Materials didàctics del temari de 3r d'ESO - Diploma de ...

Materials didàctics
del temari de 3r
d'ESO
Laura Morera Úbeda
Maig 2008
Diploma de matemàtiques per a la secundària

Índex:
Índex:....................................................................................................................................................1
Motivació i estructura:..........................................................................................................................2
Metodologia del curs:...........................................................................................................................3
Programa de 3r d'ESO – Aula Escola Europea:....................................................................................4
Identitats Notables:...............................................................................................................................5
Demostracions. Inducció:.....................................................................................................................8
Equacions, Inequacions, Sistemes d'Equacions i Sistemes d'Inequacions:........................................13
Estadística bàsica:...............................................................................................................................23
Paràmetres estadístics:........................................................................................................................27
Estadística bidimensional:..................................................................................................................34
Combinatòria i Probabilitat bàsica:....................................................................................................42
Geometria analítica bàsica:.................................................................................................................45
Teorema de Thales:.............................................................................................................................51
Transformacions geomètriques. Translacions, Girs i Simetries (Axials i Centrals):..........................53
Trigonometria bàsica:.........................................................................................................................67
Hores d'estudi / Substitucions. Joc dels Gratacels:.............................................................................68
Convivències. Pràctica:......................................................................................................................70
Club de les Matemàtiques. Material divers:.......................................................................................74
Llibre de St. Jordi:..............................................................................................................................77
Pensaments finals:..............................................................................................................................79
1

Motivació i estructura:
Quan ha arribat l'hora de fer el projecte d'aquest postgrau, primer no sabia quin tema escollir. He
aplicat molts conceptes nous en gairebé tots els temes del curs. Així que, què millor que ordenar tot
aquest material i acabar de crear el del 3r trimestre.
Primer donaré una visió general del curs i més endavant mostraré tema per tema els materials.
Aquest és el meu segon any de pràctica docent. Crear tot el material de zero, a la vegada que
donava les classes, era complicat, i aquest segon any, amb l'ajuda dels recursos que m'ha ofert el
postgrau, he pogut completar els temaris, afegint-hi pràctiques, manipulacions, noves tecnologies...
M'he centrat en el curs de 3r d'ESO, ja que té un temari més variat i els materials són més diversos.
Si analitzem el temari de 3r, durant el 1r trimestre, ens basem el l'àlgebra i el càlcul. També fem
estudis d'equacions, inequacions, i sistemes. En global aprenen a usar la Wiris, per entendre
gràficament què són les expressions algebraiques. Dels temes en concret, també fem alguna pràctica
que després explicaré.
El 2n trimestre és d'Estadística, Combinatòria i Probabilitat. El programa d'ordinador que utilitzem
és l'EXCEL, i així poden estudiar conceptes més reals.
També és interessant que aprenguin com va el programa per satisfer les seves necessitats d'aprendre
ofimàtica. A l'escola, la informàtica que fan és programació en LOGO i en C++, i l'ofimàtica, està
repartida en diferents matèries.
També fan alguna pràctica que després detallaré.
Finalment, el 3r trimestre, fem geometria, i ens centrem en el programa Geogebra. L'han agafat amb
molt entusiasme, tot i que era completament desconegut per ells.
Les pràctiques específiques en aquest cas, són dels temes de Thales i de Trigonometria.
Després d'aquest repàs global, m'agradaria fer un recull dels materials propis que utilitzo a cada
tema, i mostrar alguna de les pràctiques que fem i quins són els resultats.
2

Metodologia del curs:
En el curs de 3r d'ESO, els alumnes, és la primera vegada que em tenen de professora. M'agrada
molt, perquè així des d'un principi estableixo una connexió molt dinàmica i interactiva amb ells.
L'eina bàsica de comunicació informàtica de la que disposem a l'escola és la sessió d'Obert, on els
professors podem penjar tot tipus de documents, i els alumnes hi poden accedir amb la seva conta i
descarregar-s'ho. A mi el que no m'agrada és la unidireccionalitat de la comunicació, per això em
decanto més al mail.
Des de principi de curs, tinc totes les adreces de mail de tots els alumnes organitzades per classes, i
ells tenen la meva.
La principal utilitat que li dono, és enviar als alumnes documents, com powerpoints de teoria,
resums dels temes que hem anat fent, la resolució d'algun exercici, etc.
També envio per mail els enunciats de les pràctiques que han de fer amb els programes informàtics,
i ells me les han d'entregar via mail.
En els casos que han fet l'examen a l'ordinador, també els hi envio al moment per mail, i me'l
retornen al final de la classe.
I evidentment, em serveix per estar localitzable sempre i poder resoldre dubtes quan ells estan
estudiant a casa.
També he aprofitat els mails, per enviar curiositats matemàtiques, com algun capítol dels Simpsons,
o alguna demostració visual.
A part de tota la comunicació que establim per mail, els alumnes, tenen la llibreta on han de fer tots
els exercicis que se'ls hi proposa.
De cara a un futur no molt llunyà, m'agradaria crear una pàgina web, interactiva, amb xats i posts, i
amb molt material, on els alumnes la poguessin tenir molt a l'abast.
3

Programa de 3r ESO -- Aula Escola Europea:
1r trimestre: (ÀLGEBRA I CÀLCUL -- WIRIS)
• Identitats notables.
• Demostracions. Inducció.
• Equacions, Inequacions, Sistemes d'Equacions i Sistemes d'Inequacions.
2n trimestre: (ESTADÍSTICA -- EXCEL)
• Estadística bàsica.
• Paràmetres estadístics.
• Estadística bidimensional.
• Probabilitat bàsica.
3r trimestre: (GEOMETRIA -- GEOGEBRA)
• Geometria analítica bàsica.
• Teorema de Thales.
• Transformacions geomètriques. Translacions, Girs i Simetries (Axials, i Centrals).
• Trigonometria bàsica.
Hores d'estudi/Substitucions: Joc dels gratacels.
Convivències: Pràctica
Club de les Matemàtiques: Material divers.
Llibre de Sant Jordi
4

Identitats notables:
Durant aquest tema, seguim el llibre de text Trapeze, i aprofito per comentar una mica el caire
didàctic d'aquest llibre. És un llibre, on cada tema, comença amb uns exercicis guiats, on el que
potencien és la deducció, i que siguin els alumnes qui dedueixin la teoria. Després hi ha un resum
del tema, i després hi ha exercicis per posar en pràctica els conceptes que s'hagin explicat.
Per complementar el tema, encara que al llibre es fan les demostracions de les 3 identitats notables,
també faig les demostracions visuals construïdes en cartolina.
En aquestes fotografies, es veu com un quadrat d' (a+b) de costat, també es pot escriure com una
composició d'un quadrat de costat a, un de costat b, i dos rectangles d' a·b.
ab 2 =a 2 2abb 2
5

