cinemàtica del punt material. elements i magnituds ... - McGraw-Hill

CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. 

ELEMENTS I MAGNITUDS 

DEL MOVIMENT 

Estudiar el moviment és important: és el fenomen més corrent 

i fàcil d’observar en la natura. Tot l’Univers està en 

constant moviment: els astres que es desplacen pel cel, un 

nen que juga, un ocell que vola, etc. Els conceptes de vida i 

moviment estan estretament units, fins al punt que considerem 

la capacitat que tenen per a moure’s per si mateixos 

05 

una de les característiques més evidents dels éssers vius. 

En aquesta unitat estudiarem els elements i les magnituds 

que utilitza la Cinemàtica per a determinar el moviment 

d’una partícula. I els coneixements adquirits et permetran 

analitzar els moviments més corrents que s’esdevenen en el 

nostre entorn.

188 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 

05 

Per a repassar… 

Moviment (4t) 

El moviment és un canvi de posició respecte d’un punt fix que s’agafa com a referència. 

Trajectòria (4t) 

Rep el nom de trajectòria el conjunt de les posicions successives que té el mòbil. 

Depenent de la trajectòria, els moviments poden ser rectilinis i curvilinis. 

La velocitat mitjana és el quocient entre l’espai recorregut pel mòbil i el temps utilitzat 

per a fer-lo. 

La velocitat instantània és la velocitat que té el mòbil en un moment donat. La 

velocitat es mesura en m/s (SI) i en km/h. 

Acceleració (4t) 

• L’acceleració mitjana és el quocient entre la variació de la velocitat que ha experimentat 

un mòbil i l’interval de temps que ha utilitzat en aquesta variació, a = vt – v0 

. Es mesura 

en m s t 

–2 . 

• L’acceleració instantània és l’acceleració que té un mòbil en un moment donat. 

Moviment rectilini i uniforme (4t) 

Un mòbil té moviment rectilini i uniforme quan es desplaça en línia recta amb velocitat 

constant. L’espai recorregut s’obté amb l’equació e = v t. 

Moviment rectilini uniformement accelerat (4t) 

Aquest moviment es dóna quan el mòbil es desplaça en línia recta amb acceleració 

constant. Les equacions són: 

• vt = v0 + a t, per a esbrinar la velocitat en qualsevol instant. 

• e = v0 t + 1/2 at2 , per a esbrinar l’espai recorregut. 

Caiguda lliure de cossos 

Quan un cos es mou sota l’acció de la gravetat es diu que té moviment de caiguda 

lliure. És un cas particular del moviment rectilini i uniformement accelerat (a = g = 

–9,8 m s –2 ). 

Moviment circular (4t) 

Un mòbil té moviment circular quan la trajectòria és una circumferència. Si el fa amb 

velocitat constant, el moviment rep el nom de circular uniforme. La velocitat angular 

és l’angle recorregut en la unitat de temps. Es mesura en voltes o revolucions per minut, 

(rpm) i en radians per segon. 

Un radian és l’angle en el qual l’arc corresponent té una longitud igual a la del radi 

amb què s’ha traçat aquest arc. Una circumferència (360°) correspon a 2 p radians.

CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05 

1> En quin tipus de moviment la velocitat mitjana coincideix 

amb la velocitat instantània? 

Intenta-ho 

Recorda que si una magnitud és constant, tindrà 

sempre el mateix valor en qualsevol moment. 

2> Es diu que el guepard és un animal capaç 

d’arribar a córrer a 30 m/s. Calcula’n la velocitat 

en km/h. 

Intenta-ho 

Per a utilitzar els factors de conversió, recorda les 

equivalències: 1 km = 1 000 m; 1 h = 3 600 s 

3> Quant de temps tardarà el guepard a recórrer 1 km 

si manté la velocitat de 30 m/s? 

Intenta-ho 

Tingues en compte el tipus de moviment amb què 

es desplaça el guepard i utilitza l’equació corresponent. 

4> Des d’un pont deixes caure un objecte i observes 

que triga 1,5 s a arribar a l’aigua. Quina és l’altura 

del pont? 

Intenta-ho 

Es tracta d’una caiguda lliure. En aquest cas, considera 

positiu el valor de la gravetat. 

5> Un automòbil passa de 90 km/h a 115 km/h en 8 s. 

Quina acceleració té el cotxe? 

Intenta-ho 

Et demanen l’acceleració mitjana. Recorda que es 

mesura en m s –2 . 

6> Un cotxe parteix del repòs amb acceleració constant 

d’1,8 m s –2 . Després de 20 s d’accelerar, quina 

distància haurà recorregut el vehicle? 

Intenta-ho 

D’acord amb el tipus de moviment, utilitza l’equació 

corresponent. 

Qüestions bàsiques 

7> Un ciclista inicia el moviment per un carrer amb una 

acceleració constant fins a arribar a una velocitat 

de 36 km/h en 10 s. Quina n’és l’acceleració? Quina 

distància ha recorregut en el temps indicat? 

Intenta-ho 

Observa que el ciclista parteix del repòs; aquest 

fet equival a una dada numèrica. Suposem que el 

carrer és recte. Una vegada identificat el moviment 

del ciclista, utilitza les equacions corresponents. 

8> Un avió que parteix del repòs accelera uniformement 

fins a aconseguir una velocitat d’enlairament 

de 75 m/s en 10 s. Amb quina velocitat en km/h 

s’enlaira l’avió? Quina longitud de pista ha recorregut 

fins a agafar el vol? 

Intenta-ho 

Es tracta d’un moviment rectilini amb acceleració 

constant. Utilitza els factors de conversió per al 

canvi d’unitats. 

9> Un disc gira a 30 rpm. Calcula aquesta velocitat en 

radians per segon. Calcula la freqüència i el període 

d’aquest moviment. 

Intenta-ho 

Recorda quants radians té una circumferència. Període 

és el temps en segons que triga a fer una volta. 

El valor de la freqüència coincideix amb l’invers 

del període. 

10> Un ciclista recorre la pista circular de 50 m de radi 

d’un velòdrom amb una velocitat constant de 

36 km/h. Quant de temps triga a fer una volta a la 

pista? Quantes voltes fa en 10 minuts? 

Intenta-ho 

Encara que el moviment és circular, et demanen 

l’espai recorregut amb velocitat constant. Pots 

calcular totes les preguntes utilitzant l’equació de 

l’espai en un moviment uniforme. Recorda el valor 

de la longitud de la circumferència. 

189


05 

La Cinemàtica estudia el moviment 

sense tenir-ne en compte 

les causes. 

La Dinàmica estudia el moviment 

i n’analitza les causes. 

Fig. 5.1. Rotació i translació. Quan la 

politja es mou no canvia de lloc. Però sí 

que ho fa la galleda quan ascendeix. 

 

 

Fig. 5.2. Rotació. En un moviment 

de rotació, els punts del sòlid que 

gira canvien de lloc descrivint 

circumferències. 

 

Fig. 5.3. Translació. L’automòbil es mou 

perquè s’allunya del semàfor. 

5.1 Dues ciències per a estudiar 

el moviment 

Suposem que en un moment donat un avió sobrevola casa vostra. Si teniu curiositat 

per conèixer més bé aquest fenomen, podeu plantejar-vos una sèrie de preguntes, 

com ara quant de temps tardarà l’avió a desaparèixer per l’horitzó?, quina distància 

recorrerà en un minut?, va sempre a la mateixa velocitat?, etcètera. Per a respondre 

aquestes preguntes no necessiteu saber per què es mou l’avió. En canvi, hi ha preguntes 

més complexes, com ara quina força exerceix el motor?, quina potència desenvolupa?, 

quina energia consumeix?, etc., la resposta a les quals requereix més informació. 

Primerament heu de conèixer les característiques dels motors, que són els causants 

del moviment de l’avió. 

Com veus, hi ha dues maneres d’estudiar el moviment: prescindint de les causes que 

l’originen, que és el que fa la Cinemàtica, o tenint-les en compte, com passa amb 

la Dinàmica. Dedicarem una unitat a cadascuna d’aquestes dues ciències del moviment. 

5.2 Quèéselmoviment? 

Des de ben petits tenim un concepte intuïtiu que ens permet afirmar si un cos, en un 

moment donat, està en repòs o en moviment. Quin criteri utilitzem per a distingir-ho? 

Se sol dir que un cos es mou quan canvia de lloc. No obstant això, aquest criteri no 

és precís, perquè hi ha cossos que es mouen sense canviar de lloc. Per exemple, la 

politja de la figura 5.1, quan gira al voltant del seu eix, es troba sempre en el mateix 

lloc. Hem de distingir, doncs, entre dos tipus de moviment: el de translació i el de 

rotació. 

Un cos té moviment de translació quan tot el cos, agafat en el seu 

conjunt com un sol punt, canvia de lloc o de posició. 

En canvi, en el moviment de rotació són els diferents punts P1, P 2... del cos els que 

canvien de lloc (fig. 5.2), però no ho fa el cos en conjunt. Un punt només pot tenir 

moviment de translació. 

En general, quan un cos gira al voltant d’un eix fix es mou, però no es 

desplaça. Aquest moviment rep el nom de moviment de rotació. 

Per tant, si considerem que el cos que es mou és un punt, el criteri que vam donar 

és correcte. En aquest curs només tractarem el moviment de translació. Per això 

estudiem la Cinemàtica del punt material. Més endavant explicarem què s’entén per 

punt material. 

Si d’un automòbil (fig. 5.3) només tenim en compte el moviment de translació, 

l’estem considerant com un punt que canvia de posició respecte d’un semàfor, per 

exemple. Si aquesta posició no varia, direm que està en repòs respecte del semàfor.


No has d’oblidar que… 

• La localització d’un punt en l’espai respecte d’un altre punt que agafem com a 

referència rep el nom de posició. 

• Moviment d’un punt és un canvi de posició respecte d’un altre punt que s’agafa com 

a referència. 

• Repòs i moviment són dos termes relatius, ja que depenen de l’objecte de referència 

(un fanal està en repòs respecte del carrer, però està en moviment si agafem el Sol 

com a referència). 

• Moviment absolut és aquell en el qual el punt de referència es considera fix respecte 

del punt que es mou. 

• Moviment relatiu és aquell en el qual el punt canvia de posició respecte d’un altre 

que també es mou. 

1> Indica quines afirmacions són correctes. El moviment 

és: 

a) Un canvi de lloc. 

b) Un canvi de lloc si el cos que es mou és un punt 

material. 

c) Un desplaçament. 

d) Un canvi de posició. 

2> Escriu tres exemples de moviments absoluts i tres 

de moviments relatius. 

5.3 Elements fonamentals 

del moviment 

En tot moviment cal distingir tres elements bàsics: l’objecte que es mou, el sistema de 

referència que s’utilitza i la trajectòria seguida pel mòbil. 

L’objecte que es mou: un punt material 

Per a conèixer el moviment que realment té un cos cal conèixer el de tots els seus punts. 

Un automòbil que es desplaça per una carretera, a més d’experimentar un moviment de 

translació, té altres moviments: el de balanceig en agafar un revolt, el de capcineig en 

un canvi de rasant, etc., i el moviment particular dels diversos components: el volant, 

les rodes, els pistons, etcètera. 

No ens interessa considerar aquests moviments, per la qual cosa prescindirem de tots 

els components del cotxe i de les dimensions que té, i el tractarem com si fos un punt 

material. 

Com que en la natura no existeix un mòbil amb massa i sense dimensions, és a dir, en 

realitat, una idealització o un model ideal de l’existència, els científics sovint empren 

models físics per a simplificar l’estudi de la natura. 

Hi ha molts objectes que en moure’s es comporten com a punts materials. Tot depèn del 

sistema de referència escollit. Per exemple, un automòbil no es comporta com un punt 

per a qui el condueix; no obstant això, sí que ho fa respecte de l’agent de trànsit que 

sobrevola la carretera amb helicòpter. 

ACTIVITATS 

3> Assenyala les afirmacions correctes. El moviment 

d’un cotxe que es desplaça per una carretera és 

respecte d’una gasolinera: 

a) Rotació c) Absolut 

b) Translació d) Relatiu 

4> Indica si el cotxe de l’activitat anterior, respecte 

d’un camió al qual vol avançar, té moviment absolut 

o relatiu. 

191 

Un model és una idealització mental 

o gràfica que permet simplificar 

l’estudi d’un fenomen. Encara que 

és un producte de la imaginació, 

el model té un gran avantatge: és 

prou senzill per a analitzar l’efecte 

de les lleis fonamentals de la Física 

en el seu comportament. 

Perquè un model acompleixi bé la 

seva missió cal que sigui senzill, 

que concordi amb els fets experimentals 

i que sigui extrapolable; 

és a dir, que permeti aplicar les 

conclusions a altres fenòmens fins 

a formular noves lleis. 

Anomenem punt material un cos 

les dimensions del qual no es tenen 

en compte.


05 

Fig. 5.4. Sistema cartesià de referència. 

Aquest sistema està format per un 

punt de l’espai i tres eixos cartesians 

concurrents en aquest punt. 

ACTIVITATS 

En resum: 

• Partícula material o punt material és un terme relatiu que depèn de les dimensions 

que intervenen en cada problema concret. 

• Un cos, independentment de la grandària, es considera un punt si les dimensions són 

negligibles, en comparació de la distància que hi ha des d’aquest cos al punt de referència 

o en comparació de la trajectòria. Així, un vaixell es pot considerar un punt 

respecte de la costa. Un cotxe es pot considerar un punt respecte de la longitud de la 

carretera. La Terra en el moviment de translació es pot considerar un punt. 

El sistema de referència 

5> Indica si és fals o vertader: 

a) Es pot estudiar el moviment prescindint del sistema 

de referència. 

b) El moviment és un canvi de lloc. 

c) Un punt només pot tenir moviment de translació. 

d) La Terra es pot considerar un punt material quan 

es mou al voltant del Sol. 

6> Observa la barca de la figura 5.5 i indica quina és 

l’afirmació correcta: 

Fig. 5.5. El moviment relatiu de la barca depèn del 

punt de referència. 

Per a determinar la posició d’un punt en qualsevol instant cal fixar un altre punt en 

l’espai com a referència. El punt de referència escollit s’agafa com a origen O de tres 

eixos cartesians (fig. 5.4), que constitueixen un sistema de referència cartesià. Així, la 

posició del punt P estarà determinada per les coordenades x, y i z d’aquest punt. 

No has d’oblidar que: 

• El punt O de referència pot ser qualsevol objecte, real o imaginari, que està en repòs 

relatiu respecte del punt P. 

•Un sistema de referència és inercial quan el punt O està en repòs o es mou amb una 

velocitat constant. 

• La Terra es pot considerar un sistema de referència inercial, encara que realment no ho 

és, ja que té moviment de rotació sobre si mateixa. No obstant això, aquest moviment 

ens passa inadvertit. 

a) Té moviment relatiu respecte de l’aigua i de la 

riba. 

b) Té moviment absolut respecte de la riba i relatiu 

respecte de l’aigua. 

c) La barca només té moviment absolut. 

7> Per a determinar la posició d’un punt sobre un pla, 

quants eixos cartesians fan falta? 

8> Per a determinar la posició d’un vaixell a l’oceà, 

quantes coordenades necessites? Quin nom reben? 

9> Un cotxe es mou des d’un semàfor i va per un carrer 

recte. Quantes coordenades necessites per a 

determinar la posició de l’automòbil respecte del 

semàfor? 

10> A més del punt material, quins altres models utilitzats 

per la Física o la Química coneixes?

Trajectòria 


Fixa’t en el punt P (x, y, z) de la fig. 5.6. Aquest punt estarà en repòs respecte del punt O 

si les coordenades continuen constants amb el temps, i estarà en moviment quan almenys 

una coordenada variï respecte d’aquest punt. 

Quan el punt P es mou, les coordenades van agafant diferents valors. El conjunt de 

punts corresponents a aquests valors formen una línia que rep el nom de trajectòria. 

Trajectòria és el lloc geomètric de les posicions successives que agafa un 

punt mòbil en l’espai. 

Un punt es mou en el pla Oxy segons les equacions: 

x = t – 1; y = 2 t 

a) Quin significat tenen aquestes equacions? 

b) Dibuixa la trajectòria d’aquest punt. 

