Resolució de problemes a 2n d'ESO - Diploma de matemàtiques per ...
Resolució de problemes a 2n d'ESO - Diploma de matemàtiques per ...
Resolució de problemes a 2n d'ESO - Diploma de matemàtiques per ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>problemes</strong> a <strong>2n</strong> d’ESO<br />
Departament <strong>de</strong> <strong>matemàtiques</strong><br />
IES Almatà – Balaguer
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
Dossier <strong>de</strong>l Crèdit variable <strong>de</strong> <strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> a <strong>2n</strong> d’ESO<br />
Departament <strong>de</strong> <strong>matemàtiques</strong><br />
IES Almatà<br />
Balaguer<br />
Curs 2006 / 07<br />
Professora: Íngrid Giménez<br />
IES Almatà
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Ín<strong>de</strong>x<br />
ÍNDEX<br />
ÍNDEX 3<br />
INTRODUCCIÓ 6<br />
RELACIÓ AMB EL CURRÍCULUM D’ESO 7<br />
OBJECTIUS GENERALS DE L’ETAPA 7<br />
PROCEDIMENTS DE L’ETAPA 7<br />
FETS, CONCEPTES I SISTEMES CONCEPTUALS DE L’ETAPA 8<br />
VALORS, NORMES I ACTITUDS DE L’ETAPA 9<br />
OBJECTIUS TERMINALS DE L’ETAPA 10<br />
FETS, CONCEPTES I SISTEMES CONCEPTUALS / PROCEDIMENTS DE 2N D’ESO 12<br />
Crèdit variable<br />
CRITERIS D’AVALUACIÓ 14<br />
TEMPORITZACIÓ 15<br />
ABANS DE COMENÇAR... 19<br />
COMPRENSIÓ DE L’ENUNCIAT 19<br />
ELABORACIÓ D’UN PLA O ESTRATÈGIA 19<br />
EXECUCIÓ DEL PLA 20<br />
COMPROVACIÓ 20<br />
ALTRES CONSELLS 21<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
PROBLEMES DE GEOMETRIA 25<br />
G1. GUANYADOR DE LA CURSA 25<br />
G2. CÀLCUL D’ÀREES 26<br />
G3. LA CABRA QUE PASTURA 27<br />
G4. DISTÀNCIA A L’INSTITUT 28<br />
G5. EL PARC DE BOMBERS 28<br />
G6. L’ESTANY 28<br />
G7. DESCOBRINT LA FÓRMULA D’EULER 29<br />
G8. ELS POLIMINÓS 30<br />
G9. ELS POLIAMANTS 33<br />
G10. EL PAGÈS I LA BASSA 35<br />
IES Almatà<br />
G11. IGUAL PERÍMETRE 35<br />
G12. EN BUSCA DEL QUADRAT PERDUT 35<br />
G13. VOLUM AMB UN FULL 36<br />
G14. EL CARGOLET PERDUT 36<br />
PROBLEMES DE CAMINS 37<br />
C1. EL CAMÍ MÉS CURT 37<br />
C2. CARRERS DE BARCELONA 37<br />
C3. RECORREGUT PEL MUSEU 38<br />
IES Almatà - Balaguer 3
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Ín<strong>de</strong>x<br />
PROBLEMES DE NOMBRES 41<br />
N1. LA VIDA DE DIOFANT 41<br />
N2. COBRAR EN ESPÈCIES 41<br />
N3. ARRÒS PER SOBREVIURE 42<br />
N4. PROHIBIDA LA CALCULADORA!! 42<br />
N5. REVISTA DEL COR 42<br />
N6. LA DARRERA XIFRA 42<br />
N7. EL 5 I EL 7 42<br />
N8. SUMA DE NOMBRES 42<br />
N9. EL PASTÍS RODÓ 43<br />
N10. ELS ENTERS 43<br />
N11. EL PASTÍS QUADRAT 43<br />
N12. ELS TREBALLADORS DE L’HOTEL 43<br />
N13. LA BALANÇA 44<br />
N14. FEM UN CREUER 44<br />
N15. CISTELL D’OUS 44<br />
Crèdit variable<br />
PROBLEMES DE RECOMPTE 45<br />
R1. RECOMPTE DE QUADRATS 45<br />
R2. RECOMPTE DE TRIANGLES 47<br />
R3. EL MOSAIC DE LA PLAÇA 49<br />
R4. PILÓ DE MONEDES 50<br />
R5. CREU DE MONEDES 51<br />
R6. EL MOSAIC DEL PALAU 52<br />
R8. CASTELL DE CARTES 54<br />
R9. LES FORMIGUES 54<br />
R10. ELS LLUMINS 55<br />
R11. CARES PINTADES 56<br />
R12. TRENQUEM EL CUB 56<br />
R13. LA FONT 56<br />
R14. QUINA CALOR 57<br />
R15. LA TERRASSA 57<br />
R16. BEN RECTE 58<br />
R17. FORATS AL CUB 58<br />
R18. UNA DE TORRES 59<br />
R19. QUANTS CUBS! 59<br />
R20. DEIXAR DE FUMAR 59<br />
R21. EL TÈRMITS 60<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
PROBLEMES DE LÒGICA 61<br />
L1. NOMS I COLORS 61<br />
L2. AMIGUES I GERMANS 61<br />
L3. EL SOPAR 61<br />
L4. ELS TRES GERMANS 61<br />
L5. ELS ESPIES 62<br />
L6. L’HUMORISTA 62<br />
L7. ELS TELÈFONS 62<br />
L8. EL DICTAT 63<br />
L9. LA SUMA DELS NOMBRES 63<br />
L10. DE RESTAURANT 63<br />
IES Almatà - Balaguer 4
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Ín<strong>de</strong>x<br />
L11. SIMBOLOGIA 63<br />
L12. EL PANELL DELS NOMBRES 64<br />
L13. ENCREUATS DE QUATRE LLETRES 65<br />
L14. CARAGOL TREU BANYA 66<br />
L15. EL RELLOTGE DIGITAL 66<br />
L16. EL LLETER 66<br />
L17. GOL D’HANDBOL 66<br />
L18. ELS CUBS 67<br />
L19. EL RAÏM 67<br />
L20. TOTXANA 67<br />
ENIGMES 68<br />
E1. SEGURETAT NOCTURNA 68<br />
E2. LA TEMPESTA 68<br />
E3. EL GAT NEGRE 68<br />
E4. LES BOMBETES 68<br />
E5. QUINA GANA! 68<br />
E6. LA FRONTERA 68<br />
E7. PROBLEMES DE FAMÍLIA 68<br />
E8. LA PILOTA 69<br />
E9. L’AVIÓ 69<br />
E10. MONEDES ANTIGUES 69<br />
E11. DOLÇ 69<br />
E12. PING-PONG 69<br />
E13. DIBUIXANT 70<br />
E14. ELS FILLS 70<br />
E15. SACS DE MONEDES 70<br />
Crèdit variable<br />
PROBLEMES ENCADENATS 71<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
T1. UN MATEMÀTIC FAMÓS 71<br />
T2. PARAULA SECRETA 73<br />
T3. LLETRES DESPLAÇADES 75<br />
EINES USADES 77<br />
BIBLIOGRAFIA 78<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 5
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Introducció<br />
INTRODUCCIÓ<br />
Gràcies a la resolució <strong>de</strong> <strong>problemes</strong>, les <strong>matemàtiques</strong> ja no són tan<br />
monòtones, sistemàtiques, avorri<strong>de</strong>s, ...<br />
La resolució <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> fa veure que hi ha <strong>matemàtiques</strong> més enllà <strong>de</strong> les<br />
aules. Fa veure que les <strong>matemàtiques</strong> no es redueixen a les fraccions i a<br />
resoldre equacions. Fa veure que les <strong>matemàtiques</strong> són una manera <strong>de</strong><br />
pensar.<br />
Aquest crèdit no necessita un <strong>per</strong>fil d’alumne brillant en <strong>matemàtiques</strong>, al<br />
contrari, tothom hi està admès. Ara bé, no està recomanat a aquells alumnes<br />
mandrosos, que no tinguin ganes <strong>de</strong> pensar una estona i passar-s’ho bé<br />
<strong>de</strong>scobrint lleis amaga<strong>de</strong>s <strong>de</strong>ls nombres.<br />
Podríem dir que la solució ja no és el més important d’un problema, si no que<br />
són els camins que seguim <strong>per</strong> arribar-hi. L’important és obrir un ventall <strong>de</strong><br />
possibilitats, <strong>de</strong> possibles respostes, i un cop comença<strong>de</strong>s a analitzar, saber<br />
<strong>de</strong>cidir quins camins són bons, quins no; quins ens fan anar endavant o quins<br />
no ens duen enlloc.<br />
Observar, ex<strong>per</strong>imentar, tocar, dibuixar, pintar, retallar, ... seran les o<strong>per</strong>acions<br />
<strong>matemàtiques</strong> que més usarem. Per què <strong>per</strong> resoldre bé un problema, primer<br />
s’ha d’entendre, i <strong>per</strong> entendre’l, què millor que manipular-lo?<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 6
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Relació amb el currículum<br />
RELACIÓ AMB EL CURRÍCULUM D’ESO<br />
Objectius generals <strong>de</strong> l’etapa<br />
1. Entendre la matemàtica com a ciència oberta i dinàmica que ha seguit<br />
una evolució històrica i que té capacitat d’adaptació a les noves<br />
situacions.<br />
2. Valorar especialment el caràcter instrumental <strong>de</strong> la matemàtica en altres<br />
camps <strong>de</strong>l coneixement.<br />
3. Aplicar <strong>de</strong> manera creativa, davant <strong>de</strong> situacions noves, els mèto<strong>de</strong>s<br />
matemàtics apresos.<br />
4. Utilitzar tècniques <strong>matemàtiques</strong> <strong>per</strong> interpretar i avaluar, <strong>de</strong> manera<br />
crítica, la informació que rep <strong>de</strong>l seu entorn.<br />
5. Conèixer i valorar les pròpies habilitats <strong>matemàtiques</strong> i emprar-les amb<br />
flexibilitat (sabent canviar d’estratègia, si cal) i amb constància en la<br />
recerca <strong>de</strong> solucions a les situacions problemàtiques que se li plantegin.<br />
6. Emprar, quan convingui, diferents llenguatges matemàtics (algèbric,<br />
estadístic, geomètric, gràfic) <strong>per</strong> tal que les seves possibilitats<br />
expressives i <strong>de</strong> raonament millorin en rigor i precisió.<br />
7. Fer observacions sistemàtiques d’aspectes quantitatius, geomètrics i<br />
lògics <strong>de</strong> la realitat, i estructurar i presentar la informació obtinguda <strong>de</strong><br />
manera que se’n faciliti l’anàlisi posterior.<br />
8. Analitzar un conjunt <strong>de</strong> da<strong>de</strong>s i trobar-hi possibles relacions, fent ús <strong>de</strong><br />
mo<strong>de</strong>ls matemàtics elementals (estadístics, funcionals, algèbrics).<br />
9. Emprar amb soltesa i familiaritat els mitjans tecnològics (calculadores i<br />
ordinadors) que facilitin les tasques <strong>de</strong> càlcul i <strong>de</strong> representació.<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
Procediments <strong>de</strong> l’etapa<br />
1. Llenguatges i processos.<br />
1.1 Ús <strong>de</strong> diferents llenguatges matemàtics. Traducció.<br />
1.2 Classificació. Or<strong>de</strong>nació.<br />
1.3 Aplicació <strong>de</strong> mèto<strong>de</strong>s inductius i <strong>de</strong>ductius.<br />
1.4 <strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong>.<br />
IES Almatà - Balaguer 7
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Relació amb el currículum<br />
2. Tècniques <strong>per</strong> a la mesura i el càlcul.<br />
2.1 Tècniques <strong>de</strong> representació simbòlica i gràfica <strong>de</strong> nombres.<br />
2.2 Tècniques <strong>de</strong> mesura directa (amb utilització d’instruments) i <strong>de</strong> mesura<br />
indirecta (mitjançant algorismes i representacions a escala).<br />
2.3 Càlcul exacte i aproximat amb nombres: mentalment i <strong>per</strong> escrit, amb<br />
calculadora o amb ordinador.<br />
2.4 Plantejament i càlcul d’expressions numèriques i algèbriques sobre<br />
<strong>problemes</strong> concrets.<br />
2.7 Tècniques <strong>de</strong> recompte <strong>de</strong> possibilitats.<br />
3. Ús <strong>de</strong> mo<strong>de</strong>ls geomètrics.<br />
3.1 Aplicació <strong>de</strong> mo<strong>de</strong>ls geomètrics <strong>per</strong> a la interpretació <strong>de</strong> situacions reals.<br />
Crèdit variable<br />
3.2 Representació plana <strong>de</strong> figures espacials i, recíprocament, comprensió<br />
<strong>de</strong> figures espacials a partir <strong>de</strong> la seva representació plana.<br />
4. Representació i anàlisi <strong>de</strong> la informació.<br />
4.1 Tècniques <strong>de</strong> recollida <strong>de</strong> da<strong>de</strong>s i construcció <strong>de</strong> taules <strong>de</strong> valors i <strong>de</strong><br />
freqüències.<br />
4.4 Elaboració <strong>de</strong> fórmules que relacionin variables.<br />
Fets, conceptes i sistemes conceptuals <strong>de</strong> l’etapa<br />
1. Els nombres.<br />
1.1 Nombres naturals. Divisibilitat.<br />
1.2 Nombres enters.<br />
2. El pla i l’espai.<br />
2.1 Elements i organització <strong>de</strong>l pla.<br />
2.2 Elements i organització <strong>de</strong> l’espai.<br />
2.3 Magnituds i mesura.<br />
2.5 La semblança en el pla.<br />
2.6 Càlcul d’àrees i volums <strong>de</strong> figures i cossos: formes circulars on és<br />
necessari el número pi.<br />
3. La <strong>de</strong>pendència entre variables.<br />
3.2 Funcions: <strong>de</strong>pendència i conceptes associats.<br />
6. Elements d’història <strong>de</strong> la matemàtica. Nocions <strong>de</strong> la gènesi històrica<br />
d’aspectes rellevants <strong>de</strong> la matemàtica.<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 8
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Relació amb el currículum<br />
7. <strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
7.1 Interpretació.<br />
7.2 Organització <strong>de</strong> les da<strong>de</strong>s<br />
7.3 Simplificació.<br />
7.4 Generalització.<br />
Valors, normes i actituds <strong>de</strong> l’etapa<br />
1. Interrogació i investigació davant <strong>de</strong> situacions i <strong>problemes</strong> contrastables<br />
matemàticament.<br />
1.1 Es<strong>per</strong>it crític davant d’informacions i opinions que admetin una anàlisi<br />
matemàtica.<br />
1.2 Perseverança i flexibilitat en la recerca i la millora <strong>de</strong> solucions<br />
<strong>matemàtiques</strong> a situacions que se li plantegin.<br />
1.3 Confiança raonada en la capacitat pròpia <strong>per</strong> afrontar situacions<br />
problemàtiques noves que exigeixin l’aplicació <strong>de</strong>ls propis coneixements<br />
matemàtics.<br />
1.4 Interès i respecte <strong>per</strong> les diverses estratègies <strong>matemàtiques</strong> que es<br />
po<strong>de</strong>n emprar <strong>per</strong> trobar la solució d’un problema.<br />
2. Sistematització <strong>de</strong>l treball en les <strong>matemàtiques</strong>.<br />
2.1 Organització <strong>de</strong>l treball en <strong>matemàtiques</strong>: planificació, distribució<br />
temporal, recerca d’ajuts i eines.<br />
2.2 Interès <strong>per</strong> la precisió en el llenguatge i <strong>per</strong> la presentació acurada en<br />
els treballs matemàtics realitzats.<br />
2.3 Interès en la conservació, l’or<strong>de</strong>nació i l’actualització <strong>de</strong>ls materials<br />
didàctics que s’utilitzen.<br />
2.4 Valoració positiva <strong>de</strong> la necessitat <strong>de</strong> realitzar tasques d’exercitació<br />
sistemàtica <strong>de</strong>stina<strong>de</strong>s a consolidar la utilització <strong>de</strong> tècniques.<br />
3. Valoració <strong>de</strong> les eines <strong>matemàtiques</strong>.<br />
3.1 Utilització, <strong>de</strong> forma habitual, <strong>de</strong> recursos i eines matemàtics <strong>per</strong> afrontar<br />
situacions que ho requereixin.<br />
3.2 Ús habitual i equilibrat <strong>de</strong>ls mitjans tecnològics <strong>per</strong> al càlcul, la<br />
