Llibret de problemes del bloc de química quàntica de QQE

PROBLEMES DE
QUÍMICA QUÀNTICA I
ESPECTROSCÒPIA
Editat per l’Àrea de Química Física
E. Besalú, M. Solà, J. Miró, P. Salvador, J.M. Luis i E. Matito
Curs 2011-2012

ÍNDEX
PRECEDENTS DE LA QUÀNTICA I PRINCIPI D'INCERTESA......................................................3
POSTULATS DE LA MECÀNICA QUÀNTICA. FUNCIONS D’ONA I ÀLGEBRA
D'OPERADORS.........................................................................................................................................3
MODELS QUÀNTICS SENZILLS: LA CAIXA QUÀNTICA. L'OSCIL·LADOR HARMÒNIC,
EL ROTOR RÍGID. ...................................................................................................................................5
MOMENT ANGULAR..............................................................................................................................6
L'ÀTOM D'HIDROGEN I ÀTOMS HIDROGENOIDES .....................................................................6
ÀTOMS POLIELECTRÒNICS. TERMES ESPECTRALS..................................................................8
MOLÈCULES DIATÒMIQUES I POLIATÒMIQUES ........................................................................9
EL MÈTODE DE CÀLCUL APROXIMAT HÜCKEL .........................................................................9
APÈNDIX A: EL NECESSER DELS PROBLEMES DE QUÍMICA FÍSICA...................................11
APÈNDIX B: FUNCIONS D’ONA PER SISTEMES SENZILLS............ ¡ERROR! MARCADOR NO
DEFINIDO.
APÈNDIX C: INTEGRALS DEFINIDES I INDEFINIDES ................................................................12
2

PRECEDENTS DE LA QUÀNTICA I PRINCIPI D'INCERTESA
P1. Calcula la longitud d'ona de l'ona associada a:
a) una bala de massa 2.59 g, dotada d'una velocitat inicial de 335 ms -1
b) un electró accelerat des de l'estat de repòs per una diferència de potencial de 4x10 4
.
Sol.: a) 7.64x10 -34 m; b) 6.13x10 -12 m
P2. La longitud d'ona de l'ona associada a un electró és de 1.00×10 -10 m. Calculeu la seva
energia cinètica, la diferència de potencial que cal aplicar per comunicar aquesta
energia i la longitud d'ona del fotó que es generarà si tota l'energia cinètica es
transformés en un quant d'energia radiant.
Sol.: 2.41x10 -17 J; 150.4 V; 8.25x10 -9 m
P3. Calculeu aproximadament la incertesa mínima que correspon a la velocitat de: a. una
pilota de massa 1g, si la incertesa en la mesura de la posició és de 0'1 cm; b. un electró,
si la incertesa en la mesura de la posició és de 0'10 nm.
Sol.: a. 5.273x10 -29 m s -1 ; b. 5.788x10 5 m s -1
P4. Un estat excitat, l'energia del qual difereix en 6'65 eV de la de l'estat fonamental, té
una vida mitjana de 10 -12 s. Calculeu la longitud d'ona i l'amplada mínima de la línia
espectral que correspon al salt d'un electró des de l'estat excitat esmentat a l'estat
fonamental.
Sol.: 1864 Å, 0.09 Å
POSTULATS DE LA MECÀNICA QUÀNTICA. FUNCIONS
D’ONA I ÀLGEBRA D'OPERADORS.
P5. El commutador C de dos operadors A i B s'escriu com [A,B] i es defineix com la
diferència AB-BA. Es pot avaluar prenent una funció de prova f o, a vegades,
directament.
a) Trobar els commutadors [x,y], [x,x], [px,py], [x,px] i [x,py].
Sol.: [x,y]=0, [x,x]=0, [px,py]=0, [x,px]=iħħħħ i [x,py]=0.
b) Són x i y, x i px, x i py observables complementaris (variables
conjugades)?
c) Per què són importants els operadors de la posició i dels moments
lineals ?