Solució 

a) En moure’s el punt en un pla, la seva posició està determinada, a cada moment, 

per dues coordenades (x, y). Les equacions donades indiquen com varia 

aquesta posició amb el temps. Per tant, les diverses posicions que agafa el 

punt en el transcurs del temps s’obtenen donant valors a t en aquestes equacions. 

t 0 1 2 3 

x –1 0 1 2 

y 0 2 4 6 

EXEMPLE 1 

b) Les posicions (–1, 0), (0, 2), (1, 4), (2, 6) són punts de la línia que forma la 

trajectòria (fig. 5.7). Es tracta d’una recta. 

Fig. 5.7. Trajectòria rectilínia del punt descrit en l’exemple 1. 

Fig. 5.6. Coordenades d’un punt en 

l’espai. Si aquest punt es mou, les 

coordenades varien, i donen lloc a una 

línia anomenada trajectòria. 

193 

http://teleformacion.edu. 

aytolacoruna.es/FISICA/ 

document/applets/Hwang/ 

ntnujava/vector/vector_s.htm 

Es tracta d’una simulació applet 

per a sumar vectors en dues i tres 

dimensions. 

Les magnituds són les variables 

que intervenen en un fenomen o 

les característiques d’un cos que 

es poden mesurar. Les magnituds 

físiques poden ser escalars o vectorials.


05 

Fig. 5.8. Vector de posició. La posició 

d’un punt P queda definida pel vector 

que uneix el punt O amb el punt P. 

Fig. 5.9. Un vector es pot expressar 

com el producte del seu mòdul per 

un vector unitari que té la mateixa 

direcció i sentit. 

Fig. 5.10. Representació dels vectors 

unitaris segons els eixos cartesians. 

Fig. 5.12. El vector r 

en funció dels 

vectors OA 

 

,OB 

 

r 

=OA 

 

+ OB 

 

 

5.4 Magnituds del moviment 

Ja saps que hi ha certes característiques dels cossos i dels fenòmens naturals, anomenades 

magnituds, que es poden mesurar o avaluar a cada moment. Per a entendre 

el moviment és important conèixer les magnituds que utilitza la Cinemàtica en el seu 

desenvolupament. A més del temps, són les següents: posició, desplaçament, espai 

recorregut, velocitat i acceleració. L’espai recorregut és una magnitud escalar, mentre 

que les altres són magnituds vectorials. 

Posició 

Ja hem dit que la posició d’un punt P és la seva localització en l’espai. Hi ha dues maneres 

de localitzar un punt en l’espai: mitjançant tres coordenades cartesianes P (x, y, z) i 

mitjançant un vector r , o també OP 

 

, que uneix l’origen del sistema de referència amb 

el punt P i que rep el nom de vector de posició. L’origen d’aquest vector és sempre en 

l’origen de coordenades i el seu extrem coincideix a cada instant amb la posició del punt 

mòbil (fig. 5.8). Les dues formes estan relacionades. Per a entendre la relació que hi ha 

entre les coordenades x, y, z d’un punt i el seu vector de posició, has de recordar unes 

quantes nocions de càlcul vectorial. 

Unes quantes nocions de càlcul vectorial 

Un vector u es diu que és unitari quan el seu mòdul val 1: |u | = 1. Suposem que 

el vector a de la figura 5.9 té cinc unitats de longitud. Per tant, el mòdul és cinc 

vegades més gran que el mòdul del vector unitari u . D’acord amb això, es pot escriure: 

|a | = 5 · |u | = 5. En general, un vector qualsevol es pot expressar segons un vector 

unitari amb la mateixa direcció i sentit mitjançant el producte v = |v | u , en què |v | és 

el mòdul o longitud del vector v i u el vector unitari amb la mateixa direcció i sentit 

que v . 

Si anomenem u 

x, u 

y i u 

z els vectors unitaris que tenen la mateixa direcció i sentit que 

els semieixos cartesians (fig. 5.10), podrem expressar el vector de posició d’un punt en 

funció d’aquests vectors. 

La suma de dos vectors v 

1 i v 

2 s’obté de la diagonal del paral·lelogram construït sobre 

aquests vectors, agafant-los com a costats que parteixen del mateix vèrtex (fig. 5.11): 

s = v 

1 + v 

2. La posició del punt P (x, y) de la figura 5.12 és determinada pel vector r . 

v 

v 

Fig. 5.11. Suma de vectors. S’aplica la regla del paral·lelogram. 

El vector r és la diagonal del paral·lelogram OAPBO. Per tant, es compleix que: 

 

r = OA + OB 

 

= |OA 

 

| u 

x + |OB 

 

| u 

y = x u 

x + y u 

y 

ja que |OA 

 

| = x, |OB 

 

| = y. 

Aplicant el teorema de Pitàgores, podem calcular el mòdul d’un vector si coneixem x i 

y, ja que |r | 2 = x 2 + y 2 |r |= Îx 2 + y 2 .


En l’espai, el vector de posició del punt P (x, y, z) és r 

= xu 

x + y u 

y + z u 

z. 

Quan el punt P es mou, el vector de posició variarà amb el temps, fet que es pot 

expressar de la manera següent: 

 

r (t) = x (t) u 

x + y (t) u 

y + z (t) u 

z 

Aquesta expressió rep el nom de posició instantània. Donant valors a t s’obtenen les 

diverses posicions de la partícula mòbil en un interval de temps. 

El moviment d’una partícula s’obté de les equacions x = 4 t, y = 2 t – 2, 

on x i y es mesuren en metres i t, en segons. Calcula: 

a)La posició de la partícula en qualsevol instant. 

b)La posició en els instants t = 0, t = 2. 

c) On és la partícula al cap de 5 segons? 

d)A quina distància de l’origen del sistema de referència es troba la partícula 

en aquest instant? 

Solució 

a) La posició de la partícula en qualsevol instant és determinada pel vector de 

posició: r 

= xu 

x + yu 

y = 4 tu 

x + (2 t – 2) u 

y. 

b) En l’expressió anterior substituïm els valors del temps que ens indiquen: 

Per a t = 0 r 

0 = (4 · 0) u 

x + (2 · 0 – 2) u 

y = –2 u 

y 

Per a t = 2 r 

2 = 8 u 

x + 2 u 

y 

En els instants t = 0 i t = 2 s, la partícula es troba en els punts P 0 (0, –2), P2 (8, 2). 

c) Al cap de 5 s la partícula estarà en la posició r 

5 = 20 u 

x + 8 u 

y, és a dir, en el 

punt (20, 8). 

d) La distància en qüestió ve donada pel mòdul del vector r 

5: 

|r 

5| = Îx 2 + y 2 = Î20 2 + 8 2 = 21,5 m 

11> Escriu els vectors de posició corresponents als 

punts següents respecte de l’origen. 

a) P1 (2, –3, 5) 

b) P2 (–1, 0, 6) 

c) P3 (0, 0, –2) 

12> Un punt mòbil es desplaça per l’espai d’acord amb les 

equacions següents expressades en el SI: 

x = t + 2; y = 4 t – 2; z = t2 EXEMPLE 2 

a) Completa la següent taula de valors: 

El vector és un segment que està 

orientat: 

195 

Té un punt d’origen, O, i un extrem, 

P, que determina el sentit del vector 

OP 

 

. La direcció d’un vector és 

determinada per la recta sobre la 

qual es recolza. 

El mòdul és un nombre real positiu 

que indica la longitud del vector 

i que determina el valor de la magnitud 

associada. Una magnitud 

vectorial es representa algebraicament 

amb una fletxa sobre el 

valor que té, v , o bé s’escriu en 

negreta, v. En aquest llibre hem 

optat per la primera fórmula, ja 

que considerem que és més fàcil 

de reconèixer. 

ACTIVITATS 

t 0 1 2 3 4 

x 

y 

z 

b) Esbrina la posició del punt mòbil per a t = 15 s. 

c) Escriu el vector corresponent a aquesta posició.


05 

Fig. 5.15. Vector desplaçament. 

S’obté restant els vectors de posició 

corresponents del punt d’arribada i del 

punt de partida. 

x 

Fig. 5.16. Representació del moviment 

de l’automòbil de l’exemple 3. 

Desplaçament 

Si en un moment donat un mòbil es toba en la posició P0 (x0, y0, z0) i al cap d’un temps la 

seva posició és P1 (x1, y1, z1), direm que el mòbil s’ha desplaçat des del punt P0 fins al punt 

P1. Aquest desplaçament es defineix amb un vector, anomenat vector desplaçament, 

Dr 

, que té les característiques següents: 

Té l’origen en el punt de partida o posició inicial i l’extrem en el punt d’arribada o 

posició final, P 

0P 

 

1 (fig. 5.13). 

El desplaçament entre dues posicions és sempre el mateix, independentment de la 

trajectòria que uneix aquestes posicions (fig. 5.14). 

Fig. 5.13. Vector desplaçament. Uneix la 

posició inicial i la final del mòbil. 

El vector desplaçament s’obté restant del vector de posició final el vector de posició 

inicial (fig. 5.15): 

Per tant, si 

 

r1 

= x1 u 

x + y1 u 

y + z1 u 

z 

Dr 

= r 

1 –r 

0 

Fig. 5.14. Diferents trajectòries per a un 

mateix desplaçament. 

r 

0 = x0 u 

x + y0 u 

y + z0 u 

z 

el vector desplaçament serà: 

Dr 

= (x1 – x0) u 

x + ( y1 – y0) u 

y + (z1 – z0) u 

z = Dx u 

x + Dy u 

y + Dz u 

z 

en què Dx = x1 – x0; Dy = y1 – y0; Dz = z1 – z0. Això vol dir que el desplaçament total equival a la suma de desplaçaments parcials al 

llarg dels eixos cartesians. 

EXEMPLE 3 

Un automòbil es mou en línia recta per una carretera. A les nou del matí és 

al punt quilomètric 40 i al cap de mitja hora és al punt quilomètric 100. 

Calcula el desplaçament que ha experimentat el cotxe en el temps 

indicat. 

Solució 

Si el cotxe es mou en línia recta, podem agafar com a sistema de referència el 

punt quilomètric 0 i la direcció de la carretera com a eix cartesià Ox. Per tant, 

el vector de posició en aquest cas és: r 

= xu 

En mitja hora, el cotxe s’ha desplaçat des del punt P0 (40 km, 0) fins al punt 

P1 (100 km, 0) (fig. 5.16). 

Per tant, el desplaçament és: 

Dr 

= r 

1 –r 

0 = (x1 – x0) u 

x = 60 u 

x km 

El cotxe s’ha desplaçat 60 km des de l’origen. 

x.


Una partícula material es mou per l’espai de manera 

que la seva posició en qualsevol instant s’obté a 

partir de les equacions x = t 2 ; y = t – 2, expressades 

en el SI. Calcula: 

a) On és la partícula en els instants t = 0 s, t = 1 s, 

t = 2 s. 

b) El desplaçament en l’interval de temps comprès 

entre zero i dos segons. 

Solució 

a) La posició de la partícula en qualsevol moment s’expressa 

mitjançant el vector r 

= (t 2 ) u 

x + (t – 2) u 

y, que per 

13> En Carles surt de casa a comprar el diari en un 

quiosc situat a 120 m de distància i després torna 

a casa. Quina afirmació és la correcta? 

a) En Carles s’ha desplaçat 120 m. 

b) En Carles s’ha desplaçat 240 m. 

c) En Carles no s’ha desplaçat. 

d) En Carles ha recorregut 240 m. 

Espai recorregut 

No has de confondre espai recorregut amb desplaçament. Espai recorregut és la longitud 

de trajectòria que ha seguit el mòbil. És una magnitud escalar que coincideix amb el mòdul 

del desplaçament, només si el moviment és rectilini i si no canvia de sentit. Si llancem una 

pilota cap amunt, l’espai recorregut coincideix amb el desplaçament mentre la pilota puja; 

però quan comença el descens, el desplaçament disminueix, i quan la pilota arriba al punt 

de partida, el desplaçament és nul. En canvi, l’espai recorregut és igual al doble de l’altura 

aconseguida. 

EXEMPLE 4 

als instants donats agafa els valors r 

0 = –2 u 

–u 

2 = 4 u 

y; r 

x. 

y; r 

ACTIVITATS 

1 = u 

x 

És a dir, es troba en els punts (0, –2), (1, –1) i (4, 0), 

respectivament. 

b) Per a esbrinar el desplaçament n’hi ha prou de res- 

tar els vectors r 

2 i r 

0 : Dr 

+ (0 – (–2)) u 

y = 4 u 

x + 2 u 

y 

Una persona surt a passejar. Recorre 2 km cap al nord, després es dirigeix cap a 

l’est i en recorre 1, i finalment, es dirigeix cap al sud i en recorre 4. Calcula: 

a) Quin espai ha recorregut? 

b) Quant val el desplaçament? 

Solució 

a) En la fig. 5.17 hi ha representats els diferents desplaçaments. L’espai total 

recorregut són 7 km. 

b) El desplaçament és un vector amb sentit sud-est, i val: 

|P 

0P 

 

1| = |Dr 

| = Î(4 – 2) 2 + 12 = Î5 = 2,24 km 

= r 

2 – r 

0 = (4 – 0) u 

x + 

14> Un ciclista es desplaça en línia recta 750 m. Si la 

seva posició final és a 1250 m del punt de referència, 

el ciclista va iniciar el recorregut des d’una 

posició situada a: 

a) 750 m del punt de referència. b) 1250 m del 

punt de referència. c) 500 m del punt de referència. 

d) No es pot saber la posició de partida. 

Tria la resposta correcta. 

EXEMPLE 5 

Fig. 5.17. Desplaçament total. 

Correspon al vector P 

 

0 P1. 

197


05 

ACTIVITATS 

15> Una vegada iniciat el moviment, l’espai recorregut 

pot ser zero? Pot ser zero el desplaçament? Esmenta 

un exemple en què l’espai recorregut i el desplaçament 

tenen el mateix valor. 

16> Un ciclista recorre una pista circular de 20 m de 

radi partint del punt O en el sentit que indica la 

fletxa de la fig. 5.18. 

Calcula l’espai recorregut i el desplaçament: 

a) Quan el ciclista és al punt A. 

http://newton.cnice.mec. 

es/4eso/trayectoria/trayec0.htm 

En aquesta pàgina s’ofereix una 

explicació amb simulacions interactives 

de la diferència entre 

desplaçament i trajectòria (espai 

recorregut). 

Si r 

(t) representa la posició del 

punt mòbil en l’instant t i r 

(t + Dt) representa la posició al 

cap d’un interval de temps Dt, la 

velocitat mitjana també s’obté: 

v 

= Dr 

Dt 

r (t + Dt) – 

= 

r 

(t) 

Dt 

Velocitat 

b) Quan és al punt B. 

c) Quan és a C. 

d) Quan ha fet una 

volta completa. 

Fig. 5.18 

Per a determinar el moviment d’una partícula cal conèixer com varia la posició d’aquesta 

partícula en el transcurs del temps. La variació de la posició, l’hem anomenada desplaçament. 

Per a relacionar el desplaçament que ha experimentat un mòbil amb el temps 

transcorregut introduïm una magnitud molt important en Cinemàtica: la velocitat. Podem 

distingir entre velocitat mitjana i velocitat instantània. 

Velocitat mitjana 

La velocitat mitjana es defineix com el desplaçament que experimenta 

el punt mòbil en la unitat de temps. És un vector que resulta de dividir el 

desplaçament produït entre l’interval de temps utilitzat i que té la mateixa 

direcció i sentit que el vector desplaçament, ja que el temps és una 

magnitud escalar positiva. 

v 

= Dr 

Dt 

EXEMPLE 6 

Una aranya es mou sobre el vidre d’una finestra seguint una trajectòria 

definida per x = t 2 i y = t + 2 en el SI. Calcula: 

a) El vector de posició de l’aranya en qualsevol instant. 

b) El desplaçament en l’interval de temps comprès entre t = 1 s i t = 3 s. 

c) La velocitat mitjana amb què s’ha desplaçat l’aranya durant aquest temps. 

