expressions algebraiques - McGraw-Hill

Recordes què és…?
Expressió algebraica
És una combinació de nombres
i lletres relacionats mitjançant
operacions aritmètiques.
Propietat distributiva
de la multiplicació
respecte de la suma
Si a, b i c són tres nombres
qualssevol, es compleix que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Multiplicació de potències
El resultat de multiplicar
potències d’igual base és una
potència la base de la qual
és la mateixa i l’exponent és la
suma dels exponents.
an · am m + n = a
Divisió de potències
El resultat de dividir potències
d’igual base és una potència
la base de la qual és la mateixa
i l’exponent és la diferència
dels exponents.
am – n = am
n a

EXPRESSIONS
ALGEBRAIQUES
L’Àlgebra és la branca de les Matemàtiques
en què es fan servir lletres per a representar
relacions aritmètiques. De la mateixa
manera que en l’Aritmètica, les operacions
fonamentals de l’Àlgebra són l’addició,
la sostracció, la multiplicació i la divisió.
L’Aritmètica, no obstant això, no és capaç
de generalitzar les relacions matemàtiques,
com el teorema de Pitàgores, que diu
que en un triangle rectangle la suma dels
quadrats dels catets és igual al quadrat
de la hipotenusa. L’Aritmètica només dóna
casos particulars d’aquesta relació,
per exemple, 3, 4 i 5, ja que 3 2 + 4 2 = 5 2 .
L’Àlgebra, per contra, pot donar
una generalització del tipus: a 2 + b 2 = c 2 .
L’Àlgebra es considera l’idioma
de les Matemàtiques, i per això ha anat
evolucionant al llarg del temps gràcies
a l’estudi de molts matemàtics.
Els objectius d’aquesta Unitat són:
• Expressar algebraicament enunciats
verbals simples.
• Dominar la jerarquia d’operacions
aritmètiques i aplicar-la en operacions
amb expressions algebraiques.
5

82
5 EXPRESSIONS
WEB
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
Interpretacion_expresiones_
algebraicas_d3/indice.htm
Activitats interessants
per a familiaritzar-se
amb l’ús de lletres com una
generalització dels nombres,
visualitzant les operacions
algebraiques elementals.
A més, hi trobarem activitats
interactives per a treballar
altres aspectes del tema:
valors numèrics, identitats…
1
http://www.juntadeandalucia.
es/averroes/iesdiegogaitan/
departamentos/departamentos/
departamento_de_matemat/
recursos/algebraconpapas/
recurso/index.htm
Pàgina de José Antonio Ortega
amb activitats interactives molt
interessants per a treballar
tots els conceptes de la unitat.
CD
A la pestanya Activitats/
Unitat 1 trobaràs l’activitat
Relació unitat 5,
per a repassar el llenguatge
algebraic.
Exercicis
ALGEBRAIQUES.
EL LLENGUATGE ALGEBRAIC
L’Àlgebra és la branca de les Matemàtiques que es basa en l’ús de nombres i
lletres per a representar relacions aritmètiques. Per exemple, per a expressar
l’àrea d’un rectangle de costats a i b es té:
b
a
Si a = 6 cm i b = 4 cm, l’àrea és 6 × 4 = 24 cm 2 .
Àrea = costat × costat
A = a × b
Observa que hem generalitzat l’expressió del càlcul de l’àrea d’un rectangle
mitjançant lletres. Cada lletra representa un costat.
Les expressions algebraiques, o llenguatge algebraic, s’utilitzen per a expressar
una situació qualsevol o per a generalitzar propietats matemàtiques.
Exemples:
1 Si en una llibreria el preu d’un llibre és x euros
i el de cada bolígraf és 7 € menys, expressa algebraicament
el que costen:
a) Quatre llibres.
b) Deu bolígrafs.
c) La meitat del que costen sis llibres.
d) Cinc llibres més tres bolígrafs.
e) Cinc llibres amb un descompte de 3 €.
f) Dos bolígrafs i sis llibres.
g) Tres bolígrafs i dos llibres.
h) Sis llibres i un bolígraf.
a) Si considerem que x és la capacitat en litres d’un embassament, expressem
el doble d’aquesta capacitat com 2x i la meitat com x
2 .
b) L’àrea d’un cercle s’expressa com · r 2 , on r representa el radi del cercle.
L’Àlgebra és la branca de les Matemàtiques que es basa en l’ús de nombres
i lletres per a representar relacions aritmètiques.
Una expressió algebraica és la combinació de nombres i lletres relacionats
mitjançant operacions aritmètiques per a expressar una situació qualsevol
o per a generalitzar propietats matemàtiques.
2 Si x és un nombre natural, escriu les expressions
algebraiques que representen:
a) El doble d’aquest nombre.
b) La tercera part d’aquest.
c) El seu cub.
d) El seu anterior.
e) El seu posterior.
f) El seu triple més tres unitats.
g) La meitat del seu triple.
h) El quàdruple més quatre unitats.
i) El doble del seu posterior.