representació i l’assoliment <strong>de</strong> conceptes.<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 9
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Relació amb el currículum<br />
Objectius terminals <strong>de</strong> l’etapa<br />
1 - Planificar i realitzar observacions sistemàtiques, enregistrar les da<strong>de</strong>s<br />
obtingu<strong>de</strong>s, classificar-les i presentar-les <strong>de</strong> manera or<strong>de</strong>nada i<br />
entenedora.<br />
2 - Trobar relacions entre les da<strong>de</strong>s obtingu<strong>de</strong>s o dona<strong>de</strong>s, reconèixer-hi els<br />
conceptes i les relacions <strong>matemàtiques</strong> que continguin i saber-los<br />
expressar mitjançant el llenguatge natural, expressions algèbriques,<br />
figures o gràfics.<br />
3 - Planificar la resolució <strong>de</strong> situacions problemàtiques: distinció <strong>de</strong>l que es<br />
coneix i el que és <strong>de</strong>sconegut, distinció <strong>de</strong> la informació útil i la supèrflua,<br />
anticipació i estimació <strong>de</strong> possibles solucions, elecció <strong>de</strong>l mèto<strong>de</strong> a<br />
emprar i comprovació <strong>de</strong> la vali<strong>de</strong>sa <strong>de</strong>ls resultats trobats interpretant-los<br />
en la situació <strong>de</strong> partida.<br />
4 - No abandonar la recerca <strong>de</strong> la solució a una situació problemàtica quan<br />
l’estratègia que s’ha escollit en primer lloc no ha estat a<strong>de</strong>quada o quan<br />
s’ha obtingut un resultat no satisfactori.<br />
5 - Acceptar, sense precipitar-se, la necessitat <strong>de</strong> canviar d’estratègia en la<br />
recerca <strong>de</strong> solució quan la situació ho requereixi i, en aquest sentit, actuar<br />
amb es<strong>per</strong>it <strong>de</strong> coo<strong>per</strong>ació, respecte i interès envers la tasca <strong>de</strong>ls<br />
companys amb els quals es treballa.<br />
6 - Reduir <strong>problemes</strong> complexos a altres <strong>de</strong> més senzills que en facilitin la<br />
comprensió i la resolució.<br />
7 - Trobar relacions o propietats senzilles raonant-les a partir <strong>de</strong> la pròpia<br />
intuïció, fent ús <strong>de</strong> mèto<strong>de</strong>s inductius o <strong>de</strong> manera <strong>de</strong>ductiva a partir<br />
d’unes premisses establertes.<br />
9 - Mostrar una disposició a interrogar-se davant <strong>de</strong> situacions que es<br />
plantegin: formular hipòtesis, buscar exemples o contraexemples i fer<br />
comprovacions ex<strong>per</strong>imentals o raona<strong>de</strong>s.<br />
10 - Mostrar una actitud crítica enfront <strong>de</strong> la informació que es rep i analitzar-la<br />
mitjançant els coneixements matemàtics i les possibilitats <strong>de</strong> raonament<br />
que es tinguin a l’abast.<br />
11 - Interessar-se <strong>per</strong> contrastar i relacionar els aprenentatges nous amb el<br />
que ja sap.<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 10
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Relació amb el currículum<br />
12 - Interessar-se <strong>per</strong> revisar i reor<strong>de</strong>nar <strong>per</strong>iòdicament el material elaborat<br />
(treballs, exercicis, apunts, proves) i posar un èmfasi especial en l’ordre<br />
lògic, l’expressió acurada i la pulcritud <strong>de</strong> la presentació.<br />
13 - Valorar la importància <strong>de</strong> realitzar exercicis i treballs <strong>de</strong> manera<br />
sistemàtica i metòdica <strong>per</strong> tal <strong>de</strong> consolidar i assimilar els procediments i<br />
conceptes que s’aprenen.<br />
14 - Autovalorar el que s’ha après i conèixer-ne els límits. Tenir consciència i<br />
confiança en les pròpies capacitats.<br />
16 - Or<strong>de</strong>nar i representar diferents tipus <strong>de</strong> nombres: naturals, enters,<br />
racionals, irracionals (pi i quadràtics) i utilitzar-los <strong>per</strong> quantificar situacions<br />
<strong>de</strong> la vida quotidiana.<br />
Crèdit variable<br />
18 - Davant <strong>de</strong> situacions problemàtiques que admetin un tractament numèric,<br />
plantejar expressions numèriques que possibilitin la seva resolució i<br />
efectuar els càlculs que se’n <strong>de</strong>rivin amb nombres enters, racionals i<br />
irracionals (pi i quadràtics) donats en diferents expressions (entera,<br />
<strong>de</strong>cimal, fraccionària, <strong>per</strong>centual, mixta, científica) i fent servir les<br />
o<strong>per</strong>acions <strong>de</strong> suma, resta, multiplicació, divisió, potenciació i radicació<br />
quadrada.<br />
19 - Escollir <strong>de</strong> forma raonada el mèto<strong>de</strong> més convenient <strong>per</strong> a la realització<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
d’un <strong>de</strong>terminat càlcul: mentalment, <strong>per</strong> escrit, amb calculadora o amb<br />
ordinador.<br />
20 - Aplicar algorismes <strong>de</strong> càlcul amb calculadores o implementats en fulls <strong>de</strong><br />
càlcul informatitzats <strong>per</strong> trobar els resultats d’expressions aritmètiques,<br />
construir taules funcionals o explorar pautes i regularitats numèriques.<br />
23 - Emprar les unitats <strong>de</strong> mesura més usuals en el cas <strong>de</strong> longituds, amplituds<br />
d’angles, su<strong>per</strong>fícies, volums, capacitats i temps, i també les seves<br />
relacions.<br />
IES Almatà<br />
24 - Aplicar les relacions <strong>de</strong> divisibilitat al càlcul d’expressions numèriques<br />
(màxim comú <strong>de</strong>nominador i mínim comú múltiple en els nombres<br />
naturals), a <strong>problemes</strong> <strong>de</strong> recompte <strong>de</strong> possibilitats i a altres situacions<br />
que ho requereixin.<br />
25 - Calcular àrees <strong>de</strong> su<strong>per</strong>fícies planes (limita<strong>de</strong>s <strong>per</strong> segments i arcs <strong>de</strong><br />
circumferència) i volums <strong>de</strong> cossos geomètrics (prismes, piràmi<strong>de</strong>s,<br />
cilindres, cons i esferes) ja sigui aplicant fórmules o usant altres mèto<strong>de</strong>s.<br />
IES Almatà - Balaguer 11
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Relació amb el currículum<br />
29 - I<strong>de</strong>ntificar figures planes (polígons, cercles i sectors i corones circulars) i<br />
espacials (prismes, piràmi<strong>de</strong>s, cilindres, cons, esferes i políedres<br />
regulars), construir-ne mo<strong>de</strong>ls a partir <strong>de</strong> criteris donats i <strong>de</strong>scriure els<br />
seus elements i les relacions entre ells.<br />
30 - Definir conceptes geomètrics elementals (incidència, paral·lelisme,<br />
<strong>per</strong>pendicularitat, angles, moviments i semblança), incorporar-los a la seva<br />
expressió i al seu raonament i enunciar relacions entre ells i propietats<br />
senzilles.<br />
31 - Obtenir i utilitzar representacions planes <strong>de</strong> cossos geomètrics (prismes,<br />
piràmi<strong>de</strong>s, cilindres, cons, esferes i políedres regulars) i també, donada<br />
una representació plana, saber-la interpretar.<br />
32 - Reconèixer què són figures semblants i equivalents (en àrea o volum) i els<br />
mèto<strong>de</strong>s que cal emprar <strong>per</strong> obtenir-les.<br />
33 - Utilitzar correctament aparells <strong>de</strong> dibuix i mesura (regle, transportador,<br />
escaire, compàs) i programes informàtics <strong>per</strong> fer construccions<br />
geomètriques planes.<br />
51 - Fer recompte <strong>de</strong> possibilitats mitjançant diagrames en arbre, tècniques<br />
combinatòries o altres mèto<strong>de</strong>s.<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
Fets, conceptes i sistemes conceptuals / procediments <strong>de</strong> <strong>2n</strong> d’ESO<br />
1. Proporcionalitat.<br />
1.1 Punt <strong>de</strong> vista numèric: proporcionalitat entre diferents magnituds i la<br />
seva representació gràfica.<br />
1.2 Introducció <strong>de</strong>l número pi, com a factor <strong>de</strong> proporcionalitat entre<br />
magnituds.<br />
1.3 Aspectes geomètrics <strong>de</strong> la proporcionalitat: la semblança. El teorema <strong>de</strong><br />
Thales.<br />
2. Mesura i estudi <strong>de</strong> l’espai.<br />
2.1 Proporcionalitat: semblança <strong>de</strong> figures, el número pi.<br />
2.2 L’equivalència <strong>de</strong> figures i cossos <strong>de</strong> l’espai.<br />
2.3 El teorema <strong>de</strong> Pitàgores a partir <strong>de</strong> mesures <strong>de</strong> triangles rectangles.<br />
2.4 Càlcul d’àrees i volums <strong>de</strong> figures i cossos: formes circulars on és<br />
necessari el número pi.<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 12
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Relació amb el currículum<br />
3. Descripcions funcionals i estadístiques.<br />
3.1 Dependència entre magnituds: la <strong>de</strong>pendència funcional i la<br />
<strong>de</strong>pendència aleatòria.<br />
3.2 Dependència lineal entre magnituds a partir <strong>de</strong>l treball <strong>de</strong><br />
proporcionalitat; mo<strong>de</strong>lització <strong>de</strong> situacions reals.<br />
3.3 Generalització <strong>de</strong> la <strong>de</strong>pendència lineal <strong>per</strong> arribar a la funció afí.<br />
5. Càlcul.<br />
5.1 La calculadora: introducció <strong>de</strong>l parèntesi i la prioritat d’o<strong>per</strong>acions. Ús <strong>de</strong><br />
l’ordinador com a calculadora simbòlica.<br />
5.2 El full <strong>de</strong> càlcul: exploració <strong>de</strong> pautes i regularitats <strong>de</strong> col·leccions<br />
numèriques, amb l’objectiu <strong>de</strong> trobar i expressar <strong>de</strong>pendències funcionals<br />
entre magnituds.<br />
5.3 <strong>Resolució</strong> d’equacions senzilles <strong>de</strong> primer grau lliga<strong>de</strong>s a <strong>problemes</strong><br />
concrets; com a conseqüència, introducció <strong>de</strong> noves o<strong>per</strong>acions tant amb<br />
nombres enters com fraccionaris.<br />
5.4 O<strong>per</strong>acions entre nombres enters: la multiplicació, la divisió, la resta i la<br />
propietat distributiva.<br />
5.5 O<strong>per</strong>acions amb nombres fraccionaris: el producte i les fraccions<br />
negatives.<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 13
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Criteris d’avaluació<br />
CRITERIS D’AVALUACIÓ<br />
El sistema d’avaluació serà mitjançant l’entrega d’exercicis. Cada setmana<br />
proposaré el que <strong>de</strong>tallo a la taula que hi ha a l’apartat <strong>de</strong> temporalització. Com<br />
que es tracta d’un crèdit variable, el nombre d’alumnes és molt reduït, cosa que<br />
<strong>per</strong>met observar molt bé com treballa l’alumne i si absorbeix els conceptes i la<br />
manera <strong>de</strong> treballar correcta.<br />
El promig entre Procediments, Conceptes i Actituds serà el següent:<br />
Procediments 40%<br />
Fets, conceptes i sistemes conceptuals 30%<br />
Valors, normes i actituds 30%<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 14
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Temporització<br />
TEMPORITZACIÓ<br />
En aquest dossier he fet un recull <strong>de</strong> gairebé 100 <strong>problemes</strong> i enigmes, alguns<br />
d’ells amb diversos apartats. Gairebé tots s’utilitzen en aquest crèdit.<br />
A continuació hi ha una taula <strong>de</strong> temporalització usant aquests <strong>problemes</strong>. Per<br />
això consi<strong>de</strong>ro que el crèdit està format <strong>per</strong> 35 sessions <strong>de</strong> 55 minuts cada una.<br />
L’estructura és <strong>per</strong> setmanes, ja que <strong>per</strong> treballar molts <strong>de</strong>ls <strong>problemes</strong><br />
proposats no n’hi ha prou amb una sessió, <strong>per</strong>ò sí amb les tres d’una setmana.<br />
Afegeixo també una columna <strong>per</strong> les eines. He <strong>de</strong> dir que n’hi ha unes que són<br />
necessàries <strong>per</strong> a tots els <strong>problemes</strong>: el pa<strong>per</strong>, llapis o bolígraf, goma i una<br />
calculadora. Així doncs, les que poso aquí són eines recomana<strong>de</strong>s que po<strong>de</strong>n<br />
ajudar a visualitzar el problema <strong>per</strong> cada exercici en concret.<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 15
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Temporització<br />
Setmana Problema<br />
1<br />
2<br />
Crèdit variable<br />
3<br />
Temps<br />
previst<br />
G4 - Distància a l’institut 20<br />
C1 - El camí més curt 30<br />
R1 - Recompte <strong>de</strong> quadrats 75 Full quadriculat<br />
R13 - La font 20 Full quadriculat<br />
L1 - Noms i colors 15<br />
E8 - La pilota 5<br />
G5 - El parc <strong>de</strong> bombers 20<br />
N2 - Cobrar en espècies 25<br />
N10 - Els enters 40<br />
R15 - La terrassa 55 Full quadriculat<br />
L7 - Els telèfons 10<br />
L14 - Caragol treu banya 10<br />
E1 - Seguretat nocturna 5<br />
G14 - El cargolet <strong>per</strong>dut 25 Full mil·limetrat<br />
N13 - La balança 40<br />
R3 - El mosaic <strong>de</strong> la plaça 60 Full quadriculat<br />
Eines<br />
R18 - Una <strong>de</strong> torres 25 Cubs tipus Multicubs<br />
L6 - L’humorista 10<br />
E2 - La tempesta 5<br />
4 G7 - Descobrint la fórmula d’Euler 165 Creator<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
5<br />
6<br />
G11 - Igual <strong>per</strong>ímetre 30 Cordill<br />
N8 - Suma <strong>de</strong> nombres 60<br />
R10 - Els llumins 55 Llumins o escura<strong>de</strong>nts<br />
L15 - El rellotge digital 10<br />
E10 - Mone<strong>de</strong>s antigues 5<br />
E13 - Dibuixant 5<br />
