Clases 6-7 Febrero 16 y 18 El efecto fotoeléctrico. - unam

El efecto fotoeléctrico.
Clases 6-7
Febrero 16 y 18
En una esquina de un laboratorio oscurecido se encuentra una máquina eléctrica que
consta de dos esferas metálicas. Se trata de una máquina común para producir “chispazos”
eléctricos, a la cual se le han añadido dos placas metálicas mediante barras conductoras
delgadas, como si se le hubiesen añadido enormes orejas a ese monstruo de dos ojos.
En otra mesa se encuentra un arillo incompleto, de alambre rígido, montado en un
soporte aislante. Para el experimentador el pequeño espacio entre los extremos del arillo
incompleto es la parte crucial de todo el dispositivo. Si sus conjeturas son correctas, en ese
lugar el secreto será revelado.
Todo está dispuesto y el experimentador cierra un interruptor para iniciar las
ráfagas de crujientes chispas entre las esferas. Dando la espalda a las resplandecientes
chispas, espera a que sus ojos se acostumbren a la oscuridad. ¿Es su imaginación o
realmente esta viendo un leve resplandor en el espacio faltante del arillo? No puede
estar seguro; podría tratarse tan solo de un reflejo. Con cuidado gira un tornillo que
hace que el espacio incompleto se reduzca. A medida que los extremos del arillo se
acercan, el resplandor se hace más intenso. Los acerca más y más, hasta que casi se
tocan. Ahora ya no hay duda alguna. El experimentador suspira satisfecho: a través del
espacio incompleto del arillo cruzan chispas eléctricas.
En esta forma extrañamente simple fue que, en 1887, el joven físico aleman
Heinrich Herz detectó, por primera vez, y de manera ingeniosa, una señal de radio 1 .
V
Rayos X
Figua 5‐14. Dispositivo para producir el efecto
fotoeléctrico.
A
Cuando Heinrich Hertz realizaba su
experimento para generar ondas
electromagnéticas y corroborar así la
predicción de James Clerk. Maxwell (1864) de
que la luz era radiación electromagnética,
observó y reportó un sutil efecto que se
producía en una parte de su aparato: cuando
la luz producida durante la descarga eléctrica
en las esferas incidía en la ranura del arillo, la
intensidad de la descarga inducida
aumentaba. Aunque el fenómeno llamó la
atención de la comunidad científica, todos los
intentos para explicarlo con la Física conocida
fallaron. Fue hasta 1905, cuando Albert
Einstein abordó el problema, retomando
(y avanzando) la hipótesis cuántica de Planck,
que se contó con una explicación satisfactoria
de este fenómeno.
1 Traducción libre del texto de The strange story of the quantum de Banes Hoffmann, Dover 1959.

El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de electrones (llamados fotoelectrones)
desde la superficie de un material cuando sobre ésta incide radiación electromagnética. El
estudio de las características de este fenómeno puede hacerse utilizando un dispositivo
experimental como el que se muestra esquemáticamente en la Fig. 5‐11. En un tubo
evacuado se coloca un fotocátodo y un ánodo conectados a una fuente de voltaje variable.
Además se incluye un dispositivo (interruptor) que permite invertir la polaridad del voltaje
aplicado. Al iluminar el fotocátodo con luz monocromática de frecuencia ν, se establece una
fotocorriente que varía con el voltaje aplicado en la forma mostrada en la Fig. 5‐12. Los
resultados experimentales obtenidos son los siguientes:
Vmax
i
ν = cte.
Figura 5‐15. Variación de i con I para ν =
cte.
i
I = cte.
i
ν3
‐V1 ‐V2 ‐V3
ν2
ν1
I3
I2
I1
I3
V
V
a) En términos generales, la
fotocorriente se establece aun si no hay voltaje
aplicado, lo cual significa que al menos algunos
de los fotoelectrones emitidos tienen una
energía cinética suficiente como para llegar al
ánodo. De hecho, para que la fotocorriente
cese, se tiene que aplicar un voltaje inverso
para frenar a los fotoelectrones más veloces. El
valor Vmax de este voltaje de frenado,
multiplicado por la carga del electrón, es una
medida de la energía cinética máxima que
pueden adquirir algunos de los fotoelectrones
emitidos por el fotocátodo (Fig. 5‐12).
b) Al aumentar la intensidad de la
radiación, manteniendo su frecuencia fija, la
fotocorriente aumenta pero el voltaje inverso
necesario para que la fotocorriente llegue a
cero es independiente de la intensidad; es
decir, la energía cinética máxima no cambia
con la intensidad de la radiación.
c) Manteniendo una intensidad
Figura 5‐16. Variación de i con V para constante, el voltaje de frenado, o potencial
I = cte.
Vmax
retardador, aumenta al aumentar la frecuencia
de la radiación incidente (Fig. 5‐13).
d) Existe una frecuencia umbral por
debajo de la cual no se produce la emisión de
K
fotoelectrones, sin importar cual sea la
Cs
W
Figura 5‐17. Variación de Vmax con ν.
ν
intensidad de la radiación incidente.
e) Cuando la frecuencia de la radiación
es mayor o igual que la umbral, la emisión de
los fotoelectrones es esencialmente
instantánea, sin importar que tan débil sea su
intensidad. La energía cinética máxima de los
fotoelectrones, medida por el voltaje de
frenado (Tmax = ‐eVmax), es una función sólo de
la frecuencia de la radiación y no de su
intensidad.
f) En cada metal, la energía cinética máxima varía linealmente con la frecuencia de la
radiación; es decir,