En aquesta fotografia es veu com un quadrat d' (a-b) de costat es pot escriure com un quadrat de
costat a, i traient-li 2 parts d' a·b d'àrea. Llavors, es veu com les dues parts negres queden
encavalcades i això vol dir que hem intentat treure un tros 2 vegades, per tant, l'hem de tornar a
posar i hem d'afegir el quadrat de costat b.
a−b 2 =a 2 −2abb 2
6

En aquestes fotografies es mostra com un quadrat de costat a menys un quadrat de costat b, és el
mateix qua fer un rectangle d' (a-b) per un d' (a+b) si la part petita vertical la posem sobre la gran
blava en horitzontal.
ab ·a−b=a 2 −b 2
7

Demostracions. Inducció:
Aquest tema, és el més teòric del curs, i el que faig és explicar-ho posant molts exemples i seguint
aquest guió que em vaig crear. No li dono gaire importància al moment a tota la introducció, però
durant tot el curs, van sortint conceptes, i els vaig fent recordar.
Bàsicament, el que sí que fem èmfasi, és en la inducció. Explico el concepte d'induir
matemàticament, amb l'activitat del dòmino, i amb altres exemples que mostraré al final d'aquest
capítol.
Mètodes de raonament i demostració
Una demostració és el procés de deducció que permet deduir de les definicions, mitjançant regles
de deducció matemàtica, un cert teorema, lema, proposició o corol·lari determinat.
Definicions:
Un teorema és una afirmació que pot ser demostrada com certa dins d’un marc lògic.
Demostrar teoremes és una activitat central en matemàtiques.
Un teorema generalment conté un número de condicions que han de ser enumerades o
aclarides prèviament y que es denominen hipòtesis. També existeix una conclusió, una afirmació
matemàtica, la qual és certa sota les condicions en les que es treballa. El contingut informatiu del
teorema és la relació que existeix entre la hipòtesi i la conclusió.
En matemàtiques una afirmació ha de ser interessant o important dins la comunitat
matemàtica per a ser considerada un teorema. Las afirmacions menys importants es denominen:
• Lema: una afirmació que forma part d’un teorema més llarg. Per suposat, la distinció entre
teoremes y lemes és arbitraria.
• Corol·lari: una afirmació que segueix immediatament a un teorema. Una proposició A és un
corol·lari d’una proposició o teorema B si A pot ser deduïda senzillament de B.
• Proposició: un resultat no associat a cap teorema en particular.
Una afirmació matemàtica que es creu vertadera però no ha estat demostrada es denomina
conjectura o hipòtesi. Per exemple: la conjectura de Goldbach:
• La conjectura de Goldbach (anomenada por primera vegada en una carta de C
Goldbach a Euler al 1742): Qualsevol nombre parell més gran que 2 és suma de
dos nombres primers. Alguns exemples:
4=2+2 6=3+3 8=5+3
10=7+3 12=7+5 14=11+3
16=13+3 18=13+5 20=17+3
8

Aquesta conjectura ha estat verificada fins a 100000000000000, però encara no s'ha
trobat un argument matemàtic que demostri que és certa per tot nombre parell.
Una tautologia és una proposició que sempre és certa, per exemple 1 = 1.
Una contradicció és una proposició que sempre és falsa, per exemple 0 = 1.
Diem que dues proposicions p i q són equivalents si p és certa estrictament quan q és certa
(per tant q és falsa estrictament si q és falsa). En aquest cas la notació utilitzada és: p ≡ q.
Una manera molt important de formar una nova proposició a partir de proposicions donades
és la implicació que s’escriu p ⇒ q , “si p aleshores q” o “p implica q”. En aquest cas, p és
la hipòtesi i q és la conclusió de la implicació.
La implicació p ⇒ q és equivalent a la implicació no q ⇒ no p, que rep el nom de contra
recíproc de la implicació p ⇒ q.
Si tenim una implicació p ⇒ q, llavors també es pot formar la proposició q ⇒ p, que rep el
nom de recíproc de la implicació p ⇒ q. El recíproc NO és un equivalent lògic de la
implicació.
Tipus de demostracions:
· Demostracions per contra exemple
Volem veure que és fals que tots els elements d’un conjunt compleixin una certa propietat.
Només hem de trobar un element del conjunt que no compleixi la propietat. Haurem trobat
un contra exemple.
Exemple: Demostrar que la operació “resta” (a-b) no és commutativa:
Demostració: Considerem a=3 i b=5.
( a − b)
= 3 − 5 = − 2
Aleshores,
( b − a)
= 5 − 3 = 2
Com que hem trobat a i b particulars tals que
( a − b)
≠ ( b − a)
Podem dir que en general no és cert que ( a − b)
= ( b − a)
q.e.d.
“quod erat demonstrandum” (Com volíem demostrar)
· Demostracions directes
Tenim 2 proposicions. Volem demostrar p ⇒ q.
La demostració directa de p ⇒
r1 , r2
, rn
tal que
q requereix la construcció d’una cadena de proposicions
p r r r rn
q ⇒
⇒
⇒ , , 1 1 2
Exemple: Demostrar que k ⋅ ( a − b)
= ka − kb
9

