4.EL NOMBRE D'OR A LA NATURALESA - Edu365.cat

4.EL NOMBRE D’OR A LA
NATURALESA
“El món està compost de
certa harmonia de sons i el cel
s’ordena en una modulació harmònica”
Sant Isidre

4. EL NOMBRE D’OR A LA NATURALESA_______________________________
4.0. APAREIX EL NOMBRE D’OR A LA NATURALESA? _________________
Com anteriorment he mencionat, aquest treball és mixt, en el sentit que no
només em baso en la matemàtica, sinó també en la biologia. És el moment de començar
a comparar ambdues ciències:
Charles Darwin, després d’anys i anys d’estudis i observació, elaborà la teoria
de l’evolució 12 que, a l’hora, inclou diversos apartats. Per a encaminar el tema per on
ens convé, em fixaré en la selecció natural.
Al llarg dels anys, els individus de les diferents espècies no romanen estàtiques i
idèntiques als seus progenitors, sinó que adopten un seguit d’adaptacions al medi.
Evidentment, aquests canvis no són produïts expressament pels individus, ni es deuen a
“l’ús i el desús” de les habilitats, com un cop defensà Lamarck. Així doncs, per què les
espècies milloren, es perfeccionen, s’adapten millor al medi i s’hi especialitzen?
Imaginem-nos (es tracta d’un cas completament hipotètic) una família ancestral de
cangurs. Temps enrera no tots tenien la cua llarga, per tant, a alguns se’ls feia més
feixuc saltar, doncs perdien l’equilibri amb més facilitat. Això comporta que els
depredadors els cacessin amb més facilitat, impedint la reproducció i transmissió de
gens 13 de la seva presa. Aquest fet fa que els cangurs amb la cua més capacitada per al
salt (les dels que s’escapen dels depredadors gràcies a un salt eficaç per a la fugida)
siguin els que tinguin prole i transmetin la seva informació genètica (incloent la referent
a les dimensions de la cua). Per tant, al cap d’un llarg temps, només hi ha cangurs amb
la cua llarga, gaudint així d’un bon equilibri en els grans salts.
12
Charles Darwin, “L’orígen de les espècies”
13
Això és cert, tot i que a la Tª de Darwin no es parla de genètica. Això sí, es menciona l’herència de
progenitors a prole.

Així mateix, també cal notar que dues espècies ben diferenciades des del punt de
vista taxonòmic poden presentar vies adaptatives similars en un mateix medi.
L’exemple més clàssic és el del tauró (qualsevol espècie de tauró) i el dofí (o qualsevol
altre cetaci). Ambdós grups presenten una morfologia similar: formes hidrodinàmiques,
aletes... Tot i així, pertanyen a dos grups ben diferents: el tauró és un peix cartilaginós, i
el dofí un mamífer. Això acaba de quedar ben clar en algunes diferències anatòmiques
externes (el tauró presenta petits denticles dèrmics, mentre que el dofí té una pell
“preparada” per al creixement de pèls; i en l’anatomia interna (el dofí té respiració
pulmonar mentre que el tauró té respiració branquial).
El fet és que les espècies s’adapten al medi de la manera més òptima possible, i
que dues espècies diferents poden adaptar-se de maneres similars a un mateix medi
(convergència adaptativa).
La pregunta que em plantejo ara (com he mencionat anteriorment a la
introducció) és la següent: “És possible que, al llarg del temps proporció àuria hagi
estat seleccionada(selecció natural) en diversos aspectes (anatòmics, per exemple...)?”
La meva hipòtesi és que sí, aquesta selecció s’ha produït. Aquí, però, hi ha dues coses a
aclarir: primerament que els individus no presentaran una proporció àuria perfecta, sinó
que, si la meva hipòtesi és correcta, tendiran a tenir-la, doncs les espècies tampoc han
arribat a un estadi evolutiu perfecte. En termes matemàtics (prenent-me la llicència) es
podria expressar l’anterior tot dient que el nombre d’or és un dels límits de la selecció
natural. El segon punt a comentar és que, evidentment, no demostraré que les espècies
hagin anat evolucionant cap al nombre d’or (cosa que comportaria anys i anys d’estudis
i d’observació), però sí que procuraré demostrar la seva presència en l’actualitat en
diverses espècies.