G3 - La cabra que pastura 90 Cordill<br />
R6 - El mosaic <strong>de</strong>l palau 40 Full amb hexàgons<br />
L10 - De restaurant 10<br />
L17 - Gol d’handbol 20<br />
E3 - El gat negre 5<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 16
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Temporització<br />
Setmana Problema<br />
7<br />
8<br />
Temps<br />
previst<br />
Crèdit variable<br />
9<br />
10<br />
Eines<br />
G13 - Volum amb un full 30 Tisores, fulls DIN A4<br />
C2 - Carrers <strong>de</strong> Barcelona 60<br />
N9 - El pastís rodó 30<br />
R21 - El tèrmits 25<br />
L2 - Amigues i germans 15<br />
E5 - Quina gana! 5<br />
G1 - Guanyador <strong>de</strong> la cursa 30<br />
N3 - Arròs <strong>per</strong> sobreviure 40<br />
Calculadora <strong>de</strong> l’ordinador, arròs,<br />
balança <strong>de</strong> cuina<br />
R11 - Cares pinta<strong>de</strong>s 55 Cubs tipus Multicubs<br />
R20 - Deixar <strong>de</strong> fumar 10 Llumins o escura<strong>de</strong>nts<br />
L5 - Els espies 20<br />
E11 - Dolç 10<br />
G8 - Els poliminós 110 Creator, quadrats<br />
R7 - L’escala 35 Llumins o escura<strong>de</strong>nts<br />
L3 - El sopar 15<br />
E12 - Ping-pong 5<br />
G10 - El pagès i la bassa 30<br />
N12 - Els treballadors <strong>de</strong> l’hotel 40<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
11<br />
12<br />
R9 - Les formigues 50 Grans d’arròs<br />
R14 - Quina calor 40 Full quadriculat<br />
E9 - L’avió 5<br />
C3 - Recorregut pel museu 60<br />
N6 - La darrera xifra 20<br />
N7 - El 5 i el 7 30<br />
R19 - Quants cubs! 25 Cubs tipus Multicubs<br />
L16 - El lleter 20<br />
E15 - Sacs <strong>de</strong> mone<strong>de</strong>s 10<br />
N5 - Revista <strong>de</strong>l cor 25<br />
R16 - Ben recte 20<br />
R17 - Forats al cub 25<br />
T2 - Paraula secreta 40<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 17
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Temporització<br />
Crèdit variable<br />
Altres<br />
G2 - Càlcul d’àrees 40 Regle<br />
G6 - L’estany 20 Regle, compàs<br />
G9 - Els poliamants 110 Creator, triangles<br />
G12 - En busca <strong>de</strong>l quadrat <strong>per</strong>dut 20 Cartolina, tisores<br />
N1 - La vida <strong>de</strong> Diofant 20<br />
N4 - Prohibida la calculadora!! 20<br />
N11 - El pastís quadrat 25<br />
N14 - Fem un creuer 15<br />
N15 - Cistell d’ous 20<br />
R2 - Recompte <strong>de</strong> triangles 75 Full amb triangles<br />
R4 - Piló <strong>de</strong> mone<strong>de</strong>s 20 Fitxes rodones<br />
R5 - Creu <strong>de</strong> mone<strong>de</strong>s 25 Fitxes rodones<br />
R8 - Castell <strong>de</strong> cartes 40 Joc <strong>de</strong> cartes<br />
R12 - Trenquem el cub 30 Cubs tipus Multicubs<br />
L4 - Els tres germans 15<br />
L8 - El dictat 15<br />
L9 - La suma <strong>de</strong>ls nombres 15<br />
L11 - Simbologia 20<br />
L12 - El panell <strong>de</strong>ls nombres 15<br />
L13 - Encreuats <strong>de</strong> quatre lletres 45<br />
L18 - Els cubs 15 Cubs tipus Multicubs<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
L19 - El raïm 10 Fitxes rodones<br />
L20 - La totxana 10<br />
E4 - Les bombetes 5<br />
E6 - La frontera 5<br />
E7 - Problemes <strong>de</strong> família 5<br />
E14 - Els fills 5<br />
T1 - Un matemàtic famós 40<br />
T3 - Lletres <strong>de</strong>splaça<strong>de</strong>s 40<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 18
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Abans <strong>de</strong> començar...<br />
ABANS DE COMENÇAR...<br />
Com en gairebé tot, també en resolució <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> hi ha unes tècniques que<br />
ens po<strong>de</strong>n facilitar la feina. Uns passos a seguir en lloc <strong>de</strong> començar a abordar<br />
el problema sense pensar.<br />
Seguint les regles heurístiques <strong>de</strong> Georg Pólya, po<strong>de</strong>m dir que es pot dividir el<br />
fet <strong>de</strong> resoldre un problema en els següents passos:<br />
- Comprensió <strong>de</strong> l’enunciat<br />
- Elaboració d’un pla o estratègia<br />
- Execució <strong>de</strong>l pla<br />
- Comprovació<br />
Crèdit variable<br />
Comprensió <strong>de</strong> l’enunciat<br />
No es pot començar a fer un problema, utilitzant totes les da<strong>de</strong>s <strong>de</strong> l’enunciat, i<br />
fent o<strong>per</strong>acions sense saber <strong>per</strong> què les fem, senzillament <strong>per</strong>què sembla que<br />
surtin bé.<br />
S’ha <strong>de</strong> fer una lectura minuciosa <strong>de</strong>l problema, saber <strong>de</strong> què disposes i saber<br />
què et <strong>de</strong>mana.<br />
T’ha recordat la lectura <strong>de</strong>l problema a algun altre problema ja fet o a alguna<br />
situació?<br />
Quines da<strong>de</strong>s tens <strong>per</strong> trobar la solució? Creus que te’n falta alguna <strong>per</strong> po<strong>de</strong>r<br />
resoldre el problema?<br />
Escriu el problema amb les teves paraules, el que et dóna i el que has <strong>de</strong><br />
trobar, <strong>de</strong> manera que sigui més fàcil d’entendre.<br />
Imagina <strong>de</strong> quin tipus ha <strong>de</strong> ser la solució: un nombre, una mesura, un dibuix. I<br />
fes-te una i<strong>de</strong>a entre quins valors pot oscil·lar. D’aquesta manera, un cop resolt<br />
el problema tu mateix et pots adonar si has fet bé el problema o no.<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
Elaboració d’un pla o estratègia<br />
Per on comencem quan tenim un problema davant?<br />
En el cas que el problema vagi acompanyat d’un dibuix, representa-hi totes les<br />
da<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l problema. I en cas <strong>de</strong> no tenir aquest dibuix o esquema, s’ha<br />
d’intentar fer, en tots els cassos que sigui possible.<br />
IES Almatà - Balaguer 19
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Abans <strong>de</strong> començar...<br />
Quantes parts té el problema? Cada part tindrà el seu mèto<strong>de</strong>. Estudia-les <strong>per</strong><br />
separat, poc a poc i bona lletra, això simplifica el problema.<br />
Tens més d’una i<strong>de</strong>a <strong>per</strong> resoldre el problema? Anota-les totes, és possible que<br />
se n’hagi <strong>de</strong> provar més d’una.<br />
Necessites algun estri auxiliar? Cubs, calculadora, regle, tisores, fulls, ... Fes un<br />
recull <strong>de</strong>l que necessitis, ex<strong>per</strong>imentant s’aprèn i es <strong>de</strong>scobreix.<br />
Execució <strong>de</strong>l pla<br />
Si et trobes amb dificultats mentre resols un problema, no tornis enrere fins que<br />
no vegis clarament que la teva i<strong>de</strong>a està totalment equivocada. Intenta resoldre<br />
les petites dificultats que sempre po<strong>de</strong>n sortir.<br />
No t’emboliquis quan t’entrebanquis amb alguna dificultat seriosa, torna al<br />
principi, reorganitza les i<strong>de</strong>es, corregeix les erra<strong>de</strong>s, torna-ho a provar, intenta<br />
un altre camí que també havies pensat.<br />
Escriu tots els passos que segueixes i on et porta cada un, així és més fàcil<br />
trobar un error intermedi que no pas sense anotar res.<br />
Crèdit variable<br />
Comprovació<br />
Quan creguis que has acabat el problema, sigues pru<strong>de</strong>nt. No sempre tots els<br />
resultats que semblen correctes ho són (igual que no sempre tots els resultats<br />
que semblen incorrectes tampoc ho són). Repassa tot el procés. Assegura’t,<br />
pas <strong>per</strong> pas, que no hi ha erra<strong>de</strong>s. Llegeix <strong>de</strong> nou l’enunciat i comprova que el<br />
que et <strong>de</strong>manaven és el que has calculat. Mira si el resultat està dins els valors<br />
es<strong>per</strong>ats. Si el resultat no té sentit, estudia <strong>de</strong> nou el problema.<br />
Has posat les unitats a<strong>de</strong>qua<strong>de</strong>s al resultat <strong>de</strong>l problema?<br />
Pot ser que un problema no estigui ben resolt <strong>per</strong>què no s’ha plantejat<br />
correctament, o bé <strong>per</strong> algun error en les o<strong>per</strong>acions. Cal que sàpigues revisar<br />
correctament i trobar on t’has equivocat.<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 20
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Abans <strong>de</strong> començar...<br />
Altres consells<br />
- Problemes <strong>de</strong> geometria<br />
Sobretot en geometria és molt important fer-se un bon dibuix que ens<br />
representi la situació <strong>de</strong>l problema. És molt útil també po<strong>de</strong>r afegir a<br />
aquest dibuix totes les da<strong>de</strong>s que ens aporta l’enunciat.<br />
- Problemes <strong>de</strong> camins<br />
Per tal <strong>de</strong> facilitar la resolució d’aquest tipus <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> és molt adient<br />
realitzar alguna mena d’esquema <strong>per</strong> tal <strong>de</strong> po<strong>de</strong>r comptar d’una manera<br />
organitzada tots els cassos possibles.<br />
Unes indicacions <strong>per</strong> a l’exercici 1 <strong>de</strong> camins serien:<br />
a) Posar noms a tots els encreuaments:<br />
7 8<br />
Crèdit variable<br />
1 2 3<br />
b) Ara el problema es tradueix a la manera d’arribar a <strong>de</strong>l punt 1 fins al<br />
punt 9. Els camins possibles a seguir són els següents:<br />
1<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
2 4<br />
3 5 5 7<br />
6<br />
9<br />
6 8<br />
9 9<br />
IES Almatà<br />
200 m 200 m 200 m 200 m 200 m 200 m<br />
- Problemes <strong>de</strong> nombres<br />
Quan un problema espanta <strong>per</strong>què hi ha uns nombres tan grans que<br />
t’impe<strong>de</strong>ixen dibuixar-lo o imaginar-te’l, canvia l’enunciat <strong>per</strong> nombres<br />
IES Almatà - Balaguer 21<br />
6<br />
9<br />
4<br />
5<br />
8<br />
9<br />
9<br />
6<br />
8<br />
9
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Abans <strong>de</strong> començar...<br />
més petits. Quan el tinguis resolt, intenta obtenir un patró, o bé segueix<br />
els mateixos passos <strong>per</strong> arribar a la solució amb els nombres grans.<br />
- Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
Les taules i els arbres són molt importants en els <strong>problemes</strong> <strong>de</strong><br />
recompte. És molt fàcil quan s’ha <strong>de</strong> fer recompte <strong>de</strong> parts petites dins<br />
una part gran, ens <strong>de</strong>scomptem. Per això el millor es fer-nos una taula<br />
apuntant valors intermedis, menys coses a comptar <strong>per</strong>ò amb<br />
característiques semblants.<br />
També és <strong>de</strong> molta ajuda començar <strong>per</strong> cassos més senzills, amb<br />
menys parts a comptar. D’aquesta manera, o bé trobem un patró <strong>per</strong><br />
comptar el gran, o si més no, agafem agilitat i <strong>de</strong>stresa amb menys <strong>per</strong>ill<br />
d’oblidar-nos algú sense comptar.<br />
Per exemple, al problema 3 <strong>de</strong> recompte, en lloc <strong>de</strong> comptar <strong>de</strong> cop<br />
quants quadra<strong>de</strong>ts té la figura <strong>de</strong> 135 <strong>de</strong> costat, comencem <strong>per</strong> cassos<br />
més senzills, com els següents, amb menys rajoles:<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
I omplint la taula amb el nombre <strong>de</strong> quadrats <strong>de</strong> característiques<br />
semblants, és a dir, el nombre <strong>de</strong> quadrats blancs, i el nombre <strong>de</strong><br />
quadrats grisos.<br />
IES Almatà<br />
- Problemes <strong>de</strong> lògica<br />
Les taules, diferents <strong>de</strong> les que apareixen en els <strong>problemes</strong> <strong>de</strong><br />
recompte, aquí tenen un pa<strong>per</strong> molt rellevant. Ens aju<strong>de</strong>n a contemplar<br />
tots els cassos possibles, i a no <strong>de</strong>ixar-nos da<strong>de</strong>s <strong>de</strong> l’enunciat sense<br />
utilitzar.<br />
IES Almatà - Balaguer 22
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Abans <strong>de</strong> començar...<br />
Moltes vega<strong>de</strong>s en els <strong>problemes</strong> <strong>de</strong> lògica hi han moltes da<strong>de</strong>s. És<br />
important no atabalar-se en veure-les i saber-les or<strong>de</strong>nar <strong>de</strong> la forma<br />
a<strong>de</strong>quada dins una taula.<br />
Per exemple, en el problema 1 <strong>de</strong> lògica, l’enunciat ens dóna cassos<br />
possibles i cassos impossibles, doncs po<strong>de</strong>m fer el següent:<br />
a) Començar fent una taula <strong>per</strong> organitzar les da<strong>de</strong>s. Ha <strong>de</strong> tenir tres<br />
files pels noms i tres columnes pels colors:<br />
Noms<br />
Blanca<br />
Rosa<br />
Samarretes<br />
Blanca Rosa Mar<br />
Crèdit variable<br />
Mar<br />
b) Posar una creu a les combinacions que no són possibles.<br />
c) Començar a observar les possibilitats. Si n’hi ha més d’una, doncs fem<br />
una taula <strong>per</strong> cada una d’elles. Per exemple, la Blanca pot portar la<br />
camiseta rosa o mar. Fem dues taules, una amb cada una d’aquestes<br />
possibilitats. De quin color han d’anar les altres noies?<br />
d) Seguint endavant amb el problema, sempre surten condicions que no<br />
es po<strong>de</strong>n complir <strong>per</strong> certa taula. Llavors, eliminem la taula que no s’ha<br />
pogut completar o que portava a un resultat erroni.<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
La reducció a l’absurd, és un altre mèto<strong>de</strong> que pot usar-se als <strong>problemes</strong><br />
<strong>de</strong> lògica. És útil quan no po<strong>de</strong>m posar l’enunciat en forma <strong>de</strong> taula<br />
