Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes
Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes
Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
8<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>.<br />
Números <strong>Càlcul</strong> reales <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
LITERATURA I MATEMÀTIQUES<br />
La llibreta groga<br />
Poques setmanes abans, l’Alexis [un pilot <strong>de</strong> cinquanta-dos anys] havia<br />
coincidit a l’aeroport <strong>de</strong> Barcelona amb un antic company <strong>de</strong> joventut,<br />
en Joaquim Subirós, cap <strong>de</strong> màrqueting d’un grup editorial. En<br />
Subirós recordava que hi va haver un temps que l’Alexis s’havia sentit<br />
atret seriosament per les matemàtiques. Així doncs, aprofitant aquella<br />
trobada casual, li va recomanar amb vehemència un llibre singular que<br />
la seva empresa tenia en fase <strong>de</strong> producció. En Subirós va insistir<br />
que <strong>de</strong> cap manera se l’havia <strong>de</strong> perdre i es va oferir, tan aviat com<br />
sortís, a enviar-li’n un exemplar.<br />
El títol original <strong>de</strong> l’obra era Fermat’s last Theorem, d’un tal Simon<br />
Singh, britànic d’origen panjabi, doctorat en Física per la Universitat<br />
<strong>de</strong> Cambridge. [...]<br />
Quinze dies més tard, n’adquiria l’edició anglesa a la Gotham Book<br />
Mark <strong>de</strong>l carrer 47 Oest, el santuari llibreter que acostumava a visitar<br />
quan feia parada a Nova York. Després va <strong>de</strong>manar que li pugessin un<br />
sopar fred a l’habitació. Sabia perfectament què l’esperava. No va po<strong>de</strong>r<br />
interrompre ni un moment la lectura compulsiva. Fins que cap a les<br />
onze, amb una coïssor intensa als ulls, va tancar el llibre lentament.<br />
Estava trastornat.<br />
Estava posseït per una antiga i rovellada emoció [perquè havia llegit<br />
que un matemàtic anomenat Wiles, <strong>de</strong>sprés <strong>de</strong> set anys <strong>de</strong> treballar-hi<br />
intensament, havia aconseguit <strong>de</strong>mostrar per fi l’últim teorema <strong>de</strong> Fermat,<br />
un fet que <strong>de</strong>s <strong>de</strong>l segle XVII ningú havia aconseguit. Ell, també,<br />
quan era adolescent, quan va conèixer aquest misteriós teorema a través<br />
d’un oncle i d’un professor <strong>de</strong> matemàtiques] es va convèncer que<br />
estava pre<strong>de</strong>stinat a triomfar on les intel·ligències més grans <strong>de</strong>l planeta<br />
havien fracassat. [...] Però ja se sap que en el segment <strong>de</strong> l’adolescència<br />
les prioritats canvien amb els climes <strong>de</strong> les estacions. De manera que<br />
sense cap mena d’aspror ni <strong>de</strong> violència, entre la candi<strong>de</strong>sa <strong>de</strong> l’Alexis<br />
i la vella astúcia <strong>de</strong> Fermat es va interposar la passió <strong>de</strong> volar. L’Alexis va<br />
substituir gradualment la voluntat d’indagació per l’afany d’experimentació.<br />
[...]<br />
El coneixement <strong>de</strong> la proesa <strong>de</strong> Wiles no el portava a doldre’s per una<br />
hipotètica pèrdua, sinó a veure’s reflectit en la seva exemplaritat amb<br />
una <strong>de</strong>terminació que <strong>de</strong> manera immediata va calar en la profunditat<br />
<strong>de</strong> la seva consciència: no cometria una altra vegada l’error o la covardia<br />
<strong>de</strong> renunciar per res <strong>de</strong>l món a la consecució d’un i<strong>de</strong>al (per anomenar-lo<br />
d’alguna manera) que, cosa més que probable, seria l’últim<br />
somni torbador <strong>de</strong> la seva vida.<br />
Ro b e R t Sa l a d R i g a S
La llibreta groga<br />
Robert Saladrigas<br />
SOLUCIONARI<br />
Al protagonista d’aquesta novel·la, l’Alexis Casas, <strong>de</strong> nen, un oncle seu –que era comerciant<br />
amb ànima aventurera– li havia explicat la història <strong>de</strong> Pierre <strong>de</strong> Fermat, un magistrat <strong>de</strong><br />
l’Ajuntament <strong>de</strong> Tolosa, casat i pare <strong>de</strong> cinc fills, que <strong>de</strong>dicava el temps lliure a llegir llibres <strong>de</strong><br />
matemàtiques. En el marge d’un <strong>de</strong>ls llibres que llegia, Fermat va escriure: «És impossible trobar<br />
la manera <strong>de</strong> convertir un cub en suma <strong>de</strong> dos cubs, una potència quarta en suma <strong>de</strong> dues<br />
potències quartes, o, en general, qualsevol potència més alta que el quadrat en suma <strong>de</strong> dues<br />
potències <strong>de</strong> la mateixa classe; per a aquest fet he trobat una <strong>de</strong>mostració excel·lent. El marge és<br />
massa petit perquè aquesta <strong>de</strong>mostració hi càpiga.» El magistrat no va publicar mai les seves<br />
i<strong>de</strong>es matemàtiques. Va ser un <strong>de</strong>ls seus fills qui, <strong>de</strong>sprés que el pare morís, arreplegant-les d’aquí<br />
i d’allà, les va recopilar en un llibre, en el qual curiosament no surt cap prova <strong>de</strong> l’enunciat<br />
anterior, mal anomenat teorema <strong>de</strong> Fermat, perquè, mentre no se’n <strong>de</strong>scobreixi una <strong>de</strong>mostració,<br />
només és una conjectura.<br />
Quan l’oncle va explicar aquesta història a l’Alexis –cap al 1955–, ningú havia aconseguit<br />
<strong>de</strong>mostrar-ho. Més endavant, quan un professor <strong>de</strong> Matemàtiques li va confirmar la història<br />
d’aquell jutge, la imatge <strong>de</strong>l qual l’Alexis confonia amb la <strong>de</strong>l mosqueter Aramis, va sentir el <strong>de</strong>sig<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>dicar-se a resoldre aquesta conjectura. Però, per damunt d’aquest somni, es va imposar<br />
la passió <strong>de</strong> volar. Als cinquanta-dos anys, <strong>de</strong>sprés <strong>de</strong> més <strong>de</strong> vint <strong>de</strong> treballar com a pilot, un dia<br />
un amic li parla d’un llibre titulat L’enigma <strong>de</strong> Fermat. Quan el llegeix s’assabenta que un jove<br />
matemàtic, anomenat Wiles, acaba <strong>de</strong> fer realitat, l’any 1994, el somni que tots dos havien tingut<br />
en la infantesa. I aquest fet li fa canviar <strong>de</strong> vida.<br />
La novel·la és el relat d’aquesta transformació, i hi apareixen força referències a les matemàtiques<br />
que donen peu a plantejar diverses activitats didàctiques.<br />
Fermat també va contribuir a <strong>de</strong>senvolupar el càlcul infinitesimal, amb uns resultats<br />
interessants, com aquest: «Si una <strong>funció</strong> <strong>de</strong>rivable té un extrem relatiu en un punt,<br />
la seva <strong>de</strong>rivada en aquest punt ha <strong>de</strong> ser nul·la.» Justifica aquest teorema.<br />
Si x0 és un extrem relatiu d’una <strong>funció</strong> <strong>de</strong>rivable, sigui un màxim o un mínim, la recta<br />
tangent a aquesta <strong>funció</strong> per aquest punt és una recta horitzontal, és a dir, una recta amb<br />
pen<strong>de</strong>nt igual a zero. Com que la <strong>de</strong>rivada d’una <strong>funció</strong> en un punt coinci<strong>de</strong>ix amb el<br />
pen<strong>de</strong>nt <strong>de</strong> la recta tangent en aquest punt, tenim que: f'( x ) =<br />
0<br />
0<br />
8<br />
473
474<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
ABANS DE COMENÇAR… RECORDA<br />
001 Estudia la continuïtat d’aquestes funcions:<br />
x<br />
a) f( x)=−<br />
2 x −1<br />
b) gx ( )= x + 2 7 c) hx ( )= ln 3x<br />
a) Contínua en R -- { 11 , } b) Contínua en R c) Contínua en ( 0 , +` )<br />
002 Deriva les funcions següents:<br />
a) f(x) = x9 b) f(x) = 7x c) f(x) = log5 x d) f( x)= x<br />
a) f'( x)= 9 x 8 x<br />
b) f'( x) = 7 ln7<br />
c) f'( x)<br />
=<br />
x ln<br />
1<br />
5<br />
ACTIVITATS<br />
d) f'( x)=<br />
x<br />
1<br />
2<br />
001 Troba la taxa <strong>de</strong> variació mitjana d’aquestes funcions: f (x) = x 2 + 1 g(x) = x 3 + 7<br />
en els intervals [0, 1] i [−2, −1].<br />
f() 1 - f(<br />
0)<br />
a) TVM([<br />
01 , ]) =<br />
1-0 2 1<br />
= 1<br />
1<br />
- =<br />
f( - ) -f( - )<br />
TVM([<br />
- , - ]) =<br />
--- ( )<br />
= - 1 2<br />
2 1<br />
1 2<br />
2 5<br />
1<br />
=-3<br />
b) TVM([<br />
01 , ]) =<br />
g() 1 - g(<br />
0)<br />
8 7<br />
=<br />
1-0 1<br />
1<br />
- =<br />
TVM([<br />
- , - ]) =<br />
g( - ) - g(<br />
- )<br />
=<br />
--- ( )<br />
( ) -- 2 1<br />
1 2<br />
1 2<br />
6 1<br />
1<br />
= 7<br />
002 L’espai, en metres, que recorre un mòbil en <strong>funció</strong> <strong>de</strong>l temps, en segons, està<br />
<strong>de</strong>terminat per la fórmula e =<br />
1 2 t + t . Troba’n la velocitat mitjana en [1, 5].<br />
3<br />
1<br />
1<br />
⋅ 25 + 5 - ⋅1-1 e( 5) - e()<br />
1 3 3 12<br />
TVM([<br />
15 , ]) = =<br />
= = 3 m/s<br />
5-1 4<br />
4<br />
003 Calcula la <strong>de</strong>rivada d’aquestes funcions en x = 2.<br />
a) f (x) = 7x + 1 b) fx ( )=<br />
x<br />
1<br />
2<br />
f( 2+ h) -f(<br />
2) 72 ( + h)<br />
+ 1-15 7h<br />
a) f'(<br />
2)<br />
= lim = lim = lim = 7<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
f( 2+ h) -f(<br />
2)<br />
b) f'(<br />
2)<br />
= lim<br />
h→0 h<br />
1 1<br />
-<br />
2 ( 2 + h)<br />
4<br />
= lim<br />
h→0<br />
h<br />
2<br />
4- ( 4+ 4h+<br />
h )<br />
= lim<br />
=<br />
h→0<br />
2 4h( 2+<br />
h)<br />
2 -4h- h<br />
= lim<br />
h→02 4h( 2+<br />
h)<br />
-4- h<br />
= lim<br />
h→02<br />
42 ( + h)<br />
1<br />
=-<br />
4
004 Troba la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> les funcions en els punts x = 1 i x = 2.<br />
a) f (x) = x 3 b) fx ( )= x<br />
SOLUCIONARI<br />
f( 1+ h) -f()<br />
1<br />
a) f'(<br />
1)<br />
= lim<br />
h→0 h<br />
3 ( 1+ h)<br />
- 1 3h+ 3h<br />
= lim = lim<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
+ h<br />
2<br />
= lim( 3+ 3h+ h ) = 3<br />
h→0<br />
2 3<br />
f( 2+ h) -f(<br />
2) f'(<br />
2)<br />
= lim<br />
h→0 h<br />
3 ( 2+ h)<br />
- 8 12h+ 6h<br />
= lim = lim<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
+ h<br />
2<br />
= lim( 12 + 6h+ h ) = 12<br />
h→0<br />
f( 1+ h) -f()<br />
1 1+ h - 1<br />
b) f'(<br />
1)<br />
= lim = lim = lim<br />
h→0 h<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
+ -<br />
=<br />
( + + ) =<br />
+ + =<br />
1 h 1<br />
1 1<br />
lim lim<br />
h→0 h→0<br />
h 1 h 1 1 h 1 2<br />
f( 2+ h) -f(<br />
2) 2+ h - 2<br />
f'(<br />
2)<br />
= lim = lim<br />
=<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
= lim<br />
( 2+ h - 2) ( 2+ h + 2)<br />
( )<br />
h 2+ h + 2<br />
h→0<br />
h→0<br />
= lim<br />
1<br />
1<br />
= =<br />
2+ + 2 2 2<br />
h→0 h<br />
4<br />
2<br />
=<br />
=<br />
2 3<br />
h 1+ h + 1<br />
=<br />
8<br />
( 1+ h -1)<br />
( 1+ h + 1)<br />
( )<br />
2+ h -2<br />
lim ( ) =<br />
h 2+ h + 2<br />
005 Troba el pen<strong>de</strong>nt <strong>de</strong> la recta tangent a la gràfica <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> f(x) = 6x 2 + 1<br />
en x = 1.<br />
2<br />
f( 1+ h) -f()<br />
1 61 ( + h)<br />
+ 1-7 12h+ 6h<br />
f'(<br />
1)<br />
= lim = lim = lim<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
= lim( 12 + 6h) = 12<br />
h→0<br />
006 Quin és el pen<strong>de</strong>nt <strong>de</strong> la recta tangent a la gràfica <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> f(x) = x 3 en x = 1?<br />
f( 1+ h) -f()<br />
1<br />
f'(<br />
1)<br />
= lim<br />
h→0 h<br />
3 ( 1+ h)<br />
- 1 3h+ 3h<br />
= lim = lim<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
+ h<br />
2<br />
= lim( 3+ 3h+ h ) = 3<br />
h→0<br />
2 3<br />
007 Determina l’equació <strong>de</strong> la recta tangent a la gràfica <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> f (x) = x 2 + 3<br />
en el punt P (−1, 4).<br />
Quina és l’equació <strong>de</strong> la recta normal?<br />
2<br />
f( - 1+ h) -f( - 1) ( - 1+ h)<br />
+ 3-<br />
4 - 2h+<br />
h<br />
f'(<br />
- 1)<br />
= lim = lim = lim<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
= lim( - 2+ h)<br />
=-2<br />
h→0<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - 4 =- 2( x + 1) → y =- 2x + 2<br />
1<br />
1 9<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta normal és: y - 4 = ( x + 1)<br />
→<br />
y = x +<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
=<br />
=<br />
2<br />
=<br />
=<br />
475
476<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
008 Calcula les equacions <strong>de</strong> les rectes tangents a la <strong>funció</strong> f (x) = 2x 3 + 3<br />
en els punts x = 1 i x = −1.<br />
Comprova que són paral·leles a la recta y = 6x.<br />
f(1) = 5<br />
f( 1+ h) -f()<br />
1<br />
f'(<br />
1)<br />
= lim<br />
h→0 h<br />
3 21 ( + h)<br />
+ 3-5 6h+ 6h = lim = lim<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
+ 2h<br />
2<br />
= lim( 6+ 6h+ 2h ) = 6<br />
h→0<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - 5= 6( x - 1) → y = 6x - 1<br />
2 3<br />
f(-1) = 1<br />
3<br />
f( - 1+ h) -f( - 1) 2( - 1+<br />
h)<br />
+ 3- 1 6h- 6h + 2h<br />
f'(<br />
- 1)<br />
= lim = lim = lim<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
2<br />
= lim( 6- 6h+ 2h ) = 6<br />
h→0<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - 1= 6( x + 1) → y = 6x + 7<br />
Les rectes són paral·leles a la recta y = 6x perquè el seu pen<strong>de</strong>nt és 6.<br />
009 Calcula les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> f(x) en el punt d’abscissa x = 2.<br />
⎧ x + x <<br />
fx ( )= ⎨<br />
⎪2<br />
1 si 2<br />
⎩⎪ x + 3 si x ≥2<br />
+ f( 2+ h) -f(<br />
2) ( 2+ h)<br />
+ 3-5 h<br />
f'(<br />
2 ) = lim = lim = lim = 1<br />
+ +<br />
+<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
- f( 2+ h) -f(<br />
2) 22 ( + h)<br />
+ 1-<br />
5 2h<br />
f'(<br />
2 ) = lim = lim = lim = 2<br />
− −<br />
−<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals no són iguals → f (x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 2.<br />
=<br />
2 3<br />
010 Troba les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals <strong>de</strong> les funcions següents en el punt d’abscissa x = 0.<br />
1<br />
a) fx ( )= x 3<br />
4<br />
b) f(x) = x<br />
f( 0 h) f ( 0)<br />
h 3<br />
+ + -<br />
1<br />
a) f'(<br />
0 ) = lim = lim = lim =+`<br />
+ + +<br />
h→0 h<br />
h→0 h h→0<br />
2<br />
h 3<br />
f( 0 h) f ( 0)<br />
h 3<br />
- + -<br />
1<br />
f'(<br />
0 ) = lim = lim = lim =-`<br />
− − −<br />
h→0 h<br />
h→0 h h→0<br />
2<br />
h 3<br />
Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals no són iguals → f (x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 0.<br />
4<br />
+ f( 0+ h) -f(<br />
0)<br />
h<br />
b) f'(<br />
0 ) = lim = lim = lim<br />
+<br />
h→0 h<br />
h→0 h h→<br />
+ + 0 4 3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
h<br />
=+`<br />
f'( 0 ) - no existeix, perquè h és un nombre negatiu i la <strong>funció</strong> no està <strong>de</strong>finida<br />
per a nombres negatius → f (x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 0.<br />
=
SOLUCIONARI<br />
011 Estudia la continuïtat i la <strong>de</strong>rivabilitat d’aquesta <strong>funció</strong> en el punt x = 2.<br />
⎧ x +<br />
fx ( )= ⎨<br />
⎪ 1<br />
2<br />
⎩⎪ x −1 si x < 2<br />
si x ≥2<br />
2<br />
lim ( x + 1) = lim ( x - 1) = 3= f ( 2)<br />
→ f (x) és contínua en x = 2.<br />
+ −<br />
x→2 x→2<br />
2<br />
+ f( 2+ h) -f(<br />
2) ( 2+ h)<br />
-1-3 4h+<br />
h<br />
f'(<br />
2 ) = lim = lim = lim<br />