· Demostracions indirectes
Aquest tipus de demostracions són molt habituals, per exemple, en cas d’haver de demostrar
la unicitat d’algun concepte.
· Demostracions pel contra recíproc
Enlloc de demostrar p ⇒ q, es pot provar no q ⇒ no p.
Exemple: Demostrar que si m, n són dos nombres naturals tals que m + n ≥ 10 ,
aleshores m ≥ 5 o n ≥ 5 .
Demostració: Si la conclusió és falsa, llavors es compleix m < 5 i n < 5 .
Al sumar desigualtats, obtenim m + n < 5 + 5 = 10,
per tant la hipòtesi és falsa. Així
doncs, m + n ≥ 10 si m ≥ 5 o n ≥ 5 . Q.e.d.
· Demostració per reducció a l’absurd
Per demostrar p ⇒ q el mètode de reducció a l’absurd consisteix a suposar com a
certa no q (és a dir, suposar que q és falsa) i raonar lògicament fins a arribar a una
contradicció amb la hipòtesi p.
Quan passa això, es diu que la contradicció prové de suposar que la tesi era falsa (o
que l’absurd ha estat aquesta suposició).
· Demostracions sense paraules o visuals.
· Demostració per inducció
El mètode de demostració per inducció és molt útil en cas de voler demostrar qualsevol
fórmula que es compleixi per a tots els nombres naturals. La propietat més fonamental de N
és el principi d’inducció, que veurem tot seguit.
Per explicar el concepte d'inducció, utilitzo la idea d'un dòmino, quan posem totes les seves peces
formant una cadena, i que sabem, que a partir de la que tirem, cauran totes les següents. Només falta
que tirem la primera per veure que llavors cauen totes.
Fem demostracions bàsiques. I en alguns casos dedueixen ells la fórmula que ha de donar.
Exemples: Quan calculem la suma dels n primers nombres naturals. Ells dedueixen quan ha de ser a
partir de deduir quan és la suma dels 100 primers, i expliquem la història de Gauss.
Quan calculem la suma dels primers n nombres senars, també fem la demostració visual, de posar
les boles en forma de quadrat...
10

En aquest tema, per a que vegin la importància de l'expressió en les matemàtiques, i per a que
siguin ordenats i estructurats en les seves explicacions i deduccions lògiques, fem una pràctica que
tot seguit explicaré:
11

Donat un dibuix abstracte com mostra la figura, els alumnes s'asseuen esquena amb esquena amb el
company. Llavors, la figura es penja a una banda de la classe, per tal de que només els que estan de
cara la vegin. Els que estan d'esquena, hauran d'anar dibuixant el que el company els hi vagi
descrivint.
Hi ha unes normes molt senzilles, però molt importants que són:
– Els que dicten, no poden girar-se per mirar com ho està fent l'altre.
– Els que dicten, no poden preguntar si l'altre ho ha entès, han d'anar al seu ritme.
– Els que dibuixen, no poden dir res, silenci absolut. No poden demanar repeticions.
Jo faig amb dos figures diferents que tothom pugui fer les dues coses (dictar i dibuixar), i després en
traiem conclusions.
Normalment, els que han dictat amb un cert ordre, els companys han dibuixat millor.
Els que dicten més a poc a poc, ajuden a que l'altre no es perdi.
Es veu la importància de començar definint bé les coses, dient si el full es vertical o horitzontal, per
exemple.
I moltes altres coses, que depèn del grup poden observar.
12

Equacions, Inequacions, Sistemes d'Equacions i Sistemes
d'Inequacions:
En aquests temes, introdueixo la Wiris, com a programa per comprovar les seves pròpies solucions,
però en cap cas per trobar arrels sense haver de fer càlculs. Crec que és important que també
sàpiguen resoldre les equacions o inequacions amb els mètodes tradicionals i que no els oblidin.
Trobo molt important, però, que sempre al resoldre una equació o inequació vegin el sentit gràfic
que té.
Tot seguit adjunto un resum del tema, que com podem veure, està resolt primer a mà, i després les
gràfiques estan fetes amb la Wiris. Això és el que fan els alumnes quan fan els exercicis.
EQUACIONS:
Repàs d'equacions, inequacions i sistemes
1 variable: Poden ser de diferents graus, però només hi haurà una “lletra”.
3x2x= x
2 3
6x3x 2 x6
= Posem denominador comú
2
12x6x 2 =x6 Passem el 2 a multiplicar
6x 2 11x−6=0 Passem tots els termes a una banda
x= −11±112−4·6·−6 =
2·6
−11±121144
=
12
−11±265
12
13
={
0' 43
−2' 27}

2 variables: Les de primer grau seran rectes, i les de segon paràboles. Com que només
tenim 1 equació però tenim 2 variables, té infinites solucions, l'única manera d'expressar la
solució, és gràficament.
3y=2x−1 y
2y=2x−1 Passem els termes amb y a una bada, i els altres a l'altra.
y= 2x−1
2
Aïllem la y completament
y=x− 1
Ja tenim la forma de la recta. Fent una petita taula de valors, la representarem
2
gràficament.
SISTEMES D'EQUACIONS:
2 variables: Poden ser de diferents graus.
a)
{ y=3x−2
2y=8x }
Interpretació gràfica: són dues rectes, pot ser que es tallin,que siguin
{
paral·leles, o que siguin coincidents...
y=3x−2
y=4x } Simplifiquem
3x−2=4x Resolem el sistema per igualació
−2= x Ja tenim la coordenada x del punt on es tallen les dues rectes.
y=4x=4·−2=−8 Trobem el valor de la coordenada y.
14

El punt solució on es tallen les dues rectes, és el punt: x , y=−2,−8
b)
{ y=2x2 −5x3
y=2x1 } Interpretació gràfica: Són una paràbola i una recta, pot ser que es tallin
en dos punts, que siguin tangents en un punt, o que no es toquin.
2x 2 −5x3=2x1 Resolem el sistema per igualació.
2x 2 −7x2=0 Passem tots els termes a un costat.
x= −7±72 −4·2·2
2·2
= −7±33
4
y=2x1=2 3' 181=7 ' 36
y=2x1=2 0' 3151=1' 63
={ 3' 18
0' 315}
Ja tenim les coordenades x dels punts on es
tallaran la paràbola amb la recta.
Aquestes són les coordenades y, del punts,
respectivament.
15

Els punts solució on es tallen la paràbola i la recta, són els punts:
INEQUACIONS:
1 variable: Poden ser de diferents graus, però només hi haurà una “lletra”.
a)
x32x−83
2x 2 6x−83 Apliquem la distributiva
2x 2 6x−110 Passem tots els termes a una banda
x , y =3' 18,7' 36
x , y =0 ' 315,1 ' 63
x= −6±62−4·2·−11 =
2·2
−6±3688
=
4
−6±124 1' 28
Ara ja hem trobat els
4 −4' 28}
dos punts límits on la paràbola tallaria l'eix de les x, però ens preguntem quines són les x que fan
que la paràbola sigui positiva o igual a zero. Com que la paràbola té les branques cap amunt, les x
de la solució seran les externes: x∈−∞ ,−4 ' 28]∪[1 ' 28,∞
16
={

)
3x2
x 2 −16 0 Per què una fracció sigui positiva poden passar dues coses:
o −
−
Recordem que el denominador mai pot ser 0!!! Recordeu la meva xapa de prohibit dividir
per 0!!!
Per tant poden passar una d'aquestes coses:
1. { 3x20
x 2 −160}
Si resolem les dues inequacions per separat, tenim:
17

