Seminaris de Geometria Diferencial i Càlcul Vectorial
Seminaris de Geometria Diferencial i Càlcul Vectorial
Seminaris de Geometria Diferencial i Càlcul Vectorial
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Ín<strong>de</strong>x<br />
<strong>Geometria</strong> diferencial — <strong>Seminaris</strong><br />
Curs 2008/2009<br />
E. Gallego, D. Marín, E. Miranda<br />
1 Gal . leries. Primers càlculs amb maple 5<br />
1.1 Exploratorium digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.2 El programa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.3 Documentació <strong>de</strong>l programa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.4 Galeries <strong>de</strong> corbes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.5 Galeria <strong>de</strong> superfícies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.6 El lloc web ‘Famous Curves In<strong>de</strong>x’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.7 <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong>l centre i radi <strong>de</strong> curvatura com a límit <strong>de</strong> circumferències secants. . 7<br />
1.8 Mèto<strong>de</strong> alternatiu utilitzant la teoria <strong>de</strong>l contacte. . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.9 Representació gràfica <strong>de</strong>ls cercles osculadors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.10 I<strong>de</strong>ntifiqueu la corba plana parametritzada per . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.11 Cicloi<strong>de</strong>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
2 Teoria global <strong>de</strong> corbes planes I 9<br />
2.1 Curvatura total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.2 Rotació <strong>de</strong> les tangents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.3 Teorema <strong>de</strong>ls quatre vèrtexs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.4 Funció <strong>de</strong> suport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
2.5 Notes finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
3 Teoria global <strong>de</strong> corbes planes II 12<br />
3.1 Paradoxa <strong>de</strong> Bertrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
3.2 Primera solució: fixant els extrems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
3.3 Segona solució: fixant el punt mitjà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
3.4 Tercera solució: fixant la distància a l’origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
3.5 Què passa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
3.6 Espai <strong>de</strong> rectes al pla. Mesura <strong>de</strong> conjunts <strong>de</strong> rectes. . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
3.7 Formula <strong>de</strong> Cauchy-Crofton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
3.8 Mesura cinemàtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
3.9 Funció suport (<strong>de</strong> nou). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
3.10 Suma <strong>de</strong> Minkowski.<br />
Àrea mixta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
3.11 Mesura <strong>de</strong>ls moviments que fan que dos convexos es tallin. . . . . . . . . . . . 17<br />
3.12 Fórmules <strong>de</strong> Poincaré i <strong>de</strong> Blaschke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
3.13 Desigualtat isoperimètrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
3.14 Referències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
1
4 Corbes a l’espai amb maple 20<br />
4.1 <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> la curvatura, torsió i triedre <strong>de</strong> Frenet d’una corba. . . . . . . . . . . 20<br />
4.2 Visualització <strong>de</strong>l triedre <strong>de</strong> Frenet d’una corba a l’espai. . . . . . . . . . . . . . 20<br />
4.3 Teorema fonamental <strong>de</strong> la teoria local <strong>de</strong> corbes planes. . . . . . . . . . . . . . 20<br />
4.4 Teorema fonamental <strong>de</strong> la teoria local <strong>de</strong> corbes a l’espai. . . . . . . . . . . . . 21<br />
4.5 Esferes osculadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
4.6 Representació gràfica <strong>de</strong> les esferes osculatrius d’una corba. . . . . . . . . . . . 23<br />
4.7 Corbes esfèriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
4.8 Teorema <strong>de</strong> Fary-Milnor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
5 Sessió <strong>de</strong> problemes <strong>de</strong> corbes a l’espai 25<br />
5.1 Esferes osculadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
5.2 Corbes esfèriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
5.3 Hèlixs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
5.4 Corbes <strong>de</strong> Bertrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
6 Tubs. Teoremes <strong>de</strong> Fenchel i <strong>de</strong> Fary-Milnor. 29<br />
6.1 Corbes paral . leles en el pla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
6.2 Area d’un convex paral . lel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
6.3 Superfície paral . lela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
6.4 Superfície tubular d’una corba a l’espai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
6.5 Volum d’un tub a l’espai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
6.6 Teorema <strong>de</strong> Fenchel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
6.7 Teorema <strong>de</strong> Fary-Milnor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
7 Geodèsiques i altres corbes especials sobre superfícies 33<br />
7.1 Equacions d’Euler-Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
7.2 Equacions d’Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
7.3 Geodèsiques i línies assimptòtiques sobre superfícies <strong>de</strong> revolució. . . . . . . . 34<br />
7.4 Estudi <strong>de</strong> l’el . lipsoi<strong>de</strong> <strong>de</strong> tres eixos amb maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
7.5 Línies <strong>de</strong> curvatura i geodèsiques sobre l’el . lipsoi<strong>de</strong> <strong>de</strong> tres eixos. . . . . . . . . 37<br />
8 Sessió <strong>de</strong> problemes sobre superfícies 39<br />
8.1 Superfícies <strong>de</strong> revolució. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
8.2 Isometries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
8.3 Geodèsiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
8.4 El pla hiperbòlic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
8.5 Derivada covariant i transport paral . lel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
9 Els teoremes <strong>de</strong> Gauss i Stokes i les equacions <strong>de</strong> Maxwell 42<br />
9.1 Circul . lació i flux d’un camp vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
9.2 El flux sortint a través <strong>de</strong> dues superfícies tanca<strong>de</strong>s amb una regió comuna. . . 43<br />
9.3 El flux sortint d’un cub petit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
9.4 El teorema <strong>de</strong> Gauss o <strong>de</strong> la divergència. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
9.5 La circul . lació al llarg <strong>de</strong> dues corbes tanca<strong>de</strong>s que comparteixen un arc comú. 43<br />
9.6 La circul . lació d’un camp vectorial al llarg d’un quadrat petit. . . . . . . . . . 44<br />
9.7 El teorema <strong>de</strong> Stokes o <strong>de</strong>l rotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
9.8 Força exercida sobre una càrrega elèctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
9.9 Les lleis <strong>de</strong> l’electromagnetisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
2
9.10 Una aplicació <strong>de</strong>ls teoremes <strong>de</strong> Gauss i Stokes a la física: Les equacions <strong>de</strong><br />
Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
9.11 Interpretació física <strong>de</strong> les lleis <strong>de</strong> l’electromagnetisme. . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
9.12 Altres aplicacions <strong>de</strong> Stokes i Gauss a la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
9.13 Referències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
10 <strong>Càlcul</strong> vectorial amb maple 48<br />
10.1 Definició <strong>de</strong> camps vectorials i càlcul <strong>de</strong> la divergència i <strong>de</strong>l rotacional. . . . . 48<br />
10.2 Integrals <strong>de</strong> línia i superfície. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
10.3 Il . lustració <strong>de</strong>ls teoremes <strong>de</strong> Green, Gauss i Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
10.4 Interpretació geomètrica <strong>de</strong> la divergència i <strong>de</strong>l rotacional. . . . . . . . . . . . 49<br />
10.5 El camp <strong>de</strong> Hopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
10.6 Camp <strong>de</strong> Lorenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
10.7 Annex: codi maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
11 Espai <strong>de</strong> Minkowski 54<br />
11.1 Invariància <strong>de</strong> Galileu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
11.2 Transformacions <strong>de</strong> Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
11.3 Adició <strong>de</strong> velocitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
11.4 Longitud i temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
11.5 Simultaneïtat i causalitat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
11.6 Interval d’espai temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
11.7 Transformacions <strong>de</strong> Lorentz. Forma vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
11.8 Espai (vectorial) <strong>de</strong> Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
11.9 Direcció <strong>de</strong> temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
11.10Grup <strong>de</strong> Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
12 Formulació relativista <strong>de</strong> les equacions <strong>de</strong> Maxwell 60<br />
12.1 Quadri-vectors <strong>de</strong> l’espai <strong>de</strong> Minkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
12.2 Quadri-vectors energia-moment i treball-força. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
12.3 Quadri-vectors càrrega-corrent i potencial electromagnètic. . . . . . . . . . . . 61<br />
12.4 Quadri-vector gradient i operador dalambertià. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
12.5 La 2-forma electromagnètica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
12.6 Operador ∗ <strong>de</strong> Hodge i formulació intrínseca <strong>de</strong> les equacions <strong>de</strong> Maxwell. . . . 63<br />
13 De Stokes a De Rham passant per Poincaré 64<br />
13.1 Relació entre les integrals <strong>de</strong> línia, <strong>de</strong> superfície i sobre ca<strong>de</strong>nes. . . . . . . . . 64<br />
13.2 Relació entre gradient, rotacional, divergència i <strong>de</strong>rivada exterior. . . . . . . . 65<br />
13.3 Relació entre els teoremes clàssics i el teorema <strong>de</strong> Stokes generalitzat. . . . . . 65<br />
13.4 Relació entre formes tanca<strong>de</strong>s i formes exactes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
13.5 Relació entre formes tanca<strong>de</strong>s i topologia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
13.6 Relació entre formes tanca<strong>de</strong>s i anàlisi complexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
13.7 Relació entre formes tanca<strong>de</strong>s i enllaços. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
13.8 Referències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
14 Teoremes <strong>de</strong> Gauss-Bonnet i Poincaré-Hopf 68<br />
14.1 Generalització <strong>de</strong>l umlaufsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
14.2 Teorema <strong>de</strong> Gauss-Bonnet local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
14.3 Teorema <strong>de</strong> Gauss-Bonnet global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
14.4 Ín<strong>de</strong>x d’un camp vectorial sobre una superfície. . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
68<br />
69<br />
3
14.5 El teorema <strong>de</strong> Poincaré-Hopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
4
1 Gal . leries. Primers càlculs amb maple<br />
§1.1 Exploratorium digital. En molts <strong>de</strong>partaments <strong>de</strong> matemàtiques d’arreu <strong>de</strong>l món es<br />
po<strong>de</strong>n trobar vitrines plenes <strong>de</strong> ‘monstres’ matemàtics: superfícies, corbes, etc. Aquestes exposicions<br />
s’anomenen exploratorium. A la foto po<strong>de</strong>u veure un exploratorium <strong>de</strong> la Universitat<br />
d’Stuttgart (Alemanya).<br />
Figura 1.1: Exploratorium a Stuttgart<br />
§1.2 El programa. El matemàtic Richard Palais, molt conegut pel seus treballs en grups<br />
<strong>de</strong> Lie, geometria diferencial, i altres racons <strong>de</strong> les matemàtiques, va <strong>de</strong>cidir construir un nou<br />
exploratòrium, un que pogués incloure una galeria realment gran i que tothom pogués afegir<br />
el seu coneixement. D’aquesta manera l’any 1987 va sorgir 3D-XplorMath.<br />
Presenta una galeria d’objectes matemàtics interessants, <strong>de</strong>s <strong>de</strong> corbes al pla i l’espai fins a<br />
políedres i superfícies i passant per equacions diferencials i fractals.<br />
Molts d’aquests gràfics els podríem fer amb altres eines com Mathematica o Maple. La importància<br />
<strong>de</strong> 3D-XplorMath és que ja ha fet la tria d’objectes i els paràmetres <strong>de</strong> visualització<br />
més a<strong>de</strong>quats. No obstant, els paràmetres es po<strong>de</strong>n canviar i po<strong>de</strong>m afegir nous objectes a la<br />
galeria. 3D-XplorMath és un laboratori experimental <strong>de</strong> matemàtiques.<br />
Tots els elements <strong>de</strong> la exhibició tenen la seva pròpia documentació (en anglès) amb suggeriments<br />
per fer més exploracions. 3D-XplorMath és un programa útil per a tothom: pel<br />
curiós, pels professors, per l’investigador i pels estudiants.<br />
Po<strong>de</strong>u trobar informació a la plana web <strong>de</strong>l programa:<br />
http://3d-xplormath.org/<br />
Hi ha tres versions <strong>de</strong>l programa. Una en ‘java’ que pot funcionar amb qualsevol sistema<br />
operatiu i és la que farem servir en aquesta pràctica. Una en línia, que es pot utilitzar amb<br />
un navegador. Una per Mac OSX, aquesta és la versió més completa ja que és en aquesta<br />
plataforma on es van <strong>de</strong>senvolupar inicialment el programa.<br />
§1.3 Documentació <strong>de</strong>l programa. El programa té varies galeries:<br />
5
i per cada galeria hi ha documentació. Com que existeix més documentació en anglès que en<br />
altres llengües és preferible que al menú Documentación, a l’apartat Documentation Prefs,<br />
poseu l’adreça http://3d-xplormath.org/j/docs/en que és la corresponent a la documentació<br />
en anglès.<br />
§1.4 Galeries <strong>de</strong> corbes. Trieu la galeria <strong>de</strong> corbes planes i feu una ullada a la llista <strong>de</strong> corbes.<br />
Es troba al menú Curvas planas. Seleccioneu la lemniscata. Fent clic amb el ratolí po<strong>de</strong>u<br />
aturar l’animació, seleccionant Crear tornareu a veure l’animació i amb la barra d’espai po<strong>de</strong>u<br />
la po<strong>de</strong>u aturar. Al menú Acciones veureu altres accions diferents que es po<strong>de</strong>n realitzar sobre<br />
una corba.<br />
Exercici 1.4.1. Doneu una <strong>de</strong>finició sintètica <strong>de</strong> la lemniscata (<strong>de</strong> Bernoulli).<br />
Trieu veure els cercles oscul . ladors d’aquesta corba. Això només és primer exemple. Fem-ne<br />
més.<br />
Exercici 1.4.2. Veieu com es forma la tractriu (Tractrix). Po<strong>de</strong>u donar una <strong>de</strong>finició? Dibuixeu<br />
les seves corbes paral . leles.<br />
Exercici 1.4.3. Feu el dibuix d’una corba γ(t) amb curvatura t, un altre amb curvatura t 2 i<br />
un altre amb curvatura | sin t| (la funció valor absolut s’escriu abs, feu variar el paràmetre t<br />
allà on calgui). Dibuixeu els cercles oscul . ladors, l’evoluta i les corbes paral . leles.<br />
També tenim galeria <strong>de</strong> corbes a l’espai. Canvieu la galeria i mireu la llista <strong>de</strong> possibles corbes<br />
<strong>de</strong> l’espai.<br />
Exercici 1.4.4. Un cop a la galeria <strong>de</strong> corbes <strong>de</strong> l’espai, trieu la famosa volta <strong>de</strong> Viviani.<br />
Moveu-la una mica per veure com és. Veiu-la en forma <strong>de</strong> tub (menú Acciones). Mostreu el<br />
seu triedre <strong>de</strong> Frenet (Marco ortonormal).<br />
§1.5 Galeria <strong>de</strong> superfícies. Trieu ara la Galeria <strong>de</strong> Superfícies, trobareu diferents famílies.<br />
Seleccioneu les superfícies mínimes. Dibuixeu la <strong>de</strong> López-Ros. Es tracta d’una superfície que<br />
localment minimitza l’àrea (ja ho veurem al llarg <strong>de</strong>l curs). Trieu els colors en funció <strong>de</strong> la<br />
curvatura <strong>de</strong> Gauss.<br />
§1.6 El lloc web ‘Famous Curves In<strong>de</strong>x’. Aquesta és una galeria molt útil sobre corbes<br />
planes. Es troba a<br />
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html<br />
Obriu el vostre navegador preferit i aneu-hi.<br />
Exercici 1.6.1. Trobeu la <strong>de</strong>finició d’evoluta.<br />
Exercici 1.6.2. Trobeu la <strong>de</strong>finició en forma implícita <strong>de</strong>l Folium <strong>de</strong> Descartes. Es tracta d’una<br />
corba quadràtica? potser és cúbica? Dibuixeu la seva evoluta.<br />
6
§1.7 <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong>l centre i radi <strong>de</strong> curvatura com a límit <strong>de</strong> circumferències secants. Consi<strong>de</strong>rem<br />
una parametrització regular x(t) = (x(t), y(t)) d’una corba plana. Cerquem la circumfèrencia<br />
que millor aproxima a la corba en el punt x(0). Per això consi<strong>de</strong>rem el <strong>de</strong>senvolupament<br />
<strong>de</strong> Taylor en t = 0 <strong>de</strong> x(t) i y(t)<br />
x(t) =<br />
3<br />
i=0<br />
t<br />
xi<br />
i<br />
i! + O(t4 ) i y(t) =<br />
3<br />
i=0<br />
t<br />
yi<br />
i<br />
i! + O(t4 ),<br />
on xi = dix(t) dti <br />
i yi = t=0 diy(t) dti <br />
. Consi<strong>de</strong>rem la circumferència que passa pels punts x(−ε),<br />
t=0<br />
x(0) i x(ε). El seu centre c(ε) = (cx(ε), cy(ε)) és la intersecció <strong>de</strong> les mediatrius <strong>de</strong>ls dos<br />
segments que uneixen els punts x(−ε) i x(0) d’una part i els punts x(0) i x(ε) d’una altra. El<br />
seu radi és r(ε) = c(ε) − x(0). El centre i el radi <strong>de</strong> curvatura vénen donats pels límits <strong>de</strong><br />
c(ε) i r(ε) quan ε ten<strong>de</strong>ix a zero. Calculeu aquests límits en funció <strong>de</strong> xi, yi. El cercle límit<br />
s’anomena el cercle osculador <strong>de</strong> la corba x(t) al punt x(0).<br />
§1.8 Mèto<strong>de</strong> alternatiu utilitzant la teoria <strong>de</strong>l contacte. Consi<strong>de</strong>rem la família <strong>de</strong> totes<br />
les circumferències <strong>de</strong>l pla dona<strong>de</strong>s per les equacions fabr(x, y) = (x − a) 2 + (y − b) 2 − r 2 .<br />
L’objectiu és trobar els paràmetres a, b, r <strong>de</strong> manera que fabr(x(t)) sigui el més petit possible<br />
quan t és proper a zero. De manera més precisa, el que <strong>de</strong>manem és que la funció d’una<br />
variable g(t) = fabr(x(t)) tingui el màxim nombre <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s nul . les quan s’avaluen a t = 0.<br />
Observeu que com tenim tres paràmetres lliures és natural imposar tres condicions g(0) = 0,<br />
g ′ (0) = 0 i g ′′ (0) = 0. Escriviu el sistema d’equacions corresponent i resoleu-lo. Comproveu<br />
que el cercle que <strong>de</strong>termina coinci<strong>de</strong>ix amb el <strong>de</strong> l’apartat anterior.<br />
§1.9 Representació gràfica <strong>de</strong>ls cercles osculadors. Una espiral logarítmica és una corba que<br />
admet per equació ρ = exp(cθ) en coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s polars, on c és una constant.<br />
(a) Trobeu una parametrització d’una espiral logarítmica i representeu gràficament la corba<br />
per θ ∈ [0, 10π].<br />
corresponent al valor c = 1<br />
50<br />
(b) Consi<strong>de</strong>reu una partició <strong>de</strong> l’interval <strong>de</strong> <strong>de</strong>finició <strong>de</strong> la parametrització anterior i calculeu<br />
els centres i els radis <strong>de</strong>ls cercles osculadors <strong>de</strong> C en els punts corresponents.<br />
(c) Feu-ne una representació gràfica.<br />
Observeu que cada punt <strong>de</strong>l pla es troba sobre una única circumferència osculadora a l’espiral<br />
logarítmica. La funció que a cada punt (x, y) <strong>de</strong>l pla li fa correspondre el radi <strong>de</strong> la<br />
circumferència osculadora que passa per aquest punt no és diferenciable. Per què?<br />
§1.10 I<strong>de</strong>ntifiqueu la corba plana parametritzada per<br />
<br />
3t(4 −<br />
t ↦→<br />
3√ 4t4 )<br />
2(4 + t6 ,<br />
)<br />
3t2 (t2 + 3√ 4)<br />
4 + t6 <br />
.<br />
§1.11 Cicloi<strong>de</strong>. A Moby Dick <strong>de</strong> Herman Melville (1851) trobem la següent cita:<br />
Quan no s’utilitzen, aquestes cal<strong>de</strong>res es conserven consi<strong>de</strong>rablement netes. A vega<strong>de</strong>s les<br />
poleixen amb sabó <strong>de</strong> sastre i sorra fins que brillen per dins com ponxeres <strong>de</strong> plata. Durant les<br />
guàrdies nocturnes, alguns vells mariners cínics s’hi entaforen, s’hi ajoquen i fan una beca<strong>de</strong>ta.<br />
Quan els mariners es <strong>de</strong>diquen a polir-les -un home a cada cal<strong>de</strong>ra, tocar a tocar- es passen<br />
moltes comunicacions confi<strong>de</strong>ncials per damunt els llavis <strong>de</strong> ferro. També és un lloc adient per<br />
7
Figura 1.2: Cercles osculadors d’una espiral logarítmica.<br />
a profun<strong>de</strong>s meditacions matemàtiques. Fou dins la cal<strong>de</strong>ra <strong>de</strong> mà esquerra <strong>de</strong>l Pequod, amb<br />
el sabó <strong>de</strong> sastre que m’envoltava per totes ban<strong>de</strong>s, que per primera vegada em va impressionar<br />
el fet remarcable que, en geometria, tots els cossos que llisquen al llarg <strong>de</strong> la corba cicloi<strong>de</strong>, el<br />
meu sabó <strong>de</strong> sastre per exemple, baixen en el mateix espai <strong>de</strong> temps <strong>de</strong>s <strong>de</strong> qualsevol punt.<br />
(La <strong>de</strong>stil.leria, Moby Dick)<br />
Verifiquem aquesta propietat <strong>de</strong> la cicloi<strong>de</strong>, més precisament, en una cicloi<strong>de</strong> invertida el<br />
temps que triga un cos que cau lliscant per la corba per efecte <strong>de</strong> la gravetat sense fregament<br />
en arribar al punt més baix és in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt <strong>de</strong>l punt <strong>de</strong> partida.<br />
(i) Doneu una parametrització γ(λ) = (x(λ), y(λ)) <strong>de</strong> la cicloi<strong>de</strong> invertida.<br />
(ii) Sigui θ el paràmetre <strong>de</strong>l punt d’arribada. Calculeu la velocitat v(θ) amb que arriba un<br />
cos que surt d’un punt γ(α) fixat al punt γ(θ).<br />
(Indicació: Recor<strong>de</strong>u la llei <strong>de</strong> conservació <strong>de</strong> l’energia i les expressions <strong>de</strong> l’energia<br />
potencial i cinètica, Ep = mgh i Ec = mv 2 /2 respectivament).<br />
(iii) Calculeu la distància recorreguda entre γ(α) i γ(θ).<br />
(iv) Sigui t(θ) la reparametrització corresponent al moviment físic d’un cos que llisca sense<br />
fregament per la cicloi<strong>de</strong> amb t(α) = 0. Calculeu t(π) (i.e. el temps d’arribada al punt<br />
més baix) i comproveu que no <strong>de</strong>pèn <strong>de</strong> α.<br />
Indicació: Utilitzeu l’equació diferencial<br />
d’on es <strong>de</strong>dueix<br />
t(π)<br />
t(π) =<br />
0<br />
ds(θ(t))<br />
dt<br />
= ds(θ)<br />
dθ θ′ (t) = v(θ)<br />
−1 ds(θ)<br />
v(θ)<br />
dθ θ′ π<br />
−1 ds(θ)<br />
(t)dt = v(θ)<br />
α dθ dθ<br />
La cicloi<strong>de</strong> també verifica que és la braquistocrona, és a dir, la corba al llarg <strong>de</strong> la qual una<br />
partícula llisca sota l’acció <strong>de</strong> la gravetat i sense fregament en un temps mínim d’un punt A<br />
a un punt B situats en verticals diferents.<br />
8
2 Teoria global <strong>de</strong> corbes planes I<br />
§2.1 Curvatura total.<br />
Exercici 2.1.1. Sigui x : [a, b] → R 2 una parametrització per l’arc d’una corba plana C. Proveu<br />
que existeix una funció diferenciable θ : [a, b] → R tal que t(s) = x ′ (s) = (cos θ(s), sin θ(s)).<br />
