SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

L. Pancorbo Palenzuela
MATEMÀTIQUES
ANNEX
Prova d'accés
Cicles Formatius de FP. Grau Superior
Aquest annex inclou els continguts que guren en el nou temari
de la prova d'accés per al curs 2010-2011 i que no estaven
contemplats en el temari anterior.
Els continguts nous s'han inclòs a l'índex del llibre destacats en
vermell i amb el número de la pàgina corresponent a l'annex.

© VICENS VIVES
Í
N
D
E
X
I. Aritmètica i àlgebra
1. Conjunts numèrics pàg. 2
1. Revisió dels conjunts dels nombres naturals, enters i
racionals.
2. Els nombres irracionals.
3. El conjunt dels nombres reals.
4. Estimació i aproximació de quantitats.
1. Expressions polinòmiques amb una indeterminada.
2. Operacions amb polinomis.
A. Nombres combinatoris. Binomi de Newton. (pàg. 4)
3. Algoritme de Ruffini.
4. Teorema del residu.
5. Arrels i factorització d’un polinomi.
5. Potències i radicals.
6. Notació científica.
7. Logaritmes.
Problemes resolts. Activitats. Exercicis de les
proves d’accés.
2. Polinomis pàg. 26
6. Fraccions algèbriques.
7. Operacions amb fraccions algèbriques.
Problemes resolts. Activitats. Exercicis de les
proves d’accés.
3. Equacions pàg. 44
1. Equacions de primer i segon grau amb una incògnita.
2. Equacions polinòmiques de grau més gran que dos.
3. Equacions irracionals.
4. Sistemes d’equacions.
5. Resolució de sistemes d'equacions lineals.
B. Sistemes de segon grau amb dues incògnites. (pàg. 6)
Successions pàg. 44
C. Successions de nombres reals. (pàg. 7)
D. Progressions aritmètiques. (pàg. 8)
E. Progressions geomètriques. (pàg. 11)
II. Geometria
1. Mesures d’angles. Unitats.
2. Raons trigonomètriques d’un angle agut.
3. Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol.
4. Relacions fonamentals entre les raons
trigonomètriques.
F. Successions monòtones i successions fitades. (pàg. 14)
G. Límit d’una successió. (pàg. 15)
4. Trigonometria pàg. 70
1. Necessitat dels nombres complexos.
2. Nombres complexos.
3. Notació i representació gràfica dels nombres
complexos.
5. Resolució de triangles rectangles.
6. Resolució de triangles no rectangles.
7. Escales.
Problemes resolts. Activitats. Exercicis de les
proves d’accés.
5. Nombres complexos pàg. 92
1. El pla com a conjunt de punts.
2. Vectors.
3. Components d'un vector.
4. Producte escalar.
5. Equacions de la recta.
6. Equacions exponencials i logarítmiques.
7. Resolució de problemes.
8. Interès simple i interès compost.
Problemes resolts. Activitats. Exercicis de les
proves d’accés.
4. Operacions en forma binòmica.
5. Operacions en forma trigonomètrica i polar.
Problemes resolts. Activitats. Exercicis de les
proves d’accés.
6. Vectors al pla pàg. 108
6. Posició relativa de dues rectes.
7. Distàncies.
Problemes resolts. Activitats. Exercicis de les
proves d’accés.

III. Funcions i gràfiques
7. Funcions (I) pàg. 128
1. Concepte de funció.
2. Funcions reals de variable real.
3. Propietats globals d'una funció.
4. Funcions polinòmiques: funcions lineals i funcions
quadràtiques.
8. Funcions (II) pàg. 146
1. Límit d'una funció en un punt.
2. Límit d'una funció en l'infinit.
3. Càlcul de límits.
4. Continuïtat d'una funció.
11. Estadística bidimensional pàg. 204
1. Distribucions bidimensionals.
2. Diagrama de dispersió o núvol de punts.
3. Correlació.
12. Probabilitat pàg. 218
1. Experiments aleatoris.
2. Esdeveniments.
3. Operacions amb esdeveniments.
4. Probabilitat simple.
5. Propietats de la probabilitat.
5. Càlcul d'asímptotes.
Problemes resolts. Activitats. Exercicis de les
proves d’accés.
9. Derivades pàg. 164
1. Taxa de variació d'una funció.
2. Concepte de derivada.
3. Càlcul de derivades.
4. Interpretació geomètrica de la derivada. Recta tangent.
5. Creixement i decreixement.
6. Màxims i mínims relatius.
IV. Estadística i probabilitat
5. Funcions racionals i funcions irracionals.
6. Funcions exponencials i funcions logarítmiques.
7. Funcions definides a trossos.
Problemes resolts. Activitats. Exercicis de les
proves d’accés.
7. Gràfiques de funcions senzilles.
H. Gràfiques de funcions exponencials i
logarítmiques. (pàg. 18)
8. Problemes d'optimització.
Problemes resolts. Activitats. Exercicis de les
proves d’accés.
10. Estadística unidimensional pàg. 186
1. Població i variables estadístiques.
2. Recompte i presentació de dades. Taules de
freqüències.
3. Gràfics estadístics.
4. Paràmetres de centralització.
I. Quartils i centils. (pàg. 20)
5. Paràmetres de dispersió.
Problemes resolts. Activitats. Exercicis de les
proves d’accés.
4. Rectes de regressió.
Problemes resolts. Activitats. Exercicis de les
proves d’accés.
6. Probabilitat composta.
7. Teorema de la probablitat total.
Problemes resolts. Activitats. Exercicis de les
proves d’accés.
Annex: Repàs de geometria elemental pàg. 231
© VICENS VIVES