eVmax max
= T = aν
+ b
(5‐20)
y el valor de la constante a es independiente del material del cual esté hecho el fotocátodo
(ver la Fig 5‐14).
Como ya mencionamos, el fenómeno permaneció sin explicación hasta que, en 1905, A.
Einstein retoma la hipótesis de Planck, que también había estado abandonada desde 1900,
para explicarlo. Más aun, propone que no solo las energías de las oscilaciones de los
osciladores armónicos, por los cuales sustituyó a las partículas constituyentes de las paredes
de la cavidad radiante, están cuantizadas, sino que la energía misma de la radiación absorbido
o emitida por estos osciladores está cuantizada. Es decir, la energía es absorbida o emitida en
“paquetes” localizados y no de manera continua; en este sentido, el comportamiento de la
radiación electromagnética se asemeja más al de un corpúsculo, de energía hν, que al de una
onda. De hecho, en 1926 Gibert Lewis bautizó a estos paquetes con el nombre de fotones.
Este punto de vista supone entonces que la intensidad de un haz luminoso ha de
asociarse con el número N de fotones que lo constituyen, y que al llegar a la superficie de un
metal serán absorbidos, como unidades, por los electrones presentes en el material. Entonces
puede ocurrir que la energía cinética adquirida por los electrones sea suficiente como para
hacer que algunos de éstos “abandonen” al material. Cuántos de ellos lo hacen, y con que
energía cinética, depende, desde luego, de su ubicación dentro del material. Si se encuentran
muy cerca de la superficie del metal, encontrarán pocos obstáculos en su camino de escape;
por el contrario, si se encuentran en una región muy interna en el metal, difícilmente podrán
abandonarlo. Es decir, la energía cinética T de los fotoelectrones debe estar determinada por
la siguiente ecuación:
T = E - φ = hν – φ, (5-21)
en donde φ representa la energía disipada por un electrón cualquiera en su camino de escape
del metal. De entre todos los electrones desprendidos del metal, los más cercanos a su
superficie disiparán la menor energía posible, a la que llamaremos φ0 y, en consecuencia,
serán los que adquieran la mayor energía cinética. Para ellos se debe cumplir
Tmax = hν - φ0 = -eVmax, (5-22)
que concuerda con los resultados experimentales. Más aun, de la pendiente de las rectas
experimentales, que es, según este modelo, m = h/e, se obtiene el mismo valor numérico para
h obtenido por Planck del análisis de la radiación del cuerpo negro.

