cinemàtica del punt material. elements i magnituds ... - McGraw-Hill
cinemàtica del punt material. elements i magnituds ... - McGraw-Hill
cinemàtica del punt material. elements i magnituds ... - McGraw-Hill
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL.<br />
ELEMENTS I MAGNITUDS<br />
DEL MOVIMENT<br />
Estudiar el moviment és important: és el fenomen més corrent<br />
i fàcil d’observar en la natura. Tot l’Univers està en<br />
constant moviment: els astres que es desplacen pel cel, un<br />
nen que juga, un ocell que vola, etc. Els conceptes de vida i<br />
moviment estan estretament units, fins al <strong>punt</strong> que considerem<br />
la capacitat que tenen per a moure’s per si mateixos<br />
05<br />
una de les característiques més evidents <strong>del</strong>s éssers vius.<br />
En aquesta unitat estudiarem els <strong>elements</strong> i les <strong>magnituds</strong><br />
que utilitza la Cinemàtica per a determinar el moviment<br />
d’una partícula. I els coneixements adquirits et permetran<br />
analitzar els moviments més corrents que s’esdevenen en el<br />
nostre entorn.
188 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
Per a repassar…<br />
Moviment (4t)<br />
El moviment és un canvi de posició respecte d’un <strong>punt</strong> fix que s’agafa com a referència.<br />
Trajectòria (4t)<br />
Rep el nom de trajectòria el conjunt de les posicions successives que té el mòbil.<br />
Depenent de la trajectòria, els moviments poden ser rectilinis i curvilinis.<br />
La velocitat mitjana és el quocient entre l’espai recorregut pel mòbil i el temps utilitzat<br />
per a fer-lo.<br />
La velocitat instantània és la velocitat que té el mòbil en un moment donat. La<br />
velocitat es mesura en m/s (SI) i en km/h.<br />
Acceleració (4t)<br />
• L’acceleració mitjana és el quocient entre la variació de la velocitat que ha experimentat<br />
un mòbil i l’interval de temps que ha utilitzat en aquesta variació, a = vt – v0<br />
. Es mesura<br />
en m s t<br />
–2 .<br />
• L’acceleració instantània és l’acceleració que té un mòbil en un moment donat.<br />
Moviment rectilini i uniforme (4t)<br />
Un mòbil té moviment rectilini i uniforme quan es desplaça en línia recta amb velocitat<br />
constant. L’espai recorregut s’obté amb l’equació e = v t.<br />
Moviment rectilini uniformement accelerat (4t)<br />
Aquest moviment es dóna quan el mòbil es desplaça en línia recta amb acceleració<br />
constant. Les equacions són:<br />
• vt = v0 + a t, per a esbrinar la velocitat en qualsevol instant.<br />
• e = v0 t + 1/2 at2 , per a esbrinar l’espai recorregut.<br />
Caiguda lliure de cossos<br />
Quan un cos es mou sota l’acció de la gravetat es diu que té moviment de caiguda<br />
lliure. És un cas particular <strong>del</strong> moviment rectilini i uniformement accelerat (a = g =<br />
–9,8 m s –2 ).<br />
Moviment circular (4t)<br />
Un mòbil té moviment circular quan la trajectòria és una circumferència. Si el fa amb<br />
velocitat constant, el moviment rep el nom de circular uniforme. La velocitat angular<br />
és l’angle recorregut en la unitat de temps. Es mesura en voltes o revolucions per minut,<br />
(rpm) i en radians per segon.<br />
Un radian és l’angle en el qual l’arc corresponent té una longitud igual a la <strong>del</strong> radi<br />
amb què s’ha traçat aquest arc. Una circumferència (360°) correspon a 2 p radians.
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
1> En quin tipus de moviment la velocitat mitjana coincideix<br />
amb la velocitat instantània?<br />
Intenta-ho<br />
Recorda que si una magnitud és constant, tindrà<br />
sempre el mateix valor en qualsevol moment.<br />
2> Es diu que el guepard és un animal capaç<br />
d’arribar a córrer a 30 m/s. Calcula’n la velocitat<br />
en km/h.<br />
Intenta-ho<br />
Per a utilitzar els factors de conversió, recorda les<br />
equivalències: 1 km = 1 000 m; 1 h = 3 600 s<br />
3> Quant de temps tardarà el guepard a recórrer 1 km<br />
si manté la velocitat de 30 m/s?<br />
Intenta-ho<br />
Tingues en compte el tipus de moviment amb què<br />
es desplaça el guepard i utilitza l’equació corresponent.<br />
4> Des d’un pont deixes caure un objecte i observes<br />
que triga 1,5 s a arribar a l’aigua. Quina és l’altura<br />
<strong>del</strong> pont?<br />
Intenta-ho<br />
Es tracta d’una caiguda lliure. En aquest cas, considera<br />
positiu el valor de la gravetat.<br />
5> Un automòbil passa de 90 km/h a 115 km/h en 8 s.<br />
Quina acceleració té el cotxe?<br />
Intenta-ho<br />
Et demanen l’acceleració mitjana. Recorda que es<br />
mesura en m s –2 .<br />
6> Un cotxe parteix <strong>del</strong> repòs amb acceleració constant<br />
d’1,8 m s –2 . Després de 20 s d’accelerar, quina<br />
distància haurà recorregut el vehicle?<br />
Intenta-ho<br />
D’acord amb el tipus de moviment, utilitza l’equació<br />
corresponent.<br />
Qüestions bàsiques<br />
7> Un ciclista inicia el moviment per un carrer amb una<br />
acceleració constant fins a arribar a una velocitat<br />
de 36 km/h en 10 s. Quina n’és l’acceleració? Quina<br />
distància ha recorregut en el temps indicat?<br />
Intenta-ho<br />
Observa que el ciclista parteix <strong>del</strong> repòs; aquest<br />
fet equival a una dada numèrica. Suposem que el<br />
carrer és recte. Una vegada identificat el moviment<br />
<strong>del</strong> ciclista, utilitza les equacions corresponents.<br />
8> Un avió que parteix <strong>del</strong> repòs accelera uniformement<br />
fins a aconseguir una velocitat d’enlairament<br />
de 75 m/s en 10 s. Amb quina velocitat en km/h<br />
s’enlaira l’avió? Quina longitud de pista ha recorregut<br />
fins a agafar el vol?<br />
Intenta-ho<br />
Es tracta d’un moviment rectilini amb acceleració<br />
constant. Utilitza els factors de conversió per al<br />
canvi d’unitats.<br />
9> Un disc gira a 30 rpm. Calcula aquesta velocitat en<br />
radians per segon. Calcula la freqüència i el període<br />
d’aquest moviment.<br />
Intenta-ho<br />
Recorda quants radians té una circumferència. Període<br />
és el temps en segons que triga a fer una volta.<br />
El valor de la freqüència coincideix amb l’invers<br />
<strong>del</strong> període.<br />
10> Un ciclista recorre la pista circular de 50 m de radi<br />
d’un velòdrom amb una velocitat constant de<br />
36 km/h. Quant de temps triga a fer una volta a la<br />
pista? Quantes voltes fa en 10 minuts?<br />
Intenta-ho<br />
Encara que el moviment és circular, et demanen<br />
l’espai recorregut amb velocitat constant. Pots<br />
calcular totes les preguntes utilitzant l’equació de<br />
l’espai en un moviment uniforme. Recorda el valor<br />
de la longitud de la circumferència.<br />
189
190 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
La Cinemàtica estudia el moviment<br />
sense tenir-ne en compte<br />
les causes.<br />
La Dinàmica estudia el moviment<br />
i n’analitza les causes.<br />
Fig. 5.1. Rotació i translació. Quan la<br />
politja es mou no canvia de lloc. Però sí<br />
que ho fa la galleda quan ascendeix.<br />
<br />
<br />
Fig. 5.2. Rotació. En un moviment<br />
de rotació, els <strong>punt</strong>s <strong>del</strong> sòlid que<br />
gira canvien de lloc descrivint<br />
circumferències.<br />
<br />
Fig. 5.3. Translació. L’automòbil es mou<br />
perquè s’allunya <strong>del</strong> semàfor.<br />
5.1 Dues ciències per a estudiar<br />
el moviment<br />
Suposem que en un moment donat un avió sobrevola casa vostra. Si teniu curiositat<br />
per conèixer més bé aquest fenomen, podeu plantejar-vos una sèrie de preguntes,<br />
com ara quant de temps tardarà l’avió a desaparèixer per l’horitzó?, quina distància<br />
recorrerà en un minut?, va sempre a la mateixa velocitat?, etcètera. Per a respondre<br />
aquestes preguntes no necessiteu saber per què es mou l’avió. En canvi, hi ha preguntes<br />
més complexes, com ara quina força exerceix el motor?, quina potència desenvolupa?,<br />
quina energia consumeix?, etc., la resposta a les quals requereix més informació.<br />
Primerament heu de conèixer les característiques <strong>del</strong>s motors, que són els causants<br />
<strong>del</strong> moviment de l’avió.<br />
Com veus, hi ha dues maneres d’estudiar el moviment: prescindint de les causes que<br />
l’originen, que és el que fa la Cinemàtica, o tenint-les en compte, com passa amb<br />
la Dinàmica. Dedicarem una unitat a cadascuna d’aquestes dues ciències <strong>del</strong> moviment.<br />
5.2 Quèéselmoviment?<br />
Des de ben petits tenim un concepte intuïtiu que ens permet afirmar si un cos, en un<br />
moment donat, està en repòs o en moviment. Quin criteri utilitzem per a distingir-ho?<br />
Se sol dir que un cos es mou quan canvia de lloc. No obstant això, aquest criteri no<br />
és precís, perquè hi ha cossos que es mouen sense canviar de lloc. Per exemple, la<br />
politja de la figura 5.1, quan gira al voltant <strong>del</strong> seu eix, es troba sempre en el mateix<br />
lloc. Hem de distingir, doncs, entre dos tipus de moviment: el de translació i el de<br />
rotació.<br />
Un cos té moviment de translació quan tot el cos, agafat en el seu<br />
conjunt com un sol <strong>punt</strong>, canvia de lloc o de posició.<br />
En canvi, en el moviment de rotació són els diferents <strong>punt</strong>s P1, P 2... <strong>del</strong> cos els que<br />
canvien de lloc (fig. 5.2), però no ho fa el cos en conjunt. Un <strong>punt</strong> només pot tenir<br />
moviment de translació.<br />
En general, quan un cos gira al voltant d’un eix fix es mou, però no es<br />
desplaça. Aquest moviment rep el nom de moviment de rotació.<br />
Per tant, si considerem que el cos que es mou és un <strong>punt</strong>, el criteri que vam donar<br />
és correcte. En aquest curs només tractarem el moviment de translació. Per això<br />
estudiem la Cinemàtica <strong>del</strong> <strong>punt</strong> <strong>material</strong>. Més endavant explicarem què s’entén per<br />
<strong>punt</strong> <strong>material</strong>.<br />
Si d’un automòbil (fig. 5.3) només tenim en compte el moviment de translació,<br />
l’estem considerant com un <strong>punt</strong> que canvia de posició respecte d’un semàfor, per<br />
exemple. Si aquesta posició no varia, direm que està en repòs respecte <strong>del</strong> semàfor.
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
No has d’oblidar que…<br />
• La localització d’un <strong>punt</strong> en l’espai respecte d’un altre <strong>punt</strong> que agafem com a<br />
referència rep el nom de posició.<br />
• Moviment d’un <strong>punt</strong> és un canvi de posició respecte d’un altre <strong>punt</strong> que s’agafa com<br />
a referència.<br />
• Repòs i moviment són dos termes relatius, ja que depenen de l’objecte de referència<br />
(un fanal està en repòs respecte <strong>del</strong> carrer, però està en moviment si agafem el Sol<br />
com a referència).<br />
• Moviment absolut és aquell en el qual el <strong>punt</strong> de referència es considera fix respecte<br />
<strong>del</strong> <strong>punt</strong> que es mou.<br />
• Moviment relatiu és aquell en el qual el <strong>punt</strong> canvia de posició respecte d’un altre<br />
que també es mou.<br />
1> Indica quines afirmacions són correctes. El moviment<br />
és:<br />
a) Un canvi de lloc.<br />
b) Un canvi de lloc si el cos que es mou és un <strong>punt</strong><br />
<strong>material</strong>.<br />
c) Un desplaçament.<br />
d) Un canvi de posició.<br />
2> Escriu tres exemples de moviments absoluts i tres<br />
de moviments relatius.<br />
5.3 Elements fonamentals<br />
<strong>del</strong> moviment<br />
En tot moviment cal distingir tres <strong>elements</strong> bàsics: l’objecte que es mou, el sistema de<br />
referència que s’utilitza i la trajectòria seguida pel mòbil.<br />
L’objecte que es mou: un <strong>punt</strong> <strong>material</strong><br />
Per a conèixer el moviment que realment té un cos cal conèixer el de tots els seus <strong>punt</strong>s.<br />
Un automòbil que es desplaça per una carretera, a més d’experimentar un moviment de<br />
translació, té altres moviments: el de balanceig en agafar un revolt, el de capcineig en<br />
un canvi de rasant, etc., i el moviment particular <strong>del</strong>s diversos components: el volant,<br />
les rodes, els pistons, etcètera.<br />
No ens interessa considerar aquests moviments, per la qual cosa prescindirem de tots<br />
els components <strong>del</strong> cotxe i de les dimensions que té, i el tractarem com si fos un <strong>punt</strong><br />
<strong>material</strong>.<br />
Com que en la natura no existeix un mòbil amb massa i sense dimensions, és a dir, en<br />
realitat, una idealització o un mo<strong>del</strong> ideal de l’existència, els científics sovint empren<br />
mo<strong>del</strong>s físics per a simplificar l’estudi de la natura.<br />
Hi ha molts objectes que en moure’s es comporten com a <strong>punt</strong>s <strong>material</strong>s. Tot depèn <strong>del</strong><br />
sistema de referència escollit. Per exemple, un automòbil no es comporta com un <strong>punt</strong><br />
per a qui el condueix; no obstant això, sí que ho fa respecte de l’agent de trànsit que<br />
sobrevola la carretera amb helicòpter.<br />
ACTIVITATS<br />
3> Assenyala les afirmacions correctes. El moviment<br />
d’un cotxe que es desplaça per una carretera és<br />
respecte d’una gasolinera:<br />
a) Rotació c) Absolut<br />
b) Translació d) Relatiu<br />
4> Indica si el cotxe de l’activitat anterior, respecte<br />
d’un camió al qual vol avançar, té moviment absolut<br />
o relatiu.<br />
191<br />
Un mo<strong>del</strong> és una idealització mental<br />
o gràfica que permet simplificar<br />
l’estudi d’un fenomen. Encara que<br />
és un producte de la imaginació,<br />
el mo<strong>del</strong> té un gran avantatge: és<br />
prou senzill per a analitzar l’efecte<br />
de les lleis fonamentals de la Física<br />
en el seu comportament.<br />
Perquè un mo<strong>del</strong> acompleixi bé la<br />
seva missió cal que sigui senzill,<br />
que concordi amb els fets experimentals<br />
i que sigui extrapolable;<br />
és a dir, que permeti aplicar les<br />
conclusions a altres fenòmens fins<br />
a formular noves lleis.<br />
Anomenem <strong>punt</strong> <strong>material</strong> un cos<br />
les dimensions <strong>del</strong> qual no es tenen<br />
en compte.
192 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
Fig. 5.4. Sistema cartesià de referència.<br />
Aquest sistema està format per un<br />
<strong>punt</strong> de l’espai i tres eixos cartesians<br />
concurrents en aquest <strong>punt</strong>.<br />
ACTIVITATS<br />
En resum:<br />
• Partícula <strong>material</strong> o <strong>punt</strong> <strong>material</strong> és un terme relatiu que depèn de les dimensions<br />
que intervenen en cada problema concret.<br />
• Un cos, independentment de la grandària, es considera un <strong>punt</strong> si les dimensions són<br />
negligibles, en comparació de la distància que hi ha des d’aquest cos al <strong>punt</strong> de referència<br />
o en comparació de la trajectòria. Així, un vaixell es pot considerar un <strong>punt</strong><br />
respecte de la costa. Un cotxe es pot considerar un <strong>punt</strong> respecte de la longitud de la<br />
carretera. La Terra en el moviment de translació es pot considerar un <strong>punt</strong>.<br />
El sistema de referència<br />
5> Indica si és fals o vertader:<br />
a) Es pot estudiar el moviment prescindint <strong>del</strong> sistema<br />
de referència.<br />
b) El moviment és un canvi de lloc.<br />
c) Un <strong>punt</strong> només pot tenir moviment de translació.<br />
d) La Terra es pot considerar un <strong>punt</strong> <strong>material</strong> quan<br />
es mou al voltant <strong>del</strong> Sol.<br />
6> Observa la barca de la figura 5.5 i indica quina és<br />
l’afirmació correcta:<br />
Fig. 5.5. El moviment relatiu de la barca depèn <strong>del</strong><br />
<strong>punt</strong> de referència.<br />
Per a determinar la posició d’un <strong>punt</strong> en qualsevol instant cal fixar un altre <strong>punt</strong> en<br />
l’espai com a referència. El <strong>punt</strong> de referència escollit s’agafa com a origen O de tres<br />
eixos cartesians (fig. 5.4), que constitueixen un sistema de referència cartesià. Així, la<br />
posició <strong>del</strong> <strong>punt</strong> P estarà determinada per les coordenades x, y i z d’aquest <strong>punt</strong>.<br />
No has d’oblidar que:<br />
• El <strong>punt</strong> O de referència pot ser qualsevol objecte, real o imaginari, que està en repòs<br />
relatiu respecte <strong>del</strong> <strong>punt</strong> P.<br />
•Un sistema de referència és inercial quan el <strong>punt</strong> O està en repòs o es mou amb una<br />
velocitat constant.<br />
• La Terra es pot considerar un sistema de referència inercial, encara que realment no ho<br />
és, ja que té moviment de rotació sobre si mateixa. No obstant això, aquest moviment<br />
ens passa inadvertit.<br />
a) Té moviment relatiu respecte de l’aigua i de la<br />
riba.<br />
b) Té moviment absolut respecte de la riba i relatiu<br />
respecte de l’aigua.<br />
c) La barca només té moviment absolut.<br />
7> Per a determinar la posició d’un <strong>punt</strong> sobre un pla,<br />
quants eixos cartesians fan falta?<br />
8> Per a determinar la posició d’un vaixell a l’oceà,<br />
quantes coordenades necessites? Quin nom reben?<br />
9> Un cotxe es mou des d’un semàfor i va per un carrer<br />
recte. Quantes coordenades necessites per a<br />
determinar la posició de l’automòbil respecte <strong>del</strong><br />
semàfor?<br />
10> A més <strong>del</strong> <strong>punt</strong> <strong>material</strong>, quins altres mo<strong>del</strong>s utilitzats<br />
per la Física o la Química coneixes?
