Resolució de problemes a 2n d'ESO - Diploma de matemàtiques per ...

Crèdit variable
Resolució de
problemes a 2n d’ESO
Departament de matemàtiques
IES Almatà – Balaguer

Crèdit variable
Resolució de problemes
Dossier del Crèdit variable de Resolució de problemes a 2n d’ESO
Departament de matemàtiques
IES Almatà
Balaguer
Curs 2006 / 07
Professora: Íngrid Giménez
IES Almatà

Resolució de problemes Índex
ÍNDEX
ÍNDEX 3
INTRODUCCIÓ 6
RELACIÓ AMB EL CURRÍCULUM D’ESO 7
OBJECTIUS GENERALS DE L’ETAPA 7
PROCEDIMENTS DE L’ETAPA 7
FETS, CONCEPTES I SISTEMES CONCEPTUALS DE L’ETAPA 8
VALORS, NORMES I ACTITUDS DE L’ETAPA 9
OBJECTIUS TERMINALS DE L’ETAPA 10
FETS, CONCEPTES I SISTEMES CONCEPTUALS / PROCEDIMENTS DE 2N D’ESO 12
Crèdit variable
CRITERIS D’AVALUACIÓ 14
TEMPORITZACIÓ 15
ABANS DE COMENÇAR... 19
COMPRENSIÓ DE L’ENUNCIAT 19
ELABORACIÓ D’UN PLA O ESTRATÈGIA 19
EXECUCIÓ DEL PLA 20
COMPROVACIÓ 20
ALTRES CONSELLS 21
Resolució de problemes
PROBLEMES DE GEOMETRIA 25
G1. GUANYADOR DE LA CURSA 25
G2. CÀLCUL D’ÀREES 26
G3. LA CABRA QUE PASTURA 27
G4. DISTÀNCIA A L’INSTITUT 28
G5. EL PARC DE BOMBERS 28
G6. L’ESTANY 28
G7. DESCOBRINT LA FÓRMULA D’EULER 29
G8. ELS POLIMINÓS 30
G9. ELS POLIAMANTS 33
G10. EL PAGÈS I LA BASSA 35
IES Almatà
G11. IGUAL PERÍMETRE 35
G12. EN BUSCA DEL QUADRAT PERDUT 35
G13. VOLUM AMB UN FULL 36
G14. EL CARGOLET PERDUT 36
PROBLEMES DE CAMINS 37
C1. EL CAMÍ MÉS CURT 37
C2. CARRERS DE BARCELONA 37
C3. RECORREGUT PEL MUSEU 38
IES Almatà - Balaguer 3

Resolució de problemes Índex
PROBLEMES DE NOMBRES 41
N1. LA VIDA DE DIOFANT 41
N2. COBRAR EN ESPÈCIES 41
N3. ARRÒS PER SOBREVIURE 42
N4. PROHIBIDA LA CALCULADORA!! 42
N5. REVISTA DEL COR 42
N6. LA DARRERA XIFRA 42
N7. EL 5 I EL 7 42
N8. SUMA DE NOMBRES 42
N9. EL PASTÍS RODÓ 43
N10. ELS ENTERS 43
N11. EL PASTÍS QUADRAT 43
N12. ELS TREBALLADORS DE L’HOTEL 43
N13. LA BALANÇA 44
N14. FEM UN CREUER 44
N15. CISTELL D’OUS 44
Crèdit variable
PROBLEMES DE RECOMPTE 45
R1. RECOMPTE DE QUADRATS 45
R2. RECOMPTE DE TRIANGLES 47
R3. EL MOSAIC DE LA PLAÇA 49
R4. PILÓ DE MONEDES 50
R5. CREU DE MONEDES 51
R6. EL MOSAIC DEL PALAU 52
R8. CASTELL DE CARTES 54
R9. LES FORMIGUES 54
R10. ELS LLUMINS 55
R11. CARES PINTADES 56
R12. TRENQUEM EL CUB 56
R13. LA FONT 56
R14. QUINA CALOR 57
R15. LA TERRASSA 57
R16. BEN RECTE 58
R17. FORATS AL CUB 58
R18. UNA DE TORRES 59
R19. QUANTS CUBS! 59
R20. DEIXAR DE FUMAR 59
R21. EL TÈRMITS 60
Resolució de problemes
IES Almatà
PROBLEMES DE LÒGICA 61
L1. NOMS I COLORS 61
L2. AMIGUES I GERMANS 61
L3. EL SOPAR 61
L4. ELS TRES GERMANS 61
L5. ELS ESPIES 62
L6. L’HUMORISTA 62
L7. ELS TELÈFONS 62
L8. EL DICTAT 63
L9. LA SUMA DELS NOMBRES 63
L10. DE RESTAURANT 63
IES Almatà - Balaguer 4

Resolució de problemes Índex
L11. SIMBOLOGIA 63
L12. EL PANELL DELS NOMBRES 64
L13. ENCREUATS DE QUATRE LLETRES 65
L14. CARAGOL TREU BANYA 66
L15. EL RELLOTGE DIGITAL 66
L16. EL LLETER 66
L17. GOL D’HANDBOL 66
L18. ELS CUBS 67
L19. EL RAÏM 67
L20. TOTXANA 67
ENIGMES 68
E1. SEGURETAT NOCTURNA 68
E2. LA TEMPESTA 68
E3. EL GAT NEGRE 68
E4. LES BOMBETES 68
E5. QUINA GANA! 68
E6. LA FRONTERA 68
E7. PROBLEMES DE FAMÍLIA 68
E8. LA PILOTA 69
E9. L’AVIÓ 69
E10. MONEDES ANTIGUES 69
E11. DOLÇ 69
E12. PING-PONG 69
E13. DIBUIXANT 70
E14. ELS FILLS 70
E15. SACS DE MONEDES 70
Crèdit variable
PROBLEMES ENCADENATS 71
Resolució de problemes
T1. UN MATEMÀTIC FAMÓS 71
T2. PARAULA SECRETA 73
T3. LLETRES DESPLAÇADES 75
EINES USADES 77
BIBLIOGRAFIA 78
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 5

Resolució de problemes Introducció
INTRODUCCIÓ
Gràcies a la resolució de problemes, les matemàtiques ja no són tan
monòtones, sistemàtiques, avorrides, ...
La resolució de problemes fa veure que hi ha matemàtiques més enllà de les
aules. Fa veure que les matemàtiques no es redueixen a les fraccions i a
resoldre equacions. Fa veure que les matemàtiques són una manera de
pensar.
Aquest crèdit no necessita un perfil d’alumne brillant en matemàtiques, al
contrari, tothom hi està admès. Ara bé, no està recomanat a aquells alumnes
mandrosos, que no tinguin ganes de pensar una estona i passar-s’ho bé
descobrint lleis amagades dels nombres.
Podríem dir que la solució ja no és el més important d’un problema, si no que
són els camins que seguim per arribar-hi. L’important és obrir un ventall de
possibilitats, de possibles respostes, i un cop començades a analitzar, saber
decidir quins camins són bons, quins no; quins ens fan anar endavant o quins
no ens duen enlloc.
Observar, experimentar, tocar, dibuixar, pintar, retallar, ... seran les operacions
matemàtiques que més usarem. Per què per resoldre bé un problema, primer
s’ha d’entendre, i per entendre’l, què millor que manipular-lo?
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 6

Resolució de problemes Relació amb el currículum
RELACIÓ AMB EL CURRÍCULUM D’ESO
Objectius generals de l’etapa
1. Entendre la matemàtica com a ciència oberta i dinàmica que ha seguit
una evolució històrica i que té capacitat d’adaptació a les noves
situacions.
2. Valorar especialment el caràcter instrumental de la matemàtica en altres
camps del coneixement.
3. Aplicar de manera creativa, davant de situacions noves, els mètodes
matemàtics apresos.
4. Utilitzar tècniques matemàtiques per interpretar i avaluar, de manera
crítica, la informació que rep del seu entorn.
5. Conèixer i valorar les pròpies habilitats matemàtiques i emprar-les amb
flexibilitat (sabent canviar d’estratègia, si cal) i amb constància en la
recerca de solucions a les situacions problemàtiques que se li plantegin.
6. Emprar, quan convingui, diferents llenguatges matemàtics (algèbric,
estadístic, geomètric, gràfic) per tal que les seves possibilitats
expressives i de raonament millorin en rigor i precisió.
7. Fer observacions sistemàtiques d’aspectes quantitatius, geomètrics i
lògics de la realitat, i estructurar i presentar la informació obtinguda de
manera que se’n faciliti l’anàlisi posterior.
8. Analitzar un conjunt de dades i trobar-hi possibles relacions, fent ús de
models matemàtics elementals (estadístics, funcionals, algèbrics).
9. Emprar amb soltesa i familiaritat els mitjans tecnològics (calculadores i
ordinadors) que facilitin les tasques de càlcul i de representació.
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
Procediments de l’etapa
1. Llenguatges i processos.
1.1 Ús de diferents llenguatges matemàtics. Traducció.
1.2 Classificació. Ordenació.
1.3 Aplicació de mètodes inductius i deductius.
1.4 Resolució de problemes.
IES Almatà - Balaguer 7

Resolució de problemes Relació amb el currículum
2. Tècniques per a la mesura i el càlcul.
2.1 Tècniques de representació simbòlica i gràfica de nombres.
2.2 Tècniques de mesura directa (amb utilització d’instruments) i de mesura
indirecta (mitjançant algorismes i representacions a escala).
2.3 Càlcul exacte i aproximat amb nombres: mentalment i per escrit, amb
calculadora o amb ordinador.
2.4 Plantejament i càlcul d’expressions numèriques i algèbriques sobre
problemes concrets.
2.7 Tècniques de recompte de possibilitats.
3. Ús de models geomètrics.
3.1 Aplicació de models geomètrics per a la interpretació de situacions reals.
Crèdit variable
3.2 Representació plana de figures espacials i, recíprocament, comprensió
de figures espacials a partir de la seva representació plana.
4. Representació i anàlisi de la informació.
4.1 Tècniques de recollida de dades i construcció de taules de valors i de
freqüències.
4.4 Elaboració de fórmules que relacionin variables.
Fets, conceptes i sistemes conceptuals de l’etapa
1. Els nombres.
1.1 Nombres naturals. Divisibilitat.
1.2 Nombres enters.
2. El pla i l’espai.
2.1 Elements i organització del pla.
2.2 Elements i organització de l’espai.
2.3 Magnituds i mesura.
2.5 La semblança en el pla.
2.6 Càlcul d’àrees i volums de figures i cossos: formes circulars on és
necessari el número pi.
3. La dependència entre variables.
3.2 Funcions: dependència i conceptes associats.
6. Elements d’història de la matemàtica. Nocions de la gènesi històrica
d’aspectes rellevants de la matemàtica.
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 8

