Clases 6-7 Febrero 16 y 18 El efecto fotoeléctrico. - unam

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Hasta ahora, todo el cálculo era estrictamente clásico; entonces Bohr procede a introducir una hipótesis cuántica: como un movimiento circular puede pensarse como la superposición de dos movimientos armónicos, retoma la hipótesis de Planck modificada y propone que la energía de amarre Ea = αnhν. Es decir. la energía del movimiento circular solo puede cambiar en múltiplos de αhν. Bohr introduce el factor α para tomar en cuenta que se trata de un movimiento circular y no armónico simple. Sustituyendo el valor de Ea en la Ec.(5-32) se obtiene: 2 4 Z me ν = . (5-33) 3 3 3 32h ε α n La energía total del sistema estará entonces cuantizada y determinada por: E y el radio de la “orbita” por n 2 0 2 4 Z me = −αnhν = − , (5-34) 2 2 2 32h ε α n 4h ε α n πZme 2 0 2 2 2 n = 0 2 . (5-35) r Sólo resta determinar el valor de α. Para hacerlo, Bohr introduce el llamado principio de correspondencia diciendo que los resultados cuánticos deben corresponder a los clásicos cuando el sistema se encuentre en una situación que pueda describirse clásicamente. Como el valor de r → ∞ cuando n → ∞, el electrón del átomo se comportaría en este caso como una carga eléctrica clásica en movimiento acelerado. Según la electrodinámica clásica, esta carga debe radiar con una frecuencia igual a la de su movimiento circular. Por consiguiente se esperaría una radiación de frecuencia 2 4 Z me ν = . (5-36) 3 3 3 32h ε α n 2 0 Pero según las hipótesis de Bohr, la frecuencia emitida en una transición entre dos estados estacionarios consecutivos quedaría determinada por E ν = n+ 1 − E h n 2 4 Z me = − 3 2 32h ε α 0 2 ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 ⎤ − ⎥ = ⎦ Z 2 me ( ) ( ) ⎥ 2 2 3 2 2 2 2 n + 1 n 32h ε0α ⎣n n + 1 ⎦ 4 ⎡ ⎢ 2n + 1 ⎤ . (5-37) Si ahora se hace que n → ∞ y se aplica el principio de correspondencia se obtiene 2 4 2 4 Z me 2 Z me ν → = , (5-38) 3 2 3 3 3 3 32h ε α n 32h ε α n 2 0 2 0
de donde resulta α = ½ y entonces 2 4 Z me = − 2 2 8h ε n Z = −13. 6 n En 2 2 0 2 en eV. (5-39) y la Ec (5-<strong>18</strong>) que determina la frecuencia (o la longitud de onda) de la luz emitida por el átomo queda, finalmente, como 2 Z me ν = 3 8h ε 4 2 0 ⎛ 1 ⎜ ⎝ ni − 1 ⎞ ⎟ nf ⎠ (5-40) que era formalmente equivalente a las fórmulas previamente obtenidas, de manera empírica, por Rydeberg y por Balmer. Por otra parte, el radio de la órbita electrónica también resulta cuantizado con el valor en donde a 0 r n 2 2 2 h ε 0n n = = a 2 0 , (5-41) πZme Z 2 h ε 0 −11 = = 5. 2917x10 m. (5-42) 2 πme es el llamado radio de Bohr. Con estos resultados la imagen del átomo planetario de Rutherford se modifica en varios aspectos: en primer lugar, el electrón no puede encontrarse en cualquier lugar en torno al núcleo, sino que solo puede estar en algunas órbitas circulares (estados estacionarios) con valores de su radio y de su energía total fijos. En segundo lugar, mientras se encuentre en alguno de estos estados estacionarios no emite radiación. Al pasar de un estado estacionario a otro emitirá radiación cuya frecuencia queda determinada por hν = En – Em; en este proceso el electrón que se encontraba en el estado caracterizado por En desaparece y aparece otro electrón en el estado caracterizado por Em, ya que en ningún momento el electrón puede estar en la región comprendida entre rn y rm. Una representación pictórica del átomo de Bohr sería como la de la figura 6-<strong>18</strong>:
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