4
© VICENS VIVES
A. NOMBRES COMBINATORIS. BINOMI DE NEWTON
Donats dos nombres naturals m i n tals que m $ 1 i m $ n, es defi-
neix el nombre combinatori 1 2 com:
m
neix el nombre combinatori 1 n 2 com:
m
n
m
El nombre combinatori 1 2
A. Nombres combinatoris. Binomi de Newton
es llegeix m sobre n. El valor superior, m, sol ser
anomenat numerador i el valor inferior, n, ordre del nombre combinatori.
Per exemple:
x
1 2
5
1 2
3
5!
5 · 4 · 3!
20
= = = = 10
3! · 2!
3! · 2!
2
x!
x · (x – 1) · (x – 2) · (x – 3)!
x · (x – 1) · (x – 2)
= = =
3
3! (x – 3)!
3 · 2 · 1 · (x – 3)!
6
Propietats dels nombres combinatoris
Els nombres combinatoris compleixen les propietats següents:
• Propietat 1: 1 2 = m
m
1 2
1
• Propietat 2: 1 2 = m
m
1 2
0
= 1
• Propietat 3: 1 2 = m
m
1 2
n
= m
• Propietat 4: 1 2 + 1 2 = m
m
m + 1
1 2
n
n
m – 1
m
m
n
1 2 = 1 2 =
m – n
n + 1
n + 1
Triangle de Pascal (o de Tartaglia)
m!
n! · (m – n)!
La forma més senzilla de calcular una sèrie completa de nombres combinatoris,
com aquesta:
4
4
4
4
4
1 0
2 1 1
2 1 2
2 1 3
2 1 4
2
consisteix a construir el triangle de Tartaglia o de Pascal fins a la fila corresponent.
És un triangle fàcil d'obtenir:
• Totes les files comencen i acaben en 1.
• La primera fila està formada per dos uns.
• Cadascun dels nombres intermedis de les files inferiors s'obté sumantne
els dos de la fila anterior que es troben situats immediatamente a la
seva esquerra i a la seva dreta.
RECORDA
Anomenem factorial del nombre
natural n, n . 1, i el representem
amb n!, el producte:
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 2 · 1
A més, per definició:
1! = 1 0! = 1
HO SABIES?
Malgrat que el triangle numèric rep
els noms de Tartaglia (1499-1557)
o de Pascal (1623-1662), la seva
existència està datada de molts
anys abans, en les antigues civilitzacions
índia (2000 anys abans de
Pascal) o xinesa (1700 anys abans
de Pascal).
Pascal, però, va fer un ús extens
d'aquest triangle en el càlcul de
probabilitats, i això ha fet que el
seu nom hagi quedat associat al
triangle.

Així, doncs, les quatre primeres files del triangle de Tartaglia són:
1
1
1 1 1 2 1 2
1 2 1
2
2
2
1 2 1 2 1 2
, 0
1
2
3
3
3
3
1 3 3 1 1 2 1 2 1 2 1 2
4
4
4
4
4
1 4 6 4 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
La quarta fila ens permet conèixer fàcilment els valors de la sèrie de nombres
combinatoris que ens interessa:
1 2 = 1 1 2 = 4 1 2 = 6 1 2 = 4 4
4
4
4
4
1 2
0
Expressió de la potència d'un binomi
L'ús dels nombres combinatoris ens permet escriure la fórmula que expressa
la potència d'un binomi. Es tracta del binomi de Newton:
(x + a) n = S
m = 0
n
x n – m a m =
= 1 2 xn + 1 2 xn – 1 a + … + 1 2 xn – m a m + … + 1 2 x an – 1 + 1 2 an
n
n
n
n
n
0
1
m
n – 1
n
Si en lloc de x i a hi figuren unes altres expressions, s'aplica aquesta igualtat
calculant les potències de les expressions corresponents. Per exemple:
• (x + 3y) 4 = x 4 + 4 · x 3 · 3y + 6 · x 2 · (3y) 2 + 4 · x · (3y) 3 + (3y) 4 =
= x 4 + 12x 3 y + 54x 2 y 2 + 108xy 3 + 81y 4
• (2x + y 2 ) 3
= (2x) 3 + 3 · (2x) 2 · y 2 + 3 · 2x · (y 2 ) 2
+ (y 2 ) 3
=
= 8x 3 + 12x 2 y 2 + 6xy 4 + y 6
També podem aplicar el desenvolupament anterior (expressió [1]) per trobar
les successives potències d'una diferència, perquè (x – a) = (x + (–a)):
(x – a) n = 1 2 xn – 1 2 x n – 1 a + 1 2 x n – 2 a 2 – … 6 1 2 x an – 1 n
n
n
n
n
n
6 1 2 a
0
1
1
2
2
1 2
n – 1
Els signes + i – s'alternen i, per tant, l'últim terme serà positiu o negatiu segons
que n sigui parell o senar. Per exemple, (2x – y 2 ) 3
= 8x 3 – 12x 2 y 2 + 6xy 4 – y 6 .
ACTIVITATS
1. Sabem que 1 m
= 15. Quant val m?
22
2. Tenint en compte que 1 m
de m?
32 = 1 m
42
n
m
0
0
3
1
, podem trobar el valor
0
1
2
4
1
2
= 1
3
3
n
4
[1]
3. Escriu les files 7, 8 i 9 del triangle de Tartaglia i utilitzales
per desenvolupar les potències d'exponents 7, 8 i 9
de (x + a).
4. Escriu el desenvolupament de (2x 2 – 3y) 5 .
Segell de Libèria amb una representació
xinesa del triangle de Tartaglia,
anomenat també triangle de
Pascal.
A. Nombres combinatoris. Binomi de Newton
5
© VICENS VIVES

