P. Pascual, A. Roig, Topologia. Barcelona. Edicions UPC, 2004 ...

TOPOLOGIA 

P. Pascual 

A. Roig

Índex 

1 Espais mètrics i aplicacions contínues 7 

1.1 Distàncies .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 7 

1.2 Boles obertes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 10 

1.3 Aplicacions contínues .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 12 

1.4 Oberts .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 15 

1.5 Problemes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 16 

2 Espais topològics i aplicacions contínues 21 

2.1 Definició i exemples .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 21 

2.2 Bases d’una topologia .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 24 

2.3 Conjunts tancats .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 28 

2.4 Interior i adherència de conjunts .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 29 

2.5 Aplicacions contínues .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 34 

2.6 Successions i límits .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 38 

2.7 Problemes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 39 

3 Subespais, espais producte i espais quocient 47 

3.1 Topologia induïda .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 47 

3.2 Topologia producte (d’un nombre finit d’espais) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 49 

3.3 Topologia producte (d’un nombre arbitrari d’espais) .. .. .. .. .. .. .. .. .. 54 

3.4 Topologia quocient .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 57 

3.5 Superfícies .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 65 

3.6 Encolament d’espais topològics i col·lapse de subespais .. .. .. .. .. .. .. .. 71 

3.7 Espais d’òrbites .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 76 

3.8 Problemes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 78 

4 Compacitat 85 

4.1 Espais compactes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 85 

4.2 Compacitat i continuïtat .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 88 

4.3 Compacitat, tancats i homeomorfismes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 90 

4.4 Compacitat i productes finits .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 92 

4.5 Compacitat en espais mètrics .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 96

4 Índex 

4.6 Compacitat local .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 101 

4.7 Compactificació d’Alexandroff .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 104 

4.8 Compacitat de productes arbitraris: el teorema de Tychonoff .. .. .. .. .. .. 109 

4.9 Problemes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 116 

5 Connexió 121 

5.1 Espais connexos .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 122 

5.2 Connexió i continuïtat .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 124 

5.3 Connexió i productes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 126 

5.4 Espais arc-connexos .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 128 

5.5 Components connexos i components arc-connexos .. .. .. .. .. .. .. .. .. 134 

5.6 Espais localment connexos i localment arc-connexos .. .. .. .. .. .. .. .. .. 137 

5.7 Problemes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 142 

6 Propietats de separació 147 

6.1 Axiomes de separació .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 147 

6.2 El lema d’Urysohn .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 150 

6.3 El teorema de metritzabilitat d’Urysohn .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 157 

6.4 El teorema d’extensió de Tietze .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 161 

6.5 Problemes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 165 

7 Topologia del pla 169 

7.1 Homotopia d’aplicacions contínues .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 169 

7.2 Homotopia d’aplicacions de S 1 en S 1 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 174 

7.3 Índex d’una corba tancada .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 181 

7.4 Alguns teoremes clàssics .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 185 

7.5 El teorema fonamental de l’àlgebra .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 187 

7.6 Punts fixos .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 188 

7.7 Punts antipodals i dimensió .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 190 

7.8 Un criteri de separació .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 192 

7.9 El teorema de la corba de Jordan .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 196 

7.10 Problemes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 201 

8 El grup fonamental 207 

8.1 El producte de camins .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 207 

8.2 El grup fonamental .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 211 

8.3 Càlcul de grups fonamentals .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 215 

8.4 Invariància homotòpica i tipus d’homotopia .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 221 

8.5 Problemes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 228 

Bibliografia 231

Introducció 

Les nocions de límit i de continuïtat es remunten als orígens de la geometria i l’anàlisi. Aquests 

conceptes estan íntimament lligats a la noció intuïtiva de proximitat. Al llarg del desenvolupament 

de les disciplines clàssiques de les matemàtiques s’ha donat un sentit precís al terme 

proximitat mitjançant una mesura, és a dir, un nombre real, cosa que ha fet que aquestes nocions 

estiguéssin vinculades d’antuvi a la recta numèrica. 

Els desenvolupaments de la geometria i de l’anàlisi a la segona meitat del segle XIX van evidenciar 

la conveniència de disposar de les nocions de límit i continuïtat en un context més general. 

Així, M. Fréchet assenyalava a principis del segle XX que ”els exemples de tals funcions [funcions 

de variables abstractes] es remunten als orígens de la civilització: què és sinó l’àrea d’una 

corba plana tancada? L’àrea és una funció en la qual la variable és una corba...” 

A partir d’una anàlisi acurada de les analogies i diferències de les diverses situacions que es 

presentaven, es va arribar a una noció de proximitat: els entorns d’un punt. Un entorn d’un 

punt x en un espai X és un conjunt N que el conté i tal que conté tot altre punt y “suficientment” 

proper a x. Utilitzant un símil experimental, y és suficientment proper a X si el marge d’error 

de prendre y en lloc de x és menor que un marge preestablert. Al principi, aquest marge 

es mesurava, un cop més, per un nombre real, cosa que va portar M. Fréchet a introduir els 

espais mètrics, fins que F. Hausdorff va introduir la noció d’estructura topològica: un espai 

topològic és un conjunt X en el qual a tot punt x ∈ X s’ha associat, per un sistema o altre (no 

necessàriament mitjançant una distància), una família de subconjunts de X, que anomenem 

entorns, sempre que aquests entorns compleixin determinades condicions. 

La topologia general consisteix en l’estudi de les estrucures topològiques i de les seves propietats. 

Des dels seus inicis a principis del segle XX la seva influència en altres disciplines matemàtiques 

no ha deixat d’augmentar. Un dels trets més interessants de la topologia general és el caràcter 

unificador i simplificador del seu llenguatge. La topologia conjuntista fa accessible a la nostra 

imaginació espacial una gran quantitat de problemes que són completament abstractes i gens 

intuïtius, en els quals intervenen les nocions de límit, proximitat i continuïtat. 

Aquest llibre és una introducció a la topologia per a estudiants de la Llicenciatura de Matemàtiques. 

Consta de vuit capítols que podem dividir en dos grups ben determinats. Els 

primers sis capítols estan dedicats a temes de la topologia general, mentre que els dos darrers

6 Índex 

són més geomètrics i introdueixen algunes idees bàsiques d’homotopia. 

Al capítol 1 s’introdueix la noció d’espai mètric. A banda del seu interès intrínsec, el capítol 

proposa una transició des de les nocions topològiques de R n estudiades en els cursos de càlcul 

fins a la noció més abstracta d’espai topològic. Les primeres idees relatives a aquests i la 

continuïtat es desenvolupen al capítol 2, especialment les nocions de conjunts oberts i tancats 

i d’interior i adherència d’un subconjunt d’un espai topològic. Tot i que en aquest capítol 

presentem alguns exemples d’espais topològics, no és fins al capítol 3 que donem una forma 

sistemàtica de construir espais topològics a partir d’espais coneguts, estudiant els subespais, els 

espais producte i els espais quocient o d’identificació. Als capítols 4 i 5 s’estudien dos conceptes 

molt importants, el de compacitat, que assegura l’existència de màxims i mínims per a les 

funcions contínues, i el de connexió, que analitza -en un sentit que es farà precís- les diferents 

peces que componen un espai. Finalment, per tancar aquesta primera part, iniciada amb la 

definició d’espai mètric, al capítol 6 presentem el teorema de metritzabilitat de P. Urysohn, que 

dóna condicions suficients perquè un espai topològic sigui un espai mètric. 

La segona part és més geomètrica. Ara l’èmfasi no està en la definició de la topologia, ja que 

essencialment hi estudiem subconjunts del pla, sinó en com podem analitzar-los. En aquest 

context, la topologia és l’estudi de la forma: si bé una circumferència i una el·lipse són corbes 

planes distintes des del punt de vista de la geometria mètrica, són iguals (homeomorfes) per la 

topologia, ja que podem deformar contínuament una en l’altra. Aquest “deformar” el realitzem 

mitjançant la noció d’homotopia, que introduïm al capítol 7. El càlcul de les classes d’homotopia 

de S 1 en S 1 ens permet fer un estudi més acurat de la topologia del pla i, més particularment, 

ens permet presentar una demostració del teorema de la corba de Jordan. 

Algunes de les idees introduïdes al capítol 7 tenen un abast més general. Així, el darrer capítol 

és una breu introducció a l’estudi del grup fonamental d’un espai topològic, que ens permet 

provar, per exemple, que l’esfera S 2 i el tor S 1 × S 1 no són espais homeomorfs. 

El text recull essencialment el contingut dels cursos de topologia que els autors han impartir a 

la Facultat de Matemàtiques i Estadística de la Universitat Politècnica de Catalunya els darrers 

anys. El text ha estat ampliat amb alguns resultats i demostracions que la durada semestral 

dels cursos actuals no permet incloure-hi, però que creiem que ajuden a una millor comprensió 

o són un complement important dels temes tractats. Per exemple, la complexitat i longitud de 

les demostracins del teorema de Tychonoff o de bona part de les demostracions del capítol 6 

aconsellen no incloure-les en un curs ordinari d’introducció a la topologia. 

Durant la redacció d’aquest llibre, els nostres companys i alumnes ens han ajudat amb els seus 

comentaris i observacions. Expressem el nostre reconeixement a tots ells. Agraïm, en particular, 

a M.A. Barja, F. Guillén, M. Lahoz, V. Navarro Aznar i J. Vindel, els seus comentaris detallats 

de versions preliminars d’aquest treball. Agraïm a R.M. Cuevas la realització dels gràfics que 

il·lustren el text. 

Barcelona, desembre de 2008 

Pere Pascual 

Agustí Roig

1 

Espais mètrics i aplicacions 

contínues 

Un dels conceptes fonamentals de la topologia és el de continuïtat. Intuïtivament podem 

presentar-la així: una aplicació f : X −→ Y és contínua en x0 ∈ X si els seus valors varien 

tan poc com vulguem quan l’argument està prou a prop del punt x0. Equivalentment, 

podem fer que f(x) estigui a prop de f(x0) si prenem x a prop de x0. 

Fixem-nos que, si volem precisar aquesta noció intuïtiva, hem de dir què vol dir “a prop”. En 

el cas d’una funció f : R −→ R, això s’escriu així: 

f : R −→ R és contínua en x0 si, per a tot ε > 0, existeix δ > 0 

tal que, si |x − x0| < δ, aleshores |f(x) − f(x0)| < ε. 

Aquesta definició (que podem anomenar “definició ε − δ de la continuïtat”) es pot generalitzar 

fàcilment a aplicacions f : R n −→ R m i, com veurem en aquest capítol, a aplicacions f : X −→ 

Y , on X i Y són espais mètrics arbitraris. 

En aquesta generalització, la idea de “proximitat” s’expressa mitjançant una distància. Resulta, 

però, que la idea de continuïtat és, fins a cert punt, independent de la distància emprada, en el 

sentit que diferents distàncies en X i Y poden donar lloc a les mateixes aplicacions contínues 

f : X −→ Y . Dependrà de determinats conjunts de X i Y , els anomenats conjunts oberts. 

1.1 Distàncies 

Recordem que a R n es defineix la norma d’un punt x = (x1,...,xn) per 

i la distància entre dos punts x i y per 

S’obté així una aplicació 

que satisfà les propietats següents: 

x := 

 

x 2 1 + · · · + x2 n , 

d(x,y) = x − y = (x1 − y1) 2 + · · · + (xn − yn) 2 . 

d : R n × R n −→ R,

8 Capítol 1. Espais mètrics i aplicacions contínues 

(i) d(x,y) ≥ 0, per a tot x,y ∈ R n , i d(x,y) = 0, si i només si x = y. 

(ii) simetria: d(x,y) = d(y,x), per a tot x,y ∈ R n . 

(iii) desigualtat triangular: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z), per a tot x,y,z ∈ R n . 

La comprovació de les dues primeres propietats és immediata a partir de la definició de la 

distància, mentre que la desigualtat triangular se segueix de la coneguda desigualtat de Schwarz 

|〈x,y〉| ≤ x · y , 

en la qual 〈x,y〉 és el producte escalar de x per y, 〈x,y〉 = x1y1 + · · · + xnyn, i que el lector pot 

comprovar com a exercici, (vegeu el problema 12). 

La noció d’espai mètric que tot seguit introduïm generalitza la situació descrita per a R n . 

1.1.1 Definició Sigui X un conjunt. Una funció d : X × X −→ R s’anomena distància o 

mètrica de X si satisfà les propietats següents 

(i) d(x,y) ≥ 0, per a tot x,y ∈ X, i d(x,y) = 0, si i només si x = y. 

(ii) simetria: d(x,y) = d(y,x), per a tot x,y ∈ X. 

(iii) desigualtat triangular: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z), per a tot x,y,z ∈ X. 

Un espai mètric és un conjunt X dotat d’una distància d. Se’l nota (X,d) o, simplement, X. 

Els seus elements els anomenem punts. 

1.1.2 Exemples (1) Per a X = R n hem definit anteriorment una distància d, que anomenem 

la distància euclidiana o ordinària. A més de d, les funcions 

d2(x,y) = |x1 − y1| + · · · + |xn − yn|, 

d3(x,y) = max{|x1 − y1|,...,|xn − yn|}, 

defineixen també distàncies a R n . Comprovem, per exemple, les condicions de la definició en 

el darrer cas: 

(i) d3(x,y) ≥ 0 per definició. Pel que fa a l’anul·lació de la distància, si 0 = d3(x,y) = 

max 

i=1,...,n {|xi − yi|}, aleshores |xi − yi| = 0, per a tot i = 1,...,n, és a dir, que x = y. 

(ii) La propietat de simetria se segueix de la propietat corresponent del valor absolut: 

d3(x,y) = max 

i=1,...,n {|xi − yi|} = max 

i=1,...,n {|yi − xi|} = d3(y,x). 

(iii) Anàlogament, la desigualtat triangular se segueix de les propietats del valor absolut: 

d3(x,z) = max 

i=1,...,n {|xi − zi|} = max 

i=1,...,n {|xi − yi + yi − zi|} 

≤ max 

i=1,...,n {|xi − yi| + |yi − zi|} ≤ max 

i=1,...,n {|xi − yi|} + max 

i=1,...,n {|yi − zi|} 

= d3(x,y) + d3(y,z).

1.1. Distàncies 9 

(2) Si X és un espai mètric i Y ⊆ X és un subconjunt, podem definir una distància sobre Y a 

partir de la distància de X: 

dY (x,y) = dX(x,y), 

amb la qual cosa (Y,dY ) és un espai mètric. En particular, tot subconjunt de R n és un espai 

mètric amb la distància ordinària. 

(3) Sigui X el conjunt de funcions contínues definides en un interval [a,b] de la recta real: 

X = C 0 ([a,b]) = {f : [a,b] −→ R,f contínua}. 

Atès que les funcions contínues sobre [a,b] estan fitades, podem considerar la funció d definida 

per 

d(f,g) = sup {|f(x) − g(x)|}. 

x∈[a,b] 

És un exercici provar que d defineix una distància, que anomenem la mètrica del suprem o de 

la convergència uniforme. 

(4) Sigui X un conjunt qualsevol i definim 

 

1, 

d(x,y) = 

0, 

si 

si 

x = y , 

x = y . 

Aleshores d és una distància, que anomenem distància discreta. Un conjunt dotat d’aquesta 

distància el notarem Xdis. 

(5) Sigui (X,d) un espai mètric. Aleshores, podem definir la mètrica fitada associada a d com 

d(x,y) = min{d(x,y),1}. 

És immediat, a partir de les propietats de d, comprovar que d és una distància. Observem que 

aquesta distància satisfà d(x,y) ≤ 1, per a qualssevol x,y ∈ X. 

(6) L’espai mètric que introduim a continuació, l’espai de successions, és un exemple molt 

important ja que, en un sentit que precisarem al capítol 6, conté la majoria d’espais mètrics. 

Considerem el conjunt de totes les successions de nombres reals: 

R ω = {x : N −→ R} = {(x1,x2,x3,...), xi ∈ R} . 

Incloent R com a primera coordenada de R 2 i aquest com les dues primeres coordenades de R 3 , 

etcètera, es tenen inclusions 

R ⊆ R 2 ⊆ · · · ⊆ R n ⊆ · · · ⊆ R ω . 

Volem definir una distància a R ω que, sobre els espais finits dimensionals R n , coincideixi amb 

alguna de les distàncies habituals. Un primer intent per dotar aquest conjunt d’una distància 

és “copiar” alguna distància de Rn : 

 

 

 

d(x,y) = ∞ 

(xi − yi) 2 ó d(x,y) = sup{|xn 

− yn|}. 

n 

i=1


Malauradament, aquestes dues fórmules no defineixen distàncies: la primera sèrie no serà convergent 

en general i el conjunt de la segona pot no ser fitat. 

Fent servir l’exemple anterior, es pot intentar corregir la segona fórmula mitjançant: 

ρ(x,y) = sup{d(xn,yn)}, 

n 

essent d(xn,yn) = min{|xn − yn|,1}. Aquesta sí que dóna una distància, però, per raons que 

veurem més endavant, no és la que interessa. És per això que considerem la modificació següent: 

 

d(xn,yn) 

D(x,y) = sup . 

n n 

Comprovem que es tracta d’una distància: tan sols la desigualtat triangular no és trivial. 

Observeu que, acceptant que d és una distància, tenim per a tot n = 1,2,3,... es té 

i, per tant, 

d(xn,zn) 

n 

1.2 Boles obertes 

≤ d(xn,yn) 

n 

+ d(yn,zn) 

n 

D(x,z) ≤ D(x,y) + D(y,z). 

≤ D(x,y) + D(y,z), 

Disposar d’una distància sobre un conjunt X permet considerar els subconjunts de punts que 

estan a una distància d’un punt x menor que un valor fixat. 

1.2.1 Definició Sigui (X,d) un espai mètric, x ∈ X i r ∈ R + 0 . Anomenem bola oberta de 

centre x i radi r el subconjunt de punts 

Br(x) = {y ∈ X | d(x,y) < r}. 

També el notem Br(x;d) si volem remarcar la distància d. 

Es defineix la bola tancada de centre x i radi r com el subconjunt de punts 

Br(x) = {y ∈ X | d(x,y) ≤ r}. 

1.2.2 Exemples (1) Si X = R amb la mètrica ordinària, aleshores Bε(x) = (x−ε,x+ε), mentre 

que Bε(x) = [x − ε,x + ε]. 

(2) La figura següent mostra dos exemples de boles obertes de R 2 segons si considerem la 

distància ordinària o la distància del suprem, d3(x,y) = max{|x1 − y1|, |x2 − y2|}. 

r 

r 

• 

✠ r 

• 

x x 

✒ 

✻ 

❄✛ ✲

1.2. Boles obertes 11 

(3) Notem D n la bola tancada de R n centrada a l’origen i de radi 1, 

D n = {x ∈ R n | x 2 1 + ...x 2 n‘1}. 

(4) A C 0 ([a,b]), amb la mètrica del suprem de 1.1.2(3), una bola oberta de centre f i radi r és 

una “banda” de funcions amb valors que tenen una oscil·lació menor que r respecte dels valors 

de f, com s’indica a la figura següent. 

f(a) + ε 

f(a) 

f(a) − ε 

✙ 

② 

a b 

✛f 

(5) Si X és un espai mètric discret, aleshores les boles obertes són 

Br(x) = 

{x}, si r ≤ 1, 

X , si r > 1. 

Bε(f) 

g ∈ Bε(f) 

(6) Sigui (X,d) un espai mètric i considerem la distància fitada associada d. Aleshores, les boles 

són 

 

X , 

Br(x;d) = 

Br(x;d), 

si 

si 

r > 1, 

r ≤ 1. 

De les propietats de les boles obertes en destaquem, per la seva importància posterior, les 

següents: 

1.2.3 Lema Les boles obertes d’un espai mètric satisfan: 

(a) Br(x) = ∅. 

(b) Si y ∈ Br(x), aleshores existeix s ∈ R + 0 tal que Bs(y) ⊆ Br(x). 

(c) Siguin Br(x) i Bs(y) dues boles obertes tals que Br(x) ∩Bs(y) = ∅ i sigui z ∈ Br(x) ∩Bs(y) 

qualsevol. Aleshores, existeix un t > 0 tal que Bt(z) ⊆ Br(x) ∩ Bs(y). 

Demostració. (a) El propi centre de la bola és un element de la bola oberta: x ∈ Br(x). 

(b) Sigui δ = d(x,y) i prenem s = r − δ, (vegeu la figura). Així, si z ∈ Bs(y), de la desigualtat 

triangular deduïm 

d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) < δ + s = r,


és a dir, que z ∈ Br(x). 

x 

y 

✛ ✲✛✲ 

δ s 

✛ r ✲ 

(c) Per (b), hi ha t ′ ,t ′′ > 0, tals que Bt ′(z) ⊆ Br(x) i Bt ′′(z) ⊆ Bs(y). És suficient, per tant, 

prendre t = mín {t ′ ,t ′′ }. 

1.3 Aplicacions contínues 

En disposar de distàncies en els espais mètrics, és possible generalitzar la coneguda noció de 

continuïtat de les funcions reals de diverses variables. 

1.3.1 Definició Sigui f : (X,dX) −→ (Y,dY ) una aplicació entre espais mètrics. Diem que f 

és contínua en x ∈ X si, 

per a tot ε > 0, existeix δ > 0 tal que si dX(x,y) < δ =⇒ dY (f(x),f(y)) < ε. 

Diem que f és contínua en X si ho és en tots els seus punts. 

1.3.2 Observació Com que els punts y ∈ X amb d(x,y) < δ són els elements de la bola Bδ(x) 

i, anàlogament, els punts de Y a distància menor que ε de f(x) són de la bola Bε(f(x)), la 

definició anterior es pot expressar en termes de boles obertes segons: 

 

f contínua 

⇐⇒ per a tot ε > 0, existeix δ > 0 tal que f(Bδ(x)) ⊆ Bε(f(x)). 

en x ∈ X 

En general, per a una aplicació f : X −→ Y i subconjunts A ⊆ X i B ⊆ Y , es té que f(A) ⊆ B, 

si i només si A ⊆ f −1 (B). Així, la caracterització de la continuïtat amb boles obertes admet 

també la formulació equivalent següent: 

 

f contínua 

⇐⇒ per a tot ε > 0, existeix δ > 0 tal que Bδ(x) ⊆ f 

en x ∈ X 

−1 (Bε(f(x))). 

1.3.3 Exemples (1) Tota aplicació constant entre espais mètrics és contínua. Per a qualsevol 

espai mètric X, l’aplicació identitat, id X : X −→ X, és contínua. 

(2) Com hem assenyalat, la definició de continuïtat estén la definició de continuïtat de funcions 

reals de diverses variables. Això vol dir que, si usem la distància ordinària, les aplicacions

1.3. Aplicacions contínues 13 

contínues f : R n −→ R m són les mateixes que s’estudien als cursos de càlcul, així, funcions 

com ara e xy , x 2 + y 2 − 5yz,... són contínues. 

(3) Si X té la mètrica discreta, aleshores qualsevol aplicació f : X −→ Y , on Y és un espai 

mètric arbitrari, és contínua: en efecte, donat un ε > 0 qualsevol, basta prendre δ < 1, ja que 

en aquest cas Bδ(x) = {x} i, per tant, f(Bδ(x)) = {f(x)} ⊆ Bε(f(x)). 

(4) L’aplicació avaluació en un punt x0 

avx0 : C0 ([a,b]) −→ R 

f −→ avx0 (f) = f(x0) 

és contínua, considerant en C0 ([a,b]) la mètrica del suprem i en R l’ordinària) En efecte, comprovem 

que avx0 és contínua en f: donat ε > 0 qualsevol, hem de trobar δ > 0 de manera que, 

si d(f,g) < δ, aleshores |avx0 (f) − avx0 (g)| < ε. És a dir, que s’ha de satisfer 

sup {|f(x) − g(x)|} < δ =⇒ |f(x0) − g(x0)| < ε. 

x∈[a,b] 

Per a això, òbviament, basta prendre δ = ε. 

(5) Sigui X un espai mètric. Sobre el producte X × X definim 

d((x1,y1),(x2,y2)) = max{d(x1,x2),d(y1,y2)}. 

D’aquesta forma, X × X és un espai mètric (vegeu l’exercici 9) i l’aplicació distància 

d : X × X −→ R, 

és una funció contínua. En efecte, sigui (x,y) ∈ X × X i notem r = d(x,y). Donat ε > 0, hem 

de trobar δ > 0 tal que 

Bδ(x,y) ⊆ d −1 (r − ε,r + ε). 

Comprovem que és suficient prendre δ = ε/2: si (x ′ ,y ′ ) ∈ B ε/2(x,y), de la definició de distància 

en el producte se segueix 

d(x,x ′ ) < ε/2 i d(y,y ′ ) < ε/2. 

Aplicant ara la desigualtat triangular trobem les desigualtats 

r = d(x,y) ≤ d(x,x ′ ) + d(x ′ ,y ′ ) + d(y ′ ,y) < ε + d(x ′ ,y ′ ) =⇒ d(x ′ ,y ′ ) > r − ε, 

d(x ′ ,y ′ ) ≤ d(x ′ ,x) + d(x,y) + d(y,y ′ ) < r + ε, 

és a dir, que d(Bδ(x,y)) ⊆ (r − ε,r + ε). 

(6) Donada una distància arbitrària d i r ∈ R + 0 , es defineix la distància dr per 

dr(x,y) = rd(x,y). 

És un exercici senzill comprovar que dr és una distància. Sigui ara Y un espai mètric arbitrari. 

Aleshores, una aplicació f : X −→ Y és contínua per la mètrica d de X si i només si ho és per 

la mètrica (les mètriques) dr.


En efecte, les boles d’una i altra distància estan relacionades segons: 

Bδ ′(x;dr) = {x ′ ∈ X | dr(x,x ′ ) < δ ′ } 

= {x ′ ∈ X | rd(x,x ′ ) < δ ′ } 

= B δ ′ /r(x;d). 

Per tant, per a ε > 0 i δ > 0, la inclusió f(Bδ(x;d)) ⊆ Bε(f(x);dY ) és equivalent a la inclusió 

f(Brδ(x;dr)) ⊆ Bε(f(x);dY ). 

Aquest darrer exemple mostra que la continuïtat no depèn necessàriament de la distància en 

un sentit estricte. Intuïtivament, la noció de continuïtat correspon a aquelles aplicacions que 

mantenen la proximitat dels punts: punts propers tenen per imatge punts propers. En els espais 

mètrics, la distància dóna una forma quantitativa de mesurar la proximitat, però diferents 

distàncies poden donar lloc a nocions de proximitat equivalents. De fet, pel curs de càlcul, 

sabem que totes les distàncies de R n de l’exemple 1.1.2 són equivalents i que, per tant, donen 

lloc a les mateixes aplicacions contínues. 

Tot seguit caracteritzem la continuïtat en termes d’uns conjunts menys rígids que les boles 

obertes, els entorns. 

1.3.4 Definició Sigui X un espai mètric i x ∈ X. Un subconjunt N ⊆ X és un entorn de x si 

existeix un ε > 0 tal que Bε(x) ⊆ N. 

Podem pensar en un entorn de x com un conjunt de punts “propers” a x. Per exemple, una 

bola oberta és un entorn de tots els seus punts, 1.2.3, (b). 

1.3.5 Exemple Sigui X un espai mètric, amb una distància d, i sigui dr, r > 0, la distància 

definida al darrer exemple. Aleshores, atès que f(Bδ(x;dr)) = B δ/r(x;d), N és un entorn de x 

per a la distància d si i només si ho és també per a la distància dr. 

1.3.6 Proposició Sigui f : X −→ Y una aplicació entre espais mètrics. Aleshores, f és 

contínua en x ∈ X si i només si l’antiimatge d’un entorn qualsevol M de f(x), f −1 (M), 

és un entorn de x. 

Demostració. Suposem que f és contínua en x i sigui M un entorn de f(x), per la qual cosa hi 

ha un ε > 0 tal que Bε(f(x)) ⊆ M. Per la continuïtat de f en x, hi ha un δ tal que 

i, per tant, f −1 (M) és un entorn de x. 

Bδ(x) ⊆ f −1 (Bε(f(x))) ⊆ f −1 (M), 

Suposem ara que l’antiimatge d’un entorn qualsevol de f(x) és un entorn de x. Com que 

M = Bε(f(x)) és un entorn de f(x), f −1 (Bε(f(x))) és un entorn de x, és a dir, hi ha un δ > 0 

tal que Bδ(x) ⊆ f −1 (Bε(f(x))) i, per tant, f és contínua en x. 

Així, de l’exemple 1.3.5 se segueix que f : (X,d) −→ (Y,d) és contínua si i només si ho és 

l’aplicació f : (X,dr) −→ (Y,d).

1.4. Oberts 15 

1.4 Oberts 

Una aplicació entre dos espais mètrics f : X −→ Y és contínua si ho és en tots els punts de X 

i, per tant, l’antiimatge d’un entorn qualsevol de f(x), x ∈ X, ha de ser un entorn de x. Per 

caracteritzar la continuïtat global de f podem reduir-nos als entorns que ho són de cadascun 

dels seus punts, els oberts. 

1.4.1 Definició Sigui (X,d) un espai mètric. Diem que un conjunt U ⊆ X és obert si, per a 

tot x ∈ U, existeix r ∈ R + 0 tal que Br(x) ⊆ U. 

Alternativament, un conjunt és obert si i només si és entorn de tots els seus punts. 

1.4.2 Exemples (1) Si X = R, per a tot ε > 0, (x − ε,x + ε) és obert; en canvi, [0,1] no ho és 

ja que qualsevol entorn de 0 té punts que no són del conjunt, com tampoc no ho és [0,1). 

(2) Pel lema 1.2.3(b), tota bola oberta és un conjunt obert. 

(3) En un espai mètric discret Xdis, tot conjunt U ⊆ X és obert, ja que prenent r < 1 es té que 

Br(x) = {x} ⊆ U, per a qualsevol x ∈ U. 

La caracterització de la continuïtat en termes d’oberts correspon al resultat següent: 

1.4.3 Teorema Sigui f : X −→ Y una aplicació entre espais mètrics. Aleshores, f és contínua 

si i només si per a tot U ⊆ Y obert, f −1 (U) ⊆ X és obert. 

Demostració. Suposem que f és contínua i sigui V ⊆ Y un obert. Com que V és un entorn de 

tots els seus punts, també ho serà f −1 (V ), segons 1.3.6; és a dir, aquest conjunt és un obert. 

Recíprocament, suposem que l’antiimatge d’un obert qualsevol de Y és un obert de X. Donats 

x ∈ X i ε > 0 qualssevol, Bε(f(x)) és un obert de Y , com ho és f −1 (Bε(f(x))) de X, per 

hipòtesi. Però això significa que hi ha un δ > 0 tal que Bδ(x) ⊆ f −1 (Bε(f(x))), és a dir, que f 

és contínua en x. 

1.4.4 Observació Del teorema 1.4.3 se segueix que, si dues distàncies donen lloc als mateixos 

oberts, aleshores totes dues produiran les mateixes aplicacions contínues. És a dir, la continuïtat 

només depèn dels oberts que hi hagi en els espais X i Y . El conjunt dels oberts de X és el que 

s’anomena una topologia de X. La continuïtat és, doncs, un concepte topològic i no pas mètric. 

D’entre les propietats dels conjunts oberts d’un espai mètric, destaquem les següents. 

1.4.5 Proposició Sigui X un espai mètric. Aleshores: 

(a) ∅, X són oberts. 

(b) La unió d’un nombre arbitrari de conjunts oberts és un conjunt obert. 

(c) La intersecció d’un nombre finit de conjunts oberts és un conjunt obert.


Demostració. (1) ∅ és obert perquè no existeix cap x ∈ ∅. X és obert: per a r ∈ R + 0 i x ∈ X 

qualsevol, per definició de Br(x), es té que Br(x) ⊆ X. 

(2) Sigui {Uα}α∈J una família de subconjunts de X, Uα obert per a tot α ∈ J, on J és un 

conjunt d’índexs arbitrari. Llavors 

x ∈ 

Uα ⇐⇒ existeix α ∈ J tal que x ∈ Uα 

α∈J 

=⇒ existeix r ∈ R + 0 tal que Br(x) ⊆ Uα, perquè Uα és obert 

=⇒ Br(x) ⊆ Uα ⊆ ∪α∈JUα 

=⇒ ∪α∈JUα és obert. 

(3) Sigui {U1,...,Un} una família finita de conjunts oberts. Llavors 

x ∈ 

n 

Ui ⇐⇒ x ∈ Ui, per a tot i = 1,...,n 

i=1 

⇐⇒ existeix ri ∈ R + 0 tal que Bri (x) ⊆ Ui, per a tot i = 1,...,n, 

perquè els Ui són oberts. 

Llavors, prenent r = min{r1,...rn}, es té que Br(x) ⊆ Bri (x) ⊆ Ui, per a tot i = 1,...,n i, 

per tant, Br(x) ⊆ ∩ n i=1Ui, essent r > 0, ja que el mínim el prenem sobre un conjunt finit. 

1.4.6 Observació La intersecció d’un nombre arbitrari d’oberts no és, en general, un obert. 

Considerem la família d’oberts de R: − 1 

 

1 

n , n . Aleshores, la intersecció 

no és obert. 

1.5 Problemes 

n∈N 

n∈N 

 

 

− 1 

 

1 

, 

n n 

= {0}, 

1. Raoneu quina de les funcions següents defineix una distància a R. 

(a) d(x,y) = |e x − e y |. 

(b) d(x,y) = |sin x − siny|. 

(c) d(x,y) = part entera de la distància ordinària entre x i y. 

(d) d(x,y) = |arctg x − arctg y|, (interpreteu geomètricament aquesta funció com l’angle 

indicat a la figura).

1.5. Problemes 17 

x y 

Més generalment, donada una funció f : R −→ R, quines condicions ha de satisfer f perquè 

d(x,y) = |f(x) − f(y)| sigui una distància? 

2. Raoneu quina de les funcions següents defineix una distància a R n . 

(a) d(x,y) = |x1 − y1|. 

(b) d(x,y) = (x1 − y1) 2 + ...(xn − yn) 2 . 

(c) d(x,y) = min{|x1 − y1|,...,|xn − yn|}. 

3 Sigui (X,d) un espai mètric. Proveu que 

és una distància definida sobre X. 

ρ(x,y) = d(x,y) 

1 + d(x,y) 

4. Sigui p ∈ N un primer. A Z considerem la distància p-àdica definida de la forma següent: 

⎧ 

⎨ 

dp(a,b) = 

⎩ 

(a) Proveu que dp és una distància. 

0 a = b, 

1 

p n si n ∈ N satisfà p n |(a − b), p n+1 |(a − b) . 

(b) Proveu que se satisfà la desigualtat (més forta que la desigualtat triangular): 

dp(b,c) ≤ max{dp(a,b),dp(a,c)}. 

Els espais mètrics que satisfan aquesta darrera desigualtat s’anomenen espais ultramètrics. 

(c) Calculeu d5(1,26), d5(1,476), d5(1,477) i dp(1,p r !). 

(d) Calculeu les boles de radis 1/2 i 1/4 centrades en 1 respecte de la distància d3. 

(e) Proveu que tot punt d’una bola és centre de la bola. 

(f) Proveu que dues boles es tallen si i només si una està inclosa en l’altra.


5. Determineu quins dels subconjunts següents de R 2 són oberts amb la mètrica ordinària: 

(a) {(x,y) | x 2 + y 2 < 1} ∪ {(0,1)}. 

(b) {(x,y) | |x| < 1}. 

(c) {(x,y) | x − y ≤ 1}. 

(d) {(x,y) | x − y = 1}. 

(e) {(x,y) | x /∈ Q}. 

(f) Q × Z = {(x,y) | x ∈ Q,y ∈ Z}. 

6. Sigui (X,d) un espai mètric. Donats dos subconjunts A,B ⊆ X, es defineix la distància de 

A a B per 

d(A,B) = inf 

x∈A,y∈B d(x,y). 

(a) Proveu que si A ∩ B = ∅, aleshores d(A,B) = 0. 

(b) Doneu un exemple amb d(A,B) = 0 en el qual A ∩ B = ∅. 

(c) Proveu que, per a x,y ∈ X i A ⊆ X qualssevol, se satisfà 

|d(x,A) − d(y,A)| ≤ d(x,y) 

i deduïu que la funció d(−,A) : X −→ R és contínua. 

7. Sigui (X,d) un espai mètric i A ⊆ X. Es defineix el diàmetre de A per 

(a) Proveu les afirmacions següents: 

• A ⊆ B =⇒ diam(A) ≤ diam(B). 

diam(A) = sup x,y∈Ad(x,y). 

• diam(A∪B) ≤ d(A,B)+diam(A)+diam(B), i deduïu, en particular, que, si A∩B = ∅, 

aleshores diam(A ∪ B) ≤ diam(A) + diam(B). 

(b) Doneu un exemple a R de dos subconjunts A,B tals que 

(c) Proveu que diam(Br(x)) ≤ 2r. 

diam (A) = diam(B) = diam(A ∪ B) = 1. 

(d) Suposem que diam(A) < r, i sigui x un punt de X tal que A ∩ Br(x) = ∅. Proveu que 

A ⊆ B2r(x).


Els conjunts amb diam(A) < ∞ s’anomenen conjunts fitats. Observeu que aquest no és un 

concepte topològic: per la distància d definida a l’exemple 1.1.2(5), que dóna els mateixos 

oberts que d, tots els conjunts són fitats. 

8. Sigui X un conjunt i d1, d2 dues distàncies definides sobre X. Diem que d1 i d2 són 

equivalents si hi ha dos nombres reals positius α,β > 0 tals que 

per a x,y ∈ X qualssevol. 

αd1(x,y) ≤ d2(x,y) ≤ βd1(x,y), 

(a) Proveu que les distàncies de R n de l’exemple 1.1.2(1) són totes equivalents. 

(b) Proveu que, si dues distàncies són equivalents, aleshores donen lloc als mateixos conjunts 

oberts. 

9. Siguin (X,dX) i (Y,dY ) dos espais mètrics. Sobre el producte X × Y definim les funcions 

d1((x1,y1),(x2,y2)) = dX(x1,x2) 2 + dY (y1,y2) 2 , 

d2((x1,y1),(x2,y2)) = dX(x1,x2) + dY (y1,y2), 

d3((x1,y1),(x2,y2)) = max{dX(x1,x2),dY (y1,y2)}. 

(a) Proveu que aquestes funcions defineixen distàncies en el producte X × Y . 

(b) Proveu les desigualtats 

d3 ≤ d1 ≤ d2 ≤ 2d3 

i deduïu del problema anterior que les tres distàncies donen lloc als mateixos conjunts 

oberts a X × Y . 

(c) Proveu que les projeccions πX i πY de X × Y sobre X i Y , respectivament, són funcions 

contínues. 

10. Considerem els espais de funcions contínues C 0 ([0,1]) i funcions derivables amb continuïtat 

C 1 ([0,1]), ambdós amb la mètrica del suprem. 

(a) Proveu que l’aplicació de derivació 

no és contínua. 

(b) A C 1 ([0,1]) definim la mètrica 

d ′ (f,g) = max 

D : C 1 ([0,1]) −→ C 0 ([0,1]) 

f ↦−→ f ′ 

 

sup x∈[0,1]|f(x) − g(x)| | sup x∈[0,1]|f ′ (x) − g ′ (x)| 

Proveu que, efectivament, d ′ defineix una distància i que, amb aquesta distància, l’aplicació 

derivada D és contínua. 

 

.


11. (a) Proveu que la bola oberta de centre 0 i radi 1/4 de Rω és 

 

B 1 (0) = − 

4 1 

 

1 

, × − 

4 4 

2 

 

2 

, × − 

4 4 

3 

 

3 

, × (−1,1) × R × R × R × ... 

4 4 

(b) Proveu que (−1,1) × R × (−1,1) × R × R × ...R ω és obert. 

(c) El subconjunt (a,b) ω = (a,b) × (a,b) × ...(a,b) × · · · ⊆ R ω , és obert?. 

12. Sigui E un R-espai vectorial. Una aplicació 〈, 〉 : E × E −→ R és un producte escalar si 

satisfà 

• 〈a,b〉 = 〈b,a〉, per a qualssevol a,b ∈ E. 

• 〈, 〉 és una aplicació bilineal. 

• 〈a,a〉 ≥ 0, per a tot a ∈ E, i 〈a,a〉 = 0, si i només si a = 0. 

Donat un producte escalar, proveu: 

(a) Desigualtat de Schwarz: per a qualssevol a,b ∈ E se satisfà 

|〈a,b〉| ≤ 〈a,a〉 · 〈b,b〉. 

(b) L’aplicació d(a,b) = 〈b − a,b − a〉 defineix una distància a E. 

13. L’espai de Hilbert ℓ 2 . Considerem el conjunt ℓ 2 , format per totes les successions (x1,x2,...) 

de nombres reals tals que 

i≥1 x2 i < ∞. Proveu que, si x,y ℓ2 , aleshores la sèrie 

 

xiyi, 

i≥1 

és convergent. Deduïu que es defineix així un producte escalar sobre l’espai vectorial ℓ 2 i que, 

per tant, és un espai mètric, que anomenem espai de Hilbert de les successions de quadrat 

sumable.

Espais topològics i aplicacions 

2 

contínues 

En diverses situacions, resulta convenient, sinó essencial, tenir la possibilitat de parlar de continuïtat 

en circumstàncies en les quals no hi ha cap distància natural associada. Per fer-ho, és 

convenient alliberar la continuïtat de la dependència de la mètrica. Com hem vist al capítol 

anterior, el concepte de continuïtat depèn no tant de la distància com dels “oberts”que aquesta 

defineix, és a dir, de l’elecció d’uns determinats subconjunts de l’“espai” X. Això suggereix fixar 

la nostra atenció en els conjunts oberts i analitzar quines són les seves propietats essencials, 

i així s’arriba a la noció d’espai topològic. 

En aquest capítol, introduïm les nocions bàsiques referents als espais topològics i la continuïtat, 

com ara la posició relativa d’un punt respecte d’un conjunt (interior, adherent, d’acumulació, 

etc.), com també el concepte de base d’una topologia, que ens permetrà donar alguns exemples 

d’espais topològics. Acabem el capítol discutint els axiomes de numerabilitat que permeten, en 

cas de complir-se, caracteritzar algunes nocions topològiques en termes de successions. 

2.1 Definició i exemples 

Les propietats dels oberts d’un espai mètric que hem vist a la proposició 1.4.5 del capítol 

anterior suggereixen la definició següent. 

2.1.1 Definició Una topologia en un conjunt X és una col·lecció T de subconjunts de X, T ⊆ 

P(X), que té les propietats següents: 

1) ∅ i X són de T . 

2) La unió d’un nombre arbitrari de conjunts de T és un conjunt de T . 

3) La intersecció d’un nombre finit de conjunts de T és un conjunt de T . 

Un conjunt X per al qual s’ha especificat una topologia T s’anomena un espai topològic i es 

denota per (X, T ), o bé per X si això no dóna lloc a confusions. Els elements de X s’anomenen 

punts i els subconjunts de X que són de T , oberts de la topologia.

22 Capítol 2. Espais topològics i aplicacions contínues 

2.1.2 Exemples (1) Si (X,d) és un espai mètric, li podem associar la topologia que té per 

oberts els definits per les boles obertes amb la distància d, 1.4.1. Aquesta topologia l’anomenem 

topologia mètrica o usual de (X,d). En particular, la topologia de R n que ens dóna la distància 

euclidiana l’anomenem topologia usual o ordinària de R n . 

(2) En tot conjunt X podem sempre considerar dues topologies: 

• La topologia discreta de X, on T = P(X). És a dir, tot subconjunt de X és obert. 

En particular, els punts {x}, x ∈ X, són oberts. Notem per Xdis un conjunt X amb 

la topologia discreta. Per exemple, Rdis denota el conjunt dels nombres reals amb la 

topologia discreta. 

• La topologia grollera de X, on T = {∅,X}. És a dir, els únics oberts són ∅ i X. Aquesta 

topologia la notem Xgr. 

Observem que la topologia discreta en X és la induïda per la mètrica discreta. En canvi, la 

topologia grollera no és la topologia associada a cap distància sobre X (llevat que X estigui 

reduït a un sol punt): en efecte, si x = y són dos punts de X i, per a una distància qualsevol 

d definida a X notem d(x,y) = α = 0, aleshores Bα(x) (que almenys conté x i que no conté y) 

seria un obert diferent de ∅ i de X. 

(3) Topologia dels complements finits. Sigui X un conjunt arbitrari. Considerem la família de 

subconjunts T de X formada per ∅, X, i els U ⊆ X tals que: 

X \ U = un conjunt amb un nombre finit de punts. 

Comprovem que T defineix una topologia sobre X: 

• ∅ ∈ T i X ∈ T , per definició. 

• Sigui {Uα}α∈J una família arbitrària de subconjunts de X no buits pertanyents a T . 

Aleshores, per a cada α, X \ Uα és o un conjunt finit o buit i, per tant, la seva intersecció 

X \ (∪α∈JUα) = ∩α∈J(X \ Uα) 

és finita o buida, d’on deduïm que ∪α∈JUα ∈ T . 

• Siguin U1,...,Un ∈ T no buits. Aleshores, 

X \ (∩ n i=1Ui) = ∪ n i=1(X \ Ui) 

és una unió finita de conjunts finits o buits i, per tant, un conjunt finit, d’on ∩ n i=1 Ui ∈ T . 

Tot conjunt pot ser dotat d’aquesta topologia i, en aquest cas, el notarem Xcf. En particular, 

quan X = R tingui la topologia dels complements finits, el notarem Rcf per distingir-lo de R 

amb la topologia usual.

2.1. Definició i exemples 23 

2.1.3 Observació Hem assenyalat a l’exemple 2.1.2(2) que la topologia grollera definida en un 

espai de més d’un element no està associada a cap distància definida sobre aquest espai. Un 

altre exemple, no tan trivial, de topologia que no prové d’una distància és la topologia dels 

complements finits definida en un conjunt infinit, com ara a X = R. En lloc de raonar-ho 

directament sobre l’exemple presentarem una propietat que tenen els espais mètrics i que no té 

la topologia de complements finits. 

2.1.4 Definició Diem que un espai topològic X és de Hausdorff si, per a qualsevol parell de 

punts x,y ∈ X, x = y, existeixen oberts U,V tals que x ∈ U, y ∈ V i U ∩ V = ∅. 

És a dir, la topologia de X és de Hausdorff si conté suficients oberts per “separar” els punts 

de l’espai. Això no és així en tot espai topològic. Un exemple molt important d’espais de 

Hausdorff el formen els espais mètrics: 

2.1.5 Lema Sigui (X,d) un espai mètric; aleshores, l’espai topològic associat és un espai de 

Hausdorff. 

Demostració. Sigui α = d(x,y). Com que x = y, α = 0. Prenem U = B α/2(x) i V = B α/2(y) 

(o qualsevol nombre real < α/2). Aleshores, x ∈ U, y ∈ V , i U ∩ V = ∅, ja que, si z ∈ U ∩ V , 

aleshores d(x,z) < α i d(y,z) < α i, per la desigualtat triangular, tenim 

d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) < α α 

+ = α, 

2 2 

Doncs bé, la topologia dels complements finits de R no té aquesta propietat, no és de Hausdorff: 

si x = y són dos nombres reals i x ∈ U, y ∈ V són dos oberts, aleshores U = R \ {p1,...,pn} i 

V = R \ {q1,...,qm}, per a alguns punts p1,...,pn,q1,...,qm ∈ R, d’on 

U ∩ V = (R \ {p1,...,pn}) ∩ (R \ {q1,...,qm}) 

= R \ {p1,...,pn,q1,...,qm}, 

que és diferent del buit (observeu que el raonament s’aplica a la topologia de complements finits 

sobre qualsevol conjunt infinit). Per tant, la topologia de Rcf no pot provenir de cap distància; 

es diu que Rcf no és metritzable (vegeu, més endavant, el capítol 6). 

Com hem vist en els exemples, en un mateix conjunt es poden definir diverses topologies. Per 

comparar-les utilitzem la noció següent: 

2.1.6 Definició Sigui X un conjunt i T , T ′ dues topologies de X. Si T ′ ⊇ T es diu que T ′ és 

més fina que T i que T és més grollera que T ′ . 

És a dir, si tots els oberts per T són oberts per T ′ , aleshores aquesta darrera és més fina que T . 

Evidentment, la topologia discreta és la més fina que podem posar en un conjunt i la topologia 

grollera, la més grollera. Un altre exemple: tot obert de R amb la topologia dels complements 

finits, és obert també per la topologia usual. Per tant, la topologia usual de R és més fina que


la dels complements finits. No hem de pensar, però, que dues topologies d’un mateix conjunt 

hagin de ser necessàriament comparables. 

2.1.7 Exemple Sobre el conjunt X = {a,b,c}, les topologies 

T = {∅,X, {a}} i T ′ = {∅,X, {b}, {b,c}} 

(comproveu que efectivament són topologies) no són comparables, ja que mentre que {a} és 

obert per T , no ho és per T ′ i, recíprocament, {b} és obert per T ′ i no ho és per T . 

2.2 Bases d’una topologia 

Llevat del cas de la topologia mètrica, als exemples anteriors hem donat la topologia especificant 

quins eren tots els oberts. Generalment, aquest procediment no és viable. En molts casos, és 

possible determinar la topologia donant una col·lecció més petita d’oberts, com de fet succeeix 

en el cas de la topologia mètrica, on les boles obertes determinen la resta dels oberts. Les 

propietats de les boles recollides al lema 1.2.3 (1), (3), són les que han permès demostrar que 

els oberts de la topologia mètrica defineixen una topologia, 1.4.5. 

2.2.1 Definició Sigui X un conjunt i B ⊆ P(X). Diem que B és base d’una topologia si satisfà 

(i) per a tot x ∈ X, existeix B ∈ B tal que x ∈ B, 

(ii) si B1,B2 ∈ B i x ∈ B1 ∩ B2, aleshores existeix B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ B1 ∩ B2. 

2.2.2 Proposició Sigui X un conjunt i B una base d’una topologia. Aleshores, 

T = {U ∈ P(X) |per a tot x ∈ U , existeix B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U} 

és una topologia sobre X, que anomenem topologia generada per B. 

Demostració. La demostració del fet que T és una topologia és anàloga a la de la proposició 

1.4.5 del capítol anterior. 

1) ∅ és obert perquè no existeix x ∈ ∅ i X és obert per (i). 

2) Donada una família arbitrària {Uα}α∈J, Uα ∈ T , es té: 

x ∈ ∪α∈JUα ⇐⇒ existeix α ∈ J tal que x ∈ Uα 

=⇒ existeix B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U (per definició) 

=⇒ x ∈ B ⊆ U ⊆ ∪α∈JUα 

=⇒ ∪α∈JUα ∈ T .

2.2. Bases d’una topologia 25 

3) Donada una família finita U1,...,Un ∈ T , es té: 

x ∈ U1 ∩ · · · ∩ Un ⇐⇒ x ∈ Ui per a tot i = 1,...,n 

=⇒ per a tot i = 1,...,n existeix Bi ∈ B 

tal que x ∈ Bi ⊆ Ui 

=⇒ existeix ∗ B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ ∩ n i=1Bi ⊆ ∩ n i=1Ui 

=⇒ ∩ n i=1Ui ∈ T . 

on a (*) s’està fent servir la generalització de (ii) a un nombre finit B1,...,Bn de conjunts 

de B. 

Observem que els conjunts de la base són oberts en la topologia que generen. Gràcies a aquesta 

proposició, sovint resulta còmode definir una topologia donant-ne una base. 

2.2.3 Exemple Definim la topologia del límit inferior de R com aquella que té per base la 

família de conjunts 

[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}. 

La verificació de les condicions (i) i (ii) de la proposició 2.2.2 és immediata. Notem per Rℓ el 

conjunt dels nombres reals amb aquesta topologia. 

Moltes de les diferents propietats de la topologia que introduïm en aquest llibre es poden caracteritzar 

a partir de les bases, per la qual cosa és convenient disposar d’altres caracteritzacions 

d’aquestes, fins i tot quan la topologia sobre X és coneguda. La proposició següent recull dues 

d’aquestes caracteritzacions. 

2.2.4 Proposició Siguin (X, T ) un espai topològic i B ⊆ T . 

(1) B és base de la topologia T si i només si, per a tot U ∈ T i tot x ∈ U, existeix B ∈ B tal 

que x ∈ B ⊆ U. 

(2) B és base de la topologia T si i només si, per a tot U ∈ T , es té 

U = 

B . 

Demostració. (1) Per la pròpia definició, si T és la topologia generada per una base B, aleshores, 

per a tot obert ∈ T i tot x ∈ U, hi ha un B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U. Recíprocament, suposem 

que B satisfà aquesta propietat; aleshores, per tot x ∈ X, hi ha un B ∈ B tal que x ∈ B i, a 

més, com que la intersecció de dos conjunts qualssevol B1,B2 ∈ B ⊆ T , B1 ∩ B2, és un obert, 

per a tot x ∈ B1 ∩ B2, hi ha un B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ B1 ∩ B2. És a dir, se satisfan les 

propietats de la definició 2.2.1 de base. 

(2) ⇒ Si U ∈ T , la unió de tots els elements de la base continguts en U està inclosa en U. 

Provem la inclusió contrària: sigui x ∈ U; per (1), existeix Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊆ U i, per 

tant, U = ∪x∈UBx. 

B∈B 

B⊆U


⇐ Sigui U un obert i x ∈ U. Per hipòtesi, U és la unió de tots els conjunts de la base, B ∈ B, 

tals que B ⊆ U. Per tant, existeix B ∈ B, B ⊆ U, tal que x ∈ B, i s’aplica (1). 

Com a exemple del comentari anterior, vegem com les bases permeten comparar diferents 

topologies sense fer referència a tots els oberts: 

2.2.5 Proposició Siguin B, B ′ bases de dues topologies T , T ′ , definides a X. Aleshores, T ′ és 

més fina que T si i només si, per a tot x ∈ X i tot B ∈ B tal que x ∈ B, existeix B ′ ∈ B ′ tal 

que x ∈ B ′ ⊆ B. 

Demostració. ⇒ Donats x ∈ X i B ∈ B tals que x ∈ B, perquè T ′ és més fina que T , B és 

un obert de T ′ . Com que B ′ és base de T ′ , existeix B ′ ∈ B ′ tal que x ∈ B ′ ⊆ B. 

⇐ Per hipòtesi, per a tot x ∈ B, hi ha un B ′ x ∈ B ′ tal que x ∈ B ′ x ⊆ B i, per tant, B és obert 

de T ′ . Ara, si U és un obert de T , aleshores és obert de T ′ ja que és unió d’oberts, 

U = 

B∈B, B⊆U 

2.2.6 Exemple En conseqüència, les topologies de R 2 que tenen per bases els discos oberts o 

els quadrats oberts són la mateixa: 

B ′ 

B 

Finalment, observem que la topologia generada per una base B és “la més petita”(la més 

grollera) en la qual tots els conjunts de B són oberts (si no poséssim la condició de “més 

petita”, sempre podríem prendre la topologia discreta). Però, perquè una família de conjunts 

B sigui una base i generi una topologia per la fórmula de la proposició 2.2.2, cal que compleixi 

les condicions (i) i (ii). En algunes ocasions, com tindrem oportunitat de comprovar al proper 

capítol, es té una família S ⊆ P(X) que no les compleix i, tot i així, interessa trobar la topologia 

menys fina que faci dels subconjunts de S oberts. 

2.2.7 Definició Sigui S ⊆ P(X). Anomenem topologia generada per S la topologia menys fina 

de X tal que els conjunts de S són oberts. Diem que S és una subbase de la topologia que 

genera si la unió dels seus subconjunts és X. 

De fet, una col·lecció qualsevol de subconjunts de X genera una subbase simplement afegint-hi 

el propi conjunt X. La definició de subbase assegura que, per a qualsevol x ∈ X, hi ha un 

S ∈ S tal que x ∈ S. No s’imposa cap condició sobre les interseccions d’elements de S, com 

B. 

B ′′′ 

B ′′

2.2. Bases d’una topologia 27 

succeïa a la definició de base. Justament, a partir d’una subbase s’obté una base de la topologia 

generada fent interseccions: 

2.2.8 Proposició Si S és una subbase, aleshores 

és base de la topologia generada per S. 

B = {Si1 ∩ · · · ∩ Sin |Sij ∈ S} 

Demostració. Comprovem les condicions (i) i (ii) de 2.2.2 de base d’alguna topologia: 

(i) Com ja hem assenyalat, atès que X = ∪S∈SS, si x ∈ X es té que x ∈ S per a algun S ∈ S, 

que alhora és un conjunt de B. 

(ii) Siguin B1 = S1 ∩ · · · ∩ Sn, B2 = S ′ 1 ∩ · · · ∩ S ′ m i x ∈ B1 ∩ B2. Llavors, B1 ∩ B2 = 

(S1 ∩ · · · ∩ Sn) ∩ (S ′ 1 ∩ · · · ∩ S ′ m) també és una intersecció finita d’elements de S. Per tant, 

B = B1 ∩ B2 ∈ B i x ∈ B. 

2.2.9 Exemple El conjunt de semirectes de la recta real, 

S = {(−∞,a),(b, ∞) |a,b ∈ R}, 

és subbase d’una topologia a R, que el lector pot comprovar que és la topologia usual. 

El segon axioma de numerabilitat 

En algunes ocasions és convenient conèixer la quantitat d’oberts que té una topologia, per 

exemple, si n’hi ha un nombre finit o infinit i, en aquest cas, si n’hi ha una quantitat numerable 

o no. La definició següent, que serà completada més endavant a la secció 2.5, fa referència a 

aquesta qüestió. 

2.2.10 Definició Un espai topològic X es diu que satisfà el segon axioma de numerabilitat 

(2AN) si té una base de cardinal numerable. 

2.2.11 Exemples (1) Amb la topologia usual, R té una base numerable: la família de tots els 

intervals oberts (a,b) amb a,b ∈ Q. Anàlogament, també R n té una base numerable: 

B = {(a1,b1) × · · · × (an,bn) | ai,bi ∈ Q,1 ≤ i ≤ n}. 

(2) Amb la topologia del límit inferior, Rℓ no té una base numerable. En efecte, suposem que sí 

que la tingués i denotem-la B. Per a cada x ∈ Rℓ, escollim Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊆ [x,x + 1). 

Si x = y, llavors Bx = By, ja que x = inf Bx i y = inf By. Per tant, B és no numerable i conté 

almenys tants elements com R. 

Malgrat l’exemple de R n amb la mètrica euclidiana, no hem de pensar que tot espai mètric 

sigui 2AN, com mostra l’exemple següent.


2.2.12 Exemple Mètrica de l’oficina de correus: Prenem X = R 2 amb la mètrica següent 

d ∗ 

(p,q) = 

0, si p = q, 

p + q , si p = q, 

on p és la norma euclidiana del punt p ∈ R2 . És immediat comprovar que, efectivament, d∗ 

és una distància i que les seves boles són 

Bε(p;d ∗ ) = {p} ∪ B ε−p(p;d), 

on d és la mètrica usual de R 2 . En particular, si ε 

p = (0,0), {p} és un obert. D’aquí ve que qualsevol base de X ha de contenir, almenys, tants 

oberts com punts R 2 \ {(0,0)} i, en conseqüència, no pot ser numerable. 

2.3 Conjunts tancats 

Donar una topologia sobre un conjunt X és donar una família de subconjunts que satisfan 

determinades propietats respecte de les unions i interseccions de conjunts de la família. Mitjançant 

les lleis de De Morgan, aquestes propietats s’intercanvien amb propietats d’interseccions 

i unions dels complementaris de la família. Distingim aquests complementaris amb el nom de 

tancats. 

2.3.1 Definició Un conjunt C és un tancat d’un espai topològic X si X \ C és obert. 

2.3.2 Exemples (1) Als espais mètrics, les boles tancades 

Br(x) = {y ∈ X |d(x,y) ≤ r} 

són conjunt tancats per la topologia mètrica. Els punts {x} també són tancats. 

(2) Amb la topologia dels complements finits, només són tancats ∅, X i els conjunts finits. 

(3) Un mateix conjunt pot ser, a la vegada, tancat i obert o cap de les dues coses. A més de ∅ 

i X, els punts són tancats i oberts amb la topologia discreta. A R, (0,1] no és tancat ni obert. 

Passant al complementari, tenim les propietats “complementàries” dels oberts per als tancats. 

2.3.3 Proposició Sigui X un espai topològic. Aleshores: 

(1) ∅ i X són tancats. 

(2) La unió d’un nombre finit de tancats és un tancat. 

(3) La intersecció d’un nombre arbitrari de tancats és un tancat.

2.4. Interior i adherència de conjunts 29 

Demostració. Tal com hem assenyalat, les propietats dels conjunts tancats es dedueixen de 

les propietats corresponents dels conjunts oberts passant al complementari. Comprovem, per 

exemple, que la unió finita de tancats és tancada: siguin C1,...,Cn, conjunts tancats de X. 

Per definició, els conjunts Ui = X \ Ci, i = 1,...,n, són oberts i, per tant, U1 ∩ · · · ∩ Un és 

obert, és a dir, 

és un conjunt tancat. 

C1 ∪ · · · ∪ Cn = (X \ U1) ∪ · · · ∪ (X \ Un) = X \ (U1 ∩ · · · ∩ Un) 

2.3.4 Observació La unió d’un nombre arbitrari de tancats no té perquè ser tancada. Per 

exemple, els intervals Cn = −1 + 1 

 

1 

n , 1 − n són tancats per a tot n, però la seva reunió 

no ho és. 

∞ 

Cn = (−1,1) 

n=1 

2.3.5 Proposició En un espai de Hausdorff, tot punt és tancat (i, per tant, també ho és tot 

conjunt finit). 

Demostració. Sigui X un espai de Hausdorff. Si x ∈ X, hem de veure que X \ {x} és obert. És 

suficient veure que tot punt y ∈ X \ {x} (és a dir, y = x) és interior a X \ {x}. Però, com que 

X és de Hausdorff, existeixen U,V entorns oberts de x,y tals que U ∩ V = ∅. En particular, 

x ∈ V . Així doncs, y ∈ V ⊂ X \ {x} i, per tant, y és interior a X \ {x}. 

En particular, en un espai mètric tots els punts són tancats. En general, els punts d’un espai 

topològic X no tenen per què ser tancats. Per exemple, si X = {a,b} i T = {∅,X, {a}}, 

aleshores {b} és tancat, però {a} no ho és. 

2.4 Interior i adherència de conjunts 

Si A és un subconjunt d’un espai topològic X, no té per què ser obert ni tancat. L’interior i 

l’adherència de A que introduïm en aquesta secció són l’obert i el tancat de X que aproximen 

millor A, 2.4.2. 

2.4.1 Definició Siguin X un espai topològic i A ⊆ X. 

(i) L’interior de A, denotat per ◦ 

A, és la reunió de tots els oberts continguts en A. Diem que 

un punt x ∈ X és interior a A si x ∈ ◦ 

A. 

(ii) L’adherència de A, denotada per A, és la intersecció de tots els tancats que contenen A. 

Diem que un punt x ∈ X és adherent a A si x ∈ A.


Observem que, com que la unió d’oberts és un obert, l’interior d’un conjunt és obert. Anàlogament, 

com que la intersecció de tancats és tancat, l’adherència d’un conjunt és un tancat. De fet, es 

tenen les caracteritzacions següents: 

2.4.2 Proposició Siguin X un espai topològic i A ⊆ X. Aleshores: 

(a) ◦ 

A és l’obert més gran contingut en A. 

(b) A és el tancat més petit que conté A. 

Demostració. (a) ◦ 

A és obert i és un subconjunt de A i, per definició, conté qualsevol altre obert 

contingut en A. 

(b) Anàlogament, A és tancat, conté A i, per definició, està contingut en qualsevol tancat que 

contingui A. 

Com a conseqüència d’aquest resultat, l’interior i l’adherència també permeten caracteritzar els 

oberts i els tancats de l’espai X. 

2.4.3 Proposició Siguin X un espai topològic i A ⊆ X. Aleshores: 

(a) A és obert si i només si A = ◦ 

A. 

(b) A és tancat si i només si A = A. 

2.4.4 Definició Siguin X un espai topològic i A ⊆ X un subconjunt. La frontera de A és el 

conjunt ∂A = A \ ◦ 

A. 

Dit d’una altra manera, 

A = ◦ 

A ∪ ∂A. 

Aquesta igualtat justifica, en part, els noms de “tancat” i “obert”: un conjunt és tancat si conté 

la seva frontera i obert si no conté cap punt de la seva frontera. 

2.4.5 Exemple A R n , amb la topologia usual, la frontera d’una bola de radi r és l’esfera, del 

mateix radi, centrada en el mateix punt: 

∂Br(x) = {y ∈ R n |d(x,y) = r}. 

La proposició que segueix caracteritza els punts de l’interior i de l’adhèrencia d’un conjunt A 

segons la posició relativa dels oberts que el contenen i el propi conjunt A. 

2.4.6 Proposició Siguin X un espai topològic, x un punt de X i A un subconjunt de X. Aleshores, 

(a) x és interior a A si i només si existeix un obert U tal que x ∈ U ⊆ A.


(b) x és adherent a A si i només si per a tot obert U que l’inclou, x ∈ U, es té U ∩ A = ∅. 

Demostració. (a) Sigui x interior a A. Llavors, x ∈ ◦ 

A ⊆ A i ◦ 

A és obert. Recíprocament, si 

existeix U obert tal que x ∈ U ⊆ A, aleshores 

x ∈ 

U, 

que és ◦ 

A. Per tant, x ∈ ◦ 

A. 

U⊆A 

U obert 

(b) ⇒ Siguin x ∈ A i U un obert tal que x ∈ U. Suposem que U ∩ A = ∅, llavors C = X \ U 

és un tancat que conté A. Així doncs, x ∈ A ⊂ X \ U i tindríem x ∈ U i x ∈ U, cosa que és 

absurda. En definitiva, U ∩ A = ∅. 

⇐ Sigui x ∈ X un punt tal que, per a tot obert U, x ∈ U, es té U ∩ A = ∅. Per 2.4.2(b) és 

suficient provar que, per a tot tancat C tal que C ⊇ A, llavors x ∈ C. Suposem que x ∈ C. 

Llavors x ∈ X \ C, que és un obert. Per hipòtesi, (X \ C) ∩ A = ∅ i, per tant, A no estaria 

inclós en C. Això és absurd, és a dir, x ∈ C. 

2.4.7 Exemples (1) A R n retrobem les nocions habituals introduïdes en els cursos de càlcul. 

Així, per exemple, 

A = {(x,y) ∈ R2 |xy ≥ 0} =⇒ ◦ 

A = {(x,y) ∈ Rn |xy > 0}, 

B = Z × R ⊂ R2 =⇒ ◦ 

B = ∅, 

Br(x) = {y ∈ Rn |d(x,y) < r} =⇒ Br(x) = {y ∈ Rn |d(x,y) ≤ r}. 

(2) Amb la topologia dels complements finits, però, ens troben amb situacions sorprenents, des 

de la intuïció de la topologia usual: siguin X = Rcf i A = R \ B, essent B = {1/n | n ∈ N}. 

Llavors, ◦ 

A = ∅, 

0 

1 

4 

1 

3 

1 

2 

ja que, si x ∈ ◦ 

A, hauria d’existir un obert U tal que x ∈ U ⊆ A. Però tot obert és tal que R \U 

té un nombre finit de punts, mentre que R \A en té un nombre infinit. Per tant, R \U ⊃ R \A 

i, per tant, U ⊂ A. Així mateix, B = R. 