Resolució de problemes Relació amb el currículum
7. Resolució de problemes
7.1 Interpretació.
7.2 Organització de les dades
7.3 Simplificació.
7.4 Generalització.
Valors, normes i actituds de l’etapa
1. Interrogació i investigació davant de situacions i problemes contrastables
matemàticament.
1.1 Esperit crític davant d’informacions i opinions que admetin una anàlisi
matemàtica.
1.2 Perseverança i flexibilitat en la recerca i la millora de solucions
matemàtiques a situacions que se li plantegin.
1.3 Confiança raonada en la capacitat pròpia per afrontar situacions
problemàtiques noves que exigeixin l’aplicació dels propis coneixements
matemàtics.
1.4 Interès i respecte per les diverses estratègies matemàtiques que es
poden emprar per trobar la solució d’un problema.
2. Sistematització del treball en les matemàtiques.
2.1 Organització del treball en matemàtiques: planificació, distribució
temporal, recerca d’ajuts i eines.
2.2 Interès per la precisió en el llenguatge i per la presentació acurada en
els treballs matemàtics realitzats.
2.3 Interès en la conservació, l’ordenació i l’actualització dels materials
didàctics que s’utilitzen.
2.4 Valoració positiva de la necessitat de realitzar tasques d’exercitació
sistemàtica destinades a consolidar la utilització de tècniques.
3. Valoració de les eines matemàtiques.
3.1 Utilització, de forma habitual, de recursos i eines matemàtics per afrontar
situacions que ho requereixin.
3.2 Ús habitual i equilibrat dels mitjans tecnològics per al càlcul, la
representació i l’assoliment de conceptes.
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 9

Resolució de problemes Relació amb el currículum
Objectius terminals de l’etapa
1 - Planificar i realitzar observacions sistemàtiques, enregistrar les dades
obtingudes, classificar-les i presentar-les de manera ordenada i
entenedora.
2 - Trobar relacions entre les dades obtingudes o donades, reconèixer-hi els
conceptes i les relacions matemàtiques que continguin i saber-los
expressar mitjançant el llenguatge natural, expressions algèbriques,
figures o gràfics.
3 - Planificar la resolució de situacions problemàtiques: distinció del que es
coneix i el que és desconegut, distinció de la informació útil i la supèrflua,
anticipació i estimació de possibles solucions, elecció del mètode a
emprar i comprovació de la validesa dels resultats trobats interpretant-los
en la situació de partida.
4 - No abandonar la recerca de la solució a una situació problemàtica quan
l’estratègia que s’ha escollit en primer lloc no ha estat adequada o quan
s’ha obtingut un resultat no satisfactori.
5 - Acceptar, sense precipitar-se, la necessitat de canviar d’estratègia en la
recerca de solució quan la situació ho requereixi i, en aquest sentit, actuar
amb esperit de cooperació, respecte i interès envers la tasca dels
companys amb els quals es treballa.
6 - Reduir problemes complexos a altres de més senzills que en facilitin la
comprensió i la resolució.
7 - Trobar relacions o propietats senzilles raonant-les a partir de la pròpia
intuïció, fent ús de mètodes inductius o de manera deductiva a partir
d’unes premisses establertes.
9 - Mostrar una disposició a interrogar-se davant de situacions que es
plantegin: formular hipòtesis, buscar exemples o contraexemples i fer
comprovacions experimentals o raonades.
10 - Mostrar una actitud crítica enfront de la informació que es rep i analitzar-la
mitjançant els coneixements matemàtics i les possibilitats de raonament
que es tinguin a l’abast.
11 - Interessar-se per contrastar i relacionar els aprenentatges nous amb el
que ja sap.
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 10

Resolució de problemes Relació amb el currículum
12 - Interessar-se per revisar i reordenar periòdicament el material elaborat
(treballs, exercicis, apunts, proves) i posar un èmfasi especial en l’ordre
lògic, l’expressió acurada i la pulcritud de la presentació.
13 - Valorar la importància de realitzar exercicis i treballs de manera
sistemàtica i metòdica per tal de consolidar i assimilar els procediments i
conceptes que s’aprenen.
14 - Autovalorar el que s’ha après i conèixer-ne els límits. Tenir consciència i
confiança en les pròpies capacitats.
16 - Ordenar i representar diferents tipus de nombres: naturals, enters,
racionals, irracionals (pi i quadràtics) i utilitzar-los per quantificar situacions
de la vida quotidiana.
Crèdit variable
18 - Davant de situacions problemàtiques que admetin un tractament numèric,
plantejar expressions numèriques que possibilitin la seva resolució i
efectuar els càlculs que se’n derivin amb nombres enters, racionals i
irracionals (pi i quadràtics) donats en diferents expressions (entera,
decimal, fraccionària, percentual, mixta, científica) i fent servir les
operacions de suma, resta, multiplicació, divisió, potenciació i radicació
quadrada.
19 - Escollir de forma raonada el mètode més convenient per a la realització
Resolució de problemes
d’un determinat càlcul: mentalment, per escrit, amb calculadora o amb
ordinador.
20 - Aplicar algorismes de càlcul amb calculadores o implementats en fulls de
càlcul informatitzats per trobar els resultats d’expressions aritmètiques,
construir taules funcionals o explorar pautes i regularitats numèriques.
23 - Emprar les unitats de mesura més usuals en el cas de longituds, amplituds
d’angles, superfícies, volums, capacitats i temps, i també les seves
relacions.
IES Almatà
24 - Aplicar les relacions de divisibilitat al càlcul d’expressions numèriques
(màxim comú denominador i mínim comú múltiple en els nombres
naturals), a problemes de recompte de possibilitats i a altres situacions
que ho requereixin.
25 - Calcular àrees de superfícies planes (limitades per segments i arcs de
circumferència) i volums de cossos geomètrics (prismes, piràmides,
cilindres, cons i esferes) ja sigui aplicant fórmules o usant altres mètodes.
IES Almatà - Balaguer 11

Resolució de problemes Relació amb el currículum
29 - Identificar figures planes (polígons, cercles i sectors i corones circulars) i
espacials (prismes, piràmides, cilindres, cons, esferes i políedres
regulars), construir-ne models a partir de criteris donats i descriure els
seus elements i les relacions entre ells.
30 - Definir conceptes geomètrics elementals (incidència, paral·lelisme,
perpendicularitat, angles, moviments i semblança), incorporar-los a la seva
expressió i al seu raonament i enunciar relacions entre ells i propietats
senzilles.
31 - Obtenir i utilitzar representacions planes de cossos geomètrics (prismes,
piràmides, cilindres, cons, esferes i políedres regulars) i també, donada
una representació plana, saber-la interpretar.
32 - Reconèixer què són figures semblants i equivalents (en àrea o volum) i els
mètodes que cal emprar per obtenir-les.
33 - Utilitzar correctament aparells de dibuix i mesura (regle, transportador,
escaire, compàs) i programes informàtics per fer construccions
geomètriques planes.
51 - Fer recompte de possibilitats mitjançant diagrames en arbre, tècniques
combinatòries o altres mètodes.
Crèdit variable
Resolució de problemes
Fets, conceptes i sistemes conceptuals / procediments de 2n d’ESO
1. Proporcionalitat.
1.1 Punt de vista numèric: proporcionalitat entre diferents magnituds i la
seva representació gràfica.
1.2 Introducció del número pi, com a factor de proporcionalitat entre
magnituds.
1.3 Aspectes geomètrics de la proporcionalitat: la semblança. El teorema de
Thales.
2. Mesura i estudi de l’espai.
2.1 Proporcionalitat: semblança de figures, el número pi.
2.2 L’equivalència de figures i cossos de l’espai.
2.3 El teorema de Pitàgores a partir de mesures de triangles rectangles.
2.4 Càlcul d’àrees i volums de figures i cossos: formes circulars on és
necessari el número pi.
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 12

Resolució de problemes Relació amb el currículum
3. Descripcions funcionals i estadístiques.
3.1 Dependència entre magnituds: la dependència funcional i la
dependència aleatòria.
3.2 Dependència lineal entre magnituds a partir del treball de
proporcionalitat; modelització de situacions reals.
3.3 Generalització de la dependència lineal per arribar a la funció afí.
5. Càlcul.
5.1 La calculadora: introducció del parèntesi i la prioritat d’operacions. Ús de
l’ordinador com a calculadora simbòlica.
5.2 El full de càlcul: exploració de pautes i regularitats de col·leccions
numèriques, amb l’objectiu de trobar i expressar dependències funcionals
entre magnituds.
5.3 Resolució d’equacions senzilles de primer grau lligades a problemes
concrets; com a conseqüència, introducció de noves operacions tant amb
nombres enters com fraccionaris.
5.4 Operacions entre nombres enters: la multiplicació, la divisió, la resta i la
propietat distributiva.
5.5 Operacions amb nombres fraccionaris: el producte i les fraccions
negatives.
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 13

Resolució de problemes Criteris d’avaluació
CRITERIS D’AVALUACIÓ
El sistema d’avaluació serà mitjançant l’entrega d’exercicis. Cada setmana
proposaré el que detallo a la taula que hi ha a l’apartat de temporalització. Com
que es tracta d’un crèdit variable, el nombre d’alumnes és molt reduït, cosa que
permet observar molt bé com treballa l’alumne i si absorbeix els conceptes i la
manera de treballar correcta.
El promig entre Procediments, Conceptes i Actituds serà el següent:
Procediments 40%
Fets, conceptes i sistemes conceptuals 30%
Valors, normes i actituds 30%
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 14

Resolució de problemes Temporització
TEMPORITZACIÓ
En aquest dossier he fet un recull de gairebé 100 problemes i enigmes, alguns
d’ells amb diversos apartats. Gairebé tots s’utilitzen en aquest crèdit.
A continuació hi ha una taula de temporalització usant aquests problemes. Per
això considero que el crèdit està format per 35 sessions de 55 minuts cada una.
L’estructura és per setmanes, ja que per treballar molts dels problemes
proposats no n’hi ha prou amb una sessió, però sí amb les tres d’una setmana.
Afegeixo també una columna per les eines. He de dir que n’hi ha unes que són
necessàries per a tots els problemes: el paper, llapis o bolígraf, goma i una
calculadora. Així doncs, les que poso aquí són eines recomanades que poden
ajudar a visualitzar el problema per cada exercici en concret.
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 15

