Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
UN QUADRO<br />
Pablo Palazuelo, Sydus III, 1997. Oli<br />
sobre llenç.<br />
En moltes obres d’aquest pintor, i en especial<br />
en aquesta, podràs observar com busca<br />
composicions en les quals es connecten i<br />
entrecreuen línies. Es formen així xarxes en<br />
què la bellesa es crea a partir de la varietat de<br />
possibilitats que les formes canvien.<br />
UNA WEB<br />
http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/<br />
mem2001/dibujotecnico/index.html<br />
Entra en aquesta pàgina web i busca els<br />
capítols Polígonos II, Tangencias, Óvalos<br />
i Ovoides. Si actives el botó Reproducir<br />
observaràs com els polígons es van construint<br />
en moviment pas a pas.<br />
UN LLIBRE<br />
Bourgoin, J.: Arabic geometrical pattern<br />
&Design. Nueva York, Dòver.<br />
En les pàgines d’aquest llibre veuràs multitud<br />
de bells dissenys àrabs que es basen en els<br />
polígons regulars que, com el triangle equilàter i<br />
l’hexàgon, generen un sistema en què les xarxes<br />
geomètriques es descomponen en unitats<br />
idèntiques que es repeteixen en seqüències<br />
regulars.
ANÀLISI<br />
I REPRESENTACIÓ<br />
DE FORMES<br />
El nostre entorn és una font de formes que es<br />
relacionen entre elles tot creant estructures:<br />
els pètals que formen una flor, els engranatges<br />
que integren una màquina, etc. Entre<br />
els múltiples tipus de formes destaquen les<br />
orgàniques i les geomètriques. El tret més<br />
característic de les primeres és el seu contorn<br />
ondulat; predominen a la natura, tot i<br />
que també es troben entre els objectes artificials.<br />
Les formes geomètriques també abunden<br />
a la natura, però on es poden contemplar<br />
millor és en els elements fabricats pels éssers<br />
humans. No oblidem que les corbes, els<br />
polígons i la resta de formes geomètriques<br />
són abstraccions que utilitzem no només per<br />
construir, sinó també per interpretar la realitat<br />
que ens envolta. Al llarg de la història<br />
les han emprat nombrosos artistes d’estils<br />
molt diversos.<br />
4
90<br />
4 FORMES<br />
CD<br />
1<br />
En l’Activitat 1 del CD afermaràs<br />
els teus coneixements sobre<br />
el tractament de la forma<br />
orgànica.<br />
Vocabulari<br />
A<br />
Hiperrealisme: moviment<br />
artístic contemporani que va<br />
sorgir a mitjans segle XX i que es<br />
caracteritza per representar la<br />
realitat amb el màxim grau de<br />
fidelitat al model.<br />
A1<br />
ORGÀNIQUES<br />
Anomenem formes orgàniques a aquelles en la configuració de les quals<br />
predomina la línia corba sobre la línia recta. Les podem observar sobretot<br />
en elements de la naturalesa: núvols, arbres, aigües en moviment, etc. Per<br />
tant, moltes formes naturals es poden incloure també dins del grup de les<br />
orgàniques.<br />
A TRACTAMENT DE LA FORMA ORGÀNICA<br />
A la forma en general, i en particular a l’orgànica, se li poden donar diversos<br />
tractaments d’expressió. En aquesta ocasió et presentem tres possibilitats de<br />
treballar amb aquest tipus de forma.<br />
Tractament realista<br />
Fig. 4.1 Antonio López, Mans<br />
enguantades per a Marilyn a<br />
Embajadores, 1964.<br />
En aquest cas, les formes tracten d’imitar la realitat que veiem en el nostre<br />
entorn. En ocasions, també contribueixen a aquest propòsit elements com<br />
el color o la textura.<br />
En el dibuix titulat Mans enguantades per a Marilyn a Embajadores (Fig. 4.1),<br />
realitzat pel pintor Antonio López, un dels artistes plàstics més destacats<br />
del moviment hiperrrealista espanyol, es pot observar el realisme amb què<br />
han sigut dibuixades totes les formes que componen la imatge. S’ha registrat<br />
fins el detall per a mostrar de manera inequívoca com eren exactament<br />
els guants i l’acció que expressen. En el mateix sentit, Pedro Martínez Sierra<br />
dibuixa, a la seua obra Nu femení (Fig. 4.2), una representació realista de la<br />
figura humana.<br />
Fig. 4.2<br />
Pedro Martínez Sierra, Nu femení,<br />
1970-1971.
A2<br />
A3<br />
Tractament geomètric<br />
També anomenat geometrització o simplificació de la forma, bàsicament<br />
consisteix a suprimir de les formes els detalls que no són imprescindibles per<br />
a comprendre-les (Fig. 4.3).<br />
Aquesta manera de treballar fa que les formes siguen més comprensibles en<br />
eludir detalls poc significatius. No obstant això, hi ha el perill de simplificar<br />
de tal manera que la forma inicial aparega irrecognoscible als nostres ulls; el<br />
resultat, llavors, seria una imatge abstracta.<br />
Tractament de contorns i siluetes<br />
Recorda que contorn és la línia amb què dibuixem l’exterior de la forma, i<br />
silueta, la forma amb una superfície interior d’un mateix color o d’una mateixa<br />
textura.<br />
El contorn, en estar realitzat per una línia, es pot tractar amb distints gruixos<br />
i intensitats de grisos, en funció de la importància que tinga la forma en el<br />
conjunt. Amb aquest tractament s’aconsegueixen dibuixos d’una gran bellesa<br />
i sensibilitat, com el que va realitzar Pablo Ruiz Picasso sobre La metamorfosi<br />
d’Ovidi (Fig. 4.4).<br />
La utilització de siluetes dóna una major rotunditat a la visió de la forma i,<br />
per tant, al dibuix en la seua totalitat. No obstant això, té una part negativa<br />
respecte al tractament anterior, i és que es perd la sensibilitat del traç en el<br />
contorn. Tot i així, la silueta permet, tota sola, realitzar obres de gran expressivitat,<br />
com el Nu blau, d’Henri Matisse (Fig. 4.5)<br />
Fig. 4.4<br />
Pablo Ruiz Picasso, La metamorfosi d’Ovidi,<br />
1930. Relat de Nèstor sobre la guerra de Troia.<br />
Fig. 4.5<br />
Henri Matisse, Nu blau, 1952.<br />
Juan Gris, Natura morta amb<br />
botella i ganivet, 1912.<br />
Fig. 4.3<br />
91
Fig. 4.6<br />
Fig. 4.7<br />
92<br />
Fig. 4.8<br />
4 DIBUIXAR<br />
B<br />
B1<br />
B2<br />
B3<br />
AMB FORMES ORGÀNIQUES<br />
Abans de dibuixar una forma hem d’establir relacions entre les grandàries<br />
que tenen les seues parts. És a dir, entre unes parts i altres, i entre el tot i les<br />
parts.<br />
El procés d’elaboració d’un dibuix es pot simplificar en tres fases: encaixament,<br />
desenvolupament i detalls.<br />
Encaixament<br />
Consisteix a situar una o diverses formes dins de l’espai limitat pel paper de<br />
dibuix, de manera que totes les parts mantinguen la proporció correcta i<br />
ocupen el lloc adequat (Fig. 4.6).<br />
En aquesta fase no es dibuixen detalls. Es tracen línies generals de situació,<br />
simetria i contorns destacats amb un llapis bla, la qual cosa permet esborrar<br />
amb facilitat els traços no desitjats. Les formes observades de la realitat han<br />
de simplificar-se en figures geomètriques senzilles, com ara cercles, triangles,<br />
rectangles, etc., per a introduir després les configuracions concretes de les<br />
formes reals.<br />
Observa en el dibuix adjunt com aquesta operació facilita el mesurament i<br />
la proporció dels traçats.<br />
Desenvolupament<br />
Una vegada encaixades les formes convé aplicar-hi ombres per a definir-les<br />
millor. D’aquesta manera s’aconsegueix donar una impressió més aproximada<br />
a com són en la realitat (Fig. 4.7).<br />
Quan les ombres presenten un fort contrast i delimiten masses concretes<br />
es dibuixa l’ombra mitjançant línies auxiliars. Anomenem així les línies que<br />
s’utilitzen per a recolzar i aclarir els contorns interiors de formes complexes en<br />
un dibuix. Aquesta operació resulta més difícil en dibuixos en què les ombres<br />
queden difuminades, és a dir, que disminueixen de manera progressiva la<br />
seua nitidesa i no concreten bé els seus contorns.<br />
Detalls<br />
En aquesta fase es tractarà d’acabar el dibuix en<br />
proporcionar-li el major grau possible d’exactitud<br />
i aproximació a la realitat (Fig. 4.8).<br />
Es repassaran i corregiran els contorns de les formes<br />
delimitant-les amb major rigor. El mateix es<br />
farà amb les ombres. Observant-ne el conjunt i,<br />
en funció de la impressió general, es passarà a<br />
enfosquir les zones que així ho requerisquen i a<br />
aclarir amb una goma d’esborrar aquelles altres<br />
que estiguen pujades de to.