Intuïtivament, un punt adherent a A és un punt que, essent o no de A, es pot “aproximar” des 

de A. Aquesta idea, que sembla que potser suggereix l’exemple de Br(x), s’ha de precisar ja 

que hi ha punts que estan aïllats. 

2.4.8 Exemple Sigui A el subconjunt de R (amb la topologia usual) següent A = (0,1) ∪ {2}. 

Llavors, com és fàcil de veure, A = [0,1] ∪ {2}. Per tant, 2 ∈ A, però no hi ha cap successió de 

punts de A, tret de la successió constant 2,2,2,..., que tendeixi cap a 2. 

1 

R


La noció corresponent al punt que “es pot aproximar per punts d’A” altres que ell mateix és la 

següent: 

2.4.9 Definició Diem que un punt x ∈ X és un punt límit o d’acumulació de A si, per a tot 

U obert que conté x, es té (U \ {x}) ∩ A = ∅. Notem per A ′ el conjunt dels punts d’acumulació 

de A. Els punts de A \ A ′ s’anomenen punts aïllats. 

2.4.10 Exemples (1) Si X = R i A = (0,1], aleshores A ′ = A = [0,1]. Però, si B = 

1 

n | n ∈ N , llavors 

mentre que B ′ = {0} i ∂B = B. 

B = B ∪ {0}, 

(2) Si X té la topologia discreta, tot punt x ∈ X és aïllat. 

2.4.11 Proposició Sigui X un espai topològic i A ⊆ X un subconjunt. Aleshores, A = A ∪ A ′ . 

Demostració. ⊇ A ⊆ A; per tant, basta comprovar que A ′ ⊆ A. I això és per definició: x ∈ A ′ 

si, per a tot U obert, U ∋ x, (U \ {x}) ∩ A = ∅. Amb més raó, per a tot U obert amb U ∋ x, 

es tindrà U ∩ A = ∅, d’on x ∈ A. 

⊆ Sigui x ∈ A. Si x ∈ A, hem acabat. Suposem, doncs, x ∈ A: com que x ∈ A, per a tot U 

obert, U ∋ x, es té U ∩ A = ∅, però com que x ∈ A, es té (U \ {x}) ∩ A = ∅, d’on x ∈ A ′ . 

Els punts límit en els espais de Hausdorff tenen la propietat següent: 

2.4.12 Proposició Siguin X un espai de Hausdorff, x ∈ X i A ⊆ X. Aleshores x ∈ X és un 

punt límit de A si i només si tot entorn de x conté infinits punts de A. 

Demostració. ⇐ Basta que en contingui un (= x) perquè (U \{x})∩A = ∅ i, per tant, x ∈ A ′ . 

⇒ Sigui x ∈ A ′ i suposem que existís un entorn obert U de x tal que (U \ {x}) ∩ A = 

{x1,...,xm} fos un conjunt finit de punts. Com que X és de Hausdorff, existeixen oberts 

U1,...,Um i V1,...,Vm tals que x ∈ Ui, xi ∈ Vi i Ui ∩Vi = ∅, per a tot i = 1,...,m. Aleshores 

W = (∩ m 

i=1Ui) 

 

 

U ′ 

és un entorn obert de x tal que (W \ {x}) ∩ A = ∅ ja que (W \ {x}) ∩ A ⊂ (U \ {x}) ∩ A, però 

cap dels xi és de W ja que xi ∈ Ui. Per tant, x no seria un punt límit. 

∩U


U 

x 

x1 

V1 

U ′ 

Acabem aquest apartat introduint dues nocions més: la de subconjunt dens i la d’entorn d’un 

punt. 

2.4.13 Definició Es diu que un conjunt A és dens en X si A = X. Un espai s’anomena 

separable si té un subconjunt numerable dens. 

2.4.14 Exemples Un exemple clàssic de subconjunt dens és A = Q en R. Com que Q és numerable, 

R és separable. Més generalment, R n és separable perquè admet Q n com a subconjunt 

numerable dens. 

Els espais mètrics separables són, precisament, els espais 2AN: 

2.4.15 Proposició Un espai mètric X és 2AN si i només si és separable. 

Demostració. ⇒ Sigui B una base numerable de X. Per a cada B ∈ B, prenem un punt 

xB ∈ B qualsevol. Llavors, com és fàcil de comprovar, el conjunt {xB}B∈B és dens. 

⇐ Sigui A un subconjunt numerable dens de l’espai. Llavors 

x2 

V2 

... 

Vn 

xn 

B = B 1/n(a) | a ∈ A, n ∈ N 

és una base numerable de l’espai. És numerable perquè és reunió numerable de conjunts numerables 

(els que s’obtenen fixant a ∈ A). Quant a ser base, sigui x un punt qualsevol i U un 

entorn obert seu. Com que x és interior a U, hi ha un n > 0 tal que B1/n(x) ⊆ U, mentre 

que, pel fet de ser A dens, B1/2n(x) ∩ A = ∅. Sigui a ∈ B1/2n(x) ∩ A ⊆ U ∩ A. Provem 

que x ∈ B1/2n(a) ⊆ U, cosa que acabarà la demostració. Per la desigualtat triangular, si 

y ∈ B1/2n(a) es té 

d(x,y) ≤ d(x,a) + d(a,y) < 1/2n + 1/2n = 1/n, 

i, per tant, y ∈ B 1/n(x) ⊆ U. 

A


2.4.16 Exemple Aquesta darrera proposició ens permet veure que la topologia del límit inferior 

Rℓ no prové de cap distància. En efecte, hem vist a 2.2.11(2) que Rℓ no és 2AN, mentre que sí 

que és separable ja que Q és un subconjunt dens. 

2.4.17 Definició Siguin X un espai topològic i x ∈ X. Un entorn de x és un subconjunt N ⊆ X 

tal que x ∈ ◦ 

N. 

És a dir, existeix un obert U tal que x ∈ U ⊆ N. Si N és obert, diem que és un entorn obert 

de x. 

2.4.18 Exemple (1) A X = R amb la topologia usual, − 1 

 

1 

n , n és un entorn de 0, però no de 

1/n. 

(2) (−1,1) no és entorn de zero a Rcf. En efecte, si U fos un obert de Rcf tal que 0 ⊆ U ⊂ 

(−1,1), llavors U = R \ A amb #A < ∞ i, per tant, 

Però R \ (−1,1) té una infinitat de punts. 

R \ {0} ⊇ R \ U = A ⊇ R \ (−1,1). 

Possiblement l’ús de paraules del llenguatge comú, com ara entorn, donant-los un significat 

precís, però conservant la capacitat de suggerir idees pel significat usual, és un dels atractius 

de la topologia. Així, és freqüent trobar-nos amb frases com “aquesta propietat és certa per 

a punts prou propers a x”, la qual vol dir: “en algun entorn de x”. Per exemple, la propietat 

“un conjunt A és un entorn de tots els seus punts si i només si és obert” es pot escriure: “un 

conjunt A és obert si i només si, per a tot x ∈ A, tots els punts prou propers a x són de A”. 

2.5 Aplicacions contínues 

De manera anàloga a com hem fet per definir una topologia, inspirant-nos en les propietats dels 

oberts d’un espai mètric, prenem ara la caracterització de la continuïtat en termes d’oberts del 

teorema 1.4.3 com a definició. 

2.5.1 Definició Sigui f : X −→ Y una aplicació entre espais topològics. Diem que f és contínua 

si, per a tot obert U ⊆ Y , f −1 (U) és obert de X. 

2.5.2 Proposició Les aplicacions constants són contínues. La identitat id X : X −→ X d’un 

espai topològic X és contínua. La composició d’aplicacions contínues és contínua. 

Demostració. Provem la darrera afirmació: siguin f : X −→ Y i g : Y −→ Z contínues i U ⊆ Z 

un obert. Aleshores, (g ◦ f) −1 (U) = f −1 (g −1 (U)) és obert. 

2.5.3 Exemples (1) Les aplicacions contínues entre espais mètrics amb la definició ε − δ són 

contínues segons aquesta definició (de fet, són les úniques aplicacions contínues amb aquesta 

definició). Això se segueix del teorema 1.4.3.


(2) Sigui f : X −→ Y una aplicació entre espais topològics. Si X té la topologia discreta, f és 

contínua independentment de la topologia de Y . Anàlogament, si Y té la topologia grollera , 

f és contínua independentment de la topologia de X. Per tant, les aplicacions contínues que 

trobem en les situacions Rdis −→ R, R −→ R i Rgr −→ R són molt diferents: en el primer cas, 

totes les aplicacions són contínues; en el segon ho són les que satisfan la definició ε −δ habitual 

i, en el tercer, tan sols les constants són contínues. 

(3) La definició no diu que la imatge d’un obert sigui un obert. Per exemple, l’aplicació 

f : R −→ R, definida per 

f(x) = 1 

1 + x 2 

és contínua, però f(R) = (0,1], que no és obert ni tancat. 

Els primers resultats ens diuen que no és necessari comprovar que l’antiimatge de tot obert és 

un obert per concloure que l’aplicació és contínua, ja que la continuïtat es pot analitzar amb 

una base, i fins i tot una subbase, de la topologia de l’espai Y : 

2.5.4 Proposició Sigui f : X −→ Y una aplicació entre espais topològics. Llavors: 

(a) Sigui B una base de la topologia de Y . L’aplicació f és contínua si i només si f −1 (B) és 

obert per a tot B ∈ B. 

(b) Sigui S una subbase de la topologia de S. L’aplicació f és contínua si i només si f −1 (S) 

és obert per a tot S ∈ S. 

Demostració. En cada cas, sols una implicació no és trivial. 

(a) ⇐ Donat un obert V ⊆ Y , per ser B una base, V = ∪α∈JBα. Per tant, f −1 (V ) = 

∪ 

α∈J f −1 (Bα) és obert. 

(b) ⇐ Per l’apartat (a), és suficient comprovar que l’antiimatge dels oberts d’una base és un 

obert: sigui B ∈ B, on B és la base generada per la subbase S. Aleshores, B = S1 ∩ · · · ∩ Sn, 

amb Si ∈ S. Per tant, f −1 (B) = f −1 (S1) ∩ · · · ∩ f −1 (Sn) és obert. 

2.5.5 Exemple Sigui f : X −→ Y una aplicació entre espais mètrics tal que, per a tota bola 

Bε(y) de Y , es té que f −1 (Bε(y)) és un obert de X. Per definició d’obert d’un espai mètric, 

això vol dir que, per a qualsevol x ∈ f −1 (Bε(y)), hi ha un δ > 0 tal que Bδ(x) ⊆ f −1 (Bε(y)). I, 

per tant, f(Bδ(x)) ⊆ Bε(y). En particular, prenent y = f(x), obtenim que f satisfà la definició 

ε − δ de continuïtat. 

En termes de tancats i adherències, podem caracteritzar també les aplicacions contínues. Al 

proper apartat veurem que la caracterització (b) es tradueix, en els espais adequats, en la 

coneguda propietat de les aplicacions contínues entre espais mètrics lim 

n→∞ f(xn) = f( lim 

n→∞ xn). 

2.5.6 Proposició Sigui f : X −→ Y una aplicació. Aleshores, les afirmacions següents són 

equivalents:


(a) f és contínua. 

(b) per a tot A ⊆ X, f(A) ⊆ f(A). 

(c) per a tot tancat C ⊆ Y , f −1 (C) és tancat. 

Demostració. (a) ⇒ (b) Sigui A ⊆ X i x ∈ A. Hem de veure que f(x) ∈ f(A). Sigui V un 

entorn obert de f(x); aleshores, f −1 (V ) és un obert de X (perquè f és contínua) que conté x. 

Per tant, f −1 (V )∩A = ∅. Sigui y ∈ f −1 (V )∩A. Aleshores, f(y) ∈ V ∩f(A), d’on V ∩f(A) = ∅ 

i, per tant, x ∈ f(A). 

(b) ⇒ (c) Sigui C ⊆ Y un tancat. Volem veure que D = f −1 (C) ⊆ X és tancat. Equivalentment, 

que D ⊆ D (és a dir, D = D) i això és cert perquè, per hipòtesi i com que C és tancat, 

es tenen les inclusions 

f(D) ⊆ f(D) = f(f −1 (C)) ⊆ C = C 

i, aleshores, D ⊆ f −1 (C) = D. 

(c) ⇒ (a) Sigui V ⊆ Y un obert. Aleshores, Y \V és tancat. Per hipòtesi, f −1 (Y \V ) també. 

Però 

f −1 (Y \ V ) = f −1 (Y ) \ f −1 (V ) = X \ f −1 (V ), 

d’on f −1 (V ) ⊆ X és obert. 

La continuïtat d’una aplicació es pot caracteritzar localment, com succeeix amb la definició de 

continuïtat ε − δ entre espais mètrics. 

2.5.7 Proposició L’aplicació f : X −→ Y és contínua si i només si per a tot x ∈ X i tot entorn 

V de f(x), existeix un entorn U de x tal que f(U) ⊆ V . 

Demostració. ⇒ Com que V és un entorn, existeix V ′ ⊆ V , V ′ ∋ f(x), V ′ obert. Llavors, 

f −1 (V ) és un entorn de x i f(f −1 (V ′ )) ⊆ V ′ ⊆ V . 

⇐ Sigui V un obert de Y . Hem de veure que f −1 (V ) és obert. Sigui x ∈ f −1 (V ). Per tant, 

f(x) ∈ V . Per hipòtesi, existeix Un entorn de x (que podem suposar obert) tal que f(Un) ⊆ V . 

Llavors x ∈ Un ⊆ f −1 (V ) és interior a f −1 (V ) i per tant f −1 (V ) és obert per 2.4.3. 

Definim ara les aplicacions que fan en topologia el paper dels isomorfismes entre espais vectorials 

en àlgebra lineal, els homeomorfismes. 

2.5.8 Definició Sigui f : X −→ Y una aplicació entre espais topològics. Es diu que f és un 

homeomorfisme si f és contínua i bijectiva i f −1 : Y −→ X és contínua. Dos espais X i Y 

són homeomorfs si existeix un homeomorfisme f : X −→ Y entre ells. Aquest fet es denota per 

X ∼ = Y . 

És immediat comprovar que la identitat de X és un homeomorfisme i que la composició d’homeomorfismes 

és també un homeomorfisme, per la qual cosa el conjunt d’homeomorfismes d’un 

espai topològic X és un grup, amb l’operació de composició, que notem Aut(X).


Des del punt de vista de la topologia, dos espais topològics homeomorfs són “iguals”, de la 

mateixa manera que dos triangles amb els tres costats iguals són “iguals” (isomètrics) des del 

punt de vista de la geometria mètrica o dos triangles són iguals sempre des del punt de vista 

afí. Hem d’observar, però, que ara estem fent equivalents moltes més figures. 

2.5.9 Exemple El quadrat i la circumferència de la figura són homeomorfs: l’homeomorfisme 

s’obté dividint cada vector per la seva norma. 

f : Q −→ S 1 

✻ 

Q 

✲ ✲ 

✛ 

S1 Imprecisament, podríem dir que un homeomorfisme és una deformació contínua (no “tallem” 

la figura), bijectiva (no “juntem” punts diferents), i que podem desfer cap enrere (inversa 

contínua). 

La condició d’inversa contínua no és, ni de bon tros, automàtica, a diferència del que passa, per 

exemple, en àlgebra lineal, on si f : E −→ F lineal i bijectiva, aleshores f −1 lineal, com ens ho 

mostra un exemple elemental. 

2.5.10 Exemple Considerem la identitat de R 

id : Rdis −→ R 

x ↦−→ id (x) = x 

Però posem a l’origen la topologia discreta i a l’arribada la usual. La identitat és contínua (per 

exemple, perquè l’origen té la topologia discreta) i bijectiva, però id −1 (= id ) : R −→ Rdis no 

és contínua, ja que els punts són oberts a Rdis, però no a R. 

Resumint: si dos espais són homeomorfs, aleshores tenen “els mateixos” punts (f bijectiva) i 

“els mateixos oberts” (f i f −1 contínues). Per tant, des del punt de vista de la topologia, són 

indistingibles ja que punts i oberts són tot el que defineix un espai topològic. Com a corol·lari, 

resulta que una propietat de X que sols depengui dels seus punts i dels seus oberts es mantindrà 

per homeomorfismes: és el que s’anomena una propietat topològica.


2.5.11 Observació Fixem-nos que, si f : X −→ Y és un homeomorfisme, llavors la imatge 

per f d’oberts (respectivament tancats) de X són conjunts oberts (respectivament tancats) de 

Y perquè f és bijectiva i f −1 és contínua. Si f no és necessàriament bijectiva i f −1 no és 

necessàriament contínua, aquestes dues propietats no tenen per què donar-se ni necessàriament 

ser equivalents. Per aquesta raó, els donarem noms. 

2.5.12 Definició Una aplicació contínua f : X −→ Y tal que f(U) és obert per a tot obert 

U ⊆ X, s’anomena oberta. Si f(C) és tancat per a tot tancat C ⊆ X, es diu que f és tancada. 

Per tant, un homeomorfisme és una aplicació contínua, bijectiva i oberta (o tancada). 

2.6 Successions i límits 

Sovint és convenient disposar d’una caracterització de la continuïtat d’una aplicació o de l’adherència 

d’un conjunt en termes de successions convergents. En espais generals, no és possible 

donar aquesta mena de caracteritzacions. El concepte que introduïm a continuació dóna el 

context en el qual les successions són útils. 

2.6.1 Definició Un espai X es diu que té una base numerable en x si existeix una col·lecció 

numerable B d’entorns de x tal que tot entorn de x conté almenys un dels elements de B. Si X 

té una base numerable per a tot x ∈ X, es diu que satisfà el primera axioma de numerabilitat 

(1AN). 

2.6.2 Exemple Tot espai mètric satisfà 1AN: en efecte, per a tot x ∈ X, podem prendre 

 

B = (x) | n ∈ N . 

B 1 

n 

El que ens interessa dels espais que verifiquen 1AN és que en ells es poden descriure l’adherència 

i la continuïtat en termes de successions, com en els espais mètrics. Aclarim primer què vol dir 

que una successió convergeix en el cas d’un espai topològic ja que, sense distància, no té sentit 

la mateixa definició que en un espai mètric. 

2.6.3 Definició Sigui X un espai topològic, (xn)n∈N una successió de punts de X i x ∈ X. 

Diem que (xn) convergeix cap a x (i ho denotarem per (xn) −→ x) si, per a tot entorn U de 

x, existeix un enter positiu n0 tal que, si n ≥ n0, llavors xn ∈ U. 

2.6.4 Exemple En general, el límit d’una successió no és únic. Per exemple, si considerem la 

topologia de complements finits a la recta real, tot punt de R és límit de la successió (n), com 

es comprova immediatament. La propietat de Hausdorff evita aquesta mena de patologies. 

2.6.5 Proposició Si X és un espai de Hausdorff i (xn) és una successió convergent de punts de 

X, llavors el límit és únic.


Demostració. Suposem que x = y són dos límits de la successió (xn). Com que X és de 

Hausdorff, existeixen oberts disjunts U,V tals que x ∈ U i y ∈ V . Com que x és límit de la 

successió, existeix un n0 tal que xn ∈ U per a tot n ≥ n0. Anàlogament, com que y també és 

límit, existeix un n1 tal que xn ∈ V per a tot n ≥ n1. Però això és absurd ja que aleshores 

xn ∈ U ∩ V = ∅, per a n ≥ max{n0,n1}. 

2.6.6 Proposició Sigui X un espai topològic que satisfà 1AN. Llavors 

(a) Per a tot A ⊆ X, x ∈ A si i només si existeix una successió de punts xn ∈ A, tal que 

(xn) −→ x. 

(b) Sigui f : X −→ Y una aplicació, Y un espai topològic. Llavors, f és contínua si i només 

si per a tota successió convergent (xn) −→ x de X, (f(xn)) −→ f(x) a Y . 

Demostració. (a) ⇐ Suposem que (xn) −→ x, amb xn ∈ A. Llavors, tot entorn U de x conté 

algun punt de A. Per tant x ∈ A. 

⇒ Sigui x ∈ A i B = {Un | n ∈ N} una base d’entorns numerable de x. Considerem els entorns 

de x 

Bn = U1 ∩ · · · ∩ Un 

i observem que B1 ⊇ B2 ⊇ · · · ⊇ Bn ⊇ ... Com que, per definició d’adherència, Bn ∩A = ∅, per 

a cada n, escollim un xn ∈ Bn ∩A. Llavors, (xn) −→ x. En efecte: donat un entorn U qualsevol 

de x (no necessàriament de B), existirà Un0 ∈ B tal que Un0 ⊆ U i, per tant, Bn ⊆ Un0 ⊂ U, 

per a tot n ≥ n0, d’on xn ∈ U, per a tot n ≥ n0. 

(b) ⇒ Siguin f : X −→ Y contínua i (xn) −→ x una successió convergent de X. Volem veure 

que (f(xn)) −→ f(x). Sigui V ⊆ Y un entorn de f(x). Llavors, f −1 (V ) és un entorn de x. Per 

tant existeix n0 tal que xn ∈ f −1 (V ), per a tot n ≥ n0. Per tant, f(xn) ∈ V , per a tot n ≥ n0. 

⇐ Suposem que si (xn) −→ x, llavors (f(xn)) −→ f(x), per a tota successió convergent de 

X. Volem veure que això implica la continuïtat de f. Per a això mostrarem que f(A) ⊆ f(A), 

per a tot A ⊆ X. Si x ∈ A, per l’apartat (a), existeix (xn) −→ x amb xn ∈ A. Com que 

f(xn) ∈ f(A), l’apartat (a) implica que f(x) ∈ f(A) ja que (f(xn)) −→ f(x). 

2.6.7 Observació Esmentem finalment que si un espai és 2AN, aleshores certament satisfà 

1AN, però el recíproc no és cert. En efecte, la topologia del límit inferior de la recta real Rℓ 

satisfà 1AN, mentre que no és 2AN, com hem provat anteriorment. 

2.7 Problemes 

1. Determineu totes les topologies possibles en un conjunt de tres elements, X = {a,b,c}. 

2. Sigui X un conjunt infinit. Sigui 

T = {∅} ∪ {A ⊆ X |X \ A és finit o numerable}.


Proveu que T és una topologia sobre X, que anomenem topologıa del complementari numerable. 

3. Decidiu si T defineix una topologia en R: 

(a) T = {∅} ∪ {R} ∪ {(−∞,a) |a ∈ R}. 

(b) T = {∅} ∪ {R} ∪ {(−∞,a), a ∈ Q}. 

4. Calculeu l’interior, l’adherència i els punts d’acumulació dels subconjunts següents de R: 

A1 = [a,b]; A2 = (a,b); A3 = [a,b); A4 = (a,b]; A5 = Q; A6 = R − Q, 

en les topologies següents: l’ordinària, la de complements finits, la de complements numerables, 

la de límit inferior. 

5. Topologia de l’ordre: Sigui X un conjunt totalment ordenat amb almenys dos elements; 

notem ≤ la relació d’ordre. Definim una topologia en X com segueix: 

Si existeixen a0 = min X, b0 = max X, prenem com a base de la topologia els subconjunts 

B = {[a0,a),(a,b),(b,b0]} a,b∈X . 

Si a0 o b0 no existeixen, no considerem [a0,a) o (b,b0]. 

(a) Proveu que B és, en efecte, una base d’una topologia. 

(b) A R 2 considerem l’ordre lexicogràfic: 

(a,b) ≤ (c,d) ⇐⇒ a < c, o si a = c,b ≤ d. 

Dibuixeu els oberts de la base de R 2 , corresponents a la topologia associada a aquest 

ordre en (a). 

(c) Proveu que la topologia de l’ordre de N és la topologia discreta. 

(d) Considerem la topología de l’ordre lexicogràfic en {1,2} ×N. Coincideix amb la topologia 

discreta? 

6. Sistemes d’entorns: Sigui (X, T ) un espai topològic i sigui p ∈ X; definim el sistema 

d’entorns en p com el conjunt: Np := {M ⊆ X |M és un entorn de p}. 

(a) Proveu que se satisfà: 

(i) Np = ∅. 

(ii) per a tot U ∈ Np, si V ⊇ U, llavors V ∈ Np. 

(iii) U1,U2 ∈ Np =⇒ U1 ∩ U2 ∈ Np. 

(iv) per a tot U ∈ Np, existeix V ∈ Np, V ⊆ U tal que, per a tot q ∈ V , V ∈ Nq.


(b) Recíprocament, suposem que, per a tot punt p ∈ X, es tenen subconjunts Np ⊆ P(X) 

que satisfan les propietats (i) − (iv). Proveu que hi ha una única topologia T en X en la 

qual Np és el sistema d’entorns de p. 

7. Clausura de Kuratowski. Siguin X un conjunt i ψ : P(X) −→ P(X) una aplicació que, per 

a tot M,N ∈ P(X), satisfà: 

(i) ψ(∅) = ∅. 

(ii) M ⊆ ψ(M), per a tot M. 

(iii) ψ(ψ(M)) = ψ(M). 

(iv) ψ(M ∪ N) = ψ(M) ∪ ψ(N). 

Proveu que hi ha una única topologia T en X tal que, per a tot M ⊆ X, M = ψ(M). Enuncieu 

i proveu un resultat similar amb l’operació “interior”. 

8. Decidiu quines de les famílies següents són base o subbase de la topologia ordinària de R 2 , 

segons el cas: 

B1 = {interiors de rectangles} 

 

B2 = {(x,y) ∈ R2 |(x − a) 2 + (y − b) 2 > r2 } |a,b ∈ R, r ∈ R + 

 

 

B3 = {(x,y) ∈ R2 

|0 < ax + by + c < 1} |a,b,c ∈ R 

 

B4 = {(x,y) ∈ R2 |r2 1 < (x − a) 2 + (y − b) 2 < r2 

2} |a,b,r1,r2 ∈ R 

 

B5 = {(x,y) ∈ R2 

|ax + by + c = 0} |a,b,c ∈ R 

9. El pla de Moore: Sigui X = R × [0, ∞) ⊂ R 2 i B ⊆ P(X) el conjunt format per les boles 

obertes de R×(0, ∞) i els subconjunts de la forma {(x,0)}∪B, on B és un disc obert de X que 

és tangent a y = 0 en (x,0). Proveu que B és base d’una topologia, que s’anomena la topologia 

de Moore. 

10. Sigui (Z, Tp) l’espai topològic associat a la distància p-àdica en Z (vegeu el problema 1.4). 

(a) Proveu que, si A ⊆ Z és un subconjunt finit, aleshores A és tancat. 

(b) Proveu que Tp és més fina que la topologia de complements finits. 

(c) Considerem en Z/pZ la topologia discreta i l’aplicació de pas al quocient π : Z −→ 

Z/(pZ). Proveu que, si considerem en Z la topologia Tp, aleshores π és contínua. 

11. Sigui (X, T ) un espai topològic, i A,B, · · · ⊆ X subconjunts. Proveu que se satisfan les 

relacions següents: 

(a) A ⊆ B =⇒ A ⊆ B.


(b) A ⊆ C, C tancat =⇒ A ⊆ C. 

(c) A obert =⇒ A ∩ B ⊆ A ∩ B. 

(d) = 

A= A. 

(e) A ∪ B = A ∪ B; A ∩ B ⊆ A ∩ B (però, en general, no es dóna la igualtat). 

(f) 

◦ 

A ⊇ ◦ 

A; 

(g) X\ ◦ 

A= X \ A. 

◦ 

A ⊆ A (però, en general, no es dóna la igualtat). 

(h) A = A ∪ ∂A (∂A := A ∩ X \ A, frontera de A). 

(i) A tancat ⇐⇒ ∂A ⊆ A. 

(j) ∂A = ∅ ⇐⇒ A = ◦ 

A= A (és obert i tancat alhora). 

(k) (X \ A) ◦ = X \ A. 

12. Doneu un exemple d’espai topològic X i subconjunts A,B ⊆ X tal que els conjunts 

siguin tots ells diferents. 

A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B 

13. Sigui X l’espai topològic de funcions contínues X = C 0 ([0,π]) induït per la distància del 

suprem. 

(a) Sigui A el subespai format pels polinomis, A = R[x] ∩ C 0 ([0,π]). Calculeu l’adherència, 

A. 

(b) Proveu que X satisfà 2AN. (Nota: utilitzeu el teorema d’aproximació de Weierstrass.) 

14. Topologia de Zariski en R n . Sigui I ⊆ R[x1,...,xn] una col·lecció de polinomis en n 

variables amb coeficients reals, i anomenem conjunt de zeros de I el subconjunt de R n : 

Z(I) = {x = (x1,...,xn) ∈ R n | f(x) = 0, per a tota f ∈ I} . 

Diem que A ⊆ R n és un conjunt algebraic si existeix I ⊆ R[x1,...,xn] tal que A = Z(I). 

(a) Proveu que els conjunts algebraics de R n satisfan els axiomes d’un sistema de conjunts 

tancats d’una topologia. Anomenarem topologia de Zariski la topologia associada. 

(b) Identifiqueu la topologia de Zariski de R (cas n = 1). 

(c) Proveu que la topologia de Zariski en R n és estrictament menys fina que la topologia 

ordinària.


(d) Considerem A = {(x,sin x) | x ∈ R} ⊆ R 2 i B = Z × 0. Calculeu les adherències de A i 

B amb la topologia de Zariski. 

Observació: Utilitzeu el resultat següent: Per a tot I ⊆ R[x1,...,xn], existeix un nnombre 

finit de polinomis f1,...,fr ∈ I tals que Z(I) = Z({f1,...,fr}). 

15. Siguin X un conjunt i p ∈ X. Notem 

(a) Proveu que T (p) és una topologia en X. 

T (p) = {∅} ∪ {U ⊆ X | p ∈ U}. 

(b) Proveu que C ⊆ X, C = ∅, és tancat si i només si p ∈ C. 

(c) Sigui f : (X, T (p)) −→ (Y, T (q)) una aplicació. Proveu que f és contínua si i només si 

f(p) = q o f és constant. 

(d) Proveu que tota funció contínua f : (X, T (p)) −→ Rord és constant. 

(e) Definiu la topologia de X que evita el punt p i enuncieu els resultats equivalents als dels 

apartats anteriors. 

16. Proveu que els tres espais que segueixen són homeomorfs amb la topologia ordinària: 

(a) D 2 = {(x,y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 1}. 

(b) A = {(x,y,z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 = z 2 ; 0 ≤ z ≤ 1}. 

(c) B = {(x,y,z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 = 1; z ≤ 3/4}. 

17. Proveu que els espais que segueixen són homeomorfs amb la topologia ordinària: 

(a) A = R 2 − {(0,0)}. 

(b) B = {(x,y,z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 = z 2 ; z > 0}. 

(c) C = {(x,y,z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 = 1; −1 < z < 1}. 

(d) D = {(x,y,z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 = 1}. 

(e) E = {(x,y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 > 1}. 

18. Proveu que els espais que segueixen són homeomorfs amb la topologia ordinària: 

(a) El disc obert {(x,y) ∈ R 2 |x 2 + y 2 < 1}. 

(b) El semiplà superior H 2 = {(x,y) ∈ R 2 |y > 0}. 

(c) Una banda {(x,y) | 0 < y < 1}.


(d) Una banda (0, ∞) × (0,1). 

(e) Un sector angular Sθ = {v = (x,y) ∈ R 2 |0 < 

OXv < θ}, amb 0 ≤ θ ≤ π/2. 

19. Sigui S 1 = {(x,y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 = 1} amb la topologia induïda per R 2 . Considerem 

l’aplicació f : [0,1) −→ S 1 definida per f(t) = (cos 2πt,sin 2πt). Proveu que f és contínua i 

bijectiva, però que f −1 no és contínua. 

20. Proveu que la identitat id : Rord −→ Rcf és bijectiva i contínua, però que f −1 no és 

contínua. 

21. Sigui X = {1,2} × N amb la topologia de l’ordre lexicogràfic. Trobeu una aplicació 

f : X −→ X contínua i bijectiva, que no sigui un homeomorfisme, (observeu que, a diferència 

de l’exemple anterior, ara la topologia de X és la mateixa en el domini i el recorregut). 

22. Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua entre espais topològics. Proveu que són equivalents 

les afirmacions següents: 

(a) f és tancada. 

(b) Per a tot conjunt A ⊆ X, se satisfà: f(A) ⊆ f(A). 

(c) Per a tot conjunt obert U ⊆ X, el conjunt {y ∈ Y | f −1 (y) ⊆ U} és un obert de Y . 

(d) Per a tot conjunt tancat A ⊆ X, el conjunt {y ∈ Y | f −1 (y) ∩ A = ∅} és un tancat de Y . 

23. (a) Proveu que R n − {0} i S n−1 × R són homeomorfs. 

(b) Proveu que el subconjunt Sp,q ⊆ R n definit per 

Sp,q = {(x1,...,xn) ∈ R n | x 2 1 + · · · + x 2 p − x 2 p+1 − · · · − x 2 p+q = 1}, p + q ≤ n, 

és homeomorf a S p−1 × R n−p . (Indicació: considereu l’aplicació f : S p−1 × R n−p −→ S p,q 

definida per 

amb z = 

f(x1,...,xp,y1,...,yn−p) = (x1z,...,xpz,y1,y2,...,yn−p) 

 

1 + y 2 1 + · · · + y2 q .) 

24. Una prova topològica de l’existència d’infinits primers. Donats a,b ∈ Z, b > 0, sigui 

Na,b = {a + nb | n ∈ Z}. 

Diem que U ⊆ Z és obert si és buit o bé, per a tot a ∈ U, existeix b > 0 tal que a ∈ Na,b ⊆ U. 

(a) Proveu que amb els oberts així definits s’obté una topologia a Z i observeu que tot obert 

no buit és infinit. 

(b) Proveu que els conjunts Na,b són oberts i tancats alhora.


(c) Sigui P el conjunt dels nombres primers. Proveu que 

Z − {−1,1} = 

i deduïu que P és infinit. 

25. Sigui X un conjunt. 

p∈P 

(a) Proveu que Xcf és 1AN si i només si X és numerable. 

N0,p, 

(b) Suposem que Xcn no és 1AN. Proveu que l’aplicació identitat id : Xcn −→ Xdis no és 

contínua. 

(c) Amb la mateixa hipòtesi de l’apartat anterior, proveu que una successió (xn) és convergent 

a x en la topologia del complement numerable si i només si és convergent a x en Xdis. 

26. Sigui X un espai topològic 2AN. 

(a) Proveu que tota base de la topologia conté una base numerable. 

(b) Sigui A ⊆ X no numerable. Proveu que A ′ és no numerable. 

27. Sigui X un espai topològic. Diem que un punt x ∈ X és un punt de condensació de A ⊆ X 

si, per a tot entorn U de x, la intersecció A ∩ U és no numerable. Denotem per A c el conjunt 

de punts de condensació de A. 

(a) Proveu que A c ⊆ A ′ , que A c és un tancat i que (A ∪ B) c = A c ∪ B c . 

(b) Suposem que X és 2AN. Proveu que A \ A c no és numerable i deduïu que (A \ A c ) c = ∅. 

(c) Deduïu que, per un espai 2AN, es té que X cc = X c . 

28. Sigui X un espai topològic 2AN que no és numerable. Diem que A ⊆ X és dens en ell 

mateix si A ⊆ A ′ . 

(a) Proveu que, per a qualsevol subconjunt A ⊆ X, el conjunt A ∩ A c és dens en ell mateix. 

(b) Proveu que X c és perfecte. (Un conjunt A s’anomena perfecte si és tancat i A ′ = A.) 

(c) Teorema de Cantor-Bendixon. Proveu que tot espai 2AN és la unió disjunta d’un conjunt 

perfecte i un conjunt numerable. En particular, deduïu que si C ⊆ R és un subconjunt 

tancat, aleshores C = P ⊔ N, on P ⊆ R és perfecte i N ⊆ R és numerable.

46 Capítol 2. Espais topològics i aplicacions contínues

Subespais, espais producte i espais 

3 

quocient 

Al capítol anterior hem introduït la noció d’espai topològic i, amb l’ajut del concepte de base 

d’una topologia, n’hem vist diversos exemples. Ens preocupem ara d’analitzar com podem 

generar espais topològics nous a partir d’espais coneguts. De fet, els espais topològics tenen 

un conjunt subjacent i entre els conjunts sabem generar-ne de nous fent el producte cartesià 

de dos d’ells o passant al quocient d’una relació d’equivalència, per exemple. Així, si X,Y són 

espais topològics, podem preguntar-nos si el conjunt X × Y hereta una topologia de X i Y , en 

algun sentit que haurem de fer precís, i, en aquest cas, quina és aquesta topologia? 

El capítol està dedicat a l’estudi de la topologia de subespai induïda sobre un subconjunt, a 

la topologia producte i a la topologia quocient. En els tres darrers apartats s’estudien tres 

exemples importants d’espais quocient: les superfícies, l’encolament d’espais topològics i els 

espais d’òrbites. 

3.1 Topologia induïda 

Sigui (X,d) un espai mètric. Si Y ⊆ X és un subconjunt, Y esdevé un espai mètric definint la 

distància sobre Y per restricció de d. En particular, si r > 0 i y ∈ Y , es té que 

Br(y;dY ) = {z ∈ Y | dY (y,z) < r} 

= Br(y;d) ∩ Y, 

és a dir, la bola oberta de Y de radi r centrada en y és la intersecció amb Y de la bola oberta 

de X, dels mateixos radi i centre. En un espai topològic arbitrari, prenem les interseccions dels 

oberts amb un subconjunt com la topologia induïda en aquest subconjunt: 

3.1.1 Definició Sigui (X, T ) un espai topològic. Si Y ⊆ X és un subconjunt de X, la col·lecció 

TY = {Y ∩ U | U ∈ T }, 

defineix una topologia en Y anomenada topologia induïda. Amb aquesta topologia, Y s’anomena 

un subespai (topològic) de X.

48 Capítol 3. Subespais, espais producte i espais quocient 

Lògicament, la definició només té sentit si comprovem que TY és, efectivament, una topologia 

de Y , comprovació que deixem com a exercici. 

3.1.2 Observació Per pas al complementari es demostra sense dificultat que, si Y ⊆ X és un 

subespai i C ⊆ Y , llavors C és un tancat de Y si i només si existeix C ′ ⊆ X tancat de X tal 

que C = C ′ ∩ Y . 

En termes de bases, com a l’exemple dels espais mètrics amb què hem començat aquest apartat, 

la topologia induïda es caracteritza segons la proposició següent: 

3.1.3 Proposició Si B és una base per a la topologia de X, la família 

és una base per a la topologia induïda de Y . 

BY = {Y ∩ B | B ∈ B} 

Demostració. Siguin V ⊆ Y un obert amb la topologia induïda i x ∈ V . Per definició, això vol 

dir que existeix U ⊆ X obert tal que V = Y ∩ U. Com que B és una base, existeix B ∈ B tal 

que x ∈ B ⊆ U. Llavors, x ∈ Y ∩ B ⊆ Y ∩ U = V . 

3.1.4 Exemples (1) Considerem el subconjunt Y = [0,1] de X = R. Una base de la topologia 

usual de R està formada pels intervals (a,b). Per tant, (a,b) ∩ Y és una base de la topologia 

induïda per R en [0,1]. Aquests conjunts poden ser del tipus següent: 

⎧ 

⎪⎨ 

(a,b), si a,b ∈ Y , 

[0,b) , si només b ∈ Y , 

(a,b) ∩ [0,1] = 

⎪⎩ 

(a,1], si només a ∈ Y , 

Y ó ∅, si ni a ni b ∈ Y . 

Observem que els primers són també oberts de R, però no els segons ni els tercers. 

(2) Sigui Y = [0,1]∪{2} ⊆ R. El conjunt {2} és obert a Y ja que, per exemple, {2} = 

3 5 

2 , 2 ∩Y , 

però {2} no és obert a R: si ho fos, hauria de contenir alguna bola oberta Bε(2), ε = 0. 

(3) Sigui Xcf un conjunt amb la topologia de complements finits. Tot subespai Y ⊆ X hereta 

la topologia de complements finits. 

(4) A R 2 considerem la topologia generada per la base 

B = {[a,b) × [c,d) | a < b,c < d}, 

(comproveu que, efectivament, es tracta d’una base). Aleshores, l’eix de coordenades y = 0 té 

com a topologia de subespai la topologia del límit inferior, Rℓ. D’altra banda, la topologia de 

subespai de la recta x + y = 0 és la topologia discreta. 

3.1.5 Observació Una possible dificultat de la topologia induïda és ser precís amb el que es 

vol dir quan es diu “obert”: es vol dir un element de T o de TY ? Quan faci falta precisar-ho, 

utilitzarem la nomenclatura següent: es diu que U és obert a Y si pertany a TY (en particular, 

U ⊆ Y ) i que és obert a X si U ∈ T . Hi ha un cas, però, en què els oberts de Y ho són també 

de X:

3.2. Topologia producte (d’un nombre finit d’espais) 49 

3.1.6 Proposició Sigui Y ⊆ X un subespai i suposem que Y és un obert de X. Aleshores, si 

U ⊆ Y és obert a Y , U és obert a X. 

Demostració. Si U és obert a Y , aleshores existeix U ′ obert de X tal que U = U ′ ∩ Y i, com 

que Y és un obert de X, llavors U és obert a X. 

3.1.7 Observació La proposició anterior es pot enunciar en la forma: Y ⊆ X és obert si i 

només si tot obert a Y és obert a X. Anàlogament, per als tancats podem enunciar: Y ⊆ X és 

tancat si i només si tot tancat a Y és tancat a X. 

3.1.8 Observació No s’ha de confondre subespai i subconjunt. Així, la inclusió 

R ֒→ R 2 cf 

x ↦−→ (x,0) 

és una aplicació contínua que permet identificar R amb el subconjunt de R2 cf que és l’eix Ox, 

però la topologia de R (la usual) no coincideix amb la induïda per la topologia de complements 

finits R2 cf en l’eix 0x ja que, per exemple, (a,b) ⊆ R no és obert per la darrera. 

Si Y és un subespai de X, la relació entre X i Y com a espais abstractes ve determinada per 

l’aplicació d’inclusió i : Y ֒→ X. Respecte d’aquesta aplicació, la topologia induïda té bones 

propietats: 

3.1.9 Proposició Sigui Y un subconjunt de X. Llavors: 

(a) La topologia induïda en Y és la menys fina que fa contínua la inclusió i : Y ֒→ X. 

(b) Propietat universal de la topologia induïda: una aplicació f : W −→ Y és contínua si i 

només si la composició i ◦ f : W −→ X és contínua. 

(c) Sigui f : X −→ Z una aplicació contínua. Aleshores, f |Y : Y −→ Z també és contínua. 

Demostració. (a) L’antiimatge d’un obert U de X per i : Y ֒→ X és i −1 (U) = U ∩ Y , d’on 

la topologia induïda té, per definició, tan sols aquells oberts necessaris per fer i contínua i cap 

més. 

(b) La implicació cap a la dreta és trivial perquè la composició d’aplicacions contínues és 

contínua. Pel que fa a l’altra, observem que es té f −1 (U) = (i ◦ f) −1 (U). 

(c) Per a y ∈ Y , f |Y (y) = f(y), d’on f |Y = f ◦ i és composició de dues aplicacions contínues. 

3.2 Topologia producte (d’un nombre finit d’espais) 

Siguin X i Y espais topològics. Ens plantegem el problema de dotar el producte cartesià 

X × Y = {(x,y), x ∈ X, y ∈ Y },


amb una topologia que faci contínues les projeccions naturals 

πX : X × Y −→ X 

(x,y) ↦−→ πX(x,y) = x 

πY : X × Y −→ Y 

(x,y) ↦−→ πY (x,y) = y 

Sense més ni més, aquest problema té una resposta senzilla: posar en X×Y la topologia discreta. 

Aquesta solució no és òptima ja que no només assegura la continuïtat de les projeccions, sinó 

que qualsevol aplicació X × Y −→ Z serà contínua i, de fet, no té en compte les topologies de 

X i de Y . Per això afegim la condició que sigui “la menys fina” possible (és a dir, amb el menor 

nombre d’oberts possible). 

Perquè les projeccions siguin contínues s’ha de satisfer que, per a tot U ⊆ X i tot V ⊆ Y oberts, 

els conjunts 

(U) = U × Y, i π−1(V 

) = X × V, 

π −1 

X 

siguin oberts. La reunió de tots aquests conjunts és, evidentment, X × Y . Per tant, defineixen 

una subbase d’una topologia. 

Y Y 

U 

π −1 

1 

V 

Y 

(U) π−1 2 

X X 

3.2.1 Definició Anomenem topologia producte de X × Y la que té com a subbase els conjunts 

de la forma 

on U ⊆ X i V ⊆ Y són oberts. 

U × Y = π −1 

X 

(U), i X × V = π−1 

Y (V ), 

Com hem indicat a 2.2.8, a partir d’una subbase s’obté una base prenent interseccions finites. 

En aquest cas, és possible identificar fàcilment els elements de la base associada: 

3.2.2 Proposició La família 

és una base de la topologia producte X × Y . 

B = {U × V | U ⊆ X, V ⊆ Y oberts}, 

Demostració. Els conjunts de la forma U ×V són interseccions de dos oberts de la subbase que 

hem pres per definir la topologia producte 

U × V = π −1 

X 

(U) ∩ π−1(V 

). 

Y 

(V )


Y 

V 

U 

U × V 

I la base que ens dóna aquesta està formada, en principi, per interseccions finites de, potser, 

més de dos oberts de la subbase: 

π −1 

X (U1) ∩ · · · ∩ π −1 

X (Un) ∩ π −1 

Y (V1) ∩ · · · ∩ π −1 

Y (Vm). 

Però aquestes es poden reduir a un producte de la forma U × V : 

π −1 

X (U1) ∩ · · · ∩ π −1 

X (Un) ∩ π −1 

Y (V1) ∩ · · · ∩ π −1 

Y (Vm) = 

= π −1 

X (U1 ∩ · · · ∩ Un) ∩ π −1 

Y (V1 ∩ · · · ∩ Vm) 

= (U1 ∩ · · · ∩ Un) × (V1 ∩ · · · ∩ Vm). 

I, per tant, B és la base que obtenim a partir de la subbase escollida per definir la topologia 

producte. 

3.2.3 Exemples (1) La topologia usual de R 2 és la topologia producte de R × R = R 2 , ja que 

en ambdós casos els rectangles (a,b) × (c,d) en formen base. 

(2) La topologia de complements finits de R 2 no és la topologia producte Rcf × Rcf. En efecte, 

mentre que a (R 2 )cf un conjunt obert té necessàriament complementari finit, a Rcf × Rcf el 

complementari d’un nombre finit de rectes paral·leles als eixos coordenats és obert. 

(3) En general, els “rectangles” U × V són oberts de la topologia producte de X × Y , ja que 

formen part de la base, però no són tots els oberts. Per exemple, 

X 

W = {(x,y) ∈ R 2 | xy > 1, x > 0} 

és un obert de R 2 , però no és de la forma (a,b) × (c,d). Anàlogament, si C ⊆ X i D ⊆ Y són 

tancats, C × D és un tancat de X × Y (per què?), però aquests no són tots els tancats de la 

topologia producte. 

La relació entre la topologia producte a X ×Y i les topologies sobre X i Y la donen les propietats 

que s’especifiquen en la proposició següent. 

3.2.4 Proposició Siguin X, Y espais topològics. Llavors:


(a) La topologia producte de X × Y és la menys fina que fa contínues les projeccions naturals 

πX : X × Y −→ X i πY : X × Y −→ Y . 

(b) Propietat universal de la topologia producte: siguin Z un espai topològic i f : Z −→ X×Y 

una aplicació definida per f(z) = (fX(z),fY (z)). Aleshores, f és contínua si i només si 

ho són les aplicacions fX : Z −→ X i fY : Z −→ Y (“aplicacions coordenades”). 

Demostració. (a) És evident pel raonament que ens ha portat a la definició de topologia 

producte. 

(b) Suposem f contínua. Aleshores fX = πX ◦ f i fY = πY ◦ f són contínues per definició de 

la topologia producte. 

Recíprocament, suposem que fX i fY són contínues. Per demostrar que f és contínua, basta 

veure que f −1 (S) és obert per a tot S ∈ S, on S és una subbase de la topologia de X × Y . Ara 

bé, un tal element és de la forma U × Y = π −1 

X (U) o X × V = π−1 

Y (V ), amb U ⊆ X, V ⊆ Y 

oberts. Aleshores 

f −1 (U × Y ) = f −1 (π −1 

X (U)) = (πX ◦ f) −1 (U) = f −1 

X (U) 

que és obert perquè fX és contínua per hipòtesi. Anàlogament es veu que f −1 (X × V ) 

= f −1 

Y (V ). 

3.2.5 Observació No s’ha de confondre la propietat universal de la topologia producte 

f : Z −→ X × Y contínua ⇐⇒ πX ◦ f : Z −→ X i πY ◦ f : Z −→ XY contínues, 

amb la propietat “recíproca”, que diria una cosa així: si f : X × Y −→ Z és tal que f(x0, −) : 

Y −→ Z i f(−,y0) : X −→ Z són contínues, per a tot x0 ∈ X i tot y0 ∈ Y fixats, aleshores f 

és contínua. Això és fals, com mostra l’exemple següent. 

3.2.6 Exemple Sigui f : R2 −→ R definida per 

xy 

f(x,y) = x2 , 

+ y2 0, 

si (x,y) = (0,0), 

si (x,y) = (0,0) 

. 

Llavors, per a tot x0 ∈ R, es té que 

és contínua i, per a tot y0 ∈ R, també ho és 

En canvi, f no és contínua a l’origen, ja que 

que no té límit zero per a x = 0. 

f(x0,y) = x0y 

x2 0 + y2 

f(x,y0) = xy0 

x2 + y2 . 

0 

f(x,x) = x2 

x2 1 

= , per a tot x ∈ R, 

+ x2 2


Una particularitat important de la topologia producte és que les aplicacions de projecció no 

només són contínues; també són obertes: 

3.2.7 Proposició Les projeccions naturals πx : X × Y −→ X, πy : X × Y −→ Y són obertes. 

Demostració. És suficient veure que les imatges dels oberts d’una base de X × Y ho són. Però 

una base de la topologia producte està formada pels conjunts U × V , amb U ⊆ X i V ⊆ Y 

oberts, i per a aquests el resultat és evident: πx(U × V ) = U i πy(U × V ) = V . 

Les projeccions πX i πY no són necessàriament tancades, com mostra l’exemple següent. 

3.2.8 Exemple Considerem el tancat de R 2 

La seva projecció en la primera coordenada és 

que no és un tancat de R. 

C = {(x,y) ∈ R 2 | x · y ≥ 1, x > 0}. 

πX(C) = {x ∈ R | x > 0}, 

3.2.9 Exemple Cilindre d’un espai topològic: sigui X un espai topològic i I = [0,1] l’interval 

unitat. El cilindre de base X és l’espai X × I, amb la topologia producte. 

Per a cada t ∈ [0,1], l’aplicació 

1 

t0 

0 

I 

it : X ֒→ X × Y 

x ↦−→ (x,t) 

és contínua i bijectiva i, de fet, és un homeomorfisme 

X ≃ it(X) = X × {t}, 

X×{1} 

X×{t0} 

X×{0} 

com es comprova directament a partir de les definicions. Si prenem com a X la circumferència 

S 1 , obtenim el cilindre “ordinari” de R 3 

W = {(x,y,z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1}. 

Tot i que això pot resultar “evident” en principi, la topologia de S 1 ×I i la de W són diferents: 

la del primer és la topologia producte, mentre que la del segon és la de subespai de R 3 . Aquestes 

topologies coincideixen per la compatibilitat d’ambdues (vegeu el problema 4). 

X


3.3 Topologia producte (d’un nombre arbitrari d’espais) 

La manera de dotar X × Y d’una topologia es pot generalitzar fàcilment a un nombre finit 

d’espais ja que el producte cartesià es redueix, en aquest cas, al de dos 1 : 

X1 × · · · × Xn = (X1 × · · · × Xn−1) × Xn 

= ((X1 × · · · × Xn−2) × Xn−1) × Xn 

= ... 

Per a algunes aplicacions de la topologia, especialment per als espais de funcions, resulta convenient 

disposar de productes d’espais topològics de famílies arbitràriament grans. En el cas 

general, per a un nombre arbitrari d’espais, cal fer una anàlisi més acurada del producte; en 

particular, hem d’aclarir què és el producte cartesià d’un nombre arbitrari de conjunts. 

El cas numerable és relativament senzill: donada una successió de conjunts X1,X2,... es 

defineix el conjunt producte 

 

Xi = X1 × X2 × · · · × Xn × ... 

1≥1 

com el conjunt de successions (x1,x2,...) amb xi ∈ Xi, per a tot i ≥ 1. Si Xi = R, per a tot 

i ≥ 1, el producte R és el conjunt de successions de R que hem denotat per R ω al capítol 1. 

En aquest cas, hem definit una distància sobre R w que fa d’aquest producte un espai mètric i, 

en particular, un espai topològic. 

3.3.1 Definició Sigui {Xα}α∈J una família de conjunts indexada per un conjunt arbitrari J. 

El producte cartesià d’aquesta família és el conjunt 

 

 

Xα = x : J −→ 

 

Xα | x(α) ∈ Xα, per a tot α ∈ J . 

α∈J 

Una notació potser més suggeridora és 

 

Xα = {x = (xα)α∈J | xα ∈ Xα per a tot α ∈ J} . 

α∈J 

α∈J 

La β-èsima projecció coordenada (o projecció natural) és l’aplicació 

πβ : 

α∈J 

Xα −→ Xβ 

(xα)α∈J ↦−→ πβ((xα)α∈J) = xβ 

1 Caldria justificar l’associativitat del producte cartesià, és a dir, que els espais (X ×Y ) ×Z i de X ×(Y ×Z) 

són homeomorfs, la qual cosa és un exercici senzill.

3.3. Topologia producte (d’un nombre arbitrari d’espais) 55 

3.3.2 Exemples (1) En el cas en què J és finit o numerable, la definició és compatible amb les 

definicions habituals. Per exemple, Rω és el conjunt de totes les aplicacions x : N −→ R. És a 

dir, el conjunt de les successions de nombres reals: Rω = {(xn) ∈ N}. 

(2) Si Xα = X, per a tot α ∈ J, s’acostuma a denotar el producte per 

X J = 

Xα. 

α∈J 

Així, per exemple, R [0,1] és el conjunt de totes les aplicacions (no necessàriament contínues) 

x : [0,1] −→ R, mentre que R N és el conjunt que hem denotat per R ω . 

La definició de la topologia producte en el cas general és formalment equivalent a la definició 

que hem donat en el cas d’un producte finit. 

3.3.3 Definició Anomenem topologia producte de 

Xα la que té per subbase la família de 

conjunts S = ∪ 

β∈J Sβ, on 

α∈J 

Sβ = {π −1 

β (Uβ) | Uβ és obert de Xβ} . 

Amb aquesta topologia, 

Xα s’anomena l’espai producte dels Xα. 

α∈J 

Descrivim com seran els oberts de la base generada per la subbase que hem triat per definir 

la topologia producte: per definició, es tracta d’interseccions finites d’oberts de la subbase 

S = ∪βSβ. Però, igual que en el cas finit, quan intersequem dos oberts d’un mateix Sβ no 

obtenim res de nou: 

π −1 

β (Uβ) ∩ π −1 

β (Vβ) = π −1 

β (Uβ ∩ Vβ). 

Per tant, un obert típic de la base és el següent: siguin β1,...,βn índexs diferents del conjunt 

J i Uβi un obert de Xβi per a i = 1,...,n. Llavors 

π −1 

β1 

(Uβ1 ) ∩ · · · ∩ π−1(Uβn 

) = B 

és un element de B. Equivalentment, x = (xα) ∈ B si i només si xβi ∈ Uβi per a tot i = 1,...,n 

i no hi ha cap restricció per a la resta de coordenades. En definitiva, es té: 

3.3.4 Proposició Els conjunts de la forma 

βn 

B = 

Uα, 

α∈J 

amb Uα ⊆ Xα oberts, α ∈ J, i Uα = Xα, llevat d’un nombre finit d’índexs, formen una base de 

la topologia producte de 

α∈J Xα.


3.3.5 Exemples (1) Sigui {Xα}, α ∈ J, una família d’espais topològics discrets i X l’espai 

producte. Si J és un conjunt finit, aleshores la topologia producte de X és la topologia discreta. 

En canvi, si J és infinit, i els espais Xα no es redueixen a un sol punt, l’espai producte X no té 

la topologia discreta. 

(2) La topologia mètrica de Rω donada per la distància 

 

¯d(xn,yn) 

 

D(x,y) = sup 

n n 

coincideix amb la topologia producte (problema 6). 

3.3.6 Observació La restricció del nombre finit de coordenades en què l’obert típic de la base 

és producte d’oberts dels Xα pot semblar estranya, malgrat que és conseqüència directa de 

la generalització de la topologia producte de dos espais. Semblaria més natural, potser, que 

un obert típic d’una base de 

Xα fos de la forma 

Uα amb Uα ⊆ Xα obert per a tot 

α∈J 

α∈J 

α ∈ J. Aquesta definició dóna també una base per a una topologia de 

Xα, l’anomenada 

α∈J 

topologia de les caixes de 

Xα. En general, aquesta és més fina que la topologia producte 

α∈J 

(comproveu-ho). Per què escollim o “preferim” la topologia producte? La propietat universal 

d’aquesta topologia, que s’expressa a la proposició 3.3.7, resulta aclaridora. 

De fet, en els productes infinits els conjunts de la forma 

Uα, amb Uα ⊆ Xα obert i Uα = Xα, 

per a tot α ∈ J, no són mai oberts de la topologia producte. Aquest comportament del producte 

d’oberts contrasta amb el producte de tancats (vegeu el problema 8). 

3.3.7 Proposició Sigui {Xα}α∈J una família arbitrària d’espais topològics. Llavors: 

(a) La topologia producte 

Xα és la menys fina que fa contínues les projeccions naturals 

α∈J 

πβ : 

Xα −→ Xβ, per a tot β ∈ J. 

α∈J 

(b) Propietat universal de la topologia producte: Sigui f : Z −→ 

Xα definida per f(z) = 

(fα(z))α∈J, on fα = πα ◦ f : Z −→ Xα. Aleshores, f és contínua si i només si ho són 

totes les aplicacions fα, α ∈ J. 

Demostració. És la mateixa que en el cas del producte de dos espais topològics: 

(a) Evident per la definició de la subbase que hem pres per definir la topologia producte. 

(b) Suposem f contínua. Llavors, fα = πα ◦ f és composició d’aplicacions contínues per a tot 

α ∈ J i, per tant, contínua. 

Recíprocament, suposem les fα : Z −→ Xα contínues per a tot α ∈ J. Per comprovar que f és 

contínua, és suficient veure que l’antiimatge dels oberts d’una subbase és oberta. Sigui π −1 

β (Uβ) 

α∈J 

α∈J

3.4. Topologia quocient 57 

un obert de la subbase que hem escollit per definir la topologia producte, on Uβ ⊆ Xβ és un 

obert. Aleshores, 

que és obert perquè fβ és contínua. 

f −1 (π −1 

β (Uβ)) = (πβ ◦ f) −1 (Uβ) = f −1 

β (Uβ), 

3.3.8 Exemple Sigui f : R −→ R ω l’aplicació definida per 

f(t) = (t,t,t,...). 

Amb la topologia producte, f és contínua ja que cada funció coordenada fn(t) = t ho és, i 

s’aplica la propietat universal. Amb la topologia de les caixes aquesta aplicació no és contínua: 

un element de la base amb què l’hem definida és 

 

B = (−1,1) × − 1 

 

1 

, × − 

2 2 

1 

 

1 

, × · · · × − 

3 3 

1 

 

1 

, × ... 

n n 

i la seva antiimatge per f és 

que no és un obert de R. 

f −1 (B) = 

= 

{t ∈ R | f(t) ∈ B} 

 

{t ∈ R | t ∈ − 1 

 

1 

, per a tot n = 1,2,3,...} 

n n 

= {0}, 

3.4 Topologia quocient 

A diferència de subespais i productes, la topologia quocient que introduïm en aquesta secció correspon 

a una construcció geomètrica que no té paral·lel en els estudis de la topologia de R n que 

es realitzen en els cursos de càlcul infinitesimal. Es tracta de definir el procés d’“enganxar”espais 

diferents o trossos d’un mateix espai per obtenir nous espais topològics, un procés que resulta 

prou intuïtiu, com per exemple el d’obtenir un cilindre a partir d’enganxar dos dels costats 

oposats d’un quadrat. 

a a 

✲ ✲ 

a a a 

Sigui X un conjunt. Recordem que una relació d’equivalència ∼ entre els punts de X és una 

relació binària x ∼ y que satisfà les propietats següents:


i) Reflexiva: x ∼ x, per a tot x ∈ X. 

ii) Simètrica: si x ∼ y, aleshores y ∼ x. 

iii) Transitiva: si x ∼ y i y ∼ z, aleshores, x ∼ z. 

Donats una relació d’equivalència ∼ i un element x ∈ X, es defineix la classe d’equivalència de 

x com el conjunt de tots els punts de X relacionats amb ell: 

¯x = {y ∈ X |x ∼ y}. 

Diem que x és un representant de la classe ¯x. Denotem per X/∼ el conjunt de les classes de X 

segons aquesta relació: 

X/∼= {¯x |x ∈ X}, 

i anomenem projecció canònica l’aplicació 

(θ,t) ∼ (θ ′ ,t ′ ) ⇐⇒ 

π : X −→ X/∼ 

x ↦−→ π(x) = ¯x 

3.4.1 Exemple El cilindre el podem obtenir identificant dos costats del quadrat X = [0,1] 2 per 

la relació d’equivalència: 

⎧ 

⎨ 

(0,1) 

(0,t) 

Gràficament, això es representa així: 

a a 

⎩ 

(0,0) (1,0) 

(θ,t) = (θ ′ ,t ′ ), 

θ = 1, θ ′ = 0, t ′ = t, 

θ = 0, θ ′ = 1, t ′ = t. 

∼= 

(1,1) 

(1,t) 

a


3.4.2 Observació Com hem assenyalat, una relació d’equivalència dóna lloc a una aplicació 

exhaustiva π : X −→ X/ ∼. Recíprocament, si f : X −→ Y és una aplicació exhaustiva, la 

relació 

x ∼ y ⇐⇒ f(x) = f(y) 

és una relació d’equivalència, i es té una bijecció evident entre X/ ∼ i Y que identifica la 

projecció canònica π amb f. 

Siguin X un espai topològic i ∼ una relació d’equivalència definida a X. Ens plantegem el 

problema de dotar el conjunt X/ ∼ amb la topologia més fina que faci π contínua o, dit d’una 

altra manera, donada una aplicació exhaustiva de X sobre un conjunt Y , π : X −→ Y , volem 

definir una topologia sobre Y que faci π contínua, i que sigui la més fina d’entre les que tenen 

aquesta propietat. 

3.4.3 Definició Siguin X un espai topològic i π : X −→ Y una aplicació exhaustiva en un 

conjunt Y . Diem que Y té la topologia quocient per π si la família d’oberts de Y és 

L’aplicació π s’anomena una identificació. 

TY = {V ⊆ Y | π −1 (V ) ∈ TX}. 

Lògicament, perquè la definició tingui sentit hem de comprovar que TY defineix una topologia 

de Y , cosa que deixem com a exercici. 

3.4.4 Exemple Analitzem algun dels oberts del cilindre que hem definit a l’exemple anterior 

com a quocient del quadrat I 2 : considerem els subconjunts de I 2 / ∼ que s’obtenen per pas al 

quocient dels conjunts U,V i W = V ∪ V ′ de la figura (que són oberts de X = I 2 ). Als punts 

de U no hi ha identificacions i, per tant, 

π −1 π(U) = U, 

és a dir, π(U) és un obert de l’espai quocient. Anàlogament, π(W) és obert; observem, però, 

que π(V ) no és obert ja que la seva antiimatge consta de V i el segment marcat com a J a la 

figura i V ∪ J no és un obert de I 2 . 

a 

U 

a 

V 

El resultat següent estableix les propietats principals de la topologia quocient. 

V ′ 

J


3.4.5 Proposició Siguin X un espai topològic i π : X −→ Y una aplicació exhaustiva sobre un 

conjunt Y . 

(a) La topologia quocient de Y per π és la més fina que fa π contínua. 

(b) Propietat universal de la topologia quocient: Si dotem Y de la topologia quocient per π, 

aleshores una aplicació f : Y −→ Z és contínua si i només si f ◦π : X −→ Z és contínua. 

Demostració. (a) És immediat a partir de la definció de topologia quocient. 

(b) Òbviament, si π i f són contínues, també ho serà f ◦ π. Recíprocament, suposem f ◦ π 

contínua i sigui W ⊆ Z un obert. Hem de veure que f −1 (W) és obert. Per definició de topologia 

quocient, això és així si i només si π −1 (f −1 (W)) = (f ◦ π) −1 (W) és un obert de X, cosa que se 

segueix del fet que f ◦ π és contínua. 

3.4.6 Observació Recalquem el fet que dir que Y té la topologia quocient per π vol dir que 

U ⊆ Y és obert ⇐⇒ π −1 (U) ⊆ X és obert (3.1) 

que és més fort que afirmar la continuïtat de π. Una caracterització anàloga es pot donar en 

termes de tancats. 

3.4.7 Proposició Y té la topologia quocient per π si i només si es compleix que 

C ⊆ Y és tancat ⇐⇒ π −1 (C) ⊆ X és tancat . (3.2) 

Demostració. L’equivalència se segueix de la definició de la topologia quocient i de l’equació 

π −1 (Y \ B) = π −1 (Y ) \ π −1 (B) = X \ π −1 (B). 

3.4.8 Observació La propietat universal de la topologia quocient s’utilitza habitualment per 

definir aplicacions contínues X/ ∼−→ Z. Per a això, és suficient definir una aplicació contínua 

f : X −→ Z de manera que respecti la relació d’equivalència, és a dir, que x ∼ y =⇒ f(x) = 

f(y). Automàticament, l’aplicació f : X/ ∼−→ Z definida per 

f(x) = f(x), 

està ben definida (no depèn del representant x de la classe x que triem) i, per la propietat 

universal de la topologia quocient, és contínua, fent commutatiu el diagrama 

X ✲ Z 

✒ 

π 

❄ 

X/ ∼ 

Es diu que l’aplicació f està definida per f per pas al quocient. 

f 

f


3.4.9 Exemple Sigui X = R amb la topologia usual. Definim la relació d’equivalència 

x ∼ y ⇐⇒ x ≡ y (mòd 1). 

És a dir, x és equivalent a tots els nombres reals de la forma x + n, amb n ∈ Z. Sembla prou 

evident que l’espai R/∼ és homeomorf a [0,1]/{0 ∼ 1} i aquest a la circumferència S 1 (si més 

no, hi ha una bijecció evident entre aquests conjunts, que de fet és un homeomorfisme, com 

veurem més endavant). La propietat universal de la topologia quocient diu, aleshores, que el 

conjunt de les funcions contínues S 1 −→ R és el mateix que el de les R −→ R periòdiques de 

període 1. 

Hi ha situacions en què es parteix d’una aplicació contínua i exhaustiva entre espais topològics 

π : X −→ Y (és a dir, Y ja té una topologia) i interessa saber si la topologia de Y i la topologia 

quocient induïda per π coincideixen. En efecte, a l’exemple anterior hem establert una bijecció 

entre [0,1]/{0 ∼ 1} i S 1 i hem assegurat que es tractava d’un homeomorfisme. Per afirmar 

això hauríem de veure que la topologia de S 1 com a subconjunt del pla és la mateixa que la 

topologia quocient corresponent. Tot i que això resultarà de criteris generals que establirem 

més endavant, donem dues condicions suficients perquè Y tingui la topologia quocient per π: 

ser oberta o tancada. 