Recor<strong>de</strong>u que θ ′ (s) és la curvatura amb signe <strong>de</strong> C en el punt x(s). Indicació: Per provar<br />
l’existència <strong>de</strong> θ(s) consi<strong>de</strong>reu la integral t<br />
0 (u(s)v′ (s) − v(s)u ′ (s)) ds on t(s) = (u(s), v(s)).<br />
Definició. La curvatura total d’una corba plana C és la integral <strong>de</strong> la seva curvatura <br />
b<br />
a k(s) ds = θ(b) − θ(a) i mesura la rotació <strong>de</strong>l vector tangent al llarg <strong>de</strong> C.<br />
Definició. Una corba parametritzada regular x : [a, b] → R 2 es diu tancada si existeix una<br />
extensió diferenciable ¯x : R → R 2 <strong>de</strong> x que sigui (b − a)-periòdica. Observeu que la curvatura<br />
total d’una corba tancada és <strong>de</strong> la forma 2πk amb k ∈ Z. Aquest enter s’anomena el nombre<br />
<strong>de</strong> rotació <strong>de</strong> x.<br />
Exercici 2.1.2. Construïu una corba plana tancada amb un nombre <strong>de</strong> rotació k ∈ Z donat.<br />
§2.2 Rotació <strong>de</strong> les tangents.<br />
Definició. Una corba parametritzada regular x : [a, b] → R 2 es diu simple si no té autointerseccions,<br />
i.e. x(s) = x(s ′ ) si s = s ′ . Una corba es diu tancada simple si és tancada i<br />
x(s) = x(s ′ ) si i només si s = s ′ o {s, s ′ } = {a, b}.<br />
Teorema 2.1 (Umlaufsatz). El nombre <strong>de</strong> rotació d’una corba tancada simple és ±1.<br />
Exercici 2.2.1. Demostreu el umlaufsatz. Per això cerqueu referències bibliogràfiques i porteules<br />
a classe, per exemple la pàgina web http://www.mathematik.com/Hopf/in<strong>de</strong>x.html conté<br />
una bona il . lustració d’una <strong>de</strong>mostració. També us recomanen el llibre <strong>de</strong> Do Carmo.<br />
Exercici 2.2.2. Sigui x(s) una corba tancada simple <strong>de</strong> longitud L parametritzada per l’arc amb<br />
funció <strong>de</strong> curvatura k(s) > 0. Sigui r < min{1/k(s)} i xr(s) := x(s) + rn(s), on n(s) = it(s)<br />
és el vector normal <strong>de</strong> x(s). Expresseu la longitud <strong>de</strong> xr en funció <strong>de</strong> L i r.<br />
Definició. Una corba tancada simple x : [a, b] → R 2 es diu convexa si per tot punt P = x(s)<br />
la corba està continguda en un <strong>de</strong>ls dos semiplans <strong>de</strong>terminats per la recta tangent en P .<br />
Teorema 2.2. Una corba tancada simple és convexa si i només si la seva curvatura no canvia<br />
<strong>de</strong> signe.<br />
Exercici 2.2.3. Proveu el teorema 2.2. Per això cerqueu referències bibliogràfiques i porteu-les<br />
a classe per analitzar-les.<br />
§2.3 Teorema <strong>de</strong>ls quatre vèrtexs.<br />
Definició. Un punt x(s) d’una corba regular plana s’anomena vèrtex si k ′ (s) = 0.<br />
Exercici 2.3.1. Proveu que els vèrtexs d’una corba regular x(s) parametritzada per l’arc es<br />
corresponen amb els punts singulars (i.e. y ′ (s) = 0) <strong>de</strong> la parametrització y(s) = x(s) +<br />
1<br />
k(s) n(s) <strong>de</strong> la seva evoluta (i.e. el lloc geomètric <strong>de</strong>ls seus centres <strong>de</strong> curvatura). De fet, és<br />
cert que els vèrtexs són punts singulars <strong>de</strong> qualsevol parametrització <strong>de</strong> l’evoluta però això no<br />
ho <strong>de</strong>mostrarem.<br />
9<br />
C<br />
k :=
Exercici 2.3.2. Trobeu una parametrització <strong>de</strong> la lemniscata <strong>de</strong> Bernoulli C = {P ∈ R 2 :<br />
4d(A, P )d(B, P ) = d(A, B) 2 }, on A = B són dos punts donats <strong>de</strong>l pla. Feu una representació<br />
gràfica aproximada <strong>de</strong> la corba C, proveu que té exactament dos vèrtexs i <strong>de</strong>termineu el seu<br />
nombre <strong>de</strong> rotació.<br />
Teorema 2.3 (Teorema <strong>de</strong>ls quatre vèrtexs). Una corba tancada simple i convexa té almenys<br />
quatre vèrtexs.<br />
Observació: De fet, po<strong>de</strong>m ser més precisos i afirmar que els quatre vèrtexs són extrems<br />
relatius <strong>de</strong> la curvatura. El nombre <strong>de</strong> vèrtexs pot ser exactament quatre, com en el cas d’una<br />
el . lipse.<br />
Figura 2.1: Evoluta <strong>de</strong> l’el . lipse<br />
Exercici 2.3.3. La funció k(s) = 1 + 1<br />
2 sin(s) es 2π-periòdica i positiva. Consi<strong>de</strong>rem una corba<br />
plana x(s), s ∈ [0, 2π], parametritzada per l’arc amb curvatura k(s). La curvatura total <strong>de</strong><br />
x(s) és doncs 2π. Si x(s) fos tancada aleshores seria tancada simple i convexa, i pel teorema<br />
anterior hauria <strong>de</strong> tenir quatre vèrtexs, la qual cosa no és certa perquè k(s) només té dos punts<br />
crítics a l’interval [0, 2π]. Utilitzant maple o 3D-XplorMath feu una representació gràfica <strong>de</strong><br />
x(s) i porteu-la a classe.<br />
10
§2.4 Funció <strong>de</strong> suport.<br />
Definició. Fixem com origen <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s un punt O a l’interior d’una corba C tancada,<br />
simple i convexa. Per cada ϕ ∈ [0, 2π) existeix un únic pO(ϕ) <strong>de</strong> manera que la recta cos ϕ ·<br />
x + sin ϕ · y = pO(ϕ) és tangent a C (és la recta <strong>de</strong> suport en direcció ϕ). La funció pO :<br />
[0, 2π] → (0, +∞) s’anomena funció <strong>de</strong> suport <strong>de</strong> C.<br />
Exercici 2.4.1. Proveu que si O ′ = O + (a, b) aleshores pO ′(ϕ) = pO(ϕ) − a cos ϕ − b sin ϕ.<br />
Quines són les funcions <strong>de</strong> suport <strong>de</strong> les circumferències?<br />
Exercici 2.4.2. Proveu que po<strong>de</strong>m parametritzar C a partir <strong>de</strong> pO(ϕ) mitjançant<br />
xO(ϕ) = O + (pO(ϕ) cos ϕ − p ′ O(ϕ) sin ϕ, pO(ϕ) sin ϕ + p ′ O(ϕ) cos ϕ).<br />
Proveu que el radi <strong>de</strong> curvatura i el centre <strong>de</strong> curvatura <strong>de</strong> C en el punt xO(ϕ) són pO(ϕ) +<br />
(ϕ) sin ϕ) respectivament. Observeu<br />
p ′′ O (ϕ) i O + (−p′ O (ϕ) sin ϕ − p′′ O (ϕ) cos ϕ, p′ O (ϕ) cos ϕ − p′′ O<br />
que la funció <strong>de</strong> suport <strong>de</strong> l’evolvent <strong>de</strong> C és p ′ π<br />
O (ϕ + 2 ).<br />
Exercici 2.4.3. Si C és una corba plana tancada simple i convexa amb funció <strong>de</strong> suport p(ϕ)<br />
aleshores<br />
L(C) =<br />
2π<br />
0<br />
(p(ϕ) + p ′′ (ϕ)) dϕ i A(C) = 1<br />
2π<br />
p(ϕ)(p(ϕ) + p<br />
2 0<br />
′′ (ϕ)) dϕ.<br />
Exercici 2.4.4. Proveu que si p(ϕ) és una funció diferenciable 2π-periòdica aleshores l’equació<br />
p ′ (ϕ) + p ′′′ (ϕ) té al menys quatre solucions diferents a l’interval [0, 2π]. Indicació: si q(ϕ) és<br />
una altre funció diferenciable 2π-periòdica aleshores 2π<br />
0 (p′ + p ′′′ )q = − 2π<br />
0 (q′ + q ′′′ )p.<br />
Existeixen moltes proves diferents <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong>ls quatre vèrtexs, veure per exemple el llibre<br />
<strong>de</strong>l Do Carmo i la Lecture 10 <strong>de</strong>l llibre Mathematical Omnibus que po<strong>de</strong>u consultar on-line:<br />
http://books.google.com/<br />
books?id=bomkJMq2H9sC&printsec=frontcover&dq=mathematical+omnibus&hl=es<br />
Exercici 2.4.5. Doneu una prova <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong>ls quatre vèrtexs.<br />
§2.5 Notes finals. Per acabar, recollim algunes possibles ampliacions pels alumnes que<br />
puguin estar interessats en aquest tema:<br />
- El teorema també és vàlid per corbes no convexes, cf. S.S. Chern, Curves and surfaces in<br />
Eucli<strong>de</strong>an space, Studies in global Geometry and Analysis, 1967.<br />
- El recíproc <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong>ls quatre vèrtexs també és vàlid quan la curvatura és estrictament<br />
positiva (H. Gluck, L’Enseignement Mathématique, 1971) i quan el valor <strong>de</strong> dos <strong>de</strong>ls mínims<br />
locals és més petit que el valor <strong>de</strong> dos màxims locals (B.E.J. Dahlberg, Proceedings of the<br />
American Mathemetical Society, 2005).<br />
- Existeix una generalització <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong>ls 4 vèrtexs a corbes contingu<strong>de</strong>s en superfícies <strong>de</strong><br />
curvatura constant (S.B. Jackson, American Journal of Mathematics, 1945). En el cas <strong>de</strong><br />
superfícies <strong>de</strong> curvatura no constant, petits cercles centrats en punts regulars <strong>de</strong> la curvatura<br />
<strong>de</strong> Gauss tenen només dos vèrtexs geodèsics.<br />
11
3 Teoria global <strong>de</strong> corbes planes II<br />
En aquest seminari veurem dos <strong>de</strong>ls teoremes principals <strong>de</strong> l’anomenada ‘geometria integral’,<br />
la formula <strong>de</strong> Cauchy-Crofton i la formula cinemàtica <strong>de</strong> Blaschke. Com a conseqüència<br />
<strong>de</strong>duirem la <strong>de</strong>sigualtat isoperimètrica en el pla.<br />
Si trobeu el seminari massa llarg po<strong>de</strong>u parar un cop fet l’apartat 3.9.<br />
§3.1 Paradoxa <strong>de</strong> Bertrand.<br />
Consi<strong>de</strong>rem un cercle <strong>de</strong> radi r en el pla sobre el qual llancem rectes a l’atzar. Volem calcular<br />
la probabilitat <strong>de</strong> que la longitud <strong>de</strong> la corda obtinguda sigui més gran que la longitud <strong>de</strong>l<br />
triangle equilàter inscrit en el cercle.<br />
Exercici 3.1.1. Proveu que la longitud <strong>de</strong>l costat <strong>de</strong>l triangle equilàter inscrit en una circumferència<br />
<strong>de</strong> radi r és √ 3r.<br />
Estudiarem aquest problema <strong>de</strong>s <strong>de</strong> tres punts <strong>de</strong> vista diferents.<br />
§3.2 Primera solució: fixant els extrems. Per donar una corda fixem els punts θ1 i θ2 <strong>de</strong> la<br />
circumferència per on passa la corda. Suposem que les cor<strong>de</strong>s són orienta<strong>de</strong>s, en aquest cas<br />
la corda (θ1, θ2) és diferent <strong>de</strong> la corda (θ2, θ1); en el moment <strong>de</strong> calcular probabilitats tant<br />
els casos possibles com els favorables quedaran afectats per un factor 2 i això no afectarà al<br />
càlcul la probabilitat.<br />
Exercici 3.2.1. Proveu que la probabilitat <strong>de</strong> que una corda tingui longitud més gran que √ 3r<br />
és igual a 1/3 (figura 3.1)).<br />
θ1<br />
C D<br />
Figura 3.1: Coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s (θ1, θ2), p = 1/3.<br />
§3.3 Segona solució: fixant el punt mitjà. Un altra manera <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar una corda és<br />
fixant el seu punt mitjà (x, y).<br />
Exercici 3.3.1. Veieu que una corda te longitud superior a √ 3r si i només si x 2 + y 2 < r/2.<br />
Proveu que la probabilitat <strong>de</strong> que una corda tingui longitud més gran que √ 3r és igual a 1/4<br />
(figura 3.2)).<br />
§3.4 Tercera solució: fixant la distància a l’origen. Po<strong>de</strong>m <strong>de</strong>terminar una recta <strong>de</strong>l pla<br />
donant la seva distància p a l’origen i donant l’angle que forma el vector normal a la recta<br />
que s’allunya <strong>de</strong> l’origen. Per cada p > 0 i cada θ ∈ [0, 2π) el parell (p, θ) respresenta la recta<br />
d’equació x cos θ + y sin θ = p.<br />
12<br />
θ2
2<br />
(x, y)<br />
Figura 3.2: Coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s (x, y), p = 1/4.<br />
Nota: Quan p = 0 els angles θ i θ + π mod 2π <strong>de</strong>terminen la mateixa recta per l’origen.<br />
Exercici 3.4.1. Proveu que per una direcció θ fixada les cor<strong>de</strong>s <strong>de</strong> longitud més gran que √ 3r<br />
són aquelles per les quals p < r/2. Deduïu que la probabilitat <strong>de</strong> que una corda tingui longitud<br />
més gran que √ 3r és igual a 1/2.<br />
p<br />
θ<br />
Figura 3.3: Coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s (p, θ), p = 1/2.<br />
§3.5 Què passa? Hem resolt el problema <strong>de</strong> tres formes diferents. Quina és la solució bona?<br />
Fem la prova (teòrica) <strong>de</strong> llençar 1000 rectes a l’atzar que tallin un cercle. Ho fem triant els<br />
paràmetres (θ1, θ2) <strong>de</strong> manera uniforme en el seu domini i el mateix quan triem (x, y) i quan<br />
triem (p, θ). Po<strong>de</strong>u veure el resultat a la figura 3.4.<br />
Exercici 3.5.1. Quina simulació fa que les cor<strong>de</strong>s estiguin distribuï<strong>de</strong>s més uniformement?<br />
Aparentment quan fem servir (p, θ) per parametritzar les rectes la distribució és més uniforme.<br />
Observem que el que s’ha fet per calcular les probabilitats ha estat calcular<br />
<br />
Casos favorables p =<br />
dL<br />
<br />
Casos possibles dL<br />
(3.1)<br />
on dL és dθ1 dθ2, dx dy y dp dθ en cada un <strong>de</strong>ls casos.<br />
La resposta que sembla més a<strong>de</strong>quada és la que ens dona dp dθ perquè aquesta ‘mesura’ és<br />
invariant per moviments rígids. Veiem això a l’apartat següent.<br />
13
Figura 3.4: Cor<strong>de</strong>s a l’atzar segons (θ1, θ2), segons (x, y) i segons (p, θ).<br />
§3.6 Espai <strong>de</strong> rectes al pla. Mesura <strong>de</strong> conjunts <strong>de</strong> rectes. Tota recta <strong>de</strong>l pla que no passi<br />
per l’origen queda <strong>de</strong>terminada <strong>de</strong> manera única donant p > 0 i θ ∈ [0, 2π). La seva equació<br />
és x cos θ + y sin θ = p.<br />
Exercici 3.6.1. Proveu que el conjunt <strong>de</strong> totes les rectes <strong>de</strong>l pla L2 es pot posar en correspondència<br />
bijectiva amb el pla projectiu RP 2 menys un punt.<br />
El subconjunt A ⊂ L2 <strong>de</strong> rectes que no passen per l’origen o bé que no són paral . leles a y = 0<br />
està en correspondència bijectiva amb {(p, θ) : p > 0, θ ∈ (0, 2π)} ∼ = R + × (0, 2π). Definim la<br />
mesura d’un U ⊂ L2 com<br />
<br />
m(U) = dpdθ<br />
(si<br />
<br />
és que la integral existeix). Per tal <strong>de</strong> no carregar la notació posarem simplement m(U) =<br />
dL on dL = dp dθ.<br />
U<br />
Exercici 3.6.2. Consi<strong>de</strong>reu un moviment rígid directe g(x) = Gα(x) + t <strong>de</strong>l pla (gir d’angle<br />
α i trasl . lació t). La tranformació g porta rectes a rectes, feu servir el teorema <strong>de</strong> canvi <strong>de</strong><br />
variables per provar que m(U) = m(gU). Diem que dL és una mesura invariant per moviments<br />
rígids <strong>de</strong>l pla.<br />
Exercici 3.6.3. Veieu que les ‘mesures’ dx dy i dθ1dθ2 restringi<strong>de</strong>s a les rectes que tallen el<br />
cercle no són invariants respecte els moviments rígids.<br />
A partir d’ara la mesura <strong>de</strong> rectes serà sempre dL = dp dθ. Ens po<strong>de</strong>m planejar problemes<br />
<strong>de</strong> l’estil: dona<strong>de</strong>s dues regions compactes K ⊂ L, quina és la probabilitat que una recta<br />
que talli a L també talli a K. Per resoldre aquest problema veurem primer la fórmula <strong>de</strong><br />
Cauchy-Crofton. De moment, per escalfar, po<strong>de</strong>u fer l’exercici següent:<br />
Exercici 3.6.4. Calculeu la mesura <strong>de</strong> rectes que tallen un segment <strong>de</strong> longitud l (exercici clau<br />
<strong>de</strong>l seminari).<br />
§3.7 Formula <strong>de</strong> Cauchy-Crofton. Anem a calcular la mesura les rectes <strong>de</strong>l pla que tallen<br />
una corba Γ <strong>de</strong> longitud l. Suposem tenim una parametrització regular x : [0, l] → R 2 <strong>de</strong> Γ.<br />
Per cada s ∈ [0, L] consi<strong>de</strong>rem la recta que forma una angle ϕ amb la tangent x ′ (s) (en sentit<br />
antihorari).<br />
U∩A<br />
Exercici 3.7.1. Demostreu que (localment) dp dθ = | cos(ϕ)|ds dϕ.<br />
14
Exercici 3.7.2. Donada L ∈ L2 <strong>de</strong>notem per n(L ∩ Γ) el nombre <strong>de</strong> punts d’intersecció <strong>de</strong> L<br />
amb la corba Γ. Proveu la formula <strong>de</strong> Cauchy-Crofton.<br />
<br />
n(L ∩ Γ)dL = 2l.<br />
L2<br />
Exercici 3.7.3. Proveu que si K ⊂ K ′ són regions convexes <strong>de</strong>l pla amb fronteres forma<strong>de</strong>s per<br />
corbes regulars tanca<strong>de</strong>s <strong>de</strong> longituds lK i lK ′ llavors lK ≤ lK ′ (per continuïtat això és cert<br />
també per corbes convexes qualsevol).<br />
Exercici 3.7.4. Quina és la probabilitat que una recta que talli a K ′ també talli a K?<br />
§3.8 Mesura cinemàtica. Ja sabem mesurar els objectes més elementals <strong>de</strong>l pla: punts i<br />
rectes (ho fem integrant dP = dx dy i dL = dp dθ respectivament). Ara anem a mesurar<br />
moviments rígids. Per exemple, ens agradaria mesurar els moviments rígids g que fan que un<br />
convex gK ′ talli a un altre K. Posem a K ′ un origen O ′ i en ell uns eixos coor<strong>de</strong>nats x ′ , y ′<br />
<strong>de</strong>finits per una base ortonormal directa {v1, v2}. Donar un moviment rígid g equival a donar<br />
{O ′ ; v1, v2} i per tant equival a donar gK ′ .<br />
Si O ′ = (x, y) i v1 = (cos ϕ, sin ϕ), la mesura d’un conjunt U <strong>de</strong> moviments vindrà donada per<br />
<br />
m(U) = f(ϕ, x, y) dϕ dx dy.<br />
U<br />
Exercici 3.8.1. Proveu que si m(gU) = m(U) per qualsevol moviment rígid g (directe) llavors<br />
f ha <strong>de</strong> ser constant.<br />
Triem com a element <strong>de</strong> mesura invariant <strong>de</strong> moviments dg = dϕ dx dy, és l’anomenada mesura<br />
cinemàtica.<br />
Exercici 3.8.2. Proveu que m({g : K ∩ gK ′ = ∅}) = m({g : gK ∩ K ′ = ∅}). Dit en paraules:<br />
és el mateix moure K que moure K ′ .<br />
Exercici 3.8.3. Proveu que si h és un moviment rígid fixat llavors m({g : K ∩ ghK ′ = ∅}) =<br />
m({g : hK ∩ gK ′ = ∅}). És a dir, no importen les posicions inicials <strong>de</strong> K o K′ .<br />
Exercici 3.8.4. Demostreu que m({g : g(p) ∈ K}) = 2πA on p és un punt, K és un convex i A<br />
és l’àrea <strong>de</strong> A. És a dir, la mesura <strong>de</strong> moviments que fan que un punt caigui en un convex K<br />
és 2π per l’àrea <strong>de</strong>l convex (<strong>de</strong> fet la convexitat no és necessària).<br />
§3.9 Funció suport (<strong>de</strong> nou). Al seminari 2 es va <strong>de</strong>finir la funció suport p(θ) d’una corba<br />
tancada convexa. Si K és una regió convexa (compacta) <strong>de</strong> R 2 i x ∈ R 2 <strong>de</strong>finim<br />
h(x) = max〈x,<br />
y〉.<br />
y∈K<br />
Exercici 3.9.1. Proveu que h restringida a S 1 és la funció suport p(θ) <strong>de</strong> la corba frontera.<br />
Exercici 3.9.2. Doneu la funció suport d’un triangle equilater (trieu l’origen que vulgueu).<br />
Ja sabem que si la funció suport p(θ) és diferenciable tenim la parametrització<br />
x = p cos θ − p ′ sin θ<br />
y = p sin θ + p ′ cos θ<br />
15<br />
<br />
.
y<br />
P<br />
p ′<br />
H<br />
p<br />
θ<br />
O x<br />
Figura 3.5: Funció suport p<br />
Exercici 3.9.3. Demostreu que l’element d’arc ds <strong>de</strong> la corba amb funció suport p és igual a<br />
|p + p ′′ |dθ. Proveu que K és convex si només si p + p ′′ no canvia <strong>de</strong> signe (p + p ′′ és el radi <strong>de</strong><br />
curvatura en el punt <strong>de</strong> paràmetre θ).<br />
Exercici 3.9.4. Proveu que el perímetre <strong>de</strong> K és L = <br />
S1 pdθ i que l’àrea és A = 1<br />
L<br />
2 0 pds =<br />
<br />
1 L<br />
2 0 p(p + p′′ )dθ (cas convex).<br />
Si K és convex compacte, el conjunt paral . lel Kr a distància r és el conjunt <strong>de</strong> punts a distància<br />
menor o igual que r <strong>de</strong> K.<br />
Exercici 3.9.5. Proveu que la funció suport <strong>de</strong> Kr és p(θ) + r. Deduïu que l’àrea Ar <strong>de</strong> Kr és<br />
Ar = A + Lr + πr 2 .<br />
Observació: si K és unió finita <strong>de</strong> convexos (policonvex) aleshores per r prou petit es te<br />
Ar = A + Lr + χ(K)πr 2<br />
on χ(K) és la característica d’Euler -Poincaré <strong>de</strong> K.<br />
§3.10 Suma <strong>de</strong> Minkowski. Àrea mixta. Donats dos convexos compactes K, K′ la suma <strong>de</strong><br />
Minkowski és el conjunt<br />
K + K ′ = {x + y : x ∈ K, y ∈ K ′ }.<br />
Per exemple, si Br és el disc <strong>de</strong> radi r aleshores K + Br = Kr el convex parl . lel a distància r.<br />
Exercici 3.10.1. Proveu que la suma <strong>de</strong> Minkowski <strong>de</strong> convexos és un convex.<br />
Exercici 3.10.2. Siguin K1 i K2 convexos (a partir d’ara sempre compactes) amb funcions <strong>de</strong><br />
suport p1, p2 respecte un mateix punt. Proveu que la funció <strong>de</strong> suport <strong>de</strong> K1 + K2 és p1 + p2.<br />
De vega<strong>de</strong>s és convenient pensar en K1 i K2 amb funcions suport p1, p2 respecte punts O1, O2<br />
diferents i consi<strong>de</strong>rar la funció <strong>de</strong> suport p = p1 + p2 respecte qualsevol punt. Aquesta funció<br />
p <strong>de</strong>fineix un convex K (que te a veure K amb el convex K1 + K2?). Definim l’àrea mixta<br />
A12 <strong>de</strong> Minkowski <strong>de</strong> K1 i K2 a partir <strong>de</strong> la relació<br />
A = A1 + A2 + 2A12.<br />
16
Exercici 3.10.3. Proveu que<br />
A12 = 1<br />
2<br />
2π<br />
on dsi són els elements d’arc <strong>de</strong>ls contorns.<br />
0<br />
(p1p2 − p ′ 1p ′ 2)dθ = 1<br />
<br />
p1ds2 =<br />
2 ∂K2<br />
1<br />
<br />
p2ds1<br />
2 ∂K1<br />
Exercici 3.10.4. L’àrea mixta no <strong>de</strong>pén <strong>de</strong>l origens O1, O2.<br />
Exercici 3.10.5. L’àrea mixta és invariant respecte traslacions <strong>de</strong>l convexos K1, K2.<br />
L’àrea mixta sí que <strong>de</strong>pèn <strong>de</strong> les rotacions <strong>de</strong>ls convexos. Si girem K1 un angle α al voltant<br />
<strong>de</strong> O1 tenim que la nova funció suport és p1(θ − α).<br />
Exercici 3.10.6. Proveu aquesta darrera afirmació i veieu que si A12(α) = 1<br />
<br />
2 ∂K2 p1(θ − α)ds2.<br />
llavors 2π<br />
A12(α)dα = 1<br />
2 L1L2.<br />
0<br />
§3.11 Mesura <strong>de</strong>ls moviments que fan que dos convexos es tallin. Consi<strong>de</strong>rem dos convexos<br />
K0 i K1. Volem calcular <br />
K0∩gK1=∅ dg, la mesura <strong>de</strong> moviments rígids g tals que K0 ∩gK1 = ∅.<br />
Posem en un punt P1 <strong>de</strong> K1 uns eixos (veieu la figura 3.6) que es mouen solidàriament amb el<br />
convex. Moure K1 equival a traslladar P1 i fer girar els eixos. Per una angle φ fixat <strong>de</strong>ls eixos<br />
movem P1 a una posició <strong>de</strong> tangència amb la frontera <strong>de</strong> K0. Sigui p0 la funció <strong>de</strong> suport <strong>de</strong><br />
K0 respecte P0 i p1 la funció <strong>de</strong> suport <strong>de</strong> K1 girat en un angle φ i respecte P2.<br />
Exercici 3.11.1. Les translacions que fan que K1 talli a K0 són les que porten P2 al convex<br />
que te funció <strong>de</strong> suport p0(θ) + p1(θ + π) (veieu dibuix). Aleshores proveu que<br />
<br />
K0∩gK1=∅<br />
dg =<br />
2π<br />
0<br />
<br />
P1∈K<br />
dP1 dφ =<br />
2π<br />
0<br />
A dφ.<br />
Exercici 3.11.2. Proveu, fent servir la integral <strong>de</strong> l’àrea mixta vista en un exercici anterior,<br />
que<br />
<br />
2π<br />
dg = 2π(A0 + A1) + 2A01dφ = 2π(A0 + A1) + L0L1.<br />
K0∩gK1=∅<br />
0<br />
Hem <strong>de</strong>mostrat que la mesura <strong>de</strong> moviments que fan que dos convexos es tallin és igual a<br />
2π(A0 + A1) + L0L1.<br />
§3.12 Fórmules <strong>de</strong> Poincaré i <strong>de</strong> Blaschke. Aquesta darrera formula es pot generalitzar.<br />
Diem que K és un conjunt policonvex si és unió finita <strong>de</strong> convexos (compactes). Per exemple<br />
una línia trencada és un policonvex. Tenim la formula cinemàtica <strong>de</strong> Blaschke:<br />
<br />
χ(D0 ∩ gD1)dg = 2π(χ0F1 + χ1F0) + L0L1.<br />
G<br />
on Di són policonvexos <strong>de</strong>l pla (<strong>de</strong> fet dominis), χ representa la característica d’Euler-Poincaré<br />
i G és el grup <strong>de</strong> moviments rígids directes. Po<strong>de</strong>u trobar una <strong>de</strong>mostració d’aquest teorema<br />
als llibres <strong>de</strong> Santaló que es donen a la bibliografia.<br />
Exercici 3.12.1. Siguin convexos K ⊂ K ′ , quina és la probabilitat que un convex aleatori que<br />
talli a K ′ també talli a K.<br />
17
K0<br />
y<br />
P0<br />
p0(θ)<br />
θ<br />
y ′<br />
x<br />
P1<br />
p1(θ + π)<br />
Figura 3.6: dg = dP1 dφ<br />
Exercici 3.12.2. Siguin Γ i Γ ′ corbes <strong>de</strong>l pla. Les ‘inflem’ una mica consi<strong>de</strong>rant els conjunts<br />
paral . lels a distancia r (r molt petit). Denotem per Dr i D ′ r els dominis així obtinguts.<br />
Apliqueu la fórmula <strong>de</strong> Blaschke a Dr i D ′ r, feu tendir r a zero i proveu la formula <strong>de</strong> Poincaré<br />
on l i l ′ són les longituds <strong>de</strong> les corbes.<br />
<br />
Γ∩gΓ ′ n(Γ ∩ gΓ<br />
=∅<br />
′ )dg = 4ll ′<br />
Observació: Les formules <strong>de</strong> Crofton i <strong>de</strong> Blaschke són el punt <strong>de</strong> partida <strong>de</strong>l que s’anomena<br />
<strong>Geometria</strong> Integral. En aquesta branca <strong>de</strong> la geometria s’estudien mesures invariants d’objectes<br />
