Materials didàctics del temari de 3r d'ESO - Diploma de ...
Materials didàctics del temari de 3r d'ESO - Diploma de ...
Materials didàctics del temari de 3r d'ESO - Diploma de ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Materials</strong> <strong>didàctics</strong><br />
<strong><strong>de</strong>l</strong> <strong>temari</strong> <strong>de</strong> <strong>3r</strong><br />
<strong>d'ESO</strong><br />
Laura Morera Úbeda<br />
Maig 2008<br />
<strong>Diploma</strong> <strong>de</strong> matemàtiques per a la secundària
Ín<strong>de</strong>x:<br />
Ín<strong>de</strong>x:....................................................................................................................................................1<br />
Motivació i estructura:..........................................................................................................................2<br />
Metodologia <strong><strong>de</strong>l</strong> curs:...........................................................................................................................3<br />
Programa <strong>de</strong> <strong>3r</strong> <strong>d'ESO</strong> – Aula Escola Europea:....................................................................................4<br />
I<strong>de</strong>ntitats Notables:...............................................................................................................................5<br />
Demostracions. Inducció:.....................................................................................................................8<br />
Equacions, Inequacions, Sistemes d'Equacions i Sistemes d'Inequacions:........................................13<br />
Estadística bàsica:...............................................................................................................................23<br />
Paràmetres estadístics:........................................................................................................................27<br />
Estadística bidimensional:..................................................................................................................34<br />
Combinatòria i Probabilitat bàsica:....................................................................................................42<br />
Geometria analítica bàsica:.................................................................................................................45<br />
Teorema <strong>de</strong> Thales:.............................................................................................................................51<br />
Transformacions geomètriques. Translacions, Girs i Simetries (Axials i Centrals):..........................53<br />
Trigonometria bàsica:.........................................................................................................................67<br />
Hores d'estudi / Substitucions. Joc <strong><strong>de</strong>l</strong>s Gratacels:.............................................................................68<br />
Convivències. Pràctica:......................................................................................................................70<br />
Club <strong>de</strong> les Matemàtiques. Material divers:.......................................................................................74<br />
Llibre <strong>de</strong> St. Jordi:..............................................................................................................................77<br />
Pensaments finals:..............................................................................................................................79<br />
1
Motivació i estructura:<br />
Quan ha arribat l'hora <strong>de</strong> fer el projecte d'aquest postgrau, primer no sabia quin tema escollir. He<br />
aplicat molts conceptes nous en gairebé tots els temes <strong><strong>de</strong>l</strong> curs. Així que, què millor que or<strong>de</strong>nar tot<br />
aquest material i acabar <strong>de</strong> crear el <strong><strong>de</strong>l</strong> <strong>3r</strong> trimestre.<br />
Primer donaré una visió general <strong><strong>de</strong>l</strong> curs i més endavant mostraré tema per tema els materials.<br />
Aquest és el meu segon any <strong>de</strong> pràctica docent. Crear tot el material <strong>de</strong> zero, a la vegada que<br />
donava les classes, era complicat, i aquest segon any, amb l'ajuda <strong><strong>de</strong>l</strong>s recursos que m'ha ofert el<br />
postgrau, he pogut completar els <strong>temari</strong>s, afegint-hi pràctiques, manipulacions, noves tecnologies...<br />
M'he centrat en el curs <strong>de</strong> <strong>3r</strong> <strong>d'ESO</strong>, ja que té un <strong>temari</strong> més variat i els materials són més diversos.<br />
Si analitzem el <strong>temari</strong> <strong>de</strong> <strong>3r</strong>, durant el 1r trimestre, ens basem el l'àlgebra i el càlcul. També fem<br />
estudis d'equacions, inequacions, i sistemes. En global aprenen a usar la Wiris, per entendre<br />
gràficament què són les expressions algebraiques. Dels temes en concret, també fem alguna pràctica<br />
que <strong>de</strong>sprés explicaré.<br />
El 2n trimestre és d'Estadística, Combinatòria i Probabilitat. El programa d'ordinador que utilitzem<br />
és l'EXCEL, i així po<strong>de</strong>n estudiar conceptes més reals.<br />
També és interessant que aprenguin com va el programa per satisfer les seves necessitats d'aprendre<br />
ofimàtica. A l'escola, la informàtica que fan és programació en LOGO i en C++, i l'ofimàtica, està<br />
repartida en diferents matèries.<br />
També fan alguna pràctica que <strong>de</strong>sprés <strong>de</strong>tallaré.<br />
Finalment, el <strong>3r</strong> trimestre, fem geometria, i ens centrem en el programa Geogebra. L'han agafat amb<br />
molt entusiasme, tot i que era completament <strong>de</strong>sconegut per ells.<br />
Les pràctiques específiques en aquest cas, són <strong><strong>de</strong>l</strong>s temes <strong>de</strong> Thales i <strong>de</strong> Trigonometria.<br />
Després d'aquest repàs global, m'agradaria fer un recull <strong><strong>de</strong>l</strong>s materials propis que utilitzo a cada<br />
tema, i mostrar alguna <strong>de</strong> les pràctiques que fem i quins són els resultats.<br />
2
Metodologia <strong><strong>de</strong>l</strong> curs:<br />
En el curs <strong>de</strong> <strong>3r</strong> <strong>d'ESO</strong>, els alumnes, és la primera vegada que em tenen <strong>de</strong> professora. M'agrada<br />
molt, perquè així <strong>de</strong>s d'un principi estableixo una connexió molt dinàmica i interactiva amb ells.<br />
L'eina bàsica <strong>de</strong> comunicació informàtica <strong>de</strong> la que disposem a l'escola és la sessió d'Obert, on els<br />
professors po<strong>de</strong>m penjar tot tipus <strong>de</strong> documents, i els alumnes hi po<strong>de</strong>n accedir amb la seva conta i<br />
<strong>de</strong>scarregar-s'ho. A mi el que no m'agrada és la unidireccionalitat <strong>de</strong> la comunicació, per això em<br />
<strong>de</strong>canto més al mail.<br />
Des <strong>de</strong> principi <strong>de</strong> curs, tinc totes les adreces <strong>de</strong> mail <strong>de</strong> tots els alumnes organitza<strong>de</strong>s per classes, i<br />
ells tenen la meva.<br />
La principal utilitat que li dono, és enviar als alumnes documents, com powerpoints <strong>de</strong> teoria,<br />
resums <strong><strong>de</strong>l</strong>s temes que hem anat fent, la resolució d'algun exercici, etc.<br />
També envio per mail els enunciats <strong>de</strong> les pràctiques que han <strong>de</strong> fer amb els programes informàtics,<br />
i ells me les han d'entregar via mail.<br />
En els casos que han fet l'examen a l'ordinador, també els hi envio al moment per mail, i me'l<br />
retornen al final <strong>de</strong> la classe.<br />
I evi<strong>de</strong>ntment, em serveix per estar localitzable sempre i po<strong>de</strong>r resoldre dubtes quan ells estan<br />
estudiant a casa.<br />
També he aprofitat els mails, per enviar curiositats matemàtiques, com algun capítol <strong><strong>de</strong>l</strong>s Simpsons,<br />
o alguna <strong>de</strong>mostració visual.<br />