APLICACIONS: SIMPLIFICAR FORMES<br />
COMPLEXES<br />
Hem analitzat alguns dels tractaments expressius amb<br />
els quals es pot dibuixar: el realisme d’Antonio López<br />
en la seua obra Mans enguantades per a Marilyn a Embajadores;<br />
la geometrització de la forma que utilitzava<br />
habitualment Juan Gris per a l’elaboració de les seues<br />
pintures cubistes, i que tan magistralment fa servir en el<br />
seu quadre Flascó, botella i ganivet; i, fi nalment, el tractament<br />
de les formes mitjançant contorns i siluetes, fet<br />
servir per molts artistes plàstics per a expressar-se al llarg<br />
de la història.<br />
Pablo Ruiz Picasso va utilitzar per a realitzar la seua obra<br />
El Bou (Fig. 4.9) tots els tractaments expressius exposats<br />
de manera seqüenciada. És a dir, el procés que va seguir<br />
per a desenvolupar aquest dibuix va ser simplifi car les<br />
formes complexes que constitueixen la fi gura que desitjava<br />
plasmar, partint, per tant, de la versió més realista<br />
del bou, per a posteriorment anar reduint, mitjançant<br />
geometritzacions, les formes fi ns a aconseguir la imatge<br />
esquemàtica fi nal.<br />
Fig. 4.9a Pablo Ruiz Picasso, El Bou, 12 de desembre de 1945.<br />
Fig. 4.9b Pablo Ruiz Picasso, El Bou, 24 de desembre de 1945.<br />
Fig. 4.9c Pablo Ruiz Picasso, El Bou, 26 de desembre de 1945.<br />
Fig. 4.9d Pablo Ruiz Picasso, El Bou, 2 de gener de 1946.<br />
Fig. 4.9e Pablo Ruiz Picasso, El Bou, 5 de gener de 1946.<br />
Fig. 4.9f<br />
Pablo Ruiz Picasso, El Bou, 17 de gener de 1946.<br />
Ara fes-ho-tu<br />
Prova tu també de simplifi car formes. Realitza un dibuix d’algun animal domèstic, com<br />
ara un gos, un gat, o qualsevol altre que se t’ocórrega, amb el tractament de la forma per<br />
mitjà del contorn, i el procediment de simplifi cació de la forma.<br />
93
Fig. 4.10<br />
94<br />
4 FORMES<br />
<br />
<br />
2<br />
A<br />
<br />
Fig. 4.11<br />
<br />
<br />
Fig. 4.12<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
GEOMÈTRIQUES<br />
CONSTRUCCIÓ DE POLÍGONS REGULARS CONEIXENT-NE<br />
EL COSTAT<br />
Els mètodes de representació són de dos tipus: un de caràcter general, és a<br />
dir, que es pot aplicar a qualsevol polígon regular amb el nombre de costats<br />
que desitgem; i un altre de particular, per a cada polígon en concret.<br />
S’utilitzen mètodes particulars, per la senzillesa dels seus traçats, en la<br />
construcció dels següents polígons: triangle equilàter, quadrat, pentàgon,<br />
hexàgon, heptàgon i octògon. L’aplicació del mètode general l’usarem quan<br />
calga dibuixar polígons amb més de huit costats.<br />
Mètodes particulars<br />
– Traçat del triangle equilàter coneixent-ne el costat (Fig. 4.10)<br />
1. Dibuixem un segment AB amb el valor del costat que es dóna.<br />
2. Fent centre de manera successiva en els vèrtexs A i B, amb una obertura<br />
de compàs igual a AB, tracem dos arcs que determinen el punt C, vèrtex<br />
oposat al costat AB.<br />
3. El triangle demanat s’obté en unir C amb A i amb B.<br />
– Traçat del quadrat coneixent-ne el costat (Fig. 4.11)<br />
1. Tracem el costat AB donat.<br />
2. S’alça una recta perpendicular sobre cadascun dels vèrtexs A i B amb<br />
l’escaire i el cartabó. A partir de A es traça una recta obliqua que forme<br />
amb el costat AB un angle de 45 °. Aquesta recta determinarà el punt C en<br />
tallar la perpendicular traçada en B.<br />
3. Simplement traçant una paral·lela a AB per C obtenim el quadrat que volem<br />
determinar.<br />
– Traçat del pentàgon coneixent-ne el costat (Fig. 4.12)<br />
1. Dibuixem el costat AB amb el valor donat i trobem la seua mediatriu,<br />
amb la qual cosa obtenim el punt P.<br />
2. S’alça una recta perpendicular en B, i des d’aquest punt, i amb radi<br />
BA, es traça un arc que determinarà el punt J en tallar la perpendicular<br />
traçada abans.<br />
3. Amb radi PJ i centre en P es dibuixa un arc que tallarà en el punt M<br />
la prolongació de AB.<br />
4. Prenent com a centre A, i una obertura de compàs AM, dibuixem<br />
un arc que determina el punt D sobre la mediatriu.<br />
5. Finalment, tracem arcs amb centre en D, A i B, i radi igual al costat<br />
AB. Aquests arcs, en tallar-se entre si, determinen els punts C i E,<br />
vèrtexs del pentàgon. El pentàgon s’obté unint els punts C, D i E<br />
amb els extrems A i B.