<strong>per</strong>què hi hauria massa possibilitats a contemplar. Llavors es tracta <strong>de</strong><br />
pensar el contrari, i arribar a la conclusió que això no és possible <strong>per</strong><br />
alguna condició que posa l’enunciat.<br />
Un exemple està en el problema 6 <strong>de</strong> lògica:<br />
a) Si volem pensar <strong>de</strong> quantes maneres pot haver explicat els acudits, és<br />
tant difícil que no arribem a cap solució. Per tant, no hem <strong>de</strong> buscar una<br />
alternativa més fàcil.<br />
b) Utilitzem la reducció a l’absurd que consisteix en suposar el cas<br />
contrari i observar què passa.<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 23
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Abans <strong>de</strong> començar...<br />
c) En aquest cas seria pensar que no en repeteix cap, és a dir, que en<br />
les 23 setmanes explica 11 acudits com a mínim (<strong>de</strong>ia més <strong>de</strong> 10) sense<br />
repetir-ne cap. Això fa un total d’11 · 23 = 253 acudits.<br />
d) Ja hem arribat a l’absurd, a la contradicció. Si no n’hagués repetit cap<br />
n’hauria explicat 253 <strong>de</strong> diferents, <strong>per</strong>ò tan sols en té 250, <strong>per</strong> tant n’ha<br />
repetit algun.<br />
- Enigmes<br />
No s’ha <strong>de</strong> donar res <strong>per</strong> obvi. Per molt que l’enunciat ens faci creure<br />
alguna cosa, s’han d’analitzar totes les paraules. Moltes vega<strong>de</strong>s la<br />
solució al problema està en el propi enunciat.<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 24
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> geometria<br />
PROBLEMES DE GEOMETRIA<br />
G1. Guanyador <strong>de</strong> la cursa<br />
Al planeta Circumf tothom camina fent mitges circumferències. Aquest any es<br />
fa una cursa, que comença a Sortida i acaba a Arribada (en línia recta són 32<br />
kilòmetres). A la cursa hi participen 6 corredors. Cada un d’ells farà la cursa <strong>per</strong><br />
un camí diferent, tal com indica el dibuix, i tots tenen la mateixa condició física,<br />
així és que tots corren a la mateixa velocitat. Qui té avantatge <strong>per</strong> guanyar la<br />
cursa?<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
Sortida<br />
Camí 3<br />
Camí 2<br />
Camí 1<br />
IES Almatà<br />
Arribada<br />
IES Almatà - Balaguer 25
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> geometria<br />
G2. Càlcul d’àrees<br />
Calcula l’àrea <strong>de</strong> la part ombrejada <strong>de</strong> les següents figures:<br />
a) aquest cas pren mesures amb<br />
l’estri necessari<br />
c)<br />
Crèdit variable<br />
2r<br />
b) Calcula l’àrea <strong>de</strong> la part ombrejada<br />
sabent que l’àrea <strong>de</strong>l triangle gran és<br />
S m 2 .<br />
d) Troba l’àrea <strong>de</strong> la part ombrejada si<br />
el costat <strong>de</strong>l quadrat mesura 10 m.<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
e) Troba l’àrea <strong>de</strong> la part més fosca<br />
<strong>de</strong> la figura, si el costat <strong>de</strong>l quadrat<br />
mesura 10 cm.<br />
IDEA: No intentis resoldre el problema<br />
<strong>de</strong> cop, <strong>de</strong>scompon-lo en <strong>problemes</strong><br />
més petits.<br />
r<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 26<br />
f)<br />
C
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> geometria<br />
G3. La cabra que pastura<br />
a) En Jaume, un pagès <strong>de</strong> Montclar, té una cabra dins d’un tancat quadrat <strong>de</strong><br />
30 metres <strong>de</strong> costat. La cabra està lligada a una <strong>de</strong> les cantona<strong>de</strong>s, amb una<br />
corda <strong>de</strong> 30 metres. Pot pasturar <strong>per</strong> tota la finca? Fes el dibuix!! Quants<br />
metres quadrats <strong>de</strong> su<strong>per</strong>fície pastura?<br />
b) Un dia en Jaume es troba amb en Pep, un pagès <strong>de</strong> Tu<strong>de</strong>la que també té<br />
una cabra, <strong>per</strong>ò ell li diu que la té lligada a un extrem <strong>de</strong>l tancat, <strong>per</strong>ò <strong>per</strong> la part<br />
<strong>de</strong> fora, ja que el tancat és un hort i no vol pas que la cabra es mengi les<br />
verdures. Quants metres quadrats pot pasturar la cabra?<br />
Crèdit variable<br />
30 m<br />
HORT<br />
30 m<br />
30 m<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
c) Però un altre dia es troben al pagès Joan <strong>de</strong> La Donzell. Ell utilitza el sistema<br />
<strong>de</strong>l Pep, i té un hort <strong>de</strong> la mateixa su<strong>per</strong>fície, <strong>per</strong>ò no és quadrat, sinó que<br />
mesura 36m · 25m. Quanta su<strong>per</strong>fície té <strong>per</strong> pasturar aquesta cabra? Altre cop,<br />
fes es dibuix!!<br />
IES Almatà<br />
d) Sabries dir-me quina su<strong>per</strong>fície té <strong>per</strong> pasturar si està lligada a la part<br />
exterior d’un tancat en forma <strong>de</strong> triangle equilàter <strong>de</strong> 9 metres <strong>de</strong> costat, si la<br />
corda li fa 10 metres?<br />
IES Almatà - Balaguer 27
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> geometria<br />
G4. Distància a l’institut<br />
La Joana i l’Enric van al mateix institut. La Joana viu a 2 quilòmetres <strong>de</strong> l’institut<br />
i l’Enric a 5. A quina distància viuen l’un <strong>de</strong> l’altre?<br />
G5. El parc <strong>de</strong> bombers<br />
Tenim tres pobles, comunicats entre ells <strong>per</strong> unes carreteres molt rectes. Com<br />
que estan en una regió molt seca <strong>de</strong> Catalunya, la Generalitat ha <strong>de</strong>cidit posar<br />
un parc <strong>de</strong> bombers en algun punt d’aquestes tres carreteres. On el posaran<br />
<strong>per</strong> tal que es pugui arribar en el menor temps possible als tres pobles?<br />
Crèdit variable<br />
Miramig<br />
7 km<br />
Miradalt<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
12 km<br />
8 km<br />
G6. L’estany<br />
Una plaça <strong>de</strong> forma circular i <strong>de</strong> 8 metres <strong>de</strong> radi té un estany <strong>de</strong> forma ròmbica<br />
al mig, tal com es veu a la figura. Calcula quant mesura el <strong>per</strong>ímetre <strong>de</strong><br />
l’estany.<br />
IES Almatà<br />
Mirabaix<br />
IES Almatà - Balaguer 28
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> geometria<br />
G7. Descobrint la fórmula d’Euler<br />
Agafa les peces <strong>de</strong>l Creator, i anem a observar un cas especial <strong>de</strong> poliedres:<br />
els que tenen totes les cares iguals. A aquests poliedres se’ls anomena<br />
poliedres regulars.<br />
Quants en trobes?<br />
Intenta completar la següent taula. Si et falten files les afegeixes, i si te’n<br />
sobren no cal que les utilitzis:<br />
Nom<br />
Forma <strong>de</strong> la<br />
cara<br />
Nombre <strong>de</strong><br />
cares<br />
Nombre <strong>de</strong><br />
vèrtex<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
Nombre<br />
d’arestes<br />
Ja que tens les peces i pots ex<strong>per</strong>imentar, explica <strong>per</strong>què creus que no po<strong>de</strong>n<br />
existir més poliedres regulars, o <strong>per</strong>què no te’n surten més.<br />
Veus alguna relació entre el nombre <strong>de</strong> cares, <strong>de</strong> vèrtex i d’arestes?<br />
T’atreveixes a formular el que va dir fa molts i molts anys el gran matemàtic<br />
anomenat Euler? Si no és així, busca en alguna enciclopèdia i a Internet, la<br />
fórmula d’Euler pels poliedres.<br />
Comprova que funciona <strong>per</strong> tots els poliedres regulars.<br />
Ara busca altres poliedres, que no siguin regulars, i omple una taula com<br />
l’anterior. Funciona també la fórmula d’Euler <strong>per</strong> ells?<br />
IES Almatà - Balaguer 29
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> geometria<br />
G8. Els poliminós<br />
Els poliminós són unes figures planes (es po<strong>de</strong>n fer amb cartró, dibuixant en un<br />
full, amb peces <strong>de</strong> Creator, ...) forma<strong>de</strong>s <strong>per</strong> la unió <strong>de</strong> quadrats <strong>de</strong> la mateixa<br />
mida.<br />
Si s’uneixen dos quadrats tindrem el dòmino.<br />
De dòmino tan sols n’hi ha una forma ja que les dues que figuren a continuació<br />
són la mateixa el que passa és que està girada:<br />
Crèdit variable<br />
Unint tres quadrats obtenim els triminós, aquí sí que ja n’hi ha més d’un.<br />
Exactament n’hi ha 2, ja que els altres es po<strong>de</strong>n obtenir girant un d’aquests<br />
dos.<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
Quants quadrats tindrà un tetraminó? I quants n’hi haurà? Observa-ho tu<br />
mateix.<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 30
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> geometria<br />
I el pentominó? Per quants quadrats està format? N’hi ha 12 <strong>de</strong> possibles, a<br />
veure si els trobes.<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 31
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> geometria<br />
Els hexaminós estan formats <strong>per</strong> 6 costats, i tenen una característica especial,<br />
alguns d’ells formen un hexaedre. D’hexaminós n’hi ha 35 <strong>de</strong> possibles, i tan<br />
sols 11 d’ells fan un hexaedre. Escull, <strong>de</strong>ls que hi ha dibuixats a continuació<br />
quin són el <strong>de</strong>senvolupament pla d’un hexaedre.<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 32
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> geometria<br />
G9. Els poliamants<br />
Els poliamants són unes figures planes (es po<strong>de</strong>n fer amb cartró, dibuixant en<br />
un full, amb peces <strong>de</strong> Creator, ...) forma<strong>de</strong>s <strong>per</strong> la unió <strong>de</strong> triangles equilàters<br />
<strong>de</strong> la mateixa mida.<br />
Quan s’uneixen dos triangles equilàters s’obté un diamant. Dibuixa la forma que<br />
té.<br />
Crèdit variable<br />
Els triamants es forment unint tres triangles, dibuixa tots els que trobis.<br />
Els tetramants es formen unint 4 triangles equilàters, dibuixa tots els que trobis i<br />
senyala quins d’ells són el <strong>de</strong>senvolupament pla d’un tetraedre.<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
De pentamants n’hi ha 4. Quins són?<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 33
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> geometria<br />
I així es formen successivament els pentamants, fins arribar als octamants, que<br />
n’hi ha 66.<br />
No vull pas que els dibuixis tots, si no tan sols alguns que formin un octaedre i<br />
alguns que no.<br />
Desenvolupament pla d’un octaedre<br />
Crèdit variable<br />
Altres octominós que no són un <strong>de</strong>senvolupament pla <strong>de</strong> l’octaedre.<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 34
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> geometria<br />
G10. El pagès i la bassa<br />
Un pagès viu en una masia on té una bassa <strong>de</strong> 5 metres <strong>de</strong> costat (igual <strong>de</strong><br />
fonda a tot arreu) <strong>per</strong> guardar l’aigua <strong>de</strong> reg i beguda pel bestiar. Per tal <strong>de</strong><br />
po<strong>de</strong>r entrar a netejar-la quan està buida, el pagès hi fa dues escales <strong>de</strong> ciment<br />
en una cantonada, tal com indica el dibuix.<br />
Crèdit variable<br />
5m<br />
1m<br />
1m<br />
0’5 m<br />
0’5m<br />
Quan la bassa està plena aquestes escales no es veuen. No es <strong>per</strong>d capacitat<br />
d’aigua, <strong>per</strong> tant, quan posa la mateixa quantitat d’aigua que abans, on arriba el<br />
nivell?<br />
G11. Igual <strong>per</strong>ímetre<br />
D’entre tots els rectangles que tenen 1 metre <strong>de</strong> <strong>per</strong>ímetre, quin és el que té<br />
àrea màxima?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
G12. En busca <strong>de</strong>l quadrat <strong>per</strong>dut<br />
Observa aquestes dues figures. Quina és l’àrea <strong>de</strong> la primera figura? I la <strong>de</strong> la<br />
segona? Què passa aquí?<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 35<br />
5m
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> geometria<br />
G13. Volum amb un full<br />
Tenen tots els cilindres que es po<strong>de</strong>n construir a partir d’un full DIN A4 el<br />
mateix volum?<br />
Pots tallar el full i enganxar-lo, sempre i quan la figura resultant sigui un cilindre.<br />
G14. El cargolet <strong>per</strong>dut<br />
Un caragol comença a arrossegar-se cap endavant, <strong>de</strong>sprés <strong>de</strong> 128<br />
centímetres gira 90 graus cap a la dreta, i continua arrossegant-se 64<br />
centímetres més. Torna a gira 90 graus a la dreta i s’arrossega 32 centímetres,<br />
la meitat d’abans, i així successivament, fins que tan sols s’arrossega un metre.<br />
A quina distància <strong>de</strong>l principi està <strong>de</strong>sprés <strong>de</strong> recórrer el metre final?<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 36
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> camins<br />
PROBLEMES DE CAMINS<br />
C1. El camí més curt<br />
A<br />
B<br />
50 m.<br />
C2. Carrers <strong>de</strong> Barcelona<br />
Quin és el camí més curt <strong>per</strong> arribar <strong>de</strong> A a B?<br />
N’hi ha més d’un?<br />
Quant mesura aquet camí?<br />
I si tinguessis una quadrícula 3 x 3?<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
Aquest és un tros <strong>de</strong>l plànol <strong>de</strong> Barcelona.<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 37
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> camins<br />
