Clases 6-7 Febrero 16 y 18 El efecto fotoeléctrico. - unam
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<strong>El</strong> <strong>efecto</strong> <strong>fotoeléctrico</strong>.<br />
<strong>Clases</strong> 6-7<br />
<strong>Febrero</strong> <strong>16</strong> y <strong>18</strong><br />
En una esquina de un laboratorio oscurecido se encuentra una máquina eléctrica que<br />
consta de dos esferas metálicas. Se trata de una máquina común para producir “chispazos”<br />
eléctricos, a la cual se le han añadido dos placas metálicas mediante barras conductoras<br />
delgadas, como si se le hubiesen añadido enormes orejas a ese monstruo de dos ojos.<br />
En otra mesa se encuentra un arillo incompleto, de alambre rígido, montado en un<br />
soporte aislante. Para el experimentador el pequeño espacio entre los extremos del arillo<br />
incompleto es la parte crucial de todo el dispositivo. Si sus conjeturas son correctas, en ese<br />
lugar el secreto será revelado.<br />
Todo está dispuesto y el experimentador cierra un interruptor para iniciar las<br />
ráfagas de crujientes chispas entre las esferas. Dando la espalda a las resplandecientes<br />
chispas, espera a que sus ojos se acostumbren a la oscuridad. ¿Es su imaginación o<br />
realmente esta viendo un leve resplandor en el espacio faltante del arillo? No puede<br />
estar seguro; podría tratarse tan solo de un reflejo. Con cuidado gira un tornillo que<br />
hace que el espacio incompleto se reduzca. A medida que los extremos del arillo se<br />
acercan, el resplandor se hace más intenso. Los acerca más y más, hasta que casi se<br />
tocan. Ahora ya no hay duda alguna. <strong>El</strong> experimentador suspira satisfecho: a través del<br />
espacio incompleto del arillo cruzan chispas eléctricas.<br />
En esta forma extrañamente simple fue que, en <strong>18</strong>87, el joven físico aleman<br />
Heinrich Herz detectó, por primera vez, y de manera ingeniosa, una señal de radio 1 .<br />