6
© VICENS VIVES
B. SISTEMES DE SEGON GRAU AMB DUES INCÒGNITES
S'anomenen sistemes de segon grau els sistemes que, una vegada simplificats,
tenen almenys una equació de grau dos.
Vegem com es resolen aquests sistemes amb un parell d'exemples.
EXEMPLE 1
x
Resol el sistema: 5
2 x + 4y = 24
3x + y = 14
2 + 4y = 24
3x + y = 14
Aïllem y a la segona equació: y = 14 – 3x
A continuació, substituïm y per 14 – 3x a la primera equació:
x 2 + 4(14 – 3x) = 24 ) x 2 + 56 – 12x = 24 ) x 2 – 12x + 32 = 0
Obtenim una equació de segon grau. En resoldre-la, s'obté x 1 = 8 i x 2 = 4.
Quan se substitueixen aquests valors a l'equació y = 14 – 3x, resulten:
EXEMPLE 2
x
Resol: 5
2 + y 2 x = 106
x · y = 45
2 + y 2 = 106
x · y = 45
x 1 = 8, y 1 = –10 ; x 2 = 4, y 2 = 2
Sumem 2xy als dos membres de la primera equació, amb la qual cosa al
primer membre ens queda el desenvolupament del quadrat d'una suma:
x 2 + y 2 + 2xy = 106 + 2xy ) (x + y) 2 = 106 + 2xy
Però segons la segona equació, xy = 45. Per tant: (x + y) 2 = 196
I extraient l'arrel quadrada: x + y = 614
Per tant, hem de resoldre els sistemes:
x + y = 14 x + y = –14
[1] 5 [2]
xy = 45 5 xy = 45
Per resoldre el sistema [1], aïllem y en la primera equació, y = 14 – x, i
substituïm l'expressió obtinguda en la segona. D'aquesta manera, resulta:
x(14 – x) = 45 ) x 2 – 14x + 45 = 0 ) x 1 = 5 i x 2 = 9
Si x 1 = 5 obtenim y 1 = 9 i si x 2 = 9 obtenim y 2 = 5.
Procedim de manera anàloga per resoldre el sistema [2]. En aquest cas,
les solucions són x 3 = –5, y 3 = –9 i x 4 = –9, y 4 = –5.
Per tant, les solucions del sistema són:
x 1 = 5, y 1 = 9; x 2 = 9, y 2 = 5; x 3 = –5, y 3 = –9; x 4 = –9, y 4 = –5
B. Sistemes de segon grau amb dues incògnites
RECORDA
Els productes notables són:
• (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
• (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
• (a + b) · (a – b) = a 2 – b 2
ACTIVITATS
1. Resol aquests sistemes
de segon grau amb dues in-
cògnites:
a) 5
b) 5
c) 5
d) 5
x 2 + y 2 x = 369
2 + y 2 = 369
x · y = 180
x 2 + y 2 x = 394
2 + y 2 = 394
x – y = 2
2x 2 2x + y = 24
2 + y = 24
x 2 x + y = 8
2 + y = 8
x 2 – y 2 x = 7
2 – y 2 = 7
x 2 x + 2y = 22
2 + 2y = 22
x 2
x
e) 5 2
— + 3y = 0
2
3x – y = 24

C. SUCCESSIONS DE NOMBRES REALS
Una successió de nombres reals és una llista infinita de nombres ordenada
seguint algun criteri.
Per exemple, són successions les llistes de nombres següents:
2, 4, 6, 8, 10, 12, … 2, 3, 5, 7, 11, 13, … 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
Els nombres que formen una successió s'anomenen termes. Ens hi referim
amb una lletra acompanyada d'un subíndex que indica el lloc que ocupa el
terme dins de la successió.
D'aquesta manera, escrivim a 1, a 2, a 3, … per indicar el terme que ocupa el
lloc primer, segon, tercer... de la successió. I escrivim (a n) per referir-nos
breument a la successió completa.
Terme general d'una successió
El terme general d'una successió és una expressió que permet esbrinar
el valor d'un terme sabent el lloc que ocupa a la successió.
Per exemple, a la successió 1, 4, 9, 16, 25, … cada terme és el quadrat del
lloc que ocupa. Per tant, el terme general és a n = n 2 .
A la successió de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … en la qual cada terme, excepte
els dos primers, s'obté sumant els dos termes anteriors, el terme general
és a n = a n – 1 + a n – 2, per a n . 2.
Quan es coneix el terme general d'una successió, es poden trobar els termes
successius, donant a n els valors 1, 2, 3, ...
2n + 1
Per exemple, a la successió amb terme general an = :
n
2 · 1 + 1
2 · 2 + 1 5 2 · 3 + 1 7
a1 = = 3, a2 = = , a3 = = , …
1
2 2
3 3
No totes les successions tenen terme general. Per exemple, no es coneix cap
expressió que doni la successió dels nombres primers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
ACTIVITATS
1. Escriu els tres termes següents de cada una d'aquestes
successions:
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, … c) 1, 3, 6, 10, 15, 21, …
b) – 2, 5, – 8, 11, –14, … d) 256, 128, 64, 32, …
Representació gràfica
d'una successió
Una successió de nombres
reals també es pot definir com
la imatge d'una funció del
con junt lN – {0} en lR:
lN – {0} ! lR
n ! a n
Per representar una successió
numèrica, dibuixem sobre uns
eixos de coordenades els parells
de valors (1, a 1), (2, a 2),
(3, a 3), etc.
Així, a la successió de terme
n
general an = , do-
2 n – 11n + 16
6
2 – 11n + 16
6
nant valors a n, obtenim el següent:
• Per a n = 1, a 1 = 1
• Per a n = 2, a 2 = – 0,33...
• Per a n = 3, a 3 = –1,33...
……
La seva representació gràfica
és la següent:
a n
5
0 5 10
2. El terme general d'una successió és a n = 4n + 3. Troba el
valor de a 25, a 200 i a 500.
3. El terme general d'una successió és a n = 4 1 2 n
els termes a 3, a 5 i a 9.
1
2
n
. Troba
C. Succesions de nombres reals
7
© VICENS VIVES

8
© VICENS VIVES
D. PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES
Una progressió aritmètica és una successió en la qual cada terme s'obté
sumant un nombre fix, anomenat diferència, al terme anterior.
Per exemple, les successions següents són progressions aritmètiques:
• 4, 7, 10, 13, 16, 19, … cada terme s'obté sumant 3 a l'anterior.
• 10, 20, 30, 40, 50, … cada terme s'obté sumant 10 a l'anterior.
• 33, 29, 25, 21, 17, … cada terme s'obté sumant –4 a l'anterior.
Fixa't que en els exemples anteriors cada terme s'obté sumant al terme anterior
un nombre fix.
Si denotem aquest nombre amb d, a les progressions aritmètiques es verifica:
Terme general
D. Progressions aritmètiques
a n = a n – 1 + d, per a n . 1
A partir de la fórmula anterior en podem trobar una altra de més pràctica.
Donant valors a n a partir de 2, s'obté el següent:
Per a n = 2 a 2 = a 1 + d
Per a n = 3 a 3 = a 2 + d = (a 1 + d) + d = a 1 + 2d
Per a n = 4 a 4 = a 3 + d = (a 1 + 2d) + d = a 1 + 3d
Per a n = 5 a 5 = a 4 + d = (a 1 + 3d) + d = a 1 + 4d
…………… ……………………………………………
Per tant, el terme general d'una progressió aritmètica de primer terme a 1 i
diferència d és:
EXEMPLE
a n = a 1 + (n – 1) · d
Troba el terme general a n d'una progressió aritmètica que té com a primer
terme a 1 = –11 i com a diferència, 7. A continuació calcula el novè terme de
la successió.
Substituint les dades en la fórmula anterior, obtenim el terme general:
a n = –11 + (n – 1) · 7 = –11 + 7n – 7 = 7n – 18
Per trobar el novè terme, substituïm n per 9:
a 9 = 7 · 9 – 18 = 63 – 18 = 45
Les progressions són tipus particulars
de successions en les
quals la diferència o el quocient
de cada parell de termes consecutius
és constant.
En el primer cas, parlem de progressions
aritmètiques, i en el
segon, de progressions geomètriques.
Termes equidistants
dels extrems
Si prenem n termes, a 1, a 2, a 3,
…, a n – 2, a n – 1, a n, d'una progressió
aritmètica amb diferència
d, la suma dels termes
equidistants dels extrems és
igual a la suma dels extrems:
a 1 + a n = a 2 + a n – 1 = …
Efectivament:
a 2 = a 1 + d ; a n – 1 = a n – d
Per tant:
a 2 + a n – 1 = a 1 + d + a n – d =
= a 1 + a n
De la mateixa manera:
a 3 = a 1 + 2d ; a n – 2 = a n – 2d
Així doncs:
a 3 + a n – 2 = a 1 + 2d + a n – 2d =
= a 1 + a n
I anàlogament per a la resta
de termes.

