CURVAS PARAM´ETRICAS: TEORÍA LOCAL DE CURVAS - IMERL

------ Teoría Local de Curvas - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo3 - Año 2004 - - - - - - 7
La última es la definición de τ.
La segunda se obtiene derivando la expresión n = b ∧ t :
n ′ = b ′ ∧ t + b ∧ t ′ = −τ (n ∧ t)+k (b ∧ n) =τb− kt
1.4. Fórmulas explícitas para determinar el triedro de Frenet, curvatura y torsión 3
Caso en que la curva está parametrizada respecto de la longitud de arco
t(s) =α ′ (s) , n(s) = α′′ (s)
|α ′′ (s)|
Caso general, parametrización cualquiera
, b(s) =t(s) ∧ n(s) = α′ (s) ∧ α ′′ (s)
|α ′ (s) ∧ α ′′ (s)|
k(s) =|α ′′ (s)| , τ(s) = (α′ (s),α ′′ (s),α ′′′ (s))
k(s) 2
Para una curva P (t), cualquiera, un camino para hallar t, b, n, k y τ, sería reparametrizar respecto a la
longitud del arco y luego aplicar las fórmulas anteriores. Es más cómodo, sin embargo, tener fórmulas
explícitas, que presentamos a continuación.
Ejemplo 1.2.
t = ˙ P
| ˙ P |
, b = ˙
P ∧ ¨ P
| ˙
P ∧ ¨ P |
k =
| P˙ ∧ ¨ P |
| ˙ P | 3
, n = b ∧ t =
, τ =
P˙ ∧ P¨
∧ ˙ P
|( ˙ P ∧ ¨ P ) ∧ ˙ P |
( P, ˙ ¨ P, ...
P )
| ˙ P ∧ ¨ P | 2
Consideremos la parametrización de la hélice
s
s
α(s) = a cos , a sen ,b
c c
s
con c =
c
a2 + b2 , a > 0yb>0
Verifique que se trata de una parametrización respecto de la longitud de arco.
Calculemos los elementos de l triedro de Frenet, la curvatura y la torsión.
t(s) =α ′
(s) = − a
c sen
s
,
c
a
c cos
s
,
c
b
c
α ′′ (s) =− a
c2
s
s
cos , sen , 0 ⇒ k(s) =
c c
a
=
c2
s
s
n(s) =− cos , sen , 0
c c
3 ( u,v,w)=(u ∧ v).w es el producto mixto.
a
a 2 + b 2