TEORIA QUÀNTICA DE CAMPS

Arcadi Santamaria
TEORIA QUÀNTICA
DE CAMPS
UNA INTRODUCCIÓ
UNIVERSITAT DE VALÈNCIA
2005

Índex

Índex
PREÀMBUL................................................................................................... 11
CAPÍTOL 1. Equacions d’ona relativistes: èxits i fracassos .................................. 15
1.1 Dualitat ona-corpuscle ........................................................................... 17
1.2 L’equació de Klein-Gordon ..................................................................... 19
1.2.1 L’equació de Klein-Gordon i l’àtom d’hidrogen ................................ 20
1.2.2 La densitat de probabilitat en l’equació de Klein-Gordon .................... 21
1.2.3 El problema de les solucions amb energia negativa ............................ 22
1.3 L’equació de Dirac ................................................................................ 23
1.3.1 L’equació de Dirac i la densitat de probabilitat .................................. 25
1.3.2 L’àtom d’hidrogen en l’equació de Dirac ......................................... 26
1.3.3 La teoria dels forats i els estats d’energia negativa ............................. 27
1.4 Necessitat d’una teoria de moltes partícules ................................................ 28
CAPÍTOL 2. Sistemes Continus i Mecànica Quàntica.......................................... 33
2.1 Introducció .......................................................................................... 35
2.2 Transició al continu d’un sistema discret .................................................... 36
2.3 Formulacions lagrangiana i hamiltoniana de medis continus ........................... 41
2.3.1 Teorema de Noether .................................................................... 43
2.4 Quantització dels modes longitudinals d’una barra elàstica............................. 46
2.5 Quantització canònica ............................................................................ 51
CAPÍTOL 3. El camp de Klein-Gordon ............................................................. 53
3.1 Quantització canònica del camp de Klein-Gordon real .................................. 55
3.2 El camp de Klein-Gordon complex ........................................................... 63
3.3 Regles de commutació covariants i causalitat .............................................. 66
7

Arcadi Santamaria
3.3.1 Expressions explícitament invariants de les funcions D(x), Δ(x) i relació
amb les funcions de Green: propagador de Feynman .......................... 73
CAPÍTOL 4. El camp de Dirac......................................................................... 81
4.1 Introducció: commutadors o anticommutadors (spin i estadística).................... 83
4.2 Covariància Lorentz de l’equació de Dirac.................................................. 86
4.3 El lagrangià de Dirac ............................................................................. 89
4.4 Solucions de l’equació de Dirac ............................................................... 91
4.4.1 Spinors d’helicitat....................................................................... 98
4.5 Quantització del camp de Dirac: regles d’anticommutació i causalitat .............. 101
4.5.1 Invariància sota transformacions de fase .......................................... 102
4.5.2 Invariància sota translacions.......................................................... 102
4.5.3 Invariància sota transformacions de Lorentz ..................................... 103
4.5.4 El propagador fermiònic .............................................................. 109
4.6 Simetries discretes ................................................................................ 110
4.6.1 Paritat ..................................................................................... 111
4.6.2 Conjugació de càrrega ................................................................. 114
4.6.3 Inversió temporal ....................................................................... 116
CAPÍTOL 5. Matriu S i seccions eficaces ........................................................... 121
5.1 Matriu S.............................................................................................. 124
5.2 Teoria de pertorbacions. Desenvolupament de la matriu S .............................. 127
5.2.1 Un exemple en mecànica quàntica no relativista. ............................... 130
5.3 Seccions eficaces i amplades de desintegració ............................................. 137
5.3.1 Secció eficaç i integral d’espai fàsic................................................ 140
5.3.2 Ritmes de desintegració ............................................................... 142
CAPÍTOL 6. Camps amb interaccions .............................................................. 147
8
6.1 Camps amb interaccions ......................................................................... 149
6.2 Quantització i teoria de pertorbacions........................................................ 152
6.3 Teorema de Wick i regles de Feynman....................................................... 159
6.3.1 Regles de Feynman per a λφ 4 ....................................................... 167
6.3.2 Generalització a teories amb vàries interaccions. ............................... 168
6.3.3 Camps escalars complexos ........................................................... 169
6.3.4 Regles de Feynman per a camps de Dirac ........................................ 170
6.4 Regles de Feynman per al lagrangià de Yukawa ........................................... 177
6.4.1 Sumes sobre spins de fermions ...................................................... 178
6.4.2 Interacció el bosó de Higgs amb fermions: regles de Feynman ............. 180
6.5 Aplicacions ......................................................................................... 181
6.5.1 Desintegració d’un escalar en fermions ........................................... 181
6.5.2 Secció eficaç fermió-fermió i potencial de Yukawa ............................ 182
6.6 Acoblaments amb derivades .................................................................... 185

CAPÍTOL 7. Camps “gauge”: fotons i camps de Proca........................................ 191
7.1 La interacció electromagnètica i invariància
“gauge”: el lagrangià de QED ................................................................. 193
7.2 Quantització canònica covariant de fotons lliures ......................................... 198
7.2.1 Quantització del lagrangià de Fermi per a fotons lliures ..................... 200
7.3 El propagador de fotons.......................................................................... 205
7.4 Regles de Feynman de QED .................................................................... 206
7.4.1 Sumes sobre polaritzacions de fotons .............................................. 208
7.5 Camps Vectorials Massius....................................................................... 210
7.5.1 Interacció dels bosons de gauge electrofebles amb fermions: regles de
Feynman .................................................................................. 212
CAPÍTOL 8. Processos elementals a nivell arbre amb fotons i camps de Proca. ....... 217
8.1 e − e + → f ¯f en QED .............................................................................. 219
8.1.1 e + e − → hadrons ........................................................................ 223
8.1.2 Polaritzacions en e + e − → μ + μ − .................................................. 223
8.2 e − μ − → e − μ − : simetria de creuament ...................................................... 226
8.3 Col·lisió Compton i anihilació de parells .................................................... 228
8.3.1 Anihilació de parells e − e + → γγ .................................................... 234
8.4 e − e + → f ¯f al pic del Z .......................................................................... 236
8.4.1 Z → f ¯f .................................................................................... 236
8.5 e − e + → W − W + : necessitat del Z i el vèrtex triple ....................................... 241
CAPÍTOL 9. Més enllà del nivell arbre.............................................................. 245
9.1 Necessitat de renormalització de masses, funcions d’ona i constants d’acoblament.247
9.1.1 N-ordenar o no N-ordenar? ........................................................... 255
9.2 Renormalització a un llaç de λφ 4 ............................................................. 257
9.2.1 Comportament per a s ≫ 4m 2 : grup de renormalització...................... 261
9.3 Interacció de contacte en mecànica quàntica no relativista: dispersió per una
delta de Dirac tridimensional. .................................................................. 262
9.4 Un altre exemple: la teoria de Yukawa ....................................................... 268
9.4.1 El lagrangià............................................................................... 268
9.4.2 El propagador de l’escalar: La part imaginària i l’amplada de desintegració
...................................................................................... 269
9.4.3 El propagador del fermió.............................................................. 276
9.4.4 El vèrtex................................................................................... 277
9.4.5 Col·lisió fermió-antifermió a un loop .............................................. 280
9.5 Renormalització de QED ........................................................................ 281
9.5.1 L’autoenergia de l’electró: estructura i renormalització ....................... 282
9.5.2 El vèrtex: estructura i renormalització ............................................. 283
9.5.3 Identitats de Ward....................................................................... 284
9

Arcadi Santamaria
9.5.4 La polarització del buit ................................................................ 285
9.5.5 Factors de forma de l’electró: El moment magnètic anòmal de l’electró
i el radi de càrrega ...................................................................... 293
9.6 Teories renormalitzables i no renormalitzables: lagrangians efectius ................ 293
CAPÍTOL 10. Mètodes Funcionals ..................................................................... 295
10.1 La integral de camí en mecànica quàntica................................................... 297
10.2 Quantització funcional de camps escalars ................................................... 297
10.3 El teorema de Wick com a derivades funcionals........................................... 297
10.4 Quantització de fermions ........................................................................ 297
10.5 Quantització funcional de QED i rederivació de les regles de Feynman............. 297
10.6 Simetries en el formalisme funcional......................................................... 297
APÈNDIX A. Notació ...................................................................................... 299
A.1 Sistema natural d’unitats......................................................................... 301
A.2 Propietats d’algunes funcions especials...................................................... 301
A.2.1 El logaritme .............................................................................. 301
A.2.2 La funció escaló o de Heaviside..................................................... 302
A.2.3 La funció (distribució) delta de Dirac .............................................. 303
A.3 Notació relativista ................................................................................. 304
A.4 Matrius i spinors de Dirac ....................................................................... 306
A.4.1 Les matrius de Pauli .................................................................... 306
A.4.2 Les matrius de Dirac ................................................................... 306
A.4.3 Spinors de Dirac i les seues propietats............................................. 308
A.5 Vectors de polarització de fotons i camps de Proca ....................................... 309
A.5.1 Fotons...................................................................................... 309
A.5.2 Camps de Proca ......................................................................... 310
A.6 Espai fàsic, seccions eficaces i amplades de desintegració ............................. 310
A.6.1 Convencions per a l’element de matriu i l’espai fàsic.......................... 310
A.6.2 Espai fàsic ................................................................................ 310
A.6.3 Fórmula de la secció eficaç ........................................................... 311
A.6.4 Ritmes de desintegració ............................................................... 311
A.7 Integrals de Feynman............................................................................. 312
A.7.1 Parametrització de Feynman ......................................................... 312
A.7.2 Integrals sobre moments: rotació de Wick........................................ 314
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................. 319
ÍNDEX ANALÍTIC .......................................................................................... 320
10

Preàmbul

Preàmbul
El curs és una introducció elemental a la Teoria Quàntica dels Camps (TQC) , emfasitzant les
seues aplicacions a la teoria de les partícules elementals. El curs pretén ser autocontingut:
aspectes importants de la teoria com són el formalisme Lagrangià i Hamiltonià en medis continus,
o la construcció de la matriu S i càlcul de seccions eficaces, que s’han vist en altres
assignatures com ara la Teoria Clàssica dels Camps, la Teoria de Col·lisions I i les Partícules
Elementals I, es tractaran d’una forma breu, però es tractaran. Així els únics coneixements
necessaris seran aquells que s’han explicat en les assignatures troncals de la Llicenciatura de
Física com són la mecànica clàssica, l’electromagnetisme clàssic i la mecànica quàntica. Es
pretén que l’estudiant puga arribar al final del curs a calcular processos elementals a l’ordre
més baix en qualsevol teoria i tinga els elements necessaris per atacar processos al següent ordre
en teoria de pertorbacions. També es pretén, però, que l’estudiant tinga clar els conceptes
que s’estan utilitzant i per què són necessaris els diferents elements introduïts. Així, encara que
no es tractaran aplicacions de la TQC a problemes no relativistes, s’emfasitzarà la separació
entre la TQC i la seua aplicació a la construcció de teories quàntiques relativistes.
13

Arcadi Santamaria
14

Capítol I
Equacions d’ona relativistes: èxits i
fracassos

1. Equacions d’ona relativistes:
èxits i fracassos
1.1 Dualitat ona-corpuscle
Abans de començar a construir una teoria quàntica relativista és convenient recordar quines
van ser les idees mestres que van portar al desenvolupament de la mecànica quàntica, i com els
principis de la relativitat van ser determinants des dels primers moments.
Al començament del segle XX algunes propietats de la llum, com són els fenòmens de
difracció o interferència, es podien explicar amb una interpretació ondulatòria i descriure’s
mitjançant camps clàssics, mentre d’altres, com ara l’efecte fotoelèctric o el bremsstrahlung,
eren molt més difícils d’entendre. Poc a poc es va anar obrint camí la idea que aquests fenòmens
es podien explicar si la llum se suposava formada per un conjunt de partícules, els fotons, amb
energia i moment relacionats amb la freqüència i la longitud d’ona de la llum, respectivament.
Semblava, per tant, que els fotons es comportaven en alguns casos com a ones i en altres com
a partícules. D’altra banda, de feia temps s’havia observat una analogia entre l’equació de
Fermat, que descriu la trajectòria de la llum, i l’equació de Hamilton-Jacobi, que descriu la
trajectòria de les partícules. Així, era prou natural suposar que no sols els fotons, sinó potser
totes les partícules, gaudeixen d’aquest comportament dual ona-corpuscle. Així ho semblava
demostrar l’èxit de la teoria de Bohr per a explicar l’espectre de l’àtom d’hidrogen.
Però, com associar moment i energia als fotons que formen la llum? Si per simplificar no
tenim en compte la polarització, un raig de llum es pot descriure mitjançant una ona plana
ψ ≈ e i(k·x−ωt)
, k
= 2π
, ω = 2πν
λ
on λ i ν són la longitud d’ona i la freqüència de la llum. ψ satisfà l’equació d’ones
∂ 2
∂t 2 ψ = c2 ∇ 2 ψ , (1.1)
si la freqüència i la longitud d’ona estan relacionades amb la velocitat de la llum, c, per ν = c/λ.
ψ ha de ser invariant relativista perquè els fotons es propaguen a la velocitat de la llum i no
17

Arcadi Santamaria
estem tenint en compte la polarització, llavorsk i ω s’han de transformar sota el grup de Lorentz
de la mateixa forma que ho fanx i t, respectivament. Si es volen associar quantitats mecàniques
al fotó com són l’energia, E, i el moment, p, necessàriament haurem d’escriure
p E
k = , ω =
¯h ¯h ,
amb ¯h una constant que ha de ser la mateixa per a l’energia i el moment per tal de mantenir la
invariància relativista. Així, els fotons es podrien descriure també amb
ψ ≈ e ī h (px−Et) . (1.2)
En termes de la longitud d’ona, λ, i la freqüència ν, tindrem que |p| = h/λ i que E = hν, on
h ≡ 2π ¯h és l’anomenada constant de Planck.
Òbviament, ψ també obeeix l’equació d’ones (1.1) si se satisfà que E = c|p|, que no és
més que la relació relativista entre energia i moment per a partícules sense massa. Si totes les
partícules també tenen un comportament ondulatori, és natural assignar aquesta forma de la
funció d’ona no només al fotó sinó a qualsevol partícula amb energia E i moment p. Ara bé, si
la partícula té massa la relació entre l’energia i el moment ja no és E = c|p| sinó que depèn de
la massa. En el límit no relativista per a una partícula lliure tenim
o si està sotmesa a un potencial V(x)
E ≈ mc 2 + |p|2
, (1.3)
2m
E ≈ |p|2
2m +V(x),
on, com que el potencial està definit a banda d’una constant arbitrària, hem reabsorbit el terme
mc 2 en el potencial. D’altra banda (1.2) satisfà que
i¯h ∂
∂t ψ = Eψ , −i¯h ∇ψ = pψ , (1.4)
així, en el límit no relativista la funció d’ona (1.2) d’una partícula lliure satisfarà
i¯h ∂ ¯h2
ψ = −
∂t 2m ∇ 2 ψ ,
on, un altra vegada, podem eliminar el terme de massa mc 2 si ara identifiquem E amb l’energia
cinètica de la partícula. La generalització al cas d’una partícula sotmesa a un potencial és
l’equació d’Schrödinger
i¯h ∂
ψ = −
∂t ¯h2
2m ∇ 2
+V(x) ψ ,
que és l’equació que descriu l’evolució de l’estat d’una partícula sotmesa a un potencial. Aquesta
equació, però, no és aplicable als fotons, perquè els fotons són relativistes. L’equació equivalent
per a fotons seria l’equació d’ones (1.1). Ara bé, com veurem a les seccions següents, la
18

Equacions d’ona relativistes: èxits i fracassos
interpretació d’aquesta equació com una equació d’ones que descriu una única partícula té
problemes molt importants, problemes que d’altra banda, seran generals de totes les equacions
d’ona relativistes. Així ens trobem en la situació paradoxal que els principis de la relativitat
especial, i en particular el comportament dels fotons que, com hem vist, van ser fonamentals
a l’hora d’arribar a la formulació de la mecànica quàntica, no es poden incorporar en el formalisme
tradicional de la mecànica ondulatòria. A les seccions següents veurem quins són els
problemes de les equacions d’ona relativistes i com la seua solució porta naturalment a una
teoria de moltes partícules: la teoria quàntica dels camps.
1.2 L’equació de Klein-Gordon
Quina seria l’equació d’ones d’un electró que es mou a velocitats relativistes? Fent una analogia
amb el cas no relativista, utilitzant la relació relativista entre energia i moment
E = c 2 p 2 + m 2 c 4 .
i l’equació (1.4) immediatament podem escriure la següent equació d’ones
i¯h ∂
ψ = −¯h
∂t 2 c2∇ 2 + m2c4 ψ . (1.5)
Aquesta equació es redueix a l’equació d’Schrödinger en el límit de massa molt gran (excepte
pel terme de massa). Ara bé, la dependència en l’arrel quadrada li dóna un comportament peculiar
i fa que no siga una equació útil en la majoria de les aplicacions. A més, el fet que continga
només una derivada en el temps, mentre en conté dues respecte a posicions, fa que trenque la
covariància Lorentz explícita de la teoria. Alternativament, podem utilitzar el quadrat1 de la
relació entre energia i moments, i escriure la següent equació
−¯h
2 ∂ 2
∂t
2 ψ =
−¯h 2 c 2 ∇ 2 + m 2 c 4
ψ . (1.6)
En el cas de massa nul·la aquesta equació es redueix a l’equació d’ones original, (1.1), que
descriu el comportament d’ones que es propaguen a la velocitat de la llum. L’equació (1.6) es
coneix com l’equació de Klein-Gordon i en principi hauria de descriure l’evolució de l’estat
d’una partícula relativista de massa m. Si ara utilitzem el sistema natural d’unitats, ¯h = c = 1
i escrivim x μ = (x 0 ,x i ), i = 1,2,3, (vegeu l’apèndix A per més detalls sobre la notació que
utilitzem) l’equació de Klein-Gordon es pot escriure de forma totalment covariant
On ∂ 2 ≡ ∂μ∂ μ ≡ ∂ 2
t − ∇ 2 amb ∂t = ∂
∂t .
∂ 2 + m 2 ψ = 0. (1.7)
1 Com sabem, això en general introdueix solucions espúries, ja que el quadrat admet els dos signes de l’energia.
Com veurem més endavant, en aquest cas, les solucions amb energia negativa no són espúries i tenen un profund
significat físic.
19

Arcadi Santamaria
Aquesta equació descriu partícules que es mouen lliurement, és a dir, partícules que no
pateixen cap tipus d’interacció. Per tenir en compte les interaccions electromagnètiques entre
les partícules recorrerem una altra vegada a l’equació clàssica que relaciona l’energia i el moment
de les partícules en presència d’un camp electromagnètic (en el sistema natural d’unitats
i suposant que les partícules són electrons) 2
(E + eφ) 2 = (p+eA) 2 + m 2 .
E és l’energia de l’electró, φ el potencial electrostàtic i A el potencial vector. Fent les mateixes
substitucions que hem utilitzat en el cas lliure E → i∂t, p → −i∇ s’obté
(i∂t + eφ) 2
ψ = (−i∇+eA) 2 + m 2
ψ , (1.8)
o en notació covariant
(i∂ + eA) 2 − m 2
ψ = 0, (1.9)
on els índexs Lorentz s’han suprimit. El quadrat en aquest cas indica (i∂ + eA) 2 = (i∂t +
eA 0 ) 2 −(−i ∇+eA) 2 , ja que, com sempre, A μ = (A 0 ≡ φ,A), mentre ∂ μ = (∂t,− ∇). El tipus
d’interacció en (1.9), que es pot obtenir de l’equació lliure, (1.7), fent la substitució 3 ∂μ →
∂μ − ieAμ, es coneix com acoblament mínim.
1.2.1 L’equació de Klein-Gordon i l’àtom d’hidrogen
Ara aplicarem l’equació de Klein-Gordon amb interacció electromagnètica per intentar explicar
els àtoms del tipus hidrogenoide. Per això en (1.8) suposarem estats estacionaris
ψ = ψ(x)e −iEt ,
i prendrem el camp electrostàtic creat per una càrrega puntual eZ,
φ = eZ
4πr .
Així obtenim
(E + Zα
r )2ψ(x) = (−∇ 2 + m 2 )ψ(x).
On α ≡ e2 /(4π) és la constant d’estructura fina (en el sistema natural d’unitats). Aquesta
equació es pot resoldre utilitzant separació de variables en coordenades esfèriques. Si escrivim
els estats propis com ψ(x) = Yℓm(θ,ϕ)Rnℓ(r) arribem a la següent equació per a la part radial
∂ 2 2 ∂
+
∂r2 r ∂r − ℓ(ℓ+1) − Z2α 2
r2 + 2ZαEnℓ
+(E
r
2 nℓ − m2
) Rnℓ(r) = 0,
2 En aquest curs prendrem e > 0, i per tant la càrrega de l’electró serà −e.
3 Notem que hi ha una varietat de notacions en la literatura al respecte. El signe pot canviar per la convenció
que es pren en l’acoblament mínim i per la convenció que es pren per a e. Nosaltres prendrem e > 0 i la substitució
mínima com ∂μ → ∂μ + ieQAμ, on Q és la càrrega de la partícula en qüestió. En el cas de l’electró Q = −1 i,
llavors, l’acoblament mínim tindrà un signe negatiu.
20

Equacions d’ona relativistes: èxits i fracassos
que és formalment anàloga a l’equació d’Schrödinger per a un àtom hidrogenoide fent les
substitucions
− m2
ℓ(ℓ+1) → ℓ(ℓ+1) − Z 2 α 2 ≡ λ(λ + 1), α → α Enℓ
m , Enℓ → E2 nℓ
2m .
A causa de la presencia del terme Z2α 2 en la primera equació es produeix un canvi en el valor
del moment angular efectiu λ = ℓ − δℓ, on
δℓ = ℓ+ 1
2 −
(ℓ+ 1
2 )2 − Z2α 2 ≈ Z2α 2
2ℓ+1 .
La condició de quantització de l’equació d’Schrödinger exigeix que n−(ℓ+1) siga un nombre
enter no negatiu. Per tant, si ℓ canvia en δℓ, n haurà de canviar exactament en la mateixa
quantitat. Així trobem que
E2 nℓ − m2 mZ2
= −
2m 2(n − δℓ) 2
2 αEnℓ
,
m
o equivalentment
m
Enℓ = = m 1 −
1+Z 2α 2 /(n − δℓ) 2 Z2α 2
2n2 − Z4α 4
2n4
2n 3
− + ··· . (1.10)
2ℓ+1 4
Aquesta equació dóna correctament el terme no relativista, però la primera correcció no reprodueix
correctament l’estructura fina ni tampoc la multiplicitat d’estats. A més, per a Z >
1/(2α) ≈ 68, tan δℓ com l’energia es fan complexos. Llavors el resultat obtingut no té sentit. En
realitat, com veurem, el problema de l’estructura fina de l’àtom d’hidrogen no ve de la inconsistència
de l’equació de Klein-Gordon com a equació d’ones relativista, sinó del fet que descriu
partícules d’spin 0 i no partícules d’spin 1/2 com l’electró. Així, en principi, l’estructura fina es
pot obtenir afegint termes addicionals a l’equació de Klein-Gordon que tinguen en compte el
spin de l’electró i el seu moment magnètic. De totes formes, no resulta gens satisfactori l’haver
d’anar introduint les interaccions a mà a mesura que són necessàries per descriure els fenòmens
observats.
1.2.2 La densitat de probabilitat en l’equació de Klein-Gordon
A banda de l’estructura fina de l’àtom d’hidrogen hi ha un altre tipus de problemes més fonamentals
en la interpretació de l’equació de Klein-Gordon com una equació d’ones d’una
partícula.
En efecte, en l’equació d’Schrödinger hi ha una densitat definida positiva i un corrent con-
servat
ρ = |ψ| 2 , j = − i
2m
que satisfan una equació de continuïtat:
∂
∂t ρ + ∇j = 0,
ψ ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗
,
21

Arcadi Santamaria
de forma que si integrem en un volum, V, i utilitzem el teorema de Gauss en el terme del corrent,
obtenim
− ∂
d
∂t V
3
xρ = dS ·j,
S
que es pot interpretar com a l’equació de conservació de la probabilitat, ja que la densitat, ρ, és
definida positiva.
Que passa amb l’equació de Klein-Gordon? L’únic corrent conservat és
amb
jμ = i
∗
ψ ∂μψ − ψ∂μψ
2m
∗ = (ρ,−j),
ρ = i
∗ ∂
ψ
2m ∂t
j = − i
2m
∂
ψ − ψ
∂t ψ∗
,
ψ ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗
.
La densitat, ρ, en aquest cas no és definida positiva i, per tant, no es pot interpretar com una
densitat de probabilitat. De fet, en el cas de les solucions reals de l’equació de Klein-Gordon,
tant la densitat com el corrent són idènticament nuls. Així sembla que la interpretació de
l’equació de Klein-Gordon com una equació d’ones, amb la interpretació habitual de la funció
d’ona, sembla inviable. Com veurem més endavant, aquesta densitat, ρ, és podrà reinterpretar
en el formalisme de camps com una densitat de càrrega que no necessita ser definida positiva.
Camps reals representaran partícules neutres i camps complexos partícules carregades.
1.2.3 El problema de les solucions amb energia negativa
Finalment la interpretació de l’equació de Klein-Gordon com una equació d’ones d’una única
partícula té un problema fonamental que apareix en totes les equacions d’ona relativistes:
l’equació relativista que relaciona l’energia amb el moment és
Aquesta equació té dues solucions
E 2 = p 2 + m 2 .
E = ± p 2 + m 2 .
En una teoria clàssica això no representa cap problema perquè els canvis d’energia són continus
i no es pot superar contínuament l’interval d’energies des de m a −m. En una teoria quàntica
això ja no és cert. Una partícula pot canviar d’energia de forma discreta. Per exemple, una
partícula en un estat amb E = m podria passar a un estat d’energia E = −m emetent un fotó
d’energia 2m. Partícules regides per l’equació de Klein-Gordon no serien estables, anirien
perdent energia assolint energies cada vegada més negatives. Això no té sentit, la mecànica
quàntica requereix l’existència d’un estat fonamental amb una energia mínima.
Tots aquests problemes van obligar a abandonar la interpretació de l’equació de Klein-
Gordon com una equació d’ones en el sentit habitual de la mecànica quàntica.
22

m
-m
Equacions d’ona relativistes: èxits i fracassos
Figure 1.1: Estats estacionaris d’una equació d’ones relativista. En principi podrien haver
transicions des dels estats d’energia positiva als estats d’energia negativa.
1.3 L’equació de Dirac
Dirac va arribar a la conclusió que tots els problemes de l’equació de Klein-Gordon venien
del fet que és una equació de segon ordre en el temps. En efecte, això fa que la densitat, ρ,
continga derivades respecte el temps i que, llavors, no siga definida positiva. Així va pensar que
la solució dels problemes de l’equació de Klein-Gordon podria estar en trobar una equació que
fóra només de primer ordre en el temps. La covariància relativista requereix, però, que totes
les coordenades, espacials i temporals, es tracten de forma similar, llavors, l’equació correcta
també ha de ser de primer ordre en les coordenades espacials. Finalment l’equació buscada ha
de satisfer la relació relativista entre energia i moment E2 =p 2 +m2 . Amb aquestes condicions
l’equació només pot ser de la forma
i ∂ψ
∂t
= Hψ =
E
−iα
∇+βm ψ . (1.11)
Com veurem immediatament,α i β no poden ser senzillament nombres reals, han de ser matrius
que no commuten entre elles (i per tant ψ serà un vector de les mateixes dimensions que les
matriusα i β). A més, el fet que el Hamiltonià H haja de ser hermític, implica que tant α com
β han de ser matrius hermítiques, és a dir
α † =α, β † = β ,
L’equació de Dirac (1.11) es pot escriure d’una forma explícitament covariant: si multipliquem
(1.11) per β −1 i si definim
γ 0 = β −1 , γ i = β −1 α i ,
podem escriure l’equació de Dirac com
iγ μ ∂μ − m ψ ≡ (i∂/ − m)ψ = 0, (1.12)
on hem introduït la notació a/ ≡ γ μ aμ. Ara només queda demanar que les solucions d’aquesta
equació satisfacen l’equació relativista per a l’energia E 2 =p 2 +m 2 , o el que és el mateix, ψ ha
de satisfer també l’equació de Klein-Gordon. Així si multipliquem (1.12) per (i∂/+m) obtenim
−(γ μ γ ν ∂μ∂ν + m 2 )ψ = −( 1
2 (γ μ γ ν + γ μ γ ν )∂μ∂ν + m 2 )ψ = 0.
23

Arcadi Santamaria
Per arribar a aquesta equació hem descomposat el producte de matrius gamma en les components
simètrica i antisimètrica, γ μ γ ν = 1 2 (γ μ γ ν +γ ν γ μ )+ 1 2 (γ μ γ ν −γ ν γ μ ), i hem utilitzat que la
component antisimètrica contreta amb el producte de derivades parcials ∂μ∂ν, que és simètric,
s’anul·la idènticament. Si aquesta equació ha de ser equivalent a l’equació de Klein-Gordon,
(∂ 2 + m 2 )ψ = 0, és necessari que
(γ μ γ ν + γ ν γ μ ) ≡ {γ μ ,γ ν } = 2g μν , (1.13)
on hem definit l’anticommutador de dues matrius A,B com {A,B} ≡ AB+BA. Per a μ = ν
tenim que γ μ γ ν = −γ ν γ μ , propietat que no es pot satisfer mai amb nombres reals que commuten,
llavors les γ μ han de ser matrius. Per a μ = ν tindrem que
A més l’hermiticitat de α i β, implica que
o en quatre components
(γ 0 ) 2 = I, (γ i ) 2 = −I.
γ 0† = γ 0 , γ i† = γ 0 γ i γ 0 = −γ i ,
γ μ† = γ 0 γ μ γ 0 . (1.14)
És possible trobar matrius de dimensió 4 × 4 que satisfan totes aquestes propietats. De fet,
aquesta és la dimensió de les matrius més baixa 4 en què es pot construir una representació de
les matrius γ μ . Si les matrius γ μ són de dimensió 4 × 4, les funcions d’ona ψ tindran també
quatre components. Com veurem més endavant, el spinor de Dirac ψ conté dos spinors de dues
components. No s’han de confondre les quatre components de ψ amb les quatre coordenades
d’espai-temps. De fet, quan siga necessari utilitzar explícitament els índexs de Dirac utilitzarem
lletres llatines, així escriurem (γ μ )ab i ψa amb a,b = 1,2,3,4. El conjunt de matrius 4 × 4
complexes formen un espai vectorial complex de dimensió 4×4 = 16. Així, per a completar la
base de l’espai vectorial, a banda de la identitat 5 , I, i les quatre matrius γ μ , podem escriure 11
matrius més linealment independents. En particular tenim
que satisfà les següents relacions
γ5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = γ †
5 ,
γ 2 5 = I, {γ5,γ μ } = 0.
L’índex 5 només és una etiqueta i no representa cap índex espacial.
4 Naturalment es podria pensar en les matrius de Pauli per buscar una representació de dimensió 2 × 2, però
en aquest cas, a més de les matrius de Pauli que podrien jugar el paper de les γ i , només tenim una altra matriu
linealment independent que és la identitat, i que llavors commuta amb les tres matrius de Pauli i no pot jugar el
paper de la γ 0 .
5 Notem que moltes vegades no escriurem explícitament la matriu identitat de l’espai de les matrius de Dirac,
i s’entendrà implícitament que està present quan siga necessari pel context de l’equació. De fet, ja hem utilitzat
aquesta notació en l’equació (1.13), on en el terme de la dreta s’entén que la g μν multiplica una identitat de Dirac,
ja que el terme de l’esquerra és una matriu de Dirac.
24

També és convenient introduir les matrius
σ μν = i
2 [γ μ ,γ ν ].
Equacions d’ona relativistes: èxits i fracassos
Notem que hi ha 6 matrius d’aquest tipus ja que el commutador fa que siguen antisimètriques
en els índexs μ ↔ ν. Així podem construir les 16 matrius (1+1+4+4+6)
I, γ5, γ μ , γ5γμ, σ μν ,
que són linealment independents (com és fàcil de comprovar calculant la traça de les matrius
per parelles) i que, per tant, formen una base de l’espai vectorial de les matrius 4 × 4.
La forma explicita de les matrius no és molt important. De fet, si unes matrius γ μ donades
formen una representació de les matrius de Dirac, en el sentit que satisfan les relacions
d’anticommutació, (1.13), i d’hermiticitat, (1.14), llavors, és evident, que les matrius Uγ μ U † ,
amb U una matriu 4 × 4 unitària arbitrària, també formaran una representació de les matrius de
Dirac. Dues realitzacions concretes són les següents:
1) Representació de Dirac
γ 0 =
I 0
0 −I
, γ i
0 σ i
=
−σ i 0
0 I
, γ5 =
I 0
, (1.15)
on els sub-blocs són matrius 2 × 2: I és la identitat 2 × 2 i σ són les matrius de Pauli 6 .
2) Representació de Weyl 7
És útil definir
γ 0 =
0 I
I 0
, γ i
0 σ i
=
−σ i 0
−I 0
, γ5 =
0 I
. (1.16)
σ μ ≡ (I,σ), ˆσ μ ≡ (I,−σ) (1.17)
de forma que les matrius de Dirac en la representació de Weyl s’escriuen senzillament com
γ μ
Weyl =
0 σ μ
ˆσ μ
.
0
1.3.1 L’equació de Dirac i la densitat de probabilitat
Vegem ara si l’equació de Dirac ens permet definir una densitat de probabilitat definida positiva.
Per això buscarem un corrent conservat.
L’equació hermítica conjugada de l’equació de Dirac (1.12) és:
ψ † (iγ μ†←−
∂μ + m) = 0.
6 A l’apèndix A.4 podeu trobar algunes propietats addicionals i la definició i propietats de les matrius de Pauli.
7 Notem que és freqüent trobar també la representació de Weyl amb les matrius γ 0 i γ5 canviades de signe.
25

Arcadi Santamaria
Definint ψ ≡ ψ † γ 0 , inserint el nombre de γ 0 necessari i utilitzant (1.14), es pot escriure com
ψ i ←−
∂/ + m = 0,
Combinant les dues equacions, l’equació de Dirac i l’equació de Dirac hermítica conjugada,
trobem que:
ψ i ←− ∂/ + i −→
∂/ ψ = i∂μ (ψγ μ ψ) = 0,
i, per tant, un corrent conservat és:
j μ = ψγ μ ψ =
j 0 = ρ = ψ † ψ > 0
j i = ψγ i ψ = ψ † α i ψ
. (1.18)
La component j 0 és definida positiva i, llavors, es pot interpretar com una densitat de probabilitat.
Aquesta va ser la motivació fonamental de Dirac per estudiar aquesta equació. Així, sembla
que el problema de la densitat de probabilitat de l’equació de Klein-Gordon queda resolt per
l’equació de Dirac.
1.3.2 L’àtom d’hidrogen en l’equació de Dirac
Vegem que passa amb l’espectre dels àtoms del tipus hidrogenoide.
Si introduïm el camp electromagnètic, com vam fer en el cas de l’equació de Klein-Gordon,
és a dir, imposant l’acoblament mínim
obtenim l’equació
∂μ → ∂μ − ieAμ ,
(i∂/+eA/ − m)ψ = 0.
Multiplicant aquesta equació per (i∂/+eA/+m) i reordenant un poc el resultat arribem a
(i∂ + eA) 2 − m 2 + e
2 σ μν
Fμν ψ = 0,
que no és més que l’equació de Klein-Gordon amb interacció electromagnètica més un terme
addicional que depèn de l’spin de la partícula i del tensor camp electromagnètic, F μν = ∂ μ A ν −
∂ ν A μ . Aquest terme representa la contribució d’un moment magnètic intrínsec de l’electró amb
un factor giromagnètic g = 2, com es veu clarament desenvolupant el darrer terme
iα ·E +σ ·B .
e
2 σ μν Fμν = 2 e
2
Aquest tipus d’interacció era just el que s’havia d’afegir a l’equació de Klein-Gordon per poder
explicar l’espectre de l’àtom d’hidrogen. En efecte, la solució de l’equació de Dirac en presència
d’un camp central donat per un potencial A 0 = Ze/4πr porta als següents valors de l’energia
dels estats estacionaris:
26
En j =
m
= m 1 −
1+Z 2α 2 /(n − δ 2
j) Z2α 2
2n2 − Z4α 4
2n4
2n 3
− + ···
2 j+ 1 4
(1.19)

amb
on
δ j = j+ 1
2 −
( j+ 1
2 )2 − Z2α 2 ≈ Z2α 2
2 j+ 1 ,
Equacions d’ona relativistes: èxits i fracassos
n = 1,2,··· j = 1 3 1
, ,···,n −
2 2 2 ,
que són les mateixes energies que s’obtenen amb l’equació de Klein-Gordon però on el moment
angular orbital ℓ s’ha substituït pel moment angular total j. Aquesta equació dóna els nivells i
les multiplicitats correctes.
Així i tot per a Z > 137, la funció δ 1 es fa complexa i l’equació perd tot el sentit. A con-
2
tinuació veurem que, a diferència del que passa en la mecànica quàntica no relativista, en una
teoria relativista les partícules es poden crear i anihilar. Això vol dir que en algunes circumstàncies
pot resultar energèticament més econòmic crear partícules addicionals que formar un
estat lligat estable. Aquest fenomen no es pot tenir en compte en el marc d’una equació d’ones
com la que estem considerant. En aquest sentit el desenvolupament de parts imaginàries en
l’energia per a Z’s grans ens suggereix que quan les energies de lligadura són comparables a
la massa de les partícules involucrades, la creació i anihilació de noves partícules és possible, i
les equacions d’ona amb la interpretació habitual perden tot el sentit.
1.3.3 La teoria dels forats i els estats d’energia negativa
Que passa amb el problema de les energies negatives? Veient l’estructura de l’equació de Dirac,
al cap i a la fi l’equació de Dirac no és més que l’arrel quadrada de l’equació de Klein-Gordon,
es podria pensar que aquest problema també estarà solucionat, ja que sembla que d’alguna
forma s’ha triat una de les dues arrels. És fàcil veure que no és així i que l’equació de Dirac
té solucions tant d’energia positiva com d’energia negativa, exactament igual com li passava a
l’equació de Klein-Gordon. En efecte, si escrivim l’equació de Dirac, en la representació de
Dirac, per a una ona plana i separem la funció ψ en spinors de dues components χ i ϕ
immediatament trobem
ψ =
χ
,
ϕ
(E − m) χ −σ pϕ = 0,
(E + m)ϕ −σ p χ = 0,
que per a partícules en repòs, p = 0, conté les dues solucions E = m per a χ i E = −m per a ϕ.
Així veiem que encara que l’equació de Dirac semble l’arrel quadrada de l’equació de Klein-
Gordon, descriu tant solucions amb energia positiva com negativa. Les quatre components dels
spinors de Dirac descriuen al mateix temps una partícula d’spin 1/2 amb energia positiva i una
partícula d’spin 1/2 amb energia negativa. El problema de la definició de l’estat fonamental,
per tant, roman intacte.
27

Arcadi Santamaria
Dirac, però, va saber trobar una solució imaginativa a aquest problema. Els electrons són
fermions i obeeixen el principi d’exclusió de Pauli que estableix que dos electrons no poden
estar exactament en el mateix estat. Les funcions d’ona han de ser anti-simètriques. Si imaginem
el buit, és a dir, l’estat de mínima energia, com un estat completament ple amb els estats
d’energia negativa, els electrons amb energia positiva serien estables perquè no podrien caure
a estats que ja estan plens. D’altra banda, la manca d’un electró del buit, és a dir un forat en el
mar d’electrons d’energia negativa, es manifestarà com una partícula d’energia positiva però de
càrrega positiva (es mou en sentit contrari a com ho faria un electró d’energia positiva). Així,
la teoria de Dirac prediu l’existència d’antipartícules: els forats, que serien partícules amb
la mateixa massa i propietats que les partícules, però amb carrega contrària. L’anti-electró,
l’anomenat positró, es va descobrir posteriorment, amb exactament aquestes característiques,
després d’un període un poc confús en que es va voler identificar l’antipartícula de l’electró
amb el protó.
Com hem vist l’equació de Dirac soluciona el problema de la interpretació de la funció
d’ona com una amplitud de probabilitat, porta naturalment incorporat l’spin de l’electró, sembla
que prediu naturalment el moment magnètic de l’electró i, en part com a conseqüència d’això,
prediu correctament l’espectre de l’àtom d’hidrogen i, finalment, amb la teoria dels forats, no
sols sembla solucionar el problema dels estats d’energia negativa sinó que prediu l’existència
d’antipartícules. Tots aquests èxits li van donar a la teoria de Dirac un prestigi sense precedents.
Així i tot, com veurem immediatament, l’equació de Dirac, entesa com una equació d’ones
en el sentit habitual de la mecànica quàntica, no pot ser la solució final per a construir una teoria
quàntica relativista consistent.
1.4 Necessitat d’una teoria de moltes partícules
La teoria dels forats de Dirac soluciona el problema dels estats d’energia negativa per als
fermions, partícules d’spin 1/2, però, que passa amb els bosons? En el cas dels bosons no
es pot recórrer al principi d’exclusió per omplir els estats d’energia negativa. Una solució radical
consisteix en pensar que els bosons no poden existir, o almenys no són tan “elementals”
com els fermions. El concepte d’elementalitat, però, no està ben definit. Totes les partícules
semblen elementals mentre no es té prou resolució per poder mirar dins d’elles (que pel principi
d’incertesa implica intercanvi de moments grans i per tant energies grans). D’altra banda hi ha
ja una bona fauna de partícules que són bosons, com per exemple els pions, els bosons W, i Z
o el fotó mateix. Seria extremadament negatiu renunciar a entendre totes aquestes partícules
i les seues interaccions fins saber de que estan compostes. És, per tant, necessari trobar una
descripció relativista dels bosons, en general i, en particular, dels fotons que ens envolten i són
la font d’informació més important que tenim.
Un dels èxits de l’equació de Dirac va ser l’explicació del moment magnètic de l’electró
amb un factor giromagnètic g = 2. Com hem vist aquest acoblament apareix en l’equació de
Dirac quan imposem l’acoblament mínim. Res no prohibeix, però, que afegim termes addicionals
a l’equació de Dirac. Podríem escriure per exemple
28

i∂/+eA/ − m+ Δg
2
Equacions d’ona relativistes: èxits i fracassos
e
4m σ μν Fμν
ψ = 0.
El terme addicional que hem afegit respecta totes les simetries i propietats que cal imposar a
una equació d’aquest tipus i, en canvi, porta a una predicció del factor giromagnètic que és
g = 2+Δg. És a dir, el factor giromagnètic pot ser qualsevol cosa si afegim aquest terme. En
particular, el factor giromagnètic del protó és prou diferent de 2 i la introducció d’aquest terme
és imprescindible si volem descriure correctament el protó. Més dramàtic encara els el cas del
neutró sí que té moment magnètic, i que, per ser neutre, en la teoria de Dirac mínima no en
tindria. Com veurem, aquests aspectes, que en la teoria de Dirac no estan clars, es clarificaran
quan s’estudien en el marc de la teoria quàntica de camps.
Finalment està el problema dels estats lligats dels àtoms hidrogenoides quan Z > 137 que
tenen energies complexes tant en la teoria de Dirac com en la de Klein-Gordon.
Així, malgrat el seu èxit enorme, l’equació de Dirac no dóna una solució completa i general
al problema de la formulació d’una teoria quàntica relativista. En particular està el problema de
la descripció dels fotons, que d’alguna manera són els que van portar al desenvolupament de la
mecànica ondulatòria i que, en canvi, no es poden descriure amb una equació d’ones d’una sola
partícula. En efecte, els fotons no tenen massa i són sempre relativistes, qualsevol interacció
dels fotons porta quasi inevitablement a la producció de fotons addicionals. De fet, aquest
problema és molt més general i està lligat al principi d’incertesa i a l’existència d’una velocitat
màxima. Per exemple, si volem mesurar la posició d’una partícula no relativista de massa m
(amb velocitat petita comparada amb la velocitat de la llum) amb una incertesa, Δx, menor que
la seua longitud d’ona Compton, el principi d’incertesa ens diu que necessàriament l’aparell
de mesura haurà d’involucrar l’intercanvi de moments 8 p ∼ mc i energies E ∼ mc 2 . Si les
energies utilitzades són tan grans, llavors, en una teoria relativista és possible crear partícules
addicionals (o parells partícula-antipartícula) i la descripció en termes d’una única partícula ja
no es correcta. Aleshores, trobem que la descripció mecano-quàntica en termes de funcions
d’ona i probabilitat conservades només pot ser vàlida si no intentem localitzar la partícula en
distàncies més petites que la seua longitud d’ona Compton,
Δx ≥ ¯h
mc .
Per a partícules en moviment, podem utilitzar l’argument anterior passant a un sistema de referència
on la partícula ja no estiga en repòs. La contracció de Lorentz de la longitud ens diu que
Δx ≥ (¯h/mc)(mc 2 /E) = ¯hc/E. En el cas de partícules ultra-relativistes, E ≈ pc i Δx ≥ ¯h/p.
És a dir, partícules ultra-relativistes no es poden localitzar, aïlladament d’unes altres, amb una
precisió major que la seua longitud d’ona de de Broglie. Així, en una teoria relativista les coordenades
d’una partícula no són bones variables dinàmiques. El mateix concepte de funció
d’ona, amb la interpretació probabilística habitual, només té sentit, i només de forma aproximada,
per a distancies molt més grans que Δx ≫ ¯h/mc en el cas de partícules no relativistes i
Δx ≫ ¯h/p = λ/2π en el cas de partícules ultra-relativistes.
8 Per claredat, en aquesta secció tornem a recuperar els factors c i ¯h.
29

Arcadi Santamaria
El problema fonamental de les equacions d’ona relativistes sembla estar en l’intent de descriure
una única partícula. De fet, com a mínim, una teoria quàntica relativista ha de descriure
partícules i antipartícules al mateix temps. És fàcil veure que una teoria relativista sense antipartícules
viola causalitat. Per exemple, l’amplitud de probabilitat de trobar una partícula en
la posicióx en un temps t quan en t = 0 estava enx0, per a partícules lliures ve donada per
U(t) ≡ 〈x|e −iHt
|x0〉 = d 3 p〈x|e −iHt |p〉〈p||x0〉 =
1
(2π) 3
d 3 pe −iE(p)t e ip·(x−x0) .
En el cas no relativista tenim que E(p) = p 2 /(2m) i immediatament trobem que
U(t) =
m
3
2
e
2πit
i m 2t (x−x0) 2
.
U(t) és diferent de zero ∀x,x0,t. En una teoria no relativista on la propagació dels senyals
pot ser tan ràpida com vulguem això no representa cap problema. En canvi, en una teoria
relativista, on els senyals no es poden propagar a velocitats majors que la velocitat de la llum,
aquest resultat seria un desastre total. Es podria pensar que en utilitzar les relacions relativistes
entre energia i moment el problema se soluciona. Vegem que passa en el cas relativista si només
considerem els estats d’energia positiva E(p) = p 2 + m 2 .
1
U(t) =
2π2 |x −x0|
≈ e −m
√ |x−x0| 2 −t 2
∞
0
d |p||p|sin(|p||x −x0|)e −it
|p 2 |+m2 |x −x0| 2 ≫ t 2
que és diferent de zero per a punts tant distants que no poden estar connectats causalment amb
un senyal que es propague a velocitats menors o iguals que la velocitat de la llum. La solució
a aquest problema vindrà donada per l’existència de les antipartícules. Com veurem, quan es
considera al mateix temps propagació d’estats d’energia positiva i d’energia negativa hi haurà
una cancel·lació entre les dues contribucions i no hi haurà intercanvi d’informació a velocitats
majors que la velocitat de la llum. Per tant, l’existència d’antipartícules en una teoria quàntica
relativista serà essencial per preservar la causalitat.
De la discussió anterior arribem a la conclusió que una teoria quàntica relativista necessàriament
ha de ser una teoria de moltes partícules. Però, com caracteritzar una teoria quàntica de
moltes partícules? La definició més precisa la va donar Wigner: un estat d’una partícula no
és més que un vector d’una representació irreduïble unitària del grup de Lorentz inhomogeni
(Poincaré). Així, en principi és suficient classificar les representacions del grup de Poincaré i
tindrem classificades les partícules. Al mateix temps, l’espai de representació serà l’espai de
Hilbert dels estats. Els estats de moltes partícules lliures es poden construir com a producte
directe dels estats d’una partícula. A partir de la definició dels estats i l’existència d’un operador
d’evolució temporal (un Hamiltonià), es pot definir l’anomenada matriu S, que és la
peça fonamental per poder calcular observables físics, com ara seccions eficaces o ritmes de
desintegració.
30
,

Equacions d’ona relativistes: èxits i fracassos
Aquest punt de vista, encara que és completament general i basat únicament en els principis
de la relativitat especial i de la mecànica quàntica, és purament cinemàtic i no permet el càlcul
dels elements de matriu de la matriu S. Es poden explotar les simetries, en particular la invariància
Poincaré, per obtenir relacions entre els elements de la matriu S, però, en últim terme
no es poden calcular completament. Només quan s’especifica la forma concreta de l’operador
d’evolució temporal, és a dir el Hamiltonià del sistema, s’especifica la dinàmica, i només llavors
es poden calcular els elements de la matriu S, i per tant, els observables de la teoria. Les
restriccions sobre la forma dels possibles Hamiltonians són molt fortes: el Hamiltonià ha de ser
tal que la teoria resultant satisfaça tots els principis de la mecànica quàntica i de la relativitat
especial. Això porta quasi inevitablement a les teories quàntiques de camps (veure Weinberg I
per més detalls sobre aquest punt de vista). Com veurem a continuació les teories quàntiques de
camps satisfan automàticament tots aquests requeriments al temps que resolen el problema de
la causalitat amb la introducció de les antipartícules. Veurem que també ens ajuden a entendre
certes qüestions que no es poden entendre de cap forma fora del marc de la teoria quàntica de
camps, com ara la la connexió que hi ha entre l’spin de les partícules i l’estadística que obeeixen
o perquè la teoria de Dirac prediu correctament el moment magnetic de l’electró i, en canvi,
no el del protó o del neutró. Però, el que és més important, les teories quàntiques de camps
ens permeten construir naturalment estats de moltes partícules i calcular les probabilitats de
transició entre estats amb diferent nombre de partícules, càlculs que han estat corroborats per
infinitat d’experiments en els més variats rangs d’energies.
Problemes Proposats
Problema 1.1 Comproveu, utilitzant les equacions de moviment, que els següents corrents es
conserven en el sentit ∂tρ + ∇j = 0 :
ii) Schrödinger:
ii) Klein-Gordon:
iii) Dirac:
i ˙ψ = − ∇2
2m ψ, ρ = |ψ|2 , j = − i
ψ
2m
∗∇ψ − ψ ∗
∇ψ
ρ = i
∗ ∂ ∂
ψ ψ − ψ
2m ∂t ∂t ψ∗
(∂ 2 + m 2 )φ = 0
, j = − i
2m
(i∂/ − m)ψ = 0, ρ = ψ † ψ, j = ψγψ
ψ ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗
Problema 1.2 Comproveu que les matrius de Dirac, tant en la representació de Dirac com en
la de Weyl, satisfan l’àlgebra:
{γ μ ,γ ν } = 2g μν
i la condició d’hermiticitat:
γ μ† = γ 0 γ μ γ 0
31

Arcadi Santamaria
Problema 1.3 Comproveu que si es multiplica l’equació de Dirac amb interacció electromagnètica
(i∂/+eA/ − m)ψ = 0
per (i∂/+eA/+m) s’obté
(i∂ + eA) 2 − m 2 + e
σμνF
μν
ψ = 0.
2
Discutiu el significat físic dels diferents termes en aquesta equació.
32

Capítol II
Sistemes Continus i Mecànica Quàntica

2. Sistemes Continus i Mecànica
Quàntica
2.1 Introducció
En el desenvolupament de la mecànica quàntica va tenir un papel molt important l’anomenat
“principi de dualitat ona-corpuscle”. Les ones, però, són una propietat dels medis continus (vibracions
d’una corda, un sòlid o gas o variacions del camp electromagnètic), sistemes en els què
l’energia, el moment i les altres magnituds físiques estan repartides en regions grans de l’espai.
D’altra banda, les partícules són quantitats discretes, sistemes en els què tota l’energia, el moment
i les altres magnituds estan concentrades en un punt, que és la posició de la partícula. Hem
vist com la mecànica quàntica associa propietats ondulatòries a les partícules i com l’equació de
Schrödinger i les regles de quantització expressen de forma matemàtica clara i precisa aquestes
propietats ondulatòries de les partícules. D’altra banda, encara que hem associat certes propietats
de les partícules a les ones electromagnètiques, aquesta connexió no està ben definida de
forma matemàtica. Diem que el camp electromagnètic està format per quanta que tenen una
certa energia i moment, però no hem definit amb precisió com surten les partícules de les equacions
del camp electromagnètic. La qüestió ens la podem replantejar de forma més general:
sabem com passar d’un sistema clàssic discret a un sistema quàntic, però com es pot passar
d’un sistema clàssic continu (per exemple una corda, un sòlid, el camp electromagnètic) al
sistema quàntic equivalent? Es podria pensar que, després de tot, una corda o un sòlid estan
formats per àtoms, i que sabent quantitzar aquests tenim quantitzats la corda i el sòlid. Aquest
punt de vista no acaba de ser satisfactori, ja que hi ha sistemes, com per exemple el camp electromagnètic,
que no estan formats per res, o almenys de moment, no sabem si estan formats
per entitats discretes més fonamentals. Resultaria molt frustrant que per poder quantitzar un
sistema haguérem de conèixer amb tot detall de què està format. Al cap i a la fi, per a saber
de què està fet un sistema a distàncies de l’ordre de a , pel principi d’incertesa, necessitem
utilitzar energies de l’ordre de ¯hc/a. Clarament, com que no podem assolir energies infinites,
tampoc podem explorar distàncies infinitament petites. Fins i tot en el cas de sistemes en què
sí que sabem de què estan fets, té sentit quantitzar el sistema com un tot i no haver d’entrar en
35

Arcadi Santamaria
00 11
1100000000000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111111111
00
00 11
11 00
00 11
11 00
00 11
11 00
00 11
11 00
a
00 11
11
000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111 00
11111111111 00000000000
11111111111
00000000000
1 2
i−1 i i+1 N
(a) Un sistema de masses amb una una foça entre elles tipus harm‘onic esf‘eric
Figure 2.1: Un sistema de masses puntuals amb una força entre elles proporcional a la desviació
del punt d’equilibri.
els detalls de la seua estructura. Després de tot, si les energies involucrades són petites (o les
longituds d’ona utilitzades per a estudiar el sistema són grans comparades, per exemple, amb la
distancia entre àtoms) esperem, una altra vegada pel principi d’incertesa, que el comportament
global del sistema siga insensible als detalls de la seua estructura. Així arribem a la pregunta
que intentarem contestar en aquest capítol: com es quantitza un sistema continu? Com es
pot quantitzar una corda, una barra de ferro o també el camp electromagnètic? Notem que la
qüestió, en principi, no té res a veure amb els problemes de la mecànica quàntica relativista que
hem discutit al capítol anterior i és molt més general. Curiosament, veurem que la resposta a
aquesta pregunta condueix inevitablement a teories de moltes partícules i que aquestes teories
es poden utilitzar naturalment per a construir teories quàntiques relativistes consistents.
La transició de sistemes clàssics discrets a sistemes quàntics discrets esta basada en el
formalisme canònic. És natural, per tant, utilitzar les mateixes tècniques en el cas de sistemes
continus. A continuació repassarem ràpidament com es formula el formalisme canònic en el
cas de sistemes continus i després veurem com utilitzar-lo per quantitzar sistemes continus.
2.2 Transició al continu d’un sistema discret
Siga un conjunt de N partícules de massa m separades, en equilibri, una distància a i unides
per un material elàstic de massa menyspreable que genera una força recuperadora proporcional
a l’estirament (figura 2.1). Els extrems del material elàstic estan connectats a dos punts fixes
de manera que la longitud total del sistema és ℓ = a(N + 1). Les partícules es poden moure,
en principi, en dues direccions, vertical i horitzontal. Per simplificar considerarem només el
moviment en la direcció horitzontal, és a dir considerarem només les vibracions longitudinals
de la cadena de partícules. Les vibracions transversals porten a equacions que són similars a
les que estudiarem a continuació.
Encara que aquest sistema semble un cas molt particular és molt general, ja que si tenim
una cadena de masses unides per algun tipus de força, les desviacions de la posició d’equilibri
venen regides, en primera aproximació, per un potencial quadràtic que dóna una força lineal.
Això és perquè la posició d’equilibri és un mínim del potencial i per tant el primer terme no
nul del desenvolupament de Taylor al voltant del punt d’equilibri és quadràtic (a banda d’una
constant). És a dir, aquest sistema podria representar perfectament les oscil·lacions al voltant
del punt d’equilibri d’una cadena d’àtoms en un material sempre que les desviacions del punt
d’equilibri siguen petites comparades amb la distancia entre àtoms.
Si les ηi són els desplaçaments respecte la posició d’equilibri tindrem que l’energia cinètica
36
00 11
11 00
00 11
11 00
00 11
11 00
00 11
11 00

del sistema és
T = 1
2
N
∑
i=1
m ˙η 2 i ,
Sistemes Continus i Mecànica Quàntica
On ˙ηi ≡ dηi/dt.
L’energia potencial, d’altra banda, és la suma de las energies potencials del material que
separa les partícules per haver-se estirat o comprimit respecte a la posició d’equilibri:
V = 1
2
N
∑
i=0
α (ηi+1 − ηi) 2 ,
on α és la constant d’elasticitat del material que separa les partícules. Per escriure aquesta
equació de forma compacta hem definit η0 = 0, i ηN+1 = 0, ja que els punts dels extrems no es
mouen.
D’aquestes equacions immediatament obtenim (altra vegada utilitzem que ˙η0 = 0 per començar
els dos sumatoris en i = 0) el lagrangià del sistema
L = T −V = 1
2
Igualment podem escriure el hamiltonià
H = T +V = 1
2
N
∑
i=0
N
∑
i=0
m ˙η 2 i − α (ηi+1 − ηi) 2
,
m ˙η 2 i + α (ηi+1 − ηi) 2
.
Per poder fer el límit al continu convé escriure el lagrangià (i equivalentment també el hamiltonià)
com
L = 1
N m
a
2 a ˙η2
2 N
ηi+1 − ηi
i − αa
= aLi.
a
∑
i=0
Les equacions de moviment per a les coordenades ηi són
∑
i=0
m ..
η i −α (ηi+1 − 2ηi + ηi−1) = 0. i = 1,···N, ,η0 = 0, ηN+1 = 0.
Aquest és un sistema d’equacions diferencials acoblades que no es resol fàcilment. Ara bé, la
teoria d’oscil·ladors lineals acoblats ens diu que aquest sistema és equivalent a un sistema de
N oscil·ladors independents de freqüències ωk a determinar. En aquest cas (veure el problema
2.1) es pot demostrar que les freqüències pròpies són
α
ωk = 2
m sin
k π
, k = 1,2,···N . (2.1)
2(N + 1)
Notem que per a freqüències petites k ≪ N + 1 podem utilitzar una expressió aproximada per
aquestes freqüències
α k π
ωk ≈
m N + 1 =
αa k π
, k ≪ N + 1.
m/a ℓ
37

Arcadi Santamaria
Com que aquest sistema és una suma d’oscil·ladors harmònics i com que els oscil·ladors harmònics
els sabem quantitzar, podem dir que sabem quantitzar aquest sistema. En particular, els
estats estacionaris del sistema tindran energies
En1n2···nN =
N
∑ ¯hωk
k=1
nk + 1
,
2
on nk etiqueta l’estat de l’oscil·lador de freqüència ωk.
Com canviaran aquests resultats quan fem el límit al continu, a → 0.N → ∞? Per fer el
límit al continu, altra vegada, re-escriurem les equacions de moviment com
ηi+1 − 2ηi + ηi−1
m
a
Ara fem el límit
..
η i −αa
a 2
= 0. i = 1,···N, ,η0 = 0, ηN+1 = 0.
a → 0, m/a = ρ = constant
N → ∞, a(N + 1) = ℓ = constant (2.2)
m → 0, αa = Y = constant
α → ∞,
on ρ és la densitat lineal de massa, Y és el mòdul de Young i ℓ és la longitud total del sistema.
Per fer aquest límit és convenient definir la variable x ≡ ia que dóna la posició de la partícula
i. També és convenient definir la funció de x (i també de t), η(x,t) = η(ia,t) ≡ ηi que dóna el
desplaçament del punt d’equilibri de la partícula i .Amb aquestes definicions podem veure que
Igualment
ηi+1 − ηi η(x+a,t) − η(x,t)
lim = lim
=
a→0 a a→0 a
∂η
∂x .
ηi+1 − 2ηi + ηi−1
lim
a→0 a2 η(x+a,t) − 2η(x,t)+η(x − a,t)
= lim
a→0
a2 Així l’equació de moviment en el continu s’escriu com
ρ ∂ 2 η
∂t 2 −Y ∂ 2η ∂x
Dividint per ρ i definint v = Y/ρ tenim finalment
∂ 2 η
∂t 2 − v2 ∂ 2η ∂x
2 = 0, η(0,t) = 0, η(ℓ,t) = 0.
= ∂ 2η .
∂x2 2 = 0, η(0,t) = 0, η(ℓ,t) = 0, (2.3)
que no és més que l’equació d’ones amb velocitat v i descriu la propagació d’ones longitudinals
en una barra rígida. La solució d’aquesta equació, tenint en compte les condicions de contorn
imposades, es pot obtenir fàcilment per separació de variables,
38
η(x,t) =
∞
∑ qk(t)sin
k=1
ωkx
v
(2.4)

on
ωk = kπv
ℓ
Sistemes Continus i Mecànica Quàntica
k = 1,2,···,∞, (2.5)
mentre les qk(t) satisfan l’equació de l’oscil·lador harmònic amb freqüència ωk:
..
q k (t)+ω 2 k qk(t) = 0. (2.6)
és a dir qk(t) són funcions periòdiques de freqüència ωk. Notem que les freqüències pròpies en
el continu es poden obtenir també a partir de la fórmula obtinguda en el discret, eq. (2.1), fent
el límit a → 0:
αm
ωk = lima→0 2 sin
= lima→0 2
αa 1
m/a a sin
k πa
2ℓ =
k π
2(N+1)
(2.7)
Yρ k π
ℓ = kπv
ℓ , k = 1,2,···∞. (2.8)
A més, com hem vist abans, aquest resultat és també vàlid fins i tot quan la distància entre
partícules, a, siga finita, sempre que les freqüències no siguen massa grans (k ≪ N + 1), és
a dir, sempre i quan les longituds d’ona siguen grans comparades amb la distància entre les
partícules puntuals. Per tant, la descripció en el continu serà útil també en el cas de sistemes
discrets sempre i quan la contribució de les freqüències grans no siga important. En aquest
cas haurem de tenir en compte que no hi ha un nombre infinit de freqüències pròpies sinó que
només n’hi ha N ≈ ℓ/a, essent la freqüència màxima de l’ordre de ωmax ≈ 2v/a, on, en aquest
cas, hem utilitzat la fórmula exacta per a les freqüències pròpies. A més a més, en el cas d’una
a finita, les equacions utilitzades per a fer el pas al continu no són exactes i les equacions de
moviment rebran correccions de l’ordre a. Per exemple
ηi+1 − ηi
a
∂η
→
∂x
+ 1
2
∂ 2η a+··· ,
∂x2 i, encara que es pot seguir utilitzant una descripció en termes de variables continues, és obvi
que a mesura que ens apropem a ωmax, s’hauran d’anar afegint termes que tinguen en compte
l’estructura a distàncies petites fins que arribarà un moment en què ja no es podrà continuar
sense tenir en compte l’estructura discreta del sistema.
D’altra banda, si fem el mateix límit en el lagrangià i tenim en compte que
obtenim que en el continu
lim
a→0
N
∑
i=0
L = 1
ℓ
dx ρ
2 0
a →
∂η
∂t
ℓ
0
dx,
2
−Y
2
∂η
,
∂x
o redefinint el lagrangià dividint-lo per ρ (que per a ρ constant òbviament du a les mateixes
equacions de moviment)
L ≡
ℓ
0
dxL ,
39

Arcadi Santamaria
on hem definit la densitat lagrangiana L
L = 1
∂η 2 − v
2 ∂t
2
2
∂η
, (2.9)
∂x
De forma semblant arribem a que el hamiltonià es pot escriure com
amb
H = 1
2
H ≡
∂η
∂t
ℓ
0
dxH ,
2 + v 2
2
∂η
. (2.10)
∂x
A més, si, en complet paral·lelisme amb el cas discret, definim la densitat de moment conjugat,
π, associat a la variable η com
π = ∂L
∂ ˙η ,
immediatament trobem que, en aquest cas, se satisfà
H = π ˙η −L ,
d’acord també amb el que cabia esperar.
Notem el paper jugat per les coordenades x. No són variables dinàmiques, de fet, són independents
del temps, només juguen el paper d’etiquetar el punt on s’està avaluant la funció η.
En efecte, de la forma que les hem introduïdes x ≡ ai, clarament es veu que juguen el paper
d’un índex, un índex continu en el cas que fem el límit a → 0, però al cap i a la fi un índex. Les
úniques variables dinàmiques són els camps η.
Aquests resultats es poden generalitzar fàcilment a sistemes continus tridimensionals. Llavors
les variables dinàmiques η(x,y,z,t) són funcions de les tres coordenades espacials i del
temps i el lagrangià s’escriu en termes de la densitat lagrangiana com
L = L dxdydz. (2.11)
Insistim una vegada més en el fet que les coordenades espacials i el temps són totes independents
les unes de les altres i, en particular, les coordenades espacials només serveixen per
etiquetar els camps.
Utilitzant aquest exemple senzill hem vist com obtenir les equacions de moviment en el
continu i com escriure un lagrangià en termes de la densitat lagrangiana. Ara bé, seria interessant
construir un formalisme lagrangià en el continu que ens permetera obtenir directament les
equacions de moviment en el continu a partir d’un principi de mínima acció sense haver de passar
per la discretització. En la següent secció veurem com fer-ho i re-deduirem les equacions
de moviment en l’exemple que ja hem vist.
40

Sistemes Continus i Mecànica Quàntica
2.3 Formulacions lagrangiana i hamiltoniana de medis continus
Per simplificar suposarem que només tenim una variable espacial i que la densitat lagrangiana
es pot escriure com
L = L η, ∂η
∂η
, ,
∂x ∂t
de forma que el lagrangià és
mentre l’acció serà
S =
L =
x1
x0
t x1
t0
x0
L dx,
L dxdt .
Notem que en aquesta expressió les variables espacials i temporals apareixen de forma completament
simètrica. Això fa que aquesta formulació siga especialment apropiada per a tractar
problemes relativistes.
El principi de mínima acció ens diu que les equacions de moviment s’obtenen en demanar
que l’acció siga estacionària respecte deformacions de les variables dinàmiques, en aquest cas
dels camps η, és a dir demanant δS = 0 per a deformacions arbitràries, satisfent les condicions
de contorn, dels camps δη. Així, suposant que L no té dependències explícites en les
coordenades x o t, tenim
0 = δS =
t1
x1
t0
t0
x0
dtdx
∂L ∂L
δη +
∂η ∂(∂η/∂t) δ(∂η/∂t)+
∂L
∂(∂η/∂x) δ(∂η/∂x)
.
Ara podem integrar per parts en t i en x el segon i el tercer terme respectivament. Per exemple,
utilitzant el fet que les variacions δη s’anul·len en els extrems d’integració tenim que
t1 ∂L
∂L
dt
δη,
∂(∂η/∂t) ∂(∂η/∂t)
i, igualment
D’ací obtenim
x1
x0
t2
x2
t1
x1
∂L
dx
∂(∂η/∂x)
t2
δ(∂η/∂t) = − dt
t1
∂
∂t
x1
δ((∂η/∂x) = − dx
x0
∂
∂x
∂L
∂(∂η/∂x) δη.
∂L ∂ ∂L
dtdx − −
∂η ∂t ∂(∂η/∂t)
∂
∂L
δη = 0,
∂x ∂(∂η/∂x)
i com que aquesta equació s’ha de satisfer per a variacions arbitràries δη, tindrem
∂
∂t
∂L
∂(∂η/∂t)
+ ∂
∂x
∂L
∂(∂η/∂x)
− ∂L
∂η
= 0
41

Arcadi Santamaria
Aquestes són les equacions d’Euler–Lagrange, les equacions de moviment per a sistemes continus.
En el cas de les vibracions longitudinals d’una barra, veiem que és immediat obtenir les
equacions de moviment correctes, (2.3), a partir de la densitat lagrangiana, (2.9). La general-
ització al cas de tres dimensions espacials és
3
∂ ∂L
+
∂t ∂(∂η/∂t) ∑
k=1
∂
∂x k
∂L
∂(∂η/∂x k )
− ∂L
∂η
Encara que aquesta equació és completament general i no involucra per a res la relativitat, si
utilitzem la notació relativista habitual es pot escriure d’una forma extremadament compacta i
explícitament covariant
∂L ∂L
∂μ − = 0. (2.12)
∂(∂μη) ∂η
Si en compte de tenir només un camp en tenim més, representats per ηa, la generalització també
és immediata. Tindrem una equació d’Euler-Lagrange per a cadascun d’ells.
La formulació hamiltoniana es fa del tot en paral·lel a la formulació lagrangiana. Com hem
comprovat en l’estudi de la barra elàstica, en general podrem definir el moment conjugat de la
variable η
π = ∂L
, (2.13)
∂ ˙η
i a partir d’ací calcular una densitat Hamiltoniana
H = π ˙η −L .
La extensió al cas de més d’un camp és trivial. A partir d’ací podem desenvolupar el formalisme
Hamiltonià complet i escriure les equacions de moviment de Hamilton en termes de
les variables η i π en complet paral·lelisme a com es fa en el cas discret. Per exemple, les
equacions de Hamilton són
∂H
∂π
= ˙η ,
∂H
∂η −
3
∑
k=1
∂
∂x k
= 0.
∂H
∂(∂η/∂k k = − ˙π .
)
La primera equació ens donarà la definició de π en termes de ˙η, mentre la segona, combinada
amb la primera, ens donarà les mateixes equacions de moviment obtingudes amb el formalisme
lagrangià. Igualment podrem generalitzar els parèntesis de Poisson, escriure les equacions
de moviment en termes de parèntesis de Poisson, estudiar els teoremes de conservació,
etcètera, etcètera. De moment no insistirem més en aquesta formulació; ja tornarem al formalisme
hamiltonià en el moment de la quantització. Notem, però, que mentre que la formulació
lagrangiana tracta de forma similar les variables espacials i temporals, com es pot veure clarament
en l’equació d’Euler-Lagrange escrita en notació relativista, la formulació hamiltoniana
distingeix ja d’entrada el temps de les altres coordenades (per exemple en la definició del moment
conjugat). Així, encara que la formulació hamiltoniana és en tot equivalent a la formulació
lagrangiana, presenta més problemes a l’hora de construir un formalisme explícitament
covariant.
42

2.3.1 Teorema de Noether
Sistemes Continus i Mecànica Quàntica
Una qüestió fonamental en teoria de camps és com trobar les quantitats conservades. Per això
utilitzarem el teorema de Noether que permet relacionar les simetries d’un sistema amb les
quantitats conservades.
Direm que una transformació dels camps, η(x) → η ′ (x) és una simetria si deixa invariants
les equacions de moviment, és a dir, si les equacions de moviment escrites en termes dels
camps η ′ (x) tenen la mateixa forma que les equacions de moviment escrites en termes dels
camps η(x). Com que les equacions de moviment s’obtenen en demanar que l’acció tinga
un extrem, és evident que si l’acció és invariant, les equacions de moviment també ho seran.
És important remarcar, però, que la invariància de l’acció sota el canvi η(x) → η ′ (x) s’ha de
satisfer independentment de que els camps siguen solució de les equacions de moviment o no
1 . En forma infinitesimal escriurem
δS = 0, per a η(x) → η ′ (x) = η(x)+δη(x), δη = ∑ i
αiFi(η).
On les x representen genèricament les coordenades, espai i temps, αi són paràmetres infinitesimals
i Fi(η) funcions conegudes dels camps que caracteritzen la transformació. Hi ha simetries
més generals que involucren transformacions dels camps i també de les coordenades.
Per exemple, la equació de Klein-Gordon, en un espai infinit, és invariant sota desplaçaments
de les coordenades espacials i temporals, x μ → x ′μ = x μ + a μ , és a dir, l’origen de posicions
i temps és arbitrari. Llavors η ′ (x ′ )=η(x) i η ′ (x) = η(x − a), de forma infinitesimal
η ′ (x) ≈ η(x) − a μ ∂μη(x). Així, transformacions d’aquest tipus també es podran escriure en la
forma considerada (en aquest cas δη(x) = −a μ ∂μη(x)).
En general sota una simetria la densitat lagrangiana no serà invariant ja que, com es pot
veure, densitats lagrangianes que es diferencien en una divergència porten a les mateixes equacions
de moviment i, per tant, sota una simetria tindrem (en aquesta secció, per simplicitat
utilitzarem notació relativista, essent el pas a problemes en només una dimensió espacial trivial)
δL = ∂μω μ .
Les quantitats ω μ depenen de la simetria considerada i de la forma de la densitat lagrangiana.
Per a transformacions infinitesimals es podrà escriure com
ω μ = ∑ i
αiω μ
i .
Vegem quin és el canvi en l’acció induïda per una transformació infinitesimal de la simetria
considerada
δS = d 4
∂L ∂L
x δη +
∂η ∂(∂μη) δ(∂μη)
. (2.14)
1 Per exemple, l’acció de la barra elàstica que hem considerat es invariant si fem el canvi η(x) → η ′ (x) =
η(x)+c, on c és una constant. Notem, però, que les condicions de contorn que imposem als camps poden trencar
aquesta invariància.
43

Arcadi Santamaria
Aquesta expressió és en tot idèntica a la què hem obtingut abans per deduir les equacions de
moviment, ara, però, el significat de les variacions és diferent, no són deformacions arbitràries
dels camps que s’anul·len en l’infinit sinó aquelles produïdes per la transformació i que en
general no s’anul·len en l’infinit. Per això no podem integrar per parts i eliminar el terme de
superfície.
Restant i sumant la quantitat
∂μ
∂L
δη ,
∂(∂μη)
que es pot combinar amb
el darrer terme de (2.14) per escriure’ls com la divergencia d’una
funció, ∂μ
, així obtenim
∂L
∂(∂μ η) δη
δS =
d 4
∂L ∂L
∂L
x − ∂μ
δη + ∂μ
∂η ∂(∂μη)
∂(∂μη) δη
.
Si la transformació definida per δη és una simetria tindrem que
∂L ∂L
∂L
− ∂μ
δη + ∂μ
∂η ∂(∂μη)
∂(∂μη) δη
= ∂μω μ ,
si damunt els camps satisfan les equacions de moviment trobem que necessàriament
∂L
μ
∂μ δη − ω = 0.
∂(∂μη)
Finalment factoritzarem els paràmetres infinitesimals de la transformació, αi, utilitzant que
δη = ∑i αiFi i ω μ = ∑i αiω μ
i . Així trobem que hi ha i corrents conservats, un per paràmetre
∂μ j μ
∂L
i = 0, jμi
=
∂(∂μη) Fi − ω μ
i
. (2.15)
Com ja vam veure al capítol 1, la conservació d’aquests corrents du a la conservació de les
càrregues en el sentit que
∂
d
∂t V
3 x j 0 i
= − d
V
3 x
∇ji = − dSj,
S
que és igual a zero si el flux total a través de la superfície S és zero.
Per exemple, considerem la barra elàstica. Clarament l’equació de moviment (i també la
densitat lagrangiana en aquest cas) és invariant sota una transformació de la forma
η(x,t) → η ′ (x,t) = η(x,t)+c,
on c és una constant. Així tindrem δη = c. Aquesta és una transformació que depén només
d’un paràmetre, c, (que en aquest cas juga el paper de α, mentre que F = 1) i per tant hi haurà
un corrent conservat. A més, com que el lagrangià és invariant tindrem que ω μ = 0. Utilitzant
44

Sistemes Continus i Mecànica Quàntica
les expressions (2.15) i tenint en compte que en aquest cas només hi ha una coordenada espacial
immediatament trobem que el corrent és
que òbviament satisfà l’equació de continuïtat
∂ j 0
∂t
La càrrega conservada en aquest cas serà
En efecte
d ℓ
Q =
dt 0
j 0 = ∂η
∂t , j1 2 ∂η
= −v
∂x ,
+ ∂ j1
∂x = ∂ 2 η
Q =
ℓ
0
dx ∂ 2
η ℓ
= v2
∂t 2
0
∂t 2 − v2 ∂ 2η ∂x
dx j 0 =
ℓ
0
dx ∂ 2η = v2
∂x2 2 = 0.
dx ∂η
∂t .
∂η
∂x
x=ℓ
− ∂η
∂x
que serà zero o no depenent de les condicions de contorn que imposem al problema. Per
exemple si imposem condicions de contorn periòdiques, η(x,t) = η(x+ℓ,t), serà zero sempre.
En canvi si imposem condicions de Dirichlet, η(0,t) = 0, η(ℓ,t) = 0 s’anul·larà o no depenent
de que hi haja o no flux de càrrega a traves de les puntes.
Considerem ara un camp η(x), que es propaga en un espai infinit de tres dimensions més
el temps. Suposem a més que l’espai-temps és homogeni, és a dir, que podem triar l’origen
de coordenades de forma arbitrària. Llavors, les equacions de moviment han de ser invariants
sota un canvi de coordenades de la forma x μ → x ′μ = x μ + a μ . Si els camps η(x) són escalars
sota aquesta transformació escriurem que η(x) → η ′ (x ′ = x+a) = η(x) , és a dir, sota aquesta
transformació els camps canvien només perquè les coordenades canvien. Redefinint x → x − a
tindrem que
η ′ (x) = η(x − a) ≈ η(x) − a ν ∂νη(x),
on per obtenir el darrer terme hem desenvolupat en sèrie de Taylor fins primer ordre. Clarament
δη = −a ν ∂νη. Les a ν juguen el paper de les αi mentre les Fi venen donades en aquest cas
per ∂νη. D’altra banda, la densitat lagrangiana no és invariant sota una transformació d’aquest
tipus, de fet es transforma exactament com η,
δL = L ′ (x) −L (x) = −a ν ∂νL = −a ν g μ ν ∂μL .
Això vol dir que en aquest cas ω μ ν = g μ νL , (recordem que el paper de l’índex i que caracteritza
el nombre de paràmetres de la transformació el juga en aquest cas l’índex ν corresponent als
quatre paràmetres a ν ). Utilitzant l’equació (2.15), obtenim que hi ha quatre corrents conservats
que es poden escriure com un tensor
x=0
,
45

Arcadi Santamaria
T μ ν = ∂L
∂(∂μη) ∂νη − g μ νL , ∂μT μ ν = 0. (2.16)
Aquest tensor s’anomena el tensor energia-impuls i les seues components temporals integrades
sobre les coordenades espacials ens donaran un quadrivector conservat
Pν =
d 3 xT 0 ν . (2.17)
que identificarem amb el quadrimoment ja la seua conservació és conseqüència de la invariancia
sota translacions de l’origen de coordenades espacials i temporals. Veurem més endavant, quan
quantitzem la teoria, que amb aquesta quantitat associarem un operador quàntic i que la seua
conservació ens garantirà la conservació de l’energia i del moment linial en la col·lisió entre
partícules.
2.4 Quantització dels modes longitudinals d’una barra elàstica.
Una vegada sabem formular teories en el continu amb densitats lagrangianes i hamiltonianes
podem veure com podrien ser les regles de quantització directament en les teories en el continu.
Tornem a l’exemple de la barra elàstica (per simplificar hem pres ρ = 1, llavors Y = v 2 , on v és
la velocitat de propagació de les ones longitudinals en la barra). El lagrangià i hamiltonià són
respectivament
L = 1
ℓ
dx
2 0
H = 1
ℓ
dx
2 0
∂η
∂t
∂η
∂t
2 − v 2
2
∂η
∂x
(2.18)
2 + v 2
2
∂η
, (2.19)
∂x
d’on s’obté l’equació de moviment (2.3). Aquesta equació es pot resoldre fàcilment utilitzant
separació de variables. Les solucions generals que satisfan l’equació diferencial i les condicions
de contorn es poden escriure com en l’equació (2.4) amb les freqüències pròpies (2.5).
Si substituïm l’equació 2.4 en el lagrangià, integrem en x, i utilitzem l’ortogonalitat de les
funcions sin(kπx/ℓ) i cos(kπx/ℓ) en l’interval (0,ℓ), trobem immediatament que el lagrangià
es pot escriure com
L = ℓ ∞
2
4 ∑ ˙q k (t) − ω
k=1
2 k q2k (t) ,
que és una suma infinita d’oscil·ladors harmònics amb freqüències ωk. Aquest resultat no
és gens estrany ja que, com hem vist ades, en el cas discret també tenim una suma finita
d’oscil·ladors. El punt interessant és que els oscil·ladors no estan acoblats i que les freqüències
estan donades per expressions ben senzilles a diferència dels problemes que vam trobar per
obtenir els modes normals en el cas discret. El fet que tinguem una suma infinita d’oscil·ladors
46

Sistemes Continus i Mecànica Quàntica
harmònics ens permet utilitzar una quantització canònica estàndard. Així obtenim que els moments
conjugats de les variables qk són
pk = ∂L
∂ ˙qk
= ℓ
2 ˙qk ,
i les regles de commutació canònica en la imatge de Heisenberg 2 s’escriuen (tornem a utilitzar
momentàniament ¯h) com
qk(t), p j(t) = i¯hδk j . (2.20)
D’altra banda els operadors qk(t) han de satisfer les equacions de moviment (2.6). La solució
més general de les quals s’escriu com
¯h
qk(t) =
eiωkt . (2.21)
ℓωk
ake −iωkt + a †
k
Els operadors a †
k , ak són independents del temps i, com a conseqüència de (2.20), satisfan
l’àlgebra dels operadors de creació i destrucció,
ak,a †
j
= δk j,
ak,aj = 0,
i com a tals s’han d’interpretar. En particular és fàcil veure que a †
k ak , l’operador nombre,
és un operador hermític amb autovalors, nk, que són enters positius i que ens permeten caracteritzar
els estats del sistema. Cada oscil·lador amb freqüència ωk pot estar en un estat nk.
Així és natural caracteritzar els estats del sistema donant l’estat de cadascun dels oscil·ladors i
escriurem
|n1,n2,n3,...〉, nk = 0,1,2,··· ,
que representa un estat amb n1 quanta en el mode normal amb freqüència ω1, n2 quanta en el
mode ω2 etcètera
L’operador a †
k puja en una unitat el nk del oscil·lador amb freqüència ωk, mentre l’operador
ak el baixa en una unitat,
a †
k |n1,n2,n3,...,nk,···〉 = nk + 1|n1,n2,n3,...,nk + 1,···〉 ,
ak |n1,n2,n3,...,nk,···〉 = √ nk |n1,n2,n3,...,nk − 1,···〉 .
És a dir, els operadors a †
k i ak creen i destrueixen, respectivament, un quàntum en el mode k
deixant tots els altres modes intactes. Els quanta tenen energia definida i es podrien interpretar
com a partícules. Aquesta interpretació apareix clarament si escrivim el Hamiltonià en termes
dels operadors de creació i destrucció,
H = ∑ k
¯hωk
a †
kak + 1
,
2
2 Recordem que en la imatge de Heisenberg els operadors quàntics depenen del temps mentre els estats són
independents dels temps.
47

Arcadi Santamaria
llavors tenim,
H |n1,n2,n3,···〉 = ∑ k
¯hωk
nk + 1
|n1,n2,n3,···〉 ,
2
i per tant l’energia d’aquest estat no és més que la suma de les energies ¯hωk per a cada quàntum
de cada oscil·lador més una suma infinita que correspon a l’energia de l’estat fonamental,
E0 = 1 2 ∑k ¯hωk. Si només es mesuren diferències d’energia respecte a l’energia de l’estat fonamental,
l’energia del sistema és finita i definida positiva. L’energia de l’estat fonamental, però,
corresponent a la suma de les energies de punt zero dels infinits oscil·ladors és infinita. Per
entendre aquest resultat hem de tornar al cas discret recordar la forma en què fam fer el límit al
continu (secció 2.2). Vam comentar que l’equació d’ones s’obté, en general, com al límit continu
d’un sistema d’oscil·ladors harmònics acoblats i que aquest sistema apareix naturalment
quan considerem oscil·lacions petites al voltant del punt d’equilibri de cadenes de partícules
que interaccionen per parelles amb potencials arbitraris. Això és així perque, al voltant del
mínim, és a dir el punt d’equilibri, el potencial sempre es pot aproximar per un oscil·lador
harmònic. El valor del potencial en el mínim, però, el vam ignorar completament, ja que no
afecta les equacions de moviment. Clarament, el valor del potencial en el mínim contribuirà
amb una constant al hamiltonià i, en el límit continu, contribuirà a la densitat d’energia del
sistema, igual que la suma de l’energia de l’estat fonamental dels oscil·ladors harmònics. Com
en el cas clàssic, el límit al continu no es pot fer de forma arbitrària i s’ha de fer de tal forma
que la densitat d’energia total del sistema, en principi mesurable, siga finita. És evident, però,
que la interpretació d’aquesta energia té a veure amb l’estructura del sistema a escales menors
que la distància mínima, a, que caracteritza el sistema discret. En el cas que estem tractant,
per interpretar correctament l’energia de l’estat fonamental, hauríem de saber de què està fet el
sistema, quina és la força que manté units els elements que el formen, etcètera. Clarament, la
resposta a aquestes preguntes no es pot trobar en la teoria en el continu on, per definició, res no
depén de la distància a. D’altra banda, com sabem, en el discret les freqüències ωk no arriben
fins a l’infinit sinó que hi ha una freqüència màxima ωmax ≈ 2v/a, de forma que l’energia de
l’estat fonamental en el discret és finita però depenent dels detalls del sistema a escales menors
que a. Per definició la teoria en el continu no pot dependre d’aquests detalls i, per tant, el límit
a → 0 s’ha de definir de la manera apropiada per a que així siga, de forma semblant a com hem
pres el límit de la resta dels paràmetres, (2.2). Per definir correctament l’energia de l’estat fonamental
hauríem d’afegir al hamiltonià una constant arbitrària, que podria venir de l’estructura
del potencials prop del punt d’equilibri, depenent de a de tal forma que el límit quan a → 0 de
l’energia total d’aquest estat, la constant més la contribució dels oscil·ladors harmònics, siga
finita 3 i independent de a. Ara bé, per poder mesurar aquesta energia hauríem de mesurar la
diferència entre l’energia de la barra elàstica en l’estat de mínima energia i l’energia dels àtoms
que la formen separats a distàncies grans, és a dir, hauríem de destruir el sistema. Si no fem
això i només mesurem excitacions de la barra, aquesta energia no és observable i es pot redefinir
a zero sense problemes. Així redefinirem el hamiltonià del sistema restant l’energia de
punt zero dels oscil·ladors harmònics (direm que N-ordenem el hamiltonià i el representarem
3 Veurem més endavant que aquest és el primer d’una sèrie de casos en els que els paràmetres de la teoria
quàntica en el continu s’han d’anar redefinint per aconseguir que res no depenga de la distància mínima a.
48

envoltant l’operador amb dos punts)
: H :≡ ∑ k
¯hωka †
k ak,
Sistemes Continus i Mecànica Quàntica
de forma que l’estat de mínima energia, l’estat del sistema en el què tots els oscil·ladors estan
en l’estat fonamental, |0〉 ≡ |0,0,0,0,···〉, té energia zero.
Un punt interessant de la interpretació dels quanta dels oscil·ladors com a partícules és
que si considerem un estat, per exemple, amb només una excitació de l’oscil·lador “1” i una
excitació de l’oscil·lador “2” i cap altra excitació tenim que
|1,1,0,0,···〉 = a †
1a† 2
|0〉 = a†
com a conseqüència de les propietats de commutació dels operadors de creació. Així l’estat és
completament simètric respecte a l’intercanvi de les etiquetes de les dues excitacions. Per tant,
si interpretem cada excitació de freqüència ωk com una “partícula” d’energia ¯hωk, automàticament
tenim que aquestes “partícules” han de ser bosons. Per contra aquesta propietat ens diu
que la quantització de fermions s’haurà de fer de forma diferent.
Amb això tenim completament definida la teoria quàntica. Ara bé, el mètode de quantització
que hem desenvolupat per a la barra elàstica es basa en el coneixement d’una solució
explícita de les equacions de moviment per poder “diagonalitzar” el lagrangià i així poder integrar
tota la dependència en “x” i expressar el lagrangià en termes de variables que només
depenen del temps i amb les què podem formular una quantització canònica estàndard. Aquest
procediment, però, no és satisfactori i seria molt millor poder quantitzar el sistema abans de
resoldre les equacions de moviment, que d’altra banda, no sabrem resoldre en la majoria dels
casos. Per fer això necessitem clarament unes regles de quantització en termes dels camps,
sense haver d’utilitzar la descomposició en modes normals. L’exemple que hem desenvolupat,
i que ja sabem resoldre, ens pot servir de guia per trobar aquestes regles. El primer pas serà
construir el camp η(x,t) com a una suma infinita dels operadors qk(t) utilitzant 2.21 i 2.4,
η(x,t) = ∑ k
¯h
ℓωk
ake −iωkt sin ωkx
v +
2a† 1
¯h
ℓωk
|0〉 ,
a †
k eiωkt sin ωkx
v
El camp η(x,t) és un operador quàntic en la representació de Heisenberg (té dependència amb
el temps) i, com es veu, conté tant freqüències positives com negatives que estan lligades als
operadors de destrucció i creació respectivament.
Seguint el paral·lelisme que hem fet entre les diferents quantitats en el discret i en el continu,
esperaríem que es pogueren definir regles de commutació entre els camps i els seus moments
conjugats. Com hem vist abans, el moment conjugat del camp η(x,t) és
π(x,t) = ∂L
= ˙η(x,t).
∂ ˙η(x,t)
Vegem quin és el commutador de η(x,t) i π(x ′ ,t)
η(x,t),π(x ′ ,t) = η(x,t), ˙η(x ′ ,t) = ∑ k j
qk(t), ˙q j(t) sin ωkx
v sin ω jx ′
v
.
49

