Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana

Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana
2 de 47
Probabilitats II
Francesc Rosselló
UOM, 2012

Pregunta 1
A què és més convenient jugar, al Cuponazo de la ONCE dels
divendres o a la loteria de Nadal?
3 de 47
Pregunta 2
Suposem que comprau cada divendres un Cupón de la ONCE.
Què és més probable, que durant el proper any us toqui el
Cuponazo, o que durant el proper any us mati un llamp?
4 de 47

Pregunta 3
Realment tenia poders psíquics, el pop Paul?
5 de 47
Pregunta 4
Inhalau profundament. Quina és la probabilitat que hàgiu inhalat
una molècula que fos exhalada pel rei Jaume I en el seu darrer
alè?
6 de 47

Pregunta 1
A què és més convenient jugar, al Cuponazo de la ONCE dels
divendres o a la loteria de Nadal?
Ho avaluarem en termes de l’esperança del joc
7 de 47
L’esperança d’un joc
És el valor esperat de guany (no de benefici) per Euro jugat
És el que ens tornarien de mitjana, per Euro jugat, si jugàssim
mooooooooltes vegades
Si l’esperança és 1, el joc és just
Si l’esperança és < 1, el joc és desfavorable per al jugador
Si l’esperança és > 1, el joc és favorable per al jugador
Les esperances de les loteries són sempre < 1, però com més alta
és l’esperança, manco desfavorable és la loteria
8 de 47

L’esperança d’un joc
L’esperança E d’un joc s’obté multiplicant cada premi per la
probabilitat d’obtenir-lo i sumant aquests productes.
Exemple: Jugam 1 AC a endevinar el color a la ruleta. Hi ha 18
caselles negres, 18 caselles vermelles i 1 casella verda marcada 0.
Si endevinam el color, rebem 2 AC. Jugam al negre. Esperança?
9 de 47
L’esperança d’un joc
L’esperança E d’un joc s’obté multiplicant cada premi per la
probabilitat d’obtenir-lo i sumant aquests productes.
Exemple: Jugam 1 AC a endevinar el color a la ruleta. Hi ha 18
caselles negres, 18 caselles vermelles i 1 casella verda marcada 0.
Si endevinam el color, rebem 2 AC. Jugam al negre. Esperança?
• Probabilitat de Negre: 18
37
E = 2 · 18
= 0,973
37
Benefici esperat = 1 − 0,973 = −0.027
9 de 47

L’esperança d’un joc
L’esperança E d’un joc s’obté multiplicant cada premi per la
probabilitat d’obtenir-lo i sumant aquests productes.
Exemple: Jugam 1 AC a endevinar la dotzena. Si encertam la
dotzena, guanyam 2 AC. Esperança?
• Probabilitat d’encertar una dotzena: 12
37
E = 3 · 12
= 0,973
37
10 de 47
L’esperança d’un joc
L’esperança E d’un joc s’obté multiplicant cada premi per la
probabilitat d’obtenir-lo i sumant aquests productes.
Exemple: Jugam 1 AC a endevinar el número. Si l’encertam,
guanyam 35 AC. Esperança?
• Probabilitat d’encertar un número: 1
37
E = 36 · 1
= 0,973
37
11 de 47

L’esperança d’un joc
L’esperança E d’un joc s’obté multiplicant cada premi per la
probabilitat d’obtenir-lo i sumant aquests productes.
Exemple: Jugam 1 AC. Llençam una moneda. Si surt Cara, rebem
1,5 AC. Si surt Creu, tornam a llençar la moneda. Si surt Cara
aquesta vegada, rebem 0,5 AC, i si surt Creu, perdem l’euro. E?
• Probabilitat de Cara la 1 a vegada: 1
2
• Probabilitat de Creu la 1 a vegada i Cara la 1 a : 1
• Probabilitat de Creu la 1 a vegada i Creu la 1 a : 1
2
12 de 47
E = 1,5 · 1
2
L’esperança d’un joc
+ 0,5 · 1
4
+ 0 · 1
4
2
= 0,875
· 1
2
· 1
2
= 1
4
= 1
4
L’esperança E d’un joc s’obté multiplicant cada premi per la
probabilitat d’obtenir-lo i sumant aquests productes.
Exemple: Jugam 1 AC. Llençam un dau. Si surt un 3, rebem 4 AC.
Si surt un número parell, rebem 0,5 AC. Altrament, no rebem res.
E?
• Probabilitat de treure número parell: 1
2
• Probabilitat de treure un 3: 1
6
13 de 47
E = 1
2
· 0,5 + 1
6
· 4 = 0,91667