A part <strong>de</strong> tota la comunicació que establim per mail, els alumnes, tenen la llibreta on han <strong>de</strong> fer tots<br />
els exercicis que se'ls hi proposa.<br />
De cara a un futur no molt llunyà, m'agradaria crear una pàgina web, interactiva, amb xats i posts, i<br />
amb molt material, on els alumnes la poguessin tenir molt a l'abast.<br />
3
Programa <strong>de</strong> <strong>3r</strong> ESO -- Aula Escola Europea:<br />
1r trimestre: (ÀLGEBRA I CÀLCUL -- WIRIS)<br />
• I<strong>de</strong>ntitats notables.<br />
• Demostracions. Inducció.<br />
• Equacions, Inequacions, Sistemes d'Equacions i Sistemes d'Inequacions.<br />
2n trimestre: (ESTADÍSTICA -- EXCEL)<br />
• Estadística bàsica.<br />
• Paràmetres estadístics.<br />
• Estadística bidimensional.<br />
• Probabilitat bàsica.<br />
<strong>3r</strong> trimestre: (GEOMETRIA -- GEOGEBRA)<br />
• Geometria analítica bàsica.<br />
• Teorema <strong>de</strong> Thales.<br />
• Transformacions geomètriques. Translacions, Girs i Simetries (Axials, i Centrals).<br />
• Trigonometria bàsica.<br />
Hores d'estudi/Substitucions: Joc <strong><strong>de</strong>l</strong>s gratacels.<br />
Convivències: Pràctica<br />
Club <strong>de</strong> les Matemàtiques: Material divers.<br />
Llibre <strong>de</strong> Sant Jordi<br />
4
I<strong>de</strong>ntitats notables:<br />
Durant aquest tema, seguim el llibre <strong>de</strong> text Trapeze, i aprofito per comentar una mica el caire<br />
didàctic d'aquest llibre. És un llibre, on cada tema, comença amb uns exercicis guiats, on el que<br />
potencien és la <strong>de</strong>ducció, i que siguin els alumnes qui <strong>de</strong>dueixin la teoria. Després hi ha un resum<br />
<strong><strong>de</strong>l</strong> tema, i <strong>de</strong>sprés hi ha exercicis per posar en pràctica els conceptes que s'hagin explicat.<br />
Per complementar el tema, encara que al llibre es fan les <strong>de</strong>mostracions <strong>de</strong> les 3 i<strong>de</strong>ntitats notables,<br />
també faig les <strong>de</strong>mostracions visuals construï<strong>de</strong>s en cartolina.<br />
En aquestes fotografies, es veu com un quadrat d' (a+b) <strong>de</strong> costat, també es pot escriure com una<br />
composició d'un quadrat <strong>de</strong> costat a, un <strong>de</strong> costat b, i dos rectangles d' a·b.<br />
ab 2 =a 2 2abb 2<br />
5
En aquesta fotografia es veu com un quadrat d' (a-b) <strong>de</strong> costat es pot escriure com un quadrat <strong>de</strong><br />
costat a, i traient-li 2 parts d' a·b d'àrea. Llavors, es veu com les dues parts negres que<strong>de</strong>n<br />
encavalca<strong>de</strong>s i això vol dir que hem intentat treure un tros 2 vega<strong>de</strong>s, per tant, l'hem <strong>de</strong> tornar a<br />
posar i hem d'afegir el quadrat <strong>de</strong> costat b.<br />
a−b 2 =a 2 −2abb 2<br />
6
En aquestes fotografies es mostra com un quadrat <strong>de</strong> costat a menys un quadrat <strong>de</strong> costat b, és el<br />
mateix qua fer un rectangle d' (a-b) per un d' (a+b) si la part petita vertical la posem sobre la gran<br />
blava en horitzontal.<br />
ab ·a−b=a 2 −b 2<br />
7
Demostracions. Inducció:<br />
Aquest tema, és el més teòric <strong><strong>de</strong>l</strong> curs, i el que faig és explicar-ho posant molts exemples i seguint<br />
aquest guió que em vaig crear. No li dono gaire importància al moment a tota la introducció, però<br />
durant tot el curs, van sortint conceptes, i els vaig fent recordar.<br />
Bàsicament, el que sí que fem èmfasi, és en la inducció. Explico el concepte d'induir<br />
matemàticament, amb l'activitat <strong><strong>de</strong>l</strong> dòmino, i amb altres exemples que mostraré al final d'aquest<br />
capítol.<br />
Mèto<strong>de</strong>s <strong>de</strong> raonament i <strong>de</strong>mostració<br />
Una <strong>de</strong>mostració és el procés <strong>de</strong> <strong>de</strong>ducció que permet <strong>de</strong>duir <strong>de</strong> les <strong>de</strong>finicions, mitjançant regles<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>ducció matemàtica, un cert teorema, lema, proposició o corol·lari <strong>de</strong>terminat.<br />
Definicions:<br />
Un teorema és una afirmació que pot ser <strong>de</strong>mostrada com certa dins d’un marc lògic.<br />
Demostrar teoremes és una activitat central en matemàtiques.<br />
Un teorema generalment conté un número <strong>de</strong> condicions que han <strong>de</strong> ser enumera<strong>de</strong>s o<br />
aclari<strong>de</strong>s prèviament y que es <strong>de</strong>nominen hipòtesis. També existeix una conclusió, una afirmació<br />
matemàtica, la qual és certa sota les condicions en les que es treballa. El contingut informatiu <strong><strong>de</strong>l</strong><br />
teorema és la relació que existeix entre la hipòtesi i la conclusió.<br />
En matemàtiques una afirmació ha <strong>de</strong> ser interessant o important dins la comunitat<br />
matemàtica per a ser consi<strong>de</strong>rada un teorema. Las afirmacions menys importants es <strong>de</strong>nominen:<br />
• Lema: una afirmació que forma part d’un teorema més llarg. Per suposat, la distinció entre<br />
teoremes y lemes és arbitraria.<br />
• Corol·lari: una afirmació que segueix immediatament a un teorema. Una proposició A és un<br />
corol·lari d’una proposició o teorema B si A pot ser <strong>de</strong>duïda senzillament <strong>de</strong> B.<br />
• Proposició: un resultat no associat a cap teorema en particular.<br />
Una afirmació matemàtica que es creu verta<strong>de</strong>ra però no ha estat <strong>de</strong>mostrada es <strong>de</strong>nomina<br />
conjectura o hipòtesi. Per exemple: la conjectura <strong>de</strong> Goldbach:<br />
• La conjectura <strong>de</strong> Goldbach (anomenada por primera vegada en una carta <strong>de</strong> C<br />
Goldbach a Euler al 1742): Qualsevol nombre parell més gran que 2 és suma <strong>de</strong><br />
dos nombres primers. Alguns exemples:<br />
4=2+2 6=3+3 8=5+3<br />
10=7+3 12=7+5 14=11+3<br />
16=13+3 18=13+5 20=17+3<br />
8
Aquesta conjectura ha estat verificada fins a 100000000000000, però encara no s'ha<br />
trobat un argument matemàtic que <strong>de</strong>mostri que és certa per tot nombre parell.<br />
Una tautologia és una proposició que sempre és certa, per exemple 1 = 1.<br />
Una contradicció és una proposició que sempre és falsa, per exemple 0 = 1.<br />
Diem que dues proposicions p i q són equivalents si p és certa estrictament quan q és certa<br />
(per tant q és falsa estrictament si q és falsa). En aquest cas la notació utilitzada és: p ≡ q.<br />
Una manera molt important <strong>de</strong> formar una nova proposició a partir <strong>de</strong> proposicions dona<strong>de</strong>s<br />
és la implicació que s’escriu p ⇒ q , “si p aleshores q” o “p implica q”. En aquest cas, p és<br />
la hipòtesi i q és la conclusió <strong>de</strong> la implicació.<br />
La implicació p ⇒ q és equivalent a la implicació no q ⇒ no p, que rep el nom <strong>de</strong> contra<br />
recíproc <strong>de</strong> la implicació p ⇒ q.<br />
Si tenim una implicació p ⇒ q, llavors també es pot formar la proposició q ⇒ p, que rep el<br />
nom <strong>de</strong> recíproc <strong>de</strong> la implicació p ⇒ q. El recíproc NO és un equivalent lògic <strong>de</strong> la<br />
implicació.<br />
Tipus <strong>de</strong> <strong>de</strong>mostracions:<br />
· Demostracions per contra exemple<br />
Volem veure que és fals que tots els elements d’un conjunt compleixin una certa propietat.<br />
Només hem <strong>de</strong> trobar un element <strong><strong>de</strong>l</strong> conjunt que no compleixi la propietat. Haurem trobat<br />
un contra exemple.<br />
Exemple: Demostrar que la operació “resta” (a-b) no és commutativa:<br />
Demostració: Consi<strong>de</strong>rem a=3 i b=5.<br />
( a − b)<br />
= 3 − 5 = − 2<br />
Aleshores,<br />
( b − a)<br />
= 5 − 3 = 2<br />
Com que hem trobat a i b particulars tals que<br />
( a − b)<br />
≠ ( b − a)<br />
Po<strong>de</strong>m dir que en general no és cert que ( a − b)<br />
= ( b − a)<br />
q.e.d.<br />
“quod erat <strong>de</strong>monstrandum” (Com volíem <strong>de</strong>mostrar)<br />
· Demostracions directes<br />