+ +<br />
+<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
= lim( 4+ h)<br />
= 4<br />
+ h→0<br />
- f( 2+ h) -f(<br />
2) ( 2+ h)<br />
+ 1-3 h<br />
f'(<br />
2 ) = lim = lim = lim = 1<br />
− −<br />
−<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen però són diferents; per tant, f (x) no és <strong>de</strong>rivable<br />
en x = 2.<br />
012 Determina si la <strong>funció</strong> f(x) = ⏐x + 2⏐ és contínua i <strong>de</strong>rivable en els punts següents.<br />
a) x = 0 b) x = −2 c) x = 3 d) x = −5<br />
a) lim ( x + 2) = lim ( x + 2) = 2= f(<br />
0)<br />
→ f (x) és contínua en x = 0.<br />
+ −<br />
x→0 x→0<br />
+ f( 0+ h) -f(<br />
0) ( 0+ h)<br />
+ 2-2 h<br />
f'(<br />
0 ) = lim = lim = lim = 1<br />
+ +<br />
+<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
- f( 0+ h) -f(<br />
0) f'(<br />
0 ) = lim<br />
− h→0 h<br />
( 0+ h)<br />
+ 2-2 h<br />
= lim = lim<br />
−<br />
−<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
= 1<br />
Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen i són iguals; per tant, f (x) és <strong>de</strong>rivable en x = 0.<br />
b) lim ( x + 2) = lim ( -x - 2) = 0 = f ( -2)<br />
→ f (x) és contínua en x = -2.<br />
+ −<br />
x→-2 x→-2<br />
+<br />
f( - 2+ h) -f( - 2) ( - 2 + h)<br />
+ 2 h<br />
f'(<br />
- 2 ) = lim = lim = lim<br />
+ +<br />
+<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→<br />
0 h<br />
= 1<br />
f( h) f ( )<br />
h<br />
f'(<br />
) lim lim<br />
h h<br />
h<br />
(<br />
- - 2+ - - 2 -- 2 + ) - 2<br />
- 2 =<br />
=<br />
− −<br />
→0 →0<br />
h<br />
- h<br />
= lim<br />
h→0 h<br />
=-1<br />
−<br />
Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen però no són iguals; per tant, f (x) no és <strong>de</strong>rivable<br />
en x = -2.<br />
c) lim( x + 2) = lim ( x + 2) = 5= f ( 3)<br />
→ f (x) és contínua en x = 3.<br />
+ −<br />
x→3 x→3<br />
+ f( 3+ h) -f(<br />
3) f'(<br />
3 ) = lim<br />
+ h→0 h<br />
( 3+ h)<br />
+ 2-5 h<br />
= lim = lim<br />
+<br />
+<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
= 1<br />
- f( 3+ h) -f(<br />
3) f'(<br />
3 ) = lim<br />
− h→0 h<br />
( 3+ h)<br />
+ 2-5 h<br />
= lim = lim<br />
−<br />
−<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
= 1<br />
Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen i són iguals; per tant, f (x) és <strong>de</strong>rivable en x = 3.<br />
d) lim ( -x - 2) = lim ( -x - 2) = 3= f ( -5)<br />
→ f (x) és contínua en x = -5.<br />
+ −<br />
x→-5 x→-5<br />
f( h) f ( )<br />
h<br />
f'(<br />
) lim lim<br />
h h<br />
h<br />
(<br />
+ - 5+ - - 5 -- 5 + ) -2- 3<br />
- 5 =<br />
=<br />
+ +<br />
→0 →0<br />
h<br />
- h<br />
= lim<br />
h→ 0 h<br />
=-1<br />
+<br />
f( h) f ( )<br />
h<br />
f'(<br />
) lim lim<br />
h h<br />
h<br />
(<br />
- - 5+ - - 5 -- 5 + ) -2- 3<br />
- 5 =<br />
=<br />
− −<br />
→0 →0<br />
h<br />
- h<br />
= lim<br />
h→0 h<br />
=-1<br />
−<br />
Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen i són iguals; per tant, f (x) és <strong>de</strong>rivable en x = -5.<br />
2<br />
=<br />
8<br />
477
478<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
013 Troba la <strong>funció</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f(x) = 3x 2 + 1 aplicant la <strong>de</strong>finició. A partir <strong>de</strong>l resultat,<br />
calcula la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f(x) en aquests punts:<br />
a) x = 1<br />
b) x = 2<br />
2<br />
2<br />
f( x + h) -f(<br />
x ) 3( x + h)<br />
+ 1-( 3x - 1) 6hx + 3h<br />
f'( x)<br />
= lim = lim = lim<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
= lim( 6x + 3h) = 6 x<br />
h→0<br />
a) f'( 1) = 6<br />
b) f'( 2) = 12<br />
014 Fes servir la <strong>de</strong>finició per calcular la <strong>funció</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> f(x) = x 3 + x 2 .<br />
Després, calcula les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s successives.<br />
Existeixen totes fins a la <strong>de</strong>rivada n-èsima?<br />
f( x + h) -f(<br />
x )<br />
f'( x)<br />
= lim<br />
h→0 h<br />
3 2 3 2<br />
( x + h) + ( x + h)<br />
- ( x + x )<br />
= lim =<br />
h→0<br />
h<br />
2 2 3 2<br />
3hx + 3h x+ h + 2hx<br />
+ h<br />
= lim<br />
h→0<br />
h<br />
=<br />
2 2 2<br />
= lim(<br />
3x + 3hx + h + 2x + h) = 3x + 2x<br />
h→0<br />
2<br />
2<br />
f'( x + h) -f'(<br />
x ) 3( x + h)<br />
+ 2( x + h) - ( 3x + 2x)<br />
f" ( x)<br />
= lim = lim =<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
2 6hx + 3h + 2h<br />
= lim = lim( 6 x + 3h+ 2) = 6x+ 2<br />
h→0hh→0 f" ( x + h) -f"<br />
( x ) 6( x + h)<br />
+ 2- ( 6x+ 2) 6h<br />
f'''( x)<br />
= lim = lim = lim = 6<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
IV ) f'''( x + h) - f'''( x ) 6-6 f ( x)<br />
= lim = lim = 0<br />
h→0 h h→0<br />
h<br />
A partir <strong>de</strong> la quarta <strong>de</strong>rivada, totes les funcions <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s són iguals a 0.<br />
015 Calcula la <strong>de</strong>rivada d’aquestes funcions i comprova que es compleix que el resultat<br />
és igual a la suma <strong>de</strong> les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s <strong>de</strong> les funcions que les formen:<br />
a) f(x) = x − x2 b) f(x) = x3 + 2x<br />
f( x + h) -f(<br />
x )<br />
a) f'( x)<br />
= lim<br />
h→0 h<br />
2 2<br />
( x + h) - ( x + h)<br />
-( x - x )<br />
= lim =<br />
h→0<br />
h<br />
2<br />
h-2hx - h<br />
= lim<br />
h→0h = lim( 1-2x - h)<br />
= 1-<br />
2x<br />
h→0<br />
( x + h) - x ( x + h) - x<br />
f'( x)<br />
= lim - lim<br />
0 h<br />
0 h<br />
= 1- lim( 2x + h) = 1-2x 2 2<br />
h 2hx<br />
+ h<br />
= lim - lim<br />
h<br />
h<br />
h→ h→ h→0<br />
h→0<br />
h→0<br />
2<br />
=<br />
2<br />
=
SOLUCIONARI<br />
3 3<br />
f( x + h) -f(<br />
x ) ( x + h) + 2 ( x + h)<br />
- ( x + 2x)<br />
b) f'( x)<br />
= lim = lim =<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
2 2 3<br />
3hx + 3h x+ h + 2h<br />
2 2 2<br />
= lim = lim( 3x + 3hx + h + 2) = 3x+ 2<br />
h→0hh→0 3 3<br />
( x + h) - x<br />
f'( x)<br />
= lim<br />
h→0h 2( x + h) -2x<br />
+ lim<br />
h→0h<br />
=<br />
2 2 3<br />
3hx + 3h x+ h<br />
= lim<br />
h→0h 2h<br />
2<br />
2 2<br />
+ lim = lim( 3x + 3hx+<br />
h ) + 2= 3x + 2<br />
h→0 h h→0<br />
016 Troba les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s <strong>de</strong> f(x) = 6x 2 i g(x) = −x. Quina és la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong>l seu producte?<br />
f( x)<br />
I <strong>de</strong><br />
gx ( ) ?<br />
f( x + h) -f(<br />
x )<br />
f'( x)<br />
= lim<br />
h→0 h<br />
2 2<br />
6( x + h) -6<br />
x<br />
= lim<br />
h→0<br />
h<br />
12hx + 6h<br />
= lim<br />
h→0<br />
h<br />
= lim( 12x + 6h) = 12x<br />
h→0<br />
g( x+ h) - g( x ) - ( x + h) -- ( x ) - h<br />
g'( x)<br />
= lim = lim = lim=- 1<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
[( f x) ⋅ g( x)] ' = f'( x) ⋅ g( x) + f( x) ⋅ g'( x) = 12x( - x)<br />
+ 6x ( - 1) =- 18 x<br />
2 2<br />
⎡ f( x)<br />
⎤ f ( x) g( x) f( x) g ( x)<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎣ g( x)<br />
⎥<br />
⎦<br />
[ g( x<br />
=<br />
' 2<br />
' ⋅ - ⋅ ' 12x( -x) -6x( -1)<br />
=<br />
=- 6<br />
2<br />
2<br />
)]<br />
( -x<br />
)<br />
017 Fes servir les <strong>de</strong>finicions <strong>de</strong> composició <strong>de</strong> funcions i <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivada per comprovar<br />
que es compleix la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na.<br />
( g f)( x + h) -(<br />
g f)( x ) gf (( x + h)) - gf (( x ))<br />
[( gf)( x )] ' = lim = lim<br />
=<br />
h→0hh→0h ⎡ gf (( x + h)) - gf (( x )) f( x + h) -f(<br />
x ) ⎤<br />
= lim ⎢<br />
⋅<br />
⎥<br />
h→0<br />
⎣<br />
⎢ f( x + h) -f(<br />
x )<br />
h ⎦<br />
⎥<br />
lim<br />
h<br />
=<br />
gf (( x + h)) - gf (( x )) f( x + h)<br />
- f( x)<br />
= ⋅ lim = g'(( f x)) ⋅ f'( x )<br />
→0 f( x + h) -f(<br />
x ) h→0<br />
h<br />
018 Troba la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> k (x) = 2x + 5 per mitjà <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finició <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivada,<br />
i comprova que el resultat és el mateix que si apliques la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na.<br />
k( x+ h) -k(<br />
x )<br />
k'( x)<br />
= lim = lim<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
2( x + h) + 5 - 2x + 5<br />
=<br />
h<br />
( ) ( + + + + )<br />
= lim<br />
h→0<br />
2( x + h) + 5 - 2x + 5 2( x h) 5<br />
h(<br />
2(<br />
x + h) + 5 + 2x+ 5 )<br />
2x 5<br />
=<br />
= lim<br />
h→0<br />
h( 2x + 2h+ 5-2x-5 0<br />
2(<br />
x + h)<br />
+ 5 + 2 + 5 )<br />
2<br />
2 5 2 5<br />
2<br />
1<br />
2 2 5 2<br />
= lim<br />
h→<br />
x ( x + h) + + x +<br />
=<br />
=<br />
=<br />
x +<br />
x + 5<br />
2<br />
=<br />
8<br />
479
480<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
f( x h) f( x )<br />
Si f( x) x f ( x ) lim lim<br />
h h<br />
h<br />
(<br />
+ -<br />
2 x + h) + 5- ( 2x+ 5)<br />
= 2 + 5→'<br />
=<br />
=<br />
=<br />
→0 →0<br />
h<br />
2h<br />
= lim = 2<br />
h→0<br />
h<br />
g( x+ h) - g( x )<br />
Si g( x) = x → g'( x ) = lim = lim<br />
h→ h<br />
h→<br />
x + h - x<br />
0 0 h<br />
( ) ( + + )<br />
= lim<br />
h→0<br />
x + h - x x<br />
h( x + h +<br />
h<br />
x )<br />
x<br />
=<br />
= lim<br />
h→0<br />
(<br />
x + h-<br />
+ + ) =<br />
h<br />
x<br />
x h<br />
lim<br />
h→0<br />
x<br />
1<br />
x + h + x<br />
=<br />
1<br />
2 x<br />
Com que k( x) = ( g f)( x ) si apliquem la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na tenim que:<br />
k'( x)=<br />
1<br />
⋅ 2 =<br />
1<br />
2 2x + 5 2x + 5<br />
019 Calcula la <strong>de</strong>rivada d’aquesta <strong>funció</strong> i indica els passos que segueixes per trobar-la:<br />
f (x) = 5x 4 + 3x 2<br />
Apliquem la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> les funcions potencials:<br />
4 3<br />
2 ( x ) ' = 4 x ( x ) ' = 2x<br />
Tenim en compte les operacions amb <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s:<br />
3 3<br />
f'( x)= 5⋅ 4x + 3⋅ 2x = 20 x + 6 x<br />
020 Troba la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> següent:<br />
3<br />
⎛ x - ⎞ x ( x ) x<br />
f'( x)<br />
= ⎜<br />
⎝⎜<br />
x ⎠⎟<br />
( x )<br />
⋅<br />
2 1⋅ - - 25<br />
4<br />
5<br />
5 2<br />
= - - +<br />
3 ( x 2) ( 16x 40)<br />
x 21<br />
x<br />
f( x)=<br />
x<br />
− ⎛<br />
⎜ 2 ⎞<br />
⎝⎜<br />
5 ⎠⎟<br />
5 4<br />
021 Troba la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> les funcions següents:<br />
a) f(x) = 5ln x + e 4x b) f(x) = log3 (−6x 2 ln x)<br />
a) f x<br />
e<br />
x<br />
x<br />
'( )= 5 ⋅ + ⋅<br />
1 4 4<br />
022 Determina la <strong>de</strong>rivada d’aquestes funcions:<br />
a) f(x) = e x log4 x 5 b) f(x) = ln (3x 2 − x) −7<br />
=<br />
4<br />
=<br />
3 4( x - 2) x - 5x + 10x<br />
⋅<br />
15<br />
10<br />
x<br />
x<br />
5 5 4<br />
2 1<br />
- 12xln x + ( -6<br />
x )<br />
x 2ln x + 1<br />
b) f'( x)<br />
=<br />
=<br />
2 -6x<br />
ln xln<br />
3 xln xln<br />
3<br />
4<br />
x 5 x 5x<br />
x 5 x 5<br />
a) f'( x) = e log4<br />
x + e ⋅ = e log4<br />
x + e ⋅<br />
5 x ln 4<br />
xln4<br />
( x x) ( x ) ( x )<br />
b) f'( x)<br />
=<br />
( x x)<br />
x<br />
- - -<br />
=<br />
-<br />
- -<br />
2 -8<br />
73 6 1 76 1<br />
2 -7<br />
2 3<br />
3 - x<br />
=
SOLUCIONARI<br />
023 Determina <strong>de</strong> quin tipus són les funcions següents i troba la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> cadascuna:<br />
a) f(x) = cos (sin 2x) c) f(x) = arctg x 3 + 2<br />
b) f(x) = sin (ln 2x) d) f(x) = tg (x 4 + 3x)<br />
a) f'( x) =-sin(sin 2x) ⋅cos 2x⋅2 2 cos( ln2<br />
x )<br />
b) f'( x) = cos( ln2<br />
x ) ⋅ =<br />
2x<br />
x<br />
1<br />
-<br />
3 ( x + 2) 2 3x<br />
2<br />
c) f'( x)<br />
=<br />
2<br />
3 1+ x + 2<br />
1<br />
( ) =<br />
2 4 3<br />
d) f'( x) = ( 1+ tg ( x + 3x)) ( 4x+ 3)<br />
024 Calcula la <strong>de</strong>rivada d’aquestes funcions:<br />
a) fx ( ) = cos x + x 2<br />
2<br />
3x<br />
2( x + 2)<br />
x +<br />
2<br />
3 3 2<br />
c)<br />
+ x<br />
fx ( )= tg<br />
− x<br />
1<br />
1<br />
b) f(x) = sin x2 + 3cos2 x d) fx ( )= arctg x<br />
-<br />
2 1 2<br />
a) f'( x) =- sin x + x ( x x) 2 ( 2x1) 2<br />
( ) + + =-<br />
1<br />
2<br />
( 2x+ 1)sin x + x<br />
2<br />
( )<br />
2 x + x<br />
2 2<br />
b) f'( x) = cos x ⋅ 2x + 6cos x( - sin x) = 2xcos x -6sin<br />
x cos x<br />
⎛ ⎛ + x ⎞⎞<br />
(<br />
c) f'( x)<br />
= ⎜ 2 + ⎜ 1 11-<br />
x) - ( 1+ x)(<br />
-1)<br />
⎛ + ⎞<br />
⎜1<br />
tg ⎜<br />
= ⎜ 2 1 x 2<br />
+<br />
⎝⎜<br />
⎝⎜<br />
1-<br />
x ⎠⎟<br />
⎠⎟<br />
( - x ) ⎝⎜<br />
1 tg<br />
2 1<br />
1-<br />
x ⎠⎟<br />
( 1-<br />
x )<br />
⋅ x<br />
d) f'( x)<br />
=<br />
+ ( x ) ( x) x<br />
=<br />
1 -<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
21+<br />
1<br />
025 Calcula la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> les funcions següents per mitjà <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivació logarítmica:<br />
a) f (x) = (x2 − 4x + 3) sin x 8x+cos x<br />
b) f (x) = x<br />
2<br />
sin x<br />
a) ln f( x) = ln ( x - 4x + 3)<br />
2<br />
ln f( x) = sin x ⋅ln(<br />
x - 4x+ 3)<br />
f'( x)<br />
2<br />
2x<br />
- 4<br />
= cos x ⋅ln( x - 4x + 3)<br />
+ sin x ⋅<br />
2<br />
f( x)<br />
x - 4x + 3<br />
⎛<br />
2<br />
2x-4 ⎞<br />
f'( x) = ⎜<br />
2<br />
x<br />
⎜cos<br />
x ⋅ln( x - 4x + 3)<br />
+ sin x ⋅<br />
( x - 4x + 3)<br />
2<br />
⎝⎜<br />
x - 4x+ 3⎠⎟<br />
sin<br />
8x+<br />
cos x<br />
b) ln f( x) = ln x<br />
ln f( x) = ( 8 x + cos x)ln x<br />
f' ( x)<br />
1<br />
= ( 8- sin x)ln x + ( 8x<br />
+ cos x) f( x)<br />
x<br />
⎛<br />
x ⎞<br />
f' ( x) = ⎜<br />
8<br />
⎜(<br />
8 -sin<br />
x )ln x + 8 + x<br />
⎝⎜<br />
x ⎠⎟<br />
cos x+ cos x<br />
2<br />
8<br />
481
482<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
026 Dedueix la <strong>de</strong>rivada d’aquestes funcions a partir <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivació logarítmica:<br />
a) f (x) = x n b) f (x) = a x<br />
n<br />
a) ln f( x) = ln x → ln f( x) = nln x<br />
f'( x)<br />
f( x)<br />
= n ⋅<br />
1<br />
x<br />
1 1<br />
n n-<br />
f'( x)<br />
= n ⋅ ⋅ x = nx<br />
x<br />
x<br />
b) ln f( x) = ln a → ln f( x) = xln a<br />
f'( x)<br />
= 1⋅ln<br />
a<br />
f( x)<br />
f'(<br />
x a a x<br />
) = ln⋅<br />
027 Troba la <strong>de</strong>rivada d’aquestes funcions implícites i calcula’n el valor en el punt (7, −2).<br />
a) x 3 −3x + y 2 = 0 b) 5x 2 + 3xy + 6y 2 − x + 13xy 2 = 0<br />
2 2 3 3x<br />
a) 3x - 3+ 2yy = 0 2yy = 3- 3x<br />
y =<br />
2y<br />
-<br />
' → ' → '<br />
2 3-3⋅7 y'( 7, - 2)<br />
= = 36<br />
2( -2)<br />
2<br />
b) 10 x + 3y + 3xy'+ 12yy'- 1+ 13y + 26xyy' = 0<br />
2 1-10x -3y - 13y<br />
→ ( 3x + 12y + 26xy) y' = 1-10 x -3y - 13y<br />
→ y'<br />
=<br />
3x + 12y + 26xy<br />
2<br />
1-10⋅7-3⋅( -2) -13 ⋅- ( 2)<br />
y'( 7, - 2)<br />
=<br />
3⋅ 7+ 12 ⋅- ( 2)<br />
+ 26 ⋅7⋅ - 2<br />
115<br />
367<br />
=<br />
( )<br />
028 A partir <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> f(x) = x 2 , calcula la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la <strong>funció</strong><br />
f −1 (x) = x i comprova que aconsegueixes el mateix resultat que si fas servir<br />
la <strong>de</strong>finició <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivada.<br />
f'( x)= 2x<br />
-1<br />
• ( f )( ' x)<br />
1 1 1<br />
= = ( ) =<br />
-1<br />
f'( f ( x )) f'x 2 x<br />
- 1<br />
x + h - x<br />
• ( f )( ' x)<br />
= lim = lim<br />
h 0 h<br />
h 0<br />
( x + h - x ) ( x + h + x )<br />