Resolució de problemes Temporització
Setmana Problema
1
2
Crèdit variable
3
Temps
previst
G4 - Distància a l’institut 20
C1 - El camí més curt 30
R1 - Recompte de quadrats 75 Full quadriculat
R13 - La font 20 Full quadriculat
L1 - Noms i colors 15
E8 - La pilota 5
G5 - El parc de bombers 20
N2 - Cobrar en espècies 25
N10 - Els enters 40
R15 - La terrassa 55 Full quadriculat
L7 - Els telèfons 10
L14 - Caragol treu banya 10
E1 - Seguretat nocturna 5
G14 - El cargolet perdut 25 Full mil·limetrat
N13 - La balança 40
R3 - El mosaic de la plaça 60 Full quadriculat
Eines
R18 - Una de torres 25 Cubs tipus Multicubs
L6 - L’humorista 10
E2 - La tempesta 5
4 G7 - Descobrint la fórmula d’Euler 165 Creator
Resolució de problemes
5
6
G11 - Igual perímetre 30 Cordill
N8 - Suma de nombres 60
R10 - Els llumins 55 Llumins o escuradents
L15 - El rellotge digital 10
E10 - Monedes antigues 5
E13 - Dibuixant 5
G3 - La cabra que pastura 90 Cordill
R6 - El mosaic del palau 40 Full amb hexàgons
L10 - De restaurant 10
L17 - Gol d’handbol 20
E3 - El gat negre 5
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 16

Resolució de problemes Temporització
Setmana Problema
7
8
Temps
previst
Crèdit variable
9
10
Eines
G13 - Volum amb un full 30 Tisores, fulls DIN A4
C2 - Carrers de Barcelona 60
N9 - El pastís rodó 30
R21 - El tèrmits 25
L2 - Amigues i germans 15
E5 - Quina gana! 5
G1 - Guanyador de la cursa 30
N3 - Arròs per sobreviure 40
Calculadora de l’ordinador, arròs,
balança de cuina
R11 - Cares pintades 55 Cubs tipus Multicubs
R20 - Deixar de fumar 10 Llumins o escuradents
L5 - Els espies 20
E11 - Dolç 10
G8 - Els poliminós 110 Creator, quadrats
R7 - L’escala 35 Llumins o escuradents
L3 - El sopar 15
E12 - Ping-pong 5
G10 - El pagès i la bassa 30
N12 - Els treballadors de l’hotel 40
Resolució de problemes
11
12
R9 - Les formigues 50 Grans d’arròs
R14 - Quina calor 40 Full quadriculat
E9 - L’avió 5
C3 - Recorregut pel museu 60
N6 - La darrera xifra 20
N7 - El 5 i el 7 30
R19 - Quants cubs! 25 Cubs tipus Multicubs
L16 - El lleter 20
E15 - Sacs de monedes 10
N5 - Revista del cor 25
R16 - Ben recte 20
R17 - Forats al cub 25
T2 - Paraula secreta 40
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 17

Resolució de problemes Temporització
Crèdit variable
Altres
G2 - Càlcul d’àrees 40 Regle
G6 - L’estany 20 Regle, compàs
G9 - Els poliamants 110 Creator, triangles
G12 - En busca del quadrat perdut 20 Cartolina, tisores
N1 - La vida de Diofant 20
N4 - Prohibida la calculadora!! 20
N11 - El pastís quadrat 25
N14 - Fem un creuer 15
N15 - Cistell d’ous 20
R2 - Recompte de triangles 75 Full amb triangles
R4 - Piló de monedes 20 Fitxes rodones
R5 - Creu de monedes 25 Fitxes rodones
R8 - Castell de cartes 40 Joc de cartes
R12 - Trenquem el cub 30 Cubs tipus Multicubs
L4 - Els tres germans 15
L8 - El dictat 15
L9 - La suma dels nombres 15
L11 - Simbologia 20
L12 - El panell dels nombres 15
L13 - Encreuats de quatre lletres 45
L18 - Els cubs 15 Cubs tipus Multicubs
Resolució de problemes
L19 - El raïm 10 Fitxes rodones
L20 - La totxana 10
E4 - Les bombetes 5
E6 - La frontera 5
E7 - Problemes de família 5
E14 - Els fills 5
T1 - Un matemàtic famós 40
T3 - Lletres desplaçades 40
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 18

Resolució de problemes Abans de començar...
ABANS DE COMENÇAR...
Com en gairebé tot, també en resolució de problemes hi ha unes tècniques que
ens poden facilitar la feina. Uns passos a seguir en lloc de començar a abordar
el problema sense pensar.
Seguint les regles heurístiques de Georg Pólya, podem dir que es pot dividir el
fet de resoldre un problema en els següents passos:
- Comprensió de l’enunciat
- Elaboració d’un pla o estratègia
- Execució del pla
- Comprovació
Crèdit variable
Comprensió de l’enunciat
No es pot començar a fer un problema, utilitzant totes les dades de l’enunciat, i
fent operacions sense saber per què les fem, senzillament perquè sembla que
surtin bé.
S’ha de fer una lectura minuciosa del problema, saber de què disposes i saber
què et demana.
T’ha recordat la lectura del problema a algun altre problema ja fet o a alguna
situació?
Quines dades tens per trobar la solució? Creus que te’n falta alguna per poder
resoldre el problema?
Escriu el problema amb les teves paraules, el que et dóna i el que has de
trobar, de manera que sigui més fàcil d’entendre.
Imagina de quin tipus ha de ser la solució: un nombre, una mesura, un dibuix. I
fes-te una idea entre quins valors pot oscil·lar. D’aquesta manera, un cop resolt
el problema tu mateix et pots adonar si has fet bé el problema o no.
Resolució de problemes
IES Almatà
Elaboració d’un pla o estratègia
Per on comencem quan tenim un problema davant?
En el cas que el problema vagi acompanyat d’un dibuix, representa-hi totes les
dades del problema. I en cas de no tenir aquest dibuix o esquema, s’ha
d’intentar fer, en tots els cassos que sigui possible.
IES Almatà - Balaguer 19

Resolució de problemes Abans de començar...
Quantes parts té el problema? Cada part tindrà el seu mètode. Estudia-les per
separat, poc a poc i bona lletra, això simplifica el problema.
Tens més d’una idea per resoldre el problema? Anota-les totes, és possible que
se n’hagi de provar més d’una.
Necessites algun estri auxiliar? Cubs, calculadora, regle, tisores, fulls, ... Fes un
recull del que necessitis, experimentant s’aprèn i es descobreix.
Execució del pla
Si et trobes amb dificultats mentre resols un problema, no tornis enrere fins que
no vegis clarament que la teva idea està totalment equivocada. Intenta resoldre
les petites dificultats que sempre poden sortir.
No t’emboliquis quan t’entrebanquis amb alguna dificultat seriosa, torna al
principi, reorganitza les idees, corregeix les errades, torna-ho a provar, intenta
un altre camí que també havies pensat.
Escriu tots els passos que segueixes i on et porta cada un, així és més fàcil
trobar un error intermedi que no pas sense anotar res.
Crèdit variable
Comprovació
Quan creguis que has acabat el problema, sigues prudent. No sempre tots els
resultats que semblen correctes ho són (igual que no sempre tots els resultats
que semblen incorrectes tampoc ho són). Repassa tot el procés. Assegura’t,
pas per pas, que no hi ha errades. Llegeix de nou l’enunciat i comprova que el
que et demanaven és el que has calculat. Mira si el resultat està dins els valors
esperats. Si el resultat no té sentit, estudia de nou el problema.
Has posat les unitats adequades al resultat del problema?
Pot ser que un problema no estigui ben resolt perquè no s’ha plantejat
correctament, o bé per algun error en les operacions. Cal que sàpigues revisar
correctament i trobar on t’has equivocat.
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 20

Resolució de problemes Abans de començar...
Altres consells
- Problemes de geometria
Sobretot en geometria és molt important fer-se un bon dibuix que ens
representi la situació del problema. És molt útil també poder afegir a
aquest dibuix totes les dades que ens aporta l’enunciat.
- Problemes de camins
Per tal de facilitar la resolució d’aquest tipus de problemes és molt adient
realitzar alguna mena d’esquema per tal de poder comptar d’una manera
organitzada tots els cassos possibles.
Unes indicacions per a l’exercici 1 de camins serien:
a) Posar noms a tots els encreuaments:
7 8
Crèdit variable
1 2 3
b) Ara el problema es tradueix a la manera d’arribar a del punt 1 fins al
punt 9. Els camins possibles a seguir són els següents:
1
Resolució de problemes
2 4
3 5 5 7
6
9
6 8
9 9
IES Almatà
200 m 200 m 200 m 200 m 200 m 200 m
- Problemes de nombres
Quan un problema espanta perquè hi ha uns nombres tan grans que
t’impedeixen dibuixar-lo o imaginar-te’l, canvia l’enunciat per nombres
IES Almatà - Balaguer 21
6
9
4
5
8
9
9
6
8
9

Resolució de problemes Abans de començar...
més petits. Quan el tinguis resolt, intenta obtenir un patró, o bé segueix
els mateixos passos per arribar a la solució amb els nombres grans.
- Problemes de recompte
Les taules i els arbres són molt importants en els problemes de
recompte. És molt fàcil quan s’ha de fer recompte de parts petites dins
una part gran, ens descomptem. Per això el millor es fer-nos una taula
apuntant valors intermedis, menys coses a comptar però amb
característiques semblants.
També és de molta ajuda començar per cassos més senzills, amb
menys parts a comptar. D’aquesta manera, o bé trobem un patró per
comptar el gran, o si més no, agafem agilitat i destresa amb menys perill
d’oblidar-nos algú sense comptar.
Per exemple, al problema 3 de recompte, en lloc de comptar de cop
quants quadradets té la figura de 135 de costat, comencem per cassos
més senzills, com els següents, amb menys rajoles:
Crèdit variable
Resolució de problemes
I omplint la taula amb el nombre de quadrats de característiques
semblants, és a dir, el nombre de quadrats blancs, i el nombre de
quadrats grisos.
IES Almatà
- Problemes de lògica
Les taules, diferents de les que apareixen en els problemes de
recompte, aquí tenen un paper molt rellevant. Ens ajuden a contemplar
tots els cassos possibles, i a no deixar-nos dades de l’enunciat sense
utilitzar.
IES Almatà - Balaguer 22