La solució d'aquest sistema és el que és solució de les dues inequacions alhora, que
és: x∈4,∞
2. { 3x20
x 2 −160}
Si resolem les dues inequacions per separat, tenim:
La solució d'aquest sistema és el que és solució de les dues inequacions alhora, que
és: x∈−4,− 2
3 ]
Per tant la solució final de la inequació inicial és: x∈−4,− 2
3 ]∪4,∞
18

2 variables: Poden ser de diferents graus.
y3x2 Només la podem resoldre gràficament. Busquem tots els punts del pla tals
que satisfan aquesta inequació, per tant la solució serà un semiplà, limitat per
la recta: y=3x2 .
SISTEMES D'INEQUACIONS:
Anem a veure si el (0,0), pertany a la solució:
03·02 ?
02 ? SI
2 variables: Poden ser de diferents graus.
{ y3x2
Només el podem resoldre gràficament. El mètode de resolució és
y−x3}
com si fossin dues inequacions tractades de manera independent,
finalment la solució, BLAU, seran els punts del pla que satisfan alhora
les dues inequacions.
Recordem que les rectes que marquen la frontera, la primera serà discontinua, i la segona
continua, ja que els signes de la desigualtat ho marquen.
(0,0) pertany a la solució de la primera? SI
(0,0) pertany a la solució de la segona? SI
19

La solució del sistema són els punts del pla que pertanyen a la zona de color blau.
Dins d'aquest tema, per introduir les inequacions d'una manera visual, fem la pràctica d'assignar a
cada alumne unes coordenades, i amb les taules juntes, sense espais als passadissos, s'han d'aixecar
els alumnes que satisfan... l'equació o inequació que escrivim a la pissarra. Aquest joc va molt bé,
perquè vegin quins alumnes pertanyen a la frontera entre els que s'aixequen i els que no, i quines
característiques compleixen les seves coordenades: són els que satisfan la igualtat.
20

Finalment, per aplicar aquests conceptes a problemes, i que no sigui tot el tema a base d'exercicis,
tinc uns blocs de problemes, que tot seguit en penjaré un exemple:
Problemes d'ampliació 3:
1.- Si el producte de dos nombres és positiu i la seva diferència és major que dos, expressa en el pla,
tots els punts que compleixen aquestes condicions.
2.- Quins nombres verifiquen que el seu quadrat més el seu invers doni un resultat positiu?
3.- Per quins valors d’a podem assegurar que la inequació 2 6 0
2
x − ax + < no té solució? Què
s’hauria de modificar en l’equació per tal que la solució fossin tots els reals?
2
4.- Per a quins valors de a l’equació x − 5x
+ a = 0 tindrà dos arrels reals diferents?
5.- Quins són els nombres pels quals el seu triple supera al seu doble en més de 8 unitats?
6.- Per a que 2
1 − x tingui sentit, els valors de x han de complir una condició. A quina inequació
ens porta aquesta condició? Resol-la!
BONUS:
7.- Un nombre capicua de cinc xifres verifica: (Selectivitat PAAU, 1997)
a) La suma de les seves xifres és 9.
b) La xifra de les centenes és igual a la de les unitats més la de les desenes.
c) Si s’intercanvien les xifres de les unitats i desenes, el nombre resultant disminueix en 9.
22

Estadística bàsica:
És la primera vegada que veuen el tema d'Estadística, i primer faig una introducció als gràfics
estadístics. El material que he creat per aquest tema és aquest powerpoint, que inclou els exercicis
que han d'anar fent. Aquest el vaig passant durant les hores de classe, mentre fan els exercicis,
individualment, en parelles, o per grups de 4, segons els hi indiqui.
23

Paràmetres estadístics:
La metodologia de treball d'aquest tema és el mateix que en l'anterior, treball a classe, amb el
powerpoint. Després de fer aquests 2 temes, si que fan una pràctica amb Excel, que es mostra a
continuació.
27

A part dels Powerpoints, que seria la part més teòrica, han de fer aquesta pràctica a l'ordinador, per
tal d'aprendre a usar l'EXCEL, i per veure gràficament els exercicis de teoria. Durant un parell de
classes, baixem a la sala d'ordinadors a fer la pràctica.
Pràctica d'Estadística amb Exel (I)-- Matemàtiques Sra. Morera -- Febrer 08
Recorda que hem estudiat diferents tipus de gràfiques que podem fer d'una variable estadística.
Exercici 1:
Amb la següents taula de freqüències:
35
30
25
20
15
10
5
0
Dibuixa un Diagrama de Barres, un Diagrama de sectors i un polígon de freqüències.
Els gràfics els podràs fer des de: Insertar – Gráfico
Hauràs de triar el tipus de gràfic que vulguis i anar seguint els passos. Has de jugar una mica per tal
d'entendre que és cada una de les coses que et demana.
Exemple:
Num Germans
0 1 2 3 4
Num Germans
Num Germans
30
0
1
2
3
4
35
30
25
20
15
10
5
0
Num Germans
0 1 2 3 4
Num Germans

En aquesta pantalla 1 de 4 escullo quin tipus de gràfica vull i Siguiente.
31

En aquesta pantalla 2 de 4, em demana si les freqüències les tinc en fila o en columna, (nosaltres en
columna) i quines dades volem, per tant hem de seleccionar la columna de les dades.
Notem que estem a la pestanya de Rango de Datos, clickeu a la pestanya de Serie, i aquí podeu fer
els canvis de nom, podreu posar a l'eix de les x les unitats que vulgueu... Aneu provant!!!
Anem a Siguiente, i passem a la finestra 3 de 4:
32

Aquí simplement, investigueu, ja veureu que en el dibuix us va mostrant què aneu canviant.
Al final feu que en el Document d'Excel, us quedi la taula, i les tres gràfiques. Les podreu fer
petites.
Si voleu podeu provar, a més a més, de fer un altre estil de gràfic.
Ara passem al següent tema:
Recordeu que donada una variable estadística, també en sabem calcular el paràmetres.
Programeu la Mitjana, la desviació típica, i l'interval que se'ns crea al voltant de la mitjana.
Recordeu que a les caselles, si volem posar fórmules, heu de posar un = al principi.
De moment només treballem amb estudis d'una sola variable estadística. Més endavant mirarem
com fer estudis bidimensionals.
Sabríeu fer tot el que heu fet si la taula estigués donada sense agrupar-se per freqüències?
Proveu de fer algun del gràfics que heu fet amb la taula que teniu al Document d'Excel: Prova
germans.
33