Solució 

= xu 

x + yu 

y = t2 u 

x + (t + 2) u 

y 

a) El vector de posició ve donat per r 

b) Esbrinem les posicions corresponents als instants que s’indiquen: 

Per a t = 1 s; r 

1 = ux + 3 u 

y Per a t = 3 s; r 

3 = 9 u 

x + 5 u 

y 

El desplaçament és: Dr 

= r 

3 –r 

1 = (9 – 1) u 

x + (5 – 3) u 

y = 8 u 

x + 2 u 

y 

c) La velocitat mitjana s’obté de: v 

= Dr 8 u 

= 

Dt 

x + 2 u 

y 

2 

= 4 u 

x + u 

y m/s


EXEMPLE 7 

Una partícula es mou al llarg de l’eix Ox segons l’equació x = t 2 + 2. Calcula’n la velocitat mitjana. 

Solució 

En aquest cas, el vector de posició és r 

(x, 0) i no s’especifica l’interval de temps. Per això esbrinarem la velocitat 

mitjana utilitzant l’expressió: 

|v 

| = |Dr | |r (t + Dt) – r 

= 

Dt 

(t)| 

= 

Dt 

[(t + Dt)2 + 2 – (t 2 + 2)] 

= 

Dt 

t2 + 2 t Dt + (Dt) 2 + 2 – t 2 – 2 

= 2 t + Dt 

Dt 

Observa que el resultat és indeterminat, ja que depèn de dues variables: l’instant 

t i l’interval de temps Dt. Si l’interval de temps es fa infinitament petit 

(Dt 0), la velocitat mitjana agafa el valor |v 

| = 2 t i només depèn de 

l’instant que es considera. Per això rep el nom de velocitat instantània. I se sol definir 

com el valor que agafa la velocitat mitjana quan l’interval de temps tendeix a 

0: v 

i = lim Dr 

· Aquest límit es coneix en Matemàtiques com la derivada del vector de 

Dt0 

Dt 

posició respecte del temps. 

Velocitat instantània 

En la resolució de l’exemple anterior s’ha vist que la velocitat mitjana, en general, és 

indeterminada. A més, ens dóna poca informació del moviment que es produeix. Només 

relaciona el desplaçament total produït amb l’interval de temps utilitzat. No ens diu res 

sobre la trajectòria que ha seguit la partícula, ni si ha mantingut la mateixa velocitat 

durant tot l’interval de temps. 

Per exemple, si un cotxe ha trigat 5 hores a desplaçar-se de Madrid a València, a 350 km 

de distància, direm que ha fet el recorregut amb una velocitat mitjana de 70 km/h. Però 

aquesta dada no ens respon preguntes com ara: ha estat aquesta la velocitat real del 

cotxe?, ha fet el recorregut mantenint sempre la mateixa velocitat?, per quina carretera 

ha anat?, quina velocitat tenia el cotxe quan va passar pel punt quilomètric 100?, i 

quan faltaven vint minuts per arribar a València? 

La veritable velocitat del cotxe és la que marca el velocímetre en l’instant en què s’observa 

(fig. 5.19). El velocímetre mesura el mòdul de la velocitat instantània. 

Velocitat instantània és la que té una partícula en un instant determinat 

o en un punt concret de la trajectòria. 

La velocitat instantània és un vector el mòdul del qual rep el nom de rapidesa i 

representa l’espai recorregut en la unitat de temps, la direcció del qual és tangent a la 

trajectòria i el sentit coincideix amb el sentit del moviment. 

17> La rapidesa d’un mòbil es mesura en m/s en el SI, 

i en la pràctica, en km/h. Expressa en m/s la rapidesa 

amb què es mou un cotxe que va a 144 km/h. 

ACTIVITATS 

18> Si la velocitat del so per l’aire és de 340 m/s, quina 

és la velocitat d’un avió en km/h quan trenca la 

barrera del so? 

199 

En general, la velocitat mitjana 

depèn de l’instant inicial i de 

l’interval de temps considerats. 

Si aquests valors estan determinats, 

la velocitat mitjana agafa un 

valor concret, tal com hem vist en 

l’exemple 6. Però si l’instant inicial 

i l’interval de temps no estan 

definits, la velocitat mitjana és 

indeterminada, tal com succeeix 

en l’exemple 7. 

Fig. 5.19. Velocímetre. Instrument 

que mesura el mòdul de la velocitat 

instantània del vehicle.


05 

La velocitat és una magnitud 

vectorial. Per tant, hi ha acceleració 

sempre que la velocitat varia 

en qualsevol dels seus elements: 

mòdul, direcció o sentit. 

ACTIVITATS 

El mòdul de l’acceleració es mesura 

en m/s 2 . 

Acceleració 

19> Esmenta algun exemple en què la velocitat d’un 

vehicle canvia de mòdul i de direcció. 

Quan un automòbil es deplaça, no sempre ho fa amb la mateixa velocitat. Si un cotxe, 

per exemple, augmenta de velocitat, diem que accelera. Si l’increment de velocitat es 

produeix en menys temps, intuïtivament diem que el cotxe té més acceleració. Per tant, 

l’acceleració relaciona la velocitat amb el temps. 

Acceleració, en general, és la variació de la velocitat amb el temps. 

Mitjançant uns quants exemples, veurem quan té acceleració un moviment: 

1. Es llança una pilota a 10 m/s contra la paret d’un frontó. La pilota rebota i surt a 

10 m/s en la mateixa direcció. La velocitat és la mateixa abans i després del rebot? 

No, la pilota es mou amb la mateixa rapidesa abans i després del rebot, però 

no amb la mateixa velocitat. Hi ha acceleració perquè la velocitat ha canviat de 

sentit. 

2. Un cotxe es mou per una pista recta. En un moment donat, el velocímetre marca 

90 km/h i en un instant posterior 100 km/h. Hi ha acceleració perquè ha canviat el 

mòdul de la velocitat. El cotxe no es mou amb la mateixa rapidesa. 

3. El cotxe anterior agafa un revolt amb una rapidesa constant de 45 km/h. Hi ha acceleració 

perquè la direcció de la velocitat canvia contínuament. 

Acceleració mitjana i acceleració 

20> En el moviment d’un pèndol, quins elements de la 

velocitat es modifiquen? 

Per a determinar el moviment d’una partícula no n’hi ha prou de saber que la velocitat 

varia. Cal saber com es produeix aquesta variació en el transcurs del temps. Per això, 

s’introdueixen els conceptes d’acceleració mitjana i acceleració instantània. 

L’acceleració mitjana es defineix com el vector que resulta de dividir la 

variació de la velocitat que s’ha produït en un interval de temps entre el 

valor d’aquest interval: 

Si la pilota de l’exemple esmentat adés ha estat en contacte amb el frontó durant una 

dècima de segon, ha experimentat una acceleració mitjana: 

 

v1 

= +10 u 

x m/s v 

2 = –10 u 

x m/s 

a 

= v 2 – v 

1 

Dt 

= (–10 u 

a 

= Dv 

Dt 

= v 

2 – v 

1 

Dt 

x) – (10 u 

x) 

0,1 s 

= –200 u 

x m/s 2


L’acceleració instantània és el valor límit que agafa l’acceleració mitjana 

quan l’interval de temps és extremament petit. 

a 

i = lim Dv 

Dt0 

Dt 

Aquest límit rep el nom de derivada del vector velocitat respecte del 

temps. 

Components intrínsecs de l’acceleració 

Sabem que la velocitat instantània és tangent a la trajectòria (fig. 5.20). Per tant, en 

cada punt se’n coneix bé la direcció. Però, quina és la direcció de l’acceleració instantània? 

És també tangent a la trajectòria? 

En la figura 5.21 s’ha obtingut gràficament el vector Dv 

. S’observa que aquest vector no 

és tangent a la trajectòria. La seva direcció és variable. 

Però independentment de la direcció, sempre es pot descompondre en dos vectors: l’un 

en la direcció de v 

1 i l’altre perpendicular a v 

1 (fig. 5.22). 

Si escollim el sistema de referència format per un punt de la trajectòria i dos vectors 

unitaris, l’un t 

amb la direcció de la tangent i l’altre n 

amb la direcció de la normal 

(perpendicular) a la tangent en aquest punt, hem definit un sistema de referència lligat 

a la pròpia trajectòria i que rep el nom de sistema de referència intrínsec a la trajectòria 

(fig. 5.23). 

A partir d’aquest sistema de referència, podem escriure: Dv 

= Dv 

t + Dv 

n. Per tant, 

l’acceleració és: 

a 

= Dv Dv t Dv n 

= + = a t + a 

Dt Dt Dt 

n = |a 

t| t 

+ |a 

n| n 

L’acceleració es pot descompondre en dues, l’una en la direcciónde la tangent (acceleració 

tangencial) i l’altra en la direcció de la normal (acceleració normal) en cada punt 

de la trajectòria. Aquestes acceleracions reben el nom de components intrínseques de 

l’acceleració. 

L’acceleració tangencial s’obté de la variació de la rapidesa o mòdul de 

la velocitat. 

L’acceleració normal és la que porovoca el canvi de direcció de la velocitat 

i rep el nom d’acceleració centrípeta. El seu mòdul val v2 

, en què v és la 

R 

rapidesa i R el radi de la corba. 

Per a restar dos vectors, se’n trasllada un damunt la seva paral·lela, de manera que els 

orígens de tots dos coincideixin. El vector diferència és el que uneix l’extrem del vector 

subtrahend, v 

1, amb el vector minuend, v 

2. 

13> L’automòbil anterior agafa un revolt de manera que, 

al principi, el velocímetre marca 90 km/h, i al final, 

30 km/h. 

a) Té acceleració tangencial el cotxe? Per què? 

b) Té acceleració normal? Per què? 

Fig. 5.20. Direcció de la velocitat 

instantània. 

Fig. 5.21. La variació de la velocitat 

s’obté gràficament unint els extrems 

de les velocitats v 

1 i v 

2. 

Fig. 5.22. Descomposició de la variació 

de la velocitat. 

Fig. 5.23. Sistema de referència 

intrínsec a la trajectòria. 

ACTIVITATS 

c) Quin tipus d’acceleració hauria tingut el cotxe 

si durant tot el revolt s’hagués desplaçat a 

30 km/h? 

d) Quant val l’acceleració mitjana? 

201


05 

Moviments 

SEGONS LA TRAJECTÒRIA 

Rectilinis Curvilinis 

Fig. 5.24. Classificació dels moviments segons la seva trajectòria. 

 

Fig. 5.26. Moviment rectilini. 

En aquests moviments, es pot agafar 

la trajectòria com a eix de referència. 

 

 

Fig. 5.27. Vector de posició d’un punt P. 

Aquest vector té una sola component. 

 

 

 

5.5 Classificació dels moviments 

més rellevants 

Els moviments que tenen lloc en el nostre entorn es poden classificar atenent dos criteris 

principals: la trajectòria (fig. 5.24) i l’acceleració (fig. 5.25). 

Segons la trajectòria, els moviments poden ser rectilinis i curvilinis. Un exemple senzill 

de moviments curvilinis és el moviment circular. 

D’acord amb l’acceleració, els moviments poden ser uniformes i accelerats. Dels últims, 

els que tindrem més en compte en aquest primer curs de Batxillerat són els anomenats 

uniformement accelerats. 

Circulars 

Parabòlics 

El·líptics 

Altres 

Moviments 

uniformes 

5.6 Moviments rectilinis 

Moviments 

SEGONS L’ACCELERACIÓ 

Acceleració constant Acceleració variable 

Moviments uniformement 

accelerats 

Fig. 5.25. Classificació dels moviments segons la seva acceleració. 

Els moviments rectilinis es caracteritzen perquè la seva trajectòria és una 

línia recta. Per tant, la direcció de la velocitat es manté constant. 

La caiguda lliure d’un cos, la propagació del so, el desplaçament d’un avió per una 

pista abans d’enlairar-se d’un aeròdrom, etc., són exemples de moviments rectilinis. 

L’estudi d’aquests moviments és senzill si utilitzem un sistema de referència adequat: 

situem l’origen O del sistema sobre la trajectòria i, a més, fem que aquesta coincideixi 

amb un dels eixos cartesians (fig. 5.26). 

Amb aquest sistema de referència, totes les magnituds del moviment tenen la mateixa 

direcció de l’eix escollit i, per tant, una sola component: 

Vector de posició r 

(x, 0, 0) |r 

| = x 

Vector desplaçament Dr 

(Dx, 0, 0) |Dr 

| = Dx 

Vector velocitat v 

(vx, 0, 0) |v 

| = vx = v 

Vector acceleració a 

(ax, 0, 0) |a 

| = ax = a 

De tot això, se n’extreuen les conclusions següents: 

El mòdul d’aquests vectors coincideix amb el valor de l’única component. El sentit, 

l’expressarem mitjançant un signe (+, –) segons el sentit del moviment. 

Per exemple: en comptes de r 

utilitzarem (+x) o (–x), en comptes de v 

utilitzarem (+v) 

o (–v), etc., d’acord amb el criteri de signes que et donarem. En la fig. 5.27 es posa de 

manifest l’única component que té el vector de posició.


En general, en els moviments rectilinis, el mòdul del desplaçament coincideix amb 

l’espai recorregut, si no s’inverteix el sentit del moviment (fig. 5.29). 

Criteri de signes per a les equacions 

del moviment rectilini 

Recorda que la posició, la velocitat i l’acceleració són magnituds vectorials la direcció 

de les quals coincideix amb la trajectòria, i el sentit és determinat pels signes + i –. Per 

a esbrinar quin signe tenen en cada problema concret utilitzarem el criteri següent: 

– Per a la posició. El signe de la posició coincideix amb el signe dels semieixos cartesians, 

com es dedueix de la fig. 5.28. 

– Per a la velocitat. La velocitat és positiva quan el mòbil es desplaça en el sentit del 

semieix Ox o del semieix Oy (cap a la dreta o cap amunt), i és negativa si es desplaça 

en sentit contrari (cap a l’esquerra o cap avall). 

– Per a l’acceleració. Una acceleració és positiva si el sentit coincideix amb el de la 

velocitat positiva i és negativa si el sentit és contrari a aquesta velocitat. 

a) b) c) 

Moviment horitzontal Moviment vertical 

Fig. 5.28. Criteri de signes: a) per a la posició en moviment horitzontal; b) per a la posició en 

moviment vertical; c) per a la velocitat. 

ACTIVITATS 

22> Escriu el signe corresponent a la posició i a la velocitat en els casos 

següents: 

a) La partícula de la figura és al punt P1, a 20 m del punt O que s’agafa 

com a referència. 

b) La partícula és en P2, a 10 m del punt O. 

c) El cotxe de la fig. 5.26 s’allunya del punt O amb una rapidesa de 

20 m/s. 

d) Aquest cotxe retrocedeix a 2 m/s. 

203 

Fig. 5.29. Mòdul del desplaçament. En 

el moviment rectilini, el mòdul del 

desplaçament gairebé sempre coincideix 

amb l’espai recorregut, x 1 – x 0 = s.


05 

En l’MRU, normalment, l’espai 

recorregut coincideix amb el desplaçament. 

Per tant, l’equació 

xt = x0 + v t també es pot escriure: 

s = xt – x0 = v t 

que rep el nom d’equació horària 

del moviment rectilini i uniforme. 

Fig. 5.30. Posició de partida o posició 

inicial. És la distància x 0 (per a t = 0). 

Fig. 5.31. Diagrama x-t de l’MRU. 

Fig. 5.32. Diagrama v-t de l’MRU. 

L’àrea del recinte en color representa 

el desplaçament. 

Cinemàtica del moviment rectilini 

i uniforme (MRU) 

Un mòbil té MRU quan es desplaça en línia recta i sense acceleració, és 

a dir, mantenint la velocitat constant. En aquest moviment, la velocitat 

mitjana coincideix amb la velocitat instantània. 

Equació de l’MRU 

Es tracta d’obtenir una expressió matemàtica que permeti esbrinar en qualsevol moment 

la posició d’un mòbil si en coneixem la posició inicial i la velocitat. Fixa’t en el sistema 

de referència (fig. 5.30): la posició del punt mòbil P1, en qualsevol instant, és donada 

per la distància x que hi ha entre aquest punt i l’origen de coordenades. 