2
VALOR NUMÈRIC
D’UNA EXPRESSIÓ ALGEBRAICA
L’expressió algebraica següent descriu la suposada despesa que puc fer en
una fruiteria en funció del nombre de quilos de tomàquets que compri i si
demano el lliurament a domicili:
Tomàquets Comanda a domicili
2 €/kg 1 €
2x + 1
Anomenem x la quantitat de tomàquets que compro. L’expressió algebraica
associada a aquesta situació és: 2x + 1.
En substituir x per un nombre i fer operacions s’obté un altre nombre, que
s’anomena valor numèric de l’expressió algebraica. En el cas que siguin dos
quilos, és a dir, si x = 2:
2x + 1 = 2 · 2 + 1 = 5 €. El valor numèric és 5 €.
El valor numèric d’una expressió algebraica s’obté calculant les operacions
aritmètiques d’aquesta expressió i substituint les lletres per nombres.
Fixa’t bé en els exemples següents:
a) Si x = 2, el valor numèric de 3x 2 – 2x es: 3 · 2 2 – 2 · 2 = 8.
b) Si el costat d’un quadrat és 3 cm, la seva àrea és A = l · l = 3 · 3 = 9 cm 2 .
c) Si x = –2, el valor numèric de 2x 2 és: 2 · (–2) 2 = 2 · 4 = 8.
Valor numèric d’una expressió algebraica és el resultat que s’obté quan
se substitueixen les lletres de l’expressió per nombres.
Exercicis
3 Calcula el valor numèric de les expressions
algebraiques següents per als valors que es donen:
a) 12x + y si x = 2, y = 3
b) xy
si x = 3, y = 4
3
c) (2x) 2 si x = 2
d) a2 – b
si a = 4, b = 6
a
e) 1
3 x 2 + 2y si x = 3, y = 2
4 Troba l’expressió algebraica que representa
l’àrea de la fi gura següent i calcula’n el valor
numèric, sabent que les bases mesuren 5 cm i que
l’altura dels dos triangles és 7 cm.
h
1,9 /kg
2,3 /kg
b b
h
2 /kg
1,6 /kg
WEB
http://descartes.cnice.mecd.es/
materiales_didacticos/potencia/
index.htm
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
Potencias_y_raices/potencias2.
htm
Pàgines amb activitats per
a repassar les propietats de les
potències, que les introdueix
amb exemples per a obtenir-ne
l’expressió algebraica.
http://descartes.cnice.mecd.es/
materiales_didacticos/enteros2/
opcombin.htm
Activitats per a repassar
la jerarquia d’operacions.
83

84
5 MONOMIS
Tingues en compte
En el monomi x 2 y
el coefi cient és 1, no 0.
Defi nició
3
En un polinomi, el terme
que no té part literal s’anomena
terme independent.
Un polinomi format per dos
termes s’anomena binomi.
Si està format per tres termes
s’anomena trinomi.
WEB
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
Polinomios/monomios.htm
Activitats interactives per
a la classifi cació i operacions
de monomis.
http://www.mismates.net/
modules.php?name=Encyclope
dia&op=list_content&eid=1
Pàgina de Francisco Burzy
que pretén arribar a ser un
diccionari de les matemàtiques
que es veuen a l’ensenyament
secundari. L’alumne
pot investigar quines
de les defi nicions d’aquest
tema hi ha en aquest diccionari
i completar-les.
Exercicis
I POLINOMIS
Les expressions algebraiques que estan formades només per la multiplicació
de nombres, lletres o nombres i lletres s’anomenen monomis.
Per exemple, 1
2x y 4Îx , no són monomis.
Són monomios: 3x 2 , 4x, 7x 2y 3 .
En cada monomi hi ha una part numèrica que anomenem coefi cient, i una part
expressada amb lletres que s’anomena part literal. Cadascuna de les lletres
d’un monomi s’anomena variable. La suma dels exponents de les variables
que formen la part literal és el grau del monomi.
Els monomis que tenen la mateixa part literal s’anomenen monomis semblants.
Per exemple:
5 Assenyala quants termes hi ha en cadascuna
de les expressions algebraiques següents. En cas
de ser polinomis, concreta de quin tipus són:
a) 3mn 2 b) 3y 2 + 2xy – 1
c) 5
x + 1 d) 4ab – 2b + a
2
e) 7x 2z + z + 2 f) 2ya
En el monomi: –7x 2y 3 es té:
— Coefi cient: –7
— Part literal: x 2y 3
— Grau: 2 + 3 = 5
— –7x 2y 3 és semblant a –2x 2y 3 .
— –7x 2y 3 no és semblant a 6x 3y 2 .
Un polinomi és una expressió algebraica formada per sumes o restes de monomis
no semblants anomenats termes. El grau d’un polinomi és el grau més
alt dels monomis que el formen.
Per exemple, el polinomi P(x)= 3x 2 – 2x + 5, té tres termes i el seu grau és 2.
Un monomi és una expressió algebraica formada per la multiplicació de
nombres, lletres o nombres i lletres.
El coefi cient d’un monomi és la part numèrica d’aquest.
La part d’un monomi expressada amb lletres s’anomena part literal.
El grau d’un monomi és la suma dels exponents de la part literal.
Dos monomis són semblants si tenen la mateixa part literal.
Un polinomi és una expressió algebraica formada per sumes o restes de
monomis no semblants anomenats termes.
El grau d’un polinomi és el més alt dels graus dels monomis que el formen.
6 Descriu aquestes expressions algebraiques
(monomi, binomi, trinomi, etc.), i indica la part
literal, el coefi cient i el grau de cada terme:
a) 9a 3b 4 + 3 b) 4y 2z 3 – 5y
c) 8z + y – 2y 5 d) 3 4 m
4
e) 7a + 4b 2a – 2b + 1 f) x