Hi ha diverses pàgines web d’Internet, que et <strong>per</strong>meten trobar la distància més<br />
curta entre dos punts dins una ciutat. Jo he estat mirant en una d’aquestes i he<br />
posat les següents da<strong>de</strong>s:<br />
ORIGEN: Gran Via <strong>de</strong> les Corts Catalanes cantonada Carrer Vilamarí<br />
DESTÍ: Carrer València cantonada Carrer Viladomat.<br />
La web m’ha marcat el següent recorregut:<br />
- Continuar pel carrer Vilamarí<br />
- Girar a la dreta pel carrer Diputació<br />
- Girar a l’esquerra pel carrer Entença<br />
- Girar a la dreta pel carrer Aragó<br />
- Finalment, girar a l’esquerra pel carrer Viladomat i arribar al <strong>de</strong>stí<br />
En total m’ha dit que havia <strong>de</strong> caminar 1072 metres.<br />
Creus que hi ha més d’una opció <strong>per</strong> anar <strong>de</strong> l’ORÍGEN al DESTÍ?<br />
Quantes en pots trobar?<br />
Totes tenen la mateixa longitud?<br />
Pots dir quina distància hi ha <strong>de</strong> cantonada a cantonada?<br />
Crèdit variable<br />
C3. Recorregut pel museu<br />
A continuació tens el plànol <strong>de</strong> les sales d’una zona d’un museu:<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
Entrada<br />
1 2 3<br />
4 5 6<br />
IES Almatà<br />
7 8 9<br />
Sortida<br />
Troba la manera <strong>de</strong> comptar <strong>de</strong> manera a<strong>de</strong>quada tots els camins que es<br />
po<strong>de</strong>n dibuixar i que vagin <strong>de</strong>s <strong>de</strong> l’entrada fins a la sortida, sense passar 2<br />
cops <strong>per</strong> la mateixa sala.<br />
IES Almatà - Balaguer 38
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> camins<br />
Quants camins hi ha que passin pel màxim d’espai? Quantes sales veus?<br />
Quantes te’n queda <strong>per</strong> veure?<br />
Respon les mateixes preguntes <strong>per</strong> aquesta altra zona <strong>de</strong>l museu:<br />
Entrada<br />
Crèdit variable<br />
Si resulta que les dues zones estan uni<strong>de</strong>s, és a dir, po<strong>de</strong>m anar <strong>de</strong> l’una<br />
l’altra, quants recorreguts diferents podré fer <strong>per</strong> anar <strong>de</strong>s <strong>de</strong> l’entrada fins a la<br />
sortida?<br />
Entrada<br />
1 2 3<br />
A B C<br />
D E F Sortida<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
4 5 6<br />
7 8 9<br />
A B C<br />
IES Almatà<br />
D E F Sortida<br />
IES Almatà - Balaguer 39
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> camins<br />
I en aquests altres cassos?<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 40
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> nombres<br />
PROBLEMES DE NOMBRES<br />
N1. La vida <strong>de</strong> Diofant<br />
L’Olga vol saber quants anys va viure el matemàtic grec Diofant d’Alexandria.<br />
Però tan sols té una dada, i és la inscripció que hi ha a la seva tomba i que diu<br />
així:<br />
“Aquí van ser enterra<strong>de</strong>s les restes <strong>de</strong> Diofant. Una sisena part <strong>de</strong> la seva vida<br />
correspon a la infantesa, i una dotzena part a l’adolescència. Després <strong>de</strong><br />
transcórrer una setena part més <strong>de</strong> la seva vida, es va casar. Al cap <strong>de</strong> cinc<br />
anys va néixer el seu fill, que va viure la meitat <strong>de</strong> la vida <strong>de</strong>l pare. Després <strong>de</strong><br />
la mort <strong>de</strong>l fill, Diofant, afligit, buscà consol en la ciència <strong>de</strong>ls nombres. Però<br />
quatre anys més tard, morí.”<br />
Pots ajudar l’Olga a resoldre aquest entrellat?<br />
Crèdit variable<br />
N2. Cobrar en espècies<br />
En Pau fa un tracte amb el seu pare <strong>per</strong> netejar el cotxe. El pare li dóna dues<br />
opcions:<br />
a) Pagar-li 5 euros la primera setmana i, a partir d’aleshores, uns altres 5 euros<br />
més <strong>per</strong> cada setmana seguida que ho continuï fent; és a dir, la segona<br />
setmana cobraria 10 euros, la tercera 15, ...<br />
b) Pagar-li 5 cèntims la primera setmana i a partir d’aleshores doblar-li la<br />
quantitat <strong>de</strong> diners cada setmana seguida que ho continuï fent; és a dir, la<br />
segona setmana cobraria 10 cèntims, la tercera 20 cèntims, ...<br />
En Pau s’ho rumia. Quina opció li convé més si vol treballar 7 setmanes?<br />
Sempre és millor aquesta opció? Calcula-ho a partir <strong>de</strong> 10 setmanes. Pots<br />
indicar-me si l’opció b serà alguna setmana millor que la a? Si és així, a partir<br />
<strong>de</strong> quan?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 41
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> nombres<br />
N3. Arròs <strong>per</strong> sobreviure<br />
Ara fa molts i molts anys un rei xinès va prometre pagar el que <strong>de</strong>manés a<br />
l’inventor <strong>de</strong>l joc d’escacs. L’únic que l’inventor va <strong>de</strong>manar va ser arròs <strong>per</strong><br />
po<strong>de</strong>r tenir menjar <strong>per</strong> ell i la seva família, això sí, d’una manera molt especial:<br />
va <strong>de</strong>manar un gra <strong>per</strong> la primera casella <strong>de</strong>l tauler, dos grans <strong>per</strong> la segona,<br />
quatre grans <strong>per</strong> la tercera, vuit <strong>per</strong> la quarta, i així successivament.<br />
Pots dir-me quants grans li toquen <strong>per</strong> l’última casella <strong>de</strong>l tauler?<br />
Em pots fer una aproximació <strong>de</strong> quan pesarà?<br />
N4. Prohibida la calculadora!!<br />
a) Troba quant sumen les xifres <strong>de</strong>l nombre que resulta d’efectuar l’o<strong>per</strong>ació<br />
següent: 10 99 -99.<br />
b) Quan val la suma <strong>de</strong> les xifres <strong>de</strong>l nombre que resulta d’efectuar l’o<strong>per</strong>ació<br />
10 n -99, si n és un nombre natural més gran que 3?<br />
Crèdit variable<br />
N5. Revista <strong>de</strong>l cor<br />
Un cronista <strong>de</strong> pàgines <strong>de</strong>l cor ha sentit un rumor sobre el cantant <strong>de</strong> moda <strong>de</strong>l<br />
moment. Ho explica a tres <strong>per</strong>sones més, les quals ho expliquen al seu torn a<br />
tres més, i així successivament.<br />
a) A quantes <strong>per</strong>sones ha arribat el rumor al cap <strong>de</strong> cinc comunicacions?<br />
b) A quantes arribarà al cap <strong>de</strong> n comunicacions?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
N6. La darrera xifra<br />
Podries en<strong>de</strong>vinar sense calculadora quina és l’última xifra <strong>de</strong> 6 2504 ? I la <strong>de</strong><br />
9 7056 ?<br />
IES Almatà<br />
N7. El 5 i el 7<br />
Quins nombres puc formar amb els nombres 5 i 7, sumant-los cada un tantes<br />
vega<strong>de</strong>s com vulgui?<br />
N8. Suma <strong>de</strong> nombres<br />
Troba el resultat <strong>de</strong> la suma següent: 1 + 3 + 5 + ... + 999.<br />
Amb l’ajuda d’aquest resultat, em podries dir quin és el resultat d’aquesta altra<br />
suma: 1 + 2 + 3 + ... + 1000? I d’aquesta: 1 + 2 + ... + n?<br />
IES Almatà - Balaguer 42
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> nombres<br />
N9. El pastís rodó<br />
En quantes parts es parteix un pastís rodó quan el tallem n cops? (els talls no<br />
els farem passar tots pel mig, si no que seran talls a l’atzar, i més <strong>de</strong> dos talls<br />
no seran inci<strong>de</strong>nts en un punt <strong>de</strong>l pastís)<br />
N10. Els enters<br />
Quins nombres es po<strong>de</strong>n posar com a suma <strong>de</strong> nombres enters consecutius?<br />
No importa la quantitat <strong>de</strong> nombres que sumem, tan sols importa que siguin<br />
consecutius.<br />
Crèdit variable<br />
N11. El pastís quadrat<br />
Tenim un pastís <strong>de</strong> forma quadrada i el volem partir. Els talls els farem<br />
paral·lels a les vores. Quantes parts po<strong>de</strong>n sortir com a màxim amb dos talls? I<br />
amb tres? Quin és el menor número <strong>de</strong> talls que he <strong>de</strong> fer <strong>per</strong> obtenir 12 parts?<br />
I quantes parts tindrem fent n talls?<br />
N12. Els treballadors <strong>de</strong> l’hotel<br />
En un hotel hi ha 1.000 habitacions i 1.000 treballadors. Cada dia al matí<br />
l’encarregat passa <strong>per</strong> totes les habitacions i obra totes les portes, i així<br />
comença el ritual <strong>de</strong> cada matí. Darrera l’encarregat passen els 1.000<br />
treballadors. Aquests no sabem comptar gaire, així que el primer treballador<br />
sap comptar fins a 1, el segon fins a 2, el tercer fins a 3, i així successivament.<br />
El primer treballador va comptant portes fins a 1, i les que coinci<strong>de</strong>ixin amb el 1,<br />
les tanca (així és que les tanca totes). Darrera seu, el 2 va comptant fins a dos<br />
(1, 2), i totes les portes que coinci<strong>de</strong>ixin amb dos, les obra. El tercer, darrera<br />
<strong>de</strong>l 2, va comptant fins a 3 (1,2,3) i totes les portes que coinci<strong>de</strong>ixin amb el tres,<br />
si estan obertes les tanca, i si estan tanca<strong>de</strong>s les obra. I així fins que passa<br />
l’últim treballador.<br />
Troba alguna manera <strong>de</strong> dir-me quines portes estaran obertes i quines estaran<br />
tanca<strong>de</strong>s al final <strong>de</strong>l ritual.<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 43
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> nombres<br />
N13. La balança<br />
a) Tenim una balança <strong>de</strong> dos plats. En un plat<br />
posarem el que volem pesar (en quilos), i a l’altre<br />
plat posarem els pesos <strong>per</strong> pesar-ho. Quin és el<br />
mínim nombre <strong>de</strong> pesos diferents que necessites<br />
si volem fer pesa<strong>de</strong>s <strong>de</strong> fins a 50 quilos?<br />
b) I en el cas que poguéssim posar pesos als dos<br />
plats <strong>de</strong> la balança?<br />
N14. Fem un creuer<br />
Tres embarcacions realitzen un creuer. La segona embarcació inverteix 2<br />
vega<strong>de</strong>s més <strong>de</strong> temps que la primers i 2 vega<strong>de</strong>s menys que la tercera. La<br />
tercera triga 30 dies més que la primera. Quant dura cada creuer?<br />
Crèdit variable<br />
N15. Cistell d’ous<br />
L’Adrià té sis cistells d’ous. N’hi ha alguns que contenen ous <strong>de</strong> gallina i els<br />
altres d’ànega. A les cistelles hi ha 6, 12, 14, 15, 23 i 29 ous. L’Adrià diu: “Si<br />
venc aquest cistell em quedarà el doble d’ous <strong>de</strong> gallina que d’ànega”. De quin<br />
cistell ens parla l’Adrià?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 44
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
PROBLEMES DE RECOMPTE<br />
R1. Recompte <strong>de</strong> quadrats<br />
Quants quadrats hi ha en una quadrat dividit en caselles iguals (2x2 caselles)?<br />
Quants quadrats hi ha en una quadrat dividit en 3x3 caselles?<br />
I en un quadrat dividit en 4x4?<br />
Crèdit variable<br />
Observa que un quadrat <strong>de</strong> 2x2 està format <strong>per</strong> 4 quadrats petits i un quadrat<br />
gran.<br />
Compta quants quadrats hi ha a la figura <strong>de</strong> 3x3. Ara en tindràs molts més.<br />
Caldrà trobar un mèto<strong>de</strong> <strong>per</strong> no <strong>de</strong>scomptar-te.<br />
Observa la taula i omple les caselles.<br />
Dimensió<br />
Nombre <strong>de</strong> quadrats<br />
<strong>de</strong>l quadrat 1x1 2x2 3x3 4x4 Total<br />
1x1<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
2x2<br />
3x3<br />
4x4<br />
Digues sense comptar-los, quants quadrats té un quadrat dividit en 5x5<br />
caselles.<br />
Digues sense comptar-los quants quadrats té un quadrat dividit en 6x6<br />
caselles.<br />
I en un quadrat 10x10?<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 45
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
Pots ajudar-te <strong>de</strong>l següent engraellat:<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 46
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
R2. Recompte <strong>de</strong> triangles<br />
Digues quants triangles hi ha a la xarxa <strong>de</strong> la figura:<br />
- Quants tenen un vèrtex cap amunt?<br />
- Quants el tenen cap avall?<br />
Per comptar dins d’una figura complexa has <strong>de</strong> utilitzar un mèto<strong>de</strong> organitzat:<br />
a) Primerament comptem els triangles d’una unitat <strong>de</strong> costat. Quants triangles<br />
hi ha?<br />
b) Després <strong>de</strong> dues unitats <strong>de</strong> costat. Quants n’hi ha?<br />
c) Fes servir el mateix procediment <strong>per</strong> comptar els <strong>de</strong> 3, 4, 5, ,,,,, unitats <strong>de</strong><br />
costat.<br />
d) Farem una taula <strong>per</strong> comptar els triangles que hi ha amb el vèrtex cap<br />
amunt.<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
Grandària<br />
<strong>de</strong>l<br />
triangle<br />
Nombre<br />
<strong>de</strong><br />
triangles<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 Total<br />
IES Almatà<br />
e) Farem una altra taula <strong>per</strong> comptar els que tenen el vèrtex cap avall.<br />
Grandària<br />
<strong>de</strong>l triangle<br />
Nombre <strong>de</strong><br />
triangles<br />
1 2 3 4 Total<br />
IES Almatà - Balaguer 47
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
f) A partir d’aquestes taules ja pots donar resposta a l’enunciat.<br />
Troba un sistema <strong>per</strong> a po<strong>de</strong>r saber el nombre <strong>de</strong> triangles que pot tenir<br />
qualsevol xarxa triangular equilàtera.<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 48
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
R3. El mosaic <strong>de</strong> la plaça<br />
Aquest mosaic està format <strong>per</strong> rajoles blanques i grises. La seva amplada és<br />