4.1. LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI__________________ _________________
4.1.1. QUÈ ÉS UNA SUCCESSIÓ?___________________________________
Entenem per successió el conjunt de nombres en el que cada nombre guarda
alguna relació amb el següent.
Alguns exemples de successió:
σ 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
σ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
σ 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
σ 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...
σ 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...
σ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
σ φ, φ 2 , φ 3 , φ 4 , φ 5 , ...
σ 1’7, 1’77, 1’777, 1’7777, ...
Cadascun dels nombres d’una successió és un terme de la successió, els quals es
numeren segons la posició que presenten. La primera posició es sol anomenar zero, però
també és correcte anomenar-la posició ú. La simbologia genèrica d’un terme és
{ σ n} 14
n∈
, on σ és el terme en sí, i n la posició d’aquest en la successió.
La successió té primer terme, però mai darrer.
En moltes successions existeix una fórmula, el terme general, que dóna el valor
de σ n quan es coneix n. Per exemple, el terme general de la successió 1, 2, 3, 4, 5, ... és
σ = n + 1;
el de la successió 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... és σ = 3+ 2n
; etc... És fàcil
n
comprovar que això és cert, només cal triar un dels nombres de la successió, substituir
la x de la fórmula per la seva posició en la successió i fer les operacions que la fórmula
14 ∈ simbolitza “...pertany a...”
n

indica. Si el resultat és el nombre emprat (i això passarà sempre que la fórmula sigui
correcta i s’hagin fet correctament les operacions) tindrem demostrada l’anterior
afirmació.
Algunes successions són recurrents. Això vol dir que els seus termes s’obtenen
en funció d’altres termes d’aquesta.
Ara ens fixarem en un dels primers exemples, la successió recorrent 15
1,1,2,3,5,8,13,21... que és sobre la que realment ens interessa parlar: La successió de
Fibbonaci.
4.1.2. LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI A LA NATURALESA____________
Per a entendre com s’arriba a la successió de Fibonacci haurem de situar-nos en
un món ideal i òptim. En concret, ens fixarem en la reproducció dels conills (un clàssic
de la successió de Fibonacci). Imaginem un món ideal en el que els conills es
reprodueixin d’una manera força òptima. Les condicions serien les següents:
1) Els conills no moren mai.
2) Una parella de conills es pot reproduir a partir dels dos mesos de vida
3) A partir d’aquests dos mesos, cada mes té prole (Un mascle i una femella)
4) Dos conills germans (mascle i femella, s’entén) podran tenir prole sana i
sense problemes a nivell genètic.
Escenifiquem la situació:
En un recinte tancat tenim una parella de conills, un mascle i una femella.
Suposarem que acaben de néixer i anomenarem aquest instant “moment 0”. Passat un
mes els conills encara no estan preparats per a tenir prole; seguim tenint una parella
σ σ σ
15
Per obtenir el valor d’un terme, cal sumar el valor dels seus dos anteriors termes: n = n−1+ n−2;
Els seus dos primers termes són 1: 0 1 1 σ = σ = ; a partir d’aquestes dues premisses, queda determinada
la successió de Fibbonaci.