4
A
B
OPERACIONS AMB MONOMIS
Els monomis són les expressions algebraiques més senzilles. És important
conèixer com s’hi fan les operacions.
SUMA I RESTA DE MONOMIS
Dos monomis només es poden sumar o restar si tenen la mateixa part literal,
és a dir, han de ser semblants. Per a obtenir-ne el resultat se sumen o resten
els coefi cients i es manté igual la part literal.
Exemples:
— 7x + 2x = 9x: «7 vegades un nombre més 2 vegades aquest mateix nombre
és 9 vegades aquest mateix nombre, és a dir, 9x».
— 10n + 3n – n = 12n
— 5a2 + 3a2 – 2a2 = 6a2 .
— 7x + 2y: aquesta suma de monomis no es pot fer perquè no tenen la
mateixa part literal, no són termes semblants.
Pot donar-se el cas que els coefi cients siguin fraccions. La suma entre els
coefi cients haurà de fer-se com una suma de fraccions.
1 3 5
x + x =
2 4 4 x
1 3 2 3 5
+ = + =
2 4 4 4 4
MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE MONOMIS
Per a multiplicar o dividir monomis no cal que les parts literals siguin iguals.
El resultat en aquests casos sempre serà un monomi.
La multiplicació es fa de la manera següent:
1. Es multipliquen entre si els coefi cients tenint en compte els signes dels
coefi cients.
2. Per a obtenir la part literal, es multipliquen les parts literals dels monomis.
Exemple 1
a) 2x 2 · 4x 3 · x = 2 · 4 · x 2 + 3 + 1 = 8x 6
b) –2a · 5a 3 · b = –2 · 5 · a · a · a · a · b = –10a 4 b
Regla dels signes
+ · + = +
– · – = +
+ · – = –
– · + = –
+ : + = +
– : – = +
+ : – = –
– : + = –
Refl exiona
Fixa’t bé en les parts literals:
No és el mateix 7x3y2 que 7x2y3 :
7x3y2 = 7 · x · x · x · y · y
7x2y3 = 7 · x · x · y · y · y
Sí que és el mateix x · y
que y · x per la propietat
commutativa de la multiplicació.
Tingues en compte
Si dins d’una suma o resta
hi ha algun monomi
no semblant, no s’operarà
i quedarà tal com està
en el resultat.
12y + 3y + x = 15y + x
WEB
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
Polinomios/monomios.
htm#opmon
Activitats per a practicar
les operacions amb monomis.
85

86
5
WEB
http://clic.xtec.net/db/act_
es.jsp?id=2205
Paquet d’activitats a Clic
propostes per Antonio
Francisco Devesa Botella,
Carmen Gutiérrez Vargas,
Fernando López Juárez i Rosa
Fargueta Calatayud per a
introduir el llenguatge algebraic
i exercitar les operacions
amb monomis i polinomis.
http://www.jesuitasperu.
org/almacen/archivos/arch171-
Polinomios%203.htm
A la secció de recursos
trobarem interessants enllaços
relacionats amb monomis
i polinomis.
Exercicis
7 Troba el resultat de les operacions amb monomis
següents:
a) 5z + 6z + z
b) 10x 2 – 7x 2 + x 2
c) 6yx + 4xy + yx
d) 2n2m + 3n2m e) 3
x – 2x + x
4
f) a2 + 3a2 + 9ab
8 Fes la multiplicació dels monomis següents:
a) 5x 2 · 3x b) 3b2 · 1
2 b
c) 2a 2 · a · 5a d) 4y · (–4)y 2
e) 4y · 2y 2 f) 6a 3 · 2a
Per a fer la divisió, els passos que cal seguir són:
1. Es divideixen entre si els coefi cients tenint en compte el seu signe.
2. Per a obtenir la part literal, es divideixen les parts literals dels monomis,
tenint en compte com es fan les operacions amb potències.
Exemple 2
a) 2a 3 : 6a = 2a3
6a
2
= a
6
3 – 1 = 2
a
6
2 = 1
a
3
2
b) 10x 4y 3 : (–2)x 2y 3 = 10
x
–2
4 – 2y 3 – 3 = –5x 2 · y 0 = –5 · x 2 · 1 = –5x 2
c) 4b3
2b
= 2 · 2 · b · b · b
2b
Dos monomis només es poden sumar o restar si tenen la mateixa part
lite ral, és a dir, han de ser semblants. Per a obtenir el resultat se sumen o
resten els coefi cients i es manté igual la part literal.
Per a multiplicar monomis, es multipliquen entre si els coefi cients tenint
en compte els signes, i la part literal s’obté multiplicant les parts literals
dels monomis.
Per a dividir monomis, es divideixen els coefi cients tenint en compte el
seu signe, i la part literal s’obté dividint les parts literals dels monomis.
9 Indica quines d’aquestes igualtats són correctes
i quines són incorrectes. Raona la teva resposta:
a) 3a + a = 4a2 b) 5x + x + x = 7x
c) 1
2 x 2 + 1
2 x 2 = x 2
d) 2n2 + 3n2 – 5n2 = 0
e) 3zy + 5zy = 8yz
f) 5x 2 + 2x = 7x 3
10 Fes la divisió dels monomis següents:
a) 24a4
6a 2
c) 12m2
15m
e)
= 2 · b · b = 2b 2
12y 5
6y 2
b) 4ab
2b
d) –9x 2 y 2
3x
f) 6y 8 x
3x 3 y