Trajectòria<br />
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
Fixa’t en el <strong>punt</strong> P (x, y, z) de la fig. 5.6. Aquest <strong>punt</strong> estarà en repòs respecte <strong>del</strong> <strong>punt</strong> O<br />
si les coordenades continuen constants amb el temps, i estarà en moviment quan almenys<br />
una coordenada variï respecte d’aquest <strong>punt</strong>.<br />
Quan el <strong>punt</strong> P es mou, les coordenades van agafant diferents valors. El conjunt de<br />
<strong>punt</strong>s corresponents a aquests valors formen una línia que rep el nom de trajectòria.<br />
Trajectòria és el lloc geomètric de les posicions successives que agafa un<br />
<strong>punt</strong> mòbil en l’espai.<br />
Un <strong>punt</strong> es mou en el pla Oxy segons les equacions:<br />
x = t – 1; y = 2 t<br />
a) Quin significat tenen aquestes equacions?<br />
b) Dibuixa la trajectòria d’aquest <strong>punt</strong>.<br />
Solució<br />
a) En moure’s el <strong>punt</strong> en un pla, la seva posició està determinada, a cada moment,<br />
per dues coordenades (x, y). Les equacions donades indiquen com varia<br />
aquesta posició amb el temps. Per tant, les diverses posicions que agafa el<br />
<strong>punt</strong> en el transcurs <strong>del</strong> temps s’obtenen donant valors a t en aquestes equacions.<br />
t 0 1 2 3<br />
x –1 0 1 2<br />
y 0 2 4 6<br />
EXEMPLE 1<br />
b) Les posicions (–1, 0), (0, 2), (1, 4), (2, 6) són <strong>punt</strong>s de la línia que forma la<br />
trajectòria (fig. 5.7). Es tracta d’una recta.<br />
Fig. 5.7. Trajectòria rectilínia <strong>del</strong> <strong>punt</strong> descrit en l’exemple 1.<br />
Fig. 5.6. Coordenades d’un <strong>punt</strong> en<br />
l’espai. Si aquest <strong>punt</strong> es mou, les<br />
coordenades varien, i donen lloc a una<br />
línia anomenada trajectòria.<br />
193<br />
http://teleformacion.edu.<br />
aytolacoruna.es/FISICA/<br />
document/applets/Hwang/<br />
ntnujava/vector/vector_s.htm<br />
Es tracta d’una simulació applet<br />
per a sumar vectors en dues i tres<br />
dimensions.<br />
Les <strong>magnituds</strong> són les variables<br />
que intervenen en un fenomen o<br />
les característiques d’un cos que<br />
es poden mesurar. Les <strong>magnituds</strong><br />
físiques poden ser escalars o vectorials.
194 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
Fig. 5.8. Vector de posició. La posició<br />
d’un <strong>punt</strong> P queda definida pel vector<br />
que uneix el <strong>punt</strong> O amb el <strong>punt</strong> P.<br />
Fig. 5.9. Un vector es pot expressar<br />
com el producte <strong>del</strong> seu mòdul per<br />
un vector unitari que té la mateixa<br />
direcció i sentit.<br />
Fig. 5.10. Representació <strong>del</strong>s vectors<br />
unitaris segons els eixos cartesians.<br />
Fig. 5.12. El vector r <br />
en funció <strong>del</strong>s<br />
vectors OA<br />
<br />
,OB<br />
<br />
r <br />
=OA<br />
<br />
+ OB<br />
<br />
<br />
5.4 Magnituds <strong>del</strong> moviment<br />
Ja saps que hi ha certes característiques <strong>del</strong>s cossos i <strong>del</strong>s fenòmens naturals, anomenades<br />
<strong>magnituds</strong>, que es poden mesurar o avaluar a cada moment. Per a entendre<br />
el moviment és important conèixer les <strong>magnituds</strong> que utilitza la Cinemàtica en el seu<br />
desenvolupament. A més <strong>del</strong> temps, són les següents: posició, desplaçament, espai<br />
recorregut, velocitat i acceleració. L’espai recorregut és una magnitud escalar, mentre<br />
que les altres són <strong>magnituds</strong> vectorials.<br />
Posició<br />
Ja hem dit que la posició d’un <strong>punt</strong> P és la seva localització en l’espai. Hi ha dues maneres<br />
de localitzar un <strong>punt</strong> en l’espai: mitjançant tres coordenades cartesianes P (x, y, z) i<br />
mitjançant un vector r , o també OP<br />
<br />
, que uneix l’origen <strong>del</strong> sistema de referència amb<br />
el <strong>punt</strong> P i que rep el nom de vector de posició. L’origen d’aquest vector és sempre en<br />
l’origen de coordenades i el seu extrem coincideix a cada instant amb la posició <strong>del</strong> <strong>punt</strong><br />
mòbil (fig. 5.8). Les dues formes estan relacionades. Per a entendre la relació que hi ha<br />
entre les coordenades x, y, z d’un <strong>punt</strong> i el seu vector de posició, has de recordar unes<br />
quantes nocions de càlcul vectorial.<br />
Unes quantes nocions de càlcul vectorial<br />
Un vector u es diu que és unitari quan el seu mòdul val 1: |u | = 1. Suposem que<br />
el vector a de la figura 5.9 té cinc unitats de longitud. Per tant, el mòdul és cinc<br />
vegades més gran que el mòdul <strong>del</strong> vector unitari u . D’acord amb això, es pot escriure:<br />
|a | = 5 · |u | = 5. En general, un vector qualsevol es pot expressar segons un vector<br />
unitari amb la mateixa direcció i sentit mitjançant el producte v = |v | u , en què |v | és<br />
el mòdul o longitud <strong>del</strong> vector v i u el vector unitari amb la mateixa direcció i sentit<br />
que v .<br />
Si anomenem u <br />
x, u <br />
y i u <br />
z els vectors unitaris que tenen la mateixa direcció i sentit que<br />
els semieixos cartesians (fig. 5.10), podrem expressar el vector de posició d’un <strong>punt</strong> en<br />
funció d’aquests vectors.<br />
La suma de dos vectors v <br />
1 i v <br />
2 s’obté de la diagonal <strong>del</strong> paral·lelogram construït sobre<br />
aquests vectors, agafant-los com a costats que parteixen <strong>del</strong> mateix vèrtex (fig. 5.11):<br />
s = v <br />
1 + v <br />
2. La posició <strong>del</strong> <strong>punt</strong> P (x, y) de la figura 5.12 és determinada pel vector r .<br />
v<br />
v<br />
Fig. 5.11. Suma de vectors. S’aplica la regla <strong>del</strong> paral·lelogram.<br />
El vector r és la diagonal <strong>del</strong> paral·lelogram OAPBO. Per tant, es compleix que:<br />
<br />
r = OA + OB<br />
<br />
= |OA<br />
<br />
| u <br />
x + |OB<br />
<br />
| u <br />
y = x u <br />
x + y u <br />
y<br />
ja que |OA<br />
<br />
| = x, |OB<br />
<br />
| = y.<br />
Aplicant el teorema de Pitàgores, podem calcular el mòdul d’un vector si coneixem x i<br />
y, ja que |r | 2 = x 2 + y 2 |r |= Îx 2 + y 2 .
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
En l’espai, el vector de posició <strong>del</strong> <strong>punt</strong> P (x, y, z) és r <br />
= xu <br />
x + y u <br />
y + z u <br />
z.<br />
Quan el <strong>punt</strong> P es mou, el vector de posició variarà amb el temps, fet que es pot<br />
expressar de la manera següent:<br />
<br />
r (t) = x (t) u <br />
x + y (t) u <br />
y + z (t) u <br />
z<br />
Aquesta expressió rep el nom de posició instantània. Donant valors a t s’obtenen les<br />
diverses posicions de la partícula mòbil en un interval de temps.<br />
El moviment d’una partícula s’obté de les equacions x = 4 t, y = 2 t – 2,<br />
on x i y es mesuren en metres i t, en segons. Calcula:<br />
a)La posició de la partícula en qualsevol instant.<br />
b)La posició en els instants t = 0, t = 2.<br />
c) On és la partícula al cap de 5 segons?<br />
d)A quina distància de l’origen <strong>del</strong> sistema de referència es troba la partícula<br />
en aquest instant?<br />
Solució<br />
a) La posició de la partícula en qualsevol instant és determinada pel vector de<br />
posició: r <br />
= xu <br />
x + yu <br />
y = 4 tu <br />
x + (2 t – 2) u <br />
y.<br />
b) En l’expressió anterior substituïm els valors <strong>del</strong> temps que ens indiquen:<br />
Per a t = 0 r <br />
0 = (4 · 0) u <br />
x + (2 · 0 – 2) u <br />
y = –2 u <br />
y<br />
Per a t = 2 r <br />
2 = 8 u <br />
x + 2 u <br />
y<br />
En els instants t = 0 i t = 2 s, la partícula es troba en els <strong>punt</strong>s P 0 (0, –2), P2 (8, 2).<br />
c) Al cap de 5 s la partícula estarà en la posició r <br />
5 = 20 u <br />
x + 8 u <br />
y, és a dir, en el<br />
<strong>punt</strong> (20, 8).<br />
d) La distància en qüestió ve donada pel mòdul <strong>del</strong> vector r <br />
5:<br />
|r <br />
5| = Îx 2 + y 2 = Î20 2 + 8 2 = 21,5 m<br />
11> Escriu els vectors de posició corresponents als<br />
<strong>punt</strong>s següents respecte de l’origen.<br />
a) P1 (2, –3, 5)<br />
b) P2 (–1, 0, 6)<br />
c) P3 (0, 0, –2)<br />
12> Un <strong>punt</strong> mòbil es desplaça per l’espai d’acord amb les<br />
equacions següents expressades en el SI:<br />
x = t + 2; y = 4 t – 2; z = t2 EXEMPLE 2<br />
a) Completa la següent taula de valors:<br />
El vector és un segment que està<br />
orientat:<br />
195<br />
Té un <strong>punt</strong> d’origen, O, i un extrem,<br />
P, que determina el sentit <strong>del</strong> vector<br />
OP<br />
<br />
. La direcció d’un vector és<br />
determinada per la recta sobre la<br />
qual es recolza.<br />
El mòdul és un nombre real positiu<br />
que indica la longitud <strong>del</strong> vector<br />
i que determina el valor de la magnitud<br />
associada. Una magnitud<br />
vectorial es representa algebraicament<br />
amb una fletxa sobre el<br />
valor que té, v , o bé s’escriu en<br />
negreta, v. En aquest llibre hem<br />
optat per la primera fórmula, ja<br />
que considerem que és més fàcil<br />
de reconèixer.<br />
ACTIVITATS<br />
t 0 1 2 3 4<br />
x<br />
y<br />
z<br />
b) Esbrina la posició <strong>del</strong> <strong>punt</strong> mòbil per a t = 15 s.<br />
c) Escriu el vector corresponent a aquesta posició.
196 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
Fig. 5.15. Vector desplaçament.<br />
S’obté restant els vectors de posició<br />
corresponents <strong>del</strong> <strong>punt</strong> d’arribada i <strong>del</strong><br />
<strong>punt</strong> de partida.<br />
x<br />
Fig. 5.16. Representació <strong>del</strong> moviment<br />
de l’automòbil de l’exemple 3.<br />
Desplaçament<br />
Si en un moment donat un mòbil es toba en la posició P0 (x0, y0, z0) i al cap d’un temps la<br />
seva posició és P1 (x1, y1, z1), direm que el mòbil s’ha desplaçat des <strong>del</strong> <strong>punt</strong> P0 fins al <strong>punt</strong><br />
P1. Aquest desplaçament es defineix amb un vector, anomenat vector desplaçament,<br />
Dr <br />
, que té les característiques següents:<br />
Té l’origen en el <strong>punt</strong> de partida o posició inicial i l’extrem en el <strong>punt</strong> d’arribada o<br />
posició final, P <br />
0P<br />
<br />
1 (fig. 5.13).<br />
El desplaçament entre dues posicions és sempre el mateix, independentment de la<br />
trajectòria que uneix aquestes posicions (fig. 5.14).<br />
Fig. 5.13. Vector desplaçament. Uneix la<br />
posició inicial i la final <strong>del</strong> mòbil.<br />
El vector desplaçament s’obté restant <strong>del</strong> vector de posició final el vector de posició<br />
inicial (fig. 5.15):<br />
Per tant, si<br />
<br />
r1<br />
= x1 u <br />
x + y1 u <br />
y + z1 u <br />
z<br />
Dr <br />
= r <br />
1 –r <br />
0<br />
Fig. 5.14. Diferents trajectòries per a un<br />
mateix desplaçament.<br />
r <br />
0 = x0 u <br />
x + y0 u <br />
y + z0 u <br />
z<br />
el vector desplaçament serà:<br />
Dr <br />
= (x1 – x0) u <br />
x + ( y1 – y0) u <br />
y + (z1 – z0) u <br />
z = Dx u <br />
x + Dy u <br />
y + Dz u <br />
z<br />
en què Dx = x1 – x0; Dy = y1 – y0; Dz = z1 – z0. Això vol dir que el desplaçament total equival a la suma de desplaçaments parcials al<br />
llarg <strong>del</strong>s eixos cartesians.<br />
EXEMPLE 3<br />
Un automòbil es mou en línia recta per una carretera. A les nou <strong>del</strong> matí és<br />
al <strong>punt</strong> quilomètric 40 i al cap de mitja hora és al <strong>punt</strong> quilomètric 100.<br />
Calcula el desplaçament que ha experimentat el cotxe en el temps<br />
indicat.<br />
Solució<br />
Si el cotxe es mou en línia recta, podem agafar com a sistema de referència el<br />
<strong>punt</strong> quilomètric 0 i la direcció de la carretera com a eix cartesià Ox. Per tant,<br />
el vector de posició en aquest cas és: r <br />
= xu <br />
En mitja hora, el cotxe s’ha desplaçat des <strong>del</strong> <strong>punt</strong> P0 (40 km, 0) fins al <strong>punt</strong><br />
P1 (100 km, 0) (fig. 5.16).<br />
Per tant, el desplaçament és:<br />
Dr <br />
= r <br />
1 –r <br />
0 = (x1 – x0) u <br />
x = 60 u <br />
x km<br />
El cotxe s’ha desplaçat 60 km des de l’origen.<br />
x.