Suposem que inicialment, quan comencem a cronometrar l’interval de temps transcorregut, 

el mòbil és al punt P0, la posició del qual és donada per x0, posició inicial. Si aquest 

punt es desplaça al llarg de l’eix Ox amb una velocitat v, al cap d’un temps t la posició 

del mòbil serà xt. El desplaçament haurà estat Dx = xt – x0. 

De la definició de velocitat mitjana, v = xt – x0 

, es dedueix 

t 

xt = x0 + v t 

que és l’equació de l’MRU, en què: 

xt és la posició en qualsevol instant t; 

x0 és la posició inicial, per a t = 0; 

v és la velocitat constant del moviment, i 

t és el temps transcorregut. 

Diagrames del moviment rectilini i uniforme 

Les gràfiques s’usen per a determinar la relació que hi ha entre dues magnituds. Si 

parlem de moviment, els diagrames són representacions gràfiques, en funció del temps, 

de les magnituds posició, velocitat i acceleració. 

L’MRU té dos diagrames, x-t i v-t, ja que no té acceleració. 

• Diagrama x-t. Es tracta de representar gràficament l’equació del moviment agafant la 

posició instantània com a funció i el temps com a variable independent: xt = x0 + vt. La 

línia obtinguda és una recta l’ordenada en l’origen de la qual és la posició inicial i el 

pendent és la velocitat (fig. 5.31). 

• Diagrama v-t. És la representació gràfica de la funció v = f (t). Es tracta d’una recta 

paral·lela a l’eix del temps (fig. 5.32). L’àrea continguda davall de la línia de la 

velocitat representa el desplaçament: Dx = base · altura = t v = v t. 

ACTIVITATS 

23> Un cotxe passa per un punt A situat a 20 km del punt de referència. A 

quin punt serà al cap de mitja hora, si es desplaça amb una velocitat 

mitjana de 100 km/h?


El moviment d’una partícula es descriu mitjançant el diagrama x-t de la 

fig. 5.33. Calcula: 

a) La velocitat mitjana durant els dos primers segons. 

b) La velocitat mitjana en l’interval de 0 a 5 s. 

c) El desplaçament total que ha experimentat la partícula. 

d) Descriu el moviment de la partícula. 

Solució 

a) D’acord amb la fig. 5.33, per a t0 = 0, la partícula està en la posició x0 = 2 m, i 

en l’instant t1 = 2 s, en la posició x2 = 4 m. 

Per tant, la velocitat mitjana és: v = Dx 

Dt = x 1 – x 0 

t 1 – t 0 

24> A partir del diagrama de la fig. 5.34, indica quines 

afirmacions són falses: 

Fig. 5.34 Fig. 5.35 

a) En el tram OA la velocitat ha estat 0,8 m/s. 

b) En el tram AB la velocitat és 4/5 m/s. 

c) En el tram BC la velocitat és –2 m/s. 

d) En el tram AB el mòbil està aturat. 

= 4 m – 2 m 

2 s 

= 1 m/s 

b) En l’instant t5 = 5 s, la partícula està en la posició x5 = 0. Per tant, en l’interval 

de temps t5 – t0 = 5 s la velocitat mitjana ha estat: 

v = x5 – x0 

t5 – t0 

= 0 – 2 m 

5 s 

= –0,4 m/s 

EXEMPLE 8 

c) Recorda que el desplaçament s’obté de la diferència entre les posicions final i 

inicial: x5 – x0 = 0 – 2 m = –2 m. 

d) Segons la fig. 5.33, la partícula inicia el moviment des d’un punt situat a 2 m 

del sistema de referència. Està en moviment durant 1 s fins a arribar a un punt 

situat a 4 m del sistema de referència; en aquest punt roman aturada durant 

2 s més. Al cap d’aquest temps, la partícula es mou en sentit contrari i es 

dirigeix cap al punt de referència, on arriba en l’instant t = 5 s. 

Fig. 5.33. Moviment de la partícula 

de l’exemple 8. 

ACTIVITATS 

25> El moviment rectilini d’una partícula es descriu en 

el diagrama x-t de la fig. 5.35. 

a) Què representa el valor x = 5 m? 

b) Què significa el tram horitzontal? 

c) Quina velocitat té la partícula en els intervals 

de t = 0 a t = 2 s i de t = 2 s a t = 4 s? 

d) Quina distància recorre la partícula en 4 s? 

205


05 

O 

y 

P 0 (x 0) 

v 0 

EXEMPLE 9 

P 1 (x 1) 

Fig. 5.36. Acceleració mitjana. Entre les 

posicions P 0 i P1 l’acceleració és constant. 

v t 

x 

Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) 

És un moviment rectilini que es fa amb acceleració constant. Per tant, 

l’acceleració mitjana i l’acceleració instantània hi coincideixen. 

Equacions de l’MRUA 

Suposem que en la posició P 1 de la fig. 5.36, una partícula té una velocitat instantània 

v0 i en un altre punt P 1 de la trajectòria la velocitat és v t. Si ha utilitzat un temps t per 

a desplaçar-se des de P0 fins a P 1, l’acceleració mitjana de la partícula haurà estat: 

a = vt – v0 m/s 

t 

2 

Aquesta és la velocitat en qualsevol instant, si es coneix l’acceleració: 

v t = v 0 + a t (1) 

La velocitat mitjana aritmètica de la partícula entre les posicions P0 i P1 s’obté de: 

v – = v0 + vt 

= 

2 

v0 + (v0 + a t) 

= v0 + 

2 

1 

a t 

2 

Sense consideracions vectorials, i com que la velocitat mitjana és constant en l’interval, 

podem aplicar l’equació de l’MRU per a esbrinar la posició instantània: 

xt = x0 + v – t = x0 + ( v0 + 1 

2 a t) t xt = x0 + v0 t + 1 

a t2 

(2) 

2 

En resum, si sabem l’acceleració constant amb què es mou una partícula, podem 

esbrinar la velocitat que té en qualsevol instant utilitzant l’equació 1. A més, mitjançant 

l’equació 2 també en podem esbrinar la posició. Si eliminem el temps entre les dues 

equacions anteriors s’obté una tercera equació molt útil que permet calcular la velocitat 

en qualsevol posició, si no coneixem el valor del temps: 

vt 2 – v0 2 = 2 a (xt – x0) (3) 

Un automòbil parteix d’una gasolinera on estava en situació de repòs. Després de recórrer 200 m agafa una 

velocitat de 108 km/h. Calcula: 

a) El valor de l’acceleració, que es considera constant. 

b) El temps que ha trigat a assolir la velocitat indicada. 

Solució 

Prenem la gasolinera com a sistema de referència. Comencem a comptar el temps quan el cotxe parteix de la gasolinera. 

Posició inicial x0 = 0 Posició final xt = 200 m 

Velocitat inicial v0 = 0 Velocitat al final dels 200 m, vt = 108 km/h = 30 m/s 

a) D’acord amb aquestes dades, l’acceleració s’obté a partir de l’equació: vt 2 – v0 2 = 2 a (xt – x0). 

a = 

vt 2 – v0 2 

2 (x1 – x0) = (30 m/s)2 – 0 

2 (200 m – 0) = 900 m2 /s 2 

400 m 

b) Aïllem el temps transcorregut en l’equació: vt = v0 + a t; t = v t – v 0 

a 

= 30 m/s – 0 

= 2,25 m/s2 

2,25 m/s 2 = 13,3 s


Un cotxe, en passar per un punt A d’una carretera, es desplaça a 120 km/h, i en fer-ho per un altre punt B de la 

mateixa carretera, la velocitat és de 90 km/h. Si ha trigat 5 s a desplaçar-se des de A fins a B, calcula: 

a) El valor de l’acceleració, que es considera constant. 

b) La distància entre A i B. 

c) A quina distància de A s’aturarà l’automòbil? 

Solució 

Prenem el punt A com a sistema de referència. Comencem a cronometrar quan el cotxe passa per aquest punt. D’acord 

amb això, coneixes: 

– La posició inicial x0 = 0. 

– La velocitat inicial v0 = 120 km/h = 33,3 m/s. 

– El temps transcorregut t = 5 s. 

– La velocitat en el punt B: vt = 90 km/h = 25 m/s. 

a) L’acceleració s’obté a partir de l’equació vt = v0 + a t 

a = vt – v0 = 

t 

25 m/s – 33,3 m/s 

= –1,7 m/s 

5 s 

2 

b) La distància entre A i B ve donada per la posició del cotxe al cap de 5 s: 

xt = x0 + v0 t + 1 

2 a t2 = 33,3 m/s · 5 s + 1 

2 · (–1,7 m/s2 ) · (5 s) 2 = 145,3 m 

c) El cotxe s’aturarà quan la velocitat sigui zero, i això ocorre en una posició xt que s’obté aïllant de 

xt – x 0 = v2 t – v 2 0 

2 a 

Diagrames de l’MRUA 

= 0 – (33,3 m/s)2 

v t 2 – v0 2 = 2 a (xt – x0) en què vt = 0 

2 (–1,7 m/s2 = 326 m; x = x0 + 326 m = 0 + 326 m = 326 m 

) 

Diagrama a-t. És la representació gràfica de la funció a = f (t). Com que l’acceleració és 

constant, la gràfica és una recta paral·lela a l’eix dels temps (fig. 5.37). L’àrea continguda 

sota l’acceleració representa l’increment de la velocitat: Dv = base · altura = t a = a t. 

Diagrama v-t. És la representació de la funció v = f (t) = v0 + a t. És una recta l’ordenada en 

l’origen de la qual és la velocitat inicial i el pendent representa l’acceleració (fig. 5.38). 

Aquí l’àrea és el vector desplaçament: 

Dx = rectangle + triangle = v0 t + 1 

2 (vt – v0) t = v0 t + 1 

2 

Diagrama x-t. És la representació de la funció xt = x0 + v0 t + 1 

2 at2 . Es tracta d’una 

paràbola. 

Fig. 5.37. Diagrama a-t de l’MRUA. L’àrea 

de color representa l’increment de v. 

a t2 

Fig. 5.38. Diagrama v-t de l’MRUA. L’àrea 

en color representa el desplaçament. 

EXEMPLE 10 

207 

El diagrama x-t d’un moviment no 

representa la trajectòria, solament 

indica com varia la posició del mòbil 

amb el temps. 

O 

x (m) 

t (s)


05 

ACTIVITATS 

26> Un cos que es mou en línia recta té una velocitat 

que varia amb el temps, segons el diagrama de la 

figura 5.39. Indica quines de les afirmacions següents 

són correctes: 

Fig. 5.39 

Criteri de signes per a la caiguda 

lliure 

– La posició és positiva si el mòbil 

està per damunt del nivell Ox. 

– La velocitat és positiva si el 

cos puja i és negativa si el cos 

baixa. 

– L’acceleració de la gravetat és 

sempre negativa. 

Fig. 5.40. Sistema de referència per 

a un moviment en caiguda lliure. 

a) Durant tot el recorregut ha tingut un MRUA. 

b) L’acceleració mitjana és 4 m/s 2 . 

c) La velocitat màxima és 72 km/h. 

d) La distància recorreguda els deu primers segons 

és de 100 m. 

e) En l’interval de 0 a 5 s el cos està parat. 

f) En l’interval de 10 s a 15 s el cos es mou sense 

acceleració. 

27> Un vehicle es mou sobre una pista rectilínia durant 

5 s amb acceleració constant. Segueix amb velocitat 

constant durant 15 s i després frena de manera 

constant fins a parar, cosa que aconsegueix en 20 s. 

Dibuixa els diagrames a-t i v-t d’aquest moviment. 

5.7 La caiguda lliure: un moviment 

rectilini uniformement accelerat 

El 2 d’agost de 1971, quan l’astronauta David Scott era a la superfície de la Lluna, va 

deixar caure simultàniament un martell de geòleg i una ploma de falcó i va observar que 

els dos cossos tocaven simultàniament la superfície lunar. Havia comprovat a la Lluna 

la hipòtesi de Galileu: «En absència de fricció amb l’aire, tots els cossos cauen cap a la 

Terra amb la mateixa acceleració». 

El moviment d’un cos per l’acció de la gravetat, que supera la resistència 

de l’aire, rep el nom de caiguda lliure. 

En la caiguda lliure no importa el moviment inicial del cos. Tots els objectes que es 

llancen cap amunt o cap avall, i els que es deixen caure a partir del repòs, cauen 

lliurement. Un cop es troben en caiguda lliure, tots els cossos estan sotmesos a 

l’acceleració de la gravetat. A prop de la Terra aquesta acceleració és pràcticament 

constant. 

La caiguda lliure és un moviment rectilini i uniformement accelerat. 

Si prenem com a punt de referència un punt O de la trajectòria vertical i com a eix Oy 

aquesta trajectòria (fig. 5.40), les equacions que defineixen aquest moviment són: 

Velocitat mitjana v – = v0 + 1 

Velocitat instantània 

a t 

2 

vt = v0 + a t v 2 t – v 2 Posició instantània yt = y0 + v0 t + 

0 = 2 a (yt – y0) 

1 

a t2 

2 

yt = y0 + 1 

2 (v0 

On a = g = –9,8 m/s 

+ vt) t 

2 .


Deixes caure una pilota des de la terrassa d’un edifici de 20 m d’alçària. 

a) Quant de temps triga a arribar a terra? 

b) Amb quina velocitat arriba a terra? 

Solució 

Prenem un punt del terra que sigui a la vertical de caiguda de la pilota com a sistema de referència. Per tant, la posició 

inicial del cos és 20 m. Si la pilota es deixa caure, vol dir que inicia la caiguda partint del repòs (v0 = 0) i amb una 

acceleració constant. 

a) La pilota arribarà a terra quan la posició final serà zero. Per tant, el temps transcorregut s’obté resolent l’equació: 

d’on es dedueix que t = 

0 = y0 + v 0 t + 1 

2 a t2 0 = 20 m + 1 

2 (–9,8 m/s2 ) t 2 

20 m Î 2 

4,9 m/s 

= 2 s. 

b) La velocitat amb què arriba al carrer és: 

vt = v0 + a t = 0 + (–9,8 m/s2 ) · 2 s = –19,6 m/s 

El signe menys indica el sentit descendent. 

EXEMPLE 11 

Es deixa caure un objecte des d’una alçada de 80 m. Dos segons més tard se’n llança un altre des del terra cap 

amunt a la mateixa vertical amb una velocitat de 20 m/s. A quina altura s’encreuen? 

Solució 

Prenem el terra com a referència. 

Dades Primer objecte Segon objecte 

Posició inicial (y 0) 

Velocitat inicial (v 0) 

Acceleració (a) 

Temps transcorregut (t 0) 

y 0 = 80 m 

v 0 = 0 m/s 

a = –9,8 m/s 2 

t 1 = t s 

y 0 = 0 m 

v 0 = 20 m/s 

a = –9,8 m/s 2 

t 2 = (t – 2) s 

Els dos objectes s’encreuaran quan estiguin a la mateixa alçada. És a dir, a la mateixa posició: 

y = y0 + v0 t + 1 

a t2 

2 

Objecte 1: y = 80 m – 0,5 · 9,8 m/s 2 · t 2 

Objecte 2: y = 20 m/s · (t – 2 s) – 0,5 · 9,8 m/s 2 · (t – 2 s) 2 

Com que la posició dels dos objectes és comuna, la podem eliminar igualant les dues equacions: 

80 m – 4,9 m/s 2 · t 2 = 20 m/s · (t – 2 s) – 4,9 m/s 2 · (t – 2 s) 2 

d’on s’obté que s’encreuen al cap de 3,5 s des que va sortir el primer. 

Substituïm aquest valor en l’equació del primer objecte: 

y = 80 m – 4,9 m/s 2 · t 2 = 80 m – 4,9 m/s 2 · (3,5 s) 2 = 20 m 

Així doncs, s’encreuaran a 20 m del terra. 

EXEMPLE 12 

209


05 

Fig. 5.42. Moviment circular. Aquest moviment 

ve donat per un vector de posició 

giratori. L’angle w girat està relacionat 

amb l’espai recorregut s. 

Fig. 5.43. Radian. Si s = R, l’angle w 

mesura un radian. 