– Traçat de l’hexàgon regular coneixent-ne el costat<br />
(Fig. 4.13)<br />
L’hexàgon regular és l’únic polígon regular en què es<br />
compleix la igualtat del costat i del radi de la circumferència<br />
circumscrita. Açò en facilita la construcció, ja<br />
que, si ens donen el valor del costat o del radi que el<br />
circumscriu, podrem construir-lo sempre de la mateixa<br />
manera.<br />
1. Tracem una circumferència de radi r igual al costat AB<br />
donat i un diàmetre qualsevol, AD.<br />
2. Amb centre en A i radi AO es descriu un arc que talle<br />
la circumferència en els punts B i F. De la mateixa manera,<br />
fent centre en D amb radi DO es traça un arc que<br />
torne a tallar la circumferència en els punts E i C.<br />
3. En unir aquests punts entre si obtenim l’hexàgon.<br />
– Traçat de l’heptàgon regular coneixent-ne el costat<br />
(Fig. 4.14)<br />
1. Dibuixem el costat AB i es traça una perpendicular<br />
per un dels seus extrems, per exemple, el B. Es traça<br />
també la mediatriu d’aquest costat.<br />
2. En l’extrem A, sobre AB construïm un angle de 30 °, i<br />
prolonguem el costat fins que es talle en la perpendicular<br />
traçada des de B en el punt P. Per a fer aquest<br />
angle s’ha transportat el de 30 ° que ofereix el cartabó.<br />
3. Amb centre en A i radi AP descrivim un arc que tallarà<br />
a la mediatriu de AB en el punt O, centre de la<br />
circumferència circumscrita a l’heptàgon, el radi de<br />
la qual serà el segment OA o OB.<br />
4. Sobre la circumferència traslladem la magnitud del<br />
costat AB set vegades, i obtenim els punts C, D, E, F i<br />
G.<br />
5. -L’heptàgon que ens demanen es determina unint els<br />
punts.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Fig. 4.13<br />
<br />
<br />
Fig. 4.14<br />
95
Fig. 4.15<br />
<br />
<br />
<br />
96<br />
<br />
<br />
4 –<br />
<br />
<br />
<br />
CD<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
En l’Activitat 2 del CD podràs<br />
repassar els conceptes<br />
relacionats amb el traçat de<br />
polígons regulars.<br />
<br />
<br />
Fig. 4.16<br />
A2<br />
<br />
Traçat de l’octògon regular coneixent-ne el costat (Fig. 4.15)<br />
1. Amb la magnitud AB, costat de l’octògon, construïm un quadrat amb<br />
aquest valor de costat.<br />
2. Es tracen les diagonals per tal de determinar el punt P, centre d’aquest<br />
quadrat. Amb centre en P i radi PA es traça un arc que tallarà en O la mediatriu<br />
de AB.<br />
3. El punt O és el centre de la circumferència circumscrita a l’octògon, el radi<br />
de la qual és el segment OA o OB.<br />
4. Sobre aquesta circumferència es trasllada la magnitud del costat AB huit<br />
vegades, amb la qual cosa resulten els punts C, D, E, F, G i H.<br />
5. En unir aquests punts es determina la figura de l’octògon.<br />
Mètode general coneixent el costat<br />
Per a estudiar els diferents processos d’aquest mètode prendrem com a exemple<br />
la construcció d’un enneàgon regular de costat AB (Fig. 4.16).<br />
1. Trobem la mediatriu del segment AB.<br />
2. Amb centre en A i radi AB es traça un arc que tallarà la mediatriu en el punt<br />
C (observa que el punt C és el centre de l’hexàgon regular de costat AB).<br />
Sobre aquesta recta estaran situats els centres de les circumferències dels<br />
polígons.<br />
3. Amb centre en C i radi AC es traça una circumferència, i, on aquesta talla<br />
la mediatriu, s’obté el punt P.<br />
4. El radi CP es divideix en sis parts iguals, i per a això apliquem el teorema<br />
de Tales. Trobem així els punts 7, 8, 9, 10, 11 i 12. Cadascun d’aquests punts<br />
constitueix el centre de la circumferència circumscrita als polígons regulars<br />
de 7, 8, 9... costats.<br />
5. En el nostre cas, el centre serà el punt 9 i el radi, la magnitud A9. Tracem la<br />
circumferència i, a partir de A, portem el valor de AB amb el compàs sobre<br />
aquesta tantes vegades com costats tinga el polígon proposat.<br />
6. Finalment, unim els vèrtexs determinats anteriorment per a construir el<br />
polígon.
B<br />
B1<br />
TANGÈNCIES<br />
Diem que dues figures són tangents quan tenen un sol punt en comú, denominat<br />
punt de tangència (Fig. 4.17 La unió harmònica entre corbes i rectes o<br />
de corbes entre si s’anomena enllaç (Fig. 4.18) i aquesta unió ha de produir-se<br />
per tangència.<br />
<br />
Les tangències poden ser entre circumferències i rectes, entre polígons i rectes,<br />
entre circumferències i polígons, etc. No obstant això, les tangències més<br />
habituals en els dibuixos geomètrics són les que es generen entre rectes i<br />
circumferències, i entre circumferències entre si.<br />
Propietats bàsiques de les tangències<br />
Per a solucionar amb exactitud els traçats de tangències hem de tindre en<br />
compte els teoremes següents:<br />
– Primer teorema: una recta és tangent<br />
a una circumferència quan tenen entre<br />
si només un punt (M) en comú, i la<br />
recta és perpendicular al radi de la circumferència<br />
en el punt (M). (Fig. 4.19)<br />
<br />
<br />
– Segon teorema: una circumferència és tangent a dues rectes que es tallen<br />
si el seu centre està situat en la bisectriu de l’angle que formen les rectes<br />
(Fig. 4.20).<br />
– Tercer teorema: dues circumferències són tangents si tenen un punt en<br />
comú (N) alineat amb els centres de les circumferències. (Fig. 4.21).<br />
<br />
Fig. 4.17<br />
<br />
<br />
<br />
Fig. 4.20<br />
<br />
<br />
Fig. 4.18<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Fig. 4.21<br />
Fig. 4.19<br />
97
Fig. 4.22<br />
Fig. 4.23<br />
Fig. 4.24<br />
98<br />
4 Tangència<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
B2<br />
entre recta i circumferència<br />
A continuació, et presentem alguns dels traçats de tangències que es fan<br />
servir amb més freqüència en dibuix tècnic.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
– Traçat d’una recta tangent a una circumferència<br />
coneguda per un punt P<br />
de la recta (Fig. 4.22)<br />
1. Tracem el radi que uneix els punts O<br />
i P.<br />
2. A continuació, dibuixem pel punt P la<br />
recta perpendicular al radi, que és la<br />
recta tangent r buscada.<br />
– Traçat de rectes tangents a una circumferència<br />
coneguda des d’un punt<br />
P exterior (Fig. 4.23)<br />
1. Unim el punt P amb el centre de la circumferència,<br />
O, i es dibuixa la mediatriu,<br />
per a obtindre així el punt H.<br />
2. Amb centre en H i radi HO, dibuixem un<br />
arc que talla la circumferència donada<br />
en els punts M i M´, que són els punts<br />
de tangència.<br />
3. Les rectes de tangència r i s resulten<br />
d’unir el punt P amb M i M´.<br />
– Traçat d’una circumferència de radi<br />
conegut tangent a dues rectes r i s<br />
convergents (Fig. 4.24)<br />
1. Es dibuixa la bisectriu de l’angle que<br />
determinen les rectes.<br />
2. Es traça una recta t paral·lela a una de les<br />
rectes donades i, separada d’aquesta, la<br />
mesura del radi r conegut. La intersecció<br />
de s amb la bisectriu és el centre de<br />
la circumferència que s’ha de traçar.<br />
3. Els punts de tangència són M i M’, que<br />
es troben en dibuixar els radis perpendiculars<br />
a les rectes r i s.
