sExTO gRADO - Dirección General de Cultura y Educación
sExTO gRADO - Dirección General de Cultura y Educación
sExTO gRADO - Dirección General de Cultura y Educación
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
MATEMÁTICA<br />
MATERIAL PARA docEnTEs<br />
sExTo gRAdo<br />
EducAcIón PRIMARIA
MATEMÁTICA<br />
MATERIAL PARA DOCENTEs<br />
<strong>sExTO</strong> <strong>gRADO</strong><br />
EDuCACIóN PRIMARIA
Estos materiales han sido producidos por los especialistas <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> Matemática <strong>de</strong>l<br />
IIPE-UNESCO Buenos Aires:<br />
Equipo <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> Matemática<br />
Autores<br />
Silvana Seoane | Betina Seoane<br />
Referentes<br />
María Mónica Becerril |Andrea Novembre | Beatriz Moreno | Mónica Urquiza |<br />
Alejandro Rossetti |Héctor Ponce | Inés Sancha | Horacio Itzcovich<br />
Agra<strong>de</strong>cemos el aporte <strong>de</strong> Ana Lía Crippa.<br />
Equipo <strong>de</strong> <strong>de</strong>sarrollo editorial<br />
Coordinación general y edición<br />
Ruth Schaposchnik | Nora Legorburu<br />
Corrección<br />
Pilar Flaster | Gladys Berisso<br />
Diseño gráfico y diagramación<br />
Evelyn Muñoz y Matías Moauro - Imagodg<br />
Seoane, Silvana<br />
Matemática material para docentes sexto grado educación primaria / Silvana Seoane y Betina Seoane. - 1a ed. - Ciudad Autónoma<br />
<strong>de</strong> Buenos Aires: Instituto Internacional <strong>de</strong> Planeamiento <strong>de</strong> la educación IIPE-Unesco, 2012.<br />
Internet.<br />
ISBN 978-987-1836-87-1<br />
1. Guía para Docentes. 2. Matemática. I. Seoane, Betina II. Título<br />
CDD 371.1<br />
IIPE - UNESCO Buenos Aires<br />
Agüero 2071 (C1425EHS), Buenos Aires, Argentina<br />
Hecho el <strong>de</strong>pósito que establece la Ley 11.723<br />
Libro <strong>de</strong> edición argentina. 2011<br />
Permitida la transcripción parcial <strong>de</strong> los textos incluidos en esta obra, hasta 1.000 palabras,<br />
según Ley 11.723, artículo 10, colocando el apartado consultado entre comillas y citando la fuente;<br />
si éste excediera la extensión mencionada <strong>de</strong>berá solicitarse autorización al Editor.<br />
Material <strong>de</strong> distribución gratuita. Prohibida su venta
ÍNDICE<br />
ÍNDICE<br />
Introducción general<br />
Marco general <strong>de</strong> la propuesta <strong>de</strong> Matemática<br />
Matemática en el Segundo Ciclo<br />
Ejemplo <strong>de</strong> mapa curricular <strong>de</strong> Segundo Ciclo<br />
Sexto grado<br />
Ejemplo <strong>de</strong> distribución anual <strong>de</strong> contenidos I<br />
Ejemplo <strong>de</strong> distribución anual <strong>de</strong> contenidos II<br />
Ejemplo <strong>de</strong> planificación mensual<br />
Ejemplo <strong>de</strong> planificación semanal<br />
Ejemplo <strong>de</strong> evaluación <strong>de</strong> un contenido<br />
Ejemplo <strong>de</strong> problemas para evaluación <strong>de</strong> fin <strong>de</strong> año<br />
Bibliografía y links recomendados<br />
Cua<strong>de</strong>rnillo <strong>de</strong> activida<strong>de</strong>s<br />
5<br />
9<br />
14<br />
18<br />
20<br />
20<br />
21<br />
22<br />
24<br />
27<br />
29<br />
33<br />
39
La producción <strong>de</strong> este material ha sido posible gracias a los intercambios <strong>de</strong>sarrollados entre los<br />
referentes locales, los capacitadores y los docentes, a lo largo <strong>de</strong> toda esta experiencia. Esperamos<br />
resulte un aporte a la compleja tarea <strong>de</strong> enseñar y apren<strong>de</strong>r matemática que permita ofrecer mayor<br />
cantidad <strong>de</strong> oportunida<strong>de</strong>s a los niños para aventurarse en el <strong>de</strong>safío intelectual que se propicia.<br />
Equipo <strong>de</strong> Matemática<br />
Tucumán: Cecilia Catuara, Nora Fagre, María Irene Flores, Marta Lopez <strong>de</strong> Arancibia, Alicia Viviana<br />
Moreno, Luciana Neme, Patricio Smitsaart<br />
santa Cruz: Gabriela Rodríguez, Viviana Mata, Marta Sanduay, Lía Vazquez, Valentina González,<br />
Norma Gómez, Alfredo Salvatierra, Sandra Manzanal<br />
Corrientes: Mónica Miño, Zunilda Del Valle, Ana Benchoff<br />
Chaco: Laura Ochoa, Irma Bastiani, Viviana Benegas, Patricia Dellamea<br />
Virasoro: Elena Ayala, Andrea Paula Drews, José Pereyra, Irma Neves Benítez,<br />
Mónica Magdalena Rodríguez<br />
Carlos Casares: Daniela Zermoglio, Mario Martin, Analía Cortona, Nilda Martin, Laura Delgado,<br />
Daniela Pere<br />
Campana-Pilar-san Nicolás: Teresita Chelle, Ana Barone, Gloria Robalo<br />
Ana Felisa Espil, Miriam Cabral, Mirta Ricagno, Mónica Rinke, Graciela Borda<br />
Córdoba: Felisa Aguirre, Laura Sbolci, Ana García<br />
Ensenada: Cecilia Wall, Verónica Grimaldi, Mónica Escobar.
MATEMÁTICA<br />
INTroDuCCIóN gENErAl<br />
Este material ha sido pensado con la intención <strong>de</strong> colaborar con la práctica cotidiana <strong>de</strong><br />
los docentes.<br />
Es reconocida la complejidad que adquiere dicha práctica al momento <strong>de</strong> pensar la<br />
enseñanza: armado <strong>de</strong> planificaciones, carpetas didácticas, selección <strong>de</strong> libros <strong>de</strong> texto,<br />
elaboración <strong>de</strong> activida<strong>de</strong>s, diseño <strong>de</strong> evaluaciones, etcétera. Y estos <strong>de</strong>safíos generalmente<br />
son poco consi<strong>de</strong>rados a la hora <strong>de</strong> valorar la labor <strong>de</strong> los docentes.<br />
Por este motivo, y buscando acompañar las <strong>de</strong>cisiones que toman los docentes, este<br />
material ofrece diferentes tipos <strong>de</strong> recursos para que estén disponibles y puedan ser un<br />
insumo que colabore en la planificación, <strong>de</strong>sarrollo y evaluación <strong>de</strong> la enseñanza.<br />
Los distintos tipos <strong>de</strong> recursos que constituyen este material se sustentan en un proyecto<br />
<strong>de</strong> enseñanza que consi<strong>de</strong>ra la Matemática <strong>de</strong>s<strong>de</strong> una perspectiva <strong>de</strong>terminada. Es<br />
<strong>de</strong>cir, se parte <strong>de</strong> la i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> que los alumnos tengan la oportunidad <strong>de</strong> reconstruir los<br />
conceptos matemáticos a partir <strong>de</strong> diferentes activida<strong>de</strong>s intelectuales que se ponen en<br />
juego frente a un problema para cuya resolución resultan insuficientes los conocimientos<br />
<strong>de</strong> los que se dispone hasta el momento… Hay dos cuestiones centrales que también hacen<br />
al enfoque adoptado. En primer lugar, ayudar a los alumnos a concebir la Matemática<br />
como una disciplina que permite conocer el resultado <strong>de</strong> algunas experiencias sin necesidad<br />
<strong>de</strong> realizarlas efectivamente. Y por otro lado, para que la actividad matemática sea<br />
realmente anticipatoria <strong>de</strong> la experiencia, es necesario estar seguro <strong>de</strong> que esa anticipación<br />
fue realizada correctamente, en otras palabras, es necesario validar la anticipación. Es <strong>de</strong>cir,<br />
se trata <strong>de</strong> generar condiciones que permitan a los alumnos producir recursos que les<br />
permitan obtener resultados frente a una amplia variedad <strong>de</strong> problemas, sin necesidad <strong>de</strong><br />
recurrir a la experiencia empírica y producir argumentos que les permitan responsabilizarse<br />
matemáticamente por la vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong> esos resultados.<br />
Estos lineamientos generales son los que fundamentan las selecciones <strong>de</strong>sarrolladas<br />
en los materiales, los recortes establecidos, los ejemplos elaborados, los problemas seleccionados.<br />
Este material contiene entonces diferentes recursos que se <strong>de</strong>tallan a continuación,<br />
organizados por grado, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> 1.º hasta 6.º. Para cada grado, se podrá encontrar:<br />
5
6<br />
1. MApAs CurrICulArEs orIENTATIvos<br />
Estos mapas curriculares son ejemplos que explicitan los contenidos <strong>de</strong> enseñanza a lo<br />
largo <strong>de</strong> toda la escolaridad. Se construyeron consi<strong>de</strong>rando los aspectos comunes que se<br />
esbozan en los Diseños Curriculares <strong>de</strong> cada Jurisdicción y los Núcleos <strong>de</strong> Aprendizajes<br />
Prioritarios. Por lo tanto, requieren ser completados con aquellas sugerencias esbozadas<br />
en las orientaciones curriculares jurisdiccionales.<br />
Para facilitar su i<strong>de</strong>ntificación, los mapas curriculares se presentan en formato <strong>de</strong> planillas,<br />
<strong>de</strong>splegados para cada grado y organizados por ciclos, <strong>de</strong> tal manera que cada<br />
escuela pueda analizar y establecer los contenidos en relación con el año <strong>de</strong> escolaridad y<br />
en correlación con años anteriores y posteriores, es <strong>de</strong>cir que tenga presente la horizontalidad<br />
<strong>de</strong>l trabajo.<br />
Asimismo, podrá orientar la labor <strong>de</strong> directivos para preservar la coherencia en la distribución<br />
<strong>de</strong> contenidos en los grados y en los ciclos.<br />
2. EjEMplos DE plANIfICACIoNEs ANuAlEs<br />
Se trata <strong>de</strong> propuestas <strong>de</strong> distribución <strong>de</strong> los contenidos <strong>de</strong> enseñanza a lo largo <strong>de</strong>l año.<br />
Son ejemplos y, como tales, se podrán transformar en herramientas para que cada docente<br />
pueda pensar su propio recorrido anual, con el grado asignado y en función <strong>de</strong> sus<br />
alumnos.<br />
3. EjEMplos DE plANIfICACIoNEs MENsuAlEs<br />
Se trata <strong>de</strong> una primera “lupa” sobre la planificación <strong>de</strong> un mes <strong>de</strong>terminado. Se ofrece en<br />
este caso una mirada ampliada al interior <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los meses y se <strong>de</strong>talla el asunto que<br />
será prioritario en ese mes, ejemplos <strong>de</strong> problemas, a<strong>de</strong>cuaciones semanales, que podrán<br />
orientar la perspectiva adoptada.<br />
4. EjEMplos DE plANIfICACIoNEs sEMANAlEs<br />
Se trata <strong>de</strong> un ejemplo <strong>de</strong>l <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l trabajo a lo largo <strong>de</strong> una semana <strong>de</strong> clases. En<br />
este ejemplo, se explicitan las activida<strong>de</strong>s propuestas para cada clase, las discusiones que se<br />
propiciarán con los alumnos, la organización <strong>de</strong>l trabajo en el aula, los tiempos que <strong>de</strong>mandarán,<br />
las conclusiones a las que se preten<strong>de</strong> arribar y los aprendizajes esperables.<br />
5. EjEMplos DE EvAluACIoNEs ANuAlEs, bIMEsTrAlEs o por<br />
CoNTENIDos DE TrAbAjo<br />
Se trata en este caso <strong>de</strong> ofrecer a los docentes insumos para pensar las evaluaciones. Al ser<br />
ejemplos, brindan la posibilidad <strong>de</strong> tomar <strong>de</strong>cisiones: alterar el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> las activida<strong>de</strong>s,<br />
modificar algunos datos <strong>de</strong> los problemas, consi<strong>de</strong>rar diferentes criterios para su corrección,<br />
incorporar otros problemas, quitar alguno, etcétera.<br />
Lo que se busca con estos ejemplos es preservar el espíritu <strong>de</strong>l trabajo elaborado en las<br />
planificaciones y en los cua<strong>de</strong>rnillos <strong>de</strong> manera <strong>de</strong> forjar el mayor grado <strong>de</strong> coherencia entre<br />
lo que se planifica, lo que se enseña y lo que se evalúa, asumiendo que estos recursos no son<br />
los únicos modos <strong>de</strong> i<strong>de</strong>ntificar los avances <strong>de</strong> los alumnos y repensar la enseñanza.<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado
6. EjEMplos DE CrITErIos DE CorrECCIóN<br />
Se proponen también, a la luz <strong>de</strong> los ejemplos <strong>de</strong> evaluaciones y a raíz <strong>de</strong> un problema, diferentes<br />
maneras <strong>de</strong> pensar la corrección <strong>de</strong> las pruebas o problemas que se les presentan<br />
a los alumnos. Se parte <strong>de</strong> la i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> que la corrección <strong>de</strong>be ser un aporte a la enseñanza<br />
y al aprendizaje. Por eso, es insuficiente entregar los resultados <strong>de</strong> las pruebas y que allí<br />
termine la tarea: ¿Qué se les dice a los alumnos? ¿Cómo se recuperan los resultados <strong>de</strong> las<br />
evaluaciones para que los alumnos sepan qué les pasó y por qué les pasó lo que les pasó?<br />
¿Cómo se reorienta la enseñanza para que los alumnos avancen? ¿Qué aspectos o qué<br />
resultados se consi<strong>de</strong>ran para la promoción?<br />
Estas cuestiones se plantean en un modo general, pero <strong>de</strong>mandan <strong>de</strong>bates particulares<br />
para cada alumno y para cada etapa <strong>de</strong>l año.<br />
7. bIblIogrAfÍA y lINks rECoMENDADos<br />
Se presenta también una bibliografía que aborda diferentes aspectos relacionados con la<br />
enseñanza y el aprendizaje <strong>de</strong> la Matemática, organizados según los temas.<br />
Se recomiendan estas herramientas a los docentes para que puedan profundizar sus<br />
conocimientos sobre la enseñanza y el aprendizaje <strong>de</strong> la Matemática.<br />
A su vez, para cada material recomendado, se indica el link <strong>de</strong>l cual pue<strong>de</strong> ser “bajado”<br />
para su estudio, ser impreso o disponer <strong>de</strong> él <strong>de</strong> la manera en que a cada docente<br />
y a cada escuela le resulte más conveniente. En dichos links, hay otros materiales que<br />
también podrán resultar <strong>de</strong> interés, aunque no aparezcan en la lista confeccionada.<br />
8. CuADErNIllos DE ACTIvIDADEs pArA los AluMNos<br />
En función <strong>de</strong> la planificación anual, se presentan cua<strong>de</strong>rnillos con problemas para trabajar con<br />
los alumnos, que recorren y acompañan esa planificación. Al tratarse <strong>de</strong> cua<strong>de</strong>rnillos o carpetas<br />
in<strong>de</strong>pendientes, el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> uso será <strong>de</strong>terminado por el docente, aunque cabe aclarar que<br />
ciertos contenidos son necesarios para abordar otros y que algunos cua<strong>de</strong>rnillos recuperan<br />
conocimientos tratados en otros. En este sentido, el docente <strong>de</strong>berá cuidar que la propuesta<br />
conserve las relaciones entre los conocimientos y el avance en la profundidad <strong>de</strong>l estudio.<br />
Los cua<strong>de</strong>rnillos están pensados para ser entregados a los alumnos para el estudio<br />
y trabajo en torno a cada tipo <strong>de</strong> problema. Son activida<strong>de</strong>s y no presentan aspectos<br />
teóricos que quedan en manos <strong>de</strong>l docente. La intención es que, a medida que los alumnos<br />
resuelvan los problemas, el docente pueda gestionar <strong>de</strong>bates sobre los procedimientos<br />
<strong>de</strong> resolución, buscar explicaciones que permitan interpretar errores, <strong>de</strong>cidir si algo es<br />
correcto, analizar si un recurso pue<strong>de</strong> ser vuelto a utilizar en otro problema, establecer<br />
generalida<strong>de</strong>s, etcétera.<br />
Es nuestro <strong>de</strong>seo que este material se transforme en un insumo <strong>de</strong> consulta y uso que<br />
permita a los docentes sentirse acompañados. Todo lo publicado es susceptible <strong>de</strong> ser<br />
fotocopiado e impreso, solo basta citar la fuente.<br />
Equipo <strong>de</strong> Matemática<br />
7
8<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado
MATEMÁTICA<br />
MArCo gENErAl<br />
DE lA propuEsTA DE MATEMÁTICA<br />
Los conocimientos matemáticos que pueblan las aulas respon<strong>de</strong>n habitualmente a tí-<br />
tulos reconocidos por los docentes: los números naturales y sus operaciones, los números<br />
racionales y sus operaciones, el estudio <strong>de</strong> las figuras y <strong>de</strong> los cuerpos geométricos, <strong>de</strong><br />
sus propieda<strong>de</strong>s; y aquellos aspectos relacionados con las magnitu<strong>de</strong>s, las medidas y las<br />
proporciones.<br />
Ahora bien, con estos mismos “títulos”, podrían <strong>de</strong>sarrollarse en cada escuela proyectos<br />
<strong>de</strong> enseñanza con características muy diferentes y, por en<strong>de</strong>, el aprendizaje <strong>de</strong> los<br />
alumnos también sería distintos.<br />
¿Por qué afirmamos esto?<br />
Des<strong>de</strong> la perspectiva que adoptamos, hay muchas maneras <strong>de</strong> conocer un concepto<br />
matemático. Estas <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong> cuánto una persona (en este caso, cada uno <strong>de</strong> sus<br />
alumnos) haya tenido la oportunidad <strong>de</strong> realizar con relación a ese concepto. O sea, el<br />
conjunto <strong>de</strong> prácticas que <strong>de</strong>spliega un alumno a propósito <strong>de</strong> un concepto matemático<br />
constituirá el sentido <strong>de</strong> ese concepto para ese alumno. Y si los proyectos <strong>de</strong> enseñanza<br />
propician prácticas diferentes, las aproximaciones a los conocimientos matemáticos que<br />
tendrán los alumnos serán muy diferentes.<br />
¿Cómo se <strong>de</strong>terminan estas prácticas?<br />
Algunos <strong>de</strong> los elementos que configuran estas prácticas son:<br />
Las elecciones que se realicen respecto <strong>de</strong> los tipos <strong>de</strong> problemas, su secuenciación,<br />
los modos <strong>de</strong> presentación que se propongan a los alumnos.<br />
Las interacciones que se promuevan entre los alumnos y las situaciones que se les propongan.<br />
Las modalida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> intervención docente a lo largo <strong>de</strong>l proceso <strong>de</strong> enseñanza.<br />
De allí que en este Proyecto, los contenidos <strong>de</strong> enseñanza esbozados para cada grado<br />
están formados tanto por esos títulos fácilmente reconocibles (los números, las operaciones,<br />
etc.), como por las formas en que son producidos y las prácticas por medio <strong>de</strong> las<br />
cuales se elaboran. La intención es acercar a los alumnos a una porción <strong>de</strong> la cultura matemática<br />
i<strong>de</strong>ntificada no solo por las relaciones establecidas (propieda<strong>de</strong>s, <strong>de</strong>finiciones, formas<br />
<strong>de</strong> representación, etc.), sino también por las características <strong>de</strong>l trabajo matemático.<br />
Por eso, las prácticas también forman parte <strong>de</strong> los contenidos a enseñar y se encuentran<br />
estrechamente ligadas al sentido que estos contenidos adquieren al ser aprendidos.<br />
¿Cuáles son algunas <strong>de</strong> las marcas que se pue<strong>de</strong>n i<strong>de</strong>ntificar como parte <strong>de</strong> las prácticas<br />
matemáticas?<br />
9
10<br />
El avance <strong>de</strong> la Matemática está marcado por problemas externos e internos a esta<br />
disciplina que han <strong>de</strong>mandado la construcción <strong>de</strong> nuevos conocimientos. Una característica<br />
central entonces <strong>de</strong>l trabajo matemático es la resolución <strong>de</strong> diferentes tipos <strong>de</strong><br />
problemas.<br />
Para que los alumnos también puedan involucrarse en la producción <strong>de</strong> conocimientos<br />
matemáticos, será necesario –aunque no suficiente– enfrentarlos a diversos tipos <strong>de</strong> problemas.<br />
Un problema es tal en tanto y en cuanto permite a los alumnos introducirse en el <strong>de</strong>safío<br />
<strong>de</strong> resolverlo a partir <strong>de</strong> los conocimientos disponibles y les <strong>de</strong>manda la producción<br />
<strong>de</strong> ciertas relaciones en la dirección <strong>de</strong> una solución posible, aunque esta, en un principio,<br />
resulte incompleta o incorrecta.<br />
Otra característica <strong>de</strong> la actividad matemática es el <strong>de</strong>spliegue <strong>de</strong> un trabajo <strong>de</strong> tipo<br />
exploratorio: probar, ensayar, abandonar, representar para imaginar o enten<strong>de</strong>r, tomar<br />
<strong>de</strong>cisiones, conjeturar, etcétera. Algunas exploraciones han <strong>de</strong>mandado años <strong>de</strong> trabajo a<br />
los matemáticos e, incluso, muchas <strong>de</strong> las preguntas y <strong>de</strong> los problemas elaborados hace<br />
mucho tiempo siguen en esta etapa <strong>de</strong> exploración porque aún no han sido resueltos.<br />
Por lo tanto, en la escuela se <strong>de</strong>berá ofrecer a los alumnos –frente a la resolución <strong>de</strong><br />
problemas– un espacio y un tiempo que posibilite el ensayo y error, habilite aproximaciones<br />
a la resolución que muchas veces serán correctas y otras tantas incorrectas, propicie la búsqueda<br />
<strong>de</strong> ejemplos que ayu<strong>de</strong>n a seguir ensayando, les permita probar con otros recursos,<br />
etcétera. Explorar, probar, ensayar, abandonar lo hecho y comenzar nuevamente la búsqueda<br />
es parte <strong>de</strong>l trabajo matemático que este Proyecto propone <strong>de</strong>splegar en el aula.<br />
Otro aspecto <strong>de</strong>l trabajo matemático posible <strong>de</strong> i<strong>de</strong>ntificar es la producción <strong>de</strong> un<br />
modo <strong>de</strong> representación pertinente para la situación que se preten<strong>de</strong> resolver. A lo largo<br />
<strong>de</strong> la historia, las maneras <strong>de</strong> representar también han sido una preocupación para los<br />
matemáticos. Los diferentes modos <strong>de</strong> representación matemática forman parte <strong>de</strong>l conocimiento<br />
en cuestión.<br />
Será necesario entonces favorecer en la escuela tanto la producción <strong>de</strong> representaciones<br />
propias por parte <strong>de</strong> los alumnos durante la exploración <strong>de</strong> ciertos problemas, como<br />
el análisis, el estudio y el uso <strong>de</strong> diversas formas <strong>de</strong> representación <strong>de</strong> la Matemática. El<br />
establecimiento <strong>de</strong> puentes entre las representaciones producidas por los alumnos y las<br />
que son reconocidas en la Matemática será también objeto <strong>de</strong> estudio.<br />
Muchos problemas o preguntas que han surgido a lo largo <strong>de</strong> la historia <strong>de</strong> la Matemática<br />
han admitido respuestas que no podían ser probadas inmediatamente, y otras aún<br />
no tienen <strong>de</strong>mostración. Estas respuestas, hasta que adquieren carácter <strong>de</strong> verdad, son<br />
reconocidas con el nombre <strong>de</strong> “conjeturas”.<br />
En las interacciones que se propicien en el aula, a raíz <strong>de</strong> la resolución y análisis <strong>de</strong><br />
diferentes problemas, se promoverá que los alumnos expliciten las i<strong>de</strong>as que van elaborando<br />
(las respuestas que encuentren, las relaciones que establezcan, etc.), aun cuando<br />
no sea claro para ellos, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el principio, si son <strong>de</strong>l todo ciertas. Estas i<strong>de</strong>as y las respuestas<br />
provisorias que producen los niños son conjeturas o hipótesis que <strong>de</strong>mandarán más<br />
conocimientos para que <strong>de</strong>jen <strong>de</strong> serlo.<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado
El quehacer matemático involucra también <strong>de</strong>terminar la vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong> los resultados obtenidos<br />
y <strong>de</strong> las conjeturas producidas, es <strong>de</strong>cir, recurrir a los conocimientos matemáticos<br />
para <strong>de</strong>cidir si una afirmación, una relación o un resultado son válidos o no y bajo qué<br />
condiciones.<br />
Es necesario entonces que los alumnos puedan progresivamente “hacerse cargo” –y,<br />
usando diferentes tipos <strong>de</strong> conocimientos matemáticos, dar cuenta <strong>de</strong> la verdad o falsedad<br />
<strong>de</strong> los resultados que se encuentran y <strong>de</strong> las relaciones que se establecen.<br />
Determinar bajo qué condiciones una conjetura es cierta o no implica analizar si aquello<br />
que se estableció como válido para algún caso particular funciona para cualquier otro<br />
caso o no. A veces, la vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong> una conjetura podrá aplicarse a todos los casos y podrá<br />
elaborarse entonces una generalización. Otras veces la conjetura será válida solo para un<br />
conjunto <strong>de</strong> casos. <strong>General</strong>izar o <strong>de</strong>terminar el dominio <strong>de</strong> vali<strong>de</strong>z es también parte <strong>de</strong>l<br />
trabajo matemático.<br />
Una última característica a <strong>de</strong>stacar <strong>de</strong>l trabajo matemático es la reorganización y el<br />
establecimiento <strong>de</strong> relaciones entre diferentes conceptos ya reconocidos. Reor<strong>de</strong>nar y sistematizar<br />
genera nuevas relaciones, nuevos problemas y permite producir otros mo<strong>de</strong>los<br />
matemáticos.<br />
Se comunican los modos <strong>de</strong> producción –o las prácticas matemáticas– asociados a los<br />
“títulos” a los que se hacía referencia inicialmente con la intención <strong>de</strong> promover prácticas<br />
<strong>de</strong> enseñanza que favorezcan que los conocimientos <strong>de</strong> los alumnos se carguen <strong>de</strong> un cierto<br />
sentido. No se trata <strong>de</strong> enseñar en la escuela primaria algunos rudimentos y técnicas<br />
para que luego, más a<strong>de</strong>lante, solo algunos alumnos accedan a las maneras <strong>de</strong> pensar y<br />
producir en Matemática; sino <strong>de</strong> intentar que <strong>de</strong>s<strong>de</strong> los primeros contactos con esta disciplina,<br />
el estudio <strong>de</strong> la Matemática sea una forma <strong>de</strong> acercarse a sus distintas maneras<br />
<strong>de</strong> producir. En este Proyecto, se adopta la i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> que enseñar Matemática es también<br />
introducir a los alumnos en las prácticas y en el quehacer propio <strong>de</strong> esta disciplina.<br />
Una cuestión que ha dado lugar a muchas discusiones en distintos momentos <strong>de</strong> la<br />
enseñanza <strong>de</strong> la Matemática se refiere al lugar que ocupa –sobre todo en los primeros grados–<br />
la utilización <strong>de</strong> “material concreto” para producir resultados o para comprobarlos.<br />
Hay distintas maneras <strong>de</strong> recurrir al uso <strong>de</strong> este tipo <strong>de</strong> materiales. Supongamos por ejemplo<br />
que, en primer grado, se les propone a los alumnos la siguiente situación: un niño pasa<br />
al frente y pone, a la vista <strong>de</strong> todos, 7 chapitas en una caja; <strong>de</strong>spués pasa otro niño y pone,<br />
también a la vista <strong>de</strong> todos, 8 chapitas. Se les pi<strong>de</strong> a los niños que encuentren una manera<br />
<strong>de</strong> saber cuántas chapitas hay en la caja. Utilizando diversas estrategias, los niños arribarán<br />
a un resultado. Si para constatarlo los niños cuentan las chapitas <strong>de</strong> la caja, estarán<br />
haciendo una comprobación empírica. Si, en cambio, se excluye la posibilidad <strong>de</strong> acción<br />
efectiva sobre los objetos y se les pi<strong>de</strong> a los chicos que muestren mediante argumentos que<br />
su resultado es correcto, sin corroborarlo empíricamente, estarán haciendo una validación<br />
<strong>de</strong> tipo argumentativo.<br />
Es necesario señalar que, cuando las comprobaciones son <strong>de</strong> tipo empírico, es imprescindible<br />
proponer la anticipación <strong>de</strong> los resultados que luego se leerán en la comprobación<br />
(en la situación <strong>de</strong> la caja los niños primero anticipan y luego corroboran). De esta manera,<br />
en este juego <strong>de</strong> anticipación-validación argumentativa-corroboración empírica, los<br />
11
12<br />
niños irán <strong>de</strong>scubriendo que los resultados que obtienen son una consecuencia necesaria<br />
<strong>de</strong> haber puesto en funcionamiento ciertas herramientas <strong>de</strong>l aparato matemático.<br />
Sin esta anticipación, los niños manipulan material, y los resultados que obtienen son producto<br />
<strong>de</strong> una contingencia (se obtuvieron estos, pero podrían haberse obtenido otros).<br />
En otras palabras, si no hay articulación entre anticipación y comprobación empírica, esta<br />
última se plantea solo con relación a ella misma, y sus resultados no se integran a ninguna<br />
organización <strong>de</strong> conocimiento específica.<br />
Es necesario señalar que, cuando la comprobación es empírica, esa relación <strong>de</strong> necesariedad<br />
entre las acciones realizadas para anticipar, y los resultados leídos en la corroboración,<br />
no pue<strong>de</strong> in<strong>de</strong>pendizarse <strong>de</strong>l contexto particular en el que se <strong>de</strong>sarrolló. ¿Resulta<br />