<strong>de</strong> 9 rajoles.<br />
Si en lloc d’aquest mosaic en tinguéssim un d’amplada <strong>de</strong> 135 rajoles, quantes<br />
rajoles tindria en total?<br />
Crèdit variable<br />
Apunta aquí les primeres i<strong>de</strong>es que et vinguin al cap <strong>per</strong> començar a resoldre<br />
aquest problema.<br />
Què necessites?<br />
Pot ser que en lloc <strong>de</strong> 135 rajoles <strong>de</strong> costat en tingui 150?<br />
Intenta dir-me una fórmula <strong>per</strong> si en lloc <strong>de</strong> tenir 135 rajoles en tens “n”. A això<br />
se li diu fórmula general.<br />
Explica tot el procediment que has seguit.<br />
Pots trobar més d’un mèto<strong>de</strong> <strong>de</strong> resolució d’aquest problema?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 49
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
R4. Piló <strong>de</strong> mone<strong>de</strong>s<br />
Observa la sèrie següent, feta amb mone<strong>de</strong>s:<br />
Alçada:<br />
a) Compta quantes mone<strong>de</strong>s hi ha en cada figura. Posa els resultats que vas<br />
obtenint en una taula:<br />
Crèdit variable<br />
Alçada<br />
Mone<strong>de</strong>s<br />
1 2 3 4<br />
b) Quantes mone<strong>de</strong>s necessitaries <strong>per</strong> a construir la figura <strong>de</strong> la posició 10? I<br />
<strong>de</strong> la posició 20?<br />
c) Quantes mone<strong>de</strong>s necessites <strong>per</strong> fer una figura d’alçada n?<br />
d) Pot ser que <strong>per</strong> fer una figura d’aquestes utilitzi 30 mone<strong>de</strong>s? Si és que sí,<br />
quina alçada tindrà? Si és que no, quantes mone<strong>de</strong>s en falten o en sobren?<br />
e) Pot ser que <strong>per</strong> fer una figura d’aquestes utilitzi 25 mone<strong>de</strong>s? Si és que sí,<br />
quina alçada tindrà? Si és que no, quantes mone<strong>de</strong>s en falten o en sobren?<br />
f) Pot ser que <strong>per</strong> fer una figura d’aquestes utilitzi 400 mone<strong>de</strong>s? Si és que sí,<br />
quina alçada tindrà? Si és que no, quantes mone<strong>de</strong>s en falten o en sobren?<br />
g) Pot ser que <strong>per</strong> fer una figura d’aquestes utilitzi 500 mone<strong>de</strong>s? Si és que sí,<br />
quina alçada tindrà? Si és que no, quantes mone<strong>de</strong>s em falten o em sobren?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 50
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
R5. Creu <strong>de</strong> mone<strong>de</strong>s<br />
Observa la sèrie següent, està feta amb mone<strong>de</strong>s.<br />
Quantes mone<strong>de</strong>s necessitaràs <strong>per</strong> a construir la figura <strong>de</strong> la posició 10? I <strong>de</strong> la<br />
posició 20?<br />
1<br />
2 3<br />
Crèdit variable<br />
Digues quantes mone<strong>de</strong>s caldran <strong>per</strong> fer la figura <strong>de</strong> la posició 100.<br />
Quantes mone<strong>de</strong>s necessito <strong>per</strong> fer la figura que es troba a la posició n?<br />
Quina posició correspon a la figura màxima que es pot construir amb 10.000<br />
mone<strong>de</strong>s?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 51
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
R6. El mosaic <strong>de</strong>l palau<br />
El terra <strong>de</strong>l passadís d’un palau s’enrajola amb el mosaic format <strong>per</strong> rajoles<br />
hexagonals fosques, envolta<strong>de</strong>s <strong>de</strong> rajoles <strong>de</strong> la mateixa forma <strong>de</strong> color més<br />
clar, tal com es mostra al dibuix.<br />
Crèdit variable<br />
Omple una taula amb diferents exemples senzills i estudia els resultats.<br />
Rajoles fosques 1 2 3 4<br />
Rajoles clares 6 11<br />
Calcula quantes rajoles clares es necessiten <strong>per</strong> envoltar-ne 7 <strong>de</strong> fosques.<br />
No busquis directament la relació entre el nombre <strong>de</strong> rajoles negres i les grises,<br />
si no que mira quin procediment segueixes en anar afegint una rajola negra<br />
cada cop.<br />
Calcula quantes rajoles clares es necessiten <strong>per</strong> envoltar 100 rajoles fosques.<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
Respon les mateixes qüestions amb aquests dos altres mo<strong>de</strong>ls<br />
d’enrajolat.<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 52
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
R7. L’escala<br />
Observa la sèrie d’escales següent:<br />
llistó<br />
1 2 3 4<br />
Omple la taula següent que indica quants llistons es necessiten segons els<br />
esglaons <strong>de</strong> l’escala:<br />
Crèdit variable<br />
Esgraons 1 2 3 4 5 6 10 21<br />
Llistons<br />
Has trobat la fórmula general <strong>per</strong> po<strong>de</strong>r calcular quan tenim n esgraons?<br />
Utilitza-la <strong>per</strong> comptar quants llistons necessitem <strong>per</strong> fer una escala <strong>de</strong> 130<br />
esgraons.<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
Ara vull modificar l’escala, ja que en ser tant alta em trobo insegura al<br />
capdamunt, <strong>per</strong> això he <strong>de</strong>cidit posar-hi uns llistons <strong>de</strong> la següent manera <strong>per</strong><br />
po<strong>de</strong>r-m’hi agafar.<br />
llistó<br />
1 2 3 4<br />
IES Almatà<br />
Em pots dir quina és ara la forma general <strong>de</strong>ls llistons que necessitem <strong>per</strong><br />
construir la nova escala?<br />
IES Almatà - Balaguer 53
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
R8. Castell <strong>de</strong> cartes<br />
Observa aquest castell <strong>de</strong> cartes <strong>de</strong> tres pisos. Per<br />
po<strong>de</strong>r construir-lo necessites 15 cartes. Quantes cartes<br />
necessitaries <strong>per</strong> construir un castells <strong>de</strong> 5 pisos? I <strong>per</strong><br />
fer-ne un <strong>de</strong> 10?<br />
R9. Les formigues<br />
En un jardí hi ha un formiguer. En aquest formiguer, les 16777216 formigues<br />
que hi viuen han fet uns passadissos subterranis. La forma <strong>de</strong> caminar <strong>per</strong><br />
aquests passadissos és la següent: <strong>de</strong>s <strong>de</strong>l principi, quan troben un<br />
encreuament, la meitat <strong>de</strong> les formigues van cap a la dreta i la meitat cap a<br />
l’esquerra. Quantes formigues arriben a cada punt B1, B2, ... B25?<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 54<br />
B1<br />
B2<br />
B3<br />
B4<br />
B5<br />
B6<br />
B7<br />
B8<br />
B9<br />
B10<br />
B11<br />
B12<br />
B13<br />
B14<br />
B15<br />
B16<br />
B17<br />
B18<br />
B19<br />
B20<br />
B21<br />
B22<br />
B23<br />
B24<br />
B25
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
R10. Els llumins<br />
a) Quants llumins es necessiten <strong>per</strong> fer un quadrat?<br />
b) Quants llumins es necessiten <strong>per</strong> fer una quadrícula 2 x 2?<br />
c) Quants llumins es necessiten <strong>per</strong> fer una quadrícula 10 x 10?<br />
d) Busca la fórmula que et doni el número <strong>de</strong> llumins que necessites <strong>per</strong> fer una<br />
quadrícula <strong>de</strong> n x n quadrats.<br />
Crèdit variable<br />
e) Quants llumins necessitarem <strong>per</strong><br />
construir una figura com aquesta <strong>per</strong>ò <strong>de</strong><br />
100 pisos?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
f) Quants llumins necessitarem <strong>per</strong> construir una<br />
figura com aquesta <strong>per</strong>ò <strong>de</strong> 100 pisos?<br />
g) Amb 375.750 llumins, quants pisos po<strong>de</strong>m fer?<br />
I amb 10 6 llumins, quants pisos po<strong>de</strong>m fer? Ens<br />
en sobra algun?<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 55
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
R11. Cares pinta<strong>de</strong>s<br />
Pintem un cub <strong>de</strong> color negre, i <strong>de</strong>sprés el tallem en 3 x 3 x 3 = 27 cubs més<br />
petits. Quants cubs tindrem...<br />
a) Amb una cara pintada<br />
b) Amb dues cares pinta<strong>de</strong>s<br />
c) Amb tres cares pinta<strong>de</strong>s<br />
d) Sense cap cara pintada<br />
Ara fem el mateix tallant el cub en 4 x 4 x 4 = 64 cubs petits.<br />
e) Amb una cara pintada<br />
f) Amb dues cares pinta<strong>de</strong>s<br />
g) Amb tres cares pinta<strong>de</strong>s<br />
h) Sense cap cara pintada<br />
Crèdit variable<br />
i) Busca la fórmula <strong>per</strong> trobar el nombre <strong>de</strong> cubs petits<br />
amb cares pinta<strong>de</strong>s d’un cub gran partit en n x n x n cubs<br />
petits.<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
R12. Trenquem el cub<br />
Tenim un cert nombre <strong>de</strong> cubs <strong>de</strong> fusta petits, tots iguals, i amb ells muntem un<br />
cub més gran (sense que sobri cap cub petit). Pintem algunes cares d’aquest<br />
cub més gran i el <strong>de</strong>smuntem, recu<strong>per</strong>ant els cubs petits. Llavors ens adonem<br />
que hi ha 24 cubs que no estan pintats. Quants cubs petits hi ha en total i<br />
quines cares <strong>de</strong>l cub gran han estat pinta<strong>de</strong>s?<br />
IES Almatà<br />
R13. La font<br />
Vores S.L. és una empresa encarregada <strong>de</strong> fer el <strong>per</strong>ímetre <strong>de</strong> seguretat <strong>de</strong> les<br />
fonts municipals. És a dir, es <strong>de</strong>dica a envoltar les fons construï<strong>de</strong>s a les ciutats<br />
d’unes rajoles especials que no rellisquen. Tenen una secció que es <strong>de</strong>dica a<br />
les fonts quadra<strong>de</strong>s, i tan sols utilitzen rajoles quadra<strong>de</strong>s d’un metre <strong>de</strong> costat.<br />
Avui han rebut un encàrrec d’una <strong>per</strong> una font quadrada <strong>de</strong> 132 metres <strong>de</strong><br />
costat. Quantes rajoles necessitaran?<br />
IES Almatà - Balaguer 56
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
Per no estar dibuixant i comptant sempre cada nou encàrrec, el gerent <strong>de</strong>l<br />
<strong>de</strong>partament ha trobat una formuleta que dóna sempre el nombre <strong>de</strong> rajoles<br />
exactes que es necessiten <strong>per</strong> una font quadrada n x n. Quina fórmula ha<br />
trobat?<br />
R14. Quina calor<br />
Quantes rajoles d’un metre <strong>de</strong> costat<br />
necessito <strong>per</strong> envoltar una piscina<br />
com aquesta?<br />
I si és com aquesta?<br />
Crèdit variable<br />
En els dos cassos, cada quadrat mesura un metre <strong>de</strong> costat.<br />
Dibuixa altres piscines semblants a la primera figura.<br />
Troba una fórmula <strong>per</strong> calcular la quantitat <strong>de</strong> rajoles que envolten aquestes<br />
piscines semblants a la primera.<br />
R15. La terrassa<br />
Imagineu que volem enrajolar una terrassa rectangular <strong>de</strong> 6,4 metres <strong>per</strong> 4<br />
metre <strong>de</strong> costat. Volem gastar el mínim possible, així és que anem a mirar<br />
preus a una fàbrica que fan liquidació <strong>per</strong> tancament. I ens donen la següent<br />
tarifa:<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
20 cm<br />
Tipus <strong>de</strong><br />
rajola<br />
20 cm<br />
20 cm<br />
40 cm<br />
40 cm<br />
Existències 300 250 100 125<br />
Preu unitari<br />
en cèntims<br />
IES Almatà<br />
30 50 95 75<br />
a) Quina <strong>de</strong> les quatre rajoles creus que és la més econòmica? Or<strong>de</strong>na-les <strong>de</strong><br />
més barata a més cara.<br />
IES Almatà - Balaguer 57
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
b) Calcula els metres quadrats que hi ha <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> les existències <strong>per</strong><br />
separat.<br />
c) Fes una proposta <strong>per</strong> enrajolar la terrassa usant diferents mo<strong>de</strong>ls. Fes un<br />
dibuix <strong>de</strong> com quedaria i fes el càlcul <strong>de</strong>l cost.<br />
R16. Ben recte<br />
Compta el número <strong>de</strong> rectes que passen <strong>per</strong> n punts que no estan alineats.<br />
R17. Forats al cub<br />
El cub que tens a continuació està format <strong>per</strong> cubs unitaris, <strong>per</strong>ò se n’han extret<br />
alguns, que van <strong>de</strong>s d’una cara fins a la seva oposada. Es veu quins s’han tret<br />
<strong>per</strong>què ha quedat un forat negre. Quants cubs petits s’han tret i quants en<br />
que<strong>de</strong>n al cub <strong>de</strong> la imatge?<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 58
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
R18. Una <strong>de</strong> torres<br />
Fem torres com les que hi ha a continuació.<br />
Si po<strong>de</strong>m disposar <strong>de</strong> 32.000 cubs, podrem construir una torre que tingui 200<br />
pisos?<br />
Crèdit variable<br />
R19. Quants cubs!<br />
Calcula quants cubs es necessiten <strong>per</strong> fer una torre com la que es mostra <strong>per</strong>ò<br />
<strong>de</strong> 100 pisos d’alçada.<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
R20. Deixar <strong>de</strong> fumar<br />
Un home que fuma cigars sense filtre <strong>de</strong>ci<strong>de</strong>ix no comprar-ne més cigars i<br />
<strong>de</strong>ixar <strong>de</strong> fumar. Mira les seves reserves i veu que li que<strong>de</strong>n 27 cigars. Quan ja<br />
els ha acabat, veu que amb tres burilles pot fer un altre cigar, <strong>de</strong> manera que<br />
continua fumant fins que només li queda una burilla. Quants cigars haurà fumat<br />
en total?<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 59
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> recompte<br />
R21. El tèrmits<br />
Els tèrmits estan fent estralls a la taula <strong>de</strong>l menjador <strong>de</strong> casa meva. És una<br />