5
A
OPERACIONS AMB POLINOMIS
Fer les operacions amb polinomis és molt senzill si es domina el càlcul amb
monomis.
SUMA I RESTA DE POLINOMIS
Per a sumar polinomis, se sumen entre si els termes semblants.
Exemple 3
Si P(x) = 3x 2 + 10x – 7 y Q(x) = 2x 2 – 6x + 5
P(x) + Q(x) = (3x 2 + 10x – 7) + (2x 2 – 6x + 5)
3x 2 + 10x – 7
2x 2 – 6x + 5
P(x) + Q(x) = 5x 2 + 4x – 2
Per a restar polinomis, els passos que cal seguir són:
Pas 1. S’ordenen els termes del polinomi de més gran a més petit en funció
del grau.
Pas 2. Restar és sumar l’oposat, després es canvien els signes del polinomi
subtrahend.
Pas 3. Se sumen els termes semblants dels polinomis.
Exemple 4
Exercicis
P(x) = 6x 3 + 5x – 7x 2 + 7 Q(x) = 2x 3 – 6x 2 + 3x – 2
P(x) – Q(x) = (6x 3 + 5x – 7x 2 + 7) – (2x 3 – 6x 2 + 3x – 2)
11 Donats els polinomis:
A(x) = 12x 6 + 6x 4 + 3x + 2
B(x) = 4x 6 – 4x 4 + 2
C(x) = 4x 4 – 5x 3 + x – 1
Calcula les operacions següents:
a) A(x) + B(x) + C(x) b) A(x) – B(x)
c) B(x) + A(x) d) C(x) – A(x)
6x 3 – 7x 2 + 5x + 7
– 2x 3 + 6x 2 – 3x + 2
P(x) – Q(x) = 4x 3 – x 2 + 2x + 9
3a + a
4ab + ab
6ax + x
12 Fes la suma o resta dels polinomis:
a) 1 3
4 z 2 + 6z 2 + 5z 3 – 3z2 + 1 1
2 z 2 + 4z 3 + z2
b) (3n 5 – 4n 2 + 5) – (2n 5 + 6n 2 + 3)
c) (m 3 + 3m + 7) – (m 3 – 2m + 1)
d) (y 10 + 3y 3 – y) + ((y 5 ) 2 – 4y 2 + 5y + 8)
Recorda
No és 3a 2
Sí és 4a
No és 4a 2 b 2
Sí és 5ab
No és 6ax 2
No són
monomis
semblants.
No es poden
sumar.
WEB
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
Polinomios/polinomios1.
htm#suma
Activitats interactives per a les
operacions amb polinomis.
http://www.ejercitando.
com.ar/teormate/
suma%20de%20polinomios.htm
Activitats de suma de polinomis
acompanyades de les seves
propietats.
87

88
5 MULTIPLICACIÓ
Recorda
a · (b + c) = a · b + a · c
WEB
Exemple 5
Exercicis
B
http://thales.cica.es/rd/Recursos/
rd99/ed99-0453-02/ed99-0453-
02.html
En aquesta pàgina, Ignacio
del Pino ens proporciona
una interessant calculadora
per a operar amb polinomis.
http://www.fi sicanet.com.ar/
matematica/m2_polinomios.php
En aquesta pàgina hi ha
exercicis per a practicar
les operacions amb polinomis.
13 Calcula les multiplicacions següents i redueixne
al màxim el resultat:
a) (–z) 2 · (z 3 + z 2 – 5z) b) 7y · (6y 2 + 3y – 3)
c) (–2m) 2 · (3m 2 + 2m) d) x 6 · (2x 2 – 4x + 3)
e) 3x · 1 1
x + x 22 3
DE POLINOMIS
Multiplicació d’un monomi per un polinomi
Per a multiplicar un monomi per un polinomi s’hi aplica la propietat distributiva
de la multiplicació respecte de la suma.
En l’exemple, 3a · (a2 + 3a + 1) cal multiplicar el monomi «3a» per cadascun
dels termes del polinomi. S’opera com una multiplicació normal entre monomis:
es multipliquen els coefi cients respectant el seu signe i es multipliquen
les parts literals:
3a · (a2 + 3a + 1) = 3a · a2 + 3a · 3a + 3a · 1 = 3a3 + 9a2 + 3a
Multiplicació de dos polinomis
Per a obtenir el resultat de la multiplicació de dos polinomis caldrà multiplicar
cadascun dels monomis del primer polinomi per cadascun dels monomis
del segon polinomi. Posteriorment, ens fi xem si en el resultat es poden sumar
monomis semblants per reduir el més possible l’expressió del polinomi
resultant.
Si A(x) = 3x + 4x 3 + 1 i B(x) = x + 2, calcularem A(x) · B(x)
Pas 1. S’ordenen els polinomis col . locant els termes de més gran a més petit segons el grau.
A(x) = 4x 3 + 3x + 1 B(x) = x + 2
Pas 2. Es col . loquen els dos polinomis un sota de l’altre. Si falta algun terme en el polinomi
que se situa sobre, es posa zero o s’hi deixa un espai.
4x 3 + 3x + 1
x + 2
Pas 3. Es multiplica cada monomi del segon factor per tots els termes del primer, i s’hi colloquen
adequadament els graus per després sumar-los. Finalment, se sumen els termes semblants.
4x 3 + 3x + 1
x + 2
8x 3 + 6x + 2 A(x) · B(x) = 4x 4 + 8x 3 + 3x 2 + 7x + 2
4x 4 + 3x 2 + x
4x 4 + 8x 3 + 3x 2 + 7x + 2
1
f)
3 x · (9x 2 + 27)
14 Tenint en compte els polinomis:
A(x) = 5x 5 + 3x 4 – 4x 2 + 1
2 x – 2 B(x) = 3x 2 + x – 2
C(x) = 7x – 10x 2 + 10 D(x) = 1
5 x 2 + 2x + 2
Calcula:
a) A(x) · B(x) b) –A(x) · C(x) c) C(x) · B(x)
d) B(x) · C(x) e) A(x) · C(x) f) D(x) · C(x)
g) D(x) · B(x) h) –D(x) · B(x) i) A(x) · (–D(x))

