Clases 6-7 Febrero 16 y 18 El efecto fotoeléctrico. - unam

Hasta ahora, todo el cálculo era estrictamente clásico; entonces Bohr
procede a introducir una hipótesis cuántica: como un movimiento circular puede
pensarse como la superposición de dos movimientos armónicos, retoma la
hipótesis de Planck modificada y propone que la energía de amarre Ea = αnhν.
Es decir. la energía del movimiento circular solo puede cambiar en múltiplos de
αhν. Bohr introduce el factor α para tomar en cuenta que se trata de un
movimiento circular y no armónico simple. Sustituyendo el valor de Ea en la
Ec.(5-32) se obtiene:
2 4
Z me
ν =
. (5-33)
3 3 3
32h
ε α n
La energía total del sistema estará entonces cuantizada y determinada por:
E
y el radio de la “orbita” por
n
2
0
2 4
Z me
= −αnhν
= −
, (5-34)
2 2 2
32h
ε α n
4h
ε α n
πZme
2
0
2 2 2
n =
0
2 . (5-35)
r
Sólo resta determinar el valor de α. Para hacerlo, Bohr introduce el llamado
principio de correspondencia diciendo que los resultados cuánticos deben
corresponder a los clásicos cuando el sistema se encuentre en una situación
que pueda describirse clásicamente. Como el valor de r → ∞ cuando n → ∞, el
electrón del átomo se comportaría en este caso como una carga eléctrica
clásica en movimiento acelerado. Según la electrodinámica clásica, esta carga
debe radiar con una frecuencia igual a la de su movimiento circular. Por
consiguiente se esperaría una radiación de frecuencia
2 4
Z me
ν =
. (5-36)
3 3 3
32h
ε α n
2
0
Pero según las hipótesis de Bohr, la frecuencia emitida en una transición
entre dos estados estacionarios consecutivos quedaría determinada por
E
ν =
n+
1
− E
h
n
2 4
Z me
= − 3 2
32h
ε α
0
2
⎡
⎢
⎣
1
1 ⎤
− ⎥ =
⎦
Z
2
me
( ) ( ) ⎥ 2 2
3 2 2 2 2
n + 1 n 32h
ε0α
⎣n
n + 1 ⎦
4
⎡
⎢
2n
+ 1
⎤
. (5-37)
Si ahora se hace que n → ∞ y se aplica el principio de correspondencia se
obtiene
2 4
2 4
Z me 2 Z me
ν →
=
, (5-38)
3 2 3
3 3 3
32h
ε α n 32h
ε α n
2
0
2
0