esta afirmación un argumento para <strong>de</strong>scartar las comprobaciones empíricas? De ninguna<br />
manera hacemos esa aseveración. Las comprobaciones <strong>de</strong> tipo experimental hacen posible<br />
una interacción entre los mo<strong>de</strong>los matemáticos que los niños van elaborando y los aspectos<br />
<strong>de</strong> la realidad que son mo<strong>de</strong>lizables a través <strong>de</strong> las herramientas matemáticas. Sin esta<br />
interacción, ellos no tendrían posibilidad <strong>de</strong> hacer funcionar esos mo<strong>de</strong>los, <strong>de</strong> ponerlos a<br />
prueba. Concluimos entonces que, cuando las constataciones empíricas se plantean como<br />
una verificación <strong>de</strong> aquello que se ha anticipado, se empieza a hacer observable la potencia<br />
<strong>de</strong> la Matemática como herramienta que permite anticipar los resultados <strong>de</strong> experiencias<br />
no realizadas.<br />
Circula en algunos medios una concepción instrumentalista <strong>de</strong> la enseñanza <strong>de</strong> la<br />
Matemática que sostiene dos principios fundamentales: 1) Su enseñanza se justifica<br />
por la utilidad que tienen los saberes matemáticos para resolver problemas cotidianos<br />
y 2) los problemas cotidianos son la única vía para que los niños encuentren el sentido<br />
<strong>de</strong> la Matemática. Esta concepción es, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> nuestra perspectiva, objeto <strong>de</strong> varios<br />
cuestionamientos.<br />
Nos interesa que el niño comprenda que la Matemática es una disciplina que ofrece<br />
herramientas para resolver ciertos problemas <strong>de</strong> la realidad. Pero centrarse exclusivamente<br />
en la utilidad hace per<strong>de</strong>r <strong>de</strong> vista a la Matemática como producto cultural, como<br />
práctica, como forma <strong>de</strong> pensamiento, como modo <strong>de</strong> argumentación. Pensamos con<br />
Bkouche que:<br />
Hay una motivación tanto o más fundamental que la utilidad: el <strong>de</strong>safío<br />
que plantea al alumno un problema en tanto tal. Lo que es importante para<br />
el alumno no es conocer la solución, es ser capaz <strong>de</strong> encontrarla él mismo<br />
y <strong>de</strong> construirse así, a través <strong>de</strong> su actividad matemática, una imagen<br />
<strong>de</strong> sí positiva, valorizante, frente a la Matemática. La recompensa <strong>de</strong>l problema<br />
resuelto no es la solución <strong>de</strong>l problema, es el éxito <strong>de</strong> aquel que lo<br />
ha resuelto por sus propios medios, es la imagen que pue<strong>de</strong> tener <strong>de</strong> sí<br />
mismo como alguien capaz <strong>de</strong> resolver problemas, <strong>de</strong> hacer matemática,<br />
<strong>de</strong> apren<strong>de</strong>r. (...).<br />
Por otra parte, pensar en las aplicaciones como única fuente <strong>de</strong> sentido es renunciar<br />
a que el niño comprenda que el conocimiento matemático también se produce para dar<br />
respuestas a problemas que surgen <strong>de</strong>l interior <strong>de</strong> la disciplina y esta renuncia minimiza las<br />
posibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> compren<strong>de</strong>r la lógica interna <strong>de</strong> la Matemática.<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado
Hay una tercera cuestión que es necesario señalar: el hecho <strong>de</strong> que el problema se<br />
plantee en un contexto extra matemático no siempre aporta a la comprensión o a la resolución<br />
<strong>de</strong>l problema. Tomamos la opción <strong>de</strong> privilegiar los contextos <strong>de</strong> aplicación extra<br />
matemática cuando estos ofrecen al alumno elementos para pensar, abordar, resolver o<br />
validar los problemas que están enfrentando. Volvemos a citar a Bkouche:<br />
Ahora bien, lo que da profundamente sentido en la actividad matemática, no<br />
es que es curiosa, útil, entretenida, sino que se enraíza en la historia personal<br />
y social <strong>de</strong>l sujeto. Toda situación <strong>de</strong> aprendizaje, más allá <strong>de</strong> aspectos específicamente<br />
didácticos, plantea dos preguntas ineludibles. ¿Cuál es el sentido<br />
<strong>de</strong> esta situación para aquel que apren<strong>de</strong>? ¿Cuál es la imagen <strong>de</strong> sí mismo, <strong>de</strong><br />
sus capacida<strong>de</strong>s, <strong>de</strong> sus oportunida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> éxito en esta situación? En términos<br />
más triviales: ¿qué hago acá?, ¿soy capaz?, ¿vale la pena? Esta relación<br />
con el saber pone en juego los <strong>de</strong>seos, el inconsciente, las normas sociales,<br />
los mo<strong>de</strong>los <strong>de</strong> referencia, las i<strong>de</strong>ntificaciones, las expectativas, los pareceres<br />
sobre el porvenir, los <strong>de</strong>safíos personales. (...) Es muy reductor invocar simplemente<br />
aquí palabras tan vagas como “curiosidad” o incluso “motivación”.<br />
El problema no es suscitar la curiosidad, sino proponer a los jóvenes las activida<strong>de</strong>s,<br />
las prácticas, los itinerarios <strong>de</strong> formación que toman sentido en<br />
una red compleja <strong>de</strong> <strong>de</strong>seos, <strong>de</strong> expectativas, <strong>de</strong> normas interiorizadas y que<br />
contribuyen a reestructurar esa red.<br />
Los aspectos <strong>de</strong>stacados en estos párrafos están consi<strong>de</strong>rados implícita o explíci-<br />
tamente en la organización y distribución <strong>de</strong> contenidos que ofrecemos como ejemplo. En<br />
dicha selección, se han consi<strong>de</strong>rado, <strong>de</strong> alguna manera, no solo los títulos que constituyen<br />
los objetos <strong>de</strong> enseñanza, sino las marcas <strong>de</strong> las prácticas matemáticas que asociadas a<br />
ellos, se propicia <strong>de</strong>splegar en las aulas.<br />
13
sEguNDo CIClo<br />
14<br />
MATEMÁTICA EN El sEguNDo CIClo<br />
El recorrido <strong>de</strong> los alumnos a lo largo <strong>de</strong>l Segundo Ciclo <strong>de</strong> la escolaridad involucra algunas<br />
cuestiones fundamentales. Por un lado, es el tiempo <strong>de</strong> afianzar y profundizar los<br />
conocimientos elaborados en el Primer Ciclo. En este sentido, aparecerán <strong>de</strong>safíos más<br />
complejos con relación al tamaño y comportamiento <strong>de</strong> los números naturales. El docente<br />
podrá propiciar la resolución <strong>de</strong> problemas que inviten a elaborar nuevos sentidos <strong>de</strong> las<br />
cuatro operaciones básicas, así como se podrá avanzar en el estudio <strong>de</strong> las figuras. Es <strong>de</strong>cir,<br />
los objetos matemáticos seguirán siendo herramientas para enfrentar variadas clases<br />
<strong>de</strong> problemas y a la vez serán visitados también para estudiar, con más profundidad, su<br />
funcionamiento “interno”.<br />
Por el otro, este Segundo Ciclo es un tiempo propicio para acompañar a los alumnos<br />
en un reconocimiento más fecundo <strong>de</strong> los modos <strong>de</strong> hacer y <strong>de</strong> producir que tiene<br />
la Matemática. En este sentido, profundizar en las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las cuatro operaciones<br />
y enfrentarse a los <strong>de</strong>safíos que ofrece el terreno <strong>de</strong> la divisibilidad abren un nuevo<br />
universo: po<strong>de</strong>r saber un resultado sin hacer la cuenta, po<strong>de</strong>r anticipar si será cierto<br />
o no una igualdad sin usar algoritmos son nuevas marcas <strong>de</strong> la actividad matemática.<br />
Es un momento en el cual se pue<strong>de</strong> avanzar en el trabajo en torno a la posibilidad <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>cidir autónomamente la verdad o falsedad <strong>de</strong> una afirmación, la vali<strong>de</strong>z o no <strong>de</strong> un<br />
resultado, <strong>de</strong> una propiedad a partir <strong>de</strong> la elaboración <strong>de</strong> argumentos y relaciones basados<br />
en los conocimientos matemáticos. La entrada en un tipo <strong>de</strong> racionalidad propia<br />
<strong>de</strong> esta disciplina es central en este ciclo. Y se “jugará” en cada uno <strong>de</strong> los gran<strong>de</strong>s<br />
ejes <strong>de</strong> contenidos.<br />
Pero el ingreso <strong>de</strong> los alumnos en el Segundo Ciclo les <strong>de</strong>para también algunas rupturas<br />
con lo aprendido en el Primer Ciclo. Será parte <strong>de</strong> la tarea docente enfrentar a los<br />
alumnos a un nuevo campo <strong>de</strong> números: los números racionales, tanto en su expresión<br />
fraccionaria como en su expresión <strong>de</strong>cimal. Por un lado, <strong>de</strong>berán explorar diversos tipos <strong>de</strong><br />
problemas para los cuales las fracciones son un medio <strong>de</strong> solución; por ejemplo, problemas<br />
<strong>de</strong> reparto y partición, problemas <strong>de</strong> medida, etcétera. Pero también −<strong>de</strong>l mismo modo<br />
que para los números naturales− <strong>de</strong>berán enfrentarse a <strong>de</strong>sentrañar algunas cuestiones <strong>de</strong><br />
su funcionamiento, tales como la comparación, el or<strong>de</strong>n, el cálculo, las diferentes maneras<br />
<strong>de</strong> representar una misma cantidad, etcétera. Respecto <strong>de</strong> las expresiones <strong>de</strong>cimales,<br />
también se propondrá una entrada a través <strong>de</strong> su uso social −el dinero y la medida– para<br />
luego a<strong>de</strong>ntrarse en cuestiones internas ligadas al valor posicional, al or<strong>de</strong>n, al cálculo,<br />
a la búsqueda <strong>de</strong> un número entre dos dados, a la equivalencia con infinitas expresiones<br />
fraccionarias, etcétera.<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado
Y el estudio <strong>de</strong> este nuevo campo <strong>de</strong> números provocará en los alumnos ciertas contradicciones<br />
en relación con el trabajo en el campo <strong>de</strong> los números naturales. Por ejemplo,<br />
algunas relaciones que eran válidas para los números naturales (“un número, si es más<br />
largo que otro, seguro es mayor”, “entre 2 y 3 no hay ningún número”, “si se multiplica,<br />
el número se agranda”) <strong>de</strong>jan <strong>de</strong> ser ciertas cuando aparecen los números racionales (ya<br />
que un número pue<strong>de</strong> ser más largo que otro y ser menor –1,9999 y 2–, entre 2 y 3 habrá<br />
infinitos números y si se multiplica por 0,5 el número “se achicará”). Acompañar a los<br />
alumnos en i<strong>de</strong>ntificar estos “cortes” los ayudará a posicionarse <strong>de</strong> mejor manera a la<br />
hora <strong>de</strong> ofrecerles una propuesta <strong>de</strong> trabajo que ponga en escena estas rupturas.<br />
los EjEs CENTrAlEs DEl TrAbAjo MATEMÁTICo EN El sEguNDo CIClo<br />
Respecto <strong>de</strong> los números naturales, los alumnos han estudiado en el Primer Ciclo cómo<br />
leer, escribir, or<strong>de</strong>nar números hasta aproximadamente 10.000 o 15.000. En el Segundo<br />
Ciclo, la comprensión <strong>de</strong> las reglas que subyacen a nuestro sistema <strong>de</strong> numeración y la<br />
información sobre “números redondos” permitirá que los alumnos puedan leer o escribir<br />
cualquier número natural. Del mismo modo, el incipiente análisis <strong>de</strong>l valor posicional<br />
que han abordado en el Primer Ciclo, <strong>de</strong>scomponiendo y componiendo con 10, 100 y<br />
1.000 les permitirá, en este ciclo, compren<strong>de</strong>r la naturaleza más profunda <strong>de</strong> nuestro<br />
sistema: el agrupamiento en base 10 y la posicionalidad <strong>de</strong> tal manera <strong>de</strong> apren<strong>de</strong>r a<br />
“ver” en la escritura <strong>de</strong>l número la información que porta y la potencia para cálculos <strong>de</strong><br />
suma, resta, multiplicación y división por la unidad seguida <strong>de</strong> ceros. Paralelamente, el<br />
estudio <strong>de</strong> diversos sistemas <strong>de</strong> numeración antiguos tiene el propósito <strong>de</strong> favorecer la<br />
comparación entre sistemas para enriquecer y complejizar la mirada respecto <strong>de</strong>l que se<br />
usa actualmente.<br />
En el terreno <strong>de</strong> las operaciones con números naturales, al mismo tiempo que se propone<br />
recuperar la diversidad <strong>de</strong> cálculos y problemas abordados en el Primer Ciclo, el docente<br />
podrá ofrecer diferentes activida<strong>de</strong>s que permitan a los alumnos construir nuevos sentidos,<br />
especialmente para la multiplicación y la división. Harán su aparición nuevos problemas<br />
<strong>de</strong> división, tales como los que involucran la relación entre divi<strong>de</strong>ndo, divisor, cociente y<br />
resto, o los problemas en los que se repite una cantidad y es necesario <strong>de</strong>terminar cuántas<br />
veces. A<strong>de</strong>más <strong>de</strong> una ampliación <strong>de</strong> la clase <strong>de</strong> problemas, el estudio <strong>de</strong> estas operaciones<br />
podrá abarcar también aspectos más “internos” a su funcionamiento, como por ejemplo,<br />
la exploración y formulación <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s. Un nuevo aspecto que podrá aparecer en<br />
las aulas (asociado a la multiplicación y a la división), serán las i<strong>de</strong>as <strong>de</strong> múltiplos, divisores<br />
y divisibilidad. Estas cuestiones se podrán tratar a partir <strong>de</strong> una diversidad <strong>de</strong> problemas:<br />
algunos con enunciados verbales y otros estrictamente numéricos que permitirán avanzar<br />
sobre ciertas prácticas <strong>de</strong> argumentación y <strong>de</strong>mostración.<br />
El trabajo geométrico en el Segundo Ciclo podrá permitir a los alumnos profundizar en el<br />
estudio <strong>de</strong> las figuras y <strong>de</strong> los cuerpos geométricos. A través <strong>de</strong> problemas <strong>de</strong> construcción y<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>terminación <strong>de</strong> medidas –sin medir– y usando las propieda<strong>de</strong>s estudiadas, es posible favorecer<br />
la i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> que los conocimientos son un medio para po<strong>de</strong>r establecer afirmaciones sobre<br />
los objetos con los que tratan sin necesidad <strong>de</strong> apelar a la constatación empírica. En el Primer<br />
Ciclo, los niños validan sus producciones recurriendo a ejemplos, a constataciones empíricas y a<br />
argumentos muy ligados al contexto en que produjeron sus resultados. En el Segundo Ciclo,<br />
15
16<br />
resulta fundamental ofrecer oportunida<strong>de</strong>s para que los alumnos comiencen a elaborar argumentos<br />
que vali<strong>de</strong>n sus afirmaciones, apoyados en propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las figuras. La validación<br />
empírica será entonces insuficiente, por ejemplo, no es posible <strong>de</strong>mostrar que la suma <strong>de</strong> los<br />
ángulos interiores <strong>de</strong>l triángulo mi<strong>de</strong> 180º por medir y sumar sus ángulos, ya que si se mi<strong>de</strong>n,<br />
no dará justo 180º. Será necesario elaborar otras formas <strong>de</strong> justificación.<br />
Aparecen también nuevos objetos que, si bien ya han sido visitados <strong>de</strong> manera más intuitiva,<br />
en el Segundo Ciclo se estudiarán en forma más sistemática. Un ejemplo <strong>de</strong> ello es la<br />
proporcionalidad. El punto <strong>de</strong> partida para su estudio nuevamente será el uso que los niños ya<br />
conocen <strong>de</strong> esta relación: resolver problemas en los que se requiere multiplicar o dividir en torno<br />
a series proporcionales y poner en juego las i<strong>de</strong>as <strong>de</strong> dobles, mita<strong>de</strong>s, triples, etcétera. Pero<br />
en este ciclo, su estudio implicará un análisis más profundo <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la proporcionalidad,<br />
<strong>de</strong> la constante, <strong>de</strong>l porcentaje y también <strong>de</strong> los límites <strong>de</strong> esta noción para resolver<br />
problemas. Este contenido articula cuestiones ligadas a los números naturales y racionales, sus<br />
operaciones y conocimientos ligados al campo <strong>de</strong> la medida.<br />
Del mismo modo que para otros objetos, el estudio <strong>de</strong> la medida se podrá iniciar a<br />
partir <strong>de</strong>l uso social, <strong>de</strong> la exploración <strong>de</strong> algunas unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> medida y <strong>de</strong> instrumentos<br />
usados fuera <strong>de</strong> la escuela que han circulado en el Primer Ciclo. En este ciclo, se podrá<br />
avanzar hacia un análisis más riguroso <strong>de</strong> los múltiplos y submúltiplos <strong>de</strong> las unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
medida <strong>de</strong> longitud, capacidad y peso. Por otro lado, el estudio <strong>de</strong>l perímetro y el área pue<strong>de</strong><br />
abordarse <strong>de</strong>s<strong>de</strong> dos perspectivas. Una <strong>de</strong> ellas dirigida a la diferenciación <strong>de</strong> ambas<br />
nociones y a sus aspectos más cualitativos, y la otra –a fines <strong>de</strong>l Segundo Ciclo– asociada<br />
a la <strong>de</strong>terminación y al cálculo <strong>de</strong> áreas y perímetros y al establecimiento <strong>de</strong> las unida<strong>de</strong>s<br />
convencionales. El tratamiento <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> medidas será analizado a la luz <strong>de</strong> sus vinculaciones<br />
con el sistema <strong>de</strong> numeración <strong>de</strong>cimal, la multiplicación y la división por la unidad<br />
seguida <strong>de</strong> ceros, y las relaciones <strong>de</strong> proporcionalidad.<br />
Una cuestión central en el Segundo Ciclo es la necesidad <strong>de</strong> involucrar a los alumnos en el<br />
proceso <strong>de</strong> estudio <strong>de</strong> esta disciplina. Se espera po<strong>de</strong>r generar más espacios que permitan a los<br />
alumnos reorganizar su trabajo, volver sobre lo realizado, clasificar y reor<strong>de</strong>nar los problemas,<br />
establecer relaciones entre lo viejo y lo nuevo, entre diferentes conocimientos puestos en juego.<br />
Los alumnos también tienen que apren<strong>de</strong>r, en la escuela, a estudiar autónomamente. Esto<br />
implicará que resuelvan problemas similares a los realizados en el aula, que tengan guías <strong>de</strong><br />
estudio, problemas para resolver y entregar en un tiempo <strong>de</strong>terminado, que puedan registrar<br />
avances y dudas, que puedan i<strong>de</strong>ntificar los problemas que más les han costado y aquellos en<br />
los que más han avanzado. El estudio requiere <strong>de</strong> un trabajo comprometido y sistemático <strong>de</strong><br />
los alumnos que <strong>de</strong>berá ser enseñado, sostenido y propiciado por parte <strong>de</strong> los docentes. Enseñar<br />
a estudiar Matemática es parte <strong>de</strong> la responsabilidad <strong>de</strong> la escuela.<br />
¿Qué sE EspErA logrAr CoN lA ENsEñANzA EN EsTos Años?<br />
Si la escuela ha generado ciertas condiciones para la producción, difusión y reorganización <strong>de</strong><br />
los conocimientos matemáticos, los alumnos al finalizar el Segundo Ciclo <strong>de</strong>berían po<strong>de</strong>r:<br />
Hacerse responsables <strong>de</strong> sus producciones y <strong>de</strong> su proceso <strong>de</strong> estudio.<br />
Elaborar estrategias personales para resolver problemas y modos <strong>de</strong> comunicar pro-<br />
cedimientos y resultados.<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado
Asumir progresivamente la responsabilidad <strong>de</strong> validar sus producciones e i<strong>de</strong>as.<br />
Valorar el intercambio <strong>de</strong> i<strong>de</strong>as, el <strong>de</strong>bate y la confrontación <strong>de</strong> posiciones respecto<br />
<strong>de</strong> una supuesta verdad.<br />
Leer, escribir y comparar números naturales sin límite.<br />
Resolver problemas que exigen <strong>de</strong>scomponer aditiva y multiplicativamente los núme-<br />
ros a partir <strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rar el valor posicional.<br />
Comparar características <strong>de</strong> diversos sistemas <strong>de</strong> numeración.<br />
Resolver problemas que involucran distintos sentidos <strong>de</strong> las operaciones <strong>de</strong> suma,<br />
resta, multiplicación y división utilizando, comunicando y comparando diversas estra-<br />
tegias y cálculos posibles.<br />
Seleccionar y usar variadas estrategias <strong>de</strong> cálculo (mental, algorítmico, aproximado<br />
y con calculadora) para sumar, restar, multiplicar y dividir <strong>de</strong> acuerdo con la situación<br />
y con los números involucrados verificando con una estrategia los resultados obtenidos<br />
por medio <strong>de</strong> otra.<br />
Recurrir a las i<strong>de</strong>as <strong>de</strong> múltiplos, divisores y a los criterios <strong>de</strong> divisibilidad para resolver<br />
diferentes clases <strong>de</strong> problemas, analizar relaciones entre cálculos y anticipar resultados.<br />
Resolver problemas que involucran distintos sentidos <strong>de</strong> las fracciones utilizando,<br />
comunicando y comparando estrategias posibles.<br />
Resolver problemas que involucran consi<strong>de</strong>rar características <strong>de</strong>l funcionamiento <strong>de</strong><br />
las fracciones y <strong>de</strong> las expresiones <strong>de</strong>cimales y las relaciones entre ambas.<br />
Construir variados recursos <strong>de</strong> cálculo mental exacto y aproximado que permitan<br />
sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones <strong>de</strong>cimales entre sí y con números<br />
naturales y sumar, restar y multiplicar expresiones fraccionarias entre sí y con núme-<br />
ros naturales.<br />
Resolver problemas que involucran relaciones <strong>de</strong> proporcionalidad con números na-<br />
turales y racionales.<br />
Comparar y calcular porcentajes apelando a las relaciones con los números racionales<br />
y las proporciones.<br />
Resolver problemas que exigen poner en juego propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l círculo y la circunfe-<br />
rencia, <strong>de</strong> los triángulos y <strong>de</strong> los cuadriláteros para copiarlos, construirlos, <strong>de</strong>scribir-<br />
los o anticipar medidas, elaborar conjeturas y <strong>de</strong>batir acerca <strong>de</strong> la vali<strong>de</strong>z o no <strong>de</strong><br />
diferentes tipos <strong>de</strong> enunciados.<br />
Resolver problemas que exigen poner en juego propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> cubos, prismas y pi-<br />
rámi<strong>de</strong>s y permitan elaborar conjeturas y <strong>de</strong>batir acerca <strong>de</strong> la vali<strong>de</strong>z o no <strong>de</strong> diferen-<br />
tes tipos <strong>de</strong> enunciados.<br />
Resolver problemas que involucran el uso <strong>de</strong>l Sistema Métrico Legal (SIMELA) para<br />
longitud, capacidad y peso estableciendo relaciones entre fracciones, expresiones <strong>de</strong>-<br />
cimales, unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> medida y nociones <strong>de</strong> proporcionalidad.<br />
Resolver problemas que implican estimar medidas y <strong>de</strong>terminar la unidad <strong>de</strong> medida<br />
más conveniente.<br />
Resolver problemas que involucran el análisis <strong>de</strong> las variaciones en perímetros y áreas<br />
y el estudio <strong>de</strong> algunas unida<strong>de</strong>s y fórmulas convencionales para medir áreas <strong>de</strong> trián-<br />
gulos y cuadriláteros.<br />
17
EjEMplo DE MApA CurrICulAr DE sEguNDo CIClo<br />
sEguNDo CIClo<br />
MATEMÁTICA<br />
Bloques 4.º grado 5.º grado 6.º grado<br />
- Resolución <strong>de</strong> problemas que impliquen usar, leer, escribir y comparar números<br />
sin límite.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que exijan <strong>de</strong>scomponer aditiva y multiplicativamente<br />
los números y analizar el valor posicional.<br />
• Anticipación <strong>de</strong>l resultado <strong>de</strong> cálculos a partir <strong>de</strong> la información que brinda la<br />
escritura <strong>de</strong> los números.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucren diversos sentidos <strong>de</strong> la multiplicación<br />
y la división utilizando, comunicando y comparando diversas estrategias, escribiendo<br />
los cálculos que representan la operación realizada.<br />
• Construcción, selección y uso <strong>de</strong> variadas estrategias <strong>de</strong> cálculo para multiplicar<br />
y dividir (mental, algorítmico, aproximado y con calculadora) <strong>de</strong> acuerdo con<br />
la situación y con los números involucrados verificando con una estrategia los<br />
resultados obtenidos por medio <strong>de</strong> otra.<br />
• Uso <strong>de</strong> las nociones <strong>de</strong> múltiplos, divisores y <strong>de</strong> los criterios <strong>de</strong> divisibilidad<br />
para resolver diferentes clases <strong>de</strong> problemas, analizar relaciones entre cálculos y<br />
anticipar resultados <strong>de</strong> multiplicaciones y divisiones.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que impliquen usar, leer, escribir<br />
y comparar números sin límite.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que exijan <strong>de</strong>scomponer<br />
aditiva y multiplicativamente los números y analizar el<br />
valor posicional.<br />
• Exploración <strong>de</strong> diversos sistemas <strong>de</strong> numeración posicionales,<br />
no posicionales, aditivos, multiplicativos, <strong>de</strong>cimales.<br />
Análisis <strong>de</strong> su evolución histórica y comparación<br />
con el sistema <strong>de</strong>cimal posicional.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucren diversos sentidos<br />
<strong>de</strong> la multiplicación y la división utilizando, comunicando<br />
y comparando diversas estrategias, escribiendo<br />
los cálculos que representan la operación realizada.<br />
• Construcción, selección y uso <strong>de</strong> variadas estrategias<br />
<strong>de</strong> cálculo para multiplicar y dividir (mental, algorítmico,<br />
aproximado y con calculadora) <strong>de</strong> acuerdo con la<br />
situación y con los números involucrados verificando<br />
con una estrategia los resultados obtenidos por medio<br />
<strong>de</strong> otra.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucren las nociones<br />
<strong>de</strong> múltiplo y divisor. Análisis <strong>de</strong> las relaciones entre<br />
cálculos a partir <strong>de</strong> la i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> múltiplo: <strong>de</strong>scomposiciones<br />
para usar resultados conocidos en la búsqueda<br />
<strong>de</strong> productos o divisiones <strong>de</strong>sconocidas.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que impliquen usar, leer,<br />
escribir y comparar números hasta el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> los<br />
millones.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que exijan <strong>de</strong>scomponer<br />
aditiva y multiplicativamente los números y analizar<br />
el valor posicional <strong>de</strong> las cifras.<br />
• Exploración <strong>de</strong> las características <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong><br />
numeración romano y la comparación con el sistema<br />
<strong>de</strong> numeración posicional <strong>de</strong>cimal.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucren distintos<br />
sentidos <strong>de</strong> las operaciones <strong>de</strong> suma y resta, utilizando,<br />
comunicando y comparando diversas estrategias<br />
y cálculos posibles.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucren diversos<br />
sentidos <strong>de</strong> la multiplicación y la división utilizando,<br />
comunicando y comparando diversas estrategias<br />
y cálculos posibles.<br />
• Construcción, selección y uso <strong>de</strong> variadas estrategias<br />
<strong>de</strong> cálculo para multiplicar y dividir (mental,<br />
algorítmico, aproximado y con calculadora)<br />
<strong>de</strong> acuerdo con la situación y con los números involucrados<br />
verificando con una estrategia los resultados<br />
obtenidos por medio <strong>de</strong> otra.<br />
Números<br />
naturales y<br />
operaciones<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucran distintos sentidos <strong>de</strong> las fracciones utilizando,<br />
comunicando y comparando estrategias posibles.<br />
• Relaciones entre los números que intervienen en una división entera con la fracción<br />
que expresa el resultado <strong>de</strong> un reparto.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que <strong>de</strong>man<strong>de</strong>n recurrir a las relaciones entre el entero y<br />