3.4.10 Proposició Sigui π : X −→ Y una aplicació contínua i exhaustiva. Si π és oberta o bé 

és tancada, aleshores Y té la topologia quocient per π. 

Demostració. Hem de veure que, donat U ⊆ Y tal que π −1 (U) és obert de X, llavors necessàriament 

U és obert de Y . Suposem π oberta. Com que π és exhaustiva, U = π(π −1 (U)) 

i, per tant, U és obert ja que π és oberta. Si π és tancada, apliqueu la proposició 3.4.7. 

3.4.11 Exemples (1) La identitat de tot espai, id X : X −→ X, és una identificació. 

(2) Si X,Y són espais topològics, les projeccions naturals πX i πY del producte X × Y sobre 

X i Y , respectivament, són contínues, exhaustives i obertes, per la proposició 3.2.7, per la qual 

cosa són identificacions. 

(3) La proposició 3.4.10 permet comprovar que I/{0 ∼ 1} és homeomorf a la circumferència: 

en efecte, identificant conjuntistament I/{0 ∼ 1} i S 1 , la projecció π : R −→ R/∼= I/{0 ∼ 1} 

és igual a l’aplicació exp : R −→ S 1 definida per exp(s) = (cos 2πs,sin 2πs). Aquesta aplicació 

és contínua i exhaustiva i, a més, és oberta (comproveu-ho), per la qual cosa la topologia de S 1 

coincideix amb la topologia quocient. 

En canvi, que π : X −→ Y sigui contínua i exhaustiva no significa necessàriament que Y hagi 

de tenir la topologia quocient per π, com ho mostra l’exemple següent: 

3.4.12 Exemple Considerem els conjunts X = [0,1]∪(2,3], Y = [0,2] amb la topologia induïda 

com a subconjunts de R i l’aplicació π : X −→ Y definida per 

 

x, si x ∈ [0,1], 

π(x) = 

x − 1, si x ∈ (2,3].


És clarament contínua i exhaustiva, però Y no té la topologia quocient per π, ja que π −1 (1,2] = 

(2,3] és tancat a X, però (1,2] no ho és a Y . 

D’altra banda, el fet que π : X −→ Y sigui una identificació no implica necessàriament que π 

sigui oberta o tancada (vegeu el problema 16). 

3.4.13 Observació A diferència de la topologia producte, la topologia quocient no es comporta 

bé amb els subespais. Amb això volem dir el següent: siguin π : X −→ Y una identificació i 

B ⊆ Y . En B podem considerar dues topologies: 

(a) la de subespai de Y , i 

(b) la quocient per l’aplicació π |π −1 (B) : π −1 (B) −→ B. 

Com que π |π −1 (B) és contínua, en general tot obert de B per la topologia de subespai ho és per 

la topologia quocient. Però aquesta darrera pot ser més fina, com mostra l’exemple següent. 

3.4.14 Exemple Considerem el conjunt B ⊆ [0,1] dels nombres irracionals i sigui Y = {1} ∪B. 

Dotem Y per la topologia quocient per l’aplicació π : [0,1] −→ Y , 

π(x) = 

x, si x ∈ B, 

1, si x ∈ B. 

El lector observarà que els únics oberts no buits de Y són els conjunts de la forma π(W), amb 

W ⊆ I obert i contenint [0,1] \ B. Per tant, B ∩ (0, 1 

2 ) no és obert per la topologia de subespai 

de B i, en canvi, sí que ho és per la topologia quocient per π. 

3.4.15 Observació La topologia quocient tampoc no es comporta bé amb els productes: el 

producte de dues identificacions no té perquè ser una identificació, fins i tot si una d’elles és la 

identitat. És a dir, si π : X1 −→ X2, és una identificació, 

π × id Y : X1 × Y −→ X2 × Y 

(x,y) ↦−→ (π(x),y) 

no té per què ser una identificació, (vegeu, però, el problema 4.31. 

3.4.16 Observació Abans de seguir endavant, potser es bó advertir que en els dibuixos de 

l’exemple del cilindre, hem fet un xic de “trampa”, que no és tal: hem començat amb un espai 

X = [0,1] 2 , que té la topologia induïda com a subespai de R 2 , a continuació, n’hem identificat 

alguns dels punts i hem obtingut l’espai quocient X/∼. Llavors, de manera aparentment òbvia, 

hem identificat aquest espai X/∼ amb el cilindre 

Z = {(x,y,z) ∈ R 3 | z ∈ [0,1], x 2 + y 2 = 1}. 

Ara bé, aquest espai Z té també, de manera natural, una topologia: la induïda com a subespai 

de R3 . Coincideixen la topologia quocient de X/∼ i la induïda de Z? És a dir, són homeomorfs 

els espais X/∼ i Z?


La resposta és que sí, però cal comprovar-ho exhibint un homeomorfisme X/∼−→ Z. Per a 

això, el procediment usual és començar definint una aplicació contínua f : X −→ Z compatible 

amb la relació d’equivalència. Prenem 

f(θ,t) = (cos(2πθ),sin(2πθ),t) 

Certament f és contínua, perquè és la restricció a X d’una aplicació contínua de R 2 a Z, i és 

compatible amb la relació d’equivalència: 

Per tant, f passa al quocient induïnt 

g(0,t) = (1,0,t) = g(1,t), per a tot t ∈ [0,1]. 

f((θ,t)) = f(θ,t), 

que és contínua per la propietat universal de la topologia quocient. L’aplicació f és bijectiva i, 

per provar que és un homeomorfisme, hem de veure la continuïtat de la seva inversa. Com que 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x = cos(2πθ), 

y = sin(2πθ), 

z = t, 

, aleshores 

 

θ = 1 

2π arctg 

t = z. 

 

y 

 

, 

x 

Malauradament, hem d’anar més amb compte. D’una banda, l’arctangent és una funció multivaluada. 

En segon lloc, tal com ho hem escrit, no està clar que ara θ sigui una funció contínua 

de x,y (està clar que t ho és de z i, per la topologia producte, sols cal que les funcions coordenades 

siguin contínues). En aquest exemple és un exercici comprovar que la projecció π és 

oberta, d’on se segueix el resultat per aplicació de 3.4.10. 

Com veiem, el procés per trobar l’invers d’un homeomorfisme pot resultar complicat. Més 

endavant, 4.3.7, veurem condicions suficients que asseguren que una aplicació contínua bijectiva 

és un homeomorfisme sense necessitat de trobar-li la inversa. 

Hem descrit imprecisament els espais homeomorfs com aquells que podem obtenir els uns dels 

altres per deformacions bijectives contínues amb inversa contínua. Això era tan sols una primera 

aproximació. En contra del que dèiem, sí que podem “tallar” i “enganxar”, sempre i que 

prenguem nota de per quins punts “tallem” i després tornem a “enganxar” pels mateixos punts. 

3.4.17 Exemple Considerem una tira de paper rectangular homeomorfa a l’espai X = [0,1] 2 i 

identifiquem els dos costats verticals igual que en el cas del cilindre, 3.4.1. Ara, però, abans 

d’enganxar retorcem dos cops la tira de paper: 

π 

a a a


L’espai obtingut (amb la topologia quocient per π), és homeomorf al cilindre? Es diria que sí, 

ja que la relació d’equivalència per la qual fem quocient és la mateixa i en l’únic que difereixen 

és en un homeomorfisme (retòrcer dos cops) que hem fet abans d’enganxar. Ara bé, el que no 

sembla aparent és l’homeomorfisme entre el cilindre i aquest nou espai. La propietat universal 

de la topologia quocient ens permet descobrir-lo. 

3.4.18 Proposició (Tallar i enganxar) Siguin f : X −→ Y una aplicació contínua i ∼X, ∼Y 

relacions d’equivalència a X i a Y , respectivament. Suposem que f preserva i reflecteix les 

relacions, és a dir, 

x ∼X x ′ ⇐⇒ f(x) ∼Y f(x ′ ). 

Aleshores, si f és un homeomorfisme, f indueix un homeomorfisme 

¯f : X/∼−→ Y/∼ . 

Demostració. Com que x ∼ x ′ ⇒ f(x) ∼ f(x ′ ), f indueix una aplicació ¯ f : X/∼−→ Y/∼ que 

fa commutatiu el diagrama 

f 

X −−−−−−−−−→ Y 

⏐ 

p ⏐ 

 

⏐ q 

 

(1) 

X/∼ −−−−−−→ 

¯f 

Y/∼ 

Com que q ◦ f és contínua, per la propietat universal de la topologia quocient de X/∼, ¯ f és 

contínua. Si f és bijectiva, com que x ∼ x ′ ⇔ f(x) ∼ f(x ′ ), ¯ f és bijectiva. Apliquem el mateix 

raonament a f −1 per deduir que ¯ f −1 és contínua. 

3.4.19 Exemple En el cas del cilindre i del cilindre “retorçut dos cops”, el diagrama (1) és el 

que es representa a la figura. 

∼= 

a a f a a 

p q 

∼= 

a f a 

3.4.20 Exemple Un altre exemple elemental d’aplicació d’aquest resultat el donen els dos espais 

de la figura següent, formats per dues esferes tangents.

3.5. Superfícies 65 

Els apartats que resten els dediquem a donar exemples d’espais quocient i de la utilització de 

la tècnica de tallar i enganxar per establir homeomorfismes entre alguns d’ells. 

3.5 Superfícies 

A la secció anterior hem vist com obtenir un cilindre a partir de la identificació de dos costats 

d’un quadrat. En aquest apartat presentem altres exemples d’espais topològics obtinguts per 

identificació de costats, dos a dos, a partir d’un polígon regular del pla. Tots ells tenen una 

propietat comuna, són superfícies. És per això que comencem establint què és una superfície o, 

més generalment, una varietat topològica. 

3.5.1 Definició Diem que un espai topològic X és una varietat topològica de dimensió n si és 

un espai de Hausdorff que satisfà 2AN i que localment és homeomorf a R n , és a dir, que per a 

tot x ∈ X hi ha un entorn obert x ∈ U ⊆ X i un homeomorfisme h : U −→ V amb un obert V 

de R n . Les varietats de dimensió 1 i 2 les anomenem, respectivament, corbes i superfícies. 

El tret que caracteritza les varietats és la semblança local amb R n : mitjançant l’homeomorfisme 

h es poden adaptar n-coordenades al voltant de x, de manera que aquest punt ”se sent” com si 

fos un punt de l’espai ordinari. Per exemple, tot punt de l’esfera admet un entorn homeomorf 

a un disc (vegeu la figura), en el qual podem dibuixar unes coordenades polars. 

És important remarcar, però, que tècnicament hem demanat dues altres propietats a les varietats: 

que siguin de Hausdorff i que satisfacin el 2AN. Respecte a la primera, l’objectiu és 

evitar espais com la recta amb un punt doble (vegeu el problema 24), mentre que disposar 

d’una base d’oberts numerable permetrà veure més endavant que tota varietat topològica és 

subespai d’un espai euclidià R m per a algun m. En els exemples que segueixen ens centrem 

en el caràcter localment euclidià de les superfícies, ja que el fet que satisfan les altres dues 

propietats se seguirà del problema 23.


3.5.2 Exemples (1) Un punt o una unió discreta de punts és una varietat de dimensió zero. 

(2) La recta real R, la circumferència S 1 o una paràbola són exemples de corbes, com també 

ho és la frontera de I 2 . 

(3) R 2 , l’esfera S 2 , els el·lipsoides, els hiperboloides o els paraboloides de l’espai R 3 són superfícies. 

Al llarg d’aquest apartat veurem com la topologia quocient permet generar més 

exemples. 

(4) Si X i Y són dues corbes, el producte X × Y és una superfície. Així, S 1 × S 1 és una 

superfície. 

(5) L’espai R n i l’esfera n-dimensional S n , 

són varietats de dimensió n. 

S n = {x ∈ R n+1 | x 2 1 + ...x 2 n+1 = 1}, 

3.5.3 Exemple La cinta de Möbius: és l’espai obtingut identificant els costats oposats del 

quadrat [0,1] × (0,1) segons la relació: 

(0,t) ∼ (1,1 − t). 

És a dir, agafem una tira de paper i la retorcem un cop abans d’enganxar-ne els extrems. La 

proposició 3.4.18 assegura que l’espai que obtindrem serà el mateix si retorcem tres, cinc o 

qualsevol nombre senar de cops. 

(0,1) 

(0,t) 

t 

✻ 

(0,0) 

(1,0) 

(1,1 − t) 

3.5.4 Exemple El tor: a X = [0,1] × [0,1] considerem la relació d’equivalència següent: 

(x,y) ∼ (x ′ ,y ′ ) ⇐⇒ 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

✲ 

θ 

x = x ′ , y = y ′ , 

x = 0, x ′ = 1, y = y ′ , 

x = 1, x ′ = 0, y = y ′ , 

y = 0, y ′ = 1, x = x ′ , 

y = 1, y ′ = 0, x = x ′ , 

és a dir, relacionem els costats oposats del quadrat unitat tal i com havíem fet per obtenir el 

cilindre, cosa que podem representar així:


b 

a a 

b 

b 

b 

a 

Per definició, el tor és l’espai quocient T 2 = X/∼. Notem π : X −→ T 2 la projecció canònica, 

i (x,y)π(x,y) la classe d’equivalència de (x,y). 

Provem que T 2 és localment homeomorf al pla: hem de veure que tot punt de T 2 té un entorn 

obert U i un homeomorfisme h : U −→ V , essent V un obert del pla. Per fer-ho, distingim tres 

tipus de punts del tor: els que provenen de l’interior del quadrat, els que provenen de l’interior 

d’una aresta del quadrat i el que prové dels quatre vèrtexs. 

Si x és un punt de l’interior del quadrat, sigui D un disc obert centrat a x i interior a I 2 , aleshores 

π(D) és un obert de T, ja que π −1 (π(D)) = D, que és obert de I 2 i, a més, la projecció canònica 

indueix un homeomorfisme π : D −→ π(D). Per tant, podem prendre U = π(D), V = D i 

h = π −1 . 

Si x és un punt interior a una de les arestes del quadrat, aleshores hi ha un altre punt x ′ a 

l’aresta oposada amb el qual està relacionat, i ambdós corresponen al mateix punt del tor, 

π(x) = π(x ′ ). Siguin D i D ′ les interseccions de dos discs oberts del pla centrats en x i x ′ , 

respectivament, amb I 2 . Si escollim els radis de D i D ′ iguals i de manera que no tallin cap altra 

aresta (vegeu la figura), aleshores π(D ∪ D ′ ), que correspon a la identificació dels diàmetres 

d’aquests semidiscs, és un obert del tor T 2 , ja que 

π −1 (π(D ∪ D ′ )) = D ∪ D ′ 

és un obert del quadrat unitat. Pel lema de l’enganxament, és un exercici comprovar que 

π(D ∪ D ′ ) és homeomorf a un disc obert del pla. 

D 

Anàlogament, en el cas del punt corresponent als vèrtexs, s’obté un disc enganxant els quatre 

quadrants indicats a la figura. 

D ′


Com en el cas del cilindre, es pot veure que el tor és homeomorf al subespai de R 3 obtingut 

fent girar la circumferència 

{(x,y,z) ∈ R 3 | y = 0, (x − R) 2 + z 2 = r 2 }, 0 < r < R 

al voltant de l’eix z. La comprovació d’aquest fet és millor posposar-la, però, fins a tenir la 

proposició 4.3.7. 

3.5.5 Exemple L’ampolla de Klein: és l’espai topològic que obtenim a partir d’un quadrat 

identificant els costats com segueix: 

(x,t) ∼ (x ′ ,t ′ ) ⇐⇒ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

(x,t) = (x ′ ,t ′ ), 

x = 0,x ′ = 1,t = t ′ , 

t = 0,t ′ = 1,x = 1 − x ′ . 

Com en el cas del tor, s’identifiquen els costats oposats d’un quadrat. Ara, però, en una de les 

identificacions s’ha de tòrcer el quadrat abans d’efectuar-la. Ho esquematitzem amb la figura: 

Com el tor, l’ampolla de Klein K és una superfície, encara que no és senzill visualitzar-ne un 

model a l’espai ordinari ja que, per fer-ho, hem de recórrer a intersecar la figura amb ella 

mateixa:


∼= 

3.5.6 Exemple L’esfera: observem que també l’esfera es pot obtenir a partir de la identificació 

de costats, en aquest cas d’un disc: 

∼ = 

a a 

Anàlogament al cas del tor, l’espai obtingut per aquesta identificació és homeomorf a l’esfera 

ordinària de R 3 , S 2 = {(x,y,z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 = 1}. 

3.5.7 Exemple El pla projectiu: en els cursos de geometria es defineix el pla projectiu P 2 com 

l’espai de rectes de R 3 que passen per l’origen. Més concretament, a R 3 \ {(0,0,0)} considerem 

la relació d’equivalència següent: 

(x,y,z) ∼ (x ′ ,y ′ ,z ′ ) ⇐⇒ ∃λ ∈ R | (x ′ ,y ′ ,z ′ ) = λ(x,y,z), 

és a dir, dos vectors no nuls són equivalents si generen la mateixa recta per l’origen; aleshores 

P 2 = (R 3 \ {(0,0,0)})/∼ . 

Observem que cada recta de R 3 per l’origen talla l’esfera S 2 en dos punts antipodals i que, 

per tant, com a conjunt hi ha una bijecció entre P 2 i el quocient de l’esfera segons la relació 

d’equivalència (x,y,z) ∼ (−x, −y, −z). 

Més encara, com que els punts de l’hemisferi nord de l’esfera s’identifiquen amb els del sud, 

podem prescindir d’aquests darrers i quedar-nos tan sols amb el primer, S 2 + = S 2 ∩ {z ≥ 0}, 

per deduir que hi ha una bijecció del pla projectiu amb el quocient S 2 +/∼, en el qual la relació 

d’equivalència segueix identificant punts antipodals, però ara tan sols sobre l’equador. Atès que 

S 2 + és homeomorf a un disc (com es visualitza fàcilment per mitjà de la projecció sobre el pla 

z=0), deduïm que el pla projectiu és el quocient d’un disc del pla en el qual s’han marcat dos 

costats i s’identifiquen els punts de la vora amb els que li són diametralment oposats.


a a 

El pla projectiu és una superfície, però com succeïa amb l’ampolla de Klein, RP 2 no admet un 

model a l’espai ordinari R 3 . Per fer-nos-en una idea geomètrica, encara que no sigui exacta, 

hem d’admetre un model amb autointerseccions, com veiem a la figura següent: 

Més generalment, es defineix l’espai projectiu n-dimensional com l’espai topològic quocient 

on la relació d’equivalència és 

P n = S n /∼, 

(x1,...,xn+1) ∼ (−x1,...,−xn+1). 

S’obté així una varietat topològica de dimensió n, com el lector pot comprovar. 

3.5.8 Exemple Als exemples anteriors hem construït diverses superfícies com a quocient d’un 

disc o d’un quadrat. Podem generalitzar el mètode de construcció utilitzant polígons regulars 

d’un nombre parell de costats, i així obtenir noves superfícies: sigui P un polígon del pla de 

2n costats, que per comoditat escollim regular. Numerem els vèrtexs de P en sentit antihorari, 

p1,...,p2n i agrupem les arestes per parells. Si l’aresta [pi,pi+1] està aparellada amb l’aresta 

[pj,pj+1], sigui 

τij : [pi,pi+1] −→ [pj,pj+1] 

una afinitat bijectiva (observem que només hi ha dues afinitats possibles, aquella que envia pi a 

pj i, per tant, pi+1 a pj+1, o aquella que inverteix el sentit, i envia pi a pj+1, i pi+1 a pj, i que, 

de fet, són isometries, ja que hem escollit el polígon regular). Anomenem superfície poligonal 

associada a P, τij l’espai quocient 

X = P/relació d’equivalència generada per x ∼ τijx. 

Es comprova, com en el cas del tor, que X és una vertadera superfície, és a dir, localment 

homeomorfa a R 2 . La figura següent indica com construir un model d’una d’aquestes superfícies.

3.6. Encolament d’espais topològics i col·lapse de subespais 71 

c b−1 ✙ ❥ 

d a −1 

☛ 

c−1 ❑ 

✕ 

b 

d−1 ❨ ✯ 

a 

❯ 

✲ 

L’interès d’aquesta construcció rau en el fet que en un cert sentit, aquestes són totes les superfícies 

“finites”, vegeu [NP]. 

3.6 Encolament d’espais topològics i col·lapse de subespais 

La topologia quocient permet realitzar una operació molt útil en topologia: l’encolament de dos 

espais topològics a partir d’una instrucció d’enganxament donada per una aplicació contínua entre 

subespais. Abans d’introduir l’encolament d’espais topològics i presentar diversos exemples 

és convenient considerar la unió disjunta d’espais topològics, que ja hem utilitzat implícitament 

en exemples anteriors. 

Siguin X i Y dos conjunts. La seva unió disjunta, X ⊔ Y , és el conjunt 

X ⊔ Y = X × {0} ∪ Y × {1}. 

Notem i : X −→ X⊔Y i j : Y −→ X⊔Y , les aplicacions definides per i(x) = (x,0), j(y) = (y,1). 

3.6.1 Definició Siguin X, Y espais topològics. La topologia unió disjunta de X i Y és la 

topologia de X ⊔ Y definida per 

U ⊆ X ⊔ Y és obert ⇐⇒ U ∩ X × {0} i U ∩ Y × {1} són oberts. 

És immediat comprovar que es defineix així una topologia sobre X ⊔ Y . La notació X ⊔ Y i 

el nom unió disjunta indiquen que considerem que els conjunts X i Y són conjunts disjunts. 

Així, per exemple, podem considerar unions disjuntes com R⊔R, pensant que es tracta de dues 

còpies diferents de R. 

0 

0 

R 

R


Els espais X i Y se submergeixen en la unió disjunta mitjançant les inclusions i i j, és a dir, 

aquestes aplicacions són homeomorfismes amb la seva imatge. Respecte d’aquestes aplicacions, 

es té una propietat universal anàloga a la corresponent a la topologia quocient: 

3.6.2 Proposició (a) Les inclusions i : X ֒→ X ⊔ Y i j : Y ֒→ X ⊔ Y són contínues, i la 

topologia de X ⊔Y és la més fina per a la qual i i j són contínues. A més, i i j són aplicacions 

obertes i tancades. 

(b) Propietat universal de la unió disjunta: Sigui Z un espai topològic qualsevol. Una aplicació 

f : X ⊔ Y −→ Z és contínua si i només si ho són les seves restriccions f |X = f ◦ i : X −→ Z i 

f |Y = f ◦ j : Y −→ Z. 

Demostració. (a) Veiem les afirmacions per a i : X ֒→ X ⊔ Y . Pel que fa a la continuïtat, si 

U ⊆ X ⊔ Y és un obert, llavors i −1 (U) = U ∩ X també, per definició de la topologia de la unió 

disjunta. 

i és oberta i tancada: per ?? i 3.1.7 és suficient veure que i(X) és obert i tancat de X ⊔Y , cosa 

que és immediata. 

Per j es raona de forma similar. 

(b) Sigui V ⊆ Z un obert. Suposem que f |X i f |Y són contínues i veiem que f −1 (V ) ⊆ X ⊔ Y 

és obert. En efecte, f −1 (V ) ∩ X = (f |X) −1 (V ) i f −1 (V ) ∩ Y = (f |Y ) −1 (V ) són oberts de X i 

Y , respectivament. 

Recíprocament, si f és contínua, també ho són f |X = f ◦ i i f |Y = f ◦ j, per (a) i perquè la 

composició d’aplicacions contínues és contínua. 

Podem ara definir l’encolament de dos espais topològics a partir d’una aplicació contínua: 

3.6.3 Definició Siguin X,Y espais topològics, A ⊆ X un subespai i f : A −→ Y una aplicació 

contínua. L’encolament de X i Y segons f és l’espai quocient de X ⊔ Y per la relació 

d’equivalència generada per 

El notem X ∪f Y . 

x ∼ y ⇐⇒ y = f(x), x ∈ A,y ∈ Y. 

És a dir, a X ⊔ Y s’identifiquen els punts de A amb les seves imatges dins de Y . La composició 

X −→ X ⊔ Y −→ X ∪f Y 

defineix una aplicació i : X −→ X ∪f Y . Anàlogament es té una aplicació j : Y −→ X ∪f Y . 

De les perpietats de la topologia quocient i de la topologia de la unió disjunta resulta, sense 

dificultat, la propietat universal de l’encolament de dos espais: 

3.6.4 Proposició (a) Les inclusions i : X ֒→ X ∪f Y i j : Y ֒→ X ∪f Y són contínues, i la 

topologia de X ∪f Y és la més fina per a la qual i i j són contínues.


(b) Propietat universal de l’encolament: Sigui Z un espai topològic qualsevol. Una aplicació 

g : X ∪f Y −→ Z és contínua si i només si ho són les composicions g |X = g ◦ i : X −→ Z i 

g |Y = g ◦ j : Y −→ Z. 

3.6.5 Exemple Unió puntual de dos espais topològics: siguin X, Y espais topològics, i triem 

x0 ∈ X i y0 ∈ Y , dos punts fixats. La unió puntual de X i Y , amb punts base x0, y0, és l’espai 

X ∨ Y = (X ⊔ Y )/x0 ∼ y0 . 

És a dir, és l’encolament de X i Y per l’aplicació f(x0) = y0. Per exemple, si prenem X = 

Y = S1 i x0,y0 ∈ S1 qualssevol, obtenim l’espai “número vuit”, S1 ∨ S1 . Més generalment, 

una unió puntual d’esferes, Sn ∨ p 

...∨S ⌣ n (totes amb el mateix punt en comú) s’anomena un ram 

d’esferes. 

x0 = y 0 

Els espais X, Y són subespais de X ∨ Y mitjançant les aplicacions 

X ֒→ X ∨ Y 

x ↦−→ x 

Y ֒→ X ∨ Y 

y ↦−→ y 

Així mateix, X ∨ Y es pot considerar un subespai de X × Y per la immersió 

i : X ∨ Y ֒→ X × Y 

u ↦−→ i(x) = 

(x,y0), si u = x ∈ X, 

(x0,y), si u = y ∈ Y. 

En efecte, tant X com Y són subespais tancats de X ∨ Y , com es comprova fàcilment, i les 

restriccions de i a X són les aplicacions contínues 

iy0 

X ֒→ X × Y 

x ↦−→ (x,y0) 

jx0 

Y ֒→ X × Y 

y ↦−→ (x0,y) 

A la intersecció, x0 = y 0, de X i Y dins X ∨ Y , ambdues coincideixen. Pel lema de l’enganxament, 

i és contínua. 

Vegem que i és un homeomorfisme de X ∨ Y amb la seva imatge dins X × Y : 

i(X ∨ Y ) = {(x,y) ∈ X × Y | y = y0, ó x = x0} 

= (X × {y0}) ∪ ({x0} × Y ).


Considerem l’aplicació p : i(X ∨ Y ) −→ X ∨ Y , 

 

x, si y = y0, 

p(x,y) = 

y, si x = x0. 

L’aplicació p és contínua, perquè és restricció de les projeccions naturals πX i πY als subespais 

X × {y0} i {x0} × Y , respectivament, que són tancats dins i(X ∨ Y ), i ambdues coincideixen 

en la intersecció (x0,y0). Finalment, de manera òbvia, p ◦ i = id X∨Y , i ◦ p = id i(X∨Y ). 

Considerem un cas particular de la situació anterior: podem identificar el tor amb el producte 

S 1 × S 1 , component el producte de les identificacions I −→ I/{0 ∼ 1} amb l’homeomorfisme 

I/{0 ∼ 1} −→ S 1 

s ↦−→ (cos(2πs),sin(2πs)). 

L’aplicació contínua φI × I −→ S 1 × S 1 , definida per 

φ(s,t) = (cos(2πs),sin(2πs),cos(2πt),sin(2πt)), 

passa al quocient donant-nos una bijecció contínua φ : T 2 −→ S 1 × S 1 , φ((s,t)) = φ(s,t), que 

és un homeomorfisme, tot i que, una vegada més, la comprovació la deixem per al capítol 4. 

Doncs bé, el ram S 1 ∨ S 1 es pot veure com el subespai del tor T 2 ≃ S 1 × S 1 , com es mostra en 

el dibuix. 

❨ 

S 1 ∨S 1 

3.6.6 Exemple Col·lapse d’un subespai: Un cas particular de relació d’equivalència entre punts 

d’un espai i de topologia quocient l’obtenim en col·lapsar tot un subespai en un punt: siguin X 

un espai topològic i A ⊆ X un subconjunt. Definim la relació 

⎧ 

⎨ x = y, 

x ∼ y ⇐⇒ ó 

⎩ 

x,y ∈ A. 

L’espai quocient es denota, en aquest cas, X/A. Per exemple, si col·lapsem A = {0,1} en 

X = [0,1] retrobem la circumferència S 1 , 3.4.11. 

3.6.7 Exemple Con d’un espai: Donat un espai topològic X, el seu con és l’espai que s’obté 

col·lapsant X × {1} en el cilindre X × I: 

CX = (X × I)/(X × {1}).


v 

CX 

El punt v = (x,1) s’anomena el vèrtex del con. CX s’obté a partir de X, afegint-hi un punt 

v ∈ X i les rectes que uneixen v amb cada punt de X, almenys en el cas que X sigui un subespai 

de R n . 

Per a espais X, Y tota aplicació contínua f : X ×I −→ Y tal que f(x,t) = y0, per a tot x ∈ X, 

t ∈ I, amb y0 ∈ Y un punt fixat, f passa al quocient induint l’aplicació contínua 

❪ X 

f : CX −→ Y 

(x,t) ↦−→ f(x,t) = f(x,t). 

En particular, sigui f : S n × I −→ D n+1 l’aplicació 

f(x,t) = (1 − t)x. 

f 

❄ ✌ 

Com que f(x,1) = 0, per a tot x ∈ S n , f passa al quocient induint l’aplicació 

P 2 

✐ 

CS 1 

S 1 

f : CS n −→ D n+1 

(x,t) ↦−→ (1 − t)x , 

que és un homeomorfisme (un cop més, aquest fet és immediat a partir de 4.3.7, per la qual 

cosa no el provem aquí).


3.7 Espais d’òrbites 

En aquest apartat, introduïm els espais quocient que corresponen a les òrbites de l’acció d’un 

grup en un espai topològic, que anomenem espais d’òrbites, i identifiquem algunes de les construccions 

anteriors, en particular algunes superfícies, com a espais d’òrbites. 

3.7.1 Definició Siguin X un espai topològic i G un grup (que considerem com a espai topològic 

amb la topologia discreta). Una acció de G en X és una aplicació contínua 

que satisfà les dues propietats següents: 

(i) 1 · x = x, per a tot x ∈ X, 

G × X −→ X 

(g,x) ↦−→ g · x 

(ii) g(hx) = (gh)x, per a qualsevol g,h ∈ G i x ∈ X. 

Diem que X és un G-espai si té definida una acció de G. 

Així, fixant g ∈ G, s’obté una aplicació contínua, que anomenem translació per g i que continuem 

notant g, 

g : X −→ X 

x ↦−→ g · x 

que és un homeomorfisme, ja que l’aplicació associada a l’element invers de g, g −1 , n’és una 

inversa. En resulta una aplicació 

G −→ Aut(X), 

on Aut(X) és el grup d’homeomorfismes de X. Les condicions (i) i (ii) de la definició permeten 

afirmar que aquesta aplicació és un homomorfisme de grups. 

3.7.2 Definició Siguin X un G-espai i x ∈ X. L’òrbita de x és el conjunt 

Gx = {gx | g ∈ G}, 

és a dir, és el conjunt de tots els traslladats de x per l’acció de G. El conjunt d’òrbites, que 

notem X/G, dotat amb la topologia quocient, l’anomenem l’espai d’òrbites de G en X. 

Observem que X/G és l’espai quocient per la relació d’equivalència següent: x ∼ y si i només 

si existeix g ∈ G tal que x = g · y. 

3.7.3 Exemple Sigui X = S 2 , l’esfera de R 3 , i sigui G el grup de girs de l’espai al voltant de 

l’eix 0z. Definim l’acció 

g · (x,y,z) = (g(x,y),z).

3.7. Espais d’òrbites 77 

✲ 

✲ 

✲ 

✲ 

✲ 

✲ 

✲ 

✲ 

L’òrbita d’un punt és el paral·lel de l’esfera que genera. La figura suggereix que l’espai d’òrbites 

és l’interval [−1,1]. De fet, la projecció sobre la tercera coordenada defineix una aplicació 

contínua S 2 −→ [−1,1] i, atès que la tercera coordenada és constant al llarg de cada òrbita, 

aquesta aplicació defineix una aplicació contínua en el quocient, S 2 /G −→ [−1,1], que és 

bijectiva. Més encara, un homeomorfisme (vegeu 4.3.7 per completar el raonament). 

3.7.4 Exemples (1) La circumferència S 1 és un espai d’òrbites de R per una acció de Z. En 

efecte, el grup additiu dels enters Z actua sobre la recta real R per translacions: n · x = x + n. 

D’aquesta manera, l’espai d’òrbites coincideix amb [0,1]/{0 ∼ 1}, que és homeomorf a la 

circumferència. 

(2) El tor T 2 és un espai d’òrbites de R 2 per una acció de Z 2 . En efecte, considerem l’acció de 

Z×Z sobre R 2 definida per (n,m)·(x,y) = (x+n,y+m). El quadrat [0,1]×[0,1] conté, com a 

mínim, un representant de cada òrbita, per la qual cosa es té una bijecció entre [0,1] ×[0,1]/Z 2 

i R 2 /Z 2 . Però, l’acció de Z 2 sobre el quadrat unitat [0,1] 2 identifica els costats per parells; per 

tant, és igual al tor T 2 . 

Una propietat molt important i que serà d’utilitat més endavant és que la projecció d’un G-espai 

en l’espai d’òrbites és una aplicació oberta: 

3.7.5 Proposició Sigui X un G-espai. La projecció π : X −→ X/G és una aplicació oberta. 

Demostració. Sigui U ⊆ X un subconjunt obert. Com que l’espai X/G té la topologia quocient, 

per provar que π(U) és un obert hem de veure que π−1 (π(U)) és un obert de X. En efecte, 

observem que π−1 (π(U)) és el subconjunt de X format per les òrbites d’elements de U, és a 

dir, que es té 

π −1 (π(U)) = 

g · U. 

g∈G


Però, com que l’acció de g defineix un homeomorfisme, els conjunts g · U són oberts i, per tant, 

π −1 (π(U)) és obert perquè és unió d’oberts. . 

3.8 Problemes 

1. Siguin X un espai topològic i Uα ⊆ X, α ∈ J, subespais oberts tals que X = ∪αUα. Siguin 

Y un espai topològic i fα : Uα −→ Y , α ∈ J, aplicacions contínues tals que, per a tot parell 

d’índexos, α,β, fα coincideix amb fβ en els punts de Uα ∩ Uβ. Proveu que les fα defineixen 

una aplicació contínua f : X −→ Y . 

2. Lema de l’enganxament: Siguin X un espai topològic i Y,Z ⊆ X subespais tancats tals que 

X = Y ∪ Z. Proveu que, si f : Y −→ W i g : Z −→ W són aplicacions contínues que satisfan 

f |Y ∩Z = g |Y ∩Z, aleshores l’aplicació h : X −→ W definida per h |Y = f i h |Z = g és contínua. 

3. Aquest problema generalitza el lema de l’enganxament: Siguin X un espai topològic i 

Xα ⊆ X, α ∈ J, subespais tancats tals que X = ∪αXα. Siguin Y un espai topològic i 

fα : Xα −→ Y , α ∈ J, aplicacions contínues tals que, per a tot parell d’índexs, α,β, es té que 

fα coincideix amb fβ en els punts de Xα ∩ Xβ. 

(a) Proveu que, si J és un conjunt finit, les fα defineixen una aplicació contínua f : X −→ Y . 

(b) Doneu un exemple que provi que el resultat anterior és fals si J és infinit. 

(c) Suposem que, per a tot punt x ∈ X, només hi ha un nombre finit d’índexs α ∈ J tals que 

x ∈ Xα. Proveu que les fα defineixen una aplicació contínua f : X −→ Y . 

4. Proveu que la topologia producte i la de subespai són compatibles en el sentit següent: 

si A ⊆ X, B ⊆ Y són subespais, llavors la topologia producte de A × B coincideix amb la 

topologia induïda com a subespai de X × Y . 

5. (a) Proveu que, si f : X −→ Y i f ′ : X ′ −→ Y ′ són aplicacions contínues, aleshores 

l’aplicació f × f ′ : X × X ′ −→ Y × Y ′ definida per (f × f ′ )(x,x ′ ) = (f(x),f ′ (x ′ )) és una 

aplicació contínua. 

(b) Proveu que, si f i f ′ són homeomorfismes, també ho és f × f ′ . 

(c) Es defineix el gràfic de l’aplicació f com el subconjunt de X × Y donat per 

Γ(f) = {(x,y) ∈ X × Y | y = f(x)}. 

Proveu que, si f és una aplicació contínua, aleshores X ∼ = Γ(f). 

6. Proveu que la topologia mètrica de R ω definida a 1.1.2(6) coincideix amb la topologia 

producte. 

7. Proveu que el conjunt de Cantor és homeomorf al producte infinit {0,2} ω .


8. Proveu que, si {Xα}α∈J és una col·lecció d’espais topològics i per a tot α ∈ J, Aα ⊆ Xα és 

un subconjunt, aleshores 

 

Aα = 

α∈J 

Si, en lloc de prendre adherències, prenem interiors, és certa la igualtat? 

9. Siguin {Xα}, α ∈ J, una família d’espais topològics, i X = 

α∈J Xα, l’espai producte. 

Proveu que una successió (xn) de X és convergent si i només si ho són cadascuna de les 

successions components, πα(xn), α ∈ J. 

10. Siguin {Xα}, α ∈ J, una família d’espais topològics i X = 

α∈J Xα, l’espai producte. 

Suposem que Xα és 2AN, per a tot α ∈ J, i que J és numerable. Proveu que X és 2AN. 

11. (a) Proveu que [0,1] × [0,1) és homeomorf a (0,1) × [0,1) i deduïu que de X × Z ∼ = Y × Z 

no podem deduir que X ∼ = Y . 

(b) Proveu que, donats dos espais topològics X,Y , existeix un espai Z tal que X × Z ∼ = Y × Z. 

α∈J 

Aα . 

(c) Trobeu un espai X tal que X × X sigui homeomorf a X. 

12. Topologies inicials. Siguin X un conjunt i (Yα, Tα), α ∈ J, una família d’espais topològics. 

Per a cada α ∈ J, sigui fα : X −→ Yα una aplicació, i sigui 

S = 

α∈J 

{f −1 

α (Vα) | V α ⊆ Yα, obert}. 

(a) Proveu que S és subbsase d’una topologia sobre X, que anomenem la topologia inicial 

induïda per les aplicacions fα. Identifiqueu la topologia de subespai i la topologia producte 

com a topologies inicials. 

(b) Proveu que les aplicacions fα, α ∈ J, són contínues i que la topologia inicial és la menys 

fina que les fa contínues. 

(c) Propietat universal de la topologia inicial: Proveu que una aplicació g : Z −→ X és 

contínua si i només si ho són les composicions fα ◦ g, per a tot α ∈ J. 

(d) Suposem que totes les aplicacions fα són constants. Proveu que la topologia inicial corresponent 

és la topologia grollera de X. 

(e) Donats a,b ∈ R, definim l’aplicació fa,b : R −→ Rℓ per fa,b(x) = ax + b. Proveu que la 

topologia inicial de R associada a la família d’aplicacions fa,b és la topologia discreta. 

13. Considerem l’aplicació f : [0,1) −→ S 1 definida per f(t) = (cos 2πt,sin 2πt). Proveu que 

en S 1 la topologia induïda per f no coincideix amb la topologia de subespai de S 1 ⊆ R 2 . 

14. (a) Sigui D 2 el disc unitat, D 2 = {(x,y) ∈ R 2 |x 2 +y 2 ≤ 1}. Proveu que el quocient D 2 /S 1 

és homeomorf a S 2 . 

(b) Coordenades polars: proveu que hi ha un homeomorfisme (S 1 × [0,1])/(S 1 × {0}) ∼ = D 2 .


15. (a) Considerem l’aplicació f : R −→ S 1 definida per f(t) = (cos 2πt,sin 2πt). Proveu que 

les topologies induïdes en S 1 per f i com a subconjunt de R 2 coincideixen. 

(b) Siguin (X, T ) un espai topològic i f : X −→ Y una aplicació contínua i exhaustiva. Donats 

subespais A ⊆ X i B ⊆ Y amb f(A) ⊆ B, considerem l’aplicació f |A : A −→ B. Considerem 

les topologies següents en B: 

• T1: restringim T a A i considerem la que indueix en B a través de f |A. 

• T2: considerem en Y la topologia induïda per f i, després, la restringim a B. 

Proveu que T1 és més fina que T2. 

(c) Proveu que, en general, en (b) no es té la igualtat. 

16. Siguin R≥0 el conjunt dels nombres reals no negatius i π : R × R −→ R la projecció en 

la primera coordenada, π(x,y) = x. Siguin Y el subespai (R≥0 × R) ∪ (R × {0}) de R × R i 

h = π |Y . Proveu que h no és tancada ni oberta, però que és una identificació. 

17. Considerem els subconjunts següents del pla R 2 : 

X = ∪n∈Nℓn, ℓn = {(x,n) | x ∈ R}, 

Y = ∪n∈Nℓ ′ n, ℓ ′ n = {(x,nx) | x ∈ R}, 

amb n = 0, i l’aplicació f : X −→ Y definida per f(x,n) = (x,nx). Considerem en X la 

topologia induïda com a subconjunt de R 2 . Proveu que la topologia quocient de Y definida per 

f i la induïda com a subconjunt de R 2 no coincideixen. 

18. Considerem les circumferències del pla R 2 definides per 

Cn : 

els subespais definits per 

 

x − 1 

2 + y 

n 

2 = 1 

n2 , Dn : (x − n) 2 + y 2 = n 2 , 

C = ∪n≥1Cn, D = ∪n≥1Dn, 

i, finalment, sigui X = S 1 × N. Proveu que les aplicacions naturals 

f : X −→ C, g : X −→ D, 

són contínues i exhaustives, però que mentre que g és una identificació, f no ho és. Deduïu que 

C i D no són espais homeomorfs. 

19. Justifiqueu si els subespais següents de R 3 són homeomorfs:


20. (a) Proveu que el pla projectiu P2 R és homeomorf a l’encolament d’un disc i una cinta de 

Möbius amb les identificacions que s’indiquen a la figura. 

a 

(b) Proveu que l’ampolla de Klein K és homeomorfa a l’encolament de dues cintes de Möbius 

al llarg de la seva vora. 

21. Siguin X un espai topològic, ∼ una relació d’equivalència i π : X −→ X/ ∼ l’aplicació 

quocient. Proveu que les afirmacions següents són equivalents: 

(a) π és tancada. 

(b) Per a tot tancat C ⊆ X, la unió de totes les classes d’equivalència que tallen C és un 

tancat de X. 

(c) Per a tot obert U ⊆ X, la unió de totes les classes d’equivalència que estan incloses a U 

és un obert de X. 

22. Siguin (X, T ) un espai topològic i Aα, α ∈ J, una família de subespais tancats tals que 

X = ∪α∈JAα. Definim una nova topologia a X, la topologia feble respecte d’aquesta família de 

tancats, segons: 

C ⊆ X és f-tancat si i només si Aα ∩ C és tancat, per a tot α ∈ J. 

(a) Proveu que es defineix així una topologia a X. La notem fT . 

(b) Proveu que fT és més fina que T . En general, és estrictament més fina que T : sigui 

X = [0,1] i An = {0} ∪ [1/(n + 1),1/n], n ≥ 1. Proveu que C = {1/n | n ≥ 1} és tancat 

per fT , mentre que no ho és per la topologia ordinària. 

(c) Proveu que la topologia feble associada als intervals [n,n + 1] de la recta real coincideix 

amb la topologia ordinària. 

(d) Proveu que T = fT si i només si l’aplicació natural ⊔α∈JAα −→ X és una identificació. 

(e) Siguin Y un espai topològic i f : X −→ Y una aplicació. Proveu que f és contínua per la 

topologia feble de X si i només si les rstriccions fα = f |Aα : Aα −→ Y són contínues, per 

a tot α ∈ J. 

a


23. Sigui I l’interval unitat de R. Definim una aplicació de I en el perímetre de I 2 ⊆ R 2 , 

f : I −→ ∂I 2 com il·lustra la figura. 

Proveu que f no és una identificació. 

1 

2 

2 

3 

3 

4 

... 

✲ 

1 

2 

. . . . . 

0 ... 

24. Proveu que les superfícies de l’apartat 3.5 són espais de Hausdorff i 2AN. 

25. Considerem X = (R \ {0}) ∪ {0 + ,0 − } amb la topologia T definida per: 

⎧ 

⎨ 

U ∈ T ⇐⇒ 

⎩ 

U ⊆ R és obert i 0 ∈ U, 

U = (U ′ \ {0}) ∪ {0 + } si U ′ ⊆ R és obert, 

U = (U ′ \ {0}) ∪ {0 − } si U ′ ⊆ R és obert. 

Proveu que T defineix una topologia sobre X que no és de Hausdorff i que, localment, és 

homeomorf a R. 

26. Immersió del pla projectiu a R 4 : sigui f : S 2 −→ R 4 l’aplicació definida per 

f(x,y,z) = (x 2 − y 2 ,xy,xz,yz). 

Proveu que f indueix, per pas al quocient, una immersió f : P 2 −→ R 4 . 

27. Immersió de l’ampolla de Klein a R 4 : (a) Proveu que, si x,x ′ ,y,y ′ ∈ R satisfan el sistema 

d’equacions 

(2 + cos x)cos 2y = (2 + cos x ′ )cos 2y ′ , 

(2 + cos x)sin 2y = (2 + cos x ′ )sin 2y ′ , 

aleshores, cos x = cos x ′ , cos 2y = cos 2y ′ i sin 2y = sin 2y ′ . 

(b) Utilizeu l’apartat anterior per provar que l’aplicació contínua f : [0,2π] × [0,π] −→ R 4 

definida per 

f(x,y) = ((2 + cos x)cos 2y,(2 + cos x)sin 2y,sin xcos y,sin xsin y), 

indueix, per pas al quocient, una immersió f : K −→ R 4 . 

28. Siguin X,Y varietats de dimensions n i m, respectivament. Proveu que l’espai producte 

X × Y és una varietat de dimensió n + m. 

29. Cilindre d’una aplicació. Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua. El cilindre de f és 

l’espai Mf = ((X × I) ⊔ Y )/ ∼, on (x,t) ∼ y ⇐⇒ y = f(x) i t = 0, amb la topologia quocient. 

1 

5 

2 

3 

3 

4


x 

f(x) 

f 

❄ 

X×I 

✛ 

X×{0} 

(a) Proveu que podem incloure X i Y dins Mf mitjançant les aplicacions i : X ֒→ Mf i 

j : Y ֒→ Mf, definides per 

i(x) = (x,1), i(y) = y . 

Proveu que X i Y són subespais tancats i oberts de Mf. 

(b) Definim r : Mf −→ Y per r((x,t)) = f(x) i r(y) = y. Proveu que r és contínua i que és 

una retracció, és a dir, que r ◦ j = id y. 

30. Con d’una aplicació. Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua. El con de f és l’espai 

quocient 

Cf = (CX ⊔ Y )/ ∼ 

on (x,t) ∼ y ⇐⇒ y = f(x) i t = 0. 

x 

CX 

f(x) 

❄ 

✛ 

Y 

X×{0} 

Proveu que l’aplicació natural Y −→ Cf és una immersió. Considereu l’aplicació Mf −→ Cf 

que col·lapsa el subconjunt X × {1}. És una identificació? 

31. Siguin X un espai topològic i A ⊆ X. Sigui π : X −→ X/A l’aplicació que col·lapsa 

A i notem a = π(A). Proveu que, si A és un tancat, aleshores π indueix un homeomorfisme 

X \ A ∼ = X/A \ {a}. Trobeu un exemple en el qual no es tingui aquest homeomorfisme. 

32. Els espais lenticulars: Considerem l’esfera S 3 com el subconjunt de C 2 format pels parells 

(z1,z2) tals que |z1| 2 + |z2| 2 = 1. 

Y


(a) Donats dos enters p,q, 0 < q < p, primers entre ells, proveu que l’acció Z/pZ×C 2 −→ C 2 , 

definida per 

k · (z1,z2) = (z1e 2kπi/p ,z2e 2kqπi/p ), 

indueix una acció de Z/pZ en S 3 . Definim l’espai lenticular L(p,q) com l’espai d’òrbites 

d’aquesta acció, S 3 /Z/pZ. 

(b) Proveu que L(2,1) és homeomorf a P 3 . 

33. Considerem l’acció de Z sobre el subespai del pla A = {(x,y) | − 1/2 ≤ y ≤ 1/2} definida 

per n · (x,y) = (n + x,(−1) n x). Proveu que l’espai d’òrbites A/Z és homeomorf a la cinta de 

Möbius M. 

34. Sigui X = R n+1 − {0} i G = R − {0} el grup multiplicatiu dels nombres reals. Identifiqueu 

l’espai d’òrbites de l’acció de G sobre X corresponent a la multiplicació per escalars. 

35. Sigui G un grup finit que actua sobre un espai toplògic X. Proveu que la projeció π : 

X −→ X/G és una aplicació tancada.

4 

Compacitat 

Els subconjunts de R n que són alhora tancats i fitats tenen propietats especials que els distingeixen 

molt particularment. Per exemple, reduint-nos al cas de dimensió u, es té el conegut 

resultat de càlcul: 

Teorema del valor màxim. Si f : [a,b] −→ R és contínua, llavors existeix un element c ∈ [a,b] 

tal que f(x) ≤ f(c), per a tot x ∈ [a,b]. 

Aquest resultat no és vàlid per a funcions definides en un interval obert o en un de no fitat. A 

més de la continuïtat de f, el fet fonamental és que l’interval [a,b] és tancat i fitat. Aquests 

conjunts es poden caracteritzar en termes purament topològics i donen lloc a la noció d’espai 

compacte, a la qual dediquem aquest capítol. És pels espais compactes que és possible enunciar 

la generalització del teorema del valor màxim anterior. Recordem, però, que el fet de ser 

fitat dintre d’un espai mètric no és un concepte topològic: per exemple, a R amb la mètrica 

fitada ordinària d(x,y) = min{|x − y|,1}, tot conjunt resulta ser fitat. Les dues distàncies d i 

d(x,y) = |x−y| defineixen els mateixos oberts i, per tant, les mateixes funcions contínues sobre 

la recta real. Així, no és cert que tota funció contínua definida sobre un subconjunt tancat i 

fitat respecte de d tingui un màxim. 

4.1 Espais compactes 

La definició d’espai compacte per a espais topològics generals parteix d’una propietat dels 

conjunts tancats i fitats de R n coneguda com a teorema de Heine-Borel (vegeu més endavant, 

4.4.5). Comencem definint els recobriments i els subrecobriments d’un espai X. 

4.1.1 Definició Una col·lecció U ⊆ P(X) de subconjunts d’un espai topològic X és un recobriment 

de X, o recobreix X, si la seva reunió és igual a X, 

X = 

U. 

U∈U

86 Capítol 4. Compacitat 

Es diu que U és un recobriment obert de X si els seus elements, U ∈ U, són oberts de X. 

Si U és un recobriment de X, diem que V és un subrecobriment si V ⊆ U, és a dir, si tot 

subconjunt de V és de U. 

4.1.2 Exemple A R 2 , amb la topologia ordinària, les col·leccions de subconjunts donades per 

U = {Br(x) | r > 0,x ∈ R 2 }, 

V = {Vr = {(x,y) ∈ R 2 | y > r},r ∈ R}, 

W = {Br(x) | r ∈ Q + ,x ∈ R 2 }, 

són recobriments de tot R 2 . El recobriment V és obert, mentre que U no ho és. D’altra banda, 

W és un subrecobriment de U, però no ho és de V. 

4.1.3 Definició Un espai topològic X s’anomena compacte si tot recobriment obert U de X 

conté un subrecobriment finit. 

4.1.4 Observació Alguns autors (sobretot de l’escola francesa; vegeu, per exemple, [B]) defineixen 

els espais compactes com aquells espais que satisfan la propietat de subrecobriments 

finits com l’enunciada i, a més, són espais de Hausdorff. Els espais que satisfan 4.1.3 i no són 

de Hausdorff els anomenen espais quasicompactes. Això és degut al fet que la conjunció de les 

dues propietats té conseqüències molt més “agradables” (cf. 4.3.5 i 4.3.7). 

4.1.5 Exemples (1) La recta real R no és compacta. En efecte, el recobriment obert 

no conté cap subrecobriment finit. 

(2) El subespai de R 

U = {(−n,n), n ∈ N} 

 

1 

X = {0} ∪ , n ∈ N 

n 

és compacte. En efecte, donat un recobriment obert U qualsevol de X, prenem un obert U ∈ U 

que contingui el zero. Forçosament en deixarem fora tan sols un nombre finit de punts de X. 

Ara, per a cadascun d’ells prenem un obert de U que el contingui i ja tenim un subrecobriment 

finit. 

(3) El subespai (0,1] no és compacte: el recobriment obert 

U = 

 

1 

n ,1 

 

, n ∈ N 

no conté cap subrecobriment finit. Anàlogament, l’interval obert (0,1) tampoc no és compacte. 

(4) Tot espai X amb un nombre finit de punts és compacte, ja que qualsevol recobriment té un 

nombre finit d’oberts.

4.1. Espais compactes 87 

(5) Si Xdis és un espai topològic discret i compacte, aleshores X és finit. En efecte, com els 

punts són oberts a X, els conjunts {x}, x ∈ X, formen un recobriment obert, del qual podem 

treure un subrecobriment finit per la compacitat de X, d’on resulta la finitud de l’espai. 

(6) L’exemple (4) és indicatiu que és fàcil que una topologia “amb pocs oberts” sigui compacta. 

Així, R amb la topologia de complements finits és compacte: en efecte, sigui U un recobriment 

obert. Si U és un obert qualsevol de U, aleshores R\U és un conjunt finit de punts, {x1,...,xm}. 

Com que U és un recobriment de R, existeixen oberts U1,...,Um de U tals que xi ∈ Ui, 

i = 1,...,m i, per tant, U,U1,...,Um formen un subrecobriment finit. 

Tal com hem assenyalat a la introducció, un dels exemples més importants d’espai compacte és 

el dels intervals tancats i fitats de la recta real. Comprovem que, amb la definició de compacitat 

per recobriments que hem establert, “recuperem” la compacitat d’aquests intervals. 

4.1.6 Proposició Per a tot parell −∞ < a ≤ b < ∞, l’interval [a,b] ⊆ R és compacte. 

Demostració. Sigui U un recobriment obert de [a,b]. Hem de veure que existeix un subrecobriment 

finit. La demostració es basa en una propietat fonamental de la recta real, l’axioma del 

suprem. Considerem el conjunt 

C = {x ∈ (a,b] | [a,x] pot ser recobert per un nombre finit d’oberts de U}. 

Volem provar que [a,b] = C, cosa que fem en tres etapes: 

(1) C = ∅: en efecte, ja que, donat U ∈ U tal que a ∈ U, existirà ε > 0 tal que [a,a + ε) ⊆ U, 

perquè els intervals oberts són una base de la topologia. Llavors, per a tot y tal que a < y < a+ε 

tindrem [a,y] ⊆ U i, per tant, y ∈ C. 

Com que el conjunt C és un conjunt fitat, té un suprem. Sigui c = sup{x | x ∈ C}. Volem veure 

que c = b. 

(2) c ∈ C, és a dir, [a,c] es pot recobrir amb un nombre finit d’oberts de U. En efecte, sigui 

U ∈ U tal que c ∈ U, i ε > 0 tal que (c −ε,c] ⊆ U. Per definició de suprem de C, existeix també 

x ∈ C ∩ (c − ε,c]. Llavors [a,c] = [a,x] ∪ [x,c] el podem recobrir com dèiem: [a,x] és possible 

fer-ho per definició de C i [x,c] ⊆ U. 

(3) c = b. Si c < b, prenem com abans U ∈ U tal que c ∈ U. Nvament, podem trobar d tal 

que c < d ≤ b i [c,d] ⊆ U. Com que [a,d] = [a,c] ∪ [c,d] i c ∈ C, podem recobrir [a,d] amb un 

nombre finit d’oberts de U i, per tant, d ∈ C, cosa que contradiu que c sigui el suprem. 

En un espai topològic X, els conjunts tancats són els complementaris dels conjunts oberts. Així, 

usant les lleis de pas al complementari podem expressar la compacitat en termes de conjunts 

tancats, com fem tot seguit. 

4.1.7 Proposició Sigui X un espai topològic. X és compacte si i només si se satisfà la propietat 

següent: per a tota família de tancats C = {Cj | j ∈ J} tal que 

 

Cj = ∅, (4.1) 

j∈J


existeix una subfamília finita Cj1 ,...,Cjm , tal que 

Cj1 

∩ · · · ∩ Cjm = ∅. 

Demostració. Suposem que X és compacte i sigui C = {Cj | j ∈ J} una família de tancats que 

satisfà (4.1). Aleshores, els oberts Uj = X \ Cj, j ∈ J formen un recobriment obert de X: 

 

(X \ Cj) = X \ ( 

Cj) = X. 

j∈J 

Per la compacitat de X, existeixen índexs j1,...,jn ∈ J tals que 

X = Uj1 ∪ · · · ∪ Ujn = (X \ Cj1 ) ∪ · · · ∪ (X \ Cj1 ) = X \ (Cj1 ∩ · · · ∩ Cjn ), 

per la qual cosa, Cj1 ∩ · · · ∩ Cjn = ∅. La demostració del recíproc és similar. 

En particular, es té el resultat següent: 

4.1.8 Corol·lari (Teorema de Cantor) Siguin X un espai compacte i 

j∈J 

C1 ⊇ C2 ⊇ · · · ⊇ Cn ⊇ ... 

una successió de tancats encaixats no buits (Cn = ∅,n ≥ 1). Aleshores, 

 

Cn = ∅. 

n≥1 

La propietat recollida en aquesta proposició s’anomena propietat d’intersecció finita. És equivalent 

a la dels recobriments oberts finits, però té la particularitat d’indicar un dels avantatges 

de la compacitat: dóna condicions d’existència de punts. En efecte, assegura l’existència de 

punts en la intersecció de tots els tancats de la família. Per als espais no compactes no es dóna 

aquest resultat. Per exemple, prenem X = [0,1) ⊆ R, que no és compacte, i considerem els 

tancats Cr = [r,1). La intersecció d’una quantitat finita d’elements de C és no buida ja que, de 

fet, és un altre element de C, mentre que 

 

Cr = ∅. 

r∈[0,1) 

4.2 Compacitat i continuïtat 

En aquest apartat, establim el teorema del valor màxim per a funcions contínues definides sobre 

un espai compacte. Més generalment, veiem com la compacitat es preserva per aplicacions 

contínues: 

4.2.1 Proposició La imatge d’un espai compacte per una aplicació contínua és compacta.

4.2. Compacitat i continuïtat 89 

Demostració. Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua i suposem que X és compacte. Hem de 

veure que f(X) és un espai compacte. Sigui U un recobriment obert de f(X). Per la continuïtat 

de f, la col·lecció de subconjunts de X definida per 

{f −1 (U) | U ∈ U}, 

és un recobriment obert de X. Com que X és compacte, conté un subrecobriment finit. Suposem 

que sigui 

X = f −1 (U1) ∪ · · · ∪ f −1 (Un). 

Aleshores, U1,...,Un és un subrecobriment de U que cobreix f(X), com es comprova immediatament. 

4.2.2 Corol·lari (Teorema del valor màxim i mínim) Sigui f : X −→ R una funció contínua. 

Si X és compacte, llavors existeixen punts c,d ∈ X tals que 

per a tot x ∈ X. 

f(c) ≤ f(x) ≤ f(d), 

Demostració. Considerem el conjunt f(X) ⊆ R. Com que X és compacte i f contínua, f(X) 

és compacte. Suposem que f(X) no tingués un màxim, és a dir, que no existís y ′ ∈ f(X) tal 

que si y ∈ f(X), llavors y ≤ y ′ . Aleshores, la família 

{(−∞,y) | y ∈ f(X)} ∩ f(X) 

és un recobriment obert de f(X). En efecte, si y ∈ f(X), com que no és el màxim, existeix 

y ′ ∈ f(X) tal que y < y ′ i, per tant, y ∈ (−∞,y ′ ). 

Com que f(X) és compacte, en podem extreure un subrecobriment finit: 

f(X) = ((−∞,y1) ∩ f(X)) ∪ · · · ∪ ((−∞,yn) ∩ f(X)). 

Si y = max{y1, · · · ,yn}, llavors y ∈ (−∞,y1) ∪ · · · ∪ (−∞,yn), cosa que contradiu que 

{(−∞,yi),i = 1,...,n} sigui un recobriment de f(X). Per tant, f(X) té un màxim, és a 

dir, existeix y ′ ∈ f(X) tal que y ≤ y ′ , per a tot y ∈ f(X). Sigui d ∈ X tal que y ′ = f(d), 

aleshores f(x) ≤ f(d), per a tot X ∈ X. 

Anàlogament, es comprova que f té un mínim. 

4.2.3 Corol·lari Tot quocient d’un espai compacte és compacte. 

Demostració. Si X és compacte i X/∼ té la topologia quocient per la identificació π : X −→ 

X/∼, llavors X/∼= π(X) és la imatge d’un compacte per una aplicació contínua, i el resultat 

se segueix de 4.2.1. 

4.2.4 Exemple Més endavant, quan tinguem més exemples d’espais compactes al nostre abast, 

utilitzarem aquest resultat per provar la compacitat de molts dels espais introduïts al capítol 

anterior, com el tor o el pla projectiu. De moment el podem utilitzar per afirmar la compacitat 

de l’espai obtingut a partir de l’interval unitat identificant els dos extrems, I/0 ∼ 1, que no és 

sinó la circumferència.


Tot i que podríem derivar la invariància topològica de la noció de compacitat directament a 

partir de la definició, observem que es dedueix immediatament de la proposició 4.2.1: 

4.2.5 Corol·lari Siguin X i Y dos espais topològics homeomorfs, X ∼ = Y . Aleshores, X és 

compacte si i només si ho és Y . 

4.3 Compacitat, tancats i homeomorfismes 

Com hem dit, l’equivalència compacte ⇐⇒ tancat i fitat no té sentit en espais topològics en 

general. En aquest apartat, analitzem la relació entre la compacitat d’un subespai i el fet de 

ser tancat. Abans, però, fem un aclariment sobre recobriments de subespais d’un espai X, que 

ja hem utilitzat implícitament en la demostració de 4.2.1. 

4.3.1 Definició Si Y és un subespai de X, es diu que una col·lecció de subconjunts U de X 

recobreix Y si la reunió dels seus elements conté Y , 

Y ⊆ 

U. 

U∈U 

Aquesta noció de recobriment és compatible amb els recobriments de Y amb la topologia de 

subespai de X, i les nocions de compacitat coincideixen, ja que es té: 

4.3.2 Lema Sigui Y un subespai de X. Llavors, Y és un subespai compacte si i només si tot 

recobriment de Y per oberts de X conté un subrecobriment finit de Y . 

Demostració. Deixem la prova com a exercici per al lector. 

4.3.3 Proposició Tot subespai tancat d’un espai compacte és un espai compacte. 

Demostració. Siguin X un espai compacte, Y ⊆ X un tancat i U un recobriment de Y per 

oberts de X. Afegint l’obert X \ Y obtenim un recobriment obert de X que, com que X és 

compacte, conté un subrecobriment finit. Els oberts d’aquest subrecobriment finit altres que 

X \ Y han de cobrir Y , per la qual cosa, hem obtingut un subrecobriment finit de U. 

No és cert en general que els subconjunts compactes d’un espai topològic siguin tancats. Vegemne 

un exemple. 

4.3.4 Exemple Considerem la recta real amb la topologia de complements finits Rcf. Com hem 

vist a ??, aquest espai és compacte, com també ho és qualsevol subespai (exercici). En canvi, 

els únics tancats són els conjunts finits de punts. Així, per exemple, [0,1] ⊆ Rcf és un compacte 

que no és tancat. 

La propietat de Hausdorff és la que permet assegurar que els subespais compactes són tancats:

4.3. Compacitat, tancats i homeomorfismes 91 

4.3.5 Proposició Tot subespai compacte d’un espai de Hausdorff és tancat. 

Demostració. Siguin X un espai de Hausdorff i Y ⊆ X un subconjunt compacte. Vegem que 

X \ Y és obert comprovant que tot punt x0 ∈ X \ Y és interior, és a dir, que admet un entorn 

obert U tal que x0 ∈ U ⊆ X \ Y . Com que X és de Hausdorff, per a cada y ∈ Y existeixen 

oberts disjunts Uy, Vy tals que 

x0 ∈ Uy, y ∈ Vy . 

La família {Vy}y∈Y forma un recobriment obert de Y . Com que Y és compacte, conté un 

subrecobriment finit, és a dir, hi ha un nombre finit de punts {y1,...,yn} tals que 

Y ⊆ Vy1 ∪ · · · ∪ Vyn . 

L’obert V = Vy1 ∪ · · · ∪ Vyn , que conté Y , és disjunt amb l’obert 

U = Uy1 ∩ · · · ∩ Uyn , 

ja que si z ∈ V , aleshores existeix yi tal que z ∈ Uyi , d’on z ∈ U. Amb més raó, U ⊆ X \ Y . 

En particular, en els espais mètrics els subespais compactes són tancats. 

4.3.6 Observació La compacitat no es comporta prou bé en els espais que no són de Hausdorff. 

A part del fet que hi pugui haver compactes no tancats, poden aparèixer altres patologies, com 

per exemple: (1) l’adherència d’un compacte no té per què ser compacta; (2) la intersecció de 

dos compactes no té per què ser compacta (vegeu els problemes 4 i 5). 

Ajuntant els darrers resultats amb el de la preservació de la compacitat per aplicacions contínues, 

tenim el criteri següent, que és de molta utilitat a l’hora de verificar que una aplicació és un 

homeomorfisme. 

4.3.7 Proposició Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua i bijectiva. Si X és compacte i Y 

és de Hausdorff, aleshores f és un homeomorfisme. 

Demostració. Hem de provar que f −1 és contínua, però, observem que la continuïtat de f −1 és 

equivalent al fet que f sigui oberta o tancada. Provem això darrer: sigui C un tancat de X. 

Com que X és compacte, C és compacte. Per tant, de 4.2.1 se segueix que f(C) és compacte i 

segons els que acabem de demostrar, com que Y és de Hausdorff, f(C) és tancat. 

Al proper apartat aplicarem aquest resultat per veure que són homeomorfismes les aplicacions 

que teníem pendents del capítol i que permeten identificar algunes superfícies amb subespais 

de R 3 3. Fem-ne un primer exemple. 

4.3.8 Exemple La circumferència S 1 és homeomorfa al col·lapse de {0,1} en l’interval unitat. 

En efecte, l’aplicació contínua 

f : I −→ S 1 

θ ↦−→ f(θ) = (cos(2πθ),sin(2πθ))


passa al quocient induint un bijecció contínua 

f : I/{0 ∼ 1} −→ S 1 

θ ↦−→ f(θ) = f(θ) 

Com que I/{0 ∼ 1} és compacte i S 1 és de Hausdorff, perquè és un subespai d’un espai de 

Hausdorff, per 4.3.7, f és un homeomorfisme. 