geomètrics i es fan servir per <strong>de</strong>scriure la geometria <strong>de</strong> l’espai que els envolta. També te<br />
nombroses aplicacions en l’estudi i tractament d’imatges, el que s’anomena estereologia. Per<br />
exemple la formula <strong>de</strong> Crofton es pot utilitzar per estimar longituds simplement comptant<br />
punts d’intersecció d’una xarxa amb una corba.<br />
§3.13 Desigualtat isoperimètrica. Un problema geomètric clàssic és el <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar la regió<br />
que té àrea més gran per un perímetre fixat (vegeu la bibliografia). L’intuició ens proposa el<br />
cercle com solució d’aquest problema. Per un cercle tenim que<br />
L 2 = 4πA.<br />
Demostrarem que L 2 − 4πA ≥ 0 per qualsevol regió <strong>de</strong>l pla.<br />
Consi<strong>de</strong>rem dos convexos compactes K0 i K1 tals que K1 = hK0 on h és un moviment rígid<br />
(diem que K0 i K1 són congruents). Suposem-los d’àrea A i perímetre L. Denotem per mi la<br />
mesura <strong>de</strong>ls moviments rígids que fan que les fronteres es tallin en i punts. Excepte per un<br />
conjunt <strong>de</strong> mesura nul . la el nombre i sempre serà parell.<br />
18<br />
K1<br />
x ′<br />
φ
Exercici 3.13.1. Proveu a partir <strong>de</strong> la formula <strong>de</strong> Blaschke que<br />
4πA + L 2 = m2 + m4 + m6 + · · ·<br />
Exercici 3.13.2. Proveu a partir <strong>de</strong> la formula <strong>de</strong> Poincaré que<br />
4L 2 = 2m2 + 4m4 + 6m6 + · · ·<br />
Exercici 3.13.3. Deduïu <strong>de</strong>ls dos exercicis anteriors la <strong>de</strong>sigualtat isoperimètrica<br />
L 2 − 4πA ≥ 0.<br />
Per tenir igualtat cal que el nombre <strong>de</strong> punts <strong>de</strong> ∂K0 ∩ gK1 sigui 0 o 2 (excepte en un conjunt<br />
<strong>de</strong> moviments <strong>de</strong> mesura nul . la).<br />
Exercici 3.13.4. Proveu que si m2i = 0 per tot i > 1 aleshores la corba frontera és una<br />
circumferència.<br />
Exercici 3.13.5. (problema obert) enunciar i donar una <strong>de</strong>mostració <strong>de</strong> la <strong>de</strong>sigualtat isoperimètrica<br />
a l’espai <strong>de</strong> tres dimensions fent servir mèto<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la geometria integral.<br />
Exercici 3.13.6. Trobeu en algun llibre la <strong>de</strong>sigualtat isoperimètrica per regions <strong>de</strong> R n .<br />
§3.14 Referències.<br />
– http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_paradox_(probability)<br />
– Bl˚asjö. The Isoperimetric Problem. The American Mathematical Monthly (2005) vol.<br />
112 (6)<br />
– Osserman. The isoperimetric inequality. Bull. Amer. Math. Soc. (1978) vol. 84 (6)<br />
pp. 1182-1238<br />
– Rey Pastor et al. Geometría integral. Espasa Calpe (1951) pp. 281<br />
– Santaló. Integral geometry and geometric probability. Lecture Notes in Math. (2004)<br />
pp. xx+404<br />
19
4 Corbes a l’espai amb maple<br />
§4.1 <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> la curvatura, torsió i triedre <strong>de</strong> Frenet d’una corba. Comencem carregant<br />
els paquets que necessitem:<br />
restart:with(Stu<strong>de</strong>nt[VectorCalculus]):with(plots):with(plottools):<br />
Definim una corba a l’espai, per exemple l’hèlix cilíndrica<br />
f:=:<br />
i calculem la seva curvatura i torsió<br />
simplify(Curvature(f));simplify(Torsion(f));<br />
Hem <strong>de</strong> remarcar però que el signe <strong>de</strong> la torsió que utilitza el maple és l’oposat al que hem<br />
introduït nosaltres a classe.<br />
També po<strong>de</strong>m calcular el triedre <strong>de</strong> Frenet en cada punt fent<br />
TNBFrame(f);<br />
§4.2 Visualització <strong>de</strong>l triedre <strong>de</strong> Frenet d’una corba a l’espai. Consi<strong>de</strong>rem l’hèlix cilíndrica<br />
anterior i representem el cilindre que la conté fent<br />
cilindre:=plot3d([(cos(u),sin(u),v)],u=0..2*Pi,v=-Pi..2*Pi,<br />
style=patchnogrid,transparency=0.7):<br />
A continuació representem gràficament el cilindre, la corba i el seu triedre <strong>de</strong> Frenet animat<br />
mitjançant<br />
display(cilindre,TNBFrame(f, output=animation, scaling=constrained,<br />
range=-2*Pi..4*Pi,frames=20, curveoptions=[numpoints=100,color=yellow],<br />
tangentoptions=[color=green],normaloptions=[color=red],binormaloptions=[color=blue]));<br />
Exercici 4.2.1. Feu una representació anàloga pel nus tòric<br />
f:=<br />
Feu també una representació gràfica <strong>de</strong> les seves funcions curvatura i torsió.<br />
§4.3 Teorema fonamental <strong>de</strong> la teoria local <strong>de</strong> corbes planes. Consi<strong>de</strong>rem amb el maple es<br />
sistema d’equacions diferencials ordinàries<br />
amb condicions inicials<br />
x ′ (s) = t(s), t ′ (s) = κ(s)n(s), n ′ (s) = −κ(s)t(s)<br />
x(0) = (0, 0), t(0) = (1, 0), n(0) = (0, 1).<br />
20
eq:=seq(diff(x[i](s),s)=t[i](s),i=1..2),<br />
seq(diff(t[i](s),s)=kappa(s)*n[i](s),i=1..2),<br />
seq(diff(n[i](s),s)=-kappa(s)*t[i](s),i=1..2);<br />
ci:=x[1](0)=0,x[2](0)=0,t[1](0)=1,t[2](0)=0,n[1](0)=0,n[2](0)=1;<br />
incong:={seq(x[i](s),i=1..2),seq(t[i](s),i=1..2),seq(n[i](s),i=1..2)};<br />
A partir d’una funció curvatura κ(s) concreta po<strong>de</strong>m integrar numèricament i representar<br />
gràficament el resultat:<br />
kappa:=s->1;<br />
sol:=dsolve({eq,ci},incong,numeric,range=0..2*Pi);<br />
corba:=o<strong>de</strong>plot(sol,[seq(x[i](s),i=1..2)],s=0..2*Pi,color=yellow,thickness=3,<br />
scaling=constrained):<br />
biedre:=proc(tt)<br />
display(arrow(subs(sol(tt),[seq(x[i](s),i=1..2)]),<br />
vector(subs(sol(tt),[seq(t[i](s),i=1..2)])),0.04,0.15,0.2,color=green),<br />
arrow(subs(sol(tt),[seq(x[i](s),i=1..2)]),<br />
vector(subs(sol(tt),[seq(n[i](s),i=1..2)])),0.04,0.15,0.2,color=red)) end:<br />
animate(biedre, [tt],tt=0..2*Pi,scaling=constrained,background=corba);<br />
Exercici 4.3.1. Repetiu tot el procediment anterior utilitzant ara com a condicions inicials una<br />
base no ortonormal<br />
ci:=x[1](0)=0,x[2](0)=0,t[1](0)=1,t[2](0)=0,n[1](0)=2,n[2](0)=1;<br />
i veieu que no és la mateixa corba (per què?).<br />
§4.4 Teorema fonamental <strong>de</strong> la teoria local <strong>de</strong> corbes a l’espai. Procedim <strong>de</strong> la mateixa<br />
manera que per corbes planes, consi<strong>de</strong>rant les equacions <strong>de</strong> Frenet<br />
x ′ (s) = t(s), t ′ (s) = κ(s)n(s), n ′ (s) = −κ(s)t(s) − τ(s)b(s), b ′ (s) = τ(s)n(s).<br />
Exercici 4.4.1. Definiu una funció triedre anàloga a la funció biedre que hem consi<strong>de</strong>rat per<br />
corbes planes. Integreu numèricament i representeu gràficament la corba (i el seu triedre <strong>de</strong><br />
Frenet) que té curvatura i torsió iguals a 1 amb condicions inicials<br />
x(0) = (0, 0, 0), t(0) = (1, 0, 0), n(0) = (0, 1, 0), b(0) = (0, 0, 1).<br />
Feu el mateix amb les condicions inicials que no formen base<br />
x(0) = (0, 0, 0), t(0) = (1, 0, 0), n(0) = (0, 1, 0), b(0) = (1, 0, 0).<br />
Exercici 4.4.2. Feu una representació gràfica <strong>de</strong> les funcions<br />
kappa:=t->1.5+exp(-((t-12)/10)^2)+10*exp(-(t/3)^2)+exp(-((t+3)/10)^2):<br />
tau:=t->5*exp(-(t-10)^2)+10*exp(-t^2)+5*exp(-(t+10)^2):<br />
a l’interval [−15, 8]. Integreu numèricament i representeu gràficament una corba (i el seu<br />
triedre <strong>de</strong> Frenet) que tingui curvatura kappa i torsió tau per aquest rang <strong>de</strong> valors.<br />
21
§4.5 Esferes osculadores. Per cada punt x(0) d’una corba a l’espai existeix una esfera<br />
que millor aproxima a la corba i que s’anomena esfera osculadora. Intentarem <strong>de</strong>terminarla<br />
utilitzat la mateixa tècnica que vàrem usar en el cas <strong>de</strong> corbes planes per <strong>de</strong>terminar la<br />
circumferència osculadora, és a dir, consi<strong>de</strong>rant el límit d’esferes secants que passen per tres<br />
punts x(ε1), x(ε2), x(ε3) propers al punt x(0). El seu centre (que <strong>de</strong>pèn <strong>de</strong> εi, i = 1, 2, 3)<br />
es troba al punt d’intersecció <strong>de</strong>ls tres plans (i = 1, 2, 3) que passen pel punt mig <strong>de</strong> x(εi)<br />
i x(0) i que són perpendiculars al vector x(εi) − x(0). Finalment, passem al límit quan<br />
(ε1, ε2, ε3) → (0, 0, 0).<br />
restart:<br />
x:=t->x[0]+x[1]*t+x[2]*t^2/2+x[3]*t^3/6:<br />
y:=t->y[0]+y[1]*t+y[2]*t^2/2+y[3]*t^3/6:<br />
z:=t->z[0]+z[1]*t+z[2]*t^2/2+z[3]*t^3/6:<br />
eq:=epsilon->(x(epsilon)-x(0))*(xx-(x(epsilon)+x(0))/2)+<br />
(y(epsilon)-y(0))*(yy-(y(epsilon)+y(0))/2)+<br />
(z(epsilon)-z(0))*(zz-(z(epsilon)+z(0))/2)=0;<br />
sol:=solve({seq(eq(epsilon[i]),i=1..3)},{xx,yy,zz}):<br />
cx:=limit(limit(limit(subs(sol,xx),epsilon[1]=0),epsilon[2]=0),epsilon[3]=0);<br />
cy:=limit(limit(limit(subs(sol,yy),epsilon[1]=0),epsilon[2]=0),epsilon[3]=0);<br />
cz:=limit(limit(limit(subs(sol,zz),epsilon[1]=0),epsilon[2]=0),epsilon[3]=0);<br />
radi:=simplify((cx-x[0])^2+(cy-y[0])^2+(cz-z[0])^2);<br />
Com que el resultat d’aquest primer intent no és satisfactori hem <strong>de</strong> filar mes prim. La i<strong>de</strong>a és<br />
utilitzar la forma local <strong>de</strong> x(s) parametritzada per l’arc i en coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s adapta<strong>de</strong>s al triedre<br />
<strong>de</strong> Frenet <strong>de</strong> la corba en el punt corresponent al paràmetre arc s = 0:<br />
x(s) = x(s)t(0) + y(s)n(0) + z(s)b(0).<br />
Per això trobarem l’expressió <strong>de</strong> x(0), x ′ (0), x ′′ (0) i x ′′′ (0) en funció <strong>de</strong> t(0), n(0) i b(0):<br />
frenet:=[diff(X(s),s)=T(s),diff(T(s),s)=kappa(s)*N(s),<br />
diff(N(s),s)=-kappa(s)*T(s)-tau(s)*B(s),diff(B(s),s)=tau(s)*N(s)]:<br />
g:=X->applyrule(frenet,expand(X)):<br />
collect((g@@i)(diff(X(s),s$i)),[T(s),N(s),B(s)])$i=0..3;<br />
Així obtenim el mateix resultat que havíem vist a classe <strong>de</strong> teoria:<br />
x:=s->s-kappa[0]^2*s^3/6:<br />
y:=s->kappa[0]*s^2/2+kappa[1]*s^3/6:<br />
z:=s->-kappa[0]*tau[0]*s^3/6:<br />
on kappa[0], kappa[1] i tau[0] són els valors <strong>de</strong> la curvatura, la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la curvatura i la<br />
torsió en el punt <strong>de</strong> paràmetre s = 0. Calculem les coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l centre <strong>de</strong> la esfera que passa<br />
pels punts corresponents als parametres s=0, s=epsilon[1], s=epsilon[2] i s=epsilon[3]<br />
i passem al límit quan εi → 0 per obtenir les coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l centre <strong>de</strong> la esfera osculatriu:<br />
sol:=solve({seq(eq(epsilon[i]),i=1..3)},{xx,yy,zz}):<br />
cx:=limit(limit(limit(subs(sol,xx),epsilon[1]=0),epsilon[2]=0),epsilon[3]=0);<br />
cy:=limit(limit(limit(subs(sol,yy),epsilon[1]=0),epsilon[2]=0),epsilon[3]=0);<br />
cz:=limit(limit(limit(subs(sol,zz),epsilon[1]=0),epsilon[2]=0),epsilon[3]=0);<br />
radi:=sqrt(cx^2+cy^2+cz^2);<br />
22
També po<strong>de</strong>m consi<strong>de</strong>rar una aproximació diferent, utilitzant la teoria <strong>de</strong>l contacte. Més<br />
concretament, es tracta <strong>de</strong> trobar els valors <strong>de</strong> les coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l centre c=(cx,cy,cz) i<br />
el radi r per que la funció f:=s->(x(s)-cx)^2+(y(s)-cy)^2+(z(s)-cz)^2-r^2 sigui el més<br />
plana possible al voltant <strong>de</strong> s = 0. Com tenim quatre paràmetres lliures, po<strong>de</strong>m imposar les<br />
quatre condicions f(0) = 0, f ′ (0) = 0, f ′′ (0) = 0 i f ′′′ (0) = 0:<br />
x:=s->s-kappa[0]^2*s^3/6+O(s^4):<br />
y:=s->kappa[0]*s^2/2+kappa[1]*s^3/6+O(s^4):<br />
z:=s->-kappa[0]*tau[0]*s^3/6+O(s^4):<br />
cx:=’cx’:cy:=’cy’:cz:=’cz’:radi:=’radi’:<br />
f:=series((x(s)-cx)^2+(y(s)-cy)^2+(z(s)-cz)^2-radi^2,s=0,4);<br />
sol:=solve([coeffs(convert(f,’polynom’),s)],[cx,cy,cz,radi]);<br />
Exercici 4.5.1. En un punt genèric, travessa la corba la seva esfera osculatriu?<br />
§4.6 Representació gràfica <strong>de</strong> les esferes osculatrius d’una corba. Tornem a la situació inicial<br />
restart:with(Stu<strong>de</strong>nt[VectorCalculus]):with(plots):with(plottools):<br />
i consi<strong>de</strong>rem la corba (nus tòric)<br />
f:=:<br />
a la que calculem les seves funcions curvatura i torsió que representem gràficament per<br />
assegurar-nos que no s’anul.len mai:<br />
kappa:=simplify(Curvature(f)):tau:=-simplify(Torsion(f)):<br />
plot([kappa,tau],t=0..2*Pi,color=[red,blue]);<br />
Consi<strong>de</strong>rem també el seu triedre <strong>de</strong> Frenet i el coeficient λ = κ′<br />
κ2 . Aquí la prima <strong>de</strong>nota<br />
τ<br />
<strong>de</strong>rivada respecte <strong>de</strong>l paràmetre arc. Com que la parametrització <strong>de</strong> la que disposem no ho és<br />
hem d’aplicar la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na: d dt d<br />
ds = ds<br />
d<br />
dt = 1 d<br />
dt .<br />
dt = 1 ds<br />
dt<br />
f ′ (t)<br />
F:=[TNBFrame(f)]:<br />
lambda:=simplify(kappa/sqrt(DotProduct(diff(f,t),diff(f,t)))/(kappa^2*tau)):<br />
A continuació <strong>de</strong>finim el següent procediment per representar gràficament les esferes osculatrius<br />
d’una corba:<br />
esfosc:=(f,F,kappa,tau,lambda)->proc(tt) local c,r:<br />
c:=simplify(subs(t=tt,f+1/kappa*F[2]+lambda*F[3]));<br />
r:=simplify(subs(t=tt,sqrt(1/kappa^2+lambda^2)));display(<br />
plot3d(subs(t=tt,c+),<br />
theta=0..2*Pi,phi=-Pi/2..Pi/2,grid=[15,7],color=gold,scaling=constrained,<br />
style=wireframe),arrow((subs(t=tt,f)),subs(t=tt,F[1]),0.1,0.15,0.2,color=green),<br />
arrow((subs(t=tt,f)),subs(t=tt,F[2]),0.1,0.15,0.2,color=red),<br />
arrow((subs(t=tt,f)),subs(t=tt,F[3]),0.1,0.15,0.2,color=blue)) end:<br />
el qual po<strong>de</strong>m utilitzar <strong>de</strong> manera “animada” fent:<br />
animate(esfosc(f,F,kappa,tau,lambda),[tt],tt=0..2*Pi,background=<br />
spacecurve(f,t=0..2*Pi,numpoints=200),scaling=constrained,frames=80);<br />
23
§4.7 Corbes esfèriques.<br />
Exercici 4.7.1. Proveu que una corba és esfèrica (i.e. està continguda en una esfera) si i només<br />
si els centre i els radis <strong>de</strong> les seves esferes osculatrius són constants.<br />
Exercici 4.7.2. Proveu que si els radis <strong>de</strong> les esferes osculatrius d’una corba són constants automàticament<br />
els seus centre ho són també i per tant es tracta d’una corba esfèrica. Indicació:<br />
kappa:=’kappa’:tau:=’tau’:frenet:=[diff(X(s),s)=T(s),diff(T(s),s)=kappa(s)*N(s),<br />
diff(N(s),s)=-kappa(s)*T(s)-tau(s)*B(s),diff(B(s),s)=tau(s)*N(s)]:<br />
centre:=X(s)+N(s)/kappa(s)+diff(kappa(s),s)*B(s)/(kappa(s)^2*tau(s));<br />
radi_al_quadrat:=1/kappa(s)^2+diff(kappa(s),s)^2/(kappa(s)^4*tau(s)^2);<br />
collect(applyrule(frenet,expand(diff(centre,s))),[T(s),N(s),B(s)]);<br />
Exercici 4.7.3. Sigui x(s) una corba parametritzada per l’arc. Si x(s) està continguda en<br />
l’esfera unitat x 2 + y 2 + z 2 = 1 proveu que les seves funcions curvatura i torsió verifiquen que<br />
κ(s) = 1 + k(s) 2 i τ(s) = ±k′ (s)<br />
, (4.1)<br />
1 + k(s) 2<br />
on k(s) = <strong>de</strong>t(x(s), x ′ (s), x ′′ (s)). Interpreteu físicament la magnitud k(s).<br />
Exercici 4.7.4. Recíprocament, proveu que si la curvatura i la torsió d’una corba x(s) parametritzada<br />
per l’arc a R 3 es po<strong>de</strong>n expressar com (4.1) aleshores x(s) està continguda en una<br />
esfera <strong>de</strong> radi 1.<br />
Exercici 4.7.5. Descriviu les corbes esfèriques amb curvatura i torsió dona<strong>de</strong>s per (4.1) amb<br />
k(s) = 0 i k(s) = 1.<br />
Exercici 4.7.6. Utilitzeu els procediments anteriors per representar gràficament una corba<br />
parametritzada per l’arc amb curvatura i torsió dona<strong>de</strong>s per (4.1) amb k(s) = s √ . Trobeu<br />
1−s2 el centre <strong>de</strong> l’esfera on està continguda i representeu-la gràficament juntament amb la corba.<br />
§4.8 Teorema <strong>de</strong> Fary-Milnor. En el seminari 2 vàrem veure que la curvatura total d’una<br />
corba tancada simple <strong>de</strong>l pla <strong>de</strong> longitud ℓ prenia sempre el mateix valor<br />
ℓ<br />
κ(s) ds = 2π.<br />
0<br />
És fàcil trobar exemples en els que això no es compleix a R 3 , on la curvatura κ(s) sempre és<br />
positiva i no hi ha cap cancel . lació possible a l’integral anterior. Existeix però un interessant<br />
teorema (provat in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntment per István Fáry i John Milnor en 1949 i 1950 respectivament)<br />
que relaciona la curvatura total d’una corba tancada a l’espai amb el fet <strong>de</strong> <strong>de</strong>scriure un<br />
nus no trivial i que concreta l’implicació: Topologia complicada =⇒ <strong>Geometria</strong> complicada.<br />
Teorema 4.1 (Fary-Milnor). Si Γ ⊂ R3 és una corba tancada que <strong>de</strong>scriu un nus no trivial<br />
aleshores la seva curvatura total <br />
κ ds és més gran que 4π.<br />
Γ<br />
Po<strong>de</strong>m il . lustrar aquest teorema amb el càlcul <strong>de</strong> la curvatura total d’alguns nusos tòrics<br />
f:=(n,m)->:<br />
fent variar el paràmetre t entre 0 i<br />
n<br />
és trivial si i només si = 1 o<br />
m<br />
gcd(m,n)<br />
2π<br />
gcd(m,n)<br />
gcd(m,n)<br />
. Es pot comprovar que un nus tòric <strong>de</strong> tipus (m, n)<br />
= 1.<br />
Exercici 4.8.1. Calculeu la curvatura total <strong>de</strong>ls nusos tòrics amb n, m ∈ {1, 2, 3, 4} i comproveu<br />
que es compleix el teorema <strong>de</strong> Fary-Milnor.<br />
24
5 Sessió <strong>de</strong> problemes <strong>de</strong> corbes a l’espai<br />
§5.1 Esferes osculadores. Sigui α(s) una corba parametritzada per l’arc tal que la seva<br />
curvatura κ(s) i la torsió τ(s) no s’anul . len en cap punt. S’anomena esfera osculadora <strong>de</strong><br />
α en el punt α(s0) al límit d’esferes secants que passen per α(s0) i tres punts pròxims. Al<br />
seminari anterior heu vist (amb ajuda <strong>de</strong>l maple) que el centre <strong>de</strong> l’esfera osculadora és :<br />
c(s) = α(s) + 1 −→ κ<br />
n (s) +<br />
κ(s)<br />
′ (s)<br />
κ2 −→<br />
b (s) (5.1)<br />
(s)τ(s)<br />
1. Proveu que una corba està continguda en una esfera si i només si totes les seves esferes<br />
osculadores coinci<strong>de</strong>ixen.<br />
2. Trobeu el radi <strong>de</strong> l’esfera osculadora.<br />
3. Siguin R(s) = 1<br />
κ(s)<br />
i T (s) = 1<br />
τ(s) , suposant que R′ = 0 <strong>de</strong>mostreu que α és una corba<br />
esfèrica si i només si R 2 + (T R ′ ) 2 = a 2 , on a és una constant. Indicació: <strong>de</strong>mostreu que<br />
radi constant implica centre constant i per això <strong>de</strong>riveu les fórmules (5.1) i l’obtinguda<br />
a l’apartat 2.<br />
Figura 5.1: Esfera osculadora d’un nus tòric.<br />
§5.2 Corbes esfèriques. Sigui α(s) una corba parametritzada per l’arc continguda en l’esfera<br />
unitat<br />
x 2 + y 2 + z 2 = 1.<br />
1. Proveu que les seves funcions curvatura i torsió verifiquen<br />
κ(s) = 1 + k(s) 2 i τ(s) = ±k′ (s)<br />
, (5.2)<br />
1 + k(s) 2<br />
on k(s) = <strong>de</strong>t(α(s), α ′ (s), α ′′ (s)). Interpreteu físicament la magnitud k(s).<br />
2. Proveu que els vectors α(s),t(s), it(s) := α(s) × t(s) formen una base ortonormal i<br />
verifiquen el següent sistema d’equacions diferencials<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
α ′ (s) = t(s)<br />
t ′ (s) = −α(s) + k(s)it(s)<br />
it ′ (s) = −k(s)t(s)<br />
25
3. Recíprocament, proveu que si la curvatura i la torsió <strong>de</strong> α(s) es po<strong>de</strong>n expressar com<br />
(5.2) aleshores α(s) està continguda en una esfera <strong>de</strong> radi 1.<br />
4. Descriviu les corbes esfèriques amb curvatura i torsió dona<strong>de</strong>s per (5.2) amb k(s) = k0<br />
constant.<br />
Figura 5.2: Hèlix sobre l’esfera.<br />
§5.3 Hèlixs. Una hèlix és una corba tal que les seves tangents formen un angle constant<br />
amb una direcció fixada (aquesta és la direcció <strong>de</strong> l’eix <strong>de</strong> l’hèlix).<br />
Figura 5.3: Projecció d’una hèlix cònica sobre una espiral logarítmica.<br />
1. Proveu que α és una hèlix si i només si les seves normals són paral . leles a un pla fixat.<br />
2. Demostreu que si la torsió no s’anul . la, llavors κ<br />
τ igual a constant caracteritza el fet <strong>de</strong><br />
ser hèlix.<br />
3. Proveu que tota hèlix α es pot escriure com α(s) = β(s)+s v on β(s) és una corba plana<br />
continguda en un pla perpendicular a l’eix <strong>de</strong> α.<br />
26
4. Trobeu la corba plana associada a una hèlix sobre un con d’eix el <strong>de</strong> l’hèlix.<br />
5. Comproveu que la corba α(t) = (a cos t, a sin t, bt) és una hèlix. Trobeu l’eix i la corba<br />
plana associada.<br />
Figura 5.4: La barana d’una escala <strong>de</strong> cargol és una hèlix cilíndrica. (Sagrada Família <strong>de</strong><br />
Barcelona.)<br />
6. Consi<strong>de</strong>reu la corba parametritzada α(t) = (cosh t, sinh t, t), t ∈ R. Trobeu-ne la curvatura<br />
i la torsió. Demostreu que α és una hèlix.<br />
7. Caracteritzeu la curvatura i la torsió <strong>de</strong> totes les hèlixs esfèriques.<br />
Figura 5.5: A la natura trobem exemples d’hèlix com ara l’hèlix cònica.<br />
§5.4 Corbes <strong>de</strong> Bertrand. En 1848 J. Bertrand va consi<strong>de</strong>rar la següent relació entre dues<br />
corbes α, ¯α : I → R 3 . Direm que α i ¯α són una parella <strong>de</strong> corbes <strong>de</strong> Bertrand si i només si les<br />
rectes normals a α(t) i ¯α(t) coinci<strong>de</strong>ixen per tot t ∈ I. Una corba es diu <strong>de</strong> Bertrand si admet<br />
una parella <strong>de</strong> Bertrand diferent d’ella mateixa.<br />
1. Proveu que una hèlix circular α(t) = (a cos t, a sin t, b t) és <strong>de</strong> Bertrand i admet una<br />
infinitat <strong>de</strong> parelles <strong>de</strong> Bertrand.<br />
27
Figura 5.6: El mo<strong>de</strong>l d’ADN és un exemple <strong>de</strong> doble hèlix on les dues hèlixs són parelles <strong>de</strong><br />
Bertrand. (Museu <strong>de</strong> les Ciències <strong>de</strong> Valencia.)<br />
Sigui α : I → R 3 una corba <strong>de</strong> Bertrand amb curvatura i torsió mai nules.<br />
2. Proveu que la distància entre α(t) i ¯α(t) és una constant a.<br />
3. Proveu que l’angle entre els vectors tangents tα(t) i t¯α(t) també és una constant θ.<br />
4. La curvatura k(t) i la torsió τ(t) <strong>de</strong> α satisfan la relació<br />
k(t) ± τ(t) cot(θ) = ± 1<br />
a .<br />
5. Recíprocament, si la curvatura i la torsió d’una corba α satisfan la relació<br />
P k(t) + Q τ(t) = R<br />
per certes constants no nules P, Q, R, aleshores α és <strong>de</strong> Bertrand.<br />
6. Proveu que si una corba <strong>de</strong> Bertrand α admet més d’una parella aleshores les seves<br />
curvatura i torsió són constants, i per tant, es tracta d’una hèlix circular.<br />
7. Proveu que el producte <strong>de</strong> les torsions <strong>de</strong> dos parelles <strong>de</strong> Bertrand és constant.<br />
8. Sigui u(t) una corba continguda en l’esfera <strong>de</strong> radi 1 parametritzada per l’arc i a, θ<br />
constants. Proveu que<br />
<br />
<br />
α(t) = a u(t) dt + a cot(θ) u(t) × u ′ (t) dt<br />
<strong>de</strong>fineix una corba <strong>de</strong> Bertrand i <strong>de</strong>scriviu la seva parella.<br />
9. Intenteu trobar (maple, llibres, articles, internet,...) una representació gràfica d’una<br />
parella <strong>de</strong> Bertrand que no sigui la doble hèlix.<br />
28
6 Tubs. Teoremes <strong>de</strong> Fenchel i <strong>de</strong> Fary-Milnor.<br />
§6.1 Corbes paral . leles en el pla. Donada una corba γ al pla, regular, unitària i <strong>de</strong> longitud<br />
L es consi<strong>de</strong>ra la corba γɛ(t) = γ(t) + ɛn(t).<br />
Exercici 6.1.1. Per quins valors <strong>de</strong> ɛ po<strong>de</strong>m assegurar que γɛ és regular?<br />
Exercici 6.1.2. Doneu una expressió per la longitud <strong>de</strong> γɛ (fet en un altre pràctica).<br />
Exercici 6.1.3. Suposeu que γ és la frontera d’un conjunt convex K. Consi<strong>de</strong>rem la corba<br />
paral . lela exterior a distància r. Calculeu la longitud <strong>de</strong> γr.<br />
Figura 6.1: Corbes paral . leles<br />
§6.2 Area d’un convex paral . lel. Sigui K un convex compacte <strong>de</strong>l pla i Kr el conjunt <strong>de</strong><br />
punts a distància menor o igual que K.<br />
Exercici 6.2.1. Suposant que la frontera <strong>de</strong> K és una corba regular, trobeu una expressió Ar<br />
per l’àrea <strong>de</strong> Kr.<br />
Exercici 6.2.2. Compareu aquest resultat amb l’àrea <strong>de</strong>l convex paral . lel a distància r d’un<br />
polígon. Com són els coeficients <strong>de</strong>l polinomi obtingut?<br />
Figura 6.2: Convex paral . lel a un polígon<br />
§6.3 Superfície paral . lela Sigui S una superfície regular parametritzada amb normal unitari<br />
n. Per un cert ɛ consi<strong>de</strong>rem la superfície Sɛ formada pels punts x + ɛn(x) on x ∈ S.<br />
Exercici 6.3.1. Proveu que per ɛ prou petit Sɛ és superfície regular.<br />
29
