.
25> Dos grups de muntanyencs assoleixen el mateix
cim partint del mateix punt; el primer grup ha
seguit un camí més curt però més abrupte, mentre
que el segon ha anat per un camí amb un desnivell
menys acusat però més llarg. Per a quin dels dos
grups la força de la gravetat ha desenvolupat un
treball més gran? Raoneu la resposta.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 193 15/11/11 08:04

194 BLOC 2. DINÀMICA
5
A
B
p
p
Fig. 5.33. Variació de l’energia potencial
associada al pes d’un cos.
E
p B
E
p A
0
j 5.6 Energia potencial
Ja hem vist que el treball efectuat per una força conservativa només depèn de la posició
inicial i de la posició final del cos. Per calcular més fàcilment el treball desenvolupat per
aquest tipus de forces, fixem arbitràriament una posició de referència determinada, que
prendrem com a posició zero.
Així, per al pes, prendrem normalment com a posició zero aquella en què el cos estigui
recolzat en un suport, per exemple, damunt d’una taula, al terra d’una habitació, al
terra del carrer, a la base d’un pla inclinat, etc. Per a la força elàstica, la posició zero
serà la posició de la molla sense deformació, és a dir, en el seu estat d’equilibri.
Vist això, podem definir una altra magnitud física, l’energia potencial, que ens ajudarà
a fer consideracions energètiques d’aquests sistemes conservatius. Depenent del tipus
de força conservativa, podem parlar d’energia potencial gravitatòria, elàstica o elèctrica.
Tot seguit, estudiarem l’energia potencial gravitatòria i l’elàstica. El curs vinent estudiarem
l’energia potencial elèctrica.
Defi D finim
la variació de l’energia potencial d’una partícula com el treball,
can viat de signe, realitzat per una força conservativa sobre la par tícula; aquest
treball és igual a la disminució d’energia potencial que experimenta la partícula.
W 5 2DE p
És a dir, si sobre una partícula que es mou d’una posició A a una posició B, actua
una força conservativa, s’associa una energia potencial a la posició A (que representem
amb E pA) i una energia potencial a la posició B (representada amb
E pB) de manera que la seva diferència es relaciona amb el treball W AB fet per
aquesta força conservativa segons:
W AB 5 2(E pB 2 E pA)
Vegem-ne un cas concret.
Observem com varia l’energia potencial associada al pes del cos representat en la fi gura
5.33. Agafem com a origen del sistema de referència el terra o altura zero. Inicialment,
el cos es troba a la posició A i la seva energia potencial varia a mesura que va baixant. En
passar a la posició B, la variació de l’energia potencial, respecte de la posició A, és:
DE p (A B) 5 E pB 2 E pA
Analitzem ara el treball realitzat pel pes, Wp 5 F Dy. La força i el desplaçament tenen
la mateixa direcció i el mateix sentit; per tant, és un treball positiu.
A causa del sistema de referència que hem agafat, l’energia potencial disminueix a mesura
que baixa el cos, i el treball, per tant, s’obté a costa de l’energia potencial perduda,
que es transforma en treball. En aquest cas, doncs:
DEp (A2B) , 0
Wp 5 2DEp . 0
Com C a conclusió, podem dir que l’energia potencial és l’energia que té un cos per la
seva posició en aquella zona de l’espai on actuen forces conservatives.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 194 15/11/11 08:04

A. Energia potencial gravitatòria
TREBALL I ENERGIA
L’energia L’en potencial gravitatòria és l’energia que té un cos per la posició que
ocupa dins d’una zona de l’espai on actuïn forces gravitatòries.
L’energia potencial dels cossos situats a una altura h sobre la superfície terrestre coincideix
amb el treball necessari per elevar-los fi ns a aquesta altura h. El terra s’agafa
com la posició en la qual l’energia potencial és nul . la (E p 5 0).
Vegem com calcular aquesta energia.
Imaginem-nos un cos que es troba a una
altura h A (fi g. 5.34) damunt del terra i el
volem situar a una altura h B. En aquestes
dues posicions, el cos té una energia potencial
gravitatòria determinada.
Per defi nició, la variació de l’energia potencial
gravitatòria és equivalent al treball,
canviat de signe, realitzat per la força pes
en situar el cos de l’altura h A a h B.
Analitzem el treball realitzat pel pes. La
força i el desplaçament del cos tenen la mateixa
direcció i el mateix sentit; per tant, el
treball és positiu.
Deduïm l’expressió de l’energia potencial gravitatòria de l’expressió del treball. Sabem
que W p 5 2D E p. Calculem W p:
W p 5 F Dy 5 p Dy
Wp 5 mg (hA 2 hB) 5 mghA 2mghB 5 2(mghB 2 mghA) 5
5 2(EpB 2 EpA) 5 2D Ep Identifi cant termes, es dedueix que mgh B equival a l’energia potencial gravitatòria en
l’altura h B, anàlogament mgh A equival a l’energia potencial en l’altura h A.
En general, l’energia potencial gravitatòria d’un cos de massa m situat a una altura h val:
E p 5 mgh
La unitat en què s’expressa en el SI és el joule (J).
Fig. 5.34. Energia potencial gravita tòria.
Hem de fer algunes consideracions en relació a l’expressió que hem obtingut:
j Hem calculat el treball efectuat pel pes tractant-lo com una força constant, però
aquest només és constant en la zona de l’espai on el valor de la gravetat terrestre es
manté constant, és a dir, a petites altures.
j També hem considerat l’energia potencial gravitatòria zero en el terra, i un cos pot
estar situat a un nivell més baix que el terra; per exemple, dins d’un pou (fi g. 5.35).
En aquest cas, l’energia potencial és negativa, a causa del sistema de referència que
hem utilitzat, és a dir, que el cos es troba a una altura negativa.
0
p
5 195
5
Ep mgh
h , 0
Fig. 5.35. L’energia potencial gravitatòria
(E p 5 mgh) també pot ser negativa si
h té un valor negatiu.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 195 15/11/11 08:04