– Traçat d’una circumferència que passa pel punt<br />
M i és tangent en P a la recta r (Fig. 4.25)<br />
1. Com que M i P han de ser punts de la circumferència<br />
que es desitja traçar, el seu centre ha de trobar-se en<br />
la mediatriu de MP.<br />
2. En ser P el punt de tangència en la recta r, el centre<br />
O de la circumferència se situa on la perpendicular<br />
traçada des de P a r talla la mediatriu MP.<br />
– Traçat de rectes tangents exteriors a dues circumferències<br />
conegudes de diferent radi (Fig. 4.26)<br />
1. Unim els punts O i O´ i trobem el punt mig de OO’, al<br />
qual anomenem H.<br />
2. Tracem una circumferència concèntrica a la de major<br />
radi que siga igual a la diferència entre els radis major<br />
i menor.<br />
3. Amb centre en H i radi HO tracem un arc fins que talle<br />
la circumferància auxiliar en M i M’.<br />
4. Unim O amb M i M´. Resulten els punts U i V.<br />
5. Dibuixem per O´ dos radis paral·lels a OV i OU per a<br />
aconseguir els punts S i T. En unir V amb T i U amb S,<br />
tracem les rectes tangents r i l.<br />
– Traçat de rectes tangents interiors a dues circumferències<br />
conegudes i de diferent radi (Fig. 4.27)<br />
1. Unim els punts O i O´ i determinem el punt mig de<br />
OO’, que és H.<br />
2. Tracem una circumferència de radi igual a r més r´ i<br />
amb centre en O.<br />
3. Trobem una altra circumferència amb radi HO i centre<br />
en H, que tallarà a l’anterior en els punts M i M’.<br />
4. Unim els punts M i M’ amb O i O’, amb la qual cosa<br />
obtenim els punts U i V en les circumferències.<br />
5. Dibuixem per O’ dos radis paral·lels OV i OU, que hem<br />
de traçar en sentit contrari per a aconseguir els punts<br />
S i T.<br />
6. Cal dibuixar les rectes que contenen, respectivament,<br />
U i T, i V i S, per a arribar a les rectes tangents r i l.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Fig. 4.25<br />
<br />
<br />
<br />
Fig. 4.26<br />
<br />
Fig. 4.27<br />
<br />
<br />
99
Fig. 4.28<br />
Fig. 4.29<br />
Fig. 4.30<br />
100<br />
<br />
4 Tangència<br />
<br />
<br />
<br />
B3<br />
entre circumferències<br />
Les circumferències tangents poden ser de dos tipus: interiors i exteriors. En<br />
les primeres, la distància dels seus centres és igual a la diferència dels seus<br />
radis; i en la segones, la distància dels centres és igual a la suma dels radis.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
– Traçat d’una circumferència de radi<br />
r tangent exterior a una altra circumferència<br />
coneguda de centre O<br />
en el punt P (Fig. 4.28).<br />
1. Prolonguem un radi de O que continga<br />
el punt P.<br />
2. Sumem el radi r a partir de P i obtenim<br />
O’.<br />
3. Finalment, tracem la circumferència que<br />
buscàvem amb centre en O´ i radi O’P.<br />
– Traçat d’una circumferència tangent<br />
a una altra coneguda en un punt M i<br />
que passe per un altre punt interior<br />
N (Fig. 4.29)<br />
1. En ser M i N punts de la mateixa circumferència,<br />
el seu centre estarà en la<br />
mediatriu de MN.<br />
2. Unim O amb M i, on talle la mediatriu,<br />
obtenim el centre O’ de la circumferència,<br />
que dibuixarem amb radi O’N.<br />
– Traçat d’una circumferència de radi<br />
r conegut, tangent a una altra circumferència<br />
i a una recta donada<br />
(Fig. 4.30)<br />
1. Tracem un arc amb centre en O que<br />
tinga com a radi la suma del radi de la<br />
circumferència donada més el radi conegut.<br />
2. Dibuixem una recta paral·lela a la recta<br />
donada que diste d’aquesta la mesura<br />
del radi que coneixem. La intersecció<br />
d’aquesta paral·lela amb l’arc és el<br />
centre O de la circumferència buscada,<br />
i els punts M i N són els punts de<br />
tangència.
C<br />
C1<br />
ENLLAÇOS<br />
Oval i ovoide<br />
Els ovals i els ovoides són corbes planes, tancades i simètriques. Les primeres<br />
són simètriques respecte als seus dos eixos perpendiculars, mentre que<br />
les segones ho són només en relació amb el seu eix major. En els dos casos,<br />
aquestes figures estan formades per quatre arcs de circumferència.<br />
– Traçat d’un oval del qual coneixem els dos eixos (Fig. 4.31)<br />
1. Tracem un arc de centre en O amb radi OA que talla la prolongació de CD<br />
en el punt P. Unim A amb C.<br />
2. Dibuixem un arc de radi CP amb centre en C fins a tallar el segment AC en<br />
V.<br />
3. Dibuixem la mediatriu de AV, que talla la prolongació de OD en el punt M<br />
o dins del segment, i al semieix major en el punt N.<br />
4. Dibuixem els punts simètrics de M i N respecte als eixos de l’oval, M’ i N’.<br />
5. Unim els punts M i M’ amb N i N’, respectivament, i tracem els arcs de centre<br />
M’ i M amb radi M’D i MC, amb la qual cosa obtenim els punts Q i Q’ i P i<br />
P.<br />
6. Finalment, dibuixem els arcs de centre N i N’ amb radi NA i N’B fins als<br />
punts de tangència anteriorment traçats: Q i Q’ i P i P’; d’aquesta manera<br />
aconseguim construir l’oval.<br />
– Traçat d’un ovoide del qual coneixem l’eix menor (Fig. 4.32)<br />
1. Dibuixem la mediatriu de l’eix conegut AB i obtenim el punt O.<br />
2. Amb centre en O i radi OA, tracem una circumferència que tallarà la mediatriu<br />
en el punt P.<br />
3. Unim els punts A i B amb P, amb la qual cosa s’arriba a les rectes r i s.<br />
4. Se Dibuixem dos arcs amb radi AB i centre en els punts A i B, i obtenim els<br />
punts M i M’.<br />
5. Amb centre en P i radi PM o PM’, tracem l’últim arc que configura l’ovoide<br />
que se’ns demana.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Fig. 4.32<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Fig. 4.31<br />
<br />
<br />
101
Fig. 4.33<br />
102<br />
4 C2 Espirals<br />
Les espirals són corbes planes, obertes i contínues que es configuren en<br />
expansió al voltant d’un nucli central, lineal o poligonal, mitjançant arcs de<br />
circumferència.<br />
<br />
CD<br />
En l’Activitat 3 del CD<br />
descobriràs que l’espiral està<br />
present en molts objectes<br />
quotidians.<br />
En una espiral, el pas és la distància longitudinal que es desplaça un punt<br />
d’aquesta en una volta completa.<br />
– Traçat d’una espiral de dos centres (Fig. 4.33)<br />
1. Dibuixem una recta sobre la qual definim dos punts, 1 y 2.<br />
2. Fem centre en el punt 1 i, amb radi igual al segment 1-2, tracem una semicircumferència.<br />
En tallar la recta obtenim el punt A.<br />
3. Prenent com a centre el punt 2 i com a radi 2A, dibuixem una altra semicircumferència<br />
fins a determinar el punt B sobre la recta.<br />
4. Prenem 1 com a centre i amb radi 1B tornem a dibuixar una altra semicircumferència,<br />
de manera que resulta el punt C. Així, alterant successivament<br />
els centres 1 i 2, i traçant semicircumferències, es va configurant l’espiral.<br />
– Traçat d’una espiral de tres centres situats en els vèrtexs d’un triangle<br />
equilàter (Fig. 4.34)<br />
1. Dibuixem un triangle equilàter al qual prolonguem els costats i numerem<br />
els vèrtexs: 1, 2 i 3.<br />
2. Amb centre en el punt 1 i amb radi 1-3, realitzem un arc de circumferència<br />
fins a determinar el punt A sobre el costat prolongat 2-1 del triangle.<br />
3. De la mateixa manera, fent centre en el punt 2 i amb radi 2A, dibuixem un<br />
altre arc fins a obtindre el punt B sobre el costat 3-2, també prolongat.<br />
4. Alterant aquest procediment successivament (centre en 3 amb radi 3B que<br />
determina el punt C, etc.) es va construint l’espiral.<br />
Fig. 4.34
APLICACIONS: POLÍGONS REGULARS<br />
EN ELS OBJECTES<br />
Des dels orígens, l’ésser humà, en observar la naturalesa,<br />
va advertir els múltiples avantatges que oferien les formes<br />
poligonals i, més concretament, les de confi guració<br />
regular.<br />
Si ens fi xem en el nostre entorn, ens adonarem que<br />
en molts dels objectes que ens envolten estan presents<br />
els polígons regulars: des de la forma del quadrat<br />
d’algunes fi nestres dels edifi cis fi ns al paviment<br />
que xafem en les voreres estan constituïts per aquest<br />
L’espiral en el disseny gràfi c<br />
Observa la Figura 4.36. . És un grafi sme que es construeix fent arrancar successives<br />
espirals de huit centres a partir d’un octògon regular. Observa com<br />
s’ha realitzat el dibuix. Veuràs que és molt senzill i que es presta per a fer<br />
interpretacions variades lliures sobre la idea d’espiral.<br />