V<br />
Rayos X<br />
Figua 5‐14. Dispositivo para producir el <strong>efecto</strong><br />
<strong>fotoeléctrico</strong>.<br />
A<br />
Cuando Heinrich Hertz realizaba su<br />
experimento para generar ondas<br />
electromagnéticas y corroborar así la<br />
predicción de James Clerk. Maxwell (<strong>18</strong>64) de<br />
que la luz era radiación electromagnética,<br />
observó y reportó un sutil <strong>efecto</strong> que se<br />
producía en una parte de su aparato: cuando<br />
la luz producida durante la descarga eléctrica<br />
en las esferas incidía en la ranura del arillo, la<br />
intensidad de la descarga inducida<br />
aumentaba. Aunque el fenómeno llamó la<br />
atención de la comunidad científica, todos los<br />
intentos para explicarlo con la Física conocida<br />
fallaron. Fue hasta 1905, cuando Albert<br />
Einstein abordó el problema, retomando<br />
(y avanzando) la hipótesis cuántica de Planck,<br />
que se contó con una explicación satisfactoria<br />
de este fenómeno.<br />
1 Traducción libre del texto de The strange story of the quantum de Banes Hoffmann, Dover 1959.
<strong>El</strong> <strong>efecto</strong> <strong>fotoeléctrico</strong> consiste en la emisión de electrones (llamados fotoelectrones)<br />
desde la superficie de un material cuando sobre ésta incide radiación electromagnética. <strong>El</strong><br />
estudio de las características de este fenómeno puede hacerse utilizando un dispositivo<br />
experimental como el que se muestra esquemáticamente en la Fig. 5‐11. En un tubo<br />
evacuado se coloca un fotocátodo y un ánodo conectados a una fuente de voltaje variable.<br />
Además se incluye un dispositivo (interruptor) que permite invertir la polaridad del voltaje<br />
aplicado. Al iluminar el fotocátodo con luz monocromática de frecuencia ν, se establece una<br />
fotocorriente que varía con el voltaje aplicado en la forma mostrada en la Fig. 5‐12. Los<br />
resultados experimentales obtenidos son los siguientes:<br />
Vmax<br />
i<br />
ν = cte.<br />
Figura 5‐15. Variación de i con I para ν =<br />
cte.<br />
i<br />
I = cte.<br />
i<br />
ν3<br />
‐V1 ‐V2 ‐V3<br />
ν2<br />
ν1<br />
I3<br />
I2<br />
I1<br />
I3<br />
V<br />
V<br />
a) En términos generales, la<br />
fotocorriente se establece aun si no hay voltaje<br />
aplicado, lo cual significa que al menos algunos<br />
de los fotoelectrones emitidos tienen una<br />
energía cinética suficiente como para llegar al<br />
ánodo. De hecho, para que la fotocorriente<br />
cese, se tiene que aplicar un voltaje inverso<br />
para frenar a los fotoelectrones más veloces. <strong>El</strong><br />
valor Vmax de este voltaje de frenado,<br />
multiplicado por la carga del electrón, es una<br />
medida de la energía cinética máxima que<br />
pueden adquirir algunos de los fotoelectrones<br />
emitidos por el fotocátodo (Fig. 5‐12).<br />
b) Al aumentar la intensidad de la<br />
radiación, manteniendo su frecuencia fija, la<br />
fotocorriente aumenta pero el voltaje inverso<br />
necesario para que la fotocorriente llegue a<br />
cero es independiente de la intensidad; es<br />
decir, la energía cinética máxima no cambia<br />
con la intensidad de la radiación.<br />
c) Manteniendo una intensidad<br />
Figura 5‐<strong>16</strong>. Variación de i con V para constante, el voltaje de frenado, o potencial<br />
I = cte.<br />
Vmax<br />
retardador, aumenta al aumentar la frecuencia<br />
de la radiación incidente (Fig. 5‐13).<br />
d) Existe una frecuencia umbral por<br />
debajo de la cual no se produce la emisión de<br />
K<br />
fotoelectrones, sin importar cual sea la<br />
Cs<br />
W<br />
Figura 5‐17. Variación de Vmax con ν.<br />
ν<br />
intensidad de la radiación incidente.<br />
e) Cuando la frecuencia de la radiación<br />
es mayor o igual que la umbral, la emisión de<br />
los fotoelectrones es esencialmente<br />
instantánea, sin importar que tan débil sea su<br />
intensidad. La energía cinética máxima de los<br />
fotoelectrones, medida por el voltaje de<br />
frenado (Tmax = ‐eVmax), es una función sólo de<br />
la frecuencia de la radiación y no de su<br />
intensidad.<br />
f) En cada metal, la energía cinética máxima varía linealmente con la frecuencia de la<br />
radiación; es decir,
eVmax max<br />
= T = aν<br />
+ b<br />
(5‐20)<br />
y el valor de la constante a es independiente del material del cual esté hecho el fotocátodo<br />
(ver la Fig 5‐14).<br />
Como ya mencionamos, el fenómeno permaneció sin explicación hasta que, en 1905, A.<br />
Einstein retoma la hipótesis de Planck, que también había estado abandonada desde 1900,<br />
para explicarlo. Más aun, propone que no solo las energías de las oscilaciones de los<br />
osciladores armónicos, por los cuales sustituyó a las partículas constituyentes de las paredes<br />
de la cavidad radiante, están cuantizadas, sino que la energía misma de la radiación absorbido<br />
o emitida por estos osciladores está cuantizada. Es decir, la energía es absorbida o emitida en<br />
“paquetes” localizados y no de manera continua; en este sentido, el comportamiento de la<br />
radiación electromagnética se asemeja más al de un corpúsculo, de energía hν, que al de una<br />
onda. De hecho, en 1926 Gibert Lewis bautizó a estos paquetes con el nombre de fotones.<br />
Este punto de vista supone entonces que la intensidad de un haz luminoso ha de<br />
asociarse con el número N de fotones que lo constituyen, y que al llegar a la superficie de un<br />
metal serán absorbidos, como unidades, por los electrones presentes en el material. Entonces<br />
puede ocurrir que la energía cinética adquirida por los electrones sea suficiente como para<br />
hacer que algunos de éstos “abandonen” al material. Cuántos de ellos lo hacen, y con que<br />
energía cinética, depende, desde luego, de su ubicación dentro del material. Si se encuentran<br />
muy cerca de la superficie del metal, encontrarán pocos obstáculos en su camino de escape;<br />
por el contrario, si se encuentran en una región muy interna en el metal, difícilmente podrán<br />
abandonarlo. Es decir, la energía cinética T de los fotoelectrones debe estar determinada por<br />
la siguiente ecuación:<br />
T = E - φ = hν – φ, (5-21)<br />
en donde φ representa la energía disipada por un electrón cualquiera en su camino de escape<br />
del metal. De entre todos los electrones desprendidos del metal, los más cercanos a su<br />
superficie disiparán la menor energía posible, a la que llamaremos φ0 y, en consecuencia,<br />
serán los que adquieran la mayor energía cinética. Para ellos se debe cumplir<br />
Tmax = hν - φ0 = -eVmax, (5-22)<br />
que concuerda con los resultados experimentales. Más aun, de la pendiente de las rectas<br />
experimentales, que es, según este modelo, m = h/e, se obtiene el mismo valor numérico para<br />
h obtenido por Planck del análisis de la radiación del cuerpo negro.