4.4 Compacitat i productes finits 

La compacitat es comporta bé respecte de la topologia producte. En aquest apartat establim 

la compacitat d’un producte finit d’espais compactes, i deixem el cas infinit, que requereix un 

tractament específic, per a l’apartat 5.7. 

4.4.1 Proposició Siguin X i Y dos espais topològics. Aleshores, 

X × Y és compacte ⇐⇒ X,Y són compactes. 

Demostració. La implicació ⇒ és trivial perquè X = πX(X × Y ) i Y = πY (X × Y ) són 

imatges d’un compacte per aplicacions contínues i, per tant, se segueix de 4.2.1. Pel que fa a 

la contrària, la demostració inclou el següent: 

4.4.2 Lema del tub Siguin X i Y espais topològics i considerem l’espai producte X ×Y , essent 

Y compacte. Si N és un obert de X × Y que conté {x0} × Y , llavors N conté un tub W × Y 

al voltant de {x0} × Y , essent W un entorn obert de x0 dins X. 

Y 

✛ 

✒ W 

Suposem-lo cert i retormen a la prova de la proposició: 

x0 

✛ 

✛ 

{x0} × Y 

N 

W × Y 

⇐ Suposem que X i Y són compactes i sigui U un recobriment obert X × Y . Donat x0 ∈ X, 

la llesca {x0} × Y és compacta (ja que és homeomorfa a Y ) i, per tant, la podem recobrir amb 

X

4.4. Compacitat i productes finits 93 

un nombre finit U1,...,Un dels elements de U. Sigui 

N = U1 ∪ · · · ∪ Un, 

la seva reunió; N és un obert que conté {x0} × Y . Pel lema del tub, existeix un entorn obert 

W de x0 dins X tal que 

{x0} × Y ⊆ W × Y ⊆ N = U1 ∪ · · · ∪ Un . 

Per tant, W × Y pot ser recobert per un nombre finit d’oberts de U. Fem ara el mateix per a 

cada x ∈ X: tenim un obert Wx de X, Wx ∋ x tal que Wx × Y pot ser recobert per un nombre 

finit d’oberts de U. Però els {Wx}x∈X formen un recobriment obert de X i aquest és compacte; 

per tant, en podem treure un subrecobriment finit: 

X = Wx1 ∪ · · · ∪ Wxm , 

i, en conseqüència, 

X × Y = (Wx1 × Y ) ∪ · · · ∪ (Wxm × Y ). 

Com que cada tub Wxi × Y es pot recobrir per un nombre finit d’oberts de U i hi ha m tubs, 

també X ×Y es pot recobrir per un nombre finit d’oberts de U; en definitiva, X ×Y és compate. 

Demostració del lema del tub. Suposem que {x0} × Y ⊆ N, on N és obert. Per a cada 

(x0,y) ∈ {x0} × Y , prenem un obert de la base de la topologia producte Uy × Vy, de manera 

que 

(x0,y) ∈ Uy × Vy ⊆ N . 

Com que Y és compacte, amb un nombre finit d’aquests en tenim prou per recobrir {x0} × Y . 

Siguin aquests: 

{x0} × Y ⊆ (U1 × V1) ∪ · · · ∪ (Un × Vn). 

Considerem ara el conjunt 

W = U1 ∩ · · · ∩ Un, 

Es tracta d’un obert de X, ja que és una intersecció finita d’oberts, i conté x0. Llavors 

{x0} × Y ⊆ W × Y ⊆ 

(Uy × Vy) ⊆ N, 

i, per tant, W × Y és el tub cercat. 

4.4.3 Exemple El lema del tub és fals sense la hipòtesi de compacitat per a Y . En efecte, 

prenem X × Y = R × [0,+∞) i l’obert 

 

N = (x,y) ∈ X × Y | y < 1 

 

. 

|x| 

Aleshores, N no conté cap tub al voltant de 

com es comprova fàcilment (vegeu la figura). 

y∈Y 

{0} × [0,+∞),


N 

Y 

0 

Raonant per inducció, podem deduir que el producte d’un nombre finit d’espais compactes és 

compacte. 

4.4.4 Corol . lari Siguin X1,...,Xn espais topològics. Aleshores l’espai producte X = X1 × · · · × 

Xn és compacte si i només si ho són cadascun dels espais Xi, i = 1,...,n. 

Per la compatibilitat entre la compacitat i el producte que acabem de demostrar, de la compacitat 

dels intervals [a,b] de la recta real, 4.1.6, se’n dedueix la compacitat dels productes 

[a1,b1] × · · · × [an,bn], cosa que ens permet retrobar la caracterització dels compactes de R n 

que coneixem de càlcul: 

4.4.5 Corol·lari (Teorema de Heine-Borel) Un subconjunt K de R n és compacte si i només si 

és tancat i fitat (amb la mètrica euclidiana). 

Demostració. ⇒ Suposem que K és compacte. Llavors, com que R n és de Hausdorff, K és 

tancat. Considerem la col·lecció d’oberts 

U = {Bm(0), m ∈ N}. 

La seva reunió és R n . En particular, formen un recobriment obert de K. Com que aquest 

és compacte, en basta un nombre finit. Per tant, existeix M ∈ N tal que K ⊆ BM(0) i, en 

particular, K és fitat. 

⇐ Suposem ara que K és tancat i fitat. Com que és fitat existeix M tal que K ⊆ BM(0) 

o, també, K ⊆ [−M,M] n . Però, aleshores, K és tancat dins un compacte [−M,M] n i, per la 

proposició 4.3.3, és compacte. 

4.4.6 Exemples (1) La circumferència S 1 = {(x,y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 = 1} i, més generalment, 

l’esfera n-dimensional S n = {x ∈ R n | x = 1} són compactes, ja que són conjunts tancats i 

fitats. 

(2) Per la mateixa raó, les boles tancades Br(x) = {y ∈ R n | x − y ≤ r} són compactes. 

X

4.4. Compacitat i productes finits 95 

(3) Com que el quadrat I 2 és compacte, també ho són els espais quocient de I 2 . En particular, 

les superfícies de la secció 3.5, com el cilindre I 2 / ∼, el tor T 2 , l’ampolla de Klein K o el pla 

projectiu RP 2 són compactes. 

n 

⌣ 

(4) El tor n-dimensional Tn := S1 × · · · × S1 és compacte, perquè és producte d’espais compactes. 

(5) L’espai projectiu n-dimensional, P n = S n / ∼ és compacte, ja que és un quocient d’un espai 

compacte, 4.2.3. 

4.4.7 Observació El teorema de Heine-Borel no se satisfà en espais mètrics arbitraris, és a dir, 

si (X,d) és un espai mètric, en general no és cert que un subconjunt K ⊆ X és compacte si 

i només si K és tancat i fitat. La implicació ⇒ és certa en general (vegeu 4.5.1), però no 

pas ⇐ , com hem assenyalat a la introducció a propòsit de la mètrica fitada a la recta real (a 

l’apartat 4.5 estudiarem la compacitat en espais mètrics). 

4.4.8 Exemples Les propietats dels espais compactes establertes fins ara i el criteri d’homeomorfisme 

4.3.7 ens permeten completar la presentació dels models de diverses superfícies que 

hem analitzat al capítol anterior. 

(1) L’espai producte S 1 ×I és homeomorf al cilindre que s’obté identificant dos costats oposats 

del quadrat unitat, I 2 / ∼. En efecte, l’aplicació contínua 

f : I 2 −→ S 1 × I 

(θ,t) ↦−→ f(θ,t) = (cos(2πθ),sin(2πθ),t) 

identifica els punts (0,t) i (1,t) i, per tant, per pas al quocient indueix una aplicació contínua 

f : I 2 /∼ −→ S 1 × I, f((θ,t)) = f(θ,t), que és bijectiva. Com que I 2 / ∼ és compacte, ja que 

és quocient de I 2 , i S 1 × I és de Hausdorff, perquè és producte de dos espais de Hausdorff, en 

resulta que f és un homoemorfisme. 

(2) El tor admet una immersió a l’espai ordinari: el tor T 2 és homeomorf al subespai de R 3 

definit per 

W = {(x,y,z) ∈ R 3 | ( x 2 + y 2 − R) 2 + z 2 = r 2 }. 

Parametritzem W tenint present que és una superfície de revolució obtinguda en fer girar una 

circumferència al voltant d’un eix. Així, escollim els angles θ,ϕ indicats a la figura i considerem 

l’aplicació f : I 2 −→ W definida per 

f(θ,ϕ) = ((R + r cos(2πϕ))cos(2πθ),(R + r cos(2πϕ))sin(2πθ),r sin(2πϕ)).


Com que les funcions trigonomètriques són periòdiques, de període 2π, l’aplicació f passa al 

quocient induint una bijecció contínua f : T 2 −→ W. Pel criteri 4.3.7, f és un homoeomorfisme. 

4.5 Compacitat en espais mètrics 

La noció de compacitat que hem introduït no resulta gaire intuïtiva, tot i que assegura l’existència 

de màxims i mínims per a les aplicacions contínues. Als cursos de càlcul s’acostuma 

a utilitzar d’altres caracteritzacions de la compacitat, ja sigui la coneguda com a propietat de 

Bolzano-Weierstrass o la corresponent a l’existència de parcials convergents per a les successions 

arbitràries. En aquest apartat, provem que aquestes caracteritzacions són vàlides en qualsevol 

espai mètric. 

Com ja hem comentat, la caracterització dels compactes de R n (amb topologia usual) com 

aquells conjunts tancats i fitats alhora no admet una extensió literal als espais mètrics en 

general. Sí que es dóna, però, la implicació més senzilla, com veiem en el resultat següent: 

4.5.1 Proposició Siguin X un espai mètric i K ⊆ X un compacte. Llavors, K és tancat i fitat. 

Demostració. Com que X és un espai mètric, és de Hausdorff i, per tant, tot compacte és 

tancat. Fixat un punt x ∈ X, considerem el recobriment obert de X i, per tant, de K, format 

per les boles de radi n centrades en x ∈ X: 

U = {Bn(x), n ∈ N}. 

Com que K és compacte, n’hi ha un subrecobriment finit. Per tant, K ⊆ Bn(x) per a algun n 

i, en conseqüència, K és fitat. 

Abans d’establir la caracterització de la compacitat per successions o per la propietat de 

Bolzano-Weierstrass, es revisem les definicions associades i establim el lema del nombre de 

Lebesgue.

4.5. Compacitat en espais mètrics 97 

4.5.2 Definició Sigui X un espai topològic. Diem que X satisfà la propietat de Bolzano- 

Weierstrass si tot subconjunt infinit de X té algun punt d’acumulació. 

4.5.3 Exemples (1) La recta real R no satisfà la propietat de Bolzano-Weierstrass. Basta 

prendre el subconjunt N, que és infinit i en el qual tots els punts són aïllats. 

(2) Si X és un espai mètric discret, Xdis, amb infinits punts, X no satisfà la propietat de 

Bolzano-Weierstrass. 

4.5.4 Definició Un espai mètric X es diu que és seqüencialment compacte si tota successió 

(xn) de punts de X té una parcial convergent. És a dir, per a tota successió (xn) existeix una 

successió creixent d’índexs 

n1 < n2 < n3 < · · · < ni < ... 

tal que la successió de punts de X 

convergeix a un punt x ∈ X. 

xn1 ,xn2 ,xn3 ,...,xni ,... 

Per establir el lema 4.5.7 és convenient disposar de la noció de diàmetre d’un subconjunt d’un 

espai mètric (veigeu també el problema 1.7). 

4.5.5 Definició El diàmetre d’un subconjunt A d’un espai mètric X es defineix per 

diam(A) = sup {d(x,y) | x,y ∈ A}. 

4.5.6 Exemples (1) És immediat comprovar que diam(R) = ∞ i que diam[a,b] = diam(a,b) = 

b − a. 

(2) En general, en tot espai mètric, diamBr(x) ≤ 2r, ja que, per la desigualtat triangular, si 

y,z ∈ Br(x), llavors d(y,z) ≤ d(y,x) + d(x,z) ≤ 2r. 

(3) Si K és un compacte en un espai mètric X, aleshores el diàmetre de K és finit, diam(K) < ∞, 

perquè K és fitat. 

4.5.7 Lema del nombre de Lebesgue Sigui X un espai mètric seqüencialment compacte. Per 

a tot recobriment obert U de X existeix un δ > 0 tal que tot subconjunt de X de diàmetre 

més petit que δ està contingut en algun obert de U. δ és anomenat el nombre de Lebesgue del 

recobriment U. 

Demostració. Sigui U un recobriment obert de X qualsevol. Si el lema de Lebesgue fos fals, 

per a tot n ∈ N, existeix un subconjunt An tal que diam(An) < 1 

n i An ⊆ U, per a tot U ∈ U. 

Escollim un punt xn ∈ An, per a cada n, i així obtenim una successió de X. Com que X 

és seqüencialment compacte, la successió (xn) té una parcial convergent, és a dir, existeix un 

x ∈ X que és límit d’una parcial de (xn). Com que U és un recobriment de X, hi haurà un


obert U ∈ U amb x ∈ U i, com que x és un punt límit de la successió, aquest U contindrà 

infinits punts de {xn | n ∈ N}. Sigui 

d = inf{d(x,z) | z ∈ X \ U}, 

que és un positiu ja que x ∈ U i U és obert. Si d(x,y) < d, llavors y ∈ U. Escollim n de manera 

que n > 2/d i d(x,xn) < d/2. Llavors, per a tot y ∈ An es té 

d(x,y) ≤ d(x,xn) + d(xn,y) < d 1 

+ < d 

2 n 

i, per tant, y ∈ U, d’on An ⊆ U, amb la qual cosa arribem a una contradicció. 

4.5.8 Proposició Sigui X un espai mètric. Aleshores, les afirmacions següents són equivalents: 

(a) X és compacte. 

(b) X satisfà la propietat de Bolzano-Weierstrass. 

(c) X és seqüencialment compacte. 

Demostració. a ⇒ b Sigui A ⊆ X i provem que, si A no té cap punt límit, aleshores A és finit. 

Si A ′ = ∅, llavors A = A, ja que A = A ∪ A ′ , i, per tant, A és tancat. Com que X és compacte, 

en resulta que A és compacte. Així, A és un compacte que té la topologia discreta. En efecte, 

com que A no té cap punt límit, per a tot a ∈ A podem triar un entorn obert a ∈ Ua tal que 

Ua ∩ (A \ {a}) = ∅. En definitiva, A és finit, 4.1.5. 

b ⇒ c Donada una successió x1,x2,...,xn,... de punts de X, considerem el conjunt 

A = {xn | n ∈ N}. 

Si el conjunt A és finit, hi haurà un valor de la successió que es prendrà infinits cops. Per tant, 

(xn) té una parcial constant que, en particular, és convergent. Suposem ara que A és infinit. 

Per hipòtesi, A ′ = ∅, sigui x ∈ A ′ . Per definició de punt límit, B1(x) ∩ (A \ {x}) = ∅. Sigui 

xn1 ∈ B1(x) ∩ (A \ {x}). Així mateix, B1/2(x) ∩ (A \ {x}) = ∅ i podem prendre un punt 

xn2 ∈ B 1/2(x) ∩ (A \ {x}) amb n2 > n1 (cosa que podem fer perquè X és de Hausdorff, 2.4.12). 

Iterant el procés, obtenim punts xni ∈ B 1/i(x) ∩ (A \ {x}) per a tot i amb ni > ni−1, d’on 

s’obté una parcial de (xn) que és convergent cap a x, 

xn1 ,xn2 ,...,xni ,... 

c ⇒ a Dividim la prova d’aquesta implicació en dues etapes. A la primera ens limitarem a 

considerar recobriments formats per boles obertes i veurem que en podem treure un subrecobriment 

finit. A la segona part analitzarem el cas general. 

Pas 1. Vegem que per a tot ε > 0 existeix un nombre finit de boles de radi ε > 0 tals que 

X = Bε(x1) ∪ · · · ∪ Bε(xn).

4.5. Compacitat en espais mètrics 99 

Raonem per reducció a l’absurd: si no fos així, veiem que tindríem una successió sense cap 

parcial convergent. 

Sigui ε > 0 tal que X no es pot recobrir amb un nombre finit de boles de radi ε. 

Prenem un punt qualsevol x1 ∈ X. Com que Bε(x1) = X, hi ha un punt x2 ∈ X \Bε(x1). Com 

que X = Bε(x1) ∪ Bε(x2), existeix x3 ∈ X \ (Bε(x1) ∪ Bε(x2)). En general, donats x1,...,xn, 

prenem un punt 

xn+1 ∈ X \ (Bε(x1) ∪ · · · ∪ Bε(xn)), 

l’existència del qual se segueix de la hipòtesi anterior. 

La successió (xn) no pot tenir cap parcial convergent ja que, per a tot x ∈ X, la bola B ε/2(x) 

té, com a molt, un punt de la succesió (xn). Arribem així a una contradicció, ja que X és 

seqüencialment compacte. 

Pas 2. Vegem ara que X és compacte: sigui U un recobriment arbitrari. Com que X és 

seqüencialment compacte, U té un nombre de Lebesgue δ. Pel pas 1, podem recobrir X per 

un nombre finit de boles B δ/3(xi), i = 1,...,n i diamB δ/3(xi) ≤ 2δ/3. Pel lema de Lebesgue, 

per a tot i = 1,...,n, existeix Ui ∈ U tal que B δ/3(xi) ⊆ Ui. Per tant, U1,...,Un és un 

subrecobriment U finit. 

Els espais mètrics X tals que, per a tot ε > 0, hi ha un nombre finit de boles de radi ε que 

formen un recobriment de X, s’anomenen espais completament fitats. Així, al pas 1 de la darrera 

implicació hem demostrat que els espais mètrics compactes són completament fitats, (vegeu el 

problema 14). 

Com a aplicació d’aquest criteri de compacitat podem demostrar la compacitat del cub I ω ⊆ R ω 

mitjançant el mètode diagonal de Cantor (aquest resultat és conseqüència, també, del teorema 

de Tychonoff, que provarem més endavant). 

4.5.9 Corol . lari El cub I ω és compacte. 

Demostració. Com que I ω és un espai mètric, és suficient veure que tota successió de I ω té una 

parcial convergent. Una successió (αn) de I ω està formada per successions αn d’elements de I: 

α1 = (x11,x12,x13, · · · ) 

α2 = (x21,x22,x23, · · · ) 

· · · 

αn = (xn1,xn2,xn3, · · · ) 

· · · 

En trobarem la parcial i el límit corresponent raonant per “columnes”, que són successions de 

I: la columna (xi1) és una successió d’elements de l’interval unitat, que és compacte i, per tant, 

admet una parcial convergent. És a dir, hi ha un subconjunt infinit A1 ⊆ N tal que la successió 

(xi1)i∈A1 és convergent a un element a1 ∈ I. Considerem ara la successió formada per la segona 

coordenada d’aquesta parcial, (xi2)i∈A1 . Per la compacitat de I, aquesta successió admet una 

parcial convergent, és a dir, hi ha un subconjunt infinit A2 ⊆ A1 tal que la successió (xi2)i∈A2


és convergent a un element a2 ∈ I. Iterant el procés, obtenim una successió de subconjunts 

infinits 

N ⊇ A1 ⊇ A2 · · · ⊇ An · · · 

i un punt a = (a1,a2, · · · ) de R ω tal que 

lim xin = an, per a tot n ∈ N. 

i∈An 

Ara, per obtenir la parcial de límit a a Rω definim A ⊆ N de la forma següent: l’element n-èsim 

de A (en l’ordre creixent dels nombres naturals) és l’element n-èsim de Ai. Aquest conjunt 

és infinit i, per tant, defineix una parcial (αn)n∈A, de manera que la seva columna n-èsima, 

(xin)i∈A és, a partir del terme i ≥ n, una parcial de (xin)i∈An i, per tant, convergent de límit 

an. 

A part de la caracterització dels compactes en un espai mètric, el nombre de Lebesgue apareix 

en diverses demostracions. Més endavant en veurem exemples d’aplicació, com ara al capítol 

corresponent a la topologia del pla. Assenyalem-ne ara una altra aplicació: el teorema de la 

continuïtat uniforme sobre els compactes. 

4.5.10 Definició Sigui f : X −→ Y una aplicació entre espais mètrics. Es diu que f és 

uniformement contínua si, per a tot ε > 0, existeix δ > 0 tal que, per a tot x ∈ X, es té 

f(Bδ(x)) ⊆ Bε(f(x)). 

Observem que la condició és més forta que la de continuïtat: f és contínua si i només si per a tot 

x i tot ε > 0, existeix δ tal que f(Bδ(x)) ⊆ Bε(f(x)). És a dir, en la definició de continuïtat el δ 

depèn (en principi) del punt, mentre que en la continuïtat uniforme no. Doncs bé, la compacitat 

de l’espai X permet assegurar la coincidència de les dues nocions: 

f(x 1 )+ε 

f(x 1 ) 

f(x 1 )+ε 

f(x 1 ) 

⌢ 

⌣ 

⌢ 

⌣ 

( 

) ( 

x 1 −δ 1 x 1 x1 +δ 1 

4.5.11 Teorema de la continuïtat uniforme Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua entre 

espais mètrics. Suposem que X és un espai compacte; aleshores, f és uniformement contínua. 

Demostració. Donat ε > 0, recobrim Y per boles B ε/2(y). Llavors 

U = {f −1 (B ε/2(y))}, 

)

4.6. Compacitat local 101 

és un recobriment obert de X. Com que X és compacte, i això és el mateix que seqüencialment 

compacte, prenem λ = el nombre de Lebesgue de U. Sigui δ < λ/2. Aleshores, per a tot x ∈ X, 

diamBδ(x) < λ. Pel lema del nombre de Lebesgue, per a cada x ∈ X, existirà y0 ∈ Y tal que 

Bδ(x) ⊆ f −1 (B ε/2(y0)). 

És a dir, f(Bδ(x)) ⊆ B ε/2(y0). I això implica que 

f(Bδ(x)) ⊆ Bε(f(x)), 

ja que, si y ∈ f(Bδ(x)), aleshores d(y,f(x)) ≤ d(y,y0) + d(y0,f(x)) < ε/2 + ε/2 = ε. 

4.6 Compacitat local 

Quan es té una propietat topològica, com és la compacitat, sovint és convenient disposar d’una 

versió local. En general, donada una propietat topològica P, diem que un espai topològic X és 

localment P en un punt x ∈ X, si x admet una base d’entorns que satisfan P. Així, la noció 

local de compacitat és la següent. 

4.6.1 Definició Un espai X es diu que és localment compacte en x si, per a tot entorn obert U 

de x, existeix un entorn compacte K tal que x ∈ K ⊆ U. Si X és localment compacte en tots 

els seus punts, es diu que és un espai localment compacte. 

Hi ha autors que defineixen la compacitat local en x com l’existència d’un entorn compacte de 

x, i no necessàriament d’una base d’entorns. Nosaltres preferim la definició en termes de bases, 

ja que s’adapta a l’esquema general enunciat al principi de l’apartat. En tot cas, per als espais 

de Hausdorff les dues definicions coincideixen, com mostrem tot seguit. 

4.6.2 Proposició Siguin X un espai de Hausdorff i x ∈ X. Llavors, X és localment compacte 

en x si i només si x té un entorn compacte. 

Demostració. La implicació directa és evident. Demostrem la proposició recíproca: donats 

x ∈ X i U ⊆ X un entorn de x, per hipòtesi existeix un entorn compacte, K, de x. El conjunt 

L = K \ U és tancat dins d’un compacte i, per tant, és compacte. 

W 

U 

V 

x 

W ′ 

L 

K


El mateix raonament que s’ha fet a la demostració de la proposició 4.3.5 ens diu que existeixen 

oberts disjunts, W i W ′ , tals que x ∈ W, L ⊆ W ′ . Sigui V = W ∩ ◦ 

L. Llavors, V és un obert 

que conté x. Com que X és de Hausdorff, K és tancat i, per tant, V ⊆ K, d’on V és compacte 

i és l’entorn compacte de x cercat. 

Aquest criteri és especialment útil per comprovar que diversos espais són localment compactes. 

4.6.3 Exemples (1) Si X és un espai de Hausdorff compacte, aleshores X és localment compacte, 

ja que podem aplicar 4.6.2 prenent K = X per a tots els punts. 

(2) R n , n ≥ 1, és un espai localment compacte: en efecte, és de Hausdorff i tot punt x està en 

algun obert de la base, V = (a1,b1) × · · · × (an,bn), l’adherència del qual, V = [a1,b1] × · · · × 

[an,bn], és compacta. En particular, aquest exemple mostra que un espai localment compacte 

no és necessàriament compacte. 

(3) El subespai de la recta real format pels nombres racionals, Q, no és localment compacte. 

Raonem-ho, per exemple, utilitzant el criteri de compacitat seqüencial per als espais mètrics: 

tot entorn d’un punt conté un nombre irracional r. Així, una successió de Q que tendeixi a r 

defineix una successió en aquest entorn sense parcials convergents, és a dir, aquest entorn no pot 

ser compacte. Pel mateix argument, Q n no és localment compacte. Aquest exemple mostra, 

en particular, que els subespais d’un espai localment compacte no són, en general, localment 

compactes. 

(4) Tot espai X amb la topologia discreta és localment compacte, ja que és de Hausdorff i, per 

a tot punt x ∈ X, {x} és un entorn compacte. 

(5) L’espai de successions R ω no és localment compacte. En principi, això pot sorprendre, ja 

que tot punt està inclòs en un producte d’intervals tancats i fitats 

K = [a1,b1] × · · · × [an,bn] × · · · 

que són compactes, com hem provat a 4.5.9. La qüestió és, però, que aquests conjunts tenen 

interior buit, ja que els elements de la base per la topologia producte de R ω són de la forma 

B = (a1,b1) × · · · × (an,bn) × R × · · · × R × ... 

per a algun n, i no poden estar continguts a K. Completem-ne el raonament: de fet, si un 

compacte K fos entorn d’un punt, contindria un element de la base. Suposem que la coordenada 

n-èsima d’aquest conjunt bàsic és tot R. Com que K és compacte i la projeccció n-èsima πn és 

contínua, la imatge πn(K) = R seria compacta, cosa que és incompatible amb la no-compacitat 

de la recta real. 

La compacitat local d’un espai de Hausdorff es pot caracteritzar per l’existència d’una base 

compacta, en el sentit que precisa la proposició següent. 

4.6.4 Proposició Sigui X un espai de Hausdorff. Aleshores, X és localment compacte si i 

només si admet una base B tal que, per a tot B ∈ B, B és compacte.

4.6. Compacitat local 103 

Demostració. La implicació ⇐ és evident. 

⇒ Considerem la família d’oberts 

B = { ◦ 

Kx | Kx entorn compacte de x}x∈X. 

Per la proposició 4.6.2, B és base de la topologia de X. Vegem que les adherències dels oberts 

de B són compactes: es tenen inclusions 

◦ 

Kx ⊆ Kx = Kx, 

on la darrera igualtat se segueix del fet que Kx és tancat, perquè és un compacte dins d’un 

espai mètric. Però un tancat d’un compacte és també compacte, com volíem provar. 

La compacitat local és una propietat topològica, és a dir, si X i Y són dos espais homeomorfs, 

aleshores X és localment compacte si i només si ho és Y . En canvi, en general, la compacitat 

local no és compatible amb els subespais o amb les aplicacions contínues. Respecte dels 

subespais, ja hem assenyalat que Q ⊆ R no és localment compacte. Vegem-ne un altre exemple. 

4.6.5 Exemple Considerem el subespai de R 2 

X = 

x,sin 1 

 

x 

 

 

 

x ∈ (0,1] ∪ {(0,0)}. 

ε/2 

(0,0) 

y 

ε 

−ε 

El punt (0,0) no admet cap entorn compacte. En efecte, qualsevol d’aquests entorns contindria 

la intersecció d’una bola Bε((0,0)) amb X, per a algun ε > 0, l’adherència de la qual, 

Bε(0,0) ∩ X, seria compacta. Però, si prenem la intersecció de la recta y = ε/2 amb Bε(0,0)∩X, 

tenim una successió de punts sense límit dins X. I això és impossible si Bε(0,0) ∩ X fos compacte 

ja que, com a subespai de R 2 , es tracta d’un espai mètric. 

Els subespais oberts i els subespais tancats sí que hereten la compacitat local: 

4.6.6 Corol·lari Siguin X un espai localment compacte i A ⊆ X un subespai. Si A és un tancat 

o és un obert de X, llavors A és localment compacte. 

x


Demostració. Suposem que A sigui un tancat de X. Donat a ∈ A, sigui K un entorn compacte 

de a dins X. Llavors, A ∩ K és un entorn de a dins A, que és tancat dins K i, per tant, 

compacte. Així doncs, és un entorn compacte de a dins A. 

En el cas en què A és obert, el resultat se segueix de la definició de compacitat local. 

El mateix exemple 4.6.5 ens serveix per veure que, en general, la compacitat local no es conserva 

per a aplicacions contínues, ja que és la imatge de {−1} ∪ (0,1] per l’aplicació 

que hi és contínua. Tot i això, es té: 

f(−1) = (0,0), f(x) = 

 

x,sin 1 

 

, 

x 

4.6.7 Proposició Siguin X un espai localment compacte, Y un espai de Hausdorff i f : X −→ Y 

una aplicació contínua i oberta. Aleshores, f(X) és localment compacte. 

Demostració. Sigui y = f(x) ∈ f(X). Com que X és localment compacte, existeix un entorn 

de x compacte, K. I com que f és oberta, f(K) és un entorn de x que, a més, és compacte, 

4.2.1. 

4.7 Compactificació d’Alexandroff 

Un problema general de la topologia és saber quan podem incloure un espai dins un “bon” espai. 

Això permet, de vegades, resoldre qüestions que es plantegen a l’espai original dins l’espai que 

l’inclou. Per exemple, més endavant veurem condicions suficients que assegurin quan podem 

incloure un espai topològic dins un espai mètric i en resulta, en particular, que ell mateix serà 

també un espai mètric. 

Ens plantegem ara quan podem incloure un espai dins els “millors” espais que coneixem fins 

el moment, els compactes de Hausdorff. Diem que hem compactificat l’espai original en ferho. 

Hi ha moltes respostes a aquest problema, però n’estudiarem tan sols una: quan podem 

compactificar un espai afegint-hi tan sols un punt? 

Doncs bé, si l’espai que en resulta ha de ser de Hausdorff, l’original també, ja que tot subespai 

d’un de Hausdorff és de Hausdorff. Al mateix temps, l’espai original és un obert del més gran, 

ja que és el complementari d’un punt, i els punts són tancats en un espai de Hausdorff. Això 

restringeix els espais que podrem compactificar per aquesta via ja que, per la proposició 4.6.6, 

tot subespai obert d’un espai localment compacte i de Hausdorff és localment compacte. 

Sigui doncs X un espai localment compacte i de Hausdorff. Per raons psicològiques, que els 

exemples faran evidents, considerem el punt que li afegim com el punt “de l’infinit” i diem 

a la compactificació de X. 

X ∞ = X ∪ {∞},

4.7. Compactificació d’Alexandroff 105 

Quina topologia hem de posar en X ∞ ? D’entrada, si volem que X en sigui un subespai, amb 

la topologia que ja té, la topologia de X ∞ ha d’incloure com a oberts tots els oberts de X. Tan 

sols resta per determinar, per tant, quins han de ser els entorns oberts del punt de l’infinit, ∞. 

La topologia del pla ens pot servir de guia per definir els entorns de l’infinit: els punts de 

prop de l’infinit són aquells que estan molt allunyats de l’origen, cosa que expressem usualment 

dient que estan a una distància de l’origen més gran que una certa fita M, és a dir, estan al 

complementari d’un conjunt fitat. Si, a més, han de definir un entorn obert de l’infinit, aquest 

conjunt fitat ha de ser tancat. En definitiva, un entorn obert de l’infinit seria complementari 

d’un compacte. En el cas general, aquesta és la caracterització de la topologia que utilitzem a 

X ∞ . 

4.7.1 Definició Sigui X un espai localment compacte i de Hausdorff. Afegim a X un punt que 

no li pertany, que denotem per ∞, X ∞ = X ∪ {∞}. Definim en X ∞ una topologia amb els 

oberts següents: 

(1) U, essent U un obert de X. 

(2) X ∞ \ K, on K és un subconjunt compacte de X. 

L’espai X ∞ s’anomena una compactificació d’Alexandroff o compactificació per un punt de 

X. 

Perquè aquesta definició tingui sentit, hem de provar que, efectivament, aquesta elecció d’oberts 

dóna lloc a una topologia. Comprovem les propietats habituals dels oberts: 

(a) ∅ és obert perquè és de tipus (1) i X ∞ també, perquè és de tipus (2). 

(b) Pel que fa a la intersecció de dos oberts, distingim els tres casos possibles: 

• U1 ∩ U2, que és de tipus (1). 

• (X ∞ \K1)∩(X ∞ \K2) = X ∞ \(K1 ∪K2) és de tipus (2), ja que la unió de compactes 

en nombre finit és compacta. 

• U ∩ (X ∞ \ K) = U ∩ (X \ K), és de tipus (1), ja que, com que X és de Hausdorff, 

K és tancat. 

(c) Anàlogament, distingim els diferents tipus d’unió: 

• ∪αUα és de tipus (1). 

• ∪α(X ∞ \ Kα) = X ∞ \ (∩αKα) és de tipus (2), ja que en un espai de Hausdorff la 

intersecció d’un nombre arbitrari de compactes és compacta (vegeu el problema 3). 

• (∪αUα) ∪ (∪β(X ∞ \ Kβ)) = U ∪ (X ∞ \ K) = X ∞ \ (K \ U), és de tipus (2), ja que 

K \ U és un tancat de K i, per tant, compacte. 

Abans d’enunciar la compacitat de X ∞ i estudiar la seva relació amb X, observem que, si X és 

compacte, el punt ∞ és obert a X ∞ i, per tant, aïllat a X ∞ . És a dir, X∞ és la unió disjunta 

de les topologies de X i de l’espai puntual {∞}.


Assenyalem també que hem d’escollir un punt de l’infinit diferent per a cada espai, de manera 

que hauríem de fer servir la notació ∞X per indicar el punt que afegim a X en la compactificació 

d’Alexandroff. Per tal d’alleugerir les notacions, evitem escriure el subíndex X. 

En endavant ι : X ֒→ X ∞ denotarà la inclusió natural. 

4.7.2 Proposició Sigui X un espai de Hausdorff localment compacte, que no és compacte. Aleshores: 

(1) X és un subespai dens de X ∞ , X = X ∞ . 

(2) X ∞ és un espai compacte de Hausdorff. 

Demostració. Comprovem que X és un subespai de X ∞ , és a dir, que té la topologia induïda 

per la inclusió natural ι : X ֒→ X ∞ . Si W és un obert de X ∞ , llavors 

W ∩ X = 

U ∩ X = U, que és obert de X per definició, 

(X ∞ \ K) ∩ X = X \ K, que és obert perquè X és de Hausdorff. 

Recíprocament, tot obert de X és de tipus (1) i, per tant, obert de X ∞ . 

Per veure que X és dens a X ∞ és suficient provar que ∞ és adherent a X. Però això és evident, 

ja que tot entorn de ∞ és de la forma X ∞ \ K , on K és un compacte de X i, donat que X no 

és compacte, ( ∞ \K) ∩ X = X \ K = ∅. 

Comprovem que X ∞ és compacte. Sigui U un recobriment obert de X ∞ . Almenys un dels 

oberts de U és de la forma X ∞ \ K, amb K ⊆ X compacte, ja que cap dels oberts de X conté 

∞. La resta dels oberts de U formen un recobriment obert de K; com que aquest és compacte, 

amb un nombre finit en tenim prou: K ⊆ U1∪· · ·∪Un. Aleshores, X ∞ = (X ∞ \K)∪U1∪· · ·∪Un 

i ja tenim un subrecobriment finit de U. 

Vegem que X ∞ és de Hausdorff. Siguin x,y ∈ X ∞ dos punts diferents. Si x,y ∈ X, per ser X 

de Hausdorff, existeixen oberts disjunts de X (que també ho són de X ∞ ) que els contenen. Si 

x ∈ X i y = ∞, x té un entorn compacte dins X (ja que aquest és localment compacte); diguemli 

K. Aleshores, existeix U obert de X tal que x ∈ U ⊆ K i, per l’altre costat, ∞ ∈ X ∞ \ K. 

Per tant, U i X ∞ \ K són els oberts disjunts que calien. 

Pel que hem dit abans d’arribar a la definició 4.7.1, sembla prou clar que X ∞ ha de ser l’únic 

espai que satisfà aquestes propietats. En efecte, es té: 

4.7.3 Proposició Sigui X un espai f : X −→ Y i g : X −→ Z homeomorfismes de X amb 

f(X) ⊆ Y i g(X) ⊆ Z, on Y,Z són espais compactes de Hausdorff. Suposem que tant Y \f(X) 

com Z \ g(X) es redueixen a un punt. Aleshores, existeix un únic homeomorfisme h : Y −→ Z 

tal que h ◦ f = g. 

Demostració. Siguin Y \ f(X) = {y0} i Z \ g(X) = {z0}. Suposem que l’homeomorfisme h 

existeix i veiem que és únic. Si y ∈ f(X) ⊆ Y , existeix un únic x ∈ X tal que y = f(x). Per 

tant, sobre els punts de Y que no són y0, hem de definir h així: 

h(y) = h(f(x)) = g(x).

4.7. Compactificació d’Alexandroff 107 

I, com que h ha de ser una bijecció, no queda més remei que posar h(y0) = z0. 

Per tant, si h existeix, sols pot ser l’aplicació 

 

g(x), 

h(y) = 

z0, 

si 

si 

y = y0 

y = y0, 

(essent x ∈ X tal que y = f(x)), 

que és una bijecció i satisfà h ◦ f = g, evidentment. 

Hem de veure que la funció h és, efectivament, un homeomorfisme. Com que els papers de Y 

i Z, i de h i h −1 , són intercanviables, és suficient veure que h és oberta. Veiem, doncs, que si 

V ⊆ Y és un obert, aleshores h(V ) ⊆ Z és un obert. En distingim dos casos, segons y0 ∈ V o 

y0 ∈ V . 

Si y0 ∈ V , llavors K = Y \ V és un tancat de Y i, com que Y és compacte, K serà compacte i 

estarà dins f(X). Per tant, com que f : X −→ f(X) és un homeomorfisme, h(K) = g(f −1 (K)) 

serà un compacte de Z i, com que Z és de Hausdorff, serà tancat. Se segueix que h(V ) = 

f(Y \ K))h(Y ) \ h(K) = Z \ h(K) és obert. 

Si y0 ∈ V , llavors V ⊆ Y \ {y0} i, per tant, h(V ) = g(f −1 (V )) està dins g(X). Com que 

g : X −→ g(X) és un homeomorfisme, h(V ) serà un obert de g(X) i, com que g(X) és un obert 

de Z, també ho serà de Z. 

4.7.4 Corol·lari Siguin X localment compacte i de Hausdorff i f : X −→ Y una immersió en un 

espai compacte i de Hausdorff tal que Y \f(x) es redueix a un punt. Aleshores, Y és homeomorf 

a una compactificació d’Alexandroff, Y ∼ = X ∞ . 

4.7.5 Exemples (1) La compactificació d’un interval semiobert és un interval tancat, [0,1) ∞ ∼ = 

[0,1]. En efecte, prenguem com a f : [0,1) −→ [0,1] la inclusió natural. 

(2) La compactificació de l’espai ordinari és l’esfera de la mateixa dimensió: (Rn ) ∞ ∼ = Sn . 

En efecte, situem Rn i Sn dins Rn+1 com segueix: Rn serà l’hiperplà xn+1 = 0 i Sn l’esfera 

centrada en (0,...,0, 1 

2 ) i radi 1/2 (vegeu la figura): 

 

(x1,...,xn,xn+1) ∈ Rn+1 | x 2 1 + · · · + x 2 n + (xn+1 − 1/2) 2 = (1/2) 2 

. 

(0,...,0,1) 

(0,...,0, 1 

2 ) 

xn+1 

(0,...,0,0) 

f(x)=y 

g(y)=x 

R 2


Definim f : Rn −→ Sn prenent la recta que uneix cada punt (x1,...,xn,0) de Rn amb el pol 

nord (0,...,0,1) = ∞ de Sn i intersecant-la amb l’esfera. És a dir, l’altre punt de la recta 

(y1,...,yn,yn+1) = (0,...,0,1) + λ(x1,...,xn, −1), 

definit per l’equació y 2 1 + · · · + y 2 n + yn+1 − 1 

2 

i, per tant, l’aplicació està definida per 

 

f(x) = 

λ = 

x1 

,..., 

1+ x 2 2 

1 2. 

= 2 És immediat comprovar que 

1 

, 

1+ x 2 xn 

, 

1+ x 2 Pel que fa a la seva inversa, es tracta de resoldre el sistema 

x 2 1+ x 2 

. 

(x1,...,xn,xn+1) = (0,...,0,1) + µ(y1,...,yn,yn+1 − 1) 

xn+1 = 0 

d’on resulta fàcilment que g està definida per 

 

 

y1 yn 

g(y) = ,..., ,0 . 

1 − yn+1 1 − yn+1 

(és l’anomenada projecció estereogràfica). Tant f com g són contínues i són una inversa de 

l’altra. Comprovem, per exemple, que una de les composicions és la identitat: 

(g ◦ f)(x) = 

 

x1 xn x 

g ,..., , 

1+ x 2 1+ x 2 2 

1+ x 2 

= (x1,...,xn,0), 

En particular, la compactificació d’Alexandroff de C és C ∞ ∼ = S 2 . Se l’anomena l’esfera de 

Riemann. 

Com a aplicació de l’existència de la compactificació d’Alexandroff provem ara que tota varietat 

compacta admet un submergiment com a subespai d’un espai euclidià de dimensió finita. En 

particular, el tor, el pla projectiu o l’ampolla de Klein admeten models a R n , per a unn 

determinat. De fet, ja hem donat un model del tor a R 3 , 4.4.8, i pel que fa a les superfícies 

es pot veure que és suficient prendre n = 5, cosa que comprovem directament pels exemples 

esmentats abans als problemes 3.25 i 3.26. 

4.7.6 Proposició Sigui X una varietat topològica de dimensió n compacta. Aleshores, existeix 

un N ≥ 0 tal que X és homeomorfa a un subespai de R N . 

Demostració. Hem de trobar un N ≥ 0 i una aplicació contínua h : X −→ R N que indueixin 

un homeomorfisme entre X i h(X). Construïm h localment: X és una varietat topològica; així, 

 

,

4.8. Compacitat de productes arbitraris: el teorema de Tychonoff 109 

tot punt de X té un entorn Bx homeomorf a R n . Per la compacitat de X, hi ha un nombre 

finit d’aquests entorns, notem-los B1, · · · ,Bm, que cobreixen X. Siguin 

hi : Bi −→ R n , i = 1,...,m 

els homeomorfismes corresponents. Cadascuna d’aquestes aplicacions s’estén a una aplicació 

contínua de X en la compactificació d’Alexandroff de R n , S n . En efecte, estenem hi a una 

aplicació ˜ hi : X −→ S n tal que ˜ hi(x) = ∞, per a tot x ∈ Bi, i = 1,...,m. Aquesta aplicació és 

contínua, com es comprova fàcilment. 

Ara definim 

segons 

h : X −→ S n × · · · × S n ⊆ R N , 

h(x) = ( ˜ h1(x), · · · , ˜ hm(x)), 

on hem pres N = m(n + 1). És clar que h és contínua i injectiva. Com que X és compacte i 

RN és de Hausdorff, h indueix un homeomorfisme de X amb la seva imatge. 

4.8 Compacitat de productes arbitraris: el teorema de 

Tychonoff 

En aquest apartat establim el teorema de Tychonoff, que afirma que el producte arbitrari 

d’espais compactes és compacte. És un teorema diferent dels que hem vist fins ara; de fet, és un 

resultat que pot semblar contrari a la intuïció ja que la definició de compacitat amb què hem 

estat treballant inclou, de bon principi, la noció de finitud. Així, ja en la pròpia definició diem 

que X és compacte si de tot recobriment obert en podem extreure un subrecobriment finit. 

Més sorprenent pot resultar la compacitat del cub I ω , que hem provat a 4.5.9, ja que, segons 

la caracterització de la compacitat a R n , els compactes són els conjunts tancats i fitats i, en 

particular, tenen diàmetre finit. Per exemple, els cubs [0,1] n són compactes i tenen diàmetre 

diam [0,1] n = √ n. Tot semblaria indicar que el seu “límit” [0,1] ω = [0,1] × · · · × [0,1] × ... no 

té diàmetre finit, ja que 

diam[0,1] ω = lim 

n→∞ diam[0,1]n = ∞, 

mentre que la seva compacitat assegura que el conjunt és fitat. 

La raó d’aquestes contradiccions aparents és que la nostra intuïció ha estat formada en dimensió 

finita i tenim poca experiència amb espais que no siguin R n . En la paradoxa aparent anterior el 

que estem oblidant és, dit imprecisament, que en la topologia producte de R ω , el que succeeixi 

més enllà d’una certa coordenada N és negligible. Així, en la topologia producte de R ω els 

oberts són de la forma 

 

U = Uβ1 × · · · × Uβn × Rα, 

on Uβi ⊆ R és un obert i Rα = R per a tot α. Per tant, en aquesta topologia, quan diem que 

“un punt y està a l’entorn del punt x” tan sols estem dient que les coordenades yβ1 ,...,yβn 

α=βi


de y estan contingudes en els entorns Uβ1 ,...,Uβn de les coordenades xβ1 ,...,xβn de x, i no 

afirmem res sobre la infinitat restant de coordenades de x i y. 

Alternativament, la topologia producte de Rω coincideix amb la topologia induïda per la 

distància 

 

d(xi,yi) 

D(x,y) = sup , 

i i 

(vegeu l’exemple 3.3.5) i amb aquesta distància, per exemple, que un punt x estigui a menys 

d’1/4 de l’origen tan sols vol dir que 

|x1| < 1/4, |x2| < 2/4, |x3| < 3/4, |x4| < 4/4, 

i no hi ha cap restricció sobre la resta de coordenades. 

El teorema de Tychonoff és un teorema “important” per les seves aplicacions en altres contextos, 

especialment en l’anàlisi funcional. 

Hi ha diverses demostracions del teorema de Tychonoff i totes elles utilitzen, d’una manera o 

altra, l’axioma de l’elecció de la teoria de conjunts, al qual, d’altra banda, és equivalent. Nosaltres 

presentem la prova que es basa en el teorema de la subbase d’Alexander, que inicialment 

acceptarem i a la demostració del qual dedicarem, un cop deduït el teorema de Tychonoff, la 

resta de l’apartat. 

4.8.1 Teorema de la subbase d’Alexander Siguin X un espai topològic i S una subbsase de la 

topologia de X. Aleshores, X és compacte si i només si tot recobriment U de X format per 

elements de S admet un subrecobriment finit. 

És a dir, el teorema d’Alexander assegura que la compacitat es detecta utilitzant només recobriments 

formats per oberts d’una subbase prefixada. Lògicament, la compacitat també es pot 

caracteritzar a partir de recobriments d’una base, tot i que en aquest cas la demostració directa 

és senzilla i es deixa com a exercici. Vegem a continuació com aquest resultat permet deduir el 

teorema de Tychonoff. 

4.8.2 Teorema de Tychonoff Sigui {Xα}α∈J una família arbitrària d’espais topològics. Aleshores, 

X = 

Xα és compacte ⇐⇒ Xα són compactes, per a tot α ∈ J. 

α∈J 

Demostració. La implicació ⇒ és immediata, ja que la continuïtat de les projeccions fa que, 

si X és compacte, també ho siguin les imatges πα(X) = Xα. 

Quant a l’altra, suposem que els espais Xα són compactes. Per definició de la topologia producte, 

S = {π −1 

α (Uα) | Uα ⊆ Xα obert, α ∈ J}, 

és una subbase de X, i pel teorema de la subbase d’Alexander és suficient comprovar que tot 

recobriment de S admet un subrecobriment finit. Suposem que no és així, és a dir, que hi ha 

un recobriment U de X format per elements de S tal que no admet subrecobriments finits.


Per a cada α ∈ J, posem 

Dα = {Uα | Uα ⊆ Xα obert, π −1 

α (Uα) ∈ U}. 

Afirmem que no hi ha cap α per al qual la família d’oberts Dα de Xα, sigui un recobriment. En 

efecte, atès que Xα és compacte, si Dα és un recobriment de Xα, aleshores admet un subrecobriment 

finit. Però les antiimatges per πα d’aquest subrecobriment formarien un subrecobriment 

finit de U, en contradicció amb l’elecció de U. 

Així doncs, per a tot α ∈ J, existeix xα ∈ Xα tal que 

xα ∈ 

U. 

Sigui 

U∈Dα 

x : J −→ 

Xα, 

l’aplicació definida per x(α) = xα. Llavors, x ∈ X i x ∈ ∪U∈UU, cosa que és contradictòria 

amb el fet que U és un recobriment. En definitiva, no pot existir un recobriment com U, sense 

subrecobriments finits. 

El teorema de la subbase d’Alexander és conseqüència de l’axioma de l’elecció de la teoria de 

conjunts. La singularitat d’aquest axioma respecte dels altres axiomes de la teoria de conjunts 

de Zermelo-Fraenkel és que afirma l’existència d’un conjunt sense donar-ne un procés constructiu 

i, sobretot, en diverses de les seves fomulacions equivalents. Tot seguit presentem l’axioma de 

l’elecció, del qual deduirem el lema de Zorn i el principi de maximalitat de Hausdorff, que és la 

forma que utilitzem en la demostració del teorema d’Alexander. 

4.8.3 Axioma de l’elecció Sigui {Xα}α∈J una família de conjunts. Si Xα = ∅, per a tot α ∈ J, 

aleshores 

Xα = ∅. 

α∈J 

És a dir, si cadascun dels conjunts Xα, α ∈ J, conté almenys un element, aleshores hi ha una 

aplicació 

x : J −→ 

Xα, 

que n’escull un per a cada Xα, x(α) ∈ Xα. 

L’axioma no dóna cap mètode per definir x; només n’afirma l’existència. És per això que 

aquest axioma està a l’origen d’alguns teoremes d’existència. Observem que ja l’hem utilitzat 

inadvertidament en la demostració del teorema de Tychonoff, quan de la compacitat de X hem 

deduït la compacitat dels espais components. 

L’ús més freqüent de l’axioma de l’elecció és mitjançant alguna de les seves formes equivalents, 

especialment la que correspon al lema de Zorn. Per tal d’establir aquest resultat, començarem 

recordant les definicions més bàsiques respecte dels conjunts ordenats. 

α∈J 

α∈J


4.8.4 Definició Una relació d’ordre parcial en un conjunt S és una relació binària ≤ que satisfà 

les propietats següents: 

(i) Reflexiva: x ≤ x, per a tot x ∈ S. 

(ii) Antisimètrica: si x ≤ y i y ≤ x, aleshores x = y. 

(iii) Transitiva: Si x ≤ y i y ≤ z, aleshores x ≤ z. 

Escriurem x < y quan x ≤ y i x = y. Diem que ≤ és una relació d’ordre total si donats 

x,y ∈ S quassevol, llavors o bé x ≤ y o bé y ≤ x. 

4.8.5 Definició Si ≤ és una relació d’ordre parcial de S, una cadena de S és un subconjunt 

C ⊆ S tal que ≤ restringida a C és una relació d’ordre total. 

4.8.6 Exemples (1) R amb l’ordre usual (x ≤ y si i només si y−x ≥ 0), és un conjunt totalment 

ordenat. En aquest cas, tot subconjunt de R és una cadena. 

(2) Sigui X un conjunt arbitrari i denotem per P(X) el conjunt de parts de X. La inclusió de 

conjunts defineix un ordre parcial a P(X), A ≤ B ⇐⇒ A ⊆ B, que no és un ordre total per a 

conjunts amb més d’un element. Una cadena de P(X) no és altra cosa que una col·lecció de 

subconjunts encaixats. 

Necessitem també la definició d’elements maximals d’un conjunt parcialment ordenat i de conjunts 

fitats, ben coneguts en el cas de la recta real. 

4.8.7 Definició Sigui T ⊆ S un subconjunt. Una fita superior de T dins S és un element m ∈ S 

tal que, per a tot x ∈ T, es té que x ≤ m. Un element m ∈ S s’anomena maximal si no existeix 

cap x ∈ S tal que m < x. 

Així, per exemple, una fita d’un subconjunt T de P(X) correspon a un subconjunt de X que 

conté tots els subconjunts que formen T. El propi conjunt X és un element maximal de P(X). 

Observem, però, que amb l’ordre usual, R no té elements maximals. 

4.8.8 Exemples Als exemples anteriors o bé no hi havia elements maximals o bé l’element 

maximal és únic. Aquesta no té per què ser la situació general, com ho mostra l’exemple 

següent: sigui ≤ la relació “estar per sota”, essent S l’esquema de la figura:


Aleshores es té: 

- no hi ha fites superiors en S. 

- c i d són elements maximals de S. 

- la relació ≤ no és d’ordre total en S. 

- C1 = {a,b,c} i C2 = {a,b,d} són cadenes de S. 

c 

b 

a 

4.8.9 Lema de Zorn Siguin S un conjunt i ≤ una relació d’ordre parcial a S. Si tota cadena 

de S té una fita superior en S, llavors S té un element maximal. 

Demostració. Raonem per reducció a l’absurd: suposem que S no té cap element maximal i 

arribem a una contradicció. 

Si C és una cadena de S, notem F(C) el conjunt de fites estrictes de C, és a dir, 

F(C) = {y ∈ S | x < y, per a tot x ∈ C}. 

Observem que aquests conjunts no són buits, ja que si z és una fita de C (sempre n’hi ha, per 

hipòtesi), com que no hi ha elements maximals podem prendre un y amb z < y, amb la qual 

cosa y ∈ F(C). 

Segons l’axioma de l’elecció, hi ha una funció f que assigna a cada cadena C una fita f(C) ∈ 

F(C). Això és, f(C) satisfà 

x < f(C), per a tot x ∈ C, i f(C) ∈ C. 

Diem que una cadena C és distingida si satisfà les dues propietats següents: 

(a) C és un conjunt ben ordenat: tot subconjunt de C té element mínim. 

(b) per a tot c ∈ C es té que 

c = f({c ′ ∈ C | c ′ < c}). 

d


Intuïtivament, una cadena distingida està determinada per la funció f. Per exemple, si 

aleshores 

C = {c0 < c1 < · · · < cn < ...}, 

c0 = f({}), c1 = f({c0}), c2 = f({c0,c1}),... 

La idea de la demostració és la següent: a partir del conjunt buit, afegim cadenes distingides 

cada cop més grans. A cada pas del procés, sigui W la reunió de totes les cadenes distingides 

afegides fins aleshores, llavors W ∪{f(W)} és una cadena més llarga que afegim al procés. Com 

que tota cadena té una fita superior, aquest procés no s’acaba o, dit d’una altra manera, segueix 

indefinidament fins a produir una cadena (que serà distingida) que no admet un element aximal, 

la qual cosa és una contradicció. La resta de la demostració consisteix a formalitzar i precisar 

aquest esquema, donant sentit a expressions imprecises com ara “segueix indefinidament”. 

Si C és una cadena i c ∈ C, escrivim 

S(C,c) = {x ∈ C | x < c}, 

i l’anomenem el segment inicial de C determinat per c. Necessitem el resultat següent: 

4.8.10 Lema Siguin C i D dues cadenes distingides de S diferents, C = D. Aleshores, una de 

les dues és un segment inicial de l’altra. 

En efecte, sigui W la unió dels conjunts que són alhora segments inicials de C i de D. W és un 

segment inicial de C i de D, i és el subconjunt de C ∩ D més gran amb aquesta propietat. Si 

W = C o W = D, ja hem acabat. En cas contrari, siguin c ∈ C i d ∈ D tals que 

Com que C i D són cadenes distingides, 

W = S(C,c) = S(D,d). 

c = f(W) = d. 

Així, W ′ = W ∪ {f(W)} és un segment inicial de C i de D més gran que W, en contradicció 

amb la maximalitat de W. 

Continuem amb la demostració del lema de Zorn: observem que si C és una cadena distingida 

i c ∈ C, aleshores com que c ′ ∈ S amb c ′ < c, o bé c ′ ∈ C o bé c ′ no pertany a cap cadena 

distingida. Sigui C la unió de totes les cadenes distingides de S. Llavors, C és també una 

cadena distingida. Però, aleshores 

C ∪ f(C) 

és una cadena distingida i, per tant, f(C) ∈ C, cosa que és una contradicció. 

Del lema de Zorn se segueix la versió següent de l’axioma de l’elecció: 

4.8.11 Principi de maximalitat de Hausdorff Sigui S un conjunt parcialment ordenat, no buit. 

Existeix una cadena C, que és maximal entre les cadenes de S.


Demostració. Si no existís una cadena maximal, aleshores tota cadena tindria una fita superior 

i, pel lema de Zorn, existiria un element maximal. Però, aleshores, el segment inicial definit per 

aquest element seria una cadena maximal, en contradicció amb la hipòtesi efectuada. 

Denostració del teorema de la subbase d’Alexander: Sigui S una subbase de l’espai topològic X 

que satisfà la propietat que tot S-recobriment admet un subrecobriment finit. Hem de veure 

que X és compacte. 

Suposem que X no és compacte, és a dir, que hi ha recobriments oberts de X que no admeten 

subrecobriments finits. Notem R el conjunt de tots aquests recobriments. La idea de la 

demostració és simple: si U és un element maximal de R, aleshores U ∩ S és un recobriment 

obert i com que està format per oberts de S, admet un subrecobriment finit, en contradicció 

amb l’elecció dels elements de R. 

Desenvolupem aquesta idea: la inclusió de conjunts indueix a R un ordre parcial. Pel principi 

de maximalitat de Hausdorff, existeix una cadena maximal C. Sigui U el recobriment obert de 

X format per tots els oberts dels elements de la cadena C: 

U = {U ∈ T (X) | U ∈ Cα,Cα ∈ C}. 

U és un recobriment obert de X que, per contrucció, no admet cap subrecobriment finit. D’altra 

banda, per a tot obert V ⊆ X tal que V ∈ U, el recobriment obert 

UV = {V } ∪ U, 

sí que admet un subrecobriment finit, com se segueix de la maximalitat de U. Sigui 

U ′ = U ∩ S, 

és a dir, U ′ és el conjunt format pels oberts de U que alhora són de S. 

És suficient veure 

que U ′ és un recobriment de X, perquè aleshores admet un subrecobriment finit, perquè està 

format per elements de S, cosa que contradiu l’elecció de U. Provem que U ′ és un recobriment: 

suposem que U no cobreix X; existirà 

x ∈ X \ 

Com que U ′ és un recobriment, existeix un W ∈ U ′ tal que x ∈ W i, com que S és una subbase, 

existeixen S1,...,Sm ∈ S tals que 

U∈U ′ 

U. 

x ∈ S1 ∩ · · · ∩ Sm ⊆ W. 

Per l’elecció de x, Si ∈ U ′ , i = 1,...,m i, per tant, els recobriments USi , i = 1,...,m, admeten 

subrecobriments finits, és a dir, 

X = Si ∪ Ui, i = 1,...,m, 

on cada Ui és una unió finita d’oberts de U. Però, aleshores 

X = U1 ∪ · · · ∪ Um ∪ (∩ m i=1Si) 

= U1 ∪ · · · ∪ Um ∪ W, 

és a dir, trobem un subrecobriment finit de U, cosa que és una contradicció.


4.8.12 Observacions (1) A la literatura es poden trobar diverses demostracions del teorema 

de Tychonoff. En algunes d’elles s’utilitza la caracterització de la compacitat donada a 4.1.7 

(vegeu, per exemple, [M]), mentre que d’altres generalitzen el raonament que hem utilitzat 

per demostrar la compacitat de I ω usant una noció de convergència generalitzada (ja sigui la 

convergència de xarxes, [BvR], o la de filtres, [B]). En qualsevol cas, totes depenen de l’axioma 

de l’elecció. De fet, el teorema de Tychonoff és equivalent a aquest axioma. 

(2) L’acceptació de l’axioma de l’elecció no va estar exempta de controvèrsia, ja que és equivalent 

a resultats molt diversos, alguns dels quals van ser del tot sorprenents al seu moment, com 

el teorema de Zermelo, segons el qual tot conjunt admet un bon ordre, o la paradoxa de 

Banach-Tarski, que assegura que és possible disseccionar una bola de R 3 en un nombre finit 

de subconjunts que, reunits adequadament, donen lloc a dues boles del mateix volum que la 

primera. El lector que hi estigui interessat trobarà més informació, per exemple, en el llibre de 

E. Schechter, Handbook of Analysis and its foundations, Academic Press, 1996. 

4.9 Problemes 

1. Siguin T1, T2 dues topologies en X, essent T1 més fina que T2. Si X és compacte en una 

d’elles, pot ser-ho en l’altra? 

2. Decidiu si els conjunts següents són compactes o no: 

(a) [0,1] ⊆ R amb la topologia del límit inferior. 

(b) R, (0,1), {0} ∪ { 1 

n , n ∈ N} amb la topologia usual. 

(c) A = {(x,y) ∈ R2 | xy = 1} ⊆ R2 amb la topologıa usual. 

3. Sigui X un espai de Hausdorff. Proveu que una intersecció arbitrària de compactes de X és 

compacta. Què podem dir de la unió de compactes? 

4. Considerem l’espai quocient X = [−1,1]/ ∼, on ∼ dóna lloc a les classes d’equivalència 

següents: 

¯x = {x, −¯x} si x = ±1, 

¯1 = {1}, −1 = {−1}. 

Proveu que els subconjunts K = π([0,1]) i L = π([−1,0]) són compactes, però que la seva 

intersecció K ∩ L = π([0,1)) = π((−1,0]) no és compacta. 

5. Trobeu un espai topològic X amb un subconjunt compacte A, tal que A no és compacte. 

6. Proveu que el quocient D n /S n−1 és homeomorf a l’esfera S n . 

7. Sigui X un espai de Hausdorff compacte. Proveu que existeix un tancat C ⊆ X tal que 

f(C) = C. (Indicació: preneu X com a primera aproximació.) 

8. Siguin X un espai compacte i R ⊆ X × X un subconjunt tancat que defineix una relació 

d’equivalència. Proveu que l’espai quocient X/R és de Hausdorff.


9. Siguin X un espai topològic i K ⊆ X un subespai compacte. Proveu que, per a tot obert 

U ⊆ X × I tal que K × I ⊆ U, existeix un obert V ⊆ X tal que K ⊆ V × I ⊆ U. 

10. Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua i exhaustiva. Suposem que Y és compacte i que, 

per a tot y ∈ Y , els subconjunts f −1 (y) ⊆ X són compactes. Proveu que X és compacte. 

11. Siguin (X,d) un espai mètric i D1,D2 ⊆ X dos subconjunts no buits. 

(a) Proveu que, si D1 i D2 són compactes, hi ha elements x1 ∈ D1, x2 ∈ D2 tals que 

d(x1,x2) = d(D1,D2). 

(b) Doneu un exemple amb D1, D2 tancats, en el qual no es verifiqui (a). 

12. Proveu que el lema de Lebesgue no és cert per a X = R 2 . 

13. Recordem que un espai mètric X es diu que és complet si tota successió de Cauchy de X 

és convergent. 

(a) Proveu que un tancat d’un espai mètric complet és complet. 

(b) Proveu que l’espai de funcions contínues de I en R, C 0 (I), amb la mètrica del suprem, és 

tancat en R I . 

(c) Deduïu que C 0 (I) és complet. 

14. Sigui X un espai mètric. 

(a) Proveu que, si (X,d) és un espai mètric compacte, aleshores X és complet. 

(b) Proveu que X és compacte si i només si és complet i totalment fitat. 

15. Comproveu que el subconjunt B = {f ∈ C 0 ([0,1]) |d(0,f) ≤ 1} és tancat i fitat, però 

que la successió de monomis (x n )n∈N ⊆ B no té cap parcial convergent. Deduïu que B no és 

compacte. 

16. Lema de Baire. Diem que un espai X és un espai de Baire si, per a qualsevol família 

numerable d’oberts densos de X, la intersecció és un conjunt dens. 

Sigui X un espai localment compacte i de Hausdorff. 

(a) Donats un obert U ⊆ X i x ∈ U, proveu que existeix un obert V tal que x ∈ V ⊆ V ⊆ U. 

(b) Proveu que X i, en particular, tot espai compacte de Hausdorff, és un espai de Baire. 

[Indicació. Construïu V 1 ⊆ U1 ∩ U2 segons l’apartat (a) i, en general, per inducció 

construïu V k ⊆ Uk+1 ∩ Vk−1. ] 

(c) Sigui {Dn}n∈N una col·lecció numerable de tancats de X amb interior buit. Proveu que 

X = 

Dn. 

n∈N


(d) Apliqueu els apartats anteriors per raonar la no-numerabilitat de I = [0,1]. 

(e) Sigui (X,d) un espai mètric complet. Proveu que X és un espai de Baire. 

17. Sigui (X,d) un espai mètric compacte i sigui f : X −→ X una aplicació contínua. 

(a) Teorema de contracció de Banach. Proveu que, si existeix α, 0 ≤ α < 1 tal que 

d(f(x),f(y)) ≤ αd(x,y), per a tot x,y ∈ X (i en aquest cas es diu que f és una contracció), 

aleshores f té un únic punt fix, és a dir, existeix un únic x0 ∈ X tal que f(x0) = x0. 

[Indicació: Considereu la família de tancats Cn = f n (X).] 

(b) Proveu que si f és una isometria, (és a dir, que satisfà que d(f(x),f(y)) = d(x,y), per a 

qualssevol x,y ∈ X), aleshores f és un homeomorfisme. 

18. (a) Proveu que, donats dos espais X, Y localment compactes i de Hausdorff, si X ∼ = Y , 

aleshores X ∞ ∼ = Y ∞ . 

(b) Doneu un exemple que demostri que el recíproc de l’enunciat anterior és fals. 

(c) Sigui X un espai de Hausdorff compacte i sigui U ⊆ X un obert diferent de X. Proveu que 

U ∞ és homeomorf al quocient de X per la relació d’equivalència següent: x ∼ y ⇐⇒ x = y o 

x,y ∈ X \ U. 

19. Siguin X,Y espai compactes. Suposem que hi ha punts x ∈ X i y ∈ Y tals que X \ {x} ∼ = 

Y \ {y}. Proveu que X i Y són homeomorfs. És cert el resultat si un dels espais X,Y no 

és compacte? Generalitzeu el resultat anterior en la forma següent: si X,Y són compactes i 

X \ {x1,...,xm} ∼ = Y \ {y1,...,ym}, aleshores X ∼ = Y . 

20. (a) Proveu que la compactificació d’Alexandroff de N és homeomorfa a {0}∪{ 1 

n | n ∈ N} ⊆ 

R. 

(b) Quin dels espais del problema 3.17 és la compactificació d’Alexandroff de R \ Z? 

21. Justifiqueu intuïtivament quina ha de ser la compactificació d’Alexandroff de: 

(a) R − {p1,...,pm}, (pi ∈ R). 

(b) R 2 − {p}. 

(c) R 2 − {recta}. 

(d) R 2 − {circunferència}. 

22. Proveu que la compactificació d’Alexandroff de la cinta de Möbius és el pla projectiu P 2 R . 

Deduïu que la cinta de Möbius i el cilindre I × (0,1) no són homeomorfs. 

23. Sigui (X,d) un espai mètric compacte. Proveu que X és separable 

24. En aquest exercici, provem que, si X és un espai mètric que no és compacte, aleshores hi 

ha una funció contínua f : X −→ R que no és fitada. 