Tenim 2 proposicions. Volem <strong>de</strong>mostrar p ⇒ q.<br />
La <strong>de</strong>mostració directa <strong>de</strong> p ⇒<br />
r1 , r2<br />
, rn<br />
tal que<br />
q requereix la construcció d’una ca<strong>de</strong>na <strong>de</strong> proposicions<br />
p r r r rn<br />
q ⇒<br />
⇒<br />
⇒ , , 1 1 2<br />
Exemple: Demostrar que k ⋅ ( a − b)<br />
= ka − kb<br />
9
· Demostracions indirectes<br />
Aquest tipus <strong>de</strong> <strong>de</strong>mostracions són molt habituals, per exemple, en cas d’haver <strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar<br />
la unicitat d’algun concepte.<br />
· Demostracions pel contra recíproc<br />
Enlloc <strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar p ⇒ q, es pot provar no q ⇒ no p.<br />
Exemple: Demostrar que si m, n són dos nombres naturals tals que m + n ≥ 10 ,<br />
aleshores m ≥ 5 o n ≥ 5 .<br />
Demostració: Si la conclusió és falsa, llavors es compleix m < 5 i n < 5 .<br />
Al sumar <strong>de</strong>sigualtats, obtenim m + n < 5 + 5 = 10,<br />
per tant la hipòtesi és falsa. Així<br />
doncs, m + n ≥ 10 si m ≥ 5 o n ≥ 5 . Q.e.d.<br />
· Demostració per reducció a l’absurd<br />
Per <strong>de</strong>mostrar p ⇒ q el mèto<strong>de</strong> <strong>de</strong> reducció a l’absurd consisteix a suposar com a<br />
certa no q (és a dir, suposar que q és falsa) i raonar lògicament fins a arribar a una<br />
contradicció amb la hipòtesi p.<br />
Quan passa això, es diu que la contradicció prové <strong>de</strong> suposar que la tesi era falsa (o<br />
que l’absurd ha estat aquesta suposició).<br />
· Demostracions sense paraules o visuals.<br />
· Demostració per inducció<br />
El mèto<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>mostració per inducció és molt útil en cas <strong>de</strong> voler <strong>de</strong>mostrar qualsevol<br />
fórmula que es compleixi per a tots els nombres naturals. La propietat més fonamental <strong>de</strong> N<br />
és el principi d’inducció, que veurem tot seguit.<br />
Per explicar el concepte d'inducció, utilitzo la i<strong>de</strong>a d'un dòmino, quan posem totes les seves peces<br />
formant una ca<strong>de</strong>na, i que sabem, que a partir <strong>de</strong> la que tirem, cauran totes les següents. Només falta<br />
que tirem la primera per veure que llavors cauen totes.<br />
Fem <strong>de</strong>mostracions bàsiques. I en alguns casos <strong>de</strong>dueixen ells la fórmula que ha <strong>de</strong> donar.<br />
Exemples: Quan calculem la suma <strong><strong>de</strong>l</strong>s n primers nombres naturals. Ells <strong>de</strong>dueixen quan ha <strong>de</strong> ser a<br />
partir <strong>de</strong> <strong>de</strong>duir quan és la suma <strong><strong>de</strong>l</strong>s 100 primers, i expliquem la història <strong>de</strong> Gauss.<br />
Quan calculem la suma <strong><strong>de</strong>l</strong>s primers n nombres senars, també fem la <strong>de</strong>mostració visual, <strong>de</strong> posar<br />
les boles en forma <strong>de</strong> quadrat...<br />
10
En aquest tema, per a que vegin la importància <strong>de</strong> l'expressió en les matemàtiques, i per a que<br />
siguin or<strong>de</strong>nats i estructurats en les seves explicacions i <strong>de</strong>duccions lògiques, fem una pràctica que<br />
tot seguit explicaré:<br />
11
Donat un dibuix abstracte com mostra la figura, els alumnes s'asseuen esquena amb esquena amb el<br />
company. Llavors, la figura es penja a una banda <strong>de</strong> la classe, per tal <strong>de</strong> que només els que estan <strong>de</strong><br />
cara la vegin. Els que estan d'esquena, hauran d'anar dibuixant el que el company els hi vagi<br />
<strong>de</strong>scrivint.<br />
Hi ha unes normes molt senzilles, però molt importants que són:<br />
– Els que dicten, no po<strong>de</strong>n girar-se per mirar com ho està fent l'altre.<br />
– Els que dicten, no po<strong>de</strong>n preguntar si l'altre ho ha entès, han d'anar al seu ritme.<br />
– Els que dibuixen, no po<strong>de</strong>n dir res, silenci absolut. No po<strong>de</strong>n <strong>de</strong>manar repeticions.<br />
Jo faig amb dos figures diferents que tothom pugui fer les dues coses (dictar i dibuixar), i <strong>de</strong>sprés en<br />
traiem conclusions.<br />
Normalment, els que han dictat amb un cert ordre, els companys han dibuixat millor.<br />
Els que dicten més a poc a poc, aju<strong>de</strong>n a que l'altre no es perdi.<br />
Es veu la importància <strong>de</strong> començar <strong>de</strong>finint bé les coses, dient si el full es vertical o horitzontal, per<br />
exemple.<br />
I moltes altres coses, que <strong>de</strong>pèn <strong><strong>de</strong>l</strong> grup po<strong>de</strong>n observar.<br />
12
Equacions, Inequacions, Sistemes d'Equacions i Sistemes<br />
d'Inequacions:<br />
En aquests temes, introdueixo la Wiris, com a programa per comprovar les seves pròpies solucions,<br />
però en cap cas per trobar arrels sense haver <strong>de</strong> fer càlculs. Crec que és important que també<br />
sàpiguen resoldre les equacions o inequacions amb els mèto<strong>de</strong>s tradicionals i que no els oblidin.<br />
Trobo molt important, però, que sempre al resoldre una equació o inequació vegin el sentit gràfic<br />
que té.<br />
Tot seguit adjunto un resum <strong><strong>de</strong>l</strong> tema, que com po<strong>de</strong>m veure, està resolt primer a mà, i <strong>de</strong>sprés les<br />
gràfiques estan fetes amb la Wiris. Això és el que fan els alumnes quan fan els exercicis.<br />
EQUACIONS:<br />
Repàs d'equacions, inequacions i sistemes<br />
1 variable: Po<strong>de</strong>n ser <strong>de</strong> diferents graus, però només hi haurà una “lletra”.<br />
3x2x= x<br />
2 3<br />
6x3x 2 x6<br />
= Posem <strong>de</strong>nominador comú<br />
2<br />
12x6x 2 =x6 Passem el 2 a multiplicar<br />
6x 2 11x−6=0 Passem tots els termes a una banda<br />
x= −11±112−4·6·−6 =<br />
2·6<br />
−11±121144<br />
=<br />
12<br />
−11±265<br />
12<br />
13<br />
={<br />
0' 43<br />
−2' 27}
2 variables: Les <strong>de</strong> primer grau seran rectes, i les <strong>de</strong> segon paràboles. Com que només<br />
tenim 1 equació però tenim 2 variables, té infinites solucions, l'única manera d'expressar la<br />
solució, és gràficament.<br />
3y=2x−1 y<br />
2y=2x−1 Passem els termes amb y a una bada, i els altres a l'altra.<br />
y= 2x−1<br />
2<br />
Aïllem la y completament<br />
y=x− 1<br />
Ja tenim la forma <strong>de</strong> la recta. Fent una petita taula <strong>de</strong> valors, la representarem<br />
2<br />
gràficament.<br />
SISTEMES D'EQUACIONS:<br />
2 variables: Po<strong>de</strong>n ser <strong>de</strong> diferents graus.<br />
a)<br />
{ y=3x−2<br />
2y=8x }<br />
Interpretació gràfica: són dues rectes, pot ser que es tallin,que siguin<br />
{<br />
paral·leles, o que siguin coinci<strong>de</strong>nts...<br />
y=3x−2<br />
y=4x } Simplifiquem<br />
3x−2=4x Resolem el sistema per igualació<br />
−2= x Ja tenim la coor<strong>de</strong>nada x <strong><strong>de</strong>l</strong> punt on es tallen les dues rectes.<br />
y=4x=4·−2=−8 Trobem el valor <strong>de</strong> la coor<strong>de</strong>nada y.<br />
14
El punt solució on es tallen les dues rectes, és el punt: x , y=−2,−8<br />
b)<br />
{ y=2x2 −5x3<br />
y=2x1 } Interpretació gràfica: Són una paràbola i una recta, pot ser que es tallin<br />
en dos punts, que siguin tangents en un punt, o que no es toquin.<br />
2x 2 −5x3=2x1 Resolem el sistema per igualació.<br />
2x 2 −7x2=0 Passem tots els termes a un costat.<br />
x= −7±72 −4·2·2<br />
2·2<br />
= −7±33<br />
4<br />
y=2x1=2 3' 181=7 ' 36<br />
y=2x1=2 0' 3151=1' 63<br />
={ 3' 18<br />
0' 315}<br />
Ja tenim les coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s x <strong><strong>de</strong>l</strong>s punts on es<br />
tallaran la paràbola amb la recta.<br />
Aquestes són les coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s y, <strong><strong>de</strong>l</strong> punts,<br />
respectivament.<br />
15
Els punts solució on es tallen la paràbola i la recta, són els punts:<br />
INEQUACIONS:<br />
1 variable: Po<strong>de</strong>n ser <strong>de</strong> diferents graus, però només hi haurà una “lletra”.<br />
a)<br />
x32x−83<br />
2x 2 6x−83 Apliquem la distributiva<br />