P6. Indicar si commuten els operadors següents:
a) a i d2 /dx2 (on a és una constant) b)) [x ^ , px
^2 ] c) [x^ ,V^ (x,y,z)] d) ^ [px ,H^ ]
e) [x^ , H^ ] f) [x^ y^ z ^ , px
^2 ]
P7. Indicar quines de les següents funcions es comporten bé. D'aquelles que no ho fan,
indicar-ne la raó.
⎪⎧
f ( x)
= a
a) ⎨
x ≥ 0
-x b) f x = e
f ( x)
= 0 x < 0
2
( )
c)
2
f ( x)
= x d) f ( x)
= cos( x)
⎪⎩
e)
f ( x)
= e
−|
x|
f) f ( x)
= sin | x | g) f ( x)
= e
3
- 2
| x −3x+
1|

P8. Determineu si són bones funcions d'ona per al Hamiltonià les funcions següents:
a) f ( x)
= x
b)
−x
f ( x)
= e
c) f ( x)
= sin x totes elles per a x≥0 i f(x)=0 si x

moment m h ?
(c) Avaluar l'energia cinètica de la partícula descrita per la funció d'ona Ψ(φ).
2
Sol.: E = ( mlh)
/ 2m
P17. Una porció de la funció d'ona d'un sistema està definida a la part positiva de l'eix x i
pren la següent forma f(x)=Ae -kx on k i A depenen de l'energia total. En aquesta zona
el sistema està sotmès a una barrera de potencial d'alçada Vo. Calcular:
a) la probabilitat de trobar la partícula dins la zona de la barrera.
Sol.:P=A 2 /(2k)
b) la profunditat mitjana de penetració en aquesta zona. Sol.:
1/2k
MODELS QUÀNTICS SENZILLS: LA CAIXA QUÀNTICA.
L'OSCIL·LADOR HARMÒNIC, EL ROTOR RÍGID.
P18. La funció d'ona de l'estat fonamental d'una partícula confinada en una caixa
unidimensional de dimensió a i que es pot moure entre 0 i a és ψ =
2 ⎛ πx
⎞
sin ⎜ ⎟ .
a ⎝ a ⎠
Calcular: a) el valor mig de la posició; b) el valor mig del quadrat de la posició; c) el
valor mig de l'energia cinètica.
Sol.: a) a/2; b) a2 [1/3 - 1/(2π2 )]; c) h2 /8ma2 P19. Una caixa cúbica de 10 Å de costat conté 8 electrons suposadament independents.
Aplicant els resultats de la partícula en una caixa, calcular la diferència d'energia
entre l'estat fonamental i el primer estat excitat del sistema.
Sol.: 1.13 eV.
P20. Un electró confinat en una caixa monodimensional de longitud 1.4 Å té una energia en
l'estat fonamental corresponent a una llum de longitud d'ona de 700 Å. El benzè, com a
primera aproximació, pot ésser considerat com una caixa bidimensional que abasta la
forma hexagonal regular. La longitud de l'enllaç C-C en el benzè és 1.4 Å, així que el
costat de la caixa seria d'uns 2.8 Å. Estimar la longitud d'ona de la transició des de
l'estat fonamental fins al primer estat excitat del benzè suposant que només els
electrons d'enllaç π hi estan implicats.
Sol.: 933Å
P21. El sistema format per un electró en un sistema conjugat de dobles enllaços es pot
assimilar al d'una partícula en una caixa quàntica unidimensional. La distància entre
els dos extrems del poliè és de 10 Å. Calcular la separació energètica en J, kJ/mol, eV i
cm -1 entre els nivells amb
a) n=2 i n=1. Sol.: 1.807×10 -19 J
b) n=6 i n=5. Sol.: No et diu res el factor 11/3
?