( )<br />
→ → h x + h + x<br />
x + h- x<br />
=<br />
h h( x + h + x ) x<br />
=<br />
lim 1<br />
→0<br />
2<br />
029 Calcula la taxa <strong>de</strong> variació mitjana <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> fx ( )=<br />
x<br />
1 en els intervals [2, 3] i [2, 5].<br />
A partir d’aquesta taxa, calcula la <strong>de</strong>rivada en el punt x = 2.<br />
f( 3) - f(<br />
2)<br />
TVM([<br />
2, 3])<br />
=<br />
3-2 =<br />
1 1<br />
-<br />
3 2<br />
1<br />
1<br />
=-<br />
6<br />
f( 5) - f(<br />
2)<br />
TVM([<br />
2, 5])<br />
=<br />
5-2 =<br />
1 1<br />
-<br />
5 2<br />
3<br />
1<br />
=-<br />
10<br />
f'(<br />
2)<br />
= lim<br />
h 0<br />
1 1<br />
2 + h 2<br />
h<br />
2 2 h<br />
lim lim<br />
h 0 2h( 2 h)<br />
-<br />
- -<br />
=<br />
+ =<br />
→<br />
-1<br />
1<br />
→ h→0 22+<br />
h 4<br />
=-<br />
( )<br />
2<br />
=<br />
2
SOLUCIONARI<br />
030 Troba les taxes <strong>de</strong> variació mitjana <strong>de</strong> la superfície d’un cercle quan el radi passa<br />
<strong>de</strong> fer 1 cm a fer 3 cm, i <strong>de</strong> 3 cm a 5 cm. És constant si la variació <strong>de</strong>l radi<br />
és la mateixa?<br />
La <strong>funció</strong> que mesura la superfície d’un cercle segons la longitud <strong>de</strong>l radi x és:<br />
f( x)=πx2 f( 3) - f()<br />
1 9π-<br />
π<br />
TVM([<br />
13 , ]) = = = 4π<br />
3-1 2<br />
f( 5) - f(<br />
3)<br />
25π-9π TVM([<br />
35 , ]) = = = 8π<br />
5-3 2<br />
Tot i que la variació <strong>de</strong>l radi és la mateixa, la <strong>de</strong> la superfície no és constant.<br />
031 Galileu va <strong>de</strong>mostrar que, quan un objecte cau lliurement,<br />
és a dir, sense tenir en compte la resistència <strong>de</strong> l’aire,<br />
l’altura que recorre, en metres, i el temps que passa,<br />
en segons, es relacionen mitjançant la fórmula: h = gt<br />
1<br />
o bé, el que és el mateix, aproximadament, h = 5t 2<br />
2 .<br />
a) Calcula les taxes <strong>de</strong> variació mitjana entre 1 i 7 segons<br />
i entre 1 i 5 segons.<br />
b) Troba la <strong>de</strong>rivada d’aquesta <strong>funció</strong> en x = 1.<br />
f( 7) - f()<br />
1<br />
a) TVM([<br />
17 , ]) =<br />
7-1 =<br />
245 - 5<br />
6<br />
= 40<br />
f( 5) - f()<br />
1<br />
TVM([<br />
15 , ]) =<br />
5-1 125 - 5<br />
= = 30<br />
4<br />
2<br />
f( 1+ h) -f()<br />
1 51 ( + h)<br />
- 5 10h+ 5h<br />
b) f'(<br />
1)<br />
= lim = lim = lim<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
= lim( 10 + 5h) = 10<br />
h→0<br />
032 A partir <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finició, calcula la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> les funcions següents<br />
en el punt x = −1.<br />
a) f(x) = 3x b) g(x) = x2 c) i(x) = x3 d) j(x) = ⏐x⏐<br />
f( - 1+ h) -f( - 1) 3( - 1+ h)<br />
+ 3 3h<br />
a) f'(<br />
- 1)<br />
= lim = lim = lim = 3<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
2<br />
g( - 1+ h) - g(<br />
- 1) ( - 1+ h)<br />
- 1 - 2h+<br />
h<br />
b) g'(<br />
- 1)<br />
= lim = lim = lim<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
= lim( - 2+ h)<br />
=- 2<br />
h→0<br />
3<br />
i( - 1+ h) -i( - 1) ( - 1+ h)<br />
+ 1 3h- 3h<br />
+ h<br />
c) i'(<br />
- 1)<br />
= lim = lim = lim<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
2<br />
= lim( 3- 3h+ h ) = 3<br />
h→0<br />
2 ,<br />
2<br />
=<br />
2<br />
=<br />
2 3<br />
j( - 1+ h) - j(<br />
- 1) ⏐-+ 1 h⏐-1<br />
1- h - 1<br />
d) j'(<br />
- 1)<br />
= lim = lim<br />
= lim=- 1<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
=<br />
8<br />
483
484<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
033 A partir <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finició, <strong>de</strong>termina la <strong>de</strong>rivada d’aquestes funcions en el punt x = 0.<br />
a) f(x) = ax + b b) g(x) = ax 2 c) i(x) = ax 2 + b d) j(x) = ax 2 + bx + c<br />
f( 0+ h) -f(<br />
0)<br />
ah + b- b<br />
a) f'(<br />
0)<br />
= lim = lim<br />
= a<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
2<br />
g( 0+ h) - g(<br />
0) ah - 0<br />
b) g'(<br />
0)<br />
= lim = lim = lim(<br />
ah ) = 0<br />
h→0 h<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
2<br />
i( 0+ h) -i(<br />
0)<br />
ah + b- b<br />
c) i'(<br />
0)<br />
= lim = lim = lim(<br />
ah)=<br />
0<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
2<br />
j( 0+ h) - j(<br />
0)<br />
ah + bh + c- c<br />
d) j'(<br />
0)<br />
= lim = lim<br />
= lim( ah + b) = b<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
034 Per mitjà <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finició, calcula la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f(x) = x 3 − 3x en x0 = 1.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
f( 1+ h) -f()<br />
1<br />
f'(<br />
1)<br />
= lim<br />
h→0 h<br />
3 ( 1+ h) - 31 ( + h)<br />
-- ( 2)<br />
= lim =<br />
h→0<br />
h<br />
2 3<br />
2 3<br />
1+ 3h+ 3h + h -3- 3h+ 2 3h<br />
+ h<br />
= lim = lim<br />
h→0hh→0h 2<br />
= lim( 3h+ h ) = 0<br />
h→0<br />
035 Calcula la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> f(x) = ⏐x − 2⏐ en x = 2, si és possible.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
⎧x<br />
- x ≥<br />
f( x)=<br />
⎨<br />
⎪ 2 si 2<br />
⎩⎪ - x + 2 si x < 2<br />
+ f( 2+ h) -f(<br />
2) 2+ h -2- 0 h<br />
f'(<br />
2 ) = lim = lim<br />
= lim = 1<br />
+ +<br />
+<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
- f( 2+ h) -f(<br />
2) - ( 2+ h)<br />
+ 2-0-<br />
h<br />
f'(<br />
2 ) = lim = lim = lim→=- 1<br />
− −<br />
−<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h 0 h<br />
Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen però no són iguals; per tant, f (x) no és <strong>de</strong>rivable<br />
en x = 2.<br />
036 Troba l’equació <strong>de</strong> la tangent a la gràfica <strong>de</strong> cadascuna d’aquestes funcions<br />
en els punts que hi ha indicats:<br />
a) y = sin x + x, en x = π. b) y =<br />
x<br />
x<br />
− 4 3 2 , en x = −1. c) y = ln (x + 7), en x = 0.<br />
a) f ( π) = π<br />
f'( x) = cos x + 1→f'( π)<br />
= 0<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - π = 0( x - π) → y = π<br />
b) f ( - 1) = 2<br />
f'( x)<br />
=<br />
3 4<br />
4x ⋅ x -( x - 3) 2 x<br />
=<br />
4 3x+ 3<br />
2 x<br />
f'(<br />
- 1) = 6<br />
→<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - 2= 6( x + 1) →<br />
y = 6x + 8
c) f ( 0) = ln 7<br />
SOLUCIONARI<br />
f'( x)<br />
=<br />
2x<br />
2 x + 7<br />
→ f'(<br />
0) = 0<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - ln 7 = 0( x - 0) → y = ln 7<br />
037 Determina l’equació <strong>de</strong> la tangent a la paràbola y = x<br />
1 2<br />
en el punt A(2, 2).<br />
2<br />
f'( x) =<br />
1<br />
⋅ 2x = x f'(<br />
2) = 2<br />
2 →<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - 2= 2( x - 2) → y = 2x - 2<br />
038 Calcula la recta tangent a la corba f(x) = ln x 2 en el punt x = 2.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
f ( 2) = ln 4<br />
f'( x)<br />
=<br />
2x 2 x<br />
=<br />
2<br />
x<br />
→ f'(<br />
2) = 1<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - ln 4 = x - 2 → y = x - 2+ ln 4<br />
039 Troba l’equació <strong>de</strong> la recta tangent a la gràfica <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> f( x)=<br />
x<br />
−2<br />
en el punt d’abscissa x = 2.<br />
Demostra que aquesta recta només talla la gràfica en el punt <strong>de</strong> tangència.<br />
f ( 2) =- 1<br />
f'( x)<br />
=<br />
2<br />
2 x<br />
f'(<br />
2)<br />
=<br />
1<br />
2<br />
→<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y + 1=<br />
1<br />
( x - 2)<br />
→ y =<br />
2<br />
1<br />
x - 2<br />
2<br />
El punt <strong>de</strong> tall <strong>de</strong> les dues funcions verifica que: 1<br />
2 2<br />
x - 2 = x 4x 4<br />
2<br />
x<br />
-<br />
→ - =-<br />
8<br />
2 2 2<br />
→ x - 4x =-4 → x - 4x + 4 = 0 → ( x - 2) = 0 → x = 2<br />
Per tant, hi ha un únic punt comú a les dues gràfiques.<br />
040 Determina el punt <strong>de</strong> la corba y =<br />
a la recta y = x<br />
x en el qual la recta tangent és paral·lela<br />
1<br />
2 .<br />
Les rectes són paral·leles si tenen el mateix pen<strong>de</strong>nt; per tant, busquem el punt<br />
que verifica que: f'( x)=<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1 - 1<br />
f'( x)= ⋅ x 2 =<br />
2 2 x<br />
Aleshores: 1<br />
2<br />
=<br />
1<br />
→ x = 1→ x = 1<br />
2 x<br />
El punt té per coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s (1, 1).<br />
485
486<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
041 Consi<strong>de</strong>ra la <strong>funció</strong> f(x) = x 2 + m, en què m > 0 és una constant.<br />
a) Per a cada valor <strong>de</strong> m, troba el valor a > 0 tal que la recta tangent a la gràfica <strong>de</strong> f<br />
en el punt (a, f(a)) passi per l’origen <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s.<br />
b) Troba el valor <strong>de</strong> m perquè la recta y = x sigui tangent a la gràfica <strong>de</strong> f.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
a) f( a)= a + m 2<br />
f'( x) = 2x → f'( a) = 2a<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és:<br />
2 2<br />
y - ( a + m) = 2a( x - a) → y = 2ax<br />
- a + m<br />
Si aquesta recta passa per l’origen <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s, aleshores:<br />
2 0 =- a + m → a = m<br />
2 2 1± 1-4m b) x + m = x → x - x + m = 0 → x =<br />
2<br />
Si la recta y = x és tangent a la gràfica <strong>de</strong> f només tenen un punt en comú;<br />
aleshores:<br />
1<br />
1- 4m = 0 → m =<br />
4<br />
042 Calcula l’equació <strong>de</strong> la recta tangent a la gràfica <strong>de</strong> f(x) = (x + 1)e −x en el punt <strong>de</strong> tall<br />
<strong>de</strong> f(x) amb l’eix X.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
Calculem el punt <strong>de</strong> tall amb l’eix d’abscisses:<br />
-x<br />
( x + 1) e = 0 → x + 1= 0 → x =-1<br />
-x -x<br />
f'( x) = e - ( x + 1) e → f'( - 1)<br />
= e<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y = e( x + 1)<br />
043 Donada la <strong>funció</strong> f(x) = 9x + 6x 2 − x 4 , troba els punts en els quals la recta tangent<br />
a la gràfica <strong>de</strong> f(x) té pen<strong>de</strong>nt 1.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
Si el pen<strong>de</strong>nt és igual a 1, aleshores:<br />
3 3<br />
f'( x)= 1→ 9+ 12x - 4x = 1→ 4x -12x - 8 = 0<br />
⎧<br />
3 2<br />
x = 2<br />
→ x -3x - 2= 0 → ( x - 2)( x + 1) = 0 → ⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪ x =-1<br />
Així, doncs, els punts que verifiquen la condició són (2, 26) i (-1, -4).<br />
044 Calcula l’equació <strong>de</strong> la recta tangent a la corba x 2 + 16y 2 − 16 = 0 en el punt<br />
d’abscissa 3 i or<strong>de</strong>nada positiva.<br />
2 2<br />
Si x = 3→ 9+ 16 y - 16 = 0 → 16y = 7 → y = ±<br />
⎛<br />
Consi<strong>de</strong>rem el punt<br />
⎜<br />
⎜3,<br />
⎝⎜<br />
7 ⎞<br />
4 ⎠⎟<br />
.<br />
7<br />
4
x<br />
2x + 32yy' = 0 → 32yy' =- 2x<br />
→ y'<br />
=-<br />
16 y<br />
⎛ 7 ⎞ 3<br />
y'<br />
⎜<br />
3 3 7<br />
⎜3,<br />
⎝⎜<br />
4 ⎠⎟<br />
7 4 7 28<br />
16<br />
4<br />
=- =- =-<br />
⋅<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és:<br />
7 3 7<br />
3 7 4 7<br />
y - =- ( x - 3)<br />
→ y =- x +<br />
4 28<br />
28 7<br />
045 Determina l’equació <strong>de</strong> la recta tangent a la corba 4x 2 − 9y 2 − 36 = 0<br />
en el punt d’abscissa 4 i or<strong>de</strong>nada positiva.<br />
2 2<br />
2 7<br />
Si x = 4 → 64-9y - 36 = 0 → 9y = 28 → y = ±<br />
3<br />
⎛ 2 7 ⎞<br />
Consi<strong>de</strong>rem el punt<br />
⎜<br />
⎜4,<br />
.<br />
⎝⎜<br />
3 ⎠⎟<br />
4 x<br />
8x - 18yy' = 0 →- 18 yy' =- 8 x → y'<br />
=<br />
9 y<br />
⎛ 2 7 ⎞ 16<br />
y'<br />
⎜<br />
8 8 7<br />
⎜4,<br />
⎝⎜<br />
3 ⎠⎟<br />
2 7 3 7 21<br />
9<br />
3<br />
= = =<br />
⋅<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és:<br />
2 7 8 7<br />
8 7 6 7<br />
y - = ( x - 4)<br />
→ y = x -<br />
3 21<br />
21 7<br />
046 Troba les equacions <strong>de</strong> la recta tangent i <strong>de</strong> la recta normal a la gràfica<br />
<strong>de</strong> la <strong>funció</strong> y = ln x en el punt d’abscissa x = 1.<br />
f () 1 = 0<br />
f'( x)<br />
=<br />
1<br />
x<br />
→ f'()<br />
1 = 1<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y = x -1<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta normal és: y =-( x - 1) → y =- x + 1<br />
SOLUCIONARI<br />
047 Digues per a quin valor <strong>de</strong> x la recta tangent a la corba y = ln (x2 + 1) és paral·lela<br />
a la recta y = x.<br />
Escriu l’equació d’aquesta tangent.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
Les rectes són paral·leles si tenen el mateix pen<strong>de</strong>nt; per tant, busquem el punt<br />
que verifica que: f'( x)=<br />
1<br />
2x<br />
f'( x)=<br />
2 x + 1<br />
Aleshores: 2x<br />
2 2 2<br />
1 2x x 1 x 2x 1 0 x 1 0 x 1<br />
2 x + 1<br />
= = + - + = - = =<br />
→ → → ( ) →<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - ln 2= x - 1→y = x - 1+ ln 2<br />
8<br />
487
488<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
048 Determina el punt <strong>de</strong> la paràbola y = x 2 − 7x + 3 en el qual la tangent és paral·lela<br />
a la recta y = −5x + 5.<br />
Les rectes són paral·leles si tenen el mateix pen<strong>de</strong>nt; per tant, busquem el punt<br />
que verifica que: f'( x)=-5<br />
f'( x)= 2x-7 Aleshores: 2x - 7 =- 5→ 2x = 2 → x = 1<br />
El punt té per coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s (1, -3).<br />
049 Consi<strong>de</strong>ra f(x) = x + xe −x .<br />
Calcula l’equació <strong>de</strong> la recta tangent a f en un punt x per al qual aquesta recta<br />
tangent sigui paral·lela a la recta que passa pels punts (1, 1) i (3, 3).<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
La recta que passa pels punts (1, 1) i (3, 3) té per equació: y = x.<br />
La recta tangent hi és paral·lela si té el mateix pen<strong>de</strong>nt; per tant, busquem<br />
un punt x per al qual es verifica que: f'( x)=<br />
1<br />
f'( x)= 1+<br />
e - xe<br />
-x -x<br />
-x -x -x -x -x<br />
Aleshores: 1+ e - xe = 1→ e - xe = 0 → e ( 1- x) = 0 → x = 1<br />
1<br />
f() 1 = 1+ e-<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - ( 1+ e ) = x - 1→y = x + 1+<br />
e<br />
-1 -1<br />
050 Determina les abscisses <strong>de</strong>ls punts <strong>de</strong> la corba y =<br />
3 x<br />
3<br />
2 −x − 3x + 1 amb una recta<br />
tangent que forma un angle <strong>de</strong> 135° amb el sentit positiu <strong>de</strong> l’eix d’abscisses.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
Si la recta tangent forma un angle <strong>de</strong> 135º amb l’eix d’abscisses, aleshores:<br />
m = tg 135° = -1<br />
Busquem els punts que verifiquen que: f'( x)<br />
=-1.<br />
2 f'( x)= x -2x - 3<br />
2 2<br />
2 8<br />
Aleshores: x -2x - 3=-1 x -2x - 2= 0 x = 1 2<br />
2<br />
±<br />
→ →<br />
= ±<br />
051 Calcula les equacions <strong>de</strong> la recta tangent i <strong>de</strong> la recta normal a la gràfica <strong>de</strong> la <strong>funció</strong><br />
f( x)=<br />
2 x<br />
en el punt x = 0.<br />
2 x + 1<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
f ( 0) = 0<br />
2 2<br />
2x( x + 1) - x ⋅ 2x<br />
2x<br />
f'( x)<br />
=<br />
= → f'(<br />
0)<br />
= 0<br />
2 2 2 2 ( x + 1)<br />
( x + 1)<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y = 0.<br />
Així, doncs, l’equació <strong>de</strong> la recta normal és: x = 0.