<strong>El</strong> modelo de Bohr del átomo de hidrógeno.<br />
En 1912, un estudiante danés solicito su ingreso al laboratorio de E.<br />
Rutherford en Manchester. Después de entrevistarlo, le pareció que su<br />
capacidad intelectual estaba por debajo del promedio y, sin embargo, decidió<br />
aceptarlo para realizar estudios posdoctorales basado en una poderosa razón:<br />
Niels Bohr, que ese era su nombre, jugaba bien al fútbol.<br />
Figura 5‐<strong>18</strong>. <strong>El</strong> espectro óptico en el visible del hidrógeno atómico<br />
Para 1913, la opinión de Rutherford y sus colaboradores había cambiado<br />
radicalmente, pues el danés había desarrollado un modelo en el que por<br />
primera vez se daba una explicación del por que el espectro del átomo de<br />
hidrógeno era un espectro de líneas. Para llegar a esa explicación, Bohr hizo<br />
una extraña mezcla de las ideas clásicas y de las nuevas propuestas de Planck<br />
y de Einstein. De hecho, el modelo propuesto por Bohr estaba basado el las<br />
siguientes suposiciones:<br />
a) Un sistema atómico posee estados estacionarios en los<br />
cuales el sistema no emite radiación, aun cuando el estado de<br />
movimiento de las partículas cargadas que lo constituyen sea<br />
acelerado.<br />
b) <strong>El</strong> equilibrio dinámico del sistema atómico en un estado<br />
estacionario está gobernado por las leyes de la mecánica<br />
clásica, aunque éstas no se cumplan cuando se produzca una<br />
transición entre tales estados.<br />
c) <strong>El</strong> movimiento del electrón en torno al núcleo atómico<br />
es en una órbita circular.<br />
d) Cuando se produce una transición entre estados<br />
estacionarios, el sistema absorbe o emite radiación cuya<br />
frecuencia queda determinada por<br />
hν = Ef - Ei, (5-23)<br />
en donde Ef y Ei son las energías asociadas con los estados<br />
estacionarios final e inicial del sistema, respectivamente.<br />
Con las hipótesis anteriores Bohr procede a calcular la energía total del<br />
átomo de hidrógeno. Primero calculó la energía cinética T<br />
2 2 2<br />
mv mr ω 2 2 2<br />
T = = = 2π<br />
mr ν<br />
2 2<br />
, (5-24)
en donde ν es la frecuencia del movimiento circular (y ω es su frecuencia<br />
angular). Como además la fuerza centrípeta está proporcionada por la<br />
atracción electrostática entre la carga nuclear (Ze) y la electrónica (-e)<br />
podemos escribir<br />
2<br />
1 Ze<br />
2<br />
F = = ma<br />
2<br />
c = mrω<br />
4πε0<br />
r<br />
, (5-25)<br />
de donde resulta, después de sustituir en T, que:<br />
y como la energía potencial es<br />
entonces<br />
1 ⎛ 1<br />
T =<br />
⎜<br />
2 ⎝ 4πε<br />
1<br />
V = −<br />
4πε<br />
Ze<br />
r<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 (5-26)<br />
0<br />
Ze<br />
r<br />
2<br />
, (5-27)<br />
2<br />
1 ⎛ 1 Ze ⎞<br />
ET = T + V = −<br />
= −T<br />
= −Ea<br />
2 ⎜<br />
4 0 r ⎟<br />
⎝ πε ⎠<br />
, (5-28)<br />
en donde Ea es la energía de amarre del átomo (la energía necesaria para<br />
separar al núcleo y al electrón hasta una distancia infinita). Despejando a r se<br />
obtiene<br />
1<br />
r =<br />
8πε<br />
Ze<br />
2<br />
0 Ea<br />
2 2<br />
mr ω<br />
y sustituyendo este valor en T = Ea=<br />
, se obtiene<br />
2<br />
de donde<br />
así que<br />
ω<br />
2<br />
E<br />
a<br />
2<br />
= 4π<br />
ν<br />
2<br />
mω<br />