2x 2 6x−110 Passem tots els termes a una banda<br />
x , y =3' 18,7' 36<br />
x , y =0 ' 315,1 ' 63<br />
x= −6±62−4·2·−11 =<br />
2·2<br />
−6±3688<br />
=<br />
4<br />
−6±124 1' 28<br />
Ara ja hem trobat els<br />
4 −4' 28}<br />
dos punts límits on la paràbola tallaria l'eix <strong>de</strong> les x, però ens preguntem quines són les x que fan<br />
que la paràbola sigui positiva o igual a zero. Com que la paràbola té les branques cap amunt, les x<br />
<strong>de</strong> la solució seran les externes: x∈−∞ ,−4 ' 28]∪[1 ' 28,∞ <br />
16<br />
={
)<br />
3x2<br />
x 2 −16 0 Per què una fracció sigui positiva po<strong>de</strong>n passar dues coses: <br />
<br />
o −<br />
−<br />
Recor<strong>de</strong>m que el <strong>de</strong>nominador mai pot ser 0!!! Recor<strong>de</strong>u la meva xapa <strong>de</strong> prohibit dividir<br />
per 0!!!<br />
Per tant po<strong>de</strong>n passar una d'aquestes coses:<br />
1. { 3x20<br />
x 2 −160}<br />
Si resolem les dues inequacions per separat, tenim:<br />
17
La solució d'aquest sistema és el que és solució <strong>de</strong> les dues inequacions alhora, que<br />
és: x∈4,∞<br />
2. { 3x20<br />
x 2 −160}<br />
Si resolem les dues inequacions per separat, tenim:<br />
La solució d'aquest sistema és el que és solució <strong>de</strong> les dues inequacions alhora, que<br />
és: x∈−4,− 2<br />
3 ]<br />
Per tant la solució final <strong>de</strong> la inequació inicial és: x∈−4,− 2<br />
3 ]∪4,∞<br />
18
2 variables: Po<strong>de</strong>n ser <strong>de</strong> diferents graus.<br />
y3x2 Només la po<strong>de</strong>m resoldre gràficament. Busquem tots els punts <strong><strong>de</strong>l</strong> pla tals<br />
que satisfan aquesta inequació, per tant la solució serà un semiplà, limitat per<br />
la recta: y=3x2 .<br />
SISTEMES D'INEQUACIONS:<br />
Anem a veure si el (0,0), pertany a la solució:<br />
03·02 ?<br />
02 ? SI<br />
2 variables: Po<strong>de</strong>n ser <strong>de</strong> diferents graus.<br />
{ y3x2<br />
Només el po<strong>de</strong>m resoldre gràficament. El mèto<strong>de</strong> <strong>de</strong> resolució és<br />
y−x3}<br />
com si fossin dues inequacions tracta<strong>de</strong>s <strong>de</strong> manera in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt,<br />
finalment la solució, BLAU, seran els punts <strong><strong>de</strong>l</strong> pla que satisfan alhora<br />
les dues inequacions.<br />
Recor<strong>de</strong>m que les rectes que marquen la frontera, la primera serà discontinua, i la segona<br />
continua, ja que els signes <strong>de</strong> la <strong>de</strong>sigualtat ho marquen.<br />
(0,0) pertany a la solució <strong>de</strong> la primera? SI<br />
(0,0) pertany a la solució <strong>de</strong> la segona? SI<br />
19
La solució <strong><strong>de</strong>l</strong> sistema són els punts <strong><strong>de</strong>l</strong> pla que pertanyen a la zona <strong>de</strong> color blau.<br />
Dins d'aquest tema, per introduir les inequacions d'una manera visual, fem la pràctica d'assignar a<br />
cada alumne unes coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s, i amb les taules juntes, sense espais als passadissos, s'han d'aixecar<br />
els alumnes que satisfan... l'equació o inequació que escrivim a la pissarra. Aquest joc va molt bé,<br />
perquè vegin quins alumnes pertanyen a la frontera entre els que s'aixequen i els que no, i quines<br />
característiques compleixen les seves coor<strong>de</strong>na<strong>de</strong>s: són els que satisfan la igualtat.<br />
20
Finalment, per aplicar aquests conceptes a problemes, i que no sigui tot el tema a base d'exercicis,<br />
tinc uns blocs <strong>de</strong> problemes, que tot seguit en penjaré un exemple:<br />
Problemes d'ampliació 3:<br />
1.- Si el producte <strong>de</strong> dos nombres és positiu i la seva diferència és major que dos, expressa en el pla,<br />
tots els punts que compleixen aquestes condicions.<br />
2.- Quins nombres verifiquen que el seu quadrat més el seu invers doni un resultat positiu?<br />
3.- Per quins valors d’a po<strong>de</strong>m assegurar que la inequació 2 6 0<br />
2<br />
x − ax + < no té solució? Què<br />
s’hauria <strong>de</strong> modificar en l’equació per tal que la solució fossin tots els reals?<br />
2<br />
4.- Per a quins valors <strong>de</strong> a l’equació x − 5x<br />
+ a = 0 tindrà dos arrels reals diferents?<br />
5.- Quins són els nombres pels quals el seu triple supera al seu doble en més <strong>de</strong> 8 unitats?<br />
6.- Per a que 2<br />
1 − x tingui sentit, els valors <strong>de</strong> x han <strong>de</strong> complir una condició. A quina inequació<br />
ens porta aquesta condició? Resol-la!<br />
BONUS:<br />
7.- Un nombre capicua <strong>de</strong> cinc xifres verifica: (Selectivitat PAAU, 1997)<br />
a) La suma <strong>de</strong> les seves xifres és 9.<br />
b) La xifra <strong>de</strong> les centenes és igual a la <strong>de</strong> les unitats més la <strong>de</strong> les <strong>de</strong>senes.<br />
c) Si s’intercanvien les xifres <strong>de</strong> les unitats i <strong>de</strong>senes, el nombre resultant disminueix en 9.<br />
22
Estadística bàsica:<br />
És la primera vegada que veuen el tema d'Estadística, i primer faig una introducció als gràfics<br />
estadístics. El material que he creat per aquest tema és aquest powerpoint, que inclou els exercicis<br />
que han d'anar fent. Aquest el vaig passant durant les hores <strong>de</strong> classe, mentre fan els exercicis,<br />
individualment, en parelles, o per grups <strong>de</strong> 4, segons els hi indiqui.<br />
23
Paràmetres estadístics:<br />
La metodologia <strong>de</strong> treball d'aquest tema és el mateix que en l'anterior, treball a classe, amb el<br />
powerpoint. Després <strong>de</strong> fer aquests 2 temes, si que fan una pràctica amb Excel, que es mostra a<br />
continuació.<br />
27
A part <strong><strong>de</strong>l</strong>s Powerpoints, que seria la part més teòrica, han <strong>de</strong> fer aquesta pràctica a l'ordinador, per<br />
tal d'aprendre a usar l'EXCEL, i per veure gràficament els exercicis <strong>de</strong> teoria. Durant un parell <strong>de</strong><br />
classes, baixem a la sala d'ordinadors a fer la pràctica.<br />
Pràctica d'Estadística amb Exel (I)-- Matemàtiques Sra. Morera -- Febrer 08<br />
Recorda que hem estudiat diferents tipus <strong>de</strong> gràfiques que po<strong>de</strong>m fer d'una variable estadística.<br />
Exercici 1:<br />
Amb la següents taula <strong>de</strong> freqüències:<br />
35<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
Dibuixa un Diagrama <strong>de</strong> Barres, un Diagrama <strong>de</strong> sectors i un polígon <strong>de</strong> freqüències.<br />
Els gràfics els podràs fer <strong>de</strong>s <strong>de</strong>: Insertar – Gráfico<br />
Hauràs <strong>de</strong> triar el tipus <strong>de</strong> gràfic que vulguis i anar seguint els passos. Has <strong>de</strong> jugar una mica per tal<br />
d'entendre que és cada una <strong>de</strong> les coses que et <strong>de</strong>mana.<br />
Exemple:<br />
Num Germans<br />
0 1 2 3 4<br />
Num Germans<br />
Num Germans<br />
30<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
35<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
Num Germans<br />
0 1 2 3 4<br />
Num Germans
En aquesta pantalla 1 <strong>de</strong> 4 escullo quin tipus <strong>de</strong> gràfica vull i Siguiente.<br />
31
En aquesta pantalla 2 <strong>de</strong> 4, em <strong>de</strong>mana si les freqüències les tinc en fila o en columna, (nosaltres en<br />
columna) i quines da<strong>de</strong>s volem, per tant hem <strong>de</strong> seleccionar la columna <strong>de</strong> les da<strong>de</strong>s.<br />
Notem que estem a la pestanya <strong>de</strong> Rango <strong>de</strong> Datos, clickeu a la pestanya <strong>de</strong> Serie, i aquí po<strong>de</strong>u fer<br />
els canvis <strong>de</strong> nom, podreu posar a l'eix <strong>de</strong> les x les unitats que vulgueu... Aneu provant!!!<br />
Anem a Siguiente, i passem a la finestra 3 <strong>de</strong> 4:<br />
32
Aquí simplement, investigueu, ja veureu que en el dibuix us va mostrant què aneu canviant.<br />
Al final feu que en el Document d'Excel, us quedi la taula, i les tres gràfiques. Les podreu fer<br />