196 BLOC 2. DINÀMICA
5
Exemple 12
Fig. 5.37
Fig. 5.36
Calculeu l’energia potencial del conjunt format
per la campana i la barra que la subjecta
en la torre campanar de la fi gura 5.36, si
la campana i la barra tenen una massa total
de 60 kg i estan a una alçària de 20 m.
Resolució
L’energia potencial gravitatòria val:
E p 5 mgh
Si substituïm les dades:
Ep 5 60 kg ? 9,8 m/s2 ? 20 m 5
5 11 760 J
Aquesta és l’energia potencial gravitatòria
que té el conjunt barra-campana respecte
del terra.
La galleda d’un pou (fi g. 5.37) té una energia potencial gravitatòria de 10 J respec -
te del nivell del terra quan està buida i situada a la part de dalt de la politja, que
està a una altura de 2 m del terra. Si la galleda es troba a 25 m de profunditat i
s’omple amb 10 L d’aigua, quina energia potencial gravitatòria tindrà la galleda en
el pou? Recordeu que 1 L d’aigua equival a 1 kg.
Resolució
Exemple 11
De l’expressió de l’energia potencial gravitatòria, podem trobar la massa de la galleda:
Quan aïllem la massa:
que és la massa de la galleda buida.
E p 5 mgh
E p 10 J
m 5 —— 5 ——————— 5 0,51 kg
gh 9,8 m/s 2 ? 2 m
Per trobar l’energia potencial dins del pou hem de recordar que, com que està per
sota del terra, l’energia potencial és negativa; així, l’altura és h 5 225 m.
Un cop la galleda està plena d’aigua, la massa total del cos és la massa de la galleda
més la massa de l’aigua, que val:
m 5 0,51 kg de la galleda 1 10 kg de l’aigua 5 10,51 kg
L’energia potencial dins del pou és:
E p 5 mgh 5 10,51 kg ? 9,8 m/s 2 ? (225) m 5 22 574,95 J
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 196 15/11/11 08:04

B. Energia potencial elàstica
TREBALL I ENERGIA
L’energia L’en potencial elàstica és l’energia que té un cos elàstic en virtut del seu
estat de deformació.
Si estirem una molla o la comprimim amb una força externa F, realitzem un treball sobre
la molla. Veurem que aquest treball queda emmagatzemat en el ressort en forma
d’energia potencial i que només depèn de la posició inicial i fi nal de la molla. Per tant,
podem parlar d’una energia potencial elàstica. Aquesta energia que té una molla deformada
(sigui estirada o comprimida) es posa de manifest en deixar d’aplicar la força
externa, aleshores la molla recupera la forma i la posició inicials.
Per determinar el valor d’aquesta energia hem de calcular el treball realitzat en la deformació.
La força aplicada és una força variable que, com ja sabem, compleix la llei
de Hooke si es vol que produeixi una deformació determinada.
Imaginem-nos una molla que està en la seva posició d’equilibri, on no hi ha deformació.
En la posició d’equilibri, segons el sistema de referència establert anteriorment, la
posició és zero (x0 5 0), per tant, l’energia potencial és zero: Epi 5 0
Si l’estirem una distància x, tot aplicant una força externa
F, que segons la llei de
Hoo ke val F 5 kx, es realitza un treball que s’acumula com a energia potencial de la
molla en aquesta posició (fi g. 5.38).
x 0 5 0
x 0 5 0
Fig. 5.38. Deformació de la molla en aplicar una força externa.
Calculem el treball gràfi cament, ja que hem vist que la representació gràfi ca de la
força en funció del desplaçament del cos ens dóna la informació del treball realitzat
(fi g. 5.39).
Així, de la representació gràfi ca deduïm que:
(kx)x 1
W extern 5 ——— 5 — kx 2
2 2
que correspon al treball realitzat per la força externa en deformar la molla. Aquest treball
és positiu i només depèn de la posició fi nal x i de la posició inicial (x 0 5 0) de la
molla.
x
F
5 kx
F
F 5 kx
0 x 0
5 197
Àrea 5 1
2
x
kx 2
kx
X
Fig. 5.39
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 197 15/11/11 08:05