Arcadi Santamaria
= i¯h 2
ℓ ∑ k
sin ωkx
v
sin ωkx ′
v = i¯hδ(x − x′ ), (2.22)
on hem utilitzat les regles de commutació per a qk(t) i ˙q j(t) en (2.20) i que
2
ℓ ∑ k
sin kπx
ℓ
sin kπx′
ℓ = δ(x − x′ ),
com és fàcil de comprovar desenvolupant la funció δ(x − x ′ ) en sèrie de Fourier sinus en
l’interval (0,ℓ).
Així arribem a la regla de commutació que cabia esperar simplement canviant la delta de
Kronecker per la delta de Dirac. Recordem que en la formulació de camps en el continu la
variable x representa només un índex que etiqueta les variables i que η(x,t) es pot interpretar
com un conjunt de variables canòniques etiquetades per un índex continu x. La formulació
canònica ens donaria llavors que el commutador dels camps i els seus moments conjugats
hauria de ser δxx ′, que en el cas de variables continues s’hauria de substituir per una delta de
Dirac. L’exercici que hem fet ens diu que realment és així i a més ens dóna la constant de
normalització correcta.
Igualment, utilitzant aquestes relacions de commutació i la forma del hamiltonià en termes
de les η(x,t) i les π(x,t)
H = 1
ℓ
dx π
2 0
2 + v 2
2
∂η
, (2.23)
∂x
o bé la forma del hamiltonià en termes de qk(t) i pk(t) o en termes de aki a †
k , és fàcil comprovar
que se satisfan les equacions de moviment de Heisenberg per als camps
−i ˙η = [H,η] , −i ˙π = [H,π] , (2.24)
i per tant, per a qualsevol funció dels camps F(η,π) se satisfarà que 4
−i ˙F = [H,F] .
Les equacions de Heisenberg 2.24 són equivalents en tot a les equacions de moviment originals
2.3. És a dir, a partir de la forma del hamiltonià, 2.23, les regles de commutació dels camps,
2.22, i les equacions de Heisenberg, 2.24, podem recuperar les equacions de moviment 5 2.3 i
tenim definida la teoria quàntica completa.
En l’exemple que hem considerat, la barra és de longitud finita. En canvi, la majoria dels
sistemes que ens interessaran en problemes relativistes són infinits o, almenys, tan grans que
els podem considerar infinits. Això porta a algunes diferències respecte al cas considerat, en
4 η i π són operadors, llavors F(η,π) és defineix pel seu desenvolupament de Taylor. Utilitzant aquest desenvolupament
i les regles habituals per descomposar el commutador d’operadors, [AB,C] = A[B,C]+[A,C]B, no és
difícil demostrar aquesta equació.
5 Més endavant, en el context dels camps de Klein-Gordon i de Dirac tornarem a aquest punt. De moment el
deixem com a exercici.
50

Sistemes Continus i Mecànica Quàntica
particular les freqüències pròpies del sistema ja no seran discretes sinó continues (ωk = kπv/ℓ
es fa continua quan ℓ → ∞). Així i tot les regles per quantitzar un sistema continu clàssic són del
tot similars a les que hem desenvolupat en aquest exemple. A la secció següent les descriurem
en general encara que de forma molt abreviada.
2.5 Quantització canònica
Siguen ηa , a = 1,2,···,N un conjunt de N camps, reals per simplicitat, i
L (ηa, ˙ηa, ∇ηa)
la densitat lagrangiana que du a les equacions de moviment dels camps ηa.
A partir de la densitat lagrangiana definim el moment conjugat associat als camps ηa com
πa = ∂L
.
∂ ˙ηa
A partir dels moments conjugats i la densitat lagrangiana construïm la densitat hamiltoniana
H = ∑ a
πa ˙ηa −L .
Finalment promocionem el camps clàssics a operadors quàntics en la representació de
Heisenberg que satisfan les següents regles de commutació a temps iguals (tornem altra vegada
al sistema natural d’unitats en el què ¯h = 1):
ηa(x,t),πb(x ′ ,t) = iδabδ (3) (x −x ′ ),
ηa(x,t),ηb(x ′ ,t) = 0, (2.25)
πa(x,t),πb(x ′ ,t) = 0.
Les equacions de moviment es poden re-deduir a partir de la forma del hamiltonià, de les
regles de commutació (2.25) i de les equacions de moviment de Heisenberg
−i ∂O
= [H,O] , (2.26)
∂t
on O és qualsevol operador funció dels camps ηa i πa (sense dependències explícites del temps,
tota dependència del termps serà implícita a través dels camps). La solució formal d’aquesta
equació és
O(t) = e iHt O(0)e −iHt ,
que es pot utilitzar per resoldre les equacions de moviment en cas que la forma del hamiltonià
siga senzilla, o bé es pot utilitzar com a punt de partida de diferents aproximacions.
Una conseqüència de l’equació (2.26) és que si Q és una “càrrega” conservada, obtinguda,
per exemple, utilitzant el teorema de Noether, llavors s’ha de satisfer que [Q,H] = 0. En particular,
en una teoria invariant relativista tant l’operador quadrimoment lineal, com el tensor
51

Arcadi Santamaria
de moment angular, commutaran amb el Hamiltonià del sistema. A més poden haver altres
quantitats conservades, com podria ser la càrrega elèctrica.
Tot aquest procediment es pot dur a terme fins i tot quan no sabem resoldre les equacions
de moviment. Si els camps ηα satisfan les equacions de moviment, les regles de commutació
i sabem resoldre les equacions de moviment, podrem desenvolupar els camps com una suma
d’operadors de creació i destrucció que permetran construir els estats de la teoria. Si no sabem
resoldre les equacions de moviment de forma exacta, almenys tenim la teoria quantitzada, podem
construir els observables d’interés i desenvolupar tècniques aproximades per a calcular-los.
Problemes Proposats
Problema 2.1 Determineu les freqüències pròpies del sistema de N oscil·ladors clàssics acoblats
discutit en el text. Quines són les freqüències màxima i mínima?. Quina seria l’energia del sistema
quàntic associat?
Problema 2.2 Escriviu una densitat lagrangiana que porte a l’equació de Schrödinger. Tenint
en compte que la densitat lagrangiana obtinguda és invariant sota una transformació de fase:
ψ ′ = e iα ψ , ψ ′ ∗ = e −iα ψ ∗ obteniu el corrent associat amb aquesta simetria.
Problema 2.3 Quantitzeu el problema de les vibracions longitudinals d’una barra imposant
condicions de contorn periòdiques: η(x,t) = η(x+ℓ,t), ∀x.
52

Capítol III
El camp de Klein-Gordon

3. El camp de Klein-Gordon
Com hem vist, el procediment de quantització de teories de camps en el continu condueix
naturalment a una teoria de moltes partícules. Això ens suggereix que si re-interpretem les
equacions de Klein-Gordon i de Dirac com a equacions de moviment de camps quàntics, i no
com a equacions d’ones, automàticament tindrem teories relativistes de moltes partícules amb
la possibilitat de que es puguen solucionar els problemes més greus de les equacions d’ona
relativistes. Veurem que, efectivament, és així. Començarem en aquest capítol per l’equació de
Klein-Gordon real.
3.1 Quantització canònica del camp de Klein-Gordon real
L’equació de moviment del camp de Klein-Gordon real és:
(∂μ∂ μ + m 2 )φ = 0, (3.1)
que es dedueix del següent lagrangià utilitzant les equacions d’Euler-Lagrange,
L = 1
∂μφ∂
2
μ φ − m 2 φ 2 = 1
˙φ
2
2
−
∇φ
2
− m 2 φ 2
. (3.2)
El moment canònic conjugat de φ és
i per tant el hamiltonià serà
H = π ˙φ −L = 1
2
π = ∂L
∂ ˙φ = ˙φ , (3.3)
π 2 +
∇φ
2
+ m 2 φ 2
, (3.4)
que és definit positiu per a qualsevol valor dels camps. Això és molt bon senyal perquè ja ens
suggereix que no tindrem problemes amb els estats d’energia negativa.
55

Arcadi Santamaria
Per a quantitzar aquesta teoria imposem les regles de quantització canòniques:
′ (3) ′
φ(x,t),π(x ,t) = iδ (x −x ),
′
φ(x,t),φ(x ,t) = 0,
′
π(x,t),π(x ,t) = 0. (3.5)
Per a construir els estats necessitem trobar les solucions de l’equació de moviment. Per això
utilitzem la transformada de Fourier, ja que ara estem considerant una equació diferencial en
l’espai infinit i, per tant, els modes normals no són discrets sinó continus. Així escrivim
i la seua inversa
φ(x,t) =
d 3 p
(2π) 3 eip·x φ(p,t),
φ(p,t) = d 3 xe −ip·x φ(x,t).
(L’abús de llenguatge que suposa utilitzar la mateixa funció φ per a la funció φ(x) i per a la la
seua transformada de Fourier φ(p) no crearà, en general, cap confusió i el seu significat estarà
clar pel context).
La substitució de la primera expressió en l’equació de moviment,
porta immediatament a
..
φ (x,t) − ∇ 2 φ(x,t)+m 2 φ(x,t) = 0,
..
φ (p,t)+(|p| 2 + m 2 )φ(p,t) = 0.
Aquesta equació és l’equació de l’oscil·lador harmònic si identifiquem Ep ≡
la freqüència de l’oscil·lador. La solució més general s’escriu com
φ(p,t) = 1
−iEpt iEpt
A(p)e + B(p)e
2Ep
.
|p| 2 + m 2 amb
Els coeficients A(p) i B(p) són, en principi, arbitraris i complexos. Notem que el fet que
φ(x,t) siga real no implica que φ(p,t) també ho siga. Ja veurem en un moment quines condicions
han de complir A(p) i B(p) per a que φ(x,t) siga real. D’altra banda, el factor de normalització,
1/(2Ep), l’hem triat per conveniència.
Si ara fem la transformada de Fourier inversa i en el segon terme fem el canvi p → −p,
podem escriure el desenvolupament del camp com
on hem definit
56
φ(x,t) =
d 3 p
(2π) 3 2Ep
a(p)e −ip·x + a † (p)e ip·x
, (3.6)
a(p) = A(p) a † (p) = B(−p),

El camp de Klein-Gordon
i ara sí que hem utilitzat el fet que φ(x,t) és real. A més estem emprant la notació relativista
per escriure
px = Ept −p ·x.
Com que π(x,t) = ˙φ(x,t), tenim
π(x,t) = −i
d 3 p
(2π) 3 2Ep
Invertint aquestes expressions obtenim,
a(p) = e iEpt
d 3 xe −ip·x
(Epφ(x,t)+iπ(x,t)) = i
a † (p) = e −iEpt
Ep
d 3 xe ip·x
(Epφ(x,t) − iπ(x,t)) = −i
a(p)e −ip·x − a † (p)e ip·x
. (3.7)
d 3 ↔
ip·x
xe ∂t φ(x,t), (3.8)
d 3 ↔
−ip·x
xe ∂t φ(x,t), (3.9)
on el símbol ↔
∂t actuant sobre funcions de les coordenades representa f ↔
∂t g = f ∂tg −(∂t f)g. A
partir d’aquestes expressions i de les regles de commutació canòniques podem determinar els
commutadors dels operadors de creació i destrucció. Per exemple
a(p),a † (p ′
) = e i(Ep−E
p ′)t
d 3 xd 3 x ′ e −i(p·x−p ′ ·x ′ )
′ ′
−iEp φ(x,t),π(x ,t) + iEp ′ π(x,t),φ(x ,t)
= e i(Ep−E
p ′)t
= e i(Ep−E
p ′)t
d 3 xd 3 x ′ e −i(p·x−p ′ ·x ′ ) (3) ′
Ep + Ep ′ δ (x −x )
d 3 xe −i(p−p ′ )·x
3
Ep + Ep ′ = (2π) 2Epδ (3) (p −p ′ ).
Igualment podem calcular la resta dels commutadors. Així obtenim
a(p),a † (p ′
)
a(p),a(p ′ ) = 0,
= (2π) 3 2Epδ (3) (p −p ′ ),
a † (p),a † (p ′
) = 0, (3.10)
que clarament satisfan l’àlgebra dels operadors de creació i destrucció tenint en compte que
ara els moments, p, no són discrets sinó continus (si quantitzem en un espai infinit) i, per
tant, la delta de Kronecker s’ha de substituir per la delta de Dirac en moments. Ací hi ha
un punt important a discutir quant a la notació. Quan els estats són discrets, com era el cas
de la barra finita, els oscil·ladors harmònics tenen freqüències pròpies discretes separades les
unes de les altres per quantitats finites, i els estats propis dels oscil·ladors són normalitzables.
En fer el sistema de grandària infinita, les energies ja no són discretes sinó continues, els estats
d’energia definida ja no són normalitzables, i els estats normalitzables són superposició d’estats
d’energia i moment definit (paquets). El fet que estem treballant amb estats no normalitzables
es manifesta en què el commutador d’operadors de creació i destrucció és proporcional a una
delta de moments i no directament la unitat com requereix la normalització canònica en el cas
57

Arcadi Santamaria
d’un sistema de grandària finita. La constant de proporcionalitat és, d’alguna forma, arbitrària
i, per tant, en els llibres es poden trobar les diferents opcions:
a) es pot fer l’espai finit a mà i això fixa la normalització completament, ja que ja no hi ha
delta de Dirac sinó delta de Kronecker. Aquest mètode s’anomena normalització en la caixa.
L’inconvenient és que s’ha d’arrossegar al llarg de tots els càlculs un volum fictici que en últim
terme s’ha de fer tendir a infinit.
b) es pot normalitzar directament a la delta de moments. El problema en aquest cas és que
el terme de la dreta del commutador no és invariant Lorentz, la qual cosa amaga en part la
covariància Lorentz.
c) nosaltres hem normalitzat el commutador d’operadors de creació i destrucció al producte
(2π) 3 2Epδ (3) (p−p ′ ) que, com veurem immediatament, és invariant Lorentz. De fet, el factor,
1/2Ep, en el desenvolupament dels camps l’hem triat per arribar a aquesta normalització.
Els resultats finals per a quantitats observables en les diferents normalitzacions han de ser
els mateixos, però, òbviament, resultats intermedis poden ser prou diferents. En particular, la
normalització que hem triat preserva explícitament la covariància Lorentz. Anem a veure-ho.
El punt és que el volum en l’espai de moments, o de posicions, no és invariant Lorentz degut
a la contracció relativista. La forma més fàcil de construir una quantitat invariant relativista és
partir de quantitats que són invariants explícitament, així el terme de l’esquerra en
d4 p
(2π) 4(2π)δ(p2 − m 2 )θ(p 0
) =
d3p (2π) 3 , (3.11)
2Ep
és explícitament invariant Lorentz, ja que que el volum en quatre dimensions ho és, la δ(p 2 −
m 2 ) és una funció escalar i la θ(p 0 ), la funció escaló o de Heaviside, és també un escalar, ja que
no hi ha transformacions de Lorentz continues que passen de p 0 a −p 0 per a quadrivectors que
satisfan p 2 > 0, com és el cas. La relació amb el terme de la dreta es demostra immediatament
utilitzant que δ(p 2 − m 2 ) = (δ(p 0 − Ep)+δ(p 0 + Ep))/(2Ep) i que, degut a la presència de
la funció θ(p 0 ), només la primera δ contribueix. Podem comprovar que el terme de la dreta
és efectivament invariant Lorentz fent una transformació de Lorentz en la direcció de l’eix “z”,
per simplificar. Llavors tenim (β és la velocitat de la transformació, γ = 1/ 1 − β 2 i E ∗ p ∗i p∗ z
són l’energia i moments transformats) que
Immediatament trobem que
dp ∗ z = dp∗ z
dpz = γ
dpz
E ∗ p ∗ = γ(Ep + β pz),
p ∗ z = γ(βEp + pz).
1+β dEp
dpz = γ 1+β
dpz
pz
Ep
dpz = E∗ p ∗
de forma que, com esperàvem, dpz/Ep (i per tant
(2π) 3 ) són invariants Lorentz. Aquest
2Ep
element de volum en l’espai de moments invariant relativista és el que ens apareixerà en totes
les integrals. D’altra banda, com que la integral de moments de la funció δ (3) (p) ha de ser
“1”, és evident que la funció δ (3) (p) tampoc és invariant Lorentz. Ara bé, utilitzant el resultat
anterior, és immediat comprovar que el producte (2π) 32Epδ (3) (p) si que serà invariant Lorentz,
58
d 3 p
Ep
dpz,

d3p (2π) 3 (2π)
2Ep
3 2Epδ (3)
(p) = d 3 pδ (3) (p) = 1.
El camp de Klein-Gordon
Ara, utilitzant el desenvolupament dels camps, (3.6),(3.7), podem construir el hamiltonià
del sistema en termes dels operadors de creació i destrucció (recordem que px = Ept −p ·x):
H = 1
2
d 3
x π 2 + |∇φ| 2 + m 2 φ 2
= 1
2
d 3 d
x
3pd 3p ′
2Ep2E p ′(2π) 6
′ 2
−p ·p + m − EpE p ′
a(p)a(p ′ )e −i(p+p′ )·x † † ′ i(p+p
+ a (p)a (p )e ′ )·x
+ p ·p ′ + m 2
+ EpE p ′
a(p)a † (p ′ )e −i(p−p′ )·x † ′ i(p−p
+ a (p)a(p )e ′ )·x
.
La integració enx ens dóna unes deltes de moments (p ′ = −p en el primer terme i p ′ =p en el
segon terme). Després fem la integració en p ′ utilitzant aquestes deltes. Immediatament veiem
que el terme amb dos operadors de creació o dos operadors de destrucció desapareix i només
queda el terme amb operadors de destrucció i de creació
H =
=
d 3 p
(2π) 3 2Ep
d 3 p
(2π) 3 2Ep
Ep
1
2 Ep
a † (p)a(p)+a(p)a †
(p)
a † (p)a(p)+ 1
2
a(p),a †
(p)
. (3.12)
La interpretació d’aquesta equació és clara i similar al cas de la barra elàstica finita. L’operador
dN(p) = d3p (2π) 3 a
2Ep
† (p)a(p)
dóna el nombre d’estats que hi ha amb moments al voltant de p, de forma que dN(p)Ep dóna
l’energia d’aquests estats. Igual que en el cas de la barra elàstica finita tenim el darrer terme que
correspon a l’energia de punt zero dels infinits oscil·ladors harmònics. Amb la normalització
que hem triat
a(p),a †
(p) = 2Ep(2π) 3 δ (3) (0) = 2EpV ,
on V és el volum de l’espai
(2π) 3 δ (3)
(0) =
d 3 xe ix·0 = V .
Llavors l’energia de l’estat fonamental, el punt zero dels infinits oscil·ladors, és
E0 = V
d3p (2π) 3
1
|p|
2
2 + m2 = V
4π2 ∞
d|p||p|
0
2
|p| 2 + m2 .
59

Arcadi Santamaria
Així veiem que el terme que dóna l’energia de l’estat fonamental és doblement divergent. És
divergent perquè és una integral sobre les energies fins a energies infinites. Aquest és el mateix
problema que trobàvem en el cas de la barra elàstica finita. Però ara, a més, és divergent perquè
l’espai és infinit; fins i tot una densitat d’energia finita du a una energia infinita si l’espai és
infinit. Per a trobar un resultat finit necessitem les dues coses: treballar en un espai finit i
amb una longitud mínima (o el que és el mateix una energia màxima). L’infinit associat al
volum, és natural en quantitats extensives i el podem bandejar fàcilment dividint pel volum de
l’espai i parlant només de la densitat d’energia. Aquesta, però, també és infinita. Si hi ha una
distància mínima, com en el cas discret, hi ha una freqüència màxima i les energies no poden
ser arbitràriament grans. Així si Λ ≈ 1/a és aquesta energia màxima tindrem (en el límit en
que Λ ≫ m)
ρ0 ≡ E0
V
1
≈
4π2 Λ
d|p||p|
0
2
|p| 2 + m2 ≈ 1
4π2 Λ
d|p||p|
0
3 = Λ4
. (3.13)
16π2 Com vam comentar en el cas de la barra, aquesta densitat d’energia està relacionada amb
l’estructura del sistema a distàncies molt petites i, per definició, la teoria en el continu no
pot ser sensible a aquest detalls. Per tant, l’energia de l’estat fonamental del sistema s’ha de
definir de forma que siga independent de Λ ≈ 1/a. Com en el cas de la barra, l’opció més
senzilla és redefinir a zero l’energia de l’estat fonamental de tots els oscil·ladors afegint una
constant a la densitat hamiltoniana que compense la contribució 3.13. Al cap i a la fi només
es podran observar variacions d’energia respecte l’energia d’un estat de referència 1 . A aquest
estat de referència d’energia mínima l’anomenarem el buit del sistema i el representarem pel
símbol |0〉 i té la propietat que és destruït pels operadors de destrucció 2
1 Bé, com en el cas de la barra, no és del tot cert que no es puga observar la densitat d’energia de l’estat
fonamental. Recordem que en el cas de la barra deiem que per poder mesurar aquesta energia haviem de destruir
la barra per saber de què estava formada i coneixer l’energia que mantenia els àtoms units per formar la barra. En
el cas d’una teoria de camps relativista formulada directament en el continu, com la que estem considerant, que
vol dir això? Hem de coneixer l’estructura més íntima de l’espai-temps? Des d’aquest punt de vista és suggerent
fer notar que el camp gravitatori es veu afectat per tota la energia i, per tant, també per l’energia del buit. De
fet l’energia del buit podria contribuir a l’anomenada constant cosmològica (o també energia fosca) que sembla
omplir tot l’univers. Malauradament la contribució que hem obtingut 3.13 és ordres de magnitud més gran de
la que s’observa per a qualsevol valor raonable de Λ (poseu, per exemple, que l’energia màxima possible Λ és
l’energia del LEP, 200 GeV i veureu el que obteniu). Com en el cas de la barra, és d’esperar que hi haja altres
contribucions depenents de l’estructura del sistema a distàncies molt més petites (o energies molt més grans) que
cancel·len en gran part les contribucions dels oscil·ladors harmònics que hem calculat. No és d’esperar per tant
que trobem la resposta a l’enigma de la constant cosmològica calculant l’energia del buit en teories quantiques de
camps. És molt més plausible que per poder resoldre aquest enigma hagem de coneixer l’estructura més intima
de l’espai temps. Llavors, i com hem fet en el cas de la barra, el més pràctic és redefinir l’energia del buit a zero i
parlar només d’excitacions relatives a l’estat fonamental.
2 És important clarificar la notació: de vegades la notació que s’utilitza per a l’estat fonamental |0〉 porta a
confusió i pot fer pensar que aquest és el “zero” de l’espai de Hilbert dels estats. Això no és així,|0〉 és un estat
normalitzable com qualsevol altre. Per al zero de l’espai de Hilbert utilitzarem senzillament el símbol 0 i el seu
significat estarà clar pel context en el què s’utilitza. Comparant amb l’espai vectorial de tres dimensions, per
exemple, |0〉podria ser perfectament l’equivalent d’un element de la base canònicae0, mentre el simbol 0, referit
a un element de l’espai de Hilbert, seria l’equivalent del vector0. Així, si A és una matriu que anul·la el vectore0,
l’equació a(p)|0〉=0 es pot entendre com l’equivalent de Ae0 =0.
60

a(p)|0〉 = 0.
El camp de Klein-Gordon
Mentre el hamiltonià del sistema el definirem de forma que eliminem el darrer terme, que
és infinit, en (3.12) (direm que N-ordenem el hamiltonià3 ) i tindrem
:H:= dN(p)Ep, :H: |0〉 = 0.
Amb aquesta definició és evident que totes les energies del sistema són positives.
Utilitzant el teorema de Noether podem determinar les quantitats conservades i els operadors
rellevants del sistema. Per exemple, com a conseqüència de la invariància sota translacions
de les coordenades, trobem que el tensor energia-impuls, T μν , (2.16), es conserva,
T μν = ∂ μ φ∂ ν μν 1
σ
φ − g ∂ φ∂σ φ − m
2
2 φ 2 , (3.14)
i en particular la integral de les components, T 0i , ens donarà l’operador moment, (2.17),
P = −
d 3 xπ
∇φ =
d3p (2π) 3 pa
2Ep
† (p)a(p), (3.15)
mentre la component, T 00 = ˙φ 2 −L , és exactament la mateixa densitat hamiltoniana obtinguda
per mètodes canònics.
Notem que, en el cas de l’operador moment, com en el cas de hamiltonià, també apareix un
terme addicional infinit corresponent al moment del buit, aquest, però, és constant i desapareix
quan integrem per a tot p. Llavors, en el cas del moment, no és necessària la N-ordenació.
Igualment es pot obtenir l’operador moment angular com a conseqüència de la invariància
sota transformacions de Lorentz
M μν
= d 3 x x μ T 0ν − x ν T 0μ . (3.16)
Aquest, però, té una estructura més complicada en termes dels operadors de creació i destrucció.
El seu estudi el deixarem per a quan tractem el camp de Dirac on, a més a més, aquest
operador tindrà un terme addicional que representarà el spin de les partícules del camp de
Dirac i que no apareix en el cas de Klein-Gordon. Així concloem que les partícules creades i
destruïdes pel camp de Klein-Gordon no tenen spin intrínsec.
Utilitzant les regles de commutació dels camps, es pot comprovar que els 10 operadors
P μ = (H,P), i M μν satisfan les regles de commutació dels generadors del grup de Poincaré:
[P μ ,P ν ] = 0,
[M μν ,P σ ] = i(g μσ P ν − g νσ P μ ),
[M μν ,M σρ ] = i(g μσ M νρ − g μρ M νσ − g νρ M μσ + g νσ M μρ ).
3 El procés de N-ordenació d’un operador consisteix en moure tots els operadors de creació a l’esquerra i tots
els operadors de destrucció a la dreta, utilitzant les regles de commutació i eliminant tots els termes addicionals
que apareixen en el procés. Operadors N-ordenats els representarem envoltats de dos punts.
61

Arcadi Santamaria
Igualment és fàcil comprovar, utilitzant les regles de commutació dels operadors de creació i
destrucció, que (per alleugerir la notació suposarem sempre que els operadors estan N-ordenats
i no escriurem explícitament els dos punts que representen la N-ordenació)
Ha † (p)|0〉 = Ep a † (p)|0〉 ,
Pa † (p)|0〉 = pa † (p)|0〉 .
Així els operadors a † (p) creen estats amb energia Ep i moment p (és a dir quadrimoment p) i
spin zero, que denotarem com |p〉. Triarem la normalització de forma que
〈0|0〉 = 1, |p〉 = a † (p)|0〉 . (3.17)
Llavors, els estats satisfan la següent normalització explícitament invariant Lorentz (utilitzant
les regles de commutació).
〈p ′ |p〉 = (2π) 3 2Epδ (3) (p −p ′ ). (3.18)
Amb aquesta normalització per als estats és immediat veure que la identitat en el sub-espai
d’estats d’una partícula es pot escriure com
(1) 1−particula =
d3p (2π) 3 |p〉〈p| .
2Ep
En efecte, si fem actuar aquest operador sobre els estats d’una partícula, |q〉, tenim
d3p (2π) 3
|p〉〈p|q〉 = d
2Ep
3 p|p〉δ (3) (p −q) = |q〉 .
També podem veure com es transformen els estats sota les transformacions de Lorentz. Com
sabem, si tenim una transformació de Lorentz Λ, tal que p ′ = Λp, els estats |p〉 formen la
base d’una representació unitària del grup de Lorentz que actuant sobre aquests estats estarà
representat pels operadors unitaris U(Λ). Amb la normalització invariant que hem triat per als
estats, la transformació de Lorentz serà
→
U(Λ)|p〉 =
Λp
,
d’on, immediatament, podem obtenir com es transformen els operadors de creació i destrucció
U(Λ)a † (p)U −1 (Λ) = a † ( →
Λp).
D’ací immediatament podem veure com es transforma el camp 4
62
U(Λ)φ(x)U −1 (Λ) = φ(Λx)
4 Notem que si x ′ = Λx hem definit el camp transformat com φ ′ (x ′ ) = φ(x) i llavors φ ′ (x) = φ(Λ −1 x)

i que
Un altre punt interessant és que els estats de dues partícules satisfan que
a † (p1)a † (p2)|0〉 = a † (p2)a † (p1)|0〉 ,
(a † (p)) 2 |0〉 = 0.
El camp de Klein-Gordon
Això vol dir que les partícules descrites per l’equació de Klein-Gordon satisfan l’estadística de
Bose.
Igualment podem construir els estats de dues partícules com
|p2,p1〉 = a † (p2)a † (p1)|0〉 ,
que satisfan una normalització simètrica respecte a l’intercanvi dels moments de les dues
partícules,
′
p 2 ,p ′
1 p2,p1〉 = (2π) 3 2Ep1 (2π)32Ep2 δ(3) (p1 −p ′ 1 )δ(3) (p2 −p ′ 2 )
+ (2π) 3 2Ep1 (2π)32Ep2 δ(3) (p1 −p ′ 2 )δ(3) (p2 −p ′ 1 ). (3.19)
Així podem continuar construint els estats de tres partícules, de quatre, etcètera, fins construir
l’espai de Hilbert total de la teoria, conegut com espai de Fock, i que no és més que la suma
dels espais de Hilbert d’una partícula, de dos, de tres, . . . .
3.2 El camp de Klein-Gordon complex
Imaginem que ara tenim dos camps reals amb exactament la mateixa massa. Llavors, podem
escriure el lagrangià com
L = 1
∂μφ1∂
2
μ φ1 − m 2 φ 2 1 + ∂μφ2∂ μ φ2 − m 2 φ 2
2 .
Aquest lagrangià és invariant sota rotacions dels camps (φ1,φ2),
cosα −sinα φ1
=
.
sinα cosα
φ ′ 1
φ ′ 2
Pel teorema de Noether sabem que, com a conseqüència d’aquesta simetria, hi ha un corrent
conservat i que la integral de la seua component temporal és independent del temps. Es podria
construir directament aquest corrent i la seua càrrega associada en termes dels camps φ1 i φ2, és
més convenient, però, re-escriure el lagrangià utilitzant camps complexos, ja que una rotació en
el pla complex es pot expressar senzillament com multiplicació per una fase. Així si escrivim
tindrem que
φ = 1 √ 2 (φ1 + iφ2), φ † = 1 √ 2 (φ1 − iφ2) , (3.20)
φ2
L = ∂μφ † ∂ μ φ − m 2 |φ| 2 , (3.21)
63

Arcadi Santamaria
lagrangià que és invariant sota transformacions de fase dels camps
φ ′ = e iα φ, φ ′† = e −iα φ † .
Immediatament podem deduir les equacions de moviment considerant els camps φ i φ † com independents,
construir els moments conjugats dels camps φ i φ † , imposar regles de commutació
i desenvolupar els camps en operadors de creació i destrucció exactament com hem fet per al
camp real. També podem utilitzar els resultats que hem obtingut per als camps reals. En particular,
és evident que, tant φ com φ † , satisfan l’equació de Klein-Gordon, ja que, tant la part
real com la part imaginària la satisfan. A més, de les regles de commutació per als camps reals
immediatament obtenim
φ(x,t), ˙φ † (x ′
,t) = iδ (3) (x −x ′ ),
φ(x,t), ˙φ(x ′ ,t) = ˙φ(x,t), ˙φ(x ′ ,t) =
φ(x,t),φ(x ′ ,t) =
φ(x,t),φ † (x ′
,t) = 0,
˙φ(x,t), ˙φ † (x ′
,t) = 0, (3.22)
i les que es puguen obtenir d’aquestes per conjugació. Aquestes regles són consistents amb el
que s’obté directament del lagrangià en forma complexa ja que π = ˙φ † .
Per obtenir el desenvolupament en operadors de creació i destrucció podem escriure
Així tindrem que
φ = 1 √ (φ1 + iφ2)
2
d
=
3p (2π) 3
1√2
(a1(p)+ia2(p))e
2Ep
−ip·x
+ 1 √ (a
2 †
1 (p)+ia† 2 (p))eip·x
.
φ =
d 3 p
(2π) 3 2Ep
a(p)e −ip·x + b † (p)e ip·x
, (3.23)
on a1(p), a2(p) són els operadors de destrucció dels camps φ1 i φ2 respectivament, i hem definit
a(p) = 1 √ 2 (a1(p)+ia2(p)),
b † (p) = 1 √ 2 (a †
1 (p)+ia†
2 (p)).
Òbviament, ara b(p) és diferent de a(p). Només queda per comprovar que a(p) i b(p) són
operadors de destrucció, és a dir, satisfan les regles de commutació dels operadors de creació i
destrucció. En efecte, utilitzant les regles de commutació dels a1(p) i a2(p), és fàcil comprovar
64

que
El camp de Klein-Gordon
a(p),a † (p ′
) = (2π) 3 2Epδ (3) (p −p ′ ),
b(p),b † (p ′
) = (2π) 3 2Epδ (3) (p −p ′ ),
′
a(p),a(p ) = 0,
′
b(p),b(p ) = 0,
a(p),b † (p ′
) = 0, (3.24)
i per tant, a(p) i b(p) satisfan l’àlgebra d’operadors de creació i destrucció de dues partícules
diferents. D’altra banda, utilitzant altra vegada els resultats per als camps reals, és fàcil veure
que
P μ
= (H,P) =
d 3 p
(2π) 3 2Ep
μ
p a † (p)a(p)+b †
(p)b(p)
on hem posat p μ = (Ep,p) i, com sempre, hem eliminat la contribució del buit. Així és evident
que a † (p) i b † (p) creen partícules amb exactament el mateix moment i la mateixa energia, i
per tant amb exactament la mateixa massa. Que les distingeix, doncs? Com hem comentat al
principi de la secció el lagrangià que estem considerant és invariant sota transformacions de
fase, això ens porta a un corrent conservat. Infinitesimalment tindrem
δφ = iαφ, δφ † = −iαφ † ,
i, utilitzant el teorema de Noether, immediatament arribem a que el corrent conservat (a banda
d’una constant de normalització) és
j μ
= i φ † (∂ μ φ) −(∂ μ φ †
)φ ,
i llavors la quantitat
Q =
d 3 x j 0
= i
d 3
x φ † ˙φ − ˙φ †
φ ,
ha de ser independent del temps i, per tant, ha de commutar amb el hamiltonià. En efecte, és
fàcil comprovar que (a banda d’una constant infinita que eliminem per N-ordenació)
Q =
d 3 p
(2π) 3 2Ep
a † (p)a(p) − b †
(p)b(p) , (3.25)
que, evidentment, commuta amb el Hamiltonià. A més a més, tenim que
Qa † (p)|0〉 = a † (p)|0〉, Qb † (p)|0〉 = −b † (p)|0〉 .
Així els operados a † (p) actuant sobre el buit creen partícules amb càrrega q = 1, massa m,
moment p i energia Ep, mentre els operadors b † (p) creen partícules amb càrrega q = −1 i
65

Arcadi Santamaria
la mateixa massa, moment i energia. Així obtenim que, en general, si tenim una partícula
d’spin 0 amb una càrrega conservada, necessàriament ha d’existir una altra partícula amb la
mateixa massa i les mateixes propietats però amb càrrega contrària. És a dir, ha d’existir la
seua antipartícula i tant la partícula com l’antipartícula estan descrites per un camp de Klein-
Gordon complex. Si el camp és real, no hi ha cap carrega conservada i diem que la partícula
és la seua antipartícula. Per exemple, els pions carregats π + i π − es poden descriure amb
un camp complex i un és l’antipartícula de l’altre. La càrrega conservada en aquest cas és la
càrrega elèctrica. D’altra banda el pió neutre π 0 no té càrrega i, per tant, es pot descriure amb
un camp de Klein-Gordon real. Ell és la seua pròpia antipartícula. És important assenyalar
que la càrrega Q no necessariament ha de ser la càrrega elèctrica. En principi pot ser altra
quantitat conservada (o aproximadament conservada). Així per exemple, els kaons neutres K 0
i K 0 , es poden distingir perquè existeix una càrrega aproximadament conservada anomenada
hipercàrrega. Un i l’altre tenen les mateixes propietats però hipercàrrega contrària i, per tant,
un és l’antipartícula de l’altre encara que siguen neutres respecte la càrrega elèctrica ordinària.
En el cas de camps de Klein-Gordon complexos partícula i antipartícula són diferents i hem
d’afegir una etiqueta addicional per distingir els estats de partícula dels estats d’antipartícula,
així escriurem a per a partícules i ā per a antipartícules. L’etiqueta a representa genèricament
totes les càrregues que puga tenir la partícula i que canviaran de signe per a l’antipartícula:
|a,p〉 = a † (p)|0〉, |ā,p〉 = b † (p)|0〉 .
Com veurem aquest resultats són completament generals i s’aplicaran a tots els tipus de
partícules, independentment del seu spin o la seua estadística. D’aquesta forma el problema
de les energies negatives i l’existència d’antipartícules queden completament resolts i integrats
d’una forma admirablement senzilla.
3.3 Regles de commutació covariants i causalitat
Vegem ara quina interpretació té el camp de Klein-Gordon (real) fent-lo actuar sobre el buit.
Utilitzant 3.6 tenim que
d
φ(x)|0〉 =
3p (2π) 3 e
2Ep
ip·x |p〉 . (3.26)
A banda del factor 1/(2Ep), que en el límit no relativista és pràcticament constant, aquesta
combinació lineal d’estats de moment definit és el que identificariem normalment com l’estat
|x,t〉. Si ara calculem la projecció d’aquest estat sobre un estat de moment definit obtenim,
〈0|φ(x)|p〉
d
= 〈0|
3p ′
(2π) 3 2E p ′
a(p ′ )e −ip′ ·x + a † (p ′ )e ip ′ ·x
a † (p)|0〉
= e −ip·x = e −iEpt e ip·x ≡ 〈x,t |p〉 , (3.27)
que és just una ona plana i confirma, en principi, la interpretació de que el camp φ(x) actuant
sobre el buit crea una partícula en el puntx en el temps t.
66

El camp de Klein-Gordon
Així veiem que el camp φ(x) implementa el principi de dualitat ona-corpuscle, per construcció,
de forma evident, ja que, d’una banda està construït amb operadors de creació i destrucció
de partícules, i que, d’altra banda crea i destrueix eixes partícules associades a ones planes que,
al cap i a la fi, són les solucions de l’equació de Klein-Gordon entesa com a equació d’ones.
A més a més, en el desenvolupament del camp en operadors de creació i destrucció veiem que
apareixen els dos signes en l’evolució temporal (però sempre amb Ep > 0). El signe menys
va sempre associat als operadors de destrucció, mentre el signe més va acompanyat sempre
d’operadors de creació. Per tant, la presència dels dos signes no va lligada a l’existència d’estats
d’energia negativa, sinó al fet de que els camps poden crear i destruir partícules. Així, per exemple,
és fàcil veure que en el cas del camp complex tant les “funcions d’ona” de partícula
com d’antipartícula, 〈0|φ(x)|a,p〉 = 〈0|φ † (x)|ā,p〉 = e −ip·x , són ones planes amb l’evolució
temporal amb signe negatiu, com ha de ser.
Ara tornem a la pregunta que ens vam fer al final del capítol 1 relativa al problema de
causalitat en teories relativistes. Si acceptem l’estat |x,t〉 com l’estat d’una partícula en el punt
x en el temps t, llavors, l’amplitud de probabilitat de que trobem una partícula enx en el temps
t si estava enx ′ en el temps t ′ és
〈x,t ′ ′
x ,t = 〈0|φ(x)φ(x ′
)|0〉 =
d3p (2π) 3 e
2Ep
−ip·(x−x′ ) ′
≡ D(x − x ). (3.28)
Si aquesta amplitud és diferent de zero per a punts separats espacialment ((x−x ′ ) 2 < 0), llavors
estarem en una situació similar a la que vam trobar a la secció 1.4 del capítol 1, i podem
tenir problemes amb la causalitat. Veurem immediatament que, efectivament, aquest és el cas,
però que la interpretació que hem fet d’aquestes amplituds és un poc innocent i que no són
observables independentment d’altres amplituds que involucren antipartícules, de forma que
els observables físics sí que preserven les propietats de causalitat de la teoria. Vegem-ho.
Per construcció, la funció D(x) és invariant Lorentz ja que tant el volum en l’espai de
moments com l’exponencial són invariants. Això vol dir que el resultat ha de ser una funció
només de x 2 = t 2 −|x| 2 . A més, canviantp → −p en la integral és fàcil comprovar que D(x,t)=
D(−x,t) per a qualsevol x. Anem a estudiar amb un poc més de detall aquesta funció. Per això
és important tenir en compte que les transformacions de Lorentz mantenen el valor de x 2 . Així
podem estudiar dos casos segons el signe de x 2 .
a) x 2 > 0. Llavors podem fer una transformació Lorentz de forma que passem a un nou
sistema de referencia on x = 0 (En aquest sistema de referència x 2 = t 2 > 0, i com que les
transformacions de Lorentz preserven el valor de x 2 , només podrem passar a aquest sistema de
referència si x 2 > 0) 5
D(0,t) =
d3p (2π) 3 e
2Ep
−iEpt
5 Notem que aquesta integral és altament oscil·lant i en principi no convergeix. S’ha d’entendre, però, que la
integral es defineix per prolongació analítica de les regions on sí convergeix. Per exemple, és suficient permetre
que el temps tinga una petita part imaginaria negativa per a que siga convergent.
67

Arcadi Santamaria
= 4π
(2π) 3
∞
0
dpp 2
2Ep
e −iEpt 1
=
4π2 ∞
dEp E
m
2 p − m2e −iEpt
. (3.29)
En aquesta equació hem escrit p ≡ |p|. Ara podem utilitzar que D(x) només depèn de x 2 per
escriure el resultat en un sistema de referència arbitrari
D(x) = 1
4π 2
∞
m
dEp E2 p − m2e −iEpsigne(t) √ x2 . (3.30)
Notem que, en el cas que x 2 > 0, necessariament tenim t > 0 o t < 0 i no hi ha transformacions
de Lorentz continues que passen de t > 0 a t < 0 i, llavors, el signe de t és rellevant. La dependència
de D(x) en x 2 és en realitat una dependència en √ x 2 i el signe de l’arrel quadrada s’ha
de triar correctament per a reproduir el casx =0. Aquesta observació serà d’una importància
capital en la discussió de la causalitat d’aquestes funcions.
b) x 2 < 0. En aquest cas podem fer una transformació de Lorentz que ens porte a un sistema
de referència on t = 0 (en aquest sistema de referència x 2 = −|x| 2 < 0), i fent una rotació també
podem anar a un sistema onx estiga en la direcció de l’eix z. Hi tindrem 6
d
D(x,0) =
3p (2π) 3 e
2Ep
ip·x = 2π
(2π) 3
∞ dpp
0
2 1
dωe
2Ep −1
iprω , (3.31)
on ω ≡ cosθ i r = |x|, i, com abans, hem escrit p ≡ |p|. Avaluant la integral en ω obtenim
D(x,0) = 1
8π2 ∞
0
dpp
Ep
e ipr − e −ipr
ir
= − i
8π2 ∞ dpp
r −∞ p2 + m2 eipr . (3.32)
Per arribar a la darrera equació hem reescrit la segona exponencial en termes de la primera
canviant p → −p. Ara voldriem reescriure la integral de la forma més semblant possible a 3.30.
Per això utilitzarem el teorema de Cauchy que ens permet relacionar integrals de funcions de
variable complexa al llarg de camins diferents. Utilitzarem el circuit de la figura 3.1 (en aquest
llibre prendrem sempre els talls de l’arrel quadrada i dels logaritmes sobre l’eix real negatiu, i
la determinació de la fase dels nombres complexos de forma que ϕ ∈] − π,π]) de forma que la
funció de la variable complexa z, z/ √ z 2 + m 2 e izr , no té singularitats dins del circuit mentre té
un tall que va de p = im fins a +i∞ (també en té un altre que va de p = −im fins a −i∞ però
aquest no ens afecta en el que volem fer). Llavors el teorema de Cauchy ens diu que la integral
al llarg de tot el circuit, és a dir, la suma de les diferents contribucions, és zero. A més, com
que la contribució del camí CR s’anu·la per a R → ∞ (perquè r > 0 i Re(ipr) < 0 en el semipla
superior) i també s’anul·la la contribució del camí Cε per a ε → 0 (perquè al voltant de p = im,
dp tendeix a zero més rapidament que p 2 + m 2 ), podem escriure
gents.
68
D(x,0) =
1
4π2r ∞
m
= 1
4π2 ∞
m
dρρ
ρ 2 − m 2 e−ρr
dρ ρ2 − m2e −ρr . (3.33)
6 Com en el cas de D(0,t), les integrals es defineixen per prolongació analítica de les regions on són conver

p = im
Cǫ
CR
El camp de Klein-Gordon
Figure 3.1: Circuit en el pla complex de la variable p utilitzat per calcular D(x,0).
On hem escrit p = iρ per parametritzar els camins paral·lels al tall. Així per la dreta tenim 7
p 2 + m 2 →
mentre per l’esquerra tenim
≈
p 2 + m 2 →
≈
(iρ + ε) 2 + m2
−(ρ2 − m2
)+i2ρε ≈ i ρ2 − m2 ,
(iρ − ε) 2 + m2
−(ρ2 − m2
) − i2ρε ≈ −i ρ2 − m2 ,
de forma que el signe es compensa pel recorregut en sentit contrari del camí per l’esquerra del
tall i obtenim just un factor 2. D’altra banda, per arribar a la darrera expressió hem fet una
integració per parts. Per a un valor, x 2 < 0, arbitrari podem reescriure el resultat com:
D(x) = 1
4π2 ∞
dρ ρ
m
2 − m2e −ρ√−x2 . (3.34)
Aquesta vegada no hi ha ambigüitat en els signes i tindrem sempre D(x) = D(−x).
Notem que els dos casos a) i b) es poden reescriure en un si prenem la prescripció
x 2 > 0,
−x 2 ≡ isigne(t) √ x 2 , (3.35)
7 Recordem que estem prenent la fase dels nombres complexos sempre en ] − π,π[ de forma nombres complexos
amb una part real negativa i una petita part imaginaria positiva tenen una fase e iπ , l’arrel quadrada de la
qual és i, mentre nombres complexos amb una part real negativa i una petita part imaginaria negativa tenen una
fase e −iπ , l’arrel quadrada de la qual és −i.
69

Arcadi Santamaria
que és equivalent a escriure sempre √ −x2 i suposar que el temps t té una petita part imaginària
negativa per resoldre les ambigüitats dels signes. Aquesta prescripció és també la prescripció
necessària per garantir la convergència de la integral (3.29). Finalment, la funció D(x) es pot
escriure en termes de la funció de Bessel K1(o funció de Hankel),
m
D(x) =
4π2√
K1 m −x
−x2 2
. (3.36)
En particular, no és difícil comprovar que per a t = 0 i r → +∞ tenim
mentre per a r = 0 i t → ∞
D(x) → 1 m
2
2
(2πmr) 3 e−mr ,
D(x) → 1
2
m2e−isigne(t)3π/4 e
(2πm|t|) 3
−imt ,
És evident que, encara que petit, el valor de D(x−x ′ ) és diferent de zero per a (x−x ′ ) 2 < 0,
la qual cosa sembla violar causalitat, ja que hi ha amplituds diferents de zero per a punts separats
espacialment i que no es poden comunicar amb senyals que es propaguen a velocitats
menors que la de la llum. Així i tot, el que importa per a respectar la causalitat de la teoria
no són les amplituds particulars, com la que hem calculat, que poden no ser observables independentment
d’altres, sinó el fet que la mesura d’un observable feta a x ′ puga afectar una altra
mesura feta a x si els punts x i x ′ no es poden connectar per un senyal lluminós. Si O1(x) és un
observable en x i O2(x ′ ) és un observable en x ′ , per a preservar la causalitat serà necessari que
O1(x),O2(x ′ ) = 0, (x − x ′ ) 2 < 0. (3.37)
En general l’observable O1(x) s’escriurà com a productes de φ(x) i π(x), mentre O2(x ′ ) s’escriurà
com a productes de φ(x ′ ) i π(x ′ ). En particular, tots els observables que hem vist fins ara (el
hamiltonià, el moment, la càrrega) són bilineals dels camps. Una condició suficient per a que
(3.37) siga satisfeta és que 8
φ(x),φ(x ′ ) = 0, (x − x ′ ) 2 < 0, (3.38)
ja que derivant el commutador respecte t = x 0 i utilitzant que ˙φ(x) = π(x) immediatament
trobem també que 9
π(x),φ(x ′ ) = 0, (x − x ′ ) 2 < 0,
8 Encara que aquesta no és l’única possibilitat, ja que bililineals d’operadors es poden escriure com a commutadors
però també com a anticommutadors. En el cas del camp de Dirac, com veurem, no dindrem més remei que
utilitzar aquesta llibertat per preservar la causalitat de la teoria.
9 Notem que això ja no és cert si (x − x ′ ) 2 = 0. De fet les regles de quantització a temps iguals, és a dir, a punts
separats espacialment, ens diuen que [π(x,t),φ(x ′ ,t)] = −iδ (3) (x −x ′ ), que efectivament és zero si x =x ′ , però
que és infinit quanx =x ′ .
70

El camp de Klein-Gordon
i per tant, operadors que es puguen escriure com a productes locals de φ(x) i π(x) també
satisfaran (3.37). En el cas del camp de Klein-Gordon, l’equació (3.38) se satisfà trivialment.
En efecte, el commutador dels camps és un c-número ja que s’escriu en termes de commutadors
d’operadors de creació i destrucció i aquests són c-números. Com que el commutador és un
c-número, el commutador és igual al seu valor esperat en el buit. L’escriurem en termes de la
funció Δ(x) com
φ(x),φ(x ′ ) = 〈0|φ(x)φ(x ′ ) − φ(x ′ )φ(x)|0〉
= D(x − x ′ ) − D(x ′ − x) ≡ iΔ(x − x ′ ). (3.39)
A més a més, com hem vist, per a x 2 < 0 tenim que D(x) = D(−x) i, per tant, trivialment
[φ(x),φ(x ′ )]=0 si (x−x ′ ) 2 < 0. Aquesta propietat, però, es pot demostrar sense haver d’estudiar
les funcions D(x), senzillament utilitzant les propietats d’invariància de les mateixes i les regles
de commutació canòniques a temps iguals. Per a (x − x ′ ) 2 < 0 podem trobar una transformació
de Lorentz tal que en el nou sistema de referència t = t ′ , ara bé, en el nou sistema de referència
iΔ(x −x ′ ,0) = φ(x,t),φ(x ′ ,t) = 0,
com a conseqüència de les regles de commutació canòniques a temps iguals i, per tant, la
invariància Lorentz de Δ(x) ens permet escriure
φ(x),φ(x ′ ) = iΔ(x − x ′ ) = 0, (x − x ′ ) 2 < 0,
amb el que tenim garantida la preservació de la causalitat. Així la funció Δ(x) és una funció
real i nul·la per a x 2 < 0 com es pot comprovar a la figura 3.2.
El comportament com a funció del temps per al cas en què x = 0 el podem veure a la
figura 3.3, on la discontinuïtat a l’origen és necessària per compatibilitat amb les regles de
commutació canòniques a temps iguals. En efecte si derivem respecte t l’equació (3.39) , en el
cas (x − x ′ ) 2 ≥ 0, i després fem t ′ → t, trobem que
i ∂tΔ(x −x ′ ,t −t ′ ) t ′ =t = π(x,t),φ(x ′ ,t) = −iδ (3) (x −x ′ ),
com es pot comprovar de la definició de la funció Δ(x) en termes de la funció D(x). Per tant,
la relació de commutació (3.39) és completament covariant i a més engloba les relacions de
commutació a temps iguals com a casos particulars.
Així sembla que l’amplitud 〈0|φ(x)φ(x ′ )|0〉 = D(x − x ′ ), que, en principi, ens donaria
l’amplitud de probabilitat de que una partícula es produïsca en x ′ i es re-absorbisca en x,
no és observable independentment de l’amplitud de que es produïsca en x i es re-absorbisca
en x ′ , i que només certes combinacions d’aquestes dues amplituds, com ara iΔ(x − x ′ ) =
〈0|[φ(x),φ(x ′ )]|0〉, poden tenir una interpretació física. Per entendre un poc millor el que
passa considerarem el cas d’un camp complex. Com hem vist, un camp complex, φ(x) † , crea
partícules i destrueix antipartícules, mentre φ(x) crea antipartícules i destrueix partícules. Així
〈0|φ(x)φ † (x ′ )|0〉 = D(x − x ′ ) representaria l’amplitud de probabilitat de crear una partícula en
x ′ i re-absorbir-la en x mentre 〈0|φ † (x ′ )φ(x)|0〉 = D(x ′ −x) representaria l’amplitud de produir
71

Arcadi Santamaria
20
10
0
-10
t
-20
-20 -10 0 10 20
Figure 3.2: Curves de nivell de la funció Δ(x) com a funció de x i de t. És clar que la funció
s’anul·la per a x 2 = t 2 − |x| 2 < 0.
72
x

0.04
0.03
0.02
0.01
-20 -10 10 20
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
El camp de Klein-Gordon
Figure 3.3: La funció Δ(0,t). La discontinuïtat a l’origen és essencial per compatibilitat amb
les regles de commutació canòniques.
una antipartícula en x i re-absorbir-la en x ′ . Si la partícula té càrrega +1, l’antipartícula tindrà
càrrega −1, llavors, en els dos casos hi ha un flux +1 de càrrega entre x i x ′ : en primer cas
una càrrega +1 passa de x a x ′ , mentre en el segon una càrrega −1 passa de x ′ a x. El resultat
net és el mateix, el punt x perd una unitat de càrrega i el punt x ′ guanya una unitat. Tot indica
que aquestes dues amplituds no són observables independentment i que no es pot distingir la
propagació d’una partícula de x ′ a x de la propagació de la seua antipartícula en direcció contrària.
En el cas de camps reals el que passa és que partícula i antipartícula són senzillament la
mateixa cosa.
Aquesta discussió ens suggereix com es poden resoldre els problemes amb la causalitat
en les teories de camps i quin paper tan essencial juga l’existència de les antipartícules (o
freqüències negatives) per a resoldre’ls. L’existència de solucions de l’equació d’ones amb
energies negatives no només no crea problemes en la teoria quàntica de camps sinó que aquestes
són essencials per a resoldre els problemes amb la causalitat.
3.3.1 Expressions explícitament invariants de les funcions D(x), Δ(x) i
relació amb les funcions de Green: propagador de Feynman
Encara que les funcions Δ(x) i D(x) són invariants Lorentz, la forma integral que hem utilitzat
no ho mostra explícitament. És interessant reescriure aquestes funcions de forma explícitament
invariant Lorentz. Al temps aquest exercici ens portarà a un altre tipus de funcions amb una
interpretació física més transparent que les funcions Δ(x) i D(x). Per això utilitzarem el teorema
dels residus i escriurem D(x) com una integral de camí en el pla complex de p 0
D(x) =
d 3 p
(2π) 3 2Ep
e −ip·x
= −i
C +
d 4 p
(2π) 4
e−ip·x p2 ,
− m2 73

Arcadi Santamaria
−Ep
C −
+Ep
C +
C
−Ep
−CR
CA
+Ep
Figure 3.4: Circuits en el pla complex de p 0 utilitzats per a calcular Δ(x) i D(x).
on C + és una circumferència que envolta només el punt p 0 = Ep = |p| 2 + m 2 en el sentit contrari
a les agulles del rellotge, figura 3.4. Ací estem abusant un poc del llenguatge en el sentit
que en el darrer terme que està integrat en p 0 hem escrit p μ = (p 0 ,p), tant en l’exponencial
com en el p 2 del denominador, mentre en el terme que està integrat només en el volum tridimensional
p μ representa p μ = (Ep,p). En la resta del llibre utilitzarem aquesta notació que,
en general, no crearà cap confusió: en integrals tridimensionals en moments l’energia esta fixada
i p μ = (Ep,p), mentre en integrals quadridimensionals en moments la component zero
del quadrimoment no està fixada i tindrem p μ = (p 0 ,p) amb p 0 una variable completament
independent.
De forma semblant a com hem calculat D(x) podem veure que
D(−x) =
d 3 p
(2π) 3 2Ep
e ip·x
= i
C− d 4 p
(2π) 4
e−ip·x p2 ,
− m2 on ara C − és una circumferència que envolta només el punt p 0 = −Ep en el sentit contrari a
les agulles del rellotge, figura 3.4, i per obtenir el resultat hem hagut de canviar p → −p en la
integral tridimensional. Posant junts els dos resultats immediatament veiem que
iΔ(x) = D(x) − D(−x) = −i
C
d 4 p
(2π) 4
e−ip·x p2 ,
− m2 on C ara és qualsevol circuit que encercle les dues singularitats p 0 = Ep i p 0 = −Ep.
És important assenyalar que, per la seua definició com a valors esperats dels camps, tant
Δ(x) com D(x) satisfan l’equació de Klein − Gordon homogènia. Per exemple
74
(∂ 2 + m 2 )D(x) = 〈0|(∂ 2 + m 2 )φ(x)φ(0)|0〉 = 0.

−Ep
t < 0
CR
+Ep
t > 0
−Ep
t < 0
CA
El camp de Klein-Gordon
+Ep
t > 0
Figure 3.5: Circuits en el pla complex de p 0 utilitzats per a calcular DR(x) i DA(x). Per a temps
negatius DR(x) = 0. Per a temps positius DA(x) = 0.
Igualment
(∂ 2 + m 2 )Δ(x) = 0.
La funció Δ(x) es pot separar en dues funcions depenent del signe del temps. Al cap i a la fi
quan diem que creem una partícula en x ′ i després l’absorbim en x, estem suposant implícitamen
que t > t ′ . Per veure això prenem el circuit C de l’esquerra de la figura 3.4 i el deformem fins a
l’eix real com en la dreta de la figura 3.4. Si CR és el camí que va per dalt de l’eix real (en sentit
positiu) i CA és el que va per baix de l’eix real (també en sentit positiu) òbviament tindrem
on
iΔ(x) = −i
C
d 4 p
(2π) 4
DR(x) = i
CR
DA(x) = i
e −ip·x
p 2 − m 2 = DR(x) − DA(x), (3.40)
CA
d 4 p
(2π) 4
e−ip·x p2 , (3.41)
− m2 d4 p
(2π) 4
e−ip·x p2 . (3.42)
− m2 Les funcions DR(x) és poden reescriure en termes de les D(x) utilitzant els circuits de la
figura 3.5. Així per exemple, si calculem DR(x) per a t < 0 podem tancar el circuit per
dalt sense problemes i l’integral ens dóna zero, mentre si t > 0 el podem tancar per baix
i tornem a recuperar el circuit C recorregut en sentit negatiu i per tant iΔ(x). Així podem
escriure DR(x) = θ(t)iΔ(x) = θ(t)(D(x) − D(−x)). Per a DA(x) i t > 0 tanquem el circuit
per baix i obtenim zero, mentre per a t < 0 el tanquem per dalt i obtenim −iΔ(x). Així
75

Arcadi Santamaria
DA(x) = −θ(−t)iΔ(x) = −θ(−t)(D(x) − D(−x). Les funcions DR(x) i DA(x) són funcions
de Green de l’equació de Klein-Gordon. En efecte
(∂ 2 + m 2
)DR(x) = i
CR
= −i
d4 p
(2π) 4
(−p2 + m2 )e−ip·x p2 − m2 d 4 p
(2π) 4 e−ipx = −iδ (4) (x),
on hem utilitzat que l’integrand ja no té singularitats per reduir el camí CR a la recta real.
Igualment podem comprovar que
(∂ 2 + m 2 )DA(x) = −iδ (4) (x).
Aquestes funcions es coneixen com les funcions de Green retardades, DR(x), i avançades,
DA(x), respectivament, perquè permeten construir solucions de l’equació de Klein-Gordon no
homogènia. En efecte, suposem que tenim una equació de la forma
(∂ 2 + m 2 )φ(x) = j(x),
on j(x) és una interacció que suposarem que s’anul·la en el passat i futurs remots (t → ±∞).
Així, tant en el passat remot com en el futur remot, les solucions seran solucions de l’equació
homogènia. Les funcions de Green ens permeten construir la solució completa coneixent les
solucions lliures en el passat remot o en el futur remot. Per exemple si en t → −∞ el camp
es pot descriure mitjançant un camp lliure φ0(x) tal que (∂ 2 + m 2 )φ0 = 0 (i per tant, es pot
desenvolupar en operadors de creació i destrucció com hem fet fins ara), podrem escriure la
solució en un temps posterior com
φ(x) = φ0(x)+i
d 4 x ′ DR(x − x ′ ) j(x ′ ),
que trivialment satisfà l’equació de Klein-Gordon inhomogènia
(∂ 2 + m 2 )φ(x) = (∂ 2 + m 2 )φ0(x)
+ i d 4 x ′ (∂ 2 + m 2 )DR(x − x ′ ) j(x ′ ) = j(x).
A més de les funcions de Green DR(x) i DA(x), hi ha dues funcions de Green més que
corresponen a les dues formes addicionals en què podem evitar els pols quan fem la integral
al llarg de l’eix real. D’aquestes dues funcions de Green hi ha una que és particularment
interessant, i que serà la base de tots els càlculs que farem durant el curs. És l’anomenada
funció de Green de Feynman o propagador de Feynman que s’obté evitant el pol en −Ep per
baix i el pol en +Ep per dalt segons el circuit de la figura 3.6.
76
DF(x) = i
CF
d 4 p
(2π) 4
e −ip·x
p 2 − m
2 = lim
ε→0
d4 p
i
+
(2π) 4
e−ip·x p2 − m2 . (3.43)
+ iε

−Ep
t < 0
CF
+Ep
t > 0
El camp de Klein-Gordon
Figure 3.6: Circuits en el pla complex de p 0 utilitzats per a calcular DF(x). Conté contribucions
tant per a temps positius com negatius.
On, per escriure la darrera expressió, que serà la que utilitzarem habitualment, hem utilitzat
que els zeros de p2 − m2 + iε estan en p0
= ± E2 p − iε ≈ ±Ep ∓ i ε , i per tant estan per dalt
2Ep
de l’eix real en −Ep, i per baix de l’eix en +Ep, de manera que podem deformar lleugerament
el camí al llarg de l’eix real i transformar-lo en el camí CF on ja podem fer el límit ε → 0 sense
problemes, recuperant així el resultat de l’esquerra de l’equació (3.43).
Exactament com hem fet en el cas de DR(x) i DA(x) podem escriure el propagador de Feynman
DF(x) en termes de la funció D(x) segons quin siga el signe del temps. Així utilitzarem els
circuits figura 3.6. Per a t > 0 podem tancar el circuit per baix sense problemes i deformar-lo
continuament fins transformar-lo en el circuit C + de l’esquerra de la figura 3.4 recorregut en
sentit negatiu i que dóna just D(x). Per a t < 0 podem tancar el circuit per dalt i transformar-lo
en el circuit C− que dóna D(−x). Així, finalment obtenim DF(x) = θ(t)D(x)+θ(−t)D(−x)
o, equivalentment en termes de valors esperats dels camps en el buit en punts diferents,
on hem definit el producte T -ordenat de camps com
DF(x − x ′ ) = 〈0|T φ(x)φ(x ′ ) |0〉 , (3.44)
T φ(x)φ(x ′ ) ≡ θ(t −t ′ )φ(x)φ(x ′ )+θ(t ′ −t)φ(x ′ )φ(x). (3.45)
Aquests resultats es poden generalitzar fàcilment a camps de Klein-Gordon complexos, així
s’obté
DF(x − x ′
) = 〈0|T φ(x)φ † (x ′
) |0〉 , (3.46)
amb la mateixa definició per al producte T -ordenat de camps complexos,
T φ(x)φ † (x ′
) ≡ θ(t −t ′ )φ(x)φ † (x ′ )+θ(t ′ −t)φ † (x ′ )φ(x). (3.47)
77

Arcadi Santamaria
Com veurem més endavant, aquests productes de camps ordenats en el temps apareixeran naturalment
en tot tipus de càlculs en teoria quàntica de camps, d’ací la seua importància. A
més a més, el propagador de Feynman, escrit d’aquesta forma, admet una interpretació causal
molt intuïtiva. En efecte, com hem discutit anteriorment, 〈0|φ(x)φ † (x ′ )|0〉 dóna l’amplitud
de creació d’una partícula en x ′ i posterior absorció en x, però aquesta interpretació només té
sentit si t > t ′ . D’altra banda, 〈0|φ † (x ′ )φ(x)|0〉 dóna l’amplitud de creació d’una antipartícula
en x i posterior absorció en x ′ , interpretació només vàlida si t ′ > t. Aquestes dues amplituds
contribuiran coherentment a tots els processos on s’intercanvien excitacions del camp φ. Per
exemple, considerem un procés de col·lisió entre un protó, p, i un neutró, n, com a conseqüència
de l’intercanvi d’un pió carregat, π + o π − . Podem imaginar que el protó emet un π + en
x ′ transformant-se en un neutró, i que posteriorment aquest pió és absorbit en x per un neutró
transformant-se en un protó. Aquesta amplitud contribueix només quan t > t ′ (figura 3.7a).
Alternativament, però, el neutró inicial pot emetre un π − en x transformant-se en un protó i
posteriorment el pió és absorbit en x ′ per un protó que es transforma així en un neutró. Aquest
procés només contribueix quan t ′ > t (figura 3.7b). L’amplitud total del procés serà la suma de
les dues amplituds, que és exactament el que ens dóna el propagador de Feynman. Així veiem
que el propagador de Feynman ens ofereix una descripció causal i covariant 10 de l’intercanvi de
partícules. Com que en la pràctica aquestes dues contribucions ens apareixeran sempre juntes
és natural descriure els dos diagrames amb un sol diagrama en el què la fletxa del temps no és
rellevant i en el què la propagació de les partícules que s’intercanvien està descrita pel propagador
de Feynman. Aquests diagrames s’anomenen diagrames de Feynman i, que com veurem
més endavant, són una eina fonamental en teoria quàntica de camps.
10 Encara que puga semblar que el producte T-ordenat de camps no és invariant Lorentz per causa de la presència
de les funcions θ(t −t ′ ), si que ho és. Efectivament, per a punts separats temporalment, les funcions θ(t −t ′ ) són
invariants Lorentz ja que, en aquest cas, una transformació de Lorentz no pot canviar el signe de t − t ′ . Per a
punts separats espacialment els camps commuten, i el producte T-ordenat de camps és senzillament el producte de
camps.
78

p
n
t ′ < t
x ′
(a)
π +
x
n
p
n
p
x
π −
El camp de Klein-Gordon
t < t ′
Figure 3.7: Contribucions de l’intercanvi de pions a la col·lisió protó-neutró segons la fletxa
del temps: el propagador de Feynman.
Problemes Proposats
Problema 3.1 Utilitzant les regles de commutació canòniques del camp de Klein-Gordon real
i la forma del hamiltonià, H, comproveu que
(b)
[H,φ(x)] = −iπ(x), [H,π(x)] = i(m 2 − ∇ 2 )φ(x).
D’aquestes equacions i de les equacions de moviment de Heisenberg dels camps (−i ˙φ(x) =
[H,φ(x)]) y π(x), (−i ˙π(x) = [H,π(x)]), demostreu que
˙φ(x) = π(x), (∂ 2 + m 2 )φ(x) = 0.
Problema 3.2 Utilitzant les regles de commutació canòniques del camp de Klein-Gordon real
i la forma de l’operador moment, P, comproveu que
P,φ(x) = i
∇φ(x), P,π(x) = i∇π(x). Siga F(x) = F(φ(x),π(x)) una funció dels camps i els moments canònics que es pot desenvolupar
en sèrie de potències de φ(x) y π(x). Demostreu que
P,F(x) = i∇F(x). Afegint l’equació de moviment de Heisenberg per a F(x), [H,F(x)] = −i ˙F(x), comproveu que
les equacions de moviment es poden escriure de forma covariant com
[P μ ,F(x)] = −i∂ μ F(x),
x ′
p
n
79

Arcadi Santamaria
amb P 0 = H. Utilitzant aquests resultats comproveu que l’operador quadrimoment, P, és el
generador de les translacions
Problema 3.3 Calculeu
φ(x+a) = e ia·P φ(x)e −ia·P .
〈0|φ(x)φ(0)|0〉 = D(x) =
d3p (2π) 3 e
2Ep
−ip·x
explícitament en termes de funciones de Bessel per a x 2 < 0. Comproveu que el resultat només
depèn de x 2 .
Problema 3.4 Al problema anterior, D(x) satisfà l’equació de Klein-Gordon, ja que φ(x) la
satisfà. A més, D(x) només depèn de x 2 per invariància Lorentz. Per a x 2 < 0, podem definir
s = √ −x 2 . Comproveu que si una funció f(s) satisfà l’equació de Klein-Gordon i només depèn
de s, ha de ser solució de l’equació
f ′′ (s)+ 3
s f ′ (s) − m 2 f(s) = 0.
Els dos primers termes serien equivalents a la laplaciana en quatre dimensions en coordenades
esfèriques generalitzades. Trobeu les solucions d’aquesta equació que satisfan les condicions
f(s) s→+∞
−→ 0, f(s) s→0
−→ 1
4π2 .
s2 Comproveu que el resultat coincideix amb la D(x) trobada abans.
Problema 3.5 Trobeu un lagrangià que porte a l’equació de Schrödinger:
i ˙ψ = − ∇2
2m ψ
amb ψ complex.
i) Desenvolupeu les solucions de l’equació de Schrödinger en ones planes i quantitzeu-les
amb regles de commutació. Té sentit un camp de Schrödinger real?
ii) Obteniu el hamiltonià i desenvolupeu-lo en operadors de creació i destrucció. És definida
positiva l’energia?
iii) Obteniu el corrent conservat associat a un canvi de fase ψ → e iα ψ i la càrrega associada.
Desenvolupeu-la en operadors de creació i destrucció. Quina interpretació podria tenir?
iv) Calculeu el commutador de dos camps a temps diferents.
80

Capítol IV
El camp de Dirac

4. El camp de Dirac
4.1 Introducció: commutadors o anticommutadors (spin i
estadística)
En aquest capítol quantitzarem el camp de Dirac que representa partícules de spin 1/2. Ara bé,
sabem per experiència que les partícules de spin semi-enter són fermions i han de tenir funcions
d’ona antisimètriques. El procés de quantització que hem dut a terme als capítols anteriors du
inevitablement a partícules que es comporten com a bosons i tenen funcions d’ona simètriques
i, per tant, no es podrà aplicar directament al cas de l’equació de Dirac. Llavors, comp podem
quantitzar el camp de Dirac mantenint totes les qualitats tan interessants que hem vist en el
procés de la quantitazció canònica del camp de Klein-Gordon?
Repassant el procés de quantització canònica del camp escalar veurem que els ingredients
bàsics són els següents:
1) Una densitat hamiltoniana escrita en termes dels camps i dels seus moments.
2) Unes regles de commutació entre camps i moments a temps iguals.
3) Les equacions de moviment de Heisenberg (anàleg quàntic de les equacions de Hamilton)
−iO ˙ = [H,O], on O és qualsevol operador escrit en termes de camps i moments.
Especificant aquests tres punts tenim completament definida la teoria quàntica. En particular
utilitzant les regles de commutació, la forma del hamiltonià i les equacions de Heisenberg
podem recuperar la relació entre camp i moment i l’equació de Klein-Gordon per al camp. Per
obtenir aquest resultats vam utilitzar una propietat elemental dels commutadors d’operadors.
Si A,B i C són operadors tenim, com és fàcil comprovar, que:
[AB,C] = A[B,C]+[A,C]B. (4.1)
Si tant H com O són funcions (o funcionals) multilineals dels camps i els seus moments conjugats,
utilitzant repetidament (4.1) podem escriure [H,O] en termes de commutadors dels camps
i llavors utilitzar les regles de commutació canòniques. El punt interessant és que tot aquest
procés es pot realitzar si imposem als camps regles d’anticommutació en compte de regles de
commutació. En efecte, el commutador del producte d’operadors també es pot desenvolupar en
83

Arcadi Santamaria
anticommutadors
[AB,C] = A{B,C} − {A,C}B. (4.2)
Així, si imposem regles d’anticommutació als camps, per calcular [H,O] podrem utilitzar la
relació (4.1) les vegades que siga necessari fins obtenir només commutadors de la forma [AB,C]
(on A,B i C són camps o moments conjugats) i llavors podrem utilitzar (4.2) per escriure el resultat
en termes d’anticommutadors dels camps. Així arribem a la conclusió que les equacions
de Heisenberg es poden realitzar tant si els camps satisfan regles de commutació com regles
d’anticommutació. En el programa de quantització canònic per a fermions és per tant suficient
canviar el punt 2) per “regles d’anticommutació entre camps i moments a temps iguals”.
A més dels punts 1)-3) el procés de quantització canònic per a bosons tenia unes altres
característiques imporants que depenien de l’equació (4.1). En particular vam veure també que
si O1(x) i O2(y) eren els operadors de dos observables en els punts x i y, respectivament, per
preservar la causalitat s’havia de complir que
[O1(x),O2(y)] = 0, (x − y) 2 < 0, (4.3)
és a dir per a punts separats espacialment els operadors han de commutar. En el cas del camp
escalar aquesta propietat se satisfà automàticament com a conseqüència de les regles de commutació
dels camps. Clarament aquesta propietat també s’haurà de complir per a operadors
d’observables construits amb camps fermiònics. És obvi que podem utilitzar el mateix argument
que hem utilitzat en el cas del commutador [H,O] per escriure [O1(x),O2(y)] en termes
d’anticommutadors dels camps. Llavors, per garantir (4.3) serà suficient que l’anticommutador
dels camps siga zero per a punts separats espacialment.
Finalment, n’hi ha un altre ingredient necessari per construir la teoria quàntica del camp
bosònic lliure que utilitza la propietat (4.1): l’algebra d’operadors de creacció i destrucció. En
efecte, aquesta àlgebra està basada en l’existència dels operadors de creacció i destrucció a † r ,
ar i d’un operador nombre de partícules, Nr = a † r ar que satisfan
[Nr,as] = −δrsas,
Nr,a † s
= δrsa † s .
Per a bosons aquesta àlgebra es pot realitzar si els operadors ar, satisfan
= δrs, [ar,as] = 0, (4.4)
ar,a † s
com es pot comprovar fàcilment utilitzant (4.1). De (4.4) i de l’existència d’un estat amb
energia mínima s’obté l’espectre complet que està caracteritzat pels autovalors de l’operador
nombre Nr i que resulten ser enters no negatius nr = 0,1,2,···. Aquesta però no és l’única
possibilidad i podem demanar també regles d’anticommutadors per als operadors de creacció i
destrucció:
ar,a †
s = δrs, {ar,as} = 0,
com també es pot comprovar fàcilment utilitzant (4.2). Aquestes regles d’anticommutació
tenen algunes particularitats, per exemple, utilitzant les propietats d’anticommutació és obvi
= 0. Igualment tindrem que
que a 2 r
84
N 2 r
= Nr

El camp de Dirac
i llavors els únics valors propis són 0 o 1, com ha de ser si volem intepretar Nr com l’operador
nombre de partícules fermiòniques.
Sembla clar, doncs, que en general per quantitzar camps podem utilitzar les dues possibilitats,
commutadors o anticommutadors, funcions d’ona simètriques o antisimètriques. L’experiència
ens diu que partícules de spin enter tenen funcions d’ona simètriques i partícules de spin semienter
tenen funcions d’ona antisimètriques. Efectivament, hem vist que quantitzant el camp
escalar amb commutadors arribem a una teoria bosònica consistent i que preserva la causalitat.
En aquest capítol veurem que el camp de Dirac només es pot quantitzar consistentment
(amb una energia fitada per baix i preservant la causalitat) si imposem regles d’anticommutació.
Aquesta connexió entre el spin de les partícules i l’estadística que obeeixen, que en mecànica
quàntica no relativista s’ha d’imposar a mà, apareix de forma natural en teoria quàntica de
camps en demanar la consistència de la teoria.
El fet que la quantització canònica amb commutadors ens porte inevitablement a partícules
que són bosons ens impedeix aplicar directament les regles que vam desenvolupar al capítol 2.
Una possibilidat, en un intent desesperat de representar fermions, seria mantenir el procediment
de quantització canònic però canviant les regles de commutació per regles d’anticommutació
entre els camps i els moments conjugats i veure la consistència de la teoria resultant. Aquest
procediment, però, no està justificat d’entrada: al cap i a la fi si els camps satisfan regles
d’anticommutació també anticommutaran clàssicament. La quantització consistirà senzillament
a dir quins dels antimmutadors seran no trivials, però en general els camps clàssics anticommutaran
entre ells. Això vol dir, per exemple, que fins i tot clàssicament tindrem que
ψ(x)χ(x) = −χ(x)ψ(x) i, llavors, ψ i χ no són nombres normals que commuten 1 . Aquest fet
exigeix que, a l’hora de deduir les equacions de moviment, construir les quantitats conservades,
etcètera haurem d’anar amb cura i en compte d’utilitzar cegament les equacions que hem vist
als capítols anteriors, com per exemple les equacions d’Euler-Lagrange, haurem de tornar als
principis bàsics d’on les vam deduir, és a dir els principis de mínim. Així, per al cas del camp
de Dirac deduirem una altra vegada les equacions de moviment i quantitats conservades evitant
canviar l’ordre en els productes de camps. D’aquesta forma les equacions de moviment
o els corrents conservats seran vàlids tant si finalment imposem regles de commutació com
d’anticommutació. Aquest resultat ens diu que tractant els camps clàssics com variables que
commuten, com es fa habitualment, haguerem arribat exàctament a les mateixes expressions
per a les equacions de moviment i els corrents conservats.
Per totes aquestes raons, per quantitazar el camp de Dirac seguirem un procediment diferent
al utilitzat en el cas del camp de Klein-Gordon, i que serà molt paregut al que vam utilitzar
al capítol 2 per motivar les regles de quantització canòniques: com que sabem resoldre exactament
l’equació de Dirac, construirem primer les solucions de l’equació de Dirac en termes
d’uns coeficients arbitràris. La quantització consitirà a reinterpretar aquest coeficients com operadors
d’un espai de Fock. Després utilitzant el teorema de Noether obtindrem els operadors
conservats de la teoria: energia, moment, moment angular, càrrega, en termes dels operadors
que hem introduit per escriure la solució de l’equació de Dirac i veurem que el hamiltonià
1 Variables d’aquest tipus s’anomen variables de Grassman. Per aquestes variables es poden definir regles de
derivació, integració, etcètera. Per al que volem fer en aquest curs no necessitem tot aquest formalisme i ens
limitarem a evitar canviar l’ordre de les variables innecessariament.
85

Arcadi Santamaria
obtingut només està fitat per baix si els operadors sasisfan l’àlgebra d’operadors de creació i
destrucció amb anticommutadors. Igualment la resta dels operadors, i en particular la càrrega,
només tenen la interpretació correcta si els operadors de creació i destrucció satisfan regles
d’anticommutació. Després comprovarem que els camps satisfan les regles d’anticommutació
canòniques a temps iguals que cabia esperar ψ(x,t),iψ † (y,t) = iδ (3) (x −y) si definim iψ †
com el moment conjugat del camp ψ. Així el hamiltonià obtingut mitjançant el teorema de
Noether es reinterpretarà com un hamiltonià canònic escrit exclusivament en termes de ψ i
iψ † entesos com variables conjugades l’una de l’altra. De les regles de anticommutació, de
la forma del hamiltonià en termes dels camps, i de les equacions de Heisenberg podrem recuperar
l’equació de Dirac. Si els camps tenen interaccions no sabrem resoldre exactament les
equacions de moviment. Així i tot podrem postular les regles d’anticommutació i quantitzar la
teoria de forma semblant a com vam fer en el cas de camps bosònics.
En el que segueix desenvoluparem tot aquest programa a la volta que anirem comprovantne
aspectes importants, com el fet que només una quantització del camp de Dirac en termes
d’anticommutadors ens permet construir una teoria que preserve la causalitat.
4.2 Covariància Lorentz de l’equació de Dirac.
Com vam veure al primer capítol la motivació fonamental per arribar a l’equació de Dirac
va ser construir una equació d’ones relativista amb només una derivada respecte el temps.
És important, per tant, comprovar que efectivament l’equació de Dirac es covariant respecte
les transformació de Lorentz. Al temps que fem això, fixarem la notació i veurem com es
transforma el camp sota les transformacions de Lorentz.
L’equació de Dirac és
(i∂/ − m)ψ(x) = 0
on ψ(x) és un spinor de quatre components. El representarem com un vector columna. El
símbol ∂/ ≡ γ μ ∂μ i γ μ són les matrius gamma de Dirac, matrius 4 × 4 que ja vam introduir al
capítol 1. El terme de massa m se sobreentén que multiplica una matriu identitat 4 × 4 que
normalment no escriurem explícitament.
Conjugant l’equació de Dirac podem obtenir l’equació de Dirac per al camp hermític con-
jugat ψ †
ψ †
(x) −iγ μ†←−
∂ μ − m = 0
Tenint en compte les propietats d’anticommutació de les matrius gamma (1.13)
i d’hermiticitat
{γ μ ,γ ν } = 2g μν
γ 0 γ μ† γ 0 = γ μ
podem definir el camp (vector fila) ψ(x) ≡ ψ † (x)γ 0 i re-escriure l’equació del camp conjugat
com
86

ψ(x) −i ←−
∂/ − m = 0
El camp de Dirac
És convenient prendre com a variables independents ψ i ψ i no ψ † perquè, com veurem immediatament,
és ψ el camp que es transforma adequadament sota transformacions de Lorentz.
El punt fonamental de la teoria quàntica de camps és construir una teoria quàntica invariant
relativista, és a dir, invariant sota transformacions de Poincaré. El primer que hauriem de fer,
doncs, és comprovar que efectivament l’equació de Dirac és invariant sota transformacions de
Lorentz. Les transformacions de Lorentz són aquelles transformacions de coordenades x μ →
x ′μ = Λ μ νx ν tals que deixen el producte escalar relativista invariant
és a dir,
xμx μ = gμνx μ x ν = x ′ ρx ′ρ = gσρx ′σ x ′ρ = gσρΛ σ μΛ ρ νx μ x ν
gμν = gσρΛ σ μΛ ρ ν
Utilitzant la regla de la cadena es fàcil comprovar que,
∂μ ≡ ∂ ∂
→
∂xμ ∂x ′μ = Λ −1ν ∂
μ ∂xν ≡ Λ −1ν μ ∂ν
així tindrem igualment que xμ → x ′ μ = Λ −1 ν
μ xν i g μν = g σρ Λ −1 μ
σ
Λ−1 ν . De forma
ρ
infinitesimal les transformacions de Lorentz es poden escriure com Λ μ ν ≈ δ μ ν + ω μ ν on les
ωμν = gμρω ρ ν és un tensor completament antisimètric sota l’intercanvi d’índexs i per tant conté
6 paràmetres independents, tres dels quals són els paràmetres del “boost” i els altres tres corresponen
als tres angles que defineixen una rotació arbitrària. Com es transformen els camps sota
transformacions de Lorentz? Ja vam veure que el camp de Klein-Gordon es transforma com un
escalar, és a dir
φ(x) → φ ′ (x ′ ) = φ(x)
i per tant podem escriure φ ′ (x) = φ(Λ −1 x). És trivial comprovar que l’equació de Klein-Gordon
és invariant sota transformacions de Lorentz (ja que ∂ 2 ho és), en efecte
2 2
∂ + m
μν ∂
φ(x) = 0 → g
∂x ′μ
∂
∂x
g μν Λ −1σ
−1
Λ μ
ρ ∂
μ
∂x σ
′ν + m2
∂
∂x
ρ + m2
φ ′ (x ′ ) =
φ(x)
= ∂ 2 + m 2 φ(x) = 0
Igualment es pot comprovar que sota una transformació Lorentz el Lagrangià de Klein-Gordon
és un escalar, és a dir, L (x) → L ′ (x ′ ) = L (x). Ara bé, el camp de Klein-Gordon és el més
87

Arcadi Santamaria
simple de tots els camps. En general els camps tindran altres tipus d’índex que necessariament
faran que els camps es transformen d’una forma més complicada sota transformacions
de Lorentz. Així, per exemple, el camp electromagnètic es pot representar mitjançant un
quadrivector A μ (x). És obvi que en aquest cas, a més del canvi trivial degut al canvi de coordenades
el quadrivector A μ (x) s’haurà de transformar també com un quadrivector per poder
mantenir el producte escalar de quadrivectors invariant, és a dir, tindrem que sota una transformació
de Lorentz A μ (x) → A ′μ (x ′ ) = Λ μ νA ν (x) o el que és el mateix A ′μ (x) = Λ μ νA ν (Λ −1 x).
De fet aquest serà el cas general per a camps arbitràris Φa(x) → Φ ′ a (x′ ) = M(Λ)abΦb(x) on
la forma explícita de la matriu M(Λ) en termes de la transformació de Lorentz Λ depèn de la
representació del camp Φa. En el cas de camps escalars és just la identitat, en el cas de camps
vectors és just Λ. Els spinors de Dirac tenen índexs i per tant esperem que es transformen
d’una forma no trivial sota el grup de Lorentz. Anem a veure quines seran les propietats de
transformació dels spinors de Dirac sota transformacions de Lorentz. Motivats per la discussió
anterior suposarem que
ψ(x) → ψ ′ (x ′ ) = S(Λ)ψ(x)
on òbviament S(Λ) és una matriu 4 × 4 amb índexs de Dirac que no hem escrit explícitament.
Volem que l’equació (i el lagrangià) de Dirac queden invariants sota aquestes transformacions.
Així tindrem
iγ μ ∂μ − m ψ(x) = 0 →
iγ
− m
∂x ′μ
μ ∂
ψ ′ (x ′ ) =
multiplicant aquesta equació per S(Λ) −1 obtenim que
iS(Λ) −1 γ μ S(Λ) Λ −1σ
∂
− m ψ(x) = 0.
μ ∂xσ
iγ μ Λ −1σ
∂
− m S(Λ)ψ(x) = 0
μ ∂xσ Si volem que aquesta equació tinga la mateixa forma que l’equació original de Dirac haurem
de demanar que
o el que és el mateix
S(Λ) −1 γ μ S(Λ) Λ −1 σ
μ = γσ ,
S(Λ) −1 γ μ S(Λ) = Λ μ νγ ν . (4.5)
Aquesta equació garanteix que qualsevol bilineal que continga matrius gamma es transforme
correctament sota les trasnsformacións de Lorentz. En particular
ψ(x)γ μ ψ(x) → ψ ′ (x ′ )γ μ ψ ′ (x ′ ) → Λ μ ν ψ(x)γ ν ψ(x)
es transforma com un vector. Es pot comprovar que efectivament existeixen unes matrius que
satisfan aquesta propietat
88

amb
S(Λ) = exp − i
μν
ωμνσ
4
El camp de Dirac
(4.6)
σ μν = i
2 [γ μ ,γ ν ] ,
i ωμν el tensor antisimètric que caracteritza la transformació de Lorentz.
Un punt important a tenir en compte és que aquesta representació del grup de Lorentz és
reduible, és a dir, es pot descomposar en representacions més simples. En efecte, al capítol 1
vam veure que hi ha una matriu, γ5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 , que anticommuta amb les quatre γ μ i llavors
commuta amb σ μν i amb S(Λ). Això vol dir que podem utilitzar la matriu γ5 per separar
l’espai de quatre components en dos subespais que no es mesclen sota transformacions de
Lorentz. Si definim PL = 1 2 (1 − γ5), PR = 1 2 (1 + γ5), les components del camp ψL = PLψ i
ψR = PRψ és transformen per separat, S(Λ)ψL = PLS(Λ)ψ i S(Λ)ψR = PRS(Λ)ψ. És a dir, si
triem una representació per a les matrius γ μ on γ5 siga diagonal, per exemple la representació
de Weyl, les ψL només tenen les dues componets de dalt i les ψR només les dues de baix i,
com es pot comprovar, S(Λ) es descomposa en dos blocs de matrius 2 × 2. Això vol dir que,
en general, els camps elementals per construir una teoria invariant relativista són els spinors de
dues components ψL i ψR i no el camp de Dirac complet ψ (vegeu els problemes 4.7 i 4.8 per
més detalls sobre aquest punt).
Cal remarcar també que les matrius S(Λ) no són necessàriament unitàries. Les rotacions
estan generades per transformacions amb els dos índexs espacials, llavors (σ i j ) † = σ i j és
hemítica i les matrius S(Λ) són unitàries. En canvi els boots estan generats per tansformacions
amb un índex espacial i l’altre temporal, llavors (σ 0 j ) † = −σ 0 j és antihermítica i per tant
S(Λ) no és unitària. Utilitzant que γ 0 (σ μν ) † γ 0 = σ μν les dues propietats es poden escriure de
forma compacta com
S(Λ) −1 = γ 0 S(Λ) † γ 0 . (4.7)
4.3 El lagrangià de Dirac
El lagrangià és l’element fonamental per construir una teoria invariant relativista i les quantitats
conservades utilitzant el teorema de Noether. El fet, però, que l’equació de Dirac només
continga una derivada respecte el temps i que els camps anticommuten crea algunes dificultats
addicionals que discutirem en aquesta secció on motivarem el lagrangià que utilitzarem per al
camp de Dirac.
Per trobar un lagrangià que porte a l’equació de Dirac podem multipicar senzillament
l’equació de Dirac
per ¯ψ
(i∂/ − m)ψ(x) = 0
L = ¯ψ(x)(i∂/ − m)ψ(x)
89

Arcadi Santamaria
i considerar tant ψ com ¯ψ com variables independents. Com que L no conté derivades de ¯ψ
és clar que demanant que l’acció siga estacionària per a variacions de ¯ψ ens durà directament a
l’equació de Dirac per a ψ. Per consistència, l’equació per a ¯ψ s’obtindrà conjugant l’equació
de Dirac com hem fet a la secció anterior. Comprovem que és així. Si ψ(x) → ψ(x)+δψ(x) i
¯ψ(x) → ¯ψ(x)+δ ¯ψ(x), tindrem que
δL (x) = δ ¯ψ(x)
i −→ ∂/ − m
ψ(x) + ¯ψ(x) i −→
∂/ − m δψ(x)
= δ ¯ψ(x) i −→
∂/ − m ψ(x) + ¯ψ(x) −i ←−
∂/ − m δψ(x)
+i ¯ψ(x) −→ ∂/ δψ(x)+i ¯ψ(x) ←− ∂/ δψ(x)
= δ ¯ψ(x) i −→
∂/ − m ψ(x) + ¯ψ(x) −i ←−
∂/ − m δψ(x) + i∂μ ( ¯ψ(x)γ μ δψ(x)) .
Si les variacions són tals que s’anul·len en els límits d’integració el darrer terme no contribueix
i demanant que l’acció siga estacionària per a variacions independents de ¯ψ i ψ arribem a
l’equació de Dirac per a ψ i ¯ψ. Notem que aquesta deducció és vàlida tant si els camps commuten
com si anticommuten. El lagrangià L té alguns inconvenients. D’entrada no és explicitament
real ja que tracta de forma diferent ψ i ¯ψ. L’hermiticitat del lagrangià es essencial
en una teoria de camps, fins i tot al nivell clàssic, ja que garanteix que el sistema d’equacions
diferencials obtingut és compatible 2 . Al nivell quàntic l’hermiticitat del lagrangià és també
important per garantir que els operadors dels observables siguen hermítics i per garantir la unitarietat
de la teoria. A més, el fet que el lagrangià no tinga derivades respecte el temps de ¯ψ fa
que la variable ¯ψ no és puga considerar una variable canònica ja que el seu moment conjugat
és zero. Per evitar aquests problemes, és freqüent utilitzar un lagrangià explícitament hermític 3
L → Lh = 1
L +L
2
†
= i ↔
¯ψ ∂/ ψ − m ¯ψψ , (4.8)
2
que només es diferència de L en un terme que és una divergència i, per tant, porta a les
mateixes equacions de moviment. Encara que aquest lagrangià és formalment més correcte,
en la pràctica és més complicat a l’hora de treballar i, emmascara un poc el fet que no podem
considerar ψ i ¯ψ com variables canòniques independents amb els seus respectius moments
conjugats. Per això en aquest curs utilitzarem com a lagrangià de Dirac L i veurem que la
seua no hermiticitat no ens crea cap problema perque els termes no hermítics sempre estan
relacionats amb divergències (dins d’integrals amb termes de superfície) que podem ignorar.
2 Considerem per exemple un sistema de N camps reals. Si el lagrangià no és real obtindrem N equacions per a
la part real i N equacions per a la part imaginària, però només tenim N camps per satisfer totes aquestes equacions.
Posem per cas un camp escalar real, φ, però amb m 2 = a+bi complexa. Clarament l’única solució de l’equació
de moviment és φ = 0.
3 Notem que si treballem amb variables de Grassman haurem de definir què entenem com l’hermític conjugat
d’un producte d’aquestes variables. Si tenim un producte de camps de Dirac, ψ † χ, definirem ψ † χ † = χ † ψ de
forma que el terme de masses del lagrangià de Dirac és hermític si m és real.
90