El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno.
En 1912, un estudiante danés solicito su ingreso al laboratorio de E.
Rutherford en Manchester. Después de entrevistarlo, le pareció que su
capacidad intelectual estaba por debajo del promedio y, sin embargo, decidió
aceptarlo para realizar estudios posdoctorales basado en una poderosa razón:
Niels Bohr, que ese era su nombre, jugaba bien al fútbol.
Figura 5‐18. El espectro óptico en el visible del hidrógeno atómico
Para 1913, la opinión de Rutherford y sus colaboradores había cambiado
radicalmente, pues el danés había desarrollado un modelo en el que por
primera vez se daba una explicación del por que el espectro del átomo de
hidrógeno era un espectro de líneas. Para llegar a esa explicación, Bohr hizo
una extraña mezcla de las ideas clásicas y de las nuevas propuestas de Planck
y de Einstein. De hecho, el modelo propuesto por Bohr estaba basado el las
siguientes suposiciones:
a) Un sistema atómico posee estados estacionarios en los
cuales el sistema no emite radiación, aun cuando el estado de
movimiento de las partículas cargadas que lo constituyen sea
acelerado.
b) El equilibrio dinámico del sistema atómico en un estado
estacionario está gobernado por las leyes de la mecánica
clásica, aunque éstas no se cumplan cuando se produzca una
transición entre tales estados.
c) El movimiento del electrón en torno al núcleo atómico
es en una órbita circular.
d) Cuando se produce una transición entre estados
estacionarios, el sistema absorbe o emite radiación cuya
frecuencia queda determinada por
hν = Ef - Ei, (5-23)
en donde Ef y Ei son las energías asociadas con los estados
estacionarios final e inicial del sistema, respectivamente.
Con las hipótesis anteriores Bohr procede a calcular la energía total del
átomo de hidrógeno. Primero calculó la energía cinética T
2 2 2
mv mr ω 2 2 2
T = = = 2π
mr ν
2 2
, (5-24)

en donde ν es la frecuencia del movimiento circular (y ω es su frecuencia
angular). Como además la fuerza centrípeta está proporcionada por la
atracción electrostática entre la carga nuclear (Ze) y la electrónica (-e)
podemos escribir
2
1 Ze
2
F = = ma
2
c = mrω
4πε0
r
, (5-25)
de donde resulta, después de sustituir en T, que:
y como la energía potencial es
entonces
1 ⎛ 1
T =
⎜
2 ⎝ 4πε
1
V = −
4πε
Ze
r
2
⎞
⎟
⎠
0 (5-26)
0
Ze
r
2
, (5-27)
2
1 ⎛ 1 Ze ⎞
ET = T + V = −
= −T
= −Ea
2 ⎜
4 0 r ⎟
⎝ πε ⎠
, (5-28)
en donde Ea es la energía de amarre del átomo (la energía necesaria para
separar al núcleo y al electrón hasta una distancia infinita). Despejando a r se
obtiene
1
r =
8πε
Ze
2
0 Ea
2 2
mr ω
y sustituyendo este valor en T = Ea=
, se obtiene
2
de donde
así que
ω
2
E
a
2
= 4π
ν
2
mω
=
2
8x16π
ε
2
=
8E
2
0
, (5-29)
2
Z e
E
2
a
4
2 2 ( 16π
ε )
3
a
2
Z
⎛ 32E
ε
ν = ⎜
2
⎝ Z me
me
4
1 2
3 2 ⎞ a 0 ⎟
4
⎟
⎠
0
, (5-30)
, (5-31)
. (5-32)

Hasta ahora, todo el cálculo era estrictamente clásico; entonces Bohr
procede a introducir una hipótesis cuántica: como un movimiento circular puede
pensarse como la superposición de dos movimientos armónicos, retoma la
hipótesis de Planck modificada y propone que la energía de amarre Ea = αnhν.
Es decir. la energía del movimiento circular solo puede cambiar en múltiplos de
αhν. Bohr introduce el factor α para tomar en cuenta que se trata de un
movimiento circular y no armónico simple. Sustituyendo el valor de Ea en la
Ec.(5-32) se obtiene:
2 4
Z me
ν =
. (5-33)
3 3 3
32h
ε α n
La energía total del sistema estará entonces cuantizada y determinada por:
E
y el radio de la “orbita” por
n
2
0
2 4
Z me
= −αnhν
= −
, (5-34)
2 2 2
32h
ε α n
4h
ε α n
πZme
2
0
2 2 2
n =
0
2 . (5-35)
r
Sólo resta determinar el valor de α. Para hacerlo, Bohr introduce el llamado
principio de correspondencia diciendo que los resultados cuánticos deben
corresponder a los clásicos cuando el sistema se encuentre en una situación
que pueda describirse clásicamente. Como el valor de r → ∞ cuando n → ∞, el
electrón del átomo se comportaría en este caso como una carga eléctrica
clásica en movimiento acelerado. Según la electrodinámica clásica, esta carga
debe radiar con una frecuencia igual a la de su movimiento circular. Por
consiguiente se esperaría una radiación de frecuencia
2 4
Z me
ν =
. (5-36)
3 3 3
32h
ε α n
2
0
Pero según las hipótesis de Bohr, la frecuencia emitida en una transición
entre dos estados estacionarios consecutivos quedaría determinada por
E
ν =
n+
1
− E
h
n
2 4
Z me
= − 3 2
32h
ε α
0
2
⎡
⎢
⎣
1
1 ⎤
− ⎥ =
⎦
Z
2
me
( ) ( ) ⎥ 2 2
3 2 2 2 2
n + 1 n 32h
ε0α
⎣n
n + 1 ⎦
4
⎡
⎢
2n
+ 1
⎤
. (5-37)
Si ahora se hace que n → ∞ y se aplica el principio de correspondencia se
obtiene
2 4
2 4
Z me 2 Z me
ν →
=
, (5-38)
3 2 3
3 3 3
32h
ε α n 32h
ε α n
2
0
2
0

