VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

una circumferència, el recíproc d’aquest teorema també és cert. Rosen
[Ro1981] en publicà una demostració en un article que constitueix una
deliciosa introducció a l’estudi de l’aritmètica de les corbes el·líptiques.
Una altra contribució remarcable d’Euler a la teoria elemental de
nombres és la relacionada amb el teorema de Wilson. L’any 1770, E.
Waring fou el primer en enunciar que 1 + (p − 1)! sempre és divisible
per p i atribuí aquesta descoberta a Sir John Wilson (1741-1793). En
els manuscrits de Leibniz, es trobà també una afirmació equivalent. El
primer en publicar una demostració de l’anomenat teorema de Wilson
fou Lagrange, que el demostrà a partir del Petit teorema de Fermat.
L’any 1773, Euler publicà una demostració del teorema de Wilson que,
si bé no és del tot completa, és molt interessant. En ella, Euler emprà
per primera vegada una arrel primitiva mòdul p, la qual en el llenguatge
actual correspon a un generador del grup multiplicatiu del cos
finit Fp de p elements. El concepte d’arrel primitiva havia estat introduït
per Lambert, però la denominació d’arrel primitiva és deguda a
Euler. Suposant l’existència d’una tal arrel, a, Euler procedí així per
a demostrar el teorema de Wilson: quan dividim 1, a, a 2 , . . . , a p−2 per
p, obtenim els residus 1, 2, 3, . . . , p − 1, en un determinat ordre. Així,
a (p−1)(p−2)/2 té el mateix residu mòdul p que (p − 1)!. Suposem que
p > 2, i sigui p = 2n + 1. Atès que el residu de a n és −1, aleshores
a n(2n−1) i, per tant, (p − 1)!, tenen residu −1.
L’any 1772, Euler afirmà que no coneixia cap regla general per al
càlcul d’arrels primitives mòdul p, però en calculà una taula per a tot
primer p ≤ 41.
En les Disquisitiones Arithmeticæ , Gauss donà dues demostracions
de l’existència d’arrels primitives mòdul un nombre primer i demostrà
que un mòdul m admet arrels primitives si, i només si, m és igual a
2, 4, p α , 2p α , on p denota un primer senar.
Un resultat curiós diu que si Fn = 22n+1 és primer (n ≥ 1), aleshores
3 és una arrel primitiva per a Fn.
Una conjectura no demostrada, formulada per Emil Artin, afirma
que tot enter a = −1, no quadrat, és una arrel primitiva per a infinits
primers. Una forma més precisa d’aquesta conjectura, deguda també
a Artin, diu que si a = b n per a n > 1, i si νa(N) indica el nombre de
9