Resolució de problemes Abans de començar...
Moltes vegades en els problemes de lògica hi han moltes dades. És
important no atabalar-se en veure-les i saber-les ordenar de la forma
adequada dins una taula.
Per exemple, en el problema 1 de lògica, l’enunciat ens dóna cassos
possibles i cassos impossibles, doncs podem fer el següent:
a) Començar fent una taula per organitzar les dades. Ha de tenir tres
files pels noms i tres columnes pels colors:
Noms
Blanca
Rosa
Samarretes
Blanca Rosa Mar
Crèdit variable
Mar
b) Posar una creu a les combinacions que no són possibles.
c) Començar a observar les possibilitats. Si n’hi ha més d’una, doncs fem
una taula per cada una d’elles. Per exemple, la Blanca pot portar la
camiseta rosa o mar. Fem dues taules, una amb cada una d’aquestes
possibilitats. De quin color han d’anar les altres noies?
d) Seguint endavant amb el problema, sempre surten condicions que no
es poden complir per certa taula. Llavors, eliminem la taula que no s’ha
pogut completar o que portava a un resultat erroni.
Resolució de problemes
La reducció a l’absurd, és un altre mètode que pot usar-se als problemes
de lògica. És útil quan no podem posar l’enunciat en forma de taula
perquè hi hauria massa possibilitats a contemplar. Llavors es tracta de
pensar el contrari, i arribar a la conclusió que això no és possible per
alguna condició que posa l’enunciat.
Un exemple està en el problema 6 de lògica:
a) Si volem pensar de quantes maneres pot haver explicat els acudits, és
tant difícil que no arribem a cap solució. Per tant, no hem de buscar una
alternativa més fàcil.
b) Utilitzem la reducció a l’absurd que consisteix en suposar el cas
contrari i observar què passa.
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 23

Resolució de problemes Abans de començar...
c) En aquest cas seria pensar que no en repeteix cap, és a dir, que en
les 23 setmanes explica 11 acudits com a mínim (deia més de 10) sense
repetir-ne cap. Això fa un total d’11 · 23 = 253 acudits.
d) Ja hem arribat a l’absurd, a la contradicció. Si no n’hagués repetit cap
n’hauria explicat 253 de diferents, però tan sols en té 250, per tant n’ha
repetit algun.
- Enigmes
No s’ha de donar res per obvi. Per molt que l’enunciat ens faci creure
alguna cosa, s’han d’analitzar totes les paraules. Moltes vegades la
solució al problema està en el propi enunciat.
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 24

Resolució de problemes Problemes de geometria
PROBLEMES DE GEOMETRIA
G1. Guanyador de la cursa
Al planeta Circumf tothom camina fent mitges circumferències. Aquest any es
fa una cursa, que comença a Sortida i acaba a Arribada (en línia recta són 32
kilòmetres). A la cursa hi participen 6 corredors. Cada un d’ells farà la cursa per
un camí diferent, tal com indica el dibuix, i tots tenen la mateixa condició física,
així és que tots corren a la mateixa velocitat. Qui té avantatge per guanyar la
cursa?
Crèdit variable
Resolució de problemes
Sortida
Camí 3
Camí 2
Camí 1
IES Almatà
Arribada
IES Almatà - Balaguer 25

Resolució de problemes Problemes de geometria
G2. Càlcul d’àrees
Calcula l’àrea de la part ombrejada de les següents figures:
a) aquest cas pren mesures amb
l’estri necessari
c)
Crèdit variable
2r
b) Calcula l’àrea de la part ombrejada
sabent que l’àrea del triangle gran és
S m 2 .
d) Troba l’àrea de la part ombrejada si
el costat del quadrat mesura 10 m.
Resolució de problemes
e) Troba l’àrea de la part més fosca
de la figura, si el costat del quadrat
mesura 10 cm.
IDEA: No intentis resoldre el problema
de cop, descompon-lo en problemes
més petits.
r
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 26
f)
C

Resolució de problemes Problemes de geometria
G3. La cabra que pastura
a) En Jaume, un pagès de Montclar, té una cabra dins d’un tancat quadrat de
30 metres de costat. La cabra està lligada a una de les cantonades, amb una
corda de 30 metres. Pot pasturar per tota la finca? Fes el dibuix!! Quants
metres quadrats de superfície pastura?
b) Un dia en Jaume es troba amb en Pep, un pagès de Tudela que també té
una cabra, però ell li diu que la té lligada a un extrem del tancat, però per la part
de fora, ja que el tancat és un hort i no vol pas que la cabra es mengi les
verdures. Quants metres quadrats pot pasturar la cabra?
Crèdit variable
30 m
HORT
30 m
30 m
Resolució de problemes
c) Però un altre dia es troben al pagès Joan de La Donzell. Ell utilitza el sistema
del Pep, i té un hort de la mateixa superfície, però no és quadrat, sinó que
mesura 36m · 25m. Quanta superfície té per pasturar aquesta cabra? Altre cop,
fes es dibuix!!
IES Almatà
d) Sabries dir-me quina superfície té per pasturar si està lligada a la part
exterior d’un tancat en forma de triangle equilàter de 9 metres de costat, si la
corda li fa 10 metres?
IES Almatà - Balaguer 27

Resolució de problemes Problemes de geometria
G4. Distància a l’institut
La Joana i l’Enric van al mateix institut. La Joana viu a 2 quilòmetres de l’institut
i l’Enric a 5. A quina distància viuen l’un de l’altre?
G5. El parc de bombers
Tenim tres pobles, comunicats entre ells per unes carreteres molt rectes. Com
que estan en una regió molt seca de Catalunya, la Generalitat ha decidit posar
un parc de bombers en algun punt d’aquestes tres carreteres. On el posaran
per tal que es pugui arribar en el menor temps possible als tres pobles?
Crèdit variable
Miramig
7 km
Miradalt
Resolució de problemes
12 km
8 km
G6. L’estany
Una plaça de forma circular i de 8 metres de radi té un estany de forma ròmbica
al mig, tal com es veu a la figura. Calcula quant mesura el perímetre de
l’estany.
IES Almatà
Mirabaix
IES Almatà - Balaguer 28

Resolució de problemes Problemes de geometria
G7. Descobrint la fórmula d’Euler
Agafa les peces del Creator, i anem a observar un cas especial de poliedres:
els que tenen totes les cares iguals. A aquests poliedres se’ls anomena
poliedres regulars.
Quants en trobes?
Intenta completar la següent taula. Si et falten files les afegeixes, i si te’n
sobren no cal que les utilitzis:
Nom
Forma de la
cara
Nombre de
cares
Nombre de
vèrtex
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
Nombre
d’arestes
Ja que tens les peces i pots experimentar, explica perquè creus que no poden
existir més poliedres regulars, o perquè no te’n surten més.
Veus alguna relació entre el nombre de cares, de vèrtex i d’arestes?
T’atreveixes a formular el que va dir fa molts i molts anys el gran matemàtic
anomenat Euler? Si no és així, busca en alguna enciclopèdia i a Internet, la
fórmula d’Euler pels poliedres.
Comprova que funciona per tots els poliedres regulars.
Ara busca altres poliedres, que no siguin regulars, i omple una taula com
l’anterior. Funciona també la fórmula d’Euler per ells?
IES Almatà - Balaguer 29

Resolució de problemes Problemes de geometria
G8. Els poliminós
Els poliminós són unes figures planes (es poden fer amb cartró, dibuixant en un
full, amb peces de Creator, ...) formades per la unió de quadrats de la mateixa
mida.
Si s’uneixen dos quadrats tindrem el dòmino.
De dòmino tan sols n’hi ha una forma ja que les dues que figuren a continuació
són la mateixa el que passa és que està girada:
Crèdit variable
Unint tres quadrats obtenim els triminós, aquí sí que ja n’hi ha més d’un.
Exactament n’hi ha 2, ja que els altres es poden obtenir girant un d’aquests
dos.
Resolució de problemes
Quants quadrats tindrà un tetraminó? I quants n’hi haurà? Observa-ho tu
mateix.
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 30

Resolució de problemes Problemes de geometria
I el pentominó? Per quants quadrats està format? N’hi ha 12 de possibles, a
veure si els trobes.
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 31

Resolució de problemes Problemes de geometria
Els hexaminós estan formats per 6 costats, i tenen una característica especial,
alguns d’ells formen un hexaedre. D’hexaminós n’hi ha 35 de possibles, i tan
sols 11 d’ells fan un hexaedre. Escull, dels que hi ha dibuixats a continuació
quin són el desenvolupament pla d’un hexaedre.
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 32

Resolució de problemes Problemes de geometria
G9. Els poliamants
Els poliamants són unes figures planes (es poden fer amb cartró, dibuixant en
un full, amb peces de Creator, ...) formades per la unió de triangles equilàters
de la mateixa mida.
Quan s’uneixen dos triangles equilàters s’obté un diamant. Dibuixa la forma que
té.
Crèdit variable
Els triamants es forment unint tres triangles, dibuixa tots els que trobis.
Els tetramants es formen unint 4 triangles equilàters, dibuixa tots els que trobis i
senyala quins d’ells són el desenvolupament pla d’un tetraedre.
Resolució de problemes
De pentamants n’hi ha 4. Quins són?
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 33

Resolució de problemes Problemes de geometria
I així es formen successivament els pentamants, fins arribar als octamants, que
n’hi ha 66.
No vull pas que els dibuixis tots, si no tan sols alguns que formin un octaedre i
alguns que no.
Desenvolupament pla d’un octaedre
Crèdit variable
Altres octominós que no són un desenvolupament pla de l’octaedre.
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 34

Resolució de problemes Problemes de geometria
G10. El pagès i la bassa
Un pagès viu en una masia on té una bassa de 5 metres de costat (igual de
fonda a tot arreu) per guardar l’aigua de reg i beguda pel bestiar. Per tal de
poder entrar a netejar-la quan està buida, el pagès hi fa dues escales de ciment
en una cantonada, tal com indica el dibuix.
Crèdit variable
5m
1m
1m
0’5 m
0’5m
Quan la bassa està plena aquestes escales no es veuen. No es perd capacitat
d’aigua, per tant, quan posa la mateixa quantitat d’aigua que abans, on arriba el
nivell?
G11. Igual perímetre
D’entre tots els rectangles que tenen 1 metre de perímetre, quin és el que té
àrea màxima?
Resolució de problemes
G12. En busca del quadrat perdut
Observa aquestes dues figures. Quina és l’àrea de la primera figura? I la de la
segona? Què passa aquí?
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 35
5m

Resolució de problemes Problemes de geometria
G13. Volum amb un full
Tenen tots els cilindres que es poden construir a partir d’un full DIN A4 el
mateix volum?
Pots tallar el full i enganxar-lo, sempre i quan la figura resultant sigui un cilindre.
G14. El cargolet perdut
Un caragol comença a arrossegar-se cap endavant, després de 128
centímetres gira 90 graus cap a la dreta, i continua arrossegant-se 64
centímetres més. Torna a gira 90 graus a la dreta i s’arrossega 32 centímetres,
la meitat d’abans, i així successivament, fins que tan sols s’arrossega un metre.
A quina distància del principi està després de recórrer el metre final?
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 36