(a) Proveu que hi ha un conjunt numerable A ⊆ X tal que A ′ = ∅.


(b) Si escrivim A = {x1,x2,...,xn,...}, proveu que es poden escollir εn > 0 tals que 

0 < εn < 1 

n , i Bεn (xn) ∩ Bεm (xm) = ∅. 

(c) Proveu que C = ∪n≥1Bεn (xn) és un tancat de X. 

(d) Proveu que la funció 

 

0, x ∈ C, 

f(x) = n 

(εn − d(x,xn)), x ∈ Bεn (xn). 

és contínua i que f(xn) = n, per la qual cosa no és fitada. 

εn 

25. Compacitat en l’espai de Hilbert ℓ2 . L’objectiu d’aquest problema és caracteritzar els 

compactes de ℓ2 . Sigui X un subconjunt de l’espai de Hilbert de successions de quadrat sumable, 

ℓ2 . Diem que X és equiconvergent si satisfà 

per a tot ε > 0, existeix n0 tal que per a tot x = (xn) ∈ X, 

i>n0 

x 2 i < ε. 

És a dir, el mateix n0 serveix per fitar els residus de les sumes de quadrats per a totes les 

successions de X a la vegada. 

(a) Proveu que si X és compacte, aleshores X és equiconvergent. 

(b) Suposem que X és un conjunt equiconvergent. Sigui (xn) una successió de X tal que les 

successions (xni), i ≥ 1, són convergents, de límit ai. Proveu que a = (a1,a2,...,an,...) 

defineix un element de ℓ 2 i que (xn) és convergent a a (en ℓ 2 ) [Utilitzeu que ℓ 2 és un espai 

complet]. 

(c) Proveu que si X és tancat, fitat i equicontinu, aleshores X és compacte. 

(d) Deduïu que el cub de Hilbert, que és el subespai de ℓ 2 de successions (xi) tals que 0 ≤ 

xi ≤ 1/i, és compacte, i proveu que és homeomorf al cub I ω . 

En els espais de funcions contínues C 0 ([a,b]) el teorema d’Ascoli-Arzelà caracteritza la compacitat 

de forma similar: X ⊆ C 0 ([a,b]) és compacte si i només si és tancat, fitat i equicontinu, 

(vegeu, per exemple, [M]). 

26. Sigui X un espai topològic 2AN. Proveu que X és compacte si i només si satisfà la 

propietat de Bolzano-Weierstrass. 

27. Es diu que un espai X és un espai de Lindelöf si tot recobriment obert de X conté un 

subrecobriment numerable. 

(a) Proveu que si X és 2AN, aleshores X és un espai de Lindelöf.


(b) Proveu que un espai mètric és de Lindelöf si i només si és 2AN (i, per tant, si i només si 

és separable). 

(c) Proveu que Rcf no és 2AN, però que és un espai de Lindelöf. 

28. Sigui X un espai topològic de Hausdorff. 

1) Proveu que X satisfà la propietat de Bolzano-Weierstrass si i només si tot recobriment 

obert numerable admet un subrecobriment finit. 

2) Proveu que si X és de Lindelöf i satisfà la propietat de Bolzano-Weierstrass, aleshores X 

és compacte. 

3) Suposem que X és 2AN. Proveu que X és compacte si i només si satisfà la propietat de 

Bolzano-Weierstrass. 

29. Sigui C un subconjunt tancat de R n . Es diu que C és convex si, per a qualssevol punts 

x,y ∈ C, el segment [x,y] = {tx + (1 − t)y | 0 ≤ t ≤ 1} està inclòs en C. Notem ∂C = C \ C ◦ . 

(a) Proveu que si 0 és interior a C, aleshores tota semirecta que surt de l’origen talla ∂C com 

a màxim en un punt. 

(b) Proveu que si C és compacte i 0 és interior a C, l’aplicació f : ∂C −→ S n−1 , definida per 

f(x) = x/ x , és un homeomorfisme. 

(c) Suposem que C ⊆ R n és un conjunt convex compacte d’interior no buit. Proveu que C 

és homeomorf a la bola tancada D n i que l’homeomorfisme transforma ∂C en S n−1 . 

30. Sigui {Xα}, α ∈ J, una família d’espais topològics. Proveu que l’espai producte X = 

 

α∈J Xα és localment compacte si i només si els espais Xα són localment compactes, per a tot 

α ∈ J, i tots, llevat d’un nombre finit, són compactes. 

31. (a) Sigui π : X −→ Y una identificació i sigui K un espai de Hausdorff i localment 

compacte. Proveu que π × id K : X × K −→ Y × K és una identificació. (Indicació: useu el 

lema del tub.) 

(b) Siguin π1 : X1 −→ Y1 i π2 : X2 −→ Y2 dues identificacions. Proveu que si X2 i Y1 són espais 

de Hausdorff localment compactes, aleshores π1 ×π2 : X1 ×X2 −→ Y1 ×Y2 és una identificació.

5 

Connexió 

En aquest capítol, formalitzem la idea intuïtiva de quan un espai topològic és d’una sola peça. 

Aquesta propietat està a la base del conegut teorema del valor intermedi dels cursos de càlcul: 

Teorema del valor intermedi. Si f : [a,b] −→ R és una funció contínua i r és un nombre real 

entre f(a) i f(b), aleshores existeix c ∈ [a,b] tal que f(c) = r. 

En efecte, aquest resultat depèn, òbviament, de la continuïtat de f, però també d’una propietat 

específica de l’interval [a,b], “ser d’una sola peça”. Així, la conclusió pot ser falsa si f no és 

contínua (figura 1), però també pot ser falsa, malgrat que f sigui contínua, si el domini no és 

un interval, (com veiem a la figura 2). 

f(b) f(b) 

r 

f(a) 

r 

f(a) 

a b 

Fig. 1 Fig. 2 

La idea intuïtiva de “ser d’una sola peça” correspon al fet que l’espai no es pot descompondre 

en dues peces de manera que des d’una d’elles poguem acostar-nos a l’altra. Això dóna lloc a 

dos conceptes relacionats, però diferents. 

El més senzill és el que tradueix la possibilitat d’anar d’un punt qualsevol de l’espai a un altre 

per un camí continu, sense sortir-nos de l’espai. Un espai amb aquesta propietat l’anomenem 

arc-connex. 

El concepte que hi ha darrere del teorema del valor intermedi (de fet, hi és equivalent) és la

122 Capítol 5. Connexió 

possibilitat o no de “separar” l’espai en dos oberts disjunts. Si no podem fer-ho, diem que 

l’espai és connex. 

5.1 Espais connexos 

Comencem definint què és una descomposició d’un espai topològic X formalitzant que des d’un 

subconjunt A no puguem apropar-nos a un altre B mitjançant l’adherència. 

5.1.1 Definició Sigui X un espai topològic. Una descomposició o separació de X consisteix en 

dos subconjunts U,V ⊆ X no buits tals que 

Si X = U ∪ V és una descomposició, aleshores 

X = U ∪ V, U ∩ V = ∅, U ∩ V = ∅. 

U = X \ V , V = X \ U 

i, per tant, U i V són oberts de X (i, de fet, també tancats). Així, donar una descomposició de 

X és equivalent a donar dos oberts disjunts, no buits, U,V amb X = U ∪ V . 

5.1.2 Exemple Sigui X = [0,2] ⊆ R amb la topologia ordinària. Aleshores, X = [0,1) ∪ [1,2] 

no és una descomposició, ja que encara que [0,1) i [1,2] són disjunts, [1,2] no és obert a X. En 

canvi, si considerem la topologia del límit inferior, llavors sí que s’obté una descomposició de 

X. 

5.1.3 Definició Un espai topològic X s’anomena connex si no admet cap descomposició, és da 

dir, no existeixen oberts disjunts U,V ⊆ X no buits tals que X = U ∪ V . 

5.1.4 Observacions (1) Com hem assenyalat anteriorment, els components d’una separació són 

alhora oberts i tancats de X, per la qual cosa la connexió es pot expressar en termes de tancats: 

X és connex si i només si no existeixen tancats disjunts C,D ⊆ X no buits tals que X = C ∪D. 

En efecte, si X és connex i existissin uns tals C i D, tindríem que X \ C i X \ D serien oberts 

i com que de fet D = X \ C i C = X \ D, arribaríem a una contradicció. 

(2) Quan es diu que un subespai A ⊆ X és connex, es vol dir que, com a espai, A, ell mateix, és 

connex. Per definició de topologia induïda, en termes dels oberts de X, això significa el següent: 

si es tenen dos oberts U, V de X tals que 

A ⊆ U ∪ V 

A ∩ U, A ∩ V = ∅ 

 

=⇒ A ∩ (U ∩ V ) = ∅. 

Una altra forma d’expressar la connexió d’un espai topològic que resulta molt útil en les aplicacions 

és per mitjà dels subconjunts que són alhora tancats i oberts. 

5.1.5 Proposició X és connex si i només si els únics conjunts de X que són oberts i tancats 

alhora són X i ∅.

5.1. Espais connexos 123 

Demostració. En efecte, si A = ∅ fos un subconjunt de X tancat i obert a la vegada, aleshores 

X \ A també seria tancat i obert, i X = A ∪ (X \ A) donaria una separació de X. És a dir, X 

no seria connex. 

Recíprocament, si X no és connex, X admet una separació X = U ∪ V i, com que U = X \ V , 

U és un subconjunt tancat i obert de X diferent del propi X i del conjunt buit. 

5.1.6 Exemples (1) Tot espai amb la topologia grollera és connex. Tot espai de més de dos 

punts amb la topologia discreta és no connex. 

(2) El subespai Y = [−1,0)∪(0,1] de R no és connex, ja que els conjunts U = [−1,0) i V = (0,1] 

determinen una separació de Y . 

(3) Q no és connex. De fet, tot subconjunt de Q amb dos punts o més admet una separació i, 

per tant, no és connex. En efecte, sigui Y ⊆ Q i p,q ∈ Y , p = q. Prenem a ∈ R \ Q, p < a < q. 

Llavors, 

Y = (Y ∩ (−∞,a)) ∪ (Y ∩ (a,+∞)), 

essent Y ∩ (−∞,a) i Y ∩ (a,+∞) oberts, disjunts no buits. 

(4) El conjunt 

X = {(x,y) ∈ R 2 |y = 0 ó y = 1/x} 

no és connex ja que és unió de dos tancats disjunts no buits 

{(x,y) ∈ R 2 |y = 0} i {(x,y) ∈ R 2 |y = 1/x}. 

y=0 

❥ 

Un dels exemples més importants d’espai connex el formen la recta real i els seus intervals. Un 

interval de la recta real és un subconjunt X ⊆ R tal que, donats a,b ∈ X qualssevol, [a,b] ⊆ X. 

Com succeïa amb la compacitat dels intervals finits, la connexió dels intervals depèn de l’existència 

de suprems dels conjunts fitats. 

✙ 

y= 1 

x 

5.1.7 Proposició Tot interval de R és connex. En particular, R és connex. 

Demostració. Sigui X un interval de R i suposem que no és connex. Llavors, existirien U, V 

oberts disjunts de X tals que X = U ∪ V . Siguin a ∈ U i b ∈ V i suposem, sense pèrdua de


generalitat, que a < b. Considerem el conjunt 

C = {x ∈ U |x < b}. 

Es tracta d’un conjunt no buit, ja que almenys a li pertany, i fitat superiorment per b. Si h és 

el suprem de C, aleshores h ∈ C. 

Si h ∈ C, aleshores h ∈ U i l’interval (h,b] està completament contingut en V , ja que X és un 

interval. Per tant, h ∈ U ∩V , la qual cosa es contradiu amb el fet que U,V siguin una separació 

de X. 

Així doncs, h ∈ C \ C. Però, en aquest cas, h ∈ U ∩ V , i s’arriba també a una contradicció. 

De fet, el recíproc és cert: 

5.1.8 Proposició Sigui X ⊆ R un subconjunt connex. Llavors, X és un interval. 

Demostració. Suposem que no ho fos. Aleshores, existirien a,b ∈ X entre els quals hi ha un 

punt c que no és de X, c ∈ X. Però, aleshores, 

seria una separació de X. 

5.2 Connexió i continuïtat 

X = (X ∩ {x | x > c}) ∪ (X ∩ {x | x < c}) 

La connexió és una propietat que es comporta bé per a aplicacions contínues, la qual cosa ens 

permet establir el teorema del valor intermedi en aquest context. 

5.2.1 Proposició La imatge d’un espai connex per una aplicació contínua és connexa. 

Demostració. Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua i suposem que X és connex. Volem 

veure que f(X) és connex. Si no ho fos, existirien U,V oberts de f(X) disjunts no buits tals 

que f(X) = U ∪ V . Aleshores, f −1 (U), f −1 (V ) serien oberts de X disjunts no buits tals que 

X = f −1 (U) ∪ f −1 (V ) i, per tant, X no seria connex. 

5.2.2 Corol·lari (Teorema del valor intermedi) Sigui f : X −→ R una aplicació contínua d’un 

espai connex X en R. Si a,b ∈ X són dos punts de X i r ∈ R un punt entre f(a) i f(b), 

aleshores existeix c ∈ X tal que f(c) = r. 

Demostració. En efecte, f(X) ⊆ R essent connex és un interval, 5.1.8 i, per tant, conté tots els 

valors entre f(a) i f(b). 

En particular, el conegut teorema de Bolzano que s’estudia en els cursos de càlcul és un resultat 

de connexió.

5.2. Connexió i continuïtat 125 

5.2.3 Corol·lari Sigui f : [a,b] −→ R una aplicació contínua tal que f(a) < 0 i f(b) > 0. 

Aleshores, existeix c ∈ (a,b) tal que f(c) = 0. 

5.2.4 Observació De fet, la connexió és equivalent al teorema del valor intermedi en el sentit 

següent: Sigui X un espai tal que per a tota funció contínua f : X −→ R i tot parell de punts 

a,b ∈ X, es compleix que si r ∈ R és tal que f(a) < r < f(b), llavors existeix c ∈ X tal que 

f(c) = r. Llavors, X és connex. 

En efecte, suposem que X no fos connex i sigui {U,V } una separació de X. Definim f : X −→ R 

a través de les restriccions a U i V : f |U ≡ 0 i f |V ≡ 1. és immediat que f és contínua, però 1/2 

no té antiimatge, en contradicció amb la hipòtesi efectuada sobre X. 

Així doncs, en general, els espais per als quals se satisfà el teorema del valor intermedi per a 

tota funció contínua són els espais connexos. 

5.2.5 Corol·lari Si X és un espai connex, llavors X/∼ és connex. 

Demostració. Sigui π : X −→ X/∼ la projecció canònica. Aleshores, X/∼ = π(X) és la imatge 

d’un connex per una aplicació contínua. 

La proposició 5.2.1 permet raonar també que la connexió és una propietat topològica. 

5.2.6 Corol·lari Siguin X i Y dos espais homeomorfs, X ∼ = Y . Aleshores, X és connex si i 

només si Y és connex. 

5.2.7 Observació Aquest darrer corol·lari pot ser utilitzat per demostrar que un espai és connex 

si sabem que és homeomorf a un que té aquesta propietat i, alternativament, es pot utilitzar 

per demostrar que dos espais no són homeomorfs, quan un sigui connex i l’altre no. Així, per 

exemple, R no és homeomorf a (−∞,0) ∪ (0, ∞). 

Hi ha un ús menys directe del resultat, que sovint és molt convenient per distingir determinats 

espais topològics, els punts separadors: sigui X un espai topològic connex; diem que un punt 

x ∈ X és un punt separador si X \ {x} no és connex. Donat un homeomorfisme h : X −→ Y , 

la imatge d’un punt separador x ∈ X serà, necessàriament, un punt separador h(x) de Y . 

Considerem, per exemple, una circumferència i una circumferència amb un radi extern, S 1 i Z, 

(vegeu la figura). 

S 1 Z 

És clar que ambdós espais són connexos, però no són homeomorfs, ja que el punt x és un punt 

separador de Z, mentre que el complementari d’un punt en una circumferència és homeomorf 

x


a un interval i, per tant, és connex. És a dir, no hi ha manera de desconnectar S1 traient-li un 

sol punt. 

5.3 Connexió i productes 

En aquest apartat, provem que la connexió és una propietat compatible amb productes, és a 

dir, que el producte d’espais connexos és un espai connex. Per fer-ho, establim un resultat previ 

que té interès per ell mateix. El resultat fa referència a la unió de subconjunts connexos en un 

espai topològic. Òbviament, la reunió disjunta no té per què ser connexa, però si tenen un punt 

en comú obtenim el resultat següent. 

5.3.1 Proposició Sigui X un espai topològic. La unió d’una família de subconjunts connexos 

amb almenys un punt en comú és connexa. 

Demostració. Sigui {Aα}α∈J una família de connexos de X, tal que hi ha un punt x ∈ ∩α∈JAα. 

Hem de veure que A = ∪α∈JAα és connex. Si no fos així, existirien U,V oberts de X tals que 

A ⊆ U ∪ V 

A ∩ U, A ∩ V = ∅ 

 

i A ∩ (U ∩ V ) = ∅. 

Ara bé, x ha de pertànyer a un d’aquests, suposem que x ∈ U. D’altra banda, com que 

A ∩ V = 0, existeix α ∈ J tal que Aα ∩ V = ∅. Aleshores, 

Aα ⊆ U ∪ V 

Aα ∩ U = ∅(x hi és), Aα ∩ V = ∅ 

Cosa que contradiu el fet que Aα sigui connex. 

5.3.2 Proposició Siguin X,Y dos espais topològics. Aleshores, 

 

i Aα ∩ (U ∩ V ) = ∅. 

X × Y és connex ⇐⇒ X,Y són connexos. 

Demostració. ⇒ És trivial, ja que X i Y són imatge de X × Y per una aplicació contínua, 

X = πX(X × Y ), Y = πY (X × Y ), i apliquem 5.2.1. 

⇐ Prenem un punt (a,b) ∈ X ×Y . Aleshores, X ×{b} és connex perquè és homeomorf a X 

(comproveu-ho com a exercici). Anàlogament, {x}×Y és connex per a tot x ∈X. Llavors, els 

subespais 

Tx = (X × {b}) ∪ ({x} × Y )

5.3. Connexió i productes 127 

b 

Y 

Tx 

✻ ✲ 

{x}×Y 

(x,b) (a,b) 

x a 

X×{b} 

són connexos perquè són unió de dos connexos amb un punt, (x,b), en comú, 5.3.1. Per tant, 

X × Y = 

també és connex, ja que els Tx tenen el punt (a,b) en comú i podem aplicar, un cop més, la 

proposició 5.3.1. 

Per inducció, aquest resultat es pot estendre al producte d’un nombre finit d’espais topològics. 

x∈X 

5.3.3 Corol·lari Siguin X1,...,Xn espais topològics. Aleshores, 

X1 × · · · × Xn és connex ⇐⇒ X1,...,Xn són connexos. 

5.3.4 Exemples Ara que ja disposem de la propietat del producte i sabem que la connexió es 

conserva per a aplicacions contínues, podem establir la connexió d’alguns dels exemples dels 

espais més importants i, en particular, dels que hem introduït en capítols anteriors. 

(1) L’espai euclidià R n és connex perquè és producte de connexos. De la mateixa manera, I n 

és connex. 

(2) La circumferència S 1 és connexa perquè és homeomorfa a [0,1]/{0 ∼ 1}, que és imatge d’un 

connex, l’interval [0,1], per una aplicació contínua. Les esferes S n , n ≥ 2, també són connexes, 

però això serà més fàcil de comprovar a l’apartat següent. 

(3) El tor T 2 és connex perquè és un quocient del quadrat I 2 . Anàlogament, l’ampolla de 

Klein o el pla projectiu són espais connexos. Més generalment, l’espai projectiu n-dimensional, 

RP n ∼ = S n /∼, és connex per ser quocient de l’esfera S n . 

(4) Si X, Y són espais connexos, la seva unió puntual, X ∨ Y és connexa. 

La proposició següent estén aquest resultat per un espai producte d’un nombre arbitrari d’espais 

topològics. 

Tx 

X


5.3.5 Proposició Sigui {Xα}α∈J una família d’espais topològics. Aleshores, 

X = 

Xα és connex ⇐⇒ Xα és connex per a tot α ∈ J. 

α∈J 

Demostració. Si X és connex, ho són cadascun dels espais Xα perquè són imatge de X per la 

projecció corresponent, que és una aplicació contínua (observeu que estem utilitzant l’axioma 

de l’elecció). 

Provem l’altra implicació: Si el conjunt d’índexs J és finit, el resultat és 5.3.3. Considerem el 

cas en què J és un conjunt d’índexs arbitrari. Sigui x ∈ 

α∈J Xα un punt qualsevol i notem 

C la unió de tots els subconjunts connexos de X que contenen x. Per 5.3.1, C és connex. És 

suficient provar que C és dens, és a dir, que 

C = 

Xα, 

α∈J 

ja que, per 5.4.7, C és connex i, per tant, C = C. 

Sigui, doncs, U ⊆ 

α∈J Xα un obert i provem que 

U ∩ C = ∅. 

Per definició de la topologia producte, existeix un nombre finit d’indexs, β1,...,βn, i oberts 

Uβi ⊆ Xβi , i = 1,...,n, tals que 

 

U = Uβ1 × · · · × Uβn × Xα. 

α=βi 

Per a aquestes coordenades, β1,...,βn, considerem el subespai D de X definit per 

 

D = Xβ1 × · · · × Xβn × {xα} ⊆ 

Xα, 

és a dir, les coordenades β1,...,βn de D són lliures, mentre que les restants coordenades estan 

determinades per les coordenades de x. 

És clar que D és homeomorf a Xβ1 × · · · × Xβn i, com que el resultat és cert en el cas finit, D 

és connex. Per tant, per l’elecció de C resulta que D ⊆ C i és suficient provar que U ∩ D = ∅, 

cosa que és immediata ja que 

 

U ∩ D = Uβ1 × · · · × Uβn × {xα} = ∅. 

5.4 Espais arc-connexos 

Prèviament a la noció d’espai connex, hem establert què s’entén per una separació, una descomposició 

de l’espai en dos subconjunts disjunts tals que des de l’adherència de l’un no es 

α=βi 

α=βi 

α∈J

5.4. Espais arc-connexos 129 

pugui accedir a l’altre. Hi ha una altra manera de formalitzar la idea intuïtiva que l’espai 

sigui “d’una sola peça”, mitjançant l’existència de camins que uneixin dos punts qualssevol. 

En aquest apartat, introduïm els espais arc-connexos i analitzem la seva relació amb els espais 

connexos. 

5.4.1 Definició Sigui X un espai topològic. Un camí de X és una aplicació contínua σ : I = 

[0,1] −→ X. Diem que σ(0) és el punt inicial del camí i σ(1) el punt final. Si σ(0) = σ(1), el 

camí s’anomena tancat o llaç. 

σ(0) 

σ(1) 

σ(0) = σ(1) 

5.4.2 Definició Un espai topològic X s’anomena arc-connex si, per a tot parell de punts x,y ∈ 

X existeix un camí σ : I −→ X tal que σ(0) = x i σ(1) = y. 

5.4.3 Exemples (1) L’espai R n és arc-connex. En efecte, donats x,y ∈ R n , prenem el segment 

rectilini 

σ : I −→ R n 

t ↦−→ σ(t) = ty + (1 − t)x 

Es tracta d’una aplicació contínua i σ(0) = x, σ(1) = y. Més generalment, si C ⊆ R n és un 

conjunt convex, el mateix raonament ens permet assegurar que C és un conjunt arc-connex. 

(2) R 1 \ {0} no és arc-connex, ja que, pel teorema de Bolzano, tot camí σ : I −→ R amb 

σ(0) < 0 i σ(1) > 1 ha de passar pel zero. 

(3) En canvi, R 2 \ {(0,0)} i, en general, R n \ {(0,...,0)}, amb n > 1, sí que són conjunts 

arc-connexos: si el segment rectilini d’extrems a,b de l’exemple (1) passa pel 0, prenem una 

petita bola centrada en zero i “desviem” el camí sobre la seva superfície de la bola, evitant 

l’origen (vegeu la figura). El resultat és continu pel lema de l’enganxament. 

a 

✒ 

b 

R\{(0,0)}


5.4.4 Exemple Sigui X un espai arbitrari (no necessàriament connex, ni arc-connex); llavors, 

el con de X, CX, és arc-connex. En efecte, donats dos punts qualssevol (x0,t0),(x1,t1) ∈ CX, 

considereu el camí format pels segments que els uneixen al vèrtex v, que és continu. 

✗ 

✇ 

✐ ✶ 

CX ❂ 

✐ ✶ 

(x0,t0) 

v 

X 

(x1,t1) 

Abans d’analitzar la compatibilitat de l’arc-connexió amb les aplicacions contínues i els productes, 

que donen resultats paral·lels al cas connex, establim la connexió dels espais arc-connexos. 

5.4.5 Proposició Tot espai arc-connex és connex. 

Demostració. Sigui X un espai arc-connex i suposem que no és connex. Sigui X = U ∪ V una 

separació no trivial de X i prenem dos punts x ∈ U, y ∈ V . Com que X és arc-connex, existeix 

una camí σ tal que σ(0) = x i σ(1) = y. Per la continuïtat de σ, σ −1 (U) i σ −1 (V ) són oberts 

i, com que són disjunts, defineixen una separació no trivial de I, la qual cosa és impossible ja 

que l’interval és connex. 

El recíproc no és necessàriament cert, és a dir, no tot conjunt connex és arc-connex. Hi ha 

diversos exemples que il·lustren aquest fenomen, com el que mostrem tot seguit, encara que 

més endavant donarem condicions suficients que asseguren la coincidència de les dues nocions 

(vegeu 5.5.10). 

5.4.6 Exemples La pinta i la puça: Considerem el subespai de R2 , que anomenem “la pinta”següent: 

 

 

 

1 

C = ([0,1] × {0}) ∪ 

× [0,1] 

n 

 

∪ ({0} × [0,1]) 

n∈N 

C D 

(0,0) ( 1 

4 ,0)(1 3 ,0) (1 

2 ,0) (1,0) (0,0) (1 

4 ,0)(1 3 ,0) (1 

2 ,0) (1,0) 

Traiem-li ara el segment obert {0} × (0,1). Anomenem aquest nou espai “la pinta i la puça” i 

el denotem per D. La pinta C és clarament arc-connexa, ja que els punts de les pues verticals 

(0,1)


poden unir-se per un camí que passi per l’eix 0x i, per tant, és un espai connex. Pel que fa a 

la connexió de la pinta i la puça D, utilitzarem el resultat auxiliar següent, que té interès per 

ell mateix. 

5.4.7 Lema Sigui X un espai topològic, A ⊆ X un conjunt connex i B tal que A ⊆ B ⊆ A. 

Aleshores, B és connex. En particular, si A és connex, l’adherència A és connexa. 

Demostració. Si B no fos connex, existirien U, V oberts de X tals que 

B ⊆ U ∪ V 

B ∩ U = ∅, B ∩ V = ∅ 

 

i B ∩ (U ∩ V ) = ∅. 

Ara bé, com que A ⊆ B ⊆ U ∪ V i A ∩ (U ∩ V ) ⊆ B ∩ (U ∩ V ) = ∅, i atès que A és connex, 

o bé A ⊆ U, i en aquest cas A ∩ V = ∅, o bé A ⊆ V , i A ∩ U = ∅. Suposem que A ⊆ U. 

Com que B ∩ V = ∅, hi ha un punt x ∈ B ∩ V , que serà alhora de A i de x ∈ V . Per definició 

d’adherència, això vol dir que A ∩ V = ∅, cosa que contradiu el fet que A sigui connex. 

Retornem a l’exemple de la pinta i la puça. El punt p = (0,1) es troba a l’adherència de 

 

1 

([0,1] × {0}) ∪ , n ∈ N × [0,1] 

n 

que és connex per la mateixa raó que ho és la pinta C i, per tant, segons 5.4.7, D és connex. 

Ara bé, D no és arc-connex. Intuïtivament, resulta clar que no hi ha cap camí de D que surti del 

punt (0,1) i acabi en un altre punt de D. Vegem com podem raonar-ho: sigui σ : [0,1] −→ D 

un camí que comença en p = (0,1); comprovem que σ −1 (p) ⊆ I és obert i tancat a la vegada, la 

qual cosa només és possible si el camí és constant, ja que l’interval [0,1] és connex i, per tant, 

no té altres subconjunts oberts i tancats a la vegada que ∅ i X. 

El conjunt σ −1 (p) és tancat perquè és l’antiimatge d’un punt, que és tancat, per una aplicació 

contínua. 

Pel que fa a ser obert, provem que tot punt és interior: sigui x0 ∈ σ −1 (p) un punt arbitrari, 

hem de veure que hi ha un entorn U de x0 contingut a σ −1 (p). Considerem un entorn V de p 

que no talli l’eix x, (per exemple, tallant X amb una bola oberta de radi < 1, vegeu la figura). 

Per la continuïtat de σ hi ha un entorn obert U de x0 tal que σ(U) ⊆ V . A més, podem suposar 

que U és connex (de fet, un petit interval al voltant de x0). Afirmem que U ⊆ σ −1 (p) i que, 

per tant, σ−1 (p) és obert. Vegem que, efectivament, σ(U) no pot contenir cap altre punt que p: 

si existís q = 1 

n ,t0 

 

1 1 

∈ σ(U), q = p, prenem r ∈ Q tal que n+1 < r < n i considerem els oberts 

(−∞,r) × R i (r,+∞) × R. Com que σ(U) no talla l’eix x, σ(U) no conté el punt (r,0) i, en 

conseqüència, ((−∞,r) × R) ∩ σ(U) i ((r,+∞) × R) ∩ σ(U) determinarien una desconnexió de 

σ(U), (perquè ambdós són oberts disjunts de σ(U) i no buits), cosa que és impossible perquè, 

essent U connex, també ho és σ(U).


p 

0 

1 

n+1 r 1 

n 

q 

✰ 

0 

σ 

Acabem aquesta secció provant la compatibilitat de l’arc-connexió amb els productes i el pas al 

quocient. Aquests resultats, que són els anàlegs als que s’han demostrat per als espais connexos, 

es demostren de forma similar als corresponents a la connexió o, en alguns casos, fins i tot de 

forma més senzilla. 

5.4.8 Proposició La imatge d’un espai arc-connex per una aplicació contínua és arc-connexa. 

Demostració. Siguin X un espai arc-connex i f : X −→ Y una aplicació contínua. Siguin 

y0,y1 ∈ f(X) dos punts arbitraris. Siguin x0,x1 ∈ X tals que f(xi) = yi, i = 0,1. Com que 

X és arc-connex, existeix un camí σ : [0,1] −→ X tal que σ(0) = x0 i σ(1) = x1. Llavors, 

f ◦ σ : [0,1] −→ Y és un camí que uneix y0 amb y1. 

5.4.9 Exemple Per a n ≥ 1, l’esfera S n és arc-connexa. En efecte, l’esfera és imatge de R n+1 \ 

{(0,...,0)} per l’aplicació f : R n+1 \ {0} −→ S n definida per f(x) = x/ x , que és contínua. 

1 

2 

✰ x/x 

x0 

x 

1 

1


De fet, és un exercici senzill comprovar directament a partir de la definició que l’esfera S n és un 

espai arc-connex. Basta observar que entre dos punts qualssevol de l’esfera sempre hi ha passa 

un cercle màxim. 

5.4.10 Corol·lari El quocient d’un espai arc-connex és un espai arc-connex. 

5.4.11 Exemple Com que el quadrat I 2 de R 2 és arc-connex, també ho són els seus espais 

quocient. En particular, el tor T 2 , l’ampolla de Klein K, o el pla projectiu P 2 són espais 

arc-connexos. 

Com a conseqüència de 5.4.8, trobem la invariància topològica de l’arc-connexió: 

5.4.12 Corol·lari Siguin X i Y dos espais topològics homeomorfs, X ∼ = Y . Aleshores, X és 

arc-connex si i només si ho és Y . 

Acabem aquest apartat establint la compatibilitat de l’arc-connexió i la topologia producte. 

5.4.13 Proposició Siguin X i Y dos espais topològics. Aleshores, 

X × Y és arc-connex ⇐⇒ X,Y són arc-connexos. 

Demostració. ⇒ Igual que en el cas connex, l’arc-connexió dels components es dedueix de 

5.4.8, aplicat a les projeccions corresponents. 

⇐ Donats dos punts (x1,y1),(x2,y2) ∈ X × Y , com que X és arc-connex, existeix un camí 

σ : I −→ X 

tal que σ(0) = x1, σ(1) = x2. Així mateix, com que Y és arc-connex, es té un camí 

y2 

y1 

τ 

Y 

✻ 

τ : I −→ Y, 

(σ,τ) 

✯ 

(x1,y1) 

✲ 

x1 σ x2 

(x2,y2) 

tal que τ(0) = y1 i τ(1) = y2. Llavors, l’aplicació (σ,τ) : I −→ X × Y , 

(σ,τ)(t) = (σ(t),τ(t)), t ∈ I, 

X


és contínua, per la propietat universal de la topologia producte, i és un camí de X × Y que va 

de (x1,y1) a (x2,y2). 

Observeu que podem utilitzar el mateix raonament per a productes d’un nombre finit d’espais 

topològics i, de fet, per a productes arbitraris, i en resulta la proposició següent. 

5.4.14 Proposició Sigui {Xα}α∈J una família d’espais topològics. Aleshores, 

X = 

Xα és arc-connex ⇐⇒ Xα és arc-connex per a tot α ∈ J. 

α∈J 

5.5 Components connexos i components arc-connexos 

Com hem assenyalat repetidament, la idea intuïtiva de connexió és que equival a ser d’una peça; 

així, un espai que no és connex té més d’una peça. Què són aquestes peces? Sigui X un espai 

topològic que no és connex: X admet una separació X = U ∪ V , amb U i V oberts i disjunts; 

si aquests oberts són espais connexos, podríem dir que X està compost per dues peces, que són 

precisament U i V . Observem algunes de les propietats d’aquestes peces: U i V són connexos, 

són disjunts i, a més, qualsevol conjunt més gran que un d’ells és no connex, i són oberts de X. 

Les dues primeres propietats serveixen per definir els components connexos: conjunts connexos 

maximals. 

5.5.1 Definició Sigui X un espai topològic. Un subconjunt C diem que és un component connex 

de X si és connex i maximal entre els conjunts connexos. 

És a dir, si C és un component connex de X i C ⊆ D, amb C = D, aleshores D no és connex. 

5.5.2 Exemples (1) Si l’espai X és connex, aleshores conté un sol component connex, que és el 

propi X. Així, per exemple, la pinta i la puça té només un component connex. 

(2) Els components connexos de X = [−1,0) ∪ (0,1] són [−1,0) i (0,1]. 

(3) Hi ha espais per als quals els components connexos es redueixen als punts. Per exemple, 

si X = {0} ∪ {1/n | n ∈ N}, qualsevol conjunt de més d’un punt és disconnex i, per tant, els 

components connexos són els punts. Anàlogament, els components connexos de Q es redueixen 

als punts. 

El resultat següent resumeix les propietats dels components connexos d’un espai que és deriven 

immediatament de la definició i, en particular, mostra que formen una partició disjunta (és a 

dir, que són les “peces” de l’espai). 

5.5.3 Proposició Sigui X un espai topològic. Se satisfan les propietats següents: 

(a) Els components connexos de X són disjunts. 

(b) X és la unió dels components connexos.

5.5. Components connexos i components arc-connexos 135 

(c) Tot subconjunt connex de X està contingut en un únic component connex. 

Demostració. (a) Suposem que dos components connexos distints, C i D (C = D) de X, 

tinguessin algun punt en comú. Llavors, per la proposició 5.3.1, C ∪D seria un conjunt connex, 

en contradicció amb la maximalitat de C i de D. 

(b) Tot punt x ∈ X està contingut en un component connex. De fet, la unió de tots els connexos 

que contenen x, 

C, 

C connex,x∈C 

és connexa, 5.3.1, i és el component connex que conté el punt. 

(c) Si un conjunt connex A intersequés dos components connexos, C i D, A∪C ∪D seria connex 

(per què?) i, per tant, C = D. 

A la introducció d’aquesta secció hem descompost un espai en dos components connexos que, a 

més, són oberts (i també tancats) de X. En general, els components connexos no seran oberts, 

basta tenir present l’exemple de Q, els components connexos del qual són els propis punts. Tot 

i això, si són tancats: 

5.5.4 Proposició Els components connexos de tot espai topològic són conjunts tancats. 

Demostració. Si C és un component connex de l’espai X, aleshores pel lema 5.4.7, C és un 

conjunt connex. Per la maximalitat de C entre els connexos de X, C = C, és a dir, C és tancat. 

5.5.5 Observació Si X és un espai topològic amb un nombre finit de components connexos, 

aleshores aquests són oberts. En efecte, sigui 

X = C1 ∪ · · · ∪ Cn, 

la descomposició de X en components connexos. La unió de qualsevol nombre d’aquests components, 

com que és finita, és tancada, 5.5.4, i és té que 

Ci = X \ 

 

Cj, i = 1 ...,n, 

és obert. 

1≤j≤n,j=i 

És a dir, els components connexos són oberts i tancats alhora, i la topologia de X és la topologia 

unió disjunta dels seus components. En particular, una funció f : X −→ R és contínua si i 

només si cadascuna de les restriccions f |Ci : Ci −→ R ho és. 

Si l’espai X no té un nombre finit de components, les coses no tenen per què ser tan simples. 

Per exemple, els components de Q són els punts, però la topologia de Q no és la topologia 

discreta, que seria la corresponent a la unió disjunta de la topologia dels punts. O, dit d’una 

altra manera, una funció qualsevol f : Q −→ R no té per què ser contínua.


5.5.6 Exemple Presentem un exemple geomètric degut a Hausdorff d’un espai topològic amb 

un nombre infinit de components en el qual no tota funció constant sobre els components és 

contínua. 

Considerem el subespai X de R 2 format per les rectes y = 0,1 i la reunió dels perímetres dels 

rectangles [−n,n] × [1/n,1 − 1/n], n ≥ 2, que denotem per Rn. Es tracta d’un espai que no és 

connex i que té per components connexos les dues rectes y = 0,1 i els propis rectangles Rn. 

. 

. 

Doncs bé, no tota funció f : X −→ R constant en cada component és contínua. Per exemple, 

no poden existir aquesta mena de funcions que valguin 0 en la recta y = 0 i 1 en la recta y = 1. 

Si fos així, per a tot ε > 0 existiria δ > 0 tal que f(Bδ(0,0) ∩ X) ⊆ (−ε,ε). Per tant, per a tot 

n tal que 1 

n < δ, tindríem que 

f(Rn) < ε. 

Per la mateixa raó, però aplicant la continuïtat en (0,1), hauríem de tenir f(Rn) > 1 − ε per 

als mateixos rectangles, cosa que és impossible. 

La raó d’aquest fenomen és que un interval del tipus (−1,1)×{0} o (−1,1)×{1} no és un obert 

d’aquests espais malgrat que sí que ho seria si consideréssim les rectes y = 0 i y = 1, sense la 

resta de components Rn, com a subespais de R 2 . En aquest sentit, la topologia de les rectes 

y = 0 i y = 1 de l’espai X “depèn” de la topologia dels altres components. 

De forma anàloga a com hem definit els components connexos, podem definir també els components 

arc-connexos d’un espai X: 

5.5.7 Definició Un conjunt C d’un espai X diem que és un component arc-connex de X si és 

un conjunt arc-connex i és maximal entre els conjunts arc-connexos. 

Deixem com a exercici l’establiment de les propietats anàlogues a les que s’han reflectit a la proposició 

5.5.3. Assenyalem, però, que els components arc-connexos, a diferència dels components 

connexos, no són necessàriament tancats, com mostra l’exemple següent: 

5.5.8 Exemple L’espai format per la pinta i la puça és connex i, per tant, té un sol component 

connex. Observeu, però, que no és arc-connex. De fet, a l’estudi realitzat a l’exemple 5.4.6

5.6. Espais localment connexos i localment arc-connexos 137 

hem vist que té dos components, la pinta n’és un i la puça, l’altre. En particular, veiem que el 

component format per la pinta no és tancat, ja que la puça està a la seva adherència. 

La introducció dels components arc-connexos i les seves propietats elementals ens permeten ara 

completar l’anàlisi de quan un espai connex és arc-connex. Comencem analitzant en quines 

condicions els components arc-connexos són oberts: 

5.5.9 Proposició Sigui X un espai topològic. Aleshores, els components arc-connexos de X són 

oberts si i només si tot punt x ∈ X té un entorn arc-connex. 

Demostració. Certament, si els components arc-connexos de X són oberts, tot punt té un entorn 

arc-connex: el component que el conté. 

Recíprocament, si x ∈ X és un entorn N arc-connex i C(x) és el component arc-connex que 

conté x, aleshores per la maximalitat dels components arc-connexos tenim que x ∈ N ⊆ C(x), 

és a dir, que x és interior a C(x). Si això és cert per a tot punt de X, aleshores els components 

arc-connexos de X són oberts. 

5.5.10 Corol·lari Sigui X un espai topològic. Aleshores, X és arc-connex si i només si és connex 

i tot punt x ∈ X té un entorn arc-connex. 

Demostració. La implicació directa és immediata. Recíprocament, si tot punt té un entorn 

arc-connex, aleshores els components arc-connexos són oberts, 5.5.9. Però també seran tancats, 

ja que un component és el complementari de la unió dels altres, que és un obert de X. Com que 

X és connex, els únics oberts i tancats alhora són el buit i el propi X, és a dir, un component 

arc-connex no buit és igual a X. 

Proposem al lector retornar a la demostració que la pinta i la puça no és un espai arc-connex, 

5.4.6, per veure que de fet s’ha utilitzat adequadament que la puça no té cap entorn arc-connex 

per deduir-ne el resultat. 

Com que les boles obertes de l’espai ordinari són arc-connexes, deduïm el resultat següent, que 

justifica que als cursos de càlcul no s’hagi insistit en la diferència entre connexió i arc-connexió. 

5.5.11 Corol . lari Sigui U ⊆ R n un obert. Aleshores, U és connex si i només si U és arc-connex. 

El mateix raonament s’aplica a les varietats topològiques, que localment són homeomorfes a 

l’espai ordinari. És a dir, una varietat topològica X és connexa si i només si és arc-connexa. 

5.6 Espais localment connexos i localment arc-connexos 

Anàlogament al que hem fet amb la compacitat local, en aquesta secció estudiem les nocions 

locals associades a la connexió i a l’arc-connexió. Això ens permet generalitzar 5.5.9 i establir 

en quines condicions els components connexos de tot obert d’un espai X són oberts.


5.6.1 Definició Un espai X es diu que és localment connex en x si existeix una base d’entorns 

connexos de x, és a dir, si per a tot entorn U de x existeix un entorn connex V de x tal que 

V ⊆ U. Si X és localment connex en tots els seus punts es diu que és localment connex. 

5.6.2 Observacions (1) Evidentment, és suficient comprovar la condició anterior prenent els U 

com a membres d’una base de X. 

(2) La definició anterior no vol dir tan sols que tot punt tingui un entorn connex. Si així fos, 

tot espai connex seria localment connex, però la connexió i la connexió local són propietats 

independents, com veiem en els exemples següents. 

5.6.3 Exemples (1) L’espai R n és localment connex, ja que les boles obertes Br(x) formen una 

base d’entorns connexos de x. 

(1) El subespai X = [−1,0) ∪ (0,1] de R és localment connex, però no és connex. 

(2) La pinta i la puça és connexa, però no és localment connexa: donada una bola U de radi 

ε > 0, prou petit perquè no talli l’eix x, centrada en p = (0,1), no hi ha cap obert connex que 

contingui p dins U. 

p 

(3) Q no és connex ni localment connex. De fet, ja hem assenyalat anteriorment que els 

components connexos són els punts i, per tant, com que la topologia no és la discreta, no hi 

poden haver entorns connexos de cap punt. 

Amb l’arc-connexió, la corresponent noció local és la següent: 

5.6.4 Definició Un espai X es diu que és localment arc-connex en x si existeix una base d’entorns 

arc-connexos de x, és a dir, si per a tot entorn U de x existeix un entorn arc-connex V de 

x tal que V ⊆ U. Si X és localment arc-connex en tot punt, es diu que és localment arc-connex. 

5.6.5 Exemples (1) Dels exemples anteriors, tant R n com [−1,0) ∪ (0,1] són localment arcconnexos. 

D’altra banda, si un espai és localment arc-connex, aleshores és localment connex. 

En particular, Q i la pinta i la puça no són localment arc-connexos. 

(2) Els oberts de R n són localment arc-connexos (i, per tant, també localment connexos). En 

efecte, si U és un obert i x ∈ U, les boles Br(x) de radi r tal que Br(x) ⊆ U formen una base 

d’entorns de x en U i són arc-connexes. 

✮ 

U


(3) L’espai de successions Rω és localment arc-connex per la mateixa raó. 

 

(4) Afegim a la pinta esborrada el conjunt de punts 0, 1 

 

, n ∈ N (vegeu el dibuix). L’espai 

n 

que en resulta és localment connex en (0,0), però no localment arc-connex en el mateix punt. 

(1,0) 

(0,0) 

Enunciem ara el resultat anàleg a 5.5.9 en aquest context, que ens permetrà establir que els 

components connexos d’un espai localment connex són oberts. 

5.6.6 Proposició Un espai X és localment connex si i només si per a tot obert U de X, els 

components connexos de U són oberts de X. 

Demostració. Suposem que X és localment connex i sigui U un obert de X. Sigui C un 

component connex de U: si x ∈ C, perquè X és localment connex, podem trobar un entorn 

connex V de x dins U. Com que C és component connex, V ha de ser-hi totalment contingut 

dins. Per tant, C és obert. 

Recíprocament, suposem que els components connexos dels oberts de X són oberts. Donats 

un punt x ∈ X i un entorn U de x (obert), sigui C el component connex de U que conté x. 

Llavors, C és un entorn de x (perquè és obert, per hipòtesi) i connex. Per tant, X és localment 

connex. 

5.6.7 Corol·lari Si X és localment connex, els seus components connexos són oberts. 

Així, reprenent els comentaris de 5.5.5, veiem que si X és localment connex, aleshores és la unió 

disjunta topològica dels seus components connexos. En particular, els oberts de R n són unió 

disjunta d’oberts connexos. 

5.6.8 Corol·lari Un espai X és localment connex si i només si té una base formada per oberts 

connexos. 

Demostració. ⇒ Sigui B una base de X qualsevol i considerem 

B ′ = {components connexos dels oberts de B}. 

Per la proposició 5.6.6, els conjunts de B ′ són oberts i és evident que formen una base de la 

topologia de X. L’altra implicació és evident.


Anàlogament a 5.6.6, es demostra el resultat següent. 

5.6.9 Proposició Un espai X és localment arc-connex si i només si, per a tot obert U de X, 

els components arc-connexos de U són oberts en X. 

Del resultat anterior se segueix que si X és un espai localment arc-connex, aleshores els seus 

components arc-connexos són oberts, cosa que ja havíem deduït de 5.5.9. 

5.6.10 Corol·lari Un espai X és localment arc-connex si i només si té una base formada per 

oberts arc-connexos. 

5.6.11 Corol . lari Sigui X un espai localment arc-connex. Aleshores, els components connexos i 

els components arc-connexos coincideixen. 

A diferència de la connexió i l’arc-connexió, les propietats locals no es preserven per aplicacions 

contínues. Tot i així, la connexió i l’arc-connexió locals són propietats topològiques i el quocient 

d’un espai localment connex (respectivament, localment arc-connex) és localment connex 

(respectivament, localment arc-connex). Dediquem la resta de la secció a provar aquestes propietats 

i deixem l’anàlisi de la compatibilitat de la topologia producte i la connexió local com 

a problema a resoldre. 

5.6.12 Exemple En aquest exemple veiem que la imatge d’un espai localment arc-connex no 

té per què ser localment arc-connexa (ni tan sols localment connexa). 

Considerem el tor T2 com a espai d’òrbites de R2 per l’acció de translació de Z2 . 

considerem l’espai quocient del pla per la relació d’equivalènca següent: 

(x,y) ∼ (x ′ ,y ′ ) ⇐⇒ x − x ′ ∈ Z i y − y ′ ∈ Z. 

És a dir, 

Considerem una recta per l’origen de R 2 de pendent irracional: sigui α ∈ R \ Q; prenem els 

punts del pla de la forma (t,αt), t ∈ R. La imatge d’aquesta recta per la projecció canònica 

R 2 −→ T 2 defineix una aplicació 

f : R −→ T 2 . 

Aleshores, tot i que R és localment arc-connex, la imatge f(R) ⊆ T 2 no ho és. En efecte, els 

oberts de f(R) per la topologia induïda són la traça d’oberts de T 2 quan tallen f(R). Així, 

sigui quin sigui el punt p de f(R) que prenguem i l’obert U de T 2 , la irracionalitat del pendent 

assegura que dins d’aquest sempre hi hauria infinits components de f(R) ∩ U.


(0,α) 

(0,0) 

✯ 

✸ 

✯ 

(1/α−1,1) 

✸ 

(1,α) 

p 

✯ 

✯ 

✯ 

✯ 

✯ 

✯ 

Lògicament, si una aplicació contínua és oberta, aleshores preserva els entorns d’un punt, i el 

fenomen analitzat a l’exemple anterior no es pot donar, és a dir, es té: 

5.6.13 Proposició Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua i oberta. Si X és localment connex 

(respectivament, localment arc-connex), llavors f(X) és localment connex (respectivament, 

localment arc-connex). 

✯ 

✯ 

✯ 

✯ 

En particular, en resulta la invariància topològica d’aquestes nocions: 

5.6.14 Corol·lari La connexió local i l’arc-connexió local són propietats topològiques, és a dir, 

si X,Y són dos espais homeomorfs, X ∼ = Y , aleshores X és localment connex (respectivament, 

arc-connex) si i només si ho és Y . 

Per a la topologia quocient no és necessari suposar que la projecció canònica sigui oberta. 

5.6.15 Proposició Siguin X un espai localment connex (respectivament, localment arc-connex) 

i π : X −→ Y una identificació. Llavors, Y és localment connex (respectivament, localment 

arc-connex). 

Demostració. Per 5.6.6 és suficient veure que tot component connex d’un obert de Y és un 

obert. Siguin U un obert de Y i C ⊆ U un component connex de U. 

En primer lloc, observem que π −1 (C) és unió de components connexos de π −1 (U), és a dir, que 

un component connex de π −1 (C) o bé està completament contingut a D o bé no té punts en 

comú amb D. En efecte, si D és un component connex de π −1 (U), llavors π(D) ⊆ U és connex 

per 5.2.1. Així, com que C és un component connex de U, o bé π(D) ⊆ C o bé π(D) ∩ C = ∅. 

En el primer cas, D ⊆ π −1 (C), mentre que en el segon, D ∩ π −1 (C) = ∅. 

Continuem ara la demostració. Com que X és localment connex i π −1 (U) és un obert de X, se 

segueix de 5.6.6 que π −1 (C) és unió d’oberts de X i, per tant, obert. Per definició de topologia 

quocient, C és un obert de Y . 

✯ 

U


El mateix raonament, amb els canvis evidents, serveix per al cas en què X és localment arcconnex. 

5.6.16 Exemple Així, els espais quocient d’un quadrat del pla són localment arc-connexos i, 

per tant, el tor, l’ampolla de Klein o el pla projectiu són espais localment arc-connexos. De 

fet, podem raonar-ho directament a partir del fet que són superfícies, ja que tota varietat és 

localment arc-connexa. 

5.7 Problemes 

1. Sigui X un conjunt numerable i dotem-lo de la topologia del complement numerable. Quins 

són els subconjunts connexos de X? Proveu, en particular, que X és connex. 

2. Construcció de conjunts connexos a partir de conjunts connexos. 

(a) Siguin R una relació d’equivalència en X, un espai topològic, i π : X −→ X/R l’aplicació 

de pas al quocient. Proveu que, si X/R és connex, i les classes d’equivalència de R en X 

són connexes, aleshores X és connex. 

(b) Doneu un exemple en R 2 de conjunts connexos A1 ⊇ A2 ⊇ · · · ⊇ An ⊇ ... (una successió 

decreixent) tal que la intersecció no sigui connexa. 

(c) Sigui A ⊆ X un subespai connex. Són connexos A ◦ i ∂A? En particular, si A és connex, 

és A connex? 

(d) Sigui {An}n∈N una col·lecció numerable de subconjunts connexos d’un espai X. Proveu 

que si, per a tot j ∈ N, Aj ∩ Aj+1 = ∅, aleshores ∪n∈NAn és connex. 

3. Indiqueu si els espais següents són connexos o arc-connexos (si no s’explicita la topologia, 

s’entén que es tracta de la topologia usual): 

(a) Q n . 

(b) Rℓ. 

(c) X = {(x,y) ∈ R 2 | y = 0} ∪ {(x,y) ∈ R 2 | xy = 1, x > 0}. 

(d) X = {(0,0)} ∪ { 1 

t 

(cos t,sin t) | t ∈ (0, ∞)}. 

(e) X = {0} × [−1,1] ∪ { x,sin 1 

x 

(f) R 2 \ K, on K és un conjunt numerable. 

| x > 0} (sinus topològic). 

(g) S n = {(x1,...,xn+1) ∈ R n+1 | x 2 1 + · · · + x 2 n+1 = 1}. 

(h) R n+1 \ S n .


(i) X = R \ {0} amb la topologia del complementari finit. 

4. Proveu que un espai topològic X no és connex si i només si existeix una aplicació f : X −→ 

{0,1} contínua i exhaustiva (a {0,1} considerem la topologia discreta). 

5. Proveu que S 1 , (0,1), (0,1], [0,1], R 2 no són dos a dos homeomorfs. 

6. (a) Considerem R n amb la topologia usual i A ⊆ R n un subconjunt. Sigui γ : [0,1] −→ R n 

un camí tal que γ(0) ∈ A, γ(1) ∈ A. Proveu que existeix t ∈ [0,1] tal que γ(t) ∈ ∂A. 

(b) Sigui A ⊆ X. Proveu que, si C és un connex de X que talla tant A com X \ A, aleshores 

C interseca ∂A. 

7. Considerem els subespais de R 2 següents: 

A = la unió dels segments entre el punt (0,1) i els punts ( 1 

n ,0), amb n ≥ 1, 

B = la unió dels arcs de semicircumferència de centre ( 1 

n 

,0) i radi 1 

n 

, y ≥ 0, amb n ≥ 1. 

Proveu que no són homeomorfs (analitzeu les diferències de la topologia dels punts que no són 

separadors). 

8. A R 2 considerem els subespais següents: 

A = circumferència amb un radi interior, 

B = circumferència amb un segment exterior. 

A B 

Proveu que A i B són homeomorfs i que R 2 \ A i R 2 \ B també ho són. Raoneu que no existeix 

cap homeomorfisme h : R 2 −→ R 2 tal que h(A) = B. 

9. Siguin X un espai connex i {Uα}α∈J un recobrimient obert de X. Donats dos punts p,q ∈ X, 

proveu que p i q es poden unir per un nombre finit d’elements de {Uα}α∈J, és a dir, existeixen


oberts U1,...,Uk ∈ {Uα}α∈J tals que p ∈ U1 i q ∈ Uk i 

Ui ∩ Uj = ∅, si |i − j| > 1, 

Ui ∩ Uj = ∅, si |i − j| ≤ 1. 

10. Proveu que, si N és un subconjunt numerable del pla, llavors R 2 \ N és arc-connex. 

11. Indiqueu quins són els components connexos i arc-connexos dels conjunts següents (on 

K = { 1 

−1 

n ,n ∈ N}, −K = { n ,n ∈ N}): 

(a) Q ⊆ R; (R − Q) ⊆ R (topologia induïda). 

(b) Q 2 ⊆ R 2 ; R 2 − Q 2 ⊆ R 2 ; (R − Q) 2 ⊆ R 2 (topologia induïda). 

(c) El sinus topològic com a subconjunt de R 2 . 

(d) A = (K × [0,1]) ∪ ({0} × [0,1]) com a subconjunt de R 2 . 

(e) B = A \ 0, 1 

 

2 

2 com a subconjunt de R . 

(f) C = B ∪ ([0,1] × {0}) com a subconjunt de R 2 . 

(g) D = (K × [0,1]) ∪ (−K × [−1,0]) ∪ ([0,1] × −K) ∪ ([−1,0] × K) com a subconjunt de R 2 . 

(h) Rℓ. 

12. Doneu un exemple que mostri que, si A ⊆ X és arc-connex, aleshores A no ho és necessàriament. 

13. (a) Sigui f : S 1 −→ I = [0,1] contínua. Proveu que existeixen un parell de punts 

diametralment oposats en S 1 , que tenen la mateixa imatge per f. Deduïu que a cada instant i a 

cada circumferència màxima de la Terra, existeixen dos punts antipodals que tenen exactament 

la mateixa temperatura. 

(b) Primer teorema del pastís. Donats dos subconjunts fitats de R 2 , proveu que hi ha una recta 

que els separa en dues parts exactament iguals en àrea. 

(c) Segon teorema del pastís. Donada una regió fitada de R 2 , proveu que hi ha dues rectes 

perpendiculars que la separen en quatre parts exactament iguals en àrea. 

14. (a) Considerem el subconjunt X ⊆ R 2 , amb la topologia induïda, definit per: 

 

X = {(x,0) | x ∈ R} ∪ x, 1 

 

 

| x ∈ R, n ∈ N ∪ {(0,y) | y ∈ R} 

n


. 

y = 1 

y = 1 

2 

... 

Analitzeu si X és connex, arc-connex, localment connex o localment arc-connex. 

(b) Considerem el conjunt Y ⊆ R 2 , amb la topologia induïda, definit per: 

Y = {segments que uneixen el punt (0,1) amb els punts (q,0), q ∈ Q, 0 ≤ q ≤ 1}. 

(0,1) 

... ... ... 

(q,0) (1,0) 

Analitzeu si X és connex, arc-connex, localment connex o localment arc-connex. 

15. Considerem el subconjunt X ⊆ R 2 definit per X = A ∪ B ∪ C, on 

A = {(x,y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 = 1, y ≥ 0} 

B = {(x,y) ∈ R2 | − 1 ≤ x ≤ 0, y = 0} 

C = {(x,y) ∈ R2 | 0 < x ≤ 1, y = 1 π 

sin 

2 x } 

Proveu que X és arc-connex, però que no és localment arc-connex. 

16. (a) Sigui X un espai localment connex. Proveu que el con CX és localment connex. 

(b) Siguin X,Y espais localment connexos. Proveu que X ∨ Y és localment connex. 

(c) Siguin f : X −→ Y una aplicació contínua i X,Y espais localment connexos. Proveu que el 

cilindre Mf i el con Cf són espais localment connexos. 

16. Proveu que la unió d’una col·lecció de conjunts arc-connexos amb almenys un punt en 

comú és arc-connexa.


17. Proveu que Q × Q ∪ R \ Q × R \Q és un espai arc-connex, però que Q × Q i R \ Q × R \Q 

són totalment disconnexos. 

18. Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua. Suposem que X és localmente connex. Proveu 

que si f és tancada, aleshores f(X) és localment connex. 

19. Sigui X un espai topològic. 

(a) Doneu contreexemples que mostrin la diferència entre ser totalment discontinu i discret. 

(b) Sigui ∼ la relació d’equivalència següent: x ∼ y si i només si x i y estan en el mateix 

component connex. Proveu que l’espai quocient X/ ∼ és totalment discontinu. 

20. Siguin X un espai localment connex i {Cα,α ∈ j} els seus components connexos. Siguin 

Y un espai topològic i f : X −→ Y una aplicació. Proveu que f és contínua si i només si les 

restriccions f |Ci : Ci → Y són contínues per a tot α ∈ J. 

21. Proveu que els espais de la figura no són homeomorfs. 

figura 

22. (a) Siguin X1,...,Xn espais topològics. Proveu que 

X1 × · · · × Xn és localment connex ⇐⇒ X1,...,Xn són localment connexos, 

i anàlogament per a l’arc-connexió. 

(b) Sigui {Xα}α∈J una família d’espais topològics. Proveu que l’espai producte X = 

α∈J Xαés 

localment connex (respectivament, localment arc-connex) si i només si Xαés localment connex 

(respectivament, localment arc-connex), per a tot α ∈ J, i Xα és connex (respectivament, 

arc-connex), excepte potser per a un nombre finit d’índexs. 

23. L’arracada i la perla: sigui X el subespai del pla format pel punt (0,0) i les circumferències 

de centre (0,(n + 1)/n) i de radi (n − 1)/n. Proveu que X és connex, però no arc-connex.

6 

Propietats de separació 

Al llarg del text hem tingut oportunitat d’analitzar diverses propietats en les quals la hipòtesi 

de ser un espai de Hausdorff és fonamental. En aquest capítol, introduïm altres propietats 

de separació, una menys fina que la de Hausdorff, els espais de Fréchet, i dues més fortes, 

corresponents als espais regulars i als espais normals. 

Ens centrem, sobretot, en l’estudi dels espais normals, entre els quals es troben els espais que 

es comporten més bé dels que hem vist fins ara: els espais compactes de Hausdorff i els espais 

mètrics. Veurem que la normalitat permet assegurar l’existència de “moltes ” funcions contínues 

sobre l’espai, lema d’Urysohn, i que, juntament amb el segon axioma de numerabilitat, permet 

donar criteris suficients perquè un espai topològic sigui un espai metritzable. 

6.1 Axiomes de separació 

L’axioma de Hausdorff ens parlava de la possibilitat de “separar” punts d’un espai topològic 

mitjançant oberts disjunts. Els axiomes que introduïm tot seguit es refereixen a la possibilitat 

de separar, en un sentit anàleg, punts de tancats i tancats de tancats. 

6.1.1 Definició Un espai topològic X es diu que és: 

• de Fréchet (o T1) si, per a qualssevol x,y ∈ X, x = y, existeixen oberts U, V de X tals 

que x ∈ U, y ∈ V i x ∈ V , y ∈ U. 

• de Hausdorff (o T2) si, per a qualssevol x,y ∈ X, x = y, existeixen oberts U, V de X tals 

que x ∈ U, y ∈ V i U ∩ V = ∅. 

• regular (o T3) si és de Fréchet i, per a tot x ∈ X i tot C ⊆ X tancat, C ∋ x, existeixen 

oberts U, V de X tals que x ∈ U, C ⊆ V i U ∩ V = ∅. 

• normal (o T4) si és de Fréchet i, per a C, D tancats de X, amb C ∩ D = ∅, existeixen 

oberts U, V de X tals que C ⊆ U, D ⊆ V i U ∩ V = ∅.

148 Capítol 6. Propietats de separació 

Podem resumir les quatre nocions de separació esquemàticament en la figura següent: 

x 

x 

U V 

U 

y 

C 

V 

T1 T2 

T3 T4 T4 

U 

x 

V 

(+T1) 

U 

(+T1) 

En aquest text, de caràcter introductori, ens interessen essencialment els axiomes de Hausdorff 

i de normalitat. Tot i això, analitzem també algunes propietats particulars que es deriven dels 

altres axiomes de separació. Comencem remarcant que l’interès de la propietat de Fréchet ve 

donada per la caracterització següent. 

6.1.2 Proposició Un espai X és de Fréchet si i només si tot punt de X és tancat. 

Demostració. ⇒ Donat un punt x ∈ X, vegem que X \ {x} és obert. Sigui y ∈ X \ {x}. 

Llavors, existeix U ⊆ X obert tal que y ∈ U i x ∈ U. Per tant, y ∈ U ⊆ X \ {x}, és a dir, 

X \ {x} és obert. 

⇐ Donats x,y ∈ X, x = y, es té que y ∈ X \ {x} i x ∈ X \ {x}. Com que x és tancat, X \ {x} 

és obert. Anàlogament, X \ {y} és obert i basta prendre U = X \ {x} i V = X \ {y}. 

6.1.3 Observació La raó que la propietat T1 s’hagi d’imposar en els espais regulars i els espais 

normals és que no és automàtica: un espai de dos punts amb la topologia grollera seria regular 

i normal sense ser de Fréchet ni de Hausdorff. 1 Tal com ho hem posat, hi ha implicacions 

evidents 

Normal ⇒ Regular ⇒ Hausdorff ⇒ Fréchet. 

Les implicacions són estrictes, en el sentit que hi ha espais de Fréchet que no són de Hausdorff, 

de Hausdorff que no són regulars i regulars que no són normals. 

T1. 

1 El lector ha de tenir en compte que, per a alguns autors, la notació Ti, per a i ≥ 3, no inclou la propietat 

C 

y 

V 

D

6.1. Axiomes de separació 149 

6.1.4 Exemples Presentem alguns exemples que distingeixen les diverses propietats de separació. 

(1) La recta real amb la topologia de complements finits, Rcf, és un espai de Fréchet –ja que 

R \ {x} és obert per definició i, per tant, tot punt és tancat– però no és de Hausdorff. 

(2) Donem un espai de Hausdorff que no és regular: sigui K = 1 

n | n ∈ N ⊆ R. Definim en 

R una topologia mitjançant una base; considerem els conjunts de la forma: 

• tots els intervals oberts (a,b), 

• tots els conjunts de la forma (a,b) \ K. 

És immediat comprovar que formen base d’una topologia a R, que denotem per RK. Llavors, 

RK és de Hausdorff, ja que amb els intervals oberts podem separar qualsevol parell de punts. 

Però RK no és regular: en efecte, amb aquesta topologia no podem separar K –que és tancat– 

i 0 ∈ R. Suposem que fos possible, és a dir, que existissin U, V oberts tals que 0 ∈ U i V ⊇ K, 

U ∩ V = ∅. Prenem un obert de la base que contingui 0 i estigui dins U. Com que U no té 

punts en comú amb K, l’obert de la base escollit ha de ser del segon tipus, (a,b) \ K. Sigui n 

prou gran perquè 1 

1 

n ∈ (a,b) i prenem un element de la base que contingui n i estigui dins V , 

que ha de ser del primer tipus, (c,d). Observem que, si z ∈ R és tal que 

z < 1 

 

1 

, i z > max c, , 

n n + 1 

aleshores z ∈ (c,d) ∩ ((a,b) \ K) i, per tant, U ∩ V = ∅, cosa que contradiu l’elecció dels oberts 

U i V . 

1 

n+1 

1 

a 0 c 

b 

z 

(3) Un espai regular que no és normal: considerem la recta real amb la topologia del límit 

inferior, Rℓ. Aleshores R2 ℓ és un espai regular, però no és normal (vegeu el problema 14) 

6.1.5 Observació Deixem com a exercici l’anàlisi de la compatibilitat dels axiomes de separació 

amb les topologies de subespai, producte i quocient. Assenyalem, però, que mentre que el 

producte d’espais de Fréchet, de Hausdorff i regulars és, respectivament, de Fréchet, de Hausdorff 

i regular, el producte d’espais normals no és necessàriament normal (l’exemple (3) descrit 

anteriorment ho mostra). 

Centrant-nos en els espais normals, els exemples més bàsics són els espais mètrics i els espais 

compactes de Hausdorff, com proven els dos resultats següents: 

6.1.6 Proposició Tot espai mètric és normal. 

Demostració. Sigui X un espai mètric i siguin A, B conjunts tancats i disjunts de X. Per a 

cada a ∈ A, escollim un radi εa > 0 tal que Bεa (a) ∩ B = ∅. Anàlogament, per a cada b ∈ B, 

n


escollim εb > 0 tal que Bεb (b) ∩ A = ∅. Considerem els oberts 

U = 

Bεa/2(a), V = 

Bεb/2(b). a∈A 

Llavors, U i V són oberts que contenen A i B i, a més, U ∩ V = ∅. En efecte, si tenen un punt 

en comú, x ∈ U ∩ V , aleshores existiran a ∈ A i b ∈ B tals que 

Per tant, 

b∈A 

x ∈ B εa/2(a) ∩ B εb/2(b). 

d(a,b) ≤ d(a,x) + d(x,b) < εa + εb 

. 