petites.<br />
Si voleu po<strong>de</strong>u provar, a més a més, <strong>de</strong> fer un altre estil <strong>de</strong> gràfic.<br />
Ara passem al següent tema:<br />
Recor<strong>de</strong>u que donada una variable estadística, també en sabem calcular el paràmetres.<br />
Programeu la Mitjana, la <strong>de</strong>sviació típica, i l'interval que se'ns crea al voltant <strong>de</strong> la mitjana.<br />
Recor<strong>de</strong>u que a les caselles, si volem posar fórmules, heu <strong>de</strong> posar un = al principi.<br />
De moment només treballem amb estudis d'una sola variable estadística. Més endavant mirarem<br />
com fer estudis bidimensionals.<br />
Sabríeu fer tot el que heu fet si la taula estigués donada sense agrupar-se per freqüències?<br />
Proveu <strong>de</strong> fer algun <strong><strong>de</strong>l</strong> gràfics que heu fet amb la taula que teniu al Document d'Excel: Prova<br />
germans.<br />
33
Estadística bidimensional:<br />
34
Pràctica d'Excel (II) – Matemàtiques Sra. Morera – Març 2008<br />
En aquesta pràctica, farem gràfiques <strong>de</strong> dues dimensions, estudiarem si dues variables estadístiques<br />
estan correlaciona<strong>de</strong>s.<br />
Anem a veure l'exemple <strong><strong>de</strong>l</strong>s apunts:<br />
Introduïm les da<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la taula a l'EXCEL:<br />
Ara inserim un gràfic com fèiem en la pràctica anterior i escollim el <strong>de</strong> XY Dispersió.<br />
Ara com a da<strong>de</strong>s, voldrem seleccionar les dues columnes, i po<strong>de</strong>m seguir fent canvis <strong>de</strong> format com<br />
en la pràctica passada. Quedarà un gràfic d'aquest tipus:<br />
780<br />
760<br />
740<br />
720<br />
700<br />
680<br />
660<br />
640<br />
0 500 1000 1500 2000<br />
37<br />
Sèries1
Ara ens interessaria dibuixar la recta <strong>de</strong> regressió a sobre, per tant, heu <strong>de</strong> picar amb botó dret sobre<br />
un <strong><strong>de</strong>l</strong>s punts blaus <strong>de</strong> la gràfica i escollir Afegeix línia <strong>de</strong> tendència.<br />
Haureu <strong>de</strong> triar <strong>de</strong> tipus lineal (recta), i a la pestanya opcions, haureu <strong>de</strong> fer que surti l'equació <strong>de</strong> la<br />
recta i la R^2, que per nosaltres és la r en valor absolut.<br />
Un cop fet això ha <strong>de</strong> quedar una gràfica <strong><strong>de</strong>l</strong> tipus:<br />
800<br />
700<br />
600<br />
500<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
0<br />
Títol <strong><strong>de</strong>l</strong> gràfic<br />
0 500 1000 1500 2000<br />
Ara po<strong>de</strong>u provar d'inventar-vos uns punts que no estiguin gents relacionats i ja veureu que el núvol<br />
<strong>de</strong> punts quedarà dispers, i comproveu què passa amb el coeficient <strong>de</strong> correlació r.<br />
Un cop fet això po<strong>de</strong>m programar en EXEL les fórmules que facin falta per calcular:<br />
La mitjana d'x,<br />
la mitjana <strong>de</strong> i,<br />
la <strong>de</strong>sviació típica <strong>de</strong> x,<br />
la <strong>de</strong>sviació típica <strong>de</strong> y,<br />
la covariància,<br />
el coeficient <strong>de</strong> correlació r,<br />
la pen<strong>de</strong>nt <strong>de</strong> la recta <strong>de</strong> regressió,<br />
i l'equació <strong>de</strong> la recta.<br />
Per practicar, po<strong>de</strong>u fer en EXEL, els exercicis: 12 <strong>de</strong> la pàg. 5 i 14 <strong>de</strong> la pàg. 10<br />
Aquestes dues pràctiques que he mostrat anteriorment, serveixen per a que coneguin el programa i<br />
que sàpiguen les seves aplicacions, i llavors, basant-me en la i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> la Victòria Oliu, van fer una<br />
enquesta tots els alumnes amb preguntes que van proposar ells, i <strong>de</strong>sprés vam fer una plantilla<br />
comú, com es mostra a la figura, <strong>de</strong> la que cada alumne, o parella d'alumnes, n'havien <strong>de</strong> fer un<br />
estudi exhaustiu.<br />
38<br />
y = -0.0721x + 756.38<br />
R 2 = 0.9893<br />
hola<br />
Lineal (hola)
Enquesta <strong>3r</strong> ESO AMAZÒNIA<br />
Matemàtiques<br />
Persona que fa l'enquesta: Classe.....Num llista......<br />
Sexe (Home/Dona):<br />
Edat:<br />
Quantes vi<strong>de</strong>oconsoles tens?<br />
Quantes hores jugues a la setmana?<br />
Quantes hores fas esport a la setmana?<br />
Quantes hores estudies o treballes a la setmana (fora <strong>de</strong> l'horari lectiu)?<br />
Quantes vega<strong>de</strong>s vas al cinema al mes?<br />
Quantes vega<strong>de</strong>s llegeixes el diari a la setmana?<br />
Quantes hores veus la TV a la setmana?<br />
Quant <strong>de</strong> temps trigues a arreglar-te (contant la dutxa)?<br />
Quants idiomes parles?<br />
Quants cops surts amb els amics al mes?<br />
Quants cigarros fumes al dia?<br />
Quants cafès prens al dia?<br />
Quants viatges fas a l'any?<br />
A quina hora vas a dormir els dies laborables?<br />
Quants llibres llegeixes al mes?<br />
Quantes mascotes tens?<br />
39
Entre tots van construir la següent taula:<br />
A la primera columna, com que eren 75 alumnes, posaven <strong>de</strong> quina classe eren i quin número <strong>de</strong><br />
llista, ja que així si <strong>de</strong>sprés algú <strong>de</strong>tectava algun error, podia saber <strong>de</strong> qui es tractava, i es podia<br />
confirmar.<br />
Cada alumne o parella d'alumnes havien <strong>de</strong> fer l'estudi <strong>de</strong> 2 variables, calculant-ne els paràmetres i<br />
fent-ne gràfics i <strong>de</strong>sprés fer l'estudi bidimensional <strong><strong>de</strong>l</strong> que havien triat.<br />
Després <strong>de</strong> fer aquestes pràctiques, l'examen també era en EXCEL, <strong>de</strong> manera individual com es<br />
mostra a continuació:<br />
40
41<br />
(Examen <strong>de</strong> Carlota Bozal, d'Amazònia A)
Combinatòria i Probabilitat bàsica:<br />
Primer <strong>de</strong> tot, introdueixo tot el tema <strong>de</strong> combinatòria, perquè tinguin nocions <strong>de</strong> com contar. Fem<br />
variacions, Permutacions i Combinacions, d'una manera intuïtiva on són ells els que van <strong>de</strong>scobrint<br />
la fórmula.<br />
Per fer una introducció a la probabilitat, primer calculem en un quadre a la pissarra, quines po<strong>de</strong>n<br />
ser les sumes <strong>de</strong> dos daus, i <strong>de</strong>sprés cada parella va llençant els daus, i va apuntant, i va sortint<br />
realment, la probabilitat que hauria <strong>de</strong> tenir assignada.<br />
Després faig una altra pràctica en la que dins d'un tub negre hi poso diferents bales, (caniques) <strong>de</strong><br />
tres colors, i cada alumne fa 4 extraccions, i un va apuntant tots els resultats a la pissarra. Finalment,<br />
ells han <strong>de</strong> treure conclusions <strong>de</strong> quantes boles hi ha aproximadament, i quantes hi ha <strong>de</strong> cada color.<br />
42
També només a mo<strong>de</strong> d'introducció, perquè no entra al <strong>temari</strong>, vam fer un problema, on els<br />
es<strong>de</strong>veniments no eren equiprobables, i per comprovar-ho, van programar un codi en C++, que<br />
verificava la resposta.<br />
Codi <strong><strong>de</strong>l</strong> Programa:<br />
/*<br />
Problema 1 - Amazònia E<br />
Tinc dos anells iguals i me'ls he <strong>de</strong> posar a la mateixa mà.<br />
Quina és la probabilitat <strong>de</strong> que me'ls posi els dos en el mateix dit?<br />
*/<br />
#inclu<strong>de</strong> <br />
#inclu<strong>de</strong> <br />
#inclu<strong>de</strong> <br />
using namespace std;<br />
int main (){<br />
int dit_1,dit_2,resultat=0;<br />
double n;<br />
coutn;<br />
srand( (unsigned)time( NULL ) ); // Inicialitza la funció Random<br />
for (int i=0;i
}<br />
//Es mostren els resultats<br />
cout
Geometria analítica bàsica:<br />
Resum <strong>de</strong> geometria analítica – Matemàtiques -- Sra. Morera<br />
Definicions <strong>de</strong> tipus <strong>de</strong> triangles:<br />
Triangle escalè:<br />
Triangle isòsceles:<br />
Triangle rectangle:<br />
Triangle equilàter:<br />
45
Triangle rectangle isòsceles:<br />