El camp de Dirac
És il·lustratiu veure quin lagrangià haguerem obtingut si senzillament el construim a partir
dels camps ψL i ψR, que, com hem vist, són les components que es transformen correctament
sota transformacions de Lorentz, demanant que continga només monomis invariants Lorentz
com a més amb dos camps i una derivada. Clarament podem escriure 4
L = ZLiψL∂/ψL + ZRiψR∂/ψR + AψLψR + h.c.
Ací, ZL, ZR i A són constants complexes arbitràries i el símbol h.c. representa l’hermític conjugat
de cadascun dels termes. És fàcil veure que només les parts reals de ZL i ZR són rellevants
(les parts imaginàries donen un terme que és una divergència). Llavors sense perdua de generalitat
prendrem ZL i ZR reals i positives (un signe relatiu entre ZL i ZR és rellevant però no
el discutirem ací). Així podem redefinir els camps ψL → ψL/ √ ZL i ψR → ψR/ √ ZR de forma
que arribem al terme cinètic canònic. Ara si escrivim A = −me iα podem redefinir un altra
vegada ψR → e −iα ψR. Finalment podem combinar els camps ψL i ψR en un camp de Dirac
ψ = ψL + ψR i arribem al lagrangià de Dirac.
Aquest exercici ens mostra fins a quin punt són generals el lagrangià i l’equació de Dirac i el
tipus de generalitzacions que podem imaginar (per exemple eliminar alguna de les components,
ψL o ψR, o afegir els termes de masa de Majorana com ψ c L ψL).
4.4 Solucions de l’equació de Dirac
Per quantitzar la teoria lliure necessitem saber quines són les solucions de l’equació de Dirac
lliure. Com hem vist, les solucions de l’equació de Dirac també satisfan l’equació de Klein-
Gordon, i per tant com les solucions d’aquella contindran freqüències positives (termes e −iEpt )
com freqüències negatives (termes e iEpt ). En general, per tant les solucions de l’equació de
Dirac es podran escriure com les de Klein-Gordon.
ψ(x) =
d 3 p
(2π) 3 2Ep
A(p)e −ip·x + B(p)e ip·x
amb p μ = (Ep = p 2 + m 2 ,p) i on ara els coeficients A(p) i B(p) son spinors de quatre componets
i s’han de triar de tal forma que ψ(x) siga solució de l’equació de Dirac. Substituint
aquesta expressió en l’equació de Dirac immediatament obtenim que
(p/ − m)A(p) = 0 (p/+m)B(p) = 0
ja que l’equació s’ha de complir per a tots els valors del temps i les dues exponencials del temps
son linealment independents. Els spinors A(p) i B(p) seran multiples de spinors degudament
normalitzats. Aquests spinors els denotarem com u(p) i v(p) respectivament. Així
(p/ − m)u(p) = 0 (p/+m)v(p) = 0
4 Del problema 4.8 és clar que també podem afegir termes com ψ c L ψL. Aquests termes, però, no conserven la
càrrega i els ignorarem de moment.
91

Arcadi Santamaria
Vegem quina forma tenen. En el sistema de referència en que la partícula està en repòs tenim
m(γ 0 − 1)u(0) = m
−1 1
1 −1
u(0) = 0 (4.9)
On hem triat la representació de Weyl per les matrius γ (Estem utilitzant la mateixa convenció
que en el llibre de Peskin & Schroeder. Notem un canvi de signe en γ 0 i γ 5 respecte a la notació
usada en Itzikson & Zuber). Aquesta representació és particularment interessant per estudiar el
límit ultrarelativista on veurem que les components de dalt i de baix es desacoblen. Recordem
que:
γ 0 =
0 I
I 0
, γ i
0 σ i
=
−σ i 0
Les solucions de l’equació 4.9 es poden escriure com
u(0) = √ m
ξ
ξ
, γ 5
−I 0
=
0 I
(4.10)
, ξ † ξ = 1 (4.11)
Els spinors ξ són spinors normalitzats arbitraris de dues components. La normalització dels
quadrispinors u(p) l’hem triada de forma que
ū(0)u(0) = 2m.
Per construir els spinors de moment arbitrari podem aplicar un “boost” de moment p a aquests
spinors,
amb
u(p) = Su(0),
Llavors és clar que u(p) és solució de l’equació de Dirac
S −1 p/S = mγ 0 . (4.12)
(p/ − m)u(p) = (p/ − m)Su(0) = mS(γ 0 − 1)u(0) = 0.
Quina forma té S per a un “boost” pur de moment p? A banda de la propietat anterior S ha de
satisfer que (recordem la definició en l’equació 4.6 i les propietats descrites després d’aquesta
equació)
γ5S = Sγ5, S † γ0 = γ0S −1 . (4.13)
Per a un “boost” pur ω μν només conté les components ω 0i ≡ ω llavors l’exponent de l’equació
(4.6) només conté el producte ω ·γγ 0 que satisfà (ω ·γγ 0 ) 2 = |ω| 2 i, per tant, el desenvolupament
en sèrie de l’exponencial (4.6) només donarà un terme proporcional a la unitat i un terme
proporcional a ωγγ 0 . És a dir, per a un “boost” pur podrem escriure
92
S = e 1 2 ω·γγ0
= A 0 −A ·γγ 0 ≡ A/γ 0 ,

El camp de Dirac
on A 0 i A són coeficients reals (ja que ω és real) a determinar utilitzant les equacions (4.12) i
(4.13). Així utilitzant (4.12) trobem
multiplicant per γ μ i prenent la traça obtenim
o en components
mSγ 0 = p/S ⇒ mA/ = p/A/γ 0 ,
(m+E)A μ = g 0μ (pA)+A 0 p μ ,
mA 0 = pA, A = A0
m+E p.
Aquest sistema d’equacions és homogeni i no ens permet determinar completament la solució.
Per resoldre’l completament necessitem utilitzar la segona equació en (4.13)
i per tant
i
Les solucions seran, llavors
γ 0 S † γ 0 S = 1 ⇒ γ 0 γ 0 A/γ 0 A/γ 0 = γ 0 A/A/γ 0 = A 2 = 1,
S =
u(p) =
A 0 =
E + m
2m
1
2m(E + m) (p/γ 0 + m). (4.14)
1
2m(E + m) (p/+m)u(0), (4.15)
on hem utilitzat que les solucions de l’equació de Dirac per a partícules en repòs satisfan que
γ 0 u(0) = u(0). La solució (4.15) clarament satisfà l’equació de Dirac per a spinors u(p) ja que
(p/ − m)(p/+m) = 0. Ara bé, si en compte de posar u(0) posem qualsevol altre spinor en (4.15),
per l’argument anterior, l’spinor u(p) seguirà sent solució de l’equació de Dirac encara que la
normalització ja no serà en general la correcta, ū(p)u(p) = 2m, i la interpretació en termes de
la solució per a la partícula en repòs es perd. És important remarcar que la forma de la solució
obtinguda és completament independent de la representació utilitzada per a les matrius γ μ . Si
triem la representació de Weyl (i les u(0) en (4.11)) tindrem
u(p) =
Si ara tenim en compte que
1
ξ 1 (E −p ·σ + m)ξ
(p/+m) = .
2(E + m) ξ 2(E + m) (E +p ·σ + m)ξ
(E ±p ·σ + m) 2 = (E + m) 2 +p 2 ± 2(E + m)p ·σ = 2(E + m)(E ±p ·σ).
93

Arcadi Santamaria
formalment podem escriure
E ±p ·σ + m
2(E + m) = E ±p ·σ ,
on s’entén sempre l’arrel quadrada amb signe positiu (en cas de dubte sempre podem tornar a
l’expressió de l’esquerra). Aquestes fórmules es poden simplificar més encara si introduïm la
notació
σ μ = (I,σ) ˆσ μ = (I,−σ) = σ 2 σ μ∗ σ 2 .
Així
u(p) =
√
p · σξ
.
p · ˆσξ
Una base completa de dos spinors de tipus u(p) podria ser, per tant
que satisfan
u(p,s) =
√ p · σξ (s)
p · ˆσξ (s)
, ,s = ±, ξ (s)† ξ (r) = δsr , (4.16)
ū(p,r)u(p,s) = 2mδrs, u † (p,r)u(p,s) = 2Eδrs.
Els spinors de dues componets ξ (s) es podrien triar com la base canònica
ξ (+)
1
= , ξ
0
(−)
0
= ,
1
de forma que, quan la partícula està en repòs, representen les dues components del spin quantitzat
en la direcció de l’eix z. Més generalment podríem quantitzar el spin en una direcció
arbitrària donada pel trivector normalitzat n0, |n0| = 1, de forma que els spinors ξ (s) siguen
propis de σ ·n0,
σ ·n0 ξ (±) = ±ξ (±) , ξ (s)† ξ (r) = δsr , s = ±. (4.17)
Així la base canònica serà només un cas particular quan n0 = (0,0,1) està en la direcció de
l’eix z. És freqüent triar la fase relativa entre els dos spinors de forma que 5
ξ (−) = −iσ2ξ (+)∗ . (4.18)
Amb aquesta convenció si ξ (+)
1
= , llavors ξ
0
(−)
0
= .
1
El projector sobre spinors u(p,s) (en la representació de Weyl) vindrà donat per (ja que
u(p,s)ū(p,s)u(p,s ′ ) = 2mδ ss ′u(p,s))
94
u(p,s)ū(p,s) = Su(0,s)ū(0,s)S −1 = mS
5 Notem que aquesta convenció implica ξ (+) = +iσ2ξ (−)∗ .
ξ (s)
ξ (s)
ξ (s)† ,ξ (s)†
γ 0 S −1

ξ (s) ξ (s)† 0
= mS
0 ξ (s) ξ (s)†
I I
I I
S −1 .
El camp de Dirac
Si els spinors de dues components ξ (s) satisfan (4.17), ξ (s) ξ (s)† no és més que el projector
sobre spinors de dues components de spin s
ξ (s) ξ (s)† = 1
2 (I + sσ ·n0) .
Així
u(p,s)ū(p,s) = m 1
2 S
1+sΣ ·n0 (γ 0 + 1)S −1 , (4.19)
on hem introduit la matriu de quatre components (tant en la representació de Dirac com en la
de Weyl)
Σ
σ
=
0
0
=
σ
σ 23 ,σ 31 ,σ 12 = γ5γ 0γ , (4.20)
i hem utilitzat que (en la representació de Weyl)
I I
I I
= γ 0 + 1.
L’equació (4.19) és pot escriure d’una forma més covariant
u(p,s)ū(p,s) = m 1
2 S(1+sγ5n/0)(γ 0 + 1)S −1 , (4.21)
si tenim en compte queΣ(γ 0 + 1) = −γ5γ(γ 0 + 1) i definim el quadrivector
n0 ≡ (0,n).
Finalment podem utilitzar les equacions (4.12) i (4.13) per eliminar S,
u(p,s)ū(p,s) = 1
2 (1+sγ5n/)(p/+m), (4.22)
on hem definit com a n el quadrivector transformat de n0 pel “boost”
n/ ≡ Sn/0S −1
Clarament la suma sobre spins és
n 2 = −1, np = 0.
∑ u(p,s)ū(p,s) = p/+m, (4.23)
s=±
De forma semblant a com hem construït els spinors u(p,s) podem construir els spinors
v(p,s) que satisfan (p/+m)v(p,s) = 0.
v(p,s) = Sv(0,s), v(0,s) = √
−η (s)
m
η (s)
95

Arcadi Santamaria
amb η (s) una altra base de spinors de dues components.
Si ara apliquem el “boost” i tenim en compte que γ 0 v(0,s) = −v(0,s)
v(p,s) = Sv(p,0) =
1
−η (s)
(−p/+m)
2(E + m) η (s)
=
− √ p · ση (s)
p · ˆση (s)
, (4.24)
La base de spinors de dues components η (s) és, en principi independent de la base ξ (s) i la
podem triar a la nostra conveniència. Per algunes aplicacions 6 , però, es útil poder relacionar
directament els dos tipus de spinors. Llavors utilitzarem parelles de spinors que satisfan
η (±) = −iσ2ξ (±)∗ . (4.25)
Utilitzant que σ2σ ∗ σ2 = −σ podem demostrar que si els spinors ξ (s) són propis de spin, n0 ·
σξ (±) = ±ξ (±) . llavors tindrem que
n0 ·ση (±) = ∓η (±) ,
és a dir, els spinors η (±) tenen el spin canviat respecte els spinors ξ (±) . Això és natural dins la
interpretació de la teoria dels forats. A més, com veurem quan quantitzem el camp de Dirac,
aquesta convenció ens garanteix que els spinors v(p,±) van associats a estats d’antipartícula
amb tercera component de spin ± en la dirección0 quan la partícula està en repòs. Si damunt
triem la convenció de fases (4.18) per als spinors ξ (±) tindrem que
Els spinors v(p,s) estan normalitzats d’acord a
¯v(p,r)v(p,s) = −2mδrs
η (±) = ±ξ (∓) . (4.26)
v † (p,r)v(p,s) = 2Eδrs.
a més a més són ortogonals als spinors u(p,s) en el sentit que
ū(p,r)v(p,s) = ¯v(p,r)u(p,s) = 0.
Utilitzant el mateix mètode que vam utilitzar en el cas de spinors de partícula podem calcular
el projector sobre spinors v(p,s),
v(p,s) ¯v(p,s) = m 1
2 S
1 − sΣ ·n0 (γ 0 − 1)S −1 ,
Igualment obtenim
96
= 1
2 (1+sγ5n/)(p/ − m). (4.27)
∑ v(p,s) ¯v(p,s) = p/ − m.
s=±
6 Per exemple, quan discutim simetries que relacionen partícules i antipartícules.

El camp de Dirac
Volem fer notar que hi ha una altra forma de construir els spinors v(p,s). En efecte, podem
comprovar que existeix una matriu de Dirac, C ≡ iγ 2 γ 0 , tal que
Cγ μ C −1 = −γ μT , C T = C † = C −1 = −C (4.28)
on T representa la matriu de Dirac transposada 7 . Aleshores, és fàcil veure que si u(p) és solució
de l’equació de Dirac (p/ − m)u(p) = 0, llavors v(p) ≡ Cu(p) T satisfà l’equació de Dirac per a
spinors de tipus v:
(p/ − m)u(p) = 0 ⇒ u(p)(p/ − m) = 0 ⇒ (p/ T − m)u(p) T = 0
(p/ − m)u(p) = 0 ⇒ C(p/ T − m)CCu(p) T = 0 ⇒ (p/+m)v(p) = 0.
Les convencions de fase que hem adoptat en (4.25) just garanteixen que
v(p,±) = Cu(p,±) T , u(p,±) = Cv(p,±) T . (4.29)
La matriu de Dirac C que connecta spinors de partícula amb spinors d’antipartícula ens permetrà
construir una simetria discreta que relaciona partícules amb antipartícules i s’anomena
conjugació de càrrega.
A partir de les sumes sobre spins podem definir els projectors normalitzats
Λ+ ≡ 1
2m ∑ u(p,s)ū(p,s) =
s=±
p/+m
2m ,
Λ− ≡ − 1
2m ∑ v(p,s) ¯v(p,s) =
s=±
−p/+m
, (4.30)
2m
que satisfan (Λ+) 2 = Λ+, (Λ−) 2 = Λ− i Λ+Λ− = Λ−Λ+ = 0. Les matrius Λ+, Λ− són projectors
que projecten sobre els spinors de tipus u o sobre els de tipus v respectivament. Com a tals
satisfan una relació de completitud
Igualment podem definir els projectors de spin
Λ+ + Λ− = 1.
Ps(n) ≡ 1
2 (1+sγ5n/) , s = ±
que satisfan PsP s ′ = δ ss ′Ps, P+ + P− = 1 i que a més commuten amb Λ±, PsΛ± = Λ±Ps. Així
Ps(n)Λ+ projecta sobre spinors u(p,s), mentre Ps(n)Λ− projecta sobre spinors v(p,s).
7 Notem que aquestes propietats es satisfaran en qualsevol representació de les matrius de Dirac tals que γ 0T =
γ 0 , γ 1T = −γ 1 , γ 2T = γ 2 , γ 3T = −γ 3 , entre les que estan la representació de Dirac i la de Weyl.
97

Arcadi Santamaria
4.4.1 Spinors d’helicitat
Hi ha una elecció de n0 que és particularment convenient per a caracteritzar el spin de les
partícules ja que no necessita la introducció de cap direcció addicional a les ja presents en el
problema. En efecte, si triemn0 = p/|p| ≡ ˆp és immediat comprovar que els spinors 8 u(p,λ),
v(p,λ) (en la base d’helicitat) són propis de l’operador d’helicitat
ˆp ·Σu(p,±) = ±u(p,±), ˆp ·Σv(p,±) = ∓v(p,±), (4.31)
ja que ˆp ·σξ (λ) = λ|p|ξ (λ) i ˆp ·ση (λ) = λ|p|η (λ) . Això és perque, com és fàcil de comprovar
utilitzant la forma explicita del “boost” (4.14),
S ˆp ·Σ = ˆp ·ΣS,
i llavors si els spinors són propis de ˆp ·Σ en repòs, també ho seran després del “boost” en
la direcció de ˆp. Tornant a l’expressió (4.19) i utilitzant aquesta propietat podem escriure el
projector sobre estats u(p,λ) com
u(p,λ)ū(p,λ) = 1
1+λ ˆp ·Σ (p/+m). (4.32)
2
Igualment de (4.27) obtenim (notem el canvi de signe)
Ara podem definir els projectors d’helicitat
que satisfan les següents propietats
v(p,λ)¯v(p,λ) = 1
1 − λ ˆp ·Σ (p/ − m). (4.33)
2
Π± ≡ 1
1 ± ˆp ·Σ , (4.34)
2
(Π±) 2 = Π±, Π±Π∓ = 0, Π+ + Π− = 1.
A més, com és fàcil comprovar, commuten amb els projectors Λ±.
[Λ+,Π±] = [Λ−,Π±] = 0.
així tenim els següents projectors sobre partícules-antipartícules amb helicitat ±.
Π+Λ+ −→ u(p,+), Π−Λ+ −→ u(p,−)
Π+Λ− −→ v(p,−), Π−Λ− −→ v(p,+)
Insistim una vegada més en la notació que utilitzem per als spinors d’antipartícula: v(p,±)
representarà una antipartícula amb helicitat ±, i per a projectar sobre aquests spinors haurem
8 És costum utilitzar l’etiqueta λ = ± per a diferenciar els spinors quan es tria la base d’helicitat. Nosaltres
seguirem amb aquest costum.
98

El camp de Dirac
d’utilitzar els projectors “canviats” de signe Π∓. Obviament també podem utilitzar els projectors
de spin P±(n) = 1 2 (1 ± γ5n/) per a l’helicitat si triem com a n el quadrivector transformat de
ˆp per el “boost”. Notem que encara que S commuta amb ˆpΣ, no commuta amb ˆpγ. En efecte,
n/ ≡ −S ˆp ·γS −1 = |p|
m γ0 − E
m ˆp ·γ ,=⇒ nμ = ( |p|
m
, E
m ˆp).
Els quatre spinors d’helicitat, en la representació de Weyl per a les matrius de Dirac i amb
la convenció de fases (4.26), són9
E − |p|ξ (+)
u(p,+) =
E + |p|ξ (−)
E + |p|ξ (+) , u(p,−) =
E − |p|ξ (−) ,
v(p,+) =
− E + |p|ξ (−)
E − |p|ξ (−)
E − |p|ξ (+)
, v(p,−) =
− E + |p|ξ (+)
.
Aquests spinors se simplifiquen considerablement en el límit ultrarelativista (quan E ≫ m). En
aquest aquest límit tenim que |p| ≈ E) i llavors
u(p,+) E≫m
−→ −v(p,−) E≫m
−→ √
0
2E
ξ (+)
,
u(p,−) E≫m
−→ −v(p,+) E≫m
−→ √
ξ (−)
2E
0
En aquest límit el conjunt linealment independent de quatre spinors col·lapsa a només dos
spinors que són propis de γ5 (amb autovalors ± per a les helicitats ±). Això no és estrany ja
que, al cap i a la fi, el límit ultrarelativista coincideix amb el límit m → 0 i en aquest límit
l’equació que satisfan els spinors u(p,λ) i v(p,λ) és la mateixa. De fet per a m → 0 l’equació
de Dirac és senzillament p/ω(p) = 0. Si utilitzem la definició deΣ = γ5γ 0 γ i l’equació de Dirac
per a massa zero en components γ ·pω(p) = Eγ 0 ω(p), amb E = |p|, immediatament trobem
que
ˆp ·Σω(p) = 1
|p| γ5γ 0 γ ·pω(p) = γ5ω(p),
és a dir, en el límit m → 0 l’helicitat ve donada senzillament per la matriu de Dirac γ5, anomenada
quiralitat, i, per tant, els projectors d’helicitat coincideixen amb els de quiralitat, PL =
1 2 (1 − γ5) i PR = 1 2 (1+γ5) quan actuen sobre estats que són solució de l’equació de Dirac amb
massa zero,
Π±ω(p) → 1
2 (1 ± γ5)ω(p) ,si p/ω(p) = 0 (4.35)
com hem comprovat explícitament utilitzant els spinors en la representació de Weyl on PL
projecta sobre les components de dalt i PR sobre les de baix.
9 Hem utilitzat que pσξ (±) = ±|p|ξ (±) .
.
99

Arcadi Santamaria
La forma concreta dels spinors u(p,s) depèn de la representació utilitzada per a les matrius
de Dirac, però molts dels resultats obtinguts són independents de la forma de les matrius de
Dirac. En efecte, d’una representació a una altra es passa multiplicat per una matriu unitària
γ μ → Uγ μ U † , U † U = UU † = 1
ja que aquesta operació manté la forma de les propitats d’anticommutació i hermiticitat que
defineixen les matrius γ μ . Si volem que la forma de l’equació de Dirac es mantinga sota
aquestes transformacions tindrem que
u(p,s) → Uu(p,s), v(p,s) → Uv(p,s)
així és immediat veure que les següents propietats dels spinors són independents de la representació
utilitzada per a les matrius de Dirac (encara que poden canviar si es trien les normalitzacions
de forma diferent), són vàlides tant per a la base de spin com la d’helicitat i són
independents de les convencions de fases triades per als spinors
(p/ − m)u(p,s) = 0 (p/+m)v(p,s) = 0
ū(p,r)u(p,s) = 2mδrs
¯v(p,r)v(p,s) = −2mδrs
u † (p,r)u(p,s) = 2Eδrs.
v † (p,r)v(p,s) = 2Eδrs.
ū(p,r)v(p,s) = ¯v(p,r)u(p,s) = 0, u † (p,r)v(−p,s) = v † (−p,r)u(p,s) = 0 (4.36)
∑ u(p,s)ū(p,s) = p/+m, ∑ v(p,s) ¯v(p,s) = p/ − m. (4.37)
s=±
s=±
La segona propietat de la quarta línia es pot comprovar immediatament utilitzant els spinors
en (4.16) i (4.24) i serà útil més endavant. Igualment podem comprovar que la forma dels
projectors sobre spin definit són també independents de la reprentació.
Per construir els spinors en una altra representació és prou trobar la matriu U que canvie de
representació, per exemple es fàcil comprovar que per a passar de la respresentació de Weyl a
la de Dirac es pot utilitzar la matriu 4 × 4
i per tant
100
U = 1
√ 2
1 1
−1 1
uDirac(p,s) = UuWeyl(p,s) =
γ μ
†
Dirac = Uγμ
WeylU
1 (E + m)ξ (s)
(E + m) p ·σξ (s)

mentre
vDirac(p,s) = UvWeyl(p,s) =
1 p ·ση (s)
(E + m) (E + m)η (s)
.
El camp de Dirac
És clar que en el límit no relativista, p =0, els spinors u en la representació de Dirac només
tenen la component superior mentre els spinors v només tenen la component de baix. Per tant,
aquesta representació és més convenient per estudiar el límit no relativista.
4.5 Quantització del camp de Dirac: regles d’anticommutació
i causalitat
Amb tot el que hem fet podem escriure la solució més general de l’equació de Dirac de la forma
ψ(x) = ∑ s
d 3 p
(2π) 3 2Ep
a(p,s)u(p,s)e −ip·x + b † (p,s)v(p,s)e ip·x
, (4.38)
on, en principi, a(p,s) i b † (p,s) són coeficients arbitraris si s’entén ψ(x) com un camp clàssic.
Per quantitzar el camp només hem de reinterpretar el camp com un operador i, llavors, haurem
de reinterpretar els coeficients a(p,s) i b † (p,s) com operadors. Sabem, de la discussió de la
secció Section 4.1 i perquè la experiència ens ho diu, que els camps d’spin 1 2
han de satisfer
regles d’anticommutació per poder representar correctament fermions. Immediatament veurem
que, amb la notació que hem introduït, la quantització del camp de Dirac només té sentit (energies
positives i manteniment de les propietats de causalitat) si interpretem els operadors a(p,s)
i b † (p,s) com operadors de destrucció i creació que satisfan regles d’anticommutació. Aquest
és un dels èxits més importants de la teoria quàntica de camps conegut com “teorema de connexió
spin-estadística” i que per primera vegada dóna un argument teòric per al fet experimental
que partícules d’spin enter obeeixen l’estadística de Bose, mentre partícules de spin semi-enter
obeeixen l’estadística de Fermi. Anem a veure-ho en el cas de camps de Dirac.
De moment intentarem construir totes les quantitats rellevants sense suposar cap àlgebra
particular sobre els operadors a(p,s) i b † (p,s). El punt de partida serà el Lagrangià de Dirac
L (x) = ¯ψ(x)(i∂/ − m)ψ(x)
que com hem vist és invariant sota translacions de l’origen de coordenades x → x ′ = x +
a,ψ(x) → ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) transformacions de Lorentz x → x ′ = Λx, ψ(x) → ψ ′ (x ′ ) = S(Λ)ψ(x),
i transformacions de fase ψ(x) → ψ ′ (x) = eiqαψ(x). Utilitzant en teorema de Noether aquestes
invariàncies ens duran a la conservació del quadrimoment, el moment angular i la càrrega.
Anem a veure la forma explícita dels diferents operadors utilitzant el teorema de Noether però
ho farem de forma que no canviem l’ordre dels camps ψ(x) ja que com hem dit no suposarem
d’entrada si aquests commuten o anticommuten. Sota una transformació arbitrària infinitesimal
i independent dels camps, ψ(x) → ψ(x)+δψ(x), ¯ψ(x) → ¯ψ(x)+δ ¯ψ(x), tenim que
δL (x) = δ ¯ψ(x) i −→
∂/ − m ψ(x) + ¯ψ(x) i −→
∂/ − m δψ(x)
101

Arcadi Santamaria
= δ ¯ψ(x) i −→
∂/ − m ψ(x) + ¯ψ(x) −i ←−
∂/ − m δψ(x)
+i ¯ψ(x) −→ ∂/ δψ(x)+i ¯ψ(x) ←− ∂/ δψ(x) = i∂μ ( ¯ψ(x)γ μ δψ(x))
on hem utilitzat que els camps ψ(x) i ¯ψ(x) satisfan les equacions de moviment. Les fletxes
sobre ∂/ indiquen si la derivada actua sobre el camp a l’esquerra o la dreta. Així per exemple
¯ψ(x) ←− ∂/ ≡ ∂μ( ¯ψ(x))γ μ ψ(x).
En general vam veure que si l’acció és invariant sota una transformació dels camps i coordenades
δL = ∂μw μ . i per tant existeix un corrent conservat
4.5.1 Invariància sota transformacions de fase
∂μ (i ¯ψ(x)γ μ δψ(x) − w μ ) = 0 (4.39)
ψ ′ (x) = e iqα ψ(x) ≈ ψ(x) + iqαψ(x) . Llavors δψ = iqαψ. D’altra banda el Lagrangià és
invariant sota aquestes transformacions, així
0 = −α∂μ (q ¯ψ(x)γ μ ψ(x))
i per tant jμ = q ¯ψ(x)γ μψ(x) satisfà ∂μ jμ = 0 i com a conseqüència la integral sobre tot
l’espai de la component zero ens dóna l’operador càrrega
Q = q d 3
x ψ †
(x)ψ(x)
4.5.2 Invariància sota translacions
ψ ′ (x+a) = ψ(x) i per tant ψ ′ (x) = ψ(x−a) ≈ ψ(x)−a ν ∂νψ(x) = ψ(x)+δψ. Llavors δψ =
−a ν ∂νψ. D’altra banda el Lagrangià també és un escalar sota aquestes transformacions i per
tant δL = −a μ ∂μL . En aquest cas immediatament trobem que
0 = ∂μ (−a ν i ¯ψ(x)γ μ ∂νψ(x)+a μ L ) = −a ν
∂μ i ¯ψ(x)γ μ
∂νψ(x) − g μ νL
i per tant el tensor energia impuls T μ ν = i ¯ψ(x)γ μ∂νψ(x) − g μ ν L satisfà ∂μT μ ν = 0 i com a
conseqüència la integral sobre tot l’espai de la component zero ens dóna el operador quadrimoment
P μ
= d 3 x i ¯ψ(x)γ 0 ∂ μ ψ(x) − g 0μ L
en particular els operadors energia i moment són
H = d 3 x i ¯ψ(x)γ 0 ˙ψ(x) −L
= d 3
x ¯ψ(x) −iγ ·
∇+m ψ(x) =
102
d 3 xψ † (x)i ˙ψ(x)

P = −
d 3 xψ † (x)i ∇ψ(x).
El camp de Dirac
Notem que en la primera equació H representa l’operador energia i no el Hamiltonià en el
sentit canònic. És per això que en la darrera equació hem utilitzat les equacions de moviment
per simplificar la forma d’aquest operador.
4.5.3 Invariància sota transformacions de Lorentz
ψ ′ (Λx) = S(Λ)ψ(x) i per tant
Llavors
ψ ′ (x) = S(Λ)ψ(Λ −1 x) ≈
1 − i
μν
ωμνσ ψ(xμ − ωμνx
4 ν ) ≈
≈ ψ(x) − i
4 ωμνσ μν ψ(x) − ωμνx ν ∂ μ ψ(x) = ψ(x)+δψ
δψ(x) = − 1
2 ωσρ
i
2 σ σρ + x ρ ∂ σ − x σ ∂ ρ
ψ(x)
on hem utilitzat l’antisimetria dels paràmetres de la transformació de Lorentz ωμν per escriure
el darrer terme d’una forma explícitament antisimètrica. D’altra banda el Lagrangià és un
escalar sota transformacions de Lorentz i per tant
δL (x) = −ωμνx ν ∂ μ μσ
L = −∂μ g ωσρx ρ L
Inserint aquests resultats en (4.39) immediatament trobem que
0 = 1
2 ωσρ∂μ
i ¯ψ(x)γ μ
i
2 σ σρ + x ρ ∂ σ − x σ ∂ ρ
ψ(x) −(g μσ x ρ − g μρ x σ
)L
i per tant el tensor M μσρ = −i ¯ψ(x)γ μ i
2σ σρ + xρ∂ σ − xσ ∂ ρ ψ(x) + (gμσ xρ − gμρ xσ )L
satisfà ∂μM μσρ = 0 i com a conseqüència la integral sobre tot l’espai de la component zero
ens donarà una tensor conservat Mσρ = d3xM 0σρ
M σρ
= d 3
x −i ¯ψ(x)γ 0
i
2 σ σρ + x ρ ∂ σ − x σ ∂ ρ
ψ(x)+ g 0σ x ρ − g 0ρ x σ
L
si ara definim J = M23 ,M 31 ,M 12 immediatament trobem que el darrer terme no contribueix
i que
J = d 3
x ψ †
1
(x)
2 Σ+x
× −i
∇
ψ(x)
En el límit no relativista el darrer terme dóna la contribució del moment angular orbital mentre
el primer terme donaria la contribució de l’spin al moment angular total. En el cas relativista
aquesta separació ja no és tan clara.
103

Arcadi Santamaria
Una vegada tenim la forma dels operadors més importants podem passar a veure quina
forma tenen en termes dels operadors a(p,s) i b † (p,s) . Començarem pel Hamiltonià entès com
operador energia i no com Hamiltonià canònic, llavors podem utilitzar la forma simplificada
H =
d 3 d
x
3p d3p ′
d 3 xψ † (x)i ˙ψ(x) = ∑ ss ′
(2π) 3 2Ep
(2π) 3 Ep
2Ep ′
a † (p ′ ,s ′ )a(p,s)u † (p ′ ,s ′ )u(p,s)e i(p′ −p)·x − b(p ′ ,s ′ )b † (p,s)v † (p ′ ,s ′ )v(p,s)e −i(p ′ −p)·x
b(p ′ ,s ′ )a(p,s)v † (p ′ ,s ′ )u(p,s)e i(p′ +p)·x − a † (p ′ ,s ′ )b † (p,s)u † (p ′ ,s ′ )v(p,s)e −i(p ′ +p)·x
En la tercera línia podem integrar enx i obtindrem una δ (3) (p+p ′ ) el que vol dir que p ′ = −p
així en la darrera línia sempre ens apareixeran productes de la forma v † (−p,s ′ )u(p,s) = 0 per la
propietat (4.36) dels spinors. Igualment per al darrer terme de la tercera línia. En la segona línia
en canvi tindrem p ′ =p i utilitzant les propietats de normalització dels spinors immediatament
trobem que
d3p (2π) 3
Ep a
2Ep
† (p,s)a(p,s) − b(p,s)b †
(p,s)
H = ∑ s
On de moment no hem fet cap hipòtesi sobre els operadors a(p,s) i b(p,s). Ara bé, si interpretem
els operadors b(p,s) i b † (p,s) com operadors de creació i destrucció que satisfan
les relacions de commutació dels operadors de creació i destrucció bosònics immediatament
trobem que, a banda d’una constant arbitraria, podem fer l’energia tant negativa com vulguem
i el hamiltonià no està fitat per baix, en contradicció amb un dels postulats fonamentals de la
mecànica quàntica. La solució ve de la discussió que hem fet a la secció Section 4.1. L’àlgebra
d’operadors de creació i destrucció es pot realitzar amb commutadors i també amb anticommutadors,
si triem realitzar-la amb anticommutadors automàticament generem un signe menys
que fa que el hamiltonià siga definit positiu. Així triarem
a(p,s),a † (p ′ ,s ′
) = (2π) 3 2Epδsrδ (3) (p −p ′ ),
b(p,s),b † (p ′ ,s ′
) = (2π) 3 2Epδsrδ (3) (p −p ′ ),
{a(p,s),a(p,s)} = b(p,s),b(p ′ ,s ′ )
= a(p,s),b † (p ′ ,s ′
) = 0
d’aquesta forma el hamiltonià, a banda d’una constant infinita que hem eliminat definint el buit
com l’estat d’energia nul·la, s’escriu com (en el que segueix, i per alleugerir la notació, no
escriurem els operadors entre dos punts per indicar que estan N-ordenats10 )
d3p (2π) 3
Ep a
2Ep
† (p,s)a(p,s)+b †
(p,s)b(p,s)
H = ∑ s
10 És interessant notar, però, que el terme que eliminem per N-ordenació en cas de camps fermionic, a diferència
del cas bosònic, és negatiu. A més hi ha un factor 2 perquè tenim la contribució dels dos spins del fermió. Això
vol dir que si tenim una teoria amb un camp de Dirac i dos camps reals amb exactament la mateixa massa la
contribució neta a l’energia del buit es cancel·la exactament. Aquesta propietat ha conduit al desenvolupament
104

El camp de Dirac
que és definit positiu i té la forma general que ha de tenir qualsevol hamiltonià, és a dir la suma
de les energies de partícules i antipartícules. És trivial comprovar que
H,a †
(p,s) = Epa † (p,s),
H,b †
(p,s) = Epb † (p,s)
i així tant l’operador a † (p,s) com b † (p,s) creen estats d’energia Ep a partir del buit
Ha † (p,s)|0〉 = Epa † (p,s)|0〉, Hb † (p,s)|0〉 = Epb † (p,s)|0〉
Vegem que passa amb la resta dels operadors.
Per al moment un càlcul semblant al que hem fet ens du a que
P =
d 3 xψ †
(x) −i
∇ ψ(x) = ∑
s
d 3 p
(2π) 3 2Ep
p a † (p,s)a(p,s) − b(p,s)b †
(p,s)
on altra vegada necessitem que els operadors anticommuten per obtenir la interpretació correcta
així finalment escriurem
P = ∑ s
d 3 p
(2π) 3 2Ep
Com hem fet amb l’energia es fàcil veure que
Pa † (p,s)|0〉 = pa † (p,s)|0〉,
p a † (p,s)a(p,s)+b †
(p,s)b(p,s)
i així tant a † (p,s) com b † (p,s) creen estats de moment p.
Si ara fem el mateix amb l’operador càrrega obtenim
Q = q
d 3 xψ † (x)ψ(x) = q∑ s
d 3 p
(2π) 3 2Ep
Pb † (p,s)|0〉 = pb † (p,s)|0〉
a † (p,s)a(p,s)+b(p,s)b †
(p,s)
altra vegada la propietat d’anticommutació ens permet escriure, a banda d’una constant
i
Q = q∑ s
d 3 p
(2π) 3 2Ep
a † (p,s)a(p,s) − b †
(p,s)b(p,s)
Qa † (p,s)|0〉 = qa † (p,s)|0〉, Qb † (p,s)|0〉 = −qb † (p,s)|0〉
de noves teories amb simetries que relacionen escalars i fermions, anomenades supersimetries, i que han obert
l’esperança d’entendre el problema de l’energia del buit. Malauradament les supersimetries no poden ser exactes
(no veiem parells d’escalars i fermions amb exactament la mateixa massa) i de moment no s’han pogut utilitzar
amb èxit per resoldre aquest problema. Així i tot, és molt possible que juguen un paper rellevant en l’enteniment
de les interaccions entre partícules a molt altes energies.
105

Arcadi Santamaria
és a dir l’operador a † (p,s) crea estats de càrrega q mentre b † (p,s) crea estats de càrrega −q.
És interessant veure com aquest operador que és conseqüència de la invariància sota transformacions
de fase, adquireix el seu significat com a operador càrrega només quan els operadors
anticommuten.
Queda per veure que passa amb l’operador moment angular. L’àlgebra del moment angular
no és tan senzilla com la del quadrimoment o la càrrega. La suma del moment angular de
vàries partícules no és senzillament la suma del moment angular de cadascuna d’elles. Això
fa que l’operador moment angular no es puga expressar de forma tan senzilla en termes dels
operadors de creació i destrucció. Ara be, per veure quin tipus d’estat de moment angular
creen els operadors de creació és suficient veure quan val Jz = J3 sobre un estat a † (p,s)|0〉 i
sobre un estat b † (p,s)|0〉. Per simplicitat triarem p = (0,0,|p|) de forma que en aquest cas
helicitat i spin són el mateix. Llavors la tercera component del moment angular només tindrà
contribucions de la part de spin. Així tindrem que
Jza † (p,s)|0〉 = 1
2
Ara utilitzarem que
ψ(x),a †
(p,s) = u(p,s)e −ip·x
ψ(x),b †
(p,s) = 0
d 3 xψ † (x)Σzψ(x)a † (p,s)|0〉
ψ † (x),a †
(p,s) = 0
ψ † (x),b †
(p,s) = v † (ps)e −ip·x
per calcular el commutador d’un operador de la forma O = d 3 xψ † (x)Oψ(x), on O és una
expressió escrita en termes de matrius de Dirac, derivades etcètera., però no conté els operadors
a † (p,s) i b † (p,s). Així trobem que
O,a †
(p,s) =
O,b †
(p,s) =
d 3 xψ †
(x)O ψ(x),a †
(p,s) − ψ † (x),a †
(p,s) Oψ(x) =
= d 3 xψ † (x)Ou(p,s)e −ip·x
d 3 xψ †
(x)O ψ(x),b †
(p,s) − ψ † (x),b †
(p,s) Oψ(x) =
= −
(4.40)
d 3 xe −ip·x v † (ps)Oψ(x) (4.41)
Així en el cas que estem considerant, O = Jz i O = 1 2 Σz − i(x∂y − y∂z) així
106
Jz,a †
(p,s) =
d 3 xψ †
1
(x)
2 Σz
− i(x∂y − y∂x) u(p,s)e −ip·x

El camp de Dirac
si triem, com hem dit p en la direcció de l’eix z, l’exponencial només depèn de z i la part
de moment angular no contribueix, com era d’esperar. Per a calcular la part d’spin podem
desenvolupar el camp ψ † (x) i integrar enx, així obtenim
∑ s ′
1
2Ep
Jz,a †
(p,s)
u † (ps ′ )a † (p,s ′ )+e −i2Ept
† ′ † ′
v (−p,s )b (−p,s )
1
2 Σz
u(p,s)
= ∑ s ′
1
4Ep
=
u † (ps ′ )Σzu(p,s)a † (p,s ′ ) = s 1
2 a† (p,s)
on hem utilitzat les propietats d’ortogonalitat dels spinors per eliminar el segon terme de la
segona línia, mentre en l’última equació hem utilitzat que si el moment va en la direcció de
l’eix z els spinors són propis de Σzu(p,s) = su(p,s) i la propietat de normalització dels spinors
u(p,s). Si ara fem el mateix per a l’operador b † (p,s) tenim
Jz,b †
(p,s) = −
−∑ s ′
1
2Ep
d 3 xe −ip·x v †
1
(ps)
2 Σz
− i(x∂y − y∂x) ψ(x) =
v †
1
(ps)
2 Σz
v(ps ′ )b † (p,s ′ )+e −i2Ept
′ ′
u(−p,s )a(−p,s )
= −∑ s ′
1
4Ep
v † (ps)Σzv(p,s ′ )b † (p,s) = s 1
2 b† (p,s)
on es pot veure que, en el cas que p està en la direcció de l’eix z, integrant per parts el
terme de moment angular orbital desapareix. D’altra banda és essencial l’elecció que hem
fet per els spinors v(p,s) amb els signe canviat per a l’helicitat de forma que en aquest cas
Σzv(p,s ′ ) = −s ′ v(p,s ′ ). Aquest signe menys compensa el signe menys que apareix (4.41) per
a antipartícules. En resum (per a p = (0,0,|p|)) tenim
i
Per tant concloem que
Jz,a †
(p,±) = ± 1
2 a† (p,±)
Jz,b †
(p,±) = ± 1
2 b† (p,±)
Jza † (p,±)|0〉 = ± 1
2 a† (p,±)|0〉 Jzb † (p,±)|0〉 = ± 1
2 b† (p,±)|0〉 .
a † (p,±)|0〉 ≡ |p,±,a〉 b † (p,±)|0〉 ≡ |p,±,ā〉
107

Arcadi Santamaria
és a dir a † (p,±) crea estats amb moment p, helicitats ±, i càrrega q. Mentre b † (p,±) crea
estats amb moment p, helicitats ±, i càrrega −q. Els estats estan normalitzats correctament de
forma que
〈p,s,a p ′ ,s ′ ,a = 2Ep(2π) 3 δ ss ′δ (3) (p −p ′ )
〈p,s,ā p ′ ,s ′ ,ā = 2Ep(2π) 3 δ ss ′δ (3) (p −p ′ )
〈p,s,a p ′ ,s ′ ,ā = 0
Si utilitzem aquests camps de Dirac per descriure electrons i positrons, i decidim que els
electrons són les partícules i els positrons les antipartícules (perfectament haguérem pogut
prendre la decisió contraria) tindrem que q = −1 i a † (p,±) crearà electrons amb moment p
i helicitats ±, mentre b † (p,±) crearà positrons amb moment p i helicitats ±.
D’altra banda, si U(Λ) és l’operador unitari que actuant sobre els estats genera la transfor-
mació de Lorentz
U(Λ)|p,s,a〉 =
−→
Λp,s,a
U(Λ)|p,s,ā〉 =
−→
Λp,s,ā ,
⇒ U(Λ)a † (p,s)U(Λ) −1 = a † ( −→ Λp,s) , U(Λ)b † (p,s)U(Λ) −1 = b † ( −→ Λp,s),
és fàcil comprovar que el camp es transforma com 11
U(Λ)ψ(x)U(Λ) −1 = S(Λ) −1 ψ(Λx),
on hem utilitzat que u( −−−→
Λ −1 ps) = S(Λ) −1u(p,s) i v( −−−→
Λ −1 ps) = S(Λ) −1v(p,s) Tota aquesta construcció explícita és consistent, però per portar-la a terme és necessari
resoldre la teoria completament. Seria important trobar una formulació del procés de quantització
que es poguera fer sense haver de recórrer a solucions explícites, una formulació com
la quantització canònica que hem desenvolupat per a camps bosònics. És evident però que
aquesta formulació ha d’involucrar necessàriament anticommutadors i no commutadors. Si
calculem el moment canònic conjugat del camp ψ(x) ignorant que els camps anticommuten
obtenim iψ † (x). Intuitivament esperem que siga l’anticommutador de ψ i iψ † a temps iguals
l’únic que no siga trivial. En efecte, utilitzant el desenvolupament del camp de Dirac que hem
obtingut fins ara, és fàcil veure que (hem escrit explícitament els índexs de Dirac dels camps )
ψa(x,t),ψ †
b (x′
,t) = δabδ (3) (x −x ′
), ψa(x,t),ψb(x ′ ,t) = 0 (4.42)
Aquest resultat, s’obtindria si iψ † (x), fóra el moment conjugat del camp ψ(x) i imposarem les
regles quantització canòniques però substituints commutadors per anticommutadors. Aquesta
re-interpretació dels resultats obtinguts és consistent: com hem vist el hamiltonià es pot expressar
exclusivament en termes de ψ(x) i ψ † (x) sense que aparega cap derivada respecte el temps
11 Notem que la transformació del camp sembla anar en direcció contraria a la que hem utilitzat fins ara ψ ′ (x) =
S(Λ)ψ(Λ −1 x). Açò és consequència de la definició de U(Λ) com l’operador que transforma un estat en p en un
estat en Λp. Són senzillament dues formes de veure les transformacions de Lorentz, bé actuant sobre els estats o
bé actuant sobre les coordenades.
108

El camp de Dirac
enlloc i, per tant, es pot interpretar com un hamiltonià canònic. A més, és fàcil de comprovar
que utilitzant aquest hamiltonià, les regles d’anticommutació en (4.42) i imposant les equacions
de moviment de Heisenberg per als camps −i ˙ψ =[H,ψ] redescobrim l’equació de Dirac (vegeu
el problema 4.1). Això vol dir que tot el que hem fet fins ara ho haguérem pogut fer postulant
aquestes regles d’anticommutació des del principi. Així i tot, la quantització canònica des del
principi en el cas de l’equació de Dirac té alguns problemes. En primer lloc, com hem discutit
abans, el lagrangià no conté derivades respecte el temps de ¯ψ i, per tant, el seu moment conjugat
s’anu·la idènticament. En segon lloc no està clar com definir els moments canònics conjugats
(o el pas de lagrangià a hamiltonià) en el cas de camps clàssics que anticommuten. Aquests
problemes, com hem vist, tenen solució i es pot definir un formalisme hamiltonià perfectament
consistent escrit en termes de la variable canònica ψ i el seu moment conjugat iψ † que satisfan
regles d’anticommutació. L’avantatge d’aquest procediment és que es pot aplicar fins i tot quan
no sabem resoldre les equacions de moviment. De fet, quan tinguem fermions amb interaccions
no sabrem resoldre analíticament les equacions de moviment. Llavors postularem les regles de
commutació que hem deduit per al cas lliure per definir la teoria quàntica.
4.5.4 El propagador fermiònic
A partir del desenvolupament del camp de Dirac en operadors de creació i anihilació i les regles
d’anticommutació d’aquests immediatament podem calcular l’anticommutador dels camps en
punts diferents
ψ(x), ¯ψ(x ′ ) = ∑ s
=
= (i∂/x + m)
d 3 p
(2π) 3 2Ep
d 3 p
(2π) 3 2Ep
d 3 p
(2π) 3 2Ep
u(p,s)ū(ps)e −ip·(x−x′ ) + v(p,s) ¯v(p,s)e ip·(x−x ′ )
(p/+m)e −ip·(x−x′ ) +(p/ − m)e ip·(x−x ′ )
e −ip·(x−x′ ) − e ip·(x−x ′ )
= (i∂/x + m)iΔ(x − x ′ )
on hem utilitzat les expressions per a la suma sobre spins dels spinors (4.37). La funció Δ(x−x ′ )
és exactament la mateixa funció que ens va aparèixer en el cas del camp escalar [φ(x),φ(x ′ )] =
iΔ(x − x ′ ) i que s’anul·lava per a intervals espacials (x − x ′ ) 2 < 0, llavors l’anticommutador
dels camps fermiònics també s’anul·larà per a separacions espacials i per tant la causalitat es
preservarà. Ara podríem discutir que haguera passat si haguérem intentat quantitzar el camp
de Dirac amb commutadors. Les expressions anteriors són similars però ara ens apareixeria
un signe més entre les dues exponencials que ve del fet que si utilitzem regles de commutació
tenim un signe menys en el commutador dels operadors de creació-destrucció perque venen en
l’ordre canviat 12 . El resultat és que el commutador de camps de Dirac separats espacialment
no s’anul·laria i la teoria no seria causal.
12 Aquest signe es podria evitar redefinint b → b † però en aquest cas l’operador b vindria amb l’evolució temporal
incorrecta en el desenvolupament del camp (operadors de dectrucció han d’anar amb e −ipx i operadors de
creació han d’anar amb e ipx per crear estats amb una evolució temporal de la forma e −iEt amb E > 0).
109

Arcadi Santamaria
Igual com hem calculat l’anticommutador de camps de Dirac i l’hem relacionat amb el
commutador de camps escalars, podem fer el mateix amb la resta de les funcions de Green
rellevants. Així per exemple a partir del propagador de Feynman d’escalars DF(x) podem
definir el propagador de Feynman de partícules d’spin 1 2
SF(x) ≡ (i∂/+m)DF(x) =
d 4 p
(2π) 4
i(p/+m)
p2 − m2 + iε e−ip·x
=
CF
d 4 p
(2π) 4
i
(p/ − m) e−ip·x
on CF és el circuit de Feynman descrit al captítol anterior (que bota el pol a energies negatives
per baix i a energies positives per dalt). És fàcil comprovar que SF(x) és una funció de Green
per a l’equació de Dirac
(i∂/ − m)SF(x) = − ∂ 2 + m 2 DF(x) = iδ (4) (x)
que també es pot comprovar utilitzant la representació integral donada abans. Aquestes expressions
es poden integrar en p 0 , utilitzant el teorema dels residus, per a t > 0 i t < 0 com vam fer
al capítol anterior i reescriure-les en termes de valors esperats dels camps, així trobem que
SF(x)ab = 〈0|(θ(t)ψa(x) ¯ψb(0) − θ(t) ¯ψb(0)ψa(x))|0〉 = 〈0|T (ψa(x) ¯ψb(0))|0〉
On hem definit el producte T -ordenat de camps fermiònics com
T (ψa(x) ¯ψb(y)) = θ(x 0 − y 0 )ψa(x) ¯ψb(y) − θ(y 0 − x 0 ) ¯ψb(y)ψa(x)
És important fer notar el signe menys que apareix entre els dos termes, a diferència del cas
dels bosons on teníem un signe mes. Aquest signe és conseqüència del caràcter fermiònic
dels camps. El propagador de Feynman serà la quantitat bàsica que utilitzarem en els següents
capítols per construir quantitats físiques interessants.
4.6 Simetries discretes
Fins ara només hem considerat transformacions de Lorentz continues que connecten amb la
identitat, és a dir el grup de Lorentz propi, ortocron L ↑ + . Ara bé, el producte escalar relativista
x2 = t2 − |x| 2 també és invariant sota transformacions de la formax → −x o t → −t conegudes
com paritat i inversió temporal, respectivament. Així el grup de Lorentz sencer es descomposa
en quatre subconjunts desconnectats, excepte per aquestes transformacions discretes. Al temps
que es discuteixen aquestes transformacions també és convenient estudiar una altra transformació
coneguda com conjugació de càrrega que transforma partícules en antipartícules. Encara
que la invariància relativista només demana invariància sota L ↑ + , és important estudiar que passa
amb aquestes transformacions discretes, en particular si són realment simetries de la naturalesa
o no i per això és necessari saber com es transformen els camps. Veurem que efectivament és
possible definir les propietats de transformació del camp de Dirac sota aquestes simetries de
forma que l’equació de Dirac siga invariant sota les tres simetries discretes. La situació quan
110

El camp de Dirac
afegim interaccions és diferent: les interaccions electromagnètiques i fortes conserven les tres
simetries, les febles, en canvi, violen C i P separadament i en alguns casos molt especials també
violen CP i T , en canvi no s’ha descobert fins ara cap interacció que viole el producte de les
tres simetries CPT .
És important recordar que per a les transformacions de Lorentz tenim tres tipus de representacions:
Λ que actua sobre les coordenades x ′μ = Λ μ ν x ν , S(Λ) que és una matriu de
Dirac necessaria per garantir les propietats de transformació correctes del camp transformat
ψ ′ (x ′ ) = S(Λ)ψ(x), i U(Λ) que és l’operador unitari que actua sobre l’espai de Hilbert dels
estats i sobre els camps, U(Λ)|p〉 = −→
Λp . Igualment per a les simetries discretes tindrem les
tres representacions, reservarem les lletres P i T per a les transformacions que actuen sobre
les coordenades, AP , AT i AC seran les matrius de Dirac necessàries per definir correctament
les transformacions dels camps, i U(P), U(T) i U(C) seran els operadors que actuen sobre els
estats de l’espai de Hilbert.
En el cas de simetries continues com Poincaré, que estan connectades amb la identitat (és a
dir podem parlar de transformacions infinitessimals), necessariament els operadors quantics de
la transformació han de ser unitaris. En el cas de simetries discretes, en canvi, les transformacions
es poden realitzar tant per operadors unitaris com per operadors antiunitaris (antilineals i
que conserven la norma dels estats). 13
4.6.1 Paritat
La transformació de paritat, P, canvia el sentit de les coordenades espacials, x = (x 0 ,x) →
˜x = (x 0 ,−x), i per tant ha de canviar també el sentit del moment lineal, p = (p 0 ,p) → ˜p =
(p 0 ,−p). En canvi no hauria de canviar el moment angular i l’spin ja queL =x ×p i per tant
un canvi del signe de la coordenada espacial i el moment deixa el moment angular invariant.
Alternativament, podem pensar en la paritat com l’operació de reflexió per un espill. És evident
que la reflexió per un espill d’un objecte que s’apropa girant en un sentit no canvia el sentit de
gir.
En el cas de la paritat és possible trobar un operador unitari U(P) † =U(P) −1 que transforme
estats amb moment p en estats amb moment −p i que no canvie el spin,
U(P)|ps,a〉 = η ∗ a |−p,s,a〉 , U(P)|ps,ā〉 = η∗ b |−p,s,ā〉 (4.43)
Com que en mecànica quàntica un estat està definit a banda d’una fase arbitrària hem inclòs
les possibles fases ηa i ηb en la transformació. Notem que en aquesta secció l’estat d’spin no
l’etiquetarem per la helicitat sinó per un estat d’spin definit en una direcció fixa arbitrària. Els
estats d’helicitat tenen propietats de transformació més complicades ja que l’operació de paritat
sí que canvia l’helicitat perque canvia el sentit del moment.
De les transformacions dels estats i suposant que el buit és invariant immediatament obtenim
com es transformen els operadors de creacció i destrucció
U(P)a † (p,s)U(P) −1 = η ∗ a a † (−p,s), U(P)b † (p,s)U(P) −1 = η ∗ b b† (−p,s),
13 Un operador A és antilineal si A(α |φ〉+β |ψ〉 = α ∗ A|φ〉+β ∗ A|ψ〉. A més un operador antilineal és antiu-
nitari si A † = A −1
111

Arcadi Santamaria
U(P)a(p,s)U(P) −1 = ηaa(−p,s), U(P)b(p,s)U(P) −1 = ηbb(−p,s),
on per escriure la segona equació hem utilitzat que U(P) † = U(P) −1 .
A partir de la propietat de transformació dels operadors de destrucció podem determinar les
propietats de transformació dels camps:
U(P)ψ(x)U(P) −1 = ∑ s
d 3 p
(2π) 3 2Ep
ηaa(−p,s)u(p,s)e −ip·x + η ∗ b b† (−p,s)v(p,s)e ip·x
si ara fem un canvi de variable en la integració, p → −p, i utilitzem que (per demostra-ho és
prou multipicar les equacions (4.15) o (4.24) per γ 0 i utilitzar que γ 0 p/ = ˜p/γ 0 , γ 0 u(0,s) = u(0,s),
γ 0 v(0,s) = −v(0,s))
immediatament trobem que
U(P)ψ(x)U(P) −1 = γ 0 ∑ s
u(−p,s) = γ 0 u(p,s) , v(−p,s) = −γ 0 v(p,s)
d 3 p
(2π) 3 2Ep
ηaa(p,s)u(p,s)e −ip· ˜x − η ∗ b b† ip·
(p,s)v(p,s)e
˜x
on hem utilitzat la notació ˜x μ = (t,−x) per escriure Ept +p ·x = p · ˜x. Per a que el camp es
transforme bé sota aquesta transformació és necessari que el camp transformat es puga escriure
en termes del camp en les coordenades transformades. Això és així només si se satisfà que
Així tenim que
η ∗ b = −ηa. (4.44)
U(P)ψ(x)U(P) −1 = ηaγ 0 ψ( ˜x), (4.45)
on la matriu AP ≡ ηaγ 0 juga el mateix paper que S(Λ) per a les transformacions de Lorentz.
De fet, aquesta matriu l’haguerem pogut trobar directament a partir de (4.5). Efectivament si
ψ p (x) ≡ APψ( ˜x) és el camp transformat per paritat, per a que ψ p (x) siga solució de l’equació
de Dirac necessariament s’ha de satisfer que
A −1
P γ μ AP = ˜γ μ
que clarament se satisfà per a AP = ηaγ 0 amb ηa una fase arbitrària.
Prenent l’hermític de (4.45) i multiplicant per γ 0 per la dreta tenim igualment
U(P) ¯ψ(x)U(P) −1 = η ∗ a ψ † ( ˜x) = η ∗ a
¯ψ( ˜x)γ0
Una vegada sabem com es transformen els camps podem veure com es transforma qualsevol
operador. En particular, per saber les propietats de transformació dels termes que podem afegir
al Lagrangià és important conèixer com es transformen tots els bilineals que podem construir
amb els camps
112
¯ψ(x)ψ(x), i ¯ψ(x)γ5ψ(x), ¯ψ(x)γ μ ψ(x), ¯ψ(x)γ μ γ5ψ(x), ¯ψ(x)σ μν ψ(x),

El camp de Dirac
on en el cas del operador amb la γ5hem afegit un factor i per fer l’operador hermític, així tots
els bilineals són hermítics. Així per exemple tenim que l’escalar es transforma com
U(P) ¯ψ(x)ψ(x)U(P) −1 = |ηa| 2 ¯ψ( ˜x)γ 0 γ 0 ψ( ˜x) = ¯ψ( ˜x)ψ( ˜x).
igualment per al pseudo-escalar tenim
mentre el vector
U(P)i ¯ψ(x)γ5ψ(x)U(P) −1 = |ηa| 2 i ¯ψ( ˜x)γ 0 γ5γ 0 ψ( ˜x) = −i ¯ψ( ˜x)γ5ψ( ˜x),
U(P) ¯ψ(x)γ μ ψ(x)U(P) −1 = |ηa| 2 ¯ψ( ˜x)γ 0 γ μ γ 0 ψ( ˜x) = ¯ψ( ˜x) ˜γ μ ψ( ˜x)
es transforma com els quadrivectors x i p (ací hem utilitzat que γ 0 γ 0 = I, γ 0 γγ 0 = −γ i la
notació ˜γ μ = (γ 0 ,−γ)). D’altra banda per al vector axial tenim
U(P) ¯ψ(x)γ μ γ5ψ(x)U(P) −1 = |ηa| 2 ¯ψ( ˜x)γ 0 γ μ γ5γ 0 ψ( ˜x) = − ¯ψ( ˜x) ˜γ μ γ5ψ( ˜x).
Finalment el tensor es transforma com el producte de dos vectors,
i per tant
U(P) ¯ψ(x)σ μν ψ(x)U(P) −1 = |ηa| 2 ¯ψ( ˜x)γ 0 σ μν γ 0 ψ( ˜x),
U(P) ¯ψ(x)σ 0i ψ(x)U(P) −1 = − ¯ψ( ˜x)σ 0i ψ( ˜x), U(P) ¯ψ(x)σ i j ψ(x)U(P) = ¯ψ( ˜x)σ i j ψ( ˜x).
És important assenyalar que encara que la fase ηa desapareix de tots els bilineals, el signe
relatiu entre les fases de partícula ηa i d’antipartícula ηb fixat per la relació η ∗ b = −ηa, és
rellevant. Així per exemple els estats formats per partícula-antipartícula tindran aquest signe
quan els transformem per paritat,
U(P)a † (p1,s1)b † (p2,s2)|0〉 = −a † (−p1,s1)b † (−p2,s2)|0〉 ,
ja que η∗ b η∗ a = −|ηa| 2 = −1. D’altra banda la fase ηa és completament arbitrària. El fet que
dues aplicacions succesives de l’operador paritat sobre qualsevol estat ens du un altra vegada
al mateix estat ens diu que U(P) 2 = ηPI on ηP és una fase. Ara bé, sempre podem redefinir
l’operador U(P) → η 1/2
P U(P) de forma que el nou operador satisfaça que U(P)2 = I, llavors
necessàriament per a qualsevol partícula η2 a = 1 i ηa = ±1. Si només tenim una partícula
l’elecció és irrellevant, ara bé, si tenim vàries partícules interaccionant amb una interacció que
conserve la paritat, és possible triar consistentment les fases de totes les partícules de forma que
siguen +1 o −1 i es conserven en les interaccions. Aquestes quantitats s’anomenen les paritats
intrínseques de les partícules.
Tot el que hem fet per al camp de Dirac es pot aplicar també, amb les variacions adequades,
als camps de Klein Gordon, així tindrem
U(P)φ(x)U(P) −1 = ηφ φ( ˜x). (4.46)
113

Arcadi Santamaria
Si la paritat es conserva podrem triar les fases consistentment com ηφ = ±1. Partícules de
spin zero amb paritat +1 s’anomenen escalars (es transformen com el bilineal escalar) mentre
les que tenen paritat −1 s’anomenen pseudo-escalars (es transformen com el bilineal pseudoscalar).
Els pions per exemple són pseudo-escalars.
El mateix podem fer amb partícules de spin 1, es transformaran o bé com el bilineal vector
o bé com el bilineal vector axial. Respecte aquest punt és interessant fer notar que els fotons
(i també els gluons) es transformen com a vectors. En efecte, si la interacció electromagnètica
¯ψ(x)γ μ ψ(x)Aμ(x) ha de conservar paritat (és a dir s’ha de transformar com a un escalar) i,
tenint en compte com es transforma el bilineal vector, necessariament tindrem
U(P)A μ (x)U(P) −1 = Ã μ ( ˜x).
A partícules amb aquesta propietat de transformació s’assigna una paritat intrínseca−1 perque,
com veurem més endavant, només les components espacials seran físiques i aquestes canvien
de signe sota paritat.
4.6.2 Conjugació de càrrega
L’existència d’antipartícules ens permet definir una transformació que connecte partícules amb
antipartícules deixant moments i spin sense canvi
U(C)|p,s,a〉 = ηa |p,s,ā〉 , U(C)|p,s,ā〉 = ηā |p,s,a〉 .
Si U(C) és una simetria ha de commutar amb el hamiltonià i com que U(C) no toca les coordenades
ni el moment no hi ha cap problema en representar-la amb un operador unitàri. Obviament,
l’aplicació dues vegades de la conjugació de càrrega porta una altra vegada a l’estat
original i exàctament com en el cas de paritat sempre podem triar les fases en la definició de
U(C) de forma que U(C) 2 = I, llavors tindrem que ηaηā = 1 o ηā = η ∗ a .
Per als operadors de creació i destrucció tindrem
U(C)a † (p,s)U(C) −1 = ηCb † (p,s), U(C)b † (p,s)U(C) −1 = ηāa † (p,s),
U(C)a(p,s)U(C) −1 = η ∗ a b(p,s), U(C)b(p,s)U(C) −1 = η ∗ ā a(p,s).
Substituint el desenvolupament del camp trobem que
U(C)ψ(x)U(C) −1 = ∑ s
= η ∗ aC∑ s
d 3 p
(2π) 3 2Ep
d 3 p
(2π) 3 2Ep
η ∗ a b(p,s)u(p,s)e−ip·x + ηāa † (p,s)v(p,s)e ip·x
b(p,s)v(p,s) T e −ip·x + a † (p,s)u(p,s) T e ip·x = η ∗ aCψ(x) T ,
on en la segona línia hem utilitzat que ηā = η ∗ a i que hi ha una matriu de Dirac, C, que permet
relacionar els spinors de partícula amb els d’antipartícula ((4.29))
114
v(p,s) = Cu(ps) T , u(p,s) = Cv(ps) T ,

El camp de Dirac
i finalment hem reescrit el resultat una altra vegada en termes del camp ψ(x) conjugant les
exponencials i prenent l’hermític conjugat dels operadors de creació i destrucció. En el cas de
camps de Dirac la fase η ∗ a és irrellevant i la podem triar igual a 1 sense ambiguitat14 i és el que
farem d’ara endavant.
Utilitzant les propietats de la matriu de conjugació de càrrega C en (4.28) és fàcil comprovar
que el camp transformat per conjugació de càrrega 15
ψ c (x) = Cψ(x) T = Cγ 0T ψ ∗ (x) (4.47)
també és solució de l’equació de Dirac i la matriu AC ≡ Cγ 0T juga el mateix paper que S(Λ)
per a les transformacions de Lorentz i garanteix que si sota transformacions de Lorentz ψ(x)
es transforma com ψ ′ (x ′ ) = S(Λ)ψ(x), llavors ψ c (x) es transforma d’igual forma, ψ ′ c (x ′ ) =
S(Λ)ψ c (x), ja que
Cγ 0T S(Λ) ∗ = C
S † (Λ)γ 0 T
= C γ 0 S −1 (Λ) T = S(Λ)Cγ 0T ,
on en el darrer pas hem utilitzat la forma de la matriu S(Λ), (4.6), i que C(σ μν ) T = −σ μν C.
Sabent com es transforma el camp podem calcular com es transformen el camp ¯ψ
¯ψ → ψ c = ψ T γ 0∗ C † γ 0 = ψ T C,
i els different bilineals. Per això es important tenir en compte que els camps són variables de
Grassman i anticommuten. Per exemple el binlineal escalar es transforma com
¯ψψ → ψ c ψ c = ψ T CCψ T = −ψ T ψ T = ¯ψψ ,
on hem utilitzat que en canviar l’ordre dels camps hem d’afegir un signe menys per les propietats
d’anticommutació del camp. Per a l’escalar tindrem
mentre per al vector
i ¯ψγ5ψ → iψ c γ5ψ c = iψ T Cγ5Cψ T = −iψ T γ T 5 ψT = i ¯ψγ5ψ ,
¯ψγ μ ψ → ψ c γ μ ψ c = ψ T Cγ μ Cψ T = ψ T γ μT ψ T = − ¯ψγ μ ψ ,
que ens diu que el corrent del camp conjugat té el sign contràri que el del camp original, cosa
natural per a una simetria que intercanvia partícules amb antipartícules. És també interessant
veure com aquest signe s’origina perque el camp de Dirac satisfà regles d’anticommutació.
Igualment podem calcular com es transformen la resta dels bilineals
¯ψγ μ γ5ψ → ¯ψγ μ γ5ψ , ¯ψσ μν ψ → − ¯ψσ μν ψ .
—————————-
Falta completar Inversió temporal i discutir CPT
—————————-
14 Això ja no és cert per a camps que descriuen partícules que són les seues pròpies antipartícules (fotons, pions
neutres, etc). En aquest cas, com que ηā = η ∗ a = ηa, la fase només pot ser ±1, i el signe s’ha d’assignar de forma
que es preserve la simetria.
15 És important remarcar que encara que la transformació de conjugació de càrrega ens passe del camp al camp
conjugat, en teoria quàntica de camps està realitzada per un operador unitàri.
115

Arcadi Santamaria
4.6.3 Inversió temporal
Inversió temporal és la transformació que canvia x μ = (t,x) → (−t,x) = − ˜x. Com que p= mv
és bàsicament la derivada de la posició respecte el temps també canviarà sota inversió temporal
p → −p mentre l’energia ens agradaria que es mantinguera positiva així p → ˜p. D’altra banda
el moment angular ésL =x ×p i per tant també canviarà de signe sota una inversió temporal
igual que el spin. Així esperem que l’operador inversió temporal actuant sobre els operadors
de destrucció satisfaça
U(T)a(p,s)U(T) −1 ∝ a(−p,−s), U(T)b(p,s)U(T) −1 ∝ b(−p,−s)
essent les constants de proporcionalitat fases a determinar o arbitràries. Així podem seguir
el camí seguit per a la paritat i arribar a la propietat de transformació del camp. Ara bé, hi
ha una diferència important degut a que l’operador d’inversió temporal ha de ser anti-unitari.
En efecte, l’única forma de que U(T) commute amb el hamiltonià d’un fermió lliure i que al
mateix temps puga invertir el signe de l’evolució temporal és que siga anti-unitari. És a dir,
si | f,t = 0〉, és un estat en la imatge de Schrödinger tindrem que | f,t〉 = e −iHt | f,t = 0〉. Si
U(T) és lineal i commuta amb el Hamiltonià tindrem que U(T)| f,t〉 = e −iHt U(T)| f,t = 0〉 i
per tant no pot invertir el signe de l’evolució temporal. Si U(T) és antilineal, d’altra banda,
canvia també el signe de la i i podem obtenir, com volem, U(T)| f,t〉 = e iHt U(T)| f,t = 0〉.
116

Problemes proposats
Problema 4.1 A partir de la forma del hamiltonià del camp de Dirac
H = d 3
x ¯ψ(x) −iγ
∇+m ψ(x)
El camp de Dirac
i de les regles d’anticommutació dels camps comproveu que les equacions de moviment de
Heisenberg −i ˙ψ(x) = [H,ψ(x)], −i ˙ψ † (x) = H,ψ † (x) són equivalents a l’equació de Dirac.
Problema 4.2 Siguen
PL = 1
2 (1 − γ5), PR = 1
2 (1+γ5).
Utilitzant que Γi ≡ (1,γ5,γ μPL, γ μPR, σ μν ) formen una base de l’espai de matrius 4 × 4 demostreu
que (per simplicitat escrivim ui ≡ u(pi))
(ū1APLu2)(ū3PRBu4) = 1
2 (ū3γ μ PLu2)(ū1AγμPRBu4),
on A y B són matrius arbitràries 4 × 4. (Desenvolupeu la matriu u2ū3 en la base, és a dir
escriviu u2ū3 = ∑i αiΓi i comproveu que només les components γ μ PR contribueixen. Els coeficients
αi es poden determinar multiplicant aquest desenvolupament per Γ j i prenent la traça
en els dos costats). En el cas particular que A = γ ν y B = γν amb índexs sumats s’obté
(ū1γ ν PLu2)(ū3γνPLu4) = −(ū3γ ν PLu2)(ū1γνPLu4).
(Utilitzeu PRγν = γνPL y γνγμγ ν = −2γμ). Es poden obtenir identitats semblants per als camps
en compte de per als spinors, llavors, però, s’han de tenir en compte els signes que apareixen
quan es permuten els camps fermiònics. Identitats d’aquest tipus s’anomenen identitats de
Fierz i són molt útils per simplificar càlculs complicats.
Problema 4.3 Quantitzeu l’equació de Schrödinger com en el problema 3.5 però ara imposant
regles d’anticommutació en compte de regles de commutació. En particular:
i) Comproveu que el lagrangià utilitzat en 3.5 també porta a l’equació de Schrödinger
encara que els camps anticommuten.
ii) Desenvolupeu les solucions de l’equació de Schrödinger en ones planes i quantitzeules
amb regles d’anticommutació.
iii) Obteniu el hamiltonià i desenvolupeu-lo en operadors de creació i destrucció. És definida
positiva l’energia?
iv) Obteniu el corrent conservat associat a un canvi de fase, ψ → e iα ψ, i desenvolupeu la
càrrega associada en operadors de creació i destrucció. Quina interpretació podria tenir?
v) Calculeu l’anticommutador de dos camps a temps diferents.
Problema 4.4 Comproveu que l’operador densitat de corrent
j μ = ¯ψ(x)γ μ ψ(x),
117

Arcadi Santamaria
de l’equació de Dirac, satisfà la relació
j μ (x), j ν (x ′ = 0, para (x − x ′ ) 2 < 0,
como requereix el principi de microcausalitat si j μ (x) i j ν (y) són dos observables en punts del
espai-temps que no poden estar connectats causalment.
Problema 4.5 Considereu un camp de Dirac de massa m i dos camps de Klein-Gordon reals
de massa M. Utilitzant 3.13, mantenint la massa, i el seu equivalent per al camp de Dirac,
calculeu la densitat d’energia del buit (suposant que no hi ha altres contribucions que el punt
zero dels infinits oscil·ladors harmònics). Que passa si M = m? i si M ≫ m?
Problema 4.6 Demostreu que si en el desenvolupament en ones planes del camp de Klein-
Gordon real imposem regles d’anticommutació en compte de regles de commutació, és a dir, si
imposem,
tenim que per a (x − x ′ ) 2 < 0
{a p,a †
p ′} = 2E(p)(2π) 3 δ (3) (p −p ′ ), {a p,a p ′} = {a †
p ,a†
p ′} = 0
φ(x),φ(x ′ ) = 0, {φ(x),φ(x ′ )} = 0,
i llavors no hi ha forma de construir una teoria que preserve la microcausalitat.
Problema 4.7 Siga el lagrangià de Dirac. Definim els camps levògirs i dextrògirs
ψL = 1
2 (1 − γ5)ψ, ψR = 1
2 (1+γ5)ψ,
tals que γ5ψL = −ψL y γ5ψR = ψR.
i) Comproveu que si sota transformacions de Lorentz el camp ψ es transforma com un
camp de Dirac, ψ → S(Λ)ψ, llavors tant ψL com ψR es transformen de forma independent i
sense mesclar-se ψL → S(Λ)ψL y ψR → S(Λ)ψR.
ii) Comproveu també que el lagrangià de Dirac es pot escriure com
L = iψL∂/ψL + iψR∂/ψR − m(ψLψR + ψRψL),
que és explícitament invariant Lorentz.
iii) Escriviu les equacions de moviment per ψL i ψR i comproveu que en el límit de massa
nul·la les components ψL y ψR es desacoblen i que, en particular, ψL descriu fermions amb
només l’helicitat negativa i antifermions amb només l’helicitat positiva (i ψR just al contrari).
iv) Re-escriviu tant el lagrangià com les equacions de moviment en termes de spinors de
dues components utilitzant la representació de Weyl per a les matrius de Dirac.
118

Problema 4.8 Utilitzant la notació del problema anterior considrem el lagrangià
LM = iψL∂/ψL − m 1
2 (ψc L ψL + ψLψ c L),
El camp de Dirac
on hem definit ψ c L = CψL T amb C la matriu de conjugació de càrrega amb les propietats discutides
en el text.
i) Comproveu que
γ5ψ c L = ψ c L.
Llavors ψc L es comporta com si fóra un spinor dextrògir. A més, com que ψc L es transforma
correctament sota transformacions de Lorentz ψc L → S(Λ)ψc L , el lagrangià anterior és invariant
Lorentz.
ii) Comproveu que el terme de masses que hem escrit només existeix si els camps ψL satisfan
regles d’anticommutació.
iii) Escriviu l’equació de movimient del camp ψL.
iv) Comproveu que el terme cinètic és invariant sota la transformació de fase ψL → eiαψL mentre que el terme de masses no ho és.
v) Escriviu el corrent associat amb aquesta transformació i calculeu la seua divergència.
vi) Definim el camp ψM = ψL + ψc L que satisfà ψM = ψc M . Comproveu que (a a banda de
derivades totals)
LM = i 1
2 ψM∂/ψM − m 1
2 ψMψM
vii) Quines són les equacions de moviment de ψM.?
viii) Demostreu que ψM descriu partícules que són les seues pròpies antipartícules amb les
dues helicitats.
ix) Reescriviu totes les equacions anteriors en termes de spinors de dues components utilitzant
la representació de Weyl per a les matrius de Dirac.
119

Arcadi Santamaria
120

Capítol V
Matriu S i seccions eficaces

5. Matriu S i seccions eficaces
Fins ara només hem considerat el cas de teories de camps lliures, és a dir, aquelles teories
que tenen un espectre format exclusivament pel producte directe d’estats d’una sola partícula.
Aquests estats d’una sola partícula no pateixen cap interacció i són completament estables.
En la pràctica, però, les partícules tenen interaccions, intercanvien els seus números quàntics
i es transformen les unes en les altres. Els experiments típics per determinar com es transformen
unes partícules en les altres es fan preparant un conjunt de partícules amb unes energies
i moments donats separades a distàncies macroscòpiques, on la interacció entre elles es pot
menysprear, després deixant-les que es vagen apropant fins arribar a una regió on interaccionen
microscòpicament, finalment el producte de la reacció es torna a separar fins assolir distàncies
macroscòpiques on, altra vegada, la interacció entre les partícules es pot menysprear i per tant
es poden mesurar com a partícules independents. Els estats abans i després de la col·lisió,
es poden descriure com al producte directe d’estats d’una sola partícula que són els que hem
estudiat fins ara. En l’experiment l’únic que es mesura es la probabilitat de transició entre aquests
estats inicials i finals formats exclusivament per partícules lliures. Aquestes probabilitats
s’escriuen en termes d’una quantitat que es denomina la matriu S que conté tota la informació
sobre la dinàmica de les partícules. Coneixent la matriu S es poden calcular seccions eficaces,
ritmes de desintegració. . . . El concepte i la teoria de la matriu S és anterior i més bàsic que
la pròpia teoria de quàntica de camps. La seua construcció només utilitza els principis de la
relativitat especial i de la mecànica quàntica. Estudiant les simetries i propietats de la matriu
S es pot obtenir una informació impressionant sobre el comportament de les partícules relacionant
diferents amplituds, però en últim terme per calcular aquestes amplituds fa falta una teoria
dinàmica. La teoria quàntica dels camps és la teoria, potser no necessàriament única, que permet
calcular els elements de la matriu S, encara que en la majoria dels casos només de forma
aproximada. En el present capítol veurem com es defineix la matriu S i com a partir d’ella
es poden calcular seccions eficaces i amplades de desintegració. Al capítol següent veurem
com calcular els elements de matriu S en la teoria quàntica dels camps utilitzant la teoria de
pertorbacions.
123

Arcadi Santamaria
5.1 Matriu S
Ja hem vist com construir l’espai de Hilbert en el cas de partícules sense interacció. Quin és,
però, l’espai de Hilbert d’una teoria amb interaccions? Imaginem per exemple una teoria amb
electrons i fotons en interacció. Si tenim un estat format per un nombre d’electrons, positons
i fotons interaccionant, les partícules potser s’anihilaran en alguns casos, en altres formaran
estats lligats, i en altres casos senzillament escaparan de la regió inicial on les teníem. Si
deixem passar un temps suficientment gran les partícules resultants de tot el procés, incloent
entre elles també els estats lligats estables, estaran prou separades de forma que la interacció
entre elles es puga menysprear i per tant es puguen descriure com a partícules lliures. Així,
quan el temps és molt gran, l’espai de Hilbert és l’espai de Fock producte directe de totes les
partícules que pugen escapar de la regió d’interacció.
El problema està a determinar quin és l’espectre de la teoria, quines són les masses i els altres
números quàntics dels estats asimptòtics de la teoria amb interaccions. Si les interaccions
son dèbils, podem tractar d’endevinar l’espectre menyspreant les interaccions. Per exemple, en
una teoria de camps podem mirar l’espectre només de la part quadràtica del Lagrangià, com
hem fet fins ara, i esperar que l’espectre de la teoria sencera no siga massa diferent d’això.
Si les interaccions són molt fortes, com per exemple en la cromodinàmica quàntica (QCD),
l’espectre de la teoria serà, en general, molt diferent del que suggereix només la part quadràtica
del Lagrangià. De fet està format exclusivament per estats lligats formats amb les partícules
fonamentals, quarks i gluons. A falta de càlculs exactes, l’espectre s’imposarà en base a arguments
fenomenològics. Suposem, de moment que l’espectre es conegut i prenem com a base
de l’espai de Hilbert els estats estacionaris del Hamiltonià total, simbòlicament escrivim
|α〉, H |α〉 = Eα |α〉
Els estats estan normalitzats de forma adequada i satisfan la relació de completitud
〈α α ′ = δαα ′ ∑|α〉〈α| = 1 .
α
On tant la δ αα ′ com el sumatori ∑α són simbòlics i se suposa que contenen els factors de
normalització adequats per a cada estat, per exemple ja hem vist que per a estats bosònics
d’una partícula tenim
〈p ′ |p〉 = 2Ep(2π) 3 δ (3) (p −p ′ ),
d3p (2π) 3 |p〉〈p| = (1)1−particula .
2Ep
En un procés de col·lisió tant l’estat inicial com l’estat final seran estats d’aquest espai de
Hilbert. Ara bé, les bases triades per a representar l’espai de Hilbert en l’estat inicial i final
seran en general diferents i estaran rotades l’una respecte de l’altra. La transformació que ens
dóna el canvi d’una base a l’altra serà el que anomenarem matriu S. Explícitament si
124
|α,in〉, |β,out〉

Matriu S i seccions eficaces
són les dues bases triades per representar l’espai de Hilbert dels estats inicials (t → −∞) i finals
(t → +∞), respectivament, definim la matriu S com
S βα ≡ 〈β,out|α,in〉 .
La matriu S, com qualsevol matriu que relaciona dues bases ortonormals, és una matriu unitària.
En efecte, utilitzant la completitud dels estats |α,in〉 immediatament trobem que
(SS † ) βγ = ∑〈β,out|α,in〉〈α,in|γ,out〉 = δβγ .
α
Igualment utilitzant la completitud dels estats |β,out〉 trobem que (S † S)αγ = δαγ. En mecànica
quàntica d’una partícula, la unitarietat dels operadors reflexa la conservació de la probabilitat,
la partícula no pot desaparèixer. En camps, les partícules es transformen les unes en les altres,
es creen i es destrueixen, la unitarietat de la matriu S expressa el fet que un estat format per una
o vàries partícules no pot desaparèixer en no res, les partícules individuals poden aparèixer o
desaparèixer però han de donar lloc a un altre estat format, possiblement, per altres partícules.
Com veurem més endavant la unitarietat de la matriu S té conseqüències molt importants.
Òbviament, els estats |α,in〉 i |β,out〉 estan connectats per l’operador d’evolució temporal.
Aquest estats, però, són estats de Heisenberg i per tant no depenen del temps. Hem de precisar
un poc més que volem dir amb els estats per a t → −∞ i t → +∞. Al mateix temps donarem
una fórmula explícita, encara que formal, de la matriu S. Per això suposarem que coneixem
l’espectre de partícules de la teoria sencera. Llavors, sempre podem construir un Hamiltonià
lliure H0 que just continga les partícules de l’espectre sense cap tipus d’interacció entre elles,
és a dir, l’espectre de H0 és idèntic a l’espectre de partícules lliures del Hamiltonià sencer. Així
podem escriure
H = H0 +(H − H0) ≡ H0 + ΔH .
H0 és el Hamiltonià lliure que representa les partícules mesurades a l’experiment, això vol dir
que els paràmetres que apareixen en H0, com per exemple les masses, són els paràmetres de
les partícules físiques que no necessàriament han de coincidir amb els diferents paràmetres que
apareixen en el Hamiltonià total H. De fet, en una teoria de camps, és inclús possible que ni
tant sols els camps que apareixen en H0 siguen els mateixos que apareixen en H.
ΔH conté totes les interaccions entre les partícules. És important remarcar que encara
que el Hamiltonià total H no depèn del temps, les parts en que l’hem descomposat si que
poden dependre del temps i per tant aquesta separació depèn del temps de referència al que la
fem. D’ara en avant triarem com a temps de referència t = 0, així entendrem que H = H0(t =
0)+ΔH(t = 0) , i H0 i ΔH són independents del temps (perquè estan definits a t = 0).
Com hem dit els estats |α,in〉 i |β,out〉 són estats de Heisenberg sense dependència temporal,
però estan relacionats amb els estats de Schrödinger que sí la tenen. El pas d’una imatge a
l’altra el dóna l’operador d’evolució temporal. Així tenim (momentàneament utilitzarem subíndex
“S” per representar els estats en la imatge de Schrödinger i “H” en la de Heisenberg)
|α,in〉 ≡ |α,in〉 H = |α,in,t = 0〉 S = exp(iHt)|α,in,t〉 S .
125

Arcadi Santamaria
Definim ara els estats propis del Hamiltonià H0 (també en la imatge de Heisenberg)
H0 |α,free〉 = Eα |α,free〉 .
Igualment podem escriure (ara l’evolució temporal ve dictada pel Hamiltonià lliure H0)
|α,free〉 ≡ |α,free〉 H = |α,free,t = 0〉 S = exp(iH0t)|α,free,t〉 S .
El fet que per a t → −∞ les partícules es comporten com a partícules lliures el podem expressar
com que
t→−∞
−→ |α,free,t〉 S ,
|α,in,t〉 S
o equivalentment, en termes dels estats de Heisenberg (tornem a suprimir els subíndexs “S” i
“H” i se sobreentén que els estats estan en la imatge de Heisenberg)
que de vegades s’expressa com
|α,in〉 = lim
t→−∞ exp(iHt)exp(−iH0t)|α,free〉 ,
|α,in〉 = Ω(−∞)|α,free〉 , Ω(t) ≡ exp(iHt)exp(−iH0t)
Aquests límits, tal i com els hem escrit són purament formals, ja que si els estats són propis
del hamiltonià, les exponencials donen una simple fase i no hi ha evolució temporal. S’ha
d’entendre, per tant, que els operadors actuen sobre una superposició normalitzable d’autoestats
del hamiltonià, de forma que el límit estiga ben definit i hi haja una evolució temporal no
trivial. Aquesta serà, d’altra banda, també la situació en un experiment real on els estats no són
exactament d’energia definida sinó una superposició d’estats d’energia definida.
Per als estats |β,out〉 podem fer una argumentació similar però prenent t → +∞.
|α,out〉 = Ω(+∞)|α,free〉 , Ω(t) ≡ exp(iHt)exp(−iH0t)
Així arribem a la següent expressió per a la matriu S
on
S βα = 〈β,free|U(+∞,−∞)|α,free〉 , (5.1)
U(t f,ti) = Ω † (t f)Ω(ti) = exp(iH0t f)exp(−iH(t f −ti))exp(−iH0ti). (5.2)
i els estats |α,free〉 ara són senzillament autoestats del hamiltonià lliure H0 que apareixen tant
en els estats “bra” com en els estats “ket”. Aquestes expressions ens permeten definir l’operador
S = U(+∞,−∞)
tal que els seus elements en la base |α,free〉 són senzillament els elements de la matriu S βα
i seran el punt de partida del càlcul dels elements de matriu S en teoria de pertorbacions que
estudiarem a continuació 1 .
Igualment tindrem
Ω(t) = U(0,t)
1 És important remarcar que hi ha altres definicions de l’operador S. Per exemple és freqüent també definir
S β α ≡ 〈β,in|S|α,in〉. Aquesta definició és útil quan es consideren aspectes no pertorbatius de la teoria quàntica
de camps, però com que els estats |α in〉 no són coneguts, és difícil d’utilitzar per fer teoria de pertorbacions.
126

Matriu S i seccions eficaces
5.2 Teoria de pertorbacions. Desenvolupament de la matriu
S
En general, la matriu S no es coneix exactament i hi ha que recórrer a tècniques aproximades.
La més potent de totes les tècniques conegudes és la teoria de pertorbacions obtinguda a partir
de les expressions en les equacions 5.1–5.2 per a la matriu S.
Derivant l’expressió eq. 5.2 respecte t f , i utilitzant que tant H0 = H0(t = 0) com H = H(t =
0) són independents del temps, és immediat comprovar que
on
d
dt f
U(t f,ti) = −iHI(t f)U(t f,ti) , (5.3)
HI(t f) ≡ e iH0t f ΔH(t = 0)e −iH0t f . (5.4)
Operadors que obeeixen aquesta llei d’evolució temporal s’anomenen operadors en la imatge
d’interacció.
L’equació (5.3) junt amb la condició inicial U(ti,ti) = 1 es pot reescriure com una equació
integral integrant en t f i imposant la condició inicial,
t f
U(t f,ti) = 1 − i dt1HI(t1)U(t1,ti) . (5.5)
ti
Substituint recursivament aquesta expressió en ella mateixa obtenim un desenvolupament de
l’operador U(t f,ti) com a sèrie de potències del Hamiltonià d’interacció en la imatge d’interacció,
HI(t),
t f
U(t f,ti) = 1 − i dt1HI(t1)+(−i)
ti
2
t
f t1
dt1 dt2HI(t1)HI(t2)+··· .
ti ti
Aquesta expressió es pot escriure de forma més simètrica si ordenem els operadors temporalment,
així tenim per exemple
on
t f
ti
dt1
t1
ti
dt2HI(t1)HI(t2) =
t f
ti
dt1
t f
= 1
t
f t f
dt1 dt2T(HI(t1)HI(t2)) ,
2 ti ti
ti
dt2θ(t1 −t2)HI(t1)HI(t2)
T(HI(t1)HI(t2)) ≡ θ(t1 −t2)HI(t1)HI(t2)+θ(t2 −t1)HI(t2)HI(t1) .
Als termes d’ordre superior els podem aplicar una argumentació similar i finalment podem
escriure
U(t f,ti) =
∞ (−i)
∑
n=0
n t
f t
f t f
dt1 dt1 ··· dtnT(HI(t1)HI(t2)···HI(tn)) ,
n! ti ti ti
127

Arcadi Santamaria
que de forma simbòlica se sol escriure com
U(t f,ti) = T
t f
exp(−i dtHI(t))
ti
on el producte T -ordenat s’enten aplicat a cadascun dels termes del desenvolupament de l’exponencial.
Si deixem tendir ara t f → +∞ i ti → −∞ obtenim una expressió per a la matriu S.
+∞
S = T exp(−i dtHI(t)) . (5.6)
−∞
Aquesta expressió, en general, no és invariant relativista ja que el temps juga un paper especial.
Ens interessarà una forma que siga explícitament invariant Lorentz.
Un primer pas per construir una teoria invariant relativista és posar les coordenades espacials
al mateix nivell que el temps. Una forma immediata de fer això és escriure el Hamiltonià
com una densitat Hamiltoniana
HI(t) = d 3 xHI(x,t) .
D’aquesta forma tenim
S = T
exp(−i
,
d 4
xHI(x) . (5.7)
A més a més, és evident que necessitem que la densitat Hamiltoniana siga un escalar en el sentit
que sota transformacions de Poincaré tinguem
H ′ I(x ′ ) = HI(x) .
Amb això tota l’exponencial és invariant relativista, ens queda però l’ordenació temporal que
no és invariant Lorentz per a transformacions arbitràries del temps. D’altra banda, sabem que
l’ordenació temporal sí que és invariant Lorentz per a punts separats temporalment. És a dir,
si (x1 − x2) 2 > 0, no es pot canviar el signe de t1 − t2 fent transformacions de Lorentz continues
i llavors θ(t1 − t2) si que és invariant Lorentz. Per tant el producte T -ordenat també ho
serà. D’altra banda per a punts separats espacialment, (x1 − x2) 2 < 0, el producte T -ordenat en
general no és invariant Lorentz. Ara bé, si exigim que
[HI(x1),HI(x2)] = 0 per a (x1 − x2) 2 ≤ 0 , (5.8)
immediatament trobem que el producte T -ordenat de densitats hamiltonianes també és invariant
ja que si l’ordre dels operadors no és rellevant les funcions θ del producte T -ordenat es
combinen i es cancel·len. Llavors el producte T -ordenat no és més que el producte normal
d’operadors que és invariant Lorentz si aquests ho són. La condició eq. 5.8 és la condició de
causalitat per a dos observables que ja hem comentat en el context de les teories de camps.
És interessant veure com el requeriment de microcausalitat per a la densitat hamiltoniana ens
permet construir una matriu S invariant relativista de forma natural 2 .
2 Obviament amb açò no hem demostrat la invariància de l’operador S. Per demostrar la invariància relativista
del operador S cal demostrar que commute amb tots els generadors del grup de Poincaré.
128

Matriu S i seccions eficaces
És interessant veure com aquest d’aquest formalisme (pertorbacions depenents del temps)
es poden obtenir fàcilment les fórmules que s’utilitzent habitualment en mecànica quàntica no
relativista. Per exemple si en (5.5) fem ti → −∞, t f → +∞ i prenem l’element de matriu entre
estats lliures (en el que segueix, i si no es diu explícitament |α〉 representara estats lliures)
tindrem que
∞
Sβα = δβα − i dt1 〈β|HI(t1)U(t1,−∞)|α〉
−∞
= δ βα − i
= δ βα − i
∞
dt1 〈β|e
−∞
iH0t1 −iHt1 ΔHe |α,in〉
∞
−∞
dt1e −i(Eα−E β)t1 〈β|ΔH |α,in〉
= δ βα − i2πδ(Eα − E β)〈β|ΔH |α,in〉 ,
on en el primer pas hem utilitzat les definicions de HI(t), (5.4), i U(t,−∞), (5.2), i el fet que
Ω(−∞)|α〉 = |α,in〉. Després hem utilitzat que|α,in〉 és propi de H, mentre |α〉 és propi de
H0. Finalment hem integrat el temps (recordem que ΔH ≡ ΔH(t = 0). Aquesta fórmula es
pot generalitzar per al cas de teories relativistes: si escrivim ΔH = d 3 xΔH (x,0) com una
densitat hamiltoniana, utilitzem que l’operador moment P, és el generador de les translacions
ΔH = d 3 xe −ixP ΔH (0,0)e ixP i finalment demanem 3 que tant |β〉 com |α,in〉 siguen propis
de P, P|β〉 = p β |β〉, P|α,in〉 = pα |α,in〉, l’equivalent relativista,
S βα = δ βα − i(2π) 4 δ(pα − p β)〈β|ΔH (0)|α,in〉 . (5.9)
Igualment podem obtenir l’equació de Lippmann-Schwinger. Així, com hem vist abans
Ω(−∞) = U(0,−∞) = 1 − i
Actuant sobre estats lliures, |α〉 tindrem
|α,in〉 = |α〉 − i
0
−∞
0
dte
−∞
iH0t −iHt
ΔHe Ω(−∞).
dte iH0t ΔHe −iHt |α,in〉 .
Ara inserim un conjunt complet d’estats lliures 4 entre eiH0t i ΔH, de forma que
0
|α,in〉 = |α〉 − i dt dβe i(Eβ −Eα)t
|β〉〈β|ΔH |α,in〉 .
−∞
Per fer la integral en t permutarem l’ordre de les integracions i utilitzarem que 5
0
dt e
−∞
i(E
β −Eα)t i ∞
dω ∞
= dt e
2π −∞ ω + iε −∞
i(ω+Eβ −Eα)t
3Aquest cas serà l’habitual en les teories de camps que considerarem en les què l’operador moment de la teoria
completa i el lliure són idèntics.
4Simbòlicament escriurem 1 = dβ |β 〉〈β | encara que per a teories de moltes partícules la integral dβ
representarà la suma sobre estats d’un nombre arbitrari de partícules.
5Notem que la integral de l’exponencial imaginaria pura esta mal definida a no ser que inserim un factor per
fer-la convergent en t → −∞. Així exp(i(Eβ − Eα)t) → exp(i(Eβ − Eα − iε)t), llavors la integral és convergent i
arribem al mateix resultat.
129

Arcadi Santamaria
∞
= i
−∞
dω
ω + iε δ(ω + E β − Eα) =
Així obtenim l’equació de Lippmann-Schwinger en moments
|α,in〉 = |α〉+
i
Eα − E β + iε .
〈β|ΔH |α,in〉
dβ |β〉 . (5.10)
Eα − Eβ + iε
Per entendre millor tots aquests mètodes, els aplicarem a un exemple senzill de mecànica quàntica
no relativista.
5.2.1 Un exemple en mecànica quàntica no relativista.
En aquest apartat calcularem els estats in, out i la matriu S p ′ p per a una partícula no relativista
que es mou lliurement en una dimensió excepte per una funció δ(x) a l’origen, és a dir el
potencial en el què es mou la partícula és V(x) ≡ ΔH = gδ(x). Utilitzarem aquest exemple
per a il·lustrar els mètodes que s’utilitzen en teoria quàntica de camps i connectar-los amb els
mètodes de la mecànica quàntica no relativista.
L’equació de Schrödinger per a estats estacionaris és (per simplicitat posarem ¯h = 1)
− 1
2m ψ′′
p (x)+gδ(x)ψp(x) = Epψp(x), Ep = p2
2m
ψp(x) ha de ser contínua en x = 0 i la derivada serà discontinua en x = 0 amb la seguent condició
(prenem ε → 0 + )
− 1
ε
dxψ
2m −ε
′′
p (x)+g
ε
ε
dxδ(x)ψp(x) = Ep dxψp(x).
−ε
−ε
La continuitat de la funció garanteix que el darrer terme s’anul·la. Integrant i utilitzant la
propietat fonamental de la δ(x) immediatament trobem que
ψ ′ p(0 + ) − ψ ′ p(0 − ) = 2mgψp(0).
Buscarem solucions de tipus in, és a dir, aquelles que en quan es convolucionen amb un paquet
es comporten com un paquet lliure per a t → −∞ mentre per a t → +∞ donaran dos paquets
el transmés i el reflexat. És a dir per a p > 0 (partícula indident de esquerra a dreta) buscarem
solucions de la forma
eipx + ρe−ipx x < 0
ψp,in(x) =
(1+ρ)e ipx x > 0
on ja hem incorporat la condició de continuitat ψp,in(0 + ) = ψp,in(0 − ) en escriure el coeficient
de l’ona plana per a x > 0 com 1+ρ. La condició de discontinuitat ens diu que
és a dir
130
ip(1+ρ) − ip(1 − ρ) = 2mg(1+ρ),
ρ = −1 p
, a ≡
1 − ia mg .