Basant-te en aquests coneixements sobre l’espiral i en el que has aprés en<br />
aquesta unitat, dibuixa un grafi sme similar al que et presentem. Per aconseguir<br />
major expressivitat en els teus treballs, aplica-hi color una vegada que<br />
estiguen fets amb llapis. Utilitza retoladors.<br />
Ara fes-ho-tu<br />
Elegeix dos objectes que tingues a casa la forma dels quals estiga confi gurada per algun<br />
polígon regular. Dibuixa’ls sobre un paper format A-4 i comenta per què penses que el<br />
dissenyador ha fet servir en la seua obra aquell polígon.<br />
i d’altres polígons regulars (triangles, pentàgons,<br />
hexàgons, etcètera).<br />
En l’actualitat, una bona part dels objectes que es fabriquen<br />
estan realitzats amb alguns tipus d’estructura<br />
poligonal regular. Una de les més senzilles és l’estructura<br />
espacial mitjançant retícules triangulars regulars o<br />
quadrades. Alguns exemples els podem veure en els dissenys<br />
d’estructures d’edifi cis, mobles, peces industrials,<br />
etcètera (Fig. 4.35).<br />
Fig. 4.35<br />
Fig. 4.36<br />
103
Fig. 4.37<br />
104<br />
4 3<br />
ESTRUCTURES<br />
Recorda<br />
Podem definir una estructura<br />
bidimensional com una<br />
organització lineal que compon<br />
i ordena una superfície.<br />
Si observem aquestes imatges (Fig. 4.37) en principi no apreciem que tinguen<br />
res en comú. Les formes i els colors són totalment diferents, a més, unes són<br />
formes creades per la naturalesa, mentre que altres han sigut realitzades per<br />
l’ésser humà. No obstant això, si ens hi fixem detingudament, descobrim que<br />
el que tenen en comú és la idea d’estructura. És a dir, les línies interiors que<br />
distribueixen i ordenen les formes que componen la imatge: situació concreta<br />
d’espais interiors i exteriors, formes que es repeteixen de manera seqüenciada<br />
i harmònica, etcètera.<br />
Per molt irregulars que siguen les formes, hi ha un ordre intern que estructura<br />
i condiciona la seua aparença externa. L’ordre i la proporció que tenen les<br />
formes en moltes ocasions estan determinats per la seua funció. Les formes<br />
procedents de la naturalesa responen a estructures concretes basades en<br />
relacions matemàtiques, com ara la cristal·lització dels minerals o els nervis<br />
que formen part d’una fulla.<br />
Estructures bidimensionals<br />
Estructures regulars Es distingeixen perquè tots els elements que les componen són iguals i perquè segueixen un<br />
ordenament regular. Les més característiques són les simètriques amb un eix, les radials, les unidireccionals,<br />
les bàsiques i les complexes<br />
Estructures irregulars Es caracteritzen perquè els elements que les componen són desiguals i no posseeixen un ordenament<br />
regular. Són bàsicament tres: radials, unidireccionals i complexes.
A<br />
B<br />
ESTRUCTURES REGULARS<br />
Ja hem comentat que les estructures regulars es caracteritzen perquè els<br />
elements que les componen són iguals i mantenen una distribució regular.<br />
Les estructures regulars poden ser:<br />
• Simètriques respecte a un eix (Fig. 4.38): els elements de l’estructura<br />
regular estan repetits, de manera invertida, a l’un i a l’altre costat d’un eix<br />
de simetria.<br />
• Radials (Fig. 4.39): són les estructures regulars que estan formades per<br />
elements que parteixen d’un centre i es distribueixen en l’espai, repetits<br />
de manera regular.<br />
• Unidireccionals (Fig. 4.40): es denomina així a una estructura regular quan<br />
hi ha un conjunt de línies paral·leles que organitza i ordena els elements de<br />
la composició.<br />
• Bàsiques (Fig. 4.41): Aquest tipus d’estructures també es coneixen com a<br />
xarxes planes bàsiques i ja les has estudiat en cursos anteriors. Recorda que<br />
són aquelles que s’estructuren mitjançant triangles equilàters i quadrats. La<br />
suma de xarxes bàsiques genera xarxes complexes (Fig. 4.42).<br />
ESTRUCTURES IRREGULARS<br />
Les estructures irregulars poden ser:<br />
• Radials (Fig. 4.43): es caracteritzen perquè tenen una forma circular i, per<br />
tant, els elements lineals que la formen tenen el seu origen en el centre.<br />
• Unidireccionals (Fig. 4.44): són aquelles en què tots els elements s’orienten<br />
cap a una mateixa direcció.<br />
• Complexes (Fig. 4.45): es distingeixen perquè els elements lineals estructurals<br />
no tenen una ordenació regular.<br />
Fig. 4.43<br />
Fig. 4.40<br />
Fig. 4.44<br />
Fig. 4.41<br />
Fig. 4.45<br />
CD<br />
En l’Activitat 4 del CD<br />
aprendràs a apreciar<br />
estructures regulars en l’entorn.<br />
CD<br />
En l’Activitat 5 del CD posaràs<br />
a prova els teus coneixements<br />
sobre estructures irregulars.<br />
Fig. 4.38<br />
Fig. 4.39<br />
Fig. 4.42<br />
105
106<br />
4 C MÒDUL<br />
El mòdul és una forma que pot ser regular o irregular, que es repeteix un<br />
nombre concret de vegades i en un determinat ordre. Amb un mòdul es poden<br />
crear estructures regulars o irregulars, tant en el pla com en l’espai. Per<br />
exemple, són mòduls bàsics els triangles equilàters i els quadrats que fermen<br />
les xarxes planes bàsiques.<br />
De moment, ens interessa analitzar els mòduls bidimensionals; per això, els<br />
exemples que et presentem giren entorn d’aquesta idea.<br />
Hi ha la possibilitat de crear altres tipus de mòduls, que es formen mitjançant<br />
la unió de dos, tres o més mòduls. A aquests mòduls se’ls denomina mòduls<br />
compostos (Fig. 4.47).<br />
Fig. 4.46<br />
Les xarxes bàsiques també solen utilitzar-se com a base per a realitzar composicions<br />
més complexes; per exemple, en la xarxa triangular poden dibuixar-se<br />
hexàgons (Fig. 4.48), i en la xarxa quadrada, octògons (Fig. 4.49).<br />
Fig. 4.48<br />
Fig. 4.49<br />
A més, ambdues xarxes serveixen de base per a realitzar composicions encara<br />
molt més complexes utilitzant línies diagonals, semicirculars, circulars,<br />
etcètera (Fig. 4.50).<br />
Fig. 4.50<br />
Fig. 4.47
D<br />
SUBMÒDUL<br />
Un submòdul és una part d’un mòdul, d’igual forma que aquest, i que es troba<br />
contingut un nombre exacte de vegades en el mòdul. Fixa’t en les imatges<br />
que et mostrem. Si dibuixem, per exemple, un quadrat de 40 mm de costat i<br />
el prenem com a mòdul podrem observar que els setze quadrats de 10 mm<br />
de costat que es poden dibuixar dins del quadrat són, per definició, submòduls<br />
d’aquest (Fig. 4.51). Per tant, mòduls i submòduls d’igual forma poden<br />
compondre’s de múltiples maneres entre si, i constituir estructures que poden<br />
ser des de molt senzilles a molt complexes.<br />
Una de les possibilitats plàstiques que brinda el submòdul és la capacitat<br />
de crear una nova estructura o xarxa modular de dimensions menors, i fins i<br />
tot de combinar diferents grandàries de submòduls. Aquesta possibilitat de<br />
manipulació permet realitzar composicions d’una gran bellesa compositiva<br />
i plàstica (Fig. 4.52).<br />
Els dibuixos que hi ha a continuació han sigut realitzats per persones de la<br />
teua edat. Com pots veure, s’ha partit per a la seua realització de xarxes submodulars,<br />
basades en quadrats i triangles equilàters (Figs. 4.53 i 4.54).<br />
Fig. 4.53<br />
<br />
<br />
Fig. 4.52<br />
Fig. 4.51<br />
Fig. 4.54<br />
107
Fig. 4.57<br />
Units).<br />
108<br />
4 SUPERPOSICIÓ<br />
Disseny del Carpenter Centre for<br />
Visual Arts (Cambridge, Estats<br />
E<br />
D’ESTRUCTURES BÀSIQUES<br />
Si superposem dues estructures o xarxes bàsiques, una quadrada i una altra<br />
triangular, i fem coincidir els centres dels quadrats o triangles equilàters amb<br />
els vèrtexs on concorren les xarxes, obtenim una nova estructura que possibilita<br />
la realització de formes planes o volumètriques.<br />
Observa com la superposició d’una xarxa de quadrats sobre una altra amb<br />
quadrats més xicotets, i situats en sentit diagonal, genera triangles rectangles<br />
isòsceles (Fig. 4.55). D’altra banda, la superposició d’una xarxa de triangles<br />
equilàters amb una altra del mateix tipus de triangles, però amb costats que<br />
mesuren 2/3 de l’altura dels primers, dóna lloc a una xarxa de triangles rectangles<br />
amb angles de 60 ° i 30 ° (Fig. 4.56).<br />
Fig. 4.55<br />
El pintor espanyol José María Yturralde, o institucions<br />
com ara el Carpenter Center For Visual<br />
Arts de Cambridge (Estats Units), apliquen<br />
aquesta estratègia constructiva<br />