=<br />
2<br />
8x<strong>16</strong>π<br />
ε<br />
2<br />
=<br />
8E<br />
2<br />
0<br />
, (5-29)<br />
2<br />
Z e<br />
E<br />
2<br />
a<br />
4<br />
2 2 ( <strong>16</strong>π<br />
ε )<br />
3<br />
a<br />
2<br />
Z<br />
⎛ 32E<br />
ε<br />
ν = ⎜<br />
2<br />
⎝ Z me<br />
me<br />
4<br />
1 2<br />
3 2 ⎞ a 0 ⎟<br />
4<br />
⎟<br />
⎠<br />
0<br />
, (5-30)<br />
, (5-31)<br />
. (5-32)
Hasta ahora, todo el cálculo era estrictamente clásico; entonces Bohr<br />
procede a introducir una hipótesis cuántica: como un movimiento circular puede<br />
pensarse como la superposición de dos movimientos armónicos, retoma la<br />
hipótesis de Planck modificada y propone que la energía de amarre Ea = αnhν.<br />
Es decir. la energía del movimiento circular solo puede cambiar en múltiplos de<br />
αhν. Bohr introduce el factor α para tomar en cuenta que se trata de un<br />
movimiento circular y no armónico simple. Sustituyendo el valor de Ea en la<br />
Ec.(5-32) se obtiene:<br />
2 4<br />
Z me<br />
ν =<br />
. (5-33)<br />
3 3 3<br />
32h<br />
ε α n<br />
La energía total del sistema estará entonces cuantizada y determinada por:<br />
E<br />
y el radio de la “orbita” por<br />
n<br />
2<br />
0<br />
2 4<br />
Z me<br />
= −αnhν<br />
= −<br />
, (5-34)<br />
2 2 2<br />
32h<br />
ε α n<br />
4h<br />
ε α n<br />
πZme<br />
2<br />
0<br />
2 2 2<br />
n =<br />
0<br />
2 . (5-35)<br />
r<br />
Sólo resta determinar el valor de α. Para hacerlo, Bohr introduce el llamado<br />
principio de correspondencia diciendo que los resultados cuánticos deben<br />
corresponder a los clásicos cuando el sistema se encuentre en una situación<br />
que pueda describirse clásicamente. Como el valor de r → ∞ cuando n → ∞, el<br />
electrón del átomo se comportaría en este caso como una carga eléctrica<br />
clásica en movimiento acelerado. Según la electrodinámica clásica, esta carga<br />
debe radiar con una frecuencia igual a la de su movimiento circular. Por<br />
consiguiente se esperaría una radiación de frecuencia<br />
2 4<br />
Z me<br />
ν =<br />
. (5-36)<br />
3 3 3<br />
32h<br />
ε α n<br />
2<br />
0<br />
Pero según las hipótesis de Bohr, la frecuencia emitida en una transición<br />
entre dos estados estacionarios consecutivos quedaría determinada por<br />
E<br />
ν =<br />
n+<br />
1<br />
− E<br />
h<br />
n<br />
2 4<br />
Z me<br />
= − 3 2<br />
32h<br />
ε α<br />
0<br />
2<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1<br />
1 ⎤<br />
− ⎥ =<br />
⎦<br />
Z<br />
2<br />
me<br />
( ) ( ) ⎥ 2 2<br />
3 2 2 2 2<br />
n + 1 n 32h<br />
ε0α<br />
⎣n<br />
n + 1 ⎦<br />
4<br />
⎡<br />
⎢<br />
2n<br />
+ 1<br />
⎤<br />
. (5-37)<br />
Si ahora se hace que n → ∞ y se aplica el principio de correspondencia se<br />
obtiene<br />
2 4<br />
2 4<br />
Z me 2 Z me<br />
ν →<br />
=<br />
, (5-38)<br />
3 2 3<br />
3 3 3<br />
32h<br />
ε α n 32h<br />
ε α n<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0
de donde resulta α = ½ y entonces<br />
2 4<br />
Z me<br />
= − 2 2<br />
8h<br />
ε n<br />
Z<br />
= −13.<br />
6<br />
n<br />
En 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
en<br />
eV.<br />
(5-39)<br />
y la Ec (5-<strong>18</strong>) que determina la frecuencia (o la longitud de onda) de la luz<br />
emitida por el átomo queda, finalmente, como<br />
2<br />
Z me<br />
ν = 3<br />
8h<br />
ε<br />