Resolució de problemes Problemes de camins
PROBLEMES DE CAMINS
C1. El camí més curt
A
B
50 m.
C2. Carrers de Barcelona
Quin és el camí més curt per arribar de A a B?
N’hi ha més d’un?
Quant mesura aquet camí?
I si tinguessis una quadrícula 3 x 3?
Crèdit variable
Resolució de problemes
Aquest és un tros del plànol de Barcelona.
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 37

Resolució de problemes Problemes de camins
Hi ha diverses pàgines web d’Internet, que et permeten trobar la distància més
curta entre dos punts dins una ciutat. Jo he estat mirant en una d’aquestes i he
posat les següents dades:
ORIGEN: Gran Via de les Corts Catalanes cantonada Carrer Vilamarí
DESTÍ: Carrer València cantonada Carrer Viladomat.
La web m’ha marcat el següent recorregut:
- Continuar pel carrer Vilamarí
- Girar a la dreta pel carrer Diputació
- Girar a l’esquerra pel carrer Entença
- Girar a la dreta pel carrer Aragó
- Finalment, girar a l’esquerra pel carrer Viladomat i arribar al destí
En total m’ha dit que havia de caminar 1072 metres.
Creus que hi ha més d’una opció per anar de l’ORÍGEN al DESTÍ?
Quantes en pots trobar?
Totes tenen la mateixa longitud?
Pots dir quina distància hi ha de cantonada a cantonada?
Crèdit variable
C3. Recorregut pel museu
A continuació tens el plànol de les sales d’una zona d’un museu:
Resolució de problemes
Entrada
1 2 3
4 5 6
IES Almatà
7 8 9
Sortida
Troba la manera de comptar de manera adequada tots els camins que es
poden dibuixar i que vagin des de l’entrada fins a la sortida, sense passar 2
cops per la mateixa sala.
IES Almatà - Balaguer 38

Resolució de problemes Problemes de camins
Quants camins hi ha que passin pel màxim d’espai? Quantes sales veus?
Quantes te’n queda per veure?
Respon les mateixes preguntes per aquesta altra zona del museu:
Entrada
Crèdit variable
Si resulta que les dues zones estan unides, és a dir, podem anar de l’una
l’altra, quants recorreguts diferents podré fer per anar des de l’entrada fins a la
sortida?
Entrada
1 2 3
A B C
D E F Sortida
Resolució de problemes
4 5 6
7 8 9
A B C
IES Almatà
D E F Sortida
IES Almatà - Balaguer 39

Resolució de problemes Problemes de camins
I en aquests altres cassos?
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 40

Resolució de problemes Problemes de nombres
PROBLEMES DE NOMBRES
N1. La vida de Diofant
L’Olga vol saber quants anys va viure el matemàtic grec Diofant d’Alexandria.
Però tan sols té una dada, i és la inscripció que hi ha a la seva tomba i que diu
així:
“Aquí van ser enterrades les restes de Diofant. Una sisena part de la seva vida
correspon a la infantesa, i una dotzena part a l’adolescència. Després de
transcórrer una setena part més de la seva vida, es va casar. Al cap de cinc
anys va néixer el seu fill, que va viure la meitat de la vida del pare. Després de
la mort del fill, Diofant, afligit, buscà consol en la ciència dels nombres. Però
quatre anys més tard, morí.”
Pots ajudar l’Olga a resoldre aquest entrellat?
Crèdit variable
N2. Cobrar en espècies
En Pau fa un tracte amb el seu pare per netejar el cotxe. El pare li dóna dues
opcions:
a) Pagar-li 5 euros la primera setmana i, a partir d’aleshores, uns altres 5 euros
més per cada setmana seguida que ho continuï fent; és a dir, la segona
setmana cobraria 10 euros, la tercera 15, ...
b) Pagar-li 5 cèntims la primera setmana i a partir d’aleshores doblar-li la
quantitat de diners cada setmana seguida que ho continuï fent; és a dir, la
segona setmana cobraria 10 cèntims, la tercera 20 cèntims, ...
En Pau s’ho rumia. Quina opció li convé més si vol treballar 7 setmanes?
Sempre és millor aquesta opció? Calcula-ho a partir de 10 setmanes. Pots
indicar-me si l’opció b serà alguna setmana millor que la a? Si és així, a partir
de quan?
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 41

Resolució de problemes Problemes de nombres
N3. Arròs per sobreviure
Ara fa molts i molts anys un rei xinès va prometre pagar el que demanés a
l’inventor del joc d’escacs. L’únic que l’inventor va demanar va ser arròs per
poder tenir menjar per ell i la seva família, això sí, d’una manera molt especial:
va demanar un gra per la primera casella del tauler, dos grans per la segona,
quatre grans per la tercera, vuit per la quarta, i així successivament.
Pots dir-me quants grans li toquen per l’última casella del tauler?
Em pots fer una aproximació de quan pesarà?
N4. Prohibida la calculadora!!
a) Troba quant sumen les xifres del nombre que resulta d’efectuar l’operació
següent: 10 99 -99.
b) Quan val la suma de les xifres del nombre que resulta d’efectuar l’operació
10 n -99, si n és un nombre natural més gran que 3?
Crèdit variable
N5. Revista del cor
Un cronista de pàgines del cor ha sentit un rumor sobre el cantant de moda del
moment. Ho explica a tres persones més, les quals ho expliquen al seu torn a
tres més, i així successivament.
a) A quantes persones ha arribat el rumor al cap de cinc comunicacions?
b) A quantes arribarà al cap de n comunicacions?
Resolució de problemes
N6. La darrera xifra
Podries endevinar sense calculadora quina és l’última xifra de 6 2504 ? I la de
9 7056 ?
IES Almatà
N7. El 5 i el 7
Quins nombres puc formar amb els nombres 5 i 7, sumant-los cada un tantes
vegades com vulgui?
N8. Suma de nombres
Troba el resultat de la suma següent: 1 + 3 + 5 + ... + 999.
Amb l’ajuda d’aquest resultat, em podries dir quin és el resultat d’aquesta altra
suma: 1 + 2 + 3 + ... + 1000? I d’aquesta: 1 + 2 + ... + n?
IES Almatà - Balaguer 42

Resolució de problemes Problemes de nombres
N9. El pastís rodó
En quantes parts es parteix un pastís rodó quan el tallem n cops? (els talls no
els farem passar tots pel mig, si no que seran talls a l’atzar, i més de dos talls
no seran incidents en un punt del pastís)
N10. Els enters
Quins nombres es poden posar com a suma de nombres enters consecutius?
No importa la quantitat de nombres que sumem, tan sols importa que siguin
consecutius.
Crèdit variable
N11. El pastís quadrat
Tenim un pastís de forma quadrada i el volem partir. Els talls els farem
paral·lels a les vores. Quantes parts poden sortir com a màxim amb dos talls? I
amb tres? Quin és el menor número de talls que he de fer per obtenir 12 parts?
I quantes parts tindrem fent n talls?
N12. Els treballadors de l’hotel
En un hotel hi ha 1.000 habitacions i 1.000 treballadors. Cada dia al matí
l’encarregat passa per totes les habitacions i obra totes les portes, i així
comença el ritual de cada matí. Darrera l’encarregat passen els 1.000
treballadors. Aquests no sabem comptar gaire, així que el primer treballador
sap comptar fins a 1, el segon fins a 2, el tercer fins a 3, i així successivament.
El primer treballador va comptant portes fins a 1, i les que coincideixin amb el 1,
les tanca (així és que les tanca totes). Darrera seu, el 2 va comptant fins a dos
(1, 2), i totes les portes que coincideixin amb dos, les obra. El tercer, darrera
del 2, va comptant fins a 3 (1,2,3) i totes les portes que coincideixin amb el tres,
si estan obertes les tanca, i si estan tancades les obra. I així fins que passa
l’últim treballador.
Troba alguna manera de dir-me quines portes estaran obertes i quines estaran
tancades al final del ritual.
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 43

Resolució de problemes Problemes de nombres
N13. La balança
a) Tenim una balança de dos plats. En un plat
posarem el que volem pesar (en quilos), i a l’altre
plat posarem els pesos per pesar-ho. Quin és el
mínim nombre de pesos diferents que necessites
si volem fer pesades de fins a 50 quilos?
b) I en el cas que poguéssim posar pesos als dos
plats de la balança?
N14. Fem un creuer
Tres embarcacions realitzen un creuer. La segona embarcació inverteix 2
vegades més de temps que la primers i 2 vegades menys que la tercera. La
tercera triga 30 dies més que la primera. Quant dura cada creuer?
Crèdit variable
N15. Cistell d’ous
L’Adrià té sis cistells d’ous. N’hi ha alguns que contenen ous de gallina i els
altres d’ànega. A les cistelles hi ha 6, 12, 14, 15, 23 i 29 ous. L’Adrià diu: “Si
venc aquest cistell em quedarà el doble d’ous de gallina que d’ànega”. De quin
cistell ens parla l’Adrià?
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 44

Resolució de problemes Problemes de recompte
PROBLEMES DE RECOMPTE
R1. Recompte de quadrats
Quants quadrats hi ha en una quadrat dividit en caselles iguals (2x2 caselles)?
Quants quadrats hi ha en una quadrat dividit en 3x3 caselles?
I en un quadrat dividit en 4x4?
Crèdit variable
Observa que un quadrat de 2x2 està format per 4 quadrats petits i un quadrat
gran.
Compta quants quadrats hi ha a la figura de 3x3. Ara en tindràs molts més.
Caldrà trobar un mètode per no descomptar-te.
Observa la taula i omple les caselles.
Dimensió
Nombre de quadrats
del quadrat 1x1 2x2 3x3 4x4 Total
1x1
Resolució de problemes
2x2
3x3
4x4
Digues sense comptar-los, quants quadrats té un quadrat dividit en 5x5
caselles.
Digues sense comptar-los quants quadrats té un quadrat dividit en 6x6
caselles.
I en un quadrat 10x10?
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 45

Resolució de problemes Problemes de recompte
Pots ajudar-te del següent engraellat:
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 46

Resolució de problemes Problemes de recompte
R2. Recompte de triangles
Digues quants triangles hi ha a la xarxa de la figura:
- Quants tenen un vèrtex cap amunt?
- Quants el tenen cap avall?
Per comptar dins d’una figura complexa has de utilitzar un mètode organitzat:
a) Primerament comptem els triangles d’una unitat de costat. Quants triangles
hi ha?
b) Després de dues unitats de costat. Quants n’hi ha?
c) Fes servir el mateix procediment per comptar els de 3, 4, 5, ,,,,, unitats de
costat.
d) Farem una taula per comptar els triangles que hi ha amb el vèrtex cap
amunt.
Crèdit variable
Resolució de problemes
Grandària
del
triangle
Nombre
de
triangles
1 2 3 4 5 6 7 8 Total
IES Almatà
e) Farem una altra taula per comptar els que tenen el vèrtex cap avall.
Grandària
del triangle
Nombre de
triangles
1 2 3 4 Total
IES Almatà - Balaguer 47