Definicions <strong>de</strong> tipus <strong>de</strong> quadrilàters:<br />
Quadrilàter: Polígon <strong>de</strong> 4 costats.<br />
Trapezi: Si dos costats oposats són paral·lels.<br />
46
Trapezi isòsceles:<br />
Trapezi recte:<br />
Paral·lelogram: Quadrilàter que té els costats paral·lels dos a dos.<br />
47
Rombe: Paral·lelogram que té tos els costats iguals.<br />
Punts característics d'un triangle:<br />
48
Tipus d'angles iguals:<br />
49
Propietats d'angles i cercles:<br />
50
Teorema <strong>de</strong> Thales:<br />
En aquest tema, la metodologia, és seguir el llibre, i és al final, quan fem una pràctica per veure les<br />
aplicacions <strong>de</strong> Thales a la realitat. Prefereixo fer-ho així, ja que tenen els conceptes clars.<br />
L'enunciat <strong>de</strong> la pràctica és molt senzill: A quina distància estem nosaltres <strong>de</strong> la torre <strong>de</strong> Collserola,<br />
(que es veu <strong>de</strong>s <strong>de</strong> la finestra <strong>de</strong> l'aula)?<br />
Llavors, el material que tenim és el que tenim a l'aula, i ordinador, projector, i el tub preparat per<br />
fer mesures...<br />
Primer <strong>de</strong> tot, miren pel tub, i han <strong>de</strong> buscar 2 punts característics <strong>de</strong> la torre, per po<strong>de</strong>r-los <strong>de</strong>finir.<br />
En aquest cas, veien entre els fils <strong>de</strong>s <strong><strong>de</strong>l</strong> terra fins on s'acaben els pisos.<br />
Per Internet van buscar quan mesura la torre, però només <strong>de</strong>ia que mesurava 288 m, <strong>de</strong> terra fins a<br />
la punta <strong>de</strong> l'antena, per tant, molts <strong>de</strong>ien que no ens servia, però amb l'ajuda <strong><strong>de</strong>l</strong> projector, vam<br />
projectar una fotografia i vam fer raons <strong>de</strong> proporcionalitat, per trobar quan mesurava la part que<br />
ens interessava. Ens va sortir 170m (en realitat és 205m), i ja vam po<strong>de</strong>r fer el problema, amb tots<br />
els errors que comporta, al no estar en perpendicular exactament, però aproximadament, va donar<br />
que estava a 2'5 km, i <strong>de</strong>sprés ho vam po<strong>de</strong>r comprovar amb el Google Maps, i efectivament.<br />
51
Transformacions geomètriques. Translacions, Girs i Simetries<br />
(Axials, i Centrals):<br />
Primer <strong>de</strong> tot, explico a classe què són les transformacions, <strong><strong>de</strong>l</strong> pla i quins tipus estudiarem.<br />
Després, baixem a la sala d'informàtica a fer la següent pràctica per parelles.<br />
L'objectiu és que es familiaritzin amb el programa i amb els tipus <strong>de</strong> transformacions.<br />
Pràctica <strong>de</strong> Transformacions Geomètriques (I)– Sra. Morera – Maig 2008<br />
Aquesta pràctica, està separada en 2 parts, la primera és més explicativa <strong>de</strong> com funciona el<br />
programa Geogebra, i la segona és <strong>de</strong> <strong>de</strong>scoberta, on amb l'ajuda <strong><strong>de</strong>l</strong> programa, haureu <strong>de</strong> <strong>de</strong>duir<br />
unes propietats <strong>de</strong> les transformacions geomètriques en el pla.<br />
Com entrar al programa? Anem a la web: www.geogebra.org<br />
Allà anem a la icona Webstart-Teleinicio, <strong>de</strong>sprés al botó Geogebra WebStart i s'obrirà directament.<br />
Recorda que les 3 transformacions que nosaltres estudiem són: Translacions, Girs i Simetries<br />
(Axials i Centrals), així doncs ara anem a aprendre com es fa cadascun d'aquests moviments en<br />
Geogebra.<br />
Translacions: Necessitem una figura i un vector. La figura la po<strong>de</strong>u crear com a polígon.<br />
El vector el crearem amb el botó “Vector entre dos puntos”:<br />
53
Ara pots comprovar que tots els vèrtex <strong><strong>de</strong>l</strong> polígon els pots moure i els dos extrems <strong><strong>de</strong>l</strong> vector,<br />
també. Encara no tens cap element <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt.<br />
Ara anem a fer la translació amb el botó “Traslada objeto acor<strong>de</strong> a vector”. Primer hauràs <strong>de</strong> picar<br />
el botó, <strong>de</strong>sprés el polígon, i <strong>de</strong>sprés el vector, i ell sol, ja farà la translació.<br />
Ara pots comprovar que el segon polígon no te'l <strong>de</strong>ixa moure, en canvi, el primer i el vector sí.<br />
Si vols provar si encaixa, pots agafar el vector pel mig, i portar-lo sobre qualsevol punt <strong><strong>de</strong>l</strong> primer<br />
polígon, a veure si la fletxa arriba al mateix punt <strong><strong>de</strong>l</strong> 2n polígon. Ja veuràs com sí!<br />
Recorda que si vols fer això hauràs <strong>de</strong> tenir el botó Neutre marcat:<br />
54
Girs: Necessitaràs una figura que la pots crear com abans, i un punt que serà el centre <strong><strong>de</strong>l</strong> gir.<br />
Ara suposarem que hem fer un gir concret <strong>de</strong> 35º. Doncs amb el botó “Rota objeto en torno a punto,<br />
el ángulo indicado”, seguint les instruccions que ens digui, farem el gir antihorari.<br />
55
I llavors, si fem “Aplica”, ell sol ens farà la rotació o gir.<br />
56
Si vols, pots comprovar que pots moure tots els punts <strong><strong>de</strong>l</strong> primer polígon, i el centre <strong>de</strong> gir, però no<br />
els punts <strong><strong>de</strong>l</strong> polígon imatge.<br />
Si realment vols comprovar que ha girat 35º, el que pots fer és fer-te segments que vagin <strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
punts “semblants” al centre <strong>de</strong> gir i <strong>de</strong>manar-li l'angle que es forma entre ells, com es mostra a la<br />
següent figura:<br />
Així ja has vist com es fan els girs amb geogebra, però anem a introduir els punts lliscants, perquè<br />
així no hauràs <strong>de</strong> <strong>de</strong>cidir el gir que vols fer, sinó que el podràs modificar al moment.<br />
Amb el botó <strong>de</strong>slizador, crearem un segment que el pots col·locar a una banda <strong><strong>de</strong>l</strong> dibuix:<br />
57
Es dirà alpha, serà un angle, i anirà <strong>de</strong> 0º a 360º, així podrem fer qualsevol gir.<br />
Si fem “Aplicar”, ens el crearà on l'havíem col·locat. Ara falta fer el gir <strong>de</strong> alpha graus, en comptes<br />
<strong>de</strong> 35º.<br />
Farem un gir normal, com abans, però ens pararem a la finestreta on ens <strong>de</strong>manava <strong>de</strong> quants graus<br />
ha <strong>de</strong> ser el gir:<br />
58
Po<strong>de</strong>u tenir problemes per escriure la alpha, però a la dreta la teniu posada, només que clickeu allà,<br />
ja es posarà.<br />
Si ara fem “Aplica”, ens farà el gir <strong><strong>de</strong>l</strong>s graus que indiqui el punt lliscant que hem creat abans.<br />
Veiem-ho!<br />
59
Pregunta:<br />
Ara que ja tens construït un gir qualsevol, investiga una mica. Podries trobar una altra manera <strong>de</strong><br />
aconseguir la figura <strong>de</strong>sprés <strong>de</strong> fer un gir <strong>de</strong> 180º, que no sigui fent un gir??<br />
Simetries axials: Ara tornarem a necessitar una figura , i una recta.<br />
60
Ara per fer la simetria, ho farem amb el botó “Refleja objeto en recta”. I el programa ja farà la<br />
simetria axial.<br />
Pots comprovar que realment les dues figures estan a la mateixa distància <strong>de</strong> la recta, fent segments<br />
que uneixin dos punts “semblants”, i construint el punt mig <strong><strong>de</strong>l</strong> segment, i veureu com cau sobre la<br />
recta.<br />
61
Abans <strong>de</strong> passar al següent punt, po<strong>de</strong>u jugar una mica amb la posició relativa <strong>de</strong> la recta respecte la<br />
figura. Què passa si li passa per sobre? I si està més aprop o més lluny???<br />
Simetria central: Necessitarem el polígon i un centre, respecte el qual farem la simetria.<br />
Amb el botó “Refleja objecto por punto”, crearem la simetria central, amb les instruccions que ens<br />
dóna el botó.<br />
Pregunta: Què observes, s'assembla a alguna transformació estudiada amb anterioritat??<br />
62
Pràctica <strong>de</strong> Transformacions Geomètriques (II)– Sra. Morera – Maig 2008<br />
Aquesta és la segona part d'aquesta pràctica <strong>de</strong> transformacions, on ara us toca investigar a<br />