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
Una partícula <strong>material</strong> es mou per l’espai de manera<br />
que la seva posició en qualsevol instant s’obté a<br />
partir de les equacions x = t 2 ; y = t – 2, expressades<br />
en el SI. Calcula:<br />
a) On és la partícula en els instants t = 0 s, t = 1 s,<br />
t = 2 s.<br />
b) El desplaçament en l’interval de temps comprès<br />
entre zero i dos segons.<br />
Solució<br />
a) La posició de la partícula en qualsevol moment s’expressa<br />
mitjançant el vector r <br />
= (t 2 ) u <br />
x + (t – 2) u <br />
y, que per<br />
13> En Carles surt de casa a comprar el diari en un<br />
quiosc situat a 120 m de distància i després torna<br />
a casa. Quina afirmació és la correcta?<br />
a) En Carles s’ha desplaçat 120 m.<br />
b) En Carles s’ha desplaçat 240 m.<br />
c) En Carles no s’ha desplaçat.<br />
d) En Carles ha recorregut 240 m.<br />
Espai recorregut<br />
No has de confondre espai recorregut amb desplaçament. Espai recorregut és la longitud<br />
de trajectòria que ha seguit el mòbil. És una magnitud escalar que coincideix amb el mòdul<br />
<strong>del</strong> desplaçament, només si el moviment és rectilini i si no canvia de sentit. Si llancem una<br />
pilota cap amunt, l’espai recorregut coincideix amb el desplaçament mentre la pilota puja;<br />
però quan comença el descens, el desplaçament disminueix, i quan la pilota arriba al <strong>punt</strong><br />
de partida, el desplaçament és nul. En canvi, l’espai recorregut és igual al doble de l’altura<br />
aconseguida.<br />
EXEMPLE 4<br />
als instants donats agafa els valors r <br />
0 = –2 u <br />
–u <br />
2 = 4 u <br />
y; r <br />
x.<br />
y; r <br />
ACTIVITATS<br />
1 = u <br />
x<br />
És a dir, es troba en els <strong>punt</strong>s (0, –2), (1, –1) i (4, 0),<br />
respectivament.<br />
b) Per a esbrinar el desplaçament n’hi ha prou de res-<br />
tar els vectors r <br />
2 i r <br />
0 : Dr <br />
+ (0 – (–2)) u <br />
y = 4 u <br />
x + 2 u <br />
y<br />
Una persona surt a passejar. Recorre 2 km cap al nord, després es dirigeix cap a<br />
l’est i en recorre 1, i finalment, es dirigeix cap al sud i en recorre 4. Calcula:<br />
a) Quin espai ha recorregut?<br />
b) Quant val el desplaçament?<br />
Solució<br />
a) En la fig. 5.17 hi ha representats els diferents desplaçaments. L’espai total<br />
recorregut són 7 km.<br />
b) El desplaçament és un vector amb sentit sud-est, i val:<br />
|P <br />
0P<br />
<br />
1| = |Dr <br />
| = Î(4 – 2) 2 + 12 = Î5 = 2,24 km<br />
= r <br />
2 – r <br />
0 = (4 – 0) u <br />
x +<br />
14> Un ciclista es desplaça en línia recta 750 m. Si la<br />
seva posició final és a 1250 m <strong>del</strong> <strong>punt</strong> de referència,<br />
el ciclista va iniciar el recorregut des d’una<br />
posició situada a:<br />
a) 750 m <strong>del</strong> <strong>punt</strong> de referència. b) 1250 m <strong>del</strong><br />
<strong>punt</strong> de referència. c) 500 m <strong>del</strong> <strong>punt</strong> de referència.<br />
d) No es pot saber la posició de partida.<br />
Tria la resposta correcta.<br />
EXEMPLE 5<br />
Fig. 5.17. Desplaçament total.<br />
Correspon al vector P <br />
<br />
0 P1.<br />
197
198 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
ACTIVITATS<br />
15> Una vegada iniciat el moviment, l’espai recorregut<br />
pot ser zero? Pot ser zero el desplaçament? Esmenta<br />
un exemple en què l’espai recorregut i el desplaçament<br />
tenen el mateix valor.<br />
16> Un ciclista recorre una pista circular de 20 m de<br />
radi partint <strong>del</strong> <strong>punt</strong> O en el sentit que indica la<br />
fletxa de la fig. 5.18.<br />
Calcula l’espai recorregut i el desplaçament:<br />
a) Quan el ciclista és al <strong>punt</strong> A.<br />
http://newton.cnice.mec.<br />
es/4eso/trayectoria/trayec0.htm<br />
En aquesta pàgina s’ofereix una<br />
explicació amb simulacions interactives<br />
de la diferència entre<br />
desplaçament i trajectòria (espai<br />
recorregut).<br />
Si r <br />
(t) representa la posició <strong>del</strong><br />
<strong>punt</strong> mòbil en l’instant t i r <br />
(t + Dt) representa la posició al<br />
cap d’un interval de temps Dt, la<br />
velocitat mitjana també s’obté:<br />
v <br />
= Dr<br />
Dt<br />
r (t + Dt) –<br />
=<br />
r <br />
(t)<br />
Dt<br />
Velocitat<br />
b) Quan és al <strong>punt</strong> B.<br />
c) Quan és a C.<br />
d) Quan ha fet una<br />
volta completa.<br />
Fig. 5.18<br />
Per a determinar el moviment d’una partícula cal conèixer com varia la posició d’aquesta<br />
partícula en el transcurs <strong>del</strong> temps. La variació de la posició, l’hem anomenada desplaçament.<br />
Per a relacionar el desplaçament que ha experimentat un mòbil amb el temps<br />
transcorregut introduïm una magnitud molt important en Cinemàtica: la velocitat. Podem<br />
distingir entre velocitat mitjana i velocitat instantània.<br />
Velocitat mitjana<br />
La velocitat mitjana es defineix com el desplaçament que experimenta<br />
el <strong>punt</strong> mòbil en la unitat de temps. És un vector que resulta de dividir el<br />
desplaçament produït entre l’interval de temps utilitzat i que té la mateixa<br />
direcció i sentit que el vector desplaçament, ja que el temps és una<br />
magnitud escalar positiva.<br />
v <br />
= Dr<br />
Dt<br />
EXEMPLE 6<br />
Una aranya es mou sobre el vidre d’una finestra seguint una trajectòria<br />
definida per x = t 2 i y = t + 2 en el SI. Calcula:<br />
a) El vector de posició de l’aranya en qualsevol instant.<br />
b) El desplaçament en l’interval de temps comprès entre t = 1 s i t = 3 s.<br />
c) La velocitat mitjana amb què s’ha desplaçat l’aranya durant aquest temps.<br />
Solució<br />
= xu <br />
x + yu <br />
y = t2 u <br />
x + (t + 2) u <br />
y<br />
a) El vector de posició ve donat per r <br />
b) Esbrinem les posicions corresponents als instants que s’indiquen:<br />
Per a t = 1 s; r <br />
1 = ux + 3 u <br />
y Per a t = 3 s; r <br />
3 = 9 u <br />
x + 5 u <br />
y<br />
El desplaçament és: Dr <br />
= r <br />
3 –r <br />
1 = (9 – 1) u <br />
x + (5 – 3) u <br />
y = 8 u <br />
x + 2 u <br />
y<br />
c) La velocitat mitjana s’obté de: v <br />
= Dr 8 u<br />
=<br />
Dt<br />
x + 2 u <br />
y<br />
2<br />
= 4 u <br />
x + u <br />
y m/s
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
EXEMPLE 7<br />
Una partícula es mou al llarg de l’eix Ox segons l’equació x = t 2 + 2. Calcula’n la velocitat mitjana.<br />
Solució<br />
En aquest cas, el vector de posició és r <br />
(x, 0) i no s’especifica l’interval de temps. Per això esbrinarem la velocitat<br />
mitjana utilitzant l’expressió:<br />
|v <br />
| = |Dr | |r (t + Dt) – r<br />
=<br />
Dt <br />
(t)|<br />
=<br />
Dt<br />
[(t + Dt)2 + 2 – (t 2 + 2)]<br />
=<br />
Dt<br />
t2 + 2 t Dt + (Dt) 2 + 2 – t 2 – 2<br />
= 2 t + Dt<br />
Dt<br />
Observa que el resultat és indeterminat, ja que depèn de dues variables: l’instant<br />
t i l’interval de temps Dt. Si l’interval de temps es fa infinitament petit<br />
(Dt 0), la velocitat mitjana agafa el valor |v <br />
| = 2 t i només depèn de<br />
l’instant que es considera. Per això rep el nom de velocitat instantània. I se sol definir<br />
com el valor que agafa la velocitat mitjana quan l’interval de temps tendeix a<br />
0: v <br />
i = lim Dr<br />
· Aquest límit es coneix en Matemàtiques com la derivada <strong>del</strong> vector de<br />
Dt0<br />
Dt<br />
posició respecte <strong>del</strong> temps.<br />
Velocitat instantània<br />
En la resolució de l’exemple anterior s’ha vist que la velocitat mitjana, en general, és<br />
indeterminada. A més, ens dóna poca informació <strong>del</strong> moviment que es produeix. Només<br />
relaciona el desplaçament total produït amb l’interval de temps utilitzat. No ens diu res<br />
sobre la trajectòria que ha seguit la partícula, ni si ha mantingut la mateixa velocitat<br />
durant tot l’interval de temps.<br />
Per exemple, si un cotxe ha trigat 5 hores a desplaçar-se de Madrid a València, a 350 km<br />
de distància, direm que ha fet el recorregut amb una velocitat mitjana de 70 km/h. Però<br />
aquesta dada no ens respon preguntes com ara: ha estat aquesta la velocitat real <strong>del</strong><br />
cotxe?, ha fet el recorregut mantenint sempre la mateixa velocitat?, per quina carretera<br />
ha anat?, quina velocitat tenia el cotxe quan va passar pel <strong>punt</strong> quilomètric 100?, i<br />
quan faltaven vint minuts per arribar a València?<br />
La veritable velocitat <strong>del</strong> cotxe és la que marca el velocímetre en l’instant en què s’observa<br />
(fig. 5.19). El velocímetre mesura el mòdul de la velocitat instantània.<br />
Velocitat instantània és la que té una partícula en un instant determinat<br />
o en un <strong>punt</strong> concret de la trajectòria.<br />
La velocitat instantània és un vector el mòdul <strong>del</strong> qual rep el nom de rapidesa i<br />
representa l’espai recorregut en la unitat de temps, la direcció <strong>del</strong> qual és tangent a la<br />
trajectòria i el sentit coincideix amb el sentit <strong>del</strong> moviment.<br />
17> La rapidesa d’un mòbil es mesura en m/s en el SI,<br />
i en la pràctica, en km/h. Expressa en m/s la rapidesa<br />
amb què es mou un cotxe que va a 144 km/h.<br />
ACTIVITATS<br />
18> Si la velocitat <strong>del</strong> so per l’aire és de 340 m/s, quina<br />
és la velocitat d’un avió en km/h quan trenca la<br />
barrera <strong>del</strong> so?<br />
199<br />
En general, la velocitat mitjana<br />
depèn de l’instant inicial i de<br />
l’interval de temps considerats.<br />
Si aquests valors estan determinats,<br />
la velocitat mitjana agafa un<br />
valor concret, tal com hem vist en<br />
l’exemple 6. Però si l’instant inicial<br />
i l’interval de temps no estan<br />
definits, la velocitat mitjana és<br />
indeterminada, tal com succeeix<br />
en l’exemple 7.<br />
Fig. 5.19. Velocímetre. Instrument<br />
que mesura el mòdul de la velocitat<br />
instantània <strong>del</strong> vehicle.
200 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
La velocitat és una magnitud<br />
vectorial. Per tant, hi ha acceleració<br />
sempre que la velocitat varia<br />
en qualsevol <strong>del</strong>s seus <strong>elements</strong>:<br />
mòdul, direcció o sentit.<br />
ACTIVITATS<br />
El mòdul de l’acceleració es mesura<br />
en m/s 2 .<br />
Acceleració<br />
19> Esmenta algun exemple en què la velocitat d’un<br />
vehicle canvia de mòdul i de direcció.<br />
Quan un automòbil es deplaça, no sempre ho fa amb la mateixa velocitat. Si un cotxe,<br />
per exemple, augmenta de velocitat, diem que accelera. Si l’increment de velocitat es<br />
produeix en menys temps, intuïtivament diem que el cotxe té més acceleració. Per tant,<br />
l’acceleració relaciona la velocitat amb el temps.<br />
Acceleració, en general, és la variació de la velocitat amb el temps.<br />
Mitjançant uns quants exemples, veurem quan té acceleració un moviment:<br />
1. Es llança una pilota a 10 m/s contra la paret d’un frontó. La pilota rebota i surt a<br />
10 m/s en la mateixa direcció. La velocitat és la mateixa abans i després <strong>del</strong> rebot?<br />
No, la pilota es mou amb la mateixa rapidesa abans i després <strong>del</strong> rebot, però<br />
no amb la mateixa velocitat. Hi ha acceleració perquè la velocitat ha canviat de<br />
sentit.<br />
2. Un cotxe es mou per una pista recta. En un moment donat, el velocímetre marca<br />
90 km/h i en un instant posterior 100 km/h. Hi ha acceleració perquè ha canviat el<br />
mòdul de la velocitat. El cotxe no es mou amb la mateixa rapidesa.<br />
3. El cotxe anterior agafa un revolt amb una rapidesa constant de 45 km/h. Hi ha acceleració<br />
perquè la direcció de la velocitat canvia contínuament.<br />
Acceleració mitjana i acceleració<br />
20> En el moviment d’un pèndol, quins <strong>elements</strong> de la<br />
velocitat es modifiquen?<br />
Per a determinar el moviment d’una partícula no n’hi ha prou de saber que la velocitat<br />
varia. Cal saber com es produeix aquesta variació en el transcurs <strong>del</strong> temps. Per això,<br />
s’introdueixen els conceptes d’acceleració mitjana i acceleració instantània.<br />
L’acceleració mitjana es defineix com el vector que resulta de dividir la<br />
variació de la velocitat que s’ha produït en un interval de temps entre el<br />
valor d’aquest interval:<br />
Si la pilota de l’exemple esmentat adés ha estat en contacte amb el frontó durant una<br />
dècima de segon, ha experimentat una acceleració mitjana:<br />
<br />
v1<br />
= +10 u <br />
x m/s v <br />
2 = –10 u <br />
x m/s<br />
a <br />
= v 2 – v <br />
1<br />
Dt<br />
= (–10 u<br />
a <br />
= Dv<br />
Dt<br />
= v<br />
2 – v <br />
1<br />
Dt<br />
x) – (10 u <br />
x)<br />
0,1 s<br />
= –200 u <br />
x m/s 2
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
L’acceleració instantània és el valor límit que agafa l’acceleració mitjana<br />
quan l’interval de temps és extremament petit.<br />
a <br />
i = lim Dv<br />
Dt0<br />
Dt<br />
Aquest límit rep el nom de derivada <strong>del</strong> vector velocitat respecte <strong>del</strong><br />
temps.<br />
Components intrínsecs de l’acceleració<br />
Sabem que la velocitat instantània és tangent a la trajectòria (fig. 5.20). Per tant, en<br />
cada <strong>punt</strong> se’n coneix bé la direcció. Però, quina és la direcció de l’acceleració instantània?<br />
És també tangent a la trajectòria?<br />
En la figura 5.21 s’ha obtingut gràficament el vector Dv <br />
. S’observa que aquest vector no<br />
és tangent a la trajectòria. La seva direcció és variable.<br />
Però independentment de la direcció, sempre es pot descompondre en dos vectors: l’un<br />
en la direcció de v <br />
1 i l’altre perpendicular a v <br />
1 (fig. 5.22).<br />
Si escollim el sistema de referència format per un <strong>punt</strong> de la trajectòria i dos vectors<br />
unitaris, l’un t <br />
amb la direcció de la tangent i l’altre n <br />
amb la direcció de la normal<br />
(perpendicular) a la tangent en aquest <strong>punt</strong>, hem definit un sistema de referència lligat<br />
a la pròpia trajectòria i que rep el nom de sistema de referència intrínsec a la trajectòria<br />
(fig. 5.23).<br />
A partir d’aquest sistema de referència, podem escriure: Dv <br />
= Dv <br />
t + Dv <br />
n. Per tant,<br />
l’acceleració és:<br />
a <br />
= Dv Dv t Dv n<br />
= + = a t + a<br />
Dt Dt Dt <br />
n = |a <br />
t| t <br />
+ |a <br />
n| n <br />
L’acceleració es pot descompondre en dues, l’una en la direcciónde la tangent (acceleració<br />
tangencial) i l’altra en la direcció de la normal (acceleració normal) en cada <strong>punt</strong><br />
de la trajectòria. Aquestes acceleracions reben el nom de components intrínseques de<br />
l’acceleració.<br />
L’acceleració tangencial s’obté de la variació de la rapidesa o mòdul de<br />
la velocitat.<br />
L’acceleració normal és la que porovoca el canvi de direcció de la velocitat<br />
i rep el nom d’acceleració centrípeta. El seu mòdul val v2<br />
, en què v és la<br />
R<br />
rapidesa i R el radi de la corba.<br />
Per a restar dos vectors, se’n trasllada un damunt la seva paral·lela, de manera que els<br />
orígens de tots dos coincideixin. El vector diferència és el que uneix l’extrem <strong>del</strong> vector<br />
subtrahend, v <br />
1, amb el vector minuend, v <br />
2.<br />
13> L’automòbil anterior agafa un revolt de manera que,<br />
al principi, el velocímetre marca 90 km/h, i al final,<br />
30 km/h.<br />
a) Té acceleració tangencial el cotxe? Per què?<br />
b) Té acceleració normal? Per què?<br />
Fig. 5.20. Direcció de la velocitat<br />
instantània.<br />
Fig. 5.21. La variació de la velocitat<br />
s’obté gràficament unint els extrems<br />
de les velocitats v <br />
1 i v <br />
2.<br />
Fig. 5.22. Descomposició de la variació<br />
de la velocitat.<br />
Fig. 5.23. Sistema de referència<br />
intrínsec a la trajectòria.<br />
ACTIVITATS<br />
c) Quin tipus d’acceleració hauria tingut el cotxe<br />
si durant tot el revolt s’hagués desplaçat a<br />
30 km/h?<br />
d) Quant val l’acceleració mitjana?<br />
201
202 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
Moviments<br />
SEGONS LA TRAJECTÒRIA<br />
Rectilinis Curvilinis<br />
Fig. 5.24. Classificació <strong>del</strong>s moviments segons la seva trajectòria.<br />
<br />
Fig. 5.26. Moviment rectilini.<br />
En aquests moviments, es pot agafar<br />
la trajectòria com a eix de referència.<br />
<br />
<br />
Fig. 5.27. Vector de posició d’un <strong>punt</strong> P.<br />
Aquest vector té una sola component.<br />
<br />
<br />
<br />
5.5 Classificació <strong>del</strong>s moviments<br />
més rellevants<br />
Els moviments que tenen lloc en el nostre entorn es poden classificar atenent dos criteris<br />
principals: la trajectòria (fig. 5.24) i l’acceleració (fig. 5.25).<br />
Segons la trajectòria, els moviments poden ser rectilinis i curvilinis. Un exemple senzill<br />
de moviments curvilinis és el moviment circular.<br />
D’acord amb l’acceleració, els moviments poden ser uniformes i accelerats. Dels últims,<br />
els que tindrem més en compte en aquest primer curs de Batxillerat són els anomenats<br />
uniformement accelerats.<br />
Circulars<br />
Parabòlics<br />
El·líptics<br />
Altres<br />
Moviments<br />
uniformes<br />
5.6 Moviments rectilinis<br />
Moviments<br />
SEGONS L’ACCELERACIÓ<br />
Acceleració constant Acceleració variable<br />
Moviments uniformement<br />
accelerats<br />
Fig. 5.25. Classificació <strong>del</strong>s moviments segons la seva acceleració.<br />
Els moviments rectilinis es caracteritzen perquè la seva trajectòria és una<br />
línia recta. Per tant, la direcció de la velocitat es manté constant.<br />
La caiguda lliure d’un cos, la propagació <strong>del</strong> so, el desplaçament d’un avió per una<br />
pista abans d’enlairar-se d’un aeròdrom, etc., són exemples de moviments rectilinis.<br />
L’estudi d’aquests moviments és senzill si utilitzem un sistema de referència adequat:<br />
situem l’origen O <strong>del</strong> sistema sobre la trajectòria i, a més, fem que aquesta coincideixi<br />
amb un <strong>del</strong>s eixos cartesians (fig. 5.26).<br />
Amb aquest sistema de referència, totes les <strong>magnituds</strong> <strong>del</strong> moviment tenen la mateixa<br />
direcció de l’eix escollit i, per tant, una sola component:<br />
Vector de posició r <br />
(x, 0, 0) |r <br />
| = x<br />
Vector desplaçament Dr <br />
(Dx, 0, 0) |Dr <br />
| = Dx<br />
Vector velocitat v <br />
(vx, 0, 0) |v <br />
| = vx = v<br />
Vector acceleració a <br />
(ax, 0, 0) |a <br />
| = ax = a<br />
De tot això, se n’extreuen les conclusions següents:<br />
El mòdul d’aquests vectors coincideix amb el valor de l’única component. El sentit,<br />
l’expressarem mitjançant un signe (+, –) segons el sentit <strong>del</strong> moviment.<br />
Per exemple: en comptes de r <br />
utilitzarem (+x) o (–x), en comptes de v <br />
utilitzarem (+v)<br />
o (–v), etc., d’acord amb el criteri de signes que et donarem. En la fig. 5.27 es posa de<br />
manifest l’única component que té el vector de posició.
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
En general, en els moviments rectilinis, el mòdul <strong>del</strong> desplaçament coincideix amb<br />
l’espai recorregut, si no s’inverteix el sentit <strong>del</strong> moviment (fig. 5.29).<br />
Criteri de signes per a les equacions<br />
<strong>del</strong> moviment rectilini<br />
Recorda que la posició, la velocitat i l’acceleració són <strong>magnituds</strong> vectorials la direcció<br />
de les quals coincideix amb la trajectòria, i el sentit és determinat pels signes + i –. Per<br />
a esbrinar quin signe tenen en cada problema concret utilitzarem el criteri següent:<br />
– Per a la posició. El signe de la posició coincideix amb el signe <strong>del</strong>s semieixos cartesians,<br />
com es dedueix de la fig. 5.28.<br />
– Per a la velocitat. La velocitat és positiva quan el mòbil es desplaça en el sentit <strong>del</strong><br />
semieix Ox o <strong>del</strong> semieix Oy (cap a la dreta o cap amunt), i és negativa si es desplaça<br />
en sentit contrari (cap a l’esquerra o cap avall).<br />
– Per a l’acceleració. Una acceleració és positiva si el sentit coincideix amb el de la<br />
velocitat positiva i és negativa si el sentit és contrari a aquesta velocitat.<br />
a) b) c)<br />
Moviment horitzontal Moviment vertical<br />
Fig. 5.28. Criteri de signes: a) per a la posició en moviment horitzontal; b) per a la posició en<br />
moviment vertical; c) per a la velocitat.<br />
ACTIVITATS<br />
22> Escriu el signe corresponent a la posició i a la velocitat en els casos<br />
següents:<br />
a) La partícula de la figura és al <strong>punt</strong> P1, a 20 m <strong>del</strong> <strong>punt</strong> O que s’agafa<br />
com a referència.<br />
b) La partícula és en P2, a 10 m <strong>del</strong> <strong>punt</strong> O.<br />
c) El cotxe de la fig. 5.26 s’allunya <strong>del</strong> <strong>punt</strong> O amb una rapidesa de<br />
20 m/s.<br />
d) Aquest cotxe retrocedeix a 2 m/s.<br />
203<br />
Fig. 5.29. Mòdul <strong>del</strong> desplaçament. En<br />
el moviment rectilini, el mòdul <strong>del</strong><br />
desplaçament gairebé sempre coincideix<br />
amb l’espai recorregut, x 1 – x 0 = s.