6
A
B
C
IDENTITATS NOTABLES
Hi ha multiplicacions entre binomis que es poden expressar de manera senzilla
sense necessitat d’operar pel procediment habitual. Aquestes multiplicacions
s’anomenen identitats notables.
QUADRAT DE LA SUMA DE DOS MONOMIS
El quadrat d’una suma (a + b) 2 = (a + b) · (a + b) és la multiplicació de dos binomis,
i el seu resultat és a2 + 2ab + b2 . Ho comprovarem fent la multiplicació
entre els polinomis esmentats tal com hem après:
(a + b) 2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Per exemple:
(2x + 3) 2 = (2x + 3) · (2x + 3) = (2x) 2 + 2 · 2x · 3 + 32 = 4x 2 + 12x + 9
QUADRAT DE LA DIFERÈNCIA DE DOS MONOMIS
En el cas d’una diferència ocorre el mateix, però el resultat en aquest cas és:
(a – b) 2 = (a – b) · (a – b) = a 2 – ab – ba + b 2 , i agrupant termes semblants tenim
el resultat:
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
Per exemple:
(7 – 5x) 2 = (7 – 5x) · (7 – 5x) = 72 + 2 · 7 · (–5x) + (–5x) 2 = 49 – 70x + 25x 2
PRODUCTE D’UNA SUMA DE DOS MONOMIS
PER LA SEVA DIFERÈNCIA
En aquest cas, el producte seria (a + b) · (a – b), i el resultat és a2 – b2 . Ho comprovem
fent la multiplicació:
(a + b) · (a – b) = a2 – a · b + b · a – b2 = a2 – b2 Per exemple:
Exercicis
(a + b) · (a – b) = a 2 – b 2
(6x + 2) · (6x – 2) = (6x) 2 – 2 2 = 36x 2 – 4
15 Calcula les identitats notables següents:
a) (x + 2) 2 b) (2x – 3) 2
c) (3x 2 – 4x) 2 d) (x + 2) · (x – 2)
e) 1 2 2
x – 32 3
f) (2x – 5) · (2x + 5)
WEB
http://www.comenius.usach.cl/
webmat2/conceptos/encontexto/
productos_notables_contexto.
htm
Interessants comentaris
històrics i geomètrics sobre
les identitats notables.
http://sipan.inictel.gob.pe/
internet/av/pnotable.htm
Interessants explicacions
interactives de les identitats
notables.
a + b
a + b
ab + b2 a2 + ab
a2 + 2ab + b2 a – b
a – b
–ab + b2 a2 – ab
a2 – 2ab + b2 a + b
a – b
–ab – b2 a2 + ab
a2 – b2 Recorda
Recorda
Recorda
16 Indica si les igualtats següents són certes:
a) (5x + 8) 2 = 5x 2 + 82 b) 1 1
2 y + 2z2 · 1 1 1
y + 2z2
=
2 4 y 2 – 4z 2
c) (3m – m2 ) 2 = 9m2 – 6m3 + m4 89

90
5
EXERCICIS RESOLTS
+ · + = +
– · – = +
+ · – = –
– · + = –
1 Fes l’operació següent: (–2)x 2 · (x – 2 + 3x 2 )
(–2)x 2 · (x – 2 + 3x 2 )
A(x) B(x)
El signe negatiu pertany al coefi cient del monomi. No s’ha de confondre amb
una resta.
1) S’ordena el polinomi col . locant els termes de més gran a més petit segons
el grau.
A(x) = –2x 2 B(x) = 3x 2 + x – 2
2) Es col . loquen els dos factors un sota de l’altre. Si algun grau no existeix s’hi
deixa un espai.
3x 2 + x – 2
–2x 2
3) Es multiplica el monomi per tots els termes del polinomi i s’hi col . loquen
adequadament els graus.
3x 2 + x – 2
– 2x 2
A(x) · B(x) = –6x 4 – 2x 3 + 4x 2
2 Resol aquesta operació entre polinomis:
1
2 x · 1 2
5 x 2 + 3x + 22
1
2 x · 1 2
5 x 2 + 3x + 22
A(x) B(x)
Recorda que per a la multiplicació de fraccions, no cal buscar el denominador
comú.
1) S’ordena el polinomi col . locant els termes de més gran a més petit segons
el grau.
A(x) = 1
2
x B(x) =
2 5 x 2 + 3x + 2
2) Es col . loquen els dos factors l’un sota de l’altre. Si algun grau no existeix
s’hi deixa un espai.
2
5 x 2 + 3x + 2
1
2 x