Resolució de problemes Problemes de recompte
f) A partir d’aquestes taules ja pots donar resposta a l’enunciat.
Troba un sistema per a poder saber el nombre de triangles que pot tenir
qualsevol xarxa triangular equilàtera.
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 48

Resolució de problemes Problemes de recompte
R3. El mosaic de la plaça
Aquest mosaic està format per rajoles blanques i grises. La seva amplada és
de 9 rajoles.
Si en lloc d’aquest mosaic en tinguéssim un d’amplada de 135 rajoles, quantes
rajoles tindria en total?
Crèdit variable
Apunta aquí les primeres idees que et vinguin al cap per començar a resoldre
aquest problema.
Què necessites?
Pot ser que en lloc de 135 rajoles de costat en tingui 150?
Intenta dir-me una fórmula per si en lloc de tenir 135 rajoles en tens “n”. A això
se li diu fórmula general.
Explica tot el procediment que has seguit.
Pots trobar més d’un mètode de resolució d’aquest problema?
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 49

Resolució de problemes Problemes de recompte
R4. Piló de monedes
Observa la sèrie següent, feta amb monedes:
Alçada:
a) Compta quantes monedes hi ha en cada figura. Posa els resultats que vas
obtenint en una taula:
Crèdit variable
Alçada
Monedes
1 2 3 4
b) Quantes monedes necessitaries per a construir la figura de la posició 10? I
de la posició 20?
c) Quantes monedes necessites per fer una figura d’alçada n?
d) Pot ser que per fer una figura d’aquestes utilitzi 30 monedes? Si és que sí,
quina alçada tindrà? Si és que no, quantes monedes en falten o en sobren?
e) Pot ser que per fer una figura d’aquestes utilitzi 25 monedes? Si és que sí,
quina alçada tindrà? Si és que no, quantes monedes en falten o en sobren?
f) Pot ser que per fer una figura d’aquestes utilitzi 400 monedes? Si és que sí,
quina alçada tindrà? Si és que no, quantes monedes en falten o en sobren?
g) Pot ser que per fer una figura d’aquestes utilitzi 500 monedes? Si és que sí,
quina alçada tindrà? Si és que no, quantes monedes em falten o em sobren?
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 50

Resolució de problemes Problemes de recompte
R5. Creu de monedes
Observa la sèrie següent, està feta amb monedes.
Quantes monedes necessitaràs per a construir la figura de la posició 10? I de la
posició 20?
1
2 3
Crèdit variable
Digues quantes monedes caldran per fer la figura de la posició 100.
Quantes monedes necessito per fer la figura que es troba a la posició n?
Quina posició correspon a la figura màxima que es pot construir amb 10.000
monedes?
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 51

Resolució de problemes Problemes de recompte
R6. El mosaic del palau
El terra del passadís d’un palau s’enrajola amb el mosaic format per rajoles
hexagonals fosques, envoltades de rajoles de la mateixa forma de color més
clar, tal com es mostra al dibuix.
Crèdit variable
Omple una taula amb diferents exemples senzills i estudia els resultats.
Rajoles fosques 1 2 3 4
Rajoles clares 6 11
Calcula quantes rajoles clares es necessiten per envoltar-ne 7 de fosques.
No busquis directament la relació entre el nombre de rajoles negres i les grises,
si no que mira quin procediment segueixes en anar afegint una rajola negra
cada cop.
Calcula quantes rajoles clares es necessiten per envoltar 100 rajoles fosques.
Resolució de problemes
Respon les mateixes qüestions amb aquests dos altres models
d’enrajolat.
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 52

Resolució de problemes Problemes de recompte
R7. L’escala
Observa la sèrie d’escales següent:
llistó
1 2 3 4
Omple la taula següent que indica quants llistons es necessiten segons els
esglaons de l’escala:
Crèdit variable
Esgraons 1 2 3 4 5 6 10 21
Llistons
Has trobat la fórmula general per poder calcular quan tenim n esgraons?
Utilitza-la per comptar quants llistons necessitem per fer una escala de 130
esgraons.
Resolució de problemes
Ara vull modificar l’escala, ja que en ser tant alta em trobo insegura al
capdamunt, per això he decidit posar-hi uns llistons de la següent manera per
poder-m’hi agafar.
llistó
1 2 3 4
IES Almatà
Em pots dir quina és ara la forma general dels llistons que necessitem per
construir la nova escala?
IES Almatà - Balaguer 53

Resolució de problemes Problemes de recompte
R8. Castell de cartes
Observa aquest castell de cartes de tres pisos. Per
poder construir-lo necessites 15 cartes. Quantes cartes
necessitaries per construir un castells de 5 pisos? I per
fer-ne un de 10?
R9. Les formigues
En un jardí hi ha un formiguer. En aquest formiguer, les 16777216 formigues
que hi viuen han fet uns passadissos subterranis. La forma de caminar per
aquests passadissos és la següent: des del principi, quan troben un
encreuament, la meitat de les formigues van cap a la dreta i la meitat cap a
l’esquerra. Quantes formigues arriben a cada punt B1, B2, ... B25?
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 54
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
B11
B12
B13
B14
B15
B16
B17
B18
B19
B20
B21
B22
B23
B24
B25

Resolució de problemes Problemes de recompte
R10. Els llumins
a) Quants llumins es necessiten per fer un quadrat?
b) Quants llumins es necessiten per fer una quadrícula 2 x 2?
c) Quants llumins es necessiten per fer una quadrícula 10 x 10?
d) Busca la fórmula que et doni el número de llumins que necessites per fer una
quadrícula de n x n quadrats.
Crèdit variable
e) Quants llumins necessitarem per
construir una figura com aquesta però de
100 pisos?
Resolució de problemes
f) Quants llumins necessitarem per construir una
figura com aquesta però de 100 pisos?
g) Amb 375.750 llumins, quants pisos podem fer?
I amb 10 6 llumins, quants pisos podem fer? Ens
en sobra algun?
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 55

Resolució de problemes Problemes de recompte
R11. Cares pintades
Pintem un cub de color negre, i després el tallem en 3 x 3 x 3 = 27 cubs més
petits. Quants cubs tindrem...
a) Amb una cara pintada
b) Amb dues cares pintades
c) Amb tres cares pintades
d) Sense cap cara pintada
Ara fem el mateix tallant el cub en 4 x 4 x 4 = 64 cubs petits.
e) Amb una cara pintada
f) Amb dues cares pintades
g) Amb tres cares pintades
h) Sense cap cara pintada
Crèdit variable
i) Busca la fórmula per trobar el nombre de cubs petits
amb cares pintades d’un cub gran partit en n x n x n cubs
petits.
Resolució de problemes
R12. Trenquem el cub
Tenim un cert nombre de cubs de fusta petits, tots iguals, i amb ells muntem un
cub més gran (sense que sobri cap cub petit). Pintem algunes cares d’aquest
cub més gran i el desmuntem, recuperant els cubs petits. Llavors ens adonem
que hi ha 24 cubs que no estan pintats. Quants cubs petits hi ha en total i
quines cares del cub gran han estat pintades?
IES Almatà
R13. La font
Vores S.L. és una empresa encarregada de fer el perímetre de seguretat de les
fonts municipals. És a dir, es dedica a envoltar les fons construïdes a les ciutats
d’unes rajoles especials que no rellisquen. Tenen una secció que es dedica a
les fonts quadrades, i tan sols utilitzen rajoles quadrades d’un metre de costat.
Avui han rebut un encàrrec d’una per una font quadrada de 132 metres de
costat. Quantes rajoles necessitaran?
IES Almatà - Balaguer 56

Resolució de problemes Problemes de recompte
Per no estar dibuixant i comptant sempre cada nou encàrrec, el gerent del
departament ha trobat una formuleta que dóna sempre el nombre de rajoles
exactes que es necessiten per una font quadrada n x n. Quina fórmula ha
trobat?
R14. Quina calor
Quantes rajoles d’un metre de costat
necessito per envoltar una piscina
com aquesta?
I si és com aquesta?
Crèdit variable
En els dos cassos, cada quadrat mesura un metre de costat.
Dibuixa altres piscines semblants a la primera figura.
Troba una fórmula per calcular la quantitat de rajoles que envolten aquestes
piscines semblants a la primera.
R15. La terrassa
Imagineu que volem enrajolar una terrassa rectangular de 6,4 metres per 4
metre de costat. Volem gastar el mínim possible, així és que anem a mirar
preus a una fàbrica que fan liquidació per tancament. I ens donen la següent
tarifa:
Resolució de problemes
20 cm
Tipus de
rajola
20 cm
20 cm
40 cm
40 cm
Existències 300 250 100 125
Preu unitari
en cèntims
IES Almatà
30 50 95 75
a) Quina de les quatre rajoles creus que és la més econòmica? Ordena-les de
més barata a més cara.
IES Almatà - Balaguer 57

Resolució de problemes Problemes de recompte
b) Calcula els metres quadrats que hi ha de cada una de les existències per
separat.
c) Fes una proposta per enrajolar la terrassa usant diferents models. Fes un
dibuix de com quedaria i fes el càlcul del cost.
R16. Ben recte
Compta el número de rectes que passen per n punts que no estan alineats.
R17. Forats al cub
El cub que tens a continuació està format per cubs unitaris, però se n’han extret
alguns, que van des d’una cara fins a la seva oposada. Es veu quins s’han tret
perquè ha quedat un forat negre. Quants cubs petits s’han tret i quants en
queden al cub de la imatge?
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 58

Resolució de problemes Problemes de recompte
R18. Una de torres
Fem torres com les que hi ha a continuació.
Si podem disposar de 32.000 cubs, podrem construir una torre que tingui 200
pisos?
Crèdit variable
R19. Quants cubs!
Calcula quants cubs es necessiten per fer una torre com la que es mostra però
de 100 pisos d’alçada.
Resolució de problemes
R20. Deixar de fumar
Un home que fuma cigars sense filtre decideix no comprar-ne més cigars i
deixar de fumar. Mira les seves reserves i veu que li queden 27 cigars. Quan ja
els ha acabat, veu que amb tres burilles pot fer un altre cigar, de manera que
continua fumant fins que només li queda una burilla. Quants cigars haurà fumat
en total?
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 59