204 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
En l’MRU, normalment, l’espai<br />
recorregut coincideix amb el desplaçament.<br />
Per tant, l’equació<br />
xt = x0 + v t també es pot escriure:<br />
s = xt – x0 = v t<br />
que rep el nom d’equació horària<br />
<strong>del</strong> moviment rectilini i uniforme.<br />
Fig. 5.30. Posició de partida o posició<br />
inicial. És la distància x 0 (per a t = 0).<br />
Fig. 5.31. Diagrama x-t de l’MRU.<br />
Fig. 5.32. Diagrama v-t de l’MRU.<br />
L’àrea <strong>del</strong> recinte en color representa<br />
el desplaçament.<br />
Cinemàtica <strong>del</strong> moviment rectilini<br />
i uniforme (MRU)<br />
Un mòbil té MRU quan es desplaça en línia recta i sense acceleració, és<br />
a dir, mantenint la velocitat constant. En aquest moviment, la velocitat<br />
mitjana coincideix amb la velocitat instantània.<br />
Equació de l’MRU<br />
Es tracta d’obtenir una expressió matemàtica que permeti esbrinar en qualsevol moment<br />
la posició d’un mòbil si en coneixem la posició inicial i la velocitat. Fixa’t en el sistema<br />
de referència (fig. 5.30): la posició <strong>del</strong> <strong>punt</strong> mòbil P1, en qualsevol instant, és donada<br />
per la distància x que hi ha entre aquest <strong>punt</strong> i l’origen de coordenades.<br />
Suposem que inicialment, quan comencem a cronometrar l’interval de temps transcorregut,<br />
el mòbil és al <strong>punt</strong> P0, la posició <strong>del</strong> qual és donada per x0, posició inicial. Si aquest<br />
<strong>punt</strong> es desplaça al llarg de l’eix Ox amb una velocitat v, al cap d’un temps t la posició<br />
<strong>del</strong> mòbil serà xt. El desplaçament haurà estat Dx = xt – x0.<br />
De la definició de velocitat mitjana, v = xt – x0<br />
, es dedueix<br />
t<br />
xt = x0 + v t<br />
que és l’equació de l’MRU, en què:<br />
xt és la posició en qualsevol instant t;<br />
x0 és la posició inicial, per a t = 0;<br />
v és la velocitat constant <strong>del</strong> moviment, i<br />
t és el temps transcorregut.<br />
Diagrames <strong>del</strong> moviment rectilini i uniforme<br />
Les gràfiques s’usen per a determinar la relació que hi ha entre dues <strong>magnituds</strong>. Si<br />
parlem de moviment, els diagrames són representacions gràfiques, en funció <strong>del</strong> temps,<br />
de les <strong>magnituds</strong> posició, velocitat i acceleració.<br />
L’MRU té dos diagrames, x-t i v-t, ja que no té acceleració.<br />
• Diagrama x-t. Es tracta de representar gràficament l’equació <strong>del</strong> moviment agafant la<br />
posició instantània com a funció i el temps com a variable independent: xt = x0 + vt. La<br />
línia obtinguda és una recta l’ordenada en l’origen de la qual és la posició inicial i el<br />
pendent és la velocitat (fig. 5.31).<br />
• Diagrama v-t. És la representació gràfica de la funció v = f (t). Es tracta d’una recta<br />
paral·lela a l’eix <strong>del</strong> temps (fig. 5.32). L’àrea continguda davall de la línia de la<br />
velocitat representa el desplaçament: Dx = base · altura = t v = v t.<br />
ACTIVITATS<br />
23> Un cotxe passa per un <strong>punt</strong> A situat a 20 km <strong>del</strong> <strong>punt</strong> de referència. A<br />
quin <strong>punt</strong> serà al cap de mitja hora, si es desplaça amb una velocitat<br />
mitjana de 100 km/h?
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
El moviment d’una partícula es descriu mitjançant el diagrama x-t de la<br />
fig. 5.33. Calcula:<br />
a) La velocitat mitjana durant els dos primers segons.<br />
b) La velocitat mitjana en l’interval de 0 a 5 s.<br />
c) El desplaçament total que ha experimentat la partícula.<br />
d) Descriu el moviment de la partícula.<br />
Solució<br />
a) D’acord amb la fig. 5.33, per a t0 = 0, la partícula està en la posició x0 = 2 m, i<br />
en l’instant t1 = 2 s, en la posició x2 = 4 m.<br />
Per tant, la velocitat mitjana és: v = Dx<br />
Dt = x 1 – x 0<br />
t 1 – t 0<br />
24> A partir <strong>del</strong> diagrama de la fig. 5.34, indica quines<br />
afirmacions són falses:<br />
Fig. 5.34 Fig. 5.35<br />
a) En el tram OA la velocitat ha estat 0,8 m/s.<br />
b) En el tram AB la velocitat és 4/5 m/s.<br />
c) En el tram BC la velocitat és –2 m/s.<br />
d) En el tram AB el mòbil està aturat.<br />
= 4 m – 2 m<br />
2 s<br />
= 1 m/s<br />
b) En l’instant t5 = 5 s, la partícula està en la posició x5 = 0. Per tant, en l’interval<br />
de temps t5 – t0 = 5 s la velocitat mitjana ha estat:<br />
v = x5 – x0<br />
t5 – t0<br />
= 0 – 2 m<br />
5 s<br />
= –0,4 m/s<br />
EXEMPLE 8<br />
c) Recorda que el desplaçament s’obté de la diferència entre les posicions final i<br />
inicial: x5 – x0 = 0 – 2 m = –2 m.<br />
d) Segons la fig. 5.33, la partícula inicia el moviment des d’un <strong>punt</strong> situat a 2 m<br />
<strong>del</strong> sistema de referència. Està en moviment durant 1 s fins a arribar a un <strong>punt</strong><br />
situat a 4 m <strong>del</strong> sistema de referència; en aquest <strong>punt</strong> roman aturada durant<br />
2 s més. Al cap d’aquest temps, la partícula es mou en sentit contrari i es<br />
dirigeix cap al <strong>punt</strong> de referència, on arriba en l’instant t = 5 s.<br />
Fig. 5.33. Moviment de la partícula<br />
de l’exemple 8.<br />
ACTIVITATS<br />
25> El moviment rectilini d’una partícula es descriu en<br />
el diagrama x-t de la fig. 5.35.<br />
a) Què representa el valor x = 5 m?<br />
b) Què significa el tram horitzontal?<br />
c) Quina velocitat té la partícula en els intervals<br />
de t = 0 a t = 2 s i de t = 2 s a t = 4 s?<br />
d) Quina distància recorre la partícula en 4 s?<br />
205
206 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
O<br />
y<br />
P 0 (x 0)<br />
v 0<br />
EXEMPLE 9<br />
P 1 (x 1)<br />
Fig. 5.36. Acceleració mitjana. Entre les<br />
posicions P 0 i P1 l’acceleració és constant.<br />
v t<br />
x<br />
Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA)<br />
És un moviment rectilini que es fa amb acceleració constant. Per tant,<br />
l’acceleració mitjana i l’acceleració instantània hi coincideixen.<br />
Equacions de l’MRUA<br />
Suposem que en la posició P 1 de la fig. 5.36, una partícula té una velocitat instantània<br />
v0 i en un altre <strong>punt</strong> P 1 de la trajectòria la velocitat és v t. Si ha utilitzat un temps t per<br />
a desplaçar-se des de P0 fins a P 1, l’acceleració mitjana de la partícula haurà estat:<br />
a = vt – v0 m/s<br />
t<br />
2<br />
Aquesta és la velocitat en qualsevol instant, si es coneix l’acceleració:<br />
v t = v 0 + a t (1)<br />
La velocitat mitjana aritmètica de la partícula entre les posicions P0 i P1 s’obté de:<br />
v – = v0 + vt<br />
=<br />
2<br />
v0 + (v0 + a t)<br />
= v0 +<br />
2<br />
1<br />
a t<br />
2<br />
Sense consideracions vectorials, i com que la velocitat mitjana és constant en l’interval,<br />
podem aplicar l’equació de l’MRU per a esbrinar la posició instantània:<br />
xt = x0 + v – t = x0 + ( v0 + 1<br />
2 a t) t xt = x0 + v0 t + 1<br />
a t2<br />
(2)<br />
2<br />
En resum, si sabem l’acceleració constant amb què es mou una partícula, podem<br />
esbrinar la velocitat que té en qualsevol instant utilitzant l’equació 1. A més, mitjançant<br />
l’equació 2 també en podem esbrinar la posició. Si eliminem el temps entre les dues<br />
equacions anteriors s’obté una tercera equació molt útil que permet calcular la velocitat<br />
en qualsevol posició, si no coneixem el valor <strong>del</strong> temps:<br />
vt 2 – v0 2 = 2 a (xt – x0) (3)<br />
Un automòbil parteix d’una gasolinera on estava en situació de repòs. Després de recórrer 200 m agafa una<br />
velocitat de 108 km/h. Calcula:<br />
a) El valor de l’acceleració, que es considera constant.<br />
b) El temps que ha trigat a assolir la velocitat indicada.<br />
Solució<br />
Prenem la gasolinera com a sistema de referència. Comencem a comptar el temps quan el cotxe parteix de la gasolinera.<br />
Posició inicial x0 = 0 Posició final xt = 200 m<br />
Velocitat inicial v0 = 0 Velocitat al final <strong>del</strong>s 200 m, vt = 108 km/h = 30 m/s<br />
a) D’acord amb aquestes dades, l’acceleració s’obté a partir de l’equació: vt 2 – v0 2 = 2 a (xt – x0).<br />
a =<br />
vt 2 – v0 2<br />
2 (x1 – x0) = (30 m/s)2 – 0<br />
2 (200 m – 0) = 900 m2 /s 2<br />
400 m<br />
b) Aïllem el temps transcorregut en l’equació: vt = v0 + a t; t = v t – v 0<br />
a<br />
= 30 m/s – 0<br />
= 2,25 m/s2<br />
2,25 m/s 2 = 13,3 s
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
Un cotxe, en passar per un <strong>punt</strong> A d’una carretera, es desplaça a 120 km/h, i en fer-ho per un altre <strong>punt</strong> B de la<br />
mateixa carretera, la velocitat és de 90 km/h. Si ha trigat 5 s a desplaçar-se des de A fins a B, calcula:<br />
a) El valor de l’acceleració, que es considera constant.<br />
b) La distància entre A i B.<br />
c) A quina distància de A s’aturarà l’automòbil?<br />
Solució<br />
Prenem el <strong>punt</strong> A com a sistema de referència. Comencem a cronometrar quan el cotxe passa per aquest <strong>punt</strong>. D’acord<br />
amb això, coneixes:<br />
– La posició inicial x0 = 0.<br />
– La velocitat inicial v0 = 120 km/h = 33,3 m/s.<br />
– El temps transcorregut t = 5 s.<br />
– La velocitat en el <strong>punt</strong> B: vt = 90 km/h = 25 m/s.<br />
a) L’acceleració s’obté a partir de l’equació vt = v0 + a t<br />
a = vt – v0 =<br />
t<br />
25 m/s – 33,3 m/s<br />
= –1,7 m/s<br />
5 s<br />
2<br />
b) La distància entre A i B ve donada per la posició <strong>del</strong> cotxe al cap de 5 s:<br />
xt = x0 + v0 t + 1<br />
2 a t2 = 33,3 m/s · 5 s + 1<br />
2 · (–1,7 m/s2 ) · (5 s) 2 = 145,3 m<br />
c) El cotxe s’aturarà quan la velocitat sigui zero, i això ocorre en una posició xt que s’obté aïllant de<br />
xt – x 0 = v2 t – v 2 0<br />
2 a<br />
Diagrames de l’MRUA<br />
= 0 – (33,3 m/s)2<br />
v t 2 – v0 2 = 2 a (xt – x0) en què vt = 0<br />
2 (–1,7 m/s2 = 326 m; x = x0 + 326 m = 0 + 326 m = 326 m<br />
)<br />
Diagrama a-t. És la representació gràfica de la funció a = f (t). Com que l’acceleració és<br />
constant, la gràfica és una recta paral·lela a l’eix <strong>del</strong>s temps (fig. 5.37). L’àrea continguda<br />
sota l’acceleració representa l’increment de la velocitat: Dv = base · altura = t a = a t.<br />
Diagrama v-t. És la representació de la funció v = f (t) = v0 + a t. És una recta l’ordenada en<br />
l’origen de la qual és la velocitat inicial i el pendent representa l’acceleració (fig. 5.38).<br />
Aquí l’àrea és el vector desplaçament:<br />
Dx = rectangle + triangle = v0 t + 1<br />
2 (vt – v0) t = v0 t + 1<br />
2<br />
Diagrama x-t. És la representació de la funció xt = x0 + v0 t + 1<br />
2 at2 . Es tracta d’una<br />
paràbola.<br />
Fig. 5.37. Diagrama a-t de l’MRUA. L’àrea<br />
de color representa l’increment de v.<br />
a t2<br />
Fig. 5.38. Diagrama v-t de l’MRUA. L’àrea<br />
en color representa el desplaçament.<br />
EXEMPLE 10<br />
207<br />
El diagrama x-t d’un moviment no<br />
representa la trajectòria, solament<br />
indica com varia la posició <strong>del</strong> mòbil<br />
amb el temps.<br />
O<br />
x (m)<br />
t (s)
208 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
ACTIVITATS<br />
26> Un cos que es mou en línia recta té una velocitat<br />
que varia amb el temps, segons el diagrama de la<br />
figura 5.39. Indica quines de les afirmacions següents<br />
són correctes:<br />
Fig. 5.39<br />
Criteri de signes per a la caiguda<br />
lliure<br />
– La posició és positiva si el mòbil<br />
està per damunt <strong>del</strong> nivell Ox.<br />
– La velocitat és positiva si el<br />
cos puja i és negativa si el cos<br />
baixa.<br />
– L’acceleració de la gravetat és<br />
sempre negativa.<br />
Fig. 5.40. Sistema de referència per<br />
a un moviment en caiguda lliure.<br />
a) Durant tot el recorregut ha tingut un MRUA.<br />
b) L’acceleració mitjana és 4 m/s 2 .<br />
c) La velocitat màxima és 72 km/h.<br />
d) La distància recorreguda els deu primers segons<br />
és de 100 m.<br />
e) En l’interval de 0 a 5 s el cos està parat.<br />
f) En l’interval de 10 s a 15 s el cos es mou sense<br />
acceleració.<br />
27> Un vehicle es mou sobre una pista rectilínia durant<br />
5 s amb acceleració constant. Segueix amb velocitat<br />
constant durant 15 s i després frena de manera<br />
constant fins a parar, cosa que aconsegueix en 20 s.<br />
Dibuixa els diagrames a-t i v-t d’aquest moviment.<br />
5.7 La caiguda lliure: un moviment<br />
rectilini uniformement accelerat<br />
El 2 d’agost de 1971, quan l’astronauta David Scott era a la superfície de la Lluna, va<br />
deixar caure simultàniament un martell de geòleg i una ploma de falcó i va observar que<br />
els dos cossos tocaven simultàniament la superfície lunar. Havia comprovat a la Lluna<br />
la hipòtesi de Galileu: «En absència de fricció amb l’aire, tots els cossos cauen cap a la<br />
Terra amb la mateixa acceleració».<br />
El moviment d’un cos per l’acció de la gravetat, que supera la resistència<br />
de l’aire, rep el nom de caiguda lliure.<br />
En la caiguda lliure no importa el moviment inicial <strong>del</strong> cos. Tots els objectes que es<br />
llancen cap amunt o cap avall, i els que es deixen caure a partir <strong>del</strong> repòs, cauen<br />
lliurement. Un cop es troben en caiguda lliure, tots els cossos estan sotmesos a<br />
l’acceleració de la gravetat. A prop de la Terra aquesta acceleració és pràcticament<br />
constant.<br />
La caiguda lliure és un moviment rectilini i uniformement accelerat.<br />
Si prenem com a <strong>punt</strong> de referència un <strong>punt</strong> O de la trajectòria vertical i com a eix Oy<br />
aquesta trajectòria (fig. 5.40), les equacions que defineixen aquest moviment són:<br />
Velocitat mitjana v – = v0 + 1<br />
Velocitat instantània<br />
a t<br />
2<br />
vt = v0 + a t v 2 t – v 2 Posició instantània yt = y0 + v0 t +<br />
0 = 2 a (yt – y0)<br />
1<br />
a t2<br />
2<br />
yt = y0 + 1<br />
2 (v0<br />
On a = g = –9,8 m/s<br />
+ vt) t<br />
2 .