SOLUCIONARI<br />
052 Determina les equacions <strong>de</strong> la recta tangent i <strong>de</strong> la recta normal (recta perpendicular<br />
a la tangent) en el punt d’abscissa 0, a la gràfica <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> f donada per:<br />
x<br />
f( x)= xe +<br />
x<br />
x<br />
−<br />
2<br />
3 2<br />
2 + 4<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
1<br />
f ( 0)<br />
=-<br />
2<br />
2 2 3<br />
x x 3x ( x + 4) -( x - 22 ) x<br />
f'( x) = 2e + 2xe+<br />
2 2 ( x + 4)<br />
=<br />
x x<br />
= 2e<br />
+ 2xe+<br />
4 2<br />
x + 12x + 4 x<br />
2 2 ( x + 4)<br />
→ f'(<br />
0) = 2<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y = 2x<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta normal és: y =- x<br />
1<br />
2<br />
053 Troba les equacions <strong>de</strong> la recta tangent i <strong>de</strong> la recta normal a la gràfica<br />
<strong>de</strong> la <strong>funció</strong> g(x) = ⏐x 2 − 9⏐ en el punt d’abscissa x = 2.<br />
g( 2) = 5<br />
⎧ 2 x -<br />
g( x)<br />
= ⎨<br />
⎪ 9<br />
2<br />
⎩⎪ - x + 9<br />
g'( 2) =-4<br />
si⏐⏐<br />
x ≥ 3<br />
⎧<br />
→ g' ( x)<br />
= ⎨<br />
⎪2x<br />
si - 3< x < 3 ⎩⎪ -2x si⏐⏐<br />
x > 3<br />
si - 3< x < 3<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - 5=-4( x - 2) → y =- 4x + 13<br />
1<br />
1 9<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta normal és: y - 5 = ( x - 2)<br />
→ y = x +<br />
4<br />
4 2<br />
054 Troba les equacions <strong>de</strong> la recta tangent i <strong>de</strong> la recta normal a les corbes següents<br />
en els punts indicats:<br />
a) y xex = , en x = 4. b) y = arcsin x,<br />
en x = 1<br />
2 .<br />
a) f( 4) 4e2 =<br />
x f'( x) = e + xe x<br />
1<br />
1 -<br />
⋅ x 2 = e<br />
2<br />
x<br />
x xe<br />
+<br />
2 x<br />
2<br />
→ f'( 4) = 2e<br />
2 2 2 2<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - 4e = 2e ( x - 4) → y = 2e x - 4e<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta normal és:<br />
y e<br />
x y<br />
e<br />
e x<br />
2 1<br />
1<br />
- 4 =- ( - 4)<br />
→ =-<br />
2 2 2<br />
2<br />
+<br />
2<br />
2 e<br />
2 + 4e<br />
b) f 1 ⎛ ⎞<br />
⎜ π<br />
⎜ =<br />
⎝⎜<br />
2⎠⎟ 4<br />
f'( x)=<br />
x<br />
f'<br />
- x<br />
x x<br />
⋅ =<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
- ⎝⎜<br />
⎠⎟<br />
=<br />
1<br />
1 1 - 1<br />
1<br />
2<br />
→ 1<br />
1 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
π 1<br />
1 π<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - = x - → y = x - +<br />
4 2<br />
2 4<br />
π<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta normal és: y -<br />
4<br />
⎛<br />
=-⎜1⎞ 1 π<br />
⎜x<br />
- →<br />
y =- x + +<br />
⎝⎜<br />
2 ⎠⎟<br />
2 4<br />
8<br />
489
490<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
055 Determina les equacions <strong>de</strong> la recta tangent i <strong>de</strong> la recta normal a la corba<br />
y = x3 + x 2 − 6x + 1 en el punt d’or<strong>de</strong>nada 1 i abscissa positiva.<br />
⎧⎪<br />
x = 0<br />
3 2 3 2 2<br />
x + x - 6x + 1= 1→ x + x - 6x = 0 → x( x + x - 6) = 0 → ⎨<br />
⎪<br />
x = 2<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
x =-3<br />
Hem <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar les rectes que passen pel punt (2, 1).<br />
2 f'( x) = 3x + 2x - 6 → f'(<br />
2) = 10<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - 1= 10( x - 2) → y = 10 x - 19<br />
1<br />
1 6<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta normal és: y - 1=-<br />
( x - 2)<br />
→ y =- x +<br />
10<br />
10 5<br />
056 Consi<strong>de</strong>ra f la <strong>funció</strong> que té <strong>de</strong> domini els nombres reals no nuls <strong>de</strong>finida per f( x)=<br />
x<br />
4 .<br />
a) Calcula l’equació <strong>de</strong> la recta tangent i <strong>de</strong> la recta normal a la gràfica <strong>de</strong> f<br />
en el punt d’abscissa x = 2.<br />
b) Determina els punts M i N <strong>de</strong> la gràfica <strong>de</strong> f per als quals les rectes tangents en M<br />
i N es tallen en el punt (4, −8).<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
a) f ( 2) = 2<br />
4<br />
f'( x)<br />
=- f'(<br />
2) =-1<br />
2 x<br />
→<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - 2=-( x - 2) → y =- x + 4<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta normal és: y - 2= x - 2 → y = x<br />
b) Consi<strong>de</strong>rem P p, p<br />
4 ⎛ ⎞<br />
⎜ un punt qualsevol <strong>de</strong> la gràfica <strong>de</strong> f.<br />
⎝⎜<br />
⎠⎟<br />
f'( p)=-<br />
p<br />
4<br />
2<br />
Així, la recta tangent en P és <strong>de</strong> la forma:<br />
y<br />
x p y<br />
p p<br />
p x<br />
4 4 4 8<br />
- =- ( - ) → =- +<br />
2 2 p<br />
Si aquesta recta passa pel punt (4, -8), tenim que:<br />
4 8<br />
⎧<br />
2 2<br />
p = 1<br />
- 8 =- ⋅ 4 + → 8p + 8p- 16 = 0 → p + p-<br />
2= 0 → ⎨<br />
2 p p<br />
p =-2<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
Per tant, els punts que busquem són M(1, 4) i N(-2, -2).<br />
057 Calcula el valor <strong>de</strong> a perquè la recta tangent a la gràfica <strong>de</strong> la <strong>funció</strong><br />
f(x) = −ax 2 + 5x − 4 en el punt d’abscissa 3 talli l’eix X en el punt x = 5.<br />
Quina és l’equació <strong>de</strong> la recta normal?<br />
f( 3) =- 9a+ 11<br />
f'( x) =- 2ax + 5→f'( 3) =- 6a+ 5<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és:<br />
y + 9a- 11= ( - 6a+ 5)( x - 3) →<br />
y = ( - 6a+ 5) x + 9a-4
Si aquesta recta passa pel punt (5, 0), aleshores:<br />
( - 6a+ 5) 5+ 9a- 4 = 0 →- 21a =- 21 → a = 1<br />
SOLUCIONARI<br />
Per tant, l’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - 2=-( x - 3) → y =- x + 5<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta normal és: y - 2= x - 3→y = x - 1<br />
058 Troba els valors <strong>de</strong> a, b i c perquè les gràfiques <strong>de</strong> les funcions f(x) = x 2 + ax + b<br />
i g(x) = x 3 + c passin pel punt (1, 2) i en aquest punt tinguin la mateixa tangent.<br />
Si la gràfica <strong>de</strong> f passa pel punt (1, 2), aleshores: 1+ a+ b = 2 → a+ b = 1<br />
De la mateixa manera, si la <strong>de</strong> g passa pel punt (1, 2), tenim que: 1+ c = 2 → c = 1<br />
I si en aquest mateix punt tenen la mateixa tangent, es verifica que: f'() 1 = g'()<br />
1<br />
f'( x) = 2x + a → f'() 1 = 2 + a⎫<br />
⎬<br />
⎪ → 2+ a = 3→ a = 1→b= 0<br />
2<br />
g'( x) = 3x → g'()<br />
1 = 3 ⎪⎭⎪<br />
⎛ x +<br />
059 Digues per a quin valor <strong>de</strong> a la recta ax + y = ln 2 és tangent a la corba f( x)<br />
= ln ⎜ 2 ⎞<br />
⎜<br />
⎝⎜<br />
x + 1 ⎠⎟<br />
en el punt d’abscissa x = 0?<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
f ( 0) = ln 2<br />
x + 1- ( x + 2)<br />
2<br />
( x + 1)<br />
-1<br />
1<br />
f'( x)<br />
=<br />
=<br />
→ f'(<br />
0)<br />
=-<br />
x + 2 ( x + 1)( x + 2)<br />
2<br />
x + 1<br />
1 1<br />
L’equació <strong>de</strong> la recta tangent és: y - ln 2 =- x → x + y = ln 2<br />
2 2<br />
Així, doncs, tenim que: a = 1<br />
2<br />
060 Determina el valor <strong>de</strong> a perquè la recta tangent a la gràfica <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> f(x) = x 3 + ax<br />
en el punt x = 0 sigui perpendicular a la recta y + x = −3.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
y + x =- 3→y =-x -3<br />
Si la recta tangent és perpendicular, el seu pen<strong>de</strong>nt és f'( 0) = 1.<br />
2 f'( x) = 3x + a → f'( 0)<br />
= a<br />
Així, doncs, tenim que a = 1.<br />
061 Troba l’equació <strong>de</strong> la paràbola y = x 2 + bx + c la recta tangent <strong>de</strong> la qual<br />
en el punt (1, 1) és paral·lela a la bisectriu <strong>de</strong>l primer quadrant.<br />
f'( x) = 2x + b → f'() 1 = 2 + b<br />
La bisectriu <strong>de</strong>l primer quadrant és la recta y = x.<br />
Si la recta tangent hi és paral·lela, aleshores: 2+ b = 1→b =- 1<br />
2<br />
Així, l’equació <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> és <strong>de</strong> la forma: y = x - x + c<br />
Si passa pel punt (1, 1), tenim que: 1= 1- 1+ c → c = 1<br />
2 Per tant, l’equació <strong>de</strong> la paràbola és y = x - x + 1.<br />
8<br />
491
492<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
062 Consi<strong>de</strong>ra la <strong>funció</strong> f(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + 7. Calcula c si saps que la seva recta<br />
tangent en el punt d’abscissa x = 0 és horitzontal.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
Si la recta tangent en aquest punt és horitzontal, el pen<strong>de</strong>nt és f'( 0) = 0.<br />
3 2 f'( x) = 4x + 3ax + 2bx + c → f'( 0)<br />
= c<br />
Así, c = 0.<br />
063 Troba els punts <strong>de</strong> la gràfica <strong>de</strong> la <strong>funció</strong>f(x) = x 3 − 3x 2 + x en els quals la recta<br />
tangent és paral·lela a la recta y = x.<br />
Si la recta tangent és paral·lela a la recta y = x, aleshores: f'( x)=<br />
1<br />
2<br />
f'( x)= 3x - 6x + 1<br />
⎧<br />
2 2<br />
x = 0<br />
Així, doncs: 3x - 6x + 1= 1→ x - 2x = 0 → ⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪ x = 2<br />
Per tant, els punts <strong>de</strong> la gràfica que verifiquen la condició són (0, 0) i (2, -2).<br />
064 Determina en quins punts <strong>de</strong> la gràfica la recta tangent <strong>de</strong> la <strong>funció</strong><br />
y = x 3 − 3x 2 + x + 1 és paral·lela a la recta y = x + 7.<br />
Si la recta tangent és paral·lela a la recta y = x, aleshores: f'( x)=<br />
1<br />
2<br />
f'( x)= 3x - 6x + 1<br />
⎧<br />
2 2<br />
x = 0<br />
Així, doncs: 3x - 6x + 1= 1→ x - 2x = 0 → ⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪ x = 2<br />
Per tant, els punts <strong>de</strong> la gràfica que verifiquen la condició són (0, 1) i (2, -1).<br />
065 Calcula la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> següent:<br />
f(x) = ax + b + sin x<br />
Troba a i b si O(0, 0) és un punt <strong>de</strong> la corba y = ax + b + sin x, la tangent<br />
<strong>de</strong> la qual en O(0, 0) és l’eix X.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
f'( x) = a+ cos x<br />
Si la tangent a la corba en x = 0 és la recta y = 0, aleshores: f'( 0) = 0<br />
a+ cos 0= 0 → a+ 1= 0 → a =- 1<br />
Així, la <strong>funció</strong> és <strong>de</strong> la forma f( x) =- x + b+ sin x.<br />
I si la corba passa pel punt (0, 0), tenim que: b+ sin 0= 0 → b = 0<br />
066 De la <strong>funció</strong> f: (0, +`) → R <strong>de</strong>finida per:<br />
2 ax + b<br />
f( x)=<br />
x<br />
sabem que la recta tangent a la seva gràfica en el punt d’abscissa x = 1 està<br />
<strong>de</strong>terminada per y = −2.<br />
Calcula a i b.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)
SOLUCIONARI<br />
2 ax - b<br />
f'( x)=<br />
2 x<br />
Si la tangent a la corba en x = 1 és la recta y = -2, aleshores: f'( 1) = 0<br />
a- b = 0 → a = b<br />
2 ax + a<br />
Així, doncs, la <strong>funció</strong> és <strong>de</strong> la forma: f( x)=<br />
x<br />
I si la corba passa pel punt (1, -2), tenim que: 2a =- 2 → a = b =-1<br />
067 Per mitjà <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finició, calcula les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals <strong>de</strong> les funcions següents<br />
en x = 2.<br />
a) f(x) = ⏐2 − x⏐<br />
b) g(x) = ⏐x2 − 4⏐<br />
⎧-<br />
+ x x ≥<br />
a) f( x)=<br />
⎨<br />
⎪ 2 si 2<br />
⎩⎪ 2- x si x < 2<br />
+ f( 2+ h) -f(<br />
2) - 2+ 2+<br />
h<br />
f'(<br />
2 ) = lim = lim<br />
= 1<br />
+ +<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
- f( 2+ h) -f(<br />
2) f'(<br />
2 ) = lim<br />
− h→0 h<br />
2- ( 2+<br />
h)<br />
- h<br />
= lim<br />
= lim<br />
−<br />
−<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
=-1<br />
Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals no són iguals → f (x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 2.<br />
⎧ ⎪<br />
⎪x - x <br />
2 4 si 2<br />
⎪ 2 4 si 2 2<br />
⎪ 2<br />
⎩⎪<br />
4 si 2<br />
+ g( 2+ h) - g(<br />
2) g'(<br />
2 ) = lim<br />
+ h→0 h<br />
= lim( 4+ h)<br />
= 4<br />
2 ( 2+ h)<br />
-4<br />
= lim<br />
+ h→0<br />
h<br />
4h+<br />
h<br />
= lim<br />
+ h→0<br />
h<br />
+ h→0<br />
- g( 2+ h) - g(<br />
2) g'(<br />
2 ) = lim<br />
− h→0 h<br />
= lim( -4- h)<br />
=- 4<br />
2 - ( 2+ h)<br />
+ 4<br />
= lim<br />
− h→0<br />
h<br />
-4h- h<br />
= lim<br />
− h→0<br />
h<br />
− h→0<br />
Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals no són iguals → g(x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 2.<br />
068 A partir <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finició, calcula les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> següent<br />
en x = 0.<br />
⎧⎪<br />
1<br />
fx ( )= ⎨<br />
⎪<br />
⎪ x<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
0<br />
si x ≠ 0<br />
si x = 0<br />
+ f( 0+ h) -f(<br />
0)<br />
f'(<br />
0 ) = lim<br />
+ h→0 h<br />
= lim<br />
+ h→0<br />
1<br />
- 0<br />
h<br />
h<br />
1<br />
= lim<br />
+ h→0 2 h<br />
=+`<br />
- f( 0+ h) -f(<br />
0)<br />
f'(<br />
0 ) = lim<br />
− h→0 h<br />
= lim<br />
− h→0<br />
1<br />
- 0<br />
h<br />
h<br />
1<br />
= lim<br />
− h→0 2 h<br />
=+`<br />
2<br />
=<br />
2<br />
=<br />
8<br />
493
494<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
069 Consi<strong>de</strong>ra la <strong>funció</strong> f: R → R <strong>de</strong>finida per:<br />
⎧ 2 x +<br />
fx ( )= ⎨<br />
⎪ 3<br />
2<br />
⎩⎪ 2− x<br />
si x ≤1<br />
si x > 1<br />
Calcula, si és possible, les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals <strong>de</strong> f en x = 1.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
2<br />
2<br />
+ f( 1+ h) -f()<br />
1 2- ( 1+<br />
h)<br />
- 4 -h -2h- 3<br />
f'(<br />
1 ) = lim = lim<br />
= lim→=- `<br />
+ +<br />
+<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h 0 h<br />
2<br />
- f( 1+ h) -f()<br />
1 ( 1+ h)<br />
+ 3-4<br />
2h+<br />
h<br />
f'(<br />
1 ) = lim = lim = lim<br />
− −<br />
−<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
= lim( 2+ h)<br />
= 2<br />
− h→0<br />
070 Estudia si la <strong>funció</strong> fx ( )= x<br />
3<br />
és contínua i <strong>de</strong>rivable en x = 0.<br />
3<br />
3<br />
lim x = lim x = 0 = f ( 0)<br />
→ f(x) és contínua en x = 0.<br />
+ −<br />
x→0x→0 3<br />
f( 0+ h) -f(<br />
0) h 1<br />
f'(<br />
0)<br />
= lim = lim = lim<br />
h 0 h<br />
h 0 h h 0 3<br />
h<br />
→ → → 2<br />
2<br />
=<br />
=+` → f(x) no és <strong>de</strong>rivable<br />
en x = 0.<br />
071 Demostra que la <strong>funció</strong> següent és contínua en el punt x = 1, però no és <strong>de</strong>rivable<br />
en aquest mateix punt:<br />
⎧−<br />
x + x ≤<br />
fx ( )= ⎨<br />
⎪ 1 si 1<br />
2<br />
⎩⎪ x − 1 si x > 1<br />
a) Digues si aquest fet contradiu algun <strong>de</strong>ls teoremes o <strong>de</strong> les propietats<br />
que hem estudiat a la unitat.<br />
b) Posa un exemple d’una <strong>funció</strong> que sigui <strong>de</strong>rivable i discontínua en un punt.<br />
2 lim( x - 1) = lim ( - x + 1) = 0 = f () 1 → f(x) és contínua en x = 1.<br />
+ −<br />
x→1x→1 2<br />
2<br />
+ f( 1+ h) -f()<br />
1 ( 1+ h)<br />
-1<br />
2h+<br />
h<br />
f'(<br />
1 ) = lim = lim = lim = lim ( 2+ h)<br />
= 2<br />
+ +<br />
+ +<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0hh→0 - f( 1+ h) -f()<br />
1 - ( 1+ h)<br />
+ 1 - h<br />
f'(<br />
1 ) = lim = lim = lim=- 1<br />
− −<br />
−<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals no són iguals; per tant, f (x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 1.<br />
a) No, perquè la continuïtat no implica la <strong>de</strong>rivabilitat.<br />
b) No existeix, perquè si una <strong>funció</strong> és discontínua en un punt, no és <strong>de</strong>rivable en<br />
aquest punt.<br />
072 Estudia la continuïtat i la <strong>de</strong>rivabilitat d’aquesta <strong>funció</strong>:<br />
⎧⎪<br />
x + 1<br />
x ≤<br />
fx ( )= ⎨<br />
⎪ si 2<br />
⎪ x −1<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
− 2x si x > 2<br />
• Si x > 2: f( x) =-2x<br />
→ Funció polinòmica, per tant, contínua en (2, +`).
SOLUCIONARI<br />
x<br />
• Si x < f x =<br />
x<br />
+ 1<br />
2:<br />
( ) → Funció racional contínua en (-`, 2) excepte en x = 1.<br />
- 1<br />
• Si x = 1:<br />
- x + 1<br />
f ( 1 ) = lim<br />
x 1 x - 1<br />
+<br />
x 1<br />
f ( 1 ) lim<br />
x 1 x 1<br />
=-<br />
+<br />
=<br />
- =+<br />
⎫⎪<br />
`⎪<br />
−<br />
⎪<br />
→<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎪<br />
`⎪<br />
+ →<br />
⎭⎪<br />
→ f(x) no és contínua en x = 1; per tant,<br />
no és <strong>de</strong>rivable en x = 1.<br />
• Si x = 2:<br />
-<br />
x + 1<br />
f ( 2 ) = lim 3<br />
x 2 x - 1<br />
+<br />
f( 2 ) lim ( 2x) 4<br />
x 2<br />
=<br />
⎪⎫<br />
⎪<br />
− →<br />
⎬<br />
⎪ → f(x) no és contínua en x = 2; per tant,<br />
⎪<br />
= - =- ⎪<br />
+ →<br />
⎭<br />
⎪ no és <strong>de</strong>rivable en x = 2.<br />
⎪<br />
⎧ ⎪<br />
-2<br />
x <<br />
f'( x) = ⎨<br />
⎪ si 2<br />
2 ( x - 1)<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
- 2 si x > 2<br />
Així, doncs, la <strong>funció</strong> és contínua i <strong>de</strong>rivable en R - {, 12. }<br />
073 Consi<strong>de</strong>ra la <strong>funció</strong> f: R → R <strong>de</strong>finida per:<br />
⎧ ⎪<br />
− 1 si x
496<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
- f'(<br />
2 ) = 1 ⎫<br />
+ ⎬<br />
⎪<br />
f'(<br />
2 ) =-2⎭⎪<br />
→ Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals no són iguals; per tant,<br />
f (x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 2.<br />
Així, doncs, la <strong>funció</strong> és <strong>de</strong>rivable en R -- { 4, 2 } .<br />
074 Consi<strong>de</strong>ra la <strong>funció</strong> següent:<br />
⎧ 2 ⎪ x si x ≤ 0<br />
fx ( )= ⎨<br />
⎪<br />
a+ bx si 0< x ≤1<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
3 si x > 1<br />
a) Determina a i b perquè sigui contínua en R.<br />
b) Per a aquests valors, estudia la <strong>de</strong>rivabilitat <strong>de</strong> f(x).<br />
2<br />
a) • Si x < 0:<br />
f( x) = x → Funció polinòmica, per tant, contínua en (-`, 0).<br />
• Si 0< x < 1:<br />
f( x) = a+ bx → Funció polinòmica, per tant, contínua<br />
en (0, 1).<br />
• Si x > 1: f( x ) = 3→<br />
Funció constant, per tant, contínua en (1, +`).<br />
La <strong>funció</strong> és contínua en R si ho és en els punts en els quals canvia<br />
l’expressió algebraica.<br />
• Perquè la <strong>funció</strong> sigui contínua en x = 0, els límits laterals han <strong>de</strong> ser iguals<br />
i han <strong>de</strong> coincidir amb f (0) = 0:<br />
-<br />
2<br />
f( 0 ) = lim x = 0 ⎫⎪<br />
− x →0<br />
+<br />
⎬<br />
⎪<br />
f( 0 ) = lim ( a+ bx ) = a<br />
+ x →0<br />
⎭ ⎪ - +<br />
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → a = 0<br />
⎪ • Si a = 0, perquè la <strong>funció</strong> sigui contínua en x = 1, els límits laterals han <strong>de</strong> ser<br />
iguals i han <strong>de</strong> coincidir amb f (1) = b:<br />
- f( 1 ) = lim( bx) = b⎫⎪<br />
− x →1<br />
⎬<br />
⎪ - +<br />
→ f( 1 ) = f( 1 ) = f() 1 → b = 3<br />
+ f ( 1 ) = lim 3= 3 ⎪<br />
+ x →1<br />
⎭⎪<br />
⎧⎪<br />
2x si x < 0<br />
b) f'( x)=<br />
⎨<br />
⎪<br />
3 si 0< x < 1<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
0 si x > 1<br />
- f'(<br />
0 ) = 0⎫<br />
+ ⎬<br />
⎪ → Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals no són iguals; per tant,<br />
f'(<br />
0 ) = 3⎭⎪f<br />
(x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 0.<br />
- f'(<br />
1 ) = 3⎫<br />
+ ⎬<br />
⎪ → Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals no són iguals; per tant,<br />
f'(<br />
1 ) = 0⎭⎪f<br />
(x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 1.<br />
Així, doncs, la <strong>funció</strong> és <strong>de</strong>rivable en R - { 0, 1}.<br />
075 Consi<strong>de</strong>ra f la <strong>funció</strong> <strong>de</strong>finida per tot nombre real x <strong>de</strong> manera que per als valors<br />
<strong>de</strong> x que pertanyen a l’interval tancat [−1, 1] tenim f(x) = (x + 1)(x − 1) 2<br />
i per als valors <strong>de</strong> x que no pertanyen a aquest interval tenim f(x) = 0.<br />
Estudia’n la continuïtat i la <strong>de</strong>rivabilitat.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)
SOLUCIONARI<br />
⎧<br />
2 ( x + )( x - ) - ≤ x ≤<br />
f( x)<br />
= ⎨<br />
⎪ 1 1 si 1 1<br />
⎩⎪ 0 si ⏐⏐ x > 1<br />
• Si - 1< < 1 = + 1 -1<br />
2<br />
x : f( x) ( x )( x ) → Funció polinòmica, per tant,<br />
contínua en (-1, 1).<br />
Si ⏐x⏐> 1: f( x ) = 0 → Funció constant, per tant, contínua en R -- ( 11. , )<br />
• Si x = 1:<br />
-<br />
2<br />
f( 1 ) = lim( x + 1)( x - 1) = 0⎫⎪<br />
− x →1<br />
⎬<br />
⎪ → lim f( x) = lim f( x) = 0 = f () 1<br />
+<br />
− +<br />
f ( 1 ) = lim 0 = 0 ⎪ x→1 x→1<br />
+ x →1<br />
⎭<br />
⎪<br />
→ f(x) és contínua en x = 1.<br />
• Si x = -1:<br />
- f ( - 1 ) = lim 0 = 0<br />
⎫⎪<br />
− x →-1<br />
⎬<br />
⎪ → lim f( x) = lim f( x) = 0 = f ( -1)<br />
+<br />
2 − +<br />
f( - 1 ) = lim ( x + 1)( x -1)<br />
= 0⎪<br />
x→-1 x→-1<br />
+ x →-1<br />
⎭<br />
⎪<br />
→ f(x) és contínua en x = -1.<br />
Així, doncs, la <strong>funció</strong> és contínua en R.<br />
⎧(<br />
x - )( x + ) - < x <<br />
f'( x)<br />
= ⎨<br />
⎪ 1 3 1 si 1 1<br />
⎩⎪ 0 si ⏐⏐ x > 1<br />
- f'(<br />
1 ) = 0⎫<br />
+ ⎬<br />
⎪<br />
f'(<br />
1 ) = 0⎭⎪<br />
- f'(<br />
- 1 ) = 0⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
+ f'(<br />
- 1 ) = 4⎭⎪ → Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen i són iguals; per tant,<br />
f (x) és <strong>de</strong>rivable en x = 1.<br />
→ Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals no són iguals; per tant,<br />
f (x) no és <strong>de</strong>rivable en x = -1.<br />
Així, doncs, la <strong>funció</strong> és <strong>de</strong>rivable en R -- { 1 } .<br />
⎧ 2 x x ≤<br />
076 Determina si la <strong>funció</strong> f( x)=<br />
⎨<br />
⎪ si 1<br />
és <strong>de</strong>rivable en x = 1.<br />
⎩⎪ 2x si x > 1<br />
Perquè una <strong>funció</strong> sigui <strong>de</strong>rivable en un punt ha <strong>de</strong> ser contínua, i perquè sigui<br />
contínua els límits laterals han <strong>de</strong> ser iguals i coincidir amb el valor <strong>de</strong> la <strong>funció</strong><br />
en aquest punt; en aquest cas, amb f (1) = 1:<br />
-<br />
2<br />
f( 1 ) = lim x = 1⎫⎪<br />
− x →1<br />
⎬<br />
⎪ → f (x) no és contínua en x = 1; per tant,<br />
+ f( 1 ) = lim 2x = 2⎪<br />
+ x 1 ⎭<br />
⎪<br />
→ ⎪ no és <strong>de</strong>rivable en x = 1.<br />
077 Demostra que la <strong>funció</strong> f(x) = ⏐x⏐ 3 és <strong>de</strong>rivable en x = 0.<br />
lim f( x) = lim f( x) = 0 = f ( 0)<br />
→ f (x) és contínua en x = 0.<br />
+ −<br />
x→0 x→0<br />
3<br />
+ f( 0+ h) -f(<br />
0)<br />
⏐⏐ h<br />
f'(<br />
0 ) = lim = lim = lim h<br />
+ + +<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h h→0<br />
2 = 0<br />
3<br />
- f( 0+ h) -f(<br />
0)<br />
⏐⏐ h<br />
f'(<br />
0 ) = lim = lim = lim ( - h ) =<br />
− − −<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h h→0<br />
2 0<br />
Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen i són iguals; per tant, f (x) és <strong>de</strong>rivable en x = 0.<br />
8<br />
497
498<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
078 Justifica si les funcions següents són <strong>de</strong>rivables en els punts x = −2, x = 0 i x = 1.<br />
a) fx ( )=<br />
x<br />
2 b) g(x) = x⏐x + 2⏐<br />
a) • Si x = -2: lim f( x) = lim f( x) =- 1= f ( -2)<br />
→ f(x) és contínua en x = -2.<br />
+ −<br />
x→-2 x→-2<br />
lim f( x)<br />
=+ `⎫⎪<br />
+ x →0<br />
• Si x = 0:<br />
⎬<br />
⎪ → f(x) no és contínua en x = 0, per tant,<br />
lim f( x)<br />
=-`<br />
⎪<br />
− x →0<br />
⎭<br />
⎪ no és <strong>de</strong>rivable en x = 0.<br />
• Si x = 1: lim f( x) = lim f( x) = 2= f () 1 → f(x) és contínua en x = 1.<br />
+ −<br />
x→1 x→1<br />
Estudiem la <strong>de</strong>rivabilitat en els punts en els quals la <strong>funció</strong> és contínua:<br />
f'( x)=-<br />
x<br />
2<br />
2<br />
1<br />
• Si x = -2: f'( - 2)<br />
=- → f(x) és <strong>de</strong>rivable en x = -2.<br />
2<br />
• Si x = 1: f'( 1) =-2 → f(x) és <strong>de</strong>rivable en x = 1.<br />
⎧x(<br />
x+ ) x ≥-<br />
b) g( x)<br />
= ⎨<br />
⎪ 2 si 2<br />
⎩⎪ - x( x+ 2) si x -<br />
g'( x)=<br />
⎨<br />
⎪2<br />
2 si 2<br />
⎩⎪ -2x - 2 si x <br />
f'( x)=<br />
⎨<br />
⎪ 2 si 0<br />
⎩⎪ 2x si x < 0<br />
- f'(<br />
0 ) = 0⎫<br />
+ ⎬<br />
⎪ → Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen i són iguals; per tant,<br />
f'(<br />
0 ) = 0⎭⎪f<br />
(x) és <strong>de</strong>rivable en x = 0.