198 BLOC 2. DINÀMICA
5
Exemple 13
Recordem que la força elàstica feta per la molla és oposada a la força externa aplicada,
Fmolla 5 2
F. Per tant, deduïm que el treball que fa la molla quan el cos passa de la
posició 0 a la posició x és negatiu (fi g. 5.40).
1
Wmolla 5 W 5 2 — kx2 2
x 0
5 0
5 2kx
molla
D’altra banda, tenim que:
1
W 5 2DEp 5 2(Epf 2 Epi) 5 2(Epf 2 0) 5 2 — kx2 2
Així, obtenim:
1
Epf 5 — kx2 2
que correspon a l’energia potencial elàstica en aquest punt.
F
x 0 x Fig. 5.40. Representació de la força que fa
1
E p 5 — kx 2
2
Observem que l’energia potencial elàstica només depèn de la constant de la molla i de
la posició del cos respecte de la posició d’equilibri.
La unitat amb què s’expressa en el SI és el joule, perquè:
Un U cos de 250 g de massa està subjecte a una molla de constant
recuperadora k 5 100 N/m damunt d’un pla inclinat. Si desplacem
el cos 25 cm de la posició d’equilibri, calculeu l’energia potencial
elàstica que té aquest cos en aquesta posició (fi g. 5.41).
No tingueu en compte l’energia potencial gravitatòria.
Resolució
Expressem els 25 cm en unitats del SI (25 cm 5 0,25 m), i calculem
Ep: 1 1
Ep 5 — kx2 5 — ?100 N/m ? 0,252 m2 5 3,125 J
2 2
Observem que el valor de l’energia potencial elàstica és independent
de la massa del cos.
N
E p 5 — ? m 2 5 N ? m 5 J
m
Fig. 5.41
la molla en la deformació.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 198 15/11/11 08:05
x 0
25 cm
x

Activitats
26> 2 Un alpinista de 80 kg escala 300 m per hora en
ascensió vertical. Quina energia potencial gravitatòria
guanya cada hora?
R: 2,35 ? 10 5 J
27> Un espeleòleg de 75 kg de massa baixa a una cova
en descens vertical. Si la cova té una profunditat
de 500 m, quina és la variació d’energia potencial
gravitatòria quan arriba al fons de la cova?
R: 23,68 ? 10 5 J
28> Un grup d’alumnes raona que, quan estirem una
molla una distància determinada, l’energia potencial
elàstica que emmagatzema la molla és la meitat
de la que emmagatzema quan s’estira una distància
doble que l’anterior. Esteu d’acord amb aquest raonament?
Justifiqueu la resposta.
j 5.7 Energia mecànica
TREBALL I ENERGIA
Una conseqüència molt important de tot el que s’ha estudiat en aquesta unitat és que
els tipus o classes d’energia que hem analitzat tenen una característica comuna: poden
ser convertides íntegrament en treball.
Un U cos es troba al damunt d’un pla inclinat, a la part
inferior del qual hi ha una molla (fi g. 5.42). Estudieu
les transformacions d’energia mecànica que
experimenta el cos des que es deixa caure baixant
pel pla inclinat fi ns que arriba a baix i comprimeix la
molla.
Fig. 5.42. Moviment del cos pel pla inclinat,
on baixa per l’acció del component del
pes tangencial al pla inclinat.
5 199
29> Un cos de 200 g de massa està subjectat a una
molla de constant recuperadora k 5 1 000 N/m. El
conjunt està recolzat en un pla horitzontal on negligim
els fregaments. Si separem el conjunt 20 cm
de la posició d’equilibri, calculeu:
a) L’energia potencial elàstica que té la molla en
aquesta posició.
b) El treball que hem fet per tal de portar el cos
a aquesta posició.
R: a) 20 J; b) 20 J
Un U cos pot tenir energia cinètica, energia potencial gravitatòria, energia potencial
elàstica, etc., i la suma de totes aquestes es coneix amb el nom d’energia
mecànica.
E 5 Ec 1 Ep on E p inclou totes les formes d’energia potencial.
Exemple 14
30> Una molla que està penjada del sostre té una constant
elàstica de 2 500 N/m. Si al seu extrem s’hi
penja una massa de 25 kg, quina longitud s’allarga
la molla? Quina energia potencial elàstica emmagatzema?
R: 0,098 m, 12 J
a) b)
c) d)
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 199 15/11/11 08:05

200 BLOC 2. DINÀMICA
5
Resolució
Quan el cos baixa, la seva energia potencial gravitatòria
disminueix i es va trans formant en energia cinètica que,
per tant, augmenta. Quan el cos entra en contacte amb
la molla la seva energia potencial elàstica va augmentant
i la velocitat va disminuint fi ns que arriba a la màxima
compressió de la molla, on el cos s’atura.
Analitzem tot el procés:
j Inicialment, tota l’energia mecànica correspondrà a
l’energia potencial gravitatòria que té el cos a la part
superior del pla inclinat (fi g. 5.42 a).
j Mentre baixa pel pla inclinat fi ns just abans de fer
contacte amb la molla, l’energia mecànica és l’e-
Exemple 15
nergia potencial gravitatòria més l’energia cinètica
(fi g. 5.42 b).
j Quan contacta amb la molla i fi ns just abans d’atu -
rar-se, l’energia mecànica és l’energia potencial gravitatòria
(el cos encara és a una certa altura), més
l’energia cinètica, més l’energia potencial elàstica
(fi g. 5.42 c).
j Quan s’atura, l’energia mecànica correspondrà a l’energia
potencial elàstica i a l’energia potencial gravitatòria;
observem que quan la molla està com primida el
cos encara és a una certa altura (fi g. 5.42 d).
Un U ocell de 25 g de massa vola per damunt d’un arbre a una velocitat de 2 m/s.
Si l’arbre té una alçària de 5 m i l’ocell vola 0,5 m per damunt de l’arbre, quina
energia mecànica té l’ocell?
Resolució
Primer, hem d’expressar la massa de l’ocell en unitats del SI: 25 g 5 0,025 kg
L’energia mecànica val:
1 1
E 5 Ec 1 Ep 5 — mv2 1 mgh5 — 0,025 ? 22 1 0,025 ? 9,8 ? 5,5 5
2 2
5 0,05 1 1,35 5 1,40 J
que és l’energia mecànica que té l’ocell en aquest punt respecte del terra.
Activitats
31> Un automòbil de massa 1 000 kg està parat just en el moment de pujar
una rampa. Arrenca i agafa una velocitat de 54 km/h quan ha arribat
a una altura de 5 m per damunt del punt de partida. Calculeu l’energia
mecànica adquirida.
R: 1,62 ? 105 3
J
32> Suposant que tota l’energia cinètica d’un automòbil es transformés en
energia potencial gravitatòria, fi ns a quina altura podria pujar l’automòbil
si portés una velocitat de 120 km/h?
R: 57 m
33> Un cos de 5 kg cau des de 10 m d’altura, arriba a terra i rebota fins a
una altura de 8 m. Calculeu l’energia mecànica inicial i la final.
R: Ei 5 490 J, Ef 5 392 J
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 200 15/11/11 08:05