per a realitzar obres plàstiques<br />
(Figs. 4.57 i 4.58). Observa<br />
els exemples que et mostrem.<br />
Comprovaràs que,<br />
aplicant el concepte de<br />
superposició d’estructures<br />
bàsiques, es poden crear<br />
infinitat de composicions,<br />
totes amb un gran sentit<br />
de l’estètica.<br />
Fig. 4.58<br />
Disseny de José María Yturralde.<br />
Fig. 4.56
4<br />
A<br />
B<br />
B1<br />
RELACIONS MÈTRIQUES<br />
PROPORCIÓ<br />
En geometria es diu que la proporció és la relació que<br />
existeix entre dues figures que tenen la mateixa forma<br />
però diferent mida. (Fig. 4.59).<br />
SEMBLANÇA<br />
Ara recordarem i aprofundirem alguns aspectes de<br />
la semblança lligats a la proporció en el seu vessant<br />
geomètric.<br />
Dues figures són semblants quan tenen tots els seus<br />
angles iguals i els costats proporcionals i disposats en<br />
el mateix ordre. Els elements que es corresponen en<br />
una semblança, és a dir, els angles i els costats, es denominen<br />
homòlegs (Fig. 4.60).<br />
Una de les propietats més notables de la semblança<br />
consisteix que, perquè dues figures planes siguen semblants,<br />
la relació o proporció entre les àrees ha de ser<br />
igual a la proporció entre els quadrats de dues aristes<br />
homòlogues.<br />
Construcció de figures geomètriques<br />
semblants<br />
Per a construir polígons semblants, hi ha diversos procediments;<br />
els més habituals són els que es basen en<br />
el paral·lelisme dels seus costats. En aquesta ocasió,<br />
et presentem un mètode molt senzill d’aplicar (Fig.<br />
4.61):<br />
– Partim sempre d’un punt O qualsevol fora del polígon<br />
en què s’uniran les línies que contenen els vèrtexs<br />
dels polígons, tant de l’inicial com del semblant<br />
que s’ha de construir.<br />
– -Des de O tracem rectes que continguen els vèrtexs<br />
del polígon i les prolonguem. Se situa un punt qualsevol<br />
sobre una de les rectes, per exemple, A.<br />
– D’aquesta manera, traçant els costats paral·lels al polígon<br />
donat, construirem un polígon proporcional al<br />
polígon de partida.<br />
Observa que amb aquest procediment es poden realitzar<br />
figures semblants de format major o menor que<br />
l’original.<br />
A<br />
B<br />
A'B' = ZAB<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A' B'<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Fig. 4.59<br />
Fig. 4.60<br />
Fig. 4.61<br />
109
Fig. 4.62<br />
110<br />
4 SECCIÓ<br />
Recorda<br />
M<br />
r<br />
AO<br />
C<br />
Es denomina secció àuria a la<br />
proporció que es considera més<br />
harmònica i estètica entre dues<br />
dimensions.<br />
C1<br />
ÀURIA<br />
En el Renaixement italià, període que comprén els segles XV i XVI, per a compondre<br />
dibuixos, pintures, escultures i edificis es van utilitzar els principis<br />
sobre la proporció que havia deixat escrits l’arquitecte romà Vitruvi 1500 anys<br />
abans. Aquests treballs desenvolupen en algun dels seus apartats el que es<br />
coneix com la secció àuria.<br />
La definició pot expressar-se d’aquesta manera: perquè un segment dividit en<br />
dues parts desiguals resulte harmònic, ha d’existir entre la part menor (AC) i la<br />
major (CB) la mateixa relació que entre la part major i el tot, és a dir, AB.<br />
A C B<br />
AC CB<br />
=<br />
CB AB<br />
Divisió àuria d’un segment donat AB (Fig. 4.62)<br />
• Es traça la mediatriu del segment AB que ens donen per a determinar el<br />
punt O. Per un dels extrems del segment, per exemple A, es dibuixa una<br />
recta r perpendicular a AB.<br />
• A continuació, tracem un arc amb centre en A i radi AO fins a tallar en el<br />
punt M la recta r. Després s’uneix M amb B.<br />
• Amb centre en M i amb radi MA, es traça un arc que tallarà el segment MB<br />
en el punt N.<br />
• Amb centre en B i radi BN es traça un arc que talla el segment AB en el punt<br />
C i el divideix en dues parts desiguals, AC i CB, les quals tenen entre si la<br />
proporció àuria.<br />
A O B A C O B<br />
M<br />
r MA<br />
N<br />
NB
D<br />
D1<br />
D2<br />
ESCALES<br />
De vegades, quan s’ha de representar un objecte, sorgeixen dificultats derivades<br />
de la seua grandària, bé perquè és molt gran per a dibuixar-lo en els<br />
límits del paper de dibuix, o bé perquè és molt xicotet i no es poden precisar<br />
detalls de la seua forma. Les escales sorgeixen per a donar solució a aquests<br />
problemes que es plantegen en la representació gràfica dels objectes.<br />
Tipus d’escales<br />
Hi ha tres tipus d’escales:<br />
• Escala natural (Fig. 4.63): és la que té la relació 1:1. En aquesta, les mesures<br />
del dibuix són iguals que les de la realitat.<br />
• Escala de reducció (Fig. 4.64): les mesures del dibuix són menors que les<br />
reals; per exemple, 1/2.<br />
• Escala d’ampliació (Fig. 4.65 aquest cas les mesures del dibuix són majors<br />
que les reals; per exemple, 3/2.<br />
Construcció d’escales gràfiques<br />
És possible expressar les escales de manera gràfica i de forma proporcional<br />
sobre un segment graduat. Aquest procediment permet llegir i transportar<br />
directament les mesures que necessitem per a comprendre o executar un<br />
dibuix amb rapidesa i exactitud.<br />
El mètode amb què es realitza una escala gràfica (també anomenada volant)<br />
es basa a determinar el valor de la unitat en l’escala. Perquè aquesta escala<br />
gràfica tinga a més una grandària de treball adequada, és convenient elegir<br />
bé la unitat en què es va a desenvolupar. Es mesuren les dècimes d’una unitat<br />
d’escala, i es construeix la contraescala, per a la qual cosa es divideix aquesta<br />
unitat en deu parts iguals.<br />
Posarem ara un exemple d’aquest procediment (Fig. 4.66):<br />
Suposem que l’escala és d’1/8. Podríem expressar-la també en forma decimal:<br />
0,125, la qual cosa ens indica que, per cada unitat en la realitat, utilitzem 0,125<br />
unitats en el dibuix.<br />
Recorda<br />
L’escala és una relació entre<br />
les dimensions d’un dibuix i les<br />
corresponents mesures en la<br />
realitat.<br />
Escala = mesura del dibuix /<br />
mesura de la realitat<br />
Si elegim el centímetre com a unitat, 100 cm reals tindrien una representació<br />
en el dibuix de 12,5 cm; és a dir, 1m és igual a 12, 5 cm. En aquest cas,<br />
col·locarem sobre la vora<br />
<br />
d’un paper o cartolina una<br />
mesura de 12,5 cm i la divi-<br />
<br />
direm en deu parts iguals,<br />
Fig. 4.66<br />
amb la qual cosa obtindrem<br />
el valor de cada decímetre<br />
en l’escala gràfica.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
111<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Fig. 4.63<br />
<br />
<br />
Fig. 4.64<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Fig. 4.65
Fig. 4.67<br />
Fig. 4.68<br />
112<br />
1.435<br />
4 Elecció<br />
A-4<br />
210<br />
360<br />
D3<br />
297<br />
d’escales<br />
És molt important determinar l’escala més adequada a cada dibuix. El<br />
millor procediment per a elegir-la consisteix a relacionar les mesures<br />
màximes de longitud i amplària de la superfície en què es va a realitzar<br />
el dibuix amb les màximes de les mateixes magnituds de l’objecte real.<br />
D’aquesta manera tindrem enunciades dues escales. Quan es tracte de<br />
reduir, s’ha d’elegir l’escala que reduïsca més i, en cas d’ampliació, l’escala<br />
que amplie menys, ja que així sempre tindrà cabuda l’altra dimensió.<br />
Posarem ara un cas pràctic:<br />
El paper de format A-4 té com a mesura màxima de longitud 297 mm, i<br />
d’amplària, 210 mm. La mesura major de l’objecte que volem representar<br />
en longitud és de 1435 mm, i la referent a l’amplària, 360 mm (Fig.<br />
4.68). Les escales que podem realitzar amb aquestes mesures són les<br />
següents:<br />
• Dividir la longitud del format A-4 per la longitud del dibuix, tenint en<br />
compte que la zona útil del paper ve determinada per uns marges que<br />
cal respectar per raons d’estètica, i que normalment són de 5 mm per<br />
als marges superior i inferior, i 25 mm per a l’esquerre.<br />
297/1 435 = 0,20<br />
• Dividir l’amplària del full de paper A-4 entre<br />
l’amplària del dibuix.<br />
180/360 = 0,50<br />
En aquest cas, l’escala apropiada és 0,20, ja que<br />
és la que redueix i garanteix que el dibuix càpia<br />
en el full. Si multipliquem 0,20 per 100, podrem<br />
expressar aquesta escala així: 20:100, que és<br />
igual que 1/5.