2 

Si εa ≤ εb, llavors d(a,b) < εb i, per tant, a ∈ Bεb (b), cosa que contradiu el fet que Bεb (b)∩A = ∅. 

Anàlogament, si εb ≤ εa, llavors d(a,b) < εa i b ∈ Bεa (a), el qual contradiu que Bεa (a)∩B = ∅. 

6.1.7 Proposició Tot espai compacte de Hausdorff és normal. 

Demostració. L’argument és semblant al que s’ha utilitzat per veure que tot compacte d’un 

espai de Hausdorff és tancat: considerem A,B ⊆ X tancats i disjunts, A ∩ B = ∅. Sabem que 

A i B són compactes. Així, si fixem un punt a ∈ A i, per a cada b ∈ B, escollim oberts U ′ ab , 

V ′ 

ab 

tals que 

a ∈ U ′ ab, b ∈ V ′ 

ab, U ′ ab ∩ V ′ 

ab = ∅, 

de la compacitat de B se segueix que n’hi ha prou amb un nombre finit de V ′ 

ab 

Siguin aquests V ′ 

ab1 

,...,V ′ 

abn 

i considerem 

Ua = U ′ ab1 ∩ · · · ∩ U ′ abn i Va = V ′ 

′ 

ab1 ∪ · · · ∪ V abn . 

per cobrir B. 

Observem que els conjunts Ua són oberts perquè són intersecció d’un nombre finit d’oberts i se 

satisfà que 

a ∈ Ua, B ⊆ Va i Ua ∩ Va = ∅. 

Fent variar ara a ∈ A, tenim que la col·lecció {Ua}a∈A és un recobriment obert de A i, com 

que aquest és compacte, en podem treure un subrecobriment finit: siguin Ua1 ,...Uam aquests 

oberts. Finalment, prenem 

U = Ua1 ∪ · · · ∪ Uam i V = Va1 ∩ · · · ∩ Vam , 

que són oberts tals que A ⊆ U, B ⊆ V i, com se segueix immediatament de les eleccions 

efectuades, U ∩ V = ∅. 

6.2 El lema d’Urysohn 

Els axiomes de separació estan relacionats amb l’existència de “suficients ” funcions contínues, 

en el sentit que quant més febles són les propietats de separació d’un espai X, menys funcions

6.2. El lema d’Urysohn 151 

contínues té. Per exemple, les funcions contínues definides a l’espai Rcf, que és de Fréchet però 

no de Hausdorff, són només les constants, com el lector pot provar sense dificultat. 

D’altra banda, si hi ha prou funcions contínues per separar punts, aleshores l’espai és de Hausdorff. 

És a dir, si X és tal que, per a tot x = y, existeix una funció contínua real, f : 

X −→ R, tal que f(x) = f(y), llavors, prenent ε = d(f(x),f(y)), tenim que f −1 B ε/2(f(x)) 

i f −1 B ε/2(f(y)) són oberts disjunts de X, un que conté x i l’altre que conté y; per tant, X 

és de Hausdorff. 

El problema del que tractem ara és l’existència de funcions contínues f : X −→ [0,1] que separin 

tancats. És a dir, donats A,B ⊆ X tancats disjunts, quan podem assegurar que existeix una 

funció contínua f : X −→ [0,1] tal que f(A) = 0 i f(B) = 1? Una condició necessària és fàcil 

de trobar com en el cas dels punts: si existeix f, llavors f −1 0, 1 

 

−1 

2 i f 1 

2 ,1 són oberts 

disjunts de X que contenen A i B, respectivament. Si això ho podem fer per a tot parell de 

tancats disjunts, l’espai ha de ser normal. El lema d’Urysohn diu que la condició de normalitat 

també és suficient. 

6.2.1 Lema d’Urysohn Sigui X un espai normal, i siguin A, B tancats disjunts de X. Llavors, 

existeix una funció contínua f : X −→ [0,1] tal que f(x) = 0, per a tot x ∈ A, i f(x) = 1, per 

a tot x ∈ B. 

Si X és un espai mètric, amb distància d, el problema té una solució relativament senzilla, ja 

que podem prendre 

d(x,A) 

f(x) = 

d(x,A) + d(x,B) , 

que és una funció contínua, ja que el denominador no s’anul·la mai perquè A ∩ B = ∅, i que, 

per a a ∈ A, satisfà que 

d(a,A) 

f(a) = 

= 0, 

d(a,A) + d(a,B) 

i, anàlogament, per a b ∈ B, 

f(b) = 

d(b,A) d(b,A) 

= = 1. 

d(b,A) + d(b,B) d(b,A) 

Remarquem, però, que gran part de l’interès d’aquest resultat és que s’aplica a espais normals 

no necessàriament mètrics (vegeu 6.3.4). 

En el cas general, partim de la funció discontínua que val 0 sobre A i 1 sobre B, que volem 

“suavitzar” perquè sigui contínua. 

f ≡ 0 

❥ 

A 

B 

f ≡ 1 

✙ 

X


La idea per suavitzar aquesta funció és intercalar un esglaó intermedi, d’alçada 1/2, iterar el 

procés i construir f com a límit de funcions elementals (esglaonades), totes elles amb valors 

entre 0 i 1. 

Donar una funció esglaonada sobre X correspon a donar una successió de conjunts encaixats 

A = A0 ⊆ A1 ⊆ A2 ⊆ · · · ⊆ An ⊆ X \ B, 

que determinin la base de l’esglaó, i aleshores definir la funció per fn(x) = inf{i | x ∈ Ai,1 ≤ 

i ≤ n}. 

Cap de les aproximacions fn és contínua (o, al menys, no ho és necessàriament), ja que tenen 

uns “salts” ben visibles. És per això que passem al límit fent els “salts” més i més petits, 

intercalant “terrasses” d’alçades que són la meitat de les que teníem. 

✻ 

h 

❄ 

La possibilitat d’intercalar aquestes terrasses d’alçada h/2 entre les existents equival a la d’intercalar 

entre els conjunts Ai−1 ⊆ Ai un conjunt A ′ sobre el qual definir l’esglaó. 

Ai−1 

❂ 

Ai 

✒ 

Per fer això, hem de prendre la precaució que la frontera de A ′ no toqui mai la frontera de Ai, 

Ai−1 

✴ 

✴ 

Ai 

A ′ i−1 

✻❄ 

✻❄ 

h/2 

h/2


ja que, en aquest cas, no reduiríem l’alçada del salt en intercalar la terrassa d’alçada h/2, com 

es mostra a la figura. 

Per a això, hem de prendre la precaució d’escollir A ′ de forma que A ′ ⊆ A◦ i . Anàlogament, 

cal que puguem intercalar A ′ entre Ai−1 i Ai, de manera que Ai−1 ⊆ A ′◦ . La possibilitat 

d’intercalar conjunts com aquest i, per tant, de formalitzar l’esbós de demostració que hem 

indicat, la dóna precisament l’axioma de normalitat. Comencem per enunciar i demostrar 

aquest fet. 

6.2.2 Lema Un espai topològic X és normal si i només si, donats un tancat A i un obert U de 

X tals que A ⊂ U, existeix un obert V tal que A ⊆ V ⊆ V ⊆ U. 

Demostració. ⇒ Donats A i U, A ⊆ U, prenem B = X \ U. Llavors, A i B són tancats 

disjunts en un espai normal, per la qual cosa existeixen oberts disjunts V i W tals que A ⊆ V 

i B ⊆ W. 

Com que V i W són disjunts, es té que V ⊆ X \ W ⊆ U i, per tant, V ⊆ X \ W ⊆ U. És a dir, 

que V satisfà les propietats requerides a l’enunciat. 

⇐ Suposem ara donats dos tancats disjunts A,B ⊆ X, A ∩ B = ∅. Prenem U = X \ B. A és 

un tancat inclòs en l’obert U; així, per hipòtesi, existeix un obert V tal que A ⊆ V ⊆ V ⊆ U. 

Per tant, X \ V és un obert que conté B i, en definitiva, hem trobat dos oberts disjunts, V i 

X \ V , un que conté A i l’altre B. 

Demostració del lema d’Urysohn. Formalitzem la idea geomètrica que hem presentat abans. 

Donats dos tancats de X, A i B, disjunts, considerem la parella P0 = (A,X \ B). Com que 

A ∩ B = ∅, es té que A ⊆ X \ B. 

Com a primera aproximació de la funció que estem buscant, prenem la funció característica de 

X \ A (observeu que hem modificat lleugerament la funció de partida, ja que en la discussió 

anterior preníem la funció característica de B): 

f0(x) = 

0, si x ∈ A, 

1, si x ∈ X \ B .


R 

1 

[ ] [ ] 

A B 

Pel lema 6.2.2 que acabem de demostrar, podem trobar un obert V1 tal que A ⊆ V1 ⊆ V 1 ⊆ 

X \ B. Definim el pas següent segons: 

⎧ 

⎨ 0, si x ∈ V0 = A, 

f1(x) = 1/2, 

⎩ 

1, 

si 

si 

x ∈ V1 \ V0, 

x ∈ X \ V1. 

Observem que, donat que B ⊆ X \ V1, la funció f1 és constant i igual a 1 sobre B. 

Un cop tenim la terna P1 = (V0,V1,X \ B), en la qual V0 = A, apliquem novament el lema 

6.2.2 a les inclusions A ⊆ V1 i V 1 ⊆ X \ B per tal d’intercalar les terrasses intermèdies. Com 

que el procés consisteix a intercalar oberts entre dos oberts ja existents, serà còmode utilitzar 

els nombre diàdics k/2 n , 1 ≤ k ≤ 2 n per tal de numerar els oberts que anem intercalant. Així, 

la terna P1 l’escrivim en la forma 

i escriurem V1 = X. 

P1 = (A,V 1/2,X \ B), 

Reprenent el procés i aplicant 6.2.2 a les inclusions A ⊆ V 1/2 i V 1/2 ⊆ X \ B obtenim oberts 

V 1/4 i V 3/4 tals que 

Considerem la filtració 

i definim f2 : X −→ R per: 

A ⊆ V 1/4 ⊆ V 1/4 ⊆ V 1/2 i V 1/2 ⊆ V 3/4 ⊆ V 3/4 ⊆ X \ B. 

P2 = (A,V 1/4,V 2/4,V 3/4,X \ B) 

⎧ 

⎪⎨ 

f2(x) = 

⎪⎩ 

X 

0, si x ∈ A, 

1/4, si x ∈ V 1/4 \ V0, 

2/4, si x ∈ V 2/4 \ V 1/4, 

3/4, si x ∈ V 3/4 \ V 2/4, 

1, si x ∈ X \ V 3/4 ⊇ B. 

En general, un cop hem arribat a una cadena d’oberts 

Pn = (A,V 1/2 n,...,V (2 n −1)/2 n,X \ B),


tal que 

A ⊆ A1 ⊆ V 1/2 n ⊆ · · · ⊆ V (2 n −1)/2 n ⊆ V (2 n −1)/2 ⊆ X \ B, 

l’aplicació reiterada de 6.2.2 permet refinar-la per obtenir-ne una altra 

Pn+1 = (V 1/2 n+1,...,V (2 n+1 −1)/2 n+1,X \ B), 

amb V k/2 n+1 ⊆ V k/2 n+1 ⊆ A (k+1)/2 n+1, per a tot k ≤ 2 n+1 (i en la qual V 2k/2 n+1 = V k/2 k). 

Ara, donada la cadena Pn, definim fn : X −→ R segons 

fn(x) = 

k/2 n , si x ∈ Vk/2 n \ V (k−1)/2 n, k = 0,1,...,2 n − 1, 

1, si x ∈ X \ A2 n −1 ⊇ B, 

= min {k/2 n | x ∈ V k/2 n}. 

Finalment, definim la funció f : X −→ R per pas al límit puntual de les funions fn: 

f(x) = lim 

n→∞ fn(x), per a tot x ∈ R 

= inf{k/2 n | x ∈ V k/2 n,n ≥ 1,1 ≤ k ≤ 2 n − 1}. 

Observeu que, fixat x, es tracta d’un límit d’una successió de nombres reals, (fn(x)), que és 

convergent, ja que és una successió fitada i decreixent. De fet, per construcció se satisfà que 

1) fn(x) ≥ fn+1(x), i que 

2) 0 ≤ fn(x) ≤ 1. 

Pel que fa a (1), si x ∈ V k/2 n \ V (k−1)/2 n, a l’etapa n-èsima, el valor de fn és 

fn(x) = k 

. 

2n A l’etapa següent poden passar dues coses: si x ∈ V (2k−1)/2n+1 \ V (k−1)/2n, llavors 

fn+1(x) = 

2k − 1 

2n+1 = 

 

k 1 

− 

2n 2n+1 

= fn(x) − 1 

2n+1 < fn(x). 

En canvi, si x ∈ V k/2 n \ V (2k−1)/2 n+1, llavors fn+1(x) = fn(x). 

Així doncs, la funció f està ben definida i pren valors en l’interval [0,1]. Comprovem, finalment, 

que satisfà els requeriments del teorema: 

1. f(A) = 0, ja que fn(A) = 0, per a tot n = 0,1,2,... 

2. f(B) = 1, per la mateixa raó.


3. f és contínua. En efecte, sigui x ∈ X i provem que f és contínua en x: donat un ε > 0 

qualsevol, hem de trobar un entorn U de x tal que f(U) ⊆ (f(x) − ε,f(x) + ε). 

En primer lloc, observem que, fixat un n, els oberts V k/2 n \ V (k−2)/2 n formen un recobriment 

de X en variar k, ja que es tenen les inclusions 

V k/2 n \ V (k−1)/2 n ⊆ V k/2 n \ V (k−2)/2 n. 

Sigui U = V k/2 n \ V (k−2)/2 n. Per definició, la variació de fn en U és, com a màxim, 1/2 n . 

D’altra banda, com que |fn(x) − fn+1(x)| < 1/2 n+1 , obtenim la desigualtat 

Així, si x,y ∈ U, es té la desigualtat 

|f(x) − fn(x)| ≤ 

i≥0 

1 1 

= . 

2n+i 2n |f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − fn(x)| + |fn(x) − fn(y)| + |fn(y) − f(y)| < 1 1 1 3 

+ + = . 

2n 2n 2n 2n En definitiva, basta prendre n tal que 3/2 n < ε. 

Enllaçant aquest resultat amb els comentaris que el precedeixen en resulta una caracterització 

dels espais normals. 

6.2.3 Corol . lari Sigui X un espai topològic. X és normal si i només si X satisfà el lema 

d’Urysohn, és a dir, si i només si, donats dos tancats disjunts A,B ⊆ X, existeix una funció 

contínua f : X −→ I tal que f(A) = 0 i f(B) = 1. 

6.2.4 Observacions (1) En lloc de [0,1] podríem haver considerat un interval [a,b] tancat qualsevol 

ja que, si existeix f : X −→ [0,1] tal que f(A) = 0 i f(B) = 1, llavors, component amb 

l’afinitat h : [0,1] −→ [a,b], definida per h(t) = a + (b − a)t, s’obté una aplicació contínua 

f : X −→ [a,b], tal que (h ◦ f)(A) = a, (h ◦ f)(B) = b. 

(2) El lema d’Urysohn no diu que f valgui 0 tan sols en A i 1 tan sols en B. Per als espais 

mètrics sí que és possible obtenir una funció amb aquests requeriments, com hem vist a l’inici 

de la prova del lema d’Urysohn. 

(3) No existeix un “lema d’Urysohn regular” que digui que separar punts de tancats per oberts 

o per funcions contínues sigui el mateix. De fet, el lema 6.2.2 s’aplica només als espais normals 

i, per tant, per espais regulars no permet refinar una cadena Pn a una cadena Pn+1 amb les 

propietats exigides a la demostració del lema d’Urysohn. Els espais pels quals es poden separar 

els punts dels tancats per aplicacions contínues mereixen un nom especial: un espai X s’anomena 

completament regular si és de Fréchet i, donats un punt x ∈ X i un tancat B ⊆ X qualsevol, 

amb x ∈ B, existeix una funció contínua f : X −→ [0,1] tal que f(x) = 1 i f(B) = 0. Amb 

aquesta terminologia, el lema d’Urysohn assegura que els espais normals són completament 

regulars (vegeu els problemes 24 i 25).

6.3. El teorema de metritzabilitat d’Urysohn 157 

6.3 El teorema de metritzabilitat d’Urysohn 

L’aplicació més important que presentem del lema d’Urysohn és el teorema de metritzabilitat. 

De fet, Urysohn va establir el lema que porta el seu nom com a resultat previ per demostrar el 

teorema que presentem en aquest apartat, cosa que ha fet que, tot i la importància intrínseca 

de 6.2.1, se segueixi citant com a lema i no com a teorema. Volem donar condicions suficients 

perquè una topologia derivi d’una distància. 

6.3.1 Definició Es diu que un espai topològic X és metritzable si existeix una distància d : 

X × X −→ R que indueix la topologia de X. 

En cas d’existir, la distància no és necessàriament única. Basta recordar que a l’espai ordinari 

R n hem definit diverses distàncies i que totes elles defineixen la mateixa topologia. 

Volem trobar condicions suficients que ens assegurin que un espai és metritzable. Per exemple, 

si X és metritzable, forçosament és normal (vegeu la proposició 6.1.6). Però això ens diu que 

si un espai no és normal, llavors no pot ser metritzable, no pas el contrari. D’altra banda, hi 

ha espais normals, com Rℓ, que no són metritzables, com hem assenyalat anteriorment. 

Difícilment podem pensar a trobar una distància explícita a partir de la topologia de X. L’estratègia 

que seguim consisteix a submergir l’espai X en un espai mètric “universal”, l’espai de 

successions Rω . És a dir, donat un espai X, quines condicions permeten definir una aplicació 

contínua i injectiva 

F : X −→ Rω tal que F sigui un homeomorfisme de X amb el subespai F(X) de R ω ? En aquest cas, tindrem 

una “còpia”, F(X), de X dins R ω , la qual serà un espai mètric i, com que X ∼ = F(X), X serà 

metritzable. En termes de F i la distància D de R ω , la distància de X està definida per 

d(x,y) = D(F(x),F(y)). 

Definir una aplicació F : X −→ R ω és equivalent a donar les funcions components, fn : X −→ 

R, n ≥ 1; per tant, no serà sorprenent que introduïm hipòtesis de numerabilitat. D’altra banda, 

aquestes funcions han de tenir bones propietats per donar l’homeomorfisme entre X i F(X) 

buscat, cosa que obtindrem mitjançant el lema d’Urysohn. 

Comencem analitzant en quines condicions una família de funcions contínues J = {f : X −→ 

R}, numerable o no, defineix un homeomorfisme de X amb la seva imatge per l’aplicació 

F : X −→ R J que les té per components, és a dir, definida per F(x) = (f(x))f∈J. 

6.3.2 Definició Sigui J = {f : X −→ R} una família de funcions. 

(i) Es diu que J separa punts si, per a tot parell de punts x,y ∈ X, x = y, existeix una 

funció f ∈ J tal que f(x) = f(y). 

(ii) Es diu que J separa punts de tancats si, per a tot punt x ∈ X i tot tancat B ⊆ X, x ∈ B, 

existeix una funció f ∈ J tal que f(x) = 1 i f(B) = 0.


Observem que mitjançant aquesta definició donem nocions de separació similars a les de Hausdorff 

o de regularitat, però no necessàriament equivalents. Per exemple, si J separa punts de 

tancats, aleshores X (suposant que és de Fréchet) és un espai regular ja que, donats un punt 

x ∈ X i un tancat B ⊆ X, x ∈ B, existirà f ∈ J tal que f(x) = 1 i f(B) = 0. Aleshores, 

x i B tenen entorns oberts disjunts, ja que podem prendre ε < 1/2 i U = f −1 (−ε,ε) i 

V = f −1 (1 − ε,1 + ε). 

6.3.3 Lema d’immersió Siguin X un espai topològic i J una família de funcions contínues 

definides sobre X. Considerem l’aplicació 

Aleshores, 

(a) F és una aplicació contínua. 

F : X −→ R J 

x ↦−→ (f(x))f∈J 

(b) F és injectiva si i només si J separa punts. 

(c) Si J separa punts de tancats, F : X −→ F(X) és oberta, i defineix un homeomorfisme 

entre X i F(X). 

Demostració. (a) Com que la topologia de R J és la topologia producte, F és contínua perquè 

ho són les seves funcions components. 

(b) Si J separa punts, F és injectiva: en efecte, si x = y són dos punts de X, hi ha una funció 

f tal que f(x) = f(y), és a dir, la component f-èsima de F(x) és diferent de la component 

f-èsima de F(y) i, per tant, F(x) = F(y). 

(c) Suposem que J separa punts de tancats i provem que F : X −→ F(X) és oberta. Hem 

de veure que si U és un obert de X, aleshores F(U) és un obert de F(X), tenint present que 

a F(X) considerem la topologia de subespai de R J . Comprovem que tot punt z ∈ F(U) és 

interior: sigui x ∈ U tal que F(x) = z; per hipòtesi, existeix una funció f ∈ J tal que f(x) = 1 

i Fn(X \ U) = 0. Sigui V = π −1 

f (0, ∞), és a dir, l’obert de Rω definit per la positivitat de 

la coordenada f-èsima, i prenem W = V ∩ F(X), que és un obert de F(X). Basta veure que 

z ∈ W ⊆ F(U). Per l’elecció de V i f, certament z ∈ W. D’altra banda, si z ′ ∈ W, aleshores 

existirà x ′ ∈ X tal que F(x ′ ) = z ′ i, com que 

f(x ′ ) = πf(z ′ ) > 0, 

el punt x ′ és necessàriament de U, és a dir, que W ⊆ F(U). 

6.3.4 Teorema de metritzabilitat Tot espai normal X amb una base numerable d’oberts (és a 

dir, 2AN) és metritzable. 

Demostració. Per la normalitat de X, per a tot punt x ∈ X i tot obert U que el conté, x ∈ U, 

existeix una funció contínua f : X −→ [0,1] tal que 

f(x) > 0, f(X \ U) = 0. (6.1)

6.3. El teorema de metritzabilitat d’Urysohn 159 

En efecte, basta aplicar el lema d’Urysohn, 6.2.1, als tancats disjunts {x} i X \ U. 

Més encara, com que X és 2AN, hi ha una quantitat numerable de funcions contínues 

fn : X −→ [0,1], n ≥ 1, 

que satisfan (6.1). En efecte, sigui B = {Bn | n ≥ 1} una base numerable d’oberts de X. Per 

a cada parell de nombres naturals (n,m) tals que Bm ⊆ Bn, el lema d’Urysohn pels tancats 

disjunts Bm i X \ Bn, assegura que hi ha una funció contínua 

tal que 

gmn : X −→ [0,1], 

gmn(Bm) = 1, gmn(X \ Bn) = 0. 

Com que N × N és numerable, també ho és el conjunt de parells (m,n) per als quals estan 

definides les aplicacions gmn. Ordenem aquest conjunt i notem f1,f2, · · · ,fn, · · · les funcions 

anteriors segons aquest ordre. Les funcions fn satisfan (6.1). En efecte, donats un punt x ∈ X 

i un obert U que el contingui, x ∈ U, hi ha un obert de la base, Bn, tal que x ∈ Bn ⊆ U i, 

per 6.2.2, existeix un altre obert de la base, Bm, tal que x ∈ Bm ⊆ Bn ⊆ U. Prenent k tal 

que fk = gmn, en resulta que fk(x) = gmn(x) = 1, i en particular aquest valor és positiu, i 

fk(X \ U) = gmn(X \ Bm) = 0. 

A partir de les funcions fn, definim ara l’aplicació 

F = (f1,f2, · · · ,fn, · · · ) : X −→ R ω , 

que és contínua. A més, per (6.1) la família de funcions {fn | n ≥ 1} separa punts de tancats 

i, per tant, F defineix un homeomorfisme entre X i F(X), 6.3.3. 

6.3.5 Observació La hipòtesi de numerabilitat en 6.3.4 permet realitzar X com a subespai de 

l’espai mètric Rω . Si J no és numerable, l’espai producte RJ no és metritzable i, per tant, 

el lema 6.3.3 no dóna cap resultat de metritzabilitat. La no-metritzabilitat de RJ se segueix 

del fet que aquest espai no satisfà el primer axioma de numerabilitat, 2.6.2. En efecte, sigui 

x = (xα) ∈ RJ i suposem que Ux és una base numerable d’entorns de x. Per a cada α ∈ J 

escollim un entorn obert Vα = (xα − ε,xα + ε) de la coordenada xα. Com que Ux és una base 

d’entorns, per a cada α ∈ J podem escollir un entorn U ∈ Ux tal que U ⊆ π−1 α (Vα), i definir 

així una aplicació 

γ : J −→ Ux. 

Les antiimatges γ −1 (U), U ∈ Ux, són finites ja que, per la definició de la topologia producte, 

U té tots els components, llevat d’un nombre finit d’ells, iguals a R. Però, aleshores, de la 

numerabilitat de Ux se segueix la numerabilitat de J, cosa que és una contradicció. 

Tot i l’observació anterior, donat un espai normal X (o, més generalment, completament regular), 

el lema d’immersió assegura que hi ha un subespai de R J homeomorf a X. De fet, 

les funcions components de F definides a partir del lema d’Urysohn, que són les que compleixen 

(6.1) i permeten aplicar el lema d’immersió, prenen valors a [0,1] i, per tant, si F denota


el conjunt d’aplicacions contínues de X en [0,1], s’obté una immersió de X en I F . Aquest 

darrer espai és compacte, segons el teorema de Tychonoff, i de Hausdorff. La clausura de X, 

β(X) = F(X), en I F és un espai compacte (i de Hausdorff), ja que és un tancat d’un espai 

compacte, que s’anomena la compactificació de Stone-Cech de X. Així com la compactificació 

d’Alexandroff d’un espai localment compacte és una compactificació minimal, en el sentit que 

tan sols s’hi afegeix un punt, la compactificació de Stone-Cech és la compactificació més “gran 

” de X, en un sentit que precisem al problema 25. 

Les varietats topològiques compactes de dimensió finita no solament admeten un model a R ω , 

com assegura el teorema de metritzabilitat, sinó que admeten una immersió en un espai “finit 

dimensional ”, R n , per a algun n, com hem vist a 4.7.6. L’any 1922 Urysohn i Menger van 

desenvolupar, de forma independent, la teoria topològica de la dimensió. La definició és inductiva: 

el buit té dimensió −1 i la dimensió d’un espai X és el menor enter n tal que tot punt 

de X té un entorn arbitràriament petit amb frontera de dimensió menor que n. L’espai R n té 

dimensió n, encara que amb aquesta definició això no és immediat. Es pot demostrar que els 

espais (normals i 2AN) de dimensió n admeten un submergiment a R 2n+1 (vegeu, per exemple, 

[HW]). 

Pels espais que satisfan el segon axioma de numerabilitat, les propietats de regularitat i normalitat 

són equivalents, cosa que permet enunciar el teorema de metritzabilitat en una forma 

aparentment més general per als espais regulars i 2AN, 6.3.7. 

6.3.6 Proposició Sigui X un espai regular que satisfà el segon axioma de numerabilitat. Aleshores, 

X és normal. 

Demostració. Sigui B una base numerable de X i siguin A i B tancats disjunts. Per regularitat, 

per a tot x ∈ A existeix un obert, U, tal que x ∈ U i U ∩ B = ∅. Per un resultat anàleg al lema 

6.2.2 per als espais regulars (vegeu el problema 8) podem afirmar que existeix un obert V tal 

que x ∈ V ⊆ V ⊆ U. Com que B és una base, existeix Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊆ V ⊆ V ⊆ U i 

U ∩ Bx = ∅. I com que la base és numerable, amb una quantitat numerable de Bx recobrirem 

A. En resum, hi ha un recobriment numerable de A format per oberts de la base, Bn ∈ B, i 

tals que 

Bn ∩ B = ∅. 

Anàlogament, obtindrem oberts bàsics {B ′ n} tals que 

B ⊆ ∪ ∞ n=1B ′ n , B ′ 

n ∩ A = ∅. 

Notem U ′ = ∪ ∞ n=1Bn i V ′ = ∪ ∞ n=1B ′ n, llavors U ′ i V ′ són oberts tals que A ⊆ U ′ i B ⊆ V ′ . En 

general, però, no tenen per què ser disjunts. Rectifiquem-los de forma que obtinguem entorns 

oberts disjunts de A i de B. 

Fixat n, considerem els conjunts 

Un = Bn \ ∪ n i=1B ′ 

i , Vn = Bn \ ∪ n i=1Bi,

6.4. El teorema d’extensió de Tietze 161 

i siguin U = ∪ ∞ n=1Un i V = ∪ ∞ n=1Vn. Llavors, tenim que 

(1) Un i Vn són oberts per a tot n, òbviament, i en conseqüència U i V són oberts de X. 

(2) A ⊆ U, ja que, si x ∈ A, llavors x ∈ Bn per a algun n i, a la vegada, x ∈ B ′ 

n per a cap n. 

Per tant, en treure-li ∪ n i=1B ′ 

i a Bn no li estem traient cap punt que fos de A. Anàlogament, 

B ⊆ V . 

(3) U ∩V = ∅: si x ∈ U ∩V , llavors x ∈ Uj ∩Vk per a alguns j, k. Suposem que j ≤ k. Llavors, 

per definició de Uj, x ∈ Bj i, per definició de Vk, x ∈ Bj, que ens porta a una contradicció. 

6.3.7 Corol . lari Tot espai regular X amb una base numerable és metritzable. 

6.3.8 Observació Si X és un espai topològic que satisfà 2AN, els resultats anteriors es resumeixen 

en: X és metritzable si i només si X és regular. Però, hi ha espais mètrics que no 

són separables, com la mètrica de l’oficina de correus, per la qual cosa es planteja aleshores 

la qüestió de caracteritzar topològicament els espais metritzables generals. El primer resultat 

d’aquesta mena va ser provat per Nagata i Smirnov (vegeu [M]). 

6.4 El teorema d’extensió de Tietze 

Siguin X un espai topològic i A ⊆ X un subespai tancat. Si g : A −→ Y és una aplicació 

contínua, una extensió contínua de g a X és una aplicació contínua f : X −→ Y que en A 

coincideix amb g, és a dir, tal que f(a) = g(a) per a tot a ∈ A. 

En general, l’existència de l’extensió f no està assegurada. Per exemple, si X = [0,1] i A = 

{0,1}, i prenem Y = A i g la identitat de A, aleshores no pot existir una aplicació contínua 

f : [0,1] −→ {0,1} tal que f(0) = 0 i f(1) = 1, ja que seria exhaustiva i, per tant, f(X) = A 

seria connex, cosa que és absurda. 

El lema d’Urysohn es pot interpretar com un resultat d’existència d’extensions de funcions a 

valors en un interval compacte: si X és normal i A,B són dos subespais tancats disjunts, el 

lema assegura que la funció contínua 

g : A ∪ B −→ I, 

definida per g |A = 0 i g |B = 1, admet una extensió contínua f : X −→ I. L’objectiu d’aquest 

apartat és provar un teorema general d’extensió de funcions a valors en I per als espais normals, 

el teorema de Tietze, del qual el lema d’Urysohn és un cas particular i, de fet, un resultat 

equivalent. 

El teorema de Tietze és no trivial fins i tot per als espais mètrics, en contrast amb el que succeeix 

amb el lema d’Urysohn, i té importants aplicacions en diversos contextos, especialment en anàlisi 

matemàtica. Més endavant tindrem ocasió d’utilitzar-lo en la prova del teorema de la corba de 

Jordan. 

6.4.1 Teorema de Tietze Siguin X un espai normal i A ⊆ X un tancat. Llavors, per a tota 

funció contínua g : A −→ [a,b], existeix una funció contínua f : X −→ [a,b], tal que g |A = f.


Demostració. Sovint es prova el teorema de Tietze a partir del lema d’Urysohn, utilitzant 

un argument de convergència uniforme (vegeu, per exemple, [M]). Proposem una demostració 

basada en la idea de les terrasses amb la qual hem provat el lema d’Urysohn. De fet, la 

demostració generalitza la realitzada en 6.2.1 i és independent d’aquella. Suposarem, sense 

pèrdua de generalitat, que [a,b] és l’interval unitat I. 

Volem refinar la construcció de la demostració de 6.2.1 per tal de construir les terrasses d’acord 

amb els valors de g. Així, trobarem recurrentment filtracions per oberts de X 

(amb V 2k/2 n+1 = V k/2 n) tals que 

(1) V k/2 n ⊆ V k/2 n ⊆ V (k+1)/2 n, 

(2) A ∩ V k/2 n = g −1 ([0, k 

2 n )). 

Pn = (g −1 (0),V 1/2 n, · · · ,V (2 n −1)/2 n,X), 

La primera condició ja l’hem analitzat a bastament en la demostració del teorema d’Urysohn. 

Quant a la segona, és la condició que permet provar que, definint f com a límit de les funcions 

esglaonades corresponents a Pn, f coincideix amb g sobre el tancat A: en efecte, suposant que 

tenim oberts V k/2 n com els descrits, sigui f : X −→ I la funció definida per 

f(x) = inf { k 

2 n | x ∈ V k/2 n, n ≥ 1, 1 ≤ k ≤ 2n }, 

afirmem que f és una extensió contínua de g a X. La continuïtat de f es demostra, a partir de 

(1) i la definició de f, exactament igual com ho hem fet en la demostració de 6.2.1. Quant a la 

coincidència de f amb g sobre A, observem que, per la propietat (2) i la densitat dels nombres 

diàdics, per a tot a ∈ A, es té 

f(a) = inf{ k 

2n | a ∈ Vk/2n, n ≥ 1, 0 ≤ k ≤ 2n } 

= inf{ k 

2n | a ∈ g−1 ([0, k 

2n )), n ≥ 1, 0 ≤ k ≤ 2n } 

= inf{d | a ∈ g −1 ([0,d)), d ∈ (0,1]} 

= g(a). 

Per provar l’existència de les filtracions Pn, n ≥ 1, és convenient construir alhora filtracions 

obertes 

Qn = (U 1/2 n, · · · ,U (2 n −1)/2 n), 

tals que 

(3) U (k+1)/2 n ⊆ U k/2 n, 

(4) A ∩ U k/2 n = g −1 (( k 

2 n ,1]), 

(5) V k/2 n ⊆ X \ U k/2 n, o equivalentment U k/2 n ⊆ X \ V k/2 n.

6.4. El teorema d’extensió de Tietze 163 

Observem que les propietats (3) i (4) són anàlogues a les propietats (1) i (2) imposades a 

les filtracions Pn, però ara “vistes des de” l’altre extrem de l’interval I, cosa que fa que les 

filtracions Qn siguin decreixents. La cinquena condició, juntament amb totes les altres, és la 

que permet controlar la construcció inductiva de les filtracions Pn per tal que verifiquin (2). 

La construcció de les filtracions és inductiva i es basa en la caracterització de la normalitat 

donada a 6.2.2. Prenem V1 = X i construïm V 1/2 i U 1/2. L’obert V 1/2 ha de satisfer que 

V 1/2 ∩ A = g −1 [0, 1 

2 ). 

Com que g−1 [0, 1 

2 ) no és un tancat de A, no podem aplicar literalment el lema 6.2.2 a la inclusió 

g−1 [0, 1 

2 ) ⊆ X \ g−1 ([ 1 

2 ,1]). Podem descriure g−1 [0,1/2) com una unió de tancats de A, que 

també ho són de X, ja que A és tancat, 

g −1 [0, 1 

) = g 

2 

m≥1 

−1 [0, 1 

2 

1 

− ], 

2m cosa que ens porta a aplicar 6.2.2 a cadascuna de les inclusions 

g −1 [0, 1 1 

− 

2 

2m ] ⊆ X \ g−1 [ 1 

2 

,1], m ≥ 1. 

Se segueix que, per a cada m ≥ 1, existeixen oberts Wm tals que 

g −1 [0, 1 1 

− 

2 2m+1 ] ⊆ Wm ⊆ W m ⊆ X \ g −1 [ 1 

2 ,1]. 

Substituint els oberts W1,W2,... per la successió W1,W1 ∪ W2,..., i atès que l’adherència 

d’una unió finita de conjunts és la unió de les adherències i que, per tant, aquesta nova successió 

segueix satisfent les inclusions anteriors, podem suposar que els oberts escollits estan encaixats, 

W1 ⊆ W2 ⊆ ... 

Anàlogament, existeixen oberts W ′ m tals que 

g −1 [ 1 1 

+ 

2 2m+1 ,1] ⊆ W ′ m ⊆ W ′ 

m ⊆ X \ g −1 [0, 1 

2 ], 

i que formen una cadena W ′ m ⊆ W ′ m+1. Definim ara els conjunts 

V1/2 = 

(Wm \ W ′ 

m), U1/2 = 

(W ′ m \ W m). 

m≥1 

Tant V 1/2 com U 1/2 són oberts, ja que són unió d’oberts de X. Les propietats (2) i (4), 

m≥1 

V 1/2 ∩ A = g −1 [0, 1 

2 ), i U 1/2 ∩ A = g −1 ( 1 

2 ,1], 

són immediates de comprovar, com també les inclusions 

V 1/2 ⊆ X \ U 1/2, i U 1/2 ⊆ X \ V 1/2,


que corresponen a la propietat (5). 

Suposem ara definides les filtracions Pn i Qn fins a un cert n. Per construir les filtracions Pn+1 

i Qn+1 és suficient que mostrem com intercalar oberts V (2k+1)/2 n+1 i U (2k+1)/2 n+1 entre V k/2 n 

i V (k+1)/2 n i entre U k/2 n i U (k+1)/2 n, respectivament, que satisfacin les condicions de (1) a (5). 

Per simplificar les notacions, escrivim 

a = k 2k + 1 k + 1 

, b = , c = , 

2n 2n+1 2n de manera que coneixem Va i Vc i volem intercalar un obert Vb, i anàlogament per als oberts 

“U”. 

Un cop més, per la normalitat de X existeixen oberts Wm, W ′ m, m ≥ 1, tals que 

V a ∪ g −1 [0,b − 1 

2 n+m ] ⊆ Wm ⊆ W m ⊆ X \ (g −1 [b,1] ∪ Uc), 

g −1 [b + 1 

2 n+m ,1] ∪ Uc ⊆ W ′ m ⊆ W ′ 

m ⊆ X \ (g −1 [0,b] ∪ V a), 

que, a més, podem suposar encaixats: Wm ⊆ Wm+1 i W ′ m ⊆ W ′ m+1. Com en el primer cas de 

la inducció, definim ara els conjunts 

Vb = 

(Wm \ W ′ 

m), Ub = 

(W ′ m \ W m), 

m≥1 

que són oberts. La comprovació que aquests oberts satisfan les propietats (2) i (4) és immediata. 

A més, com que Ub i Vb són dos conjunts oberts disjunts de X, es té que V b ⊆ X \ Ub i que 

Ub ⊆ X \Vb, és a dir, se satisfà (5). Comprovem que verifiquen la condició (1): per construcció, 

es té que Uc ⊆ Ub, d’on, per hipòtesi d’inducció, resulten les inclusions 

m≥1 

V b ⊆ X \ Ub ⊆ X \ Uc ⊆ Vc, 

en les quals hem utilitzat la cinquena condició imposada a les filtracions. La prova de (3) és 

anàloga. 

De la mateixa manera que el lema d’Urysohn és equivalent a la normalitat de l’espai, 6.2.3, el 

teorema de Tietze dóna una altra caracterització de la normalitat: 

6.4.2 Corol·lari Sigui X un espai topològic. Aleshores, X és normal si i només si per a tot 

tancat A ⊆ X i tota aplicació contínua g : A −→ I, existeix una extensió contínua f : X −→ I. 

6.4.3 Observació Tant en el lema d’Urysohn com en el teorema de Tietze, els subconjunts de 

X que intervenen són tancats. Analitzem breument aquest supòsit: 

(1) En el cas del lema d’Urysohn, si A,B ⊆ X són subconjunts disjunts (no necessàriament 

tancats) i f : X −→ I és una aplicació contínua tal que f(A) = 0 i f(B) = 1, aleshores 

A ⊆ f −1 (0), i B ⊆ f −1 (1),


ja que les antiimatges de 0 i 1 són tancats per la continuïtat de f. És a dir, si podem separar 

A i B per una aplicació contínua, també podem separar els tancats A i B i, en particular, 

A ∩ B = ∅. 

Per exemple, els conjunts A = (0,1) i B = (1,2) són dos conjunts disjunts d’un espai normal, 

R. Però no hi ha cap funció contínua f : R −→ I tal que f(A) = 0 i f(B) = 1. 

(2) L’exemple següent mostra que si A no és tancat, el teorema de Tietze no té per què ser cert: 

la funció contínua f : R \ {0} −→ R 

f(x) = 

no admet cap extensió contínua a tot l’espai, R. 

0, si x < 0 

1, si x > 0 

A 7.8.3 necessitarem la variant següent del teorema d’extensió de Tietze, en la qual s’assegura 

l’existència d’extensions d’aplicacions contínues de A en R. 

6.4.4 Corol·lari Siguin X un espai normal i A ⊆ X un tancat. Llavors, per a tota aplicació 

contínua g : A −→ R existeix una aplicació contínua f : X −→ R, tal que f |A = g. 

Demostració. Podem substituir R per l’interval obert (−1,1), ja que són espais homeomorfs. 

Pel teorema d’extensió de Tietze, g s’estén a una funció contínua 

h : X −→ [−1,1]. 

Sigui D = h −1 (−1) ∪ h −1 (1). El conjunt D és tancat i disjunt de A, ja que h(A) = g(A) ⊆ 

(−1,1). Pel lema de Urysohn existeix una funció contínua ϕ : X −→ [0,1] tal que ϕ(A) = 1 i 

ϕ(D) = 0. Definim ara 

f(x) = h(x)ϕ(x). 

La funció g és contínua perquè és producte de funcions contínues, i, per a tot a ∈ A, es verifica 

f(a) = h(a)ϕ(a) = h(a) = g(a). 

A més, la imatge de f està continguda en l’interval (−1,1) i, per tant, dóna l’extensió buscada. 

6.5 Problemes 

1. Proveu que tot subespai d’un espai de Fréchet, d’un espai de Hausdorff o d’un espai regular 

és també un espai de Fréchet, de Hausdorff o regular, respectivament. 

2. Siguin X un espai normal i Y ⊆ X un subconjunt tancat. Proveu que Y és normal.


3. Siguin X,Y dos espais topològics. Proveu que X × Y és Ti, = 1,2,3 si i només si X i Y són 

Ti, = 1,2,3, respectivament. 

4. Siguin X un espai de Fréchet i A ⊆ X un subconjunt. 

(a) Proveu que si A és finit, aleshores A ′ = ∅. 

(b) Proveu que si x ∈ A ′ , aleshores, per a tot entorn obert U de x, A ∩ U és infinit. 

5. Proveu que Rℓ és normal. 

6. Sigui (X, ≤) un conjunt ben ordenat. Proveu que, amb la topologia de l’ordre, X és normal. 

7. (a) Proveu que un espai X és de Hausdorff si i només si la diagonal de X, ∆ = {(x,x) ∈ 

X × X}) és un tancat de X × X. 

(b) Siguin f,g : X −→ Y dues aplicacions contínues i suposem que Y és de Hausdorff. Proveu 

que ∆f,g = {x ∈ X | f(x) = g(x)} és tancat. 

(c) Deduïu el principi d’extensió d’identitats: siguin f,g : X −→ Y , aplicacions contínues, amb 

Y un espai de Hausdorff. Si el conjunt {x ∈ X | f(x) = g(x)} és dens, aleshores f = g. 

(d) Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua, oberta i exhaustiva. Proveu que Y és de Hausdorff 

si i només si {(x1,x2) ∈ X × X | f(x1) = f(x2)} és tancat en X × X. 

8. Sigui X un espai de Fréchet. Proveu que X és regular si i només si per a tot x ∈ X i tot 

entorn U de x, existeix un obert V tal que x ∈ V ⊆ V ⊆ U. 

9. Proveu que un espai X és regular si i només si per a qualsvol subconjunt tancat A ⊆ X, 

l’espai quocient X/A és de Hausdorff. 

10. (a) Siguin X un espai normal i A ⊆ X un subconjunt tancat. Proveu que X/A és un espai 

normal. 

(b) Siguin X un espai regular i ∼ una relació d’equivalència tal que la projecció π : X −→ X/∼ 

és tancada (respectivament, oberta). Proveu que X/∼ és de Hausdorff. 

11. (a) Proveu que si X és un espai regular, aleshores tot parell de punts de X tenen entorns 

amb clausures disjuntes. 

(b) Proveu que, si X és un espai normal, aleshores tot parell de conjunts tancats i disjunts de 

X tenen entorns amb clausures disjuntes. 

12. Sigui X un espai topològic. Proveu que X és regular si i només si els entorns tancats d’un 

punt formen una base d’entorns. 

13. Sigui X un espai regular. Proveu que tot tancat C ⊆ X és la intersecció de tots els oberts 

que el contenen. Doneu un exemple que mostri la necessitat que X sigui regular. 

14. Sigui X un espai normal i A ⊆ X un subconjunt numerable dens, (és a dir, que X és 

separable). Sigui B ⊆ X un subconjunt tancat i discret. 

(a) Proveu que, per a qualsevol subconjunt C ⊆ B, existeixen oberts, UC,VC, tals que C ⊆ UC 

i B \ C ⊆ VC.


(b) Proveu que si C ⊆ D, amb C = D, aleshores UC ∩ A = UD ∩ A. 

(c) Definim l’aplicació p : P(B) −→ P(A) segons p(C) = UC ∩ A. Deduïu que p és injectiva 

i que, per tant, B és numerable. 

(d) Concloeu que tot subconjunt tancat i discret d’un espai normal separable és numerable. 

(e) Deduïu que el pla de Moore no és normal. 

(f) Deduïu que Rℓ × Rℓ no és normal i que, per tant, el producte d’espais normals no és 

necessàriament normal 

15. Proveu que no existeix cap espai topològic que sigui normal, connex i numerable. 

16. Proveu que un espai regular i de Lindelöff és normal. 

17. Sigui X un espai localment compacte i de Hausdorff. Proveu que X ∞ és normal si i només 

si X és 2AN. 

18. Analitzeu les propietats de separació de R ω amb la topologia de les caixes. 

19. Sigui X un espai de Hausdorff localment compacte. Proveu que X és regular. (Indicació: 

Utilitzeu la compactificació d’Alexandroff.) 

20. Siguin X un espai normal i A ⊆ X un tancat. Proveu que tota aplicació contínua f : A −→ 

I n , on I = [0,1], admet una extensió a una aplicació contínua g : X −→ I n . 

21. Sigui X un espai topològic. Un subconjunt A ⊆ X es diu que és un conjunt Gδ si 

és la intersecció d’una quantitat numerable d’oberts de X. Proveu que, si X és normal, un 

subconjunt propi A = X és Gδ si i només si existeix una funció contínua f : X −→ [0,1] tal 

que A = f −1 (0). 

22. Sigui X un espai topològic. Un subconjunt A ⊆ X es diu que és Fσ si és unió numerable 

de tancats de X. Proveu que si X és normal i A és Fσ, aleshores A és normal. 

23. Proveu que, per a un espai topològic X, les afirmacions següents són equivalents: 

(i) X és un espai mètric separable. 

(ii) X és un espai regular 2AN. 

(iii) X és homeomorf a un subespai de I ω . 

24. Proveu que un subespai d’un espai completament regular és completament regular. Proveu 

que un producte d’espais topològics és completament regular si i només si ho són els espais 

components. 

25. Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua entre espais completament regulars. 

(a) Proveu que f s’estén a una aplicació contínua de les compactificacions de Stone-Cech, 

f : β(X) −→ β(Y ).


(b) Suposem que Y és compacte i de Hausdorff. Proveu que f s’estén a una aplicació contínua 

f : β(X) −→ Y . 

(c) Sigui ˆ X una compactificació de X. Proveu que hi ha una aplicació contínua β(X) −→ ˆ X, 

mitjançant la qual ˆ X té la topologia quocient. 

(d) Deduïu que si X i Y són homeomorfs, aleshores β(X) ∼ = β(Y ). 

26. Sigui X un espai topològic tal que un funció f : X −→ [0,1] és contínua si i només si hi ha 

un compacte Kf ⊆ X tal que f és zero fora de Kf. Proveu que β(X) és homeomorf a X ∞ . 

27. Sigui X un espai compacte i de Hausdorff. 

(a) Raoneu que, si D1,D2 ⊆ X són tancats disjunts, aleshores existeixen oberts U1,U2 tals 

que D1 ⊆ U1, D2 ⊆ U2, U1 ∩ U2 = ∅. 

(b) Sigui D ⊆ X un tancat. Proveu que D és connex si i només si per a qualssevol U,V ∈ T 

tals que U ∩ D = ∅, V ∩ D = ∅, i U ∩ V = ∅, es té que D \ (U ∪ V ) = ∅. 

(c) Sigui {Cn} una successió de tancats connexos tals que Cn ⊇ Cn+1, per a tot n ≥ 0. 

Notem C = ∩n∈NCn. Utilitzeu (b) per provar que C és connex. 

(d) Doneu un exemple que demostri que, si X no és compacte, la conclusió de (c) no és 

necessàriament certa. 

28. Topologıa compacta-oberta de l’espai de les aplicacions contínues. Siguin X, Y espais 

topològics. Sigui C(X,Y ) = {f : X −→ Y | f contínua} el conjunt d’aplicacions contínues de 

X en Y . Si C ⊆ X és compacte i U ⊆ Y és un obert, definim 

S(C,U) = {f ∈ C(X,Y ) | f(C) ⊆ U}. 

Els conjunts S(C,U), variant C i U, formen una subbase d’una topologia, que s’anomena 

topologia compacta-oberta de C(X,Y ), que fixem per a la resta del problema. 

(a) Sigui X un espai de Hausdorff localment compacte. Proveu que l’aplicació d’avaluació 

av : X × C(X,Y ) −→ Y definida per av(x,f) = f(x), és una aplicació contínua. 

(b) Amb les hipòtesis anteriors, sigui Z un espai topològic arbitrari. Proveu que una aplicació 

F : X × Z −→ Y és contínua si i només si l’aplicació F : Z −→ C(X,Y ), definida per 

F(z)(x) = F(x,z), és contínua. [Indicació: una implicació se segueix de (a). Per l’altra, 

utilitzeu el lema del tub.]

7 

Topologia del pla 

En aquest capítol presentem un estudi particular de la topologia del pla R 2 . El nou ingredient 

que ens permet realitzar aquest estudi, específic del pla, és la variació de l’angle al llarg d’una 

corba: tot punt del pla es pot expressar en coordenades polars (r cos θ,r sin θ), essent r ≥ 0 i θ 

un angle determinant tan sols llevat de múltiples enters de 2π, i que no està definit a l’origen. 

Donada una corba tancada ω : I −→ R 2 que no passa per l’origen, demostrarem que es pot 

determinar una funció r(t) i una funció angle θ(t) de forma que 

ω(t) = (r(t)cos θ(t),r(t)sin θ(t)), 

així, com que ω és tancada, θ(1) −θ(0) = 2kπ per a cert enter k ∈ Z. Aquest enter, que mesura 

el nombre de voltes que fa ω al voltant de l’origen, és el que anomenem índex de la corba. 

És intuïtivament clar que una “petita” pertorbació de la corba ω no altera el nombre de voltes 

que completa la corba al voltant de l’origen. Aquesta idea es formalitza mitjançant el concepte 

d’homotopia, que introduïm amb tota generalitat en la primera secció. D’altra banda, és clar 

que per determinar l’índex d’una corba no és necessari conèixer la variació del mòdul r(t), per 

la qual cosa ens podem restringir a corbes que tenen imatge sobre la circumferència S 1 . A la 

secció 7.2 establim que l’índex permet establir una bijecció (de fet, un isomorfisme de grups) 

entre les classes d’homotopia de corbes tancades de S 1 i Z, del qual deriven la majoria dels 

resultats del capítol. Acabem el capítol presentant una demostració del teorema de la corba de 

Jordan. 

7.1 Homotopia d’aplicacions contínues 

Siguin X,Y dos espais topològics i f,g : X −→ Y dues aplicacions contínues. Es diu que f i g 

són homòtopes si es pot deformar contínuament f en g; és a dir, si existeix una família contínua 

d’aplicacions contínues ft : X −→ Y , t ∈ [0,1], tal que f0 = f i f1 = g. 

Per tal de precisar la continuïtat respecte del paràmetre t, és a dir, què volem dir amb “família 

contínua”, considerem l’aplicació de l’espai producte X × I en Y, F : X × I −→ Y definida per 

F(x,t) = ft(x).

170 Capítol 7. Topologia del pla 

Quan diem que {ft} és una família contínua, volem dir que F és una aplicació contínua. 

X 

f 

g 

❘ 

✒ 

f(X) 

ft(X) 

g(X) 

7.1.1 Definició Dues aplicacions contínues f,g : X −→ Y són homòtopes (o f és homòtopa a 

g) si existeix una aplicació contínua 

tal que 

F : X × I −→ Y 

(x,t) ↦−→ F(x,t) 

F(x,0) = f(x) i F(x,1) = g(x), 

per a tot x ∈ X. L’aplicació F s’anomena una homotopia de f a g. Escrivim f ≃ g, o bé 

F : f ≃ g, per indicar que f és homòtopa a g. 

Observem que la definició inclou la idea inicial: si t ∈ I, l’aplicació ft : X −→ Y definida per 

ft(x) = F(x,t) és contínua, ja que és la composició de les aplicacions contínues 

X ֒→ X × I −→ Y 

x ↦−→ (x,t) ↦−→ F(x,t) 

7.1.2 Exemples (1) Considerem les aplicacions f,g : S 1 −→ R 2 definides per 

f(x,y) = (x,y), 

g(x,y) = (2x,2y), 

les imatges de les quals són les circumferències de radis 1 i 2, respectivament, centrades a l’origen 

de R 2 . 

❥ 

✲ 

✯ 

❯ ☛ 

❄ 

✕ 

✻ 

❑ 

✰ 

✛ 

❨ 

Y

7.1. Homotopia d’aplicacions contínues 171 

Els segments dels radis entre aquestes dues circumferències permeten deformar una en l’altra 

i deduir que f i g són homòtopes. En efecte, l’aplicació F : S 1 × I −→ R 2 definida per 

F(x,y,t) = ((t + 1)x,(t + 1)y), és contínua i satisfà 

F(x,y,0) = (x,y) = f(x,y), F(x,y,1) = (2x,2y) = g(x,y), 

és a dir, F és una homotopia de f a g. 

Observem que no podríem utilitzar aquesta homotopia F si consideréssim les aplicacions f,g 

a valors en R 2 \ {(3/2,0)}, ja que F(x,y,t) no estaria definida en el punt (1,0,1/2). De fet, 

f,g : S 1 −→ R 2 \ {(3/2,0)} no són homòtopes, com veurem més endavant. 

(2) Podem generalitzar l’exemple anterior de la forma següent: sigui Y un subespai de R n i 

f,g : X −→ Y dues aplicacions contínues tals que, per a tot x ∈ X, f(x) i g(x) es poden unir 

per un segment rectilini tot ell contingut en Y . Aleshores, f ≃ g. 

En efecte, podem prendre com a homotopia l’aplicació 

F : X × I −→ Y 

(x,t) ↦−→ F(x,t) = (1 − t)f(x) + tg(x) 

∞ 

g 

X 

f 

❘ 

(1 − t)f(x) + tg(x) 

f(x) 

Y 

☛ ❲ ❲ 

✲ 

✎ 

✲ 

g(x) 

❄ 

❲ 

f(X) 

■ 

R n 

g(X) 

que anomenem homotopia lineal o de la línia recta. Certament, es tracta d’una aplicació de 

X × I en Y , és a dir, F(X × I) ⊆ Y , ja que, per hipòtesi, el segment [f(x),g(x)] = {(1 − 

t)f(x) + tg(x), t ∈ I, x ∈ X} està inclòs en Y , per a tot x ∈ X. A més, F(x,0) = f(x) i 

F(x,1) = g(x), per a tot x ∈ X. Finalment, la continuïtat de F se segueix del fet que és suma 

i producte d’aplicacions contínues. 

En particular, si Y ⊆ R n és un conjunt convex (és a dir, un subconjunt de Y ⊆ R n tal que, 

donats dos punts qualssevol x,y ∈ U el segment [x,y] = {tx+(1 −t)y | t ∈ I} està tot ell inclòs


en Y ), llavors qualsevol parell d’aplicacions contínues f,g : X −→ Y són homòtopes. Això 

s’aplica, per exemple, quan Y és tot l’espai R n , una bola Br(x) o un producte d’intervals, I n . 

L’homotopia lineal es pot aplicar també a espais que no són convexos: siguin C ⊆ R 3 el 

cilindre definit per l’equació x 2 + y 2 = 1 i ω,σ : S 1 −→ C les aplicacions induïdes pels camins 

ω,σ : I −→ S 1 × R definits per 

ω(s) = (cos(2πs),sin(2πs),0), 

σ(s) = (cos(2πs),sin(2πs),(1 − s)s). 

(Estem identificant S 1 amb el quocient I/{0 ∼ 1}.) Atès que, per a cada s ∈ I, la generatriu 

del cilindre uneix els punts ω(s) i σ(s), l’homotopia de la línia recta estableix una homotopia 

entre f i g. 

(3) Siguin Y un espai arc-connex i f,g : X −→ Y dues aplicacions constants. Aleshores, f ≃ g. 

En efecte, siguin y0 = f(X) i y1 = g(Y ). Com que Y és arc-connex, existeix un camí σ : I −→ Y 

tal que σ(0) = y0 i σ(1) = y1. Així, l’aplicació F : X ×I −→ Y definida per F(x,t) = σ(t), que 

és contínua, és una homotopia de f a g. 

(4) Sigui ω : I −→ X una aplicació contínua, és a dir, un camí de X. Aleshores, ω és homòtop 

al camí constant ω0(t) = ω(0). En efecte, l’equació 

F(t,s) = ω(ts) 

defineix una homotopia entre F0 = ω0 i F1 = ω. 

El darrer exemple mostra que totes les aplicacions I −→ X són homòtopes. En diferents 

contextos, i especialment al proper capítol, és interessant disposar d’una variant de l’homotopia 

d’aplicacions contínues, coneguda com a homotopia relativa a un subconjunt, que permet 

distingir homotòpicament aplicacions I −→ X. 

7.1.3 Definició Es diu que dues aplicacions f,g : X −→ Y són homòtopes relativament al 

subespai A ⊆ X si existeix una aplicació contínua F : X × I −→ Y que és una homotopia de 

f a g i que deixa fixos els punts de A. 

És a dir, a més de satisfer que F(x,0) = f(x) i que F(x,1) = g(x), F satisfà que 

F(a,t) = f(a) = g(a), 

per a tot a ∈ A i tot t ∈ I. Si F és una homotopia relativa a A entre f i g, escrivim 

F : f ≃ g (rel A). 

Als paràgrafs següents ens limitarem a enunciar i provar els resultats per la relació d’homotopia 

entre aplicacions contínues, i deixem el cas relatiu a un subespai A per als problemes. 

Donats dos espais topològics X,Y , sigui C(X,Y ) el conjunt d’aplicacions contínues de X a Y . 

L’homotopia d’aplicacions defineix una relació d’equivalència en aquest conjunt: 

7.1.4 Proposició La relació “ser homòtopes” és una relació d’equivalència en el conjunt de les 

aplicacions contínues de X a Y .

7.1. Homotopia d’aplicacions contínues 173 

Demostració. Comprovem que ≃ satisfà les propietats d’una relació d’equivalència. És reflexiva, 

f ≃ f, ja que F(x,t) = f(x) és una homotopia de f a f. 

És simètrica: si f ≃ g, llavors g ≃ f. En efecte, si F és una homotopia de f a g, l’aplicació 

G : X × I −→ I definida per G(x,t) = F(x,1 − t) és una homotopia de g a f, ja que per a tot 

x ∈ X es té que G(x,0) = F(x,1) = g(x) i G(x,1) = F(x,0) = f(x). 

La relació és transitiva: si f ≃ g i g ≃ h, llavors f ≃ h. Siguin F,G : X × I −→ Y les 

homotopies de f a g i de g a h, respectivament. Definim H : X × I −→ Y de la forma següent: 

 

1 

F(x,2t), t ∈ 0, 

H(x,t) = 

2 , 

G(x,2t − 1), t ∈ 1 

2 ,1 . 

Comprovem que H defineix una homotopia entre f i h: en efecte, H és contínua ja que està 

definida a partir de dues aplicacions contínues en dos subespais tancats de X × I, X × [0,1/2] 

i X × [1/2,1], que coincideixen en la intersecció, X × 

1 

2 , per la qual cosa s’aplica el lema de 

l’enganxament. 

A més, es té que 

1 

I 

0 

G 

F 

X 

✛ 

x × 

1 

2 

H(x,0) = F(x,0) = f(x), 

H(x,1) = G(x,1) = h(x), 

per a tot x ∈ X i, per tant, H és una homotopia de f a g. 

Així, ≃ indueix una partició de C(X,Y ) en classes d’equivalència d’aplicacions contínues. 

7.1.5 Definició La classe d’homotopia d’una aplicació f : X −→ Y és el conjunt de totes les 

aplicacions homòtopes a f: 

[f] = {g : X −→ Y | f ≃ g}. 

El conjunt de les classes d’homotopia d’aplicacions de X a Y el notem [X,Y ]: 

[X,Y ] = C(X,Y )/ ≃ = {[f] | f : X −→ Y contínua}. 

7.1.6 Exemple Si Y ⊆ R n és un conjunt convex, tota aplicació f : X −→ Y és homòtopa a 

constant i, per tant, [X,Y ] es redueix a una sola classe d’equivalència.


La composició d’aplicacions contínues és de nou una aplicació contínua. Així, si X,Y i Z són 

espais topològics, la composició defineix una aplicació 

C(X,Y ) × C(Y,Z) −→ C(X,Z) 

(f,g) ↦−→ g ◦ f 

Com a conseqüència de la proposició següent, provarem que l’equivalència homotòpica entre 

aplicacions contínues respecta la composició d’aplicacions, de manera que l’aplicació de composició 

defineix una aplicació 

◦ : [X,Y ] × [Y,Z] −→ [X,Z]. 

7.1.7 Proposició Siguin f,g : X −→ Y dues aplicacions homòtopes. Si ψ : W −→ X i 

ϕ : Y −→ Z són aplicacions contínues, aleshores es té que ϕ ◦ f ≃ ϕ ◦ g i f ◦ ψ ≃ g ◦ ψ. 

Demostració. Sigui F : X × I −→ Y una homotopia de f a g. Llavors, ϕ ◦ F : X × I −→ Z, 

que és contínua per ser composició de dues aplicacions contínues, és una homotopia de ϕ ◦ f en 

ϕ ◦ g ja que es té que 

(ϕ ◦ F)(x,0) = ϕ(F(x,0)) = ϕ(f(x)) = (ϕ ◦ f)(x), 

(ϕ ◦ F)(x,1) = ϕ(F(x,1)) = ϕ(g(x)) = (ϕ ◦ g)(x). 

Així mateix, F ◦ (ψ × id ) : W × I −→ Y és una homotopia de f ◦ ψ en g ◦ ψ: 

(F ◦ (ψ × id ))(ω,0) = F(ψ(ω),0) = f(ψ(ω)) = (f ◦ ψ)(ω), 

(F ◦ (ψ × id ))(ω,1) = F(ψ(ω),1) = g(ψ(ω)) = (g ◦ ψ)(ω). 

7.1.8 Corol·lari Siguin f0,f1 : X −→ Y i g0,g1 : Y −→ Z aplicacions contínues. Si f0 ≃ f1 i 

g0 ≃ g1, llavors g0 ◦ f0 ≃ g1 ◦ f1. 

Demostració. Si apliquem la proposició anterior component per l’esquerra amb g0, trobem que 

f0 ≃ f1 =⇒ g0 ◦ f0 ≃ g0 ◦ f1. 

Anàlogament, component per la dreta amb f1, trobem que 

g0 ≃ g1 =⇒ g0 ◦ f1 ≃ g1 ◦ f1. 

Així, per la transitivitat de la relació d’homotopia, deduïm que g0 ◦ f0 ≃ g1 ◦ f1. 

7.2 Homotopia d’aplicacions de S 1 en S 1 

En aquesta secció, estudiem el conjunt [S 1 , S 1 ] de classes d’homotopia d’aplicacions de la circumferència 

S 1 en ella mateixa. Més concretament, establim que dues d’aquestes aplicacions

7.2. Homotopia d’aplicacions de S 1 en S 1 

són homòtopes si i només si fan el mateix “nombre de voltes”. Per fer-ho, hem de determinar 

què volem dir amb el “nombre de voltes” d’una aplicació f : S 1 −→ S 1 , cosa que anomenem el 

grau de f. 

En la presentació que segueix ens serà còmode identificar la circumferència amb el quocient de 

l’interval unitat que resulta d’identificar els dos extrems. Així, donar una aplicació contínua f : 

S 1 −→ S 1 és equivalent a donar una aplicació contínua f : I −→ S 1 tal que f(0) = f(1). Resulta 

convenient també identificar el pla R 2 amb el pla complex C, de manera que la circumferència 

S 1 esdevé el subconjunt de C format pels complexos de mòdul 1, cosa que simplifica algunes 

notacions. 

Comencem per un exemple que il·lustra el tipus de raonaments que farem en general. Considerem 

el camí σ : I −→ S 1 definit per 

⎧ 

⎨ (cos(4πs),sin(4πs)), 0 ≤ s ≤ 

σ(s) = 

⎩ 

1 

2 , 

1 3 

(cos(4π(2s − 1)),sin(4π(2s − 1)), 2 ≤ s ≤ 4 , 

(cos(8π(1 − s)),sin(8π(1 − s)), ≤ s ≤ 1. 

Geomètricament, aquesta aplicació enrotlla tres vegades l’interval unitat en la circumferència, 

dues en sentit antihorari i una en sentit horari, és a dir, fa una volta “neta” a la circumferència. 

Veiem que σ és homòtopa a la identitat, que només fa una volta: basta definir l’homotopia 

⎧ 

⎨ (cos( 

F(s,t) = 

⎩ 

4πs 4πs 

t+1 

t+1 ),sin( t+1 )), 0 ≤ s ≤ 2 , 

t+1 t+3 

(cos(4π(2s − 1 − t)),sin(4π(2s − 1 − t))), 2 ≤ s ≤ 4 , 

(cos(8π(1 − s)),sin(8π(1 − s))), 

≤ s ≤ 1,. 

D’altra banda, resseguint la variació de l’angle al llarg de la variable s, veiem que la funció 

angle pren valors entre 0 i 4π, i defineix una aplicació contínua σ : I −→ R. 

3 

4 

t+3 

4 

175


2π 

π 

1/2 3/4 1 

En general, donada una aplicació contínua σ : I −→ S 1 , amb σ(0) = σ(1), volem definir una 

funció “angle”, contínua, θ : I −→ R de forma que θ(1) −θ(0) ens doni el nombre de voltes que 

fa σ al voltant de la circumferència. 

A aquest efecte, considerem l’aplicació exponencial exp : R −→ S 1 definida per 

exp(s) = e 2πis = cos(2πs) + isin(2πs). 