Física quotidiana
L’energia L eòlica
TREBALL I ENERGIA
Els humans hem utilitzat l’energia del vent des de l’època dels egipcis i dels fenicis. Les
veles dels vaixells i els molins de vent en són alguns exemples. Actualment es construeixen
aerogeneradors que aprofi ten el vent per produir energia elèctrica (fi g. 5.43).
A cada aerogenerador, el moviment de les pales impulsades pel vent es transmet a una
turbina, que és el generador elèctric. L’electricitat proporcionada per cada aerogenerador
es recull en una subestació elèctrica situada en el mateix parc eòlic.
A continuació reproduïm una nota de premsa de la Generalitat de Catalunya del 9 de
se tembre de 2006 corresponent a la inauguració del segon parc eòlic més potent
de Cata lunya, després del de la serra de Rubió, a l’Anoia.
El conseller de Treball i Indústria, Jordi Valls, inaugura el
parc eòlic Ecovent a Tortosa 09-09-06, 14.45 h. Valls destaca
la importància «d’incrementar la producció d’energia
neta a Catalunya».
El conseller de Treball i Indústria, Jordi Valls, l’alcalde de
Tortosa, Joan Sabaté, i el director general d’Eyra (Energía y
Recursos Ambientales SA), Leopoldo Iglesias, han inaugurat el
parc eòlic Ecovent a Tortosa. El parc, de 48,1 MW de potència
distribuïts en 37 aerogeneradors, està ubicat al terme municipal
de Tortosa (Baix Ebre), i l’ha promogut l’empresa Eyra. El
parc ha suposat una inversió de 48,7 milions d’euros.
A l’acte, el conseller Valls ha destacat l’aposta del govern
«per incrementar l’energia neta i la capacitat per produir-ne a
Ca talunya amb l’objectiu de disminuir la dependència de
l’energia externa d’origen fòssil».
El parc eòlic Ecovent, que produirà 110 milions de quilowatts
hora cada any, consta de 37 aerogeneradors de 1 300 kW, de
60 m d’alçada i 62 m de diàmetre. L’energia produïda es canalitzarà
per cinc circuits subterranis dins el parc, es transformarà
a 110 000 volts a la subestació i serà evacuada a la xarxa
elèctrica de la línia Vandellòs-Tortosa.
La nova instal . lació eòlica d’Ecovent produirà electri citat
equivalent al consum d’uns 32 000 habitatges, evitarà l’emissió
anual d’unes 108 000 tones de CO2 i exercirà un efecte
Qüestions
1> A partir dels valors de l’energia que pot subministrar
el parc eòlic de Tortosa en un any, del nombre
de generadors amb què compta i de la potència de
cada un d’ells, calculeu el nombre d’hores efectives
de funcionament anual del parc eòlic.
2> D’acord amb les dades d’aquesta nota de premsa,
calculeu la potència elèctrica que es preveu obtenir
l’any 2015 a partir d’altres fonts energètiques
diferents de l’eòlica.
Fig. 5.43. Aerogeneradors.
5 201
depuratiu de l’atmosfera similar al de més de cinc milions
d’arbres en el procés de fotosíntesi [...].
Nou impuls a l’energia eòlica a Catalunya
El parc eòlic Ecovent és l’onzè en funcionament a Catalunya.
Entre tots els parcs, sumen una potència de 224,8 MW. En
aquests moments, el nombre de parcs eòlics amb autoritza ció
administrativa a Catalunya és de 51 amb una potència total
de 1 584 MW i es troben en fase de construcció o bé tramitant
les infraestructures elèctriques necessàries per a la seva evacuació.
En aquest sentit, el govern de la Generalitat, tal com recull el
Pla de l’Energia, preveu assolir una potència de 1 500 MW
d’energia eòlica a fi nals de 2007, quantitat fi xada per a
aquesta legislatura. A més, hi ha les condicions per arribar
a l’objectiu de 3 000 MW l’any 2010 i 3 500 MW el 2015.
El principal objectiu i benefi ci d’aquesta tecnologia és la generació
d’electricitat amb una font renovable i no contaminant.
La instal . lació de 3 500 MW a Catalunya suposarà el
12,3 % de la producció bruta d’electricitat prevista pel 2015.
Aquesta energia és l’equivalent al consum d’electricitat domèstica
de quasi 2 400 000 famílies i estalvia l’emissió a l’atmosfera
d’uns 3,68 milions de tones de CO2. Dissabte, 9 de setembre de 2006
3> Comproveu que l’energia cinètica d’una massa
d’aire que impacta contra les pales del rotor d’un
aerogenerador en un interval de temps determi-
1
nat val: E c 5 — r V v 0 2 , on r és la densitat de
2
l’aire, v 0 és la velocitat de l’aire en xocar contra
les pales, i V és el volum ocupat per la massa
d’aire que toca les pales en aquest interval de
temps.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 201 15/11/11 08:05