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
Deixes caure una pilota des de la terrassa d’un edifici de 20 m d’alçària.<br />
a) Quant de temps triga a arribar a terra?<br />
b) Amb quina velocitat arriba a terra?<br />
Solució<br />
Prenem un <strong>punt</strong> <strong>del</strong> terra que sigui a la vertical de caiguda de la pilota com a sistema de referència. Per tant, la posició<br />
inicial <strong>del</strong> cos és 20 m. Si la pilota es deixa caure, vol dir que inicia la caiguda partint <strong>del</strong> repòs (v0 = 0) i amb una<br />
acceleració constant.<br />
a) La pilota arribarà a terra quan la posició final serà zero. Per tant, el temps transcorregut s’obté resolent l’equació:<br />
d’on es dedueix que t =<br />
0 = y0 + v 0 t + 1<br />
2 a t2 0 = 20 m + 1<br />
2 (–9,8 m/s2 ) t 2<br />
20 m Î 2<br />
4,9 m/s<br />
= 2 s.<br />
b) La velocitat amb què arriba al carrer és:<br />
vt = v0 + a t = 0 + (–9,8 m/s2 ) · 2 s = –19,6 m/s<br />
El signe menys indica el sentit descendent.<br />
EXEMPLE 11<br />
Es deixa caure un objecte des d’una alçada de 80 m. Dos segons més tard se’n llança un altre des <strong>del</strong> terra cap<br />
amunt a la mateixa vertical amb una velocitat de 20 m/s. A quina altura s’encreuen?<br />
Solució<br />
Prenem el terra com a referència.<br />
Dades Primer objecte Segon objecte<br />
Posició inicial (y 0)<br />
Velocitat inicial (v 0)<br />
Acceleració (a)<br />
Temps transcorregut (t 0)<br />
y 0 = 80 m<br />
v 0 = 0 m/s<br />
a = –9,8 m/s 2<br />
t 1 = t s<br />
y 0 = 0 m<br />
v 0 = 20 m/s<br />
a = –9,8 m/s 2<br />
t 2 = (t – 2) s<br />
Els dos objectes s’encreuaran quan estiguin a la mateixa alçada. És a dir, a la mateixa posició:<br />
y = y0 + v0 t + 1<br />
a t2<br />
2<br />
Objecte 1: y = 80 m – 0,5 · 9,8 m/s 2 · t 2<br />
Objecte 2: y = 20 m/s · (t – 2 s) – 0,5 · 9,8 m/s 2 · (t – 2 s) 2<br />
Com que la posició <strong>del</strong>s dos objectes és comuna, la podem eliminar igualant les dues equacions:<br />
80 m – 4,9 m/s 2 · t 2 = 20 m/s · (t – 2 s) – 4,9 m/s 2 · (t – 2 s) 2<br />
d’on s’obté que s’encreuen al cap de 3,5 s des que va sortir el primer.<br />
Substituïm aquest valor en l’equació <strong>del</strong> primer objecte:<br />
y = 80 m – 4,9 m/s 2 · t 2 = 80 m – 4,9 m/s 2 · (3,5 s) 2 = 20 m<br />
Així doncs, s’encreuaran a 20 m <strong>del</strong> terra.<br />
EXEMPLE 12<br />
209
210 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
Fig. 5.42. Moviment circular. Aquest moviment<br />
ve donat per un vector de posició<br />
giratori. L’angle w girat està relacionat<br />
amb l’espai recorregut s.<br />
Fig. 5.43. Radian. Si s = R, l’angle w<br />
mesura un radian.<br />
A una circumferència completa<br />
(360°) li correspon un angle de:<br />
w = s<br />
R<br />
ACTIVITATS<br />
28> En la figura 5.41 es representa el diagrama v-t <strong>del</strong><br />
moviment d’un objecte llançat verticalment cap<br />
amunt des <strong>del</strong> terra.<br />
Fig. 5.41<br />
= 2 p R<br />
R<br />
= 2 p radians<br />
5.8 Moviment circular. Magnituds<br />
angulars<br />
El moviment circular es caracteritza perquè la seva trajectòria és una circumferència. Si<br />
agafem el centre de la circumferència com a <strong>punt</strong> de referència, el vector de posició de<br />
la partícula gira i canvia cada instant de direcció (fig. 5.42), encara que el seu mòdul<br />
roman constant: |r <br />
| = R.<br />
Si la partícula inicia el moviment des d’un <strong>punt</strong> P1 de la trajectòria i després d’un<br />
temps t la partícula és al <strong>punt</strong> P2, a l’espai s recorregut per la partícula li correspon un<br />
angle w comprès entre els vectors r <br />
1 i r <br />
2 (fig. 5.42).<br />
Si la longitud de l’arc s és igual al radi de la circumferència, llavors l’angle subtendit<br />
w es diu que mesura un radian (rad) (fig. 5.43). D’acord amb això, el valor<br />
d’un angle en radians s’obté dividint l’arc entre el radi de la circumferència corresponent:<br />
w (rad) = s<br />
s = w R<br />
R<br />
Es mesura en rad/s, encara que a la pràctica també s’utilitzen les revolucions per minut<br />
(rpm).<br />
Entre les dues unitats hi ha la relació: 1 rpm =<br />
De les igualtats v = s<br />
t<br />
i v = w<br />
t<br />
Prenent per a la gravetat el valor –10 m/s 2 , indica<br />
quines afirmacions són falses:<br />
a) L’acceleració canvia de sentit al cap de 2 s.<br />
b) La velocitat canvia de sentit al cap de 2 s.<br />
c) L’altura màxima s’aconsegueix al cap de 2 s.<br />
d) L’objecte al cap de 3 s és a 10 m <strong>del</strong> terra.<br />
e) L’altura màxima aconseguida va ser de 20 m.<br />
f) Al cap de 4 s arriba al terra.<br />
La velocitat angular v és defineix com l’angle girat pel vector de posició<br />
en la unitat de temps:<br />
v = w<br />
t<br />
1 rev<br />
min<br />
· 1 min<br />
60 s<br />
· 2 p rad<br />
1 rev<br />
i de s = w R s’obté la important relació:<br />
v = v R<br />
= p<br />
30 rad/s<br />
En el moviment circular es distingeixen dues velocitats: la velocitat v, que rep el nom<br />
de velocitat lineal i és tangent a la trajectòria, i la velocitat angular v.
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
Moviment circular uniforme<br />
Aquest moviment es caracteritza perquè la circumferència es recorre sempre amb la<br />
mateixa rapidesa; és a dir, el mòdul de la velocitat lineal és constant, i sempre és<br />
tangent a la trajectòria (fig. 5.44).<br />
Si la partícula inicia el moviment des d’un <strong>punt</strong> A de la trajectòria (fig. 5.45), l’espai<br />
recorregut al cap d’un temps t serà:<br />
s = v t o bé w = v t<br />
si volem esbrinar l’angle descrit corresponent a l’espai s.<br />
El mòdul de la velocitat s’obté de l’expressió anterior:<br />
v = s 2 p R<br />
=<br />
t T<br />
on T representa el temps que es triga a fer una volta i rep el nom de període.<br />
S’anomena freqüència, f, el nombre de voltes fetes en un segon.<br />
El període i la freqüència són inversos: T f = 1.<br />
Recorda, no obstant això, que aquest moviment té acceleració normal o centrípeta,<br />
perquè la velocitat varia cada instant, i canvia de direcció.<br />
L’acceleració centrípeta ve donada per:<br />
an = v2<br />
R<br />
Sense l’acceleració centrípeta, una partícula no podria descriure una trajectòria circular.<br />
Si en un moment donat l’acceleració centrípeta es redueix a zero, la partícula es mourà<br />
en línia recta, seguint la direcció de la tangent.<br />
Calcula la velocitat amb què es desplaça un automòbil sabent que les<br />
rodes tenen un diàmetre de 80 cm i giren a 500 rpm.<br />
Solució<br />
En primer lloc expressem la velocitat de les rodes en rad/s:<br />
500 rpm = 500 rev 1 min 2 p rad<br />
· · = 52,4 rad/s<br />
min<br />
60 s<br />
1 rev<br />
EXEMPLE 13<br />
La rapidesa de les rodes coincideix amb la rapidesa <strong>del</strong> cotxe:<br />
v = v R = 52,4 rad/s · 0,4 m/rad = 21 m/s = 76 km/h<br />
29> Calcula l’acceleració centrípeta d’un objecte que es<br />
mou sobre una circumferència de 10 m de radi a<br />
90 km/h.<br />
30> Lliguem una pedra a una corda d’1 m de longitud<br />
i la fem girar descrivint circumferències amb una<br />
freqüència de cinc voltes per segon.<br />
Fig. 5.44. Velocitat tangencial. V t és<br />
tangent a la trajectòria en qualsevol<br />
<strong>punt</strong>.<br />
Fig. 5.45. En un moviment circular, la<br />
longitud s de l’arc descrit representa<br />
l’espai recorregut.<br />
El moviment circular uniforme no<br />
té acceleració tangencial, però sí<br />
acceleració normal.<br />
ACTIVITATS<br />
Calcula:<br />
a) La velocitat angular en rpm.<br />
b) La rapidesa, en km/h, amb què gira la pedra.<br />
c) L’acceleració centrípeta a què està sotmès el<br />
cos.<br />
211
212 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
El moviment circular uniformement<br />
accelerat té at = a R i<br />
an = v2<br />
R .<br />
L’acceleració normal no és constant<br />
perquè varia v sense variar R.<br />
A les fórmules, com a unitats <strong>del</strong><br />
radi, has de posar m/rad, tot i<br />
que el rad no té sentit físic en si<br />
mateix.<br />
Al cap i a la fi, el radi representa<br />
els metres que té un radian.<br />
Moviment circular uniformement accelerat<br />
Si la velocitat angular instantània canvia des d’un valor v 0 fins a v f en l’interval de<br />
temps Dt, la partícula que descriu la circumferència té acceleració angular.<br />
L’acceleració angular mitjana es defineix com el quocient entre la variació<br />
de la velocitat angular i el temps transcorregut. Es mesura en rad/s 2 .<br />
D’aquesta expressió s’obté el valor de la velocitat angular per a qualsevol instant t:<br />
v t = v 0 + a t (1)<br />
La velocitat angular mitjana entre dos instants t0 i t també es pot expressar com una<br />
mitjana aritmètica:<br />
v – = v0 + vt<br />
2<br />
a = vt – v0<br />
t<br />
= v 0 + (v 0 + at)<br />
2<br />
= v 0 + 1<br />
2<br />
Tenint en compte que aquest valor mitjà és constant en l’interval de temps indicat,<br />
podem aplicar l’equació <strong>del</strong> moviment circular uniforme per a esbrinar el desplaçament<br />
angular:<br />
w= v – t = ( v0 + 1<br />
2 a t) t w = v0 t + 1<br />
a t2<br />
(2)<br />
2<br />
• Si coneixes l’acceleració angular amb què es mou una partícula, pots esbrinar la<br />
velocitat angular que té en qualsevol instant utilitzant l’equació 1.<br />
• A més, mitjançant l’equació 2 pots esbrinar també l’angle girat.<br />
• Si elimines el temps entre les dues equacions anteriors, obtens una tercera equació<br />
que permet calcular la velocitat en funció de l’angle girat:<br />
a t<br />
v 2 t – v 2 0 = 2 aw (3)<br />
• Si no coneixes l’acceleració, pots aplicar l’equació següent, que s’obté a partir de la<br />
velocitat mitjana:<br />
w = 1/2 (v 0 + v t) t (4)<br />
Observa la semblança que hi ha entre les equacions <strong>del</strong> moviment rectilini i <strong>del</strong> moviment<br />
circular, que es mostra en la taula 5.1.<br />
Moviment rectilini Moviment circular<br />
v = v 0 + a t<br />
x = x0 + v 0 t + 1<br />
2<br />
a t2<br />
v 2 – v 2 0 = 2 a (x – x 0)<br />
x = x0 + 1<br />
2 (v 0 + v t) t<br />
Taula 5.1. Comparació entre moviment rectilini i moviment circular.<br />
vf = v0 + a t<br />
w = v0 t + 1<br />
a t2<br />
2<br />
v 2 t – v 2 0 = 2 aw w = 1<br />
2 (v0 + vt) t
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
Una partícula descriu una circumferència de 5 m de radi amb una velocitat constant de 2 m/s. En un moment<br />
donat frena amb una acceleració constant de 0,5 m/s 2 fins a parar-se. Calcula:<br />
a) La velocitat angular en rpm de la partícula abans de començar a frenar.<br />
b) L’acceleració de la partícula abans de començar a frenar.<br />
c) L’acceleració 2 s després de començar a frenar.<br />
d) L’acceleració angular mentre frena.<br />
e) El temps que triga a parar.<br />
f) El nombre de voltes que fa des que comença a frenar fins que para.<br />
Solució<br />
a) La velocitat angular s’obté de la relació v = v R.<br />
v = v 2 m/s<br />
0,4 rad/s · 60 s/min<br />
= = 0,4 rad/s = = 4 rpm<br />
R 5 m/rad 2 p rad/rev<br />
b) Abans de començar a frenar, el mòdul de la velocitat és constant. Per tant, l’única acceleració que té és l’acceleració<br />
normal:<br />
an = v2<br />
R = 4 m2 /s 2<br />
= 0,8 m/s2<br />
5 m/rad<br />
c) En aquest instant també té acceleració tangencial: a t = –0,5 m/s 2 .<br />
Per tant, l’acceleració de la partícula és:<br />
d) L’acceleració angular es pot obtenir de la relació:<br />
e) De l’equació v = v 0 + a t aïllem el temps:<br />
an = v2<br />
R = (v0 + a t ) 2<br />
=<br />
R<br />
(2 m/s – 0,5 m/s2 · 2 s) 2<br />
= 0,2 m/s<br />
5 m/rad<br />
2<br />
a = Îa 2 t + a 2 n = Î(–0,5 m/s 2 ) 2 + (0,2 m/s 2 ) 2 = 0,54 m/s 2<br />
at = a R a = a t<br />
R<br />
t = vt – v0<br />
a<br />
Comprova que el resultat és igual utilitzant t = vt – v0<br />
a<br />
f) Nombre de voltes:<br />
o bé,<br />
n =<br />
= 0 – 2 m/s<br />
= –0,5 m/s2<br />
5 m/rad<br />
= 4 s 2<br />
–0,5 m/s<br />
= –0,1 rad/s2<br />
s<br />
2 p R = v0 t + 1/2 a t2 =<br />
2 p R<br />
2 m/s · 4 s – 1/2 · 0,5 m/s2 · 16 s2 = 0,13 voltes<br />
31,4 m/volta<br />
n = w<br />
2 p = v0 t + 1/2 a t2 =<br />
2 p<br />
0,4 rad/s · 4 s – 1/2 · 0,1 rad/s2 · 16 s 2<br />
=<br />
6,28 rad/volta<br />
= 1,6 rad – 0,8 rad<br />
6,28 rad/volta<br />
= 0,13 voltes<br />
EXEMPLE 14<br />
213
214 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
Fig. 5.46. Superposició de moviments. La<br />
trajectòria parabòlica de la pilota és el<br />
resultat de dos moviments independents:<br />
un d’horitzontal uniforme i un altre de<br />
vertical uniformement accelerat.<br />
Fig. 5.47. Exposició múltiple de dues<br />
pilotes de golf. Una cau lliurement<br />
partint <strong>del</strong> repòs i l’altra ha estat<br />
llançada horitzontalment. Les línies<br />
horitzontals estan separades 15 cm<br />
entre si i els intervals entre cada dues<br />
exposicions són d’1/30 s.<br />
Compondre dos moviments equival<br />
a sumar-ne les <strong>magnituds</strong> homòlogues:<br />
r <br />
= r <br />
1 + r <br />
2<br />
v <br />
= v <br />
1 + v <br />
2<br />
a <br />
= a <br />
1 + a <br />
2<br />
5.9 Composició de moviments<br />
Observa la fig. 5.46; s’hi representa una pilota que llisca per una taula.<br />
Què ocorre amb el moviment d’aquesta pilota quan arriba a la vora A de la taula? Per<br />
què pren una trajectòria parabòlica?<br />
Aquestes preguntes les va respondre Galileu el 1633 amb les paraules següents: «[...]<br />
aleshores la partícula que es mou, que imaginem pesant, en sobrepassar la vora <strong>del</strong> pla,<br />
a més <strong>del</strong> seu perpetu moviment uniforme previ, adquireix una propensió cap avall a<br />
causa <strong>del</strong> seu pes mateix; de manera que el moviment resultant, que anomenaré projecció,<br />
és compost d’un que és uniforme i horitzontal i d’un altre que és vertical i accelerat<br />
naturalment».<br />
D’acord amb les idees de Galileu, un moviment parabòlic és el resultat de compondre dos<br />
moviments rectilinis perpendiculars entre si: un d’uniforme i un altre d’uniformement<br />
accelerat.<br />
Mentre la pilota està en contacte amb la taula només hi ha un moviment, que és uniforme<br />
perquè suposem que no hi intervé cap tipus de fricció; però quan la pilota abandona<br />
la taula comença a actuar la gravetat i origina un moviment de caiguda lliure.<br />
La força vertical de la gravetat no influeix en el moviment horitzontal; de la mateixa<br />
manera, l’existència <strong>del</strong> moviment horitzontal no canvia l’efecte de la força gravitatòria<br />
sobre el moviment vertical. En altres paraules, els moviments horitzontal i vertical són<br />
independents.<br />
La independència d’aquests moviments es posa de manifest en la fig. 5.47. Hi apareixen<br />
les diferents posicions de dues pilotes de golf.<br />
La bola 1 s’ha deixat caure lliurement, sense cap tipus de velocitat inicial. La bola 2 s’ha<br />
llançat horitzontalment en el mateix instant que es deixa caure la bola 1. Observem que<br />
les dues cauen amb la mateixa acceleració i arriben al terra al mateix temps.<br />
La pilota 2 cau verticalment amb una acceleració constant, encara que simultàniament<br />
té un altre moviment horitzontal. Per tant, la força gravitatòria produeix la<br />
mateixa acceleració vertical independentment que el cos tingui moviment horitzontal<br />
o no.<br />
Principi de superposició<br />
A més <strong>del</strong> moviment parabòlic, hi ha altres exemples de composició de moviments. Tots<br />
els casos es resolen aplicant el mètode següent, que rep el nom de principi de superposició<br />
i que diu:<br />
Si una partícula és sotmesa simultàniament a diversos moviments elementals<br />
independents, el moviment resultant s’obté sumant vectorialment<br />
aquests moviments parcials.<br />
Com se sumen vectorialment dos moviments? Senzillament, sumant separadament les<br />
posicions, els desplaçaments, les velocitats, etcètera.
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
Un barquer vol travessar un riu de 120 m d’amplària; per a aconseguir-ho<br />
remarà en sentit perpendicular al corrent. Si la velocitat que assoleix la<br />
barca és de 2 m/s respecte al corrent i l’aigua <strong>del</strong> riu descendeix a 1 m/s, el<br />
barquer vol saber:<br />
a)Quants moviments té la barca? Són independents o no?<br />
b)Amb quina velocitat es mou la barca respecte de la riba <strong>del</strong> riu?<br />
c) Quant de temps trigarà a travessar el riu? Necessitaria el mateix temps si<br />
l’aigua estigués en repòs?<br />
d)En quin <strong>punt</strong> de la riba oposada desembarcarà?<br />
e) Haurà recorregut 120 m quan la barca haurà creuat el riu?<br />
Solució<br />
Escollim el sistema de referència en el <strong>punt</strong> O de sortida de la barca, de manera que l’eix<br />
Ox és la direcció <strong>del</strong> corrent i l’eix Oy, la direcció perpendicular a aquest (fig. 5.48).<br />
a) La barca és sotmesa a dos moviments rectilinis i uniformes: el moviment<br />
produït pels rems v <br />
1 i el d’arrossegament a causa de l’aigua v <br />
2 (fig. 5.48). Tots<br />
dos són perpendiculars entre si i independents: la barca seria arrossegada amb<br />
la mateixa velocitat si el barquer deixés de remar i el barquer impulsaria la<br />
barca amb la mateixa velocitat encara que no hi hagués corrent.<br />
El moviment global de la barca és la suma <strong>del</strong>s moviments esmentats, les<br />
equacions <strong>del</strong>s quals són:<br />
Moviment segons l’eix Ox: x = vx t, en què v x = 1 m/s.<br />
Moviment segons l’eix Oy: y = vy t, en què vy = 2 m/s.<br />
b) La velocitat real de la barca és la suma de la velocitat relativa respecte de l’aigua<br />
més la velocitat a què és arrossegada pel corrent (fig. 5.48):<br />
<br />
v = v <br />
1 + v <br />
2<br />
D’acord amb el sistema de referència escollit, es compleix que v <br />
1 (0, vy) i v <br />
2<br />
(vx, 0). Per tant, la velocitat resultant és: v = |vx| u <br />
x + |vy| u <br />
y = u <br />
x + 2 u <br />
y m/s,<br />
el mòdul de la qual és:<br />
v = Îv 2 x + v 2 y = Î5 m 2 /s 2 = 2,24 m/s<br />
Per tant, la barca avançarà amb una rapidesa de 2,24 m/s.<br />
c) El temps que trigarà a travessar el riu només depèn de l’amplària d’aquest i de<br />
la velocitat vy. La barca arribarà a l’altra riba quan y = 120 m.<br />
t = y<br />
= 120 m<br />
= 60 s<br />
vy<br />
2 m/s<br />
d) Mentre la barca recorre els 120 m, és arrossegada per l’aigua amb una velocitat<br />
vx = 1 m/s. Per tant, la distància a què és arrossegada pel corrent serà:<br />
x = vx t = 1 m/s · 60 s = 60 m<br />
El barquer desembarcarà en un <strong>punt</strong> situat a 60 m aigua avall <strong>del</strong> <strong>punt</strong> P de<br />
referència (fig. 5.49).<br />
e) El desplaçament real de la barca és igual a la suma <strong>del</strong>s desplaçaments segons<br />
els eixos x i y, d’acord amb el principi de superposició:<br />
Dr <br />
= 60 u <br />
x + 120 u <br />
y m<br />
EXEMPLE 15<br />
el mòdul <strong>del</strong> qual val Dr <br />
= Î60 2 + 120 2 = 134,2 m, que és la distància real<br />
recorreguda per la barca fins a arribar a la riba oposada.<br />
Fig. 5.48. Figura corresponent a<br />
l’exemple 15.<br />
215<br />
El mòdul <strong>del</strong> vector v <br />
es representa<br />
de dues maneres:<br />
|v <br />
| i v<br />
Fig. 5.49. Figura corresponent a<br />
l’exemple 15.