P22. Una molècula de gas tancada en un matràs té els nivells energètics quantitzats.
a) Calcular la separació entre els dos nivells més baixos per a una molècula
d'oxigen en un recipient de 5 cm de llarg. Sol.: 1.239x10 -
39 J/molècula
b) Per quin valor del nombre quàntic n l'energia de la molècula val kT/2 a
temperatura ambient (T=300 K) ? Sol.: n=2.238899x10 9
c) Quina és la separació entre aquest nivell i el immediatament inferior ?
Sol.:1.849x10 -30
J/molècula
5

P23. A partir de la funció d'ona de la partícula de massa m situada en un pou quàntic
unidimensional de longitud a, calculeu, per a l'estat n = 1: a) la probabilitat de trobar
la partícula entre x = 0 i x = a/4; b) el valor mitjà de px entre x = 0 i x = a.
Sol.: a) P = 0.09 (1/4 - 1/2π); b) = 0
P24. Calculeu: (a) l'expressió de l'energia per a un electró situat en un pou de potencial
monodimensional de longitud 0'6 nm; (b) la mateixa expressió per a una partícula de
massa 1'7×10 -27 Kg confinada en un pou quàntic monodimensional de 25 nm de
longitud; c. repetiu el càlcul del segon cas (b) si la longitud de la caixa és d'1 nm.
Sol.: a) En = 1'67×10 -19 n 2 J; b) En = 5'2×10 -26 n 2 J; c) En = 3'2×10 -23 n 2 J
P25. Quin nivell ocuparia un electró amb energia molt aproximadament igual a kT en una
caixa monodimensional de 10 nm de longitud? Considereu T = 300 K.
Sol.: n = 3 (amb una energia una mica superior a kT)
P26. Un electró està confinat en una caixa cúbica d'1 cm d'aresta. Calculeu quants estats
d'energia estan permesos per sota d'1 eV.
Sol.: (nx 2 +ny 2 +nz 2 ) ≤ 2'66×10 14
P27. La funció d'ona fonamental d'un oscil·lador harmònic té forma Gaussiana
y(x)=exp(-αx2 ) on x és el desplaçament respecte el centre de la Gaussiana.
a) Mostrar que aquesta funció satisfà l'equació de Schrödinger per a un
oscil·lador harmònic i trobar la relació entre la constant αααα, la massa m
i la constant de força. Sol.: k=4(hα) 2 /m
b) Calcular l'energia de punt zero. Sol.: E0= αh2 /m
c) Calcular la mínima energia d'excitació, tenint en compte que la funció
d'ona del primer estat excitat es y(x) = x·exp(-αx 2 ). Sol.:
E=2E0
MOMENT ANGULAR
P28. Calcular els valors propis de l'operador -ihd/dx i de l'operador L ^ z i comparar ambdós
conjunts de valors propis.
P29. Demostrar que els harmònics esfèrics són funcions pròpies de l'operador L ^ x 2 + L ^ y 2 .
Quins són els valors propis?
P30. Avaluar la component z del moment angular i l'energia cinètica d'una partícula que es
mou en un anell amb les funcions d'ona
a) ya(φ)= exp(iφ). Sol.: =ħħħħ ; =ħħħħ 2 /2I
b) yb(φ)= exp(-2iφ). Sol.: =-2ħħħħ; =2ħħħħ 2 /I
c) yc(φ)= cos φ. Sol.: Vigila ! =0; =ħħħħ 2 /2I
d) yd(φ)= cos a exp(iφ) + sin a exp(-iφ), on a és una constant.