Matriu S i seccions eficaces
Una anàlisi semblant es pot fer per a p < 0 (partícules incidents de dreta a esquerra). Els dos
resultats es poden escriure de forma compacta per a qualsevol p i qualsevol x com
ψp,in(x) = e ipx + ρe i|px| , ρ = −1 |p|
, a ≡ . (5.11)
1 − ia mg
Un estudi similar es pot fer per als estats out, és a dir, estats que quan es convolucionen amb
un paquet es comporten com un paquet lliure per a t → +∞. Així obtenim
ψp,out(x) = e ipx + ρ ∗ e −i|px| .
És interessant comprovar que les solucions són les correctes utilitzant l’equació de Lippmann-
Schwinger
dk 〈k|V |p,in〉|k〉
|p,in〉 = |p〉+
2π Ep − Ek + iε ,
on |p〉 és un estat lliure de moment definit, 〈x|p〉 = eipx , i |p,in〉 l’estat in corresponent. Per al
nostre potencial, V = gδ(x), tenim que
〈k|V |p,in〉 =
dxe −ikx gδ(x)ψp,in(x) = gψp,in(0),
on ψp,in(x) = 〈x|p,in〉 és la funció d’ona de l’estat |p,in〉. Així
ψp,in(x) = 〈x|p,in〉 = e ipx
dk
+ gψp,in(0)
e ikx
2π Ep − Ek + iε .
La integral en k es pot fer fàcilment tenint en compte que Ep = p 2 /2m i utilitzant els circuits
estàndard en variable complexa segons quin siga el signe de x. Per exemple per a x > 0 tanquem
el circuit per dalt i tindrem
dk e
2π
ikx
Ep − Ek + iε
dk
= 2m
C 2π
e
= 2miRes
ikx
p2 − k2
,k = |p|+iε
+ iε
e ikx
p 2 − k 2 + iε
= − im
|p| ei|p|x .
De forma semblant podem fer la integral per a x < 0 tancant el circuit per baix. Afegint els dos
resultats obtenim
ψp,in(x) = e ipx − img
|p| ψp,in(0)e i|px| .
A més per a x = 0 tenim
i per tant
ψp,in(0) = 1 − img
|p| ψp,in(0),
ψp,in(0) =
1
1+img/|p|
131

Arcadi Santamaria
i finalment arribem al mateix resultat d’abans.
Igualment podem obtenir ψp,out(x) amb
Llavors
ψp,out(x) = 〈x|p,out〉 = e ipx
dk
+ gψp,out(0)
= e ipx + igm
|p| ψp,out(0)e −i|px| .
ψp,out(0) = 1+ igm
|p| ψp,out(0), ψp,out(0) = ψ ∗ p,in (0) =
e ikx
2π Ep − Ek − iε
1
1 − img/|p| .
Ara és interessant comprovar que els estats |p,in〉 i |p,out〉 estan correctament normalitzats, és
a dir
〈p ′ ,in|p,in〉 = 〈p ′ ,out |p,out〉 = 〈p ′ |p〉 = 2πδ(p − p ′ ).
Per això podriem utilitzar directament la solució (5.11). Ara bé, la presència de |x| en la solució
ens obliga a fer integrals d’exponencials entre 0 i ∞ que no estan ben definides però que es
poden definir amb la següent prescripció (amb ε → 0 + )
∞
0
dxe ipx →
∞
0
dxe (ip−ε)x = − 1
ip − ε .
Amb aquesta prescripció (i la prescripció similar per a integrals entre −∞ i 0) es poden reduir
totes les integrals i obtenir el resultat desitjat. Alternativament podem utilitzar la representació
integral de la solució (Lippmann-Schwinger)
amb
Així, per exemple
132
dk 1
|p,in〉 = |p〉+gψp,in(0)
|k〉 ,
2π Ep − Ek + iε
dk 1
|p,out〉 = |p〉+gψp,out(0)
|k〉 ,
2π Ep − Ek − iε
dk 1
ψp,in(0) = 1+gψp,in(0)
2π Ep − Ek + iε ,
dk 1
ψp,out(0) = 1+gψp,out(0)
2π Ep − Ek − iε ,
ψp,out(0) = ψ ∗ p,in(0).
〈p ′ ,in|p,in〉 = 2πδ(p ′ − p)+ gψp,in(0)
Ep − E p ′ + iε + gψ∗ p ′ ,in (0)
E p ′ − Ep − iε

dk gψp,in(0) gψ
+
2π Ep − Ek + iε
∗ p ′ ,in (0)
Ep ′ − Ek − iε ,
Matriu S i seccions eficaces
on hem utilitzat vàries vegades que 〈p|k〉 = 2πδ(p − k), deltes que hem integrat. Ara en el
darrer terme podem escriure
1 1
Ep − Ek + iε Ep ′ − Ek − iε =
1
Ep − Ek + iε −
1
1
Ep ′ − Ek − iε Ep ′ − Ep − i2ε
i per tant
dk gψp,in(0) gψ
+
2π Ep − Ek + iε
∗ p ′ ,in (0)
Ep ′ − Ek − iε
= gψ∗ p ′ ,in (0)
Ep ′ − Ep − i2ε gψp,in(0)
dk
2π
− gψp,in(0)
E p ′ − Ep − i2ε gψ∗ p ′ ,in (0)
1
Ep − Ek + iε
dk 1
2π Ep ′ − Ek − iε
= gψ∗ p ′ ,in (0)
Ep ′ − Ep − i2ε (ψp,in(0) − 1)− gψp,in(0)
ψ
Ep ′ − Ep − i2ε
∗ p ′
,in (0) − 1
= − gψ∗ p ′ ,in (0) gψp,in(0)
−
Ep ′ − Ep − i2ε Ep − Ep ′ + i2ε .
Afegint tots els termes i tenint en compte que podem substituir 2ε per ε sense problemes
arribem al resultat desitjat
〈p ′ ,in|p,in〉 = 2πδ(p ′ − p).
Un càlcul semblant ens permet demostrar que els estats out també estan normalitzats correctament.
Finalment un càlcul molt paregut ens permetrà calcular la matriu S p ′ p. Vegem-ho
S p ′ p = 〈p ′ ,out |p,in〉 = 2πδ(p ′ − p)+ gψp,in(0)
Ep − E p ′ + iε + gψ∗ p ′ ,out (0)
E p ′ − Ep + iε
Com hem fet abans tindrem
i per tant
1
Ep − Ek + iε
dk gψp,in(0) gψ
+
2π Ep − Ek + iε
∗ p ′ ,out (0)
Ep ′ − Ek + iε .
1
E p ′ − Ek + iε =
dk gψp,in(0)
+
2π Ep − Ek + iε
1
Ep − Ek + iε −
1
Ep ′ − Ek + iε
gψ ∗ p ′ ,out (0)
E p ′ − Ek + iε
1
E p ′ − Ep
133

Arcadi Santamaria
= gψ∗ p ′ ,out (0)
E p ′ − Ep
= gψ∗ p ′ ,out (0)
dk 1
gψp,in(0)
Ep ′ − Ep
2π Ep − Ek + iε
− gψp,in(0)
gψ
Ep ′ − Ep
∗ p ′ ,out (0)
dk 1
2π Ep ′ − Ek + iε
(ψp,in(0) − 1) − gψp,in(0)
ψ
Ep ′ − Ep
∗ p ′
,out (0) − 1
= − gψ∗ p ′ ,out (0)
E p ′ − Ep
− gψp,in(0)
Ep − E p ′
Afegint tots els termes tenim que
Sp ′ p = 〈p ′ ,out |p,in〉 = 2πδ(p ′
1
− p)+gψp,in(0)
Ep − Ep ′ + iε −
on hem utilitzat que
i que
+gψ ∗ p ′ ,out (0)
1
E p ′ − Ep + iε −
.
1
E p ′ − Ep
= 2πδ(p ′ − p) − i2πδ(E p ′ − Ep)gψp,in(0),
1
Ep − E p ′ + iε −
Si substituim el valor de ψp,in(0) obtenim
1
Ep − E p ′
= −iπδ(E p ′ − Ep)
δ(E p ′ − Ep)gψ ∗ p ′ ,out (0) = δ(E p ′ − Ep)gψp,in(0).
S p ′ p = 〈p ′ ,out |p,in〉 = 2πδ(p ′ − p) − i2πδ(E p ′ − Ep)
1
Ep − E p ′
|p|g
|p|+img .
És interessant saber que aquest resultat s’haguera pogut obtenir fàcilment utilitzant la fòrmula
per a la matriu S que ens diu que
S p ′ p = 2πδ(p ′ − p) − i2πδ(E p ′ − Ep) p ′ V |p,in〉 ,
i que ens dóna el mateix resultat si tenim em compte que en el nostre cas 〈p ′ |V |p,in〉 =
gψp,in(0).
La connexió amb els coeficients de reflexió i transmissió es pot fer tenint en compte que en
una dimensió espacial tenim
134
δ(E p ′ − Ep) = δ( p′2 p2 m
′ ′
− ) = δ(p − p)+δ(p + p)
2m 2m |p|

i llavors
S p ′ p = 2πδ(p ′ − p)(1 − img
|p|+img )+2πδ(p′ + p) −img
|p|+img
= 2πδ(p ′ − p)(1+ρ)+2πδ(p ′ + p)ρ
Matriu S i seccions eficaces
que ens dóna l’amplitud reflexada, ρ, i l’amplitud transmessa, 1+ρ. Els coeficients de reflexió,
R, i tranmissió, T , són per tant
R = |ρ| 2 , T = |1+ρ| 2 .
Ara podem utilitzar la sèrie de Dyson per obtenir la matriu S p ′ p, és a dir
+···+(−i) n
∞
∞
S = 1 − i dt1HI(t1)+(−i)
−∞
2
∞ ∞
dt1 dt2θ(t1 −t2)HI(t1)HI(t2)
−∞ −∞
dt1
−∞
∞
dt2 ···
−∞
∞
dtnθ(t1 −t2)···θ(tn−1 −tn)HI(t1)HI(t2)···HI(tn),
−∞
on HI(t) és el hamiltonià d’interacció en la imatge d’interacció. En el nostre cas
HI(t) = e iH0t gδ(x)e −iH0t ,
els elements de matriu del qual són (entre estats lliures)
k ′ HI(t)|k〉 = ge i(E k ′−Ek)t k ′ δ(x)|k〉 = ge i(E k ′−Ek)t .
Així podem anar calculant les diferents contribucions a la matriu Sp ′ p = 〈p ′ |S|p〉. El primer
terme, l’1, ens dóna una delta de conservació de moment 2πδ(p ′ − p). El terme amb només un
hamiltonià d’interacció serà
S1 = −i
∞
′
dt1 p
−∞
HI(t1)|p〉 = −ig
El terme amb dues interaccions és
S2 ≡ (−i) 2
∞
dt1
−∞
∞
∞
−∞
dt1e i(E p ′−Ep)t1 = −ig2πδ(Ep ′ − Ep).
dt2θ(t1 −t2)
−∞
p ′ HI(t1)HI(t2)|p〉
= (−i) 2
∞ ∞ ∞ dk1
′
dt1 dt2θ(t1 −t2) p
−∞ −∞
−∞ 2π
HI(t1)|k1〉〈k1|HI(t2)|p〉 = (−ig) 2
∞
dt1
−∞
∞
−∞
i
dt2
2π
∞
dω1
−∞
e −iω1(t1−t2)
ω1 + iε
∞
−∞
dk1
2π ei(E p ′−Ek 1 )t1 e i(Ek 1 −Ep)t2 ,
on hem inserit una resolució de la indentitat i hem utilitzat la següent representació per a la
funció de Heaviside (amb ε → 0 + )
θ(t) = i
∞
dω
2π −∞
e−iωt
ω + iε .
135

Arcadi Santamaria
Si ara integrem els temps t1 i t2 obtenim una delta de conservació d’energies per a cadascun
d’ells
S2 = (−ig) 2 ∞ ∞ 1
i dk1 dω1
−∞ −∞ ω1 + iε δ(ω1 − Ep ′ + Ek1 )δ(Ep − Ek1 − ω1)
= (−ig) 2 ∞
iδ(Ep − Ep ′)
−∞
dk1
1
Ep − Ek1
+ iε .
La darrera integral es pot fer fàcilment utilitzant el teorema dels residus (tancant el circuit per
dalt, per exemple, només tenim dins el pol k1 = |p|+iε)
així
∞
−∞
dk1
1
Ep − Ek1
+ iε = −2πi m
|p| ,
S2 = (−ig) 2 2πδ(Ep − E p ′) m
|p| .
De forma semblant podem obtenir els orders superiors
Afegint tots els termes trobem
Sn = (−ig) n n−1 m
2πδ(Ep − Ep ′) .
|p|
S p ′ p = 2πδ(p ′ − p)+2πδ(E p ′ − Ep)
= 2πδ(p ′ − p) − i2πδ(E p ′ − Ep)g
∞
∑
n=1
(−ig) n
m
|p|
∞
∑
n=0
−i gm
n |p|
= 2πδ(p ′ g|p|
− p) − i2πδ(E p ′ − Ep)
|p|+igm ,
n−1
que està completament d’acord amb els resultats anteriors.
Clarament la sèrie de Dyson no és el mètode més eficient per resoldre aquest problema
que té una solució exacta. La formulació en termes de pertorbacions dependents del temps
és important quan no es poden obtenir solucions exactes i ens permetrà, en teoria quàntica de
camps, obtenir una formulació completament covariant.
Aquest exemple senzill on es coneixen les solucions exactes ens il·lustra com s’apliquen
els diferents mètodes i ens permet connectar els mètodes que s’utilitzen en teoria quàntica de
camps amb els mètodes habituals de la mecànica quàntica no relativista.
Que passa si tenim més dimensions espacials (3 per exemple)? Ho discutirem al capítol 9.
136

5.3 Seccions eficaces i amplades de desintegració
Matriu S i seccions eficaces
Donat un hamiltonià d’interacció, i els resultats de la secció anterior podríem, en principi,
calcular la matriu S. De moment, però, veurem com obtenir seccions eficaces i amplades de
desintegració a partir dels elements de matriu S βα.
Si no hi han interaccions la matriu S és la identitat, per tant és costum escriure la matriu S
com
S = 1+iT
on la identitat representa la part del paquet inicial que no és afectada per la interacció mentre
T conté tota la informació sobre les interaccions. Generalment només estarem interessats en
transicions afectades per la interacció. Si tant les partícules inicials com les finals són de
moment definit, degut a la conservació del moment podem escriure
〈β|T |α〉 = (2π) 4 δ 4 (p β − pα)M βα . (5.12)
M s’anomena l’element de matriu reduït (i utilitzant el resultat obtingut a 5.9 és senzillament
M βα = −〈β|ΔH (0)|α,in〉).
A partir d’aquest element de matriu podem calcular,
Wβα =
Tβα 2 ,
que ens donarà la probabilitat de que l’estat α siga observat com a l’estat β després de la
col·lisió. Els estats que hem pres per definir la matriu S βα, de moment definit, no són normalitzables
(estan normalitzats a una delta de Dirac de moments) i per tant quan prenem el
quadrat ens apareix una delta de Dirac al quadrat que no està ben definida. Afortunadament,
en un experiment real mai tenim estats de moment definit, com a més tenim paquets que estan
molt concentrats al voltant d’un cert moment, però el paquet té una certa amplada. Aquest fet
ens permetrà resoldre les ambigüitats i definir una quantitat que, quan els paquets estan molt
concentrats, només depèn de la interacció: la secció eficaç. En un experiment de col·lisió real,
normalment es prepara un estat inicial format per dues partícules molt separades espacialment
on la interacció entre elles és menyspreable. Cadascuna de les partícules ve descrita per un
paquet d’ones que se suposa prou concentrat al voltant d’un moment donat. L’estat de les dues
partícules ve descrit per
| f1, f2〉 =
d3k1 (2π) 3 d
2E(k1)
3k2 (2π) 32E(k2) f1( k1) f2(
k2) k1,
k2 .
On per simplicitat hem suposat que les partícules no tenen spin i són d’espècies diferents. La
normalització l’hem triada de forma que, consistentment amb la nostra normalització dels estats
d’una partícula, els estats
〈 f1, f2,| f1, f2〉
d
=
3k1 (2π) 3
f1(
2E(k1)
2
d
k1) 3k2 (2π) 3
f2(
2E(k2)
k2) 2
= 1 ,
137

Arcadi Santamaria
estan normalitzats si els paquets fi(ki) estan normalitzats. Les funcions fi(ki) podrien ser per
exemple Gaussianes centrades en els moments pi i d’amplada ∼ σ
fi(
ki) = 2E(
4π
ki)
σ 2
3/4 exp(−( ki −pi) 2 /(2σ 2 )) .
Com veurem, però, si els paquets estan prou concentrats la secció eficaç no depèn de la forma
concreta que prenguem per al paquet.
Fent la transformada de Fourier d’aquests paquets podem obtindre la funció d’ona en la
representació d’Schrödinger de cadascuna de les partícules: (O projectant sobre els estats |x,t〉
tals que 〈x,t |p〉 = e−ipx )
ˆfi(x)
d
=
3k
(2π) 32E( k) e−ikx fi( k) .
(Notem que en el cas relativista hi ha diferents normalitzacions del paquet que es redueixen a la
mateixa en el cas no relativista.) ˆfi(x) és solució de l’equació de Klein-Gordon i jugarà el paper
d’una funció d’ona relativista i per tant serà en general complexa encara que el camp quàntic
de la teoria siga real. Si volem definir la densitat de probabilitat de trobar una partícula, i el seu
corresponent flux, necessitem un corrent conservat. Per a una funció escalar relativista l’únic
corrent conservat és
i ˆfi(x) ∗↔ ∂ μ ˆfi(x) .
Llavors aquest serà el corrent de probabilitat que haurem d’utilitzar, la component zero del qual
serà la densitat de probabilitat. Així tindrem que per a paquets molt concentrats
d 3 xi ˆfi(x) ∗↔
μ
∂ ˆfi(x) ≈
d3k (2π) 32E(
fi(k)
k)
2 kμ E( k) .
Com es veu la component zero està degudament normalitzada i es pot interpretar com una densitat
de probabilitat. D’altra banda les components espacials donaran el flux de probabilitat.
Com vam comentar al Capítol 1, en general i ˆfi(x) ∗↔ ∂ μ ˆfi(x) no és una quantitat definida positiva
i això barrava el pas a la interpretació d’aquesta quantitat com a densitat de probabilitat.
D’alguna forma això estava lligat a l’aparició d’estats amb freqüències positives i negatives.
Els paquets que hem definit, però, només contenen energies positives. Si els paquets estan molt
concentrats al voltant d’un moment pi tenim que
de forma que
i ˆfi(x) ∗↔ ∂ μ ˆfi(x) ∼ 2p μ
i | fi(x)| 2 ,
ρi(x) ∼ 2Ei
ˆfi(x) 2 ,
és definit positiu i dona la densitat de probabilitat de les partícules, mentre
j =∼ 2p ˆfi(x) 2 ,
és el flux de probabilitat. Notem que en aquest límit a banda del factor 2Ei ˆfi(x), ρi(x), té
exactament la mateixa interpretació que en mecànica quàntica no relativista. Si el paquet en
138

Matriu S i seccions eficaces
moments té una amplada d’ordre σ, el paquet en posicions estarà localitzat en un radi ∼ 1/σ.
Per a que puguem substituir en l’energia E(k) el valor central del paquet és necessari que
σ 2 ≪ p 2 i i per tant el paquet en posicions serà prou gran per a que càpiguen varies longituds
d’ona Compton. Així i tot sobre distàncies macroscòpiques encara estarà localitzat.
Utilitzant aquests paquets ara sí podem determinar la probabilitat de que una volta preparat
aquest estat inicial s’observe a l’estat final com un estat amb un nombre de partícules donat de
moment definit (òbviament, a l’estat final també podríem utilitzar paquets perquè el moment de
les partícules mai es mesura amb una precisió infinita, com que que fet de utilitzar ones planes
en l’estat final no du a cap ambigüitat utilitzarem estats de moment definit en l’estat final).
d 3k ′ 1 f ∗ 1 (k ′ 1 )
W βα = |〈β|T | f 1, f 2〉| 2 =
d 3k ′ 2 f ∗ 2 (k ′ 2 )
d 3k1 f1(k1)
d 3k2 f2(k2)
(2π) 32E( k ′ 1 ) (2π) 32E( k ′ 2 ) (2π) 32E( k1) (2π) 32E( k2) (2π) 4 δ 4 (p β − k ′ 1 − k′ 2 )(2π)4 δ 4 (p β − k1 − k2)M ∗ (p β,k ′ 1 ,k′ 2 )M(p β,k1,k2) .
On p β en M(p β,k1,k2) representa simbòlicament el moment de totes les partícules de l’estat
final. Ara podem escriure
(2π) 8 δ 4 (p β − k ′ 1 − k′ 2 )δ 4 (p β − k1 − k2) =
(2π) 4 δ 4
(pβ − k1 − k2)
d 4 xe ix(k1+k2−k ′ 1 −k′ 2 )
i utilitzar que si els paquets estan molt concentrats al voltant dels moments p1 i p2 tenim que
M(p β,k ′ 1,k ′ 2) ∼ M(p β,k1,k2) ∼ M(p β, p1, p2) .
D’altra banda una vegada eliminada tota la dependència en les k’s dels elements de matriu
reduïts, les integrals sobre els paquets les podem escriure en termes de les funcions d’ona ˆfi(x).
Així
Wβα = d 4 x| f1(x)| 2 | f2(x)| 2 (2π) 4 δ 4 (pβ − k1 − k2) M(pβ, p1, p2) 2 ,
o de forma infinitesimal
dW βα
d 3 xdt = | f1(x)| 2 | f2(x)| 2 (2π) 4 δ 4 (p β − p1 − p2) M(pβ, p1, p2) 2 .
On dW βα/(d 3 xdt) és la probabilitat de transició per unitat de volum i per unitat de temps.
Per simplificar suposarem que una de les partícules inicials, la 2 per exemple, està en repòs.
Llavors, la secció eficaç es defineix com
σ =
dW βα/(d 3 xdt)
(flux − incident)(densitat−blanc) .
139

Arcadi Santamaria
Ara bé, hem vist abans que el flux d’un paquet d’ones quan està molt concentrat és 2pi | fi(x)| 2
mentre la seua densitat és 2Ei | fi(x)| 2 de forma que 2m2 | f2(x)| 2 és la densitat de partícules en
el blanc mentre 2|p1|| fi(x)| 2 és el flux de partícules incidents. Així immediatament trobem
σβα = (2π) 4 δ 4
M(pβ, p1, p2)
(pβ − p1 − p2)
2 .
4m2 |p1|
El factor de flux el podem escriure d’una forma invariant Lorentz. En efecte, en el sistema en
què el blanc està en repòs tenim
m2 |p1| = m2 E2 1 − m2 1 =
(p1p2) 2 − m2 2m2
1
1 ≡ λ(s,m
2
2 1 ,m2 2 ) .
On hem definit l’invariant s = (p1 + p2) 2 , que és just el quadrat de l’energia total del sistema
en el sistema de referència de centre de masses (p1 = −p2), i la funció coneguda com “lambda
de Källen” es defineix com
λ(a,b,c) = a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2ac − 2bc .
Per a feixos de partícules colineals aquest factor també es pot escriure com
(p1p2) 2 − m 2 2 m2 1 = E1E2 |v1 −v2| ,
ambvi = pi/Ei.
5.3.1 Secció eficaç i integral d’espai fàsic
Utilitzant aquestes expressions finalment obtenim la secció eficaç escrita d’una forma explícitament
invariant Lorentz,
σβα = (2π) 4 δ 4
M(pβ, p1, p2)
(pβ − p1 − p2)
2
2 λ(s,m 2 1 ,m2 2 )
.
Aquesta expressió dóna la probabilitat de trobar, després de la col·lisió, un estat amb totes les
partícules finals amb un moment definit. En general no s’observen totes les partícules, i fins i
tot si s’observen totes les partícules la resolució en moments és finita i aquest resultat s’haurà
de sumar per a tots els moments que s’observen. Per a sumar sobre els estats finals és prou
afegir les integrals de moment adequades
dσ =
∏ i
d3qi (2π) 32E(qi) (2π)4δ 4 M(pβ, p1, p2)
(pβ − p1 − p2)
2
2 λ(s,m 2 1 ,m2 2 )
on hem escrit dσ perquè segons quines quantitats es mesuren en l’estat final algunes variables
potser caldrà deixar-les sense integrar. A més ara explícitament tenim pβ = ∑i qi. La integral
d
dΦn =
3qi (2π) 3 qi − p1 − p2)
2E(qi)
140
n
∏ i
(2π) 4 δ (4) (∑ i
,

Matriu S i seccions eficaces
s’anomena integral d’espai fàsic i caracteritza la densitat d’estats finals. La delta de conservació
de moment fa que quatre de les variables es puguen integrar directament. A més en alguns casos
concrets, la geometria del sistema, farà que res no depenga d’algunes de les altres variables i
es puguen també integrar sense haver de suposar res sobre l’element de matriu reduït. Així per
exemple, en el cas d’una col·lisió de dues partícules amb la mateixa massa en els sistema de
referència de centre de massa tenim
d
dΦ2 =
3q1 (2π) 3 d
2E(q1)
3q2 (2π) 32E(q2) (2π)4δ 4 (q1 + q2 − p1 − p2) =
d3q1 (2π) 22E(q1)2E(q2) δ(E(q1)+E(q2) − √ s) =
dΩ|q1| 2
16π2 −1 |q1| |q1|
+ =
E(q1)E(q2) E(q1) E(q2)
dΩ |q1|
16π2√s =
λ(s,m
dΩ
2 3 ,m2 4 )
32π2 ,
s
on m3 i m4 són les masses de les partícules finals amb moments q1 i q2, respectivament i hem
utilitzat que en el sistema de centre de masses es té que
λ(s,m
|q1| =
2 3 ,m2 4 )
2 √ . (5.13)
s
Així la secció eficaç diferencial serà
dσ |q1|
=
dΩ 16π2√ |M |
s
2
4E(p1)E(p2)|v1 −v2| =
λ(s,m 2 3 ,m2 4 )
λ(s,m 2 1 ,m2 2 )
|M | 2
64π2s .
En el cas que les masses de les partícules finals siguen les mateixes que les masses de les
partícules inicials, les funcions λ es cancel·len i la fórmula per a la secció eficaç diferencial es
redueix a
dσ |M |2
= . (5.14)
dΩ
64π 2 s
Per deduir aquestes expressions hem suposat que les partícules no tenen spin. Si les partícules
inicials tenen un spin definit i es mesura l’spin de les partícules finals la fórmula és la mateixa
només que hi ha que calcular l’element de matriu M per a els estats d’spin inicials i finals
donats. Si no es mesura l’spin de les partícules finals òbviament hi ha que sumar sobre totes
les configuracions d’spin de les partícules finals. Finalment si les partícules inicials tenen spin
però estan en un estat no polaritzat hi ha que promediar sobre les configuracions d’spin inicials.
Així la fórmula general, en el cas de feixos inicials sense polaritzar i quan no es mesura l’spin
de les partícules finals és:
dΦn
dσ =
2 λ(s,m 2 1 ,m2 2 )∑ spin |M |2 , (5.15)
141

Arcadi Santamaria
on si s1 i s2 són els spins de les partícules inicials, hem definit el símbol
∑ spin |M | 2 ≡
1
(2s1 + 1)(2s2 + 1) ∑ spin
Així per exemple en el cas de dues partícules finals tenim que
dσ
dΩ =
1
(2s1 + 1)(2s2 + 1)
λ(s,m 2 3 ,m2 4 )
λ(s,m 2 1 ,m2 2 )
1
|M | 2 .
64π 2 s ∑ spin
|M | 2 . (5.16)
L’element de matriu ∑spin |M | 2 ve donat exclusivament per la dinàmica, així en processos ens
els què la dinàmica és la mateixa cap esperar que l’element de matriu siga el mateix i es poden
obtenir relacions entre seccions eficaces sense haver de conèixer els detalls de la dinàmica (
“principi del balanç detallat”). Considerem els processos a1a2 → a3a4 i a3a4 → a1a2 (per
exemple p + p → π + + d i π + + d → p + p). Suposant que els elements de matriu són els
mateixos immediatament trobem:
dσ
dσ
dΩ
12→34 dΩ
=
34→12
(2s3 + 1)(2s4 + 1) λ(s,m
(2s1 + 1)(2s2 + 1)
2 3 ,m24 )
λ(s,m 2 1 ,m2 .
2 )
Finalment, en el cas de partícules idèntiques a l’estat final hi ha que tenir en compte que,
degut a la simetria de les partícules, les seccions diferencials per a θ i θ − π són les mateixes.
Això és perquè, en no distingir les dues partícules finals el detector situat en una angle θ donat
compta tant les partícules 3 com les 4. Òbviament en integrar l’angle θ hem de tenir en compte
això i integrar θ només entre 0 i π/2 en cas contrari estarem comptant dues vegades la mateixa
quantitat (o alternativament, podem integrar sobre tot l’angle sòlid i després multiplicar per un
factor 1 2 que, òbviament, només s’ha d’afegir en la secció eficaç integrada i no mai en la secció
eficaç diferencial).
5.3.2 Ritmes de desintegració
Unes quantitats més senzilles des del punt de vista experimental són els anomenats ritmes de
desintegració (o amplades de desintegració) per a partícules inestables. Es defineixen com
Γ ≡ Desintegracions/unitat−temps
Nombre − particules
Utilitzant els resultats anteriors immediatament trobem, en el sistema de referència en el que la
partícula que es desintegra, de massa M, està en repòs,
dΓ =
Wβα 1
=
Densitat − particules 2M dΦn∑ |M |
spin 2 . (5.17)
Cal assenyalar que aquesta quantitat no es invariant Lorentz )(el factor 2M s’hauria de canviar
per 2E que no es pot escriure de forma invariant). Això no és estrany ja que el ritme de
142
.

Matriu S i seccions eficaces
desintegració depèn de la velocitat de la partícula que es desintegra per l’efecte de dilatació
temporal relativista.
Per a una partícula de massa M que es desintegra a dues partícules de masses m1 i m2
tindrem (senzillament afegint l’espai fàsic de dues partícules)
λ(M
Γ =
2 ,m2 1 ,m2 2 )
64π2M 3
dΩ∑ |M |
spin 2 . (5.18)
Ara be, tota l’argumentació que hem fet en el cas de la secció eficaç es basa en l’existència
d’estats asimptòtics “estables” (o almenys estables relativament al temps d’interacció) i que
només interaccionen quan els paquets que els representen se solapen en alguna regió de l’espai.
Com podem aplicar la mateixa argumentació a partícules inestables? partícules que sense interaccionar
amb cap altra partícula, espontàniament es desintegren. En mecànica quàntica no
relativista aquests estats inestables, anomenats ressonàncies, es manifesten en processos de
col·lisió com ressonàncies de l’amplitud de col·lisió, es a dir per a energies prop de l’energia
de ressonància, E0, l’amplitud de col·lisió es comporta com
f(E) ∝
1
E − E0 + iΓ/2 ,
mentre la secció eficaç ve donada per la fórmula de Breit-Wigner
σ ∝
1
(E − E0) 2 + Γ 2 /4 .
L’evolució temporal d’aquest estat ve donada per una funció d’ona de la forma
ψ(t) ∝ e −i(E0−i Γ 2 )t ,
que dóna la llei de desintegració exponencial |ψ(t)| 2 ∼ e −Γt i per tant l’amplada de la ressonància
dóna el ritme de desintegració de l’estat inestable (o a l’invers de la vida mitjana τ = 1/Γ).
Com es veu el signe relatiu de iΓ respecte E0, és essencial per arribar a aquesta exponencial
amb signe negatiu.
En el cas relativista, es té una situació similar. En un procés de col·lisió entre partícules “estables”
aquestes es combinen per produir una partícula inestable que llavors es desintegra en
altres partícules. Així, igual que els estats atòmics inestables són estats excitats de l’estat fonamental,
les partícules inestables es poden considerar com estats excitats del buit. Si p = (p 0 ,p)
es el quadrimoment de la partícula inestable i M és la seua massa podem intentar generalitzar
la fórmula no relativista escrivint-la de forma explícitament invariant Lorentz. Amb p, l’únic
invariant que podem construir és p 2 , així podem escriure
f(p 2 ) ∝
1
p2 − M2 + iMΓ =
1
(p0 ) 2 −p 2 − M2 + iMΓ
∼
1
2Ep(p0 , (5.19)
− Ep + iMΓ/(2Ep))
143

Arcadi Santamaria
on hem hem suposat que p 0 ∼ Ep = p 2 + M 2 . Comparant amb l’expressió no relativista
veiem que el ritme de desintegració ara és M/EpΓ, d’acord amb la dilatació temporal relativista.
De fet, com veurem més endavant, en la teoria de camps les amplituds per als diferents
processos contenen factors de la forma p 2 − M 2 + iε, el propagador de Feynman, per a cada
partícula virtual que es produeix. Si les partícules virtuals són inestables, correccions d’ordre
superior modifiquen el propagador d’aquestes partícules i li donen una part imaginària en el
denominador de la forma que hem suposat en eq. 5.19. Així és possible calcular l’amplada
de desintegració estudiant el propagador de la partícula inestable. Aquest estudi corrobora la
fórmula eq. 5.17 per al ritme de desintegració quan Γ ≪ M. Aquesta condició senzillament ens
diu que per a que la fórmula eq. 5.17 siga valida la partícula ha de tenir una vida mitjana molt
més gran que el temps característic de la propagació de la partícula ∼ 1/M.
En aquest capítol només hem utilitzat els principis de la mecànica quàntica i la relativitat
especial per construir els estats de partícules, definir la matriu S, i a partir d’ella hem vist com
calcular seccions eficaces i amplades de desintegració en termes dels elements de matriu reduït.
També hem vist com obtenir un desenvolupament pertorbatiu de la matriu S en termes
d’un Hamiltonià d’interacció, que, per invariància relativista, s’escrivia naturalment com una
integral d’una densitat Hamiltoniana. Però no hem especificat fins ara la forma de la interacció.
Òbviament per poder portar el procés al final i poder calcular els elements de la matriu S, i per
tant seccions eficaces i amplades de desintegració, necessitem especificar la densitat Hamiltoniana
d’interacció. És ací on entra una altra vegada la Teoria Quàntica dels Camps. En efecte,
la teoria quàntica de camps ens permet d’escriure fàcilment Hamilonians d’interacció que respecten
els principis de la mecànica quàntica, la relativitat especial i totes les altres simetries
que puguen haver en el problema. D’altra banda l’ús del desenvolupament pertorbatiu de la
matriu S i la teoria quàntica de camps ens permetrà desenvolupar regles precises per a calcular
fàcilment seccions eficaces i amplades de desintegració quan la interacció es pot considerar
realment una pertorbació.
144

Problemes Proposats
Matriu S i seccions eficaces
Problema 5.1 Siga una partícula no relativista que es mou en una dimensió i que està sotmesa
a un potencial del tipus delta V(x) = gδ(x). És a dir, la partícula satisfà l’equació de Schrödinger
i¯h ∂
ψ(x) = −
∂t ¯h2
2m
∂ 2
+ gδ(x) ψ(x).
∂x2 Les funcions d’ona dels estats |p,free〉 són senzillament les ones planes 〈x|p,free〉 = e ipx .
Quines són les funcions d’ona dels estats|p,in〉 i |p,out〉?. Construiu la matriz S del sistema
calculant directament S p ′ p = 〈p ′ ,out|p,in〉. Utilitzant el desenvolupament de la matriu S p ′ p
en termes de l’operador d’evolució temporal calculeu una altra vegada S p ′ p (Completeu els
càlculs de la secció 5.2.1)
Problema 5.2 Calculeu la integral d’espai fàsic per a la col·lisió elàstica de dues partícules,
una sense massa i l’altra massiva, en el sistema de referència en el què la partícula massiva
inicial està en repòs, és a dir
dΦ2 =
d 3 k2
(2π) 3 2ω2
d3p2 (2π) 3 (2π)
2E2
4 δ (4) (pi − p2 − k2)
per a pi = k1+ p1 = k2+p2, amb k1 =(ω1,0,0,ω1), p1 =(m,0,0,0), k2 =(ω2,ω2 sinθ,0,ω2 cosθ),
p2 = k1 + p1 − k2 amb p 2 2 = m2 (triarem com a direcció de l’eix z la direcció de la partícula
amb moment k1, i com a eix y el perpendicular al pla de col·lisió, de forma que els moments
són independents de ϕ. L’element de matriu al quadrat sí que pot tenir dependències amb ϕ en
cas que els feixos incidents estiguen polaritzats o si es messuren les polaritzacions de l’estat
final.
145

Arcadi Santamaria
146

Capítol VI
Camps amb interaccions

6. Camps amb interaccions
6.1 Camps amb interaccions
Al capítol anterior hem vist com calcular seccions eficaces i amplades de desintegració a partir
de la matriu S, i com calcular aquesta en termes del hamiltonià d’interacció en la imatge
d’interacció. També vam veure que per obtenir una teoria invariant relativista era convenient
escriure el hamiltonià com una densitat hamiltoniana, HI(x) que fóra un escalar Lorentz i que
commutara per a punts separats espacialment, [HI(x),HI(y)] = 0, (x−y) 2 < 0. Veurem que
la teoria quàntica de camps ens proporciona immediatament aquestes propietats. És obvi però
que necessitem afegir més termes tant al lagrangià de Dirac com de Klein-Gordon per poder
descriure interaccions entre partícules. Com hem vist als capítols anteriors aquests descriuen
partícules que es propaguen lliurement amb una energia E 2 p = |p|2 + m 2 i que no interaccionen
entre elles i no poden intercanviar ni energia ni moment. Per poder descriure interaccions necessitem
afegir al lagrangià termes que continguen més de dos camps. Els termes afegits no
poden ser arbitraris si volem construir una teoria decent i han de satisfer certes condicions:
1. Invariància relativista: Els termes afegits al lagrangià ha de ser escalars sota transformacions
de Lorentz.
2. Causalitat: Les interaccions han de ser locals, es a dir tots els camps han d’estar en el
mateix punt (podem tenir φ(x) 4 però no φ(x) 2 φ(y) 2 ), per garantir la causalitat. Termes no
locals representen interaccions a distància i poden generar problemes amb la causalitat.
3. Termes amb dimensió menor o igual a quatre.
La tercera condició no és òbvia, de fet no és estrictament necessària, i mereix un poc més de
discussió. Abans però podem intentar veure quin tipus d’interaccions podem escriure. En el cas
del camp escalar real podem escriure el següent lagrangià que satisfà totes aquestes condicions
L = 1
2 ∂μφ∂ μ φ − 1
2 m2φ 2 − λ 4
φ
4!
(6.1)
149

Arcadi Santamaria
on λ és una constant arbitrària que caracteritza la força de la interacció i el factor 1/4!, l’hem
introduït per conveniència. A partir del lagrangià podem construir el hamiltonià (bé utilitzant
el teorema de Noether o bé el formalisme canònic amb π = ˙φ)
amb
H = 1
2 π2 + 1
2
∇φ
2
H0 ≡ 1
2 π2 + 1
2
∇φ
+ 1
2 m2 φ 2 + λ
4! φ 4 ≡ H0 + ΔH (6.2)
2
+ 1
2 m2 φ 2
el hamiltonià lliure i
ΔH = λ 4
φ (6.4)
4!
el terme d’interacció a partir del qual construirem el hamiltonià d’interacció en la imatge
d’interacció necessari per calcular els elements de matriu de la matriu S. Si λ es zero no hi
ha interacció de cap tipus per tant els elements de matriu M dependran necessàriament de λ
(o de potències superiors de λ). Així un observable com la secció eficaç, que és proporcional a
|M | 2 , serà proporcional, com a mínim , a λ 2 . De fet de la fórmula de Dyson 5.6 veiem que en
general M vindrà donada per una sèrie de potències de λ començant com a mínim en λ. Per
tant esperem que
σ ∝ λ 2 (1+O(λ))
(6.3)
Ara bé, la secció eficaç té dimensions de superfície, en el sistema natural d’unitats [M] −2 .
D’altra banda, λ no té dimensions: en efecte, en el sistema natural d’unitats l’acció, d 4 xL
no té dimensions (té les mateixes dimensions que ¯h) i per tant [L ] = M 4 , com que [∂μ] =
M immediatament trobem que [φ] = M i per tant [λ] = M 0 . En el cas d’una col·lisió entre
dues partícules a energies tan grans que podem menysprear les seues masses y si excloem les
configuracions cinemàtiques peculiars (aquelles on algun angle s’anul·le o alguna energia siga
molt petita), l’única quantitat rellevant amb dimensions és l’energia del procés E i, per tant,
esperem que la secció eficaç tinga un comportament com
λ 2
σ ∝ (1+O(λ)) (6.5)
E2 Aquest comportament és perfectament raonable i ens diu que la secció eficaç disminueix a
molt altes energies. A més la sèrie en λ no conté factors de l’energia. Si té sentit per a un
valor de l’energia també té sentit per a energies molt més altes1 . Aquest bon comportament de
la teoria a energies grans fa que la teoria es comporte també be a nivell quàntic i que es puga
descriure amb només una constant d’acoblament. Teories d’aquest tipus s’anomenen teories
renormalitzables.
Imaginem ara que afegim al lagrangià un terme de la forma φ 6 . En aquest cas [φ] 6 =
M6 i per tant la constant d’acoblament corresponent tindrà dimensions 1/M2 . Així escriurem
aquesta interacció com
1 Com veurem més endavant en general hi haurà termes proporcionals a λ logE que podríen espatllar la sèrie.
De moment no considerarem aquests tipus de termes.
150

ΔH = 1 6
φ
Λ2 Camps amb interaccions
on [Λ] = M per fer explícita la seua dimensionalitat. 1/Λ 2 juga el paper de la constant d’acoblament
(el mateix que λ en el cas de una interacció del tipus φ 4 ). Si ara fem el mateix exercici que
hem fet abans trobarem que en aquest cas
σ ∝ E2
Λ4
1+O
E2
a energies molt baixes E ≪ Λ aquestes interaccions són menyspreables, són irrellevants, mentre
a energies molt altes E ≫ Λ les seccions eficaces creixen de forma descontrolada i el que és
pitjor la sèrie de potències obtinguda en termes de la constant d’acoblament no té sentit perquè
els ordres superiors són majors que l’ordre més baix. A més, aquest comportament salvatge a
altes energies fa que el comportament de la teoria a nivell quàntic siga també més complicat
i que per a definir correctament els observables es necessite la introducció d’una sèrie infinita
d’interaccions, amb els seus corresponents acoblaments, amb dimensions cada vegada més
grans. Aquest tipus de teories es denominen no renormalitzables.
Per entendre un poc millor la diferencia entre aquest dos tipus de teories podem tornar al
capítol 2 on vam introduir les teories clàssiques de camps fent el pas al continu d’un sistema
discret format per un conjunt de masses puntuals sotmeses a una interacció de tipus oscil·lador
harmònic. Vam veure que el límit al continu s’havia de fer de forma que poguérem eliminar
qualsevol dependència en la distancia entre les boletes, a. Vam veure també que en principi
haguérem pogut mantenir termes en la densitat lagrangiana proporcionals a a o inclús potències
superiors de a. Òbviament, aquests termes contenen informació sobre l’estructura del
sistema físic discret, però, clarament és impossible descriure completament el sistema discret
mantenint només uns pocs termes del lagrangià en el continu. La teoria en el continu mantenint
només els termes independents de a és tancada i ens dona tota la física que no depèn per a res
de l’estructura a curtes distàncies dels sistema. Els termes que depenen de a tenen informació
sobre el sistema discret però òbviament no el poden reproduir completament. Així mateix
teories renormalitzables són aquelles que no depenen per res de la física a curtes distancies (o
altes energies) mentre els acoblaments no renormalitzables són aquells que contenen informació
sobre l’estructura del sistema a curtes distancies a ∼ 1/Λ (o el que és el mateix sobre la
física a altes energies) però que no la poden reproduir completament, almenys amb un nombre
finit de termes.
A banda dels problemes tècnics que diferencien un tipus de teories de l’altre, el punt important
és que a energies suficientment baixes, E ≪ Λ, la física està completament dominada
per les interaccions renormalitzables (dimensió menor o igual a quatre) i que l’efecte de les
interaccions no renormalitzables és menyspreable. Té per tant sentit, en intentar descriure la
interacció entre les partícules, l’utilitzar només interaccions renormalitzables. La presència
d’interaccions no renormalitzables indica la presencia de nova física, potser noves partícules, a
escales de l’ordre Λ. En aquests casos, sempre serà preferible, si es possible, trobar quina es la
Λ 2
151

Arcadi Santamaria
física responsable de l’escala Λ 2 .
De moment ens limitarem, per tant, a interaccions renormalitzables. Això en el cas d’interaccions
entre escalars ens restringeix enormement el tipus d’interaccions que podem escriure. De fet
amb dimensió menor o igual a quatre només tenim φ, φ 2 , φ 3 , φ 4 . El terme φ 2 és el terme de
masses, el terme en φ el podem eliminar completant quadrats i fent un desplaçament del camp
φ → φ ′ + c. lagrangians amb només φ 3 tenen problemes perquè no porten a un hamiltonià
definit positiu ja que φ 3 pot canviar de signe. Per tant la interacció més simple que podem
escriure és φ 4 . Els termes de la forma φ i φ 3 és poden prohibir directament exigint que el
lagrangià siga invariant sota una simetria discreta de la forma φ → −φ així utilitzarem el lagrangià
6.1. Que passa en el cas de fermions? El lagrangià de Dirac és
LDirac = ¯ψ (i∂/ − m)ψ
Clarament la dimensió del camp fermiònic és [ψ] = M 3/2 , podem ara pensar en les diferents
interaccions entre fermions que siguen invariants Lorentz. Un terme de la forma ¯ψγ5ψ no dona
interaccions i a més es pot eliminar redefinint els camps (veure exercici o capítol 4). Termes
amb una derivada i dos camps ja estan el LDirac (amb una derivada i una γ5 també es poden
eliminar redefinint els camps). Termes amb dues derivades i dos camps són ja de dimensió
5. Amb tres camps no podem construir cap invariant, ja que els índex Lorentz no es poden
contraure. Amb quatre camps podem construir una interacció de la forma ( ¯ψψ) 2 , però és de
dimensió 6 i per tant no renormalitzable. Així per tant amb només fermions no podem construir
cap interacció renormalitzable. Si tenim fermions i escalars podem escriure el següent lagrangià
(de Yukawa) renormalitzable
LYukawa = LDirac +LKG − g ¯ψψφ (6.6)
amb [g] = M 0 . També podríem escriure interaccions de la forma i ¯ψγ5ψφ però no les dues a
la vegada si volem que es conserve la paritat. Per suposat també podríem afegir autointeraccions
entre els escalars. Apart d’aquestes ja no hi han altres interaccions renormalitzables que
puguem afegir.
Possibles interaccions entre fotons i fermions o fotons i escalars les post-posarem fins que
vegem com quantitzar els camps vectorials amb que descriurem el fotó. De moment amb 6.1 i
6.6 serà suficient per a il·lustrar com tractar les interaccions en teoria quàntica de camps.
6.2 Quantització i teoria de pertorbacions
Fins ara hem parlat només de com construir lagrangians a nivell clàssic que puguen descriure
les interaccions entre partícules. Ara bé, volem construir una teoria quàntica i la introducció
dels termes d’interacció altera radicalment el procediment de quantització. En el cas de camps
lliures vam utilitzar que sabíem resoldre les equacions de moviment dels camps per escriure
2 Veurem més endavant que això no sempre serà possible i que en molts casos serà necessari utilitzar interaccions
no renormalitzables. Fins i tot en els casos en que sí que es coneix la física a escales Λ potser siga més
senzill a baixes energies utilitzar uns pocs termes no renormalitzables que treballar amb la teoria sencera.
152

Camps amb interaccions
els camps en termes d’operadors de creació i destrucció i unes dependències ben concretes en
posicions i temps. En el moment que introduïm interaccions això ja no és possible, per exemple
en el cas de la interacció escalar tenim que l’equació de moviment del camp és
2 2
∂ + m φ = − λ 3
φ (6.7)
3!
aquesta equació és no lineal i no té una solució analítica. El cas de la interacció de Yukawa no
és millor: hi ha dues equacions acoblades
2 2
∂ + m φ = −g ¯ψψ
(i∂/ − m)ψ = gψφ
Així tot podem quantitzar el sistema encara que no sapiguem resoldre les equacions de moviment.
En el cas de la interacció escalar, demanàrem les següents regles de commutació a temps
iguals
[φ(x,t),π(y,t)] = iδ (3) (x −y) (6.8)
mentre els altres commutadors a temps igual són zero sempre. Aquesta regla de commutació
juntament a les equacions de Heisenberg
−i ˙φ = [H,φ] , −i ˙π = [H,π] (6.9)
i la forma del hamiltonià (6.2) porten directament a l’equació de moviment (6.7) (la primera
equació ens diu que π = ˙φ mentre la segona ens dóna l’equació de moviment). Eq. (6.8)
juntament a eqs. (6.9) i la forma explícita del hamiltonià (6.2) defineixen completament la
teoria quàntica. Encara que la solució formal de l’equació de Heisenberg és senzillament
φ(x,t) = e iHt φ(x,0)e −iHt
no dóna realment la solució perquè no ho sabem calcular si el hamiltonià conté interaccions.
Per veure quin tipus de solucions trobaríem podem utilitzar el mètode la la funció de Green per
escriure una solució formal per a φ(x,t) com
φ(x) = φ0(x) − i λ
3!
d 4 x ′ DR(x − x ′ )φ 3 (x ′ ),
on φ0 és una solució de l’equació de Klein-Gordon lliure, i DR(x) és una funció de Green
de l’equació de Klein-Gordon (∂ 2 + m 2 )DR(x) = −iδ (4) (x), amb les condicions de contorn
adequades. Substituint aquesta equació en ella mateix obtenim
φ(x) = φ0(x) − i λ
3!
d 4 x1DR(x − x1)φ 3 0 (x1)+··· ,
si ara substituïm φ0 pel seu desenvolupament en termes dels operadors de creació i destrucció
(ja que és un camp lliure) immediatament trobem que el camp φ(x) pot crear i destruir no
només estats d’una partícula sinó de 3, de 4 etc. i per tant ha de tenir una expressió molt
153

Arcadi Santamaria
complicada en termes d’operadors de creació i destrucció. Encara que aquest punt de vista és
molt interessant i connecta millor amb aspectes clàssics de la teoria de camps, no el seguirem i
farem un tractament basat en la imatge d’interacció, que utilitza més directament els conceptes
desenvolupats al capítol anterior i ens permet arribar directament a una expressió per a calcular
l’element de matriu reduït M βα 3 .
A partir del hamiltonià definit en les equacions (6.2) (6.3)(6.4) podem definir el hamiltonià
en la imatge d’interacció segons (5.4)
HI(t) ≡ e iH0t ΔH(t = 0)e −iH0t .
On hem de recordar que hem triat fer la separació del hamiltonià a t = 0 ja que el hamiltonià
total no depèn del temps H(t) = H(t = 0) = H0(t = 0)+ΔH(t = 0). És per això que tota la
dependència en el temps de HI(t) ve de les exponencials. Si ara definim també els camps en la
imatge d’interacció com
φI(x,t) ≡ e iH0t φ(x,0)e −iH0t , πI(x,t) ≡ e iH0t π(x,0)e −iH0t , (6.10)
tindrem que, inserint el nombre adequat d’exponencials,
HI(t) = ΔH(φI(x,t),πI(x,t))
on, clarament, la dependència funcional de HI(t) en els camps φI(x,t),πI(x,t) és la mateixa
que la dependència funcional de ΔH(t = 0) en els camps φ(x,0),φ(x,0). Ara derivant (6.10)
respecte el temps immediatament trobem que
on
−i ˙φI = [H0,φI] , −i ˙πI = [H0,πI] , (6.11)
H0 = H0(φ(x,0),π(x,0)) = H0(φI(x,t),πI(x,t))
= 1
d
2
3
x π 2
I +
∇φI
2
+ m 2 φ 2
I , (6.12)
ja que, òbviament, H0 commuta amb e iH0t i per tant H0 = e iH0t H0e −iH0t . A més, com que els
camps φ(x), π(x) satisfan les regles de commutació a temps iguals (6.8) també les satisfan per
a t = 0. Inserint els factors e iH0t i e −iH0t adequats a dreta i esquerra immediatament trobem que
els camps φI(x,t),πI(x,t) satisfan relacions de commutació canòniques
[φI(x,t),πI(y,t)] = iδ (3) (x −y). (6.13)
Les equacions de Heisenberg junt amb les regles de commutació, són equivalents a les equacions
de moviment, per tant, com que H0 és el hamiltonià lliure, tindrem que els camps
φI(x,t),πI(x,t) satisfan les equacions de moviment de camps lliures,
πI = ˙φI , (∂ 2 + m 2 )φI = 0.
3 Per a un tractament basat en funcions de Green i corrents podeu veure una discussió senzilla pero lúcida en el
llibre de de Witt [?].
154

Camps amb interaccions
Això vol dir que els camps φI(x,t),πI(x,t) es poden desenvolupar en operadors de creació i
destrucció exactament igual que camps lliures
φI(x) = d ˜p a(p)e −ipx + a † (p)e ipx
. (6.14)
Si |0〉 és l’estat fonamental de H0, H0 |0〉 = 0, els operadors a † (p) actuant sobre |0〉 creen estats
que son propis del hamiltonià H0, és a dir, creen estats de partícules lliures. És important
remarcar que aquests estats, inclòs el buit |0〉, no són estats propis del hamiltonià total, H, com
és fàcil de comprovar escrivint el hamiltonià total en termes d’operadors de creació i destrucció.
En efecte, de (6.10) és evident que camps en la imatge d’interacció i camps complets de
Heisenberg coincideixen a temps igual a zero. Així podrem escriure
φ(x,0) =
d ˜p a(p)e ipx + a † (p)e −ipx
.
Utilitzant aquest camp i tenint en compte que, sense pèrdua de generalitat, podem calcular
el hamiltonià sencer a t = 0 podem escriure el hamiltonià en termes d’operadors de creació i
destrucció. La part corresponent a H0 ens donarà el mateix resultat obtingut per al camp lliure
mentre la part d’interacció ens donarà tots els productes possibles entre operadors de creació i
destrucció
+ λ
4!
d ˜p1d ˜p2d ˜p3d ˜p4
H =
d ˜p Ep
2
a † (p)a(p)+a(p)a †
(p)
δ (3) (p1 +p2 +p3 +p4)a † (p1)a † (p2)a † (p3)a † (p4)+···
on la funció δ (3) (p1 +p2 +p3 +p4) ve de la integració en posicions de les exponencials i
els punts suspensius representen altres possibles combinacions d’operadors de creació i destrucció
amb les seues deltes corresponents de conservació de moment. Fàcilment podem Nordenar
la part lliure restant senzillament una constant. La part d’interacció és un poc més
complicat. Per exemple, en portar un terme com a † (p1)a † (p2)a(p3)a † (p4) a la forma normal
a † (p1)a † (p2)a † (p4)a(p3) ens quedarà un terme residual proporcional a a † (p1)a † (p2) que crea
estats de dues partícules actuant sobre el buit. En aquest cas, per tant, l’ordenació normal no
consisteix senzillament en la substracció d’una constant, sinó també de tots aquest termes (ja
veurem un poc més endavant quin tipus de contribucions ens haurien donat aquest termes).
Siga com siga, és clar que, fins i tot després de l’ordenació normal, ens queda un terme com el
que hem escrit amb els quatre operadors de creació
:H:= d ˜pEp a † (p)a(p)
+ λ
4!
d ˜p1d ˜p2d ˜p3d ˜p4
δ (3) (p1 +p2 +p3 +p4)a † (p1)a † (p2)a † (p3)a †
(p4)+···
i per tant l’estat :H: |0〉 conté estats de quatre partícules lliures. L’estat de mínima energia no
és conegut, com tampoc ho són tots els altres autoestats del hamiltonià complet. Com vam
discutir al capítol anterior hi han moltes bases amb que podem caracteritzar els autoestats del
155

Arcadi Santamaria
hamiltonià complet, de les quals n’hi ha dues particularment interessants, els estats |α,in〉 que
es comporten com si foren lliures (en el sentit que es va discutir al capítol anterior) per a t → −∞
i els estats |α,out〉 que es comporten com si foren lliures per a t → +∞. Això s’aplica al buit
de la teoria. Definirem uns estats |0,in〉 i |0,out〉 propis del hamiltonià sencer i que en general
seran una combinació lineal de |0〉 i d’altres estats lliures. Notem també que la N-ordenació del
hamiltonià no garanteix que l’estat de mínima energia del hamiltonià total tinga energia zero 4 .
Per tant si volem que també l’estat de mínima energia del hamiltonià total tinga energia zero
haurem d’afegir una constant al hamiltonià d’interacció que permeta ajustar l’energia total a
zero.
Una vegada tenim definit el hamiltonià podem utilitzar directament (5.7) per calcular els
elements de la matriu S
S βα = 〈β|T
exp −i
d 4
xHI(x) |α〉
on els estats |α〉 i |β〉 són estats de partícules lliures, és a dir propis de H0, i per tant es podran
generar a partir del buit fent actuar els operadors de creació de φI. D’altra banda HI és
una funció de φI (i potser també πI) i per tant, expressable en termes d’operadors de creació i
destrucció. Per calcular els elements de matriu, a un ordre donat en el hamiltonià d’interacció,
serà suficient desenvolupar l’exponencial i utilitzar les relacions de commutació dels operadors
de creació i destrucció. Anem a veure com pot funcionar açò en els casos més senzills. Considerem
la col·lisió elàstica de dues partícules escalars a l’ordre més baix5 , φφ → φφ. Com
que el producte T-ordenat és irrellevant en els dos primers termes tindrem
≈ 〈p3p4| 1 − i d 4
xHI(x)+··· |p1p2〉
Sp3,p4;p1 p2
= 〈0|a(p3)a(p4) 1 − i
d 4
xHI(x)+··· a † (p1)a † (p2)|0〉
el primer terme en el desenvolupament de l’exponencial, el podem reduir fàcilment utilitzant
les relacions de commutació per moure els operadors de destrucció cap a a la dreta fins fer-los
actuar sobre el buit (per simplificar escriurem ai ≡ a(pi) i δi j ≡ 2E(pi)(2π) 3 δ (3) (pi −p j)).
a3a4a †
1a† 2
|0〉 = a3
δ41 + a †
1a4
a †
2 |0〉 = a3
δ41a †
2
†
+ δ42a
1 |0〉
4 És un bon exercici utilitzar el métode tradicicional de la teoria de pertorbacions independents del temps per
comprovar que si el hamiltonià està N-ordenat l’energia de l’estat fonamental segueix sent zero a primer ordre de
teoria de pertorbacions però que a segon ordre rep correccions precisament per la presència del terme amb quatre
operadors de creacció que hem discutit abans i que permet connectar l’estat |0〉 amb els estats de quatre partícules
lliures.
5 De vegades, i per abús del llenguatge, utilitzarem la mateixa lletra amb que representem el camp per designar
les partícules creades per aquest camp, així φφ → φφ representarà la col·lisio de dos partícules creades pel camp
φI(x). Igualment, per a camps complexos ¯φ podrà representar una antipartícula creada pel camp complex φ(x).
En aquest casos, ha de quedar clar que φφ → φφ no representa una col·lisió entre camps sinó de les partícules
(antipartícules) creades per aquests camps.
156

Camps amb interaccions
on hem utilitzat que una vegada a4 està a la dreta de tot a4 |0〉 = 0. Cada vegada que movem a4
cap a la dreta i l’hem de permutar amb un operador de creació produïm la delta corresponent.
Aquestes permutacions, que ens produeixen una delta, les anomenem contraccions. Ara podem
fer el mateix amb a3. El resultat es senzillament la suma de totes les contraccions possibles
entre operadors de creació i destrucció
a3a4a †
1 a†
2 |0〉 = (δ41δ32 + δ42δ31)|0〉 . (6.15)
Fent el producte escalar amb 〈0| immediatament trobem que
〈p3p4 |p1p2〉 = 〈0|a(p3)a(p4)a † (p1)a † (p2)|0〉 = δ41δ32 + δ42δ31
que no és més que la relació de normalització per a estats de dues partícules idèntiques bosòniques.
Gràficament podem representar aquestes contribucions com (contraccions entre partícules externes)
p2
p1
p4
p3
+
El terme següent es més interessant i és el que ens dona l’element de matriu de transició. Si
escrivim S = 1+iT tindrem
iT (0)
λ
p3,p4;p1 p2 ≈ −i
4!
p2
p1
d 4 x〈0|a(p3)a(p4) : φ 4 I (x) : a † (p1)a † (p2)|0〉
on estem suposant que el hamiltonià d’interacció està N-ordenat. : φ 4 I (x) : amb φI(x) donat per
(6.14) conté tots els productes possibles d’operadors de creació i destrucció ordenats normalment.
Per calcular aquesta quantitat, haurem de moure els operadors de destrucció cap a la
dreta i els de creació cap a l’esquerra fins que puguen destruir el buit. Per exemple, prenem un
producte (N-ordenat) en : φ 4 I (x) : amb quatre operadors de destrucció. Podem utilitzar (6.15)
per contraure dos d’aquests operadors de destrucció amb els operadors de creació de l’estat
inicial. Així i tot encara ens sobren dos operadors de destrucció que anihilen el buit. Per tant,
aquestes contribucions donen zero. El mateix resultat s’obté amb tres operadors de destrucció
i un de creació (segueix sobrant un operador de destrucció). Idèntic resultat s’obté amb quatre
operadors de creació o tres de creació i un de destrucció (només hi ha que aplicar l’argument
anterior a l’estat hermític conjugat). Per tant només donaran contribucions productes amb dos
operadors de creació que es puguen contraure amb l’estat final i dos de destrucció que es puguen
contraure amb l’estat inicial. Notem que per a que aquest argument funcione es necessari que
p4
p3
157

Arcadi Santamaria
el hamiltonià estiga N-ordenat6 . Així escriurem
iT (0)
λ 4
p3,p4;p1 p2 ≈ −i d
4! 2
4
x
d˜k1d˜k2d˜k3d˜k4e −i(k1+k2−k3−k4)x
×〈0|a(p3)a(p4)a † (k3)a † (k4)a(k1)a(k2)a † (p1)a † (p2)|0〉
4
on hem utilitzat que hi ha =
2
4!
2!2! termes d’aquest tipus (després de renombrar les variables
d’integració de forma adequada) i hem afegit les exponencials adequades que acompanyen
els operadors de creació i destrucció. Ara podem utilitzar la identitat (6.15) per als termes
de la dreta o l’hermítica conjugada d’aquesta per als termes per l’esquerra. Les funcions delta
obtingudes es poden utilitzar per a integrar els moments ki. El resultat consisteix senzillament
a canviar ki → pi i afegir un factor 4 = 2!2! per la contribució de les funcions delta
iT (0) λ 4!
p3,p4;p1 p2 ≈ −i
4! 2!2! 2!2!
d 4 xe −i(p1+p2−p3−p4)x
= −iλ (2π) 4 δ (4) (p1 + p2 − p3 − p4)
on la integració en x ens dóna just la delta de conservació de quadrimoment. Ara comparant
amb la definició de l’element de matriu reduït (5.12) iT (0)
p3,p4;p1 p2 = (2π)4δ (4) (p1 + p2 − p3 −
p4)iM (0) (p3, p4; p1, p2) immediatament trobem
iM (0) (p3, p4; p1, p2) = −iλ
amb açò ja podem calcular la nostra primera secció eficaç. Utilitzant (5.14), ja que partícules
inicials i finals tenen la mateixa massa, tenim que
dσ
=
dΩ
λ 2
64π2s ,
CM
mentre la secció eficaç total és (hem d’afegir un factor 1 2 per tenir dues partícules idèntiques a
l’estat final)
λ 2
σtotal =
32π s
que està d’acord, a banda del factor 32π, amb el què esperàvem (6.5).
Encara que el càlcul ha sigut un poc avorrit el resultat per a l’element de matriu reduït és
extremadament simple. És per tant interessant veure com podem arribar a trobar aquest resultat
6 Si el hamiltonià no està N-ordenat, el podem N-ordenar passant tots els operadors de creació a l’esquerra
i de destrucció a la dreta utilitzant les relacions de commutació. Com hem comentat abans aquest procés ens
dóna contribucions addicionals al hamiltonià de la forma a † a i una constant que donaran contribucions adicionals
a la matriu S. Com veurem més endavant, aquest tipus de contribucions també apareixeran a ordres superior
encara que el hamiltonià estiga N-ordenat. La N-ordenació de la interacció l’únic que ha fet es postposar aquest
problemes als ordres superiors i simplificar el càlcul a l’ordre més baix. De totes formes, veurem que aquestes
noves contribucions no contribueixen a la matriu de transició quan els paràmetres de la teoria (masses i constants
d’acoblament) es defineixen de forma apropiada.
158

Camps amb interaccions
sense reproduir cada vegada totes les passes. Imaginem que en compte de tenir dues partícules
a l’estat inicial i dues al final, tenim les quatre partícules a l’estat inicial. Això, òbviament no
pot portar a un procés físic en el buit perquè no es possible conservar el moment i l’energia
al mateix temps. Així i tot podem considerar aquest element de matriu. En aquest cas els
factors combinatoris son lleugerament diferents. En : φ 4 I
: només tenim un producte amb quatre
a(pi) que es puguen contraure amb els quatre operadors de creació de l’estat inicial, d’altra
banda hi ha 4! possibles formes de contraure aquests operadors. En resum l’element de matriu
conté un factor 4! com en el cas que hem considerat. Això es pot generalitzar a totes les
possibles combinacions de quatre partícules en l’estat inicial o final. Sempre obtenim un factor
4! i un producte d’exponencials e −ipx per a partícules a l’estat inicial i e ipx per a partícules a
l’estat final. Així podrem parlar de contraccions d’operadors de creació i destrucció amb els
camps (el camp real conté operadors de creació i destrucció acompanyats per les respectives
exponencials) i escriurem
φ I(x)a(p)|0〉 = e −ipx , 〈0|a(p)φI(x) = e ipx .
El producte d’exponencials, després de la integració en x ens dóna just la delta de conservació
de moments mentre el factor 4! cancel·la el 4! que havíem posat en la definició de la
constant d’acoblament deixant finalment per a l’element de matriu reduït el resultat obtingut
abans, iM = −iλ, per a qualsevol combinació de quatre partícules a l’estat inicial o final.
Notem que aquest resultat es pot obtenir directament del lagrangià d’interacció ΔL = − λ 4!
si el derivem quatre vegades respecte φ i el resultat el multipliquem per i. Aquest resultat, que
es pot generalitzar a interaccions amb camps diferents, es dedueix fàcilment utilitzant integrals
de camins per quantitzar la teoria. Ací l’utilitzarem bàsicament com una regla mnemotècnica
per a recordar fàcilment els factors combinatoris.
6.3 Teorema de Wick i regles de Feynman
L’exercici anterior ens ha mostrat com obtenir l’element de matriu reduït a partir d’un lagrangià
d’interacció donat a l’ordre més baix on el producte T-ordenat no és rellevant i només tenim
valors esperats de productes de camps N-ordenats. Quan anem a ordres superiors immediatament
ens apareixen termes com T(HI(x)HI(y)). Ens agradaria poder reduir aquests productes
T-ordenats a productes N-ordenats de forma que poguérem utilitzar els resultats anteriors. En
això ens ajudarà un teorema fonamental en camps conegut com el teorema de Wick, que permet
reduir productes T-ordenats de camps a productes N-ordenats de camps.
En el cas de dos camps (en aquesta secció, i per alleugerar la notació, φ representarà sempre
camps de Klein-Gordon lliures) es fàcil veure que
φ(x)φ(y) =: φ(x)φ(y) : +〈0|φ(x)φ(y)|0〉 (6.16)
(on 〈0|φ(x)φ(y)|0〉 = D(x − y)) ja que l’única diferencia entre el producte normal de camps i
el producte de camps ve del terme a1a †
2 = a†
2a1 + δ12 i per tant és un c-número. Com que el
valor esperat en el buit del producte normal és zero, aquest c-número és senzillament el valor
φ 4
159

Arcadi Santamaria
esperat en el buit del producte de camps. A més, també és clar que el producte N-ordenat de
camps també satisfà
: φ(x)φ(y) :=: φ(y)φ(x) : . (6.17)
Aquest resultat s’obté immediatament de (6.16) restant-li la mateixa equació canviant x per
y i utilitzant que el commutador de camps és un c-número [φ(x),φ(y)] = 〈0|[φ(x),φ(y)]|0〉.
Finalment, utilitzant aquests dos resultats també tindrem que 7
T(φ(x)φ(y)) =: φ(x)φ(y) : +〈0|T(φ(x)φ(y))|0〉 (6.18)
que s’obté de (6.16), la definició del producte T-ordenat (T(φ(x)φ(y)) = θ(x 0 −y 0 )φ(x)φ(y)+
θ(y 0 − x 0 )φ(y)φ(x)) i que, degut a (6.17) θ(x 0 − y 0 ) : φ(x)φ(y) : +θ(y 0 − x 0 ) : φ(y)φ(x) :=:
φ(x)φ(y) : . El valor esperat en el buit del producte T-ordenat de camps no és més que el
propagador de Feynman. També direm, de vegades que és el resultat de la contracció de dos
camps i escriurem
〈0|T(φ(x)φ(y))|0〉 ≡ DF(x − y) ≡ φ(x)φ(y)
El teorema de Wick no és més que l’extensió d’aquest resultat al producte d’un nombre arbitrari
de camps i diu que el producte T-ordenat de n-camps no és més que la suma N-ordenada
de totes les possibles contraccions per parelles que es poden fer amb els camps. Per exemple
per a quatre camps tindrem (per alleugerar la notació escriurem φi ≡ φ(xi))
T(φ1φ2φ3φ4) =: φ1φ2φ3φ4 : + : φ 1φ2 φ3φ4 : + : φ 1φ2φ3φ4 : + : φ 1φ2φ3φ4 :
+ : φ1 φ 2φ3φ4 : + : φ1 φ 2φ3φ4 : + : φ1φ2 φ 3φ4 :
+ φ 1φ2 φ 3φ4+φ1φ 2φ 3φ4+φ1φ 2φ 3φ4 .
En aquestes expressions el producte normal afecta als camps no contrets. Així per exemple
: φ 1φ2φ3φ4 := DF(x1 − x4) : φ2φ3 : La demostració, que es fa per inducció i no és especialment
interessant, es pot trobar en la literatura (veure per exemple [?]).
Amb aquest teorema podem reduir un producte T-ordenat de camps a productes N-ordenats
amb coeficients que són productes de propagadors de Feynman. Ara bé, en la sèrie de Dyson
no tenim productes T-ordenats de camps però productes T-ordenats d’operadors (el hamiltonià)
que a la vegada és un producte N-ordenat de camps en el mateix punt. El teorema de Wick es
pot generalitzar a aquest cas: el producte T-ordenat d’operadors locals construïts amb productes
N-ordenats de camps és la suma N-ordenada de totes les possibles contraccions per parelles
que es poden fer amb els camps excloent totes les contraccions dins d’un mateix operador.
Aquest resultat es pot entendre de forma intuïtiva si tenim en compte que les contraccions
7 De fet tant (6.16) com (6.18) es podríen utilitzar per definir el producte N-ordenat de dos camps en termes del
producte de camps o el producte T-ordenat de camps, respectivament.
160

⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠ ×
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
Camps amb interaccions
Figure 6.1: Contribució del buit a la normalització de l’estat de dues partícules.
s’originen quan canviem l’ordre dels camps per a passar a l’ordre normal. Si els camps dins
de l’operador ja estan en ordre normal és natural que les contraccions dins del mateix operador
no contribuïsquen. Si el hamiltonià d’interacció no està N-ordenat, podem aplicar directament
el teorema de Wick en la versió més senzilla, el preu que s’ha que pagar és que hi ha que
incloure a més les contraccions de camps dins del mateix hamiltonià que són en el mateix
punt. Aquestes contribucions són proporcionals a funcions de Green en x = 0 que no estan ben
definides. La N-ordenació del hamiltonià d’interacció ens estalvia aquest problema als ordres
més baixos. Així i tot veurem que, fins i tot si N-ordenem el hamiltonià, a ordres superiors
tornarem a trobar problemes d’aquests tipus.
Utilitzant el teorema de Wick podem provar a calcular les contribucions, a segon ordre en
λ, a la col·lisió elàstica de dues partícules escalars. Aquestes vindran donades pel tercer terme
en la sèrie de Dyson (tornem a utilitzar φI per claredat)
iT (1)
(−i)2
p3,p4;p1 p2 ≈ d
2!
4 xd 4 y〈0|a(p3)a(p4)T (HI(x)HI(y))a † (p1)a † (p2)|0〉
= (−i)2
2 λ
d
2! 4!
4 xd 4 y〈0|a(p3)a(p4)T :φ 4 I (x)::φ 4 I (y):a † (p1)a † (p2)|0〉 .
El teorema de Wick ens permet desenvolupar el producte T-ordenat en productes N-ordenats
que després podem utilitzar per contraure amb els operadors de creació i destrucció de les
partícules externes. Començarem considerant les contraccions entre camps que no deixen cap
camp sense contraure, llavors els operadors de creació i destrucció de les partícules externes
s’han de contraure entre ells, per exemple (Recordem que si triem el hamiltonià d’interacció
N-ordenat, no hi ha contraccions entre camps dins del mateix hamiltonià)
a(p3)a(p4)φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(y)φ I(y)φ I(y)φ I(y)a † (p1)a † (p2) .
Gràficament podem representar aquesta contribució com en la figura 6.1
Aquesta contribució es molt pareguda a la que venia del 1 del desenvolupament de la matriu
S, que representava senzillament la no interacció i no contribuïa a l’element de matriu de
la transició. Les contraccions de tots els camps donen un nombre que multiplica el producte
161

Arcadi Santamaria
de deltes que venen de les contraccions dels operadors de creació i destrucció de les partícules
externes, i que com vam veure, reproduïen la condició de normalització dels estats de dues
partícules. Sembla com si aquestes contribucions alteraren la normalització dels estats de dues
partícules. Això no potser: els estats han d’estar correctament normalitzats. L’arrel d’aquestes
contribucions la podem veure si calculem l’element de matriu S entre el buit, on veiem que
tenim exactament la mateixa contribució (la contracció de tots els camps entre els dos hamiltonians
d’interacció)
〈0,out |0,in〉 = 〈0|S|0〉 = 1+ + ···
Però el buit, l’estat de mínima energia ha de ser estable: si tenim un estat sense cap partícula i el
deixem evolucionar, no pot ser que canvie a un altre estat. L’equació de la dreta en canvi sembla
suggerir que el buit canvia. Ara bé, l’estabilitat del buit només requereix que |0,in〉 ∝ |0,out〉,
perfectament podria haver una fase entre els dos estats com a conseqüència de l’evolució temporal
entre temps inicials i finals. Si els estats |0,in〉,|0,out〉 són autoestats del hamiltonià
total amb energia exactament zero, no n’hi ha lloc per a cap fase però, com hem vist, encara
que N-ordenem el hamiltonià, no tenim garantit que l’estat de mínima energia siga l’energia
zero. D’altra banda, implícitament hem suposat que tots els estats lliures, in i out (|0〉, |0,in〉 i
|0,out〉) tenien exactament el mateix autovalor dels hamiltonians (de H0 i H, respectivament).
Si no és així no és estrany que trobem aquestes paradoxes. De fet si H |0,in〉 = E0 |0,in〉 i
H |0,out〉 = E0 |0,out〉 tenim que (els estats “in” i els estats “out” estan connectats per l’evolució
temporal amb el hamiltonià complet des de T = −∞ a T = +∞)
〈0,out |0,in〉 = lim
T →+∞ 〈0,in|e−iH2T |0,in〉 = lim
T →+∞ e−i2E0T ,
ens dóna, com esperàvem, una fase pura (com sempre l’evolució temporal s’ha d’entendre
convolucionada amb paquets). La solució a aquests problemes es òbvia: tant el hamiltonià
i el lagrangià estan definits a banda d’una constant arbitrària, és natural, per tant, afegir una
constant al hamiltonià d’interacció de forma que puguem anar ajustant l’energia mínima del
hamiltonià total a zero, és a dir fent HI(x) → HI(x)−ρ0, amb ρ0 ≡ E0/V la densitat d’energia
de l’estat fonamental. És fàcil veure que això és suficient per a eliminar totes les contribucions
que modifiquen la normalització de l’estat fonamental (de fet es pot veure que totes són proporcionals
al volum de l’espai i que exponèncien). Alternativa i equivalentment podem seguir
treballant amb un hamiltonià amb mínima energia no nul·la, però llavors haurem de dividir
totes les amplituds per 〈0,out |0,in〉 per a eliminar aquesta fase. El resultat pràctic és que si
definim correctament el hamiltonià i el buit de la teoria, senzillament podem ignorar aquestes
contribucions que canvien la normalització de l’estat fonamental i venen donades per diagrames
(o trossos de diagrama) completament desconnectats de les partícules externes.
Considerem ara contribucions de la forma
a(p4)a(p3)φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(y)φ I(y)φ I(y)φ I(y)a † (p1)a † (p2) .
que es poden representar com a la figura 6.2
162

p1
p2
p3
p4
Camps amb interaccions
Figure 6.2: Diagrames d’autoenergia que corregeixen l’estat d’una partícula.
Aquestes contribucions, conegudes com autoenergies, també sembla que modifiquen la
definició dels estats. De fet també apareixen quan estudiem l’element de matriu dels estats
d’una sola partícula
〈p3,out |p1,in〉 = 〈p3|S|p1〉 = (2π) 3 2Ep1 δ(3) (p3 −p1)+ + ···
Un altra vegada açò manifesta un problema de normalització o de definició del hamiltonià.
Els estats d’una sola partícula són estables. Si només tenim una sola partícula, aquesta no pot
interaccionar amb res i no hauria de canviar per la evolució temporal entre l’estat inicial i el
final. El problema en aquest cas està en la separació que hem fet del hamiltonià en part lliure i
part d’interacció. Per veure-ho és convenient tornar al capítol 5 on vam fer aquesta separació.
Partint de H, el hamiltonià total, vam dir que definíem un H0 tal que fóra un hamiltonià de
partícules lliures amb exactament la mateixa massa, i nombres quàntics que els estats asimptòtics
del hamiltonià complet H. D’aquesta forma escrivíem H = H0 + H − H0 ≡ H0 + ΔH que
era el punt de partida per a desenvolupar la teoria de pertorbacions. Ara bé, el hamiltonià complet
no el sabem resoldre exactament i en general no sabem com obtenir exactament masses i
altres observables a partir dels paràmetres que apareixen en el hamiltonià (hem vist que fins i
tot no sabem com obtenir exactament l’energia del estat fonamental!). Com podem fer llavors
aquesta separació? Si la interacció és petita, és raonable pensar que l’espectre d’estats asimptòtics
de la teoria no és molt diferent de l’espectre de la teoria sense interacció. Al cap i a la
fi en una teoria amb electrons i fotons interaccionant podem observar electrons i fotons com
a partícules lliures. Aquests electrons que observem disten molt de ser electrons aïllats ja que
l’electró és inseparable del seu camp electromagnètic. Així i tot, podem definir un camp lliure
que represente aquests electrons físics amb la seua massa física. El mateix podem fer amb un
camp escalar, si la interacció és petita, podem suposar que l’espectre d’estats asimptòtics està
format per partícules d’spin zero amb massa m f , que en general no coincidirà amb la massa
que apareix en el hamiltonià. Així podem definir un camp escalar Φ, i construir un hamiltonià
de Klein-Gordon lliure amb camp Φ i massa m f , H0(Φ,mf), mentre recordem que el hamiltonià
complet (6.2) està escrit en termes del camp φ, la massa m, i la constant d’acoblament
λ, H(φ,m,λ). Així definirem el terme d’interacció com ΔH = H(φ,m,λ) − H0(Φ,mf). Òbviament,
Φ i m f estan relacionats amb φ i m, i en particular esperem que si la constant
163