216 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
Quan llancem un objecte, la força<br />
de llançament es conserva o roman<br />
en el projectil, i actua contínuament.<br />
Això és fals<br />
La força que exerceix la mà és una<br />
força de contacte; per tant, cessa<br />
quan desapareix el contacte entre<br />
el projectil i la mà.<br />
El correcte seria…<br />
El temps que ha durat el contacte<br />
origina un impuls (I = Ft), que<br />
produeix una quantitat de moviment<br />
o moment lineal p = m v, que<br />
sí que queda emmagatzemada al<br />
cos, i que tendeix a conservar-se<br />
de manera que, si no hi hagués<br />
cap tipus d’obstacle o fricció, la<br />
velocitat horitzontal seria constant<br />
indefinidament.<br />
Fig. 5.50. Trajectòria <strong>del</strong> moviment<br />
descrit en l’exemple 16.<br />
ACTIVITATS<br />
EXEMPLE 16<br />
Una partícula és sotmesa a dos moviments definits per les equacions següents<br />
expressades en el SI:<br />
x = 4 t<br />
y = 2 t 2 – 1<br />
a) Classifica els moviments de la partícula.<br />
b) On és la partícula i quina velocitat té en l’instant t = 2 s?<br />
c) Dibuixa-la.<br />
Solució<br />
a) Es tracta de dos moviments independents.<br />
L’equació <strong>del</strong> primer és <strong>del</strong> tipus x = x0 + v t. Per tant, es tracta d’un moviment<br />
rectilini i uniforme la posició inicial <strong>del</strong> qual és zero i la velocitat constant<br />
val 4 m/s.<br />
L’equació <strong>del</strong> segon és <strong>del</strong> tipus y = y0 + v0 t + 1/2 a t2 . Es tracta d’un moviment<br />
rectilini uniformement accelerat, en què y0 = –1 m; v0 = 0; a = 4 m/s2 .<br />
b) D’acord amb les equacions donades, la partícula té dues velocitats: vx = 4 m/s; vy =<br />
v0 + a t = 4 t m/s.<br />
El moviment resultant s’obté aplicant el principi de superposició.<br />
Posició: r <br />
31> Calcula la velocitat de la barca de l’exemple 15 en el<br />
cas que el barquer:<br />
a) Remi en el sentit <strong>del</strong> corrent.<br />
b) Remi contra corrent.<br />
= xu <br />
x + y u <br />
y = (4 t) u <br />
x + (2 t 2 – 1) u <br />
y m.<br />
Aquesta expressió et permet calcular la posició de la partícula en qualsevol<br />
instant. Per a t = 2 s, la partícula és al <strong>punt</strong> P2 (8, 7).<br />
Velocitat en qualsevol instant:<br />
<br />
v = v <br />
1 + v <br />
2 = 4 u <br />
x + (4 t) u <br />
y m/s<br />
que per a t = 2 s pren el valor v = 4 u <br />
x + 8 u <br />
y m/s. El seu mòdul val v = 8,9 m/s.<br />
c) Per a dibuixar la trajectòria obtenim les diferents posicions que va prenent<br />
la partícula en el transcurs <strong>del</strong> temps: per a t = 0 s, t = 1 s, t = 2 s, t = 3 s,<br />
etcètera.<br />
Les posicions obtingudes són: P0 (0, –1), P1 (4, 1), P2 (8, 7), P3 (12, 17),<br />
etcètera.<br />
Si unim aquests <strong>punt</strong>s obtenim la trajectòria. Es tracta d’un moviment parabòlic<br />
(fig. 5.50).<br />
32> Representa gràficament la trajectòria <strong>del</strong> moviment<br />
definit per:<br />
x = 2 + t 2<br />
y = –1 + 2 t
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
5.10 Moviment de projectils<br />
L’ésser humà, des de sempre, ha llançat objectes amb la finalitat de fer blanc en algun<br />
<strong>punt</strong> determinat, ja sigui per motius bèl·lics, cinegètics, esportius, etcètera.<br />
La balística és la ciència que estudia el conjunt de tècniques i coneixements<br />
teòrics orientats a augmentar la precisió <strong>del</strong> tir d’un projectil.<br />
Rep el nom de projectil qualsevol cos que, una vegada disparat (o projectat,<br />
com deia Galileu), es mou per l’acció de la gravetat, en caiguda<br />
lliure (fig. 5.51).<br />
Un projectil es pot llançar de tres maneres:<br />
– Verticalment: és el cas de la caiguda lliure, que ja hem vist.<br />
– Horitzontalment: tir horitzontal.<br />
– Formant un angle amb l’horitzó: tir oblic.<br />
Tir horitzontal<br />
Suposem que es llança horitzontalment un objecte des <strong>del</strong> <strong>punt</strong> A amb una velocitat vx. Si la fricció amb l’aire és menyspreable, l’objecte conservarà aquesta mateixa velocitat, si<br />
no topa amb cap altre objecte. Simultàniament, la velocitat vertical descendent augmenta<br />
amb el temps a causa de la caiguda lliure.<br />
D’acord amb el sistema de referència indicat en la fig. 5.52, les equacions que defineixen<br />
aquests moviments són:<br />
• Moviment horitzontal uniforme:<br />
– Velocitat en qualsevol instant: vx = v0<br />
– Posició en qualsevol instant: x = vx t<br />
• Moviment vertical de caiguda lliure:<br />
– Velocitat en qualsevol instant: vy = –g t<br />
– Posició en qualsevol instant y = y0 – 1<br />
g t2<br />
2<br />
Una font té la canella a una distància vertical <strong>del</strong> terra de 70 cm. El raig d’aigua toca a terra a 1 m <strong>del</strong> peu de<br />
la vertical. Amb quina velocitat surt el líquid? (fig. 5.53).<br />
Solució<br />
L’aigua, un cop abandona la canella, descriu una paràbola. Això vol dir que el líquid té dos moviments: 1) horitzontal<br />
uniforme produït per la pressió de l’aigua, i 2) vertical de caiguda lliure, les equacions <strong>del</strong> qual són:<br />
x = v t en què v és la velocitat de sortida<br />
y = y0 – 1<br />
g t2 en què y0 = 0,70 m<br />
2<br />
<br />
Quan l’aigua arriba al terra, y = 0, la posició x = 1 m<br />
1 m = v t<br />
0 m = 0,70 m – 4,9 m/s 2 t 2<br />
Aquest sistema d’equacions et permet calcular la velocitat v a què surt l’aigua<br />
i el temps que triga a caure a terra. D’on v = 2,65 m/s.<br />
<br />
<br />
<br />
Fig. 5.51. Fletxa llançada per un arquer. Es<br />
tracta d’un exemple de projectil que es mou<br />
per l’acció de la gravetat.<br />
0<br />
Fig. 5.52. Tir horitzontal. Aquest tipus<br />
de llançament presenta dos moviments<br />
independents i perpendiculars entre si.<br />
Fig. 5.53<br />
EXEMPLE 17<br />
<br />
<br />
217
218 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
Fig. 5.54. Tir oblic. És el llançament d’un<br />
objecte la velocitat inicial <strong>del</strong> qual forma<br />
un angle a amb l’horitzontal.<br />
L’abast màxim per a una velocitat<br />
de llançament determinada s’esdevé<br />
quan l’angle d’elevació val 45°. A<br />
més, excepte per a 45°, és possible<br />
aconseguir el mateix abast per<br />
a dos valors complementaris de<br />
l’angle d’elevació, com ara 75° i<br />
15° (fig. 5.55).<br />
Per a un mateix abast, l’angle més<br />
gran ens permet superar una altura<br />
més gran (si hi hagués obstacles<br />
intermedis), mentre que el més<br />
petit ens permet assolir l’objectiu<br />
en menys temps.<br />
Fig. 5.55. Per a angles d’elevació<br />
complementaris l’abast és el mateix.<br />
ACTIVITATS<br />
Tir oblic<br />
33> Quins <strong>del</strong>s objectes següents tindran una trajectòria<br />
parabòlica aproximada?<br />
a) Una pilota llançada en una direcció arbitrària.<br />
b) Un avió a reacció.<br />
Si volem que el projectil arribi a més distància, el llançarem lleugerament cap amunt. En<br />
efecte, si la velocitat té un component inicial cap amunt, trigarà més temps a caure a<br />
terra i, per tant, tindrà més temps per a desplaçar-se horitzontalment.<br />
El tir oblic té lloc quan la velocitat inicial de llançament forma un angle a amb l’horitzó.<br />
Aquest angle rep el nom d’angle de tir o angle d’elevació (fig. 5.54).<br />
Per a estudiar el moviment parabòlic prenem el <strong>punt</strong> de llançament com a origen<br />
<strong>del</strong>s eixos cartesians: com a eix Ox, l’horitzontal (el terra); com a eix Oy, la vertical<br />
(fig. 5.54).<br />
Segons aquest sistema de referència, la velocitat inicial té ara dos components:<br />
v0x = v0 cos a v0y = v0 sin a<br />
i els dos moviments independents estan definits per les equacions:<br />
• Moviment horitzontal uniforme:<br />
– Velocitat: vx = v0 cos a<br />
– Posició: x = (v0 cos a) t<br />
• Moviment vertical de caiguda lliure:<br />
– Velocitat: vy = v0 sin a – g t<br />
– Posició: y = y0 + (v0 sin a) t – 1/2 g t2 Aquestes equacions, entre altres coses, et permeten calcular:<br />
1. L’altura màxima que assoleix el projectil. El projectil és al <strong>punt</strong> més alt de la seva<br />
trajectòria quan la velocitat vertical és zero. Per a calcular l’altura màxima aïlles el<br />
temps en l’equació:<br />
0 = v0 sin a – g t, i el substitueixes en l’equació de la posició vertical.<br />
2. Abast màxim. Rep el nom d’abast màxim la distància horitzontal des <strong>del</strong> <strong>punt</strong> de<br />
partida fins al <strong>punt</strong> en què el projectil torna a assolir l’altura inicial. És a dir, quan es<br />
compleix y = y0. En la fig. 5.54 l’abast màxim ve donat per D.<br />
Per a esbrinar l’abast màxim aïlles el temps en l’equació 0 = (v0 sin a) t – 1/2 gt2 i el<br />
substitueixes en l’equació de la posició horitzontal.<br />
3. Temps de vol. És el temps durant el qual el projectil és en l’aire. Quan aquest toca el<br />
terra es compleix y = 0 en l’equació de la posició vertical.<br />
4. Equació de la trajectòria. S’obté eliminant el temps t entre les equacions que<br />
determinen les posicions horitzontal i vertical.<br />
5. Angle que descriu la trajectòria <strong>del</strong> projectil en qualsevol instant. L’angle en què<br />
es troba el projectil respecte de l’horitzontal s’obté de:<br />
tg a = vy<br />
vx<br />
c) Un paquet que cau des de l’avió anterior.<br />
d) Un coet que surt de la plataforma de llançament.<br />
e) La llum que es desprèn <strong>del</strong> sostre d’un vagó de<br />
l’AVE quan aquest es mou a 200 km/h.
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
Un jugador de golf llança una pilota des <strong>del</strong> terra amb un angle de 60°<br />
respecte de l’horitzó i amb una velocitat de 60,0 m/s. Calcula:<br />
a) La velocitat de la pilota en el <strong>punt</strong> més alt de la trajectòria.<br />
b) L’altura màxima aconseguida.<br />
c) L’abast màxim.<br />
Solució<br />
a) Es tracta d’un tir oblic amb un angle d’elevació de 60°. El moviment parabòlic<br />
de la pilota, en tot el seu recorregut, ve definit per les equacions:<br />
– Moviment horitzontal: x = x0 + (v 0 cos a) t v x = v 0 cos a<br />
– Moviment vertical: y = y0 + (v0 sin a) t + 1<br />
2 g t2 vy = v0 sin a + g t<br />
Prenem el <strong>punt</strong> de llançament com a origen <strong>del</strong> sistema cartesià de referència.<br />
En aquest cas, per tant, es compleix que x0 = 0, y0 = 0 (fig. 5.56). Quan la<br />
pilota és al <strong>punt</strong> més alt, la velocitat vy = 0. En aquest <strong>punt</strong> només té velocitat<br />
horitzontal, que és constant, i val:<br />
vx = v0 cos a = 60,0 m/s · cos 60° = 30,0 m/s<br />
b) El temps que triga a arribar al <strong>punt</strong> més alt s’obté de<br />
t = v y – v 0 sin a<br />
g<br />
v y = v0 sin a + g t, quan vy = 0<br />
= 0 – 60,0 m/s · sin 60°<br />
–9,8 m/s 2<br />
= 5,3 s<br />
L’altura màxima s’obté substituint el temps anterior en l’equació que ens dóna<br />
la posició vertical en qualsevol instant:<br />
y = (v0 sin a) t + 1/2 g t 2 =<br />
= 60,0 m/s · sin 60° · 5,3 s – 1/2 · 9,8 m/s 2 · (5,3 s) 2 = 138 m<br />
c) L’abast màxim es produeix quan la pilota torna a terra. És a dir, quan y = 0.<br />
El temps que triga a tornar a terra s’obté de l’equació<br />
y = (v 0 sin a) t + 1<br />
2 g t2 , i y = 0<br />
t = –2 v 0 sin a<br />
g<br />
= –2 · 60,0 m/s · sin 60°<br />
EXEMPLE 18<br />
–9,8 m/s 2 = 10,6 s<br />
Observa que aquest temps és el doble <strong>del</strong> temps transcorregut fins a assolir<br />
l’altura màxima. La pilota triga el mateix temps a pujar que a baixar.<br />
L’abast màxim s’obté substituint el temps calculat abans en l’equació <strong>del</strong><br />
desplaçament horitzontal:<br />
x = (v0 cos a) t = 60,0 m/s · cos 30° · 10,6 s = 318 m<br />
<br />
°<br />
Fig. 5.56. Figura corresponent a<br />
l’exemple 18.<br />
219<br />
Els vectors que defineixen el<br />
moviment parabòlic d’un projectil<br />
tenen dos components:<br />
Acceleració: ax = 0, ay = –g<br />
Velocitat: vx = v0 cos a,<br />
vy = v0 sin a – g t<br />
Posició: x = (v0 cos a) t,<br />
y = (v0 sin a) t – 1<br />
g t2<br />
2
220 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
EXEMPLE 19<br />
Un bomber vol apagar el foc d’una casa. Per a això<br />
haurà d’introduir aigua per una finestra situada a<br />
10 m d’altura. Si subjecta la mànega a 1 m <strong>del</strong> terra<br />
i l’a<strong>punt</strong>a amb un angle de 60° cap a la façana,<br />
que dista 15 m, amb quina velocitat ha de sortir<br />
l’aigua? Quant temps triga l’aigua a arribar a la<br />
finestra?<br />
Solució<br />
Prenem O (fig. 5.57) com a <strong>punt</strong> de referència. Per tant,<br />
x0 = 0, y0 = 1 m.<br />
Les equacions que defineixen el moviment parabòlic de<br />
l’aigua són:<br />
x = x0 + (v0 cos a) t<br />
y = y0 + (v0 sin a) t + 1<br />
g t2<br />
2<br />
Fig. 5.57<br />
<br />
<br />
<br />
ACTIVITATS<br />
L’aigua entrarà per la finestra quan x = 15 m,<br />
y = 10 m.<br />
Substituïm aquests valors en les equacions anteriors:<br />
15 m = (v0 · cos 60°) · t<br />
10 m = 1 m + (v 0 · sin 60°) · t – 4,9 m/s 2 · t 2<br />
Si aïlles el temps en la primera:<br />
15 m<br />
t =<br />
v0 · cos 60° ,<br />
i el substitueixes en la segona equació, obtindràs el<br />
valor de la velocitat: v0 = 16 m/s.<br />
El temps transcorregut és:<br />
t =<br />
15 m<br />
v0 · cos 60° =<br />
15 m<br />
= 1,9 s<br />
16 m/s · 0,5<br />
34> Des <strong>del</strong> cim d’una torre de 50 m es deixa caure un objecte; en el mateix<br />
moment es dispara contra aquest objecte una bala a 200 m/s des d’un<br />
<strong>punt</strong> <strong>del</strong> terra situat a 100 m de la base de la torre. Farà blanc la bala?<br />
En cas d’afirmativa, en quin <strong>punt</strong>?