Exercici 6.3.2. Doneu el valors <strong>de</strong> les curvatures normals <strong>de</strong> Sɛ en el punt x + ɛn(x) en funció<br />
<strong>de</strong> les curvatures normals a x ∈ S.<br />
Exercici 6.3.3. Quina relació hi ha entre les curvatures <strong>de</strong> Gauss <strong>de</strong> S i Sɛ?<br />
Suposem ara que S és la frontera d’un conjunt convex K.<br />
Exercici 6.3.4. Calculeu l’àrea <strong>de</strong> Sɛ si el normal que es consi<strong>de</strong>ra és el normal exterior.<br />
Exercici 6.3.5. Si Kr és el lloc geomètric <strong>de</strong>ls punts a distància menor o igual a r <strong>de</strong> K, proveu<br />
la formula <strong>de</strong> Steiner pel volum Vr <strong>de</strong> Kr:<br />
<br />
Vr = V + Ar + H r 2 + 4π<br />
3 r3<br />
on H és la curvatura mitjana <strong>de</strong> S.<br />
Exercici 6.3.6. Si K és un poliedr convex (per exemple un paral . lel . lepíped), trobeu el volum<br />
<strong>de</strong> Kr i compareu els coeficients amb els obtinguts a la formula <strong>de</strong> Steiner. Que po<strong>de</strong>u dir <strong>de</strong>l<br />
coeficient que acompanya a r 2 ?<br />
Nota: Hi ha un article molt bonic amb títol What is the length of a potato? An introduction<br />
to geometric measure theory <strong>de</strong> Stephen H Schanuel (Lecture Notes in Math. (1986) vol. 1174<br />
pp. 118-126) en el qual es justifica que el coeficient <strong>de</strong> r 2 s’anomeni longitud <strong>de</strong>l convex (<strong>de</strong> la<br />
patata). De fet, es pot <strong>de</strong>mostrar que aquest coeficient és proporcional a l’amplada mitjana<br />
<strong>de</strong>l convex, és a dir, el promig <strong>de</strong> les longituds <strong>de</strong> les projeccions <strong>de</strong> K sobre totes les rectes<br />
que passen per l’origen.<br />
§6.4 Superfície tubular d’una corba a l’espai. Si γ és una corba unitària i regular a R 3 es<br />
consi<strong>de</strong>ra la superfície Tr donada per la parametrització<br />
És la superfície tubular a distància r <strong>de</strong> γ.<br />
ϕr(u, v) = γ(u) + r cos(v)n(u) + r sin(v)b(u).<br />
Nota: En general pot ser que r sigui una funció <strong>de</strong> u però en aquest seminari la consi<strong>de</strong>rem<br />
constant. Amb maple po<strong>de</strong>u utilitzar la comanda tubeplot per dibuixar tubs.<br />
S<br />
Figura 6.3: Tub<br />
Exercici 6.4.1. Doneu l’expressió <strong>de</strong> la primera forma fonamental i <strong>de</strong> l’element d’àrea <strong>de</strong> Tr.<br />
30
Exercici 6.4.2. Si r és prou petit i γ és tancada, trobeu l’àrea <strong>de</strong> la superfície tubular.<br />
Exercici 6.4.3. Doneu una expressió per la segona forma fonamental <strong>de</strong> Tr.<br />
Exercici 6.4.4. Trobeu la curvatura <strong>de</strong> Gauss i la curvatura mitjana.<br />
§6.5 Volum d’un tub a l’espai. Si γ és corba regular tancada a R 3 i r és prou petit, trobeu<br />
el volum <strong>de</strong>l lloc geomètric <strong>de</strong>ls punts a distància menor o igual a r <strong>de</strong> γ. Observeu que Tr és<br />
la frontera d’aquest conjunt.<br />
Exercici 6.5.1. Trobeu el volum d’un tor fent el càlcul directe i comparant <strong>de</strong>sprés amb la<br />
fórmula pel volum <strong>de</strong>ls tubs.<br />
§6.6 Teorema <strong>de</strong> Fenchel. Sabem d’un seminari anterior que per tota corba γ regular plana<br />
i simple es te que <br />
k = 2π. Suposem ara que γ és una corba a l’espai. Si γ és plana tenim<br />
γ<br />
la curvatura kR2 com a corba plana i la curvatura kR3 com a corba <strong>de</strong> l’espai. La primera té<br />
signe i la segona és sempre positiva (o potser nul . la).<br />
Exercici 6.6.1. Proveu que si γ és una corba <strong>de</strong> l’espai, continguda en un pla i simple, llavors<br />
<br />
k R3<br />
≥ 2π<br />
i que la igualtat es dona si i només si γ és convexa.<br />
γ<br />
En un apartat anterior heu vist que si Tɛ és el tub <strong>de</strong> γ amb radi ɛ, es te que l’element d’àrea<br />
i la curvatura <strong>de</strong> Gauss són<br />
k(u) cos(v)<br />
dAɛ = ɛ|1 − ɛk(u) cos(v)|du dv, K = −<br />
ɛ(1 − ɛk(u) cos(v))<br />
respectivament. A més, si ɛ és prou petit (com?) po<strong>de</strong>m consi<strong>de</strong>rar |1 − ɛk(u) cos(v)| =<br />
1 − ɛk(u) cos(v). Sigui R la regió <strong>de</strong>l tub Tɛ en la qual K ≥ 0.<br />
Exercici 6.6.2. Proveu que <br />
R K = 2 γ k.<br />
Exercici 6.6.3. Sigui S superfície regular, compacta orientada i <strong>de</strong> classe C2 . Proveu que per<br />
cada v ∈ S2 (vector unitari) existeix al menys un punt p ∈ S amb curvatura <strong>de</strong> Gauss no<br />
negativa tal que v = n. Deduïu d’aquí que <br />
k ≥ 2π.<br />
Això és la primera part <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Fenchel. Veiem ara quan es dona la igualtat.<br />
γ<br />
Per cada u sigui Γu la imatge per l’aplicació <strong>de</strong> Gauss <strong>de</strong>l meridià v → γɛ(u, v). Denotem per<br />
Γ + u la part <strong>de</strong> Γu provinent <strong>de</strong>ls punts on la curvatura <strong>de</strong> Gauss és no negativa.<br />
Exercici 6.6.4. Proveu que Γ + u és un semicercle màxim i que els seus extrems són la imatge<br />
per l’aplicació <strong>de</strong> Gauss <strong>de</strong> la intersecció <strong>de</strong> la recta binormal en γ(u) amb Tɛ.<br />
Exercici 6.6.5. Proveu que si γ és plana i convexa tots els Γ + u passen per punts fixats p i q <strong>de</strong><br />
l’esfera S 2 . Qui són aquests punts?<br />
Exercici 6.6.6. Suposem que <br />
γ k = 2π. Imagineu que els semicercles Γ+ u no passen tots per<br />
punts fixats p i q. Deduïu que han d’existir com a mínim dos punt a Tɛ amb mateixa imatge<br />
per l’aplicació <strong>de</strong> Gauss. Proveu en aquest cas que la integral <strong>de</strong> curvatura és més gran que<br />
2π.<br />
Això contradiu la hipòtesi <br />
γ k = 2π. Llavors en aquest cas ha <strong>de</strong> passar que tots els Γ+ u tenen<br />
per extrems dos punts fixats i antipodals p i q <strong>de</strong> l’esfera.<br />
31
Exercici 6.6.7. Proveu que si <br />
γ k = 2π la corba ha <strong>de</strong> ser plana. Proveu a més que la corba<br />
ha <strong>de</strong> ser convexa.<br />
Finalment hem <strong>de</strong>mostrat el famós<br />
Teorema. (Fenchel) La curvatura total d’una corba tancada i simple és més gran o igual que<br />
2π. La igualtat es dona si i només si la corba és plana i convexa.<br />
§6.7 Teorema <strong>de</strong> Fary-Milnor. Donem en aquest apartat indicacions per provar el teorema<br />
<strong>de</strong> Fary-Milnor. Queda com treball optatiu la entrega d’aquest apartat.<br />
Definició. Diem que una corba γ tancada i simple <strong>de</strong> R 3 no forma un nus (no nuada) si<br />
existeix una aplicació contínua H : S 1 × [0, 1] → R 3 tal que:<br />
• H(S 1 × {0}) = S 1 (aquí S 1 cercle al pla z = 0 per exemple),<br />
• H(S 1 × {1}) = γ,<br />
• H(S 1 × {t}) = γt ⊂ R 3 és homeomorfa a S 1 per tot t.<br />
Teorema. (Fary-Milnor) La curvatura total d’una corba, tancada, simple i nuada és més gran<br />
que 4π.<br />
Per tant: més topologia implica més curvatura!<br />
Po<strong>de</strong>u trobar una <strong>de</strong>mostració d’aquest teorema al llibre <strong>de</strong> do Carmo o l’article <strong>de</strong> Chern:<br />
Curves and surfaces in Eucli<strong>de</strong>an space. Studies in Global Geometry and Analysis (1967)<br />
Figura 6.4: Tota direcció te algun pla tangent perpendicular<br />
32
7 Geodèsiques i altres corbes especials sobre superfícies<br />
§7.1 Equacions d’Euler-Lagrange. La formulació lagrangiana <strong>de</strong> la mecànica clàssica s’obté<br />
a partir <strong>de</strong> l’acció A(α) = b<br />
a L(α, α′ ) dt, on L = T −V és la funció <strong>de</strong> Lagrange (energia cinètica<br />
T (α ′ ) = 1<br />
2mα′ 2 menys energia potencial V (α)). La trajectòria real α(t) d’una partícula<br />
verifica que A(α) és mínima: és el conegut principi <strong>de</strong> mínima acció. De manera equivalent,<br />
hem d’imposar que per tota variació δα <strong>de</strong> α que s’anul . li als extrems (δα = δα t=a = 0) t=b<br />
la variació infinitesimal δA = A(α + δα) − A(α) <strong>de</strong> A ha <strong>de</strong> ser zero:<br />
b<br />
0 = δA =<br />
a<br />
∂L<br />
∂α<br />
utilitzant que d<br />
<br />
∂L<br />
dt ∂α ′ δα = d<br />
dt<br />
<br />
∂L d<br />
−<br />
∂α dt<br />
b <br />
∂L<br />
∂L<br />
δα + δα′ dt =<br />
∂α ′<br />
a<br />
∂α ′<br />
t=b ∂L<br />
δα dt + δα ,<br />
∂α ′<br />
t=a<br />
<br />
∂L<br />
∂α ′<br />
<br />
∂L δα+ ∂α ′ δα ′ resulten doncs les equacions d’Euler-Lagrange:<br />
∂L<br />
−<br />
∂αi<br />
d<br />
<br />
∂L<br />
= 0. (7.1)<br />
dt<br />
Exercici 7.1.1. Comproveu que si la força exterior prové d’un potencial V , i.e. F = −∇V =<br />
−( ∂V ∂V ∂V , , ), aleshores la segona llei <strong>de</strong> Newton F = ma és equivalent a les equacions<br />
∂x1 ∂x2 ∂x3<br />
(7.1).<br />
§7.2 Equacions d’Hamilton. La formulació hamiltoniana <strong>de</strong> la mecànica clàssica s’obté a<br />
partir <strong>de</strong> la funció hamiltoniana H(q, p) = T (p)+V (q), on qi = xi són les posicions i pi = m dxi<br />
dt<br />
són les components <strong>de</strong>l moment lineal, mitjançant les equacions <strong>de</strong> Hamilton:<br />
d qi<br />
dt<br />
∂H<br />
= ,<br />
∂pi<br />
∂α ′ i<br />
d pi<br />
dt<br />
= −∂H . (7.2)<br />
∂qi<br />
Exercici 7.2.1. Comproveu que les equacions (7.2) són equivalents a les equacions (7.1). Utilitzant<br />
aquestes comproveu que l’energia total <strong>de</strong>l sistema H = T + V es manté constant al<br />
llarg <strong>de</strong> les trajectòries.<br />
Exercici 7.2.2. Consi<strong>de</strong>rem una partícula <strong>de</strong> massa unitat que es mou sobre una superfície<br />
regular S ⊂ R 3 parametritzada localment per x(u, v). Si <strong>de</strong>scrivim la seva trajectòria α(t) en<br />
coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s locals mitjançant t ↦→ (u(t), v(t)) escriviu quina és la seva energia cinètica.<br />
Si no hi ha cap força exterior aleshores l’energia potencial és zero i la funció <strong>de</strong> Lagrange<br />
associada és justament l’energia cinètica<br />
L(u, v, u ′ , v ′ ) = E(u, v) (u′ ) 2<br />
2 + F (u, v)u′ v ′ + G(u, v) (v′ ) 2<br />
2 .<br />
Exercici 7.2.3. Escriviu les equacions d’Euler-Lagrange <strong>de</strong>l moviment<br />
∂L d<br />
−<br />
∂u dt<br />
∂L<br />
= 0,<br />
∂u ′<br />
∂L<br />
∂v<br />
d ∂L<br />
− = 0 (7.3)<br />
dt ∂v ′<br />
i comproveu que són equivalents a imposar que α ′′ no té component tangent a S. Per això<br />
consi<strong>de</strong>reu l’expressió <strong>de</strong> l’acceleració utilitzant els símbols <strong>de</strong> Christoffel Γk ij <strong>de</strong> S associats a<br />
la parametrització x:<br />
α ′′ = (u ′′ + Γ 1 11(u ′ ) 2 + 2Γ 1 12u ′ v ′ + Γ 1 22(v ′ ) 2 )xu + (v ′′ + Γ 2 11(u ′ ) 2 + 2Γ 2 12u ′ v ′ + Γ 2 22(v ′ ) 2 )xv<br />
33<br />
+ (e(u ′ ) 2 + 2fu ′ v ′ + g(v ′ ) 2 )N
i comproveu que el sistema d’equacions 〈α ′′ , xu〉 = 0, 〈α ′′ , xv〉 = 0 equival a les equacions (7.3)<br />
utilitzant les expressions <strong>de</strong>ls símbols <strong>de</strong> Christoffel en funció <strong>de</strong> E, F, G i les seves <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s:<br />
EΓ1 11 + F Γ2 Eu<br />
11 = 2<br />
F Γ1 11 + GΓ211 = Fu − Ev<br />
2<br />
EΓ1 12 + F Γ212 F Γ1 12 + GΓ212 Ev<br />
= 2<br />
Gu<br />
= 2<br />
EΓ1 22 + F Γ222 = Fv − Gu<br />
2<br />
F Γ1 22 + GΓ222 = Gv<br />
2<br />
Així doncs les trajectòries d’una partícula que es mou lliurement sobre la superfície S són<br />
aquelles sobre les quals l’acceleració tangent a S és zero, i.e. les geodèsiques <strong>de</strong> S.<br />
Exercici 7.2.4. Comproveu que la conservació <strong>de</strong> l’energia en aquest cas es tradueix en el fet<br />
<strong>de</strong> que la velocitat escalar és constant al llarg <strong>de</strong> les geodèsiques.<br />
Exercici 7.2.5. Vegeu que les geodèsiques també són extremals <strong>de</strong>l funcional longitud L(α) =<br />
α ′ (t) dt. Consi<strong>de</strong>reu una corba α0(t) parametritzada per l’arc t ∈ [0, ℓ] i una variació<br />
s ∈ (−ε, ε) ↦→ αs(t) amb extrems fixes, αs(0) = α0(0) i αs(ℓ) = α0(ℓ) per tot s ∈ (−ε, ε), i<br />
comproveu, integrant per parts, que la variació <strong>de</strong> L satisfà la següent relació:<br />
∂<br />
<br />
<br />
L(αs) =<br />
∂s s=0 1<br />
ℓ ∂<br />
<br />
<br />
2 ∂s<br />
0<br />
s=0 〈α ′ s(t), α ′ s(t)〉 dt = −<br />
ℓ<br />
〈 ∂<br />
<br />
<br />
∂s<br />
0<br />
s=0 αs, ∂2<br />
∂t 2 α0〉 dt.<br />
Exercici 7.2.6. Escriviu les equacions <strong>de</strong> les geodèsiques sobre una superfície <strong>de</strong> revolució<br />
parametritzada per x(u, v) = (ρ(u) cos v, ρ(u) sin v, ζ(u)).<br />
Exercici 7.2.7. Comproveu que una <strong>de</strong> les dues equacions expressa la conservació d’una certa<br />
quantitat al llarg <strong>de</strong> les geodèsiques. Interpreteu geomètrica i físicament aquesta quantitat<br />
(teorema <strong>de</strong> Clairaut).<br />
§7.3 Geodèsiques i línies assimptòtiques sobre superfícies <strong>de</strong> revolució. A continuació, consi<strong>de</strong>rarem<br />
les següents superfícies <strong>de</strong> revolució:<br />
(i) l’hiperboloi<strong>de</strong> d’un full S = {x 2 + y 2 − z 2 = 1};<br />
(ii) el catenoi<strong>de</strong> S = {x 2 + y 2 = cosh 2 z};<br />
(iii) el tor S = {( x 2 + y 2 − a) 2 + z 2 = r 2 }.<br />
Exercici 7.3.1. Parametritzeu cadascuna d’elles i trobeu els coeficients e(u, v), f(u, v) i g(u, v)<br />
<strong>de</strong> la seva segona forma fonamental.<br />
Exercici 7.3.2. Plantejeu l’equació diferencial II(α ′ (t)) = 0 que satisfan les línies asimptòtiques<br />
escrivint α ′ = xu u ′ + xv v ′ .<br />
Exercici 7.3.3. Busqueu les solucions <strong>de</strong> la forma v = h(u) + c, c ∈ R i obtingueu expressions<br />
adients per les funcions h : R → R en cada cas.<br />
Exercici 7.3.4. Representeu gràficament el resultat amb les coman<strong>de</strong>s següents <strong>de</strong> maple:<br />
with(plots):phi:=(u,v)->[?*cos(v),?*sin(v),?]:h:=v->int(?,u=?..v):<br />
dib0:=plot3d(phi(u,v),u=?..?,v=0..2*Pi,transparency=0.5,style=PATCHNOGRID):<br />
dib1:=seq(spacecurve(phi(v,h(v)+2*Pi/10*i),v=?..?,thickness=3,color=red,<br />
numpoints=100),i=1..10):dib2:=seq(spacecurve(phi(v,-h(v)+2*Pi/10*i),v=?..?,<br />
thickness=3,color=blue,numpoints=100),i=1..10):<br />
display([dib0,dib1,dib2],scaling=constrained);<br />
34
Figura 7.1: Línies asimptòtiques <strong>de</strong>l tor <strong>de</strong> revolució.<br />
Exercici 7.3.5. A partir <strong>de</strong> l’expressió obtinguda a l’exercici 7.7, resoleu numèricament i<br />
representeu gràficament algunes geodèsiques sobre el tor <strong>de</strong> revolució a partir <strong>de</strong> condicions<br />
inicials concretes:<br />
eq:=diff(u(t),t$2)+...=0,diff(v(t),t$2)+...=0:T:=50;theta:=0.3;<br />
ci:=u(0)=0.5,v(0)=0,D(u)(0)=cos(theta),D(v)(0)=sin(theta);<br />
sol:=dsolve({op(subs([R=2,r=1],eqns)),ci},range=0..T,numeric):<br />
with(plots):sup:=plot3d([x(u,v),y(u,v),z(u,v)],u=...,v=...,style=<br />
patchnogrid,transparency=0.5,scaling=constrained,axes=none):<br />
geo:=o<strong>de</strong>plot(sol, [x(u(t),v(t)),y(u(t),v(t)),z(u(t),v(t)),color=<br />
blue,thickness=2],0..T,frames=5*T):display([sup,geo],view=[...]);<br />
Figura 7.2: Geodèsica <strong>de</strong>l tor <strong>de</strong> revolució.<br />
§7.4 Estudi <strong>de</strong> l’el . lipsoi<strong>de</strong> <strong>de</strong> tres eixos amb maple. Finalment, anem a estudiar les línies<br />
<strong>de</strong> curvatura d’una <strong>de</strong> les superfícies més senzilles que no sigui <strong>de</strong> revolució: l’el . lipsoi<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
tres eixos<br />
x2 y2 z2<br />
+ + = 1, 0 < a < b < c.<br />
a2 b2 c2 Carreguem els packages que necessitem i introduïm la parametrització usual:<br />
with(VectorCalculus):with(linalg):with(plots):<br />
x:=:<br />
35
A continuació calculem els vectors tangents xu, xv i els coeficients E, F, G <strong>de</strong> la primera forma<br />
fonamental:<br />
xu:=simplify(diff(x,u),trig);xv:=simplify(diff(x,v),trig);<br />
E:=simplify(DotProduct(xu,xu),trig);F:=simplify(DotProduct(xu,xv),trig);<br />
G:=simplify(DotProduct(xv,xv),trig);<br />
Després calculem el vector normal unitari N, les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s segones xuu, xuv, xvv <strong>de</strong> la parametrització<br />
x i els coeficients e, f, g <strong>de</strong> la segona forma fonamental:<br />
N:=simplify(CrossProduct(xu,xv)/sqrt(E*G-F^2),trig);<br />
xuu:=simplify(diff(x,u,u),trig);xuv:=simplify(diff(x,u,v),trig);<br />
xvv:=simplify(diff(x,v,v),trig);<br />
e:=simplify(DotProduct(xuu,N),trig);f:=simplify(DotProduct(xuv,N),trig);<br />
g:=simplify(DotProduct(xvv,N),trig);<br />
Finalment, utilitzem l’expressió<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dv 2 −du dv du 2<br />
E F G<br />
e f g<br />
<strong>de</strong> l’equació diferencial per les línies <strong>de</strong> curvatura:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0<br />
<br />
eq1:=simplify(numer(<strong>de</strong>t([[dv^2,-du*dv,du^2],[E,F,G],[e,f,g]])),trig);<br />
eq:=simplify(eq1/cos(u)^2/a/b/c,trig);sol:=[solve(subs(dv=1,eq),du)];<br />
Figura 7.3: Algunes línies <strong>de</strong> curvatura <strong>de</strong> l’el . lipsoi<strong>de</strong> d’eixos 1, 2, 3 calcula<strong>de</strong>s numèricament<br />
amb maple.<br />
Substituïm els valors concrets a = 1, b = 2, c = 3 resolem numèricament l’equació diferencial<br />
(un cop aïllada u en funció <strong>de</strong> v) numèricament i representem gràficament el resultat:<br />
eq2:=simplify(subs([u=u(v),a=1,b=2,c=3],sol[1]),trig);<br />
dsol:=dsolve({eq2=diff(u(v),v),u(0.01)=0.7},numeric,range=0.01..1.57);<br />
corba:=o<strong>de</strong>plot(dsol,convert(subs([a=1,b=2,c=3,u=u(v)],x),’list’),0.01..1.57,<br />
36
thickness=3,color=red):<br />
sup:=plot3d(convert(subs([a=1,b=2,c=3],x),’list’),u=-Pi/2..Pi/2,v=0..2*Pi,<br />
scaling=constrained,style=patchnogrid):<br />
display(corba,sup);<br />
Po<strong>de</strong>m iterar aquest procés amb diferents condicions inicials i també aïllant v en funció <strong>de</strong> u.<br />
El resultat s’aprecia a la Figura 3.<br />
§7.5 Línies <strong>de</strong> curvatura i geodèsiques sobre l’el . lipsoi<strong>de</strong> <strong>de</strong> tres eixos. Finalment, anem a<br />
estudiar amb més <strong>de</strong>tall les línies <strong>de</strong> curvatura i les geodèsiques <strong>de</strong> l’el . lipsoi<strong>de</strong> <strong>de</strong> tres eixos<br />
<br />
x2 1<br />
E0 :=<br />
<br />
= 1 , amb 0 < a1 < a2 < a3.<br />
a1<br />
+ x22 +<br />
a2<br />
x23 a3<br />
Per fer això, consi<strong>de</strong>rem la família <strong>de</strong> quàdriques<br />
<br />
x2 1<br />
Eλ :=<br />
a1 − λ + x22 a2 − λ + x2 <br />
3<br />
= 1<br />
a3 − λ<br />
parametritza<strong>de</strong>s per λ ∈ R \ {a1, a2, a3}. Com que el que ve a continuació és una mica llarg<br />
queda com treball optatiu l’entrega d’aquest apartat.<br />
Exercici 7.5.1. Descriviu quins tipus <strong>de</strong> quàdrica és Eλ en funció <strong>de</strong>l paràmetre λ.<br />
Figura 7.4: Tres quàdriques diferents <strong>de</strong> la família Eλ.<br />
Exercici 7.5.2. Comproveu que tot punt (x1, x2, x3) <strong>de</strong> R 3 amb x1x2x3 = 0 pertany a exactament<br />
tres quàdriques (<strong>de</strong> tipus diferent). Proveu que els vectors normals a cadascuna d’elles<br />
són dos a dos ortogonals. Això és el que es coneix amb el nom <strong>de</strong> sistema triplement ortogonal<br />
<strong>de</strong> superfícies.<br />
Exercici 7.5.3. Doneu altres exemples <strong>de</strong> sistemes triplement ortogonals.<br />
Exercici 7.5.4. Proveu el teorema <strong>de</strong> Dupin: les superfícies d’un sistema triplement ortogonal<br />
es tallen seguint les seves línies <strong>de</strong> curvatura.<br />
37
Figura 7.5: Les línies <strong>de</strong> curvatura <strong>de</strong> l’el . lipsoi<strong>de</strong> E0 són les corbes interseccions amb les altres<br />
quàdriques <strong>de</strong> la família Eλ.<br />
Figura 7.6: Tota recta tangent a dues quàdriques <strong>de</strong> la família és ortogonal a les dues.<br />
Exercici 7.5.5. Proveu que si una recta <strong>de</strong> R3 és tangent a dues quàdriques Eλ i Eλ ′ diferents<br />
aleshores els plans tangents en els punts <strong>de</strong> contacte són ortogonals.<br />
Exercici 7.5.6. Proveu que per tot x ∈ E0 i v ∈ TxE0 amb v = 1, existeixen λ(x, v) ∈ [a1, a3]<br />
i µ(x, v) ∈ R tals que la recta x + 〈v〉 és tangent a E λ(x,v) en el punt x + µ(x, v)v.<br />
Exercici 7.5.7. Proveu el teorema <strong>de</strong> Chasles: Sigui α(t) una corba parametritzada per l’arc<br />
continguda en E0. Aleshores α(t) és una geodèsica si i només si λ(α(t), α ′ (t)) no <strong>de</strong>pèn <strong>de</strong> t.<br />
38
8 Sessió <strong>de</strong> problemes sobre superfícies<br />
§8.1 Superfícies <strong>de</strong> revolució. El conjunt <strong>de</strong> punts <strong>de</strong>scrit per una corba plana regular<br />
C ⊂ Π al girar sobre un eix contingut en el pla Π i que no talla a la corba C és una superfície<br />
regular anomenada superfície <strong>de</strong> revolució generada per la corba C.<br />
Exercici 8.1.1. Proveu que si C = {(x, 0, z) ∈ Π = {y = 0} ⊂ R 3 , f(x, z) = 0} i es<br />
pren com a eix <strong>de</strong> gir Oz aleshores la superfície <strong>de</strong> revolució generada per C ve donada per<br />
S = {(x, y, z) ∈ R 3 , f( x 2 + y 2 , z) = 0}. Trobeu una equació <strong>de</strong> la superfície <strong>de</strong> revolució<br />
generada per una circumferència que no contingui en el seu interior l’origen <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s.<br />
Exercici 8.1.2. Demostreu que si α(u) = (a(u), 0, b(u)) és una parametrització regular <strong>de</strong> C<br />
aleshores<br />
x(u, v) = (a(u) cos v, a(u) sin v, b(u))<br />
és una parametrització regular <strong>de</strong> S. Les corbes coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s d’aquesta parametrització s’anomenen<br />
paral.lels si u = u0 i meridians si v = v0. Trobeu una parametrització regular <strong>de</strong>l<br />
tor en funció <strong>de</strong>ls seus dos radis.<br />
A partir d’ara suposarem que a(u) > 0 i que α(u), u ∈ [0, ℓ], està parametritzada per l’arc.<br />
Exercici 8.1.3. Trobeu la primera forma fonamental d’una superfície <strong>de</strong> revolució utilitzant la<br />
parametrització x anterior.<br />
Exercici 8.1.4. Comproveu el teorema <strong>de</strong> Pappus: l’àrea <strong>de</strong> S ve donada per 2π ℓ<br />
0 a(u)du.<br />
Trobeu l’àrea <strong>de</strong>l tor en funció <strong>de</strong>ls seus dos radis.<br />
Exercici 8.1.5. Calculeu el símbols <strong>de</strong> Christoffel i les equacions <strong>de</strong> les geodèsiques <strong>de</strong> S.<br />
Exercici 8.1.6. Comproveu que els meridians d’una superfície <strong>de</strong> revolució són geodèsiques.<br />
Exercici 8.1.7. Proveu que un paral.lel és una geodèsica si i només si la recta tangent al<br />
meridià que passa per cada un <strong>de</strong>ls seus punts és paral.lela a l’eix <strong>de</strong> rotació <strong>de</strong> la superfície.<br />
Apliqueu-ho al cas <strong>de</strong> l’esfera i <strong>de</strong>l tor.<br />
Exercici 8.1.8. Demostreu el teorema <strong>de</strong> Clairaut: si α(s) és una geodèsica (parametritzada)<br />
<strong>de</strong> S i θ(s) és l’angle que forma α amb el paral.lel per α(s), aleshores el producte <strong>de</strong> la distància<br />
<strong>de</strong> α(s) a l’eix <strong>de</strong> gir pel cosinus <strong>de</strong> θ(s) és constant al llarg <strong>de</strong> la corba α.<br />
Exercici 8.1.9. Trobeu la curvatura geodèsica i la curvatura normal <strong>de</strong>ls paral.lels (u = u0) en<br />
funció <strong>de</strong> a(u).<br />
§8.2 Isometries. Una aplicació diferenciable f : S → ¯ S entre dues superfícies regulars és<br />
una isometria si te inversa diferenciable i per tot punt p ∈ S la diferencial dfp : TpS → T f(p) ¯ S<br />
preserva la primera forma fonamental, i.e.<br />
Ip(w1, w2) = 〈w1, w2〉 = 〈dfp(w1), dfp(w2)〉 = I f(p)(dfp(w1), dfp(w2)).<br />
Una isometria local és una aplicació diferenciable f : S → ¯ S entre superfícies regulars tal<br />
que la restricció <strong>de</strong> f a un entorn prou petit <strong>de</strong> cada punt <strong>de</strong> S és una isometria amb la seva<br />
imatge.<br />
Exercici 8.2.1. Siguin x : U ⊂ R 2 → S i ¯x : Ū ⊂ R2 → ¯ S parametritzacions regulars injectives<br />
<strong>de</strong> dues superfícies S i ¯ S i (g1, g2) = ¯x −1 ◦f ◦x : U ⊂ R 2 → Ū ⊂ R2 l’expressió en coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s<br />
locals d’una aplicació diferenciable f : S → ¯ S. Aleshores f és una isometria local si i només si<br />
∂g1<br />
∂u<br />
∂g2<br />
∂u<br />
∂g1<br />
∂v<br />
∂g2<br />
∂v<br />
t Ē ¯ F<br />
¯F ¯ G<br />
∂g1<br />
39<br />
∂u<br />
∂g2<br />
∂u<br />
∂g1<br />
∂v<br />
∂g2<br />
∂v<br />
<br />
=<br />
E F<br />
F G<br />
<br />
.