Suma dels n primers termes
Ara deduirem una fórmula per a la suma S n dels n primers termes d'una
progressió aritmètica. Podem escriure:
S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n – 2 + a n – 1 + a n
S n = a n + a n – 1 + a n – 2 + … + a 3 + a 2 + a 1
Sumant, i d'acord amb la propietat dels termes equidistants dels extrems,
obtenim la fórmula següent:
Aïllant S n, obtenim la fórmula per a la suma dels n primers termes d'una
progressió aritmètica:
EXEMPLE
9
Calcula la suma dels 20 primers termes de la progressió aritmètica amb
a 1 = 5 i d = 9.
La suma dels 20 primers termes és la següent:
S 20 =
Hem de calcular a 20. Per fer-ho, escrivim el terme general de la progressió
i substituïm n per 20:
a n = 5 + (n – 1) · 9 ) a 20 = 5 + (20 – 1) · 9 = 5 + 19 · 9 = 5 + 171 = 176
Per tant:
n vegades
>= >=
2S n = (a 1 + a an) n) + (a 1 + a an) n) + … + (a 1 + a an) n) + (a 1 + a an) n) = n · (a 1 + a an) n)
ACTIVITATS
Sn = n · (a1 + a
S n)
n =
2
n · (a1 + an) 2
20 · (a 1 + a a20) 20)
2
>; >;
20 · (5 + 176)
S20 = = 1810
2
1. Identifica les progressions arit mètiques:
a) 4, 10, 16, 22, … d) 40; 4; 0,4; 0,04; …
b) –5, –2, 1, 4, … e) 21, 17, 13, 9, …
c) 10; 8,5; 7; 5,5; … f) 2, –1, 2, –1, …
2. En una progressió aritmètica, el primer terme és 8 i la
diferència és – 3. Escriu el terme general i calcula a 11.
3. En una progressió aritmètica, a 3 = 9 i a 6 = 21. Escriu el
terme general i troba a 10 i a 15.
4. Troba la suma dels 100 primers termes de la progressió
aritmètica amb d = 5 i a 1 = – 430.
5. Troba la suma dels 20 primers termes de la progressió
aritmètica que té com a terme general a n = 6n – 4.
6. En una progressió aritmètica, a 1 = 8 i la suma dels quinze
primers termes és 435. Troba la diferència, escriu el
terme general i calcula a 27.
PENSA I RESPON
Troba el nombre de cartes necessari
per construir un castell de cartes
del tipus representat a la figura,
amb 5, 10 i 15 pisos.
Quants pisos tindria un castell format
per 975 cartes?
7. Troba la suma dels 10 primers termes de la progressió
aritmètica amb a 1 = 7 i d = 5.
D. Progressions aritmètiques
9
© VICENS VIVES

10
© VICENS VIVES
Interpolació de mitjans aritmètics
Interpolar n mitjans aritmètics consisteix a intercalar n nombres entre
dos nombres p i q de manera que els n + 2 nombres formin una progressió
aritmètica.
Per interpolar mitjans aritmètics s'ha de calcular la diferència d de la progressió
aritmètica.
Fixa't que a 1 = p i a n + 2 = q. Si utilitzem la fórmula del terme general d'una
progressió aritmètica i posem n + 2 en lloc de n, obtenim:
a n + 2 = a 1 + [(n + 2) – 1] · d ) a n + 2 = a 1 + (n + 1) · d ) d =
Si substituïm a 1 per p i a n + 2 per q, resulta:
EXEMPLE 1
Interpola 3 mitjans aritmètics entre 13 i 37.
Apliquem directament la fórmula amb p = 13, q = 37 i n = 3:
D. Progressions aritmètiques
q – p 37 – 13 24
d = = = = 6
n + 1 3 + 1 4
Per tant, els mitjans aritmètics buscats són 13 + 6 = 19, 19 + 6 = 25 i
25 + 6 = 31.
EXEMPLE 2
d =
En un cinema la distància entre la primera i l'última butaca de cada fila és de
9 m. S'hi vol intercalar 14 butaques. Quina amplada ha de tenir cada butaca?
Suposant que la primera butaca està a p = 0 m i l'última a q = 9 m:
q – p 9 – 0 9
d = = = = 0,6 m
n + 1 14 + 1 15
Per tant, l'amplada de cada butaca serà de 60 cm.
ACTIVITATS
q – p
n + 1
8. Interpola 5 mitjans aritmètics entre –5 i 14.
1
9. Interpola 6 mitjans aritmètics entre 1 i .
2
10. Si entre els nombres 15 i 23 s'interpolen 3 mitjans aritmètics,
quina serà la diferència de la progressió?
a n + 2 – a 1
n + 1
11. Dos xiprers estan a una distància de 108 m. En línia
recta amb ells s'hi volen intercalar cinc pins de manera
que cada arbre quedi a la mateixa distància dels arbres
contigus. A quina distància del primer xiprer s'han de
plantar els pins?
Els nombres que s'intercalen
entre els extrems s'anomenen
mitjans aritmètics o mitjans diferencials.

E. PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES
Una progressió geomètrica és una successió en la qual cada terme
s'obté multiplicant per un nombre fix, anomenat raó, el terme anterior.
Per exemple, són progressions geomètriques les següents:
• 6, 18, 54, 162, … cada terme s'obté multiplicant per 3 l'anterior.
• 64, 32, 16, 8, 4, … cada terme s'obté multiplicant per 0,5 l'anterior.
• 0,1; 0,01; 0,001; … cada terme s'obté multiplicant per 0,1 l'anterior.
Fixa't que en els exemples anteriors cada terme s'obté multiplicant el terme
anterior per un nombre fix. Si denotem aquest nombre amb r, a les progressions
geomètriques es verifica:
Terme general
a n = a n – 1 · r, per a n . 1
A partir de la fórmula anterior en podem trobar una altra de més pràctica.
Donant valors a n a partir de 2, s'obté el següent:
Per a n = 2 a 2 = a 1 · r
Per a n = 3 a 3 = a 2 · r = (a 1 · r) · r = a 1 · r 2
Per a n = 4 a 4 = a 3 · r = (a 1 · r 2 ) · r = a 1 · r 3
Per a n = 5 a 5 = a 4 · r = (a 1 · r 3 ) · r = a 1 · r 4
…………… ……………………………………
Per tant, el terme general d'una progressió geomètrica de primer terme a 1 i
raó r és:
EXEMPLE
a n = a 1 · r
1
Troba el terme general an d'una progressió geomètrica de raó i que té
2
com a primer terme a 1 = 32. A continuació, calcula el setè terme.
Substituint les dades a la fórmula anterior, obtenim el terme general:
n – 1
1
an = 32 · 1 2
Per trobar directament el setè terme, substituïm n per 7:
1
2
a 7 = 32 · 1 2 7 – 1
n –1
2
= 32 · = 1 1 1
64 2
El creixement teòric de les poblacions
es pot aproximar per mitjà
de progressions geomètriques.
Termes equidistants
dels extrems
Si prenem n termes, a 1, a 2, a 3,
..., a n – 2, a n – 1, a n, d'una progressió
geomètrica amb raó r,
el producte dels termes equidistants
dels extrems és igual
al producte dels extrems:
a 1 · a n = a 2 · a n – 1 = ...
Efectivament:
a n
a 2 = a 1 · r ; a n – 1 = — r
Per tant:
an a2 · an – 1 = a1 · r · — = a1 · an r
De la mateixa manera:
a n
a 3 = a 1 · r 2 ; a n – 2 = — r 2
Així doncs:
an a3 · an – 2 = a1 · r 2 · — = a1 · an r 2
I anàlogament per a la resta
de termes.
E. Progressions geomètriques
11
© VICENS VIVES

12
© VICENS VIVES
Suma dels n primers termes
Ara deduirem una fórmula per a la suma S n dels n primers termes d'una
progressió geomètrica de raó r:
E. Progressions geomètriques
S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n– 2 + a n– 1 + a n
Multipliquem tots dos membres de la igualtat per la raó r. Obtenim:
S n r = a 1 r + a 2 r + … + a n – 2 r + a n – 1 r + a n r =
= a 2 + a 3 + … + a n – 1 + a n + a n r
Restant aquesta última igualtat de l'anterior, obtenim el següent:
S n – S n r = a 1 + a 2 + … + a n – 1 + a n – a 2 – a 3 – … – a n – 1 – a n – a n r )
) S n (1 – r) = a 1 – a n r )
Com que a n = a 1 r n –1 , substituint a la fórmula anterior obtenim una altra expressió
de la suma dels n primers termes d'una progressió geomètrica:
EXEMPLE
)
Calcula la suma dels 10 primers termes de la progressió geomètrica amb
a 1 = 5 i r = 2.
La suma dels 10 primers termes és la següent:
Suma dels infinits termes
S10 = = 5115
1 – 2
Si la raó r verifica que –1 , r , 1, el valor r n s'aproxima cada vegada més a
zero quan n creix. Per tant, es compleix el següent:
La suma dels infinits termes d'una progressió geomètrica la raó r de la
qual verifica –1 , r , 1 és:
EXEMPLE
Sn = a1 – a1 r n
Sn =
1 – r
a1 – a1 r n
1 – r
5 · (1 – 2 10 5 · (1 – 2 ) 10 )
S` = a1 S` = a1 1 – r
Sn = a1 · (1 – r n )
Sn =
1 – r
a1 · (1 – r n )
1 – r
Calcula la suma dels infinits termes de la progressió geomètrica amb a 1 = 12
i r = 0,6.
12 12
S` = = = 30
1 – 0,6 0,4
Sn = a1 – an r
Sn =
1 – r
a1 – an r
1 – r
Producte dels n primers
termes
El producte P n dels n primers
termes d'una progressió geo -
mètrica és:
P n = 6œ w(a 1 · a n) n
El signe de l'arrel depèn de si
al producte hi ha un nombre
parell de factors negatius (signe
+) o un nombre imparell
(signe –). Si tots els factors són
positius, el signe de l'arrel és
positiu.
ACTIVITATS
1. Quines de les següents
successions són progres-
sions geomètriques?
a) 2, 6, 10, 14, …
b) – 3, 6, –12, 24, …
1
c) 25, 5, 1, , …
5
d) 9; 0,9; 0,09; 0,009; …
2. En una progressió geomètrica,
el primer terme és
1
12 i la raó és . Escriu el
2
terme general i calcula a 3
i a 5.
3. Troba la suma dels sis
primers termes de la pro-
gressió geomètrica de raó
2 i primer terme 4.
4. Troba la suma dels infinits
termes de la progres-
sió geomètrica de primer
1
terme 8 i ra ó .
2