Sol.: Vigila molt més ! =ħħħħ cos2a; =ħħħħ 2 /2I
L'ÀTOM D'HIDROGEN I ÀTOMS HIDROGENOIDES
P31. -
La funció d'ona per a l’àtom d'hidrogen en el seu estat fonamental és: ψ = N 1s e ao
on ao
= 0.529Å. Calcula:
a) El factor de normalització Sol.: a) (πao 3 ) -1/2
b) La distància més probable de l'electró al nucli Sol.: b) ao
c) El valor mig d'aquesta distància Sol.: c) 3/2 ao
d) La probabilitat de trobar l’electró més enllà de ao Sol.: d) p=5e-2 =67.7%
e) La probabilitat de trobar-lo més enllà de 2ao Sol.: e) 24%
f) La probabilitat de trobar-lo en qualsevol lloc entre 0.9 i 1.1 ao Sol.: f) 10.8%
6
r

P32. a) Calcula el valor esperat de l'energia potencial de l'electró de l'àtom d'hidrogen per
als estats 1s i 2s. Sol.: = - eo 2 /(4πεoao); = - eo 2 /(16πεoao)
b) Calcula l'energia cinètica de l'electró en l'estat fonamental de l'àtom d'hidrogen.
Recorda que a0=h 2 εo/πme0 2 . Sol.: Ec = h 2 /2ma0 2 = meo 4 /(8εo 2 h 2 )
c) Per al cas de l’orbital 1s, compara els resultats dels dos apartats i relaciona el
resultat amb un teorema important.
Dades: Les funcions orbitals normalitzades pels estats 1s i 2s són e
1 ⎛ r ⎞ - 2 e
3 ⎜ −
2a
a ⎟
π ⎝ 0 ⎠
r
2s
= 2a
4 0
ψ , respectivament.
o
7
ψ
1
r
-
1s = ao
3
a0π
P33. Troba el nodes radials de l'estat 3s de l'àtom d'hidrogen. La part radial de la funció
R
1
= (6 -
9 3
4 2 -r/3
orbital 3s en unitats atòmiques és 4 + e . Sol.: 2 nodes a r=
ao(9±3 3/2 )/2.
3s
P34. Per a l'orbital 2s de l'àtom d'hidrogen que, normalitzat i en unitats atòmiques té
1 ⎛ r ⎞
2
3 ⎜ −
2a
π ⎝ a
r
2s
= ⎟ a
4 0
0 ⎠
-
l’expressióψ e 2 o , calcula:
a) els màxims de probabilitat. Sol.: 0'76ao i 5'24ao
b) la probabilitat de trobar l’electró entre 0 i ao. Sol: 3.4%
c) la probabilitat de trobar l’electró entre 2ao i 3ao. Sol.: 2.0%
P35. L’orbital hidrogenoide 1s en un àtom de número atòmic Z està descrit per la funció
d’ona següent: ψ(r,θ,ϕ)= (Z 3 /πao 3 ) 1/2 exp(-Zr/ao).
a) Expressa aquesta funció en unitats atòmiques. Sol.: ψ=(Z 3 /π) 1/2
e -Zr .
b) Forma la funció de distribució radial. Sol.: 4Z 3 r 2 e -2Zr .
c) Troba l’expressió per la distància més probable entre l'electró i el nucli. Sol.:
r=ao/Z.
d) Calcula aquesta distància pel cas de l'heli i del fluor hidrogenoïdes. Sol.: He + :
ao/2 i F 8+ : ao/9.
P36. Quin és el moment angular orbital d'un electró en els estats 1s, 3s, 3d, 2p i 3p ? Dóna
el número de nodes radials i angulars en cada cas.
Sol.: De forma respectiva es troben moments angulars de 0, 0, 6 1/2 h, 2 1/2 h i 2 1/2 h;
0, 2, 0, 0, 1 nodes radials i 0, 0, 2, 1, 1 nodes angulars. El nombre de nodes
angulars és l i el de radials és n-l-1. El nombre de nodes totals és n-1.
P37. Calcula la probabilitat que l'electró d'un orbital 3dz 2 es trobi a la regió tiroïdal d'aquest
mateix orbital. L’harmònic esfèric que descriu la part angular d’aquest orbital és
Y
1 ( θ, ϕ)
= 5
π
2
3 cos θ − 1 . Sol.: p=2·3-3/2≈0.3849. 20
4
( )
P38. Les parts angulars dels orbitals 3d són les funcions producte Θlm ( θ)
Φ m ( ϕ)
amb
nombres quàntics l=2 i m=-2,-1,0,1,2. Per aquests cinc orbitals tenim que
Θ ( θ ) = 10 2
3cos
θ − 1 , Θ ± θ) = m
15
sinθ
cosθ
, ( θ ) = 15 2
sin θ i
Φ
20
4
m ( ϕ)
= 1 imϕ
e .