Exercici 8.2.2. Dues superfícies S i ¯ S són localment isomètriques si i només si existeixen<br />
parametritzacions regulars injectives x : U ⊂ R 2 → S i ¯x : U ⊂ R 2 → ¯ S tals que els coeficients<br />
<strong>de</strong> les seves primeres formes fonamentals coinci<strong>de</strong>ixen: E(u, v) = Ē(u, v), F (u, v) = ¯ F (u, v),<br />
G(u, v) = ¯ G(u, v). Deduïu que en aquest cas les curvatures <strong>de</strong> Gauss <strong>de</strong> S i ¯ S coinci<strong>de</strong>ixen en<br />
els punts corresponents.<br />
Exercici 8.2.3. Comproveu que el con i el cilindre són localment isomètrics al pla. (Indicació:<br />
fer-los rodar.)<br />
Exercici 8.2.4. Sigui C ⊂ R 2 una corba regular plana. Proveu que SC = {(x, y, z) ∈<br />
R 3 , (x, y) ∈ C} és una superfície regular localment isomètrica al pla i calculeu les seves<br />
curvatures principals en funció <strong>de</strong> la curvatura <strong>de</strong> C.<br />
Exercici 8.2.5. Sigui α : I ⊂ R → R 3 una corba parametritzada per l’arc tal que α(t) = 1<br />
per tot t ∈ I. Calculeu la primera forma fonamental <strong>de</strong> la superfície parametritzada per<br />
x(u, v) = vα(u), u ∈ I, v > 0, i comproveu que és localment isomètrica al pla.<br />
Exercici 8.2.6. Justifiqueu per què les següents superfícies no són dues a dues localment<br />
isomètriques: l’esfera, el pla, el paraboloi<strong>de</strong> z = x 2 + y 2 i la sella z = x 2 − y 2 .<br />
§8.3 Geodèsiques. Sigui S una superfície regular i α : I ⊂ R → S ⊂ R 3 una corba<br />
parametritzada continguda en S. Recor<strong>de</strong>u que α(t) és geodèsica si i només si no té acceleració<br />
tangent a S. Recor<strong>de</strong>u també que si x : U ⊂ R 2 → S és una parametrització regular <strong>de</strong> S i<br />
α(t) = x(u(t), v(t)) aleshores α(t) és geodèsica si i només si u(t) i v(t) verifiquen el sistema<br />
d’equacions diferencials: u ′′ + Γ 1 11 u ′2 + 2Γ 1 12 u′ v ′ + Γ 1 22 v′2 = 0<br />
v ′′ + Γ 2 11 u′2 + 2Γ 2 12 u′ v ′ + Γ 2 22 v′2 = 0<br />
Una corba C ⊂ S (no parametritzada) s’anomena geodèsica si admet una parametrització per<br />
la qual ho és.<br />
Exercici 8.3.1. Proveu que una corba C ⊂ S és geodèsica si i només si n = ±N, on n és el<br />
vector normal <strong>de</strong> C com a corba <strong>de</strong> R 3 i N és el vector normal <strong>de</strong> S.<br />
Exercici 8.3.2. Determineu quines són totes les geodèsiques <strong>de</strong>l pla, <strong>de</strong>l cilindre i <strong>de</strong> l’esfera.<br />
Exercici 8.3.3. Si dues superfícies són tangents al llarg d’una corba C, aleshores C és geodèsica<br />
a una d’elles si i només si ho és a l’altra.<br />
Exercici 8.3.4. Demostreu que tota corba α : I ⊂ R → R 3 parametritzada per l’arc és<br />
geodèsica d’alguna superfície. Indicació consi<strong>de</strong>reu la superfície reglada parametritzada per<br />
x(u, v) = α(u) + vb(u). Descriviu un mèto<strong>de</strong> per <strong>de</strong>terminar manualment les geodèsiques<br />
d’una superfície física mitjançant una cinta adhesiva.<br />
§8.4 El pla hiperbòlic. Consi<strong>de</strong>reu una superfície S (semiplà <strong>de</strong> Poincaré) parametritzada<br />
per l’obert H = {(u, v) ∈ R 2 | v > 0} <strong>de</strong> R 2 amb primera forma fonamental donada per<br />
E(u, v) = G(u, v) = 1<br />
v 2 i F (u, v) = 0.<br />
Exercici 8.4.1. Trobeu-ne les equacions <strong>de</strong> les geodèsiques, els símbols <strong>de</strong> Christoffel i la<br />
curvatura <strong>de</strong> Gauss.<br />
Exercici 8.4.2. Trobeu la curvatura geodèsica <strong>de</strong> les corbes que en coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s locals venen<br />
dona<strong>de</strong>s per γa(t) = (at, t), t > 0.<br />
Exercici 8.4.3. Proveu que les aplicacions z = u + iv ↦→ 1 1<br />
¯z = u−iv i z ↦→ az + b, a, b ∈ R <strong>de</strong><br />
H ↩→ C són isometries. Deduïu que totes les geodèsiques <strong>de</strong> H són les semirectes verticals i els<br />
semicercles ortogonals a v = 0 (i.e. amb centre sobre v = 0).<br />
40
§8.5 Derivada covariant i transport paral . lel. Un camp vectorial (diferenciable) tangent X<br />
a una superfície S és per <strong>de</strong>finició una combinació lineal X = axu + bxv <strong>de</strong> la base <strong>de</strong> camps<br />
tangents xu i xv amb coeficients a(u, v), b(u, v) funcions diferenciables. A partir <strong>de</strong>ls símbols<br />
<strong>de</strong> Christoffel Γk ij es pot <strong>de</strong>finir una manera <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivar camps tangents seguint les següents<br />
regles:<br />
• ∇axu+bxv X = a∇xuX + b∇xvX;<br />
• ∇xu(aX) = ∂a<br />
∂u X + a∇xuX i ∇xv(aX) = ∂a<br />
∂v<br />
X + a∇xvX;<br />
• ∇xuxu = Γ 1 11 xu + Γ 2 11 xv, ∇xuxv = ∇xvxu = Γ 1 11 xu + Γ 2 11 xv i ∇xvxv = Γ 1 22 xu + Γ 2 22 xv.<br />
L’operador ∇ que obtenim s’anomena <strong>de</strong>rivada covariant intrínseca <strong>de</strong> S.<br />
Exercici 8.5.1. Siguin X1, X2, Y1, Y2 camps tangents a S i α(t) una corba tal que α(0) = p,<br />
α ′ (0) = X1(p) = X2(p). Proveu que si Y1(α(t)) = Y2(α(t)) aleshores els camps tangents<br />
∇X1 Y1 i ∇X2 Y2 coinci<strong>de</strong>ixen en el punt p.<br />
Així doncs, per obtenir el valor <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada covariant d’un camp tangent Y respecte d’un<br />
altre X en un punt p només cal conèixer X(p) i Y sobre una corba tangent a X(p) en p.<br />
Si α(t) = x(u(t), v(t)) és una corba <strong>de</strong> S aleshores po<strong>de</strong>m consi<strong>de</strong>rar el camp tangent α ′ =<br />
u ′ xu + v ′ xv <strong>de</strong>finit al llarg <strong>de</strong> α(t).<br />
Siguin X, Y = (Y1, Y2, Y3) camps <strong>de</strong> R 3 , <strong>de</strong>finim la <strong>de</strong>rivada covariant a R 3 mitjançant ¯ ∇XY =<br />
(DXY1, DXY2, DXY3), on DX <strong>de</strong>nota la <strong>de</strong>rivada direccional en la direcció X.<br />
Exercici 8.5.2. Proveu que per camps X, Y tangents a una superfície S ⊂ R 3 es te que<br />
∇XY = π( ¯ ∇XY ), on π : R 3 → T S és la projecció ortogonal.<br />
Un camp tangent X <strong>de</strong>finit al llarg d’una corba α(t) es diu paral . lel si ∇α ′X = 0.<br />
Exercici 8.5.3. Comproveu que una corba α(t) = x(u(t), v(t)) és geodèsica si i només si el<br />
camp X = α ′ = u ′ xu + v ′ xv és paral . lel, és a dir, verifica que ∇XX = 0.<br />
Exercici 8.5.4. Comproveu que per tot vector tangent v ∈ Tα(0)S existeix un camp tangent<br />
X <strong>de</strong>finit al llarg <strong>de</strong> α(t) que és paral . lel i tal que X(α(0)) = v. Aquest X(α(t)) camp<br />
s’anomena el transport paral . lel <strong>de</strong> v al llarg <strong>de</strong> la corba α(t). (Indicació: escriure X(α(t)) =<br />
a(t)xu+b(t)xv amb funcions a(t), b(t) incògnites i imposar l’equació ∇α ′X = 0 amb condicions<br />
inicials a(t0) = a0 i b(t0) = b0, on v = a0xu + b0xv.)<br />
Els càlculs que venen a continuació s’han d’efectuar sobre el semiplà <strong>de</strong> Poincaré H introduït<br />
anteriorment.<br />
Exercici 8.5.5. Calculeu ∇XY on X = uxu i Y = uxv − vxu.<br />
Exercici 8.5.6. Trobeu el transport paral . lel <strong>de</strong>l vector xu en el punt γa(t0) al llarg <strong>de</strong> la corba<br />
γa(t) = (at, t).<br />
41
9 Els teoremes <strong>de</strong> Gauss i Stokes i les equacions <strong>de</strong> Maxwell<br />
L’objectiu principal d’aquest seminari és doble: Per una banda, volem donar <strong>de</strong>mostracions<br />
intuitives <strong>de</strong>ls teoremes <strong>de</strong> Gauss i Stokes i, per altra banda, volem comprendre física i<br />
matemàticament les equacions que han <strong>de</strong> verificar els camps elèctric E i el camp magnètic<br />
B.<br />
La referència bàsica són els tres primers capítols <strong>de</strong>l volum II (electromagnetisme i matèria)<br />
<strong>de</strong>l llibre <strong>de</strong> Feynman.<br />
Primer introduirem les nocions <strong>de</strong> circul . lació i flux d’un camp vectorial.<br />
§9.1 Circul . lació i flux d’un camp vectorial. En aquesta secció treballem la circul . lació i<br />
el flux d’un camp vectorial. De fet la circul . lació i el flux son integrals <strong>de</strong> línea i superfície<br />
respectivament que s’han vist a classe <strong>de</strong> teoria pero en el cas <strong>de</strong> corbes i superfícies tanca<strong>de</strong>s.<br />
Sigui C una corba tancada orientada i X un camp vectorial.<br />
• La circul . lació <br />
<br />
C X · dL := C 〈X, t〉dL <strong>de</strong> X al llarg <strong>de</strong> C és la integral <strong>de</strong> la component<br />
tangent (amb signe) <strong>de</strong> X sobre C.<br />
Per <strong>de</strong>finició, la component tangencial mitjana <strong>de</strong> X al llarg <strong>de</strong> C és la circul . lació dividida<br />
per la longitud <strong>de</strong> C.<br />
Exercici 9.1.1. Calculeu la circul . lació <strong>de</strong>l camp vectorial<br />
F = y 2 i − z 2 j + x 2 k<br />
al llarg <strong>de</strong> la trajectòria que va seguint les arestes <strong>de</strong>l cub, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 i 0 ≤ z ≤ 1<br />
sortint <strong>de</strong> l’origen i <strong>de</strong>sprés a (0, 0, 1) a (0, 1, 1) a (1, 1, 1) i que finalment torna a l’origen per<br />
la diagonal <strong>de</strong>s <strong>de</strong> (1, 1, 1).<br />
Feu el mateix amb el camp<br />
G(x, y, z) = (x 3 − 3xy 2 )i + (y 3 − 3x 2 y)j + zk.<br />
Si no us heu equivocat als càlculs aquesta segona integral us ha <strong>de</strong> donar zero.<br />
Podríeu <strong>de</strong>duïr-ho sense fer la integral? Calculeu el rotacional <strong>de</strong> G i <strong>de</strong>duï-ne que existeix<br />
una funció f tal que G = ∇(f). Expliciteu-la.<br />
Sigui S una superfície tancada (que orientem amb el vector normal unitari exterior N) i X un<br />
camp vectorial.<br />
• El flux <br />
<br />
S X · dS := S 〈X, N〉dA <strong>de</strong> X a través <strong>de</strong> S és la integral <strong>de</strong> la component<br />
normal (amb signe) <strong>de</strong> X sobre S.<br />
Per <strong>de</strong>finició, la component normal mitjana <strong>de</strong> X a través <strong>de</strong> S és el flux dividit per l’àrea <strong>de</strong><br />
S.<br />
Exercici 9.1.2. Trobeu el flux <strong>de</strong>l camp radial<br />
a través <strong>de</strong> la superfície tancada donada per:<br />
X = xi + yj + zk<br />
S = {(x, y, z), z = x 2 + y 2 − 1, −1 ≤ z ≤ 0}.<br />
Amb aquestes dues nocions <strong>de</strong> circul . lació i flux es po<strong>de</strong>n <strong>de</strong>scriure les lleis <strong>de</strong> l’electricitat i<br />
el magnetisme : llei <strong>de</strong> Gauss (elèctrica i magnètica), Faraday i llei d’Ampère. Aquestes lleis<br />
donen lloc a les equacions <strong>de</strong> Maxwell utilitzant el teorema <strong>de</strong> Stokes i Gauss. Això ho veurem<br />
<strong>de</strong>sprés, primer <strong>de</strong>mostrem el teorema <strong>de</strong> Gauss i el teorema <strong>de</strong> Stokes.<br />
42
§9.2 El flux sortint a través <strong>de</strong> dues superfícies tanca<strong>de</strong>s amb una regió comuna. Sigui D un<br />
domini <strong>de</strong> R 3 amb vora S = ∂D una superfície regular a trossos. Sigui Σ ⊂ D una superfície<br />
que separa D en dues regions disjuntes D1 i D2.<br />
Exercici 9.2.1. Proveu que el flux sortint d’un camp vectorial a través <strong>de</strong> S és la suma <strong>de</strong>ls<br />
fluxos sortint a través <strong>de</strong> ∂D1 i ∂D2.<br />
§9.3 El flux sortint d’un cub petit. Sigui F = (F1, F2, F3) un camp vectorial diferenciable<br />
<strong>de</strong>finit en un obert que contingui el cub C <strong>de</strong> vèrtexs (x, y, z), (x + δx, y, z), (x, y + δy, z),<br />
(x, y, z + δz), (x + δx, y + δy, z), (x + δx, y, z + δz), (x, y + δy, z + δz) i (x + δx, y + δy, z + δz).<br />
Anem a calcular el flux <strong>de</strong> F a través <strong>de</strong> la superfície <strong>de</strong>l cub. Per això calcularem el flux a<br />
través <strong>de</strong> cadascuna <strong>de</strong> les sis cares.<br />
Exercici 9.3.1. Proveu que el flux <strong>de</strong> F a través <strong>de</strong> la cara <strong>de</strong> vèrtexs<br />
• (x, y, z), (x, y, z + δz), (x, y + δy, z + δz), (x, y + δy, z) és igual a − F1(x, y, z) dy dz;<br />
• (x + δx, y, z), (x + δx, y, z + δz), (x + δx, y + δy, z + δz), (x + δx, y + δy, z) és igual a<br />
<br />
<br />
F1(x + δx, y, z) dy dz <br />
<br />
∂F1<br />
F1(x, y, z) dy dz + δx (x, y, z) dy dz,<br />
∂x<br />
on l’aproximació anterior és <strong>de</strong> l’ordre <strong>de</strong> (δx) 2 .<br />
Exercici 9.3.2. Proveu que po<strong>de</strong>m aproximar la suma <strong>de</strong>ls fluxos a través d’aquestes dues cares<br />
per ∂F1<br />
∂x (x, y, z)δx δy δz si menyspreem els termes (δx)i (δy) j (δz) k amb i + j + k > 3.<br />
Exercici 9.3.3. Concloure que sota les mateixes hipòtesis que abans el flux <strong>de</strong> F a través <strong>de</strong><br />
tota la superfície <strong>de</strong>l cub es pot aproximar per<br />
∂F1<br />
<br />
∂F2 ∂F3<br />
(x, y, z) + (x, y, z) + (x, y, z) δx δy δz.<br />
∂x ∂y ∂z<br />
<br />
∇·F=divergència <strong>de</strong> F<br />
§9.4 El teorema <strong>de</strong> Gauss o <strong>de</strong> la divergència.<br />
Exercici 9.4.1. Combineu els resultats anteriors per obtenir una prova heurística <strong>de</strong>l Teorema<br />
<strong>de</strong> Gauss: si F és una camp vectorial diferenciable i D és una regió <strong>de</strong> R3 amb vora una<br />
superfície regular a trossos aleshores<br />
<br />
<br />
F · dS = ∇ · F dV.<br />
∂D<br />
Exercici 9.4.2. Sigui F el camp F = 2xi + y 2 j + z 2 k, i sigui S l’esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 calculeu<br />
el flux <strong>de</strong>l camp F a traves <strong>de</strong> la superfície S utilitzant el teorema <strong>de</strong> Gauss.<br />
Exercici 9.4.3. Apliqueu el teorema <strong>de</strong> Gauss per calcular el flux <strong>de</strong>l camp F = xy 2 i+x 2 yj+yk,<br />
a traves <strong>de</strong> la superfície tancada afitada pel cilindre x 2 + y 2 = 1 i els plans z = 1 i z = −1.<br />
§9.5 La circul . lació al llarg <strong>de</strong> dues corbes tanca<strong>de</strong>s que comparteixen un arc comú. Sigui<br />
C ⊂ R 3 una corba tancada (regular a trossos) i fixem dos punts diferents p, q ∈ C. Com que<br />
C ∼ = S1 tenim que C \ {p, q} està format per dos arcs disjunts C ′ 1 i C′ 2 . Sigui Σ ⊂ R3 un arc <strong>de</strong><br />
corba que uneix p amb q i C ′ 1 i <strong>de</strong>finim les corbes tanca<strong>de</strong>s (regulars a trossos) Ci = C ′ i ∪ Σ,<br />
i = 1, 2.<br />
Exercici 9.5.1. Proveu que la circul . lació d’un camp vectorial al llarg <strong>de</strong> C és la suma <strong>de</strong> les<br />
circulacions al llarg <strong>de</strong> C1 i <strong>de</strong> C2.<br />
43<br />
D
§9.6 La circul . lació d’un camp vectorial al llarg d’un quadrat petit. Po<strong>de</strong>m escollir unes<br />
coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s ortonormals <strong>de</strong> manera que els seus vèrtexs siguin (x, y, 0), (x, y + δy, 0), (x +<br />
δx, y + δy, 0), (x + δx, y, 0).<br />
Exercici 9.6.1. Proveu que la circul . lació <strong>de</strong> F = (F1, F2, F3) al llarg <strong>de</strong>l costat que uneix<br />
• (x, y, 0) i (x + δx, y, 0) és x+δx<br />
x F1(t, y, 0) dt;<br />
• (x, y + δy, 0) i (x + δx, y + δy, 0) és<br />
x+δx<br />
x+δx<br />
− F1(t, y + δy, 0) dt −<br />
x<br />
x<br />
x+δx<br />
F1(t, y, 0) dt − δy<br />
x<br />
∂F1<br />
(t, y, 0) dt.<br />
∂y<br />
Exercici 9.6.2. Proveu que la circul . lació <strong>de</strong> F al llarg <strong>de</strong> tots quatre costats <strong>de</strong>l quadrat es<br />
pot aproximar per ∂F2<br />
∂x<br />
<br />
∂F1<br />
(x, y, 0) − (x, y, 0) δx δy<br />
∂y<br />
si no consi<strong>de</strong>rem els termes (δx) i (δy) j amb i + j > 2.<br />
Observem que ∂F2<br />
∂F1<br />
∂x (x, y, 0) − ∂y (x, y, 0) és la tercera component <strong>de</strong>l rotacional ∇ × F la qual<br />
coinci<strong>de</strong>ix amb el producte escalar (∇ × F) · (0, 0, 1) = (∇ × F) · N.<br />
§9.7 El teorema <strong>de</strong> Stokes o <strong>de</strong>l rotacional.<br />
Exercici 9.7.1. Combineu els resultats anteriors per obtenir una prova heurística <strong>de</strong>l teorema<br />
<strong>de</strong> Stokes: si F és un camp vectorial diferenciable i S és una superfície <strong>de</strong> R3 amb vora C = ∂S<br />
una corba regular a trossos aleshores<br />
<br />
F · dL = (∇ × F) · dS.<br />
Exercici 9.7.2. Sigui<br />
C<br />
S<br />
F = ye z i + xe z j + xye z k,<br />
Demostreu que la circul . lació <strong>de</strong> F al llarg d’una corba tancada qualsevol que es vora d’una<br />
superfície tancada és zero.<br />
Exercici 9.7.3. Sigui C una corba tancada que es la vora d’una superfície S i sigui v un camp<br />
constant. Proveu la igualtat següent,<br />
<br />
v · ds = 0.<br />
C<br />
Ara tornem a la física. Revisem les lleis fonamentals <strong>de</strong>ls camps elèctrics i magnètics.<br />
§9.8 Força exercida sobre una càrrega elèctrica. Consi<strong>de</strong>rem una partícula amb una càrrega<br />
elèctrica q ∈ R (positiva o negativa) que és mou amb una velocitat v sota l’influència d’un<br />
camp elèctric E i un camp magnètic B (creat per d’altres càrregues i corrents). Aleshores la<br />
força que s’exerceix sobre la càrrega ve donada per la fórmula <strong>de</strong> Lorentz:<br />
F = q(E + v × B).<br />
44
§9.9 Les lleis <strong>de</strong> l’electromagnetisme. Sigui E el camp elèctric i B el camp magnètic.<br />
• El flux <strong>de</strong>l camp elèctric a través d’una superfície tancada S és proporcional a la càrrega<br />
elèctrica neta Q que hi ha a l’interior <strong>de</strong> S. La constant <strong>de</strong> proporcionalitat s’acostuma<br />
a escriure com 1<br />
ε0 :<br />
<br />
E · dS = Q<br />
(Llei <strong>de</strong> Gauss). (9.1)<br />
S<br />
ε0<br />
Exercici 9.9.1. Proveu que el camp elèctric (<strong>de</strong> Coulomb) en un punt P creat per una<br />
única càrrega puntual situada en un punt O és inversament proporcional al quadrat <strong>de</strong><br />
la distància entre O i P . Per això po<strong>de</strong>u suposar que aquest camp elèctric té simetria<br />
esfèrica respecte <strong>de</strong> O, és a dir, que la direcció <strong>de</strong>l camp en el punt P ve donada pel<br />
vector OP .<br />
• La circul . lació <strong>de</strong>l camp elèctric al llarg d’una corba tancada C coinci<strong>de</strong>ix amb la variació<br />
temporal <strong>de</strong>l flux <strong>de</strong>l camp magnètic a través d’una superfície S sostinguda per C = ∂S<br />
(orientada a<strong>de</strong>quadament):<br />
<br />
C<br />
E · dL = d<br />
dt<br />
<br />
S<br />
B · dS (Llei <strong>de</strong> Faraday). (9.2)<br />
Exercici 9.9.2. Proveu que la circul . lació d’un camp <strong>de</strong> Coulomb al llarg <strong>de</strong> tota corba<br />
tancada C és cero. Indicació: expresseu la parametrització <strong>de</strong> C en coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s<br />
esfèriques.<br />
• El flux <strong>de</strong>l camp magnètic a través <strong>de</strong> qualsevol superfície tancada S és zero:<br />
<br />
B · dS = 0 (absència <strong>de</strong> càrregues magnètiques). (9.3)<br />
S<br />
• Si S és una superfície amb vora C = ∂S una corba tancada aleshores la circul . lació<br />
<strong>de</strong>l camp magnètic al llarg <strong>de</strong> C multiplicat pel quadrat <strong>de</strong> la velocitat <strong>de</strong> la llum c és<br />
igual al flux <strong>de</strong>l vector <strong>de</strong>nsitat <strong>de</strong> corrent j a través <strong>de</strong> S dividit per ε0 més la variació<br />
temporal <strong>de</strong>l flux <strong>de</strong>l camp elèctric a través <strong>de</strong> S:<br />
c 2<br />
<br />
C<br />
B · dL = 1<br />
ε0<br />
<br />
S<br />
j · dS + d<br />
dt<br />
<br />
S<br />
E · dS, (Llei d’Ampère modificada per Maxwell).<br />
(9.4)<br />
§9.10 Una aplicació <strong>de</strong>ls teoremes <strong>de</strong> Gauss i Stokes a la física: Les equacions <strong>de</strong> Maxwell.<br />
Ara anem a veure com <strong>de</strong>duir les equacions <strong>de</strong> Maxwell utilitzant les lleis anteriors.<br />
Exercici 9.10.1. Utilitzant els teoremes <strong>de</strong> Gauss i Stokes proveu que les lleis <strong>de</strong> l’electromagnetisme<br />
expressa<strong>de</strong>s en les equacions (9.1), (9.3), (9.3) i (9.4) són equivalents a les equacions<br />
diferencials <strong>de</strong> Maxwell:<br />
• ∇ · E = ρ<br />
ε0<br />
• ∇ × E = − ∂B<br />
∂t ;<br />
• ∇ · B = 0;<br />
• c2∇ × B = j ∂E + ε0 ∂t<br />
on ρ és la <strong>de</strong>nsitat <strong>de</strong> càrrega;<br />
on j és el vector <strong>de</strong>nsitat <strong>de</strong> corrent.<br />
45
The Feynman Complete Lectures on Physics Vol 2--536 Pages....<br />
Views: 3185<br />
§9.11 Interpretació física <strong>de</strong> les lleis <strong>de</strong> l’electromagnetisme.<br />
Exercici 9.11.1. Tenim un filferro sostingut per dos pals sota el qual situem un imant. Quan<br />
el connectem a un corrent elèctric experimenta una força lateral, per què?<br />
Figura 9.1: Un imant produeix un camp magnètic sobre el filferro quan hi ha una corrent<br />
elèctrica que el travessa.<br />
Exercici 9.11.2. Com a reacció, el imant <strong>de</strong>u experimentar una força en sentit contrari, com<br />
s’explica això en termes <strong>de</strong> les equacions anteriors?<br />
Rate:<br />
Download Add to Favorites Add to Quicklist<br />
Get Widgets Share File Flag as<br />
Feynman Complete Lectures on Physics Vol 2--536 Pages<br />
Ad<strong>de</strong>d to physics;con<strong>de</strong>nse... fol<strong>de</strong>r on May. 21 2007<br />
Size: 33.2MB<br />
1 ratings<br />
Uploa<strong>de</strong>d by: laplacian From Saudi Arabia<br />