Exemple: Chuck-a-luck
El joc del chuck-a-luck se juga des de fa més de 100 anys a les
fires angleses.
El jugador aposta 1 £, tria un número entre 1 i 6 i tira 3 daus:
• Si als tres daus surt el número triat, guanya 10 £
• Si a dos daus surt el número triat, guanya 2 £
• Si a un dau surt el número triat, guanya 1 £
• Si a cap dau no surt el número triat, perd
Per qui és favorable aquest joc?
14 de 47
Exemple: Chuck-a-luck
Suposem que jugam a l’1.
• Probabilitat de treure 3 1’s: 1
6 3
• Probabilitat de treure 2 1’s: 3 · 5
6 3
• Probabilitat de treure 1 1: 3 · 52
6 3
15 de 47
E = 1 15 75
· 11 + · 3 + · 2 = 0,95
63 63 63

Exemple: ONCE
Què és més favorable, el Cupón Diario o el Cuponazo del
divendres?
16 de 47
Exemple: Cupón Diario
Premis (hi ha 100.000 números):
• 35.000 AC a les 5 xifres. Probabilitat: 1/100.000
• 500 AC a l’anterior i posterior. Probabilitat: 2/100.000
• 200 AC a les 4 darreres xifres. Probabilitat: 9/100.000
• 20 AC a les 3 darreres xifres. Probabilitat: 90/100.000
• 6 AC a les 2 darreres xifres. Probabilitat: 900/100.000
• 1,5 AC a la darrera xifra. Probabilitat: 9000/100.000
• 1,5 AC a la primera xifra (no acumulable amb l’anterior).
Probabilitat: 8998/100.000
17 de 47

Exemple: Cupón Diario
Esperança:
35.000 · 1 2 9 90
+ 500 · + 200 · + 20 ·
105 105 105 105 +6 · 900 9000 8998
+ 1,5 · + 1,5 · = 0,71997
105 105 105 No! Jugam 1,5 AC, per tant hem de dividir per 1,5:
18 de 47
E = 0.735
1,5
Exemple: Cupón Diario
19 de 47
= 0,47998

Exemple: Cupón Diario
Premis (per cupó de 1,5 AC):
• 50 premis de 35.000 AC
• 100 premis de 500 AC
• 450 premis de 200 AC
• 4.500 premis de 20 AC
• 45.000 premis de 6 AC
• 899.900 premis de 1,5 AC
20 de 47
Exemple: Cupón Diario
100.000 números i 50 sèries de cada: 5.000.000 = 5 · 10 6 cupons
Esperança:
35.000 ·
I dividim per 1,5:
21 de 47
50 100 450 4500
+ 500 · + 200 · + 20 ·
5 · 106 5 · 106 5 · 106 5 · 106 +6 · 45.000 899.900
+ 1,5 · = 0,71997
5 · 106 5 · 106 E = 0.735
1,5
= 0,47998

Exemple: Cuponazo
22 de 47
Exemple: Cuponazo
Premis (per cupó de 3 AC):
• 1 premi de 9.000.000 AC
• 134 premis de 30.000 AC
• 1.215 premis de 500 AC
• 12.150 premis de 50 AC
23 de 47
• 121.500 premis de 6 AC
• 1.215.000 premis de 3 AC
• 9 premis de 100.000 AC
• 1.206 premis de 600 AC

Exemple: Cuponazo
100.000 números i 135 sèries: 13.500.000 = 135 · 10 5 cupons
Esperança:
9.000.000 ·
1
+ 30.000 ·
135 · 105 134
+ 500 ·
135 · 105 +50 · 12.150 121.500 1.215.000
+ 6 · + 3 ·
135 · 105 135 · 105 135 · 105 +1.000.000 ·
I dividim per 3:
24 de 47
9
+ 600 ·
135 · 105 E = 2,098711
3
Exemple: Loteria de Nadal
1.215
135 · 10 5
1.206
= 2,098711
135 · 105 = 0,69957
S’emeten 180 sèries de 100.000 bitllets, que es compren per
dècims que valen 20 AC. Els premis són al bitllet (que val 200 AC),
per tant ens oblidam de les sèries en fer comptes.
25 de 47

Exemple: Loteria de Nadal
Premis (per bitllet):
• 1 premi de 4.000.000 AC
• 1 premi de 1.250.000 AC
• 1 premi de 500.000 AC
• 2 premis de 200.000 AC
• 8 premis de 60.000 AC
26 de 47
Exemple: Loteria de Nadal
Esperança:
• 2 premis de 20.000 AC
• 2 premis de 12.500 AC
• 2 premis de 9.600 AC
• 5.286 premis de 1.000 AC
• 9.999 premis de 200 AC
1
4.000.000·
100.000 +1.250.000·
1
100.000 +500.000·
1
. . . = 140
100.000
Això és per dècim, i per tant hem de dividir per 200:
27 de 47
E = 140
200
= 0,7