3) Es multiplica el monomi per tots els termes del polinomi, i s’hi col . loquen
adequadament els graus.
2
5 x 2 + 3x + 2
1
2 x
A(x) · B(x) = 1
5 x 3 + 3
2 x 2 + x
3 Fes l’operació següent entre polinomis:
1 6x 3 + 3x 2 + 1
2 x2 · (x 3 – 2x + 7)
A(x) B(x)
1) S’ordenen els polinomis col . locant els termes de més gran a més petit segons
el grau.
A(x) = 6x 3 + 3x 2 + 1
2 x B(x) = x 3 – 2x + 7
2) Es col . loquen els dos polinomis l’un sota de l’altre. Si hi falta algun grau
del polinomi que es col . loca sobre, s’hi posa zero o s’hi deixa un espai en
blanc.
6x 3 + 3x 2 + 1
2 x
x 3 – 2x + 7
3) Es multiplica cada terme del segon factor per tots els termes del primer
factor, i s’hi col . loquen adequadament els graus. Es fa després la suma dels
termes semblants.
6x 3 + 3x 2 + 1
2 x
6x 6 + 3x 5 + 1 4 x
2
x 3 – 2x + 7
42x 3 + 21x 2 + 7
2 x
–12x 4 – 6x 3 – x 2
6x 6 + 3x 5 – 23
2 x 4 + 36x 3 + 20 x 2 + 7
2 x
A(x) · B(x) = 6x 6 + 3x 5 – 23
2 x 4 + 36x 3 + 20 x 2 + 7
2 x
91

92
5
EXERCICIS PROPOSATS
Expressions algebraiques. El llenguatge algebraic
1 La variable x representa un nombre natural.
Ex pres sa en funció d’aquest:
a) El seu quàdruple.
b) El doble del seu posterior.
c) La meitat del seu anterior més quatre unitats.
2 Expressa algebraicament els enunciats següents:
a) Les dues terceres parts del quadrat d’un nombre.
b) El quadrat del doble d’un nombre.
c) El triple d’un nombre més tres.
d) El triple d’un nombre, més tres.
3 Expressa algebraicament l’àrea del dibuix:
c
a
4 Expressa algebraicament el valor de la diagonal
següent:
a
Valor numèric d’una expressió algebraica
d
5 Troba el valor numèric de les expressions algebraiques
següents:
a) x 2 + 2x; si x = 2
b) x 2 + 2x + mx; si x = 1, m = –1
c) 2m + mx; si x = 2, m = 1
2
d) xy – x 3 ; si x = 4, y = 3
b
b
h
c
— 2
c
— 2
6 Copia en el teu quadern i completa la taula
següent indicant el valor numèric de cada expressió:
x 3 – x
6x – x2
2
x · (10 – 6x)
2 · (x – 1) – 3
x = –1 x = 0 x = 1
2
x = 2
7 La velocitat d’un cos en moviment ve defi nida
per l’expressió següent: v = e
, on v és el valor de la velo-
t
citat esmentada, e l’espai recorregut i t el temps que ha
estat en moviment. Si un cos ha recorregut 500 metres
en 30 segons, quina és la seva velocitat?
8 Escriu les expressions algebraiques següents de
manera que quedin ordenades de més petita a més gran
en funció del seu valor numèric a x = –3.
a) x 2 + 2x – x
b) 3x 2 + 10x
c) x 3 + 2x – 7
9 Troba el valor numèric en cada cas:
a) m2 + nx – m + 7; si m = 4, n = –1, x = 2
b) 2xy – x + y 2 + 2y; si x = 3, y = 5
c) 7m – 1
2 x 2 – 12; si m = 2, x = 2
d) 8y 3 – 7y 2 + y – 2; si y = –2
e) x 2 + 2xy + y 2 ; si x = 3, y = –2
Monomis i polinomis
10 Explica amb les teves pròpies paraules el signifi
cat dels termes:
a) Monomi. b) Polinomi.
c) Terme. d) Coefi cient.
e) Binomi. f) Factor.

11 Classifi ca les expressions algebraiques següents,
i indica el coefi cient i la part literal de cadascun dels monomis.
Quants termes té cadascun?
a) 12x 2y + 15y – 2 b) –2nm3 + 1
2 x
c) x 2 + x – 2 d) 3
5 x 2yz e) –x 2 y
2
+ 1 f) 3
5 ym5 – x
12 Classifi ca les expressions següents i digues quin
és el coefi cient i quina és la part literal de cada monomi.
a) – x 2yz 2 b) (2xy)2 + x + 1
2
c) 3
2 x
xy + 5 d) mnx +
4 2
– 4
5
13 Descriu els polinomis següents, i indica el nombre
de termes que el componen i quins són els coefi -
cients i les parts literals de cadascun.
a) A(x) = 64x 3 + 24x 2
b) B(x) = 6x + 3x – 5x – 4
c) C(x) = 8x – 28x 3 + 6x 3 – 49x 5 – 20
d) D(x) = 6x + 3x – 6x – 4
14 Són certes les afirmacions següents? Raonales.
a) La part literal del terme independent és x.
b) El coefi cient del monomi xy2 és zero.
c) Tots els binomis estan compostos per dos monomis.
d) Dos termes d’un polinomi són semblants si tenen la
mateixa part literal.
Operacions amb monomis
15 Quines condicions han de complir dos monomis
perquè es puguin sumar o restar? Ocorre el mateix en el
cas de multiplicar o dividir monomis?
16 Redueix al màxim les expressions següents:
a) x 2 + 3x + 5x 2 – x + 2 b) 2x 5 – x 2 + 7x 2 – x 5 – 1
c) 2x 3 – x 3 + 2 d) x 2 – 7x 2 + 30
17 Calcula:
a) 6x 2 + 3x 2 b) 5y 2 + y 2
c) m 3 + 10m 3 + 3m 3 d) –9x 6 + 3x 6 – x 6
18 Opera els monomis següents:
a) (7x) · y b) (2x 5 ) · x 2
c) (–2x 2 ) · x d) 1 3y 2
4 2 · y
19 Fes les operacions següents:
a) (2z)3
1 — z
2
b)
+ 3z 2
3
– — xy
4
+
1
— xy
4
1
4 xy
c) 2z · z 2
d) –2m3
3
· (3m)2
m 2
e) 3m · m 3 – m 4
20 Opera:
7xy + 2xy
a)
2xy
b) 2x · (5x + x 2 ) – x 3 + 5x 2
c) 1 7
xy2
· (2xy)
2
d) 4x 3 + 5x 3
e) –6m 2 + m 2
21 Són certes les igualtats següents?
1
a) 1 –
2 xy2 · (2x 2y) = –x 3y 1
– — m
b)
2
4
= 1
1 2 — m
4
c) x 2 · y 2 · z 2
= x
xyz
3y 3z 3
d) 6x + 2x 2 – 6x · 2x 2 = 0
93