Joined on Apr. 14 2007<br />
"great people discuss i<strong>de</strong>as"<br />
From physics;con<strong>de</strong>nse...<br />
fol<strong>de</strong>r<br />
Figura 9.2: El camp magnètic <strong>de</strong>l filferro exerceix una força sobre l’imant.<br />
Inappropriate<br />
Exercici 9.11.3. Consi<strong>de</strong>rem ara dos filferros suspesos paral . lelament i connectats a un corrent<br />
elèctric. Què succeeix en aquesta situació i per què?<br />
Linear Accelerator Parts<br />
Over 3000 line items in stock, incl<br />
Magnetrons, Thyratrons, Klystrons<br />
www.RadParts.com<br />
Einstein's Method<br />
A Fresh Approach to Relativity & Q.M. - A<br />
scholarly inquiry...<br />
www.einsteinsmethod.com<br />
Figura 9.3: Dos filferros que condueixen corrent elèctrica exerceixen forces mútues l’un sobre<br />
l’altre.<br />
Com que tot camp elèctric genera un camp magnètic, po<strong>de</strong>m substituir l’imant anterior per<br />
una bobina que porti un corrent elèctric.<br />
46<br />
Related More from<br />
Preparation Gu... A<br />
quantum dots.d... S<br />
SYNOPSIS AHMER... th<br />
Go to laplacian's physi<br />
matter research fol<strong>de</strong><br />
Advertise on this site<br />
complete_kbc.f... L<br />
goong complete... A<br />
Faust complete... C
El segon terme <strong>de</strong>l segon membre <strong>de</strong> l’equació (9.4) va ser <strong>de</strong>scobert <strong>de</strong> manera teòrica per<br />
Maxwell i és <strong>de</strong> gran importància. Diu que els camps elèctrics variables produeixen efectes<br />
magnètics. Això es posa <strong>de</strong> relleu en la següent situació:<br />
Exercici 9.11.4. Un con<strong>de</strong>nsador està composat per dues plaques conductores paral . leles. Carreguem<br />
una d’elles mitjançant un corrent que flueix cap a ella al llarg d’un filferro. Consi<strong>de</strong>rem<br />
la circul . lació <strong>de</strong>l camp magnètic B generat pel corrent al llarg d’una corba C al voltant <strong>de</strong>l<br />
filferro. Analitzeu l’equació (9.4) per les dues superfícies S1 i S2 <strong>de</strong> la figura 9 sostingu<strong>de</strong>s<br />
sobre C = ∂S1 = ∂S2 i <strong>de</strong>duïu que ha d’existir un camp elèctric E variable en el temps entre<br />
les plaques <strong>de</strong>l con<strong>de</strong>nsador.<br />
Figura 9.4: La circul . lació <strong>de</strong> B al llarg <strong>de</strong> la corba C ve donada pel corrent que travessa la<br />
superfície S1 o per la variació <strong>de</strong>l flux <strong>de</strong> E a través <strong>de</strong> la superfície S2<br />
La combinació <strong>de</strong> les equacions (9.2) i (9.4) té una conseqüència remarcable: l’explicació <strong>de</strong> la<br />
radiació electromagnètica a grans distàncies. Grosso modo la raó és la següent: suposem que<br />
en un cert indret el camp magnètic està creixent, per exemple per que s’ha produït un corrent<br />
sobtat en un filferro. Per l’equació (9.2) <strong>de</strong>u haver una circul . lació <strong>de</strong>l camp elèctric. Aquest<br />
camp elèctric que acaba <strong>de</strong> crear-se produeix un camp magnètic d’acord a l’equació (9.4) ja<br />
que tenim una circul . lació <strong>de</strong> B no nul . la. Però a la seva vegada aquesta nova creació <strong>de</strong> camp<br />
magnètic ha <strong>de</strong> produir un nou camp elèctric i així successivament. D’aquesta manera és com<br />
els camps elèctric i magnètic avancen per l’espai buit sense recórrer a cap càrrega o corrent<br />
llevat <strong>de</strong> la font inicial. La llum visible no són més que ones electromagnètiques d’una certa<br />
longitud d’ona. I vet aquí que gràcies a les equacions <strong>de</strong> Maxwell po<strong>de</strong>m veure’ns els uns als<br />
altres!<br />
§9.12 Altres aplicacions <strong>de</strong> Stokes i Gauss a la física Altres aplications <strong>de</strong> Stokes i Gauss<br />
a la física són l’equació <strong>de</strong> la calor.<br />
Això ho veureu aviat a classe. Podreu esperar?<br />
Si no es així doneu un cop d’ull a aquest link: http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation<br />
§9.13 Referències<br />
• Richard P. Feynman , Robert B. Leighton and Matthew Sands, The Feynman Lectures<br />
on Physics, Volume 2, 1964.<br />
• Jerry Mars<strong>de</strong>n and Antony Tromba, Cálculo vectorial, Addison-Wesley, 3a edición, 1991.<br />
47
10 <strong>Càlcul</strong> vectorial amb maple<br />
Comencem carregant el package <strong>de</strong> càlcul vectorial<br />
restart:with(plots):with(Stu<strong>de</strong>nt[VectorCalculus]);<br />
§10.1 Definició <strong>de</strong> camps vectorials i càlcul <strong>de</strong> la divergència i <strong>de</strong>l rotacional. Per <strong>de</strong>finir un<br />
camp vectorial utilitzem la comanda VectorField, per calcular la divergència Divergence i<br />
per calcular el rotacional Curl. Per representar gràficament línies integrals d’un camp utilitzem<br />
la comanda FlowLine. Per calcular el gradient d’una funció utilitzem la comanda Gradient:<br />
F:=VectorField();Gradient((x^3+y^3+z^3)/3);Divergence(F);Curl(F);<br />
FlowLine(F,);<br />
Exercici 10.1.1. Comproveu amb maple les i<strong>de</strong>ntitats<br />
div (fF) = grad f · F + fdiv F<br />
rot (fF) = grad f × F + frot F.<br />
§10.2 Integrals <strong>de</strong> línia i superfície. Per calcular l’integral <strong>de</strong> línia d’un camp al llarg d’una<br />
corba po<strong>de</strong>m utilitzar directament la comanda LineInt:<br />
F:=VectorField();LineInt(F,Circle(,1),output=plot,scaling=constrained);<br />
LineInt(F,Circle(,1));<br />
Exercici 10.2.1. Feu una representació gràfica <strong>de</strong>l camp F(x, y) = (y, 0) i calculeu la circulació<br />
<strong>de</strong> F al llarg <strong>de</strong> la circumferència <strong>de</strong> centre (0, 2) i radi 1 orientada positivament.<br />
Per calcular el flux d’un camp a través d’una superfície po<strong>de</strong>m utilitzar la comanda Flux:<br />
F:=VectorField();Flux(F,Sphere(,1),output=plot,scaling=constrained);<br />
Flux(F,Sphere(,1));<br />
1<br />
Exercici 10.2.2. Feu una representació gràfica <strong>de</strong>l camp F(x, y, z) = √ (x, y, z) i<br />
x2 +y2 +z2 calculeu el flux <strong>de</strong> F a través <strong>de</strong> l’esfera <strong>de</strong> centre (1, 1, 1) i radi 1 orientada pel vector normal<br />
exterior.<br />
§10.3 Il . lustració <strong>de</strong>ls teoremes <strong>de</strong> Green, Gauss i Stokes. Recor<strong>de</strong>u que el teorema <strong>de</strong> Green<br />
afirma que <br />
<br />
∂D (P, Q) · dL = D (∂xQ − ∂yP ) dA.<br />
Exercici 10.3.1. Calculeu l’àrea d’un <strong>de</strong>ls quatre pètals P <strong>de</strong> la corba donada per r = 3 sin(2θ)<br />
en coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s polars. Utilitzeu el teorema <strong>de</strong> Green aplicat al camp F(x, y) = (−y, x) per<br />
calcular d’una manera alternativa l’àrea <strong>de</strong> P .<br />
Recor<strong>de</strong>u que el teorema <strong>de</strong> Gauss afirma que <br />
∂D<br />
F · dS = <br />
D<br />
div F dV .<br />
Exercici 10.3.2. Sigui F(x, y, z) = (x+1, y−1, 1−2z) i S = {x2 +y2 <br />
= 1, 0 ≤ z ≤ 1} orientada<br />
1<br />
pel vector normal N(x, y, z) = √ (x, y, 0). Calculeu<br />
x2 +y2 S F·dS primer directament i <strong>de</strong>sprés<br />
triant a<strong>de</strong>quadament dues superfícies Si, i = 0, 1, tals que S ∪S0 ∪S1 sigui la vora d’un domini<br />
D ⊂ R 3 , per tal d’aplicar-hi el teorema <strong>de</strong> Gauss.<br />
48
Exercici 10.3.3. (a) Sigui F(x, y, z) = (x, y, z) el camp radial i D ⊂ R3 una regió sòlida amb<br />
vora S superfície regular a trossos. Proveu que el volum <strong>de</strong> D és igual a V (D) = 1<br />
<br />
3 S F · dS.<br />
Quina relació hi trobeu amb el volum d’una piràmi<strong>de</strong>?<br />
(b) Trobeu un camp vectorial a<strong>de</strong>quat amb divergència constant no nul . la i apliqueu-li el<br />
teorema <strong>de</strong> Gauss per trobar el volum <strong>de</strong> la regió <strong>de</strong>limitada per la superfície S parametritzada<br />
per x(u, v) = (2 cos u + cos3 u cos v, cos2 u sin v, 2 sin u + cos2 sin u cos v) amb u ∈ <br />
−π π<br />
2 , 2 i<br />
v ∈ [0, 2π].<br />
Figura 10.1: Quin és el volum d’aquest “all”?<br />
Recor<strong>de</strong>u que el teorema <strong>de</strong> Stokes afirma que <br />
amb vora ∂S orientada coherentment amb S.<br />
Exercici 10.3.4. Calculeu la circulació <strong>de</strong>l camp<br />
∂S<br />
F · dL = <br />
S<br />
rot F · dS on S és una superfície<br />
F(x, y, z) = (3 x 2 y 2 + 4 z 3 x 3 y + 3 x 2 yz, 2 x 3 y + z 3 x 4 + x 3 z, 3 z 2 x 4 y + x 3 y)<br />
al llarg <strong>de</strong> l’el . lipse parametritzada per c(t) = (2 sin t, 2 cos t, − sin t − cos t) directament i<br />
aplicant el teorema <strong>de</strong> Stokes. Feu el mateix amb el camp<br />
F(x, y, z) = (3 x 2 y 2 + 4 z 3 x 3 y + 3 x 2 yz − y, 2 x 3 y + z 3 x 4 + x 3 z + x, 3 z 2 x 4 y + x 3 y + y − x).<br />
§10.4 Interpretació geomètrica <strong>de</strong> la divergència i <strong>de</strong>l rotacional. Els teoremes <strong>de</strong> Stokes<br />
i Gauss ens permeten donar una interpretació geomètrica <strong>de</strong>l rotacional i la divergència d’un<br />
camp vectorial. En una primera aproximació (no <strong>de</strong>l tot correcta) podríem dir que el rotacional<br />
controla com roten o giren les línies integrals <strong>de</strong>l camp mentre que la divergència controla com<br />
divergeixen o convergeixen les línies integrals <strong>de</strong>l camp.<br />
Exercici 10.4.1. Comproveu les següents afirmacions:<br />
(i) El camp H0(x, y, z) = (1, 0, 0) té rotacional zero i les seves corbes integrals no giren.<br />
(ii) El camp F0(x, y, z) = (−y, x, 0) té rotacional (0, 0, 2) i les seves corbes integrals son<br />
circumferències horitzontals que giren en sentit positiu respecte <strong>de</strong>l vector (0, 0, 1).<br />
(iii) El camp radial G0(x, y, z) = (x, y, z) té divergència 3 > 0 i les seves corbes integrals són<br />
semirectes que s’allunyen <strong>de</strong> l’origen i per tant divergeixen.<br />
La situació però és més subtil tal i com s’il . lustra a la plana web:<br />
49
http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/curlsubtle/<br />
http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/divsubtle/<br />
Exercici 10.4.2. Consi<strong>de</strong>reu els següents camps vectorials en funció <strong>de</strong>l paràmetre ε:<br />
Hε(x, y, z) = (y ε , 0, 0), Fε(x, y, z) = (x 2 + y 2 ) ε (−y, x, 0) i Gε(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) ε (x, y, z).<br />
(i) Comproveu que rot Hε(x, y, z) = (0, 0, −εy ε−1 ) i calculeu la circulació <strong>de</strong> Hε al llarg <strong>de</strong><br />
la circumferència c(t) = (a + r cos t, b + r sin t, 0), t ∈ [0, 2π].<br />
(ii) Comproveu que rot Fε(x, y, z) = (0, 0, 2(ε + 1)(x 2 + y 2 ) ε ) i calculeu la circulació <strong>de</strong> Fε<br />
al llarg <strong>de</strong> la circumferència cα(t) = (cos t, cos α sin t, sin α sin t), t ∈ [0, 2π], fent variar el<br />
paràmetre α ∈ [0, π/2].<br />
(iii) Comproveu que div Gε = (3 + 2ε)(x 2 + y 2 + z 2 ) ε i calculeu el flux <strong>de</strong> Gε a través <strong>de</strong><br />
l’esfera {x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } orientada amb el vector normal exterior.<br />
Consi<strong>de</strong>reu el camp Fε(x, y) =<br />
resolent el sistema d’equacions diferencials<br />
1<br />
(x 2 +y 2 ) ε (x, y) <strong>de</strong>l pla. Anem a calcular les seves corbes integrals<br />
dx<br />
dt =<br />
dy<br />
dt =<br />
x<br />
(x2 + y2 ) ε<br />
x<br />
(x2 + y2 ) ε<br />
Per això observem que si r2 = x2 + y2 aleshores 2r dr<br />
dt<br />
que r 2ε−1 dr = dt i per tant<br />
r(t) = (r 2ε<br />
0 + 2εt) 1<br />
2ε .<br />
= 2x dx<br />
dt<br />
+ 2y dy<br />
dt = 2r2−2ε , d’on resulta<br />
D’altra banda, es comprova fàcilment que d(y/x)<br />
dt = 0, d’on resulta que θ(t) = θ0. Així doncs,<br />
la corba integral <strong>de</strong> Fε passant per (x, y) està parametritzada per<br />
t ↦→ φ t <br />
ε(x, y) = x 1 +<br />
2εt<br />
(x2 + y2 ) ε<br />
1 <br />
2ε<br />
, y 1 +<br />
Exercici 10.4.3. Comproveu amb maple que d<br />
dt φt ε(x, y) = Fε(φ t ε(x, y)).<br />
2εt<br />
(x2 + y2 ) ε<br />
1 <br />
2ε<br />
.<br />
Fem una animació <strong>de</strong> la imatge <strong>de</strong>l cercle <strong>de</strong> centre (1, 1) i radi 1 per l’aplicació φ t ε per ε = 1:<br />
F:=VectorField();<br />
phi:=(epsilon,x,y,t)->[x*(1+2*epsilon/(x^2+y^2)^(epsilon)*t)^(1/2/epsilon),<br />
y*(1+2*epsilon/(x^2+y^2)^(epsilon)*t)^(1/2/epsilon)];<br />
dib:=VectorField(subs(epsilon=1,F),output=plot):<br />
animate(plot,[[op(phi(1,1+cos(s),1+sin(s),t)),s=0..2*Pi]],t=0..1,<br />
background=dib,view=[-2..3,-2..3]);<br />
Feu el mateix per ε = 1<br />
2<br />
i digueu quina diferència n’observeu.<br />
Exercici 10.4.4. Sigui Dr el cercle <strong>de</strong> centre (1, 1) i radi r. Calculeu l’àrea <strong>de</strong> φt ε(Dr) en funció<br />
<strong>de</strong> t i r per ε = 1 i ε = 1<br />
2 <br />
. Indicació:<br />
<br />
utilitzeu la tècnica <strong>de</strong>scrita a l’exercici 10.4. Quina<br />
A(φt ε (Dr))<br />
relació hi trobeu entre lim<br />
r→0 A(Dr) i (div Fε)(1, 1)?<br />
50
Exercici 10.4.5. Trobeu el grup uniparamètric <strong>de</strong> transformacions φ t ε <strong>de</strong>l camp<br />
Fε(x, y, z) =<br />
1<br />
(x2 + y2 + z2 (x, y, z)<br />
) ε<br />
i feu una animació <strong>de</strong> φ t ε(Br) per ε = 1, ε = 3<br />
2 i ε = 2, on Br <strong>de</strong>nota la bola <strong>de</strong> centre (1, 1, 1)<br />
i radi r. Calculeu-ne el volum en funció <strong>de</strong> t i r i obteniu una relació anàloga a la <strong>de</strong>l cas<br />
anterior.<br />
§10.5 El camp <strong>de</strong> Hopf. Consi<strong>de</strong>reu el camp vectorial<br />
<br />
H(x, y, z) = y + xz, −x + yz, 1<br />
2 (1 + z2 − (x 2 + y 2 <br />
)) .<br />
Exercici 10.5.1. Calculeu la divergència i el rotacional <strong>de</strong> H.<br />
Exercici 10.5.2. Proveu que curvatura κ(x, y, z) <strong>de</strong> la corba integral t ↦→ cxyz(t) <strong>de</strong> H passant<br />
pel punt (x, y, z) és<br />
2<br />
κ(x, y, z) =<br />
x2 + y2 1 + x2 + y2 .<br />
+ z2 Indicació: calcular κ(x, y, z) = c′ xyz×c ′′<br />
xyz<br />
c ′ xyz3 utilitzant que c ′ xyz = H◦cxyz i la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na.<br />
Exercici 10.5.3. Comproveu les superfícies <strong>de</strong> nivell <strong>de</strong> la funció κ(x, y, z) són tors <strong>de</strong> revolució<br />
i comproveu que H n’és sempre tangent. Indicació: Comprovar que H ⊥ ∇κ.<br />
Exercici 10.5.4. Proveu que la torsió <strong>de</strong> tota corba integral <strong>de</strong> H és nul . la. Deduïu que totes<br />
les corbes integrals <strong>de</strong> H, exceptuant l’eix z, són circumferències. Aquestes circumferències<br />
<strong>de</strong>l tor <strong>de</strong> revolució s’anomenen cercles <strong>de</strong> Villarceau:<br />
http://en.wikipedia.org/wiki/Villarceau_circles<br />
Po<strong>de</strong>m fer una representació gràfica d’alguns d’aquests cercles:<br />
Figura 10.2: El camp <strong>de</strong> Hopf i alguns cercles <strong>de</strong> Villarceau. Nusos tòrics <strong>de</strong> tipus (1, 1).<br />
51
dib:=[seq(FlowLine(F,),i=1..5)]:<br />
tor:=plot3d([(5/4+3/4*cos(u))*cos(v),(5/4+3/4*cos(u))*sin(v),3/4*sin(u)],<br />
u=0..2*Pi,v=0..2*Pi,scaling=constrained,style=patchnogrid,transparency=0.5):<br />
display([tor,op(dib)]);<br />
Exercici 10.5.5. Comproveu que els nusos tòrics <strong>de</strong> tipus (1, 1) parametritzats per t ↦→ ((a +<br />
b cos t) cos t, (a + b cos t) sin t, b sin t) no són cercles <strong>de</strong> Villarceau. Indicació: Calculeu-ne la<br />
curvatura i feu-ne una representació gràfica.<br />
§10.6 Camp <strong>de</strong> Lorenz. Un altre exemple interessant s’obté al consi<strong>de</strong>rar el següent camp<br />
L(x, y, z) = (σ(y − x), x(ρ − z) − y, xy − βz),<br />
on σ, ρ i β són paràmetres. Per alguns valors d’aquests paràmetres, les corbes integrals <strong>de</strong>l<br />
camp L giren i al voltant <strong>de</strong>ls seus punts crítics sense cap pauta regular <strong>de</strong>scrivint una figura<br />
límit <strong>de</strong> caire fractal anomenada atractor <strong>de</strong> Lorenz, veure<br />
http://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz_attractor<br />
Figura 10.3: L’atractor <strong>de</strong> Lorenz.<br />
Aquest camp fou introduit pel matemàtic i meteoròleg Edward Lorenz (1917–2008), no confondre<br />
amb l’eminent físic Hendrik Lorentz (1853–1928), en 1963 per donar un mo<strong>de</strong>l senzill<br />
<strong>de</strong>l moviment <strong>de</strong> l’aire a l’atmosfera. Paradoxalment, amb aquest mo<strong>de</strong>l simple es van posar<br />
<strong>de</strong> manifest per primer cop el comportament <strong>de</strong>terminista caòtic basat en la <strong>de</strong>pendència<br />
sensible <strong>de</strong> les condicions inicials i conegut popularment com l’efecte papallona.<br />
Po<strong>de</strong>m utilitzar el rotacional <strong>de</strong>l camp L avaluat en els seus punts crítics per trobar els dos<br />
plans que aproximen la forma lemniscàtica <strong>de</strong> l’atractor <strong>de</strong> Lorenz.<br />
També po<strong>de</strong>m <strong>de</strong>finir un procediment en maple per representar gràficament unes petites esferes<br />
centra<strong>de</strong>s en els punts crítics <strong>de</strong> L i animar-les d’un moviment <strong>de</strong> rotació d’eix rot L i velocitat<br />
angular proporcional a rot L:<br />
§10.7 Annex: codi maple.<br />
with(plots):sigma:=16:rho:=45.6:beta:=4:sol:=(x0,y0,z0)->dsolve({diff(x(t),t)<br />
=sigma*(y(t)-x(t)),diff(y(t),t)=rho*x(t)-y(t)-x(t)*z(t),diff(z(t),t)<br />
=x(t)*y(t)-beta*z(t),x(0)=x0,y(0)=y0,z(0)=z0},{x(t),y(t),z(t)},numeric):<br />
dib[0]:=o<strong>de</strong>plot(sol(0.1,0.1,0.1),[x(t),y(t),z(t)],t=0..10,axes=boxed,<br />
52
Figura 10.4: L’atractor <strong>de</strong> Lorenz i dos plans perpendiculars als vectors rotacionals avaluats<br />
en els punts crítics.<br />
scaling=constrained,numpoints=600):dib[1]:=o<strong>de</strong>plot(sol(50.,50.,-10.),<br />
[x(t),y(t),z(t)],t=0..10,axes=boxed,scaling=constrained,numpoints=600,color=blue):<br />
with(linalg):rot:=convert(curl([sigma*(y-x),rho*x-y-x*z,x*y-beta*z],[x,y,z]),’list’);<br />
a:=[10,50]:b:=[50,10]:pf:=solve([sigma*(y-x)=0,rho*x-y-x*z=0,x*y-beta*z=0],[x,y,z]);<br />
for i from 2 to 3 do: pla[i]:=solve(dotprod(vector(subs(pf[i],rot)),<br />
vector([x-subs(pf[i],x),y-subs(pf[i],y),z-subs(pf[i],z)]),orthogonal)=0,z);dib[i]:=<br />
plot3d(pla[i],x=-a[i-1]..b[i-1],y=-a[i-1]..b[i-1],transparency=0.9,grid=[5,5]) od;<br />
display(seq(dib[i],i=0..3));<br />
o<strong>de</strong>plot(sol(-.01,-1.0,0.),[x(t),y(t),z(t)],t=0..50,axes=normal,scaling=constrained,<br />
numpoints=600*5,color=blue,frames=20*5);<br />
with(plottools):X0:=[sigma*(y-x),rho*x-y-x*z,x*y-beta*z]:<br />
p0 := [[0,0,0], [13.35664629,13.35664629, 44.60000000],<br />
[-13.35664629, -13.35664629,44.60000000]]:<br />
dib[4]:=display(seq(arrow(p0[i],vector(map(x->1*x,subs([x=p0[i,1],y=p0[i,2],<br />
z=p0[i,3]],convert(curl(X0,[x,y,z]),’list’)))), .2*2, .4*2, .1*2, cylindrical_arrow,<br />
’fringe’=’blue’, color=green),i=1..3)):<br />
F1:=(X,p,r)->proc(t) local n,i,Y,Z,w,phi,theta,dib:n:=nops(p):Y:=convert(curl(X,<br />
[x,y,z]),’list’): for i from 1 to n do Z:=subs([x=p[i,1],y=p[i,2],z=p[i,3]],Y):<br />
w:=(Z[1]^2+Z[2]^2+Z[3]^2)^(1/2):<br />
dib[i]:=plot3d(evalm([[r*cos(u)*cos(v),r*cos(u)*sin(v),r*sin(u)]]&*[[cos(w*t),<br />
-sin(w*t),0],[sin(w*t),cos(w*t),0],[0,0,1]]&*subs([theta=argument(Z[1]+I*Z[2]),<br />
phi=-arccos(Z[3]/w)],[[cos(theta)^2*cos(phi)+1-cos(theta)^2, sin(theta)*cos(theta)*<br />
(cos(phi)-1), cos(theta)*sin(phi)], [sin(theta)*cos(theta)*(cos(phi)-1), cos(phi)cos(theta)^2*cos(phi)+cos(theta)^2,<br />
sin(theta)*sin(phi)], [-cos(theta)*sin(phi),<br />
-sin(theta)*sin(phi), cos(phi)]])+[p[i]]),u=-Pi/2..Pi/2,v=0..2*Pi,grid=[10,10],<br />
color=v,transparency=0.5):od:return(display(seq(dib[i],i=1..n))) end proc:<br />
animate(F1(X0,p0,8),[theta],theta=0..2*Pi,background=display([fieldplot3d(X0,x=-35..<br />
35,y=-35..35,z=-10..55,color=black),dib[0],dib[4]]),scaling=constrained, axes=none);<br />
53
11 Espai <strong>de</strong> Minkowski<br />
§11.1 Invariància <strong>de</strong> Galileu. Per <strong>de</strong>terminar un punt a l’espai cal donar les seves coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s<br />
respecte un sistema <strong>de</strong> referències {O; x, y, z}. Per <strong>de</strong>terminar ‘quan’ existeix aquest<br />
punt donem el seu temps t. Aleshores tot punt ve <strong>de</strong>terminat, respecte un cert sistema <strong>de</strong><br />
coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s, per la dada (t, x, y, z). Anomenarem aquest punt es<strong>de</strong>veniment. Suposarem que<br />
tots els sistemes <strong>de</strong> referència {O; x, y, z} són ortogonals.<br />
Es consi<strong>de</strong>ren els següents axiomes (<strong>de</strong> Newton):<br />
1. Existeix un espai absolut (sistema <strong>de</strong> referència absolut) respecte el qual les lleis <strong>de</strong><br />
Newton són certes.<br />
Definició. Un sistema <strong>de</strong> referència és inercial si està en moviment relatiu uniforme<br />
respecte l’espai absolut.<br />
2. Tots els sistemes <strong>de</strong> referència inercial comparteixen un mateix temps universal.<br />
Aclarim la <strong>de</strong>finició, si {O; x, y, z} és el sistema <strong>de</strong> referència absolut, {O ′ ; x ′ , y ′ , z ′ } és inercial<br />
si O ′ (t) = O0 + tv amb O0 i v constants (al llarg <strong>de</strong> la pràctica suposarem, mentre no es digui<br />
el contrari, que O0 = O).<br />
Exercici 11.1.1. Proveu que l’acceleració d’una partícula en moviment és invariant respecte el<br />