Interpolació de mitjans geomètrics
Interpolar n mitjans geomètrics consisteix a intercalar n nombres entre
dos nombres p i q de manera que els n + 2 nombres formin una progressió
geomètrica.
Per interpolar mitjans geomètrics s'ha de calcular la raó r de la progressió
geomètrica.
Fixa't que a 1 = p i a n + 2 = q. Si utilitzem la fórmula del terme general d'una
progressió geomètrica i posem n + 2 en lloc de n, obtenim:
an + 2 = a1 · r (n + 2) – 1 = a1 · r n + 1 ) r n + 1 n + 1
= ) r = œ w
a n + 2
a n + 2
a 1
a 1
Si substituïm a 1 per p i a n + 2 per q resulta:
EXEMPLE 1
Interpola 4 mitjans geomètrics entre 3 i 9375.
La progressió geomètrica tindrà 4 + 2 termes. Calculem la raó r utilitzant
la fórmula anterior:
n + 1
r = œ w q
=
p
Els termes de la progressió són:
4 + 1
œ w = 5 9375
3
œw3125 = 5
œw5 5 = 5
3 ; 3 · 5 = 15 ; 15 · 5 = 75 ; 75 · 5 = 375 ; 375 · 5 = 1875 ; 1875 · 5 = 9375
Per tant, els mitjans geomètrics interpolats són 15, 75, 375 i 1 875.
EXEMPLE 2
27
Interpola 4 mitjans geomètrics entre œw3 i .
32
Com en l'exemple anterior, la progressió geomètrica tindrà 4 + 2 termes.
Calculem la raó r:
n + 1
r = œ w q
=
p
Els termes de la progressió són:
n + 1
r = œ wq q
p
4 œ+ 1
27
32
œw3
ß =
œw3
2
œw3
3
3
œw3
3œw3
3œw3
œw3
9
œw3 ; œw3 · = ; · = ; · = ;
2 2
2
2 4 4 2 8
9
8
œw3
9œw3
· =
2 16
9œw3
œw3
27
; · =
16 2 32
3
3œw3
9
Per tant, els mitjans geomètrics interpolats són , ,
2
4 8
9œw3
i .
16
Els nombres que s'intercalen entre
els extrems s'anomenen mitjans
geomètrics o mitjans proporcionals.
ACTIVITATS
5. Interpola tres mitjans
geomètrics entre 8 i 10 368.
6. Interpola quatre mitjans
1
geomètrics entre i – 16.
2
7. Interpola sis mitjans geo -
mètrics entre œw5 i 625.
8. Una empresa cobra
10 ? per excavar el primer
metre de túnel. Per cadas-
cun dels següents metres
de túnel excavats, cobra el
preu del metre anterior mul-
tiplicat per un factor cons-
tant. Per l'onzè metre exca-
vat ha cobrat 1 729,95 ?.
Determina quant s'ha pa-
gat per cadascun dels me-
tres intermedis.
E. Progressions geomètriques
13
© VICENS VIVES

14
© VICENS VIVES
F. SUCCESSIONS MONÒTONES I SUCCESSIONS FITADES
Successions monòtones
Una successió (a n) n) és creixent si cada terme és més petit o igual que el
següent:
Anàlogament, diem que una successió és decreixent si cada terme és més
gran o igual que el següent:
a 1 $ a 2 $ a 3 $ … $ a n $ a n + 1 $ …
Si les desigualtats són estrictes parlem de successions estrictament creixents
o estrictament decreixents.
En tots aquests casos diem que la successió és monòtona.
La representació gràfica d'una successió ens ajuda a veure quina n'és la ten -
dència.
Successions fitades
Una successió (a n) n) està fitada superiorment si existeix un nombre real
M tal que, per a tot n, es compleix que a n # M. Diem que el nombre M
és una fita superior de la successió.
Per exemple, a la successió representada al marge, per a tot n es verifica que
a n # 5. Per tant, la successió està fitada superiorment i 5 és una fita superior.
Una successió (a n) n) està fitada inferiorment si existeix un nombre real M
tal que, per a tot n, es compleix que a n $ M. Diem que el nombre M és
una fita inferior de la successió.
Per exemple, a la successió representada al marge, per a tot n es verifica que
a n $ 1. Per tant, la successió està fitada inferiorment i 1 és una fita inferior.
Ara ja podem definir successió fitada:
a 1 # a 2 # a 3 # … # a n # a n + 1 # …
Una successió és fitada si està fitada superiorment i inferiorment.
En aquest cas, existeix un nombre real M tal que, per a tot n, es compleix
que |a n| # M.
Per exemple, la successió del marge està fitada. Una fita superior és 10 i una
fita inferior és 0. Es compleix que, per a tot n, |a n| # 10.
F. Successions monòtones i successions fitades
10
5
0 5 10
Successió creixent.
10
5
a n
Successió decreixent.
10
0 5 10
5
a n
Successió fitada superiorment.
10
5
a n
0 5 10
Successió fitada inferiorment.
10
0 5 10
5
a n
a n
0 5 10
Successió fitada.
n
n
n
n
n

G. LÍMIT D'UNA SUCCESSIÓ
Successions amb límit finit
El nombre real L és el límit d'una successió (a n) n) si a n s'aproxima cada
vegada més a L a mesura que n pren valors cada vegada més grans.
S'escriu:
És a dir, si L és el límit de (a n), la diferència |a n – L| s'aproxima a 0 tant com
es vulgui, prenent n prou gran.
4n – 2
Considera, per exemple, la successió an = .
n + 1
4 · 1 – 2 2
Per a n = 1, obtenim a1 = = = 1.
1 + 1 2
Si procedim anàlogament, obtenim:
a 100 = 3,94... ; a 1 000 = 3,994... ; a 10 000 = 3,999...
Fixa't que, a mesura que augmenta el valor de n, els valors de a n s'aproxi-
men cada vegada més a 4. Diem que 4 és el límit de la successió a n =
i escrivim:
Successió convergent
lim an = 4
n ! `
Una successió (a n) n) és convergent si té com a límit un nombre real L.
4n – 2
Per exemple, la successió an = és convergent, perquè té com a límit el
n + 1
nombre 4.
Unicitat del límit d'una successió
lim a n = L
n ! `
El límit d'una successió, si existeix, és únic.
4n – 2
n + 1
Efectivament, suposem que la successió (a n) té dos límits diferents, L 1 i L 2,
amb L 1 , L 2.
A partir d'algun valor de n s'hauria de verificar que a n pertany a un entorn
de centre L 1 i a un entorn de centre L 2 tan petits com es vulgui, cosa que és
contradictòria.
Per tant, L 1 i L 2 no poden ser diferents. Així doncs, el límit de a n, si existeix,
és únic.
Èudox i el límit
Per determinar les àrees o els
volums de figures curvilínies,
els matemàtics grecs inscrivien
i circumscrivien figures
rectilínies i multiplicaven el
nombre de costats o de cares
indefinidament per aproximar
cada vegada més la figura rec -
tilínia a la curvilínia.
Tanmateix, fins a Èudox de
Cnidos (aproximadament 408-
355 a.C.) no sabien com tancar
el raonament.
Èudox introdueix el concepte
de tan petit com es vulgui, que
equival al modern pas al límit.
Gràficament, que la successió
sigui convergent de límit L, significa
que, per a qualsevol valor
de ´ . 0, hi ha un terme de la
successió a partir del qual tots
estan a la franja (L – ´, L + ´).
L + ´
L
L – ´
a n
G. Límit d'una successió
n
15
© VICENS VIVES