4<br />
2<br />
0<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
⎝ ni<br />
−<br />
1 ⎞<br />
⎟<br />
nf<br />
⎠<br />
(5-40)<br />
que era formalmente equivalente a las fórmulas previamente obtenidas, de<br />
manera empírica, por Rydeberg y por Balmer.<br />
Por otra parte, el radio de la órbita electrónica también resulta<br />
cuantizado con el valor<br />
en donde<br />
a<br />
0<br />
r<br />
n<br />
2 2<br />
2<br />
h ε 0n<br />
n<br />
= = a 2 0 , (5-41)<br />
πZme<br />
Z<br />
2<br />
h ε 0<br />
−11<br />
= = 5.<br />
2917x10<br />
m.<br />
(5-42)<br />
2<br />
πme<br />
es el llamado radio de Bohr. Con estos resultados la imagen del átomo<br />
planetario de Rutherford se modifica en varios aspectos: en primer lugar, el<br />
electrón no puede encontrarse en cualquier lugar en torno al núcleo, sino que<br />
solo puede estar en algunas órbitas circulares (estados estacionarios) con<br />
valores de su radio y de su energía total fijos. En segundo lugar, mientras se<br />
encuentre en alguno de estos estados estacionarios no emite radiación. Al<br />
pasar de un estado estacionario a otro emitirá radiación cuya frecuencia queda<br />
determinada por hν = En – Em; en este proceso el electrón que se encontraba<br />
en el estado caracterizado por En desaparece y aparece otro electrón en el<br />
estado caracterizado por Em, ya que en ningún momento el electrón puede<br />
estar en la región comprendida entre rn y rm. Una representación pictórica del<br />
átomo de Bohr sería como la de la figura 6-<strong>18</strong>:
Visible<br />
Como además<br />
Figura 6.<strong>18</strong> Representación pictórica del átomo de<br />
hidrógeno basada en el modelo de Bohr.<br />
Ultravioleta<br />
2<br />
2<br />
= r x mv<br />
= mr ω = 2πmr<br />
ν , (5-43)<br />
se obtiene que, después de sustituir rn y ν, que el momento angular orbital del<br />
electrón también está cuantizado<br />
nh<br />
= (5-44)<br />
2π<br />
[ ] = n,<br />
n<br />
en donde ħ es la llamada constante de Dirac.<br />
Con frecuencia se suelen representar las energías de los estados<br />
estacionarios como los peldaños de una escalera irregular, en la que las<br />
transiciones entre estados estacionarios se pueden agrupar en series<br />
caracterizadas por el estado final de las transiciones. Así, la serie de<br />
transiciones en las que el estado final es el estado básico del átomo de<br />
hidrógeno (n = 1) se llama serie de Lyman, aquella en la que el estado final es<br />
el primer estado excitado (n = 2) se llama serie de Balmer, y siguen las series<br />
de Paschen, Brackett y Pfünd para n = 3, 4 y 5, respectivamente. A modo de<br />
ejemplo, en la figura 6-19 se representan las series de Lyman, Balmer y<br />
Paschen.
Lyman (ultravioleta)<br />
Balmer (parcialmen‐te<br />
en el visible)<br />
Paschen (infrarrojo)<br />
Figura 6‐19. Representación de las transiciones que dan lugar a las tres<br />
primeras series espectrales del átomo de hidrógeno.<br />
<strong>El</strong> gran excito del modelo de Bohr fue que explicaba todas y cada una de<br />
las líneas observadas en el espectro del átomo de hidrógeno. Sin embargo,<br />
este modelo semiclásico adolecía de varias dificultades conceptuales que<br />
hicieron que pronto se le sustituyera por un enfoque totalmente novedoso en el<br />
que no se hiciera esa extraña mezcla de ideas clásicas con cuánticas.