vosaltres.<br />
Amb el que veu aprendre a la 1a pràctica, ja sabeu fer les 4 transformacions bàsiques, contant els<br />
dos tipus <strong>de</strong> simetries. Ara es tracta <strong>de</strong> composar aquestes transformacions bàsiques, i esbrinar una<br />
mica què passa...<br />
Jo començaré amb 3 exemples, que potser serien els més fàcils <strong>de</strong> trobar:<br />
Què passa si composem 2 translacions??<br />
Proveu <strong>de</strong> fer una figura en Geogebra que representi aquesta situació a veure què <strong>de</strong>scobriu.<br />
Si no us en sortiu, aneu a aquest link 2 Translacions, i jugueu amb les figures que ja estan<br />
construï<strong>de</strong>s.<br />
Contesta les següents preguntes:<br />
1.- Quina relació hi ha entre les 3 flors? Com pots arribar a construir cada una?<br />
2.- Sabries dir el valor <strong>de</strong> cada vector?<br />
3.- Com podríem passar <strong>de</strong> la flor <strong>de</strong> colors a la marró directament? Defineix amb rigor la<br />
transformació.<br />
Què passa si composem 2 girs??<br />
Proveu <strong>de</strong> construir una situació on es doni aquest cas, si no, po<strong>de</strong>u clicar sobre: 2 Girs<br />
63
Contesta les següents preguntes:<br />
1.- Quina relació hi ha entre les 3 flors? Com pots arribar a construir cada una?<br />
2.- Com podríem passar <strong>de</strong> la flor <strong>de</strong> colors a la marró directament? Defineix amb rigor la<br />
transformació.<br />
Què passa si composem 2 simetries axials on les rectes es tallen?<br />
Construïu vosaltres una figura i <strong>de</strong>sprés comprove-ho amb la figura següent: 2 Simetries Axials<br />
talla<strong>de</strong>s.<br />
Contesta les següents preguntes:<br />
64
1.- Quina relació hi ha entre les 3 flors? Com pots arribar a construir cada una?<br />
2.- Com podríem passar <strong>de</strong> la flor <strong>de</strong> colors a la marró directament? Defineix amb rigor la<br />
transformació.<br />
Què passa si composem 2 simetries axials on les rectes són paral·leles?<br />
Construïu vosaltres una figura i <strong>de</strong>sprés comprove-ho amb la figura següent:2 Simetries Axials<br />
paral.<br />
Contesta les següents preguntes:<br />
1.- Quina relació hi ha entre les 3 flors? Com pots arribar a construir cada una?<br />
2.- Com podríem passar <strong>de</strong> la flor <strong>de</strong> colors a la marró directament? Defineix amb rigor la<br />
transformació.<br />
Què passa si composem 2 simetries centrals?<br />
Construïu vosaltres una figura i <strong>de</strong>sprés comprove-ho amb la figura següent:<br />
Contesta les següents preguntes:<br />
65
1.- Quina relació hi ha entre les 3 flors? Com pots arribar a construir cada una?<br />
2.- Com podríem passar <strong>de</strong> la flor <strong>de</strong> colors a la marró directament? Defineix amb rigor la<br />
transformació.<br />
3.- Si els dos centres <strong>de</strong> les simetries coinci<strong>de</strong>ixen, què passa?<br />
Ara fes volar la imaginació, i pensa altres composicions, no fa falta que siguin 2, po<strong>de</strong>n ser <strong>de</strong><br />
3 transformacions o més. Analitza què passa, i explica-ho amb rigor.<br />
66
Trigonometria bàsica:<br />
A final <strong>de</strong> curs, només com a introducció <strong>de</strong> la trigonometria bàsica, farem una pràctica <strong>de</strong> mesurar<br />
els edificis <strong>de</strong> l'escola, amb eines construï<strong>de</strong>s pels alumnes amb transportadors i fils, perquè<br />
<strong>de</strong>scobreixin la importància <strong>de</strong> la trigonometria, i en quins problemes es po<strong>de</strong>n trobar.<br />
Encara no tinc cap material, perquè encara no ho hem dut a terme, però quan ho faci, ho incloure en<br />
aquest gran petit recull.<br />
67
Hores d'estudi / Substitucions: Joc <strong><strong>de</strong>l</strong>s gratacels:<br />
68
Aquest joc, ha creat furor entre els alumnes, els hi recorda una mica als sudokus, i cada un va traient<br />
les seves pròpies regles. No les hem fet a classe, perquè crec, igual que amb els sudokus, cadascú ha<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>senvolupar la seva pròpia forma <strong>de</strong> resoldre'ls.<br />
Tot i així, si que els hi he proposat <strong>de</strong> que posin per escrit les regles que vagin trobant.<br />
El que és una llàstima, és que no en trobin molts per Internet, i tampoc es troben massa llibres.<br />
69
Convivències: Pràctica:<br />
Aquesta pràctica va sorgir com a confluència <strong>de</strong> dues i<strong>de</strong>es: Una va ser, com vam estudiar al<br />
postgrau el fet <strong>de</strong> fer problemes <strong>de</strong> mo<strong><strong>de</strong>l</strong>ització reals, on els alumnes haguessin <strong>de</strong> buscar les<br />
da<strong>de</strong>s, i l'altra va ser d'una conferència que es va fer aquest any a les Jorna<strong>de</strong>s <strong>de</strong> l'Abeam, a la<br />
FME, on es parlava <strong>de</strong> Viatges i Matemàtiques. Unint els dos conceptes, vaig pensar <strong>de</strong> fer una<br />
pràctica abans <strong>de</strong> fer el viatge <strong>de</strong> convivències <strong>de</strong> <strong>3r</strong>, als Pirineus francesos.<br />
MATES per les CONVIS!!!!<br />
Activitats <strong>de</strong> Matemàtiques per les convivències <strong>de</strong> <strong>3r</strong> <strong>d'ESO</strong><br />
Aquest cop si que estem a punt d'entrar en una nova dimensió! Estem a punt <strong>de</strong> marxar <strong>de</strong><br />
viatge... però no serà un viatge qualsevol...<br />
... serà un viatge, on hi farem matemàtiques, també!<br />
Com ja <strong>de</strong>veu <strong>de</strong> saber, anem al Parc Natural <strong>de</strong> Neuville, però ben bé, què en sabem d'aquest<br />
Parc?<br />
Els següents exercicis, no són fàcils, tipus problemes <strong>de</strong> classe, si no que són problemes<br />
d'investigació. Us heu <strong>de</strong> moure, buscar per Internet, preguntar... Ja veureu que qui s'acosti<br />
més a les solucions, obtindrà una recompensa!!! Si teniu qualsevol dubte recor<strong>de</strong>u, que<br />
sempre po<strong>de</strong>u enviar a: lmorera@aula-ee.com<br />
1.- Nocions <strong>de</strong> geometria(1): (Àrees i superfícies)<br />
• Busca en un mapa la zona <strong><strong>de</strong>l</strong> Parc Natural, imprimeix-la i busca en quina escala<br />
està.<br />
• Ara busca un mapa <strong>de</strong> Barcelona o <strong>de</strong> Catalunya, o d'Andorra (<strong><strong>de</strong>l</strong> que creguis<br />
més convenient), i compara les superfícies, pots enganxar una a sobre <strong>de</strong> l'altra, pots<br />
fer-te preguntes com: Quantes vega<strong>de</strong>s és més gran Catalunya que el Parc Natural, si<br />
es que és més gran... VIGILA LES ESCALES! Potser has <strong>de</strong> fer fotocòpies reduï<strong>de</strong>s o<br />
amplia<strong>de</strong>s, per a que estiguin en la mateixa escala.<br />
• Pots trobar les da<strong>de</strong>s <strong>de</strong> les superfícies <strong><strong>de</strong>l</strong> Parc i <strong>de</strong> Catalunya, i comprovar si les<br />
teves conjectures són certes...<br />
2.- Nocions <strong>de</strong> geometria(2): (Distàncies)<br />
• Quants kilòmetres <strong>de</strong> distància hi ha entre Barcelona i el Parc Natural? I entre<br />
l'escola Aula, i l'alberg on dormirem??? Obrim aquí un 1r concurs, el grup que més<br />
s'acosti al resultat real, (ja que li <strong>de</strong>manarem al conductor que posi el<br />
comptaquilòmetres a 0), obtindrà un meravellós premi!!!!<br />
• Ara que ja sabeu els kilòmetres, ja po<strong>de</strong>u calcular aproximadament quant<br />
trigarem, conteu que els autocars tenen una velocitat limitada i unes para<strong>de</strong>s<br />
obligatòries! (Espavileu-vos per preguntar-ho als conductors!) 2n Concurs: El grup<br />
que aproximi millor el temps que trigarem tindrà un altre premi!<br />
• Ara que ja sabeu quant trigarem, calculeu quantes cançons podrem escoltar si en<br />
mitjana cada cançó dura n minuts! Calcula també quant duren les cançons en mitjana!<br />
70
3.- Mesures:<br />
• Busca les temperatures d'aquesta zona en diferents èpoques, i en diferents anys.<br />
Estudiant els resultats que obtinguis, podries fer alguna predicció???? Això ja és més<br />