202 BLOC 2. DINÀMICA
5
Activitats fi nals
QQüestions
1> Si una força realitza un treball negatiu hem de
concloure que la força:
a) És perpendicular al desplaçament.
b) Té un component en sentit contrari al desplaçament.
c) La força varia amb el temps.
d) Es tracta d’una situació impossible, ja que el
treball mai no pot ser negatiu.
Trieu la resposta correcta.
2> Un nen vol fer pujar la seva joguina per plans
incli nats diferents que tenen la mateixa alçària
(fig. 5.44).
a)
b)
h
h
Fig. 5.44
a
Suposant que aconsegueix que la jo guina pugi fins
a dalt en els dos casos a velocitat constant i tenint
en compte que no actua la força de fregament,
demostreu:
a) Que la força que ha de fer és diferent en un cas
que en l’altre.
b) Que el treball és el mateix en els dos casos.
3> Justifi queu el fet que el treball, la potència i
l’energia són magnituds escalars.
4> Si el treball realitzat per una força determinada
disminueix fi ns a la quarta part quan la distància
recorreguda disminueix fi ns a la meitat, de quina
força es tracta? Expliqueu-ho detalladament.
5> Per a un motorista que parteix del repòs i accelera
uniformement augmentant de velocitat:
b
A) La potència que desenvolupa el motor:
a) Augmenta. b) Disminueix. c) És constant.
B) El treball efectuat pel motor és:
a) Positiu. b) Negatiu. c) Nul.
Trieu les respostes correctes.
6> La normativa vigent sobre vehicles pesants els obliga
a portar un aparell que en limita la velocitat.
Raoneu si això té relació amb l’energia cinètica
que poden acumular respecte dels vehicles més
lleugers, si circulen a la mateixa velocitat.
7> Una mateixa força resultant actua sobre una moto
i sobre una pilota de tennis al llarg d’un mateix
despla çament en la mateixa direcció i sentit. La
variació de l’energia cinètica és més gran en:
a) La moto.
b) La pilota.
c) Totes dues tindran la mateixa energia cinètica.
8> Un cos té una massa que és la meitat que la d’un
altre cos, però porta una velocitat doble. Si en
un moment determinat apliquem sobre tots dos
la mateixa força de frenada, l’espai que recorrerà
el primer cos serà, respecte del que recorrerà el
segon:
a) La meitat.
b) El doble.
c) La quarta part.
d) El quàdruple.
9> Volem que el treball realitzat per anar des del
punt A fins al punt B (fig. 5.45) sigui el mateix
fent-lo pel recorregut 1 que fent-lo pel 2. Com ha
de ser la força que hi actua?
Fig. 5.45
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 202 15/11/11 08:05

10> Quin tipus d’energia s’emmagatzema en les situacions
següents?
a) Un arc que ha estat tensat a punt de llançar
una fl etxa.
b) Una bola de billar que es mou damunt la taula
quan és impulsada pel tac.
c) L’aigua d’un dipòsit situat a l’última planta d’un
edifi ci que abasteix els veïns dels pisos inferiors.
11> És possible que la velocitat d’un cos estigui dirigida
cap a l’est i la força que actua sobre ell cap a
l’oest? Raoneu la resposta.
12> Tenim dos cossos en repòs. La massa d’un és el doble
de la de l’altre. L’altura en què es troba el més
lleuger és el doble que la del més pesat. Demostreu
que els dos cossos tenen: a) La mateixa energia
poten cial gravitatòria. b) La mateixa energia mecànica.
Problemes
1> Calculeu el treball que realitza una noia amb una
motxilla de 15 kg.
a) L’aguanta 5 min mentre espera entrar a l’institut
per començar les classes.
b) Es dirigeix a l’aula caminant a velocitat constant.
c) Se la treu de l’esquena a 1 m del terra i la hi
deixa.
R: a) 0; b) 0; c) 2147 J
2> Sobre un cos de 2,5 kg en repòs s’aplica durant
10 s una força de 3 N i una altra de 4 N en direccions
perpendiculars entre si. Com a conseqüència,
el cos es mou en la direcció de la força
de 4 N. Si en aquesta direcció no actua cap altra
força més, cal culeu:
a) El treball de la força resultant.
b) El treball realitzat per la força de 3 N.
c) El treball realitzat per la força de 4 N.
d) La suma dels treballs fets per les dues forces
considerades.
R: a) 320 J; b) 0; c) 320 J; d) 320 J
3> Un nen vol arrossegar 5 m el carretó de 2 kg de
massa per una superfície horitzontal i ho fa mit-
TREBALL I ENERGIA
5 203
13> De les frases següents, quines són correctes? Quines
incorrectes? Justifi queu la vostra resposta.
a) L’energia cinètica d’un cos és negativa quan
ho és la seva velocitat.
b) El rendiment d’una màquina mai no pot ser
més gran que la unitat.
c) L’energia potencial elàstica pot assolir valors
negatius.
d) El treball efectuat per una força conservativa
al llarg d’una trajectòria tancada és nul.
e) L’energia potencial gravitatòria sempre és positiva.
f) L’energia mecànica és la suma de les energies
cinètiques i potencials.
g) El treball efectuat per una força correspon a
l’àrea del gràfi c F-t.
jançant una corda que forma un angle de 45° amb
la superfície (fig. 5.46) i amb una força de 25 N.
Si el coefi cient de fregament entre les rodes del
carretó i la superfície és de 0,1, calculeu:
Fig. 5.46
45°
a) El treball que realitza cada una de les forces
que actuen sobre el carretó.
b) El treball total. Comproveu que és igual al treball
que realitza la força resultant.
R: a) W p 5 0, W N 5 0, W F 5 88,39 N,
W Ff 5 20,965 J; b) 87,42 J
4> Un cos de massa 100 kg es mou segons un moviment
rectilini, d’acord amb la figura 5.47.
a) Calculeu quina força actua en cada tram del
moviment.
b) Representeu gràficament la força respecte del
desplaçament del cos.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 203 15/11/11 08:05