E<br />
EL TEOREMA DE TALES I LA PROPORCIÓ<br />
Tales de Milet va demostrar que si dues rectes concurrents es tallen amb una<br />
sèrie de rectes paral·leles, els segments que obtenim són proporcionals (Fig.<br />
4.69).<br />
Basant-nos en aquest teorema, podem construir una figura semblant a una<br />
altra donada amb la proporció que desitgem. Observa aquest exemple.<br />
Tracem rectes paral·leles horitzontals i verticals per tots els vèrtexs de la figura<br />
donada. Aquestes rectes tallaran dos eixos de coordenades, r i s, en els punts<br />
1, 2, 3 i 4, i a, b, c i d, respectivament. D’aquesta manera queda constància de<br />
les diferents altures i amplàries que tenen els diversos vèrtexs de què consta<br />
la figura (Fig. 4.70).<br />
Ara, suposem que desitgem ampliar la figura 1/3. Traçarem dues rectes perpendiculars<br />
r’ i s’. Sobre r’ situarem l’altura h + 1/3 de h, obtenint així el punt<br />
4’; en s’ portarem la longitud m + 1/3 de m i trobarem d’.<br />
Per últim, tracem dues rectes convergents a les rectes r’ i s’, sobre les quals<br />
situem els punts 1, 2, 3 i 4; i els punts a, b, c i d. S’uneixen els punts 4 amb 4’<br />
i d amb d’. Apliquem el teorema de Tales i obtenim en r’ els punts 3’ i 2’, i en<br />
s’, c’ i b’ (Fig. 4.71)<br />
3<br />
<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
3'<br />
2'<br />
1 1'<br />
+1/3<br />
<br />
<br />
<br />
'<br />
1/3<br />
<br />
+ 1/3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1/3<br />
<br />
<br />
Fig. 4.70<br />
<br />
Fig. 4.71<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Fig. 4.69<br />
113
Fig. 4.72<br />
114<br />
4 CONSTRUCCIÓ<br />
Fig. 4.73<br />
F<br />
D’IMATGES PLANES SEMBLANTS<br />
Sobre la imatge de què partim (dibuix, fotografia, etc.), es dibuixa un quadrat<br />
o un rectangle que la continga. Tracem ací una quadrícula amb rectes paralleles<br />
als seus costats, amb la qual cosa es formen mòduls quadrangulars o<br />
rectangulars.<br />
En el suport on dibuixarem la nova imatge, tracem una altra quadrícula<br />
amb les mesures dels costats dels mòduls diferents de l’original, és a dir,<br />
les longituds dels costats dels mòduls seran menors o majors si volem que<br />
la imatge siga més xicoteta o més gran que la de partida.<br />
Es molt important que ambdues quadrícules siguen semblants i, per això,<br />
guarden la mateixa proporció. Observa el procés en les Figures 4.72<br />
i 4.73.
APLICACIONS: CONSTRUCCIÓ DEL<br />
TRIANGLE UNIVERSAL D’ESCALES<br />
Partint d’un triangle podem crear qualsevol tipus d’escala<br />
gràfi ca, tant de reducció com d’ampliació, sempre que<br />
no siga molt més gran o molt més menut que la natural,<br />
és a dir, 1:1. Podem fer-ho de dues maneres distintes:<br />
mitjançant el traçat d’un triangle equilàter de 10 cm de<br />
costat o dibuixant un isòsceles on els catets mesuren<br />
també 10 cm.<br />
En el primer cas dividirem la base, que representarà<br />
l’escala 1:1, en deu parts iguals; cadascuna tindrà una longitud<br />
d’1 cm. Farem el mateix amb un altre dels costats<br />
del triangle i traçarem paral·leles a la base, de forma que<br />
aquest costat quede defi nit per deu unitats diferents.<br />
Després, unirem el vèrtex oposat a la base amb cadascun<br />
dels punts que hem assenyalat abans, equivalents<br />
a 1 cm, 2 cm, 3 cm..., d’aquesta base. D’aquesta forma<br />
haurem creat nou escales de reducció.<br />
Si prenem la divisió 5 d’un dels costats, podem comprovar<br />
que la paral·lela a la base que tracem ha quedat<br />
dividida en deu parts iguals. Per tal de determinar a quina<br />
escala correspon, hem de fi xar-nos en el costat; en<br />
aquest cas podríem afi rmar que hem agafat 5 unitats de<br />
10, o siga, 5/10 = 1/2 = 0,5, amb la qual cosa deduïm que<br />
la nova escala és 1:2. El mateix ocorreria si, per exemple,<br />
prenguérem la divisió 1 del costat. Hauríem pres 1 unitat<br />
de 10, és a dir, 1/10 = 0,1. Per tant l’escala seria 1:10.<br />
Fins ara, només hem reduït l’escala natural de què partíem.<br />
Per a augmentar-la és necessari prolongar els costats<br />
del triangle i seguir dividint-ne un progressivament<br />
en unitats d’1 cm. Com hem fet abans, traçarem des<br />
d’aquests punts paral·leles a la base; així aconseguirem<br />
noves escales: 11:10, 12:10 (igual 6:5) seguint el mateix<br />
procediment que hem explicat.<br />
En el segon cas es parteix d’un triangle isòsceles i es<br />
procedeix de la mateixa manera que s’ha fet amb el<br />
triangle equilàter. No obstant això, ara seran únicament<br />
els catets que estaran dividits en 10 parts iguals; com ja<br />
hem comentat, en aquest cas els dos costats faran 10<br />
cm (Fig. 4.75).<br />
Ara fes-ho-tu<br />
Anima’t i realitza un triangle universal d’escales.<br />
Fig. 4.74<br />
Fig. 4.75<br />
115
116<br />
4 PROCEDIMIENTS<br />
I TÈCNIQUES:<br />
TREBALLAR AMB ESTRUCTURES<br />
Hauràs observat que és possible realitzar una gran varietat<br />
d’imatges amb estructures, tant regulars com irregulars,<br />
i totes de gran bellesa.<br />
Et proposem que formes un grup de treball amb dos<br />
companys. Entre tots, doneu curs a la vostra imaginació<br />
en l’elaboració de les següents propostes:<br />
Proposta 1<br />
Busqueu fotografies en revistes, catàlegs i llibres on<br />
apareguen formes, tant naturals com artificials: fulles<br />
d’arbres, fruites, portades de llibres, paviments,<br />
etc. Retalleu-les o fotocopieu-les, i comenteu entre<br />
els membres del grup les estructures que hi heu descobert<br />
(Fig. 4.76).<br />
Fig. 4.76<br />
Proposta 2<br />
Dibuixeu dos components diferents de cada tipus<br />
d’estructura sobre un full de paper blanc format A-4.<br />
Si no se us ocorren idees, comenceu realitzant alguna<br />
de les exposades abans. Podeu variar algun dels seus<br />
elements i veureu com a poc a poc trobeu noves solucions.<br />
Comenceu traçant cadascuna de les estructures amb<br />