2π
( )
2,
1(
2
r
9
r
)
Θ 2,
± 2
a) Construeix les 5 combinacions lineals típiques que permeten expressar-los com a
funcions reals. Recorda que aquestes noves funcions són les combinacions lineals
normalitzades que s’obtenen en combinar els harmònics esfèrics amb els nombres
4
i

quàntics que s’indiquen a continuació: dz2 és l’orbital amb m=0, dxz és la suma amb
m=1 i m=-1, dyz és la resta amb m=1 i m=-1, dx2-y2 és la suma amb m=2 i m=-2 i dxy
és la resta amb m=2 i m=-2.
b) Calcula les direccions de probabilitat màxima i fes-ne un representació gràfica.
Sol.: dz2 màxims a θ = 0, π/2, π mínims a θ = arcos(±3-1/2 ).
dxz màxims a θ =π/4 i 3π/4 mínims a θ = 0, π/2 i π.
màxims a ϕ = 0 i π mínims a ϕ = π/2 i 3π/2.
dyz màxims a θ = π/4 i 3π/4 mínims a θ = 0, π/2 i π.
màxims a ϕ = π/2 i 3π/2 mínims a ϕ =0 i π.
dx2-y2 màxims a θ = π/2 mínims a θ = 0, π.
màxims a ϕ = 0, π/2, π i 3π/2 mínims a ϕ = ±π/4 i ±3π/4.
dxy màxim a θ = π/2 mínims a θ = 0 i π.
màxims a ϕ = ±π/4 i ±3π/4 mínims a ϕ = 0, π/2, π i 3π/2.
c) Demostra que aquests orbitals són ortonormals.
P39. Determinar quines de les següents transicions estan permeses en l'espectre electrònic
d'un ió monoelectrònic:
a) 2s → 1s Sol.: No
b) 2p → 1s Sol.: Sí
c) 3d → 2p Sol.: Sí, però restringit per la variació del número quàntic m.
d) 5d → 3s Sol.: No
ÀTOMS POLIELECTRÒNICS. TERMES ESPECTRALS
P40. Determinar els microestats possibles per a un sistema d’un sol electró (àtom
hidrogenoide) amb configuració electrònica:
(a) s 1
(b) p 1
(c) d 1
P41. Determina els nivells energètics dels àtoms de liti i de beril·li en el seu estat
fonamental.
Sol.: Li: 2 S1/2 ; Be: 1 S0
P42. Determina el terme energètic de l'àtom de nitrogen en l'estat fonamental. Sol.: 4 S
P43. Determina els termes energètics dels àtoms d'oxigen i de clor en l'estat fonamental.
Sol.: O: 3 P; Cl: 2 P
P44. Determina els termes espectrals que corresponen a la configuració fonamental dels
elements fluor i titani. Especifica quin és el terme fonamental en cada cas. Sol. F:
2 P; Ti: 3 F, 3 P, 1 G, 1 D, 1 S
P45. Determina els termes espectrals que corresponen a les següents configuracions
electròniques del nitrogen:.
a) 1s 2 2s 2 2p 3 . Sol.: a) 4 S, 2 D, 2 P
b) 1s 2 2s 2 2p 2 3s 1 . Sol.: b) 4 P, 2 D, 2 P, 2 S
i la configuració del carboni:
c) 1s 2 2s 2 2p 1 3p 1 . Sol.: c) 3 D, 3 P, 3 S, 1 D, 1 P, 1 S
Determina el terme fonamental en cada cas.