Estadística bidimensional:
34

Pràctica d'Excel (II) – Matemàtiques Sra. Morera – Març 2008
En aquesta pràctica, farem gràfiques de dues dimensions, estudiarem si dues variables estadístiques
estan correlacionades.
Anem a veure l'exemple dels apunts:
Introduïm les dades de la taula a l'EXCEL:
Ara inserim un gràfic com fèiem en la pràctica anterior i escollim el de XY Dispersió.
Ara com a dades, voldrem seleccionar les dues columnes, i podem seguir fent canvis de format com
en la pràctica passada. Quedarà un gràfic d'aquest tipus:
780
760
740
720
700
680
660
640
0 500 1000 1500 2000
37
Sèries1

Ara ens interessaria dibuixar la recta de regressió a sobre, per tant, heu de picar amb botó dret sobre
un dels punts blaus de la gràfica i escollir Afegeix línia de tendència.
Haureu de triar de tipus lineal (recta), i a la pestanya opcions, haureu de fer que surti l'equació de la
recta i la R^2, que per nosaltres és la r en valor absolut.
Un cop fet això ha de quedar una gràfica del tipus:
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Títol del gràfic
0 500 1000 1500 2000
Ara podeu provar d'inventar-vos uns punts que no estiguin gents relacionats i ja veureu que el núvol
de punts quedarà dispers, i comproveu què passa amb el coeficient de correlació r.
Un cop fet això podem programar en EXEL les fórmules que facin falta per calcular:
La mitjana d'x,
la mitjana de i,
la desviació típica de x,
la desviació típica de y,
la covariància,
el coeficient de correlació r,
la pendent de la recta de regressió,
i l'equació de la recta.
Per practicar, podeu fer en EXEL, els exercicis: 12 de la pàg. 5 i 14 de la pàg. 10
Aquestes dues pràctiques que he mostrat anteriorment, serveixen per a que coneguin el programa i
que sàpiguen les seves aplicacions, i llavors, basant-me en la idea de la Victòria Oliu, van fer una
enquesta tots els alumnes amb preguntes que van proposar ells, i després vam fer una plantilla
comú, com es mostra a la figura, de la que cada alumne, o parella d'alumnes, n'havien de fer un
estudi exhaustiu.
38
y = -0.0721x + 756.38
R 2 = 0.9893
hola
Lineal (hola)

Enquesta 3r ESO AMAZÒNIA
Matemàtiques
Persona que fa l'enquesta: Classe.....Num llista......
Sexe (Home/Dona):
Edat:
Quantes videoconsoles tens?
Quantes hores jugues a la setmana?
Quantes hores fas esport a la setmana?
Quantes hores estudies o treballes a la setmana (fora de l'horari lectiu)?
Quantes vegades vas al cinema al mes?
Quantes vegades llegeixes el diari a la setmana?
Quantes hores veus la TV a la setmana?
Quant de temps trigues a arreglar-te (contant la dutxa)?
Quants idiomes parles?
Quants cops surts amb els amics al mes?
Quants cigarros fumes al dia?
Quants cafès prens al dia?
Quants viatges fas a l'any?
A quina hora vas a dormir els dies laborables?
Quants llibres llegeixes al mes?
Quantes mascotes tens?
39

Entre tots van construir la següent taula:
A la primera columna, com que eren 75 alumnes, posaven de quina classe eren i quin número de
llista, ja que així si després algú detectava algun error, podia saber de qui es tractava, i es podia
confirmar.
Cada alumne o parella d'alumnes havien de fer l'estudi de 2 variables, calculant-ne els paràmetres i
fent-ne gràfics i després fer l'estudi bidimensional del que havien triat.
Després de fer aquestes pràctiques, l'examen també era en EXCEL, de manera individual com es
mostra a continuació:
40

41
(Examen de Carlota Bozal, d'Amazònia A)

Combinatòria i Probabilitat bàsica:
Primer de tot, introdueixo tot el tema de combinatòria, perquè tinguin nocions de com contar. Fem
variacions, Permutacions i Combinacions, d'una manera intuïtiva on són ells els que van descobrint
la fórmula.
Per fer una introducció a la probabilitat, primer calculem en un quadre a la pissarra, quines poden
ser les sumes de dos daus, i després cada parella va llençant els daus, i va apuntant, i va sortint
realment, la probabilitat que hauria de tenir assignada.
Després faig una altra pràctica en la que dins d'un tub negre hi poso diferents bales, (caniques) de
tres colors, i cada alumne fa 4 extraccions, i un va apuntant tots els resultats a la pissarra. Finalment,
ells han de treure conclusions de quantes boles hi ha aproximadament, i quantes hi ha de cada color.
42

També només a mode d'introducció, perquè no entra al temari, vam fer un problema, on els
esdeveniments no eren equiprobables, i per comprovar-ho, van programar un codi en C++, que
verificava la resposta.
Codi del Programa:
/*
Problema 1 - Amazònia E
Tinc dos anells iguals i me'ls he de posar a la mateixa mà.
Quina és la probabilitat de que me'ls posi els dos en el mateix dit?
*/
#include
#include
#include
using namespace std;
int main (){
int dit_1,dit_2,resultat=0;
double n;
coutn;
srand( (unsigned)time( NULL ) ); // Inicialitza la funció Random
for (int i=0;i

}
//Es mostren els resultats
cout

Geometria analítica bàsica:
Resum de geometria analítica – Matemàtiques -- Sra. Morera
Definicions de tipus de triangles:
Triangle escalè:
Triangle isòsceles:
Triangle rectangle:
Triangle equilàter:
45

Triangle rectangle isòsceles:
Definicions de tipus de quadrilàters:
Quadrilàter: Polígon de 4 costats.
Trapezi: Si dos costats oposats són paral·lels.
46

Trapezi isòsceles:
Trapezi recte:
Paral·lelogram: Quadrilàter que té els costats paral·lels dos a dos.
47

Rombe: Paral·lelogram que té tos els costats iguals.
Punts característics d'un triangle:
48