SOLUCIONARI<br />
080 Troba el valor <strong>de</strong> k per al qual aquesta <strong>funció</strong>:<br />
⎧ ⎪<br />
x<br />
− x <<br />
fx ( )= ⎨<br />
⎪6<br />
si 2<br />
⎪ 2<br />
⎪ 2<br />
⎩⎪<br />
x + kx si x ≥2<br />
és contínua.<br />
Estudia si la seva <strong>de</strong>rivada és una <strong>funció</strong> contínua.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
x<br />
• Si x < 2: f( x ) = 6-→<br />
Funció polinòmica, per tant, contínua en (-` , 2).<br />
2<br />
2<br />
• Si x > 2:<br />
f( x) = x + kx → Funció polinòmica, per tant, contínua en (2, +`).<br />
• Perquè la <strong>funció</strong> sigui contínua en x = 2, els límits laterals han <strong>de</strong> ser iguals<br />
i han <strong>de</strong> coincidir amb f(2) = 4 + 2k:<br />
⎛ x ⎞<br />
- f ( 2 ) = lim ⎜6-<br />
5<br />
x 2 ⎝⎜<br />
2 ⎠⎟<br />
+ f ( 2 ) lim<br />
x 2<br />
=<br />
⎫ ⎪<br />
− →<br />
⎬<br />
⎪ - +<br />
→ f( 2 ) = f( 2 ) = f ( 2) → 4+<br />
2k = 5→k<br />
=<br />
2 ⎪<br />
= ( x + kx) = 4+ 2k⎪<br />
+ →<br />
⎭<br />
⎪<br />
⎧⎪<br />
x<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪6<br />
- si x < 2 ⎪<br />
1<br />
⎪-<br />
si x < 2<br />
Aleshores: f( x)=<br />
⎨<br />
⎪ 2<br />
→ f'(<br />
x ) = ⎨<br />
⎪ 2<br />
⎪ 2 1<br />
⎪<br />
⎪x<br />
+ x si x ≥ 2 ⎪ 1<br />
⎪2x<br />
+ si x > 2<br />
⎩⎪<br />
2<br />
⎩⎪<br />
2<br />
1 ⎫<br />
- ⎪<br />
f'(<br />
2 ) =- ⎪<br />
2<br />
⎬<br />
⎪ → Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals no són iguals; per tant,<br />
+ 9 ⎪<br />
f'(<br />
2 ) = ⎪ f (x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 2.<br />
2 ⎭⎪<br />
Així, doncs, la <strong>funció</strong> <strong>de</strong>rivada no és contínua en x = 2.<br />
081 Consi<strong>de</strong>ra f la <strong>funció</strong> <strong>de</strong>finida per:<br />
⎧ 2 x − x x ≥<br />
f( x)=<br />
⎨<br />
⎪ 2 si 3<br />
⎩⎪ 2x + a si x < 3<br />
a) Troba el valor <strong>de</strong> a perquè f sigui contínua.<br />
b) Comprova si és <strong>de</strong>rivable en x = 3 a partir <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finició.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
2<br />
a) • Si x > 3: f( x) = x - 2x→<br />
Funció polinòmica, per tant, contínua en (3, +`).<br />
• Si x < 3: f( x) = 2x<br />
+ a → Funció polinòmica, per tant, contínua en (-`, 3).<br />
• Perquè la <strong>funció</strong> sigui contínua en x = 3, els límits laterals han <strong>de</strong> ser iguals<br />
i coincidir amb f (3) = 3:<br />
- f( 3 ) = lim( 2x + a) = 6 + a⎫⎪<br />
− x →3<br />
+<br />
2<br />
⎬<br />
⎪ - +<br />
→ f( 3 ) = f( 3 ) = f( 3) → 6+ a = 3→a=-3 f( 3 ) = lim( x -2x)<br />
= 3 ⎪<br />
+ x →3<br />
⎭<br />
⎪<br />
b) La <strong>funció</strong> només pot ser <strong>de</strong>rivable si és contínua; per tant, consi<strong>de</strong>rem:<br />
⎧ 2 x - x x ≥<br />
f( x)=<br />
⎨<br />
⎪ 2 si 3<br />
⎩⎪ 2x - 3 si<br />
x < 3<br />
8<br />
1<br />
2<br />
499
500<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
2<br />
+ f( 3+ h) -f(<br />
3) ( 3+ h)<br />
-2(<br />
3+ h)<br />
- 3<br />
f'(<br />
3 ) = lim = lim =<br />
+ +<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
2<br />
9+ 6h+ h -6-2h- 3<br />
= lim = lim ( 4 + h) = 4<br />
+ +<br />
h→0hh→0 - f( 3+ h) -f(<br />
3) 23 ( + h)<br />
-3-3 2h<br />
f'(<br />
3 ) = lim = lim = lim = 2<br />
− −<br />
−<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
h→0<br />
h<br />
Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen però no són iguals; per tant, f (x)<br />
no és <strong>de</strong>rivable en x = 3.<br />
082 Consi<strong>de</strong>ra la <strong>funció</strong> <strong>de</strong>finida per:<br />
⎧ ax e x ≤<br />
fx ( )= ⎨<br />
⎪ si 0<br />
⎩⎪ 2x + 1 si x > 0<br />
en què a és un nombre real.<br />
a) Calcula lim fx ( ) i comprova que f(x) és contínua en x = 0.<br />
x →0<br />
b) Digues per a quin valor <strong>de</strong>l paràmetre a la <strong>funció</strong> f(x) és <strong>de</strong>rivable en x = 0?<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
a)<br />
lim ( 2x+ 1) = 1⎫⎪<br />
+ x →0<br />
⎬<br />
⎪ → lim f( x)=<br />
1<br />
ax lim e = 1 ⎪ x →0<br />
− x →0<br />
⎭<br />
⎪<br />
f ea⋅0 ( 0) = = 1<br />
lim f( x) = f ( 0)<br />
→ f(x) és contínua en x = 0.<br />
x →0<br />
⎧ ax ae x <<br />
b) f'( x)=<br />
⎨<br />
⎪ si 0<br />
⎩⎪ 2 si x > 0<br />
Perquè la <strong>funció</strong> sigui <strong>de</strong>rivable en x = 0, les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals<br />
han <strong>de</strong> ser iguals:<br />
- f'( 0 ) = a⎫<br />
a 2<br />
+ ⎬<br />
⎪ → =<br />
f'(<br />
0 ) = 2⎭⎪<br />
083 Determina el valor <strong>de</strong> a, si existeix, per al qual la <strong>funció</strong> següent és <strong>de</strong>rivable en x = 0.<br />
⎧cos<br />
x<br />
fx ( ) = ⎨<br />
⎪<br />
2<br />
⎩⎪ x + a<br />
si x ≤ 0<br />
si x > 0<br />
Perquè la <strong>funció</strong> sigui <strong>de</strong>rivable, en primer lloc ha <strong>de</strong> ser contínua.<br />
La <strong>funció</strong> és contínua en x = 0 si els límits laterals són iguals i coinci<strong>de</strong>ixen<br />
amb f (0) = cos 0 = 1:<br />
- f( 0 ) = lim cos x = 1 ⎫⎪<br />
− x →0<br />
+<br />
2 ⎬<br />
⎪ - +<br />
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → a = 1<br />
f( 0 ) = lim ( x + a) = a⎪<br />
+ x →0<br />
⎭⎪<br />
⎧cos<br />
x x ≤<br />
si<br />
Aleshores: f( x)<br />
= ⎨<br />
⎪<br />
f ( x)<br />
=<br />
⎩⎪ x + x ><br />
-<br />
si 0 ⎧ n x six<br />
<<br />
→ '<br />
2<br />
⎨<br />
⎪<br />
0<br />
1 si 0 ⎩⎪ 2x<br />
si x > 0<br />
- f'(<br />
0 ) = 0⎫<br />
+ ⎬<br />
⎪<br />
f'(<br />
0 ) = 0⎭⎪<br />
→ Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen i són iguals; per tant,<br />
f (x) és <strong>de</strong>rivable en x = 0 si a = 1.
084 Donada la <strong>funció</strong>:<br />
⎧ 2<br />
ax + x <<br />
fx ( )= ⎨<br />
⎪ 1 si 2<br />
2 x e + 2 si x ≥2<br />
⎩⎪ −<br />
SOLUCIONARI<br />
calcula a perquè f sigui contínua en x = 2. Per al valor que has obtingut,<br />
digues si f és <strong>de</strong>rivable en x = 2.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
Perquè la <strong>funció</strong> sigui contínua en x = 2, els límits laterals han <strong>de</strong> ser iguals i<br />
coincidir amb f (2) = 3:<br />
-<br />
2<br />
f( 2 ) = lim( ax + 1) = 4a+ 1⎫⎪<br />
− x →2<br />
⎬<br />
⎪ - +<br />
1<br />
→ f( 2 ) = f( 2 ) = f( 2) → 4a+ 1= 3→a=<br />
+ 2-x<br />
f( 2 ) = lim ( e + 2) = 3 ⎪<br />
+ x →2<br />
⎭<br />
⎪<br />
2<br />
⎪<br />
⎧ ⎪ x +<br />
Aleshores: f( x)=<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎪ x<br />
⎩⎪<br />
e +<br />
x <<br />
f<br />
x ≥<br />
-<br />
1 2 1<br />
2<br />
2 2<br />
si 2 ⎧x<br />
→ '( x ) = ⎨<br />
⎪<br />
x - e<br />
si 2 ⎩<br />
⎪ 2-<br />
⎪<br />
si x < 2<br />
si x > 2<br />
- f'(<br />
2 ) = 2 ⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
→ Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals no són iguals; per tant,<br />
+ f'(<br />
2 ) =-1⎭<br />
⎪ f (x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 2.<br />
085 Segons els valors <strong>de</strong> m, <strong>de</strong>termina la continuïtat i la <strong>de</strong>rivabilitat d’aquesta <strong>funció</strong>:<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
⎧<br />
2 ⎪<br />
⎪3−mx<br />
si x ≤1<br />
fx ( )= ⎨<br />
⎪<br />
2<br />
⎪<br />
si x > 1<br />
⎩⎪<br />
mx<br />
2<br />
• Si x < 1: f( x) = 3-mx→ Funció polinòmica, per tant, contínua en (-`, 1).<br />
2<br />
• Si x > 1:<br />
f( x ) = → Funció racional contínua si x ≠ 0 i si m ≠ 0.<br />
mx<br />
• Perquè la <strong>funció</strong> sigui contínua en x = 1, els límits laterals han <strong>de</strong> ser iguals<br />
i coincidir amb f(1) = 3 - m:<br />
-<br />
2<br />
f( 1 ) = lim( 3- mx ) = 3 -m⎫⎪<br />
− x →1<br />
⎪<br />
+ 2 2 ⎬<br />
⎪ - +<br />
2<br />
→ f( 1 ) = f( 1 ) = f() 1 → 3-<br />
m =<br />
f ( 1 ) = lim = ⎪<br />
m<br />
+ x →1<br />
mx m ⎭<br />
⎪<br />
⎧<br />
2 m = 1<br />
→ m - 3m+ 2= 0 → ⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪ m = 2<br />
Per tant, f (x) és contínua en R si m = 1 o m = 2.<br />
Perquè una <strong>funció</strong> sigui <strong>de</strong>rivable ha <strong>de</strong> ser contínua; consi<strong>de</strong>rem, doncs,<br />
la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> si m = 1 o si m = 2.<br />
⎧<br />
-<br />
⎪-<br />
2mx si x < 1<br />
f'( 1 ) =-2m⎫⎪<br />
f'( x)=<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎪<br />
2<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪-<br />
si x > 1<br />
+ 2 ⎬<br />
f'(<br />
1 ) =- ⎪<br />
2<br />
⎩⎪<br />
mx<br />
⎪<br />
m ⎭⎪<br />
- +<br />
• Si m = 1 → f'( 1 ) = f'(<br />
1 ) → Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals en x = 1 són iguals;<br />
per tant, f (x) és <strong>de</strong>rivable en x = 1 → La <strong>funció</strong> és <strong>de</strong>rivable en R.<br />
- +<br />
• Si m = 2 → f'( 1 ) ≠ f'(<br />
1 ) → Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals no són iguals; per tant,<br />
f (x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 1 → La <strong>funció</strong> és <strong>de</strong>rivable en R - {1}.<br />
8<br />
501
502<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
086 Calcula els valors <strong>de</strong> a i b perquè aquesta <strong>funció</strong>:<br />
⎧⎪3<br />
⎪<br />
x + 2 si x < 0<br />
fx ( ) = ⎨<br />
⎪<br />
x + 2acos x si 0≤<br />
x <<br />
⎪ 2<br />
⎩⎪<br />
ax + b si x ≥π<br />
2 π<br />
sigui contínua per a qualsevol valor <strong>de</strong> x.<br />
Estudia la <strong>de</strong>rivabilitat <strong>de</strong> f(x) per als valors <strong>de</strong> a i b que has obtingut en l’apartat<br />
anterior.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
• Si x < 0: f( x) = 3x + 2 → Funció polinòmica, per tant, contínua en (-`, 0).<br />
2<br />
• Si 0< x < π: f( x) = x + 2acos<br />
x → Funció polinòmica i trigonomètrica,<br />
per tant, contínua en ( 0, π).<br />
2 • Si x > π: f( x) = ax + b → Funció polinòmica, per tant, contínua en ( π+` , ).<br />
• Perquè la <strong>funció</strong> sigui contínua en x = 0, els límits laterals han <strong>de</strong> ser iguals<br />
i han <strong>de</strong> coincidir amb f(0) = 2a:<br />
- f( 0 ) = lim( 3x + 2) = 2 ⎫⎪<br />
− x →0<br />
⎬<br />
⎪ - +<br />
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → 2a = 2 → a = 1<br />
+<br />
2<br />
f( 0 ) = lim ( x + 2acos<br />
x) = 2a⎪<br />
+ x →0<br />
⎭<br />
⎪<br />
Consi<strong>de</strong>rem que a = 1; aleshores, perquè la <strong>funció</strong> sigui contínua en x =π<br />
els límits laterals han <strong>de</strong> ser iguals i han <strong>de</strong> coincidir amb f( π) = π + b 2 :<br />
-<br />
2 2<br />
f( π ) = lim ( x + 2cos x ) = π -2⎫⎪<br />
− x →π<br />
⎬<br />
⎪ - +<br />
→ f( π ) = f( π ) = f ( π)<br />
+<br />
2 2<br />
f ( π ) = lim ( x + b) = π + b ⎪<br />
2<br />
+ x →π<br />
⎭<br />
⎪ → π - 2 = π + =-<br />
2 b → b 2<br />
⎧ ⎪<br />
3 si x < 0<br />
⎪<br />
Si a = 1 i b = -2, aleshores: f'( x)<br />
= ⎨<br />
⎪<br />
2x - 2sin x si 0 < x < π<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
2x<br />
si x > π<br />
- f'(<br />
0 ) = 3⎫<br />
+ ⎬<br />
⎪ → Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals no són iguals; per tant,<br />
f'(<br />
0 ) = 0⎭<br />
⎪ f (x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 0.<br />
- f'(<br />
π ) = 2π⎫<br />
+ ⎬<br />
⎪ → Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen i són iguals; per tant,<br />
f'(<br />
π ) = 2π⎭<br />
⎪ f (x) és <strong>de</strong>rivable en x =π.<br />
087 Consi<strong>de</strong>ra la <strong>funció</strong> següent:<br />
⎧ 3 2 − x + x x <<br />
fx ( )= ⎨<br />
⎪<br />
si 1<br />
⎩⎪ ax −b si x ≥1<br />
Determina els valors <strong>de</strong> a i b perquè sigui <strong>de</strong>rivable en tots els punts.<br />
Una <strong>funció</strong> només pot ser <strong>de</strong>rivable en tots els punts si és contínua<br />
en tots els punts.<br />
3 2<br />
• Si x < 1: f( x) =- x + x → Funció polinòmica, per tant, contínua en (-`, 1).<br />
2<br />
• Si x > 1:<br />
f( x) = ax + b → Funció polinòmica, per tant, contínua en (1, +`).