94
5
EXERCICIS PROPOSATS
22 Copia en el teu quadern i uneix les columnes:
1 2 xy
2
–5
8ab + b
4m 2
No és un monomi.
23 Contesta si és verdader o fals:
Encara que té igual variable no
es pot sumar amb 3m.
La part literal d’aquest monomi
no existeix.
El coefi cient d’aquest monomi
és un nombre fraccionari.
a) Un monomi amb coefi cient negatiu no es pot multiplicar
per un altre.
b) El resultat de la multiplicació entre dos monomis és
sempre un altre monomi.
c) Per a sumar dos monomis, els coefi cients han de ser
iguals.
d) A l’hora de dividir polinomis, primer es divideixen els
coefi cients i després, la part literal.
e) Per a multiplicar monomis, les parts literals han de ser
semblants.
24 Calcula mentalment:
a) 7mx 2 + x 2 m – 5x 2 m
b) 6y + 4y – 10y
c) 4x 2 + x 2 + 5x 2
d) 2 · (4xm + 5xm)
Operacions amb polinomis
25 Fes la suma o resta dels polinomis següents:
a) (2x + 3x 2 + 2) + (4x 2 + 2x + 1)
b) (5m 2 + 3m + m 3 ) + (2m 2 + 2m – m 3 )
c) (3x 2 + 2x 4 + 3x) – (–x 2 + x 4 + 2x)
d) (2x 3 – 2) – (3x 3 – 2x + 2)
26 Opera:
a) 10x · (6x 2 + 3x)
b) 6x 2 · (x 2 + x 4 + 3x 4 )
c) 3x 2 · (2x + 3x 2 – x)
d) 5x · (3x 2 –1)
27 Fes la multiplicació dels polinomis següents:
a) (3x + 2x 2 + 7) · (4x – 2x 2 + 3)
b) (2x 3 + x) · (5x 2 – 2x + 3)
c) (–3x 2 + 2) · (5x 2 + x 3 + 2)
d) (2x – 2) · (3x + 3)
e) (3x 4 – 2x + 5) · (x 2 – x)
28 Fes les operacions següents:
a) 31 1 2
x 22 – 2x
2 3 – x4 + (x 4 + 3x 3 + 2x)
3 x
b) 1 2 + x 2 + 3
52 – 1 –x 3 – 2x 2 + 3
42
c) 2(x + y) – 1 1
x – y + 3
2 2
2 x 1
d) –
3 3 x 2 + 2
e) 1
4 y 5 – 2
4 y 5 + y 2 + 3 y 4 + 3
4 y 5 – y 5
29 Opera:
a) 3
8 m(m + n2 ) + mn2 b) 1 –4x 2 + 1
3 xy – 22 · 1 1
2 x 2 – xy + 22
c) [4(x + y) – 3x – y] · (2x + y)
d) [3(a · b) 2 + 2] · (x – 2y)
30 Opera i redueix al màxim les expressions següents:
a) 5x · (x + 2) – x 2
b) x 2 · (x + 1) + x 2
c) xy + 3y · (x + y)