P46. L'energia de desdoblament produïda en un terme per un camp magnètic B és: ∆E =
gµBMJB. Calcula la magnitud del desdoblament (en cm -1 ) del terme 2 P3/2 en un camp
magnètic de 4.0 T.
8

Sol. 2.49 cm -1 .
P47. Determina les línies espectrals que s'obtenen quan s'aplica un camp magnètic a un
àtom i que corresponen a les transició 3 S → 3 P.
Sol. 18 ratlles. (suposeu que es tracta d’una capa semiplena o menys)
MOLÈCULES DIATÒMIQUES I POLIATÒMIQUES
P48. Descriu la configuració electrònica de l'estat fonamental de les següents molècules: a)
N2 i F2, b) CO i NO, c) NO + , NO - i CN -
P49. Calcula l'ordre d'enllaç de les molècules i ions del problema anterior. Ordena cada
parella per ordre creixent de l'ordre d'enllaç, energia de dissociació i distància d'enllaç.
Sol. a) 3 i 1; b) 3 i 2.5; c) 3, 2 i 3.
P50. Determina la configuració electrònica del segon estat monoexcitat de la molècula C2.
Indica quin és el terme espectral corresponent a aquest estat així com la seva
multiplicitat i paritat. Sol.: 3 ∆u
P51. Considera les molècules següents: N2, NO, O2, C2, F2 i CN. Quines creus que
s’estabilitzaran quan es transformin en anions de la forma AB - ? I quines quan es
transformin en cations del tipus AB + ?
Sol.: AB - : s’estabilitzen C2 i CN; AB + : s’estabilitzen NO, O2 i F2 .
P52. Determina el moment angular orbital, d’espín i total de l'estat fonamental del catió
N2 + .
Sol.: L = 0; S=1/2; J=1/2.
P53. Comprova que els orbitals moleculars enllaçant i antienllaçant de la molècula H2 són
ortogonals entre sí.
EL MÈTODE DE CÀLCUL APROXIMAT HÜCKEL
P54. Efectua els següents càlculs en el marc de l'aproximació Hückel:
a) determina els OM del ciclobutadiè.
Sol.: {E}={α+2β,α(doble), α-2β}. Els OM són ψ1=(φ1+φ2+φ3+φ4)/2, ψ2=(φ1+φ2-φ3φ4)/2,
ψ3=(φ1-φ2-φ3+φ4)/2 i ψ4=(φ1-φ2+φ3-φ4)/2. Totes les parelles ortogonals de
combinacions lineals entre ψ2 i ψ3 també són vàlides.
c) fes una representació gràfica dels OM.
d) calcula l’energia de ressonància del ciclobutadiè. Sol.: 0
e) troba els índexs d’enllaç mòbil, de valència lliure i de distribucions de càrrega
pel ciclobutadiè. Fes-ne els comentaris oportuns.
Sol.: S’observa una distribució simètrica d’enllaços i càrregues característica
del grup D4h.
f) Torna a calcular tots aquests índexs pel primer estat excitat del ciclobutadiè.
S’aprecien possibles canvis en la seva reactivitat ?
Sol.: No s’aprecien canvis en la distribució de càrrega però sí en la fortalesa
d’alguns enllaços.
P55. La molècula de H3 pot ser lineal o cíclica.
a) Suposant que es pot aplicar l'aproximació de Hückel pels enllaços de tipus σ,
determina quina geometria és la més estable.
Sol.: la cíclica.
b) Quina geometria creus que és la més estable per H3 - i H3 + ?
Sol. Per H3 - la lineal i per H3 + la cíclica.
9

P56. A partir de l'aproximació Hückel, determina els OM del pirrol i del metilciclopropè.
Fes-ne una representació gràfica i troba els índexs d’enllaç mòbil, de valència lliure i
de distribucions de càrrega. Torna a calcular tots aquests índexs pel primer estat
excitat de cada molècula. S’aprecien possibles canvis en la seva reactivitat?
P57. Compara l'energia de ressonància dels catió i anió del benzè respecte amb la del benzè.