A una circumferència completa 

(360°) li correspon un angle de: 

w = s 

R 

ACTIVITATS 

28> En la figura 5.41 es representa el diagrama v-t del 

moviment d’un objecte llançat verticalment cap 

amunt des del terra. 

Fig. 5.41 

= 2 p R 

R 

= 2 p radians 

5.8 Moviment circular. Magnituds 

angulars 

El moviment circular es caracteritza perquè la seva trajectòria és una circumferència. Si 

agafem el centre de la circumferència com a punt de referència, el vector de posició de 

la partícula gira i canvia cada instant de direcció (fig. 5.42), encara que el seu mòdul 

roman constant: |r 

| = R. 

Si la partícula inicia el moviment des d’un punt P1 de la trajectòria i després d’un 

temps t la partícula és al punt P2, a l’espai s recorregut per la partícula li correspon un 

angle w comprès entre els vectors r 

1 i r 

2 (fig. 5.42). 

Si la longitud de l’arc s és igual al radi de la circumferència, llavors l’angle subtendit 

w es diu que mesura un radian (rad) (fig. 5.43). D’acord amb això, el valor 

d’un angle en radians s’obté dividint l’arc entre el radi de la circumferència corresponent: 

w (rad) = s 

s = w R 

R 

Es mesura en rad/s, encara que a la pràctica també s’utilitzen les revolucions per minut 

(rpm). 

Entre les dues unitats hi ha la relació: 1 rpm = 

De les igualtats v = s 

t 

i v = w 

t 

Prenent per a la gravetat el valor –10 m/s 2 , indica 

quines afirmacions són falses: 

a) L’acceleració canvia de sentit al cap de 2 s. 

b) La velocitat canvia de sentit al cap de 2 s. 

c) L’altura màxima s’aconsegueix al cap de 2 s. 

d) L’objecte al cap de 3 s és a 10 m del terra. 

e) L’altura màxima aconseguida va ser de 20 m. 

f) Al cap de 4 s arriba al terra. 

La velocitat angular v és defineix com l’angle girat pel vector de posició 

en la unitat de temps: 

v = w 

t 

1 rev 

min 

· 1 min 

60 s 

· 2 p rad 

1 rev 

i de s = w R s’obté la important relació: 

v = v R 

= p 

30 rad/s 

En el moviment circular es distingeixen dues velocitats: la velocitat v, que rep el nom 

de velocitat lineal i és tangent a la trajectòria, i la velocitat angular v.


Moviment circular uniforme 

Aquest moviment es caracteritza perquè la circumferència es recorre sempre amb la 

mateixa rapidesa; és a dir, el mòdul de la velocitat lineal és constant, i sempre és 

tangent a la trajectòria (fig. 5.44). 

Si la partícula inicia el moviment des d’un punt A de la trajectòria (fig. 5.45), l’espai 

recorregut al cap d’un temps t serà: 

s = v t o bé w = v t 

si volem esbrinar l’angle descrit corresponent a l’espai s. 

El mòdul de la velocitat s’obté de l’expressió anterior: 

v = s 2 p R 

= 

t T 

on T representa el temps que es triga a fer una volta i rep el nom de període. 

S’anomena freqüència, f, el nombre de voltes fetes en un segon. 

El període i la freqüència són inversos: T f = 1. 

Recorda, no obstant això, que aquest moviment té acceleració normal o centrípeta, 

perquè la velocitat varia cada instant, i canvia de direcció. 

L’acceleració centrípeta ve donada per: 

an = v2 

R 

Sense l’acceleració centrípeta, una partícula no podria descriure una trajectòria circular. 

Si en un moment donat l’acceleració centrípeta es redueix a zero, la partícula es mourà 

en línia recta, seguint la direcció de la tangent. 

Calcula la velocitat amb què es desplaça un automòbil sabent que les 

rodes tenen un diàmetre de 80 cm i giren a 500 rpm. 

Solució 

En primer lloc expressem la velocitat de les rodes en rad/s: 

500 rpm = 500 rev 1 min 2 p rad 

· · = 52,4 rad/s 

min 

60 s 

1 rev 

EXEMPLE 13 

La rapidesa de les rodes coincideix amb la rapidesa del cotxe: 

v = v R = 52,4 rad/s · 0,4 m/rad = 21 m/s = 76 km/h 

29> Calcula l’acceleració centrípeta d’un objecte que es 

mou sobre una circumferència de 10 m de radi a 

90 km/h. 

30> Lliguem una pedra a una corda d’1 m de longitud 

i la fem girar descrivint circumferències amb una 

freqüència de cinc voltes per segon. 

Fig. 5.44. Velocitat tangencial. V t és 

tangent a la trajectòria en qualsevol 

punt. 

Fig. 5.45. En un moviment circular, la 

longitud s de l’arc descrit representa 

l’espai recorregut. 

El moviment circular uniforme no 

té acceleració tangencial, però sí 

acceleració normal. 

ACTIVITATS 

Calcula: 

a) La velocitat angular en rpm. 

b) La rapidesa, en km/h, amb què gira la pedra. 

c) L’acceleració centrípeta a què està sotmès el 

cos. 

211


05 

El moviment circular uniformement 

accelerat té at = a R i 

an = v2 

R . 

L’acceleració normal no és constant 

perquè varia v sense variar R. 

A les fórmules, com a unitats del 

radi, has de posar m/rad, tot i 

que el rad no té sentit físic en si 

mateix. 

Al cap i a la fi, el radi representa 

els metres que té un radian. 

Moviment circular uniformement accelerat 

Si la velocitat angular instantània canvia des d’un valor v 0 fins a v f en l’interval de 

temps Dt, la partícula que descriu la circumferència té acceleració angular. 

L’acceleració angular mitjana es defineix com el quocient entre la variació 

de la velocitat angular i el temps transcorregut. Es mesura en rad/s 2 . 

D’aquesta expressió s’obté el valor de la velocitat angular per a qualsevol instant t: 

v t = v 0 + a t (1) 

La velocitat angular mitjana entre dos instants t0 i t també es pot expressar com una 

mitjana aritmètica: 

v – = v0 + vt 

2 

a = vt – v0 

t 

= v 0 + (v 0 + at) 

2 

= v 0 + 1 

2 

Tenint en compte que aquest valor mitjà és constant en l’interval de temps indicat, 

podem aplicar l’equació del moviment circular uniforme per a esbrinar el desplaçament 

angular: 

w= v – t = ( v0 + 1 

2 a t) t w = v0 t + 1 

a t2 

(2) 

2 

• Si coneixes l’acceleració angular amb què es mou una partícula, pots esbrinar la 

velocitat angular que té en qualsevol instant utilitzant l’equació 1. 

• A més, mitjançant l’equació 2 pots esbrinar també l’angle girat. 

• Si elimines el temps entre les dues equacions anteriors, obtens una tercera equació 

que permet calcular la velocitat en funció de l’angle girat: 

a t 

v 2 t – v 2 0 = 2 aw (3) 

• Si no coneixes l’acceleració, pots aplicar l’equació següent, que s’obté a partir de la 

velocitat mitjana: 

w = 1/2 (v 0 + v t) t (4) 

Observa la semblança que hi ha entre les equacions del moviment rectilini i del moviment 

circular, que es mostra en la taula 5.1. 

Moviment rectilini Moviment circular 

v = v 0 + a t 

x = x0 + v 0 t + 1 

2 

a t2 

v 2 – v 2 0 = 2 a (x – x 0) 

x = x0 + 1 

2 (v 0 + v t) t 

Taula 5.1. Comparació entre moviment rectilini i moviment circular. 

vf = v0 + a t 

w = v0 t + 1 

a t2 

2 

v 2 t – v 2 0 = 2 aw w = 1 

2 (v0 + vt) t


Una partícula descriu una circumferència de 5 m de radi amb una velocitat constant de 2 m/s. En un moment 

donat frena amb una acceleració constant de 0,5 m/s 2 fins a parar-se. Calcula: 

a) La velocitat angular en rpm de la partícula abans de començar a frenar. 

b) L’acceleració de la partícula abans de començar a frenar. 

c) L’acceleració 2 s després de començar a frenar. 

d) L’acceleració angular mentre frena. 

e) El temps que triga a parar. 

f) El nombre de voltes que fa des que comença a frenar fins que para. 

Solució 

a) La velocitat angular s’obté de la relació v = v R. 

v = v 2 m/s 

0,4 rad/s · 60 s/min 

= = 0,4 rad/s = = 4 rpm 

R 5 m/rad 2 p rad/rev 

b) Abans de començar a frenar, el mòdul de la velocitat és constant. Per tant, l’única acceleració que té és l’acceleració 

normal: 

an = v2 

R = 4 m2 /s 2 

= 0,8 m/s2 

5 m/rad 

c) En aquest instant també té acceleració tangencial: a t = –0,5 m/s 2 . 

Per tant, l’acceleració de la partícula és: 

d) L’acceleració angular es pot obtenir de la relació: 

e) De l’equació v = v 0 + a t aïllem el temps: 

an = v2 

R = (v0 + a t ) 2 

= 

R 

(2 m/s – 0,5 m/s2 · 2 s) 2 

= 0,2 m/s 

5 m/rad 

2 

a = Îa 2 t + a 2 n = Î(–0,5 m/s 2 ) 2 + (0,2 m/s 2 ) 2 = 0,54 m/s 2 

at = a R a = a t 

R 

t = vt – v0 

a 

Comprova que el resultat és igual utilitzant t = vt – v0 

a 

f) Nombre de voltes: 

o bé, 

n = 

= 0 – 2 m/s 

= –0,5 m/s2 

5 m/rad 

= 4 s 2 

–0,5 m/s 

= –0,1 rad/s2 

s 

2 p R = v0 t + 1/2 a t2 = 

2 p R 

2 m/s · 4 s – 1/2 · 0,5 m/s2 · 16 s2 = 0,13 voltes 

31,4 m/volta 

n = w 

2 p = v0 t + 1/2 a t2 = 

2 p 

0,4 rad/s · 4 s – 1/2 · 0,1 rad/s2 · 16 s 2 

= 

6,28 rad/volta 

= 1,6 rad – 0,8 rad 

6,28 rad/volta 

= 0,13 voltes 

EXEMPLE 14 

213


05 

Fig. 5.46. Superposició de moviments. La 

trajectòria parabòlica de la pilota és el 

resultat de dos moviments independents: 

un d’horitzontal uniforme i un altre de 

vertical uniformement accelerat. 

Fig. 5.47. Exposició múltiple de dues 

pilotes de golf. Una cau lliurement 

partint del repòs i l’altra ha estat 

llançada horitzontalment. Les línies 

horitzontals estan separades 15 cm 

entre si i els intervals entre cada dues 

exposicions són d’1/30 s. 

Compondre dos moviments equival 

a sumar-ne les magnituds homòlogues: 

r 

= r 

1 + r 

2 

v 

= v 

1 + v 

2 

a 

= a 

1 + a 

2 

5.9 Composició de moviments 

Observa la fig. 5.46; s’hi representa una pilota que llisca per una taula. 

Què ocorre amb el moviment d’aquesta pilota quan arriba a la vora A de la taula? Per 

què pren una trajectòria parabòlica? 

Aquestes preguntes les va respondre Galileu el 1633 amb les paraules següents: «[...] 

aleshores la partícula que es mou, que imaginem pesant, en sobrepassar la vora del pla, 

a més del seu perpetu moviment uniforme previ, adquireix una propensió cap avall a 

causa del seu pes mateix; de manera que el moviment resultant, que anomenaré projecció, 

és compost d’un que és uniforme i horitzontal i d’un altre que és vertical i accelerat 

naturalment». 

D’acord amb les idees de Galileu, un moviment parabòlic és el resultat de compondre dos 

moviments rectilinis perpendiculars entre si: un d’uniforme i un altre d’uniformement 

accelerat. 

Mentre la pilota està en contacte amb la taula només hi ha un moviment, que és uniforme 

perquè suposem que no hi intervé cap tipus de fricció; però quan la pilota abandona 

la taula comença a actuar la gravetat i origina un moviment de caiguda lliure. 

La força vertical de la gravetat no influeix en el moviment horitzontal; de la mateixa 

manera, l’existència del moviment horitzontal no canvia l’efecte de la força gravitatòria 

sobre el moviment vertical. En altres paraules, els moviments horitzontal i vertical són 

independents. 

La independència d’aquests moviments es posa de manifest en la fig. 5.47. Hi apareixen 

les diferents posicions de dues pilotes de golf. 

La bola 1 s’ha deixat caure lliurement, sense cap tipus de velocitat inicial. La bola 2 s’ha 

llançat horitzontalment en el mateix instant que es deixa caure la bola 1. Observem que 

les dues cauen amb la mateixa acceleració i arriben al terra al mateix temps. 

La pilota 2 cau verticalment amb una acceleració constant, encara que simultàniament 

té un altre moviment horitzontal. Per tant, la força gravitatòria produeix la 

mateixa acceleració vertical independentment que el cos tingui moviment horitzontal 

o no. 

Principi de superposició 

A més del moviment parabòlic, hi ha altres exemples de composició de moviments. Tots 

els casos es resolen aplicant el mètode següent, que rep el nom de principi de superposició 

i que diu: 

Si una partícula és sotmesa simultàniament a diversos moviments elementals 

independents, el moviment resultant s’obté sumant vectorialment 

aquests moviments parcials. 

Com se sumen vectorialment dos moviments? Senzillament, sumant separadament les 

posicions, els desplaçaments, les velocitats, etcètera.


Un barquer vol travessar un riu de 120 m d’amplària; per a aconseguir-ho 

remarà en sentit perpendicular al corrent. Si la velocitat que assoleix la 

barca és de 2 m/s respecte al corrent i l’aigua del riu descendeix a 1 m/s, el 

barquer vol saber: 

a)Quants moviments té la barca? Són independents o no? 

b)Amb quina velocitat es mou la barca respecte de la riba del riu? 

c) Quant de temps trigarà a travessar el riu? Necessitaria el mateix temps si 

l’aigua estigués en repòs? 

d)En quin punt de la riba oposada desembarcarà? 

e) Haurà recorregut 120 m quan la barca haurà creuat el riu? 

Solució 

Escollim el sistema de referència en el punt O de sortida de la barca, de manera que l’eix 

Ox és la direcció del corrent i l’eix Oy, la direcció perpendicular a aquest (fig. 5.48). 

a) La barca és sotmesa a dos moviments rectilinis i uniformes: el moviment 

produït pels rems v 

1 i el d’arrossegament a causa de l’aigua v 

2 (fig. 5.48). Tots 

dos són perpendiculars entre si i independents: la barca seria arrossegada amb 

la mateixa velocitat si el barquer deixés de remar i el barquer impulsaria la 

barca amb la mateixa velocitat encara que no hi hagués corrent. 

El moviment global de la barca és la suma dels moviments esmentats, les 

equacions dels quals són: 

Moviment segons l’eix Ox: x = vx t, en què v x = 1 m/s. 

Moviment segons l’eix Oy: y = vy t, en què vy = 2 m/s. 

b) La velocitat real de la barca és la suma de la velocitat relativa respecte de l’aigua 

més la velocitat a què és arrossegada pel corrent (fig. 5.48): 

 

v = v 

1 + v 

2 

D’acord amb el sistema de referència escollit, es compleix que v 

1 (0, vy) i v 

2 

(vx, 0). Per tant, la velocitat resultant és: v = |vx| u 

x + |vy| u 

y = u 

x + 2 u 

y m/s, 

el mòdul de la qual és: 

v = Îv 2 x + v 2 y = Î5 m 2 /s 2 = 2,24 m/s 

Per tant, la barca avançarà amb una rapidesa de 2,24 m/s. 

c) El temps que trigarà a travessar el riu només depèn de l’amplària d’aquest i de 

la velocitat vy. La barca arribarà a l’altra riba quan y = 120 m. 

t = y 

= 120 m 

= 60 s 

vy 

2 m/s 

d) Mentre la barca recorre els 120 m, és arrossegada per l’aigua amb una velocitat 

vx = 1 m/s. Per tant, la distància a què és arrossegada pel corrent serà: 

x = vx t = 1 m/s · 60 s = 60 m 

El barquer desembarcarà en un punt situat a 60 m aigua avall del punt P de 

referència (fig. 5.49). 

e) El desplaçament real de la barca és igual a la suma dels desplaçaments segons 

els eixos x i y, d’acord amb el principi de superposició: 

Dr 

= 60 u 

x + 120 u 

y m 

EXEMPLE 15 

el mòdul del qual val Dr 

= Î60 2 + 120 2 = 134,2 m, que és la distància real 

recorreguda per la barca fins a arribar a la riba oposada. 