31 Fes les operacions següents entre polinomis:
a) 1 y 3 – 1
3 y2 · 1 y 2 + 1
2 y2
b) 2 · (6 – a) + 4a – 6 + a – 4 – 6a – 4
c) 12x · 1 2
3
x2 2
– 6x · (–2x) 2 + 2x 2
d) 3
4 x · (–4x 2 1
) · 1 – x 22
3
–
2 2 x · (–x 2 )
32 Fes les operacions següents i redueix al màxim
l’expressió algebraica resultant.
a) 4 · (x + b) + (–2) · (x + b)
b) 10 · (2 – 4x) – 6 · (4x – 2)
c) 3(x 2 – 1) – 1 1
(x + 2) · (2x + 1)
2 2
d) (3x + 2) 2 + 3x 3 – 10x – 2
33 Donats els polinomis A(x) = x 2 + 4x + 4 i B(x) =
= 2x 2 + x – 2, comprova que la multiplicació de polinomis
compleix la propietat commutativa, és a dir, A(x) · B(x) =
= B(x) · A(x).
34 Opera:
a) 3x · (4xy + 2x) – 2 · 1 x 2 y + 1
2 x2
b) (5x 2 + 3x + 2) · (4x – 3) – x 3 + 5x 4
c) (3x 2 y + yx 2 – y) – 1 1
2 y + 3x 2 + 4x 42
d) (4a 2 – b 2 ) · (b 2 + a) – (a 3 + 2b 4 ) · 3
Identitats notables
35 Què són les identitats notables? Explica-ho ajudant-t’hi
amb exemples.
36 Troba les identitats notables següents i comprova
que, operant de la forma habitual, s’obté el mateix
resultat.
a) (3x 2 + 2) 2 b) (4m2 – 2m) · (5m2 + 3m)
c) (5 – y 2 ) 2 d) (5x – 2) 2
e) (x – 4) · (x + 4) f) (2a – 2) 2
37 Són certes les igualtats següents?
a) (5a2b + 2) 2 = (5a2b) 2 + 20a2b + 4
(2 + x)2
b) = 2 + 2x + x
2
c) (xy – 3x) · (xy + 3x) = x 2 y 2 – 9x 2
d) (x 2 + 1) · (x 2 – 1) = x 4 – 1
38 Simplifi ca les expressions:
a) x 2 + 2x + 1
x + 1
b)
(a + b) · (–b + a)
a 2 – b 2
c) 9x 2 – 100
3x – 10
d)
25 – 2x + x 2
(5 – x) 2
39 Basant-te en les identitats notables factoritza les
expressions següents:
a) a 2 + 2ax + x 2 b) 4a 2 + 4a + 1
c) 81 – 4x 2 d) 9 – 6y + y 2
40 Opera tenint en compte les identitats notables:
a) 49a2 – 25
8a – a + 5
+ 5a
b) (64 – 16xy + x 2 y 2 ) · (8 – xy)
(8 – xy) 3
4x 4 – 2x 3 + 3x 2 – 2x + 5
+ 3 2 – 5x – x – 2x
4x 4 + 3x 3 + 2x 2 + 5
(x + 5) 2 = x 2 + 10x + 25
(2a + 3b)(2a – 3b) =
= 4a 2 – 9b 2
95

96
5
CD
A la pestanya Activitats/
Unitat 1 trobaràs l’activitat
Resposta múltiple unitat 5,
per a repassar els conceptes
més importants.
CD
A la pestanya Mapa
del CD/Jocs matemàtics
trobaràs la fi txa El regal
de l’oncle Andreu,
per a repassar la unitat.
PER A REPASSAR
EN GRUP
Elabora amb el teu grup de treball un esquema amb els conceptes següents
de la Unitat i posa’n un exemple de cadascun.
CONCEPTE DEFINICIÓ
Àlgebra
Branca de les Matemàtiques que es basa en l’ús de símbols i lletres
per a representar relacions aritmètiques.
Expressions
algebraiques
Valor numèric d’una
expressió algebraica
Monomi
És la combinació de nombres i lletres relacionats mitjançant
operacions aritmètiques per a expressar una situació qualsevol
o per a generalitzar propietats matemàtiques.
És el resultat que s’obté quan se substitueixen les lletres de
l’expressió per nombres.
És una expressió algebraica formada per la multiplicació de
nombres, lletres o nombres i lletres.
Coefi cient És la part numèrica d’un monomi.
Part literal És la part d’un monomi expressada amb lletres.
Grau d’un monomi És la suma dels exponents de la part literal.
Polinomi
Operacions amb
monomis
Identitats notables
És una expressió algebraica formada per sumes o restes de monomis
no semblants.
— Suma
— Resta
— Multiplicació
— Divisió
Quadrat d’una suma:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Quadrat d’una diferència:
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
Producte de suma per diferència:
(a + b) · (a – b) = a 2 – b 2

CURIOSITATS,
JOCS I DESAFIAMENTS
FIXA-T’HI BÉ I ENCERTA!
Quin és el producte de la sèrie següent?
(x – a) · (x – b) · (x – c) … (x – z)
El resultat de la sèrie és «0», perquè té el terme (x – x), que anul . la tot el
producte.
APLICANT LÒGICA AMB LES FITXES DEL REVÉS
Les fi txes del revés tenen la mateixa forma que les fi txes del joc de dames,
però amb una cara blanca i l’altra negra. En una taula hi ha un nombre «x»
de fi txes del revés. Només 10 tenen la seva cara blanca cap per amunt. Ens
trobem davant la taula amb els ulls embenats, i el nostre objectiu és dividir
totes les fi txes en dos grups, de manera que en cada grup hi hagi el mateix
nombre de fi txes amb el costat blanc cap per amunt. Òbviament, no es poden
mirar les fi txes.
Com podem assolir l’objectiu?
Simplement, cal treure 10 fi txes i donar-los la volta. Suposem que les 10 fi txes
separades són b blanques i (10 – b) negres. En donar-los la volta, el nou
conjunt tindrà (10 – b) blanques i b negres. A la pila originalment n’hi havia
10 de blanques i (x – 10) de negres. Per tant, com que en retirem 10 fi txes, de
les quals b són blanques, en quedaran (10 – b) de blanques.
DESAFIAMENT MATEMÀTIC
Posant valors a les variables
Has de col . locar els valors en els llocs que fi guren les variables perquè es
verifi quin els resultats horitzontals i verticals.
8 × c + f = 12
+ + +
a × d + g = 10
– × +
b × e × h = 12
= 10 = 8 = 16
97