Tipus d'angles iguals:
49

Propietats d'angles i cercles:
50

Teorema de Thales:
En aquest tema, la metodologia, és seguir el llibre, i és al final, quan fem una pràctica per veure les
aplicacions de Thales a la realitat. Prefereixo fer-ho així, ja que tenen els conceptes clars.
L'enunciat de la pràctica és molt senzill: A quina distància estem nosaltres de la torre de Collserola,
(que es veu des de la finestra de l'aula)?
Llavors, el material que tenim és el que tenim a l'aula, i ordinador, projector, i el tub preparat per
fer mesures...
Primer de tot, miren pel tub, i han de buscar 2 punts característics de la torre, per poder-los definir.
En aquest cas, veien entre els fils des del terra fins on s'acaben els pisos.
Per Internet van buscar quan mesura la torre, però només deia que mesurava 288 m, de terra fins a
la punta de l'antena, per tant, molts deien que no ens servia, però amb l'ajuda del projector, vam
projectar una fotografia i vam fer raons de proporcionalitat, per trobar quan mesurava la part que
ens interessava. Ens va sortir 170m (en realitat és 205m), i ja vam poder fer el problema, amb tots
els errors que comporta, al no estar en perpendicular exactament, però aproximadament, va donar
que estava a 2'5 km, i després ho vam poder comprovar amb el Google Maps, i efectivament.
51

Transformacions geomètriques. Translacions, Girs i Simetries
(Axials, i Centrals):
Primer de tot, explico a classe què són les transformacions, del pla i quins tipus estudiarem.
Després, baixem a la sala d'informàtica a fer la següent pràctica per parelles.
L'objectiu és que es familiaritzin amb el programa i amb els tipus de transformacions.
Pràctica de Transformacions Geomètriques (I)– Sra. Morera – Maig 2008
Aquesta pràctica, està separada en 2 parts, la primera és més explicativa de com funciona el
programa Geogebra, i la segona és de descoberta, on amb l'ajuda del programa, haureu de deduir
unes propietats de les transformacions geomètriques en el pla.
Com entrar al programa? Anem a la web: www.geogebra.org
Allà anem a la icona Webstart-Teleinicio, després al botó Geogebra WebStart i s'obrirà directament.
Recorda que les 3 transformacions que nosaltres estudiem són: Translacions, Girs i Simetries
(Axials i Centrals), així doncs ara anem a aprendre com es fa cadascun d'aquests moviments en
Geogebra.
Translacions: Necessitem una figura i un vector. La figura la podeu crear com a polígon.
El vector el crearem amb el botó “Vector entre dos puntos”:
53

Ara pots comprovar que tots els vèrtex del polígon els pots moure i els dos extrems del vector,
també. Encara no tens cap element dependent.
Ara anem a fer la translació amb el botó “Traslada objeto acorde a vector”. Primer hauràs de picar
el botó, després el polígon, i després el vector, i ell sol, ja farà la translació.
Ara pots comprovar que el segon polígon no te'l deixa moure, en canvi, el primer i el vector sí.
Si vols provar si encaixa, pots agafar el vector pel mig, i portar-lo sobre qualsevol punt del primer
polígon, a veure si la fletxa arriba al mateix punt del 2n polígon. Ja veuràs com sí!
Recorda que si vols fer això hauràs de tenir el botó Neutre marcat:
54

Girs: Necessitaràs una figura que la pots crear com abans, i un punt que serà el centre del gir.
Ara suposarem que hem fer un gir concret de 35º. Doncs amb el botó “Rota objeto en torno a punto,
el ángulo indicado”, seguint les instruccions que ens digui, farem el gir antihorari.
55

I llavors, si fem “Aplica”, ell sol ens farà la rotació o gir.
56

Si vols, pots comprovar que pots moure tots els punts del primer polígon, i el centre de gir, però no
els punts del polígon imatge.
Si realment vols comprovar que ha girat 35º, el que pots fer és fer-te segments que vagin des de
punts “semblants” al centre de gir i demanar-li l'angle que es forma entre ells, com es mostra a la
següent figura:
Així ja has vist com es fan els girs amb geogebra, però anem a introduir els punts lliscants, perquè
així no hauràs de decidir el gir que vols fer, sinó que el podràs modificar al moment.
Amb el botó deslizador, crearem un segment que el pots col·locar a una banda del dibuix:
57

Es dirà alpha, serà un angle, i anirà de 0º a 360º, així podrem fer qualsevol gir.
Si fem “Aplicar”, ens el crearà on l'havíem col·locat. Ara falta fer el gir de alpha graus, en comptes
de 35º.
Farem un gir normal, com abans, però ens pararem a la finestreta on ens demanava de quants graus
ha de ser el gir:
58

Podeu tenir problemes per escriure la alpha, però a la dreta la teniu posada, només que clickeu allà,
ja es posarà.
Si ara fem “Aplica”, ens farà el gir dels graus que indiqui el punt lliscant que hem creat abans.
Veiem-ho!
59

Pregunta:
Ara que ja tens construït un gir qualsevol, investiga una mica. Podries trobar una altra manera de
aconseguir la figura després de fer un gir de 180º, que no sigui fent un gir??
Simetries axials: Ara tornarem a necessitar una figura , i una recta.
60

Ara per fer la simetria, ho farem amb el botó “Refleja objeto en recta”. I el programa ja farà la
simetria axial.
Pots comprovar que realment les dues figures estan a la mateixa distància de la recta, fent segments
que uneixin dos punts “semblants”, i construint el punt mig del segment, i veureu com cau sobre la
recta.
61

Abans de passar al següent punt, podeu jugar una mica amb la posició relativa de la recta respecte la
figura. Què passa si li passa per sobre? I si està més aprop o més lluny???
Simetria central: Necessitarem el polígon i un centre, respecte el qual farem la simetria.
Amb el botó “Refleja objecto por punto”, crearem la simetria central, amb les instruccions que ens
dóna el botó.
Pregunta: Què observes, s'assembla a alguna transformació estudiada amb anterioritat??
62

Pràctica de Transformacions Geomètriques (II)– Sra. Morera – Maig 2008
Aquesta és la segona part d'aquesta pràctica de transformacions, on ara us toca investigar a
vosaltres.
Amb el que veu aprendre a la 1a pràctica, ja sabeu fer les 4 transformacions bàsiques, contant els
dos tipus de simetries. Ara es tracta de composar aquestes transformacions bàsiques, i esbrinar una
mica què passa...
Jo començaré amb 3 exemples, que potser serien els més fàcils de trobar:
Què passa si composem 2 translacions??
Proveu de fer una figura en Geogebra que representi aquesta situació a veure què descobriu.
Si no us en sortiu, aneu a aquest link 2 Translacions, i jugueu amb les figures que ja estan
construïdes.
Contesta les següents preguntes:
1.- Quina relació hi ha entre les 3 flors? Com pots arribar a construir cada una?
2.- Sabries dir el valor de cada vector?
3.- Com podríem passar de la flor de colors a la marró directament? Defineix amb rigor la
transformació.
Què passa si composem 2 girs??
Proveu de construir una situació on es doni aquest cas, si no, podeu clicar sobre: 2 Girs
63