(Parella 1). Al segon mes tenen una parella de conills, un mascle i una femella (Parella
2); ja tenim dues parelles. Al tercer mes, la primera parella té una altra parella (Parella
3), però la segona parella encara no poden reproduir-se; tenim tres parelles. Al quart
més, la primera parella torna a tenir una altra parella (Parella 4), la segona parella, una
altra parella (Parella 5), però la parella tres encara no pot reproduir-se. Ja tenim cinc
parelles de conills: la parella inicial (Parella 1), els seus sis fills (3 parelles) i els fills de
la segona parella. (···) Aquesta situació es pot allargar fins a l’infinit.
Representem gràficament la reproducció “òptima” dels conills fins al mes 6:

Però la successió de fibbonaci es fa evident en altres fenòmens i estructures de la
naturalesa. Cal destacar, per exemple, la disposició de
les branques d’alguns vegetals.
Algunes plantes creixen tot dibuixant un esquema com
l’anterior (el de les parelles de conills), on a partir de
cada bifurcació es pot comptar en horitzontal un
Creixement ideal d’una planta nombre de branques que coincideix
amb alguns dels valors de la successió de Fibbonaci. A més, el
nombre de pètals d’una flor i d’altres estructures animals i vegetals
sol coincidir amb el valor d’un nombre de la successió de
Fibbonaci. Secció de plàtan amb 3 talls naturals.
4.1.3. RELACIÓ DE LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI AMB PHI_I
D’ALTRES CURIOSITATS I PROPIETATS MATEMÀTIQUES_________________
Leonardo da Pisa, més conegut com a Fibonacci, fou un matemàtic medieval
força conegut. Ell trobà i estudià la famosa successió que porta el seu nom. Emprant
l’esmentada successió com a eina, Fibonacci estudià el creixement harmònic de la
natura i la vinculació que la successió tenia amb la proporció d’or.
Per observar la relació existent entre la successió i phi farem dues taules.
La primera (Taula F1) mostrarà quatre columnes. La primera amb la posició del
terme en la successió (n). La segona amb els vint-i-un primers termes de la successió
( σ n ). La tercera amb els corresponents termes anteriors als de la columna adjacent 16
16 Exceptuant el primer terme que, per ser el primer, no té anterior.

σ − ). La quarta columna mostrarà els respectius valors resultants al dividir cada
n 1
terme amb el seu anterior
σ
n
σ n−1
. Observem aquests valors:
------(TAULA F1)-----------------------------------------------------------------------------------
N
σ n
σ n−
1
σ
n
σ n−1
0 1 - -
1 1 1 1
2 2 1 2
3 3 2 1,5
4 5 3 1, 6 5 8 5 1,6
6 13 8 1,625
7 21 13 1,615384615...
8 34 21 1,619047619...
9 55 34 1,617647059...
10 89 55 1,6 18
11 144 89 1,617977528...
12 233 144 1,61805
13 377 233 1,618025751...
14 610 377 1,618037135
15 987 610 1,618032787...
16 1597 987 1,618034448...
17 2584 1597 1,618033813...
18 4181 2584 1,618034056...
19 6765 4181 1,618033963...
20 10946 6765 1,618033998...

Gràfica corresponent a la taula de valors 1 (TAULA F1)
Valor
2,5
2
1,5
1
0,5
0
GRÀFIC DE LA TAULA 1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Posició
Serie1
Tenint en compte que el valor aproximat de phi és 1,61803399, podem intuir que
els valors de la quarta columna s’aproximen cada vegada més a phi. És més, les
divisions dels termes senars amb el seu anterior terme donen aproximacions inferiors a
phi, mentre que la divisió dels termes parells entre el seu anterior donen aproximacions
majors que phi. Demostrem-ho :
σn σn−1+ σ ⎛ n 2 σ ⎞
− n−2 σn−2
X = lim = lim = lim ⎜1+ ⎟=
1+ lim =
n→∞ σ n→∞ n n
n 1 σ →∞
n 1 σ →∞
− − ⎝ n−1 ⎠ σn−1
1 1 2
= 1+ ⇒ X = 1+ ⇒ X − X − 1= 0⇒
X = φ
X X
La segona taula (TAULA F2) també constarà de quatre columnes. La primera
amb la posició dels termes (n). La segona amb els primers vint-i-un termes de la
successió ( n
σ ). La tercera amb els termes següents corresponents ( n 1
columna mostrarà els valors obtinguts al dividir un terme entre el seu següent
σ + ). La quarta
σ
n
σ n+
1
.