Arcadi Santamaria
φ
φ
Figure 6.3: Diagrama amb una autoenergia en una línia externa.
d’acoblament és petita Φ ≈ φ + O(λ), m 2 f = m2 + O(λ) (de fet més endavant demostrarem
que, en general, Φ = φ 1+b1λ 2 + ··· i m 2 f = m2 1+c1λ 2 + ··· amb coeficients b1 i c1 a
determinar). Clarament en les equacions (6.2-6.3-6.4) hem anat massa lluny escrivint Φ = φ i
m f = m. Si permetem que Φ siga diferent de φ, i m f siga diferent de m podem anar ajustant els
coeficients b1 i c1 (igual que vam fer amb l’energia del buit) de tal forma que els estats d’una
partícula estiguen correctament normalitzats i representen partícules amb la massa física. Si no
definim correctament els estats d’una partícula podem tenir diagrames com el de la figura 6.3
que ens poden crear molts problemes. En efecte, en la línia entre l’autoenergia i el vèrtex principal
hauríem de posar un propagador i/(p 2 − m 2 ), però, per la conservació del moment, el
moment p ha de ser igual al moment de la pota externa que està sobre la capa màssica, és a dir,
satisfà que , p 2 = m 2 . Això és un desastre complet si la contribució de l’autoenergia és diferent
de zero. Si els estats d’una partícula estan normalitzats correctament, aquestes contribucions
en potes externes no apareixen mai i les podem ignorar completament.
Així veiem que diagrames que no estan completament connectats (és a dir, que es poden
separar amb una línia que no talle cap línia del diagrama) com la contribució del buit en la
figura 6.1 o l’autoenergia en la figura 6.2 o bé corresponen a redefinicions dels estats d’una
partícula o del buit o donen contribucions trivials a l’element de matriu. Per tant, per a calcular
l’element de matriu reduït iM només hem de considerar diagrames completament connectats.
A més a més, hem vist també que diagrames amb autoenergies en potes externes, tampoc
contribueixen si els estats d’una partícula estan definits correctament. Així tenim finalment les
regles per calcular l’element de matriu reduït iM a un ordre donat en la constat d’acoblament.
1. Dibuixem tots els diagrames topològicament diferents a un ordre donat en la constant
d’acoblament.
2. Eliminem tots els diagrames que no estiguen completament connectats amb les línies
externes.
3. Eliminem tots els diagrames que tinguen alguna autoenergia en potes externes (aquest
procés s’anomena de vegades amputar els diagrames).
4. Sumem les contribucions de tots els diagrames que queden.
Finalment només queda veure com calcular cadascun dels diagrames restants. De fet, fins
ara només hem considerat contribucions espúries que redefineixen el buit o els estats d’una
partícula. Ja ha arribat el moment de considerar contribucions realment interessants. Clarament
només aquelles contraccions que deixen quatre camps sense contraure que es puguen contraure
164
φ
φ

p2
p1
k1
y x
k2 = p3 + p4 − k1
p4
p3
Camps amb interaccions
Figure 6.4: Contribució, a segon ordre de teoria de pertorbacions, a l’element de matriu de
φ φ → φ φ. Les fletxes indiquen el flux de quadrimoment.
amb les línies externes donaran alguna contribució no trivial al procés de col·lisió que estem
considerant. Per tant, només contraccions de dos camps de HI(x) amb dos camps de HI(y) i de
la resta dels camps amb els operadors de creació i destrucció de partícules externes contribuiran
al procés. Per exemple una d’aquestes contribucions és
a(p3)a(p4)φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(x)φ I(y)φ I(y)φ I(y)φ I(y)a † (p1)a † (p2) .
Gràficament podem representar aquestes contraccions com en la figura 6.4(amb tots els moments
que van d’esquerra a dreta).
Anem a avaluar aquesta contribució. Com hem vist, contraccions entre camps donen un
propagador de Feynman, contraccions entre operadors de creació i camps donen una exponencial
negativa i contraccions entre operadors de destrucció i camps donen una exponencial
positiva. Així directament podem escriure aquesta contribució com
d 4 xd 4 ye i(p3x+p4x−p1y−p2y) DF(x − y)DF(x − y).
Ara podem utilitzar la representació integral del propagador de Feynman
per a escriure
=
DF(x) =
d 4 k
(2π)
4 e−ikx
i
k2 − m2 + iε
d4k1 (2π) 4
d4k2 (2π) 4
d 4 xd 4 ye i(p3x+p4x−p1y−p2y) −ik1(x−y) −ik2(x−y)
e e
i
×
k2 1 − m2 i
+ iε k2 2 − m2 + iε
d 4 k1
(2π) 4
d 4 k2
(2π) 4(2π)4 δ (4) (p1 + p2 − k1 − k2)(2π) 4 δ (4) (k1 + k2 − p3 − p4)
i
×
k2 1 − m2 i
+ iε k2 2 − m2 + iε
165

Arcadi Santamaria
= (2π) 4 δ (4) (p1 + p2 − p3 − p4)
×
d 4 k1
(2π) 4
i
k2 1 − m2 i
+ iε (p3 + p4 − k1) 2 − m2 + iε
Veiem així que cada propagador introdueix la seua corresponent integral de moments, en cada
hamiltonià (cada vèrtex) ens apareix sempre un producte d’exponencials que després d’integrat
dóna lloc a una delta de conservació del moment en el vèrtex. És a dir, en cada vèrtex el
quadrimoment es conserva. D’aquestes deltes sempre es pot extraure la delta de conservació de
moment total i la resta es pot utilitzar per a integrar el màxim nombre possible d’integrals de
moments que venen dels propagadors. Al final ens quedaran només les integrals dels moments
que no es puguen fixar mitjançant la conservació de moment en cada vèrtex. Recordem que
l’element de matriu reduït iM el vam definir factoritzant la delta de conservació de moment
total, així afegint les constants d’acoblament del hamiltonià d’interacció i un factor numèric,
que ens dóna el pes relatiu d’aquest diagrama, trobem que la contribució del diagrama de la
figura 6.4 a l’element de matriu reduït és
iM (1)
a = (−iλ)2
d4k1 2 (2π) 4
i
k2 1 − m2 i
+ iε (p3 + p4 − k1) 2 − m2 . (6.19)
+ iε
El factor (−iλ) 2 és obvi. Ve de que a segon ordre tenim dos factors −iHI i cadascun d’ells dóna
un factor −iλ. Que passa amb els 4! factorials que teníem en el denominador del acoblament?
Igual que va passar en el càlcul a l’ordre més baix hi ha 4! formes de contraure els quatre
camps de φ 4 (x) amb les partícules externes i amb els camps de φ 4 (y) que donen resultats
idèntics. En general, en cada vèrtex del diagrama es produirà aquesta multiplicitat i podrem
utilitzar exactament el mateix factor que vam utilitzar a l’ordre més baix (−iλ per vèrtex).
Que passa amb el factor 1/2! que ve del desenvolupament de l’exponencial a segon ordre?
La contribució a segon ordre que hem calculat ve del terme
d 4
x d 4 yT (HI(x)HI(y))
on hem contret les partícules inicials amb el camps del hamiltonià en el punt y i les finals amb
els camps en punt x, perfectament haguérem pogut fer a l’inrevés: contraure partícules inicials
amb camps en x i finals amb camps en y. Aquestes contraccions donen però exactament la
mateixa contribució ja que les variables x, y estan integrades, són mudes i podem fer x ↔ y.
A més el producte T-ordenat es simètric respecte aquest intercanvi. El mateix passa a ordres
superiors, el factor 1/n! de l’exponencials es cancel·la sempre amb les n! permutacions de
les variables. D’on ve doncs el factor 1 2
que queda en l’amplitud si els 1/4! factorials dels
acoblaments es cancel·len i el 1/2! de l’exponencial també es cancel·la? Bé, aquestes regles són
generals però presenten algunes excepcions quan tenim interaccions amb molts camps idèntics
en el mateix vèrtex i diagrames amb vàries línies internes amb el mateix camp. En aquest cas,
que és el cas del diagrama considerat, les regles anteriors compten massa vegades el mateix
diagrama i per tant s’han de corregir dividint la contribució del diagrama per un “factor de
simetria” Sg que ve donat pel nombre de formes d’intercanviar components sense canviar el
diagrama. Per exemple en el cas del diagrama de la figura 6.5 les dues línies internes es poden
166

p2
k2 = p3 − p1 − k1
p1
y
x
k1
p4
p3
p2
k2 = p4 − p1 − k1
p1
Camps amb interaccions
Figure 6.5: Altres contribucions, a segon ordre de teoria de pertorbacions, a l’element de matriu
de φ φ → φ φ. Les fletxes indiquen el flux de quadrimoment.
intercanviar sense canviar el diagrama i per tant Sg = 2. O per exemple, en el cas del diagrama
de l’autoenergia les tres línies internes es poden permutar, així Sg = 3!.
Resumint, podem veure que l’amplitud iM (1)
a
y
x
k1
p4
p3
s’obté de la següent forma: 1) les línies
externes només ens generen les exponencials que en últim terme garanteixen la conservació
del moment. 2) posant un factor (−iλ) per cada vèrtex i demanant conservació de moment en
cada vèrtex. 3) posant un propagador de Feynman (amb el moment corresponent) per cada línia
interna. 4) integrant d 4 k1/(2π) 4 en el moment que quede indeterminat. 5) Dividint pel factor
de simetria.
Diagrames com aquest, que tenen un moment indeterminat que s’ha d’integrar s’anomenen
diagrames “a un llaç” (en anglès a un “loop”) perquè les línies internes formen un llaç tancat.
En general hi haurà tantes integrals de moments com llaços en el diagrama i quan més llaços
hi haja mes difícil serà de calcular. Diagrames sense llaços s’anomenen “a nivell arbre” (en
angles “tree level”), el seu càlcul no requereix cap integral i donen lloc a amplituds que són
funcions racionals dels productes de moments invariants que intervenen en el procés.
Igual com hem dibuixat el diagrama que dóna iM (1)
a i l’hem calculat podem intentar trobar
altres contribucions completament connectades amb dos vèrtexs i quatre potes externes. És
fàcil veure que els únics diagrames addicionals topològicament diferents són els de la figura
6.5 que donen les següents contribucions:
M (1)
b
= M (1)
a (p4 → −p1), M (1)
c = M (1)
a (p3 → −p1),
de forma que l’amplitud total a segon ordre de teoria de pertorbacions és la suma de les tres
contribucions
M (1) = M (1)
(1)
+M c . (6.20)
a +M (1)
b
El càlcul de la integral en moments que queda al final presenta algunes complicacions addicionals
i el deixarem per a més endavant.
Els exemples que hem fet amb detall ens permeten generalitzar fàcilment les regles que
hem d’aplicar per a calcular qualsevol diagrama de Feynman en la teoria amb una interacció de
la forma λ 4! φ 4 . Les llistem a continuació.
6.3.1 Regles de Feynman per a λ φ 4
1. Per cada línia externa
167

Arcadi Santamaria
(a) d’escalars entrant posarem 1
(b) d’escalars eixint posarem 1
k −→
k −→
2. En cada vèrtex de quatre escalars imposarem la conservació del quadrimoment i inserirem
un factor
φ
φ
−iλ
3. Per cada línia interna d’escalars inserirem un propagador de escalar
k −→
i
k 2 − m 2 + iε
φ
4. Integrarem sobre tots els moments indeterminats en els bucles afegint una integral
per cada moment indeterminat.
φ
d 4 k
(2π) 4
5. Dividirem pel factor de simetria Sg que ve determinat pel nombre de contraccions equivalents
del diagrama.
Cal remarcar el paper de les iε en els propagadors de Feynman. A nivell arbre (no hi
ha llaços) on no queden integracions per fer, les iε no juguen cap paper i no cal escriure-les
explícitament. En diagrames a ordres més alts les integracions sobre moments interns poden
donar a logaritmes o inclús funcions més complicades amb punts de ramificació i talls. Les iε
seran llavors essencials per determinar en quin costat del tall estem i, per tant, els signes de
les parts imaginàries. En la pràctica podem absorbir les iε en les masses m 2 − iε → m 2 tenint
sempre en ment que les masses al quadrat tenen una petita part imaginaria negativa. Això és
suficient per saber en quin costat del tall estem. Per exemple, en càlculs a un llaç trobarem
resultats com log(−m 2 ). En aquest cas farem log(−m 2 ) → log(−m 2 + iε) = log(m 2 ) + iπ
(el tall del logaritme el prendrem sempre a l’esquerra). Aquests signes seran essencials per
garantir, per exemple, que les amplades de desintegració són positives i, en últim terme, per
garantir la unitarietat de la teoria.
6.3.2 Generalització a teories amb vàries interaccions.
Els resultats anteriors poden generalitzar fàcilment a teories més complicades amb interaccions
entre camps escalars reals. El lagrangià d’interacció estarà format per una suma de monomis
de productes dels diferents camps 8 . Els vèrtexs elementals s’obtindran derivant els monomis
8 De moment suposarem que no hi ha derivades dels camps en els termes d’interacció. Més endavant veurem
com es modifiquen les regles de Feynman en aquest cas.
168

Camps amb interaccions
de la densitat lagrangiana respecte tots els camps tantes vegades com faça falta fins obtenir una
constant i el resultat es multiplicarà per i. Això ens donarà el vèrtex elemental d’interacció entre
els camps presents en el monomi. Per exemple una interacció de la forma gφ 2 1 φ 3 2 ens donarà
una interacció entre 2 partícules del camp φ1 i 3 del camp φ2 i el vèrtex elemental d’aquesta
interacció serà −ig2!3!.
Si en el lagrangià n’hi ha diferents monomis hi haurà diferents vèrtexs i, a l’hora de formar
diagrames, podrem combinar els diferents vèrtexs. La cancel·lació del factor 1/n! se segueix
produint encara que tinguem vèrtexs diferents en el diagrama. Per exemple, si HI = H1 +H2
llavors, HI(x)HI(y) = H1(x)H1(y)+H2(x)H2(y)+H1(x)H2(y)+H2(x)H1(y), en els termes
que mesclen dos vèrtexs diferents no podem utilitzar l’argument que hem utilitzat per a vèrtexs
idèntics, en canvi ens apareixen dos termes d’aquest tipus que donen la mateixa contribució
i acaben tenint el mateix efecte. Aquest resultat es pot generalitzar a un nombre arbitrari
d’interaccions i un producte arbitrari de hamiltonians d’interacció: el 1/n! de l’exponencial es
cancel·la quasi sempre i la possible no cancel·lació es tindrà en compte en el factor de simetria.
6.3.3 Camps escalars complexos
En aquesta secció estudiarem quin són els canvis que hem de fer en les regles de Feynman
quan el camp escalar és complex. Per això convé recordar que utilitzem camps complexos
quan hi ha alguna “càrrega” conservada de forma que la invariància sota transformacions de
fase dels camps ens done la càrrega conservada. Aquesta observació serà essencial a l’hora de
construir els diferents diagrames de Feynman. D’altra banda el camp conté una descomposició
en operadors de destrucció (creació) de partícules (antipartícules) respectivament
φI(x) =
d 3 p
(2π) 3 2Ep
a(p)e −ipx + b † (p)e ipx
,
on operadors de partícula i antipartícula commuten. Recordem que tenim contraccions entre
camps o camps i operadors de creació i destrucció només quan aquests no commuten, així
immediatament tenim
φ I(x)φI(y) = 0, φ † †
I (x)φ I (y) = 0
i només camps amb camps conjugats donen contraccions no trivials
A més tindrem
φ I(x)φ †
†
I (y) ≡ 〈0|T(φI(x)φ I (y))|0〉 = DF(x − y).
φ I(x)a † (p) = e −ipx , φ †
I (x)b† (p) = e −ipx
a(p)φ †
I (x) = eipx , b(p)φI(x) = e ipx .
La resta de les contraccions són nul·les. Notem que el signe de les exponencials ens diu si
tenim moment entrant o eixint independentment que siga de partícula o antipartícula i com en
el cas de camps reals ens garantiran la conservació del quadrimoment en cada vèrtex.
169

Arcadi Santamaria
El teorema de Wick per desenvolupar els productes T-ordenats en productes N-ordenats
segueix sent vàlid però només hem de considerar contraccions entre camps i camps conjugats.
Els camps que queden només es poden contraure amb les línies externes com en l’equació
anterior. Aquestes limitacions són una conseqüència de la conservació de la càrrega: només
són possibles aquelles contraccions que conserven la càrrega.
Finalment a l’hora de determinar el factor que hem de posar en cada vèrtex podem, com
sempre, derivar la interacció respecte tots els camps fins obtenir una constant, això si considerant
φ i φ † com camps independents. Així per exemple una interacció de la forma ΔL =
−λ|φ| 4 = −λφ 2 φ † 2 condueix a un vèrtex −4iλ que pot donar lloc a processos com (abusant
un poc del llenguatge utilitzarem les lletres φ i ¯φ per a representar la partícula i antipartícula
creades i destruïdes pel camp φ(x)) φ + ¯φ → φ + ¯φ ,φ + φ → φ + φ o ¯φ + ¯φ → ¯φ + ¯φ tots
conservant la càrrega (assignem arbitràriament una carrega +1 a la partícula i una càrrega −1
a l’antipartícula). Per exemple en el primer procés el a † de l’estat inicial es contrau amb els
camps φ (de dos formes possibles, d’ací un dels factors 2) mentre el b † de l’estat inicial es
contrau amb els camps φ † (també de dos formes, d’ací l’altre factor 2). Els a i b de l’estat final
ja només es poden contraure, respectivament, amb els φ † i φ que queden. Igualment podem fer
amb els altres processos.
Totes aquestes restriccions es poden resumir amb una regla addicional a l’hora de construir
els diagrames de Feynman: les línies internes o externes de camps complexos a més de moment
ara transporten càrrega que s’ha de conservar en cada vèrtex. Diagrames que no conserven la
càrrega en tots els vèrtexs estan prohibits. En línies externes el flux de càrrega està fixat pel
flux de moment i pel fet de ser partícules o antipartícules. En línies internes sempre podrem
triar el flux de càrrega en la mateixa direcció que el del moment. Per a un camp escalar això
no té cap importància (si no hi ha acoblaments amb derivades del camp) ja que el propagador
de Feynman només depèn del moment al quadrat, però es convenient triar aquesta prescripció
que sí serà rellevant en el cas de camps de Dirac (o si hi ha acoblaments amb derivades dels
camps).
És un bon exercici dibuixar els diagrames que contribuirien als processos φ + φ → φ + φ i
φ + ¯φ → φ + ¯φ a segon ordre en la interacció ΔL = −μ ϕ |φ| 2 (φ és un camp complex, ϕ un
camp real, i per tant neutre, i μ la constant d’acoblament) i fer el mateix per a una interacció
de la forma ΔL = −λ|φ| 4 .
6.3.4 Regles de Feynman per a camps de Dirac 9
Els camps de Dirac són camps complexos i en general transporten alguna càrrega conservada
(encara que siguen neutres sempre hi ha alguna càrrega conservada, per exemple els neutrons
tenen número bariònic i els neutrins, si són de Dirac, tenen número leptònic). Així que part de
la discussió que hem fet per a camps escalars complexos també s’aplicarà a camps de Dirac,
en particular només hi hauran contraccions no nul·les entre camps i camps conjugats. Ara bé,
els camps de Dirac satisfan regles d’anticommutació i a més tenen un índex addicional que no
9 En aquesta secció, i per alleugerir la notació, en alguns moments suprimirem l’index I per índicar que són
camps en la imatge d’interacció.
170

tenen els camps escalars, aquests dos fets generen diferències importants:
1) El producte T-ordenat en el cas de camps de Dirac és
T (ψa(x) ¯ψb(y)) = θ(x 0 − y 0 )ψa(x) ¯ψb(y) − θ(y 0 − x 0 ) ¯ψb(y)ψa(x)
Camps amb interaccions
i té un signe menys relatiu entre els dos termes que és conseqüència de les propietats d’anticommutació
del camp. Exactament com en el cas escalar tindrem que
T (ψa(x) ¯ψb(y)) =:ψa(x) ¯ψb(y): +〈0|T (ψa(x) ¯ψb(y))|0〉 ,
ja que el valor esperat en el buit del producte N-ordenat de camps és zero. Arguments semblants
als utilitzats per a camps escalars (canviant commutadors per anticommutadors) ens diuen que
:ψa(x) ¯ψb(y):= − : ¯ψb(x)ψa(y):,
és a dir, com a conseqüència de les propietats d’anticommutació dels camps, cada vegada que
canviem l’ordre dels camps dins d’un producte N-ordenat obtenim un signe menys. El teorema
de Wick es generalitza igualment, amb la diferència que cada vegada que haguem de canviar
l’ordre d’un parell de camps fermiònics per fer una contracció haurem d’afegir un signe menys.
2) El propagador de Feynman és una matriu de Dirac
ψ(x) ¯ψ(0) = 〈0|T (ψ(x) ¯ψ(0))|0〉 = SF(x) =
d4 p
(2π) 4
i(p/+m)
p2 − m2 + iε e−ipx
els índexs de la qual són els índexs de Dirac dels camps que no hem escrit explícitament. És
important remarcar que, a diferència del propagador del camp escalar, el propagador de Dirac
té un terme lineal amb el quadrimoment i, per tant, la direcció del quadrimoment serà rellevant
en línies fermiòniques internes.
3) El desenvolupament del camp de Dirac en operadors de creació i destrucció és:
ψ(x) = ∑ s
¯ψ(x) = ∑ s
d 3 p
(2π) 3 2Ep
d 3 p
(2π) 3 2Ep
a(p,s)u(p,s)e −ipx + b † (p,s)v(p,s)e ipx
,
a † (p,s)ū(p,s)e ipx + b(p,s) ¯v(p,s)e −ipx
,
i llavors en les línies externes tindrem (els camps són camps en la imatge d’interacció encara
que no posem explícitament el subíndex I).
ψ(x)a † (p) = u(p,s)e −ipx , ¯ψ(x)b † (p) = ¯v(p,s)e −ipx
a(p) ¯ψ(x) = ū(p,s)e ipx , b(p)ψ(x) = v(p,s)e ipx .
Així, a més de les exponencials, que com en el cas de camps escalars garantiran la conservació
del quadrimoment en cada vèrtex, ens apareixen els spinors que transporten l’índex de Dirac
171

Arcadi Santamaria
del camp. Notem el paper canviat de partícules (u’s o ū’s per a partícules entrant o eixint) i
antipartícules (v’s o ¯v’s per a antipartícules eixint o entrant).
4) Per cada llaç fermiònic, a més de la integral en el moment indefinit, hem d’afegir un signe
menys i prendre la traça sobre els índexs de Dirac. Per exemple, considerem una interacció
entre dos camps de Dirac i un camp escalar real de la forma ΔL = −g ¯ψ(x)ψ(x)φ(x). A ordre
quatre, amb tots els camps fermiònics contrets entre ells, aquest lagrangià genera una interacció
entre quatre camps escalars. Els camps fermiònics es poden contraure de la següent forma
( ¯ψa(x1)ψa(x1))( ¯ψb(x2)ψb(x2))( ¯ψc(x3)ψc(x3))( ¯ψd(x4)ψd(x4))
on hem escrit explícitament els índexs de Dirac i la forma en que estan sumats. Les contraccions
dels camps d’enmig generaran directament una cadena de propagadors de Feynman, la
contracció del primer camp ¯ψa i el darrer ψd està en l’ordre incorrecte ( ¯ψa a l’esquerra i ψd a
la dreta). Per posar aquests dos camps en l’ordre correcte per fer la contracció i escriure-la com
un propador de Feynman hem de moure el ¯ψa a la dreta per damunt del camp ψd i això genera
un signe menys
( ¯ψa(x1)ψa(x1))( ¯ψb(x2)ψb(x2))( ¯ψc(x3)ψc(x3))( ¯ψd(x4)ψd(x4))
= −ψa(x1) ¯ψb(x2)ψb(x2) ¯ψc(x3)ψc(x3) ¯ψd(x4)ψd(x4) ¯ψa(x1)
= −Tr{SF(x1 − x2)SF(x2 − x3)SF(x3 − x4)SF(x4 − x1)} ,
finalment hem tingut en compte que l’índex de Dirac inicial, a, i final, a, són el mateix i, llavors,
el resultat es pot escriure com una traça sobre el producte dels quatre propagadors de Dirac.
Aquest resultat es pot generalitzar a altres tipus d’interaccions i nombre de llaços. La regla 4)
es per tant completament general.
Abans de llistar les regles de Feynman per a teories amb camps de Dirac és convenient
veure uns exemples en detall. Per això utilitzarem una teoria que conté escalars reals i fermions
amb una interacció molt senzilla. Aquesta teoria s’anomena genèricament teoria de Yukawa i
podria descriure, amb petites variacions, la interacció de nucleons i pions, o la interacció del
bosó de Higgs amb fermions. Escriurem la densitat lagrangiana com
L Yukawa = 1
2 ∂μφ∂ μ φ − 1
2 M2 φ 2 + ¯ψ (i∂/ − m)ψ − ig ¯ψγ5ψφ ,
on φ es un camp de Klein-Gordon real i per tant descriu un bosó escalar neutre, mentre ψ
és un camp de Dirac. El factor i en l’acoblament és necessari per garantir la hermiticitat del
lagrangià. Òbviament també li podem afegir al lagrangià termes d’autointeracció entre escalars
com el que hem considerat a les seccions anteriors i que ja sabem tractar. La interacció que
hem escrit (amb una γ5 entre fermions) s’anomena pseudoescalar. Igualment haguérem pogut
considerar una interacció del tipus escalar (de la forma −g ¯ψψφ). El punt que volem il·lustrar
és el d’una interacció senzilla entre fermions i escalars i veure les diferències respecte al cas de
només escalars.
172

gγ5
φ
p −→
p1 ր
p2 ց
Figure 6.6: Diagrama que representa el vèrtex escalar-fermió-fermió
Camps amb interaccions
Considerem primer el vèrtex fermió-fermió-escalar i la seua contribució a la desintegració
de l’escalar en un parell fermió-antifermió. La densitat hamiltoniana d’interacció és ΔH =
ig ¯ψγ5ψφ ja que no hi ha derivades dels camps en la interacció. En la imatge de interacció
tenim per tant HI = ig ¯ψIγ5ψIφI. A primer ordre de teoria de pertorbacions tindrem
iT = 〈0|b(p2,s2)a(p1,s1)
d 4 x :g ¯ψI(x)γ5ψI(x)φI(x): a † (p)|0〉
on, òbviament, operadors de creació i destrucció sense spin es refereixen al camp escalar. Les
úniques contraccions possibles són
iT = g
d 4 x〈0|b(p2,s2)a(p1,s1) ¯ψI(x)γ5ψI(x)φ I(x)a † (p)|0〉
= g
d’on immediatament trobem que
d 4 xe −i(p−p1−p2)x ū(p1,s1)γ5v(p2,s2)
= (2π) 4 δ (4) (p − p1 − p2)gū(p1,s1)γ5v(p2,s2),
iM = gū(p1,s1)γ5v(p2,s2). (6.21)
Aquesta amplitud es pot representar mitjançat el diagrama de la figura 6.6. El fermió que
ix contribueix amb un factor ū(p1,s1) i antifermió que ix amb un factor v(p2,s2) mentre la
interacció dóna un factor gγ5 entre els spinors, que es just el terme del lagrangià eliminant els
camps i multiplicant per i. Notem que el fermió que ix dóna un spinor barra mentre l’antifermió
dóna un spinor (de tipus v) sense barra, de forma que els índexs de Dirac estan contrets entre ells
(amb la γ5 enmig) per a donar un nombre (com ha de ser per a una amplitud). En el diagrama
hem representat els fermions amb una línia contínua amb una fletxa que representa el flux de
càrrega, en el sentit que en el cas de l’antifermió que ix es pot considerar que el flux de càrrega
va en sentit contrari al del moment, però també l’ordre en que estan contrets els índexs de Dirac
de forma que podem llegir el diagrama començant pel final de la línia fermiònica (senyalat per
la direcció de la fletxa) per començar a escriure l’amplitud (d’esquerra a dreta). Per al fermió
que ix hem escrit un spinor barra de tipus u, després continuem fins que trobem el vèrtex on
escrivim un factor gγ5 (que és just el terme del lagrangià sense camps i multiplicat per una i )
finalment per l’antifermió que ix posem un spinor de tipus v. Així podem escriure l’amplitud
directament llegint el diagrama. Com canvien les coses si en compte d’un antifermió que ix
173

Arcadi Santamaria
tenim un fermió que entra 10 ? És fàcil veure que l’únic que canvia és la delta de conservació
del moment (el p2 en aquest cas entra llavors tindrem una δ (4) (p − p1 + p2) i que en compte
de v(p2,s2) ens apareix u(p2,s2). Igualment podríem haver canviat el fermió que ix (amb
moment p1) per un antifermió que entra llavors en compte de ū(p1,s1) tindrem ¯v(p1,s1). És
clar, llavors, que podem representar totes aquestes amplituds pel mateix vèrtex amb les fletxes
donant el flux de càrrega i l’ordre de contracció dels índexs de Dirac. Només canviaran els
spinors de les potes externes segons siguen fermions o antifermions, entrant o eixint.
En el càlcul anterior, però, hi ha una ambigüitat: hem escrit l’estat final com 〈0|b(p2,s2)a(p1,s1)
; perfectament l’haguérem pogut escriure com 〈0|a(p1,s1)b(p2,s2) i haguérem obtingut un
signe menys en l’amplitud (ja que a’s i b’s anticommuten). Aquest signe es irrellevant ja que
només tenim una amplitud i per a calcular observables hem d’elevar al quadrat, la qual cosa
elimina aquest signe. Així i tot és útil prendre una convenció: definirem sempre el vèrtex
utilitzant una partícula entrant i una partícula eixint, d’aquesta forma el vèrtex es llegeix directament
del lagrangià com hem discutit (notem que aquesta convenció implica que l’amplitud
d’una antipartícula entrant i una antipartícula eixint té un signe − addicional, ja que per fer les
contraccions amb els operadors de creació i destrucció d’antipartícula hem de saltar almenys
un dels camps fermiònics, aquest signe, però, és irrellevant per a la majoria de les aplicacions).
Igualment triarem l’estat de dues partícules de forma que |p1,s1; p2,s2〉=a † (p1,s1)a † (p2,s2)|0〉
(l’estat conjugat és llavors 〈p1,s1; p2,s2|=〈0|a(p2,s2)a(p1,s1)). Per a l’estat partícula-antipartícula,
quan puguen haver ambigüitats, triarem la convenció de que l’operador de creació d’antipartícula
actua primer).
Considerem ara un procés un poc més complicat, la col·lisió partícula-antipartícula per
produir dos escalars. Aquest procés es pot generar a segon ordre de teoria de pertorbacions (a
partir de la segona línia i per alleugerir la notació hem suprimit els moments i spins, quedant
entès que índexs 3,4 es refereixen a escalars i índexs 1,2 a fermions):
= g2
2!
iT = (−i)2
2!
= g2
2!
= g2
2!
= g2
2!
= g2
2! (2π)4
174
d 4 xd 4 y〈0|a(p4)a(p3)T(HI(x)HI(y))a † (p1,s1)b † (p2,s2)|0〉
d 4 xd 4 y〈0|a4a3 T(:φI(x) ¯ψI(x)γ5ψI(x)::φI(x) ¯ψI(y)γ5ψI(y):)a †
1 b†
2 |0〉
d 4 xd 4 y〈0|a4a3 φ I(x) ¯ψI(x)γ5ψI(x)φ I(y) ¯ψI(y)γ5ψI(y)a †
1 b†
2 |0〉+···
d 4 xd 4 ye −i(p2−p4)x e −i(p1−p3)y ¯v(p2,s2)γ5 ψI(x) ¯ψI(y)γ5u(p1,s1)+···
d 4 xd 4 ye −i(p2−p4)x
−i(p1−p3)y
e
d4k e
¯v(p2,s2)γ5
(2π) 4 −ik(x−y) i(k/+m)
k2 − m2 γ5u(p1,s1)+···
+ iε
d 4 k δ (4) (p2 − p4 + k)δ (4) i(k/+m)
(p1 − p3 − k) ¯v(p2,s2)γ5
k2 − m2 + iε γ5u(p1,s1)+···
10 Notem que la càrrega s’ha de conservar.

¯f
f
p2 →
p1 →
x
φ, p4
k = p1 − p3 = p4 − p2
φ, p3
p2 →
k = p1 − p4
y f p1 →
Figure 6.7: Diagrames que contribueixen al procés f ¯f → φφ
¯f
Camps amb interaccions
= ig2
2! (2π)4δ (4) p/1 − p/3 + m
(p1 + p2 − p3 − p4) ¯v(p2,s2)γ5
(p1 − p3) 2 − m2 + iε γ5u(p1,s1)+···
x
y
φ, p4
φ, p3
Els punt suspensius representen altres possibles contraccions que discutirem un poc més endavant.
Aquesta contribució es pot representar mitjançat el diagrama de l’esquerra en la figura
6.7 on hem especificat les direccions dels moments i si les contraccions van al vèrtex amb variable
x o al vèrtex amb variable y. Com sempre, les exponencials de moments l’únic que fan es
garantir la conservació de moment en cada vèrtex i, per tant, generar finalment la delta de conservació
de moment total. Com en el cas anterior partícules o antipartícules externes ens donen
els spinors u o v amb la contracció d’índexs de Dirac governada per la direcció de la fletxa (o
el flux de càrrega). En cada vèrtex, com abans, ens apareix un factor gγ5. Finalment, la línia
interna representa la contracció entre dos camps fermiònics que ens genera un propagador de
Feynman de Dirac amb el moment dictat per la conservació de moment en els vèrtexs. Per a
les línies internes triarem sempre la direcció del moment en la mateixa direcció de la fletxa (i
del flux de càrrega). Això és important perquè, a diferència del cas escalar, el signe de k és
rellevant per la presencia del terme lineal en k/. Com es veu l’amplitud es pot escriure llegint
el diagrama seguint les fletxes en sentit invers i anant afegint spinors, vèrtexs i propagadors a
mesura que trobem línies externes, vèrtexs o línies internes. Només queda per determinar el
factor global. El factor 1/2! es cancel·la sempre perquè també podem fer les contraccions de
forma que canviem el paper de les x i de les y (diagramàticament hi hauria un altre diagrama
amb les línies fermiòniques i les línies bosòniques creuades que es topològicament equivalent
al diagrama considerat i per tant dóna la mateixa contribució). A més, una vegada estan fixades
les contraccions dels fermions, els bosons els podem contraure permutant el paper de les
partícules amb moment p3 i p4. Aquesta contribució es pot representar mitjançant el diagrama
de la dreta de la figura 6.7 i és necessària per garantir la simetria de l’amplitud de col·lisió
sota l’intercanvi d’etiquetes dels dos bosons finals. L’única diferència és que en el moment del
propagador de Feynman fermiònic hem de posar ara k = p1 − p4. Com sempre, el factor 1/2!
també es cancel·la (el diagrama amb les línies fermiòniques creuades i les bosòniques sense
creuar dóna la mateixa contribució). La contribució total a l’element de matriu reduït, sumant
la dels dos diagrames topològicament diferents, és
iM = ig 2
p/1 − p/3 + m
¯v(p2,s2)γ5
(p1 − p3) 2 − m2 + iε +
p/1 − p/4 + m
(p1 − p4) 2 − m2
γ5u(p1,s1).
+ iε
Considerem ara la col·lisió f f → f f . En aquest cas tenim dos fermions idèntics tant en l’estat
175

Arcadi Santamaria
inicial com en l’estat final. L’estadística de Fermi ens diu que l’amplitud ha de ser antisimètrica
sota l’intercanvi de les etiquetes dels dos fermions inicials o finals. Vegem com aquesta propietat
surt automàticament de les regles d’anticommutació dels camps i operadors de creació i
destrucció. En aquest cas, també a segon ordre en teoria de pertorbacions, tindrem (com abans,
per alleugerir la notació, també hem suprimit els moments i spins en els operadors de creació
i destrucció; en aquest cas com no hi ha possibilitat de confusió ja que totes les línies externes
son fermions, a3 i a4 representaran operadors de destrucció de fermions)
= g2
2!
iT = g2
2!
= g2
2!
d 4 xd 4 y〈0|a4a3 T(: ¯ψI(x)γ5ψI(x)φI(x)::φI(x) ¯ψI(y)γ5ψI(y):)a †
1 a†
2 |0〉
d 4 xd 4 y〈0|a4a3 ¯ψI(x)γ5ψI(x)φ I(x)φ I(y) ¯ψI(y)γ5ψI(y)a †
1 a†
2 |0〉+···
d 4 xd 4 ye −i(p2−p4)x
−i(p1−p3)y
e ū(p4,s4)γ5u(p2,s2)
= ig2
2!
(2π) 4 δ (4) (p1 + p2 − p3 − p4)
(p1 − p3) 2 − M 2 + iε
d4k (2π) 4
ie−ik(x−y) k2 − M2 + iε ū(p3,s3)γ5u(p1,s1)+···
(ū(p4,s4)γ5u(p2,s2))(ū(p3,s3)γ5u(p1,s1))+···
Representarem aquesta contribució amb el diagrama de l’esquerra de la figura 6.9. Les dues
línies fermiòniques donen cada una un escalar i es poden llegir com hem fet als casos anteriors.
La línia interna de l’escalar dóna un propagador de Feynman i, com sempre, tenim la
conservació de moment en cada vèrtex. Finalment hem d’assenyalar que, amb la convenció de
signes que hem triat per als estats, aquest diagrama no té cap signe − addicional, com es pot
comprovar contraent per exemple primer el a †
1 , després el a3 (salta dos camps de Dirac, per tant
no dóna signe) finalment contraem el a4 i el a †
2 sense obtenir cap signe. Alternativament podem
prendre la següent contracció amb les dues línies fermiòniques finals permutades
〈0|a4a3 ¯ψI(x)γ5ψI(x)φ I(x)φ I(y) ¯ψI(y)γ5ψI(y)a †
1 a†
2 |0〉
que clarament donen un signe addicional (per exemple, permutem primer a4 i a3 obtenint així
un signe menys, després fem les contraccions com abans canviant 3 ↔ 4). Aquesta contribució
la podem representar amb el diagrama de la dreta de la figura 6.9 que té les dues línies
fermiòniques finals creuades. A més d’aquests contribucions tindrem també les equivalents
amb les dues línies fermiòniques inicials i finals creuades, diagrama que és topològicament
equivalent al primer, o les dues línies inicials creuades i les finals sense creuar que dóna una
contribució igual al segon diagrama. D’aquesta forma l’element de matriu reduït serà
176
ig
iM =
2
(p1 − p3) 2 − M2 + iε (ū(p4,s4)γ5u(p2,s2))(ū(p3,s3)γ5u(p1,s1))
ig
−
2
(p1 − p4) 2 − M2 + iε (ū(p3,s3)γ5u(p2,s2))(ū(p4,s4)γ5u(p1,s1))

f
f
p2 → x p4 →
p1 →
k = p1 − p3 = p4 − p2
f
f
p2 →
k = p1 − p4
y p3 →
p1 →
Figure 6.8: Diagrames que contribueixen al procés f ¯f → f ¯f
f
f
Camps amb interaccions
que té les propietats d’antisimetria desitjades tant respecte la permutació d’etiquetes de l’estat
final com de l’inicial. Quan tenim partícules idèntiques a l’estat inicial o final aquests signes
menys relatius entre diagrames són evidents i normalment s’associen a diagrames amb línies
fermiòniques externes creuades. De vegades, però, quan tenim partícules i antipartícules també
poden haver signes − relatius entre diagrames que no són tan evidents. Per exemple, el mateix
terme que dóna lloc al procés f f → f f també permet el procés f ¯f → f ¯f amb contribucions
de dos diagrames que tenen un signe menys relatiu i que es poden escriure de forma que no
tinguen línies fermiòniques creuades. Per trobar aquest signes relatius serà suficient escriure
les contraccions associades als diagrames com hem fet ací.
Després de veure aquests exemples podem generalitzar fàcilment les regles que s’han d’utilitzar
per calcular qualsevol procés en la teoria de Yukawa (escalar o pseudoescalar).
6.4 Regles de Feynman per al lagrangià de Yukawa
Del lagrangià, i de les discussions de la secció anterior, podem llegir directament les regles de
Feynman de la teoria de Yukawa.
Dibuixarem tots els diagrames topològicament diferents que puguen contribuir al procés
mantenint fixes les posicions (moments i spins) de les partícules externes i assignant a les línies
fermiòniques una fletxa que indique la direcció del flux de la càrrega (en el cas d’electrons de
carrega negativa) i l’ordre de la contracció dels índexs de spin 11 .
1. Començarem a llegir cada diagrama per la punta de la fletxa de les línies fermiòniques.
2. Per cada línia externa
(a) de fermions entrant posarem u(p,s)
(b) de fermions eixint posarem ū(p,s)
(c) d’antifermions entrant posarem ¯v(p,s)
x
y
f, p4
f, p3
p −→
p −→
p −→
11 Encara que en els diagrames que hem utiitzat d’exemple hem escrit explícitament el flux de moment en cada
pota externa això no es necessari si es pren la convenció d’escriure partícules o antipartícules incidents a l’esquerra
i finals a la dreta de forma que el flux de moment va sempre d’esquerra a dreta.
177

Arcadi Santamaria
(d) d’antifermions eixint posarem v(p,s)
(e) d’escalars entrant posarem 1
(f) d’escalars eixint posarem 1
p −→
k −→
k −→
3. En cada vèrtex fermió-fermió-scalar imposarem la conservació del quadrimoment i inserirem
un factor (entre parèntesi donem també el factor que hauriem de posar si la interacció
és pseudo-escalar, −ig ¯ψγ5ψφ, en compte d’escalar, −g ¯ψψφ)
−ig , (gγ5)
4. Per cada línia interna d’escalars inserirem un propagador de escalar
k −→
i
k 2 − M 2 + iε
5. Per cada línia interna fermiònica inserirem un propagador de fermió
i i(p/+m)
p −→
≡
p/ − m p2 − m2 + iε
φ
6. Quan siga necessari afegirem un signe − per tenir en compte l’estadistica de Fermi. En
particular per a partícules (o antipartícules) de Dirac idèntiques en l’estat final o inicial
afegirem un signe − per cada parell de línies de partícules (antipartícules) idèntiques que
es creuen. En el cas general vegeu la discussió al text.
7. Per cada bucle fermiònic prendrem una traça i afegirem un signe −.
8. Integrarem sobre tots els moments indeterminats en els bucles afegint una integral
per cada moment indeterminat.
En el cas de la interacció de Yukawa no n’hi ha factors de simetria.
6.4.1 Sumes sobre spins de fermions
d 4 k
(2π) 4
Típicament l’amplitud d’un procés amb dos fermions en línies externes (per simplicitat considerarem
un fermió inicial i un fermió final, els canvis per a antifermions són obvis) serà de la
forma
M = ū(p2,s2)Ou(p1,s1),
178

Camps amb interaccions
on O es un producte de matrius de Dirac i possiblement altres funcions escalars (que poden
contenir també productes d’altres spinors si hi ha mes fermions en línies externes). Els índexs
de Dirac de O estan contrets amb els corresponents índexs dels spinors de forma que
l’amplitud és un escalar. Per calcular una secció eficaç, en general, haurem de calcular el
quadrat de l’amplitud. Si el spin de les partícules inicials està fixat i es mesuren els spins de
les partícules finals podrem utilitzar les representacions explícites dels spinors, calcular M i
prendre el quadrat. Per a 2 potes fermiòniques externes tindrem 4 amplituds (i 16 quadrats) per
a 4 potes fermiòniques externes (per exemple en la col·lisió f f → f f ) tindrem 16 amplituds (i
256 quadrats!). Aquest mètode pot ser adequat si el càlcul es fa numèricament però no és pràctic,
excepte en casos senzills, en càlculs analítics. A més, en la majoria dels casos, les feixos
de partícules inicials no estan polaritzats i no es mesura el spin de les partícules finals. Això
vol dir que hem de fer la mitjana sobre spins inicials i sumar sobre spins finals. En tal cas hi
ha simplificacions importants que ens permetran reduir el quadrat de les amplituds a un senzill
càlcul de traces de matrius de Dirac. Al final veurem també com, utilitzant els projectors de
spin que vam estudiar al capítol 4, es pot generalitzar el mètode per tenir en compte el spin.
En el cas de feixos no polaritzats i si no es mesuren els spins de les partícules finals la
secció eficaç (o el ritme de desintegració) és proporcional a la suma sobre els spins de totes les
partícules externes del quadrat de l’amplitud. En el cas que estem considerant
σ ∝ ∑ M
s1,s2
∗
M = ∑ u
s1,s2
† (p1,s1)O † ū †
(p2,s2) (ū(p2,s2)Ou(p1,s1)).
On els índexs de Dirac estan contrets dins de cada parèntesi. Com que ū = uγ0 i γ0† que
∑ M
s1,s2
∗
M = ∑ ū(p1,s1)γ
s1,s2
0 O † γ 0
u(p2,s2) (ū(p2,s2)Ou(p1,s1)) .
= γ 0 tenim
Escrivint explícitament els índexs de Dirac, aquesta expressió té una estructura de la forma
(com sempre índex de Dirac repetits estan sumats) .
(ū 1aAabu2b)(u2cBcdu1d) = u1dū 1aAabu2bū2cBcd = Tr{u1ū 1 Au2ū2B}.
Reorganitzant el quadrat de l’amplitud d’aquesta forma podem escriure
∑ M
s1,s2
∗
M = Tr ∑u(p1,s1)ū(p1,s1) s1
γ 0 O † γ 0
∑u(p2,s2)ū(p2,s2) s2
que ens permet utilitzar les expressions que vam obtenir per les sumes d’spin al capítol 4i
escriure
∑ M
s1,s2
∗
M = Tr (p/1 + m)γ 0 O † γ 0
(p/2 + m)O .
Així el problema es redueix a calcular les traces de productes de matrius de Dirac. Òbviament
aquest resultat s’estén fàcilment per a amplituds que involucren més fermions o antifermions
externs entrant o eixint.
O
,
179

Arcadi Santamaria
Finalment hem de recordar que fermions i antifermions de Dirac tenen dos estats de spin i,
per tant, quan fem la mitjana sobre spins inicials haurem de tenir en compte aquests factor 1/2
per cada fermió o antifermió inicial.
Com hem comentat al principi, aquest mètode es pot aplicar també al cas general. En efecte,
l’única diferència respecte al cas considerat es que si els spins de les partícules externes estan
fixats no podrem sumar sobre spins. Tot és igual al cas anterior però ara sense sumar sobre
spins
σs1s2
∝ Tr (u(p1,s1)ū(p1,s1))γ 0 O † γ 0
(u(p2,s2)ū(p2,s2))O .
L’únic canvi és que ara l’expressió per al projector sobre spinors és un poc més complicada
(vegeu 4.22o 4.27 en el capítol 4 per més detalls)
u(p,s)ū(p,s) = 1
2 (1+sγ5n/)(p/+m),
v(p,s) ¯v(p,s) = 1
2 (1+sγ5n/)(p/ − m).
Si els estats estan caracteritzats per l’helicitat i no pel spin en compte dels projectors de spin,
Ps(n), s’hauran d’utilitzar els projectors d’helicitat també estudiats al capítol 4.
Amb aquestes tècniques ja podem calcular qualsevol secció eficaç o ritme de desintegració
en teoria de pertorbacions (almenys al l’ordre més baix en teoria de pertorbacions).
6.4.2 Interacció el bosó de Higgs amb fermions: regles de Feynman
El bosó de Higgs és un escalar neutre i per tant està descrit per un camp de Klein-Gordon real,
H. La seua interacció amb els fermions es del tipus de Yukawa (escalar, és a dir sense iγ5) i
s’escriu com
LH = −∑ i
mi
vF
¯ψiψiH , (6.22)
on la suma s’estén sobre tots els fermions, mi és la massa del fermió i vF és un paràmetre de la
teoria amb dimensions de massa, vF ≈ 246 GeV.
Les regles de Feynman s’extrauen directament del lagrangià i són idèntiques a les del lagrangià
de Yukawa (escalar) canviant senzillament g → mi/vF
−i mi
vF
H
S’ha que tenir en compte que el vèrtex és diagonal, és a dir el Higgs només interacciona
amb dos fermions del mateix tipus. A més els quarks tenen color i, encara que l’índex de color
no l’hem escrit explícitament, està present i s’ha de tenir en compte per obtenir els resultats
correctes (per exemple, en les traces que apareixen en els llaços fermiònics haurem d’afegir un
factor NC = 3 perquè també estarem sumant sobre l’índex de color, o en les seccions eficaces
180
ψi
ψi

Camps amb interaccions
que involucren quarks finals haurem d’afegir també un factor NC perquè estarem sumant les
contribucions dels tres colors)
6.5 Aplicacions
6.5.1 Desintegració d’un escalar en fermions
L’únic diagrama que contribueix al procés és6.6 i l’amplitud (per a una interacció pseudoescalar)
ja la vam calcular a les seccions anteriors (eq. (6.21)):
iM = gū(p1,s1)γ5v(p2,s2).
L’amplada de desintegració és (5.18) (en el sistema de referència en el què l’escalar està en
repòs)
Γ(φ → f ¯f)
1 − 4m2 /M2 =
64π2
dΩ∑ |M |
M
spin 2 ,
on hem utilitzat que per a m1 = m2 = m (ja que partícula i antipartícula tenen la mateixa massa)
λ(M 2 ,m2 ,m2 ) = M2 1 − 4m2 /M2 . Utilitzant els resultats anteriors i que γ0γ †
5 γ0 = −γ5 i
que la suma sobre spins és
∑ |M |
s1s2
2 = −g 2 Tr{(p/1 + m)γ5(p/2 − m)γ5} = g 2 Tr{(p/1 + m)(p/2 + m)} .
Per al spinor d’antipartícula hem utilitzat que ∑s2 v(p2,s2) ¯v(p2,s2) = p/2 − m. També hem utilitzat
les propietat d’anticommutació de la γ5: γ5p/ = −p/γ5 i γ2 5 = I. Les traces que queden es
redueixen fàcilment tenint en compte que la traça d’un nombre imparell de γ μ és zero, que
Tr{I} = 4 (recordem que davant de cada massa hi ha una identitat de matrius de Dirac, encara
que no l’escrivim explícitament) i que Tr{p/1p/2} = 4p1p2 (vegeu l’apèndix). Així
∑ |M |
s1s2
2 = 4g 2 p1p2 + m 2 = 2g 2 M 2 ,
on hem utilitzat que M 2 = p 2 = (p1+ p2) 2 = 2(p1p2+m 2 ). Substituint i integrant l’angle sòlid
dΩ = 4π obtenim finalment
Γ(φ → f ¯f) = g2
8π M
1 − 4m2 /M2 .
És important remarcar que aquest resultat es pot obtenir, en bona aproximació, només de
l’estructura del diagrama i un poc d’anàlisi dimensional. En efecte, en el límit que m ≪ M,
l’única escala rellevant del problema és M i sabem que l’amplada Γ té dimensions de massa
i que g, la constant d’acoblament, no té dimensions. A més, del diagrama, M ∝ g i llavors
Γ ∝ |M | 2 ∝ g 2 . Com que Γ té dimensions de massa i l’única escala de masses disponible en el
problema (per a m ≪ M) és M necessàriament tindrem
Γ ∝ g 2 M.
181

Arcadi Santamaria
Podem ser encara un poc més precisos si tenim en compte que la integral d’espai fàsic de dos
cossos genera sempre un factor 1/(8π). Així a banda d’un factor de l’ordre de la unitat (que
pot venir dels detalls del càlcul de l’amplitud) tindrem
Γ ≈ g2
8π M,
que és una molt bona estimació del càlcul complet. És important fer estimacions d’aquest tipus
abans de fer cap càlcul complicat per tenir una idea del que esperem obtenir.
Ritme de desintegració del bosó de Higgs en quarks b
En el model estàndard d’interaccions electró-febles s’espera que el bosó de Higgs tinga una
massa en el rang 100-150 GeV (encara que no estan completament exclosos valors majors). En
tal cas el bosó de Higgs es desintegraria dominantment a fermions i entre els fermions es desintegraria
preferentment al fermió més pesat accessible cinemàticament (ja que els acoblaments
són proporcionals a les masses). El bosó de Higgs no es pot desintegrar al quark top ja que
el quark top té una massa al voltant de 175 GeV i aquest es produeixen en parells top-antitop.
El fermió més pesat accessible seria, per tant, el quark b amb una massa al voltant de 5 GeV.
Llavors, l’estudi d’aquest procés és importantíssim per a poder descobrir el bosó de Higgs.
Encara que el càlcul de H → b¯b és molt semblant al que acabem de fer, hi ha algunes petites
diferències ja que l’acoblament és escalar i no pseudoescalar i a més el quark b té color. Els
canvis, però, són trivials, així (gb = mb/vF)
∑ |M |
s1s2,color
2 = NCg 2 bTr{(p/1 + mb)(p/2 − mb)} = NC4g 2
b p1p2 − m 2
b
= NC4g 2
b p1p2 − m 2
b = NC2g 2 bM2
2
H 1 − 4mb /M 2
H .
Així
Γ(H → b ¯b) = NCg2 b
8π MH
1
− 4m2 b /M2 3 3m
H = 2 b
8πv2
1
MH − 4m2 b /M
F
2 3 H .
Deixem com a exercici el càlcul dels ritmes de desintegració a la resta dels fermions així com
la vida mitjana τ = 1/(∑i Γ(H → fi ¯fi).
6.5.2 Secció eficaç fermió-fermió i potencial de Yukawa
Vegeu secció 4.7 del llibre de Peskin & Schroeder.
Secció eficaç μ + μ − → b¯b
Com a conseqüència de les interaccions del bosó de Higgs i els fermions és possible la anihilació
d’un parell fermió antifermió produint un bosó de Higgs que es manifestaria com una
ressonància en la secció eficaç d’anihilació fermió-antifermió si l’energia en centre de masses
és a prop de la massa del bosó de Higgs. En particular, si es coneix relativament be la massa
182

μ +
μ −
p2 ց
p1 ր
H
q = p1 + p2
p4 ր
p3 ց
¯b
b
Camps amb interaccions
Figure 6.9: Diagrama que contribueix a μ + μ − → b ¯b per intercanvi d’un bosó de Higgs.
del bosó de Higgs, l’estudi del procés μ + μ − → b¯b prop de la ressonància (muons a l’estat
inicial perquè fermions més pesats es desintegren massa ràpidament com per a poder estudiar
aquesta secció eficaç i quarks b a l’estat final perquè s’espera que siga el canal dominant) ens
pot permetre determinar amb precisió les propietats del bosó de Higgs (igual que l’estudi de la
col·lisió e + e − prop de la ressonància del bosó de gauge Z ens ha permès determinar les seues
propietats.
L’únic diagrama que contribueix a μ + μ − → b¯b utilitzant les interaccions del bosó de Higgs
és l’amplitud del qual és (índexs 1 i 2 es refereixen a moments i spins de muons-antimuons i 3
i 4 a moments i spins de quarks-antiquarks b i s = (p1 + p2) 2 = (p3 + p4) 2 )
iM = −igμgb
s − M2 (ū3v4)( ¯v2u1).
H
Així (el NC ve de la suma sobre colors i el 1/4 de la mitjana sobre els spins de l’estat inicial)
∑ |M |
s1,s2,s3,s4,color
2 = NC g
4
2 μg2 b
(s − M2 H )2 Tr{(p/3 + mb)(p/4 − mb)}Tr (p/2 − mμ)(p/1 + mμ)
= NCg2 μg2 bs2 (s − M2 H )2
2
1 − 4mb /s
1 − 4m 2 μ /s
,
on hem utilitzat el resultat de la secció 6.5.1 per al càlcul de les traces (canviant M2 H per s)
Tr{(p/3 + mb)(p/4 − mb)}=2s 1 − 4m2 b /s . Ara podem utilitzar la formula (5.16) per a la secció
eficaç a dos cossos en centre de masses
σ(μ + μ −
λ(s,m
→ H → b¯b) =
2 b ,m2 b )
λ(s,m 2 μ,m 2 1
μ) 64π2
s
= NCg 2 μg 2 b
16π
s
(s − M 2 H )2
dΩ ∑
spin,color
|M | 2
1
− 4m2 b /s 3
1 − 4m2
μ/s . (6.23)
183

Arcadi Santamaria
En el límit s ≫ M 2 H ≫ m2 b ,m2 μ tindrem
σ(μ + μ − → H → b¯b) ≈ NCg 2 μ g2 b
16πs , s ≫ M2 H ≫ m2 b ,m2 μ .
Aquest resultat s’entén perfectament utilitzant anàlisi dimensional: els factors g2 μ, g2 b venen dels
vèrtex, el NC de la suma sobre colors, el 1/(16π) de la integral d’espai fàsic (que dóna factor
1/(8π) ) i finalment, com que la secció eficaç té dimensions de superfície, 1/M2 en el sistema
natural d’unitats, l’única escala rellevant en el problema és l’energia en centre de masses, per
tant, per a s grans ha d’haver un factor 1/s, com efectivament hem obtingut.
La secció eficaç (6.23) es fa infinita per a s = M2 H . Això passa perquè estem calculant només
a l’ordre mes baix en teoria de pertorbacions. Aquesta és una bona aproximació sempre que
estem lluny dels pols dels propagadors de Feynman. Si estem prop d’un pol del propagador
de Feynman, com és el cas, possibles correccions d’ordre superior al propagador de Feynman
són importants. Com vam discutir al capítol 5, i veurem en detall més endavant, si la partícula
virtual és inestable (és una ressonància) el propagador adquireix una petita part imaginaria però
que domina completament el comportament del propagador prop del pol. Aquestes correccions
es poden tenir en compte fent la substitució
1
s − M 2 H
→
s − M 2 H
1
,
+ iΓHMH
on ΓH és l’amplada de desintegració total del bosó de Higgs. Amb aquesta substitució la secció
eficaç queda com
σ(μ + μ − → H → b¯b) = NCg2 μg2 b s
16π (s − M2 H )2 + Γ2 HM2
1
− 4m2 b /s
H
3
1 − 4m2 μ /s
,
que te un comportament suau per a tot s i presenta un pic, la típica ressonància de Breit-Wigner,
per a s ≈ M2 H . Just al pic, la secció eficaç es pot escriure en termes de les amplades parcials de
desintegració
on βμ ≡
σ(μ + μ − → H → b¯b) pic = 4π
β 2 μ M2 H
Γ(H → μ − μ + )Γ(H → b¯b)
Γ 2 H
= 4π
β 2 μM2 BRμBRb,
H
1 − 4m2 μ/M2
H (βμ ≈ 1 si MH ≫ mμ) és la velocitat dels muons (antimuons) ini-
cials i les BR f són les relacions de desintegració a cada canal BR f = Γ(H → f ¯f)/ΓH. Aquesta
formula ens diu que la secció eficaç al pic de la ressonància ve donada bàsicament per la inversa
de la massa al quadrat de la ressonància pel producte de les relacions de desintegració de
la ressonància a les partícules inicials i finals. Aquest resultat és molt general i s’aplicarà a totes
les partícules inestables amb petites variacions que tenen en compte el spin de les partícules involucrades.
Aquest càlculs són molt senzills i semblen prometedors, la realitat però és més complicada.
Els muons i quarks, a més de les interaccions amb el bosó de Higgs, tenen interaccions febles
i electromagnètiques que també contribueixen a la secció eficaç, que la dominen i que fan que
la contribució del bosó de Higgs no siga fàcil de distingir de la resta de contribucions.
184

6.6 Acoblaments amb derivades
Camps amb interaccions
Fins només hem considerat interaccions que no involucren derivades dels camps de forma que,
en el cas d’una teoria escalar, no canvia el moment conjugat del camp i HI = −LI. Si les interaccions
involucren derivades del camp les coses són molt diferents, la densitat hamiltoniana
en la imatge d’interacció contindrà termes que no són covariants i, al mateix temps, el producte
T-ordenat de les interaccions també contindrà termes addicionals que no seran covariants. Així
i tot es pot demostrar que tots els termes no covariants es cancel·len els uns amb els altres i al
final les amplituds són completament covariants. Gràcies a això es poden formular unes regles
de Feynman per a interaccions amb derivades que ens porten directament a les amplituds covariants.
La deducció d’aquestes regles és molt complicada en el formalisme hamiltonià que
hem desenvolupat i és molt més senzilla en el formalisme d’integrals de camí que tractarem un
poc més endavant. Llavors, no volem perdre massa temps per justificar aquestes regles amb
el formalisme canònic. Sí que ens agradaria, però, desenvolupar un exemple molt senzill que
permet veure els problemes que surten i la seua solució.
Considerarem el lagrangià de Klein-Gordon real amb una interacció de la forma J μ ∂μφ
L = 1
2 ∂ μ φ∂μφ − 1
2 m2 φ 2 + J μ ∂μφ ,
on J μ és un corrent extern fixat. La presència d’aquest terme canvia el moment conjugat, ara
tindrem
la densitat hamiltoniana serà, per tant,
π = ∂L
∂ ˙φ = ˙φ + J 0 ,
H = π ˙φ −L = 1
2 ˙φ 2 + 1
2 ∇φ ∇φ + 1
2 m2 φ 2 −J ∇φ
que s’ha de rescriure en termes de π eliminant ˙φ = π − J 0
H = 1
2 π2 + 1
2 ∇φ ∇φ + 1
2 m2 φ 2 − J 0 π −J ∇φ + 1
2 (J0 ) 2 .
Ara separem el hamiltonià en el hamiltonià lliure i hamiltonià d’interacció (recordem que la
separació la fem a t = 0)
H = H0 + ΔH
H0 ≡ 1
2 π2 + 1
2 ∇φ ∇φ + 1
2 m2 φ 2 ,
ΔH = −J 0 π −J ∇φ + 1
2 (J0 ) 2 .
Per a passar a la imatge d’interacció només hem de canviar camps i moments pels seus valors
en la imatge d’interacció, φI i πI. H0 manté la mateixa forma en termes dels camps en la imatge
d’interacció mentre per a la interacció tindrem
HI = −J 0 πI −J ∇φI + 1
2 (J0 ) 2 .
185

Arcadi Santamaria
Finalment els camps φI i πI són lliures i per tant podem substituir πI = ˙φI i
HI = −J μ ∂μφI + 1
2 (J0 ) 2 .
Així veiem que el hamiltonià d’interacció en la imatge d’interacció, no és només −ΔL escrit
en termes dels camps d’interacció, sinó que ens apareix un terme addicional no covariant. Per
arribar al resultat correcte és imprescindible fer el pas a la imatge d’interacció com ho hem fet:
escrivint el hamiltonià complet en termes de camps complets π, i φ i després canviant-los per
πI i φI. D’aquesta forma, com que són els camps complets π, i φ els que satisfan relacions de
commutació canòniques i com que el pas a la imatge d’interacció és una transformació unitària,
es garanteix que πI i φI també satisfan relacions de commutació canòniques.
Ara podem utilitzar aquesta interacció en la sèrie de Dyson per veure que passa. Mantenint
com a màxim termes amb dos corrents externs tindrem
S = 1 − i d 4
x −J μ (x)∂μφI(x)+ 1
2 (J0 (x)) 2
+ (−i)2
d
2!
4
x d 4 yJ μ (x)J ν (y)T ∂μφI(x)∂νφI(y) + ···
Els punts suspensius representen termes amb 3 o més corrents externs. El producte T-ordenat
que ens apareix no és el producte T-ordenat de camps sinó el producte T-ordenant de les
derivades dels camps. En principi les derivades respecte el temps no es poden traure del producte
T-ordenat per la presència de les funcions de Heaviside del temps. Afortunadament se
satisfà la següent propietat
T ∂μφI(x)∂νφI(y) = ∂
∂xμ ∂
∂yν T (φI(x)φI(y)) − ig 0 μg0νδ (4) (x − y),
que es pot demostrar prenent derivades respecte x μ i respecte y ν del producte T-ordenat dels
camps, utilitzant que les derivades temporals de les funcions de Heaviside són deltes de Dirac
i finalment utilitzant les regles de commutació canòniques. Alternativament es poden prendre
valors esperats en el buit i utilitzar la representació integral del producte T-ordenat de camps:
∂
∂x μ
∂
∂yν 〈0|T (φI(x)φI(y))|0〉
=
Per exemple, per a μ = ν = 0 tenim que
186
∂
∂x 0
∂
∂y0 〈0|T (φI(x)φI(y))|0〉
= i
= iδ (4)
(x − y)+i
= iδ (4) (x − y)+θ(x 0 − y 0
)
d3k (2π) 3
dk0 (2π)
d4k (2π) 4
i
k2 − m2 + iε kμ k ν e −ik(x−y) .
d4k (2π) 4
(k0 ) 2 − E2 k + E2 k
(k0 ) 2 − E2 k + iε e−ik(x−y) .
d 3 k
(2π) 3 2Ek
E 2 k e−ik0 (x 0 −y 0 )
(k 0 ) 2 − E 2 k
+ iε eik(x−y)
E 2 k e−iEk(x 0 −y 0 )+i k(x−y) .

+θ(y 0 − x 0
)
d 3k
(2π) 3 2Ek
= iδ (4) (x − y)+θ(x 0 − y 0 ) ∂
∂x 0
+θ(x 0 − y 0 ) ∂
∂x 0
∂
∂y 0
∂
∂y 0
E 2 k e+iEk(x 0 −y 0 )+i k(x−y) .
d 3k
(2π) 3 2Ek
Camps amb interaccions
e −iEk(x 0 −y 0 )+ik(x−y)
d3k (2π) 3 e
2Ek
−iEk(x0−y0 )−ik(x−y)
.
= iδ (4) (x − y)+〈0|T (∂0φI(x)∂0φI(y))|0〉 .
Les contribucions no covariants que apareixen el producte T-ordenat de derivades dels camps
són exactament les necessàries per cancel·lar els altres termes no covariants de forma que
S = 1 − i d 4 x −J μ (x)∂μφI(x)
+ (−i)2
2!
d 4
x
d 4 yJ μ (x)J ν (y) ∂
∂xμ ∂
T (φI(x)φI(y))+···
∂yν El mateix tipus de cancel·lacions ocorren a ordres superiors i el resultat final es redueix a
eliminar tots els termes no covariants i a calcular les contraccions dels camps amb derivades
traient les derivades fora del producte T-ordenat. 12 . El que és realment important és que
aquestes cancel·lacions són completament generals en teories que contenen interaccions amb
derivades dels camps i permeten, finalment, arribar a un operador S invariant Lorentz.
Com es modifiquen les regles de Feynman en aquestes teories?
El fet que les derivades es poden traure dels productes T-ordenats ens permet associar els
quadrimoments que aquestes derivades generen amb el vèrtex elemental i utilitzar com a propagadors
dels camps els propagadors de Feynman normals. Per a calcular el vèrtex elemental ho
farem com sempre, només que cada derivada del camp generarà un factor −ip μ , on p μ és el
quadrimoment del bosó entrant en el vèrtex (si surt haurem de canviar el signe del quadrimoment).
En efecte
∂μφ I(x)a † (p)|0〉 = −ipμe −ipx .
Per exemple, una interacció de la forma ΔL = g ¯ψγ μ γ5ψ∂μφ, genera un vèrtex elemental 13
gp/γ5 (per a un escalar de moment p μ entrant en el vèrtex). La resta de les regles de Feynman
no tenen cap canvi.
12 De fet, podríem haver previst aquest resultat, ja que el lagrangià d’interacció es pot integrar per parts i escriure’s
com ΔL = −φ∂μJ μ . On ∂μJ μ jugaria el paper d’un corrent extern escalar. Aquesta interacció no conté
derivades dels camp i dóna trivialment una teoria covariant Lorentz.
13 Derivem respecte tots els camps de la interacció, afegim un factor −ip μ per cada derivada i finalment multi-
pliquem el vèrtex per i .
187

Arcadi Santamaria
Problemes Proposats
Problema 6.1 A l’ordre més baix en teoria de pertorbacions hem vist que l’amplitud de col·lisió
φφ → φφ generada per una interacció de la forma ΔL = − λ 4! φ 4 és constant, iM = −iλ, és a
dir, no depèn dels moments de les partícules externes. En una teoria no relativista l’amplitud
de col·lisió ve determinada pel potencial d’interacció. Quin es l’únic potencial que ens dóna
una amplitud de col·lisió constant en l’aproximació de Born? Determineu el potencial que en
l’aproximació de Born ens donaria la mateixa amplitud obtinguda en la teoria de camps en el
límit no relativista. S’han considerar tres punts importants:
1) La teoria de camps té en compte automàticament l’estadística de Bose.
2) Per poder comparar, s’ha de fer correctament la separació en centre de masses en la
teoria no relativista i utilitzar la massa reduïda del sistema.
3) En la teoria no relativista els estats de moment definit estan normalitzats de forma diferent
del que hem fet nosaltres (la normalització invariant Lorentz introdueix un factor 2E per
cada partícula que, en el límit no relativista i per a dues partícules, donarà un factor addicional
4m 2 ).
Problema 6.2 Escriviu tots els termes que podem afegir al lagrangià de Klein-Gordon real
que siguen escalars Lorentz i que tinguen una dimensió menor o igual que sis. Feu el mateix
amb el lagrangià de Dirac. I si tenim un camp de Dirac i un camp escalar real?
Problema 6.3 Considereu el lagrangià
L = 1
2 (∂μφ) 2 − 1
2 M2 φ 2 + 1
2 (∂μϕ) 2 − 1
2 m2 ϕ 2 − μφϕ 2
que descriu dos camps reals φ i ϕ amb masses M i m respectivament. El últim terme del
lagrangià descriu una interacció entre els dos camps que permet la desintegració φ → ϕϕ,
sempre que M > 2m. Suposant que aquesta condició se satisfà, calculeu la vida mitjana, a
l’ordre més baix en μ, del bosó φ.
Problema 6.4 Utilitzant el lagrangià del problema anterior calculeu la secció eficaç en centre
de masses, a l’ordre més baix en μ, del procés ϕϕ → φφ.
i) Dibuixeu i calculeu els diagrames que contribueixen al procés.
ii) Obteniu la distribució angular i dibuixeu-la per a μ = M = 1 GeV, m = 0 i per a un valor
de la energia en centre de masses, per exemple √ s = 2E1 = 3 GeV.
iii) Integreu la distribució angular i obteniu la secció eficaç total. Dibuixeu-la com a funció
de l’energia en centre de masses, √ s.
Problema 6.5 Utilitzant el Lagrangià del problema anterior calculeu la secció eficaç en centre
de masses, a l’ordre més baix en μ, del procés ϕϕ → ϕϕ.
i) Dibuixeu i calculeu els diagrames que contribueixen al procés.
ii) Obteniu la distribució angular i dibuixeu-la per a μ = M = 1 GeV, m = 0 y per a dos
valors de l’energia en centre de masses, per exemple √ s = 2E1 = 0.5 GeV (no es pot produir
el bosó φ) i √ s = 2E1 = 2 GeV (si que es pot produir).
188

Camps amb interaccions
iii) Integreu la distribució angular i obteniu la secció eficaç total. Dibuixeu-la com a funció
de l’energia en centre de masses √ s.
iv) Que passa quan √ s = M? Tenint en compte que la partícula φ és inestable, com s’hauria
de modificar el propagador de φ per a evitar aquest problema? Re-calculeu la secció eficaç
total incloent els efectes d’una amplada finita de la φ i dibuixeu-la com a funció de l’energia
en centre de masses.
Problema 6.6 Les desintegracions semileptòniques del pió carregat π− , π− → μ−νμ i π− →
e−νe,es poden descriure amb el lagrangià
+ h.c.
LI = κπ − mμ ¯μPLνμ + meēPLνe
on, π − és un camp de Klein-Gordon complex, μ, e, νμ, y νe són els camps de Dirac del muó,
l’electró, el neutrí muònic i el neutrí electrònic respectivament, mμ = 106 MeV i me = 0.5 MeV
són les masses del muó i de l’electró, i PL ≡ (1 − γ5)/2 és el projector de quiralitat levògir.
Quines dimensions té la constant d’acoblament κ? Escriviu les regles de Feynman d’aquestes
interaccions. Menyspreant la possible massa dels neutrins calculeu els ritmes desintegració
Γ(π − → μ − νμ) i Γ(π − → e − νe) en funció de les masses i la constant d’acoblament. Utilitzant
els valors de les masses ( mπ = 140 MeV) calculeu R ≡ Γ(π − → μ − ¯νμ)/Γ(π − → e − ¯νe) i
compareu-ho amb el valor experimental Rexp = 8129.
Problema 6.7 Si els neutrins, ν, tenen massa és probable que tinguen noves interaccions. Per
exemple, podrien tenir un interacció amb un nou escalar neutre, φ, de la forma
Lνφ = igφ ¯νγ5ν φ ,
on gφ és una constant d’acoblament. Suposant que l’escalar φ no té massa (o és tan lleuger
que la seua massa es pot menysprear) i que els neutrins ν són camps de Dirac amb massa m,
calculeu la secció eficaç diferencial en centre de masses del procés ν ¯ν → φ φ. A partir d’ella
calculeu també la secció eficaç diferencial total.
Problema 6.8 Siga una interacció de la forma
ΔL = κφ∂ μ ϕ∂μϕ ,
on φ i ϕ son camps escalars reals (de masses M i m respectivament). i) Feu el pas
a la imatge d’interacció.
ii) Escriviu el vèrtex elemental i utilitzeu-lo per calcular l’amplada de desintegració de
l’escalar φ.
189

Arcadi Santamaria
190

Capítol VII
Camps “gauge”: fotons i camps de Proca

7. Camps “gauge”: fotons i camps
de Proca
7.1 La interacció electromagnètica i invariància
“gauge”: el lagrangià de QED
Fins ara hem estudiat camps que representen partícules de spin zero, el camp de Klein Gordon:
amb una component és suficient si representa partícules sense càrrega. També hem estudiat
camps que representen partícules d’spin 1 2 carregades (o que tenen algun altre número quàntic
conservat). Aquestes les hem descrites amb camps de Dirac amb quatre components (dos per a
la partícula i dos per a l’antipartícula). En aquest capítol considerarem camps que representen
partícules amb spin 1, sense massa i amb massa. Per descriure una partícula d’spin 1 necessitem
almenys 3 graus de llibertat corresponents a les tres components d’spin. A més, si la partícula
no té massa sabem que el número quàntic correcte és l’helicitat i no l’spin i que només tindrem
2 graus de llibertat. Aquest és el cas del fotó que només té les dues helicitats (clàssicament
dues polaritzacions). Per descriure aquestes partícules necessitem un camp que es transforme
correctament sota el grup de Lorentz, que siga un bosó i que tinga almenys 2 graus de llibertat
(per al fotó) i 3 graus de llibertat per a partícules amb massa. El camp més simple amb aquestes
característiques és el camp vectorial, és a dir un camp que és transforme sota el grup de Lorentz
com un quadrivector (real si no transporta càrregues addicionals). Ara bé un quadrivector té
quatre components. Si volem descriure partícules d’spin 1 amb un quadrivector ens sobra una
component i si volem descriure partícules amb helicitat 1 ens sobren dues components. Com
veurem, aquest fet serà l’arrel de tots els problemes que trobarem en quantitzar camps amb
spin 1, en particular si no tenen massa. Veurem però que la solució de tots aquest problemes
està lligada a una simetria, la invariància gauge, que dóna a les interaccions dels camps com
el fotó una caràcter universal del que no gaudeixen els camps amb spin 0 o spin 1 2 . De fet
veurem com la imposició de la invariància gauge ens portarà directament a les equacions de
Maxwell. De totes formes, de moment partirem de les equacions de Maxwell, introduirem
la notació estàndard relativista covariant i més endavant veurem com imposant la invariància
gauge podem fer el camí cap a darrere i redescobrir les equacions de Maxwell.
193

Arcadi Santamaria
En el sistema natural d’unitats les equacions de Maxwell s’escriuen com
∇E = ρ , ∇B = 0,
∇ ×B − ∂E
∂t =j , ∇ ×E + ∂B
= 0,
∂t
(7.1)
essent E i B els camps elèctric i magnètic i ρ i j la densitat de càrrega i corrent. Definirem el
quadrivector corrent com jμ = (ρ,j) i el tensor antisimètric com
F μν ⎛
0
⎜
= ⎜
⎝
−E1 −E2 −E3 E1 0 −B3 B2 E2 B3 0 −B1 E3 −B2 B1 ⎞
⎟
⎠ . (7.2)
0
A més, utilitzant el tensor completament antisimètric de Levi-Civita ε μνρσ (amb ε 0123 = 1)
definirem també el tensor dual
˜F μν ≡ 1
2 ε μνρσ Fρσ ,
que s’obté de F μν fent el canvi E → B i B → −E. Es pot comprovar que, efectivament, tant
F μν com ˜F μν es transformen com a tensors antisimètrics sota les transformacions de Lorentz.
Amb aquestes definicions les equacions de Maxwell s’escriuen de forma molt senzilla
a) ∂μF μν = j ν , b) ∂μ ˜F μν = 0. (7.3)
En aquesta notació la conservació del corrent ∂μ j μ = 0 és just una condició de compatibilitat
de l’equació (7.3a) ja que, degut a l’antisimetria de F μν tenim que ∂μ∂νF μν = 0. Com en el cas
de Klein-Gordon i Dirac per poder quantitzar aquesta teoria haurem de trobar un lagrangià que
porte a aquestes equacions de moviment. En principi semblaria natural utilitzar com a variables
dinàmiques els camps E i B, o més correctament el tensor F μν si volem una formulació covariant.
Ara bé, si férem això, les equacions de moviment només contindrien una derivada respecte
el temps amb els problemes que això comporta en una formulació canònica (recordem el cas de
l’equació de Dirac). A més els propagadors de E’s i B’s anirien com 1/q i no com 1/q 2 , això,
com hem vist al capítol anterior, porta quasi inevitablement a potencials d’interacció que van
com 1/r 2 en contradicció amb el que esperem per al potencial del camp electromagnètic.
Per resoldre aquests problemes podem utilitzar l’equació (7.3b), que és just la condició per
a que F μν es puga escriure en termes d’un quadri-potencial A μ , per escriure
F μν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ . (7.4)
Aquest potencial no està definit unívocament ja que potencials relacionats per una transformació
de gauge
194
A μ → A μ + ∂ μ α , (7.5)

Camps “gauge”: fotons i camps de Proca
porten exactament al mateix tensor F μν , és a dir F μν és invariant sota aquestes transformacions.
D’aquesta forma tindrem una descripció, com esperàvem d’entrada, en termes d’un
quadrivector. A més, com, veurem més endavant, les transformacions (7.5) ens permetran, si
volem, eliminar els graus de llibertat espuris que tenim en A μ per poder descriure partícules
amb només dos graus de llibertat.
En termes del potencial A μ les equacions de Maxwell es redueixen a
∂ 2 A μ − ∂ μ (∂νA ν ) = j μ , (7.6)
que, excepte pel segon terme de l’esquerra, té l’estructura de l’equació de Klein-Gordon per a
una partícula sense massa.
El següent pas és trobar un lagrangià que porte a l’equació de moviment (7.6). Si escrivim
un lagrangià amb els termes quadràtics més generals possibles que podem construir amb A μ i
demanem que aquest lagrangià porte a (7.6), és fàcil comprovar que, a banda d’una constant
global de normalització i a banda d’un terme que és una divergència i no contribueix a les
equacions de moviment, el lagrangià més general possible és
L = − 1
4 F μν Fμν − jμA μ , (7.7)
on la variable dinàmica és A μ i F μν és una forma curta d’escriure (7.4). A més la constant
de normalització s’ha triat de forma que el terme cinètic de les components espacials de A μ
tinguen la normalització canònica i porten a un hamiltonià definit positiu i amb la normalització
correcta. Notem que aquest lagrangià és invariant sota les transformacions de gauge (7.5) si se
satisfà que ∂μ j μ = 0, condició que, com hem vist, és també necessària per a la consistència de
l’equació de moviment (7.6).
Una vegada decidits a descriure les equacions de Maxwell en termes d’un potencial vector
la invariància gauge de la teoria és inevitable. El que és realment molt més interessant és
adonar-se’n que el requeriment de la invariància gauge, en un sentit més general, porta quasi
inevitablement a les equacions de Maxwell. Anem a veure-ho.
Partirem del lagrangià de Dirac per a partícula amb càrrega Q (Q = −1 per a electrons)
Lψ = ¯ψ(i∂/ − m)ψ ,
que és invariant sota una transformació de fase global (α ≡const.)
ψ → ψ ′ = e iαQ ψ .
El teorema de Noether implica que hi ha un corrent conservat j μ = eQ ¯ψγ μ ψ. Ara bé, les simetries
globals, com la que estem considerant, requereixen que el camp es transforme exactament
de la mateixa forma en tot l’univers. Clarament aquest tipus de transformacions no es poden
realitzar físicament i es tendeix a pensar que simetries d’aquest tipus són només aproximades
dins de la part de l’univers que ens és accessible. En canvi, si deixem que el paràmetre de la
transformació depenga de la posició, α(x), és a dir si deixem que la transformació siga local,
si que es podria comprovar en una regió sense haver de saber que passa en la resta de l’univers.
195

Arcadi Santamaria
Aquest principi, que ha dominat total la física de partícules en els darrers anys, es denomina el
principi de gauge.
D’altra banda, el lagrangià de Dirac lliure no és invariant sota una transformació de gauge
local
ja que
ψ → ψ ′ = e iα(x)Q ψ , (7.8)
Lψ → L ′ ψ = ¯ψ iγ μ ∂μ + iQ∂μα − m ψ . (7.9)
Per mantenir la invariància de gauge local és necessari introduir un camp de gauge Aμ amb
acoblament mínim1 ∂μψ ⇒ Dμψ ≡
∂μ + ieQAμ ψ , (7.10)
i demanar que Aμ es transforme com
Aμ −→ A ′ μ = Aμ − 1
e ∂μα , (7.11)
per poder absorbir el canvi produït en (7.9) per la dependència d’α en x. El nou lagrangià serà
LψA = ¯ψ iγ μ Dμ − m ψ , (7.12)
que roman invariant sota les transformacions de gauge combinades (7.8)(7.11) ,
LψA → L ′ ψA =
¯ψ′ μ
iγ ∂μ + ieQA ′
μ − m ψ ′
= ¯ψ iγ μ
∂μ + ieQAμ − m ψ .
D’aquesta forma l’acoblament entre ψ (per exemple electrons) i el camp de gauge Aμ (per
exemple fotons) amb un corrent conservat es genera de forma natural quan promovem la invariància
de fase global del lagrangià de Dirac a una simetria de gauge local.
Aquests resultats es poden estendre immediatament al cas de diferents camps fermiònics,
ψi, amb diferents càrregues, Qi,
L = ∑ i
¯ψi
μ
iγ
∂μ + ieQiAμ − mi ψi, (7.13)
que du a una interacció de la forma j μ Aμ amb j μ = e∑i Qi ¯ψiγ μ ψi. El punt important és que
fixades les càrregues, Qi, de les diferents partícules, la interacció ve descrita en termes d’una
única constant d’acoblament e.
Per completar la teoria hem d’afegir un terme cinètic també per al camp de gauge A μ .
Aquest ha de ser quadràtic en el camp i ha de ser també invariant gauge. Com hem vist, el
1 A l’hora de definir la derivada covariant, hi ha certa llibertat en el signe i la propietat de transformació del
camp gauge. Aquesta es translladarà finalment en les regles de Feynman en el vèrtex. Nosaltres, prendrem e > 0,
Q representa la càrrega de la partícula en questió i triem un signe + per a la derivada covariant. Aquest signe és
habitual en QED (encara que de vegades amb e < 0) i la teoria electrofeble. En QCD, en canvi, és pràcticament
general trobar el signe − en la derivada covariant.
196

Camps “gauge”: fotons i camps de Proca
tensor electromagnètic (7.4) és invariant gauge i per tant el podem utilitzar per construir el
terme cinètic. A banda de divergències l’únic terme quadràtic, invariant Lorentz, que podem
construir amb F μν és precisament (amb la normalització apropiada)
LA = − 1
4 FμνF μν . (7.14)
Hem d’assenyalar que la invariància gauge local prohibeix d’entrada un possible terme de
massa per al bosó de gauge, és a dir, prediu que els bosons de gauge no poden tenir massa.
Si ara sumem (7.14) i (7.12) LQED = LA + Lψ obtenim el lagrangià de l’electrodinàmica
quàntica (QED) que, a banda del terme cinètic dels fermions és el lagrangià (7.7) amb el corrent
j μ = eQ ¯ψγ μ ψ. Com veurem, aquesta teoria és renormalitzable i té un èxit enorme descrivint
les interaccions entre fotons i electrons (i altres fermions carregats).
El principi de gauge és molt elegant, però a més ens ofereix una recepta molt senzilla per a
construir teories amb interaccions a partir de les possibles simetries globals dels camps lliures.
Per exemple, els quarks són partícules d’spin 1/2 i per tant es poden descriure mitjançant
camps de Dirac. Hi ha tres quarks amb la mateixa càrrega i massa que es distingeixen per
un nou número quàntic anomenat color. Així, els quarks lliures es poden representar amb un
vector de tres components format per camps de Dirac, ΨQ amb el següent lagrangià
⎛ ⎞
LQ = ΨQ(i∂/ − m)ΨQ, ΨQ = ⎝
ψ1
ψ2
ψ3
⎠ . (7.15)
Com que la massa és comú als tres tipus de quarks (és proporcional a la identitat en l’espai
de color) aquest lagrangià és invariant sota transformacions unitàries en l’espai de color, és a
dir
= U(α)ΨQ,
ΨQ → Ψ ′ Q
on U(α) és una matriu 3 × 3 unitària (tal que UU † = U † U = 1) general i α representa genèricament
els paràmetres, constants, de la transformació. Una matriu unitària es pot descomposar
sempre en una fase i una matriu de determinant 1. Aquesta transformació de fase global que
afecta per igual a tots els quarks es pot relacionar amb la conservació del número bariònic i, per
tant, és convenient considerar només transformacions excloent aquesta fase, és a dir, matrius
3 × 3 unitàries amb determinant 1. Aquestes matrius, formen la representació fonamental d’un
grup anomenat SU(3). Quantes matrius d’aquest tipus hi ha? És fàcil veure que una matriu
unitària 3 × 3 de determinant 1 es pot escriure com
U(α) = e i∑8 a=1 αa T a
, ,T a hermítica, Tr{T a } = 0.
Una matriu hermítica 3×3 de traça nul·la conté 8 paràmetres reals independents. Direm que hi
ha 8 generadors del grup T a , i 8 paràmetres de la transformació, α a . Si ara imposem el principi
gauge i demanem invariància sota transformacions locals, α a (x), haurem d’introduir 8 camps
gauge, un per paràmetre, i canviar les derivades per derivades covariants
∂μ → Dμ ≡ ∂μ + ig∑ a
T a A a μ ,
197

Arcadi Santamaria
de forma que el lagrangià invariant gauge sota aquestes transformacions és
LQCD = ΨQγ μ (i∂μ − g∑ a
T a A a μ − m)ΨQ. (7.16)
Aquest lagrangià, més la generalització apropiada del terme cinètic dels camps, A a (la generalització
de (7.14)) és el lagrangià de la cromodinàmica quàntica, QCD, que ha sigut capaç
d’explicar, amb un èxit impressionant, les interaccions fortes entre les partícules elementals.
Com QED, teories d’aquest tipus basades en el principi de gauge, són renormalitzables i
universals en el sentit que totes les partícules amb els mateixos números quàntics s’acoblen
amb exactament la mateixa força. És realment remarcable que totes les interaccions fonamentals
conegudes, electromagnètiques, febles, fortes (i fins i tot gravitatòries amb les seues
peculiaritats) s’han pogut integrar sota el principi de gauge.
7.2 Quantització canònica covariant de fotons lliures
El lagrangià de QED conté tres termes, el lagrangià de Dirac lliure, el terme d’interacció i el
lagrangià de fotons lliures, LA. Abans de poder calcular res amb aquest lagrangià necessitem
quantitzar els fotons lliures. Per això intentarem aplicar el programa de quantització canònica.
Ara bé si a partir de LA calculem el moment canònic associat a Aμ immediatament trobem que
π μ = ∂LA
∂ ˙Aμ
= −F 0μ
que en el cas de μ = 0 dóna idènticament π 0 = 0. Això s’entén perquè, degut a l’antisimetria
de F μν el lagrangià LA és independent de ˙A0. Aquesta situació no és nova: per al camp de
Dirac també vam trobar que el moment associat a ¯ψ era idènticament nul. Podríem pensar que,
com en el camp de Dirac, es podria passar al formalisme hamiltonià sense problemes. Aquest
no és el cas i els problemes són molt més profunds. En efecte, si intentem calcular la funció
de Green associada a l’equació de moviment (7.6) immediatament trobem que no existeix. Per
veure això fem la transformada de Fourier del camp i del corrent (A μ (k), j μ (k)) en l’equació
de moviment
k 2 A ν (k) − k μ k ν Aμ(k) = k 2 g μν − k μ k ν Aμ(k) = − j ν (k).
El punt és que el tensor k 2 g μν − k μ k ν no és invertible: no existeix cap tensor Dνρ(k) tal que
k 2 g μν − k μ k ν Dνρ(k) = ig μ ρ (de fet k 2 g μν −k μ k ν és un projector i contret amb qμ dóna zero).
Per tant no podem calcular la funció de Green. L’arrel del problema està en el fet que sobren
graus de llibertat: com hem comentat al principi, el fotó només té dos graus de llibertat, les
dues helicitats, mentre el camp A μ conté quatre components. Una solució a aquests problemes
consisteix en eliminar completament de la teoria els graus de llibertat espuris. Això es pot fer
consistentment imposant
198
∇A = 0. (7.17)

Camps “gauge”: fotons i camps de Proca
En el cas que no hi ha corrents ni càrregues podem utilitzar les equacions de moviment per
veure que si ∇A = 0 llavors també ∇ 2 A 0 = 0 que permet triar també A 0 = 0. Aquestes condicions,
anomenades gauge de Coulomb, ens deixen els dos graus de llibertat físics i permeten
dur a terme una quantització canònica consistent. El preu que es paga es que encara que la
teoria es invariant Lorentz i els observables físics calculats d’aquesta forma també ho seran,
el formalisme no és explícitament covariant i no permet utilitzar la potència de la invariància
Lorentz en els càlculs.
Alternativament podem modificar les equacions de moviment imposant per fixar el gauge
condicions covariants. Com veurem el preu que es pagarà és també molt alt, però almenys
permetrà mantenir la covariància explícita de la teoria.
L’equació de moviment (7.6) suggereix triar l’anomenada condició de Lorentz ∂μA μ = 0
que porta a una equació de moviment extremadament senzilla, de fet és l’equació de Klein-
Gordon sense massa. En compte de treballar amb el lagrangià (7.7) suplementat per la condició
que fixa el gauge, que actuaria com una lligadura, és convenient incorporar la condició de
Lorentz directament en el lagrangià. Això es pot fer utilitzant la tècnica dels multiplicadors de
Lagrange. Així afegirem un terme al lagrangià (7.7) de la forma
Lλ = − 1
4 F μν Fμν − jμA μ − 1
2 λ ∂μA μ2 que porta a l’equació de moviment
∂ 2 A μ +(λ − 1)∂ μ (∂νA ν ) = j μ .
Si derivem una vegada més aquesta equació trobem que
λ ∂ 2 ∂μA μ = ∂μ j μ .
Si λ = 0 i el corrent es conserva, ∂μ j μ = 0, tindrem que
∂ 2 ∂μA μ = 0.
(7.18)
Clàssicament podem triar condicions de contorn tals que ∂μA μ = 0 sempre (per exemple, demanant
que ∂μA μ = 0 per a |t| → ∞) i finalment arribem a les equacions de moviment desitjades
∂ 2 A μ = j μ i ∂μA μ = 0 que són les equacions de Maxwell en el gauge de Lorentz. D’Aquesta
forma el lagrangià (7.18) suplementat per ∂μ j μ = 0 i les condicions de contorn adequades és
equivalent a les equacions de Maxwell en el gauge de Lorentz. Això vol dir que podem partir
directament de (7.18) per quantitzar la teoria i la condició de Lorentz, o la seua equivalent en
el cas quàntic, apareixerà com una conseqüència de la conservació del corrent i les condicions
de contorn.
De entre tots els valors de λ hi ha un particularment interessant, λ = 1, conegut com el
gauge de Feynman, que porta directament a l’equació ∂ 2 A μ = j μ mentre que, com per a qualsevol
valor de λ, la condició ∂μA μ = 0 s’obté com a conseqüència de la conservació del corrent
i les condicions de contorn. A més podem veure que, a banda d’una divergència, tenim
LF ≡ − 1
μ ν
∂μAν (∂ A ) = Lλ=1 +
2
1
2 ∂μ (Aν∂ ν A μ − A μ ∂νA ν ) . (7.19)
199

