Exercicis pr`actics Exercici pr`actic primer Exercici pr`actic segon ...

Exercicis pràctics
Exercici pràctic primer
1. Dobla un quadrat de costat donat [E ii 7].
2. Biseca un angle arbitrari donat [E i 9].
3. Quadra un rectangle de costats donats [E ii 14].
Dedueix-ne:
(a) És possible quadrar un paral. lelogram.
(b) És possible quadrar un triangle.
(c) És possible quadrar qualsevol mena de polígon convex.
Què passa amb els convexos?
Amb regle i compàs podem construir un triangle equilàter [E i 1],
un quadrat [E i 46, amb postulat de les paral . leles], un pentàgon [E iv 11],
i un pentadecàgon [E i 16], i els que tenen el doble de costats com ara un
hexàgon [E i 15], un octògon, un decàgon, etc.
Exercici pràctic segon
1. Observa que una manera d’aconseguir dues mitjanes proporcionals
s’aconsegeuix tallant dues paràboles.
2. Observa que una manera d’aconseguir dues mitjanes proporcionals
s’aconsegeuix tallant dues hipèrboles.
3. Observa que una manera d’aconseguir dues mitjanes proporcionals
s’aconsegeuix tallant una paràbola i una hipèrbola.
Exercici pràctic tercer
Considera un con recte, generat per un triangle rectangle que giravolta
a l’entorn del catat gran, i talla’l amb un pla.
1. Demostra que, si el pla és perpendicular a l’eix del con, la corba
que determina el con és una circumferència.
2. Demostra que, si el pla és oblic a l’eix del con però no és paral . lel
a l’aresta, la corba que determina el con és una el . lipse.
3. Demostra que, si el pla és paral . lel a l’eix del con, la corba que
determina el con és una hipèrbola.
4. Demostra que, si el pla és paral . lel a l’aresta del con, la corba que
determina el con és una paràbola.
1

2
5. Observa que una manera d’aconseguir dues mitjanes proporcionals
s’aconsegeuix tallant una paràbola i una hipèrbola.
Exercici pràctic quart
La cissoide de Diocles és el lloc geomètric dels
punts A que s’obtenen així:
1. Donada una circumferència C, que passa
pel punt O, tirem la tangent L en el punt
diametralment oposat al punt O.
2. Sigui B un punt de la circumferència C i C
el punt de tall de les rectes OA i L.
3. Considerem els punts A de la recta OB
(quan B es mou a C) que la distància OA =
BC.
Aquesta corba —dóna’n l’equació— permet trobar
dues mitjanes proporcionals.
Exercici pràctic cinquè
La quadratriu és el lloc geomètric dels punts
T que s’obtenen quan es tallen dos costats contigus
BB ′ i AB d’un quadrat que es mouen, en el
mateix temps, així: DC es desplaça verticalment
cap avall fins a superposar-se al costat AM, amb
moviment rectilini uniforme, mentre que AB gira
al voltant del punt A fins a superposar-se al
costat AM, amb moviment circular uniforme.
Demostra que serveix per trisecar l’angle.
Dóna’n l’equació.

Exercici pràctic sisè
L’espiral d’Arquimedes és el lloc geomètric
dels punts P que s’obtenen així: Tenim una semirecta
horitzontal il . limitada OA que giravolta,
amb velocitat circular uniforme, entorn del punt
O, mentre O es desplaça, amb moviment rectilini
uniforme, cap a la dreta buscant el punt A.
Demostra que serveix per trisecar l’angle, i
dóna’n l’equació.
Exercici pràctic setè
Amb la neusis és ben fàcil trisecar l’angle.
Donat l’angle AOB, tirem una circumferència
O(OA). Usant la neusis, determinar
l’angle NOM que val una tercera part de l’angle
donat AOB.
Exercici pràctic vuitè
3
Tenim una recta ℓ, un pol
O i un segment AB. Considerem
el lloc geomètric dels punts
M que s’obtenen així. Per O
tirem una perpendicular OA a
ℓ i la fem giravoltar entorn del
punt O. Cada una de les rectes
ℓ ′ , generades per ℓ, talla ℓ
en un punt P . Prenem un punt
M ∈ ℓ ′ que P M = AB. És la
concoide de Nicomedes.
Demsotra que, amb la concoide
de Nicomedes, és possible
trisecar l’angle, i dóna’n l’equació.

4
Exercici pràctic nonè
Demostra:
1. La concoide de Nicomedes serveix per doblar el cub, perquè
serveix per fer dues mitjanes proporcionals.
2. L’espiral d’Arquimedes permet de quadrar el cercle perquè la
longitud del segment en què la tangent a l’espiral, quan s’acaba
la primera volta, talla l’eix vertical —és a dir, la subtangent—
val 2 π (2 a π), on a indica la velocitat angular del costat OA.
3. La trisectriu d’Hippies permet també quadrar el cercle. Per això
rep el nom de quadratriu.
Exercici pràctic desè
Sabries demostrar —sense recórrer a les primitives— que l’àrea que
tanca la hipèrbola equilàtera té la propietat de la prostafèresis?
Exercici pràctic onzè
Sabries demostrar —sense recórrer a les primitives— que l’àrea que
hi ha a sota de la corba 1
1+x 2 és l’arctangent x?
Àrea a sota de la funció
f(x) = 1
1+x 2 a [0, x]
Exercici pràctic dotzè
Valor de la funció
y = arctan x a x.
Usant el desenvolupament en sèrie de funcions —per simple divisió, com
feia Newton— determina la sèrie de potències de ln(1 + x) i arctan x?

Textos per llegir
Tots aquests documents són del volum 2 de Científicos griegos de Francisco
Vera. Aguilar. Madrid, 1970.
5