SOLUCIONARI<br />
• Perquè la <strong>funció</strong> sigui contínua en x = 1, els límits laterals han <strong>de</strong> ser iguals<br />
i coincidir amb f(1) = a - b:<br />
-<br />
3 2<br />
f( 1 ) = lim( - x + x ) = 0 ⎫⎪<br />
− x →1<br />
⎬<br />
⎪ - +<br />
→ f( 1 ) = f( 1 ) = f() 1 → a- b = 0 → a = b<br />
+ f( 1 ) = lim( ax - b)<br />
= a-b⎪ + x →1<br />
⎭<br />
⎪<br />
La <strong>funció</strong> és <strong>de</strong>rivable en x = 1 si les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen i són iguals.<br />
⎧ 2 - x + x x <<br />
f'( x)=<br />
⎨<br />
⎪ 3 2 si 1<br />
⎩⎪ a si x > 1<br />
- f'(<br />
1 ) =-1⎫<br />
a 1 b 1<br />
+ ⎬<br />
⎪ → =- → =-<br />
f'( 1 ) = a ⎭<br />
⎪<br />
088 Troba els valors que han <strong>de</strong> tenir a i b perquè la <strong>funció</strong> següent sigui <strong>de</strong>rivable<br />
en x = 0.<br />
⎧sin<br />
x<br />
fx ( ) = ⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪ ax + b<br />
si x ≤ 0<br />
si x > 0<br />
Perquè la <strong>funció</strong> sigui <strong>de</strong>rivable en x = 0, ha <strong>de</strong> ser contínua en aquest punt;<br />
i perquè sigui així, els límits laterals han <strong>de</strong> ser iguals i coincidir amb f (0) = 0:<br />
- f( 0 ) = lim sin x = 0 ⎫⎪<br />
− x →0<br />
⎬<br />
⎪ - +<br />
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → b = 0<br />
+ f( 0 ) = lim ( ax + b) = b⎪<br />
+ x →0<br />
⎭<br />
⎪<br />
Una vegada hem comprovat que és contínua en x = 0, perquè la <strong>funció</strong> sigui<br />
<strong>de</strong>rivable en aquest punt les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals han d’existir i han <strong>de</strong> ser iguals.<br />
⎧cos<br />
x x <<br />
f'( x)<br />
= ⎨<br />
⎪ si 0<br />
⎩⎪ a si x > 0<br />
- f'(<br />
0 ) = 1⎫<br />
a 1<br />
+ ⎬<br />
⎪ → =<br />
f'( 0 ) = a⎭<br />
⎪<br />
089 Determina els valors <strong>de</strong> a i b perquè la <strong>funció</strong> següent sigui <strong>de</strong>rivable en tots<br />
els punts:<br />
⎧ 2 ⎪<br />
⎪bx<br />
+ ax<br />
⎪ a<br />
fx ( )= ⎨<br />
⎪<br />
⎪ x<br />
⎪ 2 ⎪<br />
x + ax+<br />
1<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
x + 1<br />
si x ≤−1<br />
si −< 1 x ≤1<br />
si x > 1<br />
(Canarias. Junio 2006. Opción B. Cuestión 2)<br />
a<br />
Si - 1< x < 1:<br />
f( x ) = → Funció racional, no és contínua en x = 0; per tant,<br />
x no és <strong>de</strong>rivable en x = 0.<br />
Així, doncs, no hi ha valors <strong>de</strong> a i b per als quals la <strong>funció</strong> sigui <strong>de</strong>rivable<br />
en tots els punts.<br />
8<br />
503
504<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
090 Troba els valors que han <strong>de</strong> tenir a i b perquè la <strong>funció</strong> següent sigui <strong>de</strong>rivable<br />
en x = 0.<br />
⎧ln<br />
( e+ sin x) fx ( ) = ⎨<br />
⎪<br />
3<br />
⎩⎪ x + ax + b<br />
si x < 0<br />
si x ≥ 0<br />
Perquè la <strong>funció</strong> sigui <strong>de</strong>rivable en x = 0, ha <strong>de</strong> ser contínua en aquest punt;<br />
i perquè sigui així, els límits laterals han <strong>de</strong> ser iguals i han <strong>de</strong> coincidir amb f (0) = b:<br />
- f( 0 ) = lim ln( e+ sin x ) = 1 ⎫⎪<br />
− x →0<br />
⎬<br />
⎪ - +<br />
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → b = 1<br />
+<br />
3<br />
f( 0 ) = lim ( x + ax + b) = b⎪<br />
+ x →0<br />
⎭<br />
⎪<br />
Perquè la <strong>funció</strong> sigui <strong>de</strong>rivable en x = 0, les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals han d’existir<br />
i han <strong>de</strong> ser iguals:<br />
⎧ ⎪<br />
cos x<br />
1 ⎫<br />
- ⎪<br />
x <<br />
f'( x)<br />
= ⎨<br />
⎪<br />
si 0<br />
f'(<br />
0 ) = ⎪ 1<br />
e+ sin x<br />
e ⎬<br />
⎪ → a =<br />
⎪<br />
⎪<br />
2<br />
+<br />
e<br />
⎩⎪<br />
3x + a si x > 0<br />
f'( 0 ) = a ⎪<br />
⎭⎪<br />
091 Troba els valors que han <strong>de</strong> tenir a i b perquè la <strong>funció</strong> següent sigui <strong>de</strong>rivable<br />
en x = 0.<br />
sin x<br />
fx ( ) =<br />
x ax b<br />
x<br />
x<br />
+ ≤<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪5<br />
2<br />
⎩⎪ − + +<br />
si 0<br />
si > 0<br />
Perquè la <strong>funció</strong> sigui <strong>de</strong>rivable en x = 0, ha <strong>de</strong> ser contínua en aquest punt;<br />
i perquè sigui així, els límits laterals han <strong>de</strong> ser iguals i han <strong>de</strong> coincidir amb f (0) = 5:<br />
- f( 0 ) = lim( 5+ sin x)<br />
= 5 ⎫⎪<br />
− x →0<br />
⎬<br />
⎪ - +<br />
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → b = 5<br />
+<br />
2<br />
f( 0 ) = lim ( - x + ax<br />
+ b) = b⎪<br />
+ x →0<br />
⎭<br />
⎪<br />
Perquè la <strong>funció</strong> sigui <strong>de</strong>rivable en x = 0, les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals han d’existir<br />
i han <strong>de</strong> ser iguals:<br />
-<br />
⎧cos<br />
x x <<br />
f'( x)<br />
= ⎨<br />
⎪<br />
si 0<br />
f'(<br />
0 ) = 1⎫<br />
a 1<br />
⎩⎪ - 2x + a si x > 0<br />
+ ⎬<br />
⎪ → =<br />
f'( 0 ) = a⎭<br />
⎪<br />
092 Demostra que la <strong>funció</strong> següent és <strong>de</strong>rivable per a tots els valors <strong>de</strong> x.<br />
⎧⎪<br />
2 x sin<br />
fx ( ) = ⎨<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
0<br />
1<br />
x<br />
si x ≠ 0<br />
si x = 0<br />
La <strong>funció</strong> és <strong>de</strong>rivable per a tots els valors <strong>de</strong> x només si és contínua en tots els valors.<br />
Estudiem la continuïtat en x = 0:<br />
sin 1<br />
2 1<br />
<strong>funció</strong> acotada → f( 0)<br />
= lim x sin = 0 → f(x) és contínua.<br />
x x →0<br />
x<br />
1 1<br />
f'( x) = 2x<br />
sin -cos si x ≠ 0<br />
x x<br />
2 1<br />
h sin - 0<br />
h<br />
1<br />
f'(<br />
0)<br />
= lim<br />
= limhsin = 0 → f(x) és <strong>de</strong>rivable.<br />
h→0hh→0h
SOLUCIONARI<br />
093 Calcula <strong>de</strong> manera justificada els valors <strong>de</strong> m i n perquè la <strong>funció</strong> següent sigui<br />
<strong>de</strong>rivable en x = 4<br />
⎧<br />
2<br />
fx ( )=<br />
−x ⎨<br />
⎪ 25<br />
⎩<br />
⎪ 2<br />
⎪ x + mx + n<br />
si −5≤ x < 4<br />
si x ≥ 4<br />
Perquè la <strong>funció</strong> sigui <strong>de</strong>rivable en x = 4, ha <strong>de</strong> ser contínua en aquest punt; i perquè<br />
sigui així, els límits laterals han <strong>de</strong> ser iguals i han <strong>de</strong> coincidir amb f(4) = 16 + 4m + n:---<br />
-<br />
2<br />
f( 4 ) = lim 25- x = 3<br />
⎫ ⎪<br />
− x →4<br />
⎪ - +<br />
⎬→<br />
f( 4 ) = f( 4 ) = f ( 4)<br />
+<br />
2<br />
f( 4 ) = lim ( x + mx + n)<br />
= 16 + m+ n ⎪<br />
+ x →4<br />
⎭⎪<br />
→ 16 + m+ n=<br />
3<br />
Perquè la <strong>funció</strong> sigui <strong>de</strong>rivable en x = 4, les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals han d’existir<br />
i han <strong>de</strong> ser iguals:<br />
⎧ ⎪<br />
-x<br />
f'( x)=<br />
⎨<br />
⎪<br />
2<br />
⎪ 25 - x<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
2x + m<br />
si - 5< x < 4<br />
si x > 4<br />
4 ⎫<br />
- ⎪<br />
f'(<br />
4 ) =- ⎪<br />
4<br />
3 ⎬ → 8 + m =-<br />
⎪<br />
+<br />
3<br />
f'( 4 ) = 8+<br />
m⎪<br />
⎭⎪<br />
28<br />
→ m =-<br />
3<br />
28<br />
20<br />
11<br />
Així, doncs: 16 - + n= 3 → + n= 3 → n =-<br />
3<br />
3<br />
3<br />
094 Fes servir la <strong>de</strong>finició per calcular la <strong>funció</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> les funcions següents:<br />
a) f(x) = 123 b) f(x) = 3x 2 c) f(x) = x 3 d) f(x) = ax<br />
a) f'( x)=<br />
0<br />
b) f'( x)= 6 x c) f'( x)= 3x 2<br />
095 A partir <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finició, troba la <strong>funció</strong> <strong>de</strong>rivada d’aquestes funcions:<br />
d) f'( x)= a<br />
a) fx ( )=<br />
x<br />
1 b) fx ( )= x c) f(x) = sin x d) f(x) = cos x<br />
a) f'( x)<br />
= lim<br />
h<br />
x + h x<br />
h<br />
x x h<br />
lim<br />
h xh( x h) x<br />
-<br />
- -<br />
=<br />
+<br />
=-<br />
→0 1 1<br />
1<br />
→0<br />
2<br />
( ) ( + + )<br />
b) f'( x)<br />
= lim<br />
h→0 x + h -<br />
h<br />
x<br />
= lim<br />
h→0<br />
x + h - x x<br />
h( x + h +<br />
h<br />
)<br />
x<br />
=<br />
(<br />
+ -<br />
+ + ) =<br />
x<br />
lim<br />
h→0<br />
h<br />
x h x<br />
x h x<br />
1<br />
2 x<br />
sin ( x+ h) -sin<br />
x sin x ⋅ cos<br />
h+ cos x⋅sin h-sin x<br />
c) f'( x)<br />
= lim = lim = cos x<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
cos ( x+ h) -cos<br />
x cos x ⋅ cos<br />
h-sin x⋅sin h-cos x<br />
d) f'( x)<br />
= lim = lim =-sin<br />
x<br />
h→0 h<br />
h→0<br />
h<br />
=<br />
8<br />
505
506<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
/<br />
096 Calcula la <strong>de</strong>rivada en el punt x = 1 <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> f( x) = x ln x<br />
−12 .<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
3<br />
1<br />
ln x<br />
ln<br />
f'( x) =- x ln x + x ⋅ =- + =<br />
x<br />
x x x<br />
-<br />
1 - - 1<br />
1 2 x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
x x<br />
f'( 1) = 2<br />
097 Calcula les tres primeres <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s <strong>de</strong> les funcions següents:<br />
a) f(x) = 2x<br />
b) g(x) = x 2<br />
c) h(x) = x 3<br />
d) i(x) = cos x<br />
e) j(x) = sin x<br />
f) k(x) = tg x<br />
a) f'( x)<br />
= 2<br />
f" ( x)<br />
= 0<br />
f"'( x)<br />
= 0<br />
b) g'( x) = 2x<br />
g" ( x)<br />
= 2<br />
g"'( x)<br />
= 0<br />
2<br />
c) h'( x) = 3x<br />
h" ( x) = 6 x<br />
h"'( x)<br />
= 6<br />
d) i'( x) =-sin<br />
x<br />
i" ( x) =-cos<br />
x<br />
i"'( x) = sin x<br />
e) j'( x) = cos x<br />
j" ( x) =-sin<br />
x<br />
j"'( x) =- cos x<br />
2<br />
f ) k'( x) = 1+<br />
tg x<br />
2<br />
k" ( x) = 2tg x ⋅ ( 1+<br />
tg x)<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
k"'( x)<br />
= 2(<br />
1+ tg x) + 2tg x ⋅2tg x ⋅ ( 1+ tg x) = ( 2+ 4tg<br />
x ) ( 1+<br />
tg x )<br />
098 Troba els punts en els quals la <strong>funció</strong> h(x) = ln x és <strong>de</strong>rivable, i calcula’n<br />
les dues primeres <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s.<br />
La <strong>funció</strong> és contínua en el seu domini, (0, +`).<br />
h'( x)=<br />
x<br />
1 → h(x) és <strong>de</strong>rivable en (0, +`).<br />
h"( x)=-<br />
x<br />
1<br />
2
SOLUCIONARI<br />
099 Determina els punts en els quals les funcions següents són <strong>de</strong>rivables, i calcula<br />
les dues primeres <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s <strong>de</strong> cadascuna:<br />
a)<br />
⎧ 2 x<br />
fx ( )= ⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪ 2x si x ≤1<br />
si x > 1<br />
b) g(x) = x + ⏐x − 2⏐<br />
⎧<br />
c)<br />
x + x ≤−<br />
vx ( )= ⎨<br />
⎪3<br />
4 si 1<br />
⎩⎪ −2x − 1 si x >−1<br />
a) f (x) està <strong>de</strong>finida per funcions polinòmiques, per tant, contínues<br />
i <strong>de</strong>rivables en R.<br />
-<br />
2<br />
f( 1 ) = lim x = 1⎫⎪<br />
− x →1<br />
⎬<br />
⎪ - +<br />
→ f( 1 ) ≠ f(<br />
1 ) → f (x) no és contínua en x = 1; per tant,<br />
+ f( 1 ) = lim 2x = 2⎪<br />
+ x 1 ⎭<br />
⎪<br />
→ ⎪<br />
no és <strong>de</strong>rivable en x = 1.<br />
⎧ x x <<br />
f'( x)=<br />
⎨<br />
⎪2<br />
si 1<br />
⎧ x <<br />
f"( x)=<br />
⎨<br />
⎪2<br />
si 1<br />
⎩⎪ 2 si x > 1<br />
⎩⎪ 0 si x > 1<br />
Així, doncs, f (x) és contínua i <strong>de</strong>rivable en R - {1}.<br />
⎧ x - x ≥<br />
b) g( x)=<br />
⎨<br />
⎪2<br />
2 si 2<br />
⎩⎪ 2 si x < 2<br />
g(x) està <strong>de</strong>finida per funcions polinòmiques, per tant, contínues i <strong>de</strong>rivables<br />
en R.<br />
- g(<br />
2 ) = lim 2= 2 ⎫⎪<br />
− x→2<br />
⎬<br />
⎪ - +<br />
→ g( 2 ) = g( 2 ) = g(<br />
2 ) →g(x)<br />
és contínua en x = 2.<br />
+ g( 2 ) = lim( 2x- 2) = 2⎪<br />
+ x→2<br />
⎭<br />
⎪<br />
⎧ x ><br />
g'( x)=<br />
⎨<br />
⎪2<br />
si 2<br />
⎩⎪ 0 si x < 2<br />
- g'(<br />
2 ) = 0⎫<br />
+ ⎬<br />
⎪ → Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen però són diferents.<br />
g'(<br />
2 ) = 2⎭⎪g(x)<br />
no és <strong>de</strong>rivable en x = 2.<br />
Així, doncs, g(x) és contínua en R, i <strong>de</strong>rivable en R - {2}.<br />
g"( x)= 0 si x ≠ 2<br />
c) v(x) està <strong>de</strong>finida per funcions polinòmiques, per tant, contínues<br />
i <strong>de</strong>rivables en R.<br />
- v( - 1 ) = lim ( 3x + 4) = 1 ⎫⎪<br />
− x →-1<br />
⎬<br />
⎪ - +<br />
→ v( 2 ) = v( 2 ) = v(<br />
2)<br />
+<br />
v( - 1 ) = lim ( -2x -1)<br />
= 1⎪<br />
+ x →-1<br />
⎭<br />
⎪ → v(x) és contínua en x = -1.<br />
⎧ x
508<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
100 Troba la <strong>de</strong>rivada n-èsima <strong>de</strong> cadascuna <strong>de</strong> les funcions següents:<br />
a) fx ( )= x<br />
b) g(x) = cos 2x<br />
c) h(x) = e −x<br />
1<br />
1 -<br />
a) f'( x) = x 2<br />
2<br />
3<br />
1 -<br />
f" ( x) =- x 2<br />
4<br />
5<br />
3 -<br />
f"'( x) = x 2<br />
8<br />
7<br />
IV) 15 -<br />
f ( x) =- x 2<br />
16<br />
n) n-1(<br />
2n-3)( 2n-5) ⋅…⋅1 Si n ≥ 4 , la <strong>de</strong>rivada n-èsima és: f ( x)<br />
=- ( 1)<br />
⋅<br />
⋅ x<br />
n 2<br />
b) g'( x) =-2sin<br />
2x<br />
g" ( x) =-4cos<br />
2x<br />
g"'( x) = 8sin 2x<br />
IV) g ( x) = 16cos 2x<br />
V ) g ( x) =-32sin<br />
2x<br />
Així, doncs, po<strong>de</strong>m calcular la <strong>de</strong>rivada n-èsima segons les expressions:<br />
g<br />
n)<br />
⎧ 2k-1) k 2k-1 g ( x) = ( -1)<br />
2 sin 2x<br />
= ⎨<br />
⎪<br />
per a k = 1, 2, 3, …<br />
2k)<br />
k 2k<br />
⎩⎪ g ( x)<br />
= ( -1)<br />
2 cos 2x<br />
c) h'( x) =-e<br />
-<br />
h" ( x) = e<br />
-x<br />
x<br />
) -<br />
Així, doncs, la <strong>de</strong>rivada n-èsima és: h ( x) = ( -1) e<br />
101 Calcula la <strong>de</strong>rivada n-èsima d’aquestes funcions:<br />
n n x<br />
a)<br />
x<br />
fx ( )=<br />
x<br />
+ 1<br />
1−<br />
b) g(x) = sin 2 x c) h(x) = ln x<br />
( x) ( x)(<br />
)<br />
a) f'( x)<br />
=<br />
( x) ( x)<br />
f" ( x)<br />
- - + -<br />
1 1 1 2<br />
=<br />
2 2<br />
1-<br />
1-<br />
4<br />
=-<br />
3 ( 1-<br />
x )<br />
f"'( x)<br />
=<br />
12<br />
4<br />
( 1-<br />
x )<br />
IV)<br />
48<br />
f ( x)<br />
=-<br />
5<br />
( 1-<br />
x )<br />
n) n-12⋅n!<br />
Així, doncs, la <strong>de</strong>rivada n-èsima és: f ( x)<br />
= ( -1) ⋅<br />
n ( 1-<br />
x )<br />
+ 1<br />
n<br />
- - 2 1<br />
2
) g'( x) = 2sin xcos x = sin 2x<br />
g" ( x) = 2cos 2x<br />
g"'( x)<br />
=-4sin<br />
2x<br />
IV) g ( x) =-8cos<br />
2x<br />
V) g ( x) = 16sin 2x<br />
SOLUCIONARI<br />
Així, doncs, po<strong>de</strong>m calcular la <strong>de</strong>rivada n-èsima segons les expressions:<br />
g<br />
n)<br />
⎧ 2k- 1) k+ 1 2k-2 g ( x) = ( -1)<br />
2 sin 2x<br />
= ⎨<br />
⎪<br />
2k<br />
)<br />
k+ 1 2k-1 ⎩⎪ g ( x)<br />
= ( -1)<br />
2 cos 2x<br />
c) h'( x)<br />
=<br />
1<br />
x<br />
= x<br />
-2<br />
h" ( x) =-x<br />
-3<br />
h"'( x) = 2x<br />
h ( x)<br />
=-6<br />
IV) x -4<br />
-1<br />
per a k = 1, 2, 3, …<br />
) 1<br />
Així, doncs, la <strong>de</strong>rivada n-èsima és: h ( x) = ( -1) ⋅( n-1)! x<br />
n n+ -n<br />
102 Donada la <strong>funció</strong> h(x) = e sin [f(x)] , calcula el valor <strong>de</strong> la seva <strong>de</strong>rivada en x = 0,<br />
si saps que f(0) = 0 i f'(0) = 1.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
sin[ f( x)]<br />
h'( x) = e cos [ f( x)] ⋅ f'( x )<br />
sin[ f ( 0)] sin 0<br />
0<br />
h'( 0) = e cos [ f( 0)] ⋅ f'( 0)<br />
= e ⋅cos 0⋅ 1= e = 1<br />
103 Digues si hi pot haver dues funcions diferents que tinguin la mateixa <strong>funció</strong> <strong>de</strong>rivada.<br />