-----TAULA F2--------------------------------------------------------------------------------------
N
σ n
σ n+
1
σ
n
σ n+
1
0 1 1 1
1 1 2 0,5
2 2 3 0, 6 3 3 5 0,6
4 5 8 0,625
5 8 13 0,615384615...
6 13 21 0,619047619...
7 21 34 0,617647059...
8 34 55 0,6 18
9 55 89 0,617977528...
10 89 144 0,61805
11 144 233 0,618025751...
12 233 377 0,618037135
13 377 610 0,618032787...
14 610 987 0,618034448...
15 987 1597 0,618033813...
16 1597 2584 0,618034056...
17 2584 4181 0,618033963...
18 4181 6765 0,618033998...
19 6765 10946 0,618033985...
20 10946 17711 0,61803399...
Gràfica corresponent a la taula de valors 2 (TAULA F2)
Valor
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
GRÀFICA DE LA TAULA 2
1 3 5 7 9 11
Posició
13 15 17 19 21
Serie1

Tenint en compte que el valor de “phi menor” (ϕ ) és 0,61803399... podem
intuir que els valors de la quarta columna s’aproximen cada cop més a phi menor.
Demostrem-ho:
σn σn−1+ σ ⎛ n 2 σ ⎞
− n−2 σn−2
X = lim = lim = lim ⎜1+ ⎟=
1+ lim =
n→∞ σ n→∞ n n
n 1 σ →∞
n 1 σ →∞
+ − ⎝ n−1 ⎠ σn−1
1 1 2
= 1+ ⇒ X = 1+ ⇒ X −X − 1= 0⇒
X = φ
X X
Fibbonaci, a més, té relació amb l’anomenada
piràmide de Pascal. La piràmide de Pascal s’obté tot
escrivint progressivament la suma de dos nombres
entremig i a sota d’aquests. Per exemple, si tenim un 1
i un 3 (marcats en blau al dibuix de l’esquerra) els
Piràmide de Pascal haurem de sumar i escriure el valor de la seva suma (4)
a sota seu. De moment ja es veu que és un procediment força semblant al de l’obtenció
dels termes de la successió de Fibbonaci (on per obtenir un terme s’havien de sumar els
valors dels dos anteriors), però analitzem-ho.
Relació de la piràmide de Pascal amb la
Successió de Fibbonaci.
Si sumem els nombres de la
piràmide en diagonal, talment
com la figura de l’esquerra ho
mostra, anirem obtenint els
termes de la successió de
Fibbonaci.

4.2. L’ESPIRAL LOGARÍTMICA______________________ _________________
4.2.0. QUÈ ÉS L’ESPIRAL LOGARÍTMICA?___________________________
Les espirals logarítmiques són funcions del tipus
x : acosθe y: asinθe bθ
bθ
b
r ae θ
= ó de components:
Les constants a i b determinen la representació gràfica concreta de l’espiral.
No puc escriure més sobre les espirals logarítmiques ja que no tinc els
coneixements necessaris per a entendre més.
4.2.1. OBTENCIÓ DE L’ESPIRAL LOGARÍTMICA I RELACIÓ AMB EL
NOMBRE D’OR________________________________________________________
Si es construeix una espiral tot seguint un dels dos mètodes posteriorment
explicats, obtindrem una aproximació a una espiral logarítmica, relacionada amb phi, de
certs valors a i b 17 .
La manera més senzilla d’obtenir una espiral logarítmica relacionada amb phi
emprant regle, escaire i compàs és partint de la figura del rectangle auri 18 . Tot seguit, cal
seguir els següents passos:
Un cop obtingut el rectangle auri,
“inscriure-hi” un quadrat de costat igual al
costat menor del rectangle. Anomenem els
vèrtex del quadrat, començant pel superior
dret i en l’ordre de les agulles del rellotge
W, X, Y, Z. Fent això ens quedarà el
rectangle dividit en un quadrat i en un
altre rectangle auri.
17
Amb la meva tutora de recerca hem intentat trobar els valors a i b, però el temps se’ns ha llençat al
damunt sense haver-ho encara aconseguit.
18
Al punt 2.2.2. s’explica com obtenir-lo.