Arcadi Santamaria
El lagrangià LF, conegut com lagrangià de Fermi, és per tant totalment equivalent a L λ=1, és
a dir porta a les mateixes equacions de moviment i per tant s’aplica la mateixa discussió que
hem fet per al gauge de Feynman. Ara bé, clarament és molt més simple, i per tant, és el que
utilitzarem per a quantitzar la teoria. Tot el que farem amb aquest lagrangià, en principi, es
podria fer per a (7.18) amb un λ arbitrari, encara que moments conjugats, propagadors, regles
de commutació, etcètera, poden ser molt diferents.
El lagrangià de Fermi té l’avantatge que és bàsicament la suma del lagrangià de Klein-
Gordon sense massa per a cadascuna de les components del camp A μ . Ara bé, hi ha una
diferencia que com veurem serà fonamental: la component A 0 no té la normalització canònica
i té el signe canviat. Això serà l’arrel de tot un seguit de problemes quan intentem quantitzar
el camp, però és inevitable si volem mantenir la invariància Lorentz de la teoria, o bé les components
espacials o bé la temporal han de tenir el signe canviat. Aquest problema, òbviament
també està present en tots els altres lagrangians que hem discutit, encara que de una forma un
poc més amagada.
A pesar d’aquesta dificultat intentarem quantitzar la teoria, recordant que el lagrangià de
Fermi a soles no és equivalent del tot a les equacions de Maxwell i que per a l’equivalència
total fa falta imposar alguna condició subsidiària que limite les solucions i esperant que aquesta
condició subsidiària siga suficient per solucionar els problemes que el signe canviat en el
lagrangià puga crear.
7.2.1 Quantització del lagrangià de Fermi per a fotons lliures
Les equacions de moviment que es deriven del lagrangià de Fermi (i de L λ=1 ), en el cas que
no hi ha corrent extern, són
∂ 2 A μ = 0 (7.20)
no és més que Klein-Gordon sense massa per a cadascuna de les components del camp. Així
directament podem escriure les solucions com
Aμ =
d˜k
3
∑ εμ(
λ=0
k,λ)e −ikx a( k,λ)+ε ∗ μ (k,λ)e ikx a † (
k,λ) . (7.21)
En aquest cas, i degut a que els fotons no tenen massa tindrem
d˜k = d3k (2π) 3
, Ek =
2Ek
k
.
A més hem imposat que el camp és real. εμ( k,λ), els vectors de polarització, són un conjunt
linealment independent de quatre quadrivectors que juguen el mateix paper que jugaven els
spinors u(p,s) i v(p,s) en el cas de l’equació de Dirac. D’altra banda, a diferència de l’equació
de Dirac, l’equació (7.20) no imposa cap restricció sobre els vectors de polarització, així que els
podem triar de la forma que siga més convenient (sempre que siguen linealment independents),
en particular els podem triar reals. Una possibilitat seria triar-los senzillament com la base
200

Camps “gauge”: fotons i camps de Proca
canònica de l’espai de dimensió quatre, això però, i degut a les propietats de transversalitat de
la radiació electromagnètica, no és convenient. Així triarem
ε μ (k,0) = n μ ≡ (1,0,0,0), ε μ (k,λ) = (0,ε(k,λ)), λ = 1,2,3, (7.22)
on els trivectorsε( k,λ) formen una base ortonormal de l’espai tridimensional amb les següents
propietats
ε( k,λ)ε( k,λ ′ ) = δλλ ′ , ε( k,3) ≡ k
k
, ε(
k,λ) k = 0, λ = 1,2. (7.23)
ε μ ( k,1) i ε μ ( k,2) s’anomenen vectors de polarització transversals (satisfan que ε( k,λ)k =
0) i ε μ ( k,3) i ε μ ( k,0) vectors de polarització longitudinal i escalar respectivament. És fàcil
comprovar que aquests vectors de polarització satisfan les següents relacions d’ortogonalitat i
de completitud:
on hem definit 2
ε(k,λ) · ε(k,λ ′ ) = ε(k,λ)με μ (k,λ ′ ) = −ζ λ δ λλ ′ , λ,λ ′ = 0,···,3 (7.24)
3
∑ ζλ ε
λ=0
μ ( k,λ)ε ν ( k,λ) = −g μν , (7.25)
ζ0 = −1, ζ1 = ζ2 = ζ3 = 1.
Aquests vectors de polarització es poden utilitzar per a definir vectors de polarització en
un sistema de referència arbitrari. És suficient aplicar-los un boost (i/o rotació). Així, per
exemple és fàcil veure que en el sistema de referència en el que estem treballant (en el que
n μ = (1,0,0,0)), ε μ ( k,3) es pot escriure de forma covariant com
ε μ ( k,3) = kμ −(kn)n μ
kn
, (7.26)
(ε μ (k,3) ha de ser ortogonal a n i normalitzat a −1). En un sistema de referència arbitrari
serà suficient canviar k i n pels quadrivectors transformats. Així les relacions d’ortogonalitat i
completitud, 7.24 i 7.25, es mantindran i a més tindrem que ε μ (k,3) ve donat per (7.26) amb
n μ un quadrivector arbitrari tal que
i a més
ε μ (k,0) = n μ , n 2 = 1, (7.27)
ε(k,λ)k = 0, ε(k,λ)n = 0, λ = 1,2. (7.28)
2 És freqüent trobar els signes relatius necessàris per escriure aquestes relacions, que nosaltres representem
amb les ζ λ, escrits en termes del tensor mètric g μν , ja que g 00 = 0 i g ii = −1. Nosaltres hem volgut evitar aquesta
notació perque pot portar a confusió. Les λ etiqueten la base dels vectors de polarització i no tenen res a veure
amb índexs de Lorentz.
201

Arcadi Santamaria
Amb aquestes propietats tindrem prou llibertat per a triar els vectors de polarització de la forma
més convenient per simplificar els nostres càlculs, per exemple podrem prendre com a n qualsevol
dels quadrivectors de les partícules externes d’un procés, sempre que no siguen partícules
de massa nul·la (n = p/m).
De moment, tot el que hem fet és clàssic, els coeficients a(k,λ) no tenen encara la interpretació
d’operadors de creació i destrucció. Per donar-los aquesta interpretació hem de
quantitzar el camp. Per això utilitzarem el formalisme canònic.
Utilitzant LF, calculem el moment conjugat de Aμ
i imposem les regles de commutació canòniques a temps iguals 3
π μ = ∂LF
∂ ˙Aμ
= − ˙A μ , (7.29)
Aμ(x,t),π ν (y,t) = ig ν μδ (3) (x −y), (7.30)
Aμ(x,t),Aν(y,t) = πμ(x,t),πν(y,t) = 0. (7.31)
Utilitzant (7.29) i pujant tots els índexs dalt tenim 4
A μ (x,t), ˙A ν (y,t) = −ig μν δ (3) (x −y), (7.32)
[A μ (x,t),A ν (y,t)] = ˙A μ (x,t), ˙A ν (y,t) = 0. (7.33)
Aquestes regles de commutació són bàsicament, excepte signes, les mateixes que esperaríem
per a camps Aμ que satisfan l’equació de Klein-Gordon. Ara bé, mentre les tres components
espacials tenen el signe correcte, la component temporal A0 té el signe contrari al que cabia
esperar. Açò és conseqüència del signe canviat que té el terme cinètic dels A0 en el lagrangià,
necessari d’altra banda per poder escriure un lagrangià invariant Lorentz. Substituint el desenvolupament
del camp en les regles de commutació immediatament trobem que
a( k,λ),a † ( k ′ ,λ ′
) = ζλ δλλ ′(2π) 3 2Ekδ (3) ( k −k ′ ),
a( k,λ),a( k ′ ,λ ′
) = a † ( k,λ),a † ( k ′ ,λ ′
) = 0. (7.34)
Clarament les relacions del commutació de fotons escalars, a( k,0), tenen el signe canviat i per
tant no són les relacions de commutació normals de bosons. És com si el paper dels operadors
de creació i destrucció estigueren canviats. Una altra vegada això és conseqüència del signe
canviat de de la component A 0 en el lagrangià. Es podrien forçar relacions de commutació
normals canviant el paper dels operadors de creació i destrucció. Això, però no és possible
3 Recordem la notació relativista, la derivada respecte un objecte amb índex baix té l’índex dalt. Així el moment
conjugat de Aμ és π μ , i segons les regles de commutació cannòniques, el seu commutador a temps iguals ha de
ser +iδ (3) (x −y), per això hem escrit la g ν μ ≡ δ ν μ a la dreta. Només quan posem els dos índex dalt o baix tenim
g μν i obtenim signes − en les regles de commutació.
4 És interessant notar que si utilitzem com a lagrangià de partida el lagrangià en el gauge de Feynman, el
moment obtingut és diferent, però, les regles de commutació en termes de A μ i ˙A μ són exactament les mateixes.
202

Camps “gauge”: fotons i camps de Proca
perquè llavors les partícules es crearien amb la dependència temporal incorrecta, el signe de
l’exponencial en el desenvolupament del camp estaria canviat. Per tant, mantindrem les relacions
de commutació (7.34) amb la interpretació normal d’operadors de creació i destrucció
a( k,λ)|0〉 = 0, a † (
k,λ)|0〉 =
k,λ ,
on k,λ
és l’estat d’un fotó amb momentk i polarització λ.
Si ara considerem el hamiltonià del sistema (N-ordenat) fàcilment veiem
H = d 3 x :π μ
˙Aμ −L := d˜kEk
3
∑
λ=0
ζ λ a † ( k,λ)a( k,λ),
on, altra vegada ens apareix el factor ζ0 = −1 per a bosons escalars, cosa que sembla posar en
perill la positivitat del hamiltonià. Això, però no passa. És fàcil comprovar que
H
k,λ =
d˜k ′ E k ′
3
∑
λ ′ ζλ a
=0
† ( k ′ ,λ ′ )a( k ′ ,λ ′ )a † ( k,λ)|0〉 = Ek
k,λ ,
i, per tant, el hamiltonià és definit positiu. La interpretació natural és que l’operador nombre de
fotons, per a fotons escalars, s’ha de definir amb el signe canviat. N( k,λ) = ζλ a † ( k,λ)a( k,λ). Traslladant tot el que vam fer per al cas de l’equació de Klein-Gordon, amb l’única precaució
de mantenir els factors ζλ adequats, immediatament trobem les relacions de commutació
covariants dels camps
[A μ (x),A ν (y)] = −g μν i Δ(x − y)| m=0
(7.35)
amb Δ(x) la funció invariant (??) del camp de Klein-Gordon per a massa nul·la. Òbviament
aquest commutador també s’anul·la per a intervals espacials i per tant es preservarà la causalitat.
El signe incorrecte en les relacions de commutació porta, però, a un problema que és inevitable:
si calculem la norma dels estats amb un fotó escalar trobem que
k ′
,λ = 0
k,λ = 0 = 〈0|a( k ′ ,0)a † ( k,0)|0〉 = −(2π) 3 2Ekδ (3) ( k ′ −k) la norma no es definida positiva i l’espai de Hilbert construït és de mètrica indefinida. Això
si que és un problema greu i impedeix la interpretació probabilística dels estats amb fotons
escalars. Aquests estats no poden ser físics. Ara, però, és el moment de recordar que la teoria
que hem construït no és encara equivalent a les equacions de Maxwell, ni tan sols a nivell
clàssic. Per a tenir l’equivalència completa a nivell clàssic havíem d’imposar la conservació
del corrent (per a camps lliures això és irrellevant) i condicions de contorn adequades que
asseguren que se satisfà la condició de Lorentz sempre. Recordem que, en el cas que estem
considerant l’equació de moviment és ∂ 2 A μ = 0 i per tant ∂ 2 ∂μA μ = 0. Clàssicament per
obtenir ∂μA μ = 0 senzillament demanàvem ∂μA μ = 0 per a t → ±∞ i això era suficient per
tenir ∂μA μ = 0 per a qualsevol x i qualsevol t. Si intentem fer això en el cas quàntic trobem que
la condició ∂μA μ = 0 és inconsistent amb les relacions de commutació. En efecte si prenem la
divergència de (7.35) immediatament trobem que
∂μA μ (x),A ν (y) = −i ∂ ν Δ(x − y)| m=0 ,
203

Arcadi Santamaria
que no és idènticament zero.
Aquest problema va ser resolt per Gupta i Bleuler canviant la condició de Lorentz per una
condició més feble sobre els estats físics |Ψ〉 de la teoria,
∂μ A μ (x)| destrucció |Ψ〉 = 0. (7.36)
Aquesta condició només afecta la part amb operadors de destrucció del camp i és, efectivament,
una restricció sobre els possibles estats físics de la teoria. Aquesta condició és suficient per
garantir que els elements de matriu de ∂μA μ entre estats físics |Ψ〉 i |Ψ ′ 〉 siguen nuls
Ψ ′ ∂μA μ (x)|Ψ〉 = 0,
i llavors la condició de Lorentz i, per tant, les equacions de Maxwell se satisfan en el límit
clàssic d’aquesta teoria. Substituint el desenvolupament del camp en la condició de Lorentz
(7.36) i utilitzant la forma dels vectors de polarització immediatament trobem que
a( k,3) − a(
k,0) |Ψ〉 = 0, ∀k. (7.37)
Es pot comprovar que els estats que satisfan aquesta condició tenen norma definida positiva.
A més a més, immediatament trobem que
′
Ψ
a † ( k,3)a( k,3) − a † ( k,0)a(
k,0) |Ψ〉 = 0,
i per tant els elements de matriu entre estats físics de l’operador nombre de fotons longitudinals
menys fotons escalars és zero. Si ara calculem els elements de matrius del hamiltonià tenim
que
′
Ψ
′
H |Ψ〉 = Ψ
d˜k
2
∑
λ=1
Eka † ( k,λ)a( k,λ)|Ψ〉 ,
és a dir, només els fotons transversals contribueixen. Aquest resultat també és cert per a
qualsevol observable de fotons lliures: observables de fotons lliures només involucren fotons
transversals, és a dir fotons longitudinals o escalars no es poden observar com a partícules lliures.
Aquest resultat, és gratificant perquè és just el que esperàvem. Ara bé, hem de notar
que el fet que els elements de matriu entre estats físics s’anul·len no vol dir que els estats no
puguen contenir fotons longitudinals i/o escalars. Dels dos graus de llibertat addicionals (no
transversals) que conté el camp A μ , un és eliminat per la condició (7.37), mentre l’altre es pot
demostrar que correspon a la llibertat que encara tenim de fixar el gauge dins del gauge de
Lorentz (canvis de gauge tals que ∂ 2 α(x) = 0): canviar la composició de fotons escalars i longitudinals,
mantenint la condició (7.37), és equivalent a una transformació de gauge dins del
grup de gauge Lorentz.
En el cas de fotons lliures l’elecció més senzilla es prendre estats que no continguen fotons
escalars o longitudinals, el buit |0〉 es tria sense cap tipus de fotons i els estats físics és construeixen
afegint només fotons transversals. Això, com hem comentat, correspon senzillament
a una elecció del gauge. En el cas de fotons que interaccionen amb càrregues i corrents els fotons
escalars i longitudinals no es poden eliminar completament perquè s’acoblen al corrent i,
204

Camps “gauge”: fotons i camps de Proca
de fet, l’intercanvi de fotons longitudinals i escalars és essencial per mantenir la covariància de
la teoria: es pot comprovar que l’intercanvi de fotons longitudinals i transversals entre corrents
donen una descripció covariant de la interacció instantània de Coulomb (veure per exemple el
llibre de Mandl & Shaw).
En resum, l’operador camp, A μ , contindrà les quatre polaritzacions que contribuiran al càlcul
de propagadors i altres quantitats que no involucren estats asimptòtics (fotons en potes
externes). La restricció que fixa el gauge és una restricció sobre els estats asimptòtics de la
teoria, no sobre l’operador camp. Així en l’estudi de col·lisions entre partícules, algunes de les
quals poden ser fotons, podrem considerarem que els fotons externs només són fotons transversals
mentre en els propagadors, com veurem ara, considerarem les quatre polaritzacions dels
fotons virtuals la qual cosa ens permetrà obtenir un propagador completament covariant.
7.3 El propagador de fotons
De la mateixa forma que hem obtingut el commutador covariant dels camps a partir del commutador
del camp de Klein-Gordon i el desenvolupament del camp A μ , podem calcular el
propagador de Feynman
on com és natural per a bosons
i
D μν
F (x − y) ≡ 〈0|T(Aμ (x)A ν (y))|0〉 = −g μν DF(x − y)| m=0
T(A μ (x)A μ (y)) = θ(x 0 − y 0 )A μ (x)A μ (y)+θ(y 0 − x 0 )A μ (y)A μ (x),
DF(x)| m=0 =
d4k (2π) 4 e−ikx i
k2 1
= −
+ iε 4π2 1
x2 − iε .
(7.38)
Òbviament, el propagador D μν
F (x) conté contribucions de les quatre polaritzacions, ja que les
quatre polaritzacions apareixen al desenvolupament del camp. És un exercici interessant veure
quina és la contribució de cada tipus de fotó al propagador. Es pot comprovar (vegeu Mandl
& Shaw) que el propagador complet conté la contribució dels fotons transversals més una altra
que és conseqüència de l’efecte conjunt de fotons longitudinals i escalars i que, quan és es
contrau amb corrents conservats, dóna lloc a la interacció instantània de Coulomb. Només la
suma de totes les contribucions permet escriure un propagador explícitament covariant Lorentz.
Fins ara només hem utilitzat el lagrangià de Fermi (que és equivalent al gauge de Feynman).
És interessant veure que haguera passat si haguérem partit d’un gauge general amb el lagrangià
Lλ . Aquest tipus de lagrangians són interessants quan es vol comprovar la invariància gauge
d’un càlcul i veure la cancel·lació de λ entre els diferents diagrames. La quantització canònica
de Lλ és prou més complicada que la que hem fet. Afortunadament, per calcular el propagador
no necessitem fet tot el desenvolupament des del principi. En efecte, podem utilitzar que el
propagador és una funció de Green de l’equació de moviment i que l’equació de moviment
205

Arcadi Santamaria
s’obté fent variacions del lagrangià. Integrant per parts sempre podem escriure el lagrangià
com
L = 1
2 Aμ (x)OμνA ν (x) − j μ Aμ . (7.39)
Per exemple, en el cas del lagrangià de Fermi tenim que Oμν = gμν∂ 2 . L’equació de moviment
que s’obté del lagrangià (7.39) és senzillament
OμνA ν = jμ ,
i, per tant, la funció de Green no és més que la inversa de l’operador Oμν amb la normalització
adequada a les nostres convencions
que en la representació de moments dóna
OμνD νρ
F (x) = igρ μδ 4 (x)
Oμν(k)D νρ
F (k) = igρ μ .
per exemple en el cas del lagrangià de Fermi, com que Oμν(k) = −gμνk 2 immediatament
trobem que D μν
F (k) = −gμν i/k 2 , per completar el resultat només cal afegir els iε adequats per
assegurar que els pols s’eviten de la forma correcta per definir el propagador de Feynman.
En el cas d’un gauge general (7.18) és fàcil veure que
Oμν = gμν∂ 2 −(1 − λ)∂μ∂ν .
En l’espai de moments Oμν(k) = −gμνk 2 +(1 − λ)kμkν, d’on immediatament obtenim (suposem
que per covariància Lorentz D μν
F (k) = agμν k 2 + bk μ k ν )
D μν
F = − i
k 2 + iε
g μν 1 − λ
+
λ
kμkν k2
, (7.40)
+ iε
on hem inserit els termes iε adequats. Com es veu en el límit λ = 1 (gauge de Feynman)
recuperem el propagador obtingut en el gauge de Fermi. El cas λ → ∞, s’anomena el gauge
de Landau, mentre el cas λ → 0 (si no afegim el terme que fixa el gauge) ens dóna que el
propagador no existeix. Òbviament els resultats físics no depenen del valor de λ triat (com és
fàcil comprovar en el cas que el propagador s’acoble a un corrent conservat). Així i tot càlculs
intermedis poden dependre de λ. En general el gauge de Feynman, és el més convenient, però
hi ha casos en que és útil triar altres valors de λ per simplificar els càlculs. Fins i tot, pot ser
convenient mantenir un λ arbitrari perquè la cancel·lació de les dependències en λ ofereix una
bona comprovació dels càlculs.
7.4 Regles de Feynman de QED
Una vegada sabem com quantitzar fotons i fermions i conegut el lagrangià de la teoria que ens
dóna la interacció entre fotons i electrons
206

Camps “gauge”: fotons i camps de Proca
LQED = ¯ψ (i∂/ − m)ψ − 1
4 F μν Fμν − 1
2 λ ∂μA μ2 − eQ ¯ψγ μ
ψAμ , (7.41)
on el terme d’interacció electró-fotó s’obté de la definició de la derivada covariant i el lagrangià
(7.12) mentre el terme de fotons lliures contindrà a més el terme que fixa el gauge
(la majoria de les vegades considerarem el lagrangià de Fermi (gauge de Feynman)). La constant
d’acoblament, e, la prendrem positiva e > 0, mentre Q té en compte la càrrega del fermió
considerat. En el cas d’electrons tindrem que Q = −1.
Aquests resultats es poden generalitzar fàcilment si hi ha més d’un fermió carregat. Només
hem d’aplicar el principi gauge a tots els fermions carregats de la teoria com vam fer per obtenir
el lagrangià de l’equació (7.13), on vam veure que la interacció té la mateixa forma, − jμ Aμ,
i és prou incloure tots els fermions carregats en el corrent, normalitzats amb la seua càrrega
respectiva, jμ = e∑i Qi ¯ψiγ μψi, on Qi són les carregues dels diferents fermions, en particular
per a l’electró, muó i tau tindrem Qμ = Qτ = Qe = −1). Eventualment també considerarem els
quarks5 (u, c, t amb càrregues Qu = Qc = Qt = 2/3 i d, s, b, amb càrregues Qd = Qs = Qb =
−1/3. Així, la interacció electromagnètica dels diferents fermions vindrà descrita pel lagrangià
Lψi = −e∑ i
Qi ¯ψiγ μ ψiAμ , i = e, μ,τ u,d,c,s,t,b,··· . (7.42)
Clarament la interacció electromagnètica conserva el nombre fermiònic del fermió corresponent:
el vèrtex electromagnètic sempre involucra fermions de la mateixa classe, no mescla
els tipus de fermions encara que tinguen la mateixa càrrega.
Del lagrangià, i de les discussions del capítol anterior, podem llegir directament les regles de
Feynman de QED (generalitzada amb un nombre arbitrari de fermions carregats) per a calcular
l’element de matriu reduït iM .
Dibuixarem tots els diagrames topològicament diferents que puguen contribuir al procés
mantenint les posicions de les partícules externes (amb totes les seues propietats, moment, spin,
etcètera). Prendrem la convenció de posar les partícules (o antipartícules) incidents a l’esquerra
i les partícules finals a l’esquerra. Assignarem a les línies fermiòniques una fletxa que indique la
direcció del flux de la càrrega (en el cas d’electrons de carrega negativa) i l’ordre de contracció
dels índexs de Dirac. Eliminarem aquells diagrames que no estiguen completament connectats
o tinguen autonergies en les potes externes, que s’hauran de tractar de la forma adequada.
L’amplitud iM serà la suma de les contribucions de cadascun dels diagrames i la contribució
de cada diagrama es calcularà aplicant les regles següents:
1. Començarem a llegir cada diagrama per la punta de la fletxa de les línies fermiòniques.
2. Per cada línia externa
(a) de fermions entrant posarem u(p,s)
(b) de fermions eixint posarem ū(p,s)
p −→
p −→
5 Els quarks a més de càrrega tenen un altre nombre quantic anomenat color. Cada quark pot estar en tres estats
de color. Respecte QED és com si per cada quark en tinguerem tres i no només un.
207

Arcadi Santamaria
(c) d’antifermions entrant posarem ¯v(p,s)
(d) d’antifermions eixint posarem v(p,s)
(e) de fotons entrant posarem εμ( k,λ)
(f) de fotons eixint posarem ε ∗ μ ( k,λ)
p −→
p −→
k −→
k −→
3. En cada vèrtex fermió-fermió-fotó imposarem la conservació del quadrimoment i inserirem
un factor (Qi és la càrrega del fermió i només hi ha contribució si els dos fermions
són del mateix tipus)
γ
ψi
−iQiγ μ μ
4. Per cada línia interna de fotons inserirem un propagador de fotons (la majoria de les
vegades utilitzarem el gauge de Feynman, λ = 1)
−
k −→
i
k2
g
+ iε
μν 1 − λ k
+
λ
μkν k2
μ
+ iε
ν
5. Per cada línia interna fermiònica inserirem un propagador de fermió
i i(p/+m)
p −→
≡
p/ − m p2 − m2 + iε
6. Afegirem un signe − per cada parella de línies fermiòniques externes idèntiques que es
creuen.
7. Per cada bucle fermiònic prendrem una traça i afegirem un signe −.
8. Integrarem sobre tots els moments indeterminats en els bucles afegint una integral
per cada moment indeterminat.
ψi
d 4 k
(2π) 4
En el cas de la QED mai no n’hi ha factors de simetria.
D’altra banda, encara que podem triar els vectors de polarització reals, és convenient mantenir
el conjugat en els vectors de polarització de fotons eixint, ε ∗ μ( k,λ), per recordar quins
entren i quins ixen.
7.4.1 Sumes sobre polaritzacions de fotons
Com hem discutit en quantitzar el camp de fotons lliures, els fotons lliures els prendrem amb
només polaritzacions transversals. Això ens pot crear alguns problemes en fer les sumes so-
208

Camps “gauge”: fotons i camps de Proca
bre polaritzacions ja que només hem de sumar sobre les dues polaritzacions físiques. Afortunadament,
com veurem immediatament, la invariància gauge ens permetrà fer simplificacions
importants. En efecte, l’amplitud d’un procés amb fotons externs serà en general de la forma
M = ε μ ( k1,λ1)ε ν (k2,λ2)···Mμν···( k1, k2,···),
amb λ1,λ2,··· = 1,2. Es pot demostrar (Weinberg I pàg. 448) que com a conseqüència de la
conservació del corrent s’ha de satisfer 6
k μ
1 Mμν···( k1, k2,···) = 0, k ν 2 Mμν···( k1, k2,···) = 0,··· (7.43)
Aquest resultat es pot entendre de forma intuïtiva si tenim en compte que una transformació de
gauge, Aμ (x) → Aμ (x)+∂ μα(x), dins de la classe del gauge de Lorentz (és a dir amb ∂ 2α(x) =
0) canvia els vectors de polarització ε μ ( k1,λ1) → ε μ ( k1,λ1)+α(k1)k μ
1 . La invariància gauge
per tant implicaria el resultat (7.43). Hem de notar que aquest resultat és cert només per a la
suma de totes les contribucions a un element de matriu, no per a cadascun dels diagrames.
Per veure la utilitat de (7.43), considerem un element de matriu amb un fotó extern
M = ε μ ( k,λ)Mμ( k), k μ Mμ( k) = 0.
Per calcular la secció eficaç, sense tenir en compte polaritzacions, haurem de prendre el quadrat
i sumar sobre les dues polaritzacions físiques
En general tindrem que
σ ∝
2
∑ ε
λ=1
μ (k,λ)ε ν (k,λ)Mμ(k)M ∗ ν (k).
2
∑ ε
λ=1
μ ( k,λ)ε ν ( 3
k,λ) = ∑ ζλ ε
λ=0
μ ( k,λ)ε ν ( k,λ)+ε μ ( k,0)ε ν ( k,0) − ε μ ( k,3)ε ν ( k,3) = −g μν − kμ kν (nk) 2 + kμ nν + kνnμ . (7.44)
nk
Ara bé, els termes addicionals a la g μν contenen almenys un terme k μ (o k ν ) i, per tant, es
cancel·len en contraure’s amb Mμ (o Mν). Així finalment podrem escriurem
σ ∝ −M μ ( k)M ∗ μ ( k).
Òbviament aquest resultat s’estén fàcilment per a amplituds que involucren més fotons externs
entrant o eixint. És important, però, recordar que només es pot utilitzar per a teories amb corrents
conservats, com és el cas de QED, i per al total de diagrames, ja que diagrames individuals
no necessàriament satisfan (7.43).
Finalment a l’hora de fer la mitjana sobre polaritzacions inicials hem de tenir en compte
que els fotons físics només tenen dues polaritzacions i, per tant, haurem d’afegir un factor 1/2
per fotó inicial.
6 Aquest resultat es pot generalitzar al cas de fotons fora de la capa màssica i és essencial per demostrar la
independencia del paràmetre gauge quan utilitzem un gauge arbitrari.
209

Arcadi Santamaria
7.5 Camps Vectorials Massius
A banda dels fotons hi ha moltes altres partícules que tenen spin 1 però que són massives.
Històricament, la descripció de fotons ha sigut la motivació més important per construir la teoria
de camps i per tant és natural que, a pesar de les seues dificultats, aquest haja sigut el cas que
hem considerat en detall. A més, la invariància gauge, que està darrere de l’electrodinàmica
quàntica, és el principi fonamental amb el que es construiran també totes les teories modernes
que impliquen partícules amb spin 1. Això es perquè, com veurem immediatament, camps amb
spin 1 i amb massa i els acoblaments més generals possibles porten a teories no renormalitzables.
La construcció de teories renormalitzables que involucren camps massius d’spin 1 està
fora de l’abast del present curs. Així i tot la quantització d’aquests camps quan són lliures pot
semblar fins i tot més senzilla que en el cas dels fotons, els acoblaments a fermions són també
pareguts als dels fotons i els càlculs a nivell arbre no presenten cap problema. Per tant, i donada
la importància d’aquest tipus de camps en la física actual (bosons Z, W mesons ρ , etc), pensem
que es convenient considerar almenys les regles de Feynman d’aquests camps.
L’equació de moviment més senzilla que pot descriure partícules d’spin 1 és l’equació de
Proca:
∂μF μν + m 2 A ν = 0, F μν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ . (7.45)
Derivant aquesta equació immediatament trobem
m 2 ∂νA ν = 0.
A diferència del cas del fotó, on la condició de Lorentz s’ha d’imposar com una condició subsidiària,
quan m = 0 la condició de Lorentz apareix naturalment assegurant que efectivament el
camp Aμ només conté tres graus de llibertat, com correspon a una partícula d’spin 1. Substituint
la condició de Lorentz veiem que l’equació de Proca és equivalent a
∂ 2 + m 2 A μ = 0, ∂μA μ = 0.
Podem escriure immediatament un lagrangià que porte a l’equació de Proca
LP = − 1
4 F μν Fμν + 1
2 m2AμA μ . (7.46)
Hem de notar que, exactament com en el cas de fotons, les components físiques del camp Aμ seran les components espacials, és per això que tant el terme cinètic com el terme de massa de
A0 tenen el signe incorrecte respecte a l’equació de Klein-Gordon, de forma que les components
espacials Ai puguen tenir el signe correcte.
El desenvolupament del camp en operadors de creació i destrucció, és immediat
amb
210
Aμ =
d˜k
3
∑ εμ(
λ=1
k,λ)e −ikx a( k,λ)+ε ∗ μ (k,λ)e ikx a † (
k,λ) , (7.47)

d˜k = d3k
(2π) 3
, Ek = k 2 + m2 .
2Ek
Camps “gauge”: fotons i camps de Proca
Ara però, a causa de la condició de Lorentz, que en aquest cas s’imposa d’entrada, només hi
hauran tres polaritzacions, que triarem ortonormals .
εμ( k,λ)k μ = 0, εμ( k,λ)ε μ ( k,λ ′ ) = −δλλ ′ , ,λ = 1,2,3, (7.48)
3
∑ εμ(
λ=1
k,λ)εν(
k,λ) = − gμν − kμkν
m2
. (7.49)
La primera equació en (7.48) no és més que la condició de Lorentz en la representació de moments,
la segona és la condició d’ortonormalitat. L’equació (7.49), la condició de completitud,
es pot comprovar fàcilment fent-la actuar sobre la base de εμ( k,λ ′ ) i utilitzant les condicions de
transversalitat i ortonormalitat. Notem que la presència del segon terme en la suma sobre polaritzacions,
amb el factor 1/m2 , ens portarà a seccions eficaces que depenen de l’energia molt
més fortament del que cabia esperar. Així, encara que la constant d’acoblament dels camps
de Proca amb altres partícules no tinga dimensions, en el límit de molt altes energies els factors
1/m2 s’hauran de compensar amb potències de l’energia del procés i les seccions eficaces
creixeran amb l’energia de forma descontrolada. Com vam discutir al capítol 6, teories d’aquest
tipus s’anomenen teories no renormalitzables i només són útils a energies petites (comparades
amb m).
Les regles de commutació entre operadors de creació i destrucció són
a( k,λ),a † ( k ′ ,λ ′
) = δλλ ′(2π) 3 2E( k)δ (3) ( k −k ′ ).
Com que no tenim les polaritzacions 0, aquestes regles de commutació porten a un espai de
Hilbert amb norma positiva sense problemes.
Per calcular el la funció de Green podem utilitzar la tècnica que hem desenvolupat a la
secció (7.3). En aquest cas, integrant per parts el lagrangià (7.46) immediatament trobem
LP = 1
2 Aμ 2 2
gμν ∂ + m ν
− ∂μ∂ν A ,
o en la representació de moments Oμν(k) = −gμν(k 2 − m 2 )+kμkν. Invertint aquesta quantitat
com vam fer a la secció (7.3) immediatament trobem que (el terme en èpsilon l’afegim, com
sempre, per obtenir la prescripció correcta per a evitar els pols)
D μν
F = −(gμν − kμ kν m
2 )
i
k2 − m2 . (7.50)
+ iε
Si en compte d’utilitzar aquest mètode haguérem calculat directament el producte T-ordenat de
camps, haguérem obtingut un terme addicional que no és covariant Lorentz (Itzikson pg. 135).
Es pot demostrar, però, que aquest terme es cancel·la quan es consideren altres contribucions
211

Arcadi Santamaria
que apareixen quan es quantitza canònicament el camp de Proca, de forma que en la pràctica
utilitzarem el propagador covariant (7.50). Amb aquest propagador i els vectors de polaritzacions
que hem definit podem calcular qualsevol procés que involucre camps de Proca a nivell
arbre.
El propagador (7.50), però, té un comportament peculiar quan k → ∞, a causa del terme
kμkν (conseqüència del segon terme en la suma sobre polaritzacions (7.49)): no tendeix a zero,
com tots els propagadors que hem considerat fins ara, sinó a una constant. Això farà que
el comportament de les integrals de moments que contenen aquests propagadors siguen més
divergents de l’esperat i finalment que les teories que involucren camps de Proca no siguen
renormalitzables si no se suplementen amb simetries addicionals.
Una de les partícules que es poden descriure mitjançant camps de Proca reals, com els que
hem estudiat, són els bosons de gauge Z. Tot el que hem dit en general dels camps de Proca
s’aplica als bosons Z.
Els camps de Proca, poden transportar càrrega. En aquest cas s’han de descriure mitjançant
camps de Proca complexos. Aquest és el cas dels bosons de gauge W + i W − . Per construir
una teoria amb camps de Proca complexos seguirem el mateix esquema que vam utilitzar per a
camps de Klein-Gordon complexos: a partir dels camps reals W μ μ
1 i W2 podem definir un camp
complex (que destrueix W − i crea W + )
W μ = 1
√ 2
W μ
1
μ
− iW2 .
Els canvis en el lagrangià lliure són mínims (W μν = ∂ μ W ν − ∂ ν W μ )
LW = − 1
2 W † μνW μν + m 2 WW † μW μ , (7.51)
que també du al propagador (7.50), sols que ara, com en el cas de Klein-Gordon complex,
correspon només a la contracció del camp amb el seu camp conjugat.
7.5.1 Interacció dels bosons de gauge electrofebles amb fermions: regles
de Feynman
Les interaccions dels camps Z i W amb els fermions (i amb ells mateix i altres partícules),
es poden deduir a partir d’un principi gauge, en particular la invariància gauge requereix que
afegim termes addicionals en els termes cinètics del Z i del W ja que aquests transporten càrregues
i per tant tenen autointeraccions. A més per definir correctament la teoria, és necessari
introduir les masses del Z i del W mitjançant un mecanisme conegut com trencament espontani
de simetria que requereix la introducció d’un camp de Klein-Gordon addicional. No és el tema
del curs la construcció de tal teoria, ara bé amb el que hem vist i uns pocs termes d’interacció
que tenen molt en comú amb la interacció electromagnètica, podrem calcular alguns dels processos
més interessants en la teoria de interaccions electrofebles. Ací ens limitarem a donar les
interaccions més rellevants i a utilitzar-les:
El bosó de gauge Z es descriu mitjançant un camp de Proca real i la seua interacció amb els
fermions ve donada per
212

LZ = − e
2sW cW ∑ i
Camps “gauge”: fotons i camps de Proca
¯ψiγ μ (giV − giAγ5)ψi Zμ
on ψi són els camps de Dirac dels diferents fermions (e, μ,νe,τ,u,d,···) e la càrrega del positró,
sW ≡ sinθW y cW = cosθW un paràmetre de la teoria, i giV y giA els acoblaments vectorials i
axials de cadascú dels fermions (per a neutrins, gνV = 1 2 , gνA = 1 2 mentre que per a electrons,
muons i taus gℓV = − 1 2 +2s2 W , gℓA = − 1 2 , per a als quarks u,c,t, guV = 1 2 − 4 3s2 W , guA = 1 2 mentre
per als quarks d,s,b, gdV = − 1 2 + 2 3s2 W , gdA = − 1 2 ).
Com hem comentat el bosó de gauge W − es pot descriure mitjançant un camp de Proca
complex i la seua interacció amb els fermions es pot descriure amb el lagrangià
LW = − e
W † μ + h.c.
√ ∑
sW 2 i, j
K e ji ¯ν jγ μ PLei + K q
ji ū jγ μ PLdi
essent νi els camps de Dirac dels neutrins, (νe,νμ,ντ), ei, els camps dels leptons carregats,
(e, μ,τ), ui, els camps de quarks de tipus “u”, (u,c,t) i di, els camps de quarks de tipus “d”,
(d,s,b). Ke ji i Kq
ji són matrius de mescla 3 × 3 entre leptons i quarks, respectivament. En molts
casos serà bona aproximació prendre Ke ji =Kq ji =δ ji. Finalment, PL el projector de quiralitat levogir.
Amb aquestes interaccions podem formular unes regles de Feynman semblants a les que
vam escriure per a QED amb els següents canvis (recordant que, com en el cas dels fotons, els
acoblaments del Z no mesclen tipus diferents de fermions i que, en el cas del W, encara que si
que poden haver mescles, aquestes són menyspreables si les masses dels fermions son petites
comparades amb l’escala del procés. A més la càrrega elèctrica s’ha de conservar també en
cada vèrtex.
1. Per cada línia externa
(a) de Z entrant posarem ε μ
Z (k,λ)
(b) de Z eixint posarem ε μ∗
Z (k,λ)
(c) de W − o W + entrant, ε μ
W ( k,λ)
(d) de W − o W + eixint, ε μ∗
W (k,λ)
k −→
k −→
k −→
k −→
2. En cada vèrtex fermió-fermió-Z imposarem la conservació del quadrimoment i inserirem
un factor
−i
e
Z
ψi
γ
2sW cW
μ (giV − giAγ5) μ
ψi
213

Arcadi Santamaria
3. En cada vèrtex ν j −ei −W o u j −di −W(per la notació utilitzada veure el text) imposarem
la conservació del quadrimoment i inserirem un factor
−i
sW
e
√ K
2 e,q
ji γ μ PL
W
ν j u j
ei di
(on la carrega del W , entrant o eixint, està fixada per la conservació de la càrrega en el
vèrtex i les mescles K e,q
ji ≈ δ ji en primera aproximació).
4. Per cada línia interna de Z inserirem un propagador de Proca
Z
− g μν − kμ kν
i
μ ν
+ iε
m 2 Z
k 2 − m 2 Z
5. Per cada línia interna de W inserirem un propagador de Proca
W
− g μν − kμ kν m2
i
W k2 − m2 μ ν
W + iε
Hem de recordar també que la suma de polaritzacions per a partícules de Proca és
3
∑ εμ(k,λ)εν(k,λ) = − gμν −
λ=1
kμkν
m2
,
i que, quan fem la mitjana sobre polaritzacions inicials, el camp de Proca només té tres graus
de llibertat.
214
μ

Problemes Proposats
Camps “gauge”: fotons i camps de Proca
Problema 7.1 Comproveu explícitament que les equacions de moviment que s’obtenen del lagrangià
Lλ = − 1
4 FμνF μν − λ
2 ∂μA μ ∂νA ν − j μ Aμ
són
∂ 2 A μ −(1 − λ)∂ μ ∂νA ν = j μ .
En el cas que λ = 1 aquestes equacions també es poden obtenir del lagrangià de Fermi
LF = − 1
2 (∂ μ A ν ) μ
∂μAν − j Aμ ,
i per tant LF y L λ=1 s’han de diferenciar en una derivada total. Comproveu-ho.
Problema 7.2 Calculeu els moments canònics associats a A μ utilitzant els dos lagrangians del
problema anterior, LF y L λ , i imposeu les regles de commutació canòniques:
[Aμ(x,t),π ν (y,t)] = ig ν μδ (3) (x −y),
[A μ (x,t),A ν (y,t)] = 0, [π μ (x,t),π ν (y,t)] = 0.
Per a λ = 1 comproveu que, encara que els moments canònics són diferents en el cas dels dos
lagrangians, les regles de commutació escrites en termes de Aμ i ˙Aμ són idèntiques en els dos
casos:
[A μ (x,t), ˙A ν (y,t)] = −ig μν δ (3) (x −y),
[A μ (x,t),A ν (y,t)] = 0, [ ˙A μ (x,t), ˙A ν (y,t)] = 0.
215

Arcadi Santamaria
216

Capítol VIII
Processos elementals a nivell arbre amb
fotons i camps de Proca.

8. Processos elementals a nivell
arbre amb fotons i camps de
Proca.
En aquest capítols calcularem alguns processos interessants en QED, veurem com es pot utilitzar
la simetria de creuament per relacionar uns processos amb altres i finalment farem també
alguns calculs involucrant camps els camps de Proca del model estàndard d’interaccions electrofebles.
8.1 e − e + → f ¯f en QED
En aquesta secció calcularem, en QED, la secció eficaç sense polaritzar, és a dir, quan les
partícules incidents no estan polaritzades i quan no es mesura la polarització de les partícules
finals, del procés iī → f ¯f , amb i = f , (i representa un fermió de l’estat inicial i f , de l’estat
final, mentre la barra , ¯f , representa l’antipartícula del fermió f ) a l’ordre més baix en teoria de
pertorbacions. El càlcul es pot aplicar immediatament als processos e − e + → μ − μ + i e − e + →
τ − τ + i, amb petites variacions, al procés e + e − → hadrons. El procés e − e + → e − e + , encara
que conceptualment és similar, conté diagrames addicionals que compliquen el càlcul.
L’únic diagrama que contribueix al procés és mostra a la figura 8.4.
Abans de calcular res, és interessant veure que podem obtenir només de l’anàlisi dimensional,
i l’estructura de la interacció. Com que el procés conté dos vèrtexs i en cada vèrtex
tenim un factor eQ , tindrem que necessariament iM ∝ e2QiQ f , la secció eficaç és proporcional
a |M | 2 , llavors esperem que σ ∝ e4Q2 i Q2 f , a més la secció eficaç té dimensions de superfície,
en el sistema natural d’unitats, [σ] ∼ [E] −2 . En el límit en què s = (p1+ p2) 2 ≫ m2 i ,m2 f , √ s, és
l’única quantitat amb dimensions d’energia i per tant tindrem que σ ∝ e4Q2 i Q2 f /s. Es pot afinar
un poc més, afegint els factors que venen de la integral d’espai fàsic de dues partícules a l’estat
219

Arcadi Santamaria
ī
i
p2 ց
p1 ր
k2 ր
γ
μ ν
q = p1 + p2
Figure 8.1: Únic diagrama que contribueix al procés iī → f ¯f , i = f , a l’ordre més baix en
QED.
final i de flux, 1/(16π), així finalment esperem que, a banda d’un factor de l’ordre de la unitat,
σ ∝ Q 2 i Q2 f π α2
s ,
on hem usat que α = e2 /(4π). El càlcul complet ens donarà el factor global que falta i les
dependències en les masses dels fermions.
L’aplicació de les regles de Feynman (en el gauge de Feynman) immediatament ens dóna
iM = ū(k1,r1) −ieQ f γ ν
−igμν
v(k2,r2)
q2
¯v(p2,s2)(−ieQiγ μ )u(p1,s1).
Contraent índexs i agrupant factors obtenim
iM = iQiQ f
k1 ց
e 2
q 2 (ū(k1,r1)γ μ v(k2,r2)) ¯v(p2,s2)γμu(p1,s1) . (8.1)
És important remarcar el fet que si haguérem utilitzat un altre gauge, el resultat haguera sigut
exactament el mateix. Efectivament, com aquest és l’únic diagrama que contribueix i el resultat
total ha de ser independent del paràmetre de gauge, λ, necessàriament el diagrama ha de ser
independent de λ. Comprovem-ho explícitament. Si utilitzem, un gauge arbitrari, en principi
tindrem una contribució addicional que s’obté canviant gμν → 1−λ
λq 2 qμqν. qμ’s, que van contrets
amb les γ μ ’s dels vèrtex, però
¯v(p2,s2)q/u(p1,s1) = ¯v(p2,s2)(p/2 + p/1)u(p1,s1) = 0, (8.2)
on hem utilitzat l’equació de Dirac que satisfan els spinors p/1u(p1,s1) = miu(p1,s1), ¯v(p2,s2)p/2 =
−mi ¯v(p2,s2). I el mateix passa amb l’actuació de qμ sobre els spinors de l’estat final, de forma
que el terme addicional s’anul·la idènticament. Veiem que, en aquest cas la cancel·lació de les
dependències gauge és una conseqüència directa de la conservació de corrent elèctric. Al cap i
a la fi, l’equació (8.2) no és més que l’equació de conservació del corrent, ∂μ (ψγ μ ψ) = 0, en
la representació de moments. Notem que en aquest cas, el fotó no és un fotó extern, q 2 = 0.
220
¯f
f

Processos elementals a nivell arbre amb fotons i camps de Proca.
Per a calcular la secció eficaç, necessitem l’element de matriu al quadrat, és a dir
|M | 2 = Q 2 i Q 2 f
e4 q4 ′
ū 1γ μ v ′ ′
2 ¯v 2γ ν u ′
1 ¯v2γμu1 (ū1γνv2) , (8.3)
on per alleugerir la notació hem escrit u1 ≡ u(p1,s1), i similarment per a spinors de tipus v i
partícules amb moment p2 o (k1 i k2 afegint una prima per distingir l’estat final). A més, com
vam discutir a la secció 6.4.1
∗ †
ū1γμv2 = v 2γ† μū† 1 = ¯v2γμu1.
Si els fermions inicials no estan polaritzats i no es mesura la polarització dels estats finals,
com també vam discutir a la secció 6.4.1, podrem sumar sobre spins finals, prendre la mitjana
sobre spins inicials i reescriure l’element de matriu al quadrat com un producte de traces (el
factor 1/4 ve de la mitjana sobre les quatre combinacions d’spin inicials)
on
Fent les traces en A μν
f obtenim
A μν
f
∑ |M |
spin
2 = Q 2 i Q 2 e
f
4
Aμν
4q4 f Aiμν , (8.4)
A μν
f = Tr (k/1 + m f)γ μ (k/2 − m f)γ ν ,
A μν
i = Tr{(p/1 + mi)γ ν (p/2 − mi)γ μ } .
= 4k μ
1 kν2 + kν1 kμ
2 −(k1k2 + m 2 f )gμν
= −2 p μ
f pνf +(q2g μν − q μ q ν
) ,
on per escriure el darrer terme hem definit p f ≡ k1 − k2 i hem utilitzat que q2 = 2k1k2 + 2m2 f .
Escrit d’aquesta forma és evident que qμA μν
f = 0, com exigeix la conservació del corrent. Aμν
f ,
es pot avaluar de forma similar, però també es pot obtenir del resultat anterior tenint en compte
que A μν
i = Aνμ
f (k1 → p1,k2 → p2,mf → mi), llavors
on pi ≡ p1 − p2.
Contraent els índexs de Lorentz obtenim
A μν
i = −2 p μ
i pν i +(q2 g μν − q μ q ν ) ,
A μν
f Aiμν = 4 3q 4 + q 2 (p 2 f + p2i )+(pipf)
2
= 4 q 4 + 4q 2 (m 2 i + m 2 f )+(pipf) 2 .
Per obtenir el darrer terme hem utilitzat que p 2 f = 4m2 f − q2 , i similarment per a l’estat inicial.
Substituint en (8.4) obtenim
∑ |M |
spin
2 = Q 2 i Q2 e
f
4
q4
4 2 2
q + 4q (mi + m 2 f )+(pipf) 2 . (8.5)
221

Arcadi Santamaria
En el sistema de referència de centre de masses (CM) tenim (s ≡ q 2 )
i
q = ( √ s,0), pi = (0,2p1), p f = (0,2 k1),
pipf = −4|p1|| k1|cosθ .
Ara utilitzant(5.16), per calcular la secció eficaç diferencials en CM
dσ
dΩ
=
CM
1
64π2
1 − 4m
s
2 f /s
1 − 4m2 i /s ∑ |M |
spin
2 ,
i (5.13) per escriure els moments en CM, |p1| i | k2|, en termes d’invariants,
|p1| = 1
s − 4m
2
2 i ,
|k1| = 1
s − 4m
2
2 f ,
trobem
dσ
dΩ
CM
= Q 2 i Q2 f
×
α2
1 − 4m
4s
2 f /s
1 − 4m2 i /s
1+ 4m2 i
s + 4m2 f
s +
1 − 4m2 i
s
1 − 4m2 f
s
cos 2 θ
on hem substituït e2 = 4πα.
Per obtenir la secció eficaç total només hem d’integrar l’angle sòlid
σ = Q 2 i Q2 4πα
f
2
1 − 4m
3s
2 f /s
1 − 4m2 i /s
1+ 2m2
i
s
1+ 2m2
f
, (8.6)
s
que, a banda del factor 4/3 i de les dependències en les masses, està d’acord amb el que havíem
estimat al principi. En molts casos tindrem que s ≫ m2 f ≫ m2i , llavors podrem menysprear mi i
desenvolupar el resultat en m2 f /s, així obtenim
dσ
dΩ
∼ Q
CM
2 i Q2 α
f
2 2
1+cos θ , (8.7)
4s
σ ∼ Q 2 i Q2 4πα
f
2
3s
1 − 6m4 f
s 2
, (8.8)
que depèn de m4 f compte de m2 f a causa d’una cancelació entre el terme d’espai fàsic i el terme
que ve de l’element de matriu.
Els resultats experimentals de e−e + → μ−μ + i e−e + → τ−τ + per a energies per sota del
llindar del bosó Z confirmen plenament aquests càlculs.
222
,

8.1.1 e + e − → hadrons
Processos elementals a nivell arbre amb fotons i camps de Proca.
Els resultats anteriors es poden aplicar a la producció de qualsevol fermió carregat en col·lisions
e − e + . Els quarks són fermions carregats i per tant haurien d’obeir aquesta fórmula. Ara bé,
els quarks, a més de les interaccions electromagnètiques, senten un altre tipus d’interaccions
que són tan fortes que no deixen que els quarks es propaguen lliurement i tan aviat com es
produeixen es combinen amb altres quarks per formar estats lligats, aquests estats lligats són
les úniques partícules que podem veure, els anomenats hadrons: π’s, K’s, etcètera. Afortunadament,
les interaccions fortes, enteses com a intercanvi de gluons entre quarks, tenen una
propietat, anomenada llibertat asimptòtica, que fa que les interaccions siguen menys fortes a
energies suficientment altes i que el procés de producció d’hadrons es puga factoritzar en el
procés de producció de quarks per el procés de “hadronització”, que fa que els quarks es transformen
en hadrons. A energies suficientment altes, i per a processos suficientment inclusius
(sumen sobre tots els estats finals possibles), el procés d’hadronització dóna una correcció petita
i podrem calcular la secció eficaç a nivell de quarks. Si aquest és el cas podem definir la
quantitat
R ≡ σ(e+ e − → hadrons)
σ(e + e − → μ + μ − ) ≈ NC∑ f
Q 2 f
, (8.9)
on la suma s’estén a tots els quarks tals que estan sota el llindar de producció 4m2 f < s, hem
menyspreat les dependències en les masses, i hem afegit un factor NC que té en compte el color
dels quarks. Per a 1GeV < √ s < 2mc ≈ 3GeV, només es poden produir hadrons que contenen
quarks u,d,s, per a 3GeV ≈ 2mc < √ s < 2mb ≈ 10GeV, a més es podran produir hadrons
que continguen el quark c, i finalment per a 10GeV < √ s també es podran produir hadrons
que continguen quarks b. A la figura 8.2 representem els resultats experimentals, junt amb la
predicció (8.9) (línies contínues horitzontals) posant Nc = 3 i les càrregues del model estàndard.
El resultat experimental és perfectament compatible amb 3 colors i l’existència de quarks amb
les masses i càrregues esmentades. Els pics prop del llindar de producció, que distorsionen
fortament la figura, corresponen als diferents estats lligats dels quarks.
8.1.2 Polaritzacions en e + e − → μ + μ −
Fins ara hem calculat distribucions angulars i seccions eficaces totals, però només quan els
feixos de partícules no estan polaritzats i quan no es mesuren les polaritzacions a l’estat final.
La suma sobre els spins dels fermions ens ha permés reduir el càlcul a traces de matrius de
Dirac, sense haver d’utilitzar cap representació explícita de les matrius de Dirac o dels spinors.
Que passa llavors quan si que estem interessats en el spin (o l’helicitat) de les partícules incidents
o finals? En principi no podem sumar sobre spins i llavors no podem convertir els
productes d’spinors en matrius de Dirac per poder fer traces. Una solució seria utilitzar la
forma explícita dels spinors per a cada component d’spin i calcular directament les amplituds.
Aquest mètode, que pot ser interessant per a càlculs numèrics utilitzant ordinadors, en general,
no és apropiat per a càlculs analítics. La solució per poder utilitzar els mètodes anteriors es
basa senzillament en l’ús dels projectors d’spin (o helicitat, Π±, eq. (4.34)): si u(p,+) és un
223

Arcadi Santamaria
R=σ(e - e + →hadrons)/σ(e + e - →μ − μ + )
7
6
5
4
3
2
1
_ 10
√s
[GeV]
Figure 8.2: Resultats experimentals per a R ≡ σ(e + e − → hadrons)/σ(e + e − → μ + μ − ) comparats
amb la predicció (8.9) (línies contínues horitzontals).
spinor amb helicitat, +, tindrem que
u(p,+)ū(p,+) = ∑ s
Π+u(p,s)ū(p,s) = Π+(p/+m),
on Π+ és el projector d’helicitat +. Així en la suma si s = +, el projector dóna la identitat
i si s = −, el projector dóna zero. Igualment tindrem per a spinors amb helicitat − o spinors
d’antipartícules (canviant en aquest cas els signes dels projectors d’helicitat). Utilitzant aquestes
identitats immediatament podem reescriure el quadrat de l’element de matriu com a traces
de matrius de Dirac, només cal afegir el projector sobre l’helicitat apropiada a l’estat considerat.
Així si ens especialitzem al cas e − e + → μ − μ + , trobem
amb
|M(s1,s2,r1,r2)| 2 = e4
Aμν
q4 f (r1,r2)Aiμν(s1,s2), (8.10)
A μν
f (r1,r2) = Tr Πr1 (k/1 + m f)γ μ Π−r2 (k/2 − m f)γ ν ,
A μν
i (s1,s2) = Tr{Πs1 (p/1 + mi)γ ν Π−s2 (p/2 − mi)γ μ } ,
on hem escrit explicitament les helicitats de les partícules i els seus projectors associats. Aquestes
relacions se simplifiquen enormement en el cas de partícules sense massa. Llavors, com
224

Processos elementals a nivell arbre amb fotons i camps de Proca.
vam veure, els projectors d’helicitat actuant sobre els spinors són 1
u(p,+)ū(p,+) = PR p/, u(p,−)ū(p,−) = PL p/,
v(p,+) ¯v(p,+) = PL p/, v(p,−) ¯v(p,−) = PR p/.
En aquest límit, clarament, només les amplituds A μν (+,−) i A μν (−,+) (tant per a l’estat
inicial com per a l’estat final) són diferents de zero. Per exemple, a l’estat inicial tindrem
A μν
f (+,−) = Tr{PR k/1γ μ PR k/2γ ν } = Tr{k/1γ μ k/2γ ν PR} =
= 2 k μ
1 kν 2 + kν 1 kμ
2 − gμν (k1k2) − iε σ μρν k1σ k2ρ
. (8.11)
El resultat per a A μν
f (−,+) s’obté canviant el signe del terme amb εσ μρν. Els resultats per a
l’estat inicial s’obtenen de forma similar (recordem que els índexs μ, ν estan permutats)
A μν
i (+,−) = 2 p μ
1 pν2 + pν1 pμ
2 − gμν (p1p2)+iε σ μρν
p1σ p2ρ . (8.12)
Ara podem contraure els índexs Lorentz per obtenir
A μν
i (+,−)A f μν(+,−) = 4 2(p1k1)(p2k2)+2(p1k2)(p2k1)+εσ μρν p σ 1 pρ
2 εαμβν kα1kβ2 = 16(p1k2)(p2k1) , (8.13)
on en darrer pas hem utilitzat que εμνσρε μναβ = −2(δ α σ δ β ρ − δ β σ δ α ρ ). Alternativament podem
utilitzar les relacions2 (···γ μ a/γ ν PR ···)(···γμb/γνPR ···) = 4(ab)(···γ λ PR ···)(···γ λ PR ···), (8.14)
(···γ μ a/γ ν PL ···)(···γμb/γνPL ···) = 4(ab)(···γ λ PL ···)(···γ λ PL ···), (8.15)
(···γ μ a/γ ν PR ···)(···γνb/γμPL ···) = 4(ab)(···γ λ PR ···)(···γ λ PL ···), (8.16)
(···γ μ a/γ ν PR ···)(···γνb/γμPR ···) = 4(···b/PR ···)(···a/PR ···), (8.17)
(···γ μ a/γ ν PL ···)(···γνb/γμPL ···) = 4(···b/PL ···)(···a/PL ···), (8.18)
(···γ μ a/γ ν PR ···)(···γμb/γνPL ···) = 4(···b/PR ···)(···a/PL ···), (8.19)
per escriure (usant la relació (8.17))
A μν
i (+,−)A f μν(+,−) = Tr{p/1γ ν p/2γ μ PR}Tr
k/1γμk/2γνPR
= 4Tr{p/1k/2PR}Tr{k/1p/2PR} = 16(p1k2)(p2k1).
1 Notem que el límit de massa zero és singular, en el sentit que els quatre projectors col·lapsen a només dos.
Cal recordar també que la relació entre projectors d’helicitat i quiralitat només se satisfà actuant sobre spinors
que satisfan l’equació de Dirac, d’ací la paradoxa que mentre els Π± commuten amb els Λ±, els projectors de
quiralitat clarament no commuten amb p/, i per tant l’ordre en el què els posem és rellevant.
2 En el problema 4.2 trobareu algunes idees de com es poden demostrar aquestes relacions utilitzan les reordenacions
de Fierz. Alternativament podeu desenvolupar el producte de tres γ’s en una combinació lineal de només
una γ i llavors contraure els índexs.
225

Arcadi Santamaria
μ −
e −
k2
−→
p1
−→
μ
k1
−→
γ q = p1 − p2
ν
p2
−→
Figure 8.3: Diagrama, a l’ordre més baix en QED, del procés e − μ − → e − μ − .
En el sistema centre de masses i per a partícules sense massa p1 = (E,p1), p2 = (E,−p1),
k1 = (E, k1), k2 = (E,− k1), amb E = |p1| = | k1|, i p1k2 = p2k1 = E 2 (1+cosθ), p1k1 = p2k2 =
E 2 (1 − cosθ), així finalment obtenim (s = 4E 2 )
μ −
|M(+,−,+,−)| 2 = |M(−,+,−,+)| 2 = e 4 (1+cosθ) 2 ,
|M(+,−,−,+)| 2 = |M(−,+,+,−)| 2 = e 4 (1 − cosθ) 2 ,
on els canvis de signe s’obtenen fàcilment dels canvis de signe en les εσ μρν o bé de l’ús de les
relacions anteriors. Per exemple (usant (8.16))
A μν
i (+,−)A f μν(−,+) = Tr{p/1γ ν p/2γ μ PR}Tr
k/1γμk/2γνPL
= 4(p2k2)Tr Tr{k/1γ λ PL} = 16(p2k2)(p1k1).
Afegint els factors d’espai fàsic i de flux obtenim
dσ(e − R e+ L → μ− L μ+ R )
dΩ
p/1γ λ PR
CM
e −
= α2
4s (1+cosθ)2 ,
i de forma semblant per a les altre combinacions d’helicitats. Sumant les quatre contributions i
dividint per 4 per fer la mitjana sobre helicitats inicials recuperem el resultat (8.7), com havia
de ser.
8.2 e − μ − → e − μ − : simetria de creuament
Ara anem a estudiar el procés e − μ − → e − μ − i veurem, que encara que és un procés totalment
diferent de e − e + → μ − μ + , els elements de matriu reduïts estan íntimament relacionats.
L’estudi d’aquest procés ens permetrà il·lustrar l’anomenada simetria de creuament i calcular
de forma molt senzilla l’element de matriu reduït a partir del resultat (8.4). Del diagrama8.3
immediatament obtenim
226
iM = i e2
q 2 (ū(k1,r1)γ μ u(k2,r2)) ū(p2,s2)γμu(p1,s1) , (8.20)

Processos elementals a nivell arbre amb fotons i camps de Proca.
on per la conservació del moment tindrem, q = p1 − p2 = k1 − k2. L’única diferència entre
aquest element de matriu i l’element de matriu (8.1) és la diferent definició de q i que els
spinors d’antipartícula v(k2,r2) i ¯v(p2,s2), han passat a ser spinors de partícula. Les diferències
es veuen encara més clares si calculem l’element de matriu al quadrat
on ara (mi = me i m f = mμ)
∑
spin
|M | 2 = e4
Aμν
4q4 f Aiμν , (8.21)
A μν
f = Tr (k/1 + m f)γ μ (k/2 + m f)γ ν ,
A μν
i = Tr{(p/1 + mi)γ ν (p/2 + mi)γ μ } .
Resultat que es pot obtenir de (8.4) canviant k2 → −k2, p2 → −p2 i afegint un signe menys per
cada projector d’antipartícula que hem hagut de canviar (en aquest cas dos signes menys). El
resultat final es pot llegir, per tant, directament de (8.5) canviant q = p1 − p2 = k1 − k2, pi =
p1+ p2, p f = k1+k2 (i prenent obviament Q2 i = Q2 f = 1), la cinemàtica, però, és completament
diferent. En centre de masses tindrem p1 = (Ee,p1), k2 = (Eμ,−p1), p2 = (Ee,p2), k1 =
(Eμ,−p2), |p1| 2 = |p2| 2 = E2 e − m2 e = E2 μ − m2 μ ≡ k2 , p1p2 ≡ k2 cosθ. Així q = (0,p1 −p2),
q2 = −2k2 (1 − cosθ), pi = (2Ee,p1 +p2), p f = (2Eμ,−p1 −p2), pipf = 4EeEμ + 2k2 (1+
cosθ). El resultat complet és un poc complicat. En el límit en què s ≫ mμ ≫ me, se simplifica
notablement, Ee ≈ Eμ ≈ √ s/2 , k2 = s/4,
i
∑ |M |
spin
2 2e
=
4
(1 − cosθ) 2
2
4+(1+cosθ) , (8.22)
dσ
dΩ
CM
= α2
4+(1+cosθ) 2
2s
(1 − cosθ) 2
(8.23)
Notem que aquest resultat és divergent per a θ = 0, i per tant no podem calcular la secció
diferencial total. Aquest comportament no és un artefacte de l’aproximació que hem fet en
menysprear les masses de les partícules, de fet aquest comportament es manté fins i tot quan
mantenim les masses i és el mateix que té la dispersió de Rutherford en mecànica quàntica no
relativista. En teoria quàntica de camps, és degut, al pol del propagador del fotó, el terme 1/q 4 ,
i que el fotó no té massa. En mecànica quàntica no relativista era degut al potencial elèctric
que va com 1/r i que no tendeix a zero prou ràpidament. Com sabem aquests dos fets estan
intimament relacionats.
Els resultats que hem il·lustrat en aquest exemple, és a dir, el fet que mòduls al quadrat
d’amplituds de processos diferents però en els què canviem partícules (antipartícules) de l’estat
inicial per antipartícules (partícules) a l’estat final o a l’inrevés estan relacionats de forma molt
simple, es poden generalitzar al cas de bosons i fotons (i també al cas d’amplituds polaritzades).
Les relacions en el cas de amplituds no polaritzades, com hem vist, són molt simples. Per a
227

Arcadi Santamaria
γ,k1
e −
p1 p1 + k1 p2
γ,k2
e −
γ,k1
e −
p1 p1 − k2 p2
Figure 8.4: Diagrames que contribueixen, a l’ordre més baix en QED, a la col·lisió Compton
γ e − → γ e − .
obtenir el mòdul al quadrat de l’amplitud d’un procés a partir d’un altre procés relacionat per
simetria de creuament serà suficient fer el següent:
Si creuem una partícula (antipartícula) de l’estat inicial (final) a antipartícula (partícula) a
l’estat final (inicial), serà suficient canviar el signe del seu quadrimoment p → −p, i en el cas
de fermions afegir un signe − global per cada partícula (antipartícula) que creuem.
8.3 Col·lisió Compton i anihilació de parells
Com una il·lustració d’un problema un poc més complicat, i amb fotons en potes externes,
calcularem el procés de col·lisió Compton, γ e− → γ e− . Veurem quant important és organitzar
correctament el càlcul per poder arribar al resultat final que serà molt simple. A més utilitzarem
dues estratègies a l’hora de treballar amb els fotons externs.
A la figura 8.4 hem dibuixat els dos diagrames que contribueixen al procés. La aplicació de
les regles de Feynman ens permeten escriure immediatament l’element de matriu reduït,
iM = −ie 2
1
ū2 ε/2
p/1 + k/1 − m ε/1
1
+ ε/1
p/1 − k/2 − m ε/2
u1, (8.24)
on hem condensat la notació al màxim i hem contret els vectors de polarització dels fotons amb
les γ ′ s dels vèrtexs per evitar anar arrossegant els índexs de Lorentz mentre no siga necessari.
La primera elecció que hem fet és a l’hora d’escriure els propagadors dels fermions, la conservació
del moment ens diu que p2 = p1 + k1 − k2, llavors podem escriure els moments dels
propagadors dels fermions en termes de p1, de p2 o mesclats. Com que només hi ha 3 moments
independents, és útil eliminar-ne un sempre que puguem. Hem decidit eliminar p2 perquè al final
treballarem en el sistema de referència de laboratori, en el que l’electró de moment p1, està
en repòs. Així el resultat final, sense polaritzar dependrà, en principi, de només tres invariants,
p1k1, p1k2, i k1k2. Ara bé, la conservació del moment ens permet relacionar aquests invariants
d’on arribem a que
228
m 2 = p 2 2 = (p1 + k1 − k2) 2 = m 2 + 2p1(k1 − k2) − 2k1k2,
γ,k2
k1k2 = p1k1 − p1k2. (8.25)
e −

Processos elementals a nivell arbre amb fotons i camps de Proca.
En el sistema de referència de laboratori tindrem p1 = (m,0), k1 = (w1,k1), k2 = (w2,k2). De
forma que
w1w2(1 − cosθ) = m(w1 − w2), (8.26)
equació que ens permetrà escriure l’energia del fotó final, w2, en termes de l’angle de dispersió.
De moment, però, utilitzarem la conservació de moment per eliminar p2 i l’equació (8.25) per
eliminar el producte k1k2.
És important remarcar que, com vam comentar a la secció 7.4.1, la invariància gauge ens
assegura que si substituïm ε1 → k1 (o ε2 → k2) l’element de matriu es cancel·la idènticament.
Aquest cas és interessant perquè aquesta propietat no se satisfà diagrama a diagrama sinó només
en la suma dels dos diagrames. Per veure-ho, substituirem ε1 → k1 en (8.24), utilitzarem la
conservació del moment per escriure el segon propagador fermiònic en termes de p2 − k1 i que
els spinors u1 satisfan l’equació de Dirac, (p/1 − m)u1 = 0 (i ū2(p/2 − m) = 0) per afegir els
factors necessaris per poder cancel·lar els denominadors,
1
ū2 ε/2
p/1 + k/1 − m k/1
1
+ k/1
p/1 − k/2 − m ε/2
u1
1
= ū2 ε/2
k/1 +(p/1 − m)
p/1 + k/1 − m
+ k/1 −(p/2 − m) 1
p/2 − k/1 − m ε/2
u1
= 0,
i el mateix podem fer amb ε2 → k2. Com vam discutir a la secció 7.4.1, aquesta propietat
ens permetrà sumar sobre les dues polaritzacions físiques de fotons fent senzillament
∑ 2
λ1 =1 εμ( k1,λ1)εν( k1,λ1) → −gμν.
Abans de reduir la suma sobre spins i polaritzacions de l’element de matriu al quadrat a
traces és útil reordenar un poc l’element de matriu, per això escriurem
1
p/1 + k/1 − m = p/1 + k/1 + m
(p1 + k1) 2 − m2 = p/1 + k/1 + m
.
2p1k1
El numerador el podem simplificar un poc més si utilitzem l’equació de Dirac, abans, però,
haurem d’utilitzar les regles d’anticommutació de les matrius de Dirac per passar el p/1 a la
dreta de ε/1, (p/1 + m)ε/1u1 = 2(ε1p1)u1. En el segon terme de l’element de matriu podem fer
manipulacions similars per escriure
iM = −i e2
2 ū2
ε/2(k/1ε/1 + 2p1ε1)
+
p1k1
ε/1(k/2ε/2
− 2p1ε2)
u1. (8.27)
p1k2
A partir d’aquesta expressió podem calcular l’element de matriu al quadrat i sumar sobre spins
d’electrons
∑ |M |
s1,s2
2 = e4
4 Tr
ε/2(k/1ε/1 + 2p1ε1)
(p/2 + m)
+
p1k1
ε/1(k/2ε/2
− 2p1ε2)
p1k2
(ε/1k/1 + 2p1ε1)ε/2
(p/1 + m)
+
p1k1
(ε/2k/2
− 2p1ε2)ε/1
p1k2
, (8.28)
229

Arcadi Santamaria
Ara podem utilitzar la relació ∑ 2
λ 1 =1 εμ(k1,λ1)εν(k1,λ1) → −gμν, (i l’equivalent per a ε2) per a
sumar sobre polaritzacions de fotons (els índexs de ε2 del primer terme aniran contrets amb els
de ε2 del segon terme i similarment per a ε1). A més afegirem un factor 1/4 per a fer la mitjana
sobre els 2 spins de l’electró inicial i les dues helicitats del fotó inicial,
∑ |M |
spin 2 = e4
16 Tr
γ
(p/2 + m)
μ (k/1γ ν + 2pν 1 )
on
p1k1
+ γν (k/2γ μ − 2p μ
1 )
p1k2
(γνk/1 + 2p1ν)γμ
(p/1 + m)
+
p1k1
(γμk/2 − 2p1μ)γν
p1k2
≡ e4
T1
16 (p1k1) 2 + T2 + T3 T4
+
(p1k1)(p1k2) (p1k2) 2
T1 = Tr (p/2 + m)γ μ (k/1γ ν + 2p ν 1 )(p/1
T2
+ m)(γνk/1 + 2p1ν)γμ ,
= Tr (p/2 + m)γ μ (k/1γ ν + 2p ν 1 )(p/1
+ m)(γμk/2 − 2p1μ)γν ,
T3 = T2(k1 ↔ −k2) = T2,
T4 = T1(k1 → −k2),
, (8.29)
per tant només hem de calcular T1i T2. A més hem de tenir en compte que les traces són
diferents de zero només per a un nombre parell de γ’s. Per exemple
T1 = Tr p/2γ μ (k/1γ ν + 2p ν 1 )p/1(γνk/1
+ 2p1ν)γμ
+ m 2 Tr γ μ (k/1γ ν + 2p ν 1 )(γνk/1
+ 2p1ν)γμ ,
les traces que queden es poden reduir fàcilment (encara que amb paciència) utilitzant la propietat
cíclica de la traça, i que γ μ γμ = 4, γ μ p/γμ = −2p/, γ μ p/1p/2γμ = 4p1p2, p/p/ = p 2 , etcètera. El
resultat és
T1 = 32 2m 4 − m 2 p1p2 − m 2 p2k1 + 2m 2 p1k1 +(p2k1)(p1k1) .
Ara l’hem de reduir a les nostres variables utilitzant la conservació del moment, p2 = p1+k1 −
k2, i (8.25). Així finalment T1, es pot escriure en termes de p1k1 i p1k2 únicament,
canviant k1 ↔ −k2, obtenim T4
T1 = 32 m 4 + m 2 p1k1 +(p1k1)(p1k2) ,
T4 = 32 m 4 − m 2 p1k2 +(p1k1)(p1k2) .
Un càlcul similar ens dóna T2 = T3,
T2 = −16 2m 4 + m 2 p1k1 − m 2
p1k2 .
230

Substituint obtenim finalment
∑ |M |
spin
2 = 2e 4
Processos elementals a nivell arbre amb fotons i camps de Proca.
p1k1
p1k2
+ p1k2
+ 1+
p1k1
m2
= 2e 4
w1
+
w2
w2
− sin
w1
2 θ
p1k1
− m2
2
− 1
p1k2
, (8.30)
on en la darrera línia hem utilitzat el sistema de referencia del laboratori (electró inicial en
repòs) per escriure p1k1 = mw1, p1k2 = mw2, i hem utilitzat la relació (8.26) per simplificar el
darrer terme.
Per a calcular la secció eficaç ara necessitem la integral d’espai fàsic en el sistema de referència
de l’electró inicial en repòs
dΦ2 =
=
=
= 1
8π
d3k2 (2π) 3 d
2w2
3p2 (2π) 3 (2π)
2E2
4 δ (4) (p1 + k1 − p2 − k2)
1 dw2w2 2dΩ δ(m+w1 − w2 − E2)
4(2π) 2
1
4(2π) 2
w2E2
w2dΩ
E2
E2w2
mw1
d cosθ w2 2 , (8.31)
mw1
on en el primer pas hem usat (com que l’electró inicial està en repós, p1 = 0) la δ (3) (k1 −k2 −
p2) per integrar el moment p2, llavors en el segon pas,
E2 = | k1 −k2| 2 + m2
= m2 + w2 1 + w2 2 − 2w1w2 cosθ . (8.32)
Per a passar a la tercera línia usem la δ d’energies per integrar w2,
dw2δ m+w1 − w2 − m2 + w2 1 + w2 2 − 2w1w2
cosθ
1
=
1+(w2 − w1 cosθ)/E2
= E2w2
mw1
on hem utilitzat (8.32) per a escriure l’arrel quadrada en termes de E2, la conservació d’energia
per escriure en el denominador E2 + w2 = m + w1. Finalment hem usat que la solució de
l’equació de conservació de l’energia,
m+w1 − w2 − m2 + w2 1 + w2 2 − 2w1w2 cosθ = 0,
és (8.26), que hem escrit com
m+w1(1 − cosθ) = m w1
,
,
w2
231

Arcadi Santamaria
per simplificar el denominador. També hem integrat la variable ϕ en l’angle sòlid, dΩ =
2π d cosθ.
Ara utilitzant aquest resultat per a l’espai fàsic, la fórmula general de la secció eficaç (5.15)
i l’element de matriu al quadrat (8.30) trobem el resultat final per a la secció eficaç diferencial
amb (de (8.26))
dσ
d cosθ =
w 2 2
1 1
2w12m 8π mw1 ∑ |M |
spin
2
= πα2
m2 2 w2 w2
w2 =
w1
w1
w1
+ w1
− sin
w2
2 θ
, (8.33)
1+ w1 .
m (1 − cosθ)
En el límit de baixes energies, w1 ≪ m, tenim que w1 ≈ w2, i llavors obtenim la fórmula de
Thomson per a la secció eficaç diferencial
dσ πα2
=
d cosθ m2 (1+cos2 θ), σtotal = 8πα2
, (8.34)
3m2 que dóna la dispersió del camp electromagnètic de radiació “clàssic” per un electró lliure.
Fins ara hem calculat només la secció eficaç sense tenir en compte les polaritzacions dels fo-
tons. Això ens ha permés sumar sobre les polaritzacions i utilitzar la fórmula ∑ 2
λ 1 =1 εμ(k1,λ1)εν(k1,λ1) →
−gμν, vàlida només per a elements de matriu que s’obtenen de corrents conservats, com era el
cas. Utilitzant aquesta fórmula hem pogut contraure les matrius γ en els vèrtexs dels fotons.
No hem utilitzat per a res la llibertat que tenim de triar els vectors de polarització dels fotons, ni
les seues propietats. A continuació mostrarem com es pot simplificar el càlcul triant de forma
adequada els vectors de polarització al temps que obtindrem una fórmula per a la secció eficaç
diferencial que té en compte la possible polarització dels fotons.
El moment de qualsevol partícula massiva satisfà que p2 = m2 > 0, llavors podem triar
nμ = pμ /m en (7.27),(7.26) i (7.28). En particular podem triar nμ ≡ p μ
1 /m, de forma que
en el sistema de referència en què l’electró inicial està en repòs podem triar els vectors de
polarització dels fotons, tant inicial com final, com en (7.22) i (7.23). Triant els vectors de
polarització d’aquesta forma tindrem (per a les polaritzacions transversals, que són les úniques
que hem de considerar)
p1ε1 = 0, k1ε1 = 0, ε 2 1
p1ε2 = 0, k2ε2 = 0, ε 2 2
= −1,
= −1. (8.35)
Utilitzant aquestes propietats, els elements de matriu (8.27) i (8.28) són molt més simples,
∑ |M |
s1,s2
2 = e4
4 Tr
ε/2k/1ε/1
(p/2 + m) +
p1k1
ε/1k/2ε/2
p1k2
ε/1k/1ε/2
(p/1 + m) +
p1k1
ε/2k/2ε/1
p1k2
,
232

≡ e4
4
Processos elementals a nivell arbre amb fotons i camps de Proca.
W1
(p1k1) 2 + W2 +W3 W4
+
(p1k1)(p1k2) (p1k2) 2
W1 = Tr{(p/2 + m)ε/2k/1ε/1(p/1 + m)ε/1k/1ε/2},
W2 = Tr{(p/2 + m)ε/2k/1ε/1(p/1 + m)ε/2k/2ε/1} ,
W3 = T2(ε1 ↔ ε2,k1 ↔ −k2) = W2,
W4 = T1(ε1 ↔ ε2,k1 → −k2).
, (8.36)
És important remarcar que una vegada hem utilitzat (8.35) per simplificar el resultat, ja no
podem utilitzar ∑ 2
λ1 =1 εμ( k1,λ1)εν( k1,λ1) → −gμν per sumar polaritzacions i haurem d’utilitzar
l’expressió completa (7.44). Afortunadament, en aquest cas, això no és necessari i podrem
reduir totes les traces utilitzant (8.35) sense haver de sumar sobre polaritzacions. Per simplificar
les expressions hem d’utilitzar les regles d’anticommutació a/b/ = −b/a/+2ab, per anar passant
les k/1 ( o k/2) a la dreta o l’esquerra fins que troben una altra k/1, llavors utilitzarem k/1k/1 = k2 1 = 0,
i igual per a k2. Per a ε/1 (o ε/2), podem fer el mateix només que quan es troben dos ε/1 utilitzarem
ε/1ε/1 = ε2 1 = −1 i igual per a ε2. A més utilitzarem (8.35) per simplificar cada pas. Per exemple
W1 = Tr{(p/2 + m)ε/2k/1(p/1 − m)k/1ε/2}
= Tr{p/2ε/2k/1p/1k/1ε/2} = 2p1k1Tr{p/2ε/2k/1ε/2}
= 8p1k1(2(p2ε2)(k1ε2)+(p2k1)) = 8p1k1(2(k1ε2) 2 +(p1k2)), (8.37)
on per escriure la primera línia hem utilitzat que ε/1p/1 = −p/1ε/1, per passar ε/1 a la dreta i després
hem utilitzat ε/1ε/1 = −1. Per passar a la segona línia hem usat que k/1k/1 = 0 per eliminar el
terme de masses de la dreta i que la traça d’un nombre senar de traces s’anul·la per a eliminar
el primer terme de masses. Després hem usat k/1p/1 = −p/1k/1 + 2p1k1 i altra vegada k/1k/1 = 0.
Per passar a la tercera línia hem fet la traça de quatre γ’s i finalment hem eliminat p2 usant
p2 = p1 + k1 − k2, i p2ε2 = k1ε1 i p2k1 = p1k2.
Canviant ε2 ↔ ε1, i k1 ↔ −k2 obtenim W4,
W4 = −8p1k2(2(k2ε1) 2 −(p1k1)). (8.38)
Igualment tenim (utilitzant la conservació del moment per eliminar p2 en favor de p1 i la
propietat cíclica de la traça per passar ε/2k/2ε/1 a l’esquerra)
W2 = Tr{ε/2k/2ε/1(p/1 + k/1 − k/2 + m)ε/2k/1ε/1(p/1 + m)}
= Tr{ε/2k/2ε/1(p/1 + m)ε/2k/1ε/1(p/1 + m)}
−2k2ε1Tr{ε/2k/2ε/2k/1ε/1p/1}+2k1ε2Tr{ε/2k/2ε/1k/1ε/1p/1}
= 2p1k1Tr{ε/1ε/2k/2ε/1ε/2p/1}+8(k2ε1) 2 (p1k1) − 8(k1ε2) 2 (p1k2)
= 8 (p1k1)(p2k2) 2(ε1ε2) 2 − 1 +(k2ε1) 2 (p1k1) −(k1ε2) 2 (p1k2) , (8.39)
on per a passar de la primera línia a la segona hem mogut el k/1 del parèntesi cap a la dreta
fins actuar sobre k/1 i el k/2 cap a l’esquerra fins actuar sobre el k/2. Per reduir la traça de la
233

Arcadi Santamaria
segona línia hem mogut ε/2 cap a l’esquerra i ε/1 cap a la dreta i la propietat cíclica de la traça
per posar-lo al principi de la traça, després hem usat que (p/1 − m)k/1(p/1 − m) = 2(p1k1)p/1. Les
traces de la tercera línia es redueixen fàcilment tenint en compte, per exemple que ε/2k/2ε/2 =
−k/2ε/2ε/2 = k/2. Finalment per fer la traça de la quarta línia movem p/1 cap a l’esquerra i trobem
(després d’utilitzar la propietat cíclica de la traça en p/1)
llavors
Tr{ε/1ε/2k/2ε/1ε/2p/1} = 2p1k2Tr{ε/1ε/2ε/1ε/2} − Tr{ε/1ε/2k/2ε/1ε/2p/1} ,
Tr{ε/1ε/2k/2ε/1ε/2p/1} = p1k2Tr{ε/1ε/2ε/1ε/2} = 4(p1k2) 2(ε1ε2) 2 − 1 .
Canviant ε2 ↔ ε1, i k1 ↔ −k2 obtenim W3 = W2, i sumant tots els termes obtenim finalment
∑ |M |
s1,s2
2 = 2e 4
p1k1
p1k2
+ p1k2
+ 2
p1k1
2(ε1ε2) 2 − 1
,
sense haver necessitat sumar sobre les polaritzacions dels fotons. Anant al sistema de referència
del laboratori i afegint els factors d’espai fàsic i de flux i un factor 1/2 per fer la mitjana sobre
l’spin de l’electró incident obtenim la secció eficaç per a fotons polaritzats (i electrons sense
polaritzar)
dσ(λ1,λ2)
d cosθ
= πα2
2m 2
w2
w1
2 w2
w1
+ w1
+ 4(ε1ε2)
w2
2
− 2 . (8.40)
Podem comprovar aquest resultat sumant sobre polaritzacions finals del fotó i fent la mitjana
sobre la polarització del fotó inicial
dσ
d cosθ
1
=
2
2
∑
λ1,λ2=1
dσ(λ1,λ2)
d cosθ
= πα2
m 2
w2
w1
2 w2
w1
+ w1
− sin
w2
2
θ ,
on hem utilitzat que en els sistema de referència del laboratori n μ = p μ
1 /m = (1,0), els ε’s
transversals i longitudinals només tenen components espacials, iε1(k1,3) =k1/|k1|, a més els
tresε1(k1,λ1), λ1 = 1,2,3 formen una base ortonormal de l’espai tridimensional, així
2
∑ (ε1ε2)
λ1,λ2=1
2 =
=
2
∑
λ1,λ2=1
3
∑
i, j=1
(ε1ε2) 2 =
δ i j − ki j
1k1 |k1| 2
3 2
∑ ∑ ε
i, j=1 λ1=1
i 2
j
1ε1 ∑
λ2=1
= 3 − 1 − 1+ ( k1 k2) 2
8.3.1 Anihilació de parells e − e + → γγ
δ i j − ki j
2k2 |k1| 2
ε i j
2ε2 |k1| 2 |k2| 2 = 1+cos2 θ . (8.41)
Els resultats anteriors es poden utilitzar immediatament, via la simetria de creuament, per
obtenir l’element de matriu del procés d’anihilació de parells, e − e + → γγ (vegeu el diagrama
234

e +
e −
p2
p1
Processos elementals a nivell arbre amb fotons i camps de Proca.
p1 − k1
γ,k2
γ,k1
e +
e −
p2
p1 − k2
Figure 8.5: Diagrames que contribueixen, a l’ordre més baix en QED, a la anihilació de parells
e − e + → γγ.
de la figura 8.5). Només cal canviar p2 → −p2 i k1 → −k1 i afegir un signe menys perquè
només estem canviant un fermió de l’estat final a antifermió a l’estat inicial. Així
p1
γ,k2
γ,k1
∑ |M |
spin
2 = 2e 4
p1k1
+
p1k2
p1k2
− 1 −
p1k1
m2
−
p1k1
m2
2
+ 1 . (8.42)
p1k2
Aquest resultat és invariant Lorentz, per tant, podem anar al sistema de referència que vulguem.
En el cas d’anihilació de parells és més interessant utilitzar el sistema de referencia de centre
de masses, p1 = (E,p1), k1 = (E,k1), k2 = (E,−k1), p1k1 = E(E − pcosθ), p1k2 = E(E +
pcosθ), on p ≡ |p1| = √ E2 − m2 i |k1| = E.
∑ |M |
spin
2 = 2e 4
2 E2 + p2 cos2 θ
E2 − p2 cos2 + 1 −
θ
1 −
2m2 E2 − p2 cos2 2
θ
. (8.43)
Afegint l’espai fàsic i dividint pel flux de partícules obtenim la distribució angular
dσ
d cosθ
= 2πα2
4 − 2β
sβ
2
1 − β 2 cos2
1 − β 2
− 2
θ 1 − β 2 cos2 2
− 1 ,
θ
(8.44)
CM
on hem definit la variable β ≡ p/E = 1 − 4m 2 /s, que representa la velocitat de l’electró (o
positró) incidents. En el límit ultra-relativista (β → 1)
dσ
d cosθ
CM
= 2πα2
s
1+cos 2 θ
1 − cos2
. (8.45)
θ
La distribució angular (8.44) es pot integrar fàcilment i obtenim (afegint un factor 1/2
perquè tenim dues partícules idèntiques a l’estat final)
σtotal = πα2
sβ
3 − β 4
En el límit ultra-relativista (β → 1) tenim,
β
log 1+β
2
− 4+2β . (8.46)
1 − β
235

Arcadi Santamaria
σtotal = 2πα2
log
s
s
− 1 ,
m2 s ≫ m 2 mentre en el límit no relativista (β → 0) trobem,
, (8.47)
σtotal = πα2
2m2 , β ≪ 1. (8.48)
β
En particular, el resultat ultra-relativista ens il·lustra la possibilitat que el comptatge dimensional
puga anar corregit per logaritmes. Clarament, la secció eficaç a altes energies ha d’anar
com 1/s. Ara bé, hi ha casos, com el considerat, en els què fent el límit de massa zero de
l’electró trobem una secció eficaç total infinita (com a conseqüència del pols que genera el
propagador de l’electró) com es veu clarament si integrem la distribució angular (8.45). En
aquests casos hem de mantenir la massa de l’electró abans d’integrar la distribució angular.
Després podem fer el límit de masses petites que finalment donarà lloc a una correcció logarítmica
log(s/m 2 ) a l’estimació feta amb l’anàlisi dimensional.
8.4 e − e + → f ¯f al pic del Z
Com a exemple de càlculs en teories que contenen camps de Proca calcularem primer l’amplada
de desintegració del bosó Z anant a fermions, i després la secció eficaç e − e + → f ¯f .
8.4.1 Z → f ¯f
Directament de les regles de Feynman 7.5.1 obtenim l’amplitud del procés Z → f ¯f
iM = −i
e
2sW cW
ū(p1,s1)γμ(g fV − g f Aγ5)v(p2,s2)ε μ
Z (q,λ),
on q = p1+ p2. Llavors, per a fermions sense massa (mZ ≈ 90 GeV mentre la massa del fermió
més pesat que es pot produir, el quark b és mb ≈ 5 GeV) tenim,
∑ |M |
spin
2 = 1
3
3
∑
e 2
λ=1 4s2 W c2 W
Tr p/1γμ(g fV − g f Aγ5)p/2γν(giV − giAγ5) ε μ
Z εν Z
= − e2
12s2 W c2 Tr
W
p/1γμ p/2γν(g fV − g f Aγ5) 2
g μν − qμ qν m2 Z
= − e2
12s2 W c2 Tr
W
p/1γμ p/2γ μ (g 2 fV + g2f A − 2giV giAγ5)
=
2e 2
3s 2 W c2 W
(g 2 fV + g2f A )p1p2 = e2
3s2 W c2 (g
W
2 fV + g2f A )m2Z ,
on en la primera línia hem afegit un factor 1/3 per fer la mitjana sobre les tres polaritzacions
del bosó Z inicial i hem tingut en compte que γ 0 γν(g fV − g f Aγ5) † γ 0 = γν(g fV − g f Aγ5). Per
236

e +
e −
Processos elementals a nivell arbre amb fotons i camps de Proca.
p2 ց
p1 ր
Z
q = p1 + p2
k2 ր
k1 ց
Figure 8.6: Diagrama que domina la col·lisió e − e + → f ¯f al pic de la Z.
passar a la segona línia hem utilitzat les propietats d’anticommutació de la matriu γ5 i hem
sumat sobre les polaritzacions del bosó Z d’acord amb (7.49). La tercera línia l’hem obtinguda
contraent les q μ de la suma sobre polaritzacions amb les γ’s i utilitzant que (per a fermions sense
massa) p/1q/p/2 = p/1(p/1+ p/2)p/2 = 0. També hem desenvolupat el terme (g fV −gfAγ5) 2 = (g 2 fV +
g 2 f A − 2g fV g f Aγ5). Finalment per obtenir la darrera línia hem utilitzat que γμ p/2γ μ = −2p/2, que
Tr{p/1p/2γ5} = 0 i que Tr{p/1p/2} = 4p1p2 = 2m 2 Z .
Utilitzant la fórmula (5.18) immediatament trobem el ritme de desintegració del bosó Z a
cada fermió (cal afegir un factor 1/(16πmZ))
Γ(Z → f ¯f) = αCf
12s2 W c2 (g
W
2 fV + g2f A )mZ , (8.49)
on hem escrit e 2 = 4πα i hem afegir un factor Cf per tenir en compte el color dels quarks (si
menyspreem les interaccions fortes Cf = 3 per a quarks i Cf = 1 per a leptons).
Ara calcularem la contribució de l’intercanvi del bosó Z a la secció eficaç e − e + → f ¯f .
Clarament també tindrem les contribucions de l’intercanvi de fotons calculades al principi del
capítol i la interferència de les dues contribucions. Ara bé, prop de l’energia de ressonància, s ≈
m2 Z , i degut al pol del propagador del bosó Z esperem que el procés estiga dominat pel diagrama
que anem a considerar. Directament del diagrama 8.6 i les regles de Feynman l’amplitud és
e
iM = i
2
4s2 W c2
g
W
μν − qμ qν m2
1
Z q2 − m2 Z + iΓZmZ
× ū ′ 1γμ(g fV − g f Aγ5)v ′
2 ( ¯v2γν(giV − giAγ5)u1) ,
on hem utilitzat la mateixa notació que al principi del capítol, u1 ≡ u(p1,s1), u ′ 1 ≡ u(k1,r1),
q = p1 + p2 = k1 + k2, etcètera. g f ’s refereixen als fermions finals i gi’s als inicials (en el
cas que considerem i = e, són electrons). A més, hem de recordar que per a s = q2 = m2 Z el
propagador del Z té un pol. Ara bé, la partícula Z és inestable i es desintegra. En aquests casos,
com vam discutir a la secció 5.3.2, el propagador s’ha de modificar per tenir en compte que la
partícula és una ressonància. En general serà suficient posar q2 − m2 Z → q2 − m2 Z + iΓZmZ, on
ΓZ és l’amplada total de desintegració de la Z anant a tots els canals possibles.
¯f
f
237