taula quadrada com la que es mostra al dibuix.<br />
Aquest forat <strong>de</strong>l<br />
mig tant gran és<br />
el que em van<br />
fer el primer dia<br />
Primer dia<br />
Però el segon<br />
dia ja me<br />
l’havien <strong>de</strong>ixat<br />
així!!!<br />
Crèdit variable<br />
Segon dia<br />
Cada dia que passa es mengen el quadrat central, un cop dividit prèviament el<br />
quadrat original en uns altres nou quadrats iguals entre ells, <strong>per</strong>ò més petits.<br />
Quants quadrats, <strong>per</strong> petits que siguin, en menjaran els tèrmits el <strong>de</strong>sè dia?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 60
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> lògica<br />
PROBLEMES DE LÒGICA<br />
L1. Noms i colors<br />
La Blanca, la Rosa i la Mar es troben pel carrer i comenten:<br />
“Quina casualitat! Resulta que avui ens hem posat tres jerseis <strong>de</strong>ls colors <strong>de</strong>ls<br />
nostres noms, <strong>per</strong>ò cap <strong>de</strong> nosaltres s’ha vestit <strong>de</strong>l mateix color <strong>de</strong>l seu nom.”<br />
Amb aquest comentari, podries dir-me <strong>de</strong> quin color porta el jersei cada noia?<br />
L2. Amigues i germans<br />
Tres amigues, la Marta, la Sandra i la Laura, tenen un germà cadascuna. Amb<br />
el temps, cada noia acaba sortint amb el germà d’una <strong>de</strong> les seves amigues.<br />
Un dia la Marta es troba amb el germà <strong>de</strong> la Sandra i li diu: “Mira! Ahir vaig anar<br />
al cinema amb la teva parella.”<br />
Pots saber com estan forma<strong>de</strong>s les parelles?<br />
Crèdit variable<br />
L3. El sopar<br />
Quatre parelles van a sopar plega<strong>de</strong>s a un restaurant. Per ordre alfabètic, els<br />
homes es diuen: Enric, Francesc, Guillem i Humbert, i les seves dones es<br />
diuen: Alba, Blanca, Carme i Dora.<br />
L’Alba està casada amb el Guillem i la Carme és germana d’en Francesc.<br />
L’Humbert es va casar amb la Carme, <strong>per</strong>ò es va divorciar i no és el seu marit<br />
actual. La Dora té 4 germans, <strong>per</strong>ò el seu marit és fill únic.<br />
Qui és el marit <strong>de</strong> la Blanca?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
L4. Els tres germans<br />
El Marc és el més gran <strong>de</strong> tres germans que, quan el lleven, <strong>de</strong>ci<strong>de</strong>ixen mentir<br />
o dir la veritat durant tot el dia. Avui han dit el següent:<br />
- El germà A diu: “Jo sóc l’Albert i, a més a més, sóc el més gran <strong>de</strong> tots<br />
tres.”<br />
- El germà B diu: “A està mentint. Jo sóc l’Albert.”<br />
- El germà C diu: ”Jo sóc l’Albert.”<br />
Quin <strong>de</strong>ls tres germans és el Marc?<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 61
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> lògica<br />
L5. Els espies<br />
El carrer Espieta hi ha quatre cases on viuen 4 espies, cadascun amb una<br />
gavardina <strong>de</strong> diferent color. Les 4 cases també són <strong>de</strong> colors diferents. I els 4<br />
espies han trobat una pista diferent sobre l’assassinat d’un client seu. Podries<br />
fer tu d’espia i lligar cada espia amb la pista, el color <strong>de</strong> la casa i el color <strong>de</strong> la<br />
gavardina?<br />
- L’espia <strong>de</strong> la gavardina carabassa viu a la dreta <strong>de</strong>l <strong>de</strong> la gavardina<br />
vermella.<br />
- En Pere viu a la casa marró<br />
- L’espia que té la pista <strong>de</strong>l motiu viu dues cases més enllà <strong>de</strong> l’espia <strong>de</strong> la<br />
gavardina groga<br />
- La casa grisa i la casa violeta són els extrems <strong>de</strong>l carrer.<br />
- En Jordi viu a la casa violeta.<br />
- L’espia blau viu entre el que té la pista <strong>de</strong>l motiu i el que té la pista <strong>de</strong>l<br />
guant.<br />
- En Joan té la pista <strong>de</strong> l’arma.<br />
- L’espia <strong>de</strong> la gavardina groga i el <strong>de</strong> la gavardina blava són veïns.<br />
- La casa verda és a la dreta <strong>de</strong> la casa marró<br />
- En Josep és veí <strong>de</strong> l’habitant <strong>de</strong> la casa violeta<br />
- Algú té una pista <strong>de</strong>l lloc.<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
L6. L’humorista<br />
Un famós humorista actua cada dimarts en un programa <strong>de</strong> televisió i explica<br />
més <strong>de</strong> 10 acudits. Si ha actuat 23 setmanes consecutives i té un re<strong>per</strong>tori <strong>de</strong><br />
250 acudits diferents, <strong>de</strong>mostra que alguna setmana ha repetit algun acudit.<br />
IES Almatà<br />
L7. Els telèfons<br />
Es trien 11 números <strong>de</strong> telèfon com a guanyadors d’un sorteig a la televisió.<br />
Demostra que almenys dos d’aquestos números acaben en la mateixa xifra.<br />
IES Almatà - Balaguer 62
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> lògica<br />
L8. El dictat<br />
A la classe som 30 alumnes. L’altre dia, a la classe <strong>de</strong> català, vam fer un dictat i<br />
el Quim va fer 12 faltes d’ortografia i va ser el que en va fer més. Es pot<br />
assegurar, amb aquestes da<strong>de</strong>s, que tres alumnes <strong>de</strong> la classe van tenir el<br />
mateix nombre <strong>de</strong> faltes?<br />
L9. La suma <strong>de</strong>ls nombres<br />
Tria tres nombres enters positius i diferents que sumin 19. Demostra que<br />
almenys un <strong>de</strong>ls tres és més gran o igual que 8<br />
L10. De restaurant<br />
El restaurant <strong>de</strong> Ca l’Emília té 95 taules i 476 cadires. Po<strong>de</strong>m assegurar que en<br />
una taula hi ha sis cadires o més?<br />
Crèdit variable<br />
L11. Simbologia<br />
A continuació cada xifra <strong>de</strong> l’1 al 9 s’ha substituït <strong>per</strong> un símbol. Desxifra quin<br />
símbol correspon a cada nombre.<br />
+ =<br />
+ =<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
· =<br />
· =<br />
+ =<br />
+ =<br />
IES Almatà<br />
= = =<br />
= = =<br />
IES Almatà - Balaguer 63
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> lògica<br />
L12. El panell <strong>de</strong>ls nombres<br />
El següent panell està format <strong>per</strong> 12 peces com aquesta:<br />
Completa’n els forats amb nombres. Per obtenir-los, has <strong>de</strong> fer servir la regla<br />
següent: el nombre que està a dins <strong>de</strong>l quadrat es multiplica <strong>per</strong> ell mateix i el<br />
resultat, que és <strong>de</strong> dues xifres (la primera mai no pot ser zero), s’escriu als<br />
triangles adjacents a aquest quadrat.<br />
Crèdit variable<br />
La suma <strong>de</strong>ls nombres <strong>de</strong> cada columna formada <strong>per</strong> triangles dóna com a<br />
resultat els totals que s’indiquen al final <strong>de</strong> cada una. A més a més, la suma<br />
<strong>de</strong>ls nombres <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> les tres columnes forma<strong>de</strong>s <strong>per</strong> quadrats és<br />
idèntica. Quant val la suma?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
1<br />
8<br />
4 7 9<br />
5<br />
1<br />
6<br />
IES Almatà<br />
13 37<br />
36 18<br />
IES Almatà - Balaguer 64<br />
4<br />
3<br />
4<br />
1
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> lògica<br />
L13. Encreuats <strong>de</strong> quatre lletres<br />
En aquest entreteniment has <strong>de</strong> situar en les caselles bui<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l tauler les<br />
dotze paraules següents, sempre d’esquerra a dreta i <strong>de</strong> dalt a baix:<br />
ÀREA<br />
BASE<br />
CINC<br />
ZERO<br />
ONZE<br />
TRES<br />
RADI<br />
CARA<br />
EURO<br />
SUMA<br />
VUIT<br />
TONA<br />
Cal que tinguis en compte que <strong>per</strong> trobar les lletres es parteix <strong>de</strong>l nombre<br />
corresponent: A=1, B=2, ..., Z=26.<br />
En els nombres <strong>de</strong> les caselles <strong>de</strong>limita<strong>de</strong>s <strong>per</strong> una línia més gruixuda<br />
s’obtenen sabent que cada un és el factor d’un producte el resultat <strong>de</strong>l qual<br />
està a la casella contigua <strong>de</strong>l tauler, mentre que l’altre factor es troba a l’altra<br />
casella contigua al resultat. Per exemple:<br />
5<br />
E<br />
→ →<br />
60<br />
12 60<br />
L 60<br />
Crèdit variable<br />
380 285 75 30<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
18 45 5 5<br />
54 198 22 3<br />
IES Almatà<br />
78 300 400 1<br />
E<br />
IES Almatà - Balaguer 65
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> lògica<br />
L14. Caragol treu banya<br />
Al fons d’un pou hi ha un caragol que vol sortir-ne. El pou fa 100 metres <strong>de</strong><br />
profunditat, i el caragol és a baix <strong>de</strong> tot. Cada dia el caragol puja <strong>per</strong> la paret, 5<br />
metres; <strong>per</strong>ò quan arriba la nit, mentre dorm en rellisca un. Al cap <strong>de</strong> quants<br />
dies pot sortir <strong>de</strong>l pou el caragol?<br />
L15. El rellotge digital<br />
En un dia sencer, durant quant temps apareix un número 9 en un rellotge<br />
digital? (no importa el lloc on estigui).<br />
I el número 2?<br />
Crèdit variable<br />
L16. El lleter<br />
Un lleter té dues gerres <strong>per</strong> po<strong>de</strong>r mesurar qualsevol quantitat <strong>de</strong> llet que li<br />
<strong>de</strong>mana la gent. Aquestes gerres són <strong>de</strong> 3 i 5 litres. Creus que ho podrà fer?<br />
a) Com mesurarà 18 litres?<br />
b) Com mesurarà 7 litres?<br />
c) Com mesurarà 4 litres?<br />
d) Com creus que mesurarà qualsevol quantitat amb les dues gerres?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
L17. Gol d’handbol<br />
Els cinc equips d’handbol <strong>de</strong>l la província <strong>de</strong> Lleida que estan a la mateixa<br />
categoria han fet una lligueta. L’àrbitre tenia anotats tots els partits que havia<br />
guanyat, empatat i <strong>per</strong>dut cada equip. Però es va <strong>de</strong>ixar el pa<strong>per</strong> als pantalons<br />
<strong>de</strong> l’arbitratge i els va rentar. En va po<strong>de</strong>r recu<strong>per</strong>ar una part, la que mostra la<br />
taula següent. Podries completar-la? Per cada partit guanyat l’equip obté 2<br />
punts i <strong>per</strong> cada empat 1.<br />
IES Almatà<br />
Partits Punts<br />
Equip Total Lloc<br />
Jugats Guanyats Empatats Perduts Guanyats Empatats<br />
A 8 4 1 3 8 1 9<br />
B 8 1 2<br />
C 8 1 2<br />
D 8 2 <strong>2n</strong><br />
E 8 1 6<br />
IES Almatà - Balaguer 66
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes <strong>de</strong> lògica<br />
L18. Els cubs<br />
Construeix 4 piles <strong>de</strong> cubs usant-ne 20, <strong>de</strong> tal manera que primera pila tingui 4<br />
cubs més que la segona, aquesta un cub menys que la tercera, i la quarta el<br />
doble <strong>de</strong> la segona.<br />
L19. El raïm<br />
Del ram <strong>de</strong> la primera figura has <strong>de</strong> passar a la segona movent tan sols tres<br />
grans <strong>de</strong> raïm.<br />
Crèdit variable<br />
L20. Totxana<br />
Una totxana pesa 4 quilos. Quan pesarà una totxana més petita en que tots els<br />
costats s’han reduït a la meitat?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 67
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Enigmes<br />
ENIGMES<br />
E1. Seguretat nocturna<br />
El guàrdia nocturn d’una fàbrica adverteix al seu director que no utilitzi<br />
l’ascensor <strong>per</strong>què ha nit passada va somiar que es <strong>de</strong>spenjava aparatosament.<br />
Pocs dies <strong>de</strong>sprés, passa aquest acci<strong>de</strong>nt i el director, molt agraït, li dóna una<br />
bona propina <strong>per</strong> haver-li salvat la vida i el <strong>de</strong>spatxa. Per què?<br />
E2. La tempesta<br />
Fa un temps a Albacete es va originar una gran tempesta a mitjanit. És possible<br />
que 72 hores <strong>de</strong>sprés hi fes un temps assolellat?<br />
Crèdit variable<br />
E3. El gat negre<br />
Un automòbil <strong>de</strong> color negre amb els llums apagats entra en un carrer que no<br />
té fanals, on cap casa hi té els llums encesos. De sobte se li creua un gat<br />
negre. Malgrat tot, el conductor el pot esquivar. Com ho pots explicar?<br />
E4. Les bombetes<br />
A la primera planta d’un habitatge tenim tres bombetes i a la planta baixa, tres<br />
interruptors. Cada interruptor encén una bombeta. Com po<strong>de</strong>m saber, pujant<br />
només una vegada al primer pis, quin interruptor encén cada bombeta?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
E5. Quina gana!<br />
Per què és impossible menjar-se dos pastissos en <strong>de</strong>jú?<br />
E6. La frontera<br />
Un gall pon un ou al cim d’una muntanya que fa <strong>de</strong> frontera entre Espanya i<br />
França. Cap a quin país caurà l’ou?<br />
IES Almatà<br />
E7. Problemes <strong>de</strong> família<br />
Qui és la germana <strong>de</strong> la meva germana que no és la meva germana?<br />
IES Almatà - Balaguer 68
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Enigmes<br />
E8. La pilota<br />
Com s’ha <strong>de</strong> llençar una pilota <strong>per</strong>què quan arribi a una certa distància s’aturi<br />
sense xocar amb cap obstacle i immediatament retroce<strong>de</strong>ixi en sentit contrari al<br />
que duia?<br />
E9. L’avió<br />
Un avió s’estavella a la frontera d’Estats Units i Canadà. A quin país han<br />
d’enterrar els su<strong>per</strong>vivents?<br />
E10. Mone<strong>de</strong>s antigues<br />
Un arqueòleg que efectuava excavacions en un lloc pro<strong>per</strong> a Roma va trobar<br />
una caixa enterrada al costat d’unes restes <strong>de</strong> guerres molt antigues. Un cop<br />