Si la resposta és afirmativa, posa’n un exemple; si, al contrari, la resposta és negativa,<br />
justifica-ho.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
Sí, hi pot haver dues funcions diferents amb la mateixa <strong>funció</strong> <strong>de</strong>rivada.<br />
Per exemple:<br />
2<br />
f( x) = x + 3⎫<br />
⎬<br />
⎪ → f'( x) = g'( x) = 2x<br />
2<br />
g( x) = x -2⎭⎪<br />
104 Per mitjà <strong>de</strong> la propietat <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada d’una suma i la <strong>de</strong>l producte d’una constant<br />
per una <strong>funció</strong>, calcula la <strong>de</strong>rivada d’aquestes funcions:<br />
a) y = x 2 + x + 3 d) y = 5sin x − 10cos x<br />
b) 3 y =− 12 + 8x<br />
+<br />
1<br />
x<br />
e) y = 4x6 − 5x3 + 3<br />
2 c) y = 3+ 5x + 8 x<br />
f) y = cos2 x + cos x2 a) y' = 2x + 1 d) y' = 5cos x + 10sin<br />
x<br />
2<br />
b) y' = 24 x -<br />
1<br />
2 x<br />
e) 5 2<br />
y' = 24 x -15x<br />
c) y' = 10 x +<br />
4<br />
x<br />
f ) 2<br />
y' =-2cos x sin x - 2xsin x<br />
8<br />
509
510<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
105 A partir <strong>de</strong> la propietat <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada d’un producte <strong>de</strong> funcions, calcula la <strong>de</strong>rivada<br />
d’aquestes funcions:<br />
a) y = 12x4 c) y = 5x 2 sin x<br />
b) y = 3x3 ln x d) y = 3 x ( x + 2x)<br />
a) y' = 48 x3<br />
b) y' = 9x ln x + 3x<br />
2 2<br />
c) y' = 10 x x + 5x x 2 sin cos<br />
d) y'<br />
=<br />
1<br />
2 x<br />
3 ( x + 2x) + 2 x ( 3x + 2)<br />
=<br />
3 7x + 6x<br />
2 x<br />
106 Fes servir la propietat <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada d’un quocient <strong>de</strong> funcions per calcular<br />
la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> les funcions següents:<br />
a) y<br />
=<br />
x<br />
1<br />
3<br />
x<br />
a) y'<br />
=<br />
x x<br />
- 2 3 3<br />
=-<br />
6 4<br />
2 5x−1 b) y =<br />
x + 2<br />
2<br />
c) y =<br />
x −2<br />
2<br />
2<br />
10 x( x+ 2) -( 5x-1) 5x + 20x + 1<br />
b) y'<br />
=<br />
=<br />
2<br />
2<br />
( x + 2)<br />
( x + 2)<br />
c) y'<br />
=<br />
x<br />
-2<br />
( - )<br />
2 2<br />
( + tg x) x-tg x<br />
d) y'<br />
=<br />
x<br />
1 2<br />
2<br />
107 Determina quina és la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> les funcions següents:<br />
a)<br />
x<br />
y =<br />
x<br />
+ 2 1<br />
−1<br />
b) y<br />
=<br />
x<br />
12<br />
3<br />
c) y<br />
=<br />
x<br />
7<br />
400 e) y<br />
2 4x+ 1<br />
d) y =<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2x( x-1) - ( 1+<br />
x ) x -2x -1<br />
a) y'<br />
=<br />
=<br />
2<br />
2<br />
( x - 1)<br />
( x - 1)<br />
b) y'<br />
=-<br />
x<br />
36<br />
4<br />
2. 800<br />
c) y'<br />
=-<br />
401 x<br />
2 2<br />
2<br />
8x - ( 4x + 1) 4x-1 d) y'<br />
=<br />
=<br />
2<br />
2<br />
x<br />
x<br />
3 2<br />
3 2<br />
-x -( 2-x) 3x 2x - 6x 2x-6 e) y'<br />
= =<br />
=<br />
6<br />
6 4<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x - x + x x x x<br />
f ) y'<br />
=<br />
=<br />
x<br />
x<br />
x<br />
- -<br />
=- +<br />
2<br />
2<br />
( 12 )<br />
2 2<br />
4<br />
4 3<br />
= − 2<br />
x<br />
x<br />
f) y =<br />
x<br />
+ 1<br />
3<br />
x<br />
2<br />
d) y<br />
=<br />
x<br />
tg<br />
x
108 Calcula la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> les funcions trigonomètriques següents:<br />
a) y = 4 arctg x d) y = (1 + x 2 ) arctg x<br />
b) y = (3x + 1) arccos x e) y = (x 2 + 8x + 1) sin x<br />
c) y = 2 cos x + tg x f) y = 5 sin x ⋅ cos x<br />
4<br />
a) y'<br />
=<br />
1+<br />
x<br />
b) y' = 3arccos<br />
x -<br />
2<br />
3x+ 1<br />
1-<br />
x<br />
2<br />
c) y' =- 2sin x + 1+ tgx<br />
d) y' = 2xarctg x + 1<br />
2<br />
e) y' = ( 2x + 8)sin x + ( x + 8x + 1)cos<br />
x<br />
2 2<br />
f ) y' = 5cos x -5sin<br />
x<br />
109 Troba la <strong>de</strong>rivada d’aquestes funcions logarítmiques:<br />
a) y = ln (9x5 3<br />
+ 7x + 2) d) y = ln x + 2x<br />
b)<br />
x<br />
y =<br />
x<br />
ln<br />
2<br />
x<br />
e) y =<br />
x<br />
ln<br />
c) y = log2 (3x 2 − 7) f) y = ln (4x + 7)<br />
4 45x + 7<br />
a) y'<br />
=<br />
5 9x + 7x + 2<br />
⋅ x - x ⋅ x<br />
x<br />
x<br />
b) y'<br />
=<br />
=<br />
x<br />
x<br />
-<br />
1 2 ln 2<br />
1 2ln<br />
4 3<br />
6 x<br />
c) y'<br />
=<br />
2 ( 3x-7)ln 2<br />
1<br />
1<br />
-<br />
3 x + 2x 2 2<br />
( ) ( 3x+ 2)<br />
2<br />
2<br />
3x+ 2<br />
d) y'<br />
=<br />
=<br />
3<br />
3<br />
x + 2x<br />
2( x + 2x)<br />
⋅ x - x<br />
x<br />
x<br />
e) y'<br />
=<br />
=<br />
x<br />
x<br />
-<br />
1<br />
ln<br />
1 ln<br />
2 2<br />
4<br />
f ) y'<br />
=<br />
4x+ 7<br />
110 Troba la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> y = ln sin x2<br />
i simplifica’n el resultat.<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
1<br />
1 -<br />
2 2 2<br />
sin x cos x ⋅ 2x<br />
2<br />
2<br />
xcos x<br />
y'<br />
=<br />
= =<br />
2<br />
2<br />
sin x<br />
sin x<br />
2<br />
xcotg x2<br />
SOLUCIONARI<br />
8<br />
511
512<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
111 Calcula la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> les funcions següents:<br />
a) y = 4x f) y = 5x2 3<br />
b) y =<br />
8<br />
2 x − 4<br />
c) y =<br />
2x−1 2 x − x<br />
d) y = 7 x + 8 x<br />
3<br />
g) y =<br />
x<br />
x<br />
−2<br />
−3<br />
h) y =<br />
2 x ( 1−<br />
x)<br />
2 x −1<br />
i) y = x 2 (sin x − 5x)<br />
e) y = xe x j) y = 2 x + log2 x<br />
x a) y'<br />
= 4 ln 4<br />
16 x<br />
b) y'<br />
=-<br />
( x - 4)<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
2( x - x ) -( 2x -11 )( -2x)<br />
2x - 2x + 1<br />
c) y'<br />
=<br />
=<br />
2 2<br />
2 2<br />
( x - x ) ( x - x )<br />
1<br />
- -<br />
d) y' = 7 ⋅ x + ⋅ x =<br />
x<br />
+<br />
x<br />
1<br />
8<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
3<br />
x x x<br />
e) y' = e + xe = ( 1+<br />
x) e<br />
7<br />
2<br />
8<br />
3<br />
3<br />
2<br />
1 -<br />
2<br />
10 x 10<br />
f ) y' = ( 5x ) 3 10x=<br />
=<br />
3 3 2 2<br />
3<br />
3 ( 5x)<br />
3 25x<br />
( x -3) -( x - 2)<br />
1<br />
g) y'<br />
= =-<br />
( x - 3)<br />
( x - 3)<br />
2<br />
2 2<br />
x - x - x x - - x - x x x<br />
h) y'<br />
=<br />
=<br />
x -<br />
- +<br />
2 2 2<br />
4 2<br />
( 2 ( 1 ) ) ( 1) ( 1 ) 2<br />
3x - 2x<br />
2 2<br />
2 2<br />
( 1)<br />
( x - 1)<br />
2 2<br />
i) y' = 2x(sin x - 5x) + x (cos x - 5) = 2x<br />
sin x + x cos x - 15x2 x 1<br />
j) y'<br />
= 2 ln 2+<br />
xln<br />
2<br />
112 Troba les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s i simplifica’n el resultat:<br />
2<br />
a)<br />
x + 1 x<br />
( x + 2)<br />
y =<br />
b) y = c) y =<br />
ln x<br />
x + 1<br />
e x<br />
a) y'<br />
=<br />
x x<br />
xe - x + e<br />
x e<br />
x x<br />
=<br />
x e<br />
- + -<br />
2 2 ( 1) 2 ( )<br />
2 2 1<br />
ln x - x ⋅<br />
b) y'<br />
=<br />
(ln x )<br />
x<br />
=<br />
ln x -<br />
ln x 2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2 2<br />
2( x + 2)( x + 1) - ( x + 2)<br />
x + 2x + 8<br />
c) y'<br />
=<br />
=<br />
2<br />
2<br />
( x + 1)<br />
( x + 1)<br />
x x<br />
xe - x - e ⋅ x x x<br />
d) y'<br />
=<br />
=<br />
x x<br />
e<br />
e<br />
- +<br />
2 2<br />
2<br />
3<br />
2 ( 1) 2 2 4<br />
2 2<br />
2 ( )<br />
2<br />
2<br />
d)<br />
x<br />
y =<br />
−<br />
2 1<br />
e x 2
113 Calcula la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> les funcions següents:<br />
a) y = 3x2 +4<br />
f) y = arctg x<br />
b) y = (x 5 − 2) 3 2<br />
g) y = 2x + 1<br />
c) y = x − x<br />
3 3<br />
2 h) y = ex2−7 d) y = 5e −x2<br />
e) y =<br />
i) y = sin 2 x<br />
x + 1<br />
j) y = 2 3 x<br />
2 x + 4 a) y' = 3 ln 3⋅2x b) y' = 15x ( x -2)<br />
4 5 2<br />
2<br />
sin x<br />
-<br />
2<br />
1 3<br />
3x-2 c) y' = x -2x 3 2<br />
( ) ( 3x - 2)<br />
=<br />
3<br />
3 3 ( x - 2x)<br />
d) y xex - ' =-10<br />
2<br />
e) y'<br />
=<br />
1 -<br />
( x + 1) 2<br />
x -<br />
x<br />
x + 1⋅3x f ) y'<br />
=<br />
1<br />
1 -<br />
x 2<br />
2<br />
1+<br />
x<br />
=<br />
1<br />
21 ( + x) x<br />
1<br />
-<br />
2<br />
g) y' = ( 2x + 1) 2 4 x =<br />
2<br />
h) y xex ' = 2<br />
2-7 i) y' = 2sin x cos x<br />
sin x<br />
j) y' = 2 ln 2⋅cos<br />
x<br />
1<br />
2 3 2<br />
114 Troba la <strong>de</strong>rivada d’aquestes funcions:<br />
a) y<br />
= arcsin<br />
x<br />
1<br />
b) y = cos (x 2 + 5x + 5)<br />
a) y'<br />
=<br />
1<br />
-<br />
2 x<br />
-<br />
x<br />
⎛<br />
⎜ 1 ⎞<br />
1<br />
⎝⎜<br />
⎠⎟<br />
1<br />
3 2<br />
6 4<br />
c) y<br />
2x<br />
2 2x+ 1<br />
=<br />
x<br />
cotg<br />
2<br />
x<br />
=<br />
x x<br />
- - 5 6<br />
2 + 1<br />
x<br />
d) y = 12 3x + x 2<br />
=-<br />
x<br />
=-<br />
1<br />
x x - 1 x x - 1<br />
2 2 2 2<br />
2 b) y' =- sin ( x + 5x + 5) ⋅ ( 2x + 5)<br />
1<br />
c) y =<br />
tg x ⋅ x<br />
2<br />
+ x x + x ⋅ x x x x<br />
y'<br />
= =<br />
x ⋅ x<br />
+ +<br />
2 2<br />
( 1 tg ) tg 2 tg 2<br />
2 2<br />
3 2<br />
(tg )<br />
x tg x<br />
2 tg<br />
SOLUCIONARI<br />
8<br />
e) y = arcsin (5x + 1)<br />
f) y = ln (sin x 2 )<br />
g) y = (4x 2 − 5x + 1)3 x<br />
x<br />
513
514<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
-<br />
d) y' = 12 ⋅ x + x x + =<br />
x +<br />
x + x<br />
1 2 ( 3 ) 2 ( 6 1)<br />
2<br />
36 6<br />
2 3<br />
e) y'<br />
=<br />
5<br />
=<br />
5<br />
2 1- ( 5x + 1)<br />
2 -25x -10<br />
x<br />
2 cos x ⋅ 2x<br />
f ) y'<br />
=<br />
= 2xcotg<br />
x<br />
2 sin x<br />
x 2<br />
x<br />
g) y' = ( 8x - 5) 3 + ( 4x - 5x + 13 ) ln 3<br />
115 Calcula la <strong>de</strong>rivada d’aquestes funcions:<br />
1<br />
2<br />
a) y = tg2 (2x + 3) c) y = ln ( 3x −5<br />
)<br />
e) y = 2xarcsin x<br />
b) y = arctg (x 3 4 3<br />
+ 6) d) y = 5x + 1<br />
2<br />
a) y' = 4tg( 2x + 3) ( 1+ tg ( 2x+ 3)<br />
)<br />
2 3x<br />
b) y'<br />
=<br />
1+ ( x + 6)<br />
3 2<br />
1<br />
c) y' = ( ln ( 3x -5)<br />
)<br />
2<br />
1<br />
-<br />
2<br />
x - x x<br />
=<br />
3<br />
3<br />
3 5 23 ( -5) ln( 3 -5)<br />
d) y' =<br />
1<br />
-<br />
3 5x + 1 4 2<br />
( ) 15x<br />
=<br />
4<br />
2 15x<br />
4 4 ( 5x+ 1)<br />
e) y' = 2arcsin x + 2x⋅<br />
1<br />
2 1-<br />
x<br />
1<br />
2<br />
-<br />
f ) y' = ( 5x - 2) 3 5 =<br />
3<br />
10<br />
3<br />
3 5x-2 3<br />
3 3<br />
116 Determina la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> les funcions següents:<br />
x x<br />
a) y = sin<br />
e x<br />
x<br />
f) y = e + x<br />
b) y = arctg<br />
x<br />
1 g) y =<br />
5 5<br />
2<br />
c) y = ln (1 − 2 x ) h) y = x 2 e −x<br />
x<br />
d) y =<br />
x<br />
cos<br />
2<br />
i) y = e1−x2 e) y = sin<br />
1<br />
+ cos<br />
x<br />
1<br />
x<br />
j) y = sec x<br />
x x + −<br />
x x<br />
(sin x + xcos x) e - xsin x ⋅ e sin x + xcos<br />
x xsin x<br />
a) y'<br />
=<br />
=<br />
x 2 ( e )<br />
e x<br />
-<br />
-<br />
x<br />
x<br />
b) y'<br />
=<br />
x x x<br />
+<br />
x<br />
⎛<br />
=-<br />
⎞<br />
+<br />
⎜<br />
⎝⎜<br />
⎠⎟<br />
=- 1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2 2 2<br />
1 ( 1)<br />
+ 1<br />
1<br />
x<br />
c) y'<br />
=<br />
x<br />
-2<br />
ln<br />
2<br />
1-2 f) y = ( 5x −2)<br />
2<br />
3
2 -sin x ⋅ x -cos x ⋅2x<br />
xsin x + 2cos<br />
x<br />
d) y'<br />
= =-<br />
4 3<br />
x<br />
x<br />
e) y'<br />
= ⋅ -<br />
x x x x<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
⎝⎜<br />
⎠⎟<br />
- ⋅ -<br />
⎛<br />
1 1 1 ⎞<br />
⎜ 1<br />
cos sin ⎟<br />
2 ⎝⎜<br />
2 ⎟⎠<br />
1<br />
f ) y' =<br />
1<br />
-<br />
x x<br />
( e + x) 2 ( e + 1)<br />
=<br />
2<br />
x e + 1<br />
x 2 e + x<br />
g) y'<br />
=<br />
x x ln - ln -<br />
5 5 5 5<br />
2<br />
2 2<br />
h) y' = 2xe - x e = ( 2x<br />
- x ) e<br />
2 1- x<br />
i) y' = e ( -2x)<br />
j) y =<br />
-x -x -x<br />
1<br />
cos x<br />
y'<br />
=<br />
x<br />
⎛ 1 ⎜ 1 ⎞<br />
2 ⎝⎜<br />
cos ⎠⎟<br />
1<br />
-<br />
2<br />
sin x<br />
cos<br />
117 Calcula la <strong>de</strong>rivada d’aquestes funcions.<br />
a) y = ln<br />
x + 1<br />
x −1<br />
b) y = arctg<br />
x<br />
x −1<br />
1 ⎛<br />
⎜ x + 1⎞<br />
2 ⎝⎜<br />
x - 1⎠⎟<br />
a) y'<br />
=<br />
1<br />
-<br />
2<br />
2<br />
x<br />
sin x cos x<br />
=<br />
2 2cos<br />
x<br />
c) y = arccos (ln x)<br />
d) y = 2<br />
x -1- ( x + 1)<br />
x + 1<br />
x - 1<br />
x -1- x<br />
2 ( x - 1)<br />
b) y'<br />
=-<br />
⎛ x ⎞<br />
1+<br />
⎜<br />
⎝⎜<br />
x - 1⎠⎟<br />
c) y'<br />
=-<br />
( x - 1)<br />
2<br />
3 cos x<br />
SOLUCIONARI<br />
e) y = log2 1<br />
x<br />
f) y = cos 3 x + sin x 2<br />
x<br />
=- ⋅<br />
x - x x<br />
-<br />
+ =- 1 1 1<br />
2 2<br />
( 1)<br />
1 - 1<br />
1<br />
1<br />
= =<br />
2 2<br />
( x - 1)<br />
+ x 2x - 2x + 1<br />
2 2<br />
1<br />
x<br />
2 1-<br />
(ln x )<br />
=-<br />
x<br />
1<br />
2 1-<br />
ln x<br />
2<br />
3 cos x<br />
cos cos n x 2<br />
1 -<br />
x x<br />
ln 2 si<br />
d) y' = ( 2 ) 3 2 ln 2 ( - sin x)<br />
=-<br />
3 3<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
⎝⎜<br />
x ⎠⎟<br />
x<br />
e) y'<br />
=<br />
x<br />
-<br />
⎛ -<br />
1 1 2 ⎞<br />
⎜ 1<br />
2 ⎝⎜<br />
2 ⎠⎟<br />
=<br />
1<br />
ln 2<br />
1<br />
- 1<br />
2xln 2<br />
2<br />
f ) y' =- 3cos x sin x + 2sin<br />
x cos<br />
x<br />
8<br />
515
516<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
118 Troba les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s i simplifica’n el resultat:<br />
a) y = arcsin x<br />
4 3<br />
b) y = sin ( x + 1)<br />
c) y = 2 x2 +4 + x 2 + 4<br />
ln x + 1<br />
d) y =<br />
x<br />
⎛ x ⎞<br />
e) y = ln ⎜<br />
⎝⎜<br />
x + 1⎠⎟<br />
a) y'<br />
=<br />
x<br />
x<br />
- x x x<br />
=<br />
1 1 -<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1 2 -<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
-<br />
3x<br />
x<br />
b) y' = x + 1 4<br />
3 2 cos ( + 1)<br />
( sin ( ) ) cos ( x + 13 ) x =<br />
4<br />
4 3 3 4 sin ( x + 1)<br />
2 x + 4<br />
c) y' = 2 ln 2⋅ 2x + 2x<br />
d) y'<br />
=<br />
1<br />
( x + 1)<br />
2<br />
x + 1<br />
1<br />
-<br />
2<br />
2 1 1<br />
=<br />
2 2 1<br />
- + +<br />
x ( x ) ln x<br />
( x + ) x<br />
⎛ x ⎞<br />
e) y = xln<br />
⎜<br />
⎝⎜<br />
x + 1⎠⎟<br />
x + 1-<br />
x<br />
2<br />
⎛ x ⎞ x<br />
y'<br />
= ⎜<br />
( + 1)<br />
ln ⎜ + x ⋅<br />
⎝⎜<br />
x + 1⎠⎟<br />
x<br />
x + 1<br />
x<br />
⋅ x - x +<br />
x +<br />
=<br />
x<br />
x<br />
- +<br />
ln 1<br />
ln<br />
2( 1)<br />
2<br />
2<br />
⎛ x ⎞<br />
= ln ⎜<br />
⎝⎜<br />
x + ⎠⎟<br />
x<br />
+ 1<br />
1 + 1<br />
119 Troba la <strong>de</strong>rivada en x = 0 <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> f(f(x)), en què f(x) = (1 + x) −1 .<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
f'( x) =- ( + x ) - 1<br />
2<br />
⎛ ⎞<br />
-2<br />
- 2<br />
((( f f x))) ' = f'(( f x)) f'( x) =- ( 1+ f( x) ) ( - ( 1+<br />
x ) = ⎜ 1 1<br />
) ⎜1+<br />
⎝⎜<br />
1+<br />
x ⎠⎟<br />
( 1+<br />
x)<br />
⎛ 1 ⎞ 1<br />
((( f f 0))) ' = ⎜<br />
⎜1+<br />
=<br />
4<br />
⎝⎜<br />
2<br />
1+ 0⎠⎟<br />
( 1+ 0)<br />
2<br />
x<br />
1<br />
=<br />
2<br />
2
SOLUCIONARI<br />
120 Donada la <strong>funció</strong> f( x)<br />
=<br />
sin x + sin ( x + 1)<br />
en l’interval 0 < x < 2π,<br />
cos x − cos ( x + 1 )<br />
calcula’n la <strong>de</strong>rivada i simplifica-la tant com puguis. És constant aquesta <strong>funció</strong> f(x)?<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
( cos x+ cos ( x+ 1)(cos ) x- cos( x+ 1) - ( sin x + sin(<br />
x+ 1) )( - sin x+ sin( x + 1)<br />
)<br />
f'(x) =<br />
( cos x- cos ( x+<br />
1)) 2<br />
=<br />
2 2 2 2<br />
cos x- cos ( x+ 1) + sin x- sin ( x+<br />
1)<br />
1-1 =<br />
=<br />
( cos x - cos ( x+ 1)<br />