llapis de grafi t; d’aquesta manera, si cometeu algun error,<br />
serà fàcil esborrar-lo. No es tracta d’omplir-ho tot de línies<br />
o de color, els espais blancs també són importants<br />
en el dibuix. Quan tingueu acabada la composició, acoloriu-la<br />
amb llapis de color o gouaches.<br />
Finalment, elegiu les que més us agraden i munteu un<br />
mural amb aquestes. És important que l’elecció la feu<br />
amb criteris estètics que hàgeu comentat prèviament<br />
(Fig. 4.77).<br />
Fig. 4.77<br />
Proposta 3<br />
Construïu dues xarxes bàsiques, una triangular i una<br />
altra quadrada. Sobre cadascuna, realitzeu una composició<br />
amb mòduls obtinguts per la unió de dues o tres<br />
mòduls bàsics. Una vegada acabada, acoloriu-la amb<br />
colors càlids<br />
També podeu realitzar dues composicions més: la primera<br />
sobre una xarxa triangular, que utilitzareu de base per<br />
a realitzar hexàgons. Una vegada elaborada, decoreu-la<br />
amb colors freds.<br />
La segona composició la podeu desenvolupar sobre<br />
una xarxa quadrada, on traçareu les diagonals com a<br />
elements de suport. Useu cercles i semicercles en la<br />
realització. Una vegada acabada, acoloriu la composició<br />
amb colors freds per a unes superfícies i càlids per a<br />
les restants. L’exemple següent pot donar-vos idees per<br />
a crear el vostre propi disseny (Fig. 4.78).<br />
Fig. 4.78
ACTIVITATS<br />
Dibuixar amb formes orgàniques<br />
1 Tria dues o tres peces de fruita, per exemple,<br />
una poma, una pera i un plàtan. Situa’ls sobre<br />
una taula i compon-los al teu gust. A continuació,<br />
dibuixa’ls sobre un paper blanc de format A-4 amb<br />
un llapis bla.<br />
Polígons en l’entorn<br />
2 Et proposem que observes de manera minuciosa<br />
tots els objectes que hi ha al teu voltant amb<br />
forma de polígon regular i que hagen sigut realitzats<br />
per l’ésser humà.<br />
Fig. 4.79<br />
Elabora una llista on aparega el nom de l’objecte i el polígon<br />
o polígons que té. Pots fotografi ar-los o dibuixar-los<br />
perquè es vegen clarament els polígons regulars utilitzats.<br />
Traça polígons regulars<br />
3 Dibuixa en fulls de paper blanc, format A-4,<br />
els següents polígons regulars:<br />
• Un triangle equilàter, un quadrat i un pentàgon, sabent<br />
que el valor dels seus costats és de 40 mm.<br />
• Un hexàgon, un heptàgon i un octògon de 35 mm de<br />
costat.<br />
• Un enneàgon regular de 30 mm de costat.<br />
En els dos primers apartats, utilitza per a cada polígon els<br />
diferents mètodes particulars de construcció i realitza’n<br />
només dos en cada full. Deixa dibuixades totes les operacions<br />
i repassa el resultat fi nal amb un retolador gruixut<br />
de color negre.<br />
Per a la construcció de l’enneàgon fes servir el mètode<br />
general.<br />
Treballa les tangències<br />
4 Donada una circumferència de 35 mm de<br />
radi i un punt P exterior a 75 mm del seu centre, traça<br />
les rectes tangents a la circumferència des d’aquest<br />
punt.<br />
5 Donades dues circumferències, una de 30<br />
mm i una altra de 40 mm de radi, els centres de les<br />
quals estan separats una distància de 90 mm; dibuixa<br />
les rectes tangents exteriors i interiors a aquestes<br />
circumferències.<br />
6 Dibuixa un oval sabent que l’eix major té<br />
una longitud de 90 mm i l’eix menor, de 50 mm.<br />
7 A continuació, dibuixa un ovoide sabent<br />
que el valor del seu eix menor és 40 mm.<br />
L’espiral<br />
8 Dibuixa una espiral de dos centres sabent<br />
que la distància entre aquests és de 15 mm.<br />
Xarxa modular<br />
9 Observa aquesta imatge (Fig. 4.79) i analitza<br />
la seua xarxa modular. Quin tipus de xarxa s’ha<br />
utilitzat per a la seua construcció? Quins són els seus<br />
mòduls? Reprodueix el model donat en una làmina<br />
de dibuix.<br />
Fig. 4.80<br />
117
118<br />
4 ALTRES PROPOSTES<br />
Superposició de xarxes bàsiques<br />
Observa les característiques de les següents estructures<br />
realitzades mitjançant la superposició<br />
de xarxes bàsiques (Fig. 4.80). Realitza, amb un<br />
altre company, dues composicions semblants,<br />
aplicant en cadascuna un tipus de superposició<br />
de xarxes bàsiques; per exemple, la superposició<br />
de dues xarxes quadrades en la primera composició;<br />
i, en la segona, dues xarxes de triangles<br />
equilàters.<br />
Fig. 4.82<br />
Secció àuria<br />
Escales gràfi ques<br />
Fig. 4.81<br />
Defi neix per escrit què és la secció àuria. Tot seguit,<br />
troba la secció àuria d’un segment de 8 cm<br />
de longitud.<br />
Escala<br />
Representa sobre diferents tires de paper les<br />
següents escales gràfi ques o volants: 7:5, 2:3,<br />
1:25, i 1:150.<br />
Composició amb mòduls<br />
compostos<br />
Realitza una composició amb mòduls compostos<br />
sobre una estructura bàsica quadrada. Quan<br />
la tingues acabada, acoloreix-la al teu gust amb<br />
la tècnica que preferisques.<br />
Sobre el dibuix d’un edifi ci es prengué una mida<br />
de 7 cm. Se sap que el pla d’aquest edifi ci està<br />
realitzat a escala 1:150. Quina és en realitat la<br />
mida del segment pres?
QUÈ HAS APRÉS?<br />
Les fases d’encaixament, desenvolupament i<br />
detalls, que a grans trets tenen lloc en el procés<br />
d’elaboració d’un dibuix, consisteixen a…<br />
Una forma poligonal és...<br />
Menciona alguns exemples.<br />
Defi nim estructura com…<br />
Menciona algun exemple.<br />
Les escales es fonamenten en…<br />
Els tipus d’escales són…<br />
Indica com es determina l’escala més adequada<br />
per a realitzar un dibuix.<br />
Completa a la teua llibreta<br />
Diem que un dibuix està realitzat mitjançant<br />
siluetes quan…<br />
Dues fi gures són tangents quan…<br />
Explica el que cal fer per a trobar el punt exacte<br />
de tangència entre dues circumferències.<br />
Les xarxes bàsiques que has estudiat són…<br />
Indica de quina forma poligonal està composta<br />
cadascuna<br />
119