204 BLOC 2. DINÀMICA
5
c) Calculeu a partir de la representació gràfica el
treball total realitzat per la força.
Fig. 5.47
R: a) 500 N, 2500 N, 0 N; c) 5 000 J
5> Volem fer pujar un bloc de 50 kg a velocitat constant
per un pla inclinat de 4 m d’alçària i 5 m de
longitud, mitjançant una força aplicada en la mateixa
direcció i sentit del desplaçament del cos.
Calculeu:
a) La força que s’ha de realitzar, suposant que
no existeix fregament entre el cos i el pla inclinat.
b) El treball que s’ha realitzat quan el bloc arriba
a dalt del pla inclinat.
c) La força que s’ha de realitzar si el coeficient de
fregament entre el cos i el pla és de 0,1.
d) Quin és l’avantatge d’utilitzar un pla inclinat per
pujar el bloc en lloc d’elevar-lo verticalment?
R: a) 392 N; b) 1 960 J; c) 421,4 N
6> Una molla està estirada una longitud de 4,0 cm a
partir de la seva posició natural quan apliquem
una força de 6 N. Si apliquem una força addicional
de 12 N, la longitud de la molla augmenta fi ns a
24,7 cm. Trieu la resposta correcta.
A) La longitud natural de la molla és:
a) 8,0 cm
b) 12,7 cm
c) 20,7 cm
B) El treball que hem de fer per estirar-la des de
la primera posició fi ns a la segona val:
a) 0,96 J
b) 1,08 J
c) 0,48 J
7> Sobre un cos de 2,7 kg actua la força donada pel
gràfic següent (fig. 5.48):
12
F (N)
Fig. 5.48
3 6 9
Si a la posició x 5 0, la velocitat del cos és de
2 m/s, determineu les velocitats del cos quan ha
assolit les posicions x 5 3 m, x 5 6 m i x 5 9 m.
R: 5,5 m/s, 7,6 m/s, 8,4 m/s
8> Una grua aixeca una biga de 100 kg a una altura
de 15 m i després desplaça la càrrega horitzontalment
10 m a velocitat constant.
a) Quant val el treball realitzat?
b) Quina potència útil té la grua si tarda 1 min a
alçar la biga?
c) Quin és el rendiment de la grua si té una potència
de 450 W?
R: a) 1,47 ? 10 4 J; b) 245 W; c) 54 %
9> Un objecte de 10 kg és arrossegat per una pista
horitzontal una distància de 10 m, amb una força
constant de 100 N que forma un angle de 60° amb
la direcció del desplaçament. La força de fregament
d’aquest objecte amb el ter ra és de 6 N.
Calculeu:
a) El treball realitzat per la força aplicada, per la
força de fregament i per la força pes.
b) La potència total desenvolupada per totes les
forces que hi actuen.
R: a) W 5 500 J, W Ff 5 260 J, W p 5 0
b) P F 5 234,52 W, P p 5 28,17 W, P F 5 0
X (m)
10> Una vagoneta que té una massa de 200 kg es troba
sobre una via horitzontal. Calculeu el treball que
es fa en els casos següents:
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 204 15/11/11 08:05