las partes, así como entre las partes entre sí.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que <strong>de</strong>man<strong>de</strong>n recurrir a las fracciones para representar<br />
proporciones.<br />
• Or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> expresiones fraccionarias y representación en una recta numérica.<br />
• Búsqueda <strong>de</strong> fracciones entre dos fracciones dadas.<br />
• Construcción <strong>de</strong> recursos <strong>de</strong> cálculo mental que permitan sumar y restar fracciones<br />
entre sí y fracciones con números naturales.<br />
• Multiplicación <strong>de</strong> fracciones en el contexto <strong>de</strong> la proporcionalidad y la superficie.<br />
• Construcción <strong>de</strong> recursos <strong>de</strong> cálculo mental que permitan multiplicar fracciones<br />
entre sí y fracciones con números naturales.<br />
• Análisis <strong>de</strong> las relaciones entre fracciones <strong>de</strong>cimales y expresiones <strong>de</strong>cimales para<br />
favorecer la comprensión <strong>de</strong>l valor posicional en las escrituras <strong>de</strong>cimales.<br />
• Exploración <strong>de</strong> las equivalencias entre expresiones fraccionarias y <strong>de</strong>cimales consi<strong>de</strong>rando<br />
la posibilidad <strong>de</strong> buscar fracciones a partir <strong>de</strong> cualquier expresión <strong>de</strong>cimal y<br />
los problemas que surgen al buscar expresiones <strong>de</strong>cimales para algunas fracciones.<br />
• Análisis <strong>de</strong> la multiplicación y división <strong>de</strong> números <strong>de</strong>cimales por la unidad seguida<br />
<strong>de</strong> ceros y establececimiento <strong>de</strong> relaciones con el valor posicional <strong>de</strong> las cifras<br />
<strong>de</strong>cimales.<br />
• Construcción <strong>de</strong> variados recursos <strong>de</strong> cálculo mental, exacto y aproximado que<br />
permitan sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones <strong>de</strong>cimales entre sí y con números<br />
naturales.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucran distintos<br />
sentidos <strong>de</strong> las fracciones (repartos, relaciones entre<br />
partes y entero y viceversa, relaciones <strong>de</strong> proporcionalidad<br />
directa en los que la constante es un número<br />
fraccionario) utilizando, comunicando y comparando<br />
estrategias posibles.<br />
• Relaciones entre los números que intervienen en una<br />
división entera con la fracción que expresa el resultado<br />
<strong>de</strong> un reparto.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que <strong>de</strong>man<strong>de</strong>n recurrir a<br />
las relaciones entre el entero y las partes, así como entre<br />
las partes entre sí.<br />
• Análisis <strong>de</strong>l funcionamiento <strong>de</strong> las fracciones (comparar<br />
expresiones fraccionarias, representar fracciones<br />
en una recta numérica y construir recursos <strong>de</strong> cálculo<br />
mental y algorítmico para sumar, restar y multiplicar<br />
una fracción por un entero).<br />
• Uso <strong>de</strong> expresiones <strong>de</strong>cimales en los contextos <strong>de</strong>l<br />
dinero y la medida.<br />
• Análisis <strong>de</strong> las relaciones entre fracciones <strong>de</strong>cimales<br />
y expresiones <strong>de</strong>cimales en el contexto <strong>de</strong>l dinero y la<br />
medida.<br />
• Estudio <strong>de</strong>l funcionamiento <strong>de</strong> las expresiones <strong>de</strong>cimales<br />
en términos <strong>de</strong> décimos, centésimos y milésimos<br />
en contextos <strong>de</strong> medida.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucran distintos<br />
sentidos <strong>de</strong> las fracciones (repartos, relaciones entre<br />
enteros y partes y entre las partes, relaciones <strong>de</strong><br />
proporcionalidad directa don<strong>de</strong> la constante es una<br />
fracción <strong>de</strong> uso social) utilizando, comunicando y<br />
comparando estrategias posibles.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que <strong>de</strong>man<strong>de</strong>n recurrir a las<br />
relaciones entre el entero y las partes, así como entre las<br />
partes entre sí.<br />
• Análisis <strong>de</strong>l funcionamiento <strong>de</strong> las fracciones (comparación,<br />
cálculo mental, fracción <strong>de</strong> un natural) a<br />
partir <strong>de</strong> los problemas que resuelven.<br />
• Exploración <strong>de</strong>l uso social <strong>de</strong> los números <strong>de</strong>cimales<br />
en los contextos <strong>de</strong>l dinero y la medida.<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado<br />
Números<br />
racionales
Bloques 4.º grado 5.º grado 6.º grado<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucren relaciones <strong>de</strong> proporcionalidad directa<br />
con números naturales y racionales.<br />
• Análisis <strong>de</strong> la pertinencia <strong>de</strong> usar las relaciones <strong>de</strong> proporcionalidad directa<br />
para resolver situaciones que –aunque no son <strong>de</strong> proporcionalidad– pue<strong>de</strong>n ser<br />
resueltas parcialmente usando dichas relaciones.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucren relaciones <strong>de</strong><br />
proporcionalidad directa con números naturales utilizando,<br />
comunicando y comparando diversas estrategias<br />
posibles.<br />
• I<strong>de</strong>ntificación <strong>de</strong> la pertinencia <strong>de</strong> usar o no las propieda<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> la proporcionalidad para resolver diferentes tipos<br />
<strong>de</strong> situaciones.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucran relaciones<br />
<strong>de</strong> proporcionalidad directa con fracciones y <strong>de</strong>cima-<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucren relaciones<br />
<strong>de</strong> proporcionalidad directa con números naturales<br />
utilizando, comunicando y comparando diversas<br />
estrategias posibles.<br />
• I<strong>de</strong>ntificación <strong>de</strong> la pertinencia <strong>de</strong> usar o no las<br />
propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la proporcionalidad para resolver<br />
diferentes tipos <strong>de</strong> situaciones.<br />
Proporcionalidad<br />
les <strong>de</strong> uso social.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que exijan poner en juego propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> cuadrados,<br />
triángulos, rectángulos, rombos y circunferencias.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucren propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> paralelogramos y<br />
otros cuadriláteros<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que exijan poner en juego propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> cubos,<br />
prismas, pirámi<strong>de</strong>s, cilindros, conos y esferas.<br />
• Uso <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las figuras y <strong>de</strong> los cuerpos para elaborar conjeturas<br />
y <strong>de</strong>batir acerca <strong>de</strong> la vali<strong>de</strong>z o no <strong>de</strong> diferentes tipos <strong>de</strong> enunciados.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que exijan poner en juego propieda<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong>l círculo y la circunferencia.<br />
• Uso <strong>de</strong> las relaciones entre los lados <strong>de</strong> un triángulo y<br />
estudio <strong>de</strong> la propiedad <strong>de</strong> la suma <strong>de</strong> los ángulos interiores<br />
para i<strong>de</strong>ntificarlos, para reproducirlos y para <strong>de</strong>cidir<br />
acerca <strong>de</strong> la posibilidad <strong>de</strong> construcción, en función <strong>de</strong><br />
los datos disponibles.<br />
• Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> rectángulos, cuadrados y rombos en<br />
problemas que <strong>de</strong>man<strong>de</strong>n construcciones, copiados y<br />
comunicación <strong>de</strong> información. Uso <strong>de</strong> regla, compás, escuadra<br />
y transportador.<br />
• Establecimiento <strong>de</strong> relaciones entre los elementos<br />
<strong>de</strong> las figuras para <strong>de</strong>cidir acerca <strong>de</strong> la posibilidad o<br />
no <strong>de</strong> construcción.<br />
• Exploración y uso <strong>de</strong> la propiedad <strong>de</strong> la suma <strong>de</strong> los ángulos<br />
interiores <strong>de</strong> los cuadriláteros.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que exijan poner en juego propieda<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> cubos, prismas y pirámi<strong>de</strong>s.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que exijan poner en juego<br />
propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> circunferencias y círculos, como<br />
por ejemplo, reproducir figuras, comunicar datos <strong>de</strong><br />
dibujos, etcétera.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que exijan poner en juego<br />
propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> triángulos explorando y utilizando<br />
las relaciones entre sus lados.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que exijan poner en juego<br />
la noción y la medida <strong>de</strong> ángulos.<br />
• Uso <strong>de</strong> instrumentos no convencionales y transportador<br />
para reproducir y comparar dibujos que<br />
incluyen ángulos.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que exijan poner en juego<br />
propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> cuadrados y rectángulos (construcción<br />
y reproducción <strong>de</strong> figuras utilizando regla,<br />
compás, transportador y escuadra).<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que exijan poner en juego<br />
propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> diferentes cuerpos geométricos<br />
i<strong>de</strong>ntificando y formulando algunas características y<br />
Geometría<br />
elementos <strong>de</strong> los cuerpos geométricos.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucren el uso <strong>de</strong>l Sistema Métrico (SIMELA)<br />
para longitud, capacidad y peso estableciendo relaciones entre fracciones, expresiones<br />
<strong>de</strong>cimales y unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> medida.<br />
• Establecimiento <strong>de</strong> relaciones entre múltiplos y submúltiplos <strong>de</strong>l metro, gramo<br />
y litro recurriendo a relaciones <strong>de</strong> proporcionalidad directa, a las características<br />
<strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> numeración y al uso <strong>de</strong> fracciones y expresiones <strong>de</strong>cimales.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucren el análisis <strong>de</strong> las variaciones en perímetros<br />
y áreas.<br />
• Exploración <strong>de</strong> la in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia entre la variación <strong>de</strong>l perímetro y la variación<br />
<strong>de</strong>l área.<br />
• Comparación <strong>de</strong> perímetros y áreas sin necesidad <strong>de</strong> recurrir al cálculo.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucren medir áreas <strong>de</strong> rectángulos con estrategias<br />
diversas.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucren el cálculo <strong>de</strong> medidas <strong>de</strong> áreas <strong>de</strong><br />
diversas figuras utilizando unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> medida convencionales.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucren el estudio <strong>de</strong>l<br />
Sistema Métrico (SIMELA) para longitud, capacidad y<br />
peso.<br />
• Establecimiento <strong>de</strong> relaciones entre múltiplos y submúltiplos<br />
<strong>de</strong>l metro, el litro y el gramo recurriendo a<br />
relaciones <strong>de</strong> proporcionalidad directa, a las características<br />
<strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> numeración y al uso <strong>de</strong> fracciones<br />
<strong>de</strong>cimales y expresiones <strong>de</strong>cimales.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que impliquen establecer<br />
relaciones entre fracciones, expresiones <strong>de</strong>cimales y unida<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> medida.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que impliquen estimar<br />
medidas y <strong>de</strong>terminar la unidad <strong>de</strong> medida más conveniente.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucren medidas<br />
<strong>de</strong> longitud, capacidad y peso con unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> uso<br />
social.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que impliquen establecer<br />
relaciones entre fracciones usuales y unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
medida.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que impliquen estimar<br />
medidas y <strong>de</strong>terminar la conveniencia <strong>de</strong> unas u otras<br />
unida<strong>de</strong>s.<br />
Medida
6.º grADo<br />
MATEMÁTICA<br />
DIsTrIbuCIóN ANuAl DE CoNTENIDos I<br />
Mes Contenido<br />
Marzo<br />
Abril<br />
Mayo<br />
Junio<br />
Julio<br />
Agosto<br />
Setiembre<br />
Octubre<br />
Noviembre<br />
Diciembre<br />
NuMERACIóN<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que implican usar, leer, escribir y comparar números naturales sin límite.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que exigen componer y <strong>de</strong>scomponer en forma aditiva y multiplicativa los números.<br />
OPERACIONEs CON NÚMEROs NATuRALEs<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas <strong>de</strong> varios pasos con las cuatro operaciones y diferentes modos <strong>de</strong> presentar la información.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas sencillos que involucran multiplicaciones y divisiones: series proporcionales, organizaciones rectangulares,<br />
repartos y particiones.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que implican <strong>de</strong>terminar la cantidad que resulta <strong>de</strong> combinar y permutar elementos por medio <strong>de</strong><br />
diversas estrategias y cálculos.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que introducen la noción <strong>de</strong> potencia.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que implican analizar el funcionamiento <strong>de</strong> la división.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que promueven el trabajo sobre las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las operaciones.<br />
MÚLTIPLOs Y DIVIsOREs<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que implican el uso <strong>de</strong> múltiplos y divisores, y múltiplos y divisores comunes entre varios números.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que implican el uso <strong>de</strong> múltiplos y divisores para realizar <strong>de</strong>scomposiciones multiplicativas, encontrar<br />
resultados <strong>de</strong> multiplicaciones, cocientes y restos, y <strong>de</strong>cidir la vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong> ciertas afirmaciones.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que implican el uso <strong>de</strong> criterios <strong>de</strong> divisibilidad para establecer relaciones numéricas y anticipar<br />
resultados.<br />
TRIÁNguLOs Y CuADRILÁTEROs<br />
• Construcción <strong>de</strong> figuras a partir <strong>de</strong> instrucciones o copia.<br />
• Construcción <strong>de</strong> triángulos a partir <strong>de</strong> las medidas <strong>de</strong> sus lados y ángulos para recordar sus propieda<strong>de</strong>s.<br />
• Revisión: suma <strong>de</strong> los ángulos interiores <strong>de</strong> los triángulos.<br />
• Construcción <strong>de</strong> cuadrados, rectángulos y rombos para i<strong>de</strong>ntificar propieda<strong>de</strong>s relativas a sus lados y ángulos.<br />
• Construcción <strong>de</strong> paralelogramos y trapecios como medio para estudiar algunas <strong>de</strong> sus propieda<strong>de</strong>s.<br />
• Suma <strong>de</strong> los ángulos interiores <strong>de</strong> los cuadriláteros.<br />
POLÍgONOs Y CuERPOs<br />
• Construcción <strong>de</strong> figuras a partir <strong>de</strong> instrucciones o copia.<br />
• Suma <strong>de</strong> los ángulos interiores <strong>de</strong> los polígonos.<br />
• Análisis <strong>de</strong> <strong>de</strong>sarrollos planos <strong>de</strong> cubos, prismas y pirámi<strong>de</strong>s para profundizar en el estudio <strong>de</strong> sus propieda<strong>de</strong>s.<br />
ExPREsIONEs FRACCIONARIAs<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas <strong>de</strong> división en los que tiene sentido repartir el resto y poner en juego relaciones entre fracciones y división.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas <strong>de</strong> medida en los cuales las relaciones entre partes o entre partes y el todo pue<strong>de</strong>n expresarse usando<br />
fracciones.<br />
• Comparación <strong>de</strong> fracciones y <strong>de</strong>terminación <strong>de</strong> equivalencias.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que <strong>de</strong>mandan buscar una fracción <strong>de</strong> una cantidad entera.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucran la multiplicación y la división entre una fracción y un entero, y la multiplicación y división<br />
entre fracciones.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que requieren consi<strong>de</strong>rar a la fracción como una proporción.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas <strong>de</strong> proporcionalidad directa en los que la constante es una fracción.<br />
ExPREsIONEs DECIMALEs<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que exigen analizar las relaciones entre fracciones <strong>de</strong>cimales y expresiones <strong>de</strong>cimales.<br />
• Comparación y or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> expresiones <strong>de</strong>cimales.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que <strong>de</strong>mandan analizar la multiplicación y división <strong>de</strong> números <strong>de</strong>cimales por la unidad seguida <strong>de</strong> ceros.<br />
• Utilización <strong>de</strong> recursos <strong>de</strong> cálculo mental y algorítmico, exacto y aproximado, para sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones<br />
<strong>de</strong>cimales entre sí y con números naturales.<br />
MEDIDA<br />
• Realización <strong>de</strong> cálculos aproximados <strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>s, capacida<strong>de</strong>s y pesos.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que implican profundizar las equivalencias entre las unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l Sistema Métrico Legal (SIMELA) para<br />
longitud, capacidad y peso.<br />
• Análisis <strong>de</strong> la variación <strong>de</strong>l perímetro y <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un rectángulo en función <strong>de</strong> la medida <strong>de</strong> sus lados.<br />
• Exploración <strong>de</strong> la variación <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> una figura en función <strong>de</strong> la variación <strong>de</strong> la medida <strong>de</strong> sus lados, bases o alturas.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que implican calcular el área <strong>de</strong>l rectángulo, el cuadrado, el triángulo, el rombo, el paralelogramo y el<br />
trapecio.<br />
PROPORCIONALIDAD<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas <strong>de</strong> proporcionalidad directa que involucran números naturales y racionales.<br />
• Análisis <strong>de</strong> la pertinencia <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo proporcional para resolver problemas.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucran interpretar y producir representaciones gráficas <strong>de</strong> magnitu<strong>de</strong>s directamente proporcionales.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que implican calcular y comparar porcentajes por medio <strong>de</strong> cálculos mentales, <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
la proporcionalidad y/o usando la calculadora.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas que involucran la interpretación y la producción <strong>de</strong> gráficos circulares utilizando las relaciones entre<br />
proporcionalidad, porcentaje, fracciones y medidas <strong>de</strong> ángulos.<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado
6.º grADo<br />
MATEMÁTICA<br />
EjEMplo DE DIsTrIbuCIóN ANuAl DE CoNTENIDos II<br />
Mes Contenido<br />
Marzo<br />
Abril<br />
Mayo<br />
Junio<br />
Julio<br />
Agosto<br />
Setiembre<br />
Octubre<br />
Noviembre<br />
Diciembre<br />
• Revisión <strong>de</strong> propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> numeración.<br />
• Composición y <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> números usando sumas y multiplicaciones x 10, 100, 1.000, etc.<br />
• Resolución <strong>de</strong> diferentes tipos <strong>de</strong> problemas que involucren sumas, restas y multiplicaciones.<br />
• Múltiplos y divisores. Recta numérica.<br />
• Problemas con multiplicaciones y divisiones. Funcionamiento <strong>de</strong> la cuenta <strong>de</strong> dividir.<br />
• Resolución <strong>de</strong> problemas <strong>de</strong> proporcionalidad directa. Análisis <strong>de</strong> tablas <strong>de</strong> proporcionalidad y propieda<strong>de</strong>s.<br />
• Problemas <strong>de</strong> proporcionalidad directa usando tablas en las cuales se incluyan ahora fracciones y <strong>de</strong>cimales.<br />
• Equivalencia entre fracciones y <strong>de</strong>cimales.<br />
• Recta numérica para estudiar más sobre fracciones y <strong>de</strong>cimales.<br />
• Revisión <strong>de</strong> triángulos, cuadrados, rectángulos y rombos. Construcciones y propieda<strong>de</strong>s.<br />
• Estudio <strong>de</strong> propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l paralelogramo por medio <strong>de</strong> construcciones a partir <strong>de</strong> datos que incluyen lados y ángulos.<br />
• Repaso <strong>de</strong> operaciones con números naturales, fracciones y <strong>de</strong>cimales.<br />
• Estudio <strong>de</strong> propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> cuerpos: prismas y pirámi<strong>de</strong>s.<br />
• Las fracciones y los <strong>de</strong>cimales en el contexto <strong>de</strong> las medidas <strong>de</strong> longitud, capacidad y peso. SIMELA. Relaciones <strong>de</strong> proporcionalidad<br />
en estas medidas.<br />
• Perímetro y área <strong>de</strong> triángulos y cuadriláteros.<br />
• Multiplicación y división <strong>de</strong> fracciones y <strong>de</strong>cimales.<br />
• Repaso general <strong>de</strong> todos los temas.
22<br />
6.º grADo<br />
sEXTo grADo<br />
EjEMplo DE plANIfICACIóN MENsuAl<br />
Mes <strong>de</strong> octubre: Medida<br />
fuNDAMENTACIóN<br />
El trabajo con la medida en este cierre <strong>de</strong>l ciclo implica, por un lado, profundizar en el<br />
estudio <strong>de</strong> la longitud, la capacidad y el peso enfatizando el análisis <strong>de</strong> las relaciones entre<br />
sistema <strong>de</strong> medida y sistema <strong>de</strong> numeración. A<strong>de</strong>más, se incorporan el perímetro y el<br />
área como nuevas magnitu<strong>de</strong>s. Su estudio pone en juego relaciones entre conocimientos<br />
aritméticos sobre los números y las operaciones, y conocimientos geométricos sobre las<br />
figuras y sus propieda<strong>de</strong>s.<br />
INDICADorEs DE AvANCEs<br />
Se espera que, en este período, se generen las condiciones para que al finalizar el mes<br />
los alumnos hayan profundizado sus capacida<strong>de</strong>s para:<br />
Resolver problemas que involucran el uso <strong>de</strong>l Sistema Métrico Legal (SIMELA) para<br />
longitud, capacidad y peso estableciendo relaciones entre fracciones, expresiones<br />
<strong>de</strong>cimales, unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> medida y nociones <strong>de</strong> proporcionalidad.<br />
Resolver problemas que implican estimar medidas y <strong>de</strong>terminar la unidad <strong>de</strong> medida<br />
más conveniente a utilizar.<br />
Resolver problemas que involucran el análisis <strong>de</strong> las variaciones en perímetros y<br />
áreas, y el estudio <strong>de</strong> algunas unida<strong>de</strong>s y fórmulas convencionales para medir áreas<br />
<strong>de</strong> triángulos y cuadriláteros.<br />
CoNTENIDos<br />
Realización <strong>de</strong> cálculos aproximados <strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>s, capacida<strong>de</strong>s y pesos.<br />
Resolución <strong>de</strong> problemas que implican profundizar las equivalencias entre las unida-<br />
<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l Sistema Métrico Legal para longitud, capacidad y peso.<br />
Análisis <strong>de</strong> la variación <strong>de</strong>l perímetro y <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un rectángulo en función <strong>de</strong> la<br />
medida <strong>de</strong> sus lados.<br />
Exploración <strong>de</strong> la variación <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> una figura en función <strong>de</strong> la variación <strong>de</strong> la<br />
medida <strong>de</strong> sus lados, bases o alturas.<br />
Resolución <strong>de</strong> problemas que implican calcular el área <strong>de</strong>l rectángulo, el cuadrado, el<br />
triángulo, el rombo, el paralelogramo y el trapecio.<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado
EsTrATEgIAs DoCENTEs<br />
I<strong>de</strong>ntificar los saberes previos.<br />
Consi<strong>de</strong>rar el error como una marca visible <strong>de</strong>l estado <strong>de</strong> los conocimientos <strong>de</strong> los<br />
chicos a partir <strong>de</strong>l cual se <strong>de</strong>be trabajar.<br />
Proponer problemas en los que los niños precisen enfrentarse a situaciones que les<br />
presentan un cierto grado <strong>de</strong> dificultad para que puedan poner en juego un trabajo<br />
matemático.<br />
Promover la explicitación <strong>de</strong> las i<strong>de</strong>as que los chicos van elaborando en sus activida<strong>de</strong>s.<br />
EvAluACIóN<br />
Oral, <strong>de</strong> proceso.<br />
Corrección <strong>de</strong> los trabajos realizados en clase.<br />
Escrita, en distintos momentos <strong>de</strong>l <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> esta propuesta.<br />
23
6.º grADo<br />
MATEMÁTICA<br />
EjEMplo DE plANIfICACIóN sEMANAl<br />
Mes <strong>de</strong> mayo: Múltiplos y divisores<br />
24<br />
ClAsE 1<br />
La i<strong>de</strong>a es presentar el tema mediante el trabajo con problemas que involucren las nociones<br />
<strong>de</strong> múltiplos y divisores que los alumnos podrán resolver por sus propios medios, apoyados<br />
en sus conocimientos sobre la multiplicación y la división. Sus estrategias, junto con otras que<br />
se podrían proponer para la discusión, circularán en el aula para ser analizadas y comparadas.<br />
La propuesta pue<strong>de</strong> plantearse <strong>de</strong> manera individual, con una primera puesta en común en<br />
grupos <strong>de</strong> a 4 alumnos para intercambiar sus primeros resultados, y para comparar las estrategias<br />
utilizadas, hasta elegir la que les parezca más a<strong>de</strong>cuada para explicarla al resto <strong>de</strong> la clase.<br />
Después <strong>de</strong> esa primera puesta en común, cada grupo elegirá un representante que pasará a<br />
socializar con el resto <strong>de</strong> la clase la forma <strong>de</strong> resolución elegida en cada caso, para realizar una<br />
puesta en común general.<br />
problema 1<br />
Para un cumpleaños, se van a armar bolsitas con golosinas. Si ponen 5 golosinas en<br />
cada bolsita, no sobra ninguna. Si ponen 4 golosinas en cada bolsita, tampoco sobra ninguna.<br />
¿Cuántas golosinas se han comprado en total, si se sabe que fueron más <strong>de</strong> 50 pero<br />
menos <strong>de</strong> 100? ¿Hay una sola posibilidad?<br />
problema 2<br />
a) Intentá escribir el número 48 como resultado <strong>de</strong> multiplicar 3 números, pero que<br />
ninguno <strong>de</strong> ellos sea el 1.<br />
b) Ahora intentá escribirlo como el resultado <strong>de</strong> multiplicar 5 números, pero que ninguno<br />
<strong>de</strong> ellos sea el 1.<br />
problema 3<br />
a) Si escribís la escala ascen<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> 5 en 5 partiendo <strong>de</strong>l 0, ¿llegarás justo al número<br />
115? ¿Y al 486? ¿Cómo te diste cuenta?<br />
b) ¿Y si escribieras la escala <strong>de</strong> 3, también empezando <strong>de</strong> 0, ¿llegarías a esos números?<br />
puesta en común<br />
En la instancia <strong>de</strong> la puesta en común, es esperable que aparezcan distintas formas <strong>de</strong><br />
pensar estas situaciones. La elección <strong>de</strong> números chicos favorece la exploración; el problema<br />
3 presenta números más gran<strong>de</strong>s para cuestionar las estrategias utilizadas y buscar<br />
nuevas formas (o más económicas) <strong>de</strong> pensar las situaciones.<br />
ClAsE 2<br />