Pregunta 1
A què és més convenient jugar, al Cuponazo de la ONCE dels
divendres o a la loteria de Nadal?
L’esperança del Cuponazo és 0,69957
L’esperança de la loteria de Nadal és 0,7
A día d’avui són gairebé idèntiques
28 de 47
Pregunta 1
A què és més convenient jugar, al Cuponazo de la ONCE dels
divendres o a la loteria de Nadal?
Probabilitat de tenir un número premiat?
Loteria de Nadal: 15.304 números amb premi, de 100.000
números
15.304
= 0.15
100.000
Cuponazo: 1.351.215 cupons amb premi, de 13.500.000 cupons
29 de 47
1.351.215
13.500.000
= 0.1

Pregunta 1
A què és més convenient jugar, al Cuponazo de la ONCE dels
divendres o a la loteria de Nadal? A cap!
30 de 47
Altres loteries
De les loteries que no reparteixen premis fixos (o pitjor, alguns
fixos i alguns no, com la Primitiva) no es pot calcular l’esperança
tan fàcilment. A les Quinieles, com que no és una loteria
purament d’atzar, ni tan sols té sentit calcular-la.
En tot cas, per llei, l’esperança de la Primitiva és 0,55: es
retornen en forma de premis el 55% del que es juga.
31 de 47

Una de trilers
Un “triler” de Barcelona tenia 3 cartes en un capell: una amb les
dues cares negres, una amb les dues cares vermelles i una amb
una cara negra i una cara vermella.
En oferia als que passejàvem que agafàssim una carta sense mirar
i li mostràssim una cara de la carta. Ell apostava 1 AC que podia
endevinar l’altra cara. Era just, aquest joc?
Suposem que li mostram una cara vermella. Aleshores sap que
serà la carta Vermella-Vermella o la carta Vermella-Negra, i cada
carta té un 50% de probabilitats de ser-ho, no?
32 de 47
Una de trilers
No! Li mostram o la cara vermella de la carta Vermella-Negra, o
una cara de la carta Vermella-Vermella, o l’altra cara de la carta
Vermella-Vermella. Per tant, hi ha 2/3 de probabilitat que sigui
la carta Vermella-Vermella, i només 1/3 que sigui la carta
Vermella-Negra.
Si diu el mateix color que la cara que li mostren, la probabilitat
d’encertar és 2/3!
Per tant l’esperança per al vianant era només
33 de 47
E = 2 · 1
3
= 2
3

Exercici per a l’examen final
4) Calculau l’esperança del Sorteo del Oro d’enguany
34 de 47
La regla del producte
Si una cosa es pot fer de M maneres diferents, i una cosa
posterior es pot fer de N maneres diferents, hi ha
M · N
maneres que es puguin fer les dues coses, una rere l’altra.
35 de 47

Regla del producte per a les probabilitats
Teorema
Si dos esdeveniments són independents, la probabilitat que passin
els dos és igual al producte de les seves probabilitats
Exemple: Si la probabilitat de treure Cara en llençar una moneda a
l’aire és 1
2 :
• la probabilitat de treure 2 Cares en dues tirades és 1
2
• la probabilitat de treure 3 Cares en tres tirades és 1
2
etc.
36 de 47
Regla del complementari
Teorema
· 1
2
· 1
2
= 1
4 ,
· 1
2
= 1
8 ,
Si la probabilitat que passi una cosa és p, la probabilitat que no
passi és 1 − p
Exemple: Si la probabilitat de treure Cara 3 vegades seguides en
llença una moneda en l’aire 3 vegades és 1
, la probabilitat de no
8
treure 3 Cares seguides és
37 de 47
1 − 1
8
= 7
8

Pregunta 2
Suposem que comprau cada divendres un Cupón de la ONCE.
Què és més probable, que durant el proper any us toqui el
Cuponazo, o que durant el proper any us mati un llamp?
A Espanya, de mitjana cada any moren per llamps 6 persones per
cada 10 milions:
38 de 47
Pregunta 2
6
10.000.000
Probabilitat del Cuponazo en un any?
= 0,0000006
La probabilitat que ens toqui el Cuponazo un divendres concret és
p =
1
13.5000.000
La probabilitat que no ens toqui el Cuponazo un divendres
concret és
1 − p
39 de 47

Pregunta 2
Probabilitat del Cuponazo en un any?
La probabilitat que, en una sequència de 52 setmanes, a cap no
ens toqui el Cuponazo és
52
(1 − p)(1 − p)(1 − p) · · · (1 − p) = (1 − p) 52
La probabilitat que, en una sequència de 52 setmanes, a
qualcuna ens toqui el Cuponazo és
39 de 47
1 − (1 − p) 52 = 1 −
Pregunta 2
1 −
1
52 13.500.000
= 0,00000385
Suposem que comprau cada divendres un Cupón de la ONCE.
Què és més probable, que durant el proper any us toqui el
Cuponazo, o que durant el proper any us mati un llamp?
Probabilitat que enguany us mati un llamp:
0,0000006 = 6 · 10 −7
Probabilitat que enguany us toqui un Cuponazo:
40 de 47
0,00000385 = 38,5 · 10 −7