Observem que, donada una aplicació contínua f : I −→ S 1 , amb f(0) = f(1), una funció angle 

per a f és una funció θ : I −→ R tal que 

exp θ(s) = f(s). 

Per provar l’existència de funcions angle associades a aplicacions contínues, és convenient 

conèixer algunes propietats bàsiques de l’aplicació exponencial, que resumim en el resultat 

següent. 

7.2.1 Lema L’aplicació exponencial satisfà: 

(i) La restrició exp :]0,1[−→ S 1 \ {1} és un homeomorfisme. 

(ii) Sigui V ⊆ S1 \ {1} un obert; aleshores, 

exp −1 (V ) = 

(]0,1[∩exp −1 (V )) + n, 

i, per a cada n ∈ Z, l’aplicació exponencial indueix un homeomorfisme 

n∈Z 

exp :]0,1[ ∩ exp −1 (V ) + n ∼ = V. 

Demostració. i) L’aplicació exponencial és oberta, ja que S 1 és l’espai d’òrbites corresponent a 

l’acció de Z per translació, 3.7.5, d’on es dedueix immediatament l’asserció. 

ii) És suficient considerar el cas en què V = S1 \ {1}, en el qual l’afirmació (ii) és immediata, 

ja que 

exp −1 (S 1 \ {1}) = 

]n,n + 1[, 

n∈Z 

i les restriccions en = exp :]n,n + 1[−→ V són homeomorfismes.


Amb aquests preliminars, podem provar l’existència de la funció angle associada a una aplicació 

f : I −→ S 1 . 

x 

f 

✼ 

y 

✲ 

S 1 S 1 

f 

1/2 

−1/2 

x 

R 

exp 

❄ 

−1 1 

7.2.2 Lema de l’aixecament Sigui f : I −→ S 1 una aplicació contínua. 

(i) Existència de l’aixecament: existeix una aplicació contínua f : I −→ R tal que exp ◦f = f. 

Es diu que f és un aixecament de f. 

(ii) Unicitat de l’aixecament: si f : I −→ R és un altre aixecament de f, llavors f i f 

difereixen en un enter; és a dir, existeix un n ∈ Z tal que f(x) = f(x) + n, per a tot 

x ∈ X. Així, si fixem x0 ∈ R tal que exp x0 = f(0), hi ha un únic aixecament f que 

satisfà que f(0) = x0. 

Demostració. La idea de la demostració és la següent: prenem un x0 qualsevol tal que expx0 = 

f(0), és a dir, determinem un angle inicial per a f(0). El punt f(0) té un petit entorn V que 

és homeomorf, mitjançant l’aplicació exponencial, a un entorn V ′ de x0, 7.2.1; així, si t1 és tal 

que f([0,t1]) ⊆ V , podem definir f en aquest interval per 

f(t) = exp −1 (f(t)), 0 ≤ t ≤ t1. 

Tot seguit iterem el raonament partint de f(t1) i “l’angle” f(t1), amb la qual cosa estenem f 

a un interval [t1,t2], etc. 

Hem d’assegurar-nos que mitjançant aquest procés arribem a l’extrem final del camí, t = 1. En 

efecte, siguin U,V els oberts S 1 \ {1} i S 1 \ {−1}, respectivament. Els conjunts oberts f −1 (U) i 

1 

0 

−1 

y 

177


f −1 (V ) formen un recobriment obert de l’interval I i, per tant, existeix un nombre de Lebesgue 

associat, és a dir, hi ha un δ > 0 tal que tot subinterval de I de longitud δ s’aplica en U o en 

V . Així, si 

0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = 1, 

és una partició de l’interval unitat tal que ti+1−ti < δ; aleshores, f([ti,ti+1]) està completament 

inclòs a U o a V . Comencem ara definint f sobre l’interval [0,t1] tal com hem indicat abans. 

Inductivament, suposem que l’aplicació f està definida en l’interval [0,tk] i estenem-la a una 

funció en l’interval [0,tk+1]: per construcció, f([tk,tk+1]) està inclòs en un dels dos oberts U,V . 

Suposem, per exemple, que f([tk,tk+1]) ⊆ U, amb la qual cosa hi ha un n tal que n < f(tk) < 

n + 1, 7.2.1. La restricció en de l’exponencial a l’interval ]n,n + 1[ és un homeomorfisme; així, 

podem definir l’aplicació f k+1 : [0,tk+1] −→ U per 

que és contínua pel lema de l’enganxament. 

 

fk(t), si 0 ≤ t ≤ tk, 

fk+1(t) = 

e −1 

n f(t), si tk ≤ t ≤ tk+1, 

Observem que, tal com hem definit f, només en l’instant inicial, quan escollim x0 tal que 

expx0 = f(0), hi ha possibilitat d’elecció, ja que un cop fixat aquest valor els aixecaments en 

els intervals [tk,tk+1] estan determinats unívocament. Aquesta elecció està determinada, llevat 

d’un nombre enter, 7.2.1, d’on se segueix (ii). 

No solament existeixen aixecaments de camins per l’aplicació exponencial, sinó que també hi 

ha aixecaments d’homotopies, com mostrem tot seguit. 

7.2.3 Lema de l’aixecament d’homotopies Sigui f : I 2 −→ S 1 una aplicació contínua. 

(i) Existència de l’aixecament: existeix una aplicació contínua f : I 2 −→ R tal que exp ◦f = 

f. Es diu que f és un aixecament de f. 

(ii) Unicitat de l’aixecament: si f : I 2 −→ R és un altre aixecament de f, llavors f i f 

difereixen en un enter; és a dir, existeix un n ∈ Z tal que f(x) = f(x) + n, per a tot 

x ∈ X. Així, si fixem x0 ∈ R tal que exp x0 = f(0), hi ha un únic aixecament f que 

satisfà que f(0) = x0. 

Demostració. La demostració és completament anàloga a la del lema de l’aixecament 7.2.2. 

En aquest cas, s’ha de subdividir el quadrat I 2 en quadrats de diàmetre menor al nombre de 

Lebesgue δ corresponent. Aleshores, comencem definint f sobre el quadrat [0,t1] × [0,t1] i, a 

continuació, sobre el quadrat a la seva dreta. Iterem el procés fins a arribar a [tm−1,1] × [0,t1]. 

Després passem a la segona fila, descrivint els quadrats corresponents d’esquerra a dreta, i així 

successivament, fins a definir f sobre tot I 2 . 

Estem en condicions d’estudiar les classes d’homotopia d’aplicacions de S 1 en S 1 . Sigui f :


S 1 −→ S 1 una aplicació contínua; considerem el diagrama 

✯ 

R 

I S1 S1 f 

exp 

e ✲ 

❄ 

f 

✲ 

en el qual e és la restricció de l’aplicació exponencial a l’interval I. Pel lema anterior, existeix 

un aixecament de f ◦ e, que denotem per f. Com que exp(0) = exp(1), tenim que 

exp(f(1)) = f(exp(1)) = f(exp(0)) = exp(f(0)), 

i, per tant, g(1)−g(0) és un enter. A més, si f : I −→ R és un altre aixecament de f ◦e, pel lema 

de l’aixecament f s’obté de f per translació, és a dir, hi ha un enter n tal que f(t) = f(t) + n 

i, en conseqüència, 

f(1) − g (0) = f(1) + n − (f(0) + n) = f(1) − f(0), 

d’on se segueix que l’enter f(1)−f(0) és independent de l’elecció de l’aixecament. Aquest enter 

és el que imprecisament hem anomenat “nombre de voltes”: 

7.2.4 Definició Siguin f : S 1 −→ S 1 una aplicació contínua i f : I −→ R un aixecament de 

f ◦ exp |I. Anomenem grau de f l’enter 

gr(f) = f(1) − f(0). 

Com hem assenyalat en els comentaris previs, el grau està ben definit, és a dir, és independent 

de l’aixecament f escollit. 

7.2.5 Exemples (1) Sigui f : S1 −→ S1 una aplicació contínua que no és exhaustiva, per 

exemple, una aplicació constant. Si z0 ∈ f(S1 ) i x0 ∈ R és tal que exp(x0) = z0, aleshores 

exp −1 (S1 \ {z0} = 

]x0,x0 + 1[ + n, 

n∈Z 

i l’aplicació exponencial indueix un homeomorfisme de ]x0,x0 +1[ en S 1 \{z0}. Invertint aquest 

homeomorfisme, s’obté un aixecament 

i, per tant, el grau de f és zero. 

f : I −→]x0,x0 + 1[⊆ R 

(2) Sigui f : S 1 −→ S 1 l’aplicació identitat, f(z) = z. Llavors, l’aplicació f : I −→ R definida 

per f(t) = t és un aixecament de (f ◦ exp |I)(t) = exp(t). Per tant, gr (f) = f(1) − f(0) = 

1 − 0 = 1. 

(3) Sigui f : S 1 −→ S 1 la potència n-èsima, f(z) = z n . Un aixecament de (f ◦ exp |I)(t) = 

exp(t) n = exp(n · t) és f(t) = n · t. Per tant, gr (f) = f(1) − f(0) = n − 0 = n. 

179


Abans d’enunciar el resultat principal d’aquest capítol, observem que, amb la multiplicació 

usual, els nombres complexos de mòdul 1, que identifiquem amb la circumferència S 1 , formen 

un grup, per la qual cosa el conjunt C(S 1 , S 1 ) és un grup amb el producte definit per (f ·g)(z) = 

f(z)g(z). Aquesta operació s’estén al conjunt de classes d’homotopia: 

7.2.6 Lema Donades aplicacions contínues f,f ′ ,g,g ′ : S 1 −→ S 1 , amb f ≃ f ′ i g ≃ g ′ , 

aleshores f · g ≃ f ′ · g ′ . 

Demostració. És immediat comprovar que les aplicacions 

f × g,f ′ × g ′ : S 1 × S 1 −→ S 1 × S 1 

són homòtopes. Així, si m : S 1 × S 1 −→ S 1 denota el producte, de 7.1.7 en resulta l’homotopia 

f · g = m ◦ (f × g) ≃ m ◦ (f ′ × g ′ ) = f ′ · g ′ . 

7.2.7 Teorema L’aplicació grau indueix un isomorfisme de grups 

gr : [S 1 , S 1 ] −→ Z. 

Demostració. El grau d’una aplicació de S1 en S1 defineix una aplicació C(S1 , S1 )−→Z. Comencem 

veient que aquesta aplicació passa al quocient [S1 , S1 ] = C(S1 , S1 )/≃. És a dir, que si 

f i f ′ són dues aplicacions homòtopes, aleshores, gr (f) = gr (f ′ ). 

Sigui F : S 1 × I −→ S 1 una homotopia de f a f ′ , i considerem el diagrama sòlid 

G 

✯ 

R 

I × I S1 × I S1 e×id ✲ ✲ F 

Pel lema de l’aixecament d’homotopies, existeix una aplicació G com la puntejada, que és un 

aixecament de F ◦ (e × id ). Llavors, g(x) = G(s,0) és un aixecament de f ◦ e, ja que es té que 

Per tant, 

exp 

(exp ◦G)(s,0) = (F ◦ (e × id ))(s,0) = F(z,0) = f(z). 

❄ 

gr (f) = g(1) − g(0) = G(1,0) − G(0,0). 

Anàlogament, g ′ (s) = G(s,1) és un aixecament de f ′ ◦ e i, per tant, 

Ara bé, l’aplicació d : I −→ R, definida per 

gr (f ′ ) = G(1,1) − G(0,1). 

d(t) = G(1,t) − G(0,t),

7.3. Índex d’una corba tancada 181 

pren valors enters, ja que 

exp(d(t)) = exp(G(1,t)) F(exp(1),t) F(1,t) 

= = = 1 

exp(G(0,t)) F(exp(0),t) F(0,t) 

i, com que és contínua i I és connex, d és constant. En definitiva, 

gr (f) = d(0) = d(1) = gr (f ′ ). 

Així, la definició de grau d’una aplicació s’estén a una aplicació 

gr : [S 1 , S 1 ] −→ Z. 

Provem que és un morfisme de grups: com que l’exponencial és un morfisme de grups, si g i 

g ′ són aixecaments de f i f ′ , respectivament, aleshores g + g ′ és un aixecament de f · f ′ i, per 

tant, 

gr (f · f ′ ) = (g + g ′ )(1) − (g + g ′ )(0) = (g(1) − g(0)) + (g ′ (1) − g ′ (0)) = gr f + gr f ′ . 

L’exhaustivitat del morfisme grau és immediata ja que, donat n ∈ Z, basta prendre l’aplicació 

f(z) = z n , que, com hem vist a 7.2.5(3), té grau n. 

Finalment, provem que el morfisme grau és injectiu, és a dir, que si gr ([f]) = 0, aleshores f 

és homòtopa a una aplicació constant. Com que el grau de f és zero, hi ha un aixecament 

g : I −→ R de f ◦ e tal que g(1) = g(0). Però llavors podem passar al quocient i definir una 

aplicació contínua g : S 1 = I/{0,1} −→ R tal que exp ◦g = f. 

R 

✯ 

✒ 

I S1 S1 g 

exp 

e ✲ 

g 

❄ 

f 

✲ 

Com que R és convex, g és homòtopa a l’aplicació constant amb valor 0 i, per tant, f = exp ◦g 

és homòtopa a l’aplicació constant exp(0) = 1. És a dir, [f] = 0. 

Als apartats següents donarem diverses conseqüències d’aquest resultat. 

7.3 Índex d’una corba tancada 

Una corba plana és una aplicació contínua f : I −→ R 2 . Diem que la corba és una corba 

tancada si f(0) = f(1). En aquest cas, si considerem l’aplicació quocient e : I −→ S 1 que 

identifica els extrems de I, en resulta una aplicació contínua, que continuem notant f, 

f : S 1 −→ R 2 . 

Recíprocament, una aplicació contínua S1 −→ R2 indueix una corba tancada considerant la 

composició I −→ S1 −→ R2 . És per això que usem com a sinònim de corba tancada tant les


aplicacions contínues f de I en R 2 , amb f(0) = f(1), com les aplicacions contínues de S 1 en 

R 2 . 

Denotem per N : R 2 − {0} −→ S 1 l’aplicació contínua definida per 

N(z) = z 

z . 

Si p ∈ R 2 , notem Np la composició de N i el desplaçament definit pel punt p: 

Np(z) = N(z − p) = 

z − p 

z − p , 

que defineix una aplicació de R 2 − {p} en S 1 que retrau radialment R 2 − {p} sobre la circumferència. 

Siguin f : S 1 −→ R 2 una corba tancada i p un punt del pla que no és de la corba, p ∈ f(S 1 ). 

La composició Np ◦ f defineix una aplicació contínua Np ◦ f : S 1 −→ S 1 . 

7.3.1 Definició Es defineix l’índex de f respecte de p segons 

µ(f,p) := gr (Np ◦ f). 

7.3.2 Observació L’índex µ(f,p) calcula el nombre de voltes que f fa al voltant de p. En efecte, 

recordem que el grau de Np ◦ f es calcula com g(1) − g(0), on g és un aixecament respecte de 

l’aplicació exponencial, exp ◦g = Np ◦ f. Com que l’aplicació Np és radial, no modifica els 

angles comptats amb origen p sobre la semirecta pf(0) i, per tant, g és una funció angular de 

f(exp(t)), és a dir, g(1) − g(0) és el nombre de voltes de f al voltant de p. 

7.3.3 Exemples (1) Si f : S 1 −→ R 2 és una corba tancada amb imatge sobre la circumferència, 

aleshores µ(f,0) = gr (f). En particular, µ(z n ,0) = n. 

(2) Considerem ara la mateixa corba de l’exemple anterior, z n , prenent però un punt extern al 

cercle unitat de R 2 , per exemple p = 2. Aleshores, µ(f,2) = 0, ja que l’aplicació 

N2(f(z)) = zn − 2 

z n − 2 

és homòtopa a una aplicació constant segons l’homotopia contínua 

H(z,t) = tzn − 2 

tz n − 2 . 

De fet, la composició N2 ◦ f no és exhaustiva sobre la circumferència que envolta el 2, i, per 

tant, no completa cap volta. 

7.3.4 Observacions (1) L’exemple 7.1.2(1) mostra que l’índex depèn de l’orientació de la corba, 

ja que f(z) = z o g(z) = z −1 tenen la mateixa imatge, la circumferència unitat, però recorreguda 

en sentits oposats, i mentre que µ(f,0) = 1, es té que µ(g,0) = −1.

7.3. Índex d’una corba tancada 183 

(2) Si γ : I −→ R2 \ {p} és una corba tancada que és C1 (és a dir, tal que les seves funcions 

coordenades són derivables amb continuïtat), aleshores la variació de l’angle es pot calcular 

integrant la forma diferencial dθ al llarg de γ. Així, si p = 0, es té que 

(Veieu, per exemple, [Sp].) 

µ(γ,0) = 1 

2π 

1 

0 

−y dx + x dy 

x 2 + y 2 . 

En molts casos, es pot utilitzar un mètode senzill per calcular l’índex d’una corba tancada 

respecte d’un punt: sigui f : I −→ R 2 una corba tancada i suposem que existeix una semirecta 

ℓ d’origen p que talla f(I) en un nombre finit de punts, que corresponen als valors t1,...,tn de 

I. Sense pèrdua de generalitat, podem suposar que ti = 0,1, 1 ≤ i ≤ n. 

❫ 

❯ 

■ 

✠ 

■ 

p 

✒ 

■ 

✙ 

✻ 

Sigui g : I −→ R un aixecament de Np ◦ f respecte de l’aplicació exponencial. Denotem per 

h(t) = [g(t)] la part entera de g(t), i suposem que hem escollit g de forma que els angles es 

mesuren des del semiradi ℓ. Així, en els punts de tall de ℓ amb la corba es té que 

❥ 

✒ 

✾ 

■ 

h(ti) = [g(ti)] = g(ti), i = 1,...,n. 

Com que la corba és tancada, f(0) = f(1), es té que 

i, per tant, 

g(1) − [g(1)] = g(0) − [g(0)] 

g(1) − g(0) = [g(1)] − [g(0)] 

= h(1) − h(0), 

és a dir, que podem calcular l’índex a partir de la funció h, 

µ(f,p) = h(1) − h(0). 

La funció h pren valors enters, h : I −→ Z. Analitzem tot seguit com canvia h(t) en els punts 

ti, i = 1,...,n, estudiant la variació g(t) − g(ti). Primer de tot observem que, per continuïtat, 

hi ha un ε > 0 tal que 

|t − ti| < ε =⇒ f(t) ∈ ℓ, i = 1,...,n, 

ℓ


i, en particular, 

g(t) = g(ti), , i = 1,...,n, 

per a aquests punts. Mantenint-nos en l’interval |t − ti| < ε, podem distingir quatre casos: 

1. g(t) < g(ti) 

2. g(t) > g(ti) 

3. g(t) < g(ti) si t < ti 

g(t) > g(ti) si t > ti 

4. g(t) > g(ti) si t < ti 

g(t) < g(ti) si t > ti 

× 

p 

× 

p 

× 

p 

× 

p 

✒ 

✯ 

❥ 

f(ti) 

f(ti) 

✒ 

En els dos primers casos, la corba queda, prop de f(ti), a un costat de ℓ, mentre que en els 

altres dos casos podem dir que f travessa ℓ. En el cas 3, diem que f travessa positivament 

ℓ en ti, i en el 4 diem que ho fa negativament. Com que només quan travessem els punts ti, 

1 ≤ i ≤ n hi ha canvi de determinació de l’angle, es té: 

7.3.5 Proposició Amb les notacions anteriors, sigui P el nombre de talls positius de f(I) amb 

ℓ i N el de negatius; llavors, 

Per exemple, a la corba de la figura 

✯ 

❥ 

µ(f,p) = P − N. 

✾ 

☛ 

☛ 

✕ ☛ 

✕ ☛ 

✕ ☛ 

✕ ✕ 

ℓ 

ℓ 

ℓ 

ℓ

7.4. Alguns teoremes clàssics 185 

trobem que 

µ(f,p) = 3 − 3 = 0. 

7.3.6 Teorema d’invariància de l’índex per homotopies Siguin f,g : S 1 −→ R 2 dues corbes 

tancades i p ∈ R 2 − f(S 1 ) ∪ g(S 1 ). Aleshores, 

µ(f,p) = µ(g,p) ⇐⇒ f ≃ g : S 1 −→ R 2 − {p}. 

Demostració. Si f,g : S 1 −→ R 2 − {p} són aplicacions homòtopes, aleshores 

i, per tant, tenen el mateix grau. 

Np ◦ f ≃ Np ◦ g 

Recíprocament, suposem que f i g tenen el mateix índex respecte de p. Per 7.2.7, es té que 

Np ◦ f ≃ Np ◦ g. 

Volem ara “simplificar” Np per obtenir f ≃ g, i això ho podem fer perquè Np és una retracció 

de R 2 − {p} sobre S 1 que té per inversa homotòpica la inclusió 

ιp : S 1 −→ R 2 − {p} 

z ↦−→ p + z . 

En efecte, ip ◦ Np ≃ id R 2 −{p}, ja que es té l’homotopia 

H : (R 2 − {p}) × I −→ R 2 − {p} 

(z,t) ↦−→ tz + (1 − t) 

Així, de Np ◦ f ≃ Np ◦ g, component amb ιp s’obté que 

com volíem demostrar. 

f ≃ ιp ◦ Np ◦ f ≃ ιp ◦ Np ◦ g ≃ g, 

 

z − p 

p + . 

z − p 

7.3.7 Corol·lari Siguin f : S 1 −→ R 2 una corba tancada i p ∈ f(S 1 ). Aleshores, µ(f,p) = 0 si i 

només si f : S 1 −→ R 2 − {p} és homòtopa a una aplicació constant. 

7.4 Alguns teoremes clàssics 

Com a conseqüència de la invariància de l’índex, deduïm alguns teoremes clàssics de la topologia 

del pla, entre els quals destaquem el teorema de Bolzano, que és un teorema d’existència de 

solucions d’una equació, del qual nalitzarem diverses aplicacions als apartats següents. 

7.4.1 Teorema de Poincaré-Bohl Siguin f,g : S 1 −→ R 2 − {p} dues corbes tancades tals que, 

per a qualsevol z ∈ S 1 , el punt p no és del segment determinat per f(z) i g(z). Aleshores, 

µ(f,p) = µ(g,p).


Demostració. És suficient provar que f ≃ g : S1 −→ R 2 \ {p}, però això se segueix immediatament 

de la hipòtesi realitzada, ja que l’aplicació H : S 1 × I −→ R 2 \ {p} definida per 

realitza l’homotopia de f i g en R 2 − {p}. 

H(z,t) = (1 − t)f(z) + tg(z) 

7.4.2 Teorema de Rouché Siguin f,g : S 1 −→ R 2 − {p} dues corbes tancades tals que, per a 

tot z ∈ S 1 , es té que 

d(f(t),g(z)) < d(p,f(z)). 

Aleshores, 

µ(f,p) = µ(g,p). 

Demostració. Per hipòtesi, p no és del segment determinat per f(z) i g(z), i així, el resultat se 

segueix del teorema de Poincaré-Bohl. 

Del teorema de Ronché deduïm en el següent reultat la “continuïtat” de l’índex µ(f,p) respecte 

de la “variable” f, en el sentit que petites pertorbacions de la corba f no fan variar l’índex 

respecte del punt p. Provem també la continuïtat de l’índex respecte del punt p. 

7.4.3 Teorema d’estabilitat de l’índex Sigui f : S 1 −→ R 2 − {p} una corba tancada. 

(a) Si q ∈ f(S 1 ) és del mateix component arc-connex de R 2 \ f(S 1 ) que p, aleshores 

µ(f,p) = µ(f,q). 

(b) Existeix un ε > 0 tal que per a tota corba tancada g : S 1 −→ R 2 − {p} amb 

es té que 

sup 

z∈S1 d(f(z),g(z)) < ε, 

µ(f,p) = µ(g,p). 

Demostració. (a) És suficient provar que Np ◦ f ≃ Nq ◦ f. Com que p i q són del mateix 

component arc-connex, existeix un camí p : I −→ R2 \f(S1 ) amb γ(0) = p, γ(1) = q. L’aplicació 

contínua 

H : S1 × I −→ S1 (z,t) ↦−→ 

f(z) − γ(t) 

Nγ(t) ◦ f(z) = 

f(z) − γ(t) 

defineix aleshores una homotopia entre H0 = Np ◦ f i H1 = Nq ◦ f. 

(b) Considerem la funció ϕ : S 1 −→ R, definida per 

ϕ(z) = d(p,f(z)), 

que és una funció contínua i positiva, ϕ(z) > 0. Com que S 1 és compacte, ϕ té un valor mínim 

ε = min ϕ(z) > 0. 

z∈S1

7.5. El teorema fonamental de l’àlgebra 187 

Així, si g és una corba tancada de R 2 − {p} que satisfà que 

de l’elecció de ε resulta que 

sup 

z∈S1 d(f(z),g(z)) < ε, 

d(f(z),g(z)) < d(p,f(z)), 

per a tot z ∈ S 1 , i, per tant, del teorema de Rouché deduïm que µ(f,p) = µ(g,p) 

Acabem aquest apartat amb un teorema d’existència que anomenem teorema de Bolzano, perquè 

és l’anàleg 2-dimensional del conegut teorema de l’anàlisi d’una variable. 

7.4.4 Teorema de Bolzano Siguin D el disc unitat tancat de R 2 i F : D −→ R 2 una aplicació 

contínua. Notem f = F |S 1 : S 1 −→ R 2 i sigui p ∈ R 2 − f(S 1 ). Aleshores, 

µ(f,p) = 0 =⇒ existeix un q ∈ D tal que F(q) = p. 

Demostració. En efecte, suposem que no existeix cap q amb F(q) = p. Per la invariància 

de l’índex per homotopies és suficient provar que f és homòtopa a una aplicació constant en 

R 2 − {p}, ja que aleshores l’índex és zero, en contra de la hipòtesi efectuada. Podem obtenir 

aquesta homotopia H de la forma següent: el disc D és el quocient de l’espai producte S 1 × I 

segons l’aplicació π : S 1 × I −→ D definida per π(z,t) = tz. Definim H com la composició 

S 1 × I π 

−→ D F 

−→ R 2 \ {p}, 

que està ben definida perquè p ∈ F(D). Aleshores, H estableix una homotopia entre H1 = 

F |S 1 = f i l’aplicació constant H0 = F(0). 

7.4.5 Observació El recíproc del teorema de Bolzano és fals, com ho mostra, per exemple, 

una aplicació que doblegui un disc al llarg d’un diàmetre: sigui F : D −→ R 2 definida per 

F(x,y) = (x, |y|); aleshores, (0,0) ∈ F(D), mentre que es té que µ(f,0) = 0. 

7.5 El teorema fonamental de l’àlgebra 

Sigui P(z) = anz n + · · · + a1z + a0 un polinomi amb coeficients complexos, ai ∈ C, de grau n, 

an = 0. Recordem que α ∈ C és una arrel de P(z) si P(α) = 0. L’objectiu d’aquest apartat és 

utilitzar el teorema de Bolzano per provar l’existència d’almenys una arrel de P(z). 

7.5.1 Teorema fonamental de l’àlgebra Si n ≥ 1, aleshores P(z) té una arrel, és a dir, existeix 

un nombre complex α ∈ C tal que P(α) = 0. 

Demostració. Dividint per an podem suposar que an = 1. El polinomi P(z) defineix una funció 

contínua P : C −→ C. Per a tot r ≥ 0, definim una funció Fr : D −→ C per Fr(z) = P(rz) 

i denotem per fr = F r|S 1 la seva restricció a la circumferència. Obtenim així una família de 

corbes tancades parametritzada per r ≥ 0.


És suficient provar que, per a algun r > 0, es té que µ(fr,0) = 0, ja que, aleshores, del teorema 

de Bolzano se segueix l’existència d’un q ∈ D tal que Fr(q) = P(rq) = 0, és a dir, α = rq és 

una arrel de P. 

La idea ara és que, com que podem prendre r tan gran com vulguem, el terme dominant del 

polinomi és z n i aquest té índex n respecte de l’origen. Més detalladament, sigui Q(z) = z n i, 

per a tot r ≥ 0, definim les aplicacions gr : S 1 −→ C segons gr(z) = Q(rz) = r n z n . Sigui 

llavors, si |z| = r, se satisfà 

r = 2 + |an−1| + · · · + |a0|, 

|P(z) − Q(z)| = |an−1z n−1 + · · · + a0| 

≤ |an−1|r n−1 + · · · + |a0| 

≤ (|an−1| + · · · + |a0|)r n−1 

= (r − 2)r n−1 

< r n = |Q(z)|, 

és a dir, en termes de les corbes tancades fr i gr, es té 

i, per tant, pel teorema de Rouché deduïm 

d(fr(z),gr(z)) < d(0,gr(z)), 

µ(fr,0) = µ(gr,0). 

Com que µ(gr,0) = n, en resulta que µ(fr,0) = n, i, en particular, aquest índex és diferent de 

zero, com volíem provar. 

7.6 Punts fixos 

En aquest apartat, deduïm l’existència de punts fixos per a aplicacions de D en sí mateix a 

partir del teorema de Bolzano. Aquest resultat, que va ser provat per Brouwer, és vàlid per a 

boles tancades de qualsevol dimensió (veigeu, per exemple, [NP]), encara que nosaltres només 

el podem demostrar per a discs del pla. 

7.6.1 Definició Siguin X un espai topològic i f : X −→ X una aplicació contínua. Un punt 

fix de f és un punt x ∈ X tal que f(x) = x. Es diu que X té la propietat del punt fix si, per a 

tota aplicació contínua f : X −→ X, existeix un punt fix. 

Comencem repassant el teorema del punt fix en el cas 1-dimensional. 

7.6.2 Proposició Siguin [a,b] un interval de R i f : [a,b] −→ [a,b] una aplicació contínua. 

Aleshores, f té un punt fix.

7.6. Punts fixos 189 

Demostració. Suposem que els extrems a i b no són fixos, ja que en cas contrari hauríem acabat 

la prova. Considerem la funció contínua g : [a,b] −→ R donada per 

Com que ni a ni b són fixos, es té 

g(x) = f(x) − x . 

g(a) = f(a) − a > 0 

g(b) = f(b) − b < 0 

i, per tant, podem aplicar el teorema del valor intermedi que assegura l’existència d’un punt 

x ∈ [a,b] tal que g(x) = 0, és a dir, f(x) = x. 

Per establir el resultat en el cas de dimensió 2, comencem pel teorema de no-retracció d’un disc 

sobre la circumferència de la seva vora. 

7.6.3 Definició Siguin X un espai topològic i A ⊆ X. Una retracció de X en A és una aplicació 

contínua r : X −→ A tal que r |A = id A. 

7.6.4 Proposició No existeix cap retracció del disc tancat D sobre la circumferència S 1 = ∂ D. 

Demostració. Suposem que r : D −→ S 1 és una retracció. Com que r |S 1 : S 1 −→ S 1 és 

l’aplicació identitat, es té 

µ(r |S 1,0) = 1. 

Així, pel teorema de Bolzano, 7.4.4, existeix x ∈ D tal que r(x) = 0, però això és absurd ja que 

la imatge de r està continguda en la circumferència S 1 . 

7.6.5 Teorema del punt fix de Brouwer El disc tancat D de R 2 té la propietat del punt fix, és 

a dir, tota aplicació contínua f : D −→ D té un punt fix. 

Demostració. Suposem que f no admet cap punt fix, és a dir, f(x) = x per a tot x ∈ D. Sigui 

g(x) el punt determinat per la intersecció de S 1 i de la semirecta d’origen f(x) que passa per 

x, que està ben determinada perquè f(x) = x. 

f(x) 

g defineix una aplicació g : D −→ S 1 , que és la identitat sobre S 1 . Si comprovem que g és 

contínua, haurem arribat a una contradicció segons la proposició anterior, i així s’acabarà la 

demostració. 

x 

g(x)


La continuïtat de g és un simple càlcul; en efecte 

x − f(x) 

g(x) = x + λ 

x − f(x) , 

per a cert λ que hem de determinar imposant que sigui positiva i que g(x) = 1. És a dir, 

 

 

2 x − f(x) 

x − f(x) 

λ = − x, + 1− < x,x > + x, . 

x − f(x) 

x − f(x) 

L’expressió analítica de g mostra la seva continuïtat. 

Observem que la demostració del teorema del punt fix de Brouwer es basa en el fet que la 

circumferència S 1 no és retracte del disc D. Si disposéssim d’aquest resultat en dimensions 

superiors, és a dir, que l’esfera S n−1 no és un retracte de la bola D n , la resta de la prova 

s’aplicaria idènticament per deduir que D n té la propietat del punt fix, (vegeu [NP]). 

7.7 Punts antipodals i dimensió 

Sigui x ∈ S n un punt de l’esfera unitat de R n+1 . Diem que el punt −x és el seu punt antipodal, i 

que {x, −x} formen un parell antipodal. En aquest apartat, provem que les aplicacions contínues 

S n −→ R n , n ≤ 2, identifiquem almenys un parell antipodal. El resultat és cert per a qualsevol 

n, tot i que, una vegada més, només el podem provar per dimensions 1 i 2. Comencem pel cas 

1-dimensional. 

7.7.1 Proposició Sigui f : S 1 −→ R una aplicació contínua. Aleshores, existeix un parell 

antipodal de punts {z, −z} tal que 

f(z) = f(−z). 

Demostració. Considerem la funció contínua g : S 1 −→ R definida per 

g(z) = f(z) − f(−z). 

Si f(1) = f(−1), prenem z = 1. En cas contrari, observem que 

g(1) = f(1) − f(−1), 

g(−1) = f(−1) − f(1), 

i que, per tant, g(1) i g(−1) tenen diferent signe. Així, si restringim g a la semicircumferència 

S 1 + = S 1 ∩ {Im z ≥ 0}, que és homeomorfa a un interval de R, podem aplicar el teorema del 

valor intermedi i deduir que existeix z ∈ S 1 , Im z > 0, tal que g(z) = 0, és a dir, f(z) = f(−z). 

7.7.2 Teorema de Borsuk-Ulam Sigui f : S 2 −→ R 2 una aplicació contínua. Aleshores, existeix 

p ∈ S 2 tal que 

f(p) = f(−p).

7.7. Punts antipodals i dimensió 191 

Demostració. Per analogia al cas 1-dimensional deduïm ara el resultat del teorema de Bolzano 

aplicat a una funció contínua sobre l’hemisferi nord de S 2 . 

Considerem la funció g(q) = f(q) − f(−q) i observem que és una funció senar, és a dir, que 

g(−q) = −g(q). 

És suficient provar que existeix p ∈ S 2 amb g(p) = 0. Sigui S 2 + = S 2 ∩ {z ≥ 0} l’hemisferi nord 

de l’esfera. Aquest hemisferi S 2 + és homeomorf a D, per exemple, mitjançant l’homeomorfisme 

h : D −→ S 2 + definit per h(x,y) = (x,y, 1 − x 2 − y 2 ), i té per vora la circumferència S 1 = 

S 2 + ∩ {z = 0}. 

Component g i l’homeomorfisme h s’obté una aplicació contínua 

g ◦ h : D −→ R 2 , 

que restringida a S 1 defineix una corba tancada 

g = (g ◦ h) |S 1 : S 1 −→ R 2 . 

És suficient provar ara que µ(g,0) = 0, ja que aleshores el teorema de Bolzano assegura l’existència 

de p ∈ S 2 +, amb g(p) = 0. 

Recordem que µ(g,0) és el grau de N ◦ g. Com que g és una aplicació senar, també ho és la 

composició N ◦ g i, per tant, el resultat se seguirà del lema següent: 

7.7.3 Lema Sigui k : S 1 −→ S 1 una aplicació contínua senar, és a dir, tal que k(−z) = −k(z). 

Aleshores, gr k = 0. 

En efecte, si gr k = 0, l’aixecament de k respecte de l’aplicació exponencial 

✯ 

R 

I S1 S1 k exp 

e ✲ 

❄ 

✲ k 

és tal que k(0) = k(1) i, per tant, per pas al quocient defineix una aplicació contínua 

k ′ : S 1 −→ R. 

Pel teorema de Borsuk-Ulam en dimensió 1, 7.7.1, hi ha un punt q ∈ S 1 tal que k ′ (q) = k ′ (−q) 

i, per tant, k(q) = k(−q). Però com que k és senar, en resulta que k(q) = 0, cosa que és absurda 

perquè k(q) ∈ S 1 . 

Com a mostra de l’interès del teorema de Borsuk-Ulam, provem que la dimensió de l’espai 

euclidià R n és un invariant topològic (encara que només podrem provar-ho per a n = 2).


7.7.4 Corol·lari (Teorema d’invariància de la dimensió) Cap obert de R 2 pot ser homeomorf a 

un obert de R n , n = 2. 

Demostració. Per n = 1 és clar, perquè un obert de R es desconnecta traient un punt, cosa que 

no succeeix per als oberts de R 2 . 

Suposem que U ⊆ R n , n ≥ 3, i V ⊆ R 2 són oberts homeomorfs, i sigui f : U −→ V un 

homeomorfisme. Donat un punt p ∈ U, existeix ε > 0 tal que Bε(p) ⊆ U. Si considerem la 

inclusió de R 3 en R n definida per les tres primeres coordenades, obtindrem inclusions 

S 2 ε ⊆ Bε(p) ∩ R 3 ⊆ Bε(p), 

on S 2 ε és l’esfera 2-dimensional de radi ε centrada en p. Restringint f a S 2 ε s’obté una aplicació 

contínua 

f : S 2 ε −→ V ⊆ R 2 . 

Pel teorema de Borsuk-Ulam, f identifica un parell antipodal i, en particular, no és injectiva, 

cosa que contradiu que f : U −→ V sigui un homeomorfisme. 

En particular, 

7.7.5 Corol·lari Si n = 2, R n no és homeomorf a R 2 . 

7.8 Un criteri de separació 

En aquest apartat, demostrem el criteri de separació que S. Eilenberg va provar a la seva tesi 

doctoral, criteri que és un element clau en la demostració que presentem del teorema de la corba 

de Jordan. 

Sigui K un compacte de R 2 . Estem interessats en l’estudi dels components connexos (o arcconnexos, 

la qual cosa és equivalent, ja que són oberts del pla) de R 2 − K, en especial quan K 

és la imatge d’una corba tancada. Un conjunt obert i connex de R 2 direm que és un domini 

del pla. Així, R 2 \ K es descompon com a unió disjunta de dominis del pla. 

7.8.1 Proposició Existeix un únic domini no fitat de R 2 − K. 

Demostració. Com que K és compacte, és fitat i, per tant, existeix r > 0 tal que K ⊆ Br(0). 

El complementari del disc Br(0), R 2 \ Br(0), és connex i satisfà 

R 2 \ Br(0) ⊆ R 2 \ K, 

per la qual cosa està contingut en un component connex D de R 2 \ K, que necessàriament és 

no fitat. 

D’altra banda, per a qualsevol altre domini D ′ de R 2 \ K, es té 

D ′ ⊆ R 2 \ D ⊆ Br(0)

7.8. Un criteri de separació 193 

i, per tant, D ′ és fitat. 

Donada una corba tancada f : S 1 −→ R 2 , a cada domini de R 2 \f(S 1 ) li podem associar l’índex 

de f respecte d’un punt qualsevol del domini, ja que aquest és independent del punt escollit, 

7.4.3. Aquest valor l’anomenem l’ordre del domini. Observem que, trivialment, es té: 

7.8.2 Proposició L’ordre del component no fitat de R 2 \ f(S 1 ) és zero. 

A la figura següent, veiem els ordres dels components de R 2 − f(S 1 ) en dos exemples. 

✠ ✠ 

2 1 2 

0 

1 

1 

0 ✯ 

1 

2 0 

En aquests exemples, veiem que diferents components poden tenir el mateix ordre. Com podem 

distingir els components? Donats p,q ∈ R 2 \ K diem que K els separa si són de components 

distints de R 2 \K. Sabem que si K és la imatge d’una corba tancada i µ(f,p) = µ(f,q), aleshores 

K separa p de q, però què podem dir quan µ(f,p) = µ(f,q)? Per exemple, considerem la corba 

tancada de la figura següent: 

✠ 

p 

Es té que µ(f,p) = 0 = µ(f,q), però observem que podem distingir p de q perquè podem 

dibuixar sobre K una corba tancada γ : S 1 −→ K tal que µ(γ,p) = µ(γ,q) (a la figura marcada 

per traces). 

Una forma de detectar aquesta mena de corbes sobre K que envolten un punt, p, i no l’altre, 

q, consisteix a estudiar l’aplicació 

g : K −→ S 1 

z ↦−→ N 

q 

 

z−p 

z−q 

−1 

−1 

0


7.8.3 Teorema de separació d’Eilenberg Sigui K un subconjunt compacte de R 2 . Els punts p 

i q estan en el mateix component de R 2 \ K si i només si l’aplicació contínua g : K −→ S 1 , 

definida per 

és homòtopa a una aplicació constant. 

g(z) = N 

 

z − p 

, 

z − q 

Abans de demostrar aquest resultat assenyalem que l’interès que té enunciar-lo per a un compacte 

qualsevol, no necessàriament imatge d’una corba tancada, el dóna el resultat de connexió 

següent. 

7.8.4 Corol·lari Si K és homeomorf a l’interval I, aleshores R 2 − K és connex. 

Demostració. En efecte, com hem vist a l’exemple 7.1.2(4), tota aplicació g : K −→ S 1 és 

homòtopa a una aplicació constant i, en particular, ho és l’aplicació del criteri d’Eilenberg. 

La demostració del teorema d’Eilenberg ocuparà la resta de l’apartat. Utilitzarem el teorema 

d’extensió de Tietze i el fet que es poden estendre homotopies, tal com precisa el resultat que 

segueix. 

7.8.5 Proposició Sigui K ⊆ R 2 compacte i X ⊆ R 2 un subespai que conté K. Siguin g,h : 

K −→ S 1 dues aplicacions homòtopes. Si existeix una extensió g : X −→ S 1 de g, aleshores hi 

ha una extensió h de h a X tal que g ≃ h. 

Demostració. Com que g ≃ h, existeix una homotopia H : K × I −→ S 1 tal que H0 = g, 

H1 = h. Per hipòtesi, H0 = g admet una extensió g : X −→ S 1 . Considerem el conjunt 

K ′ = X × {0} ∪ K × I , 

que és un tancat de X, i l’aplicació H ′ : K ′ −→ S 1 determinada per les restriccions 

H ′ |X×{0} 

H ′ |K×I 

= g, 

= H, 

que és contínua pel lema de l’enganxament. Component H ′ amb la inclusió S 1 −→ R 2 i aplicant 

el teorema d’extensió de Tietze, 6.4.4, a cadascuna de les components, H ′ s’estén a una aplicació 

H : X × I −→ R 2 . 

La imatge de H no està necessàriament continguda en S 1 , però per continuïtat podem assegurar 

que H és no nul·la en un entorn de K ′ , K ′ ⊆ U. Pel lema 7.8.6, que enunciem tot seguit, existeix 

un obert V de X tal que K ⊆ V ⊆ X i V × I ⊆ U. 

Els conjunts K i X −V són tancats i disjunts, per tant, pel lema d’Urysohn existeix una funció 

contínua k : X −→ [0,1] tal que k |K = 1 i k |X−V = 0. Sigui H : X × I −→ S 1 l’aplicació 

contínua definida per 

H(x,t) = K(x,tk(x)).

7.8. Un criteri de separació 195 

És clar que 

i que 

H0 = H0 = g 

H 1|K = H1 = h, 

és a dir, H1 és una extensió de h que, a més, és homòtopa a g. 

Al llarg de la demostració hem fet servir el resultat següent, que deixem com a exercici. 

7.8.6 Lema Siguin X un espai topològic, K ⊆ X un subespai compacte i U ⊇ K × I un obert 

de X × I. Aleshores, existeix un obert V ⊆ X tal que K ⊆ V × I ⊆ U. 

7.8.7 Corol·lari Amb les notacions de la proposició anterior, tota aplicació K −→ S 1 homòtopa 

a constant admet una extensió a una aplicació contínua X −→ S 1 . 

Demostració del criteri de separació d’Eilenberg. Un cop establerts els resultats preliminars, 

podem passar a la demostració de 7.8.3. Si p i q estan en el mateix component, sigui γ : I −→ 

R2 \ K un camí amb γ(0) = p i γ(1) = q. Aleshores, 

 

z − γ(t) 

H(z,t) = N 

z − q 

defineix una homotopia de g = H0 amb l’aplicació constant H1 = 1. 

Recíprocament, suposem que g : K −→ S 1 és homòtopa a una aplicació constant i que K separa 

p i q. Hem d’arribar a una contradicció. Sigui D el component connex de R 2 \ K que conté p. 

Podem suposar que D és fitat, ja que, en cas contrari, podem intercanviar el paper de p i q, i 

aleshores hem de canviar també g per 1/g. 

Estenem ara g a una aplicació R 2 \ {p} −→ S 1 de forma que, per a una circumferència de radi 

r, es tingui µ(g(Cr),p) = 0,1, segons si el radi r és prou petit o prou gran, cosa que és absurda 

perquè totes aquestes circumferències són homòtopes a R 2 \ {p} i, per tant, tenen el mateix 

índex. 

Comencem observant que g s’estén a una aplicació g1 : D ∪ K \ {p} −→ S1 per la mateixa 

expressió 

 

z − p 

g1(z) = N , 

z − q 

ja que q ∈ D. Pel corol·lari 7.8.7, si prenem X = R 2 \ D, g admet una extensió 

g2 : R 2 \ D −→ S 1 , 

que, a més, és homòtopa a constant. Com que g1 i g2 coincideixen sobre la intersecció dels seus 

dominis, el tancat K, el lema de l’enganxament assegura que defineixen una funció contínua 

g : R 2 \ {p} −→ S 1 .


Definim una homotopia H : S 1 × I −→ S 1 , per 

on ε,R són constants. Per 7.2.7, es té que 

H(z,t) = g(p + z(ε + tR)), 

gr h0 = gr h1. 

Calculem ara separadament aquests graus. Comencem per h1: D és fitat i, per tant, si R és prou 

gran, la circumferència que descriuen els punts p + z(ε + R), z ∈ S 1 , està en el complementari 

de D. Però, g = g2 és homòtopa a una aplicació constant R 2 \ D i, per tant, h1 és homòtopa a 

constant, és a dir, 

gr h1 = 0. 

Calculem ara el grau de h0: com que D és un obert, si ε és prou petit es té que p + zε ∈ D, 

per a tot z ∈ S 1 , i, per tant, 

h0(z) = g1(p + zε) = 

 

zε 

= N 

= 

p + zε − q 

= N(z)N(ε)N(p + zε − q) −1 . 

Com que el grau és un morfisme de grups, se segueix 

gr h0(z) = gr N(t) + gr N(ε) + gr N(p + zε − q) 

= 1 + 0 + 0 = 1. 

Arribem, doncs, a la contradicció que buscàvem. 

7.9 El teorema de la corba de Jordan 

Una corba tancada f : S 1 −→ R 2 es diu que és de Jordan si és injectiva, és a dir, si la imatge 

no té autointerseccions. En aquest cas, f indueix un homeomorfisme de S 1 amb J = f(S 1 ), ja 

que S 1 és compacte. L’objectiu d’aquest apartat és provar el resultat següent: 

7.9.1 Teorema de la corba de Jordan Sigui f : S 1 −→ J ⊆ R 2 una corba de Jordan. Aleshores, 

R 2 \ J té exactament dos components connexos, que tenen J com a frontera comuna. 

Aquest resultat va ser enunciat per Camille Jordan l’any 1887, encara que la primera prova 

completa la va fer O. Veblen, l’any 1905. A primera vista, el resultat pot semblar trivial. La 

dificultat està en la possible complexitat de les corbes de Jordan. De fet, una corba com la de 

la figura 

no capta les complexitats possibles, ja que es tracta d’una corba diferenciable. És possible 

trobar exemples de corbes de Jordan que no són diferenciables en cap punt. N’és un exemple

7.9. El teorema de la corba de Jordan 197 

clàssic el floc de neu, corba introduïda per H. von Kock el 1906. Es tracta d’una corba que no 

podem descriure explícitament, sinó tan sols aproximar: comença per un triangle equilàter. A 

cada costat afegim un triangle equilàter que té com a costat un terç del primer, i així continuem 

fins que en el límit resulta la corba de von Kock (vegeu la figura). 

............... ............... 

...... 

. . . . . 

...... ...... 

Aquests exemples donen una idea més acurada de la dificultat de la prova del teorema de Jordan. 

Comencem la demostració veient que J és la frontera de tots els components del complementari. 

7.9.2 Proposició Sigui J una corba de Jordan del pla. Aleshores, J és la frontera de qualsevol 

dels components connexos de R 2 \ J. 

Demostració. Sigui D un component connex de R 2 \ J. D és obert i D ∪ J = R 2 \ ∪D ′ , on D ′ 

recorre els components diferents de D, que són oberts, per la qual cosa D ∪ J és un tancat del 

pla. Per tant, ∂ D ⊆ J. 

Hem de provar ara que J ⊆ ∂ D. Sigui x ∈ J i, donat un ε > 0 qualsevol, considerem el disc 

obert Bε(x). Sigui γ un arc obert de J tal que x ∈ γ i γ ⊆ J ∩ Bε(x). Per 7.8.4, R 2 \ (J \ γ) 

és arc-connex. Siguin p ∈ D i γ ′ un camí de R 2 \ (J \ γ) que uneix p i x. Com que D és obert, 

hi ha un primer punt y del camí γ ′ que no està en D. Aleshores, y ∈ ∂ D ⊆ J i, en particular, 

y ∈ γ. 

Això és cert independentment de ε. Fent tendir ε a 0, y tendirà a x. Així, com que ∂ D és un 

tancat, resulta que x ∈ ∂ D. 

Denotem Θ la unió de la circumferència S 1 amb el diàmetre corresponent a l’interval [−1,1]. El 

conjunt pla Θ conté tres corbes de Jordan: la pròpia circumferència, S 1 , i les corbes superior, 

..... 

...... 

...... 

...... 

..... ...... 

...... 

. . . . .


N, i inferior, S, definides per 

i 

 

(x,y), 

e1(x,y)) 

x, 

 

x, 

e2(x,y)) 

(x,y), 

(x,y), ∈ S 1 ∩ {y ≥ 0}, 

(x,y) ∈ S 1 ∩ {y ≤ 0}, 

(x,y) ∈ S 1 ∩ {y ≥ 0}, 

(x,y) ∈ S 1 ∩ {y ≤ 0}. 

Donada una aplicació h : Θ −→ S 1 , els graus de les diferents corbes tancades definides per h 

estan relacionats per la fórmula següent. 

7.9.3 Lema Per a qualsevol aplicació contínua h : Θ −→ S 1 , es té 

on ι és la inclusió natural de S 1 en Θ. 

gr (h ◦ ι) = gr (h ◦ e1) + gr (h ◦ e2), 

Demostració. Siguin h0 un aixecament de h ◦ ι ◦ exp |I, 

i k : [−1,1] un aixecament de h |[−1,1], 

✯ 

R 

I S1 S1 h0 

exp 

e ✲ 

❄ 

h0◦ι 

✲ 

k 

R 

✒ 

exp 

[−1,1] S1 ❄ 

h✲ 

Com que exp(k(−1)) = h(−1) = exp 

1 

h0 2 , podem escollir l’aixecament k de forma que 

 

1 

k(−1) = h0 . 

2 

Considerem ara els aixecaments de h ◦ e1 i h ◦ e2 donats per 

h1(t) = 

h2(t) = 

 

h0(t), 0 ≤ t ≤ 1/2, 

k(cos 2πt), 1/2 ≤ t ≤ 1, 

 

k(cos 2πt), 0 ≤ t ≤ 1/2, 

h0(t), 1/2 ≤ t ≤ 1.

7.9. El teorema de la corba de Jordan 199 

Aleshores, es té 

gr (h ◦ ι) = h0(1) − h0(0) 

= h0(1) − k(1) + k(1) − h0(0) 

= h2(1) − h(20) + h1(1) − h1(0) 

= gr (h ◦ e2) + gr (h ◦ e1). 

Aquest lema ens permet relacionar els índexs de les difrents corbes tancades definides per la 

imatge de Θ per una aplicació contínua. 

7.9.4 Proposició Siguin f : Θ −→ R 2 una aplicació contínua i injectiva, i p,q ∈ R 2 \ f(Θ). 

Notem J = f(S 1 ), J + = f(N) i J − = f(S) les tres corbes de Jordan definides per f. Aleshores, 

si dues de les corbes de Jordan J, J + , J − no separen p i q, tampoc no ho fa la tercera. 

Demostració. Considerem l’aplicació contínua g : Θ −→ S 1 , definida per 

g(z) = N 

 

f(z) − p 

. 

f(z) − q 

Pel criteri de separació d’Eilenberg, 7.8.3, p i q són del mateix component del complementari de 

J si i només si g ◦ι és homòtopa a constant, és a dir, gr (g ◦ι) = 0. Anàlogament, p i q no estan 

separats per la corba J + (respectivament, J − ) si i només si gr (g ◦ e1) = 0 (respectivament, 

gr (g ◦ e2) = 0). Però, pel lema 7.9.3, es té 

gr (g ◦ ι) = gr (g ◦ e1) + gr (g ◦ e2), 

i, per tant, l’anul·lació de dos d’aquests graus implica l’anul·lació del tercer. 

Demostració del teorema de Jordan. Comencem provant un cas particular al qual ens reduïm 

en el cas general. 

Suposem que la corba de Jordan J conté un segment rectilini. Aleshores, R 2 \J té com a màxim 

dos components connexos. En efecte, si x ∈ J està sobre el segment i prenem ε > 0 prou petit 

perquè Bε(x) talli J exactament en un tros d’aquest segment, és evident que Bε(x) \ J (que és 

un disc menys un diàmetre) té dos components, A i B. Com que, segons 7.9.2, tot component 

de R 2 \ J talla Bε(x), aquests han de contenir A ó B, i, per tant, n’hi ha dos com a màxim. 

Per provar que n’hi ha exactament dos, considerem punts p ∈ A i q ∈ B i provem que són de 

components diferents. Notem ℓ el segment Bε(x) ∩ J i γ l’arc de Jordan J \ ℓ. Notem α i β les 

semicircumferències de ∂ Bε(x) tallades per ℓ.


γ 

Considerem la Θ-corba formada per J i α. La corba de Jordan α ∪ γ no separa p i q, mentre 

que sí que ho fa la corba α ∪ ℓ. Per tant, de 7.9.4 se segueix que ℓ ∪ γ = J separa p i q. 

Considerem ara el cas general. Prenem dos punts arbitraris de J i el segment del pla que els 

uneix. 

ℓ 

x p y 

β 

Si el segment està en J, estem en el cas particular anterior. En cas contrari, existeix un punt 

p del segment que no és de J. Siguin x i y els punts de la intersecció del segment amb J més 

propers a p a esquerra i dreta (que existeixen perquè J és un tancat). 

Notem ℓ el segment que uneix x i y, i α i β els dos arcs de J que uneixen x i y. Així, els arcs 

α, β i ℓ configuren una Θ-corba. 

Recordem que volem veure que R 2 \ J té exactament dos components. El fet que J sigui la 

frontera comuna de tots els components permet localitzar el problema: en efecte, siguin q ∈ α i 

ε < d(q,β ∪ ℓ). Com que tots els components de R 2 \ J tallen Bε(q), el nombre de components 

connexos de R 2 \ J és igual al nombre de components connexos de Bε(q) \ J. 

Per l’elecció de ε, cap segment dintre de Bε(q) talla la corba β ∪ℓ, i, per tant, de 7.9.4 se segueix 

que dos punts Bε(q) \ J estan separats si i només si ho estan a Bε(q) \ (α ∪ ℓ). Però, aquest 

ℓ 

x 

b 

β 

q 

a 

α 

α


darrer cas correspon al fet particular en el qual la corba de Jordan conté un segment, que ja 

hem provat; per tant, Bε(q) \ J té exactament dos components, com volíem demostrar. 

Com a conseqüència del teorema de Jordan, obtenim el resultat següent, que proporciona un 

criteri perquè una aplicació sigui un homeomorfisme. 

7.9.5 Corol·lari (Teorema d’invariància del domini) Siguin U un obert de R 2 i h : U −→ R 2 

una aplicació contínua i injectiva. Aleshores, h(U) és un obert i h : U −→ h(U) és un homeomorfisme. 

Demostració. Sigui x ∈ U; provem que h(x) és interior a h(U). Sigui ε tal que Bε(x) ⊆ U. Per 

restricció, h defineix una corba de Jordan 

h ′ : ∂ Bε(x) −→ R 2 . 

Sigui D el component fitat del complementari de h ′ . Afirmem que D = h(Bε(x)). En efecte, és 

immediat que h(Bε(x)) ⊆ D. D’altra banda, si q ∈ D, aleshores 

µ(h ′ ,q) = ±1 

i, en particular, és diferent de zero, = 0. Així, pel teorema de Bolzano, hi ha un punt y ∈ Bε(x) 

amb h(y) = q. 

7.9.6 Observació El teorema de la corba de Jordan es pot precisar en el sentit següent, conegut 

com a teorema de Schönflies: si J és una corba de Jordan de R 2 , existeix un homemorfisme h : 

R 2 −→ R 2 que transforma J en S 1 . En particular, si D és el component fitat del complementari 

de J, el conjunt D∪J és homeomorf al disc unitat tancat D. Aquest resultat és molt més laboriós 

de demostrar, ([NP]). A més, cal assenyalar que mentre que el teorema de Jordan té un anàleg 

en dimensió superior, el teorema de Schönflies no s’estén de forma immediata (vegeu l’exemple 

de l’esfera d’Alexander a [HY]). 

7.10 Problemes 

1. Sigui X un espai topològic. Proveu que hi ha una bijecció entre [I,X] i el conjunt de 

components arc-connexos de X. 

2. (a) Sigui fi,gi : Xi −→ Yi, i ∈ J, una família d’aplicacions contínues entre espais topològics. 

Proveu que, si per a tot i ∈ J, fi ≃ gi, aleshores 

 

fi ≃ gi : 

Xi −→ 

Yi. 

i∈J 

(b) Sigui Y un espai producte, Y = 

i∈J Yi. Proveu que dues aplicacions contínues f,g : X −→ 

Y són homòtopes si i només si f ◦ πi ≃ g ◦ πi : X −→ Yi, per a tot i ∈ J, essent πi : Y −→ Yi 

la projecció i-èsima. 

i∈J


3. (a) Siguin X,Y espais topològics i A ⊆ X. Proveu que la relació d’homotopia relativa a 

A per aplicacions contínues f,g : X −→ Y és una relació d’equivalència. Notem [X,Y ]A el 

conjunt de classes d’homotopia relativa a A. 

(b) Proveu que, per a tot espai topològic X, l’aplicació quocient π : I −→ S 1 indueix una 

bijecció 

[S 1 ,X]1 ←→ [I,X] {0,1}. 

(c) Siguin C ⊆ R n un subconjunt convex, X un espai topològic, A ⊆ X un subespai i f,g : 

X −→ C dues aplicacions contínues tals que f |A = g |A. Proveu que f és homòtopa a g 

relativament a A. 

4. Sigui ϕ : X −→ Y una aplicació contínua. Per a tot espai topològic W, es defineixen les 

aplicacions ϕ∗ : [W,X] −→ [W,Y ], per ϕ∗[f] = [ϕ ◦ f]. 

(a) Proveu que, si ϕ ≃ ψ, aleshores ϕ∗ = ψ∗. 

(b) Siguin ϕ : X −→ Y i ψ : Y −→ Z aplicacions contínues. Proveu que (ψ ◦ ϕ)∗ = ψ∗ ◦ ϕ∗. 

(c) Proveu que (id X)∗ = id [W,X] i deduïu que si ϕ : X −→ Y és un homeomorfisme, aleshores 

ϕ∗ : [W,X] −→ [W,Y ] és un bijecció, per a tot espai W. 

(d) Definim ϕ ∗ : [Y,W] −→ [X,W] per ϕ ∗ [f] = [f ◦ ϕ]. Enuncieu i proveu els resultats anàlegs 

als anteriors per ϕ ∗ . 

5. En aquest problema introduïm una estructura de grup en el conjunt [X, S 1 ], per a un espai 

arbitrari X. 

(a) Sigui X un espai topològic. Siguin f1,f2,g1,g2 : X −→ S 1 aplicacions contínues tals que 

f1 ≃ f2, g1 ≃ g2. Proveu que f1 · g1 ≃ f2 · g2, i deduïu que, amb aquesta operació, [X, S 1 ] és un 

grup commutatiu. 

(b) Sigui ϕ : X −→ Y una aplicació contínua. Proveu que l’aplicació ϕ ∗ : [Y, S 1 ] −→ [X, S 1 ] 

definida al problema anterior és un morfisme de grups. 

6. (a) Proveu que 

D 2 ∼ = (S 1 × I) (S 1 × {1}), 

és a dir, que el con de la circumferència S 1 és homeomorf al disc tancat D 2 = {(x,y) ∈ 

R 2 | x 2 + y 2 ≤ 1}. 

(b) Siguin X un espai topològic i f : S 1 −→ X una aplicació contínua. Proveu que f és 

homòtopa a constant si i només si f s’estén a una aplicació contínua f : D 2 −→ X, (és a dir, si 

existeix f amb f |S 1 = f). 

(c) Generalitzeu l’apartat anterior: una aplicació contínua f : X −→ Y és homòtopa a constant 

si i només si s’estén a una aplicació contínua f : CX −→ Y . 

7. Sigui h : D 2 −→ D 2 , l’aplicació definida en coordenades polars per 

h(0) = 0, h(r,α) = (r,α + 2πr).


Proveu que h és homòtopa a la identitat i trobeu explícitament l’homotopia F. Proveu que 

podem escollir l’homotopia F de manera que Ft sigui un homeomorfisme, per a tot t ∈ I. 

8. (a) Siguin X un espai topològic i f,g : X −→ S n aplicacions contínues. Proveu que, si per 

a qualsevol x ∈ X es té que f(x) = −g(x), llavors f ≃ g. 

(b) Si f : X −→ S n és contínua i no és exhaustiva, proveu que f és homòtopa a constant. 

(c) Si f : S n −→ S n és tal que f ≃ id , proveu que hi ha un x ∈ S n , amb f(x) = −x. 

9. (a) Siguin X un espai de Hausdorff localment compacte i f,g : X −→ Y aplicacions 

contínues. Proveu que f ≃ g si i només si hi ha un camí continu de f a g en l’espai C(X,Y ), 

en el qual considerem la topologia compacta-oberta. 

(b) Concloeu que el conjunt de les classes d’homotopia [X,Y ] és igual al conjunt dels components 

arc-connexos de C(X,Y ). 

10. Trobeu el grau de les aplicacions f : S 1 −→ S 1 següents: 

(a) l’aplicació antipodal, f(e iθ ) = e i(θ+π) . 

(b) un gir d’angle α, f(eiθ = ei(θ + α). 

(c) f(eiα 

iα e , 0 ≤ α ≤ π, 

) = 

ei(2π−α) , π ≤ α ≤ 2π. 

11. En aquest problema, proposem una demostració del lema de l’aixecament per a subconjunts 

estrellats i que, per tant, s’aplica tant als camins com a les homotopies. Sigui X ⊆ R n un 

subconjunt compacte i estrellat respecte de l’origen i sigui f : X −→ S 1 una aplicació contínua. 

(a) Proveu que existeix un ε > 0 tal que 

x − y < ε =⇒ f(x) − f(y) < 2, 

i deduïu, en particular, que si x −y < ε, aleshores f(x) i f(y) no són punts antipodals. 

(b) Deduïu de l’apartat anterior que existeix un p ∈ N tal que, per a tot 0 ≤ q 

x ∈ X, es té que 

−1 q + 1 q 

f f ∈ S 

p p 

1 \ {−1}. 

(c) Definim gq : X −→ S 1 \ {−1} per 

Observeu que se satisfà 

−1 q + 1 q 

gq(x) = f · f . 

p p 

f(x) = f(0) · g0(x) · g1(x) · · · · · gp−1(x), 

i proveu que f(x) = s0 + lng0(x) + · · · + lngp−1(x), on s0 és tal que exp(s0) = f(0), és 

un aixecament de f respecte de l’aplicació exponencial, és a dir, exp ◦f = f.


12. Sigui f : S 1 −→ R 2 − {p} una corba tancada. Proveu que existeix una extensió F : D −→ 

R 2 − {p}, F |S 1 = f, si i només si µ(f,p) = 0. 

13. Proveu que la propietat del punt fix és una propietat topològica, és a dir, que si X té la 

propietat del punt fix i Y és un espai homeomorf a X, aleshores Y també té la propietat del 

punt fix. 

14. (a) Sigui f : S 1 −→ S 1 una aplicació contínua. Proveu que, si f és homòtopa a constant, 

llavors f té un punt fix. Concloeu que, si f no és exhaustiva, llavors té un punt fix. 

(b) Sigui f : S 2 −→ S 2 una aplicació contínua. Proveu que existeix un punt (x0,y0,z0) ∈ S 2 

tal que f(x0,y0,z0) = (x0,y0, ±z0). 

(c) Sigui A ∈ M3(R) una matriu tal que aij ≥ 0, per a tot i,j. Proveu que A té un valor propi 

λ ≥ 0. 

(d) Proveu, a partir del teorema del punt fix, que el sistema següent té solució: 

cos(sin π(x 5 + y 7 ) + 1) = x 

sin(cos π(x 7 + y 5 ) + 1) = y 

 

x,y ∈ R. 

15. Sigui f : D 2 −→ D 2 un homeomorfisme. Proveu que f envia els punts de la frontera de D 2 

a punts de la frontera. 

16. Sigui f : S 2 −→ S 2 una aplicació contínua que aplica homeomòrficament la circumfèrencia 

equatorial en si mateixa. Proveu que o bé el pol nord o bé el pol sud és un punt de la imatge 

de f. 

17. Sigui f : D 2 −→ R 2 una aplicació contínua continua. Proveu que existeix r0 tal que, per a 

tot r ≥ r0, hi ha un punt x ∈ D 2 tal que f(x) = rx. 

18. Sigui C una corba tancada en R 2 i sigui {pn}n una successió de punts del pla R 2 tal que, 

si n = m, aleshores µ(C,pn) = µ(C,pm). Proveu que la successió té una parcial convergent a 

un punt p de la corba. 

19. Considerem la corona E = {(x,y) ∈ R 2 |1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4} i una aplicació contínua 

f : E −→ R 2 . Siguin f1 i f2 les corbes tancades de R 2 que defineixen les circumferències de 

radis 1 i 2 de E, és a dir, per z ∈ S 1 definim: f1(z) = f(z), f2(z) = f(2z). Si p ∈ Im f1∪Im f2, 

proveu que 

µ(f1,p) = µ(f2,p) =⇒ p ∈ Im f. 

20. Sigui f : S 1 −→ S 1 una aplicació contínua i sigui p ∈ S 1 . Proveu que, si #f −1 (p) = n, 

aleshores |gr f| ≤ n. Què podem deduir en el cas n = 0? 

21. Siguin f,g : S 1 −→ S 1 aplicacions contínues. Proveu: 

(a) gr (f ◦ g) = gr f · gr (g). 

(b) f = f 2 =⇒ gr f = 0 ó 1. 

(c) f homemorfisme =⇒ gr f = ±1.


(d) f sense punts fixos =⇒ gr f = 1. 

(e) f injectiva =⇒ gr f = ±1. 

22. Sigui f : C −→ C contínua tal que existeix n ≥ 2 amb lim 

z0 ∈ C tal que f(z0) = z0. 

z→∞ 

f(z) 

= 1. Proveu que existeix 

zn 23. (a) Sigui f : S 1 −→ C definida per f(z) = z − a i sigui p ∈ Im f. Calculeu µ(f,p). 