La propuesta para la segunda clase apunta a “hacer visibles” las nociones <strong>de</strong> múltiplos<br />
y divisores. Se trabajará en forma individual, con una posterior puesta en común general.<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado
problema 1<br />
Un juego consiste en escribir un número <strong>de</strong> tres cifras en la calculadora y restarle 4<br />
todas las veces que se pueda. Se gana si en algún momento se obtiene el 0.<br />
a) Buscá dos números con los que estés seguro <strong>de</strong> ganar.<br />
b) Comparalos con los <strong>de</strong> tus compañeros. ¿Todos pensaron los mismos?<br />
c) ¿Cuántos números ganadores habrá?<br />
d) ¿Se gana con los números 500, 123, 560? ¿Por qué?<br />
problema 2<br />
1) a) Escribí tres múltiplos <strong>de</strong> 12.<br />
b) Escribí tres múltiplos <strong>de</strong> 12 mayores a 1.000. ¿Cuántos creés que habrá?<br />
2) a) Escribí divisores <strong>de</strong> 24.<br />
b) Escribí divisores <strong>de</strong> 150.<br />
problema 3<br />
Decidí, en cada caso, si es correcta o no la frase que se propone, sin hacer cuentas.<br />
a) Como 96 es múltiplo <strong>de</strong> 12, entonces 96 = 12 × 8.<br />
b) Como 96 = 12 × 8, entonces 96 es múltiplo <strong>de</strong> 8.<br />
c) El resto <strong>de</strong> hacer 96 : 12 es 0.<br />
d) El resto <strong>de</strong> hacer 96 : 8 es 12.<br />
e) Como 96 = 12 × 8, y 8 = 2 × 4, entonces, 96 es múltiplo <strong>de</strong> 4.<br />
f) Todos los múltiplos <strong>de</strong> 8 son múltiplos a la vez <strong>de</strong> 2 y <strong>de</strong> 4.<br />
g) Todos los múltiplos <strong>de</strong> 12 son múltiplos a la vez <strong>de</strong> 2 y <strong>de</strong> 10.<br />
puesta en común<br />
Después <strong>de</strong> comparar las formas <strong>de</strong> resolución utilizadas, se formalizarán los conceptos<br />
<strong>de</strong> múltiplos y divisores. Los problema 2 y 3 permiten un acercamiento a estas <strong>de</strong>finiciones,<br />
aunque aplicadas a ejemplos.<br />
ClAsE 3<br />
Las situaciones planteadas para esta clase apuntan a reinvertir lo trabajado en las<br />
anteriores, aunque profundizando las nociones para abordar los múltiplos y divisores comunes<br />
a varios números.<br />
problema 1<br />
Para el día <strong>de</strong>l niño, la maestra compró golosinas para darles a sus alumnos: 48 chupetines,<br />
24 turrones y 60 caramelos. Si quiere darle la misma cantidad <strong>de</strong> cada golosina<br />
a cada chico, y que sean la mayor cantidad <strong>de</strong> golosinas posibles, ¿qué cantidad <strong>de</strong> cada<br />
golosina <strong>de</strong>be darle a cada alumno? ¿Para cuántos alumnos le alcanzará?<br />
problema 2<br />
En la clase <strong>de</strong> música, acompañan una canción con instrumentos musicales. La profesora<br />
organiza a los grupos: el <strong>de</strong> las cajas chinas toca cada 2 tiempos; el <strong>de</strong> los pan<strong>de</strong>ros,<br />
cada 4 tiempos; y el <strong>de</strong> los cascabeles, cada 3 tiempos. ¿Cuándo es la primera vez que los<br />
tres grupos tocan juntos?<br />
25
26<br />
problema 3<br />
1) a) ¿16 es múltiplo <strong>de</strong> 2, <strong>de</strong> 4 y <strong>de</strong> 8?<br />
b) ¿Es el menor?<br />
c) ¿Será cierto que 2 x 4 x 8 da un múltiplo común entre 2, 4 y 8?<br />
d) ¿Será el menor?<br />
e) ¿Se pue<strong>de</strong> encontrar el múltiplo común mayor entre 2, 4 y 8?<br />
2) a) ¿Cuáles son los divisores comunes entre 24, 48 y 60?<br />
b) ¿Cuál es el divisor común mayor?<br />
c) ¿Se pue<strong>de</strong> hacer la lista <strong>de</strong> todos los divisores <strong>de</strong> cada uno y buscar entre los que se<br />
repiten cuál es el mayor?<br />
d) ¿Cuál es el divisor común mayor entre 13 y 7? ¿Y el menor?<br />
puesta en común<br />
Los problemas 1 y 2 presentan situaciones contextualizadas, mientras que el tercero<br />
propone el análisis y la reflexión acerca <strong>de</strong> los múltiplos y divisores comunes, sus características<br />
y las estrategias más económicas para hallarlos.<br />
ClAsE 4<br />
En este encuentro, <strong>de</strong>berían proponerse situaciones que permitieran reinvertir lo trabajado<br />
sobre múltiplos y divisores comunes a varios números.<br />
ClAsEs sIguIENTEs<br />
De acuerdo con lo observado en estos trabajos, se evaluará la necesidad <strong>de</strong> volver a<br />
insistir sobre estos conceptos o la posibilidad <strong>de</strong> avanzar hacia un trabajo sobre los criterios<br />
<strong>de</strong> divisibilidad.<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado
6.º grADo<br />
2.º Año/grADo<br />
EjEMplo DE EvAluACIóN DE uN CoNTENIDo<br />
DIvIsIóN<br />
Esta selección <strong>de</strong> problemas pue<strong>de</strong> ser utilizada para evaluar a los alumnos, al finalizar el<br />
trabajo con la división, sobre aquellos aspectos que hacen al análisis <strong>de</strong> la relación entre<br />
divi<strong>de</strong>ndo, divisor, cociente y resto.<br />
problema 1<br />
a) Escribí una cuenta <strong>de</strong> dividir que tenga cociente 21 y resto 8.<br />
b) ¿Cuántas cuentas se pue<strong>de</strong>n escribir que cumplan estas condiciones? ¿Por qué?<br />
Criterio <strong>de</strong> corrección<br />
Pregunta a)<br />
Se consi<strong>de</strong>rará correcta cualquier respuesta que surja <strong>de</strong> multiplicar 21 por cualquier<br />
número mayor que 8, y a ese resultado sumarle 8, o cualquier resultado correcto al que<br />
se arribe por ensayos sucesivos.<br />
Se consi<strong>de</strong>rará parcialmente correcta cualquier respuesta que surja <strong>de</strong> un procedimiento<br />
correcto, pero con algún error <strong>de</strong> cuentas o <strong>de</strong> tablas <strong>de</strong> multiplicar.<br />
Se consi<strong>de</strong>rará incorrecta cualquier respuesta con un divisor menor o igual a 8, o cualquier<br />
otro resultado que no cumpla las condiciones requeridas.<br />
Pregunta b)<br />
Se consi<strong>de</strong>rará correcta la respuesta si el alumno respon<strong>de</strong> “infinitas, teniendo en cuenta<br />
que el divisor pue<strong>de</strong> ser cualquier número mayor que 8 y el divi<strong>de</strong>ndo surge <strong>de</strong> multiplicar<br />
el divisor elegido por 21 y a ese resultado sumarle el resto”, o cualquier respuesta similar.<br />
Se consi<strong>de</strong>rará parcialmente correcta si el alumno respon<strong>de</strong> “muchas”, o si como explicación,<br />
ejemplifica.<br />
Se consi<strong>de</strong>rará incorrecta la respuesta si escribe cualquier otra explicación.<br />
problema 2<br />
Al dividir un número por 24, se obtuvo 15 y un resto <strong>de</strong> 4. ¿Qué número se dividió?<br />
Criterio <strong>de</strong> corrección<br />
Se consi<strong>de</strong>rará correcta la respuesta si el alumno respon<strong>de</strong> 364, producto <strong>de</strong> multiplicar el<br />
24 <strong>de</strong>l divi<strong>de</strong>ndo por el 15 <strong>de</strong>l cociente, y a ese resultado sumarle los 4 <strong>de</strong>l resto.<br />
Se consi<strong>de</strong>rará parcialmente correcta cualquier respuesta que surja <strong>de</strong> un procedimiento<br />
correcto, pero con algún error <strong>de</strong> cuentas o <strong>de</strong> tablas <strong>de</strong> multiplicar.<br />
Se consi<strong>de</strong>rará incorrecta cualquier respuesta que surja <strong>de</strong> un procedimiento incorrecto.<br />
27
28<br />
6.º grADo<br />
problema 3<br />
Inés hizo la cuenta 346 : 7, y obtuvo <strong>de</strong> cociente 49 y <strong>de</strong> resto, 3. Ahora tiene que hacer<br />
estas otras cuentas <strong>de</strong> dividir: 347 : 7 ; 348 : 7 ; 349 : 7 ; 350 : 7.<br />
Explicá, sin hacer las cuentas, cuál será el cociente y el resto <strong>de</strong> estas divisiones y cómo<br />
te diste cuenta.<br />
Criterio <strong>de</strong> corrección<br />
Se consi<strong>de</strong>rará correcta la respuesta si el alumno <strong>de</strong>muestra en su explicación haber<br />
comprendido, para las tres primeras cuentas pedidas, que el cociente se mantiene y<br />
aumenta el resto, y también haber comprendido que, al llegar a un resto igual al divisor,<br />
aumenta el cociente y el resto queda en 0, que es el caso <strong>de</strong> la cuarta cuenta<br />
propuesta.<br />
Se consi<strong>de</strong>rará parcialmente correcta la respuesta si el alumno logra <strong>de</strong>terminar el<br />
cociente y el resto correctamente en todos los casos, aunque no logre explicarlo con<br />
palabras.<br />
Se consi<strong>de</strong>rará incorrecta la respuesta si escribe cualquier otra explicación.<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado
6.º grADo 5.º Año/grADo<br />
2.º Año/grADo<br />
EjEMplos DE problEMAs pArA<br />
EvAluACIóN DE fIN DE Año<br />
A continuación, se propone una selección <strong>de</strong> problemas que podrían servir como<br />
ejemplos para la elaboración <strong>de</strong> una prueba <strong>de</strong> fin <strong>de</strong> 6.º grado. Pue<strong>de</strong> ser utilizada<br />
total o parcialmente, o implementada en más <strong>de</strong> un día, dada su extensión.<br />
1. Esta es la población aproximada <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los continentes <strong>de</strong>l planeta<br />
(or<strong>de</strong>nados alfabéticamente):<br />
África 877.500.000 habitantes<br />
América 881 millones <strong>de</strong> habitantes<br />
Asia 3.879.000.000 habitantes<br />
Europa 727, 3 millones <strong>de</strong> habitantes<br />
Oceanía 32 millones <strong>de</strong> habitantes<br />
a) Or<strong>de</strong>ná los continentes <strong>de</strong>l <strong>de</strong> mayor población al <strong>de</strong> menor población.<br />
b) Escribí en letras la población aproximada <strong>de</strong>l continente más poblado y <strong>de</strong>l<br />
menos poblado.<br />
2. Escribí los siguientes números <strong>de</strong> tres maneras diferentes, usando sumas y<br />
multiplicaciones por 10, 100, 1.000, etcétera. El primero va <strong>de</strong> ejemplo.<br />
a) 2.345 = 23 × 100 + 4 × 10 + 5<br />
= 234 × 10 + 5<br />
= 2 × 1.000 + 34 × 10 + 5<br />
b) 293 =<br />
c) 4.761 =<br />
d) 23.605 =<br />
e) 807.344 =<br />
f) 2.703.614 =<br />
3. Karina quiere comprar un <strong>de</strong>partamento que cuesta $148.380. En la inmobiliaria,<br />
le ofrecen dos formas <strong>de</strong> pago:<br />
Plan A: $28.500 al contado y el resto en 36 cuotas fijas iguales.<br />
Plan B: la mitad al contado y el resto en 12 cuotas fijas iguales.<br />
¿Cuál es el valor <strong>de</strong> la cuota en cada caso?<br />
4. Los chicos <strong>de</strong> 6.º <strong>de</strong>ben mostrar un trabajo sobre países latinoamericanos. El<br />
grupo que investiga Panamá consiguió 36 fotos, y quiere exhibirlas en un panel rectangular.<br />
¿En cuántas filas y cuántas columnas <strong>de</strong>berán distribuirlas? ¿Hay una sola<br />
posibilidad? Si hay más <strong>de</strong> una, escribilas todas.<br />
29
30<br />
5. Al dividir un número por 24, se obtuvo 15 <strong>de</strong> cociente y 4 <strong>de</strong> resto. ¿Qué número<br />
se dividió?<br />
6. a) Escribí una cuenta <strong>de</strong> dividir que tenga cociente 21 y resto 8.<br />
b) ¿Se pue<strong>de</strong>n escribir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles?<br />
c) ¿Cuántas cuentas se pue<strong>de</strong>n escribir? ¿Por qué?<br />
7. Un juego consiste en escribir un número <strong>de</strong> tres cifras en la calculadora y restarle<br />
6 todas las veces que se pueda. Se gana si en algún momento se obtiene el 0.<br />
a) Buscá dos números con los que estés seguro <strong>de</strong> ganar.<br />
b) ¿Cuántos números ganadores habrá?<br />
c) ¿Se gana con los números 500, 123, 690? ¿Por qué?<br />
8. Decidí, en cada caso, si es correcta o no la frase que se propone sin hacer cuentas.<br />
a) Como 72 es múltiplo <strong>de</strong> 12, entonces 72 = 12 × 6.<br />
b) Como 72 = 12 × 6, entonces 72 es múltiplo <strong>de</strong> 6.<br />
c) El resto <strong>de</strong> hacer 72 : 12 es 0.<br />
d) El resto <strong>de</strong> hacer 72 : 6 es 12.<br />
e) Como 72 = 12 × 6, y 6 = 2 × 3, entonces 72 es múltiplo <strong>de</strong> 3.<br />
f) Todos los múltiplos <strong>de</strong> 8 son múltiplos a la vez <strong>de</strong> 2 y <strong>de</strong> 4.<br />
g) Todos los múltiplos <strong>de</strong> 12 son múltiplos a la vez <strong>de</strong> 2 y <strong>de</strong> 10.<br />
9. Dibujá estas figuras, sabiendo que se trata <strong>de</strong> cuadrados, circunferencias y<br />
triángulos, <strong>de</strong> forma que te que<strong>de</strong>n el doble <strong>de</strong>l tamaño <strong>de</strong> las que aparecen acá.<br />
10. Cuando sea posible, construí en una hoja un triángulo con los datos indicados<br />
para cada caso. En los casos en que no puedas completar la construcción,<br />
explicá con qué dificultad te encontraste.<br />
a) AB = 5 cm; BC = 3 cm; CA = 3 cm<br />
b) A = 50º; B = 110º<br />
c) AB = 5 cm; BC = 2 cm; CA = 3 cm<br />
d) A = 30º; B = 50º; C = 60º<br />
e) A = 40º; B = 60º; C = 80º<br />
f) AB = 6 cm; A = 30º; B = 100º<br />
11. Sin medir, calculá la medida <strong>de</strong>l ángulo<br />
M, sabiendo que este dibujo representa un rombo<br />
cuyos vértices están en los puntos medios <strong>de</strong><br />
los lados <strong>de</strong> un rectángulo.<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado<br />
M<br />
23º
12. Los siguientes dibujos representan dos cuerpos geométricos. Hay vértices, caras y aristas que<br />
no se pue<strong>de</strong>n ver porque quedaron ocultas por el dibujo.<br />
Pirámi<strong>de</strong> pentagonal<br />
¿Cuántas caras no se ven en el dibujo?<br />
¿Cuántas aristas no se ven en el dibujo?<br />
¿Cuántos vértices no se ven en el dibujo?<br />
13. Para repartir chocolates, Débora escribió esta cuenta:<br />
39 5<br />
4/ 7<br />
¿Es posible respon<strong>de</strong>r las siguientes preguntas usando solo la información que brinda esta cuenta?<br />
Si pensás que sí, escribí la respuesta; si creés que no es posible, explicá por qué.<br />
a) ¿Entre cuántas personas repartió Débora sus chocolates?<br />
b) ¿Cuántos chocolates repartió?<br />
c) ¿Qué cantidad recibió cada una si no quedó nada sin ser repartido y a todos les tocó la misma<br />
cantidad?<br />
14. ¿Qué parte <strong>de</strong>l rectángulo está pintada en cada caso?<br />
Prisma pentagonal<br />
¿Cuántas caras no se ven en el dibujo?<br />
¿Cuántas aristas no se ven en el dibujo?<br />
¿Cuántos vértices no se ven en el dibujo?<br />
15. En cada tira, pintá <strong>de</strong>l mismo color las expresiones que representen el mismo número.<br />
15<br />
4<br />
0,625<br />
15,4 3,75 3<br />
5<br />
8<br />
8<br />
5<br />
3<br />
4<br />
625<br />
1000<br />
3 13<br />
6,2 2 +<br />
5 5<br />
2,6<br />
4<br />
10<br />
4<br />
100<br />
0,4<br />
40<br />
100<br />
31
16. ¿Cuál <strong>de</strong> estos dos números está más cerca <strong>de</strong> 83,4: 83,36 o 83,5?<br />
17. Indicá si las figuras 1, 2, 3, 4 y 5 tienen:<br />
a) Mayor, menor o igual área que el rectángulo A.<br />
b) Mayor, menor o igual perímetro que el rectángulo A.<br />
1<br />
4 5<br />
2 3<br />
18. La cancha <strong>de</strong> Vélez Sarsfield tiene <strong>de</strong> largo 105 metros y <strong>de</strong> ancho 70 metros. La cancha <strong>de</strong> Argentinos<br />
Juniors tiene 100 metros <strong>de</strong> largo y 66 metros <strong>de</strong> ancho. Calculá el área <strong>de</strong> las dos canchas.<br />
19. Completá las siguientes tablas <strong>de</strong> proporcionalidad directa.<br />
Cantidad <strong>de</strong> pintura 4 8 20 ... 1 ...<br />
Cantidad <strong>de</strong> metros cuadrados que se pintan 40 ... ... 15 ... 1<br />
Cantidad <strong>de</strong> litros <strong>de</strong> combustible 5 25 ... 1 ... 12,5<br />
Cantidad <strong>de</strong> kilómetros que se recorren 60 ... 6 ... 1 ...<br />
20. En un comercio, <strong>de</strong>ci<strong>de</strong>n rebajar sus precios un 15%. Armá la nueva lista <strong>de</strong> precios.<br />
Precio viejo 100 20 48 24 36 2,40 1 3<br />
Descuento<br />
Precio nuevo<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado<br />
A
IblIogrAfÍA<br />
bIblIogrAfÍA y lINks rECoMENDADos<br />
A continuación, presentamos una colección <strong>de</strong> materiales editados en libros o accesible en páginas<br />
<strong>de</strong> Internet que podrían resultar interesantes para docentes y directivos .<br />
I. AspECTos gENErAlEs sobrE lA ENsEñANzA DE lA MATEMÁTICA<br />
Brousseau, G. (1994). “Los diferentes roles <strong>de</strong> los maestros”. En Parra, C. y Saiz, I. (comps.) Didáctica<br />
<strong>de</strong> matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires: Paidós.<br />
Chevallard, Y; Boch, M.; Gascón, J. (1997). Estudiar Matemática-El eslabón pedido entre la enseñanza y<br />
el aprendizaje. Barcelona. Editorial Horsori.<br />
Chemello, G. (1997). “La Matemática y su didáctica. Nuevos y antiguos <strong>de</strong>bates”. En Iaies, G.<br />
Didácticas especiales. Estado <strong>de</strong>l <strong>de</strong>bate. Buenos Aires: Aique.<br />
Napp, C.; Novembre, A.; Sadovsky, P.; Sessa C. (2000). “La formación <strong>de</strong> los alumnos como estudiantes.<br />
Estudiar Matemática - Serie Apoyo a los alumnos <strong>de</strong> primer año en los inicios <strong>de</strong>l Ministerio<br />
<strong>de</strong> <strong>Educación</strong>. <strong>Dirección</strong> <strong>de</strong> Currícula. G. C. B. A. [en línea] http://www.buenosaires.gov.ar/<br />
areas/educacion/curricula/media.php?menu_id=20709#matematica.<br />
Panizza, M. (2002). “Reflexiones generales acerca <strong>de</strong> la enseñanza <strong>de</strong> la Matemática. En Panizza<br />
(comp.) Enseñar matemática en el Nivel Inicial y primer ciclo <strong>de</strong> EGB: Análisis y Propuestas. Buenos Aires:<br />
Paidós.<br />
Quaranta, M. E. ; Wolman, S. (2002). “Discusiones en las clases <strong>de</strong> matemáticas: ¿qué se discute?,<br />
¿para qué? y ¿cómo?”. En Panizza (comp.) Enseñar matemática en el Nivel Inicial y primer ciclo <strong>de</strong><br />
EGB: Análisis y Propuestas. Buenos Aires: Paidós.<br />
Sadovsky, P. (2005). Enseñar Matemática hoy. Buenos Aires: Libros <strong>de</strong>l Zorzal.<br />
II. pArA El TrATAMIENTo DE los NúMEros NATurAlEs y sus opErACIoNEs<br />
Gobierno <strong>de</strong> la Ciudad <strong>de</strong> Buenos Aires. Ministerio <strong>de</strong> <strong>Educación</strong>. <strong>Dirección</strong> <strong>de</strong> Currícula (1992).<br />
“Los niños, los maestros y los números. Desarrollo curricular. Matemática para 1.o y 2.o grado”<br />
[en línea] http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/areas/matemat/<br />
lnlmyln.pdf.<br />
Gobierno <strong>de</strong> la Ciudad <strong>de</strong> Buenos Aires. Secretaría <strong>de</strong> <strong>Educación</strong>. <strong>Dirección</strong> <strong>de</strong> Currícula (1997).<br />
“Documento <strong>de</strong> actualización curricular N.° 4. Matemática. <strong>Dirección</strong> <strong>de</strong> Currícula. Gobierno <strong>de</strong><br />
la Ciudad <strong>de</strong> Buenos Aires” [en línea] http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/<br />
docum/matematica.php.<br />
Gobierno <strong>de</strong> la Ciudad <strong>de</strong> Buenos Aires. Ministerio <strong>de</strong> <strong>Educación</strong>. <strong>Dirección</strong> <strong>de</strong> Currícula (2006).<br />
“Cálculo mental con números naturales. Apuntes para la enseñanza” [en línea] http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/pluri_mate.php?menu_id=20709.<br />
33
<strong>Dirección</strong> <strong>General</strong> <strong>de</strong> <strong>Educación</strong> Básica. Pcia. <strong>de</strong> Buenos Aires (2001). “Aportes didácticos para el<br />
trabajo con la calculadora en los tres ciclos <strong>de</strong> la EGB”. Gabinete Pedagógico Curricular – Matemática<br />
[en línea] http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/<strong>de</strong>fault.cfm.<br />
<strong>Dirección</strong> <strong>General</strong> <strong>de</strong> <strong>Educación</strong> Básica. Pcia. <strong>de</strong> Buenos. Aires. (2001). “Orientaciones Didácticas<br />
para la Enseñanza <strong>de</strong> la Multiplicación en los tres ciclos <strong>de</strong> la EGB” [en línea] http://abc.gov.ar/<br />
lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/<strong>de</strong>fault.cfm.<br />
<strong>Dirección</strong> <strong>General</strong> <strong>de</strong> <strong>Educación</strong> Básica. Pcia. <strong>de</strong> Buenos. Aires. (2001). “Orientaciones Didácticas<br />
para la Enseñanza <strong>de</strong> la División en los tres ciclos <strong>de</strong> la EGB” [en línea]<br />
http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/<strong>de</strong>fault.cfm.<br />
<strong>Dirección</strong> <strong>General</strong> <strong>de</strong> <strong>Educación</strong> Básica. Pcia. <strong>de</strong> Bs. As (2007). “División en 5.º y 6.º año <strong>de</strong> la<br />
escuela primaria. Una propuesta para el estudio <strong>de</strong> las relaciones entre divi<strong>de</strong>ndo, divisor, cociente<br />
y resto” [en línea] http://www.buenosaires.gov.ar.<br />
<strong>Dirección</strong> <strong>General</strong> <strong>de</strong> <strong>Educación</strong> Básica. Pcia. <strong>de</strong> Buenos. Aires. (2007). “Matemática N.º 2 Numeración.<br />
Propuestas para alumnos <strong>de</strong> 3.º y 4.º año. Material para el docente y para el alumno [en<br />
línea] http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/<strong>de</strong>fault.cfm.<br />
<strong>Dirección</strong> <strong>General</strong> <strong>de</strong> <strong>Educación</strong> Básica. Pcia. <strong>de</strong> Buenos. Aires. (2007). “Matemática N.º 3 Operaciones<br />
con números naturales (1.º parte). Propuestas para alumnos <strong>de</strong> 3.º y 4.º año. Material<br />
para el alumno y para el docente” [en línea] http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/<br />
educprimaria/<strong>de</strong>fault.cfm.<br />
Alvarado, M. y Ferreiro, E. (2000). “El análisis <strong>de</strong> nombres <strong>de</strong> números <strong>de</strong> dos dígitos en niños <strong>de</strong><br />
4 y 5 años”. En Lectura y Vida. Revista Latinoamericana <strong>de</strong> Lectura, año 21, marzo, N.º 1.<br />
Bressan, A. M. (1998). “La división por dos cifras: ¿un mito escolar?” Consejo Provincial <strong>de</strong> <strong>Educación</strong><br />
<strong>de</strong> Río Negro, documento <strong>de</strong> la Secretaría Técnica <strong>de</strong> Gestión Curricular, área Matemática<br />
[en línea] www.educacion.rionegro.gov.ar.<br />
Broitman, C. (1999). Las operaciones en el primer ciclo. Buenos Aires: Editorial Noveda<strong>de</strong>s<br />
Educativas.<br />
Broitman, C. y Kuperman C. (2004). “Interpretación <strong>de</strong> números y exploración <strong>de</strong> regularida<strong>de</strong>s<br />
en la serie numérica. Propuesta didáctica para primer grado: “La lotería””. Universidad <strong>de</strong> Buenos<br />
Aires OPFyL (Oficina <strong>de</strong> publicaciones <strong>de</strong> la Facultad <strong>de</strong> Filosofía y Letras) [en línea] http://abc.<br />
gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/<strong>de</strong>fault.cfm.<br />
Broitman, C. (2005). Estrategias <strong>de</strong> cálculo con números naturales. Segundo ciclo EGB. Buenos Aires:<br />
Santillana.<br />
Charnay, R. (1994). “Apren<strong>de</strong>r (por medio <strong>de</strong>) la resolución <strong>de</strong> problemas”. En Parra, C. y Saiz, I.<br />
(comps.) Didáctica <strong>de</strong> la Matemática, Aportes y Reflexiones. Buenos Aires: Paidós.<br />
Chemello, G. (1997). “El cálculo en la escuela: las cuentas, ¿son un problema?”. En Iaies, G.<br />
(comp.) Los CBC y la enseñanza <strong>de</strong> la Matemática. Buenos Aires: A-Z editora.<br />
34<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado
Fregona, D. y Bartolomé O. (2002). “El conteo en un problema <strong>de</strong> distribución: una génesis posible<br />
en la enseñanza <strong>de</strong> los números naturales”. En Panizza, M. (comp) Enseñar Matemática en el<br />
Nivel Inicial y Primer Ciclo <strong>de</strong> EGB: Análisis y Propuestas. Buenos Aires: Paidós.<br />
Itzcovich, H. (coord.) (2007). La Matemática escolar. Las prácticas <strong>de</strong> enseñanza en el aula. Buenos<br />
Aires: Aique.<br />
Lerner, D. (1992). La matemática en la escuela aquí y ahora. Buenos Aires: Aique.<br />
Lerner, D. (2007). “¿Tener éxito o compren<strong>de</strong>r? Una tensión constante en la enseñanza y el aprendizaje<br />
<strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> numeración.” En Revista 12(ntes) Enseñar Matemática Nivel Inicial y Primario<br />
N.º 2 y N.º 3. Publicado originalmente en Alvarado M. y Brizuela B. (comp). (2005). Haciendo<br />
números. México: Paidós.<br />
Lerner, D.; Sadovsky, P. y Wolman, S. (1994). “El sistema <strong>de</strong> numeración: un problema didáctico.”<br />
En Parra, C. y Saiz, I. (comps.) Didáctica <strong>de</strong> matemáticas, Aportes y Reflexiones. Buenos Aires:<br />
Paidós.<br />
Moreno, B. (2002). “La enseñanza <strong>de</strong>l número y <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> numeración en el Nivel Inicial y el<br />
primer año <strong>de</strong> la EGB. En Panizza, M. (comp) Enseñar Matemática en el Nivel Inicial y Primer Ciclo <strong>de</strong><br />
EGB: Análisis y Propuestas. Buenos Aires: Paidós.<br />
Parra,C. (1994). “Cálculo mental en la escuela primaria. En Parra, C. y Sáiz, I (comp.) Didáctica <strong>de</strong><br />
matemáticas, Aportes y Reflexiones. Buenos Aires: Paidós.<br />
Parra C. y Saiz, I. (2007). Enseñar aritmética a los más chicos. De la exploración al dominio. Buenos Aires:<br />
Homo Sapiens Ediciones.<br />
Ponce, H. (2000)- Enseñar y apren<strong>de</strong>r matemática. Propuestas para el segundo ciclo. Buenos Aires: Editorial<br />
Noveda<strong>de</strong>s Educativas.<br />
Quaranta, M. E.; Tarasow, P.; Wolman, S. (2003) “Aproximaciones parciales a la complejidad <strong>de</strong>l<br />
sistema <strong>de</strong> numeración: avances <strong>de</strong> un estudio acerca <strong>de</strong> las interpretaciones numéricas”. En Panizza,<br />
M. (comp.) Enseñar matemática en el Nivel Inicial y el primer ciclo <strong>de</strong> la EGB. Análisis y propuestas.<br />
Buenos Aires: Paidós<br />
Quaranta, M. E. y Tarasow, P. (2004). “Validación y producción <strong>de</strong> conocimientos sobre interpretaciones<br />
numéricas”. RELIME. Revista Latinoamericana <strong>de</strong> Investigación en Matemática Educativa.<br />
Publicación oficial <strong>de</strong>l Comité Latinoamericano <strong>de</strong> Matemática Educativa [en línea]<br />
http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=33570302.<br />
Terigi, F y Wolman S. (2007). “El sistema <strong>de</strong> numeración. Consi<strong>de</strong>raciones sobre su enseñanza”. En<br />
REI. Revista Iberoamericana <strong>de</strong> Ecuación N.º 43 [en línea] http://www.rieoei.org/rie43a03.pdf.<br />
Saiz, I. (1994). “Dividir con dificultad o la dificultad <strong>de</strong> dividir”. En Parra y Saiz (comp) Didáctica<br />
<strong>de</strong> las matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires: Paidós.<br />
Scheuer, N.; Bressan, A.; Rivas, S. (2001). “Los conocimientos numéricos en niños que inician su escolaridad”.<br />
En Elichiry (comp.) Dón<strong>de</strong> y cómo se apren<strong>de</strong>. Temas <strong>de</strong> Psicología Educacional. Buenos Aires: Paidós.<br />
35
Scheuer, N.; Bressan, A.; Bottazzi, C. y Canelo. T. (1996). “Este es más gran<strong>de</strong> porque... o cómo<br />
los niños comparan numerales”. Revista Argentina <strong>de</strong> <strong>Educación</strong>, N.º 24, octubre.<br />
Tolchinsky, L. (1995). “Dibujar, escribir, hacer números”. En Teberosky, A. y Tolchinsky, L. (comp.)<br />
Más allá <strong>de</strong> la alfabetización. Buenos Aires: Santillana.<br />
Wolman, S. (1999). “Algoritmos <strong>de</strong> suma y resta: ¿Por qué favorecer <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la escuela los procedimientos<br />
infantiles?” En Revista <strong>de</strong>l IICE N.º 14. Año 8. Universidad <strong>de</strong> Buenos Aires.<br />
Wolman, S. (2000). “La enseñanza <strong>de</strong> los números en el nivel inicial y primer año <strong>de</strong> la EGB”. En<br />
Kaufman A. (comp.) Letras y Números. Buenos Aires: Santillana.<br />
III. pArA El TrATAMIENTo DE los NúMEros rACIoNAlEs<br />
Gobierno <strong>de</strong> la Ciudad <strong>de</strong> Buenos Aires. Secretaría <strong>de</strong> <strong>Educación</strong>. <strong>Dirección</strong> <strong>de</strong> Currícula (1997).<br />
“Documento <strong>de</strong> actualización curricular N.° 4. Matemática” [en línea] http://www.buenosaires.<br />
gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/matematica.php.<br />
Gobierno <strong>de</strong> la Ciudad <strong>de</strong> Buenos Aires. Secretaría <strong>de</strong> <strong>Educación</strong>. <strong>Dirección</strong> <strong>de</strong> Currícula (2001).<br />
“Aportes para el <strong>de</strong>sarrollo Curricular. Matemática: Acerca <strong>de</strong> los números <strong>de</strong>cimales: una secuencia<br />
posible” [en línea] http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/primaria.<br />
php?menu_id=20709.<br />
Gobierno <strong>de</strong> la Ciudad <strong>de</strong> Buenos Aires. Ministerio <strong>de</strong> <strong>Educación</strong>. <strong>Dirección</strong> <strong>de</strong> Currícula (2005).<br />