Pregunta 3
Realment tenia poders psíquics, el pop Paul?
41 de 47
Pregunta 3
Realment tenia poders psíquics, el pop Paul?
Probabilitat d’encertar el resultat d’un partit: 0,5
Probabilitat d’encertar els resultats de 8 partits de tira:
8
0,5 · 0,5 · 0,5 · · · 0,5 = 0,5 8 = 0.004
Si a tot el món hi hagués 250 animals endevinant resultats, hem
d’esperar que qualcun encertàs els 8 resultats
41 de 47

Pregunta 3
Realment tenia poders psíquics, el pop Paul?
41 de 47
Pregunta 3
Realment tenia poders psíquics, el pop Paul?
41 de 47

El truc de Von Neumann
Hem de sortejar una cosa a cara o creu, però sospitam que la
moneda està trucada. Com ho podem fer?
Llençam la moneda a l’aire dues vegades. Si surt Cara-Creu,
guanya un. Si surt Creu-Cara, guanya l’altre. Si surten dues
Cares o dues Creus, tornam a llençar-la.
Per què és just? Si la probabilitat de treure Cara és p, aleshores
• la probabilitat de Cara-Creu és p · (1 − p)
• la probabilitat de Creu-Cara és (1 − p) · p
42 de 47
El problema del cavaller de Méré
Tiram un dau 4 vegades seguides. Quina és la probabilitat de
treure qualque 6?
Probabilitat de treure un 6 en una tirada: 1
6
Probabilitat de no treure un 6 en una tirada: 1 − 1
6
5
Probabilitat de no treure cap 6 en les 4 tirades:
6
Probabilitat de treure qualque 6 en les 4 tirades:
1 −
43 de 47
5
6
4
= 0,52
5
=
6
4

El problema del cavaller de Méré
L’any 1652, A. Gombauld, cavaller de Méré, s’adreçà a B. Pascal
per demanar-li:
Sé per la meva experiència que apostar a treure qualque 6
en quatre tirades de daus és avantatjós per mi. Si vull
treure dos 6, per la regla de 3
6 −→ 4
6 2 = 36 −→ 24
treure dos 6 en 24 tirades de dos daus hauria de ser igual
d’avantatjós per mi. I estic perdent doblers. Per què?
44 de 47
El problema del cavaller de Méré
Probabilitat de treure dos 6 en dues tirades: 1
36
Probabilitat de no treure dos 6 en dues tirades: 1 − 1 35
=
36 36
35
Probabilitat de no treure cap parella de 6 en 24 tirades:
36
Probabilitat
de treure qualque parella de 6 en 24 tirades:
35
24 1 − = 0,49
36
Probabilitat
de treure qualque parella de 6 en 25 tirades:
35
25 1 − = 0,51
36
45 de 47
24

El problema del cavaller de Méré
[El cavaller de Méré] té molt de talent, però no és
geòmetra; això és, com sabeu, un gran defecte
46 de 47
Pregunta 4
Carta de Pascal a Fermat, 29 de juliol de 1654
Quina és la probabilitat que, en una inspiració determinada,
inhalem una molècula que fos exhalada pel rei Jaume I en el seu
darrer alè?
Suposem que hi ha N molècules d’aire en el món (N ≈ 10 44 ) i
que en Jaume I n’exhalà A (A ≈ 2 · 10 22 ) en el seu darrer alè.
La probabilitat que una determinada molècula de l’aire hagi estat
exhalada en aquest darrer alè és A
, i per tant la probabilitat que
N
no hagi estat exhalada en aquest darrer alè és 1 − A
N .
47 de 47

Pregunta 4
Quina és la probabilitat que, en una inspiració determinada,
inhalem una molècula que fos exhalada pel rei Jaume I en el seu
darrer alè?
Com que les molècules exhalades per en Jaume I en el seu darrer
alè ja estan molt espargides, inhalar-les són esdeveniments
independents.
Per tant, si inhalam A molècules en una inspiració, la probabilitat
que cap provengui del darrer alè den Jaume I és
47 de 47
A
1 − A
· 1 −
N
A
· · · · 1 −
N
A
N
Pregunta 4
=
1 − A
A N
Quina és la probabilitat que, en una inspiració determinada,
inhalem una molècula que fos exhalada pel rei Jaume I en el seu
darrer alè?
I per tant, la probabilitat que qualcuna de les A molècules
inhalades en una inspiració sí que provengui del darrer alè den
Jaume I és
p = 1 − 1 − A
A N
Ara, N ≈ 1044 , A ≈ 2 · 1022 , substituïm i “operam”, i obtenim
47 de 47
p = 0,98