Resolució de problemes Problemes de recompte
R21. El tèrmits
Els tèrmits estan fent estralls a la taula del menjador de casa meva. És una
taula quadrada com la que es mostra al dibuix.
Aquest forat del
mig tant gran és
el que em van
fer el primer dia
Primer dia
Però el segon
dia ja me
l’havien deixat
així!!!
Crèdit variable
Segon dia
Cada dia que passa es mengen el quadrat central, un cop dividit prèviament el
quadrat original en uns altres nou quadrats iguals entre ells, però més petits.
Quants quadrats, per petits que siguin, en menjaran els tèrmits el desè dia?
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 60

Resolució de problemes Problemes de lògica
PROBLEMES DE LÒGICA
L1. Noms i colors
La Blanca, la Rosa i la Mar es troben pel carrer i comenten:
“Quina casualitat! Resulta que avui ens hem posat tres jerseis dels colors dels
nostres noms, però cap de nosaltres s’ha vestit del mateix color del seu nom.”
Amb aquest comentari, podries dir-me de quin color porta el jersei cada noia?
L2. Amigues i germans
Tres amigues, la Marta, la Sandra i la Laura, tenen un germà cadascuna. Amb
el temps, cada noia acaba sortint amb el germà d’una de les seves amigues.
Un dia la Marta es troba amb el germà de la Sandra i li diu: “Mira! Ahir vaig anar
al cinema amb la teva parella.”
Pots saber com estan formades les parelles?
Crèdit variable
L3. El sopar
Quatre parelles van a sopar plegades a un restaurant. Per ordre alfabètic, els
homes es diuen: Enric, Francesc, Guillem i Humbert, i les seves dones es
diuen: Alba, Blanca, Carme i Dora.
L’Alba està casada amb el Guillem i la Carme és germana d’en Francesc.
L’Humbert es va casar amb la Carme, però es va divorciar i no és el seu marit
actual. La Dora té 4 germans, però el seu marit és fill únic.
Qui és el marit de la Blanca?
Resolució de problemes
L4. Els tres germans
El Marc és el més gran de tres germans que, quan el lleven, decideixen mentir
o dir la veritat durant tot el dia. Avui han dit el següent:
- El germà A diu: “Jo sóc l’Albert i, a més a més, sóc el més gran de tots
tres.”
- El germà B diu: “A està mentint. Jo sóc l’Albert.”
- El germà C diu: ”Jo sóc l’Albert.”
Quin dels tres germans és el Marc?
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 61

Resolució de problemes Problemes de lògica
L5. Els espies
El carrer Espieta hi ha quatre cases on viuen 4 espies, cadascun amb una
gavardina de diferent color. Les 4 cases també són de colors diferents. I els 4
espies han trobat una pista diferent sobre l’assassinat d’un client seu. Podries
fer tu d’espia i lligar cada espia amb la pista, el color de la casa i el color de la
gavardina?
- L’espia de la gavardina carabassa viu a la dreta del de la gavardina
vermella.
- En Pere viu a la casa marró
- L’espia que té la pista del motiu viu dues cases més enllà de l’espia de la
gavardina groga
- La casa grisa i la casa violeta són els extrems del carrer.
- En Jordi viu a la casa violeta.
- L’espia blau viu entre el que té la pista del motiu i el que té la pista del
guant.
- En Joan té la pista de l’arma.
- L’espia de la gavardina groga i el de la gavardina blava són veïns.
- La casa verda és a la dreta de la casa marró
- En Josep és veí de l’habitant de la casa violeta
- Algú té una pista del lloc.
Crèdit variable
Resolució de problemes
L6. L’humorista
Un famós humorista actua cada dimarts en un programa de televisió i explica
més de 10 acudits. Si ha actuat 23 setmanes consecutives i té un repertori de
250 acudits diferents, demostra que alguna setmana ha repetit algun acudit.
IES Almatà
L7. Els telèfons
Es trien 11 números de telèfon com a guanyadors d’un sorteig a la televisió.
Demostra que almenys dos d’aquestos números acaben en la mateixa xifra.
IES Almatà - Balaguer 62

Resolució de problemes Problemes de lògica
L8. El dictat
A la classe som 30 alumnes. L’altre dia, a la classe de català, vam fer un dictat i
el Quim va fer 12 faltes d’ortografia i va ser el que en va fer més. Es pot
assegurar, amb aquestes dades, que tres alumnes de la classe van tenir el
mateix nombre de faltes?
L9. La suma dels nombres
Tria tres nombres enters positius i diferents que sumin 19. Demostra que
almenys un dels tres és més gran o igual que 8
L10. De restaurant
El restaurant de Ca l’Emília té 95 taules i 476 cadires. Podem assegurar que en
una taula hi ha sis cadires o més?
Crèdit variable
L11. Simbologia
A continuació cada xifra de l’1 al 9 s’ha substituït per un símbol. Desxifra quin
símbol correspon a cada nombre.
+ =
+ =
Resolució de problemes
· =
· =
+ =
+ =
IES Almatà
= = =
= = =
IES Almatà - Balaguer 63

Resolució de problemes Problemes de lògica
L12. El panell dels nombres
El següent panell està format per 12 peces com aquesta:
Completa’n els forats amb nombres. Per obtenir-los, has de fer servir la regla
següent: el nombre que està a dins del quadrat es multiplica per ell mateix i el
resultat, que és de dues xifres (la primera mai no pot ser zero), s’escriu als
triangles adjacents a aquest quadrat.
Crèdit variable
La suma dels nombres de cada columna formada per triangles dóna com a
resultat els totals que s’indiquen al final de cada una. A més a més, la suma
dels nombres de cada una de les tres columnes formades per quadrats és
idèntica. Quant val la suma?
Resolució de problemes
1
8
4 7 9
5
1
6
IES Almatà
13 37
36 18
IES Almatà - Balaguer 64
4
3
4
1

Resolució de problemes Problemes de lògica
L13. Encreuats de quatre lletres
En aquest entreteniment has de situar en les caselles buides del tauler les
dotze paraules següents, sempre d’esquerra a dreta i de dalt a baix:
ÀREA
BASE
CINC
ZERO
ONZE
TRES
RADI
CARA
EURO
SUMA
VUIT
TONA
Cal que tinguis en compte que per trobar les lletres es parteix del nombre
corresponent: A=1, B=2, ..., Z=26.
En els nombres de les caselles delimitades per una línia més gruixuda
s’obtenen sabent que cada un és el factor d’un producte el resultat del qual
està a la casella contigua del tauler, mentre que l’altre factor es troba a l’altra
casella contigua al resultat. Per exemple:
5
E
→ →
60
12 60
L 60
Crèdit variable
380 285 75 30
Resolució de problemes
18 45 5 5
54 198 22 3
IES Almatà
78 300 400 1
E
IES Almatà - Balaguer 65

Resolució de problemes Problemes de lògica
L14. Caragol treu banya
Al fons d’un pou hi ha un caragol que vol sortir-ne. El pou fa 100 metres de
profunditat, i el caragol és a baix de tot. Cada dia el caragol puja per la paret, 5
metres; però quan arriba la nit, mentre dorm en rellisca un. Al cap de quants
dies pot sortir del pou el caragol?
L15. El rellotge digital
En un dia sencer, durant quant temps apareix un número 9 en un rellotge
digital? (no importa el lloc on estigui).
I el número 2?
Crèdit variable
L16. El lleter
Un lleter té dues gerres per poder mesurar qualsevol quantitat de llet que li
demana la gent. Aquestes gerres són de 3 i 5 litres. Creus que ho podrà fer?
a) Com mesurarà 18 litres?
b) Com mesurarà 7 litres?
c) Com mesurarà 4 litres?
d) Com creus que mesurarà qualsevol quantitat amb les dues gerres?
Resolució de problemes
L17. Gol d’handbol
Els cinc equips d’handbol del la província de Lleida que estan a la mateixa
categoria han fet una lligueta. L’àrbitre tenia anotats tots els partits que havia
guanyat, empatat i perdut cada equip. Però es va deixar el paper als pantalons
de l’arbitratge i els va rentar. En va poder recuperar una part, la que mostra la
taula següent. Podries completar-la? Per cada partit guanyat l’equip obté 2
punts i per cada empat 1.
IES Almatà
Partits Punts
Equip Total Lloc
Jugats Guanyats Empatats Perduts Guanyats Empatats
A 8 4 1 3 8 1 9
B 8 1 2
C 8 1 2
D 8 2 2n
E 8 1 6
IES Almatà - Balaguer 66

Resolució de problemes Problemes de lògica
L18. Els cubs
Construeix 4 piles de cubs usant-ne 20, de tal manera que primera pila tingui 4
cubs més que la segona, aquesta un cub menys que la tercera, i la quarta el
doble de la segona.
L19. El raïm
Del ram de la primera figura has de passar a la segona movent tan sols tres
grans de raïm.
Crèdit variable
L20. Totxana
Una totxana pesa 4 quilos. Quan pesarà una totxana més petita en que tots els
costats s’han reduït a la meitat?
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 67

Resolució de problemes Enigmes
ENIGMES
E1. Seguretat nocturna
El guàrdia nocturn d’una fàbrica adverteix al seu director que no utilitzi
l’ascensor perquè ha nit passada va somiar que es despenjava aparatosament.
Pocs dies després, passa aquest accident i el director, molt agraït, li dóna una
bona propina per haver-li salvat la vida i el despatxa. Per què?
E2. La tempesta
Fa un temps a Albacete es va originar una gran tempesta a mitjanit. És possible
que 72 hores després hi fes un temps assolellat?
Crèdit variable
E3. El gat negre
Un automòbil de color negre amb els llums apagats entra en un carrer que no
té fanals, on cap casa hi té els llums encesos. De sobte se li creua un gat
negre. Malgrat tot, el conductor el pot esquivar. Com ho pots explicar?
E4. Les bombetes
A la primera planta d’un habitatge tenim tres bombetes i a la planta baixa, tres
interruptors. Cada interruptor encén una bombeta. Com podem saber, pujant
només una vegada al primer pis, quin interruptor encén cada bombeta?
Resolució de problemes
E5. Quina gana!
Per què és impossible menjar-se dos pastissos en dejú?
E6. La frontera
Un gall pon un ou al cim d’una muntanya que fa de frontera entre Espanya i
França. Cap a quin país caurà l’ou?
IES Almatà
E7. Problemes de família
Qui és la germana de la meva germana que no és la meva germana?
IES Almatà - Balaguer 68