) ( cos x- cos ( x + 1)<br />
)<br />
2 2<br />
Com que té com a <strong>de</strong>rivada la <strong>funció</strong> nul·la, es verifica que f (x) és contant.<br />
121 Comprova que la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> següent és constant:<br />
(Activitat <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
f'(x) =<br />
1 ⎛<br />
⎜ 1-<br />
cos x ⎞<br />
⎜<br />
2 ⎝⎜<br />
1+<br />
cos x ⎠⎟<br />
f( x)<br />
= arctg<br />
1<br />
-<br />
2<br />
2sin<br />
x<br />
2<br />
( 1+<br />
cos x )<br />
=<br />
⋅<br />
1+ cos x + 1-cos<br />
x<br />
2 ⋅<br />
1+<br />
cos x<br />
sin x<br />
=<br />
⋅<br />
21 ( + cos x )<br />
1<br />
= sin x ⋅<br />
2<br />
1−<br />
cos x<br />
1+<br />
cos x<br />
amb 0 ≤ x ≤ π.<br />
sin x ⋅ ( 1+<br />
cos x) -( 1-cos<br />
x)( -sin<br />
x )<br />
( + cos x )<br />
cos x<br />
+ -<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1+<br />
cos x<br />
1+<br />
cos x<br />
1-<br />
cos x<br />
1<br />
2 1-<br />
cos x<br />
1+<br />
cos x<br />
1-<br />
cos x<br />
1<br />
= sin x ⋅<br />
2<br />
1 1 1<br />
= sin x ⋅ =<br />
2 sin x 2<br />
2<br />
=<br />
sin x ⋅ ( 1+<br />
cos x)<br />
=<br />
⋅<br />
2<br />
21 ( + cos x )<br />
1+ cos<br />
x<br />
=<br />
2<br />
( 1+ cos x)( 1-cos<br />
x)<br />
122 Calcula la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> y = f(x) <strong>de</strong>finida implícitament per l’equació<br />
x + y = 5. Comprova que coinci<strong>de</strong>ix amb l’expressió que obtenim<br />
quan aïllem la variable y i, <strong>de</strong>sprés, <strong>de</strong>rivem respecte <strong>de</strong> x.<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
1 1 5<br />
x 2 y 2 y 0<br />
2 2<br />
y y<br />
- -<br />
y<br />
x<br />
+ = =- y =- =-<br />
x<br />
x<br />
x<br />
-<br />
' → ' → '<br />
( )<br />
Aïllem: y = 5- x → y = 5-<br />
x<br />
y' = ( - x ) - x<br />
⎛<br />
⎜ 1<br />
25 ⎜<br />
⎝⎜<br />
2<br />
1<br />
-<br />
2<br />
⎞ 5 - x<br />
⎠⎟<br />
=-<br />
x<br />
2<br />
= 0<br />
8<br />
1+<br />
cos x<br />
1- cos x<br />
=<br />
517
518<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
123 Troba la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> y = f(x) <strong>de</strong>finida implícitament per cadascuna<br />
<strong>de</strong> les expressions algebraiques següents.<br />
a) x 2 + y 2 − 2xy = 0<br />
b) x = cos (xy)<br />
c) x 3 + 3y 2 − 2ay = 0<br />
d) e 2y − ln x 3 = 3<br />
e)<br />
2 x<br />
16<br />
+<br />
2 y<br />
4<br />
= 1<br />
f) x 3 + y 3 + xy = 0<br />
2y - 2x<br />
a) 2x + 2yy'-2y - 2xy' = 0 → ( 2y - 2x) y' = 2y - 2x<br />
→ y'<br />
= = 1<br />
2y<br />
- 2x<br />
1 1<br />
b) 1=-<br />
sin ( xy)( y + xy') → y + xy'<br />
=- → xy'<br />
=- - y<br />
sin ( xy)<br />
sin(<br />
xy)<br />
y sin ( xy)<br />
y =<br />
xsin ( xy)<br />
-- 1<br />
→ '<br />
2 2<br />
c) 3x + 6yy - 2ay = 0 6y - 2a y =- 3x<br />
y =<br />
2 3x<br />
6y 2a<br />
-<br />
' ' → ( ) ' → '<br />
-<br />
2<br />
2y 3x<br />
d) e 2y'-<br />
3 x<br />
2y<br />
= 0 → e 2y'<br />
=<br />
3<br />
x<br />
→ y'<br />
=<br />
3<br />
2y<br />
2xe<br />
e) 2x<br />
16<br />
2y<br />
+ ⋅ y'<br />
= 0 →<br />
4<br />
y<br />
x<br />
⋅ y'<br />
=-<br />
2 8<br />
x<br />
→ y'<br />
=-<br />
4 y<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
3x<br />
+ y<br />
f ) 3x + 3y y'+ y + xy' = 0 → ( 3y + x) y' =-3x - y → y'<br />
=-<br />
3y x 3 +<br />
124 Fes servir la <strong>de</strong>rivació logarítmica per calcular la <strong>de</strong>rivada d’aquestes funcions:<br />
a) y = x x<br />
b) y = (1 + x 2 ) x<br />
cos x<br />
c) y = (sin x)<br />
x 3<br />
d) y = x<br />
a) ln f( x) ln x x =<br />
ln f( x) = xln x<br />
f'( x)<br />
1<br />
= + ln x<br />
f( x) x<br />
⎛ x<br />
f'( x) = x ⎜ 1 ⎞<br />
+ ln x<br />
⎝⎜<br />
x ⎠⎟<br />
2 x<br />
b) ln f( x) = ln ( 1+<br />
x )<br />
2<br />
ln f( x) = xln ( 1+<br />
x )<br />
f'( x)<br />
2 2x<br />
= ln ( 1+<br />
x ) + x ⋅<br />
f( x)<br />
1+<br />
x<br />
⎛<br />
e) y = ⎜ 1 ⎞<br />
⎜1+<br />
⎝⎜<br />
x ⎠⎟<br />
f) y = (tg x) x<br />
⎛<br />
2 x ⎞<br />
2 x<br />
f'( x) = ( + x ) ⎜<br />
2 2<br />
1 ⎜ln<br />
( + x ) +<br />
⎝⎜<br />
1<br />
2<br />
1+<br />
x ⎠⎟<br />
2<br />
x
cos x<br />
c) ln f( x) = ln (sin x )<br />
ln f( x) = cos x ⋅ln(sin x )<br />
f'( x)<br />
cos x<br />
=- sin xln(sin x) + cos x ⋅<br />
f( x)<br />
sin x<br />
cos x<br />
c<br />
f' ( x) = (sin x) -sin x ⋅ ln (sin x ) + os<br />
⎛<br />
2 x ⎞<br />
⎜<br />
⎝⎜<br />
sin x ⎠⎟<br />
x<br />
d) ln f( x) = ln 3<br />
x<br />
3<br />
ln f( x)<br />
= ⋅ln<br />
x<br />
x<br />
f'( x)<br />
3<br />
=- ⋅ + ⋅<br />
2<br />
f( x) x<br />
= ⋅ -<br />
3 1<br />
ln x<br />
x x<br />
x<br />
f'( x) 3 x<br />
3 3ln<br />
x<br />
2 x<br />
x<br />
⎛<br />
e) ln f( x)<br />
= ln ⎜ +<br />
⎝⎜<br />
1<br />
1 ⎞<br />
x ⎠⎟<br />
⎛<br />
ln f( x) = xln<br />
⎜ +<br />
⎝⎜<br />
1<br />
1 ⎞<br />
x ⎠⎟<br />
f'( x)<br />
f( x) ⎛<br />
= ln ⎜ +<br />
⎝⎜<br />
1<br />
1<br />
-<br />
⎞<br />
2<br />
1<br />
x<br />
x<br />
x ⎠⎟<br />
+ ⋅<br />
1<br />
1+<br />
x<br />
⎛<br />
= ln ⎜1+<br />
⎝⎜<br />
1⎞1 ⎠⎟<br />
1<br />
- x x +<br />
⎛<br />
f'( x)<br />
= ⎜ +<br />
⎝⎜<br />
x<br />
⎞ ⎛<br />
ln ⎜<br />
x ⎠⎟<br />
+<br />
⎝⎜<br />
⎞<br />
x ⎠⎟<br />
x<br />
-<br />
1<br />
1 ⎛<br />
⎜ 1<br />
⎝⎜<br />
1 1 ⎞<br />
+ 1⎠⎟<br />
x<br />
f ) ln f( x) = ln (tg x )<br />
ln f( x) = xln (tg x)<br />
f'( x)<br />
x<br />
x x<br />
f ( x<br />
x<br />
f x x x<br />
tg<br />
= ln (tg ) + ⋅<br />
)<br />
tg<br />
( ) (tg ) ln<br />
+ 2 1<br />
tg x<br />
' = (tg x) + x ⋅<br />
tg x<br />
+<br />
⎛<br />
2<br />
⎜<br />
1 ⎞<br />
⎜<br />
⎝⎜<br />
⎠⎟<br />
SOLUCIONARI<br />
125 Aplica la regla <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> inversa per trobar la <strong>de</strong>rivada<br />
<strong>de</strong> les funcions següents:<br />
a) y = arccos x c) y = arctg x<br />
b) y = arcsin x d) y = ex a) f( x) = cos x<br />
f'( x) =-sin<br />
x<br />
-1<br />
( f )( ' x)<br />
=<br />
1<br />
-1<br />
f'( f ( x)) =<br />
1<br />
f'(arccos x )<br />
1<br />
=<br />
-sin<br />
( arccos x )<br />
=<br />
=-<br />
1<br />
=-<br />
1<br />
2<br />
1-<br />
cos (arccos x) 2<br />
1-<br />
x<br />
8<br />
519
520<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
b) f( x) = sin x<br />
f'( x) = cos x<br />
-1<br />
( f )( ' x)<br />
=<br />
1<br />
-1<br />
f'( f ( x)) =<br />
1<br />
f'(arcsin x )<br />
=<br />
1<br />
cos (arcsin<br />
x )<br />
=<br />
=<br />
1<br />
2<br />
1-<br />
sin (arcsin x )<br />
=<br />
1<br />
2<br />
1-<br />
x<br />
c) f( x) = tg x<br />
2<br />
f'( x) = 1+ tg x<br />
-1<br />
1 1 1<br />
1<br />
( f )( ' x)<br />
= = = =<br />
-1<br />
2<br />
f'( f ( x)) f'(arctg x ) 1+<br />
tg ( arctg x) 1+<br />
x<br />
d) f( x) = ln x<br />
1<br />
f'( x)<br />
=<br />
x<br />
-1<br />
1 1<br />
( f )( ' x)<br />
= =<br />
-1<br />
x<br />
f'( f ( x) ) f'( e )<br />
=<br />
1<br />
1<br />
x e<br />
= e<br />
PREPARA LA SELECTIVITAT<br />
(Activitats <strong>de</strong> Selectivitat)<br />
001 Fes servir la <strong>de</strong>finició <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivada per trobar la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la <strong>funció</strong><br />
x<br />
fx ( )=<br />
x<br />
+ 3<br />
−2<br />
en el punt x0 = 3.<br />
f( 3+ h) -f(<br />
3)<br />
f'(<br />
3)<br />
= lim<br />
h 0 h<br />
= lim<br />
h 0<br />
3+ 3+<br />
h<br />
6<br />
3+ h -2 -<br />
→ → h<br />
=<br />
h<br />
+ h<br />
+ h<br />
h<br />
h h<br />
h h h<br />
-<br />
lim<br />
→0<br />
6<br />
6<br />
1<br />
=<br />
6+ -6-6 -5<br />
= lim<br />
= lim<br />
5<br />
→0<br />
( 1+<br />
)<br />
h→0 1+<br />
h<br />
=-<br />
002 Determina en quins punts <strong>de</strong> la gràfica <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> y = x 3 − 3x 2 + x + 17, la recta<br />
tangent és paral·lela a la recta y = x + 7.<br />
Si la recta tangent és paral·lela a la recta y = x + 7 aleshores: f'( x)<br />
= 1.<br />
2<br />
f'( x)= 3x - 6x + 1<br />
⎧<br />
2 2<br />
x = 0<br />
Llavors: 3x - 6x + 1= 1→ x - 2x = 0 → ⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪ x = 2<br />
Per tant, els punts <strong>de</strong> la gràfica que verifiquen la condició són (0, 17) i (2, 15).<br />
003 Determina la <strong>funció</strong> f: R → R si saps que la seva <strong>de</strong>rivada segona és constant<br />
o igual a 3 i que la recta tangent a la gràfica en el punt d’abscissa x = 1<br />
és 5x − y − 3 = 0.<br />
x<br />
2
f" ( x) = 3→ f'( x) = 3x<br />
+ k en què k és un nombre real<br />
Si 5x - y - 3 = 0 és la recta tangent en x = 1, tenim que: f '(1) = 5.<br />
SOLUCIONARI<br />
2 3x<br />
Aleshores: 3+ k = 5→ k = 2 → f'( x) = 3x + 2 → f( x ) = + 2x<br />
+ c<br />
en què c és un nombre real.<br />
2<br />
Si la recta és tangent a la <strong>funció</strong> en el punt (1, 2), aquest punt també pertany<br />
a la gràfica <strong>de</strong> la <strong>funció</strong>.<br />
Així, doncs: 3<br />
2<br />
3<br />
+ 2+ c = 2 → c =-<br />
2<br />
2 3x<br />
3<br />
Per tant, la <strong>funció</strong> és: f( x)=<br />
+ 2x<br />
-<br />
2 2<br />
004 Calcula la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la <strong>funció</strong> següent i simplifica el resultat tant com puguis:<br />
f'(x) =<br />
1−<br />
cos x<br />
fx ( ) = ln<br />
1+<br />
cos x<br />
sin x ⋅ ( 1+ cos x) -( 1-cos<br />
x)( -sin<br />
x)<br />
( + cos x )<br />
1 2 2<br />
1-<br />
cos x<br />
1+<br />
cos x<br />
2sin<br />
x<br />
1<br />
=<br />
1<br />
+ ( cos x )<br />
- cos x<br />
1+<br />
cos<br />
x<br />
2sin x ⋅ ( 1+<br />
cos x)<br />
2sin<br />
x 2sin x 2<br />
=<br />
= = =<br />
2<br />
2 2<br />
( 1- cos x)( 1+<br />
cos x)<br />
1-<br />
cos x sin x sin x<br />
005 Consi<strong>de</strong>ra les funcions <strong>de</strong>fini<strong>de</strong>s per a x ≥ 0:<br />
fx ( ) = arcsin<br />
x<br />
1+<br />
x<br />
2<br />
g( x)<br />
= arccos<br />
1<br />
1 + x<br />
Calcula f'(x) i g'(x) i expressa-les <strong>de</strong> la manera més simplificada que puguis.<br />
Compara els resultats i <strong>de</strong>dueix justificadament la diferència entre f(x) i g(x).<br />
f'(x) =<br />
= + +<br />
-<br />
2 1 2<br />
1+<br />
x - x ⋅ ( 1+ x ) 2 2x<br />
2<br />
2<br />
( 2 1+<br />
x )<br />
⎛<br />
1-<br />
⎜<br />
⎝⎜<br />
1<br />
( 1 x ) 1 x<br />
2 2<br />
1<br />
1+<br />
x<br />
2<br />
x<br />
1+<br />
x<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟⎠<br />
1<br />
1<br />
=<br />
2<br />
1+<br />
x<br />
=<br />
2 1+<br />
x -<br />
1+<br />
x<br />
2<br />
2<br />
x<br />
1-<br />
1+<br />
x<br />
x<br />
2<br />
1+<br />
x<br />
2<br />
2<br />
=<br />
2<br />
=<br />
8<br />
521
522<br />
<strong>Derivada</strong> d’una <strong>funció</strong>. <strong>Càlcul</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s<br />
g'( x)<br />
=-<br />
-<br />
2 1 2<br />
1+<br />
x - x ⋅ ( 1+ x ) 2 2x<br />
2<br />
2<br />
( 2 1+<br />
x )<br />
( 1+<br />
x ) 1+<br />
x<br />
=-<br />
1<br />
⎛ x ⎞<br />
1-<br />
⎜<br />
2 ⎝ 1+<br />
x ⎠⎟<br />
1<br />
2 2<br />
1+<br />
x<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
=-<br />
1+<br />
x<br />
2<br />
=-<br />
f'( x) =- g'( x) → f( x) + k =- ( g( x) + c)<br />
en què k, c∈R.<br />
Aleshores: f( x) - g( x) = 2f( x) + 2k<br />
+ c<br />
2 1+<br />
x -<br />
2 x<br />
2 1+<br />
x<br />
2 1+<br />
x<br />
2 x<br />
1-<br />
1+<br />
x<br />
006 Consi<strong>de</strong>ra la <strong>funció</strong>:<br />
⎧⎪<br />
x + x + x ≤−<br />
fx ( ) = ⎨ x + − < x ≤<br />
acos x x ><br />
2 ⎪ 6 8 si 2<br />
⎪2<br />
4 si 2 0<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
si 0<br />
a) Estudia’n la continuïtat en tota la recta real en <strong>funció</strong> <strong>de</strong> a.<br />
b) Estudia’n la <strong>de</strong>rivabilitat en tota la recta real en <strong>funció</strong> <strong>de</strong> a.<br />
2<br />
a) • Si x 0: f( x) = acos x → Funció trigonomètrica, contínua en (0, +`).<br />
• Perquè la <strong>funció</strong> sigui contínua en x = 2, els límits laterals han <strong>de</strong> ser iguals<br />
i han <strong>de</strong> coincidir amb f (2) = 0:<br />
-<br />
2<br />
f( - 2 ) = lim ( x + 6x+ 8) = 0⎫⎪<br />
− x →-2<br />
⎬<br />
⎪<br />
- +<br />
→ f( - 2 ) = f( - 2 ) = f ( -2)<br />
+<br />
f ( - 2 ) = lim ( 2x+<br />
4) = 0 ⎪<br />
+ x →-2<br />
⎭<br />
⎪ → f(x) és contínua en x = -2.<br />
• De la mateixa manera, perquè la <strong>funció</strong> sigui contínua en x = 0, els límits<br />
laterals han <strong>de</strong> ser iguals i han <strong>de</strong> coincidir amb f (0) = 4:<br />
- f( 0 ) = lim( 2x + 4) = 4⎫⎪<br />
− x →0<br />
⎬<br />
⎪ - +<br />
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → a = 4<br />
+ f( 0 ) = lim ( acos x ) = a⎪<br />
+ x →0<br />
⎭<br />
⎪<br />
Així, doncs, si a = 4, f (x) és contínua en R, i si a ≠ 4, f (x) és contínua<br />
en R - { 0 } .<br />
⎧⎪2x<br />
+ 6 si x
SOLUCIONARI<br />
+ f'(<br />
0 ) = 0⎫<br />
- ⎬<br />
⎪ → Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen però no són iguals; per tant,<br />
f'(<br />
0 ) = 2⎭⎪f<br />
(x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 0.<br />
Així, doncs, f (x) és <strong>de</strong>rivable en R - { 0 } per a qualsevol valor <strong>de</strong> a.<br />
007 Consi<strong>de</strong>ra f: R → R la <strong>funció</strong> <strong>de</strong>finida per: f(x) = x 2 − ⏐x⏐<br />
Estudia la <strong>de</strong>rivabilitat <strong>de</strong> f.<br />
⎧ 2 x - x x ≥<br />
f( x)=<br />
⎨<br />
⎪ si 0<br />
2<br />
⎩⎪ x + x si x < 0<br />
-<br />
2<br />
f( 0 ) = lim( x + x ) = 0⎪⎫<br />
− x →0<br />
⎬<br />
⎪ - +<br />
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f ( 0 ) → f(x) és contínua en x = 0.<br />
+<br />
2<br />
f( 0 ) = lim ( x - x ) = 0⎪<br />
+ x →0<br />
⎭<br />
⎪<br />
Com que les funcions que <strong>de</strong>fineixen f (x) són polinòmiques, la <strong>funció</strong> és contínua<br />
en R.<br />
⎧ x - x ><br />
f'( x)=<br />
⎨<br />
⎪2<br />
1 si 0<br />
⎩⎪ 2x + 1 si x < 0<br />
+ f'(<br />
0 ) =-1⎫<br />
- ⎬<br />
⎪ → Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen però no són iguals; per tant,<br />
f'(<br />
0 ) = 1 ⎭⎪ f (x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 0.<br />
Així, doncs, f (x) és <strong>de</strong>rivable en R - { 0 } .<br />
008 Consi<strong>de</strong>ra la <strong>funció</strong> f: R → R <strong>de</strong>finida per:<br />
⏐x⏐ f( x)=<br />
1 + x<br />
Estudia’n la <strong>de</strong>rivabilitat; calcula la <strong>de</strong>rivada on existeixi i justifica on calgui<br />
que la <strong>de</strong>rivada no existeix.<br />
x<br />
x<br />
x<br />
f( x)=<br />
x<br />
x<br />
x<br />
+<br />
⎧ ⎪<br />
si ≥ 0<br />
2<br />
⎨<br />
⎪ 1<br />
⎪<br />
⎪-<br />
<<br />
⎩<br />
⎪<br />
si 0<br />
2<br />
⎪ 1+<br />
- -x<br />
⎪⎫<br />
f ( 0 ) = lim = 0⎪<br />
− x 0<br />
2 ⎪<br />
→ 1+<br />
x ⎪ - +<br />
⎬ → f( 0 ) = f( 0 ) = f ( 0 ) → f(x) és contínua en x = 0.<br />
+<br />
x ⎪<br />
f ( 0 ) = lim = 0 ⎪<br />
+ x →0<br />
2 1+<br />
x ⎭<br />
⎪<br />
Les funcions que <strong>de</strong>fineixen f (x) són contínues; per tant, la <strong>funció</strong> és contínua<br />
en R.<br />
- x<br />
x ><br />
( + x )<br />
f'( x)<br />
=<br />
x<br />
- x<br />
( x )<br />
-<br />
⎧<br />
2 ⎪ 1<br />
⎪<br />
si 0<br />
⎪ 2 2<br />
⎪ 1<br />
⎨<br />
⎪<br />
2<br />
⎪ 1<br />
⎪<br />
si < 0<br />
2 2<br />
⎩⎪<br />
1+<br />
+ f'(<br />
0 ) = 1 ⎫<br />
- ⎬<br />
⎪→<br />
Les <strong>de</strong>riva<strong>de</strong>s laterals existeixen però no són iguals; per tant,<br />
f'(<br />
0 ) =-1⎭⎪<br />
f (x) no és <strong>de</strong>rivable en x = 0.<br />
Així, doncs, f (x) és <strong>de</strong>rivable en R - { 0 } .<br />
2<br />
8<br />
523