16
© VICENS VIVES
Successions amb límit infinit
Si una successió (a (an) n) pot prendre valors tan grans com es vulgui prenent
n prou gran, diem que té límit més infinit, i escrivim en aquest
cas:
n
n
0 5 10
Per exemple, la successió an = té límit +`, perquè per a qualsevol nombre
2 n
La successió a n = – té límit +`.
2
positiu M, es verifica que an . M, a partir d'un cert valor de n.
Si una successió (a (an) n) pot prendre valors tan petits com es vulgui prenent
n prou gran, diem que té límit menys infinit, i escrivim en aquest
cas:
n
Per exemple, la successió an = – té límit –`, perquè per a qualsevol nom-
2
bre negatiu M, es verifica que a n , M, a partir d'un cert valor de n.
Successió divergent
Una successió (a (an) n) és divergent si es compleix que lim
lim a n = –`.
n ! `
Successions oscil·lants
Les successions que no tenen límit s’anomenen successions oscil·lants. Poden
donar-se dos casos:
• Si la successió no té límit i és fitada, aleshores la successió té oscil·lació
finita. Per exemple, la successió 1, –1, 1, –1, 1, –1, … és oscil·lant amb
oscil·lació finita (gràfic inferior esquerre).
• Si la successió no té límit i no és fitada, aleshores la successió té os -
cil·la ció infinita. Per exemple, la successió 1, –1, 2, –2, 3, –3, … és
oscil·lant amb oscil·lació infinita (gràfic inferior dret).
1
0
–1
a n
5 10 15
G. Límit d'una successió
lim a n = +` +`
n ! `
lim a n = –` –`
n ! `
n
5
1
–1 1 5
–5
a n
a
n ! `
n = +`, o bé,
n ! `
n = +`, o bé,
n
10
8
6
4
2
–8
a n
a n
0
–2
5 10
–4
–6
–10
n
La successió a n = – – té límit –`.
2
n

Propietats de les successions monòtones i fitades
Qualsevol successió monòtona creixent i fitada té límit, que és la més
petita de les seves fites superiors.
En efecte, suposem que L és la més petita de les fites superiors de la successió
(a n).
Considerem un entorn qualsevol (L – ´, L + ´) de centre L, on ´ . 0 és tan
petit com vulguem.
Aleshores, hi ha d'haver algun terme de la successió, per exemple a h, que verifiqui
L – ´ , a h , L, perquè, si no, L – ´ seria fita superior i, per tant, L no
seria la més petita de les fites superiors.
En conseqüència, el terme a h pertany a l'entorn (L – ´, L + ´). Com que la
successió (a n) és creixent, els termes següents, a h + 1, a h + 2, a h + 3, …, també
pertanyen a l'entorn (L – ´, L + ´).
Per tant, L és el límit de la successió (a n).
De la mateixa manera, es pot veure que:
Qualsevol successió monòtona decreixent i fitada té límit, que és la més
gran de les seves fites inferiors.
ACTIVITATS
1. Quines de les successions següents són convergents?
Quin n'és el límit?
n + 5
–3n + 1
a) an = d) an =
n n
2
n + 5
–3n + 1
n n
2
n
b) an = e) an =
n 2 4n – 2
n
n + 1
n + 1
2 4n – 2
n + 1
+ 1
n + 2
c) an = f) an =
n
2. Esbrina quina és la diferència entre el límit de la suc-
3n + 1
cessió an = i el valor de a10 000.
n + 1
3. Troba el valor absolut de la diferència entre el límit de
n
la successió an = i el valor del terme a100. 2 n + 4
2 + 4
4. Representa gràficament la successió 1, –2, 3, –4, 5, … i
explica si té límit. Quin nom reben aquest tipus de suc-
cessions?
–n 2
–n 2
n 2
n 2
n + 2
5. Representa gràficament els deu primers termes de la
successió a n = 3n – 7 i raona si és convergent o diver-
gent.
6. Representa gràficament la successió a n = (–1) n · 1 2 n
digues de quin tipus és. Té límit?
7. Escriu tres successions d'oscil·lació finita.
8. Escriu tres successions d'oscil·lació infinita.
9. La successió 3, 3, 3, 3, … és constant. Té límit? En cas
afirmatiu, quin és?
10. Posa un exemple:
a) D'una successió monòtona fitada superiorment i el
límit de la qual no sigui el valor d'un terme de la
successió.
b) D'una successió el límit de la qual coincideixi amb el
valor d'algun terme de la successió.
Successió de Fibonacci
L'any 1202, Leonardo de Pisa,
conegut com a Fibonacci, va
publicar l'obra més important
de l'àlgebra medieval, el Liber
abbaci.
En aquest llibre, que tracta
principalment de matemàtica
comercial, es planteja un problema
que dóna lloc a la successió
que duu el seu nom.
Segell de Dominica que commemora
el 800 aniversari de la
publicació del Liber abbaci.
1
2
G. Límit d'una successió
i
17
© VICENS VIVES

18
© VICENS VIVES
H. GRÀFIQUES DE FUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES
8
Per fer l'estudi i representació gràfica de funcions exponencials i logarítmi-
ques, seguim els passos habituals de l'estudi i representació gràfica de fun-
cions: domini, punts de tall amb els eixos, continuïtat, asímptotes i branques
infinites, creixement i decreixement i màxims i mínims relatius.
Vegem-ne un parell d'exemples:
EXEMPLE 1
Estudia i representa gràficament la funció f (x) = e – x – e x .
• Dom (f ) = lR, perquè les funcions exponencials f 1 (x) = e – x i f 2 (x) = – e x
tenen domini lR, per tant, la seva suma també.
• L'únic punt de tall amb els eixos és (0, 0).
• És simètrica respecte de l’origen, perquè f (– x) = e x – e –x = – f (x).
• No és periòdica.
• És una funció contínua en lR perquè f 1 (x) = e – x i f 2 (x) = – e x ho són, per
tant, la seva suma també.
• No té asímptotes.
La funció té una branca infinita quan x ! +`, perquè es verifica que
f (x) = (e – x – e x ) = (– e x lim lim
lim ) = –`.
x ! +` +`
Anàlogament, la funció f té una branca infinita quan x ! –`, perquè
f (x) = (e – x – e x ) = e – x lim lim
lim = +`.
x ! –` –`
• f 9(x) = – e – x – e x ; f 9(x) = 0 ) –e – x – e x = 0
Aquesta equació no té solució, perquè – e – x – e x = –(e – x + e x ) , 0 per a
tot x real, perquè e x . 0 i e – x . 0, per a tot valor real de x. Per tant, no
hi ha màxims ni mínims relatius.
Com que f 9(x) , 0 per a tot x real, la funció f és decreixent en lR.
Tenint en compte les característiques estudiades, dibuixem la gràfica de
la funció:
x ! +` +`
x ! –` –`
x ! +` +`
x ! –` –`
H. Gràfiques de funcions exponencials i logarítmiques
Y
1
0 1
X
RECORDA
Les característiques de la funció
exponencial f (x) = a x , amb a . 0 i
a fi 1 són:
• Dom (f ) = lR.
• Im (f ) = (0, +1).
• La seva gràfica passa per (0, 1).
• És contínua en el seu domini.
• y = 0 és asímptota horitzontal.
• És creixent si a . 1 i decreixent
si 0 , a , 1.
f(x) = ( 1 –– 2 )
–3 –2 –1 0
–1
1 2
Y
4
3
x f(x) = 2x
2
1
X