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
Velocitat i seguretat viària<br />
Els països desenvolupats tenen a la carretera una de les<br />
causes principals de defunció. Això es deu a les altes<br />
velocitats a què poden arribar els vehicles moderns. Com<br />
intenten resoldre la Ciència i la Tecnologia aquest greu<br />
problema que afecta la nostra societat? Entre altres coses,<br />
millorant constantment el sistema de frenada i utilitzant<br />
el coixí de seguretat.<br />
Història i eficàcia <strong>del</strong> sistema de frens<br />
La història <strong>del</strong>s frens està estretament relacionada amb la<br />
història de la velocitat. En els vehicles de tracció animal,<br />
la frenada era molt simple: s’aplicava un patí de fusta<br />
damunt la llanta metàl·lica d’una de les rodes. Amb això<br />
n’hi havia prou per a aturar un vehicle que no superava<br />
els 25 km/h.<br />
Al final <strong>del</strong> segle XIX, amb l’aparició <strong>del</strong>s pneumàtics, els<br />
automòbils van començar a assolir velocitats més altes; a<br />
partir de 1899 es travessava ja la barrera <strong>del</strong>s 100 km/h.<br />
Aquests vehicles usaven frens de tambor que friccionaven<br />
sobre les cadenes de transmissió. En desaparèixer<br />
la transmissió per cadena, cap al 1907, les superfícies de<br />
fricció passen a ser dues sabates articulades.<br />
L’any 1909 neix el ferodo, una guarnició composta d’una<br />
capa d’amiant amb fil de llautó entrecreuat i impregnat<br />
de resina. S’havia descobert el <strong>material</strong> més adequat per<br />
als frens, però faltava un sistema de comandament eficient.<br />
El 1922, M. Loughead utilitza per primera vegada<br />
un comandament hidràulic. Aquest sistema s’estendrà a<br />
poc a poc, fins al <strong>punt</strong> que l’any 1950 gairebé tots els<br />
vehicles el tenen instal·lat.<br />
Però, com que les velocitats cada vegada són més altes,<br />
sorgeix un problema nou: l’augment de la quantitat de<br />
calor per dissipar en la frenada. La solució a aquest problema<br />
la va aportar un Jaguar equipat amb frens de disc,<br />
guanyador de les 24 hores de Le Mans de 1953. Actualment,<br />
els fabricants de cotxes d’alta cilindrada estan molt<br />
sensibilitzats amb la seguretat viària. Per això, als frens<br />
de disc s’afegeixen sistemes basats en l’electrònica que<br />
permeten evitar el blocatge de les rodes: són els frens<br />
ABS.<br />
Un bon fre ha de retenir i parar un vehicle en un temps<br />
i una distància mínims, conservant la trajectòria <strong>del</strong> vehicle<br />
i amb el menor esforç possible per part <strong>del</strong> conductor.<br />
Que això s’aconsegueixi o no depèn de tres factors:<br />
l’automòbil, o factor mecànic, la carretera, o factor físic,<br />
i el conductor, o factor humà.<br />
Factor mecànic. Es tracta de crear una força que s’oposi<br />
a l’avanç <strong>del</strong> vehicle. Com? Utilitzant la fricció entre un<br />
Ciència, tecnologia i societat<br />
element fix <strong>del</strong> xassís i un element de la roda en moviment<br />
(sabates-tambor, pastilles-disc). Aquesta força de fregament<br />
disminueix la velocitat.<br />
Factor físic. Un factor fonamental de la frenada és<br />
l’adherència de les rodes al paviment. Si s’aplica la frenada<br />
molt bruscament a la roda, es bloca i es desplaça sense<br />
girar. El vehicle continua avançant. Aleshores es diu que la<br />
roda no té adherència o que el vehicle derrapa.<br />
L’adherència <strong>del</strong> vehicle depèn <strong>del</strong> pes, de les característiques<br />
i l’estat <strong>del</strong>s pneumàtics i de la naturalesa i l’estat<br />
de la carretera. Una bona adherència permet transmetre<br />
més força de la roda a la calçada. Si l’adherència és gran, la<br />
distància de frenada serà més curta. Però si l’adherència és<br />
petita, bé sigui per la presència de gel o perquè les rodes<br />
es bloquegen, poden sorgir situacions compromeses:<br />
– Si fem una frenada brusca, el vehicle tendeix a encreuar-se.<br />
Aquest fenomen es produeix per la diferència<br />
d’adherència abans i després <strong>del</strong> bloqueig.<br />
– Amb les rodes bloquejades, el vehicle continua la seva<br />
trajectòria i gira sobre si mateix.<br />
– Si es desbloquegen les rodes, el vehicle pren una trajectòria<br />
diferent de la primera.<br />
– Si les rodes davanteres es bloquegen, la direcció resta<br />
inoperant.<br />
Factor humà. Un factor fonamental en la frenada d’un automòbil<br />
és el temps de reflex <strong>del</strong> conductor. S’anomena així<br />
el temps de reacció que transcorre entre l’instant en què<br />
apareix la causa de la frenada (percepeció de l’obstacle) i<br />
l’instant en què el conductor intervé activament (comença<br />
la frenada). Aquest temps, variable segons els individus i<br />
segons el seu estat general, és de mitjana de 0,75 s. Si la<br />
velocitat <strong>del</strong> vehicle és molt alta, aquest pot recórrer durant<br />
el temps de reflex una distància no prevista pel conductor, i<br />
es produeix així la col·lisió.<br />
En la taula adjunta es mostra la distància de parada en<br />
funció de la velocitat durant el temps de reflex sobre un<br />
terra sec i amb una desceleració de 5 m/s 2 .<br />
Velocitat<br />
(km/h)<br />
50<br />
70<br />
90<br />
110<br />
120<br />
130<br />
150<br />
170<br />
Distància recorreguda<br />
en el temps<br />
de reflex (m)<br />
10,3<br />
14,6<br />
18,7<br />
23<br />
25<br />
27,1<br />
31,3<br />
35,4<br />
Distància total<br />
perquè el vehicle<br />
s’aturi (m)<br />
29,5<br />
52,4<br />
81,2<br />
116,3<br />
136<br />
157,5<br />
214<br />
258,4<br />
221
222 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
Ciència, tecnologia i societat<br />
Teories sobre la caiguda lliure <strong>del</strong>s cossos<br />
L’estudi <strong>del</strong> comportament <strong>del</strong>s cossos en caiguda lliure és<br />
un exemple excel·lent de la diferència que hi ha entre una<br />
anàlisi científica rigorosa i un tractament fet sense tenir<br />
en compte la realitat.<br />
Els filòsofs antics, Plató i Aristòtil sobretot, van tractar<br />
el moviment <strong>del</strong>s cossos com quelcom metafísic; així, per<br />
a explicar-lo van usar idees tan vagues com acció, causa<br />
eficient, fi i posició natural <strong>del</strong>s cossos, etc. Tot això<br />
era completament inútil per a Galileu, que no volia estudiar<br />
per què ocorria el moviment, sinó com ocorria.<br />
Els conceptes d’espai i de temps tenien una categoria molt<br />
secundària en el pensament aristotèlic, i solament amb<br />
Galileu prenen el caràcter fonamental que han conservat<br />
en la ciència física fins avui dia.<br />
Descriurem tres maneres d’entendre la caiguda <strong>del</strong>s cossos.<br />
• Plató<br />
La caiguda i l’elevació <strong>del</strong>s cossos era explicada per aquest<br />
filòsof suposant que els cossos de naturalesa semblant<br />
tendien a estar junts. Així, una part de qualsevol objecte<br />
tendia a reunir-se amb la massa principal: una pedra queia<br />
cap a l’esfera terrestre situada al centre de l’Univers; el foc<br />
s’elevava per arribar a l’esfera ígnia, el límit més extern<br />
de l’Univers.<br />
• Aristòtil<br />
L’explicació d’Aristòtil és molt semblant a la teoria platònica.<br />
Suposa que els cossos estan formats per quatre<br />
<strong>elements</strong>: terra, aire, foc i aigua. Els que estan constituïts<br />
primordialment per terra i aigua tracten d’aconseguir<br />
el seu estat natural de repòs. Això ocorre quan estan en<br />
contacte amb la Terra. Per això cauen. Els objectes que es<br />
componen d’aire i foc intenten arribar al seu estat natural<br />
de repòs: el cel.<br />
Els cossos pesants cauen més de pressa que els lleugers.<br />
• Galileu<br />
El 1250 va començar a sorgir la ciència tal com la coneixem<br />
actualment. Roger Bacon (1214-1294) va ser un<br />
<strong>del</strong>s primers a afirmar que l’experiència (o coneixement<br />
experimental) és necessària per a la formulació de teories<br />
sobre el comportament de la natura.<br />
El 1605, Francis Bacon (1561-1626) va insistir, en contra<br />
de les tendències aristotèliques predominants de l’època,<br />
que les teories s’havien de fundar en fets determinats mitjançant<br />
experiments.<br />
Va ser Galileu (1564-1642) (fig.5.58) qui, finalment, va obrir el<br />
camí al desenvolupament de la veritable ciència, per mitjà de<br />
nombrosos experiments que confirmaven les seves hipòtesis.<br />
Galileu centra l’atenció en el moviment observat realment<br />
en la natura.En l’obra Dues ciències noves escriu: «Perquè<br />
qualsevol pot inventar un tipus de moviment i estudiar-ne<br />
les propietats [...] Però hem decidit considerar els fenòmens<br />
<strong>del</strong>s cossos que cauen amb una acceleració,tal com ocorre<br />
realment en la natura.» I concloïa afirmant que havia tingut<br />
èxit en fer-ho així per l’acord exacte de la definició amb<br />
els resultats <strong>del</strong>s experiments d’una bola que queia per un<br />
pla inclinat.<br />
Galileu deixa, així, tota consideració filosòfica i se centra<br />
en la descripció <strong>del</strong> que observa. Per a ell, la caiguda <strong>del</strong>s<br />
cossos i el moviment ascendent <strong>del</strong>s projectils llançats cap<br />
amunt s’han d’expressar segons la mateixa llei. L’oscil·lació<br />
d’un pèndol, sobre la qual va meditar llargament, li va mostrar<br />
que el moviment cap amunt és una rèplica invertida <strong>del</strong><br />
moviment cap avall.<br />
El 1604,en una carta a Paolo Sarpi,afirma que la caiguda<br />
<strong>del</strong>s cossos està regida per la llei següent: Els espais<br />
recorreguts en temps iguals són com els nombres ab<br />
unitate. Al cap d’uns anys descriu que la velocitat de caiguda<br />
creix amb el temps, i arriba a la conclusió que tots<br />
els cossos cauen lliurement amb moviment uniformement<br />
accelerat, i a més, que el pes <strong>del</strong>s cossos no influeix en<br />
l’acceleració a condició que els efectes de la fricció de l’aire<br />
siguin menyspreables. Encara que els mètodes de la ciència<br />
s’han refinat amb els anys, l’experiment continua sent part<br />
essencial d’aquests mètodes.<br />
Recorda que, perquè les teories científiques tinguin valor,<br />
s’han de basar en fets experimentals.<br />
Fig. 5.58. Galileu Galilei.
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
Diferència entre espai recorregut<br />
i desplaçament<br />
Objectiu<br />
Distingir entre distància recorreguda i desplaçament mitjançant<br />
plans a escala per a calcular distàncies i suma de<br />
vectors per a calcular el desplaçament.<br />
Material<br />
• Un llapis ben afilat.<br />
• Un paper.<br />
• Un regle graduat.<br />
Procediment<br />
En la figura 5.59 es representa un pla parcial de la ciutat<br />
de Pamplona. Una persona s’ha desplaçat des de San<br />
Miguel fins a San Francisco Javier.<br />
a) Ha seguit l’itinerari següent: carrer de Francisco<br />
Bergamín, carrer de Francisco Gorriti i carrer d’Olite.<br />
Dibuixa l’itinerari, i mitjançant l’escala que s’indica en<br />
el mapa, calcula en metres la distància recorreguda.<br />
b) Repeteix l’experiència, però amb l’itinerari següent: carrer<br />
de Francisco Bergamín, carrer de Tafalla. Calcula la<br />
distància recorreguda.<br />
Fig. 5.59<br />
Experiència de laboratori<br />
c) Uneix, amb un regle, San Miguel amb San Francisco<br />
Javier. Dibuixa el vector desplaçament i calcula’n el<br />
mòdul usant l’escala.<br />
d) Calcula el mòdul de desplaçament utilitzant el teorema<br />
de Pitàgores.<br />
Analitza i respon<br />
1. La distància recorreguda és la mateixa en els dos itineraris?<br />
Per què?<br />
2. Què representa en aquesta experiència la distància<br />
entre les dues esglésies? Aquesta distància depèn de<br />
l’itinerari seguit? Per què?<br />
3. Quantes distàncies recorregudes hi pot haver? Quants<br />
desplaçaments?<br />
4. Compara els valors <strong>del</strong> desplaçament utilitzant de primer<br />
l’escala i després la suma de vectors.<br />
5. Observa la fig. 5.60: El desplaçament P <br />
1P<br />
<br />
2 coincideix<br />
amb la suma de les distàncies a, b, c, d? Coincideix amb<br />
la suma <strong>del</strong>s vectors a <br />
, b <br />
, c <br />
, d <br />
?<br />
Fig. 5.60<br />
223
224 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
Experiència de laboratori<br />
Estudi de l’MRUA<br />
Objectiu<br />
Estudiar el moviment uniformement accelerat utilitzant<br />
un pla inclinat.<br />
Material<br />
• Un carril d’alumini d’uns 3 m de llargària, aproximadament.<br />
• Boles d’acer de massa diferent.<br />
• Un cronòmetre.<br />
• Paper mil·limetrat.<br />
Analitza i respon<br />
1. Dibuixa utilitzant paper mil·limetrat el diagrama s-t. Què<br />
representa el pendent de la corba obtinguda? Calcula<br />
la velocitat en els <strong>punt</strong>s 50, 100 i 150 cm.<br />
2. Dibuixa el diagrama s-t 2 . Quina corba s’obté?<br />
3. Hi ha alguna relació entre el pendent de la corba anterior<br />
i els valors s/t 2 que has obtingut en la taula?<br />
Muntatge<br />
Col·loca el carril tal com indica la figura 5.61 i assenyalahi<br />
posicions de 50 en 50 cm.<br />
Procediment<br />
a) Deixa rodar una de les boles pel carril i mesura el temps<br />
quan passi per la primera posició assenyalada de 50 cm.<br />
b) Mesura el temps quatre vegades i calcula el temps mitjà.<br />
c) Repeteix la mateixa operació per a les posicions 100,<br />
150...<br />
d) Completa la taula següent:<br />
s t 1 t 2 t 3 t 4 t 2 1 t 2 2 t 2 3 t 2 4 s/t 2 1 s/t 2 2 s/t 2 3 s/t 2 4<br />
50 cm<br />
100 cm<br />
150 cm<br />
Fig. 5.61<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4. Representa el diagrama v-t <strong>del</strong> moviment.<br />
5. Quant val l’acceleració?<br />
6. Variaran els resultats si utilitzes boles de massa<br />
diferent?