Fig. 5.48. Figura corresponent a 

l’exemple 15. 

215 

El mòdul del vector v 

es representa 

de dues maneres: 

|v 

| i v 


l’exemple 15.


05 

Quan llancem un objecte, la força 

de llançament es conserva o roman 

en el projectil, i actua contínuament. 

Això és fals 

La força que exerceix la mà és una 

força de contacte; per tant, cessa 

quan desapareix el contacte entre 

el projectil i la mà. 

El correcte seria… 

El temps que ha durat el contacte 

origina un impuls (I = Ft), que 

produeix una quantitat de moviment 

o moment lineal p = m v, que 

sí que queda emmagatzemada al 

cos, i que tendeix a conservar-se 

de manera que, si no hi hagués 

cap tipus d’obstacle o fricció, la 

velocitat horitzontal seria constant 

indefinidament. 

Fig. 5.50. Trajectòria del moviment 

descrit en l’exemple 16. 

ACTIVITATS 

EXEMPLE 16 

Una partícula és sotmesa a dos moviments definits per les equacions següents 

expressades en el SI: 

x = 4 t 

y = 2 t 2 – 1 

a) Classifica els moviments de la partícula. 

b) On és la partícula i quina velocitat té en l’instant t = 2 s? 

c) Dibuixa-la. 

Solució 

a) Es tracta de dos moviments independents. 

L’equació del primer és del tipus x = x0 + v t. Per tant, es tracta d’un moviment 

rectilini i uniforme la posició inicial del qual és zero i la velocitat constant 

val 4 m/s. 

L’equació del segon és del tipus y = y0 + v0 t + 1/2 a t2 . Es tracta d’un moviment 

rectilini uniformement accelerat, en què y0 = –1 m; v0 = 0; a = 4 m/s2 . 

b) D’acord amb les equacions donades, la partícula té dues velocitats: vx = 4 m/s; vy = 

v0 + a t = 4 t m/s. 

El moviment resultant s’obté aplicant el principi de superposició. 

Posició: r 

31> Calcula la velocitat de la barca de l’exemple 15 en el 

cas que el barquer: 

a) Remi en el sentit del corrent. 

b) Remi contra corrent. 

= xu 

x + y u 

y = (4 t) u 

x + (2 t 2 – 1) u 

y m. 

Aquesta expressió et permet calcular la posició de la partícula en qualsevol 

instant. Per a t = 2 s, la partícula és al punt P2 (8, 7). 

Velocitat en qualsevol instant: 

 

v = v 

1 + v 

2 = 4 u 

x + (4 t) u 

y m/s 

que per a t = 2 s pren el valor v = 4 u 

x + 8 u 

y m/s. El seu mòdul val v = 8,9 m/s. 

c) Per a dibuixar la trajectòria obtenim les diferents posicions que va prenent 

la partícula en el transcurs del temps: per a t = 0 s, t = 1 s, t = 2 s, t = 3 s, 

etcètera. 

Les posicions obtingudes són: P0 (0, –1), P1 (4, 1), P2 (8, 7), P3 (12, 17), 

etcètera. 

Si unim aquests punts obtenim la trajectòria. Es tracta d’un moviment parabòlic 

(fig. 5.50). 

32> Representa gràficament la trajectòria del moviment 

definit per: 

x = 2 + t 2 

y = –1 + 2 t


5.10 Moviment de projectils 

L’ésser humà, des de sempre, ha llançat objectes amb la finalitat de fer blanc en algun 

punt determinat, ja sigui per motius bèl·lics, cinegètics, esportius, etcètera. 

La balística és la ciència que estudia el conjunt de tècniques i coneixements 

teòrics orientats a augmentar la precisió del tir d’un projectil. 

Rep el nom de projectil qualsevol cos que, una vegada disparat (o projectat, 

com deia Galileu), es mou per l’acció de la gravetat, en caiguda 

lliure (fig. 5.51). 

Un projectil es pot llançar de tres maneres: 

– Verticalment: és el cas de la caiguda lliure, que ja hem vist. 

– Horitzontalment: tir horitzontal. 

– Formant un angle amb l’horitzó: tir oblic. 

Tir horitzontal 

Suposem que es llança horitzontalment un objecte des del punt A amb una velocitat vx. Si la fricció amb l’aire és menyspreable, l’objecte conservarà aquesta mateixa velocitat, si 

no topa amb cap altre objecte. Simultàniament, la velocitat vertical descendent augmenta 

amb el temps a causa de la caiguda lliure. 

D’acord amb el sistema de referència indicat en la fig. 5.52, les equacions que defineixen 

aquests moviments són: 

• Moviment horitzontal uniforme: 

– Velocitat en qualsevol instant: vx = v0 

– Posició en qualsevol instant: x = vx t 

• Moviment vertical de caiguda lliure: 

– Velocitat en qualsevol instant: vy = –g t 

– Posició en qualsevol instant y = y0 – 1 

g t2 

2 

Una font té la canella a una distància vertical del terra de 70 cm. El raig d’aigua toca a terra a 1 m del peu de 

la vertical. Amb quina velocitat surt el líquid? (fig. 5.53). 

Solució 

L’aigua, un cop abandona la canella, descriu una paràbola. Això vol dir que el líquid té dos moviments: 1) horitzontal 

uniforme produït per la pressió de l’aigua, i 2) vertical de caiguda lliure, les equacions del qual són: 

x = v t en què v és la velocitat de sortida 

y = y0 – 1 

g t2 en què y0 = 0,70 m 

2 

 

Quan l’aigua arriba al terra, y = 0, la posició x = 1 m 

1 m = v t 

0 m = 0,70 m – 4,9 m/s 2 t 2 

Aquest sistema d’equacions et permet calcular la velocitat v a què surt l’aigua 

i el temps que triga a caure a terra. D’on v = 2,65 m/s. 

 

 

 

Fig. 5.51. Fletxa llançada per un arquer. Es 

tracta d’un exemple de projectil que es mou 

per l’acció de la gravetat. 

0 

Fig. 5.52. Tir horitzontal. Aquest tipus 

de llançament presenta dos moviments 

independents i perpendiculars entre si. 

Fig. 5.53 

EXEMPLE 17 

 

 

217


05 

Fig. 5.54. Tir oblic. És el llançament d’un 

objecte la velocitat inicial del qual forma 

un angle a amb l’horitzontal. 

L’abast màxim per a una velocitat 

de llançament determinada s’esdevé 

quan l’angle d’elevació val 45°. A 

més, excepte per a 45°, és possible 

aconseguir el mateix abast per 

a dos valors complementaris de 

l’angle d’elevació, com ara 75° i 

15° (fig. 5.55). 

Per a un mateix abast, l’angle més 

gran ens permet superar una altura 

més gran (si hi hagués obstacles 

intermedis), mentre que el més 

petit ens permet assolir l’objectiu 

en menys temps. 

Fig. 5.55. Per a angles d’elevació 

complementaris l’abast és el mateix. 

ACTIVITATS 

Tir oblic 

33> Quins dels objectes següents tindran una trajectòria 

parabòlica aproximada? 

a) Una pilota llançada en una direcció arbitrària. 

b) Un avió a reacció. 

Si volem que el projectil arribi a més distància, el llançarem lleugerament cap amunt. En 

efecte, si la velocitat té un component inicial cap amunt, trigarà més temps a caure a 

terra i, per tant, tindrà més temps per a desplaçar-se horitzontalment. 

El tir oblic té lloc quan la velocitat inicial de llançament forma un angle a amb l’horitzó. 

Aquest angle rep el nom d’angle de tir o angle d’elevació (fig. 5.54). 

Per a estudiar el moviment parabòlic prenem el punt de llançament com a origen 

dels eixos cartesians: com a eix Ox, l’horitzontal (el terra); com a eix Oy, la vertical 

(fig. 5.54). 

Segons aquest sistema de referència, la velocitat inicial té ara dos components: 

v0x = v0 cos a v0y = v0 sin a 

i els dos moviments independents estan definits per les equacions: 

• Moviment horitzontal uniforme: 

– Velocitat: vx = v0 cos a 

– Posició: x = (v0 cos a) t 

• Moviment vertical de caiguda lliure: 

– Velocitat: vy = v0 sin a – g t 

– Posició: y = y0 + (v0 sin a) t – 1/2 g t2 Aquestes equacions, entre altres coses, et permeten calcular: 

1. L’altura màxima que assoleix el projectil. El projectil és al punt més alt de la seva 

trajectòria quan la velocitat vertical és zero. Per a calcular l’altura màxima aïlles el 

temps en l’equació: 

0 = v0 sin a – g t, i el substitueixes en l’equació de la posició vertical. 

2. Abast màxim. Rep el nom d’abast màxim la distància horitzontal des del punt de 

partida fins al punt en què el projectil torna a assolir l’altura inicial. És a dir, quan es 

compleix y = y0. En la fig. 5.54 l’abast màxim ve donat per D. 

Per a esbrinar l’abast màxim aïlles el temps en l’equació 0 = (v0 sin a) t – 1/2 gt2 i el 

substitueixes en l’equació de la posició horitzontal. 

3. Temps de vol. És el temps durant el qual el projectil és en l’aire. Quan aquest toca el 

terra es compleix y = 0 en l’equació de la posició vertical. 

4. Equació de la trajectòria. S’obté eliminant el temps t entre les equacions que 

determinen les posicions horitzontal i vertical. 

5. Angle que descriu la trajectòria del projectil en qualsevol instant. L’angle en què 

es troba el projectil respecte de l’horitzontal s’obté de: 

tg a = vy 

vx 

c) Un paquet que cau des de l’avió anterior. 

d) Un coet que surt de la plataforma de llançament. 

e) La llum que es desprèn del sostre d’un vagó de 

l’AVE quan aquest es mou a 200 km/h.


Un jugador de golf llança una pilota des del terra amb un angle de 60° 

respecte de l’horitzó i amb una velocitat de 60,0 m/s. Calcula: 

a) La velocitat de la pilota en el punt més alt de la trajectòria. 

b) L’altura màxima aconseguida. 

c) L’abast màxim. 

Solució 

a) Es tracta d’un tir oblic amb un angle d’elevació de 60°. El moviment parabòlic 

de la pilota, en tot el seu recorregut, ve definit per les equacions: 

– Moviment horitzontal: x = x0 + (v 0 cos a) t v x = v 0 cos a 

– Moviment vertical: y = y0 + (v0 sin a) t + 1 

2 g t2 vy = v0 sin a + g t 

Prenem el punt de llançament com a origen del sistema cartesià de referència. 

En aquest cas, per tant, es compleix que x0 = 0, y0 = 0 (fig. 5.56). Quan la 

pilota és al punt més alt, la velocitat vy = 0. En aquest punt només té velocitat 

horitzontal, que és constant, i val: 

vx = v0 cos a = 60,0 m/s · cos 60° = 30,0 m/s 

b) El temps que triga a arribar al punt més alt s’obté de 

t = v y – v 0 sin a 

g 

v y = v0 sin a + g t, quan vy = 0 

= 0 – 60,0 m/s · sin 60° 

–9,8 m/s 2 

= 5,3 s 

L’altura màxima s’obté substituint el temps anterior en l’equació que ens dóna 

la posició vertical en qualsevol instant: 

y = (v0 sin a) t + 1/2 g t 2 = 

= 60,0 m/s · sin 60° · 5,3 s – 1/2 · 9,8 m/s 2 · (5,3 s) 2 = 138 m 

c) L’abast màxim es produeix quan la pilota torna a terra. És a dir, quan y = 0. 

El temps que triga a tornar a terra s’obté de l’equació 

y = (v 0 sin a) t + 1 

2 g t2 , i y = 0 

t = –2 v 0 sin a 

g 

= –2 · 60,0 m/s · sin 60° 

EXEMPLE 18 

–9,8 m/s 2 = 10,6 s 

Observa que aquest temps és el doble del temps transcorregut fins a assolir 

l’altura màxima. La pilota triga el mateix temps a pujar que a baixar. 

L’abast màxim s’obté substituint el temps calculat abans en l’equació del 

desplaçament horitzontal: 

x = (v0 cos a) t = 60,0 m/s · cos 30° · 10,6 s = 318 m 

 

° 


l’exemple 18. 

219 

Els vectors que defineixen el 

moviment parabòlic d’un projectil 

tenen dos components: 

Acceleració: ax = 0, ay = –g 

Velocitat: vx = v0 cos a, 

vy = v0 sin a – g t 

Posició: x = (v0 cos a) t, 

y = (v0 sin a) t – 1 

g t2 

2


05 

EXEMPLE 19 

Un bomber vol apagar el foc d’una casa. Per a això 

haurà d’introduir aigua per una finestra situada a 

10 m d’altura. Si subjecta la mànega a 1 m del terra 

i l’apunta amb un angle de 60° cap a la façana, 

que dista 15 m, amb quina velocitat ha de sortir 

l’aigua? Quant temps triga l’aigua a arribar a la 

finestra? 

Solució 

Prenem O (fig. 5.57) com a punt de referència. Per tant, 

x0 = 0, y0 = 1 m. 

Les equacions que defineixen el moviment parabòlic de 

l’aigua són: 

x = x0 + (v0 cos a) t 

y = y0 + (v0 sin a) t + 1 

g t2 

2 

Fig. 5.57 

 

 

 

ACTIVITATS 

L’aigua entrarà per la finestra quan x = 15 m, 

y = 10 m. 

Substituïm aquests valors en les equacions anteriors: 

15 m = (v0 · cos 60°) · t 

10 m = 1 m + (v 0 · sin 60°) · t – 4,9 m/s 2 · t 2 

Si aïlles el temps en la primera: 

15 m 

t = 

v0 · cos 60° , 

i el substitueixes en la segona equació, obtindràs el 

valor de la velocitat: v0 = 16 m/s. 

El temps transcorregut és: 

t = 

15 m 

v0 · cos 60° = 

15 m 

= 1,9 s 

16 m/s · 0,5 

34> Des del cim d’una torre de 50 m es deixa caure un objecte; en el mateix 

moment es dispara contra aquest objecte una bala a 200 m/s des d’un 

punt del terra situat a 100 m de la base de la torre. Farà blanc la bala? 

En cas d’afirmativa, en quin punt?


Velocitat i seguretat viària 

Els països desenvolupats tenen a la carretera una de les 

causes principals de defunció. Això es deu a les altes 

velocitats a què poden arribar els vehicles moderns. Com 

intenten resoldre la Ciència i la Tecnologia aquest greu 

problema que afecta la nostra societat? Entre altres coses, 

millorant constantment el sistema de frenada i utilitzant 

el coixí de seguretat. 

Història i eficàcia del sistema de frens 

La història dels frens està estretament relacionada amb la 

història de la velocitat. En els vehicles de tracció animal, 

la frenada era molt simple: s’aplicava un patí de fusta 

damunt la llanta metàl·lica d’una de les rodes. Amb això 

n’hi havia prou per a aturar un vehicle que no superava 

els 25 km/h. 

Al final del segle XIX, amb l’aparició dels pneumàtics, els 

automòbils van començar a assolir velocitats més altes; a 

partir de 1899 es travessava ja la barrera dels 100 km/h. 

Aquests vehicles usaven frens de tambor que friccionaven 

sobre les cadenes de transmissió. En desaparèixer 

la transmissió per cadena, cap al 1907, les superfícies de 

fricció passen a ser dues sabates articulades. 

L’any 1909 neix el ferodo, una guarnició composta d’una 

capa d’amiant amb fil de llautó entrecreuat i impregnat 

de resina. S’havia descobert el material més adequat per 

als frens, però faltava un sistema de comandament eficient. 

El 1922, M. Loughead utilitza per primera vegada 

un comandament hidràulic. Aquest sistema s’estendrà a 

poc a poc, fins al punt que l’any 1950 gairebé tots els 

vehicles el tenen instal·lat. 