Contesta les següents preguntes:
1.- Quina relació hi ha entre les 3 flors? Com pots arribar a construir cada una?
2.- Com podríem passar de la flor de colors a la marró directament? Defineix amb rigor la
transformació.
Què passa si composem 2 simetries axials on les rectes es tallen?
Construïu vosaltres una figura i després comprove-ho amb la figura següent: 2 Simetries Axials
tallades.
Contesta les següents preguntes:
64

1.- Quina relació hi ha entre les 3 flors? Com pots arribar a construir cada una?
2.- Com podríem passar de la flor de colors a la marró directament? Defineix amb rigor la
transformació.
Què passa si composem 2 simetries axials on les rectes són paral·leles?
Construïu vosaltres una figura i després comprove-ho amb la figura següent:2 Simetries Axials
paral.
Contesta les següents preguntes:
1.- Quina relació hi ha entre les 3 flors? Com pots arribar a construir cada una?
2.- Com podríem passar de la flor de colors a la marró directament? Defineix amb rigor la
transformació.
Què passa si composem 2 simetries centrals?
Construïu vosaltres una figura i després comprove-ho amb la figura següent:
Contesta les següents preguntes:
65

1.- Quina relació hi ha entre les 3 flors? Com pots arribar a construir cada una?
2.- Com podríem passar de la flor de colors a la marró directament? Defineix amb rigor la
transformació.
3.- Si els dos centres de les simetries coincideixen, què passa?
Ara fes volar la imaginació, i pensa altres composicions, no fa falta que siguin 2, poden ser de
3 transformacions o més. Analitza què passa, i explica-ho amb rigor.
66

Trigonometria bàsica:
A final de curs, només com a introducció de la trigonometria bàsica, farem una pràctica de mesurar
els edificis de l'escola, amb eines construïdes pels alumnes amb transportadors i fils, perquè
descobreixin la importància de la trigonometria, i en quins problemes es poden trobar.
Encara no tinc cap material, perquè encara no ho hem dut a terme, però quan ho faci, ho incloure en
aquest gran petit recull.
67

Hores d'estudi / Substitucions: Joc dels gratacels:
68

Aquest joc, ha creat furor entre els alumnes, els hi recorda una mica als sudokus, i cada un va traient
les seves pròpies regles. No les hem fet a classe, perquè crec, igual que amb els sudokus, cadascú ha
de desenvolupar la seva pròpia forma de resoldre'ls.
Tot i així, si que els hi he proposat de que posin per escrit les regles que vagin trobant.
El que és una llàstima, és que no en trobin molts per Internet, i tampoc es troben massa llibres.
69

Convivències: Pràctica:
Aquesta pràctica va sorgir com a confluència de dues idees: Una va ser, com vam estudiar al
postgrau el fet de fer problemes de modelització reals, on els alumnes haguessin de buscar les
dades, i l'altra va ser d'una conferència que es va fer aquest any a les Jornades de l'Abeam, a la
FME, on es parlava de Viatges i Matemàtiques. Unint els dos conceptes, vaig pensar de fer una
pràctica abans de fer el viatge de convivències de 3r, als Pirineus francesos.
MATES per les CONVIS!!!!
Activitats de Matemàtiques per les convivències de 3r d'ESO
Aquest cop si que estem a punt d'entrar en una nova dimensió! Estem a punt de marxar de
viatge... però no serà un viatge qualsevol...
... serà un viatge, on hi farem matemàtiques, també!
Com ja deveu de saber, anem al Parc Natural de Neuville, però ben bé, què en sabem d'aquest
Parc?
Els següents exercicis, no són fàcils, tipus problemes de classe, si no que són problemes
d'investigació. Us heu de moure, buscar per Internet, preguntar... Ja veureu que qui s'acosti
més a les solucions, obtindrà una recompensa!!! Si teniu qualsevol dubte recordeu, que
sempre podeu enviar a: lmorera@aula-ee.com
1.- Nocions de geometria(1): (Àrees i superfícies)
• Busca en un mapa la zona del Parc Natural, imprimeix-la i busca en quina escala
està.
• Ara busca un mapa de Barcelona o de Catalunya, o d'Andorra (del que creguis
més convenient), i compara les superfícies, pots enganxar una a sobre de l'altra, pots
fer-te preguntes com: Quantes vegades és més gran Catalunya que el Parc Natural, si
es que és més gran... VIGILA LES ESCALES! Potser has de fer fotocòpies reduïdes o
ampliades, per a que estiguin en la mateixa escala.
• Pots trobar les dades de les superfícies del Parc i de Catalunya, i comprovar si les
teves conjectures són certes...
2.- Nocions de geometria(2): (Distàncies)
• Quants kilòmetres de distància hi ha entre Barcelona i el Parc Natural? I entre
l'escola Aula, i l'alberg on dormirem??? Obrim aquí un 1r concurs, el grup que més
s'acosti al resultat real, (ja que li demanarem al conductor que posi el
comptaquilòmetres a 0), obtindrà un meravellós premi!!!!
• Ara que ja sabeu els kilòmetres, ja podeu calcular aproximadament quant
trigarem, conteu que els autocars tenen una velocitat limitada i unes parades
obligatòries! (Espavileu-vos per preguntar-ho als conductors!) 2n Concurs: El grup
que aproximi millor el temps que trigarem tindrà un altre premi!
• Ara que ja sabeu quant trigarem, calculeu quantes cançons podrem escoltar si en
mitjana cada cançó dura n minuts! Calcula també quant duren les cançons en mitjana!
70