“Matemática: Fracciones y Decimales 4.º, 5.º, 6.º y 7.º. Páginas para el Docente. Plan Plurianual”<br />
[en línea] http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula.<br />
Gobierno <strong>de</strong> la Ciudad <strong>de</strong> Buenos Aires. Ministerio <strong>de</strong> <strong>Educación</strong>. <strong>Dirección</strong> <strong>de</strong> Currícula (2006).<br />
“Cálculo mental con números racionales. Apuntes para la enseñanza”[en línea] http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/pluri_mate.php?menu_id=20709.<br />
Gobierno <strong>de</strong> la Ciudad <strong>de</strong> Buenos Aires. Secretaría <strong>de</strong> <strong>Educación</strong>. <strong>Dirección</strong> <strong>de</strong> Currícula (2007).<br />
“Matemática. Números racionales” [en línea] http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/pdf/media/matematica_aportesmedia.pdf.<br />
<strong>Dirección</strong> <strong>General</strong> <strong>de</strong> <strong>Cultura</strong> y <strong>Educación</strong> <strong>de</strong> la Pcia. <strong>de</strong> Bs. As. <strong>Dirección</strong> <strong>de</strong> Primaria. (2007).<br />
“Serie Curricular. Matemática N.º 4. Números racionales y geometría” [en línea] www.abc.gov.ar.<br />
Broitman, C; Itzcovich H. y Quaranta, M. E. (2003). “La enseñanza <strong>de</strong> los números <strong>de</strong>cimales: el<br />
análisis <strong>de</strong>l valor posicional y una aproximación a la <strong>de</strong>nsidad”. RELIME. Revista Latinoamericana<br />
<strong>de</strong> Investigación en Matemática Educativa. Publicación oficial <strong>de</strong>l Comité Latinoamericano <strong>de</strong><br />
Matemática Educativa. Vol. 6 N.° 1, marzo, pp. 5-26 [en línea] http://dialnet.unirioja.es/servlet/<br />
articulo?codigo=2092465.<br />
Itzcovich, H. (coord.) (2007). “El trabajo escolar en torno a las fracciones”. En La Matemática escolar.<br />
Las prácticas <strong>de</strong> enseñanza en el aula. Buenos Aires: Aique.<br />
Obra Colectiva <strong>de</strong> los docentes <strong>de</strong> la Red <strong>de</strong> escuelas <strong>de</strong> Campana. Plan <strong>de</strong> Desarrollo Estratégico<br />
<strong>de</strong> Campana. Soñar Campana. “La enseñanza <strong>de</strong> las fracciones en el 2do ciclo <strong>de</strong> la <strong>Educación</strong> <strong>General</strong><br />
Básica. Módulo 2. Serie Aportes al Proyecto Curricular Institucional Agosto 2001. [en línea]<br />
36<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado
http://www.gpdmatematica.org.ar/publicaciones/fraccionesmodulo2.pdf.<br />
Ponce, H. (2000). Enseñar y apren<strong>de</strong>r matemática. Propuestas para el segundo ciclo. Buenos Aires: Editorial<br />
Noveda<strong>de</strong>s Educativas.<br />
Ponce, H y Quaranta, M. E. (2007). “Fracciones y <strong>de</strong>cimales”. En Enseñar Matemática en la escuela<br />
primaria. Serie Respuestas. Buenos Aires:Tinta Fresca.<br />
Quaranta, M. E. (2008). “Conocimientos infantiles acerca <strong>de</strong> las escrituras <strong>de</strong>cimales”. En revista<br />
12(ntes). Enseñar matemática. Nivel Inicial y primario. Buenos Aires: 12(ntes).<br />
Iv. pArA El TrATAMIENTo DE lA MEDIDA y lA gEoMETrÍA<br />
Gobierno <strong>de</strong> la Ciudad <strong>de</strong> Buenos Aires. Secretaría <strong>de</strong> <strong>Educación</strong>. <strong>Dirección</strong> <strong>de</strong> Currícula (1998).<br />
“La enseñanza <strong>de</strong> la geometría en el segundo ciclo”. Documento <strong>de</strong> actualización curricular<br />
N.° 5. Matemática [en línea] http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/<br />
matematica.php.<br />
Gobierno <strong>de</strong> la Ciudad <strong>de</strong> Buenos Aires. Secretaría <strong>de</strong> <strong>Educación</strong>. <strong>Dirección</strong> <strong>de</strong> Currícula (2007).<br />
“Matemática. Geometría. Aportes para la enseñanza” [en línea]<br />
http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/media/matematica/geometria_media.pdf.<br />
<strong>Dirección</strong> <strong>General</strong> <strong>de</strong> <strong>Educación</strong> Básica. Pcia. <strong>de</strong> Bs. As. (2001). “Orientaciones didácticas para la<br />
enseñanza <strong>de</strong> la Geometría en EGB” [en línea] http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/<br />
educprimaria/<strong>de</strong>fault.cfm.<br />
Broitman, C.; Itzcovich, H. (2003). “Geometría en los primeros grados <strong>de</strong> la escuela primaria: problemas<br />
<strong>de</strong> su enseñanza, problemas para su enseñanza”. En Panizza (comp.) Enseñar matemática en<br />
el Nivel Inicial y primer ciclo <strong>de</strong> EGB: Análisis y Propuestas. Buenos Aires: Paidós.<br />
Broitman, C. (2000). “Reflexiones en torno a la enseñanza <strong>de</strong>l espacio”. En De Cero a Cinco, Revista<br />
<strong>de</strong> Nivel Inicial. Buenos Aires: Editorial Noveda<strong>de</strong>s Educativas.<br />
Castro, A. (2000). “Activida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Exploración con cuerpos geométricos. Análisis <strong>de</strong> una propuesta<br />
<strong>de</strong> trabajo para la sala <strong>de</strong> cinco”. En Malajovich (comp.) Recorridos didácticos en la educación<br />
Inicial. Buenos Aires: Paidós.<br />
Gálvez, G. (1994). “La Geometría, la psicogénesis <strong>de</strong> las nociones espaciales y la enseñanza <strong>de</strong><br />
la geometría en la escuela elemental”. En Parra y Saiz (comp.) Didáctica <strong>de</strong> Matemáticas. Aportes y<br />
reflexiones. Buenos Aires: Paidós.<br />
Itzcovich, H. (2005). Iniciación al estudio didáctico <strong>de</strong> la Geometría. Buenos Aires: Libros <strong>de</strong>l Zorzal.<br />
Itzcovich, H. (coord.) (2007). “Acerca <strong>de</strong> la enseñanza <strong>de</strong> la Geometría. En La Matemática escolar.<br />
Las prácticas <strong>de</strong> enseñanza en el aula. Buenos Aires: Aique.<br />
Martinez, R. y Porras, M. (1998). “La Geometría <strong>de</strong>l Plano en la Escolaridad Obligatoria”. En revista<br />
Noveda<strong>de</strong>s Educativas. N.º 78. Buenos Aires.<br />
37
Ponce, H. (2003). “Enseñar geometría en el primer y segundo ciclo. Diálogos <strong>de</strong> la capacitación”.<br />
CePA. Ministerios <strong>de</strong> <strong>Educación</strong>. G.C.B.A. [en línea] http://www.generacionba.gov.ar/areas/educacion/cepa/publicaciones.php?menu_id=20823.<br />
Quaranta, M. E. y Ressia <strong>de</strong> Moreno, B. (2004). “El copiado <strong>de</strong> figuras como un problema geométrico<br />
para los niños. Enseñar matemática. Números, formas, cantida<strong>de</strong>s y juegos”. En De Cero a<br />
Cinco, Revista <strong>de</strong> Nivel Inicial. Buenos Aires: Editorial Noveda<strong>de</strong>s Educativas. Nº 54.<br />
Saiz, I. (1996). “El aprendizaje <strong>de</strong> la geometría en la EGB”. En revista Noveda<strong>de</strong>s Educativas.<br />
N.º 71.<br />
38<br />
Matemática / Material para docentes / EP Sexto Grado
CuADErNIllo DE<br />
ACTIvIDADEs<br />
6.º grADo
lECTurA, EsCrITurA y orDEN DE NúMEros<br />
1. Esta es una lista <strong>de</strong> algunos países americanos, or<strong>de</strong>nados alfabéticamente, con la superficie <strong>de</strong> sus<br />
territorios.<br />
Argentina: 2.780.400 km 2<br />
Brasil: 8.514.877 km 2<br />
Canadá: 9.984.670 km 2<br />
Estados unidos: 9.631.418 km 2<br />
a) Or<strong>de</strong>ná las superficies <strong>de</strong> menor a mayor.<br />
b) Escribí los números en letras.<br />
c) La superficie <strong>de</strong> Colombia, en km 2 , es dos millones setenta mil cuatrocientos ocho. ¿Cuál <strong>de</strong> los siguientes<br />
es ese número?<br />
2.007.408<br />
2.000.070.408<br />
d) ¿Entre qué dos países <strong>de</strong> la lista anterior <strong>de</strong>bería ubicarse?<br />
e) Matías dice que si la superficie <strong>de</strong> Venezuela empieza con 9 y la <strong>de</strong> Argentina con 2, entonces Venezuela<br />
es mayor que Argentina. ¿Estás <strong>de</strong> acuerdo con esta i<strong>de</strong>a? ¿Por qué?<br />
2. Estas rectas tienen ubicados algunos números. ¿Cuáles <strong>de</strong>berían ir en los espacios vacíos? Escribilos.<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
6º grADo<br />
ACTIvIDADEs<br />
NúMEros NATurAlEs<br />
NúMEros Muy grANDEs<br />
2.070.048<br />
2.700.048<br />
0 200.000 500.000<br />
Honduras: 112.492 km 2<br />
uruguay: 176.215 km 2<br />
Venezuela: 916.445 km 2<br />
0 25.000 150.000<br />
3. Si así se escribe cuatro mil millones: 4.000.000.000, escribí cómo se llaman estos números:<br />
a) 4.444.444.444 _____________________________________________________________________<br />
b) 400.000.000.000 __________________________________________________________________<br />
c) 4.404.000.000 ____________________________________________________________________<br />
d) 400.000.400.000 __________________________________________________________________<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 1<br />
2.070.408.000<br />
2.070.408<br />
2.070.480<br />
2.007.480<br />
0 5.000.000 10.000.000
4. ¿Cuál <strong>de</strong> estos es el número cinco mil cincuenta millones quinientos mil cinco?<br />
5.500.500.005 5.050.500.005 5.005.500.050 5.050.005.005<br />
5. a) ¿Qué número representa 0,3 millones? ¿Es más o menos que un millón?<br />
b) La cantidad 0,63 millones ¿es 63.000, 630.000 o 6.300.000?<br />
6. Estas son las distancias aproximadas entre algunos planetas y el Sol:<br />
Júpiter: 778.330.000 km<br />
Marte: 227,94 millones <strong>de</strong> km<br />
Mercurio: 57.910.000 km<br />
saturno: 1.429,4 millones <strong>de</strong> km<br />
Tierra: 149.600.000 km<br />
Venus: 108,2 millones <strong>de</strong> km<br />
a) Escribí una lista or<strong>de</strong>nada con los nombres <strong>de</strong> los planetas, <strong>de</strong>l más cercano al más lejano<br />
<strong>de</strong>l Sol.<br />
b) Escribí, usando solamente números, las distancias <strong>de</strong>l Sol a Marte, Saturno y Venus.<br />
c) Escribí, usando números con coma y la palabra millones, las distancias <strong>de</strong>l Sol a Júpiter, Mercurio y<br />
la Tierra.<br />
d) La distancia aproximada <strong>de</strong> Urano al Sol es <strong>de</strong> dos mil ochocientos setenta millones novecientos<br />
noventa mil kilómetros, y la <strong>de</strong> Neptuno es <strong>de</strong> cuatro mil quinientos cuatro millones trescientos mil<br />
kilómetros. Escribilas utilizando números.<br />
7. Completá la tabla con las cantida<strong>de</strong>s correspondientes:<br />
Uno menos Número Uno más<br />
46.000<br />
13.009.000<br />
602.000<br />
5.000.100<br />
800.099<br />
201.102.201<br />
8. Esta es la población estimada <strong>de</strong> América según datos <strong>de</strong> la ONU <strong>de</strong>l 2009:<br />
América <strong>de</strong>l Norte: 480 millones <strong>de</strong> habitantes<br />
América Central: 41.739.000 habitantes<br />
América <strong>de</strong>l sur: 357,2 millones <strong>de</strong> habitantes<br />
¿La población total <strong>de</strong>l continente americano supera los ochocientos millones <strong>de</strong> habitantes?<br />
sIsTEMA DE NuMErACIóN y vAlor posICIoNAl<br />
9. Escribí un cálculo que permita modificar solo la cifra señalada en cada número.<br />
a) 3.083.218<br />
b) 14.500.907<br />
c) 26.000<br />
d) 407.288.104<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 2<br />
NúMEros NATurAlEs
NúMEros NATurAlEs<br />
10. ¿Cuánto le restarías a cada número propuesto para obtener el resultado pedido?<br />
Al número … se le resta … para obtener …<br />
3.937.516 3.907.516<br />
983.206 900.206<br />
14.562.932 12.562.932<br />
7.211.867 7.211.060<br />
11. En un juego hay fichas <strong>de</strong> diferentes valores: 100.000, 10.000, 1.000, 100, 10 y 1.<br />
Este cuadro muestra la cantidad <strong>de</strong> fichas que obtuvo cada jugador al terminar el partido. Completalo.<br />
FICHAS PUNTAJE<br />
FINAL<br />
100.000 10.000 1.000 100 10 1<br />
Julieta 0 26 2 7 0 8<br />
Axel 2 3 9 0 11 0<br />
Taty 1.236.590<br />
Jonathan 23 59 1.230.596<br />
12. ¿Con cuáles <strong>de</strong> estos cálculos se obtiene el número 756.987?<br />
a) 756 x 100.000 + 987 x 100<br />
b) 756 x 1.000 – 987 x 1<br />
c) 756 x 1.000 + 9 x 100 + 8 x 10 + 7<br />
d) 7 x 100.000 + 56 x 1.000 + 7 x 1+ 8 x 10 + 100 x 9<br />
13. ¿Qué número se forma en cada caso?<br />
a) 27 x 1.000 + 8 x 100 = ______________<br />
b) 4 x 10.000 + 5 x 10 = ______________<br />
c) 31 x 100.000 + 2 x 1.000 + 4 x 1 = ______________<br />
d) 963 x 1.000 + 452 x 1 = ______________<br />
14. Completá la tabla.<br />
Un millón<br />
menos<br />
Cien mil<br />
menos<br />
Diez mil<br />
menos<br />
Número<br />
1.298.734<br />
56.789.403<br />
276.981.254<br />
8.000.000<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 3<br />
Diez mil<br />
más<br />
Cien mil<br />
más<br />
Un millón<br />
más
sIsTEMA DE NuMErACIóN y opErACIoNEs<br />
15. Señalá los cálculos que dan como resultado 17.650.<br />
17.000 + 600 + 50 17 × 1.000 + 650 17.000 + 6 × 10 + 5 176 × 100 + 50<br />
1 × 10.000 + 7 × 1.000 + 6 × 100 + 5 × 10<br />
16. Escribí los siguientes números <strong>de</strong> tres maneras diferentes usando sumas y multiplicaciones por 10,<br />
100, 1.000, etcétera. El primero va <strong>de</strong> ejemplo.<br />
a) 2.345 = 23 × 100 + 4 × 10 + 5 d) 19.702 =<br />
= 234 × 10 + 5<br />
= 2 × 1.000 +34 × 10 + 5<br />
b) 487 = e) 614.211 =<br />
c) 2.965 = f) 307.216 =<br />
17. a) ¿Cuántos paquetes <strong>de</strong> 10 caramelos se necesitan para guardar 157 caramelos?<br />
b) ¿Cuántos paquetes <strong>de</strong> 100 caramelos se necesitan para guardar 4.587 caramelos?<br />
18. Ernesto dice:<br />
Para hacer 5.312 : 100 alcanza con mirar bien los números. Sin hacer la cuenta <strong>de</strong> dividir,<br />
yo sé que el cociente es 53 y el resto es 12.<br />
Explicá cómo pue<strong>de</strong> haber obtenido los resultados que menciona.<br />
19. Teniendo en cuenta la i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> Ernesto <strong>de</strong> la actividad anterior, y sin hacer las cuentas, encontrá<br />
el cociente y el resto <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> las siguientes divisiones.<br />
División Cociente Resto<br />
927 : 10<br />
6.284 : 10<br />
5.038 : 100<br />
94.806 : 10<br />
94.806 : 100<br />
94.806 : 1.000<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 4<br />
NúMEros NATurAlEs
6º grADo<br />
ACTIvIDADEs<br />
opErACIoNEs CoN NúMEros NATurAlEs<br />
problEMAs QuE sE rEsuElvEN CoN vArIos CÁlCulos<br />
1. Martina, Camilo y Lisandro se repartieron una suma <strong>de</strong> dinero <strong>de</strong> la siguiente manera: Martina recibió<br />
el doble <strong>de</strong> lo que recibió Camilo. Lisandro recibió la misma cantidad que Martina y Camilo juntos.<br />
Lisandro recibió $117.<br />
a) ¿Qué cantidad <strong>de</strong> dinero repartieron?<br />
b) ¿Cuánto recibieron Martina y Camilo?<br />
c) ¿Cómo podés asegurar que tu respuesta es correcta?<br />
2. Analía fue a comprar ropa a un negocio que ven<strong>de</strong> al por mayor. Compró 12 camisas a $21 cada<br />
una, 24 remeras a $11 cada una, y 40 polleras a $56 cada una. Como tuvo que <strong>de</strong>volver 20 pantalones<br />
que había comprado antes, a $51 cada uno, se lo <strong>de</strong>scontaron <strong>de</strong>l total que <strong>de</strong>bía pagar. El taxi para ir<br />
y volver <strong>de</strong>l negocio le costó $40. ¿Le alcanzó el dinero, si llevó $2.000?<br />
3. Karina quiere comprar un <strong>de</strong>partamento que cuesta $148.380. En la inmobiliaria, le ofrecen dos<br />
formas <strong>de</strong> pago:<br />
Plan A: $28.500 al contado y el resto en 36 cuotas fijas iguales.<br />
Plan B: la mitad al contado y el resto en 12 cuotas fijas iguales.<br />
¿Cuál es el valor <strong>de</strong> la cuota en cada caso?<br />
4. Silvina quiere pintar una parte <strong>de</strong> su casa y necesita:<br />
dos rodillos<br />
un pincel fino<br />
cinta <strong>de</strong> pintor (20 metros, aproximadamente)<br />
cuatro litros <strong>de</strong> pintura sintética<br />
veinte litros <strong>de</strong> pintura al agua<br />
Pidió presupuesto en dos pinturerías y le pasaron estas listas <strong>de</strong> precios:<br />
PINTURERÍA A<br />
Rodillo: $13 c/u<br />
Pincel fino: $14<br />
Cinta <strong>de</strong> pintor <strong>de</strong> 10 m: $8<br />
Pintura sintética (lata <strong>de</strong> 1 litro): $24<br />
Pintura al agua (lata <strong>de</strong> 10 litros): $140<br />
¿Dón<strong>de</strong> gastará menos dinero si quiere comprar todo en el mismo lugar?<br />
problEMAs DE MulTIplICACIóN y DIvIsIóN<br />
PINTURERÍA B<br />
Rodillos: $20 el paquete <strong>de</strong> dos<br />
Pincel fino: $17<br />
Cinta <strong>de</strong> pintor <strong>de</strong> 5 m: $5<br />
Pintura sintética (lata <strong>de</strong> 2 litros): $41<br />
Pintura al agua (lata <strong>de</strong> 10 litros): $156<br />
5. Los alumnos <strong>de</strong> 6.° quieren organizar un torneo <strong>de</strong> fútbol. Para ello, armaron 7 equipos. Deben<br />
jugar dos veces todos contra todos (partido y revancha).<br />
a) ¿Cuántos partidos se jugarán en total?<br />
b) ¿Cuántas fechas tendrá el torneo si en cada fecha se juegan 3 partidos?<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 5
6. Con los dígitos 9, 8, 7, 6 y 5, se pue<strong>de</strong>n formar muchos números <strong>de</strong> cinco cifras. Por ejemplo, el<br />
98.765 o el 56.789.<br />
a) ¿Cuál <strong>de</strong> los siguientes cálculos permite saber cuántos números diferentes se pue<strong>de</strong>n formar sin<br />
repetir los dígitos?<br />
5 + 4 + 3 + 2 + 1 5 × 4 × 3 × 2 × 1 5 × 5 × 5 × 5 × 5 5 + 5 + 5 + 5 + 5<br />
b) Si se pudieran repetir los dígitos, ¿cuántos números diferentes se podrían armar?<br />
7. Un patio tiene 7 filas <strong>de</strong> 3 baldosas cada una. Si se duplica el largo y el ancho, ¿se duplicará la cantidad<br />
<strong>de</strong> baldosas?<br />
8. En un negocio, se ven<strong>de</strong>n hamburguesas en cajas <strong>de</strong> 24 unida<strong>de</strong>s. Completá la tabla.<br />
Cantidad <strong>de</strong> cajas 8 10 18<br />
Cantidad <strong>de</strong> hamburguesas 360 480 48<br />
9. Los chicos <strong>de</strong> 6.º están estudiando algunos países latinoamericanos. El grupo que investiga Cuba<br />
consiguió 48 fotos y quieren exhibirlas en un panel rectangular. ¿En cuántas filas y cuántas columnas<br />
<strong>de</strong>berán distribuirlas? ¿Hay una sola posibilidad? Si hay más <strong>de</strong> una, escribilas todas.<br />
10. Para pasar una ca<strong>de</strong>na telefónica, 3 chicos difun<strong>de</strong>n, cada uno, un mensaje a otros 3 chicos, quienes<br />
a su vez le avisan a otros 3 y estos, a otros 3 cada uno. ¿Cuántos chicos se enteran <strong>de</strong>l mensaje?<br />
11. En una isla, se <strong>de</strong>jó una pareja <strong>de</strong> conejos. A los seis meses, se contaron 4 conejos y al año, 8 conejos.<br />
a) Si los conejos se siguen reproduciendo a este ritmo, ¿cuántos conejos se contarán a los dos años? ¿Y<br />
a los 4 años?<br />
b) Entre los siguientes cálculos, señalá el que sirve para obtener la cantidad <strong>de</strong> conejos que habrá a los<br />
3 años. Explicá qué tuviste en cuenta para elegirlo.<br />
2 × 3 2 × 2 × 2 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 6 × 2<br />
problEMAs pArA EsTuDIAr CóMo fuNCIoNA lA DIvIsIóN<br />
12. Los chicos <strong>de</strong> sexto están organizando un festival. Tienen 120 sillas para el público. Si en cada fila<br />
colocan 15 sillas, ¿cuántas filas pue<strong>de</strong>n armar?<br />
13. Hay 123 sillas para los actos escolares. Si se colocan en 9 filas, ¿cuántas sillas tendrá cada fila?<br />
¿Sobran sillas? ¿Cuántas?<br />
14. El piso <strong>de</strong>l aula es rectangular y tiene en total 330 cerámicos. Todos los cerámicos son cuadrados y<br />
están enteros. En cada fila, hay más <strong>de</strong> 12 y menos <strong>de</strong> 18 cerámicos.<br />
¿Cuántos cerámicos hay en cada fila? ¿Cuántos en cada columna? ¿Hay una sola posibilidad? ¿Por qué?<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 6<br />
opErACIoNEs CoN<br />
NúMEros NATurAlEs
opErACIoNEs CoN<br />
NúMEros NATurAlEs<br />
15. a) Escribí una cuenta <strong>de</strong> dividir que tenga cociente 21 y resto 8.<br />
b) ¿Se pue<strong>de</strong>n escribir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles?<br />
c) ¿Cuántas cuentas se pue<strong>de</strong>n escribir? ¿Por qué?<br />
16. Al dividir un número por 24, se obtuvo 15 y un resto <strong>de</strong> 4. ¿Qué número se dividió?<br />
17. Completá el divi<strong>de</strong>ndo y el divisor <strong>de</strong> esta cuenta. ¿Hay una única posibilidad?<br />
4 7<br />
18. Lisandro hizo la cuenta 123 : 9 y obtuvo <strong>de</strong> cociente 13 y <strong>de</strong> resto 6. Ahora tiene que hacer<br />
estas otras cuentas <strong>de</strong> dividir: 124 : 9; 125 : 9; 126 : 9; 127 : 9.<br />
a) ¿Pue<strong>de</strong> Lisandro <strong>de</strong>terminar el resto <strong>de</strong> esas cuentas sin hacerlas? Si es posible, explicá cómo<br />
pue<strong>de</strong> hacerlo. Si no, explicá por qué no.<br />
b) ¿En cuánto tiene que modificar Lisandro el divi<strong>de</strong>ndo <strong>de</strong> la cuenta que hizo para obtener cociente<br />
9 y resto 0, manteniendo el mismo divisor?<br />
c) ¿Cuántas cuentas pue<strong>de</strong> escribir Lisandro que tengan como divisor 9, como cociente 13 y como<br />
resto no necesariamente 0?<br />
19. ¿Cuál o cuáles <strong>de</strong> los siguientes números <strong>de</strong> la tabla pue<strong>de</strong>n completar correctamente esta cuenta?<br />
24<br />
Divisor Resto ¿Sí o no? ¿Por qué?<br />
4 12<br />
8 0<br />
7 3<br />
5 9<br />
6 6<br />
problEMAs y propIEDADEs<br />
20. En una calculadora, no funcionan las teclas 9, 8, + y –. ¿Cómo podrían resolverse estos cálculos?<br />
Escribilo al lado <strong>de</strong> cada uno.<br />
a) 28 x 8 = _______________________________________________________________________<br />
b) 48 x 39 = ______________________________________________________________________<br />
3<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 7
c) 99 x 12 = ______________________________________________________________________<br />
d) 18 x 72 = ______________________________________________________________________<br />
21. Juan hace una cuenta <strong>de</strong> multiplicar así:<br />
156<br />
× 23<br />
1.560<br />
1.560<br />
156<br />
156<br />
156<br />
3.588<br />
a) ¿Cómo habrá pensado al hacer esos cálculos? ¿Qué propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la multiplicación usa?<br />
b) Intentá resolver la cuenta <strong>de</strong> multiplicar 248 x 31 <strong>de</strong> la forma que lo hace Juan.<br />
22. Usando estos resultados, completá la tabla.<br />
2 x 23 = 46<br />
3 x 23 = 69<br />
4 x 23 = 92<br />
× 23<br />
6 8 10 12 14 22<br />
23. ¿Cómo se pue<strong>de</strong> resolver 456 : 24 con una calculadora en la que no funciona la tecla <strong>de</strong>l 4?<br />
24. Al hacer 240 : 8 : 2, Claudia obtuvo 15; en cambio, a Marcela le dio 60.<br />
a) ¿Qué habrá hecho cada una para llegar a esos resultados?<br />
b) ¿Quién resolvió el cálculo correctamente?<br />
25. Sin hacer las cuentas, indicá si cada una <strong>de</strong> estas afirmaciones es verda<strong>de</strong>ra o falsa. Justificá<br />
tus respuestas.<br />
a) 215 x 25 = 215 x 20 + 215 x 5 e) 378 x 18 = 378 x 10 x 8<br />
b) 215 x 25 = 215 x 5 x 5 f) 378 x 18 = 378 x 9 x 2<br />
c) 215 x 25 = 25 x 215 g) 378 x 18 = 370 x 18 + 8 x 18<br />
d) 215 x 25 = 25 x 5 + 25 x 5 h) 378 x 18 = 378 x 20 – 2<br />
EsTrATEgIAs DE CÁlCulo y propIEDADEs I<br />
26. Usando como información que 125 × 8 = 1.000, encontrá los resultados <strong>de</strong> los siguientes cálculos<br />
sin efectuarlos.<br />
a) 125 × 16 = __________ c) 250 × 16 = __________ e) 125 × 32 =__________<br />
b) 375 × 32 =__________ d) 250 × 8 = __________ f) 1.250 × 80 =__________<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 8<br />
opErACIoNEs CoN<br />
NúMEros NATurAlEs
opErACIoNEs CoN<br />
NúMEros NATurAlEs<br />
27. Para encontrar el resultado <strong>de</strong> 120 × 25, Martina hizo lo siguiente:<br />
120 × 20 = 2.400<br />
120 × 5 = 600<br />
120 × 25 = 2.400 + 600 = 3.000<br />
Resolvé los siguientes cálculos usando procedimientos similares a los <strong>de</strong> Martina.<br />
a) 520 × 24 = ___________<br />
b) 1520 ×12 = __________<br />
c) 340 × 21 = ___________<br />
28. Para encontrar el resultado <strong>de</strong> 25 × 98, Lisandro hizo lo siguiente:<br />
25 × 100 = 2.500<br />
25 × 2 = 50<br />
25 × 98 = 2.500 – 50 = 2.450<br />
Resolvé los siguientes cálculos usando procedimientos similares a los <strong>de</strong> Lisandro.<br />
a) 24 × 98 = __________<br />
b) 52 × 19 = __________<br />
c) 45 × 998 = __________<br />
29. La siguiente tabla presenta algunos resultados <strong>de</strong> multiplicar por 15.<br />
15 × 1 15 × 2 15 × 3 15 × 4 15 × 5 15 × 6 15 × 7 15 × 8<br />
15 30<br />
a) Completá los resultados que faltan en la tabla.<br />
b) Usá la información <strong>de</strong> la tabla para <strong>de</strong>terminar los resultados <strong>de</strong> los siguientes cálculos.<br />
15 × 9 = __________ 15 × 20 = __________<br />
15 × 12 = __________ 15 × 24 = __________<br />
15 × 18 = __________ 15 × 53 = __________<br />
30. Usando las multiplicaciones por 10, 100 y 1.000, resolvé cada uno <strong>de</strong> los siguientes cálculos:<br />
a) 24 × 50 = __________ c) 52 × 25 = __________<br />
b) 125 × 5 = __________ d) 462 × 150 = __________<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 9
EsTrATEgIAs DE CÁlCulo y propIEDADEs II<br />
31. Sin hacer la cuenta, indicá cuántas cifras tendrá el cociente <strong>de</strong> 13.845 : 12. Explicá cómo lo<br />
pensaste.<br />
32. Si se realiza la cuenta 350 : 25 se obtiene cociente 14 y resto 0. Usando esta información, y sin<br />
hacer la cuenta, encontrá el resto <strong>de</strong> las siguientes divisiones.<br />
a) 370 : 25 b) 359 : 25 c) 375 : 25<br />
Resto: _______ Resto: ______ Resto: ________<br />
33. Juan hizo con la calculadora la siguiente cuenta 762 : 25 y obtuvo como resultado 30,48.<br />
¿Cómo harías para encontrar el resto sin hacer la cuenta y aprovechar lo que hizo la calculadora?<br />
34. Al hacer 747 : 9, se obtiene como cociente 83 y resto 0. En cambio, si al 747 se lo piensa como<br />
700 + 47 y se hace 700 : 9 y 47 : 9, se obtiene lo siguiente:<br />
700 9<br />
70 77<br />
7<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 10<br />
47 9<br />
2 5<br />
Ahora bien, si se suman ambos cocientes, el resultado es 82, y no 83. ¿Qué falta para obtener el<br />
resultado correcto?<br />
35. Para encontrar el resultado <strong>de</strong> 128 : 4 : 2, Gonza y Fe<strong>de</strong> hicieron lo siguiente:<br />
Gonza<br />
128 : 4 : 2 = 16<br />
Fe<strong>de</strong><br />
128 : 4 : 2 = 64<br />
¿Cómo es posible que la misma cuenta <strong>de</strong> dos resultados diferentes?<br />
36. Marcá con una cruz entre qué números, aproximadamente, va a estar el resultado <strong>de</strong> cada<br />
cálculo, sin resolverlos.<br />
450 x 40<br />
799 x 200<br />
2.630 x 110<br />
2.490 x 12<br />
Menos <strong>de</strong> 1.000 Entre 1.000 y 10.000 Más <strong>de</strong> 10.000<br />
opErACIoNEs CoN<br />
NúMEros NATurAlEs
6º grADo<br />
ACTIvIDADEs<br />
MúlTIplos y DIvIsorEs<br />
1. a) Si escribís la escala ascen<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> 5 en 5 partiendo <strong>de</strong>l 0, ¿llegás justo al número 115? ¿Y al 486?<br />
¿Cómo te diste cuenta?<br />
b) ¿Y si escribieras la escala <strong>de</strong> 3 en 3, también empezando <strong>de</strong> 0, ¿llegarías a esos números?<br />
2. Un juego consiste en escribir un número <strong>de</strong> tres cifras en la calculadora y restarle 4 todas las<br />
veces que se pueda. Se gana si en algún momento se obtiene el 0.<br />
a) Buscá dos números con los que estés seguro <strong>de</strong> ganar.<br />
b) Comparalos con los <strong>de</strong> tus compañeros. ¿Todos pensaron los mismos?<br />
d) ¿Cuántos números ganadores habrá?<br />
d) ¿Se gana con los números 500, 123, 560? ¿Por qué?<br />
3. a) Intentá escribir el número 48 como resultado <strong>de</strong> multiplicar 3 números, pero que ninguno <strong>de</strong><br />
ellos sea el 1.<br />
b) Ahora, intentá escribirlo como el resultado <strong>de</strong> multiplicar 5 números, pero que ninguno <strong>de</strong> ellos<br />
sea el 1.<br />
4. a) Escribí tres múltiplos <strong>de</strong> 12.<br />
b) Escribí tres múltiplos <strong>de</strong> 12 mayores que 1.000. ¿Cuántos creés que habrá?<br />
5. a) Escribí divisores <strong>de</strong> 24.<br />
b) Escribí divisores <strong>de</strong> 150.<br />
6. Para un cumpleaños, se armaron bolsitas con golosinas. Si ponían 5 golosinas en cada bolsita,<br />
no sobraba ninguna. Si ponían 4 golosinas en cada bolsita, tampoco sobraba ninguna. ¿Cuántas<br />
golosinas se habrán comprado en total si se sabe que eran más <strong>de</strong> 50 pero menos <strong>de</strong> 100? ¿Hay<br />
una sola posibilidad?<br />
7. Se compraron 40 chupetines y 24 caramelos. Se los quiere repartir en bolsitas <strong>de</strong> tal manera que<br />
en cada una haya la misma cantidad <strong>de</strong> cada tipo <strong>de</strong> golosinas, y que esa cantidad sea la mayor<br />
posible. ¿Cuántas bolsitas se van a armar?<br />
8. Decidí, en cada caso, si es correcta o no la frase que se propone, sin hacer cuentas.<br />