Repetim el procés anterior amb el
rectangle auri petit i amb els rectangles
que anem obtenint.
Tracem amb el compàs un arc de
circumferència d’un color diferent de
centre X i radi XY.
Repetim el procés anterior per cada
quadrat obtingut i haurem traçat una
espiral logarítmica.
L’espiral logarítmica també es pot obtenir partint del triangle auri 19 , tot seguint
uns passos molt similars als anteriorment explicats.
Triangle auri. Triangle auri dins Cadena espiral
del primer. de triangles auris. Espiral logarítmica
obtinguda a partir
d’un triangle auri.
Com abans he dit, aquests dos mètodes només ens permeten l’obtenció d’una
espiral logarítmica de manera aproximada; és clar que no podem obtenir una espiral
logarítmica a partir d’arcs de circumferència.
19 Al punt 2.2.3. s’explica com obtenir-lo.

Ara ja sabem perquè es pot dir que l’espiral logarítmica està relacionada amb
phi, però quina relació té tot això amb la naturalesa?
4.2.2. L’ESPIRAL LOGARÍTMICA A LA NATURALESA________________
El lloc on resulta més evident l’aparició de l’espiral logarítmica
és a les closques d’alguns
invertebrats. Es pot mencionar, per
exemple, la closca de qualsevol
cargol que podem trobar pel carrer, alguns cargols
disposen traçant espirals logarítmiques.
de mar... però la closca
que cal destacar és la del Nautilus, Nautilus sp.
Nautilus, Nautilus sp. .La
forma com es disposen les
pipes d’un gira-sol o els
“pinyons” d’una pinya també
traça espirals logarítmiques. Així
mateix, les galàxies també es
Perquè fos possible que la closca del
Nautilus tracés una espiral logarítmica, les
partícules que conformarien l’individu
haurien d’ésser infinitament petites. De
fet, l’espiral obtinguda mitjançant arcs de circumferència segurament s’aproxima més a
la forma de l’animal.

4.3. ESTRUCTURA D’ALGUNES PLANTES______________________________
4.4.0. PER QUÈ HE DECIDIT FER AQUEST EXPERIMENT?_____________
Vaig arribar a llegir força informació sobre la relació de les plantes i la natura en
general amb el nombre phi. Però em negava a escriure el que havia llegit sens més, que
si bé era molt interessant, li mancava el major interès i aprofundiment de l’experiència
pròpia.
4.4.1. PREPARACIÓ DE L’OBSERVACIÓ_____________________________
Així vaig decidir prendre un cert terreny i buscar tot allò natural que tingués
qualsevol relació amb phi. Vaig triar el “bosquet” del pati del meu institut, l’I.E.S.
Manuel Blancafort de La Garriga. Se’m va facilitar un plànol del mencionat bosquet 20 ,
on hi marcaria els llocs on aniria trobant les espècies amb certa relació amb phi. A més,
vaig dissenyar unes petites fitxes per a anar anotant les meves observacions i faria
fotografies de les espècies d’interès.
Però per desgràcia, poc després del començament de curs, l’Ajuntament de La
Garriga va decidir “netejar” el bosquet, pel que van reduir substancialment la quantitat
d’espècies a estudiar. A causa d’aquest incident, l’experiència ha quedat força més
dispersa. Vaig ampliar l’estudi de manera que recaigués a tota planta o animal en que
trobés la proporció d’or.
Però va aparèixer un altre problema. Durant algunes tardes d’exploració i
fotografia vaig emprar una màquina fotogràfica digital de no massa qualitat, i la majoria
de fotografies no varen ser aprofitables. Finalment vaig aconseguir una Reflex, amb la
que les fotos haurien d’haver tingut una qualitat notable, però vaig tenir tamb. A partir
d’aquí, ja només feia falta agafar la càmera i un regle, i anar a la recerca.
20 Gràcies, Roser!!!