sistema inercial en el que es mesuri.<br />
§11.2 Transformacions <strong>de</strong> Lorentz. Obli<strong>de</strong>m el temps universal i l’espai absolut. Consi<strong>de</strong>rem<br />
sistemes <strong>de</strong> referència inercials R i R ′ (ara, un respecte <strong>de</strong> l’altre). Després <strong>de</strong> fer rotacions<br />
i translacions suposarem que els eixos són els mateixos en el dos sistemes, que O ′ es mou al<br />
llarg <strong>de</strong> l’eix <strong>de</strong> les z amb velocitat v i que els es<strong>de</strong>veniments (t = 0, z = 0) i (t ′ = 0, z ′ = 0)<br />
coinci<strong>de</strong>ixen. És a dir, x = x′ , y = y ′ i O ′ = (0, 0, vt). En aquest cas les coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s (x, y)<br />
<strong>de</strong>ls es<strong>de</strong>veniments coinci<strong>de</strong>ixen en els dos sistemes <strong>de</strong> referències. Ens preocupem només <strong>de</strong><br />
les coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s t i z i volem veure com es relacionen en aquests sistemes <strong>de</strong> referències.<br />
Admetrem que:<br />
<br />
t ′<br />
a) Les transformacions g tals que<br />
z ′<br />
<br />
= g<br />
<br />
t<br />
formen un grup.<br />
z<br />
b) Les transformacions g porten moviments lineals a moviments lineals (és a dir, rectes a<br />
rectes).<br />
Exercici 11.2.1. Les transformacions <strong>de</strong> (t, z) a (t ′ , z ′ ) són <strong>de</strong> la forma<br />
on α, β, γ, δ <strong>de</strong>penen <strong>de</strong> la velocitat relativa v<br />
<br />
t ′<br />
z ′<br />
<br />
γ δ t<br />
=<br />
β α z<br />
Exercici 11.2.2. Com que (t, vt) es transforma en (t ′ , 0), <strong>de</strong>duïu que β = −vα.<br />
Exercici 11.2.3. Com que (t, 0) es transforma en (t ′ , −vt ′ ) <strong>de</strong>duïu que β = −vγ. D’aquest<br />
exercici i l’anterior es pot concloure que α = γ. Proveu que<br />
<br />
γ δ<br />
g(v) =<br />
.<br />
−vγ γ<br />
54
Admetem que la transformació inversa g(v) −1 ha <strong>de</strong> ser g(−v) (per què?) i que γ(v) = γ(−v)<br />
(ja que γ(v) dona la possible dilatació temporal que hauria <strong>de</strong> ser in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt <strong>de</strong>l sentit <strong>de</strong>l<br />
moviment).<br />
Exercici 11.2.4. Demostreu a partir d’aquestes afirmacions que γ 2 + vδγ = 1.<br />
Per tenir les transformacions g estructura <strong>de</strong> grup resulta que g · g ′ ha <strong>de</strong> ser <strong>de</strong>l mateix tipus.<br />
Llavors els elements diagonals <strong>de</strong> g · g ′ han <strong>de</strong> ser idèntics.<br />
Exercici 11.2.5. Deduïu que per valors no nuls <strong>de</strong> v i v ′ es te la relació<br />
δ(v)<br />
vγ(v) = δ(v′ )<br />
v ′ γ(v ′ ) .<br />
Observem que el <strong>de</strong>nominador mai és zero ja que v = 0 implica que γ(v) = 0 (proveu això!).<br />
Introduïm la constant κ = δ(v)<br />
vγ(v)<br />
que te unitats <strong>de</strong> velocitat a la menys dos.<br />
Exercici 11.2.6. Veieu que les transformacions són <strong>de</strong> la forma<br />
Ara hem <strong>de</strong> <strong>de</strong>cidir el signe <strong>de</strong> κ.<br />
g =<br />
1<br />
√ 1 + κv 2<br />
1 κv<br />
−v 1<br />
Exercici 11.2.7. Suposem que κ > 0. Es cosi<strong>de</strong>ren transformacions g1 i g2 amb velocitats v1, v2<br />
tals que v1v2 > 1/κ (en principi no hi ha límit per les velocitats!). Veieu que pot passar que<br />
un es<strong>de</strong>veniment amb temps t > 0 es tranformi en un es<strong>de</strong>veniment amb t < 0.<br />
Això es consi<strong>de</strong>ra físicament impossible, és el canvi <strong>de</strong> la causalitat. Només tenim dos casos:<br />
1. κ = 0. Tenim les transformacions <strong>de</strong> Galileu <strong>de</strong> cinemàtica newtoniana.<br />
2. κ < 0. Posem c = 1/ √ −κ que serà una velocitat invariant (constant universal). En<br />
aquest cas ens trobem davant <strong>de</strong> les transformacions <strong>de</strong> Lorentz<br />
<br />
1 1 −v/c2 g = . (11.1)<br />
1 − v2 /c2 −v 1<br />
Observem que quan v ≪ c les transformacions <strong>de</strong> Galileu són una bona aproximació <strong>de</strong> les<br />
transformacions <strong>de</strong> Lorentz.<br />
Nota: El famós experiment <strong>de</strong> Michelson-Morley (1887) va <strong>de</strong>mostrar que la velocitat <strong>de</strong> la<br />
llum te una mateixa velocitat respecte qualsevol sistema inercial. La constant c que apareix en<br />
les transformacions <strong>de</strong> Lorentz és aquesta velocitat (299792.458 metres per segon en el buit).<br />
Exercici 11.2.8. Proveu que es<strong>de</strong>veniments (t, z1) i (t, z2) que són simultanis en el sistema R<br />
no ho són necessàriament en el sistema R ′ .<br />
§11.3 Adició <strong>de</strong> velocitats. Tenim el sistemes <strong>de</strong> referència R i R ′ . Com abans R ′ es mou<br />
a velocitat v en direcció <strong>de</strong> l’eix z. Suposem que a R ′ hi ha un objecte mòbil (t ′ , z ′ (t ′ )). La<br />
seva velocitat és w = dz′<br />
dt ′ . Volem saber a quina velocitat va vist <strong>de</strong>s <strong>de</strong>l sitema R.<br />
Exercici 11.3.1. Com que<br />
t =<br />
1<br />
<br />
<br />
1 − v2 /c2 t ′ + v<br />
z′<br />
c2 , z =<br />
55<br />
<br />
.<br />
1 ′ ′ vt + z<br />
1 − v2 /c2 ,
<strong>de</strong>duïu que la velocitat <strong>de</strong>s <strong>de</strong> R és<br />
v + w<br />
. (11.2)<br />
1 + vw/c2 Aquesta és la fórmula d’adició <strong>de</strong> velocitats. Quan les velocitats són prou petites tenim<br />
aproximadament la fórmula que s’utilitza a la mecànica newtoniana v + w.<br />
Exercici 11.3.2. Proveu, estudiant la funció F (u, v) = u+v<br />
1+uv/c 2 que sumant velocitats no po<strong>de</strong>m<br />
passar la velocitat <strong>de</strong> la llum c.<br />
§11.4 Longitud i temps. En mecànica newtoniana, la longitud d’un objecte és la mateixa<br />
respecte qualsevol sistema inercial. Veiem que passa en el món relativista. Suposem una barra<br />
amb inici a (0, z1) i final (0, z1 + L) en el sistema R.<br />
Exercici 11.4.1. Com són aquestes coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s en R ′ a l’instant t ′ <strong>de</strong> R ′ ? Proveu aleshores<br />
que la longitud <strong>de</strong> l’objecte en el sistema R ′ és<br />
L ′ = 1 − v 2 /c 2 L.<br />
Llavors els objectes en moviment els veiem més petits que quan estan en repòs. Això és el que<br />
s’anomena contracció <strong>de</strong> Fitzgerald-Lorentz.<br />
Consi<strong>de</strong>rem ara els es<strong>de</strong>veniments (0, 0), (T, 0) al sistema R. L’interval <strong>de</strong> temps transcorregut<br />
és T en el sistema R.<br />
Exercici 11.4.2. Proveu que l’interval <strong>de</strong> temps en els sistema R ′ entre aquests dos es<strong>de</strong>veniments<br />
és<br />
T ′ 1<br />
= <br />
1 − v2 /c2 T.<br />
Això diu que els rellotges a R ′ van més poc a poc que els rellotges a R (els rellotges mòbils<br />
van més lents).<br />
§11.5 Simultaneïtat i causalitat. En el pla (t, z), d’una referència R, dos es<strong>de</strong>veniments A1 i<br />
A2 són simultanis si t(A1) = t(A2). Aleshores sobre la recta t = T es troben els es<strong>de</strong>veniments<br />
simultanis a temps T . Volem saber com són, vistos a R, els es<strong>de</strong>veniments simultanis d’una<br />
referència R ′ <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s (t ′ , z ′ ). Com abans suposem que R ′ es mou al llarg <strong>de</strong> l’eix z<br />
amb velocitat v respecte R.<br />
Exercici 11.5.1. Els es<strong>de</strong>veniments que són simultanis a R ′ en el pla (t ′ , z ′ ) satisfan t ′ = ct.<br />
Veieu que a R aquests es<strong>de</strong>veniments estan sobre rectes <strong>de</strong>l tipus z = c 2 t/v + K en el pla<br />
(t, z). Observeu que el pen<strong>de</strong>nt d’aquestes rectes és major que c (en el pla (z, t)).<br />
Exercici 11.5.2. Demostreu que es<strong>de</strong>veniments A1 que són simultanis a R <strong>de</strong>ixen <strong>de</strong> ser-ho a<br />
R ′ si v = 0.<br />
Exercici 11.5.3. Siguin A1 i A2 es<strong>de</strong>veniments amb coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s (ti, zi) a la referencia R i<br />
<strong>de</strong> manera que t1 < t2 (A1 prece<strong>de</strong>ix en el temps a A2). Estudieu els valors <strong>de</strong> t ′ 1 i t′ 2 a la<br />
referència R ′ . Sota quines condicions es pot donar que t ′ 1 > t′ 2 (inversió <strong>de</strong> la causalitat)? És<br />
això possible?<br />
56
§11.6 Interval d’espai temps. Per les transformacions <strong>de</strong> Galileu és evi<strong>de</strong>nt que la distancia<br />
espaial (|z1 − z2|) entre dos es<strong>de</strong>veniments (t1, z1), (t2, z2) es conserva (exercici).<br />
Exercici 11.6.1. Proveu que si A1 i A2 són dos es<strong>de</strong>veniments mesurats en R llavors ∆z ′ =<br />
z(g(A1)) − z(g(A2)) no és necessàriament igual a ∆z = z(A1) − z(A2) quan g és <strong>de</strong> Lorentz.<br />
Volem trobar una magnitud invariant per les transformacions <strong>de</strong> Lorentz.<br />
Exercici 11.6.2. Proveu que<br />
La quantitat<br />
s’anomena interval d’espai temps.<br />
c 2 ∆t ′2 − ∆z ′2 = c 2 ∆t 2 − ∆z 2 .<br />
c 2 ∆t 2 − ∆z 2<br />
§11.7 Transformacions <strong>de</strong> Lorentz. Forma vectorial. Les transformacions (11.1) corresponen<br />
a un impuls (boost) en la direcció <strong>de</strong> les z. I són<br />
t ′ = γ(t − vz/c 2 )<br />
x ′ = x<br />
y ′ = y<br />
z ′ = γ(z − vt)<br />
on γ = (1 − v 2 (c 2 )) −1/2 . Es pot <strong>de</strong>mostrar que per un impuls v arbitrari (veure el llibre <strong>de</strong><br />
Girbau p. 238) i sense girar els eixos es te que si r = (x, y, z) aleshores<br />
t ′ = γ(t − r · v/c 2 )<br />
r ′ = r +<br />
<br />
γ−1<br />
v2 <br />
(r · v) − γt<br />
on v és la norma euclidiana <strong>de</strong> v i ‘·’ <strong>de</strong>nota el producte escalar.<br />
Les transformacions <strong>de</strong> Lorentz més generals també contenen la rotació <strong>de</strong>l eixos.<br />
(11.3)<br />
Exercici 11.7.1. Suposem R i R ′ sistemes <strong>de</strong> referència tals que l’origen <strong>de</strong> R ′ es mou <strong>de</strong><br />
manera que O ′ = O + tv. Si una partícula es mou amb velocitat w respecte R ′ llavors <strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
R la velocitat serà:<br />
1<br />
1 + (v · w)/c2 <br />
v · w<br />
+ 1 v +<br />
v2 1<br />
<br />
w −<br />
γ<br />
v · w<br />
v2 <br />
v .<br />
Aquesta és la forma vectorial <strong>de</strong> la fórmula <strong>de</strong> composició <strong>de</strong> velocitats.<br />
§11.8 Espai (vectorial) <strong>de</strong> Minkowski L’espai <strong>de</strong> Minkowski R4 1 és un espai vectorial real<br />
<strong>de</strong> dimensió 4 amb una forma bilineal, simètrica, no <strong>de</strong>generada amb signatura (+, −, −, −).<br />
Una base estàndard {e0, e1, e2, e3} és aquella que ei · ej = −δij si i, j = 1, 2, 3 i e0 · e0 = 1 i<br />
e0 · ei = 0. En una base estàndard, la matriu d’aquesta forma és<br />
⎛<br />
+1 0 0<br />
⎞<br />
0<br />
⎜ 0<br />
⎝ 0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0 ⎟<br />
0 ⎠<br />
0 0 0 −1<br />
.<br />
Nota: En certs contexts es consi<strong>de</strong>ra la signatura (−, +, +, +).<br />
Classifiquem els vectors <strong>de</strong> R4 1 segons la seva norma:<br />
57
• Tipus temps si ||v|| 2 > 0<br />
• Tipus espai si ||v|| 2 < 0<br />
• Tipus llum (o nul) si ||v|| = 0.<br />
La categoria (temps, espai o llum) en la qual està un vector s’anomena caràcter causal <strong>de</strong>l<br />
vector.<br />
Exercici 11.8.1. Demostreu que el conjunt <strong>de</strong> vectors <strong>de</strong> tipus llum formen un con, anomenat<br />
con <strong>de</strong> llum.<br />
Exercici 11.8.2. Si z és un vector tipus temps, el subespai ortogonal z ⊥ és tipus espai i<br />
R 4 1 = 〈z〉 + z⊥ .<br />
Un subespai vectorial W ⊂ R4 1 es <strong>de</strong> tipus espai si el producte escalar induït pel producte <strong>de</strong><br />
R4 1 és <strong>de</strong>finit negatiu. És tipus temps si el producte induït és no <strong>de</strong>generat d’ín<strong>de</strong>x 1. És tipus<br />
llum si és <strong>de</strong>generat.<br />
Exercici 11.8.3. Proveu que W ⊂ R 4 1 és <strong>de</strong> tipus <strong>de</strong> tipus temps si i només so W ⊥ és <strong>de</strong> tipus<br />
espai. Proveu que W és <strong>de</strong> tipus espai si i només si W ⊥ és <strong>de</strong> tipus temps. Proveu també que<br />
W és tipus llum si i només si W ⊥ és tipus llum.<br />
Veiem un criteri per <strong>de</strong>cidir quan un subespai és <strong>de</strong> tipus temps<br />
Exercici 11.8.4. Per un subespai W ⊂ R4 1 <strong>de</strong> dimensió ≥ 2 són equivalents<br />
1. W és <strong>de</strong> tipus temps (i per tant un espai <strong>de</strong> Minkowski <strong>de</strong> dimensió inferior)<br />
2. W conté dos vector nuls linealment in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nts<br />
3. W conté un vector tipus temps.<br />
Pels subespais <strong>de</strong> tipus llum tenim<br />
Exercici 11.8.5. Per un subespai W ⊂ R4 1 són equivalents<br />
1. W és <strong>de</strong> tipus llum (<strong>de</strong>generat)<br />
2. W te un vector nul i cap <strong>de</strong> tipus temps<br />
3. W ∩ Λ = L \ {0} on L és un subespai <strong>de</strong> dimensió 1 i Λ és el con <strong>de</strong> llum.<br />
§11.9 Direcció <strong>de</strong> temps. Sigui T el conjuntt <strong>de</strong> vector tipus temps <strong>de</strong> R4 1 . Per u ∈ T<br />
<strong>de</strong>finim C(u) = {v ∈ T : 〈v, u〉 > 0}. És el con <strong>de</strong> temps que conté u.<br />
Exercici 11.9.1. Proveu que C(−u) = −C(u) i que T = C(u) ∪ C(−u).<br />
Exercici 11.9.2. Proveu que dos vector <strong>de</strong> tipus temps estan en el mateix con <strong>de</strong> temps si i<br />
només si 〈u, v〉 > 0.<br />
Posem |v| = |〈v, v〉| 1/2 .<br />
Exercici 11.9.3. Siguin v, w vectors tipus temps. Proveu<br />
1. |〈v, w〉| ≥ |v| · |w|. La igualtat es dona si i només si són proporcionals.<br />
2. Si v i w estan en el mateix con <strong>de</strong> temps, proveu que existeix un ϕ ≥ 0 tal que<br />
ϕ s’anomena angle hiperbòlic entre v i w.<br />
〈v, w〉 = cosh ϕ|v| |w|.<br />
Exercici 11.9.4. Proveu que si u, v estan en el mateix con <strong>de</strong> temps, aleshores |u|+|v| ≤ |u+v|.<br />
58
§11.10 Grup <strong>de</strong> Lorentz. Les transformacions (11.1) relacionaven el temps (t) i l’espai (z)<br />
en dos sistemes inercials. Consi<strong>de</strong>rem ara les coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s (ct, z) i posem τ = ct.<br />
Exercici 11.10.1. Aleshores la transformació es pot escriure com<br />
g =<br />
1<br />
1 − v 2 /c 2<br />
1 −v/c<br />
−v/c 1<br />
<br />
. (11.4)<br />
Exercici 11.10.2. Demostreu que les transformacions <strong>de</strong> Lorentz (11.4) en l’espai (τ, z) es<br />
po<strong>de</strong>n escriure <strong>de</strong> la forma <br />
cosh φ<br />
± sinh φ<br />
<br />
± sinh φ<br />
.<br />
cosh φ<br />
(11.5)<br />
L’‘angle’ φ s’anomena angle hiperbòlic.<br />
Consi<strong>de</strong>rem ara el grup <strong>de</strong> transformacions lineals <strong>de</strong> l’espai <strong>de</strong> Minkowski <strong>de</strong> dimensió 2 M2<br />
que preserven la forma quadràtica x2 − y2 <br />
−1 0<br />
. Si J = , llavors una matriu A és d’aquest<br />
0 1<br />
tipus si i només si AtJA = A (per què?).<br />
Exercici 11.10.3. Proveu que les matrius dos per dos d’aquest tipus són totes <strong>de</strong> la forma<br />
<br />
cosh φ<br />
sinh φ<br />
<br />
sinh φ cosh φ<br />
,<br />
cosh φ sinh φ<br />
<br />
− sinh φ − cosh φ<br />
,<br />
− cosh φ − sinh φ<br />
<br />
sinh φ − cosh φ<br />
,<br />
cosh φ − sinh φ<br />
<br />
− sinh φ<br />
. (11.6)<br />
− cosh φ<br />
Exercici 11.10.4. Són les matrius <strong>de</strong> (11.5) d’algun d’aquest tipus, per què?<br />
Nota: Les matrius (11.6) formen un grup que es <strong>de</strong>nota per O(1, 1) i és anàleg al O(2) però<br />
aquest amb la forma quadràtica x 2 + y 2 (euclidiana).<br />
Les matrius <strong>de</strong> primer i segon tipus en (11.6) preserven la direcció <strong>de</strong>l temps. Més concretament<br />
Exercici 11.10.5. Siguin (τ, z) i (τ ′ , z) es<strong>de</strong>veniments i (¯τ, ¯z) i ( ¯ τ ′ , ¯z) els seus transformats per<br />
un element <strong>de</strong> O(1, 1). Proveu que pels dos primers tipus (τ − τ ′ )(¯τ − ¯ τ ′ ) > 0 i que pels altres<br />
dos (τ − τ ′ )(¯τ − ¯ τ ′ ) < 0.<br />
59
12 Formulació relativista <strong>de</strong> les equacions <strong>de</strong> Maxwell<br />
En aquest seminari consi<strong>de</strong>rarem l’espai-temps <strong>de</strong> Minkowski R 4 amb una mètrica <strong>de</strong> signatura<br />
(+, −, −, −).<br />
§12.1 Quadri-vectors <strong>de</strong> l’espai <strong>de</strong> Minkowski. Els quadri-vectors són vectors <strong>de</strong> R 4 tals<br />
que quan canviem <strong>de</strong> sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s inercial les seves components canvien segons la<br />
transformació <strong>de</strong> Lorentz corresponent. L’exemple bàsic és xµ := (ct, x, y, z) = (ct, x).<br />
Exercici 12.1.1. Proveu que qµ = (qt, qx, qy, qz) és un quadri-vector si i només si el camp<br />
no <strong>de</strong>pèn <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s inercial.<br />
vectorial qt ∂<br />
∂t<br />
+ qx ∂<br />
∂x<br />
+ qy ∂<br />
∂y<br />
+ qz ∂<br />
∂z<br />
Si x(t) = (x(t), y(t), z(t)) és la trajectòria d’una partícula, <strong>de</strong>finim el seu temps propi com<br />
s(t) = x ′ µ(t) dt, on x ′ µ(t) = c 2 − x ′ (t) 2 − y ′ (t) 2 − z ′ (t) 2 .<br />
Exercici 12.1.2. Proveu que si x(t) = tv es mou <strong>de</strong> manera rectilínia i uniforme aleshores<br />
ds<br />
dt = c 1 − v 2 /c 2 .<br />
Exercici 12.1.3. Comproveu que la quadri-velocitat<br />
vµ :=<br />
d xµ<br />
ds<br />
c<br />
= ( <br />
1 − v2 /c2 ,<br />
v<br />
<br />
1 − v2 /c2 )<br />
és un quadri-vector <strong>de</strong> norma <strong>de</strong> Minkowski vµ = c.<br />
§12.2 Quadri-vectors energia-moment i treball-força. Sigui p = mv el moment lineal d’una<br />
partícula que es mou amb velocitat constant v respecte d’un sistema inercial que suposem en<br />
repòs i <strong>de</strong>s <strong>de</strong>l qual mesurem la massa m <strong>de</strong> la partícula.<br />
Exercici 12.2.1. Proveu que si pµ := (π, p) és un quadri-vector aleshores m =<br />
m0 √ , on<br />
1−v2 /c2 m0 és la massa que mesuraríem si la partícula estigués en repòs. Proveu a més que π = mc.<br />
Exercici 12.2.2. A partir <strong>de</strong> l’expressió anterior, admetent que la força és la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong>l<br />
moment F = d(mv)<br />
dt , i que el treball és la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> l’energia F · v = dE<br />
dt , proveu que E − m c2<br />
és constant al llarg <strong>de</strong> la trajectòria.<br />
Observem que un eventual canvi d’origen en l’energia permet <strong>de</strong> prendre E = mc2 , la cèlebre<br />
m0c2 fórmula d’Einstein. Desenvolupant en sèrie <strong>de</strong> Taylor en v l’energia E =<br />
√ 1−v 2 /c 2 = m0c 2 +<br />
1<br />
2 m0v 2 + · · · , veiem que el primer terme no constant és l’energia cinètica clàssica i el següent<br />
terme, <strong>de</strong> l’ordre <strong>de</strong> v4<br />
c 2 , és menyspreable per velocitats |v|
§12.3 Quadri-vectors càrrega-corrent i potencial electromagnètic. A partir d’ara suposarem<br />
que hem pres unes unitats <strong>de</strong> mesura <strong>de</strong> manera que c = 1. Consi<strong>de</strong>rem una distribució <strong>de</strong><br />
càrregues <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsitat ρ movent-se amb velocitat constant v mesurat <strong>de</strong>s d’un cert sistema<br />
inercial. Recor<strong>de</strong>m que el vector corrent ve <strong>de</strong>finit per j = ρv. Sigui ρ0 la <strong>de</strong>nsitat <strong>de</strong><br />
càrrega mesurada en un sistema <strong>de</strong> referència que es mogui solidàriament amb la distribució<br />
<strong>de</strong> càrregues.<br />
Exercici 12.3.1. Utilitzant la conservació <strong>de</strong> la càrrega proveu que ρ = ρ0 √<br />
1−v2 Definim el quadri-vector càrrega-corrent jµ := (ρ, j) i observem que jµ = ρ0vµ.<br />
i j = ρ0v<br />
√ 1−v 2 .<br />
Consi<strong>de</strong>reu un filferro conductor perfecte no carregat pel que passa un corrent continu constant<br />
que genera un camp magnètic B = 0 però cap camp elèctric E = 0. Sigui S un sistema inercial<br />
en el qual el filferro està en repòs. Sigui q una càrrega positiva que es mou a la mateixa velocitat<br />
v que el corrent <strong>de</strong>l filferro. Sigui S ′ un sistema inercial en el que la càrrega q està en repòs.<br />
Exercici 12.3.2. Utilitzant la fórmula <strong>de</strong> Lorentz F = q(E + v × B), proveu que el camp<br />
elèctric E ′ mesurat en el sistema <strong>de</strong> referència S ′ és diferent <strong>de</strong> zero. Proveu que la força que<br />
experimenta la càrrega q en S ′ és F ′ = F √<br />
1−v2 .<br />
Sigui φ(t, x, y, z) el potencial elèctric i A(t, x, y, z) el potencial magnètic que verifiquen E =<br />
−∇φ− ∂A<br />
+∇·A = 0. Definim el potencial electromagnètic<br />
∂t i B = ∇×A amb la restricció ∂φ<br />
∂t<br />
Aµ := (φ, A).<br />
§12.4 Quadri-vector gradient i operador dalambertià. Definim el quadri-vector gradient<br />
∇µ := ( ∂ ∂ ∂ ∂<br />
∂t , − ∂x , − ∂y , − ∂z ) actuant sobre funcions <strong>de</strong> la manera obvia i sobre quadri-vectors<br />
bµ = (b0, b1, b2, b3) mitjançant<br />
∇µbµ := ∂b0<br />
∂t<br />
+ ∂b1<br />
∂x<br />
Per què? Veure §25-3 <strong>de</strong>l volum 2 <strong>de</strong>l Feynman.<br />
+ ∂b2<br />
∂y<br />
+ ∂b3<br />
∂z .<br />
Exercici 12.4.1. Comproveu que ∇µAµ = ∂φ<br />
∂t + ∇ · A = 0 i que ∇µjµ = ∂ρ<br />
∂t + ∇ · j = 0.<br />