oberta la caixa, hi va trobar algunes mone<strong>de</strong>s, i en una d’elles s’hi podia llegir<br />
<strong>de</strong> manera molt borrosa, i amb el text ja traduït: any 354 abans <strong>de</strong> Crist. Les<br />
mone<strong>de</strong>s i altres objectes <strong>de</strong> la troballa els van portar al museu arqueològic. El<br />
director <strong>de</strong>l museu se’ls va treure <strong>de</strong> sobre dient-los que les mone<strong>de</strong>s eren<br />
falses. Com ho va po<strong>de</strong>r saber tan sols amb un cop d’ull?<br />
Crèdit variable<br />
E11. Dolç<br />
Un pastisser rep 3 paquets amb 100 caramels cada un. En un hi ha 100<br />
caramels <strong>de</strong> menta, en un altre 100 caramels <strong>de</strong> llimona i en l’altre 50 <strong>de</strong> menta<br />
i 50 <strong>de</strong> llimona. Casa paquet porta una etiqueta <strong>de</strong>l tipus <strong>de</strong> bossa que és<br />
(Menta, Llimona, Barreja), <strong>per</strong>ò el repartidor li diu que totes les etiquetes estan<br />
equivoca<strong>de</strong>s. El pastisser, en lloc d’enfadar-se moltíssim, li diu que és igual,<br />
treu un caramel d’un <strong>de</strong>ls paquets i diu que ja sap com han d’anar les etiquetes.<br />
El repartidor es queda <strong>de</strong> pedra. Com ho ha pogut saber?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
E12. Ping-pong<br />
La Júlia i l’Anna juguen a ping-pong al jardí i els cau la pilota en un forat al terra<br />
<strong>de</strong> ciment que el seu pare havia fet <strong>per</strong> posar-hi un para-sol. El forat és tant<br />
estret que no els cap la mà i no arriben a agafar-la. Com la po<strong>de</strong>n aconseguir<br />
sense fer-la malbé?<br />
IES Almatà - Balaguer 69
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Enigmes<br />
E13. Dibuixant<br />
Un dibuixant, a causa <strong>de</strong>l seu caràcter <strong>de</strong>spistat i oblidadís, cada dia <strong>per</strong>d el<br />
doble nombre <strong>de</strong> llapis que el dia anterior, Va <strong>per</strong>dre tots els d’una capsa en<br />
vint-i-tres dies. Quants dies tardarien dos dibuixants, amb el mateix grau <strong>de</strong><br />
distracció a <strong>per</strong>dre els llapis <strong>de</strong> l’esmentada capsa?<br />
E14. Els fills<br />
La mare d’en Lluís té 5 fills. El primer es diu Rap, es segon Rep, el tercer Rip,<br />
el quart Rop, com es diu el cinquè fill?<br />
E15. Sacs <strong>de</strong> mone<strong>de</strong>s<br />
Uns pirates han trobat 100 sacs <strong>de</strong> mone<strong>de</strong>s d’or <strong>de</strong> 20 grans cadascuna. O<br />
això es pensen, <strong>per</strong>què realment, hi ha un sac amb mone<strong>de</strong>s falses, <strong>per</strong>ò tan<br />
sols mirant no es veu. La diferència està en el pes, que aquestes pesen un<br />
gram menys. Com faries <strong>per</strong> trobar quin és el sac fals si només disposem d’una<br />
balança i només po<strong>de</strong>m fer una pesada?<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 70
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes enca<strong>de</strong>nats<br />
PROBLEMES ENCADENATS<br />
A continuació hi ha uns <strong>problemes</strong> enca<strong>de</strong>nats, on la solució d’un porta a<br />
l’enunciat <strong>de</strong> l’altre o bé ens en dóna una dada important. Al final, amb totes les<br />
da<strong>de</strong>s juntes es resol el problema principal.<br />
T1. Un matemàtic famós<br />
El següent problema consta <strong>de</strong> 5 parts. Has d’anar resolent cada problema <strong>per</strong><br />
ordre, ja que el resultat obtingut al primer et fa falta <strong>per</strong> po<strong>de</strong>r resoldre el<br />
següent, ...<br />
Un cop trobats els 5 nombres que són la solució <strong>de</strong>ls cinc <strong>problemes</strong>, has <strong>de</strong><br />
mirar la taula <strong>de</strong> correspondències amb l’abecedari i <strong>de</strong>sxifrar el nom d’un<br />
matemàtic força famós.<br />
Crèdit variable<br />
A = 1 B = 2 C = 3 D = 4 E = 5 F = 6<br />
G = 7 H = 8 I = 9 J = 10 K = 11 L = 12<br />
M = 13 N = 14 O = 15 P = 16 Q = 17 R = 18<br />
S = 19 T = 20 U = 21 V = 22 W = 23 X = 24<br />
Y = 25 Z = 26<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
Nom <strong>de</strong>l matemàtic que busques:<br />
Solució <strong>de</strong>l<br />
problema 1<br />
Solució <strong>de</strong>l<br />
problema 2<br />
1) Una dona té tres fills d’edats compreses entre els 4 i els 15 anys (això no vol<br />
dir pas que tinguin aquestes edats). El producte <strong>de</strong> l’edat <strong>de</strong> la mare <strong>per</strong> la <strong>de</strong>ls<br />
tres fills és <strong>de</strong> 16555. Quants anys es porten els fill gran i el petit?<br />
IES Almatà<br />
2) La figura següent mesura A–1 <strong>de</strong> base, on A és el resultat <strong>de</strong> l’exercici<br />
anterior. L’alçada és <strong>de</strong> 2 unitats. Quina és l’àrea <strong>de</strong> la part ombrejada?<br />
P Q<br />
Solució <strong>de</strong>l<br />
problema 3<br />
Solució <strong>de</strong>l<br />
problema 4<br />
Solució <strong>de</strong>l<br />
problema 5<br />
I aquesta<br />
<strong>de</strong> regal<br />
IES Almatà - Balaguer 71<br />
T
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes enca<strong>de</strong>nats<br />
3) En augmentar 3º C la tem<strong>per</strong>atura d’un gas, el seu volum s’incrementa en B<br />
cm 3 . Si a 32º C el gas ocupa B 2 –2 cm 3 , quin volum ocupava a 29º C? B és la<br />
solució <strong>de</strong> l’exercici 2.<br />
4) El follet Entremaliat tria un nombre qualsevol, li’n suma 2 i divi<strong>de</strong>ix el resultat<br />
entre 2. El la nimfa Espurna tria un nombre qualsevol i, si és parell li suma 8,<br />
mentre que si és senar, el multiplica <strong>per</strong> 5. Si donem el nombre C (el resultat <strong>de</strong><br />
l’exercici 2) a l’Entremaliat, i l’Entremaliat li passa el resultat que obté a<br />
l’Espurna, quin nombre obtindrà aquesta?<br />
Crèdit variable<br />
5) Sóc un <strong>de</strong>sastre!!! Cada cop que pujo els D graons <strong>de</strong> l’escala <strong>de</strong> casa meva<br />
hi ensopego.<br />
- Els dilluns i els dimecres m’entrebanco amb els graons imparells.<br />
- Els dimarts i els dijous, amb els que són el quadrat d’un nombre.<br />
- Els divendres, amb els graons que corresponen a nombres primers.<br />
- I els caps <strong>de</strong> setmana, amb els graons que tenen exactament quatre divisors.<br />
Si D és el resultat <strong>de</strong>l problema 4, amb quants graons no m’entrebanco durant<br />
la setmana?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 72
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes enca<strong>de</strong>nats<br />
T2. Paraula secreta<br />
Segueix les indicacions que tens a continuació:<br />
La taula següents té 9 caselles amb 9 <strong>problemes</strong>. En primer lloc has <strong>de</strong><br />
resoldre retolat amb el nom SORTIDA.<br />
Un cop resolt aquest problema, busca la casella etiquetada amb el nombre que<br />
has obtingut com a solució. Quan el trobis anota la lletra que té a la casella 1<br />
<strong>de</strong>l gràfic <strong>de</strong> la paraula secreta. A continuació resol el problema i repeteix el<br />
procés fins que acabis tots els <strong>problemes</strong>.<br />
Crèdit variable<br />
7<br />
6<br />
8<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
5<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 73<br />
1<br />
4<br />
2<br />
3
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes enca<strong>de</strong>nats<br />
SORTIDA 12 O 30 I<br />
Quin és el nombre enter<br />
més pro<strong>per</strong> al resultat <strong>de</strong><br />
39 29 2<br />
+ − ?<br />
18 9 3<br />
La suma <strong>de</strong> 9 <strong>de</strong>ls<br />
nombres naturals que<br />
van <strong>de</strong> l’1 al 10 és 48.<br />
Quin nombre no he<br />
sumat?<br />
Crèdit variable<br />
Amb les xifres 1, 2, 3 i 5<br />
es po<strong>de</strong>n formar 24<br />
nombres <strong>de</strong> 4 xifres<br />
sense repetir. Quants<br />
n’hi ha <strong>de</strong> parells?<br />
32 M 6 P 18 N<br />
En un torneig d’escacs Quina és l’àrea en cm<br />
amb 6 jugadors, cada un<br />
juga dues parti<strong>de</strong>s amb<br />
tots els altres. Quantes<br />
parti<strong>de</strong>s juguen en tot el<br />
torneig?<br />
2<br />
Posa els nombres 1, 4,<br />
<strong>de</strong> la figura següent? 7, 10 i 13 <strong>per</strong>què la<br />
6 cm<br />
suma horitzontal i<br />
vertical sigui la mateixa i<br />
4 imparell. Quina és<br />
cm<br />
aquesta suma?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
7 L 21 O 8 I<br />
Si a▲b significa 2·a-b,<br />
quin és el valor <strong>de</strong><br />
l’expressió 4▲(1▲2)?<br />
En una illa canvien 3<br />
peixos <strong>per</strong> 2 peces <strong>de</strong><br />
fuita i una peça <strong>de</strong> fruita<br />
<strong>per</strong> dues panotxes <strong>de</strong><br />
blat <strong>de</strong> moro. Quantes<br />
panotxes et donaries <strong>per</strong><br />
24 peixos?<br />
Tenim 530 daus en<br />
forma <strong>de</strong> cub, d’1 cm<br />
d’aresta, i volem<br />
construir el màxim cub<br />
possible apilant<br />
or<strong>de</strong>nadament aquests<br />
daus.<br />
sobren?<br />
Quants en<br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 74
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes enca<strong>de</strong>nats<br />
T3. Lletres <strong>de</strong>splaça<strong>de</strong>s<br />
El següent objecte format <strong>per</strong> peces giratòries, i numera<strong>de</strong>s <strong>de</strong> l’1 al nou,<br />
tribaràs 9 lletres <strong>de</strong> l’alfabet català. Cada lletra es pot moure un o dos llocs cap<br />
endavant o cap endarrere, seguint l’alfabet, o bé quedar-se tal com està.<br />
Q<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
K<br />
T<br />
A<br />
E<br />
Com pots veure, ara són un conjunt <strong>de</strong> lletres sense sentit, <strong>per</strong>ò pots <strong>de</strong>sxifrar<br />
la paraula que hi ha escrita!! Has d’anar resolent els cinc <strong>problemes</strong> que tens a<br />
continuació. Cada un d’ells et diu què has <strong>de</strong> fer amb una peça, l’únic que has<br />
<strong>de</strong> fer és resoldre el problema <strong>per</strong> saber a quin número <strong>de</strong> peça fa referència.<br />
Crèdit variable<br />
1) Un cop enrere<br />
En Carles lloga la seva bicicleta <strong>per</strong> quatre xocolatines cada dues hores, o bé<br />
<strong>per</strong> dotze caramels cada tres hores. La Núria li dóna al Carles una xocolatina i<br />
dos caramels. Quanta estona pot fer servir la bicicleta <strong>de</strong>l Carles?<br />
2) Dos cops endavant<br />
En una classe <strong>de</strong> 30 alumnes, la meitat juga a futbol, un terç a bàsquet i el 10%<br />
als dos esports. Quants alumnes no juguen a cap d’aquests dos esports?<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
3) Dos cap enrere<br />
Una cria <strong>de</strong> coala es menja totes les fulles d’un eucaliptus en 10 hores. Tant el<br />
seu pare com la seva mare són capaços <strong>de</strong> menjar el doble <strong>de</strong> ràpid. En<br />
quantes hores es menjaran les fulles <strong>de</strong> l’eucaliptus tots tres junts?<br />
IES Almatà<br />
4) Dos cap endavant<br />
Una habitació té forma <strong>de</strong> prisma quadrangular. L’altura és <strong>de</strong> 3 m i el terra<br />
mesura 4m · 5m. Es vol augmentar el seu volum en 100 m 3 . Quants metres<br />
s’haurà d’elevar el sostre?<br />
IES Almatà - Balaguer 75<br />
P<br />
R<br />
C<br />
S
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Problemes enca<strong>de</strong>nats<br />
5) Un cap enrere<br />
El terra <strong>de</strong> fusta d’una habitació rectangular mesura 5m · 7m. Amb un pot <strong>de</strong><br />
vernís se’n po<strong>de</strong>n envernissar 13 m 2 . Quants pots he <strong>de</strong> comprar <strong>per</strong> fer dues<br />
capes al terra, sense que me’n falti, <strong>per</strong>ò que me’n sobri el mínim?<br />
Les lletres que no han sortit a cap solució són les que es <strong>de</strong>ixen igual<br />
Quina paraula resulta?<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 76
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Eines usa<strong>de</strong>s<br />
EINES USADES<br />
- Peces <strong>de</strong>l Creator<br />
- Fulls quadriculats<br />
- Fulls amb particions triangulars<br />
- Fulls amb particions hexagonals<br />
- Cartolina<br />
- Tisores<br />
- Escura<strong>de</strong>nts o llumins<br />
- Regle<br />
- Compàs<br />
- Celo<br />
- Geoplà i gomes elàstiques<br />
- Arròs<br />
- Balança <strong>de</strong> cuina<br />
- Cordill<br />
- Joc <strong>de</strong> cartes<br />
- Fitxes rodones<br />
- Cubs tipus Multicubs<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 77
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> Bibliografia<br />
BIBLIOGRAFIA<br />
- Qua<strong>de</strong>rns <strong>de</strong> <strong>matemàtiques</strong> – <strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong> 2 – Editorial<br />
Baula<br />
- L’assassinat <strong>de</strong>l professor <strong>de</strong> <strong>matemàtiques</strong> – Jordi Sierra i Fabra –<br />
Editorial Barcanova<br />
- Problemates – Lluís Segarra – Editorial Graó<br />
- Apunts <strong>de</strong>l <strong>Diploma</strong> <strong>de</strong> postgrau en Matemàtiques <strong>per</strong> la Secundària, <strong>de</strong><br />
la UPF.<br />
- Material publicat a l’espai web d’Anton Aubanell:<br />
http://www.xtec.cat/~aaubanel<br />
Crèdit variable<br />
<strong>Resolució</strong> <strong>de</strong> <strong>problemes</strong><br />
IES Almatà<br />
IES Almatà - Balaguer 78