Però, com que les velocitats cada vegada són més altes, 

sorgeix un problema nou: l’augment de la quantitat de 

calor per dissipar en la frenada. La solució a aquest problema 

la va aportar un Jaguar equipat amb frens de disc, 

guanyador de les 24 hores de Le Mans de 1953. Actualment, 

els fabricants de cotxes d’alta cilindrada estan molt 

sensibilitzats amb la seguretat viària. Per això, als frens 

de disc s’afegeixen sistemes basats en l’electrònica que 

permeten evitar el blocatge de les rodes: són els frens 

ABS. 

Un bon fre ha de retenir i parar un vehicle en un temps 

i una distància mínims, conservant la trajectòria del vehicle 

i amb el menor esforç possible per part del conductor. 

Que això s’aconsegueixi o no depèn de tres factors: 

l’automòbil, o factor mecànic, la carretera, o factor físic, 

i el conductor, o factor humà. 

Factor mecànic. Es tracta de crear una força que s’oposi 

a l’avanç del vehicle. Com? Utilitzant la fricció entre un 

Ciència, tecnologia i societat 

element fix del xassís i un element de la roda en moviment 

(sabates-tambor, pastilles-disc). Aquesta força de fregament 

disminueix la velocitat. 

Factor físic. Un factor fonamental de la frenada és 

l’adherència de les rodes al paviment. Si s’aplica la frenada 

molt bruscament a la roda, es bloca i es desplaça sense 

girar. El vehicle continua avançant. Aleshores es diu que la 

roda no té adherència o que el vehicle derrapa. 

L’adherència del vehicle depèn del pes, de les característiques 

i l’estat dels pneumàtics i de la naturalesa i l’estat 

de la carretera. Una bona adherència permet transmetre 

més força de la roda a la calçada. Si l’adherència és gran, la 

distància de frenada serà més curta. Però si l’adherència és 

petita, bé sigui per la presència de gel o perquè les rodes 

es bloquegen, poden sorgir situacions compromeses: 

– Si fem una frenada brusca, el vehicle tendeix a encreuar-se. 

Aquest fenomen es produeix per la diferència 

d’adherència abans i després del bloqueig. 

– Amb les rodes bloquejades, el vehicle continua la seva 

trajectòria i gira sobre si mateix. 

– Si es desbloquegen les rodes, el vehicle pren una trajectòria 

diferent de la primera. 

– Si les rodes davanteres es bloquegen, la direcció resta 

inoperant. 

Factor humà. Un factor fonamental en la frenada d’un automòbil 

és el temps de reflex del conductor. S’anomena així 

el temps de reacció que transcorre entre l’instant en què 

apareix la causa de la frenada (percepeció de l’obstacle) i 

l’instant en què el conductor intervé activament (comença 

la frenada). Aquest temps, variable segons els individus i 

segons el seu estat general, és de mitjana de 0,75 s. Si la 

velocitat del vehicle és molt alta, aquest pot recórrer durant 

el temps de reflex una distància no prevista pel conductor, i 

es produeix així la col·lisió. 

En la taula adjunta es mostra la distància de parada en 

funció de la velocitat durant el temps de reflex sobre un 

terra sec i amb una desceleració de 5 m/s 2 . 

Velocitat 

(km/h) 

50 

70 

90 

110 

120 

130 

150 

170 

Distància recorreguda 

en el temps 

de reflex (m) 

10,3 

14,6 

18,7 

23 

25 

27,1 

31,3 

35,4 

Distància total 

perquè el vehicle 

s’aturi (m) 

29,5 

52,4 

81,2 

116,3 

136 

157,5 

214 

258,4 

221


05 

Ciència, tecnologia i societat 

Teories sobre la caiguda lliure dels cossos 

L’estudi del comportament dels cossos en caiguda lliure és 

un exemple excel·lent de la diferència que hi ha entre una 

anàlisi científica rigorosa i un tractament fet sense tenir 

en compte la realitat. 

Els filòsofs antics, Plató i Aristòtil sobretot, van tractar 

el moviment dels cossos com quelcom metafísic; així, per 

a explicar-lo van usar idees tan vagues com acció, causa 

eficient, fi i posició natural dels cossos, etc. Tot això 

era completament inútil per a Galileu, que no volia estudiar 

per què ocorria el moviment, sinó com ocorria. 

Els conceptes d’espai i de temps tenien una categoria molt 

secundària en el pensament aristotèlic, i solament amb 

Galileu prenen el caràcter fonamental que han conservat 

en la ciència física fins avui dia. 

Descriurem tres maneres d’entendre la caiguda dels cossos. 

• Plató 

La caiguda i l’elevació dels cossos era explicada per aquest 

filòsof suposant que els cossos de naturalesa semblant 

tendien a estar junts. Així, una part de qualsevol objecte 

tendia a reunir-se amb la massa principal: una pedra queia 

cap a l’esfera terrestre situada al centre de l’Univers; el foc 

s’elevava per arribar a l’esfera ígnia, el límit més extern 

de l’Univers. 

• Aristòtil 

L’explicació d’Aristòtil és molt semblant a la teoria platònica. 

Suposa que els cossos estan formats per quatre 

elements: terra, aire, foc i aigua. Els que estan constituïts 

primordialment per terra i aigua tracten d’aconseguir 

el seu estat natural de repòs. Això ocorre quan estan en 

contacte amb la Terra. Per això cauen. Els objectes que es 

componen d’aire i foc intenten arribar al seu estat natural 

de repòs: el cel. 

Els cossos pesants cauen més de pressa que els lleugers. 

• Galileu 

El 1250 va començar a sorgir la ciència tal com la coneixem 

actualment. Roger Bacon (1214-1294) va ser un 

dels primers a afirmar que l’experiència (o coneixement 

experimental) és necessària per a la formulació de teories 

sobre el comportament de la natura. 

El 1605, Francis Bacon (1561-1626) va insistir, en contra 

de les tendències aristotèliques predominants de l’època, 

que les teories s’havien de fundar en fets determinats mitjançant 

experiments. 

Va ser Galileu (1564-1642) (fig.5.58) qui, finalment, va obrir el 

camí al desenvolupament de la veritable ciència, per mitjà de 

nombrosos experiments que confirmaven les seves hipòtesis. 

Galileu centra l’atenció en el moviment observat realment 

en la natura.En l’obra Dues ciències noves escriu: «Perquè 

qualsevol pot inventar un tipus de moviment i estudiar-ne 

les propietats [...] Però hem decidit considerar els fenòmens 

dels cossos que cauen amb una acceleració,tal com ocorre 

realment en la natura.» I concloïa afirmant que havia tingut 

èxit en fer-ho així per l’acord exacte de la definició amb 

els resultats dels experiments d’una bola que queia per un 

pla inclinat. 

Galileu deixa, així, tota consideració filosòfica i se centra 

en la descripció del que observa. Per a ell, la caiguda dels 

cossos i el moviment ascendent dels projectils llançats cap 

amunt s’han d’expressar segons la mateixa llei. L’oscil·lació 

d’un pèndol, sobre la qual va meditar llargament, li va mostrar 

que el moviment cap amunt és una rèplica invertida del 

moviment cap avall. 

El 1604,en una carta a Paolo Sarpi,afirma que la caiguda 

dels cossos està regida per la llei següent: Els espais 

recorreguts en temps iguals són com els nombres ab 

unitate. Al cap d’uns anys descriu que la velocitat de caiguda 

creix amb el temps, i arriba a la conclusió que tots 

els cossos cauen lliurement amb moviment uniformement 

accelerat, i a més, que el pes dels cossos no influeix en 

l’acceleració a condició que els efectes de la fricció de l’aire 

siguin menyspreables. Encara que els mètodes de la ciència 

s’han refinat amb els anys, l’experiment continua sent part 

essencial d’aquests mètodes. 

Recorda que, perquè les teories científiques tinguin valor, 

s’han de basar en fets experimentals. 

Fig. 5.58. Galileu Galilei.


Diferència entre espai recorregut 

i desplaçament 

Objectiu 

Distingir entre distància recorreguda i desplaçament mitjançant 

plans a escala per a calcular distàncies i suma de 

vectors per a calcular el desplaçament. 

Material 

• Un llapis ben afilat. 

• Un paper. 

• Un regle graduat. 

Procediment 

En la figura 5.59 es representa un pla parcial de la ciutat 

de Pamplona. Una persona s’ha desplaçat des de San 

Miguel fins a San Francisco Javier. 

a) Ha seguit l’itinerari següent: carrer de Francisco 

Bergamín, carrer de Francisco Gorriti i carrer d’Olite. 

Dibuixa l’itinerari, i mitjançant l’escala que s’indica en 

el mapa, calcula en metres la distància recorreguda. 

b) Repeteix l’experiència, però amb l’itinerari següent: carrer 

de Francisco Bergamín, carrer de Tafalla. Calcula la 

distància recorreguda. 

Fig. 5.59 

Experiència de laboratori 

c) Uneix, amb un regle, San Miguel amb San Francisco 

Javier. Dibuixa el vector desplaçament i calcula’n el 

mòdul usant l’escala. 

d) Calcula el mòdul de desplaçament utilitzant el teorema 

de Pitàgores. 

Analitza i respon 

1. La distància recorreguda és la mateixa en els dos itineraris? 

Per què? 

2. Què representa en aquesta experiència la distància 

entre les dues esglésies? Aquesta distància depèn de 

l’itinerari seguit? Per què? 

3. Quantes distàncies recorregudes hi pot haver? Quants 

desplaçaments? 

4. Compara els valors del desplaçament utilitzant de primer 

l’escala i després la suma de vectors. 

5. Observa la fig. 5.60: El desplaçament P 

1P 

 

2 coincideix 

amb la suma de les distàncies a, b, c, d? Coincideix amb 

la suma dels vectors a 

, b 

, c 

, d 

? 

Fig. 5.60 

223


05 

Experiència de laboratori 

Estudi de l’MRUA 

Objectiu 

Estudiar el moviment uniformement accelerat utilitzant 

un pla inclinat. 

Material 

• Un carril d’alumini d’uns 3 m de llargària, aproximadament. 

• Boles d’acer de massa diferent. 

• Un cronòmetre. 

• Paper mil·limetrat. 

Analitza i respon 

1. Dibuixa utilitzant paper mil·limetrat el diagrama s-t. Què 

representa el pendent de la corba obtinguda? Calcula 

la velocitat en els punts 50, 100 i 150 cm. 

2. Dibuixa el diagrama s-t 2 . Quina corba s’obté? 

3. Hi ha alguna relació entre el pendent de la corba anterior 

i els valors s/t 2 que has obtingut en la taula? 

Muntatge 

Col·loca el carril tal com indica la figura 5.61 i assenyalahi 

posicions de 50 en 50 cm. 

Procediment 

a) Deixa rodar una de les boles pel carril i mesura el temps 

quan passi per la primera posició assenyalada de 50 cm. 

b) Mesura el temps quatre vegades i calcula el temps mitjà. 

c) Repeteix la mateixa operació per a les posicions 100, 

150... 

d) Completa la taula següent: 

s t 1 t 2 t 3 t 4 t 2 1 t 2 2 t 2 3 t 2 4 s/t 2 1 s/t 2 2 s/t 2 3 s/t 2 4 

50 cm 

100 cm 

150 cm 

Fig. 5.61 

 

 

 

 

 

 

 

4. Representa el diagrama v-t del moviment. 

5. Quant val l’acceleració? 

6. Variaran els resultats si utilitzes boles de massa 

diferent?

Per a refermar 


1> Indica quines afirmacions són vertaderes. La velocitat 

mitjana d’una partícula en un interval de temps és: 

a) El quocient entre el desplaçament i l’interval de 

temps. 

b) El quocient entre l’espai recorregut i l’interval de 

temps. 

c) Igual, independentment de la trajectòria. 

d) Depèn de la trajectòria. 

2> Un automòbil agafa un revolt de 100 m de radi amb 

una rapidesa constant de 36 km/h. Quines de les 

afirmacions següents són correctes? 

a) El cotxe no té acceleració perquè la seva velocitat 

és constant. 

b) El cotxe té acceleració tangencial. 

c) L’acceleració del cotxe val 1 m/s 2 . 

3> En un campionat d’esquí alpí un esquiador efectua 

el descens fent moltes «esses», mentre que un altre 

el fa en línia recta. Assenyala les afirmacions falses: 

a) Els dos han fet el mateix desplaçament. 

b) Els dos han recorregut la mateixa distància. 

c) Els dos han seguit la mateixa trajectòria. 

d) Han baixat amb la mateixa velocitat mitjana, si 

ho han fet amb el mateix temps. 

4> Un automòbil agafa un revolt disminuint el mòdul 

de la velocitat. Indica quines afirmacions són vertaderes: 

a) Només hi ha acceleració tangencial. 

b) Només hi ha acceleració normal. 

c) Hi ha les dues acceleracions anteriors. 

d) L’acceleració normal és constant. 

5> Un company et diu: «Llança una pedra vertical- 

ment cap amunt tan fort com puguis i et diré 

l’altura que has aconseguit utilitzant un cronòmetre». 

Llances la pedra i el teu company observa que 

la pedra triga 8 s a tornar al terra. 

a) Amb quina velocitat has llançat la pedra? 

b) Quina altura ha assolit? 

S: v = 39 m/s; h = 78 m. 

Problemes proposats 

6> De les afirmacions següents, indica quines són falses: 

a) Si la velocitat d’un cos és nul·la, l’acceleració 

també ho és. 

b) Si l’acceleració d’un cos és nul·la, la velocitat 

també ho és. 

c) La velocitat i l’acceleració són vectors que tenen 

sempre la mateixa direcció, si bé el sentit pot 

ser diferent. 

7> Un tren va a una certa velocitat i en un moment donat 

es desprèn un llum del sostre d’un vagó. Digues 

com observaria aquest fenomen: 

a) Un observador que va en el tren. 

b) Un observador que està parat fora del tren. 

8> En una de les fig. 5.62 i 5.63 hi ha representat el 

diagrama v-t del moviment d’un objecte llançat verticalment 

cap amunt des del terra. 

Fig. 5.62 

Fig. 5.63 

Indica quines afirmacions són falses: 

a) El diagrama que representa el moviment en qüestió 

és B, no A. 

b) L’acceleració canvia de sentit al cap de 2 s. 

225


05 


c) La velocitat canvia de sentit al cap de 2 s. 

d) L’altura màxima s’assoleix al cap de 2 s. 

e) El mòbil al cap de 3 s és a 10 m d’altura. 

f) L’altura màxima aconseguida va ser de 20 m. 

g) Al cap de 4 s arriba a terra. 

Dades: g = 10 m s –2 . 

9> Un mòbil descriu una trajectòria circular d’1,0 m de 

radi trenta vegades per minut. Calcula: 

a) El període. 

b) La freqüència. 

c) La velocitat angular. 

d) La velocitat tangencial i l’acceleració centrípeta 

d’aquest moviment. 

S: a) 2 s; b) 0,5 voltes/s; c) 3,14 rad/s; 

d) 3,14 m/s, 9,9 m/s 2 . 

Per a repassar 

10 > Un avió s’ha desplaçat 600 km cap al nord, 1000 km 

cap al sud i 500 km cap al nord. 

a) Quin ha estat el desplaçament total de l’avió? 

b) Quina distància ha recorregut? 

c) Quina ha estat la velocitat mitjana si ha utilitzat 

5 h en el recorregut? 

S: a) 100 km al nord; b) 2100 km; c) 20 km/h. 

11> Una persona està asseguda en un banc del parc públic. 

En un moment donat decideix passejar: recorre 

100 m cap a l’oest, s’atura i després recorre 60 m 

cap a l’est. 

a) Quina és la posició final de la persona respecte 

del banc? 

b) Quin és el desplaçament? 

c) Quin espai ha recorregut? 

S: a) 40 m a l’oest del punt de partida; b) 40 m cap 

a l’oest; c) 160 m. 

12> Un ciclista accelera durant 10 s i passa de 5 m/s a 

36 km/h. Calcula’n l’acceleració mitjana. 

S: 0,5 m/s 2 . 