Definim l’operador dalambertià<br />
2 := ∇µ∇µ = ∂2<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂y<br />
.<br />
∂z2 ∂2 ∂2 ∂2<br />
− − − 2 2 2<br />
Exercici 12.4.2. Comproveu que el dalambertià en unes altres coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s inercials (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ )<br />
s’escriu <strong>de</strong> la mateixa manera, i.e.<br />
∂ 2<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2<br />
− − − = − − − 2 2 2 2 ′2 ′2 ′2<br />
Indicació: Com el laplacià ∇2 = ∂2<br />
∂x2 + ∂2<br />
∂y2 + ∂2<br />
espacials, només cal veure la fórmula anterior pel cas en que t ′ = t−ux<br />
z ′ = z.<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂y<br />
.<br />
∂z ′2<br />
∂z2 és invariant per rotacions i translacions<br />
√<br />
1−u2 , x′ = x−ut √<br />
1−u2 , y′ = y i<br />
Exercici 12.4.3. Proveu que el quadri-vector potencial electromagnètic verifica l’equació d’ona<br />
Deduïu que Aµ és un quadri-vector.<br />
2 Aµ = jµ/ɛ0.<br />
61
§12.5 La 2-forma electromagnètica. Si escrivim Aµ = (At, Ax, Ay, Az) = (φ, A) resulta que<br />
B = ∇ × A = (Bx, By, Bz) verifica<br />
Tenint en compte que ∂<br />
també<br />
∂t<br />
Bx = ∂Az<br />
∂y<br />
By = ∂Ax<br />
∂z<br />
Bz = ∂Ay<br />
∂x<br />
− ∂Ay<br />
∂z<br />
− ∂Az<br />
∂x<br />
− ∂Ax<br />
∂y<br />
=: Fyz<br />
=: Fzx<br />
=: Fxy<br />
apareix amb signe oposat que ∂<br />
∂x en ∇µ, per simetria podríem <strong>de</strong>finir<br />
Ftx = ∂Ax<br />
∂t<br />
Fty = ∂Ay<br />
∂t<br />
Ftz = ∂Az<br />
∂t<br />
+ ∂At<br />
∂x<br />
+ ∂At<br />
∂y<br />
+ ∂At<br />
∂z<br />
= ∂Az<br />
∂t<br />
= ∂Az<br />
∂t<br />
= ∂Az<br />
∂t<br />
+ ∂φ<br />
∂t<br />
+ ∂φ<br />
∂t<br />
+ ∂φ<br />
∂t<br />
= −Ex<br />
= −Ey<br />
= −Ez<br />
ja que E = −∇φ − ∂A<br />
∂t . És immediat veure que les <strong>de</strong>finicions anàlogues per Ftt = Fxx =<br />
Fyy = Fzz = 0 i que Fyx = −Fxy, etc. La <strong>de</strong>finició con<strong>de</strong>nsada <strong>de</strong> Fµν és la següent:<br />
Fµν := ∇µAν − ∇νAµ.<br />
Exercici 12.5.1. Si (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) són les coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s d’un altre sistema inercial tal que<br />
t ′ = t−ux √<br />
1−u2 , x′ = x−ut √<br />
1−u2 , y′ = y i z ′ = z proveu que<br />
F ′ tx = Ftx<br />
F ′ ty = Fty−uFxy<br />
√ 1−u 2<br />
F ′ tz = Ftz−uFxz<br />
√ 1−u 2<br />
F ′ xy = Fxy−uFty<br />
√ 1−u 2<br />
F ′ yz = Fyz<br />
F ′ zx = Fzx−uFzt<br />
√ 1−u 2<br />
Exercici 12.5.2. Sigui u el vector velocitat <strong>de</strong>l sistema inercial S ′ respecte <strong>de</strong> S i <strong>de</strong>notem<br />
per v || i v⊥ les parts paral . lela i perpendicular a u d’un vector qualsevol v. Proveu que els<br />
camps elèctric i magnètic en en els dos sistemes inercials estan relaciona<strong>de</strong>s mitjançant les<br />
expressions:<br />
E ′ || = E ||<br />
E ′ ⊥<br />
= (E+u×B)⊥<br />
√ 1−u 2<br />
B ′ || = B ||<br />
B ′ ⊥<br />
= (B−u×E)⊥<br />
√ 1−u 2<br />
No po<strong>de</strong>m “fabricar” cap quadri-vector a partir <strong>de</strong>ls camps elèctric i magnètic ni tampoc a<br />
partir <strong>de</strong> les expressions Fµν. En canvi po<strong>de</strong>m consi<strong>de</strong>rar la 2-forma electromagnètica següent:<br />
F := <br />
Fµνdµ ∧ dν, amb µ, ν ∈ {t, x, y, z}.<br />
µ,ν<br />
Exercici 12.5.3. Comproveu que F és invariant per les transformacions <strong>de</strong> Lorentz.<br />
62
§12.6 Operador ∗ <strong>de</strong> Hodge i formulació intrínseca <strong>de</strong> les equacions <strong>de</strong> Maxwell. Sigui<br />
V un R-espai vectorial <strong>de</strong> dimensió finita amb una forma bilineal simètrica no <strong>de</strong>generada<br />
g. Sigui e1, . . . , en una base <strong>de</strong> V i e 1 , . . . , e n la seva base dual, i.e. e i : V → R amb<br />
e i (ej) = δij. Escrivim gij = g(ei, ej) i g ij l’entrada (i, j) <strong>de</strong> la matriu inversa <strong>de</strong> la matriu (gij)<br />
i g := <strong>de</strong>t(gij). Consi<strong>de</strong>rem l’espai k V ∗ <strong>de</strong> k-formes sobre V amb base {e I := e i1 ∧ · · · ∧ e ik},<br />
on I = (i1, . . . , ik) amb 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n. Po<strong>de</strong>m escriure qualsevol ω ∈ k V ∗<br />
<br />
com ω =<br />
ωIe<br />
|I|=k<br />
I . Definim ωI = <br />
|J|=k gi1j1 · · · gikjkωI. Definim un operador ∗ : k <br />
V ∗ n−k<br />
→ V ∗<br />
mitjançant<br />
on<br />
∗ω :=<br />
|g|<br />
k!<br />
<br />
|J|=n−k<br />
sg(IJ)ω I e I ,<br />
⎧<br />
⎨ 0 si I ∩ J = ∅,<br />
sg(IJ) = 1<br />
⎩<br />
−1<br />
si<br />
si<br />
(IJ) és una permutació parell <strong>de</strong> {1, . . . , n},<br />
(IJ) és una permutació senar <strong>de</strong> {1, . . . , n}.<br />
Es pot comprovar que ∗∗ = (−1) k(n−k) sg(g), on sg(g) és el signe <strong>de</strong>l <strong>de</strong>terminant g <strong>de</strong> la<br />
matriu (gij).<br />
Exercici 12.6.1. Descriviu explícitament l’operador ∗ <strong>de</strong> Hodge per V = R 3 amb el producte<br />
escalar ordinari, per k = 0, 1.<br />
Exercici 12.6.2. Descriviu explícitament l’operador ∗ per V = R 4 amb el producte <strong>de</strong> Minkowski<br />
per k = 2 i veieu que és un endomorfisme <strong>de</strong> quadrat menys i<strong>de</strong>ntitat.<br />
Exercici 12.6.3. Proveu que les equacions <strong>de</strong> Maxwell<br />
es tradueixen en<br />
on J és la 3-forma<br />
∇ × E + ∂B<br />
∂t<br />
∇ · B = 0<br />
= 0<br />
J = <br />
α,β,γ,µ<br />
∇ × B − ∂E<br />
∂t<br />
dF = 0 i d ∗ F = J<br />
∇ · E = ρ<br />
= j<br />
j µ sg(µ, α, β, γ)dx α ∧ dx β ∧ dx γ .<br />
63
13 De Stokes a De Rham passant per Poincaré<br />
§13.1 Relació entre les integrals <strong>de</strong> línia, <strong>de</strong> superfície i sobre ca<strong>de</strong>nes. Recor<strong>de</strong>u que si<br />
c : [0, 1] k → Rn és una k-ca<strong>de</strong>na i ω ∈ Ωk (Rn ) és una k-forma es <strong>de</strong>fineix<br />
<br />
ω := c ∗ ω.<br />
A partir d’ara treballarem en dimensió n = 3.<br />
c<br />
Exercici 13.1.1. Per k = 1, consi<strong>de</strong>rem una 1-ca<strong>de</strong>na c : [0, 1] → R3 , c(t) = (x(t), y(t), z(t)),<br />
amb imatge C := c([0, 1]) una corba orientada per t = c′<br />
c ′ . Sigui η = a(x, y, z)dx +<br />
b(x, y, z)dy + c(x, y, z)dz una 1-forma i F(x, y, z) = (a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z)) el camp<br />
vectorial associat. Observeu que<br />
<br />
η =<br />
1 <br />
F · dL = a(x(t), y(t), z(t)) dx<br />
<br />
+ b(x(t), y(t), z(t))dy + c(x(t), y(t), z(t))dz dt<br />
dt dt dt<br />
c<br />
C<br />
és la integral <strong>de</strong> línia <strong>de</strong> F al llarg <strong>de</strong> C.<br />
0<br />
Exercici 13.1.2. Proveu que aquesta <strong>de</strong>finició no <strong>de</strong>pèn <strong>de</strong> la parametrització <strong>de</strong> C.<br />
Exercici 13.1.3. Sigui η = xydx + y2dy + dz i sigui C la corba amb parametrització c(t) =<br />
(t2 , t3 , 1) amb t ∈ [0, 1]. Comproveu que <br />
C<br />
[0,1] k<br />
η = 13<br />
21 .<br />
Exercici 13.1.4. Per k = 2, consi<strong>de</strong>rem una 2-ca<strong>de</strong>na σ : [0, 1] 2 → R 3 ,<br />
σ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),<br />
amb imatge S := σ([0, 1] 2 ) una superfície orientada per N = σu×σv<br />
σu×σv . Sigui ω = A(x, y, z)dy ∧<br />
dz+B(x, y, z)dz∧dx+C(x, y, z)dx∧dy una 2-forma i F(x, y, z) = (A(x, y, z), B(x, y, z), C(x, y, z))<br />
el camp vectorial associat. Observeu que <br />
ω és igual a<br />
<br />
S<br />
<br />
F · dS =<br />
[0,1] 2<br />
<br />
∂(y, z)<br />
A(x(u, v), y(u, v), z(u, v))<br />
∂(u, v)<br />
σ<br />
x)<br />
+ B(x(u, v), y(u, v), z(u, v))∂(z,<br />
∂(u, v)<br />
∂(x, y)<br />
<br />
+ C(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) du dv<br />
∂(u, v)<br />
la integral <strong>de</strong> superfície <strong>de</strong> F a través <strong>de</strong> S, on ∂(f,g)<br />
∂(u,v) <strong>de</strong>nota el <strong>de</strong>terminant <strong>de</strong> la matriu<br />
Jacobiana <strong>de</strong> les funcions f, g respecte u,v.<br />
Exercici 13.1.5. Proveu que la integral <strong>de</strong> superfície no <strong>de</strong>pèn <strong>de</strong> la parametrització <strong>de</strong> la<br />
superfície.<br />
Exercici 13.1.6. Sigui η = z 2 dx ∧ dy comproveu que si S es la semiesfera unitària superior<br />
orientada amb el vector normal interior,<br />
Exercici 13.1.7. Calculeu <br />
<br />
S<br />
η = π<br />
2 .<br />
S<br />
x = u + v, y = u2 − v2 , z = uv i (u, v) ∈ [0, 1] × [0, 1].<br />
xdy ∧ dz + ydx ∧ dy on S ve donada per la parametrització<br />
64
§13.2 Relació entre gradient, rotacional, divergència i <strong>de</strong>rivada exterior. Siguin (x1, x2, x3)<br />
coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s cartesianes <strong>de</strong> R 3 . (En classe <strong>de</strong> teoria fem servir la notació x i en lloc <strong>de</strong> xi.)<br />
Recor<strong>de</strong>u que al seminari anterior ja vam provar les (tres primeres) afirmacions següents:<br />
1. Si f és una funció a R 3 comproveu que df = g1dx1 + g2dx2 + g3dx3 amb<br />
2. Si η = f1dx1 + f2dx2 + f3dx3 llavors<br />
amb<br />
(g1, g2, g3) = ∇(f) = grad f.<br />
dη = g1dx2 ∧ dx3 + g2dx3 ∧ dx1 + g3dx1 ∧ dx2<br />
(g1, g2, g3) = ∇ × F = rot F, i F = (f1, f2, f3).<br />
3. Si ω = f1dx2 ∧dx3 +f2dx3 ∧dx1 +f3dx1 ∧dx2 llavors dω = div(f1, f2, f3)dx1 ∧dx2 ∧dx3.<br />
4. Proveu que la diferencial <strong>de</strong> qualsevol 3-forma a R 3 és zero.<br />
§13.3 Relació entre els teoremes clàssics i el teorema <strong>de</strong> Stokes generalitzat.<br />
Exercici 13.3.1. Sigui (P (x, y), Q(x, y)) un camp vectorial diferenciable a una regió simple<br />
D ⊂ R2 . Deduïu el teorema <strong>de</strong> Green<br />
<br />
<br />
(P, Q) · d L = (∂xQ − ∂yP ) dx dy<br />
∂D<br />
D<br />
a partir <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Stokes generalitzat aplicat a la forma diferencial η = P (x, y)dx +<br />
Q(x, y)dy.<br />
Exercici 13.3.2. Sigui S ⊂ R3 una superfície, imatge <strong>de</strong> σ : [0, 1] 2 → S, orientada amb vora<br />
∂S una corba tancada simple i F(x, y, z) = (a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z)) un camp vectorial<br />
diferenciable. Deduïu el teorema <strong>de</strong> Stokes clàssic <br />
<br />
∂S F · dL = S F · dS aplicant el teorema<br />
<strong>de</strong> Stokes generalitzat a la 1-forma η = a(x, y, z)dx + b(x, y, z)dy + c(x, y, z)dz.<br />
Exercici 13.3.3. Sigui R ⊂ R3 una regió elemental imatge <strong>de</strong> ρ : [0, 1] 3 → R3 i F(x, y, z) =<br />
(A(x, y, z), B(x, y, z), C(x, y, z)) un camp vectorial diferenciable a R. Deduïu el teorema <strong>de</strong><br />
Gauss <br />
<br />
∂R F · d S = R div F dV aplicant el teorema <strong>de</strong> Stokes generalitzat a la 2-forma ω =<br />
A(x, y, z)dy ∧ dz + B(x, y, z)dz ∧ dx + C(x, y, z)dx ∧ dy.<br />
§13.4 Relació entre formes tanca<strong>de</strong>s i formes exactes. Recor<strong>de</strong>u que una k-forma ω es diu<br />
tancada si la seva diferencial exterior s’anul . la, i.e. dω = 0, i es diu exacta si existeix una<br />
(k − 1)-forma η tal que ω = dη.<br />
A partir <strong>de</strong> la relació d 2 = 0 es <strong>de</strong>dueix immediatament que tota forma exacta és tancada.<br />
Encara que el recíproc en general no és vàlid sí que ho és si el domini D ⊂ R n <strong>de</strong> <strong>de</strong>finició <strong>de</strong><br />
la forma tancada és estrellat respecte d’algun punt O ∈ D, i.e. per tot P ∈ D el segment OP<br />
està contingut a D. Així ho afirma el lema <strong>de</strong> Poincaré, que dóna una expressió explícita per<br />
la (k − 1)-forma<br />
η = I(ω) :=<br />
<br />
1≤i1
en funció <strong>de</strong>ls coeficients fi1···ik <strong>de</strong> la k-forma<br />
ω =<br />
<br />
fi1···ik (x1, . . . , xn) dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ,<br />
1≤i1
§13.6 Relació entre formes tanca<strong>de</strong>s i anàlisi complexa. A partir <strong>de</strong> dues formes diferencials<br />
ω, η po<strong>de</strong>m <strong>de</strong>finir una forma diferencial a valors complexos (C) fent ω + iη. La diferencial<br />
exterior d’una forma amb valors complexos es <strong>de</strong>fineix <strong>de</strong> manera C-lineal, i.e. d(ω + iη) =<br />
dω + idη i la integral sobre una ca<strong>de</strong>na c mitjançant <br />
<br />
c (ω + iη) = c ω + i c η.<br />
Centrem-nos en R 2 que i<strong>de</strong>ntifiquem amb C mitjançant (x, y) ↔ z = x + iy. Sigui f : C → C<br />
una funció tal que si escrivim f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), resulta que u, v : R 2 → R 2 són<br />
diferenciables.<br />
Exercici 13.6.1. Proveu que d(f(z) dz) = 0 si i només si f és holomorfa, on dz = dx + i dy.<br />
Indicació: recor<strong>de</strong>u que f és holomorfa si i només si les seves parts real u i imaginària v<br />
satisfan les equacions <strong>de</strong> Cauchy-Riemann:<br />
∂u ∂v<br />
=<br />
∂x ∂y<br />
∂u<br />
∂y<br />
= − ∂v<br />
∂x<br />
Exercici 13.6.2. Recor<strong>de</strong>u com <strong>de</strong>duíem el teorema integral <strong>de</strong> Cauchy <br />
c f(z) dz = 0 per a<br />
tota corba tancada que sigui la vora d’una regió continguda al domini <strong>de</strong> <strong>de</strong>finició <strong>de</strong> f.<br />
Exercici 13.6.3. Sigui f una funció holomorfa en el disc unitat D = {z ∈ C, |z| < 1} i<br />
cr(t) = (r cos t, r sin t), t ∈ [0, 2π], 0 < r < 1. Proveu que f(z)<br />
cr z dz no <strong>de</strong>pèn <strong>de</strong> r. Deduïu la<br />
fórmula integral <strong>de</strong> Cauchy<br />
f(0) = 1<br />
<br />
f(z)<br />
2iπ c z dz<br />
passant al límit quan r ten<strong>de</strong>ix a zero.<br />
§13.7 Relació entre formes tanca<strong>de</strong>s i enllaços. Aquest apartat és purament d’ampliació i<br />
ens remetem als exercicis 5.31, 5.32 i 5.33 <strong>de</strong>l llibre <strong>de</strong>l Spivak per a més <strong>de</strong>talls.<br />
Consi<strong>de</strong>rem la 2-forma <strong>de</strong> R 3 \ {(0, 0, 0)} <strong>de</strong>finida per<br />
x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z ∧ dx ∧ dy<br />
ω =<br />
(x 2 + y 2 + z 2 ) 3<br />
2<br />
Exercici 13.7.1. Proveu que ω és tancada, <br />
S2 ω = 4π i <strong>de</strong>duïu que ω no és exacta. De fet,<br />
r<br />
ω es pot pensar com l’element d’angle sòlid sobre l’esfera (l’anàleg <strong>de</strong> la forma dθ sobre la<br />
circumferència), veieu el problema 5.31 <strong>de</strong>l Spivak.<br />
Siguin f, g : [0, 1] → R3 parametritzacions <strong>de</strong> dues corbes tanca<strong>de</strong>s C, D disjuntes (C ∩ D = ∅)<br />
i σf,g : [0, 1] 2 → R3 \ {(0, 0, 0)} la 2-ca<strong>de</strong>na <strong>de</strong>finida per σf,g(u, v) = f(u) − g(v). La imatge<br />
<strong>de</strong> σ és una superfície S amb vora ∂S = C ∪ D.<br />
Es <strong>de</strong>fineix el nombre d’enllaç <strong>de</strong> C i D com ℓ(f, g) = −1<br />
<br />
4π σf,g ω.<br />
Exercici 13.7.2. Es pot comprovar que ℓ(f, g) només <strong>de</strong>pèn <strong>de</strong> les orientacions <strong>de</strong> C i D i no<br />
<strong>de</strong> les parametritzacions utilitza<strong>de</strong>s per <strong>de</strong>finir σf,g.<br />
Exercici 13.7.3. També es pot comprovar que ℓ(f, g) és un nombre enter que mesura l’enllaç<br />
<strong>de</strong> les dues circumferències C i D a R 3 .<br />
§13.8 Referències<br />
• Victor Guillemin and Alan Pollack, Differential Topology, Prentice Hall, 1974.<br />
• Jerry Mars<strong>de</strong>n and Antony Tromba, Calculo vectorial, Addison-Wesley.<br />
• Michael Spivak, Cálculo en varieda<strong>de</strong>s, Reverté.<br />
67
14 Teoremes <strong>de</strong> Gauss-Bonnet i Poincaré-Hopf<br />
Sigui S ⊂ R 3 una superfície regular orientada, parametritzada per x(u, v) i (x(u, v); e(u, v)),<br />
e = (e1, e2, e3) una referència mòbil ortonormal sobre S amb e3 = N. Consi<strong>de</strong>rem les 1formes<br />
matricials θ = (θi) i ω = (ωij) tals que dx = eθ i <strong>de</strong> = eω. Sigui C ⊂ S una corba<br />
parametritzada per l’arc α(s) i <strong>de</strong>notem per φ(s) l’angle entre el vector tangent t(s) i e1(α(s)).<br />
Ja hem observat que<br />
ω12(t(s)) = φ ′ (s) − kg(s). (14.1)<br />
§14.1 Generalització <strong>de</strong>l umlaufsatz. Exercici 14.1.0. Proveu que si C = n<br />
Ci és una<br />
corba tancada simple <strong>de</strong> classe C 2 a trossos, positivament orientada i amb angle extern φi a<br />
Ci ∩ Ci+1 aleshores<br />
<br />
<br />
i<br />
Ci<br />
dφ + <br />
φi = 2π.<br />
§14.2 Teorema <strong>de</strong> Gauss-Bonnet local Sigui C = n<br />
Ci ⊂ S és una corba tancada simple<br />
<strong>de</strong> classe C 2 a trossos i ∆ ⊂ C tal que ∂∆ = C.<br />
Exercici 14.2.1. Utilitzant l’apartat anterior, la relació (14.1) i el teorema <strong>de</strong> Stokes proveu el<br />
teorema <strong>de</strong> Gauss-Bonnet local:<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
kg(s) ds + φi = 2π −<br />
∆<br />
K dA.<br />
i=1<br />
Ci<br />
i=1<br />
Exercici 14.2.2. Particularitzeu-ho al cas d’un triangle geodèsic esfèric amb angles interns<br />
α1, α2, α3.<br />
§14.3 Teorema <strong>de</strong> Gauss-Bonnet global. Sigui S una superfície regular compacta amb<br />
vora ∂S (que pot ser buida). Consi<strong>de</strong>rem una triangulació T = {∆i} C i=1 <strong>de</strong> S amb C cares, A<br />
aristes i V vèrtexs. Recor<strong>de</strong>m que la característica d’Euler-Poincaré <strong>de</strong> S és χ(S) = C −A+V .<br />
Orientem les aristes <strong>de</strong> T <strong>de</strong> manera coherent, i.e. si ∆i ∩ ∆j = Cij aleshores l’aresta Cij té<br />
orientacions oposa<strong>de</strong>s als triangles ∆i i ∆j.<br />
Exercici 14.3.1. Utilitzant l’apartat 14 proveu el teorema <strong>de</strong> Gauss-Bonnet global:<br />
<br />
K dA + kg ds = 2πχ(S).<br />
S<br />
∂S<br />
Sigui S ⊂ R N una superfície compacta sense vora, g un producte escalar arbitrari sobre T S i<br />
e = (e1, e2) és una referència mòbil ortonormal sobre S. Denotem per θ1, θ2 la seva base dual<br />
<strong>de</strong> 1-formes sobre S. Aleshores g = θ 2 1 + θ2 2 i dA = θ1 ∧ θ2.<br />
Exercici 14.3.2. Proveu que existeix una única 1-forma ω12 sobre S tal que dθ1 = θ2 ∧ ω12 i<br />
dθ2 = −θ1 ∧ ω12.<br />
Per analogia amb el cas en que S ⊂ R 3 i g és la primera forma fonamental associada al<br />
producte escalar ordinari <strong>de</strong> R 3 , <strong>de</strong>finim la curvatura <strong>de</strong> Gauss K <strong>de</strong> S mitjançant la igualtat<br />
dω12 = K θ1 ∧ θ2 = K dA i<br />
i<br />
i=1<br />
χm(S, g) := 1<br />
<br />
K dA.<br />
2π S<br />
68<br />
i=1
§14.4 Ín<strong>de</strong>x d’un camp vectorial sobre una superfície. Sigui X un camp vectorial <strong>de</strong>finit<br />
a un disc tancat D <strong>de</strong> R2 amb una singularitat aïllada p a l’interior <strong>de</strong> D (i.e. X(p) = 0) i<br />
<strong>de</strong>notem per φ l’angle que forma X amb la direcció horitzontal. Es <strong>de</strong>fineix l’ín<strong>de</strong>x <strong>de</strong> X en<br />
el punt p com<br />
ind(X, p) = 1<br />
<br />
dφ.<br />
2π ∂D<br />
Exercici 14.4.1. Proveu que l’ín<strong>de</strong>x d’una font i un no<strong>de</strong> X = ±(x + · · · , y + · · · ) és +1 i<br />
l’ín<strong>de</strong>x d’un punt <strong>de</strong> sella X = ±(x + · · · , −y + · · · ) és −1.<br />
Si X és un camp vectorial tangent a S amb un nombre finit <strong>de</strong> singularitats <strong>de</strong>finim<br />
χv(S, X) := <br />
ind(X, p).<br />
X(p)=0<br />
Per tota T triangulació <strong>de</strong> S consi<strong>de</strong>rem els nombres C(T ) <strong>de</strong> cares, A(T ) d’arestes i V (T ) <strong>de</strong><br />
vèrtexs i <strong>de</strong>finim<br />
χ∆(S, T ) = C(T ) − A(T ) + V (T ).<br />
§14.5 El teorema <strong>de</strong> Poincaré-Hopf. A continuació provarem el següent resultat:<br />
Teorema 14.1 (Gauss−Bonnet+Poincaré−Hopf). El valor comú<br />
χm(S, g) = χv(S, X) = χ∆(S, T )<br />
no <strong>de</strong>pèn <strong>de</strong> g, X ni T i es coneix com la característica d’Euler-Poincaré χ(S) <strong>de</strong> S.<br />
Exercici 14.5.1. Comproveu que per tota triangulació T <strong>de</strong> S es pot <strong>de</strong>finir un camp vectorial<br />
XT tangent a S amb exactament les següents singularitats:<br />
• una font sobre el baricentre <strong>de</strong> cada cara <strong>de</strong> T ;<br />
• un punt <strong>de</strong> sella sobre el punt mig <strong>de</strong> cada aresta <strong>de</strong> T ;<br />
• un no<strong>de</strong> sobre cada vèrtex <strong>de</strong> T .<br />
Figura 14.1: Descripció geomètrica <strong>de</strong>l camp vectorial XT .<br />
(Observació: el camp XT és el gradient <strong>de</strong> l’alçada sobre el nivell <strong>de</strong>l mar d’una configuració<br />
geològica amb un cim sobre cada baricentre i una vall sobre cada vèrtex <strong>de</strong>l planetoi<strong>de</strong> S.)<br />
Comproveu que χ∆(S, T ) = χv(S, XT ).<br />
Exercici 14.5.2. Sigui X un camp vectorial tangent a S amb singularitats {pj} n j=1 . Consi<strong>de</strong>rem<br />
un disc Dj(ε) ⊂ S centrat a pj <strong>de</strong> radi ε > 0 prou petit per què Di(ε) ∩ Dj(ε) = ∅. Sigui<br />
69
ej = (e j<br />
1 , ej2<br />
) una referència mòbil en Dj(ε) i φj l’angle que forma X amb e j<br />
1<br />
S \ n<br />
j=1<br />
Dj(ε). Proveu que<br />
<br />
S(ε)<br />
K dA =<br />
n<br />
<br />
j=1<br />
∂Dj(ε)<br />
ω j<br />
12 +<br />
i passeu al límit quan ε ten<strong>de</strong>ix a zero per concloure.<br />
n<br />
<br />
j=1<br />
∂Dj(ε)<br />
dφ j ,<br />
. Sigui S(ε) =<br />
Exercici 14.5.3. Il . lustreu el teorema <strong>de</strong> Poincaré-Hopf per l’esfera S = S 2 , i els camps <strong>de</strong>finits<br />
per X = ∂θ i X = ∂φ en coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s esfèriques. Doneu-ne també exemples sobre el tor<br />
S = S 1 × S 1 .<br />
70