RESOLUCIÓ NUMÈRICA D'EQUACIONS DIFERENCIALS

RESOLUCIÓ NUMÈRICA D’EQUACIONS DIFERENCIALS
61. Resoleu numèricament pel mètode d' Euler l'equació
y = x y
1
3
′ , y ( 1 ) = 1
pels punts x = 1, 2, 3, 4 i 5, amb h = 1, 0.5 i 0.1. Compareu els resultats amb la solució exacta
3
2
x + 2 / 3 .
y = ( ( ) ) 2
62. Apliqueu el mètode d' Euler a
2 ′ x y , y ( 0 ) = 2
y = −
i calculeu y(1) amb intervals decreixents. Compareu el resultat amb la solució exacta
y = 2 /(1 + x 2 ).
63. Apliqueu Runge-Kutta RK2 per resoldre els problemes 61 i 62.
64. Apliqueu Runge-Kutta RK4 per resoldre els problemes 61 i 62.
65. Una gota de pluja de massa m cau sotmesa al fregament amb l'atmosfera amb una velocitat
que compleix l'equació
2
dv cv
= g −
dt m
Comproveu per solució numèrica que existeix una velocitat límit. Feu servir c/m = 2 i qualsevol
velocitat inicial.
66. Suposant que la velocitat de refredament d'un cos a la intempèrie és proporcional a la
diferència de temperatures entre el cos i l'aire, determineu, utilitzant el mètode de Runge-Kutta
(RK2), la temperatura que tindrà 10 minuts més tard un cos que inicialment estava a 100º C si
la temperatura de l'aire és de 20º C (preneu un pas de 2 minuts). Compareu el resultat amb la
solució exacta del problema.
(La constant de proporcionalitat es –0.034657, quan el temps es dona en minuts i la
temperatura en graus Celsius).
67. Volem integrar numèricament l'equació
′ ( y,
x)
= − y(
x)
( 0 ) = 1
y 100
y
aplicant el mètode d' Euler. Quina condició ha de complir el pas d'integració h, per a que la
solució numèrica convergeixi cap a la veritable solució quan x tendeix a infinit?. Integreu

l'equació diferencial fins x = 0.1 utilitzant un pas d'integració que compleixi la condició trobada
i un altre que no la compleixi.
68.Donada una equació diferencial y’ = f(x,y), amb y(x0) = y0, es pot obtenir la solució a
partir d'aproximacions successives de:
y
n
( x)
= y
x
0 + ∫ f ( t,
yn−1
x
0
( t))
dt
Determineu la tercera aproximació y2(x) de l'equació y’= x + y amb y(0) = 1. Trobeu el
valor y2(1/2) i compareu-lo amb el que s'obté fent RK2 amb h = 0,1.
69. La quantitat de llum que és absorbida en travessar una capa d'aigua és proporcional
a la quantitat de llum incident i al gruix de la capa. Si la constant de proporcionalitat és
−1
k = 0.2310 m
, calculeu la quantitat de llum que arriba a una profunditat de 10 m.
Utilitzeu RK2 amb h = 0.5 m.