Per a refermar<br />
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
1> Indica quines afirmacions són vertaderes. La velocitat<br />
mitjana d’una partícula en un interval de temps és:<br />
a) El quocient entre el desplaçament i l’interval de<br />
temps.<br />
b) El quocient entre l’espai recorregut i l’interval de<br />
temps.<br />
c) Igual, independentment de la trajectòria.<br />
d) Depèn de la trajectòria.<br />
2> Un automòbil agafa un revolt de 100 m de radi amb<br />
una rapidesa constant de 36 km/h. Quines de les<br />
afirmacions següents són correctes?<br />
a) El cotxe no té acceleració perquè la seva velocitat<br />
és constant.<br />
b) El cotxe té acceleració tangencial.<br />
c) L’acceleració <strong>del</strong> cotxe val 1 m/s 2 .<br />
3> En un campionat d’esquí alpí un esquiador efectua<br />
el descens fent moltes «esses», mentre que un altre<br />
el fa en línia recta. Assenyala les afirmacions falses:<br />
a) Els dos han fet el mateix desplaçament.<br />
b) Els dos han recorregut la mateixa distància.<br />
c) Els dos han seguit la mateixa trajectòria.<br />
d) Han baixat amb la mateixa velocitat mitjana, si<br />
ho han fet amb el mateix temps.<br />
4> Un automòbil agafa un revolt disminuint el mòdul<br />
de la velocitat. Indica quines afirmacions són vertaderes:<br />
a) Només hi ha acceleració tangencial.<br />
b) Només hi ha acceleració normal.<br />
c) Hi ha les dues acceleracions anteriors.<br />
d) L’acceleració normal és constant.<br />
5> Un company et diu: «Llança una pedra vertical-<br />
ment cap amunt tan fort com puguis i et diré<br />
l’altura que has aconseguit utilitzant un cronòmetre».<br />
Llances la pedra i el teu company observa que<br />
la pedra triga 8 s a tornar al terra.<br />
a) Amb quina velocitat has llançat la pedra?<br />
b) Quina altura ha assolit?<br />
S: v = 39 m/s; h = 78 m.<br />
Problemes proposats<br />
6> De les afirmacions següents, indica quines són falses:<br />
a) Si la velocitat d’un cos és nul·la, l’acceleració<br />
també ho és.<br />
b) Si l’acceleració d’un cos és nul·la, la velocitat<br />
també ho és.<br />
c) La velocitat i l’acceleració són vectors que tenen<br />
sempre la mateixa direcció, si bé el sentit pot<br />
ser diferent.<br />
7> Un tren va a una certa velocitat i en un moment donat<br />
es desprèn un llum <strong>del</strong> sostre d’un vagó. Digues<br />
com observaria aquest fenomen:<br />
a) Un observador que va en el tren.<br />
b) Un observador que està parat fora <strong>del</strong> tren.<br />
8> En una de les fig. 5.62 i 5.63 hi ha representat el<br />
diagrama v-t <strong>del</strong> moviment d’un objecte llançat verticalment<br />
cap amunt des <strong>del</strong> terra.<br />
Fig. 5.62<br />
Fig. 5.63<br />
Indica quines afirmacions són falses:<br />
a) El diagrama que representa el moviment en qüestió<br />
és B, no A.<br />
b) L’acceleració canvia de sentit al cap de 2 s.<br />
225
226 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
Problemes proposats<br />
c) La velocitat canvia de sentit al cap de 2 s.<br />
d) L’altura màxima s’assoleix al cap de 2 s.<br />
e) El mòbil al cap de 3 s és a 10 m d’altura.<br />
f) L’altura màxima aconseguida va ser de 20 m.<br />
g) Al cap de 4 s arriba a terra.<br />
Dades: g = 10 m s –2 .<br />
9> Un mòbil descriu una trajectòria circular d’1,0 m de<br />
radi trenta vegades per minut. Calcula:<br />
a) El període.<br />
b) La freqüència.<br />
c) La velocitat angular.<br />
d) La velocitat tangencial i l’acceleració centrípeta<br />
d’aquest moviment.<br />
S: a) 2 s; b) 0,5 voltes/s; c) 3,14 rad/s;<br />
d) 3,14 m/s, 9,9 m/s 2 .<br />
Per a repassar<br />
10 > Un avió s’ha desplaçat 600 km cap al nord, 1000 km<br />
cap al sud i 500 km cap al nord.<br />
a) Quin ha estat el desplaçament total de l’avió?<br />
b) Quina distància ha recorregut?<br />
c) Quina ha estat la velocitat mitjana si ha utilitzat<br />
5 h en el recorregut?<br />
S: a) 100 km al nord; b) 2100 km; c) 20 km/h.<br />
11> Una persona està asseguda en un banc <strong>del</strong> parc públic.<br />
En un moment donat decideix passejar: recorre<br />
100 m cap a l’oest, s’atura i després recorre 60 m<br />
cap a l’est.<br />
a) Quina és la posició final de la persona respecte<br />
<strong>del</strong> banc?<br />
b) Quin és el desplaçament?<br />
c) Quin espai ha recorregut?<br />
S: a) 40 m a l’oest <strong>del</strong> <strong>punt</strong> de partida; b) 40 m cap<br />
a l’oest; c) 160 m.<br />
12> Un ciclista accelera durant 10 s i passa de 5 m/s a<br />
36 km/h. Calcula’n l’acceleració mitjana.<br />
S: 0,5 m/s 2 .<br />
13> Una pilota de tennis arriba a un jugador amb una<br />
rapidesa de 20 m/s. Aquest jugador colpeja la pilota<br />
de manera que aquesta surt en la mateixa direcció,<br />
però en sentit contrari, a 35 m/s. Si la pilota ha<br />
estat en contacte amb la raqueta durant 0,2 s, calcula:<br />
a) Quant ha variat la rapidesa de la pilota?<br />
b) Quant val el mòdul de l’acceleració mitjana?<br />
S: a) 15 m/s; b) 275 m/s 2 .<br />
14> Un automòbil que es mou en línia recta accelera en<br />
un moment donat a raó de 2 m/s 2 . Durant quant de<br />
temps ha d’estar accelerant perquè el velocímetre<br />
passi de 90 km/h a 120 km/h?<br />
S: 4,2 s.<br />
15> Un automòbil, en passar per un <strong>punt</strong> A, té una<br />
velocitat de 128 km/h, i quan passa per un altre<br />
<strong>punt</strong> B, que dista 120 m de l’anterior, la velocitat<br />
és de 35 km/h. Calcula:<br />
a) El valor de l’acceleració.<br />
b) Quant de temps triga el cotxe a passar de A a B.<br />
c) A quina distància de A s’aturarà l’automòbil.<br />
S: a) –4,9 m/s2 ; b) 5,3 s; c) 129 m.<br />
16> Un avió que parteix <strong>del</strong> repòs accelera uniformement<br />
fins a aconseguir una velocitat d’enlairament de<br />
75 m/s en 5,0 s.<br />
a) Amb quina velocitat en km/h s’enlaira l’avió?<br />
b) Amb quina velocitat en km/h s’enlaira l’avió?<br />
c) Quina longitud de pista ha recorregut fins a enlairar-se?<br />
d) Quina distància recorre en l’últim segon?<br />
S: a) 270 km/h; b) 15 m/s 2 ; c) 188 m; d) 68 m.<br />
17> Un ventilador gira a 360 rpm. En un moment donat<br />
es desendolla <strong>del</strong> corrent i triga 35 s a parar-se.<br />
a) Quina acceleració angular té?<br />
b) Amb quina velocitat gira 15 s després de desendollar-lo?<br />
c) Quantes voltes fa fins que es para?<br />
S: a) –1,1 rad/s 2 ; b) 22 rad/s; c) 105 voltes.<br />
18> Una font té la canella a una distància vertical <strong>del</strong><br />
terra de 0,50 m. El raig d’aigua, que surt horitzontalment,<br />
toca a terra a 0,80 m <strong>del</strong> peu de la vertical.<br />
Amb quina velocitat surt l’aigua?<br />
S: 2,5 m/s.<br />
19> A partir <strong>del</strong> diagrama de la fig. 5.64, indica quines<br />
afirmacions són correctes:
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05<br />
A B<br />
Fig. 5.64<br />
C<br />
a) En el tram AB el mòbil està parat.<br />
b) En el tram BC l’acceleració és d’1 m/s 2 .<br />
c) La distància recorreguda en el tram BC és de 50 m.<br />
d) En el tram BC el moviment es uniforme.<br />
20> A partir <strong>del</strong> diagrama de la fig. 5.65, indica quines<br />
afirmacions són falses:<br />
Fig. 5.65<br />
A<br />
a) En el tram OA la velocitat ha estat 0,8 m/s.<br />
b) En el tram AB la velocitat és 0,8 m/s.<br />
c) En el tram BC la velocitat és –2 m/s.<br />
d) En el tram AB el mòbil està parat.<br />
21> Un avió vola horitzontalment a 900 m <strong>del</strong> terra<br />
amb una velocitat constant de 540 km/h. A quina<br />
distància de la vertical sobre una clariana de la<br />
selva ha de llançar una caixa d’ajuda humanitària<br />
perquè arribi a la destinació?<br />
S: 2040 m.<br />
22> El rècord mundial de salt d’alçada vertical està en<br />
2,44 m. Quina ha de ser la velocitat mínima <strong>del</strong><br />
saltador per a sobrepassar aquesta alçada?<br />
S: 6,92 m/s.<br />
23> El rècord mundial de salt de llargada està en 8,95 m.<br />
Quina ha de ser la velocitat mínima d’un saltador, la<br />
trajectòria <strong>del</strong> qual forma un angle de 45° respecte<br />
<strong>del</strong> terra, per a sobrepassar aquesta distància?<br />
S: 9,37 m/s.<br />
B<br />
C<br />
Per a aprofundir<br />
Problemes proposats<br />
24> Un vehicle circula per un carrer a 50 km/h. De sobte,<br />
un nen travessa corrent la calçada. Si el conductor<br />
triga 0,8 s a reaccionar i oprimir els frens:<br />
a) Quants metres recorrerà abans de començar a<br />
frenar?<br />
b) Quan trepitja els frens, podrà parar en 0,5 m, si suposem<br />
que l’acceleració de frenada és de –20 m/s 2 ?<br />
S: a) 11 m; b) No.<br />
25> Un conductor que viatja de nit en un automòbil a<br />
100 km/h veu de sobte els llums de senyalització<br />
d’una tanca que és a 40 m al mig de la calçada. Si triga<br />
0,75 s a trepitjar el pedal <strong>del</strong>s frens i la desceleració<br />
màxima de l’automòbil és de 10 m/s 2 :<br />
a) S’estavellarà contra la tanca? Si és així, a quina<br />
velocitat?<br />
b) Quina és la velocitat màxima a la qual pot circular<br />
l’automòbil sense que col·lisioni amb la tanca?<br />
S: a) 70 km/h; b) 78 km/h.<br />
26> Un camió i un automòbil inicien el moviment en el<br />
mateix instant, en la mateixa direcció i sentit des<br />
de dos semàfors contigus <strong>del</strong> mateix carrer. El camió<br />
té una acceleració constant d’1,2 m/s 2 , mentre que<br />
l’automòbil accelera amb 2,4 m/s2 . L’automòbil atrapa<br />
el camió després que aquest ha recorregut 50 m.<br />
a) Quant de temps triga l’automòbil a atrapar el<br />
camió?<br />
b) Quina distància separa els dos semàfors?<br />
c) Quina velocitat té cada vehicle quan estan de<br />
costat?<br />
S: a) 9,1 s; b) 50 m; c) 39 km/h, 79 km/h.<br />
27> Dos joves es mouen en la mateixa direcció i es dirigeixen<br />
l’un a l’encontre de l’altre. Inicien el moviment<br />
al mateix temps des de les porteries d’un<br />
camp de futbol amb velocitats mitjanes respectives:<br />
v1 = 3,5 m/s i v2 = 5,0 m/s. Sabent que l’encontre<br />
té lloc a 28 m de la posició de partida <strong>del</strong> primer,<br />
determina:<br />
a) El temps transcorregut fins que es troben.<br />
b) La llargària <strong>del</strong> camp de futbol.<br />
S: a) 8 s; b) 68 m.<br />
28> Un tren <strong>del</strong> metro surt d’una estació A; accelera<br />
a raó de 0,5 m/s 2 durant 10,0 s i després a<br />
2,0 m/s 2 fins que assoleix la velocitat de 54 km/h.<br />
El tren manté la mateixa velocitat fins que s’acosta<br />
227
228 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
Problemes proposats<br />
a l’estació B. En aquell moment frena uniformement<br />
fins a parar-se en 10,0 s. El temps total des<br />
de A fins a B ha estat de 60,0 s. Quina distància hi<br />
ha entre les estacions A i B?<br />
S: 675 m.<br />
29> Des <strong>del</strong> cim d’una torre d’altura h es deixa caure<br />
un objecte. A quina distància <strong>del</strong> terra tindrà una<br />
velocitat igual a la meitat de la que té quan arriba<br />
al terra?<br />
S: 3/4 h.<br />
30> Llances un cos verticalment cap amunt, de manera<br />
que té una velocitat de 8,0 m/s quan ha assolit la<br />
meitat de l’altura màxima a la qual pot pujar:<br />
a) Amb quina velocitat s’ha llançat?<br />
b) A quina altura puja?<br />
c) Quina velocitat té al cap d’un segon d’haver estat<br />
llançat?<br />
S: a) 11,3 m/s; b) 6,5 m; c) 1,5 m/s.<br />
31> Es llança una pedra verticalment cap amunt des<br />
d’un pont situat a 35 m de l’aigua. Si la pedra colpeja<br />
l’aigua 4 s després de deixar-la anar, calcula:<br />
a) La velocitat amb què s’ha llançat.<br />
b) La velocitat amb què ha colpejat l’aigua.<br />
S: a) 11 m/s; b) –28 m/s.<br />
32> Es llança des <strong>del</strong> terra cap amunt un objecte al mateix<br />
temps que se’n deixa caure un altre des d’una altura<br />
de 45 m. Amb quina velocitat cal llançar el primer<br />
perquè els dos arribin a terra al mateix temps?<br />
S: 15 m/s.<br />
33> Es deixa caure una pedra des <strong>del</strong> brocal d’un pou i<br />
triga 2,3 s a percebre’s el so produït en el xoc amb<br />
l’aigua. Si la velocitat <strong>del</strong> so en l’aire és de 340 m/s,<br />
a quina profunditat es troba l’aigua?<br />
S: 24 m.<br />
34> Un ciclista parteix <strong>del</strong> repòs en un velòdrom circular<br />
de 50 m de radi, i es mou amb moviment uniformement<br />
accelerat fins que, al cap de 50 s d’iniciar la marxa,<br />
arriba a una velocitat de 36 km/h; des d’aquest<br />
moment conserva la velocitat. Calcula:<br />
a) L’acceleració tangencial i l’acceleració angular<br />
en la primera etapa <strong>del</strong> moviment.<br />
b)L’acceleració normal en el moment en què arriba<br />
als 50 s.<br />
c) La longitud de pista recorreguda en els 50 s.<br />
d) El temps que triga a fer una volta a la pista amb<br />
velocitat constant.<br />
e) El nombre de voltes que fa en 10 minuts comptats<br />
des que s’inicia el moviment.<br />
S: a) 0,2 m/s 2 , 4 · 10 –3 rad/s 2 ; b) 2 m/s 2 ; c) 250 m;<br />
d) 31 s; e) 18 voltes.<br />
35> Es dispara un projectil amb una velocitat inicial de<br />
500 m/s i abat un objectiu situat a 1 200 m en la<br />
mateixa horitzontal <strong>del</strong> <strong>punt</strong> de llançament. Calcula<br />
l’angle d’elevació.<br />
S: 1,34° (1° 20’) o 88,66° (88° 40’).<br />
36> Es llança des <strong>del</strong> terra una pilota amb un angle de<br />
30° amb l’horitzontal i cau a la terrassa d’un edifici<br />
situat a 30 m de distància. Si la terrassa és a una<br />
altura de 10 m, calcula la velocitat amb què s’ha<br />
llançat.<br />
S: 29 m/s.<br />
37> Un motorista puja per una rampa de 20° i quan està<br />
a 2 m sobre el nivell <strong>del</strong> terra «vola» per damunt un<br />
riu de 10 m d’amplària. Amb quina velocitat ha de<br />
«volar» si vol arribar a la riba sense mullar-se?<br />
S: 10 m/s.<br />
38> Des <strong>del</strong> cim d’un penya-segat es llança horitzontalment<br />
un projectil i s’observa que triga 3 s a tocar<br />
l’aigua en un <strong>punt</strong> que dista 60 m de la base <strong>del</strong><br />
penya-segat. Calcula:<br />
a) L’altura que té el penya-segat.<br />
b) Amb quina velocitat s’ha llançat el projectil.<br />
c) Amb quina velocitat arriba a l’aigua.<br />
S: a) 44 m; b) 20 m/s; c) |v <br />
| = 36 m/s.<br />
39> Una bola que roda sobre una taula horitzontal de<br />
0,90 m d’alçària cau a terra en un <strong>punt</strong> situat a<br />
una distància horitzontal d’1,5 m de la vora de la<br />
taula. Quina velocitat tenia la bola en el moment<br />
d’abandonar la taula?<br />
S: 3,5 m/s.<br />
40> Un atleta vol batre el rècord <strong>del</strong> món de llançament<br />
de pes, establert en 23,0 m. Sap que l’abast màxim<br />
s’aconsegueix amb un angle de 45°. Si impulsa el<br />
pes des d’una altura d’1,75 m, amb quina velocitat<br />
mínima ha de llançar?<br />
S: 14,5 m/s.
CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
Problemes de PAU resolts<br />
1> Un terratrèmol produeix ones longitudinals i transversals. En l’escorça terrestre, les primeres es<br />
propaguen amb una velocitat de 8,0 km/s, mentre que les segones ho fan a 5,0 km/s; si en un<br />
observatori sísmic els dos tipus d’ones es reben amb 200 s de diferència temporal, determina la<br />
distància de l’observatori a l’hipocentre <strong>del</strong> terratrèmol.<br />
Solució<br />
Com que tots dos moviments són rectilinis uniformes, es poden descriure amb la fórmula:<br />
x = x0 + v t<br />
Representem el moment en què les dues ones arriben a l’observatori i considerem l’hipocentre <strong>del</strong> terratrèmol<br />
com a origen de coordenades, que és a d km de l’hipocentre, tenim:<br />
d (km) = 0 + v 1 t (s)<br />
d (km) = 0 + v 2 (t + 200 s)<br />
Substituint<br />
d (km) = 0 + 8 km<br />
s<br />
d (km) = 0 + 5 km<br />
s<br />
· t (s) d (km) = 8 km<br />
s<br />
· (t + 200) s d (km) = 5 km<br />
s<br />
Aïllem t en la primera i substituïm en la segona:<br />
t = d<br />
s <br />
8<br />
d (km) = 5 km d<br />
5 d<br />
· s + 1000 km d – = 1000 km 3 d = 8000 km x = 2670 km<br />
s 8 8<br />
2> Una partícula de càrrega q = 1,6·10 –19 C es mou descrivint una circumferència amb un període de<br />
3,2 · 10 –7 s i una velocitat de 3,8 · 10 6 m s –1 . Calcula el radi de la circumferència descrita.<br />
Solució<br />
Atès que es mou amb un moviment circular uniforme, es compleix que:<br />
v = e<br />
2 p R<br />
, prenent una volta completa v = , d’on aïllem R<br />
t T<br />
v T<br />
R =<br />
2 p =<br />
m<br />
3,8 · 10 6 — · 3,2 · 10 –7 s<br />
s<br />
= 0,19 m<br />
2 p<br />
· t (s)<br />
· t (s) + 1 000 km<br />
229
230 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT<br />
05<br />
Conceptes bàsics<br />
Moviment. Canvi de posició respecte d’un <strong>punt</strong> de referència.<br />
Pot ser de rotació o de translació. Un <strong>punt</strong><br />
només pot tenir moviment de translació.<br />
Cinemàtica. Ciència que estudia el moviment prescindint<br />
de les causes que l’originen.<br />
Dinàmica. Ciència que estudia les causes <strong>del</strong> moviment.<br />
Punt <strong>material</strong>. Cos <strong>del</strong> qual no es tenen en compte<br />
les dimensions, o aquestes són menyspreables comparades<br />
amb el sistema de referència.<br />
Sistema de referència. Un <strong>punt</strong> en l’espai i tres eixos<br />
cartesians concurrents en aquest <strong>punt</strong>.<br />
Sistema de referència inercial. Quan un cos està en<br />
repòs o es mou amb velocitat constant.<br />
Espai recorregut. Longitud de la trajectòria que ha<br />
descrit el mòbil. Com el temps, és una magnitud escalar.<br />
Trajectòria. Lloc geomètric de les diferents posicions<br />
que va prenent un <strong>punt</strong> mòbil en l’espai.<br />
Vector de posició. Uneix el <strong>punt</strong> fix de referència amb<br />
el <strong>punt</strong> que ocupa el mòbil. Determina la posició <strong>del</strong><br />
mòbil en qualsevol instant.<br />
Vector desplaçament. Uneix dos <strong>punt</strong>s de la trajectòria:<br />
el <strong>punt</strong> de partida amb el <strong>punt</strong> d’arribada.<br />
Velocitat mitjana. S’obté dividint el desplaçament<br />
entre l’interval de temps transcorregut.<br />
Velocitat instantània. La que té un mòbil en qualsevol<br />
instant o en qualsevol <strong>punt</strong> de la trajectòria.<br />
Acceleració mitjana. La variació de la velocitat en la<br />
unitat de temps.<br />
Acceleració instantània. Valor límit de l’acceleració<br />
mitjana quan l’interval de temps és molt petit.<br />
Components intrínsecs de l’acceleració. Existeixen<br />
l’acceleració tangencial, que provoca variacions en la<br />
rapidesa, i l’acceleració normal o centrípeta, que causa<br />
els canvis de direcció <strong>del</strong> mòbil.<br />
Moviment rectilini uniforme (MRU). És un moviment<br />
sense acceleració.<br />
x = x0 + v t; v = cte; a = 0<br />
Moviment rectilini uniformement accelerat<br />
(MRUA). És un moviment amb at = cte i ac = 0.<br />
x = x0 + v0 t + 1<br />
2 a t2 ; v = v0 + a t<br />
v 2 – v2 0 = 2 a (x – x0); x = x0 + 1<br />
2 (v + v0) t<br />
Caiguda lliure. És el moviment d’un cos per l’acció<br />
de la gravetat. Es tracta d’un moviment vertical rectilini<br />
uniformement accelerat. Les seves equacions<br />
són les mateixes que les de l’MRUA, amb una acceleració<br />
sempre negativa (g = –9,8 m/s 2 ).<br />
Moviment circular uniforme (MCU). És un moviment<br />
en el qual at = 0, mentre que ac = cte i val<br />
ac = v2<br />
R = v2 R<br />
w = w0 + v t; v = cte<br />
s = wR; v = v R<br />
Moviment circular uniformement accelerat<br />
(MCUA). És un moviment en què at = cte i té una ac que és variable.<br />
w = v0 t + 1<br />
2 a t2 ; v = v0 + a t<br />
v 2 – v2 0 = 2 aw w = 1<br />
2 (v + v0) t; at = a R<br />
Principi de superposició. Una partícula es mou<br />
amb un moviment que és la suma de tots els moviments<br />
elementals independents a què està sotmesa<br />
tant per al vector de posició com per a la velocitat<br />
i l’acceleració.<br />
Tir horitzontal. És un cas particular <strong>del</strong> moviment<br />
d’un cos dotat d’una velocitat inicial horitzontal i<br />
un altre moviment de caiguda lliure.<br />
Eix Ox: x = v0 t; vx = v0 Eix Oy: y = y0 – 1<br />
2 g t2 ; vy = –g t<br />
Tir oblic. És un cas particular <strong>del</strong> moviment d’un<br />
cos que té una velocitat inicial que forma un angle<br />
respecte de l’horitzontal i un moviment de caiguda<br />
lliure.<br />
Eix Ox: vx = v0 cos a<br />
x = (v0 cos a) t<br />
Eix Oy: vy = v0 sin a – g t<br />
y = y0 + (v0 sin a) t – 1<br />
g t2<br />
2