Arcadi Santamaria
En el límit de fermions sense massa aquesta expressió es pot simplificar si tenim en compte
que
¯v2q/(giV − giAγ5)u1 = ¯v2(p/2(giV − giAγ5)+(giV + giAγ5)p/1u1 = 0,
que és zero si els fermions no tenen massa. Per tant, podem menysprear el terme que va com
q μ q ν del propagador. Prenent el mòdul al quadrat i fent la mitjana sobre spins inicials trobem
on
Fent les traces en A μν
f
A μν
f
A μν
i
∑ |M |
spin
2 = e4
64s4 W c4 W
1
(q 2 − m 2 Z )2 + Γ 2 Z m2 Z
A μν
f = Tr k/1γ μ (g fV − g f Aγ5)k/2γ ν (g fV − g f Aγ5) ,
A μν
i = Tr{p/1γ ν (giV − giAγ5)p/2γ μ (giV − giAγ5)} .
A μν
f Aiμν , (8.50)
obtenim (el resultat es pot llegir directament de (8.11) i (8.12))
= 4 (g 2 fV + g2f A )k μ
1 kν2 + kν1 kμ
2 − gμν(k1k2) + 2ig fV g f Aεσ μρνk σ 1 kρ
2 ,
= 4 (g 2 iV + g 2 iA )p μ
1 pν2 + pν1 pμ
2 − gμν(p1p2) − 2igiVgiAεσ μρνk σ 1 kρ
2 .
Contraent índexs arribem a (amb un càlcul similar al què vam fer per arribar a (8.13))
A μν
i A f μν = 16
2(g 2 iV + g 2 iA )(g2 fV + g2 f A )((p1k1)(p2k2)+(p1k2)(p2k1))
+ 4giV giAg fV g f Aεσ μρν p σ 1 pρ
2 εαμβν kα1k β2
= 32
(g 2 iV + g 2 iA )(g2 fV + g2 f A )((p1k1)(p2k2)+(p1k2)(p2k1))
−4giV giAg fV g f A((p1k1)(p2k2) −(p1k2)(p2k1))
= 4s 2 (g 2 iV + g 2 iA )(g2 fV + g2 f A )(1+cos2 θ)+8giV giAg fV g f A cosθ ,
on en la darrera línia hem substituït el valor dels moments en el sistema de referència de centre
de masses, p1k1 = p2k2 = E2 (1−cosθ), p1k2 = p2k1 = E2 (1+cosθ), i E2 = s/4. Afegint els
termes d’espai fàsic i de flux (un factor 1/(32πs)) obtenim la distribució angular en centre de
masses
dσ
d cosθ = F(s)(1+cos2 amb
θ)+G(s)cosθ , (8.51)
238
F(s) = πα2 Cf
32s 4 W c4 W
G(s) = πα2 Cf
32s 4 W c4 W
s
(s − m2 Z )2 + Γ2 Zm2 (g
Z
2 iV + g2iA )(g2fV + g2f A ),
s
(s − m 2 Z )2 + Γ 2 Z m2 Z
8giV giAg fV g f A,

Processos elementals a nivell arbre amb fotons i camps de Proca.
on, com quan hem calculat l’amplada, hem inclòs un factor Cf per tenir en compte el color dels
quarks.
Aquesta distribució angular, a diferència de la purament electromagnètica, (8.7), té un terme
que va lineal amb cosθ i, com es pot veure del càlcul, és conseqüència directa de la presencia
de termes amb γ5 en l’acoblament del Z, i permet definir el que es coneix com l’asimetria
“forward-backward” (cap avant-cap arrere)
θπ/2
AFB =
dσ 3 G(s)
=
θπ/2
dσ 8 A(s)
3
=
4
Integrant la distribució angular obtenim la secció eficaç total
4giV giAg fV g f A
(g2 iV + g2 iA )(g2 fV + g2 . (8.52)
f A )
σ(e − e + → f ¯f) = 8
s
F(s) = 12π
3 m2 Γ(Z → e
Z
−e + )Γ(Z → f ¯f)
(s − m2 Z )2 + Γ2 Zm2 , (8.53)
Z
on hem utilitzat la forma de les amplades en termes de les constants d’acoblament, (8.49), per
re-escriure el resultat d’aquesta forma suggerent. Efectivament, just en el pic del Z tenim que
σ(e − e + → f ¯f) s=m2 =
Z 12π
m2 B(Z → e
Z
− e + )B(Z → f ¯f), (8.54)
on B(Z → f ¯f) es la fracció de les desintegracions a un canal concret respecte a la total (en
anglès la “branching ratio”)
B(Z → f ¯f) ≡ Γ(Z → f ¯f)
,
En els càlculs anteriors hem menyspreat la contribució de l’intercanvi de fotons. Per veure
fins a quin punt és bona aquesta aproximació, estimarem la relació entre la secció eficaç del
procés e − e + → μ − μ + , purament fotònica, (8.8), i la secció eficaç amb intercanvi del bosó Z,
(8.53)
σ(e−e + → γ∗ → μ−μ + )
σ(e−e + → Z∗ → μ−μ + ) =
s4 W c4 W
2(g2 eV + g2 eA )2
(s − m2 Z )2 + Γ2 Zm2Z s2 ΓZ
≈ 1 (s − m
3
2 Z )2 + Γ2 Zm2Z s2 ,
on per fer aquesta estimació hem aproximat s2 W ≈ 1/4, c2 W = 1 − s2 W , geV ≈ 0, geA = −1/2 i
tenim en compte que mZ ≈ 90 GeV, mentre ΓZ ≈ 2.5 GeV. Clarament per a s ≪ m2 Z , l’intercanvi
de fotons domina completament el procés per un factor (m2 Z /s)2 /3, per a s ≫ m2 Z , els dos
diagrames donen contribucions del mateix ordre de magnitud. Prop de la ressonància, però,
el diagrama amb intercanvi del Z domina completament el procés, en particular, just al pic,
s = m2 Z , σγ/σZ ≈ Γ2 Z /m2Z /3 ≈ 0.0002.
Tots aquests resultats, corregits per efectes d’ordre superior han sigut confirmats brillantment
(amb una precisió, en alguns casos, del 0.1%) per els experiments LEP al CERN (Ginebra)
i SLC a SLAC (San Francisco). Com a exemple, a la figura 8.7 representem la secció eficaç
hadrònica, e−e + → hadrons, mesurada experimentalment, i la comparem amb les prediccions
teòriques (bàsicament les que hem calculat nosaltres afegint les correccions més importants
d’ordre superior) suposant que hi ha 2, 3 o 4 generacions de neutrins. Les dades demostren
clarament que només hi ha 3 generacions de neutrins lleugers.
239

Arcadi Santamaria
Figure 8.7: Secció eficaç de e − e + → hadrons, al voltant de la ressonància del bosó Z. Es
comparen les dades experimentals amb els resultats teòrics (els que hem calculat ací però a
més incloent correccions d’ordre superior), suposant que hi han 2, 3 i 4 tipus de neutrins. Les
dades demostren clarament que només hi ha 3 neutrins lleugers.
240

e +
e −
Processos elementals a nivell arbre amb fotons i camps de Proca.
p2
p1
p1 − k1 νe
Figure 8.8: Diagrama que contribueix a la producció de bosons W, en LEP2 e − e + → W − W + .
8.5 e − e + → W − W + : necessitat del Z i el vèrtex triple
Com a exemple final de processos amb camps de Proca complexos estudiarem les contribucions
per intercanvi de neutrins al procés e − e + → W − W + i veurem que la secció eficaç obtinguda
creix de forma lineal amb s.
En la figura 8.8 hem dibuixat el diagrama a calcular. Aplicant les regles de Feynman
obtenim
iM = −i e2
2s 2 W
k2
k1
1
¯v2ε/2PL
q/ ε/1PLu1,
amb q = p1 − k1 = k2 − p2. Prenent el mòdul al quadrat, sumant i fent la mitjana sobre spins
obtenim
∑ |M |
spin
2 = e4
16s4 W q4
W +
W −
3
∑ Tr{ε/2p/2ε/2q/ε/1p/1ε/1q/PR} ,
λ1,λ2=2
on hem utilitzat la propietat cíclica de la traça per posar el ε/2 al principi. Aquesta traça conté
vuit γ’s (i una γ5). Afortunadament es pot descomposar dos blocs clarament separats per a
partícules amb etiqueta 1 i partícules amb etiqueta 2. Aquesta propietat ens permet fer la suma
sobre polaritzacions fàcilment
3
∑ ε/2p/2ε/2 = −γ
λ2=2
μ p/2γμ + k/2p/2k/2
m2 = 2p/2 +
W
q/p/2q/
m2 ,
W
on en el darrer terme hem usat que k/2p/2 = q/p/2, ja que p/2p/2 = 0. Igual podem fer per a la part en
p/1. A més, com que el resultat es pot escriure en termes de només tres quadrimoments p1, p2 i
q, el terme en γ5 de PR, no contribueix 3 . D’aquesta forma només tindrem traces de quatre γ’s
que podem reduir fàcilment (2p1p2 = s, 2p1q = −2p2q = q 2 − m 2 W )
∑ |M |
spin
2 =
e4 32s4
Tr 2p/2q/+
W
q4 q2q/p/2 m2
2p/1q/+
W
q2q/p/1 m2
W
3 La traça de quatre γμ’s multiplicades per γ5 dóna un factor εμνσρ que és completament antisimètric en els
quatre índexs de forma que per donar un resultat no nul s’han de contraure amb quatre quadrimoments diferents.
Com només disposem de tres quadrimoments independents el resultat ha de ser necessariament zero.
241

Arcadi Santamaria
= − e4
16s4 W q4
4+ q4
m4
q 2 2 2 2
− mW + sq 2 −
W
q2
m2 2
W
.
En centre de masses q2 = −(E2 + k2 − 2Ek cosθ) on, s = 4E2 , i k2 = E2 − m2 W . En el límit de
molt altes energies, s ≫ m2 W , q2 ≈ −s(1 − cosθ)/2, i llavors
∑ |M |
spin
2 ≈ e4
4s4 W
s 2
m 4 W
(1 − cos 2 θ).
Afegint els factors d’espai fàsic i flux (1/(32πs)) obtenim la secció eficaç diferencial
i total
dσ πα2
≈
d cosθ 8s4 W
s
m 4 W
σ = πα2
6s 4 W
(1 − cos 2 θ),
que creix linealment amb s. Aquest comportament, que és conseqüència dels termes q μ q ν /m 2 W ,
en les sumes sobre polaritzacions dels camps de Proca (un factor 1/m2 W per cada suma de polaritzacions),
fa que el comportament de la teoria no siga bo a altes energies, que la sèrie
pertorbativa comence a fallar quan s ≫ m2 W , i, en fi, que la teoria no siga renormalitzable encara
que l’acoblament no tinga dimensions4 . Ara bé el diagrama que hem considerat no és
l’únic diagrama que contribueix al procés. Clarament els bosons W ± , estan carregats i tenen
acoblaments amb els fotons, acoblaments que es podrien obtenir imposant la invariància gauge
electromagnètica. Afegint el diagrama amb el fotó modera un poc el comportament, però no
el soluciona del tot (es pot comprovar que el procés ν ¯ν → W −W + també té un comportament
patològic, i és evident que en aquest cas, el fotó no el pot solucionar). És per tant necessària
l’existència d’alguna nova partícula que s’acoble als W’s i als electrons, amb uns acoblaments
tals que el diagrama amb la nova partícula cancel·le exactament el mal comportament dels diagrames
considerats. Aquesta nova partícula és el bosó Z, i la simetria que garanteix una relació
precisa entre els acoblaments de la teoria és la invariància gauge no-abeliana que forma el nucli
de l’estructura matemàtica del model estàndard d’interaccions electrofebles. A la figura 8.9
hem representat la secció eficaç del procés e−e + → W −W + calculat amb només el diagrama
d’intercanvi de neutrins, amb els diagrames d’intercanvi de neutrins i fotons, i amb el model
estàndard complet incloent també intercanvi de Z’s amb els acoblaments fixats per la invariància
gauge. Amb només intercanvi de neutrins, la secció eficaç creix de forma desmesurada,
incloent fotons el problema s’arregla un poc però no del tot, finalment en el model estàndard
complet la secció eficaç comença a disminuir al voltant d’energies de l’ordre de √ s ∼ 200 GeV.
4 Aquest és un exemple típic del fet que teories amb acoblaments sense dimensions poden dur a seccions
eficaces amb un mal comportament si involucren camps de Proca.
242
s
m 4 W
,

σ(e - e + →W - W + ) [pb]
60
50
40
30
20
10
Processos elementals a nivell arbre amb fotons i camps de Proca.
Només intercanvi de ν’s
Intercanvi de ν+γ
Model Estàndard complet
180 200 220 240
√ _ s [GeV]
Figure 8.9: e − e + → W − W + , incloent només intercanvi de neutrins, de neutrins i fotons i incloent
també l’intercanvi del bosó Z amb els acoblaments del model estàndard. Clarament es
veu com la inclusió del intercanvi de la Z corregeix el mal comportament de la secció eficaç.
243

Arcadi Santamaria
Problemes Proposats
Problema 8.1 Utilitzant els elements de matriu obtinguts per a e + e − → μ + μ − i la simetria
de creuament, obteniu les seccions eficaces diferencials, en centre de masses, dels processos
e − μ − → e − μ − y e − μ + → e − μ + .
Problema 8.2 Utilitzant els elements de matriu obtinguts per a γ e − → γ e − i la simetria de
creuament, obteniu les seccions eficaces diferencials, en centre de masses, dels processos
e − e + → γ γ y γ γ → e − e + .
Problema 8.3 Si el número muònic no es conserva, en principi el muó es podria desintegrar a
fotons, μ − → e − γ.
a) Per què no és possible descriure aquest procés mitjançant una interacció de la forma?
ēγ μ μAμ (e y μ són camps de Dirac que representen l’electró i el muó, respectivament).
b) Per què el següent lagrangià d’interacció si que pot descriure la desintegració fotònica del
muó?
LI = mμ
Λ 2 ēσ μν PRμFμν + h.c.
c) Quines dimensions té Λ?
d) Justifiqueu que la regla de Feynman per al vèrtex d’aquesta interacció és
−2 mμ
Λ 2 σ μν qνPR
amb q el quadrimoment del fotó (entrant en el vèrtex) i PR = (1+γ5)/2 el projector de quiralitat
dextrògir.
c) Utilitzant aquesta interacció calculeu el ritme de desintegració Γ(μ − → e − γ).
Problema 8.4 Un dels modes de desintegració més importants del leptó τ és τ− → ρ− ντ, on
ρ− és una partícula carregada massiva amb spin 1 i, llavors, es pot representar mitjançant un
camp de Proca complex. Suposeu que la interacció que condueix a aquesta desintegració es
pot escriure com
LI = g ¯ντγ μ PLτρ + μ + h.c.,
Essent g es la constant d’acoblament, ντ y τ són los camps de Dirac que representen, respectivament,
el neutrí taònic i el leptó tau, PL ≡ (1 − γ5)/2 es el projector de quiralitat levogir i
ρ + μ és el camp complex conjugat de ρ− μ . a) Quines dimensions té g? b) Escriviu la regla de
Feynman per aquest vèrtex. c) Utilitzant aquesta interacció i suposant neutrins sense massa,
calculeu el ritme de desintegració del leptó τ anant a aquest canal.
244

Capítol IX
Més enllà del nivell arbre

9. Més enllà del nivell arbre
9.1 Necessitat de renormalització de masses, funcions d’ona
i constants d’acoblament.
Al capítol 6 vam veure que si utilitzem teoria de pertorbacions directament en termes dels
camps complets de la teoria teníem tota una sèrie de problemes de normalització dels estats.
En efecte, quan separem el hamiltonià (lagrangià) en part lliure i part d’interacció
H = H0 + ΔH ,
hem suposat que H0 descriu partícules físiques amb la massa física i amb estats correctament
normalitzats. En partícular si és així s’ha de satisfer que (recordem que estem utilitzant una
notació en què si no posem res en els estats ens referim als estats lliures de teoria, així |0〉, és
el buit pertorbatiu)
〈0,out |0,in〉 = 〈0|S|0〉 = 1, (9.1)
per a l’estat fonamental (el buit) de la teoria, metre
p ′ ,out |p,in〉 = p ′ S|p〉 = (2π) 3 2Epδ (3) (p ′ −p), (9.2)
per als estats d’una partícula. En canvi, si separem el lagrangià de la forma més senzilla (per
exemple en el cas de auto-interacció entre escalars)
L
L0
= L0 + ΔL ,
≡ 1 μ
∂ φ∂μφ − m
2
2 φ 2 ,
ΔL ≡ − λ
4! φ 4 , (9.3)
i interpretem L0 → H0, ΔL → ΔH, immediatament trobem diagrames com
247

Arcadi Santamaria
que fan que el buit no estiga correctament normalitzat 〈0|S|0〉 = 1. També vam veure que la
diferència, en aquest cas, era una fase, i que aquesta fase apareix perquè el hamiltonià dels
sistema, inclús si el hamiltonià total està N-ordenat, té, en general, una energia mínima diferent
de zero. Aquest problema es pot resoldre fàcilment si redefinim el hamiltonià de forma que
a cada ordre de teoria de pertorbacions l’energia del buit siga exactament zero. Per fer això,
clarament hem d’afegir a la densitat hamiltoniana una constant Λ4 0 , (amb dimensions d’energia
a la quarta, ja que és una densitat d’energia Λ4 0 = E0/V), H → H −Λ4 0 , de forma que l’energia
mínima del nou hamiltonià siga exactament zero (H |0,in〉 = H |0,out〉 = 0. La constant Λ0, en
general no és coneguda i s’haurà d’anar ajustant ordre a ordre en teoria de pertorbacions.
Amb els estats d’una partícula passa una cosa semblant. Si utilitzem el lagrangià i la separació
de (9.3) trobem que els estats d’una partícula no estan normalitzats correctament degut
als diagrames d’autoenergia. Si el lagrangià està N-ordenat la primera contribució la tenim a
dos loops i ve donada pel diagrama
És fàcil veure que aquests tipus de diagrames contenen contribucions que tenen la mateixa
estructura que les que generarien termes d’interacció com el terme de masses, φ 2 , o el terme
cinètic ∂ μ φ∂μφ. La presència d’aquestes contribucions és més problemàtica que les correccions
del buit, en particular fan que el desenvolupament pertorbatiu de la matriu S no estiga
ben definit. Considerem per exemple la contribució a la matriu S d’un diagrama d’aquest tipus
en una pota externa on només ens interessa la línia externa. La resta del diagrama pot ser tan
complicat com vulguem.
0000 1111 00000
11111
0000 1111 00000
11111
0000 1111 00000
11111
000000000000000000
111111111111111111
00000
11111
000000000000000000
111111111111111111
00000
11111
000000000000000000
111111111111111111
00000
11111
000000000000000000
111111111111111111
0000 1111
00000
11111
000000000000000000
111111111111111111
0000 1111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
La contribució a l’ordre més baix, seria només una línia. Al següent ordre en teoria de
pertorbacions (si el lagrangià està N-ordenat) vindrà donada pel diagrama d’autoenergia que
hem dibuixat abans (i que de moment el representem pel símbol −iΣ(p)). Aquesta autoenergia,
contribuirà al diagrama total amb un factor
i
−iΣ(p)
p2 − m
que es fa infinit per a p 2 = m 2 , si Σ(p 2 = m 2 ) = 0. Clarament, açò pot representar un problema
greu. Ara be, és clar que prop de p 2 ≈ m 2 no és suficient quedar-nos amb un ordre fixat
248
2 ,

Més enllà del nivell arbre
de teoria de pertorbacions perquè les correccions són més grans que l’odre més baix. Per
poder dir alguna cosa més hem de definir aquestes quantitats amb més precisió i resumar tants
diagrames com siga possible. Així, l’el·lipse, reomplida amb hexàgons, representa la suma
de tots els diagrames amb dues línies externes. Aquesta suma de diagrames es pot separar
en grups de diagrames que tenen la mateixa estructura. Definirem els diagrames 1PI “oneparticle
irreducible”, com aquells diagrames que no es poden reduir a d’altres completament
desconnectats tallant només una línia interna. Per exemple el diagrama
no es pot reduir a dos diagrames desconnectats tallant només una línia interna, mentre el diagrama
si que es pot reduir a dos diagrames desconnectats tallant només una línia interna.
Llavors, és evident que qualsevol diagrama amb dues línies externes es pot representar com
una suma de diagrames 1PI, gràficament
0000000
1111111
0000 1111
000000
111111
0000000
1111111 000000
111111
0000 1111
000000000
111111111 000000
111111 000 111 0000000
1111111000
111
000 111000000 111111 Σ
000000
111111000
111
0000 1111 000 111 = + 0000 1111 + + ···
0000 1111
0000000
1111111 000000
111111
0000 1111
000000
111111
0000000
1111111 000000
111111
Si ara, −iΣ(p), representa la suma de tots els diagrames 1PI
−iΣ(p) =
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
tindrem que la contribució a la matriu S d’una pota externa incloent totes les contribucions
d’aquest tipus serà un factor
1+
Σ
p2
Σ
+
− m2 p2 − m2 2 + ··· =
,
p2 − m2 p2 − m2 , (9.4)
− Σ(p)
on hem utilitzat la fórmula de la sèrie geomètrica per sumar totes les contribucions. Llavors
sembla que en el límit p 2 → m 2 , no tenim contribució, si Σ(p 2 = m 2 ) = 0. El fet de que el
resultat del límit p 2 → m 2 , ens done resultats diferents segons com el fem, ens diu que no està
ben definit si Σ(p 2 = m 2 ) = 0. Clarament, per a que aquest límit estiga ben definit s’ha de
satisfer que Σ(p 2 = m 2 ) = 0. Per a que això siga així és necessari modificar el lagrangià afegint
249

Arcadi Santamaria
un terme δm 2 φ 2 que cancel·le la contribució de l’autoenergia. Però, és això suficient per tenir
els estats correctament definits? Imaginem que modificant el lagrangià de la forma adequada
hem aconseguit fer que Σ(p2 = m2 ) = 0. Llavors, en (9.4) podrem fer el límit de p2 → m2 ,
p2 − m2 p2 − m2 − Σ(p) =
1
1 − dΣ/dp2
= 0, (9.5)
p2 =m2 lim
p 2 →m 2
que ens dóna en general una quantitat no nul·la. Aquesta contribució també afecta l’element
de matriu 〈p ′ ,out |p,in〉 = 〈p ′ |S|p〉 i fa que els estats d’una partícula no estiguen normalitzats
correctament. Per a evitar aquest problema és necessari que Σ ′ (m 2 ) = 0. Això es pot aconseguir
afegint un terme al lagrangià com el terme cinetic ∂ μ φ∂μφ.
L’arrel de tots aquests problemes, com vam discutir al capítol 6, està en la separació que hem
fet del hamiltonià (o lagrangià) en part lliure i part d’interacció H = H0+H −H0 ≡ H0+ΔH i la
identificació del camps i dels paràmetres que apareixen al lagrangià com els camps i paràmetres
físics que és mesuren a l’experiment. De fet, a l’hora mateixa de definir el lagrangià hem de
triar si ordenem normalment el terme d’interacció o no. La diferència la podem obtenir amb el
teorema de Wick,
φ 4 =:φ 4 : +6φφ :φ 2 (x): +3 φφ 2 .
El darrer terme és una constant (contraccions de camps en el mateix punt són una constant) que
renormalitza l’energia del buit mentre el segon terme és clarament un terme de masses. Així
la N-ordenació del lagrangià implica també una redefinició del terme de masses. Clarament
la massa física de les partícules no pot dependre de si N-ordenem o no el lagrangià. D’altra
banda, i des d’un punt de vista més intuïtiu, si considerem, per exemple, la massa d’un electró
mesurada experimentalment és evident que conté tant la possible massa intrínseca de l’electró
(suposant que no existeix camp electromagnètic) com l’energia del camp electromagnètic creat
per la pròpia càrrega de l’electró. A més no és possible separar experimentalment les dues
contribucions perquè no podem separar l’electró de la seua càrrega. És, llavors, obvi que hem
anat massa lluny identificant els paràmetres del lagrangià amb els paràmetres físics. Per a
deixar clar que els paràmetres del lagrangià no són els observats en l’experiment re-etiquetarem
camps, masses is constants d’acoblament (com a exemple seguirem utilitzant la teoria escalar
amb autointeracció de la forma −λφ 4 /4!) com
φ → φB,
m → mB,
λ → λB.
D’altra banda, suposarem que aquesta teoria té un espectre de partícules observades en l’experiment
que tenen els mateixos números quàntics que els del camp φB i una massa física que en general
serà diferent de mB. Com vam discutir, sempre podem introduir un camp que cree aquestes
partícules físiques amb la massa física. Nosaltres mantindrem la notació φ, per aquest camp
que crea partícules amb la normalització correcta, m per a la massa física i λ per a la constant
d’acoblament mesurada en l’experiment. Els paràmetres i camps amb el subíndex B, φB, mB, i
250

Més enllà del nivell arbre
λB, s’anomenen paràmetres “bare” (despullats, nus) mentre els físics, φ, m, i λ, que representem
sense cap índex, s’anomenen parametres renormalitzats.
És important remarcar que nosaltres descriurem el que s’anomena renormalització “onshell”
(sobre la capa màssica) en la què els paràmetres renormalitzats estan directament relacionats
amb observables físics. Es possible definir altres esquemes de renormalització en que
els paràmetres renormalitzats no estan tan directament relacionats amb els observables i que de
vegades resulten molt útils.
D’altra banda, cal assenyalar que de vegades els paràmetres nus es representen amb el
subíndex 0, (φ0, m0, λ0). Nosaltres hem volgut evitar aquesta notació per la reminiscència
que suggereix de paràmetres sense pertorbar. De fet, nosaltres farem teoria de pertorbacions al
voltant dels paràmetres renormalitzats i no al voltant dels paràmetres nus.
Amb aquestes notacions el lagrangià de partida serà
L = 1
μ
∂ φB∂μφB − m
2
2 Bφ 2 λB
B −
4! φ 4 B ,
amb el seu corresponent hamiltonià. Utilitzant el camp renormalitzat podem construir un lagrangià
lliure que represente partícules lliures amb la massa física
L0 ≡ 1 μ
∂ φ∂μφ − m
2
2 φ 2 .
Ara sumarem i restarem L0 al lagrangià L , llavors si ΔL ≡ L −L0,
L = L0 + ΔL ,
i utilitzarem L0 com a base per a fer teoria de pertorbacions prenent com a pertorbació ΔL .
Òbviament, φ i m estan relacionats amb φB i mB, però la relació pot ser molt complicada. De fet
és inclús possible que els números quàntics de les partícules que es mesuren a l’experiment ni
tan sols coincidisquen amb els del camp φB (cas de QCD). Ara bé, si la constant d’acoblament
és petita esperem que φB ≈ φ + O(λ), m 2 B = m2 + O(λ). De fet veurem que, en general, φB =
φ (1+a1λ + ···)) i m 2 B = m2 (1+b1λ + ···) amb coeficients a1 i b1 a determinar. Açò ens dóna
una enorme llibertat ja que, igual que hem fet amb el buit, podem anar ajustant els coeficients
a1, b1, etcètera, ordre a ordre en teoria de pertorbacions, per a que el propagador total tinga un
pol a la massa física de la partícula i que els estats de les partícules creades pel camp φ estiguen
correctament normalitzats. Vegem com podem portar endavant aquest programa.
Suposarem que paràmetres i camps nus estan relacionats amb paràmetres i camps renormalitzats
multiplicativament 1 , és a dir
amb
φB ≡ Zφφ , m 2 B ≡ m2 Zm, λB ≡ λZ λ ,
Zφ = 1+a1λ + ··· , Zm = 1+b1λ + ··· , Z λ = 1+c1λ + ··· .
1 Si hi ha més d’un camp, més d’una massa i més d’una constant d’acoblament, en general les Z’s seran matrius
que mesclaran les diferents components.
251

Arcadi Santamaria
Amb açò i la definició de ΔL podem construir el lagrangià d’interacció
on
ΔL = − λ
4! φ 4 + 1
2 δφ ∂ μ φ∂μφ − 1
2 δmφ 2 − δ λ
4! φ 4 , (9.6)
δφ ≡ Zφ − 1, δm ≡ m 2 (ZmZφ − 1), δλ ≡ λ(Zλ Z 2 φ − 1).
Així, el lagrangià d’interacció està escrit en termes dels paràmetres mesurats en experiments,
m2 i λ. La part lliure, L0, ara conté camps que creen estats correctament normalitzats i masses
físiques, la part d’interacció conté a més de la interacció original, però ara escrita en termes
d’un paràmetre mesurat directament a l’experiment, un contraterme per cadascun dels termes
del lagrangià original. Des del punt de vista de teoria de pertorbacions tots els termes en ΔL
contenen almenys un factor λ i s’en van a zero quan λ → 0. Per tant podem considerar ΔL com
una pertorbació a L0. La part d’interacció ara es molt més complicada i depèn de paràmetres
desconeguts com ara δm, δφ , i δλ . Aquests paràmetres els hem de determinar demanant que m
siga la massa física i que φ cree estats amb la normalització correcta, és a dir, que l’autoenergia
i la seua derivada s’anul·len en p2 = m2 . Per fixar δλ , tindrem un poc més de llibertat i, com
veurem, podrem utilitzar qualsevol procés.
El fet que ara incloguem en la interacció termes que tenen l’estructura del terme cinètic ens
modifica les regles de Feynman. En particular haurem d’escriure un nou vèrtex que correspon
als anomenats contratermes del terme cinètic i de la massa2 ⊗ i δφ p2
− δm
D’aquesta forma l’autoenergia de la partícula (conjunt de diagrames 1PI generats pel lagrangià)
tindrà dues contribucions, una que ve dels loops i una que ve dels contratermes
−iΣ = −iΣloops + i δφ p 2
− δm .
En general Σloops no és zero en p 2 = m 2 , ni tampoc ho és la seua derivada, i aquesta es la raó
dels problemes que hem trobat. En canvi ara δφ i δm, no estan fixats, i els podem triar de forma
que l’autoenergia total Σ satisfaça les condicions
Σ(p 2 = m 2 ) = 0,
dΣ
dp2
= 0. (9.7)
p2 =m2 Imposant aquestes condicions immediatament podem determinar δφ i δm.
δm = −Σloops(p 2 = m 2 f )+δφ m 2 ,
δφ = dΣloops
dp 2
p 2 =m 2
. (9.8)
2 Notem que en aquest cas, d’acord amb les convencions que fem a l’autoenergia, estem considerant que un
dels bosons entra en el vèrtex i l’altre ix, és per això que el terme amb p 2 no té un signe menys.
252
.

Més enllà del nivell arbre
Σloops té com a mínim un factor λ, i per tant δm i δφ tenen com a mínim un factor λ. Aquestes
equacions són en general altament no lineals ja que els vèrtexs amb δm i δφ també intervenen
en el càlcul de Σloops i llavors aquest també depèn de δm i δφ . Ara be, si desenvolupem totes les
expressions (Σloops, δφ , δm) en sèrie de potències de λ, aquestes equacions es podran resoldre
fàcilment coeficient a coeficient. En particular, a l’ordre més baix no nul, Σloops és independent
de δm i δφ ja que les contribucions de les δ’s en Σloops són d’ordre superior. Així tindrem
Σ(p 2 ) = Σloops(p 2 ) − Σloops(m 2 ) − Σ ′ loops (m2 )(p 2 − m 2 ). (9.9)
A un loop, el terme de la dreta és independent dels contratermes, i per tant, per calcular
l’autoenergia renormalitzada serà suficient restar de Σloops(p 2 ) els dos primers termes del seu
desenvolupament en sèrie de Taylor al voltant de la massa física, p 2 = m 2 i no serà necessari
el càlcul explícit dels contratermes. A ordres superiors (9.9) segueix sent vàlida només que
Σloops(p 2 ) depèn implícitament de δm i δφ que s’hauran de calcular utilitzant (9.8).
Amb açò, tenim definits correctament els estats d’una partícula i, llavors, com vam avançar
al capítol 6, els diagrames amb autoenergies en potes externes no contribueixen a la matriu S,
és a dir, només contribueixen els diagrames amputats. A l’ordre més baix, l’únic efecte dels
contratermes δφ i δm és garantir que efectivament això siga així. És important remarcar, però,
que en potes internes, on no se satisfà que p 2 = m 2 , les autoenergies si que contribueixen. En
particular, si estem en una configuració on p 2 ≈ m 2 , també serà necessari fer la resumació de
les autoenergies (incloent els corresponents contratermes) que hem fet en el cas de les potes
externes. L’única diferència és que tot ve multiplicat pel propagador a l’ordre més baix i/(p 2 −
m 2 ) i per tant el terme p 2 −m 2 en el numerador desapareix. El resultat és que en línies internes,
i prop de p 2 ≈ m 2 , hem de substituir el propagador lliure pel propagador complet renormalitzat
i
p2 →
− m2 i
p 2 − m 2 − Σ(p 2 ) .
Aquesta resumació és particularment important si la partícula és inestable i estem prop de la
ressonància o si p 2 ≫ m 2 i volem resumar les possibles dependencies de log(p 2 /m 2 ) en Σ(p 2 ).
El cas dels fermions no és molt diferent. Només cal tenir en compte que en el cas dels
fermions l’autoenergia és una matriu de Dirac i, per tant, haurem de preservar l’ordre dels
diferents termes. Així tindrem que en cada línia fermiònica externa (de partícula entrant) hau-
riem de posar un factor
1+ 1
1 1
Σ+ Σ
p/ − m p/ − m p/ − m Σ+···
u(p,s)
1
=
1 −(p/ − m) −1Σ(p) u(p,s) = (p/ − m) −1 (p/ − m − Σ) −1 u(p,s)
1
= (p/ − m)u(p,s). (9.10)
p/ − m − Σ
Com en el cas bosònic, si m és la massa física tenim que (p/−m)u(p,s) = 0, i llavors l’amplitud
és zero a no ser que Σ(p/ = m) = 0. Per tant aquesta haurà de ser la nostra condició de renormalització
per a la massa. A més per a que els estats fermiònics estiguen correctament normalitzats
253

Arcadi Santamaria
haurem de demanar que
lim
p/→m
1
(p/ − m) = 1,
p/ − m − Σ
i per tant, les dues condicions de renormalització per a l’autoenergia fermiònica completa seran
Σ(p/ = m) = 0,
dΣ
= 0. (9.11)
dp/
p/=m
Els contratermes apareixeran de forma semblant a com ho fan en el cas dels escalars (a la
secció següent veurem un exemple detallat), i de forma similar obtindrem l’autoenergia renormalitzada
en termes de Σloops.
Σ(p/) = Σloops(p/) − Σloops(m) − Σ ′ loops (m)(p/ − m). (9.12)
On Σ ′ (p/) representa la derivada formal respecte la variable p/. En general (en teories sense
violació de la paritat) tenim
Σloops(p/) = A(p 2 )p/+mB(p 2 ).
(Si hi ha violació de paritat podrien haver termes amb γ5). Per a fer el desenvolupament al
voltant de p/ = m utilitzarem que p 2 = p/ 2 , de forma que Σloops(p/) és una funció de la única
variable (matriu de Dirac) p/. Les derivades es poden calcular sense problemes perquè l’única
dependència és en p/ i per tant tots els termes commuten entre ells. Així obtenim per exemple
∂Σloops
∂ p/ = A′ (p 2 )2p 2 + A(p 2 )+mB ′ (p 2 )2p/.
A ′ (p 2 ) i B ′ (p 2 ) representen derivades respecte la variable p 2 .
Si l’autoenergia completa satisfà les condicions (9.11) no serà necessari considerar diagrames
amb autoenergies en línies externes i en les línies internes haurem de utilitzar el propa-
gador fermiònic complet
i
p/ − m →
i
p/ − m − Σ .
Una vegada sabem com definir correctament els estats de les partícules vegem com podem
calcular amb aquest lagrangià l’element de matriu d’un procés físic, per exemple, φφ → φφ, a
ordres més alts en teoria de pertorbacions. Per similitud amb el que hem fet amb la massa i el
camp també hem permés que la constant d’acoblament nua, λB, i la mesurada a l’experiment,
λ, no siguen la mateixa. Això ens ha introduït un nou terme en el lagrangià d’interacció que va
amb δ λ i que indueix una regla de Feynman addicional com la del terme original però canviant
λ per δ λ . Així l’element de matriu del procés serà la suma de l’element de matriu a nivell
arbre, d’una contribució que ve dels loops, Vloops, més la del contraterme, δ λ ,
254
iM = −i(λ + δ λ +Vloops).

Més enllà del nivell arbre
L’acoblament λ, però, no l’hem definit, no hem dit com el podem mesurar. Hem de donar una
condició, com hem donat per a la massa. Ara bé, en general Vloops depèn dels moments de les
partícules externes. Per definir λ hem de triar una configuració particular dels moments (per
exemple a s = 4m2 , t = 0, u = 0) i definir λ com l’element de matriu en aquesta configuració
de moments
−iλ ≡ iMˆ ≡ iM(s = 4m 2 ,u = 0,t = 0) = −i
λ + ˆVloops + δλ .
Aquesta condició ens fixa completament δ λ ,
i d’aquesta forma
δ λ = − ˆVloops ,
iM = −i(λ +Vloops − ˆVloops). (9.13)
Fixada λ en una col·lisió mesurada en una certa configuració cinemàtica, la podem utilitzar per
predir la secció eficaç a altres energies i configuracions cinemàtiques, i per a predir seccions
eficaces d’altres processos. Clarament, el que definim com la constant d’acoblament, “física”
mesurada a l’experiment, λ depèn de la configuració de moments triada per definir-la i en
particular de l’energia utilitzada per definir-la. Per exemple, haguérem pogut definir λ com
l’element de matriu a s = 1 TeV, llavors el valor numèric de λ seria diferent. En aquest sentit
és en el què diem que les “constants” d’acoblament no són constants sinó que depenen de
l’energia.
9.1.1 N-ordenar o no N-ordenar?
En tots els càlculs que hem fet fins ara hem utilitzat un lagrangià d’interacció N-ordenat. És
això necessari? Ja vam veure en el capítol 6 que en el cas que tenim interacció la N-ordenació
del hamiltonià no garanteix que l’estat |0〉 siga autoestat del hamiltonià, ni tan sols que l’estat
de mínima energia del sistema tinga energia zero. Llavors és necessari N-ordenar la interacció?
A l’hora d’aplicar el teorema de Wick l’única diferència és que si la interacció està N-ordenada
no hem de considerar contraccions dels camps dins del mateix terme (amb la mateixa variable
d’espai-temps). Això ens redueix considerablement el nombre de diagrames a considerar, per
exemple en la teoria amb interacció − λ 4! φ 4 , a ordre λ, només tenim la contribució a nivell
arbre a la col·lisió φφ → φφ. No tenim contribucions a l’autoenergia de l’escalar ni tampoc
a l’energia del buit, ja que no tenim contraccions dins del mateix terme d’interacció. Si la
interacció no està N-ordenada, en canvi, a l’ordre més baix tenim diagrames a un dos loops
com
que corregeix l’energia del buit, o el diagrama a un loop
255

Arcadi Santamaria
que contribueix a l’autoenergia de la partícula. És a dir, a l’ordre més baix ja necessitem
aplicar el programa de renormalització per definir correctament la teoria. D’on venen aquestes
contribucions? com hem vist abans la diferència entre N-ordenar o no N-ordenar la interacció
és
− λ
4! φ 4 = − λ
4! :φ 4 : − λ
4 φφ :φ 2 (x): − λ 2. φφ
8
El darrer terme dóna una contribució a l’energia del buit que és just la que dóna el diagrama
que hem dibuixat abans
− i λ 2. φφ
8
El segon terme dóna una contribució a la massa de la partícula que és just la que s’obté amb
el diagrama d’autoenergia que havíem dibuixat (hem afegit un factor 2 que perquè el terme de
massa és quadràtic en el camp),
− i λ
φφ .
2
Incidentalment volem fer notar que aquests són dos exemples en què hi ha un factor de
simetria, 8 per al diagrama de buit i 2 per al diagrama d’autoenergia. Com veiem, l’origen és
conseqüència directa del teorema de Wick.
El diagrama de buit el podem ignorar completament ja que de totes formes estem ignorant
aquestes contribucions (o s’han d’incloure en la constant Λ4 0 ), el terme de masses és pot absorbir
clarament en el contraterme δm, que de totes formes s’ha de fixar demanant que el propagador
tinga un pol en la massa física. Així, a l’ordre més baix, i fins i tot a un loop, on per a calcular
els observables no necessitem determinar explícitament els contratermes, la N-ordenació té
avantatges evidents, en particular en la teoria que estem considerant, si el lagrangià està Nordenat,
les primeres contribucions a l’autoenergia comencen a ordre λ 2 i a dos loops. A
ordres més alts pot ser en alguns casos més convenient treballar amb una interacció que no
estiga N-ordenada. De totes formes, com acabem de discutir l’única diferència és la redefinició
del contraterme de masses (i de l’energia del buit). En aquest curs hem treballat a nivell arbre i
farem alguns calculs només a un loop, llavors considerarem interaccions N-ordenades.
256

9.2 Renormalització a un llaç de λ φ 4
Més enllà del nivell arbre
Fins ara només hem fet manipulacions del lagrangià i dels diagrames que genera el lagrangià,
i hem vist que els paràmetres del lagrangià no són els paràmetres mesurats. També hem vist
que ordre a ordre en teoria de pertorbacions és possible, i convenient, expressar les amplituds
físiques en termes de paràmetres físics (mesurats a l’experiment) eliminant tota referència
als paràmetres del lagrangià. Així i tot encara no hem calculat cap diagrama a ordres superiors.
Només calculem el primer diagrama a un loop ens adonarem que, en general, diagrames
amb un loop o més són divergents i ambigus, i que, per tant, necessitem algun mètode per
definir-los correctament 3 . Veurem també que, afortunadament, quan apliquem el programa de
renormalització, desenvolupat a la secció anterior, els infinits i les ambigüitats es cancel·len
completament quan expressem les amplituds en termes dels paràmetres físics mesurats en experiments.
Per veure tot açò començarem amb la teoria tipus, λφ 4 i calcularem l’amplitud del
procés φφ → φφ a segon ordre en la constant d’acoblament. Per entendre millor l’origen de les
divergències i la seua cancel·lació discutirem breument quin seria l’equivalent d’aquesta teoria
en mecànica quàntica no relativista.
Si la interacció està N-ordenada, a un loop o a ordre λ no hi ha contribucions a l’autoenergia
ja que per no haver contraccions en el mateix punt, com a mínim necessitem dos hamiltonians
d’interacció, i, en aquesta teoria, aquests només donen contribucions a l’autoenergia a dos
loops. Això immediatament ens diu que si el hamiltonià està N-ordenat, a un loop no ens hem
de preocupar de la renormalització de la massa ni de la funció d’ona. Com vam veure al capítol
6, però, a un loop sí que hi ha contribucions a l’amplitud de col·lisió, de fet, vam veure que, a
aquest ordre, l’amplitud de col·lisió es podia escriure com 6.20–6.19
M (1)
b
iM (1)
a = (−iλ)2
2
M (1) (1)
loop = M
a +M (1)
b
+M (1)
c .
= M (1)
a (p4 → −p1), M (1)
c = M (1)
a (p3 → −p1),
d 4 k
(2π) 4
i
(k2 − m2 i
+ iε) ((p3 + p4 − k) 2 − m2 + iε) ,
que s’hauria de sumar a la contribució a nivell arbre iM (0) = −iλ. Aquesta integral, però, és
divergent per a valors de k2 grans. La forma més fàcil de veure-ho és comptar el nombre de
potències de k en el numerador i denominador menyspreant totes les masses i moments externs.
Així veiem que la integral es comporta com d4k k4 o el que és el mateix com dx
x , és a dir, per
a k2grans divergeix com un logaritme, direm llavors que té una divergència ultravioleta logarítmica.
Quan calculem la integral veurem exactament en quin sentit diem que la divergència
és logarítmica. De moment, és obvi que si la integral divergeix el primer que hem de fer és
3 El procés pel que es modifiquen les integrals de moment en els diagrames de Feynman per fer-les convergents
s’anomena regularització.
257

Arcadi Santamaria
regularitzar-la, és a dir modificar-la de forma adequada per a que tinga sentit matemàticament.
Per exemple la integral
∞ dx
I = , a > 0
0 x+a
és divergent per la mateixa raó que la nostra integral però la podem definir com
Λ dx
Λ+a Λ
I = lim = lim log = lim log
Λ→∞ 0 x+a Λ→∞ a Λ→∞ a .
Obviament el límit segueix sense existir quan fem Λ infinit, però almenys, mentre mantinguem
Λ finit, la integral està ben definida. A més veiem que la integral divergeix com un logaritme
log(Λ/a) quan Λ és molt gran. Aquesta, però, no és l’única forma de regularitzar la integral.
En realitat la integral divergeix perquè 1/(x+a) tendeix a zero massa poc a poc quan x es fa
gran. Si multipliquem l’integrand per una funció FΛ(x) que vaja a zero en x → ∞ com 1/x o
més ràpidament i tal que limΛ→∞ FΛ(x) = 1, tindrem exactament el mateix resultat. Al cap i a
la fi, el que hem fet només és un cas particular en el que FΛ(x) = θ(Λ − x) ja que
Λ
= lim
Λ→∞ 0
dx
∞
= lim
x+a Λ→∞ 0
dx
θ(Λ − x)
x+a
Una funció, que satisfà aquestes propietats, particularment interessant en aquest cas és
FΛ(x) =
Λ − a x − a
= 1 −
x+Λ x+Λ .
Així podem definir la integral, convergent per a Λ finit,
∞
I = lim
Λ→∞ 0
dx
x+a FΛ(x)
∞
= lim dx
Λ→∞ 0
1
−(a → Λ)
x+a
Λ
= lim log
Λ→∞ a .
Aquest mètode, que senzillament consisteix en substraure de la nostra integral la mateixa integral
però amb algun dels paràmetres, en aquest cas a, per Λ, és particularment interessant
perquè ens permet mantenir en cada moment la forma de la integral original i és molt fàcil de
dur a terme en el cas d’integrals que divergeixen logarítmicament. Si la divergència és d’ordre
superior s’han de fer substraccions addicionals i el mètode es complica. Vegem com s’aplica a
les integrals de Feynman.
Volem fer integrals de la forma
I(q²,m) ≡
d4k (2π) 4
1
(k2 − m2 )((q − k) 2 − m2 ) ,
on, en cas de ambigüitats, la substitució m 2 → m 2 − iε se sobre-entén . Per regularitzar-la la
substituirem per
IΛ = I(q 2 ,m) − I(q 2 ,Λ)
on el límit Λ 2 ≫ q 2 ,m 2 és implícit. IΛ és clarament convergent i, llavors, totes les manipulacions
que fem estan plenament justificades. Les integrals són del tipus discutit a la secció A.7.1
258

1
IΛ =
0
Més enllà del nivell arbre
de l’apèndix. Fent la parametrització de Feynman i la translació de moments (permesa perquè
la integral total és convergent) tenim
d
dx
4k (2π) 4
1
(k2 1
−
− Δm) 2 (k2 − ΔΛ) 2
,
on com en A.47 amb m1 = m2 = m tindrem
Δm ≡ m 2 − q 2 x(1 − x),
i de forma semblant per a ΔΛ canviant m per Λ. Ara be, encara que sabem que la integral
total és convergent, cadascun dels dos termes és divergent. Com podem fer la integral sense
ambigüitats? En aquest cas hi ha una tècnica molt útil que consisteix en combinar els dos
termes en una integral addicional utilitzant la regla de Barrow
Així
2
Δm
ΔΛ
1
dt
(k2 −t)
3 =
1 Δm
IΛ = 2 dx dt
0 ΔΛ
1
(k2 1
−
− Δm) 2 (k2 .
− ΔΛ) 2
d4k (2π) 4
1
(k2 .
−t) 3
Aquesta integral en moments és explícitament convergent i es pot resoldre utilitzant les tècniques
de la secció A.7.2, en particular el resultat A.54
IΛ = −i
(4π) 2
1
0
dx
Δm
ΔΛ
dt
t
= −i
(4π) 2
1
0
dx log Δm
.
ΔΛ
En el límit Λ ≫ q2 ,m2 que està implícit en tot el càlcul podem aproximar ΔΛ ≈ Λ2 i factoritzar
un terme log(m2 /Λ2 ). Així
IΛ = i
(4π) 2
log Λ2
q2 + F
m2 m2
,
amb
1
F(w) ≡ − dxlog(1 − wx(1 − x) − iε).
0
El terme −iε ve dels propagadors (la substitució m2 → m2 − iε) i és necessari per resoldre les
ambigüitats que apareixen quan 1 − wx(1 − x) < 0. Si w < 4, llavors l’argument del logaritme
és sempre positiu i no cal mantindre’l. Si, en canvi, w > 4, l’argument de logaritme es pot fer
negatiu i el terme iε ens dirà en quin costat del tall del logaritme estem. Com a regla general
prendrem el tall del logaritme sempre sobre l’eix real negatiu ] − ∞,0] de forma que
log(1 − wx(1 − x) − iε) = log|1 − wx(1 − x)| − iπθ(wx(1 − x) − 1),
així, si x± ≡ 1 2 (1 ±1 − 4/w) són les dues solucions que té wx(1 − x) − 1 = 0 quan w > 4,
tindrem
x+
Im{F(w)} = θ(w − 4)π dx = θ(w − 4)π(x+ − x−) = θ(w − 4)π 1 − 4
w .
x−
259

Arcadi Santamaria
La integral de la part real es pot calcular també utilitzant els mètodes habituals amb el resultat
⎧
2+
⎪⎨
F(w) =
1 − 4/w − 1
1 − 4/w log , w < 0
1 − 4/w+1
2 − 2 1
4/w − 1arctg , 0 < w < 4 ,
4/w − 1
⎪⎩
2+ 1 − 4/w log 1 − 1 − 4/w
1+ 1 − 4/w + iπ 1 − 4/w, w > 4
En particular F(0) = 0, F(4) = 2, F(w) ≈ 2 − log(−w) si |w| → ∞. Així tindrem
iM (1) λ 2
a = i
2(4π) 2
log Λ2
s
+ F
m2 m2 ,
i
−Vloops = M (1) λ 2
loops =
2(4π) 2
3log Λ2
+ F
m2
s
m2
t
+ F
m2
u
+ F
m2 ,
amb s = (p1 + p2) 2 , t = (p1 − p3) 2 , u = (p1 − p4) 2 . Si ara triem la configuració que defineix
λ tal que l’element de matriu complet
iM ˆ
2
= −iλ , s = 4m , t = 0, u = 0,
immediatament trobem que l’amplitud renormalitzada a un loop és
iM = −i
λ −
λ 2
2(4π) 2
F
s
m 2
+ F
t
m 2
+ F
u
m 2
− 2
, (9.14)
que és perfectament finita i ben definida. Totes les dependències en Λ i les ambigüitats del
procés de regularització s’han cancel·lat en expressar l’amplitud en termes de la constant
d’acoblament renormalitzada, λ, mesurada en un experiment en condicions cinemàtiques concretes.
Igualment podem determinar el contraterme
δ λ = − ˆVloops =
λ 2
2(4π) 2
però en la pràctica i a un loop no ens cal per a res.
L’amplitud 9.14 té molts aspectes interessants:
260
3log Λ2
+ 2
m2 • Per a s < 4m 2 és real, però per a s > 4m 2 conté una part imaginària. Aquesta part imaginària
és necessària per garantir la unitarietat de la teoria i poder satisfer el teorema òptic.
• Per a baixes energies s ≈ 4m 2 i λ ≪ 16π 2 la correcció de un llaç és una correcció petita i,
llavors, esperem que la teoria de pertorbacions done una bona aproximació a l’amplitud
exacta.
• Per a s ≫ 4m 2 hi ha correccions logarítmiques de la forma λ log(s/m 2 ) que poden ser
grans encara que λ siga petita i, per tant, podrien espatllar el desenvolupament pertorbatiu.
És per tant important estudiar un poc millor aquest cas.
,

9.2.1 Comportament per a s ≫ 4m 2 : grup de renormalització
Més enllà del nivell arbre
En el límit s ≫ 4m2 tenim F(s/m2 ) → −log(s/m2 ), d’altra banda en el sistema de referència
de centre de masses, t → − 1 2s(1 − cosθ) i u → − 1 2s(1+cosθ). Si θ = 0,π el límit de s grans
implica també t i u grans, encara que negatius. D’altra banda el cas θ = 0,π no dóna cap
singularitat ja que, en aquest cas t o u s’anul·len i F(0) = 0. Això vol dir que per a s ≫ 4m2 podem aproximar4
iM ≈ −iλ 1+ 3λ s
log
2(4π) 2 m2
, s ≫ 4m 2
on hem menyspreat tots els termes subdominants (no logarítmics) , inclosa la part imaginària.
Es interessant observar que el coeficient del logaritme es exactament el mateix, canviat de signe,
que té el logaritme, log(Λ2 /m2 ) en l’amplitud abans de la renormalització. Aquest resultat es
pot obtenir sobre la base d’arguments purament dimensionals i serà general en tots els càlculs
d’aquest tipus.
Com hem comentat la presència d’aquesta dependencia logarítmica fa que quan 3λ
2(4π) 2 log s
1 les correccions a un llaç són més grans que l’ordre mes baix i, llavors, el càlcul pertorbatiu no
té sentit. Ara bé, hem de recordar que λ l’hem determinada a valors de s = 4m2 perfectament
haguérem pogut determinar la λ renormalitzada utilitzant unes altres condicions cinemàtiques
a uns altres valors de s, per exemple podríem haver determinat λ a s = μ2 i cosθ = 0, on μ
és una escala arbitrària. Diguem-li λ(μ) al valor de la constant d’acoblament fixat amb aquestes
condicions Re{ ˆ M } = −λ(μ). És fàcil veure que l’amplitud renormalitzada expressada en
termes d’aquesta nova constant d’acoblament és
iM ≈ −iλ(μ) 1+ 3λ(μ) s
log
2(4π) 2 μ2
, s ≫ 4m 2 ,
llavors sempre podrem fer la correcció tant petita con vulguem triant μ 2 tant prop de s com
siga necessari. Però, com determinem ara λ(μ) coneguent per exemple λ ≡ λ(4m 2 ). Sembla
que senzillament hem passat el problema d’un lloc a un altre. Afortunadament no és així, M
és un observable i no pot dependre de l’escala en que decidim definir λ. Per tant
i
0 = ∂ ∂
M = −
∂ μ
μ ∂
∂ μ λ(μ)+ 3λ 2 (μ)
(4π) 2
∂ μ λ(μ) = 3λ 2 (μ)
1
+ ···
μ
m 2 >
+ ··· (9.15)
(4π) 2
Els punts suspensius representen correccions d’ordre superior (per exemple els termes que
venen de derivar λ 2 (μ) que obviament són ordre λ 3 (μ) i que no considerem perquè són del
mateix ordre que les contribucions a l’amplitud de col·lisió a dos loops i que no hem calculat).
4 Aquesta aproximació és probablement excessiva si volem calcular la distribució angular ja que sabem que
F(t/m 2 ) i F(u/m 2 ) s’anul·len en θ = 0 i θ = π respectivament, així i tot esperem que ens done el terme dominant
quan calculem la secció eficaç total.
261

Arcadi Santamaria
L’equació 9.15 es pot resoldre fàcilment en termes d’una condició inicial, λ0 ≡ λ(μ0).
λ(μ) =
λ0
1 − 3λ0
(4π) 2 log μ
μ0
, (9.16)
que ens permet determinar λ(μ) en termes d’un λ0 determinat a una escala μ0. En particular si
triem μ2 = s tindrem
iM ≈ −i
λ0
1 − 3λ0
2(4π) 2 log s
μ2 0
, s ≫ 4m 2 ,
que serà vàlida sempre que λ(μ) és mantinga petita, encara que el logaritme, log(s/μ 2 0 ) siga
gran5 .
Encara que hem desenvolupat tota aquesta argumentació només quan s ≫ 4m2 , l’argument
es pot generalitzar fàcilment amb les expressions completes. Aquesta tècnica, coneguda sota el
nom de “grup de renormalització” permet obtenir desenvolupaments pertorbatius útils fins i tot
en presència de diferències d’escales grans.
9.3 Interacció de contacte en mecànica quàntica no relativista:
dispersió per una delta de Dirac tridimensional.
L’exemple de la teoria amb interacció λφ 4 és molt interessant i ens ha demostrat que és possible,
després del procés de regularització i renormalització, obtenir prediccions ben definides per
als observables físics, que al cap i a la fi és la motivació de tota teoria física. Ara be, en el camí
hem vist que algunes integrals són infinites, que hem hagut de limitar el moment d’aquestes
integrals de forma arbitrària i, encara que al final els resultats, quan són expressats en termes
de paràmetres mesurats a l’experiment, són perfectament finits i independents dels detalls del
procés de regularització i renormalització, sempre queda una sensació estranya d’estar davant
d’una teoria que no està ben definida, o almenys no està ben definida en la formulació que li
hem donat. Aquests problemes damunt estan embolicats pel fet que només sabem fer teoria de
pertorbacions: l’ordre zero és perfectament finit, ordres superiors estan plens de divergències.
Llavors, es podria pensar que les divergències que hem trobat són un artefacte de la teoria de
pertorbacions pel fet de triar una aproximació incorrecta com a punt de partida per fer teoria de
pertorbacions. És per tant important discutir amb un poc més de detall quin és l’origen de les
divergències. Un punt de vista és el que ja hem discutit en altres ocasions: la teoria de camps
clàssica la vam definir com el límit continu d’una teoria discreta, i vam veure que, especialment
quan passàvem al cas quàntic, aquest límit s’havia de fer amb molta cura per garantir que
els resultats foren independents de la distància mínima que caracteritza el sistema discret. La
situació és semblant a la teoria de les distribucions, per exemple la teoria de la delta de Dirac,
δ(x). Per a moltes aplicacions podem tractar la δ(x) = limε→0 δε(x) com si fóra una funció
però sempre hem de tenir present que no ho és i, només en la mesura en que els resultats que
5 Malauradament en aquest cas, i per culpa del signe − davant del logaritme, λ(μ) creix amb μ i fa que, fins i
tot si partim d’una λ0 ≪ 1, arribe sempre un moment en que la sèrie pertorbativa deixa de ser vàlida.
262

Més enllà del nivell arbre
obtinguem siguen independents de ε tindrà sentit parlar de la delta de Dirac com a tal. A continuació
veurem, des d’un punt de vista diferent, que aquesta comparació està molt més a prop
de la realitat del que sembla: veurem que el fet que la teoria de camps siga local (interaccions
en el mateix punt φ(x) 4 i no φ 2 (x)φ 2 (y) per exemple), essencial per mantenir la causalitat de la
teoria, implica que el potencial no relativista d’interacció entre partícules és sempre una delta
de Dirac 6 i que la dispersió per una delta de Dirac en mecànica quàntica no relativista, és divergent
en 3 dimensions espacials. Veurem que l’amplitud de dispersió s’ha de regularitzar i
renormalitzar (utilitzant un potencial de tamany finit) i que el principi d’incertesa ens diu que
per a moments petits (és a dir longitud d’ones grans) no res pot dependre dels detalls del potencial
(el tamany) que utilitzem per definir el potencial delta de Dirac. Tot això ho podrem fer
sense necessitat de recórrer a la teoria de pertorbacions.
Que la interacció generada per λφ 4 és del tipus delta de Dirac, es pot veure fàcilment si
tenim en compte que a l’ordre zero (nivell arbre) l’amplitud de col·lisió és constant, és a dir, no
depèn ni del moment inicial ni del final. En l’aproximació de Born l’únic potencial que dona
lloc a una amplitud constant és la delta de Dirac 7 . Al final de la secció farem més explicita
aquesta connexió. De moment estudiarem el problema de la dispersió per un potencial delta
de Dirac en el cas de tres dimensions espacials i que ja vam estudiar per al cas d’una dimensió
espacial al capítol 5 .
Utilitzant directament els resultats del capítol 5 podem generalitzar immediatament al cas
de tres dimensions espacials i obtenir la funció d’ona ψp,in(x)
ψp,in(x) = 〈x|p,in〉 = e ipx
d (3)k
+ gψp,in(0)
(2π) 3
on, com en el cas d’una dimensió,
gψp,in(0) = 〈k|V(x) ψp,in
Si ara fem la integral enk tenim que (k = |k|, p = |p|, r = |x|)
d (3) k
(2π) 3
∞
e i kx
Ep − Ek + iε
e ikx
Ep − Ek + iε ,
dkk2dϕdω = 2m
(2π) 3
eikrω p2 − k2 + iε
= 4m
(2π) 2 sinkr
dkk
r 0 p2 − k2 2m
==
+ iε (2π) 2 dkk
ir −∞ p2 − k2 + iε ,
que es pot integrar utilitzant variable complexa (per a r > 0 podem tancar sempre el circuit per
dalt i només contribueix el residu en k = p+iε). Així obtenim finalment
d (3)k (2π) 3
eikx m e
= −
Ep − Ek + iε 2π
ipr
r ,
6 Si les partícules no tenen interaccions directes en el lagrangià, apareixen interaccions induïdes per intercanvi
d’altres partícules que porten a potencials governats per la forma dels propagadors de les partícules que
s’intercanvien. Per exemple, en QED els electrons no tenen interaccions directes entre ells en el lagrangià, però
interaccionen amb els fotons localment, interaccions que indueixen una interacció secundaria entre electrons governada
pel propagador del fotó ∼ 1/q 2 i que dona lloc al potencial de Coulomb, 1/r.
7 Recordem que, en la aproximació de Born, l’amplitud de dispersió és bàsicament la transformada de Fourier
del potencial, i si aquesta es constant el potencial ha de ser una δ (3) (x).
∞
e ikr
263

Arcadi Santamaria
de forma que
ψp,in(x) = e ipx + gψp,in(0) m e
2π
ipr
r .
Malauradament, quan provem a determinar ψp,in(0), posant directament x =0 en aquesta
equació, trobem que el resultat és divergent. Açò és obvi si intentem calcular ψp,in(0) a partir
de l’equació
d (3)k ψp,in(0) = 1+2mgψp,in(0)
(2π) 3
1
p2 − k2 + iε .
La integral és clarament divergent 8 (tres potències de k en el numerador i només dues en el
denominador). Per resoldre aquest problema substituirem el potencial V = gδ (3) (x) per un
potencial amb un abast finit, de forma que les integrals siguen convergents. En particular
necessitem que
〈k|V(x)|p,in〉
vaja suficientment ràpid a zero quan k → ∞. Per a tres dimensions és prou que vaja com a 1/k2 .
A més, si el potencial està suficientment localitzat a l’origen i p és suficientment petit podrem
aproximar aquest element de matriu com
〈k|V(x)|p,in〉 = d (3) xe −ikx
V(x)ψp,in(x)
≈ ψp,in(0)
Una elecció convenient per a V( k) és
d (3) xe −i kx V(x) ≡ ψp,in(0)V( k).
V( k) ≡ g Λ2
k 2 + Λ 2
que tendeix a g quan Λ → ∞. El potencial com a funció de x s’obté fent la transformada de
Fourier
d (3)k V(x) = g
(2π) 3 ei kx Λ2
k2 + Λ2 és del tipus Yukawa i està correctament normalitzat a la delta de Dirac quan Λ → ∞. L’abast de
la interacció és de l’ordre de 1/Λ en el sistema natural d’unitats. D’aquesta forma tindrem
ψp,in(x) = e ipx
d (3)k + gψp,in(0)
(2π) 3
e ikx
Λ 2
Ep − Ek + iε k2 + Λ
La integral es pot fer per variable complexa. Ara però contribueixen els pols en k = p i k = iΛ
d (3) k
(2π) 3
e i kx
Λ 2
Ep − Ek + iε k2 2m
=
+ Λ2 (2π) 2ir ∞
−∞
e ikr
2 .
Λ 2
dkk
p2 − k2 + iε k2 + Λ2 8 En dues dimensions seria logarítmicament divergent i en una dimensió, com vam veure és convergent. És un
bon exercici repetir tot el que fem en aquesta secció en el cas de dues dimensions espacials.
264

que enx = 0 ens dóna
d’on
= − m
e
2πr
ipr − e −Λr Λ2 p2 ,
+ Λ2 ψp,in(x) = e ipx − mg
2πr ψp,in(0)
e ipr − e −Λr
Més enllà del nivell arbre
Λ2 p2 ,
+ Λ2 ψp,in(0) = 1 − mg
Λ2
ψp,in(0)(ip+Λ)
2π p2 ,
+ Λ2 ψp,in(0) =
1+ mg Λ2
(ip+Λ)
2π p2 + Λ2 −1
.
En el límit en què Λ ≫ p (la longitud d’ona de la partícula incident és molt més gran que la
regió on el potencial és diferent de zero), podem quedarnos només amb el terme dominant
ψp,in(0) =
1+ mg
2π
Amb aquest resultat podem calcular la matriu S p ′ p,
amb
1
.
(ip+Λ)
S p ′ p = (2π) 3 δ (3) (p ′ −p) − i(2π)δ(E p ′ − Ep) p ′ V |p,in〉
p ′ V |p,in〉 =
1+ mg
2π
g
,
(ip+Λ)
que depèn de Λ. Ara bé, si p ≪ Λ, pel principi d’incertesa no pot haver res que depenga dels
detalls del potencial, és a dir de Λ. La constant g però no l’hem determinada, per determinar-la
s’ha de mesurar l’element de matriu a algun moment p. Si g0 és l’element de matriu a p = 0
tindrem
g0 ≡
g
1+ mg
2π
1
,→ =
Λ g0
1 m
+
g 2π Λ
de forma que si expressem l’element de matriu en termes de g0, res no depèn de Λ, com ha de
ser, i llavors
′
p g0
V |p,in〉 =
1+ mg0 .
2π ip
Resultat exacte a tots ordres en teoria de pertorbacions en la constant d’acoblament g0. És
interessant comparar amb el resultat que obtindríem en teoria de pertorbacions:
p ′ V |p,in〉 ≈ p ′ V |p〉 = g ≈ g0.
Com en teoria quàntica de camps, en l’aproximació de Born el resultat és perfectament finit i
només quan anem a ordres superiors (que involucren més d’una inserció del potencial) trobem
divergències i termes que necessiten regularització. És clar, però, que les divergències apareixen
265

Arcadi Santamaria
també en la solució exacta, no tenen res a veure amb teoria de pertorbacions i són degudes a la
interacció de contacte. El mateix passa en teoria quàntica de camps.
Per acabar de connectar aquests resultats amb la teoria λφ 4 encara hem de afegir alguns
factors: la teoria quàntica de camps ens dóna directament l’amplitud de col·lisió entre dues
partícules idèntiques de de moments p1, p2 anant a dues partícules idèntiques de moments
p3, p4. Per a tractar aquest problema en mecànica quàntica no relativista hem de fer la separació
en centre de masses que afegeix a la funció d’ona una exponencial del moment total que depèn
de la coordenada del centre de masses, e iPR , i que factoritza i ens dóna la conservació de
moment total. Després hem de canviar la massa per la massa reduïda del sistema de les dues
partícules, en el nostre cas m → m/2, p serà mòdul del moment de una de les partícules en
CM, i finalment hem d’afegir un factor 2 a l’element de matriu per incloure l’element de matriu
simetritzat sobre les dues partícules idèntiques. Així tindrem
S NR
p ′ NR
p = δ
p ′ p − i(2π)4 δ (4) (p f − pi)
2g0
1+ mg0
4π
on la δ p ′ p representa simbòlicament el producte simetritzat de deltes tridimensionals. Ara be,
la normalització relativista dels estats inclou a més un factor 2Ep per cada partícula. Això vol
dir que per poder comparar amb el resultat obtingut en teoria quàntica de camps encara hem
d’afegir un factor 4m 2 (en el límit no relativista Ep ≈ m) així
ip ,
Sp ′ p = δp ′ p − i(2π) 4 δ (4) (p f − pi) 8m2g0 1+ mg0 ,
ip
que ja es pot comparar directament amb el resultat de camps a l’ordre més baix. Així trobem 9
λ = 8m 2 g0
i escrit en termes de λ l’element de matriu (exacte) no relativista (amb normalització relativista)
serà
M δ =
−λ
1+ λ
. p
32π i m
És interessant comparar amb el resultat que hem obtingut en teoria de camps utilitzant la interacció
λφ 4 a un loop, però fent el límit no relativista, p ≡ |p| ≪ m. Per això desenvolupem el
resultat 9.14 en potències de p/m. És fàcil veure que tant F(t/m 2 ) com F(u/m 2 ) com la part
real de F(s/m 2 ) − 2 donen contribucions que van com a (p/m) 2 , llavors el terme dominant ve
de la part imaginaria de F(s/m 2 ) que és Im{F(s/m 2 )} ≈ iπ p/m, de forma que
M NR = −λ +
λ 2 p
i
32π m ,
9 Observem que les dimensions són correctes ja que g0δ (3) (x) té dimensions d’energia, i llavors g0 té dimensions
de E −2 , de forma que λ no té dimensions, com ha de ser.
266
4π

Més enllà del nivell arbre
en complet acord amb el resultat obtingut amb el potencial δ si desenvolupem en la constant
d’acoblament. Si anem a ordres més alts en p/m o en la constant d’acoblament començarem
a trobar diferències. Al cap i a la fi la identificació que hem fet del potencial δ i la teoria λφ 4
només l’hem feta en l’aproximació de Born i en el límit no relativista. Clarament la teoria λφ 4
té una estructura molt més rica i a la vegada molt més complicada.
Aquest exemple il·lustra la connexió entre mecànica quàntica no relativista i la teoria quàntica
de camps i el fet que la necessitat de regularització i renormalització no és particular a la
teoria de camps ni a la teoria de pertorbacions, és conseqüència del fet que la teoria de camps
només descriu interaccions fonamentals locals (les partícules només interaccionen directament
quan estan en el mateix punt de l’espai-temps). Podem pensar que és una idealització semblant
a la de considerar la funció δ de Dirac per descriure la densitat de una partícula puntual (o fins
i tot la de utilitzar un espai vectorial infinit per descriure la posició dels objectes). Al cap i a la
fi tota teoria física és una modelització de la realitat, perfectament podríem tractar la densitat
d’una partícula puntual com una de les δε (o l’espai com una caixa molt gran 10 ). El que és
realment important és que que no cap resultat físic pot dependre de la forma en què fem el límit
ε → 0 (o el volum V → ∞) si volem seguir parlant de partícules puntuals (o d’un espai infinit).
En teoria quàntica de camps tenim una situació semblant.
D’altra banda, el fet de considerar només interaccions locals en teoria quàntica de camps pot
semblar una restricció molt forta, però en realitat no ho és, ja que també descriu tot altre tipus
d’interaccions mitjançant l’intercanvi de partícules preservant sempre la invariància relativista.
Això es pot veure en el resultat que hem obtingut per a φφ → φφ a ordre λ 2 que té una
estructura molt més complicada en moments de la que s’obtindria mai amb sols un potencial
del tipus δ de Dirac. Obviament, el potencial necessari per reproduir completament l’amplitud
obtinguda a ordre λ 2 és molt més complicat que una senzilla δ i serà encara més complicat
si anem a ordres més alts. El més sorprenent, però, de la teoria quàntica de camps és que
encara que partim de partícules sense estructura a l’ordre més baix, poc a poc l’estructura es va
generant a mesura que afegim correccions d’ordre superior gràcies a l’intercanvi de partícules
virtuals i, damunt, aquesta estructura és perfectament calculable en termes de les constants
d’acoblament i de les masses.
Un altre exemple més realista és el cas de QED. Els electrons no interaccionen directament
entre ells i els fotons tampoc tenen auto-interaccions. Els electrons només tenen interaccions
locals amb els fotons. A segon ordre, però, l’intercanvi de fotons genera interaccions entre
electrons (el potencial de Coulomb per exemple) i la producció de parells virtuals electrópositró
genera autointeraccions entre els fotons. A més, els electrons que a l’ordre més baix no
tenen cap tipus d’estructura adquireixen factors de forma, radi de càrrega, moments magnètics
anòmals, etcètera, etcètera, tot calculable en termes de la massa i la constant d’estructura fina.
És com si haguérem començat amb la famosa broma que ens fan als físics “Suposem que el
cavall té simetria esfèrica...” y desenvolupant la teoria haguérem obtingut l’estructura completa
del cavall, amb cap, cos i cua! Què més podem demanar?
10 Vegeu una discussió molt interessant al respecte en la pàgina 93 del llibre de Feynman & Hibbs (Quantum
Mechanics and Path Integrals) .
267

Arcadi Santamaria
9.4 Un altre exemple: la teoria de Yukawa
A l’ordre que hem calculat, la teoria escalar no necessita renormalització de la massa ni de
la funció d’ona. Per il·lustrar amb exemples com es du a terme la renormalització de masses i
funcions d’ona, tant d’escalars com de fermions, és interessant estudiar un altre exemple senzill
com és la teoria de Yukawa. A la vegada veurem com, quan tenim una partícula inestable, es
generen parts imaginaries en el propagador i com l’estructura del propagador és la que vam
discutir al capítol 5. També veurem com, si estem prop de s = M 2 , amb M la massa de la
ressonància, la part imaginaria del propagador ens dóna una fórmula per calcular l’amplada
de desintegració de la ressonància que coincideix amb la que vam obtenir utilitzant arguments
l’aplicabilitat dels quals no estava clara en el cas de partícules inestables. També aprofitarem
l’ocasió per fer el càlcul de l’autoenergia de l’escalar d’una forma lleugerament diferent per
mostrar explícitament que podem arribar al resultat final sense haver d’especificar cap funció
per regularitzar les integrals. Finalment considerarem les correccions al vèrtex d’interacció
fermió-fermió-escalar, i l’autointeracció entre escalars generada per intercanvi de fermions a
un loop, però els detalls dels càlculs els deixarem com a exercici.
9.4.1 El lagrangià
Partirem del lagrangià que ja vam utilitzar al capítol 6 però escrit en termes dels camps i
paràmetres nus
L = 1
2 ∂μφB∂ μ φB − 1
2 M2 Bφ 2 B + ¯ψB(i∂/ − mB)ψB
−igB ¯ψBγ5ψBφB − λB
4! φ 4 B .
A més hem afegit una autointeracció entre escalars de la forma λφ 4 . Aquest terme és perfectament
renormalitzable i no hi ha cap simetria en el problema que el prohibisca. És un fet
general en teoria quàntica de camps que interaccions que no estan prohibides per cap simetria
s’acaben generant a ordres superiors i veurem que això és el que passa en aquest cas. Damunt,
les correcions generades són divergents i, per tant, l’autointeracció entre escalars no només es
pot posar sinó que és necessària per renormalitzar correctament la teoria. Com que els efectes
d’aquesta autointeracció ja els hem tractat a les seccions anteriors, de moment, els deixarem de
costat.
Ara expressem els camps i paràmetres nus en termes dels renormalitzats
φB = Zφ φ , Zφ = 1+δφ , ψB = Zψψ , Zψ = 1+δψ ,
M 2 B Zφ = M 2 + δM , mBZψ = m+δm,
gBZψ
Zφ = g+δg, λBZ 2 φ = λ + δ λ ,
de forma que el lagrangià en termes dels parametres renormalitzats és
268
L = L0 + ΔL

q
→
k+ q
k
q
→
Figure 9.1: Contribució del fermió a l’autoenergia de l’escalar φ.
Més enllà del nivell arbre
amb un L0 que conté els lagrangians lliures de Klein-Gordon i Dirac escrit en termes del
camps renormalitzats i masses físiques, mentre ΔL conté totes les interaccions, inclosos els
contratermes
ΔL = −ig ¯ψγ5ψφ − λ
4! φ 4 − iδg ¯ψγ5ψφ − δλ 4
φ
4!
+ 1
2 δφ∂μφ∂ μ φ − 1
2 δMφ 2 + δψ ¯ψi∂/ψ − δm ¯ψψ ,
que, a banda de les regles de Feynman dels vèrtexs que ja hem discutit, genera noves interaccions
induïdes pels contratertemes però que són exactament de la mateixa forma que les
interaccions originals, per als vèrtexs és prou canviar g → δg i λ → δ λ . A més tenim els contratermes
induïts per la renormalització de funcions d’ona i masses que donen les següents
regles de Feynman addicionals
⊗ i δφ p2
− δM
⊗ i
δψ p/ − δm
Amb açò ja podem començar a calcular les autoenergies.
9.4.2 El propagador de l’escalar: La part imaginària i l’amplada de desintegració
Del diagrama en fig. 9.1 immediatament obtenim 11
−iΣϕloops = −g 2 i 2
.
,
d4k (2π) 4
Tr{γ5(k/+m)γ5(k/+q/+m)}
(k2 − m2 )((k+ q) 2 − m2 )
(9.17)
11 S’entén que terme +iε en els propagadors està sempre present però l’escriurem explícitament només quan
siga necessari. El podem recuperar en qualsevol moment fent m 2 → m 2 − iε.
269

Arcadi Santamaria
permutant la γ5 i fent la traça podem escriure l’autoenergia de l’escalar com
Σϕloops = −i4g 2
d4k (2π) 4
k(k+ q) − m2 (k2 − m2 )((k+ q) 2 − m2 )
Aquesta integral es quadràticament divergent degut al comportament per a k 2 grans, és a dir,
per a k 2 grans l’integrand es comporta com 1/k 2 com que el volum en quatre dimensions va
com k 4 la integral divergeix exactament com com ho faria d x x si integrem a tot l’espai. Això
vol dir que el resultat de la integral es sensible a molt curtes distàncies, és a dir, als detalls de la
física a energies molt grans. Com que aquesta física no la coneixem, per donar sentit a aquesta
integral haurem de tallar els valors grans dels moments, per exemple, demanant que k 2 < Λ 2
12 . Això en general complica l’ús de les fórmules que hem deduït. Alternativament podem
multiplicar l’integrand per una funció de la forma FΛ(k) = (−Λ 2 /(k 2 − Λ 2 )) 2 que conté prou
potències de k 2 en el denominador per fer la integral convergent i que quan Λ → ∞ tendeix a 1.
Així podríem regularitzar Σϕ senzillament escrivint
Σϕloops → −i4g 2
d4k (2π) 4
k(k+ q) − m2 (k2 − m2 )((k+ q) 2 − m2 ) FΛ(k,q)
Ara bé, tenim moltes eleccions per a la funció FΛ(k,q) (en general pot dependre també de q o
inclús altres moments) que es comporten com 1/k 4 per a k 2 grans. Entre moltes altres eleccions
podríem triar també
−Λ2 FΛ(k,q) =
k2 − Λ2 N
−Λ
, N > 1, FΛ(k,q) =
2
((k+ q) 2 − Λ2 2
,
)
−Λ 2
FΛ(k,q) = −Λ2
(k2 − Λ2 ) ((k+ q) 2 − Λ2 )
Segons quina siga la forma triada d’aquestes funcions els resultats seran diferents, és més, si
aquestes funcions no es trien de forma adequada podríem trencar simetries fonamentals del
sistema físic que estem estudiant. L’ambigüitat però no és total i com veurem immediatament
hi ha contribucions que es poden calcular sense cap ambigüitat. El punt és que l’integrand
conté més potències de q en el denominador que en el numerador i per invariància Lorentz
només depèn de q 2 . Això vol dir que si derivem Σϕ prou vegades respecte q 2 anirem augmentat
el nombre de potències de k 2 en el denominador fins que la integral siga convergent. En el
present cas serà suficient derivar dues vegades per fer la integral finita. És a dir, en compte de
calcular directament Σϕ, calcularem primer Σ ′′ ϕ
Σϕ integrant dues vegades respecte q2 . Totes les ambigüitats quedaran encapsulades en les dues
constants que apareixen en les dues integracions.
d =
dq2 d
dq2 Σϕ que serà finita i després obtindrem
12 per simplicitat treballarem en l’espai de Minkowski on k 2 pot ser negatiu. Els talls d’aquesta forma els
entendrem sempre després de passar a l’espai euclidi. És a dir aquesta notació és més bé simbòlica i el que volem
dir en realitat és que k 2 E < Λ2 on kE és el moment euclidi associat amb k.
270

Després de la regularització tindrem
Σϕloops = −i4g 2
Més enllà del nivell arbre
d4k (2π) 4
k(k+ q) − m2 (k2 − m2 )((k+ q) 2 − m2 (1 −(1 − FΛ(k,q)))
)
On hem escrit el terme regulador, per conveniència, separant explícitament una contribució 1 de
forma que la modificació de la integral inicial siga la menor possible i només estiga en el terme
proporcional a (1−FΛ(k,q)). De fet aquesta forma d’escriure el terme regulador, ens suggereix
com trobar les funcions FΛ(k,q). Es podrien triar de forma que el terme proporcional a (1 −
FΛ(k,q)) tinga exactament la mateixa forma que l’integrand original però canviant alguna de
les masses per Λ de forma que per a k2 grans el terme addicional cancel·le el mal comportament
de l’integrand però que per a Λ → ∞ el terme addicional vaja a zero. Aquest mètode de triar
la FΛ(k,q) es denomina Pauli-Villars i permet, en alguns casos, mantenir les simetries del
problema. Més endavant veurem explícitament com triar el regulador d’aquesta forma. De
moment ens contentarem sabent que la integral esta regulada de forma que puguem fer les
manipulacions habituals en integrals convergents com ara canvis de variable, derivacions sota
el signe integral, etc, etc. En les equacions següents el terme proporcional a (1 − FΛ(k,q)) el
representarem com “···” i també li farem totes les manipulacions que li fem al terme principal
encara que no les escriurem explícitament. Així escriurem
Σϕloops = −i4g 2
= −i4g 2
1
0
dx
= −i4g 2
1
0
dx
d4k (2π) 4
k(k+ q) − m2 (k2 − m2 )((k+ q) 2 − m2
− ···
)
k(k+ q) − m2 [(k2 − m2 )(1 − x)+((k+ q) 2 − m2
− ···
)x] 2
d4k (2π) 4
k(k+ q) − m2 [(k+ qx) 2 −(m2 − q2
− ···
x(1 − x))] 2
d 4 k
(2π) 4
Ara podem canviar de variable definint k = ℓ − qx amb ℓ la nova variable d’integració. Aquest
canvi de variable no està permés en integrals divergents, com el primer terme. Ara be gràcies
als “···” la integral sencera és convergent i podem fer aquestes manipulacions sense problemes,
així tenim
Σϕloops = −i4g 2
1
0
dx
d4ℓ (2π) 4
ℓ2 − q2x(1 − x) − m2 (ℓ2 − Δ) 2
− ···
On hem eliminat el terme proporcional a ℓq ja que aquest terme és imparell i dóna zero sota
integració simètrica (la resta de l’integrand només depèn de ℓ 2 ). A més hem definit
Δ ≡ (m 2 − q 2 x(1 − x) − iε).
Notem que hem recuperat la dependència en ε. Aquesta dependència serà essencial per eliminar
ambigüitats a l’hora de passar per damunt dels pols de l’integrand.
El numerador es pot reescriure en termes de Δ
Σϕloops = −i4g 2
1
0
dx
d 4 ℓ
(2π) 4
ℓ2 + Δ − 2m2 (ℓ2 − ···
− Δ) 2
.
271

Arcadi Santamaria
Si derivem aquesta expressió dues vegades respecte q 2 el resultat és convergent i per tant el
terme que denotem com “···” també ho serà, tendirà a zero quant Λ → ∞ i per tant el podem
ignorar. Altra vegada hem de notar que aquests intercanvis de derivacions i límits sota el signe
integral només són vàlids per a integrals convergents. El paper del terme regulador “···” ha
sigut senzillament el permetre aquestes manipulacions. Així, derivant dues vegades, tenim (ja
que dΔ/dq 2 és independent de q 2 )
Σ ′′ ϕloops
= −i4g2
= −i4g 2
1
0
1
0
dΔ
dx
dq2 2
dΔ
dx
dq2 2
= − 4g2
(4π) 2
1
= − g2
4π 2
0
1
Ara per obtenir Σϕ integrem dues vegades en q 2
Σϕloops =
dq 2
0
d4ℓ (2π) 4
d2 dΔ2
1
ℓ2 − Δ + 2(Δ − m2 )
(ℓ2 − Δ) 2
d4ℓ (2π) 4
10
(ℓ2 − Δ) 3 + 12(Δ − m2 )
(ℓ2 − Δ) 4
dΔ
dx
dq2 2 5
Δ − 2(Δ − m2 )
Δ2
dΔ
dx
dq2 2 3 2m2
+
Δ Δ2
dq 2 Σ ′′ ϕ = − g2
4π2 1
dx
0
= − g2
4π2 1
dx
0
dΔ
dq 2
2 dΔ
dq
dq2
3 2m2
dΔ +
Δ Δ2
dΔ
dq2
3 2m2
+
Δ Δ2
On, altra vegada, hem utilitzat que dΔ/dq 2 és independent de q 2 . Ara podem fer directament
les integrals en Δ i obtenir
Σϕloops = − g2
4π2 1
dx
0
(3Δ − 2m 2
)logΔ+C1Δ+C2
On C1 i C2 són dues constants d’integració arbitràries. Ara bé, Δ té dimensions de massa
al quadrat. Les quantitats que van dins del logaritme han de ser adimensionals per tant és
convenient dividir Δ dins del logaritme per una quantitat amb dimensions de massa al quadrat.
La diferència sempre es pot absorbir en una redefinició de les constants d’integració C1 i C2.
En principi podríem triar per aquesta quantitat amb dimensions de massa al quadrat el valor
de m2 la qual cosa seria natural en aquest problema. Si fem això, però, el límit m2 → 0 serà
problemàtic. Per tant és millor deixar aquesta constant completament arbitrària, diguem-li μ, i
escriure finalment
Σϕloops = − g2
4π2 1
dx
0
3Δ − 2m 2 log Δ/μ 2 + Aq 2 + B, (9.18)
on hem fet la integració en x dels termes C1 i C2, hem redefinint aquestes constants en termes
d’unes noves constants arbitràries A i B i hem absorbit un logaritme de μ 2 en les constants A i
272

Més enllà del nivell arbre
B. Òbviament en l’expressió inicial res no depenia de μ i per tant res ha de dependre de μ ara
tampoc. Això vol dir que les constants A i B depenen de μ de forma que es cancel·la exactament
la dependència en μ que hem introduït en el logaritme. Aquesta expressió, en termes de μ, té
l’avantatge que perfectament podem fer el límit m 2 → 0 sense trobar cap problema espuri.
És evident que utilitzant aquest mètode per obtenir les integrals no podem determinar les
constants A i B que queden com a constants arbitràries. Si les volem determinar hem d’utilitzar
una regularització particular, és a dir, hem de fixar la funció FΛ(k,q). Quan Λ ≫ m 2 i podem
menysprear la massa m 2 tindrem un comportament de la forma (només per anàlisi dimensional)
A ∼ logΛ, B ∼ Λ 2 .
Els coeficients , però, dependran de la forma explícita de les funcions FΛ(k,q) triades per a
regularitzar les integrals, com es pot comprovar fàcilment triant diferents funcions FΛ(k,q).
Com veurem això no crea cap ambigüitat en els resultats físics ja que per arribar a resultats
físics hi ha que renormalitzar tant la massa com la funció d’ona i quan ho fem tant A com
B (com μ) es cancel·len i el resultat final de l’autoenergia renormalitzada és completament
independent dels detalls de la regularització, és a dir de la funció FΛ(k,q) triada.
Ara bé, hi ha algunes dependències en A i B que són universals i no depenen dels detalls
del regulador utilitzat. Així del fet que Σϕloops és independent de μ, immediatament trobem
(derivant Σϕloops respecte μ, per exemple, fent la integral en el paràmetre de Feynman i comparant
terme a terme ) que
μ dA
dμ
g2 dB g2
= − , μ =
4π2 dμ 2π2 m2 .
Integrant en μ i afegint les constants d’integració adequades trobem que
A = − g2 μ
log
4π2 Λ + a1 + ··· , B = g2
2π2 m2 log μ
Λ + b1Λ 2 + ··· , (9.19)
on hem utilitzat les constants d’integració, que en general depenen de Λ, per escriure el logaritme
de forma adimensional i hem mantingut només els termes dominants, quan Λ → ∞, de
les constants d’integració. Les constants a1 i b1 no les podem determinar sense especificar els
detalls de la regularització, la funció FΛ, però les dependencies logarítmiques en Λ estan clarament
lligades a la part finita de Σϕloops i, per tant, no depenen dels detalls de la regularització.
És a dir, no tota la informació que contenen A i B és espúria, A i B contenen alguns logaritmes
que no depenen dels detalls de la regularització i que estan lligats a les dependències logarítmiques
de les parts finites. Com hem vist explícitament en el cas de la teoria amb interacció
del tipus λφ 4 aquests logaritmes donaran el comportament dominant de les amplituds físiques
a energies grans.
Aquests arguments tants senzills, són la base de l’anomenat grup de renormalització que
ens permet calcular i resumar el comportament de les amplituds a altes energies estudiant les
seues parts divergents. En aquest sentit, seria interessant trobar un mètode de regularització
que ens permetera, de la forma més ràpida i senzilla possible, calcular les parts divergents
i els logaritmes que van associats amb elles, i que al cap i a la fi són els únics que tenen
273

