Física 1r de Batxillerat

Física de 2n de Batxillerat 1/3
Conservació de l’energia
Conservació i no conservació de l’energia
1. Llançaments i xocs amb molles
Quan una molla es comprimeix acumula una energia potencial que val:
E =
P
1
k x
2
... on k és la constant recuperadora de la molla i x la compressió.
Exercici 1.1
Una molla de k = 100 N/m es comprimeix 14 cm. Amb ella es dispara una bola de 50 g.
Calcula la velocitat amb què sortirà llançada la bola.
Exercici 1.2
Una bola de 80 g que es mou a 14 m/s xoca amb la molla anterior. Calcula quina
longitud es comprimirà la molla.
Exercici 1.3
Una molla de k = 200 N/m es col·loca vertical. A sobre es posa una massa de 100 g, es
comprimeix 20 cm i es deixa anar. Fins a quina alçada arribarà la massa? Considera que
l’energia elàstica es transforma tota en potencial gravitatòria. (Sol.: 4,082 m)
Exercici 1.4
Quan torni a caure la massa anterior, es trobarà la molla sense comprimir, és a dir, el seu
extrem serà 20 cm més amunt. Amb quina velocitat xocarà la massa amb la molla?
Exercici 1.5
Intenta calcular a quina velocitat surt disparada la massa del problema 1.3. Què has de
tenir en compte per tal que et surti el mateix resultat que al problema 1.4?
2. Xoc elàstic en una dimensió
En un xoc sempre es conserva la quantitat de moviment; si, a més, és elàstic es
conservarà, també, l’energia cinètica.
Anomenarem u1 i u2 a les velocitats inicials, i v1 i v2 a les velocitats finals. 1
Es complirà:
⎧m1u
1 + m 2u
2 = m1v1
+ m 2v
2
⎪
⎨1
2 1 2 1 2 1
⎪ m1u
1 + m 2u
2 = m1v1
+ m
⎩2
2 2 2
... sistema que pot simplificar-se multiplicant per 2 la segona equació:
⎧m1u
1 + m 2u
2 = m1v1
+ m 2v
2
⎨ 2
2
2
⎩m1u
1 + m 2u
2 = m1v1
+ m 2v
1 Així no haurem d’escriure v1’, v2’ ni, el que és pitjor, (v1’) 2 o (v2’) 2 , quan parlarem de les energies
cinètiques
2
2
2
2
( I)
v
( II)
2
2

Física de 2n de Batxillerat 2/3
Conservació de l’energia
Si ens donen, per exemple, les masses m1 i m2 i les velocitats inicials, i ens demanen les
velocitats finals, podem substituir les dades en el sistema i resoldre’l. Com que és de
segon grau, obtindrem dos valors per a v1 a cadascun dels quals correspondrà un valor
de v2. Un parell de valors [v1, v2] correspon al resultat del xoc; l’altre serà un resultat
trivial. El resultat trivial és que v1 = u1 i v2 = u2, com podreu comprovar en l’exercici
exemple. Aquest resultat correspon a la situació en què no hi ha xoc, cas en què es
conserven l’energia i la quantitat de moviment, que eren les úniques condicions: (I) i
(II) que havíem posat. Efectivament, en el sistema d’equacions anterior no hi ha la
condició que les velocitats han de canviar; per això, una de les solucions matemàtiques
és que no canviïn.
Exercici 2.1
Un cos de 4 kg que es mou a 8 m/s xoca amb un altre de 2 kg que es mou en sentit
contrari a 10 m/s. Calcula les velocitats després del rebot si el xoc és perfectament
elàstic.
Simplificació del sistema:
Si agrupem els termes relatius a m1 separadament dels referits a m2 i després traiem
factor comú:
⎧m1u
1 − m1v1
= m 2v
2 − m 2u
2
⎨ 2 2
2
⎩m1u
1 − m1v1
= m 2v
2 − m 2u
I si ara dividim (II’) per (I’):
u
u
2
1
1
− v
− v
2
1
1
v
=
v
2
2
2
2
2
− u
− u
2
2
2
⎧m
⎨
⎩m
⇒
1
1
2 2
2 2
( u − v ) = m ( v − u )
1
( u − v ) = m ( v − u )
u
1
1
+ v
1
1
1
= v
2
2
2
+ u
O, el que és el mateix: u1 + v1 = u2 + v2 (III)
2
2
2
2
2
( II')
Podem ara simplificar el sistema matemàtic per a la resolució del xoc elàstic en una sola
dimensió:
Exercici 2.2
⎧m1u
1 + m 2u
2 = m1v1
+ m 2v
⎨
⎩u1
+ v1
= u 2 + v 2
Resol l’exercici 1 a partir del nou sistema.
Exercici 2.3
2
( I)
( III)
L’exercici anterior només ha donat una solució per a v1 i una per a v2. Aquestes
solucions no són les trivials, sinó que són les que corresponen a un canvi de velocitat, és
a dir, a un xoc. Sabries explicar perquè la solució que s’ha perdut és l’altra, la que no
comporta canvi de velocitat ni xoc?
Casos particulars de xoc en una dimensió
a) Xoc contra una massa infinita aturada.
Quan una pilota elàstica xoca amb una paret, aquesta quasi ni es mou, mentre que la
pilota surt rebotada amb la mateixa velocitat però en sentit contrari.
( I')

Física de 2n de Batxillerat 3/3
Exercici 2.4
Conservació de l’energia
Demostra l’afirmació anterior amb el sistema simplificat (I) – (III).
b) Xoc entre dues masses iguals, una d’elles aturada.
Quan una bola està quieta i xoca amb ella una d’igual que es mou a velocitat “v”, la que
arriba es queda aturada i la que estava aturada surt amb la mateixa velocitat, direcció i
sentit que la que l’ha colpejada. Està clar que així es conserven tant la quantitat de
moviment com l’energia cinètica; només canvia la bola que les porta.
Exercici 2.5
Demostra l’afirmació anterior amb el mateix sistema (I) – (III).
3. Pèndol balístic
mv =
( M
+
m)
V
M + m
v = V
m
Exercici 3.1
1
( M
2
+
m)
V
V =
2
=
( M
2g
h
M + m
v =
m
+
m)
g h
2g
L(
1−
cosα)
h = L − Lcos
α
h = L(
1−
cosα)
Dimensiona el problema per mesurar la velocitat d’una bala de l’AK-47 rus. Aquesta
arma dispara bales de 8,0 g a 715 m/s. Prova de trobar els valors de L i M adequats per
poder mesurar angles d’uns 30 o 45 0 , fàcilment mesurables.
Exercici 3.2
Calcula l’energia perduda pel sistema bala-bloc per a les següents dades: m = 8,0 g, v =
715 m/s, M = 2,0 kg, L = 3 m, α= 30 0 . Per fer-ho calcula l’energia cinètica inicial de la
bala i l’energia potencial final del sistema bala-bloc.
Exercici 3.3
M V
m, v h
Si la bala de l’exercici anterior fa un forat de 14 cm de llargada en el bloc de fusta,
quina és la força mitjana que oposa el bloc a la penetració de la bala?
α
L
M + m