de donde resulta α = ½ y entonces
2 4
Z me
= − 2 2
8h
ε n
Z
= −13.
6
n
En 2
2
0
2
en
eV.
(5-39)
y la Ec (5-18) que determina la frecuencia (o la longitud de onda) de la luz
emitida por el átomo queda, finalmente, como
2
Z me
ν = 3
8h
ε
4
2
0
⎛ 1
⎜
⎝ ni
−
1 ⎞
⎟
nf
⎠
(5-40)
que era formalmente equivalente a las fórmulas previamente obtenidas, de
manera empírica, por Rydeberg y por Balmer.
Por otra parte, el radio de la órbita electrónica también resulta
cuantizado con el valor
en donde
a
0
r
n
2 2
2
h ε 0n
n
= = a 2 0 , (5-41)
πZme
Z
2
h ε 0
−11
= = 5.
2917x10
m.
(5-42)
2
πme
es el llamado radio de Bohr. Con estos resultados la imagen del átomo
planetario de Rutherford se modifica en varios aspectos: en primer lugar, el
electrón no puede encontrarse en cualquier lugar en torno al núcleo, sino que
solo puede estar en algunas órbitas circulares (estados estacionarios) con
valores de su radio y de su energía total fijos. En segundo lugar, mientras se
encuentre en alguno de estos estados estacionarios no emite radiación. Al
pasar de un estado estacionario a otro emitirá radiación cuya frecuencia queda
determinada por hν = En – Em; en este proceso el electrón que se encontraba
en el estado caracterizado por En desaparece y aparece otro electrón en el
estado caracterizado por Em, ya que en ningún momento el electrón puede
estar en la región comprendida entre rn y rm. Una representación pictórica del
átomo de Bohr sería como la de la figura 6-18:

Visible
Como además
Figura 6.18 Representación pictórica del átomo de
hidrógeno basada en el modelo de Bohr.
Ultravioleta
2
2
= r x mv
= mr ω = 2πmr
ν , (5-43)
se obtiene que, después de sustituir rn y ν, que el momento angular orbital del
electrón también está cuantizado
nh
= (5-44)
2π
[ ] = n,
n
en donde ħ es la llamada constante de Dirac.
Con frecuencia se suelen representar las energías de los estados
estacionarios como los peldaños de una escalera irregular, en la que las
transiciones entre estados estacionarios se pueden agrupar en series
caracterizadas por el estado final de las transiciones. Así, la serie de
transiciones en las que el estado final es el estado básico del átomo de
hidrógeno (n = 1) se llama serie de Lyman, aquella en la que el estado final es
el primer estado excitado (n = 2) se llama serie de Balmer, y siguen las series
de Paschen, Brackett y Pfünd para n = 3, 4 y 5, respectivamente. A modo de
ejemplo, en la figura 6-19 se representan las series de Lyman, Balmer y
Paschen.

Lyman (ultravioleta)
Balmer (parcialmen‐te
en el visible)
Paschen (infrarrojo)
Figura 6‐19. Representación de las transiciones que dan lugar a las tres
primeras series espectrales del átomo de hidrógeno.
El gran excito del modelo de Bohr fue que explicaba todas y cada una de
las líneas observadas en el espectro del átomo de hidrógeno. Sin embargo,
este modelo semiclásico adolecía de varias dificultades conceptuales que
hicieron que pronto se le sustituyera por un enfoque totalmente novedoso en el
que no se hiciera esa extraña mezcla de ideas clásicas con cuánticas.