Relaciona els resultats amb la regla 4n+2.
P58. Els resultats d'un càlcul Hückel de la cis-pentadienona (O1=C2-C3=C4-C5=C6) són els
següents:
ε1 = α + 1.968β ; Φ1 = 0.57 p1 + 0.53 p2 + 0.45 p3 + 0.35 p4 + 0.24 p5 + 0.12 p6
ε2 = α +1.505β ; Φ2 = -0.49 p1 - 0.25 p2 + 0.15 p3 + 0.47 p4 + 0.56 p5 + 0.37 p6
ε3 = α + 0.696β ; Φ3 = 0.45 p1 - 0.12 p2 - 0.55 p3 - 0.27 p4 + 0.37 p5 + 0.52 p6
ε4 = α - 0.265β ; Φ4 = -0.38 p1 + 0.44 p2 + 0.28 p3 - 0.51 p4 - 0.15 p5 + 0.55 p6
ε5 = α - 1.156β ; Φ5 = -0.28 p1 + 0.55 p2 - 0.35 p3 - 0.15 p4 + 0.52 p5 - 0.45 p6
ε6 = α - 1.778β ; Φ6 = -0.15 p1 + 0.38 p2 - 0.52 p3 + 0.56 p4 - 0.45 p5 - 0.25 p6
on p1, p2, ...., p6 són els orbitals 2pz dels àtoms 1,2,....,6 respectivament.
a) Si per aquest sistema αO=α+β i βC,O=β, escriu el determinant secular per la cispentadienona
b) Dibuixa de forma esquemàtica la forma de l'HOMO i el LUMO en base a aquests
càlculs.
c) Calcula l’índex de càrrega sobre cada àtom. Quin és el punt al que més
previsiblement atacarà un electròfil?.
d) En termes de β dóna la diferència energètica entre l’estat fonamental i el primer
excitat.
e) Calcula l'ordre d'enllaç π del enllaç C2-C3 per l’estat fonamental i el primer estat
excitat. Fes una predicció pel que fa al canvi de la distància d’enllaç en passar de
l’estat fonamental al primer excitat.
10

APÈNDIX A: El necesser dels problemes de Química Física.
Constants físiques aproximades en el SI:
Nombre d'Avogadro : NA = 6.022·10 23 partícules/mol
Constant de Planck : h = 6.626·10 -34 Js
Constant de Planck reduïda : h = 1.055·10 -34 Js
Constant dels gasos : R = 8.31 J/Kmol
Constant de Boltzmann : kB = R/NA = 1.381·10 -23 J/K
Velocitat de la llum : c = 3·10 8 m/s
Massa de l'electró en repós : me= 9.109·10 -31 Kg
Massa del protó : mp= 1.673·10 -27 Kg
Càrrega de l'electró : e = 1.602·10 -19 C
Constant de Rydberg : R∞= 10973731.534 m -1
Radi de Bohr : ao= 5.292·10 -11 m
Factors de conversió de l'energia:
1 Hartree = 627.5095 kcal/mol = 27.2116 eV = 219474.3574 cm -1 ; 1 cal = 4.184 J
Relacions trigonomètriques
sin 2
cos A
1 - cos(
2α)
α =
;
2
cos 2
1 + cos(2α)
2 2
α =
; sin( 2α)
= 2sin
α cosα
; cos(2α)
= cos α - sin α
2
1 − cosB
= −2sin
; AsinB
= [ cos( A − B)
− cos( A + B)
]
Relacions d'Euler:
⎧ e
⎨
⎩e
iα
−iα
= cos α + i sin α
= cos α − i sin α
Operadors lineals:
A+ B A−B
sin 2 2
;
⎪⎧
cos α =
⎨
⎪⎩ sin α =
1
2
1
2i
sin 2
iα
−iα
( e + e )
iα
−iα
( e − e )
Aˆ
( x + y)
= Aˆ
( x)
+ Aˆ
( y)
Aˆ
( a·
x)
= a·
Aˆ
( x)
on x, y són funcions i a és una constant real
Operadors hermítics: Han de complir l'anomenada regla del turnover:
∫
D
( Oˆ
Ψ )
1
ˆ
2 ∫
D
2 1
*
o bé
*
Ψ OΨ dτ
= Ψ dτ
11
Suma de sèries:
∑
k=
1
∞
4 1 π
= .