EXEMPLE 2
Estudia i representa gràficament la funció f (x) = ln (x 2 + 1).
• Dom (f ) = lR, perquè x 2 + 1 . 0 per a tot x [ lR.
• Im (f ) = [0, +`), perquè com que x 2 + 1 $ 1 és per a tot x [ lR, es verifica
que f (x) = ln (x 2 + 1) $ ln 1 = 0.
• La funció f talla els eixos de coordenades en el punt (0, 0).
• És simètrica respecte de l'eix d'ordenades, perquè f (–x) = ln [(– x) 2 + 1] =
= ln (x 2 + 1) = f (x).
• La funció no és periòdica.
• És contínua en el seu domini.
• No té asímptotes. La funció té dues branques infinites perquè es verifica
que lim f (x) = lim f (x) = +`.
x ! –` –`
x ! +` +`
2x
• f 9(x) = ; f 9(x) = 0 ) = 0 ) 2x = 0 ) x = 0
x 2 2x
x + 1
2 2x
x + 1
2 2x
+ 1
x 2 + 1
Per a x = 0, f (0) = 0. Per tant, el punt (0, 0) és un mínim relatiu.
Tenint en compte les característiques estudiades, dibuixem la gràfica:
ACTIVITATS
1. Sigui f(x) = x 2 · e x .
Y
1
0
(–`, 0) (0, +`)
signe de f 9(x) – +
f (x) és: decreixent creixent
a) Troba'n el domini, els punts de tall amb els eixos i les
asímptotes.
b) Determina'n els intervals de creixement i decreixe-
ment i els extrems relatius.
c) Esbossa la gràfica de la funció.
1
X
2. Sigui f (x) = ln (5 – x 2 ).
RECORDA
Les característiques de la funció
logarítmica f (x) = log a x, amb a . 0
i a fi 1, són:
• Dom (f ) = (0, +1).
• Im (f ) = lR.
• La seva gràfica passa per (1, 0).
• És contínua en el seu domini.
• x = 0 és una asímptota vertical
de la funció.
• És creixent si a . 1 i decreixent
si 0 , a , 1.
Y
3
2
1
0
–1
–2
f(x) = log x
f(x) = log 2 x
1 2 3 4 5
a) Troba'n el domini i estudia'n les simetries i els talls
amb els eixos.
b) Determina'n els intervals de creixement i decreixe-
ment i els extrems relatius.
c) Representa la gràfica de la funció.
H. Gràfiques de funcions exponencials i logarítmiques
1
2
X
19
© VICENS VIVES

20
© VICENS VIVES
I. QUARTILS I CENTILS
Els quartils i els centils són mesures de posició no central.
Ja has vist que la mediana és, després d'ordenar les dades en sentit creixent,
el valor de la variable que ocupa la posició central, si el nombre de dades és
senar, o la mitjana aritmètica de les dues centrals, si és parell.
De manera semblant, podem considerar valors que divideixin la distribució
en quatre parts iguals. Aquests valors reben el nom de quartils i es representen
per Q 1, Q 2 i Q 3.
El càlcul dels quartils és semblant al de la mediana. Si disposem d'una taula
de freqüències, procedim així:
–
xn
Calculem
4
, amb x = 1 per a Q1, x = 2 per a Q2 = Me i x = 3 per a Q3, i
sent n el nombre total de dades.
– Si coincideix amb alguna freqüència absoluta acumulada, el quartil que
busquem és la mitjana aritmètica entre la dada a la qual correspon
aquesta freqüència i la següent de la taula.
– Si no coincideix amb cap freqüència absoluta acumulada, és la primera
dada que té més gran la freqüència absoluta acumulada.
Si en comptes de dividir el nombre de dades en quatre parts iguals es divideix
en 100, s'obtenen els centils o percentils. Es representen per Pk, k = 1, 2, ...,
kn
xn
99, i el seu càlcul és com el dels quartils però partint de en lloc de .
100
4
EXEMPLE
Calcula els quartils en aquesta taula de distribució de freqüències:
n 111
Per trobar el primer quartil, calculem = = 27,75. La primera
4 4
freqüència acumulada més gran que 27,75 és 33, que correspon al valor 4.
Per tant, Q1 = 4.
2n 3n
Anàlogament, per trobar Q2 i Q3 calculem = 55,5 i = 83,25.
4
4
La primera freqüència acumulada més gran que 55,5 és 83, que correspon
al valor 6. Per tant, Q2 = Me = 6. La primera freqüència acumulada més
gran que 83,25 és 98, que correspon al valor 7. Per tant, Q3 = 7.
I. Quartils i centils
x ii ii n i N i
3 15 15
4 18 33
5 22 55
6 28 83
7 15 98
8 13 111
Decils
Si dividim el nombre n de dades
en quatre parts iguals,
obtenim els quartils. Si el dividim
en 100 parts iguals, s'obtenen
els centils.
De la mateixa manera, si n es
divideix en 10 parts iguals s'obtenen
els decils.
ACTIVITATS
1. Els pesos dels nadons
durant un mes en un hos-
pital han estat registrats en
la taula següent:
pes
(kg)
a) Calcula'n la mitjana i la
moda. Quina mesura de po-
sició central és més repre-
sentativa en aquest cas?
b) Calcula'n els quartils.
c) Calcula P 19 i P 70.
nombre de
nadons
[2,5, 3,0] 17
(3,0, 3,5] 36
(3,5, 4,0] 30
(4,0, 4,5] 34
(4,5, 5,0] 15