a) Como 96 es múltiplo <strong>de</strong> 12, entonces 96 = 12 × 8.<br />
b) Como 96 = 12 × 8, entonces 96 es múltiplo <strong>de</strong> 8.<br />
c) El resto <strong>de</strong> hacer 96 : 12 es 0.<br />
d) El resto <strong>de</strong> hacer 96 : 8 es 12.<br />
e) Como 96 = 12 × 8 y 8 = 2 × 4, entonces 96 es múltiplo <strong>de</strong> 4.<br />
f) Todos los múltiplos <strong>de</strong> 8 son múltiplos a la vez <strong>de</strong> 2 y <strong>de</strong> 4.<br />
g) Todos los múltiplos <strong>de</strong> 12 son múltiplos a la vez <strong>de</strong> 2 y <strong>de</strong> 10.<br />
MúlTIplos y DIvIsorEs CoMuNEs<br />
9. Silvina tiene una cierta cantidad <strong>de</strong> facturas. Si las pone en ban<strong>de</strong>jitas <strong>de</strong> a 6, le sobran 4 facturas.<br />
Si las pone en ban<strong>de</strong>jas <strong>de</strong> a 12, también le sobran 4 facturas, y si las pone en ban<strong>de</strong>jas <strong>de</strong> a 18, le<br />
sobran 12 facturas. ¿Cuántas facturas tiene Silvina?<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 11
10. ¿Será cierto que si se divi<strong>de</strong> un número por 12 y el resto es 0, también será 0 el resto <strong>de</strong> dividir<br />
el mismo número por 6? Explicá por qué. ¿Por qué otros números se podrá dividir <strong>de</strong> manera que el<br />
resto siga siendo 0?<br />
11. En la clase <strong>de</strong> música, los chicos acompañan una canción con instrumentos musicales. La profesora<br />
organiza a los grupos: el <strong>de</strong> las cajas chinas toca cada 2 tiempos; el <strong>de</strong> los pan<strong>de</strong>ros cada 4 tiempos y el<br />
<strong>de</strong> los cascabeles, cada 3 tiempos. ¿Cuándo es la primera vez que los tres grupos tocan juntos?<br />
12. a) ¿16 es múltiplo <strong>de</strong> 2, <strong>de</strong> 4 y <strong>de</strong> 8?<br />
b) ¿Es el menor <strong>de</strong> los múltiplos <strong>de</strong> esos 3 números?<br />
c) ¿Será cierto que 2 x 4 x 8 da un múltiplo común entre 2, 4 y 8?<br />
d) ¿Será el menor?<br />
e) ¿Se pue<strong>de</strong> encontrar el múltiplo común mayor entre 2, 4 y 8?<br />
13. Para el día <strong>de</strong>l niño, la maestra compró golosinas para darles a sus alumnos: 48 chupetines, 24<br />
turrones y 60 caramelos. Si quiere darle la misma cantidad <strong>de</strong> cada golosina a cada chico, siendo la<br />
mayor cantidad <strong>de</strong> golosinas posibles, ¿qué cantidad <strong>de</strong> cada golosina <strong>de</strong>be darle a cada alumno?<br />
¿Para cuántos alumnos le alcanzará?<br />
14. a) ¿Cuáles son los divisores comunes entre 24, 48 y 60?<br />
b) ¿Cuál es el divisor común mayor?<br />
c) ¿Se pue<strong>de</strong> hacer la lista <strong>de</strong> todos los divisores <strong>de</strong> cada uno y buscar entre los que se repiten cuál<br />
es el mayor?<br />
d) ¿Cuál es el divisor común mayor entre 13 y 7? ¿Y el menor?<br />
15. ¿Cuál <strong>de</strong> los siguientes números es el múltiplo común menor entre 8 y 24?<br />
48 24 16<br />
16. ¿Cuál <strong>de</strong> los siguientes números es el divisor común mayor entre 28 y 64?<br />
6 2 4<br />
17. ¿Es verdad que 3 es el divisor común mayor entre 24 y 36?<br />
18. ¿Es verdad que la suma <strong>de</strong> dos números, uno múltiplo <strong>de</strong> 5 y otro múltiplo <strong>de</strong> 2, es múltiplo <strong>de</strong> 7?<br />
MúlTIplos y DIvIsorEs pArA sAbEr MÁs sobrE los CÁlCulos<br />
19. El número 1.887 es múltiplo <strong>de</strong> 17. ¿Cuál es el número que multiplicado por 17 da como resultado<br />
1.887?<br />
20. Se sabe que 252 es múltiplo <strong>de</strong> 12, por lo tanto su resto es cero. Sin hacer las cuentas, marcá<br />
las divisiones <strong>de</strong> las que podés estar seguro que el resto también es 0.<br />
252 : 6 252 : 4 252 : 5 252 : 8<br />
21. Analía dice que pue<strong>de</strong> resolver 12 x 9 usando solo las teclas <strong>de</strong>l 3 y <strong>de</strong>l 4 <strong>de</strong> la calculadora.<br />
¿Tiene razón?<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 12<br />
MúlTIplos y DIvIsorEs
MúlTIplos y DIvIsorEs<br />
22. Resolvé estos cálculos usando multiplicaciones <strong>de</strong> números <strong>de</strong> una sola cifra.<br />
a) 36 x 12 = ______________________<br />
b) 72 x 12 = ______________________<br />
c) 15 x 24 = ______________________<br />
d) 140 x 16 = _____________________<br />
23. ¿Cuánto hay que sumarle a cada uno <strong>de</strong> estos números para llegar al múltiplo <strong>de</strong> 5 más cercano?<br />
a) 342 _________________________<br />
b) 908 _________________________<br />
c) 1.045 ________________________<br />
d) 33.001 ______________________<br />
24. Sabiendo que 15 x 12 = 180, indicá:<br />
a) Cuatro divisores <strong>de</strong> 180<br />
b) Cuatro múltiplos <strong>de</strong> 12<br />
c) El resto <strong>de</strong> 180 : 15<br />
d) El resto <strong>de</strong> 181 : 12<br />
e) Una división que tenga resto 2<br />
25. Dos <strong>de</strong> estas afirmaciones son verda<strong>de</strong>ras y dos son falsas. Indicá cuáles son las falsas, y explicá<br />
por qué.<br />
a) Todos los múltiplos <strong>de</strong> 4 son múltiplos <strong>de</strong> 2.<br />
b) Todos los múltiplos <strong>de</strong> 2 son múltiplos <strong>de</strong> 4.<br />
c) Todos los múltiplos <strong>de</strong> 2 son múltiplos <strong>de</strong> 8.<br />
d) Todos los múltiplos <strong>de</strong> 8 son múltiplos <strong>de</strong> 2.<br />
CrITErIos DE DIvIsIbIlIDAD<br />
26. ¿Cómo podrías hacer para saber si un número es múltiplo <strong>de</strong> 2, sin hacer cuentas?<br />
27. ¿Cómo se podría hacer para saber si 3.125 es múltiplo <strong>de</strong> 5, sin hacer cuentas?<br />
28. Sin hacer cuentas, encerrá los números que, al dividirse por 3, dan como resto 0.<br />
215 402 333 1.056 88.011<br />
29. Completá los siguientes números con las cifras que faltan para que resulten múltiplos <strong>de</strong> 2 y<br />
<strong>de</strong> 3 al mismo tiempo.<br />
5___32 4___3 2___7___4<br />
¿Será cierto que si un número es divisible por 6 se lo pue<strong>de</strong> dividir por 2, y al resultado por 3, y el<br />
resto <strong>de</strong> cada división será 0?<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 13
31. ¿Será verdad que si un número es divisible por 2 y por 4, entonces es divisible por 8?<br />
32. Explicá cómo podés saber si un número es divisible por 10, por 100 y por 1.000, sin hacer<br />
cuentas.<br />
33. Completá los espacios <strong>de</strong> modo que se obtenga en cada caso un múltiplo <strong>de</strong> 9. ¿Hay una sola<br />
posibilidad?<br />
4.5___3 8.14___ 2___4 9.9___9 ___5<br />
34. Colocá SÍ o NO, según corresponda.<br />
Es divisible por<br />
Número 2 3 4 5 6 8 9 10<br />
4.059<br />
707<br />
270<br />
880<br />
2.104<br />
35. Determiná, sin hacer las cuentas y usando los criterios <strong>de</strong> divisibilidad, cuál será el resto <strong>de</strong><br />
estas divisiones.<br />
a) 605 : 3 Resto: ________ c) 13.648 : 5 Resto: ________<br />
b) 20.202 : 2 Resto: ________ d) 804 : 4 Resto: ________<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 14<br />
MúlTIplos y DIvIsorEs
6º grADo<br />
ACTIvIDADEs<br />
TrIÁNgulos y CuADrIlÁTEros<br />
rEproDuCCIóN DE fIgurAs<br />
1. Copiá estos dibujos en una hoja lisa, sabiendo que se trata <strong>de</strong> cuadrados, circunferencias y<br />
triángulos. Escribí los pasos que hiciste para realizar las copias.<br />
2. Seguí las instrucciones para dibujar un cuadrilátero ABCD a partir <strong>de</strong> la semirrecta que se presenta:<br />
A<br />
a) Sobre la semirrecta AM, trazá un segmento AB <strong>de</strong> 3 cm.<br />
b) Trazá por el punto B un segmento BC <strong>de</strong> 2 cm, perpendicular a AB.<br />
c) Construí un ángulo BCD igual al ángulo P que aparece dibujado.<br />
d) Sobre el último segmento dibujado, marcá el punto D a 3 cm <strong>de</strong> C.<br />
e) Uní A con D.<br />
3. Para copiar el dibujo <strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha, Martina siguió las indicaciones que<br />
se presentan a continuación.<br />
Trasladar el segmento AB sobre una semirrecta usando el compás<br />
y la regla, pero sin medir con la regla<br />
Trazar el segmento BC<br />
Trasladar el segmento DC<br />
Unir D con A<br />
Cuando quiso copiar el dibujo, dijo que faltaba información.<br />
¿Qué información creés que falta?<br />
P<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 15<br />
M<br />
A<br />
D<br />
C<br />
B
TrIÁNgulos<br />
4. Construí un triángulo con un lado <strong>de</strong> 4 cm, y los ángulos que se apoyan sobre ese lado que midan<br />
60° y 80°.<br />
5. Pablo dice que no se pue<strong>de</strong> construir un triángulo que tenga un ángulo <strong>de</strong> 80° y otro <strong>de</strong> 120°.<br />
¿Estás <strong>de</strong> acuerdo con lo que dice Pablo? ¿Por qué?<br />
6. A continuación se presentan ternas <strong>de</strong> medidas <strong>de</strong> ángulos. Indicá con cuáles es posible construir<br />
un triángulo y con cuáles no. Justificá tu respuesta en cada caso.<br />
a) A = 30°; B = 120°; C = 30° sí No<br />
b) D = 70°; E = 20°; F = 40° sí No<br />
c) G = 85°; H = 60°; J = 40° sí No<br />
7. En aquellos grupos <strong>de</strong> datos <strong>de</strong> la actividad anterior con los que no se pue<strong>de</strong> construir un triángulo,<br />
cambiá la medida <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los ángulos <strong>de</strong> modo que se pueda construir un triángulo.<br />
8. Cuando sea posible, construí en una hoja un triángulo con los datos indicados para cada caso. En los<br />
casos en que no puedas completar la construcción, explicá con qué dificultad te encontraste.<br />
a) AB = 5 cm; BC = 3 cm; CA = 3 cm d) A = 30°; B = 50°; C = 60°<br />
b) A = 50°; B = 110° e) A = 40°; B = 60°; C = 80°<br />
c) AB = 5 cm; BC = 2 cm; CA = 3 cm f) AB = 6 cm; A = 30°; B = 100°<br />
9. Construí en una hoja en blanco un triángulo que tenga un lado <strong>de</strong> 6 cm, otro lado <strong>de</strong> 8 cm y el<br />
ángulo que forman esos lados que sea <strong>de</strong> 70°.<br />
10. Construí un triángulo que tenga un lado <strong>de</strong> 3 cm y los ángulos que se apoyan en ese lado que<br />
sean <strong>de</strong> 45° cada uno. ¿Se pue<strong>de</strong> dibujar otro distinto? ¿Qué tipo <strong>de</strong> triángulo es?<br />
11. ¿Cuáles <strong>de</strong> estas informaciones permiten construir un único triángulo?<br />
a) La medida <strong>de</strong> los tres lados<br />
b) La medida <strong>de</strong> los tres ángulos<br />
c) La medida <strong>de</strong> dos lados y uno cualquiera <strong>de</strong> los ángulos<br />
d) La medida <strong>de</strong> dos ángulos y uno cualquiera <strong>de</strong> los lados<br />
e) La medida <strong>de</strong> dos ángulos y la medida <strong>de</strong>l lado comprendido entre ellos<br />
f) La medida <strong>de</strong> dos lados y el ángulo comprendido entre ellos<br />
TrIÁNgulos y CuADrIlÁTEros<br />
12. a) ¿Cuántos triángulos como el ABC necesitarías para construir un rectángulo?<br />
B<br />
A C<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 16<br />
TrIÁNgulos<br />
y CuADrIlÁTEros
TrIÁNgulos<br />
y CuADrIlÁTEros<br />
b) ¿Cuántos triángulos como el DEF necesitarías para construir un paralelogramo?<br />
c) ¿Cuál <strong>de</strong> los triángulos propuestos en las partes a) y b) podrías utilizar para construir un rombo?<br />
¿Cuántos necesitarías?<br />
13. De la siguiente figura, se sabe que AB = DC y AD = BC.<br />
a) Encontrá las medidas <strong>de</strong> M, N y P.<br />
b) ¿Cómo son los triángulos ABD y DCB? ¿Por qué?<br />
14. Calculá la medida <strong>de</strong> los ángulos que se indican con arcos en cada figura, sin usar transportador.<br />
A<br />
D<br />
D<br />
80º<br />
B<br />
C<br />
E<br />
D F<br />
A B<br />
M<br />
60º<br />
ADCB es un cuadrado. RS es paralela a PQ<br />
PR = SQ y TR es perpendicular a RS<br />
N<br />
R<br />
20º<br />
P<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 17<br />
C<br />
80º<br />
P T Q<br />
S
CuADrIlÁTEros<br />
15. Completá el siguiente dibujo <strong>de</strong> manera <strong>de</strong> obtener un cuadrado, usando regla y compás. Anotá<br />
los pasos que seguiste para construirlo.<br />
16. Construí, usando regla y escuadra, un rectángulo cuyos lados midan 5 cm y 3 cm. Escribí los<br />
pasos que seguiste para construirlo.<br />
17. Completá el siguiente dibujo <strong>de</strong> manera <strong>de</strong> obtener un rombo, usando regla y compás, consi<strong>de</strong>rando<br />
que los segmentos dibujados son parte <strong>de</strong> sus lados. Indicá cuántos rombos distintos se<br />
pue<strong>de</strong>n construir con esos datos.<br />
18. a) ¿Será cierto que si se conoce la medida <strong>de</strong> un lado <strong>de</strong> un cuadrado se pue<strong>de</strong> construir un<br />
único cuadrado? ¿Por qué?<br />
B) ¿Será cierto que si se conoce la medida <strong>de</strong> un lado <strong>de</strong> un rectángulo se pue<strong>de</strong>n construir muchos<br />
rectángulos? ¿Por qué?<br />
C) ¿Será cierto que si se conoce la medida <strong>de</strong>l lado <strong>de</strong> un rombo se pue<strong>de</strong>n construir muchos<br />
rombos?<br />
19. Copiá el siguiente dibujo. En cada caso, los puntos que forman el rombo y el rectángulo interior<br />
son puntos medios <strong>de</strong> los lados.<br />
D<br />
M O<br />
a) ¿Qué figura <strong>de</strong>bería ser ABCD para que EFGH sea un cuadrado?<br />
b) ¿Y para que MNOP sea un cuadrado?<br />
A<br />
E<br />
H<br />
N<br />
P<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 18<br />
F<br />
G<br />
C<br />
B<br />
TrIÁNgulos<br />
y CuADrIlÁTEros
TrIÁNgulos<br />
y CuADrIlÁTEros<br />
DIAgoNAlEs DE los CuADrIlÁTEros<br />
20. Construí un rectángulo cuya diagonal mida 5 cm, y un cuadrado cuya diagonal mida 4 cm.<br />
¿Hay una única figura en cada caso?<br />
21. Dibujá la circunferencia que pasa por los cuatro vértices <strong>de</strong> estos cuadriláteros.<br />
22. a) Construí un rombo cuyas diagonales midan 4 cm y 3,5 cm.<br />
b) ¿Cuantos rombos distintos se pue<strong>de</strong>n construir con estos datos?<br />
23. a) Dibujá, en una hoja en blanco, un cuadrilátero que tenga sus diagonales perpendiculares.<br />
¿Podés dibujar dos diferentes?<br />
b) Dibujá, en una hoja en blanco, al menos tres cuadriláteros diferentes que tengan sus diagonales<br />
<strong>de</strong> igual longitud.<br />
c) Dibujá, en una hoja en blanco, un cuadrilátero que tenga sus diagonales iguales y perpendiculares.<br />
24. Decidí si las siguientes frases son correctas o no.<br />
a) El cuadrado tiene sus diagonales perpendiculares.<br />
b) El rectángulo tiene sus diagonales perpendiculares.<br />
c) Si un rombo tiene diagonales iguales, entonces es un cuadrado.<br />
d) Si un rectángulo tiene diagonales que se cortan perpendicularmente, entonces es un cuadrado.<br />
e) Las diagonales <strong>de</strong>l rombo se cortan en el punto medio <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> ellas.<br />
25. Cada par <strong>de</strong> segmentos dibujado son las diagonales <strong>de</strong> un cuadrilátero.<br />
Completá los dibujos e indicá cuáles <strong>de</strong> los cuadriláteros que quedaron dibujados tienen dos pares<br />
<strong>de</strong> lados paralelos.<br />
a) b) c)<br />
d) f)<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 19
ÁNgulos DE los CuADrIlÁTEros<br />
26. Sin medir, calculá la amplitud <strong>de</strong>l ángulo DAB, sabiendo que ABCD es un rectángulo y el ángulo<br />
ADB mi<strong>de</strong> 50°.<br />
27. Construí, en una hoja en blanco, un rombo en el cual uno <strong>de</strong> sus ángulos mida 150° y otro <strong>de</strong><br />
sus ángulos mida 30°.<br />
28. El siguiente dibujo representa un paralelogramo. Indicá cuáles <strong>de</strong> las siguientes afirmaciones<br />
son correctas.<br />
4<br />
A<br />
1<br />
A<br />
C<br />
D C<br />
a) El ángulo 1 mi<strong>de</strong> lo mismo que el ángulo 2.<br />
b) El ángulo 1 mi<strong>de</strong> lo mismo que el ángulo 3.<br />
c) La suma entre las medidas <strong>de</strong> los ángulos 3 y 5 es 180°.<br />
d) La medida <strong>de</strong>l ángulo 4 es la misma que la medida <strong>de</strong>l ángulo 5.<br />
e) La suma entre las medidas <strong>de</strong> 4 y 3 es 180°.<br />
f) La medida <strong>de</strong>l ángulo 4 es igual a la medida <strong>de</strong>l ángulo 2.<br />
g) El ángulo 5 mi<strong>de</strong> lo mismo que el ángulo 1.<br />
h) La suma <strong>de</strong> las medidas <strong>de</strong> 1, 2, 3 y 4 es 360°.<br />
29. Sin medir, calculá la medida <strong>de</strong>l ángulo m, sabiendo que ABCD es un rectángulo y que E, F, G<br />
y H son los puntos medios <strong>de</strong> los lados <strong>de</strong>l rectángulo.<br />
A<br />
H m<br />
F<br />
D<br />
E<br />
3<br />
G<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 20<br />
25º<br />
2<br />
5<br />
B<br />
D<br />
B<br />
C<br />
B<br />
TrIÁNgulos<br />
y CuADrIlÁTEros
TrIÁNgulos<br />
y CuADrIlÁTEros<br />
TrApECIos y pArAlElogrAMos<br />
30. Dibujá tres paralelogramos. Cada uno <strong>de</strong>be tener a uno <strong>de</strong> los segmentos dibujados como<br />
lado y una altura <strong>de</strong> 3 cm.<br />
31. La figura MNRS es un paralelogramo. ¿Cuál es la medida <strong>de</strong>l ángulo M? Respondé sin medir.<br />
M N<br />
32. Copiá el siguiente dibujo teniendo en cuenta que AB es paralela a DC y que AD tiene la misma<br />
longitud que BC.<br />
33. El siguiente dibujo representa un trapecio isósceles.<br />
A<br />
m<br />
S R<br />
Indicá cuáles <strong>de</strong> las siguientes afirmaciones son correctas y cuáles no.<br />
a) El ángulo m mi<strong>de</strong> 10°.<br />
b) El ángulo n mi<strong>de</strong> 30°.<br />
c) El ángulo A mi<strong>de</strong> 150°.<br />
d) La suma <strong>de</strong> las medidas <strong>de</strong>l ángulo D y <strong>de</strong>l ángulo A es 180°.<br />
A<br />
D<br />
20º<br />
40º<br />
60º<br />
D E<br />
C<br />
n<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 21<br />
B<br />
B<br />
10º
6º grADo<br />
ACTIvIDADEs<br />
polÍgoNos y CuErpos<br />
polÍgoNos<br />
1. A partir <strong>de</strong>l siguiente segmento, dibujá una figura que tenga cinco lados. ¿Cuántas figuras <strong>de</strong> cinco<br />
lados se podrán dibujar?<br />
2. Copiá el siguiente polígono que tiene todos sus lados iguales, usando los instrumentos <strong>de</strong> geometría<br />
que necesites. Anotá los pasos que seguiste para realizarlo.<br />
3. Los siguientes dibujos representan polígonos.<br />
Decidí cuáles <strong>de</strong> las siguientes frases permiten i<strong>de</strong>ntificar a un único polígono entre los anteriores.<br />
a) Tiene cinco lados.<br />
b) Tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.<br />
c) Tiene cinco lados diferentes que no son todos iguales.<br />
d) Tiene ocho lados iguales.<br />
e) Tiene seis lados.<br />
f) Tiene cinco ángulos iguales.<br />
g) Tiene lados opuestos paralelos.<br />
h) Tiene seis ángulos que no son todos iguales.<br />
i) Tiene cinco diagonales.<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 22<br />
TrIÁNgulos<br />
y CuADrIlÁTEros
polÍgoNos<br />
y CuErpos<br />
polÍgoNos y TrIÁNgulos<br />
4. El siguiente dibujo es un triángulo.<br />
Con dos triángulos iguales al propuesto, es posible construir un rectángulo.<br />
a) Usando ahora triángulos como el siguiente, dibujá un polígono <strong>de</strong> cuatro lados que no sea cuadrado<br />
ni rectángulo. ¿Hay una única posibilidad?<br />
b) Usando ahora triángulos como este, dibujá un polígono <strong>de</strong> seis lados iguales.<br />
c) Usando triángulos como este, dibujá un rombo. ¿Cuántos triángulos se necesitan?<br />
5. ¿Cuántos triángulos como el que está dibujado son necesarios para cubrir el polígono sin que se<br />
superpongan los triángulos?<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 23
6. a) Intentá cubrir el siguiente pentágono usando triángulos sin que se superpongan entre sí.<br />
b) ¿Se podrá cubrir el dibujo anterior con solo tres triángulos?<br />
7. Cubrí los siguientes polígonos con la menor cantidad posible <strong>de</strong> triángulos. Los triángulos no se<br />
pue<strong>de</strong>n superponer.<br />
a) b)<br />
c) d)<br />
suMA DE los ÁNgulos INTErIorEs DE los polÍgoNos<br />
7. a) Completá el siguiente cuadro.<br />
Polígono N.º <strong>de</strong> lados<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 24<br />
Cantidad mínima <strong>de</strong> triángulos<br />
que lo cubren<br />
polÍgoNos<br />
y CuErpos
polÍgoNos<br />
y CuErpos<br />
b) ¿Cuál es la cantidad mínima <strong>de</strong> triángulos que se necesita para cubrir un polígono <strong>de</strong> 12 lados?<br />
c) ¿Qué relación hay entre el número <strong>de</strong> lados en cada polígono y la cantidad mínima <strong>de</strong> triángulos<br />
que lo cubren?<br />
9. ¿Cuál es el valor <strong>de</strong> la suma <strong>de</strong> los ángulos interiores <strong>de</strong> un cuadrado? ¿Y <strong>de</strong> un rectángulo?<br />
10. ¿Cómo harías, usando triángulos, para <strong>de</strong>terminar el valor <strong>de</strong> la suma <strong>de</strong> los ángulos interiores<br />
<strong>de</strong> cualquier cuadrilátero?<br />
11. Para buscar el resultado <strong>de</strong> la suma <strong>de</strong> los ángulos interiores <strong>de</strong> un pentágono, Taty pensó lo<br />
siguiente:<br />
Un pentágono se pue<strong>de</strong> cubrir con 3 triángulos y los ángulos interiores <strong>de</strong> esos 3 triángulos forman<br />
los ángulos interiores <strong>de</strong>l polígono <strong>de</strong> 5 lados iguales. Por lo tanto, la suma <strong>de</strong> los ángulos interiores<br />
<strong>de</strong>l pentágono es igual a la suma <strong>de</strong> los ángulos interiores <strong>de</strong> los 3 triángulos que lo cubren.<br />
Como en cada triángulo la suma <strong>de</strong> los ángulos interiores es 180°, entonces la suma <strong>de</strong> los ángulos<br />
interiores <strong>de</strong>l pentágono es: 180° x 3 = 540°.<br />
¿Estás <strong>de</strong> acuerdo con este razonamiento? ¿Servirá para calcular la suma <strong>de</strong> los ángulos interiores <strong>de</strong><br />
cualquier polígono?<br />
usAr lA suMA DE los ÁNgulos INTErIorEs<br />
12. Calculá la suma <strong>de</strong> los ángulos interiores <strong>de</strong> los siguientes polígonos.<br />
a) b)<br />
Pentágono irregular Hexágono irregular<br />
13. Calculá la medida <strong>de</strong>l ángulo M en cada figura.<br />
a) M b)<br />
M<br />
110°<br />
80°<br />
130°<br />
90°<br />
14. Calculá la suma <strong>de</strong> los ángulos interiores <strong>de</strong> los siguientes polígonos.<br />
a) Heptágono regular __________ c) Heptágono _____________<br />
b) Octógono regular ___________ d) Octógono _____________<br />
60°<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 25<br />
100°<br />
80°
15. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular si la suma <strong>de</strong> sus ángulos interiores es 1.080°?<br />
16. Indicá si es posible que la suma <strong>de</strong> los ángulos interiores <strong>de</strong> un polígono sea:<br />
a) 910° b) 1440°<br />
17. Decidí si cada una <strong>de</strong> las siguientes afirmaciones es correcta o no.<br />
a) La suma <strong>de</strong> los ángulos interiores <strong>de</strong> un rombo es 360°.<br />
b) La suma <strong>de</strong> los ángulos interiores <strong>de</strong> un cuadrado es 180°.<br />
c) Los ángulos opuestos en un rombo son iguales.<br />
d) La suma <strong>de</strong> los ángulos interiores <strong>de</strong> un paralelogramo es 360°.<br />
e) Los ángulos opuestos en un paralelogramo son diferentes.<br />
18. El siguiente dibujo está formado por cuadrados, todos iguales; y por rombos, todos iguales.<br />
Determiná la medida <strong>de</strong> los ángulos señalados con letras, pero sin medirlos.<br />
CuErpos: prIsMAs y pIrÁMIDEs<br />
19. Escribí algunas características que puedas i<strong>de</strong>ntificar <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> estos cuerpos.<br />
a) b) c) d)<br />
A<br />
B<br />
20. Anotá las diferencias principales que hay entre un prisma <strong>de</strong> base cuadrada y una pirámi<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
base cuadrada.<br />
21. Mónica y Matías están armando esqueletos <strong>de</strong> cuerpos geométricos con palitos <strong>de</strong> distintos<br />
tamaños y bolitas <strong>de</strong> plastilina.<br />
a) ¿Cuántos palitos cortos, cuántos largos y cuántas bolitas <strong>de</strong> plastilina <strong>de</strong>berán usar para armar el esqueleto<br />
<strong>de</strong> esta pirámi<strong>de</strong>?<br />
palitos largos<br />
palitos cortos<br />
b) ¿Cuántos palitos cortos, cuántos largos y cuántas bolitas <strong>de</strong> plastilina necesitan para armar el<br />
esqueleto <strong>de</strong> un prisma <strong>de</strong> base hexagonal?<br />
c) ¿Cuántos palitos cortos, cuántos largos y cuántas bolitas <strong>de</strong> plastilina necesitan para armar el<br />
esqueleto <strong>de</strong> una pirámi<strong>de</strong> <strong>de</strong> base hexagonal?<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 26<br />
polÍgoNos<br />
y CuErpos
polÍgoNos<br />
y CuErpos<br />
22. Los siguientes dibujos representan distintos cuerpos geométricos. Hay vértices, caras y aristas<br />
que no se pue<strong>de</strong>n ver porque quedaron ocultas por el dibujo.<br />
Pirámi<strong>de</strong> pentagonal Prisma pentagonal<br />
¿Cuántas caras no se ven en el dibujo? ¿Cuántas caras no se ven en el dibujo?<br />
¿Cuántas aristas no se ven en el dibujo? ¿Cuántas aristas no se ven en el dibujo?<br />
¿Cuántos vértices no se ven en el dibujo? ¿Cuántos vértices no se ven en el dibujo?<br />
23. ¿Cuántas caras laterales tiene una pirámi<strong>de</strong> cuya base es una figura <strong>de</strong> seis lados? ¿Y si su base<br />
fuera una figura <strong>de</strong> diez lados?<br />
24. ¿Cuántas caras laterales tiene un prisma <strong>de</strong> base octogonal? ¿Y si su base fuera <strong>de</strong> doce lados?<br />
25. ¿Cuál <strong>de</strong> los dibujos A, B, C o D, al recortarlo y plegarlo, permite construir una pirámi<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
base cuadrada?<br />
A<br />
C<br />
26. Indicá con cuál <strong>de</strong> los siguientes <strong>de</strong>sarrollos planos se pue<strong>de</strong> construir una pirámi<strong>de</strong> <strong>de</strong> base<br />
triangular. Explicá en qué te fijaste para elegir.<br />
a) b) c) d)<br />
B<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 27<br />
D
27. Dibujá el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> estos cuerpos.<br />
a) b) c)<br />
28. Indicá cuáles y cuántas <strong>de</strong> las siguientes figuras se necesitan para cubrir esta pirámi<strong>de</strong> <strong>de</strong> base<br />
rectangular. Explicá cómo te diste cuenta.<br />
pirámi<strong>de</strong> <strong>de</strong> base rectangular<br />
C<br />
D<br />
H J<br />
E<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 28<br />
I<br />
A<br />
F<br />
B<br />
K<br />
G<br />
polÍgoNos<br />
y CuErpos
6º grADo<br />
ACTIvIDADEs<br />
frACCIoNEs<br />
FRACCIONEs, REPARTOs Y DIVIsIONEs<br />
1. En cada caso, indicá cuánto chocolate le correspon<strong>de</strong> a cada chico, teniendo en cuenta que se trata<br />
<strong>de</strong> repartir sin que sobre nada y en partes iguales.<br />
a) 3 chocolates entre 4 chicos<br />
b) 4 chocolates entre 5 chicos<br />
c) 5 chocolates entre 8 chicos<br />
2. Se quieren repartir, en partes iguales y sin que sobre nada, 15 chocolates entre 5 chicos. ¿Cuántos<br />
chocolates recibirá cada uno? Explicá cómo lo pensaste.<br />
3. Para repartir en partes iguales 5 alfajores entre 3 chicos, sin que sobre nada, Ana dibujó todos los<br />
alfajores y “cortó” cada uno en 3 partes iguales. Después, indicó que le correspon<strong>de</strong>ría un tercio <strong>de</strong><br />
cada alfajor para cada chico, o sea que en total cada chico recibe cinco tercios <strong>de</strong> alfajor.<br />
Utilizá el procedimiento <strong>de</strong> Ana para averiguar cuál es el resultado <strong>de</strong> repartir 7 alfajores entre 4 chicos<br />
<strong>de</strong> manera que todos reciban lo mismo y que no que<strong>de</strong> nada sin ser repartido.<br />
4. Ernesto tiene que repartir en partes iguales 9 alfajores entre 4 personas <strong>de</strong> manera que no sobre<br />
nada. Para saber cuántos darle a cada una, hizo esta cuenta:<br />
9 4<br />
1 2<br />
Ahora dice que a cada persona le tocan dos alfajores enteros y un cuarto. ¿Te parece correcta esa<br />
respuesta? ¿Por qué?<br />
5. Para repartir chocolates, Débora escribió esta cuenta:<br />
39 5<br />
4 7<br />
¿Es posible respon<strong>de</strong>r las siguientes preguntas usando solo la información que brinda esta cuenta?<br />
Si pensás que es posible, escribí la respuesta; si creés que no, explicá por qué.<br />
a) ¿Entre cuántas personas repartió Daniela sus chocolates?<br />
b) ¿Cuántos chocolates repartió?<br />
c) ¿Qué cantidad recibió cada persona si no quedó nada sin ser repartido y a todos les tocó la misma<br />
cantidad?<br />
6. Matías realizó un reparto <strong>de</strong> alfajores, en partes iguales, entre cierta cantidad <strong>de</strong> personas. Se sabe<br />
3<br />
que cada una <strong>de</strong> esas personas recibió 2 alfajores enteros y .<br />
4<br />
¿Cuál <strong>de</strong> las siguientes cuentas podría ser la que hizo Matías para averiguar cuánto entregarle a cada<br />
persona?<br />
14 4 11 4 11 2<br />