difícil, eh?<br />
4.- La Súper Pregunta!!!!!:<br />
• Allà per la zona hi ha telefèrics per comunicar diverses zones. Busqueu què és una<br />
Catenària, quines propietats té, i a on més po<strong>de</strong>m trobar-ne... (Si busqueu a la<br />
wikipèdia, feu-ho en anglès, que surten moltíssimes més coses!)<br />
Aquí tenim un exemple <strong>de</strong> pràctica d'uns alumnes. Només havien <strong>de</strong> triar 1 <strong><strong>de</strong>l</strong>s tres primers<br />
exercicis i fer el 4 obligatòriament.<br />
2.- Nocions <strong>de</strong> geometria(2): (Distàncies)<br />
Entre Barcelona i el Parc Natural sense<br />
escales ( sense passar per Carcassona ) hi ha<br />
344 km i en teoria s’hi tarda 4h. i 20 minuts<br />
més un <strong>de</strong>scans <strong>de</strong> mitja hora i <strong>de</strong> dues hores<br />
per esmorzar i dinar. En total 6 hores i 50<br />
minuts. Però aquí no passem per Carcassona.<br />
Tenint en compte que la mitjana <strong>de</strong> les<br />
cançons és <strong>de</strong> 3 minuts i 15 segons. Com que<br />
en els <strong>de</strong>scansos no escoltem musica<br />
escoltarem unes 80 cançons. ( si escoltem<br />
música en els <strong>de</strong>scansos escoltarem 126<br />
cançons )<br />
Entre Barcelona i el Parc Natural parant a<br />
Carcassona hi ha 541 km i en teoria s’hi tarda 5<br />
hores i mitja sense parar. Hem <strong>de</strong> parar dos cops<br />
un per esmorzar ( 30 min ) i per dinar (2 hores i<br />
30 minuts). Tardarem unes 8 hores i mitja. Si<br />
consi<strong>de</strong>rem que la mitjana <strong>de</strong> duració d’una cançó és <strong>de</strong> 3 minuts i 15 segons escoltarem amb els <strong>de</strong>scansos<br />
inclosos 157 cançons. Si no escoltem cançons en els <strong>de</strong>scansos, cosa probable, escoltarem 101 cançons.<br />
71
Min/can.<br />
Per<br />
Carcassone No<br />
2 165 130<br />
2,25 146,667 115<br />
2,5 132 104<br />
2,75 120 94,5<br />
3 110 86,6<br />
3,25 101,538 79,9<br />
3,5 94,2857 74,2<br />
3,75 88 69,3<br />
4 82,5 65<br />
4,25 77,6471 61,1<br />
4,5 73,3333 57,7<br />
4.- Ampliació:<br />
· Allà per la zona hi ha telefèrics per comunicar diverses zones. Busqueu què és una<br />
Catenària, quines propietats té, i a on més po<strong>de</strong>m trobar-ne... (Si busqueu a la<br />
wikipèdia, feu-ho en anglès, que surten moltíssimes més coses!)<br />
Una catenària és la corba que <strong>de</strong>scriu una ca<strong>de</strong>na suspesa pels seus extrems i que es troben<br />
es troben sotmesos a un camp gravitatori uniforme. Po<strong>de</strong>m trobar aquest tipus <strong>de</strong> corba en llocs com<br />
els cables <strong>de</strong> la línia elèctrica <strong>de</strong> alta tensió, entre dues torres.<br />
Per extensió la catenària és en matemàtiques la corba que adopta una ca<strong>de</strong>na o cable<br />
perfectament i<strong>de</strong>al perfectament flexible, amb massa distribuïda uniformement per unitat <strong>de</strong><br />
longitud, suspesa pels seus extrems i sotmesa a l’acció <strong>de</strong> un camp gravitatori uniforme.<br />
La equació <strong>de</strong> la catenària, agafant que el seu mínim és ( 0,a) és:<br />
En la qual:<br />
On To és la component horitzontal <strong>de</strong> la tensió, que és constant i P és el pes per unitat <strong>de</strong><br />
longitud <strong><strong>de</strong>l</strong> fil.<br />
Si es <strong>de</strong>senvolupa la funció s’obté:<br />
72
que correspon a l'equació <strong>de</strong> la paràbola més d’un terme <strong>de</strong> 4t or<strong>de</strong>.<br />
Po<strong>de</strong>m trobar la catenària a les columnes <strong>de</strong> la Sagrada Família que segueixen una catenària<br />
perquè Gaudí va dissenyar-la al revés posant pesos per <strong>de</strong>formar una cosa plana. També ho po<strong>de</strong>m<br />
trobar en qualsevol cable sospès entre dos pals.<br />
Ferran Alet, Carlos Horas, Joan Albanell d'Amazònia I<br />
En aquest pràctica, la última pregunta, que pot ser d'un nivell més avançat, en el moment d'entregar<br />
la pràctica, pot ser que molts no l'hagin entès, per això, quan sortim, en aquest cas a França, com<br />
que jo vaig amb ells, quan en veiem els hi pregunto, i els hi vaig explicant altra vegada, o ho<br />
expliquen ells, i en aquest cas, per exemple, en trobem en diferents situacions. El que pretenc és que<br />
ja ho hagin buscat, encara que sigui sense acabar-ho d'entendre, per po<strong>de</strong>r-hi fer referències més<br />
endavant.<br />
73
Club <strong>de</strong> les Matemàtiques. Material divers:<br />
A l'escola, pels alumnes que es volen quedar <strong>de</strong> <strong>3r</strong> d'Eso fins a 2n <strong>de</strong> Batxillerat, hi ha el Club <strong>de</strong> les<br />
Matemàtiques.<br />
Estan separats en 2 grups, <strong>3r</strong> i 4t, ho fan els dilluns, i 1r i 2n <strong>de</strong> Batxillerat, els dimecres. Es que<strong>de</strong>n<br />
1'30h, i fem activitats d'ampliació. També fem jocs d'enginy i <strong>de</strong> lògica.<br />
Aquest any hem aconseguit una sala, <strong>de</strong>stinada a fer un recull <strong>de</strong> tot el material, i fem les classes <strong>de</strong><br />
Club <strong>de</strong> les Matemàtiques allà.<br />
De cara a un futur, m'agradaria po<strong>de</strong>r donar les classes ordinàries en una sala d'aquestes<br />
característiques, encara que <strong>de</strong> moment no es pot, ja que l'espai és massa limitat.<br />
Col·lecció <strong>de</strong> Jocs <strong>de</strong> Fusta, i altres jocs <strong>de</strong> construccions <strong>de</strong> poliedres.<br />
74
Col·lecció <strong>de</strong> llibres <strong>de</strong> matemàtiques. Jocs <strong>de</strong> taulell.<br />
Recull <strong>de</strong> problemes, concursos, notícies...<br />
75
Sobre la pissarra tenim tot l'abecedari grec.<br />
Helicoi<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>coració.<br />
76
Llibre <strong>de</strong> Sant Jordi:<br />
A l'escola, cada classe fa un llibre per Sant Jordi. Cada tutor s'encarrega d'escollir un tema amb els<br />
seus alumnes, i dur-lo a terme.<br />
A la meva classe hem fet un tema interdisciplinari amb la col·laboració d'altres professores:<br />
Anglès – Matemàtiques – Dibuix Tècnic<br />
El tema era triar edificis on ells veiessin contingut matemàtic. Havien d'explicar en anglès aquest<br />
contingut matemàtic i fer-ne la representació amb dibuix tècnic (Regle i compàs).<br />
Aquí en veiem alguns exemples:<br />
La Torre <strong>de</strong> Collserola i el Triangle <strong>de</strong> Relaux:<br />
77
La Geo<strong>de</strong> <strong>de</strong> París i les triangulacions:<br />
L' Òpera <strong>de</strong> Sidney i les seccions d'esfera.:<br />
78
Pensaments finals:<br />
Fer aquest recull m'ha fet adonar <strong>de</strong> que poc a poc estic assolint el meu somni, que era crear-me tot<br />
<strong>de</strong> material per po<strong>de</strong>r explicar les matemàtiques d'una manera més visual, més dinàmica i més<br />
engrescadora <strong>de</strong> com m'ho havien fet a mi. Veig que vaig per bon camí, però també m'ha fet adonar<br />
<strong>de</strong> que aquest camí és molt llarg i encara falta molta feina...<br />
Potser el fet <strong>de</strong> que sigui el meu segon any <strong>de</strong> pràctica laboral, també fa que encara tingui molts<br />
projectes a mitges.<br />
El Postgrau crec que m'ha aportat molts recursos, materials i i<strong>de</strong>es, que que m'han fet obrir els ulls, i<br />
en alguns casos, m'han ajudat a tirar endavant algunes petites i<strong>de</strong>es que tenia en ment, com explicar<br />
l'Estadística amb Excel, o la Geometria, amb Geogebra.<br />
Crec que formar-se en aquesta línia és molt necessari, sobretot en el meu cas on la Llicenciatura <strong>de</strong><br />
Matemàtiques no em va donar mai una formació ni informació d'aquest tipus exceptuant la pròpia<br />
assignatura <strong>de</strong> Didàctica <strong>de</strong> la Matemàtica.<br />
Aquest curs també m'ha servit per engrescar-me a seguir estudiant en aquesta línia, i potser fer un<br />
Màster o fins i tot un Doctorat en un futur.<br />
La meva valoració ha estat molt positiva.<br />
Gràcies,<br />
Laura Morera<br />
79
80<br />
Laura Morera Úbeda