3.- Mesures:
• Busca les temperatures d'aquesta zona en diferents èpoques, i en diferents anys.
Estudiant els resultats que obtinguis, podries fer alguna predicció???? Això ja és més
difícil, eh?
4.- La Súper Pregunta!!!!!:
• Allà per la zona hi ha telefèrics per comunicar diverses zones. Busqueu què és una
Catenària, quines propietats té, i a on més podem trobar-ne... (Si busqueu a la
wikipèdia, feu-ho en anglès, que surten moltíssimes més coses!)
Aquí tenim un exemple de pràctica d'uns alumnes. Només havien de triar 1 dels tres primers
exercicis i fer el 4 obligatòriament.
2.- Nocions de geometria(2): (Distàncies)
Entre Barcelona i el Parc Natural sense
escales ( sense passar per Carcassona ) hi ha
344 km i en teoria s’hi tarda 4h. i 20 minuts
més un descans de mitja hora i de dues hores
per esmorzar i dinar. En total 6 hores i 50
minuts. Però aquí no passem per Carcassona.
Tenint en compte que la mitjana de les
cançons és de 3 minuts i 15 segons. Com que
en els descansos no escoltem musica
escoltarem unes 80 cançons. ( si escoltem
música en els descansos escoltarem 126
cançons )
Entre Barcelona i el Parc Natural parant a
Carcassona hi ha 541 km i en teoria s’hi tarda 5
hores i mitja sense parar. Hem de parar dos cops
un per esmorzar ( 30 min ) i per dinar (2 hores i
30 minuts). Tardarem unes 8 hores i mitja. Si
considerem que la mitjana de duració d’una cançó és de 3 minuts i 15 segons escoltarem amb els descansos
inclosos 157 cançons. Si no escoltem cançons en els descansos, cosa probable, escoltarem 101 cançons.
71

Min/can.
Per
Carcassone No
2 165 130
2,25 146,667 115
2,5 132 104
2,75 120 94,5
3 110 86,6
3,25 101,538 79,9
3,5 94,2857 74,2
3,75 88 69,3
4 82,5 65
4,25 77,6471 61,1
4,5 73,3333 57,7
4.- Ampliació:
· Allà per la zona hi ha telefèrics per comunicar diverses zones. Busqueu què és una
Catenària, quines propietats té, i a on més podem trobar-ne... (Si busqueu a la
wikipèdia, feu-ho en anglès, que surten moltíssimes més coses!)
Una catenària és la corba que descriu una cadena suspesa pels seus extrems i que es troben
es troben sotmesos a un camp gravitatori uniforme. Podem trobar aquest tipus de corba en llocs com
els cables de la línia elèctrica de alta tensió, entre dues torres.
Per extensió la catenària és en matemàtiques la corba que adopta una cadena o cable
perfectament ideal perfectament flexible, amb massa distribuïda uniformement per unitat de
longitud, suspesa pels seus extrems i sotmesa a l’acció de un camp gravitatori uniforme.
La equació de la catenària, agafant que el seu mínim és ( 0,a) és:
En la qual:
On To és la component horitzontal de la tensió, que és constant i P és el pes per unitat de
longitud del fil.
Si es desenvolupa la funció s’obté:
72

que correspon a l'equació de la paràbola més d’un terme de 4t orde.
Podem trobar la catenària a les columnes de la Sagrada Família que segueixen una catenària
perquè Gaudí va dissenyar-la al revés posant pesos per deformar una cosa plana. També ho podem
trobar en qualsevol cable sospès entre dos pals.
Ferran Alet, Carlos Horas, Joan Albanell d'Amazònia I
En aquest pràctica, la última pregunta, que pot ser d'un nivell més avançat, en el moment d'entregar
la pràctica, pot ser que molts no l'hagin entès, per això, quan sortim, en aquest cas a França, com
que jo vaig amb ells, quan en veiem els hi pregunto, i els hi vaig explicant altra vegada, o ho
expliquen ells, i en aquest cas, per exemple, en trobem en diferents situacions. El que pretenc és que
ja ho hagin buscat, encara que sigui sense acabar-ho d'entendre, per poder-hi fer referències més
endavant.
73

Club de les Matemàtiques. Material divers:
A l'escola, pels alumnes que es volen quedar de 3r d'Eso fins a 2n de Batxillerat, hi ha el Club de les
Matemàtiques.
Estan separats en 2 grups, 3r i 4t, ho fan els dilluns, i 1r i 2n de Batxillerat, els dimecres. Es queden
1'30h, i fem activitats d'ampliació. També fem jocs d'enginy i de lògica.
Aquest any hem aconseguit una sala, destinada a fer un recull de tot el material, i fem les classes de
Club de les Matemàtiques allà.
De cara a un futur, m'agradaria poder donar les classes ordinàries en una sala d'aquestes
característiques, encara que de moment no es pot, ja que l'espai és massa limitat.
Col·lecció de Jocs de Fusta, i altres jocs de construccions de poliedres.
74

Col·lecció de llibres de matemàtiques. Jocs de taulell.
Recull de problemes, concursos, notícies...
75

Sobre la pissarra tenim tot l'abecedari grec.
Helicoide de decoració.
76

Llibre de Sant Jordi:
A l'escola, cada classe fa un llibre per Sant Jordi. Cada tutor s'encarrega d'escollir un tema amb els
seus alumnes, i dur-lo a terme.
A la meva classe hem fet un tema interdisciplinari amb la col·laboració d'altres professores:
Anglès – Matemàtiques – Dibuix Tècnic
El tema era triar edificis on ells veiessin contingut matemàtic. Havien d'explicar en anglès aquest
contingut matemàtic i fer-ne la representació amb dibuix tècnic (Regle i compàs).
Aquí en veiem alguns exemples:
La Torre de Collserola i el Triangle de Relaux:
77

La Geode de París i les triangulacions:
L' Òpera de Sidney i les seccions d'esfera.:
78

Pensaments finals:
Fer aquest recull m'ha fet adonar de que poc a poc estic assolint el meu somni, que era crear-me tot
de material per poder explicar les matemàtiques d'una manera més visual, més dinàmica i més
engrescadora de com m'ho havien fet a mi. Veig que vaig per bon camí, però també m'ha fet adonar
de que aquest camí és molt llarg i encara falta molta feina...
Potser el fet de que sigui el meu segon any de pràctica laboral, també fa que encara tingui molts
projectes a mitges.
El Postgrau crec que m'ha aportat molts recursos, materials i idees, que que m'han fet obrir els ulls, i
en alguns casos, m'han ajudat a tirar endavant algunes petites idees que tenia en ment, com explicar
l'Estadística amb Excel, o la Geometria, amb Geogebra.
Crec que formar-se en aquesta línia és molt necessari, sobretot en el meu cas on la Llicenciatura de
Matemàtiques no em va donar mai una formació ni informació d'aquest tipus exceptuant la pròpia
assignatura de Didàctica de la Matemàtica.
Aquest curs també m'ha servit per engrescar-me a seguir estudiant en aquesta línia, i potser fer un
Màster o fins i tot un Doctorat en un futur.
La meva valoració ha estat molt positiva.
Gràcies,
Laura Morera
79

80
Laura Morera Úbeda