2 3 3 2 3 4<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 29
frACCIoNEs y MEDIDA<br />
1<br />
7. Esta tira mi<strong>de</strong> <strong>de</strong> una tira entera. Dibujá toda la tira.<br />
5<br />
3<br />
8. Esta tira mi<strong>de</strong> <strong>de</strong> la unidad. Dibujá la unidad.<br />
2<br />
9. A partir <strong>de</strong> los dibujos que se presentan, respondé las preguntas:<br />
Tira A Tira B Tira C<br />
a) ¿Cuántas tiras A se necesitan para formar la tira B? ________<br />
b) ¿Qué parte <strong>de</strong> la tira A es la tira C?________<br />
c) ¿Cuántas tiras C hacen falta para armar la tira B?________<br />
d) Si se toma como unidad <strong>de</strong> medida la tira B, ¿cuánto mi<strong>de</strong> la tira C?________<br />
1<br />
10. Pintá <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> estas figuras.<br />
4<br />
11. ¿Qué parte <strong>de</strong>l rectángulo está pintado en cada caso?<br />
__________ __________ __________<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 30<br />
frACCIoNEs
frACCIoNEs<br />
12. Los dos rectángulos son iguales. ¿Es cierto que en los dos se pintó la misma cantidad?<br />
3<br />
13. Este rectángulo es <strong>de</strong> una unidad. Dibujá esa unidad.<br />
4<br />
4<br />
14. Este rectángulo es <strong>de</strong> una unidad. Dibujá esa unidad.<br />
3<br />
1<br />
3<br />
15. Esta tira mi<strong>de</strong> <strong>de</strong> una unidad. Dibujá una tira que mida <strong>de</strong> esa misma unidad.<br />
3<br />
4<br />
frACCIoNEs EQuIvAlENTEs<br />
1<br />
3<br />
16. ¿Cuántos cuartos se necesitan para tener ? ¿Y para tener ?<br />
2<br />
2<br />
5<br />
10<br />
17. ¿Será cierto que kg <strong>de</strong> helado es lo mismo que kg <strong>de</strong> helado? ¿Por qué?<br />
4<br />
8<br />
3<br />
18. a) ¿Cuántas fracciones equivalentes a podés encontrar?<br />
4<br />
3<br />
b) ¿Cuántas fracciones equivalentes a con <strong>de</strong>nominador 12 podés encontrar?<br />
4<br />
5<br />
19. a) Encontrá una fracción equivalente a con <strong>de</strong>nominador 3. ______<br />
15<br />
15<br />
b) Encontrá una fracción equivalente a con <strong>de</strong>nominador 3. _______<br />
24<br />
11<br />
20. El resultado <strong>de</strong> dividir 11 por 4 es . Encontrá otra división entre números naturales que tam-<br />
11<br />
4<br />
bién dé .<br />
4<br />
¿Es posible encontrar más <strong>de</strong> una?<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 31
21. Para cada una <strong>de</strong> las siguientes fracciones, encontrá, si es posible, una equivalente que tenga un<br />
<strong>de</strong>nominador menor que el <strong>de</strong> la fracción original.<br />
15<br />
a) d)<br />
27<br />
5<br />
b) e)<br />
9<br />
30<br />
c) f)<br />
45<br />
22. Martín y Pablo discuten mientras hacen la tarea <strong>de</strong> matemática. Martín dice que si se reparten<br />
42 alfajores entre 12 personas, cada una <strong>de</strong> ellas recibe más que si se reparten 35 alfajores entre 10<br />
personas.<br />
Martín escribió esta cuenta:<br />
Y Pablo escribió esta otra:<br />
24<br />
18<br />
32<br />
45<br />
20<br />
100<br />
42 12<br />
6 3<br />
35 10<br />
5 3<br />
Martín sostiene que en ambos casos cada persona recibe 3 alfajores enteros, pero como 6 es más<br />
que 5, en el primer reparto se termina entregando más a cada uno. Pablo insiste en que ese argumento<br />
está equivocado. ¿Quién <strong>de</strong> los dos tiene razón? ¿Por qué?<br />
3<br />
6<br />
23. La siguiente tira mi<strong>de</strong> <strong>de</strong> un entero. ¿Es más corta, más larga o igual que otra que mi<strong>de</strong> <strong>de</strong>l<br />
4<br />
4<br />
mismo entero?<br />
CoMpArACIóN ENTrE frACCIoNEs<br />
24. Indicá cuál es la fracción mayor <strong>de</strong> cada par. Explicá cómo lo pensaste:<br />
3 5<br />
3<br />
a) y c) y<br />
5 3<br />
8<br />
4 5<br />
b) y d) 2 y<br />
7 7<br />
25. Escribí:<br />
a) Dos fracciones entre 0 y 1. __________<br />
1<br />
b) Dos fracciones entre 0 y . __________<br />
2<br />
11<br />
5<br />
1 1<br />
c) Dos fracciones entre y . __________<br />
4 2<br />
3<br />
4<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 32<br />
frACCIoNEs
frACCIoNEs<br />
2 3<br />
26. Escribí 4 fracciones que estén ubicadas entre y . ¿Podrías escribir 5? ¿Y 6? ¿Cuántas podrías<br />
5 5<br />
escribir?<br />
1 3<br />
27. Escribí una fracción con <strong>de</strong>nominador 8 que esté entre y . ¿Es posible escribir más <strong>de</strong> una<br />
2 4<br />
fracción diferente que cumpla con esta condición?<br />
28. Escribí, para cada caso, una fracción que se encuentre entre las dadas.<br />
29. Or<strong>de</strong>ná las siguientes fracciones <strong>de</strong> menor a mayor.<br />
3<br />
5<br />
9 4 3 1 9<br />
; ; ; ; ; ______________________<br />
2 3 2 2 10<br />
1 3<br />
30. Ubicá en la siguiente recta numérica las fracciones y .<br />
4 4<br />
31. En la siguiente recta, ubicá el número 2.<br />
1<br />
2<br />
32. Indicá qué números correspon<strong>de</strong>n a las letras en la siguiente recta numérica.<br />
frACCIóN DE uNA CANTIDAD<br />
1<br />
5<br />
2<br />
7<br />
2<br />
4<br />
1<br />
3<br />
0 1<br />
0<br />
0 A 1<br />
3<br />
B C D<br />
3<br />
33. Ana leyó 120 páginas que representan partes <strong>de</strong> un libro, ¿cuántas páginas le falta leer?<br />
4<br />
34. Juan va a hacer un viaje <strong>de</strong> 1.800 km. Ya recorrió 450 km. ¿Qué parte <strong>de</strong>l viaje recorrió?<br />
2<br />
5<br />
3<br />
7<br />
6<br />
8<br />
1<br />
2<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 33
3<br />
1<br />
35. Juani comió <strong>de</strong> su paquete <strong>de</strong> 24 galletitas, y Agustín comió <strong>de</strong> su paquete <strong>de</strong> 30 galle-<br />
8<br />
3<br />
titas. ¿Quién comió más galletitas?<br />
36. Para una reunión <strong>de</strong> amigos Taty encargó 6 docenas <strong>de</strong> empanadas: la mitad son <strong>de</strong> carne, un<br />
tercio <strong>de</strong> pollo y el resto <strong>de</strong> jamón y queso. ¿Cuántas empanadas <strong>de</strong> cada gusto había?<br />
1<br />
1<br />
37. Ana se fue <strong>de</strong> vacaciones y gastó <strong>de</strong>l dinero que llevaba en hospedaje, en comida y<br />
2<br />
5<br />
en salidas. Le quedan $1.000. ¿Qué cantidad <strong>de</strong> dinero llevó a su viaje?<br />
1 1<br />
38. De una tira <strong>de</strong> cinta <strong>de</strong> 30 metros <strong>de</strong> largo, se cortó primero y luego <strong>de</strong> lo que quedaba.<br />
5 4<br />
¿Cuántos metros <strong>de</strong> cinta quedaron <strong>de</strong>spués <strong>de</strong>l segundo corte?<br />
39. Completá la tabla anotando en cada caso la fracción <strong>de</strong>l total que se pi<strong>de</strong>.<br />
2<br />
1<br />
40. Para calcular <strong>de</strong> 100, Camilo hizo lo siguiente: buscó <strong>de</strong> 100, que es 20, y luego multiplicó<br />
5<br />
5<br />
20 por 2. ¿Te parece correcto el procedimiento que usó Camilo? Explicá tu respuesta.<br />
41. Calculá:<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
Cantidad <strong>de</strong>l total <strong>de</strong>l total <strong>de</strong>l total <strong>de</strong>l total <strong>de</strong>l total<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
24<br />
60<br />
150<br />
1<br />
3<br />
3<br />
a) <strong>de</strong> 80 = ___________ c) <strong>de</strong> 80 = ___________ e) <strong>de</strong> 600 = ___________<br />
4<br />
4<br />
5<br />
7<br />
2<br />
3<br />
b) <strong>de</strong> 120 = ___________ d) <strong>de</strong> 180 = ___________ f)<br />
<strong>de</strong> 180 = ___________<br />
5<br />
3<br />
2<br />
1<br />
42. Un camión transporta naranjas en bolsas. El primer día, <strong>de</strong>scargaron <strong>de</strong> las bolsas que lle-<br />
2<br />
5<br />
vaban; el segundo día, <strong>de</strong>l total y el tercer día, las 2.000 bolsas restantes. ¿Cuántas bolsas <strong>de</strong><br />
3<br />
naranjas había en el camión al iniciar el recorrido?<br />
2<br />
43. Sol y Matías compraron una hela<strong>de</strong>ra que cuesta $2.500. Cuando se la entregaron, pagaron<br />
5<br />
<strong>de</strong>l precio al contado, y pagarán el resto en 5 cuotas iguales, sin recargo. ¿Cuánto pagarán en cada cuota?<br />
CÁlCulos MENTAlEs CoN frACCIoNEs<br />
44. Escribí cuánto le falta a cada número para llegar a 1:<br />
a)<br />
1<br />
_____<br />
4<br />
c)<br />
2<br />
_____<br />
5<br />
e)<br />
7<br />
_____<br />
8<br />
3<br />
b) _____<br />
4<br />
5<br />
d) _____<br />
6<br />
9<br />
f) _____<br />
10<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 34<br />
1<br />
20<br />
frACCIoNEs
frACCIoNEs<br />
45. Calculá mentalmente las siguientes sumas y restas.<br />
3<br />
9<br />
2<br />
a)<br />
4<br />
+ 1 = d) – 1 = g)<br />
3<br />
+ 1 =<br />
7<br />
7<br />
11<br />
9<br />
b)<br />
4<br />
+ 2 = e)<br />
3<br />
– 2 = h)<br />
2<br />
+ 3 =<br />
1 3<br />
5 1<br />
11 1<br />
c)<br />
2<br />
+<br />
4<br />
= f)<br />
6<br />
+<br />
3<br />
= i)<br />
3<br />
–<br />
18<br />
=<br />
46. Sin realizar la cuenta, <strong>de</strong>cidí si es posible que:<br />
a) 2 + 11<br />
5<br />
b) 3<br />
4<br />
c) 9 – 5<br />
4<br />
d) 1<br />
3<br />
e) 3<br />
4<br />
f) 3 + 5<br />
3<br />
dé un resultado menor que 3.<br />
+ 1 dé un resultado mayor que 2.<br />
+ 7<br />
4<br />
– 1<br />
2<br />
dé un resultado menor que 8.<br />
dé un resultado menor que 1.<br />
dé un resultado mayor que 1.<br />
dé un resultado mayor que 4.<br />
47. Calculá mentalmente qué fracción es necesario sumar o restar para obtener el resultado que se<br />
indica en cada caso.<br />
a) 2<br />
3<br />
b) 7<br />
5<br />
+ ..... = 3 c) 17<br />
4<br />
+ ..... = 2 d) 3 + ..... = 11<br />
2<br />
+ ..... = 6 e) 5<br />
2<br />
f) 9<br />
2<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 35<br />
– ...... = 1 g) 8<br />
3<br />
– ...... = 1<br />
– ...... = 4 h) 4 – ..... = 3<br />
4<br />
48. Calculá mentalmente el factor que falta en cada una <strong>de</strong> los siguientes cálculos.<br />
a) 1<br />
4<br />
b) 1<br />
9<br />
c) 1<br />
6<br />
x ..... = 1 d) 1<br />
7<br />
x ..... = 2 e) 1<br />
5<br />
x ..... = 2 f) 1<br />
11<br />
x ..... = 1 g) 1<br />
3<br />
x ...... = 2 h) 1<br />
12<br />
– ...... = 3 i) 1<br />
7<br />
x ...... = 1<br />
x ..... = 2<br />
– ...... = 3
49. Investigá qué fracciones <strong>de</strong>ben colocarse en cada caso para obtener el producto que se indica.<br />
a) 3<br />
5<br />
b) 3<br />
7<br />
x ..... = 1 c) 2<br />
21<br />
x ..... = 1 d) 5<br />
4<br />
x ..... = 1 e) 2<br />
3<br />
x ..... = 1 f) 4<br />
9<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 36<br />
x ...... = 1<br />
x ...... = 1<br />
50. Averiguá el factor que falta en las siguientes multiplicaciones:<br />
a) 1<br />
3<br />
b) 3<br />
7<br />
x ..... = 6<br />
7<br />
x ..... = 2<br />
3<br />
c) 4<br />
9<br />
d) 1<br />
5<br />
x ..... = 6<br />
35<br />
x ..... = 7<br />
4<br />
e) 2<br />
9<br />
f) 7<br />
5<br />
MulTIplICACIóN y DIvIsIóN DE frACCIoNEs<br />
x ...... = 5<br />
2<br />
x ...... = 8<br />
65<br />
51. Una parte <strong>de</strong> un terreno rectangular se <strong>de</strong>stinará a la construcción <strong>de</strong> una escuela. El sector<br />
<strong>de</strong>stinado a la construcción tendrá 2<br />
3<br />
<strong>de</strong>l ancho y <strong>de</strong>l largo <strong>de</strong>l terreno. ¿Cuál será la superficie<br />
3 4<br />
que ocupará la escuela si se toma como unidad <strong>de</strong> medida el área <strong>de</strong> todo el terreno?<br />
2<br />
3<br />
52. ¿Qué parte <strong>de</strong>l lote ocuparía la escuela si se le asignara 3<br />
5<br />
3<br />
4<br />
<strong>de</strong>l largo y 1<br />
2<br />
<strong>de</strong>l ancho <strong>de</strong>l terreno?<br />
53. ¿Cuál <strong>de</strong> los siguientes cálculos permite averiguar qué parte <strong>de</strong> este rectángulo está pintado<br />
<strong>de</strong> ver<strong>de</strong>?<br />
a) 2<br />
5<br />
x 3<br />
5<br />
b) 3<br />
5<br />
x 2<br />
3<br />
c) 3 x 2 d) 2<br />
3<br />
x 5<br />
3<br />
frACCIoNEs
frACCIoNEs<br />
54. Sin hacer ninguna cuenta, seleccioná y subrayá la opción que consi<strong>de</strong>res correcta.<br />
a) 3<br />
4<br />
b) 7<br />
4<br />
c) 12 x 1<br />
4<br />
d) 9<br />
2<br />
x 5 = es mayor / menor / igual que 5.<br />
x 3 = es mayor / menor / igual que 3.<br />
= es mayor / menor / igual que 12.<br />
x 6 = es mayor / menor / igual que 6.<br />
55. Escribí una división <strong>de</strong> fracciones en la que se obtenga 1 como cociente.<br />
56. Escribí una división <strong>de</strong> fracciones en la que se obtenga un número natural como cociente. ¿Podés<br />
encontrar más <strong>de</strong> una división?<br />
57. Sin hacer ninguna cuenta, elegí y subrayá la opción que consi<strong>de</strong>res correcta en cada caso. Después,<br />
verificá realizando el cálculo.<br />
a) 1<br />
2<br />
b) 3<br />
4<br />
c) 3<br />
4<br />
d) 2<br />
5<br />
e) 1<br />
4<br />
: 2 = es mayor / menor / igual que 1<br />
2 .<br />
: 4 = es mayor / menor / igual que 3<br />
4 .<br />
: 7<br />
5<br />
: 1<br />
3<br />
: 7<br />
3<br />
= es mayor / menor / igual que 3<br />
4 .<br />
= es mayor / menor / igual que 2<br />
5 .<br />
= es mayor / menor / igual que 1<br />
4 .<br />
frACCIoNEs y proporCIoNEs<br />
58. Para hacer jugo, se mezclan 9 vasos <strong>de</strong> agua con 4 vasos <strong>de</strong> jugo concentrado.<br />
a) Se quiere hacer un jugo que tenga el mismo gusto usando 5 vasos <strong>de</strong> jugo concentrado. ¿Cuántos<br />
vasos <strong>de</strong> agua se <strong>de</strong>ben usar?<br />
b) Si se ponen 8 vasos <strong>de</strong> agua, ¿cuántos vasos <strong>de</strong> jugo concentrado se <strong>de</strong>ben usar para conservar<br />
el gusto?<br />
59. ¿Qué auto va a mayor velocidad: uno que viaja a 120 km/h u otro que viaja a 2 km/min?<br />
60. En una fábrica <strong>de</strong> alfajores, <strong>de</strong>tectaron que 1 <strong>de</strong> cada 20 alfajores salían con poco relleno.<br />
a) El lunes fabricaron 600 alfajores, ¿cuántos es esperable que salgan con poco relleno?<br />
b) ¿Qué parte <strong>de</strong> los alfajores sale con poco relleno?<br />
61. En un grupo, 3 <strong>de</strong> cada 5 personas son <strong>de</strong> Boca. En otro grupo, 4 <strong>de</strong> cada 6 personas son <strong>de</strong><br />
Boca. ¿En cuál <strong>de</strong> los dos grupos hay más cantidad <strong>de</strong> hinchas <strong>de</strong> Boca en proporción a la cantidad<br />
<strong>de</strong> personas?<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 37
62. Se tomó una evaluación <strong>de</strong> Historia en los tres grupos <strong>de</strong> 6.° grado <strong>de</strong> una escuela y se dio la<br />
siguiente información sobre los resultados.<br />
6.°A: De cada 3 alumnos, 2 aprobaron.<br />
6.° B: De cada 4 alumnos, 3 aprobaron.<br />
6.° C: De cada 5 alumnos, 4 aprobaron.<br />
¿Cuál <strong>de</strong> los tres grados tuvo mejor rendimiento en esa evaluación?<br />
63. Martina tiene estas dos tiras:<br />
Ella dice que la tira A es 2<br />
3<br />
64. Camilo tiene estas dos tiras:<br />
¿Qué parte <strong>de</strong> la tira B es la tira A?<br />
frACCIoNEs y proporCIoNAlIDAD<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 38<br />
Tira A<br />
Tira B<br />
<strong>de</strong> la tira B. ¿Estás <strong>de</strong> acuerdo con esa afirmación?<br />
Tira A<br />
Tira B<br />
65. En la siguiente tabla, se presenta la relación entre el lado <strong>de</strong> un cuadrado y su perímetro. Completá<br />
la tabla.<br />
Longitud <strong>de</strong>l lado (en cm) 5 4<br />
Perímetro (en cm) 20 18<br />
66. En la siguiente tabla, se indican las cantida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> jugo (en litros) que se obtienen según la cantidad<br />
<strong>de</strong> naranjas (en kilos) que se exprimen en cada caso. Completá la tabla.<br />
Cantidad <strong>de</strong> naranjas (en kg) 1 2 3<br />
Cantidad <strong>de</strong> jugo (en litros)<br />
2<br />
3<br />
67. Un auto A consume 3 1<br />
1<br />
litros <strong>de</strong> nafta cada 20 km y otro auto B consume 5<br />
4 8<br />
30 km. ¿Cuál <strong>de</strong> los dos tiene mayor consumo?<br />
4<br />
3<br />
3<br />
4<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
5<br />
litros cada<br />
frACCIoNEs
frACCIoNEs<br />
68. Un rectángulo mi<strong>de</strong> 8 cm <strong>de</strong> ancho y 12 cm <strong>de</strong> largo. Se realiza una fotocopia ampliada, <strong>de</strong> manera<br />
tal que el lado que en el original mi<strong>de</strong> 8 cm, en la copia mi<strong>de</strong> 10 cm. ¿Cuál será la medida <strong>de</strong>l<br />
largo en la fotocopia?<br />
69. Laura y María son ciclistas y se están entrenando juntas para una carrera. Cuando comienzan a<br />
dar vueltas a la pista, salen al mismo tiempo, pero a velocida<strong>de</strong>s distintas. Cuando Laura da 8 vueltas<br />
completas a la pista, María da 6.<br />
a) ¿Cuántas vueltas dio María cuando Laura dio 3 vueltas?<br />
b) ¿Cuántas vueltas dio María cuando Laura dio 5 vueltas?<br />
c) Si María dio 13<br />
<strong>de</strong> vuelta, ¿cuántas vueltas dio Laura?<br />
7<br />
70. Para lograr una tonalidad celeste, se mezclan 3 litros <strong>de</strong> pintura azul con 4 litros <strong>de</strong> pintura blanca.<br />
a) ¿Cuántos litros <strong>de</strong> pintura blanca se necesitan si se usan 5 litros <strong>de</strong> pintura azul?<br />
b) ¿Cuántos litros <strong>de</strong> pintura azul se necesitan si se usan 7 litros <strong>de</strong> pintura blanca?<br />
71. Por 3<br />
1<br />
kg <strong>de</strong> asado se pagaron $18,30. ¿Cuánto <strong>de</strong>berá pagarse por 2<br />
4 2<br />
realiza ningún tipo <strong>de</strong> <strong>de</strong>scuento?<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 39<br />
kg <strong>de</strong> asado si no se<br />
72. De los 24 alumnos que se presentaron a un examen, solo 16 pudieron aprobarlo. ¿Qué fracción<br />
representa la cantidad <strong>de</strong> alumnos aprobados?
6º grADo<br />
ACTIvIDADEs<br />
EXprEsIoNEs DECIMAlEs<br />
frACCIoNEs DECIMAlEs y EXprEsIoNEs DECIMAlEs<br />
1. Martina tiene $20. Quiere comprar botellitas <strong>de</strong> jugo que cuestan $2 cada una. ¿Cuántas botellitas<br />
pue<strong>de</strong> comprar?<br />
2. En la casa <strong>de</strong> Camilo, se juntaron 10 amigos. Compraron jugo y galletitas y gastaron $15. Decidieron<br />
repartir el gasto en partes iguales. ¿Cuáles <strong>de</strong> las siguientes expresiones indican la cantidad <strong>de</strong> dinero<br />
que <strong>de</strong>be poner cada uno?<br />
$150 $15 $1,5 $0,15 $ 15<br />
10<br />
3. La fracción <strong>de</strong>cimal 1<br />
y la cuenta 1 : 10 se correspon<strong>de</strong>n con el número 0,1.<br />
10<br />
¿Con qué números se correspon<strong>de</strong>n las siguientes fracciones <strong>de</strong>cimales y divisiones?<br />
a) 3<br />
10<br />
b) 18<br />
10<br />
y 3 : 10 _______ c) 3<br />
100<br />
y 18 : 10 _______ d) 99<br />
10<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 40<br />
y 3 : 100 _______<br />
y 99 : 10 _______<br />
4. Observá el procedimiento que utilizó Ana para expresar el número 4,12 como fracción:<br />
4,12 = 4 + 1<br />
10<br />
+ 2<br />
100<br />
= 412<br />
100<br />
Utilizá un procedimiento similar al <strong>de</strong> Ana para expresar como fracción cada uno <strong>de</strong> los siguientes<br />
números:<br />
a) 6,358 c) 2,001 e) 1,02<br />
b) 3,500 d) 0,075 f) 1,101<br />
5. Escribí como número <strong>de</strong>cimal el resultado <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> las siguientes sumas.<br />
a) 3<br />
10<br />
+ 3<br />
100<br />
b) 5 + 4<br />
10<br />
3<br />
11<br />
+ = ______ c)<br />
1.000 10<br />
+ 9<br />
100<br />
+ 3<br />
100<br />
8<br />
45<br />
+ = ______ d) 3 +<br />
1.000 100<br />
21<br />
81<br />
+ = ______ e)<br />
1.000 10<br />
1<br />
3<br />
+ = ______ f) 5 +<br />
1.000 10<br />
23<br />
+ = ______<br />
1.000<br />
8<br />
+ = ______<br />
1.000
EXprEsIoNEs<br />
DECIMAlEs<br />
6. Consi<strong>de</strong>rá los siguientes números. En los casos en los que sea posible, expresalos como fracciones<br />
con <strong>de</strong>nominador 10, 100 o 1.000. En los casos en los que no lo sea, explicá el motivo.<br />
a) 5<br />
4<br />
b) 5<br />
3<br />
c) 2<br />
5<br />
d) 2<br />
16<br />
frACCIoNEs y DECIMAlEs<br />
e) 1<br />
2<br />
f) 7<br />
9<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 41<br />
g) 2<br />
7<br />
h) 4<br />
11<br />
7. Las siguientes medidas están expresadas en metros. Escribilas usando fracciones y consi<strong>de</strong>rando<br />
el metro como unidad.<br />
a) 0,5 m = ________ c) 0,75 m = ________<br />
b) 0,25 m = ________ d) 0,05 m = ________<br />
8. Buscá otra forma <strong>de</strong> escribir cada uno <strong>de</strong> estos números usando expresiones <strong>de</strong>cimales o fraccionarias.<br />
a) 36 décimos, 3 milésimos = _____________________________________<br />
b) 17<br />
10<br />
+ 4<br />
100<br />
c) 82,06 + 9<br />
10<br />
35<br />
+ = ___________________________________________<br />
1.000<br />
= ________________________________________________<br />
9. Graciela y Facundo tenían que escribir el número 37<br />
usando expresiones <strong>de</strong>cimales. Graciela<br />
4<br />
escribió 37,4 y Facundo 9,25. ¿Alguno <strong>de</strong> los dos lo hizo en forma correcta? Explicá tu respuesta.<br />
10. En cada fila, pintá <strong>de</strong>l mismo color las expresiones que representen el mismo número.<br />
15<br />
4<br />
0,625<br />
6,2<br />
4<br />
10<br />
15,4 3,75<br />
5<br />
8<br />
2 + 3<br />
5<br />
4<br />
100<br />
8<br />
5<br />
13<br />
5<br />
0,4<br />
3<br />
3<br />
4<br />
625<br />
1.000<br />
2,6<br />
40<br />
100
11. Escribí una expresión <strong>de</strong>cimal para cada una <strong>de</strong> estas expresiones fraccionarias:<br />
a) 3.260<br />
10<br />
b) 945<br />
4<br />
= _______________ c) 125<br />
8<br />
= _____________ d) 647<br />
2<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 42<br />
= ________________<br />
= _____________<br />
12. Escribí las siguientes expresiones como números <strong>de</strong>cimales.<br />
a) Seis enteros, un milésimo ______________<br />
b) Cinco enteros, dos décimos, un milésimo ______________<br />
c) Quince enteros, veinte centésimos ______________<br />
d) Ochenta milésimos ______________<br />
e) Un décimo, mil centésimos ______________<br />
f) Diez enteros, diez décimos, diez centésimos ______________<br />
CoMpArACIóN y orDEN DE EXprEsIoNEs DECIMAlEs<br />
13. Los chicos <strong>de</strong> sexto participaron en un encuentro <strong>de</strong> atletismo. En la competencia <strong>de</strong> salto en<br />
largo, cada uno podía hacer tres intentos, y se registraba el mejor <strong>de</strong> los resultados obtenidos.<br />
a) Señalá cuál fue el mejor salto <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los chicos <strong>de</strong> esta lista.<br />
Primer salto Segundo salto Tercer salto<br />
Martín 2,3 m 2,17 m 2,05 m<br />
Juan 1,9 m 2,4 m 2,09 m<br />
Bautista 1,83 m 1,8 m 1,9 m<br />
Alejandro 2,02 m 2,2 m 2 m<br />
b) Indicá cuál <strong>de</strong> los chicos es el que obtuvo la mejor marca <strong>de</strong> salto en largo.<br />
14. Compará los siguientes pares <strong>de</strong> números:<br />
a) 5,48 y 5,7 c) 18,2 y 18 1<br />
2<br />
b) 13,29 y 13,5 d) 7<br />
10<br />
e) 15<br />
10<br />
y 0,7 f) 42<br />
100<br />
y 1,08<br />
y 0,042<br />
15. ¿Cuál <strong>de</strong> estos dos números está más cerca <strong>de</strong> 83,4: el 83,36 o el 83,5?<br />
16. Franco dice que 41,35 es mayor que 41,4 porque 35 es mayor que 4. ¿Estás <strong>de</strong> acuerdo con<br />
esa i<strong>de</strong>a? Explica por qué.<br />
EXprEsIoNEs<br />
DECIMAlEs
EXprEsIoNEs<br />
DECIMAlEs<br />
17. Escribí 3 números que estén entre 47,58 y 47,59.<br />
18. Ubicá en esta recta numérica los números 2,3 y 2,5 y <strong>de</strong>spués señalá tres números que se encuentren<br />
comprendidos entre ellos:<br />
2 3<br />
19. Antonella dice que entre 7,15 y 7,16 es posible hallar muchos números <strong>de</strong>cimales. Si estás <strong>de</strong><br />
acuerdo con esa afirmación, escribí algunos ejemplos. Si no estás <strong>de</strong> acuerdo, explicá por qué.<br />
20. En cada caso, escribí tres números comprendidos entre los dos que se indican.<br />
1<br />
a) 8,6 y 8,7 ________________ c) 6,4 y 6 _______________<br />
2<br />
b) 5,22 y 5,23 ________________ d) 14,9 y 15 ________________<br />
MulTIplICACIóN y DIvIsIóN por 1 sEguIDo DE CEros<br />
21. Resolvé los siguientes cálculos y <strong>de</strong>spués comprobá los resultados con la calculadora.<br />
a) 10 x 0,23 = _________ d) 100 x 6,215 = ________ g) 14,72 : 100 = __________<br />
b) 10 x 7,81 = __________ e) 1.000 x 3,74 = ________ h) 14,72 : 1.000 = ________<br />
c) 100 x 49,28 = _________ f) 14,72 : 10 = __________ i) 5,3 : 10 = _____________<br />
22. En cada renglón <strong>de</strong> la tabla siguiente, escribí un cálculo que pueda hacerse a partir <strong>de</strong>l número<br />
<strong>de</strong> la primera columna para obtener el resultado que se indica.<br />
Número Cálculo Resultado<br />
461,82 4,6182<br />
345,98 3.459,8<br />
29,841 2.984,1<br />
6,5 0,065<br />
0,09 90<br />
1,204 120,4<br />
23. Buscá un número por el cual se pueda multiplicar o dividir el número 684,368 <strong>de</strong> modo que el<br />
resultado tenga:<br />
a) un 8 en el lugar <strong>de</strong> los décimos.<br />
b) un 6 en el lugar <strong>de</strong> las unida<strong>de</strong>s.<br />
24. Escribí cuentas <strong>de</strong> multiplicar o <strong>de</strong> dividir usando solamente números enteros que <strong>de</strong>n por<br />
resultado 0,1.<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 43
25. Escribí una división o una multiplicación con números enteros que dé como resultado el<br />
número que se indica en cada caso.<br />
a) 3,4 b) 0,25 c) 134,8<br />
26. ¿Cuáles <strong>de</strong> estos cálculos dan como resultado 9,87? Marcalos con una cruz.<br />
987 : 100 987 : 1.000 98,7 x 100 0,987 x 10<br />
0,987 x 100 0,0987 x 100 98,7 : 10 0,987 : 10<br />
27. Sin hacer las cuentas, resolvé:<br />
a) 10 x 0,1 = __________ d) 0,001 x 1.000 = __________ g) 1 : 0,1 = ____________<br />
b) 0,01 x 10 = __________ e) 10 : 0,1 = ___________ h) 0,01 : 100 = _________<br />
c) 0,001 x 100 = __________ f) 0,001 : 10 = __________ g) 10 : 0,01 = __________<br />
MulTIplICACIóN DE NúMEros DECIMAlEs<br />
28. Lisandro juntó 9 monedas <strong>de</strong> 25 centavos. ¿Cuáles <strong>de</strong> los siguientes cálculos permiten conocer<br />
la cantidad <strong>de</strong> dinero que juntó Lisandro? Marcalos con una cruz.<br />
9 × 25 9 × 0,25 9 + 25 9 × 25<br />
100<br />
29. El kilo <strong>de</strong> queso cuesta $32,50. ¿Cuánto hay que pagar por 1,5 kilos?<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 44<br />
9 × 100<br />
25<br />
30. Esta es una manera correcta <strong>de</strong> realizar una multiplicación entre números <strong>de</strong>cimales.<br />
3,12<br />
× 2,4<br />
7,488<br />
× 100<br />
× 10<br />
: 1.000<br />
312<br />
× 24<br />
7.488<br />
Usando este procedimiento, resolvé las multiplicaciones siguientes. Luego, comprobá los resultados<br />
con la calculadora.<br />
a) 6,35 × 2,1 b) 19,05 × 0,4 c) 1,72 × 0,04<br />
EXprEsIoNEs<br />
DECIMAlEs
EXprEsIoNEs<br />
DECIMAlEs<br />
31. Realizá los siguientes cálculos con la calculadora, y luego respondé.<br />
8 × 0,1 = __________<br />
7,5 x 0,1 = __________<br />
45 × 0,1 = __________<br />
204 × 0,1 = __________<br />
33,5 × 0,1 = __________<br />
99,9 × 0,1 = __________<br />
a) ¿Cómo podés explicar que los resultados que se obtienen son menores que el primero <strong>de</strong> los<br />
factores <strong>de</strong> cada una las multiplicaciones?<br />
b) Sin hacer ninguna cuenta, anticipá cuál sería el resultado <strong>de</strong> los cálculos anteriores si se multiplicara<br />
por 0,01 en lugar <strong>de</strong> por 0,1.<br />
32. En la pana<strong>de</strong>ría La espiga <strong>de</strong> oro, el kilo <strong>de</strong> pan cuesta $4,15. Averiguá cuánto <strong>de</strong>be pagarse por:<br />
a) 3<br />
4<br />
kg b) 3,4 kg c) 1 1<br />
2<br />
33. Encontrá un número que multiplicado por 5 dé 4.<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 45<br />
kg d) 2,5 kg<br />
34. En la tabla siguiente, se relaciona la cantidad <strong>de</strong> litros <strong>de</strong> combustible que gasta un auto con<br />
los kilómetros que recorre. Completala.<br />
Combustible (en litros) 1 2 3 4 5 10<br />
Distancia que recorre (en kilómetros) 4,5 54<br />
DIvIsIóN DE NúMEros DECIMAlEs<br />
35. El cociente <strong>de</strong> hacer 24 : 10 es 2,4. Pero no son los únicos números que, al dividirlos, permiten<br />
obtener ese resultado. Completá la tabla colocando otros pares <strong>de</strong> números que cumplan esta<br />
condición.<br />
A 24 2,4<br />
B 10
36. Camilo le explica a su hermano:<br />
Si en una división se multiplica al divi<strong>de</strong>ndo y al divisor por el mismo<br />
número, el cociente <strong>de</strong> esa división no cambia.<br />
Por ejemplo, estas tres divisiones dan el mismo cociente:<br />
5,16 : 2,4<br />
Entonces:<br />
51,6 : 24 516 : 240<br />
5,16 : 2,4 = 51,6 : 24 = 516 : 24<br />
Teniendo en cuenta lo que dice Camilo, resolvé estas divisiones.<br />
a) 29,5 : 2,5 b) 100,2 : 1,5 c) 4,25 : 1,8<br />
