CURVAS PARAM´ETRICAS: TEORÍA LOCAL DE CURVAS - IMERL

------ Teoría Local de Curvas - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo3 - Año 2004 - - - - - - 8
Observar que el versor normal es horizontal.
i
b(s) =t(s) ∧ n(s) = −
j k
a
c sen
s
c
a − c cos −cos
s
c
b
c
s
c
s −sen c 0
b ′ (s) =
b
cos
c2
s
c
, b
sen
c2
s
, 0
c
Verificar este resultado con la fórmula explícita.
= − b
c
=
b
c sen
s
, −
c
b
c cos
b
n(s) ⇒ τ(s) = =
2 c2
s
,
c
a
c
b
a 2 + b 2
Observar que en el caso de la hélice, la curvatura y la torsión son constantes (iguales en todos los
puntos).
Ejemplo 1.3.
Curvatura de una curva plana dada por una función y = f(x) x ∈ I.
Parametrizamos la curva de la siguiente forma P (x) =(x, f(x)) x ∈ I.
Las derivadas de la curva serán
Por lo tanto | ˙
P ∧ ¨ P | = |f ′′ (x)| y
P ′ (x) =(1,f ′ (x)) , P ′′ =(0,f ′′ (x))
|f
k(x) =
′′ (x)|
1+(f ′ (x)) 2
1.5. Teorema fundamental de la teoría local de curvas
Teorema 1.5 (Teorema fundamental de la teoría local de curvas).
Dadas funciones k(s) > 0yτ(s) con s ∈ I, con condiciones de regularidad que no explicitaremos aquí,
existe una curva regular α : I → IR 3 tal que s es la longitud de arco, k(s) es su curvatura y τ(s) su
torsión. Además, α es única a menos de un movimiento rígido.
Demostración: Se omite.
Corolario 1.6.
Las circunferencias (o parte de ellas) son las únicas curvas que poseen curvatura constante y
torsión idénticamente nula.
Si una curva posee curvatura y torsión constantes, entonces la curva está incluida en una hélice.
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