4
k 90
ˆ ˆ ˆ y
o bé A ( a·
x + b·
y)
= a·
A(
x)
+ b·
A(
)
Ψ Oˆ
Ψ = Ψ Oˆ
Ψ
- Els valors propis d'un operador hermític són sempre reals. (¡Error! No se encuentra el origen de la
referencia.)
- Les funcions pròpies d'un operador hermític són ortogonals. (¡Error! No se encuentra el origen de la
referencia.)
- La suma de dos operadors hermítics és un altre operador hermític. (¡Error! No se encuentra el origen
de la referencia.)
- El producte d'un operador hermític per una constant real és també hermític. (¡Error! No se encuentra el
origen de la referencia.)
1
2
2
1
*

Àlgebra de commutadors: 1) [A,B]=AB-BA (definició)
2) [A+B,C]=[A,C]+[B,C]
3) [A 2 ,B]=[A,B]A + A[A,B]
12

APÈNDIX C: Integrals definides i indefinides
1.
2.
3.
π
∫
0
2
sin (nx) dx = ∫ cos
π
0
2
( nx)
π
=
2
∫ ;
π
3
4
∫ sin x dx = 3
0
x sin2x
sin x dx = -
2 4
2
3 −1
2
∫ ; sin ax dx = cos( ax)
( sin ( ax)
+ 2)
3a
∫
a
x sin2x
cos x dx =
2 4
2 +
mπx
nπx
4. ∫ sin(
) sin(
)
a
a
0
a
a ⎧ sim
= n
2 dx = ⎨
⎩0sim
≠ n
1
5. ∫ x cos bxdx = [ cos( ab)
− ab sin( ab)
− 1]
2
0
∞
∫
0
n -ax
n!
6. x e dx = si n ≥ 0 i a > 0
n+
1
a
b
= ∫
n
a ∑
k = 0
( n−k
)!
n ar
ar
k
n −k
n 1 ar
e
n!
r
r e n+
1
7. J ( a)
r e dr = ( −1)
k ; ( a)
= − J ( a)
+
8.
9.
10.
n
∞
∫
1
-a n k
n -ax n!
I ( a)
dx =
e a
n x e
n+
1 ∑ a k!
∞
∫
0
nπ
∫
0
π
k=
0
13
a
J n+
1
a a n
−a
n+
1
e
= ; ( a)
= ( I ( a)
+ )
2n - (2n -1)!
!
ax
x e dx = n+
1 2n+
1
2 a
xsin
m
2 π
⎧
⎪
( x)
dx = ⎨
⎪
⎪
⎩
i
∞
∫
0
2 ( nπ
) [ 1+
2(
r −1)
] !
2·
[ 2 + 2(
r −1)
] !
n+
1 ( nπ
) ( −1)
[ 2 + 2(
r −1)
] !
[ 1+
2(
r −1)
] !
I n+
1 a n n+
1
2n+
1 - 2 n!
ax
x e dx = n+
1 2a
!
ssi m = 2r
ssi m = 2r
+ 1
m+
n+
1 mπ
11. ∫ xsin(
mx)
cos( nx)
dx = ( −1)
ssi m ≠ n
2 2
m − n
0
π
si n≥0 i a>0.
2 2
m+
n m + n
12. ∫ x cos( mx)
cos( nx)
dx = [ ( −1)
−1]
ssi m ≠ n
2 2
m − n
0
π
m+
n 2mn
∫ xsin(
mx)
sin( nx)
dx = ( −1)
−1
2
13. [ ] 2 2
0
( m − n )
ssi m ≠ n