37. Mauro tenía que averiguar el resultado <strong>de</strong> 3,375 : 2,25. Entonces hizo esta cuenta:<br />
337,5 225<br />
-<br />
225 15<br />
1125<br />
-<br />
1125<br />
0<br />
¿Está bien lo que hizo Mauro? Explicá cómo lo pensaste.<br />
38. Hay que repartir 1,5 litro <strong>de</strong> jugo en 4 vasos <strong>de</strong> manera que no sobre nada y que en todos se<br />
coloque la misma cantidad. ¿Cuánto hay que poner en cada vaso?<br />
39. De una cinta <strong>de</strong> 73,5 cm <strong>de</strong> longitud, se cortaron 6 trozos iguales y no sobró cinta. ¿Cuánto<br />
mi<strong>de</strong> cada trozo?<br />
40. De una cinta <strong>de</strong> 24,75 cm se cortaron trozos <strong>de</strong> 2,25 cm y no sobró cinta. ¿Cuántos trozos se<br />
cortaron?<br />
41. Se <strong>de</strong>sea envasar 43,75 litros <strong>de</strong> jugo en botellas <strong>de</strong> 2,5 litros.<br />
a) ¿Cuántas botellas van a llenarse?<br />
b) Si queda jugo sin envasar, ¿cuánto se podría agregar para que no sobrara nada?<br />
CÁlCulo MENTAl CoN EXprEsIoNEs DECIMAlEs<br />
42. Resolvé mentalmente.<br />
a) 1,5 + 1<br />
4<br />
b) 3<br />
4<br />
+ 1<br />
2<br />
= _________ c) 25 – 3,05 + 3<br />
2<br />
+ 2,8 + 0,25 = _________ d) 1<br />
4<br />
+ 5<br />
4<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 46<br />
= _________<br />
+ 2,75 = _________<br />
EXprEsIoNEs<br />
DECIMAlEs
EXprEsIoNEs<br />
DECIMAlEs<br />
43. ¿Qué número hay que sumarle a:<br />
a) 0,015 para obtener 0,1? _________<br />
b) 1,95 para obtener 2 enteros? _________<br />
c) 0,005 para obtener 1 décimo? _________<br />
d) 2,025 para obtener 3 enteros? _________<br />
44. Sin hacer el cálculo escrito, subrayá el resultado correcto en cada caso.<br />
a) 0,01 + 0,08 + 0,09 = 1,8 0,18 0,018<br />
b) 4 – 0,99 = 3,1 3,01 3,001<br />
c) 100 × 0,035 = 3,50 350 0,0035<br />
d) 0,2345 : 0,002345 = 10 100 1.000<br />
45. Sin hacer ninguna cuenta, escribí tres números distintos que al multiplicarse por 5,72 <strong>de</strong>n por<br />
resultado un número mayor que 5,72.<br />
46. Sin hacer ninguna cuenta, escribí tres números distintos que al multiplicarse por 2,35 <strong>de</strong>n por<br />
resultado un número menor que 2,35.<br />
47. Calculá mentalmente:<br />
a) 0,4 × 7 = _________ c) 4,5 × 3 = _________<br />
b) 3 × 0,8 = _________ d) 1,9 × 2 = _________<br />
48. Calculá mentalmente:<br />
a) 8,45 : 10 = _________ c) 17,34 : 0,1 = _________<br />
b) 3,75 : 10 = _________ d) 93,25 : 0,1 = _________<br />
49. Sin hacer la cuenta, indicá si cada afirmación te parece correcta. Luego comprobá con la calculadora.<br />
a) 4,75 × 0,15 va a dar un resultado menor que 4.<br />
b) 9,5 × 1,25 va a dar un resultado mayor que 9.<br />
c) 0,89 × 36,25 va a dar un resultado mayor que 36.<br />
d) 2,75 × 0,34 va a dar un resultado mayor que 0,34.<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 47
6º grADo<br />
ACTIvIDADEs<br />
MEDIDA<br />
MEDICIoNEs<br />
1. Indicá la unidad que consi<strong>de</strong>res más a<strong>de</strong>cuada para expresar cada una <strong>de</strong> las siguientes medidas.<br />
a) El peso <strong>de</strong> un camión<br />
b) El peso <strong>de</strong> una manzana<br />
c) La cantidad <strong>de</strong> jarabe contra la tos que hay en una dosis<br />
d) La longitud <strong>de</strong> un río<br />
e) El peso <strong>de</strong> un tornillo<br />
f) La altura <strong>de</strong> una montaña<br />
g) El diámetro <strong>de</strong> una moneda<br />
h) La cantidad <strong>de</strong> nafta que entra en el tanque <strong>de</strong> un auto<br />
2. Para armar el techo <strong>de</strong> su casa, Lisandro necesita comprar listones <strong>de</strong> ma<strong>de</strong>ra <strong>de</strong> 1 m con 50 cm<br />
cada uno. ¿Cuál es el tamaño que le conviene comprar, entre los que hay, para que el <strong>de</strong>sperdicio<br />
sea la menor cantidad <strong>de</strong> ma<strong>de</strong>ra posible?<br />
400 cm 300 cm<br />
0,75 m 200 cm<br />
3. Paula lleva, en una mano, una bolsa que pesa 945 g; y en la otra, otra bolsa que pesa 1,5 kg.<br />
¿Cuál <strong>de</strong> las dos bolsas es más pesada? ¿Cuál es la diferencia que hay, en gramos, entre los pesos<br />
<strong>de</strong> las dos bolsas?<br />
4. Ana tiene tres botellas llenas <strong>de</strong> agua. Una es <strong>de</strong> 2 litros y medio, otra es <strong>de</strong> 1.500 ml y la tercera<br />
es <strong>de</strong> 0,05 hl.<br />
a) ¿Pue<strong>de</strong> llenar un bidón <strong>de</strong> 5 litros con el contenido <strong>de</strong> las tres botellas? Justificá la respuesta.<br />
1<br />
b) ¿Cuántas botellitas <strong>de</strong> litro pue<strong>de</strong> llenar con la <strong>de</strong> 0,05 hl?<br />
4<br />
uNIDADEs DE MEDIDA<br />
5. Completá la siguiente tabla.<br />
Medida en milímetros 1.000 5.600 11.120 500<br />
Medida en metros<br />
Medida en kilómetros<br />
6. Expresá en gramos cada una <strong>de</strong> las siguientes cantida<strong>de</strong>s.<br />
a) 1,5 kg = _____________ c) 20<br />
100<br />
b) 1.450 cg = ____________ d) 3 1<br />
4<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 48<br />
kg = _____________<br />
kg = _____________
MEDIDA<br />
7. ¿Cuáles <strong>de</strong> las siguientes escrituras representan 85 litros? ¿Cómo te diste cuenta?<br />
80 l + 500 cl<br />
8.500<br />
1.000 l<br />
0,85 kl 8.500 cl 0,085 kl<br />
8. Escribí, en la tabla, objetos que tengan aproximadamente las medidas indicadas en cada columna.<br />
Longitud entre 5 m y 10 m Peso menor a 10 kg Capacidad entre 20 l y 50 l<br />
9. A los números que aparecen en las frases siguientes se les borró la coma. Colocá una coma en cada<br />
uno <strong>de</strong> modo que las medidas que resulten puedan ser reales.<br />
a) Una lapicera pesa 12500 mg.<br />
b) La capacidad <strong>de</strong> una pileta <strong>de</strong> natación es <strong>de</strong> 250.000 l.<br />
c) La distancia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> Buenos Aires a Jujuy es 180.000 km.<br />
10. Completá los espacios en blanco <strong>de</strong> manera tal que se verifiquen las igualda<strong>de</strong>s:<br />
a) 4 m + ………… = 650 cm c) 18 km + ............ = 200 km<br />
b) 3,5 dam + ……… = 700 dm d) ................. + 82 dm = 9,5 m<br />
11. Indicá cuál o cuáles <strong>de</strong> las siguientes expresiones representan la misma capacidad que 3,25 litros.<br />
325<br />
a) 3 l + 25 cl c) 3 l + 2 dl + 5 cl e) l<br />
100<br />
25<br />
2 5<br />
b) 3 l + 25 dl d) 3 l + l f) 3 l + l + l<br />
100<br />
10 100<br />
12. Uní con flechas las expresiones que indiquen la misma medida, una <strong>de</strong> la primera columna con otra<br />
<strong>de</strong> la segunda.<br />
3,5 cg 3.200 g<br />
3 1<br />
5<br />
kg 15 hg<br />
1.500 g 3 1<br />
2 cg<br />
750 mg 3<br />
4 g<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 49
pErÍMETros y ÁrEAs<br />
13. Este cuadradito representa una unidad <strong>de</strong> medida:<br />
a) ¿Cuántos cuadraditos son necesarios para cubrir el rectángulo siguiente?<br />
a) Otro rectángulo se cubrió con la misma cantidad <strong>de</strong> cuadraditos que este, pero esos cuadraditos<br />
tienen 1 cm <strong>de</strong> lado. ¿Cuál es la medida <strong>de</strong>l contorno <strong>de</strong> ese rectángulo, es <strong>de</strong>cir, su perímetro?<br />
b) ¿Es posible dibujar otro rectángulo que se pueda cubrir con la misma cantidad <strong>de</strong> estos cuadraditos,<br />
pero que tenga un perímetro menor que el <strong>de</strong> este? Si te parece que es posible, dibujalo. Si<br />
creés que es imposible, explicá por qué.<br />
14. Tomá las medidas que necesites con una regla y calculá la medida <strong>de</strong>l contorno <strong>de</strong> cada figura.<br />
Figura A: __________<br />
Figura C: __________<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 50<br />
Figura B: __________<br />
Figura D: __________<br />
15. Determiná cuántos cuadraditos como el gris se necesitan para cubrir cada una <strong>de</strong> las siguientes<br />
figuras, sin que se superpongan cuadraditos.<br />
A<br />
A B<br />
C<br />
B<br />
Figura A: __________ Figura B: __________ Figura C: __________ Figura D: __________<br />
C<br />
D<br />
D<br />
MEDIDA
MEDIDA<br />
16. La siguiente tabla muestra las medidas <strong>de</strong> los lados <strong>de</strong> diferentes rectángulos y sus perímetros. En<br />
todos ellos, entran 48 cuadraditos iguales. Completá la tabla con las medidas <strong>de</strong> otros rectángulos.<br />
Medida <strong>de</strong> un lado (cm) Medida <strong>de</strong> otro lado (cm) Perímetro (cm)<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 51<br />
Cuadraditos que<br />
entran<br />
6 8 6 + 6 + 8 + 8 = 28 6 x 8 = 48<br />
4 12 4 + 4 + 12 + 12 = 32 4 x 12 = 48<br />
1<br />
96 96 + 96 +<br />
2 1<br />
2<br />
17. Determiná, en cada caso, si alguna <strong>de</strong> las dos figuras tiene más, menos o igual área que la otra.<br />
No es necesario usar regla.<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
Figura P<br />
Figura J<br />
Figura S<br />
+ 1<br />
2<br />
Figura O<br />
Figura K<br />
Figura T
18. Dibujá otro rectángulo que tenga el doble <strong>de</strong>l área que el que está dibujado, y luego, respondé<br />
las preguntas.<br />
a) ¿Hay una sola posibilidad?<br />
b) ¿Será cierto que el perímetro <strong>de</strong>l rectángulo que dibujaste es el doble <strong>de</strong>l perímetro <strong>de</strong>l rectángulo<br />
original?<br />
19. Dibujá un cuadrado y realizale las transformaciones indicadas para po<strong>de</strong>r respon<strong>de</strong>r.<br />
a) Si se duplica uno <strong>de</strong> sus lados, se transforma en un rectángulo. ¿Se duplica su perímetro? ¿Se<br />
duplica su área?<br />
b) Si al cuadrado original se le duplican todos sus lados, se transforma en otro cuadrado. ¿Se duplica<br />
su perímetro? ¿Se duplica su área?<br />
20. Compará cada una <strong>de</strong> las figuras numeradas con el rectángulo. Para cada una, indicá:<br />
a) Si su área es mayor, menor o igual que la <strong>de</strong>l rectángulo.<br />
b) Si su perímetro es mayor, menor o igual que el <strong>de</strong>l rectángulo.<br />
1 2 3<br />
4 5<br />
21. Indicá si cada una <strong>de</strong> las frases siguientes es verda<strong>de</strong>ra o falsa.<br />
a) Siempre que una figura tiene el perímetro mayor que otra, también tendrá menor área.<br />
b) Siempre que una figura tiene menor área que otra, también tendrá menor perímetro.<br />
c) El perímetro y la superficie son medidas in<strong>de</strong>pendientes entre sí.<br />
d) Si una figura A tiene mayor área que otra figura B, pue<strong>de</strong> ocurrir que el perímetro <strong>de</strong> A sea mayor,<br />
menor o igual que el <strong>de</strong> B.<br />
e) Si una figura A tiene menor perímetro que otra figura B, pue<strong>de</strong> ocurrir que el área <strong>de</strong> A sea menor,<br />
mayor o igual que la <strong>de</strong> B.<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 52<br />
MEDIDA
MEDIDA<br />
22. El siguiente rectángulo representa un patio que tiene las medidas que se indican en el dibujo.<br />
2 m<br />
3 m<br />
¿Cuál <strong>de</strong> los siguientes cálculos permite obtener el área <strong>de</strong>l patio?<br />
a) 3 m + 2 m c) 3 m × 2 m<br />
b) 3 m + 3 m + 2 m + 2 m d) 10 m × 10 m<br />
23. La cancha <strong>de</strong> Olimpo <strong>de</strong> Bahía Blanca tiene <strong>de</strong> largo 95 m y <strong>de</strong> ancho 70 m. La cancha <strong>de</strong> Argentinos<br />
Juniors tiene 100 m <strong>de</strong> largo y 66 m <strong>de</strong> ancho. ¿Cuál <strong>de</strong> las dos canchas tiene mayor área? Anotá<br />
lo que hacés para averiguarlo.<br />
24. Martina está buscando un <strong>de</strong>partamento para alquilar. En el diario, eligió algunos <strong>de</strong> los avisos<br />
clasificados:<br />
Hermoso <strong>de</strong>pto. 2 ambientes luminosos<br />
<strong>de</strong> 3 m x 2 m c/u. Cocina <strong>de</strong><br />
2,5 m x 1,5 m. Baño <strong>de</strong> 1,8 m x 2 m y<br />
living <strong>de</strong> 5 m x 3 m.<br />
Balcón <strong>de</strong> 4 m x 1,2 m. Todos a la<br />
calle.<br />
Excelente estado.<br />
¿Cuál <strong>de</strong> los dos <strong>de</strong>partamentos es más gran<strong>de</strong>?<br />
25. Determiná el área <strong>de</strong> un cuadrado <strong>de</strong> 4 cm <strong>de</strong> lado. Escribí lo que hacés para hallarla.<br />
26. Calculá las áreas <strong>de</strong> tres cuadrados cuyos perímetros mi<strong>de</strong>n 20 cm, 22 cm y 24 cm, respectivamente.<br />
27. Un rectángulo tiene un perímetro <strong>de</strong> 20 cm. ¿Es posible calcular su área, conociendo solamente<br />
este dato?<br />
28. El área <strong>de</strong> un rectángulo es <strong>de</strong> 21 cm 2 . Calculá la medida <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los lados, sabiendo que el otro<br />
mi<strong>de</strong> 3 cm.<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 53<br />
Excelente <strong>de</strong>pto. <strong>de</strong> 3 ambientes,<br />
cocina, baño y balcón. Luminoso.<br />
Bajas expensas. Amplio. 35 m 2 .
29. Para calcular el área <strong>de</strong> un triángulo rectángulo, Débora dijo lo siguiente:<br />
Cualquier triángulo rectángulo es la mitad <strong>de</strong> un rectángulo. Así que, busco el área <strong>de</strong>l<br />
rectángulo y la divido por 2.<br />
Si te parece que lo que dice Débora es cierto, usalo para calcular el área <strong>de</strong> los siguientes triángulos<br />
rectángulos.<br />
3 cm<br />
2 cm 3 cm<br />
4 cm<br />
Si te parece que lo que dice Débora no es cierto, encontrá el área <strong>de</strong> los dos triángulos mediante algún<br />
otro recurso.<br />
30. El siguiente dibujo representa un triángulo y está trazada una <strong>de</strong> sus alturas con línea punteada.<br />
2 cm<br />
Para calcular el área <strong>de</strong> este triángulo, Alexis hizo lo siguiente:<br />
2 cm × 2 cm = 4 cm 2<br />
4 : 2 = 2 Área I = 2 cm 2<br />
5 cm × 2 cm = 10 cm 2<br />
10 : 2 = 5 Área II = 5 cm 2<br />
En cambio, Santiago hizo así:<br />
7 cm × 2 cm = 14 cm 2<br />
14 : 2 = 7<br />
2 cm 5 cm<br />
Área <strong>de</strong>l triángulo = 2 cm 2 + 5 cm 2 = 7 cm 2<br />
Área <strong>de</strong>l triángulo = 7 cm 2<br />
Explicá cómo te parece que pudo haber pensado cada uno y por qué ambos llegaron al mismo resultado.<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 54<br />
MEDIDA
MEDIDA<br />
31. Determiná el área <strong>de</strong>l rombo, usando como unidad <strong>de</strong> medida el cm 2 .<br />
32. Calculá el área <strong>de</strong>l siguiente trapecio isósceles, sabiendo que tiene un lado <strong>de</strong> 6 cm, el lado paralelo<br />
al anterior mi<strong>de</strong> 4 cm y la altura es <strong>de</strong> 3 cm.<br />
33. Tomá las medidas que consi<strong>de</strong>res convenientes y calculá el área <strong>de</strong>l paralelogramo.<br />
34. Dibujá un rombo cuyas diagonales mi<strong>de</strong>n 2 cm y 6 cm, y calculá su área.<br />
35. Dibujá un trapecio isósceles cuyos lados <strong>de</strong>siguales mi<strong>de</strong>n 9 cm y 6 cm, y su altura es <strong>de</strong> 5 cm, y<br />
calculá su área.<br />
36. En el siguiente paralelogramo, el rectángulo A tiene un área <strong>de</strong> 20 cm 2 . Calculá el área <strong>de</strong>l<br />
paralelogramo teniendo en cuenta las medidas indicadas en la figura.<br />
•<br />
7 cm<br />
A B<br />
C<br />
7 cm<br />
4 cm<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 55<br />
4 cm
propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la proporcionalidad<br />
1. El Puerto Quequén tiene una profundidad <strong>de</strong> 40 pies, equivalentes a 12,20 metros. Un proyecto<br />
propone llevarlo a una profundidad <strong>de</strong> 44 pies. ¿A cuántos metros equivaldría?<br />
2. Iris pagó $199 por la compra <strong>de</strong> 50 dólares. ¿A qué precio pagó el dólar?<br />
3. En una tienda, ven<strong>de</strong>n 3 pares <strong>de</strong> medias a $14.<br />
a) ¿Cuánto habrá que pagar por 6 pares <strong>de</strong> medias?<br />
b) ¿Y por 15 pares <strong>de</strong> medias?<br />
c) ¿Y por 30 pares <strong>de</strong> esas medias?<br />
4. En el almacén Cholita, ven<strong>de</strong>n 250 gramos <strong>de</strong> salame a $8,50. En el almacén Pipo, el mismo<br />
tipo <strong>de</strong> salame cuesta $3,60 los 100 gramos. ¿En cuál <strong>de</strong> los dos almacenes es más barato?<br />
5. Diego sale a trotar todas las mañanas. El lunes tardó media hora en recorrer 6 km.<br />
a) ¿Cuánto tardaría en recorrer 12 km, si trotara siempre a la misma velocidad? ¿Y 3 km? ¿Y 15 km?<br />
b) El jueves planea trotar 45 minutos, siempre a la misma velocidad. ¿Cuántos kilómetros<br />
recorrerá?<br />
6. Completá las siguientes tablas <strong>de</strong> proporcionalidad directa.<br />
a)<br />
b)<br />
6º grADo<br />
ACTIvIDADEs<br />
proporCIoNAlIDAD<br />
Cantidad <strong>de</strong> pintura 4 8 20 ... 1 ...<br />
Cantidad <strong>de</strong> metros<br />
cuadrados que se pintan<br />
Cantidad <strong>de</strong> litros <strong>de</strong><br />
combustible<br />
Cantidad <strong>de</strong> kilómetros<br />
que se recorren<br />
40 ... ... 15 ... 1<br />
5 25 ... 1 ... 12,5<br />
60 ... 6 ... 1 ...<br />
7. En la librería <strong>de</strong> Camilo, se ven<strong>de</strong> cada cua<strong>de</strong>rno para la escuela a $5. Pero quien compre 3<br />
cua<strong>de</strong>rnos, se llevará uno más <strong>de</strong> regalo. Si en el grado <strong>de</strong> Lisandro son 27, ¿cuánto <strong>de</strong>berán<br />
pagar para que cada chico tenga un cua<strong>de</strong>rno?<br />
8. Un automóvil azul recorre 150 metros cada 4 segundos, y otro rojo recorre 120 km cada hora.<br />
¿Cuál <strong>de</strong> los dos marcha a mayor velocidad?<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 56
proporCIoNAlIDAD<br />
rEprEsENTACIoNEs grÁfICAs (I)<br />
9. El siguiente gráfico representa la distancia que recorre un auto en un <strong>de</strong>terminado tiempo<br />
yendo siempre a la misma velocidad.<br />
distancia recorrida (km)<br />
270<br />
180<br />
90<br />
1 2 3 4<br />
tiempo (horas)<br />
a) ¿Qué datos se informan en el eje horizontal? ¿Y en el eje vertical?<br />
b) ¿Cuántos km recorre en 3 horas? ¿Y en 2 horas?<br />
10. En uno <strong>de</strong> los gráficos, se representa una relación entre el tiempo que transcurre, medido en<br />
horas, y el espacio que recorre un tren, medido en kilómetros. En el otro, se representa la relación<br />
entre el tiempo que transcurre, medido en horas, y el espacio que recorre un auto, medido<br />
en kilómetros.<br />
espacio<br />
(km)<br />
200<br />
espacio<br />
(km)<br />
A partir <strong>de</strong> la información que aparece en los gráficos, señalá con una cruz las frases que consi<strong>de</strong>res<br />
correctas.<br />
a) El tren va más rápido que el auto.<br />
b) El auto, en 2 horas, recorre 100 kilómetros.<br />
c) El tren, en 2 horas, recorre 200 kilómetros.<br />
d) En cualquiera <strong>de</strong> los dos gráficos, si el tiempo es 0, la distancia que recorre cada uno también es 0.<br />
e) El gráfico que representa al tren es una relación <strong>de</strong> proporcionalidad directa.<br />
300<br />
2 tiempo<br />
(horas)<br />
4<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 57<br />
tiempo<br />
(horas)
¿soN o No proporCIoNAlEs?<br />
11. Decidí cuáles <strong>de</strong> las siguientes situaciones podrían ser tratadas como una relación <strong>de</strong> proporcionalidad<br />
directa y cuáles no, y explicá tu respuesta en cada caso.<br />
a) Al año, un niño tiene 4 dientes. ¿Cuántos dientes tendrá a los 5 años? ¿Y a los 12?<br />
b) Un auto consume 10 litros <strong>de</strong> nafta para recorrer 120 kilómetros. ¿Cuántos litros necesita<br />
para recorrer 340 kilómetros?<br />
c) Tres albañiles tardan 8 horas en levantar una pared. ¿Cuánto tardarán 24 albañiles?<br />
d) Al nacer, un bebé pesó 3 kilos 800 gramos. Al año, pesó 11 kilos. A los dos, años pesó 16<br />
kilos. ¿Cuánto pesará a los 10 años? ¿Y a los 20?<br />
e) Para preparar 1 kilogramo <strong>de</strong> pan, se utiliza litro <strong>de</strong> agua. ¿Cuántos litros se necesitan para<br />
preparar 3 kilos <strong>de</strong> pan?<br />
f) En una semana, hay 7 días. ¿Cuántos días hay en 52 semanas?<br />
g) Un cuadrado <strong>de</strong> 4 cm <strong>de</strong> lado tiene un perímetro <strong>de</strong> 16 cm. Si se duplicara la longitud <strong>de</strong> sus<br />
lados, ¿se duplicaría su perímetro?<br />
h) Un rectángulo <strong>de</strong> 5 cm x 8 cm tiene 40 cm2 1<br />
2<br />
<strong>de</strong> área. Si se duplicara la longitud <strong>de</strong> sus lados,<br />
¿se duplicaría su área?<br />
12. En una ciudad, los taxis cobran $3,10 por la bajada <strong>de</strong> ban<strong>de</strong>ra y $1,60 por cada km recorrido.<br />
¿Cuánto pagará una persona que viaja 3 km? ¿Y 6 km? ¿Y 9 km?<br />
13. Leé el siguiente enunciado:<br />
Si un auto recorre 120 kilómetros en 1 hora y media, entonces recorrerá 360 kilómetros en 4<br />
horas y media.<br />
¿Bajo qué condiciones este enunciado sería cierto?<br />
14. Un empleado cobra $30 la hora extra <strong>de</strong> trabajo. A<strong>de</strong>más, se le paga un sueldo fijo mensual<br />
<strong>de</strong> $2.800. ¿Cuál <strong>de</strong> los siguientes gráficos podría correspon<strong>de</strong>r a la situación? ¿Por qué?<br />
Sueldo<br />
total<br />
mensual<br />
($)<br />
Cantidad <strong>de</strong> horas<br />
extras trabajadas<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 58<br />
Sueldo<br />
total<br />
mensual<br />
($)<br />
Cantidad <strong>de</strong> horas<br />
extras trabajadas<br />
proporCIoNAlIDAD
proporCIoNAlIDAD<br />
porCENTAjE<br />
15. Un negocio está realizando un <strong>de</strong>scuento <strong>de</strong>l 10% en todos sus productos. Completá la tabla<br />
sobre los precios y los <strong>de</strong>scuentos en ese negocio.<br />
Precio <strong>de</strong>l producto ($) 100 50 150 250 10<br />
Descuento ($) 20 30<br />
16. ¿Será cierto que hablar <strong>de</strong>l 10% <strong>de</strong> una cierta cantidad es lo mismo que hablar <strong>de</strong> la décima<br />
parte <strong>de</strong> esa cantidad? Si pensás que sí, explicá por qué; si creés que no, mostrá un ejemplo.<br />
17. En un negocio <strong>de</strong> ropa, están <strong>de</strong> liquidación y realizan un 20% <strong>de</strong> <strong>de</strong>scuento en todas las<br />
prendas <strong>de</strong> invierno. ¿Cuál será el <strong>de</strong>scuento que le realizarán a Marta por una campera <strong>de</strong><br />
$240? ¿Cuánto dinero <strong>de</strong>berá pagar?<br />
18. En un cierto negocio, <strong>de</strong>ci<strong>de</strong>n aumentar un 10% a los precios <strong>de</strong> sus productos. Armá la<br />
nueva lista <strong>de</strong> precios.<br />
Precio viejo 10 100 12 1 36 48 24 0,50 0,75 18<br />
Aumento<br />
Precio nuevo<br />
19. En un comercio, <strong>de</strong>ci<strong>de</strong>n rebajar sus precios un 15%. Armá la nueva lista <strong>de</strong> precios.<br />
Precio viejo 100 20 35 48 24 36 0,50 0,75 1 3<br />
Descuento<br />
Precio nuevo<br />
20. En 6.° A, faltaron 4 <strong>de</strong> los 32 alumnos. En 6.° B, faltaron 3 <strong>de</strong> los 25 alumnos. ¿En cuál <strong>de</strong> los<br />
dos grados hubo más porcentaje <strong>de</strong> ausentes?<br />
21. Juan y Ernesto son fanáticos <strong>de</strong>l futbol. Realizaron una pequeña encuesta entre todos los chicos<br />
<strong>de</strong> su grado y obtuvieron estos resultados:<br />
El 40% <strong>de</strong>l grado es <strong>de</strong> Boca.<br />
El 30% <strong>de</strong>l grado es <strong>de</strong> River.<br />
El 20% <strong>de</strong>l grado es <strong>de</strong> Vélez.<br />
El 10% <strong>de</strong>l grado es <strong>de</strong> Argentinos Juniors.<br />
Si en el grado son 30 alumnos, indicá cuántos chicos son simpatizantes <strong>de</strong> cada club.<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 59
porCENTAjEs y CÁlCulo<br />
22. Sabiendo que el 10% <strong>de</strong> 480 es 48, <strong>de</strong>terminá mentalmente los siguientes porcentajes.<br />
a) El 20% <strong>de</strong> 480 es ________________ c) El 1% <strong>de</strong> 480 es ________________<br />
b) El 5% <strong>de</strong> 480 es ________________ d) El 21% <strong>de</strong> 480 es ________________.<br />
23. Sabiendo que el 20% <strong>de</strong> 240 es 48, <strong>de</strong>terminá mentalmente los siguientes porcentajes:<br />
a) El 40% <strong>de</strong> 240 es ________________ c) El 10% <strong>de</strong> 240 es ________________<br />
b) El 80% <strong>de</strong> 240 es ________________ d) El 90% <strong>de</strong> 240 es ________________<br />
24. Si el 10% <strong>de</strong> una cantidad es 52, ¿cuál es esa cantidad?<br />
25. Si se sabe que el 50% <strong>de</strong> una cierta cantidad es la mitad <strong>de</strong> esa cantidad, ¿qué parte <strong>de</strong>l total será<br />
el 25%? ¿Y el 75%? ¿Y el 20%?<br />
26. Indicá si las siguientes expresiones son verda<strong>de</strong>ras o falsas, y justificá tus respuestas.<br />
a) El 10% <strong>de</strong> una cierta cantidad es el doble que el 5% <strong>de</strong> esa misma cantidad.<br />
b) El 10% <strong>de</strong> una cierta cantidad es el doble que el 20% <strong>de</strong> esa misma cantidad.<br />
c) El 20% <strong>de</strong> una cierta cantidad es la quinta parte <strong>de</strong> esa cantidad.<br />
d) El 30% <strong>de</strong> una cierta cantidad está justo en el medio entre la cuarta parte y la mitad <strong>de</strong> la cantidad<br />
<strong>de</strong> que se trata.<br />
27. ¿Será cierto que para buscar el 15% <strong>de</strong> 3.600 se pue<strong>de</strong> buscar el 10%, luego el 5% y finalmente<br />
sumar esos porcentajes?<br />
28. Calculá estos porcentajes:<br />
a) 25% <strong>de</strong> 80: ________________ c) 10% <strong>de</strong> 240: ________________<br />
b) 1% <strong>de</strong> 200: ________________ d) 11% <strong>de</strong> 200: ________________<br />
29. Indicá qué porcentaje representa cada número <strong>de</strong>l otro:<br />
a) 7,5 es el ________________ % <strong>de</strong> 30. c) 600 es el ________________ % <strong>de</strong> 800.<br />
b) 4,2 es el ________________ % <strong>de</strong> 42. d) 125 es el ________________ % <strong>de</strong> 250.<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 60<br />
proporCIoNAlIDAD
proporCIoNAlIDAD<br />
rEprEsENTACIoNEs grÁfICAs (II)<br />
30. Los chicos <strong>de</strong> 6.º estaban investigando la forma en que llega la información a sus casas, y realizaron<br />
una encuesta. Los resultados fueron representados en este gráfico.<br />
a) ¿Qué porcentaje le correspon<strong>de</strong> a “diarios”?<br />
b) Calculá la amplitud <strong>de</strong>l ángulo que le correspon<strong>de</strong> a cada una <strong>de</strong> las categorías en el gráfico.<br />
31. En un gráfico circular…<br />
a) ¿Cuál es la amplitud <strong>de</strong>l ángulo correspondiente al 25%?<br />
b) ¿Cuánto medirá el ángulo correspondiente al 30%? ¿Y al 10%?<br />
c) ¿60% se representa con un ángulo <strong>de</strong> 60º? ¿Por qué?<br />
32. Marcelo le explicaba a Gabriel:<br />
Internet<br />
Televisión<br />
Diarios<br />
Otros<br />
Para construir este gráfico, se establece que todo el giro <strong>de</strong>l círculo, es <strong>de</strong>cir los 360°,<br />
representa el 100%, por lo tanto, el 60% estará representado por una parte <strong>de</strong>l círculo<br />
correspondiente a 216°, que es el resultado <strong>de</strong> hacer 360 x<br />
60<br />
.<br />
100<br />
¿Te parece un procedimiento válido? Proponé un ejemplo que acompañe tu respuesta.<br />
33. Indicá qué gráfico te parece que se correspon<strong>de</strong> con cada una <strong>de</strong> las situaciones planteadas:<br />
a) La mitad <strong>de</strong> los aportes <strong>de</strong> la Cooperadora serán <strong>de</strong>stinados a la mantención <strong>de</strong>l edificio. De lo<br />
que resta, la mitad se utilizará para la compra <strong>de</strong> material didáctico y la otra mitad, para pagar el<br />
servicio <strong>de</strong> emergencias médicas.<br />
b) Un tercio <strong>de</strong> los encuestados prefieren los jugos con sabor a naranja, un tercio elige los <strong>de</strong> sabor<br />
a manzana, y un tercio opta por otros sabores.<br />
c) Un 40 % se manifestó a favor <strong>de</strong> la nueva disposición, un 40 % estuvo en contra y el 20% restante<br />
prefirió no opinar.<br />
Hay un gráfico que no se correspon<strong>de</strong> con ninguna <strong>de</strong> las situaciones planteadas. ¿Qué porcentajes<br />
representa? ¿Cómo lo averiguaste?<br />
Activida<strong>de</strong>s - Página 61<br />
Internet 50%<br />
Televisión 30%<br />
Diarios<br />
Otros 5%<br />
A B C D
Provincia <strong>de</strong> Buenos Aires<br />
Gobernador<br />
Dn. Daniel Scioli<br />
Vicegobernador<br />
Dr. Alberto Balestrini<br />
Director <strong>General</strong> <strong>de</strong> <strong>Cultura</strong> y <strong>Educación</strong><br />
Prof. Mario Oporto<br />
Vicepresi<strong>de</strong>nte 1º <strong>de</strong>l Consejo <strong>General</strong> <strong>de</strong> <strong>Cultura</strong> y <strong>Educación</strong><br />
Prof. Daniel Lauría<br />
Subsecretario Administrativo<br />
Dn. Gustavo Corradini<br />
Subsecretario <strong>de</strong> <strong>Educación</strong><br />
Lic. Daniel Belinche<br />
Directora Provincial <strong>de</strong> <strong>Educación</strong> Primaria<br />
Prof. María <strong>de</strong> las Merce<strong>de</strong>s González