(b) Sigui f : S 1 −→ C un camí polinòmic, és a dir, f(z) = anz n + · · · + a1z + a0, ai ∈ C, i 

sigui p ∈ Im f. Calculeu µ(f,p). 

(c) Calculeu l’índex del camí polinòmic f(z) = z 4 + z 3 − z 2 + z − 1 − i en el punt p = 1 − i.

206 Capítol 7. Topologia del pla

8 

El grup fonamental 

Un dels problemes bàsics de la topologia és determinar si, donats dos espais topològics X i Y , 

aquests són homeomorfs o no. No hi ha un mètode general per resoldre aquest problema, però 

sí tècniques que donen resultats parcials. 

Mostrar que X i Y són homeomorfs és un problema de construir una aplicació contínua 

f : X −→ Y que sigui bijectiva i amb inversa contínua, cosa que hem fet en alguns dels exemples 

presentats fins ara. D’altra banda, provar que X i Y no són homeomorfs és una qüestió 

totalment diferent, ja que hem de provar que no pot existir cap homeomorfisme f : X −→ Y . 

Amb el que hem vist fins ara, un tal resultat el podem deduir veient que X té una propietat 

topològica que Y no té. Per exemple, l’interval obert (0,1) de la recta real no és homeomorf a 

l’interval tancat [0,1], ja que mentre que aquest és compacte, no ho és el primer. 

Les propietats topològiques que coneixem no ens permeten, però, distingir entre algunes de 

les superfícies que hem introduït al capítol 3, com l’esfera S 2 , el pla projectiu P 2 , el tor T 2 o 

l’ampolla de Klein K, ja que totes elles són espais compactes, arc-connexos, etc. 

Aquest capítol és una breu introducció a la topologia algebraica per mitjà del grup fonamental 

d’un espai topològic. Definim el grup fonamental, establim la seva invariància topològica (i homotòpica) 

i presentem alguns càlculs que ens permeten, en particular, distingir topològicament 

les superfícies esmentades abans. 

8.1 El producte de camins 

Sigui X un espai topològic. Si pensem els camins de X, ω : I −→ X, com a trajectòries descrites 

per un punt mòbil en X, ω(t), podem compondre dos camins ω,σ, sempre que el primer acabi 

on comença el segon, i recórrer-los consecutivament. Aquesta idea intuïtiva dóna lloc a una 

operació que resulta fonamental en tot el que segueix, el producte de camins. 

8.1.1 Definició Si ω és un camí de X de x0 a x1 i σ és un camí de X de x1 a x2, el seu

208 Capítol 8. El grup fonamental 

producte ω ∗ σ és el camí de X definit per les equacions 

1 

ω(2s), si s ∈ [0, 

(ω ∗ σ)(s) = 

2 ], 

σ(2s − 1), si s ∈ [ 1 

2 ,1]. 

x0 

ω(0) 

x1 

ω(1) = σ(0) 

Observem que, pel lema de l’enganxament, el producte ω∗σ : [0,1] −→ X defineix una aplicació 

contínua i, per tant, un camí segons la terminologia que hem establert. 

El producte de camins és compatible amb la relació d’homotopia relativa als extrems {0,1} de 

l’interval I: 

8.1.2 Proposició Siguin ω,σ camins de X tals que ω(1) = σ(0), i ω ′ ,σ ′ camins tals que ω ≃ ω ′ 

i σ ≃ σ ′ , relativament a {0,1}. Aleshores, ω ∗ σ ≃ ω ′ ∗ σ ′ , relativament a {0,1}. 

Demostració. Com que ω ≃ ω ′ , existeix una homotopia F de ω a ω ′ i, com que σ ≃ σ ′ , existeix 

una homotopia G de σ a σ ′ . Definim una aplicació H : I × I −→ X per 

1 

F(2s,t), si s ∈ [0, 

H(s,t) = 

2 ], 

G(2s − 1,t), si s ∈ [ 1 

2 ,1]. 

t 

✻ 

1 

0 

ω ′ σ ′ 

F G 

ω 1 

2 σ 

1 

✲s 

H 

✲ 

x0 

ω ′ ❥ 

X 

x2 

✲ ω 

σ(1) 

x1 

σ ′ 

❘ 

❘ σ 

Llavors, H és una homotopia de ω ∗ σ a ω ′ ∗ σ ′ . En efecte, H és contínua pel lema de l’engan- 

xament ja que, per a s = 1/2, es té que F(2 1 

2 ,t) = G(21 2 − 1,t) = x1, per a tot t ∈ I. A més, a 

l’instant t = 0 es té 

 

F(2s,0) = ω(2s), 0 ≤ s ≤ 1/2 

H(s,0) = 

= (ω ∗ σ)(s), 

G(2s − 1,0) = σ(2s − 1), 1/2 ≤ s ≤ 1 

mentre que per a t = 1, 

H(s,1) = 

F(2s,1) = ω ′ (2s), 0 ≤ s ≤ 1/2 

G(2s − 1,1) = σ ′ (2s − 1), 1/2 ≤ s ≤ 1 

 

x2 

= (ω ′ ∗ σ ′ )(s), 

és a dir, H és una homotopia de ω ∗ σ a ω ′ ∗ σ ′ . I ho és relativament als extrems, ja que 

H(0,t) = F(0,t) = x0 i H(1,t) = G(1,t) = x2, per a tot t ∈ I.

8.1. El producte de camins 209 

Així doncs, la multiplicació de camins d’un espai X és una operació que està ben definida en el 

conjunt de classes d’homotopia relativa de camins, [I,X] {0,1}, 

[ω] ∗ [σ] = [ω ∗ σ], 

sempre que ω(1) = σ(0). La proposició següent resumeix les propietats d’aquest producte. 

8.1.3 Proposició El producte ∗ de classes d’homotopia de camins satisfà les propietats següents: 

(i) Associativitat: Si el producte [ω] ∗ ([σ] ∗ [ρ]) està definit, també ho està ([ω] ∗ [σ]) ∗ [ρ] i 

són iguals. 

(ii) Unitats per la dreta i per l’esquerra: Donat x ∈ X, sigui εx el camí constant en x. Si ω 

és un camí de X de x0 en x1, llavors 

[ω] ∗ [εx1 ] = [ω], i [εx0 ] ∗ [ω] = [ω]. 

(iii) Camí invers: Donat un camí ω de X de x0 en x1, el camí oposat a X és el camí ω(s) = 

ω(1 − s). Es té 

[ω] ∗ [ω] = [εx0 ], i [ω] ∗ [ω] = [εx1 ]. 

Demostració. (i) El producte [ω]∗([σ]∗[ρ]) està definit si ho està el producte de camins ω∗(σ∗ρ), 

i això vol dir que ω(1) = σ(0), σ(1) = ρ(0). En aquest cas, (ω ∗ σ) ∗ ρ també està definit. Hem 

de provar que 

(ω ∗ σ) ∗ ρ ≃ ω ∗ (σ ∗ ρ), 

relativament als extrems. Si escrivim les definicions de tots dos camins trobem 

((ω ∗ σ) ∗ ρ)(s) = 

= 

(ω ∗ (σ ∗ ρ))(s) = 

= 

 

(ω ∗ σ)(2s), si s ∈ [0,1/2], 

ρ(2s − 1), 

⎧ 

⎨ ω(4s), 

si s ∈ [1/2,1], 

si s ∈ [0,1/4], 

σ(4s − 1), 

⎩ 

ρ(2s − 1), 

si 

si 

s ∈ [1/4,1/2], 

s ∈ [1/2,1]. 

 

ω(2s), si s ∈ [0,1/2], 

(σ ∗ ρ)(2s − 1), si s ∈ [1/2,1], 

⎧ 

⎨ ω(2s), si s ∈ [0,1/2], 

σ(4s − 2), 

⎩ 

ρ(4s − 3), 

si 

si 

s ∈ [1/2,3/4], 

s ∈ [3/4,1]. 

Veiem així que la diferència entre un i altre està en el “temps” i la “velocitat” en què recorrem 

ω,σ i ρ. Per trobar l’homotopia d’un a l’altre, considerem el següent diagrama:


1 

t 

0 

t 

✻ 

(0, −1) 

ω σ ρ 

1 

2 

3 

4 

(1) (2) (3) 

s 0 s 0 s 0 

ω 1 σ 1 ρ 

4 2 

En els punts (1), (2), (3) l’homotopia prendrà el mateix valor que pren (ω ∗ σ) ∗ ρ en el s0 

corresponent de l’eix s. Tenint en compte que les rectes que contenen aquests punts són 

1 

(1, 2) 

✲ 

s 

s = s0(1 + t), s = 1 

4 t + s0 , s = 

1 − s0 

t + s0 , 

2 

aïllant s0 i substituint-la en (ω ∗ σ) ∗ ρ, obtenim l’aplicació 

⎧ 

4s 

⎪⎨ ω 1+t 

F(s,t) = 

⎪⎩ 

, 

 

si 0 ≤ s ≤ 1 1 

4t + 4 , 

σ(4s − t − 1), si 1 1 1 1 

4t + 4 ≤ s ≤ 4t + 2 , 

 

4−t−2 ρ 2−t , si 1 1 

4t + 2 ≤ s ≤ 1. 

F és una homotopia de (ω∗σ)∗ρ a ω∗(σ∗ρ). En efecte, F és contínua pel lema de l’enganxament, 

ja que està definida i és contínua en subespais tancats de I ×I i en les interseccions coincideixen 

les diferents definicions 

per a s = 

per a s = 

t + 1 

4 

t + 2 

4 

 

 

4 ω 1+t 

 

t+1 

4 = ω(1) = x1, 

: 

σ 4 t+1 

4 − t − 1 = σ(0) = x1. 

 

t+2 σ 4 4 

: 

− t − 1 

= σ(1) = x2, 

t+2 

4 

ρ = ρ(0) = x2. 

4 −t−2 

2−t 

A més, F(s,0) = ((ω ∗ σ) ∗ ρ)(s), ja que 

⎧ 

⎨ ω(4s), 

F(s,0) = 

⎩ 

si s ∈ 0, 1 

σ(4s − 1), si 

 

4 

s ∈ ρ(2s − 1), si 

 

1 1 

4 , 2 

s ∈ 1 

2 ,1 

⎫ 

⎬ 

= ((ω ∗ σ)ρ)(s), 

⎭

8.2. El grup fonamental 211 

i, anàlogament, F(s,1) = (ω ∗ (σ ∗ ρ))(s). Finalment, observem que F deixa fixos l’origen de ω 

i el final de ρ ja que 

F(0,t) = ω(0), F(1,t) = ρ(0), 

per a qualsevol t ∈ I. 

(ii) Hem de comprovar que 

ω ∗ εx1 ≃ ω i εx0 ∗ ω ≃ ω . 

La primera homotopia la construïm amb l’ajut del diagrama 

t 

t 

✻ 

ω 1 2 εx1 

ω 

✲s 

G 

✲ 

x0 

✲ 

ω 

Formalment, sigui G : I × I −→ X l’aplicació 

 

2s ω 

G(s,t) = 2−t , si s ∈ 0, 2−t 

x1, si 

 

2 , 

s ∈ 2−t 

2 ,1 . 

La comprovació que es defineix així una homotopia entre ω ∗ εx1 i ω la deixem per al lector. 

L’altra homotopia es defineix de forma similar. 

(iii) La idea intuïtiva de l’homotopia ω ∗ ω ≃ εx0 és prou simple. El camí ω ∗ ω consisteix 

a recórrer el camí “d’anada” ω des de x0 fins a x1 i el de “tornada”, ω, des de x1 fins a x0. 

L’homotopia que busquem correspon a fer aquest tipus de trajecte “d’anada i tornada” al llarg 

de ω entre x0 i els punts ω(t). Així, definim 

 

1 

ω(2ts), si s ∈ 0, 

H(s,t) = 

2 , 

ω(2t(1 − s)), si s ∈ 1 

2 ,1 , 

La comprovació que H defineix una homotopia ω ∗ω ≃ εx0 és immediata. Anàlogament, es veu 

que ω ∗ ω ≃ εx1 . 

8.2 El grup fonamental 

El producte que hem definit en el conjunt de classes d’homotopia de camins d’un espai topològic 

X no està definit per a tot parell de classes de camins [ω] i [σ], ja que hem d’imposar que 

ω(1) = σ(0). Per tal de resoldre aquest fet i obtenir un grup, considerem el conjunt de les 

classes d’homotopia de camins de X amb un punt base x0 fixat, en el qual els camins hi tinguin 

origen i final, és a dir, de llaços de base x0. 

x1 

X


8.2.1 Definició Siguin X un espai i x0 un punt de X. Un camí de X que comença i acaba en 

x0 s’anomena un llaç basat en x0. El conjunt 

π1(X,x0) = {[ω] |ω : I −→ X , ω(0) = ω(1) = x0} 

s’anomena el grup fonamental de X (o primer grup d’homotopia de X), relatiu al punt base 

x0. 

En principi, π1(X,x0) és un conjunt, tot i que l’hem anomenat el grup fonamental atès que el 

producte de camins li indueix aquesta estructura: 

8.2.2 Proposició Siguin X un espai topològic i x0 ∈ X. Amb l’operació de producte de camins, 

π1(X,x0) és un grup. 

Demostració. Donades dues classes qualssevol [ω],[σ] ∈ π1(X,x0), el seu producte està sempre 

definit per [ω] ∗ [σ] = [ω ∗ σ], ja que ω(1) = σ(0) = x0. L’element unitat és la classe de εx0 , 

[εx0 ] = 1. L’invers de [ω] és la classe del camí oposat ω, [ω]−1 = [ω]. 

8.2.3 Exemple El grup fonamental de R n és trivial, és a dir, consisteix en un sol element, la 

unitat. En efecte, si ω : I −→ R n és un camí basat en x0, llavors l’homotopia lineal 

F(s,t) = tx0 + (1 − t)ω(s) 

el contrau en el camí constant εx0 i, per tant, [ω] = [εx0 ] = 1. 

El mateix raonament ens permet assegurar, més generalment, que si X és un conjunt convex 

qualsevol de R n , llavors π1(X,x0) ∼ = {1}. En particular, π1(D n ,x0) ∼ = {1}. 

8.2.4 Definició Sigui X un espai topològic. Diem que X és simplement connex si és un espai 

arc-connex i té grup fonamental trivial, π1(X,x0) = 1. 

Amb aquesta terminologia, l’exemple anterior mostra que tot subconjunt convex de R n és un 

espai simplement connex. 

Una qüestió que sorgeix immediatament és la dependència de π1(X,x0) respecte del punt base 

x0. Siguin x1 un altre punt de X i α : I −→ X un camí des de x0 a x1. 

8.2.5 Definició Es defineix l’aplicació 

associada al camí α : I −→ X, per l’equació 

α : π1(X,x0) −→ π1(X,x1), 

α([ω]) = [α] ∗ [ω] ∗ [α].

8.2. El grup fonamental 213 

x0 α 

α 

✙ ✲ 

✲ 

ω 

Observem que α([ω]) = [α ∗ ω ∗ α], de manera que, en termes de trajectòries, el llaç s’inicia 

descrivint el camí invers α des de x1 fins a x0, per després descriure el llaç ω i retornar a x1 pel 

camí α. En particular, partim de x1 i retornem a x1, és a dir, es tracta d’un llaç de base x1. 

8.2.6 Proposició α és un isomorfisme de grups. 

Demostració. En primer lloc observem que α és un morfisme de grups 

α([ω ∗ σ]) = [α] ∗ [ω ∗ σ] ∗ [α] 

x1 

= ([α] ∗ [ω] ∗ [α]) ∗ ([α] ∗ [σ] ∗ [α]) 

= α([ω]) ∗ α([σ]). 

A més, α és un isomorfisme, ja que si β : π1(X,x1) −→ π1(X,x0) és el morfisme associat al 

camí invers β = α, llavors 

( β ◦ α)([ω]) = β([α ∗ ω ∗ α]) = [β] ∗ [α ∗ ω ∗ α] ∗ [β] 

= [α] ∗ [α ∗ ω ∗ α] ∗ [α] = ([α] ∗ [α]) ∗ [ω] ∗ ([α] ∗ [α]) 

= [ω], 

i, anàlogament, es veu que α β = id . És a dir, α i β són isomorfismes inversos l’un de l’altre. 

8.2.7 Corol·lari Siguin X un espai arc-connex i x0,x1 ∈ X dos punts qualssevol. Llavors, 

π1(X,x0) ∼ = π1(X,x1). 

Així, si X és arc-connex, és temptador d’eliminar el punt base de π1(X,x0), escrivint π1(X), 

i identificar tots els grups fonamentals, independentment de quin sigui el punt base. Encara 

que això seria innocu en la breu introducció del grup fonamental que fem en aquest capítol, 

hem d’assenyalar que, en aplicacions més acurades, eliminar el punt base pot conduir a errors 

ja que una cosa és que tots els grups fonamentals π1(X,x0) siguin isomorfs i una altra és que 

els isomorfismes siguin canònics. 

D’altra banda, en el cas d’un espai que no és arc-connex, es té: 

8.2.8 Proposició Siguin X un espai topològic i C el component arc-connex que conté el punt 

x0 ∈ X. Aleshores, hi ha un isomorfisme π1(C,x0) = π1(X,x0).


Demostració. Si ω : I −→ X és un llaç de punt base x0, ω(I) és arc-connex i, per tant, la imatge 

de ω està continguda en C. A més, per l’arc-connexió de I × I, dos camins ω,σ : I −→ X són 

homòtops si i només si ho són els camins ω,σ : I −→ C. És a dir, π1(C,x0) = π1(X,x0). 

Aquesta darrera proposició és un cas particular d’una situació més general, l’acció d’una aplicació 

contínua sobre els grups fonamentals, (és el cas que correspon a la inclusió de C en X). 

Considerem una aplicació contínua f : X −→ Y , i punts x0 ∈ X i y0 = f(x0). Escrivim 

f : (X,x0) −→ (Y,y0) 

per indicar que y0 = f(x0). Observem que, si ω és un llaç de X de punt base en x0, llavors 

f ◦ ω : I −→ Y és un llaç de Y , amb punt base y0. 

8.2.9 Definició Sigui f : (X,x0) −→ (Y,y0) una aplicació contínua. Es defineix l’aplicació 

associada entre grups fonamentals 

per l’equació 

f∗ : π1(X,x0) −→ π1(Y,y0), 

f∗([ω]) = [f ◦ ω]. 

f∗ l’anomenem el morfisme induït per f relativament al punt base x0. 

8.2.10 Proposició Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua. Llavors, f∗ : π1(X,x0) −→ 

π1(Y,y0) és un morfisme de grups. 

Demostració. És clar que, per 7.1.7, f∗ està ben definit, és a dir, no depèn del representant ω 

escollit. 

Pel que fa a ser morfisme de grups, si 

llavors, 

(ω ∗ σ)(s) = 

(f ◦ (ω ∗ σ))(s) = 

que és precisament, (f ◦ ω) ∗ (f ◦ σ). Per tant, 

ω(2s), si s ∈ [0,1/2], 

σ(2s − 1), si s ∈ [1/2,1], 

(f ◦ ω)(2s), si s ∈ [0,1/2], 

(f ◦ σ)(2s − 1), si s ∈ [1/2,1], 

f∗([ω] ∗ [σ]) = f∗([ω]) ∗ f∗([σ]). 

En la propera proposició assenyalem dues propietats de f∗ que són fonamentals en les aplicacions 

i que, en particular, permetran deduir immediatament la invariància topològica del grup 

fonamental. 

8.2.11 Proposició (a) Siguin f : (X,x0) −→ (Y,y0) i g : (Y,y0) −→ (Z,z0) aplicacions 

contínues. Llavors, 

(g ◦ f)∗ = g∗ ◦ f∗ : π1(X,x0) −→ π1(Z,z0). 

(b) L’aplicació id : (X,x0) −→ (X,x0) indueix la identitat de π1(X,x0): 

(id )∗ = id π1(X,x0) .

8.3. Càlcul de grups fonamentals 215 

Demostració. (a) És conseqüència de l’associativitat de la composició d’aplicacions: 

(g ◦ f)∗([ω]) = [g ◦ f ◦ ω] = g∗([f ◦ ω]) = (g∗ ◦ f∗)([ω]). 

(b) Es tracta d’una comprovació immediata: id ∗([ω])) = [id ◦ ω] = [ω] = id ([ω]). 

8.2.12 Corol . lari Si f : (X,x0) −→ (Y,y0) és un homeomorfisme, llavors 

és un isomorfisme. 

f∗ : π1(X,x0) −→ π1(Y,y0) 

Demostració. Sigui g : (Y,y0) −→ (X,x0) l’homeomorfisme invers de f. Llavors, g ◦ f = id X i 

f ◦ g = id Y . Per la proposició anterior, 

i també 

g∗ ◦ f∗ = (g ◦ f)∗ = (id X)∗ = id π1(X,x0), 

f∗ ◦ g∗ = (f ◦ g)∗ = (id Y )∗ = id π1(Y,y0), 

d’on se segueix que f∗ i g∗ són isomorfismes inversos l’un de l’altre. 

8.2.13 Observació Un parell d’associacions com les efectuades 

espai topològic puntejat −→ grup fonamental 

aplicació puntejada −→ morfisme induït 

amb les propietats reflectides a la proposició 8.2.11, és el que s’anomena un functor. Els functors 

són aplicacions entre categories; en el nostre cas, entre la categoria d’espais topològics puntejats 

Top∗ i la categoria de grups Gr, 

π1 : Top ∗ −→ Gr. 

Bona part de les aplicacions més immediates del grups fonamentals depenen del seu caràcter 

functorial. La invariància topològica que acabem de demostrar n’és un exemple. Per a més 

informació sobre les categories i functors, i la seva utilitat en topologia algebraica, vegeu, per 

exemple, [NP]. 

8.3 Càlcul de grups fonamentals 

En aquesta secció calculem els grups fonamentals de les esferes, els tors i els espais projectius, 

cosa que ens permet veure que S 2 , T 2 i P 2 no són espais homeomorfs entre ells. Hem emmarcat 

cadascun d’aquests càlculs en un context més general, tot i que només provarem els 

resultats bàsics que ens permetin completar l’estudi de les superfícies esmentades. Per a un 

desenvolupament sistemàtic dels grups fonamental i les seves propietats, vegeu [Ma].


El grup fonamental de la circumferència 

Al capítol 7 hem definit el grau d’una aplicació contínua f : S 1 −→ S 1 , cosa que ens ha permès 

demostrar que el grup de classes d’homotopia [S 1 , S 1 ] és isomorf a Z. En aquesta secció veiem 

com aquest càlcul ens permet identificar el grup fonamental de la circumferència S 1 , π1(S 1 ,1), 

amb Z. 

En primer lloc, observem que a π1(S 1 ,1) les classes d’homotopia ho són relativament a 1, mentre 

que a [S 1 , S 1 ], les classes d’homotopia són lliures. Hi ha una aplicació 

χ : π1(S 1 ,1) −→ [S 1 , S 1 ], 

que a tot llaç ω de S 1 amb punt base 1 li fa correspondre l’aplicació ω : S 1 −→ S 1 induïda pel pas 

al quocient I −→ S 1 . D’altra banda, l’operació de grup de π1(S 1 ,1) correspon al producte de 

camins, mentre que l’operació de grup de [S 1 , S 1 ] correspon al producte de nombres complexos 

de mòdul 1, S 1 ⊆ C. 

8.3.1 Proposició L’aplicació χ : π1(S 1 ,1) −→ [S 1 , S 1 ] és un isomorfisme de grups. 

Demostració. Comencem provant que χ és una aplicació exhaustiva: sigui f : S 1 −→ S 1 una 

aplicació contínua qualsevol. Si θ és tal que f(1) = exp(2πiθ), aleshores l’aplicació contínua 

F : S 1 × I −→ S 1 , definida per 

F(z,t) = f(z)exp(−2πiθ), 

és una homotopia de f a g(z) = F(z,1), però ara g(1) = f(1)exp(−2πiθ) = 1. 

χ([g]) = [f]. 

És a dir, 

Provem ara que χ és un morfisme de grups: siguin ω,σ dos llaços de S 1 amb punt base 1 i 

provem que 

gr ([ω] ∗ [σ]) = gr ([ω]) + gr ([σ]). 

Pel lema de l’aixecament, 7.2.2, existeixen aixecaments ω,σ : I −→ R de ω i σ: ω = exp ◦ω,σ = 

exp ◦σ. A més, com que ω(1) = σ(0) = 1, podem escollir l’aixecament σ de forma que σ(0) = 

ω(1), 7.2.2. Així, el camí producte ω ∗ σ és un aixecament de ω ∗ σ i, per tant, 

gr ([ω] ∗ [σ]) = ω ∗ σ(1) − ω ∗ σ(0) 

= σ(1) − ω(0) 

= σ(1) − σ(0) + ω(1) − ω(0) = gr ([ω]) + gr ([σ]). 

Finalment, provem la injectivitat de χ: sigui σ un llaç de base 1 que és homòtop (sense punts 

base) al camí constant 1. Si F és una homotopia entre σ i ε1, aleshores l’aplicació contínua 

G : S 1 × I −→ S 1 , definida per 

G(z,t) = F(z,t) 

F(1,t) , 

és una homotopia de σ a ε relativament a 1. 

8.3.2 Corol·lari El morfisme grau indueix un isomorfisme entre el grup fonamental de la circumferència 

S 1 en 1 i Z.


El grup fonamental de les esferes 

L’esfera S n és la unió dels hemisferis nord i sud, S n = S n + ∪ S n −, definits per la positivitat o la 

negativitat de la darrera coordenada: 

S n + = S n ∩ {xn+1 ≥ 0}, S n − = S n ∩ {xn+1 ≤ 0}. 

Aquests subespais són homeomorfs a una bola n-dimensional, D n i, per tant, simplement connexos. 

Així, el càlcul del grup fonamental de les esferes, per n ≥ 2, se segueix del resultat 

següent. 

8.3.3 Teorema Siguin X un espai topològic i U,V ⊆ X oberts simplement connexos tals que 

X = U ∪ V i que U ∩ V és arc-connex. Aleshores, X és simplement connex, és a dir, per a 

qualsevol x ∈ X, π1(X,x) = 1. 

Demostració. Fixem un punt base x ∈ U ∩V . És suficient demostrar que tot llaç de X amb punt 

base x és homòtop a un producte de llaços, cadascun dels quals està completament contingut a 

U o a V , ja que aquests oberts són simplement connexos i, per tant, és homòtop al llaç constant. 

Sigui ω un llaç de X. Pel lema de Lebesgue, 4.5.7, hi ha una partició 0 = t0 < · · · < tn = 1 de 

l’interval I tal que ω[tk,tk+1] està completament contingut a U o a V . A més, podem suposar 

que els punts ω(tk) són tots ells de la intersecció U ∩ V ja que, en cas contrari si ω(tk) ∈ U no 

és de V , per exemple, els arcs ω([tk−1,tk]) i ω([tk,tk+1]) estaran completament continguts a U, 

per la qual cosa ω([tk−1,tk+1]) ⊆ U i podem eliminar el punt tk de la partició. 

V 

✻ 

❄ 

✍ 

x γ1 

❖ 

◆ 

ω 

γ2 

❥ 

✲ 

Com que U ∩ V és arc-connex, per a cada k podem escollir un camí γk de U ∩ V que uneix x 

amb el punt ω(tk). Així, si denotem ωk el camí definit per ω entre ω(tk−1) i ω(tk), el llaç ω és 

homòtop al llaç 

(ω0 ∗ γ −1 

1 )(γ2 ∗ ω2 ∗ γ1)...(γn−1 ∗ ωn), 

que és un producte de llaços cadascun dels quals està contingut en U o en V . 

γ3 

✢ 

U 

✻ 

❄


8.3.4 Corol·lari Les esferes S n , n ≥ 2, són simplement connexes, 

π1(S n ,x) = 1, n ≥ 2. 

8.3.5 Observació El teorema 8.3.3 és un cas particular del teorema demostrat per Seifert i van 

Kampen que, amb hipòtesi d’arc-connexió, relaciona el grup fonamental d’un espai X amb els 

grups fonamentals d’un recobriment obert X = U ∪ V . De fet, el raonament que es fa en la 

demostració de 8.3.3 prova que els generadors dels grups fonamentals de U i de V determinen 

generadors del grup fonamental de X (vegeu el problema 14), mentre que és una tasca més 

feixuga determinar les relacions entre aquests generadors. El teorema general de Seifert-van 

Kampen és una eina molt útil per calcular grups fonamentals de diferents espais (vegeu, per 

exemple, [M]). 

Grup fonamental d’un espai producte 

8.3.6 Teorema Siguin X,Y dos espais topològics. El grup fonamental del producte, π1(X × 

Y,(x,y)), és isomorf al producte de grups fonamentals, π1(X,x) × π1(Y,y). 

Demostració. Les projecions pX i pY de X × Y sobre X i Y , respectivament, permeten definir 

un morfisme 

ϕ : π1(X × Y,(x,y)) −→ π1(X,x) × π1(Y,y), 

segons 

ϕ([ω]) = (pX∗[ω],pY ∗[ω]) = ([pXω],[pY ω]). 

Provem que ϕ és un monomorfisme: si [ω] és del nucli de ϕ, aleshores pXω i pY ω són homòtops 

als llaços constants εx i εy, respectivament. Siguin F : pXω ≃ εx i G : pY ω ≃ εy sengles 

homotopies. Aleshores, l’aplicació contínua H : I × I −→ X × Y , definida per 

H(s,t) = (F(s,t),G(s,t)), 

és una homotopia de ω a ε (x,y), és a dir, [ω] = 1. 

Quant a l’exhaustivitat de ϕ, siguin α i β llaços de X i de Y , respectivament. Llavors, el llaç 

ω(t) = (α(t),β(t)) és tal que ϕ([ω]) = ([α],[β]). 

8.3.7 Corol·lari El grup fonamental del tor T 2 és isomorf a Z 2 . 

Demostració. El tor T 2 és homeomorf al producte S 1 × S 1 i, per tant, el resultat se segueix del 

càlcul del grup fonamental de la circumferència i del resultat anterior. 

El grup fonamental d’un espai d’òrbites 

El càlcul del grup fonamental de la circumferència es basa en les propietats d’aixecament de 

l’aplicació exponencial exp : R −→ S 1 , aplicació que identifica S 1 amb l’espai d’òrbites de R per 

l’acció de translació de Z. Si G és un grup que actua en un espai X, ens proposem resseguir la


demostració de 7.2.7 per calcular el grup fonamental de l’espai d’òrbites X/G. Per tal de fer-ho, 

la projecció π : X −→ X/G ha de tenir propietats d’aixecament anàlogues a les de l’aplicació 

exponencial, cosa que no podem assegurar per a un G-espai qualsevol. 

8.3.8 Definició Sigui X un G-espai. Diem que l’acció de G en X és pròpiament discontínua 

si, per a tot x ∈ X, hi ha un entorn U, x ∈ U, tal que 

per a qualssevol g,g ′ ∈ G amb g = g ′ . 

g · U ∩ g ′ · U = ∅, 

És a dir, si l’acció és pròpiament discontínua tot punt té un entorn tal que tots els seus traslladats 

són disjunts. Vegem-ne alguns exemples. 

8.3.9 Exemples (1) L’acció de Z sobre R, definida per x ↦→ x + n, és pròpiament discontínua. 

En efecte, si ε < 1, aleshores els traslladats de l’obert U = (x − ε,x + ε) són tots disjunts, 

(x + n − ε,x + n + ε) ∩ (x + m − ε,x + m + ε) = ∅. 

(2) L’acció de Z/2Z sobre l’esfera S n , definida per l’aplicació antipodal, x ↦→ −x, és pròpiament 

discontínua. En efecte, donat un punt x ∈ S n , és suficient prendre un entorn connex U que no 

talli el pla diametral ortogonal al radi que defineix x, ja que aquest pla divideix l’esfera en dos 

hemisferis que s’intercanvien per l’aplicació antipodal. 

Com acabem d’assenyalar a l’exemple 1, l’acció de Z sobre R amb la qual hem identificat la 

circumferència com espai d’òrbites és una acció pròpiament discontínua. Resseguint la demostració 

de 7.2.1 i adaptant-la al context de les accions pròpiament discontínues s’obté el resultat 

següent. 

8.3.10 Lema Sigui G un grup que actua de forma pròpiament discontínua en un espai X i 

notem p : X −→ X/G la projecció. Aleshores, tot punt y ∈ X/G té un entorn obert U tal que 

l’antiimatge p −1 (U) és una unió disjunta d’oberts de X cadascun dels quals és homeomorf a U, 

és a dir, 

p −1 (U) = Ui, Ui ∩ Uj = ∅, 

amb Ui ⊆ X obert i tal que p |Ui : Ui −→ U és un homeomorfisme, per a tot i. 

La propietat de la projecció π reflectida en aquest lema és la que ha permès establir, en el cas 

de l’aplicació exponencial, els lemes d’aixecament de camins i d’homotopies, que són igualment 

vàlids en aquesta situació més general. 

8.3.11 Lema de l’aixecament per espais d’òrbites Sigui G un grup que actua de forma pròpiament 

discontínua sobre un espai topològic X. Sigui Y = I o I 2 , i f : Y −→ X/G una aplicació 

contínua. 

(i) Existència de l’aixecament: existeix una aplicació contínua f : Y −→ X tal que exp ◦f = 

f. Es diu que f és un aixecament de f.


(ii) Unicitat de l’aixecament: si f : Y −→ X és un altre aixecament de f, llavors f i f 

difereixen en un element de G; és a dir, existeix un g ∈ G tal que f(x) = g · f(x), per a 

tot x ∈ Y . Així, si fixem x0 ∈ X tal que π(x0) = f(0), hi ha un únic aixecament f que 

satisfà f(0) = x0. 

Sigui X un espai arc-connex sobre el qual actua un grup G de forma pròpiament discontínua. 

Donats un punt x0 ∈ X i la seva projecció, y0 = p(x0), l’òrbita de x0 és 

p −1 (y0) = {gx0 | g ∈ G}. 

Anàlogament a com hem definit l’aplicació grau per a la circumferència podem definir una 

aplicació 

ϕ : π1(X/G,y0) −→ G, 

de la forma següent: sigui [ω] un llaç de X/G amb punt base y0. Per 8.3.11, ω admet un únic 

aixecament ω : I −→ X tal que ω(0) = x0. Així, com que ω(1) és de l’òrbita de x0, existeix 

un gω ∈ G tal que ω(1) = gω · x0. Definim ϕ([ω]) = gω, (observeu que, pel lema d’aixecament 

d’homotopies, aquesta aplicació està ben definida, és a dir, no depèn del representant de la 

classe d’homotopia escollit). 

8.3.12 Teorema Amb les notacions anteriors, ϕ és un morfisme de grups i indueix un morfisme 

que és un isomorfisme. 

ϕ : π1(X/G,y0)/p∗π1(X,x0) −→ G, 

Demostració. Comencem provant que ϕ és un morfisme de grups. Siguin ω,σ dos llaços de X/G 

amb punt base y0. Pel lema de l’aixecament, existeixen aixecaments de ω i de σ, ω,σ : I −→ X 

unívocament determinats pel seu valor en l’instant inicial, que fixem com ω(0) = x0 i σ(0) = x0, 

de manera que, segons la definició de ϕ, 

ω(1) = gω · x0, σ(1) = gσ · x0. 

Observem que el camí traslladat de σ per gω, és a dir, el camí gω · σ, satisfà que gω · σ(0) = 

gω · x0 = ω(1) i, per tant, el camí ω ∗ (gω · σ) és un aixecament del llaç ω ∗ σ que comença a x0. 

Així, per la definició de ϕ es té 

ϕ([ω] ∗ [σ]) = ω ∗ (gω · σ)(1) = gω · σ(1) = gωgσ. 

L’exhaustivitat de ϕ és immediata ja que, donat un g ∈ G, qualsevol camí de X que uneixi x0 

i g · x0 defineix un llaç a X/G, [ωg], amb ϕ([ωg]) = g. 

Analitzem, per acabar, el nucli de ϕ. El nucli consisteix en les classes dels llaços ω de X/G tals 

que l’aixecament ω satisfà ω(1) = x0, (gω = 1), és a dir, tals que l’aixecament ω és un llaç de 

X amb punt base x0. Dit d’una altra manera, kerϕ = im p∗. 

8.3.13 Corol·lari Sigui G un grup que actua de forma pròpiament discontínua sobre un espai 

simplement connex X. Llavors, π1(X/G,y0) ∼ = G.

8.4. Invariància homotòpica i tipus d’homotopia 221 

En particular, de 8.3.4 i de l’exemple 8.3.9(2) deduïm: 

8.3.14 Corol·lari El grup fonamental de l’espai projectiu real P n , n ≥ 2, és isomorf a Z/2Z. 

Com a conseqüència dels càlculs de grups fonamentals efectuats, 8.3.4, 8.3.7 i 8.3.14, podem 

distingir l’esfera, el tor o el pla projectiu: 

8.3.15 Corol·lari Les superfícies de l’esfera S 2 , el tor T 2 i el pla projectiu P 2 no són homeomorfes 

entre elles. 

8.4 Invariància homotòpica i tipus d’homotopia 

Dediquem aquesta darrera secció a provar que el grup fonamental no tan sols és invariant per 

homeomorfismes, 8.2.12, sinó que també ho és per equivalències homotòpiques. Comencem 

introduint les equivalències homotòpiques. 

De la mateixa manera que un homeomorfisme és una aplicació contínua “invertible” en el 

sentit que, si f ∈ C(X,Y ) és un homeomorfisme existeix una aplicació g ∈ C(X,Y ) tal que 

g ◦ f = id X ∈ C(X,X) i f ◦ g = id Y ∈ C(Y,Y ), una equivalència homotòpica és una aplicació 

contínua que és “invertible” en els conjunts de classes d’homotopia, [X,Y ]. Més precisament: 

8.4.1 Definició Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua. Diem que f és una equivalència 

homotòpica de X a Y si existeix una aplicació contínua g : Y −→ X tal que [g] ◦ [f] = [id X] i 

[f]◦[g] = [id Y ]. Diem que dos espais X, Y són del mateix tipus d’homotopia (o homotòpicament 

equivalents), si existeix una equivalència homotòpica de X a Y . 

És a dir, si f és una equivalència homotòpica, d’inversa homotòpica g, aleshores g ◦ f ≃ id X; 

així, existeix una aplicació contínua F : X × I −→ X tal que F(x,0) = g(f(x)) i F(x,1) = x. 

Anàlogament, de f ◦ g ≃ id Y se segueix l’existència d’una homotopia G : Y × I −→ Y , tal que 

G(y,0) = f(g(y)) i G(y,1) = y. 

Fem servir la notació X ≃ Y per indicar que X i Y són del mateix tipus d’homotopia. (Observeu 

que el símbol ≃ té significats diferents segons si està entre espais topològics o aplicacions 

contínues.) 

8.4.2 Observacions (1) Com que la relació d’homotopia és una relació d’equivalència, és un 

exercici senzill comprovar que l’equivalència homotòpica defineix una relació d’equivalència 

entre els espais topològics. 

(2) Si X i Y són homeomorfs, aleshores són del mateix tipus d’homotopia. En efecte, si 

f : X −→ Y és un homeomorfisme d’invers g, basta prendre les homotopies constants F(x,t) = 

g(f(x)). Però el recíproc no és cert en general, és a dir, hi ha espais que tenen el mateix tipus 

d’homotopia i que no són homeomorfs, com comprovem tot seguit.


8.4.3 Exemple Siguin X = S 1 i Y = S 1 ∪ [1,2] una circumferència i una circumferència amb 

un segment exterior a ella amb un punt en comú. X i Y no són homeomorfs ja que, si traiem 

el punt (1,0) a Y , deixa de ser connex, mentre que X no té punts separadors. En canvi, 

són homotòpicament equivalents. La idea intuïtiva és relativament simple: podem “estirar” el 

segment exterior des del punt (0,1) fins a aconseguir que quedi reduït a aquest punt. En efecte, 

considereu les aplicacions f : X −→ Y i g : Y −→ X definides per 

f(x) = x,x ∈ X, 

 

1 y, si y ∈ S , 

g(y) = 

(1,0), si y ∈ [1,2]. 

Aquestes aplicacions f i g són clarament contínues, i gf = id X i fg ≃ id Y . Això últim és degut 

al fet que fg = g i podem fer servir l’homotopia de la línia recta amb id Y . És a dir, f és una 

equivalència homotòpica. 

De fet, l’exemple és un cas particular d’equivalència homotòpica que es coneix com a retracte 

de deformació. 

8.4.4 Definició Un subconjunt A d’un espai topològic X s’anomena un retracte de deformació 

de X si existeix una retracció r : X −→ A tal que i ◦ r ≃ id X, on i : A ֒→ X és la inclusió. 

Dit d’una altra manera, A és un retracte de deformació de X si existeix una homotopia 

tal que 

F : X × I −→ X 

F(x,0) = x, per a tot x ∈ X, 

F(x,1) ∈ A, per a tot x ∈ X. 

En aquest cas, fixat un punt x ∈ X i fent variar el temps t, 0 ≤ t ≤ 1, s’obté el camí 

σx(t) = F(x,t), que és la trajectòria que descriu el punt des de la seva posició inicial, x, fins a 

arribar al punt r(x). És per això que sovint és còmode representar un retracte de deformació 

mitjançant un flux des de X fins a A. 

8.4.5 Exemples (1) A l’exemple 8.4.3, hem provat que la circumferència X és un retracte de 

deformació de Y , essent g una retracció. 

(2) L’espai R n té el tipus d’homotopia d’un punt. En efecte, considerem r l’aplicació constant 

que aplica tot l’espai en el 0 ∈ R n . Aleshores, F(x,t) = (1 − t)x defineix una homotopia entre 

la identitat de R n i la composició i ◦ r. Per la mateixa raó, la bola D n = {x ∈ R n | x ≤ 1} 

té el mateix tipus d’homotopia que un punt.


❘ 

❯ 

❥ 

✲ 

❄☛ 

✠ 

✙ 

✛ 

✯ ❨ 

✒ 

✕ ✻❑ 

■ 

◆ 

❄ 

✌ 

❘ 

▼ ✻ ✍ 

✠ 

■ 

✐ 

✒ 

✶ 

✮ 

✲ 

✛ 

✲ 

✛ 

✶ 

✮ 

✠ 

 

❘ 

✐ 

✒ 

✌ ❄ ◆ 

■ 

✍ 

✻ 

▼ 

(3) La circumferència S 1 és també un retracte de deformació del pla foradat, R 2 \{(0,0)}, (veieu 

la figura). En efecte, la retracció R 2 \ {(0,0)} −→ S 1 es defineix per r(x) = x/ x . Si x ∈ S 1 , 

x = 1 i, per tant, (r ◦ i)(x) = x, per a tot x ∈ S 1 . Quant a l’homotopia i ◦ r ≃ id R 1 \{(0,0)}, 

prenem l’homotopia de la línia recta 

F : R2 \ {(0,0)} × I −→ R2 \ {(0,0)} 

(x,t) ↦−→ t x 

+ (1 − t)x 

x 

que és contínua i, per a tot x ∈ R 2 \ {(0,0)}, satisfà 

F(x,0) = x = id R2 \{(0,0)} i F(x,1) = x 

= (i ◦ r)(x). 

x 

(4) Assenyalem la diferència entre un retracte i un retracte de deformació. Per què A ⊆ X sigui 

un retracte és suficient que hi hagi una retracció r : X −→ A, mentre que si és un retracte de 

deformació no tan sols es té la retracció sinó que, com hem indicat, els punts han de descriure 

una trajectòria des de x fins a r(x). 

Així, per exemple, el punt (1,0) de la circumferència S 1 és un retracte, amb retracció constant 

r(x,y) = (1,0), per a tot (x,y) ∈ S 1 . En canvi, no és un retracte de deformació. Tot i 

que no podem demostrar ara aquesta afirmació, que es dedueix de 8.4.9, en podem fer una 

aproximació intuïtiva: si fos un retracte de deformació, tots els punts de la circumferència 

hauríen de descriure un camí fins al punt (1,0), i això de forma contínua en les variables 

(x,y,t) ∈ S 1 × I. Si els punts de la semicircumferència superior es traslladen al llarg d’aquesta 

i, anàlogament, els de la inferior descriuen l’arc que els separa de (1,0), per on s’ha de moure 

el punt (−1,0)? Observem que, si el punt (−1,0) es desplaça per la circumferència superior, en 

un instant t = 0 s’haurà separat dels seus punts propers amb y ≤ 0, que s’estan desplaçant per


la semicircumferència inferior, amb la qual cosa es perd la continuïtat de l’homotopia respecte 

de (x,y). 

✲ 

✲ 

En els exemples hem vist que R n o una bola Br(X) ⊆ R n admeten un punt com a retracte 

de deformació i, en particular, tenen el tipus d’homotopia d’un punt. Entre els diversos tipus 

d’homotopia, el del punt té nom propi. 

8.4.6 Definició Un espai topològic X s’anomena contràctil si és del mateix tipus d’homotopia 

que un punt. 

Equivalentment, un espai és contràctil si existeix una aplicació contínua F : X × I −→ X tal 

que 

F(x,0) = x0, per a tot x ∈ X, 

F(x,1) = x, per a tot x ∈ X, 

essent x0 ∈ X un punt fixat. 

8.4.7 Exemple Un subconjunt X ⊆ R n es diu que és estrellat respecte d’un punt p si, per a 

qualsevol x ∈ X, el segment [p,x] està contingut en X. Per exemple, el propi espai R n o D n 

són conjunts estrellats. Un conjunt estrellat és contràctil. 

En efecte, sense pèrdua de generalitat ,podem suposar que l’origen és el centre del conjunt 

estrellat X, és a dir, que donat un punt x, el segment format pels punts tx, 0 ≤ t ≤ 1, està 

contingut a X. Aleshores, l’aplicació F : R n × I −→ R n , definida per F(x,t) = xt, estableix 

una homotopia entre la identitat de X i l’aplicació constant igual a zero. 

El teorema d’invariància que volem provar és conseqüència del resultat següent: 

8.4.8 Teorema Siguin f,g : X −→ Y aplicacions contínues, F : f ≃ g una homotopia i 

α : I −→ Y el camí α(t) = F(x0,t) de f(x0) a g(x0). Aleshores, es té el diagrama commutatiu


de morfismes de grups següent: 

És a dir, 

π1(X,x0) 

f∗ 

✶ 

 

g∗ 

g∗ = α ◦ f∗ . 

π1(Y,f(x0)) 

α 

❄ 

π1(Y,g(x0)) 

Demostració. Hem de veure que, per a tot [ω] ∈ π1(X,x0), es té que 

g∗[ω] = (α ◦ f∗)[ω] 

o, equivalentment, que hi ha una homotopia de llaços g ◦ ω ≃ α ∗ (f ◦ ω) ∗ α. 

x 0 

✒ 

ω 

f 

g 

✲ 

✲ 

g(x 0 ) 

f(x 0 ) 

✠ 

✒ 

✲ 

f ◦ ω 

X Y 

Per a això utilitzem l’homotopia F de f a g. El camí (α ∗ (f ◦ ω)) ∗ α ve donat per: 

((α ∗ (f ◦ ω)) ∗ α)(s) = 

= 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

⎧ 

⎨ 

Utilitzant l’homotopia F, podem reescriure’l com: 

⎩ 

α 

g ◦ ω 

α(4s), s ∈ [0,1/4], 

(f ◦ ω)(4s − 1), s ∈ [1/4,1/2], 

α(2s − 1), s ∈ [1/2,1], 

α(1 − 4s), s ∈ [0,1/4], 

(f ◦ ω)(4s − 1), s ∈ [1/4,1/2], 

α(2s − 1), s ∈ [1/2,1]. 

⎧ 

⎨ F(x0,1 − 4s), s ∈ [0,1/4], 

((α ∗ (f ◦ ω)) ∗ α)(s) = F(ω(4s − 1),0), 

⎩ 

F(x0,2s − 1), 

s ∈ [1/4,1/2], 

s ∈ [1/2,1].


F(x 0 , 0) = f(x 0 ) 

F(x 0 , h(s, t)) 

Sembla aleshores raonable definir 

segons 

F(x 0 , t) 

❯ 

✲ 

▼ 

❑ 

F(x 0 , 1) = g(x 0 ) 

✲ 

✲ 

✲ 

✛ 

f ◦ ω 

✛ 

F(x 0 , 1 − 4s(1 − t)) 

H : I × I −→ Y, 

✛ 

F(ω(4s − 1), t) 

g ◦ ω 

⎧ 

⎨ F(x0,1 − 4s(1 − t)), s ∈ [0,1/4], 

H(s,t) = F(ω(4s − 1),t), 

⎩ 

F(x0,h(s,t)), 

s ∈ [1/4,1/2], 

s ∈ [1/2,1], 

essent h : I × I −→ I una funció que ha de complir les condicions següents: 

h(s,0) = 2s − 1 (perquè volem que, per a t = 0, sigui F(x0,2s − 1)), 

h(s,1) = 1 (perquè, per a t = 1, volem que sigui F(x0,1) = g(x0)), 

h(1/2,t) = t (perquè H ha de ser contínua). 

Si imposem aquestes condicions a una funció del tipus h(s,t) = as + bt + cst + d, trobem que 

a = 2, d = −1, c = −2, b = 2. En resum, prenem 

⎧ 

⎨ F(x0,1 − 4s(1 − t)), s ∈ [0,1/4], 

H(s,t) = F(ω(4s − 1),t), s ∈ [1/4,1/2], 

⎩ 

F(x0,2(s(1 − t) + t) − 1), s ∈ [1/2,1]. 

Comprovem que H defineix l’homotopia que cercàvem entre g ◦ ω i α ∗ (f ◦ ω) ∗ α: 

(1) H és contínua, ja que per a s = 1/4 es té d’una banda que F(x0,1 − (1 − t)) = F(x0,t) 

i, de l’altra, que F(ω(0),t) = F(x0,t), mentre que, per a s = 1/2 es té F(ω(1),t) = F(x0,t) i 

+ t) − 1) = F(x0,t). 

F(x0,2( 1 

2 

− t 

2 

(2) Per a t = 0, H(s,0) = [(α ∗ (f ◦ ω)) ∗ α](s), òbviament. Per a t = 1, 

H(s,1) = 

= 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

F(x0,1), s ∈ [0,1/4], 

F(ω(4s − 1),1), s ∈ [1/4,1/2], 

F(x0,1), s ∈ [1/2,1], 

ε g(x0)(4s), s ∈ [0,1/4], 

(g ◦ ω)(4s − 1), s ∈ [1/4,1/2], 

ε g(x0)(2s − 1), s ∈ [1/2,1], 

= [(ε g(x0) ∗ (g ◦ ω)) ∗ ε g(x0)](s) ≃ (g ◦ ω)(s).


(3) A més, l’homotopia és relativa a {0,1}, ja que H(0,t) = F(x0,1) = g(x0) i H(1,t) = 

F(x0,2(1 − t + t) − 1) = F(x0,1) = g(x0). 

8.4.9 Corol . lari Siguin f,g : (X,x0) −→ (Y,y0) aplicacions homòtopes relativament a {x0}. 

Llavors, 

f∗ = g∗ : π1(X,x0) −→ π1(Y,y0). 

Demostració. El camí α(t) = F(x0,t) és el camí constant εx0 , ja que F(x0,t) = x0, per a tot 

t ∈ I. Així, del teorema anterior es dedueix: 

i, per tant, g∗ = f∗. 

g∗([ω]) = α ◦ f∗([ω]) = [α] ∗ [f ◦ ω] ∗ [α] 

= [f ◦ ω] = f∗([ω]) 

8.4.10 Corol . lari Sigui f : X −→ Y una equivalència homotòpica. Aleshores, si x0 ∈ X i 

y0 = f(x0), f indueix un isomorfisme f∗ : π1(X,x0) −→ π1(Y,y0). 

Demostració. Sigui g : Y −→ X una equivalència inversa de f i considerem homotopies 

F : g ◦ f ≃ id X, i G : f ◦ g ≃ id Y . 

Si α(t) = F(x0,t) és el camí de (g ◦ f)(x0) a x0 que dóna l’homotopia F, del teorema 8.4.8 

se segueix que id X = α ◦ (g ◦ f)∗. Anàlogament, prenent β(t) = G(f(x0),t) en resulta que 

β ◦ (f ◦ g)∗ = id Y . Així, de 8.2.11, se segueixen les igualtats 

α ◦ g∗ ◦ f∗ = id π1(X,x0) 

β ◦ f∗ ◦ g∗ = id π1(Y,f(x0)). 

Com que α i β són isomorfismes, aquestes igualtats són equivalents a 

d’on es dedueix fàcilment el resultat. 

g∗ ◦ f∗ = α −1 , f∗ ◦ g∗ = β −1 , 

8.4.11 Corol·lari (Invariància homotòpica del grup fonamental) Siguin X i Y espais arc-connexos 

que tenen el mateix tipus d’homotopia. Llavors, π1(X,x0) ∼ = π1(Y,y0), per a tot x0 ∈ X 

i tot y0 ∈ Y . 

Demostració. Sigui f : X −→ Y és una equivalència homotòpica. Llavors, 

f∗ : π1(X,x0) −→ π1(Y,f(x0)), 

és un isomorfisme. Sigui α : I −→ Y un camí de f(x0) a y0, que existeix perquè Y és arc-connex. 

Llavors, el morfisme 

α : π1(Y,f(x0)) −→ π1(Y,y0), 

és un isomorfisme. Per tant, la composició 

α ◦ f∗ : π1(X,x0) −→ π1(Y,y0),


és un isomorfisme. 

Els espais contràctils són els espais que tenen el tipus d’homotopia d’un punt i, per tant, com 

a cas particular d’aquest darrer resultat trobem: 

8.4.12 Corol . lari Si X és un espai contràctil, llavors és simplement connex, és a dir, 

π1(X,x0) ∼ = 1. 

8.4.13 Exemple Si X ⊆ R n és un subconjunt estrellat, aleshores és contràctil i, en conseqüència, 

té grup fonamental trivial. 

Observem que el recíproc no és cert, ja que les esferes S n , n ≥ 2, són simplement connexes, 

però no són contràctils, tot i que no demostrarem aquest resultat (vegeu [NP]). 

8.5 Problemes 

1. Proveu que l’espai topològic de dos elements X = {a,b}, amb la topologia definida per 

T = {∅,X, {a}} (espai conegut com l’espai de Sierpinski de dos elements), és simplement 

connex. 

2. Sigui X un espai topològic. Proveu que X és simplement connex si i només si dos camins 

qualssevol ω,σ : I −→ X, amb els mateixos punts inicial i final, són homotòpicament equivalents 

relativament als extrems. 

3. Calculeu els grups fonamentals dels espais següents: 

(a) D 2 × S 1 (Tor sòlid). 

(b) S 1 × I. 

(c) S 1 × R. 

(d) A = {(x,y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 > 1}. 

(e) B = {(x,y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≥ 1}. 

(f) R n − {0}, n ≥ 2. 

(g) R 3 − {(0,0,z) | z ∈ R}. 

(h) S n − {punt}, n ≥ 1. 

(i) Els espais lenticulars L(p,q). 

4. Sigui Y un retracte de X. Proveu que es tenen les implicacions següents: 

(a) X connex =⇒ Y connex.


(b) X compacte =⇒ Y compacte. 

(c) X de Hausdorff =⇒ Y tancat. 

(d) X simplement connex =⇒ Y simplement connex. 

5. Proveu que tant el número 8 com l’espai Θ = S 1 ∪({0}×[−1,1]) són retractes de deformació 

de R 2 \ {p,q}, però que cap d’ells és retracte de deformació de l’altre. 

6. Doneu un exemple de retracte que no sigui retracte de deformació. 

7. Proveu que, si X i Y són del mateix tipus d’homotopia i X és connex, aleshores Y és connex. 

8. Proveu que existeix una circunferència dins d’una cinta de Möbius de la qual és retracte de 

deformació. Deduïu que la cinta de Möebius i el cilindre són homotòpicament equivalents. 

9. Si A ⊆ B ⊆ X i B és un retracte de deformació de X i A ho és de B, proveu que A és un 

retracte de deformació de X. 

10. (a) Proveu que S n és un retracte de deformació de R n+1 − {0}. 

(b) Identifiqueu un retracte de deformació de R 2 − {p,q} (p = q). 

(c) Siguin p ∈ T 2 i X = T 2 − {p}; trobeu un subconjunt de X homeomorf al número 8 i que 

sigui retracte de deformació de X. 

(d) Siguin p, H i r ⊆ R 3 com en el gràfic. Proveu que H − {p} és un retracte de deformació de 

R 3 − r. 

r 

p H 

. 

11. (a) Proveu que si X ≃ Y i X ′ ≃ Y ′ , aleshores X × Y ≃ X ′ × Y ′ . 

(b) Proveu que tot espai X és retracte de deformació del cilindre X × I. 

(c) Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua. Proveu que Y és un retracte de deformació del 

cilindre de f, Mf. 

(d) Sigui f : X −→ Y una aplicació contínua. Proveu que X és un retracte de deformació del 

cilindre de f si i només si f és una equivalència homotòpica. 

12. Siguin X,Y espais homotòpicament equivalents. Suposem que X té la propietat del punt 

fix. Té Y la propietat del punt fix? I si Y ⊆ X és un retracte de deformació de X?


13. (a) Siguin f,g : S 1 −→ X aplicacions contínues tals que f ≃ g. Proveu que els espais 

d’identificació X ∪f D 2 i X ∪g D 2 són homotòpicament equivalents. 

(b) Sigui X l’espai que s’obté adjuntant un disc a la circumferència S 1 a partir de l’aplicació 

d’adjunció descrita en l’exemple de l’inici de l’apartat 7.2. Proveu que X és contràctil. (Aquest 

espai es coneix com barret del capsigrany.) 

14. Anomenem segment rectilini de l’esfera S n la projecció d’un segment de R n+1 que uneix dos 

punts no antipodals de S n . Proveu que tot camí de S n és homòtop, relativament als extrems, 

a un producte de segments rectilinis. Deduïu que l’esfera S n , n ≥ 2, és simplement connexa. 

15. Proveu que existeix una retracció r : D n −→ S n−1 si i només si S n−1 és contràctil. 

16. Siguin X un espai topològic i U,V ⊆ X oberts tals que U, V i U ∩ V són arc-connexos. 

Proveu que, si i : U −→ X i j : V −→ X són les inclusions, el grup fonamental de X en un 

punt x ∈ U ∩ V està generat per les imatges de i∗ i j∗. 

17. (a) Siguin a,b : C −→ C els homeomorfismes del pla complex definits per 

Proveu que ba = a −1 i deduïu que 

és un grup d’homeomorfismes de C. 

a(z) = z + i, i b(z) = z + 1 

+ i. 

2 

G = {a m b 2n b ε , | m,n ∈ Z,ε = ±1}, 

(b) Proveu que l’acció de G sobre C és pròpiament discontínua i que l’espai d’òrbites, C/G, és 

de Hausdorff. 

(c) Proveu que C/G és homeomorf a l’ampolla de Klein, K, i deduïu que, per a qualsevol x ∈ K, 

π1(K,x) = G. 

18. Sigui X un espai topològic. Proveu que són equivalents: 

(a) X és contràctil. 

(b) L’aplicació identitat, id X, és homòtopa a constant. 

(c) Dues aplicacions contínues f,g : Y −→ X són sempre homòtopes. 

(d) Tot punt de X és retracte de deformació de X.

[B] N. Bourbaki: Topologie. Herman ed. Paris, 1971. 

Bibliografia 

[BvR] G. Buskes; A. van Rooij: Topological spaces. Springer Verlag. Berlin, 1997. 

[CS] W.G. Chinn; N.E. Steenrod: First concepts of topology. Randon House Inc. New York, 

1966. 

[HW] W. Hurewicz; H. Wallman: Dimension theory. Princeton U.P. Princeton, 1948. 

[HY] J. Hocking; G. Young: Topology. Dover edition. New York, 1988. 

[K] C. Kosniowski : Topología Algebraica. Ed. Reverté. Barcelona, 1986. 

[Ma] W. Massey: Una introducción a la topología algebraica. Ed. Reverté. Barcelona, 1972. 

[M] J. Munkres : Topología (de la 2a edició anglesa). Pearson educación. Madrid, 2002. 

[NP] V. Navarro; P. Pascual : Topologia Algebraica. Edicions U.B. Barcelona, 1999. 

[S] A. Sieradski : An introduction to topology and homotopy. PWS-KENT. Boston, 1992. 

[Sp] M. Spivak: Cálculo en variedades. Ed. Reverté. Barcelona, 1970. 

[SS] L.A.Steen; J.A.Seebach Counterexamples in Topology. Dover edition. New York, 1995. 

[W] C.T.C. Wall: A geometric introduction to topology. Dover edition. New York, 1993.

G-espai, 76 

índex d’una corba tancada, 182 

acció d’un grup, 76 

acció pròpiament discontínua, 216 

adherència, 29 

ampolla de Klein, 68 

aplicacions homòtopes, 170 

aplicacions homòtopes relativament a un subespai, 

173 

aplicació 

contínua, 12, 34 

oberta, 38 

tancada, 38 

uniformement contínua, 100 

aplicació exponencial, 176 

arrel d’un polinomi, 187 

axioma de l’elecció, 111 

barret del capsigrany, 227 

base 

numerable en un punt, 38 

base d’una topologia, 24 

bola 

oberta, 10 

tancada, 10 

bon ordre, 113 

cadena, 112 

distingida, 113 

camí, 129 

camí tancat, 129 

cilindre 

Índex alfabètic 

d’un espai topològic, 53 

d’una aplicació, 82 

cinta de Möbius, 66 

classe d’equivalència, 58 

classe d’homotopia, 174 

clausura de Kuratowski, 40 

col·lapse d’un subespai, 74 

compactificació 

de Stone-Cech, 160, 167 

compactificació d’Alexandroff, 105 

component connex, 134 

con 

d’una aplicació, 83 

con d’un espai, 75 

conjunt 

Fσ, 167 

Gδ, 167 

dens en ell mateix, 45 

fitat, 19 

perfecte, 45 

conjunt convex, 120 

conjunt de classes d’homotopia, 174 

conjunt estrellat, 222 

contracció, 118 

corba, 65 

corba plana, 182 

desigualtat triangular, 8 

distància, 8 

p-àdica, 17 

discreta, 9 

entre dos subconjunts, 18

ÍNDEX ALFABÈTIC 233 

distàncies equivalents, 19 

diàmetre, 18, 97 

domini del pla, 192 

element maximal, 112 

encolament de dos espais, 72 

entorn, 14, 33 

obert, 34 

equivalència homotòpica, 219 

esfera, 66, 69 

esfera de Riemann, 108 

espai 

arc-connex, 129 

compacte, 86 

completament regular, 156 

connex, 122 

contràctil, 221 

d’òrbites, 76 

de Baire, 117 

de Fréchet, 147 

de Hausdorff, 23, 147 

de Hilbert ℓ 2 , 20, 119 

de Lindelöf, 119 

de Sierpinski, 225 

localment arc-connex, 139 

localment compacte, 101 

localment connex, 138 

metritzable, 157 

mètric, 8 

mètric complet, 117 

normal, 147, 153, 160 

producte, 55 

projectiu, 70 

regular, 147 

separable, 33 

seqüencialment compacte, 97, 98 

simplement connex, 210 

topològic, 21 

espais 

completament fitats, 99 

lenticulars, 83 

família de funcions que separa punts, 157 

família de funcions que separa punts de tancats, 

157 

fita superior, 112 

frontera, 30 

grau d’una aplicació, 179 

grup fonamental, 210 

gràfic d’una aplicació, 78 

homeomorfisme, 36 

homotopia, 170 

lineal, 172 

relativa, 173 

identificació, 59 

interior, 29 

l’arracada i la perla, 145 

la pinta i la puça, 130 

lema 

d’immersió, 158 

d’Urysohn, 151 

de Baire, 117 

de l’aixecament, 177 

de l’aixecament d’homotopies, 178 

de l’aixecament per espais d’òrbites, 217 

de l’enganxament, 78 

de Zorn, 113 

del nombre de Lebesgue, 97 

del tub, 92 

llaç, 129 

morfisme induït, 212 

mètode diagonal de Cantor, 99 

mètrica, 8 

de l’oficina de correus, 28 

del suprem, 9 

discreta, 9 

fitada, 9 

nombre de Lebesgue, 97 

obert, 15, 21 

ordre 

lexicogràfic, 40 

ordre del domini, 193 

parell antipodal, 190

234 ÍNDEX ALFABÈTIC 

pla 

projectiu, 69 

pla de Moore, 41 

primer axioma de numerabilitat, 38 

principi de maximalitat de Hausdorff, 114 

producte d’una família de conjunts, 54 

producte de camins, 205 

projecció estereogràfica, 108 

propietat d’intersecció finita, 88 

propietat de Bolzano-Weierstrass, 97, 98, 

119 

propietat del punt fix, 188 

propietat universal 

de l’encolament, 73 

de la topologia induïda, 49 

de la topologia inicial, 79 

de la topologia producte, 52, 56 

de la topologia quocient, 60 

de la unió disjunta, 72 

punt 

adherent, 29 

aïllat, 32 

d’acumulació, 32 

interior, 29 

límit, 32 

punt antiposal, 190 

punt fix, 188 

punt separador, 125 

ram d’esferes, 73 

recobriment, 85 

d’un subespai, 90 

obert, 86 

relació 

d’ordre parcial, 112 

d’ordre total, 112 

relació d’equivalència, 57 

retracció, 189 

retracte 

de deformació, 220 

segment inicial, 114 

segon axioma de numerabilitat, 27 

separació, 122 

sinus del topòleg, 143 

sistemes d’entorns, 40 

subbase, 26 

subespai connex, 122 

subespai topològic, 47 

subrecobriment, 86 

successió 

equiconvergent, 119 

convergent, 38 

superfície, 65 

poligonal, 71 

tallar i enganxar, 64 

tancat, 28 

teorema 

d’estabilitat de l’índex, 186 

d’extensió de Tietze, 161 

d’invariància de l’índex per homotopies, 

185 

d’invariància de la dimensió, 192 

d’invariància del domini, 200 

de Bolzano, 187 

de Borsuk-Ulam, 190 

de Cantor, 88 

de Cantor-Bendixon, 45 

de contracció de Banach, 118 

de Heine-Borel, 94 

de la continuïtat uniforme, 100 

de la corba de Jordan, 196 

de la subbase d’Alexander, 110 

de metritzabilitat, 158 

de Poincaré-Bohl, 185 

de Rouché, 186 

de separació d’Eilenberg, 193 

de Tychonoff, 110 

del pastís, 144 

del punt fix de Brouwer, 189 

del valor intermig, 124 

del valor màxim i mínim, 89 

fonamental de l’àlgebra, 187 

tipus d’homotopia, 219 

topologia, 21 

compacta-oberta, 168 

de l’ordre, 40 

de la unió disjunta, 71 

de les caixes, 56

ÍNDEX ALFABÈTIC 235 

de Moore, 41 

de Zariski, 42 

del complement numerable, 39 

del límit inferior, 25 

dels complements finits, 22 

discreta, 22 

feble, 81 

generada, 26 

grollera, 22 

induïda, 47 

inicial, 79 

més fina, 23 

més grollera, 23 

mètrica, 22 

producte, 50, 55 

quocient, 59 

usual, 22 

tor, 67 

n-dimensional, 95 

translació, 76 

unió 

puntual de dos espais, 73 

unió disjunta, 71 

varietat topològica, 65 

vèrtex del con, 75

P. Pascual, A. Roig, Topologia. Barcelona. Edicions UPC, 2004 ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?