a) Si empenyeu la vagoneta amb una força de
100 N durant 50 s sense aconseguir que la vagoneta
es mogui.
b) Si l’empenyeu amb una força constant de 200 N
en la direcció de la via, fent un recorregut de
50 m en 10 s.
c) Si empenyeu la vagoneta amb una força de
500 N que fa un angle de 60° amb la via, i la
vagoneta re corre 100 m en 12,65 s.
d) Calculeu la potència desenvolupada en els tres
apartats anteriors.
R: a) 0; b) 10 4 J; c) 2,5 ? 10 4 J;
d) 0, 1 000 W, 1 976,28 W
11> Un ascensor de massa 850 kg, que porta dues persones
a l’interior de 70 kg i 75 kg de massa, puja
des de la planta baixa fins al setè pis en 45 s. Si
cada pis té una altura de 3 m, quina potència ha
de desenvolupar el motor de l’ascensor si el rendiment
de la instal . lació és del 55 %.
R: 11,26 CV
12> Un camió que pesa 60 tones porta una velocitat de
72 km/h i de sobte frena. Si s’atura 10 s després,
quina ha estat la potència mitjana de la frenada?
R: 1,2 ? 106 W
13> Es vol dissenyar el teleesquí d’una pista d’esquí per
a principiants que té 150 m de llarg i un pendent
d’angle 20º (fig. 5.49). El teleesquí ha de poder
arrossegar simultàniament 40 esquiadors, de 75 kg
de massa mitjana, a una velocitat de 12 km/h, i els
cables que els estiren han de formar un angle de
40º amb la pista. Si el motor que mou tot el sistema
té un rendiment del 75 %, i sabem que el
coeficient de fre gament que presenta la pista val,
de mitjana, 0,09, quina ha de ser la potència que
ha de tenir el motor d’aquest sistema?
Fig. 5.49
R: 71 CV
TREBALL I ENERGIA
5 205
14> Una força constant de 100 N actua durant 20 s
sobre un cos de 10 kg que inicialment es mou a
36 km/h. Si es mou amb una acceleració de 5 m/s 2 :
a) Quina és la força de fregament?
b) A quina velocitat es mou als 20 s?
c) Quin espai recorre durant aquest temps?
d) Quin treball s’ha realitzat?
e) Quin ha estat l’augment de l’energia cinètica?
R: a) 50 N; b) 110 m/s; c) 1 200 m; d) 6 ? 10 4 J;
e) 6 ? 10 4 J
15> Un objecte de 100 kg es mou a una velocitat de
15 m/s. S’hi aplica una força de 500 N en el sentit
del despla çament i la velocitat arriba fins a 20 m/s.
Calculeu:
a) Quin treball s’ha realitzat?
b) Quin ha estat el desplaçament de l’objecte?
c) Quant val la força de fregament si, quan hi actua,
el cos necessita 3 m més per arribar a la
mateixa velocitat final?
R: a) 8 750 J; b) 17,5 m; c) 73,17 N
16> Un automòbil de 1 375 kg pot desenvolupar una
potència màxima de 60 CV. Si suposem que el
coefi cient de fregament entre les rodes i el terra
val sempre 0,11, determineu la velocitat màxima
que podria desenvolupar l’automòbil en els casos
següents:
a) L’automòbil circula per una via horitzontal.
b) L’automòbil puja per un pendent del 7 %.
c) L’automòbil baixa per un pendent del 6 %.
R: a) 107 km/h; b) 66 km/h; c) 233 km/h
17> Un projectil de 250 g travessa una paret que té
0,30 m de gruix. La velocitat quan penetra a la
paret és de 300 m/s i quan en surt és de 90 m/s.
Calculeu el treball sobre el projectil i la resistència
de la paret.
R: 1,02 ? 10 4 J; 3,41 ? 10 4 N
18> Un conductor circula a 80 km/h per una avinguda;
a 50 m hi ha un semàfor que es posa vermell i el
conductor frena. L’automòbil i el conductor tenen
una massa total de 1 000 kg, i la força de frenada
que hi actua és de 2 000 N.
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 205 15/11/11 08:05