Resolució de problemes Enigmes
E8. La pilota
Com s’ha de llençar una pilota perquè quan arribi a una certa distància s’aturi
sense xocar amb cap obstacle i immediatament retrocedeixi en sentit contrari al
que duia?
E9. L’avió
Un avió s’estavella a la frontera d’Estats Units i Canadà. A quin país han
d’enterrar els supervivents?
E10. Monedes antigues
Un arqueòleg que efectuava excavacions en un lloc proper a Roma va trobar
una caixa enterrada al costat d’unes restes de guerres molt antigues. Un cop
oberta la caixa, hi va trobar algunes monedes, i en una d’elles s’hi podia llegir
de manera molt borrosa, i amb el text ja traduït: any 354 abans de Crist. Les
monedes i altres objectes de la troballa els van portar al museu arqueològic. El
director del museu se’ls va treure de sobre dient-los que les monedes eren
falses. Com ho va poder saber tan sols amb un cop d’ull?
Crèdit variable
E11. Dolç
Un pastisser rep 3 paquets amb 100 caramels cada un. En un hi ha 100
caramels de menta, en un altre 100 caramels de llimona i en l’altre 50 de menta
i 50 de llimona. Casa paquet porta una etiqueta del tipus de bossa que és
(Menta, Llimona, Barreja), però el repartidor li diu que totes les etiquetes estan
equivocades. El pastisser, en lloc d’enfadar-se moltíssim, li diu que és igual,
treu un caramel d’un dels paquets i diu que ja sap com han d’anar les etiquetes.
El repartidor es queda de pedra. Com ho ha pogut saber?
Resolució de problemes
IES Almatà
E12. Ping-pong
La Júlia i l’Anna juguen a ping-pong al jardí i els cau la pilota en un forat al terra
de ciment que el seu pare havia fet per posar-hi un para-sol. El forat és tant
estret que no els cap la mà i no arriben a agafar-la. Com la poden aconseguir
sense fer-la malbé?
IES Almatà - Balaguer 69

Resolució de problemes Enigmes
E13. Dibuixant
Un dibuixant, a causa del seu caràcter despistat i oblidadís, cada dia perd el
doble nombre de llapis que el dia anterior, Va perdre tots els d’una capsa en
vint-i-tres dies. Quants dies tardarien dos dibuixants, amb el mateix grau de
distracció a perdre els llapis de l’esmentada capsa?
E14. Els fills
La mare d’en Lluís té 5 fills. El primer es diu Rap, es segon Rep, el tercer Rip,
el quart Rop, com es diu el cinquè fill?
E15. Sacs de monedes
Uns pirates han trobat 100 sacs de monedes d’or de 20 grans cadascuna. O
això es pensen, perquè realment, hi ha un sac amb monedes falses, però tan
sols mirant no es veu. La diferència està en el pes, que aquestes pesen un
gram menys. Com faries per trobar quin és el sac fals si només disposem d’una
balança i només podem fer una pesada?
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 70

Resolució de problemes Problemes encadenats
PROBLEMES ENCADENATS
A continuació hi ha uns problemes encadenats, on la solució d’un porta a
l’enunciat de l’altre o bé ens en dóna una dada important. Al final, amb totes les
dades juntes es resol el problema principal.
T1. Un matemàtic famós
El següent problema consta de 5 parts. Has d’anar resolent cada problema per
ordre, ja que el resultat obtingut al primer et fa falta per poder resoldre el
següent, ...
Un cop trobats els 5 nombres que són la solució dels cinc problemes, has de
mirar la taula de correspondències amb l’abecedari i desxifrar el nom d’un
matemàtic força famós.
Crèdit variable
A = 1 B = 2 C = 3 D = 4 E = 5 F = 6
G = 7 H = 8 I = 9 J = 10 K = 11 L = 12
M = 13 N = 14 O = 15 P = 16 Q = 17 R = 18
S = 19 T = 20 U = 21 V = 22 W = 23 X = 24
Y = 25 Z = 26
Resolució de problemes
Nom del matemàtic que busques:
Solució del
problema 1
Solució del
problema 2
1) Una dona té tres fills d’edats compreses entre els 4 i els 15 anys (això no vol
dir pas que tinguin aquestes edats). El producte de l’edat de la mare per la dels
tres fills és de 16555. Quants anys es porten els fill gran i el petit?
IES Almatà
2) La figura següent mesura A–1 de base, on A és el resultat de l’exercici
anterior. L’alçada és de 2 unitats. Quina és l’àrea de la part ombrejada?
P Q
Solució del
problema 3
Solució del
problema 4
Solució del
problema 5
I aquesta
de regal
IES Almatà - Balaguer 71
T

Resolució de problemes Problemes encadenats
3) En augmentar 3º C la temperatura d’un gas, el seu volum s’incrementa en B
cm 3 . Si a 32º C el gas ocupa B 2 –2 cm 3 , quin volum ocupava a 29º C? B és la
solució de l’exercici 2.
4) El follet Entremaliat tria un nombre qualsevol, li’n suma 2 i divideix el resultat
entre 2. El la nimfa Espurna tria un nombre qualsevol i, si és parell li suma 8,
mentre que si és senar, el multiplica per 5. Si donem el nombre C (el resultat de
l’exercici 2) a l’Entremaliat, i l’Entremaliat li passa el resultat que obté a
l’Espurna, quin nombre obtindrà aquesta?
Crèdit variable
5) Sóc un desastre!!! Cada cop que pujo els D graons de l’escala de casa meva
hi ensopego.
- Els dilluns i els dimecres m’entrebanco amb els graons imparells.
- Els dimarts i els dijous, amb els que són el quadrat d’un nombre.
- Els divendres, amb els graons que corresponen a nombres primers.
- I els caps de setmana, amb els graons que tenen exactament quatre divisors.
Si D és el resultat del problema 4, amb quants graons no m’entrebanco durant
la setmana?
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 72

Resolució de problemes Problemes encadenats
T2. Paraula secreta
Segueix les indicacions que tens a continuació:
La taula següents té 9 caselles amb 9 problemes. En primer lloc has de
resoldre retolat amb el nom SORTIDA.
Un cop resolt aquest problema, busca la casella etiquetada amb el nombre que
has obtingut com a solució. Quan el trobis anota la lletra que té a la casella 1
del gràfic de la paraula secreta. A continuació resol el problema i repeteix el
procés fins que acabis tots els problemes.
Crèdit variable
7
6
8
Resolució de problemes
5
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 73
1
4
2
3

Resolució de problemes Problemes encadenats
SORTIDA 12 O 30 I
Quin és el nombre enter
més proper al resultat de
39 29 2
+ − ?
18 9 3
La suma de 9 dels
nombres naturals que
van de l’1 al 10 és 48.
Quin nombre no he
sumat?
Crèdit variable
Amb les xifres 1, 2, 3 i 5
es poden formar 24
nombres de 4 xifres
sense repetir. Quants
n’hi ha de parells?
32 M 6 P 18 N
En un torneig d’escacs Quina és l’àrea en cm
amb 6 jugadors, cada un
juga dues partides amb
tots els altres. Quantes
partides juguen en tot el
torneig?
2
Posa els nombres 1, 4,
de la figura següent? 7, 10 i 13 perquè la
6 cm
suma horitzontal i
vertical sigui la mateixa i
4 imparell. Quina és
cm
aquesta suma?
Resolució de problemes
7 L 21 O 8 I
Si a▲b significa 2·a-b,
quin és el valor de
l’expressió 4▲(1▲2)?
En una illa canvien 3
peixos per 2 peces de
fuita i una peça de fruita
per dues panotxes de
blat de moro. Quantes
panotxes et donaries per
24 peixos?
Tenim 530 daus en
forma de cub, d’1 cm
d’aresta, i volem
construir el màxim cub
possible apilant
ordenadament aquests
daus.
sobren?
Quants en
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 74

Resolució de problemes Problemes encadenats
T3. Lletres desplaçades
El següent objecte format per peces giratòries, i numerades de l’1 al nou,
tribaràs 9 lletres de l’alfabet català. Cada lletra es pot moure un o dos llocs cap
endavant o cap endarrere, seguint l’alfabet, o bé quedar-se tal com està.
Q
1 2 3 4 5 6 7 8 9
K
T
A
E
Com pots veure, ara són un conjunt de lletres sense sentit, però pots desxifrar
la paraula que hi ha escrita!! Has d’anar resolent els cinc problemes que tens a
continuació. Cada un d’ells et diu què has de fer amb una peça, l’únic que has
de fer és resoldre el problema per saber a quin número de peça fa referència.
Crèdit variable
1) Un cop enrere
En Carles lloga la seva bicicleta per quatre xocolatines cada dues hores, o bé
per dotze caramels cada tres hores. La Núria li dóna al Carles una xocolatina i
dos caramels. Quanta estona pot fer servir la bicicleta del Carles?
2) Dos cops endavant
En una classe de 30 alumnes, la meitat juga a futbol, un terç a bàsquet i el 10%
als dos esports. Quants alumnes no juguen a cap d’aquests dos esports?
Resolució de problemes
3) Dos cap enrere
Una cria de coala es menja totes les fulles d’un eucaliptus en 10 hores. Tant el
seu pare com la seva mare són capaços de menjar el doble de ràpid. En
quantes hores es menjaran les fulles de l’eucaliptus tots tres junts?
IES Almatà
4) Dos cap endavant
Una habitació té forma de prisma quadrangular. L’altura és de 3 m i el terra
mesura 4m · 5m. Es vol augmentar el seu volum en 100 m 3 . Quants metres
s’haurà d’elevar el sostre?
IES Almatà - Balaguer 75
P
R
C
S

Resolució de problemes Problemes encadenats
5) Un cap enrere
El terra de fusta d’una habitació rectangular mesura 5m · 7m. Amb un pot de
vernís se’n poden envernissar 13 m 2 . Quants pots he de comprar per fer dues
capes al terra, sense que me’n falti, però que me’n sobri el mínim?
Les lletres que no han sortit a cap solució són les que es deixen igual
Quina paraula resulta?
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 76

Resolució de problemes Eines usades
EINES USADES
- Peces del Creator
- Fulls quadriculats
- Fulls amb particions triangulars
- Fulls amb particions hexagonals
- Cartolina
- Tisores
- Escuradents o llumins
- Regle
- Compàs
- Celo
- Geoplà i gomes elàstiques
- Arròs
- Balança de cuina
- Cordill
- Joc de cartes
- Fitxes rodones
- Cubs tipus Multicubs
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 77

Resolució de problemes Bibliografia
BIBLIOGRAFIA
- Quaderns de matemàtiques – Resolució de problemes 2 – Editorial
Baula
- L’assassinat del professor de matemàtiques – Jordi Sierra i Fabra –
Editorial Barcanova
- Problemates – Lluís Segarra – Editorial Graó
- Apunts del Diploma de postgrau en Matemàtiques per la Secundària, de
la UPF.
- Material publicat a l’espai web d’Anton Aubanell:
http://www.xtec.cat/~aaubanel
Crèdit variable
Resolució de problemes
IES Almatà
IES Almatà - Balaguer 78