13> Una pilota de tennis arriba a un jugador amb una 

rapidesa de 20 m/s. Aquest jugador colpeja la pilota 

de manera que aquesta surt en la mateixa direcció, 

però en sentit contrari, a 35 m/s. Si la pilota ha 

estat en contacte amb la raqueta durant 0,2 s, calcula: 

a) Quant ha variat la rapidesa de la pilota? 

b) Quant val el mòdul de l’acceleració mitjana? 

S: a) 15 m/s; b) 275 m/s 2 . 

14> Un automòbil que es mou en línia recta accelera en 

un moment donat a raó de 2 m/s 2 . Durant quant de 

temps ha d’estar accelerant perquè el velocímetre 

passi de 90 km/h a 120 km/h? 

S: 4,2 s. 

15> Un automòbil, en passar per un punt A, té una 

velocitat de 128 km/h, i quan passa per un altre 

punt B, que dista 120 m de l’anterior, la velocitat 

és de 35 km/h. Calcula: 

a) El valor de l’acceleració. 

b) Quant de temps triga el cotxe a passar de A a B. 

c) A quina distància de A s’aturarà l’automòbil. 

S: a) –4,9 m/s2 ; b) 5,3 s; c) 129 m. 

16> Un avió que parteix del repòs accelera uniformement 

fins a aconseguir una velocitat d’enlairament de 

75 m/s en 5,0 s. 

a) Amb quina velocitat en km/h s’enlaira l’avió? 

b) Amb quina velocitat en km/h s’enlaira l’avió? 

c) Quina longitud de pista ha recorregut fins a enlairar-se? 

d) Quina distància recorre en l’últim segon? 

S: a) 270 km/h; b) 15 m/s 2 ; c) 188 m; d) 68 m. 

17> Un ventilador gira a 360 rpm. En un moment donat 

es desendolla del corrent i triga 35 s a parar-se. 

a) Quina acceleració angular té? 

b) Amb quina velocitat gira 15 s després de desendollar-lo? 

c) Quantes voltes fa fins que es para? 

S: a) –1,1 rad/s 2 ; b) 22 rad/s; c) 105 voltes. 

18> Una font té la canella a una distància vertical del 

terra de 0,50 m. El raig d’aigua, que surt horitzontalment, 

toca a terra a 0,80 m del peu de la vertical. 

Amb quina velocitat surt l’aigua? 

S: 2,5 m/s. 


afirmacions són correctes:


A B 

Fig. 5.64 

C 

a) En el tram AB el mòbil està parat. 

b) En el tram BC l’acceleració és d’1 m/s 2 . 

c) La distància recorreguda en el tram BC és de 50 m. 

d) En el tram BC el moviment es uniforme. 


afirmacions són falses: 

Fig. 5.65 

A 

a) En el tram OA la velocitat ha estat 0,8 m/s. 

b) En el tram AB la velocitat és 0,8 m/s. 

c) En el tram BC la velocitat és –2 m/s. 

d) En el tram AB el mòbil està parat. 

21> Un avió vola horitzontalment a 900 m del terra 

amb una velocitat constant de 540 km/h. A quina 

distància de la vertical sobre una clariana de la 

selva ha de llançar una caixa d’ajuda humanitària 

perquè arribi a la destinació? 

S: 2040 m. 

22> El rècord mundial de salt d’alçada vertical està en 

2,44 m. Quina ha de ser la velocitat mínima del 

saltador per a sobrepassar aquesta alçada? 

S: 6,92 m/s. 

23> El rècord mundial de salt de llargada està en 8,95 m. 

Quina ha de ser la velocitat mínima d’un saltador, la 

trajectòria del qual forma un angle de 45° respecte 

del terra, per a sobrepassar aquesta distància? 

S: 9,37 m/s. 

B 

C 

Per a aprofundir 


24> Un vehicle circula per un carrer a 50 km/h. De sobte, 

un nen travessa corrent la calçada. Si el conductor 

triga 0,8 s a reaccionar i oprimir els frens: 

a) Quants metres recorrerà abans de començar a 

frenar? 

b) Quan trepitja els frens, podrà parar en 0,5 m, si suposem 

que l’acceleració de frenada és de –20 m/s 2 ? 

S: a) 11 m; b) No. 

25> Un conductor que viatja de nit en un automòbil a 

100 km/h veu de sobte els llums de senyalització 

d’una tanca que és a 40 m al mig de la calçada. Si triga 

0,75 s a trepitjar el pedal dels frens i la desceleració 

màxima de l’automòbil és de 10 m/s 2 : 

a) S’estavellarà contra la tanca? Si és així, a quina 

velocitat? 

b) Quina és la velocitat màxima a la qual pot circular 

l’automòbil sense que col·lisioni amb la tanca? 

S: a) 70 km/h; b) 78 km/h. 

26> Un camió i un automòbil inicien el moviment en el 

mateix instant, en la mateixa direcció i sentit des 

de dos semàfors contigus del mateix carrer. El camió 

té una acceleració constant d’1,2 m/s 2 , mentre que 

l’automòbil accelera amb 2,4 m/s2 . L’automòbil atrapa 

el camió després que aquest ha recorregut 50 m. 

a) Quant de temps triga l’automòbil a atrapar el 

camió? 

b) Quina distància separa els dos semàfors? 

c) Quina velocitat té cada vehicle quan estan de 

costat? 

S: a) 9,1 s; b) 50 m; c) 39 km/h, 79 km/h. 

27> Dos joves es mouen en la mateixa direcció i es dirigeixen 

l’un a l’encontre de l’altre. Inicien el moviment 

al mateix temps des de les porteries d’un 

camp de futbol amb velocitats mitjanes respectives: 

v1 = 3,5 m/s i v2 = 5,0 m/s. Sabent que l’encontre 

té lloc a 28 m de la posició de partida del primer, 

determina: 

a) El temps transcorregut fins que es troben. 

b) La llargària del camp de futbol. 

S: a) 8 s; b) 68 m. 

28> Un tren del metro surt d’una estació A; accelera 

a raó de 0,5 m/s 2 durant 10,0 s i després a 

2,0 m/s 2 fins que assoleix la velocitat de 54 km/h. 

El tren manté la mateixa velocitat fins que s’acosta 

227


05 


a l’estació B. En aquell moment frena uniformement 

fins a parar-se en 10,0 s. El temps total des 

de A fins a B ha estat de 60,0 s. Quina distància hi 

ha entre les estacions A i B? 

S: 675 m. 

29> Des del cim d’una torre d’altura h es deixa caure 

un objecte. A quina distància del terra tindrà una 

velocitat igual a la meitat de la que té quan arriba 

al terra? 

S: 3/4 h. 

30> Llances un cos verticalment cap amunt, de manera 

que té una velocitat de 8,0 m/s quan ha assolit la 

meitat de l’altura màxima a la qual pot pujar: 

a) Amb quina velocitat s’ha llançat? 

b) A quina altura puja? 

c) Quina velocitat té al cap d’un segon d’haver estat 

llançat? 

S: a) 11,3 m/s; b) 6,5 m; c) 1,5 m/s. 

31> Es llança una pedra verticalment cap amunt des 

d’un pont situat a 35 m de l’aigua. Si la pedra colpeja 

l’aigua 4 s després de deixar-la anar, calcula: 

a) La velocitat amb què s’ha llançat. 

b) La velocitat amb què ha colpejat l’aigua. 

S: a) 11 m/s; b) –28 m/s. 

32> Es llança des del terra cap amunt un objecte al mateix 

temps que se’n deixa caure un altre des d’una altura 

de 45 m. Amb quina velocitat cal llançar el primer 

perquè els dos arribin a terra al mateix temps? 

S: 15 m/s. 

33> Es deixa caure una pedra des del brocal d’un pou i 

triga 2,3 s a percebre’s el so produït en el xoc amb 

l’aigua. Si la velocitat del so en l’aire és de 340 m/s, 

a quina profunditat es troba l’aigua? 

S: 24 m. 

34> Un ciclista parteix del repòs en un velòdrom circular 

de 50 m de radi, i es mou amb moviment uniformement 

accelerat fins que, al cap de 50 s d’iniciar la marxa, 

arriba a una velocitat de 36 km/h; des d’aquest 

moment conserva la velocitat. Calcula: 

a) L’acceleració tangencial i l’acceleració angular 

en la primera etapa del moviment. 

b)L’acceleració normal en el moment en què arriba 

als 50 s. 

c) La longitud de pista recorreguda en els 50 s. 

d) El temps que triga a fer una volta a la pista amb 

velocitat constant. 

e) El nombre de voltes que fa en 10 minuts comptats 

des que s’inicia el moviment. 

S: a) 0,2 m/s 2 , 4 · 10 –3 rad/s 2 ; b) 2 m/s 2 ; c) 250 m; 

d) 31 s; e) 18 voltes. 

35> Es dispara un projectil amb una velocitat inicial de 

500 m/s i abat un objectiu situat a 1 200 m en la 

mateixa horitzontal del punt de llançament. Calcula 

l’angle d’elevació. 

S: 1,34° (1° 20’) o 88,66° (88° 40’). 

36> Es llança des del terra una pilota amb un angle de 

30° amb l’horitzontal i cau a la terrassa d’un edifici 

situat a 30 m de distància. Si la terrassa és a una 

altura de 10 m, calcula la velocitat amb què s’ha 

llançat. 

S: 29 m/s. 

37> Un motorista puja per una rampa de 20° i quan està 

a 2 m sobre el nivell del terra «vola» per damunt un 

riu de 10 m d’amplària. Amb quina velocitat ha de 

«volar» si vol arribar a la riba sense mullar-se? 

S: 10 m/s. 

38> Des del cim d’un penya-segat es llança horitzontalment 

un projectil i s’observa que triga 3 s a tocar 

l’aigua en un punt que dista 60 m de la base del 

penya-segat. Calcula: 

a) L’altura que té el penya-segat. 

b) Amb quina velocitat s’ha llançat el projectil. 

c) Amb quina velocitat arriba a l’aigua. 

S: a) 44 m; b) 20 m/s; c) |v 

| = 36 m/s. 

39> Una bola que roda sobre una taula horitzontal de 

0,90 m d’alçària cau a terra en un punt situat a 

una distància horitzontal d’1,5 m de la vora de la 

taula. Quina velocitat tenia la bola en el moment 

d’abandonar la taula? 

S: 3,5 m/s. 

40> Un atleta vol batre el rècord del món de llançament 

de pes, establert en 23,0 m. Sap que l’abast màxim 

s’aconsegueix amb un angle de 45°. Si impulsa el 

pes des d’una altura d’1,75 m, amb quina velocitat 

mínima ha de llançar? 

S: 14,5 m/s.

CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 

Problemes de PAU resolts 

1> Un terratrèmol produeix ones longitudinals i transversals. En l’escorça terrestre, les primeres es 

propaguen amb una velocitat de 8,0 km/s, mentre que les segones ho fan a 5,0 km/s; si en un 

observatori sísmic els dos tipus d’ones es reben amb 200 s de diferència temporal, determina la 

distància de l’observatori a l’hipocentre del terratrèmol. 

Solució 

Com que tots dos moviments són rectilinis uniformes, es poden descriure amb la fórmula: 

x = x0 + v t 

Representem el moment en què les dues ones arriben a l’observatori i considerem l’hipocentre del terratrèmol 

com a origen de coordenades, que és a d km de l’hipocentre, tenim: 

d (km) = 0 + v 1 t (s) 

d (km) = 0 + v 2 (t + 200 s) 

Substituint 

d (km) = 0 + 8 km 

s 

d (km) = 0 + 5 km 

s 

· t (s) d (km) = 8 km 

s 

· (t + 200) s d (km) = 5 km 

s 

Aïllem t en la primera i substituïm en la segona: 

t = d 

s 

8 

d (km) = 5 km d 

5 d 

· s + 1000 km d – = 1000 km 3 d = 8000 km x = 2670 km 

s 8 8 

2> Una partícula de càrrega q = 1,6·10 –19 C es mou descrivint una circumferència amb un període de 

3,2 · 10 –7 s i una velocitat de 3,8 · 10 6 m s –1 . Calcula el radi de la circumferència descrita. 

Solució 

Atès que es mou amb un moviment circular uniforme, es compleix que: 

v = e 

2 p R 

, prenent una volta completa v = , d’on aïllem R 

t T 

v T 

R = 

2 p = 

m 

3,8 · 10 6 — · 3,2 · 10 –7 s 

s 

= 0,19 m 

2 p 

· t (s) 

· t (s) + 1 000 km 

229


05 

Conceptes bàsics 

Moviment. Canvi de posició respecte d’un punt de referència. 

Pot ser de rotació o de translació. Un punt 

només pot tenir moviment de translació. 

Cinemàtica. Ciència que estudia el moviment prescindint 

de les causes que l’originen. 

Dinàmica. Ciència que estudia les causes del moviment. 

Punt material. Cos del qual no es tenen en compte 

les dimensions, o aquestes són menyspreables comparades 

amb el sistema de referència. 

Sistema de referència. Un punt en l’espai i tres eixos 

cartesians concurrents en aquest punt. 

Sistema de referència inercial. Quan un cos està en 

repòs o es mou amb velocitat constant. 

Espai recorregut. Longitud de la trajectòria que ha 

descrit el mòbil. Com el temps, és una magnitud escalar. 

Trajectòria. Lloc geomètric de les diferents posicions 

que va prenent un punt mòbil en l’espai. 

Vector de posició. Uneix el punt fix de referència amb 

el punt que ocupa el mòbil. Determina la posició del 

mòbil en qualsevol instant. 

Vector desplaçament. Uneix dos punts de la trajectòria: 

el punt de partida amb el punt d’arribada. 

Velocitat mitjana. S’obté dividint el desplaçament 

entre l’interval de temps transcorregut. 

Velocitat instantània. La que té un mòbil en qualsevol 

instant o en qualsevol punt de la trajectòria. 

Acceleració mitjana. La variació de la velocitat en la 

unitat de temps. 

Acceleració instantània. Valor límit de l’acceleració 

mitjana quan l’interval de temps és molt petit. 

Components intrínsecs de l’acceleració. Existeixen 

l’acceleració tangencial, que provoca variacions en la 

rapidesa, i l’acceleració normal o centrípeta, que causa 

els canvis de direcció del mòbil. 

Moviment rectilini uniforme (MRU). És un moviment 

sense acceleració. 

x = x0 + v t; v = cte; a = 0 

Moviment rectilini uniformement accelerat 

(MRUA). És un moviment amb at = cte i ac = 0. 

x = x0 + v0 t + 1 

2 a t2 ; v = v0 + a t 

v 2 – v2 0 = 2 a (x – x0); x = x0 + 1 

2 (v + v0) t 

Caiguda lliure. És el moviment d’un cos per l’acció 

de la gravetat. Es tracta d’un moviment vertical rectilini 

uniformement accelerat. Les seves equacions 

són les mateixes que les de l’MRUA, amb una acceleració 

sempre negativa (g = –9,8 m/s 2 ). 

Moviment circular uniforme (MCU). És un moviment 

en el qual at = 0, mentre que ac = cte i val 

ac = v2 

R = v2 R 

w = w0 + v t; v = cte 

s = wR; v = v R 

Moviment circular uniformement accelerat 

(MCUA). És un moviment en què at = cte i té una ac que és variable. 

w = v0 t + 1 

2 a t2 ; v = v0 + a t 

v 2 – v2 0 = 2 aw w = 1 

2 (v + v0) t; at = a R 

Principi de superposició. Una partícula es mou 

amb un moviment que és la suma de tots els moviments 

elementals independents a què està sotmesa 

tant per al vector de posició com per a la velocitat 

i l’acceleració. 

Tir horitzontal. És un cas particular del moviment 

d’un cos dotat d’una velocitat inicial horitzontal i 

un altre moviment de caiguda lliure. 

Eix Ox: x = v0 t; vx = v0 Eix Oy: y = y0 – 1 

2 g t2 ; vy = –g t 

Tir oblic. És un cas particular del moviment d’un 

cos que té una velocitat inicial que forma un angle 

respecte de l’horitzontal i un moviment de caiguda 

lliure. 

Eix Ox: vx = v0 cos a 

x = (v0 cos a) t 

Eix Oy: vy = v0 sin a – g t 

y = y0 + (v0 sin a) t – 1 

g t2 

2

cinemàtica del punt material. elements i magnituds ... - McGraw-Hill

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?