206 BLOC 2. DINÀMICA
5
Calculeu:
a) L’energia cinètica inicial del cotxe.
b) El treball realitzat per la força de frenada en
els 50 m.
c) Raoneu si el cotxe s’aturarà just abans o després
del semàfor.
R: a) 2,47 ? 10 5 J; b) 210 5 J
19> Amb l’ajuda de dos companys, empenyeu un automòbil
que està inicialment parat amb una força
constant de 1000 N i el cotxe es mou 10 m. Una
vegada s’ha desplaçat els 10 m, el cotxe porta
una velocitat de 3 m/s. La massa de l’automòbil
és de 600 kg.
Calculeu:
a) Quin és el treball que heu fet?
b) Quina és l’energia cinètica de l’automòbil en
acabar el recorregut assenyalat?
c) Quin és el treball que s’ha perdut? En què s’ha
transformat?
R: a) 10 4 J; b) 2 700 J; c) 7 300 J
20> Per treure l’aigua d’un pou que està a 45 m de
profunditat disposem d’una bomba d’una potència
de 2 CV que pot treure’n 80 L cada mig minut.
a) Quin treball efectua la bomba en aquest temps?
En què es converteix aquest treball?
b) Quina energia es perd en aquest temps? En què
es converteix aquesta energia?
c) Quin és el rendiment de la bomba?
R: a) 3,53 ? 10 4 J; b) 8 820 J; c) 80 %
21> En una minicentral hidroelèctrica l’aigua cau des
d’una altura de 2 m sobre una turbina amb un cabal
mitjà de 1 500 kg/s. Quina seria la potència teòrica
que podríem obtenir a la central si l’energia potencial
es transformés íntegrament en energia elèctrica?
R: 29,4 kW
22> Si d’una molla de longitud natural 12,0 cm pengem
una massa de 18 g, la molla assoleix una
longitud de 12,9 cm. Quina energia emmagatzema
la molla quan es comprimeix fins a una longitud
de 10,4 cm?
R: 2,51 ? 1023 J
23> Un edifici té 12 pisos i cada pis fa 3,5 m d’alçària.
Calculeu per a una persona de 60 kg, i prenent la
planta baixa com a zero d’energia potencial gravitatòria:
a) L’energia potencial gravitatòria que té si viu al
cinquè pis.
b) L’energia potencial gravitatòria que té si viu al
vuitè pis.
c) La variació de l’energia potencial gravitatòria si
puja des del segon pis fins al terrat de l’edifici?
d) Quina és la variació de l’energia potencial gravitatòria
si baixa des del sisè pis fins al carrer?
R: a) 10 290 J; b) 16 464 J; c) 20 580 J;
d) 212 348 J
24> Un test de flors està situat en un balcó en la mateixa
vertical d’un pou (fig. 5.50). El test es troba
damunt del terra a 15 m d’altura i té una energia
potencial gravitatòria de 40 J. Si cau dins del
pou, calculeu:
a) La massa del test.
b) L’energia potencial gravitatòria que té dins del
pou, si aquest fa 20 m de profunditat.
c) La variació d’energia potencial gravitatòria.
R: a) 270 g; b) 253,3 J; c) 293,3 J
25> Un avió de 10 000 kg de massa té una energia
mecànica de 10 9 J i vola horitzontalment a 9 km
d’altura. Calculeu:
a) L’energia potencial gravitatòria i l’energia cinètica
de l’avió.
b) La velocitat a la qual vola l’avió.
R: a) 8,82 ?10 8 J, 1,18 ?10 8 J; b) 153,62 m/s
0
Fig. 5.50
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 206 15/11/11 08:05

Pràctica
Estudi E de l’energia potencial i l’energia cinètica
TREBALL I ENERGIA
Objectiu
Determinar la velocitat amb què arriba un cos que llisca, sense rodar, a la part
de baix d’un pla inclinat, depenent de l’altura del pla i de l’angle d’inclinació.
Material
j Cronòmetre
j Carril
j Cinta mètrica
j Balances
j Suport
j Un cos que llisqui sense rodar
Fonament
Com hem vist en aquesta unitat, qualsevol cos per la seva situació en el camp
gravitatori terrestre té energia potencial gravitatòria, segons l’altura que té respecte
del sistema de referència triat.
També hem vist que l’energia és la capacitat que té un cos per realitzar treball.
Si situem un cos a la part superior d’un pla inclinat i el deixem caure lliurement
lliscant pel pla, l’energia potencial que posseeix el cos fa que es realitzi un treball
per fer-lo baixar i arribar fi ns a baix amb una certa velocitat; també pot
ser que s’aturi o que no es mogui per efecte del fregament entre el pla inclinat
i el cos.
Procediment
1. Amb la balança, determineu la massa del cos que llisca.
2. Amb la cinta mètrica, mesureu la longitud del carril.
3. Realitzeu el muntatge de la fi gura 5.51.
Fig. 5.51
4. Mesureu l’altura del suport que heu posat per muntar el pla inclinat.
5. Calculeu l’energia potencial del cos en la posició de dalt del pla inclinat.
6. Deixeu caure el cos pel pla tot mesurant el temps que tarda a arribar a la
part inferior. Repetiu-ho 10 vegades.
5 207
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 207 15/11/11 08:05

208 BLOC 2. DINÀMICA
5
7. Anoteu totes les mesures del temps a la taula 5.2 i calculeu la mitjana del temps
que l’objecte tarda a arribar a la part inferior.
x (longitud del carril):
t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t 10
8. Calculeu la velocitat amb què arriba a baix (recordeu que es tracta d’un MRUA
on v0 5 0 i t0 5 0). Amb les equacions del moviment i la velocitat trobem que:
x
v 5 2 —
t
9. Calculeu l’energia cinètica que té el cos quan arriba a baix del pla inclinat.
10. Repetiu tot el procediment, des del
punt 3 fi ns al punt 9, disminuint
l’altura del pla inclinat baixant una
mica el car ril (fi g. 5.52), ja que hem
de fer caure el cos i que re cor ri la
mateixa longitud de carril.
11. Torneu-ho a fer una altra vegada,
des del punt 3 fi ns al punt 9, disminuint
encara més l’altura del pla inclinat
(fi g. 5.53).
Anàlisi de resultats
Fig. 5.52
Fig. 5.53
Taula 5.2
1. Utilitzant les equacions del moviment i de la velocitat del MRUA, deduïu l’expressió
que hem utilitzat per calcular la velocitat del cos quan arriba a baix.
2. Observeu com varia, en canviar la inclinació del pla, la velocitat del cos en
arribar a baix del pla inclinat. De quina forma varia aquesta velocitat?
3. Compareu, en cada cas, l’energia potencial que té el cos a la part superior del
pla i l’energia cinètica que té quan arriba a baix. Són iguals?
4. Si no són iguals, calculeu la variació que hi ha en cada cas. Són semblants les
variacions?
5. Quina és la causa de la variació entre l’energia potencial i la cinètica?
05_UD05_Fisica1_batx_173-208.indd 208 15/11/11 08:05