Plànol de la zona a estudiar

NOM COMÚ: Sòl:
Inclinació:
NOM CIENTÍFIC: Humitat mitjana:
Temperatura mitjana:
Fulla:
Flor/Fruit:
Tija:
Dibuix i mides:
Prototip #1 de fitxa de camp

4.4.2. OBSERVACIÓ SOBRE EL TERRENY_(LLIBRETA DE CAMP)______
Com anteriorment he mencionat, les fotos amb la càmera digital no eren massa
bones... Però n’he pogut aprofitar algunes. La il·luminació a les fotografies amb la
càmera Reflex tampoc és massa bona, però n’he descartat poques.
*____SEGONS LA PROPORCIÓ MARCADA PELS PECÍOLS EN LA SEVA
DISTRIBUCIÓ A LES TIJES I BRANQUES

*____NOMBRE DE PÈTALS O FULLES EN UNA FULLA COMPOSTA
COINCIDENTS AMB EL VALOR D’UN DELS TERMES DE LA SUCCESSIÓ DE
FIBBONACCI (QUE NO SIGUI 1)

*____D'ALTRES RELACIONS_AMB PHI
RELACIÓ AMB PHI: Les puntes de la fulla coincideixen amb dos dels termes de la
successió de Fibbonaci; 3 i 5. Ambdues fulles són del mateix individu.

Les puntes de la fulla coincideixen amb un terme de la successió de Fibbonaci; 3.
RELACIÓ AMB PHI: La disposició dels pinyons dibuixa espirals logarítmiques

RELACIÓ AMB PHI:
Disposició de les fulles de manera
que coincideixen formant un
nombre de sortints coincident
amb un terme de la successió de
Fibbonaci.
Imatge extreta d’internet.

4.4.3. CONCLUSIONS________________________________________
Tot i que no em va ésser possible de fotografiar-ne gaires (no tenia la càmera a
mà quan ho vaig veure), també vaig veure gran quantitat de flors amb corol·les
constituïdes per pètals de nombre coincident amb un dels termes de la successió de
Fibbonaci), cargols (closca dibuixant una espiral logarítmica) i més plantes amb
proporcions àuries.
Quatre de les millors fotografies que vaig fer no han pogut ésser ni tan sols
revelades. A la primera hi apareixia una mandarina sense pelar (mostrant com el calze
era constituït per 5 sèpals ), amb una altra mandarina pelada al costat (amb
deu grans, ). A la segona hi
apareixien una taronja pelada, una taronja sense pelar i una rodanxa de taronja;
s’evidenciaven les mateixes relacions amb phi que a la fotografia de la mandarina. A la
tercera s’hi podien apreciar la secció d’un plàtan, que presentava 3
(terme de la successió de Fibbonaci) divisions al centre. He llegit que
els plàtans poden presentar tant tres com 5 (terme de la successió de
Fibbonaci i nombre relacionat amb el pentàgon) divisions d’aquesta
imatge d’internet mena. A la última fotografia s’hi apreciava la part inferior d’un
enciam (sense les arrels). Les cinc fulles més exteriors feien pensar en un pentàgon.
La relació que phi té amb la naturalesa no és exacta, ja que el que la matemàtica
exposa no deixa d’ésser idealista i difícilment representable a la realitat. El que sí que és
veritat és que s’intueix la tendència de la naturalesa a prendre estructures relacionades
d’una manera o altra amb el nombre.