Arcadi Santamaria
informació rellevant. Veurem més endavant que hi ha un mètode de regularització que satisfà
aquest requeriments i que s’anomena regularització dimensional.
Una vegada tenim Σϕloops donada per (9.18) podem utilitzar (9.9) per obtenir l’autoenergia
renormalitzada (recordem que ara M és la massa de l’escalar i m la massa del fermió). Immediatament
veiem que totes les dependències en A, B i μ és cancel·len i el resultat és completament
finit i no té cap ambigüitat.
on
Σφ = − g2
4π2
2 2 ′ 2 2 2
f(q ) − f(M ) − f (M )(q − M ) ,
f(q 2 ) =
1
0
q 2
dx (3Δ − 2m 2 )logΔ/m 2
5
6 −
4m2 /q2 − 1arctg
1
.
4m2 /q2 − 1
Aquestes expressions només són vàlides si 0 < q 2 < 4m 2 , i llavors només quan M 2 < 4m 2 . Si
q 2 > 4m 2 , les arrels quadrades es fan negatives i la funció f(q 2 ) té parts imaginàries. Aquestes
parts imaginàries són conseqüència de que l’argument del logaritme en la definició de f(q 2 )
es pot fer negatiu en aquests casos. Per obtenir la part imaginaria hem de recuperar el terme
−iε i utilitzar que si triem el tall del logaritme a l’esquerra del zero tenim (recordem que
Δ = m 2 − q 2 x(1 − x) − iε )
Així
on
Im log(m 2 − q 2 x(1 − x) − iε) = −πθ q 2 x(1 − x) − m 2 .
Im g
Σφloops = 2 1
dx
4π 0
m 2 − 3q 2 x(1 − x) θ q 2 x(1 − x) − m 2
= g2
4π θ q 2 − 4m 2 x+
dx m 2 − 3q 2 x(1 − x)
x−
= − g2
4π θ q 2 − 4m 2 q 2
x± = 1
1 ± 1 − 4m
2
2 /q2
1 − 4m2 /q2 , (9.20)
són les solucions de q 2 x(1 − x) − m 2 = 0, que són reals i estan en l’interval [0,1] només si
q 2 ≥ 4m 2 . En aquest cas, les condicions de renormalització les modificarem lleugerament per a
que només afecten a la part real de l’autoenergia. D’aquesta forma el propagador complet serà
274
1
q2 1
→
− M2 q2 − M2 − Re{Σ} − iIm{Σ} ,

amb les condicions de renormalització
Més enllà del nivell arbre
Re Σ(M 2 ) = 0,
dRe{Σ}
dq2
= 0. (9.21)
q2 =M2 Així damunt del pol q 2 ≈ M 2 , tenim el comportament típic de Breit-Wigner que ja vam avançar
amb
1
q2 − M2 − Re{Σ} − iIm{Σ} →
1
q2 − M2 + iΓM , q2 ≈ M 2 ,
−Im Σ(M 2 ) = ΓM, M > 2m 2 .
En el nostre cas
Γ = g2
8π M
1 − 4m2 /M2 ,
que efectivament coincideix amb l’expressió que vam obtenir als capítols 5 i 6 utilitzant les
fórmules a nivell arbre. És important remarcar el paper important de la prescripció de Feynman
per als propagadors que al cap i a la fi ens ha garantit que Im Σ(M2 ) siga negativa i, per tant,
que l’amplada Γ siga positiva, com ha de ser.
D’altra banda és evident que la fórmula de Breit-Wigner és només exacta si estem damunt
del pol (q2 ≈ M2 ). Fora del pol té correccions que poden ser importants i la teoria quàntica de
camps ens les dóna. Per simplicitat considerarem només el cas de m = 0 (o q2 ,M 2 ≫ 4m2 ) y
deixarem com a exercici obtenir les expressions per a qualsevol valor de m. Així,
Re g
Σφloops = 2
8π2 q2 log q2
μ2 + Aq2 + B.
Imposant les condicions de renormalització (9.21) obtenim la part real de l’autoenergia
Re g
Σφ = 2
8π2
q 2 log q2
M2 −q 2 − M 2
.
Mentre la part imaginària l’obtenim directament de (9.20) prenent m = 0, de forma que el
propagador complet és (per a q 2 > 0)
1
q2 →
− M2 q2 − M2 − g2
8π2
q2 log q2
M2 −(q2 − M2 )
1
+ i g2
8π q2
.
La part imaginaria s’obté fàcilment si escrivim el logaritme com log(−q 2 − iε) (quan m = 0
podem prendre Δ = −q 2 x(1 − x) − iε = (−q 2 − iε ′ )x(1 − x) ja que x(1 − x) ≥ 0 en l’interval
d’integració), de forma que per a q 2 < 0 no hi ha part imaginària i per a q 2 > 0 ens dóna la part
imaginària amb el signe correcte.
275

Arcadi Santamaria
9.4.3 El propagador del fermió
El diagrama d’autoenergia del fermió en la teoria de Yukawa dóna
−iΣψloops = −g 2
d 4 k
(2π)
4 γ5
1
k/+ p/ − m γ5
1
k2 − M
que és divergent (linealment divergent perque va com k). En aquest cas, però,és suficient multiplicar
per una funció FΛ que vaja com 1/k 2 per fer la integral convergent. Una funció d’aquest
tipus que és particularment convenient és
0
1
FΛ = 1 − k2 − M2 k2 ,
− Λ2 que tendeix a 1 quan Λ → ∞, i va com 1/k2 quan k2 → ∞. L’efecte d’aquesta funció de regularització
és senzillament substraure a Σψloops la mateixa quantitat avaluada canviant M → Λ,
prescripció que és molt convenient a l’hora de calcular. Amb això, pujant els quadrimoments
del propagador fermiònic al numerador i utilitzant les propietats de la matriu γ5, tindrem
Σψloops = ig 2
d4k (2π) 4
k/+ p/ − m2 (k+ p) 2 − m2 1
k2
− M → Λ
− M2 = ig 2
1
d
dx(p/(1 − x) − m)
0
4ℓ (2π) 4
1
(ℓ2 − ΔM(p2 1
− 2
)) (ℓ2 − ΔΛ(p2 )) 2
= ig 2 1
ΔM
d
2 dx(p/(1 − x) − m) dt
0
ΔΛ
4ℓ (2π) 4
1
(ℓ2 − ΔM(p2 )) 3
g
=
2
(4π) 2
1
ΔM dt
dx(p/(1 − x) − m)
ΔΛ t
=
g 2
(4π) 2
0
dx(p/(1 − x) − m)log ΔM(p 2 )
ΔΛ(p 2 ) ,
on per a passar de la primera línia a la segona hem utilitzat la parametrització de Feynman per
combinar els propagadors, hem definit
ΔM(p 2 ) ≡ M 2 (1 − x)+m 2 x − p 2 x(1 − x) − iε ,
(igualment per a ΔΛ(p2 )) i hem canviat de la variable k a la variable ℓ = k + px. Termes
lineals en ℓ no donen contribució per invariància Lorentz. Per passar de la segona línia a la
2
tercera hem combinat els dos propagadors en un (utilitzant que
(ℓ2−t) 3 = d 1
dt (ℓ2−t) 2 ). Després
hem fet la integral en quadrimoments ℓ, que és convergent, utilitzant les fórmules de l’apèndix
i finalment hem integrat la variable t. Per obtenir l’autoenergia renormalitzada podem imposar
les condicions de renormalització, calcular els contratermes i restar les seues contribucions a
l’autoenergia calculada a un loop,
−iΣψ(p) = −iΣψloops(p)+i
δψ p/ − δm
276
2 ,

de forma que
Σψ(p/ = m) = 0,
dΣψ
= 0,
dp/
p/=m
δψ = dΣψloops
dp/
p/=m
δm = −Σψloops(m)+δψm
Alternativa i equivalentment podem escriure directament
Σψ(p) = Σψloops(p) − Σψloops(p) p/=m − dΣψloops(p)
dp/
Més enllà del nivell arbre
p/=m
(p/ − m), (9.22)
on hem d’entendre Σψloops(p) com una funció de p/ exclusivament, és a dir, entendrem p2 = p/ 2 .
Així
Σψloops(p) = p/=m −g2m (4π) 2
1
dxx log
0
ΔM(m2 )
ΔΛ(m2 )
dΣψloops(p)
dp/
p/=m
=
g2 (4π) 2
1
dx (1 − x)log
0
ΔM(m2 )
ΔΛ(m2 )
+ 2m2x2 (1 − x)
ΔM(m2 ) − 2m2x2 (1 − x)
ΔΛ(m2 )
Amb ΔM(m 2 ) = M 2 (1 − x)+m 2 x 2 (igualment per a ΔΛ(m 2 )). Substituint en 9.22 i fent el límit
Λ → ∞, que és perfectament finit, obtenim
amb
Σψ(p) ≡ A(p 2 )p/+mB(p 2 ),
A(p 2 ) = g2
(4π) 2
1
dx (1 − x)log
0
ΔM(p2 )
ΔM(m2 ) − 2m2x2 (1 − x)
ΔM(m2
,
)
B(p 2 ) = g2
(4π) 2
1
dx −log
0
ΔM(p2 )
ΔM(m2 ) + 2m2x2 (1 − x)
ΔM(m2
.
)
Deixem com a exercici la reducció d’aquestes integrals i el càlcul dels contratermes.
9.4.4 El vèrtex
El concepte de vèrtex elemental que vam definir al capítol 6 per poder-lo després utilitzar com
un bloc per construir diagrames més complicats es pot generalitzar als ordres superiors de
forma semblant a com hem generalitzat el terme de masses a les autoenergies. Com en el cas
277

Arcadi Santamaria
de les autoenergies definirem els diagrames 1PI de vèrtex, amb dos línies fermiòniques i una
escalar, com aquells que no es poden separar en dos diagrames completament desconnectats
tallant només una línia interna. Denotarem com Γg a la suma de tos els diagrames d’aquest
tipus, eliminant els spinors i funcions d’ona de les potes externes. A l’ordre més baix només
tenim la contribució del vèrtex elemental
iΓ (0)
g = gγ5,
a un loop l’única contribució ve del diagrama de la figura que dóna (per definir el vèrtex
prendrem sempre la convenció que els escalars entren en el vèrtex, i els fermions són sempre
fermions, un entrant i l’altre eixint)
iΓ (1)
g
= g 3
d (4) k
(2π)
4 γ5
= −ig 3
d (4) k
= −ig 3
(2π) 4
d (4) k
(2π) 4
i
k/+ p/2 − m γ5
i
k/+ p/1 − m γ5
i
k2 − M2 γ5(k/+ p/2 + m)γ5(k/+ p/1 + m)γ5
((k+ p2) 2 − m 2 )((k+ p1) 2 − m 2 )(k 2 − M 2 )
(k/+ p/2 − m)γ5(k/+ p/1 − m)
((k+ p2) 2 − m 2 )((k+ p1) 2 − m 2 )(k 2 − M 2 ) .
Si volem utilitzar aquest vèrtex com a subdiagrama d’altres diagrames en que els fermions i/o
escalars apareguen com a línies internes no tindrem més remei que avaluar aquesta integral
sense cap restricció sobre els moments de les partícules externes (a banda de la conservació del
moment). Afortunadament en moltes aplicacions del vèrtex els fermions només apareixeran
com a potes externes, és a dir, el vèrtex apareixerà entre spinors i podrem utilitzar l’equació
de Dirac per simplificar el vèrtex posant ū(p2,s2)(p/2 − m) = 0 i (p/2 − m)u(p1,s1) = 0, direm,
llavors, que els fermions estan sobre la “capa màssica”. Ací suposarem que aquest és el cas i
simplificarem el numerador utilitzant aquestes equacions (i òbviament també p 2 2 = m2 i p 2 1 =
m 2 ). D’altra banda, no suposarem res sobre el moment de l’escalar q = p2 − p1 de forma que
puguem utilitzar aquest vèrtex també quan l’escalar apareix com una línia interna. Amb açò el
vèrtex se simplifica molt i es redueix a una integral escalar
iΓ (1)
g = ig 3
d (4) k
γ5
(2π) 4
k 2
((k+ p2) 2 − m 2 )((k+ p1) 2 − m 2 )(k 2 − M 2 ) ,
que és logarítmicament divergent. Per a regularitzar-la li restarem una integral d’exactament la
mateixa forma però canviant M → Λ. A més utilitzarem que
per escriure el vèrtex regularitzat com
278
iΓ (1)
g = ig 3
d (4) k
γ5
(2π) 4
k2 k2 k2
−
− M2 k2 M2
=
− Λ2 k2 Λ2
−
− M2 k2 − Λ2 M2 ((k+ p2) 2 − m2 )((k+ p1) 2 − m2 )(k2 − M2 −(M → Λ).
)

Més enllà del nivell arbre
Notem que gràcies a aquest truc la integral és convergent. El segon terme depenent de Λ, però,
s’ha de mantenir i eliminar en el procés de renormalització. Per a fer la integral utilitzarem la
parametrització de Feynman A.45 llavors
IM =
=
=
=
=
1
0
1
0
1
d (4) k
(2π) 4
1
((k+ p2) 2 − m2 )((k+ p1) 2 − m2 )(k2 − M2 )
1
d (4) k
dxx dy
0 (2π) 4
1
((k2 − M2 )(1 − x)+(k 2 + 2kp1)xy+(k 2 + 2kp2)x(1 − y)) 3
1
d (4) k
dxx dy
0 (2π) 4
1
(k2 + 2kp1xy+2kp2x(1 − y) − M2 (1 − x)) 3
1
d (4) k
dxx dy
0 (2π) 4
1
(k+ x(p1y+ p2(1 − y))) 2 − M2 (1 − x) − x2 (p1y+ p2(1 − y)) 2
0
1
0
1
d (4) k
dxx dy
0 (2π) 4
1
(k2 −i
= 3
− Δ)
2(4π) 2
1
0
1
dxx dy
0
1
Δ
on en el primer pas hem utilitzat que els fermions estan sobre la capa màssica i hem fet la
parametrització de Feynman, mentre en el darrers passos hem completat quadrats en el denominador
i hem fet el canvi de variable k → k−x(p1y+ p(1−y)), de forma que queda una integral
estàndard en moments que hem fet utilitzant la fórmula A.54 de l’apèndix, amb
Δ = M 2 (1 − x)+m 2 x 2 − q 2 x 2 y(1 − y) − iε
que hem escrit en termes de q 2 utilitzant que (p1y+ p2(1−y)) 2 = m 2 −q 2 y(1−y) i a més hem
recuperat el terme −iε. Així
FM(q 2 ) ≡
1
0
iΓ (1)
g 3
g = γ5
32π2 FM(q 2 ) − FΛ(q 2 ) .
1
M
dxx dy
0
2
M2 (1 − x)+m 2x2 − q2x2y(1 − y) − iε
Les integrals en els paràmetres de Feynman són un poc complicades en el cas general. És fàcil
veure, però, que en el terme que depèn de Λ no podem fer Λ → ∞ ja que conté logaritmes de
Λ, al cap i a la fi la integral original era logarítmicament divergent. Podem fixar la condició de
renormalització com (Γg és el vèrtex total, nivell arbre més loops més contratermes)
iΓg(q 2 = 0) = gγ5.
Amb aquesta condició el vèrtex renormalitzat a un loop és
iΓg = gγ5 1+ g2
32π2
FM(q 2 ) − FM(0)
,
On hem utilitzat que limΛ→∞ FΛ(q 2 ) − FΛ(0) = 0.
Una altra vegada deixem com a exercici el càlcul explícit de FM(q 2 ) i del contraterme δg.
3
279

Arcadi Santamaria
9.4.5 Col·lisió fermió-antifermió a un loop
Amb el que hem fet, autoenergies de l’escalar i del fermió i el vèrtex, encara no tenim prou per
a calcular l’amplitud de col·lisió a un loop (diagrames amb quatre constants d’acoblament) del
procés f ¯f → f ¯f . A nivell arbre els diagrames que contribueixen al procés són
¯f
f
¯f
f
A un loop podem anar afegint correccions en els vèrtexs i en les línies internes que ja hem
calculat i tindrem
280
Però al mateix ordre també tenim diagrames com

Més enllà del nivell arbre
Afortunadament, com és fàcil de comprovar comptant potències de moment en els denominadors
i numeradors, aquests diagrames són finits. D’altra forma seria un desastre absolut ja
que no tenim cap contraterme disponible en el lagrangià original que ens done una interacció
directa de quatre fermions i que ens permeta absorbir la divergència. Aquesta és la característica
essencial del que denominarem teories renormalitzables: són aquelles que és poden
renormalitzar amb els contratermes generats pel lagrangià original. Llavors aquestes teories
es poden descriure amb un nombre finit de paràmetres. La conseqüència immediata d’aquesta
propietat és realment potent, ens diu que en una teoria renormalitzable qualsevol propietat de
les partícules que no aparega en el lagrangià original ha de ser finita a l’ordre més baix en que
es genera. Així per exemple el lagrangià de QED no conté un moment magnètic anòmal (com
vam discutir açò seria una interacció de la forma ¯ψσμνψF μν ) ni tampoc una interacció directa
entre quatre fotons. Llavors la contribució que es genera en QED a aquestes interaccions a
l’ordre més baix, que en aquest cas és a un loop, ha de ser necessariament finita i calculable
en termes de la massa i la constant d’acoblament. Veurem a la secció següent, en el cas del
moment magnètic anòmal, que efectivament és així.
9.5 Renormalització de QED
Més interessant que la teoria de Yukawa és l’electrodinàmica quàntica (QED). Aquesta teoria
presenta uns problemes i virtuts molt particulars com a conseqüència de la invariància gauge:
1. La invariància gauge prohibeix que els fotons tinguen massa. Aquesta propietat es manté
a tots els ordres en teoria de pertorbacions.
2. El fet que els fotons no tinguen massa crea problemes addicionals ja quan calculem processos
a nivell arbre pel fet que qualsevol línia externa de fermions pot emetre fotons
addicionals de molt baixa energia. Com vam discutir al capítol 8 aquests processos donen
divergències addicionals conegudes com divergències infraroges. Afortunadament
aquestes divergències es cancel·len automàticament quan considerem observables reals,
però clarament compliquen el càlcul i la discussió.
3. Les constants de renormalització no són independents; en particular, la constant de renormalització
del vèrtex i de la funció d’ona de l’electró són les mateixes. Com veurem,
aquest fet permet calcular la renormalització de la constant d’acoblament electromagnètica
estudiant senzillament la renormalització de la funció d’ona del fotó. Aquest
fenomen és poc intuïtiu i pot confondre molt al lector si es presenta com a primer exemple
de renormalització de les constants d’acoblament.
4. El manteniment de la invariància gauge en tot els càlculs és essencial per garantir les
propietats de la teoria, en particular per garantir que el fotó no tinga massa. El procés
de regularització, en particular quan s’utilitzen talls en el moment euclidi, pot trencar la
invariància gauge. Això ens forçarà a utilitzar mètodes de regularització més sofisticats
(i de vegades menys intuïtius) com ara la regularització dimensional o Pauli-Villars.
281

Arcadi Santamaria
Per totes aquests dificultats hem deixat la renormalització de QED per aquesta secció, després
d’haver vist la teoria escalar i la teoria de Yukawa.
El punt de partida serà el lagrangià de QED 7.41 però ara escrit en termes de camps i
paràmetres nus (amb el subíndex B). A més a més, hem fixat la càrrega de l’electró Q = −1:
LQED = ¯ψB(i∂/ − mB)ψB − 1 μν
FB 4 FBμν − 1
2 λB
∂μA μ2
B + eB ¯ψBγ μ ψBABμ .
Ara reescriurem els camps i els acoblaments nus en termes dels renormalitzats 13
de forma que
A μ
B = Z3A μ , Z3 = 1+δ3, ψB = √ Z2ψ , Z2 = 1+δ2, (9.23)
Z2 Z3eB = Z1e = e+eδ1, Z2mB = m+δm, Z3λB = λ + δλ (9.24)
LQED = ¯ψ (i∂/ − m)ψ − 1
4 F μν Fμν − 1
2 λ ∂μA μ 2 + e ¯ψγ μ ψAμ
+ ¯ψ (iδ2∂/ − δm)ψ − 1
4 δ3F μν Fμν − 1
2 δ
λ ∂μA μ2 + eδ1 ¯ψγ μ ψAμ , (9.25)
és a dir, el lagrangià té un terme que és idèntic a l’original i després tenim un contraterme per
cada terme del lagrangià original, δ2 per a la renormalització de la funció d’ona del fermió, δm
per a la renormalització de la seua massa, δ3 per a la renormalització del camp del fotó, δ1 per
al vèrtex i finalment δλ per al terme que fixa el gauge. Veurem que, com a conseqüència de la
invariància gauge, no tots els contratermes són independents:
1. Veurem que el terme que fixa el gauge no necessita renormalització i podem triar δ λ = 0.
2. La renormalització del vèrtex i de la funció d’ona del fermió estan relacionades de forma
que δ1 = δ2 (o el que és el mateix Z1 = Z2) de forma que √ Z3eB = e. És a dir per renormalitzar
la constant d’acoblament és suficient estudiar la renormalització de la funció
d’ona del fotó.
9.5.1 L’autoenergia de l’electró: estructura i renormalització
Com vam explicar en general a la secció 9.1 i vam fer explícitament en el cas de la teoria
de Yukawa 9.4.3, escriurem l’autoenergia total de l’electró com (seguint la notació estàndard
l’anomenarem Σ2)
−iΣ2 = −iΣ2loops + i(δ2p/ − δm)
i fixarem les condicions de renormalització com sempre
Σ2(p/ = m) = 0,
dΣ2
= 0,
dp/
p/=m
13 Ací seguirem la notació habitual en QED, anomenarem Z1 a la renormalització del vèrtex, Z2 a la renormalització
de la funció d’ona del fermió i Z3 a la del fotó.
282

de forma que
δ2 = dΣ2loops
dp/
p/=m
Més enllà del nivell arbre
, (9.26)
δm = −Σ2loops(m)+δ2m. (9.27)
De les regles de Feynman (en el gauge de Feynman) a un loop immediatament obtenim
−iΣ2loops = −e 2
d4k 1
γσ
(2π) 4 k/+ p/ − m γσ
1
.
k2 (9.28)
El càlcul explícit el deixarem a banda de moment. La seua estructura, però, ens serà útil a
l’hora de relacionar les constants de renormalització Z2 i Z1.
9.5.2 El vèrtex: estructura i renormalització
De forma similar a com vam definir el vèrtex en la teoria de Yukawa 9.4.4 definirem el vèrtex
electró-fotó com la suma de tots els diagrames 1PI amb dos electrons i un fotó en línies externes,
eliminant spinors i funcions d’ona en les potes externes. En el cas de QED és costum factoritzar
la constant d’acoblament, e, i no incloure-la en la definició del vèrtex. D’aquesta forma la
normalització del vèrtex és tal que la seua contribució a un element de matriu amb els dos
electrons del vèrtex externs s’escriu com
iM = ū(p2,s2)ieΓ μ (p2, p1)u(p1,s1)Jμ .
Jμ representa genèricament la contribució de la resta del diagrama. A l’ordre més baix només
tindrem la contribució del vèrtex elemental
Γ (0)
μ = γμ .
Mentre el vèrtex complet (nivell arbre, més la contribució dels loops més la del contraterme)
és14 Γ μ = γ μ + Γ μ
loops + δ1γ μ = Z1γ μ + Γ μ
loops .
Per a determinar el contraterme δ1 hem de fixar una condició de renormalització. En el cas de
QED és natural triar el vèrtex renormalitzat de forma que quan el quadrimoment (entrant en el
vèrtex) del fotó, q ≡ p2 − p1, s’anul·la (p2 → p1) i els electrons estan sobre la capa màssica el
vèrtex no té cap correcció
Γ μ (p1, p1)| p/1=m = γ μ ,
d’on podem determinar δ1
δ1γ μ = − Γ μ
loops (p1,
p1)
p/1=m
(9.29)
De les regles de Feynman (en el gauge de Feynman) a un loop immediatament trobem que
Γ μ
loops = −ie2
d4k 1 μ 1
γσ γ
(2π) 4 k/+ p/2 − m k/+ p/1 − m γσ
1
k2 (9.30)
14 És important remarcar que estem treballant tot el temps en l’esquema de renormalització sobre la capa màssica
i fent teoria de pertorbacions al voltant de paràmetres físics, de forma que Γ μ és el vèrtex renormalitzat i conté la
contribució del contraterme.
283

Arcadi Santamaria
9.5.3 Identitats de Ward
En la secció 7.4.1 ja vam discutir que si tenim una amplitud amb fotons externs
M = ε μ ( k1,λ1)ε ν (k2,λ2)···Mμν···( k1, k2,···),
com a conseqüència de la conservació del corrent (que a la vegada és conseqüència de la invariància
gauge) s’ha de satisfer necessàriament
k μ
1 Mμν···( k1, k2,···) = 0, k ν 2 Mμν···( k1, k2,···) = 0 ···
Aquest resultat es pot generalitzar, amb les modificacions apropiades, al cas en que els fotons
no estan en línies externes (és a dir no estan sobre la capa màssica i no satisfan k2 i = 0). Identitats
d’aquest tipus, conseqüència de la invariància gauge, s’anomenen identitats de Ward i són
essencials per esbrinar les propietats de teories amb invariància gauge com és la QED. Entre
aquestes identitats n’hi ha una particularment important que ens permet relacionar la renormalització
del vèrtex, Z1, amb la renormalització de la funció d’ona de l’electró, Z2. En compte de
demostrar aquesta identitat en general (per això podeu consultar els llibres recomanats) veurem
com funciona en la pràctica en càlculs a un loop.
Prenent el vèrtex 9.30 i contraent-lo amb qμ trobem que
qμΓ μ
loops = −ie2
d4
k
γσ
(2π) 4
1
k/+ p/2 − m −
1
k/+ p/1 − m
on, de forma semblant a com vam fer en l’amplitud de la col·lisió Compton en el capítol 8, hem
escrit
q/ = p/2 − p/1 = p/2 + k/ − m −(p/1 + k/ − m)
i hem cancel·lat els denominadors corresponents. Comparant amb l’expressió per a l’autoenergia
de l’electró 9.28 trobem que
Si ara deixem p2 → p1 tindrem que
(p2μ − p1μ)Γ μ
loops (p2, p1) = Σ2loops(p1) − Σ2loops(p2). (9.31)
Γ μ
loops (p1, p1) = − ∂
μ ∂
Σ2loops(p1) = −γ Σ2loops(p1),
∂ p1μ
∂ p/1
posant els electrons sobre la capa màssica, p/1 = m, i utilitzant les relacions 9.29 i 9.26 obtenim
−δ1γ μ = Γ μ
loops (p1,
μ ∂
p1) = −γ Σ2loops(p1) = −δ2γ
p/1=m ∂ p/1
μ
de forma que δ1 = δ2 o el que és el mateix
284
Z1 = Z2.
p/1=m
γσ
1
k
2 ,

Més enllà del nivell arbre
Si ara reescrivim 9.31 en termes del vèrtex complet renormalitzat Γ μ
loops = Γμ − γ μ − δ1γ μ i
l’autoenergia completa renormalitzada Σ2loops = Σ2 −(δ2p/ − δm) tenim que
qμΓ μ (p2, p1) = Σ2(p1) − Σ2(p2)+q/+(δ1 − δ2)q/
= (p/2 − m − Σ2(p2)) −(p/1 − m − Σ2(p1))
= iS −1
F (p2) − iS −1
F (p1), (9.32)
On SF(p) és el propagador complet renormalitzat de l’electró (és a dir amb residu 1 en el
pol). La relació 9.32, que es coneix com identitat de Ward-Takahashi, es pot demostrar a tots
els ordres diagramàticament (vegeu Peskin per exemple) o utilitzant la conservació del corrent
(vegeu Weinberg per exemple). Llavors la igualtat de les constats de renormalització Z1 = Z2
està garantida a tots els ordres. Aquesta relació garanteix que
e = Z2
Z3eB=
Z1
Z3eB. (9.33)
És a dir, per estudiar la renormalització de la constant d’acoblament gauge és suficient estudiar
la renormalització de la funció d’ona del fotó. Aquesta propietat és completament diferent del
que passa en el cas de la interacció de Yukawa i garanteix, a tots els ordres, que la força de la
interacció electromagnètica és exactament la mateixa per a totes les partícules amb la mateixa
càrrega; que un protó, per exemple, té exactament la mateixa càrrega que el positró a pesar de
ser una partícula composta i tenir interaccions completament diferents de les del positró.
La interpretació de 9.33 és natural si tenim en compte que la invariància gauge exigeix
que el lagrangià s’ha d’escriure en termes de derivades covariants Dμ = ∂μ − ieAμ. Llavors,
l’equació 9.33 ens diu que la derivada covariant manté la forma sota renormalització
Dμ = ∂μ − ieAμ = ∂μ − ieBABμ ,→ eAμ = eBABμ = eB
Z3Aμ
de forma que el procés de renormalització no canvia la universalitat de l’acoblament electromagnètic.
9.5.4 La polarització del buit
En el cas del fotó definirem el conjunt de diagrames de dos punts 1PI, és a dir les autoenergies,
com iΠμν que té dos índex Lorentz. En particular a un loop tindrem
iΠ μν
d
loops (q) = −e2
4
k
Tr γ
(2π) 4 μ 1
k/ − m γν
1
, (9.34)
k/+q/ − m
que, en principi, és quadràticament divergent ( va com k2 ). Ara bé, com passa per a les altres
amplituds que hem discutit, la invariància gauge garanteix que qνΠμν = 0. En efecte, a un loop
qνΠ μν
d
loops = ie2
4
k
Tr γ
(2π) 4 μ 1
k/ − m q/
1
k/+q/ − m
= ie 2
d4
k
Tr γ
(2π) 4 μ
1
1
(q/+k/ − m −(k/ − m))
k/ − m k/+q/ − m
= ie 2
d4
k
Tr γ
(2π) 4 μ
1
k/ − m −
1
,
k/+q/ − m
285

Arcadi Santamaria
que és zero si en el segon terme podem fer el canvi de variable k → k−q. La integral, però, és divergent
i llavors el canvi de variable pot generar termes addicionals. Per poder fer aquest canvi
de variable hem de regularitzar primer la integral, però, sinó la regularitzem de forma adequada
podem espatllar aquest propietat. Per exemple si senzillament multipliquem tot l’integrand per
FΛ = Λ 4 /(k 2 − Λ 2 ) 2 , clarament el terme de la dreta no s’anul·laria i seria un desastre absolut
ja que com veurem immediatament aquesta propietat és essencial per garantir que la massa del
fotó és zero a tots els ordres. La raó és que el procés de regularització, si no es fa adequadament,
pot trencar la invariància gauge. Hi ha diversos procediments de regularització que preserven
la invariància gauge i garanteixen que qνΠ μν = 0 a tots els ordres. En particular, si deixem
lliure la dimensió de l’espai-tems en les integrals de moments els canvis de variable que hem
esmentat es poden fer sempre sense problemes. De moment, suposarem que hi ha algun mètode
de regularització que preserve la invariància gauge, llavors per invariància Lorentz i la condició
qνΠ μν = 0 tindrem
on
Π μν (q) = (q 2 g μν − q μ q ν )Π(q 2 ) = q 2 P μν Π(q 2 ),
P μν ≡ g μν − qμ q ν
q 2 , P μν Pνσ = P μ σ ,
és el projector sobre modes transversals. Utilitzant aquesta propietat podem sumar la sèrie de
Dyson (en un gauge arbitrari) per calcular el propagador complet
−igμν − λ qμqν
− i1
q2 λ q
= − i qμqν
λ q
= − i qμqν
λ q
= − i qμqν
λ q
σρ −igρν
−igμσ
+
4 q2 −igμσ
iΠ +
q2 q2 iΠ σρ −igρδ q2 iΠ
1
− iPμν − i
4 q2 q4 Πμν − 1
q6 ΠμσΠ σ ν + ···
i
2
− Pμν 1+Π+Π + ···
4 q2 1 1
− i Pμν
4 q2 1 − Π .
δγ −igγν
+ ···
q2 On, en la primera línia hem utilitzat que qνΠ μν = 0 per suprimir els termes que van com qμqν
en el propagador lliure del fotó i multipliquen Π μν , en la segona línia hem re-escrit el primer
propagador lliure en termes del projector transversal Pμν i hem contret índexs, en la tercera
línia hem substituït Π μν en termes de la funció escalar i el projector transversal i hem utilitzat
les propietats d’aquest projector, finalment en la darrera línia hem sumat la sèrie geomètrica en
la polarització escalar Π.
Una cosa és evident en aquest resultat, només la part transversal del propagador rep correccions.
La part que depen del paràmetre de gauge roman intacta. A més, quan inserim aquest
propagador entre corrents conservats (o l’utilitzem en potes externes multiplicant per iq 2 ε μ i
fent el límit q 2 → 0), les parts que van com qμqν no contribueixen i l’únic que ens queda és
286
−i gμν
q 2
1
1 − Π(q2 , (9.35)
)

Més enllà del nivell arbre
que només té un pol en q 2 = 0 i llavors la massa del fotó roman nul·la a tots els ordres, com
ha de ser 15 . D’altra banda, en general tindrem que Πloops(q 2 = 0) = 0 i, llavors, el residu
del propagador de camps nus, A ν B , en q2 = 0 no serà 1 i, com en el cas d’escalars i fermions,
camps nus tampoc creen estats correctament normalitzats. Per solucionar aquest problema
hem de renormalitzar el camp de fotons com en 9.23 de forma que es genere el contraterme
proporcional a δ3 en 9.25. Aquest contraterme, indueix una nova regla de Feynman per a la
interacció entre dos fotons. Desenvolupant i integrant per parts tenim
− δ3
4 F μν Fμν → δ3
2 Aμ gμν∂ 2 ν
− ∂μ∂ν A ,
que, passant a la representació de moments, du a la següent regla de Feynman
−iδ3 gμνq 2
− qμqν .
D’altra banda hem vist que, com a conseqüència de la transversalitat de Π μν , el terme que
fixa el gauge no necessita ser corregit, i llavors, no necessitem introduir un contraterme per al
terme que fixa el gauge i δ λ = 0. Així tindrem
on
− 1
2 λB
∂μA μ2
1
B = −
2 λBZ3
∂μA μ2 1
≡ −
2 λ ∂μA μ2 ,
λ ≡ λBZ3.
D’aquesta forma la polarització del buit completa serà
Π(q 2 ) = Πloops(q 2 ) − δ3.
Com hem vist, el propagador del fotó té un pol en q 2 = 0. Per a que els estats creats per Aμ
estiguen correctament normalitzats és necessari que el residu del propagador en aquest pol siga
1, és a dir, que el propagador prop del pol es comporte con un propagador lliure, açò ens dóna
immediatament la condició de renormalització per a la polarització del buit
que ens permet determinar el contraterme δ3,
Π(q 2 ) = 0,
δ3 = Πloops(0),
i finalment la polarització del buit renormalitzada,
Π(q 2 ) = Πloops(q 2 ) − Πloops(0),
15 Suposem que estem en regim pertorbatiu i que llavors Π(q 2 ) ≪ 1. Si aquest no és el cas podrien haver pols
addicionals. Per exemple, en teories en dues dimensions o amb trencament espontani de la simetria gauge, el fotó
podria agafar massa. En quatre dimensions i si la simetria gauge no es trenca espontàniament, el propagador tindrà
un pol en q 2 = 0 i el fotó no tindrà massa.
287

Arcadi Santamaria
on, en principi, Πloops(q 2 ) depèn implícitament de δ3 a través de diagrames 1PI amb insercions
de la regla de Feynman del contraterme. Aquestes dependències sempre són un ordre superior
al corresponent al nombre de loops considerat i a un loop no necessitem incloure-les.
Una vegada sabem com renormalitzar la polarització del buit anem a calcular-la a un loop.
Per això calculem la traça en (9.34) per obtenir
Π μν
loops = 4ie2
ddk (2π) d
kμ (k+ q) ν + kν (k+ q) μ − gμν (k(k+ q) − m2 )
(k2 − m2 )((k+ q) 2 − m2 .
)
Notem que hem canviat les integrals en moments a d dimensions per justificar les manipulacions
que fem en l’integrand ja que la integral en 4 dimensions es divergent (en principi
quadràticament divergent). Com veurem, però, la polarització del buit renormalitzada és completament
finita i, al final podrem prendre el límit d → 4 sense problemes. D’altra banda,
a l’hora de prendre la traça de les matrius de Dirac hem posat Tr{IDirac} = 4. En principi,
podríem prendre qualsevol valor Tr{IDirac} = f(d) tal que f(4) = 4. Ara bé, com que Π renormalitzada
és finita, triar una altra f(d) no té cap efecte en el resultat final.
Ara combinem els denominadors utilitzant la parametrització de Feynman i a més fem el
canvi de variable k = ℓ − qx i eliminem, com sempre els termes imparells en ℓ per covariància
Lorentz,
on
Π μν
1
loops = 4ie2 dx
0
ddℓ (2π) d
2ℓμℓν + gμν (m2 + q2x(1 − x) −ℓ2 ) − 2qμqν x(1 − x)
(ℓ2 − Δ) 2
,
Δ = m 2 − q 2 x(1 − x) − iε .
A més podem utilitzar les següents identitats (cal assenyalar que, per consistència, fem totes
les manipulacions en d dimensions, en particular g μ μ = d)
d d ℓ
(2π) d
d d ℓ
(2π) d
ℓμℓν (ℓ2
=
− Δ) 2
ℓ2 (ℓ2
=
− Δ) 2
per comprovar que efectivament Π μν és transvers,
Π μν
1
loops = i4e2 dx
0
ddℓ (2π) d
1 g
d
μνℓ2 (ℓ2 ,
− Δ) 2
d d ℓ
(2π) d
dΔ 1
d − 2 (ℓ2 − Δ)
2 ,
ddℓ (2π) d
2x(1 − x)
(ℓ2 − Δ) 2
2 μν μ ν
q g − q q .
És interessant remarcar que la integral només és logarítmicament divergent (quan d → 4), encara
que la integral original semblava quadràticament divergent per comptatge de potències del
moment. Aquest fet és conseqüència de la simetria gauge que implica la transversalitat de la
polarització del buit.
A partir del resultat anterior immediatament obtenim la funció escalar Πloops.
288
Πloops = i8e 2
1
dxx(1 − x)
0
d d ℓ
(2π) d
1
(ℓ 2 − Δ) 2

Més enllà del nivell arbre
Ara podríem fer les integrals en dimensió d utilitzant l’equació A.52. De totes formes el que
ens importa és la polarització del buit renormalitzada Π(q 2 ) = Πloops(q 2 ) − Πloops(0), que és
finita i, per tant, per calcular-la podem prendre sense problemes d → 4, llavors
Π(q 2 ) = i8e 2
1 Δ
dxx(1 − x) dt
=
0
Δ0
e2
1
dxx(1 − x)log Δ
= 2α
π
2π2 0
1
0
Δ0
d 4 ℓ
(2π) 4
2
(ℓ 2 −t) 3
dxx(1 − x)log 1 − q2
x(1 − x) − iε
m2 , (9.36)
on per escriure la primera línia hem definit Δ0 ≡ Δ(q 2 = 0) = m 2 i hem usat que 2 Δ Δ0 dt/(ℓ2 −
t) 3 = 1/(ℓ 2 − Δ) − 1/(ℓ 2 − Δ0). Per escriure la segona línia hem integrat en ℓ i en t, finalment
hem reescrit el resultat en termes de α i hem substituït el valor de Δ.
La integral de 9.36 es pot resoldre fàcilment per als diferents casos, en particular si q 2 > 4m 2
l’argument del logaritme es pot fer negatiu i llavors Π(q 2 ) té una part imaginària que es pot
calcular fàcilment utilitzant A.1
Im{Π(q 2 1
)} = −2α
0
x+
= −2α
= − α
3
dxx(1 − x)θ(q 2 x(1 − x) − m 2 )
dxx(1 − x)
x−
1+2 m2
q2
1 − 4m2
, (9.37)
q2 que té la mateixa dependència en moments que la secció eficaç total per a la producció d’un
parell fermió-antifermió 8.6 (en aquest cas m seria la massa del fermió final i només considerem
la contribució a la polarització del buit d’aquest fermió), de fet si s ≡ q 2 (i després s ≫ m 2 e )
podem escriure
Im{Π(s)} = −
1 − 4m 2 e/s
1+2m 2 e /s
Açò és una conseqüència immediata del teorema òptic.
A més a més, Π té alguns límits molt senzills:
• q 2 ≪ m 2
• |q 2 | ≫ m 2
s
e 2 σ(e+ e − → f + f − ) ≈ − s
e 2 σ(e+ e − → f + f − )
Π(q 2 ) ≈ − α q
15π
2
, (9.38)
m2 Π(q 2 ) ≈ α
3π log
−q2 − iε
m2
5
−
3
. (9.39)
289

Arcadi Santamaria
L’efecte net d’inserir al polarització del buit en qualsevol diagrama que tinga un fotó en una
línia interna consisteix en canviar el propagador del fotó pel propagador modificat de forma
que podrem canviar
e2 e
→
q2 2
(1 − Π(q2 ,
))q2 ja que el els extrems de la línia del fotó sempre aporten un factor e. Açò permet definir el que
s’anomena càrrega efectiva16 αef(q 2 ) = e2 /4π
(1 − Π(q2 )) =
α
(1 − Π(q2 , (9.40)
))
que absorbeix el gros de les correccions radiatives.
Aquest resultat és altament no trivial ja que a més dels diagrames amb la polarització del
buit, que són els únics que té en compte la càrrega efectiva, en general tindrem diagrames
amb correccions als vèrtexs, diagrames amb les autoenergies dels electrons i diagrames caixa
(per exemple en la col·lisió e − e − → e − e − , i a ordre e 4 en l’amplitud tindrem diagrames com
els que vam dibuixar per a la teoria de Yukawa). Remarcablement la suma de totes aquestes
contribucions es cancel·la en el límit de |q| 2 ≫ 0, ja que la identitat de Ward Z1 = Z2 garanteix la
cancel·lació de divergències entre vèrtexs i autoenergies, la qual cosa garanteix la cancel·lació
de les correccions que van com log(q 2 /m 2 ). A més, els diagrames caixa són convergents per a
moments grans, com és fàcil comprovar comptant potències del moment integrat, de forma que
tampoc generen correccions log(q 2 /m 2 ).
La idea de que en molts processos el gros de les correccions radiatives es pot absorbir en una
constant d’estructura fina efectiva és molt potent i a continuació explorarem dues conseqüències
interessants.
Modificació del potencial a baixes energies
Com vam explicar en detall per a la teoria λφ 4 les interaccions obtingudes en teoria quàntica de
camps es poden expressar com un potencial quan fem el límit no relativista. Per això senzillament
comparem les amplituds obtingudes en mecànica quàntica no relativista (en l’aproximació
de Born és bàsicament la transformada de Fourier del potencial) amb les obtingudes en teoria
quàntica de camps. Això ens permet obtenir una expressió per al potencial no relativista en
termes de les amplituds de teoria quàntica de camps. Per exemple per a la interacció de dos
fermions diferents no relativistes (per exemple electrons contra un nucli NZ amb càrrega Z,
e − NZ → e − NZ) a ordre α 2 s’obté (q és el quadrimoment del fotó intercanviat en el procés)
V(r) = −Ze 2
d3q eiq·r
(2π) 3
1
|q| 2 + Π(−|q|2 )
|q| 2
, (9.41)
ja que l’intercanvi de fotons es produeix en el canal t, i en aquest cas, mN ≫ m, llavors, en bona
aproximació l’energia de l’electró es conserva i, q 2 ≈ −|q| 2 . El primer terme dóna el potencial
16 Estrictament aquesta definició només és vàlida per a q 2 < 0 ja que per a q 2 > 4m 2 , Π(q 2 ) té una part imaginària.
Per a q 2 > 4m 2 és pot seguir definint una càrrega efectiva prenent només la part real de la polarització del
buit. De totes formes, intercanvi de fotons en els canals t o u sempre tenen q 2 < 0.
290

Més enllà del nivell arbre
de Coulomb −Zα/r mentre el segon terme, que denotarem com δV(r), corregeix el potencial
de Coulomb i, per tant, pot afectar l’energia dels estats estacionaris dels àtoms.
Si q 2 ≪ m 2 (ací considerarem només la contribució de l’electró a la polarització del buit i,
per tant, m serà la massa de l’electró) podrem utilitzar 9.38 i desenvolupar l’integrand en sèries
de potències de |q| 2 , així
V(r) ≈ −Ze 2
d3
q 1 α
eiq·r + + ··· . (9.42)
(2π) 3 |q| 2 15πm
Com hem comentat, el primer terme dóna la interacció de Coulomb −Zα/r, mentre el segon
terme dóna una interacció de contacte (una delta de Dirac)
V(r) ≈ − Zα 4Zα2
−
r 15m2 δ(3) (r). (9.43)
Aquest resultat, s’ha de comentar un poc ja que les aproximacions que hem utilitzat només
es poden justificar segons en quin context. En efecte, la integral 9.42 és una integral sobre tot
els valors deq, inclosos |q| ≫ m, i potser l’aproximació |q| ≪ m en l’integrand no és correcta.
De fet, si mantenim els ordres superiors en |q|/m la transformada de Fourier divergeix. Per
veure quin sentit té el potencial 9.43 tornarem a l’expressió original 9.41 i l’utilitzarem per
avaluar les correccions a l’energia dels estats lligats de l’àtom.
Utilitzant teoria de pertorbacions a primer ordre trobem
ΔEnℓ =
d 3 r |ψnℓ(r)| 2 δV(r) = −Ze 2
d 3 r |ψnℓ(r)| 2
d3q (2π) 3 eiq·r Π(−|q|2 )
|q| 2
.
És pot comprovar que per a r > 1/m, la correcció al potencial disminueix 17 exponencialment
per a r ≫ 1/m, mentre la funció d’ona ψnl(r) té un abast de l’ordre de a = 1/(Zmα), de forma
que si Z ≫ 137 llavors a ≫ 1/m i, en la regió on δV(r) és apreciable, la funció d’ona és
pràcticament constant i igual al seu valor en l’origen . Així podrem escriure
ΔEnl ≈ −Ze 2
ψnℓ(0)
= −Ze 2
ψnℓ(0) 2
2
d 3
r
d 3 qδ (3) (q) Π(−|q|2 )
|q| 2
d3q (2π) 3 eiq·r Π(−|q|2 )
|q| 2
= Ze2
ψnℓ(0) Π ′ (0).
Així, curiosament, les correccions a les energies dels estats lligats de l’àtom només depenen
del comportament de Π(q 2 ) per a q 2 → 0. Substituint, doncs, 9.38 obtenim
ΔEnℓ = − 4Zα2
15m
ψnℓ(0)
2
= − 4Zα2
15m
2
d 3 r |ψnℓ(r)| 2 δ (3) (r),
on clarament hem recuperat el segon terme de 9.43. És a dir les aproximacions que hem fet per
obtenir 9.43 són correctes sempre i quan utilitzem aquest potencial per avaluar valors esperats
entre estats que tinguen una funció d’ona pràcticament constant en r < 1/m.
17 De fet per a r ≫ 1/m es pot veure que δV( r) = −α 2 me −2mr /(4 π(mr) 5 ).
291

Arcadi Santamaria
Ara podem utilitzar el valor de la funció d’ona per a estats amb ℓ = 0 (per a ℓ = 0 la funció
d’ona s’anul·la)
ψn0(0) = 2
3/2 Zαm
√
4π n
per obtenir
ΔEn0 = − 4Z4 α 5 m
15πn 3
que dóna una petita contribució, però necessària per aconseguir l’acord amb les dades experimentals
18 .
Dependència de la constant d’acoblament amb l’escala
Per a −q 2 ≫ m 2 podem utilitzar 9.39 i 9.40 per escriure
αef(q 2 ) =
α
α 1 − 3π (log(−q2 /m2 , (9.44)
) − 5/3)
que creix si −q 2 creix com a conseqüència del signe −que tenim davant del logaritme. És
important remarcar que l’expressió per a αef(q 2 ) és vàlida fins i tot quan log(−q 2 /m 2 ) ≫ 1,
sempre i quan αef(q 2 ) es mantinga petita. Obviament quan α 3π log(−q2 /m 2 ) ∼ 1, αef(q 2 ) és fa
gran i el càlcul pertorbatiu ja no és vàlid i no ens podem creure el resultat obtingut a un loop.
D’alguna forma αef(q 2 ) és l’equivalent de 9.16 en la teoria λφ 4 , i la discussió que vam fer allà
val ací també.
Resumint els resultats, hem vist que (estem considerant sempre el cas −q 2 < 0)
αef(q 2 ) ≈
αef(q 2 α
) ≈
1 − α −q
15π
2
m2 , −q 2 ≪ m 2 ,
α
1 − α 3π (log(−q 2 /m 2 ) − 5/3) , −q2 ≫ m,
de forma que αef(0) = α, a mesura que va creixent −q 2 , αef(q 2 ) va creient també, primer com
una potencia de −q 2 , (per a −q 2 ≪ m 2 ) i finalment com log(−q 2 /m 2 ), (per a −q 2 ≫ m 2 ).
Ara podem fer la transformada de Fourier de αef(q 2 ) per obtenir com es comporta la càrrega
efectiva en funció de la distància. Com pel principi d’incertesa tenim que |q| ∼ 1/r, veiem que,
a distàncies molt grans, r ≫ 1/m, la càrrega efectiva és bàsicament α i va creixent a mesura
que s’exploren distancies més petites. Aquest fenomen es pot interpretar imaginant que la
càrrega del nucli està envoltada per multitud de parells electró-positró “virtuals” que apantallen
la càrrega “nua” de l’electró i fan que el buit de QED es comporte com un dielèctric. Aquesta
interpretació és la que li dóna el nom “polarització del buit” al tipus de correccions que hem
estudiat en aquesta secció.
18 En el cas de l’àtom d’hidrogen produeix una correcció de −37 MHz a la freqüència de la radiació de transició
entre estats “2s” i “2p” (efecte conegut com a “Lamb shift”), mentre la freqüència observada és de 1058 MHz. És
a dir, el gros de l’efecte ve d’altres tipus de correcions.
292

Més enllà del nivell arbre
9.5.5 Factors de forma de l’electró: El moment magnètic anòmal de l’electró
i el radi de càrrega
A FER
9.6 Teories renormalitzables i no renormalitzables: lagrangians
efectius
Teories com les que hem considerat fins ara, que tenen la propietat de que és suficient amb la
redefinició dels camps, masses i acoblaments del lagrangià original per obtenir resultats finits
per a tots els observables físics, s’anomenen teories renormalitzables. Teories no renormalitzables
serien, al contrari, aquelles teories que no tenen prou amb un nombre finit d’acoblaments
per absorbir totes les divergències de la teoria, que a mesura que anem desenvolupant la teoria
de pertorbacions a ordres superiors generen més i més divergències, la qual cosa requereix
la introducció de més i més contratermes i, llavors, més i més paràmetres a determinar per
l’experiment. Al capítol 6, ja vam introduir el concepte de teories renormalitzables i no renormalitzables
en un altre context. Dèiem que teories renormalitzables eren aquelles que només
tenien acoblaments amb dimensió positiva o zero (termes del lagrangià amb dimensió menor
o igual a quatre), i que en general aquestes teories (amb algunres excepcions com és el cas de
les teories que involucren camps de Proca), porten a seccions eficaces que disminueixen amb
l’energia del procés i amb un desenvolupament en sèrie de la constant d’acoblament que és
vàlid per a qualsevol valor de l’energia (si no tenim en compte les possibles correccions logarítmiques),
sempre que la constant d’acoblament siga petita. Per simple anàlisi dimensional
vam veure també que teories amb constants d’acoblament amb dimensió negativa duen a seccions
eficaces que creixen amb l’energia i amb un desenvolupament pertorbatiu que només pot
ser vàlid per a energies petites (comparada amb l’escala que defineixen l’acoblament). Ara
parlem de teories no renormalitzables com aquelles que generen divergències que no es poden
renormalitzar amb els camps i acoblaments del lagrangià original (o que necessitarien un
nombre infinit d’acoblaments). Els dos conceptes, però estan intimament relacionats. Efectivament,
acoblaments amb dimensió negativa porten a diagrames que són molt més divergents
que els diagrames amb acoblaments amb dimensió positiva o nul·la. Com hem comentat el
nivell de divergència d’un diagrama ve donat pel comportament de l’integrand per a potencies
del moment d’integració gran. Si augmentem la dimensió negativa dels acoblaments (o les potencies
d’aquest) en un diagrama i menyspreem totes les masses i moments externs, obviament
les potències del moment intern en l’integrand també hauran d’augmentar per mantenir fixa la
dimensió del diagrama i, per tant, també ha d’augmentar grau de divergència del diagrama. A
més, les divergències generades d’aquesta forma no es podran absorbir en els acoblaments del
lagrangià original: imaginem que tenim una constant d’acoblament 1/Λ 2 amb Λ amb dimensions
de massa (com vam discutir també al capítol 6, podria ser per exemple una interacció
amb 4 escalars i dues derivades, φ 2 ∂μφ∂ μ φ, o una interacció amb sis escalars, φ 6 ). Aquests
acoblaments contribueixen, a segon ordre en l’acoblament, a l’amplitud de col·lisió entre
4 escalars, que no té dimensions. Llavors, necessariament tindrem contribucions divergents
293

Arcadi Santamaria
que van com 1/Λ4 , i que s’haurien d’absorbir, per exemple, amb un operador de la forma,
(∂μφ∂ μφ) 2 /Λ4 , que no està, en principi, al lagrangià inicial. El podríem afegir, però llavors
necessitarem operadors que vam com 1/Λ4 , i així successivament. És a dir, per a eliminar totes
les divergències en una teoria no renormalitzable necessitem un nombre infinit de termes en
el lagrangià. Això, no és estrany, com també vam comentar al capítol 6, si tornem a la forma
en què vam introduir les teories de camps com al límit continu d’un sistema discret, termes no
renormalitzables en el lagrangià, és a dir amb acoblaments amb dimensió negativa, contenen
informació del sistema físic discret (o més generalment de la teoria vàlida a molt curtes distancies
o a molt altes energies) del que hem obtingut la teoria de camps, però, que, obviament, no
el poden reproduir completament amb un nombre finit de termes. La necessitat de més i més
termes per poder eliminar els inifinits d’aquestes teories ens està recordant clarament aquest
fet. Així i tot, és important remarcar que si el nostre objectiu no és reproduir completament
la teoria subjacent i ens acontentem en tenir una aproximació a aquesta vàlida a baixes energies,
podem utilitzar perfectament teories no renormalitzables amb acoblaments que tinguen
dimensió negativa tenint en compte que, encara que la teoria ha de tenir un nombre infinit de
termes en el lagrangià, les contribucions a processos físics d’operadors de dimensió alta aniran
suprimits per una factor (E/Λ) n , on 1/Λn representa genèricament l’acoblament de la interacció,
i per tant, estaran molt suprimits a energies E ≪ Λ i es podran ignorar. Un exemple típic és
el cas del model estàndard d’interaccions electro-febles considerat a energies baixes. La teoria
completa és renormalitzable, ara be, a energies molt baixes comparades amb les masses dels
bosons W i Z les interaccions entre fermions es poden aproximar per una sèrie d’interaccions
de quatre fermions de la forma (ψψ)(ψψ)/m 2 W . Amb interaccions d’aquest tipus podem calcular
la desintegració del muó, podem calcular seccions eficaces d’interacció fermió, fermió
anant a fermió, fermió, etcètera, fins i tot podem calcular algunes correccions radiatives (loops)
a aquests processos sense cap problema, sempre i quan no vulguem utilitzar aquests resultats a
energies comparables o majors que les masses dels bosons W.
294

Capítol X
Mètodes Funcionals

10. Mètodes Funcionals
10.1 La integral de camí en mecànica quàntica
10.2 Quantització funcional de camps escalars
10.3 El teorema de Wick com a derivades funcionals
10.4 Quantització de fermions
10.5 Quantització funcional de QED i rederivació de les regles
de Feynman
10.6 Simetries en el formalisme funcional
297

Arcadi Santamaria
298

Apèndix A
Notació

A. Notació
A.1 Sistema natural d’unitats
En moltes ocasions és útil utilitzar un sistema d’unitats en que ¯h = 1 i c = 1, que s’anomena
sistema natural d’unitats. En compte d’expressar totes les magnituds en termes de les tres
magnituds fonamentals massa, longitud i temps, les podem expressar en unitats de ¯h, c i una
tercera magnitud que pot ser, per exemple, l’energia. D’aquesta forma si triem ¯h = c = 1, totes
les magnitud es poden expressar en unitats d’energia o potències o en potencies de la unitat
d’energia. En física de partícules és tradicional expressar la energia en GeV’s (10 9 electró-volt).
Per a convertir d’unes unitats a les altres és suficient utilitzar les combinacions apropiades de ¯h
i c. Per exemple podem utilitzar que
¯hc = 0.19732858(51)GeVfm
per a escriure les unitats de longitud com a GeV −1 . Si ¯h = c = 1 tindrem que
Igualment, utilitzant que
trobem que
1fm = 10 −15 m = 5.068GeV −1 .
¯h = 6.582122 × 10 −25 GeVs
1s = 1.519 × 10 24 GeV −1 .
A.2 Propietats d’algunes funcions especials
A.2.1 El logaritme
Prendrem sempre la determinació de la fase dels arguments del logaritme sempre com arg(z) ∈
] − π,π[ de forma que el tall del logaritme estarà sobre l’eix real negatiu
log(−a ± iε) = log(a) ± iπ , a > 0. (A.1)
301

Arcadi Santamaria
Notem que amb aquesta prescripció si a i b són nombres complexos arbitraris a = ρaeiηa ,
b = ρbeiηb amb ηa,ηb ∈] − π,π[ tindrem
⎧
⎨ log(a)+log(b) − i2π ηa + ηb > π
log(ab) = log(a)+log(b)
⎩
log(a)+log(b)+i2π
−π < ηa + ηb < π
ηa + ηb < π
.
Això vol dir que s’ha d’anar amb molta cura a l’hora d’utilitzar les propietats del logaritme.
Per exemple la integral
1 dx 1 a+b
= log
0 ax+b a b
altres formes com (log(a+b) − log(b))/a o (log(1+b/a) − log(b/a))/a poden conduir a resultats
incorrectes. Una forma d’evitar aquests problemes és utilitzar la fórmula A.15 per determinar
les parts imaginàries i les parts reals de les integrals.
A.2.2 La funció escaló o de Heaviside
Definim la funció de Heaviside (o funció escaló) com
⎧
⎨ 0 t < a
θ(t − a) = 1/2
⎩
1
t = a
t > a
que és discontínua1 en t = a.
Aquesta funció es pot representar com el límit de determinades funcions θε(t), de manera
que
θ(t) = lim θε(t)
ε→0 +
Donem a continuació algunes d’aquestes funcions:
1) θε(t) = − 1
∞
2πi −∞
2) θε(t) = 1
π arctg
t
ε
dw e−itw
w+iε
+ 1
2
3) θε(t) = 1
t
erf + 1
2 ε
⎧
⎨ 0 t < ε
4) θε(t) = (1+t/ε)/2 |t| < ε
⎩
1 t > ε
5) θε(t) = − 1
2πi P
1/ε
−1/ε
≡ 1
t/ε
√ dxe
π 0
−x2
+ 1
2
dw e−iwt
w
+ 1
2
(A.2)
(A.3)
(A.4)
(A.5)
(A.6)
1 El valor assignat en t = a és una qüestió de conveni. Podríem prendre igualment 0 o 1. Nosaltres hem triat
1/2 per raons de simetria.
302

A.2.3 La funció (distribució) delta de Dirac
A partir de la funció de Heaviside, formalment podem definir la següent “funció”
anomenada δ de Dirac de manera que
δ(t) =
δ(t) ≡ d
dt θ(t)
0 t = 0
+∞ t = 0
Notació
Òbviament la “funció” δ de Dirac no és una funció 2 . Així i tot donarem les seues regles
d’utilització, que raonadament ens permetran manipular-la com si fora una funció, sempre que
ho fem sota el signe integral. D’aquesta es pot deduir la propietat fonamental de la δ de Dirac,
que li permet jugar el paper de la δi j de Kronecker per a un índex continu.
Per a qualsevol funció f(t) de variable real se satisfà que
b
a
dt f(t)δ(t − c) =
f(c) c ∈]a,b[
0 c ∈]a,b[
(A.7)
Igual que la funció de Heaviside, la funció δ de Dirac es pot representar com a límit de
determinades funcions δε(t),
b
a
f(t)δ(t − c)dt = lim
ε→0 +
b
a
f(t)δε(t − c)dt
Aquestes funcions han de complir que
∞
δε(t)dt = 1, ∀ε > 0
i, evidentment,
−∞
lim
ε→0 + δε(t)
0 t = 0
=
+∞ t = 0
≡ δ(t)
Això vol dir que les funcions δε(t) han d’estar concentrades (“picades”) a l’origen, de manera
que fent ε → 0 + estiguen cada vegada més concentrades (“picades”) però mantenint sempre
l’àrea constant i igual a 1.
La forma més simple d’obtenir representacions per a δε(t) és derivar les representacions
per a la funció de Heaviside θε(t). Així obtenim
1) δ(t) = 1
∞
e
2π −∞
−itw dw (A.8)
2) δε(t) = ε 1
π t2 + ε2 (A.9)
2 De fet es pot definir de manera més completa en el context de la teoria de distribucions. Per a les aplicacions
que fem en aquest curs no cal anar més lluny.
303

Arcadi Santamaria
3) δε(t) = 1
ε √ π e−(t/ε)2
0 |t| > ε
4) δε(t) =
1/(2ε) |t| ≤ ε
5) δε(t) = sin(t/ε)
πt
(A.10)
(A.11)
(A.12)
Les manipulacions que fem amb la funció δ estaran justificades sempre que puguem demostrar
que els resultats obtinguts són independents de ε en el límit ε → 0 + .
La funció δ multidimensional se defineix com el producte de δ’s de cadascuna de les coordenades
δ (n) (x) ≡ δ(x1)δ(x2)···δ(xn),
i en particular, moltes vegades utilitzarem la representació
δ (n)
(x) =
d nk
(2π) n e−i kx . (A.13)
Una propietat de la funció δ que utilitzarem a sovint és la següent:
Si xi són zeros simples de g(x), és a dir g(xi) = 0, g ′ (xi) = 0, tenim
δ(g(x)) = ∑
δ(x − xi)
|g ′ . (A.14)
(xi)|
Una altra propietat molt útil per obtenir les parts imaginàries de les integrals de Feynman és:
Si g(x) és una funció amb només zeros simples sobre l’eix real se satisfà la identitat
lim
ε→o +
1 1
= P ∓ iπδ(g(x)), (A.15)
g(x) ± iε g(x)
on el símbol P representa que prenem la part principal i se sobre-entén que aquesta relació
s’aplica sempre sota el signe integral multiplicant una funció arbitrària (suficientment regular
en una regió que inclou l’eix real).
A.3 Notació relativista
Per convenció escriurem x μ = (x 0 ,x i ) = (t,x), μ = 0,1,2,3 i i = 1,2,3. A més hem utilitzat
el sistema natural d’unitats en escriure x 0 = ct = t. La mètrica que utilitzem és g μν =
gμν = diag(1,−1,−1,−1), de forma que xμ = gμνx ν = (t,−x) i el producte escalar és xνy ν =
gμνx μ y ν = (x 0 y 0 −xy).
La derivada en quatre dimensions és
304
∂ ∂ ∂
= ,
∂xμ ∂t ∂xi
= ∂t,
∇ .

Com que
∂
∂xμ xν
1 siμ = ν
=
= gμσg
0 siμ = ν
σν ≡ δ ν μ ,
Notació
tenim que la delta de Kronecker relativista té un índex dalt i un altre baix. A més, es veu
clarament que la derivada es comporta com un quadrivector amb l’índex baix
de forma que
mentre
∂ μ ≡ ∂
∂xμ
∂μ ≡ ∂
,
∂xμ = (∂t,− ∇),
∂ 2 = ∂μ∂ μ = ∂ 2
t − ∇ 2 .
Les transformacions de Lorentz són les transformacions de coordenades que preserven, Λ μ ν,
que preserven la el producte escalar relativista,
llavors, necessàriament
x ′μ = Λ μ νx ν ,talque x ′2 = x ′μ x ′ μ = x 2 ,
gμν = gσρΛ σ μΛ ρ ν . (A.16)
De forma infinitesimal (per a transformacions de Lorentz propies, és a dir connectades amb la
identitat) podrem escriure
Λ μ ν ≈ δ μ ν + ω μ ν
on és fàcil veure que la condició A.16 implica que
ω μν = g νσ ω μ σ = −ω νμ ,
és completament antisimètric. Per tant les transformacions de Lorentz estan caracteritzades per
6 paramètres, 3 relacionats amb els “boosts”, ω 0i , i 3 relacionats amb les rotacions ω 23 , ω 31 ,
ω 12 .
A més de g μν només hi ha un altre tensor invariant sota transformacions de Lorentz pròpies.
Aquests té quatre índexs i és completament antisimètric sota intercanvi d’índexs el definirem
com
ε μνσρ ,completament antisim. , ε 0123 = 1,
i que, per la propia definició es transforma com
det(Λ)ε μνσρ = Λ μ αΛ ν β Λσ γ Λ ρ
δ εαβγδ ,
i llavors és invariant per a transformacions pròpies, det(Λ) = 1, i canvia de signe per a transformacions
impròpies amb det(Λ) = −1.
305

Arcadi Santamaria
A.4 Matrius i spinors de Dirac
A.4.1 Les matrius de Pauli
Les matrius de Pauli σ són tres matrius 2 × 2 linealment independents hermítiques i de traça
nul·la que se solen triar de la següent forma (en el cas d’índexs espacials no hi ha diferència
entre índexs baix o dalt, triem posar-los baix per evitar confusions quan fem el quadrat de les
matrius)
σ1 =
0 1
1 0
, σ2 =
0 −i
i 0
, σ3 =
1 0
0 −1
Les matrius de Pauli satisfan l’àlgebra de moment angular i a més anticommuten entre elles
= i2εi jkσk ,
σi,σj
amb εi jk completament antisimètric i ε123 = 1. D’on
σiσ j = δi j + iεi jkσk ,
σi,σj = δi j
Algunes propietats interessants que es dedueixen d’ací són
= 2δi j , σ2σσ2 = −σ ∗
Tr σiσ j
A.4.2 Les matrius de Dirac
Les matrius de Dirac són 4 matrius 4 × 4 que satisfan
i
d’on
A partir de les quatre γ μ definim
que satisfà les següents relacions
I també definim
306
.
γ μ γ ν + γ ν γ μ ≡ {γ μ ,γ ν } = 2g μν , (A.17)
γ μ† = γ 0 γ μ γ 0 , (A.18)
(γ 0 ) 2 = I, γ 2 = −I, γ 0† = γ 0 , γ † = −γ .
γ5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = γ †
5 ,
γ 2 5 = I, {γ5,γ μ } = 0.
σ μν = i
2 [γ μ ,γ ν ],

de forma que les 16 matrius
I, γ5, γ μ , γ5γμ, σ μν ,
són linealment independents i formen una base de l’espai de matrius 4 × 4.
Dues realitzacions concretes són les següents:
Representació de Dirac
γ 0 =
I 0
0 −I
, γ i
0 σ i
=
−σ i 0
0 I
, γ5 =
I 0
Notació
, (A.19)
on els sub-blocs són matrius 2 × 2: I és la identitat 2 × 2 i σ són les matrius de Pauli.
Representació de Weyl 3
És útil definir
γ 0 =
0 I
I 0
, γ i
0 σ i
=
−σ i 0
−I 0
, γ5 =
0 I
. (A.20)
σ μ ≡ (I,σ), ˆσ μ ≡ (I,−σ), (A.21)
de forma que les matrius de Dirac en la representació de Weyl s’escriuen com
γ μ
Weyl =
0 σ μ
ˆσ μ
.
0
A més, també definirem altres matrius que es poden escriure en termes d’aquestes. Així tant en
la representació de Dirac com en la de Weyl definirem la matriu de spin
Σ
σ 0
= =
0 σ
σ 23 ,σ 31 ,σ 12 = γ5γ 0γ =, (A.22)
els projectors de quiralitat levogir i dextrogir
i la matriu de conjugació de càrrega
que satisfà
PL = 1
2 (1 − γ5), PR = 1
2 (1+γ5),
C ≡ iγ 2 γ 0
Cγ μ C −1 = −γ μT , C T = C † = C −1 = −C. (A.23)
A més tenim que si Λ μ ν és una transformació de Lorentz, existeix una matriu de Dirac
S(Λ) = exp − i
μν
ωμνσ , (A.24)
4
3 Notem que és freqüent trobar també la representació de Weyl amb les matrius γ 0 i γ5 canviades de signe.
307

Arcadi Santamaria
que satisfà
S(Λ) −1 γ μ S(Λ) = Λ μ νγ ν . (A.25)
A partir de la definició de les matrius de Dirac és fàcil deduir tota una serie de propietats molt
útils a l’hora de calcular.
Contraccions:
γ μ γμ = 4, γ μ γ ν γμ = −2γ ν , γ μ γ σ γ ρ γμ = 4g σρ , γ μ γ σ γ ν γ ρ γμ = −2γ ρ γ ν γ σ
Traces:
Tr{I} = 4, Tr{γ μ } = 0, Tr{γ5} = 0,
Tr{γ μ γ ν } = 4g μν , Tr{γ5γ μ } = 0, Tr{γ5γ μ γ ν } = 0,
Tr{γ μ γ ν γ σ γ ρ }=4(g μν g σρ − g μσ g νρ + g μρ g νσ ) , Tr{γ5γ μ }=0, Tr{γ5γ μ γ ν γ σ γ ρ }=−4iε μνσρ ,
Fòrmules en d dimensions
A.4.3 Spinors de Dirac i les seues propietats
Els spinors de Dirac tenen les següents propietats independents de representació
(p/ − m)u(p,s) = 0 (p/+m)v(p,s) = 0
ū(p,r)u(p,s) = 2mδrs
¯v(p,r)v(p,s) = −2mδrs
u † (p,r)u(p,s) = 2Eδrs.
v † (p,r)v(p,s) = 2Eδrs.
ū(p,r)v(p,s) = ¯v(p,r)u(p,s) = 0, u † (p,r)v(−p,s) = v † (−p,r)u(p,s) = 0 (A.26)
∑ u(p,s)ū(p,s) = p/+m, ∑ v(p,s) ¯v(p,s) = p/ − m. (A.27)
s=±
s=±
Per a càlculs amb estats de spin definit utilitzarem les relacions
u(p,s)ū(p,s) = 1
2 (1+sγ5n/)(p/+m), (A.28)
v(p,s) ¯v(p,s) = 1
2 (1+sγ5n/)(p/ − m). (A.29)
amb n μ un quadrivector arbitrari que satisfà n 2 = −1 i np = 0. Si els estats són d’helicitat
definida utilitzarem, en canvi
308

Notació
u(p,λ)ū(p,λ) = 1
1+λ ˆpΣ (p/+m). (A.30)
2
v(p,λ)¯v(p,λ) = 1
1 − λ ˆpΣ (p/ − m). (A.31)
2
Aquestes relacions se simplifiquen enormement en el límit ultrarelativista (|p| ≫ m )
u(p,+)ū(p,+) = PR p/, u(p,−)ū(p,−) = PL p/,
v(p,+) ¯v(p,+) = PL p/, v(p,−) ¯v(p,−) = PR p/.
En la representació de Weyl tenim les següents expressions explícites per als spinors
√
pσξ (s)
u(p,s) =
p ˆσξ (s) ,
√
− pση (s)
v(p,s) =
p ˆση (s) , (A.32)
amb ξ (s) i η (s) dues bases de spin ortonormals ξ (s)† ξ (r) = δsr, η (s)† η (r) = δsr.
En la representació de Dirac tenim
1 (E + m)ξ (s)
uDirac(p,s) =
(E + m) pσξ (s)
1 pση (s)
, vDirac(p,s) =
(E + m) (E + m)η (s)
.
(A.33)
De vegades és interessant acabar de triar les convencions de fases com
que permet escriure
ξ (−) = −iσ2ξ (+)∗ , η (±) = −iσ2ξ (±)∗ , (A.34)
v(p,±) = Cu(p,±) T , u(p,±) = Cv(p,±) T . (A.35)
A.5 Vectors de polarització de fotons i camps de Proca
A.5.1 Fotons
Per a fotons (i camps d’helicitat ±1 en general) triarem els vectors de polarització de la següent
forma
ε μ ( k,0) = n μ , ,ε μ ( k,3) = kμ −(kn)n μ
kn
, (A.36)
ε( k,λ)k = 0, ε( k,λ)n = 0, λ = 1,2. (A.37)
amb n μ un quadrivector temporal arbitrari normalitzat n 2 = 1. Aquestes polaritzacions satisfan
les següents relacions d’ortogonalitat i completitud
ε(k,λ) · ε(k,λ ′ ) = ε(k,λ)με μ (k,λ ′ ) = −ζ λ δ λλ ′ , λ,λ ′ = 0,···,3 (A.38)
309

Arcadi Santamaria
3
∑ ζλ ε
λ=0
μ ( k,λ)ε ν ( k,λ) = −g μν , (A.39)
on hem definit ζ0 = −1, ζ1 = ζ2 = ζ3 = 1. D’altra banda la suma sobre només polaritzacions
transversals és
2
∑ ε
λ=1
μ ( k,λ)ε ν ( k,λ) == −g μν − kμ kν Els elements de matriu amb fotons externs seran de la forma
M = ε μ (k,λ)Mμ(k),.
(nk) 2 + kμ nν + kνnμ nk
Si el corrent és conserva, k μ Mμ( k) = 0 la suma sobre polaritzacions serà
A.5.2 Camps de Proca
2
∑ |M |
λ=1
2 = −M ∗ μ( k)M μ ( k), k μ Mμ( k) = 0
Per a camps de Proca de massa m similarment tindrem
. (A.40)
εμ(k,λ)k μ = 0, εμ(k,λ)ε μ (k,λ ′ ) = −δλλ ′ , ,λ = 1,2,3, (A.41)
3
∑ εμ(
λ=1
k,λ)εν(
k,λ) = − gμν − kμkν
m2
. (A.42)
A.6 Espai fàsic, seccions eficaces i amplades de desintegració
A.6.1 Convencions per a l’element de matriu i l’espai fàsic
Els elements de la matriu S βα s’escriuen en termes de l’element de matriu reduït M βα que
conté tota la informació sobre la interacció
S βα = δ βα + i(2π) 4 δ 4 (p β − pα)M βα
de forma que les seccions eficaces i amplades de desintegració es calculen en termes del quadrat
de l’element de matriu reduït i de la integral d’espai fàsic.
A.6.2 Espai fàsic
L’espai fàsic a n-partícules finals de moments qi, Φn es defineix com
dΦn =
d3qi (2π) 32E(qi) qi − pα),
310
n
∏ i
(2π) 4 δ (4) (∑ i

Notació
on pα és el quadrimoment total de l’estat inicial. En particular per a dues partícules finals (de
masses m3 i m4) en el centre de masses tenim
λ(s,m
dΦ2 = dΩCM
2 3 ,m2 4 )
32π2 ,
s
amb s = p 2 α i dΩCM el diferencial d’angle sòlid en centre de masses i
A.6.3 Fórmula de la secció eficaç
λ(a,b,c) = a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2ac − 2bc
La secció eficaç de col·lisió de dues partícules (de masses m1 i m2 amb s = (p1 + p2) 2 ) és
dΦn
dσ =
2 λ(s,m 2 1 ,m2 2 )
|M | 2 .
Aquesta fórmula és vàlida en el cas que les partícules inicials tinguen spin definit i es mesure
el spin de les partícules finals. Si les partícules inicials no estan polaritzades i no es mesuren
els spins final s’ha de sumar sobre spins finals i fer la mitjana sobre els inicials, sumes que
les representarem amb el símbol Σspin |M | 2 . En calcular la secció eficaç total (completament
integrada) de n partícules idèntiques en l’esta final cal afegir un factor 1/n!.
Secció eficaç de 2 → 2 partícules en centre de masses
per a dues partícules finals (de masses m3 i m4) tindrem
dσ
λ(s,m
=
dΩ
2 3 ,m2 4 )
λ(s,m 2 1 ,m2 2 )
1
64π2s |M |2 .
CM
Si no es té compte el spin hem de fer |M | 2 → Σspin |M | 2 . A més, per a partícules idèntiques a
l’estat final hem d’afegir un factor 1/2 en calcular la secció eficaç total.
A.6.4 Ritmes de desintegració
L’amplada de desintegració (en el sistema de referència en que la partícula que es desintegra
esta en repòs) d’una partícula de massa M a n partícules és
dΓ = 1
2M dΦn |M | 2 .
Per a dues partícules finals (de masses m1 i m2) tindrem
dΓ
dΩ
CM
=
λ(M 2 ,m 2 1 ,m2 2 )
64π 2 M 3
|M | 2 .
Com en el cas de les seccions eficaces hem de fer |M | 2 → Σspin |M | 2 si la partícula inicial no
esta polaritzada i no es mesuren els spins de l’estat final. A més haurem d’afegir el factor 1/2
en el cas de partícules idèntiques per calcular l’amplada integrada.
311

Arcadi Santamaria
A.7 Integrals de Feynman
En aquest apèndix desenvoluparem les tècniques necessàries per calcular les integrals de quadrimoments
que ens apareixen en diagrames de Feynman a un loop. Primer donarem les fórmules
per fer la parametrització de Feynman que ens permetran reduir les integrals de moments
a una forma estàndard. Després veurem com calcular les integrals de tipus estàndard.
A.7.1 Parametrització de Feynman
En aquesta secció demostrarem que
1
A m1
1 Am2
2 ···AmN N
= Γ(m1
+ m2 + ···+mN) 1 1 1
dx1 dx2 ··· dxN
Γ(m1)Γ(m2)···Γ(mN) 0 0 0
x m1−1
1
x m2−1
2
×δ(x1 + x2 + ···+xN − 1)
(x1A1 + x2A2 + ···+xNAN)
Per això utilitzem que per a Re{A} > 0
llavors
1
···x mN−1
N
.
m1+m2+···+mN
1 1 ∞
= dττ
Am Γ(m) 0
m−1 e −τA , (A.43)
1
=
Γ(m1)Γ(m2)···Γ(mN)
A m1
1 Am2
2 ···AmN
N
∞ ∞
× dτ1 dτ2 ··· dτNτ
0
0
m1−1
1 τ m2−1
2
Si inserim en la integral una identitat en la forma
tindrem
1
A m1
1 Am2
2 ···AmN N
×τ m1−1
1
=
τ m2−1
2
1 =
∞
0
dλδ(τ1 + τ2 + ···+τN − λ),
1
∞
dλ
Γ(m1)Γ(m2)···Γ(mN) 0
···τ mN−1
N e −τ1A1+τ2A2+···+τNAN .
∞ ∞ ∞
dτ1 dτ2 ··· dτN
0 0
0
···τ mN−1
N
δ(τ1 + τ2 + ···+τN − λ)e −τ1A1+τ2A2+···+τNAN .
Ara, en les integrals en les τipodem fer el canvi de variable τi = xiλ i utilitzar que δ(λx) =
δ(x)/λ per escriure
1
A m1
1 Am2
2 ···AmN N
=
1
∞ ∞ ∞
dx1 dx2 ··· dxN
Γ(m1)Γ(m2)···Γ(mN) 0 0
0
× x m1−1
x m2−1
···x mN−1
N δ(x1 + x2 + ···+xN − 1)
312
×
1 2
∞
dλλ
0
m1+m2+···+mN−1 −λ(τ1A1+τ2A2+···+τNAN)
e

Notació
Finalment tornem a utilitzar A.43 per integrar λ i obtenir el resultat desitjat després d’observar
que la presència de la δ(x1 + x2 + ··· + xN − 1) ens permet reduir els intervals d’integració
per a les variables xi a xi ∈ [0,1] (com que totes les xisón positives l’argument de la δ no
es pot anul·lar mai si algun xi > 1). Obviament la δ de Dirac es pot utilitzar per integrar
trivialment alguna de les variables xi, però això és millor fer-ho en cada cas concret ja que
aquesta integració trenca la simetria entre les variables xi.
La fórmula ?? és extremadament útil perquè ens permetrà combinar expressions amb varis
propagadors de Feynman en el denominador en únic terme, és a dir prendrem Ai = (p 2 i − m2 +
iε). La restricció Re{A} > 0 no és cap restricció en aquest cas ja que sempre podem escriure
(p 2 i −m2 +iε) = i(ε −i(p 2 −m 2 )), i com que ε > 0, per a propagadors de Feynman ?? és podrà
aplicar sempre.
Un cas particular que utilitzarem per a dos propagadors diferents és 4
1
AB =
1 1
1
dx dyδ(x+y−1)
0 0 (Ax+By)
i per a tres propagadors
1
=
2
0
1 1 1−x
1
= 2 dx dy
ABC 0 0 (Ax+By+C(1 − x − y))
1
dx
, (A.44)
2
(Ax+B(1 − x))
on la integral de δ(x+y+z−1) en z ens diu que z = 1 − x − y i el fet que 0 < z ens diu que
y < 1 − x. Aquesta fórmula es pot re-escriure de formes molt diferents permutant A, B, i C o
fent diferents canvis de variables. Per exemple, canviant primer x → 1 − x i després y → xy
s’obté
1 1 1
x
= 2 dx dy
. (A.45)
ABC 3
0 0 (A(1 − x)+x(By+C(1 − y)))
Vegem un exemple. Una integral típica que apareix en el càlcul d’autoenergies5 és (per alleugerir
la notació no escrivim explícitament els iε, se sobre-entén, però, que quan trobem indeterminacions
haurem de fer m2 i → m2i − iε)
B0 ≡
=
d 4 k
(2π) 4
1
0
dx
1
((k − p) 2 − m 2 1 )(k2 − m 2 2 )
d4k (2π) 4
1
((k − p) 2 − m2 1 )x+(k 2 − m2 2 )(1 − x) . (A.46)
2
Ara podem desenvolupar es propagadors, immediatament veiem que el terme k 2 sempre es proporcional
a la unitat. Això és conseqüència immediata de que la suma dels paràmetres de
Feynman originals ha de ser 1. Així el denominador queda com
k 2 − 2kpx+ p 2 x − m 2 1 x − m2 2 (1 − x) = (k − px)2 − Δ,
4 Obviament es pot fer la darrera integral en x comprovar que efectivament la fórmula és correcta.
5 Aquesta integral és obviament divergent, però això ara no ens preocupa.
3 ,
313

Arcadi Santamaria
on
Fent el canvi de variable k → k+ p trobem finalment
Δ ≡ m 2 1x+m 2 2(1 − x) − p 2 x(1 − x). (A.47)
1
B0 =
0
dx
d4k (2π) 4
1
(k2 , (A.48)
− Δ) 2
de forma que només ens hem de preocupar de fer integrals de moment d’aquest tipus.
A.7.2 Integrals sobre moments: rotació de Wick
Considerem llavors integrals de la forma
IMN ≡
ddk (2π) d
(k2 ) M
(k2 , (A.49)
− Δ) N
on per més generalitat hem deixat la dimensió de l’espai-temps, d, arbitrària. El primer que
farem es passar a l’anomenat moment euclidi, kE, fent el següent canvi de variable k0 = ik0 E de
forma que k2 = (k0 ) 2 −k 2 = −((k0 E )2 + k 2 E ) ≡ −k2 E . Igualment ddk = iddkE. La integració en
k 0 E
, però, va al llarg de l’eix imaginari en compte de al llarg de l’eix real. Afortunadament és
fàcil veure que si Δ és real amb una petita part imaginària negativa, com és el cas gràcies als
iε dels propagadors, la integral al llarg de l’eix imaginari val el mateix que la integral all llarg
de l’eix real. Per veure-ho és suficient considerar la integral al llarg del circuit de la figura —de
forma que els pols de l’integrand queden fora del circuit i llavors, pel teorema de Cauchy, la
integral al llarg del circuit val zero. Per IMN convergents la integral all llarg dels arcs del circuit
tendeixen a zero i llavors les integrals al llarg del eixos real i imaginari valen el mateix. Així
IMN ≡ (−1) M−N
ddkE i
(2π) d
(k2 E )M
(k2 E + Δ)N = (−1)M−Ni (2π) d
dΩd
∞
0
dkE
k 2M+d−1
E
(k2 E
+ Δ)N ,
on en el darrer pas hem utilitzat coordenades esfèriques en d dimensions per escriure
d d
kE ≡ dΩd
dkEk d−1
E ,
essentΩdl’angle sòlid en d dimensions, i hem abusat un poc del llenguatge representant amb
kE ≡ k2 E el mòdul del quadrivector euclidi kE. Per determinar el valor de l’angle sòlid en d
dimensions farem el següent
314
( √ π) d =
=
∞
∞
dΩd
dxe −x2
d
=
1
dxx
0
d−1 e −x2
dx1dx2 ···dxd e −(x2 1 +x2 2 +···+x2 d ) =
1
= dΩd
2
∞
0
d d xe −x2
dt t d 2 −1 e −t = 1
2 Γ(d
2 )
dΩd

d’on
Per exemple, tindrem Ω1 = 2, Ω2 = 2π, Ω3 = 4π, Ω4 = 2π 2 .
Així tindrem
IMN = 2(−1)M−Ni (4π) d/2 ∞
Γ(d/2) 0
Notació
dΩd = 2πd/2
. (A.50)
Γ(d/2)
dkE
k 2M+d−1
E
(k2 E
+ Δ)N .
Si Δ > 0 podem fer el següent canvi de variable x = Δ/(k2 E + Δ), de forma que
IMN = 2(−1)M−Ni (4π) d/2 1
Γ(d/2) 2
1
La darrera integral és just la funció β de Euler
així finalment tindrem
β(a,b) =
1
0
0
dxx N−M−d/2−1 (1 − x) M+d/2−1 Δ M−N+d/2 .
dxx a−1 (1 − x) b−1 = Γ(a)Γ(b)
Γ(a+b) ,
IMN = i(−1)M−N Γ(N − M − d/2)Γ(M + d/2)
(4π) d/2 Δ
Γ(N)Γ(d/2)
−N+M+d/2 . (A.51)
Per a Δ negatius o, en general complexos, el resultat s’obté per prolongació analítica.
La dependència en Δ l’haguérem pogut obtenir directament utilitzant anàlisi dimensional.
D’altra banda les funcions Γ que ens apareixen ens donen l’estructura de les divergències. En
efecte, la primera funció Γ té pols simples per a N − M − d/2 enters negatius o nuls, i per tant
el resultat és divergent. Això també estava clar des del principi per pur anàlisi dimensional ja
que per a N − M − d/2 < 0 hi ha més potències del moment en el numerador (tenint en compte
el d4k) que en el denominador. Per a N − M − d/2 = 0 direm que tenim una divergència
logarítmica, per a N − M − d/2 = −2 direm que la divergència és quadràtica. Clarament les
manipulacions que hem fet no tenen sentit quan la integral original és divergent. En aquest cas
haguérem hagut de regularitzar primer les integrals, o be fent les integrals només per a k2 E < Λ2
o be multiplicant l’integrand per un factor FΛ(k) = −Λ2 /(k2 − Λ2 ) M+d/2−N+1 . Aquest darrer
mètode és interessant, perquè amb una parametrització de Feynman addicional per incorporar
el terme (k2 −Λ2 ), les integrals es poden reduir utilitzant els mètodes desenvolupats en aquesta
secció. Així i tot el resultat A.51 també ens serà útil per a integrals divergents. Al cap i a la
fi el fet d’haver calculat la integral en una dimensió arbitrària, d, ens ha permés obtenir una
expressió analítica i ben definida com a funció de d, de forma que els pols en d = 4 estan perfectament
aïllats. Aquesta observació és la base d’un mètode de regularització extremadament
potent anomenat regularització dimensional que consisteix a definir la teoria de camps en d
dimensions i fer el límit d → 4 només al final després del procés de renormalització.
Alguns casos particularment interessants són
I0N = (−1)Ni (4π) d/2
Γ(N − d/2) 1
, (A.52)
Γ(N) ΔN−d/2 315

Arcadi Santamaria
I1N = (−1)N+1iΓ(3 − d/2)
(4π) d/2
d Γ(N − 1 − d/2)
2 Γ(N)
1
= −d
ΔN−1−d/2 2
En particular per a N = 3, M = 0 la integral és convergent en d = 4
I03 =
Δ
(N − 1 − d/2) I0N . (A.53)
−iΓ(3 − d/2)
2(4π) d/2
Δ−3+d/2 d→4
=⇒ −i
2(4π) 2 . (A.54)
Δ
De vegades tindrem integrals amb índexs Lorentz per reduir aquestes integrals una relació molt
útil és
d (d) k f(k 2
)kμkν = d (d) k f(k 2 ) k2
d gμν , (A.55)
on f(k 2 ) és una funció escalar arbitrària que només depen del quadrimoment k, com per exemple
els integrands que estem considerant en IMN, i s’obté tenint en compte que, per covariància
Lorentz, el resultat de la integral només pot dependre de gμν. El coeficient es calcula contraent
índexs i tenint en compte que, en d dimensions, g μ μ = d. En la pràctica, aquesta relació implica
que dins d’aquest tipus d’integrals sempre podrem canviar kμkν → gμνk 2 /d.
316

Bibliografia

Bibliografia
Bibliografia bàsica
• MANDL, F., i SHAW, G. (1993): Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984
(Revisat 1993).
• PESKIN, M.E. i SCHROEDER, D.V. (1995), An Introduction to Quantum Field Theory,
Prentice Hall.
• ITZYKSON, C. i ZUBER, J.B. (1980): Quantum Field Theory, McGraw-Hill.
Bibliografia complementària
• BJORKEN, J.D. i DRELL, S.D. (1965), Relativistic Quantum Fields, McGraw-Hill.
• WEINBERG, S. (1995): The Quantum Theory of Fields, Cambrigde University Press.
• RAMOND, P. (1989): Field Theory: A Modern Primer, Addison-Wesley, Second Edition,
1989.
• RYDER, L.H. (1985): Quantum Field Theory, Cambrigde University Press.
319

Índex analític

Índex analític
assimptòtica, llibertat, 223
càrrega efectiva, 290
color, 197
Compton, longitud d’ona, 29
de Broglie, longitud d’ona de, 29
Feynman, diagrames de, 78
Feynman, propagador de, 76
Green, funció de, 76
Klein-Gordon, 19
Polaritatzació de buit, 285
Producte T-ordenat, 77
regularització, 257
regulartització, 274
renormalitzables, 293
Thomson, 232
Ward-Takahashi, identitat de, 285
322

Índex analític
323